TS Inter 1st Year

Students must practice these Maths 1B Important Questions TS Inter First Year Maths 1B Straight Lines Important Questions Short Answer Type to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter First Year Maths 1B Straight Lines Important Questions Short Answer Type

Question 1.
Transform the equation \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) into the normal form when a > 0 and b > 0. If the perpendicular distance of the straight line from the origin is p, deduce that \(\frac{1}{p^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\). [May ’08, ’04, ’02, ’97, ’95, ’90; Mar. ’07, ’02, ’00]
Solution:

Question 2.
Find the points on the line 3x – 4y – 1 = 0 which are at a distance of 5 units from the point (3, 2). [Mar. ’16 (AP); ’15 (AP); B.P.]
Solution:
Let the given point A(x₁, y₁) = (3, 2)
Given the equation of the straight line is 3x – 4y – 1 = 0

Distance |r| = 5
Required points = (x₁ + |r| cos θ, y1 + |r| sin θ)
= (x₁ ± r cos θ, y₁ + r sin θ)
= (3 ± 5 . \(\frac{4}{5}\), 2 ± 5 . \(\frac{3}{5}\))
= (3 ± 4, 2 ± 3)
= (3 + 4, 2 + 3); (3 – 4, 2 – 3)
= (7, 5), (-1, 1)

Question 3.
Find the value of k, if the lines 2x – 3y + k = 0, 3x – 4y – 13 = 0 and 8x – 11y – 33 = 0 are concurrent. [May ’07, ’95; Mar. ’05, ’80; Mar. ’18 (TS)]
Solution:
Given, the equations of the straight lines are,
2x – 3y + k = 0 ……..(1)
3x – 4y – 13 = 0 ……..(2)
8x – 11y – 33 = 0 ………(3)
Solving (2) & (3)


∴ The point of intersection (11, 5) lies on (1)
2x – 3y + k = 0
⇒ 2(11) – 3(5) + k = 0
⇒ 22 – 15 + k = 0
⇒ 7 + k = 0
⇒ k = -7

Question 4.
If the straight lines ax + by + c = 0, bx + cy + a = 0 and cx + ay + b = 0 are concurrent, then prove that a³ + b³ + c³ = 3abc. [Mar. ’19 (AP); Mar. ’08; May. ’00]
Solution:
Given, the equations of the straight lines are,
ax + by + c = 0 ……(1)
bx + cy + a = 0 ………(2)
cx + ay + b = 0 ……..(3)
Solving (2) & (3)

\(\frac{y}{b c-a^2}=\frac{1}{a c-b^2}\) ⇒ y = \(\frac{b c-a^2}{a c-b^2}\)
∴ Point of intersection of the straight lines (1) & (2) is \(\left(\frac{a b-c^2}{a c-b^2}, \frac{b c-a^2}{a c-b^2}\right)\)
Since the given lines are concurrent, then the point of intersection lies on line (3)

⇒ c(ab – c²) + a(bc – a²) + b(ac – b²) = 0
⇒ abc – c³ + abc – a³ + abc – b³ = 0
⇒ 3abc – a³ – b³ – c³ = 0
⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc

Question 5.
A variable straight line drawn through the point of intersection of the straight lines \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) and \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) meets the coordinate axes at A and B. Show that the locus of the midpoint of \(\overline{\mathbf{A B}}\) is 2(a + b) xy = ab(x + y). [May ’05]
Solution:
Given equations of the straight lines are,

The point of intersection of lines (1) & (2) is
C = \(\left(\frac{a b}{a+b}, \frac{a b}{a+b}\right)\)
The equation of the straight line \(\overline{\mathbf{A B}}\) is the intercept from \(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1\) ……(3)
The straight line (3) meets the X-axis at A(p, 0), Y-axis at B(0, q).
Let Q(x₁, y₁) be any point on the locus.
Since Q(x₁, y₁) is the midpoint of \(\overline{\mathbf{A B}}\)


then, \(y_1\left(\frac{a b}{a+b}\right)+\left(\frac{a b}{a+b}\right) x_1=2 x_1 y_1\)
\(\frac{a b y_1+a b x_1}{a+b}=2 x_1 y_1\)
ab(x₁ + y₁) = (a + b) 2x₁y₁
∴ The locus of the midpoint ‘Q’ of AB is 2(a + b) xy = ab(x + y)

Question 6.
A straight line meets the coordinate axes in A and B. Find the equation of the straight line when (p, q) bisects \(\overline{\mathbf{A B}}\). [May ’90]
Solution:
The equation of the straight line in the intercept form is \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) …….(1)
The straight line (1) meets the X-axis at A(a, 0), Y-axis at B(0, b).
Now, C(p, q) bisects \(\overline{\mathbf{A B}}\), then C is the midpoint of \(\overline{\mathbf{A B}}\).

Question 7.
A triangle of area 24 sq. units is formed by a straight line and the coordinate axes in the first quadrant, find the equation of the straight line if it passes through (3, 4). [May ’07]
Solution:
Equation of the straight line in the intercept form is \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) …….(1)

Since equation (1) passes through the point (3, 4) then,
\(\frac{3}{a}+\frac{4}{b}=1\)
\(\frac{3 b+4 a}{a b}\) = 1
3b + 4a = ab
4a = ab – 3b
4a = b(a – 3)
b = \(\frac{4 a}{a-3}\) ……(2)
Given that, area of ΔOAB = 24 sq.units
\(\frac{1}{2}\)ab = 24
ab = 48
\(a\left(\frac{4 a}{a-3}\right)=48\)
a² = 12(a – 3)
a = 12a – 36
a² – 12a + 36 = 0
(a – 6)² = 0
a = 6
from (2), b = \(\frac{4(6)}{6-3}\) = 8
The equation of the straight line is, from (1)
\(\frac{x}{6}+\frac{y}{8}\) = 1
\(\frac{4 x+3 y}{24}\) = 1
4x + 3y = 24

Question 8.
If 3a + 2b + 4c = 0, then show that the equation ax + by + c = 0, represents a family of concurrent straight lines and find the point of concurrency. [May ’10]
Solution:
Given that,
3a + 2b + 4c = 0
4c = -3a – 2b
c = \(\frac{-3 a-2 b}{4}\)
Now, ax + by + c = 0
ax + by + \(\left(\frac{-3 a-2 b}{4}\right)\) = 0
\(\frac{4 a x+4 b y-3 a-2 b}{4}\) = 0
4ax + 4by – 3a – 2b = 0
a(4x – 3) + b(4y – 2) = 0
(4x – 3) + \(\frac{b}{a}\) (4y – 2) = 0
This is of the form L₁ + λL₂ = 0
Here, ax + by + c = 0, represents a set of lines passing through the point of intersection of the lines
L₁ = 4x – 3 = 0 …….(1)
L₂ = 4y – 2 = 0 ………(2)
Solving (1) & (2)
From (1), 4x – 3 = 0
4x = 3
x = \(\frac{3}{4}\)
from (2), 4y – 2 = 0
4y = 2
y = \(\frac{1}{2}\)
∴ The point of concurrence = \(\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{2}\right)\)
∴ ax + by + c = 0 represents a set of concurrent lines.
The point of concurrence = \(\left(\frac{3}{4}, \frac{1}{2}\right)\)

Question 9.
Find the point on the straight line 3x + y + 4 = 0, which is equidistant from the points (-5, 6) and (3, 2). [Mar. ’13; Nov. ’98]
Solution:
Given, equation of the straight line is 3x + y + 4 = 0 …….(1)

Let the given points are A(-5, 6) & B(3, 2)
Let P(x, y) be a point on the straight line 3x + y + 4 = 0,
Given that, PA = PB
\(\sqrt{(x+5)^2+(y-6)^2}=\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}\)
Squaring on both sides
(x + 5)² + (y – 6)² = (x – 3)² + (y – 2)²
x² + 25 + 10x + y² + 36 – 12y = x² + 9 – 6x + y² – 4y + 4
10x – 12y + 61 = -6x – 4y + 13
16x – 8y + 48 = 0
2x – y + 6 = 0 ………(2)
Solving (1) & (2)

Question 10.
A straight line through Q(√3, 2) makes an angle \(\frac{\pi}{6}\) with the positive direction of the X-axis. If the straight line intersects the line √3x – 4y + 8 = 0 at P, find the distance PQ. [Mar. ’19 (TS); Mar. ’04]
Solution:
Given equation of the straight line is √3x – 4y + 8 = 0 ……..(1)

Given point Q(x₁, y₁) = (√3, 2)
Inclination of a straight line, θ = \(\frac{\pi}{6}\) = 30°
Slope of a straight line, m = tan 30° = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
∴ The equation of the straight line \(\overline{\mathrm{PQ}}\) having slope \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) and passing through the
point Q(√3, 2) is, y – y₁ = m(x – x₁)
y – 2 = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) (x – √3)
√3y – 2√3 = x – √3
x – √3y + √3 = 0 …….(2)
Solving (1) & (2)

Question 11.
The line \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1\) meets the X-axis at P. Find the equation of the line perpendicular to the line at P. [May ’03]
Solution:
Given, the equation of the straight line is \(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1\) …..(1)

Since line (1) meets the X-axis at P.
Then y-coordinate = 0
\(\frac{x}{a}-\frac{0}{b}=1\)
x = a
∴ The coordinates of P = (a, 0)
The slope of the line (1) is m = \(\frac{\frac{-1}{a}}{\frac{-1}{b}}=\frac{b}{a}\)
Slope of the perpendicular line = \(\frac{-1}{b/a}=\frac{-a}{b}\)
∴ The equation of the line passing through P(a, 0) and having slope \(\frac{-a}{b}\) is,
y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – 0 = \(\frac{-a}{b}\) (x – a)
y = \(\frac{-a}{b}\) (x – a)
by = -ax + a²
ax + by – a² = 0
which is the required equation of a straight line.

Question 12.
Find the equation of the line perpendicular to the line 3x + 4y + 6 = 0 and make an intercept -4 on the X-axis. [Mar. ’10]
Solution:
Given, equation of the straight line is 3x + 4y + 6 = 0 …….(1)

Slope of the line (1) is m = \(\frac{-3}{4}\)
Slope of the perpendicular line = \(\frac{-1}{m}=\frac{-1}{\left(\frac{-3}{4}\right)}=\frac{4}{3}\)
Given that, the required a straight line making an intercept -4 on X-axis. Then P = (-4, 0).
Equation of the straight line passing through P(-4, 0) and having slope \(\frac{4}{3}\) is
(y – y₁) = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – 0 = \(\frac{4}{3}\) (x + 4)
3y = 4x + 16
4x – 3y + 16 = 0

Question 13.
Find the equation of the straight line making non-zero equal intercepts on the coordinate axes and passing through the point of intersection of the lines 2x – 5y + 1 = 0 and x – 3y – 4 = 0. [Mar. ’06, ’00]
Solution:
Given the equation of the lines are
2x – 5y + 1 = 0 …….(1)
x – 3y – 4 = 0 …….(2)

\(\frac{x}{23}=\frac{y}{9}=\frac{1}{-1}\)
\(\frac{x}{23}\) = -1; \(\frac{y}{9}\) = -1
x = -23; y = -9
∴ Point of intersection of lines (1) & (2) is, P = (-23, -9)
The equation of the straight line in the intercept form is, \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) = 1 ……..(3)
The straight line (3) makes equal intercepts on the coordinate axes
from (3),
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{a}\)
x + y = a ……..(4)
Since equation (4) passes through the point P(-23, -9) then,
-23 – 9 = a
a = -32
∴ The equation of the straight line is x + y = -32
x + y + 32 = 0

Question 14.
Find the length of the perpendicular drawn from the point of intersection of the lines 3x + 2y + 4 = 0 and 2x + 5y – 1 = 0 to the straight line 7x + 24y – 15 = 0. [May ’01; Mar. ’91]
Solution:
Given, the equation of the straight lines are
3x + 2y + 4 = 0 ……(1)
2x + 5y – 1 = 0 ……..(2)

∴ The point of intersection of lines (1) & (2) is, P = (-2, 1)
Given the equation of the straight line is 7x + 24y – 15 = 0
Comparing with ax + by + c = 0 then a = 7, b = 24, c = -15
Point of intersection P(x₁, y₁) = (-2, 1)
The perpendicular distance from P(-2, 1) to the straight line

Question 15.
If θ is the angle between the lines \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\) and \(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1\), find the value of sin θ, where a > b. [May ’09]
Solution:
Given, the equation of the straight lines are
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\)
\(\frac{b x+a y}{a b}\) = 1
bx + ay = ab
bx + ay – ab = 0 ……..(1)
\(\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=1\)
ax + by = ab
ax + by – ab = 0 ………(2)
Comparing (1) with a₁x + b₁y + c₁ = 0, we get
a₁ = b, b₁ = a, c₁ = -ab
Comparing (2) with a₂x + b₂y + c₂ = 0, we get
a₂ = a, b₂ = b, c₂ = -ab
If ‘θ’ is the angle between lines (1) & (2) then,

Question 16.
Find the equations of the straight lines passing through (1, 3) and (i) parallel to (ii) perpendicular to the line passing through the points (3, -5) and (-6, 1). [May ’15 (AP)]
Solution:
The slope of the line passing through the points (3, -5) and (-6, 1) is
m = \(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{1+5}{-6-3}=\frac{-6}{9}=\frac{-2}{3}\)
(i) Equation of the line passing through (1, 3) and parallel to the line passing through the points (3, -5) and (-6, 1) is y – y₁ = m(x – x₁)
⇒ y – 3 = \(\frac{-2}{3}\) (x – 1)
⇒ 3y – 9 = -2x + 2
⇒ 2x + 3y – 11 = 0
(ii) Equation of the line passing through (1, 3) and perpendicular to the line passing through the points (3, -5) and (-6, 1) is y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
⇒ y – 3 = \(\frac{1}{2}\) (x – 1)
⇒ 2y – 6 = 3x – 3
⇒ 3x – 2y + 3 = 0

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 7 Trigonometric Equations to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 1st Year Maths 1A Trigonometric Equations Important Questions

Question 1.
Solve 2cos²θ – \(\sqrt{3}\) sin θ+1 = 0
Solution:

Question 2.
Solve 1 +sin²θ = 3 sinθ cosθ
Solution:
Dividing by cos² θ we get
⇒ sec² θ + tan² θ = 3 tanθ
⇒ 1 + 2 tan² θ = 3 tanθ
⇒ 2tan² θ – 3tan θ +1 = θ
⇒ 2 tan² θ –  2tan θ –  tanθ + 1 = θ
⇒ (tanθ –  1)(2tan θ – 1) = θ
⇒ tanθ = 1 or tanθ = \(\frac{1}{2}\)
If tan θ = 1 then principal solution is α =\( \frac{\pi}{4}\)
General solution is θ = nπ + \(\frac{\pi}{4}\)  n ∈ Z
Let a be the principal solution of tan θ = \(\frac{1}{2}\)
Then the general solution is
θ = nπ+α,n∈ Z

Question 3.
Solve \(\sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\sqrt{3}\)
Solution:

Question 4.
Solve tanθ+3 cotθ = 5 secθ
Solution:
The given equation is
tanθ + 3 cotθ = 5 secθ
⇒ \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{3 \cos \theta}{\sin \theta}=\frac{5}{\cos \theta}\)
⇒  sin² θ + 3cos²θ= 5 sinθ
⇒  sin² θ + 3(1 – sin² θ) = 5 sinθ
⇒ sin² θ + 3 – 3 sin² θ = 5 sinθ
⇒ -2 sin θ – 5 sinθ + 3 = 0
⇒ 2 sin θ+ 5 sinθ – 3 = θ
⇒ 2 sin θ + 6 sinθ – sinθ – 3 = θ
⇒ 2 sin θ(sin θ + 3) –  1(sinθ + 3) = θ
⇒ (2sinθ – 1)(sinθ + 3)= θ
⇒ sin θ = \(\frac{1}{2}\) or sinθ = – 3.
sinθ =-3 is not admissible but for sinθ = \(\frac{1}{2}\) general solution is
θ=nπ+(-n)ⁿ ,n∈Z
Since the principal solution is α = \(\frac{1}{2}\)

Question 5.
If acos²θ + bsin²θ =c has θ₁,θ₂ as its solutions then show that tan θ₁ + tan θ₁ = \(\frac{2 b}{c+a}\)
Solution:
Given equation is acos2θ + bsin2θ = c

This is a quadratic equation in an θ.
Given θ₁,θ₂  are the solutions of θ.
tan θ₁, tanθ₂ are the roots of equation (1)
∴ Sum of the roots tan θ₁ + tan θ₂ = \(\frac{2 b}{a+c}\) and product of the roots

Question 6.
Find all values of x in (-π, π) satisfying the equation g¹+cosx+cos² x +……………….. = 4³
Solution:

Question 7.
Solve sin x = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Solution:
Principal solution is α = \(\frac{\pi}{4}\)
General solution is
\(\mathrm{x}=\mathrm{n} \pi+(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\pi}{4}, \mathrm{n} \in \mathrm{Z}\)

Question 8.
Solve sin 2θ \(=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)
Solution:
The principal solution is α = 18°
∴ General solution is

Question 9.
Solve tan² θ = 3.
Solution:

Question 10.
Solve 3cosec x = 4sinx.
Solution:
Given 3 cosec x = 4 sin x

Question 11.
If x is acute and sin(x+10°) = cos(3x – 68°) find x in degrees.
Solution:

When k = 0 we get x = 37°
If we take k = 1, 2 the value of x is not acute.
Hence the value of x is 37°.

Question 12.
Solve cos 3θ = sin 2θ.
Solution:

Question 13.
Solve 7 sin²θ+3cos² θ= 4.
Solution:
Given 7 sin²θ+3cos² θ= 4.
⇒ 7 sin 2θ + 3(1 -sin² θ) = 4
⇒  4 sin 2θ = 1
⇒ sinθ = ± \(\frac{1}{2}\)
Principal solutions are \(\alpha=\pm \frac{\pi}{6}\) and general solution is given by general solution is given by
θ = nπ ± ,\(\alpha=\pm \frac{\pi}{6}\),n∈Z

Question 14.
Find general solution of θ which satisfies both the equations sinθ = \(-\frac{1}{2}\) and cosθ = \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Solution:

Question 15.
Solve 4 sin x. sin 2x sin 4x = sin 3x
Solution:
Given sin 3x = 4 sinx sin 2x sin 4x
= 2sinx (2sin2x – sin4x)
⇒ 2 sin x (cos 2x – cos 6x)
⇒ sin3x = 2cos 2x sinx – 2 cos 6x sin x
⇒ sin 3x = sin 3x – sin x – 2 cos 6xsinx
⇒ 2cos 6x sinx + sinx= 0
⇒ sinx(2 cos 6x + 1)=0
⇒ sinx = 0 or cos 6x \(-\frac{1}{2}\)

Case (i): sin x = 0,  x= nπ, n∈Z is the general solution.
Case (ii) : cos 6x = \(-\frac{1}{2}\)
Principal solution is α \( =\frac{2 \pi}{3}\)
∴ General solution is 6x = 2πr ± \(\frac{2 \pi}{3}\)
\(x=\frac{n \pi}{3} \pm \frac{\pi}{9}, n \in Z\)

Question 16.
If 0<θ<π solve cosθ cos2θ cos3θ = \(\frac{1}{4}\)
Solution:

Question 18.
Solve sin2x – cos2x = sinx – cosx
Solution:
The given equation can be written as
sin 2x – sin x = cos 2x – cos x

Question 19.
Solve cos 3x + cos 2x = sin + sin = \(\sin \frac{3 x}{2}+\sin \frac{x}{2} 0 \leq x \leq 2 \pi\)
Solution:
Given cos 3x + cos 2x = sin + sin = \(\sin \frac{3 x}{2}+\sin \frac{x}{2} 0 \leq x \leq 2 \pi\)

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 8 Inverse Trigonometric Functions to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 1st Year Maths 1A Inverse Trigonometric Functions Important Questions

Question 1.
Prove that

Solution:

Question 2.
Find the values of the following.

(i) \(\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)\)
Solution:
\(\sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=-\sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}\)

(ii) \(\cos ^{-1}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)
Solution:

(iii) \(\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
Solution:
\(\tan ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\tan ^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}\)

(iv) cot^-1 (-1)
Solution:

(v) sec ^-1  \((-\sqrt{2})\)
Solution:

(vi) Cosec ^-1  \(\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
Solution:

Question 3.
Find the values of the following.

(i) sin^-1 \(\left(\sin \frac{4 \pi}{3}\right)\)
Solution:

(ii) \(\tan ^{-1}\left(\tan \frac{4 \pi}{3}\right)\)
Solution:

Question 4.
Find the values of the following.

(i) \(\sin \left(\cos ^{-1} \frac{5}{13}\right)\)
Solution:

(ii) \(\tan \left(\sec ^{-1} \frac{25}{7}\right)\)
Solution:

(iii) \(\cos \left(\tan ^{-1} \frac{24}{7}\right)\)
Solution:

Question 5.
Find the values of the following.

(i) \(\sin ^2\left(\tan ^{-1} \frac{3}{4}\right)\)
Solution:

(ii) \(\sin \left(\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1}\left(-\frac{4}{5}\right)\right)\)
Solution:

(iii) \(\cos \left(\cos ^{-1}\left(-\frac{2}{3}\right)-\sin ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right)\)
Solution:

(iv) sec² (cot^-1 3) + cosec² (tan^-1 2)
Solution:

Question 6.
Find the value of \(\cot ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\)
Solution:

Question 7.
Prove that
\(\sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{7}{25}\right)=\sin ^{-1}\left(\frac{117}{125}\right)\)
Solution:

Question 8.
If x ∈(-1, 1) prove that 2 tan^-1 x = \(\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\)
Solution:
Given x ∈ (-1,1) and it tan^-1 x = a then tan α = x and

Question 9.
Prove that \(\sin ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{5}{13}\right) +\sin ^{-1}\left(\frac{16}{65}\right)=\frac{\pi}{2}\)
Solution:

Question 10.
Prove that cot^-1 9+ cosec^-1 \( \frac{\sqrt{41}}{4}=\frac{\pi}{4}\)
Solution:

Question 11.
Show that cot \(\begin{aligned} \cot \left(\operatorname{Sin}^{-1} \sqrt{\frac{13}{17}}\right) \\ = \sin \left(\operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\right) \end{aligned}\)
Solution:

Question 12.
Find the value of \(tan \left[2 \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)-\frac{\pi}{4}\right]\)
Solution:

Question 13.
Prove that \(\operatorname{Sin}^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)+2 \operatorname{Tan}^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{2}\)
Solution:

Question 14.
If sin^-1 x + sin^-1 y + sin^-1 z = π, then prove that x⁴ + y⁴ + z⁴ + 4x²y²z² = 2 (x²y² + y²z² + z²x²)
Solution:
Let sin^-1 x = A, sin^-1 y = B and sin^-1z = C
then A+B+C = π …………………..(1)
and sinA = x, sin B = y, sin C = z
Now A+B = π – c

Question 15.
If \(\operatorname{Cos}^{-1}\left(\frac{p}{a}\right)+\operatorname{Cos}^{-1}\left(\frac{q}{b}\right)\) =α the prove that

Solution:

Question 16.
Solve \(\sin ^{-1}\left(\frac{5}{x}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{12}{x}\right)=\frac{\pi}{2},(x>0)\)
Solution:

Question 17.
Solve

Solution:

Question 18.
Solve \(\operatorname{Sin}^{-1} x+\operatorname{Sin}^{-1} 2 x=\frac{\pi}{3}\)
Solution:

when \(x=-\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{7}}\) value is not admissible
Since sin^-1 x and sin^-1 2x are negative
Hence \(x=-\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{7}}\)

Question 19.
If sin [2 Cos^-1 (cot (2 Tan^-1x)}] = 0 find x.
Solution:

Question 20.
Prove that

Solution:
Let cot^-1 x=θ then cot θ = x and θ <x<π
∴ sin (cot^-1x) = sinθ = \(\frac{1}{\operatorname{cosec} \theta}\)

Question 21.
Show that sec² (tan^-1) + cosec² (cot^-1 2) = 10.
Solution:
[1 + tan² (tan^-1(2)] + [1+ cot² (cot^-1(2))]
= 1 + 4 + 1 + 4 = 10

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Commerce Study Material 2nd Lesson Business Activities Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Commerce Study Material 2nd Lesson Business Activities

Long Answer Questions

Question 1.
What is meant by industry? Explain various types of industries with suitable examples.
Answer:
Industry is concerned with the making or manufacturing of goods. It is that part of the production which is involved in changing the form of goods at any stage from raw material to the finished product. E.g.: Weaving woollen yam into cloth. Thus industry imparts form utility in goods.

Classification or types of industries: The industries may be classified as follows.
1) Primary industry: Primary industry is concerned with production of goods with the help of nature. It is nature-oriented industry, which requires very little human effort. E.g: Agriculture, Farming, Fishing, Horticulture etc.

2) Genetic industry: Genetic industry is related to the reproducing and multiplying of certain species of animals and plants with the object of earning profits from their sale. E.g: Nurseries, cattle breeding poultry, fish hatcheries etc.

3) Extractive industry: It is engaged in raising some form of wealth from the soil, cli-mate, air, water or from beneath the surface of the earth. Generally the products of extractive industries comes in raw farm and they are used by manufacturing and construction industries for producing finished products. E.g: Mining, coal, mineral, iron ore, oil industry, extraction of timber and rubber from forests.

4) Construction industry: The industry is engaged in the creation of infrastructure for the smooth development of the economy. It is concerned with the construction, erection or fabrication of products. These industries are engaged in the construction of buildings, roads, dams, bridges and canals.

5) Manufacturing industry: This industry is engaged in the conversion of raw material into semifinished or finished goods. This industry creates form utility in goods by making them suitable for human uses. E.g: Cement industry, Sugar industry, Cotton textile industry, Iron and steel industry, Fertiliser industry etc.

6) Service industry: In modern times, service sector plays an important role in the development of the nation and therefore it is named as service industry. These are engaged in the provision of essential services to the community. E.g: Banking, trans-port, insurance etc.

Question 2.
What is commerce? Describe its branches.
Answer:
Commerce is concerned with exchange of goods. It includes all those activities which are related to transfer of goods from the places of production to the ultimate consumer. Commerce embraces all those processes which help to break the barriers between producers and consumers. It is the sum total of those processes which are engaged in the removal of hindrances of persons, place, time and exchange.

Branches of commerce:
The activities of commerce may be classified into following two broad categories.

• Trade
• Aids to trade

I) Trade: Trade is a branch of commerce. It connects with buying and selling of goods and services. An individual who does trade is called a trader. Trader transfers the goods from the producer to the consumer.

Trade may be classified into a) Home trade, b) Foreign trade. Home trade may again sub-divided into (i) Wholesale trade and (ii) Retail trade.

a) Home trade: Home trade is also known as ‘domestic trade’ or ‘Internal trade’ Home trade is carried on within the boundaries of a nation. Home trade again is of two types: wholesale trade and retail trade.

• Wholesale trade: It implies buying and selling of goods in large quantities. Traders who engage themselves in whole sale trade are called ‘wholesalers’. Wholesale serves as a connecting link between the producers and the retailers.
• Retail trade: It involves buying and selling of goods in small quantities. Traders engaged in retail trade are called ‘retailers’. They serve as a connecting link between wholesalers and consumers.

b) Foreign trade: It refers to buying and selling of goods and services between two or more countries through international air ports and sea ports. Foreign trade is also known as ‘external trade’ or ‘International trade’.

• Export trade: It means the sale of goods to foreign countries. For example India exports tea to the U.K.
• Import trade: It refers to the purchase of goods from foreign countries. For instance India buys petrol from Iran.
• Entrepot trade: Importing (buying) goods from one country for the purpose of ex-porting (selling) them to another country is called entrepot trade. This type of trade is also known as re-export trade.

II) Aids to trade: Trade or exchange of goods involves several difficulties, which can be removed by auxiliaries are known as aids to trade. It refers to all those activities, which directly or indirectly facilitate smooth exchange of goods and services.

Aids to trade includes transport, Communication, Warehousing, Banking, Insurance, Advertising. These ensure smooth flow of goods from producers to the consumers. The various aids to trade in commerce are explained in below:

1) Transport: There will be a vast distance between centers of production and centres of consumption. This difficulty is removed by transport. Transport creates place utility. There are several kinds of transport such as air, water and land transport. The geo-graphical distance between producers and consumers is removed with the help of following means of transport.

2) Communication: Communication means transmitting or exchange of information froth one person to another. It can be oral or in writing. It is necessary to communicate information from one to another. Modern means of communication like telephone, email, video conference etc play an important role in establishing contact between businessmen, producers and consumers.

3) Warehousing: There is a time gap between production and consumption. It becomes necessary to make arrangements for storage or warehousing. The goods such as umbrellas and woolen clothes are produced throughout the year but are demanded only during particular seasons like rainy and winter season. Therefore goods need to be stored in warehouses till they are demanded. So, it creates time utility by supplying the goods at right time to consumer.

4) Insurance: Insurance reduces the problem of risks. Business is subject to risks and uncertainities. Risks may be due to fire, theft, accident or any other natural calamity. Insurance companies who act as risk bearer cover risks. Insurance tries to reduce risks by spreading them out over a larger number of people by encouraging them to take insurance policies.

5) Banking: Banking solves the problem of finance. Banking and financial institutions solves the problem of payment and facilitate exchange between buyer and seller. Banks provide such finance to them. Banks also advance loans in the form of overdraft, cash credit and discounting of bills of exchange.

6) Advertising: Advertising fills the knowledge gap. Exchange of goods and services is possible only if producers can bring the products to the consumers. Advertising and publicity are important medias of mass communication. Advertising helps the consumers to know about the various brands manufactured by several manufacturers. The medias used to advertise products are Radio, Newspapers, Magazines, TV, Internet etc.

Question 3.
Discuss the significance of commerce in the present scenario.
Answer:
Commerce can also be defined as The sum total of those processes. Which are engaged in the removal of hindrances of person, place and time in the exchange of commodities’.

Importance of commerce:
The importance of commerce is explained below:
1) Commerce tries to satisfy increasing human wants: Human wants and desires are never ending. Commerce has made distribution and movement of goods possible from one part of the world to the other. Today we can buy anything produced anywhere in the world. Hence commerce facilitates the people to satisfy their needs, desires and wants by distribution and exchange of the goods and services.

2) Commerce helps us to increase our standard of living: Standard of living refers to quality of life enjoyed by the members of a society. When a man consumes more products his standard of living improves. Commerce helps us to get what we want at the right time, right place and at the right price and thus helps in improving our standard of living.

3) Commerce links producers and consumers: Commerce makes a link between producers and consumers through retailers and wholesalers and also through the aids to trade. Thus it creates and facilitates the contact between the centres of production and consumption.

4) Commerce generates employment opportunities: The growth of commerce and trade cause the growth of agencies of trade such as banking, transport, warehousing, insurance, advertising etc. Thus, development of commerce generates more and more employment opportunities.

5) Commerce increases national income and wealth: When production increases, national income also increases. It also helps to earn foreign exchange by way of exports and duties levied on imports.

6) Commerce helps in expansion of aids-to-trade: With the growth in trade and commerce there is a growing need for expansion and modernization of aids to trade. Aids to trade such as banking communication, advertising and publicity, transport, insurance etc. are expanded and modernised for the smooth conduct of commerce.

7) Commerce encourages international trade: With the help of transport and communication development, countries can exchange their surplus. Commodities and earn foreign exchange. Thus, the commerce ensures faster economic growth of the country.

8) Commerce benefit underdeveloped countries: Underdeveloped countries can import skilled labour and technical knowhow from developed countries, while the advanced countries can import raw materials from underdeveloped countries. This helps in laying down the seeds of industrialisation in the underdeveloped countries.

9) Commerce helps during emergencies: During emergencies like floods, earthquakes and wars, commerce helps in reaching the essential requirements like food stuff, medicines and relief measures to the affected area.

Question 4.
Define trade and explain various types of aids to trade.
Answer:
Trade: Buying and selling of goods and services to earn profit is called trade. The person who undertakes this job is known as trader. It is a branch of commerce.

Aids to trade:
Trade or exchange / distribution of goods involves several difficulties, which can be removed by auxiliaries are known as aids to trade. It refers to all those activities which directly or indirectly facilitate smooth exchange of goods and services.

Aids to trade includes Transport, Communication, Warehousing, Banking, Insurance, Advertising. These ensure smooth flow of goods from producers to the consumers. The various aids to trade in commerce are explained in following points.

1) Transport: There will be a vast distance between centres of production and centres of consumption. This difficulty is removed by transport. Transport creates place utility. There are several kinds of transport such as air, water and land transport. The geo-graphical distance between producers and consumers is removed with the help of following means of transport, (i) Land (ii) Water (iii) Air.

2) Communication: Communication means transmitting or exchange of information from one person to another. It can be oral or in writing. It is necessary to communicate information from one to another. Modem means of communication like telephone, email, teleconference, video-conference etc. play an important role in establishing contact between businessmen, producers and consumers.

3) Warehousing: There is a time gap between production & consumption. It becomes necessary to make arrangements for storage or warehousing. The goods such as umbrellas and woolen clothes are produced throughout the year but are demanded only during particular seasons like rainy and winter season. Therefore goods need to be stored in warehouses till they are demanded. So it creates time utility by supplying the goods at right time to consumers.

4) Insurance: Insurance reduces the problems of risks. Business is subject to risks and uncertainities. Risks may be due to fire, theft, accident or any other natural calamity. Insurance companies who act as risk bearer cover risks. Insurance tries to reduce risks by spreading them out over a large number of people by encouraging them to take insurance policies.

5) Banking: Banking solves the problem of finance. Banking and financial institutions solves the problem of payment and facilitate exchange between buyer and seller. Banks provide such finance to them. Banks also advance loans in the form of overdraft, cash credit and discounting of bills of exchange.

6) Advertising: Exchange of goods and services is possible only if producers can bring the products to the consumers. Advertising and publicity are important medias of mass communication. Advertising helps the consumers to know about the various brands manufactured by several manufacturers. The medias used to advertise products are Radio, Newspaper, Magazines, TV; Internet etc.

Question 5.
Explain inter-relationship between industry, commerce and trade.
Answer:
Business is divided into two categories: Industry and commerce. Commerce is again sub-divided into trade and aids to trade practically all of them are closely related to each other. They are inseparable. All of them are parts of the whole business system. Industry and commerce are closely related to each other. Industry cannot exist without commerce and commerce cannot exist without industry because every producer has to find his market for his product to sell. But the producer has no direct connection with the buyer or consumers. Hence, industry needs commerce.

BUSINESS = INDUSTRY + COMMERCE
Commerce is concerned with the sale, transfer or exchange of goods and services. Hence commerce needs industry for the production of goods and services. Commerce makes the necessary arrangement for linking between producers and ultimate consumers. It includes all those activities that are involved in buying, selling, transporting, banking, warehousing of goods, and insurance of safeguarding the goods.

COMMERCE = TRADE + AIDS TO TRADE
Thus industry, commerce, and trade are closely related to one another and are inter-dependent as shown in the figure below. In conclusion, we can say that industry, trade and commerce are inter-related with each other. Industry is concered with production of goods and services and commerce arranges its sales; but the actual operation of sales is in the hands of trade. So they cannot work independently.

Question 6.
Describe the various Hindrances of Commerce.
Answer:
Commerce is concerned with exchange of goods. It includes all those activities which are related to transfer of goods from the place of production to the ultimate consumers. Whereas trade involves buying and selling of goods, commerce has a wider meaning. Commerce include trade and aids to trade. The aids to trade include transport, banking, insurance, warehousing, advertisement and salesmanship.

Hindrances of trade: In the course of exchange of goods various problems are encountered. The hindrances in the way of smooth trade may be place, person, finance, time, knowledge and risk.

1) Hindrances of place: Generally, all the goods are not consumed at the same place where are produced. The goods are to be taken from a place where there is less demand, to the place where there is more demand. The activity of movement of the goods is called transportation. Thus transport eliminates the hindrances of place.

2) Hindrances of persons: In the present day world the consumers are in millions and it is not possible for the producers to know the consumers who are in need of goods produced by them. A chain of middlemen like wholesalers, retailers, dealers etc. Purchase goods from the producers and take them to the customers. Thus, middlemen remove the hindrances of persons.

3) Hindrances of finance: There is always time lag between the production and sale of goods. It takes time to collect money and hence need finance for trade. Commerce makes exchange of goods and services possible by removing these hindrances through the agency of banks.

4) Hindrances of time: As the goods are produced in anticipation of demand, there is a need to store the until they are required for consumption. Warehousing eliminates the hindrances of time and provides time utility to goods.

5) Hindrances of knowledge: The consumers may not be aware of the availability of various goods in the market. The absence of information is another hindrance. This is eliminated through advertising. Advertisement is done through T.V., radio, news papers, magazines, wall posters, hoardings etc.

6) Hindrances of risk: There are risks involved in production, transporting goods from one place to another, warehousing. The businessmen would like to cover these risks. Insurance companies undertake to compensate the loss suffered due to such risks. So, insurances eliminates hindrances of risks.

Question 7.
Distinguish between trade, commerce and industry.
Answer:
Differences between trade, commerce and industry.

Short Answer Questions

Question 1.
Define Industry.
Answer:
Industry is concerned with the making or manufacturing of goods. It is that part of the production which is involved in changing the form of goods at any stage from raw material to the finished product. E.g.: Weaving woollen yam into cloth. Thus industry imparts form utility in goods.

Question 2.
What is Trade?
Answer:
Trade: Buying and selling of goods and services to earn profit is called trade. The person who undertakes this job is known as trader. It is a branch of commerce.

Trade is a branch of commerce. It connects with buying and selling of goods and services. An individual who does trade is called a trader. Trader transfers the goods from the producer to the consumer.

Trade is classified into two types: (I) Home trade (II) Foreign trade

I) Home trade: Home trade is also known as ‘domestic trade’ or ‘Internal trade’. Home trade is carried on within the boundaries of a nation.
Home trade is again divided into two types:

• Wholesale trade and
• Retail trade

(i) Wholesale trade: It implies buying and selling of goods in large quantities. Traders who engage themselves in wholesale trade are called ‘wholesalers’. Wholesale serves as a connecting link between the producers and the retailers.

(ii) Retail trade: It involves buying and selling of goods in small quantities. Traders en-gaged in retail trade are called ‘retailers’. They serve as a connecting link between wholesalers and consumers.

(II) Foreign trade: It refers to buying and selling of goods and services between two or more countries through international air ports and sea ports. Foreign trade is also known as ‘external trade’ or ‘international trade’. Foreign trade is again may be classified into three categories as mentioned below.

• Export trade: It means the sale of goods to foreign countries. For example India exports tea to the united kingdom.
• Import trade: It refers to the purchase of goods from foreign countries. For instance India buys petrol from Iran.
• Entrepot trade: Importing (buying) goods from one country for the purpose of ex-porting (selling) them to another country is called entrepot trade. This type of trade is also known as ‘re-export’ trade.

Question 3.
State the types of foreign trade.
Answer:
When trade takes place between two countries it is called foreign trade or external trade or international trade. Two countries are involved in foreign trade. External trade generally requires permission from the respective countries. The hindrances of place, time, risk, exchange are overcome with the help of various agencies. Foreign trade may be classified into export trade, import trade and entrepot trade.

1) Export trade: This trade refers to sale of goods to foreign countries.
E.g.: India exports tea to U.K.

2) Import trade: The purchase of goods from other countries is known as import trade.
Ex: India buys petrol from Iran.

3) Entrepot trade: When goods are imported (purchased) from one country with a view to exporting (selling) them to other country, it is called entrepot trade or re-export trade.
Ex: India imported petrol from Iran and export the same to Nepal.

Question 4.
Explain the classification of industries.
Answer:
Classification or types of industries: The industries may be classified as follows.
1) Primary industry: Primary industry is concerned with production of goods with the help of nature. It is nature-oriented industry, which requires very little human effort.
E.g: Agriculture, Farming, Fishing, Horticulture etc.

2) Genetic industry: Genetic industry is related to the reproducing and multiplying of certain species of animals and plants with the object of earning profits from their sale.
E.g: Nurseries, cattle breeding poultry, fish hatcheries etc.

3) Extractive industry: It is engaged in raising some form of wealth from the soil, cli-mate, air, water or from beneath the surface of the earth. Generally the products of extractive industries comes in raw farm and they are used by manufacturing and construction industries for producing finished products.
E.g: Mining, coal, mineral, iron ore, oil industry, extraction of timber and rubber from forests.

4) Construction industry: The industry is engaged in the creation of infrastructure for the smooth development of the economy. It is concerned with the construction, erection or fabrication of products. These industries are engaged in the construction of buildings, roads, dams, bridges and canals.

5) Manufacturing industry: This industry is engaged in the conversion of raw material into semifinished or finished goods. This industry creates form utility in goods by making them suitable for human uses.
E.g: Cement industry, Sugar industry, Cotton textile industry, Iron and Steel industry, Fertiliser industry etc.

6) Service industry: In modern times, service sector plays an important role in the development of the nation and therefore it is named as service industry. These are engaged in the provision of essential services to the community.
E.g: Banking, Trans-port, Insurance etc.

Question 5.
Define ‘Entrepot trade’ with example.
Answer:
When goods are imported from one country and the same are exported to another country, such trade is called entrepot trade.
E.g.:

• India importing wheat from U.S. and exporting the same to Srilanka.
• India imports petrol from Iran and export the same to Nepal.

Very Short Answer Questions

Question 1.
Industry.
Answer:
Industry is concerned with the making or manufacturing of goods. It is that part of the production which is involved in changing the form of goods from raw material to the finished product.
E.g.: Weaving woollen yam into cloth. Thus industry creates form utility in goods.

Question 2.
Commerce.
Answer:

• Commerce is concerned with exchange of goods. It includes all those activities which are related to transfer of goods from the places of production to the ultimate consumer. Commerce embraces all those processes which help to break the barriers between producers and consumers.
• It is the sum total of those processes which are engaged in the removal of hindrances of persons, place, time and exchange.

Question 3.
Trade.
Answer:

• All the activities engaged in buying and selling of goods and services a re called trade.
• Therefore trade includes sale, transfer or exchange of goods and services with the intention of making profit. The object of trade is to make goods available to those who need them and willing to pay for them.
• Trade is the final stage of business activities and involves transfer of ownership.

Question 4.
Home Trade.
Answer:

• The trade is carried on within the boundaries of the nation is called Home Trade. Home trade is also called as internal trade or domestic trade.
• Home trade refers to a trade where buying and selling of goods takes place between the persons who belong to the same country. So, home For movement of goods internal transport system is used.

Question 5.
Entrepot trade.
Answer:

• When goods are imported from one country and the same are exported to another country, such trade is called entrepot trade.
• E.g.: India importing wheat from U.S. and exporting the same to Srilanka.

Question 6.
Transportation.
Answer:
There is a vast distance between centres of production and centres of consumption. Goods are to be moved from the places of production to the place where they are demanded.

• The activity which is concerned with movement of goods is called transportation. Trans-port create place utility.
• There are several kinds of transport such as air, water and land transport. The geo-graphical distance between producers and consumers is removed with the help of transport.

Question 7.
Warehousing.
Answer:

• There is time gap between production and consumption. Hence, it became necessary to make arrangements for storage or warehousing.
• It is one of the aid to trade, which facilitates to store the goods until they get demand or consumed.
• Some goods are to be stored in warehouses till they are demanded. Warehousing creates time utility.

Question 8.
Genetic Industries.
Answer:

• Genetic industry is related to the reproducing and multiplying certain species of animals and plants with the object of earning profit from their sale.
• E.g.: Nurseries, cattle breeding, poultry farm, fish hatcheries etc.

Question 9.
Extractive industries.
Answer:

• These industries are engaged in raising some form of wealth from the soil, climate, air, water or from beneath the surface of the earth. Generally the products of extractive industry comes in raw form and they are used by manufacturing and construction industries for producing finished products.
• E.g.: Mining, coal, mineral, iron ore oil, extraction of timber and rubber from forests.

Question 10.
Banking.
Answer:

• Banking solve the problem of finance.
• Producers and traders require money for carrying on production and trade. Banks are the institutions which supply funds for industries and trade.
• They pool savings from the public and make them available to industry. So, banking is an important function of commerce.

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Commerce Study Material 1st Lesson Introduction to Business Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Commerce Study Material 1st Lesson Introduction to Business

Long Answer Questions

Question 1.
Define Business. Explain its characteristic features.
Answer:
Meaning:

• Business means the state of being busy.
• Business is an economic activity involving production, exchange, distribution and sale of goods and services with an objective of making profits and maximization of wealth.
• The primary intention of business is making profits.

Definitions:

• L.H. Haney: Defined business as “A human activity directed towards producing or acquiring wealth through buying and selling of goods”.
• Stephen son: Defines business as, “The regular production or purchase and sale of goods undertaken with an objective of earning profits and acquiring wealth through the satisfaction of human wants”.
• According to keith and carlo: “Business is a sum of all activities involved in the production and distribution of goods and services for private profits”.

Business may be defined as an economic activity which involves regular transfer or exchange of goods or services for a price.

Characteristics (or) Features:
Following are the main characteristic features of business:
i) Economic Activity: Business is an economic activity. It is performed with the main motive of earning money or profit. It does not include the activities undertaken out of love, affection, charity and religious commitments etc.

ii) Deals with goods and services: Every business enterprise produces or buys goods and services with the intention of selling them to others, to earn profit. Goods deals in business, may be consumer goods or capital goods.

• Consumer goods are meant for direct use by the ultimate consumers, e.g. cloths, note books, tea, bread, etc.
• Capital goods also known as producer goods, which are not intended for direct consumption but used for production of other goods, Equipment, Tools, Raw mate-rials, Machinery etc.

Services like transport, warehousing, banking, insurance, etc. may be considered as intangible and invisible goods. Services facilitate buying and selling of goods by over coming various hindrances in trade.

iii) Creation of utilities: Business makes goods more useful to satisfy human wants. It adds, time, place, form and possession utilities to various types of goods.
For example: It carries goods from place of production to the place of consumption (place utility). It makes goods available for use in future through storage (time utility).

iv) Continuity in dealings: Dealings in goods and services become business only if undertaken on a regular basis. A single isolated transaction of purchase and sale does not constitute business.
Therefore, regulartity of dealings is an essential feature of business.

v) Sale, transfer or exchange: All business activities involve transfer or exchange of goods and services for some consideration. The consideration called price, which is expressed in terms of money.
For example: If a person cooks and serves food to his family, it is not business. But when he cooks food and sells it to others for a price, it becomes business.

vi) Profit motive: The primary objective of business is to earn profits. Profits are essential for the survival as well as growth of any business. Profits must be earned through legal and fair means. Business should never exploit any part of the society to make money.

vii) Risk and uncertainity: Risk means fear of loss. It implies the uncertainly of profit or the possibility of loss. Business enterprises function in uncertain and uncontrollable environment.

Changes in customers tastes and fashions, demand, competition, government policies etc., create risk, flood, fire, earthquake, strike by employees, theft etc., also cause loss. A businessman can reduce risks through correct forecasting and insurance.

viii) Business is also a social institution: Business is also a social institution because it helps to improve the living standards of people through effective utilisation of scarce resources of the society.

ix) Art as well as science: Business can be pressumed as an art as well as science. It is art because it requires personal skills and experience. It is also a science because it is based m certain principles and laws.

Question 2.
Describe various objectives of a business.
Answer:
“An objective is a goal or motive directed towards achievement of predetermined purpose or aim. Hence, every business enterprise has certain objectives. These objectives are broadly classified into four categories viz, economic objectives, social objectives, human objectives and national objectives.

I. Economic Objectives:
Business is basically an economic activity. Therefore, its primary objectives are economic in nature. The main economic objectives of business are as follows.
i) Earning profits:

• Any business enterprise is established for earning some profits. It is the main in-centive and hope to start business.
• Just as a person cannot live without food, a business firm cannot survive without profits.
• Profit is also necessary for the expansion and growth of business.
• Profit also serves as the barometer of economic stability, efficiency and progress of a business enterprise.
• Therefore, profit is essential for the survival of every business.

ii) Creating customers:

• A business man can earn profits only when there are enough customers to buy and pay for his goods and services.
• In the words of peter F. Drucker, “There is only one valid definition of business purpose; to create a customer.
• The customer is the foundation of business and keeps it in existence.
• In order to earn profits, business must supply better quality goods and services at reasonable prices. Therefore, creation and satisfaction of customers is an important economic objective of business.

iii) Innovation:

• Application and adoption of new methods, devices and technologies is called innovation. It also refers to creation of new things resulting from the study and experimentation, research and development.
• It comprises all efforts made in perfecting the product, minimising the costs and maximizing benefits to customers. Business firms invest money, time and efforts in Research and Development (R&D) to introduce innovation.

iv) Optimum Utilization of Resources:

• The best usage of resources like material, machine, men and money is called optimum utilization of resources. It is also one of the important economic objectives.
• Waste control and reprocessing mechanism, providing proper training to its workers and effective spending of money may prompt the business concern to reach the objective of optimum utilization of resources.

II. Social Objectives:
Business does not exist in a vaccum. It is part of society. It cannot survive and grow without the support of society. Business must therefore discharge social responsibilities in addition to earning profits.

According to Henry Ford, ‘The primary aim of business should be service and subsidiary aim should be earning of profits.”

The social objectives of business are as follows:
i) Supplying desired goods and Services at reasonable prices: Supply of goods and services to consumers at reasonable price with the accepted quality is the responsibility of any business entity. It is also the social obligation of business to avoid malpractices like, adulteration, smuggling, black marketing and misleading advertising.

ii) Fair Remuneration to employees: Business must give fair remuneration and compensation to employees for their work. In addition to wages and salary a reasonable part of profits should be distributed among employees by way of bonus. Such sharing of profits will help to increase the motivation and efficiency of employees. It is the obligation of business to provide healthy and safe work environment for employees.

iii) Employment creation: In a country like India unemployment Has become a serious problem and no government can offer jobs to all. Therefore, provision of adequate and full employment opportunities is a significant service to society.

iv) Promotion of social welfare: Business should provide support to social, cultural and religious, organisation. Biteiness enterprise can build schools, college, Libraria, dharmashalas, Hospitals, sports bodies, and research institutions. They can help non-government organisations (NGOs) like CRY (Child Relief and You), Help Age, and other which render services to weaker sections of society.

v) Payment of dues and Taxes to government: Every business enterprise should pay taxes and dues (income tax and GST) to the government honestly and at the right time.

III. Human objectives: Human objectives are concerned with the well being of labour, satisfaction of customers and shareholders. The human objective are as follows.
i) Welfare of workers or staff: The workers should be provided win physical comfort, appreciation and dignity of labour and conditions which will motivate the workers to give their best. Adequate provisions should be made for their health, safety and social security.

ii) Development of human resources: Human resources are the most valuable asset of business and their development will help in the growth of the business. This can be done by training the employees and conducting workshops on skill development and attitude.

iii) Labour participation: The workers should be allowed to take part in decision making process and helps them in their development.

iv) Labour management co-operation: The employees should be looked upon as human beings. The employees help in increasing probability and should be rewarded for their hardwork.

IV. National objectives: The following are the national objectives of the business.
i) Optimum utilisation of resources: Juditions allocation and optimum utilisation of scarce resources is essential for rapid economic growth of the country.

ii) National Self-reliance: It is the duty of the business to help the government, in increasing exports and in reducing dependence on imports. It will help nation to become self-reliant.

iii) Development of small scale industries and MSMEs : Small scale industries are necessary for generating employment opportunities and for providing inputs to large scale industries.

iv) Development of backward areas: In order to achieve balanced regional development, industries should be started at backward regions which helps to raise the standard of living in backward areas.

Question 3.
Discuss the social responsibility of business.
Answer:
Meaning: Every business operates within a society. It uses the resources of the society and depends on the society for its functioning. This creates an obligation on the part of the business to look after the welfare of the society. Therefore, all the activities of the business should be that they will protect and contribute to the interests of the society. Social responsibility of business refers to all such duties and obligations of business directed towards the welfare of the society.

Responsibility towards different interested groups: The business is associated with owners, employees, suppliers, customers, government and society. They are called as interested groups because, every activity of the business will affect the interests directly or indirectly. Various responsibilities of business towards different groups given below:

1) Responsibility towards owners: Owners are the persons who own the business. They contribute the capital and bears the business risks. The responsibilities of business towards them are:

• Running the business efficiently.
• Proper utilisation of capital and other resources.
• Growth and appreciation of capital
• Regular and fair returns on capital invested by way of dividends.

2) Responsibility towards employees: The future of the business depends on the efforts and efficiency of the employees. So, it is the responsibility of the take care of their interest. The responsibilities are:

• Regular and fair payment of their wages and salaries.
• Better working conditions and welfare amenities.
• To improve the skill and efficiency by providing proper training.
• Job security and social security like group insurance, pension, retirement benefits etc.

3) Responsibility towards suppliers: Suppliers are those persons who supply raw ma-terials and other items to the business. The responsibilites towards them are:

• Timely payment of dues.
• Dealing on fair terms and conditions.
• Availing reasonable credit period.

4) Responsibility towards customers: In order to survive, the business responsibility is to provide following facilities of customers:

• Providing qualitative goods and services.
• Charging reasonable prices.
• Giving delivery of goods within stipulated time.
• After sale service.
• Avoiding unfair means like under weighing the product, adulteration etc.

5) Responsibility towards government: Business is governed by the rules and regulations framed by the government. The responsibilities towards government are:

• Payment of fees, duties and taxes honestly and regularly.
• Setting up units as per guidelines of the government.
• Following the pollution control norms.
• Not to indulge in unlawful activities.

6. Responsibility towards society: Business, being a part of the society has to maintain relationship with other members of the society. The responsibility of business towards society is:

• To help weaker and backward sections of the society.
• To generate employment.
• To protect environment.
• To conserve natural resources and wild life.
• To promote sports, social and cultural values.

Question 4.
Classify and describe each type of Economic activities.
Answer:
All human activities are directed towards satisfying human wants. Depending upon the nature of wants, human activities may be categorised as economic and non-economic. Economic activities are undertaken to create utilities. Non – economic activities do not have economic values and these are primarily tend to satisfy social, religious, cultural or sentimental requirements of human beings.

Classification of economic activities: Economic activities are broadly classified into three. They are:

• Business
• Profession
• Employment

1) Business: The business is an activity which is primarily pursued with the object of earning profit. A business activity involves production, exchange of goods and services to earn profits or to earn a living. The word business literally means a state of being busy. Every person is engaged in some kind of occupation, a farmer works in the field, a worker works in the factory, a clerk does his work in the office, a teacher teaches in the class, a salesman is busy in selling the goods and an entrepreneur is busy in running his factory. The primary aim of all these persons is to earn their live¬lihood while doing some work.

2) Profession: Profession is an occupation involving the provision of personal services of a specialised and expert nature. The services are based on professional service of specialised nature. The service is based on professional education, knowledge, train¬ing etc. The specialised service is provided for a professional fees charged from the clients. For instance, a doctor helps his patients through his expert knowledge of the science of medicine and charges a fees for the service. Minimum educational qualifications are prescribed for entry into a profession and every profession requires a high degree of formal education and specialised training in a particular field. For example, a chartered accountant needs to be a member of the Institute of Chartered Accountants of India (ICA1). A person entering law profession has to acquire LL.B degree in order to become a lawyer.

3) Employment or Service: Employment or service involves working under a contract of employment for or under someone known as employer in return for a wage or salary. The person engaged under employment works as per the directions of the employer. There is an employer – employee relationship. A professional may also work under the contract of employment. A Chartered Accountant may be employed by the company The service may be of government department or in a private organisation.

Short Answer Questions

Question 1.
What are the Business objectives?
Answer:
Business objectives are classified as economic, Social, human and national objectives.
1. Economic objectives:

• Earning profit
• Creation of customers
• Innovation
• Optimum utilization of resources.

2. Social objectives:

• Supplying desired goods and services at reasonable prices.
• Fair remuneration to employees
• Creation of employment opportunities
• Promotion of social welfare
• Payment of dues and taxes to Government.

3. Human objectives:

• Welfare of workers or staff
• Development of human resources
• Labour participation in management
• Labour management co-operation.

4. National objectives:

• Optimum utilisation of natural resources
• Self-reliance.
• Development of small scale industries and MSMES
• Development of backward regions.

Question 2.
What are the economic activities.
Answer:
Economic activities are broadly classified into business, profession and employment.

Business: The word business literally means a state of being busy. Every person is engaged in some kind of occupation or other work. The business is an activity which is primarily pursued with the object of earning profit. So, a business activity involves production, exchange of goods and services to earn profits or to earn a living.

Profession: Profession is an occupation involving the provision of personal services of a specialised and expert nature. The service is based on professional education, knowledge, training etc. The specialised service is provided for a professional fees charged from the clients. For example, a doctor helps his patients through his expert knowledge of science of medicine and charges a fees for the service.

Employment: Employment involves working under a contract of employment for or under someone known as employer in return for a salary. The person engaged under employment works as per the directions of the employer.

Question 3.
What are the social objectives?
Answer:
Business does not exist in a vaccum. It is a part of society. It cannot survive and grow without the support of society. Business must therefore discharge social responsibilities in addition to earning profits.

According to Henry Ford, “The primary aim of business should be service and subsidiary aim should be earning of profit”.

The social objectives of business are as follows:
i) Supplying desired goods and services at reasonable prices: Supply of goods and services to consumers at reasonable price with the accepted quality is the responsibility of any business entity. It is also the social obligation of business to avoid malpractices like, adulteration, smuggling, black marketing and misleading advertising.

ii) Fair Remuneration to employees: Business must be given fair remuneration and compensation to employees for their work. In addition to wages and salary a reasonable part of profits should be distributed among employees by way of bonus. Such sharing of profits will help to increase the motivation and efficiency of employees. It is the obligation of business to provide healthy and safe work environment for employees.

iii) Employment Generation: In a country like India unemployment has become a serious problem and no government can offer jobs to all. Therefore, provision of adequate and full employment opportunities is a significant service to society.

iv) Promotion of social welfare: Business should provide support to social, cultural and religious organisations. Business enterprise can build schools, colleges, libraries, dharamashalas, hospitals, sports bodies and research institutions. They can help NGO’s like CRY (Child Relief and You). Help Age, and others which render services to weaker sections of society.

v) Payment of dues and taxes to government: Every business enterprise should pay taxes and dues (income tax and GST) to the government honestly and at the right time.

Question 4.
What are the National objectives?
Answer:
National objectives of business are as follows:
i) Optimum utilisation of resources: Business should use the nation’s resources in the best possible manner. Judicious allocation and optimum utilisation of scarce resources is essential for rapid and balanced economic growth of the country.

ii) National self-reliance: It is the duty of business to help the government in increasing exports and in reducing dependance on imports. This will help a country to achieve economic independence.

iii) Development of MSMEs: Big business firms are expected to encourage growth of micro, small and medium enterprises (MSMEs) which are necessary for generating employment. MSMEs can be developed as ancillaries which provide inputs to large scale industries.

iv) Development of backward classes: Business is expected to give preference to the industrialisation of backward regions of the country. It will also help to raise standard of living in backward areas. Balanced regional development is necessary for peace and progress in the country. Government offers special incentives to the businessmen who setup factories in notified backward areas.

Question 5.
What is the role of profit in business?.
Answer:
Earning profit is necessary not only to pay adequate returns to the investors, but also to maintain the stability of the business. The role of profit in business is given below:

• Profits ensure adequate funds for future expansion and innovation, there by increasing the wealth of country.
• Profits are also helpful to attract new capital from outside sources like banks, Financial Institutions and Investors.
• Profits are serves as the barometer of economic stability, efficiency and progress of a business enterprise.
• Profits enable a businessman to stay in business by maintaining intact the wealth producing capacity of its resources.
• Profits ensure continuous flow of capital for the modernisation of business.

Just as a person cannot line without food, a businesss firm cannot survive without profit. Therefore, profits are essential for every business organisation.

Question 6.
Explain the History of commerce.
Answer:
Commerce is a wider system which is the custome of a gradual evolution spread over a long period of human history and it passes through the following different stages.
i) Household economy: This is the first stage of economic development. At this stage, division of labour was unknown concept at the family level. There was no commercial inter relationship between families. While men engaged in jobs like hunting, fishing, making weapons for hunting etc, women were engaged in fruit gathering, cultivation of lands etc. Therefore, commerce was unknown at this stage.

ii) Primitive Barter Economy: Gradually the need of the families increased and families started specializing in different occupations and the need for exchange of goods, etc., between different families. Thus, commerce originated with introduction of barter systesms. In barter system, the goods are exchanged only. Hence barter system was considered as a popular element of commerce.

iii) The raise of trade: In course of time, the needs of people increased. In the begining, goods were exchanged at particular fixed places, but gradually trade appeared on the scene. Home trade began to develop and assume importance and money appeared as an instrument and medium of exchange. Further, the systems of weights and measurement also came into existence.

iv) Town Economy: At this stage, trade began to be undertaken for catering to the needs of local markets which gradually developed into large town. Further, traders were divided into wholesale and retail merchants. Division of labour become significant and prices for goods began to be fixed regularly and traders started using the credit system in their transactions.

v) International Trade: At this stage, goods were produced not only for selling in the local markets but also in foreign markets. This expansion of trade was due to the industrial revolution which made large scale manufacturing of goods possible. Commercial banks, insurance companies, transport companies, warehousing companies etc began to setup.

vi) E-commerce: It is an innovative business idea in the modem economy e-commerce means electronic commerce. It is the process of buy and sell the goods and services through an electronic medium electric commerce emerged in the early 1990s, and its use has increased at a rapid rate.

Question 7.
What are the economic objectives of the business?
Answer:
Economic objectives:
Business is basically an economic activity. Therefore, its primary objectives are economic in nature. The main economic objectives of business are as follows:

i) Earning profits: Any business enterprise is established for earning some profits. It is the main incentive and hope to start business. Just as a person cannot live without food, a business firm cannot survive without profit. Profit also serves as the barometer of economic activity, efficiency and progress of a business enterprise. Therefore profit is essential for the survival of every business.

ii) Creating customers: A business man can earn profits only when there are enough customers to buy and pay for his goods and services. In the words of Peter F. Drucker, ‘There is only one valid definition of business purpose, to create a customer. The customer is the foundation of business and keeps it in existence. In order to earn profit, business must supply better quality, goods and services at reasonable prices. Therefore, creation and satisfaction of customers is an important economic objective of business.

iii) Innovation: Application and Adoption of new methods, devices and technologies is called Innovation. It also refers to creation of new things resulting from the study and experimentation, research and development. It comprises all efforts made in prefecting the product, minimising the costs and maximizing benefits to customers. Business firms invest money, time and efforts in Research and Development (R and D) to introduce innovation.

iv) Optimum Utilization of Resources: The best usage of resources like material, machine men and money is called optimum utilization of resources. It is also one of the important economic objectives waste control and reprocessing mechanism, providing proper training to its workers and effective spending of money may prompt the business concern to reach the objective of optimum utilization of resources.

Question 8.
What is profession and explain features and objectives of profession.
Answer:
Profession: A profession is an occupation or vocation intended to render personal service of a specialised and expert nature. Profession is based on educational qualification, knowledge and competencies. For providing this service, the service provider may be a doctor, an engineer, lawyer, or a chartered accountant will charge fee on their clients which will be their primary earning.

Following are the salient features of profession:

• A person enters into any particular profession should have Specialized qualification, knowledge and training in that respective profession.
• Person enters into the specialized profession must be the member of respective professional body.
  Ex: Doctors in IMA (Indian Medical Association), Lawyers in Indian Bar Council and chartered Accountant in ICA (Institute of Charatered Accountants of India).
• Person choosing the profession must follows the ethics.
• Professional fee from the clients for providing their specialized services.
• Rendering service legibly is the key factor in any profession.
• Service motive must be an integral part of any profession.
• Some professionals instead of work on their own may also work in organizations as employees and consultants.

Following are the important objectives of any profession:

• To secure respected position in the society.
• To spread the efficiency, skill and knowledge possessed, for the needy people.
• To build career and register growth and development in their respective field.
• To render service.
• To enjoy the freedom of work at the cost low risk.

Question 9.
What is employment and explain the features and objectives of employment.
Answer:
Employment: An employment is a contract of service. A person who works under the contract for a salary or wage is called an employee and the person who has given the job to the employee is called employer. An employee works under an agreement as per the rules of service and performs tasks assigned to him by the employer.

The relationship between two parties will be employer – employee. Working in Banks, offices, hotels, schools and companies are the examples of employment.

Following are the important features of employment:

• Employment contract commences when employee signs the agreement and joins organisation.
• It involves rendering service for periodical remuneration called wage or salary.
• Employment is the contractual relationship between employee and employer.
• Employment will have very low risk and uncertainty, when compared with other economic activities.
• Employee need not invest any capital.
• Employees need to follow service rules and regulations framed by the employer strictly.
• Certain employments required necessary qualifications too.
• There are certain terms and conditions, of work like hours of work, duration of work, leave facility, salary / wages and place of worts in employment, which must be followed by the both employer and employee.

The important object of employment can be prevented as under:

• The basic objective of employment is to earn for their livelihood and support family.
• To get secured and assured wages and salaries.
• To free from risk and uncertainty.
• To keep away from disputes, conflicts and devastations.
• To focus on skill development and career paths for job seekers.

Very Short Answer Questions

Question 1.
Business.
Answer:

• Business means the state of being busy.
• Business is an economic activity involving production, exchange, distribution and sale of goods and services with an objective of making profits and maximization of wealth. The primary intension of business is making profits.

Definition: L.H.Maney defined business as “a human activity directed towards producing or acquiring wealth through buying and selling of goods”.

Question 2.
Human activities.
Answer:

• The activities performed by the human being in their daily life are called human activities. These are undertaken by them to fulfill their needs, desires, wants and luxuries.
• Human activities are divided into two types:
  • Economic activities
  • Non-economic activities.

Question 3.
Profession.
Answer:

• A profession is an occupation or vocation intended to render personal service of a specialized and expert nature. It is part of economic activities undertaken by the human being.
• Always profession is based on educational qualification, knowledge and competencies. A fee is charged for providing professional service.

Question 4.
Employment.
Answer:

• Employment is the relationship between two parties. One party render this service on contractual basis for the remuneration wage or salary.
• Hence the relationship between these two parties will be employer – employee.

Question 5.
Risk and uncertainity.
Answer:

• Risk means fear or loss. It implies the uncertainity of profit or the possibility of loss. Business enterprises function is uncertain and uncontrollable environment.
• Changes in customers tastes and fashions, demand, competition, Government policies etc., create risk. Flood, fire, earthquake, strike by employees, theft etc., also cause loss. A businessman can reduce risks through correct forecasting and insurance.

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 6 Trigonometric Ratios up to Transformations to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 1st Year Maths 1A Trigonometric Ratios up to Transformations Important Questions

Question 1.
Prove that \(\frac{\cos 9^{\circ}+\sin 9^{\circ}}{\cos 9^{\circ}-\sin 9^{\circ}}=\cot 36^{\circ}\)
Solution:

Question 2.
Find the period of the function defined by f (x) = tan (x+ 4x + 9x+…………+ n²x)
Solution:
The given function is

Question 3.
If A is not an integral multiple of \(\frac{\pi}{2}\), prove that
(i) tan A + cot A = 2 cosec 2A
(ii) cot A – tan A = 2 cot 2A
Solution:

Question 4.
If ABC are angle of a triangle then prove that
\(\begin{aligned} \sin ^2 \frac{A}{2} & +\sin ^2 \frac{B}{2}-\sin ^2 \frac{C}{2} \\
& =1-2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2}-\sin ^2 \frac{C}{2} \end{aligned}\)
Solution:

Question 5.
If tan 20° = λ then show that
\(\frac{\tan 160^{\circ}-\tan 110^{\circ}}{1+\tan 160^{\circ} \tan 110^{\circ}}=\frac{1-\lambda^2}{2 \lambda}\)
Solution:

Question 6.
If \(\cos \theta+\sin \theta=\sqrt{2} \cos \theta\) then show that \(\cos \theta-\sin \theta=\sqrt{2} \sin \theta\)
Solution:

Question 7.
Show that cos 340° cos 40° + sin 200° sin 140°=\(\frac{1}{2}\)
Solution:
LH.S = cos 3400 cos 40° + sin 2000 sin 140°
= cos (360 – 20°) cos 40° + sin (180 + 20°) sin (180 – 40°)
= cos 20° cos 40° – sin 20° sin 40°
= cos (20° + 40°) = cos 60° = R.H.S

Question 8.
Find the value of tan 100° + tan 125° + tan 100° + tan 125°
Solution:
We have tan 100° + tan 125° = 225

Question 9.
Prove that tan 500° – tan 400° = 2 tan 10°
Solution:

Question 10.
Show that cos 42° + cos 78° + cos 162° = 0
Solution:

Question 11.
Find the value of \(\cos ^2 52 \frac{1}{2}^{\circ}-\sin ^2 22 \frac{1}{2}^{\circ}\)
Solution:

Question 12.
If A+B+C= \(\frac{\pi}{2}\) then show that cos A + cos B + cos C
Solution:

Question 13.
If tanθ=\(\frac{b}{a}\) then prove that a cos bθ + b sinθ = a
Solution:

Question 14.
If A + B + C = 1800 than show that sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C
Solution:
A+B+C=180°
⇒ sin (A + B) = sin C
L.H.S = sin 2A sin 2B + sin 2C
\(=2 \sin \left(\frac{2 \mathrm{~A}+2 \mathrm{~B}}{2}\right) \cos \left(\frac{2 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B}}{2}\right)+\sin 2 \mathrm{C}\)
= 2 sin (A+B) cos (A – b) + 2 sin C cos C
= 2 sin C cos(A-B) + 2 sinC cosC
= 2 sin C [ cos (A –  B) + cos C]
= 2 sinC [cos(A – B) – cos(A+B)
= 2 sinC (2 sin A sin B)= 4 sin A sin B sin C
= R.H.S

Question 15.
If A, B, C and angles in a triangle then prove that cos A + cos B + cos C
\(=1+4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}\)
Solution:

Question 16.
If ABC are the angles in a triangle then prove that \(\sin \frac{A}{2}+\sin \frac{B}{2}+\sin \frac{C}{2}=1+4 \sin \left(\frac{\pi-A}{4}\right) \sin \left(\frac{\pi-B}{4}\right) \sin \left(\frac{\pi-C}{4}\right)\)
Solution:

Question 17.
Find the values of
i) sin \(\frac{5 \pi}{3}\)
ii) tan (885)°
iii) sec \(\left(\frac{13 \pi}{3}\right)\)
Solution:

Question 18.
Simplify
(i) \(\cot \left(\theta-\frac{13 \pi}{3}\right)\)
(ii) \(\tan \left(-23 \frac{\pi}{3}\right)\)
Solution:
(i) \(\cot \left(\theta-\frac{13 \pi}{3}\right)\)

(ii) \(\tan \left(-23 \frac{\pi}{3}\right)\)
Solution:

Question 19.
Find the value of \(\begin{aligned} \sin ^2 \frac{\pi}{10} & +\sin ^2 \frac{4 \pi}{10}+ \sin ^2 \frac{6 \pi}{10}+\sin ^2 \frac{9 \pi}{10} \end{aligned}\)
Solution:

Question 20.
If sinθ= \(\frac{4}{5}\) and θ is not in the first quadrant, find the value of cos θ
Solution:
Since θ is not in the first quadrant and sin θ >0 we have 90°< θ < 180°
∴  \(\cos \theta=\sqrt{1-\sin ^2 \theta}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-3 / 5\)

Question 21.
If sec θ+tan θ=\(\frac{2}{3}\) find the value of sin θ and determine the quadrant in which θ lies.
Solution:

Since tan θ is negative, sec θ is positive
∴ θ lies in fourth quadrant.

Question 22.
Prove that \(\begin{array}{r} \cot \frac{\pi}{16} \cdot \cot \frac{2 \pi}{16} \cdot \cot \frac{3 \pi}{16} \cdots \\ \cot \frac{7 \pi}{16}=1 \end{array}\)
Solution:

Question 23.
If 3 sin θ + 4 cos θ = 5 then find the value of 4 sinθ  – 3 cos θ.
Solution:

Question 25.
Prove that (tanθ + cot θ)² = sec²θ + cosec²θ = sec² θ cosec²θ
Solution:

Question 26.
If  cos θ > θ , tan θ+ sin θ = m and tan θ – sin θ = n then show that m² – n² = \(4 \sqrt{m n}\)
Solution:
Given that m = tan θ + sin θ
n tan θ – sin θ
∴ m+ n = 2tanθ,m – n= 2 sinθ
and (m + n)(m – n) = 4 tanθ sinθ

Question 27.
Find the rules of sin 75°, cos 75°, tan 75° and cot 75°
Solution:

Question 28.
Prove that \(\sin ^2 52 \frac{1}{2}^{\circ}-\sin ^2 22 \frac{1}{2}^{\circ}=\frac{\sqrt{3}+1}{4 \sqrt{2}}\)
Solution:

Question 29.
Prove that tan 700 tan 200 = 2 tan 50°
Solution:

Question 30.
Express \(\sqrt{3} \sin \theta\) sinθ + cosθ as a sine of an angle
Solution:

Question 31.
Prove that \(\sin ^2 \theta+\sin ^2\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)+\sin ^2\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3}{2}\)
Solution:

Question 32.
Let ABC be a triangle such that \(\cot A+\cot B+\cot C=\sqrt{3}\) then prove that ABC is an equilateral triangle.
Solution:
Given that \(\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=180^{\circ}\)

Question 33.
Suppose x= tan A, y = tan B, z = tan C Suppose none of A,B,C,A-B,B-C, is an odd multiple of \(\frac{\pi}{2}\) then prove that \(\Sigma\left(\frac{x-y}{1+x y}\right)=\Pi\left(\frac{x-y}{1+x y}\right)\)
Solution:
\(\frac{1}{2}^{\circ}\) lies in first quadrant and hence all ratios are position.


Question 35.
Find the rules of
(i) \(\sin 67 \frac{1}{2}^{\circ}\)
(ii) \(\cos 67 \frac{1}{2}^{\circ}\)
(iii) \(\tan 67 \frac{1}{2}^{\circ}\)
(iv) \(\cot 67 \frac{1}{2}^{\circ}\)
Solution:

Question 36.
Simplify \(\frac{1-\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta}\)
Solution:

Question 37.
If \(\cos A=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2 \sqrt{2}}}\) find the value of cos 2A
Solution:

Question 38.
If \(\cos \theta=-\frac{5}{13}\) and \(\frac{\pi}{2}<\theta<\pi\) find the value of  sin 2θ
Solution:

Question 39.
For what values of x in the first quadrant \(\frac{2 \tan x}{1-\tan ^2 x}\) is positive?
Solution:

Question 40.
If \(\cos \theta=-3 / 5\) and \(\pi<\theta<\frac{3 \pi}{2}\) find the value of \(\tan \frac{\theta}{2}\)
Solution:

Question 41.
If θ is not an integral multiple of \(\frac{\pi}{2}\) prove that tanθ + 2 tan 2θ + 4 tan 4θ + 8 cot 8θ = cot θ.
Solution:
We have cotA –  tan A = 2 cot 2A
tan A = cot A – 2 cot 2A
tanθ+ 2tan2θ+4tan4θ+8cot8θ
= (cotθ  – 2 cot 2θ) +2 (cot 2θ – 2 cot 4θ) + 4 (cot 4θ – 2 cot 8θ) + 8 cot 8θ= cot θ

Question 42.
For A∈R prove that
(i) sin A sin \(\left(\frac{\pi}{3}+A\right) \sin \left(\frac{\pi}{3}-A\right)=\frac{1}{4}\) sin 3A
(ii) cos A cos \(\left(\frac{\pi}{3}+A\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}-A\right)=\frac{1}{4}\) cos 3A
iii) sin 20° sin 40° sin 60° sin 80° = \(\frac{3}{16}\)
iv) \(\cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2 \pi}{9} \cos \frac{3 \pi}{9} \cos \frac{4 \pi}{9}=\frac{1}{16}\)
Solution:

Question 43.
If 3A is not an odd multiple of \(\frac{\pi}{2}\), prove that tan A tan(60+A) tan(60-A) = tan 3A and hence find the value of \(\tan 6^{\circ} \tan 42^{\circ} \tan 66^{\circ} \tan 78^{\circ}\)
Solution:

Question 44.
For α,β∈R prove that (cosα + cosβ)² + (sinα +sinβ)² = 4 cos² \(\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\)
Solution:

Question 45.
If a, b, c are non-zero real numbers and a, are solutions of the equation a cosθ + b sinθ=c then show that

Solution:
Given acosθ + bsinθ = c
a cos θ = c  b sin e
= a² cos²θ = C² –  2bc sin θ + b² sin² θ
⇒ a² (1 – sin² θ) = c² – 2bc sin θ + b² sin² θ
⇒ (b+a) sin² θ- 2bc sinθ + (C² – a²) = θ
This is a quadrant equation in sin θ and suppose sin α, sin β are roots of the equation
∴ given α, β are solutions of the equation

Question 46.
If θ is not an odd multiple of \(\frac{\pi}{2}\) and \(\cos \theta=-\frac{1}{2}\) prove that \(\frac{\sin \theta+\sin 2 \theta}{1-\cos \theta+\cos 2 \theta}=\tan \theta\)
Solution:

Question 47.
Prove that
\(\sin ^4 \frac{\pi}{8}+\sin ^4 \frac{3 \pi}{8}+\sin ^4 \frac{5 \pi}{8}+\sin ^4 \frac{7 \pi}{8}=\frac{3}{2}\)
Solution:

Question 48.
If none of 2A and 3A is an odd multiple of \(\frac{\pi}{2}\) then prove that
tan 3A tan 2A tanA = tan 3A – tan 2A – tan A
Solution:
We have 3A = 2A+A
∴ tan 3A = tan (2A+A)
\(=\frac{\tan 2 A+\tan A}{1-\tan 2 A \tan A}\)
⇒ tan 2A + tan A tan 3A (1 – tan 2A tanA)
⇒ tan A tan2A tan 3A = tan 3A – tan 2A – tan A

Question 49.
Prove tant sin 78° + cos 132° = \(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)
Solution:

Question 50.
Prove tant sin 21° cos 9° – cos 84°  cos 6°  = \(\frac{1}{4}\)
Solution:

Question 51.
Find the value of sin 34° + cos 64°- cos 4°
Solution:

Question 52.
Prove that cos² 76°+cos² 16°- cos 76° cos 16° \(=\frac{3}{4}\)
Solution:

Question 53.
If a, b ≠ 0 and sin x+sin y=a and cos x+cos y=b find two values of
(i) \(\tan \left(\frac{x+y}{2}\right)\)
ii) \( \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)\) is terms of a and b
Sol.
i) Given sin x+sin y=a and cos x+cos y=b we have

ii) consider
a². b² = (sin x + sin y)² + (cos x + cos y)²
= sin²x + cos² x + sin² y cos² y
+ 2 (sin x sin y + cos x cos y)
= 2. 2 cos (x – y)
= 2[1 .cos (x-y)]

Question 54.
Prove that cos 12°+ cos 84°+cos 132°+cos 156°
Solution:

Question 55.
Show that for any 0∈ R \(4 \sin \frac{5 \theta}{2} \cos \frac{3 \theta}{2} \cos 3 \theta \) sinθ – sin 2θ+ sin 4θ +sinθ
Solution:

⇒ 2 cos 3θ [ sin 4θ + sin θ]
⇒ 2 cos 3θ sin 4θ + 2 cos 3θ sin θ
⇒ sin (4θ + 3θ) sin (4θ – 3θ) + sin 4θ + sin (-2θ)
⇒ sin7θ+ sinθ + sin4θ – sin2θ
⇒ sin θ – sin 2θ+ sin 4θ – sin 7θ = R. H. S.

Question 56.
If none of A, B, A + B is an integral multiple of π, then prove that
\(\begin{aligned} \frac{1-\cos A+\cos B-\cos (A+B)}{1+\cos A-\cos B-} & \cos (A+B) \\ =\tan \frac{A}{2} \cot \frac{B}{2} \end{aligned}\)
Solution:

Question 57.
For any α∈R prove that cos²

Solution:

Question 58.
Suppose (α-β) is not an odd multiple of \(\frac{\pi}{2}\), m is a non zero number such that m ≠ – 1 and \(\frac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha-\beta)}=\frac{1-m}{1+m} \quad\) then prove that \(\tan \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=m \cdot \tan \left(\frac{\pi}{4}+\beta\right)\)
Solution:


Question 59.
If A,B, C are the angles of a triangle prove that sin 2A + sin 2B – sin 2C 4 cos A cos B sin C
Solution:
Given A, B, C are the angles of a triangle
A+B+C= π
∴ sin 2A + sin 2B – sin 2C
= sin 2A + 2cos (B + C) sin (B-C)
= sin 2A-2cosAsin (B-C)
=2 sinA cosA-2cosA sin(B – C)
= 2 cosA [sinA-sin(B  – C)]
= 2 cosA [sin(B+C)-sin(B-C)]
= 2 cos A (2 cos B sin C)
= 4 cos A cos B sin C

Question 60.
If A, B, C are angles of a triangle prove that cos 2A + cos 2B – cos 2C = 1 – 4 sin A sin B cos C
Solution:
Given A + B + C = it, we have
cos 2A + cos 2B – cos 2C
=cos2A – 2sin (B+C) sin(B-C)
cos2A – 2sinA sin(B-C)
=1 – 2 sin2A – 2sinA sin(B – C)
= 1 – 2 sinA [sin A + sin (B-C)]
= 1 – 2 sinA [sin (B+C) + sin (B-C)]
= 1 – 2 sinA (2 sin B cos C)
= 1 – 4 sin A sin B cos

Question 61.
If A, B, C are angles in a triangle then prove that
(i) sin A + sin B + sin C = 4 \(\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}\)
(ii) cos A + cos B + cos C = \(1+4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}\)
Solution:

Question 62.
If A+B+C = \(\frac{\pi}{2}\) than show that
sin² A+ sin² B+ sin² C = 1-2 sin A sin B sin C
Solution:
Given A+B + C = \(\frac{\pi}{2}\)
L.H.S = sin² A + sin² B + sin² C
= sin² A. sin² B + 1- cos² C
= 1 + sin² A – (cos² C – sin2 B)
= 1 + sin² A-cos (C-B) cos (C-B)
=1 +sin²A-sinAcos(C-B)
= 1 +sinA [sinA – cos(B-C)]
= 1sinA [cos(B+C) – cos(B-C)]
= 1-sin A [ 2 sin B sin C]
1-2 sin A sin B sin C = R. H. S

Question 63.
If A+B+C=\(\frac{3 \pi}{2}\),prove that
cos2A+cos 2B+cos 2C = 1-4sinA sinB sinC
Solution:
LH.S. = cos2A + cos2B + cos2C
= 2cos(A+B)cos(A-B) +cos2
=-2smCcos(A-B)+ 1-2sm C
[A+B= \(\frac{3 \pi}{2}\) – C=cos(A+B)=-sinC]
=1-2 sin C[cos(A-B).sinC]
= 1-2 sin C[cos(A-B)-cos(A+B)]
= 1-2 sinC[2sinA sinB]
= 1-4 sin A sinB sinC=RH.S

Question 64.
If A,B,C are angles of a triangle then prove that

Solution:

Question 65.
IfA+B+C = 0 then prove that
cos²A +cos² B + cos²C = 1+2 cosA cosB cosC
Solution:
L.H.S = cos A. cos² B + cos² C
= cos² A . cos² B. + 1 – sin.² C
= 1 + cos² A + cos (B + C) cos (B – C)
( ∵ A+B+C = 0 cos(B+C) = cosA)
= 1  + cos² A + cos A cos (B – C)
= 1+ cosA [cosA+cos(B-C)]
1 – cos A [cos(B+ C) +cos(B-C)]
= 1 +cosA [2 cosB cosC]
= 1 .2 cosA cosB cosC = R.H.S

Question 66.
If A+B+C=2S then prove that
cos (S – A) + cos (S – B) + cos (S – C) + cos S = \(4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}\)
Solution:

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 5 Products of Vectors to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 1st Year Maths 1A Products of Vectors Important Questions

Question 1.
If \(\overline{\mathbf{a}}=\overline{\mathbf{i}}+2 \overline{\mathbf{j}}-3 \overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=3 \overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{j}}+2 \overline{\mathbf{k}}\) then show that \(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{a}}-\overline{\mathbf{b}}\) are perpendicular.
Solution:

Question 2.
If the Vectors \(\lambda \overline{\mathbf{i}}-\overline{3} \overline{\mathbf{j}}+5 \overline{\mathrm{k}}, 2 \lambda \overline{\mathrm{i}}-\lambda \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathrm{k}}\) are perpendicular to each other find λ.
Solution:

Question 3.
If \(\overline{\mathbf{a}}\) =6 \(\overline{\mathrm{i}}+2 \overline{\mathrm{j}}+3 \overline{\mathrm{k}}\) and \(\overline{\mathbf{b}}=2 \overline{\mathbf{i}}-9 \overline{\mathrm{j}}+6 \overline{\mathrm{k}}\) then find \(\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{b}}\) and the angle between \(\overline{\mathbf{a}}\) and \(\overline{\mathbf{b}}\).
Solution:

Question 4.
Let \(\overline{\mathbf{a}}=2 \overline{\mathbf{i}}+4 \overline{\mathbf{j}}-5 \overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathrm{k}}\) and \( \overline{\mathbf{c}}=\overline{\mathbf{i}}+2 \overline{\mathrm{k}}\). Find unit vector in the opposite direction of \(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}}\)
Solution:

Question 5.
Let \(\bar{a}\) and \(\bar{b}\) be non zero, non collinear vectors. If \(|\overline{\mathbf{a}}+\bar{b}|=|\overline{\mathbf{a}}-\bar{b}|\) then find the angle between \(\bar{a}\) and \(\bar{b}\).
Solution:

Question 6.
If \(|\overline{\mathbf{a}}|=11,|\bar{b}|=23 \text { and }|\overline{\mathbf{a}}-\overline{\mathbf{b}}|\) = 30 then find the angle between the vectors \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}\), and also find \(|\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}|\)
Solution:

Question 7.
If \(\overline{\mathbf{a}}=\overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=2 \overline{\mathbf{i}}-3 \overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}\) then find the projection vector of \(\overline{\mathbf{b}} \text { on } \bar{a}\) and its magnitude.
Solution:
Projection vector of \(\overline{\mathbf{b}} \text { on } \bar{a}\) is

Question  8.
If P, Q, R, S are points whose position vectors are \(\overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{k}},-\overline{\mathbf{i}}+\mathbf{2} \overline{\mathbf{j}}, 2 \overline{\mathbf{i}}-3 \overline{\mathbf{k}}\) and 3 \(\overline{\mathbf{i}}-2 \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}\) respectively, then find the component of \(\overline{\mathbf{R S}}\) on \(\overline{\mathbf{P Q}}\).
Solution:
Let O be the origin.

Question 9.
Let \(\overline{\mathbf{a}}=2 \overline{\mathbf{i}}+3 \overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=4 \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}\) and \(\bar{c}=\overline{\mathbf{i}}-3 \overline{\mathbf{j}}-7 \overline{\mathbf{k}}\). Find the vector \(\overline{\mathbf{r}}\) such that \(\overline{\mathbf{r}} \cdot \overline{\mathbf{a}}=9, \overline{\mathbf{r}} \cdot \overline{\mathbf{b}}=7 \text { and } \overline{\mathbf{r}} \cdot \overline{\mathbf{c}}=6\)
Solution:
Let \(\bar{r}=x \bar{i}+y \bar{j}+z \bar{k}\)

Question 10.
Show that the points \(2 \bar{i}-\bar{j}+\bar{k}, \bar{i}-3 \bar{j}-5 \bar{k}\) and \( 3 \bar{i}-4 \bar{j}-4 \bar{k}\) are the vertices of a right angled triangle. Also find the other angles.
Solution:
Let O be the origin and A,B,C  be the given points, then

Question 11.
Prove that the smaller angle O between any two diagonals of a cube is given by \(\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\)
Solution:
Consider a unit cube with its vertices as shown in the figure


Similarly we can show the result for any other two diagonals of the cube.

Question 12.
Let \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) be non zero mutually orthogonal
vectors if \(\mathbf{x} \overline{\mathbf{a}}+\mathbf{y} \overline{\mathbf{b}}+\mathbf{z} \overline{\mathbf{c}}=\overline{\mathbf{0}}\) then x = y = z = 0
Solution:

Question 13.
If \(4 \bar{i}+\frac{2 p}{3} \bar{j}+p \bar{k}\) is parallel to the vector \(\overline{\mathbf{i}}+2 \overline{\mathbf{j}}+3 \overline{\mathbf{k}}\). find p.
Solution:

Question 14.
Let \(\overline{\mathbf{a}}\) and \(\overline{\mathbf{b}} \) be vectors satisfying \(|\overline{\mathbf{a}}|=|\bar{b}|=5\) and \((\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}})=45^{\circ}\)
Solution:

Question 15.
Let \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) be mutually orthogonal vectors of equal magnitudes. Prove that the vector \(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}}\) is equally inclined to each of \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}\) and \(\overline{\mathbf{c}}\), the angle of inclination being \(\cos ^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
Solution:

Similarly we can show the result for any other two diagonals of the cube.

Question 16.
The vectors \(\overline{\mathrm{AB}}=3 \overline{\mathrm{i}}-2 \overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}\) and \(\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{i}}-2 \overline{\mathrm{k}}\) represent the adjacent sides of a parallelogram A B C D. Find the angle between the diagonals.
Solution:

Question 17.
For any two vectors \(\bar{a}\) and \(\bar{b}\) show that
(i) \(|\overline{\mathbf{a}} \cdot \overline{\mathbf{b}}| \leq|\overline{\mathbf{a}}||\overline{\mathbf{b}}|\) (Cauchy – Schawartz in equality)
(ii) \(|\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}| \leq|\overline{\mathbf{a}}|+|\overline{\mathbf{b}}|\)(Triangle inequality)
Solution:

Question 18.
Find the area of parallelogram for which the vectors \(\overline{\mathbf{a}}=2 \overline{\mathbf{i}}-3 \overline{\mathbf{j}} \text { and } \overline{\mathbf{b}}=3 \overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{k}}\) are adjacent sides.
Solution:
The vector area of the parallelogram

Question 19.
Let \(\overline{\mathbf{a}}=\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{j}}+\mathbf{3} \overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{c}}=\overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{j}}\) and \(\bar{d}=6 \bar{i}+2 \bar{j}+3 \bar{k}\). Express \(\bar{d}\) interms of \(\overline{\mathbf{b}} \times \overline{\mathbf{c}}, \overline{\mathbf{c}} \times \overline{\mathbf{a}}\) and \(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}\).
Solution:



Question 20.
Show that the angle in a semicircle is a right angle.
Solution:
Let O be the centre and AOB be the diameter of the given semicircle. Let P be any point on it. Let the position vectors of A and P be taken as \(\overline{\mathrm{a}}\) and \(\overline{\mathrm{p}}\)

Question 21.
For any vectors \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}\) and \(\overline{\mathbf{c}}\) prove that \((\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}) \times \overline{\mathbf{c}}=(\overline{\mathbf{a}} \cdot \overline{\mathbf{c}}) \overline{\mathbf{b}}-(\overline{\mathbf{b}} \cdot \overline{\mathbf{c}}) \overline{\mathbf{a}}\)
Solution:

Question 22.
Find the cartesian equation of the plane passing through the point (-2,1,3) and perpendicular to the vector 3 \(\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\mathbf{5} \overline{\mathbf{k}}\).
Solution :

Question 23.
Find the cartesian equation of the plane through the point A (2, – 1, -4) and parallel to the plane 4x – 12y – 3z – 7 = 0.
Solution:
The equation of the parallel plane is 4x- 12y-3z = p
11 passes through A (2, – 1, – 4) then
4(2)-12 (- 1)-3(-4) = p
⇒ 8 + 12 + 12 = p = p = 32
The equation of the required plane is
4x- 12y-3z = 32

Question 24.
Find the angle between the planes
2x – 3y – 6z = 5 and 6x + 2y – 9z = 4.
Solution:
Equation of the plane is 2x – 3y – 6z = 5

Question 25.
Find limit vector orthogonal to the vector \(3 \bar{i}+2 \bar{j}+6 \bar{k}\) and coplanar with the vectors
\(2 \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}} \text { and } \overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}\)
Solution:

Question 26.
If \(\overline{\mathbf{a}}=2 \overline{\mathbf{i}}-3 \overline{\mathbf{j}}+5 \overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=-\overline{\mathbf{i}}+4 \overline{\mathbf{j}}+2 \overline{\mathbf{k}}\) then find \(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}\) and unit vector perpendicular to both \(\overline{\mathbf{a}}\) and \(\overline{\mathbf{b}}\).
Solution:

Question 27.
If \(\overline{\mathbf{a}}=2 \overline{\mathrm{i}}-3 \overline{\mathrm{j}}+5 \overline{\mathrm{k}}, \overline{\mathrm{b}}=-\overline{\mathrm{i}}+4 \overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}\) then find \((\bar{a}+\bar{b})_{\times}(\bar{a}-\bar{b})\) and unit vector perpendicular to both \(\overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}\) and \(\overline{\mathbf{a}}-\overline{\mathbf{b}}\).
Solution:

Question 28.
If \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}, \overline{\mathbf{d}}\) are vectors such that \(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{c}} \times \overline{\mathbf{d}}\) and \(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{c}}=\overline{\mathbf{b}} \times \overline{\mathbf{d}}\) then show that the vectors \(\overline{\mathbf{a}}-\overline{\mathbf{d}}\) and \(\overline{\mathbf{b}}-\overline{\mathbf{c}}\) are parallel.
Solution:

Question 29.
Find the area of the triangle formed by the two sides \(\overline{\mathbf{a}}=\overline{\mathbf{i}}+2 \overline{\mathbf{j}}+3 \overline{\mathbf{k}}\) and \(\overline{\mathbf{b}}=3 \overline{\mathbf{i}}+5 \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}\).
Solution:

Question 30.
In a \(\triangle \mathrm{ABC}\) if \(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{CA}}=\overline{\mathrm{b}}\) and \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathbf{c}}\) then show that \(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{b}} \times \overline{\mathbf{c}}=\overline{\mathbf{c}} \times \overline{\mathbf{a}} \cdot\)
Solution:

Question 31.
Let \(\overline{\mathbf{a}}=\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}\) and \(\overline{\mathbf{b}}=3 \overline{\mathbf{i}}+4 \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}\). If ‘θ’ is the angle between \(\bar{a}\) and \(\bar{b}\) then find \(\sin \theta\)
Solution:
\(\bar{a}=2 \bar{i}-\bar{j}+\bar{k}, \bar{b}=3 \bar{i}+4 \bar{j}-\bar{k}\)

Question 32.
Let \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) be such that \(\overline{\mathbf{c}} \neq \overline{\mathbf{0}}, \overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{c}}, \overline{\mathbf{b}} \times \overline{\mathbf{c}}=\overline{\mathbf{a}}\). Show that \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) are pair wise orthogonal vectors and \(|\overline{\mathbf{b}}|=1,|\overline{\mathbf{c}}|=|\overline{\mathbf{a}}|\).
Solution:

Question 33.
Let \(\overline{\mathbf{a}}=2 \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}-2 \overline{\mathbf{k}}\); \(\overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}\). If \(\bar{c}\) is a vector such that \(\overline{\mathbf{a}} \cdot \overline{\mathbf{c}}=|\overline{\mathbf{c}}|,|\overline{\mathbf{c}}-\overline{\mathbf{a}}|=2 \sqrt{2}\) and the angle between \(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathrm{b}}\) and \(\overline{\mathrm{c}}\) is 30° then find the value of \(|(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}) \times \overline{\mathbf{c}}|\).
Solution:

Question 34.
Let \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}\) be two non-collinear unit vectors if \(\bar{\alpha}=\overline{\mathbf{a}}-(\overline{\mathbf{a}} \cdot \overline{\mathbf{b}}) \overline{\mathbf{b}}\) and \(\bar{\beta}=\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}\) then show that \(|\bar{\beta}|=|\bar{\alpha}|\).
Solution:

Question 35.
A non zero vector \(\overline{\mathbf{a}}\) is parallel to the line of intersection of the plane determined by the vectors \(\overline{\mathbf{i}}, \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}\) and the plane determined by the vectors \(\overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{j}}, \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{k}}\). Find the angle between \(\bar{a}\) and the vector \(\bar{i}-2 \bar{j}+2 \bar{k}\).
Solution:
Let l be the line of intersection of planes determined by the pairs \(\bar{i}, \bar{i}+\bar{j}\) and

Question 36.
Let \(\overline{\mathbf{a}}=4 \overline{\mathbf{i}}+5 \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}\), \(\overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{i}}-4 \overline{\mathbf{j}}+5 \overline{\mathbf{k}}\) and \(\overline{\mathbf{c}}=3 \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}\). Find the vector α which is perpendicular to both \(\bar{a}\) and \(\bar{b}\) and \(\alpha \cdot \overline{\mathbf{c}}\) = 21 \(\bar{\alpha}\) is perpendicular to both \(\bar{a}\) and \(\bar{b}\)
Solution:

Question 37.
For any vector \(\overline{\mathbf{a}}\) show that
\(|\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{i}}|^2+|\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{j}}|^2+|\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{k}}|^2=2|\overline{\mathbf{a}}|^2\)
Solution:

Question 38.
If \(\bar{a}\) is a non zero vector and \(\bar{b}\) and \(\bar{c}\) are two vectors such that \(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{c}}\) and \(\overline{\mathbf{a}} \cdot \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{a}} \cdot \overline{\mathbf{c}}\) then prove that \(\overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{c}}\)
Solution:

Question 39.
Prove that the vectors \(\overline{\mathbf{a}}=2 \overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}, \overline{\mathbf{b}}=\overline{\mathbf{i}}-3 \overline{\mathbf{j}}-5 \overline{\mathbf{k}}\) and \(\overline{\mathbf{c}}=3 \overline{\mathbf{i}}-4 \overline{\mathbf{j}}-4 \overline{\mathbf{k}}\) are coplanar.
Solution:
\(\bar{a}=2 \bar{i}-\bar{j}+\bar{k}\)

Question 40.
Find the volume of the parallelopiped whose coterminous edges are represented by the vectors \(2 \bar{i}-3 \bar{j}+\bar{k}, \bar{i}-\bar{j}+2 \bar{k}\) and \(\mathbf{2} \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}\)
Solution:

Question 41.
Show that
\(\overline{\mathbf{i}} \times(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{i}})+\overline{\mathbf{j}} \times(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{j}})+\overline{\mathbf{k}} \times(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{k}})=2 \overline{\mathbf{a}}\) For any vector \(\overline{\mathbf{a}}\).
Solution:

Question 42.
Prove that for any three vectors \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}} \left[\begin{array}{lll}
\bar{b}+\bar{c} & \bar{c}+\overline{\mathbf{a}} & \overline{\mathbf{a}}+\bar{b}
\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{lll}
\overline{\mathbf{a}} & \bar{b} & \overline{\mathbf{c}}
\end{array}\right]\)
Solution:

Question 43.
For any three vectors \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) prove that
\(\left[\begin{array}{lll}
\overline{\mathbf{b}} \times \overline{\mathbf{c}} & \overline{\mathbf{c}} \times \overline{\mathbf{a}} & \overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
\overline{\mathbf{a}} & \overline{\mathbf{b}} & \overline{\mathbf{c}}
\end{array}\right]^2 \cdot(\mathbf)\)
Solution:

Question 44.
Let \(\bar{a}, \bar{b}\) and \(\bar{c}\) be unit vectors such that \(\bar{b}\) is not parallel to \(\overline{\mathbf{c}}\) and \(\overline{\mathbf{a}} \times(\overline{\mathbf{b}} \times \overline{\mathbf{c}})=\frac{1}{2} \overline{\mathbf{b}}\). Find the angles made by \(\bar{a}\) with each of \(\overline{\mathbf{b}}\) and \(\overline{\mathbf{c}}\).
Solution:

Question 45.
For any four vectors \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) and \(\overline{\mathbf{d}}\).
Prove that \((\bar{b} \times \overline{\mathbf{c}}) \cdot(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{d}})+(\overline{\mathbf{c}} \times \overline{\mathbf{a}}) \cdot(\overline{\mathbf{b}} \times \overline{\mathrm{d}}) +(\overline{\mathbf{a}} \times \overline{\mathbf{b}}) \cdot(\overline{\mathbf{c}} \times \overline{\mathbf{d}})=0(\mathrm)\)
Solution:

= 0

Question 46.
Find the equation of the plane passing through the points \(\mathrm{A}=(2,3,-1), \mathrm{B}=(4,5, 2)\) and C=(3,6,5).
Solution:
Let \(\overline{\mathrm{OA}}=2 \overline{\mathrm{i}}+3 \overline{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{k}}
\overline{\mathrm{OB}}=4 \overline{\mathrm{i}}+5 \overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}\)
\(\overline{\mathrm{OC}}=3 \overline{\mathrm{i}}+6 \overline{\mathrm{j}}+5 \overline{\mathrm{k}}\) with respect to origin \(\mathrm{O}\).
Let P be any point on the plane passing through the points A,B,C

Question 47.
Find the equation of the plane passing through the point A(3,-2,-1) and parallel to the vectors \(\bar{b}=\bar{i}-2 \bar{j}+4 \bar{k}\) and \(\overline{\mathbf{c}}=3 \overline{\mathbf{i}}+2 \overline{\mathbf{j}}-5 \overline{\mathbf{k}}\).
Solution:
The equation of the plane passing through A=(3,-2,-1) and parallel to the vectors

Question 48.
Find the vector equation of the plane passing through the intersection of planes \(\overline{\mathbf{r}} \cdot(\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}})=6\) and \(\overline{\mathbf{r}} \cdot(2 \bar{i}+3 \overline{\mathbf{j}}+4 \overline{\mathbf{k}})=-5\) and the point (1,1,1).
Solution:

Question 49.
Find the distance of the point (2,5,-3) from the plane \(\overline{\mathbf{r}} \cdot(6 \bar{i}-3 \bar{j}+2 \bar{k})=4 \cdot\)
Solution:
Here \(\bar{a}=\bar{i}+5 \bar{j}-3 \bar{k}, \bar{n}=6 \bar{i}-3 \bar{j}+2 \bar{k}\) and d=4
Then \(\overline{\mathrm{r}} \cdot \overline{\mathbf{n}}=\overline{\mathrm{d}}\)
The distance of the point (2,5,-3) from the given plane is

Question 50.
Find the angle between the line \(\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-3}{6}\) and the plane 10 x+2 y-11 z=3
Solution:
Let φ be the angle between the given line and normal to the plane.
Concert the above equations to vector notation,

Question 51.
For any four vectors \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) and \(\overline{\mathbf{d}}\) show that

Solution:

Question 52.
Find the shortest distance between the skew

Solution:

The first line passes through the point A(6,2,2) and parallel to the vector \(\overline{\mathrm{b}}=\overline{\mathrm{i}}-2 \overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}\).
The second line passes through the point C(-4,0,-1) and parallel to the vector \(\overline{\mathrm{d}}=3 \overline{\mathrm{i}}-2 \overline{\mathrm{j}}-2 \overline{\mathrm{k}}\)
Shortest distance is =\(\frac{|[\overline{\overline{A C}} \bar{b} \bar{d}]|}{|\bar{b} \times \bar{d}|}\)

Question 53.
i) Show that the altitudes of a triangle are concurrent.
ii) The perpendicular bisectors of the sides of a triangle are concurrent.
Solution:
(i)

Consider ΔABC . O is point of intersection of altitudes.
To prove that the three altitudes are concurrent at ‘ O ‘. We have to prove that \(\overline{\mathrm{OC}}\) is perpendicular to \(\overline{\mathrm{AB}}\)

∴  \(\overline{\mathrm{OC}}\) is the third altitude which passes through ‘ O ‘.
Hence the three altitudes of the triangle are concurrent.

(ii)

Question 54.
Show that the vector area of the quadrilateral ABCD having diagonals \(\overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{BD}}\) is \(\frac{1}{2}(\overline{\mathrm{AC}} \times \overline{\mathrm{BD}})\)
Solution:

ABCD is a quadrilateral. \(\overline{\mathrm{AC}}\) and \(\overline{\mathrm{BD}}\) are diagonals of the quadrilateral. Q is the point of intersection of diagonals.
Vector area of quadrilateral ABCD = Sum of the vector area of ΔAQB, ΔBQC, ΔCQD and ΔDQA.

Question 55.
Let \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) be unit vectors such that \(\bar{b}\) is not parallel to \(\bar{c}\) and \(\bar{a} \times(\bar{b} \times \bar{c})=\frac{1}{2} \bar{b}\). Find the angle made by the vector \(\bar{a}\) with each of the vectors \(\bar{b}\) and \(\bar{c}\).
Solution:

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 4 Addition of Vectors to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 1st Year Maths 1A Addition of Vectors Important Questions

Question 1.
Show that the points whose position vectors are \(-2 \overline{\mathbf{a}}+3 \overline{\mathbf{b}}+5 \overline{\mathbf{c}}, \overline{\mathbf{a}}+2 \overline{\mathbf{b}}+3 \overline{\mathbf{c}}, 7 \overline{\mathbf{a}}-\overline{\mathbf{c}}\) are collinear when, \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) are non coplanar vectors.
Solution:
Let O be the origin of reference so that

Question 2.
If A B C D E F is a regular hexagon with centre o then prove that \(\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{AC}}+\overline{\mathrm{AD}}+\overline{\mathrm{AE}}+\overline{\mathrm{AF}}= \overline{3 \mathrm{AD}}=6 \overline{\mathrm{AO}}\).
Solution:

Question 3.
In the two dimensional plane, prove by using vector methods, the equation of the line whose intercepts on the axes are a and b is \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\) = 1
Solution:
Let A = (a,0), B = (0,b). P = (x,y)
Let O be the origin so that

Question 4.
Find a unit vector in the direction of the vector = \(\overline{\mathbf{a}}=2 \overline{\mathbf{i}}+3 \overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathrm{k}}\)
Solution:
The unit vector in the direction of the vector

Question 5.
Find a vector in the direction of vector \(\overline{\mathbf{a}}=\overline{\mathbf{i}}-2 \overline{\mathbf{j}}\) that has magnitude 7 units.
Solution:
The unit vector in the direction of given

Question 6.
Find the unit vector in the direction of sum of the vectors \(\overline{\mathbf{a}}=2 \overline{\mathbf{i}}+2 \overline{\mathbf{j}}-5 \overline{\mathbf{k}}\) and \( \overline{\mathbf{b}}=2 \overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+3 \overline{\mathbf{k}}\)
Solution:
The sum of the vectors is

Question 7.
Write the direction ratios of the vector \(\overline{\mathbf{a}}=\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}-\mathbf{2} \overline{\mathbf{k}}\) and hence calculate its direction cosines.
Solution:

Question 8.
Consider the two points P and Q with position vectors \(\overline{\mathrm{OP}}=3 \overline{\mathrm{a}}-2 \overline{\mathrm{b}}\) and \(\overline{\mathrm{OQ}}= \overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}\). Find the position vector of a point R which divides the line joining P and Q in the ratio 2: 1 (i) internally and (ii) externally.
Solution:
i) The position vector of the point R dividing the joining of  P and Q internally in the ratio 2: 1 is
\(\overline{\mathrm{OR}}=\frac{2(\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}})+(3 \overline{\mathrm{a}}-2 \overline{\mathrm{b}})}{2+1}=\frac{5 \bar{a}}{3}\)

ii) The position vector of the point R dividing the joining of P and Q externally in the ratio 2: 1 is
\(\overline{\mathrm{OR}}=\frac{2(\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}})-(3 \overline{\mathrm{a}}-2 \overline{\mathrm{b}})}{2-1}=4 \overline{\mathrm{b}}-\overline{\mathrm{a}}\)

Question 9.
Show that the points \(A(2 \bar{i}-\bar{j}+\bar{k}), \dot{B}(\overline{\mathbf{i}}-3 \overline{\mathbf{j}}-5 \overline{\mathbf{k}}), \mathbf{C}(3 \overline{\mathbf{i}}-4 \overline{\mathbf{j}}-4 \overline{\mathbf{k}})\) are the vertices of a right angled triangle.
Solution:
We have \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\)

∴ AB² = BC² + CA² and hence a right angled triangle can be formed with the points A, B, and C.

Question 10.
Show that the points \(\mathbf{A}(2 \overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{j}}+\overline{\mathbf{k}}) \dot{B}(\bar{i}-3 \bar{j}-5 \bar{k}), C(3 \bar{i}-4 \bar{j}-4 \bar{k})\) are the vertices of a right angled triangle.
Solution:

Question 11.
In a ΔABC if \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) are the position vectors of the vertices A, B and C respectively, then prove that the position vector of the centroid G is \(\frac{1}{3}(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c})\).
Solution:

Let G be the centroid of ΔABC and AD is the median through the vertex A.
Then AG : GD = 2: 1
Suppose \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{c}}\) with
reference to the specific origin O.
Mid point of BC is = \(\overline{\mathrm{OD}}=\frac{1}{2}(\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}})\)
Since G divides AD in the ratio 2: 1 we have

Question 12.
In a ΔABC, If ‘O’ Is the circumcentre, and H is the orthocentre then show that

Solution:

Question 13.
Let \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}, \overline{\mathbf{d}}\) be the position vectors of A, B, C and D respectively which are the vertices of a tetrahedron. Then prove that the lines joining the vertices to the centroids of the opposite faces are concurrent. (this point is called the centroid or the centre of the tetrahedron)
Solution:

Let O be the origin and G₁, G₂, G₃, G₄ be the centroids of ΔBCD, ΔCAD, ΔABD and ΔABC.
Then \(\overline{\mathrm{OG}}_1=\frac{\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}}+\overline{\mathrm{d}}}{3}\)
Suppose P is the point which divides AG₁ in the ratio 3: 1 then

Similarly position vectors of the points dividing BC₂, CG₃ and DG₄ in the ratio 3: 1 are each equal to \(\frac{\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}}+\overline{\mathrm{d}}}{4}\)
Hence the point P lies on AG₁, BC₂, CG₃, DG₄.

Question 14.
Let OABC be a parallelogram and D is the midpoint of \(\overline{\mathbf{O A}}\). Prove that the segment is \(\overline{\mathbf{C D}}\) trisects the diagonal \(\overline{\mathbf{O B}}\) and is trisected by the diagonal\(\overline{\mathbf{O B}}\)
Solution:

Question 15.
Let \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}\) be non-collinear vectors, if

are such that 3α = 2β then find x and y.
Solution:

Question 16.
If the points whose position vectors are \(3 \overline{\mathbf{i}}-2 \overline{\mathbf{j}}-\overline{\mathbf{k}}, \quad 2 \overline{\mathbf{i}}+3 \overline{\mathbf{j}}-4 \overline{\mathbf{k}},-\overline{\mathbf{i}}+\overline{\mathbf{j}}+2 \mathbf{k} 4 \overline{\mathbf{i}}+5 \overline{\mathbf{j}}+\lambda \overline{\mathbf{k}}\) are coplanar, then show that \(\lambda=\frac{-146}{17}\)
Solution:
Let O be the origin and let A, B, C and D be the given points. Then

Question 17.
Find the equation of the line parallel to the vector \(2 \overline{\mathbf{i}}-\overline{\mathbf{j}}+2 \overline{\mathbf{k}}\) and which passes through the point A whose position vector is \(2 \bar{i}-\bar{j}+2 \bar{k}\). If P is a point on this line such that AP = 15, find the position vector of P.
Solution:
The vector equation of the line passing through the point \(\mathrm{A}(\bar{a})\) whose position vector is \(\overline{\mathrm{a}}=3 \overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{k}}\) and parallel to the vector \(\overline{\mathrm{b}}=2 \overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}+2 \overline{\mathrm{k}}\) is \(\overline{\mathrm{r}}=\overline{\mathrm{a}}+\mathrm{t} \overline{\mathrm{b}}\) for some t ∈ R

Question 18.
Show that the line joining the pair of points \(6 \bar{a}-4 \bar{b}+4 \bar{c},-4 \bar{c}\) and the line joining the pair of points \(-\bar{a}-2 \bar{b}-3 \bar{c}, \bar{a}+2 \bar{b}-5 \bar{c}\) intersect at the point \(-4 \bar{c}\) when \(\overline{\mathbf{a}}, \overline{\mathbf{b}}, \overline{\mathbf{c}}\) are non coplanar vectors.
Solution:
The vector equation of the line joining points



and equation (5) is satisfied.
∴ The two lines intersect at the point from (1) is \(-4 \bar{c}\)

Question 19.
Find the point of intersection of the line \(\overline{\mathbf{r}}=\mathbf{2} \overline{\mathbf{a}}+\overline{\mathbf{b}}+\mathbf{t}(\overline{\mathbf{b}}-\overline{\mathbf{c}})\) and the plane \(\overline{\mathbf{r}}=\overline{\mathbf{a}}+\mathbf{x}(\overline{\mathbf{b}}+\overline{\mathbf{c}})+\mathbf{y}(\overline{\mathbf{a}}+2 \overline{\mathbf{b}}-\overline{\mathbf{c}})\) where a, b, c are non-coplanar vectors.
Solution:
Let \(\overline{\mathbf{r}}\) be the position vector of the point P the intersection of the line and the plane.

Question 20.
Prove that the vector equation of line through the points \(A(\bar{a}), B(\bar{b})\) is \(\overline{\mathbf{r}}=(\mathbf{1}-\mathbf{t}) \overline{\mathbf{a}}+\mathbf{t} \overline{\mathbf{b}}, \mathbf{t} \in \mathbf{R}\).
Solution:
Let O be the origin and P be any point on the line.

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 3 Matrices to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 1st Year Maths 1A Matrices Important Questions

Very Short Answer Questions

Question 1.
Find the trace of A if A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & -\frac{1}{2} \\
0 & -1 & 2 \\
-\frac{1}{2} & 2 & 1
\end{array}\right]\)
Solution:
The elements in the principal diagonal of A are 1, – 1, 1.
∴ Trace of A = 1 -1 + 1 = 1.

Question 2.
If \(A=\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}
3 & 8 \\
7 & 2
\end{array}\right]\) and 2X+A=B then find X.
Solution:
2X + A= B ⇒ 2X = B – A

Question 3.
A certain bookshop has 10 dozen Chemistry books, 8 dozen Physics books, 10 dozen Economics books. Their selling prices are Rs. 80, Rs. 60 and Rs. 40 each respectively. Using matrix algebra, find the total value of the books in the shop.
Solution:
Number of books


= 120×80 +96×60+ 120×40
= 9600 + 5760 + 4800
= Rs. 20,160

Question 4.
If \(A=\left[\begin{array}{rrr}
2 & 3 & -1 \\
7 & 8 & 5
\end{array}\right] \text { and } B=\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 1 \\
2 & -4 & -1
\end{array}\right]\) then find A + B.
Solution :

Question 5.
If \(\left|\begin{array}{ccc}
x-1 & 2 & y-5 \\
z & 0 & 2 \\
1 & -1 & 1+a
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1-x & 2 & -y \\
2 & 0 & 2 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right|\) then find the values of x, y, z and ‘a’.
Solution:
From the equality of matrices
x – 1=1 – x = 2x = 2 = x = 1
y – 5 = – y = 2y = 5 = y = \(\frac{5}{2}\) and z = 2,
Also 1 + a = 1 a = 0

Question 6.
If \(A=\left[\begin{array}{rr}
4 & -5 \\
-2 & 3
\end{array}\right]\) find -5A
Solution:
\(-5 A=-5\left[\begin{array}{rr}
4 & -5 \\
-2 & 3
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}
-20 & 25 \\
10 & -15
\end{array}\right]\)

Question 7.
Find the additive Inverse of A where
\(A=\left[\begin{array}{ccc}
i & 0 & 1 \\
0 & -i & 2 \\
-1 & 1 & 5
\end{array}\right]\)
Solution:
The additive inverse of A is – A
\(\text { i.e., }\left[\begin{array}{rrr}
-\mathrm{i} & 0 & -1 \\
0 & \mathrm{i} & -2 \\
1 & -1 & -5
\end{array}\right]\)

Question 8.
If \(A=\left[\begin{array}{rrr}
2 & 3 & 1 \\
6 & -1 & 5
\end{array}\right] \text { and } B=\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 3
\end{array}\right]\) then find the matrix X such that A + B – X = 0. What is the order of the matrix?
Solution :
A + B – X = 0 = X = A + B

Question 9.
If \( A=\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 4 \\
4 & 5 & 6
\end{array}\right] \text { and } B=\left[\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 0 \\
0 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 3
\end{array}\right]\)  then find A – B and 4B – 3A.
Solution :

Question 10.
Two factories I and II produce three varieties of pens namely Gel, Ball, and Ink pens. The sale In rupees of these varieties of pens by both the factories in the month of September and October in a year are given by the following matrices A and B. September sales (In Rupees)
\(A=\left\{\begin{array}{ccc}
\text { Gel } & \text { Ball } & \text { Ink } \\
1000 & 2000 & 3000 \\
5000 & 3000 & 1000
\end{array}\right\} \text { Factory I }\)
October sales (in Rupees)
\(B=\left\{\begin{array}{ccc}
\text { Gel } & \text { Ball } & \text { Ink } \\
500 & 1000 & 600 \\
2000 & 1000 & 1000
\end{array}\right\} \text { Factory I }\)
Solution:
i) Find the combined sales in September and October for each factory in each variety.
ii) Find the decrease in sales from September to October.
Solution:
i) Combined sales in September and October for each factory in each variety is
\(A+B=\left\{\begin{array}{ccc}
\text { Gel } & \text { Ball } & \text { Ink } \\
1500 & 3000 & 3600 \\
7000 & 4000 & 2000
\end{array}\right\} \text { Factory I }\)

ii) Decrease in sales from September to October is .
\(\mathrm{A}-\mathrm{B}=\left\{\begin{array}{ccc}
\text { Gel } & \text { Ball } & \text { Ink } \\
500 & 1000 & 2400 \\
3000 & 2000 & 0
\end{array}\right\} \begin{aligned}
& \text { Factory I } \\
& \text { Factory II }
\end{aligned}\)

Question 11.
Construct a 3 x 2 matrix whose elements are defined by \(a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|\).
Solution:
The matrix to be constructed is

Question 12.
If \(A=\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4
\end{array}\right] \text { and } B=\left[\begin{array}{rr}
1 & -2 \\
-1 & 0 \\
2 & -1
\end{array}\right]\) then find AB and BA.
Solution:
Since the number of columns of A is equal to number of rows of B, AB is defined and

Now the number of columns of B is not equal to the number of rows A, BA is not defined.

Question 13.
If \(A=\left[\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 4 \\
2 & 3 & -1 \\
-3 & 1 & 2
\end{array}\right] \text { and } B=\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 0
\end{array}\right]\) then examine whether A and B commute with respect to multiplication of matrices.
Solution:
The two matrices A and B are square matrices of order 3. Hence AB and BA are both defined.
\(A B=\left[\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
2 & 3 & -1 \\
-3 & 1 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 0
\end{array}\right]\)

∴ AB ≠ BA and hence A, B do not commute with respect to multiplication.

Question 14.
If \(A=\left[\begin{array}{rrr}
-2 & 1 & 0 \\
3 & 4 & -5
\end{array}\right] \text { and } B=\left[\begin{array}{rr}
1 & 2 \\
4 & 3 \\
-1 & 5
\end{array}\right]\) then find A +B’
Solution:

Question 15.
If \(A=\left[\begin{array}{rrr}
0 & 4 & -2 \\
-4 & 0 & 8 \\
2 & -8 & x
\end{array}\right]\) is a skew symmetric
Solution:

Since A is a skew symmetric matrix, A’ = – A
⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0

Question 16.
If ω is a complex cube root of unity show that \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \omega & \omega^2 \\
\omega & \omega^2 & 1 \\
\omega^2 & 1 & \omega
\end{array}\right|=0\)
Solution:

Question 17.
Find the adjoint and inverse of the matrix
\(A=\left[\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & -5
\end{array}\right]\)
Solution:

Question 18.
Find whether the following 8ystem of linear homogeneous equations has a non-trivial solution.
X – y + z = 0
x+2y – z = 0
Zx+y+3z = 0
Solution:
The coefficient matrix is \(A=\left[\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
1 & 2 & -1 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right]\)
det A= 1(6+ 1)+ 1(3+2) + 1(1 – 4)
=7 +5 – 3 = 9 ≠ 0
Hence the system has the trivial solution x = y = z = 0 only.

Question 19.
If A is an invertible matrix then A’ is also invertible and \(\left(A^{\prime}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{\prime}\)
Solution:

Question 20.
If A and B are two invertible matrices of same type then AB is also invertible and \((A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}\)
Solution:

Short Answer Questions

Question 1.
If \(A=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & \sin \theta \\
-\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\) then show that for all the positive integers n \(A^{\mathbf{n}}=\left[\begin{array}{cc}
\cos n \theta & \sin n \theta \\
-\sin n \theta & \cos n \theta
\end{array}\right]\)
Solution:
We use the process of mathematical induction for proving this result statement

∴The statement P(n) is true for n = k + 1.
Hence by mathematical induction P(n) is true for all positive integral values of n.

Question 2.
If \(A=\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & 2 \\
2 & 2 & 1
\end{array}\right]\) then show that A² – 4A – 5I = 0
Solution:

Question 3.
For any n x n matrix A; Prove that A can be uniquely expressed as a sum of a symmetric matrix and a skew-symmetric matrix.
Solution:
For a square matrix of order n.
A + A’ is symmetric and A – A’ is a skew-symmetric matrix and
\(\mathrm{A}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{~A}+\mathrm{A}^{\prime}\right)+\frac{1}{2}\left(\mathrm{~A}-\mathrm{A}^{\prime}\right)\)
Let B be a symmetric matrix and C be a skew symmetric matrix such that
A = B + C

Question 4.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & a & a^2 \\
1 & b & b^2 \\
1 & c & c^2
\end{array}\right|\) = (a – b) (b – c) (c -a)
Solution:

Question 5.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{a}-\mathbf{b}-\mathbf{c} & 2 \mathbf{a} & 2 \mathbf{a} \\
2 \mathbf{b} & \mathbf{b}-\mathbf{c}-\mathbf{a} & 2 \mathbf{b} \\
2 \mathbf{c} & 2 \mathbf{c} & \mathbf{c}-\mathbf{a}-\mathbf{b}
\end{array}\right|\) = (a+ b+c)²
Solution:

Question 6.
Find the rank of \(A=\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right]\) using elementary transformations.
Solution:

Since there are two non-zero rows in above matrix the rank of the given matrix ρ(A) = 2.

Question 7.
Find the rank \( A=\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 2 & 0 & -1 \\
3 & 4 & 1 & 2 \\
-2 & 3 & 2 & 5
\end{array}\right]\) using elementary transformations.
Solution:

Since these are 3 non-zero rows in above reduced form, the rank of the given matrix ρ(A) = 3.

Question 8.
Show that matrix multiplication is associative.
Solution:

∴ (AB)C = A(BC); Hence matrix multiplication is associative.

Long Answer Questions

Question 1.
Without expanding the determinant show that

Solution:
LHS = Use R₁ + (R₂ + R₃)

Question 2.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & a^2 & a^3 \\
1 & b^2 & b^3 \\
1 & c^2 & c^3
\end{array}\right|\) = (a  –  b) (b – c) (c – a) (ab bc + ca).
Solution:
Use R₂ – R₁, R₃ – R₁ on LHS

Question 3.
Find the value of x if

Solution:

Question 4.
Find the adjoint and the inverse of the matrix A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 3 & 3 \\
1 & 4 & 3 \\
1 & 3 & 4
\end{array}\right]\)
Solution :

Question 5.
Show that \( A=\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 1 \\
3 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 2
\end{array}\right]\) is non-singular and find A^-1
Solution:

Question 6.
Apply the test of rank to examine whether the following equations are consistent 2x-y+3z = 8, -x+2y+z=4, 3x+y-4Z = 0 and if consistent find the complete solution.
Solution:

Now rank (A) = rank (AB) = 3
∴ The system has unique solution From above we have so
– x + 2y + z = 4 ……………………… (1)
3y + 5z = 16 ……………………… (2)
z = 2 ……………………… (3)
3y+10 = 16 ⇒ 3y = 6 ⇒ y = 2
∴ From (1), – x + 4 + 2 = 4
⇒ x = 2
∴ x = 2, y= 2, z = 2 is the solution.

Question 7.
Show that the following system of equations is consistent and solve it completely
x + y + z = 3, 2x +2y – z = 3, x + y – z = 1.
Solution :

Here ρ(A) = 2 and ρ(AB) = 2.
∴ The system is consistent and has infinitely many solutions.
From the above-reduced form
x+y+z=3
z= 1
∴ x + y = 2
Hence x = k, y = 2 – k, z = 1, k ∈ R is a solution set.

Question 8.
Solve the following slmultaneou8 linear equations by using Cramer’s rule.
3x+4y+5z =18
2x- y+8z = 13
5x – 2y+ 7z = 20
Solution :


∴ The solution of the given system of equations is x = 3, y = 1, z = 1.

Question 9.
Solve 3x+3y+5z=18
2x – y + 8z = 13 .
and 5x – 2y+7z=20 by using matrix inversion method.
Solution:

Question 10.
Solve the following equations by Gauss Jordan method.
3x+4y+5z=18
2x – y+8z= 13
5x – 2y+7z= 20
Solution:
The augmented matrix is


ρ(A) = ρ(AB) = 3; and unique soLution exists given by x = 3, y = 1 and z = 1.

Question 11.
Solve the following system of equations by Gauss Jordan method
x+y+z=3,
2x+2y – z=3,
x+y – z=1
Solution:
Augmented matrix of the system is

Here ρ(A) 2, ρ(AB) = 2.
So the system is consistent and has infinite number of solutions.
∴ x + y + z = 3, – 3z = – 3 ⇒ z = 1
∴ x + y = z
Suppose x = k, then y = 2 – k and solution set
= (x = ky = 2 – k, z= 1 where k ∈ R)

Question 12.
By using Gauss Jordan method show that the following system has no solution
2x+4y – z= o,
x + 2y + 2z = 5,
3x+ 6y – 7z = 2.
Solution:
Augmented matrix of the system is

2x+4y – z=0 ………………. (1)
5z = 10 = z = 2 ……………….. (2)
and 0.x + 0.y + 0.z = 130 ………………. (3)
Clearly no value of x, y, z satisfy (3).
∴ Given system of equations has no solution.

Question 13.
Find the non-trivial solutions, if any, for the following system of equations.
2x + 5y + 6z = 0
x – 3y – 8z = 0
3x+y – 4z = 0
Solution:
Coefficient matrix is

Since two rows are identical, ρ(A) = 2.
Hence the system has a non-trivial solution
x – 3y + 8z = 0 …………….. (1)
y + 2z = 0 …………. (2)
Suppose z = k, then y – 2k and
x = 3y – 8z = – 6k – 8k = – 14k for k ≠ 0
so we obtain non-trivial solutions.

Question 14.
If A is a non-singular matrix then prove that \(A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A}(\operatorname{Adj} A)\)
Solution:

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1A Important Questions Chapter 2 Mathematical Induction to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 1st Year Maths 1A Mathematical Induction Important Questions

Question 1.
By using mathematical induction show that ∀ n ∈ N
\(\frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\frac{1}{7 \cdot 10}+\) ………….. upto n terms \(=\frac{n}{3 n+1}\)
Solution:
1, 4, 7. are in A.P whose n^th term is 1 (n – 1) 3 = 3n – 2
and 4, 7, lo are in A.P. whose n^th term is 4 (n – 1) 3 = 3n + 1
∴ The n^th term of the given series


Hence S(k + 1) is true ∀ n ∈ N = k + 1
∴ By the principle of MathematicaL
Induction, S(n) is true ∀ n ∈ N

Question 2.
Use mathematical induction to prove the statement 2 + 3 . 2 + 4 . 2² + upto n terms = n 2ⁿ∀n∈N
Solution :

∴ S(n) is true for n = k + 1 also
∴ By the principle of Mathematical Induction.
S(n) is true for all n ∈ N.
∴ 2+3 . 2 + 4 . 2²+ ………………….. + (n+1) 2^n-1
= n . 2ⁿ ∀ n ∈ N

Question 3.
If x and y are natural numbers and x ≠ y using mathematical induction show that xⁿ-yⁿ is divisible by x – y, ∀n∈N
Solution:
Let S(n) be the statement
”xⁿ-yⁿ is divisible by (x – y)”
For n = 1, x¹ – y¹ is divisible by x’ – y’
We have S(1) is true for n = 1
Assume S(n) is true for n = k
Then x^k – y^k is divisible by (x-y)
Then (x^k – y^k) = (x – y) p where p ∈ Z …………………. (1)
We have prove that the statement S(n) is true for n = k + 1 also

Question 4.
Show that 49ⁿ + 16n – 1 is divisible by 64 for all positive integers ‘n’.
Solution:
Let S(n) be the statement.
49ⁿ + 16n – 1 is divisible by 64.
Since 49¹ + 16 (1) – 1 = 64 is divisible by 64.
The statement S(n) is true for n = 1.
Suppose the statement is true for S = k then
49^k + 16k – 1 = 64t for t ∈ N
We have to prove that S(n) is true for
n = k + 1 also
We have to prove that S(n) is true for
n = k + 1 also
Consider 49^k+1. + 16 (k + 1) – 1
49^k . 49 + 16k+ 16 – 1
=(64t – 16k+ 1)49 + 16k + 15
= (49) 64t + 16k (1 – 49) + 64
= 64 [49t – 12k + 1] and 49t – 12k + 1 is an integer.
∴ 49^k+1 + 16 (k + 1) – 1 is divisible by 64
∴ The statement is true for n = k + 1.
∴ By the principle of mathematical induction S(n) is true ∀ n ∈ N
∴ 49ⁿ + 16n – 1 is divisible by 64, ∀ n∈ N

Question 5.
Use mathematical induction to prove the statement
\(1^3+2^3+3^3+\ldots \ldots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}, \forall n \in N\)
Solution:
Let S(n) be the statement
\(1^3+2^3+3^3+\ldots +n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)

∴ Statement is true for n = k + 1 also
∴ By the principle of Mathematical Induction, S(n) is true ∀ n ∈ N

Question 6.
Use mathematical induction to prove the statement.
\(\sum_{k=1}^n(2 k-1)^2=\frac{n(2 n-1)(2 n+1)}{3}, \forall n \in N\)
Solution:
Let S(n) be the statement

Question 7.
Use mathematical induction to prove that
2n – 3 ≤ 2^n-2  ∀ n ≥ 5, n ∈ N
Solution:
Let S(n) be the statement
2n – 3 ≤ 2^n-2  ∀ n ≥ 5, n ∈ N
∴ Since 2(5) – 3 ≤ 2^5-2

∴ The statement S(n) is true for
n k + 1, k ≥ 5
∴ By the principle of mathematical induction S(n) is true for all n ≥ 5, n ∈ N.

Question 8.
Use mathematical induction to prove that
(1 + x)ⁿ > 1 + nx for n ≥ 2, x > – 1, x ≠ 0.
Solution:
Let S(n) be the statement
(1+ x)ⁿ > 1 + nx for n ≥ 2, x > – 1, x ≠ 0.
The basis of induction is 2
and x ≠ 0, x > – 1 ⇒ x+1>0
For n = 2,
(1 + x)² = 1 + 2x + x² > 1 + 2x; the statement
S(n) is true for n = 2
Assume that the statement is true for n = k, k ≥ 2

∴ By the principle of mathematical induction the statement S(n) is true for all n≥2.
∴ (1 + x)ⁿ > 1 + nx, ∀ n ≥ 2, X > 1, X ≠ 0

Question 9.
Using mathematical induction show that x^m + y^m is divisible by x + y, if in is an odd natural number and x, y are natural numbers.
Solution:
Since m is an odd natural number
Let m = 2n – 1 where n is a non negative integer
Let S(n) be the statement

Now px² – (x y) y^2k+1 + is an integer
∴ x^2k+3 + y^2k+3 is divisible by (x + y)
∴ The statement is true for n = k + 1.
∴ By the principle of mathematical induction S(n) is true ∀n.
∴ x²ⁿ⁺¹ + y^{2n -1} is divisible by (X y) for all non negative integers.
∴ x^m + y^m is divisible by (x + y) if n is an odd natural number.

Question 10.
Use mathematical induction to prove that 2.4⁽²ⁿ⁺¹⁾ + 3⁽³ⁿ⁺¹⁾ + is divisible by 11, ∀ n ∈ N.
Solution:
Let S(n) be the statement
2.4⁽²ⁿ⁺¹⁾ + 3⁽³ⁿ⁺¹⁾ is divisible by 11
For n = 1
S(I) is 2.4³ + 3⁴ = 128 + 81 = 209 is divisible by 11.
∴ S(n) is true is for n = I
Suppose S(n) is true for n = k then
2.4⁽²ⁿ⁺¹⁾ + 3⁽³ⁿ⁺¹⁾ is divisible by 11

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 7th Lesson రసాయనిక సమతాస్థితి, అమ్లాలు – క్షారాలు Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 7th Lesson రసాయనిక సమతాస్థితి, అమ్లాలు – క్షారాలు

అత్యంత లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
రసాయన సమతాస్థితి నియమం తెలపండి.
జవాబు:
నిర్దిష్ట ఉష్ణోగ్రత వద్ద, సమతుల్యం చేయబడిన రసాయన సమీకరణంలోని, క్రియాజన్యాల గాఢతలను సూచించే పదాలకు, వాటి సంబంధిత స్థాయికియోమెట్రిక్ గుణకాలను ఘాతాలుగా రాసి ఏర్పడిన గాఢత పదాల అంకగణిత లబ్ధాల విలువను సమీకరణంలోని క్రియాజనకాల గాఢతలను సూచించే పదాలకు వాటి స్థాయికియోమెట్రిక్ గుణకాలను ఘాతాలుగా రాసి, ఏర్పడిన గాఢత పదాల అంకగణిత లబ్ధం విలువతో భాగిస్తే, స్థిర విలువ లభిస్తుంది. దీనినే సమతాస్థితి నియమం లేదా రసాయన సమతాస్థితి నియమం అంటారు.

[A], [B], [C], [D] లు వరుసగా క్రియాజనకాల, క్రియాజన్యాల సమతాస్థితి గాఢతలు. K ను సమతా స్థిరాంకం అంటారు.

ప్రశ్న 2.
తెరచిన పాత్రలో నీరు, దాని బాష్పం మధ్య సమతాస్థితిని పొందగలమా ? వివరించండి.
జవాబు:
సమతాస్థితి ఏర్పడదు. బాష్పం తెరచి ఉన్న పాత్ర నుండి వాతావరణంలోనికి తప్పించుకొనిపోవుట వలన సమతాస్థితి ఏర్పడదు.

ప్రశ్న 3.
సమతాస్థితి స్థిరాంకం సమాసాలలో శుద్ధ ద్రవాల, శుద్ధ ఘనపదార్థాల గాఢతను ఎందుకు విస్మరిస్తాం ?
జవాబు:
విజాతీయ సమతాస్థితులలో శుద్ధద్రవాల, శుద్ధ ఘనపదార్థాల మోలార్ గాఢత స్థిరంగా ఉంటుంది. అందువల్ల సమతాస్థితి స్థిరాంకాల సమాసాలలో శుద్ధద్రవాల, శుద్ధ ఘనపదార్థాల గాఢతలను విస్మరించవచ్చు.

ప్రశ్న 4.
సమజాతి సమతాస్థితి అంటే ఏమి ? సమజాతి సమతాస్థితి చర్యలకు రెండు ఉదాహరణలు రాయండి.
జవాబు:
సమతాస్థితిలో ఉన్న అన్ని పదార్థాలు ఒకే ప్రావస్థలో ఉంటే ఆ సమతాస్థితిని సమజాతి సమతాస్థితి అంటారు.
ఉదా : N₂ (వా) + 3H₂ (వా) ⇌ 2NH₃ (వా)
CH₃COOH (ద్ర) + C₂H₂ OH (ద్ర) ⇌ CH₃COO C₂H₅ (ద్ర) ⇌ H₂O (ద్ర)

ప్రశ్న 5.
విజాతి సమతాస్థితి అంటే ఏమిటి ? విజాతి సమతాస్థితి చర్యలకు రెండు ఉదాహరణలు రాయండి.
జవాబు:
సమతాస్థితిలో ఉన్న పదార్థాలు భిన్న ప్రావస్థలలో ఉంటే, అటువంటి సమతాస్థితిని విజాతి సమతాస్థితి అంటారు.
ఉదా : CaCO₃ (ఘ) ⇌ CaO (ఘ) + CO₂ (వా)
H₂O (ద్ర) ⇌ H₂O (వా)

ప్రశ్న 6.
కింది చర్యలకు, చర్యా భాగఫలం Q విలువను రాయండి.
a) 3O₂ (వా) ⇌ 2O₃ (వా)
b) 4NH₃ (వా) + 7O₂ (వా) ⇌ 4NO₂ (వా) + 6H₂O (వా)
జవాబు:
చర్యా భాగఫలం :

ప్రశ్న 7.
సమతాస్థితి స్థిరాంకం నిర్వచించండి.
జవాబు:
సమతాస్థితిలో ఉన్న వ్యవస్థలో క్రియాజన్యాల గాఢతల లబ్ధానికి, క్రియాజనకాల గాఢతల లబ్ధానికి గల నిష్పత్తిని సమతాస్థితి స్థిరాంకం అంటారు. కింది సమీకరణంలో స్థాయికియోమెట్రిక్ గుణకాలు ఉన్నపుడు ఆ గుణకాలను సంబంధిత గాఢతా పదాలకు ఘాతాలుగా రాయవలెను.
aA + bB ⇌ cC + dD
K_c = \(\frac{[\mathrm{C}]^c[\mathrm{D}]^{\mathrm{d}}}{[\mathrm{A}]^{\mathrm{a}}[\mathrm{B}]^b}\) ; [A], [B], [C], [D] లు వరుసగా క్రియాజనకాల, క్రియాజన్యాల సమతాస్థితి గాఢతలు.

ప్రశ్న 8.
ఒక వాయుస్థితి చర్యకు, సమతాస్థితి స్థిరాంక సమాసం కింది విధంగా ఉంది.
K_c = \(\frac{\left[\mathrm{NH}_3\right]^4\left[\mathrm{O}_2\right]^5}{[\mathrm{NO}]^4\left[\mathrm{H}_2 \mathrm{O}^6\right]^6}\) దీనికి సంబంధించిన సమతుల్యం చేయబడిన రసాయన సమీకరణం రాయండి.
జవాబు:
4NO (వా) + 6H₂O (వా) ⇌ 4NH₃ + 5O₂ (వా)

ప్రశ్న 9.
K_p, K_c ల మధ్య సంబంధం రాయండి.
జవాబు:
K_p = K_c [RT]^Δn.
K_p = K. (∴ Δn = 0)
వాయు స్థితిలోని క్రియాజన్యాల మోల్ల సంఖ్య, వాయుస్థితిలోని క్రియాజనకాల మోత్ల సంఖ్యకు సమానమైనపుడు K_p విలువ, K_c విలువ సమానము.

ప్రశ్న 10.
ఏ పరిస్థితులలో ఒక చర్యకు K_p, K_cలు సంఖ్యాపరంగా సమానం ?
జవాబు:
వాయుస్థితిలోని క్రియాజన్యాల మోత్ల సంఖ్య, వాయుస్థితిలోని క్రియాజనకాల మోల్ల సంఖ్యకు సమానమైనపుడు
K_p విలువ, K_c విలువ సమానము. Δn = 0;
K_p = K_c [RT]^Δn
∴ K_p = K_c

ప్రశ్న 11.
K_p = K_c అయినటువంటి రెండు రసాయనిక సమతాస్థితి చర్యలను తెలపండి.
జవాబు:
H₂ (వా) + I₂ (వా) ⇌ 2HI (వా)
N₂ (వా) + O₂ (వా) ⇌ 2NO (వా)

ప్రశ్న 12.
K_p > K_c అయినటువంటి రెండు రసాయనిక సమతాస్థితి చర్యలను తెలపండి.
జవాబు:
2NOCl ⇌ 2NO (వా) + Cl₂ (వా)
CaCO₃ (ఘ) ⇌ CaO (ఘ) + CO₂ (వా)

ప్రశ్న 13.
K_p < K_c అయినటువంటి రెండు రసాయనిక సమతాస్థితి చర్యలను తెలపండి.
జవాబు:
N₂ (వా) + 3H₂ (వా) ⇌ 2NH₃ (వా)
2SO₂ (వా) + O₂ (వా) ⇌ 2SO₃ (వా)

ప్రశ్న 14.
K_cను K_p గా మార్చే సమీకరణాలను కింది చర్యలకు రాయండి.
a) CO (వా) + H₂O (వా) ⇌ CO₂ (వా) + H₂ (వా)
b) C₃H₈ (వా) + 5O₂ (వా) ⇌ 3CO₂ (వా) + 4H₂O (వా)
జవాబు:
a) CO (వా) + H₂O (వా)
Δn = 2 – 2 = 0

b) C₃H₈ (వా) + 5O₂ (వా) ⇌ 3CO₂ (వా) + 4H₂O (వా)
Δn = 7 – 6 = 1
K_p = K_c (RT)¹
K_p = K_c (RT)

ప్రశ్న 15.
రసాయనిక సమతాస్థితిని ప్రభావితం చేసే కారణాంశాలు ఏవి ?
జవాబు:

1. గాఢత
2. ఉష్ణోగ్రత
3. పీడనం.

ప్రశ్న 16.
వాయుస్థితి రసాయన సమతాస్థితిపై పీడనం ప్రభావం ఏమిటి ?
జవాబు:
వాయుస్థితి రసాయన స్థితిపై పీడన ప్రభావం, చర్యపై ఆధారపడి వుంటుంది.
a) మోల్ల సంఖ్యలో మార్పులేని చర్యలు.
N₂ (వా) + O₂ (వా) → 2NO (వా)
ఇటువంటి చర్యలపై పీడనం ప్రభావం ఉండదు.

b) N₂ (వా) + 3H₂ (వా) → 2NH₃ (వా)
ఈ రకం చర్యలలో పురోగామి చర్యలో మోల్ల సంఖ్య తగ్గుతుంది.
Δn = ఋణాత్మకం. ఇటువంటి చర్యలలో పీడనం పెంచితే ఘనపరిమాణం తగ్గే చర్య అనగా పురోగామి చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది.

c) PCl₅ (వా) ⇌ PCl₃ (వా) + Cl₂ (వా)
Δn = ధన్మాతకం.

ఇటువంటి చర్యలలో మోల్ల సంఖ్య పురోగామి చర్యలో పెరుగుతుంది. పీడనాన్ని పెంచినపుడు ఘనపరిమాణం తగ్గే చర్య అనగా తిరోగామి చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది.

ప్రశ్న 17.
సమతాస్థితి వద్ద ఉండే రసాయన చర్యలో క్రియాజనకాల గాఢతల మార్పు ప్రభావం ఏమిటి ?
జవాబు:
క్రియాజనకాల గాఢత పెరిగితే పురోగామి చర్య వేగం పెరుగుతుంది (సమతాస్థితి కుడివైపుకు జరుగుతుంది). క్రియాజన్యాలను కలిపితే క్రియాజన్యాల గాఢత పెరిగి, తిరోగామీ చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది.

ప్రశ్న 18.
సమతాస్థితిని ఉత్ప్రేరకం ప్రభావితం చేస్తుందా ?
జవాబు:
చేయలేదు. ఉత్ప్రేరకం, పురోగామి తిరోగామి చర్యలను సమానంగా ప్రోత్సహించి సమతాస్థితి త్వరితంగా ఏర్పడేటట్లు చేస్తుంది.

ప్రశ్న 19.
సమతాస్థితి స్థిరాంకం విలువ ఏ కారణాంశం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది ?
జవాబు:
ఉష్ణోగ్రత. ఉష్ణోగ్రత మార్పువల్ల K_f, K_f లు ప్రభావితం అవుతాయి. అందువల్ల K = \(\frac{K_f}{K_b}\) విలువ ప్రభావితం అవుతుంది.

ప్రశ్న 20.
ఒక చర్య సమతాస్థితి స్థిరాంకాలు వరసగా 27°C, 127°C ల వద్ద 1.6 × 10^-3, 7.6 × 10^-2 ఈ చర్య ఉష్ణగ్రాహక చర్యా లేదా ఉష్ణమోచక చర్యా ?
జవాబు:
ఈ చర్యలో K_c విలువ పెరుగుతోంది. అందువల్ల ఈ చర్య ఉష్ణగ్రాహకచర్య. K_c = \(\frac{\mathrm{K}_{\mathrm{f}}}{\mathrm{K}_{\mathrm{b}}}\) ఉష్ణోగ్రత పెరిగితే K_f విలువ పెరిగి K_c విలువ కూడా పెరుగుతుంది. ఉష్ణోగ్రత పెరిగితే ఉష్ణగ్రాహక చర్యలు ప్రోత్సహించబడతాయి కాబట్టి పురోగామి చర్య ఉష్ణగ్రాహక చర్య.

ప్రశ్న 21.
సమతాస్థితి వద్ద ఉండే వ్యవస్థపై ఉష్ణోగ్రత ప్రభావం ఏమి ?
జవాబు:
ఉష్ణగ్రాహక చర్యలలో ఉష్ణరాశిని కూడా క్రియాజనకంగా పరిగణించవచ్చు. ఉష్ణోగ్రత పెరిగితే క్రియాజనకాలలో ఒకటైన ఉష్ణరాశి గాఢత పెరిగి, పురోగామి చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది. అనగా సమతాస్థితి కుడివైపుకు జరుగుతుంది.
N₂ (వా) + O₂ (వా) + ఉష్ణరాశి ⇌ 2NO (వా)
ఉష్ణోగ్రత పెరిగితే ఉష్ణగ్రాహకచర్య, ఉష్ణోగ్రతను తగ్గిస్తే ఉష్ణమోచక చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది.

ప్రశ్న 22.
ఒక ఉష్ణమోచక చర్య ఉష్ణోగ్రతను పెంచితే, ఆ చర్య సమతాస్థితి స్థిరాంకం ఏ మార్పుకు గురవుతుంది ?
జవాబు:
K_c = \(\frac{K_f}{K_b}\) ;
ఉష్ణోగ్రతను పెంచినపుడు ఉష్ణమోచక చర్య వేగం తగ్గుతుంది (K_f తగ్గుతుంది.) ఉష్ణగ్రాహక చర్య అయిన తిరోగామి చర్య వేగం పెరుగుతుంది (K_b పెరుగుతుంది.) అందువల్ల K విలువ తగ్గుతుంది.

ప్రశ్న 23.
వాయువు మాత్రమే పాల్గొనే చర్యకు AG° ద్వారా ఏ రకపు సమతాస్థిరాంకాన్ని లెక్కించవచ్చు ?
జవాబు:
ΔG° విలువ నుండి K_p విలువను లెక్కించవచ్చు.
AG° = – RT lnK
lnK = e^-ΔG°/RT
ఈ సమీకరణంలో ‘R’ ఉన్నది కనుక సమతాస్థిరాంకం K_p.

ప్రశ్న 24.
బ్రాన్ స్టెడ్ క్షారం అంటే ఏమిటి ? ఒక ఉదాహరణ తెలపండి.
జవాబు:
ప్రోటాన్ ను గ్రహించేది బ్రాన్టేడ్ క్షారం.
NH₃ + HCl ⇌ \(\mathrm{NH}_4^{+}\) + HCI^–
ఈ చర్యలో NH₃, HCl నుండి ప్రోటాన్ H⁺ ను స్వీకరిస్తుంది. అందువల్ల బ్రాన్టెడ్ క్షారం.

ప్రశ్న 25.
లూయీ ఆమ్లం అంటే ఏమిటి ? ఒక ఉదాహరణ తెలపండి.
జవాబు:
ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంటను స్వీకరించేది లూయీ ఆమ్లం. ఉదా : BF₃.

ప్రశ్న 26.
నీటి అయానిక అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
జలద్రావణంలో H⁺ అయానుల, OH^– అయానుల గాఢతల లబ్ధాన్ని నీటి అయానిక లబ్ధం అంటారు.
K_w = [H⁺] [OH^–]

ప్రశ్న 27.
K_w విలువ ఏమి ? దీని పరామితులు ఏమి ?
జవాబు:
K_w విలువ 25°C వద్ద 1.0 × 10^-14.
దాని యూనిట్లు మోల్² / లీ²

ప్రశ్న 28.
నీటి అయానిక లబ్ధం విలువపై ఉష్ణోగ్రత ప్రభావం తెలపండి.
జవాబు:
ఉష్ణోగ్రత పెరిగితే నీటి అయనీకరణం పెరిగి H⁺, OH^– ల గాఢతలు పెరుగుతాయి. అందువల్ల K_w విలువ పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 29.
H₂O + H₂O ⇌ H₃O⁺ + OH^–
25°C, 40°C ఉష్ణోగ్రతల వద్ద వరసగా నీటి అయానిక లబ్ధం విలువలు 1 × 10^–14, 3.0 × 10^-14 పై చర్య ఉష్ణమోచక చర్యా ? లేదా ఉష్ణగ్రాహక చర్యా ?
జవాబు:
ఉష్ణోగ్రత పెరిగితే నీటి అయానిక లబ్ధం విలువ పెరుగుతుంది. అందువల్ల నీటి అయనీకరణ చర్య ఉష్ణగ్రాహక చర్య అని తెలియుచున్నది. పై చర్య ఉష్ణగ్రాహక చర్య.

ప్రశ్న 30.
‘బ్రాన్ స్టెడ్ క్షారాలు అన్నీ లూయీ క్షారాలే’. వివరించండి.
జవాబు:
ప్రోటాను స్వీకరించేవి బ్రాన్స్టెడ్ క్షారాలు. ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంటను కలిగి ఉండి, దానిని దానం చేయగలిగే పదార్థాలన్నీ లూయీ క్షారాలు. ఈ పదార్థాలన్నీ ప్రోటాన్ ను స్వీకరించగలవు. అందువల్ల బ్రానెడ్ క్షారాలు లూయీ క్షారాలు ఒకటే.
H₃ N: + H⁺ → [H₃N → H]⁺

ప్రశ్న 31.
‘లూయీ ఆమ్లాలు అన్నీ బ్రానెడ్ ఆమ్లాలు కావు’. ఎందువల్ల ?
జవాబు:
ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంటను స్వీకరించే పదార్థాలు లూయీ ఆమ్లాలు.
ఉదా : BF₃ ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంట స్వీకరించగలదు. అందువల్ల లూయీ ఆమ్లం.
ప్రోటాన్ ను దానం చేయగలిగే పదార్థాలు బ్రాన్డెడ్ ఆమ్లాలు. ఉదా : HCl.
BF₃ లూయీ ఆమ్లం అయినప్పటికి దానియందు ప్రోటాన్ లేకపోవుట వలన బ్రాన్డెడ్ ఆమ్లం కాదు. అందువల్ల లూయీ ఆమ్లాలు బ్రాన్టెడ్ ఆమ్లాలు కానక్కరలేదు.

ప్రశ్న 32.
అయనీకరణం అవధి అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
అయనీకరణం చెందిన అణువుల సంఖ్యకు, మొత్తం అణువుల సంఖ్యకు గల నిష్పత్తిని అయనీకరణ అవధి అంటారు.

ప్రశ్న 33.
ఒక ఆమ్లం లేదా క్షారం బలాన్ని వ్యక్తం చేసే రాశి ఏది ?
జవాబు:
ఆమ్లము యొక్క విఘటన స్థిరాంకం K_a విలువ ఎక్కువగా ఉంటే అది బలమైన ఆమ్లము. అదేవిధంగా క్షారము యొక్క విఘటన స్థిరాంకం K_b విలువ ఎక్కువగా ఉంటే అది బలమైన క్షారం.

ప్రశ్న 34.
వాటి జలద్రావణాలలో, క్షార స్వభావం చూపే రెండు లవణాలను తెలపండి.
జవాబు:

1. సోడియం కార్బొనేట్ జలద్రావణం క్షారత్వాన్ని చూపుతుంది.
2. సోడియం ఎసిటేట్ జలద్రావణం క్షారత్వాన్ని చూపుతుంది.

ప్రశ్న 35.
వాటి జలద్రావణాలలో, ఆమ్ల స్వభావం చూపే రెండు లవణాలను తెలపండి.
జవాబు:

1. AlCl₃ జలద్రావణం ఆమ్ల స్వభావాన్ని చూపుతుంది.
2. CuSO₄ జలద్రావణం ఆమ్ల స్వభావాన్ని చూపుతుంది.

ప్రశ్న 36.
ఆమ్ల బఫర్ ద్రావణం pH ను లెక్కించడానికి ఏ సమీకరణాన్ని ఉపయోగిస్తారు ?
జవాబు:
ఆమ్ల బఫర్ ద్రావణం pH ను కనుక్కోవడానికి సమీకరణం :

ప్రశ్న 37.
ఫాస్ఫారిక్ ఆమ్లం (H₃PO₄) కు మూడు అయనీకరణ స్థిరాంకాలు ఉన్నాయి. ఇవి K_a1, K_a2, K_a3. వీటిలో దేనికి కనిష్ఠ విలువ ఉంటుంది ? కారణాలు తెలపండి.
జవాబు:
K_a3 విలువ కనిష్ఠంగా ఉంటుంది. ఋణ అయాను (HP\(\mathrm{O}_4^{2-}\)) నుండి ప్రోటానును తొలగించుట కష్టం. దీనికి కారణం ఋణ అయానులో ప్రోటాను బలమైన స్థిర విద్యుదాకర్షణకు లోను కావడమే.

ప్రశ్న 38.
ఎత్తు ప్రదేశాలలో ఐస్ నెమ్మదిగా కరుగుతుంది. దీనికి కారణం వివరించండి.
జవాబు:
నీటికన్నా ఐస్కు ఘనపరిమాణం ఎక్కువ. పీడనం పెరిగితే ఐస్ నేరుగా మారే చర్య జరుగుతుంది. పీడనాన్ని తగ్గిస్తే ఈ చర్య నెమ్మదిగా జరుగుతుంది. ఎత్తు ప్రదేశాలలో పీడనం తక్కువగా ఉండడం వల్ల ఐస్ నెమ్మదిగా కరుగుతుంది.

లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 39.
కింది చర్యలు ప్రతీదానికి సమతాస్థితి స్థిరాంకం K_c కు సమీకరణాలు రాయండి.
(i) 2NOCl (వా) ⇌ 2NO (వా) + Cl₂ (వా)
(ii) 2Cu (NO₃)₂ (ఘ) ⇌ 2CuO (ఘ) + 4NO₂ (వా) + O₂ (వా)
(iii) CH₃COOC₂H₅ (జల) + H₂O (ద్ర) ⇌ CH₃COOH (జల) + C₂H₅OH (జల)
(iv) Fe⁺³ (జల) + 3OH^– (జల) ⇌ Fe (OH)₃ (ఘ)
జవాబు:
i) 2NOCl (వా) ⇌ 2NO (వా) + Cl₂ (వా)
K_c = \(\frac{\left[\mathrm{NO}^2\left[\mathrm{Cl}_2\right]\right.}{[\mathrm{NOCl}]^2}\)

ప్రశ్న 40.
కింది సమతాస్థితి చర్యకు K_p, K_c ల మధ్య గల సంబంధాన్ని ఉత్పాదించండి. (March 2013)
N₂ (వా) + 3H₂ (వా) ⇌ 2H₃ (వా)
జవాబు:

ప్రశ్న 41.
సమతాస్థితి స్థిరాంకాన్ని నిర్వచించండి. కింది చర్యకు, దాని ఉత్ర్కమణీయ చర్యకు సమతాస్థితి స్థిరాంకాన్ని రాయండి.
H₂ (వా) + I₂ (వా) ⇌ 2HI (వా)
ఈ రెండు స్థిరాంకాలు ఏ విధంగా సంబంధం కలిగి ఉన్నాయి ?
జవాబు:
సమతాస్థితిలో ఉన్న వ్యవస్థలో, క్రియాజన్యాల మోలార్ గాఢతల లబ్ధానికి, క్రియాజనకాల మోలార్ గాఢతల లబ్ధానికి గల నిష్పత్తిని సమతాస్థితి స్థిరాంకం అంటారు.
aA + bB ⇌ cC + dD

ప్రశ్న 42.
ఒక చర్య విస్తృతిని, సమతాస్థితి స్థిరాంకం ఏ విధంగా ఊహిస్తుంది ?
జవాబు:
ఒక చర్య సమతాస్థితి స్థిరాంకం సంఖ్యాత్మక విలువ, ఆ చర్య విస్తృతిని తెలుపుతుంది. K_c లేదా K_p ల పరిమాణం క్రియాజన్యాల గాఢతలకు అనులోమానుపాతంలోను, క్రియాజనకాల గాఢతలకు విలోమానుపాతంలోను ఉంటాయి. దీనిని అనుసరించి K విలువ అధికంగా ఉంటే క్రియాజన్యాలు అధికంగా ఏర్పడతాయి అని తెలుపుతుంది. అదేవిధంగా అల్పంగా ఉంటే క్రియాజన్యాలు అల్పంగా ఏర్పడతాయని తెలుస్తుంది.

K_c > 10³ అయితే క్రియాజనకాల కంటే క్రియాజన్యాలు అధికంగా వుంటాయి. అంటే K_c విలువ అత్యధికంగా ఉన్నట్లైతే చర్య సుమారుగా పూర్తిగా జరుగుతుందని ఊహించవచ్చు.

ఉదా : 500 K వద్ద H₂, O₂ తో జరిపే చర్యకు సమతాస్థితి స్థిరాంకం విలువ అత్యధికంగా ఉంది.
K_c = 2.4 × 10⁴⁷
K_c < 10^-3 అయితే క్రియాజనకాలు, క్రియాజన్యాల కంటే అధికంగా ఉంటాయి. K_c విలువ అతి తక్కువ అయితే ఆ చర్య అరుదుగా జరుగుతుంది.
ఉదా : 298 K వద్ద N₂ (వా) + O₂ (వా) ⇌ 2NO (వా) చర్యకు K_c = 4.8 × 10^-31
K_c విలువ 10^-3 కు మధ్యగా ఉండినట్లైతే చర్యలో గమనించదగిన గాఢతలలో క్రియాజన్యాలు, క్రియాజనకాలు కూడా ఉంటాయి.

ప్రశ్న 43.
సమతాస్థితి నియమాన్ని వివరించండి. సమతాస్థితి గాఢతలు కింది విధంగా ఉండే సమతాస్థితికి K_cను లెక్కించండి.
[SO₂] = 0.60 M, [O₂] = 0.82 M, [SO₃] = 1.90 M ?
2SO₂ (వా) + O₂ (వా) ⇌ 2SO₃ (వా)
జవాబు:
సమతాస్థితి నియమం : నిర్దిష్ట ఉష్ణోగ్రత వద్ద, సమతుల్యం చేయబడిన రసాయన సమీకరణంలోని, క్రియాజన్యాల గాఢతలను సూచించే పదాలకు, వాటి సంబంధిత స్థాయికియోమెట్రిక్ గుణకాలను ఘాతాలుగా రాసి ఏర్పడిన గాఢత పదాల అంకగణిత లబ్ధాల విలువను సమీకరణంలోని క్రియాజనకాల గాఢతలను సూచించే పదాలకు వాటి స్థాయికియోమెట్రిక్ గుణకాలను ఘాతాలుగా రాసి, ఏర్పడిన గాఢత పదాల అంకగణిత విలువతో భాగిస్తే, స్థిర విలువ లభిస్తుంది. దీనినే సమతాస్థితి నియమం లేదా రసాయన సమతాస్థితి నియమం అంటారు.
2SO₂ (వా) + O₂ (వా) ⇌ 2SO₃ (వా)
K_c = \(\frac{\left[\mathrm{SO}_3\right]^2}{\left[\mathrm{SO}_2\right]^2\left[\mathrm{O}_2\right]}\) = \(\frac{(1.9)^2}{(0.6)^2(0.82)}\) = 12.229 mol L^-1

ప్రశ్న 44.
సీలు చేయబడి ఉన్న సోడా నీటి సీసాను తెరచినప్పుడు ఎందుకు వాయువు బుసబుస పొంగుతూ బయటకు వస్తుంది?
జవాబు:
సీలు చేయబడిన సోడా నీటి సీసాలో పీడనం అధికం. CO₂ అధికంగా నీటియందు కరిగి ఉండి, సమతాస్థితిలో ఉంటుంది.
CO₂ (వా) + H₂O (ద్ర) ⇌ H₂CO₃ (వా)
పీడనం అధికంగా ఉన్నపుడు, సమతాస్థితి కుడివైపుకు జరిగి, CO₂ అధికంగా నీటిలో కరిగి ఉంటుంది. పీడనాన్ని తగ్గిస్తే, అంటే సీసా మూతను తెరిస్తే సమతాస్థితి ఎడమవైపుకు జరిగి, CO₂ ఏర్పడి బుసబుసమని పొంగుతూ బయటకు వస్తుంది.

ప్రశ్న 45.
కింది వాటి ప్రాముఖ్యం తెలపండి.
a) అతి ఎక్కువ K విలువ
b) అతి తక్కువ K విలువ
c) K విలువ 1.0 గా ఉన్నది.
జవాబు:
a) K విలువ అధికంగా వున్నపుడు క్రియాజనకాల కంటే క్రియాజన్యాలు అధికంగా వుంటాయి. అంటే K విలువ అత్యధికంగా వున్నట్లైతే చర్య సుమారుగా పూర్తిగా జరుగుతుంది.

b) K విలువ అల్పంగా ఉంటే క్రియాజనకాలు, క్రియాజన్యాల కంటే అధికంగా వుంటాయి. K విలువ అతి తక్కువ అయితే, ఆ చర్య అరుదుగా జరుగుతుంది.

c) K విలువ 1.0 అయితే క్రియాజనకాలు 50% వరకు క్రియాజన్యాలుగా మారినవని అర్థము. పురోగామి, తిరోగామి వేగ స్థిరాంకాలు సమానం అని అర్థము.

ప్రశ్న 46.
Q, K లను సరిపోల్చడం ఎందుకు ఉపయోగపడుతుంది ? కింది వాటిలో పరిస్థితులు ఏమి ?
(a) Q = K
(b) Q < K (c) Q>K
జవాబు:
క్రియాజన్యాల మోలార్ గాఢతల లబ్ధానికి, క్రియాజనకాల మోలార్ గాఢతల లబ్ధానికి గల నిష్పత్తిని చర్య యొక్క భాగఫల స్థిరాంకం Q అంటారు. Qను లెక్కించేటపుడు సమతాస్థితి గాఢతలను వాడనవసరం లేదు.
Q విలువను సమతాస్థితి స్థిరాంకం K తో పోలిస్తే, చర్య జరిగే దిశను ఊహించవచ్చు.

1. Q > K అయితే తిరోగామి చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది. (ఉత్రమ చర్య)
2. Q < K అయితే సమతాస్థితిని తిరిగి పొందే విధంగా చర్య పురోగామి దిశలో పయనిస్తుంది.
3. Q = K అయితే, చర్య సమతాస్థితిలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 47.
Cl₂ (వా) + F₂ (వా) ⇌ 2Cl F (వా), K_c = 19.9
పై చర్యలోని పదార్థాల గాఢతలు కింది విధంగా ఉంటే చర్య ఏ విధంగా జరుగుతుంది ?
[Cl₂] = 0.4 mol L^–; [F₂] = 0.2 mol L^-1, [Cl F] = 7.3 mol L^–?
జవాబు:
Q = \(\frac{[\mathrm{ClF}]^2}{\left[\mathrm{Cl}_2\right]\left[\mathrm{F}_2\right]}\) = \(\frac{(7.3)^2}{0.04 \times 0.2}\)
= 6.66 × 10³
K_c విలువ కన్నా Q విలువ చాలా ఎక్కువగా ఉన్నది. అందువల్ల మరల సమతాస్థితిని ఏర్పరచడానికి తిరోగామి దిశలో చర్య జరుగుతుంది.

ప్రశ్న 48.
కింది వాటిలో దేనిలో క్రియాజనకాలు, క్రియాజన్యాలు గుర్తించగలిగిన గాఢతలలో ఉంటాయి ?
a) Cl₂ (వా) ⇌ 2Cl(వా) K_c = 5 × 10^-39
b) Cl₂ (వా) + 2NO (వా) ⇌ 2NOCl (వా) K_c = 3.7 × 10⁸
c) Cl₂ (వా) + 2NO₂ (వా) ⇌ 2NO₂(వా) K_c = 1.8
జవాబు:
a) Cl₂ (వా) ⇌ 2Cl(వా) K_c = 5 × 10^-39
ఈ చర్యకు K_c విలువ చాలా స్వల్పం. అందువల్ల పురోగామి చర్య చాలా స్వల్పంగా జరుగుతుంది. అందువల్ల సమతా వ్యవస్థలో క్రియాజనకమైన క్లోరిన్ ప్రధానంగా ఉంటుంది.

b) Cl₂ (వా) + 2NO (వా) ⇌ 2NOCl (వా) K_c = 3.7 × 10⁸
K_c విలువ ఎక్కువగా ఉన్నందున, పురోగామి చర్య అధికంగా జరిగి, సమతాస్థితి వద్ద ఉత్పన్నాలు అధికంగా వుంటాయి. ఉత్పన్నాల గాఢత అధికంగా వుంటుంది.

c) Cl₂ (వా) + 2NO₂ (వా) ⇌ 2NO₂(వా) K_c = 1.8
ఈ చర్యలో పురోగామి చర్య 50% కన్నా కొద్దిగా ఎక్కువ జరుగుతుంది. అందువల్ల ఈ చర్యలో క్రియాజనకాలు, క్రియాజన్యాలు గుర్తింపదగిన గాఢతలో ఉంటాయి.

ప్రశ్న 49.
సమతాస్థితిలో ఉండే వ్యవస్థ పీడనం మార్పు ద్వారా ప్రభావితం అయ్యే పరిస్థితులను ఏ విధంగా తెలుసుకొంటాం?
జవాబు:
సమతాస్థితిలో ఉండే వ్యవస్థపై పీడన ప్రభావాన్ని లీచాట్లెయర్ సూత్రం ద్వారా తెలుసుకోవచ్చు.

i) ఒక చర్యలో వాయుస్థితిలో ఉండే క్రియాజనకాల మొత్తం మోల్ల సంఖ్య వాయుస్థితిలో ఉండే క్రియాజన్యాల మొత్తం మోల్ల సంఖ్యకు సమానంగా ఉంటే, సమతాస్థితిపై పీడన ప్రభావం ఉండదు.
ఉదా : N₂ (వా) + O₂ (వా) ⇌ 2NO (వా)
ఈ చర్యపై పీడన ప్రభావం ఉండదు.

ii) క్రియాజనకాల, క్రియాజన్యాల మోత్ల సంఖ్య సమానంగా లేనపుడు పీడనాన్ని పెంచినపుడు మోత్ల సంఖ్య తగ్గేదిశగా (ఘనపరిమాణం తగ్గే దిశలో చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది).

a) N₂ (వా) + 3H₂ (వా) ⇌ 2NH₃ (వా)
ఈ చర్యలో అమ్మోనియా ఏర్పడుటలో మోల్ల సంఖ్య తగ్గుతుంది. అందువల్ల పీడనాన్ని పెంచినపుడు ఘనపరిమాణం తగ్గే దిశలో జరుగుతున్న పురోగామి చర్య జరుగుతుంది. అమ్మోనియా అధికంగా ఏర్పడుతుంది. పీడనాన్ని తగ్గిస్తే ఉత్రమచర్య జరిగి అమ్మోనియా విడిపోతుంది.

b) PCl₅ (వా) ⇌ PCl₃ (వా) + Cl₂ (వా)
ఈ చర్య పురోగామి దిశలో మోల్ల సంఖ్య మరియు ఘనపరిమాణం పెరుగుతాయి. పీడనాన్ని పెంచినపుడు ఘనపరిమాణం తగ్గే చర్య అయిన ఉత్రమచర్య జరిగి PCl₅ (వా) విఘటనం తగ్గుతుంది. పీడనం తగ్గిస్తే పురోగామి చర్య జరుగుతుంది.

లీచాట్లీయర్ సూత్రం ప్రకారం సమతాస్థితి వ్యవస్థపై పీడనాన్ని పెంచినపుడు ఘనపరిమాణం తగ్గే చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది. అనగా మోల్ల సంఖ్య తగ్గే దిశలో జరిగే చర్య జరుగుతుంది.

ప్రశ్న 50.
సమతాస్థితి స్థిరాంకం విలువ పరిమాణంపై ఉష్ణోగ్రతలో మార్పు ప్రభావాన్ని తెలుసుకొనేందుకు చర్య ఏ ధర్మం ఉపయోగపడుతుంది ?
జవాబు:
చర్య ఉష్ణోగ్రతలో మార్పు తటస్థపడితే సమతాస్థితి స్థిరాకం Kl_c విలువ కూడా మారుతుంది. సాధారణంగా సమతాస్థితి స్థిరాంకం ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడే విషయం చర్య ΔH విలువ సంజ్ఞను అనుసరించి ఉంటుంది.

1. ఉష్ణమోచక చర్యల (ఋణ ΔH విలువ గలవి) ఉష్ణోగ్రత పెరుగుదలతో సమతాస్థితి స్థిరాంకం విలువ తగ్గుతుంది.
2. ఉష్ణగ్రాహక చర్యలలో (ధన ΔH విలువ గలవి) ఉష్ణోగ్రత పెరుగుదలతో సమతాస్థితి స్థిరాంకం విలువ కూడా పెరుగుతుంది.

ఉష్ణోగ్రతలో నూర్పులు సమతాస్థితి స్థిరాంకాలను, చర్యల రేటులను కూడా ప్రభావితం చేస్తాయి.

N₂ (వా) + 3H₂ (వా) ⇌ 2NH₃ (వా)
ΔH = 92.38 K.J mol^-1 చర్య ఆధారంగా జరిగే అమ్మోనియా ఏర్పడే చర్య ఉష్ణమోచక చర్య. లీచాట్లెయర్ సూత్రం అనుసరించి చర్య ఉష్ణోగ్రతను పెంచినట్లైతే చర్య సమతాస్థితి ఎడమవైపుగా జరుగుతుంది. ఫలితంగా అమ్మోనియా సమతాస్థితి గాఢత తగ్గుతుంది. మరో విధంగా తెలపాలి అంటే అల్పస్థాయి ఉష్ణోగ్రతలు అమ్మోనియా దిగుబడిని పెంచుతాయి. కానీ అల్ప ఉష్ణోగ్రతలు చర్యవేగాన్ని తగ్గిస్తాయి.

ప్రశ్న 51.
ఘనపరిమాణాన్ని పెంచడం ద్వారా పీడనాన్ని తగ్గించే ప్రక్రియకు కింది సమతాస్థితులను గురిచేస్తే చర్యలోని క్రియాజనకాల, క్రియాజన్యాల మోల్ల సంఖ్య పెరుగుతుందా ?
i) PCl₅ (వా) ⇌ PCl₃ (వా) + Cl₂ (వా)
ii) CaO (ఘ) + CO₂ (వా) ⇌ CaCO₃ (ఘ)
జవాబు:
i) PCl₅ (వా) ⇌ PCl₃ (వా) + Cl₂ (వా)

లీచాట్లెయర్ సూత్రం ప్రకారం సమతాస్థితిలో ఉన్న వ్యవస్థ పీడనాన్ని తగ్గిస్తే ఘనపరిమాణం, పెరిగే దిశలో సమతాస్థితి జరుగుతుంది. PCl₅ పై విఘటనలలో PCl₃, Cl₂ ఏర్పడి మోల్లసంఖ్య మరియు ఘనపరిమాణం పెరుగుతుంది. కనుక ఈ చర్యలో పీడనాన్ని తగ్గిస్తే క్రియాజన్యాల మోత్ల సంఖ్య పెరుగుతుంది.

ii) CaO (ఘ) + CO₂ (వా) ⇌ CaCO₃ (ఘ)

ఈ చర్యలో పీడనాన్ని తగ్గించినపుడు CO₂ అణువుల సంఖ్య పెరుగుతుంది. CO₂ అణువుల సంఖ్య పెరగడం విఘటనం వల్ల జరుగుతుంది. అందువల్ల పీడనాన్ని తగ్గించినపుడు CaCO₃ విఘటనం చెందడం వల్ల CaCO₃ మోల్లల సంఖ్య తగ్గుతుంది.

ప్రశ్న 52.
పీడనం పెంపు ద్వారా కింది వాటిలో ఏ చర్యలు ప్రభావితం అవుతాయి ? ఈ ప్రభావం ద్వారా చర్య పురోగామి దిశలో జరుగుతుందా ? లేదా ? తిరోగామి దిశలో జరుగుతుందా ? తెలపండి.
i) COCl₂ (వా) ⇌ CO (వా) + Cl₂ (వా)
ii) CH₄ (వా) ⇌ CS₂ (వా) + 2H₂S (వా)
iii) CO₂ (వా) + C (ఘ) ⇌ 2 CO (వా)
iv) 4NH₃ (వా) + 5O₂ (వా) ⇌ 4 NO (వా) + 6H₂O (వా)
జవాబు:
i) COCl₂ (వా) ⇌ CO (వా) + Cl₂ (వా)
ఈ చర్యలో పీడనం పెంపువల్ల తిరోగామి చర్య జరుగుతుంది. క్రియాజన్యాల గాఢతలు తగ్గుతాయి.

ii) CH₄ (వా) ⇌ CS₂ (వా) + 2H₂S (వా)
ఈ చర్యలో మోల్ సంఖ్య సమానం. అందువల్ల పీడన ప్రభావం ఉండదు.

iii) CO₂ (వా) + C (ఘ) ⇌ 2 CO (వా)
ఈ చర్యలో పురోగామి దిశలో వాయుస్థితిలోని అణువుల సంఖ్య పెరుగుతున్నది. తిరోగామి దిశలో తగ్గుచున్నది. లీచాట్లెయర్ సూత్రం ప్రకారం పీడనాన్ని పెంచితే ఘనపరిమాణం తగ్గే చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది. అంటే ఇవ్వబడిన సమతాస్థితి చర్యలో తిరోగామి చర్య ప్రోత్సహింపబడుతుంది.

iv) 4NH₃ (వా) + 5O₂ (వా) ⇌ 4 NO (వా) + 6H₂O (వా)
ఈ చర్యలో వాయుస్థితిలోని క్రియాజనకాల మోత్ల సంఖ్య (9), క్రియాజన్యాల మోల్ సంఖ్య (10) కన్నా తక్కువ. లీచాట్లెయర్ సూత్రం ప్రకారం పీడనాన్ని పెంచితే సమతాస్థితి వ్యవస్థలో ఘనపరిమాణం తగ్గే చర్య ప్రోత్సహింపబడుతుంది. అనగా తిరోగామి చర్య ప్రోత్సహింపబడుతుంది.

ప్రశ్న 53.
కింది సమతాస్థితులను పీడనం పెరుగుదల ఏ విధంగా ప్రభావితం చేస్తుంది ? అదేవిధంగా ఉష్ణోగ్రతలలో పెరుగుదల ఏ విధంగా ప్రభావితం చేస్తుంది ?
i) 2NH₃ (వా) ⇌ N₂ (వా) + 3H₂ (వా) ΔH = 92 kJ
ii) N₂ (వా) + O₂ (వా) ⇌ 2 NO (వా) ΔH = -176 kJ
iii) 2O₃ (వా) ⇌ 3O₂ (వా) ΔH = -285 kJ
iv) CaO (ఘ) + CO₂ (వా) ⇌ CaCO₃ (ఘ) ΔH = – 176 kJ
జవాబు:
పీడన ప్రభావం : లీచాట్లెయర్ సూత్రం ప్రకారం పీడనాన్ని పెంచితే ఘనపరిమాణం కగ్గే చర్య ప్రోత్సహింపబడుతుంది. ఉష్ణోగ్రతా ప్రభావం : లీచాట్లెయర్ సూత్రం ప్రకారం ఉష్ణోగ్రతలో పెరుగుదల ఉష్ణగ్రాహక చర్యను ప్రోత్సహిస్తుంది.

i) 2NH₃ (వా) ⇌ N₂ (వా) + 3H₂ (వా) ΔH = 92 kJ
ఈ సమతాస్థితిలో అమ్మోనియా విఘటన చర్య అయిన పురోగామి చర్యలో ఘనపరిమాణం పెరుగుచున్నది. పీడనాన్ని పెంచితే ఘనపరిమాణం తగ్గే చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది. అంటే నైట్రోజన్, హైడ్రోజన్ కలసి NH₃.

ఏర్పడే చర్య జరుగుతుంది. ఈ చర్యలో పురోగామి చర్య ఉష్ణగ్రాహక చర్య. ఉష్ణోగ్రతలో పెరుగుదల ఉష్ణగ్రాహక చర్యను ప్రోత్సహిస్తుంది. అంటే అమ్మోనియా విఘటనం చెందుతుంది. అంటే పై చర్యలో పురోగామి చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది.

ii) N₂ (వా) + O₂ (వా) ⇌ 2 NO (వా) ΔH = 181 kJ
ఈ సమతావ్యవస్థలో మోల్ల సంఖ్యలో మార్పు లేదు. ఇటువంటి చర్యలపై పీడన ప్రభావం ఉండదు. పురోగామి చర్యలో ఉష్ణం గ్రహించబడుతున్నది. ఉష్ణోగ్రతలో పెరుగుదల ఉష్ణగ్రాహకచర్యను ప్రోత్సహిస్తుంది. అందువల్ల ఉష్ణోగ్రతను పెంచడం వల్ల NO ఏర్పడే చర్య జరుగుతుంది.

iii) 2O₃ (వా) ⇌ 3O₂ (వా) ΔΗ = -285 kJ

పీడన ప్రభావం : ఈ సమతాస్థితిలో ఓజోన్ విఘటన చర్య అయిన పురోగామి చర్యలో మోల్ల సంఖ్య పెరుగుట వలన ఘనపరిమాణం పెరుగుతుంది. తిరోగామి చర్యలో ఓజోన్ ఏర్పడి, ఘనపరిమాణం తగ్గుతుంది.
లీచాట్లెయర్ సూత్రం ప్రకారం అధిక పీడనాల వద్ద ఓజోన్ ఏర్పడే తిరోగామి చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది. సమతాస్థానం ఎడమవైపు జరుగుతుంది.

ఉష్ణోగ్రత ప్రభావం : ఓజోన్ విఘటన చర్య ఉష్ణమోచక చర్య. (ΔH = ఋణాత్మకం). పురోగామి చర్య ఉష్ణమోచక చర్య. తిరోగామి చర్య ఉష్ణగ్రాహక చర్య. లీచాట్లెయర్ సూత్రం ప్రకారం అధిక ఉష్ణోగ్రతల వద్ద ఉష్ణగ్రాహక చర్య అయిన తిరోగామి చర్య అయిన ఓజోన్ ఏర్పడే చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది.

iv) CaO (ఘ) + CO₂ (వా) ⇌ CaCO₃ (ఘ) ΔH = – 176 kJ
ఈ చర్యలో ఒకే ఒక వాయుస్థితిలోని క్రియాజనకం ఉన్నది. పీడనాన్ని పెంచినపుడు ఘనపరిమాణం తగ్గే చర్య అయిన పురోగామి చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది.
ఈ చర్యలో పురోగామి చర్య ఉష్ణమోచక చర్య. తిరోగామిచర్య ఉష్ణగ్రాహక చర్య. ఉష్ణోగ్రత పెరిగితే తిరోగామి దిశగా సమతాస్థానం జరుగుతుంది. తిరోగామి చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది.

ప్రశ్న 54.
HI విఘటనం చర్యపై అనువర్తితన పీడనం ఎటువంటి ప్రభావం చూపదు. అయితే PCl₅ విఘటనంపై ప్రభావం చూపుతుంది. వివరించండి.
జవాబు:


ఈ సమీకరణంలో ‘V’ పదం లేదు. అందువల్ల పీడనం ప్రభావం ఈ చర్యపై ఉండదు.
ఈ సమీకరణంలో ‘V’ పదం ఉంది. కనుక పీడనం వల్ల ఈ చర్య ప్రభావితం అవుతుంది.
స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద K_c విలువ స్థిరం. స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద పీడనాన్ని పెంచినపుడు \(\frac{1}{v}\) విలువ పెరుగుతుంది. కాని K_c విలువ స్థిరంగా ఉండుట కోసం \({ }^{{ }^n} \mathrm{Cl}_2\) ల విలువలు తగ్గాలి. అందువల్ల తిరోగామి చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది.

ప్రశ్న 55.
కింది పదాలను వివరించండి.
(i) విద్యుద్విశ్లేష్యకం
(ii) అవిద్యుద్విశ్లేష్యకం
(iii) బలహీన బలమైన విద్యుద్విశ్లేష్యకాలు
(iv) అయానిక సమతాస్థితి
జవాబు:
i) విద్యుద్విశ్లేష్యకం : కొన్ని పదార్థాలు తమ జలద్రావణాల గుండా విద్యుత్ను ప్రవహింపచేస్తాయి. వీటిని విద్యుత్ వాహకాలు అంటారు లేదా విద్యుద్విశ్లేష్యకాలు అంటారు. వీటి గుండా విద్యుత్ ప్రవహింపచేసినపుడు విద్యుత్ ప్రవాహంతోబాటు రసాయన మార్పును కూడ పొందుతాయి.

ii) కొన్ని పదార్థాలు తమ జలద్రావణాల ద్వారా విద్యుత్ను ప్రవహింపచేయవు. వీటిని అవిద్యుద్విశ్లేష్యకాలు అంటారు.

iii) బలమైన విద్యుత్ వాహకాలను నీటిలో కరిగించినపుడు అవి సుమారు సంపూర్ణంగా అయనీకరణం చెందుతాయి.

బలహీన విద్యుద్విశ్లేష్యాలు జలద్రావణాలలో పాక్షికంగా అయనీకరణం చెందుతాయి. ఉదా : సోడియం క్లోరైడ్ జలద్రావణంలో సోడియం అయాన్లు క్లోరైడ్ అయాన్లు మాత్రమే ఉంటాయి. ఎసిటిక్ ఆమ్ల జలద్రావణంలో ప్రధానంగా అయనీకరణం చెందని ఎసిటిక్ ఆమ్ల అణువులు, కొద్ది పరిమాణంలో ఎసిటేట్ అయాన్లు, హైడ్రోనియం అయాన్లు ఉంటాయి. దీనికి కారణం సోడియం క్లోరైడ్ బలమైన విద్యుత్ వాహకం కాబట్టి 100% అయనీకరణం చెందుతుంది. ఎసిటిక్ ఆమ్లం బలహీన విద్యుత్ వాహకం కాబట్టి 5% కంటే తక్కువ పరిమాణంలో మాత్రమే అయనీకరణం చెందుతుంది.

iv) బలహీన విద్యుత్ వాహకాల జలద్రావణాలలో, అయాన్లు అయనీకరణం చెందలేని అణువుల మధ్య సమతాస్థితి ఏర్పడి ఉంటుంది. అయాన్లు పాల్గొని ఏర్పడిన సమతాస్థితిని అయానిక సమతాస్థితి అంటారు.
CH₃COOH (జల) + H₂O (ద్ర) ⇌ CH₃COO^– (జల) + H₃O⁺ (జల)

ప్రశ్న 56.
కింది పదాలను వివరించండి :
(i) అయనీకరణం విస్తృతి, అది ఏ కారణాంశాలపై ఆధారపడుతుంది
(ii) విఘటనం
(iii) అయనీకరణం
జవాబు:
i) బలహీన విద్యుద్విశ్లేష్యాలు పాక్షికంగా అయనీకరణం చెందుతాయి. అయనీకరణం వల్ల ఏర్పడిన అయాన్లకు, అయనీకరణం చెందని అణువులకు మధ్య గతిక సమతాస్థితి ఏర్పడుతుంది.
సమతాస్థితి వద్ద అయనీకరణం చెందిన అణువుల సంఖ్యకు మొత్తం అణువుల సంఖ్యకు గల నిష్పత్తిని అయనీకరణ అవధి అంటారు. అయనీకరణ అవధిని శాతంగా మార్చితే అయనీకరణ విస్తృతి అంటారు.
అయనీకరణ విస్తృతి తి కింది అంశాలపై ఆధారపడుతుంది.

a) గాఢత : ద్రావణం గాఢత తక్కువగా వుంటే అయనీకరణ విస్తృతి ఎక్కువగా వుంటుంది.
b) ఉష్ణోగ్రత : ఉష్ణోగ్రత పెరిగితే అయనీకరణం పెరుగుతుంది.

ii) విఘటనం : కొన్ని పదార్థాలను వేడిచేస్తే అవి రెండు లేక అంతకంటే ఎక్కువ విభిన్న పదార్థాలుగా విడిపోతాయి. ఈ ప్రక్రియను విఘటనం అంటారు.
CaCO₃ → CaO + CO₂
iii) తటస్థ అణువు ద్రావణంలో విద్యుత్ ఆవేశపు అయాన్లుగా విచ్ఛిన్నం అయ్యే ప్రక్రియను అయనీకరణం అంటారు.

ప్రశ్న 57.
ఆర్హీనియస్ ఆమ్లాల, క్షారాల భావనలను వివరించండి.
జవాబు:
1) నీటిలో కరిగించినపుడు, వియోగం చెంది H⁺ (జల) అయాన్లను ఏర్పరచే పదార్థాలను ఆమ్లాలు అనీ, హైడ్రాక్సిల్ అయాన్లను ఏర్పరచే పదార్థాలను క్షారాలు అని ఆర్హీనియస్ ప్రతిపాదన.
HX (జల) ⇌ H⁺ (జల) + X (జల)
MOH (జల) ⇌ M (జల) + OH^– (జల)

2) HCl, HNO₃ వంటి ఆమ్లాలు జలద్రావణాలు దాదాపు సంపూర్ణంగా అయనీకరణం చెందుతాయి. అవి బలమైన ఆమ్లాలు. ఎసిటిక్ ఆమ్లం వంటి ఆమ్లాలు పాక్షికంగా అయనీకరణం చెందుతాయి. అవి బలహీన ఆమ్లాలు. అదేవిధంగా జలద్రావణంలో పూర్తిగా అయనీకరణం చెందే క్షారాలు బలమైన క్షారాలు. పాక్షిక అయనీకరణం చెందే క్షారాలు బలహీన క్షారాలు.

3) ఈ సిద్ధాంతం ప్రకారం ఆమ్ల, క్షార తటస్థీకరణ చర్య అనగా, H⁺, OH^– లు కలిసి నీరు ఏర్పడుటయే.
H⁺ (వా) + OH^– (వా) ⇌ H₂O (ద్ర)

ప్రశ్న 58.
కాంజుగేటు ఆమ్ల క్షార జంట అంటే ఏమిటి ? ఒక ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
ఆమ్ల-క్షారాల మధ్య తేడా ప్రోటాన్ మాత్రమే అయితే, ఆమ్ల క్షార జంటను సంయుగ్మ ఆమ్ల, క్షార జంట లేదా కాంజుగేటు ఆమ్లక్షార జంట అంటారు.
ఉదా :

ప్రశ్న 59.
ఎసిటిక్ ఆమ్లం బలహీన ఆమ్లం. 1 M ఎసిటిక్ ఆమ్ల జలద్రావణంలో ఉండే అన్ని అయానిక అణు జాతుల గాఢతల అవరోహణ క్రమాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
ఎసిటిక్ ఆమ్లం అయనీకరణం

ఎసిటిక్ ఆమ్లం బలహీన ఆమ్లం. అది అల్పంగా అయనీకరణం చెందుతుంది. అందువల్ల 1 M ఎసిటిక్ ఆమ్ల జలద్రావణంలో అన్ని అయానిక అణుజాతుల గాఢతల అవరోహణ క్రమం
[H₂O] > [CH₃COOH] > [CH₃COO ^–] = [H₃O⁺] > [OH^–]

ప్రశ్న 60.
తగిన సమీకరణాలతో కింది వాటిలో ప్రతీ జాతి బ్రానెడ్ ఆమ్లంగా ప్రవర్తిస్తుంది అని తెలపండి.
a) H₃O⁺
b) HCl
c) NH₃
d) HS\(\mathrm{O}_{\overline{4}}\)
జవాబు:
బ్రాన్ డ్ సిద్ధాంతం ప్రకారం హైడ్రోజన్ అయాన్ (H⁺) ను దానం చేయగలిగే పదార్థాలు ఆమ్లాలు.

a) H₃O⁺ + OH^– ⇌ 2H₂O
H₃O⁺, OH^–కు H⁺ ను దానం చేస్తుంది. అందువల్ల H₃O⁺ బ్రాన్డెడ్ ఆమ్లం.

b) HCl + H₂O ⇌ H₃O⁺ + Cl^–
HCl, H₂O కు H⁺ ను దానం చేస్తుంది. అందువల్ల HCl బ్రానెడ్ ఆమ్లం.

c) NH₃ + NH₃ ⇌ \(\mathrm{NH}_4^{+}\) + \(\mathrm{NH}_2^{-}\)
NH₃ మరియొక NH₃ కు H⁺ ను దానం చేస్తుంది. అందువల్ల NH₃ బ్రాన్టెస్టెడ్ ఆమ్లం.

d) HS\(\mathrm{O}_4^{-}\) + H₂O ⇌ H₃O⁺ + \(\mathrm{SO}_4^{-}\). అందువల్ల \(\mathrm{SO}_4^{-}\) బ్రాన్డెడ్ ఆమ్లం.
ఈ చర్యలో H\(\mathrm{SO}_4^{-}\), H₂O కు H⁺ ను దానం చేస్తున్నది. కావున ఆమ్లం.

ప్రశ్న 61.
తగిన సమీకరణాలతో కింది వాటిలో ప్రతీ జాతి బ్రాన్టెడ్ క్షారంగా ప్రవర్తిస్తుంది అని తెలపండి.
a) H₂O
b) OH^–
c) C₂H₅OH
d) HP\(\mathrm{O}_4^{-2}\)
జవాబు:
a) H₂O + H₂O ⇌ H₃O⁺ + OH^–.
నీటి అణువు మరియొక నీటి అణువు నుండి ప్రోటాన్ను స్వీకరిస్తుంది. అందువల్ల H⁺ స్వీకరిస్తున్న అణువు బ్రాన్ స్టెడ్ క్షారం.

b) HCl + OH^– → H₂O + Cl^–
OH^–, HCl నుండి ప్రోటాను స్వీకరిస్తుంది. అందువల్ల OH^– బ్రాన్టెడ్ క్షారం.

c)

ఇథైల్ ఆల్కహాల్, ప్రోటాను స్వీకరిస్తున్నది. అందువల్ల బ్రాన్డ్ క్షారం.

d) HP\(\mathrm{O}_4^{2-}\)
HP\(\mathrm{O}_4^{2-}\) + HCl → H₂P\(\mathrm{O}_4^{-}\) + Cl^–
HP\(\mathrm{O}_4^{2-}\), HCl నుండి ప్రోటాను స్వీకరిస్తుంది. కనుక బ్రాన్ స్టెడ్ క్షారం.

ప్రశ్న 62.
H₂O, HC\(O_3^{-}\), HS\(O_4^{-}\), NH₃ లు బ్రానెడ్ ఆమ్లాలు, బ్రాస్టెస్టెడ్ క్షారాలుగా ప్రవర్తిస్తాయి. వాటికి సంబంధించిన కాంజుగేటు ఆమ్లం, క్షారం రాయండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 63.
H₂P\(\mathrm{O}_4^{-}\) ఆమ్లంగాను, క్షారంగాను ప్రవర్తిస్తుంది అని తెలపడానికి సమీకరణం రాయండి.
జవాబు:
H₂P\(\mathrm{O}_4^{-}\) + H₂O ⇌ HP\(\mathrm{O}_4^{2-}\) + H₃O⁺
H₂P\(\mathrm{O}_4^{-}\) నీటికి ప్రోటాన్ను దానం చేస్తున్నది కనుక ఆమ్లం.
H₂\(\mathrm{O}_4^{-}\) + HCl ⇌ H₃PO₄ + Cl^–
H₂P\(\mathrm{O}_4^{-}\) ప్రోటాన్ ను HCl నుండి స్వీకరిస్తుంది. కావున క్షారం.

ప్రశ్న 64.
కింది వాటికి కాంజుగేటు ఆమ్లాన్ని, కాంజుగేటు క్షారాన్ని రాయండి.
a) OH^–
b) H₂O
c) HC\(\mathrm{O}_3^{-}\)
d) H₂O₂
జవాబు:
a) OH^– సంయుగ్మ క్షారం O^2-
OH^– సంయుగ్మ ఆమ్ల H₂O

b) H₂O సంయుగ్మ ఆమ్లం H₃O⁺
H₂O సంయుగ్మ క్షారం OH^–

c) HC\(\mathrm{O}_3^{-}\)
HC\(\mathrm{O}_3^{-}\) సంయుగ్మ ఆమ్ల H₂CO₃
HC\(\mathrm{O}_{\overline{3}}\) సంయుగ్మ క్షారం C\(\mathrm{CO}_3^{-}\)

d) H₂O₂
H₂O₂ సంయుగ్మ ఆమ్లం H₃[laex]\mathrm{O}_2^{+}[/latex]
H₂O₂ సంయుగ్మ క్షారం H\(\mathrm{O}_2^{-}\)

ప్రశ్న 65.
బ్రాన్టెస్టెడ్ ఆమ్లం, దాని కొంజుగేటు క్షారం, అదేవిధంగా బ్రానెడ్ క్షారం, దాని కాంజుగేటు ఆమ్లం, వీటిని కింది సమీకరణాలలో గుర్తించండి.
a) HSO₄ + Cl^– → HCl + HS\(O_4^{-}\)
b) H₂S + N\(\mathrm{H}_2^{-}\) → HS^– + NH₃
c) CN^– + H₂O → HCN + OH^–
d) O^-2 + H₂O → 2OH^–
జవాబు:
a)

ప్రశ్న 66.
AlCl₃, NH₃, Mg⁺², H₂O లను లూయీ ఆమ్లాలు, లూయీ క్షారాలుగా వర్గీకరించండి. జవాబును సమర్ధించండి.
జవాబు:
ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంట దాత క్షారం. ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ స్వీకర్త ఆమ్లం.
AlCl₃ ఎలక్ట్రాన్ జంటను స్వీకరించగలదు. కనుక లూయీ ఆమ్లం.
NH₃ ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంటను దానం చేయగలదు. కనుక లూయీ క్షారం. కేటయాన్లు ఎలక్ట్రాన్ జంటను స్వీకరించగలవు. కనుక Mg⁺⁺ లూయీ ఆమ్లం.
H₂O ఎలక్ట్రాన్ జంటను దానం చేయగలదు కనుక లూయీ క్షారం.

ప్రశ్న 67.
బలమైన ఆమ్లం, బలహీన ఆమ్లం, వీటి కాంజుగేటు క్షారాల బలాలను వివరించండి.
జవాబు:
HCl + H₂O ⇌ H₃O⁺ + Cl^–
ఈ చర్యలో HCl బలమైన ఆమ్లం. దీని సంయుగ్మ క్షారం బలహీనమైనది.
అందువల్ల Cl^–, H₃O⁺ నుండి H⁺ ను స్వీకరించే చర్య చాలా స్వల్పం.

CH₃COOH బలహీన ఆమ్లం. దాని సంయుగ్మ క్షారం CH₃COO^– బలమైన క్షారం.

ప్రశ్న 68.
బలమైన క్షారం, బలహీన క్షారం, వీటి కాంజుగేటు ఆమ్లాల బలాలను వివరించండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 69.
“నీటి అయానిక లబ్ధం”, దీనిని వివరించండి. గది ఉష్ణోగ్రత వద్ద దీని విలువ ఎంత ?
జవాబు:
స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద శుద్ధ జలంలో లేదా జలద్రావణాలలో హైడ్రోజన్, హైడ్రాక్సైడ్ అయాన్ల గాఢతల లబ్ధాన్ని నీటి అక అంటారు. దీనిని K తో సూచిస్తారు. దీని విలువ 25°C వద్ద 1.0 × 10^-14 మోల్స్ ²/లీ²
శుద్ధ నీరు బలహీన విద్యుద్విశ్లేష్యం. దాని అయనీకరణ స్థితిని కింది విధంగా రాస్తారు.
H²O ⇌ H⁺ + OH^–
సమతా స్థితి స్థిరాంకం K_c = \(\frac{\left[\mathrm{H}^{+}\right]\left[\mathrm{OH}^{-}\right]}{\left[\mathrm{H}_2 \mathrm{O}\right]}\)
K_c × [H₂O] = [H⁺] [OH^–]
[H₂O] విలువ స్థిరం. కాబట్టి K_c . [H₂O] విలువ కూడా స్థిరమే. దానిని K_w తో సూచిస్తారు.
K_w = [H⁺] [OH^–]
K_w ను నీటి అయానిక లబ్ధం అంటారు.
K_w విలువ ఉష్ణోగ్రత మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. ఉష్ణోగ్రత పెరిగితే K_w విలువ పెరుగుతుంది. దీని కారణం నీటి అయనీకరణం పెరగడమే. నీరు తటస్థ ద్రావణి. కాబట్టి దానిలోని H⁺, OH^– అయాన్ల గాఢత సమానంగా ఉంటుంది.
K_w = [H⁺] [OH^–] = 1.0 × 10^-14 మోల్²/లీ²
∴ శుద్ధ నీటిలో [H⁺] = [OH^–] = 1.00 × 10^-7 మోల్/లీ
ఆమ్ల ద్రావణంలో [H⁺] > 1.0 × 10^-7 మోల్స్/లీ
క్షారద్రావణంలో [H⁺] < 1.0 × 10^-7 మోల్స్ / లీ లేదా క్షారద్రావణంలో [OH] > 1.00 × 10^-7 మోల్/లీ

ప్రశ్న 70.
pH ను నిర్వచించండి. బలహీన ఆమ్లం, బలహీన క్షారం వీటి మోలార్ గాఢతల నుంచి pH ను లెక్కించలేం. ఎందువల్ల ? బలహీన ఆమ్లం pH కు సమీకరణం ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
pH = -log₁₀[H⁺]
H⁺ అయాన్ గాఢత యొక్క ఋణ సంవర్గమానాన్ని ఉదజని సూచిక pH అంటారు.
బలమైన ఆమ్లం, బలమైన క్షారం జల ద్రావణంలో పూర్తిగా అయనీకరణం చెందుతాయి. అందువల్ల H⁺, OH^– ల గాఢతలు వాటి మోలార్ గాఢతలకు సమానం.
బలహీన క్షారాలు, బలహీన ఆమ్లాలు పాక్షికంగా మాత్రమే అయనీకరణం చెందుతాయి. అందువల్ల H⁺, OH^– అయాన్ల గాఢతలు బలహీన ఆమ్లం, బలహీనక్షారం మోలార్ గాఢతలకు సమానం కావు. అందువల్ల బలహీన ఆమ్లం, బలహీన క్షారాల pH విలువలు వాటి మోలార్ గాఢతల నుండి లెక్కించలేము.

బలహీన ఆమ్లం pH :
HX బలహీన క్షారం. అయనీకరణం కింది విధంగా వ్రాయవచ్చు. బలహీన ఆమ్ల గాఢత ‘C’


బలహీన ఆమ్లం అల్పంగా అయనీకరణం చెందుతుంది కాబట్టి బలహీన ఆమ్ల గాఢతనే సమతాస్థితి వద్ద HX గాఢతకు సమానంగా తీసుకోవచ్చు.
∴ pH = \(\frac{1}{2}\)pK_a – \(\frac{1}{2}\) log c

ప్రశ్న 71.
పాలిప్రోటిక్ ఆమ్లాలు H₂SO₄, H₃PO₄ ల అంచెలవారీ అయనీకరణాలను తెలిపే సమీకరణాలు రాయండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 72.
కింది వానిలో ఆమ్ల బలం ఏ విధంగా మారుతుంది ? వివరించండి. ఆవర్తన పట్టికలో
i) గ్రూపులోని మూలకాల హైడ్రైడ్లు
ii) పీరియడ్లోని మూలకాల హైడ్రేడ్లు
జవాబు:
ఒక గ్రూపులో పై నుంచి కిందకు మూలక పరమాణు పరిమాణం పెరుగుతుంది. అందువల్ల బంధ దూరం పెరిగి బంధ బలం తగ్గుతుంది. అందువల్ల అయనీకరణం సులభంగా జరుగుతుంది. అందువల్ల ఆమ్లబలం పెరుగుతుంది.
ఉదా : H-F < HCl < HBr < HI క్రమంలో ఆమ్ల బలం పెరుగుతుంది.
ఆవర్తన పట్టికలో ఎడమ నుంచి కుడికి బంధ ధ్రువణం పెరుగుతుంది. అందువల్ల H – A బంధం సులభంగా అయనీకరణం చెందుతుంది. అందువల్ల ఆమ్ల బలం పెరుగుతుంది.
CH₄ < NH₃ < H₂O < HF
ఋణ విద్యుదాత్మకత విలువలు పెరగడం వల్ల ఆమ్ల బలం పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 73.
ప్రోటోనిక్ భావన ఆధారంగా నీరు ఆమ్లంగాను, క్షారంగాను కూడా ప్రవర్తిస్తుంది అని తెలపండి.
జవాబు:

1. HCl (aq) + H₂O (aq) → H₃\(\mathrm{O}^{+}\)(జల) + Cl^– (జల) ఈ చర్యలో నీరు ప్రోటాన్ ను స్వీకరించి ఆమ్లంగా ప్రవర్తిస్తోంది.
2. CH₃COO^– + H₂O → CH₃COOH + OH^– ఈ చర్యలో నీరు H⁺ ను దానం చేసి క్షారంగా ప్రవర్తిస్తోంది. ఈ విధంగా నీరు ఆమ్లంగాను, క్షారంగాను కూడా ప్రవర్తించగలదు.

ప్రశ్న 74.
ఉభయ సామాన్య అయాన్ ఫలితం అంటే ఏమిటి ? వివరించండి.
జవాబు:
ఎసిటిక్ ఆమ్ల వియోజన సమతాస్థితి :
CH₃COOH (జల) ⇌ H⁺(జల) + CH₃COO^– (జల)
K_a = \(\frac{\left[\mathrm{H}^{+}\right]\left[\mathrm{CH}_3 \mathrm{COO}^{-}\right]}{\left[\mathrm{CH}_3 \mathrm{COOH}\right]}\)
ఎసిటిక్ ఆమ్లద్రావణానికి ఎసిటేట్ అయాన్లను కలిపితే హైడ్రోజన్ అయాన్ల గాఢత [H⁺] తగ్గుతుంది. అలాగే బాహ్యస్థానం నుంచి H⁺ అయాన్లను ద్రావణానికి చేర్చితే వియోజనం చెందని ఎసిటిక్ ఆమ్లం దిశ వైపుగా సమతాస్థితి పయనిస్తుంది. అంటే H⁺ అయాన్ల గాఢత తగ్గే దిశగా పయనిస్తుంది.

ఒక విద్యుద్విశ్లేష్యక జలద్రావణానికి దానిలోని, ఆనయాన్ లేక కేటయాన్ ఉభయ సామాన్యంగా ఉండే వేరొక విద్యుద్విశ్లేష్యకం కలిపినపుడు మొదటి విద్యుద్విశ్లేష్యకం ద్రావణీయత తగ్గిపోతుంది. దీనినే ఉభయసామాన్య అయాన్ ప్రభావం అంటారు. ఉమ్మడి అయాన్ సమక్షంలో బలహీన ఆమ్ల, బలహీన క్షార లేదా బలహీన విద్యుద్విశ్లేష్యం యొక్క అయనీకరణం అణచబడుతుంది.

ప్రాధాన్యత : రసాయన విశ్లేషణలో II గ్రూపులో S^— గాఢతను, III గ్రూపులో OH^– గాఢతను, HCl, NH₄Cl లు నియంత్రిస్తాయి. దీనికి కారణం ఉభయసామాన్య అయాను ప్రభావం. H⁺ అయాన్ సమక్షంలో H₂S అయనీకరణ అణచబడి S^— గాఢత తగ్గుతుంది. NH₄Cl సమక్షంలో NH₄OH అయనీకరణం అణచబడి OH^– గాఢత తగ్గుతుంది. సమీకరణాలను రాయండి.

ప్రశ్న 75.
“ద్రావణీయతా లబ్ధం” దీనిని నిర్వచించండి. కింది వాటికి ద్రావణీయతా
i) Ag₂Cr₂O₇
ii) Zr₃(PO₄)₄
జవాబు:
ద్రావణీయత లబ్ధం : గది ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఒక లవణం సంతృప్త ద్రావణంలో కేటయాన్ల గాఢతకు, ఆనయాన్ల గాఢతకు తో సూచిస్తారు. దీని ప్రమాణాలు మధ్యగల లబ్ధాన్ని ఆ లవణం యొక్క ద్రావణీయత లబ్ధం అంటారు. దీనిని K_sp (మోల్స్/లీటర్)”.
n = అణువు అయనీకరణంలో ఏర్పరచే మొత్తం అయాన్ల సంఖ్య. అవి

i) పదార్థం స్వభావం
ii) ఉష్ణోగ్రత మీద ఆధారపడి ఉంటాయి.

ప్రాముఖ్యత : గుణాత్మక విశ్లేషణలో అవక్షేపణ ప్రక్రియలో అవక్షేపణ ప్రాధాన్యత విషయంలో ద్రావణీయత లబ్దం ఎంతగానో ఉపయోగపడుతుంది.

ఘనస్థితిలో గల శుద్ధ పదార్థానికి గాఢత స్థిరంగా ఉంటుంది.
K_sp = K . [BaSO₄] = [Ba⁺⁺] [latex]\mathrm{SO}_4^{–}[/latex]
K_sp ను ద్రావణీయత లబ్ధ స్థిరాంకం అంటారు. 298 K వద్ద K_sp విలువ 1.1 × 10^-10 మోల్² / లీ².

ప్రశ్న 76.
లవణాలను ఎలా వర్గీకరిస్తారు ? ఏ వర్గం లవణాలు జలవిశ్లేషణం చెందుతాయి ?
జవాబు:
లవణంలోని అయాన్లు నీటితో చర్య జరిపి H⁺ లేదా OH^– అయాన్లను విడుదల చేసే ప్రక్రియను లవణాల జలవిశ్లేషణ అంటారు. లవణాలు 4 రకాలు.
1) బలమైన ఆమ్లం – బలమైన క్షారం లవణాలు ఉదా : NaCl, KNO₃
2) బలమైన ఆమ్లం – బలహీన క్షారం లవణాలు ఉదా : NH₄ Cl, CuSO₄
3) బలహీన ఆమ్లం – బలమైన క్షారం లవణాలు ఉదా : Na₂CO₃, CH₃COONa
4) బలహీన ఆమ్లం – బలహీన క్షారం లవణాలు ఉదా : CH₃COONH₄, Ca₃ (PO₄)₂

1) బలమైన ఆమ్లం-బలమైన క్షారం లవణాలు : ఈ లవణాలు జలవిశ్లేషణం చెందవు. జలద్రావణంలో కేటయాన్లను, ఆనయాన్లను ఇస్తాయి.
ఉదా : NaCl జల విశ్లేషణ : NaCl అయనీకరణం చెంది Na⁺, Cl^– అయాన్లను ఇస్తుంది. ఈ అయాన్లు H₂Oతో చర్య జరిపి NaOH, HCl లను ఇస్తాయి. ఇవి బలమైన విద్యుద్విశ్లేష్యాలు. కాబట్టి పూర్తిగా అయనీకరణం చెంది H⁺, OH^– అయాన్లను ఇస్తాయి. ఇవి తిరిగి కలిసిపోయి అవిఘటిత H₂O ను ఇస్తాయి. అంటే జల విశ్లేషణ చెందవు. కాబట్టి (H⁺) అయాన్లు [OH^–] అయాన్ల గాఢతలో మార్పు ఉండదు. అందువల్ల ద్రావణం తటస్థంగా ఉంటుంది. దాని pH = 7 ఉంటుంది. [H⁺] = [OH^–] = 1.0 × 10^-7 మోల్స్ / లీటర్. లిట్మస్ కాగితాలతో ఎట్టి మార్పు చూపించదు.

2) బలమైన ఆమ్లం – బలహీన క్షారం లవణాల జలవిశ్లేషణ : ఈ లవణాలు జల విశ్లేషణం చెందే కేటయాన్లను ఇస్తాయి. అందువల్ల ఈ జలవిశ్లేషణను కేటయాన్ జలవిశ్లేషణ అంటారు.
ఉదా : NH₄Cl జలవిశ్లేషణ : NH₄ Cl అయనీకరణం చెంది N\(\mathrm{H}_4^{+}\), Cl^– అయాన్లను ఇస్తుంది. N\(\mathrm{H}_4^{+}\) బలమైనది. Cl^– బలహీనమైనది. అందువల్ల N\(\mathrm{H}_4^{+}\) నీటితో చర్య జరుపుతుంది.

పై చర్యా ఫలితంగా ఏర్పడ్డ NH₄ OH బలహీనమైనది కాబట్టి అది అంతగా విఘటనం చెందలేదు. ద్రావణంలో H⁺ అయాన్ల గాఢత OH^– అయాన్ల కంటె ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఫలితంగా ద్రావణానికి ఆమ్ల లక్షణం ఏర్పడుతుంది. pH < 7 ఉంటుంది. [H⁺] > 1.0 × 10^-7 ఉంటుంది. ద్రావణం నీలి లిట్మస్ కాగితాలను ఎర్రగా మారుస్తుంది.

3) బలహీన ఆమ్లం – బలమైన క్షారం లవణాల జలవిశ్లేషణ : ఈ లవణాలు జలవిశ్లేషణ చెందే ఆనయాన్లను ఇస్తాయి అందువల్ల ఈ జలవిశ్లేషణను ఆనయాన్ జలవిశ్లేషణ అంటారు.
ఉదా : CH₃COONa జలవిశ్లేషణ : CH₃COONa అయనీకరణ చెంది CH₃COO^–, Na⁺ అయాన్లను ఇస్తుంది. CH₃COO^– బలమైనది. Na⁺ బలహీనమైనది. అందువల్ల CH₃COO^– నీటితో చర్య జరుపుతుంది.

పై చర్యా ఫలితంగా ఏర్పడ్డ CH₃COOH బలహీనమైనది కాబట్టి అది అంతగా విఘటనం చెందలేదు. ద్రావణంలో OH^– అయాన్ల గాఢత H⁺ అయాన్ల కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఫలితంగా ద్రావణానికి క్షారలక్షణం ఏర్పడుతుంది. pH > 7 ఉంటుంది. [OH^–] > 1.0 × 10^-7 ఉంటుంది. ద్రావణం ఎర్ర లిట్మస్ కాగితాలను నీలిరంగుగా మారుస్తుంది.

4) బలహీన ఆమ్లం – బలహీన క్షారం లవణాల జలవిశ్లేషణ : ఈ లవణాలు జలవిశ్లేషణం చెందే ఆనయాన్, కేటయాన్లను ఇస్తాయి.
ఉదా : CH₃COONH₄ జలవిశ్లేషణ : CH₃COONH₄ అయనీకరణం చెంది CH₃COO^–, N\(\mathrm{H}_4^{+}\), అయాన్లను ఇస్తాయి. ఈ రెండు అయాన్లు బలమైనవే. అందువల్ల అవి నీటితో చర్య జరుపుతాయి.

పై చర్యా ఫలితంగా ఏర్పడ్డ CH₃COOH, NH₄OH లు రెండూ బలహీనమైనవి. అందువల్ల అవి అంతగా విఘటనం చెందవు. ఇకపోతే ద్రావణంలో ఏర్పడ్డ H⁺, OH^– అయాన్లు సమానంగా కాని లేదా అసమానంగా గాని ఉండవచ్చు. అందువల్ల ద్రావణం తటస్థంగా లేదా ఆమ్లంగా లేదా క్షారంగా ఉండవచ్చు. ద్రావణ లక్షణం K_a, K_b లపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
గమనిక : 2, 3, 4 రకాల లవణాలు మాత్రమే జలవిశ్లేషణ చెందుతాయి.

ప్రశ్న 77.
ఒక చర్యకు ΔG° విలువ కింది వాటిలో ఏ విధంగా ఉంటుంది ?
a) K > 1
b) K = 1
c) K < 1 జవాబు: a) K > 1 అయితే ΔG° విలువ ఋణాత్మకం. చర్య స్వచ్ఛందంగా పురోగామి దిశలో జరుగుతుంది. ఉత్పన్నాలు అధికంగా ఏర్పడతాయి.
b) K = 1 అయితే ΔG° = 0 వ్యవస్థ సమతాస్థితిలో ఉంటుంది.
c) K < 1 అయితే ΔG° విలువ ధనాత్మకం. ఈ స్థితిలో పురోగామి చర్య స్వల్పంగా మాత్రమే జరుగుతుంది. ఉత్పన్నాలు అల్ప పరిమాణంలో మాత్రమే ఏర్పడతాయి.

ప్రశ్న 78.
NH₄Cl జలద్రావణం ఆమ్ల గుణం చూపిస్తుంది. వివరించండి.
జవాబు:
NH₄Cl జలద్రావణం ఆమ్ల గుణం చూపిస్తుంది.
అమ్మోనియం క్లోరైడ్ జల ద్రావణంలో N\(\mathrm{H}_4^{+}\) అయానులు, Cl అయానులు ఉంటాయి. N\(\mathrm{H}_4^{+}\) అయానులు నీటితో చర్య పొందుతాయి. H₃O⁺ అయాన్లను విడుదల చేస్తాయి. అందువల్ల NH₄Cl జలద్రావణానికి ఆమ్ల లక్షణం ఉంటుంది. pH < 7.
N\(\mathrm{H}_4^{+}\) + H₂O ⇌ NH₃ + H₃O⁺
NH₄Cl + H₂O ⇌ NH₄OH + HCl
Cl^– అయానులు జలవిశ్లేషణ చెందవు. H₃O⁺ ఏర్పడుటవలన H₃O⁺ > 1.0 × 10^-7 ఉంటుంది. అందువల్ల NH₄Cl జలద్రావణం ఆమ్ల లక్షణం కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 79.
CH₃COONa జలద్రావణం క్షార గుణం చూపిస్తుంది. వివరించండి.
జవాబు:
సోడియం ఎసిటేటు జలద్రావణంలో CH₃COO^– అయానులు జలవిశ్లేషణం చెందుతాయి. Na⁺ అయానులు జలవిశ్లేషణ చెందవు. OH^– ల గాఢత 1.0 × 10^-7 కన్నా అధికమైనందున CH₃COONa ద్రావణం క్షారత్వాన్ని చూపుతుంది.
CH₃COO^– + H₂O → CH₃COOH + OH^–
CH₃COONa + H₂O → CH₃COOH + NaOH

ప్రశ్న 80.
సోడియం ఎసిటేట్ ద్రావణంలో కరిగి ఉండి ఎసిటిక్ ఆమ్లం, సోడియం క్లోరైడు ద్రావణంలో కరిగి ఉండే దానికంటే బలహీనంగా ఉంటుంది. కారణం తెలపండి.
జవాబు:
ఎసిటిక్ ఆమ్ల బలం అయనీకరణం వల్ల విడుదలయ్యే H⁺ అయాన్ల సంఖ్యపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
CH₃COOH ⇌ CH₃COO^– + H⁺
సోడియం ఎసిటేటు CH₃COONa, CH₃COOH లలో CH₃COO^– ఉభయ సామాన్య అయాను. సోడియం ఎసిటేటు విఘటనంలో CH3COO- అయానులు ఏర్పడతాయి.
CH₃COO Na → CH₃COO^– + Na⁺
ఉభయ సామాన్య అయాన్ అయిన CH₃COO^– అయాను సమక్షంలో ఎసిటిక్ ఆమ్లం విఘటనం అణచబడుతుంది. అందువల్ల బలహీనంగా వుంటుంది.
NaCl → Na⁺ + Cl^–
NaCl సమక్షంలో CH₃COOH కు ఉమ్మడి అయాను లేదు. అందు ఉభయసామాన్య ప్రభావం లేదు.

ప్రశ్న 81.
శుద్ధ నీటిలో కంటె, AgNO₃ లో AgCl తక్కువగా కరుగుతుంది. దీనిని వివరించండి.
జవాబు:
AgNO₃ ద్రావణంలో AgCl తక్కువగా కరుగుతుంది. ఎందులకనగా ఉభయ సామాన్య అయాన్ ప్రభావం వల్ల AgNO₃ ద్రావణీయత తగ్గిపోతుంది.
శుద్ధనీటిలో AgCl ఎక్కువగా కరుగుతుంది. కారణం ఏమనగా ఇచ్చట ఉభయ సామాన్య అయాన్ ప్రభావం ఉండదు.

ప్రశ్న 82.
CH₃COOH (జల) + Cl^– (జల) → చర్య ఎడమవైపు నుంచి కుడివైపుకు పురోగమిస్తుందా ? తెలపండి.
జవాబు:
CH₃COOH (జల) + Cl^–(జల) → CH₃COO^– + HCl. Cl^– బలహీన క్షారం. అందువల్ల అది CH₃COOH నుంచి H⁺ ను స్వీకరించలేదు. CH₃COOH బలహీన ఆమ్లం. అది ప్రోటానును బంధించి ఉంచుతుంది. అందువల్ల ఈ చర్య జరగదు.

ప్రశ్న 83.
H₂S జలద్రావణంలో H₂S, HS^-1, S^-2, H₃O⁺, OH^–, H₂O భిన్న గాఢతలలో ఉంటాయి. వీటిలో ఏ జాతి క్షారంగా పనిచేస్తుంది ? ఏది ఆమ్లంగా పనిచేస్తుంది ? ఏది ఆమ్లం, క్షారం రెండింటిగా పనిచేస్తుంది ?
జవాబు:
H₂O + H₂S ⇌ HS^– + H₃O⁺
H₂O + HS^– ⇌ S^— + H₃O⁺

a) S^2- క్షారంగా మాత్రమే పనిచేస్తుంది. అది ఆమ్లంగా పనిచేయదు. కారణం అది H⁺ లను కలిగి లేదు.
b) H₂S, H₃O⁺ లు ఆమ్లాలుగా పనిచేస్తాయి.
c) HS^–, OH^–, H₂O లు ఆమ్లాలుగాను, క్షారాలుగాను పనిచేస్తాయి. అవి H⁺ ను దానం చేయగలవు మరియు గ్రహించగలవు.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 84.
సమతాస్థితి ప్రక్రియలు అంటే ఏమిటి ? భౌతిక, రసాయన ప్రక్రియలలో ఈ సమతాస్థితిని సోదాహరణంగా వివరించండి..
జవాబు:
ఉత్రమణీయ చర్యలలో ఏ స్థితి వద్ద పురోగామి చర్యావేగం తిరోగామి చర్యావేగానికి సమానం అవుతుందో ఆ స్థితిని “సమతాస్థితి” అంటారు.

భౌతిక సమతాస్థితి ప్రక్రియలు : ఏ భౌతిక ప్రక్రియలలో పదార్థం యొక్క రెండు ప్రావస్థల (భౌతిక స్థితుల) మధ్య సమతాస్థితి ఏర్పడుతుందో వాటిని భౌతిక సమతాస్థితి ప్రక్రియలు అంటారు.

ఉదా : ఘన స్థితి ⇌ ద్రవస్థితి
ఘన స్థితి ⇌ బాష్పస్థితి

రసాయన సమతాస్థితి ప్రక్రియలు : ఏ రసాయన ప్రక్రియలలో క్రియాజనకాల మరియు క్రియాజన్యాల మధ్య సమతాస్థితి ఏర్పడుతుందో వాటిని రసాయన సమతాస్థితి ప్రక్రియలు అంటారు.
N₂ + 3H₂ ⇌ 2 NH₃
2SO₂ + O₂ ⇌ 2SO₃

ప్రశ్న 85.
గతిక సమతాస్థితి అంటే ఏమిటి ? సరైన ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
సమతాస్థితి వద్ద పురోగామి చర్యావేగం మరియు తిరోగామి చర్యావేగాలు సమానంగా ఉంటాయి. ఆ స్థితి వద్ద క్రియాజనకాల గాఢతలో గాని, క్రియాజన్యాల గాఢతలో గాని ఎట్టి మార్పు కనిపించదు. ఆ పరిస్థితులలో చర్య జరగటం లేదేమోనని మనం భ్రమపడతాం. కాని చర్య జరుగుతూనే ఉంటుంది. అందువలన ఈ సమతాస్థితిని గతిక సమతాస్థితి అంటారు. అన్ని రసాయన సమతాస్థితి ప్రక్రియలు గతిక సమతాస్థితిని కలిగి ఉంటాయి.
ఉదా : N₂(వా) + 3H₂(వా) ⇌ 2NH₃ (వా)

మూత కలిగిన ఒక పాత్రలో N₂, H₂ వాయువులను 1: 3 నిష్పత్తిలో తీసికోండి. చర్య జరగడానికి ముందు పాత్రలో కేవలం N₂, H₂ లు మాత్రమే ఉంటాయి. వాటి గాఢత గరిష్ఠంగా ఉంటుంది. అపుడు పురోగామి చర్యావేగం కూడా గరిష్ఠంగా ఉంటుంది. కాలంతో పాటు N₂, H₂ ల గాఢతలు క్రమంగా తగ్గుతాయి. కాబట్టి పురోగామి చర్యావేగం క్రమంగా తగ్గుతుంది. క్రియాజన్యం (NH₃) గాఢత ఒక గరిష్ఠ విలువను చేరుకోగానే తిరోగామి చర్య ప్రారంభం అవుతుంది. అపుడు తిరోగామి చర్యావేగం గరిష్ఠంగా ఉంటుంది. కాలంతో పాటుగా క్రియాజన్యం (NH₃) గాఢత క్రమంగా తగ్గుతుంది. అపుడు తిరోగామి చర్యావేగం క్రమంగా తగ్గుతుంది. ఈ విధంగా పురోగామి, తిరోగామి చర్యల వేగాలు తగ్గుతూ, పెరుగుతూ ఒకానొక దశలో రెండు వేగాలు సమానం అవుతాయి. ఈ స్థితినే ఈ రసాయన చర్యయొక్క సమతాస్థితి అంటారు. సమతాస్థితిని చేరుకోగానే రెండు వేగాలు (పురోగామి, తిరోగామి) సమానంగా ఉండటం వల్ల క్రియాజనకాల గాఢతలో గాని, క్రియాజన్యాల గాఢతలో గాని మార్పు కనిపించదు. ఈ పరిస్థితులలో మనకు చర్య జరగటం లేదేమోనని భ్రమ కలుగుతుంది. కాని నిజానికి చర్య జరుగుతూనే ఉంటుంది. అందువలననే ఈ సమతాస్థితిని గతిక సమతాస్థితి అంటారు.

ప్రశ్న 86.
భౌతిక ప్రక్రియలలోని సమతాస్థితుల సాధారణ అభిలాక్షణిక ధర్మాలను తెలపండి.
జవాబు:
భౌతిక ప్రక్రియలలో సమతాస్థితి :

1. ద్రవబాష్పాల మధ్య సమతాస్థితి ఏర్పడుతుంది. ద్రవం ⇌ బాష్పం
2. ద్రవాలలో వాయువులు కరిగినప్పుడు సమతాస్థితి ఏర్పడుతుంది.

ఈ భౌతిక ప్రక్రియలలో కొన్ని అభిలాక్షణిక ధర్మాలు సమతాస్థితి వద్ద ఉండే అన్ని వ్యవస్థలకు ఉంటాయి.

1. నిర్దిష్ట ఉష్ణోగ్రత వద్ద సంవృత (మూసి ఉన్న) వ్యవస్థలలో మాత్రమే సమతాస్థితి ఏర్పడుతుంది.
2. పరస్పరం వ్యతిరేకించే రెండు చర్యలు (పురోగామి, తిరోగామి) ఒకే వేగంతో జరుగుతాయి. కాబట్టి గతిక సమతాస్థితి చోటుచేసుకొంటుంది. అయితే స్థిరపరిస్థితి కొనసాగుతుంది.
3. వ్యవస్థ కొలవడానికి వీలుండే అన్ని ధర్మాలు స్థిరంగా ఉంటాయి.
4. ఒక భౌతిక ప్రక్రియ సమతాస్థితిని చేరుకొన్న సందర్భంలో స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద దాని పరామితులలో ఒకదాని విలువ స్థిరంగా ఉండే అభిలాక్షణిక స్వభావాన్ని ఈ ప్రక్రియ కలిగి ఉంటుంది.
5. సమతాస్థితిని చేరుకొనక ముందుగా భౌతిక ప్రక్రియ ఎంత విస్తృతికి జరిగింది అనే విషయాన్ని ఈ పరామితుల పరిమాణాలు సూచిస్తాయి.

ప్రశ్న 87.
సమతాస్థితి స్థిరాంకం ముఖ్య లక్షణాలను తెలపండి. సమతాస్థితి స్థిరాంకం అనువర్తనాలు రెండింటిని తెలపండి.
జవాబు:
సమతాస్థితి స్థిరాంకాల అనువర్తనాలను గురించి తెలుసుకోవడానికి ముందుగా సమతాస్థితి స్థిరాంకాల ముఖ్య లక్షణాలివి.

1. సమతాస్థితి వద్ద క్రియాజనకాల గాఢతలు, క్రియాజన్యాల గాఢతలు స్థిర విలువలను చేరుకొన్న తరువాతే సమతాస్థితి స్థిరాంకం అనువర్తిస్తుంది.
2. సమతాస్థితి స్థిరాంకం విలువ క్రియాజనకాల, క్రియాజన్యాల ఆరంభ గాఢతల మీద ఆధారపడి ఉండదు.
3. సమతాస్థితి స్థిరాంకం విలువ చర్య ఉష్ణోగ్రత మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. నిర్దిష్ట ఉష్ణోగ్రత వద్ద ప్రతీ చర్యకు దానిదైన ప్రత్యేకమైన సమతాస్థితి స్థిరాంకం విలువ ఉంటుంది. ఈ విలువ ఈ చర్య సమతుల్యం చేయబడిన రసాయన సమీకరణం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది.
4. ఉత్రమణీయ చర్య (లేదా తిరోగామి దిశలో జరిగే చర్య) సమతాస్థితి స్థిరాంకం విలువ పురోగామి దిశలో జరిగే చర్య సమతా స్థితి స్థిరాంకం విలువకు ఉత్రమణీయ విలువగా ఉంటుంది.
5. మూల సమీకరణంతో సూచింపబడని ఒక చర్య సమతాస్థితి స్థిరాంకం K విలువ చర్య మూల సమీకరణం సూచించే సమతాస్థితి స్థిరాంకం (K) విలువతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. ఈ సంబంధం నిర్ధారించడానికి మూల సమీకరణం ద్వారా సూచింపబడిన చర్యా సమీకరణాన్ని ఒక లఘు సంఖ్య (n) తో గుణించి లేదా భాగించి ఇచ్చిన చర్య సమీకరణాన్ని రాబడతారు.
   K = Kⁿ

అనువర్తనాలు :

1. చర్య స్థిరాంక పరిమాణం ద్వారా చర్య విస్తృతిని ఊహించడం.
2. చర్య జరిగే దిశను (పురోగామి లేదా తిరోగామి) నిర్ధారించడం.
3. సమతాస్థితి గాఢతలను లెక్కించడం.

ప్రశ్న 88.
లీచాట్లెయర్ సూత్రం వివరించండి. సమతాస్థితిని ప్రభావితం చేసే అంశాలను వివరించండి.
జవాబు:
ప్రయోగ పరిస్థితులలో చోటుచేసుకొన్న మార్పులు సమతాస్థితిపై ఎటువంటి ప్రభావాన్ని కలుగజేస్తాయి అనే విషయాన్ని గుణాత్మకంగా తెలుసుకోవడానికి లీచాట్లెయర్ సూత్రం ఉపయోగపడుతుంది.
ఒక వ్యవస్థ సమతాస్థితిని నియంత్రించే కారణాంశాలలో దేనినైనా మార్పు చెందించినట్లైతే ఈ మార్పును తగ్గించే విధంగా లేదా పూర్తిగా ప్రతిఘటించే విధంగా లేదా తటస్థపరిచే విధంగా, వ్యవస్థ వ్యవహరిస్తుంది.
ఈ సూత్రం అన్ని భౌతిక, రసాయనిక సమతాస్థితులకు కూడా వర్తిస్తుంది.
సమతాస్థితిని ప్రభావితం చేసే అంశాలు :
గాఢతా ప్రభావం : H₂ (వాయువు) + I₂(వా) ⇌ 2HI(వా)
సమతాస్థితి వద్ద ఈ చర్యా మిశ్రమానికి H₂ ను కలిపినట్లైతే చర్యా సమతాస్థితి చెదిరిపోతుంది. కాబట్టి H₂ వినియోగపడే దిశలో చర్య పురోగమించి సమతాస్థితి పునరుద్ధరించబడుతుంది. అంటే HI ఏర్పడే విధంగా H₂, I₂ లు అధిక పరిమాణంలో చర్య జరిపి సమతాస్థితి పురోగామి దిశలో జరుగుతుంది. ఇదే విధంగా ఏర్పడిన హైడ్రోజన్ అయొడైడ్ను తొలగిస్తే కూడా పురోగామి దిశలో చర్య జరుగుతుంది.

సమతాస్థితిలో ఉండే ఒక రసాయన చర్యలోని క్రియాజనకాల లేదా క్రియాజన్యాల గాఢతను మార్చినట్లైతే ఈ గాఢత మార్పును కనిష్ఠపరిచే విధంగా సమతాస్థితి మిశ్రమం సంఘటనం మార్పు చెందుతుంది.

పీడన ప్రభావం : ఒక చర్యలో వాయు స్థితిలో ఉండే క్రియాజనకాలు మొత్తం మోల్ల సంఖ్య వాయుస్థితిలో ఉండే క్రియాజన్యాల మొత్తం మోల్ల సంఖ్యకు సమానంగా లేనప్పుడు ఆ సమతాస్థితిపై పీడన ప్రభావం ఉంటుంది. లీచాట్లెయర్ సూత్రం ప్రకారం సమతాస్థితి వ్యవస్థపై పీడనాన్ని పెంచినప్పుడు ఘనపరిమాణం తగ్గే దిశలో చర్య
జరుగుతుంది.

1) పీడన ప్రభావం :

a) పీడనంలో పెరుగుదల : సమతాస్థితి వద్ద ఉన్న వ్యవస్థపై పీడనాన్ని పెంచితే లీచాట్లెయర్ సూత్రం ప్రకారం ఈ ప్రభావం రద్దు అయ్యే వైపుకు అంటే ఘ.ప.,ల సంఖ్య తగ్గే వైపుకు సమతాస్థితి జరుగుతుంది.

ఈ వ్యవస్థపై పీడనాన్ని పెంచితే పురోగామి చర్యవైపుకు సమతాస్థితి జరుగుతుంది.

b) పీడనంలో తగ్గుదల : సమతాస్థితి వద్ద ఉన్న వ్యవస్థపై పీడనాన్ని తగ్గిస్తే లీచాట్లెయర్ సూత్రం ప్రకారం ఈ ప్రభావం రద్దు అయ్యేవైపుకు అంటే ఘ.ప. ల సంఖ్య పెరిగే వైపుకు సమతాస్థితి జరుగుతుంది.

ఈ వ్యవస్థపై పీడనాన్ని తగ్గిస్తే తిరోగామిచర్య జరిగే వైపుకు సమతాస్థితి జరుగుతుంది.

2) ఉష్ణోగ్రతా ప్రభావం :

a) ఉష్ణోగ్రతలో పెరుగుదల : సమతాస్థితి వద్ద ఉన్న వ్యవస్థపై ఉష్ణోగ్రతను పెంచితే లీచాట్లెయర్ సూత్రం ప్రకారం, ఈ ప్రభావం రద్దు అయ్యే వైపుకు అంటే ఉష్ణగ్రాహక చర్య జరిగే వైపుకు సమతాస్థితి స్థానం జరుగుతుంది.
ఉదా : N₂(వా) + 3H₂(వా) ⇌ 2NH₃(వా) + ఉష్ణం.
దీనిలో పురోగామిచర్య = ఉష్ణమోచకం
తిరోగామి చర్య = ఉష్ణగ్రాహక చర్య
ఈ వ్యవస్థపై ఉష్ణోగ్రతను పెంచితే తిరోగామిచర్య జరిగే వైపుకు సమతాస్థితి జరుగుతుంది.

b) ఉష్ణోగ్రతలో తగ్గుదల : సమతాస్థితి వద్ద ఉన్న వ్యవస్థపై ఉష్ణోగ్రతను తగ్గిస్తే లీచాట్లెయర్ సూత్రం ప్రకారం, ఈ ప్రభావం రద్దు అయ్యే వైపుకు అంటే ఉష్ణమోచక చర్య జరిగే వైపుకు సమతాస్థితి స్థానం జరుగుతుంది.
ఉదా : N₂(వా) + 3 H₂ (వా) ⇌ 2NH₃ (వా) + ఉష్ణం
దీనిలో పురోగామి చర్య = ఉష్ణమోచక చర్య
తిరోగామి చర్య = ఉష్ణగ్రాహక చర్య
ఈ వ్యవస్థపై ఉష్ణోగ్రతను తగ్గిస్తే, పురోగామి చర్య జరిగే వైపుకు సమతాస్థితి జరుగుతుంది.

సమతాస్థితికి జడవాయువు చేర్చినపుడు కలిగే ప్రభావం : ఘనపరిమాణాన్ని స్థిరంగా ఉంచి ఆర్గాన్ వంటి జడవాయువును చర్యా మిశ్రమానికి చేర్చినట్లైతే అది చర్యలో పాల్గొనని కారణంగా సమతాస్థితి చెదిరిపోకుండా ఉంటుంది. స్థిరఘనపరిమాణం వద్ద చర్యలో పాల్గొనే పదార్థాల పాక్షిక పీడనాల విలువలో మార్పురాదు.

ఉత్ప్రేరక ప్రభావం : క్రియాజనకాలు క్రియాజన్యాలుగా మారేందుకు అల్ప ఉత్తేజిత శక్తిగల కొత్త మార్గాన్ని సమకూర్చడం ద్వారా ఉత్ప్రేరకం రసాయన చర్యావేగాన్ని పెంచుతుంది. ద్విగత చర్యలలో ఉత్ప్రేరకం పురోగామి, తిరోగామి చర్యల రెండింటి వేగాలను సమానంగా పెంచుతుంది. ఫలితంగా సమతాస్థితిపై ఎటువంటి ప్రభావం ఉండదు. సమతాస్థితి శీఘ్రంగా ఏర్పడడానికి ఉత్ప్రేరకం ఉపయోగిస్తుంది. అమ్మోనియా సంశ్లేషణలో ఇనుమును ఉత్ప్రేరకంగా వాడతారు.

ప్రశ్న 89.
అమ్మోనియా, సల్ఫర్ ట్రై ఆక్సైడ్ పారిశ్రామిక తయారీలలో, లీచాట్లెయర్ సూత్రం ఉపయోగాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
లీచాట్లెయర్ సూత్రం : సమతాస్థితి వద్ద ఉన్న ఒక ఉత్రమణీయ రసాయన చర్యను, సమతాస్థితిని ప్రభావితం చేసే పీడనం లేదా ఉష్ణోగ్రత లేదా గాఢతల మార్పుకు గురిచేస్తే ఈ మార్పు ప్రభావాన్ని తగ్గించే వైపుకు లేదా రద్దు చేసే వైపుకు సమతాస్థితి మారుతుంది.
హేబర్ పద్ధతి ద్వారా అమ్మోనియా సంశ్లేషణ :
N₂(వా) + 3H₂(వా) ⇌ 2NH₃(వా) + ఉష్ణం – చర్యకు లీచాట్లియర్ సూత్రం అనువర్తన.

1) పీడన ప్రభావం : ఇవ్వబడిన చర్యలో, పురోగామి చర్య జరిగితే ఘ.ప. సంఖ్య తగ్గుతుంది. (4 ఘప → 2 ఘ. ప) తిరోగామి చర్య జరిగితే ఘ.ప. సంఖ్య పెరుగుతుంది. (2 ఘ. ప → 4 ఘ.ప)
అమ్మోనియా అధికంగా దిగుబడి కావాలంటే పురోగామి చర్య జరగాలి. అంటే ఘ.ప. సంఖ్య తగ్గే వైపుకు చర్య ప్రభావితం అవ్వాలి. దీనికి గానూ అధిక పీడనాలను ఉపయోగించాలి. ఇచ్చట ఉపయోగించవలసిన అధిక పీడనాల విలువ 200 అట్మాస్ఫియర్లు.

2) ఉష్ణోగ్రతా ప్రభావం : ఇవ్వబడిన చర్యలో
పురోగామి చర్య = ఉష్ణమోచకం
తిరోగామి చర్య = ఉష్ణగ్రాహకం
అమ్మోనియా అధికంగా దిగుబడి కావాలంటే పురోగామి చర్య జరగాలి. అంటే ఉష్ణమోచక చర్య జరిగే వైపుకు చర్య ప్రభావితం అవ్వాలి. దీనికి గానూ, అల్ప ఉష్ణోగ్రతలను ఉపయోగించాలి. ఇచ్చట ఉపయోగించవలసిన అల్ప ఉష్ణోగ్రత విలువ 725 – 775K.

3) గాఢతల ప్రభావం : క్రియాజనకాల గాఢతను పెంచినా లేదా క్రియాజన్యాల గాఢతను తగ్గించినా పురోగామి చర్య ప్రభావితం అయి అధికంగా అమ్మోనియా దిగుబడి అవుతుంది. అందువలన ఇవ్వబడిన సమతాస్థితి వ్యవస్థలో N₂, H₂ గాఢతను పెంచడం మరియు ఏర్పడిన NH₃ ని ఎప్పటికప్పుడు తీసివేయడం చేస్తూ ఉండాలి.

4) ఉత్ప్రేరక ప్రభావం : అధిక అమ్మోనియా దిగుబడి కావాలంటే ఇనుప పొడి మరియు మాలిబ్దినం పొడుల మిశ్రమాన్ని ఉత్ప్రేరకంగా వాడతారు. ఇచ్చట మాలిబ్ధినం పొడి ప్రవర్ధకంగా పనిచేస్తుంది.
అధిక అమ్మోనియా దిగుబడికి కావలసిన పరిస్థితులు :
పీడనం = 200 అట్మాస్ఫియర్లు
ఉష్ణోగ్రత = 725 – 775 K
ఉత్ప్రేరకం = ఇనుము పొడి
ప్రవర్ధకం = మాలిబ్దినం పొడి
క్రియాజనకాలైన N₂, H₂ ల గాఢతను పెంచుతూ ఉండాలి.
క్రియాజన్యమైన NH₃ ఎప్పటికప్పుడు తీసివేస్తూ ఉండాలి.

లీచాట్యర్ సూత్రం : సమతాస్థితి వద్ద ఉన్న ఒక ఉత్రమణీయ రసాయన చర్యను, సమతాస్థితిని ప్రభావితం చేసే పీడనం, లేదా ఉష్ణోగ్రత లేదా గాఢతల మార్పుకు గురి చేస్తే ఈ మార్పు ప్రభావాన్ని తగ్గించే వైపుకు లేదా రద్దు చేసే వైపుకు సమతాస్థితి మారుతుంది.

SO₃ సంశ్లేషణ పద్ధతి :
2SO₂(వా) + O₂(వా) ⇌ 2SO₃(వా) + ఉష్ణం – చర్యకు లీచాట్లెయర్ సూత్రం అనువర్తనం.

1) పీడన ప్రభావం : ఇవ్వబడిన పురోగామి చర్య జరిగితే ఘ.ప. ల సంఖ్య తగ్గుతుంది. (3 ఘ.ప. → 2 ఘ. ప ) తిరోగామి చర్య జరిగితే ఘ.ప. ల సంఖ్య పెరుగుతుంది. (2 ఘ. ఫ → 3 ఘ.ప) సల్ఫర్ ట్రై ఆక్సైడ్ అధికంగా దిగుబడి కావాలంటే పురోగామి చర్య జరగాలి. అంటే ఘ.ప. ల సంఖ్య తగ్గే వైపుకు చర్య ప్రభావితం అవ్వాలి. దీనికి గానూ అధిక పీడనాలు ఉపయోగించాలి. ఇచ్చట ఉపయోగించవలసిన అధిక పీడనాల విలువ 1.5 అట్మా 1.7 అట్మాస్ఫియర్లు.

2) ఉష్ణోగ్రతా ప్రభావం : ఇవ్వబడిన చర్యలో
పురోగామి చర్య = ఉష్ణమోచకం
తిరోగామి చర్య = ఉష్ణగ్రాహకం
సల్ఫర్ ట్రై ఆక్సైడ్ అధికంగా దిగుబడి కావాలంటే పురోగామి చర్య జరగాలి. అంటే ఉష్ణమోచక చర్య జరిగే వైపుకు చర్య ప్రభావితం అవ్వాలి. దీనికి గానూ అల్ప ఉష్ణోగ్రతలను ఉపయోగించాలి. ఇచ్చట ఉపయోగించవలసిన అల్ప ఉష్ణోగ్రతలు 673 K.

3) గాఢతల ప్రభావం : క్రియాజనకాల గాఢతను పెంచినా లేదా క్రియాజన్యాల గాఢతను తగ్గించినా పురోగామి చర్య ప్రభావితం అయి అధికంగా SO₃ దిగుబడి అవుతుంది. అందువలన ఇవ్వబడిన సమతాస్థితిలో SO₂, O₂ ల గాఢతలను పెంచడం మరియు ఏర్పడిన SO₃ ని ఎప్పటికప్పుడు తీసివేయడం చేస్తూ ఉండాలి.

4) ఉత్ప్రేరక ప్రభావం : అధిక SO₃ దిగుబడి కావాలంటే V₂O₅ ను ఉత్ప్రేరకంగా వాడతారు.
అధిక SO₃ దిగుబడికి అనుకూల పరిస్థితులు :

పీడనం : 1.5 – 1.7 అట్మాస్ఫియర్లు
ఉష్ణోగ్రత : 673 K
ఉత్ప్రేరకం : వనేడియం పెంటాక్సైడ్ (V₂O₅)
క్రియాజనకాలైన SO₂, O₂ ల గాఢతను పెంచుతూ ఉండాలి.
క్రియాజన్యమైన SO₃ ను ఎప్పటికప్పుడు తీసివేస్తూ ఉండాలి.

ప్రశ్న 90.
కింద పేర్కొన్న ఉష్ణగ్రాహక చర్య ఆధారంగా సహజ వాయువును, నీటి ఆవిరి ద్వారా పాక్షిక ఆక్సీకరణం చర్యకు గురిచేసి డైహైడ్రోజన్ వాయువును తయారుచేస్తారు.
CH (వా) + H₂O (వా) ⇌ CO (వా) + 3H₂ (వా)
a) పై చర్యకు K_p కు సమీకరణం రాయండి.
b) K_p విలువ సమతాస్థితి మిశ్రమం సంఘటనం ఏ విధంగా కింది వాటి ద్వారా ప్రభావితం అవుతాయి ?
i) పీడనం పెరుగుదల
ii) ఉష్ణోగ్రత పెరుగుదల
iii)ఉత్ప్రేరకం ఉపయోగం
జవాబు:

1) ఈ సమీకరణంలో ‘P’ లవంలో ఉన్నది. పీడనాన్ని పెంచినపుడు K_p విలువను స్థిరంగా ఉంచే విధంగా హారం విలువ పెరగాలి. అందువల్ల తిరోగామిచర్య జరిగి ఉత్పన్నాల గాఢత తగ్గుతుంది.
లీచాటయర్ సూత్రం ప్రకారం పీడనాన్ని పెంచినపుడు ఘనపరిమాణం తగ్గే చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది. తిరోగామి చర్యలో ఘనపరిమాణం తగ్గుచున్నది కనుక తిరోగామి చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది.

2) ఈ చర్య ఉష్ణగ్రాహకచర్య కావున ఉష్ణోగ్రత పెరిగితే పురోగామి చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది. ఉత్పన్నాలు అధికంగా ఏర్పడతాయి.

3) ఉత్ప్రేరకం సమతాస్థానాన్ని ప్రభావితం చేయదు.

ప్రశ్న 91.
2H₂ (వా) + CO (వా) ⇌ CH₃ OH (వా) చర్య సమతాస్థితిపై కింది వాటి ప్రభావాన్ని తెలపండి.
a) H₂ సంకలనం
b) CH₃OH సంకలనం
c) CO తొలగింపు
d) CH₃OH తొలగింపు
జవాబు:
a) లీచాట్లెయర్ సూత్రం ప్రకారం, క్రియాజనకాల గాఢత పెంచితే పురోగామి చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది. H₂ సంకలనం (కలుపుట) వలన CH₃OH ఎక్కువగా ఏర్పడుతుంది.

b) లీచాట్లెయర్ సూత్రం ప్రకారం, క్రియాజన్యం కలిపినపుడు తిరోగామి చర్య జరుగుతుంది. H₂ మరియు CO ల గాఢత పెరుగుతుంది.

c) CO తొలగింపు : లీచాటయర్ సూత్రం ప్రకారం క్రియాజనకం తొలగిస్తే, తిరోగామి చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది. CH₃OH గాఢత తగ్గుతుంది.

d) CH₃OH తొలగింపు : లీచాట్లెయర్ సూత్రం ప్రకారం ఉత్పన్నాన్ని తొలగిస్తే పురోగామి చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది. అందువల్ల CH₃OH అధికంగా ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 92.
473K వద్ద ఫాస్ఫరస్ డెంటాక్లోరైడ్ PCl₅, విఘటనం చర్యకు సమతాస్థితి స్థిరాంకం విలువ K_c = 8.3 × 10^-3. ఈ విఘటన చర్యను కింది విధంగా వ్యక్తం చేస్తే.
PCl₅ (వా) ⇌ PCl₃ (వా) + Cl₂ (వా) ΔH = 124.0 kJmol^-1,
a) చర్యకు K_c ను వ్యక్తం చేసే సమాసం రాయండి.
b) అదే ఉష్ణోగ్రత వద్ద, ఉత్రమణీయ చర్యకు K_c విలువను తెలపండి.
c) K_c పై కింది వాని ప్రభావం తెలపండి.
i) PCl₅ అధిక సంకలనం
ii) పీడనం పెంచడం
iii) ఉష్ణోగ్రత పెంచడం
జవాబు:
a) K_c = \(\frac{\left[\mathrm{PCl}_3\right]\left[\mathrm{Cl}_2\right]}{\left[\mathrm{PCl}_5\right]}\)

b) ఉత్రమణీయ చర్యకు K_c’ = \(\frac{1}{\mathrm{~K}_{\mathrm{c}}}\)
K_c’ = \(\frac{1}{8.3 \times 10^{-3}}\) = 120.28

c) i) PCl₅ ను సమతాస్థితికి కలిపినపుడు పురోగామి చర్య దిశగా సమతాస్థానం కదులుతుంది. K విలువ మారదు.
ii) PCl₅ విఘటన చర్య ఉష్ణగ్రాహక చర్య. ఉష్ణోగ్రత పెరుగుదల ఉష్ణగ్రాహకచర్యను ప్రోత్సహించడం వల్ల PCl₅ విఘటనం పెరుగుతుంది. ఉష్ణోగ్రత పెరిగితే K_c విలువ పెరుగుతుంది.
iii) పీడనాన్ని పెంచుట వలన ఘనపరిమాణం తగ్గే చర్య అయిన తిరోగామి చర్య ప్రోత్సహించబడుతుంది. K_c విలువ మారదు.

ప్రశ్న 93.
బ్రాన్ స్టెడ్ ఆమ్లాలు, బ్రాన్స్టెడ్ క్షారాలు భావనలను సోదాహరణంగా వివరించండి.
జవాబు:
బ్రాన్డ్-లౌరి సిద్ధాంతం ప్రకారం హైడ్రోజన్ అయాన్ H⁺ ను దానం చేసే సామర్ధ్యం గల పదార్థాలు ఆమ్లాలు. హైడ్రోజన్ అయాన్ H⁺ ను స్వీకరించే సామర్థ్యం గల పదార్థాలు క్షారాలు. ప్రోటాన్ దాతలు ఆమ్లాలు. ప్రోటాన్ స్వీకర్తలు క్షారాలు.

బ్రాన్టెడ్ ఆమ్లాలు రెండు రకాలు. అవి

1) బలమైన ఆమ్లం
2) బలహీన ఆమ్లం..

బలమైన ఆమ్లం : ప్రోటాన్ ను సునాయాసంగా దానం చేయగలిగే ప్రవృత్తి గల పదార్థాన్ని బలమైన ఆమ్లం అంటారు. ఉదా : HClO₄, H₂SO₄, HCl, HNO₃ మొ||వి.
బలహీన ఆమ్లం : ప్రోటాను సునాయాసంగా దానం చేయలేని పదార్థాన్ని బలహీన ఆమ్లం అంటారు.
ఉదా : HF, CH₃COOH, H₂CO₃ మొ||వి.
బ్రాన్డ్ క్షారం : ఇతర పదార్థాల నుండి ప్రోటాను స్వీకరించే ప్రవృత్తి గల పదార్థాన్ని బ్రాన్స్టెడ్ క్షారం అంటారు.
ఉదా : H₂O, Cl^–, CH₃COO^– మొ|| వి.

బ్రాన్టెడ్ క్షారాలు రెండు రకాలు: అవి

1) బలమైన క్షారం,
2) బలహీన క్షారం.

బలమైన క్షారం : ప్రోటాను సునాయాసంగా స్వీకరించగలిగే పదార్థాన్ని బలమైన క్షారం అంటారు.
ఉదా : F^–, N\(\mathrm{O}_2^{-}\), CH₃COO^–, HC\(\mathrm{O}_3^{-}\), CN^– మొ|| వి.
బలహీన క్షారం : ప్రోటాను సునాయాసంగా స్వీకరించలేని పదార్థాన్ని బలహీన క్షారం అంటారు.
ఉదా : Cl\(\mathrm{O}_4^{-}\), HS\(\mathrm{O}_4^{-}\), Cl^–, N\(\mathrm{O}_3^{-}\) మొ||వి.

తటస్థీకరణం : ఆమ్ల, క్షారముల మధ్య జరిగే ప్రోటాన్ మార్పిడిని ‘తటస్థీకరణం’ అంటారు.
ఉదా : HCl + H₂O ⇌ H₃O⁺ + Cl^–
బ్రానెడ్ సిద్ధాంతం ప్రకారం ఆమ్ల, క్షారముల మధ్య జరిగే చర్యలు ద్విగత చర్యలుగా ఉంటాయి. కాంజుగేట్ ఆమ్ల-క్షార జంట : ఒక ప్రోటాన్ తేడాతో ఉండే ఆమ్లక్షార జంటను కాంజుగేట్ ఆమ్ల క్షార జంట అంటారు. ఉదా : (HCl, Cl^–), (H₂O, OH^–)

(HCl, Cl^–) అనే కాంజుగేట్ ఆమ్ల క్షార జంటలో HCl ఆమ్లం యొక్క కాంజుగేట్ క్షారం Cl^–. అలాగే Cl^– క్షారం యొక్క కాంజుగేట్ ఆమ్లం HCl.
(H₂O, OH^–) – అనే కాంజుగేట్ ఆమ్ల క్షార జంటలో H₂O ఆమ్లం యొక్క కాంజుగేట్ క్షారం OH^–. అలాగే OH^– క్షారం యొక్క కాంజుగేట్ ఆమ్లం H₂O.

కాంజుగేట్ ఆమ్ల-క్షార లక్షణాలు : ఒక కాంజుగేటు ఆమ్ల క్షార జంటలో ఆమ్లం బలమైనదైతే దాని కాంజుగేట్ క్షారం బలహీనమైనది అవుతుంది. అలాగే క్షారం బలమైనదైతే దాని కాంజుగేట్ ఆమ్లం బలహీనమైనది అవుతుంది.
ఉదా : (HCl, Cl^–) – కాంజుగేట్ ఆమ్ల క్షార జంటలో HCl బలమైన ఆమ్లం. కాబట్టి దాని కాంజుగేట్ క్షారం (Cl^–). బలహీనమైనది.
(CH₃COOH, CH₃COO^–) – కాంజుగేట్ ఆమ్ల క్షార జంటలో CH₃COOH బలహీన ఆమ్లం కాబట్టి, దాని కాంజుగేట్ క్షారం (CH₃COO^–) బలమైనది.

గమనిక : ఆమ్లం నుండి ప్రోటాన్ ను తీసివేస్తే కాంజుగేట్ క్షారం వస్తుంది. అలాగే క్షారానికి ప్రోటాన్ ను కలిపితే కాంజుగేట్ ఆమ్లం వస్తుంది.
స్థాయీ ప్రభావం : నీరు, అన్ని బలమైన ఆమ్లాలు ఆమ్లశక్తిని H₃O⁺ కు అలాగే అన్ని బలమైన క్షారాల క్షార శక్తిని OH^– సమానం చేస్తుంది. దీనినే స్థాయీ ప్రభావం అంటారు.

బ్రాన్డ్ సిద్ధాంతంలోని గొప్పతనాలు :

1. ఈ సిద్ధాంతం ఆమ్లాల మరియు క్షారాల స్వభావాలను జల మరియు జలేతర ద్రావణాలలో వివరిస్తుంది.
2. NH₃, CaO మొ||వి పదార్థాల క్షార స్వభావాన్ని, CO₂, SO₂ మొ||వి పదార్థాల ఆమ్ల స్వభావాన్ని చక్కగా
   వివరిస్తుంది. బ్రాన్ స్టెడ్ సిద్ధాంతంలోని లోపాలు :
   1. ప్రోటాను దానం చేయటం మరియు స్వీకరించటం ఇతర పదార్థాల సమక్షంలో మాత్రమే జరుగుతుంది.
   2. AlCl₃, BCl₃ వంటి ఎలక్ట్రాన్ కొరత గల పదార్థాల ఆమ్ల స్వభావాన్ని వివరించలేదు.

ప్రశ్న 94.
తగిన ఉదాహరణలతో లూయీ ఆమ్ల క్షార సిద్ధాంతం వివరించండి. కింది జాతులను లూయీ ఆమ్లాలు, లూయీ క్షారాలుగా వర్గీకరించండి. ఇవి లూయీ ఆమ్లం/క్షారంగా ఏ విధంగా పనిచేస్తాయి ?
a) OH^–
b) F^–
c) H⁺
d) BCl₃
జవాబు:
ఎలక్ట్రాన్ జంటను స్వీకరించే జాతిని ఆమ్లం అని, ఎలక్ట్రాన్ జంటను దానంచేసే రసాయన జాతిని క్షారం అని లూయీ నిర్వచించెను.

ఎలక్ట్రాన్ జంట స్వీకర్త ఆమ్లం. ఎలక్ట్రాన్ జంట దాత క్షారం.
ఉదా :

1) హైడ్రోనియం అయాన్ ఏర్పడటం :
జలాణువు H⁺ తో సంయోగం చెందడం వల్ల హైడ్రోనియం అయాన్ ఏర్పడుతుంది.

2) అమ్మోనియం అయాన్ ఏర్పడటం : అమ్మోనియా అణువు ప్రోటాన్తో సంయోగం చెందడం వల్ల అమ్మోనియం అయాన్ ఏర్పడుతుంది.

లూయీ సిద్ధాంతం పరిమితులు :

1. ఆమ్లాల, క్షారాల బాలాలను వివరించలేదు.
2. HCl, H₂SO₄ వంటి ఆమ్లాలు NaOH, KOH వంటి క్షారాలతో చర్య జరుపుతాయి. కానీ సమన్వయ సమయోజనీయ బంధాలను ఏర్పరచవు.
3. సాధారణంగా ఆమ్ల క్షార చర్యలు అతి వేగంగా జరుగుతాయి. కాని లూయీ క్షారం, ఆమ్లాల మధ్య చర్యలు అతి నెమ్మదిగా జరుగుతాయి.

లూయీ ఆమ్లాలలోని రకాలు :

1. అన్ని కేటయాన్లు లూయీ ఆమ్లాలుగా పనిచేస్తాయి.
   ఉదా : Ag⁺, CO³⁺, Cu⁺, Fe³⁺
2. ఖాళీ ఆర్బిటాల్ కలిగి ఉన్న కేంద్ర పరమాణువు గల ఎలక్ట్రాన్ కొరత గల సమ్మేళనాలు.
   ఉదా : BF₃, BCl₃, AlCl₃, FeCl₃.
3. అష్టకాన్ని విస్తరించగల ఖాళీ ‘d’ ఆర్బిటాల్ గలవి.
   ఉదా : SiF₄, SnCl₄, SF₄
4. బహుబంధాలు గల అణువులు
   ఉదా : CO₂, SO₂, SO₃, NO₂

లూయీ క్షారాలలోని రకాలు :

1. అన్ని ఋణ అయాన్లు. ఉదా : Cl^–, OH^–, CN^–
2. కేంద్ర పరమాణువు వద్ద ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంట గల తటస్థ అణువులు : H₂O, NH₃, R – OH
3. బహుబంధాలు గల అణువులు : CO, NO, HC ≡ CH.

a) హైడ్రాక్సిల్ అయాన్, తాను ఒక ఎలక్ట్రాన్ జంటను దానం చేయగలగడం చేత లూయీ క్షారంగా పనిచేస్తుంది.
b) F^–, దానిపై ఉండే నాలుగు ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంటలలో ఒకదానిని దానంచేసి లూయీ క్షారంగా ప్రవర్తిస్తుంది.
c) హైడ్రాక్సిల్ అయాన్, ఫ్లోరైడ్ అయాన్ వంటి క్షారాల నుంచి, ఒక ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంటను స్వీకరించగలిగి ఉండటం కారణంగా, ప్రోటాన్ ఒక లూయీ ఆమ్లంగా పనిచేస్తుంది.
d) అమ్మోనియా లేదా ఏమీన్ అణువులనుంచి ఒక జంట ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్లను BCl₃ స్వీకరించి లూయీ ఆమ్లంగా పనిచేస్తుంది.

ప్రశ్న 95.
బలహీన ఆమ్లాలు, బలహీన క్షారాలు, వీటికి సంబంధించినంతవరకు అయనీకరణ అవధి ఏమిటి ? HX, బలహీన ఆమ్లం విషయంలో సమతాస్థితి స్థిరాంకం విలువ K_a కు, అయనీకరణం అవధికి మధ్య గల సంబంధం ఏమిటి ?
జవాబు:
అయనీకరణ అవధి (α) : ఒక మోల్ ఆమ్లం లేక క్షారంలో ఎంత భాగం ఆమ్లం లేక క్షారం అయనీకరణం చెందుతుందో దానిని అయనీకరణ అవధి అంటారు. దీనిని α తో సూచిస్తారు. బలమైన ఆమ్లాలు లేక క్షారాలు పూర్తిగా అయనీకరణం చెందుతాయి. కాబట్టి వాటి α విలువ ‘ఒకటి’ ఉంటుంది.
‘c’ గాఢత గల బలహీన ఆమ్లం HX ను తీసికోండి. అది పాక్షికంగా అయనీకరణం చెందుతుంది. దాని అయనీకరణ సమతాస్థితిని క్రింది విధంగా సూచిస్తారు.

ప్రశ్న 96.
pH ను నిర్వచించండి. బఫర్ ద్రావణం అంటే ఏమిటి ? ఆమ్ల బఫర్ ద్రావణం pH విలువను లెక్కించడానికి ఉపయోగపడే హేండర్సన్ – హేజల్బాక్ సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
ఒక జలద్రావణంలోని హైడ్రోజన్ అయాన్ క్రియాశీలత విలువ యొక్క 10 ఆధారిత సంవర్ధమానం ఋణవిలువగా, ద్రావణం pH విలువను నిర్వచించవచ్చు. హైడ్రోజన్ అయాను (H) క్రియాశీలతను దాని గాఢత విలువ పరంగా (H⁺)గా వ్యక్తం చేస్తారు.
\(\mathrm{a}_{\mathrm{H}^{+}}\) = [H⁺]mol.L^-1

pH : హైడ్రోజన్ అయాన్ గాఢత యొక్క ఋణ సంవర్గమానాన్ని pH అంటారు.

pH = – log\(\mathrm{a}_{\mathrm{H}^{+}}\) = -log[H⁺]mol·L^-1

బఫర్ ద్రావణం : ద్రావణాలను విలీనం చేసినపుడు లేదా వాటికి అల్పపరిమాణంలో ఆమ్లాలను లేదా క్షారాలను కలిపినప్పుడు వాటి pH లో కలిగే మార్పును నిరోధించే శక్తి గల ద్రావణాలను బఫర్ ద్రావణాలు అంటారు.

ఆమ్ల బఫర్ : ఒక బలహీన ఆమ్లము, బలమైన క్షారంతో అది ఏర్పరచిన లవణముల మిశ్రమము ఆమ్ల బఫర్గా పనిచేస్తుంది. ఎసిటిక్ ఆమ్లం, సోడియం ఎసిటేట్ల మిశ్రమ ద్రావణం pH 4.75 పరిధిలో ఉండే బఫర్ ద్రావణంగా పనిచేస్తుంది.

క్షార బఫర్ : బలహీనమైన క్షారము, బలమైన ఆమ్లంతో అది ఏర్పరచిన లవణముల మిశ్రమము క్షార బఫర్గా పనిచేస్తుంది. అమ్మోనియం క్లోరైడు, అమ్మోనియా హైడ్రాక్సైడుల మిశ్రమ ద్రావణం pH 9.25 పరిధిలో ఉండే బఫర్ ద్రావణంగా పనిచేస్తుంది.

హేండర్సన్-హేజల్బాక్ సమీకరణం : నీటిలో అయనీకరణం చెందే బలహీన ఆమ్లము HA అయనీకరణం వల్ల A^– ఏర్పడుతుంది.

మిశ్రమంలో ఉండే ఆమ్లం యొక్క సంయుగ్మ క్షారం గాఢత, ఆమ్లం గాఢతల నిష్పత్తిని \(\frac{\left[\mathrm{A}^{-}\right]}{[\mathrm{HA}]}\) రాశి తెలుపుతుంది. ఆమ్లం చాలా బలహీనమైనది కాబట్టి అల్ప విస్తృతిలో మాత్రమే అయనీకరణం చెందుతుంది. కాబట్టి బఫర్ను ఏర్పరచడానికి వాస్తవంగా ఉపయోగించిన ఆమ్లం గాఢతనుంచి సమతాస్థితి వద్ద (HA) గాఢత విలువ అల్పపరిమాణంలో మాత్రమే భేదిస్తుంది. ఈ ఆమ్ల సంబంధిత లవణం యొక్క అయనీకరణం చర్య ద్వారానే కాంజుగేటు క్షారం మొత్తం గాఢత A లభిస్తుంది. కాబట్టి లవణంగా గాఢతతో పోలిస్తే కాంజుగేటు క్షారం గాఢత ఏ మాత్రం భేదించదు. కాబట్టి పై సమీకరణాన్ని కింది రూపంలో రాయవచ్చు.

ప్రశ్న 97.
“లవణాల జలవిశ్లేషణం” పదాన్ని ఉదాహరణలతో వివరించండి. కింది లవణ ద్రావణాల pH విలువలను గురించి చర్చించండి.
i) బలహీన ఆమ్లం, బలమైన క్షారం ఏర్పరచిన లవణాలు
ii) బలమైన ఆమ్లం, బలహీన క్షారం ఏర్పరచిన లవణాలు
జవాబు:
లవణాల అయనీకరణంలో ఏర్పడిన కేటయాన్లు / ఏనయాన్లు ఆర్ద్రీకరణం చెందిన అయాన్లుగా జలద్రావణాలలో చోటు చేసుకొంటాయి. లేదా అవి నీటితో చర్య జరిపి, తిరిగి సంబంధిత ఆమ్లాలను/క్షారాలను లవణాల స్వభావాన్ని అనుసరించి ఏర్పరుస్తాయి. జలద్రావణంలో లవణాలు ఏర్పరచిన కేటయాన్లు/ఏనయాన్లు లేదా రెండు అయానులు నీటితో జరిపే అన్యోన్య చర్యను జలవిశ్లేషణం అంటారు.

బలమైన క్షారాలు ఏర్పరచే కేటయాన్లు (ఉదా : Na⁺, K⁺, Ca⁺⁺, Ba⁺⁺) బలమైన ఆమ్లాలు ఏర్పరచే ఏనయాన్లు (ఉదా : Cl^–, Br^–, N\(\mathrm{O}_3^{-}\), Cl\(\mathrm{O}_4^{-}\)) ఆర్ద్రీకరణం చెందుతాయి. కాని జలవిశ్లేషణం చెందవు. కాబట్టి బలమైన ఆమ్లాలు, బలమైన క్షారాలు చర్య జరిపి ఏర్పరచిన లవణాల జలద్రావణాలు తటస్థ స్వభావంతో ఉంటాయి. pH విలువ 7. బలహీన ఆమ్ల, క్షారాలు ఏర్పరచే లవణాలు జలవిశ్లేషణ చెందుతాయి.

i) బలహీన ఆమ్లాలు, బలమైన క్షారాలు ఏర్పరచిన లవణాలు ఉదా : CH₃COONa
ii) బలమైన ఆమ్లాలు, బలహీన క్షారాలు ఏర్పరచిన లవణాలు. ఉదా : NH₄ Cl
iii) బలహీన ఆమ్లాలు, బలహీన క్షారాలు ఏర్పరచిన లవణాలు. ఉదా : CH₃COONH₄

మొదటి రకం లవణాలలో ఏనయాన్ జలవిశ్లేషణ చెందుతుంది. OH^– అయాన్లు ఏర్పడతాయి. అందువల్ల జలద్రావణం క్షార స్వభావాన్ని కలిగి ఉంటుంది. pH > 7. ఉదా : సోడియం ఎసిటేట్.
సోడియం ఎసిటేటు జలద్రావణంలో పూర్తిగా అయనీకరణం చెందుతుంది.
CH₃COONa (జల) → CH₃COO^– (జల) + Na⁺ (జల)
CH₃COOH (జల) → H₂O (ద్ర) ⇌ CH₃COOH (జల) + OH^– (జల)
బలమైన ఆమ్లం, బలహీన క్షారం వల్ల ఏర్పడిన రెండోరకం లవణాలలో కేటయాన్ జలవిశ్లేషణ చెంది H₃O⁺ అయానును ఇస్తుంది. అందువల్ల ద్రావణం ఆమ్ల స్వభావాన్ని చూపుతుంది.

ఉదా : NH₄ Cl.
NH₄ Clపూర్తిగా జలద్రావణంలో అయనీకరణం చెందుతుంది.
NH₄Cl (జల) → N\(\mathrm{H}_4^{+}\) (జల) + Cl^– (జల)
N\(\mathrm{H}_4^{+}\) అయాన్లు నీటితో చర్య పొందుతాయి.
N\(\mathrm{H}_4^{+}\) (జల) + H₂O (ద్ర) → NH₄OH (జల) + H₃O⁺ (జల)
దీని ఫలితంగా H⁺ అయాన్ల గాఢత పెరుగుతుంది. కాబట్టి NH₄Cl జలద్రావణం pH 7 కంటే తక్కువగా వుంటుంది.

బలహీన ఆమ్లం, బలహీన క్షారం చర్య జరిపి ఏర్పరిచిన లవణానికి ఉదాహరణ CH₃COONH₄. ఇటువంటి లవణాలలో ఏనయాన్, కేటయాన్ కూడా చర్యల్లో పాల్గొంటాయి.
CH₃COO^– + N\(\mathrm{H}_4^{+}\) + H₂O ⇌ CH₃COOH + NH₄OH
CH₃COOH, NH₄OH లు రెండూ కూడా పాక్షికంగా అయనీకరణం చెందిన రూపాలలో ఉంటాయి.

అట్టి ద్రావణాల pH విలువలు వాటి ఆమ్ల క్షారాల pK విలువల మీద ఆధారపడి ఉంటుంది.
pH = 7 + 1/2 (pK_a – pk_b)
pK_a, pK_b ల భేదం విలువ ధనసంఖ్య కలిగి ఉంటే pH 7 కంటే ఎక్కువగా వుంటుంది. భేదం విలువ రుణసంఖ్య కలిగి ఉంటే pH 7 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

గమనిక :

1) బలహీన ఆమ్లం, బలమైన క్షారం వల్ల ఏర్పడిన లవణాల జల ద్రావణాల pH ను లెక్కించుటకు సూత్రం
pH = \(\frac{1}{2} \mathrm{pK}_{\mathrm{w}}\) + \(\frac{1}{2} \mathrm{pK}_{\mathrm{a}}\) + \(\frac{1}{2}\)logC
pK_w విలువ 25°C వద్ద 14.
pk_a బలహీన ఆమ్లం యొక్క విలువ. pK_a = – log K_a
K_a అనునది ఆమ్ల విఘటన స్థిరాంకం.
C ఆమ్ల గాఢత.

2) బలమైన ఆమ్లం, బలహీన క్షారం వల్ల ఏర్పడిన లవణాల జలద్రావణాలు pH ను లెక్కించుటకు సూత్రం
pH = \(\frac{1}{2}\)pK_w – \(\frac{1}{2}\)pK_b – \(\frac{-1}{2}\)logC
K_b = క్షార విఘటన స్థిరాంకం. PK_b = – log K_b

ప్రశ్న98.
ద్రావణీయతా అంటే ఏమిటి ? అయానిక లవణాల ద్రావణీయతపై ఉభయ సామాన్య అయాన్ ప్రభావం వివరించండి.
జవాబు:
ఒక లవణ సంతృప్త ద్రావణంలో కేటయాన్, యానయాన్ గాఢతల లబ్ధాన్ని ద్రావణీయత లబ్ధం అంటారు. దీనిని తో సూచిస్తారు.
K_spకి ప్రమాణాలు (mole/lit)ⁿ
n = ఒక అణువు అయనీకరణంలో విడుదలయ్యే మొత్తం అయాన్ల సంఖ్య.
అద్రావణీయంగా ఉండే ఘనపదార్థం, దాని సంతృప్త ద్రావణంలో గల ఘనపదార్థం ఏర్పరచిన అయానుల మధ్య గల సమతాస్థితిని కింది సమీకరణం ద్వారా సూచించవచ్చు.

K = [Ba⁺⁺][S\(\mathrm{O}_4^{2-}\)]/[BaSO₄]
ఘనస్థితిలో గల శుద్ధ పదార్థానికి గాఢత స్థిరంగా వుంటుంది.
K_sp = K [BaSO₄] = [Ba⁺⁺] [S\(\mathrm{O}_4^{2-}\)]
K_sp ను ద్రావణీయతా లబ్ధ స్థిరాంకం అంటారు.
298 K వద్ద BaSO₄ ద్రావణీయత లబ్ధం 1.1 × 10^-10

ఉమ్మడి అయాను ప్రభావం : ఉభయ సామాన్య అయాను సమక్షంలో లవణం యొక్క ద్రావణీయత తగ్గుతుంది.
లీచాట్లీయర్ సూత్రాన్ని అనుసరించి ఒక అయాన్ గాఢతను పెంచినట్లైతే అది దాని ఆవేశానికి వ్యతిరేక ఆవేశం గల అయాన్తో సంయోగం చెంది K_sp = Q_sp అయ్యే విధంగా కొంత లవణాన్ని అవక్షేపణం చెందిస్తుంది. ఇదే విధంగా ఒక అయాను గాఢతను తగ్గిస్తే, K_sp = Q_sp అయ్యే విధంగా రెండు అయాన్ల గాఢతలు పెరిగే విధంగా లవణం అధిక పరిమాణంలో కరుగుతుంది. ఈ విషయం అధిక ద్రావణీయతను ప్రదర్శించే సోడియం క్లోరైడ్ వంటి లవణాలకు కూడా వర్తిస్తుంది. సోడియం క్లోరైడ్ సంతృప్త ద్రావణం తీసుకొని దానిలోని HCl వాయువును పంపినట్లైతే HCl విఘటనం ద్వారా ఏర్పడిన క్లోరైడ్ల గాఢత పెరగడం వల్ల సోడియం క్లోరైడ్ అవక్షేపణం చెందుతుంది. ఈ విధంగా లభ్యం అయిన సోడియం క్లోరైడ్ చాలా శుద్ధంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 99.
కింది వాటి గురించి లఘు వ్యాఖ్యలు రాయండి.
i) ఉభయ సామాన్య అయాన్ ఫలితం
ii) అల్ప ద్రావణీయత లవణం BaSO₄ కు సంబంధించి K_sp కు, ద్రావణీయత (S) కు గల సంబంధం
జవాబు:
ఎసిటిక్ ఆమ్లం వియోజనం చర్య సమతాస్థితి

ఎసిటిక్ ఆమ్ల ద్రావణానికి, ఎసిటేట్ అయాన్లను కలిపితే హైడ్రోజన్ అయాన్ల గాఢత [H⁺] తగ్గుతుంది. అలాగే, బాహ్యస్థానం నుంచి H⁺ అయానులను ద్రావణానికి చేర్చితే, వియోజనం చెందని ఎసిటిక్ ఆమ్లం దిశవైపుగా సమతాస్థితి పయనిస్తుంది.

వియోజన సమతాస్థితిలో అప్పటికే ఏర్పడిన అయానిక రసాయన జాతి పరిమాణాన్ని పెంచే పదార్థాన్ని ద్రావణానికి కలిపితే సమతాస్థితిలో ప్రాప్తించే స్థానభ్రంశాన్ని ఉభయ సామాన్య అయాన్ ప్రభావం అంటారు.

ఈ రెండు అయానుల వ్యక్తిగత గాఢతలు, బేరియం సల్ఫేటు మోలార్ ద్రావణీయతకు సమానంగా ఉంటాయి. మోలార్ ద్రావణీయత ‘S’ అయితే
K_sp = [S] [S] = S²

సంఖ్యాత్మక సమస్యలు

ప్రశ్న 1.
1 లీటరు ఘనపరిమాణం గల మూసిన పాత్రలో 1 మోల్ PCl₅ ను వేడిచేస్తే సమతాస్థితి వద్ద 0.4 మోల్లు క్లోరిన్ ఏర్పడింది. సమతాస్థితి స్థిరాంకాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 2.
2NO₂ (వా) ⇌ N₂O₄ (వా) అనే సమీకరణం అనుసరించి నైట్రోజన్ డై ఆక్సైడు, డై నైట్రోజన్ టెట్రాక్సైడును ఏర్పరుస్తుంది. 0.1 mole NO 2 ను 1 లీటరు ఘనపరిమాణం గల ఫ్లాసుకు 25°C కలిపినప్పుడు గాఢత మార్పు చెంది సమతాస్థితి వద్ద [NO₂] = 0.016M, [N₂O₄] = 0.042 M గాను ఉన్నాయి.
a) ఏ చర్యా జరగక ముందు చర్య భాగఫలం Q విలువ ఎంత ?
b) చర్య సమతాస్థితి స్థిరాంకం విలువ ఎంత ?
సాధన:

ప్రశ్న 3.
725 K వద్ద N₂ (వా) + 3H₂ (వా) ⇌ 2 NH₃ (వా) చర్య సమతాస్థితి స్థిరాంకం విలువ 6.0 × 10^–2. సమతాస్థితి వద్ద [H₂] = 0.25 mol L⁻¹, [NO₃] = 0.06 mol L^-1. N₂ సమతాస్థితి గాఢతను లెక్కించండి.
సాధన:

సమతాస్థితి వద్ద N₂ గాఢత = 3.84 mol.L⁻¹

ప్రశ్న 4.
SO₂ (వా) + NO₂ (వా) ⇌ SO₃ (వా) + NO (వా) చర్యకు K విలువ నిర్దిష్ట ఉష్ణోగ్రత వద్ద 16. ఒక లీటరు పాత్రలో ఆరంభంలో నాలుగు వాయువులను ఒక్కొక్క మోల్ పరిమాణంలో తీసుకొన్నాం. NO, NÓ₂ ల సమతాస్థితి గాఢతలు ఏమిటి ?
సాధన:

ప్రశ్న 5.
నిర్దిష్ట ప్రయోగ పరిస్థితులలో PCl₅ (వా), PCl₃ (వా), Cl₂(వా) గా విఘటనం చెందే చర్య సమతాస్థితి స్థిరాంకం విలువ 0.0211 mol L ^-1 .PCl₅ ఆరంభ గాఢత 1.00 M అయితే సమతాస్థితి వద్ద PCl₅, PCl₃, PCl₂ ల సమతాస్థితి గాఢతలను లెక్కించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 6.
A + B ⇌ 3C చర్యకు సంబంధించి, 25°C వద్ద 3 లీటర్ల పాత్రలో A, B, C లు వరుసగా 1, 2, 4 మోల్లలో ఉన్నాయి. కింది పరిస్థితులలో చర్య జరిగే దిశను ఊహించండి.
a) చర్యకు K_c విలువ 10
b) చర్యకు K_c విలువ 10
c) చర్యకు K_c విలువ 10.66
సాధన:
A + B ⇌ 3C.

Q = 10.66
a) K_c = 10
Q > K_c కనుక తిరోగామి చర్య జరుగుతుంది.

b) K_c = 15
Q < K_c కనుక పురోగామి చర్య జరుగుతుంది.

c) K_c = 10.66
Q = K_c సమతాస్థితి ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 7.
5.0 × 10^-3 mol L^-1, 4.0 × 10^-3 mol L^-1, 2.0 × 10^-3 mol L^-1 గాఢతలలో వరుసగా H₂, N₂, NH₃ గల మిశ్రమాన్ని తయారుచేసి, 500K ఉష్ణోగ్రతకు వేడిచేస్తారు. 3H₂ (వా) + N₂ (వా) ⇌ 2NH₃ (వా) చర్యకు ఈ ఉష్ణోగ్రత వద్ద సమతాస్థితి స్థిరాంకం 60. ఈ గాఢత వద్ద అమ్మోనియా ఏర్పడుతుందా ? లేదా ? ఏర్పడిన అమ్మోనియా విఘటనం చెందుతుందా ?
సాధన:

Q విలువ K_c కన్న ఎక్కువగా ఉంది కావున తిరోగామి చర్య జరుగుతుంది. అనగా అమ్మోనియా విఘటనం చెందుతుంది.

ప్రశ్న 8.
2 SO₂ (వా) + O₂ (వా) ⇌ 2SO₃ (వా) చర్యకు 500 K వద్ద K_p విలువ 2.5 × 10¹⁰. అదే ఉష్ణోగ్రత వద్ద కింది చర్యలకు K, విలువలను లెక్కించండి.
a) SO₂ (వా) + 1/2 O₂ (వా) ⇌ SO₃ (వా)
b) SO₃ (వా) ⇌ SO₂ (వా) + 1/2 O₂ (వా)
c) 3SO₂ (వా) + 3/2 O₂ (వా) ⇌ 3 SO₃ (వా)
సాధన:

ప్రశ్న 9.
25°C 3 N₂O₄ (వా) ⇌ 2NO₂ (వా) చర్యకు K విలువ 4.63 × 10^-3.
a) ఇదే ఉష్ణోగ్రత వద్ద K_p విలువ ఎంత ?
b) 25°C వద్ద ఉండే సమతాస్థితిలో N₂O₄ (వా) పాక్షిక పీడనం 0.2 atm, NO₂(వా) సమతాస్థితి పీడనం
లెక్కించండి.
సాధన:
a) K_p = K_c [RT]^Δn
N₂O₄ (వా) ⇌ 2NO₂ (వా)
Δn = 2 – 1 = 1
∴ K_p = 4.63 × 10⁻³ × 0.0821 × 298
= 0.1132 atm.

b)

ప్రశ్న 10.
27°C వద్ద PCl5 (వా) ⇌ PCl₃ (వా) + Cl₂ (వా) ద్విగత చర్యకు K_p విలువ 0.65. K_cను లెక్కించండి.
సాధన:
K_p = K_c [RT]^Δn
ఇవ్వబడిన చర్యలో Δn = 2 – 1 = 1;
∴ K_p = K_c. RT = K_c

ప్రశ్న 11.
N₂ (వా) + 3H₂ (వా) ⇌ 2NH₃ (వా) కు 400K వద్ద K విలువ 0.5 అయిన K_p విలువ ఎంత ?
సాధన:

ప్రశ్న 12.
A + B ⇌ C + D సమతాస్థితి చర్యలో ఆరంభంలో 1 మోల్ A ను, 1 మోల్ B ను 5 లీటర్ల ఫ్లాస్కులో తీసుకొన్నాం. సమతాస్థితి వద్ద 0.5 మోల్ C ఏర్పడింది. ఇదే చర్యను 2 మోల్ ల A, 1 మోల్ B తో 5 లీటర్ల ఫ్లాస్క్ అదే ఉష్ణోగ్రత వద్ద జరిపించినట్లైతే ప్రతిజాతి మోలార్ గాఢతలను లెక్కించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 13.
PCl₅(వా) ⇌ PCl₃ (వా) + Cl₂ (వా) 0.4 మోల్ లు PCl₃, 0.6 355 Cl₂ తీసుకొన్నాం. K విలువ 0.2 అయితే చర్య ఏ దిశలో జరుగుతుంది ? ఊహించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 14.
A + B ⇌ C + D సమతాస్థితిలో, T ఉష్ణోగ్రత వద్ద A, B లను ఒక పాత్రలో తీసుకొన్నారు. A ఆరంభ గాఢత, B ఆరంభ గాఢతకు రెండు రెట్లు సమతాస్థితిని చేరుకొన్న తరువాత ‘C’ గాఢత B గాఢతకు మూడురెట్లు Kr విలువను లెక్కించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 15.
2SO₂ (వా) + O₂ (వా) ⇌ 2SO₃ (వా) చర్యకు K విలువ 100 గ్రా. ఉండే ఉష్ణోగ్రత వద్ద SO₂, SO₃, O₂ వాయువులను 10 లీటర్ల ఫ్లాస్క్ లో తీసుకొన్నారు. సమతాస్థితి వద్ద
a) SO₃, SO₂ వాయువుల మోల్ల సంఖ్య ప్లాస్కులో సమానంగా ఉన్నాయి. O₂ మోల్లల సంఖ్య ఎంత ?
b) ప్లాస్క్ SO₃ మోల్ల సంఖ్య, SO₂ మోల్ల సంఖ్యకు రెట్టింపు అయితే, O₂ ఎన్ని మోల్లు ఉంది ?
సాధన:

ప్రశ్న 16.
ఒక ఉష్ణోగ్రత వద్ద A + B ⇌ C సమతాస్థితి చర్యలో A, B ల సమతాస్థితి గాఢతలు 15 మోల్ L^-1 గా ఉన్నాయి. ఘనపరిమాణాన్ని రెండు రెట్లు గావించినపుడు A సమతాస్థితి గాఢత 10 మోల్^-1 గా ఉంది. కింది వాటిని లెక్కించండి.
a) K_c
b) మూల సమతాస్థితిలో C గాఢత
సాధన:

ప్రశ్న 17.
100K వద్ద ఒక పాత్రలో CO₂ వాయువు 0.5 atm పీడనం వద్ద ఉంది. గ్రాఫైటును కలిపినప్పుడు CO₂ లో కొంత భాగం CO గా మారింది. సమతాస్థితి వద్ద పీడనం 0.8 atm అయితే K విలువ లెక్కించండి.
సాధన:

మొత్తం పీడనం = 0.8 atm
సమతాస్థితి మిశ్రమంలో CO మరియు CO₂ ఉంటాయి.
(0.5 + x) atm = 0.8 atm.
x = 0.3 atm
K_p = \(\frac{(0.6)^2}{0.2}\) = 1.8 atm.

ప్రశ్న 18.
460°C వద్ద H₂(వా) + I₂ (వా) ⇌ 2HI(వా) చర్యకు K_p విలువ 49. H₂, I₂ ల ఆరంభ గాఢతలు వరసగా 0.5 atm అయితే సమతాస్థితి వద్ద ప్రతీ వాయువు పాక్షిక పీడనాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:

ప్రశ్న 19.
448°C వద్ద 10 లీటర్ల ఫ్లాస్క్ లో 0.5 మోల్ H₂, 0.5 మోల్ 12 చర్య జరిపాయి. H₂ (వా) + I₂ (వా) ⇌ 2HI(వా) చర్యకు సమతాస్థితి స్థిరాంకం K_c విలువ 50.
a) K_p విలువ ఎంత ?
b) సమతాస్థితి వద్ద I₂ మోల్ల సంఖ్య ఎంత ?
సాధన:
a) K_p = K_c [RT]^Δn.
H₂ (వా) + I₂ (వా) ⇌ 2HI (వా)
ΔN = 0
K_p = K_c = 50

b)

ప్రశ్న 20.
సమతాస్థితి వద్ద 0.1 మోల్ Cl₂ రాబట్టాలి అంటే 250°C వద్ద ఒక లీటరు పాత్రలో ఎంత PCl₅ తీసుకోవాలి?
PCl₅(వా) ⇌ PCl₃(వా) + Cl₂(వా)
సాధన:

0.3415 మోల్ల PCl₅ ను 1 లీ. ప్లాస్కు కలిపితే 0.1 మోల్ క్లోరిన్ సమతాస్థితి వద్ద లభిస్తుంది.

ప్రశ్న 21.
400°C N₂(వా) + 3H₂(వా) ⇌ 2NH₃(వా) చర్యకు K_p Dev3 1.64 × 10^-4.
a) K_c ను లెక్కించండి.
b) K_c విలువ ఉపయోగించి ΔG° విలువ లెక్కించండి.
సాధన:
a) N₂(వా) + 3H₂(వా) ⇌ 2NH₃(వా) K_p = 1.64 × 10^-4 K_p = K_c [RT]^Δn
Δn = 2 – 4 = -2
K_p = K_c [RT]^-2
1.64 × 10^-4/(RT)^-2 = 1.64 × 10^-4 × (RT)²
K_c = 1.64 × 10^-4 × (0.0821 × 673)²
= 0.5129

b) ΔG° = -2.303 RT log K
= -2.303 × 0.0821 × 673 log 0.5129
= 3873 J

ప్రశ్న 22.
కింది ద్రావణాల pH విలువలను లెక్కించండి.
a) 10^-3 M HCl
b) 10⁻³ MH₂ HO₄
c) 10^-6 M HNO₃
d) 0.02 MH₂SO₄
సాధన:
a) pH = – log [H⁺]
= -log [1 × 10^-3]

b) H₂SO₄ → 2H⁺ + S\(\mathrm{O}_4^{2-}\)
1 మోల్ H₂SO₄ నుండి 2 మోల్ల H⁺ విడుదలవుతుంది.
[H⁺] = 2 × 10^-3 M
pH = -log 2 × 10^-3 = 3 – log 2
= 2.699

c) 10^-6 M HNO₃
pH = -log 10^-6 = 6

d) 0.02 M H₂SO₄
[H⁺] = 2 × 0.02 = 2 × 2 × 10^-2 = 4 × 10^-2
pH = – log 10-6 = 6
pH = -log 4 × 10^-2 = 2 – log 4
= 2 – 0.6021 = 1.4

ప్రశ్న 23.
కింది ద్రావణాల pH విలువలను లెక్కించండి.
a) 0.001 M NaOH
b) 0.01 M Ca(OH)₂
c) 0.0008M Ba(OH)₂
d) 0.004 M NaOH
సాధన:

ప్రశ్న 24.
ఒక ద్రావణం pH 3.6. దీని H₃O⁺ అయాన్ గాఢత లెక్కించండి.
సాధన:
pH = 3.6
– log [H⁺] = 3.6
log [H⁺] = -3.6 = \(\overline{4} .4\)
[H⁺] = anti log \(\overline{4} .4\) = 2.5 × 10^-4 మోల్/లీ

ప్రశ్న 25.
ఒక ద్రావణం pH విలువలు గల ద్రావణాలలో OH^– గాఢత ఎంత ?
సాధన:
pH = 8.6
РОН = 5.4
– log [OH^–] = 5.4
log [OH^–] = – 5.4 = \(\overline{6} .6\)
[OH^–] = anti log \(\overline{6} .6\)
[OH^–] = 3.98 × 10^-6 M.

ప్రశ్న 26.
కింది pH విలువలు గల ద్రావణాలలో [H⁺] గాఢత ఎంత ?
a) pH = 3
సాధన:
a) pH = 3
[H⁺] = 10^-3 M

b) pH = 4.75
– log [H⁺] = 4.75
– log [H⁺] = 4.75
log [H⁺] = -4.75 = \(\overline{5} .25\)
[H⁺] = anti log \(\overline{5} .25\)
= 1.778 × 10^-5 M.

c) pH = 4.4
– log [H⁺] = 4.4
log [H⁺] = – 4.4 = \(\overline{5} .6\)
log [H⁺] = 10^-5 × anti log 0.6
= 3.981 × 10^-6 M.

ప్రశ్న 27.
0.005 M₂ HSO₄ ద్రావణాన్ని 100 రెట్లు విలీనం చేసినప్పుడు విలీన ద్రావణం pH లెక్కించండి.
సాధన:
H₂SO₄ = 0.005 M
[H⁺] = 2 × 0.005 M = 0.01 M
pH = -log 0.01 = – log 10^-2 = 2
100 రెట్లు విలీనం చేస్తే pH విలువ 2 యూనిట్లు పెరుగుతుంది. pH = 4

ప్రశ్న 28.
HCl ద్రావణం pH = 3. ఈ ద్రావణం 1 mL ను 1 లీటరుకు విలీనం చేస్తే ఫలిత ద్రావణం pH విలువ ఎంత?
సాధన:
1 mL ను 1 లీకు (1000 ml) విలీనం చేస్తే 1000 రెట్లు విలీనం చేసినట్లు భావించాలి.

(10 రెట్లు విలీనం చేస్తే pH విలువ 1 యూనిట్ పెరుగుతుంది
100 రెట్లు విలీనం చేస్తే pH విలువ 2 యూనిట్లు పెరుగుతుంది
1000 రెట్లు విలీనం చేస్తే pH విలువ 3 యూనిట్లు పెరుగుతుంది.)
∴ ఫలిత ద్రావణం pH = 3 + 3 = 6

ప్రశ్న 29.
10^-8 M HCl pH విలువ ఎంత ?
సాధన:
HCl గాఢత = 10^-8 m.
ఈ సందర్భంలో నీటి అయనీకరణం వల్ల లభించిన H⁺ గాఢతను కూడా లెక్కించాలి.
మొత్తం H⁺ గాఢత = HCl అయనీకరణం వల్ల [H⁺] + నీటి అయనీకరణం వల్ల CH⁺]
[H⁺] = 10^-8 + 10^-7
= \(\frac{10^{-7}}{10}\) + 10^-7
= 10^-7(\(\frac{1}{10}\) + 1)
= 1.1 × 10^-7 = 7 – log 1.1
= 7 – 0.04 = 6.96

ప్రశ్న30.
కింది క్షార ద్రావణాల pH విలువలను లెక్కించండి. (March 2013)
a) [OH^–] = 0.05 M
b) [OH^–] = 2 × 10^-4 M
సాధన:
a) [OH^–] = 0.05 M
РОН = -log 5 × 10^-2
pH = 14 – 1.3 = 12.7

b) [OH^–] = 2 × 10^-4 M
РОН = -log 2 × 10^-4
= 4 – log 2 = 4 – 0.3010
= 3.7
pH = 14 – 3.7 = 10.3

ప్రశ్న31.
నీటిలో 2 గ్రా. NaOH ను కరిగించి ద్రావణాన్ని 1 లీటరుకు విలీనం చేస్తే, ద్రావణం pH విలువ ఎంత ?
సాధన:

ప్రశ్న32.
కింది ద్రావణాల pH విలువలు లెక్కించండి.
a) 500 mL ద్రావణంలో 0.37 g of Ca(OH)₂ కరిగి ఉంది.
b) 200 mL ద్రావణంలో 0.3 g NaOH కరిగి ఉంది.
c) 0.1825% HCl జల ద్రావణం.
d) 1 లీటరు ద్రావణానికి 1 mL 13.6 M HCI ను విలీనం చేసి ఏర్పరచిన ద్రావణం
సాధన:

ప్రశ్న33.
10 pH గల 100 mL NaOH ద్రావణంలో ఎన్ని గ్రాములు NaOH కరిగి ఉంది ?
సాధన:
PH = 10
[H⁺] = 10^-PH = 10^-10 మోల్స్/లీ.
[H⁺] = 10^-PH = 10^-10 మోల్స్/లీ.
ద్రావిత భారం = మొలారిటి × ఘనపరిమాణం × గ్రా. అణుభారం
= 10^-4 × \(\frac{100}{1000}\) = 4 × 10^-4.

ప్రశ్న34.
ఒక ఉష్ణోగ్రత వద్ద నీటి K విలువ 9.55 × 10^-14 గా ఉంది. ఈ ఉష్ణోగ్రత వద్ద నీటి pH విలువ ఎంత ?
సాధన:

ప్రశ్న35.
10^-8 M NaOH, pH విలువ లెక్కించండి.
సాధన:

ప్రశ్న36.
150 mL 0.5 M HCl, 100 ml of 0.2 M HCl ద్రవణాలను కలిపి మిశ్రమం చేసారు. ఫలిత ద్రావణం ను లెక్కించండి pH ను లెక్కించండి.
సాధన:

ప్రశ్న37.
100 mL 0.1 M HCl, 40 ml 0.2 M H₂SO₄ కలిపి మిశ్రమ ద్రావణం తయారు చేసారు. దీని pH విలువ లెక్కించండి.
లెక్కించండి.
సాధన:

ప్రశ్న38.
100 mL pH = 4 ద్రావణం 100 mL pH = 6 ద్రావణం కలిపిన మిశ్రమ ద్రావణం ?
సాధన:
మొదటి ద్రావణం [H⁺] = 10^-4
రెండవ ద్రావణం = [H⁺] = 10^-6

ప్రశ్న39.
0.5 M NaOH ద్రావణాన్ని, 0.3 M KOH ద్రావణాన్ని సమ ఘనపరిమాణాలలో కలిపారు. ఫలిత ద్రావణం pOH, pH విలువలను లెక్కించండి.
సాధన:
NaOH మరియు KOH ద్రావణాల మిశ్రమ ద్రావణం

ప్రశ్న40.
60 mL 1 M HCI ద్రావణాన్ని, 40 mL 1M Na OH ద్రావణాన్ని కలిపారు. ఫలిత ద్రావణం pH విలువ ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న41.
100 mL 0.1 M HCI ద్రావణం, 9.9 ml 1.0 M NaOH ద్రావణం గల మిశ్రమ ద్రావణం pH విలువ లెక్కించండి.
సాధన:
100 ml 0.1 M HC/ మిల్లీ తుల్యాంకాలు = 1000.1 = 10 meq
9.9 m l 1.0M NaOH
మిల్లీ తుల్యాంకాలు = 9.9 × 1 = 9.9 meq
HClను NaOH తటస్థపరిచినపుడు మిగిలిన ఆమ్ల మిల్లీ తుల్యాంకాలు = 10 – 9.9 = 0.1
ఆమ్ల నార్మాలిటి = \(\frac{0.1}{109.9}\) = 9 × 10^-4
pH = – log 9 × 10^-4
pH = 4 – log 9 = 3.0416

ప్రశ్న42.
200 mL pH = 2 గల HCI జల ద్రావణాన్ని 300 ml pH = 12 గల NaOH జల ద్రావణాన్ని కలిపినప్పుడు ఏర్పడిన మిశ్రమ ద్రావణం pH ఎంత ?
సాధన:
HCl pH = 2 ∴ [H⁺] = 10^-2 M
NaOH pH = 12 pOH = 2
∴ [OH^–] = 10^-2

ప్రశ్న43.
0.2 M HCL ద్రావణం 50 mL, 0.1 M KOH ద్రావణం 30 mL కలిపి తయారుచేసిన మిశ్రమ ద్రావణం pH విలువ ఎంత ?
సాధన:
ఫలిత ద్రావణం ఆమ్ల లక్షణం కలదు.
[H⁺] = \(\frac{(50 \times 0.2)-(30 \times 0.1)}{80}\) = \(\frac{(50 \times 0.2)-(30 \times 0.1)}{80}\)
= 0.0875
pH = – log [8.75 × 10^-2]
= 1.0579

ప్రశ్న44.
40 mL 0.2 M HNO₃ ద్రావణం, 60 mL 0.3 M NaOH ద్రావణంతో చర్య జరిపి మిశ్రమ ద్రావణాన్ని ఏర్పరచింది. ఫలిత ద్రావణం pH విలువ ఎంత ?
సాధన:
NaOH మిల్లీ మోల్ సంఖ్య అధికంగా వుంది. ఫలిత ద్రావణం క్షారం.
ఫలిత మొలారిటి = \(\frac{60 \times 0.3-0.2 \times 40}{100}\)
= \(\frac{18-8}{100}\) = \(\frac{10}{100}\) = \(\frac{1}{10}\)
[OH^–] = 0.1 = 10^-1
РОН = 1
∴ pH = 14 – 1 = 13

ప్రశ్న45.
100mL 0.2 M HNO₃ ద్రావణానికి 50 mL ల 0.1 MH₂ SO₄ ద్రావణం కలపబడింది. మిశ్రమ ద్రావణాన్ని 300 ml లకు విలీనం చేశారు. ఫలిత ద్రావణం pH విలువ ఎంత ?
సాధన:
ఫలిత H⁺ గాఢత = \(\frac{100 \times 0.2+50 \times 0.2}{300}\)
\(\frac{20+10}{300}\) = \(\frac{30}{300}\) = \(\frac{1}{10}\) = 0.1
pH = -log 0.1 = -log 10^-1 = 1

ప్రశ్న46.
pKw విలువ 13.725g గల జలద్రావణం K_w విలువ ఎంత ?
సాధన:
pK_w = 13.725
– log K_w = 13.725
log K_w = -13.725 = \(\overline{14} .275\)
K_w = anti log \(\overline{14} .275\) = 1.
= 1.884 × 10⁻¹⁴

ప్రశ్న47.
80°C వద్ద నీటి అయానిక లబ్ధం విలువ 2.44 × 10^–13, 80°C వద్ద హైడ్రోనియం అయాన్, హైడ్రాక్సైడ్ అయాన్ల గాఢతలు శుద్ధ నీటిలో ఎంత ?
సాధన:
80°C వద్ద నీటి అయానిక లబ్ధం : 2.44 × 10^-13

ప్రశ్న48.
40°C వద్ద నీటి అయనీకరణ స్థిరాంకం విలువ 2.9 × 10^-14. 40°C వద్ద శుద్ధ నీటికి [H₃O⁺], [OH], pH,
pOH లను లెక్కించండి.
సాధన:
నీటి అయనీకరణ స్థిరాంకం విలువ 40°C = 2.9 × 10^–14
K_w = [H⁺][OH^–] = 2.9 × 10^-14
[H⁺] = [OH^–] = \(\sqrt{2.9 \times 10^{-14}}\) = 1.703 × 10^-7
pH = − log [1.703 × 10^-7] = 6.7689
POH = – log [1.703 × 10^-7] = 6.7689

ప్రశ్న49.
కింది వాటి pH విలువలు లెక్కించండి.
a) 0.002 M ఎసిటిక్ ఆమ్ల ద్రావణం విఘటన శాతం 2.3%
b) 0.002 M NH₄ OH ద్రావణం విఘటన శాతం 2.3%
సాధన:

ప్రశ్న50.
కింద ఇచ్చిన సమతాస్థితి గాఢతల ఆధారంగా ఎసిటిక్ ఆమ్లం Ka ను లెక్కించండి.
[H₃O⁺] = [CH₃COO^–] = 1.34 × 10^-3 M
[CH₃COOH] = 9.866 × 10⁻² M.
సాధన:

ప్రశ్న51.
Ka విలువ 1.8 × 10^-5 g గల 0.1 M ఎసిటిక్ ఆమ్లం pH విలువ లెక్కించండి.
సాధన:

ప్రశ్న52.
0.1M గాఢత గల ఒక మోనోప్రోటిక్ ఆమ్లం pH విలువ 4.0 [H⁺], Ka లను లెక్కించండి.
సాధన:

ప్రశ్న53.
0.02 M ఎసిటిక్ ఆమ్లం Ka విలువ 1.8 × 10^-5. అయిన కింది వాటిని లెక్కించండి.

a) [H₃O⁺]
b) pH
సాధన:

ప్రశ్న54.
298K వద్ద CH3COOH K విలువ 1.8 × 10^-5 అయిన 0.01 M ఎసిటిక్ ఆమ్ల ద్రావణం pH విలువ ఎంత?
సాధన:
α² = \(\frac{\mathrm{K}_{\mathrm{a}}}{\mathrm{C}}\)
= \(\frac{1.8 \times 10^{-5}}{0.01}\)
= 180 × 10^-5
α = 4.1 × 10^-2
∴ [H₃O⁺] = 0.01 × 4.1 × 10^-2 = 4.1 × 10^-4
pH = – log [H₃O⁺]
= -log (4.1 × 10^-4)
= 3.38.

ప్రశ్న55.
ఒక కర్బన పదార్థ ఆమ్లం 0.1 M ద్రావణం pH విలువ 4.0. ఆమ్లం విఘటన స్థిరాంకం విలువ లెక్కించండి.
సాధన:
ద్రావణం యొక్క pH = 4

ప్రశ్న56.
298 K వద్ద HF, H COOH, HCN ల అయనీకరణ స్థిరాంకాల విలువలు వరుసగా 6.8 × 10^-4, 1.8 x 104, 4.8 x 100 వాటి కాంజుగేటు
సాధన:

ప్రశ్న57.
బలహీన క్షారమైన ట్రై మిథైల్ ఏమీన్ 0.25 M ద్రావణంలో హైడ్రాక్సిల్ అయాన్ గాఢత లెక్కించండి.
(CH₃)₃ N + H₂O ⇌ (CH₃)₃ N⁺H + OH,sup>- ; K_b = 7.4 × 10⁻⁵
సాధన:
బలహీన ఆమ్లం అయనీకరణ స్థిరాంకం K_b = 7.4 × 10^-5. క్షారం యొక్క అయనీకరణ అవధి a౫ అనుకొనుము.
సమతాస్థితి వద్ద
[ట్రై మిథైల్ ఏమిన్] = 0.25 (1 – α) = 0.25 M.

ప్రశ్న 58.
ఒక మోల్ క్షారిత ఆమ్ల 0.005 M ద్రావణం pH = 5. దీని అయనీకరణ అవధి ఎంత ?
సాధన:

ప్రశ్న 59.
50 mL of 0.1 M NH₄ OH, 25 mL 2 M NH₄ Cl లను కలిపి బఫర్ ద్రావణం తయారుచేశారు. దీని pH ఎంత ? pK_a = 4.8.
సాధన:
బఫర్ ద్రావణం
pОН = pK_b + log \(\frac{M_1 V_1}{M_2 V_2}\)
M₁ లవణం మొలాలిటీ = 2 M₂ క్షారం మొలాలిటీ = 0.1
V₁ = లవణం ఘనపరిమాణం = 25 ml V₂ = క్షారం ఘనపరిమాణం = 50 ml
pОН = 4.8 + log \(\frac{2 \times 25}{0.1 \times 50}\)
= 4.8 + log 10 = 5.8
pH = 14 – 5.8 = 8.2

ప్రశ్న 60.
50 mL 0.2 M ఎసిటిక్ ఆమ్లం ద్రావణం, 25 mL సోడియం ఎసిటేట్ ద్రావణం కలిపి తయారుచేసిన బఫర్ ద్రావణం pH 4.8. దీని pK_a విలువ 4.8. CH₃COONa ద్రావణం గాఢత ఎంత ?
సాధన:

M₁ = లవణం మొలారిటీ ?
M₂ = క్షారం యొక్క మొలారిటీ = 0.2
V₁ = క్షారం ఘనపరిమాణం = 25ml V₂ = ఆమ్లం ఘనపరిమాణం = 50 ml
pH = 4.8
pKa = 4.8
లవణము గాఢత = ఆమ్లం గాఢత అయితే pH = pK_a.
∴ M₁ × 25 = 0.2 × 50
M₁ = \(\frac{0.2 \times 50}{25}\) = 0.4 M.

ప్రశ్న 61.
50 mL 0.1 M సోడియం ఎసిటేట్ను 25 mL 0.1 M సోడియం ఎసిటేట్ను 25 mL 0.2 M ఎసిటిక్ ఆమ్లాన్ని కలిపి బఫర్ ద్రావణం చేశారు. CH₃COOH, pK_a విలువ 4.8, బఫర్ ద్రావణం pH విలువ ఎంత ?
సాధన:

ప్రశ్న 62.
20 mL 0.1 M NH₄ OH ద్రావణాన్ని 20 mL 1MNH₄ Cl ద్రావణానికి కలిపారు. బఫర్ ద్రావణం pH 8.2.
NH₄ OH, pK_a ఎంత ?
సాధన:

ప్రశ్న 63.
1 లీటరు బఫర్ ద్రావణంలో 0.1 మోల్ ఎసిటిక్ ఆమ్లం, 1 మోల్ సోడియం ఎసిటేట్ ఉన్నాయి. CH₃COOH, pK_a విలువ 4.8. అయిన బఫర్ ద్రావణం pH ఎంత ?
సాధన:

= 4.8 + log \(\frac{1}{0.1}\)
= 4.8 + log 10
= 4.8 + 1 = 5.8.

ప్రశ్న 64.
50 mL 1M CH₃COOH ద్రావణం, 50 mL 0.5 M NaOH ద్రావణం కలిపి తయారుచేసిన మిశ్రమ ద్రావణం pH విలువ ‘X’. ఎసిటిక్ ఆమ్లం pK_a 4.8 అయితే ‘X’ విలువ ఎంత ?
సాధన:
CH₃COOH + NaOH → CH₃COONa + H₂O
50 ml 0.5 M NaCH ఎసిటిక్ ఆమ్లాన్ని తటస్థీకరిస్తుంది.
V₁N₁ = V₂N₂
50 × 0.5 = V₂ × 1
∴ V₂ = \(\frac{50 \times 0.5}{1}\) = 50
కనుక ఎసిటిక్ ఆమ్లం 50% తటస్థీకరించబడింది. కనుక ఫలిత ద్రావణంలో సమాన పరిమాణం గల ఎసిటిక్ ఆమ్లము మరియు సోడియం ఎసిటేటు ఉంటాయి. ∴ pH = pK_a = 4.8

ప్రశ్న 65.
AgCl ద్రావణీయతా లబ్ధం విలువ 1.6 × 10^-10 mol² / L². దీని ద్రావణీయత ఎంత ?
సాధన:

ప్రశ్న 66.
Zr (OH)₂ యొక్క ద్రావణీయతా లబ్ధం విలువ 4.5 × 10^-17 mol³ L^-1. దీని ద్రావణీయత ఎంత ?
సాధన:

ప్రశ్న 67.
Ag₂ CrO₄ ద్రావణీయత 1.3 × 10^-4 మోల్ L^-1, దీని ద్రావణీయతా విలువ ఎంత ?
సాధన:

ప్రశ్న 68.
A₂B = 2 × 10^-3 mol L^-1. దీని ద్రావణీయతా లబ్ధం విలువ ఎంత ?
సాధన:

ప్రశ్న 69.
AB = 10^-10 mol2 L^-2. దీని ద్రావణీయతా లబ్ధం విలువ ఎంత ?
సాధన:

ప్రశ్న 70.
PQ, RS₂లు అల్ప ద్రావణీయతా లవణాలు. వీటి ద్రావణీయతా లబ్ధం విలువలు సమానం. ప్రతీ దాని విలువ 4.0 × 10^–18, ఏ లవణం వీటిలో అధిక ద్రావణీయత కలిగి ఉంది ?
సాధన:

K_sp = [s] [2s]² = 4s³
4s³ = 4 × 10^-18
s³ = \(\frac{4 \times 10^{-18}}{4}\) = 1 × 10^-18
s = 1 × 10^-6 mole. L^-1
RS₂ కు అధిక ద్రావణీయత కలదు.

ప్రశ్న 71.
0.1M ఎసిటిక్ ఆమ్ల ద్రావణంలో ఆమ్లం 1.34% అయనీకరణం చెందింది. అయిన [H⁺], [CH₃COO^–], [CH₃COOH] లను లెక్కించండి. ఎసిటిక్ ఆమ్లం K_a విలువ లెక్కించండి.
సాధన:
CH₃⇌ COOH = CH₃COO^– + H⁺
అయనీకరణ అవధి = 1.34%
కనుక 0.1 M అయనీకరణం = \(\frac{1.34 \times 0.1}{100}\) = 1.34 × 10^-3 M
.·. [H⁺] = [CH₃COO⁻] = 1.34 × 10^-3 M
[CH₃COOH) = 1 – 1.34 × 10^-3 M
K_a = \(\frac{\left[\mathrm{CH}_3 \mathrm{COO}^{-}\right]\left[\mathrm{H}^{+}\right]}{\left[\mathrm{CH}_3 \mathrm{COOH}^3\right]}\) = \(\frac{1.34 \times 10^{-3} \times 1.34 \times 10^{-3}}{0.1}\) = 1.8 × 10^-5

అదనపు ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ద్రవ్యరాశి క్రియానియమాన్ని వ్రాయండి. సమతాస్థితి స్థిరాంక సమీకరణాన్ని రాబట్టండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి క్రియానియమం : ఏ క్షణమునందైనా నిర్దిష్ట ఉష్ణోగ్రత వద్ద రసాయన చర్యావేగం ఆ క్షణం వద్ద ఉండే క్రియాజనకాల క్రియాశీల ద్రవ్యరాశుల అంకగణిత లబ్ధానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
A + B ⇌ C + D చర్యకు
పురోగామి చర్యావేగం α [A][B]
= K_f [A][B]
K_f ను పురోగామి వేగస్థిరాంకం అంటారు.
తిరోగామి చర్యావేగం α [C] [D]
= K_b [C] [D]
సమతాస్థితి వద్ద, పురోగామి చర్యావేగం = తిరోగామి చర్యావేగం
K_f [A] [B] = K_b [C] [D]
∴ K_c ను సమతాస్థిరాంకం అంటారు.

aA + bB ⇌ cC + dD చర్యకు
K_c = \(\frac{[C]^C[D]^d}{[A]^a[B]^b}\)

ప్రశ్న 2.
500 K వద్ద సమతాస్థితి ఉన్న N₂, H₂ ల ద్వారా NH₃ ను ఏర్పరిచే చర్యకు కింద సూచించిన గాఢతలు ఉన్నాయి. [N₂] = 1.5 × 10^-2 M. [H₂] = 3.0 × 10^-2 M, [NH₃] = 1.2 M × 10⁻² M. దీని సమతాస్థితి స్థిరాంకాన్ని లెక్కించండి.
జవాబు:
(N₂ (వా) + 2H₃ (వా) చర్యకు, సమతాస్థితి స్థిరాంకాన్ని కింద చూపిన విధంగా రాస్తాం.

ప్రశ్న 3.
2A ⇌ B + C చర్యకు K_c విలువ 2 × 10^-3. ఒక నిర్దేశిత కాలం వద్ద చర్యా మిశ్రమంలో [A] = [B] = [C] = 3 × 10^-4 M. ఏ దిశలో చర్య పురోగమిస్తుంది?
జవాబు:
చర్యకు భాగఫలం Q_c విలువను కింది సమీకరణం తెలుపుతుంది.
Q_c = [B] [C] / [A]²
కాని [A] = [B] = [C] = 3 × 10^-4 M కాబట్టి
Q_c = (3 × 10^-4)(3 × 10^-4)/(3 × 10^-4)² = 1
అంటే Q_c > K_c. కాబట్టి చర్య తిరోగామి దిశగా ప్రయాణిస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
సుక్రోజ్ జలవిశ్లేషణాన్ని కింది సమీకరణం సూచిస్తుంది.
సుక్రోజ్ + H₂O ⇌ గ్లూకోజ్ + ఫ్రక్టోజు
చర్యకు సమతాస్థితి స్థిరాంకం K. విలువ 300 K వద్ద 2 × 10¹³, 300K వద్ద Δ\(\mathbf{G}^{\ominus}\) విలువ ఎంత ?
జవాబు:
Δ\(\mathbf{G}^{\ominus}\) = RTln K_c
Δ\(\mathbf{G}^{\ominus}\) = (-8.314 J mol^-1 K^-1) 300 K × ln (2 × 10¹³)
Δ\(\mathbf{G}^{\ominus}\) = −7.64 × 10⁴ J mol^-1

ప్రశ్న 5.
బ్రాన్టెస్టెడ్ ఆమ్లాలు : HF, H₂SO₄, HC\(\mathrm{O}_3^{-}\) లకు కాంజుగేటు క్షారాలను రాయండి.
జవాబు:
కాంజుగేటు క్షారాలు ఒక ప్రోటాను తక్కువగా కలిగి ఉండాలి. కాబట్టి ఈ ఆమ్లాల కాంజుగేటు క్షారాలు వరుసగా F^–,HS\(\mathrm{O}_4^{-}\), C\(\mathrm{O}_3^{2-}\) లు.

ప్రశ్న 6.
బ్రాన్టెస్టెడ్ క్షారాలు : N\(\mathrm{H}_2^{-}\), NH₃, HCOO^– లకు కాంజుగేటు ఆమ్లాలను రాయండి.
జవాబు:
కాంజుగేటు ఆమ్లంలో ఒక ప్రోటాను అధికంగా ఉండాలి. కాబట్టి కాంజుగేటు ఆమ్లాలు వరుసగా : NH₃, N\(\mathrm{H}_4^{+}\), HCOOH లు.

ప్రశ్న 7.
ఒక మృదుపానీయం నమూనా ద్రావణంలో హైడ్రోజన్ అయాన్ గాఢత 3.8 × 10^-3 = 3m. దీని pH విలువ ఎంత?
జవాబు:
pH = – log (3.8 × 10^-3)
= {-log (3.8) + log (10-3)}
= -[(0.58) + (-3.0)] = -[−2.42] = 2.42
కాబట్టి మృదుపానీయం pH విలువ 2.42. దీనిని అనుసరించి ఇది ఆమ్లగుణం కలిగి ఉంది అని తెలుస్తుంది.

ప్రశ్న 8.
1.0 × 10^-8 M గాఢత గల HCl ద్రావణం pH విలువ లెక్కించండి.
జవాబు:
2H₂O (ద్ర) ⇌ H₃O⁺ (జల) + OH (జల)
K_w = [OH^–] [H₃O⁺] = 10^-14
నీటిలో x = [OH] = [H₃O⁺] అనుకొందాం.
H₃O⁺ అయాన్ల గాఢత

(i) ద్రావణం స్థితిలో ఉండే HCl అయనీకరణం ప్రక్రియ మీద అంటే
HCl (జల) + H₂O (ద్ర) ⇌ H₃O⁺ (జల) + CF^– (జల)

(ii) H₂O అయనీకరణం ప్రక్రియ మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. అతి విలీన ద్రావణాలలో H₃O⁺ కు సంబంధించిన రెండు ఉత్పత్తి స్థానాలను పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి.
[H₃O⁺] = 10^-8 + x
K_w = (10^-8 + x) (x) = 10^-14
లేక x² + 10^-8 x – 10^-14 = 0
(OH^–) = x = 9.5 × 10^-8
pOH = 7.02, pH = 6.98.

ప్రశ్న 9.
ఎసిటిక్ ఆమ్లం pK_a అమ్మోనియా హైడ్రాక్సైడు pK_b విలువ వరుసగా 4.76, 4.75. అమ్మోనియం ఎసిటేట్ జలద్రావణం pH కనుక్కోండి.
జవాబు:
pH = 7 + \(\frac{1}{2}\) = [pK_a – pK_b]
= 7 + \(\frac{1}{2}\)[4.76 – 4.75] = 7 + \(\frac{1}{2}\)[0.01] = 7 + 0.005 = 7.005.

ప్రశ్న 10.
శుద్ధ నీటిలో A₂pX₃ ద్రావణీయతను లెక్కించండి. దీనిలో ఏర్పడిన ఏ అయాన్ నీటితో చర్య జరపదు అని ఊహించండి. A₂X₃ ద్రావణీయతా లబ్ధం విలువ K = 1.1 × 10^-23.
జవాబు:
A₂X₃ ⇌ 2A³⁺ + 3X^2–
K_sp = [A³⁺]² [X^2–]³
S = A₂X₃ ద్రావణీయత అయితే
[A³⁺] = 2S [X^2-] = 3S.
K_sp = (2S)² (3S)³ = 108S⁵ = 1.1 × 10^-23
S⁵ = 1 × 10^-25
S = 1.0 × 10^-5 మోల్ L^-1.

ప్రశ్న 11.
2NOCl (వా) ⇌ 2NO (వా) Cl₂ (వా) K్య విలువ 1069K వద్ద 3.75 × 10^-6 లో అయిన ఈ ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఈ చర్యకు K_p విలువ లెక్కించండి.
జవాబు:
K_p = K_c (RT)^Δn
Δn = (2 + 1) – 2 = 1
K_p = 3.75 × 10^-6 (0.0831 × 1069) = 0.033