Srinivas

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 1st Lesson భౌతిక ప్రపంచం to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 1st Lesson భౌతిక ప్రపంచం

→ భౌతిక శాస్త్రము : భౌతికశాస్త్రం ప్రకృతి, ప్రకృతి సహజమైన దృగ్విషయాల అధ్యయనం. పరిశీలన ద్వారా మరియు ప్రయోగాలు చేసి చూడటం వల్ల శాస్త్రజ్ఞులు ప్రకృతిని నియంత్రిస్తూ పరిక్రియ జరిపే నిబంధనలను ఆవిష్కరించే ప్రయత్నం చేస్తారు.

→ ప్రకృతిలోని ప్రాథమిక బలాలు : భౌతికశాస్త్రంలో

• గురుత్వాకర్షణ బలం
• విద్యుదయస్కాంతబలం
• ప్రబల కేంద్రకబలం
• దుర్బల కేంద్రక బలాలను ప్రాథమిక బలాలుగా భావిస్తున్నారు.

1) గురుత్వాకర్షణ బలం : రెండు వస్తువుల ద్రవ్యరాశుల ఆధారంగా వాటి మధ్య గల ఆకర్షణ బలమే గురుత్వాకర్షణ బలం. ఇవి చాలా బలహీనమైన బలాలు. వీటి ప్రభావం చాలా ఎక్కువ దూరం వరకు విస్తరిస్తుంది. గ్రహాలు, నక్షత్రాల వంటి చాలా ఎక్కువ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువుల విషయంలో ఈ బలాల పరిమాణం లెక్కించదగినంత పెద్దది. గ్రహాల గమనం, నక్షత్రాలు ఏర్పడటం, గెలాక్సీలు ఏర్పడటం వంటి దృగ్విషయాలలో ఈ బలాల ప్రాధాన్యం ఎక్కువ.

2) విద్యుదయస్కాంత బలం : ఆవేశిత కణాలు లేదా వస్తువుల మధ్య పనిచేసే బలం విద్యుదయస్కాంత బలం. ఇవి సజాతి ఆవేశాల మధ్య వికర్షణ బలంగాను, విజాతి ఆవేశాల మధ్య ఆకర్షణ బలంగాను ఉంటాయి. ఇవి చాలా బలమైన బలాలు. వీటి పరిధి ఎక్కువ. ఇవి గురుత్వాకర్షణ బలాల కన్న సుమారు 10³⁶ రెట్లు పెద్దవి.

3) ప్రబల కేంద్రక బలాలు : ఇవి కేంద్రకంలోని కేంద్రక కణాలైన ప్రోటాన్లు, న్యూట్రాన్లను పట్టి బంధించే బలీయమైన బలాలు. ఇవి ప్రకృతిలోని ప్రాథమిక బలాలన్నింటిలో కన్న బలమైనవి. ప్రబలమైన కేంద్రక బలాలు విద్యుదయస్కాంత బలాల కన్న దాదాపు 100 రెట్లు బలమైనవి. ఇవి కేంద్రక కణాలు ఆవేశంపై ఆధారపడవు. ఇవి స్వల్ప వ్యాప్తి గల బలాలు. వీటి పరిధి సుమారు 10^-15 మీటర్లు. కేంద్రక స్థిరత్వానికి ఇవి పూర్తి బాధ్యత వహిస్తాయి.

4) దుర్బల కేంద్రక బలాలు : కేంద్రకంలో సంభవించే కొన్ని β – క్షయం వంటి కొన్ని నిర్దిష్ట కేంద్రక చర్యలలో ఈ దుర్బల కేంద్రక బలాలు ప్రత్యక్షమవుతాయి. ఇవి ప్రబల కేంద్రక బలాలు, విద్యుదయస్కాంత బలాల కన్న బలహీనమైనవి. వీటి వ్యాప్తి చాలా తక్కువ. ఈ దుర్బల కేంద్రకబలం వ్యాప్తి 10^-16 మీ.ల క్రమంలో ఉండే అత్యంత స్వల్పమైనది.

→ నిత్యత్వరాశులు : భౌతిక శాస్త్రంలో విభిన్న బలాలను నియంత్రించే భౌతిక దృగ్విషయాలు లేదా కొన్ని ప్రత్యేక భౌతిక రాశులు ఏదైనా ప్రక్రియలో మార్పు లేకుండా స్థిరంగా ఉంటాయి. ఇటువంటి వాటిని నిత్యత్వ రాశులు లేదా నిత్యత్వ నియమాలు అంటారు.
ఉదా : స్వేచ్ఛగా కిందికి పడే వస్తువులో స్థితిశక్తి, గతిశక్తుల విలువలు కాలంతోపాటు మారుతున్నప్పటికి ఆ రెండు శక్తుల మొత్తం స్థిరంగా ఉంటుంది. అనగా ఈ సందర్భంలో శక్తినిత్యత్వం చెందినది అంటారు.

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 2nd Lesson ప్రమాణాలు, కొలత to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 2nd Lesson ప్రమాణాలు, కొలత

→ ప్రాథమిక రాశి : ఇతర భౌతిక రాశులపై ఆధారపడక స్వేచ్ఛగా మనగలిగిన భౌతిక రాశులను ప్రాథమిక రాశులు అంటారు.
ఉదా : ద్రవ్యరాశి, పొడవు, కాలము వంటివి.

→ ఉత్పన్న రాశి : ప్రాథమిక రాశుల కలయిక వలన ఏర్పడిన భౌతిక రాశులను ఉత్పన్న రాశులు అంటారు. ఉదా : వేగము, బలము వంటివి.

→ ప్రమాణము : ఏదైనా భౌతికరాశిని కొలవడంలో అంతర్జాతీయంగా ఆమోదం పొందిన నిర్దేశిత ప్రమాణ విలువతో పోల్చడం జరుగుతుంది. దీనినే ప్రమాణము అంటారు.

→ ప్రాథమిక లేదా మూల ప్రమాణము : ప్రాథమిక భౌతిక రాశులను కొలవడానికి వాడే ప్రమాణాన్ని మూల ప్రమాణము అంటారు.
ఉదా : పొడవు → మీటరు, ద్రవ్యరాశి → కిలోగ్రాము, కాలము → సెకను వంటివి.

→ ఉత్పన్న ప్రమాణము : ఉత్పన్న రాశులను కొలవడానికి వాడే ప్రమాణాలను ఉత్పన్న ప్రమాణాలు అంటారు.
ఉదా : వైశాల్యము →చదరపు మీటరు, వేగము → మీటరు / సెకను వంటివి.

→ అంతర్జాతీయ ప్రమాణాలు (S.I. ప్రమాణము) – ప్రాథమిక రాశులు : అంతర్జాతీయ పధ్ధతి (S.I. పద్ధతి) లో ఏడు ప్రాథమిక రాశులు, రెండు సంపూరక రాశులు ఉన్నాయి. వీటిని కొలవడానికి ఏడు మూల ప్రమాణాలు, రెండు సంపూరక ప్రమాణాలు ఉన్నాయి.

→ అధిక దూరాలను కొలవడం : అధిక దూరాలను కొలవడానికి దృష్టి విక్షేప పద్ధతి వాడతారు. ఈ పద్ధతిలో సుదూరంగా ఉన్న వస్తువును రెండు వేరు వేరు స్థానాల నుండి పరిశీలిస్తారు. ఆ స్థానముల మధ్య దూరము ‘b’, ఆ స్థానముల నుండి వస్తువును చూసిన కోణము ‘θ’ ల ఆధారంగా వస్తువు దూరాన్ని లెక్కిస్తారు. ఇందులో ‘θ’ ని పారలాక్టిక్ కోణము అంటారు.
వస్తువు దూరము D = \(\frac{b}{\theta}\)

→ అత్యల్ప దూరాలను కొలవడం : అత్యల్ప దూరాలను కొలవడానికి దృశా సూక్ష్మదర్శిని వాడతారు. ఇది కొలవ గల కనీస దూరము దృశ్యకాంతి తరంగదైర్ఘ్యం మీద ఆధారపడుతుంది. ఇది సుమారు 7000 Å నుండి 4000 Å ల మధ్య ఉంటుంది.
ఇంకా తక్కువ దూరాలను కొలవడానికి ఎలక్ట్రాన్ సూక్ష్మదర్శిని వాడతారు. ఇది కొలవగల కనీస దూరం ఎలక్ట్రాన్ తరంగదైర్ఘ్యంపై ఆధారపడుతుంది. ఈ పరికరం కొలవగల కనీస దూరం సుమారు 1Å.

→ ఓలిక్ ఆమ్ల అణుపరిమాణం అంచనా వేసే పద్ధతి : సుమారు 1 cm³ ఓలిక్ ఆమ్లాన్ని 20 cm³ ఆల్కహాల్లో కరిగించి దాని నుండి మరల 1 cm³ ద్రావణాన్ని తీసుకొని దీనిని మరల 20 cm³ ఆల్కహాల్లో కరిగిస్తారు. ఇపుడు ఈ ద్రావణంలో ఓలిక్ ఆమ్ల గాఢత \(\frac{1}{20 \times 20}\)/cm³.

ఒక నీటి తొట్టెలో కొంచెం లైకోపోడియం పొడి చల్లి దానిపై కొద్ది చుక్కలు (n) ఓలిక్ ఆమ్ల ద్రావణాన్ని వేస్తారు. ఇది దాదాపు అణుమందం గల పొరగా విస్తరిస్తుంది. ఈ పొర వ్యాసార్ధాన్ని, దాని నుండి పొర వైశాల్యాన్ని (A) లెక్కగడతారు. n చుక్కల ద్రావణం ఘనపరిమాణం లెక్కగడతారు.
ఓలిక్ ఆమ్లం పొర ఘనపరిమాణము = nv\(\frac{1}{20 \times 20}\)

ఓలిక్ ఆమ్లం పొర అణుమందం కలిగి ఉన్నదని భావిస్తే ఈ విలువ ఓలిక్ ఆమ్లం అణువ్యాసానికి సమానము.

→ ఏకీకృత పరమాణు ద్రవ్యరాశి (united atomic mass unit) :
కార్బన్ ఐసోటోపు ఐన C-12 కర్బన పరమాణు ద్రవ్యరాశిలో \(\frac{1}{12}\) ప్రమాణంగా తీసుకున్నారు. దీని విలువ 1.66 × 10^-27 కి.గ్రా.
1 a.m.u. = \(\frac{1}{12}\)¹²₆C = 1.66 × 10^-27 కి.గ్రా.

→ పరమాణు గడియారాలు : కాలాన్ని ప్రామాణికంగా కొలవడానికి ఆధునిక పద్ధతిలో సీజియం గడియారాన్ని వాడుతున్నారు. దీనినే పరమాణు గడియారం అంటారు. దీనిలో సీజియం 133 ఐసోటోపు వాడతారు.

→ యథార్థత (Accuracy) : మనం కొలిచిన విలువ, మనం కొలవవలసిన భౌతికరాశి నిజమైన విలువకు ఎంత దగ్గరగా ఉన్నదో తెలియజేయు కొలమానాన్ని యథార్థత అంటారు.

→ ఖచ్చితత్వము (Precision) : ఖచ్చితత్వము అనేది మనం ఒక పరికరంతో ఎంత కనిష్ఠ అవధి వరకు ఇచ్చిన భౌతికరాశిని కొలవగలమో తెలియజేస్తుంది.
మనం కొలవగలిగిన కనిష్ఠ అవధి ఎంత తక్కువ ఐతే ఆ పరికరం ఖచ్చితత్వం అంత ఎక్కువ.
ఉదా :

• స్క్రూగేజి కనీసపు కొలత 0.01 మి.మీ.;
• వెర్నియర్ కాలిపర్స్ కనీసపు కొలత 0.1 మి.మీ.

ఈ రెండు పరికరాలలో స్క్రూగేజి సున్నితమైనది. కొన్ని సందర్భాలలో కొలతకు తక్కువ యథార్థత ఉన్నప్పటికి మెరుగైన ఖచ్చితత్వం ఉండవచ్చు.

→ దోషం : ఏదైనా భౌతికరాశి యొక్క కొలతలో గల అనిశ్చితత్వాన్ని దోషం అంటారు.

→ క్రమ దోషాలు (Systematic errors) : ఎల్లపుడూ ఒకే దిశలో వచ్చే దోషాలు క్రమ దోషాలు. ఇవి ఉంటే ఎల్లపుడూ ధనాత్మకంగాను లేదా ఎల్లపుడూ ఋణాత్మకంగాను ఉంటాయి.
ఉదా :

• స్క్రూగేజి యొక్క శూన్యాంశదోషము;
• తప్పుగా క్రమాంకనం చేసిన థర్మామీటరు వంటివి. తగిన సవరణలు చేయడం ద్వారా క్రమదోషాలను నివారించవచ్చు.

→ పరికరం వల్ల దోషాలు : అసమగ్ర రూపకల్పన లేదా పరికరాన్ని అసమగ్రంగా క్రమాంకనం చేయడం వల్ల పరికరంలో ఉండే శూన్యాంశ దోషము వంటివి.

→ వ్యక్తిగత దోషాలు : ఇది వ్యక్తి అనుసరించే విధానం, పరికరాలను సక్రమంగా అమర్చకపోవడం వంటి వాటిపై ఆధారపడుతుంది.
ఉదా : దృష్టి విక్షేప దోషం వంటివి.

→ యాదృచ్ఛిక దోషాలు : ఇవి క్రమరహితంగా ఏర్పడతాయి. వీటి సంజ్ఞ, పరిమాణములు కూడా యాదృచ్ఛికమైనవి. ఇవి ప్రయోగం జరుగుతున్నపుడు ఊహించని మార్పుల వలన కలుగుతాయి.
ఉదా : ఓల్టేజిలోని హెచ్చుతగ్గులు, వాతావరణంలోని మార్పులవంటివి.

→ కనీస కొలత దోషం : ఇది పరికరం కొలవగలిగే అత్యల్ప కొలతపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఒక పరికరంతో కొలిచిన విలువలు ఆ పరికరం కనీస కొలత వరకే ఖచ్చితంగా ఉంటాయి.

→ అంకమధ్యమము : అన్ని విలువల అంకగణిత సగటును ఖచ్చితమైన విలువగా తీసుకుంటాము. దీనిని అంకమధ్యమము అంటారు.

→ పరమదోషం : మనం కొలచిన నిజమైన విలువకు, వ్యక్తిగత కొలత యొక్క విలువకు గల తేడాను కొలతలోని పరమదోషం అంటారు.
పరమదోషం |Δa| = |a_mean – a_i| = |నిజమైన విలువ – కొలిచిన విలువ|

→ మధ్యమ పరమదోషం : పరమదోషాలు అన్నింటి యొక్క అంకమధ్యమాన్ని మధ్యమ పరమదోషం అంటారు.
Δа_సగట = \(\frac{\left|\Delta \mathrm{a}_1\right|+\left|\Delta \mathrm{a}_2\right|+\left|\Delta \mathrm{a}_3\right|+\ldots .\left|\Delta \mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right|}{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{n}} \sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \Delta \mathrm{a}_{\mathrm{i}}\)

→ సాపేక్ష దోషం : మధ్యమ పరమదోషానికి మరియు మధ్యమ విలువకు గల నిష్పత్తిని సాపేక్షదోషం అంటారు.

→ దోషశాతం : సాపేక్షదోషాన్ని 100చే గుణించి శాతం రూపంలో ప్రకటిస్తే దానినే దోషశాతం అంటారు.

→ సంకలనం లేదా వ్యవకలనంలో దోషాల విభజన :
x = a + b గా తీసుకుంటే ‘a’ లో దోషం ‘Δa’ మరియు ‘b’ లో దోషం ‘Δb’ అయితే
సంకలనంలో దోషము Δx = Δa + Δb అనగా ‘a’ మరియు ‘b’ ల పరమదోషాల మొత్తం.

→ గుణకారం మరియు భాగహారములతో దోషాల వ్యాపనము :
x = ab లేదా x = లుగా తీసుకుంటే ‘a’ లో సాపేక్షదోషం \(\frac{\Delta a}{a}\) మరియు ‘b’ లో సాపేక్షదోషం \(\frac{\Delta b}{b}\) ‘b’ అయితే గుణకారం మరియు భాగహారంలో సాపేక్షదోషాన్ని \(\frac{\Delta \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=\frac{\Delta \mathrm{a}}{\mathrm{a}}+\frac{\Delta \mathrm{b}}{\mathrm{b}}\) గా రాయవచ్చు. అనగా ‘a’ మరియు ‘b’ ల యొక్క సాపేక్ష దోషాల మొత్తం.

→ ఘాతాంక ప్రమేయాలతో కూడిన గుణకారాలు మరియు భాగహారాలలో దోషాల వ్యాపనము :
x = \(\frac{a^{p^p} b^q}{c^r}\) అయిన x = a^p b^q c^-r
x లోని గరిష్ఠ సాపేక్ష దోషం \(\frac{\Delta \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=\mathrm{p}\left(\frac{\Delta \mathrm{a}}{\mathrm{a}}\right)+\mathrm{q}\left(\frac{\Delta \mathrm{b}}{\mathrm{b}}\right)+\mathrm{r}\left(\frac{\Delta \mathrm{c}}{\mathrm{c}}\right)\)

→ సార్థక సంఖ్యలు : ఏదైనా కొలతలో వాస్తవంగా కొలచిన విలువలో గల అంకెలతో పాటు ఒక అదనపు అంకెను కలిపి సార్థక సంఖ్యలు అంటారు.
ఈ అదనపు అంకె కొలతలోని అనిశ్చితత్వాన్ని తెలియజేస్తుంది.

→ సార్థక సంఖ్యలను నిర్ణయించే నియమాలు : ఏదైనా కొలతను శాస్త్రీయంగా వ్యక్తీకరించినపుడు సార్థక సంఖ్యలను నిర్ణయించడంలో ఈ క్రింది నియమాలు పాటిస్తారు.

• శూన్యేతర అంకెలన్నీ సార్థక సంఖ్యలే.
• శూన్యేతర అంకెల మధ్య దశాంశ బిందువు ఎక్కడ ఉన్నా అవి అన్నీ సార్థక సంఖ్యలే.
• ఒకటికన్న తక్కువ ఐన సంఖ్యలలో దశాంశ బిందువు కుడి వైపున గల మొదటి సున్న కాని అంకెకు, దశాంశ బిందువుకు మధ్య గల అంకెలు సార్థక సంఖ్యలు కావు.
  దశాంశ బిందువు లేని సంఖ్యలో చివరి శూన్యేతర అంకె తరువాత గల సున్నాలు సార్థక సంఖ్యలు కావు. దశాంశ బిందువు కలిగి ఉన్న సంఖ్యలలో చివరగల సున్నాలు సార్థక సంఖ్యలు.

→ సార్థక సంఖ్యలతో జరిపే అంకగణిత పరిక్రియలో పాటించే నియమాలు :

• గుణకారం లేదా భాగహారాలలో పాల్గొనే సంఖ్యలలో గల కనిష్ఠ సార్థక సంఖ్యల వరకు తుది ఫలితం సవరించాలి.
• కూడిక లేక తీసివేతలలో కనిష్ట దశాంశ స్థానాలలో ఉండే వాస్తవ సంఖ్యల వరకు చివరి ఫలితాన్ని సవరించాలి.

→ అనిశ్చిత అంకెలను సవరించడం : సార్థక సంఖ్యలలో చివరి సార్థక సంఖ్య తరువాత గల అంకెలను చివరి సార్థక సంఖ్య వరకు సర్దుబాటు చేయడంలో ఈ క్రింది నియమాలు పాటిస్తారు.

• సర్దుబాటు చేయవలసిన అంకె 5 కన్న చిన్నదైతే దానిని వదలివేస్తారు.
• సర్దుబాటు చేయవలసిన అంకె 5 కన్న పెద్దదైతే చివరి సార్థక సంఖ్య విలువ ఒకటి పెంచుతారు.
• సర్దుబాటు చేయవలసిన అంకె 5 ఐతే
  (ఎ) చివరి సార్థక సంఖ్య సరిసంఖ్య అయితే 5ను లెక్కలోకి తీసుకోకుండా వదలివేస్తారు.
  (బి) చివరి సార్థక సంఖ్య బేసిసంఖ్య అయితే దాని విలువ ఒకటి పెంచి సరిసంఖ్యగా చేస్తారు.

→ మితి : ఒక ఉత్పన్న భౌతికరాశిని సూచించడానికి ప్రాథమిక రాశులను ఏ ఘాతము వరకు పెంచుతారో ఆ ఘాతాన్ని మితి అంటారు.
ఉదా : వేగము LT^-1 లో పొడవు మితి ‘1’. కాలము మితి ‘-1’.

→ మితి ఫార్ములా : ఏదైనా ఉత్పన్నరాశిలో గల ప్రాథమిక రాశులను వాటి ఘాతములతో సహా తెలియజేయు భౌతిక శాస్త్ర సమీకరణమును మితిఫార్ములా అంటారు.
ఉదా :

• త్వరణము – LT^-2
• బలము MLT^-2

→ మితి విశ్లేషణ ఉపయోగాలు :

• ఇచ్చిన సమీకరణాల సుసంగతిని సరిచూడటం. దీని కొరకు మితుల సజాతీయత అన్న సూత్రం వాడతారు.
• వేరు వేరు భౌతికరాశుల మధ్య సంబంధాలు రాబట్టుట.

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 3rd Lesson సరళరేఖాత్మక గమనం to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 3rd Lesson సరళరేఖాత్మక గమనం

→ గమనము : పరిసరాలతో పోల్చినపుడు కాలానుగుణంగా వస్తువు స్థానంలో కలిగే మార్పును గమనము

→ శుద్ధగతి శాస్త్రము : గమనానికి కారణాలు ప్రస్తావించకుండా గమనాన్ని వర్ణించే పద్ధతులను వివరించే శాస్త్రము.

→ సరళరేఖాత్మక గమనము : వస్తువు యొక్క గమనము ఒక సరళరేఖకు మాత్రమే పరిమితమైతే ఆ గమనాన్ని సరళరేఖాత్మక గమనము అంటారు.

→ స్థానభ్రంశము (S) : వస్తువు స్థానంలో మార్పును స్థానభ్రంశము అంటారు. ఇది సదిశరాశి. అనగా దిశ, పరిమాణములను కలిగి ఉంటుంది.

→ పథం పొడవు (Path Length) : వస్తువు ప్రయాణమార్గం మొత్తం పొడవును పథం పొడవు అంటారు. గమనిక : వస్తువు స్థానభ్రంశపు పరిమాణం, దాని పథం పొడవు సమానం కావచ్చు, కాకపోవచ్చు. ఒక గమన మార్గానికి స్థానభ్రంశం సున్న అయినప్పటికి పథం పొడవు సున్న కాదు.

→ స్థానభ్రంశకాల వక్రాలు : వస్తువు స్థానభ్రంశము ‘S’ ను Y – అక్షం మీద, కాలము (t) ని X – అక్షం మీద తీసుకొని గీసిన రేఖాపటాన్ని స్థానభ్రంశకాల వక్రము అంటారు.
(a) నిశ్చల స్థితిలో ఉన్న వస్తువు స్థానభ్రంశకాల వక్రం X – అక్షానికి సమాంతరంగా గల సరళరేఖ.
(b) సమవేగంతో చలించే వస్తువుకు స్థానభ్రంశకాలవక్రము X- అక్షంతో కొంత కోణం చేయు సరళరేఖ. ఈ సరళరేఖ వాలు \(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) వస్తువు సమవేగాన్ని ఇస్తుంది.
(c) సమత్వరణంతో చలించే వస్తువు స్థానభ్రంశకాల వక్రము ఒక వక్రరేఖ. దీని వాలు పైకి పోయిన కొద్ది పెరుగుతుంది. ఈ వక్రం యొక్క వాలు \(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) ఆ క్షణం వద్ద వస్తువుకు గల వేగాన్ని తెలుపుతుంది.

→ సగటు వేగము : వస్తువు యొక్క మొత్తం స్థానభ్రంశము మరియు ప్రయాణించిన మొత్తం కాలముల నిష్పత్తిని సగటు వేగము అంటారు. ప్రమాణము మీ/సెకను. ఇది సదిశరాశి.
సగటు వేగము V̅ = \(\frac{X_2-X_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta X}{\Delta t}\)

→ సగటు వడి : నియమితకాలంలో వస్తువు ప్రయాణించిన పథం పొడవు మరియు కాలముల నిష్పత్తిని సగటు వడి అంటారు. ఇది అదిశరాశి. ప్రమాణము మీ/సె.

గమనిక : వడికి దిశ లేకపోవడం. వల్ల ఇది ఎల్లపుడూ ధనాత్మకము. కాని వేగం దిశను బట్టి ధనాత్మకము లేదా ఋణాత్మకంగా ఉండవచ్చు.

→ తత్కాల వేగము : కాలవ్యవధి Δt అత్యల్పమైనప్పుడు కాలవ్యవధి మరియు వస్తువు స్థానభ్రంశాల నిష్పత్తిని తత్కాల వేగము లేదా తాక్షణిక వేగము అంటారు.
తాక్షణిక వేగము \(\overline{\mathrm{V}}={Lt}_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathrm{X}}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{\mathrm{dX}}{\mathrm{dt}}\)
గమనిక : తత్కాల వేగము సగటు వేగానికి సమానం కావచ్చు లేదా కాకపోవచ్చు.

→ వేగ కాల వక్రాలు (V-t గ్రాఫ్) : వేగము Vని Y- అక్షం మీద, కాలము t ని X- అక్షం మీద తీసుకొని గీచిన రేఖా పటాన్ని వేగ కాల వక్రము అంటారు. వేగ కాల వక్రాలలో
(a) సమవేగంతో చలించే వస్తువు వేగ కాల వక్రం X- అక్షానికి సమాంతరంగా గల సరళరేఖ.
(b) నిశ్చలస్థితి నుండి బయలుదేరి సమత్వరణంతో చలించే వస్తువు వేగ – కాల వక్రం మూల బిందువు గుండా పోవు సరళరేఖ.
(c) తొలి వేగం ‘V₀‘ తో బయలుదేరి సమత్వరణంతో చలించు వస్తువు వేగకాలవక్రం కొంత Y అంతరఖండం కలిగి X- అక్షంతో కొంత కోణం చేయు సరళరేఖ. దీని Y అంతర ఖండం తొలి వేగం ‘V₀‘ ను ఇస్తుంది.
(d) వేగ కాల వక్రం వాలు వస్తువు సమత్వరణం ‘a’ ను ఇస్తుంది.
(e) వేగ కాల వక్రం కింద గల వైశాల్యం వస్తువు మొత్తం స్థానభ్రంశం ‘s’ ను తెలియజేస్తుంది.
(f) వేగ కాల వక్రాల నుండి గతి శాస్త్ర సమీకరణములు V = V₀ + at, X = V₀t + \(\frac{1}{2}\) at², V² – V₀² = 2ax లను ఉత్పాదించవచ్చు.

→ త్వరణము (a) : నిర్దిష్ట కాలవ్యవధిలో వేగంలోని మార్పును త్వరణం అంటారు. ఇది సదిశ. ప్రమాణము మీ/సె²
త్వరణము a̅ = \(\frac{V_2-V_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta V}{\Delta t}\) లేదా a̅ = \(\frac{V-V_0}{t-t_0}\)

→ తత్కాల త్వరణము (a) : కాలవ్యవధి Δt అత్యల్పమైనప్పుడు వస్తువు వేగంలో మార్పుకు, కాలమునకు గల నిష్పత్తిని తత్కాల లేదా తాక్షణిక త్వరణం అంటారు.
తాక్షణిక త్వరణము a̅ = \({Lt}_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathrm{V}}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}\)
గమనిక : త్వరణము సదిశరాశి కావడం వల్ల ఇది ధనాత్మకము లేదా ఋణాత్మకంగా ఉండవచ్చు. వస్తువుకు ఋణత్వరణము (-a) ఉంటే దాని వేగము క్రమంగా తగ్గుతుంది.

→ స్వేచ్ఛాపతనము : వస్తువును కొంత ఎత్తు నుండి జారవిడిస్తే అది స్వేచ్ఛాపతనంలో ఉంది అంటారు. ఇటువంటి వస్తువుకు a = g మరియు తొలివేగం V₀ = 0, స్థానభ్రంశము = Y.

→ స్వేచ్ఛాపతనంలోని వస్తువు సమీకరణాలు : (ఊర్ధ్వ దిశను ధనాత్మకంగా భావిస్తే)

• V = 0 – gt = -9,8t m/s
• Y = 0 – \(\frac{1}{2}\)gt² = -4.9121
• V² = 0 – 2gy = -19.6y m/s

గమనిక : వేగకాలవక్రాలతో వస్తువు వాస్తవ చలనాన్ని విశదీకరించడానికి వీలుగా ఊర్ధ్వ దిశలో త్వరణాన్ని ధనాత్మకంగా తీసుకుంటారు.

→ గెలీలియో బేసిసంఖ్యల నియమము: స్వేచ్ఛాపతనంలో ఉన్న వస్తువు వరుస సెకనులలో ప్రయాణించిన స్థానభ్రంశాల నిష్పత్తి 1:3:5:7 ……. గా గల బేసి సంఖ్యల గుణిజంగా ఉంటుంది.

→ వాహనాలను నిలిపే దూరము : వేగంగా చలించే వాహనానికి బ్రేకులు వేయడం వల్ల అది ఆగిపోయే దూరము వస్తువు తొలివేగము (V₀) మరియు బ్రేకుల ఋణత్వరణ సామర్థ్యం మీద ఆధారపడుతుంది.
ఆగిపోవు దూరము X = \(\frac{V_0^2}{2 a}\)

→ ప్రతిస్పందన కాలము : మనం ఏదైనా ఒక సంఘటనను చూచినపుడు పరిస్థితి అర్థం చేసుకొని ప్రతిచర్య ప్రారంభించడానికి పట్టే కాలము ప్రతిస్పందన కాలము.
ఉదా : చలిస్తున్న వాహనానికి ఒక బాలుడు అకస్మాత్తుగా అడ్డం వస్తే దానిని గ్రహించి వాహనానికి బ్రేకులు వేయడానికి తీసుకున్న సమయము.

→ సాపేక్ష వేగము : A, B అను రెండు వస్తువులు చలనంలో ఉంటే ఒక వస్తువు A దృష్ట్యా B చలనము లేదా B దృష్ట్యా వస్తువు A చలనాన్ని వివరించడాన్ని సాపేక్ష చలనం అంటారు.
ఉదా : A, B వస్తువుల వేగాలు V_A, V_B అయితే B దృష్ట్యా A యొక్క వేగము V_AB = V_A – V_B (A, B లు ఒకే దిశలో చలిస్తుంటే)
A దృష్ట్యా B వేగము V_BA = V_B – V_A (A, B లు ఒకే దిశలో చలిస్తుంటే)
ఈ సందర్భంలో V_AB = -V_BA
A, B లు వ్యతిరేక దిశలలో చలిస్తుంటే V_BA – V_AB = V_A + V_B.

→ ఏకరీతి లేదా సమవేగములో ప్రయాణిస్తున్న వస్తువుకు s = vt.

→ స్థానభ్రంశము మరియు కాలంల రేఖాపటపు వాలు వేగాన్నిస్తుంది.

→ వేగము కాల వక్రము యొక్క వాలు త్వరణాన్ని సూచిస్తుంది.

→ వేగము – కాల వక్రము క్రింది వైశాల్యము, మొత్తం స్థానభ్రంశమునకు సమానము.

→ సమవేగముతో ప్రయాణిస్తున్న వస్తువు యొక్క v-t వక్రము, x – అక్షమునకు సమాంతరముగా ఉంటుంది.

→ సమ త్వరణంతో ప్రయాణిస్తున్న వస్తువు యొక్క v – t వక్రము X – అక్షంతో సమచాలు గల సరళరేఖను సూచిస్తుంది.

→ చలన సమీకరణాలు

• v = u + at
• s = ut + \(\frac{1}{2}\)gt²
• v² – u² = 2as

→ nవ సెకనులో వస్తువు ప్రయాణించిన దూరము S_n = u + a (n – \(\frac{1}{2}\)) లేదా u + \(\frac{a(2 n-1)}{2}\)

→ స్వేచ్ఛగా క్రిందికి పడుతున్న వస్తువు చలన సమీకరణాలు

• v = gt
• \(\frac{1}{2}\)gt²
• v² – u² = -2gh

→ నేల నుంచి నిట్టనిలువుగా పైకి ప్రక్షేపించిన వస్తువు చలన సమీకరణాలు

• v = u – gt
• h = ut – \(\frac{1}{2}\)gt²
• v² – u² = -2gh
• ఆరోహణ కాలము t_a = \(\frac{u}{g}\) అవరోహణ కాలము t_d = \(\frac{u}{g}\)
• మొత్తం ప్రయాణ కాలము T = t_a + t_d = 2t = \(\frac{2u}{g}\)

→ ఎత్తున్న శిఖరం నుండి నిలువుగా ‘u’ వేగంతో ప్రక్షేపించిన శిఖరం ఎత్తు h = – ut+ \(\frac{1}{2}\)gt² అను సమీకరణం నుండి వాడండి.
ఇందులో, t = మొత్తం ప్రయాణ కాలం.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1B SoIutons Chapter 10 Applications of Derivatives Ex 10(g) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1B Applications of Derivatives Solutions Exercise 10(g)

I.
Question 1.
(i) Without using the derivative, show that the function f(x) = 3x + 7 is strictly increasing on ℛ . (V.S.A.Q.)
Answer:
Let x₁ < x₂ ∈ℛ with x₁ < x₂
Then 3x₁ < 3x₁ ;
Adding 7 on both sides,
7 + 3x₁ < 7 + 3x₂ ⇒ f (x₁) < f(x₂)
x₁ < x₂ ⇒ f (x₁) < f(x₂) v x₁, x₂ ∈ ℛ
Hence the given function is strictly increasing on ℛ

(ii) The function f(x) = \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) is strictly decreasing on ℛ.
Answer:
f(x) = \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\)
Let x₁, x₂ ∈ ℛ such that x₁ < x₂
⇒ \(\left(\frac{1}{2}\right)^{x_1}>\left(\frac{1}{2}\right)^{x_2}\)
⇒ f(x₁) > f(x₂)
f(x) is strictly decreasing on ℛ.

(iii) The function f(x) = e^3x is strictly increasing on ℛ.
Answer:
f(x) = e^3x
Let x₁, x₂ ∈ ℛ such that x₁ < x₂
We have that if a > b then e^a > e^b
e^3x₁ < e^3x₁ ⇒ f(x₁) < f(x₂)
So the function f is strictly increasing on ℛ.

Question 2.
Show that the function f(x) = sin x defined on ℛ is neither increasing nor decreasing on (0, π). (V.S.A.Q.)
Answer:
Given f(x) = sin x
since 0 < x < π and for 0 < x ⇒ f(0) < f(x)
⇒ sin 0 < sin x => 0 < sin x (1)
for x < π ⇒ f(x) < f(π)
⇒ sin x < sin π ⇒ 0 > sin x (2)
From (1) and (2) f(x) is neither increasing nor decreasing.

II.
Question 1.
Find the interval in which the following functions are stjpctly increasing strictIy decreasing. 1 (S.A.Q.)
(i) x² + 2x – 5
Answer:
Let f(x) = x² + 2x – 5
Then f'(x) = 2x + 2
f(x) is increasing if f'(x) > 0
⇒ 2x + 2 > 0
⇒ x + 1 > 0
⇒ x > – 1
f (x) increases in (- 1, ∞)
f (x) is decreasing if f’ (x) < 0
⇒ 2x + 2 < 0
⇒ x + 1 < 0
⇒ x < – 1
f is decreasing in (- ∞, -1)

(ii) 6 – 9x – x²
Answer:
Let f(x) = 6 – 9x – x²
Then f’ (x) = – 9 – 2x
f(x) is increasing if f’ (x) > 0
⇒ – 9 – 2x > 0 ⇒ 9 + 2x < 0
⇒ x < \(\frac{-9}{2}\)
∴ f(x) is increasing in (-∞, \(\frac{-9}{2}\))
f(x) is decreasing if f'(x) < 0 ⇒ 9 + 2x > 0
⇒ 2x > – 9
⇒ x > \(\frac{-9}{2}\)
∴ f is decreasing in (\(\frac{-9}{2}\), ∞)

(iii) (x + 1)³(x – 1)³
Answer:
Let f(x) = (x + 1)³ (x – 1)³ = (x² – 1)³
= x⁶ – 1 – 3x⁴ 3x²
∴ f'(x) = 6x⁵ – 12x³ + 6x
= 6x(x⁴ – 2x² + 1)
∴ f'(x) = 6x⁵ – 12x³ + 6x
= 6x(x⁴ – 2x² + 1)
= 6x(x² – 1)²
f(x) increases for f'(x) > 0
⇒ 6x(x² – 1) > 0
⇒ x² – 1 > 0, x > 0
∴ f is increasing in (0, 1) ∪ (1, ∞)
f(x) decreases for f'(x) < 0
∴ f is decreasing in (-∞, – 1) ∪ (-1, 0)

(iv) x³(x – 2)²
Answer:
Let f(x) = x³(x – 2)²
Then f(x) = x³. 2 (x – 2) + (x – 2)² 3x²
= x² (x – 2) [2x + 3 (x – 2)]
= x²(x – 2) (5x – 6) ∀ x ∈ R, x² > 0
f is increasing, f'(x) > 0
⇒ x² (x – 2) (5x – 6) > 0
⇒ x ∈(-∞, \(\frac{6}{5}\)) ∪ (2, ∞)
f is decreasing if f'(x) < 0
⇒ x²(x – 2)(5x – 6) < 0
⇒ x ∈ (\(\frac{6}{5}\), 2)

(v) xe^x
Answer:
Let f(x) = xe^x
Then f'(x) = xe^x + e^x = e^x(x + 1) ∀ x ∈ ℛ, e^x > 0
f'(x) > 0 ⇒ e^x(x + 1) > 0
⇒ x + 1 > 0 ⇒ x < – 1
Hence f is increasing in (-1, ∞)
Also f'(x) < 0 ⇒ e^x(1 + x) < 0
⇒ 1 + x < 0 ⇒ x < -1
Hence f is decreasing in (-∞, -1)

(vi) \(\sqrt{25-4 x^2}\)
Answer:
Suppose f(x) = \(\sqrt{25-4 x^2}\)
If f is real then 25 – 4x² ≥ 0
⇒ -(4x² – 25) ≥ 0
⇒ -(2x + 5)(2x – 5) ≥ 0
∴ x ∈ \(\left(\frac{-5}{2}, \frac{5}{2}\right)\)
Domain of f = \(\left(\frac{-5}{2}, \frac{5}{2}\right)\)
i.e., x < 0
f(x) is increasing when x ∈ (\(-\frac{5}{2}\), 0)
f(x) is decreasing when f'(x) < 0
⇒ \(-\frac{4 \mathrm{x}}{\sqrt{25-4 \mathrm{x}^2}}\) < 0 ∴ x > 0 and f(x) is decreasing when x ∈ (0, \(\frac{5}{2}\))

(vii) log (log x), x > 1
Answer:
f(x) = log (log x)
f'(x) = \(\frac{1}{x \log x}\)
f(x) is increasing when f ’(x) > 0
⇒ \(\frac{1}{x \log x}\) > 0 ⇒ x log x > 0
When x > 0, we have x is real and if x > 0 then log x is real.
log x > 0 = log 1 ⇒ x > 1
Function f is increasing in (1, ∞)
If f’ (x) < 0, then f is decreasing
⇒ x log x < 0 ⇒ log x > 0 and x < 1
∴ Function f is decreasing in (0, 1)

(viii) x³ + 3x² – 6x + 12
Answer:
f(x) = x³ + 3x² – 6x + 12
f’ (x) = 3x² + 6x – 6 = 3 (x² + 2x – 2)
= 3 [(x + 1)² – 3]
= 3 [ (x + 1) + √3 ] [ (x + 1) – √3 ]
= 3[x + (1 + √3)][x + (1 – √3)]
If f'(x) > 0 then
[x + (1+ √3)][x + (1 – √3)]>0
⇒ x ∈ [(-∞ , -1 – √3 ) u (√3 – 1 > ∞) ]
Hence f is increasing in above interval.
f'(x) < 0 ⇒ [x + (1 + √3)] [x + (1 – √3)] < 0
⇒ x ∈ [(-1 – √3), (-1 + √3)] f is decreasing in above interval.

Question 2.
Show that f(x) = cos²x is strictly increasing on (0, \(\frac{\pi}{2}\)). (S.A.Q)
Answer:
f(x) = cos2x
f'(x) = 2cosx (- sin x) = – sin 2x
Since 0 < x < \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ 0 < 2x < π Since sin x > 0 between 0 and π
We have f'(x) is negative.
f’ (x) < 0 ⇒ f(x) is strictly decreasing.

Question 3.
Show that x + \(\frac{1}{x}\) is increasing on [1, ∞). (S.A.Q.)
Answer:

∴ f'(x) > 0 and f(x) is increasing.

Question 4.
Show that \(\frac{\mathbf{x}}{1+x}\) < log(1 + x) < x ∀ x > 0
Answer:

If x > 0 then f’ (x) > 0 When x > 0 f is increasing
⇒ f(x) > f(0)
f(0) = log 1 – 0 = log 1 = 0
f(x) > 0 ⇒ fog (1 + x) > \(\frac{x}{1+x}\)
Similarly suppose g(x) = x – log (1 + x) ………..(3)
g'(x) = 1 – \(\frac{1}{1+x}=\frac{x}{(1+x)}\) > 0
∴ When x > 0, g(x) is also increasing.
∴ g(x) > g(0) ⇒ g(x) > 0
⇒ x – log (1 + x) > 0 (4)
⇒ x > log (1 + x)
Hence from (2) and (4)
\(\frac{x}{1+x}\) < log(1 + x) < x ∀ x > 0

III.
Question 1.
Show that \(\frac{x}{1+x^2}\) < tan^-1x < x when x > 0. (S.A.Q)
Answer:
Let f(x) = tan^-1x – \(\frac{x}{1+x^2}\)

∴ When x > 0, f is increasing means f(x) > f(0) and f(0) = 0
∴ f(x) > 0 ⇒ tan^-1x – \(\frac{x}{1+x^2}\) > 0
⇒ tan^-1x > \(\frac{x}{1+x^2}\) ………..(1)
Similarly let g(x) = x – tan^-1x
Then g'(x) = 1 – \(\frac{1}{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}\) > 0 ∀ x > 0
∴ g is increasing when x > 0
⇒ g(x) = 0
But g(0) = 0
∴ g(x) < 0 ⇒ x – tan^-1x
⇒ x > tan^-1x ………….(2)
∴ From (1) and (2), \(\frac{x}{1+x^2}\) < tan^-1x < x ∀ x > 0

Question 2.
Show that tan x > x for all x ∈ [0, \(\frac{\pi}{2}\)). (S.A.Q)
Answer:
Let f(x) = tan x – x
Then f’ (x) = sec² x -1 > 0 for every x e
f(x) increases ∀ x ∈ [0, \(\frac{\pi}{2}\))
∴ f(x) > f(0) and f(0) = 0
⇒ f(x) > 0 ⇒ tan x – x > 0
⇒ tan x > x; ∀ x ∈ [0, \(\frac{\pi}{2}\))

Question 3.
If x ∈ (0, \(\frac{\pi}{2}\)), then show that \(\frac{2 \mathrm{x}}{\pi}\) < sin x < x. (EQ.) Answer: Let f(x) = sin x – \(\frac{2 \mathrm{x}}{\pi}\) and f’(x) = cos x – \(\frac{2}{\pi}\) > 0; ∀ x ∈ (0, \(\frac{\pi}{2}\))
∵ f’(x) > 0, f is increasing and f(x) > f(0);
Since f(0) = 0 we have f(x) > 0
⇒ sin x – \(\frac{2 \mathrm{x}}{\pi}\) > 0 ⇒ sin x > \(\frac{2 \mathrm{x}}{\pi}\) …………..(1)
Let g(x) = x – sin x
Then g'(x) = 1 – cos x > 0 ∀ x ∈ (0, \(\frac{\pi}{2}\))
∴ g(x) is an increasing function in
But g(0) = 0 – sin 0 = 0 g(x) >0
⇒ x – sin x > 0 x > sin x
⇒ sin x < x ……..(2)
∴ From (1) and (2);
\(\frac{2 \mathrm{x}}{\pi}\) < sin x < x ∀ x ∈ (0, \(\frac{\pi}{2}\))

Question 4.
If x ∈ (0, 1) then show that 2x < log\(\left[\frac{1+x}{1-x}\right]\) < 2x[1 + \(\frac{x^2}{2\left(1-x^2\right)}\)] (E.Q.)
Answer:

Hence ‘g’ is an increasing function in (0, 1) g(x) > g(0) ∀ x ∈ (0, 1)
But g(0) = 0
∴ g(x) > 0 ∀ x ∈ (0, 1)
⇒ 2x[1 + \(\frac{x^2}{2\left(1-x^2\right)}\)] > log\(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\) ………..(2)
From (1) and (2)
2x < log\(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\) < 2x[1 + \(\frac{x^2}{2\left(1-x^2\right)}\)] ∀ x ∈ (0, 1)

Question 5.
At what points the slopes of the tangents y = \(\frac{x^3}{6}-\frac{3 x^2}{2}+\frac{11 x}{2}\) + 12 increases? (E.Q.)
Answer:
Equation of the curve is
y = \(\frac{x^3}{6}-\frac{3 x^2}{2}+\frac{11 x}{2}\) + 12
\(\frac{d y}{d x}=\frac{3 x^2}{6}-\frac{6 x}{2}+\frac{11}{2}\)
Slope m = \(\frac{x^2}{2}\) – 3x + \(\frac{11}{2}\)
\(\frac{\mathrm{dm}}{\mathrm{dx}}\) = x – 3 > 0 (∵ Slope increases)
⇒ x > 3
Slope increases in ( 3, ∞)

Question 6.
Show that the functions \(\frac{\log (1+x)}{x}\) and \(\frac{x}{(1+x) \log (1+x)}\) are decreasing in (0, ∞). (E.Q.)
Answer:

Question 7.
Find the intervals in which the function f(x) = x³ – 3x² + 4 is strictly increasing for all x ∈ ℛ.
Answer:
f(x) = x³ – 3x² + 4
f'(x) = 3x² – 6x
f(x) is strictly increasing if f’ (x) > 0
3x² – 6x > 0
⇒ 3x (x – 2) > 0
⇒ x (x – 2) > 0
f(x) is strictly increasing if x ∈ (2, ∞)

Question 8.
Find the intervals in which the function
f(x) = sin⁴x + cos⁴ x ∀ x ∈ [0, \(\frac{\pi}{2}\)] is increasing and decreasing.
Answer:
Given f(x) = sin⁴x + cos⁴ x ∀ x ∈ [0, \(\frac{\pi}{2}\)]
= (sin²x + cos²x)² – 2 sin²x cos²x
= 1 – 2 sin²x cos²x
= 1 – \(\frac{1}{2}\)sin²2x

f'(x) = \(\frac{1}{2}\)(2 sin 2x)(cos 2x)(2)
= -sin 4x
f'(x) > 0 ⇒ -sin 4x > 0 ⇒ sin 4x < 0
⇒ π < 4x < 2π ⇒ \(\frac{\pi}{4}\) < x < \(\frac{\pi}{2}\)
∴ f is increasing when \(\frac{\pi}{4}\) < x < \(\frac{\pi}{2}\)
Now f'(x) < 0
– sin 4x < 0 ⇒ sin 4x > 0
⇒ 0 < 4x < π ⇒ 0 < x < \(\frac{\pi}{4}\)

∴ Function ‘f’ is decreasing when 0 < x < \(\frac{\pi}{4}\)
∴ f is decreasing in [0, \(\frac{\pi}{4}\)] and
f is increasing in \(\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)\)

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 8th Lesson డోలనాలు to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 8th Lesson డోలనాలు

→ ఆవర్తన చలనము : నిర్ణీత కాలవ్యవధులలో పునరావృతమయ్యే చలనాలను ఆవర్తన చలనాలు అంటారు.

→ ఆవర్తన చలనాన్ని ప్రత్యేకంగా డోలన చలనాన్ని వివరించేందుకు కాలం, పౌనఃపున్యము, స్థానభ్రంశము, కంపన పరిమితి, దశ లేక ప్రావస్థ వంటి ప్రాథమిక భావనలు అవసరము.

→ సరళహరాత్మక చలనం : డోలన చలనం యొక్క సరళమైన రూపాన్ని సరళ హరాత్మక చలనం అంటారు. ఈ చలనం కాల ప్రమేయము (f(t)) తో ఆవర్తనంగా ఉంటుంది.

→ సరళ హరాత్మక చలనాన్ని f(t) = A cos ωt లేదా A sin ωt వంటి అతిసరళమైన సమీకరణంతో సూచిస్తారు. నోట్:

• వస్తువు పౌనఃపున్యము (v) తక్కువగా ఉంటే వాటిని డోలన చలనము అని, పౌనఃపున్యము ఎక్కువగా ఉంటే దానిని కంపన చలనమని అంటారు.
• ప్రతి డోలన చలనం ఆవర్తన చలనమే కాని, ప్రతి ఆవర్తన చలనము డోలన చలనం కావలసిన అవసరం లేదు.

→ ఆవర్తన కాలము (T) : ఆవర్తన చలనంలో ఏ స్వల్ప కాలవ్యవధి తరువాత చలనం పునరావృతమవుతుందో కాలాన్ని ఇచ్చిన ఆవర్తన చలనము యొక్క ఆవర్తన కాలము అంటారు.
ఆవర్తన కాలము T = \(\frac{2 \pi}{\omega}\), ω = కోణీయ వేగము

→ పౌనఃపున్యము (v) : ఏకాంక కాలంలో జరిగే ఆవర్తనాలు లేదా చలనంలోని పునరావృతాలను ఆవర్తన చలనం పౌనఃపున్యము (v) అంటారు.
పౌనఃపున్యము (v) ఆవర్తన కాలము (T) విలోమానికి సమానము.

ప్రమాణము : డోలనము/సెకను లేదా హెర్జ్ (Hz)

→ స్థానభ్రంశము : ఆవర్తన చలనంలో కాలంతో పాటు మార్పును కలిగిన ఏదైనా భౌతిక ధర్మంలో వచ్చే మార్పును స్థానభ్రంశం సూచిస్తుంది.
ఉదా :

• సరళ హరాత్మక చలనంలో రేఖీయ గమనంలో ఉన్న ఒక బంతి ఆరంభ బిందువు నుంచి దాని దూరాన్ని కాలప్రమేయంగా తీసుకుంటే, వస్తువు స్థానం బట్టి మూలబిందువు ఎంపికను బట్టి స్థానభ్రంశ పరిమాణం ఉంటుంది.
• ఏకాంతర విద్యుత్ ప్రవాహ వలయంలో కెపాసిటర్ పలకల మధ్య కాలంతో పాటు మారే వోల్టేజిని కూడా స్థానభ్రంశ చలరాశిగా భావించవచ్చు.

→ ఫోరియర్ సిద్ధాంతము : ఏ ఆవర్తన ప్రమేయాన్ని అయినా వివిధ డోలనా వర్తన కాలాలు (T), వాటికి అనుగుణమైన గుణకాలు కలిగి ఉండే sine మరియు cosine ల ప్రమేయాల అధ్యారోపణంగా రాయవచ్చు. ఉదా :

• Y = sin ωt + cos ωt
• Y = sin ωt + cos 2 ωt + sin 4 ωt
• Y = e^-ωt
• Y = log (ωf) వంటి ప్రమేయాలు ఆవర్తన చలనాన్ని సూచించటానికి వాడవచ్చు.

→ సరళ హరాత్మక చలన సమీకరణ వివరణ : కాలంతో పాటు స్థానభ్రంశం జ్యా వక్రీయ ప్రమేయం (sinusodial)గా ఉన్న ఆవర్తన చలనాన్ని సరళ హరాత్మక చలనంగా తీసుకుంటారు. ఇటువంటి చలనంలో కణ స్థానభ్రంశం ‘X’ కాలంతో పాటు (t) మారే విధానాన్ని x(t) = A cos (ωt + Φ) తో సూచిస్తారు. ఇందులో A కణం పొందే గరిష్ఠ స్థానభ్రంశ పరిమాణము. దీనిని కంపన పరిమితి అంటారు. sine, cosine ప్రమేయాలకు దీని విలువ – 1 నుండి 1 వరకు మారును. ut ని ఆర్గ్యుమెంట్ అంటారు. ఇది కాలంతో పాటు మారే స్థానభ్రంశ పరిమాణాన్ని సూచిస్తుంది. ఈ ప్రమేయం ఆవర్తన కాలము T = అవుతుంది.

→ ప్రావస్థ లేక దశ (Φ) : ఆవర్తన చలన ప్రారంభంలో t = 0 వద్ద ωt + Φ = 0 అవుతుంది. t = 0 వద్ద గల స్థానభ్రంశాన్ని ప్రావస్థ లేదా దశ ” అంటారు.

→ కోణీయ వేగము లేదా కోణీయ పౌనఃపున్యము (ω) : ఆవర్తన చలనాన్ని కోసైన్ (cosine) లేదా సైన్ (sine)ల ఆవర్తన ప్రమేయంగా చూపితే, ఆవర్తన కాలం ‘T’ లో ఆర్గ్యుమెంట్ (కణ కోణీయ స్థానభ్రంశం)లో మార్పు 2π అయితే దాని స్థానభ్రంశం పునరావృతమవుతుంది. అనగా కోణీయ వేగము ω = \(\frac{2 \pi}{T}\). దీనినే వస్తువు కోణీయ పౌనఃపున్యము అని కూడా అంటారు.

→ నివేశ వృత్తము : ఒక వృత్త వ్యాసంపై ఏకరీతి వృత్తాకార చలనం యొక్క విక్షేపం (projection) సరళ హరాత్మక చలనము వృత్త వ్యాసంపై ఏకరీతి చలనం చేసే కణాన్ని (p) నిర్దేశకం అని, ఈ కణం ఏ వృత్తంపై తిరుగుతుందో దానిని నివేశ వృత్తము అని అంటారు.

→ సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉన్న వస్తువు వేగము : ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో కణం గరిష్ఠ వడి అనేది కోణీయ వేగం మరియు వృత్త వ్యాసార్థాల లబ్ధానికి సమానము. V = ωA. S.H.M లో గల వస్తు సమీకరణం x(t) = = A cos (ωt + d) అయితే కణం వడి υ = \(\frac{d}{d x}\)[x(t)] = \(\frac{d}{d x}\) [A cos (ωt + d)] = – A ω sin (ωt + d) = ω\(\sqrt{A^2-x^2}\) – గుర్తు U దిశ ధన X – అక్షానికి వ్యతిరేకము. గరిష్ఠ వడి X = 0 వద్ద ఉంటుంది .υ = ωA అనగా S.H.M లో స్థానభ్రంశం x = 0 అయితే కణం వడి గరిష్ఠము.

→ త్వరణము : S.H.M లో గల వస్తువు తాక్షణిక త్వరణము a(t) = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\)
a(t) = \(\frac{d}{d t}\)[- Aω sin (ωt + Φ)] = -Aω² cos (ωt + Φ) = -ω². x(t)
గరిష్ఠ త్వరణము a = -ω²A ఇది X = A బిందువు వద్ద ఉంటుంది. అనగా స్థానభ్రంశము గరిష్ఠమైతే S.H.M లో వస్తువు త్వరణము గరిష్ఠము ఈ త్వరణము ఎల్లప్పుడూ మాధ్యమిక బిందువు వైపు ఉంటుంది.

→ సరళ హరాత్మక చలనం చేసే వస్తువు పై బలము : m ద్రవ్యరాశి గల S.H.M ఉన్న వస్తువు పై బలం కూడా కాలం ప్రమేయంగా మారుతుంది. F(t) = ma = – mω²x(t) లేదా F(t) = – K x(1) ఇందులో K = -mω² S.H.M లో గల వస్తువుపై పనిచేసే బలం ఎల్లప్పుడూ ఆ చలనంలో గల మాధ్యమిక బిందువు వైపు ఉంటుంది.

→ S.H.M లో గల వస్తువు శక్తి : సరళ హరాత్మక చలనం చేసే కణం యొక్క స్థితిజశక్తి, గతిజశక్తి విలువలు సున్న నుండి గరిష్ఠ విలువ మధ్య మారుతుంటాయి.
కణం గతిజశక్తి K.E = \(\frac{1}{2}\)mω² = \(\frac{1}{2}\)mω²A² sin² (ωt + Φ) = = K. A² sin² (ωt + Φ) లేదా KE = \(\frac{1}{2}\) mω² (A² – x²) = \(\frac{1}{2}\) K (A² – x²)
x = స్థానభ్రంశము; A – కంపన పరిమితి
S.H.M లో కణం స్థితి శక్తి : S.HM లో కణం స్థితిశక్తి U = \(\frac{1}{2}\) mω² A² cos (ωt + Φ)
U = P.E = \(\frac{1}{2}\)mω² A² cos² (ωt + Φ) = \(\frac{1}{2}\)KAx²
S.H.M లో గల వస్తువు లేదా కణం మొత్తం శక్తి E = \(\frac{1}{2}\)m² A² = \(\frac{1}{2}\)K A²

→ స్ప్రింగ్లలో డోలనాలు : స్ప్రింగ్లలో స్ప్రింగ్ పొడవుతో పోలిస్తే స్థానభ్రంశం తక్కువగా ఉన్నపుడు మాత్రమే హుక్ నియమం వర్తిస్తుంది.
స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము

గుర్తు పునఃస్థాపక బలాలు వ్యతిరేక దిశలో పనిచేస్తాయి అని చెపుతుంది.
గట్టి స్ప్రింగ్లకు K విలువ ఎక్కువ, మెత్తటి స్ప్రింగ్లకు K విలువ తక్కువ.
స్ప్రింగ్లలో కోణీయ వేగం లేదా కోణీయ పౌనఃపున్యము ω = \(\sqrt{\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{m}}}\)
స్ప్రింగ్ అవర్తన డోలనాకాలము T = \(\frac{2 \pi}{\omega}\) = 2π\(\sqrt{\frac{m}{K}}\)

→ లఘు లోలకము : సాగదీయడానికి వీలులేని, ద్రవ్యరాశి లేనటువంటి ఓ పొడవు గల దారానికి ఒక చిన్న లోహపు గుండును తగిలించి దృఢమైన ఆధారానికి కడితే దానిని లఘు లోలకము అంటారు.

→ కంపన పరిమితి తక్కువగా గల లఘు లోలకం చేసే డోలనాలు సరళ హరాత్మక చలనాలు.

→ లోలకం పొడవు వెంబడి నికర వ్యాసార్ధియ బలం mg cos θ. ఇది దారంతో తన్యత T ని తుల్యం చేస్తుంది.

→ లోలకం డోలనాలు చేయడానికి కావలసిన టార్క్ T ను స్పర్శియ బలం ng sin θ ఇస్తుంది.

→ లోలకం డోలనాలకు కావలసిన టార్క్ τ = – L mg sin θ

→ లోలకం కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{-\mathrm{mgL}}{\mathrm{I}}\)θ

→ లోలకం జడత్వ భ్రామకం I = mL²
లోలకం ఆవర్తన కాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{1}{\mathrm{mgL}}}\) = 2π\(\sqrt{\frac{L}{g}}\)

→ సెకండ్ల లోలకం : డోలనావర్తన కాలం రెండు సెకనులు గల లోలకాన్ని సెకండ్ల లోలకం అంటారు.
సెకన్ల లోలకం ఆవర్తన కాలము T = 2 సెకనులు.

→ అవరుద్ధ దోలనాలు : అవరుద్ధ డోలనాలలో వ్యవస్థ శక్తి అవిచ్ఛిన్నంగా వ్యర్థమవుతుంది. అవరోధం అల్పంగా ఉండే సందర్భంలో డోలనాలు దాదాపు ఆవర్తన చలనాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

గమనిక :
అవరోధబలం పరిమాణం యానకం స్వభావంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అవరోధబలం పెరిగితే కంపించే వ్యవస్థ తొందరగా శక్తిని కోల్పోయి వ్యవస్థ కంపనాలు లేదా డోలనాలు తొందరగా ఆగిపోతాయి.
అవరోధబలానికి గురైన వస్తువు ఆవృత చలనాన్ని m\(\frac{d^2 x}{d t^2}\) + b\(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) + Kx = 0 అన్న సమీకరణంతో సూచిస్తారు.
ఇటువంటి వ్యవస్థ కోణీయత = \(\sqrt{\frac{K}{m}-\frac{b^2}{4 m^2}}\)
ఇందులో K = స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము, b = అవరోధ స్థిరాంకము

→ స్వేచ్ఛా కంపనాలు లేదా స్వేచ్ఛా డోలనాలు : వస్తువును మాధ్యమిక స్థానం నుంచి స్థానభ్రంశం చెందించి వదలివేస్తే ఆ వస్తువు చేసే కంపనాలను స్వేచ్ఛా కంపనాలు అంటారు.

→ బలాత్కృత లేదా చోదిత డోలనాలు : ఏదైనా వ్యవస్థ తన సహజ పౌనఃపున్యం వద్ద కాక బాహ్య కారకం పౌనఃపున్యంతో చలిస్తే అటువంటి డోలనాలను బలాత్కృత డోలనాలు అంటారు. బలాత్కృత డోలనాలన్నీ అవరుద్ధ డోలనాలే.

→ అనునాదము : ఏదైనా వస్తువుపై చోదకబలం పౌనఃపున్యము వస్తువు సహజ పౌనఃపున్యానికి సమానమైనపుడు డోలకం కంపన పరిమితిలో పెరుగుదల కలిగించే దృగ్విషయాన్ని అనునాదము అంటారు.
గమనిక : వస్తువు సహజ పౌనఃపున్యం చోదకబలం పౌనఃపున్యానికి చాలా దగ్గరగా ఉంటే కూడా అనునాదం సంభవించవచ్చు. ఈ కారణం వల్ల భూకంపం వచ్చినపుడు భూప్రకంపనల పౌనఃపున్యానికి సమీప సహజ పౌనఃపున్యం గల భవనాలు తొందరగా నేల కూలతాయి.

→ సరళహరాత్మక చలనములో ఉన్న వస్తువు స్థానభ్రంశ సమీకరణములు
Y = A sin (ωt ± Φ) లేదా Y = A cos (ωt ± Φ)

→ స.హ.చ. లో ఉన్న వస్తువు వేగము : V = \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\)(A cos ωt)
∴ V = -Aω sin ωt
లేదా V = \(\sqrt{A^2-Y^2}\); గరిష్ఠవేగము V_{గరిష్ఠ} = Aω

→ స.హ.చ. లో ఉన్న వస్తువు త్వరణము :
a = -ω² A sin ωt లేదా a = -ω²Y (ఇక్కడడ Y = A sin ωt)
(– ఋణగుర్తు త్వరణము మరియు స్థానభ్రంశములు వ్యతిరేకదిశలలో ఉండుటను సూచించును.) గరిష్ఠ త్వరణము a_max = ω²A.

→ స.హ.చ.లో ఉన్న వస్తువు కోణీయ వేగము ‘ω’ : స.హ.చ.లో త్వరణము ∝ స్థానభ్రంశము a ∝ – Y లేదా a = -ω²y ( ఋణగుర్తు a మరియు y లు వ్యతిరేకదిశలలో ఉండుటను సూచించును.)

ఇందులో ω స.హ.చ.లో ఉన్న వస్తువు కోణీయ వేగము.

→ స.హ.చ.లో ఉన్న వస్తువు ఆవర్తన కాలము: ఒక పూర్తి కంపనమునకు పట్టుకాలమును దాని ఆవర్తనకాలము

పౌనఃపున్యము υ = \(\frac{1}{T}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{a}{Y}}\) లేదా υ = \(\frac{\omega}{2 \pi}\) లేదా ω = 2πυ

→ స్ప్రింగ్లు :
1) స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము

2) వస్తువు త్వరణము a = \(\frac{K}{m}\). Y (m స్ప్రింగ్ కు వ్రేలాడదీసిన దిమ్మ ద్రవ్యరాశి)
3) దిమ్మ యొక్క కోణీయ వేగము ω = \(\sqrt{\frac{K}{m}}\) [∵ a = -ω²Y కాని స్ప్రింగ్లో a = \(\frac{K}{m}\). Y ∴ ω = \(\sqrt{\frac{K}{m}}\)
4) ఆవర్తన కాలము T = \(\frac{2 n}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{K}}\)
5) T₁ = \(2 \pi \frac{\sqrt{\left(m+\frac{m_1}{3}\right)}}{K}\) (నిజస్ప్రింగ్లందు)
6) కంపన పౌనఃపున్యము n = \(\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{K}{m}}\), నిజ స్ప్రింగ్లందు n = \(\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{K}{\left(m+\frac{m_1}{3}\right)}}\)
7) ఏ స్థానము వద్దనైనా స్థితిశక్తి P.E. = \(\frac{1}{2}\)Kx² ణి మరియు గతిశక్తి K.E. = \(\frac{1}{2}\)K(A² – x²)
8) మొత్తము శక్తి T.E. = స్థితిశక్తి + గతిశక్తి = \(\frac{1}{2}\)KA²
9) k స్థిరాంకము గల స్ప్రింగ్ను ‘n’ సమానభాగములుగా కత్తిరించిన ఒక్కొక్క భాగము స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము k¹ = nk n = భాగముల సంఖ్య మరియు k = మొదటి స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము

→ స.హ.చ.లో ఉన్న వస్తువు యొక్క శక్తి :

• ఏ బిందువు వద్దనైనా స్థితిశక్తి P.E. = \(\frac{1}{2}\)mω²x²; PE_max = \(\frac{1}{2}\)mω²A²
• ఏ బిందువు వద్దనైనా K.E. = \(\frac{1}{2}\)mω²(A² – x²); గరిష్ట గతిశక్తి = \(\frac{1}{2}\)mω²A² (x = ‘0’ వద్ద)
• పౌనఃపున్యము ‘U’ లో సమీకరణాలు వ్రాసినపుడు
  స్థితిశక్తి P.E. = 2mπ²v²x² గతిశక్తి K.E. = 2mπ²v² (A² – x²)
  మొత్తము శక్తి T. E. = P.E. + K.E. = 2mπ²v²A²

→ లఘు లోలకము:

• లఘులోలకములో భారము యొక్క అంశము mg sin θ. ఇది డోలనాలు చేయుటకు కావలసిన బలమును సమకూర్చును. F = mg.sin θ. లోలకం పై టార్క్ τ = L. mg sin θ,
• డోలనావర్తన కాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{mgL}}}\) = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\) లేదా g = 4π²\(\frac{l}{\mathrm{~T}^2}\)
• లోలకము M.O.I = I = mL² ; కోణీయ త్వరణము α = –\(\frac{\mathrm{mgL}}{\mathrm{I}}\).θ
• లిఫ్ట్ ‘a’ త్వరణముతో పైకి వెళుతున్న దానిలోని లోలకము ఆవర్తనకాలము తగ్గును T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g+a}}\)
• లఘులోలకమును ‘a’ త్వరణముతో క్రిందికి వెళ్ళుతున్న లిఫ్ట్ లో ఉంచిన దాని ఆవర్తనకాలము పెరుగును
  T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g-a}}\)
• సెకనుల లోలకము డోలనావర్తన కాలము T = 2 సె.; పొడవు = 100 సెం.మీ. = 1మీ. (సుమారుగా)

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Hindi Study Material उपवाचक 6th Lesson सफलता की कुंजी : टीम वर्क Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Hindi उपवाचक 6th Lesson सफलता की कुंजी : टीम वर्क

अभ्यास

अ. निम्न लिखित प्रश्नों के उत्तर तीन चार वाक्यों में दीजिए ।

प्रश्न 1.
ए. पी. जे. अब्दुल कलाम का संक्षिप्त परिचय लिखिए ।
उत्तर:
ए.पी.जे अब्दुल कलाम को भारत के ग्यारहवें राष्ट्रपति के तौर पर अधिक जाना जाता है, जो साल 2002 से लेकर साल 2007 तक भारत के राष्ट्रपति के पद पर रहे। इस से पहले कलाम विज्ञान क्षेत्र में सक्रिय थे । कलाम ने तमिलनाडु के रामेश्वरम में जन्म लिया और वही पर उनका पालन पोषण भी हुआ ।

शिक्षा के लिहाज से उन्होंने अन्तरिक्ष विज्ञान और भौतिक विज्ञान की पढ़ाई की । अपने करियर के अगले करीब चालीस सालों तक, वह भारतीय रक्षा अनुसन्धान और विकास संगठन यानि संक्षेप में कहें तो डी.आर.डी.ओ. और भारतीय अन्तरिक्ष अनुसन्धान संगठन यानि इसरो में वैज्ञानिक और इंजिनियर के पद पर रहे । इन्हें लोगों के दिल में बहुत सम्मान प्राप्त है ।

प्रश्न 2.
“सफलता अकेले आगे बढने में नहीं है, बल्कि दूसरों को भी साथ लेकर बढने में है ।” इस कथन का समर्थन करते हुए अपने विचार लिखिए ?
उत्तर:
किसी भी संस्था के परिणामों को बेहतर बनाने केलिए टीम वर्क की अहमियत को समझना बेहद जरुरी है। संकटपूर्ण स्थितियों में टीम भावना से किया काम सफलता को सुनिश्चित करता है । यह वह स्थिति होती है, जिसमें सभी की जीत होती है । पारस्परिक मधुर संबंध टीम की सफलता केलिए जरुरी होते है । सदस्यों के बीच भरोसा मजबूत होना चाहिए। टीम वर्क से कोई भी काम कम वक्त में पूरा हो जाता है ।

जब कई लोग किसी एक समस्या का समाधान ढूंढने का कोशिश करते है तो बेहतर विचार सामने आते हैं। टीम वर्क में गलती की संभावनाएं कम होती हैं, क्यों कि एक व्यक्ति का काम दूसरे से जुड़ा होता है, इसलिए प्रत्येक स्तर पर काम की जांच होती रहती है। अच्छा टीम वर्क किसी संगठन को कम समय में बेहतर नतीचे तक पहुंचाता है । सफलता एक व्यक्ति का न होकर समस्त व्यक्तियों के होते तो उसका मजा ही और है । हम उस आनंद बातों में नहीं बता सकते ।

सफलता की कुंजी : टीम वर्क Summary in Hindi

लेखक परिचय

‘भारतरत्न’ अबुल पकीर जैनुलाबदीन अब्दुल कलाम का जन्म सन् 1931 में धनुषकोडी, रामेश्वरम, तमिलनाडु राज्य में एक मध्यम वर्गीय मुस्लिम परिवार में हुआ था । कलाम सात भाई – बहनों में से एक थे । उनके पिता का नाम जैनुलाबश्रान और माता का नाम आशियाम्मा था । कलाम ने तिरुचीरापल्ली के सेंट जोसेफ कॉलेज से अपनी बारहवी की परीक्षा उत्तीर्ण की। तत्पश्चात वें एयरोनॉटीकल इंजीनियरिंग की पढ़ाई के लिए मद्रास इंस्टिटयूट ऑफ टेक्नोलॉजी आ गए ।

कलाम ने सन् 1958 में रक्षा अनुसंधान और विकास संगठन (डीआरडीओ) के साथ अपनी नौकरी शुरु की। तत्पश्चात वें भारतीय अंतरिक्ष अनुसंधान संगठन (इसरो) में स्थानांतरित हो गए। वहां उन्होंने एसएलवी – 3 ( उपग्रह प्रक्षेपण वाहन – 3) की मदद से रोहिणी – 1 उपग्रह को निम्न- पृथ्वी कक्षा में स्थापित किया । उनके नेतृत्व में कम दूरी और मध्यम दूरी की बैलेस्टिक मिसाइल पृथ्वी और अग्नि भारत के मिसाइल शस्त्रागार में शामिल हुई। सन् 1998 में कलाम ने भारत के पोखरण परमाणु परीक्षण में एक निर्णायक, संगठनात्मक, तकनीकी और राजनीतिक भूमिका निभाई ।

स्वयं एक गरीब परीवार से आये थे इसलिए सुनहरे भविष्य निर्माण मे शिक्षा की शक्ति के योगदान को अच्छी तरह से जानते थे। कलाम को बच्चों से विशेष लगाव था ।

कलाम को वैसे तो अनगिनत पुरस्कार व सम्मान मिले, किंतु भारतरत्न का सम्मान उनके लिए विशेष था । उन्हें जब कभी समय मिलता लेखन कार्य में जुट जाते । ‘इग्नाइटेड माइंड्स’, ‘इंडिया माय ड्रीम’ उनकी चिंतनपरक रपनाएँ थी, वहीं दूसरी ओर ‘विंग्स ऑफ फायर’ और ‘साइंटिस्ट टू प्रेसिडेंट’ उनकी आत्मकथात्मक पुस्तकें हैं । इन पुस्तकों को पढने के पश्चात पता चलता है कि हौंसला हो तो कुछ भी असंभव नहीं है । इसका उदाहरण स्वयं अब्दुल कलाम हैं जो समाचार पत्र बेचने से लेकर राष्ट्रपति पद तक पहुँचे । महान व्यक्तित्व के धनी कलाम जी का 27 जुलाई 2015 को शिलांग में निधन हो गया ।

प्रस्तुत अंश ए. पी. जी. अब्दुल कलाम की आत्मकथा ‘विंग्स’ ऑफ फायर से लिया गया हैं । इसका हिंदी अनुवाद श्री अरुण तिवारी ने ‘अग्नि की उड़ान’ शीर्षक से किया है। इसमें कलाम जी सामूहिक कार्य के महत्व का विश्लेषण करते हैं ।

‘भारतरत्न’ अबुल पकीर जैनुलाबदीन अब्दुल कलाम का जन्म सन् 1931 में तलिलनाडु में एक मध्यम वर्गीय मुस्लिम परिवार में हुआ था । आप महान वैज्ञानिक थे । सन् 1998 में कलाम ने भारत के पोखरण परमाणु परीक्षण में निर्णायक, संगठनात्मक, तकनीकी और राजनीतिक भूमिका निभाई ।

सारांश

भारत में आज भी ज्यादातर लागों के लिए टेक्नोलॉजी शब्द का अर्थ धुआँ उगलते स्टील कारखानों या झनझनाती मशीनोंवाले कारखाने से हैं । टेक्नोलॉजी शब्द की जो सही – सही अवधारणा है। वह उससे बिलकुल अलग है। टेक्नालॉजी में तकनोकियाँ शामिल होती हैं – ठीक वैसे ही जैसे मशीने, जिन्हें इस्तेमाल करना जरुरी हो भी सकता है और नहीं भी । तकनी हमें यह कभी नहीं भूलवा चाहिए कि टेक्नोलॉजी खुद ही अपनी पोषक होती है। दरअसल टेक्नोलॉजी विकास के तीन चरण मुख्य होते हैं। जो आपस में एक दुसरे से जुड़े हैं। पहला चरण सृजन का होता है। जिसमें उपयुक्त विचार था। फिर यह अपने व्यावहारिक प्रयोग से वास्तविक में इसका अंत हो जाता है। यह प्रक्रिया तब पूरी हो जाती है जब यह टेक्नोलॉजी नए – नए सृजनात्मक विचारों को पैदा करती है ।

टेक्नोलॉजी विज्ञान से भिन्न एक सामुहिक गतिविधि है । यह किसी एक व्यक्ति की बुध्दि या समझ पर आधारित नहीं होती बल्कि कई व्यक्तियों की आपसी बोध्दिक प्रतिभा पर आधारित होती है । एकीकृत गाइडेड मिसाइल विकास कार्यक्रम (आई.जी. एम. डी. पी) Integrated Guided Missile Development Programme की सबसे बड़ी सफलता का तथ्य यह नहीं है कि देश ने रिकॉर्ड समय के भीतर पांच मिसाइल प्रणालियाँ विकसित कर लेने की क्षमता हासिल कर ली, बल्कि तथ्य यह है कि इसके माध्यम से वैज्ञानिकों एवं इंजीनियरों की कुछ सर्वश्रेष्ठ टीमें तैयार हो गई । अगर कोई मुझसे भारतीय रॉकेट विज्ञान में मेरी व्यक्तिगत उपलब्दि के बारे में पूछता है तो मैं बताऊँगा कि मैं ने नौजवानों की टीमों के लिए एक ऐसा माहोल तैयार किया जिसमें वे अपने दिल और आत्मा का संघर्ष अपने मिशन में लगा सकें ।

अपने निर्माण के दौर में टीमें बच्चों की तरह ही होती हैं । वे एकदम उत्तेजनशील, ओजस्विता, उत्साह एवा उत्सुक्ता से भरपूर और अपने को विशिष्ट दिखाने की इच्छा लिये होती हैं। अपनी टीमों को हमेशा ऐसा माहौल देना सुनिश्चित किया जिसमें वे कुछ नया कर सकें और जोखिम उठा सकें ।

एस.एल.वी – 3 परियोजना और बाद में एकीकृत गाइडेड मिसाइल विकास कार्यक्रम (आइ.जी.एम.डी.पी.) Integrated Guided Missile Development Programme (I.G.M.D.P) के दौरा न हमने पहले परियोजना टीमें बनानी शुरु कीं तो इन टीमों में काम कर रहे लोगों ने अपने पंक्ति में पाया । चूँकि इन टीमों में एक तरह से मनोवैज्ञानिक निवेश किया गया था, इसलिए वे बहुत ही सुस्पष्ट और अति संवेदनशील बन गई । सामूहिक यश लेने के लिए ने एक – दूसरे से व्यक्तिगत रुप. से विषमानुपात में काम करने की उम्मीद करते ।

जब आप एक परियोजना टीम के रूप में काम करते हैं तो आपको सफलता की कसौटी के लिए मिली जुली दृष्टि विकसित करनी होगी। हर टीम के काम में हमेशा बहुविधि और विरोधाव्यासी उम्मीदें बनी रहती हैं। अच्छी परियोजना टीमें उस मूल तत्व और उन मुख्य लोगों को फौरन पहचात लेने में समर्थ होती हैं, जिनसे सफलता की कसौटी तय कर ली जानी चाहिए। टीम के नेता की भूमिका का एक निर्णायक पक्ष ऐसे मुख्य लोगों से उनकी जरुरतों के बारे में बातचीत कर लेने तथा उनको प्रभावित करने का होता है और टीम नेता को यह भी सुनिश्चित करना होता है कि जैसे जैसे परिस्थियाँ विकसित हों या बदलें, तत्व पर नज़र जमी रहे, मुख्य लोगों और अन्य लोगों के बीच संवाद नियमित रुप से जारी रहे ।

टीम ने स्वयं ही आंतरिक सफलता की कसौटी विकसित की थी स्वयं ही अपने स्पष्ट मानदंड उम्मीदें और लक्ष्य निर्धारित किए थे ।

किस भी टीम में सफलता की कसौटी तक पहुँचने की प्रक्रिया बहुत ही जटिल एवं कौशलयुक्त होती है, क्यों कि एक ही छत के नीचे काफी कुछ घटित होता है ।

दुसरे स्तर पर परियोजना नेता को टीमों एवं कार्य केंद्रों के बीच संबंध को बढ़ावा देने तथा विकसित करने का काम करना चाहिए । दोनों ही पक्षों को अपनी आपसी समझ के बारे में बहुत ही स्पष्ट होना चाहिए और दोनों को ही परियोजना में बराबर का पूर्णरूप से साझेदार होना चाहिए ।

अब्राहम मैसलो पहले व्यक्ति थे, जिन्होंने स्व कार्यान्वयत के नए मनोविज्ञान को अवधारणा के स्तर पर बहस के लिए प्रस्तुत किया । युरोप में रुडोल्फ स्टेनर और रेग रेवांस ने इस अवधारणा को व्यक्तिगत शिक्ष की प्रणाली तभा संगठनात्मक नवीनीकरण के रूप में विकसित किया ।

डाँ. होमी जहाँगीर भाभा और प्रा. विक्रम साराभाई ने परमाणु उर्जा पर आधारित उच्च टेक्नोलॉजी एवं अंतरिक्ष कार्यक्रमों की शुरुआत की और साथ ही संपूर्णता व प्रवाह के प्राकृतिक नियमों पर स्पष्ट जोर दिया । डॉ. वर्गीज कुरियन ने सहकारिता आंदोलन को सशक्त बनाकर डेयरी उद्योग में एक नई क्रांति ला दी। प्रो. सतीश धवन ने अंतरिक्ष शोध में मिरान प्रबंधन की अवधारणाओं को विकसित किया ।

तकनीकी प्रबंधन वृक्ष तभी फैलता है जब सफल रुप में जरुरतों, नवीनीकरण, अंतर्निर्भरता और प्राकृतिक प्रवाह का स्व कार्यान्वयन होता है । विकास के प्रतिरुप ही विकास की प्रक्रिया के लक्षण होते हैं । जिनका मतलब यह होता है कि चीजें धीमे परिवर्तन और अचानक रुपांतरण के मिले-जुले रूप में चलती हैं।

हर रुपांतरण या तो एक नई छलंग को जन्म देता है जिससे सोच, ज्ञान अभवा क्षमता के एक और विकसित पटल का प्रादुर्भाव होता है या फिर पुराने किसी पटल पर जा गिरता है । अच्छा प्रबंध ऊपर उठाने तभा पीछे गिराने की प्रक्रिया को इस प्रकार अनवरत जारी रखता है कि ऊपर उठने की आवृत्ति और उसका तान्विक आकार पीछे गिरने की अपरिहार्यता को सदा न सिर्फ संभाले रहे बल्कि निरस्त भी करता चले ।

विशेषताएँ :

1. आधुनिक भारत के उन विज्ञान प्रतिष्ठानों की सफलताओं एवं असफलताओं के बारे में बताया है, जो तकनीकी मोरचे पर अपने को स्थापित करने केलिए संघर्ष कर रहे हैं ।
2. जितना भी परियोजनाएँ भारत के वैज्ञानिक और इंजनीयर्स ने किया उन सब की सफलता का मंत्र एक ही है – टीमवर्क.
3. टीम वर्क सफल होने केलिए बहुत जरुरी है । आज हम चाहे परिवार में देखे, किसी संस्था में (Organisation) देखें या समाज में देखे कही न कही हम एक टीम के रूप में काम कर रहे है । लेकिन सबकी सफलता एक अच्छी और सफल टीम पर निर्भर करती है ।
4. टीम वर्क काम करनेवाले लोग जबरदस्त लक्ष्य प्राप्त कर सकते है ।

सफलता की कुंजी : टीम वर्क Summary in Telugu

సారాంశము

ప్రస్తుత అంశం ‘सफलता की कुंजी : टीम वर्क’ అబ్దుల్ కలాం యొక్క ఆత్మకథ ‘వింగ్స్ ఆఫ్’ ఫయర్’ నుండి తీసుకోబడినది. దీనిని అరుణ తివారి గారు హిందీలో ‘అగ్నికీ ఉడాన్’ అను పేరుతో అనువదించారు. ఇందులో కలాంగారు సామూహిక కార్యం యొక్క గొప్పతనాన్ని గూర్చి వివరించారు.

ఏ వ్యక్తి అయిన ఏ రంగంలోనైనా సామూహికంగా కలిసి ఉంటే ఎంత కష్టతరమైన పనిని అయిన తేలికగా చేయవచ్చు అని వివరించారు. అబ్దుల్ కలాం గారు మనకు కొన్ని విషయాలను తెలియచేశారు. భారతదేశంలో ఇప్పటికి చాలా మందికి టెక్నాలజీ అనే శబ్దం యొక్క అర్థం తెలియదు.

వారు టెక్నాలజీ అంటే ఫ్యాక్టరీల నుండి వచ్చే పొగ లేక పెద్ద పెద్ద శబ్దాలు వచ్చే మెషీనులు, కర్మాగారాలు అని అంటారు. టెక్నాలజీ శబ్దం అర్థం ఎన్నో రకాలైన టెక్నిక్స్ కూడుకుని ఉండటం. అనగా రసాయన పదార్థాల వాడకం, రోగులకు చికిత్స చేయడం, చరిత్ర చదవడం, యుద్ధ సమయంలో ఎలా ఉండటం, ఎలా పోరాడటం, ఎలా తప్పించుకోవడం వంటి చాలా విషయాలు ఉంటాయి.

టెక్నాలజీకి తనకంటూ ప్రత్యేకమైన వస్త్రధారణ ఉండదు. టెక్నాలజీకి ముఖ్యంగా కొన్ని అభివృద్ధి పద్ధతులు ఉన్నాయి. ముఖ్యంగా 3 పద్ధతులు కలవు. అవి ఒక దానితో ఒకటి ముడిపడి ఉంటాయి. మొదటిది Creation క్రియేషన్ క్రియేటివిటీ అనేది ఒక వ్యక్తితో కాక ఒక సామూహిక కార్యంవలె పనిచేస్తే ఆ క్రియేషన్ చాలా అద్భుతంగా బయటకు వస్తుంది.

ప్రజల ఆదరణ కూడా పొందుతుంది. ఒక వ్యక్తి అభివృద్ధి వెనుక ఏ రంగంలోనైన అనేక సమూహాల పని దాగి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు I.G.M.D.P. మిసైల్ గూర్చి తెలుసుకుందాం. ఈ కార్యక్రమం అభివృద్ధి వెనుక ఎంతో మంది శాస్త్రవేత్తలు మరియు ఇంజనీర్లు ఉన్నారు. వారందరి సహాయ సహకారాలతోనే ఈ మిసైల్ వృద్ధి చెందింది.

ఎవరైన భారతీయ రాకెట్ విజ్ఞానం గురించి నన్ను ప్రశ్నిస్తే ఒకే సమాధానం చెబుతాను. నాకు తోడుగా, నా వెంట ఎంతో మంది నవయువకులు ఉన్నారు. వారి సంఘీభావం, సమిష్టి కృషి వలన నేను గొప్పవాడిని కాగలిగాను. నాతో పనిచేసే నవయువకులను టీమ్స్ గా చేసి వారి మనసుకు నచ్చిన విధంగా వారి అభిప్రాయాలను తెలియచేయమని కోరతాను. వారు సంతోషంతో వారిలోని తెలివితేటలను, ఉత్సాహాన్ని, ఉత్తేజాన్ని పూర్తిగా పనిపై నిమగ్నం చేసి గొప్ప విషయాలు సృష్టిస్తారు. ఏ టీక్కైన ఎటువంటి వాతావరణం కల్పించాలంటే వారు ఏ కొత్త విషయాన్నైనా భయపడకుండా చెప్పగలగాలి.

S.L.V – 3 ప్రాజెక్టు మరియు తరువాత I.G.M.D.P ప్రాజెక్టులలో మా అభివృద్ధి, సఫలతకు కారణం టీమ్ వర్క్ ప్రతి ప్రాజెక్టులో ప్రతి శాస్త్రవేత్త తన అభిప్రాయాలు టీమ్ లోని ప్రతి ఒక్కరితో చర్చించేవారు. అందరి ఆమోదం తరువాత కార్యాచరణ చేసేవారు. ప్రతి టీమ్కి ఒక నాయకుడు ఉండేవారు తన టీమ్ పనిచేసే వ్యక్తుల అభిప్రాయాలు తప్పనిసరిగా తెలుసుకునేవారు. మీరు కూడా ఏ పని చేసిన కొన్ని టీమ్స్ కొందరిని విభజించి పనిచేసి చూడండి. ఆ టీమ్స్్క నాయకుడిని ఇచ్చి వారి ద్వారా పనిచేయిస్తే ఏ పని అయినా త్వరగా అయిపోతుంది. ప్రతి టీమ్ వారికి కొన్ని ఆశయాలు, లక్ష్యాలు, అభిప్రాయాలు ఉంటాయి.

టీమ్ సఫలత రావడం లేదు అంటే ఆ టీమ్ లీడరు వ్యక్తులను పరిశీ లించాలి. కొన్ని ప్రక్రియలలో కొందరు కష్టపడతారు. వ్యక్తులకు వ్యక్తులకు మధ్య సంఘీభావం కల్పించాలి. అబ్రహామ్ మైసలో, యూరప్ రూడోల్ఫ్ సంఘటనాత్మక గూర్చి గొప్పగా తెలియచేశారు. నీ విజయానికి అడ్డుకునేది నీలోని ప్రతికూడా ఆలోచనలే.

క్రింద పడ్డామని ప్రయత్నం ఆపితే చేసే పనిలో ఎన్నటికి విజయం సాధించలేం, నైపుణ్యం ఒక నిరంతర సాధనా ఫలితం అది ఆకస్మాత్తుగా వచ్చేది కాదు. నైపుణ్యం కలిగిన వ్యక్తులు సమూహంగా ఏర్పడి చేసే పని ఒక అద్భుత కార్యంగా చరిత్రలో నిలిచిపోతుంది.

“నీ ధ్యేయంలో నువ్వు నెగ్గాలంటే నీకు ఏకాగ్ర చిత్తంతో కూడిన అంకిత భావం కావాలి”.

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 5th Lesson గమన నియమాలు to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 5th Lesson గమన నియమాలు

→ బలము : ఒక వస్తువును గమనంలోకి తేవాలన్నా లేదా గమనంలో గల వస్తువును విరామ స్థితికి తేవాలన్నా బలం అనేది అవసరం.
కావున ఒక వస్తువు యొక్క స్థితిని మార్చునది లేక మార్చుటకు ప్రయత్నించే భౌతికరాశిని బలంగా నిర్వచించారు. ఇది సదిశరాశి.

→ న్యూటన్ నియమాలు :
న్యూటన్ మొదటి నియమం : బాహ్యబలం పనిచేయనంతవరకు నిశ్చలస్థితిలో ఉన్న వస్తువు నిశ్చలస్థితిలోను, జ గమనంలో ఉన్న వస్తువు సమవేగంతో ఋజుమార్గంలోను చలిస్తుంది.

→ మొదటి నియమం యొక్క ప్రాముఖ్యత : ఇది జడత్వము మరియు బలాలను నిర్వచిస్తుంది.

→ న్యూటన్ రెండవ నియమము : వస్తువు ద్రవ్యవేగంలోని మార్పురేటు వస్తువుపై ప్రయోగించిన బాహ్యబలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండి, బాహ్యబలం పనిచేసే దిశలోనే పనిచేస్తుంది.
అనగా \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{P}}}{\mathrm{dt}}\) ∝ F లేదా F = k\(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{P}}}{\mathrm{dt}}\) లేదా F = k.ma లేదా F = ma (∵ k = 1)

→ ప్రాముఖ్యత : న్యూటన్ రెండవ నియమం ద్రవ్యవేగాన్ని నిర్వచిస్తుంది మరియు బలానికి ఒక సమీకరణమును ఉత్పాదిస్తుంది.
న్యూటన్ మూడవ నియమము : ప్రతి చర్యకూ ఎల్లపుడూ దానికి సమానము, వ్యతిరేకము అయిన ప్రతిచర్య
ఉంటుంది.
చర్య = – ప్రతిచర్య. న్యూటన్ మూడవ నియమం నుండి బలం ఎల్లపుడూ జతలు, జతలుగా పనిచేయును అని తెలుస్తుంది.

→ జడత్వం : జడత్వం అంటే మార్పుకు నిరోధం. వస్తువు తనంతట తానుగా తన స్థితిని మార్చుకోజాలని వస్తు ధర్మాన్ని జడత్వం అంటారు. వస్తువు జడత్వాన్ని ద్రవ్యరాశి ‘m’ తో కొలుస్తారు.

→ ద్రవ్యవేగము (P̅): ఒక వస్తువు ద్రవ్యరాశి m మరియు వేగము ల ల లబ్దాన్ని ద్రవ్యవేగము అంటారు. ఇది రాశి.
ద్రవ్యవేగము P̅ = mu, ప్రమాణము కి.గ్రా. -మీటరు/సెకను.

→ ద్రవ్యవేగము కొన్ని పరిశీలనలు :
1) సమాన పరిమాణంగల బలాన్ని వేరు వేరు ద్రవ్యరాశులు గల వస్తువులపై ప్రయోగిస్తే ఎక్కువ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు తక్కువ వేగాన్ని, తక్కువ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు ఎక్కువ వేగాన్ని పొందుతాయి. కాని ఆ రెండింటికి ద్రవ్యవేగంలో మార్పు సమానము. ఎందుకనగా ద్రవ్యవేగంలో మార్పు బాహ్యబలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది (న్యూటన్ రెండవ నియమము).

2) వేగంగా చలించే క్రికెట్ బంతిని తక్షణం ఆపడంకన్నా చేతులను బంతి దిశలో వెనుకకు లాగడం వల్ల తక్కువ బలం వాడి క్యాచ్ పట్టుకోవచ్చు.
తక్షణం బంతిని ఆపితే కాల అవధి Δt తక్కువ.
F = \(\frac{\mathrm{mv}-\mathrm{mu}}{\Delta \mathrm{t}}\) ఎక్కువ
చేతులు వెనుకకు కొంతదూరం జరపడంవల్ల కాలవ్యవధి Δt పెరుగును.
∴ ఆపడానికి కావలసిన బలం F = \(\frac{\mathrm{mv}-\mathrm{mu}}{\Delta \mathrm{t}}\) తక్కువ.
పై రెండు సందర్భాలలోను mυ – mu సమానము కాని Δt మారింది..

→ న్యూటన్ రెండవ నియమం ప్రకారము అంతర్గత బలాలు వ్యవస్థ ద్రవ్యవేగాన్ని మార్చలేవు.
ఉదా : తుపాకినుండి బులెట్లు పేల్చితే బులెట్ ఎక్కువ వేగంతో ముందుకు వెళుతుంది. తుపాకి తక్కువ వేగంతో వెనక్కి వెళుతుంది. కాని ఈ రెంటికి ద్రవ్యవేగము సమానవ

→ ప్రచోదనము : ఒక వస్తువుపై అత్యధిక బలం అతిస్వల్పకాలం పాటు పనిచేస్తే బలము మరియు కాలముల లబ్ధాన్ని ప్రచోదనము అంటారు. ఇది ద్రవ్యవేగంలో మార్పుకు సమానము.
ప్రచోదనము = బలం × కాలవ్యవధి ద్రవ్యవేగంలో మార్పు
ప్రచోదనం సదిశరాశి. ప్రమాణము న్యూటన్ – సెకను.

→ న్యూటన్ మూడవ నియమం ప్రకారము బలాలు ఎప్పుడూ జంటగానే ఏర్పడతాయి. చర్య ప్రతిచర్య.

→ సాధారణంగా చర్య, ప్రతిచర్యలు వేరు వేరు వ్యవస్థలపై పనిచేయడం వల్ల చలనం సాధ్యపడుతుంది.

→ చర్య, ప్రతిచర్య ఒకే వస్తువు లేదా వ్యవస్థపై పనిచేసే సందర్భాలలో ఆ వస్తువు సమతాస్థితిలో ఉంటుంది.

→ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమము: అన్యోన్య చర్య జరిపే కణాలు ఉన్న విముక్త వ్యవస్థ మొత్తం ద్రవ్యవేగము నిత్యత్వంగా (స్థిరంగా) ఉంటుంది.
ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమము స్థితిస్థాపక, అస్థితి స్థాపక అభిఘాతాలకు వర్తిస్తుంది.

→ స్పర్శబలాలు : ఒక వస్తువు మరొక వస్తువుతో స్పర్శలో ఉంటే (అనగా తాకుతూ ఉంటే) వాటి మధ్య ఏర్పడే బలాలను స్పర్శబలాలు అంటారు. ఇవి న్యూటన్ మూడవ నియమాన్ని సంతృప్తిపరిచే విధంగా ఉంటాయి.

• స్పర్శ తలాలకు లంబంగా ఉండే స్పర్శాబలాలను అభిలంబ చర్య (Normal reaction) అంటారు.
• స్పర్శ తలాలకు సమాంతరంగా ఉండే స్పర్శాబలాలను ఘర్షణ (Friction) అంటారు.
• స్పర్శబలాలు ఘన పదార్థముల మధ్య మరియు ప్రవాహి (Fluid) లో మునిగి ఉన్న వస్తువుల మధ్య కూడా ఏర్పడతాయి.

→ ఘర్షణ : స్పర్శలో ఉన్న రెండు తలాల మధ్య సాపేక్ష గమనాన్ని వ్యతిరేకించే బలాన్ని ఘర్షణ లేదా ఘర్షణ బలం అంటారు. ఇది స్పర్శ తలాలకు సమాంతరంగా పనిచేస్తుంది.

→ స్థితిక ఘర్షణ : విరామ స్థితిలో గల, వస్తువుల మధ్య ఘర్షణను స్థితిక ఘర్షణ అంటారు. ఇది వస్తువుల మధ్య జరగబోయే చలనాన్ని వ్యతిరేకిస్తుంది.
వస్తువుపై అనువర్తిత బలం ప్రయోగించినపుడు మాత్రమే స్థితిక ఘర్షణ బలం పనిచేయడం ప్రారంభిస్తుంది. ఈ బలాలు అనువర్తిత బలంతో పాటు ఒక సీమాంత విలువ వరకు పెరుగుతాయి. గరిష్ఠ స్థితిక ఘర్షణ (f_s)_max విలువ అభిలంబ ప్రతిచర్య (N) కు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
(f_s)_max = μ_kN

→ గతిక ఘర్షణ : గమనంలోకి వచ్చిన తరువాత స్పర్శ తలాల మధ్య సాపేక్ష చలనాన్ని నిరోధించే బలాన్ని గతిక ఘర్షణ బలం అంటారు.
f_k = μ_kN
గతిక ఘర్షణ గుణకం μ_k విలువ స్టైతిక ఘర్షణ గుణకం μ_s, కన్నా తక్కువ.

→ దొర్లుడు ఘర్షణ : వస్తువుల మధ్య దొర్లుడు చలనం ఉన్నపుడు దొర్లుడు చలనాన్ని వ్యతిరేకిస్తూ స్పర్శ తలాలకు సమాంతరంగా పనిచేసే బలాన్ని దొర్లుడు ఘర్షణ అంటారు.
వస్తువు దొర్లుతున్నపుడు స్పర్శ తలాలు స్వల్పంగా విరూపణం చెందుతాయి. ఫలితంగా వస్తువులు పరిమిత తలంలోనే స్పర్శలో ఉంటాయి. దొర్లుడు ఘర్షణ బలం వస్తువుల మధ్య గల స్పర్శతలం వైశాల్యం మీద ఆధారపడుతుంది.

→ బాల్ బేరింగులు : యంత్రాలలో కదిలే భాగాల మధ్య బాల్ బేరింగులు అమర్చడం వలన స్పర్శలోని తలాల మధ్య దొర్లుడు ఘర్షణ ఏర్పడుతుంది. దొర్లుడు ఘర్షణ గుణకం తక్కువ కావున వస్తువుల మధ్య ఘర్షణ తగ్గుతుంది.

→ క్షితిజ సమాంతర రోడ్డుపై కారు గమనం : క్షితిజ సమాంతరంగా ఉన్న రోడ్డుపై వృత్తాకార మార్గంలో చలించే వస్తువు (కారు) పై మూడు బలాలు పనిచేస్తాయి.

• కారు భారము (mg)
• అభిలంబ ప్రతిచర్య (N)
• ఘర్షణ బలం (f)

ఈ రకమైన చలనంలో కారు టైర్లకు, రోడ్డుకు మధ్య గల ఘర్షణబలం అభికేంద్రబలాన్ని సమకూరుస్తుంది.
ఇటువంటి మార్గంలో కారు సురక్షితంగా ప్రయాణించాలి. అంటే \(\frac{\mathrm{mv}^2}{\mathrm{R}}\) = μmg కావాలి.
లేదా కారు సురక్షిత వేగము V = \(\sqrt{\mu g R}\)

→ గట్టు కట్టిన రోడ్డు మీద కారు గమనం : వంపు మార్గాలలో ప్రమాదాలు నివారించడానికి రహదారిని క్షితిజ సమాంతర దిశకు కొంత కోణంలో రహదారి వెలుపలి అంచు కొంచెం ఎత్తులో ఉండేటట్లు కొంత కోణం 6తో నిర్మిస్తారు. దీనిని రహదారిని గట్టు కట్టడం అంటారు.
రహదారిని గట్టు కట్టడం వల్ల సురక్షిత వేగం పెరుగుతుంది. వంపు మార్గంలో ఈ గట్టు కట్టిన రహదారి సురక్షిత వేగము V₀ = \(\sqrt{g R \tan \theta}\). ఈ వేగంతో రహదారిపై వాహనాలు ప్రయాణిస్తే టైర్లలో అరుగుదల తక్కువ. వంపుమార్గంలో కావలసిన అభికేంద్రబలాన్ని టైర్లు, రోడ్డుకు మధ్య గల ఘర్షణ బలం వల్ల కాక గురుత్వ ఆకర్షణ వల్ల కలుగుతుంది.

→ ద్రవ్యవేగం P̅ = ద్రవ్యరాశి x వేగము, P̅ = mv
ప్రమాణము : kg m/sec. మితి ఫార్ములా : MLT^-1

→ న్యూటన్ రెండవ నియమం ప్రకారము F ∝ \(\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{P}}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{m} \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{v}}}{\mathrm{dt}}\) లేదా F = ma = m\(\frac{(v-u)}{t}\)
ప్రమాణము : కి.గ్రా. మీ/సె² న్యూటన్, మితి ఫార్ములా = MLT^-2

→ తీగ లేదా దారము గుండా కలుగజేయు బలమును తన్యత అంటారు T = F.

→ వస్తువును స్వేచ్ఛగా వ్రేలాడదీసిన T – mg = 0
∴ తన్యత T = mg.

→ తీగ ద్వారా వ్రేలాడదీయబడిన వస్తువును త్వరణం చెందించితే, T = mg + ma_లేదా T = m(g + a) ‘+’ ⇒ ఊర్ధ్వ దిశ, ‘-‘ ⇒ అధోఃదిశ; ‘a’ ఫలిత త్వరణము.

→ ఒక వస్తువు క్షితిజ సమాంతర తలం మీద రెండవ వస్తువు క్షితిజ లంబంగా వేలాడుతుంటే

• త్వరణము a = \(\frac{m_1 g}{m_1+m_2}\)
• తీగయందు తన్యత T = \(\frac{2 m_1 m_2 g}{m_1+m_2}\)

→ రెండు వస్తువులు M₁ మరియు M₂ లు స్పర్శించబడితే

• F బలము ప్రయోగించుట వలన వ్యవస్థ త్వరణము a = \(\frac{F}{M_1+M_2}\)
• రెండు వస్తువుల మధ్య స్పర్శాబలము f = \(\frac{\mathrm{M}_2 \mathrm{~F}}{\mathrm{M}_1+\mathrm{M}_2}\) (F పై M₁ వలన)

→ m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువును లిప్ట్ యందు ‘a’ త్వరణముతో తీసికొనిపోయిన

• ఊర్ధ్వ దిశలో గమనములో ఉన్నపుడు దృశ్యభారము W₁ = m(g + a) లేదా W₁ = W (1 + \(\frac{a}{g}\))
• అధోః దిశలో ‘a’ త్వరణముతో గమనములో ఉన్నప్పుడు W₁ = m(g – a) లేదా W₁ = W(1 – \(\frac{a}{g}\))
  గమనిక : దృశ్య భారమును నేల కలుగజేసిన ప్రతిచర్య బలము (N) అని కూడా అంటారు.

→ ప్రచోదనము (J) = బలము X కాలము = ద్రవ్యవేగంలోని మార్పు. J = m\(\frac{(v-u)}{t}\) × t = mv – mu

→ ద్రవ్యవేగ రేఖీయ నిత్యత్వ నియమము ప్రకారము
m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂, i.e., అభిఘాతము యందు ద్రవ్యవేగ మొత్తము స్థిరము.

→ ఘర్షణ బలం F ∝ లంబ ప్రతిచర్య N i.e., F ∝ N

→ ఘర్షణ గుణకం

ఎ) క్షితిజ సమాంతర తలం మీద లంబ చర్య N = mg = వస్తువు భారం
బి) వాలు తలం మీద లంబ ప్రతిచర్య N = mg cos θ
ఇక్కడ θ = వాలు తలం కోణం

→ ప్రశాంతత కోణము యొక్క టాంజెంట్ ప్రమేయము (tan θ), ఘర్షణ గుణకమునకు సమానము ∴ μ_s = tan θ.

→ నున్నని క్షితిజ సమాంతర తలంపై త్వరణం a = \(\frac{F}{m}\)

→ గరుకు క్షితిజ సమాంతర తలంపై త్వరణం a = \(\frac{F}{m}\) – μ_kg
(μ_k = గతిక ఘర్షణ గుణకం, F = ప్రయోగించి బలం)
గమనిక :
\(\frac{F}{m}\) < μ_kg అయినచో వస్తువు కదలదు.

1) నున్నని వాలుతలం వెంబడి క్రిందకు జరిగే చలనం విషయంలో :
ఎ) త్వరణం a = g sin θ.
బి) వాలుతలం క్రిందకు చేరు సమయానికి పొందు వేగం v = \(\sqrt{2 g l \sin \theta}=\sqrt{2 g h}\)

2) వాలుతలం వెంబడి పైకి చలించునపుడు :
ఎ) త్వరణం a = -g sin θ.
బి) u తొలివేగం అయితే వాలుతలం పైకి చేరటానికి పట్టేకాలం t = \(\frac{u}{g \sin \theta}\)
(కాని పైకి చేరటానికి కావలసిన కనీస తొలివేగం u = \(\sqrt{2 g l \sin \theta}\).

→ లాన్ లర్ చలనము :
1) m ద్రవ్యరాశి గల లాన్లర్ను F బలముతో లాగునపుడు
ఎ) క్షితిజ సమాంతర అంశ బలము F_x = F cos θ.
బి) లంబ ప్రతిచర్య N = mg – F sin θ.

2) F బలంతో తోసినప్పుడు
సి) క్షితిజ సమాంతర అంశ బలము F_x = F cos θ
డి) లంబ ప్రతిచర్య N = mg + F sin θ.

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 7th Lesson Trial Balance Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 7th Lesson Trial Balance

Essay Questions:

Question 1.
What is hail Balance ? How it is prepared?
Answer:
Trial balance is a statement prepared by putting all debits on one side and all credits on the other side to check the arithmetical accuracy of the ledger balances. Trial balance is a connecting link between the ledger accounts and final accounts.

The following points are to be kept in mind while preparing the trial balance.

1. As the trial balance is prepared on a particular date, the particular date should be shown on the head of the trial balance.
2. Draw the proforma of trial balance with title.
3. Trial balance is a statement, hence we need not use the words ‘to’ or ‘by’. It contains SL. No., name of the account, ledger folio, debit and credit balance.
4. All asset account, expenses, losses, purchase and sales returns account shows the debit balance. All liabilities, incomes and gains, reserves, provisions sales and purchase returns accounts shows credit balance. The debit balances are to be written in debit column, credit balances are to be written in credit column of the trial balance.
5. The total of the both the columns should be equal to prove arithmetical accuracy.

Question 2.
Explain the merits and demerits of Trial Balance.
Answer:
Merits of Trial Balance:

1. It helps in finding out the arithmetical accuracy of the accounts in the ledger.
2. Trading, profit and loss account and balance sheet are prepared on the basis of trial balance.
3. It will help in detecting the errors and their rectification.
4. Trial balance enables us to know balances of all accounts in one place.

Demerits of Trial Balance :

1. Trial Balance tallies eventhough errors are existing in the books of accounts.
2. It is only possible to prepare trial balance of an organisation, if the double entry system of book-keeping is followed which is costly and time consuming.
3. Even if some transactions are omitted, the trial balance agrees.
4. If trial balance is not prepared in a systematic method and the final accounts prepared on the basis of such trial balance, it do not show the actual financial position of the concern.

Short Answer Questions:

Question 1.
Define Trial Balance’.
Answer:

1. J. R. Batliboi defines trial balance as “A trial balance is statement prepared with the debit and credit balances of ledger accounts to test the arithmetical accuracy of the books”.
2. According to Spicer and Peglar “A trial balance is a list of all the balances standing on the ledger accounts and cash book of the concern at any given date”.

Question 2.
Give the format of the Trial Balance.
Answer:
Format of the trial balance

Question 3.
What are the objectives of the Trial Balance ?
Answer:

1. To check the arithmetical accuracy of various ledger accounts.
2. To help in preparation of final accounts.
3. To act as important tool for auditing work.
4. To generate match between ledger balances and final accounts.
5. To identify errors and mistakes crept in preparation of a accounts.

Question 4.
What are the methods of preparation of Trial Balance ?
Answer:
Trial Balance can be prepared in two methods. They are

• Total Balance Method
• Net Balance method.

1. Total Balance Method :
Debit as well as credit sides of all accounts will be summed up and with the totals the trial balance will be prepared. Hence this method is called Gross trial balance method.This method is now out of use.

2. Net Balance Method :
This method is most commonly used trial balance. The net balance of the accounts were ascertained on a particular date and arranged in the proforma of trial balance. If these totals of debit and credits agree, we can say the trial balance has the arithmetical accuracy.

Question 5.
Write the features of Trial Balance.
Answer:

1. Trial Balance is a statement or list of balances of ledger accounts not an account.
2. It is working paper.
3. It is always prepared based on double entry principles of accounts.
4. It is prepared periodically usually at the end of each month or at the end of accounting year.
5. It is prepared before the preparation of find accounts, it is basis for final accounts preparation.
6. It test the arithmetical accuracy of ledger accounts.

Very Short Answer Questions:

Question 1.
Suspense Account.
Answer:

1. When Trial Balance does not agree, to avoid delay in the preparation of final accounts, that difference in the trial balance may be temporarily posted to a special account known as “Suspense account”.
2. The suspense account is an imaginary account opened temporarily for the purpose of tallying trial balance.

Question 2.
Total Balances method.
Answer:

1. Under this method instead of taking balance in each ledger account, total of debit side and total of credit side of each individual account is taken in to account. Hence trial balance here is prepared before ascertaining the balance.
2. This method is also called ‘Gross Trial Balance Method’ but it is outdated and not in use now.

Question 3.
Net Balances method.
Answer:

1. Under this method, balance in each ledger account is taken in to trial balance. All the ledger accounts showing debit balances are put on the debit side of the trial balance and the accounts showing credit balances are put on the credit side.
2. After this, the debit and credit columns of the trial balance are totaled and if the totals are equal, it is said that the trial balance has tallied or agreed.

Question 4.
Horizontal form of Trial Balance.
Answer:

1. The Trial Balance is not an account it is a statement and it may be prepared either in vertical form or in Horizontal form.
2. The term Horizontal means parallel to the ground or flat and level with ground or something is arranged side ways.
3. Horizontal form of Trial Balance is a format that present ledger balances of Assets, Expenses, Losses, Drawings, Debtors etc are on left side and Liabilities, Incomes, Gains, Capital, Reserves, Provisions etc are on right side.

Question 5.
Arithmetical accuracy means.
Answer:

1. Arithmetical accuracy means recording with out any mistakes or errors.
2. The Trial Balance is prepared to check Arithmetical accuracy of ledger accounts, whether all debits and credits are properly recorded or correctly balanced.
3. If the totals of Debit and Credit Balances are equal, it is assumed that the accounting books are arithmetically correct and free from clearical mistakes or errors.

Problems:

Question 1.
From the following balances taken from the books of Sanjeeva Reddy as on 31st December 2016, prepare a trial balance in proper form.

Solution:
Trial Balance of Sanjeev Reddy as on 31-12-2016

Question 2.
Prepare a trial balance from the following balances of Veena as on 31st March 2018:

Solution:

Note :
To tally the trial balance, the difference in debit & credit sides total is transfered to “Suspense” account.

Question 3.
The following trial balance has been prepared by an inexperienced accountant. Re¬draft it in a correct form:

Solution:

Corrected trial balance

Question 4.
The following are the balances extracted from the books of Manohar, prepare a trial balance as on 31-03-2018.

Solution:

Question 5.
From the following balances, prepare trial balance of J.P.Reddy as at 31-12-2016.

Solution:
Trial Balance in the books of Manohar as on 31-12-2016

Question 6.
The following are the balances extracted from the books of Pullanna on 31-12-2017. Prepare the trial balance.

Solution:
Trial Balance of Pullanna as on 31-12-2017

Question 7.
The following are the balances extracted from the books of Vishnu Charan as on 31st December 2018. Prepare trial balance.

Solution:
Trial Balance of Vishnu Charan as on 31-12-2018

Question 8.
Prepare the Trial Balance of Renish as on 31.12.2013.

Solution:
Trial Balance of Renish as on 31-12-2016

Question 9.
From the following balances prepare Trial Balance of Manasa as on 31.12.2013.

Solution:
Trial Balance of Manasa as on 31-12-2013

Question 10.
From the following balances prepare Trial Balance of Ramu as on 31.12.2013.

Solution:
Trial Balance of Manasa as on 31-12-2013

Question 11.
Prepare Trial Balance of Pradeep Kumar from the following balances as on 31.03.2017.

Solution:
Trial Balance of Pradeep Kumar as on 31-12-2017

Question 12.
Prepare Trial Balance of Suchitra as on 31.12.2015 from the following balances.

Solution:
Trial Balance of Suchitra as on 31-12-2015

Question 13.
Prepare Trial Balance of Radha from the following balances:

Solution:
Trial Balance of Radha

Question 14.
Prepare Trial Balance of N.N.Rao from the following balances:

Solution:
Trial Balance of N.N.Rao

Question 15.
Prepare Trial Balance of Sheshadri from the following balances as on 31-12-2016.

Solution:
Trial Balance of Sheshadri as on 31-12-2016

Question 16.
Prepare Trial Balance of Bhagya Laxmi :

Solution:
Trial Balance of Bhagya Laxmi

Question 17.
Prepare Trial Balance of Kasturi from the following balances as on 31-03-2018 :

Solution:
Trial Balance of Kasturi as on 31-03-2018

Question 18.
Prepare Trial Balance of Sudha from the following particulars:

Solution:
Trial Balance of Sudha

Note :
In Text book, purchases is given two times, so we take 2nd purchases as Machinery ₹ 20,000.

Question 19.
Prepare Trial Balance of Anji Reddy from the following balances.

Solution:
Trial Balance of Anji Reddy

Question 20.
Prepare Trial Balance of Dr. Chilumula Srinivas from the following balances as on 31-12-2018.

Solution:
Trial Balance of Dr.Chilumula Srinivas as on 31-12-2018

Textual Questions:

Question 1.
Prepare a trial balance from the following balances of Mr. Vinod Kumar as on 31st December 2018.

Solution:
Trial Balance of Mr. Vinod iumar as on 31st December, 2018

Question 2.
From the following list of balances extracted from the books of Smt. Shobha Rani, prepare a trial balance as on 31st December, 2017.

Solution:
Trial Balance of Mr. Vinod Kumar As on 31st December, 2018

Question 3.
The following trial balance has been prepared by an inexperienced accountant. Redraft it in a correct form:

Solution:
Corrected Trial Balance

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 1st Lesson భౌతిక ప్రపంచం Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 1st Lesson భౌతిక ప్రపంచం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
భౌతికశాస్త్రం అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
భౌతికశాస్త్రం ప్రకృతి సహజమైన దృగ్విషయాలను అధ్యయనం చేస్తూ, పరిశీలనలు మరియు ప్రయోగాల ద్వారా ప్రకృతిని నియంత్రించే నియమాలను తెలియచేసే శాస్త్రము.

ప్రశ్న 2.
సి.వి. రామన్ ఆవిష్కరణ ఏమిటి ? (మార్చి 2014, మే 2014)
జవాబు:
భౌతిక శాస్త్రానికి (సి.వి. రామన్ అందించిన ఆవిష్కరణ రామన్ ప్రభావము.) ఇది “యానకంలోని అణువులు కంపన శక్తి స్థాయిలలోకి ఉద్రిక్తం చెందినపుడు జరిగే కాంతి పరిక్షేపణం” గురించి వివరిస్తుంది.

ప్రశ్న 3.
ప్రకృతిలో ప్రాథమిక బలాలు ఏవి ?
జవాబు:
ప్రకృతిలో ప్రాథమిక బలాలు :

1. గురుత్వాకర్షణ బలం,
2. విద్యుదయస్కాంత బలాలు,
3. ప్రబల కేంద్రక బలాలు,
4. దుర్బల కేంద్రక బలాలు.

ప్రశ్న 4.
క్రింది వాటిలో దేనికి సౌష్ఠవం ఉంది ?

1. గురుత్వ త్వరణము,
2. గురుత్వాకర్షణ నియమము

జవాబు:

1. గురుత్వ త్వరణం ప్రదేశాన్ని బట్టి మారుతుంది. అందువల్ల ఇది సౌష్ఠవమైనది కాదు.
2. గురుత్వాకర్షణ నియమము సౌష్ఠవమైనది. ఎందుకంటే ఇది ఏ భౌతికరాశి వలన ప్రభావం చెందదు.

ప్రశ్న 5.
భౌతిక శాస్త్రానికి ఎస్. చంద్రశేఖర్ చేసిన అంశదానం ఏమిటి ?
జవాబు:
భౌతిక శాస్త్రానికి చంద్రశేఖర్ చేసిన అంశదానము నక్షత్రాల నిర్మాణము, పరిణామక్రమాల వివరణ మరియు చంద్రశేఖర్ పరిమితి.

చంద్రశేఖర్ పరిమితి, నక్షత్రాల నిర్మాణం మరియు పరిణామంను ఆధ్యానం చేసారు.

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 6th Lesson పని, శక్తి, సామర్ధ్యం to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 6th Lesson కణాల పని, శక్తి, సామర్ధ్యం

→ అదిశా లబ్ధము : A̅, B̅ అను రెండు సదిశల బిందు లబ్ధము A̅ dot B̅ ను A̅ B̅ గా వ్రాస్తారు.
Ā. B̅ = |Ā|. |B̅| cos θ గా నిర్వచించినారు.
ఇందులో A̅ cos θ అనునది B̅ వెంబడి A యొక్క అంశ లేదా B̅ cos θ అనునది A̅ వెంబడి B̅ యొక్క అంశ
రెండు సదిశల బిందు లబ్ధము అదిశ. దీనికి దిశ ఉండదు.
ఉదా : పని W = F̅. S̅ = F.S cos θ

→ బిందు లబ్ధము ధర్మాలు :

→ బిందు లబ్ధము స్థిత్యంతర న్యాయాన్ని పాటిస్తుంది. అనగా A̅. B̅ = B̅. A̅

→ బిందు లబ్దము విభాగ న్యాయాన్ని పాటిస్తుంది.
అనగా A̅. (B̅ + C̅) = A̅B̅ + A̅.C̅ మరియు A̅. (λB̅) = λ(A̅.B̅)

→ బిందు లబ్ధము సాహచర్య న్యాయాన్ని పాటిస్తుంది.
A̅ + (B̅ + C̅) = (A̅ + B̅) + C̅

→ ఏదైనా సదిశను x, y మరియు z అక్షముల వెంబడి ప్రమాణ సదిశలు i̅, j̅ మరియు k̅ లతో సూచిస్తే సజాతి ప్రమాణ సదిశల బిందు లబ్ధము i̅.i̅ = 1, j̅. j̅ = 1, k̅ . k̅ = 1
విజాతి ప్రమాణ సదిశల బిందు లబ్ధము సున్న
i̅. j̅ – j̅. k̅ = k̅ . i̅ = 0

→ రెండు సదిశలు పరస్పర లంబాలు ఐతే వాటి బిందు లబ్ధము సున్న.

→ పని : ఏదైనా బలం వస్తువు మీద పనిచేసి బలప్రయోగ దిశలో దానిని స్థానభ్రంశం చెందించితే బలం పనిచేసింది అంటారు.
పని W = F.S. (F, S లు ఒకే దిశలో ఉంటే)
లేదా పని W = FS cos θ (‘θ’ బలము F మరియు స్థానభ్రంశము S ల మధ్యకోణము. సదిశలలో పనిని W = F̅.S̅. = FS cos θ గా చెపుతారు. పని అదిశరాశి ప్రమాణము కి.గ్రా.మీ²/సె² దీనిని జౌల్ (J) అంటారు.
గమనిక : పని ఎల్లప్పుడూ ధనాత్మకమే. బలము, స్థానభ్రంశాలు వ్యతిరేక దిశలో ఉన్నపుడు లేదా వాటి మధ్య కోణము θ > 90 ఐతే పనిని ‘-‘ గుర్తుతో సూచిస్తారు. కాని పని విలువ ధనాత్మకంగానే తీసుకోవాలి.

→ స్థిరబలం అనేది చాలా అరుదైన భావన. మనం సాధారణంగా చరబలాన్ని లెక్కలోనికి తీసుకుంటాము. చరబలం వల్ల జరిగిన మొత్తం పని
W = \({Lt}_{\Delta x \rightarrow 0} \sum_{\mathbf{x}_1}^{\mathrm{x}_i}\)F(x) Δx = \(\int_{x_1}^{x_i}\)F(x)dx

→ చరబలం చేసిన పని : ఒక స్థిరబలం F(x) వస్తువుపై పనిచేసి దానిని Ax స్థానభ్రంశం చెందించితే అది జరిపిన పని
ΔW = F(x) Δx

→ గతిజశక్తి : గమనంలో ఉన్న వస్తువుకు గల శక్తిని గతిజశక్తి అంటారు.
గతిజశక్తి KE = \(\frac{1}{2}\)mυ², ప్రమాణము = జౌల్ (J)
ఉదా : కదులుతున్న వస్తువులన్నింటికి గతిజశక్తి ఉంటుంది.
గమనిక : వస్తువులో నిలువ ఉన్న పనినే శక్తి అంటారు. కావున పని, శక్తిలకు మితి ఫార్ములా, ప్రమాణము ఒక్కటే.

→ గతిజశక్తి, ద్రవ్యవేగాల మధ్య సంబంధము :
గతిజశక్తి_KE = \(\frac{1}{2}\)mυ²,
ద్రవ్యవేగము P = mu
∴ KE = \(\frac{1}{2}\)mυ² = \(\frac{1}{2} \frac{m^2 v^2}{m}=\frac{p^2}{2 m}\)

→ స్థితిజ శక్తి : వస్తువు స్థానం వల్ల గాని, విన్యాసం వల్ల గాని వస్తువులో నిలువ ఉన్న శక్తిని స్థితిజశక్తి అంటారు.
ఉదా : కొంత ఎత్తులో ఉన్న రాయి, సాగదీయబడిన రబ్బరు ముక్క వంటివి. వస్తువు స్థితిశక్తిని PE = mgh అను సమీకరణంతో కొలుస్తారు.
ఏకమితీయ నిత్యత్వ బలానికి స్థితిశక్తి ప్రమేయం υ(X) ను F(x) = \(\frac{d}{d x}\) v(x) లేదా v_i – v₁ = \(\int_{x_1}^{x_1}\)F(x) dx అని వ్రాస్తారు.

→ పని-శక్తి సిద్ధాంతము : ఒక కణం లేదా వ్యవస్థపై నికర బలం వల్ల జరిగిన పని దాని గతిజశక్తుల భేదమునకు సమానము.
పని-శక్తి సిద్ధాంతపు గణిత రూపం
W = K_f – K_i = \(\frac{1}{2}\)mu² = F.d

→ నిత్యత్వ బలాలు :

• వస్తువుపై బలం చేసిన పని వస్తువు పథంపై ఆధారపడకుండా దాని తొలి, తుది స్థానాలపై (x_i, x_f) మాత్రమే ఆధారపడినపుడు
• వస్తువు అనియత సంవృత పథం వెంబడి ప్రయాణించి మరల ఆరంభ బిందువును చేరినపుడు ఆ వస్తువుపై జరిగిన పని శూన్యమైతే అటువంటి బలాలను నిత్యత్వ బలాలు అంటారు. ఉదా : గురుత్వ క్షేత్రంలో జరిగిన పని.

→ అనిత్యత్వ బలాలు : ఒక వస్తువుపై జరిగిన పని లేదా గతిజ శక్తి లేదా వేగం వస్తువు ప్రయాణించిన ప్రత్యేక పథం వంటి కారకాలపై ఆధారపడితే ఆ బలాన్ని అనిత్యత్వ బలం అంటారు.
ఉదా : ఘర్షణ బలాలకు వ్యతిరేకంగా జరిగిన పని.

→ యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వము : ఒక వ్యవస్థపై పనిచేసే బలాలు నిత్యత్వ బలాలు ఐతే ఆ వ్యవస్థ మొత్తం యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వమవుతుంది.

→ స్ప్రింగ్ స్థితిజశక్తి : ఆదర్శ స్ప్రింగ్కు బలం (F) స్థానభ్రంశం ‘x’ కి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
F_s = -K_x.
స్ప్రింగ్లో నిలవ ఉన్న స్థితిజ శక్తి = బలం చేసిన పని.
W_s = \(\int_0^{x_m}\)F_sdx = –\(\int_0^{x_m}\)K.x.dx = –\(\frac{1}{2}\)Kx_m
ఇందులో x_m = స్ప్రింగ్లో సాగుదల, స్ప్రింగ్లో నిలువ ఉన్న శక్తి తొలి, తుది స్థానాల పై ఆధారపడుతుంది. కావున స్ప్రింగ్ ్బలం నిత్యత్వబలం సమతా స్థితి స్థానం వద్ద వడి v_m = \(\sqrt{\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}}}\)x_m m స్ప్రింగ్కు తగిలించిన ద్రవ్యరాశి.

→ శక్తినిత్యత్వ నియమము : ఏదైనా వ్యవస్థపై పనిచేసే బలాలు నిత్యత్వ బలాలు ఐతే ఆ వ్యవస్థ మొత్తం యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వమవుతుంది. యాంత్రికశక్తి

• గమనంపై ఆధారపడే గతిజశక్తిగాను
• వస్తువు విన్యాసంపై ఆధారపడే స్థితిశక్తిగాను ఉంటుంది.

కావున “ఏదైనా వ్యవస్థపై పనిచేసే బలాలు నిత్యత్వ బలాలు ఐతే వ్యవస్థకు గల మొత్తం శక్తి (స్థితిజ శక్తి + గతిజ శక్తి) స్థిరము. దీనిని సృష్టించడం కాని, నాశనం చేయడంగాని సాధ్యపడదు.”
గమనిక : వ్యవస్థపై అనిత్యత్వ బలాలు పనిచేస్తే కొంత భాగం ఉష్ణం, ధ్వని లేదా కాంతి వంటి రూపాలలో నష్టమవుతుంది.

→ రసాయనిక శక్తి : రసాయనిక చర్యలో పాల్గొనే వేరు వేరు అణువులకు గల బంధన శక్తుల వల్ల రసాయనశక్తి ఏర్పడుతుంది.

→ ఉష్ణమోచక చర్య : చర్యలో పాల్గొనే క్రియాజన్యాల మొత్తం శక్తి కన్నా క్రియాజనకాల శక్తి ఎక్కువ ఐతే ఆ చర్యలో శక్తి విడుదల అవుతుంది. దీనిని ఉష్ణమోచక చర్య అంటారు.

→ ఉష్ణగ్రాహక చర్య : చర్యలో పాల్గొనే క్రియాజన్యాల మొత్తం శక్తి కన్నా క్రియాజనకాల మొత్తం శక్తి తక్కువ ఐతే ఆ చర్యలో ఉష్ణశక్తి గ్రహింపబడుతుంది. దీనిని ఉష్ణగ్రాహక చర్య అంటారు.

→ విద్యుత్ శక్తి : ఎలక్ట్రాన్ల సమూహం ఒక చోట నుండి మరొక చోటుకు ప్రవహించడాన్ని విద్యుత్ ప్రవాహమంటారు. విద్యుత్ ప్రవాహం వల్ల లభించే శక్తిని విద్యుత్ శక్తి అంటారు.

→ ద్రవ్యరాశి-శక్తి తుల్యత లేదా ద్రవ్యరాశి శక్తి తుల్యతా నియమము : ద్రవ్యరాశి మరియు శక్తుల మధ్య సంబంధము E = mc². దీనిని ఐన్స్టీన్ ప్రతిపాదించినాడు.

→ కేంద్రకశక్తి : కేంద్రక విచ్ఛిత్తి, సంలీన చర్యలలో క్రియాజనకాల మొత్తం ద్రవ్యరాశి కన్నా క్రియాజన్యాల మొత్తం ద్రవ్యరాశి తక్కువ. ఈ ద్రవ్యరాశిలోని తరుగుదల E = mc² నియమం ప్రకారము శక్తిగా మారుతుంది. కేంద్రక చర్యలలో విడుదల అయిన ఈ శక్తిని కేంద్రకశక్తి అంటారు.

→ అభిఘాతాలు (Collisions) : గమనంలో ఉన్న వస్తువు మరొక వస్తువును ఢీ కొన్నపుడు దాని శక్తిలో మార్పులు సంభవిస్తాయి. ఈ రకమైన భౌతిక ప్రక్రియను అభిఘాతాలు అంటారు. ఇవి రెండు రకాలు.

• స్థితిస్థాపక అభిఘాతము
• అస్థితిస్థాపక అభిఘాతము.

→ స్థితిస్థాపక అభిఘాతాలు : స్థితిస్థాపక అభిఘాతాలు

• ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని
• శక్తి నిత్యత్వ నియమాన్ని పాటిస్తాయి. ఇటువంటి అభిఘాతాలలో శక్తి నష్టము ఉండదు.

→ అస్థితిస్థాపక అభిఘాతాలు : ఈ రకమైన అభిఘాతాలు ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని మాత్రమే పాటిస్తాయి. ఈ విధమైన అభిఘాతాలలో శక్తి నష్టం ఉంటుంది.

→ ప్రత్యవస్థాన గుణకము (e) : అభిఘాతం పిమ్మట వస్తువులు విడిపోయే వేగము (υ₂ – υ₁) మరియు అభిఘాతము ముందు వస్తువులు పరస్పరం సమీపించే వేగము (u₂ – u₁) ల నిష్పత్తిని ప్రత్యవస్థాన గుణకముగా నిర్వచించినారు. దీనికి మితులు, ప్రమాణాలు లేవు.
ప్రత్యవస్థాన గుణకము e = \(\frac{v_2-v_1}{u_1-u_2}\)
సంపూర్ణ స్థితిస్థాపక అభిఘాతాలకు e = 1
సంపూర్ణ అస్థితిస్థాపక అభిఘాతాలకు e = 0

→ ఏకమితీయ అభిఘాతాలు : ఒకే సరళరేఖ వెంబడి చలించే వస్తువుల మధ్య గల అభిఘాతాలను ఏకమితీయ అభిఘాతాలు అంటారు. ఇటువంటి అభిఘాతాలలో వస్తువులు అభిఘాతం ముందు, అభిఘాతం తరువాత ఒకే సరళరేఖ వెంబడి చలిస్తున్నట్లు భావిస్తారు. ఇవి రేఖీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని పాటిస్తాయి.

→ ద్విమితీయ అభిఘాతాలు : ఒక సమతలంలో చలించే వస్తువు చలనాన్ని పరస్పర లంబదిశలో గల రెండు అక్షముల (x, y) పరంగా వివరిస్తారు. ఒక సమతలంలో చలించే రెండు వస్తువులు అభిఘాతం చెందిన తరువాత కూడా ఆ సమతలంలోనే చలిస్తే అటువంటి అభిఘాతాలను ద్విమితీయ అభిఘాతాలు అంటారు. గమనిక : ద్విమితీయ అభిఘాతాలను వివరించడానికి x-దిశ, y-దిశలలో అంశ వేగాలు కనుగొని రెంటికి విడివిడిగా ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని వర్తింపచేసి తుది వేగాలను కనుగొంటారు. ఫలిత వేగాన్ని v = \(\sqrt{v_x^2+v_y^2}\), ద్వారా లెక్కిస్తారు.

→ సామర్ధ్యము (P) : పని జరిగే రేటును సామర్థ్యము అంటారు.

= ప్రమాణము వాట్. సామర్ధ్యము అదిశరాశి. మితి ఫార్ములా ML²T^-3
గమనిక : సామర్థ్యము P = \(\frac{\mathrm{dW}}{\mathrm{dt}}=\overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}=\overline{\mathrm{F}} \cdot \overline{\mathrm{V}}\) అని కూడా చెప్పవచ్చు.

→ కిలోవాట్ గంట (K.W.H.) : సెకనుకు 1000 జౌల్ చొప్పున ఏకధాటిగా ఒక గంటసేపు పని జరిపితే ఆ పని మొత్తాన్ని ఒక కిలోవాట్ గంట అని వ్యవహరిస్తారు. ఇది విద్యుచ్ఛక్తిని కొలవడానికి ప్రమాణము (1 యూనిట్ అని అంటారు).
1 K.W.H. = 1 unit = 1000 × 1 గం. = 1000 × 60 × 60 = 3.6 × 10⁶ జౌల్

→ అశ్వ సామర్థ్యము (H.P.) : 746 వాట్ల ను ఒక అశ్వసామర్థ్యము అంటారు.
1 అశ్వ సామర్థ్యము H.P. = 746 వాట్.

→ పని W = F.S. (F, S లు ఒకే సరళరేఖలో ఉంటే)
పని W = F.S. cos θ (F, S ల మధ్యకోణము ‘9’ ఐతే)
మారుతున్న బలం (చరబలం) పనిచేసినపుడు W = ∫F.dx

→ సామర్థ్యము

→ స్థితిజ శక్తి PE = mgh

→ గతిజశక్తి KE = \(\frac{1}{2}\)mv²

→ గతిజశక్తి, ద్రవ్యవేగాల మధ్య సంబంధం KE = \(\frac{\mathrm{p}^2}{2 \mathrm{~m}}\) లేదా p = \(\sqrt{2 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{KE}}\)

• పని శక్తి సిద్ధాంత ప్రకారము W = \(\frac{1}{2}\)mv² – \(\frac{1}{2}\)mu² = KE_f – KE_i
• స్థితిజశక్తిలో మార్పు వస్తే W = mgh₂ – mgh₁

→ మరతుపాకి లెక్కలలో జరిగిన పని W = n\(\frac{1}{2}\)mv² (మొత్తం బుల్లెట్ ల గతిజశక్తి)

→ స్థితిస్థాపక అభిఘాతాలలో

• u₁ – u₂ = v₂ – v₁
• m₁u₂ + m₂ u₂ = m₁v₁ + m₂v₂
• m₁u₁² + m₂u₂² = m₁v₁² + m₂v₂²
• మొదటి వస్తువు తుదివేగము v₁ = \(\left[\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right]\)u₁ + \(\left[\frac{2 m_2}{m_1+m_2}\right]\)u₂
• రెండవ వస్తువు తుది వేగము v₂ = \(\left[\frac{2 m_1}{m_1+m_2}\right]\)u₁ + \(\left[\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\right]\)u₂

→ సంపూర్ణ అస్థితిస్థాపక అభిఘాతానికి v = \(\frac{\mathrm{m}_1 \mathrm{u}_1+\mathrm{m}_2 \mathrm{u}_2}{\mathrm{~m}_1+\mathrm{m}_2}\)

→ ప్రత్యవస్థాన గుణకము ‘e’

→ వస్తువును h ఎత్తు నుండి కిందికి జారవిడిస్తే

• వస్తువు భూమిని సమీపించు వేగము u = \(\sqrt{2 g h}\)
• వస్తువు h₁ ఎత్తు నుండి పడి భూమిని తాకి మరల h₂ ఎత్తుకు లేస్తే e = \(\sqrt{\frac{\mathrm{h}_2}{\mathrm{~h}_1}}\)
• వస్తువుకు భూమి నుండి నిగమ వేగము v = – e \(\sqrt{2 \mathrm{gh}}\)
• n అభిఘాతాల తరువాత పైకి లేచిన ఎత్తు h_n = e²ⁿh.

→ ఐన్స్టీన్ ‘ద్రవ్యరాశి – శక్తి నియమము E = mc²

→ సదిశలలో బిందు లబ్ధము A̅. B̅ = |A̅|. |B̅| cos θ

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

→ ద్రుఢ వస్తువు : పరిపూర్ణమైన, నిర్దిష్టమైన మార్పుచెందని ఆకారం కలిగి ఉండే వస్తువును ఒక ద్రుఢ వస్తువుకు ఆదర్శ నమూనాగా తీసుకుంటారు. ఇటువంటి వస్తువులో కణముల మధ్య దూరము మారదు అని భావిస్తారు.

→ స్థానాంతరణ గమనము : ఈ విధమైన చలనంలో వస్తువు మొత్తం ఒకచోటు నుండి మరొకచోటుకు స్థానభ్రంశం చెందుతుంది.

→ శుద్ధ స్థానాంతరణ గమనంలో ఏ క్షణంలోనైనా వస్తువులోని అన్ని కణాలు ఒకే వేగాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

→ భ్రమణాక్షము : వస్తువు స్థానాంతరణ చలనం నిరోధించడానికి దానిని ఒక సరళరేఖపరంగా స్థిరంగా ఉంచాలి. కాని వస్తువు ఇటువంటి సరళరేఖపరంగా తనచుట్టూ తాను తిరిగే అవకాశం ఉంది.
“వస్తువు తన చుట్టూ తాను ఏ సరళరేఖపరంగా చలించుతుందో దానిని భ్రమణాక్షము అంటారు”.

→ భ్రమణ గమనము : ఒక స్థిరమైన అక్షం పరంగా భ్రమణం చెందే ద్రుఢ వస్తువులోని కణాలు భ్రమణ అక్షానికి లంబతలంలో భ్రమణాక్షంపై గల బిందువులను కేంద్రంగా చేసుకొని నియమిత వృత్తాకారమార్గంలో చలిస్తాయి. ఈ విధమైన చలనాన్ని భ్రమణ గమనము అంటారు.

Note :

• కొన్ని సందర్భాలలో భ్రమణ గమనము స్థిరమైన అక్షం వెంబడి కాకుండా ఒక స్థిర బిందువు ఆధారంగా కూడా ఉండవచ్చు.
• కీలకంలేని లేదా భ్రమణాక్షం స్థిరంగా బిగించకుండా ఉన్న ద్రుఢ వస్తువు గమనం కేవలం స్థానాంతరణ గమనం లేదా స్థానాంతరణ గమనము మరియు భ్రమణ గమనముల సంయోగాన్ని కలిగి ఉంటుంది. వస్తువును ఏదో విధంగా బిగించితే దానికి భ్రమణ గమనం మాత్రమే ఉంటుంది.

→ ద్రవ్యరాశి కేంద్రము : ఏదైనా వస్తువు లేదా కణ వ్యవస్థ మొత్తం ద్రవ్యరాశి ఒక బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమైనట్లుగా భావిస్తే అటువంటి బిందువును ద్రవ్యరాశి కేంద్రం అంటారు. అన్ని బాహ్యబలాలు ఇటువంటి బిందువు వద్దనే ప్రయోగించినట్లుగా ఆ వస్తువు లేదా వ్యవస్థ గమనంలో ఉంటుంది.

→ గరిమనాభి : వస్తువులోని ఏ బిందువు పరంగా మొత్తం గురుత్వ బలభ్రామకం శూన్యమవుతుందో ఆ బిందువును వస్తువు గరిమనాభిగా నిర్వచించవచ్చు.
గరిమనాభివద్ద నికర బలభ్రామకం τ = Σ(r_i × m_i) g = 0

→ ద్రవ్యరాశి కేంద్ర నిరూపకాలు : m₁, m₂ క అను రెండు వస్తువులు ఒక మూల బిందువు నుండి x₁, x₂ దూరాలలో ఉంటే ఆ వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రము x_c = \(\frac{m_1 x_1+m_2 x_2}{m_1+m_2}\)
అనగా ద్రవ్యరాశి కేంద్రము మూలబిందువు నుండి వస్తువులోని అన్నికణముల ద్రవ్యరాశి భ్రామకాల మొత్తము మరియు వస్తువు ద్రవ్యరాశికి గల నిష్పత్తిగా భావించవచ్చు.

Note:

• సమాన ద్రవ్యరాశులు గల రెండు వస్తువులు m, m లు ‘x’ దూరంలో ఉంటే వాటి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం కచ్చితంగా వాటి మధ్య బిందువు వద్ద ఉంటుంది.
• మూడు సమాన ద్రవ్యరాశులు గల వస్తువులను ఒక త్రిభుజం శీర్షాల వద్ద ఉంచితే ఆ వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఆ త్రిభుజ కేంద్రాభం (centroid) వద్ద ఉంటుంది.
  ద్రవ్యరాశి కేంద్ర నిరూపకాలకు సమీకరణాలు. అనేక వస్తువులు లేదా కణాలు m₁, m₂, త్రిదిశాత్మకంగా తీసుకుంటే ఆ వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్ర x, y మరియు z నిర్దేశకాలు

→ ద్రవ్యరాశి కేంద్ర లక్షణాలు :

• వ్యవస్థ మొత్తం ద్రవ్యరాశి దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్దనే కేంద్రీకృతమైనట్లుగా ప్రవర్తిస్తుంది.
• వ్యవస్థపైగల మొత్తం బాహ్యబలం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్దనే ప్రయోగించినట్లుగా వస్తువు ప్రవర్తన ఉంటుంది. బాహ్య = M. ‘a’; ‘a’ ద్రవ్యరాశి కేంద్రత్వరణము.
• అంతర్గత బలాలు ద్రవ్యరాశి కేంద్ర గమనాన్ని ప్రభావితం చేయలేవు.
• స్థానాంతరణ మరియు భ్రమణ గమనం కలిగి ఉన్న సంక్లిష్ట చలనాలలో, ద్రవ్యరాశి కేంద్రం స్థానాంతరణ గమనమే. వస్తువు మొత్తం స్థానాంతరణ గమనం అవుతుంది.
• ఒక కణ వ్యవస్థ మొత్తం ద్రవ్యవేగము ఆ వ్యవస్థ మొత్తం ద్రవ్యరాశి మరియు ద్రవ్యరాశి కేంద్రాల వేగాల లబ్ధానికి సమానము p̅ = MV.
• ద్రవ్యరాశి కేంద్ర నిరూపకాలు మనం ఎంచుకున్న నిర్దేశచట్రంపై ఆధారపడవు.

→ సదిశల సదిశా లబ్ధము : రెండు సదిశలు ā మరియు b̅ లను మరల సదిశ ఏర్పడేవిధంగా గుణించడాన్ని సదిశల సదిశాలబ్ధము అంటారు. దీనిని ā cross b̅ అని అంటారు.
ā × b̅ = |ā||b̅| sinθ. n̅ ఇందులో n̅ ఇచ్చిన సదిశల తలానికి లంబదిశలో గల ప్రమాణ సదిశ.
Note : సదిశల సదిశా లబ్ధము ā × b̅ ను వజ్రంబ్ధము అని కూడా అంటారు.

సదిశా లబ్ధ నియమాలు :

• సదిశా లబ్ధము స్థిత్యంతర న్యాయాన్ని పాటించదు. అనగా ā × b̅ + b̅ × ā కాని ā × b̅ = – (b̅ × ā)
• సదిశా లబ్దము విభాజక న్యాయాన్ని పాటిస్తుంది అనగా ā × (b̅ + c̅) = (a̅ × b̅) + (a̅ × c̅)
• ఏవైనా సదిశలను i̅, j̅ మరియు K̅ల సంయోగంగా చూపినపుడు సదిశాలబ్ధము కుడిచేతి మర నిబంధనను పాటిస్తుంది.
• ఒక తలంలో గల రెండు ప్రమాణ సదిశలను సవ్యదిశలో గుణిస్తే అది ఆ తలానికి లంబదిశలో గల వేరొక ప్రమాణ సదిశను ఇస్తుంది.
  అనగా i × j = k, j × k = i మరియు k × i = j
  రెండు ప్రమాణ సదిశలను అపసవ్యదిశలో గుణిస్తే – గుర్తుతో మూడవ ప్రమాణ సదిశను ఇస్తుంది. j × i = -k, k × j = -i, k × t = -j.
• సమాంతర ప్రమాణ సదిశల సదిశా లబ్ధము సున్న
  అనగా i × i = j × J = k × k = 0

→ కోణీయ స్థానభ్రంశము (θ) : భ్రమణ గమనంలో ఉన్న వస్తువు వృత్త కేంద్రం వద్ద చేసిన కోణాన్ని కోణీయ స్థానభ్రంశము ‘θ’ అంటారు. ప్రమాణము రేడియన్.
కోణీయ వేగము (ω) : కోణీయ స్థానభ్రంశంలోని మార్పు రేటును కోణీయవేగం అంటారు.
కోణీయ వేగములు α = \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) ప్రమాణము రేడియన్ / సెకను
Note : భ్రమణ గమనంలో ఉన్న వస్తువులోని అన్ని కణాలు ఒకే పరిమాణం గల కోణీయ స్థానభ్రంశము (θ) మరియు కోణీయ వేగము (ω) వంటి రాశులను కలిగి ఉంటాయి.

→ కోణీయ త్వరణము : కోణీయ వేగంలో మార్పు రేటును కోణీయ త్వరణం అంటారు.
కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{d \omega}{d t}=\frac{d^2 \theta}{d t^2}\) ప్రమాణము రేడియన్ / సె²

→ బలభ్రామకము లేదా టార్క్ (τ) : మూలబిందువు (0) పరంగా స్థాన సదిశను r̅ కలిగిన ఒక వస్తువు లేదా కణంపై బలము F̅ ను ప్రయోగిస్తే, r̅ మరియు F̅ ల వజ్రలబ్ధాన్ని టార్క్
టార్క్ τ = r̅ × F̅ = |r̅||F|sin θ n̅
టార్క్ సదిశరాశి. దీని దిశ I, F ల తలానికి లంబంగా ఉంటుంది.
టార్క్క ప్రమాణము న్యూటన్ – మీటరు. D.F = ML² T^-2
Note : టార్క్ పని, శక్తిలకు మితిఫార్ములాలు ఒక్కటే.

→ కోణీయ ద్రవ్యవేగము (1) : m ద్రవ్యరాశి గల ఒక కణం ద్రవ్యవేగము మరియు అది మూలబిందువు నుండి 7 దూరంలో ఉంటే P మరియు T ల వజ్ర లబ్దాన్ని కోణీయ ద్రవ్యవేగంగా నిర్వచించినారు.
కోణీయ ద్రవ్యవేగము ‘L’ = r̅ × p̅ = |r̅||p̅|sin θ. n̅ ఇది సదిశరాశి. D.F = ML²T^-1

→ L, α ల మధ్య సంబంధము : కోణీయ ద్రవ్యవేగంలోని మార్పురేటు వస్తువుపై ప్రయోగించిన బాహ్య టార్కుక సమానము.
టార్కు τ = \(\frac{d \overline{\mathrm{L}}}{d \mathrm{t}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\)(r̅ × p̅)

→ కోణీయ ద్రవ్యవేగనిత్యత్వ నియమము : ఏదైనా వస్తువు లేదా కణంపై ప్రయోగించిన బాహ్య టార్క్ సున్న అయితే ఆ వస్తువు కోణీయ ద్రవ్యవేగము స్థిరము.
అనగా బాహ్య టార్క్ సున్న అయితే వ్యవస్థలో గల కణముల కోణీయ ద్రవ్యవేగములలో మొత్తం మార్పు సున్న i.e. τ = 0 అయితే
\(d \bar{L}_1+d \bar{L}_2+\ldots d \bar{L}_n=\sum_{1=1}^n d \bar{L}_1\) = 0
Note : కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమము స్థానాంతరణ గమనంలోని రేఖీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని పోలి ఉంటుంది.

→ ద్రుఢ వస్తువుల సమాతాస్థితి : కాలంతోపాటు వస్తువు రేఖీయ మరియు కోణీయ ద్రవ్యవేగాలు మార్పులేకుండా స్థిరంగా ఉంటే ఆ వస్తువుకు రేఖీయ త్వరణము మరియు టార్క్లు సున్న. అటువంటి వస్తువు సమతాస్థితిలో ఉన్నది అంటారు.

→ వస్తువు సమతాస్థితికి కావలసిన నియమాలు :

• ఒక వస్తువుపై ప్రయోగించిన బలాల సదిశా మొత్తము సున్న కావలెను.
  \(\bar{F}_1+\bar{F}_2+\bar{F}_3+\bar{F}_n=\sum_{i=1}^n \bar{F}_i\) = 0 అయితే ఆ వస్తువు స్థానాంతరణ సమతాస్థితిని కలిగి ఉంటుంది.
• ఏదైనా వస్తువుపై ప్రయోగించిన టార్క్ సదిశా మొత్తం సున్న అయితే ఆ వస్తువు భ్రమణ సమతాస్థితిని పొందుతుంది.
  τ₁ + τ₂ + …………. + τ_n = \(\sum_{i=1}^n {τ}_i\) = 0 అయితే ఆ వస్తువు భ్రమణ సమతాస్థితిలో ఉంటుంది.

→ బలభ్రామకముల సూత్రాలు : యాంత్రిక సమతాస్థితిలో ఉన్న ఒక వ్యవస్థ ఆధారం వద్ద కీలకం ప్రతిచర్యా బలం R మరియు బలాలు F₁, F₂, అయితే

• స్థానాంతరణ సమతాస్థితి కోసం R – F₁ – F₂ = 0 అనగా ఊర్ధ్వదిశలో బలాలు మొత్తం, అధోదిశలో బలాల మొత్తానికి సమానము.
• భ్రమణ సమతాస్థితి కోసం d₁F₁ – d₂F₂ = 0 అనగా ఊర్ధ్వ దిశలో బలభ్రామకాల మొత్తం అధో దిశలో బలభ్రామకాల మొత్తానికి సమానము.

→ యాంత్రిక లాభం : భ్రమణ సమతాస్థితి వద్ద d₁F₁ = d₂F₂, లేదా \(\frac{F_1}{F_2}=\frac{d_2}{d_1}\) దీనిని యాంత్రిక లాభం అంటారు. అనగా పెద్ద భారాన్ని చిన్న యత్నబలంతో ఎత్తవచ్చని అర్థము.

→ జడత్వ భ్రామకము (I) : భ్రమణ గమనంలో గల వస్తువు జడత్వాన్ని కొలవడానికి జడత్వ భ్రామకాన్ని వాడతారు. వస్తువు మొత్తం ద్రవ్యరాశి భ్రమణ అక్షం నుండి R దూరంలో ఉన్నదని భావిస్తే భ్రమణ అక్షపరంగా దాని జడత్వ భ్రామకము
I = MR². ప్రమాణము కి.గ్రా. మీ², D.F: ML²
Note : వస్తువు ద్రవ్యరాశిలాగా జడత్వ భ్రామకము స్థిరరాశి కాదు.
I విలువ భ్రమణాక్షము, వస్తువు ద్రవ్యరాశి మరియు వస్తువులో ద్రవ్యరాశి వితరణ (distribution) లపై ఆధారపడును.

→ భ్రమణ వ్యాసార్ధము (k) : ఏ బిందువు ద్రవ్యరాశి మొత్తం వస్తువు ద్రవ్యరాశికి సమానమో, ఏ బిందువువరంగా జడత్వభ్రామకం వస్తువు మొత్తం జడత్వ భ్రామకానికి సమానమో, ఆ బిందువు ద్వారా పోయే అక్షానికి, భ్రమణాక్షానికి మధ్య ఉన్న లంబదూరాన్ని ఆ అక్షపరంగా వస్తువు భ్రమణ వ్యాసార్ధంగా నిర్వచించినారు.

→ గతిపాలక చక్రం : వాహనాల వేగంలో హఠాత్తుగా వచ్చే మార్పులు నిరోధించడానికి అత్యధిక జడత్వ భ్రామకం కలిగిన వృత్తాకార బిళ్ళ చక్రాలను వాడతారు. వీటిని గతిపాలక చక్రాలు అంటారు. గతిపాలక చక్రం వేగంలో మార్పులు క్రమేణా కలిగేటట్లు చేసి వాహనాల కుదుపులను తగ్గిస్తుంది.

→ లంబాక్ష సిద్ధాంతము : ఒక పలక తలానికి లంబంగా ఉన్న ఒక అక్షపరంగా జడత్వ భ్రామకం ఆ అక్షంతో అనుషక్తంగా ఉన్న పలక తలంలోని రెండు పరస్పర లంబ అక్షముల పరంగా గల జడత్వ భ్రామకాల మొత్తానికి సమానము.
I_z = I_x + I_y

→ సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతము : ఏదైనా ఒక అక్షం పరంగా ఒక వస్తువు జడత్వ భ్రామకం (I’_z) ఆ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండి వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ద్వారా పోయే అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకం (I_z) మరియు వస్తువు ద్రవ్యరాశి (m) ను అక్షముల మధ్యదూర వర్గం (R²) చేత గుణించి కలుపగా వచ్చు మొత్తానికి సమానము. అనగా I’_z = I_z + MR²

→ దొర్లుడు గమనము : దొర్లుడు గమనము అనేది స్థానాంతరణ గమనము మరియు భ్రమణ గమనముల సంయోగము.

→ దొర్లుడు గమనం గతిజశక్తి (R.K.E) : దొర్లుడు గమనంలో ఉన్న వస్తువుకు స్థానాంతరణ గమనం వల్ల గతిజశక్తి (1/2mv²) మరియు భ్రమణ గమనం వల్ల భ్రమణ గతిజశక్తి (\(\frac{1}{2}\)Iω²) ఉంటాయి.
దొర్లుడు గమనంలో వస్తువు మొత్తం గతిజశక్తి K.E_R = \(\frac{1}{2}\) mv² + \(\frac{1}{2}\) Iω²

→ రెండు కణాల వ్యవస్థలో ద్రవ్యరాశులు m₁, m₂, వాటి స్థానాలు x₁, మరియు x₂ అయితే,
a) ద్రవ్యరాశి కేంద్రం నిరూపకాలు x_c = \(\frac{m_1 x_1+m_2 x_2}{m_1+m_2}\)
b) నిరూపక వ్యవస్థ మూలబిందువు m₁ తోటి ఏకీభవించితే
X_c = \(\frac{\mathrm{m}_2 \mathrm{x}_2}{\mathrm{~m}_1+\mathrm{m}_2}\) లేక x_c = \(\frac{\mathrm{m}_2 \mathrm{x}_2}{\mathrm{~m}_1+\mathrm{m}_2}\) ఇక్కడ.d = m, m, ల మధ్యదూరం
c) ద్రవ్యరాశి కేంద్రం నుండి వస్తువుల దూరాల మధ్య నిష్పత్తి \(\frac{d_1}{d_2}=\frac{m_2}{m_1}\)

→ అనేక కణాల వ్యవస్థకు

f) ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ద్రవ్యవేగం P_c = mv_c = \(\sum_{\mathbf{l}=1}^{\mathbf{n}}\)m_iv_i లేదా mv_c = m₁v₁ + m₂v₂ + …….. + m_nv_n లేదా \(\overline{\mathrm{P}}_{\mathrm{C}}=\overline{\mathrm{P}}_1+\overline{\mathrm{P}}_2+\ldots . . \overline{\mathrm{P}}_{\mathrm{n}}\)

g) ద్రవ్యరాశి కేంద్రం త్వరణం a = \(\frac{F_C}{M}=\sum_{i=1}^n a_i m_i\)
∴ a = \(\frac{m_1 a_1+m_2 a_2+m_3 a_3+\ldots .+m_n a_n}{m_1+m_2+m_3+\ldots . .+m_n}\)

→ వజ్ర లబ్ధము (లేదా) సదిశా లబ్ధము : Ā × B̅ = |Ā| |B̅| sin θ. n̂ గా నిర్వచించినారు; n̂ ఏకాంక లంబ సదిశ.

→ సజాతి ఏకాంక సదిశల వజ్ర లబ్ధం సున్న. అనగా ī ī = j̅· j̅ = k̅·k̅ = 0
సమాంతర సదిశల మధ్య వజ్ర లబ్ధం శూన్యం.

→ i̅ × j̅ = k̅, j̅ × k̅ =j̅ మరియు k̅ × j̅ = j̅;

→ Ā = x₁ ī + y₁ j̅ + z₁ k̅ మరియు B = x₂ ī + y₂ j̅ + z₂ k̅ అయితే
Ā × B̅ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{i} & \mathrm{j} & \mathrm{k} \\
\mathrm{x}_1 & \mathrm{y}_1 & \mathrm{z}_1 \\
\mathrm{x}_2 & \mathrm{y}_2 & \mathrm{z}_2
\end{array}\right|\) = (y₁z₂ – y₂z₁) ī – (x₁z₂ – x₂z₁) j̅ + (x₁y₂ − x₂y₁)k̅

→ కోణీయ వేగం

ω = \(\frac{\theta}{t}\)
చిన్న కోణములకు ω = \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\); యూనిట్ : రేడియన్ / సె
ω = \(\frac{\theta}{t}\) లేదా ω = \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\); లేదా ω = \(\frac{2 \pi n}{t}\) (n = భ్రమణాల సంఖ్య)

→ కోణీయ త్వరణం

α = \(\frac{\omega_2-\omega_1}{t}\) లేదా α = \(\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{dt}}\), యూనిట్ : రేడియన్ / సె²

→ v మరియు ω మధ్య సంబంధము V = rω;

→ త్వరణము a = rα

→ అభికేంద్ర త్వరణము a_c = rω² = vω = \(\frac{\mathrm{v}^2}{\mathrm{r}}\); అపకేంద్ర బలం = \(\frac{\mathrm{mv}^2}{\mathrm{r}}\) = mrω²

→ తిరుగుతున్న గ్రామ్ ఫోన్ రికార్డుపై నాణెము నుంచిన అది జారిపోకుండా ఉండుటకు f_s = μ_sN = mrω²
μ_smg = mrω² ⇒ μ_s = \(\frac{\mathrm{r} \omega^2}{\mathrm{~g}}\)

→ mద్రవ్యరాశి గల వస్తువు క్షితిజతలంలో వృత్తాకారంలో తిరుగుతూ M ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు భారాన్ని నిలుపు చేసిన Mg = mrω² లేదా కోణీయ వేగము ω = \(\sqrt{\frac{M g}{m r}}\)

→ టార్క్ τ = r̅ × F̅ = |r̅||F̅| sin θ. ఇది ఎంత శక్తితో వస్తువు తిప్పబడినదో తెలియజేస్తుంది.

→ బలయుగ్మ భ్రామకము బలము × బలదిశల మధ్య లంబదూరం.

→ జడత్వ భ్రామకము I = \(\sum_{i=1}^n\)m_ir_i² లేదా I = MR²

→ జడత్వ భ్రామకము I = MR² = MK² అయిన, K ని భ్రమణ వ్యాసార్ధము అంటారు.

→ సమాంతర అక్ష సిద్ధాంతము నుండి I = I_G + MR²

→ లంబ అక్ష సిద్ధాంతము నుండి I_z = I_x + I_y

→ సన్నని కడ్డీ జడత్వ భ్రామకము :
a) సన్నని కడ్డీ మధ్య బిందువు ద్వారా పోతూ పొడవుకు లంబముగా ఉన్న అక్షముపై జడత్వ భ్రామకము
I = \(\frac{\mathrm{M} l^2}{12}\); K = \(\frac{l}{\sqrt{12}}\)
b) కడ్డీ చివర ఉన్న బిందువు ద్వారా పోతూ పొడవుకు లంబంగా ఉన్న అక్షముపై జడత్వ భ్రామకం
I = \(\frac{\mathrm{m} l^2}{3}\); K = \(\frac{l}{\sqrt{3}}\)

→ రింగు జఢత్వ భ్రామకము :
a) రింగు కేంద్రము గుండాపోతూ దాని తలమునకు లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం I = MR², K = R
b) ఏదైనా వ్యాసం పరంగా రింగు జడత్వ భ్రామకం I = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\); K = \(\frac{\mathrm{R}}{\sqrt{2}}\)
c) రింగు తలంలోని ఏదైనా స్పర్శరేఖ పరంగా జడత్వ భ్రామకం I = \(\frac{3}{2}\)MR²; K = \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)R

→ గుండ్రని పళ్ళెము జడత్వ భ్రామకం :
a) గుండ్రని పళ్ళెం కేంద్రం గుండా పోతూ తలానికి I = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\); K = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\)
లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం
b) పళ్ళెంలోని ఏదైనా వ్యాసం పరంగా జడత్వ భ్రామకం I = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\); K = \(\frac{\mathrm{R}}{2}\)
c) పళ్ళెం తలంలోని స్పర్శరేఖ పరంగా జడత్వ భ్రామకం I = \(\frac{5}{4}\)MR²; K = \(\frac{5}{4}\)R

→ సమతల పటలము యొక్క జడత్వ భ్రామకము :
a) సమాంతరంగా మధ్యబిందువు ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా I = M\(\sqrt{\frac{l^2+b^2}{12}}\); K = \(\sqrt{\frac{l^2+b^2}{12}}\)
b) పొడవుకు సమాంతరంగా మధ్యబిందువు ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా I = \(\frac{\mathrm{Mb}^2}{12}\); K = \(\frac{b}{\sqrt{12}}\)
c) వెడల్పుకు సమాంతరంగా మధ్యబిందువు ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా I = \(\frac{b}{\sqrt{12}}\); K = \(\frac{l}{\sqrt{12}}\)

→ ఘనగోళం యొక్క జడత్వ భ్రామకం :
a) వ్యాసం పరంగా జడత్వ భ్రామకం I = \(\frac{2}{5}\)MR²; K = \(\sqrt{\frac{2}{5}}\)R
b) ఏదైనా స్పర్శరేఖ పరంగా I = \(\frac{7}{5}\)MR²; K = \(\sqrt{\frac{7}{5}}\)R

→ గుల్లగోళం యొక్క జడత్వ భ్రామకం :
a) వ్యాసం పరంగా జడత్వ భ్రామకం I = \(\frac{2}{3}\)MR²; K = \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)R
b) ఏదైనా స్పర్శరేఖ పరంగా జడత్వ భ్రామకం I = \(\frac{7}{3}\)MR²; K = \(\sqrt{\frac{5}{3}}\)R

→ ఘన స్థూపం జడత్వ భ్రామకం:
a) స్థూపం అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం I = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\); K = \(\frac{\mathrm{R}}{\sqrt{2}}\)
b) పొడవుకు లంబంగా, కేంద్రం ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం I = M\(\left(\frac{l^2}{12}+\frac{\mathrm{R}^2}{4}\right)\)
K = \(\sqrt{\frac{l^2}{12}+\frac{\mathrm{R}^2}{4}}\)

→ గుల్ల స్థూపము జడత్వ భ్రామకం :
a) స్థూపం అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం I = MR²; K = R
b) పొడవుకు లంబంగా, కేంద్రం పోయే అక్షం పరంగా I = M\(\left(\frac{l^2}{12}+\frac{\mathrm{R}^2}{2}\right)\); K = \(\sqrt{\frac{l^2}{12}+\frac{\mathrm{R}^2}{2}}\)

→ కోణీయ ద్రవ్యవేగం L̅ = Iω

→ కోణీయ ద్రవ్యవేగం మరియు టార్క్ మధ్య సంబంధం, τ = \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{L}}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{L}_2-\mathrm{L}_1}{\mathrm{t}}\)

→ కోణీయ త్వరణం మరియు టార్క్ మధ్య సంబంధం, τ = Iα.

→ కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం
I₁ω₁ + I₂ω₂ = స్థిరం (వస్తువుపై బాహ్య టార్క్ పనిచేయనపుడు).