TS Inter 1st Year

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 6 Trigonometric Ratios upto Transformations Ex 6(d) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Trigonometric Ratios upto Transformations Solutions Exercise 6(d)

I.
Question 1.
Simplify
(i) \(\frac{\sin 2 \theta}{1+\cos 2 \theta}\)
Answer:

(ii) \(\frac{3 \cos \theta+\cos 3 \theta}{3 \sin \theta-\sin 3 \theta}\)
Answer:

Question 2.
Evaluate the following
(i) 6sin 20° – 8 sin³ 20°
Answer:
2(3 sin 20° – 4sin³ 20°) (Formula)
= 2.sin (3 × 20°) = 2 sin 60°
= \(\frac{2 \sqrt{3}}{-2}\) = √3

(ii) cos²72° – sin²54°
Answer:
cos²72° – sin²54°
= sin²18° – cos²36°

(iii) sin²42° – sin²12°
Answer:
sin²42° – sin²12° (Formula)
sin (42° + 12°) sin (42° – 12°)
= sin 54° sin 30°
= \(\left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right) \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{8}\)

Question 3.
(i) Express \(\frac{\sin 4 \theta}{\sin \theta}\) in terms of cos3 θ and cos θ.
Answer:
sin4θ = sin (3θ + θ) = sin 3θ cos θ +cos 3θ sin θ
= (3 sin θ – i sin 3θ) cos θ + (4 cos 3θ – 3 cos θ) sin θ
= 3 sin θ cos θ – 4 sin 3θ cos θ + 4 cos 3θ sin θ – 3 cos θ sin θ
= 4 cos 3θ sin θ – 4 sin 3θ cos θ
= sin θ(1 cos 3θ – 4 sin 2θ cos θ)
= sin θ [4 cos 3θ – 4 sin 2θ cos θ]
∴ \(\frac{\sin 4 \theta}{\sin \theta}=\frac{\sin \theta\left(4 \cos ^3 \theta-4 \sin ^2 \theta \cos \theta\right)}{\sin \theta}\)
= 4 cos 3θ – 4 sin 2θ cos θ
= 4 cos 3θ – 4 (1- cos 2θ) cos θ
= 8 cos 3θ – 4 cos θ

(ii) Express cos⁶ A + sin⁶ A in terms of sin 2A.
Answer:
cos⁶A + sin⁶A = (cos²A + sin²A)³
= (cos²A + sin²A)³ – 3 cos²A sin²A (cos²A + sin² A)
= 1 – 3 cos²A sin²A ……………(1)
= 1 – \(\frac{3}{4}\) (4 cos² A sin² A)
= 1 – \(\frac{3}{4}\)sin²2A

(iii) Express \(\frac{1-\cos \theta+\sin \theta}{1+\cos \theta+\sin \theta}\) in terms of tan \(\frac{\theta}{2}\)
Answer:

Question 4.
(i) If sin α = \(\frac{3}{5}\), where \(\frac{\pi}{2}\) < α < π, evaluate cos 3α and tan 2α. (March 2015-T.S)
Answer:
since \(\frac{\pi}{2}\) < α < π, a lies in second quadrant and given sin α = \(\frac{3}{5}\) we have cos α = –\(\frac{4}{5}\)
cos 3α = 4 cos³ α – 3 cos α

(ii) If cos A = \(\frac{7}{25}\) and \(\frac{3 \pi}{2}\) < A < 2π, then find the value of cot \(\frac{A}{2}\).
Answer:

(iii) If 0 < θ < \(\frac{\pi}{8}\), show that \(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos 4 \theta}}}\) = 2cos(θ/2)
Answer:

Question 5.
Find the extreme values of
(i) cos 2x + cos2x
Answer:
cos 2x + cos2x = 2 cos² x – 1 + cos² x
= 3 cos² x – 1
and 0 ≤ cos² x ≤ 1
⇒ 0 ≤ 3 cos² x ≤ 3
⇒ -1 ≤ 3 cos² x – 1 ≤ 2
Maximum value = 2
and minimum value = -1
(or) cos 2x + cos² x = cos 2x + \(\left(\frac{1+\cos 2 x}{2}\right)\)
We have -1 < cos 2x ≤ 1
⇒ -3 ≤ 3 cos 2x ≤ 3
⇒ -2 ≤ 3 cos 2x + 1 ≤ 4
⇒ -1 ≤ \(\frac{3 \cos 2 x+1}{2}\) ≤ 2
Maximum value = 2
Minimum value = -1

(ii) 3sin²x + 5 cos²x
Answer:
3sin²x + 5 cos²x

Question 7.
Find the periods for the following functions
(i) cos⁴x
Answer:

(ii) 2sin\(\left(\frac{\pi \mathbf{x}}{\mathrm{4}}\right)\) + 3cos\(\left(\frac{\pi x}{3}\right)\)
Answer:

(iii) sin²x + 2 cos²x
Answer:
Let f(x) = sin²x + 2cos²x

(iv) 2sin(\(\frac{\pi}{4}\) + x)cos x
Answer:

Period of f(x) is LCM of [π, π] = π

(v) \(\frac{5 \sin x+3 \cos x}{4 \sin 2 x+5 \cos x}\)
Answer:

II.
Question 1.
(i) If 0 < A < \(\left(\frac{\pi}{4}\right)\), and cos A = \(\frac{4}{5}\), find the values of sin 2A and cos 2A.
Answer:

(ii) For what values of A in the first quadrant, the expression \(\frac{\cot ^3 A-3 \cot A}{3 \cot ^2 A-1}\) is positive?
Answer:
\(\frac{\cot ^3 A-3 \cot A}{3 \cot ^2 A-1}\) > 0
⇒ cot³A – 3 cot A > 0
⇒ cot A (cot² A – 3) > 0
⇒ cot A > 0 or cot² A > 3
⇒ cot A > √3

(iii) Prove that \(\frac{\cos 3 A+\sin 3 A}{\cos A-\sin A}\) = 1 + 2 sin 2A
Answer:

Question 2.
(i) Prove that cot(\(\frac{\pi}{4}\) – θ) = \(\frac{\cos 2 \theta}{1-\sin 2 \theta}\) and hence find the value of cot 15°.
Answer:

(ii) If θ lies in third quadrant and sin θ = –\(\frac{4}{5}\), find the values of cosec\(\left(\frac{\theta}{2}\right)\) and tan\(\left(\frac{\theta}{2}\right)\).
Answer:
Given θ lies in third quadrant.

(iii) If 450° < θ < 540° and sin θ = \(\frac{12}{13}\), then calculate sin\(\left(\frac{\theta}{2}\right)\) and cos\(\left(\frac{\theta}{2}\right)\).
Answer:

(iv) Prove that \(\frac{1}{\cos 290^{\circ}}+\frac{1}{\sqrt{3} \sin 250^{\circ}}=\frac{4}{\sqrt{3}}\)
Answer:

Question 3.
Prove that
(i) \(\frac{\sin 2 A}{(1-\cos 2 A)} \cdot \frac{(1-\cos A)}{\cos A}\) = tan\(\frac{\mathrm{A}}{2}\)
Answer:

(ii) \(\frac{\sin 2 x}{(\sec x+1)} \cdot \frac{\sec 2 x}{(\sec 2 x+1)}\) = tan\(\left(\frac{x}{2}\right)\)
Answer:

(iii) \(\frac{\left(\cos ^3 \theta-\cos 3 \theta\right)}{\cos \theta}+\frac{\sin ^3 \theta+\sin 3 \theta}{\sin \theta}\) = 3.
Answer:

Question 4.
(i) Show that cos A = \(\frac{\cos 3 A}{2 \cos 2 A-1}\). Hence find the value of cos 15°.
Answer:

(ii) Show that sin A = \(\frac{\sin 3 A}{1+2 \cos 2 A}\). Hence find the value of sin 15°.
Answer:

(iii) Prove that tan α = \(\frac{\sin 2 \alpha}{1+\cos 2 \alpha}\) and hence deduce the values of tan 15° and tan 22\(\frac{1}{2}\).
Answer:

Question 5.
Prove that \(\frac{1}{\sin 10^{\circ}}-\frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}}\) = 4
(i) \(\frac{1}{\sin 10^{\circ}}-\frac{\sqrt{3}}{\cos 10^{\circ}}\) = 4 (Mar’ 2003, Jun 2004)
Answer:

(ii) √3 cosec 20° – sec 20° = 4.
Answer:

(iii) tan 9° – tan 27° – cot 27° + cot 9° = 4
Answer:
We have that tan A + cot A = \(\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{1}{\sin A \cos A}\) = 2 cosec 2A
Put A = 9°, we have tan 9° + cot 9° = 2 cosec 18°
Put A = 27°, we have tan 27°+ cot 27° = 2 cosec 54°
∴ L.H.S
∴ tan 9° – tan 27° + cot 9° – cot 27° = 2 (cosec 17° – cosec 54°)

(iv) If \(\frac{\sin \alpha}{a}=\frac{\cos \alpha}{b}\), then prove that a sin 2α + b cos 2α = b.
Answer:
Given that \(\frac{\sin \alpha}{a}=\frac{\cos \alpha}{b}\)
⇒ b sin α + a cos α
L.H.S = a sin 2α + b cos 2α
= a (2 sin α cos α) + b ( 1 – 2 sin²α)
= 2 sin α (a cos α) + b – 2 b sin²α
= 2 sin α (b sin α) + b – 2b sin²α
= 2b sin²α + b – 2b sin²α = b

Question 6.
(i) In a ΔABC; if tan \(\frac{A}{2}=\frac{5}{6}\), and tan \(\frac{B}{2}=\frac{20}{37}\) then show that tan(C/2) = \(\frac{2}{5}\)
Answer:
In ΔABC, A + B + C = 180°

(ii) If cos θ = \(\frac{5}{13}\) and 270° < θ < 360°, evaluate sin \(\left(\frac{\theta}{2}\right)\) and cos \(\left(\frac{\theta}{2}\right)\).
Answer:
Given cos θ = \(\frac{5}{13}\), where 270° < θ < 360°,
⇒ 135° < \(\frac{\theta}{2}\) < 180°
⇒ \(\frac{\theta}{2}\) lies in second quadrant
since cos θ = \(\frac{5}{13}\)

(iii) If 180° < θ < 270° and sin θ = –\(\frac{4}{5}\) calculate sin\(\left(\frac{\theta}{2}\right)\) and cos\(\left(\frac{\theta}{2}\right)\)
Answer:

Question 7.
(i) Prove that cos²\(\frac{\pi}{8}\) + cos²\(\frac{3 \pi}{8}\) + cos²\(\frac{5 \pi}{8}\) + cos²\(\frac{7 \pi}{8}\) = 2
Answer:

(ii) Show that cos⁴\(\left(\frac{\pi}{8}\right)\) + cos⁴\(\left(\frac{3 \pi}{8}\right)\) + cos⁴\(\left(\frac{5 \pi}{8}\right)\) + cos⁴\(\left(\frac{7 \pi}{8}\right)=\frac{3}{2}\)
Answer:

III.
Question 1.
(i) If tan x + tan (x + \(\frac{\pi}{3}\)) + tan(x + \(\frac{2 \pi}{3}\)) = 3, show that tan 3x = 1
Answer:

(ii) Prove that (March 2013)
sin\(\frac{\pi}{5}\) sin\(\frac{2 \pi}{5}\).sin\(\frac{3 \pi}{5}\).sin\(\frac{4 \pi}{5}=\frac{5}{16}\)
Answer:
L.H.S = sin\(\frac{\pi}{5}\) sin\(\frac{2 \pi}{5}\).sin\(\frac{3 \pi}{5}\).sin\(\frac{4 \pi}{5}\)
= sin 36° . sin 72° . sin 108° . sin 144°
= sin 36° . sin 72°. sin (90° + 18°) sin (180° – 36°)
= sin 36° . sin (90° – 18°) . sin (90° + 18°). sin (180° – 36°)
= sin 36° . cos 18° . cos 18° . sin 36°
= sin236° . cos218°
= \(\left(\frac{10-2 \sqrt{5}}{16}\right)\left(\frac{10+2 \sqrt{5}}{16}\right)\)
= \(\frac{100-20}{256}=\frac{80}{256}=\frac{5}{16}\)

(iii) Show that cos²\(\left(\frac{\pi}{10}\right)\) + cos²\(\left(\frac{2 \pi}{5}\right)\) + cos²\(\left(\frac{3 \pi}{5}\right)\) + cos²\(\left(\frac{9 \pi}{5}\right)\) = 2
Answer:
cos²18° + cos² 72°+ cos² 108° + cos² 162°
= cos²18° + cos² 72°+ cos2 (90 + 18) + cos²(108° – 18°)
= cos² 18° + sin² 18° + sin² 18° + cos² 18°
= 1 + 1 = 2

Question 2.
Prove that
(i) \(\frac{1-\sec 8 \alpha}{1-\sec 4 \alpha}=\frac{\tan 8 \alpha}{\tan 2 \alpha}\)
Answer:

(ii) (1 + cos \(\frac{\pi}{10}\))(1 + cos \(\frac{3 \pi}{10}\))(1 + cos \(\frac{7 \pi}{10}\))(1 + cos \(\frac{9 \pi}{10}\)) = \(\frac{1}{16}\). (March 2015-A.P)
Answer:
(1 + cos 18) (1 + cos 54) (1 + cos 126) (1 + cos 162)
= (1 + cos 18) (1 + sin 36) (1 – sin 36) (1 – cos 18)
= (1 + cos 18) (1 – cos 18) (1 + sin 36) (1 – sin 36)
= sin² 18° cos² 36°
= \(\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2\left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right)^2\)
= \(\frac{(5-1)^2}{256}=\frac{16}{256}=\frac{1}{16}\)

Question 3.
Prove that
(i) cos \(\frac{2 \pi}{7}\) cos\(\frac{4 \pi}{7}\) cos \(\frac{8 \pi}{7}=\frac{1}{8}\)
Answer:
Let \(\frac{2 \pi}{7}\) = α
and x = cos α cos2 α cos 4 α
and y = sin α sin2 α sin4 α (suppose)

(ii) cos \(\frac{\pi}{11}\) cos\(\frac{2 \pi}{11}\) cos\(\frac{3 \pi}{11}\)cos\(\frac{5 \pi}{11}\)cos\(\frac{4 \pi}{11}=\frac{1}{32}\)
Answer:
Let \(\frac{\pi}{11}\) = α
and x = cos α cos 2α cos 3α cos 4α cos 5α
and y = sin α sin 2α sin 3α sin 4α sin 5α
xy =

Question 4.
(i) If cos α = \(\frac{3}{5}\) and cos β = \(\frac{5}{13}\) and α, β are acute angles, then prove that
(a) sin²\(\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=\frac{1}{65}\) and
(b) cos²\(\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{16}{65}\)
Answer:
α, β are acute angles and cos α = \(\frac{3}{5}\) and cos β = \(\frac{5}{13}\)

(ii) If A is not an integral multiple of π, prove that cos A . cos 2A . cos 4A . cos 8A = \(\frac{\sin 16 A}{16 \sin A}\) and hence deduce that cos A. cos 2A . cos 4A .cos 8A = \(\frac{\sin 16 A}{16 \sin A}\) and hence deduce that
cos \(\frac{2 \pi}{15}\).cos\(\frac{4 \pi}{15}\).cos\(\frac{8 \pi}{15}=\frac{16 \pi}{15}=\frac{1}{16}\) (Mar 2012, May 2012)
Answer:
We have to prove that
16 sin A cos A cos 2A cos 4A cos 8A = sin 16A
L.H.S = 8(2 sinA cos A) cos2A cos 4A cos 8A = sin 16A
= 8 sin 2A cos 2A cos 4A cos 8A
= 4 (2 sin 2A cos 2A ) cos 4A cos 8A
= 4 sin 4A cos 4A cos 8A = 2 (2 sin 4A cos 4A) cos 8A
= 2 (sin 8A) (cos 8A)
= cos 16A
= R.H.S

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 13th Lesson కర్బన రసాయన శాస్త్రం – సామాన్య సూత్రాలు, విధానాలు Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 13th Lesson కర్బన రసాయన శాస్త్రం – సామాన్య సూత్రాలు, విధానాలు

అత్యంత లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
బెంజీన్ న్ను మీథైల్ బెంజీన్ గా మార్చడానికి అవసరమైన కారకాలు రాయండి.
జవాబు:
AlCl₃ ఉత్ప్రేరకం సమక్షంలో బెంజీన్, మిథైల్ క్లోరైడ్ చర్య జరిపితే మిథైల్ బెంజీన్ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 2.
నైట్రో బెంజీన్ను ఎలా తయారుచేస్తారు?
జవాబు:
బెంజీన్ ను 60°C కంటే తక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద గాఢ HNO₃ మరియు గాఢ H₂SO₄ ల మిశ్రమంతో వేడిచేస్తే నైట్రోబెంజీన్ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 3.
ఈథేన్ అనురూపకాలను రాయండి.
జవాబు:
ఈథేన్ – అనురూపాత్మక సాదృశ్యములు : ఈథేన్ అణువులో ఒక కార్బన్ పరమాణువు స్థానమును స్థిరీకరించి రెండవ కార్బన్ పరమాణువును C – C బంధ అక్షముపై చక్ర భ్రమణము చేయుట వలన అనేక ప్రాదేశిక అమరికలు గల రూపములు లభించును. ఈ రూపములను అనురూపాత్మక సాదృశ్యములందురు. ఈథేన్ ప్రధాన అనురూపాత్మక సాదృశ్యములు.

1. గ్రహణ ఆకృతి
2. అస్తవ్యస్త ఆకృతి
   

ప్రశ్న 4.
ఇథిలీన్ నుంచి ఈథైల్ క్లోరైడ్ను ఎలా తయారుచేస్తారు?
జవాబు:
ఇథిలీన్ ను HCl తో చర్య జరిపి ఈథైల్ క్లోరైడ్ను తయారు చేస్తారు.

ప్రశ్న 5.
కింది నిర్మాణాల IUPAC నామాలు రాయండి.
(a) CH₃-CH₂-CH₂-CH=CH₂

జవాబు:
(a) 1-పెంటీన్
(b) పెంటేన్-2-ఓన్, పెంటేన్-3-ఓన్
(c) 3-నైట్రో బెంజాల్డిహైడ్, 4-నైట్రో బెంజాల్డిహైడ్

ప్రశ్న 6.
కింది వాటి నిర్మాణాలను రాయండి.
(i) ట్రైక్లోరో ఇథనాయిక్ ఆమ్లం
(ii) నియోపెంటేన్
(iii) P-నైట్రో బెంజాల్డిహైడ్ (March 2013)
జవాబు:
(i) ట్రైక్లోరో ఇథనాయిక్ ఆమ్లం – CCl₃COOH
(ii) నియోపెంటేన్
(iii) P-నైట్రో బెంజాల్డిహైడ్

ప్రశ్న 7.
లాసజీన్ చర్యను వివరించండి.
జవాబు:
లాసజీన్ చర్య : పొడిగా ఉన్న చిన్న Na లోహాన్ని గలన స్థితిలో మారే వరకు గలన నాళికలో వేడి చేయవలెను. ఈ గలన Naకు కర్బన సమ్మేళనం కలిపి ఎర్రగా మారేవరకు వేడి చేయవలెను. చైనా పాత్రలో ఈ ఎర్రగా కాలిన నాళికను వేసి నీటిని కలిపి మరిగించి చల్లబరచి వడపోయవలెను. ఈ వడపోత ద్రావణాన్ని లాసైన్ కషాయం అంటారు. ఈ పరీక్ష N, S, హాలోజన్లను గుర్తించుటకు ఉపయోగపడును.

నైట్రోజన్ను గుర్తించుట : కొద్దిగా లెసైన్ ద్రావణాన్ని పరీక్ష నాళికలో తీసుకొని దానికి కొన్ని చుక్కలు NaOH ద్రావణం కలిపి క్షారీకృతం చేసి దానికి అపుడే తయారు చేసిన ఫెర్రస్ సల్ఫేట్ ద్రావణాన్ని కలుపుతారు. దీనికి 2 లేక 3 చుక్కలు FeCl₃ ద్రావణం కలిపి చల్లబరిచి గాఢ HCl ద్రావణంతో ఆమ్లీకృతం చేస్తారు. ప్రశ్యన్ బ్లూ రంగు ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 8.
క్రోమటోగ్రఫీ సిద్ధాంతాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
క్రోమటోగ్రఫీని మిశ్రమ పదార్థాలను వేరు చేయడానికి, కర్బన పదార్థాలను శుద్ధి చేయడానికి, పదార్థాల పరిశుద్ధతను పరిశీలించడానికి ఉపయోగిస్తారు. ఈ పద్ధతిలో పదార్థాల మిశ్రమాన్ని ఒక స్థిర ప్రావస్థ మీద అధిశోషణం చేస్తారు. స్థిర ప్రావస్థగా ఘనపదార్థం కానీ ద్రవపదార్థం కానీ ఉండవచ్చు. స్వచ్ఛమైన ద్రావణి కానీ ద్రావణాల మిశ్రమం కానీ లేదా వాయువును కానీ స్థిరప్రావస్థ మీదకి మెల్లగా పంపిస్తారు. మిశ్రమంలోని పదార్థాలు క్రమంగా ఒకదాని నుంచి మరొకటి వేరు పడతాయి.

ప్రశ్న 9.
జలబాష్ప స్వేదనంలో కర్బన ద్రవం దాని బాష్పీభవన స్థానం కంటే తక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఎందుకు ఆవిరిగా మారుతుంది?
జవాబు:
జలబాష్ప స్వేదనంలో కర్బన ద్రవం బాష్పపీడనం P₁ నీటి ఆవిరి పీడనం P₂ల మొత్తం బాహ్య వాతావరణ పీడనం P కి సమానం అయినప్పుడు ద్రవం మరుగుతుంది. అంటే P = P₁ + P₂. కర్బన ద్రవ బాష్ప పీడనం P₁, P కంటే తక్కువ కాబట్టి అది దాని బాష్ప పీడన స్థానం కంటే తక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద బాష్పీకరణం చెందుతుంది.

ప్రశ్న 10.
కింది వాటిని వివరించండి.
(a) స్ఫటికీకరణం
(b) స్వేదనం
జవాబు:
(a) స్ఫటికీకరణం : మలిన పదార్థాన్ని అది కరిగే ద్రావణిలో దాని బాష్పీభవన స్థానం దగ్గర కరిగించి, మరిగించి సంతృప్త ద్రావణాన్ని తయారుచేసి ఆ గాఢ ద్రావణాన్ని చల్లార్చి పరిశుద్ధమైన సమ్మేళనాన్ని దాని స్ఫటిక రూపంలో పొందే ప్రక్రియను స్ఫటికీకరణం అంటారు.

ఈ పద్ధతిని ఘన సమ్మేళనాలను శుద్ధి చేయడానికి ఉపయోగిస్తారు. ఇవ్వబడిన మలిన ఘన సమ్మేళనాన్ని అది కరిగే ద్రావణిలో దాని బాష్పీభవన స్థానం దగ్గర కరిగించి దాదాపు సంతృప్త ద్రావణం వచ్చే వరకు మరిగించి వడపోయాలి. ద్రావణాన్ని నెమ్మదిగా చల్లారిస్తే పరిశుద్ధ సమ్మేళనం స్ఫటికాల రూపంలో బయటకు వస్తుంది. కరిగిన మలినాలు ద్రావణంలో మిగిలిపోతాయి.

(b) స్వేదనం : ఈ పద్ధతి

1. బాష్పశీల ద్రవాల నుంచి అబాష్పశీల మలినాలను వేరుచేయడానికి
2. బాష్పీభవన స్థానాలలో సరిపడ తేడా ఉన్న ద్రవాల మిశ్రమాన్ని వేరు చేయడానికి ఉపయోగిస్తారు.
   విభిన్న బాష్పీభవన స్థానాలు ఉన్న ద్రవాలు వేరువేరు ఉష్ణోగ్రతల వద్ద పూర్తిగా బాష్పాలుగా మారతాయి. ఈ బాష్పాలను చల్లబరిస్తే ఏర్పడే ద్రవాలను వేరుగా సంగ్రహించవచ్చు.

ఉదా : క్లోరోఫారం (ద్ర.స్థానం 334 K) మరియు ఎనిలీన్ (ద్ర. స్థానం 457 K) మిశ్రమాన్ని స్వేదన పద్ధతిలో వేరుచేస్తారు.

లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 11.
కింది చర్యలను పూరించి A, B, C ఉత్పన్నాల నామాలు రాయండి.

జవాబు:

A – ఎసిటిలీన్
B – బెంజీన్
C – మిథైల్ బెంజీన్

ప్రశ్న 12.
కింది చర్యలో ఏర్పడిన A, B, C ఉత్పన్నాల పేర్లను రాసి, చర్యా సమీకరణాన్ని రాయండి.

జవాబు:

ప్రశ్న 13.
ఎసిటిలీన్ a) బ్రోమిన్ b) హైడ్రోజన్తో ఎట్లా చర్య జరుపుతుంది? పై చర్యలకు సమీకరణాలు రాసి ఉత్పన్నాల పేర్లను తెలపండి.
జవాబు:
a) ఎసిటిలీన్ CCl₄ సమక్షంలో బ్రోమిన్తో చర్య జరిపి 1, 1, 2, 2 – టెట్రా బ్రోమో ఈథేన న్ను ఏర్పరుస్తుంది.

b) ఎసిటిలీన్ Ni లేదా Pt ఉత్ప్రేరకం సమక్షంలో హైడ్రోజన్తో చర్య జరిపి ఈథేన్ ను ఏర్పరుచును.

ప్రశ్న 14.
ప్రతిక్షేపణ చర్య అంటే ఏమిటి? ఏవైనా రెండు బెంజీన్ ప్రతిక్షేపక చర్యలను తెలపండి.
జవాబు:
కర్బన సమ్మేళనంలోని ఏదేని పరమాణువు లేక పరమాణువుల సమూహాన్ని వేరొక పరమాణువు లేదా పరమాణువుల సమూహంతో ప్రతిక్షేపించుటను ప్రతిక్షేపణ చర్య అంటారు. బెంజీన్ ఎలక్ట్రోఫిలిక్ ప్రతిక్షేపణ చర్యలు జరుపుకుంటుంది. బెంజీన్ యొక్క ఎలక్ట్రోఫిలిక్ ప్రతిక్షేపణ చర్యలు :

1. హాలోజనీకరణం : బెంజీన్ను FeCl₃ సమక్షంలో క్లోరిన్హో చర్య జరపగా క్లోరో బెంజీన్ ఏర్పడుతుంది.

2. నైట్రోకరణం : బెంజీన్ను నైట్రేషన్ మిశ్రమంతో (గాఢ HNO₃ + గాఢ H₂SO₄) 60°C కన్నా తక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద చర్య జరుపగా నైట్రో బెంజీన్ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 15.
డీహైడ్రోహాలోజినేషన్ చర్య అంటే ఏమిటి? ఆల్కైల్ హాలైడ్ నుంచి ఆల్కీన్ ఏర్పడే చర్యను రాయండి.
జవాబు:
డీహైడ్రోహాలోజనీకరణం : ఒక సమ్మేళనంలోని ప్రక్క ప్రక్కన గల కార్బన్ పరమాణువుల నుండి హైడ్రోజన్ మరియు హాలోజన్ పరమాణువులను హైడ్రోజన్ హాలైడ్ అణువుగా తొలగించు చర్యను డీహైడ్రోహాలోజనీకరణం అంటారు.

ఆల్కైల్ హాలైడ్ను ఆల్కహాలిక్ KOH తో వేడిచేయగా డీహైడ్రో హాలోజనీకరణం చెంది ఆల్కీన్ (ఇథిలీన్) ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 16.
ఓజోన్తో ఎటువంటి సమ్మేళనాలు చర్యనొందుతాయి? ఏదైనా ఒక ఉదాహరణతో వివరించండి.
జవాబు:
అసంతృప్త హైడ్రోకార్బన్లు ఓజోన్లో చర్య జరుపుతాయి.

ఇథిలీన్, ఎసిటిలీన్, బెంజీన్ మొదలగునవి. ఓజోన్ తో చర్య జరిపి అస్థిరమైన ఓజనైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి. ఇవి జల విశ్లేషణ చెంది కార్బొనైల్ సమ్మేళనాలను ఏర్పరుస్తాయి. ఈ చర్యను ఓజోనీకరణం అంటారు.
ఉదా : ఇథిలీన్, ఓజోన్తో చర్య జరిపి అస్థిర ఇథిలీన్ ఓజ నైడ్ను ఏర్పరుస్తుంది. ఇది జలవిశ్లేషణ చెంది ఫార్మాల్డిహైడ్ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 17.
స్థాన సాదృశ్యానికీ, ప్రమేయ సాదృశ్యానికీ క్రమంగా రెండు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి. (March 2013)
జవాబు:
1) కర్బన శృంఖలంపై ఉన్న ప్రతిక్షేపకం లేదా ప్రమేయ సమూహ స్థానాల్లో భేదం వలన ఏర్పడే సాదృశ్యాన్ని స్థాన సాదృశ్యం అంటారు.

2) అణు సంకేతం ఒకటే ఉండి ప్రమేయ సమూహాలు వేరుగా ఉండటం వలన ఏర్పడిన సాదృశ్యాన్ని ప్రమేయ సమూహ సాదృశ్యం అంటారు.

ప్రశ్న 18.
మీథేన్ హాలోజనీకరణం చర్యాగతిని రాయండి.
జవాబు:
మీథేన్ హాలోజనీకరణం : సూర్యరశ్మి లేదా U.V కాంతి సమక్షంలో మీథేన్ హాలోజన్లతో చర్య జరుపుతుంది. ఈ చర్యలో మీథేన్లోని H పరమాణువులు హాలోజన్ పరమాణువులతో ప్రతిక్షేపక చర్య జరిపి మోనో, డై, ట్రై మరియు టెట్రాహలో మీథేన్లు వరసగా ఏర్పడతాయి.

ప్రశ్న 19.
ఈథైల్ ఆల్కహాల్ నుంచి ఇథిలీన్ న్ను ఎట్లా తయారుచేస్తారు?
జవాబు:
ఈథైల్ ఆల్కహాల్ నుండి ఇథిలీన్ ను తయారు చేయుట :
ఈథైల్ ఆల్కహాల్ నిర్జలీకరణ : ఈథైల్ ఆల్కహాల్ను గాఢ H₂SO₄ తో కలిపి 170°C వద్ద వేడిచేస్తే ఇథిలీన్ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 20.
కింది వాటితో ఎసిటిలీన్ చర్యలను వివరించండి.
(a) Na/NH₃
(b) క్రోమిక్ ఆమ్లం సమీకరణాలను, ఉత్పన్నాల పేర్లను రాయండి
జవాబు:
a) ఎసిటిలీన్ సోడియం లోహంతో చర్య జరిపి మోనోసోడియమ్ ఈథనైడ్ మరియు డై సోడియం ఈథనైడు ఏర్పరుస్తుంది.
ఈ చర్య ఎసిటిలీన్ యొక్క ఆమ్ల ధర్మాన్ని వివరిస్తుంది.

b) ఎసిటిలీన్ను క్రోమిక్ ఆమ్లం ఎసిటిక్ ఆమ్లంగా ఆక్సీకరణం చేస్తుంది.

ప్రశ్న 21.
కర్బన ద్రవాలను శుద్ధి చేసే ప్రక్రియలు – స్ఫటికీకరణం, ఉత్పతనాలను వివరించండి.
జవాబు:
స్ఫటికీకరణం : మలిన పదార్థాన్ని అది కరిగే ద్రావణిలో దాని బాష్పీభవన స్థానం దగ్గర కరిగించి మరిగించి సంతృప్త ద్రావణాన్ని తయారుచేసి ఆ గాఢ ద్రావణాన్ని చల్లార్చి పరిశుద్ధమైన సమ్మేళనాన్ని దాని స్ఫటిక రూపంలో పొందే ప్రక్రియను స్ఫటికీకరణం అంటారు.

ఈ పద్ధతిని ఘన సమ్మేళనాలను శుద్ధి చేయడానికి ఉపయోగిస్తారు. ఇవ్వబడిన మలిన ఘన సమ్మేళనాన్ని అది కరిగే ద్రావణిలో దాని బాష్పీభవన స్థానం దగ్గర కరిగించి దాదాపు సంతృప్త ద్రావణం వచ్చే వరకు మరిగించి వడపోయాలి. ద్రావణాన్ని నెమ్మదిగా చల్లారిస్తే పరిశుద్ధ సమ్మేళనం స్ఫటికాల రూపంలో బయటకు వస్తుంది. కరిగిన మలినాలు ద్రావణంలో మిగిలిపోతాయి.

ఉత్పతనం : కొన్ని ఘనపదార్థాలను వేడిచేస్తే అవి ద్రవస్థితికి రాకుండా నేరుగా బాష్పస్థితికి చేరుకుంటాయి. మరల ఆ బాష్పాలను చల్లారిస్తే ద్రవస్థితిని పొందకుండా నేరుగా ఘనస్థితిని పొందుతాయి. దీనినే ఉత్పతనం అంటారు.

ఉదా : అపరిశుద్ధ సమ్మేళనాన్ని ఒక వాచ్ గ్లాసుతో మూసి ఉన్న బీకరులో తీసుకొని ఒక ఎలక్ట్రిక్ ప్లేటు మీద పెట్టి వేడిచేస్తారు. సమ్మేళనం ఉత్పతనం చెంది వాచ్స్ అడుగుభాగాన ఘనరూపంలో చేరుకుంటుంది. మలినాలు బీరలోనే ఉండిపోతాయి.

ప్రశ్న 22.
సమ్మేళనాన్ని శుద్ధిచేసే ద్రావణ నిష్కర్షణాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
ద్రావణ నిష్కర్షణ : ఒక కర్బన పదార్థం ‘X’ నీటిలో కరగని కర్బన ద్రావణిలో, నీటిలో కంటే అధికంగా కరుగుతుంది.
కాని నీటిలో కరిగి ఉన్న ఆ పదార్థపు జల ద్రావణాన్ని కర్బన ద్రావణిలో కలిపి కుదిపితే ‘X’ కర్బన ద్రావణిలోకి అధికంగా వెళ్ళిపోతుంది. కర్బన ద్రావణాన్ని వేరు చేసి స్వేదనం చేస్తే కర్బన ద్రావణి బాష్పరూపంలో కర్బన సమ్మేళనం నుంచి వేరవుతుంది. సమ్మేళనం స్వేదన కుప్పెలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 23.
కర్బన సమ్మేళనంలోని ఫాస్ఫరస్, సల్ఫర్ల భారశాతాన్ని కనుక్కొనే విధానాలను తెలపండి.
జవాబు:
కర్బన సమ్మేళనంలోని ఫాస్ఫరస్ భారశాతం కనుక్కొనుట : ఫాస్ఫరస్ భారశాతాన్ని కనుక్కోవడానికి తెలిసిన ద్రవ్యరాశి గల కర్బన పదార్థాన్ని సధూమ నైట్రికామ్లంలో వేడి చేయాలి. ఫాస్ఫరస్ ఫాస్ఫారిక్ ఆమ్లంగా ఆక్సీకరణం చెందుతుంది. ఈ ఆమ్లానికి అమ్మోనియా, అమ్మోనియం మోలిబేట్ ద్రావణాలు కలిపి అమ్మోనియం ఫాస్ఫో మోలిబేట్ [(NH₄)₃ PO₄.12M0O₃]గా అవక్షేపించాలి.

కర్బన సమ్మేళనం ద్రవ్యరాశి = mg
అమ్మోనియం ఫాస్ఫోమోలిబేడ్ = m₁g
(NH₄)₃3PO₄ . 12 MoO₃ అణు ద్రవ్యరాశి = 1877g
ఫాస్ఫరస్ భారశాతం = \(\frac{31 \times \mathrm{m}_1 \times 100}{1877 \times \mathrm{m}}\)

కర్బన సమ్మేళనంలోని సల్ఫర్ భారశాతం కనుక్కొనుట : కర్బన సమ్మేళనంలోని సల్ఫర్ భారశాతం కనుక్కోవడానికి తెలిసిన భారం గల కర్బన సమ్మేళనాన్ని సోడియం పెరాక్సైడ్ లేదా సధూమ నైట్రికామ్లంతో కేరియస్ నాళికలో వేడిచేస్తారు. సమ్మేళనంలోని సల్ఫర్ H₂SO₄ గా ఆక్సీకరణం చెందుతుంది. ఈ ఆమ్లానికి అధికంగా జల బేరియం క్లోరైడ్ ద్రావణం కలిపి బేరియం సల్ఫేట్గా అవక్షేపింప చేస్తారు. ఈ అవక్షేపాన్ని వడపోత ద్వారా వేరుచేసి, కడిగి, పొడి చేసి భారాన్ని కనుక్కొంటారు.

తీసుకున్న కర్బన పదార్ధ భారం = mg
ఏర్పడిన బేరియం సల్ఫేట్ భారం = m₁g
m₁, gల బేరియం సల్ఫేట్లోని సల్ఫర్ = \(\frac{32 \times m_1}{233} \mathrm{~g}\)
(1 మోల్ BaSO₄ = 233 gm BaSO₄ = 32 gm సల్ఫర్)
సల్ఫర్ భారశాతం = \(\frac{32 \times \mathrm{m}_1 \times 100}{233 \times \mathrm{m}}\)

ప్రశ్న 24.
ప్రోపీన్ HBr సంకలన చర్యను అయానిక చర్యాగతితో వివరించండి.
జవాబు:
ప్రోపీన్తో HBr సంకలనం చెంది మార్కొనికాఫ్ నియమము ప్రకారం 2-బ్రోమో ప్రోపెన్ను ఇస్తుంది. కాని బెంజాయిల్ పెరాక్సైడ్ సమక్షంలో ప్రోపీను HBrను కలిపితే 1-బ్రోమో ప్రోపేను ఏర్పడుతుంది. ఇక్కడ యాంటి మార్కొనికాఫ్ నియమము ప్రకారము సంకలనం జరుగుతుంది.

మార్కొనికాఫ్ నియమము : ఒక అసమకారకం ద్విబంధంలో సంకలనం చెందేటపుడు అసమకారకం రుణావేశ భాగం ద్విబంధంలో తక్కువ హైడ్రోజన్లున్న కార్బన్పై సంకలనం చెందుతుంది.

చర్యావిధానము (ఎలక్ట్రోఫిల్లిక్ సంకలన చర్య) :

యాంటి మార్కొనికాఫ్ నియమము : ఒక అసమకారకం ద్విబంధంతో పెరాక్సైడ్ల సమక్షంలో సంకలనం చెందేటపుడు అసమకారకం రుణావేశ భాగం ద్విబంధంలో ఎక్కువ హైడ్రోజన్లున్న కార్బన్పై సంకలనం చెందుతుంది. దీనినే ఖరాష్ ప్రభావం అని కూడా అంటారు.

చర్యావిధానం (స్వేచ్ఛా ప్రాతిపదిక సంకలన చర్య) :

ప్రశ్న 25.
సోడియం ప్రోపనోయేట్ను సోడా లైమ్ వేడిచేస్తే ఏ ఉత్పన్నం ఏర్పడుతుంది?
జవాబు:
సోడియం ప్రోపనోయేట్ను సోడాలైమ్తో వేడిచేస్తే ఈథేన్ ఏర్పడుతుంది. సోడాలైమ్ అనగా NaOH +

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 26.
హైడ్రోకార్బన్ల వర్గీకరణను వివరించండి.
జవాబు:
హైడ్రోకార్బన్ల వర్గీకరణ

ప్రశ్న 27.
కింది సమ్మేళనాల IUPAC నామాలు రాయండి.
(a) CH₂ = CH – CH = CH₂
(b) CH₂ = CH – C ≡ C-CH₃
(c) CH₃CH = C[CH₃]₂
(d) CH₂-CH₂ CH = CH₂
(e)

జవాబు:
(a) 1, 3 – బ్యూటా డై ఈన్
(b) పెంట్ 1 – ఈన్ – 3 – ఐన్
(c) 2-మిథైల్-2-బ్యూటీన్
(d) 4-ఫినైల్ 1-బ్యూటీన్
(e) 4-ఈథైల్ డెకా 1, 5, 8 ట్రైఈన్

ప్రశ్న 28.
ఈథేన్ ను తయారుచేసే రెండు పద్ధతులను, ఏవైనా ఈథేన్ మూడు చర్యలను రాయండి. (March 2013)
జవాబు:
ఈథేన్ ను తయారు చేయు పద్ధతులు :
1. ఆల్కైల్ హాలైడ్ల నుంచి : ఈథైల్ హాలైడ్లను Zn, సజల HCl సమక్షంలో క్షయకరణం చెందించి ఈథేన్ తయారుచేస్తారు.

2. ఉర్ట్ చర్య : మిథైల్ బ్రోమైడ్ను పొడి ఈథర్లో తీసుకుని సోడియంతో వేడిచేస్తే ఈథేన్ ఏర్పడుతుంది. ఈ చర్యనే ఉ చర్య అంటారు.

ఈథేన్ యొక్క ధర్మాలు : ఈథేన్ సాధారణంగా ప్రతిక్షేపణ చర్యలను జరుపుకుంటుంది. ఈ చర్యలలో ఒక పరమాణువు లేదా సమూహం ఇంకొక పరమాణువు లేదా సమూహంలో ప్రతిక్షేపించబడతాయి.

ఉదా :
1. హాలోజనీకరణం : ఈథేన్ ను UV కిరణాల సమక్షంలో Cl₂ తో చర్య జరిపిస్తే, ఈథేన్ ని H పరమాణువులు Cl పరమాణువులతో ప్రతిక్షేపణం చెందుతాయి.

2. నైట్రేషన్ : ఈథేన్ 400°C వద్ద HNO₃ తో చర్య జరిపి నైట్రో ఈథేనన్ను ఏర్పరచును. ఈ చర్యనే నైట్రేషన్ అంటారు.

3. దహనచర్య : గాలి లేదా డై ఆక్సిజన్ సమక్షంలో ఈథేన్ వేడిచేస్తే CO₂, H₂O లను ఏర్పరుస్తుంది. ఈ చర్యలో అధిక శక్తి విడుదలవుతుంది. ఈ చర్యను దహన చర్య అంటారు.
C₂H₆ + \(\frac{7}{2}\)O₂ → 2 CO₂ + 3 H₂O + శక్తి

ప్రశ్న 29.
కింద ఇచ్చిన ఫార్ములాలు ఏర్పరచగలిగిన సాదృశ్యాలను రాసి వాటి నిర్మాణాలు, IUPAC పేర్లు రాయండి :
(a) C₄H₈ (ఒక ద్విబంధం)
(b) C₅H₈ (ఒక త్రిబంధం)
(c) C₅H₁₂ (బహుబంధాలు లేవు)
జవాబు:

ప్రశ్న 30.
కింది హైడ్రోకార్బన్లు దహనచర్యలో జరిపే చర్యలను సమీకరణ రూపంలో రాయండి.
(a) బ్యూటేన్
(b) పెంటీన్
(c) హెక్సెన్
జవాబు:
(a) బ్యూటేన్ దహనచర్య
C₄H₁₀ + \(\frac{13}{2}\)O₂ → 4 CO₂ + 5H₂O + శక్తి

(b) పెంటీన్ దహనచర్య
C₅H₁₀ + \(\frac{15}{2}\)O₂ → 5 CO₂ + 5H₂O + శక్తి

(c) హెక్సెన్ దహనచర్య
C₆H₁₀ + \(\frac{17}{2}\)O₂ → 6 CO₂ + 5H₂O + శక్తి

ప్రశ్న 31.
ప్రోపీన్ HBr సంకలనం చెంది 2–బ్రోమో ప్రోపేన్ను ఇస్తుంది. అదే బెంజాయిల్ పెరాక్సైడ్ సమక్షంలో 1–బ్రోమోప్రోపేన్ ఏర్పడుతుంది. చర్యాగతిని రాసి తేడాను వివరించండి.
జవాబు:
ప్రోపీన్ తో HBr సంకలనం చెంది మార్కొనికాఫ్ నియమము ప్రకారం 2-బ్రోమో ప్రోపేన న్ను ఇస్తుంది. కాని బెంజాయిల్ పెరాక్సైడ్ సమక్షంలో ప్రోపీన్కు HBrను కలిపితే 1-బ్రోమో ప్రోపేన్ ఏర్పడుతుంది. ఇక్కడ యాంటి మార్కొనికాఫ్ నియమము ప్రకారము సంకలనం జరుగుతుంది.

మార్కొనికాఫ్ నియమము : ఒక అసమకారకం ద్విబంధంలో సంకలనం చెందేటపుడు అసమకారకం రుణావేశ భాగం ద్విబంధంలో తక్కువ హైడ్రోజన్లున్న కార్బన్పై సంకలనం చెందుతుంది.

చర్యావిధానము (ఎలక్ట్రోఫిలిక్ సంకలన చర్య) :

యాంటి మార్కొనికాఫ్ నియమము : ఒక అసమకారకం ద్విబంధంతో పెరాక్సైడ్ సమక్షంలో సంకలనం చెందేటపుడు అసమకారకం రుణావేశ భాగం ద్విబంధంలో ఎక్కువ హైడ్రోజన్లున్న కార్బన్పై సంకలనం చెందుతుంది. దీనినే ఖారాష్ ప్రభావం అని కూడా అంటారు.

చర్యావిధానం (స్వేచ్ఛా ప్రాతిపదిక సంకలన చర్య) :

ప్రశ్న 32.
ఇథిలీన్ తయారుచేయడానికి రెండు విధానాలు తెలపండి. ఇథిలీన్ కింది వాటితో ఏర్పరిచే ఉత్పన్నాల చర్యలను తెలపండి.
(a) ఓజోన్
(b) హైపోహాలస్ ఆమ్లం
(c) చల్లని విలీన క్షార KMnO₄
(d) అధిక పీడనం వద్ద O₂ తో వేడిచేయుట
జవాబు:
ఇథిలీన్ ను తయారుచేయు పద్ధతులు :

1. డీహైడ్రోహాలోజనీకరణం : ఇథైల్ హాలైడ్లను ఆల్కహాలిక్ KOH తో వేడిచేయగా ఇథిలీన్ ఏర్పడుతుంది.

2. ఇథైల్ ఆల్కహాల్ను గాఢ H₂SO₄ సమక్షంలో 170°C వద్ద వేడిచేస్తే ఇథిలీన్ ఏర్పడుతుంది.

ఇథిలీన్ చర్యలు :

(a) ఓజోన్తో చర్య : ఇథిలీన్ ఓజోన్ తో చర్య జరిపి అస్థిరమైన ఇథిలీన్ ఓజోనైడ్ను ఏర్పరుస్తుంది. ఇది Zn/H₂O సమక్షంలో వియోగం చెంది ఫార్మాల్డిహైడు ఏర్పరుస్తుంది.

(b) హైపోహాలస్ ఆమ్లంతో చర్య : ఇథిలీన్ HOCl తో చర్య జరిపి ఇథిలీన్ – క్లోరోహైడ్రినన్ను ఏర్పరుస్తుంది.

(c) చల్లని, విలీన, క్షార KMnO₄ తో చర్య : ఇథిలీన్ KMnO₄ తో చర్య జరిపి ఇథిలీన్ గ్లైకాల్నిస్తుంది. చల్లని విలీన

(d) అధిక పీడనం వద్ద O₂తో చర్య : అధిక పీడనం వద్ద మరియు 200°C వద్ద ఇథిలీన్ O₂ తో చర్య జరిపిస్తే పాలిమరీకరణం జరుపుకొని పాలిథీన్ ను ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 33.
కింది వాటితో ఇథిలీన్ చర్యలు రాయండి. సమీకరణాలు రాసి ఉత్పన్నాల పేర్లు రాయండి.
(a) హైడ్రోజన్ హాలైడ్
(b) హైడ్రోజన్
(c) బ్రోమీన్
(d) నీరు
(e) సిల్వర్ సమక్షంలో 200°C వద్ద ఆక్సిజన్తో చర్య
జవాబు:
ఇథిలీన్ – చర్యలు
(a) హైడ్రోజన్ హాలైడ్తో
చర్య: ఇథిలీన్ హైడ్రోజన్ హాలైడ్లో చర్యజరిపి ఇథైల్హాలైడ్లనిస్తుంది.
CH₂ = CH₂ + HX → CH₃ – CH₂X
ఉదా :

(b) హైడ్రోజన్తో చర్య : ఇథిలీన్ నికెల్ సమక్షంలో H₂ తో చర్యజరిపి ఈథేన్ ను ఏర్పరుస్తుంది.

(c) బ్రోమీన్ చర్య : ఇథిలీన్ CCl₄ సమక్షంలో బ్రోమిన్తో చర్యజరిపి 1, 2 – డైబ్రోమో ఈథేన్ను ఏర్పరుస్తుంది.

(d) నీటితో చర్య ఇథిలీన్ ఆమ్లీకృత నీటితో చర్య జరిపి ఈథైల్ ఆల్కహాల్ను ఏర్పరుస్తుంది.

(e) సిల్వర్ సమక్షంలో 200°C O₂ తో చర్య : ఇథిలీన్ 200-400°C వద్ద సిల్వర్ సమక్షంలో ఆక్సిజన్తో చర్య జరిపి ఇథిలీన్ ఆక్సైడ్ను ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 34.
‘A’ అను ఆల్కీన్ ఓజోనాలిసిస్ చర్యలో పాల్గొని ఇథనాల్, పెంటేన్-3-ఓన్ల మిశ్రమాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. చర్యను రాసి, ఉత్పన్నాల, ఆల్కీన్ -Aల నిర్మాణాలు రాసి వాటి IUPAC పేరును తెల్పండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 35.
‘A’ అనే ఆల్కీన్లో మూడు C – C ఎనిమిది C – H బంధాలు, ఒక C=C ద్విబంధం ఉన్నాయి. ఓజోనాలిసిస్ చర్యలో ‘A’ ఆల్కీన్ రెండు అణువుల ఆల్డిహైడ్ (అణుభారం 44)ను ఏర్పరుస్తుంది. ‘A’ యొక్క IUPAC పేరును రాయండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 36.
ఎసిటిలీన్ తయారుచేయడానికి రెండు పద్ధతులను తెలపండి. ఎసిటిలీన్ నీటితో, ఓజోన్ తో జరుపు చర్యలు రాయండి.
జవాబు:
ఎసిటిలీన్ తయారుచేయు పద్ధతులు :

1. కాల్షియంకార్బైడ్ నుండి : కాల్షియం కార్బైడు జలవిశ్లేషణ చేయుట ద్వారా పారిశ్రామికంగా ఎసిటిలీన్ ను తయారు చేయవచ్చు.

2. అయొడీఫారం నుండి : అయొడీఫారంను సిల్వర్ పొడితో వేడిచేయగా ఎసిటిలీన్ ఏర్పడుతుంది.

రసాయన ధర్మాలు :

1. నీటితో చర్య : ఎసిటిలీన్ HgSO₄ మరియు H₂SO₄ సమక్షంలో 60°C వద్ద నీటితో చర్య జరిపి అస్థిర వినైల్ ఆల్కహాల్ను ఏర్పరుస్తుంది. ఇది పునర్వ్యవస్థీకరణం చెంది అసిటాల్డిహైడ్ ను ఏర్పరుస్తుంది.

2..ఓజోన్ చర్య : ఎసిటిలీన్ ఓజోన్ తో సంకలనం చెంది అస్థిర ఎసిటిలీన్ ఓజోనైడ్ను ఏర్పరుస్తుంది. ఇది. Zn/H₂O సమక్షంలో వియోగం చెంది గైఆక్సాల్ను ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 37.
ఎసిటిలీన్ కిందివానితో ఏ విధంగా చర్య జరుపుతుంది? ఉత్పన్నాల పేర్లను రాసి చర్యలు రాయండి.
(a) ఎసిటిక్ ఆమ్లం
(b) నీరు
(c) హైడ్రోజన్
(d) హాలోజన్లు
(e) హైడ్రోజన్ హాలైడ్
(f) అమ్మోనికల్ సిల్వర్ నైట్రేట్, Cu₂Cl₂
జవాబు:
(a) ఎసిటిక్ ఆమ్లంతో చర్య : ఎసిటిలీన్, Hg⁺² అయాన్ల సమక్షంలో ఎసిటిక్ ఆమ్లంతో చర్య జరిపి మొదట వినైల్ ఎసిటేట్ ను తరువాత ఇథిలిడీన్ డైఎసిటేట్ను ఏర్పరుస్తుంది.

(b) నీటితో చర్య : ఎసిటిలీన్ HgSO₄ మరియు H₂SO₄ సమక్షంలో 60°C వద్ద నీటితో చర్య జరిపి అస్థిర వినైల్ ఆల్కహాల్ను ఏర్పరుస్తుంది. ఇది పునర్వ్యవస్థీకరణం చెంది అసిటాల్డిహైడు ఏర్పరుస్తుంది.

(c) హైడ్రోజన్ చర్య : ఎసిటిలీన్ Ni ఉత్ప్రేరకం సమక్షంలో H₂ తో వేడిచేయగా సంకలనం చెంది మొదట ఇథిలీన్ ను తరువాత ఈథేన్ ను ఏర్పరుస్తుంది. ఈ చర్యను సెబాటియర్ – సెండరెన్స్ చర్య అంటారు.

(d) హాలోజన్తో చర్య : ఎసిటిలీన్ క్లోరిన్తో సంకలన చర్య జరిపి మొదట 1, 2 – డై క్లోరో ఈథేన్ ను తరువాత 1, 1, 2, 2 – టెట్రాక్లోరో ఈథేనన్ను ఏర్పరుస్తుంది.

(e) హైడ్రోజన్ హాలైడ్లో చర్య : ఎసిటిలీన్ HCl తో చర్య జరిపి మొదట వినైల్ క్లోరైడ్ను ఆ తరువాత ఇథిలిడీన్ క్లోరైడ్ను ఏర్పరుస్తుంది.

(f) అమ్మోనికల్ AgNO₃ మరియు Cu₂ Cl₂ తో చర్యలు :
ఎసిటిలీన్ వాయువును అమ్మోనికల్ AgNO₃ ద్రావణం గుండా పంపినపుడు, సిల్వర్ ఎసిటిలైడ్ అవక్షేపం ఏర్పడుతుంది.

ఎసిటిలీన్ వాయువును అమ్మోనికల్ Cu₂Cl₂ ద్రావణం గుండా పంపినపుడు, క్యూప్రస్ ఎసిటిలైడ్ అవక్షేపం ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 38.
బెంజీన్ను తయారుచేసే ఏవైనా రెండు పద్ధతులను రాసి వాటి సమీకరణాలు రాయండి. బెంజీన్ ఆల్కీన్ లక్షణాలను చూపించదు – ఎందుకని? బెంజీన్ నుంచి మీథైల్ బెంజీన్ ను ఎలా తయారుచేస్తారు?
జవాబు:
బెంజీన్ ను తయారు చేయు పద్ధతులు
(a) డీ కార్బాక్సిలీకరణం : సోడియం బెంజోయేట్ను సోడాలైమ్ (NaOH + CaO) తో వేడిచేయగా బెంజీన్ ఏర్పడుతుంది.

(b) ఫినోల్ క్షయకరణం : ఫినోల్ను జింక్ పొడితో వేడిచేయగా అది క్షయకరణం చెంది బెంజీన్ ఏర్పడుతుంది.

బెంజీన్ అణుఫార్ములా ఆల్కీన్ల వలె అసంతృప్తతను తెలియచేసినప్పటికి, ఇది అత్యంత స్థిరంగా ఉంటూ సంకలన చర్యల కంటే ప్రతిక్షేపణ చర్యలను ఎక్కువగా జరుపుతుంది. కారణం

1. బెంజీన్లోని π – ఎలక్ట్రాన్లు అస్థానీకృతం చెందుతాయి.
2. బెంజీన్ కున్న అధిక రెజోనెన్స్ శక్తి వలన దానికి అధిక స్థిరత్వం వస్తుంది. కావున ఇది ఆల్కీన్ల వలె ప్రవర్తించదు.

(c) బెంజీన్ నుంచి మిథైల్ బెంజీన్ ను తయారు చేయుట : బెంజీన్ అనార్ద్ర Al Cl₃ సమక్షంలో మిథైల్ క్లోరైడ్తో చర్య జరిపి మిథైల్ బెంజీన్ లేక టోలిన్ ను ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 39.
ఎసిటిలీన్ నుంచి బెంజీన్ ఎట్లా ఏర్పడుతుంది? సమీకరణం రాయండి. బెంజీన్ యొక్క హాలోజినేషన్, ఆల్కైలేషన్, ఎసైలేషన్, నైట్రేషన్, సల్ఫోనేషన్ చర్యలను వివరించండి.
జవాబు:
ఎసిటిలీన్ నుండి బెంజీన్ ను తయారు చేయుట : ఎసిటిలీన్ వాయువును ఎర్రగా కాలుచున్న కాపర్ గొట్టాల గుండా పంపినపుడు అది పాలిమరీకరణ చెంది బెంజీన్ ఏర్పడుతుంది.

బెంజీన్ యొక్క ఎలక్ట్రోఫిలిక్ ప్రతిక్షేపణ చర్యలు :

1. హాలోజినేషన్ (హాలోజనీకరణం) : బెంజీన్ న్ను FeCl₃ సమక్షంలో క్లోరిన్తో చర్య జరపగా క్లోరో బెంజీన్ ఏర్పడుతుంది..

2. ఆల్కైలేషన్ (ఆల్కైనీకరణం) : బెంజీన్ AlCl₃ సమక్షంలో ఆల్కైల్ హాలైడ్లతో చర్య జరిపి ఆల్కైల్ బెంజీన్ ను ఏర్పరుస్తుంది.

3. ఎసైలేషన్ : బెంజీన్, AlCl₃ సమక్షంలో ఎసైల్ క్లోరైడ్తో చర్య జరిపి ఎసైల్ బెంజీన్ ను ఏర్పరుస్తుంది.

4. నైట్రేషన్ (నైట్రోకరణం) : బెంజీన్ ను నైట్రేషన్ మిశ్రమంతో (గాఢ HNO₃ + గాఢ H₂SO₄) 60°C కన్నా తక్కువ ఉ ష్ణోగ్రత వద్ద చర్య జరుపగా నైట్రో బెంజీన్ ఏర్పడుతుంది.

5. సల్ఫోనేషన్ (సల్ఫోనీకరణం): బెంజీన్ సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లంతో చర్య జరిపి బెంజీన్ సల్ఫోనిక్ ఆమ్లంను ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 40.
నిర్మాణ సాదృశ్యాలు, త్రిమితీయ సాదృశ్యాల మధ్య తేడాలు వివరించండి.
జవాబు:
నిర్మాణాత్మక సాదృశ్యము:

1. అణువులోని పరమాణువుల లేదా సమూహాల అమరికలో తేడా వలన నిర్మాణాత్మక సాదృశ్యము ఏర్పడుతుంది. ఈ సాదృశ్యములకు ఒకే అణు ఫార్ములా ఉండి వేరు వేరు నిర్మాణాత్మక ఫార్ములాలు ఉంటాయి.
2. శృంఖల సాదృశ్యం, స్థానసాదృశ్యం, వలయశృంఖల సాదృశ్యం, ప్రమేయ సమూహ సాదృశ్యం, మెటామెరిజం, టాటామెరిజం మొదలగునవి నిర్మాణాత్మక సాదృశ్య రకానికి చెందినవి.
3. ఇవి ద్విమితీయంగా ఉంటాయి.

త్రిమితీయ సాదృశ్యము :

1. ఒకే అణుఫార్ములా మరియు నిర్మాణాత్మక ఫార్ములా కలిగి ఉండి, త్రిమితీయంగా పరమాణువులు లేదా గ్రూపుల ప్రాదేశిక అమరికలో భేదం వలన వచ్చు సాదృశ్యమును త్రిమితీయ సాదృశ్యము అంటారు.
2. క్షేత్ర సాదృశ్యము, దృక్ సాదృశ్యము, అనురూపక సాదృశ్యము మొదలగునవి త్రిమితీయ సాదృశ్య రకానికి చెందినవి.
3. ఇవి త్రిమితీయంగా ఉంటాయి.

ప్రశ్న 41.
సరళ శృంఖలాలు అనురూపత, విన్యాసంలందు తేడా ఏమిటి?
జవాబు:
అనురూపత లేదా అనురూపక సాదృశ్యాలు :

1. ఇవి త్రిమితీయ సాదృశ్యాలు. ఒక రూపం నుండి మరొక రూపంలోనికి C – C బంధాల భ్రమణం వలన మార్పు చెందుతాయి. ఇవి ఒకదానితో ఒకటి గతిక సమతాస్థితిలో ఉంటాయి.
2. సాధారణ పరిస్థితులలో వీటిని వేరు చేయలేము.
   ఉదా : ఈథేన్ యొక్క E and S నిర్మాణాలు
   

విన్యాసం లేదా విన్యాస సాదృశ్యాలు :

1. ఇవి కూడా త్రిమితీయ సాదృశ్యాలు. ఇవి స్థిరమైనవి. ఇవి ఒక రూపం నుండి వేరొక రూపంలోకి మార్పు చెందవు.
2. ఒక రూపం నుండి వేరొక రూపంలోనికి మార్పు చెందుటకు బంధాలు విడిపోయి కలవవలెను. ఇవి రెండు రకాలు.

1. క్షేత్ర సాదృశ్యాలు : ఈ సాదృశ్యాలలో ద్విబంధంతో బంధించబడి ఉన్న కార్బన్ పరమాణువుల చుట్టూ ఉన్న పరమాణువుల లేక గ్రూపుల అమరికలో తేడా ఉంటుంది.
ఉదా : సిస్ 2-బ్యూటీన్ మరియు ట్రాన్స్ 2-బ్యూటీన్

2. దృశా సాదృశ్యాలు (ఆప్టికల్ ఐసోమర్లు) : ఈ సాదృశ్యాలలో అణువులోని కార్బన్ పరమాణువును అతకబడిన నాలుగు విభిన్న పరమాణువుల లేక రాడికల్స్ ప్రాదేశిక అమరికలో తేడా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 42.
క్షేత్ర సాదృశ్యం అంటే ఏమిటి? 2-బ్యూటీన్ క్షేత్ర సాదృశ్యాలను రాయండి.
జవాబు:
ద్విబంధంతో బంధింపబడి ఉన్న కార్బన్ పరమాణువుల చుట్టూ ఆవరించి ఉన్న పరమాణువుల లేక గ్రూపుల అమరికలో తేడా వలన ఏర్పడే సాదృశ్యాన్ని క్షేత్ర సాదృశ్యం అంటారు.
ఉదా : 2-బ్యూటీన్కు క్రింది క్షేత్ర సాదృశ్యాలు ఉన్నాయి.

ఒకే రకమైన సమూహాలు ద్విబంధానికి ఒకే వైపున బంధాలేర్పరచి ఉంటే ఆ సాదృశ్యమును సిస్ సాదృశ్యమని, ఒకే రకమైన సమూహాలు ద్విబంధానికి వ్యతిరేకదిశలో బంధాలు ఏర్పరచి ఉంటే ట్రాన్స్ సాదృశ్యమని అంటారు.

ప్రశ్న 43.
E-Z విన్యాసాలను గుర్తించే పద్ధతిని తెలిపి, CHCl = CFBr అణువుకు క్షేత్ర సాదృశ్యాలను రాయండి.
జవాబు:
ఈ పద్ధతి పరమాణు సంఖ్యల విలువలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ద్విబంధ కార్బన్ల మీద గ్రూపులు అధిక పరమాణు సంఖ్యలు గల పరమాణువుకు ద్విబంధ కార్బన్లు ఒకే వైపు బంధాలు ఏర్పరచి ఉంటే దానిని ‘Z’ విన్యాసం అనీ, అదే అధిక పరమాణు సంఖ్యల పరమాణువులు ద్విబంధానికి వ్యతిరేక ప్రక్కల బంధించబడి ఉంటే దానిని ‘E’ విన్యాసం అని అంటారు.

ఉదా : CHCl = CFBr

ప్రశ్న 44.
ఒక ఆల్కీన్లో ద్విబంధం వద్ద ఉన్న కార్బన్లపై Cl, Br, -CH₂,-CH₂-OH, CH (CH₃)₂ సమూహాలుంటే దాని E, Z విన్యాసాలు రాయండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 45.
కింది వాటిని వివరించండి.
(a) స్వేదనం
(b) అంశిక స్వేదనం
(c) తక్కువ పీడనంలో స్వేదనం
(d) జలబాష్ప స్వేదనం
జవాబు:
(a) స్వేదనం : ఈ పద్ధతి

1) బాష్పశీల ద్రవాల నుంచి అబాష్పశీల మలినాలను వేరుచేయడానికి

2) బాష్పీభవన స్థానాలలో సరిపడ తేడా ఉన్న ద్రవాల మిశ్రమాన్ని వేరు చేయడానికి ఉపయోగిస్తారు.
విభిన్న బాష్పీభవన స్థానాలు ఉన్న ద్రవాలు వేరువేరు ఉష్ణోగ్రతల వద్ద పూర్తిగా బాష్పాలుగా మారతాయి. ఈ బాష్పాలను చల్లబరిస్తే ఏర్పడే ద్రవాలను వేరుగా సంగ్రహించవచ్చు.

ఉదా : క్లోరోఫారం (ద్ర. స్థానం 334K) మరియు ఎనిలీన్ (ద్ర. స్థానం 457K) మిశ్రమాన్ని స్వేదన పద్ధతిలో వేరుచేస్తారు.

(b) పాక్షిక అంశిక స్వేదనం : మిశ్రమంలోని రెండు ద్రవాల బాష్పీభవన స్థానాలలో తేడా తక్కువగా ఉన్నప్పుడు వీటి బాష్పాలు ఒకే ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఏర్పడి ఒకేసారి ద్రవీకరణం చెందుతాయి. ఈ ద్రవాలను వేరు చేయడానికి పాక్షిక అంశిక స్వేదనాన్ని ఉపయోగిస్తారు.

ఈ పద్ధతిలో ద్రవాల మిశ్రమ బాష్పాలను ద్రవీకరణానికి ముందు అంశీకరణ నాళిక ద్వారా పంపించాలి. అంశిక నాళికను స్వేదన కుప్పె మూతికి బిగించాలి. ఇక్కడ ముఖ్య సూత్రం మిశ్రమ బాష్పాలు పొడవాటి అంశిక నాళికలో ప్రయోగించినపుడు ఎక్కువ బాష్పీభవన స్థానం ఉన్న ద్రవపు బాష్పం ముందుగా చల్లబడి ద్రవీకరణం చెంది స్వేదన కుప్పెలో చేరగా, తక్కువ బాష్పీభవన స్థానం ఉన్న ద్రవపు బాష్పం కండెన్సర్ ద్వారా ప్రయాణించి చల్లబడి ద్రవీకరణం చెంది సంగ్రహణ పాత్రను చేరుతుంది.

(c) తక్కువ పీడనంలో స్వేదనం : ఈ విధానం అధిక బాష్పీభవన స్థానాలున్న ద్రవాల్ని లేదా బాష్పీభవన స్థానాల కంటే తక్కువ ఉష్ణోగ్రతల వద్దనే వియోగం చెందే ద్రవాల్ని శుద్ధి చేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది. బాష్పపీడనం తగ్గిస్తే ద్రవం తక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్దే ఎటువంటి వియోగమూ చెందకుండా బాష్పీభవనం చెందుతుంది. వచ్చిన బాష్పాల్ని చల్లబరచి పరిశుద్ధ ద్రవాన్ని పొందవచ్చు. మలినాలు స్వేదనం కుప్పెలో మిగులుతాయి.
ఉదా : గ్లిసరాలు సబ్బు పరిశ్రమలో ఉపయోగించిన గాఢ క్షార ద్రావణం నుంచి ఈ పద్ధతిలో వేరు చేయవచ్చు.

(d) జలబాష్ప స్వేదనం : ఈ పద్ధతిలో నీటిలో కరగని, జలబాష్పంతో బాష్పశీలత పొందే ద్రవాల్ని శుద్ధి చేస్తారు. ఈ విధానంలో వేడి మలిన ద్రవంలోకి నీటి ఆవిరిని పంపిస్తారు. ఈ నీటి ఆవిరి ద్రవబాష్పం రెండూ కండెన్సర్ ద్వారా ప్రయాణించి ద్రవ మిశ్రమమై సంగ్రహణ పాత్రలో చేరతాయి. అవి ఒకదానితో ఒకటి కలిసిపోవు. కాబట్టి వేర్పాటు గరాటుతో ‘నీటి నుంచి పదార్థాన్ని వేరుచేయవచ్చు.
ఉదా : ఈ పద్ధతిలో ఎనిలీన్ ను ఎనిలీన్-నీరు మిశ్రమం నుంచి వేరు చేయవచ్చు.

ప్రశ్న 46.
క్రోమటోగ్రఫీని విశదీకరించండి.
జవాబు:
ఒక మిశ్రమంలోని అనుఘటకాలను స్థిరప్రావస్థ, చలనశీల ప్రావస్థ అనే రెండు ప్రావస్థల మధ్య వేరు పరిచే విధానాన్ని క్రోమటోగ్రఫీ అంటారు.

క్రోమటోగ్రఫీలో క్రింది మూడు దశలు ఇమిడి ఉంటాయి.

1. స్థిర ప్రావస్థ మిశ్రమంలోని అనుఘటకాలను శోషించుకుని స్థిరంగా పట్టి ఉంచుతుంది. చలన శీల ప్రావస్థ ఆ అధిశోషించుకోబడిన అనుఘటకాలను వేరు పరచి స్థిర ప్రావస్థపై విభిన్న దూరాలకు తీసుకుపోతుంది.
2. పై విధంగా వేరు పరచబడిన అనుఘటకాలను చలనశీల ప్రావస్థను ఆపకుండా పంపి తిరిగి పొందడం. దీనిని నిక్షాళన అంటారు.
3. గుణాత్మక, పరిమాణాత్మక విశ్లేషణల ద్వారా నిక్షాళనం చేసి సాధించిన సమ్మేళనాలను తెలుసుకోవడం. అధిశోషణి, చలనశీల ప్రావస్థల భౌతిక స్థితులపై ఆధారపడి క్రోమటోగ్రఫీ పద్ధతులు అనేక రకాలుగా వర్గీకరింపబడ్డాయి.

సాధారణ క్రోమటోగ్రఫీలో రెండు పద్ధతులు ఉన్నాయి. అవి

1. అధిశోషణ క్రోమటోగ్రఫీ
2. వితరణ క్రోమటోగ్రఫీ అధిశోషణ క్రోమటోగ్రఫీ మరల రెండు రకాలు. అవి
   1. కాలమ్ క్రోమటోగ్రఫీ
   2. పలుచనిపొర క్రోమటోగ్రఫీ.

ప్రశ్న 47.
కింది వాటిని వివరించండి :
(a) కాలమ్ క్రొమటోగ్రఫి
(b) పలచని పొర క్రొమటోగ్రఫి
(c) వితరణ క్రొమటోగ్రఫీ
జవాబు:
(a) కాలమ్ క్రొమటోగ్రఫి : దీనిలో స్టాప్ కాక్ అమరిక గల ఒక గాజు గొట్టంలో నింపి ఉన్న అధిశోషకం (స్థిరప్రావస్థ)పై భాగాన అనుఘటకాల మిశ్రమాన్ని ఉంచాలి. సరియైన నిక్షాలకాన్ని కాలమ్ పై నుండి కిందికి నెమ్మదిగా ప్రవహింపచేయాలి. అప్పుడు మిశ్రమంలోని అనుఘటకాలు విభిన్న అవధులలో అధిశోషణం చెంది వేరు అవుతాయి.

(b) పలచని పొర క్రొమటోగ్రఫి : ఈ పద్ధతిలో అధిశోషకంగా వాడే సిలికాజెల్ను లేక అల్యూమినాను ఒక గాజు ప్లేటుపై పలుచని పొరగా పూత పూస్తారు. దీనిని TLC ప్లేట్ అంటారు. అనుఘటకాలను కలిగి ఉన్న మిశ్రమ ద్రావణాన్ని TLC ప్లేట్ కింది నుండి 2 లేక 3 సెం.మీ. దూరంలో ఒక చిన్న చుక్కగా ఉంచుతారు. ఈ ప్లేటును నిక్షాలకం కలిగి ఉన్న మూసిన పాత్రలో ‘ఉంచుతారు. నిక్షాలకం పైకి ప్రవహిస్తూ తనతో పాటు . మిశ్రమంలోని అనుఘటకాలను తీసికొని పోతుంది. కాని అనుఘటకాల అధిశోషణ అవధులపై ఆధారపడి అవి వివిధ దూరాలు ప్రయాణించి వేరువేరు చోట్ల అధిశోషితం అవుతాయి.

ఒక అనుఘటకం సాపేక్ష అధిశోషణం దాని మందన గుణకం R_f తో తెలుపుతారు.
అనుఘటకం ఆధారపీఠం గీత నుండి ప్రయాణించిన దూరం

ఈ పద్ధతి ద్వారా రంగులున్న అనుఘటకాలను తేలికగా గుర్తిస్తారు. రంగులేని వాటిని వాటి ప్రతిదీప్తి ధర్మం ఆధారంగా చేసుకొని UV కిరణాలను ఉపయోగించి గుర్తిస్తారు.

(c) వితరణ క్రోమటోగ్రఫీ : దీనిలో క్రొమటోగ్రఫీ పేపర్ను తీసికొని నీటిని దానిలో ఉంచుతారు. ఈ నీరు స్థిర ప్రావస్థగా పనిచేస్తుంది. ఈ పేపర్ ఆధారపీఠ గీతపై అనుఘటకాల మిశ్రమ ద్రావణాన్ని చుక్కగా పెట్టి దానిని సరియైన ద్రావణిలో వ్రేలాడదీస్తారు. ద్రావణి చలనశీల ప్రావస్థగా పనిచేస్తుంది. ద్రావణి, పేపర్ పైకి ప్రయాణించి మిశ్రమ బొట్టు మీదుగా పోతుంది. అప్పుడు పేపరు విభిన్న అనుఘటకాలను ప్రత్యేకంగా తనపై నిలుపుకొంటుంది. అనుఘటకాలు వాటి అభిలాక్షణిక ధర్మాలపై ఆధారపడి స్థిర ప్రావస్థ చలన శీల ప్రావస్థల మధ్య వేర్వేరుగా వితరణ చెందుతాయి. విడగొట్టబడిన రంగుల అనుఘటకాల . చుక్కలను పేపరుపై గుర్తించవచ్చు. రంగులేని అనుఘటకాలను ఇతర కారకాలను చల్లడం వంటి ప్రయత్నాల ద్వారా గుర్తించవచ్చు.

ప్రశ్న 48.
కర్బన సమ్మేళనంలో ఉన్న నైట్రోజన్ భార శాతాన్ని కింది విధానాలలో కనుక్కొనే పద్ధతిని రాయండి.
(a) డ్యూమాస్ పద్ధతి
(b) జెల్దాల్ పద్ధతి
జవాబు:
1. డ్యూమాస్ పద్ధతి : ఈ పద్ధతిలో తెలిసిన భారం ఉన్న కర్బన పదార్థానికి ముతక CuO కలిపి బాగా వేడి చేస్తారు. కార్బన్, హైడ్రోజన్లు CO₂, H₂O (ఆవిర్లు) గా ఆక్సీకరణం చెందుతాయి. నైట్రోజన్ N₂ వాయువుగా మారుతుంది. కొంత నైట్రోజన్ ఆక్సైడ్లుగా మారినా, ఆ ఆక్సైడ్లను వేడిగా ఉన్న కాపర్ జాలకం, N₂ వాయువుగా క్షయకరణం చెందిస్తుంది. ఉత్పన్న వాయువులను KOH ద్రావణం గుండా పంపుతారు. CO₂ వాయువు KOH ద్రావణంలో శోషణం చెందుతుంది. KOH ద్రావణంపై చేరుకున్న N₂ వాయువు ఘనపరిమాణాన్ని కొలుస్తారు.

గణన : గది ఉష్ణోగ్రత TK వద్ద గ్రా. ల సమ్మేళనం V మి.లీ. N₂ వాయువును ఇచ్చినదని అనుకొనుము.
ప్రయోగ పరిస్థితులు
P₁ = (P – p) మి. మీ
ఇచ్చట p = నీటి ఆవిరి పీడనం
T₁ = TK
V₁ = V మి.లీ.

STP పరిస్థితులు
P₂ = 760 మి. మీ
T₂ = 273 K
V₂ = ?

T₁ = TK
V₁ = V మి.లీ.
\(\frac{P_1 V_1}{T_1}\) = \(\frac{\mathrm{P}_2 \mathrm{~V}_2}{\mathrm{~T}_2}\)
∴ V₂ = \(\frac{P_1 V_1 T_2}{P_2 T_1}\) = \(\frac{(\mathrm{P}-\mathrm{p}) \times \mathrm{V} \times 273}{760 \times \mathrm{T}}\) = x మి.లీ.

22400 మి.లీ. N₂ వాయువు STP వద్ద 28 గ్రా. బరువు కలిగి ఉంటుంది
∴ x మి.లీ. N₂ …….. ?
= \(\frac{x \times 28}{22400}\) గ్రా. ల. N₂

2. జెల్దాల్ పద్ధతి : ఈ పద్ధతిలో తెలిసిన భారం గల కర్బన సమ్మేళనాన్ని CuSO₄ సమక్షంలో గాఢ H₂SO₄ తో వేడి చేస్తారు. అప్పుడు కర్బన సమ్మేళనంలోని నైట్రోజన్ అంతా పరిమాణాత్మకంగా అమ్మోనియం సల్ఫేటుగా మారుతుంది. ప్రయోగ పాత్రలోని అనుఘటకాలను వేరే పాత్రలోనికి మార్చి అధిక
NaOH ద్రావణంతో వేడి చేస్తారు. అమ్మోనియా వాయువు విడుదల అవుతుంది. ఈ అమ్మోనియా వాయువును తెలిసిన ఘ.ప. మరియు గాఢత గల అధిక గాఢ H₂SO₄ లోకి పంపి శోషణం చెందిస్తారు.

మిగిలిన ఆమ్లాన్ని ప్రమాణ క్షారంతో అంశమాపనం చేస్తారు. దీని నుండి అమ్మోనియాను తటస్థీకరించడానికి పట్టిన ఆమ్ల ప్రమాణాన్ని గణిస్తారు. దీని నుంచి ఎంత అమ్మోనియా ఏర్పడిందో గణించి దాని నుండి N₂ భారశాతాన్ని లెక్కిస్తారు.

చర్యలు : కర్బన సమ్మేళనం + H₂SO₄ → (NH₄)₂SO₄
(NH₄)₂SO₄ + 2NaOH → Na₂SO₄ + 2H₂O + 2NH₃
2NH₃ + H₂SO₄ + (NH₄)₂SO₄

గణన : కర్బన సమ్మేళనం భారం = a గ్రా. మొదటిగా తీసుకున్న H₂SO₄ ఘ.ప. = V మి.లీ.
H₂SO₄ మొలారిటి = M, పూర్తి తటస్థీకరణానికి పట్టిన ఘ.ప. = V₁ మి.లీ.
NaOH మొలారిటి = M
2NaOH + H₂SO₄ → Na₂SO₄ + 2H₂O

NH₃ చేత తటస్థీకరించబడిన H₂SO₄ ఘ.ప. = (v – \(\frac{\mathrm{V}_1}{2}\)] మి.లీ.
= 2(V – \(\frac{V_1}{2}\))మి.లీ. NH₃ ద్రావణం
1000 మి.లీ. 1M NH₃ ద్రావణంలో 17 గ్రా. NH₃ (లేదా) 14 గ్రా. N₂ ఉన్నది.

ప్రశ్న 49.
ప్రేరేపక ప్రభావాన్ని ఒక ఉదాహరణ ఇచ్చి వివరించండి.
జవాబు:
CH₃ – CH₂ – CH₂ – Cl అణువును తీసుకుంటే అందులో కార్బన్ – క్లోరిన్ పరమాణువుల మధ్య σ సమయోజనీయ బంధం ఉన్నది. అధిక ఋణ విద్యుదాత్మక Cl పరమాణువు ఎలక్ట్రాను తనవైపు ఎక్కువగా ఆకర్షిస్తుంది. దీనివల్ల ‘C’ పరమాణువు కంటె Cl పరమాణువు మీద ఋణ విద్యుదావేశ సాంద్రత ఎక్కువగా ఉంటుంది. ‘దీనిని (లేక)-C → Cl గా చూపిస్తారు. అయితే క్లోరిన్ బంధం ఏర్పరచిన కార్బన్ పరమాణువు తిరిగి వేరే కార్బన్తో ఏర్పరచి ఉండటం వల్ల ఈ ప్రభావం ఇతర కార్బన్ పరమాణువులకు కూడా ప్రసారం అవుతుంది.

క్లోరిన్ ఎలక్ట్రాన్ ఆకర్షణ ఫలితంగా C₁ కార్బన్కు కొంత ఎలక్ట్రాన్ న్యూనత ఏర్పడుతుంది. దీనిని సరిచేసికోవడానికి C, తిరిగి C,C, సమయోజనీయ బంధంలోని ఎలక్ట్రాన్ జంటను తనవైపు ఆకర్షిస్తుంది. ఇప్పుడు C₂ కార్బన్కు ఎలక్ట్రాన్ న్యూనత ఏర్పడుతుంది. అయితే ఈ ప్రభావం C₁ – Cl మధ్యకంటే C₁ – C₂ మధ్య తక్కువ. ఈ ప్రభావం చాలా వేగంగా పడిపోతూ C₃ తరువాత అతి తక్కువగా ఉండడం వల్ల గుర్తించదగ్గది కాదు. ఆ బంధాల ఎలక్ట్రాన్ పంపకంపై కనిపించే ఈ ప్రభావాన్ని ప్రేరేపక ప్రభావం అంటారు. ప్రేరేపక ప్రభావం, కార్బన్పై ఉన్న ప్రతిక్షేపకాల ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రతను దానం చేసే లేదా ఆకర్షించే స్వభావంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఈ స్వభావం ఆధారంగా ప్రతిక్షేపకాలను రెండు రకాలుగా వర్గీకరించారు. అవి

1. ఎలక్ట్రాన్ ఆకర్షక గ్రూపులు
2. ఎలక్ట్రాన్ దాన గ్రూపులు. ఎలక్ట్రాన్ దాన గ్రూపులు ధన ప్రేరక ప్రభావాన్ని, ఎలక్ట్రాన్ ఆకర్షక గ్రూపులు ఋణ ప్రేరక ప్రభావాన్ని చూపిస్తాయి.

ప్రేరక ప్రభావం రసాయన చర్యాశీలతల మీద మరియు భౌతిక ధర్మాల మీద ప్రభావాన్ని చూపిస్తుంది.

ప్రశ్న 50.
మీసోమరిక్ ప్రభావాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
ఒక శృంఖలంలో సంయుగ్మ విధానంలో ఒక పరమాణువు లేదా గ్రూపు ఎలక్ట్రాన్ జంటలను స్థానభ్రంశం చేసే విధానాన్ని మీసోమరిక్ ప్రభావం అంటారు.

మీసోమరిక్ ప్రభావం ప్రధాన లక్షణాలు :

1. ఇది స్థిరమైన ప్రభావం. అణువు భూస్థితిలో ఉన్నప్పుడు జరుగుతుంది.
2. ఒంటరి జతలు, π ఎలక్ట్రాన్లతో సంయుగ్మ విధానంలో ఎలక్ట్రాన్ స్థానభ్రంశం జరుగుతుంది.
3. ఇది భౌతిక ధర్మాన్ని, చర్యావేగాన్ని ప్రభావితం చేస్తుంది.

ఏ గ్రూపులైతే మిగిలిన అణుభాగంలో ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రతను పెంచుతాయో వాటికి +M ప్రభావం ఉన్నదని అంటారు. ఆ గ్రూపులలో ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంట ఉంటుంది.

ప్రశ్న 51.
రెజోనెన్స్ ప్రభావాన్ని ఒక ఉదాహరణతో వివరించండి.
జవాబు:
ఒక అణువు ధర్మాలన్నింటిని కేవలం ఒక నిర్మాణంతో వివరించలేము. అటువంటి సందర్భంలో అణువుకు అనేక నిర్మాణాలు ఇవ్వవలసి వస్తుంది. ప్రతి ఒక్క నిర్మాణం అణువు యొక్క కొన్ని ధర్మాలను వివరిస్తుంది. అన్ని నిర్మాణాలు కలిసి అణువు యొక్క అన్ని ధర్మాలను వివరిస్తాయి. దీనినే రెజోనెన్స్ అంటారు. ఆ విధంగా అణువుకు ఊహించిన అన్ని నిర్మాణాలను రెజోనెన్స్ నిర్మాణాలు లేక కెనోనికల్ అంటారు.

రెజోనెన్స్ నిర్మాణాలకు ఉండవలసిన ముఖ్య లక్షణాలు :

1. అవి దాని నుంచి ఇంకొకటిగా మార్చేందుకు వీలుగా ఉంటాయి.
2. దీనిలో ఎలక్ట్రాన్ స్థానభ్రంశాలు తప్ప కేంద్రకాల స్థానాలలో ఎలాంటి మార్పులూ ఉండవు.
3. అణువులోని పరమాణువులన్నీ ఒకే తలంలో ఉంటాయి.
4. అన్ని నిర్మాణాలలోనూ, జత కూడిన లేక జతకూడని ఎలక్ట్రాన్ల సంఖ్య ఒకే విధంగా ఉండాలి.
5. కెనోనికల్ నిర్మాణాలన్నింటికి సాధ్యమైనంత వరకూ దాదాపు సమానశక్తి ఉండాలి.
6. రెజోనెన్స్ నిర్మాణం ఎంత ఎక్కువ స్థిరమైనదైతే అది అసలు నిర్మాణంలో అంత ఎక్కువగా పాల్గొంటుంది.
7. ఎలక్ట్రాన్లు ఎంత ఎక్కువ అస్థానీకృతం చెందితే స్థిరత్వం అంత ఎక్కువగా ఉంటుంది.
8. సమయోజనీయ బంధాలు ఎంత ఎక్కువగా ఉంటే ఆ నిర్మాణం అంతస్థిరమైనది.

రెజోనెన్స్ తం : పక్క పక్క పరమాణువుల మధ్య రెండు గా బంధాల లేదా ఒక 7 బంధం ఒక ఒంటరి జంటల మధ్య జరిగే అంతర చర్యల వల్ల ఉత్పన్నమయిన ధ్రువణాన్ని రెజోనెన్స్ ఫలితం అంటారు. ఈ ఫలితం శృంఖలం ద్వారా ప్రసారం అవుతుంది.

ఎలక్ట్రాన్ల బదలాయింపు ప్రతిక్షేపక పరమాణువు లేదా గ్రూపు నుండి అణువుపైకి సంయుగ్మ వ్యవస్థ ద్వారా జరిగితే దానిని (+R) తో సూచిస్తారు. అదే ఎలక్ట్రాన్ బదలాయింపు ప్రతిక్షేపక పరమాణువు లేక గ్రూపు వైపుకు అయితే దానిని (−R) తో సూచిస్తారు.

రెజోనెన్స్ శక్తి : అసలైన నిర్మాణం (రెజోనెన్స్ సంకర రూపం) శక్తికి, అత్యంత స్థిరమైన రెజోనెన్స్ నిర్మాణం శక్తికి మధ్య గల భేదాన్ని రెజోనెన్స్ శక్తి అంటారు.

ప్రశ్న 52.
కర్బన రసాయన చర్యలు ఎన్ని రకాలో వివరించండి.
జవాబు:
కర్బన రసాయన చర్యలు నాలుగు రకాలు. అవి
(1) సంకలన చర్యలు
(2) ప్రతిక్షేపణ చర్యలు
(3) విలోపన చర్యలు
(4) అణు పునరమరికలు.

1. సంకలన చర్యలు :*ఈ చర్యలలో క్రియాధారం, కారకం రెండూ కలసి ఉత్పన్నాన్ని ఇస్తాయి.
ఉదా :

2. ప్రతిక్షేపణ చర్యలు : ఈ చర్యలలో ఒక పరమాణువు లేదా గ్రూపు క్రియాధారంలోని వేరే పరమాణువు లేదా గ్రూపును స్థానభ్రంశం చేసి క్రియాధారంతో బంధం ఏర్పరుస్తుంది.
ఉదా :

3. విలోపన చర్యలు : ఇచ్చట రెండు లేక అంతకంటె ఎక్కువ పరమాణువులు లేదా గ్రూపులు క్రియాధారం నుండి విలోపనం చెందుతాయి. దీనివల్ల ద్విబంధం (లేక) త్రిబంధం ఉత్పన్నంలో ఏర్పడతాయి.

4. అణువుల పునరమరికలు : దీనిలో తక్కువ స్థిరత్వం గల ఒక కర్బన పదార్థం స్థిరత్వం గల వేరొక కర్బన పదార్థంగా పునరమరిక చెందుతాయి. దీనిలో ఒకస్థానం నుండి వేరొక స్థానానికి ఒక పరమాణువు లేదా సమూహం బదిలీ అయి వెళ్ళిపోతుంది.
ఉదా :
1)

ఉదా :
2)

ప్రశ్న 53.
ఈథేన్ అనురూపకాలను రాసి వాటిలో దేనికి స్థిరత్వం ఎక్కువో తెలపండి.
జవాబు:
ఈథేన్ – అనురూపాత్మక సాదృశ్యములు : ఈథేన్ అణువులో ఒక కార్బన్ పరమాణువు స్థానమును స్థిరీకరించి రెండవ కార్బన్ పరమాణువును C – C బంధ అక్షముపై చక్ర భ్రమణము చేయుట వలన అనేక ప్రాదేశిక అమరికలు గల రూపములు లభించును. ఈ రూపములను అనురూపాత్మక సాదృశ్యములందురు. ఈథేన్ ప్రధాన అనురూపాత్మక సాదృశ్యములు.

1) గ్రహణ ఆకృతి
2) అస్తవ్యస్త ఆకృతి

అస్తవ్యస్త ఆకృతి (staggered form), గ్రహణ ఆకృతి (eclipsed form) కన్నా స్థిరమైనది. కారణం
గ్రహణ ఆకృతిలో రెండు కర్బన పరమాణువులపై గల హైడ్రోజన్ పరమాణువులు అతి సున్నితంగా ఉండుట వలన వీటి మధ్య వికర్షణ బలములు అధికము. కావున ఈ రూపమునకు స్థిరత్వము తక్కువ.
అస్తవ్యస్త ఆకృతిలో రెండు కర్బన పరమాణువులపై గల హైడ్రోజన్ పరమాణువులు వీలయినంత దూరంగా ఉండుటవలన, ఈ రూపములో వికర్షణ బలములు అతి స్వల్పము. కనుక శక్తి తక్కువ కావున దీనికి స్థిరత్వము అధికము.

ప్రశ్న 54.
బెంజీన్ యొక్క ఏరోమాటిక్ ఎలక్ట్రోఫిల్లిక్ ప్రతిక్షేపణ చర్యలను వివరించండి.
జవాబు:
బెంజీన్ యొక్క ఏరోమాటిక్ ఎలక్ట్రోఫిల్లిక్ ప్రతిక్షేపణ చర్యా విధానము : బెంజీన్ యొక్క ఏరోమాటిక్ ఎలక్ట్రోఫిలిక్ ప్రతిక్షేపణ చర్య రెండు దశలలో జరుగుతుంది.
1. మొదటి దశలో ఎలక్ట్రోఫైల్ ఒక బెంజీన్ అణువులోని కార్బన్పై చర్య జరిపి కార్బోకాటయానన్ను ఏర్పరుస్తుంది. ఇది రెజోనెన్స్ ద్వారా స్థిరత్వం పొందుతుంది.

రెండవదశలో ఎరీనియం అయాన్ ఒక ప్రోటాన్ను కోల్పోతుంది.

ప్రశ్న 55.
ఇథిలీన్ సంకలన చర్యలను (ఎలక్ట్రోఫిల్లిక్) చర్యాగతిని వివరించండి.
జవాబు:
ఇథిలీన్ ఎలక్ట్రోఫిల్లిక్ సంకలన చర్యా విధానము: ఇథిలీన్ C – C మధ్య ఉన్న ద్విబంధంలోని π – ఎలక్ట్రోఫైల్కు అందుబాటులో ఉంటాయి. ద్విబంధంపై ఎలక్ట్రోఫైల్ సంకలన చర్యలో రెండు క్రొత్త 6- ఏర్పడతాయి.
మొదటిదశ : ఇథిలీన్పై ఎలక్ట్రోఫైల్ చర్యలో కార్బోనియం అయాన్ ఏర్పడుతుంది.

పై దశలో ఏర్పడిన కార్బోనియం అయాన్పై న్యూక్లియోఫైల్ (Nu) చర్యలలో అంతిమ ఉత్పన్నమేర్పడుతుంది.

ఉదా : ఇథిలీన్, HBr తో సంకలనం చెంది ఇథైల్ బ్రోమైడ్నస్తుంది.

ప్రశ్న 56.
చర్యా సంవిధానం (Mechanism of the reaction) ద్వారా ఆల్కేన్ స్వేచ్ఛా ప్రాతిపదిక హాలోజినేషన్ చర్యను వివరించండి.
జవాబు:
ఆల్కేన్ స్వేచ్ఛా \(\mathbf{A}^{\ominus}\) ప్రాతిపదిక హాలోజినేషన్ లేదా హాలోజనీకరణం : స్వేచ్ఛాప్రాతిపదికా విధానంలో క్లోరినీకరణ మూడు దశల్లో జరుగుతుంది.

1. శృంఖల చర్య ప్రారంభ చర్య : ఇక్కడ క్లోరిన్ అణువు శక్తిని గ్రహించి క్లోరిన్ స్వేచ్ఛా ప్రాతిపదికలుగా విడిపోతుంది.

2. శృంఖల చర్య వ్యాప్తి : పైన ఏర్పడిన క్లోరిన్ స్వేచ్ఛా ప్రాతిపదికలు ఈథేన్ అణువుతో చర్య జరుపుతాయి.

ఈ చర్యలు అనేక మార్లు పునరావృతమై చర్యను శృంఖల చర్యగా మారుస్తాయి. ఈ చర్యలను చర్యావ్యాప్తి చర్యలు అంటారు.

3. శృంఖల చర్యల ముగింపు : స్వేచ్ఛా ప్రాతిపదికలు నేరుగా కలిసిపోయి శృంఖల చర్యలు అంతమవుతాయి.

ప్రశ్న 57.
మార్కొనికాఫ్ నియమం, ఖరాష్ ప్రభావాల్ని వివరించండి.
జవాబు:
ప్రోపీన్తో HBr సంకలనం చెంది మార్కొనికాఫ్ నియమము ప్రకారం 2–బ్రోమో ప్రోపేన న్ను ఇస్తుంది. కాని బెంజాయిల్ పెరాక్సైడ్ సమక్షంలో ప్రోపీన్ క్కు HBrను కలిపితే 1-బ్రోమో ప్రోపేన్ ఏర్పడుతుంది. ఇక్కడ యాంటి మార్కొనికాఫ్ నియమము ప్రకారము సంకలనం జరుగుతుంది.

మార్కొనికాఫ్ నియమము : ఒక అసమకారకం ద్విబంధంలో సంకలనం చెందేటపుడు అసమకారకం రుణావేశ భాగం ద్విబంధంలో తక్కువ హైడ్రోజన్లున్న కార్బన్పై సంకలనం చెందుతుంది.

చర్యావిధానము (ఎలక్ట్రోఫిల్లిక్ సంకలన చర్య) :

యాంటి మార్కొనికాఫ్ నియమము : ఒక అసమకారకం ద్విబంధంతో పెరాక్సైడ్ సమక్షంలో సంకలనం చెందేటపుడు అసమకారకం రుణావేశ భాగం ద్విబంధంలో ఎక్కువ హైడ్రోజన్లున్న కార్బన్పై సంకలనం చెందుతుంది. దీనినే ఖరాష్ ప్రభావం అని కూడా అంటారు. బెంజోయల్

చర్యావిధానం (స్వేచ్ఛా ప్రాతిపదిక సంకలన చర్య) :

ప్రశ్న 58.
కింది సమ్మేళనాలను బెంజీన్ నుంచి ఎలా మార్చవచ్చు?
(a) క్లోరోబెంజీన్
(b) టోలీస్
(c) p–నైట్రోటోలీన్
జవాబు:
(a) క్లోరోబెంజీన్ : బెంజీన్ క్లోరిన్తో FeCl₃ సమక్షంలో చర్య జరిపి క్లోరోబెంజీన్ ను ఏర్పరచవచ్చు.

(b) టోలీస్ : బెంజీన్ ను CH₃Cl తో Al Cl₃ సమక్షంలో చర్య జరిపి టోలీన్ ను ఏర్పంచవచ్చు. (ఫీడల్ క్రాఫ్ట్ చర్య)

(c) P-నైట్రోటోలీన్ : బెంజీన్ నుంచి p – నైట్రో టోలీన్ ను ఈ క్రింది విధంగా తయారు చేయవచ్చు.

ప్రశ్న 59.
బేసి సంఖ్యలో కార్బన్లున్న ఆల్కేన్లను ఉర్ల చర్య ద్వారా ఎందుకు తయారుచేయలేరు? ఏదైనా ఉదాహరణతో వివరించండి.
జవాబు:
ఉర్వ్ చర్య : ఆల్కైల్ హాలైడ్ సోడియం లోహంతో పొడి ఈథర్ సమక్షంలో చర్య జరిపి ఆల్కేన్లను ఏర్పరచే చర్యను ఉర్ట్ చర్య అంటారు. R – X + 2Na + R – X→ R – R + 2NaX

ఉర్ట్ చర్యను బేసి సంఖ్యలో కార్బన్లు ఉన్న ఆల్కేన్లను తయారుచేయుటకు ఎక్కువగా ఉపయోగించరు. బేసి సంఖ్యలో కార్బన్లు ఉన్న ఆల్కేనులను తయారుచేయుటకు రెండు విభిన్నమైన ఆల్కైన్హాలైడ్లను తీసుకోవలెను. ఈ విధంగా తీసుకొనుట వలన ఏర్పడే ఉత్పన్నం మిశ్రమ రూపంలో ఉంటుంది. అంతేకాకుండా ఉత్పన్నం తక్కువ మొత్తంలో ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 60.
కర్బన సమ్మేళనాలలో నైట్రోజన్, సల్ఫర్, హాలోజన్లను గుణాత్మకంగా విశ్లేషించే సమీకరణాలను రాయండి.
జవాబు:
నైట్రోజన్ న్ను గుర్తించుట : కొద్దిగా లెసైన్ ద్రావణాన్ని పరీక్ష నాళికలో తీసికొని దానికి కొద్ది చుక్కలు NaOH ద్రావణం కలిపి క్షారీకృతం చేసి దానికి అపుడే తయారు చేసిన ఫెర్రస్ సల్ఫేట్ ద్రావణాన్ని కలుపుతారు. దీనికి 2 లేక 3 చుక్కలు FeCl, ద్రావణం కలిపి చల్లబరిచి గాఢ HCl ద్రావణంతో ఆమ్లీకృతం చేస్తారు. ప్రశ్యన బ్లూ లేదా ఆకుపచ్చని రంగు లేదా అవక్షేపం వస్తే నైట్రోజన్ ఉన్నట్లుగా గుర్తించాలి.

సల్ఫర్ను గుర్తించుట : కొద్దిగా లెసైన్ ద్రావణాన్ని పరీక్ష నాళికలో తీసికుని దానికి తాజాగా తయారు చేసిన సోడియం నైట్రోపృసైడ్ ద్రావణం కలపాలి. ముదురు ఊదా రంగు వస్తుంది. సల్ఫర్ ఉన్నట్లుగా గుర్తించాలి.

హాలోజన్లను గుర్తించుట : కొద్దిగా లెసైన్ ద్రావణాన్ని పరీక్ష నాళికలో తీసికొని నత్రికామ్లంతో ఆమ్లీకృతం చేసి AgNO, “ద్రావణాన్ని కలపాలి.
Ag⁺ + X^– → AgX

తెల్లని అవక్షేపం ఏర్పడి అది NH₄ OH ద్రావణంలో కరిగితే ఆ హాలైడ్ Cl^– లేత పసుపుపచ్చ అవక్షేపం ఏర్పడి అది NH₄ OH లో పాక్షికంగా కరిగితే ఆ హాలైడ్ Br పసుపు పచ్చ అవక్షేపం ఏర్పడి అది NH₄ OH లో కరగకపోతే ఆ హాలైడ్ I^–.

ప్రశ్న 61.
కర్బన సమ్మేళనంలో కార్బన్, హైడ్రోజన్ల భారశాతాన్ని కనుక్కోవడానికి అనువైన సమీకరణాలను రాయండి.
జవాబు:

తెలిసిన భారం గల కర్బన పదార్థానికి CuO ను కలిపి ఆ మిశ్రమాన్ని దహన నాళికలో తీసికొని అధికమైన గాలి సమక్షంలో పూర్తిగా దహనం చెందిస్తారు. అపుడు కర్బన పదార్థంలోని కార్బన్ CO₂ గానూ, హైడ్రోజన్ H₂O గానూ మారతాయి. ఆ విధంగా లభించిన CO₂, H₂O లను ముందుగా తూచిన నిర్జల CaCl₂, కాస్టిక్ పొటాష్లతో ఉన్న విడివిడి U – గొట్టాలలోకి పంపుతారు. CaCl₂ గొట్టంలో పెరిగిన బరువు వెలువడిన నీటి ఆవిరి బరువుగానూ, కాస్టిక్ పొటాష్ గొట్టంలో పెరిగిన బరువు వెలువడిన CO₂ భారంగానూ గుర్తించాలి.
గణన :’ ‘a’ గ్రా.ల కర్బన సమ్మేళనాన్ని దహనం చెందిస్తే ‘b’ గ్రా. ల నీటి ఆవిరి, ‘c’ గ్రా.ల CO₂ వచ్చాయి అనుకోండి.

కార్బన్ భారశాతం :
44 గ్రా. CO₂ లో 12 గ్రా. ‘C’ ఉన్నది.
∴ c గ్రా.ల C₂O …………?
= \(\frac{12 \times C}{44}\) గ్రా. కార్బన్
‘a’ గ్రా.ల కర్బన సమ్మేళనంలో \(\frac{12 \times c}{44}\)-గ్రా. కార్బన్ ఉన్నది.
∴ 100 గ్రా.ల కర్బన సమ్మేళనంలో ………… ?
∴ కార్బన్ భారశాతం = \(\frac{100 \times 12 \times \mathrm{c}}{44 \times \mathrm{a}}\) గ్రా.ల కార్బన్

హైడ్రోజన్ భారశాతం :
18 గ్రా. H₂O లో 12 గ్రా. ‘H’ ఉన్నది.
∴ b గ్రా.ల H₂O ……..
= \(\frac{2 \times b}{18}\) గ్రా. ‘H’
‘a’ గ్రా.ల కర్బన సమ్మేళనంలో \(\frac{2 \times b}{18}\) గ్రా. ‘H’ ఉన్నది.
∴ 100 గ్రా.ల కర్బన సమ్మేళనంలో…… 2
∴ ‘H’ భారశాతం = \(\frac{100 \times 2 \times b}{18 \times a}\) గ్రా.ల ‘H’

ప్రశ్న 62.
నైట్రోజన్ భారశాతాన్ని డ్యూమాస్, జెల్దాల్ పద్ధతిలో కనుక్కొనే విధానాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
1. డ్యూమాస్ పద్ధతి : ఈ పద్ధతిలో తెలిసిన భారం ఉన్న కర్బన పదార్థానికి ముతక CuO కలిపి బాగా వేడి చేస్తారు. కార్బన్ హైడ్రోజన్లు CO₂, H₂O (ఆవిర్లు) గా ఆక్సీకరణం చెందుతాయి. నైట్రోజన్ N₂ వాయువుగా మారుతుంది. కొంత నైట్రోజన్ ఆక్సైడ్లుగా మారినా, ఆ ఆక్సైడ్లను వేడిగా ఉన్న కాపర్ జాలకం, N₂ వాయువుగా క్షయకరణం చెందిస్తుంది. ఉత్పన్న వాయువులను KOH ద్రావణం గుండా పంపుతారు. CO₂ వాయువు KOH ద్రావణంలో శోషణం చెందుతుంది. KOH ద్రావణంపై చేరుకున్న N₂ వాయువు ఘనపరిమాణాన్ని కొలుస్తారు.

గణన : గది ఉష్ణోగ్రత TK వద్ద a గ్రా.ల సమ్మేళనం V మి.లీ. N₂ వాయువును ఇచ్చినదని అనుకొనుము.

ప్రయోగ పరిస్థితులు
P₁ = (P-p) మి . మీ
ఇచ్చట p = నీటి ఆవిరి పీడనం
T₁ = TK
V₁ = V మి.లీ.

STP పరిస్థితులు
P₂ = 760 మి.మీ.
T₂ = 273 K
V₂ = ?

T₁ = TK
V₁ = V మి.లీ.
\(\frac{P_1 V_1}{T_1}\) = \(\frac{\mathrm{P}_2 \mathrm{~V}_2}{\mathrm{~T}_2}\)
∴ V₂ = \(\frac{P_1 V_1 T_2}{P_2 T_1}\) = \(\frac{(P-p) \times V \times 273}{760 \times T}\) = xమి.లీ.
22,400 మి.లీ. N₂ వాయువు STP వద్ద 28 గ్రా. బరువు కలిగి ఉంటుంది.
∴ x మి.లీ. N₂ ……… ?
= \(\frac{x \times 28}{22400}\) గ్రా.లు.
‘a’ గ్రా.ల పదార్థం ………. \(\frac{28 \times x}{22400}\) గ్రా. N₂ కలిగి ఉన్నది.
∴ 100 గ్రా.ల పదార్థం …… ?
= \(\frac{100}{\mathrm{a}} \times \frac{28 \times \mathrm{x}}{22400}\) గ్రా.ల. N₂

2. జెల్దాల్ పద్ధతి : ఈ పద్ధతిలో తెలిసిన భారం గల కర్బన సమ్మేళనాన్ని CuSO₄ సమక్షంలో గాఢ H₂SO₄ తో వేడి చేస్తారు. అప్పుడు కర్బన సమ్మేళనంలోని నైట్రోజన్ అంతా పరిమాణాత్మకంగా అమ్మోనియం సల్ఫేటుగా మారుతుంది. ప్రయోగ పాత్రలోని అనుఘటకాలను వేరే పాత్రలోనికి మార్చి అధిక NaOH ద్రావణంతో వేడి చేస్తారు. అమ్మోనియా . వాయువు విడుదల అవుతుంది. ఈ అమ్మోనియా వాయువును తెలిసిన ఘ.ప. మరియు గాఢత గల అధిక గాఢ H₂SO₄ లోకి పంపి శోషణం చెందిస్తారు. మిగిలిన ఆమ్లాన్ని ప్రమాణ క్షారంతో అంశమాపనం చేస్తారు.
దీని నుండి అమ్మోనియాను తటస్థీకరించడానికి పట్టిన ఆమ్ల ప్రమాణాన్ని గణిస్తారు. దీని నుంచి ఎంత అమ్మోనియా ఏర్పడిందో గణించి దాని నుండి N₂ భారశాతాన్ని లెక్కిస్తారు.

చర్యలు : కర్బన సమ్మేళనం + H₂SO₄ → (NH₄)₂SO₄
(NH₄)₂SO₄ + 2NaOH → Na₂SO₄ + 2H₂O + 2NH₃
2NH₃ + H₂SO₄ → (NH₄)₂SO₄

గణన : కర్బన సమ్మేళనం భారం = a గ్రా. మొదటిగా తీసుకున్న H₂SO₄ ఘ.ప. = V మి.లీ.
H₂SO₄ మొలారిటి = M, పూర్తి తటస్థీకరణానికి పట్టిన ఘ.ప. = V₁ మి.లీ.
NaOH మొలారిటి = M
2NaOH + H₂SO₄ → Na₂SO₄ + 2H₂O

1000 మి.లీ. 1M NH₃ ద్రావణంలో 17 గ్రా. NH₃ (లేదా) 14 గ్రా. N₂ ఉన్నది.

ప్రశ్న 63.
కర్బన సమ్మేళనంలోని సల్ఫర్, ఫాస్ఫరస్, ఆక్సిజన్ల పరిమాణాత్మక విశ్లేషణను వివరించండి.
జవాబు:
కర్బన సమ్మేళనంలోని ఫాస్ఫరస్ భారశాతం కనుక్కొనుట : ఫాస్ఫరస్ భారశాతాన్ని కనుక్కోవడానికి తెలిసిన ద్రవ్యరాశి గల కర్బన పదార్థాన్ని సధూమ నైట్రికామ్లంలో వేడి చేయాలి. ఫాస్ఫరస్ ఫాస్ఫారిక్ ఆమ్లంగా ఆక్సీకరణం చెందుతుంది. ఈ ఆమ్లానికి అమ్మోనియా, అమ్మోనియం మోలిబేట్ ద్రావణాలు కలిపి అమ్మోనియం ఫాస్ఫో మోలిబేట్

[(NH₄)₃ PO₄.12M0O₃]గా అవక్షేపించాలి.
కర్బన సమ్మేళనం ద్రవ్యరాశి = mg
అమ్మోనియం ఫాస్ఫోమోలిబ్బేడ్ = m₁g
(NH₄)₃ PO₄ . 12 MoO₃ అణు ద్రవ్యరాశి = 1877g
ఫాస్ఫరస్ భారశాతం = \(\frac{31 \times \mathrm{m}_1 \times 100}{1877 \times \mathrm{m}}\)

కర్బన సమ్మేళనంలోని సల్ఫర్ భారశాతం కనుక్కొనుట కర్బన సమ్మేళనంలోని సల్ఫర్ భారశాతం కనుక్కోవడానికి తెలిసిన భారం గల కర్బన సమ్మేళనాన్ని సోడియం పెరాక్సైడ్ లేదా సధూమ నైట్రికామ్లంతో కేరియస్ నాళికలో వేడిచేస్తారు. సమ్మేళనంలోని సల్ఫర్ H₂SO₄ గా ఆక్సీకరణం చెందుతుంది. ఈ ఆమ్లాన్ని అధికంగా జల బేరియం క్లోరైడ్ ద్రావణం కలిపి బేరియం సల్ఫేట్గా అవక్షేపింప చేస్తారు. ఈ అవక్షేపాన్ని వడపోత ద్వారా వేరుచేసి, కడిగి, పొడి చేసి ‘భారాన్ని కనుక్కొంటారు.

తీసుకున్న కర్బన పదార్థ భారం = mg
ఏర్పడిన బేరియం సల్ఫేట్ భారం = m₁g
m₁, g ల బేరియం సల్ఫేట్లోని సల్ఫర్ = \(\frac{32 \times \mathrm{m}_1}{233}\)g
(1 మోల్ BaSO₄ = 233gm BaSO₄ = 32 gm సల్ఫర్)
సల్ఫర్ భారశాతం = \(\frac{32 \times m_1 \times 100}{233 \times m}\)

ఆక్సిజన్ పరిమాణాత్మక విశ్లేషణ : తెలిసిన ద్రవ్యరాశి గల కర్బన సమ్మేళనాన్ని నైట్రోజన్ వాయువు సమక్షంలో వేడిచేస్తారు. వెలువడిన ఉత్పన్న ఆక్సైడ్ వాయువుల మిశ్రమాన్ని ఎర్రటి వేడి బొగ్గు పైకి పంపి మొత్తం ఆక్సైడ్లలో ఉన్న ఆక్సిజన్ను CO గా మారుస్తారు. ఆ తరువాత మిశ్రమ వాయువులను వేడిగా ఉన్న I₂O₅ మీదుగా పంపుతారు. అపుడు CO తిరిగి CO₂ గా మారుతుంది. అయొడిన్ వెలువడుతుంది.
కర్బన సమ్మేళన భారం = a g
CO₂ భారం = b g
44 g CO₂ లో 32 g O₂ ఉన్నది.
∴ b g CO₂ …. ?
a g పదార్ధంలో \(\frac{\mathrm{b} \times 32}{44}\) g O₂ ఉంటే
100 g పదార్థంలో O₂ భారం శాతం = \(\frac{100 \times \mathrm{b} \times 32}{44 \times \mathrm{a}}\)g O₂.

ప్రశ్న 64.
కేరియస్ పద్ధతిలో జరిపే కర్బన సమ్మేళనంలోని హాలోజన్ ను పరిమాణాత్మక విశ్లేషణ వివరించండి.
జవాబు:
కేరియస్ పద్ధతిలో హాలోజన్ల పరిమాణాత్మక విశ్లేషణ : ఈ పద్ధతిలో తెలిసిన భారం గల కర్బన సమ్మేళనాన్ని సధూమ HNO₃ తో AgNO₃ సమక్షంలో ఒక ప్రత్యేకమైన బలమైన గాజు నాళికలో వేడి చేస్తారు. అప్పుడు సమ్మేళనంలోని C, H లు CO₂, H₂O లుగా ఆక్సీకరణం చెందుతాయి. హాలోజన్లు సిల్వర్ హాలైడ్లుగా మారతాయి. సిల్వర్ హాలైడ్లను వడపోత ద్వారా వేరుచేసి, కడిగి, పొడిగా చేసి భారం కనుక్కొంటారు.
గణన : కర్బన సమ్మేళన భారం = a g
సిల్వర్ హాలైడ్ భారం = b g
1 మోల్ AgX లో 1 మోల్ X ఉన్నది.
∴ b g e AgX లో హాలోజన్ ….. ?

ప్రశ్న 65.
కార్సినోజెనిసిటీ అంటే ఏమిటి? రెండు ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
బెంజీన్, ఇంకా అనేక బహుకేంద్రక వలయాల హైడ్రోకార్బన్లు విషపదార్థాలే కాక క్యాన్సర్ కారకాలు. వాటిలో ఎక్కువ పదార్థాలు పొగాకు, పెట్రోలియం, బొగ్గు వంటి కర్బన పదార్థాలు పూర్తిగా దహనం చెందకుంటే ఏర్పడతాయి. ఇవి మానవ శరీరాల్లో అనేక రసాయన చర్యలకు లోనై DNA ను నాశనం చేసి క్యాన్సర్ను కలుగజేస్తాయి. దీనినే కార్సినోజెనిసిటీ అంటారు.
ఉదా :

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 6 Trigonometric Ratios upto Transformations Ex 6(e) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Trigonometric Ratios upto Transformations Solutions Exercise 6(e)

I.
Question 1.
prove that sin 50° – sin 70° + sin 10° = 0
Answer:
sin 50° – sin 70° + sin 10°
= 2 cos \(\left(\frac{50^{\circ}+70^{\circ}}{2}\right)\) sin \(\left(\frac{50^{\circ}-70^{\circ}}{2}\right)\) + sin 10°
= 2 cos 60° sin (- 10°) + sin 10°
= 2\(\left(\frac{1}{2}\right)\) (- sin 10°) + sin 10°
= – sin 10° + sin 10° = 0

Question 2.
Prove that \(\frac{\sin 70^{\circ}-\cos 40^{\circ}}{\cos 50^{\circ}-\sin 20^{\circ}}\) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Answer:

Question 3.
Prove that cos55° + cos 65° + cos 175° = 0
Answer:
cos 55° + cos 65° + cos 175°
= 2 cos \(\left(\frac{55+65}{2}\right)\) cos \(\left(\frac{55-65}{2}\right)\)
= 2 cos 60° cos (- 5°) – cos 5°
= 2 \(\left(\frac{1}{2}\right)\) cos 5° cos 5° = cos 5° – cos 5° = 0

Question 4.
Prove that
4 (cos 66° + sin 84°) = √3 + √15
Answer:
4 (cos 66° + sin 84°)
= 4 [cos 66° + sin (90 – 6°)]
= 4 [cos 66° + cos 6°]

Question 5.
Prove that cos 20° cos 40° – sin 5° sin 25° = \(\frac{\sqrt{3}+1}{4}\)
Answer:
cos 20° cos 40° – sin 5° sin 25°
= \(\frac{1}{2}\) [2 c0s 20° c0s 40° – 2 sin 5° sin 25°]
= \(\frac{1}{2}\) [(cos 60 + cos 20) – (cos 20 – cos 30°)]
= \(\frac{1}{2}\) [cos 60° + cos 30°] = \(\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right]\) = \(\frac{\sqrt{3}+1}{4}\)

Question 6.
Prove that cos 48° cos 12° = \(\frac{3+\sqrt{5}}{8}\)
Answer:
cos 48° cos 12°
= \(\frac{1}{2}\) [2 cos 48° cos 12°]
= \(\frac{1}{2}\) [cos 60° + cos 36°]

Short Answer Questions

II.
Question 1.
Prove that
cos θ + cos \(\left(\frac{2 \pi}{3}+\theta\right)\) + cos \(\left(\frac{4 \pi}{3}+\theta\right)\) = 0
Answer:
cos θ + cos (120 + θ) + cos (240 + θ)

Question 2.
Prove that sin² \(\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)\) + sin² – sin² \(\left(\alpha+\frac{\pi}{12}\right)\) \(\left(\alpha-\frac{\pi}{12}\right)\) = \(\frac{1}{2}\)
Answer:
sin² (α – 45°) + sin² (α + 15°) – sin² (α – 15°)
= sin² (α – 45°) + sin (α + 15 + α – 15) sin (α + 15 – α + 15)
= sin² (α – 45°) + sin 2α sin 30°

Question 3.
If sin x + sin y = \(\frac{1}{4}\) and cos x + cos y = \(\frac{1}{3}\) then show that
(i) tan \(\left(\frac{x+y}{2}\right)\) = \(\frac{3}{4}\)
Answer:

(ii) cot (x + y) = \(\frac{7}{24}\)
Answer:

Question 4.
If neither [A – \(\frac{\pi}{12}\)] nor [A – \(\frac{5 \pi}{12}\)] is an integral multiple of π.
Prove that cot [\(\frac{\pi}{12}\) – A] + tan [\(\frac{\pi}{12}\) + A] = \(\frac{4 \cos 2 A}{1-2 \sin 2 A}\)
Answer:

Question 5.
Prove that 4 cos 12° cos 48° cos 72° = cos 36°
Answer:
4 cos 12° cos 48° cos 72°
= 2 cos 12° [2 cos 48° cos 72°]
= 2 cos 12° [cos (48° + 72°) + cos (48° – 72°)]
= 2 cos 12° [cos 120° + cos 24°]
= 2 cos 12° [- \(\frac{1}{2}\) + cos 24°]
= – cos 12° + 2 cos 12° cos 24°
= – cos 12° + cos (12° + 24°) + cos (12° – 24°)
= – cos 12° + cos 36° + cos 12°
= – cos 36°

Question 6.
Prove that
sin 10° + sin 20° + sin 40° + sin 50° = sin 70° + sin 80°
Answer:
sin 10° + sin 500 + sin 20° + sin 40°
= 2 sin \(\frac{\left(10^{\circ}+50^{\circ}\right)}{2}\) cos \(\frac{\left(10^{\circ}-50^{\circ}\right)}{2}\) + 2 sin \(\left(\frac{20^{\circ}+40^{\circ}}{2}\right)\) cos \(\left(\frac{20^{\circ}-40^{\circ}}{2}\right)\)
= 2 sin 30° cos 20° + 2 sin 30° cos 10°
= 2 \(\left(\frac{1}{2}\right)\) cos 20° + 2 \(\left(\frac{1}{2}\right)\) cos 10°
= cos 20° + cos 10°
= cos (90° – 70°) + cos (90° – 80°)
= sin 70° + sin 80°

III.
Question 1.
If cos x + cos y = \(\frac{4}{5}\) and cos x – cos y = \(\frac{2}{7}\).
find the value of 14 tan \(\left(\frac{x-y}{2}\right)\) + 5 cot \(\left(\frac{x+y}{2}\right)\)
Answer:
Given cos x + cos y = and cos x – cos y = \(\frac{2}{7}\)

Question 2.
If none of the denominators is zero, prove that

Answer:

If n is odd, since (- 1)ⁿ = 1
we have LHS = O
If n is even and (- 1)ⁿ = 1
L.H.S = 2 cot²\(\left(\frac{\mathrm{A}-\mathrm{B}}{2}\right)\)

Question 3.
If sin A = sin B and cos A = cos B, then prove that A = 2nπ + B for some integer n.
Answer:
sin A = sin B and cos A = cos B
⇒ sin A – sin B = 0 and cos A – cos B = 0
⇒ 2 cos \(\left(\frac{A+B}{2}\right)\) sin \(\left(\frac{A-B}{2}\right)\) = 0 ……………. (1)
and cos A – cos B = 0
⇒ 2 sin \(\left(\frac{A+B}{2}\right)\) sin \(\left(\frac{B-A}{2}\right)\) = 0 ……………… (2)
From (1) and (2),
sin \(\left(\frac{A-B}{2}\right)\) = o ⇒ \(\left(\frac{A-B}{2}\right)\) = nπ
⇒ A = 2nπ + B for some n ∈ Z

Question 4.
If cos nα ≠ 0 and cos \(\frac{\alpha}{2}\) ≠ 0 then show that
\(\frac{\sin (n+1) \alpha-\sin (n-1) \alpha}{\cos (n+1) \alpha+2 \cos n \alpha+\cos (n-1) \alpha}\) = tan \(\frac{\alpha}{2}\)
Answer:
L.H.S

Question 5.
If sec (θ + α) + sec (θ – α) = 2 sec θ and cos α ≠ 1, then show that cos θ = ± √2 cos \(\frac{\alpha}{2}\).
Answer:
Given(θ + α) + sec (θ – α) = 2 sec θ

⇒ cos α cos²θ = cos²θ – sin²α
⇒ cos² θ (1 – cos α) = sin²α
⇒ cos² θ (1 – cos α) = 1 – cos²α
⇒ cos² θ = 1 – cos α = [∵ cos α ≠ 1]
⇒ cos² θ = 2 cos² \(\frac{\alpha}{2}\)
⇒ cos θ = ±√2 cos \(\left(\frac{\alpha}{2}\right)\)

Question 6.
If none of x, y, z is an odd multiple of \(\frac{\pi}{2}\) and if sin (y + z – x), sin (z + x – y), sin (x + y – z) are In AP then prove that tan x, tan y, tan z are also in AP.
Answer:
sin (y + z – x), sin(z + x – y), sin(x + y – z) are in A.P
⇒ sin(z + x – y) – sin (y + z – x) = sin (x + y – z) – sin (z + x – y)
⇒ z cos z sin(x – y) 2 cos x sin(y – z)
⇒ cos z [sin x cos y – cos x sin y] = cos x [ sin y cos z – cos y sin z]
Dividing by cos x cos y cos z. We get,
\(\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin y}{\cos y}=\frac{\sin y}{\cos y}-\frac{\sin z}{\cos z}\)
⇒ tan x – tan y = tan y – tan z
⇒ tan x + tan z = 2 tan y
⇒ tan x, tan y, tan z are in A.P

Question 7.
If x, y, z are non zero real numbers and if x cos θ = y cos\(\left(\theta+\frac{2 \pi}{3}\right)\) = z c0s\(\left(\theta+\frac{4 \pi}{3}\right)\) for some θ ∈ R, then show that xy + yz + zx = 0
Answer:
x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0

Question 8.
If neither A nor A + B Is an odd multiple of \(\frac{\pi}{2}\) and if m sin B = n sin (2A + B), then prove that (m +n) tanA =(m – n) tan(A + B).
Answer:
Given, m sin B = n sin (2A + B)

Question 9.
If tan(A + B) = λ tan(A – B) show that (λ + 1) sin 2B = (λ – 1) sin 2A
Answer:
Given tan (A + B) = λ tan (A – B)

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 8 Inverse Trigonometric Functions Ex 8(a) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Inverse Trigonometric Functions Solutions Exercise 8(a)

I.
1.
Evaluate the following:
(i) Sin^-1 \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
Answer:

(ii) Cos^-1\(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\)
Answer:
cos^-1\(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = cos^-1 (cos\(\frac{\pi}{4}\)) = \(\frac{\pi}{4}\)
(∵ cos^-1 (cos θ) = θ if θ ∈ [0, π])

(iii) Sec^-1 (- √2)
Answer:
= π – sec^-1 √2 [∵ x ∈ ( – ∞, – 1] ∪ [1, ∞)]
= π – sec^-1 (sec \(\frac{\pi}{4}\)) = π – \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{3 \pi}{4}\)
[∵ sec^-1 (sec θ) = θ dor θ ∈ \(\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) ∪ \(\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\)]

(iv) Cot^-1 (- √3)
Answer:
Cot^-1 (- √3) = π – cot^-1 (√3)
= π – cot^-1 (cot\(\frac{\pi}{6}\))
= π – \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac{5 \pi}{6}\)
(∵ cot^-1 (- x) = π – cot^-1x for any x ∈ R)

(v) sin (\(\frac{\pi}{3}\) – sin^-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\))
Answer:

(vi) Sin^-1 \(\left(\sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right)\)
Answer:
sin^-1 \(\left(\sin \left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)\right)\)
= sin^-1 (sin\(\frac{\pi}{6}\)) = \(\frac{\pi}{6}\)

(vii) Cos^-1\(\left(\cos \frac{5 \pi}{4}\right)\)
Answer:

Question 2.
Find the value of
(i) Sin \(\left(\cos ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\right)\)
Answer:

(ii) Tan (cosec^-1 \(\left(\frac{65}{63}\right)\))
Answer:

(iii) Sin (2 sin^-1 \(\frac{4}{5}\))
Answer:

(iv) Sin^-1\(\left(\sin \frac{33 \pi}{7}\right)\)
Answer:

(v) Cos^-1 (cos \(\frac{17 \pi}{6}\))
Answer:

Question 3.
Simplify each of the following.
(i) Tan^-1\(\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)\)
Answer:

(ii) tan^-1 (sec x + tan x)
Answer:
tan^-1 (sec x + tan x)

(iii) Tan^-1 \(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\)
Answer:

(iv) Sin^-1 (2cos²θ – 1) + Cos^-1 (1 – 2 sin² θ)
Answer:
sin^-1 (2cos²θ – 1) + cos^-1 (1 – 2 sin² θ)
= sin^-1 (cos2θ) + cos^-1 (cos 2θ)
= sin^-1 (sin(\(\frac{\pi}{2}\) – 2θ) + cos^-1 (cos 2θ))
= \(\frac{\pi}{2}\) – 2θ + 2θ= \(\frac{\pi}{2}\)

(v) tan^-1 (x + \(\sqrt{1+x^2}\)) = ; x ∈ R
Answer:
Let x = tan θ then tan^-1 (x + \(\sqrt{1+x^2}\)) = tan^-1 (tan θ + sec θ)

II.
Question 1.
Prove that
(i) Sin^-1\(\frac{3}{5}\) + sin^-1\(\frac{8}{17}\) = Cos^-1\(\left(\frac{36}{85}\right)\) (May 2022)
Answer:
Use the property that If
x, y ∈ [0, 1] and x² + y² < 1
(Here x = \(\frac{3}{5}\) and y = \(\frac{8}{17}\)) then
sin^-1 x + sin^-1 y
= cos^-1 (\(\sqrt{1-x^2} \sqrt{1-y^2}\) – xy)
As an alternative preferably use
sin^-1\(\left(\frac{3}{5}\right)\) = A and sin^-1\(\left(\frac{8}{17}\right)\) = B
∴ sinA = \(\frac{3}{5}\) and sinB = \(\frac{8}{17}\)
∴ cosA = \(\frac{4}{5}\) andcosB = \(\frac{15}{17}\)
Now A + B ∈ (0, π) and cos (A + B)
= cos A cos B – sin A sin B

(ii) Sin^-1\(\left(\frac{3}{5}\right)\) + Cos^-1\(\left(\frac{12}{13}\right)\) = Cos^-1\(\left(\frac{33}{65}\right)\)
Answer:
Let sin^-1\(\left(\frac{3}{5}\right)\) = A and cos^-1\(\left(\frac{12}{13}\right)\) then A + B ∈ (0, π)
∴ sinA = \(\frac{3}{5}\) and cos B = \(\frac{12}{13}\)
∴ cosA = \(\frac{4}{5}\) and SinB = \(\frac{5}{13}\)
Consider cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

(iii) tan (cot^-19 + Cosec^-1\(\frac{\sqrt{41}}{4}\)) = 1
Answer:
Let cot^-19 = A and cosec^-1\(\frac{\sqrt{41}}{4}\) = B
then cot A = 9 and cosec B = \(\frac{\sqrt{41}}{4}\)
∴ tan A = \(\frac{1}{9}\) and cot²B = cosec²B – 1 = \(\frac{41}{16}\) – 1 = \(\frac{25}{16}\)
⇒ cot B = \(\frac{41}{16}\) – 1 ⇒ tan B = \(\frac{25}{16}\)
⇒ cot B = \(\frac{5}{4}\) ⇒ tan B = \(\frac{4}{5}\)

(iv) Cos^-1\(\left(\frac{4}{5}\right)\) + sin^-1\(\left(\frac{3}{\sqrt{34}}\right)\) = tan^-1\(\left(\frac{27}{11}\right)\)
Answer:

Question 2.
Find the value of
(i) sin (Cos^-1\(\frac{3}{5}\) + Cos^-1\(\frac{12}{13}\))
Answer:
Let Cos^-1\(\frac{3}{5}\) = A and Cos^-1\(\frac{12}{13}\) = B
then cos A = \(\frac{3}{5}\) and cos B = \(\frac{12}{13}\)
∴ sin A = \(\frac{4}{5}\) and sinB = \(\frac{5}{13}\)
∴ sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

(ii) tan (sin^-1\(\left(\frac{3}{5}\right)\) + cos^-1\(\left(\frac{5}{\sqrt{34}}\right)\))
Answer:

(iii) cos (Sin^-1 \(\frac{3}{5}\) + Sin^-1 \(\frac{5}{13}\))
Answer:
Let Sin^-1\(\left(\frac{3}{5}\right)\) = A and Sin^-1\(\left(\frac{5}{13}\right)\) = B
then sin A = \(\frac{3}{5}\) and sin B = \(\frac{5}{13}\)
∴ cosA = \(\frac{4}{5}\) and cos B = \(\frac{12}{13}\)
∴ cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
= \(\left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right)\) – \(\left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right)\) = \(\frac{33}{65}\)

Question 3.
Prove that
(i) cos (2 Tan^-1\(\frac{1}{7}\)) = sin (2 Tan^-1\(\frac{3}{4}\))
Answer:

(ii) cos {2[Tan^-1\(\left(\frac{1}{4}\right)\) + Tan^-1\(\left(\frac{2}{9}\right)\)]} = \(\frac{3}{5}\)
Answer:

Question 4.
Prove that
(i) Tan^-1\(\frac{1}{7}\) + Tan^-1\(\frac{1}{13}\) – Tan^-1\(\frac{2}{9}\) = 0
Answer:
L.H.S = (tan^-1\(\frac{1}{7}\) + tan^-1\(\frac{1}{13}\)) – tan^-1\(\frac{2}{9}\)

(ii) Tan^-1\(\frac{1}{2}\) + Tan^-1\(\frac{1}{5}\) – Tan^-1\(\frac{1}{8}\) = \(\frac{\pi}{4}\) (March 2015-A.P.) (March 2011, May 2006)
Answer:

(iii) Tan^-1\(\frac{3}{4}\) + Tan^-1\(\frac{3}{5}\) – Tan^-1\(\frac{8}{19}\) = \(\frac{\pi}{4}\)
Answer:

(iv) Tan^-1\(\frac{1}{7}\) + Tan^-1\(\frac{1}{8}\) = Cot^-1\(\frac{201}{43}\) + Cot^-1 18
Answer:

Question 5.
Show that
(i) sec² (Tan^-12) + cosec² (Cot^-12) = 10
Answer:
Let α = tan^-12 tan α = 2
sec² α = 1 + tan²α = 1 + 4 = 5
Let β = cot^-1 2 ⇒ cot β = 2
∴ cosec² β = 1 + cot² β = 1 + 4 = 5
∴ sec² (tan^-1 2) + cosec² (cot^-12)
= sec²α + cosec²β = 5 + 5 = 10

(ii) Find the value of tan(Cos^-1\(\frac{4}{5}\) + Tan^-1\(\frac{2}{3}\)). (March 2012)
Answer:

(iii) If sin^-1x – Cos^-1 = \(\frac{\pi}{6}\), then find x.
Answer:
Let α = sin^-1x ⇒ sin α = x
and β = cos^-1x ⇒ cos β = x

III.
Question 1.
Prove that (May 2014, Mar. 14)
(i) 2 sin^-1\(\frac{3}{5}\) – cos^-1\(\frac{5}{13}\) = cos^-1\(\left(\frac{323}{325}\right)\)
Answer:
Let α = sin^-1\(\left(\frac{3}{5}\right)\) and β = cos^-1\(\left(\frac{5}{13}\right)\)
⇒ sin α = \(\frac{3}{5}\) and cos β = \(\frac{5}{13}\)
∴ LHS = 2α – β
Consider cos(2α – β)
= cos 2α cos β + sin 2α sin β

(ii) Sin^-1\(\left(\frac{4}{5}\right)\) + 2 Tan^-1 \(\left(\frac{1}{3}\right)\) = \(\frac{\pi}{2}\) (March 2015-T.S)
Answer:

(iii) 4 tan^-1\(\left(\frac{1}{5}\right)\) + Tan^-1\(\left(\frac{1}{99}\right)\) – Tan^-1\(\left(\frac{1}{70}\right)\) = \(\frac{\pi}{4}\)
Answer:

Question 2.
(i) If α = Tan^-1\(\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}}\right)\), then prove that x² = sin 2 α.
Answer:
Let x² = θ

(ii) Prove that tan\(\left\{2 {Tan}^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\right\}\) = x.
Answer:
Let x = tan θ

(iii) Prove that
sin\(\left[{Cot}^{-1} \frac{2 x}{1-x^2}+{Cos}^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right]\) = 1.
Answer:
Let x = tan θ then

(iv) prove that tan \(\left\{\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)\right\}\) + tan \(\left\{\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \cos ^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)\right\}\) = \(\frac{2 b}{a}\)
Answer:

Question 3.
(i) If Cos^-1 p + Cos^-1 q + Cos^-1 r = π, then prove that p² + q² + r² + 2pqr = 1. (June 2004, 2006, 2005)
Answer:
Let cos^-1p = A, cos^-1 q = B, cos^-1r = c
⇒ cos A = p, cos B = q, and cos C = π
then given A + B + C = π
To show that p² + q² + r² = 1 – 2 pqr
i.e., cos²A + cos² B + cos²C = 1 – 2 cos A cos B cos C
∴ cos² A + cos² B + cos² C = cos² A + cos² B + 1 – sin² C
= 1 + cos² A + cos (B +C) cos (B – C)
= 1 + cos² A – cos A cos (B – C)
= 1 + cos A [ cos A – cos (B – C)]
= 1 + cos A [ – cos (B + c) – cos (B – C)]
= 1 – cos A [ cos (B + C) + cos (B – C)]
= 1 – 2 cos A cosB cos C = 1 – 2 pqr

(ii) If sin^-1\(\left(\frac{2 p}{1+p^2}\right)\) – cos^-1\(\left(\frac{1-q^2}{1+q^2}\right)\) = Tan^-1\(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\), then prove that x = \(\).
Answer:
Let p = tan A, q = tan B and x = tan C

⇒ sin^-1 (sin 2A) – cos^-1 (cos 2B) = tan^-1 (tan 2C)
⇒ 2A – 2B = 2C
∴ tan C = \(\frac{\tan A \tan B}{1+\tan A \tan B}\) = \(\frac{p-q}{1+p q}\)
⇒ x = \(\frac{p-q}{1+p q}\)

(iii) If a, b, c are distinct non – zero real numbers having the same sign prove that
cot^-1\(\left(\frac{a b+1}{a-b}\right)\) + cot^-1\(\left(\frac{b c+1}{b-c}\right)\) + cot^-1\(\left(\frac{c a+1}{c-a}\right)\) = π or 2π.
Answer:
Let have (a – b) + (b – c) + (c – a) = 0 and (a – b), (b – c), (c – a) need not have the same sign. Then either two of these numbers may be positive and one negative or two may be negative and one will be positive. Suppose (a – b) (b – c) are both positive and (c – a) is negative.

(iv) If sin^-1x + sin^-1y + sin^-1z = π, then prove that
x \(\sqrt{1-x^2}\) + y\(\sqrt{1-y^2}\) + y\(\sqrt{1-z^2}\) = 2xyz (March 2006, May 2005)
Answer:
Let sin^-1 x = A, sin^-1 y = B and sin^-1 z = c
Then sin A = x, sin B = y and sin c = z
Also A + B + C = π
LHS
= x\(\sqrt{1-x^2}\) + y\(\sqrt{1-y^2}\) + z\(\sqrt{1-z^2}\)
= sin A cos A + sin B cos B + smC cos C
= \(\frac{1}{2}\) [sin 2A + sin 2B + sin 2C]
= \(\frac{1}{2}\) [2.sin(A + B) cos (A – B) + 2 sin C cos C]
= \(\frac{1}{2}\) [2 sin C cos (A – B) + 2 sin C cos C]
= sin C [cos (A – B) + cos C]
= sin C [cos (A – B) – cos (A + B)]
= 2 sin C sin A sin B = 2 sin A sin B sin C
= 2xyz = RHS

(v) (a) If Tan^-1 x + Tan^-1 y + Tan^-1 z = π, then prove that x + y + z = xyz. (March 2003)
Answer:
Let tan^-1 x = A, tan^-1 y = B and tan^-1 z = c then A + B + C = π and tan A = x, tan B = y, tan C = z.
∴ A + B = (π – C)
⇒ tan (A + B) = tan(π – C) = – tan C
⇒ \(\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}\) = – tan C
⇒ tan A + tan B = – tan C + tan A tan B tan C
⇒ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C
⇒ x + y + z = XYZ.

(b) If Tan^-1x + Tan^-1y + Tan^-1z = \(\) then prove that xy + yz + zx = 1. (March 2001, June 2004)
Answer:
Let tan^-1 x = A, tan^-1 y = B, tan^-1 z = C
then A + B + C = \(\frac{\pi}{2}\)
∴ A + B + C = \(\frac{\pi}{2}\) – C
⇒ tan (A + B) = tan (\(\frac{\pi}{2}\) – C) = cot C = \(\frac{1}{\tan C}\)
∴ \(\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}\) = \(\frac{1}{\tan C}\)
⇒ tan A + tan B + tan B tan C + tan C tan A = 1
⇒ xy + yz + zx = 1

Question 4.
Solve the following equation for x:
(i) Tan^-1\(\left(\frac{x-1}{x-2}\right)\) + Tan^-1\(\left(\frac{x+1}{x+2}\right)\) = \(\frac{\pi}{4}\)
Answer:

(ii) Tan^-1\(\left(\frac{1}{2 x+1}\right)\) + Tan^-1\(\left(\frac{1}{4 x+1}\right)\) = Tan^-1\(\left(\frac{2}{x^2}\right)\)
Answer:

⇒ x²(3x + 1) = 2x(4x + 3)
⇒ x = 0 or 6x² – 14x – 12 = 0
⇒ x = 0 or 3x² – 7x – 6 = 0
⇒ x = 0 or (3x² – 9x + 2x – 6) = 0
⇒ x = 0 or 3x(x – 3) + 2(x – 3) = 0
⇒ x = 0 or (x – 3) (3x – 2) = 0
⇒ x = 0 (or) x = 3 or x = – \(\frac{2}{3}\)

(iii) 3 sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\) – 4 cos \(\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\) + 2 Tan^-1\(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\) = \(\frac{\pi}{3}\)
Answer:
Let x = tanθ then

(iv) sin^-1 (1 – x) – 2 sin^-1 x = \(\frac{\pi}{2}\)
Answer:
Let sin^-1 (1 – x) = α and sin^-1 x = β then sin α = 1 – x and sin β = x

Hence x = 0 is the only solution for the given equation.

Question 5.
Solve the following equations.
(i) Cot^-1 \(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\) = \(\frac{1}{2}\) Cot^-1\(\left(\frac{1}{x}\right)\), x > 0 and x ≠ 1.
Answer:

(ii) Tan[Cos^-1\(\left(\frac{1}{\mathbf{x}}\right)\)] = Sin[Cot^-1\(\left(\frac{1}{2}\right)\)]; x ≠ 0.
Answer:

(iii) Cos^-1 x + Sin^-1\(\left(\frac{x}{2}\right)\) = \(\frac{\pi}{6}\)
Answer:

⇒ x⁴ – 5x² + 4 = x⁴ – 2x² + 1
⇒ 3x² – 3 = 0 ⇒ 3x² = 3 ⇒ x = ± 1
When x = – 1 then cos^-1 (- 1) + sin^-1\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
= π – \(\frac{\pi}{6}\) = \(\frac{5 \pi}{6}\) ≠ \(\frac{\pi}{6}\)
∴ x = – 1 is not admissible. Hence x = 1

(iv) Cos^-1 (√3x) + Cos^-1x = \(\frac{\pi}{2}\)
Answer:
Let cos^-1 (√3x) = α ⇒ cos α = √3x
and cos^-1x = β ⇒ cos β = x
cos (α + β) = \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ √3x . x = \(\sqrt{1-3 x^2} \sqrt{1-x^2}\) = 0
⇒ √3x² = \(\sqrt{1-3 x^2} \sqrt{1-x^2}\)
⇒ 3x⁴ = (1 – 3x²) (1 – x²)
= 3x⁴ – 4x² + 1
⇒ 4x² = 1 ⇒ x = ±\(\frac{1}{2}\) ⇒ x = – \(\frac{1}{2}\) is not admissible.
∴ x = \(\frac{1}{2}\)

(v) sin[Sin^-1\(\left(\frac{1}{5}\right)\) + Cos^-1x] = 1
Answer:

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1A Study Material Chapter 6 Trigonometric Ratios upto Transformations Ex 6(b) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Trigonometric Ratios upto Transformations Solutions Exercise 6(b)

I.
Question 1.
Find the periods for the given 1 – 5 functions.
(i) cos (3x + 5) + 7
Answer:
Let f(x) = cos (3x + 5) + 7
We have period of cos x is 2π ∀ x ∈ R
∴ f (x) is periodic and period of f is = \(\frac{2 \pi}{|3|}=\frac{2 \pi}{3}\)
(or) f (x + p) = f(x)
⇒ cos (3x + 3p + 5) + 7 = cos (2π+ 3x + 5) + 7
3x + 3p + 5 = 2π + 3x + 5
⇒ 3x = 2π
⇒ x = \(\frac{2 \pi}{3}\)

Question 2.
tan x
Answer:
The function tan x is periodic with period π
∴ f(x) = tan 5x is periodic and its period is
\(\frac{\pi}{|5|}=\frac{\pi}{5}\)

Question 3.
cos\(\left(\frac{4 x+9}{5}\right)\) (Mar. ’14)
Answer:
The function f(x) = cos x ∀ x ∈ R has the period 2π
∴ f(x) = cos\(\left(\frac{4 x+9}{5}\right)\) is periodic and period of f is \(\frac{2 \pi}{\frac{4}{5}}=\frac{5 \pi}{2}\)

Question 4.
|sin x|
Answer:
The function sin x has period 2π ∀ x ∈ R
But f(x) = |sin x| is periodic and its period is π
[∵ f(x + π) = |sin(x + π)| = |-sin x| = sinx]

Question 5.
tan (x + 4x + 9x + …. + n²x) (n any positive integer) (March 2015-A.P&T.S)
Answer:
tan [1 + 2² + 3² + ……… + n²) x
= tan\(\left[\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)(2 \mathrm{n}+1)}{6}\right]\)x
Period = \(\frac{6 \pi}{n(n+1)(2 n+1)}\)

Question 6.
Find a sine function whose period is \(\frac{2}{3}\).
Answer:
\(\frac{2 \pi}{\mathrm{k}}=\frac{2}{3}\) ⇒ 3π = |k| ∴ sin kx = sin (3n x)

Question 7.
Find a cosine function whose period is 7. (March 2013)
Answer:
f(x) = cos[\(\frac{2 \pi}{7}\) .x] (\(\frac{2 \pi}{k}\) = 7 ⇒ \(\frac{2 \pi}{7}\) = k)

II. Sketch the graph of the following functions
Question 1.
tan x between 0 and \(\frac{\pi}{4}\).
Answer:

Question 2.
cos 2x in the interval [0, π]
Answer:

Question 3.
sin 2x in the interval (0, π).
Answer:

Question 4.
sin x in the interval [-π, +π]. (May 2014)
Answer:

Question 5.
cos²x in [0, π].
Answer:

Question 6.
Sketch the region enclosed by y = sin x, y = cos x and X – axis in the interval [0, π].
Answer:
y = sin x

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 1 Functions to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 1st Year Maths 1A Functions Important Questions

Very Short Answer Questions

Question 1.
If \(A=\left\{0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right\}\) surjection defined by f(x) = cos x, then find B
Solution:
f: A → B is a surjection
⇒ Codomain of B = Range f(A)
Given f(x) = cos x

Question 2.
find the domain of the real-valued function f(x)=\(\frac{1}{\log (2-x)}\)
Solution:
f(x)=\(\frac{1}{\log (2-x)}\) is defined for 2 – x > 0 and 2 – x ≠ 1
⇒ x-2<0 and 2-x
⇒ x<2 and x ≠ 1 ⇒ x ∈(-∞, 2)- {1}
∴ Domain of f = {x / x ∈ (-∞, 2)-{1}}

Question 3.
If f : A → B, g: B → C are two bijective functions, then prove that gof = A → C is also a bijective function.
Solution:
i) Given f, g are bijections, f, g are both one one and onto.
To prove that gof : A → C is one one:

(∵ f : A → B is one one, and
g : B → C are one one)
∴ gof : A → C is one one

ii) To Prove that gof = A → C is onto:
Let C∈C; since g : B → C is on to ∀ c ∈ C ∃
b E B such that g(b) = c …………………….. (1)
Also f: A → B is on to for b∈B ∃ a∈A such that f (a) = b …………………….. (2)
∴ bc = g(b) = g[f(a)]
= (gof) (a)
Hence for c ∈ C, ∃ a ∈ A such that
gof : A → C is onto
Hence from the above two results
gof : A → C is a Bijection.

Question 4.
If f : A → B is a function and lA,IB are identity functions on A, B respectively then prove that fol_A l_Bof = f
Solution:
i) To prove that fol_A = f
Since f : A → B and ‘A : A → A, we have fol_A:
A → B defined on the same domain A

ii) To prove that l_Bof = f
Since f : A → B and l_B : B → B we have
l_Bof : A → B defined In the same domain A

Question 5.
If f : A → B is a bijective function, then prove that (i) fof^-1 = I_B (ii) f^-1of = I_A
Solution:
To prove that fof^-1 = I_B
Given f: A → B is a bijection then we have
f^-1 : B → A is also a bijection

Question 6.
lf f : A → B, g : B→C are two bijective functions then prove that (gof)^-1 = f^-1 og^-1
Solution:
Given that f : A→ B and g: B → C are bijections
we have gof = A → C is a bijection.
∴ (gof)^-1 : C → A is also a bijection.
Also since f : A→B and g : B → C are bijections then f^-1: B → A and g^-1: c → B are bijections and hence f^-1og^-1; c → A is also a bijection.
(gof)^-1 and f^-1og^-1 are two functions defined or the same domain C.
let c E C and g : B → C is a bijection ∃ unique b E B. Such that g(b)=c ⇒ b=g^-1 (c)
Also b ∈ B and f: A → B is a bijection, ∃ a unique a ∈ A such that f (a) b ⇒ a = f^-1(b)

Question 7.
If f : A → B and g : B→ A are two functions such that gof = I_A and fog = I_B then g = f^-1
Solution:
i) To prove that f is one one.

So these exists a reimage g(b) A for ‘b’ Under ‘f’
∴ f is onto.
Hence ‘f’ is one one, onto and hence a bijection.
∴ f : B → A exists and is also one one onto

iii) To prove g = f^-1
Now g : B → A and f^-1: B → A
We have g and f^-1 are del med in the same domain B.
Let a ∈ A and b be the f image of ‘a’ where b∈B.

Question 8.
If f : A→ B, g : B→C and h : C→ Dare functions then ho (gof) = (hog) of
Solution :
Given f : A → B and g : B → C we have
gof : A→ C
Now gof: A → C and h: C → D we have
ho(gof) : A→ D, Also hog : B→D and f : A → B
We have (hog) of : A → D
Hence (hog) of and ho(gof) are defined in the same domain A.
Let a ∈ A then (ho(gof)] (a) = h [(gof) (a)]
= h [g [f(a)]
= (hog) [f(a)] = [(hog) of] (a)
∴ ho (gof) = (hog) of.

Question 9.
On what domain the functions f(x) = x²– 2x and g(x) = – x+6 are equal?
Solution:
f(x) = g(x)
x²– 2x = – x+6
= x²-x-6-0
= (x-3) (x+2) = 0 = x = -2,3
∴ f(x) and g(x) are equal on the domain { -2,3}

Question 10.
Find the inverse of the function f(x) = 5^x
Solution:
Let y = 5^x = f(x) then x = f^-1(y)
Also x = log₅y
∴ f¹(y) = log₅(y)
∴ f¹(y) log₅y ⇒ f^-1(x) = log₅x

Question 11.
If f : R – {o} → R is deflued by f(x) = x+\(\frac{1}{x}\)!,then prove that [f(x)]² = f(x²) + f(1)
Solution:

Question 12.
If the function of defined by

then find the values If exist of f(4); f(2.5), f(-2), f(-4), f(0), f(-7)
Solution :
i) Since f(x)=3x-2 for x>3
f(4) = 3(4) – 2 = 10
Domain of f is
(- ∞, – 3)∪[-2,2] u(3, ∞)

ii) f(2.5) does not exist since 2.5 does not belong to the domain of f.

iii) f(x) = x²– 2 for x [-2,2]
We have f(-2) = (2) -2 = 2

iv) f(x) = 2x + I for x < – 3
f( – 4)=2(- 4)+ 1= – 7

v)f(x)=x² – 2 for x∈[-2,2] and f(0) = – 2.

vi) f(x) = 2x + 1, for x < – 3
f(-7) = 2(-7)+ 1 = – 14+ 1 = – 13

Question 13.
Determine whether the function f: R → R defined by

is an injection or a surjection or a bijection?
Solution :
By definition of the function f(3) = 3
and f(1 )= 5(1) – 2 =3
∴ 1 and 3 have same f image
Hence f is not an injection.
Let y ∈ R then y>2 or y≤2
if y>2 take x = y ∈ R so that 1(x) = x = y

∴ f is a surjection.
∴ Since f is not an injection it is not a bijection.

Question 14.
Find the domain of definition of the function y(x), given by the equation 2^x +2^y = 2.
Solution :

Question 15.
If f : R→ R defined as f(x+y)=f(x)+f(y)∀x, y ∈ R and f(1) = 7, then find \(\sum_{r=1}^n f(r)\)
Solution :
Consider
f(2)=f(1+1) = f(1)+f(1)=2f(1)
f(3) = 1(2 + 1) f(2) + f(1) = 2f(1) + f(1) = 3f(1)
Sìmilarly f(r) = r f(1)

Question 16.
If \(f(x)=\frac{\cos ^2 x+\sin ^4 x}{\sin ^2 x+\cos ^4 x}, \forall x \in R\) then show that f(2012) = 1.
Solution :

Question 17.
If f : R→ R, g: R → R defined by f(x) = 4x -1 and g(x)= x²+2 then find
(i) (gof) (x)
(ii) (gof) \(\left(\frac{a+1}{4}\right)\)
(iii) (fof) (x)
(iv) go (fof) (0)
Solution :
Given f(x) = 4x – 1 and g(x) = x²+2
Where f: R → R and g: R → R then

¡) (gof)(x) = g[f(x)] = g[4x – 1]
=(4x – 1 )2+2= 16 x 2- 8x+3

iii) (fof) (x) = f [f(x)] = f[4x -1]
= 4 (4x – 1) -1 = 16x – 5

iv) [go (fof)] (0) = go [f(f(0)]
= go [f (-1)] = g[f(-1)]
= g[-5] = 25 + 2 = 27

Question 18.
If f : [0, 3] – [0, 3] is defined by

then show that f [0, 3] ⊆ [0, 3] and find fof
Solution:

Question 19.
If f, g : R→ R are defined by

then find (fog)π + (gof) (e)
Solution:
We have g(π) = 0, and f(e) = 1
∴ (fog) π = f [g(π)] = f(0) = 0
(gof)(e)=g[f(e)]2g(1) = – 1
∴ (fog)(π)+(gof)(e) = 0 – 1 = – 1

Question 20.
Let A = {1, 2,3} ,B = {a,b,c}, C = {p,q,r}.
If f : A+B, g : B → C are defined by
f= ((1, a), (2, c), (3, b))
g = ((a, q), (b, r), (c, p)) then show that f^-1og^-1 = (gof)^-1
Solution:
Given f : A → Band g: B → C we have
f^-1 {(a, 1), (c, 2), (b, 3)}
and g^-1 = {(q, a), (r, b), (p, c)}
f^-1og^-1 {(q, 1), (r, 3), (p, 2)}
gof = {(1, q), (2, p), (3, r)}
(gof)^-1 = ((q, 1), (p, 2), (r, 3))
∴ (gof)^-1= f^-1og^-1

Question 21.
If f : Q → Q defined by f(x) = 5x + 4 ∀ x∈Q show that f is a bijection and find f^-1.
Solution:
Let x₁, x₂ ∈ Q then f(x₁) = f(x₂)
⇒ 5x₁ + 4 = 5x₂ + 4
⇒ 5x₁ = 5x₂ ⇒ x₁ = x₂
∴ f is an injection.

Question 22.
Find the domains of the following real-valued functions.

(i) \(f(x)=\frac{1}{6 x-x^2-5}\)
Solution:

(ii) \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}},(a>0)\)
Solution:

(iii) \(f(x)=\sqrt{(x+2)(x-3)}\)
Solution:
\(f(x)=\sqrt{(x+2)(x-3)} \in R\)

(iv) \(\mathbf{f}(\mathbf{x})=\sqrt{(\mathbf{x}-\alpha)(\beta-\mathbf{x})}, \quad(0<\alpha<\beta)\)
Solution:

(v) \(f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{1+x}\)
Solution:

(vi) \(f(x)=\sqrt{x^2-1}+\frac{1}{\sqrt{x^2-3 x+2}}\)
Solution:

(vii) \(f(\mathbf{x})=\frac{1}{\sqrt{|\mathbf{x}|-\mathbf{x}}}\)
Solution:

(viii) \(\mathbf{f}(\mathbf{x})=\sqrt{|\mathbf{x}|-\mathbf{x}}\)
Solution:

Question 23.
If f = {(4, 5), (5, 6), (6, – 4) and g = ((4, -4), (6, 5), (8, 5)} then find
i) f+g
ii) f – g
iii) 2f + 4g
iv) f+4
v) fg
vi) \(\frac{f}{g}\)
vii) \(|\mathbf{f}|\)
viii) \(\sqrt{f}\)
ix) f²
x) f³
Solution:
Given f {(4, 5), (5, 6), (6, – 4)] and g = ((4,-4), (6, 5), (8, 5)) then domain of f = {4, 5, 6) and Range of f = {4, 6, 8)
Domain of f ± g = A B = (4, 6)
= (domain of f) ∩ (domain of g)

i) f+g={(4,5,-4)(6,-4+5))
= {(4, 1), (6, 1)}

ii) f-g= {(4,5+4),(6,-4-5)}
= {(4,9), (6,-9)}

iii) Domain of 2f = {4, 5, 6}
Domain of 4g (4, 6, 8)
Domain of 2f + 4g = (4, 6)
∴2f = {(4, 10), (5, 12), (6, -8)}
4g = {(4, – 16), (6, 20), (8, 20)}
∴2f + 4g = {(4,-6),(6,12)}

iv) Domain of f + 4 = {4,5, 6}
f + 4 = {(4, 9), (5, 10), (6, 0)}

v) Domain of fg = (domain of f) n (domain of g)
A∩B = {4, 6}
= {(4, (5) (-4), (6, (- 4), (5)}
= {(4, – 20), (6, – 20)}

ix) Domain of f² = (Domain of f(x)] (4, 5, 6)
∴ f² = ((4, 25), (5, 36), (6, 16))

x) Domain of f³ = (4, 5, 6)
∴ f³ = ((4, 125), (5, 216), (6, -64))

Question 24.
Find the domains and ranges of the following real valued functions.
(i) \(f(x)=\frac{2+x}{2-x}\)
(ii) \(f(x)=\frac{x}{1+x^2}\)
(iii)\(f(x)=\sqrt{9-x^2}\)
Solution:

(ii) \(f(x)=\frac{x}{1+x^2}\)
Solution:

(iii) \(f(x)=\sqrt{9-x^2}\)
Solution:


But f(x) posses only non negative values Range of f = [0, 3]

Question 25.
If f(x) = x² and g(x) = I x find the following functions.
i) f+g
ii) f- g
iii) fg
iv) 2f
v) f²
vi) f+3
Solution:

Question 26.
Determine whether the following functions are even or odd

(i) f(x) = a^x a ^-x + sin x
Solution :
A function f is said to be even if [(-x) = f(x) and odd If f(-x) = – f(x)
f(x) = a^x a ^-x – sinx
= (a^x a ^-x + sin x) = – f(x)
∴ f is an odd function.

(ii) \(f(x)=x\left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right)\)
Solution :
Given \(f(x)=x\left(\frac{e^x-1}{e^x+1}\right)\)

(iii) f(x) = log \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\)
Solution :

Question 27.
Find the domains of the following real-valued functions.

(i) \(f(\mathbf{x})=\frac{1}{\sqrt{[\mathbf{x}]^2-[\mathbf{x}]-2}}\)
Solution:

(ii) f(x) = log (x – [x])
Solution:
f(x) ∈ R
⇔ x – [x] >0 ⇔ x>[x]
⇔ x is not an integer.
∴ Domain of f is R – Z

(iii) \(f(x)=\sqrt{\log _{10}\left(\frac{3-x}{x}\right)}\)
Solution:

(iv) \(f(x)=\sqrt{x+2}+\frac{1}{\log _{10}(1-x)}\)
Solution:

(v) \(f(x)=\frac{\sqrt{3+x}+\sqrt{3-x}}{x}\)
Solution:

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 6 Trigonometric Ratios upto Transformations Ex 6(f) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Trigonometric Ratios upto Transformations Solutions Exercise 6(f)

Question 1.
If A, B, C are angles in a triangle, then prove that
(i) sin 2A – sin 2B + sin 2C = 4 cos A sin B cos C
Answer:
sin 2A – sin 2K + sin 2C,
Given A + B + C = 180°
= 2 cos\(\left(\frac{2 \mathrm{~A}+2 \mathrm{~B}}{2}\right)\) sin\(\left(\frac{2 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B}}{2}\right)\) + 2 sin C cos C
= 2 cos (A – B) sin (A – B) + 2 sin C cos C
= – 2 cos C sin (A – B) + 2 sin C cos C
(∵ A + B + C = 180° ⇒ cos(A + B) cos(180 – C) = – cos C and sin (A + B) = sin C)
= 2 cos C [sin C – sin (A – B)
= 2 cos C [sin(A + B) – sin(A – B)]
= 2 cos C[2 cos A sin B]
= 4 cos A sin B cos C = R. H. S

(ii) cos 2A – cos 2B + cos 2C = 1 – 4 sin A cos B sin C
Answer:
cos 2A – cos2B + cos 2C
= 2 sin\(\left(\frac{2 \mathrm{~A}+2 \mathrm{~B}}{2}\right)\) sin\(\left(\frac{2 \mathrm{~B}-2 \mathrm{~A}}{2}\right)\) + cos 2C
= 2 sin (A + B) sin (B – A) + cos 2C
= 2 sin C sin(B – A + 1 – 2 sin² C
= 1 + 2 sin C sin(B – A) – 2 sin² C
= 1 + 2sinC [sin (B – A) – sin C]
(∵ A + B + C = 180° = sin(A + B) sin C)
= 1 + 2 sin C[sin (B – A) – sin(A + B)]
= 1 – 2 sin C [sin (A – B) + sin (A + B)]
= 1 – 2 sin C[2 sin A cos B]
= 1 – 4 sin A cos B sin C = R.H.S

Question 2.
If A, B, C are angles in a triangle, then prove that
(i) sin A + sin B – sin C = 4 sin \(\frac{\mathrm{A}}{2}\) sin \(\frac{\mathrm{B}}{2}\) cos \(\frac{\mathrm{C}}{2}\)
Answer:

(ii) cos A + cos B – cos C = – 1 + 4 cos \(\frac{A}{2}\) cos \(\frac{B}{2}\) sin \(\frac{C}{2}\) (March 2006)
Answer:
LH.S = cos A + cos B – cos C

Question 3.
If A, B, C are angles in a triangle, then prove that
(i) sin²A + sin²B – sin²C = 2 sin A sin B cos C
Answer:
Given A + B+ C = 180°
We have L.H. S = sin² A + sin²B – sin² C
= sin²A+ sin (B + C) sin (B – C)
= sin² A + sin A sin (B – C)
= sin A [sin A + sin (B – C)]
= sin A[sin (B + C) + sin (B – C)]
= sin A[2 sin B cos C] = 2 sin A sin B cos C = R.H.S

(ii) cos²A + cos² B – cos² C = 1 – 2 sin A sin B cos C
Answer:
L.H.S = cos² A + cos² B – cos² C
= cos² A + 1 – sin² B – cos² C
(∵ A + B + C = 180° = cos (A + B) = – cos C)
= 1 – cos² C + cos² A – sin² B
= 1 -. cos² C + cos (A + B) cos (A – B)
= 1 – cos² C – cos C cos (A – B)
= 1 – cos C [ cos C + cos (A – B)]
= 1 – cos C ( cos (A – B) – cos (A + B)]
= 1 – cos C[2 sin A sin B]
= 1 – 2 sin A sin B cos C = R.H.S

Question 4.
If A + B + C = π, then prove that
(i) cos² \(\frac{A}{2}\) + cos² \(\frac{B}{2}\) + cos² \(\frac{C}{2}\) = 2(1 + sin \(\frac{A}{2}\) + sin \(\frac{B}{2}\) sin \(\frac{C}{2}\) ) (Mar. 2012) (March 2015-A.P&T.S)
Answer:
Given A + B + C = π
We have B + C = π – A and

(ii) cos² \(\frac{A}{2}\) + cos² \(\frac{B}{2}\) +- cos² \(\frac{C}{2}\) = 2 cos \(\frac{A}{2}\) cos \(\frac{B}{2}\) cos \(\frac{C}{2}\) ) (June 2010)
Answer:

Question 5.
In triangle ABC, prove that
(i) cos \(\frac{A}{2}\) + cos \(\frac{B}{2}\) + cos \(\frac{C}{2}\) = 4 cos\(\left(\frac{\pi-A}{4}\right)\) cos\(\left(\frac{\pi-B}{4}\right)\) cos\(\left(\frac{\pi-C}{4}\right)\) (Mar 2010, Jun 2007)
Answer:
In ∆ABC, A + B + C = 180°

(ii) cos \(\frac{A}{2}\) + cos \(\frac{B}{2}\) – cos \(\frac{C}{2}\) = 4 cos\(\left(\frac{\pi+\mathrm{A}}{4}\right)\) cos\(\left(\frac{\pi+\mathrm{B}}{4}\right)\) cos\(\left(\frac{\pi-C}{4}\right)\) (Mar 2005)
Answer:
In ∆ABC, A + B + C = 180°

(iii) sin\(\frac{A}{2}\) + sin\(\frac{B}{2}\) – sin\(\frac{C}{2}\) = – 1 + 4 cos\(\left(\frac{\pi+A}{4}\right)\) cos\(\left(\frac{\pi+B}{4}\right)\) cos\(\left(\frac{\pi-C}{4}\right)\)
Answer:
In ∆ABC, A + B + C = 180° ……………………. (1)

Question 6.
If A + B + C = \(\frac{\pi}{2}\), then prove that cos 2A + cos 2B + cos 2C = 1 + 4 sin A sin B sin C
Answer:
LH.S = cos 2A + cos 2B cos 2C
= 2 cos \(\left(\frac{2 \mathrm{~A}+2 \mathrm{~B}}{2}\right)\) cos \(\left(\frac{2 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B}}{2}\right)\) + cos 2C
= 2 cos (A + B) cos (A – B) + 1 – 2 sin² C
= 2 sin C cos (A – B) + 1 – 2 sin 2C
= 1 + 2 sin C [cos (A – B) – sin C]
(∵ A + B = \(\frac{\pi}{2}\) – C ⇒ cos (A + B) = cos (\(\frac{\pi}{2}\) – C) = sin C)
= 1 + 2 sin C[cos (A – B) – sin C]
= 1 + 2 sin C[cos (A – B) – cos(A + B)]
= 1 + 4 sin A sin B sin C = RHS.

Question 7.
If A + B + C = \(\frac{3 \pi}{2}\), then prove that
(i) cos² A + cos²B – cos² C = – 3 cos A cos B sin C
Answer:
L.H.S = cos²A + cos² B – cos² C
= cos² A + 1 – sin² B – cos² C
= (cos² A – sin² B) + (1 – cos²C)
= (cos² A – sin² B) + sin² C
= cos (A + B) cos (A – B) + sin²C
= – sin C cos (A – B) + sin² C
= sin C [sin C – cos (A – B)]
= sin C (- cos (A + B) – cos (A – B)]
= – sin C [cos (A + B) + cos (A – B)]
= – 2 cos A cos B sin C
(Given A + B + C = \(\frac{3 \pi}{2}\)
cos (A + B) = cos (270 – c) = – sin C)

(ii) sin 2A + sin 2B – sin 2C = – 4 sin A sin B cos C
Answer:
A + B + C = \(\frac{3 \pi}{2}\)
LH.S = sin 2A + sin 2B – sin 2C
= 2 sin \(\left(\frac{2 \mathrm{~A}+2 \mathrm{~B}}{2}\right)\) cos \(\left(\frac{2 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B}}{2}\right)\) – sin 2C
= 2 sin (A + B) cos (A – B) – 2 sin C cos C
= – 2 cos C cos (A – B) – 2 sin C cos C
= – 2 cos C (cos (A – B) + sin C]
= – 2 cos C[cos (A – B) – cos(A + B)]
= – 2 cos C [ 2 sin A sin B]
= – 4 sin A sin B cos C R.H.S
(∵ A + B = 270 – C
⇒ cos(A + B) = cos(270 – C) = – sin C)

Question 8.
If A + B + C = 0 then prove that
(i) sin 2A + sin 2B – sin 2C = – 4 sin A sin B sin C
Answer:
Given A + B + C = O
∴ cos(B + C) = cos A and sin (B + C) = – sin A
L.H.S = sin 2A + sin 2B + sin 2C
= 2 sin (A+B) cos (A – B) + 2 sin C cos C
= – 2 sin C cos (A – B) + 2 sin C cosC
= 2 sin C [cos C – cos(A – B)]
= 2 sin C [cos (A + B) – cos(A – B)]
= – 4 sin C sin A sin B
= R.H.S

(ii) sin A + sin B – sin C = – 4 cos \(\frac{A}{2}\) cos \(\frac{B}{2}\) cos \(\frac{C}{2}\)
Answer:
sin A + sin B – sin C

Question 9.
If A + B + C + D = 2π, then prove that
(i) sin A – sin B + sin C – sin D
= – 4 cos \(\left(\frac{A+B}{2}\right)\) sin \(\left(\frac{A+C}{2}\right)\) cos \(\left(\frac{A+D}{2}\right)\)
Answer:
sin A – sin B + sin C – sin D

(ii) cos 2A + cos 2B + cos 2C + cos 2D = 4 cos (A + B) cos (A + C) cos (A +D)
Answer:
A + B + C + D = 360°
⇒ C + D = 360° – (A + B)
L.H.S = 2 cos (A + B) cos (A – B) + 2 cos (C + D) cos (C – D)
= 2 cos (A + B) cos (A – B) + 2 cos [360 – (A + B)] cos (C – D)
= 2 cos (A + B) cos (A – B) + 2 cos (A + B) cos (C – D)
= 2 cos (A + B) [cos (A – B) + cos (C – D)]
= 2 cos (A + B)

= 4 cos (A + B) cos [- 180 + (A + C)] cos [- 180 + (A + D)]
= 4 cos (A + B) cos (A + C) cos (A + D)

Question 10.
If A + B + C = 2S, then prove that
(i) sin (S – A) + sin (S – B) + sin C = 4 cos \(\left(\frac{S-A}{2}\right)\) cos \(\left(\frac{S-B}{2}\right)\) sin \(\frac{C}{2}\) (Jun 2008)
Answer:
Given A + B + C = 2S
LHS = sin(s – A) + sin (s – B) + sin C

(ii) cos (s – A) + cos (S – B) + cos C = – 1 + 4 cos \(\left(\frac{S-A}{2}\right)\) cos \(\left(\frac{S-B}{2}\right)\) cos \(\frac{C}{2}\)
Answer:
Given A + B + C = 2S
L.H.S

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year English Study Material Revision Test-IV Exercise Questions and Answers.

TS Inter 1st Year English Study Material Revision Test-IV

Time : 1 1/2 Hrs.
Marks : 50

Section – A

Question 1.
Annotate ANY ONE of the following in about 100 words. [1 × 4 = 4]

a) A voice shouting ‘Relax’ penetrated into me above the noise of the crowd.
Answer:
Introduction :
This sentence is taken from Roger Bannister’s inspirational essay The First Four Minutes’. It is his personal experience.

Context & Explanation:
Bannister looked at the flag as he lined up for the start. The flag swayed gently. The race started. He understood that he was going very slow. He himself shouted ‘Faster’. His worry increased when he heard the first lap time 57.5 seconds. In that excitement his knowledge of pace had deserted him. At one and a half laps he was still worrying about the pace. Then a voice shouting “Relax” penetrated into him above the noise of the crowd. He followed it and started relaxing. There was no pain and stress. Later, he came to know that it was his coach ‘Stampfl’s advice.

Critical Comment :
Dr. Roger Bannister narrates his glorious moments and second to second experience while running for the goal of one mile race.

b) The physical overdraft came only from greater will power.
Answer:
Introduction :
This sentence is taken from Roger Bannister’s inspirational essay The First Four Minutes’. It is his personal experience.

Context & Explanation :
Here, he describes the power of will power. Now, he had turned the last bend. There were only fifty yards more. His body exhausted all its energy. But, it went on running just the same. That energy came from greater will power. At that crucial time, determination, dedication and will-power lead his legs ahead. Thus, with all his energy and will power he could succeed.

Critical Comment :
He narrates his glorious moments and second to second experience while running for completing a one mile race.

Question 2.
Annotate ANY ONE of the following in about 100 words. [1 × 4 = 4]

a) It is not growing like a tree In bulk, doth make Man better be;
Answer:
Introduction :
These are the opening lines of the impressive poem, The Noble Nature’ written by Ben Jonson. He is regarded as the second most popular of English dramatists, after Shakespeare.

Context & Explanation :
The poet employs examples from flora to drive home his point. He straight away introduces the main idea how to become a better man. But, mere bulk doesn’t make one great. Smartness, even in small measure, impresses and impacts everyone. Neither long life nor large size can help one attain nobility. Quality counts more than quantity. Motherwords, matter matters, not the magnitude!. To explain this, the poet compares man to both an Oak tree and a Lily.

Critical Comment :
The poem seeks to explain what makes Man noble in his life.

b) It was the plant and flower of Light.
Answer:
Introduction :
This line is taken from the poem, The Noble Nature penned by Ben Jonson. He is regarded as one of the major dramatists and poets of the Seventeenth Century.

Context & Explanation :
The poem says leading a meaningful life even for a short while is worthier than leading a long life with neither charm nor value. The core meaning of the poem centres round this single idea. The lily plant has a short life. It blooms in May and is very beautiful. Although the flower has the life span of a day and falls and dies by nightfall, it spreads beauty and delight in that short period. The poet feels, that a meaningful life like lily flower though short is what makes a man noble. Even though a man’s life is short, it can be a perfect life.

Critical Comment :
The poet advises one to lead a meaningful life-of light-like that of a lily.

Question 3.
Answer ANY ONE of the following questions in about 100 words. [1 × 4 = 4]

a) How did Roger Bannister feel in the first lap of the race ?
Answer:
Bannister narrates his eventual victory of the race in the essay. During the first lap of the rase, Bannister looked at the flag as he lined up for the start. The flag fluttered gently as the sails moved gently in Bernard Shaw’s Saint Joan. He felt complete silence on the ground.

When the gun fired for the second time, Brasher went into the lead and he slipped in behind him. It seemed his legs lost control of himself. He understood that he was going very slow. He himself shouted ‘Faster’. His worry increased when he heard the first lap time 57.5 seconds. In that excitement his knowledge of pace had deserted him. However, he could succeed.

b) What gave Dr. Bannister strength in the final spurt ?
Answer:
Dr. Roger Bannister was the first man to run the race of one mile in 3 minutes 59.4 seconds. He narrates his eventual victory of race in this essay. In the final spurt, he got the strength from his will power. He had turned the last bend. There was only 50 yards more to be run. His body tired and consumed all his energy. But, it went on running. That strength came from great will power. At that juncture, determination, dedication and strong will power lead him ahead. Therefore, he could succeed with his will power.

Question 4.
Answer ANY ONE of the following questions in about 100 words. [1 × 4 = 4]

a) Bulk does not make Man better be. How does the oak support this stand ?
Answer:
Ben Jonson’s poem, The Noble Nature is one of his most popular lyrics. This short poem discusses a noble thought in simple style. That profound message is expressed clearly with the help of example and images from nature. It highlights the point that equality counts more than quantity.

Growing physically like a bulky tree or living long like a sturdy Oak does not make a man noble being. The huge, strong a and aged Oak will soon become a lifelesss, ‘dry’ and withered piece of log. So too will be the fate of a man who is only blessed with long life and physical and material well being. Therefore, mere bulk doesn’t make Man better be. Matter matters, not the magnitude.

b) Explain with the example of the lily that size matters not but beauty counts a lot.
Answer:
Ben Jonson, in the poem, The Noble Nature talks about what makes a man noble. He compares man to a sturdy Oak and to a delicate Lily in order to explain this point. The Lily plant has a short life. It blooms in May and is very beautiful.

Although, the flower has the span of a day and dies by nightfall it spreads beauty and delight in that short period the poet feels that a meaningful life like the Lily flower, though short, is what makes a man noble and even though a man’s life is short it can be perfect life. People will continue to talk good about him even after he is gone. This is what actually makes a man noble, thus, beauty counts a lot.

Question 5.
Answer ANY ONE of the following questions in about 100 words. [1 × 4 = 4]

a) Is the title, Sanghala Panthulu, apt to the story ? Explain.
Answer:
Suravaram Pratapa Reddy’s thought provoking Telugu story, SANG HALA PANTHUW is a social and historical narration. It was rendered into English by Elanaaga (Dr. N. Surendra). The story pictures the struggles and sufferings of innocent and ignorant villagers.

Ramasagaram village is just a representative of any village in Nizam’s rule. Timidity and lack of unity and awareness among the masses helped a handful of people to exploit the poor. A well-informed and good-intentioned gentleman (Panthulu) came to their rescue. He explained to the villagers about their rights. He helped them pick up courage and form into associations (SANGHALU). That ultimately solved their problems. Hence, the title perfectly suits the story.

b) Describe the result of the declaration by the Mohathemeem.
Answer:
Suravaram’s social story, “Sanghala Panthulu”, presents the pathetic plight of Ramasagaram villagers. Elanaaga translated this moving Telugu story into English. The police went on exploiting the innocent villagers ruthlessly. Sandhala Panthulu came to the rescue of the poor. The police were angry with Panthulu.

When they tried to arrest Panthulu, a good number of youth revolted against the police. The police complained against them. The Mohathemeem came to enquire into the incident. He found the police were guilty. He declared the dismissal, suspension and scaling down of different police personnel. The villagers felt happy. Their joy knew no bounds. Feasts followed. Justice prevailed.

Question 6.
Read the following passage carefully and answer ANY FOUR questions given below in a word or a sentence each. [4 × 1 = 4]

The news about the arrival of the elderly man from city had spread in the village by morning. The villagers said he was a tall stout man. He helped form associations in villages. He sported a kerchief like lawyers do. He brought a leather suitcase i which was full of books. He knew all the bigwigs in the city. He would do away with all our troubles.

Questions:
i) Name the story from which this passage is taken.
Answer:
Sanghala Panthulu

ii) Who does the phrase the elderly man refer to ?
Answer:
Sanghala Panthulu

iii) How would the elderly man help the villagers ?
Answer:
He would help the villagers form associations and solve their problems.

iv) What did he bring with him ?
Answer:
a leather suitcase, full of books

v) The villagers talked about the elderly man ……….. (fill in).
1) adversely
2) appreciatively
3) accusingly
4) arrogantly
Answer:
(2) appreciatively

vi) Find the Phrasal Verb used in the passage that means put an end to; eliminate.
Answer:
do(es) away with

vii) The word sported as used in this passage means ……….. (fill in)
1) game
2) athletics
3) wore
4) played
Answer:
(3) wore

viii) Find in the passage the antonym of lean.
Answer:
stout

Question 7.
Read the following passage carefully and answer ANY FOUR questions given below in a word or a sentence each. [4 × 1 = 4]

Maitri – Indeed a Friend in Need
The world is in a word, says Wordsmith. Words packed with positive vibrations can light up the dark world of narrowminded, selfish and loveless millions, says Ms. Jalandhara, a writer, guide, mentor and most importantly, healer ! An incarnation of simplicity and modesty, Ms Jalandhara was bom into the family of Gali Bala Sundara Rao (GBS), a godlike doctor and multifaceted personality. And she was married to Mr. Chandra Mohan, a versatile, multi-lingual cine star.

Yet, she shines like a star, uneclipsed between the two mighty personalities. With innumerable creative works – stories, novels etc., – to her credit, she seeks to promote peace in minds and homes with a missionary zeal. Unconditional and universal love is her panacea. Cite your problems to Maitri, a question-answer feature both online and offline, and prompt comes the solution in the form of thought-provoking counselling. Homes flourishing with smiles following her advice are innumerable all over the globe ! The true symbol of empowering woman !

Questions:
i) How can the dark world of millions be filled up with light ?
Answer:
Words packed with positive vibrations can light up the dark world of millions.

ii) What are the two traits highlighted here in the lead character’s personality ?
Answer:
simplicity and modesty

iii) Name the two prominent personalities mentioned here associated with her.
Answer:
Gali Bala Sundara Rao, her father and Mr. Chandra Mohan, her husband.

iv) What is her mission ?
Answer:
to promote peace in minds and homes

v) How does she seek to promote peace in minds and homes ?
Answer:
through her thought provoking counselling

vi) What is her panacea ?
Answer:
unconditional and universal love

vii) What does the central character stand for as a symbol ?
Answer:
as a symbol of empowering woman

viii) Write the word used in the passage to mean cure-for-all.
Answer:
panacea

Section – B

Question 8.
Match ANY EIGHT of the following words in Column-A with their meanings in Column-B. [8 × 1/2 = 4]
Questions:

Answer:
i) – f
ii) – j
iii) – h
iv) – b
y) – j
vi) – d
vii) – a
viii) – e
ix) – c
x) – g

Question 9.
Identify the parts of speech of ANY EIGHT of the following underlined words. [8 × 1/2 = 4]

It fluttered (1) more gently (2) now, and (3) the scene (4) from (5) Shaw’s Saint Joan flashed through (6) my mind, how she, at (7) her desperate (8) moment, waited (9) for the wind (10) to change.
Answer:
1) fluttered – verb
2) gently – adverb
3) and – conjunction
4) scene – noun
5) from – preposition
6) through – preposition
7) at – preposition
8) desperate – adjective
9) waited – verb
10) wind – noun

Question 10.
Fill ANY EIGHT of the following blanks with a, an or the. [8 × 1/2 = 4]

i) There was complete silence on _________ (1) ground ___________ (2) false start …… I felt angry that precious moments during __________ (3) lull in _________ (4) wind might be slipping by.
ii) Birbal told _________ (5) interesting story.
iii) Amitabh Bachan is __________ (6) famous actor.
iv) Today there is __________ (7) lot of progress in ___________ (8) field of communication.
v) I live in ________ (9) apartment. It is _________ (10) new one.
Answer:
i) 1 – the
2 – a
3 – the
4 – the

ii) 5 – an
iii) 6 – a

iv) 7 – a
8 – the

v) 9 – an
10 – a

Question 11.
Fill in ANY SIX of the following blanks with suitable prepositions. [6 × 1/2 = 3]

i) I felt suddenly and gloriously free __________ (1) the burden ________ (2) athletic ambition that I had been carrying _________ (3) years. No words could be invented _________ (4) such supreme happiness, eclipsing all other feelings.
ii) Chataway went ________ (5) the lead.
iii) There is no point ________ (6) the argument.
iv) I have not slept properly _________ (7) two days.
v) The shop is open _________ (8) 10 am ________ (9) 8 pm.
vi) I have been reading this book ________ (10) 2014.
Answer:
i) 1) of
2) of
3) for
4) for

ii) 5) into
iii) 6) in
iv) 7) for

v) 8) from
9) to

vi) 10) since

Question 12.
Fill in ANY THREE of the following blanks with suitable forms of the verbs given in brackets. [3 × 1 = 3]

1. This ________ (be) the moment when I _________ (make) my decision.
2. I _________ (have) a moment of mixed joy and anguish. When my mind ________ (take) over.
3. My sister ________ (just, receive) a call from her office.

Answer:

1. was, made
2. had, took
3. has just received

Question 13.
Rewrite ANY FOUR of the following sentences as directed. [4 × 1 = 4]

i) Brasher did not change the pace.
(Change the Voice.)
Answer:
The pace was not changed by Brasher.

ii) Someone already cast my vote.
(Change the Voice.)
Answer:
My vote was already cast. (by someone)

iii) Mother said to me, “Come home urgently.”
(Change to Indirect speech.)
Answer:
Mother has asked me to come home urgently.

iv) She said to me, “I will go to Warangal tomorrow.”
(Change to Indirect speech.)
Answer:
She told me that she would go to Warangal the following day.

v) He is more intelligent than I.
(Change to Positive degree.)
Answer:
I am not as intelligent as he.

vi) The noise in my ears was that of the faithful Oxford crowd.
(Add a Question Tag.)
Answer:
wasn’t it?

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year English Study Material Revision Test-III Exercise Questions and Answers.

TS Inter 1st Year English Study Material Revision Test-III

Time: 1 1/2 Hrs.
Marks : 50

Section – A

Question 1.
Annotate ANY ONE of the following in about 100 words. [1 × 4 = 4]

a) Though the trees grown by her are worth several crores of rupees today, her life has no respite from poverty.
Answer:
Introduction :
These touching words are extracted from the internet-based inspired write up, The Green Champion – Thimmakka. It shows the magnificent achievement of an ordinary woman with an extraordinary commitment to conserve nature.

Context & Explanation :
Born into a poor family. Thimmakka did not go to school. She worked as a labourer. As she grew up, she was married to Chikkayya, a labourer. When they came to know that they could not beget children, they were not disappointed. They came up with the idea of planting saplings and nurturing them as their own children. It became their life mission. But, she suffers from poverty. Her sole source of income is the pension of Rs. 500/- given by the government. Thus, she is an example of simple living and high thinking.

Critical Comment :
These words describe her pains and problems.

b) Her intentions are evidently good as she has planted trees rich in biodiversity.
Answer:
Introduction :
These are the concluding words taken from the internet – based article, The Green Champion-Thimmakka. It describes her magnificent achievements in preserving the environment.

Context & Explanation :
Thimmakka and her husband started planting saplings and nurturing them as their own children. Even after the death of her husband, she pursuded her mission with the same determination and courage. She is 100 plus now and still cherishes the dream of planting more trees. She continues her fight against deforestation. Her contributions are truly remarkable. She proves that age is not a big problem if we aspire to do anything. So, she is a true inspiration to us to have good intentions towards society. Please plant a sapling and make the world a better place for our children. Even thousand mile journey begins with a single step.

Critical Comment :
The words describe her passion for planting trees and expanding her mission.

Question 2.
Annotate ANY ONE of the following in about 100 words. [1 × 4 = 4]

a) Have you sighted anyone With shadows in his dusky eyes ?
Answer:
Introduction :
These are the opening lines of the poem, ‘The Beggar” written by Dr. Ammangi Venugopal, a popular Telugu poet. He has written in Telugu as Bichchagadu. It is translated into English by Elanaaga, (Dr. Surendra).

Context & Explanation :
The poem projects the intense grief and suffering of the farmers. A farmer today is misery incarnate. His eyes speak volumes about farmers’ sorrow. The poet minces no words in highlighting their woes. He opens the poem with a question. It identifies farmers with dark eyes that are filled with the shadows of their struggles. The reader, addressed as ‘you’, is forced to understand and sympathise with farmers. Therefore the lines play an important role in initiating the thought process effectively.

Critical Comment :
The poet portrays the pathetic plight of farmers. He is questioning the reader to make him to think about the farmers.

b) His stomach is full of infinite void
Answer:
Introduction :
This heart touching line is taken from the thought provoking poem, The Beggar’, penned by Dr. Ammangi Venugopal, a famous Telugu poet. His original Telugu poem, Bichchagadu is rendered into English by Elanaaga (Dr. Surendra).

Context & Explanation :
The poet tries to draw the attention of readers to the gravity of farmers problems. it is because farmers work hard. They help others. They are the food providers to all yet the irony is that they struggle to survive. They starve. They don’t find food for themselves, even a morsel ! Their stomachs get no food. They suffer from empty stomachs. Their emptiness is infinite. Thus, the poet highlights farmers’ woes and worries in a touching way. He also compels the readers to ponder over possible solutions.

Critical Comment:
Here the poet depicts the pathetic condition of farmers in a touching way.

Question 3.
Answer ANY ONE of the following questions in about 100 words. [1 × 4 = 4]

a) Why did Thimmakka and her husband decide to plant trees ? Describe how hard they tried to succeed in their mission.
Answer:
This inspiring essay describes Thimmakka’s undying passion for planting trees even at an advanced age. It also insists the need to follow her selfless service in preserving and protecting nature.

Thimmakka was a poor and uneducated woman. She was married to Chikkayya. The couple didn’t get children. However, her husband was very supportive of her. WIth nothing in life to be cherish, Thimmakka thought of ending her life. Then, wisdom dawned. They decided to plant trees and nurture them as their children. They planted 10 banyan s. lings in the first year soon it became their life mission. Year after year the number increased. They not only planted them but tended them to maturity. They also fenced and guarded them. Now there exist around 8000 other trees planted by them.

b) Why was Thimmakka named Saalumarada ?
Answer:
The present internet-based essay, the Green Champion – Thimmakka describes the magnificent achievements of an ordinary woman with an excellent commitment to conserve nature. Thimmakka, a woman mre than 100 years in age, from Karnataka has been launded globally as the green champion for her planting mission. Thimmakka along with her husband planted over 8000 other trees.

Even after her husband’s death, she continued her mission of planting frees. Her outstanding work earned her the name Saalumarada, which means a row of trees in Kannada. Thimakka is popular as Saalumarada Thimmakka due to her work. She continues her fight against deforestation. Her contributions are truly remarkable. With her achievements, she is called Saalumarada Thimmakka.

Question 4.
Answer ANY ONE of the following questions in about 100 words. [1 × 4 = 4]

a) List the abilities a farmer is endowed with, according to the poem.
Answer:
Dr. Ammangi Venugopal is a creative genius. He is well aware of the abilities of a farmer. In his poem, The Beggar, the poet minces no words in depicting farmers’ abilities. They are the food providers to all. Their eyes are dark with shadows of their struggles and sufferings. Their backs are bent with burden. Their hands are soiled and severed. Their feet bleed. Yet, their ability to produce food and satisfy others’ hunger remains fully active. They work hard and help others. They are capable of feeding millions. They reduce and satisfy the hunger of even skies. Thus, the poem is endowed with the abilities of a farmer.

b) The poet addresses the reader as “you” and talks about the farmer as “my farmer”. Explain the. significance in a paragraph.
Answer:
Dr. Ammangi Venugopal has written the poem in Telugu as Bichchagadu. It is translated into English as the ‘The Beggar’ by Elanaga, (Dr. Surendra) the poem portrays the pitiable condition of the farmers. In the last stanza the poet describes the farmer as a beggar.

It is due to his condition at present society. The farmers are suffering from lack of food. They become beggars. They are at the thresholds for food. So, the poet tells the reader that the beggar at the threshold of the reader is none other than the farmer. The reader is addressed as ‘you’ to understand and sympathise with farmers. The poet tells about the farmer as ‘My farmer’. The reader is moved to ponder over the problem and find away out.

Question 5.
Answer ANY ONE of the following questions in about 100 words. [1 × 4 = 4]

a) Is the title, The Short-sighted Brothers, apt to the story ? Explain.
Answer:
Yes. The name “The Short-sighted Brothers” and the content of the story look like made-for-each-other things. The title matches perfectly well with the theme. Three brothers are the lead characters. All the three brothers were very short-sighted. It was a physical disability. And they all suffered from the related mental disability too. They failed to see the possible result of their crooked plans. They were selfish. They were greedy. They tried to cheat one another. Finally their follies were exposed. As the entire story deals with their physical and mental short sightedness, the title is appropriate to this ancient chinese folk tale.

b) How did the three brothers try to outsmart one another ?
Answer:
‘The Short-sighted Brothers” is a famous Chiness folk story. It exposes the folly of the three brothers. All the three brothers were very short-sighted. Even their personality suffered from the same flaw. They tried to deceive themselves and one another. The youngest brother one day proposed to take charge of their family finances.

He cited his eldest brother’s short sightedness to support his claim. The second brother too joined the race. The eldest brother proposed a test to prove the power of their sight. They should read the inscription on the newly installed tablet on the door way of the nearest monastery. To outsmart one another, each met the monk secretly and learnt about the writing on it.

Question 6.
Read the following passage carefully and answer ANY FOUR questions given below in a word or a sentence each. [4 × 1 = 4]

“I have my doubts about that,” said the eldest brother. “Let’s settle this once and for all. I’ve heard the monastery is putting up a tablet inscribed with a saying, above the main doorway, tonight. Let’s go there tomorrow and test our vision. Whoever can read the inscription with the least strain will get charge of our money. Agreed ?

Questions:
i) Name the story from which this passage is taken.
Answer:
The Short-sighted Brothers.

ii) Who does “I” in the paragraph refer to ?
Answer:
“I” in the paragraph refers to the eldest brother.

iii) ’What did the speaker want to settle once and for all ?
Answer:
as to who among the three brothers had a better sight.

iv) What did the speaker come to know of ?
Answer:
of the monastery putting up a tablet inscribed with a saying, above the main doorway, that night.

v) Where should they go to get their vision tested, the following day ?
Answer:
to the monastery

vi) Who would get the charge of their money, according to the proposal ?
Answer:
the one who could read the inscription with the least strain

vii) When was the monastery putting up a tablet above their doorway ?
Answer:
on that night (when this discussion in the story was going on)

viii) Write the word that is used in the passage that means a place where monks live.
Answer:
monastery

Question 7.
Read the following passage carefully and answer ANY FOUR questions given below in a word or a sentence each. [4 × 1 = 4]

Where Shadow Stays Stable
Shadows keep changing positions and sizes, if the distance between the source of light and the object changes ! But at Chaya Someswara Temple at Panagal, near Nalgonda, the shadow (Chaya, hence the name of the temple) of pillars stays constant on the lingam at any time, despite changes in the above said distance. The pillars of ardhamandapa and open spaces near the central shrine were designed and placed in such a way by the then architects as to produce this effect of stable shadow on the lingam all through the day. A miracle one must see to believe ! Believed to have been built in the 11 century AD, the construction credits go to Kanduru Chodas. This thrikutalayam has three shrines dedicated to Lord Shiva, Vishnu and Surya. A common hall, mandapam, keeps these three shrines as one complex. Many intricately carved pillars around this mandapam depict scenes from the Ramayana, the Mahabharatha and the Pumas !

Questions:
i) Describe the nature of shadows.
Answer:
Shadows keep changing positions and sizes if the distance between the source of light and the object changes.

ii) Give an example of exception to this nature of shadows.
Answer:
the shadow of pillars at Chaya Someswara Temple at Panagal, near Nalgonda.

iii) Why is the temple called Chaya Someswara Temple ?
Answer:
‘Chaya’ in Telugu, means shadow. As he shadow here stays stable all through the day on the Lingam. the temple is called Chaya Someswara Temple.

iv) What makes the te.mple also known as thrikutalayam ?
Answer:
as there are three shrines

v) Who is believed to have built this unique temple ?
Answer:
Kanduru Chodas

vi) Where does the shadow fall all through the day ?
Answer:
on the Linga

vii) Is it the shadow of a single object ? Support your answer with a sentence from the passage.
Answer:
No. “The pillars of … produce this effect of stable shadow.”

viii) What do the pillars depict ?
Answer:
scenes from the Ramayana, the Mahabharatha and the Puranas

Section – B

Question 8.
Match ANY SIX of the following words in Column-A with their meanings in Column- B. [6 × 1/2 = 3]
Questions :

Answer:
i) – h
ii) – g
iii) – j
iv) – i
v) – a
vi) – c
vii) – e
viii) – b
ix) – f
x) – d

Question 9.
Identify the parts of speech of ANY SIX of the following underlined words. [6 × 1/2 = 3]

In spite of (1) receiving hundreds (2) of (3) awards, Saalumarada Thimmakka (4) remains (5) an innocent and (6) a modest (7) person (8).
Answer:
1) in spite of – preposition
2) hundreds – noun
3) of – preposition
4) Thimmakka – noun
5) remains – verb
6) and – conjunction
7) modest – adjective
8) person – noun

Question 10.
Fill ANY EIGHT of the following blanks with a, an or the. [8 × 1/2 = 4]

i) Thimmakka is __________ (1) individual who has brought worldwide recognition to _________ (2) state of Karnataka through her incredible and massive environmental services.
ii) Unfortunately, she is dependent on __________ (3) pension of Rs. 500/- given by ________ (4) government, which is __________ (5) sole source of her income.
iii) Would you like ________ (6) apricot ?
iv) _________ (7) Ramayana is ________ (8) epic.
v) Sarojini Naidu was not only _________ (9) poet but also ________ (10) freedom fighter.
Answer:
i) 1 – an
2 – the

ii) 3 – a
4 – the
5 – the

iii) 6 – an

iv) 7 – The
8 – an

v) 9 – a
10 – a

Question 11.
Fill in ANY SIX of the following blanks with suitable prepositions. [6 × 1/2 = 3]

i) The mission _________ (1) preserving the environment is taken forward ________ (2) Thimmakka’s foster son, Sri Umesh. B.N. Umesh has been planting and tending to trees ________ (3) the roads, schools, public places, and _________ (4) the mountain and hilltops.
ii) ________ (5) the time I reached my office, I was late _________ (6) a few minutes.
iii) He prefers coffee _________ (7) tea.
iv) He fell ________ (8) a bicycle.
v) He is good _________ (9) English, but weak _________ (10) Mathematics.
Answer:
i) 1) of
2) by
3) along
4) on

ii) 5) By
6) by

iii) 7) to

iv) 8) off

v) 9) at
10) in

Question 12.
Fill in ANY THREE of the following blanks with suitable forms of the verbs given in brackets. [3 × 1 = 3]
i) Both Thimmakka and her husband _________ (start) with 10 banyan saplings on either side of the road along a stretch of 4 km in the first year.
ii) Thimmakka and her husband _________ (take) care of the plants just like their children. Every year, the count of these trees (keep) increasing.
iii) Look ! The bird _________ (fly).
iv) Suresh ran to the station but the train _________ (leave).
v) Let us walk fast. We must reach home before it ________ (get) dark.
Answer:
i) started
ii) took, kept
iii) is flying
iv) had left
v) gets

Question 13.
Supply the missing letters to ANY SIX of the following words. [6 × 1/2 = 3]
i) hi _ _ top
ii) ba _ _ an
iii) r _ _ time
iv) su _ _ icient
v) m _ _ ntain
vi) mi _ _ ion
vii) in _ _ edible
viii) mons _ _ n
ix) ca _ _ y
x) reco _ _ ition
Answer:
i) hilltop
ii) banyan
iii) routine
iv) sufficient
v) mountain
vi) mission
vii) incrdible
viii) monsoon
ix) carry
x) recognition

Question 14.
Identify the silent consonant letters in ANY SIX of the following words. [6 × 1/2 = 3]

i) foreign
ii) what
iii) psalm
iv) high
v) would
vi) often
vii) depot
viii) pneumonia
ix) island
x) knot
Answer:
i) foreign – g
ii) what – h
iii) psalm – p, l
iv) high – g
v) would – l
vi) often – t
vii) depot – t
viii) pneumonia – p
ix) island – s
x) knot – k

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year English Study Material Revision Test-II Exercise Questions and Answers.

TS Inter 1st Year English Study Material Revision Test-II

Time: 1 1/2 Hrs.
Marks: 50

Section – A

Question 1.
Annotate ANY ONE of the following in about 100 words. [1 × 4 = 4]

a) Yes, my first rank slipped to the second.
Answer:
Introduction:
This sentence is taken from the prose piece, Father, Dear Father written by Raj Kinger. Actually this is an article published in the English daily, The Hindu.

Context & Explanation: Rahul is the class topper in his school. His first rank slips to the second. Admitting the guilt, he writes a letter to his father. His father’s advice to think before studying, before answering the papers makes him think and think. The word think makes him reflect on several issues including many pitfalls in our education system. Further, he says that the sense of life is not taught to him. He feels that the education should give a feel of life to him and should be useful in life.

Critical Comment:
Rahul, the class topper in his school, presents his anguish over the present education system through a letter to his father in this context.

b) And she was cross. She said go ask the guy who keeps gardening things.
Answer:
Introduction:
This sentence is taken from the prose piece, Father, Dear Father written by Raj Kinger. Actually this is an article published in the English daily, The Hindu.

Context & Explanation:
Rahul has an unpleasant experience with his Biology teacher. When his rose plant is attacked by pests he seeks advice of his teacher to save his plant. But, the teacher gets irritated as she thinks it a question out of their syllabus and asks him to approach a gardener for advice. The teacher serves as a warning to all those teachers who do not show any interest or reverence towards their profession. Therefore, Rahul criticizes such an education system which curbs independent thinking and encourages blind adherence to whatever the teacher teaches.

Critical Comment:
Here, Rahul narrates the incident of his biology teacher not able to help him with a practical science related problem.

Question 2.
Annotate ANY ONE of the following in about 100 words. [1 × 4 = 4]

a) O my Luve’s like the melodie That’s sweetly play’d in tune.
Answer:
Introduction :
This couplet is taken from the poem, A Red Red Rose written by Robert Burns. It is one of the best lyrics of English poetry. It blends the eternity of love with the mortality of life.

Context & Explanation :
The poet begins by using a simile to compare his love to a rose. In other words, his love is like a flower that has just bloomed in June. His love is fresh and is bursting with life. His feelings are very profound.

Critical Comment : It is an address to the speaker’s lover to whom he swears eternal love and loyalty.

b) And fare thee weel, my only Luve And fare thee weel a while !
Answer:
Introduction :
This couplet is taken from the beautiful lyric, A Red Red Rose’ written by Robert Burns. It is one of the best lyrics of English poetry. It blends the eternity of love with the mortality of life.

Context & Explanation :
The speaker says that he will love his beloved forever. Even after the seas get dried up, all the rocks melt, and the sands of life exhaust their love stays alive. It will last forever. For the present, the speaker says good bye only to return soon, though the journey is to a far off place the poem blends the eternity of love with the mortality of life.

Critical Comment :
The poet makes several promises to love his beloved forever.

Question 3.
Answer ANY ONE of the following questions in about 100 words. [1 × 4 = 4]
a) Write a paragraph on the present day education system as described in Rahul’s letter.
Answer:
Rai Kinger’s Father, Dear Father is a heart wrenching letter addressed to a father by his son, Rahul. In his letter, Rahul condemns our and define rote educational system and explains the reason for losing his first rank. If was due to his disagreement with his teacher regarding an answer in English Grammar.

Although the teacher was wrong, he was adamant that he was correct. Rahul criticizes such an education system which curbs independent thinking and encourages blind adherence to whatever the teacher teachers. Thus, he condemns the emphasis placed on examinations, marks and ranks. For him practical education matters more than theoretical.

b) What is the attitude of teachers towards learners as illustrated in Father, Dear Father ?
Answer:
Raj Kinger’s Father, Dear Father is a thought provoking commentary on the present education system. It highlights the defects in the mind sets of parents, learners, teachers and the government bodies. It sets all to a new wave of thinking. However, the attitude of teachers towards learners are rude and adamant.

When Rahul seeks adviœ of his Biology teacher to save his rose plant, she gets irritated. She thinks it a question out of their syllabus and asks him to approach a gardener for advice. Her response to Rahul reveals her crossness, irritability and rudeness. She serves as a warning to all those teachers who do not show any interest or reverence towards their profession. The letter also illustrates Rahul’s experience with his English teacher who was adamant.

Question 4.
Answer ANY ONE of the following questions in about 100 words. [1 × 4 = 4]

a) Why is love compared to a red red rose ?
Answer:
The poem, ‘A Red Red Rose’ is written by Robert Burns. He is one of the leading voices of Scotland in English literature. The present poem pictures his love for his beloved. His love is as beautiful as a fresh rose that has just bloomed in June. It is fresh and bursting with life. Here love is compared to a red rose because red rose has been an ancient symbol of love in almost all cultures. In this case, rose is newly spring in June. So, we can understand that his love is always at the starting point. Robert uses his rose with the meaning that it is very strong and passionate. It shows how strong is the speaker’s feeling.

b) What does the speaker promise in A Red Red Rose ?
Answer:
The poem, A Red Red Rose, is written by Robert Burns. It is one of the best lyrics of English poetry. The speaker shares his romantic lone for his beloved. He promises different things to his beloned.

He vones to love his beloved until the seas have dried up, the fire of the sun has melted the ice, and human life is over. He uses these examples to express his feelings. Thus, promises his eternal Love to his bonny lass and that no matter how far he might go, he will always return to her side.

Question 5.
Answer ANY ONE of the following questions in about 100 words. [1 × 4 = 4]
a) Every time the youth chooses a gift, the fairy expresses her dissatisfaction with her gestures. Comment.
Answer:
Mark Twain’s story, The Five Boons of Life” offers us a valuable lesson. It highlights the need to choose right. The fairy in the story advises the youth to select a boon. She tells him that of the five boons “Fame, Love, Riches, Pleasures and Death” only one is precious. But, each time the youth makes a wrong choice.

The fairy expresses her displeasure. Once, her eyes are filled with tears. Yet again, she sighs deeply. At another time, she asks him to use his wisdom. But the youth repeats the same mistake. The fairy here represents an opportunity. Opportunities knock our doors often. It is our responsibility to use that chance aptly. Here, the youth’s failure presents a lesson to us.

b) What are the thoughts in the mind of the youth when he choose wealth ? What is the result ?
Answer:
‘The Five Boons of Life”, by Mark Twain, presents a philosophical approach to life. It shows us how foolish we are in our priorities at times. The youth stands for man’s follies. He gets a chance, from a fairy to choose from ‘Fame, Love, Riches, Pleasures and Death’. He is led by false appearances.

The fairy’s warning fails to corred him. He chooses ‘Pleasures’ first. He soon realises how painful those pleasures are ! He than opts for ‘Love’. He understands how grief follows love. Then, he goes for Fame. Again, it proves to be a wrong choice. Then he thinks Wealth’ will make him happy. He plans to spend, shine, and feed his hungry heart with his mockers envy. He thinks he can buy everything the earth can offer. He is wrong, once again.

Question 6.
Read the following passage carefully and answer ANY FOUR questions given below in a word or a sentence each. [4 × 1 = 4]

The fairy came, bringing again four of the gifts, but Death was wanting. She said: “I gave it to a mother’s pet, a little child. It was innocent, but trusted me, asking me to choose for it. You did not ask me to choose.”
“Oh, miserable me ! What is left for me ?”
“What not even you have deserved : the wanton insult of Old Age.”

Questions:
i) The fairy brought the gift, Death too. Say Yes or No.
Answer:
No

ii) What does the word I refer to ?
Answer:
The word ‘I’ refers to the fairy.

iii) What did the fairy give the little child ?
Answer:
Death

iv) What is the epithet used to describe the little child ?
Answer:
a mother’s pet

v) The man didn’t repose faith in the fairy. Write true or false.
Answer:
true

vi) What was left for the man ?
Answer:
not even what he deserved; the wanton insult of old age

vii) Write the word from the passage that means very unhappy.
Answer:
miserable

viii) Write the antonymn of the word intelligent from the passage.
Answer:
innocent

Question 7.
Read the following passage carefully and answer ANY FOUR questions given below in a word or a sentence each. [4 × 1 = 4]

Kumbh Mela
In my own city of Allahabad or in Haridwar, I would go to the great bathing festivals, the Kumbh Mela, and see hundreds of thousands of people come, as their forebears had come for thousands of years from all over India, to bathe in the Ganges. I would remember descriptions of these festivals written thirteen hundred years ago by Chinese pilgrims and others, and even then these melas were ancient and lost in unknown antiquity. What was the tremendous faith, I wondered, that had drawn our people for untold generations to this famous river of India ?
[From The Discovery on India]

Questions:
i) What is the phrase used in the passage to mean Kumbh Mela ?
Answer:
the great bathing festivals

ii) Kumbh Mela is a modem event. Say true or false.
Answer:
false

iii) When did Chinese pilgrims write about this festival ?
Answer:
thirteen hundred years ago

iv) Can we say when exactly the festival began ?
Answer:
No

v) What draws people to this famous river festival for so many years ?
Answer:
The tremendous faith

vi) Write the word used in the passage to mean festival, fair.
Answer:
‘mela’

vii) Write the synonym (from the passage) of ancestors.
Answer:
forebears

viii) Write the noun form of describe.
Answer:
description-noun

Section – B

Question 8.
Match ANY EIGHT of the following words in Column-A with their meanings in Column-B. [8 × 1/2 = 4]

Answer:
i) – g
ii) – i
iii) – e
iv) – j
v) – c
vi) – a
vii) – d
viii) – b
ix) – f
x) – h

Question 9.
Identify the parts of speech of ANY EIGHT of the following underlined words. [8 × 1/2 = 4]

i) Papa, my (1) grandmother is semi literate (2). Yet (3) she is at (4) peace with (5) her pots, pans, her flowers and (6) garden, her Bhagavad Geeta (7) and scriptures.

ii) Qh ! (8) Papa, last (9) week my rose plant almost (10) died.
Answer:
1) my – possessive pronoun/adjective
2) literate – adjective
3) yet – conjunction
4) at – preposition
5) with – preposition
6) and – conjunction
7) Geeta – noun
8) oh – interjection
9) last – adjective
10) almost – adverb

Question 10.
Fill in ANY EIGHT of the following blanks with a, an or the. [8 × 1/2 = 4]

i) Oh father, it matters not to me why __________ (1) apple does not fall upwards, nor do I care what Archimedes did. What matters to me is that my rose plants remain healthy; when there’s _________ (2) fuse in my house, I should know to do something about it; I should know to make _________ (3) desk for myself from my carpenters tools.
ii) Can you bring me all _________ (4) empty coffee cups, please ?
iii) Abdul Kalam is __________ (5) extraordinary man.
iv) Madhu is _________ (6) cleverest boy in __________ (7) class.
v) Raghu wore ________ (8) uniform which was crumpled.
vi) People usually go for _________ (9) walk in _________ (10) morning.
Answer:
i) 1 – the
2 – a
3 – a

ii) 4 – the
iii) 5 – an
iv) 6 – the
7 – the

v) 8 – the
vi) 9 – a
10 – the

Question 11.
Fill in ANY EIGHT of the following blanks with suitable prepositions. [8 × 1/2 = 4]

i) This is ___________ (1) answer to your letter _______ (2) my transgression. Yes, my first rank slipped _________ (3) the second. You advise that I should think ________ (4) studying, _______ (5) answering the papers.
ii) I congratulated her _________ (6) her success.
iii) There is some dispute _________ (7) the boundary line ________ (8) the two neighbours.
iv) He has been absent _________ (9) the classes _________ (10) Friday last.
Answer:
i) 1) in
2) about
3) to
4) before
5) before

ii) 6) on

iii) 7) about
8) between

iv) 9) for
10) since

Question 12.
Supply the missing letters to ANY SIX of the following words. [6 × 1/2 = 3]
i) childh _ _ d
ii) p _ _ ce
iii) frus _ _ ation
iv) ha _ _ en
v) gra _ _ ar
vi) col _ _r
vii) ang _ _ sh
viii) li _ _ ten
ix) obed _ _ nt
x) ye _ _ ow
Answer:
i) childhood
ii) piece/peace
iii) frustration
iv) happen
v) grammar
vi) colour
vii) anguish
viii) lighten
ix) obedient
x) yellow

Question 13.
Identify the silent consonant letters in ANY SIX of the following words. [6 × 1/2 = 3]

i) rightly
ii) should
iii) tomb
iv) Wednesday
v) knife
vi) column
vii) talk
viii) island
ix) lighten
x) receipt
Answer:
i) rightly – g,h
ii) should – l
iii) tomb – b
iv) Wednesday – d
v) knife – k
vi) column – n
vii) talk – l
viii) island – s
ix) lighten – gh
x) receipt -p

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 5 Products of Vectors Ex 5(c) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Products of Vectors Solutions Exercise 5(c)

I.
Question 1.
Compute [i̅ – j̅ j̅ – k̅ k̅ – i̅]
Answer:
[i̅ – j̅ j̅ – k̅ k̅ – i̅] = \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 1
\end{array}\right|\)
= 1 (1) + 1 (- 1) = 1 – 1 = 0

Question 2.
If a̅ = i̅ – 2j̅ – 3k̅, b̅ = 2i̅ + j̅ – k̅, c̅ = i̅ + 3j̅ – 2k̅ then compute a̅ . (b̅ × c̅)
Answer:
Given a̅ = i̅ – 2j̅ – 3k̅, b̅ = 2i̅ + j̅ – k̅, c̅ = i̅ + 3j̅ – 2k̅ then
a̅.(b̅ × c̅) = (a̅ b̅ c̅) = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & -2 & -3 \\
2 & 1 & -1 \\
1 & 3 & -2
\end{array}\right|\)
= 1 (- 2 + 3) + 2 (- 4 + 1) – 3 (6 – 1)
= 1 – 6 – 15 = – 20

Question 3.
If a̅ = (1, -1, -6), b̅ = (1, -3, 4) and c̅ = (2, -5, 3), then compute the following.
(i) a̅ . (b̅ × c̅)
Answer:
a̅ × (b̅ × c̅) = (a̅ . c̅) b̅ – (a̅ . b̅) c̅
= (2 + 5 – 18) b̅ – (1 + 3 – 24) c̅
= -11b̅ + 20c̅
= — 11 (i̅ – 3j̅ + 4k̅) + 20(2i̅ – 5j̅ + 3k̅)
= 29i̅ – 67j̅ + 16k̅

(ii) a̅ × (b̅ × c̅)
Answer:
a̅ × (b̅ × c̅) = (a̅.c̅)b̅ – (a̅.b̅)c̅
= (2 + 5 – 18)b̅ – (1 + 3 – 24)c̅
= -11b̅ + 20c̅
= -11(i̅ – 3j̅ + 4k̅) + 20(2i̅ – 5j̅ + 3k̅)
= 29i̅ – 67j̅ + 16k̅

iii) (a̅ × b̅) × c̅
Answer:
(a̅ × b̅) × c̅
= (a̅ . c̅)b̅ – (b̅ . c̅)a̅
= (2 + 5 – 18) b̅ – (2 + 15 + 12) a̅
= -11 (i̅ – 3j̅ + 4k̅) – 29 (i̅ – j̅ – 6k̅)
= -40i̅ + 62j̅ + 130k̅

Question 4.
Simplify the following :
i) (i̅ – 2j̅ + 3k̅) × (2i̅ + j̅ – k̅) – (j̅ + k̅)
Answer:
(i̅ – 2j̅ + 3k̅) × (2i̅ + j̅ – k̅) – (j̅ + k̅)
= \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
2 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 1
\end{array}\right|\)
= 1 (2) + 2(2) + 3(2)
= 2 + 4 + 6
= 12

ii) (2i̅ – 3j̅ + k̅) – (i̅ – j̅ + 2k̅) × (2i̅ + j̅ + k̅)
Answer:
(2 i̅ – 3j̅ + k̅) . (i̅ – j̅ + 2k̅) × (2i̅ + j̅ + k̅)
= \(\left|\begin{array}{rrr}
2 & -3 & 1 \\
1 & -1 & 2 \\
2 & 1 & 1
\end{array}\right|\)
= 2 (- 1 – 2) + 3 (1 – 4) + 1 (1 + 2)
= – 6 – 9 + 3
= -12

Question 5.
Find the volume of the parallelopiped having coterminus edges i̅ + j̅ + k̅, i̅ – j̅ and i̅ + 2j̅ – k̅
Answer:
Let a̅ = i̅ + j̅ + k̅, b̅ = i̅ – j̅ and c̅ = i̅ + 2j̅ – k̅ then the volume of parallelopiped =
| (a̅ b̅ c̅)|
= \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & 0 \\
1 & 2 & -1
\end{array}\right|\)
= 1 (1) – 1 (- 1) + 1 (2 + 1)
= 1 + 1 + 3 = 5 cubic units.

Question 6.
Find ‘t’ for which the vectors 2i̅ – 3j̅ + k̅, i̅ + 2j̅ – 3k̅ and j̅ – tk̅ are coplanar.
Answer:
Denote the given vectors by a, b, c .and if the vectors are coplanar then [a̅ b̅ c̅] = 0
⇒ \(\left|\begin{array}{rrr}
2 & -3 & 1 \\
1 & 2 & -3 \\
0 & 1 & -t
\end{array}\right|\) = 0
⇒ 2 (- 2t + 3) + 3 (- t) + 1 (1) = 0
⇒ – 7t + 7 = 0
⇒ t = 17.

Question 7.
For non coplanar vectors a̅,b̅ and c̅, determine p for which the vectors a̅ + b̅ + c̅, a̅ + pb̅ + 2c̅ and -a̅ + b̅ + c̅ are coplanar.
Answer:
Given a,b,c are non coplanar vectors We have [a̅ b̅ c̅] = 0 If the vectors a̅ + b̅ + c̅, a̅ + pb̅ + 2c̅ and -a̅ + b̅ + c̅ are coplanar.
Then \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & p & 2 \\
-1 & 1 & 1
\end{array}\right|\)[a̅ b̅ c̅] = 0
⇒ \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\
1 & p & 2 \\
-1 & 1 & 1
\end{array}\right|\) = 0 (∵ [a̅ b̅ c̅] = 0)
⇒ 1 (p – 2) – 1 (1 + 2) + 1 (1 + p) = 0
⇒ 2p = 4 ⇒ p = 2

Question 8.
Determine λ for which the volume of the parallelopiped having coterminus edges i̅ + j̅, 3i̅ – j̅ and 3j̅ + λ.k̅ is 16 cubic units.
Answer:
Denoting the coterminus edges by a̅,b̅,c̅ the volume of the parallelopiped =
|[a̅ b̅ c̅]| = ±16
∴ \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 0 \\
3 & -1 & 0 \\
0 & 3 & \lambda
\end{array}\right|\) = ±16
⇒ 1(-λ) – 1(3λ) = ±16
⇒ – 4λ = ±16
⇒ λ = ±4

Question 9.
Find the volume of the tetrahedron having the edges i̅ + j̅ + k̅; i̅ – j̅ and i̅ + 2j̅ + k̅.
Answer:
Denoting the edges by a̅, b̅, c̅ of tetrahedron, then its volume is = \(\frac{1}{6}\)[a̅ b̅ c̅]

Question 10.
Let a̅, b̅ and c̅ be non coplanar vectors and α = a̅ + 2b̅ + 3c̅, β = 2a̅ + b̅ – 2c̅ and γ = 3a̅ – 7c̅, then find [α̅ β̅ γ̅].
Answer:
Given α = a̅ + 2b̅ + 3c̅
β = 2a̅ + b̅ – 2c̅
γ = 3a̅ – 7c̅
and a̅, b̅, c̅ are non coplanar ⇒ [a̅ b̅ c̅] ≠ 0
then [α̅ β̅ γ̅] = \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & -2 \\
3 & 0 & -7
\end{array}\right|\)[a̅ b̅ c̅]
= [ 1 (- 7) – 2 (- 14 + 6) + 3 (- 3)] [a̅ b̅ c̅]
= (- 7 + 16 – 9) [a̅ b̅ c̅] = 0

Question 11.
Let a̅, b̅ and c̅ be non coplanar vectors. If [2a̅ – b̅ + 3c̅, a̅ + b̅ – 2c̅, a̅ + b̅ – 3c̅] = λ [a̅ b̅ c̅] then find the value of λ.
Answer:
Given a,b,c as non coplanar vectors We have [a̅ b̅ c̅] ≠ 0
∴ \(\left|\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 3 \\
1 & 1 & -2 \\
1 & 1 & -3
\end{array}\right|\)[a̅ b̅ c̅]
= [2 (- 3 + 2) + 1 (- 3 + 2) + 3 (1 – 1)][a̅ b̅ c̅]
= [-2 – 1] [a̅ b̅ c̅]
= -3[a̅ b̅ c̅]
Given [2a̅ – b̅ + 3c̅, a̅ + b̅ – 2c̅, a̅ + b̅ – 3c̅]
= λ [a b c]
We have -3[a̅ b̅ c̅] = λ [a̅ b̅ c̅]
⇒ λ = -3

Question 12.
Let a̅, b̅ and c̅ be non coplanar vectors.
If [a̅ + 2b̅ 2b̅ + c̅ 5c̅ + a̅] = λ [a̅ b̅ c̅], then find λ.
Answer:
Given a̅, b̅ and c̅ as non coplanar vectors. We have [a̅ b̅ c̅] ≠ 0. Given that
∴ \(\left|\begin{array}{lll}
1 & 2 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 5
\end{array}\right|\)[a̅ b̅ c̅] = λ[a̅ b̅ c̅]
⇒ [1 (10 – 0) – 2 (0 – 1)] [a̅ b̅ c̅] = λ[a̅ b̅ c̅]
⇒ 12 [a̅ b̅ c̅] = λ [a̅ b̅ c̅]
⇒ λ = 12

Question 13.
If a̅, b̅, c̅ are non coplanar vectors, then find the value of \(\frac{(\overline{\mathrm{a}}+2 \overline{\mathrm{b}}-\overline{\mathrm{c}}) \cdot[(\overline{\mathrm{a}}-\overline{\mathrm{b}}) \times(\overline{\mathrm{a}}-\overline{\mathrm{b}}-\overline{\mathrm{c}})]}{[\overline{\mathrm{a}} \overline{\mathrm{b}} \overline{\mathrm{c}}]}\)
Answer:
Given a̅, b̅, c̅ are non coplanar we have [a̅ b̅ c̅] ≠ 0, then

= 1 (1) – 2 (- 1) – 1 (- 1 + 1) = 3

Question 14.
If a̅, b̅, c̅ are mutually perpendicular unit vectors, then find the value of [a̅ b̅ c̅]².
Answer:
Given a̅, b̅, c̅ are mutually perpendicular unit vectors.
We have |a̅| = |b̅| = |c̅| = 1
and taking a̅ = i̅, b̅ = j̅, c̅ = k̅
We have [a̅ b̅ c̅] = [i̅ j̅ k̅]
= i̅ . (j̅ × k̅) = i̅.i̅ = 1
∴ [a̅ b̅ c̅]² = 1

Question 15.
a̅, b̅, c̅ are non zero vectors and a̅ is perpendicular to both b̅ and c̅. If |a̅|= 2, |b̅|= 3, |c̅| = 4 and (b̅, c̅) = \(\frac{2 \pi}{3}\) then find |[a̅ b̅ c̅]|. (May 2008)
Answer:
Given a̅, b̅, c̅ are non zero vectors and a is perpendicular to both b̅ and c̅
⇒ a̅ is parallel to (b̅ × c̅)
⇒ (a̅, b̅ × c̅) = 0 (or) 180°
∴ [a̅ b̅ c̅] = [a̅ . b̅ × c̅]

Question 16.
If a̅, b̅, c̅ are unit coplanar vectors, then find [2a̅ – b̅ 2b̅ – c̅ 2c̅ – a̅].
Answer:
Given |a̅| = |b̅| = |c̅| = 1
[2a̅ – b̅ 2b̅ – c̅ 2c̅ – a̅]
= \(\left|\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 0 \\
0 & 2 & -1 \\
-1 & 0 & 2
\end{array}\right|\)[a̅ b̅ c̅]
= [2 (4) + 1 (- 1)] [a̅ b̅ c̅]
= 7 [a̅ b̅ c̅] = 7 (0) = 0 (∵ a̅, b̅, c̅ are coplanar vectors [a̅ b̅ c̅] = 0 ]

II.
Question 1.
If [b̅ c̅ d̅] + [c̅ a̅ d̅] + [a̅ b̅ d̅] = [a̅ b̅ c̅], then show that the points with position vectors a̅, b̅, c̅ and d̅ are coplanar. (May 2014)
Answer:
Given [b̅ c̅ d̅] + [c̅ a̅ d̅] + [a̅ b̅ d̅]
= [a̅ b̅ c̅] ………..(1)
Let OA = a̅, OB = b̅, OC = c̅ and OD = d̅ with respect to a fixed origin ‘O’. Then
AB = b̅ – a̅,
AC = c̅ – a̅,
AD = d̅ – a̅ if the points A, B, C, D are coplanar then
[AB AC AD] = 0
⇒ [b̅ – a̅ c̅ – a̅ d̅ – a̅] = 0
⇒ (b̅ – a̅) . [(c̅ – a̅) × (d̅̅ – a̅)] = 0
⇒ (b̅ – a̅) . [c̅ × d̅ – (c̅ × a̅) – (a̅ × d̅) + (a̅ × a̅)] = 0
⇒ (b̅ – a̅) – [(c̅ × d̅) – (a̅ × d̅) – (c̅ × a̅)] = 0
⇒ [b̅ c̅ d̅] – (b̅ a̅ d̅) – [b̅ c̅ a̅] – [a̅ c̅ d̅] + [a̅ a̅ d̅] + [a̅ c̅ a̅] = 0
⇒ [b̅ c̅ d̅] – [b̅ a̅ d̅] – [b̅ c̅ a̅] – [a̅ c̅ d̅] = 0
⇒ [b̅ c̅ d̅] + [a̅ b̅ a̅] – [a̅ b̅ c̅] + [c̅ a̅ d̅] = 0
⇒ [b̅ c̅ d̅] + [a̅ b̅ d̅] + [c̅ a̅ d̅] = [a̅ b̅ c̅]

Question 2.
If a̅, b̅ and c̅ are non coplanar vectors, then prove that the four points with position vectors 2a̅ + 3b̅ – c̅, a̅ – 2b̅ + 3c̅, 3a̅ + 4b̅ – 2c̅ and a̅ – 6b̅ + 6c̅ are coplanar.
Answer:
Suppose A, B, C, D are the given points with respect to a fixed origin ‘O’ and given that
\(\overline{\mathrm{OA}}\) = 2a̅ + 3b̅ – c̅, \(\overline{\mathrm{OB}}\) = a̅ – 2b̅ + 3c̅
\(\overline{\mathrm{OC}}\) = 3a̅ + 4b̅ – 2c̅ and \(\overline{\mathrm{OD}}\) = a̅ – 6b̅ + 6c̅
∴ \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\)
= (a̅ – 2b̅ + 3c̅) – (2a̅ + 3b̅ – c̅)
= -a̅ – 5b̅ + 4c̅

\(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{OC}}-\overline{\mathrm{OA}}\)
= (3a̅ + 4b̅ – 2c̅) – (2a̅ + 3b̅ – c̅)
= a̅ + b̅ – c̅

\(\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{OD}}-\overline{\mathrm{OA}}\)
= (a̅ – 6b̅ + 6c̅) – (2a̅ + 3b̅ – c̅)
= -a̅ – 9b̅ + 7c̅

∴ \(\left[\begin{array}{lll}
\overline{\mathrm{AB}} & \overline{\mathrm{AC}} & \overline{\mathrm{AD}}
\end{array}\right]=\left|\begin{array}{rrr}
-1 & -5 & 4 \\
1 & 1 & -1 \\
-1 & -9 & 7
\end{array}\right|\left[\begin{array}{lll}
\overline{\mathbf{a}} & \overline{\mathrm{b}} & \overline{\mathrm{c}}
\end{array}\right]\)
= [ – 1 (7 – 9) + 5 (7 – 1) + 4 (- 9 + 1)] [a̅ b̅ c̅]
= [- 1 (- 2) + 5 (6) + 4 (- 8)] [a̅ b̅ c̅]
= (2 + 30 – 32) [a̅ b̅ c̅] = 0
Hence the given points A, B, C, D are coplanar.

Question 3.
a̅, b̅ and c̅ are non zero and non collinear vectors and θ ≠ 0, is the angle between b̅ and c̅. If (a̅ × b̅) × c̅ = \(\frac{1}{3}\)|b̅||c̅||a̅| find sin θ.
Answer:
Given |a̅| ≠ 0, |b̅| ≠ 0, |c̅| ≠ 0 and (b̅, c̅) = θ
and (a̅ × b̅) × c̅ = \(\frac{1}{3}\)|b̅||c̅|a̅
⇒ (a̅ . c̅) b̅ – (b̅ . c̅) a̅ = \(\frac{1}{3}\)|b̅||c̅|a̅
∵ a,b, c are non collinear vectors

Question 4.
Find the volume of the tatrahedron whose vertices are (1, 2, 1), (3, 2, 5), (2. – 1, 0) and (- 1, 0, 1). (Mar. 2015-T.S) [May 2007]
Answer:
Let O be the origin with A, B, C, D as vertices of tetrahedron.

Question 5.
Show that (a̅ + b̅) . (b̅ + c̅) × (c̅ + a̅) = 2 [a̅ b̅ c̅]
Answer:
(a̅ + b̅) .(b̅ + c̅) × (c̅ + a̅)
= \(\left|\begin{array}{lll}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right|\)[a̅ b̅ c̅]
= [1(1) – 1(-1)][a̅ b̅ c̅] = 2[a̅ b̅ c̅]

Question 6.
Show that the equation of the plane passing through the points with position vectors 3i̅ – 5j̅ – k̅, -i̅ + 5j̅ + k̅ and parallel to the vector 3i̅ – j̅ + 7k̅ is 3x + 2y – z = 0.
Answer:
Let \(\overline{\mathrm{OA}}\) = (3i̅ – 5 j̅ – k̅), \(\overline{\mathrm{OB}}\) = – i̅ + 5j̅ + 7k̅
The given plane passes through the points A, B and parallel to the vector
\(\overline{\mathrm{OC}}\) = 3i̅ – j̅ + 7k̅,
\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = -4i̅ + 10j̅ + 8k̅
∴ Equation of the plane is

= x (70 + 8) – y (- 28 – 24) + z (4 – 30)
= 78x + 52y – 26z
= 26 (3x + 2y – z)

\(\left[\begin{array}{lll}
\bar{a} & \bar{b} & \bar{c}
\end{array}\right]=\left|\begin{array}{rrr}
3 & -5 & -1 \\
-4 & 10 & 8 \\
3 & -1 & 7
\end{array}\right|\)
= 3 (70 + 8) + 5 (- 28 – 24) – 1 (4 – 30)
= 234 – 260 + 26 = 0
Equation of the required plane is
26 (3x + 2y – z) = 0
⇒ 3x + 2y – z = 0

Question 7.
Prove that a̅ × [a̅ × (a̅ × -(a̅ . a̅) (b̅ × a̅)
Answer:
L.H.S = a × [a̅ × (a̅ × b̅)]
= a̅ × [(a̅ . b̅)a – (a̅. a̅)b̅]
= (a̅. b̅) (a̅ × a̅) – (a̅. a̅) (a̅ × b̅)
= (a̅. b̅) (0) – (a̅. a̅) (a̅ × b̅)
= (a̅. a̅) (b̅ × a̅)
= R.H.S.

Question 8.
If a̅, b̅, c̅ and d̅ are coplanar vectors, then show that (a̅ × b̅) × (c̅ × d̅) = 0.
Answer:
Given a̅, b̅, c̅, d̅ are coplanar vectors
⇒ a̅ × b̅ is perpendicular to the plane S.
In the similar way c̅ × d̅ is perpendicular to the plane S.
a̅ × b̅ and c̅ × d̅
are parallel vectors.
⇒ (a̅ × b̅) × (c̅ × d̅) = 0 (or)
(a̅ × b̅) × (c̅ × d̅) = [a̅ c̅ d̅]b̅ – [b̅ c̅ d̅]a̅
= 0b̅ – 0a̅ = 0 (∵ a̅, b̅, c̅, d̅ are coplanar)

Question 9.
Show that [(a̅ × b̅) × (a̅ × c̅)] d̅ = (a̅ . d̅) [a̅ b̅ c̅]
Answer:
We have (a̅ × b̅) × (c̅ × d̅)
= [a̅ c̅ d̅]b̅ – [b̅ c̅ d̅]a̅
(a̅ × b̅) × (a̅ × c̅) = [a̅ a̅ c̅] b̅ – [b̅ a̅ c̅]a̅
= 0(b̅) – [b̅ a̅ c̅] a̅ = (a̅ b̅ c̅)a̅
[(a̅ × b̅) × (a̅ × c̅)] d̅ = [a̅ b̅ c̅](a̅.d̅)

Question 10.
Show that a̅.[(b̅ + c̅) × [a̅ + b̅ + c̅]] = 0
Answer:

Question 11.
Find λ in order that the four points A (3, 2, 1), B (4, λ, 5), C (4, 2, – 2) and D (6, 5, – 1) are coplanar.
Answer:

⇒ 1(9) – (λ – 2) (- 2 + 9) + 4 (3) = 0
⇒ 21 – (λ – 2)(7) = 0
⇒ λ – 2 = 3
⇒ λ = 5

Question 12.
Find the vector equation of the plane passing through the intersection of planes.
r̅ -(2i̅ + 2j̅ – 3k̅) = 7, r̅ = (2i̅ + 5j̅ + 3k̅) = 9 and through the point (2, 1, 3).
Answer:
The planes are of the form
r̅.n̅₁ = d₁ and r̅.n̅₂ = d₂
The vector equation of the plane passing through the intersection of above plane is of the form
r̅ . (n̅₁ + λn̅₂) = d₁ + λd₂
∴ r̅ . [(2i̅ + 2j̅ – 3k̅) + λ(2i̅ + 5j̅ + 3k̅)]
= 7 + 9λ

Denote r̅ = xi̅ + yj̅ + zk̅ ………..(1)
then (2x + 2y – 3z) + λ (2x + 5y + 3z)] = 7 + 9λ
⇒ (2x + 2y – 3z – 7) + λ (2x + 5y + 3z – 9) = 0 …..(2)
Since this plane passes through the point (2, 1, 3)
We have
(4 + 2 – 9 – 7) + λ (4 + 5 + 9 – 9) = 0
⇒ – 10 + 9λ = 0
⇒ λ = \(\frac{10}{9}\)
From (2), (2 + 2λ) x + (2 + 5λ) y + (3λ – 3) z – (7 + 9λ) = 0

Question 13.
Find the equation of the plane passing through (a̅, b̅, c̅) and parallel to the plane r̅. (i̅ + j̅ + k̅) = 2.
Answer:
Given equation of the plane is
r̅ . (i̅ + j̅ + k̅) = 2
Suppose r̅ = xi̅ + yj̅ + zk̅ then
(xi̅ + yj̅ + zk̅) . (i̅ + j̅ + k̅) = 2
⇒ x + y + z = 2
Equation of parallel plane is x + y + z = k
Since this passes through (a, b, c) we have a + b + c = k
Equation of the required plane is x + y + z = a + b + c

Question 14.
Find the shortest distance between the lines r̅ = 6i̅ + 2j̅ + 2k̅ + λ(i̅ – 2j̅ + 2k̅) and r̅ = -4i̅ – k̅ + μ(3i̅ – 2j̅ – 2k̅).
Answer:
Given lines are

Shortest distance between the lines = 9 units.

Question 15.
Find the equation of the plane passing through the line of intersection of the planes
r̅.(i̅ + j̅ + k̅) = l and r̅.(2i̅ + 3j̅ – k̅) + 4 = 0 and parallel to X – axis.
Answer:
Cartesian form of the given plane is x + y + z = 1 and 2x + 3y – z + 4 = 0
Equation of required plane will be of the form
(x + y + z – 1) + λ (2x + 3y – z + 4) = 0 …………(i)
⇒ (1 + 2λ)x + (1 + 3λ)y + (1 – λ)z – (1 – 4λ) = 0
Since this is parallel to X-axis coefficient of x = 0
⇒ 1 + 2λ = 0 ⇒ λ = \(\frac{1}{2}\)
Required plane equation from (1) is
(x + y + z – 1) –\(\frac{1}{2}\)(2x + 3y – z + 4) = 0
⇒ 2x + 2y + 2z – 2 – 2x – 3y + z – 4 = 0
⇒ y – 3z + 6 = 0

Question 16.
Prove that the four points 4i̅ + 5j̅ + k̅, -(j̅ + k̅), 3i̅ + 9j̅ + 4k̅ and -4i̅ + 4j̅ + 4k̅ are coplanar.
Answer:

= – 4 (12 + 3) + 6 (- 3 + 24) – 2(1 + 32)
= -60 + 126 – 66 = 126 – 126 = 0
Given points are coplanar.

Question 17.
If a̅, b̅, c̅ are non coplanar, then show that the vectors a̅ – b̅, b̅ + c̅, c̅ + a̅ are coplanar.
Answer:
Given that a̅, b̅, c̅ are non coplanar
we have [a̅ b̅ c̅] ^O
∴ [a̅ – b̅ b̅ + c̅ c̅ + a̅]
= \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right|\)[a̅ b̅ c̅]
= [1 + 1 (-1)][a̅ b̅ c̅]
= 0 [a̅ b̅ c̅] = 0
∴ Vectors a̅ – b̅, b̅ + c̅, c̅ + a̅ are coplanar.

Question 18.
If a̅, b̅, c̅ are the position vectors of the points A, B and C respectively, then prove that the vector a̅ × b̅ + b̅ × c̅ + c̅ × a̅ is perpendicular to the plane of ΔABC.
Answer:
Let O be the origin and

= (b̅ × c̅) – (b̅ × a̅) – (a̅ × c̅) + (a̅ × a̅)
= (b̅ × c̅) + (a̅ × b̅) + (c̅ × a̅) (∵ (a̅ × a̅) = 0)
= (a̅ × b̅) + (b̅ × c̅) + (c̅ × a̅)
Hence (a̅ × b̅) + (b̅ × c̅) + (c̅ × a̅) is perpendicular to the plane of ΔABC.

III.
Question 1.
Show that
(a̅ × (b̅ × c̅)) × c̅ = (a̅ . c̅) (b̅ × c̅) and (a̅ × b̅) . (a̅ × c̅) + (a̅ . b̅) (a̅. c̅) = (a̅.a̅)(b̅.c̅)
Answer:
i) L.H.S : a̅ × (b̅ × c̅) = (a̅ . c̅)b̅ – (a̅ . b̅)c̅
∴ (a̅ × (b̅ × c̅)) × c̅
= (a̅.c̅)(b̅ × c̅) – (a̅. b̅)(c̅ × c̅)
= (a̅.c̅)(b̅ × c̅) (∵ c̅ × c̅ = 0)
= R.H.S

ii) (a̅ × b̅).(a̅ × c̅) =
= (a̅.a̅)(b̅.c̅) – (a̅.c̅)(b̅.a̅) ………..(1)
∴ L.H.S = (a̅ × b̅). (a̅ × c̅) + (a̅ . b̅)(a̅ . c̅)
= (a̅.a̅)(b̅.c̅) = R.H.S

Question 2.
If A = (1, – 2, – 1), B = (4, 0, – 3), C = (1, 2, – 1) and D = (2, – 4, – 5), find the distance between \(\overline{\mathrm{A B}}\) and \(\overline{\mathrm{C D}}\). (Mar. ’14) [Board Model Paper]
Answer:
Let ‘O’ be the origin and \(\overline{\mathrm{O A}}\) = i̅ – 2j̅ – k̅,

Question 3.
If a̅ = i̅ – 2j̅ + k̅, b̅ = 2i̅ + j̅ + k̅, c̅ = i̅ + 2j̅ – k̅, find a̅ × (b̅ × c̅) and |(a̅ × b̅) × c̅|.
Answer:
Given a̅ = i̅ – 2 j̅ + k̅
b̅ = 2i̅ + j̅ + k̅
c̅ = i̅ + 2 j̅ – k̅
Then a̅ × (b̅ × c̅) = (a̅ . c̅)b̅ – (a̅ . b̅)c̅ (formula)
= (1 – 4 – 1) (2i̅ + j̅ + k̅) – (2 – 2 + 1)(i̅ + 2j̅ – k̅)
= – 4 (2i̅ + j̅ + k̅) – (i̅ + 2j̅ – k̅)
= -9i̅ – 6j̅ – 3k̅
Also (a̅ × b̅) × c̅ = (a̅ . c̅)b̅ – (b̅ . c̅) a̅ (formula)
= – 4 (2i̅ + j̅ + k̅) – (2 + 2 – 1) (i̅ – 2j̅ + k̅)
= -4 (2i̅ + j̅ + k̅)- 3 (i̅ – 2j̅ + k̅)
= – 11i̅ + 2j̅ – 7k̅
|(a̅ × b̅) × c̅| = \(\sqrt{121+4+49}\)
= \(\sqrt{174}\)

Question 4.
If a̅ = i̅ – 2j̅ – 3k̅, b̅ = 2i̅ + j̅ – k̅ and c̅ = i̅ + 3j̅ – 2k̅, verify that a̅ × |b̅ × c̅| ≠ (a̅ × b̅) × c̅, [May ’11, March 2008, Board Model Paper]
Answer:
Given a̅ = i̅ – 2 j̅ – 3k̅
b̅ = 2i̅ + j̅ – k̅
and c̅ = i̅ + 3j̅ – 2k̅ then a̅ × (b̅ × c̅)
=(a̅. c̅) b̅ – (a̅. b̅) c̅ (formula of vector triple product)
= (1 – 6 + 6) (2i̅ + j̅ – k̅) – ( 2 – 2 + 3) (i̅ + 3j̅ – 2k̅)
= (2i̅ + j̅ – k̅) – 3(i̅ + 3j̅ – 2k̅)
= – i̅ – 8 j̅ + 5k̅
Also (a̅ × b̅) × c̅
= (a̅. c̅)b̅ – (b̅. c̅)a̅ (formula)
= 1 (2i̅ + j̅ – k̅) – (2 + 3 + 2) (i̅ – 2j̅ – 3k̅)
= (2i̅ + j̅ – k̅) – 7(i̅ – 2j̅ – 3k̅)
= -5i̅ + 15 j̅ + 20k̅
a̅ × (b̅ × c̅) ≠ (a̅ × b̅) × c̅

Question 5.
If a̅ = 2i̅ + j̅ – 3k̅, b̅ = i̅ – 2j̅ + k̅, c̅ = – i̅ + j̅ – 4k̅ and d̅ = i̅ + j̅ + k̅, then compute |(a̅ × b̅) × (c̅ × d̅)|.
Answer:
Given a̅ = 2i̅ + j̅ – 3k̅
b̅ = i̅ – 2 j̅ + k̅
c̅ = – i̅ + j̅ – 4k̅
and d̅ = i̅ + j̅ + k̅

We have (a̅ × b̅) × (c̅ × d̅)
= [a̅ c̅ d̅]b̅ – [b̅ c̅ d̅]a̅

Question 6.
If A̅ = (1, a, a²), B̅ = (1, b, b²) and C̅ = (1, c, c²) are non coplanar vectors and \(\left|\begin{array}{ccc}
a & a^2 & 1+a^3 \\
b & b^2 & 1+b^3 \\
c & c^2 & 1+c^3
\end{array}\right|\) = 0.
Answer:
A̅, B̅, C̅ are non coplanar vectors.

Question 7.
If a̅, b̅, c̅ are non zero vectors, then |a̅ × b̅ – c̅| = |a̅||b̅||c̅| o a̅ . b̅ = b̅ . c̅ = c̅ . a̅ = 0
Answer:
We have a̅ x b̅ = |a̅||b̅| sinθ n̂
= |a̅| |b̅| sin(a,b) n̂ where n̂ is a unit vector perpendicular to a̅ and b̅ and a̅, b̅, n̅ form a right handed system

⇔ a̅, b̅ are perpendicular and c is perpendicular to both a and b
⇔ a̅, b̅, c̅ form an orthogonal system
⇔ a̅ is perpendicular to b̅, b̅ is perpendicular to c̅ and c̅ is perpendicular to a
⇔ a̅ . b̅ = 0, b̅ . c̅ = 0, a̅ . c̅ = 0

Question 8.
If a̅ = i̅ – 2j̅ + 3k̅, b̅ = 2i̅ + j̅ + k̅, c̅ = i̅ + j̅ + 2k̅, then find |(a̅ × b̅) × c̅| and |a̅ × (b̅ × c̅)|.
Answer:
a̅ = i̅ – 2 j̅ + 3k̅, b̅ = 2i̅ + j̅ + k̅, c̅ = i̅ + j̅ + 2k̅
Now (a̅ × b̅) × c̅ = (a̅ . c̅)b̅ – (b̅ . c̅)a̅
= [(i̅ – 2j̅ + 3k̅).(i̅ + j̅ + 2k̅)]b̅ – [(2i̅ + j̅ + k̅). (i̅ + j̅ + 2k̅)]a̅
= (1 – 2 + 6)b̅ – (2 + 1 + 2)a̅
= 5b̅ – 5a̅
= 5[2i̅ + j̅ + k̅ – i̅ + 2j̅ – 3k̅]
= 5 [i̅ + 3j̅ – 2k̅]
|(a̅ × b̅) × c̅| = \(5 \sqrt{1+9+4}=5 \sqrt{14}\)
a̅ × (b̅ × c̅) = (a̅ . c̅)b̅ – (a̅ . b̅)c̅
= 1(i̅ – 2j̅ + 3k̅) – (i̅ + j̅ + 2k̅)b̅ – [(i̅ – 2j̅ + 3k̅) .(2i̅ + j̅ + k̅)] c̅
= (1 – 2 + 6) b̅ – (2 – 2 + 3)c̅ = 5b̅ – 3c̅
= 5(2i̅ + j̅ + k̅)- 3(i̅ + j̅ + 2k̅)
= 7i̅ + 2j̅ – k̅
Hence |a̅ × (b̅ × c̅)| = |7i̅ + 2j̅ – k̅|
= \(\sqrt{49+4+1}=\sqrt{54}=3 \sqrt{6}\)

Question 9.
If |a̅| = 1, |b̅| = 1, |c̅| = 2 and a̅ × (a̅ × c̅) + b̅ = 0, then find the angle between a̅ and c̅.
Answer:
Given |a̅| = 1, |b̅| = 1, |c̅| = 2 and a̅ × (a̅ × c̅) + b̅ = 0
⇒ (a̅. c̅) a̅ – (a̅. a̅)c̅ + b̅ = 0
⇒ [|a̅||c̅| cos θ] a̅ – |a̅| c̅ + b̅ = 0
⇒ (1) (2)cos θ a̅ – c̅ + b̅ = 0
⇒ 2 cos θ a̅ + b̅ – c̅ = 0
⇒ (2cos θ a̅ – c̅)² = |-b|² = |b̅|²
⇒ 4cos²θa̅² – 4cosθ(a̅. c̅) + c̅² = b̅²
⇒ 4cos²θ – 4cosθ|a̅| |c̅|cos θ + 4 = 1
⇒ 4cos²θ – 4cos θ (1) (2) cos θ + 4 = 1
⇒ 4(1 – cos²θ) = 1
⇒ 4cos²θ = 3
⇒ cos²θ = \(\frac{3}{4}\)
⇒ cos θ = \(\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\)
⇒ θ = 30° (or) 150°

Question 10.
Let a̅ = i̅ – k̅, b̅ = xi̅ + j̅ + (1 – x)k̅ and c̅ = yi̅ + xj̅ + (1 + x – y)k̅. Prove that the scalar triple product [a̅ b̅ c̅] is independent of x and y.
Answer:
a̅ = i̅ – k̅
b̅ = xi̅ + j̅ + (1 – x)k̅
c̅ = yi̅ + xj̅ + (1 + x – y)k̅
∴ [a̅ b̅ c̅] = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -1 \\
\mathrm{x} & 1 & (1-\mathrm{x}) \\
\mathrm{y} & \mathrm{x} & (1+\mathrm{x}-\mathrm{y})
\end{array}\right|\)
= 1 [1 + x – y – x + x²] – 1 [x² – y]
= 1 – y + x² – x² + y
= 1
∴ [a̅ b̅ c̅] is independent of x and y.

Question 11.
Let b̅ = 2i̅ + j̅ – k̅, c̅ = i̅ + 3k̅. If a is a unit vector then find the maximum value of [a̅ b̅ c̅].
Answer:
Let a̅ = xi̅ + yj̅ + zk̅ and x² + y² + z² = a² = 1 (∵ a̅ is a unit vector |a̅| = 1)
[a̅ b̅ c̅] = \(\left|\begin{array}{rrr}
x & y & z \\
2 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 3
\end{array}\right|\)
= x(3) – y(6 + 1) + z(-1)
= 3x – 7y – z
∴ x² + y² + z² = 1, the maximum value of 3x – 7y – z is
\(\sqrt{3^2+(-7)^2+(-1)^2}=\sqrt{9+49+1}=\sqrt{59}\)

Question 12.
Let a̅ = i̅ – j̅, b̅ = j̅ – k̅, c̅ = k̅ – i̅. Find unit vector d̅ such that a̅. d̅ = 0 = [b̅ c̅ d̅].
Answer:
Given a̅ = i̅ – j̅, b̅ = j̅ – k̅, c̅ = k̅ – i̅ and suppose d̅ = xi̅ + yj̅ + zk̅
0 1 -1
-1 0 1
x y z
= – 1 (- z – x) – 1 (- y)
= z + x + y
Also
a̅ . d̅ = 0 ⇒ (i̅ – j̅) • (xi̅ + yj̅ +zk̅) = 0
⇒ x – y = 0
[b̅ c̅ d]̅ = 0 ⇒ x + y + z = 0
and a̅ d̅ = 0 ⇒ x = y
x + x + z = 0
⇒ z + 2x = 0 ⇒ z = -2x
x : y : z = x : x : -2x = 1: 1: -2
Let x = λ, y = λ and z = – 2λ
d = λi + λj – 2λk = λ (i + j – 2k), λ ∈ ℝ