TS Inter 2nd Year

TS Intermediate 2nd Year Accountancy Study Material Textbook Solutions Telangana

TS Inter 2nd Year Accountancy Study Material in Telugu Medium

• Chapter 1 తరుగుదల
• Chapter 2 కన్సైన్మెంట్ ఖాతాలు
• Chapter 3 లాభాపేక్ష లేని సంస్థల ఖాతాలు
• Chapter 4 భాగస్వామ్య ఖాతాలు
• Chapter 5 భాగస్తుని ప్రవేశం
• Chapter 6 భాగస్తుని విరమణ మరియు మరణం
• Chapter 7 కంప్యూటరైజ్డ్ అకౌంటింగ్ విధానం

TS Inter 2nd Year Accountancy Study Material in English Medium

• Chapter 1 Depreciation
• Chapter 2 Consignment Accounts
• Chapter 3 Accounting for Not-for-Profit Organisation
• Chapter 4 Partnership Accounts
• Chapter 5 Admission of a Partner
• Chapter 6 Retirement and Death of a Partner
• Chapter 7 Computerised Accounting System

TS Inter 2nd Year Accountancy Syllabus

Telangana TS Intermediate 2nd Year Accountancy Syllabus

UNIT-I: Depreciation
Depreciation: Meaning-Significance-Causes of Depreciation-Methods of Depreciation- Problems on Fixed Instalment Method and Diminishing Balance Method-Illustrations and Exercises.

UNIT – II: Consignment Accounts
Consignment Accounts: Meaning and Significance of Consignments- Difference between Consignments and Sale – Terminology used in Consignment Accounts- Valuation of Unsold Stock- Loss of Stock- Problems including Proforma Invoice method-illustrations and Exercises.

UNIT – III: Accounts of Not-for-Profit Organisations
Accounts of Not-for-Profit Organisations: Meaning – Characteristics-Accounting Records- Difference between Capital and Revenue Expenditure- Difference between Capital and Revenue receipts – Deferred Revenue Expenditure Difference between Receipts and income Difference between Payments and Expenditure- Meaning and Accounting Treatment of Important terms – Preparation of Receipts & Payments Account- Preparation of Income & Expenditure Account – Preparation of Balance Sheet- Final Accounts with adjustments- Illustrations and Exercise.

UNIT – IV: Partnership Accounts
Partnership Accounts: Introduction- Partners Capital Accounts-Fixed and Fluctuating Capital- Final Accounts- Admission and Retirement of Partner- Illustrations and Exercises- Death of Partner.

UNIT – V: Computerized Accounting System
Computerized Accounting System: Meaning- Features – Advantages -Limitations- Comparison between Manual and computerized Accounting System- Types of Accounting Software (Theory only).

TS Inter 2nd Year Accountancy Syllabus in Telugu

యూనిట్ I తరుగుదల
తరుగుదల : అర్థం – ప్రాముఖ్యత – తరుగుదల కారణాలు – తరుగుదల ఏర్పరిచే పద్ధతులు – స్థిర వాయిదాల పద్ధతి, తగ్గుతున్న నిల్వల పద్ధతులపై అభ్యాసాలు – ఉదాహరణలు, అభ్యాసాలు.

యూనిట్ II కన్సైన్మెంట్ ఖాతాలు
కన్సైన్మెంట్ – అర్థం – ఆవశ్యకత – కన్సైన్మెంట్, అమ్మకాల మధ్య తేడాలు కన్సైన్మెంట్ ఖాతాలలో ఉపయోగించే పదజాలం, ముగింపు సరుకు విలువ లెక్కకట్టడం – సరుకు నష్టం – ప్రొఫార్మా ఇన్వాయిస్ పద్ధతిపై అభ్యాసాలు – ఉదాహరణలు, అభ్యాసాలు.

యూనిట్ III లాభాపేక్ష లేని సంస్థల ఖాతాలు
అర్థం – లక్షణాలు – అకౌంటింగ్ రికార్డులు – మూలధన మరియు రాబడి వ్యయాల మధ్య తేడాలు – మూలధన మరియు రాబడి వసూళ్ళ మధ్య తేడాలు – విలంబిత రాబడి వ్యయం – వసూళ్ళు మరియు ఆదాయాల మధ్య తేడాలు – చెల్లింపులు మరియు వ్యయాల మధ్య తేడాలు – ముఖ్యమైన పదాల అర్థాలు మరియు అకౌంటింగ్ విధానం – వసూళ్ళు చెల్లింపుల ఖాతాను తయారు చేయుట – ఆదాయ వ్యయాల ఖాతాను తయారుచేయుట – ఆస్తి అప్పుల పట్టీని తయారుచేయుట – సర్దుబాటుతో ముగింపు లెక్కలు – ఉదాహరణలు, అభ్యాసాలు.

యూనిట్ IV భాగస్వామ్య ఖాతాలు
పరిచయం – భాగస్తుల మూలధన ఖాతాలు – స్థిర మూలధన పద్ధతి మరియు అస్థిర మూలధన పద్ధతి – ముగింపు ఖాతాలు భాగస్తుని ప్రవేశం – భాగస్తుని విరమణ మరియు మరణం – ఉదాహరణలు, అభ్యాసాలు.

యూనిట్ V కంప్యూటరైజ్డ్ అకౌంటింగ్ విధానం
అర్థం – లక్షణాలు – ప్రయోజనాలు – పరిమితులు – మానవ ఆధారిత అకౌంటింగ్ మరియు కంప్యూటరైజ్డ్ అకౌంటింగ్ మధ్య పోలిక – అకౌంటింగ్ సాఫ్ట్వేర్ రకాలు (విషయ వివరణ మాత్రమే).

TS Inter 2nd Year Study Material

Students must practice this TS Intermediate Maths 2A Solutions Chapter 2 De Moivre’s Theorem Ex 2(b) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 De Moivre’s Theorem Exercise 2(b)

I.
Question 1.
Find all the values of
i) (1 – i√3)^1/3
ii) (- i)^1/6
iii) (1 + i)^2/3
iv) (- 16)^1/4
v) (- 32)^1/5
Solution:
z = 2^1/3 \(\left(\frac{1}{2}-\frac{i \sqrt{3}}{2}\right)^{1 / 3}\)
= 2^1/3 \(\left[\cos \frac{\pi}{3}-i \sin \frac{\pi}{3}\right]^{1 / 3}\)
= 2^1/3 \(\left(\cos \frac{\pi}{9}-i \sin \frac{\pi}{9}\right)\)
General solution be = 2^1/3 cis (6k – 1) \(\frac{\pi}{9}\), k = 0, 1, 2, ……………

ii) (- i)^1/6

iii) z = (1 + i)^2/3

iv) z = (- 16)^1/4
= (2) [(- 1)]^1/4
= (2) [cos 2nπ + π) + i sin (2nπ + π)]^1/4
= 2 [cis (2n + 1)π]^1/4
= 2 [cis (2n + 1) \(\frac{\pi}{5}\)]

v) z = (- 32)^1/5
z = 2 (- 1)^1/5
= 2 [cos (2n + 1)π + i sin (2n + 1)π]^1/5
= 2 [cis (2n+ 1) \(\frac{\pi}{5}\)].

Question 2.
If ABC arc angles of a triangle such that x = cis A, y = cis B, z = cis C then find the value of xyz.
Solution:
A + B + C = π
Now xyz = e^iA . e^iB . e^iC
= e^{i(A + B + C)}
= e^i(π)
cos π + i sin π
xyz = – 1 + 0

Question 3.
i) If x = cis θ then find the value of (x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\))
ii) Find cube roots of 8.
Solution:
i) x⁶ = e^iθ
\(\frac{1}{x^6}\) = e^{– 6iθ}
x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\) = e^iθ + e^{– 6θi}
= cos 6θ + i sin 6θ + cos 6θ – isin 6θ
= 2 cos 6θ.

ii) x = (8)^1/3
x³ – 8 = 0
(x – 2) (x² + 2x + 4)
x = 2, x = \(\frac{-2 \pm \sqrt{4-16}}{2}\)
x = \(\frac{-2 \pm 2 \sqrt{3} \mathbf{i}}{2}\)
x = – 1 ± √3i
Roots are 2, 2ω, 2ω².

Question 4.
If 1, ω, ω² are cube roots of unity, then prove that
i) \(\frac{1}{2+\omega}+\frac{1}{1+2 \omega}=\frac{1}{1+\omega}\)
ii) (2 – ω) (2 – ω²) (2 – ω¹⁰) (2 – ω¹¹) = 49
iii)(x + y + z) (x + yω + zω) (x + yω + zω) = x³ + y³ + z³ – 3xyz
Solution:
\(\frac{1}{2+\omega}+\frac{1}{1+2 \omega}=\frac{1}{1+\omega}\)

ii) (2 – ω) (2 – ω²) (2 – ω¹⁰) (2 – ω¹¹) = 49
L.H.S = (4 – 2(ω + ω²) + ω³) (4 – 2 (ω¹⁰ + ω¹¹) + ω²¹)
= (4 – 2 (- 1) + 1) (4 – 2 (ω + ω²) + (ω³)⁷)
= (7) (4 + 2 + 1) = 49.

iii) (x + y + z) (x + yω + zω) (x + yω + zω) = x³ + y³ + z³ – 3xyz
LH.S = (x + y + z) (x + yω + zω²) (x + yω² + zω)
= [x² + xyω + xzω + yx + y2ω + yzω2 + zx + zyω + z2ω] (x + yω + zω)
= [x + xy(1 + ω) + yz (ω + ω²) + zx (w² + 1) + z² (ω²) + y²ω] (x + yω² + zω)
= [x³ + x²y (1 + ω) + xyz(- 1) + zx²(1 + ω²) + z²xω² + xy²ω + yx²ω² + 2ω(- ω) – y²zω² – xyz + z²yω + y³ + x²zω – zxy – yz²ω – z²xω² + z³ + zy²ω²]
= x³ + y³ + z³ – 3xyz.

Question 5.
Prove that – ω and – ω² are roots of z² – z + 1 = 0 where ω and ω² are the complex cube roots of unity.
Solution:
z² – z + 1 = 0
z = \(\frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2}\)
z = \(\frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2}\)
z = \(\frac{-[-1 \mp \sqrt{3} i]}{2}\)
z = – ω, – ω²

Question 6.
If 1, ω, ω² are the cube roots of unity, then find the values of the following.:
i) (a + b)³ + (aω + bω²)³ + (aω² + bω)³
ii) (a + 2b)² + (aω² + 2bω)² + (aω + 2bω²)²
iii) (1 – ω + ω²)³
iv) (1 – ω) (1 – ω²) (1 – ω⁴) (1 – ω⁸)
v) \(\left(\frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2}\right)+\left(\frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2}\right)\)
vi) (1 + ω)³ + (1 + ω²)³
viij (1 – ω + ω²)⁵ + (1 + ω – ω²)⁵
Solution:
i)(a + b)³ + (aω + bω²)³ + (aω² + bω)³
= a³ + b³ + 3a²b + 3ab² + a³ω³ + b³ω⁶ + 3a²ω² . bω² + 3aω . b²ω⁴ + a³ω⁶ . b³ω³ + 3a²bω⁴ . ω + 3b²ω² . aω²
= a³ + b³ . 3a²b (1 + ω + ω) + a³ + b³ + 3b²a (ω² + ω + 1) + a³ . b³
= 3 (a³ + b³)

ii) (a + 2b)² + (aω² + 2bω)² + (aω + 2bω²)²
= a² + 4b² + a²ω⁴ + 4b²ω² + 4abω³ + a²ω² + 4b²ω⁴ + 4abω³
= a² (1 + ω + ω²) + 4b² (1 + ω² + ω) + 4ab (1 + ω + ω²)
= 12ab

iii) (1 – ω + ω²)³
Now, 1 + ω + ω² = 0
1 + ω² = – ω
= (- ω – ω)³
= (- 2)³ ω³
= – 8.

iv) (1 – ω) (1 – ω²) (1 – ω⁴) (1 – ω⁸)
= (1 – ω – ω² + ω³) (1 – ω) (1 – ω²)
= (1 – ω – ω² + ω³) (1 – ω – ω² + ω³)
= (1 + 1 + 1) (1 + 1 + 1)
=9

v) \(\left(\frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2}\right)+\left(\frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2}\right)\)
= \(\frac{\omega^2\left(a+b \omega+c \omega^2\right)}{\left(c \omega^2+a \omega^3+b \omega^4\right)}+\frac{\left(a \omega^2+b \omega^3+c \omega^4\right)}{\omega^2\left(b+c \omega+a \omega^2\right)}\)
= ω² + \(\frac{1}{\omega^2}\)
= ω² + \(\frac{\omega}{\omega^3}\)
= ω² + ω = – 1

vi) (1 + ω)³ + (1 + ω²)³
= (- ω²)³ + (- ω)³
= – 1 + (- 1) = – 2.

vii) (1 – ω + ω²)⁵ + (1 + ω – ω²)⁵
1 + ω² = – ω
= (- 2ω)⁵ + (- 2ω²)⁵
= (- 2)⁵ (ω² + ω)
= (- 2)⁵ (- 1) = 32.

II. Question 1.
Solve the following equations.
i) x⁴ – 1 = 0
ii) x⁵ + 1 = 0
iii) x⁹ – x⁵ + x⁴ – 1 = 0
iv) x⁴ + 1 = 0
Solution:
i) x⁴ – 1 = 0
(x² – 1) (x² + 1) = 0
(x – 1) (x + 1) (x – i) (x + i) = 0
x = 1, – 1, i, – i.

ii) x⁵ = – 1
x = (- 1)^1/5
x = [cos (2n + 1) π + i sin (2n + 1) π]^1/5 n = 0, 1, 2, 3, 4
= cos(2n + 1) \(\frac{\pi}{5}\) + i sin(2n + 1) \(\frac{\pi}{5}\)

iii) x⁹ – x⁵ + x⁴ – 1 = 0
x⁵ (x⁴ – 1) + (x⁴ – 1) = 0
(x⁴ – 1) (x⁵ + 1) = 0
(x – 1) (x + 1) (x – i) (x + 1) (x⁵ + 1) = 0
x = ± 1, ± i, cis (2n + 1) \(\frac{\pi}{5}\).

iv) x⁴ + 1 = 0
x = (- 1)^1/4
x = [cos (2n + 1)π + isin(2n + 1)π]^1/4
x = cos (2n + 1)\(\frac{\pi}{4}\) + i sin(2n + 1)\(\frac{\pi}{4}\)
n = 0, 1, 2, 3.

Question 2.
Find the common roots of x¹² – 1 = 0 and x⁴ + x² + 1 = 0.
Solution:
x¹² – 1 = 0
(x⁴)³ – 1 = o
(x⁴ – 1) [x⁸ – x⁴ + 1] = 0
(x – 1) (x + 1) (x – i) (x + i) (x⁸ + x⁴ + 1) = 0 (or)
x = (1)^1/12
x = [cos 2nπ + i sin2nπ]^1/12 n = 0, 1, 2, …………. 11 ……………(1)
x⁴ + x² + 1 = 0
(x² – 1) (x⁴ + x² + 1) = 0
x⁶ – 1 = 0
x = (1)^1/6
x = [cos 2nπ + i sin 2nπ]^1/6
= \(\cos \frac{2 n \pi}{6}+i \sin \frac{2 n \pi}{6}\), n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 …………..(2)
Common roots to (1) and (2)
cis \(\frac{\pi}{3}\), cis \(\frac{2 \pi}{3}\), cis \(\frac{4 \pi}{3}\), cis \(\frac{5 \pi}{3}\).

Question 3.
Find the number of 15th roots of unity, which are also 25th roots of unity.
Solution:

Question 4.
If the cube roots of unity are 1, ω, ω, then find the roots of the equation (x – 1)3 + 8 = 0.
Solution:
(x – 1)³ = – 8
(x – 1) = (- 8)^1/3
x – 1 = – 2
x – 1 = – 2ω
x – 1 = – 2ω²
∴ x = – 1
x = – 2ω + 1
x = – 2ω² + 1

Question 5.
Find the roduct of all values of (1 + i)\(\frac{4}{5}\).
Solution:

Question 6.
If z² + z + 1 = 0, where z is a complex number, prove that
\(\left(z+\frac{1}{z}\right)^2+\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)^2+\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)^2\) + \(\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^2+\left(z^5+\frac{1}{z^5}\right)^2+\left(z^6+\frac{1}{z^6}\right)^2\) = 12.
Solution:
z = ω satisfy
L.H.S = \(\left(z+\frac{1}{z}\right)^2+\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)^2+\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)^2\) + \(\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^2+\left(z^5+\frac{1}{z^5}\right)^2+\left(z^6+\frac{1}{z^6}\right)^2\)
= (- 1)² + (- 1)² + (2)² + (- 1)² + (- 1)² + (2)² = 12.

III.
Question 1.
1, α, α², α³, ……………. α^{n – 1} be the nth roots of unity then prove that 1^p + α^p + (α²)^p + (α³)^p + ………….. + (α^{n – 1})^p = {0 if p ≠ kn, n if p = kn. where p, k ∈ N.
Solution:
Now xⁿ – 1 = 0
x = (1)^1/n
x = [cos 2nπ + i sin 2nπ]^1/n
x = \(\cos \frac{2 m \pi}{n}+i \sin \frac{2 m \pi}{n}\)
α = \(\cos \frac{2 m \pi}{n}+i \sin \frac{2 m \pi}{n}\)
α^p = \(\cos \frac{2 m p \pi}{n}+i \sin \frac{2 m p \pi}{n}\)
Now p = kn
1 + 1 + 1 + …………. nterms = n
If p ≠ kn value then1^p + α^p + (α²)^p + (α³)^p + ………….. + (α^{n – 1})^p = 0.

Question 2.
Prove the sum of 99th powers of the roots of the equation x⁷ – 1 = 0 is zero and hence deduce the roots of x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³+ x² + x + 1 = 0.
Solution:
x⁷ – 1 = 0
x = (1)^1/7
x = (cos 2kπ + sin 2kπ)^1/7
k = 0, 1, 2, ………., 6
x₁ = 1, x₂ = \(e^{\frac{2 \pi}{7} i}\), x₂ = \(e^{\frac{4 \pi}{7} i}\), x₃ = \(e^{\frac{6 \pi}{7} i}\), ………….. x₆ = \(\frac{12 \pi}{7} \mathrm{i}\)
x₁⁹⁹ + x₂⁹⁹ + x₃⁹⁹ + …………..
1⁹⁹ + \(\mathrm{e}^{\frac{2 \pi}{7} \cdot 99 \mathrm{i}}+\mathrm{e}^{\frac{4 \pi}{7} \cdot 99 \mathrm{i}}+\ldots \ldots . \mathrm{e}^{\frac{12 \pi}{7} \cdot 99 \mathrm{i}}\) = 0
Roots of x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³+ x² + x + 1 = 0 be \(\cos \frac{2 k \pi}{7}+i \sin \frac{2 k \pi}{7}\); k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
∵ (x⁷) – 1 = (x – 1) (x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³+ x² + x + 1) = 0
x = 1 is one root
⇒ cis \(\frac{2 k \pi}{7}\); k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Question 3.
If n is a positive integer, show that (P + iQ)^1/n + (P – iQ)^1/n = 2 (P² + Q²)^1/2n cos(\(\frac{1}{n}\) tan^-1 \(\frac{Q}{P}\))
Solution:
P = r cos θ
Q = r sin θ
(P + iQ)^1/n = [r cos θ + i sin θ]^1/n
= r^1/n \(\left[\cos \frac{\theta}{n}+i \sin \frac{\theta}{n}\right]\)
(P – iQ)^1/n = [r cos θ – i sin θ]^1/n
= r^1/n \(\left[\cos \frac{\theta}{n}-i \sin \frac{\theta}{n}\right]\)
(P + iQ)^1/n + (P – iQ)^1/n = r^1/n [2 cos \(\frac{\theta}{n}\)]
= 2r^1/n cos \(\frac{\theta}{n}\)
Now P² + Q² = r²
r = (P² + Q²)^1/2
tan θ = \(\frac{Q}{P}\); θ = tan^-1 \(\frac{Q}{P}\)
= 2 (P² + Q²)^1/2n cos(\(\frac{1}{n}\) tan^-1 \(\frac{Q}{P}\)).

Question 4.
Show that one value of \(\left[\frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}\right]^{\frac{8}{3}}\) is – 1.
Solution:
\(\left[\frac{1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right)}{1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right)-i \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right)}\right]^{\frac{8}{3}}\)

= \(\left[\frac{2 \cos ^2 \frac{3 \pi}{16}+2 i \sin \frac{3 \pi}{16} \cos \frac{3 \pi}{16}}{2 \cos ^2 \frac{3 \pi}{16}-2 i \sin \frac{3 \pi}{16} \cos \frac{3 \pi}{16}}\right]^{\frac{8}{3}}\)

= \(\left[\frac{\cos \frac{3 \pi}{16}+i \sin \frac{3 \pi}{16}}{\cos \frac{3 \pi}{16}-i \sin \frac{3 \pi}{16}}\right]^{\frac{8}{3}}\)

= \(\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i} \pi}{2}}}{\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i} \pi}{2}}}\) = e^iπ = – 1.

Question 5.
Solve (x – 1)ⁿ = xⁿ, n is a positive integer.
Solution:

Students must practice this TS Intermediate Maths 2A Solutions Chapter 1 Complex Numbers Ex 1(c) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 1 Complex Numbers Exercise 1(c)

I.
Question 1.
Express the following complex numbers in modulus – amplitude form
i) 1 – i
ii) 1 + i√3
iii) – √3 + i
iv) – 1 – i√3
Solution:
i) (1 – i) = r cos θ + i r sin θ
r cos θ = 1, r sin θ = – 1
r² (cos² + sin²) = 2
r² = 2
r = ± √2
tan θ = – 1
θ = \(-\frac{\pi}{4}\)
√2 [cos (\(-\frac{\pi}{4}\) ) + i sin (\(-\frac{\pi}{4}\) )]

ii) 1 + i√3 = r cos θ + r i sin θ
r cos θ = 1 r sin θ = √3
r² (cos² θ + sin² θ) = 1 + 3
r² = 4
r = ± 2
tan θ = √3
θ = \(\frac{\pi}{3}\)
2 (cos \(\frac{\pi}{3}\) + i sin \(\frac{\pi}{3}\)).

iii) – √3 + i = r cos θ + r i sin θ
r cos θ = – √3
r sin θ = 1
r² (cos² θ + sin² θ) = 3 + 1
r = ± 2
tan θ = \(\frac{-1}{\sqrt{3}}\)
\(2\left(\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+i \sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right)\)
\(2\left(\cos \frac{5 \pi}{6}+i \sin \frac{5 \pi}{6}\right)\)

iv) – 1 – √3i = r cos θ + r i sin θ
r cos θ = – 1
r sin θ = – √3
r² (cos² θ + sin² θ) = 4
r = ± 2
tan θ = √3
θ = \(\frac{2 \pi}{3}\)
Hence 2 (cos \(\frac{2 \pi}{3}\) + i sin \(\frac{2 \pi}{3}\)).

Question 2.
Simplify – 2i (3 + i) (2 + 4i) (1 + i) and obtain the modulus of that complex number.
Solution:
z = – 2i (6 + 12i + 2i – 4) (1 + i)
= – 2i (2 + 14i) (1 + i)
= – 2i (2 + 2i + 14i – 14)
= – 2i (- 12 + 16i)
= 24i + 32 = 8 (4 + 3i)
| z |² = 64.25
| z | = 8 × 5 = 40.

Question 3.
i) If z ≠ 0 find Arg z + Arg \(\overline{\mathbf{Z}}\).
ii) If z₁ = – 1 and z₂ = – i then find Arg(z₁z₂)
iii) If z₁ = – 1 and z₂ = i then find Arg \(\left(\frac{z_1}{z_2}\right)\).
Solution:
i) z = x + iy;
\(\overline{\mathbf{Z}}\) = x – iy
Arg z = tan^-1 \(\frac{y}{x}\)
Arg \(\overline{\mathbf{Z}}\) = tan^-1 \(\frac{-y}{x}\)
Arg z + Arg \(\overline{\mathbf{Z}}\)
tan^-1 \(\frac{y}{x}\) – tan^-1 \(\frac{-y}{x}\)
0 when Arg z ≠ n
2n when Arg z = n

ii) z₁ = – 1 + 0i; z₂ = – i
Arg (z₁z₂) = Arg z₁ + Arg z₂
= tan^-1 \(\frac{0}{-1}\) + tan^-1 \(\frac{(-1)}{0}\)
= π – \(\frac{\pi}{2}\) = \(\frac{\pi}{2}\)

iii) z₁ = – 1; z₂ = i
Arg \(\left(\frac{z_1}{z_2}\right)\) = Arg z₁ + Arg z₂
tan^-1 \(\frac{0}{-1}\) – tan^-1 \(\frac{1}{0}\)
= π – \(\frac{\pi}{2}\) = \(\frac{\pi}{2}\).

Question 4.
i) (cos 2α + i sin 2α) (cos 2β + i sin 2β) = cos θ + i sin θ then find the value of θ.
ii) If √3 + i = r (cos θ + i sin θ) then find the value of θ in radian measure.
iu) If x + iy = cis α . cis β then find the value of x² + y².
iv) If \(\frac{z_2}{z_1}\); z₁ ≠ 0 is an imaginary number then find the value of \(\left|\frac{2 z_1+z_2}{2 z_1-z_2}\right|\).
v) If (√3 + i)¹⁰⁰ = 2⁹⁹ (a + ib) then show that a² + b² = 4.
Solution:
i) (cos 2α + i sin 2α) (cos 2β + i sin 2β) = cos θ + i sin θ
(cos 2α cos 2β – sin 2α sin 2β) + i(sin 2α cos 2β + sin 2β cos 2α) = cos θ + i sin θ
cos 2(α + β) + i sin 2(α + β) = cos θ + i sin θ
θ = 2 (α + β)

ii) √3 + i = r(cos θ + i sin θ)
r cos θ = √3
r sin θ = 1
r² (sin² θ + cos² θ) = 4
r = ± 2
tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
θ = \(\frac{\pi}{6}\)

iii) If x + iy = (cos α + i sin α) (cos β + i sin β)
(cos α cos β – sin α sin β) + i(cos α sin β . sinα cos β)
x + iy = cos(α + β) + i sin (α + β)
x = cos (α + β)
y = sin (α + β)
x² + y² = 1.

iv) \(\frac{z_2}{z_1}=k i\left|\frac{2+\frac{z_2}{z_1}}{2-\frac{z_2}{z_1}}\right|\)
\(\left|\frac{2+k i}{2-k i}\right|=\frac{\sqrt{4+k^2}}{\sqrt{4+k^2}}\) = 1

v) (√3 + i)¹⁰⁰ = 2⁹⁹ (a + ib)
|√3 + i|¹⁰⁰ = 2⁹⁹ |a + ib|
(√4)¹⁰⁰ = 2⁹⁹ \(\sqrt{a^2+b^2}\)
2¹⁰⁰ = 2⁹⁹ \(\sqrt{a^2+b^2}\)
4 = a²+ b²

Question 5.
i) If z = x + iy and |z| = 1, then find the locus of z.
ii) If Ihe amplitude of (z – 1) is \(\frac{\pi}{2}\) then find the locus of z.
iii) If the Arg \(\overline{\mathbf{z}}_1\) and Arg \(\overline{\mathbf{z}}_2\) are \(\frac{\pi}{5}\) and \(\frac{\pi}{3}\) respectively then find Arg z₁ + Arg z₂.
iv) If z = \(\frac{1+2 i}{1-(1-i)^2}\) then find Arg (z).
Solution:
i) z = x + iy
|z| = \(\sqrt{x^2+y^2}\)
1 = x² + y²
Locus is circle.

ii) z – 1 = (x – 1) + iy
\(\tan ^{-1} \frac{y}{x-1}=\frac{\pi}{2}\)
x – 1 = 0, y ≠ 0 also y > 0.

iii) Arg \(\overline{\mathrm{z}}_1\) = \(\frac{\pi}{5}\)
Arg z₂ = \(\frac{\pi}{3}\)
Arg \(\overline{\mathrm{z}}_1\) = – Arg z₁ = \(\frac{-\pi}{5}\)
Arg \(\overline{\mathrm{z}}_1\) + Arg z₂ = \(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{5}=\frac{2 \pi}{15}\).

iv) z = \(\frac{1+2 i}{1-(1-i)^2}\)
= \(\frac{1+2 i}{1-1+2 i-i^2}\)
= \(\frac{1+2 i}{2 i+1}\) = 1
Arg z = 0.

II.
Question 1.
Simplify the following complex nunibers and find their modulus.
i) \(\frac{(2+4 i)(-1+2 i)}{(-1-i)(3-i)}\)
ii) \(\frac{(1+i)^3}{(2+i)(1+2 i)}\)
Solution:
i) \(\frac{(2+4 i)(-1+2 i)}{(-1-i)(3-i)}\)

ii) z = \(\frac{(1+i)^3}{(2+i)(1+2 i)}\)

Question 2.
i) If(1 – i) (2 – i) (3 – i) …………. (1 – ni) = x – iy then prove that 2 . 5 . 10 ….. (1 + n²) = x² + y².
ii) If the real part of \(\frac{z+1}{z+i}\) is 1,then find the locus of z.
locus of z.
iii) If |z – 3 + i| = 4 determine the locus of z.
iv) If |z + ai| = |z – ai| then find the locus of z.
Solution:
i) (1 – i) (2 – i) (3 – i) ……….. (1 – ni) = x – iy
Taking modulus both sides
|(1 – i)| |(2 – i)| …………… |1 – ni| = |x – iy|
√2 . √5 ………….. \(\sqrt{1+n^2}=\sqrt{x^2+y^2}\)
2 . 5 . ………………… . (1 + n²) = x² + y²

ii) \(\frac{z+1}{z+i}\)

= k₁ + k₂i
Here k₁ = 1
x² + y² + x + y = x² + (y + 1)²
x² + y² + x + y – x² + y² + 2y + 1
x – y = 1

iii) |z – 3 + i| = 4
|(x – 3) + 1(y + 1)| = 4
(x – 3)² +(y + 1)² = 16
x² + y² – 6x + 2y + 10 = 16
x² + y² – 6x + 2y – 6 = 0

iv) If |z+ ai| = |z – ai|
|x + (y – a)i| = |x + (y – a)i|
x² + (y + a)² = x².(y – a)²
y = 0.

Question 3.
lf z = x + iy and if the point P in the Argand plane represents z, then describe geometrically the locus of P satisfyIng the equations
i) |2z – 3| = 7
ii) |z|² = 4 Re (z + 2)
iii) |z + i|² – |z – i|² = 2
iv) |z + 4i| + |z – 4| = 10
Solution:
i) |2z – 1| = 7
|2(x) – 3 + 2yi| = 7
\(\sqrt{(2 x-3)^2+4 y^2}\) = 7
4x² – 12x + 9 + 4y = 49
4x² + 4y² – 12x – 40 = 0
x² + y² – 3x – 10 = 0.
Centre (\(\frac{3}{2}\), 0) radius = \(\frac{7}{2}\).

ii) |z|² = 4 Re (z + 2)
x² + y² = 4 (x + 2)
x² + y² – 4x – 8 = 0
Circle centre (2, 0),
Radius = √12 = 2√3.

iii) |z + i|² – |z – i|² = 2
(x)² + (y + 1)² – x² – (y – 1)² = 2
4y = 2
2y = 1
⇒ 2y – 1 = 0.
Line parallel to x-axis.

iv) |z + 4i| + |z – 4i| = 10
|(x + (y + 4)i)| + |(x + (y – 4)i| = 10

\(\sqrt{x^2+(y+4)^2}+\sqrt{x^2+(y-4)^2}\) = 10
x² + (y + 4)² = (10 – \(\sqrt{x^2+(y-4)^2}\))²
x² + (y + 4)² = 1oo + x² + (y – 4)² – 20\(\sqrt{x^2+(y-4)^2}\)
Solving we get
25x² + 9y² = 225 is ellipse
centre (0,0),
eccentricity = e = \(\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\)
= \(\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
e = \(\frac{4}{5}\).

Question 4.
If z₁, z₂ are two non-zero complex numbers satisfying
i) |z₁ + z₂| = |z₁| + |z₂| then show that Arg z₁ – Arg z₂ = 0.
ii) If z = x + iy and the point P represents z in the Argand plane and \(\left|\frac{\mathbf{z}-\mathbf{a}}{\mathbf{z}+\mathbf{a}}\right|\) = 1. Re(a) ≠ 0 then find the locus of P.
Solution:
i) |z₁ + z₂| = |z₁| + |z₂|
Squaring both sides
|z₁ + z₂|² = (|z₁| + |z₂|)²
(z₁ + z₂) \(\left(\bar{z}_1+\bar{z}_2\right)\) = |z₁|² + |z₂|² + 2|z₁| |z₂|
z₁\(\bar{z}_1\) + z₂\(\bar{z}_2\) + z₁\(\bar{z}_2\) + z₂\(\bar{z}_1\) = |z₁| + |z₂| + 2|z₁| |z₂|
(x₁ + iy₁) (x₂ – iy₂) + (x₂ + iy₂) (x₁ – iy₁) = 2
2 (x₁x₂ + y₁y₂) + i (y₁x₂ – x₁y₂ + x₁y₂ – y₁x₂) = 2 \(\sqrt{\mathrm{x}_1^2+\mathrm{y}_1^2} \sqrt{\mathrm{x}_2^2+\mathrm{y}_2^2}\)
Squaring on both sides we get
(x₁x₂ + y₁y₂)² = (x₁² + y₁²) (x₂² + y₂²)
(x₁y₂ – y₁x₂)² = 0
\(\frac{\mathrm{y}_2}{\mathrm{x}_2}=\frac{\mathrm{y}_1}{\mathrm{x}_1}\)
∴ Arg z₁ – Arg z₂ = 0.

ii) |z – a| = |z + a|
Squaring on both sides (x – a)² + y² = (x + a)² + y²
4xa = 0
x = 0
Parallel to y – axis.

Students must practice these TS Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 8 Differential Equations to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 2nd Year Maths 2B Differential Equations Important Questions

Very Short Answer Type Questions

Question 1.
Find the order and degree of \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^{1 / 2}}{y^{1 / 2}\left(1+x^{1 / 2}\right)}\)
Solution:
Order is 1 and Degree is ‘1’
Since there is first order derivative with highest degree is ‘1’.

Question 2.
Find the degree and order of the differential equation \(\frac{d^2 y}{d x^2}=\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^{5 / 3}\)
Solution:
The equation can be written as \(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3=\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^5\)
The order is 2 and degree is ‘3’

Question 3.
Find the order and degree of the equation
\(1+\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2=\left[2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^{3 / 2}\)
Solution:
The equation can be expressible as
\(\left[1+\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right]^2=\left[2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^3\)
Order is 2 and degree is 4.

Question 4.
Find the order and degree of \(\frac{d^2 y}{d x^2}+2 \frac{d y}{d x}+y=\log \left(\frac{d y}{d x}\right)\)
Solution:
Order is 2and degree is not defined since the equation cannot be expressed as a polynomial equation In the derivatives.

Question 5.
Find the order and degree of \(\left[\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{1}{3}}\right]^{\frac{1}{4}}=0\)
Solution:

Question 6.
Find the order and degree of = \(\frac{d^2 y}{d x^2}=-p^2 y\)
Solution:
Equation is a polynomial equation in \(\frac{d^2 y}{d x^2}\)
So degree is ‘1′ and order is ‘2’.

Question 7.
Find the order and degree of \(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2-3\left(\frac{d y}{d x}\right)^2-e^x=4\)
\(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2-3\left(\frac{d y}{d x}\right)^2-e^x=4\)
Solution:
The equation is a polynomial equation in and \(\frac{d y}{d x}\) \(\frac{\mathrm{d}^3 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^3}\)
∴ Order is 3 and degree is 2.

Question 8.
Find the order and degree of \(x^{\frac{1}{2}}\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{1}{3}}+x \frac{d y}{d x}+y=0\)
Solution:

Question 9.
Find the order and degree of \(\left[\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right]^{\frac{6}{5}}=6 y\)
Solution:
The given equation can be written as
\(\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3=(6 y)^{5 / 6}\)
order is ‘2’ and degree is ‘1’.

Question 10.
Find the order of the differential equation corresponding to y = Ae^x + Be^3x + Ce^5x (A, B, C are parameters) is a solution.
Solution:
Since there are 3 constants in
y = Ae^x + Be^3x + Ce^5x we can have a differential equation of third order by eliminating A,B,C.
∴ Order of the differential equation is ‘3’.

Question 11.
Form the differential equation to y = cx – 2c² where c is a parameter.
Solution:
Given y = cx-2c² ………….. (1)
we have y₁=c ……………….. (2)
∴From(1)
y=xy₁ – 2y²₁ ………………….. (3)
∴ This is a differential equation corresponding to (1).

Question 12.
Form the differential equation corresponding to y = A cos 3x+ B sin 3x where A and B are parameters.
Solution:

Question 13.
Express the following differential equations in the form f(x) dx + g(y) dy = 0
(i) \( \frac{d y}{d x}=\frac{1+y^2}{1+x^2}\)
Solution:
\(\frac{d x}{1+x^2}-\frac{d y}{1+y^2}=0\)

(ii) \(y-x \frac{d y}{d x}=a\left(y^2+\frac{d y}{d x}\right)\)
Solution:

(iii) \(\frac{d y}{d x}=e^{x-y}+x^2 e^{-y}\)
Solution:

(iv) \(\frac{d y}{d x}+x^2=x^2 e^{3 y}\)
Solution:

Question 14.
Find the general solution of x + y \(\frac{dy}{dx}\) = 0.
Solution:
The given equation can be written as
x dx + y dy = 0
∴ ∫ xdx+∫ ydy = c
⇒ x² + y² = 2c

Question 15.
Find the general solution of \(\frac{d y}{d x}=e^{x+y}\)
Solution:
The given equation can be written as \(\frac{d y}{d x}=e^x \cdot e^y\)
writing in variable separable form e^x dx = e^-y dy = 0
∴ e^x + e^-y = c is the required solution.

Question 16.
Find the degree of the following homogeneous functions.

(i) f(x, y) = 4x²y + 2xy²
Solution:
Given f(x, y) = 4x²y+2xy²
we have f(kx, ky) = 4k²x²ky + 2kxk²y²
⇒ 4k³x²y + 2k³xy²
⇒ k³(4x²y + y²)
⇒ k³ f(x, y) ∀ k
and f(x, y), x³ Φ \(\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}\right)\) and hence f(x, y) is a homogeneous function of degree ‘3’.

(ii) g(x,y)=xy^1/2+yx^1/2
Solution:
Given g(x, y) =xy^1/2+ yx^1/2
g(kx, ky) = kx(ky)^1/2 + (ky)(kx)^1/2
⇒ k^3/2 (xyk^1/2 + yx^1/2)
⇒ k^3/2 g(x, y)
∴ g(x, y) is a homogeneous function of degree ‘3’.

(iii) \(h(x, y)=\frac{x^2+y^2}{x^3+y^3}\)
Solution:

∴ h(x, y) is a homogeneous function of degree – 1.

(iv) Show that f(xy) = I +e^x/y is a homogeneous function of x and y.
Solution:

(v) f(x,y) = x \(\sqrt{\mathbf{x}^2+y^2}-y^2\) is a homogeneous function of x and y.
Solution:

∴f(x, y) is a homogeneous function of degree ‘1’.

(vi) f(x,y) = x – y log y + y log x
Solution:
Givenf(x, y) =x-ylogy+ylogx
∴ f(kx, ky) – kx – ky log (ky) + ky log(kx)
= k[x-y log(ky) + ylog(kx)]
= k[x- y(logk+logy) +y(logk+logx)]
= k[x – y log y + y log x]
= k f(x, y)
∴ f(x, y) is a homogeneous function of degree ‘F.

Question 17.
Express (1+e^x/y) dx + e^x/y \(\left(1-\frac{x}{y}\right)\) dy = 0 in the form \(\frac{\mathbf{d x}}{\mathbf{d y}}=F\left(\frac{x}{y}\right)\)
Solution:

Question 18.
Express \(\left(x \sqrt{x^2+y^2}-y^2\right)\) dx+xy dx = 0 in the form \(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}=F\left(\frac{x}{y}\right)\)
Solution:

Question 19.
Express \(\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x+y e^{-\frac{2 x}{y}}}\) in the form \(\frac{d x}{d y}=F\left(\frac{x}{y}\right)\)
Solution:

Question 20.
Transform x logx \(\frac{d y}{d x}\) y into linear form.
Solution:
Dividing both sides by x log x we get

Question 21.
Transform \(\left(x+2 y^3\right) \frac{d y}{d x}=y\) into linear form
Solution:

Question 22.
Find I.F. of the following differential equations by converting them into linear form.

(i) cosx\(\frac{d y}{d x}\)+y sinx=tanx
Solution:

(ii) (2y -10y³) \(\frac{d y}{d x}\) + y = 0
Solution:

Short Answer Type Questions

Question 1.
Find the order of the differential equation corresponding to y = c( x- c)² where c is an arbitrary constant
Solution:
Given y = c(x – e)²; eliminate ‘c’ and form the differential equation.

Question 2.
Form the differential equation corresponding to the family of circles of radius ‘r’ given by (x-a)²+(y-b)²=r² where a and b are parameters.
Solution:

Question 3.
Form the differential equation corresponding to the family of circles passing through the origin and having centres on Y- axis.
Solution:
The equation of family of circles passing through the origin and having centres on Y-axis is
x²+y²-2fy=0 ……………….. (1)
Differentiating w.r.t x, we get

Question 4.
Solve \(y^2-x \frac{d y}{d x}=a\left(y+\frac{d y}{d x}\right)\)
Solution:

Question 5.
Solve \(\frac{d y}{d x}=\frac{y^2+2 y}{x-1}\)
Solution:
The equation can be written as

Question 6.
Solve \(\frac{d y}{d x}=\frac{x(2 \log x+1)}{\sin y+y \cos y}\)
Solution:

Question 7.
Find the equation of the curve whose slope at any point (x, y) is \(\frac{y}{x^2}\) and which satisfy the condition y = 1 when x =3.
Solution:
We have the slope at any point x, y) on the

Question 8.
Solve y (1+x)dx+x(1+y) dy = 0
Solution:
The given equation can be expressed as

logx+x+logy+y=c
x + y + log (xy) = c which is the required solution.

Question 9.
Solve \(\frac{d y}{d x}\) = sin(x + y) +cos(x + y)
Solution:

Question 10.
Solve that (x – y)²  \(\frac{d y}{d x}=a^2\)
Solution:

Question 11.
Solve \(\frac{d y}{d x}=\frac{x-2 y+1}{2 x-4 y}\)
Solution:

Question 12.
Solve \(\frac{d y}{d x}=\sqrt{y-x}\)
Solution:

Question 13.
Solve \(\frac{d y}{d x}\) +1 = e^x+y
Solution:

Question 14.
Solve \(\frac{d y}{d x}\) = (3x + y + 4)²
Solution:

Question 15.
Solve \(\frac{d y}{d x}\) – x tan(y-x)= 1
Solution:

Question 16.
Solve \(\frac{d y}{d x}=\frac{y^2-2 x y}{x^2-x y}\)
Solution:
The given equation ¡s a homogeneous equation of degree ‘2’.


which is athe general solution of the given equation.

Question 17.
Solve(x²+y²)dx=Zxydy
Solution:
The given equation can be written as

Question 18.
Solve xy²dy – (x³+y)dx=0
Solution:
The given equation can be written as \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^3+y^3}{x y^2}\) which is a homogeneous equation.

which is the general solution of the given equation.

Question 19.
Solve \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^2+y^2}{2 x^2}\)
Solution:
The given equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^2+y^2}{2 x^2}\) homogeneous equation.

which is the general solution of the given equation.

Question 20.
Give the solution of x sin² \(\left(\frac{y}{x}\right)\) dx = y dx – x dy which passes through the point \(\left(1, \frac{\pi}{4}\right)\)
Solution:

is the required particular solution of the given equation.

Question 21.
Solve(x³-3xy²)dx+(3x²y-y³)dy=0
Solution:
The given equation can be written as

Question 22.
Solve the equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{3 x-y+7}{x-7 y-3}\)
Solution:
Here a=3, b =-1,c = 7
a’=1, b’=-7,c’ = -3
and b =- a’. Hence that solution can be obtained by grouping.
∴ From the given equation
3xdx – ydx+7dx = xdy-7ydy – 3dy
= (xdy+ydx) – 7ydy – 7dx – 3xdx – 3dy = 0
= ∫d(xy) -∫7ydy – 7∫dx – 3∫xdx – 3∫dy = 0
= xy – 7\(\frac{y^2}{2}\) – 7x -3 \(\frac{x^2}{2}\) -3y =c
⇒ 2xy – 7y²-14x-3x²– 6y=2c
⇒ 2xy – 7y² – 14x-3x² – 6y= c’ where C – 2c
Is the required solution.

Question 23.
Solve (1+x²) \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathbf{d x}}\) +2xy = 4x²
Solution:

Question 24.
Solve sin ² x \(\frac{d y}{d x}\) +y = cot x
Solution:

Question 25.
Find the solution of the equation x(x – 2) \(\frac{d y}{d x}\) (x – 1)y=x³(x-2) which sotisfies the condition that y=9 where x=3.
Solution:
The equation can be written as

Question 26.
Solve (1+y²)dx = (tan^-1 y-x)dy
Solution:
The given equation can be written as

Long Answer Type Questions

Question 1.
Solve \(\sqrt{1+x^2} \sqrt{1+y^2}\)dx + xy dy =0.
Solution:
The given equation can he written as


Is the solution of the given differential equation.

Question 2.
Solve x sec \(\left(\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{x}}\right)\) (y dx+xdy)=y cosec \(\left(\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{x}}\right)\)
Solution:
The given equation can be written as




which is the general solution of the given equation.

Question 3.
Solve (2x+y+3)dx=(2y+x+1)dy
Solution:

 

TS Intermediate 2nd Year Political Science Notes

• Chapter 1 Indian Constitution-Historical Background Notes
• Chapter 2 Fundamental Rights and Directive Principles of State Policy Notes
• Chapter 3 Union Government Notes
• Chapter 4 State Government Notes
• Chapter 5 Centre-State Relations Notes
• Chapter 6 Local Government Notes
• Chapter 7 Election System in India Notes
• Chapter 8 Contemporary Issues in Indian Politics Notes
• Chapter 9 Emergence of Telangana State Notes
• Chapter 10 Smart Governance Notes
• Chapter 11 India and the World Notes

TS Intermediate 2nd Year Commerce Study Material Textbook Solutions Telangana

TS Inter 2nd Year Commerce Study Material in Telugu Medium

• Chapter 1 విత్త మార్కెట్లు
• Chapter 2 స్టాక్ ఎక్స్ఛేంజ్
• Chapter 3 బ్యాంకింగ్ సేవలు
• Chapter 4 బీమా సేవలు
• Chapter 5 ఎంట్రప్రిన్యూర్షిప్
• Chapter 6 వ్యాపారాన్ని నెలకొల్పడం
• Chapter 7 అంతర్గత వర్తకం
• Chapter 8 అంతర్జాతీయ వర్తకం
• Chapter 9 నిర్వహణ సూత్రాలు
• Chapter 10 నిర్వహణ విధులు

TS Inter 2nd Year Commerce Study Material in English Medium

• Chapter 1 Financial Markets
• Chapter 2 Stock Exchange
• Chapter 3 Banking Services
• Chapter 4 Insurance Services
• Chapter 5 Entrepreneurship
• Chapter 6 Setting up a Business
• Chapter 7 Internal Trade
• Chapter 8 International Trade
• Chapter 9 Principles of Management
• Chapter 10 Functions of Management

TS Inter 2nd Year Commerce Syllabus

Telangana TS Intermediate 2nd Year Commerce Syllabus

Unit I Financial Markets and Stock Exchange (15 Periods)
Meaning and Concept: Classification of Financial Markets; (Monday Markets, Bond Markets, Debt Market, Equity Market, Forex Market, Derivatives and Structured Products);
Primary Market and Secondary Market: Public Issue (IPO) and its linkage to Trading; Money Market Instruments; Debt Market Instruments, Equity Market instruments, Convertibles.
Mutual Funds: Concept, Objectives, Types Stock Exchange – Meaning, Significance, Listing of Securities; Functions of Stock Exchange; Concept of BSE and NSE, SEBI; Stock Broker – Meaning, Role, Need for services of Stock Broker.

Unit II Business Services: Banking and Other Services Banking Services (25 Periods)
Meaning and Definition of Banks, Functions of Banks, Classification of Banks, E-Banking, ATM, Anywhere Banking, Internet Banking, Types of Deposits – Current, SD, FD, RD Types of Loans – CC, OD, Term loans, Retail loans (Home loan, Car loan, Educational loan, Personal loan, Credit card): Types of Payment – Cheque, NEFT, RTGS, IMPS, Payment Wallets; Insurance: Meaning, Definition, Features, Principles, Functions, Types of Insurance; IRDA.

Unit III Entrepreneurship (15 Periods)
Meaning of Entrepreneur, Enterprise and Entrepreneurship, Functions of an Entrepreneur, Types of Entrepreneurs, Characteristics of Entrepreneurs, Process of setting up a business, Entrepreneurial Opportunities in Telangana State, Startups: Concept, Pre-requisites, Registration, Funding (Case studies of 5 successful Indian Entrepreneurs).

Unit IV Internal and International Trade (15 Periods)
Meaning of Trade, Types of Trade, Features of Internal Trade; The distribution chain, Producers, Wholesalers, Retailers, Consumers; Types of Retail Trade, Special Economic Zones, International Trade – Meaning, Importance, Scope, Benefits of International Trade; Procedures and formalities of Export and Import Trade; Export Processing Zones.

Unit V Principles and Functions of Management (15 Periods)
Meaning and Definitions of Management, Objectives of Management, Nature and Levels of Management, Management Vs Administration, Principles of Management, Functions of Management; Planning: Meaning, Importance, Features; Organising: Meaning, Steps, importance; Staffing: Meaning, Importance, Process; Direction: Meaning, Importance, Principles; Controlling: Meaning, Importance, Limitations, POSDCORB.

TS Inter 2nd Year Commerce Syllabus in Telugu

యూనిట్ I విత్త మార్కెట్లు, స్టాక్ ఎక్స్ఛేంజ్
విత్త మార్కెట్లు పదం, దాని అర్ధం – విత్త మార్కెట్ల వర్గీకరణ (ద్రవ్య మార్కెట్, బాండ్ మార్కెట్, రుణ మార్కెట్, ఈక్విటీ మార్కెట్, ఫారెక్స్ మార్కెట్, డెరివేటివ్స్, నిర్మితీయ వస్తువులు).
ప్రాథమిక మార్కెట్, ద్వితీయ మార్కెట్: ఆరంభ పబ్లిక్ ప్రతిపాదన జారీ (IPO) – వర్తకంతో దాని అనుసంధానం, ద్రవ్య మార్కెట్ పత్రాలు, రుణ మార్కెట్ పత్రాలు, ఈక్విటీ మార్కెట్ పత్రాలు, మార్చుకోదగిన పత్రాలు.
స్టాక్ ఎక్స్ఛేంజ్ల ప్రాముఖ్యం : అర్థం, ప్రాముఖ్యత, సెక్యూరిటీలను జాబితాలో చేర్చడం, విధులు BSE, NSE పద భావనలు, SEBI, స్టాక్ బ్రోకర్ : అర్థం; నిర్వహించే పాత్ర, స్టాక్ బ్రోకర్ సేవల ఆవశ్యకత.

యూనిట్ II వ్యాపార సేవలు, బ్యాంకింగ్, ఇతర సేవలు
బ్యాంకుల అర్థం, నిర్వచనాలు – బ్యాంకుల విధులు – బ్యాంకుల వర్గీకరణ, E – బ్యాంకింగ్, ATM ఎక్కడి నుంచి అయినా బ్యాంకింగ్ – ఇంటర్నెట్ బ్యాంకింగ్ – డిపాజిట్ల రకాలు కరెంట్ డిపాజిట్లు, సేవింగ్స్ డిపాజిట్లు, ఫిక్సెడ్, డిపాజిట్లు, రికరింగ్ డిపాజిట్లు రుణాలు రకాలు : క్యాష్ క్రెడిట్, ఓవర్ డ్రాఫ్టు, టర్మ్ రుణాలు, రిటైల్ రుణాలు (గృహ రుణం, కార్ రుణం, విద్యా రుణం, వ్యక్తిగత రుణం, క్రెడిట్ కార్డు) చెల్లింపు రకాలు : చెక్కు NEFT, RTGS, IMPS చెల్లింపు వాలెట్స్.
బీమా : అర్ధం, నిర్వచనాలు – లక్షణాలు – సూత్రాలు – విధులు – బీమా రకాలు – IRDA.

యూనిట్ III ఔత్సాహికత
ఔత్సాహికుడు అర్థం – సంస్థ, ఔత్సాహికత – ఎంట్రప్రిన్యూర్ విధులు, ఎంట్రప్రిన్యూర్ రకాలు ఎంట్రప్రిన్యూర్ లక్షణాలు వ్యాపారాన్ని నెలకొల్పే ప్రక్రియ – తెలంగాణా రాష్ట్రంలో ఔత్సాహికులకు అవకాశాలు – అంకుర సంస్థలు : పదం, దాని అర్థం – ఆవశ్యకాలు – నమోదు ఫండింగ్ (విజయవంతమైన ఐదుగురు భారతీయ ఔత్సాహికవేత్తలు).

యూనిట్ IV అంతర్గత, అంతర్జాతీయ వర్తకం
వర్తకం అర్థం – వర్తకంలో రకాలు అంతర్గత వర్తకం లక్షణాలు – పంపిణీ మార్గం: ఉత్పత్తిదారులు, టోకు వర్తకులు, చిల్లర వర్తకులు, వినియోగదారులు – చిల్లర వర్తకం రకాలు – ప్రత్యేక ఆర్థిక మండలాలు.
అంతర్జాతీయ వర్తకం : అర్థం, ప్రాముఖ్యత, పరిధి, ప్రయోజనాలు, ఎగుమతి, దిగుమతి వర్తకాల విధాన క్రమం, లాంఛనాలు, – ఎగుమతి వర్తక ప్రక్రియల మండలాలు.

యూనిట్ V నిర్వహణ సూత్రాలు, విధులు
నిర్వహణ – దాని అర్థం, నిర్వచనాలు – నిర్వహణ లక్షణాలు – నిర్వహణ ధ్యేయాలు, నిర్వహణ స్వభావం, స్థాయిలు – నిర్వహణ మరియు పరిపాలన – నిర్వహణ సూత్రాలు.
నిర్వహణ విధులు : ప్రణాళికీకరణ : అర్థం, ప్రాముఖ్యత, లక్షణాలు, వ్యవస్థీకరణ : అర్థం, దశలు, ప్రాముఖ్యత.
సిబ్బందీకరణ : అర్థం, ప్రాముఖ్యత, ప్రక్రియ, నిర్దేశకత్వ: అర్థం, ప్రాముఖ్యత, సూత్రాలు, నియంత్రణ : అర్థం, ప్రాముఖ్యత, పరిమితులు, POSDCORB.

TS Inter 2nd Year Study Material

TS Intermediate 2nd Year Political Science Study Material Textbook Solutions Telangana

TS Inter 2nd Year Political Science Study Material in Telugu Medium

• Chapter 1 భారత రాజ్యాంగం – చారిత్రక నేపథ్యం
• Chapter 2 ప్రాథమిక హక్కులు – ఆదేశక సూత్రాలు
• Chapter 3 కేంద్ర ప్రభుత్వం
• Chapter 4 రాష్ట్ర ప్రభుత్వం
• Chapter 5 కేంద్ర రాష్ట్ర సంబంధాలు
• Chapter 6 స్థానిక ప్రభుత్వాలు
• Chapter 7 భారతదేశంలో ఎన్నికల వ్యవస్థ
• Chapter 8 భారత రాజకీయాల్లో సమకాలీన అంశాలు
• Chapter 9 తెలంగాణ రాష్ట్ర అవతరణ
• Chapter 10 స్మార్ట్ గవర్నెన్స్
• Chapter 11 భారతదేశం – ప్రపంచదేశాలు

TS Inter 2nd Year Political Science Study Material in English Medium

• Chapter 1 Indian Constitution-Historical Background
• Chapter 2 Fundamental Rights and Directive Principles of State Policy
• Chapter 3 Union Government
• Chapter 4 State Government
• Chapter 5 Centre-State Relations
• Chapter 6 Local Government
• Chapter 7 Election System in India
• Chapter 8 Contemporary Issues in Indian Politics
• Chapter 9 Emergence of Telangana State
• Chapter 10 Smart Governance
• Chapter 11 India and the World

TS Inter 2nd Year Political Science Syllabus

Telangana TS Intermediate 2nd Year Political Science Syllabus

Unit 1 Indian Constitution – Historical Background
Indian National Movement – Different Phases of National Movement, The Government of India Acts – 1909, 1919, 1935 & 1947, Constituent Assembly and Framing of Indian Constitution, Philosophy and Basic Features of Indian Constitution.

Unit 2 Fundamental Rights and Directive Principles of State Policy
Fundamental Rights, Directive Principles of State Policy, Fundamental Duties.

Unit 3 Union Government
The President of India, The Vice President of India, The Prime Minister of India, the Union Council of Ministers, the Parliament of India, the Supreme Court of India.

Unit 4 State Government
The Governor, The Chief Minister, the Council of Ministers in the State, the Legislative Assembly, the Legislative Council, the High Court.

Unit 5 Center-State Relations
Legislative Relations, Administrative Relations, Financial Relations, Union-State Conflicts: Sarkaria Commission, Punchi Commission, Central Finance Commission, Inter-State Council, NITI Aayog.

Unit 6 Local Government
Rural Development and Panchayat Raj Institutions, Gross root Democracy: 7304 Amendment, Grass root Political Panchayat Raj Institutions, 74th Amendment: Urban Local Self Governments, Panchayat and Urban Local Bodies in Telangana.

Unit 7 Election System in India
Central Election Commission, Powers, and Functions of Election Commission, Electoral Reforms in India, Political Parties in India: National Parties, Regional Parties.

Unit 8 Contemporary Issue in Indian Politics
Dynamic Nature of Indian Politics, Regionalism, Coalition Politics, Corruptions, Anty Corruptions Acts, Terrorism, Anty Terrorism Acts.

Unit 9 Emergence of Telangana State
Formation of Hyderabad State in 1948, Political Developments: (1948 to 1956), Gentlemen’s Agreement; Emergence of Andhra Pradesh, Violation of Safeguards, Telangana Agitation 1969 – Telangana Praja Samithi (TPS), Reaction to Mulki Judgement, Telangana Movement: 2001 to 2014, Role of JAC’s in Telangana Movement – Process of A.P. Reorganisation Act, 2014.

Unit 10 Smart Governance
SMART Governance, Good Governance, E-Governance, Right to Information Act-2005, Transparency and Accountability, Lokpal Lokayukta.

Unit 11 India and the World
Determinants of Foreign Policy, Basic Features of India’s Foreign Policy, India and Non-Aligned Movement, India and BRICS, India and BIMSTEC, SAARC, United Nations Organization (UNO).

TS Inter 2nd Year Political Science Syllabus in Telugu

అధ్యాయం 1 భారత రాజ్యాంగం – చారిత్రక నేపథ్యం
భారత జాతీయోద్యమం – వివిధ దశలు, భారత ప్రభుత్వ చట్టాలు – 1909, 1919, 1935, & 1947, రాజ్యాంగ పరిషత్తు : భారత రాజ్యాంగ రూపకల్పన, భారత రాజ్యాంగ తాత్త్విక పునాదులు : మౌలక లక్షణాలు.

అధ్యాయం 2 ప్రాథమిక హక్కులు – ఆదేశక సూత్రాలు
ప్రాథమిక హక్కులు, ఆదేశక సూత్రాలు, ప్రాథమిక విధులు.

అధ్యాయం 3 కేంద్ర ప్రభుత్వం
భారత రాష్ట్రపతి, భారత ఉపరాష్ట్రపతి, భారత ప్రధానమంత్రి, కేంద్రమంత్రి వర్గం, భారత పార్లమెంటు, భారత సుప్రీంకోర్టు.

అధ్యాయం 4 రాష్ట్ర ప్రభుత్వం
గవర్నర్, ముఖ్యమంత్రి, రాష్ట్ర మంత్రివర్గం, శాసనసభ, శాసన మండలి, హైకోర్టు.

అధ్యాయం 5 కేంద్ర రాష్ట్ర సంబంధాలు
శాసన సంబంధాలు, పరిపాలన సంబంధాలు, ఆర్థిక సంబంధాలు, కేంద్ర రాష్ట్ర సంబంధాల్లో సంఘర్షణలు : సర్కారియా కమిషన్, ఎం, ఎం, పూంఛీ కమిషన్, కేంద్ర ఆర్థిక సంఘం, అంతర్రాష్ట్ర మండలి, నీతి ఆయోగ్.

అధ్యాయం 6 స్థానిక ప్రభుత్వాలు
గ్రామీణాభివృద్ధి – పంచాయతీరాజ్ సంస్థలు, అట్టడుగు స్థాయి ప్రజాస్వామ్యం: 73వ రాజ్యాంగ సవరణ : గ్రామీణ స్థాయి రాజకీయ సంస్థలు (పంచాయతీరాజ్ సంస్థలు), 74వ రాజ్యాంగ సవరణ : పట్టణ ప్రాంత స్థానిక స్వపరిపాలన సంస్థలు, తెలంగాణలో గ్రామీణ (పంచాయతీ), పట్టణ స్వపరిపాలన సంస్థలు.

అధ్యాయం 7 భారతదేశంలో ఎన్నికల వ్యవస్థ
కేంద్ర ఎన్నికల సంఘం, ఎన్నికల సంఘం అధికారాలు, విధులు, భారతదేశంలో ఎన్నికల సంస్కరణలు, భారతదేశంలో రాజకీయ పార్టీలు, ఫిరాయింపు నిరోధక చట్టం.

అధ్యాయం 8 భారత రాజకీయాల్లో సమకాలీన అంశాలు
భారత రాజకీయాల గతిశీల స్వభావం, ప్రాంతీయ వాదం, సంకీర్ణ రాజకీయాలు, అవినీతి, అవినీతి నిరోధక చట్టాలు, ఉగ్రవాదం, ఉగ్రవాద నిరోధక చట్టాలు.

అధ్యాయం 9 తెలంగాణ రాష్ట్ర అవతరణ
1948 తెలంగాణ రాష్ట్రం ఏర్పాటు, 1948 – 1956 మధ్య జరిగిన రాజకీయ పరిణామాలు, పెద్ద మనుషుల ఒప్పందం, ఆంధ్రప్రదేశ్ రాష్ట్ర ఏర్పాటు, తెలంగాణ పరిరక్షణలు, ప్రత్యేక హక్కులు ఉల్లంఘనలు, 1969 తెలంగాణ ఉద్యమం – 1969 : తెలంగాణ ప్రజా సమితి, ముల్కీ తీర్పు ప్రకంపనలు, తెలంగాణ ఉద్యమం (2001 – 2014), తెలంగాణ ఉద్యమంలో సంయుక్త కార్యాచరణ కమిటీ (జెఏసీ)ల పాత్ర, ఆంధ్రప్రదేశ్ పునర్విభజన చట్టం – 2014, తెలంగాణ రాష్ట్ర ఆవిర్భావం.

అధ్యాయం 10 స్మార్ట్ గవర్నెన్స్
స్మార్ట్ గవర్నెర్స్, సుపరిపాలన, ఎలక్ట్రానిక్ పాలన, సమాచార హక్కు చట్టం 2005, పారదర్శకత, జవాబుదారీతనం, లోక్పాల్, లోకాయుక్త.

అధ్యాయం 11 భారతదేశం – ప్రపంచదేశాలు
విదేశాంగ విధాన నిర్ణాయకాలు, భారత విదేశాంగ విధానం మౌలిక లక్షణాలు, భారతదేశం – అలీనోద్యమం, భారతదేశం – బ్రిక్స్, భారతదేశం – బిమ్ స్టెక్, దక్షిణాసియా ప్రాంతీయ సహార సంఘం (సార్క్), ఐక్యరాజ్యసమితి.

TS Inter 2nd Year Study Material

TS Intermediate 2nd Year Economics Notes

• Chapter 1 Economic Growth and Economic Development Notes
• Chapter 2 Demography and Human Resource Development Notes
• Chapter 3 National Income, Poverty and Unemployment Notes
• Chapter 4 Planning and NITI Aayog Notes
• Chapter 5 Agricultural Sector Notes
• Chapter 6 Industrial Sector Notes
• Chapter 7 Tertiary Sector Notes
• Chapter 8 Foreign Sector Notes
• Chapter 9 Environmental Economics Notes
• Chapter 10 Telangana Economy Notes

TS Inter 2nd Year Maths 2B Textbook Solutions Pdf Download | TS Inter Maths 2B Study Material Pdf

TS Inter 2nd Year Maths 2B Circle Solutions

• Chapter 1 Circle Ex 1(a)
• Chapter 1 Circle Ex 1(b)
• Chapter 1 Circle Ex 1(c)
• Chapter 1 Circle Ex 1(d)
• Chapter 1 Circle Ex 1(e)

TS Inter 2nd Year Maths 2B System of Circles Solutions

• Chapter 2 System of Circles Ex 2(a)
• Chapter 2 System of Circles Ex 2(b)

TS Inter 2nd Year Maths 2B Parabola Solutions

• Chapter 3 Parabola Ex 3(a)
• Chapter 3 Parabola Ex 3(b)

TS Inter 2nd Year Maths 2B Ellipse Solutions

• Chapter 4 Ellipse Ex 4(a)
• Chapter 4 Ellipse Ex 4(b)

TS Inter 2nd Year Maths 2B Hyperbola Solutions

• Chapter 5 Hyperbola Ex 5(a)

TS Inter 2nd Year Maths 2B Integration Solutions

• Chapter 6 Integration Ex 6(a)
• Chapter 6 Integration Ex 6(b)
• Chapter 6 Integration Ex 6(c)
• Chapter 6 Integration Ex 6(d)
• Chapter 6 Integration Ex 6(e)
• Chapter 6 Integration Ex 6(f)

TS Inter 2nd Year Maths 2B Definite Integrals Solutions

• Chapter 7 Definite Integrals Ex 7(a)
• Chapter 7 Definite Integrals Ex 7(b)
• Chapter 7 Definite Integrals Ex 7(c)
• Chapter 7 Definite Integrals Ex 7(d)

TS Inter 2nd Year Maths 2B Differential Equations Solutions

• Chapter 8 Differential Equations Ex 8(a)
• Chapter 8 Differential Equations Ex 8(b)
• Chapter 8 Differential Equations Ex 8(c)
• Chapter 8 Differential Equations Ex 8(d)
• Chapter 8 Differential Equations Ex 8(e)

TS Intermediate 2nd Year Hindi Study Material Textbook Solutions Telangana

TS Inter 2nd Year Hindi Poems पद्य भाग

• Poem 1 रहीम के दोहे
• Poem 2 बिहारी के दोहे
• Poem 3 गुलाबी चूडियाँ
• Poem 4 जो बीत गयी
• Poem 5 ये कौन चित्रकार है
• Poem 6 बच्चे काम पर जा रहे हैं

TS Inter 2nd Year Hindi Textbook Lessons गद्य भाग

• Chapter 1 उपभोक्तावाद की संस्कृति
• Chapter 2 पहाड़ से ऊँचा आदमी
• Chapter 3 सयानी बुआ
• Chapter 4 धरती
• Chapter 5 बूढ़ी काकी
• Chapter 6 तेलंगाना के दर्शनीय स्थल

TS Inter 2nd Year Hindi Non-Detailed उपवाचक एकांकी सुधा

• Chapter 1 अंधेर नगरी
• Chapter 2 गाँव का ईश्वर
• Chapter 3 अशोक का शस्त्र त्याग

TS Inter 2nd Year Hindi Grammar सरल व्याकरण

• पत्र लेखन
• संधि
• समास
• मौखिकेतर अर्थग्रहण अभ्यास
• अपठित बोधक गद्यांश
• महावरे और लोकोक्तियाँ
• वाच्य

TS Inter 2nd Year Hindi Syllabus

Telangana TS Intermediate 2nd Year Hindi Syllabus

TS Inter 2nd Year Study Material

TS Intermediate 2nd Year Sanskrit Study Material Textbook Solutions Telangana

TS Inter 2nd Year Sanskrit Poems पद्यभागः

• Poem 1 कुमुद्वतीपरिणयः
• Poem 2 विक्रमाङ्कस्य औदार्यम्
• Poem 3 साधुवर्तनम्
• Poem 4 गायत्री नीतिगीतावलिः
• Poem 5 रुद्रमदेवी
• Poem 6 नृसिंहाविर्भावः

TS Inter 2nd Year Sanskrit Textbook Lessons गद्यभाग:

• Chapter 1 सोमदत्तचरितम्
• Chapter 2 भ्रातृवात्सल्यम
• Chapter 3 सुहृद्भेदः
• Chapter 4 भिषजो भैषज्यम्
• Chapter 5 वृक्षरक्षिका पितामही
• Chapter 6 भारतभूषा वीरयोषा

TS Inter 2nd Year Sanskrit Non-Detailed उपवाचकम्

• Chapter 1 न्यासरक्षा
• Chapter 2 मुद्राराक्षसम्
• Chapter 3 आनूरवम्

TS Inter 2nd Year Sanskrit Grammar व्याकरणम्

• पत्रलेखनम्
• सन्धयः
• शब्दरूपाणि
• समासाः
• वाक्यशुद्धीकरणम्

TS Inter 2nd Year Sanskrit Syllabus

Telangana TS Intermediate 2nd Year Sanskrit Syllabus

Telangana State Board of Intermediate Education, Hyderabad
Sanskrit-Intermediate 2nd Year
Syllabus (w.e.f. 2019-20)

TS Inter 2nd Year Study Material