Srinivas

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Matrices Solutions Exercise 3(d)

I.
Question 1.
Find the determinants of the following matrices.
(i) \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & -5
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & -5
\end{array}\right]\) then determinant A
= det A = |A| = 2(-5) – 1(1)
= -10 – 1
= -11

(ii) \(\left[\begin{array}{cc}
4 & 5 \\
-6 & 2
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{cc}
4 & 5 \\
-6 & 2
\end{array}\right]\) then
det A = 4(2) – 5(-6)
= 8 + 30 = 38

(iii) \(\left[\begin{array}{cc}
\mathrm{i} & 0 \\
0 & -\mathrm{i}
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{cc}
\mathrm{i} & 0 \\
0 & -\mathrm{i}
\end{array}\right]\) then
det A = i(-1) – 0 = -i² = 1 (∵ i² = -1)

(iv) \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right]\)
Answer:

(v) \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & 4 & 2 \\
2 & -1 & 4 \\
-3 & 7 & 6
\end{array}\right|\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 4 & 2 \\
2 & -1 & 4 \\
-3 & 7 & 6
\end{array}\right]\)
Then det A = 1\(\left|\begin{array}{rr}
-1 & 4 \\
7 & 6
\end{array}\right|\) – 4\(\left|\begin{array}{ll}
-2 & 4 \\
-3 & 6
\end{array}\right|\) + 2\(\left|\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
-3 & 7
\end{array}\right|\)
= 1(-6 – 28) – 4(12 + 12)+ 2(14 – 3)
= 1 (- 34) – 4(24) + 2(11)
= -34 – 96 + 22
= -108

(vi) \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 4 \\
4 & -3 & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 4 \\
4 & -3 & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{array}\right]\)
Then det A = 2\(\left|\begin{array}{rr}
-3 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right|\) + 1\(\left|\begin{array}{ll}
4 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right|\) + 4\(\left|\begin{array}{rr}
4 & -3 \\
1 & 2
\end{array}\right|\)
= 2(- 3 – 2)+ 1(4 – 1) + 4(8 + 3)
= 2(-5) + 3 + 4(11)
= – 10 + 3 + 44
= 37

(vii) \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & -3 \\
4 & -1 & 7 \\
2 & 4 & -6
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & -3 \\
4 & -1 & 7 \\
2 & 4 & -6
\end{array}\right]\)
Then det A = 1\(\left|\begin{array}{rr}
-1 & 7 \\
4 & -6
\end{array}\right|\) – 2\(\left|\begin{array}{rr}
4 & 7 \\
2 & -6
\end{array}\right|\) – 3\(\left|\begin{array}{rr}
4 & -1 \\
2 & 4
\end{array}\right|\)
= 1(6 – 28) – 2(- 24 – 14) – 3(16 + 2)
= -22 + 76 – 54 = 0
[Note : Since R₁ and R₂ are proportional, we have det A = 0.]

(viii) \(\left[\begin{array}{lll}
a & h & g \\
h & b & f \\
g & f & c
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{lll}
a & h & g \\
h & b & f \\
g & f & c
\end{array}\right]\)
Then det A = a\(\left|\begin{array}{ll}
b & f \\
f & c
\end{array}\right|\) – h\(\left|\begin{array}{ll}
\mathrm{h} & \mathrm{f} \\
\mathrm{g} & \mathrm{c}
\end{array}\right|\) – g\(\left|\begin{array}{ll}
h & b \\
g & f
\end{array}\right|\)
= a(bc – f²) – h(ch – fg) + g(fh – bg)
= abc – af² – ch² + fgh + fgh – bg²
= abc + 2fgh – af² – bg² – ch²

(ix) \(\left[\begin{array}{lll}
a & b & c \\
b & c & a \\
c & a & b
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{lll}
a & b & c \\
b & c & a \\
c & a & b
\end{array}\right]\)
Then det A = 1\(\left|\begin{array}{ll}
c & a \\
a & b
\end{array}\right|\) – b\(\left|\begin{array}{ll}
b & a \\
c & b
\end{array}\right|\) – c\(\left|\begin{array}{ll}
b & \mathrm{c} \\
\mathrm{c} & \mathrm{a}
\end{array}\right|\)
= a(bc – a²) – b(b² – ac) + c(ab – c²)
= 3abc – a³ – b³ – c³

(x) \(\left[\begin{array}{ccc}
1^2 & 2^2 & 3^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1^2 & 2^2 & 3^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 9 \\
4 & 9 & 16 \\
9 & 16 & 25
\end{array}\right]\)
Then det A = 1(225 – 256) – 4(100 – 144) + 9(64 – 81)
= -31 + 176 – 153 = -8

Question 2.
If A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 4 \\
5 & -6 & x
\end{array}\right]\) and det A = 45 then find x.
Answer:
det A = 45
⇒ \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 4 \\
5 & -6 & x
\end{array}\right|\) = 45
⇒ 1(3x + 24) = 45
⇒ 3x = 21
⇒ x = 7

II.
Question 1.
Show that \(\left|\begin{array}{lll}
\mathrm{b c} & \mathrm{b}+\mathrm{c} & 1 \\
\mathrm{c a} & \mathrm{c}+\mathrm{a} & 1 \\
\mathrm{a b} & \mathrm{a}+\mathrm{b} & 1
\end{array}\right|\) = (a – b)(b – c)(c – a).
Answer:
Operating R₂ – R₁, R₃ – R₁, on the given determinant
LHS = \(\left|\begin{array}{ccc}
b c & b+c & 1 \\
c(a-b) & a-b & 0 \\
b(a-c) & a-c & 0
\end{array}\right|\)
= (a – b)(a – c)\(\left|\begin{array}{ccc}
b c & b+c & 1 \\
c & 1 & 0 \\
b & 1 & 0
\end{array}\right|\)
= (a – b)(a – c)(1)(c – b)
= (a – b)(b – c)(c – a) (exponding on 3rd column)
= RHS

Question 2.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
b+c & c+a & a+b \\
a+b & b+c & c+a \\
a & b & c
\end{array}\right|\) = a² + b² + c² – 3abc (Mar. 2008; May 2007)
Answer:

= (a + b + c) [(c – b) (c – a) – (a – b) (b – a)]
= (a + b + c) [c² – bc – ac + ab + a² – 2ab + b²]
= (a + b + c) [a² + b² + c² – ab – bc – ca]
= a² + b² + c² – 3abc

Question 3.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{y}+\mathrm{z} & \mathrm{x} & \mathrm{x} \\
\mathrm{y} & \mathrm{z}+\mathrm{x} & \mathrm{y} \\
\mathrm{z} & \mathrm{z} & \mathrm{x}+\mathrm{y}
\end{array}\right|\) = 4xyz.
Answer:
R₁ – (R₂ + R₃) on the given determinant gives

= 2[z(xy) – y(-xz)]
= 2[2xyz] = 4xyz = RHS

Question 4.
If \(\left|\begin{array}{ccc}
a & a^2 & 1+a^3 \\
b & b^2 & 1+b^3 \\
c & c^2 & 1+c^3
\end{array}\right|\) = 0 and \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{a} & \mathrm{a}^2 & 1 \\
\mathrm{b} & \mathrm{b}^2 & 1 \\
\mathrm{c} & \mathrm{c}^2 & 1
\end{array}\right|\) ≠ 0, then show that abc = -1. (Mar. ’14)
Answer:

⇒ abc + 1 = 0
⇒ abc = -1

Question 5.
Without expanding the determinant, prove that
(i) \(\left|\begin{array}{lll}
\mathrm{a} & \mathrm{a}^2 & \mathrm{b c} \\
\mathrm{b} & \mathrm{b}^2 & \mathrm{c a} \\
\mathrm{c} & \mathrm{c}^2 & \mathrm{a b}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & \mathrm{a}^2 & \mathrm{a}^3 \\
1 & \mathrm{b}^2 & \mathrm{b}^3 \\
1 & \mathrm{c}^2 & \mathrm{c}^3
\end{array}\right|\)
Answer:

(ii) \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{a x} & \mathrm{b y} & \mathrm{c z} \\
\mathrm{x}^2 & \mathrm{y}^2 & \mathrm{z}^2 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{a} & \mathrm{b} & \mathrm{c} \\
\mathrm{x} & \mathrm{y} & \mathrm{z} \\
\mathrm{y z} & \mathrm{z x} & \mathrm{x y}
\end{array}\right|\)
Answer:

(iii) \(\left|\begin{array}{lll}
1 & b c & b+c \\
1 & c a & c+a \\
1 & a b & a+b
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
1 & a & a^2 \\
1 & b & b^2 \\
1 & c & c^2
\end{array}\right|\) (Board Model Paper)
Answer:

(∵ R₂ – R₁; R₃ – R₁)
= (b – a) (c² – a²) – (c – a) (b² – a²)
= (b – a) (c – a) (c + a) – (c – a) (b – a) (b + a)
= (b – a) (c – a) (c + a – b – a)
= (b – a) (c – a) (c – b)
= (a – b) (b – c) (c – a)
LHS = RHS

Question 6.
If Δ₁ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{a}_1^2+\mathrm{b}_1+c_1 & \mathrm{a}_1 \mathrm{a}_2+\mathrm{b}_2+c_2 & \mathrm{a}_1 \mathrm{a}_3+\mathrm{b}_3+c_3 \\
\mathrm{b}_1 \mathrm{b}_2+c_1 & \mathrm{b}_2^2+\mathrm{c}_2 & \mathrm{b}_2 \mathrm{b}_3+\mathrm{c}_3 \\
\mathrm{c}_3 c_1 & \mathrm{c}_3 \mathrm{c}_2 & \mathrm{c}_3^2
\end{array}\right|\) and Δ₂ = \(\left|\begin{array}{lll}
\mathrm{a}_1 & \mathrm{b}_1 & \mathrm{c}_1 \\
\mathrm{a}_2 & \mathrm{b}_2 & \mathrm{c}_2 \\
\mathrm{a}_3 & \mathrm{b}_3 & \mathrm{c}_3
\end{array}\right|\), then find the value of \(\frac{\Delta_1}{\Delta_2}\).
Answer:

Question 7.
If Δ₁ = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 1 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 1
\end{array}\right|\) and Δ₂ = \(\left|\begin{array}{ccc}
0 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 0 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 0
\end{array}\right|\) and Δ₁ = Δ₂ then show that cos²α + cos²β + cos²γ = 1.
Answer:
Given \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 1 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 1
\end{array}\right|\)
= (1 – cos²γ) – cos α (cos α – cos β cos γ) + cos β (cos α cos γ – cos β)
= 1 – cos²γ – cos²α + cos β cos α cos γ + cos α cos β cos γ – cos²β
= 1 – (cos²α + cos²β + cos²γ) + 2 cos α cos β cos γ

Δ₂ = \(\left|\begin{array}{ccc}
0 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 0 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 0
\end{array}\right|\)
= – cos α (0 – cos γ cos β) + cos β (cos α cos γ)
= cos α cos β cos γ + cos α cos β cos γ
= 2cos α cos β cos γ
Also given Δ₁ = Δ₂
⇒ 1 – (cos²α + cos²β + cos²γ) + 2 cos α cos β cos γ
= 2 cos α cos β cos γ
⇒ 1 – (cos²α + cos²β + cos²γ) = 0
∴ cos²α + cos²β + cos²γ = 1

III.
Question 1.
Show that
\(\left|\begin{array}{ccc}
a+b+2 c & a & b \\
c & b+c+2 a & b \\
c & a & c+a+2 b
\end{array}\right|\) = 2(a + b + c)³
Answer:

Question 2.
Show that \(\left|\begin{array}{lll}
a & b & c \\
b & c & a \\
c & a & b
\end{array}\right|^2\) = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 b c-a^2 & c^2 & b^2 \\
c^2 & 2 a c-b^2 & a^2 \\
b^2 & a^2 & 2 a b-c^2
\end{array}\right|\) = (a³ + b³ + c³ – 3abc)². (May 2014, Mar. 01′)
Answer:
Let Δ = \(\left|\begin{array}{lll}
a & b & c \\
b & c & a \\
c & a & b
\end{array}\right|\) = a(bc – a²) – b(b² – ac) + c(ab – c²)
= abc – a³ – b³ + abc + abc – c³
= – (a³ + b³ + c³ – 3abc)
⇒ Δ² = (a³ + b³ + c³ – 3abc)² …………..(1)

From (1) and (2) the result is proved.

Question 3.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
a^2+2 a & 2 a+1 & 1 \\
2 a+1 & a+2 & 1 \\
3 & 3 & 1
\end{array}\right|\) = (a – 1)³. (March 2007)
Answer:
Apply operations R₁ – R₂ and R₂ – R₃ we get

Question 4.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{a} & \mathrm{b} & \mathrm{c} \\
\mathrm{a}^2 & \mathrm{b}^2 & \mathrm{c}^2 \\
\mathrm{a}^3 & \mathrm{b}^3 & \mathrm{c}^3
\end{array}\right|\) = abc(a – b)(b – c)(c – a)
Answer:
LHS = abc\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^2 & b^2 & c^2
\end{array}\right|\)
= abc\(\left|\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
a-b & b-c & c \\
a^2-b^2 & b^2-c^2 & c^2
\end{array}\right|\) (Use operations C₁ – C₂, C₂ – C₃)
= abc [(a – b) (b² – c²) – (b – c) (a² – b²)]
= abc [(a – b) (b – c) (b + c) – (b – c) (a – b) (a + b)]
= abc (a – b) (b – c) [b + c – a – b]
= abc (a – b) (b – c) (c – a)

Question 5.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
-2 a & a+b & c+a \\
a+b & -2 b & b+c \\
c+a & c+b & -2 c
\end{array}\right|\) = 4(a + b)(b + c)(c + a)
Answer:

= 0 (∵ R₁ & R₃ are similar)
∴ (a + b) is a factor of Δ.
Similarly putting b + c = 0 and c + a = 0 we shall find that b + c and c + a are also factors of Δ.
∵ Δ is a 3rd degree expression in a, b, c.

Let Δ = k (a + b) (b + c) (c + a)
Where k ≠ 0 is a scalar.
Put a = 1, b = 1, c = 1 then
= k(1 + 1) (1 + 1) (1 + 1)
= 8k -2(4 – 4) – 2(-4 – 4) + 2(4 + 4)
= 8k
⇒ -16 + 16 = 8k ⇒ k = 4
Δ = 4(a + b) (b + c) (c + a)
Here \(\left|\begin{array}{ccc}
-2 a & a+b & c+a \\
a+b & -2 b & b+c \\
c+a & c+b & -2 c
\end{array}\right|\) = 4(a + b)(b + c)(c + a)

Question 6.
Show that \(\left|\begin{array}{lll}
\mathrm{a}-\mathrm{b} & \mathrm{b}-\mathrm{c} & \mathrm{c}-\mathrm{a} \\
\mathrm{b}-\mathrm{c} & \mathrm{c}-\mathrm{a} & \mathrm{a}-\mathrm{b} \\
\mathrm{c}-\mathrm{a} & \mathrm{a}-\mathrm{b} & \mathrm{b}-\mathrm{c}
\end{array}\right|\) = 0
Answer:
R₁ + (R₂ + R₃) given
\(\left|\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
b-c & c-a & a-b \\
c-a & a-b & b-c
\end{array}\right|\)
= 0 (∵ If one row or column elements of a square matrix are zeroes then the value of the determinant of that matrix is equal to zero)
= RHS.

Question 7.
Show that \(\left|\begin{array}{lll}
1 & a & a^2-b c \\
1 & b & b^2-c a \\
1 & c & c^2-a b
\end{array}\right|\) = 0
Answer:
Make operations R₂ – R₁, R₃ – R₁ then the given determinant.

Question 8.
Show that \(\left|\begin{array}{lll}
x & a & a \\
a & x & a \\
a & a & x
\end{array}\right|\) = (x + 2a)(x – a)².
Answer:

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors

Essay Questions:

Question 1.
What are the various types of errors ? Explain with suitable examples.
Answer:
In accountancy errors are not rectified by striking off the wrong figures and replacing it by correct one. It is better to pass an appropriate entry for rectification of mistake to neutralise the effect of error and to bring correct position.

Errors are classified into two types.

1. Error of principle
2. Clerical errors.

1. Error of principle :
Error of principle occurs where errors are made to defective knowledge of accounting principles. These errors may arise, when distinction is not made between capital and revenue nature items. Ex : Salaries paid to staff debited to their personal accounts purchase of furniture debited to purchases A/c. These errors are not disclosed by the trial balance because one error is compensated by the other.

2. Clerical errors :
When mistake is committed while recording them either in the books of original entry or posting them in the ledger. These errors are of three types. They are :
a) Errors of omission
b) Errors of commission
c) Compensating errors

a) Errors of omission :
These errors in the books due to omission of some transactions in any subsidiary books or posting them into ledger. Complete omission of a transactions does not effect trial balance. Ex: Credit purchases made not recorded in the purchases book. Paid cash to Suresh not entered in the cash book.

b) Errors of commission :
These are clerical errors. These errors arises because of mistakes in calculations, totalling, carry forward or balancing. There may be wrong postings or posting twice into the ledger and wrong entries in the original books. Such errors may or may not effect the trial balance. Ex : Instead of posting purchases with ^ 1,000 posted ₹ 100 in the Account.

c) Compensating errors :
These errors arise as one error is compensated by the other error. The effect of one error is cancelled with the effect of other error or errors.
Ex: Excess debit compensated with excess credit. This type of errors are not disclosed by the trial balance.

Question 2.
What are the errors disclosed by Trial Balance and not disclosed by Trial Balance ?
Answer:
Errors may be classified as

1. Errors not disclosed by Trial Balance
2. Errors disclosed by Trial Balance

1. Errors not disclosed by Trial Balance :
This type of errors cannot be traced out in the preparation of trial balance, because these errors cannot affect the agreement of the trial balance.

1. Errors of principle, Ex : Repairs to machinery debited to machinery a/c.
2. Errors of omission, Ex : Sales made are not recorded in the sales book.
3. Errors of commission, Ex : Purchase Book overcast by ₹ 1000.
4. Compensating errors, Ex: Amount paid to Ram ₹ 5,000 recorded as ₹ 5,500 and amount received from Shyam ₹ 10,000 recorded as ₹ 9,500.
5. Posting wrong entry in the subsidiary books.
6. Posting to correct side in a wrong account.
7. Recording a transaction in books of account in twice.

2. Errors disclosed by Trial Balance :
The errors which are revealed by trial balance are known as Errors disclosed by trial balance.

1. Posting a transaction to wrong side of an account. Ex : Discount allowed posted to credit side discount account.
2. Posting a wrong amount in account. Ex : Sales ₹ 25,000 posted to sales a/c as ₹ 2,500.
3. Errors in totally Ex : Sales return book is overcast by ₹ 100.
4. Errors made in carrying forward. Ex : Purchases book total is carried forward ₹ 1,500 instead of ₹ 150.
5. Omission to post an amount from the subsidiary book to ledger. Ex : Sold goods to Hari ₹ 1,000 not entered in Hari’s account.
6. Recording one aspect twice. Ex : Paid salaries ? 1,000 debited to salaries account twice.
7. Omission to enter a balance or wrong balancing in ledger account.

Question 3.
What do you mean by Suspense Account ? Explain it briefly.
Answer:
When the trial balance does not agree, an effort is made to locate the errors and rectify them. But if the errors cannot be located easily and quickly and at the same time, if the final accounts are to be prepared urgently, the difference in the trial balance is made good by writing it to smaller side of the trial balance under the name suspense account’ such temporary suspense account is closed later when once errors are located and rectified.

The suspense account is an imaginary account opened temporarily for the purpose of just tallying trial balance. Ex: if the ‘debit side of the trial balance exceeds credit side, then the difference put on the credit side and the suspense account shows credit balance. If the credit side of the trial balance exceeds debit side, then the difference is put on the debit side and suspense account shows debit balance.

The difference in trial balance are due to one side errors and not due to other errors. The errors which involve both the accounts permits the trial balance to agree and therefore they do not give rise to sus: pense account. The balance of suspense account is shown on the balance sheet either on liabilities or assets side, depending upon whether the suspense account has a credit or debit balance.

Question 4.
Distinguish between partial omission and complete omission with suitable illustra¬tions.
Answer:

Short Answer Questions:

Question 1.
What is of Errors of Omission.
Answer:
These errors arise in the books due to omission of some transactions in any subsidiary book or posting into ledger account.
Ex :

1. When no entry is made for a transaction in any subsidiary book or in journal.
2. Omission of posting some entry in ledger.

Question 2.
Explain the errors of commission with two examples.
Answer:
These are clerical errors. These errors arise due to mistakes in calculations, totalling, carry forward or balancing.
Ex :

1. Instead of posting purchases worth ₹ 1,000 posted ₹ 100 in the account.
2. Instead of debiting Prasad account wrongly debited to Pratap account.

Question 3.
Explain the errors of principle with two examples.
Answer: Errors of principle occurs when errors are made due to defective knowledge of account¬ing principles. These errors arise when correct distinction between capital items is not made.
Ex :

1. Purchase of furniture debited to purchases account.
2. Paid salary to manager is debited to manager account.

Question 4.
What do you mean by compensating error.
Answer:
These errors arises as one error is compensated by the other error. The effect of one error is cancelled with the effect of other errors.
Ex : Amount paid to Ram ₹ 5,000 recorded as ₹ 4,500 ana amount received from syam ₹ 10,000 recorded as ₹ 9,500.

Question 5.
Define suspense account.
Answer:

1. If the trial balance not agree, then difference between the debit and credit totals should be transferred to an account called suspense account.
2. Suspense account is an imaginary account, opened and used as a temporary measure to make the two sides of the trial balance agree.
3. As and when the errors which causes the disagreement in trial balance is detected, rectification entries should be passed through suspense account.

Problems:

Question 1.
Rectify the following errors.
a) A sale of goods to Adithya for ₹ 2,500 was passed through the purchases book.
b) Salary of ₹ 800 paid to Sandeep was wrongly debited to his personal account.
c) Furniture purchased on credit from Sekhar for ₹ 1,000 was entered in the purchases book.
d) ₹ 5,000 spent on the extension of buildings was debited to buildings repairs account.
e) Goods returned by Shailesh ₹ 1,200 were entered in the return outwards book.
Solution:
Rectification entries

Question 2.
Rectify the following errors :
a) Furniture purchased for ₹ 10,000 wrongly debited to purchase account.
b) Machinery purchased on credit from Ramana for ₹ 10,000 was recorded through purchases book.
c) Repairs on machinery ₹ 1,400 debited to machinery account.
d) Repairs on overhauling of second hand machinery purchased ₹ 2,000 was debited to repairs account.
e) Sale of old machinery at book value of ₹ 3,000 was credited to sales account.
Solution:
Rectification entries

Question 3.
Pass journal entries to rectify the following errors :
a) Machinery purchased for ₹ 5,000 has been debited to purchases account.
b) ₹ 700 paid to Ruchira as legal charges were debited to his personal account.
c) ₹ 10,000 paid to Escorts Company for machinery purchased stand debited to Escorts company account.
d) Typewriter purchased for ₹ 6,000 was wrongly passed through purchase book.
e) ₹ 20,000 paid for the purchase of Motor-Cycle for proprietor has been charged to ‘General Expenses’ account.
f) ₹ 15,000 paid for the purchase of ‘Gas engine’ were debited to ‘Purchases’ account.
g) Cash paid to Saritha ₹ 400 was debited to the account of Amani.
Solution:
Rectification entries

Question 4.
Give rectification entries for the following errors :
a) Wages payable to furniture maker ₹ 670 debited to Wages account.
b) A credit sale of ₹ 150 to Srinivas debited to Shiva Ram.
c) Payment of salary to Varshini not passed through book at all ₹ 1,000.
d) A credit purchase of ₹ 140 to Harshini, recorded in the books as ₹ 410.
Solution:
Rectification entries

Question 5.
Pass journal entries-to rectify the following errors :
a) The purchases book of the trader is overadded by ₹ 200 (Overcast by)
b) Old furniture sold for ₹ 100 was wrongly credited to sales account.
c) ₹ 100 paid on account of interest was debited to commission a/c.
d) An amount of ₹ 125 received from Soni was wrongly credited to his account as ₹ 152.
Solution:
Rectification entries

Question 6.
Rectify the following errors :
a) Purchases of furniture costing ₹ 1,200 have been recorded in purchases book.
b) Repairs to machinery ₹ 200 were debited to machinery account.
c) A credit sale of ₹ 200 to Ramesh through properly entered in the sales book has been credited to his account.
d) The total of purchases book, was overcast by ₹ 200.
e) Salary ₹ 2,000 paid to manager debited to his personal account.
Solution:
Rectification entries

Question 7.
Rectify the following errors :
a) Sale of old machinery ₹ 500 has been entered in the sales book.
b) Rakesh pays ₹ 300. This amount has been credited to Rajesh.
c) A sale of ₹ 250 to Shah & Co., has been debited to them as ? 520.
d) Returns to Ramanuji ₹ 350 have not been posted to his account.
e) Salary of ₹ 1,500 paid to Ramana has been debited to his account.
f) A purchase of ₹ 700 from Gupta & Co. has been entered in the sales book.
Solution:
Rectification entries

Question 8.
Rectify the following errors :
a) An amount of ₹ 100 paid for the repairs of furniture was debited to furniture account.
b) Sales book total was overcast by ₹ 500.
c) Expenses ₹ 1,500 were posted in the ledger as ₹ 150.
d) A sale of ₹ 200 to Mr. S was wrongly debited to the account of Mr. V.
e) Old furniture sold has been credited to sales account ₹ 500.
Solution:
Rectification entries

Question 9.
Write the entries for the rectification of the following errors :
a) Sales book was overcast by ₹ 300.
b) Sales of ₹ 100 to Madhavi was wrongly debited to account of Sharath.
c) General expenses of ₹ 200 were posted in the general ledger as ₹ 300.
d) ₹ 300 received from Shankar was debited to Sandhya.
e) Legal expenses ₹ 200 paid to Saritha was debited to her personal account.
f) An amount of ₹ 200 paid of Ramesh is not posted to his account.
Solution:
Rectification entries

Question 10.
Pass journal entries to rectification of the following errors :
a) The total of purchases book was under cast by ₹ 200.
b) A credit purchase from Vaishnavi for ₹ 1,000 has been wrongly passed through the sales book.
c) Wages paid ₹ 200 was wrongly debited to salaries account.
d) ₹ 100 received on account interest stands wrongly credited to commission account.
e) Salary of ₹ 500 paid to manager Mr. Krishna is debited to his personal account.
Solution:
Rectification entries

Question 11.
Rectify the following errors before preparation of trial balance :
a) Purchase book was undercast by ₹ 2,000.
b) Rent paid ₹ 350 was debited to that account as ₹ 530.
c) Discount received from Rama & Co. ₹ 250 was not posted to their account.
d) Interest paid ₹ 89 was wrongly credited to that account as ₹ 98.
e) Sales book was overcast by ₹ 1,700.
f) Purchase returns book undercast by ₹ 275.
Solution:
Rectification entries :
a) Purchase a/c is debited with ₹ 2,000.
b) Rent account is credited with ₹ 180.
c) Rama & Co. a/c Dr 250.
To Discount a/c 250 (Being error of omission is retified)
Note :
In transaction ‘c’, it not posted to their account, i.e. it’s a complete omission so we write the omission entry)
d) Interest a/c is debited with ₹ 187(89 + 98).
e) Sales a/c is debited with ₹ 1,700.
f) Purchase returns a/c is credited with ₹ 275.

Question 12.
Rectify the following errors discovered before preparation of the trial balance.
a) The sales book has been total ₹ 1,000 short.
b) Sale of old furniture ₹ 4,000 was credited to sales account.
c) ₹ 250 paid towards interest was debited to commission account.
d) ₹ 125 paid by Sandeep but was entered in his account ₹ 152.
e) The purchase account was overcast by ₹ 750.
f) ₹ 4,500 salary paid to Mr. Shekar heard clerk stands debited to his personal account.
Solution:
Rectification entries

Question 13.
Rectify the following errors discovered before preparation of the trial balance :
a) Furniture purchased ₹ 3,500 has been entered in the purchases book.
b) The returns inward book was overcast by ₹ 250.
c) ₹ 800 paid for repairs to machinery was debited to machinery account.
d) A sale of ₹ 750 made to Sriman Narayana was entered in sales book but was credited to his account
e) A purchase of ₹ 760 made from Radhika was credited to his account ₹ 670.
Solution:

Question 14.
Rectify the following errors before preparation of trial balance.
a) ₹ 250 paid for proprietors medical bill was debited to sundry expenses account.
b) Sale of goods to Sandhya & Co. for ₹ 2,900 was entered through the purchase book.
c) Sale of old machinery ₹ 5,000 was posted to the credit of sales account.
d) The total of purchases book was overcast by ₹ 2,000.
e) Salary of ₹ 4,500 paid to Kittu has been debited to his account.
Solution:
Rectification entries

Question 15.
Pass necessary entries to rectify the following errors. After the preparation of trial balance.
a) ₹ 1,500 received from Gopal has been wrongly credited to Chandu’s account.
b) The purchase book was undercast by ₹ 1,000.
c) Repairs to machinery ₹ 800 were debited to machinery account.
d) Discount allowed to Chiru ₹ 200 correctly entered in cash book, has not been posted to his account.
e) Bills payable from Mr.Gopichand ₹ 1,000 was entered in the bills payables book.
Solution:
Rectification entries

Textual Examples:

Question 1.
Rectify the following errors.
a) Salary paid to Pavan ₹ 1,200 has been debited to his account.
b) Paid rent to owner of the house Mr. Murali ₹ 5,000, has been debited to his account.
c) ₹ 2,000 paid for the repairs of building was debited to building a/c.
d) ₹ 850 used by proprietor for his personal use has been debited to Trade Expenses a/c.
e) Goods amounting to ₹ 235 returned by Ramesh were taken into stock, but no entry was made in the books.
Solution:
Rectification entries

Question 2.
Rectify the following through passing Journal Entries :
a) Office Furniture bought for ₹ 7,200 wrongly debited to Office Expenses a/c.
b) A credit sale ₹ 1,500 to Pradeep has been passed through purchases book.
c) Received cheque for amount ₹ 1,600 from Venkat is dishonoured and wrongly entered in Sales Return Book.
d) Goods sold to Sudha ₹ 4,000. not recorded in the Books.
e) ₹ 2,000 received from Sudheer has been wrongly credited to Sandeep’s a/c.
Solution:
Rectification Entries

Question 3.
The following errors were found in the books of Laxminarayana & Sons. Give the necessary entries to correct them.
a) ₹ 500 paid for furniture purchased has been charged to ordinary purchases a/c.
b) Repairs made to building were debited to Building a/c for ₹ 50.
c) ₹ 1000 paid for rent debited to Landlord’s a/c.
d) ₹ 100 received from Shah & Co., has been wrongly entered as from Shan & Co.,
e) An amount of ₹ 1150 withdrawn by the proprietor for his personal use had been debited to travelling expenses a/c.
f) ₹ 1,500 paid for the purchase of a typewriter was charged to office expenses a/c.
Solution:
Rectification entries

Question 4.
Pass journal entries to rectify the following errors discovered while preparing the trial balance.
a) Commission of ₹ 200 received was wrongly credited to interest account.
b) Return outwards book was undercast by ₹ 500.
c) Furniture worth ₹ 600 purchased was debited to Purchases a/c.
d) An amount of ₹ 300 received from Sri Bhima Raju was wrongly credited to the account of Sri Rama Raju.
Solution:
Rectification Entries

Question 5.
The following errors, affecting the accounts were detected in the books of Varun Bros., Warangal.
a) Sale of Old Furniture ₹ 1,500 treated as sale of goods.
b) Receipt of ₹ 500 from Ram credited to Shyam.
c) Goods worth ₹ 1,000 bought of Mohan have remained unrecorded.
d) A return of goods ₹ 120 from Mukesh posted to debit of his account.
e) Rent of proprietor’s residence ₹ 600 debited to Rent a/c.
f) A payment of ₹ 215 to Rafi posted to his credit as ₹ 125.
g) Sales book added ₹ 400 short.
h) The total of bills receivable book ₹ 1,500 left un posted.
Solution:
Rectification entries

Question 6.
Rectify the following errors with the help of Suspense Account.
a) Credit sales to Mohan ₹ 7,000 were posted to Srinu as ₹ 5,000.
b) Credit purchases from Sarath ₹ 9,000 were posted to the debit of Kiran as ₹ 10,000.
c) Goods returned to Sailaja ₹ 4,000 were posted to the credit of Pavani as ₹ 3,000.
d) Goods returned by Ratnaji ₹ 1,000 were posted to debit of Sandhya’s account as ₹ 2,000.
e) Cash sales of ₹ 2,000 were posted to commission account as ₹ 200.
Solution:
Rectification entries

Question 7.
Rectify the following errors.
a) Received cash from Lalitha ₹ 200 has been posted to her account as ₹ 180.
b) Goods sold to Ashok ₹ 75 were omitted to be entered in his account.
c) Credit side of Hari’s account was overcast by ₹ 200.
d) Goods returned from Ramesh ₹ 650 were not posted to his account.
e) Sales book under cast by ₹ 500.
Solution:
Rectification entries

Question 8.
Rectify the following errors with the help of Suspense a/c.
a) Purchases book overcast by ₹ 650.
b) Purchases returns book under cast ₹ 250.
c) Received ? 222 from Amala has been entered in her account ₹ 2,222.
d) Sold goods to Rajesh ₹ 296 in his account posted as ₹ 269.
e) Received ₹ 350 from Sharath was posted on the Debit side of his account.
Solution:
Rectification retries

Question 9.
The books of Mahendra traders did not agree. They found the difference of ₹ 1,130 in the trial balance. The difference was placed on the credit side of suspense a/c. Later, the following errors were discovered, you are required to rectify them and show the Suspense a/c.
a) Purchased goods from Vinay ₹ 800 recorded correctly in purchases book but wrongly debited to his account.
b) Sales book was overcast by ₹ 600.
c) ₹ 115 paid for general expenses but entered in account as ₹ 150.
d) Cash discount allowed to Amar ₹ 225 entered in cash book but not posted to her personal account.
Solution:
Rectification Entries

Question 10.
The Trial balance of a firm is out by ₹ 750 (excess debit) and the amount was put to the credit side of Suspense a/c, following errors are detected. You are asked to rectify them and prepare the Suspense a/c.
a) An amount of ₹ 250 received from Rajesh was wrongly debited to his personal account.
b) Sold goods to Mahesh ₹ 540 but is entered in Sales book as ₹ 450.
c) Discount received ₹ 150 entered in cash book but not entered in discount account.
d) Purchases returns amount ₹ 50 has been debited to purchases account.
e) Repairs to machinery ₹ 370 but wrongly debited to repairs account as ₹ 170,
f) Sales book under cast by ₹ 200.
Solution:
Rectification Entries

Question 11.
Rectify the following errors.
a) Received cash from Anand ₹ 188 has been posted to his a/c as ₹ 180.
b) Goods sold to Vardhan ₹ 75 were omitted to be entered in his account.
c) Credit side of Dikshith account was overcast by ₹ 20.
d) Goods returned by Radhika ₹ 35 was not posted to her account.
Solution:
Rectification entries

Question 12.
Rectify the following errors with the help of Suspense a/c.
a) Purchases book overcast by ₹ 400.
b) Purchases returns book undercast ₹ 260.
c) ? 660 received from Sunder has been entered in his account ₹ 1,160.
d) Goods sold to Param for ₹ 550 was posted to his account as ₹ 450.
e) ₹ 1050 received from Kiran were posted to the debit side of his account.
Solution:
Rectification Entries

Question 13.
An accountant could not tally the Trial balance. The difference of ₹ 5,180 was temporarily placed to the credit of suspense account for preparing the final accounts. The following errors were later located.
a) Commission of ₹ 500 paid, was posted twice, once to discount allowed account and once to commission account.
b) The sales book was undercast by ₹ 1,000.
c) A credit sale of t 2,780 to Sudha though correctly entered in sales book, was posted wrongly to her account as ₹ 3,860.
d) A credit purchase from Nataraj of ₹ 1,500, though correctly entered in purchases book, was wrongly debited to his personal account.
e) Discount column of the payments side of the cash book was wrongly added as ₹ 2,800 instead of ₹ 2,400.
You are required to pass necessary rectifying entries and prepare suspense account.
Solution:
Rectification Entries

Question 14.
The following errors affecting the account for the year 2018 were detected in the books of Sheshu & Brothers, Warangal.
a) Sale of old furniture ₹ 1,500 treated as sale of goods.
b) Receipt of ₹ 5,000 from Sairam credited to Ramsai.
c) Goods worth ₹ 1,200 brought from Pavan Kumar have remained unrecorded so far
d) Rent of proprietor’s residence ₹ 7,500 debited to rent a/c.
e) Repairs made were debited to building account for ? 600.
You are required to pass the necessary rectifying entries.
Solution:
Rectification Entries

Question 15.
Rectify the following errors.
a) Purchases book overcast by ₹ 2,500.
b) Sales book undercast by ₹ 4,200.
c) Purchases return book overcast by ₹ 1,450.
d) Sales return book undercast by ₹ 3,500.
Solution:

To rectify the errors :
i) Credit – Purchases a/c with ₹ 2,500.
ii) Credit – Sales a/c with ₹ 4,200.
iii) Debit – Purchases return a/c with ₹ 1,450.
iv) Debit – Sales return a/c with ₹ 3,500.

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
వ్యవస్థకైనా దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి తప్పక ఉండవలసిన అవసరం ఉందా ? (మే 2014)
జవాబు:
ఒక వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద కొంత ద్రవ్యరాశి ఉండి తీరాలి అన్న నియమం లేదు) ఉదా : ఉంగరము లేదా గాజుల విషయంలో వాటి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ఏ విధమైన ద్రవ్యరాశి లేదు.

ప్రశ్న 2.
ఒక అమ్మాయి బరువులున్న ఒక సంచిని ఒక చేతిలో పట్టుకొని నిలుచున్నది. ఇంకొక అమ్మాయి అంతే బరువు ఉన్న రెండు సంచులను తన రెండు చేతులతో పట్టుకొని నిలుచున్నది. ఆ అమ్మాయిల ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాలలో మార్పులెలా ఉంటాయి ?
జవాబు:
a) అమ్మాయి బరువులు ఉన్న సంచిని ఒక చేతితో పట్టుకున్నపుడు ఆమె ద్రవ్యరాశి కేంద్రం బరువు ఉన్న చేతివైపు జరుగును.

b) అమ్మాయి రెండు చేతులతో సమానమైన బరువులు మోసినపుడు ఆమె ద్రవ్యరాశి కేంద్రస్థానము మారదు. అనగా బరువులు లేనపుడు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఉన్న ప్రదేశంలోనే ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
రెండు ద్రుఢ వస్తువుల జడత్వ భ్రామకాలు, వాటి సౌష్టవాక్షాల పరంగా సమానం. ఆ రెండింటిలో దేని గతిజ శక్తి అధికంగా ఉంటుంది ?
జవాబు:
ఒక వస్తువు భ్రమణ గతిశక్తి KE_rot మరియు కోణీయ ద్రవ్యవేగం (L) ల మధ్య సంబంధం KE_rot = \(\frac{\mathrm{L}^2}{2 \mathrm{I}}\)
ఇచ్చిన ప్రశ్నలో జడత్వ భ్రామకములు సమానం కావున KE_rot ∝ L²
ఎక్కువ కోణీయ ద్రవ్యవేగము గల వస్తువు ఎక్కువ భ్రమణ గతిశక్తి కల్గి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
సైకిల్ చక్రాలకు కమ్మీలు (spokes) ఎందుకు అమర్చుతారు ? (మే 2014)
జవాబు:
సైకిల్ చక్రాలకు కమ్మీలు (spokes) అమర్చడం వల్ల చక్రం బరువులో అధికభాగం భ్రమణాక్షం నుండి దూరంగా పంపిణీ చేయబడును. ఫలితంగా అంతే ద్రవ్యరాశి గల కమ్మీలు లేని చక్రం కన్నా కమ్మీలు గల చక్రం జడత్వ భ్రామకం చాలా ఎక్కువ. ఫలితంగా ఆ చక్రం ఎక్కువ జడత్వ భ్రామకం గల గతిపాలక చక్రం వలె పనిచేసి కుదుపులను తగ్గిస్తుంది. బాహ్య టార్క్న సున్న చేసినప్పటికి సమవేగంతో ఎక్కువ దూరం ప్రయాణిస్తుంది.

ప్రశ్న 5.
మడత బందుల (hinges) వద్ద బలాన్ని ప్రయోగించి ఒక తలుపును తెరవడం లేదా మూయడం సాధ్యంకాదు. ఎందువల్ల ?
జవాబు:
తలుపులు చలించే భ్రమణాక్షం మడత బందు గుండా పోతున్నది. కాబట్టి భ్రమణాక్షం నుండి బలానికి (\(\overline{\mathrm{F}}\)) గల
దూరము \(\overline{\mathrm{r}}\) = 0
తలుపులు తెరవడానికి అందించిన బలభ్రామకం
టార్క్, τ = \(\overline{\mathrm{r}}\) × \(\overline{\mathrm{F}}\) = |\(\overline{\mathrm{r}}\)| |\(\overline{\mathrm{F}}\)| sin θ = 0 ∵ sin 0 = 0
అందువల్ల \(\overline{\mathrm{r}}\) = 0 అయితే ఎంత ఎక్కువ బలం (F) వాడినప్పటికి టార్క్, τ = 0 కావడం వల్ల తలుపులు తెరవడం సాధ్యపడదు.

ప్రశ్న 6.
భుజం పొట్టిగా ఉన్న స్పానర్ (మరను తిప్పడానికి వాడే ఉపకరణం) కంటే భుజం పొడవుగా ఉన్న స్పానర్ను మనమెందుకు ఎక్కువగా ఎంచుకొంటాం ?
జవాబు:
టార్క్, τ = \(\overline{\mathrm{r}}\) × \(\overline{\mathrm{F}}\). స్పానర్ను వాడేటపుడు స్పానర్ పొడవు బలం నుండి ఆధారానికి గల దూరము \(\overline{\mathrm{r}}\) అవుతుంది. స్పానర్ పొడవు ఎక్కువ ఉంటే అదే బలము F కి టార్క్ ఎక్కువ. అందువలన అటువంటి స్పానర్లతో బోల్ట్ ను తేలికగా భ్రమణం చెందించవచ్చు.

ప్రశ్న 7.
టేబుల్ తలంపై ఒక గుడ్డును బొంగరంవలె తిప్పి అది ఉడికినదీ లేనిదీ ఎలా నిర్ధారించగలం ?
జవాబు:
గుడ్డును టేబుల్పై ఉంచి భ్రమణం చెందించితే అది ఉడికిన గుడ్డు అయితే మొత్తం ఘనపదార్థం వలె ఉంటుంది. కాబట్టి తేలికగా బల్లతోపాటు భ్రమణం చెందుతుంది.

ఉడకని గుడ్డు అయితే లోపల ద్రవాలు ఉంటాయి. దీనిని భ్రమణం చెందించేటప్పుడు ద్రవాలకు గల స్నిగ్ధతా బలాలవల్ల అవి భ్రమణవేగాన్ని అడ్డుకుంటాయి. అందువల్ల ఉడకని గుడ్డు భ్రమణ వేగం తక్కువ. ఈ విధంగా మనం గుడ్డు ఉడికిందీ, లేనిదీ తెలుసుకొనవచ్చు.
Note : ద్రవాలలో వివిధ పొరల మధ్య గల ఘర్షణబలమే స్నిగ్ధతా బలము.

ప్రశ్న 8.
ఒక హెలికాప్టర్కు ఎందుకు రెండు ప్రొపెల్లర్లు (propellers – ముందుకు నడిపే యంత్రం) తప్పక వుండి తీరాలి ?
జవాబు:
హెలికాప్టర్కు రెండు ప్రొపెల్లర్లు ఉండి తీరాలి. ఒకే ప్రొపెల్లర్ ఉంటే కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారము హెలికాప్టర్ వ్యతిరేక దిశలో ఆత్మభ్రమణం చెందుతుంది. స్థానాంతరణ గమనం సాధ్యపడదు. స్థానాంతరణ గమనం కోసం, హెలికాప్టర్ ఆత్మభ్రమణ నిరోధం కోసం హెలికాప్టర్లో రెండు ప్రొపెల్లర్లు వాడతారు.

ప్రశ్న 9.
భూగోళ ధ్రువాల వద్ద వున్న మంచు పూర్తిగా కరిగిపోతే ఒక రోజు కాలవ్యవధి ఏ విధంగా ప్రభావితమౌతుంది ?
జవాబు:
ధృవాల వద్ద ఉన్న మంచు పూర్తిగా కరిగిపోతే నీరు భూమధ్య రేఖ వద్దకు చేరుతుంది. అనగా భూమి భ్రమణాక్షం మీద ఉన్న మంచు, భ్రమణాక్షం నుండి ఎక్కువ దూరానికి జరగడం వల్ల భూమి జడత్వ భ్రామకం పెరిగి కోణీయ వేగం తగ్గును. కారణం I₁ω₁ + I₂ω₂ = 0 అన్న కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమము.

ఫలితంగా భూమి ఆత్మభ్రమణకాలం పెరుగుతుంది. అంటే ఒకరోజు కాలవ్యవధి పెరుగును.

ప్రశ్న 10.
కదిలే సైకిల్ను సులభంగా అటూ ఇటూ ఒరగకుండా నిలుపవచ్చు. ఎందుకు ?
జవాబు:
కదిలే సైకిల్ చక్రాలు భ్రమణ సమతాస్థితిలో ఉంటాయి. భ్రమణ సమతాస్థితి నియమాల నుండి భ్రమణాక్షానికి లంబంగా ఉండే టార్క్ అంశవల్ల వస్తువు భ్రమణాక్షపరంగా తిరుగుతుంది. బాహ్య టార్క్ లో భ్రమణాక్షానికి లంబంగా గల అంశ టార్క్ ప్రభావాన్ని శూన్యపరచే విధంగా ప్రతిబంధక బలాన్ని జడత్వ భ్రామకంలోని మార్పులు కలుగజేస్తాయి. ఫలితంగా గమనంలో ఉన్న సైకిల్ను సులభంగా పక్కకి ఒరగకుండా ఉంచవచ్చు.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఒక వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గరిమనాభుల మధ్య భేదాలను గుర్తించండి. (మార్చి 2014)
జవాబు:
ద్రవ్యరాశి కేంద్రము, మధ్య తేడాలు :
ద్రవ్యరాశి కేంద్రము

1. వస్తువులోని ద్రవ్యరాశి అంతా దానిలో గల ఒక బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమైనట్లు ప్రవర్తిస్తుంది. ఈ బిందువునే ద్రవ్యరాశి కేంద్రము అంటారు.
2. క్రమాకారం కలిగిన చిన్న వస్తువుల విషయంలో ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గరిమనాభులు ఏకీభవిస్తాయి.
3. ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా వస్తువులో గల కణముల ద్రవ్యరాశుల భ్రామకాల బీజీయ మొత్తం సున్నాకి సమానము.
4. వస్తువు సంక్లిష్టచలనంలో ఉన్నపుడు దాని స్థానాంతరణ గమనాన్ని వివరించడానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని ఉపయోగిస్తారు.

గరిమనాభి

1. వస్తువుపై పనిచేయు ‘మొత్తం గురుత్వాకర్షణ బలం దానిలో గల ఒక బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమైనట్లు ప్రవర్తిస్తుంది. ఈ బిందువును గరిమనాభి అంటారు.
2. వస్తు పరిమాణం చాలా పెద్దదిగా ఉండి, దానిలో ద్రవ్యరాశి పంపిణీ ఏకరీతిగా లేనపుడు, లేదా వస్తువు వ్యాప్తి చెందిన ప్రదేశంలో గురుత్వ త్వరణం స్థిరంగా లేనపుడు వాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గరిమనాభులు ఏకీభవించకపోవచ్చును.
3. గరిమనాభిపరంగా వస్తువులో గల కణముల భారముల భ్రామకాల బీజీయ మొత్తం సున్నాకి సమానము.
4. వస్తువుకు స్థిరత్వము కలిగించడానికి ఆధారమును కల్పించు ప్రక్రియలో గరిమనాభి అను భావనను వాడతారు.

ప్రశ్న 2.
బాహ్య బల ప్రభావానికి గురయిన ఒక కణవ్యవస్థ, ఆ బలం వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ప్రయోగించినట్లుగా గమనంలో ఉంటుందని చూపండి.
జవాబు:
ఏదైనా వ్యవస్థలో గల m₁, m₂, m₃, ……… m_n అను కణాలు \(\overline{\mathrm{v}}_1, \overline{\mathrm{v}}_2, \overline{\mathrm{v}}_3, \ldots . . \overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}\) అను వేగాలతో చలించుచున్నాయను కొనుము.
ద్రవ్యరాశి కేంద్రవేగము \(\overline{v}_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M}\left\{\mathrm{~m}_1 \overline{v}_1+\mathrm{m}_2 \overline{v}_2+\mathrm{m}_3 \overline{\mathrm{v}}_3+\ldots . \mathrm{m}_{\mathrm{n}} \overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}\right\}\)
ఇందులో m₁ + m₁ + m₃ + ……….. + m_n = M వస్తువు మొత్తం ద్రవ్యరాశి

వ్యవస్థపై పనిచేయు మొత్తం బలము F = F₁ + F₂ + F₃ + ……… + F_n = F_cm
∴ వ్యవస్థపై పనిచేయు మొత్తం బలం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద పనిచేసే బలంలా ప్రవర్తించడం వల్ల అనేక కణవ్యవస్థలపై బాహ్య బల ప్రయోగం వల్ల కలిగే గమనం ద్రవ్యరాశి కేంద్రంపై అదే బలం ప్రయోగిస్తే కలిగే గమనాన్ని పోలి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
భూమి-చంద్రుడు వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా సూర్యుని చుట్టూ దాని భ్రమణాలను వివరించండి.
జవాబు:
భూమికి, చంద్రునికి మధ్య గల గురుత్వాకర్షణ బలాలు, భూమి మరియు చంద్రుని వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రంపై ప్రభావం చూపవు. ఎందుకనగా భూమి మరియు చంద్రుల మధ్య గల గురుత్వాకర్షణ బలాలు అంతర్గత బలాలు. ఇవి ద్రవ్యరాశి కేంద్రస్థానాన్ని మార్చజాలవు.

భూమి, చంద్రుల వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రంపై పనిచేసే బాహ్యబలము సూర్యునికి, భూమి చంద్రుల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాల మధ్య గల బలము. ఈ బలం వల్ల భూమి చంద్రుల వ్యవస్థ సూర్యుని చుట్టూ చలిస్తుంది. కావున సూర్యుని చుట్టూ భూమి-చంద్రుల వ్యవస్థ యొక్క గమనము చంద్రుడు భూమి చుట్టూ పరిభ్రమించటం వల్ల ప్రభావితం కాదు.

ప్రశ్న 4.
సదిశాలబ్ధాన్ని నిర్వచించండి. సదిశా లబ్ధ ధర్మాలను రెండు ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
సదిశల సదిశా లబ్ధము : రెండు సదిశలు \(\overline{\mathrm{a}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{b}}\) లను మరల సదిశ ఏర్పడేవిధంగా గుణించడాన్ని సదిశల సదిశాలబ్ధము అంటారు.
\(\overline{\mathrm{a}}\) × \(\overline{\mathrm{b}}\) = |\(\overline{\mathrm{a}}\)||\(\overline{\mathrm{b}}\)| sin θ. \(\overline{\mathrm{n}}\). ఇందులో \(\overline{\mathrm{n}}\) ఇచ్చిన సదిశల తలానికి లంబదిశలో గల ప్రమాణ సదిశ.

సదిశా లబ్ధ ధర్మాలు :
1) రెండు సదిశల సదిశా లబ్ధము స్థిత్యంతర న్యాయాన్ని పాటించదు. \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}} \neq \overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}}\) కాని \(\bar{a} \times \bar{b}=-(\bar{b} \times \bar{a})\) \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}\) = ab sin θ; \(\overline{b} \times \overline{a}\) = b a sin θ ఈ రెండూ పరిమాణంలో సమానమే కాని కుడిచేతి మర నిబంధన ననుసరించి a × \(a \times \overline{b}\) భ్రమణం \(\overline{\mathrm{a}}\) నుంచి \(\overline{\mathrm{b}}\) వైపు ఉంటుంది. \(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}}\) లో భ్రమణం \(\overline{\mathrm{b}}\) నుంచి \(\overline{\mathrm{a}}\) వైపు ఉంటుంది. అనగా పరిమాణం సమానమైనా \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}}\) ల దిశలు వ్యతిరేకము. అందువల్ల \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}=-(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}})\) అని రాస్తారు. కావున \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}} \neq \overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}}\)

2) సదిశా లబ్ధము సంకలనపరంగా విభాజక న్యాయాన్ని పాటిస్తుంది. అనగా \(\overline{\mathrm{a}} \times(\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}})=\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{c}}\)

ప్రశ్న 5.
కోణీయ వేగానికి నిర్వచనం తెలపండి. v = r ω లు రాబట్టండి. (మే 2014)
జవాబు:
కోణీయ స్థానభ్రంశము (θ) : భ్రమణ గమనంలో ఉన్న వస్తువు వృత్త కేంద్రం వద్ద చేసిన కోణాన్ని కోణీయ స్థానభ్రంశము ‘θ’ అంటారు. ప్రమాణము రేడియన్.
కోణీయ వేగము (ω) : కోణీయ స్థానభ్రంశంలోని మార్పు రేటును కోణీయవేగం అంటారు.
కోణీయ వేగములు = \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) ప్రమాణము రేడియన్ / సెకను
ఏదైనా కణము ‘P’ వృత్తపరిధి వెంబడి V అను సమవడితో తిరుగుతున్నదను కొనుము. వృత్తవ్యాసార్ధం ‘r’ అనుకోనుము. మొదటగా P అను కణము ‘A’ అనే బిందువు వద్ద ఉన్నదనుకొనుము. B నుండి Cకు ప్రయాణించుటలో అది కేంద్రము వద్ద చేసిన కోణము ∆θ, మరియు పట్టిన కాలము ∆t అనుకొనుము.

నిర్వచనము ప్రకారం కోణీయవేగం ω = \({Lt}_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{d \theta}{d t}\)
కాని రేఖీయ వేగము V = \({Lt}_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{B C}{\Delta t}\) ఇందులో BC = r dθ
కోణము dθ చిన్నదైనపుడు చాపము BC ని సరళరేఖ BC గా భావిస్తారు.
∴ V = r . \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) ( కాని \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) = ω ) ⇒ V = rω

ప్రశ్న 6.
కోణీయ త్వరణాన్ని, టార్క్ను నిర్వచించండి. ఈ రెండు రాశుల మధ్య సంబంధాన్ని తెలిపే సమాసాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:
కోణీయ త్వరణము : కోణీయ వేగంలో మార్పు రేటును కోణీయ త్వరణం అంటారు.
కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{dt}^2}\) ప్రమాణము రేడియన్ / సె² .
బలభ్రామకము లేదా టార్క్ (τ): మూలబిందువు (O) పరంగా \(\overline{\mathrm{r}}\) స్థానసదిశను కలిగిన ఒక వస్తువు లేదా కణంపై బలము \(\overline{\mathrm{F}}\) ను ప్రయోగిస్తే, \(\overline{\mathrm{r}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{F}}\) ల వజ్రలబ్ధాన్ని టార్క్ నిర్వచించినారు.
టార్క్, τ = \(\overline{\mathrm{r}} \times \overline{\mathrm{F}}=|\overline{\mathrm{r}}||\overline{\mathrm{F}}| \sin \theta \overline{\mathrm{n}}\)
టార్క్ సదిశరాశి. దీని దిశ \(\overline{\mathrm{r}}\), \(\overline{\mathrm{F}}\)ల తలానికి లంబంగా ఉంటుంది.
టార్కు ప్రమాణము న్యూటన్ – మీటరు. D.F = ML²T^-2

కోణీయ త్వరణము a మరియు టార్క్ ల మధ్య సంబంధము : ఏదైనా వ్యవస్థపై కొంత టార్క్ ప్రయోగించడం వల్ల అది dθ అను కోణం స్థానభ్రంశం చెందితే జరిగిన పని dW = τdθ …………. (1)
సామర్థ్యము P = \(\frac{d W}{d t}=\tau \cdot \frac{d \theta}{d t}\) ………………. (2) కాని \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) = ω
∴ P = τω ………….. 3
సామర్థ్యము P = వ్యవస్థ భ్రమణ గతిజ శక్తిలోని మార్పు రేటు అని కూడా చెప్పవచ్చు.
P = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left(\frac{1}{2} \mathrm{I} \omega^2\right)=\frac{1}{2} \cdot 2 \mathrm{I} \omega \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{dt}}\) = Iωα ……………… 4
సమీకరణం 3, 4 ల నుండి τω = Iωα లేదా τ = Iα
టార్క్ τ, కోణీయ త్వరణాల మధ్య సంబంధము τ = Iα

ప్రశ్న 7.
ఒక స్థిర అక్షం పరంగా భ్రమణం చేస్తున్న కణం గమన సమీకరణాలను రాయండి.
జవాబు:
భ్రమణ గమనానికి గతిశాస్త్ర సమీకరణాలు
1) ω = ω₀ + αt
2) θ = ω₀t + \(\frac{1}{2}\) αt²
3) ω² – ω₀² = 2αθ
ఉత్పాదన : ఏదైనా వస్తువు స్థిర అక్షపరంగా కొంత కోణీయ త్వరణంతో చలిస్తున్నదనుకొనుము.
వస్తువు తొలికోణీయ వేగము = ω₀ ., తుది కోణీయ వేగము ω మరియు మార్పుకు పట్టిన కాలము t అనుకోండి.
1) ω = ω₀ + αt ఉత్పాదన
కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{\omega-\omega_0}{t}\) ⇒ ω – ω₀ = αt లేదా ω = ω₀ + αt ……………. (1)

2) θ = ω₀t + \(\frac{1}{2}\) = αt² ఉత్పాదన
వస్తువు మొత్తం స్థానభ్రంశము θ = సగటు కోణీయ వేగము × కాలము

3) ω² – ω₀² = 2αθ ఉత్పాదన
వస్తువు మొత్తం కోణీయ స్థానభ్రంశము θ = సగటు కోణీయ వేగము × కాలము
సగటు కోణీయ వేగము = \(\frac{\omega+\omega_0}{2}\)
కాలము t = \(\frac{\omega-\omega_0}{2}\)
∴ θ = \(\frac{\left(\omega+\omega_0\right)}{2} \frac{\left(\omega-\omega_0\right)}{\alpha}=\frac{\omega^2-\omega_0^2}{2 \alpha}\)
∴ ω² – ω₀² = 2αθ …………….. 3

ప్రశ్న 8.
సమతలంపై నిశ్చల స్థితి నుంచి స్లిప్ కాకుండా దొర్లుతూ ఉన్న ఒక వస్తువు తుది వేగం, మొత్తం శక్తికి సమాసాలను రాబట్టండి.
జవాబు:
దొర్లుడు గమనము : దొర్లుడు గమనము అనేది స్థానాంతరణ గమనము మరియు భ్రమణ గమనముల సంయోగము.
దొర్లుడు గమనం గతిజశక్తి (R.K.E) : దొర్లుడు గమనంలో ఉన్న వస్తువుకు స్థానాంతరణ గమనం వల్ల గతిజశక్తి (1/2mv²) మరియు భ్రమణ గమనం వల్ల గతిజశక్తి (\(\frac{1}{2}\)Iω²) ఉంటాయి.
∴ దొర్లుడు గమనంలో వస్తువు గతిజశక్తి_K.E_R = \(\frac{1}{2}\)mv² + \(\frac{1}{2}\)Iω²
∴ K.E_R = \(\frac{1}{2}\)mv² + \(\frac{1}{2}\) mk² \(\frac{v^2}{r^2}\) (∵ I = mk² మరియు v = rω)
∴ దొర్లే వస్తువు మొత్తం శక్తి E అనుకుంటే E = \(\frac{1}{2}\) mv² \(\left[1+\frac{\mathrm{k}^2}{\mathrm{r}^2}\right]\) …………….. (1)
లేదా v² = \(\frac{2 E}{m\left(1+\frac{k^2}{r^2}\right)}\)
వస్తువు వేగము V = \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{E}}{\mathrm{m}\left[1+\frac{\mathrm{k}^2}{\mathrm{r}^2}\right]}}\) …………. (2)

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
(a)సమాంతరాక్షాల సిద్ధాంతాన్ని తెలిపి నిరూపించండి.
(b) పలుచని వృత్తాకార బిళ్ళకు, దాని వ్యాసం పరంగా భ్రమణ వ్యాసార్ధం k. పటంలో చూపినట్లు బిళ్ళను వ్యాసం AB వెంబడి రెండు ముక్కలుగా కత్తిరించినప్పుడు, AB పరంగా ప్రతి ముక్క భ్రమణ వ్యాసార్ధం కనుక్కోండి.

జవాబు:
సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతము : ఏదైనా వస్తువులో ద్రవ్యరాశి కేంద్రంగుండా పోవు అక్షానికి సమాంతరంగాగల వేరొక అక్షం మీది జడత్వ భ్రామకం (I), ద్రవ్యరాశి కేంద్రంగుండా పోవు అక్షపరంగా గల జడత్వ భ్రామకము (I_G) మరియు వస్తువు ద్రవ్యరాశిని (M) అక్షముల మధ్యగల లంబదూరపు వర్గము (R²) చేత గుణించి కలుపగా వచ్చు మొత్తమునకు సమానము.
అనగా I = I_G + MR²
M ద్రవ్యరాశిగల ఒక సమతల పటలం యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రము ‘G’ అనుకొనుము. ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_G అనుకొనుము. ద్రవ్యరాశి కేంద్రంగుండా పోవు అక్షానికి సమాంతరంగా గల వేరొక సమాంతరాక్షము పటతలంలోని మరొక బిందువు ” గుండా పోతున్నది అనుకొనుము.

‘O’ గుండా పోవు కొత్త అక్షపరంగా జడత్వ భ్రామకము మరియు ‘O’, ‘G’ ల మధ్య దూరము OG = R అనుకొనుము.

ఇచ్చిన సమతలంలో ఏదైనా బిందువు ‘P’ ని తీసుకొనుము. OP మరియు GP లను కలుపుతూ సరళరేఖలు గీయుము. OG ని కలుపుతూ గీసిన రేఖను పొడిగించి P నుండి దానిపైకి లంబమును గీయుము. ఇది పటంలో చూపిన విధంగా ఉంటుంది.
ద్రవ్యరాశి కేంద్రము G పరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_G = ΣmOG² ……………. (1)
‘O’ బిందువుపరంగా వస్తువు జడత్వభ్రామకము I = ΣmOP² …………….. (2)
పటంలో OPD లంబకోణ త్రిభుజం నుండి OP² = OD² + PD²
కాని OD = OG + GD ……………. (3)
∴ I = ΣmOP² = Σm { (OG² + GD² + DP²} ……….. (4)
I = Σm {OG² + GD² + DP² + 2OG, GD} –
కాని లంబకోణ త్రిభుజము GPD నుండి GD² + DP² + GP²
∴ I = Σm {OG² + GP² + 2OG, GD}
∴ I = ΣmOG² + ΣmGP² + 2OG ΣmGD …………… (5)
కాని ΣmOG² = MR² (ఇందులో 2m = M వస్తువు మొత్తం ద్రవ్యరాశి, OG = R)
ΣmGP² = IG ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము
2OG ΣmGD = 0 (ఇది ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా వస్తువు ద్రవ్యరాశుల భ్రామకముల బీజీయ మొత్తానికి సమానము. దీని విలువ సున్నాకు సమానము.)
ఈ విలువలను పై సమీకరణంలో వ్రాయగా I = I_G + MR² అనగా సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతము నిరూపించబడినది.

b) M ద్రవ్యరాశి R వ్యాసార్ధము గల బిళ్ళ జడత్వ భ్రామకము I = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\)
భ్రమణ వ్యాసార్ధము k అనుకుంటే Mk² = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\) ⇒ k = R/2
బిళ్ళను రెండుముక్కలుగా విభజిస్తే దాని ద్రవ్యరాశి M₁ = \(\frac{\mathrm{M}}{2}\)
కొత్త జడత్వ భ్రామకము I’ = \(\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{M}}{2} \times \mathrm{R}^2=\frac{\mathrm{M}}{2} \mathrm{k}_1^2\)
∴ ప్రతిముక్క భ్రమణ వ్యాసార్ధము k₁ = \(\frac{\mathrm{R}}{2}\)

ప్రశ్న 2.
(a)లంబాక్షాల సిద్ధాంతాన్ని తెలిపి నిరూపించండి.
(b)ఒక సన్నని వృత్తాకార కంకణం, ఒక పలుచని చదునైన వృత్తాకార బిళ్ళలు సమాన ద్రవ్యరాశి, వాటి వాటి వ్యాసాల పరంగా సమాన జడత్వ భ్రామకాన్ని కలిగి ఉంటే వాటి వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి కనుక్కోండి.
జవాబు:
లంబాక్ష సిద్ధాంతము : సమతల పటలానికి లంబంగా గల ఏదో ఒక బిందువు గుండా పోవు అక్షపరంగా గల జడత్వ భ్రామకము ఆ సమతల పటలంలో ఇచ్చిన బిందువు గుండా పోవు పరస్పర లంబ అక్షాల పరంగాగల విడి విడి జడత్వ భ్రామకముల మొత్తమునకు సమానము.
అనగా I_z = I_x + I_y
ఒక సమతల పటలంలో గల ఏదైనా బిందువు ” గుండా పోవు ఒక లంబాక్షము ‘Z’ ను తీసుకొనుము. అదే సమతల పటలంలో ‘O’ బిందువు గుండా పోవు మరొక రెండు పరస్పర లంబాక్షములు (x, y) లను తీసుకొనుము. XOY తలంలో గల ఏదైనా బిందువు P ని తీసుకొనుము. ఇది x-అక్షం నుండి ‘y’ దూరంలోను, y-అక్షం నుండి ‘x’ దూరంలోను కలదనుకొనుము.

అప్పుడు X అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_x = Σ my².
y అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_y = Σmx²
z-అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_z = ΣmOP²
కాని పటంలోని OAP త్రిభుజం నుండి
OP² = OA² + AD² = x² + y²
∴ I_z = Σm (x² + y²) = Σmx² + Σmy²
కాని Σ my² = x అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_x
Σmx²
= y అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_y
కావున I_z = I_x + I_y
అనగా x, y అక్షముల ఖండన బిందువు ‘0’ గుండా పోవు
అక్షపరంగా (z) గల జడత్వ భ్రామకము I_z = I_x + I_y అనగా లంబాక్ష సిద్ధాంతము నిరూపించబడినది.

b) వ్యాసము వెంబడి పలుచని రింగు జడత్వ భ్రామకము I₁ = m₁ R₁²
వ్యాసము వెంబడి వృత్తాకార బిళ్ళ జడత్వ భ్రామకము I₂ = \(\frac{\mathrm{m}_2 \mathrm{R}_2^2}{2}\)
రెంటికి జడత్వ భ్రామకాలు సమానము ⇒ I₁ = I₂
అనగా m₁ R₁² = m₂ \(\frac{\mathrm{R}_2^2}{2}\) కాని m₁ = m₂
∴ వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి R₁² = \(\frac{\mathrm{R}_2^2}{2}\) లేదా R₁ = \(\frac{R_2}{\sqrt{2}}\)
∴ R₁ : R₂ = \({\sqrt{2}}\) : 1

ప్రశ్న 3.
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని తెలిపి నిరూపించండి. ఈ నియమాన్ని ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం : ఏదైనా వ్యవస్థపై బాహ్య టార్క్ పని చేయనంతవరకు ఆ వ్యవస్థకు గల కోణీయ ద్రవ్య వేగము స్థిరము. అనగా I₁ω₁ = I₂ω₂ (τ = 0 అయినపుడు )

వివరణ : భ్రమణ గమనంలో ఉన్న వస్తువు జడత్వ భ్రామకాలు I₁, I₂ మరియు దాని తొలి, తుది కోణీయ ద్రవ్యవేగాలు ω₁ మరియు ω₂ అనుకొనుము. బాహ్య టార్క్ పనిచేయనపుడు
అనగా τ = \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{L}}}{\mathrm{dt}}\) = 0 లేదా \(\mathrm{d} \overline{\mathrm{L}}\) = 0 అనగా కోణీయ ద్రవ్య వేగంలోని మార్పు \(\mathrm{d} \overline{\mathrm{L}}_2-\mathrm{d} \overline{\mathrm{L}}_1\) = 0
లేదా I₂ω₂ – I₁ω₁ = 0 అనగా I₁ω₁ = I₂ω₂

కోణీయ ద్రవ్య వేగ నిత్యత్వ నియమానికి ఉదాహరణలు :
1) నిలువు అక్షం చుట్టూ స్వేచ్ఛగా గుండ్రని బల్ల భ్రమణం చేస్తున్నది. దీనిపై ఒక బాలుడు రెండు చేతులతో రెండు భారాలు పట్టుకొని కాళ్ళు, చేతులు చాపుకొని నిల్చున్నాడు. అపుడు అతని జడత్వ భ్రామకం I₁. అతడి కోణీయ వేగం ω₁. అతడు చేతులను ముడుచుకొంటే అతడి జడత్వ భ్రామకం I₂ తగ్గిపోతుంది. కావున బల్ల వ్యవస్థ కోణీయ వేగం ω₂ పెరుగుతుంది.
బల్ల జడత్వ భ్రామకం I అనుకుంటే, (I + I₁)ω₁ = (I + I₂)ω₂
∴ ω₂ = \(\frac{\left(\mathrm{I}+\mathrm{I}_1\right) \omega_1}{\left(\mathrm{I}+\mathrm{I}_2\right)}\) కాని – (I + I₂) < (I + I₁) కనుక ω₂ + ω₁.

2) సూర్యుని చుట్టూ పరిభ్రమించే గ్రహం కోణీయ త్వరణం స్థిరంగా ఉంటుంది.
గ్రహం P వద్ద ఉన్నపుడు వేగం = v₁ ; సూర్యుని నుండి దూరం = r₁ ∴ కోణీయ ద్రవ్యవేగం = m v₁ r₁
అదే విధంగా Q వద్ద కోణీయ ద్రవ్యవేగం = m v₂ r₂ కాని m v₁ r₁ = m v₂ r₂ కాని v = rω
∴ m r₁ ω₁ r₁ = m r₂ ω₂ r₂ ⇒ I₁ω₁ = I₂ω₂ (∵ mr² = I)

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
a . (b × c) పరిమాణం a, b, c సదిశలు భుజాలుగా గల సమానాంతర చతుర్భుజ ఘనం (parallelepiped) ఘనపరిమాణానికి సమానం అని చూపండి.
సాధన:
సమాంతర చతుర్భుజ ఘనమును ఏర్పరచిన సదిశలు \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{a}}\) ; \(\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{b}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{c}}\) అనుకోండి.

\(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}}=|\overline{\mathrm{b}}||\overline{\mathrm{c}}| \sin \theta \overline{\mathrm{n}}=\mathrm{ab}(\overline{\mathrm{n}})\) (∵ θ = 90°)
ఇందులో \(\overline{\mathrm{n}}\) ప్రమాణ సదిశ. ఇది \(\overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) ల తలానికి లంబంగా ఉంటుంది.
అనగా ఇది \(\overline{\mathrm{a}}\) కు సమాంతరంగా ఉంటుంది.
\(\overline{\mathrm{a}} \cdot(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}})=\overline{\mathrm{a}} \cdot(\mathrm{bc}) \overline{\mathrm{n}}=\overline{\mathrm{a}} \cdot \overline{\mathrm{n}}(\mathrm{bc})\) cos θ = abc
ఇది సమాంతర చతుర్భుజ ఘనము ఘనపరిమాణానికి సమానము.

ప్రశ్న 2.
3 kg ద్రవ్యరాశి, 40 cm వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక బోలు స్థూపం చుట్టూ దాదాపు ద్రవ్యరాశి లేని ఒక తాడు చుట్టారు. 30 N బలంతో తాడును లాగితే స్థూపం ఎంత కోణీయ త్వరణాన్ని పొందుతుంది ? తాడు రేఖీయ త్వరణం ఎంత అవుతుంది? తాడు స్థూపంపై జారదు అని భావించండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి M = 3 కి. గ్రా.
వ్యాసార్ధము R = 40 సెం.మీ. = 0.4 మీ.
బోలు స్థూపానికి అక్షం వెంబడి జడత్వ భ్రామకము
I = MR² = 3 (0.4)² = 0.48 kg . m²
బలము, F = 30 న్యూ; టార్క్, τ = F × R = 30 × 0.4 = 12 న్యూ
వస్తువులో త్వరణం ‘α’ అనుకుంటే α = \(\frac{\tau}{\mathrm{I}}=\frac{12}{0.48}\) = 25 రే/సె²
రేఖీయ త్వరణము a = r . α = 0.4 × 25 = 10 మీ/సె²

ప్రశ్న 3.
క్షితిజ తలంలో భ్రమణం చెందే తిరుగుడు బల్లపై దాని కేంద్రం నుండి 10 cm దూరంలో ఒక నాణాన్ని ఉంచారు. తిరుగుడు బల్ల, నాణాల మధ్య స్థితిక ఘర్షణ గుణకం 0.8 అయితే, నాణెం బల్లపై జారడం మొదలుపెట్టడానికి తిరుగుడు బల్ల భ్రమణ పౌనఃపున్యం ఎంత ఉండాలి ?
సాధన:
నాణెము ఉన్న దూరం r = 10 cm = 0.1 m. ; ఘర్షణ గుణకం μ = 0.8.
భ్రమణ పౌనఃపున్యము = 1 సెకనులో చేసిన భ్రమణాల సంఖ్య
నాణెము జారిపోకుండుటకు μmg = mrω² ⇒ ω = \(\sqrt{\frac{\mu \mathrm{g}}{\mathrm{r}}}\)
∴ ω = \(\sqrt{\frac{0.8 \times 9.8}{1}}=\sqrt{78.4}\) = 8.854 రే/సె.
సెకనుకు భ్రమణాల సంఖ్య = భ్రమణ పౌనఃపున్యం = \(\frac{\omega}{2 \pi}=\frac{8.854}{2 \pi}\) = 1.409 Rot/sec లేక 84.54 R.P.M.

ప్రశ్న 4.
ఒక మీటరు స్కేలుపై 1 cm, 2 cm, 3 cm, . 100 cm ల గుర్తుల వద్ద వరసగా 1g, 2g, 3g ….., 100g ద్రవ్యరాశు లు గల కణాలను ఉంచారు. మీటరు స్కేలు మధ్య లంబరేఖ పరంగా ఈ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన ద్రవ్యరాశులు 1g, 2g, 3g….. 100 g స్కేలు మీద 1, 2, 3 …… 100 cm ల వద్ద ఉన్నవి.

iii) జడత్వ భ్రామకము = I = m₁r₁² +m₂r₂² + m₃r₃² + …+ m₁₀₀r₁₀₀²
∴ I = 1 × 1 × 1 + 2 × 2² + 3 × 3² + 100 × 100²
= 1 + 2³ + 3³ +……+ 100³ × 10^-7 Kg.m² ( ∵ 1 g = 10^-3 kg & 1 cm = 10^-2 m)
n సంఖ్యల ఘనముల మొత్తం S = \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) ; ∴ I = \(\frac{100^2 \times(101)^2}{4}\) × 10^-7 = 2.550 Kg. m²
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం = I_G = I – MR²
= 2.550 × – 5.05 × 0.67 x 0.67 = 2.550 – 2.267 = 0.283 kg.m²

iv) లంబ సమద్విఖండన రేఖ 50 cm వద్ద ఉంటుంది.
x₁ = 50 cm నుండి x₂ = 67 cm కు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం మారినపుడు
∴ అక్షముల మధ్యదూరం R = 67 – 50 – 17cm = 0.17 m
జడత్వ భ్రామకం I = I_G + MR² = 0.283 + 5.05 × 0.17 × 0.17
= 0.283 + 0.146 = 0.429 kgm²
∴ లంబ సమద్విఖండన రేఖ వలన జడత్వ భ్రామకం = 0.429 kg – m²

ప్రశ్న 5.
10 cm భుజం కలిగిన ఒక సమబాహు త్రిభుజ శీర్షాల వద్ద ప్రతిది 100g ద్రవ్యరాశి ఉన్న మూడు కణాలను ఉంచారు. ఆ త్రిభుజ కేంద్రాభం ద్వారా పోతూ, త్రిభుజ తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా ఈ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక్కొక్క కణం ద్రవ్యరాశి = 100 gm;
సమబాహు త్రిభుజం, భుజం పొడవు = 10 cm.
కోణ సమద్విఖండన రేఖ ఎత్తు CD : \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)l
గురుత్వ కేంద్రం ఈ రేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో ఖండిస్తుంది.

శీర్షము నుండి గురుత్వ కేంద్రం దూరం 2. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)l = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)l
వ్యవస్థ మొత్తం జడత్వ భ్రామకం I = m₁r₁² + m₂r₂² + m₃r₃²
∴ I = 0.1 × \(\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \times 0.1\right)^2\) + 0.1 × \(\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \times 0.1\right)^2\) + 0.1 × \(\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \times 0.1\right)^2\)
= 3 × \(\frac{3}{2}\) × 0.1³ = 1 × 10^-3 kg. m³ = 10^-3 kg. m³

ప్రశ్న 6.
10 cm భుజం ఉన్న చతురస్ర శీర్షాల వద్ద ప్రతిది 100 g ద్రవ్యరాశి ఉన్న నాలుగు కణాలను ఉంచారు. చతురస్రం మధ్య బిందువు ద్వారా పోతూ, దాని తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా వ్యవస్థ జడత్వ భామ్రకాన్ని కనుక్కోండి. వ్యవస్థ భ్రమణ వ్యాసార్ధాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక్కొక్క కణము ద్రవ్యరాశి m = 100 g = 0.1 kg.
చతురస్రము పొడవు a = 10 cm = 0.1 m
చతురస్ర కేంద్రం నుండి, చతురస్ర మూలలకు దూరం = \(\frac{1}{2}\) కర్ణం = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\)

a) ∴ మొత్తం జడత్వ భ్రామకం I = m₁r₁² + m₂r₂² + m₃r₃² + m₄r₄² = 4mr²
∴ I = 4 × 0.1 \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \times 0.1\right)^2\) = 4 × \(\frac{1}{2}\) × 0.13³ = 2 × 10^-3 Kg. m²

b) భ్రమణ వ్యాసార్ధము K = \(\sqrt{\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{m}}}=\sqrt{\frac{2 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-1}}}=\sqrt{2} \times \frac{10^{-1}}{\sqrt{2}} 10^{-1}\)
= 0.7071 × 0.12 m or 7.071 cm. = 0.07071 m.

ప్రశ్న 7.
1 kg ద్రవ్యరాశి, 20 cm వ్యాసార్ధం ఉన్న రెండు ఏకరీతి వృత్తాకార దిమ్మెలు ఒకదానికొకటి స్పృశించుకునేటట్లుగా స్పర్శారేఖ (tangent) స్పర్శా బిందువు ద్వారా పోయేటట్లు అమర్చారు. స్పర్శా బిందువు ద్వారా పోయే స్పర్శారేఖ పరంగా ఈ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి = M = 1 kg.; బిళ్ళ వ్యాసార్ధం = 20 cm = 0.2 m అవి పటములో చూపినట్లుగా స్పర్శలో నున్నవి.

తలానికి లంబంగా స్పర్శరేఖ పరంగా జడత్వ భ్రామకం = \(\frac{5}{4}\) MR²
మొత్తం వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకం I = \(\frac{5}{4}\) MR² + \(\frac{5}{4}\) MR² = \(\frac{5}{2}\) MR²
∴ I = \(\frac{5}{2}\) × 1 × 0.2 × 0.2 = 5 × 1 × 0.1 × 0.2 = 0.1 kgm²

ప్రశ్న 8.
24 వ్యాసం, m ద్రవ్యరాశి ఉన్న నాలుగు గోళాల కేంద్రాలను b భుజంగా ఉన్న ఒక చతురస్ర నాలుగు శీర్షాల వద్ద ఉంచారు. ఒక భుజం భ్రమణ అక్షంగా ఈ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
గోళం వ్యాసం = 2a ⇒ వ్యాసార్ధం = a; చతురస్ర భుజం = b.
1, 2 గోళాలకు వ్యాసం పరంగా జడత్వ భ్రామకం \(\frac{2}{5}\) MR²
(M = m, R = aగా రాయగా)

∴ 1 మరియు 2 గోళాల జడత్వ భ్రామకం = I₁ + I₂
= \(\frac{2}{5}\) ma² + \(\frac{2}{5}\) ma² = \(\frac{4}{5}\) ma² …………… (1)
3,4 గోళాల జడత్వ భ్రామకం = \(\frac{2}{5}\) ma² + \(\frac{2}{5}\) ma² = \(\frac{4}{5}\) ma²
సమాంతర అక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం
∴ I₃ + I₄ = \(\frac{2}{5}\) ma² + mb² + \(\frac{2}{5}\) ma² + mb² = \(\frac{4}{5}\) ma² + 2 mb²
మొత్తం వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకం I = \(\frac{4}{5}\) ma² + \(\frac{4}{5}\) ma² + 2mb² ⇒ I = [\(\frac{8}{5}\) ma² + 2mb²]

ప్రశ్న 9.
ఒక యంత్రం భ్రమణ భాగానికి (rotor) 200 rad s^-1 ఏకరీతి కోణీయ వడిని సమకూర్చడానికి యంత్రం 180 Nm టార్క్ ను అందించవలసి ఉంది. యంత్రానికి అవసరమయ్యే సామర్థ్యం ఎంత ? (గమనిక : ఘర్షణ లేనప్పుడు సమకోణీయ వేగం కలిగి ఉండటమంటే టార్క్ శూన్యం అని అర్థం. వాస్తవానికి ప్రయోగించిన టార్క్ ఘర్షణ వల్ల కలిగే టార్క్న వ్యతిరేకిస్తుంది) యంత్రం 100% దక్షత కలిగి ఉన్నదని భావించండి.
సాధన:
కోణీయ వేగము, ω = 200 రేడియన్ / సె ;
ప్రయోగించిన టార్క్, τ = 180 నూ – మీ.
యంత్రం సామర్థ్యము, p = ? p = τω
∴ P = 180 × 200 = 36000 = 36 కి. వాట్

ప్రశ్న 10.
ఒక మీటర్ స్కేలును దాని కేంద్రం వద్ద కత్తిమొన ఉంచి తుల్య స్థితిలో నిలిపారు. ఒక్కొక్కటి 5g ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు నాణాలను ఒకదానిపై ఒకటి అమరేటట్లుగా స్కేలుపై 12.0 cm విభాగం వద్ద ఉంచారు. అప్పుడు కత్తిమొన 45.0 cm విభాగం వద్ద ఉన్నప్పుడు స్కేలు తుల్య స్థితికి వచ్చింది. మీటర్ స్కేలు ద్రవ్యరాశి ఎంత ?
సాధన:
స్కేలు బరువు M. ఇది C వద్ద కేంద్రీకరింపబడినది అనుకోండి.
C’ బిందుపరంగా సమతాస్థితి ఉంది, C’ దూరము = 45 సెం.మీ.
రెండు నాణెముల బరువు = 10 గ్రా.; వాటి స్థానము = 12 సెం.మీ. వద్ద
∴ సమతాస్థితి వద్ద 10g (45 – 12) = mg (50 – 45)
∴ 10g × 33 = mg. 5 ⇒ m = \(\frac{10 \times 330}{5}\) = 66 గ్రా.

ప్రశ్న 11.
వృత్తపరిధిపై ఏదో ఒక బిందువు ద్వారా పోతూ, తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా 60 rpm వడితో భ్రమణం చెందే ఒక వృత్తాకార దిమ్మె గతిజ శక్తిని కనుక్కోండి. దిమ్మె ద్రవ్యరాశి 5 kg, వ్యాసార్ధం 1 m.
సాధన:
వృత్తాకార బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి M = 5 kg, వ్యాసార్ధం R = 1 m. ; కోణీయ వేగం ω = 60 RPM = \(\frac{60 \times 2 \pi}{60}\) = 2π రే/సె.
వృత్తాకార బిళ్ళ అంచులోని బిందువు ద్వారా పోతూ తలానికి లంబంగా నున్న అక్షంపరంగా జడత్వ భ్రామకం
I’ = I_G + MR² కాని I_G = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\) (పై వస్తువు విషయంలో)
∴ I’ = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\) + MR² = \(\frac{3}{2}\) MR²
భ్రమణ గతిశక్తి = \(\frac{1}{2}\) Iω² = \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{3}{2}\) MR² × (2π)² = \(\frac{3}{4}\) × 5 × 1 × 1 × 2 × 3.142 × 2 × 3.142
∴ భ్రమణ గతిశక్తి = 15 × 3.142 × 3.142 = 148.1 J.

ప్రశ్న 12.
ఒక్కొక్కటిm ద్రవ్యరాశి గల రెండు కణాలు, వ్యతిరేక దిశలో, d దూరంలో ఉన్న సమాంతర రేఖలపై U వడితో గమనంలో ఉన్నాయి. ఏ బిందువు పరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కొలిచినా, ఈ ద్వికణ వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగ సదిశ సమానమని చూపండి.
సాధన:
కోణీయ ద్రవ్యవేగము L = mvr, ద్రవ్యరాశి = m, వడి = u
ఏదైనా అక్షము A పరంగా వస్తువుల దూరాలు L₁ మరియు L₂ అనుకోండి.
L = L₁ + L₂
మొత్తం కోణీయ ద్రవ్యవేగము L = muL₁ + muL₁ = mu (L₁ + L₁) = muL ………….. (1)

ఏదైనా కొత్తం అక్షం B పరంగా m, m, ద్రవ్యరాశుల దూరాలు
L’₁ మరియు L’₂ అనుకోండి.
అపుడు L = L’₁ + L’₂
కొత్త అక్షం B పరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగము L₁ = muL’₁ + muL’₂
L₁ = mu(L’₁ + L’₂) = muL → 1
1, 2 సమీకరణాల నుండి మొత్తం కోణీయ ద్రవ్యవేగము స్థిరమని తెలుస్తున్నది.

ప్రశ్న 13.
నిమిషానికి 300 భ్రమణాలు చేసే ఒక గతిపాలకచక్రం (flywheel) జడత్వ భ్రామకం 0.3 kgm². 20 సెకన్లలో దీన్ని నిశ్చల స్థితికి తీసుకురావడానికి అవసరమైన టార్క్ను కనుక్కోండి.
సాధన:
జడత్వ భ్రామకము I = 0.3 కి.గ్రా. మీ²
కాలము = 20 సె
ω₁ = 300 R.P.M. = \(\frac{300}{60}\) = 5 × 2π = 10π రేడియన్ / సె ;
ω₂ = 0 (ఆగిపోయింది కావున)
టార్క్, τ = Iα = I \(\left(\frac{\omega_2-\omega_1}{t}\right)\)
∴ τ = 0.33 \(\left(\frac{10 \pi-0}{20}\right)=\frac{3 \pi}{20}\) = 0.471 న్యూ.మీ.

ప్రశ్న 14.
ఒక గతిపాలకచక్రం (flywheel) పై 100 J పని జరిగినప్పుడు దాని కోణీయ వేగం 60 rpm నుంచి 180 rpm కి పెరిగింది. చక్రం జడత్వ భ్రామకాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
పని W = 100 J, ω₁ = 600 RPM = 1 R.P.S = 2π రేడియన్/సె
ω₂ = 180 R.P.M. = \(\frac{180}{60}\) R.P.S = 3 RPS = 3 × 2π = 6π రే/సె
కాని పని W = భ్రమణ గతిజశక్తిలోని భేదము = \(\frac{1}{2}\)I(ω₂² – ω₁²)
∴ 100 = \(\frac{1}{2}\) (36π² – 4π²) = \(\frac{1}{2}\) 32π² I
∴ జడత్వ భ్రామకము I = \(\frac{200}{32 \pi^2}\) = 0.6332 కి.గ్రా.మీ ² .

ముఖ్యమైన ఉదాహరణ లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
0.5 m భుజం ఉన్న ఒక సమబాహు త్రిభుజం శీర్షాల వద్ద ఉన్న మూడు కణాల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. కణాల ద్రవ్యరాశులు వరసగా 100 g, 150 g, 200 g.
సాధన:

పటంలో చూపినట్లు X-, y- అక్షాలను ఎంచుకొంటే సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచే బిందువులు O, A, B ల నిరూపకాలు వరసగా (0, 0), (0.5, 0), (0.25, 0.25 \(\sqrt{3}\)). 100 g, 150g, 200g ద్రవ్యరాశులు వరసగా O, A, B ల వద్ద ఉన్నాయనుకొంటే,

ప్రశ్న 2.
L-ఆకారంలో ఉన్న పల్చని ఏకరీతి పలక (పటలం) ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. దాని కొలతలు పటంలో చూపడమైంది. పలక ద్రవ్యరాశి 3 kg.
సాధన:
పటంలో చూపినట్లు X, Y అక్షాలను తీసుకొంటే Lఆకారం ఉన్న పటలం శీర్షాలు 000, 0), A(2, 0), B(2, 1), D(1, 1), E(1, 2), F(0, 2) అవుతాయి. ఈ పటలాన్ని 1 m భుజం ఉన్న మూడు చతురస్రాలుగా భావించవచ్చు. ఈ చతురస్రాల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాలు C, C2, C3 లు, సౌష్ఠవం వల్ల, ఆయా చతురస్రాల జ్యామితీయ కేంద్రాలవుతాయి. వాటి నిరూపకాలు వరసగా (1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2) అని తెలుసుకోవచ్చు. చతురస్రాల ద్రవ్యరాశులు ఈ బిందువుల వద్ద కేంద్రీకృతమైనట్లుగా మనం భావించవచ్చు. ఈ మూడు ద్రవ్యరాశి బిందువుల ద్రవ్యరాశి కేంద్రమే, మొత్తంగా L ఆకారం ఉన్న పటలం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం (X, Y) అవుతుంది.

Y = \(\frac{[1(1 / 2)+1(1 / 2)+1(3 / 2)] \mathrm{kg} \mathrm{m}}{(1+1+1) \mathrm{kg}}=\frac{5}{6}\) m
∴ L-ఆకార పటలం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం OD రేఖపై ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
రెండు సదిశలు a = \((3 \hat{\mathrm{i}}-4 \hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}})\), b = \((-2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}})\) ల అదిశ, సదిశా లబ్ధాలను కనుక్కోండి. (3î – o
సాధన:
a · b = \((3 \hat{\mathrm{i}}-4 \hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}})\) . \((-2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}})\)
= -6 – 4 – 15
= – 25
a × b = \(\left|\begin{array}{ccc}
\hat{\mathrm{i}} & \hat{\mathrm{j}} & \hat{\mathrm{k}} \\
3 & -4 & 5 \\
-2 & 1 & -3
\end{array}\right|=7 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}\)
b × a = – \(7 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}}\) అని గుర్తించండి.

ప్రశ్న 4.
ఒక మోటారు చక్రం కోణీయ వడిని 1200 rpm నుంచి 3120 rpm కు 16 సెకన్లలో పెంచారు. (i) కోణీయ త్వరణం స్థిరమని భావించి, కోణీయ త్వరణాన్ని లెక్కించండి. (ii) ఈ సమయంలో ఇంజను ఎన్ని భ్రమణాలు చేస్తుంది ?
సాధన:
(i) తొలి కోణీయ వడి, ω₀ = 1200 R.P.M. 1200 × \(\frac{2 \pi}{60}\) = 40π రే/సె
తుది కోణీయ వడి, ω = 3120 RPM = 3120 × \(\frac{2 \pi}{60}\) = 104π రే/సె
కాలము t = 16 సె. కోణీయ త్వరణము α = ?
ω = ω₀ + αt నుండి α = \(\frac{\omega-\omega_0}{t}=\frac{(104-40) \pi}{16}\) = 4π రే/సె²

(ii) ఆగిపోవుటకు ముందు కోణీయ స్థానభ్రంశము θ = భ్రమణములలో
1 భ్రమణము = 2π రేడియన్
θ = \(\frac{\omega^2-\omega_0^2}{2 \alpha}\) భ్రమణాలలో ‘θ’ ను చెపితే θ = \(\frac{\omega^2-\omega_0^2}{2 \alpha \times 2 \pi}\)
= \(\frac{(104 \pi)^2-(40 \pi)^2}{2 \times 4 \pi \times 2 \pi}=\frac{(104+4.0)(104-40) \pi^2}{16 \pi^2}\) [a² – b² = (a + b)(a – b) నుండి]
= \(\frac{144 \times 64}{16}\) = 576 భ్రమణాలు

ప్రశ్న 5.
బలం \(\mathrm{7 i}+3 \hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}\) వల్ల, మూలబిందువు పరంగా టార్క్ను కనుక్కోండి. బలం ప్రయోగించిన కణం స్థానసదిశ \(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\) (మార్చి 2014)
సాధన:
ఇక్కడ r = \(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\), F = \(\mathrm{7 i}+3 \hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}\)
టార్క్ τ = r × F కనుక్కోవడానికి నిర్ధారక నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాం..
τ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\hat{\mathrm{i}} & \hat{\mathrm{j}} & \hat{\mathrm{k}} \\
1 & -1 & 1 \\
7 & 3 & -5
\end{array}\right|=(5-3) \hat{\mathrm{i}}-(-5-7) \hat{\mathrm{j}}+3-(-7) \hat{\mathrm{k}}\)
లేదా τ = \(2 \hat{i}+12 \hat{j}+10 \hat{k}\)

ప్రశ్న 6.
M ద్రవ్యరాశి, l పొడవు ఉన్న కడ్డీకి లంబంగా, ఒక కొన ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం ఎంత ?
సాధన:
M ద్రవ్యరాశి, l పొడవు ఉన్న కడ్డీకి I = Ml² / 12. సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం,
I’ = M\(\frac{l^2}{12}+\mathrm{M}\left(\frac{l}{2}\right)^2=\frac{\mathrm{M} l^2}{3}\)
2M ద్రవ్యరాశి, 2l పొడవు ఉన్న కడ్డీ మధ్య బిందువు నుంచి పోతూ, పొడవుకు లంబంగా ఉండే అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకంలో సగం I’ అవ్వడం వల్ల ఈ ఫలితాన్ని స్వతంత్రంగానే సరిచూడవచ్చు.
I’ = 2M. \(\frac{4 l^2}{12} \times \frac{1}{2}=\frac{\mathrm{M} l^3}{3}\)

అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఏకరీతి సాంద్రత ఉన్న (i) గోళం, (ii) స్తూపం, (iii) కంకణం, (iv) ఘనాల ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాన్ని గుర్తించండి. వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం తప్పక ఆ వస్తువులో ఉండి తీరాలా ?
సాధన:
(i) గోళానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గోళ కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది.

(ii) స్థూపానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం దాని జ్యామితీయ కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది. (స్థూపం పొడవు, r వ్యాసార్ధము అయితే దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం స్థూల అక్షం మీద l/2 దూరంలో) ఉంటుంది.

(iii) కంకణం : కంకణానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, కంకణం కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది.

(iv) ఘనానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం దాని జ్యామితీయ కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది.
ఘనము భుజము = a మరియు ఘనం ఒక మూలను మూలబిందువుగా తీసుకుంటే దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం నిర్దేశకాలు x, y; 2 దిశలలో a/2, 2/2, a/2.
వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి ఉండవలసిన అవసరం లేదు. ఉదా : కంకణం కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి లేదు. కాని కంకణం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, కంకణ కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
HCl అణువులో రెండు పరమాణువుల కేంద్రకాల మధ్య దూరం దాదాపు 1.27 Å (1Å = 10^-10 m). ఈ అణువు ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాన్ని ఉజ్జాయింపుగా కనుక్కోండి. హైడ్రోజన్ పరమాణువుతో పోలిస్తే క్లోరిన్ పరమాణువు ద్రవ్యరాశి సుమారు 35.5 రెట్లు ఉంటుంది. పరమాణు ద్రవ్యరాశి అంతా కేంద్రకం వద్దనే కేంద్రీకృతమవుతుందని ఊహించండి.
సాధన:
హైడ్రోజన్ పరమాణు ద్రవ్యరాశి = m యూనిట్లు
క్లోరిన్ పరమాణు ద్రవ్యరాశి = 35.5 m యూనిట్లు
హైడ్రోజన్ పరమాణువులు నుండి x Å కు దూరము c.m అనుకొనుము.
∴ క్లోరిన్ పరమాణువు నుండి ద్రవ్యరాశి కేంద్రానికి దూరము – (1.27 – x)Å
ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని మూలబిందువు వద్ద తీసుకొంటే, m x + (1.27 – x) 35.5 m = 0
mx = – (1.27 – x) 35.5 m
c.m (ద్రవ్యరాశి కేంద్రం) (+) క్లోరిన్ పరమాణువు కుడివైపున ఉంటే, హైడ్రోజన్ పరమాణువు c. m కు ఎడమవైపున ఉంటుందని ఋణాత్మక గుర్తు సూచిస్తుంది.

కనుక ఋణాత్మక గుర్తును వదలివేస్తే,
x + 35.5 x = 1.27 × 35.5
i.e. 36.5 x = 45.085
= \(\frac{45.085}{36.5}\) = 1.235
x = 1.235 Å
∴ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం హైడ్రోజన్, క్లోరిన్ పరమాణువుల కేంద్రకాలను కలిపే రేఖపై హైడ్రోజన్ నుండి 1.235 Å దూరంలో ఉండును.

ప్రశ్న 3.
నున్నని క్షితిజ సమాంతర నేలపై V వడితో సమరీతి గమనం కలిగిన ఒక ట్రాలీ (trolley – చక్రాలున్న పొడవైన బండి) మీద ఒక చివర ఒక బాలుడు నిశ్చలంగా కూర్చుని ఉన్నాడు. బాలుడు లేచి ట్రాలీపై ఏ విధంగా పరిగెత్తినా ట్రాలీ – బాలుడు వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వడి ఎంత ?
సాధన:
ట్రాలి, బాలుడి వ్యవస్థలో బాలుడు లేచి ఏ విధంగా పరిగెత్తినా ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వడి మారదు. ఎందుకనగా ఈ చర్యలో ఇమిడి ఉన్న బలాలు అంతర్గత బలాలు. అంతర్గత బలాలు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం గమనాన్ని మార్చజాలవు.

ప్రశ్న 4.
సదిశలు a, b లు భుజాలుగా కలిగి ఉన్న త్రిభుజ వైశాల్యం axb పరిమాణంలో సగం ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
\(\overline{\mathrm{a}}\) = OP మరియు \(\overline{\mathrm{b}}\) = OQ లను ఆసన్న భుజాలుగా తీసుకొని సమాంతర చతుర్భుజాన్ని (OPRQ) నిర్మించండి. ఈ సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యము A = \(|\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}|\) = ab sin θ = OP . ON

∆Oప్రశ్న నుండి sin θ = \(\frac{\mathrm{ప్రశ్న}}{\mathrm{OP}}\) ⇒ ప్రశ్న = \(\overline{\mathrm{b}}\) sin θ
కాని సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యము
A = 2 త్రిభుజము Oప్రశ్న వైశాల్యము
∴ \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}\) = ab sin θ = 2 త్రిభుజము OPQ వైశాల్యము
∴ ∆OPQ వైశాల్యము = \(\frac{\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}}{2}\) అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 5.
a · (b × c) పరిమాణం a, b, c సదిశలు భుజాలుగా గల సమానాంతర చతుర్భుజ ఘనం (parallelepiped) ఘనపరిమాణానికి సమానం అని చూపండి.
సాధన:
సమాంతర చతుర్భుజ ఘనమును ఏర్పరచిన సదిశలు \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{a}}\) ; \(\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{b}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{c}}\) అనుకోండి.

\(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}}=|\overline{\mathrm{b}}||\overline{\mathrm{c}}| \sin \theta \overline{\mathrm{n}}=\mathrm{ab}(\overline{\mathrm{n}})\) (∵ θ = 90°)
ఇందులో \(\overline{\mathrm{n}}\) ప్రమాణ సదిశ. ఇది \(\overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) ల తలానికి లంబంగా ఉంటుంది.
అనగా ఇది \(\overline{\mathrm{a}}\) కు సమాంతరంగా ఉంటుంది.
\(\overline{\mathrm{a}} \cdot(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}})=\overline{\mathrm{a}} \cdot(\mathrm{bc}) \overline{\mathrm{n}}=\overline{\mathrm{a}} \cdot \overline{\mathrm{n}}(\mathrm{bc})\) cos θ = abc
ఇది సమాంతర చతుర్భుజ ఘనము ఘనపరిమాణానికి సమానము.

ప్రశ్న 6.
ఒక కణం కోణీయ ద్రవ్యవేగం 1. x, y, z అక్షాల వెంబడి అంశాలను కనుక్కోండి. కణం స్థానసదిశ అంశాలు x, y, z లు, రేఖీయ ద్రవ్యవేగం p అంశాలు p_x, p_y, p_z ఒకవేళ కణం కేవలం x-y తలంలోనే గమనంలో ఉంటే కోణీయ ద్రవ్యవేగం zఅంశాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
ఒక్కొక్కటి m ద్రవ్యరాశి గల రెండు కణాలు, వ్యతిరేక దిశలో, d దూరంలో ఉన్న సమాంతర రేఖలపై v వడితో గమనంలో ఉన్నాయి. ఏ బిందువు పరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కొలిచినా, ఈ ద్వికణ వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగ సదిశ సమానమని చూపండి.
సాధన:
పటము నుండి X₁,Y₁, రేఖపై గల ఏదైనా బిందువు వద్ద కోణీయ ద్రవ్యవేగము \(\overrightarrow{\mathrm{L}}_{\mathrm{A}}=m \vec{v} \times 0+m \vec{v} \times d=m \vec{v} d\) ఇదే విధంగా X₂Y₂ రేఖపై గల B బిందువు వద్ద కోణీయ
ద్రవ్యవేగము \(\bar{L}_{\mathrm{B}}=m \overline{\mathrm{v}} \times \mathrm{d}+\mathrm{m} \overline{\mathrm{v}} \times 0=m \overline{v} d\)
AB రేఖపై గల ఏదైనా బిందువు C వద్ద AC = x అయితే BC = d – x

C బిందువు పరంగా రెండు కణముల వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగము \(\overline{\mathrm{L}}_{\mathrm{c}}=m \overline{\mathrm{v}}(\mathrm{x})+\mathrm{m} \overline{\mathrm{v}}(\mathrm{d}-\mathrm{x})=\mathrm{m} \overline{\mathrm{v}} \mathrm{d}\)
అనగా \(\overline{\mathrm{L}}_{\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{L}}_{\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{L}}_{\mathrm{C}}\) అని నిరూపించబడినవి.

ప్రశ్న 8.
ఒక అసమరీతి, W భారం ఉన్న కడ్డీని ఉపేక్షించదగ్గ ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు దారాలతో, పటంలో చూపినట్లు నిశ్చల స్థితిలో ఉండేటట్లు వేలాడదీశారు. క్షితిజ లంబరేఖతో దారాలు చేసే కోణాలు వరసగా 36.9°, 53.1°. కడ్డీ పొడవు 2m. కడ్డీ ఎడమ చివర నుంచి గరిమనాభి ఉండే దూరం d ని లెక్కించండి.

సాధన:
పటము నుండి θ₁ = 36.9° మరియు θ₂ = 53.1° .

కడ్డీ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రము ‘C’ దూరము ఒక చివర నుండి ‘d’ అనుకోండి. అపుడు
T₁ cosθ₁ × d = T₂ cos θ₂ (2 – d) లేదా T₁ cos 36.9° × d = T₂ cos(53.1°)(2 – d)
∴ T₁ × 0.8366 d = T₂ × 0.6718(2 – d) ఇందులో
T₁ = 1.3523 T₂ ను వాడితే d = 0.745 మీ.

ప్రశ్న 9.
ఒక కారు 1800 kg బరువుంది. ముందు వెనకాల ఇరుసుల మధ్య దూరం 1.8 m. కారు గరిమనాభి, ముందు ఇరుసు వెనక 1.05 m దూరంలో ఉంది. సమతలంగా ఉన్న భూమి వల్ల ముందు వెనక గల చక్రాలొక్కొక్కటి పై ప్రయోగించే బలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి m = 1800 కి.గ్రా ; అక్షముల మధ్యదూరము = 1.8 మీ.
వెనక అక్షం నుండి ద్రవ్యరాశి కేంద్రదూరము = 1.05 మీ.
సమాంతరంగా ఉన్న నేల ముందువైపు, వెనుకవైపు గల చక్రాలపై అభిలంబచర్యలు R₁ మరియు R₂ అనుకుంటే
R₁ + R₂ = mg = 1800 × 9.8 → (i).
భ్రమణ సమతాస్థితి కోసం R₁ × 1.05 = R₂ (1.8 – 1.05) = 0.75R₂

ప్రశ్న 10.
a) ఘనగోళానికి స్పర్శరేఖ పరంగా దాని జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి. గోళం వ్యాసంపరంగా జడత్వ భ్రామకం 2MR²/5 గా ఇచ్చారు. M గోళం ద్రవ్యరాశి, R దాని వ్యాసార్ధం.
b) M ద్రవ్యరాశి, R వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తాకార దిమ్మె జడత్వ భ్రామకం, వ్యాసం పరంగా MR²/4, దిమ్మె ఒక అంచు నుంచి పోతూ దిమ్మె తలానికి లంబంగా ఉండే అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
a) ఏదైనా అక్షంపరంగా గోళం M.O.I = \(\frac{2}{5}\) MR²
సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతం నుండి ఏదైనా స్పర్శరేఖ పరంగా M.O.I = \(\frac{2}{5}\) MR² + MR² = \(\frac{7}{5}\) MR²

b) వృత్తాకారపు బిళ్ళ వ్యాసము పరంగా M.O.I. = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\)
i) లంబాక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం తలానికి లంబంగా ఉండి బిళ్ళ కేంద్రం గుండా పోవు అక్షపరంగా
M.O.I = I_x + I₄ = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\) + \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\) = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\)

ii) సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతం నుండి అంచుకు లంబంగాగల ఏదైనా అక్షపరంగా
M.O.I = I_G + MR² = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\) + MR² = 3/2 MR²

ప్రశ్న 11.
సమాన ద్రవ్యరాశి, సమాన వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక బోలు స్తూపం, ఒక ఘనగోళంపై సమాన పరిమాణం ఉన్న టార్క్లను ప్రయోగించారు. స్తూపం దాని సౌష్టవాక్షం పరంగా స్వేచ్ఛగా భ్రమణం చేయగలుగుతుంది. గోళం దాని కేంద్రం ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా స్వేచ్ఛగా భ్రమణం చేయగలుగుతుంది. వీటిల్లో, ఇచ్చిన కాలవ్యవధిలో, ఏది అధిక కోణీయ వేగాన్ని పొందుతుంది ?
సాధన:
బోలు స్థూపము మరియు ఘనగోళముల ద్రవ్యరాశి M మరియు వ్యాసార్ధము R అనుకోండి.
అక్షపరంగా బోలు స్థూపానికి M.O.I = I₁ = MR², గోళానికి I₂ = \(\frac{2}{5}\) MR²
కావలసిన టార్క్ τ = I₁α₁ = I₂α₂
∴ \(\frac{\alpha_2}{\alpha_1}=\frac{\mathrm{I}_1}{\mathrm{I}_2}=\frac{\mathrm{MR}^2}{\frac{2}{5} \mathrm{MR}^2}=\frac{5}{2}\)
∴ α₂ > α₁
ω = ω₀ + αt సమీకరణం నుండి ఇచ్చిన ω₀ మరియు t లకు ω₂ విలువ ω₁ కన్న ఎక్కువ అనగా ఘనగోళం కోణీయ వేగం బోలు స్థూపం కోణీయ వేగం కన్న ఎక్కువ.

ప్రశ్న 12.
20 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక ఘన స్తూపం దాని అక్షం పరంగా 100 rad s^-1 కోణీయ వడితో భ్రమణాలు చేస్తుంది. స్తూపం వ్యాసార్ధం 0.25 m. స్తూపం గతిజ శక్తి ఎంత ? స్తూపం అక్షంపరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగ పరిమాణం ఎంత?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి M = 20 కి.గ్రా.; R = 0.25 మీ.; ω = 100 Rad/s
ఘనస్థూపానికి M.O.I = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}=\frac{20 \times 0.25 \times 0.25}{2}\) = 0.65 కి. గ్రా. -మీ²
భ్రమణ గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) Iω² = \(\frac{1}{2}\) × 0.625 × 100 × 100 = 3125 J.
కోణీయ ద్రవ్యవేగము L = Iω = 0.625 × 100 = 62.5 Js.

ప్రశ్న 13.
(a)ఒక తిరుగుడు బల్ల కేంద్రం వద్ద ఒక బాలుడు తన చేతులను బయటకు చాచి నిలబడి ఉన్నాడు. తిరుగుడు బల్ల 40 భ్రమణాలు / నిమిషం కోణీయ వడితో భ్రమణంచేసేట్లు దాన్ని తిప్పారు. ఇలా తిరుగుతున్న బల్ల మీద బాలుడు తన చేతులను అతని జడత్వ భ్రామకం తొలి విలువకు 2/5 వంతులయ్యేట్లు ముడిస్తే అతని కోణీయ వడి ఎంత ? తిరుగుడు బల్ల ఘర్షణ లేకుండా భ్రమణాలు చేస్తుందని భావించండి.
(b)బాలుని కొత్త భ్రమణ గతిజశక్తి తొలి గతిజశక్తి కంటె ఎక్కువ అని చూపండి. అతని భ్రమణ గతిజశక్తి పెరుగుదలకు కారణాన్ని వివరించండి.
సాధన:
a) దత్తాంశం నుండి తొలి కోణీయ వడి
ω₁ = 40R.P.M
తుది M.O.I. I₂ = \(\frac{2}{5}\) I₁, ω₂ = ?
ఈ ప్రక్రియలో బాహ్య టార్క్ τ = 0;
∴ L = స్థిరరాశి కావున I₁ω₁ = I₂ω₂
∴ తుది కోణీయ వడి ω₂ = \(\frac{l_1}{\mathrm{l}_2} \omega_1=\frac{5}{2} \times 40\) = 100 R.P.M

b) తొలి భ్రమణ గతిజశక్తి E₁ = \(\frac{1}{2}\) I₁ω₁² ; తుది R.K.E. (E₂) = \(\frac{1}{2}\) I₂ω₂²
∴ \(\frac{\mathrm{E}_2}{\mathrm{E}_1}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{I}_2 \omega_2^2}{\frac{1}{2} \mathrm{l}_1 \omega_1^2}=\left(\frac{\mathrm{I}_2}{\mathrm{I}_1}\right)\left(\frac{\omega_2}{\omega_1}\right)^2=\frac{2}{5} \times \frac{100}{40} \times \frac{100}{4}=\frac{5}{2}\)
∴ E₂ = 2.5 E₁

ప్రశ్న 14.
3 kg ద్రవ్యరాశి, 40 cm వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక బోలు స్తూపం చుట్టూ దాదాపు ద్రవ్యరాశి లేని ఒక తాడు చుట్టారు. 30 N బలంతో తాడును లాగితే స్తూపం ఎంత కోణీయ త్వరణాన్ని పొందుతుంది ? తాడు రేఖీయ త్వరణం ఎంత అవుతుంది? తాడు స్థూపంపై స్లిప్కాదు అని భావించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి M = 3కి.గ్రా.; R = 40 సెం.మీ. = 0.4 మీ.
అక్షపరంగా బోలు స్థూపము M.O.I = I = MR² = 3 × 0.4 × 0.4 = 0.48 kg m².
బలము F = 30 N ∴ టార్క్ τ = F × R = 30 × 0.4 = 12 N-m.
కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{\tau}{\mathrm{I}}\) (∵ τ = Iα)
∴ α = \(\frac{12}{0.48}\) = 25 Rad/s
రేఖీయ త్వరణము a = R α = 0.4 × 25 = 10 m/s²

ప్రశ్న 15.
ఒక యంత్రం భ్రమణ భాగానికి (rotor) 200 rad s^-1 ఏకరీతి కోణీయ వడిని సమకూర్చడానికి యంత్రం 180 Nm టార్క్న అందించవలసి ఉంది. యంత్రానికి అవసరమయ్యే సామర్థ్యం ఎంత ? (గమనిక : ఘర్షణ లేనప్పుడు సమకోణీయ వేగం కలిగి ఉండటమంటే టార్క్ శూన్యం అని అర్థం. వాస్తవానికి ప్రయోగించిన టార్క్ ఘర్షణ వల్ల కలిగే టార్క్్న వ్యతిరేకిస్తుంది.) యంత్రం 100% దక్షత కలిగి ఉన్నదని భావించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి (ω) = 200 Rad/s ; టార్క్ τ = 180 N – m
సామర్థ్యము P = τω = 180 × 200 = 36000 = 36 KW.

ప్రశ్న 16.
R వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక ఏకరీతి వృత్తాకార దిమ్మె నుంచి R/2 వ్యాసార్ధం గల వృత్తాకార ముక్కను వేరుచేసి రంధ్రాన్ని చేశారు. రంధ్రం కేంద్రం అసలు దిమ్మె కేంద్రం నుంచి R/2 దూరంలో ఉంది. ఫలితంగా ఏర్పడిన చదును వస్తువు గరిమనాభి స్థానాన్ని తెలపండి.
సాధన:
వృత్తాకార పలక ద్రవ్యరాశి కేంద్రం మూల బిందువు వద్ద కలదు.
చిన్న వృత్తాకార పలకను తొలగించకముందు, ద్రవ్యరాశి కేంద్రం = 0, 0
మొత్తం వృత్తాకార పలక ద్రవ్యరాశి = M = π (R)² = πR²ρ = M
ρ = ప్రమాణవైశాల్యానికి ద్రవ్యరాశి
చిన్న వృత్తాకార పలక వ్యాసార్ధం = \(\frac{\mathrm{R}}{2}\)
∴ ద్రవ్యరాశి M₂ = \(\frac{\pi \mathrm{R}^2}{4}\) ρ = \(\frac{\mathrm{M}}{4}\)

చిన్నపలక ద్రవ్యరాశి కేంద్రం దాని కేంద్రం వద్ద ఉండును. అనగా పెద్ద పలక కేంద్రం నుండి \(\frac{\mathrm{R}}{2}\) దూరంలో ఉండును.
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం నిరూపకం \(\frac{m_1 x_1+m_2 x_2}{m_1+m_2}\) = 0 (చిన్నపలక తొలగించకముందు)
చిన్నపలకను తొలగించిన తరువాత ద్రవ్యరాశి M₁ = M – \(\frac{\mathrm{M}}{4}\) = \(\frac{\mathrm{3}}{4}\) M
∴ \(\frac{3}{4}\) M . x₁ + \(\frac{\mathrm{M}}{4}\) . \(\frac{\mathrm{R}}{2}\) = 0 ⇒ \(\frac{-3}{4}\) Mx₁ = \(\frac{\mathrm{M}}{4}\) \(\frac{\mathrm{R}}{2}\)
∴ x₁ = – \(\frac{\mathrm{R}}{6}\)
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వ్యతిరేక దిశలో కదులును అని ఋణ గుర్తు వలన తెలియును.

ప్రశ్న 17.
ఒక మీటర్ స్కేలును దాని కేంద్రం వద్ద కత్తిమొన ఉంచి తుల్య స్థితిలో నిలిపారు. ఒక్కొక్కటి 58 ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు నాణాలను ఒకదానిపై ఒకటి అమరేట్లుగా స్కేలుపై 12.0 cm విభాగం వద్ద ఉంచారు. అప్పుడు కత్తిమొన 45.0 cm విభాగం వద్ద ఉన్నప్పుడు స్కేలు తుల్య స్థితికి వచ్చింది. మీటర్ స్కేలు ద్రవ్యరాశి ఎంత ?
సాధన:
స్కేలు బరువు M. ఇది C వద్ద కేంద్రీకరింపబడినది అనుకోండి.
C’ బిందుపరంగా సమతాస్థితి ఉంది, C’ దూరము = 45 సెం.మీ.
రెండు నాణెముల బరువు = 10 గ్రా.; వాటి స్థానము = 12 సెం.మీ. వద్ద
∴ సమతాస్థితి వద్ద 10g (45 – 12) = mg (50 – 45)
∴ 10g × 33 = mg. 5 ⇒ m = \(\frac{10 \times 330}{5}\) = 66 గ్రా.

ప్రశ్న 18.
ఒక ఘనగోళం, వరస క్రమంలో, సమాన ఎత్తులున్న రెండు భిన్న వాలు కోణాలున్న వాలుతలాలపై కిందికి
(a) ప్రతి వాలుతలంపై దొర్లుతూ అడుగుభాగానికి చేరినప్పుడు గోళం సమాన వడి కలిగి ఉంటుందా ?
b) ఒక వాలు తలంపై దొర్లడానికి తీసుకొనే కాలం, రెండవ దానిపై తీసుకొన్న కాలం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందా ? c) అలా అయితే ఏ వాలుతలంపై ఎక్కువ సమయం తీసుకొంటుంది ? ఎందుకు ?
సాధన:
a) వాలుతలం అడుగుభాగంలో ఘనగోళం వేగం ‘v’ అనుకోండి. శక్తినిత్యత్వ నియమం నుండి
\(\frac{1}{2}\) mv² + \(\frac{1}{2}\) Iω² = mgh కాని ఘనగోళం MOI = I = \(\frac{2}{5}\) MR²
∴ \(\frac{1}{2}\) mv² + \(\frac{1}{2}\) \(\frac{2}{5}\) (mR)²ω² = mgh కాని v = rω
∴ \(\frac{1}{2}\) mv² + \(\frac{1}{5}\) mv² = mgh ⇒ v² = \(\frac{10}{7}\) gh ⇒ v = \(\sqrt{\frac{10}{7} \mathrm{gh}}\)
వాలుకోణం θ మారినప్పటికి తుదివేగం ” మారదు. అనగా గోళం వాలుతలం అడుగుభాగాన్ని తాకే వేగం వాలు కోణము ‘θ’ పై ఆధారపడదు.

b) కాని ప్రయాణించిన కాలము t ∝ \(\frac{1}{\sin \theta}\) అనగా వాలుకోణము ‘θ’ తగ్గితే కాలము t పెరుగును.

c) తక్కువ వాలుకోణము గల తలముపై గోళము ఎక్కువసేపు దొర్లుతుంది.

ప్రశ్న 19.
2 m వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక కంకణం 100 kg ల బరువు కలిగి ఉంది. అది ఒక క్షితిజ సమాంతర తలంపై, దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం 20 cm/s వడితో గమనంలో ఉండేటట్లు దొర్లుతున్నది. దీన్ని నిశ్చలస్థితికి తేవడానికి ఎంతపని చేయవలసి ఉంటుంది ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి R = 2 మీ., M = 100 కి.గ్రా., v = 20 సెం.మీ/సె = 0.2 మీ/సె
కంకణం మొత్తం శక్తి E = \(\frac{1}{2}\) mV² + \(\frac{1}{2}\) Iω² = \(\frac{1}{2}\) mV² + \(\frac{1}{2}\) mR²ω²
= \(\frac{1}{2}\) mV² + \(\frac{1}{2}\) mR² \([\frac{\mathrm{V}^2}{\mathrm{R}^2}/latex] = [latex]\frac{1}{2}\) mV² + \(\frac{1}{2}\)mV² = mv² ( ∵ ω = \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{R}}\))
కంకణాన్ని ఆపడానికి చేసిన పని W = కంకణంలోని మొత్తం శక్తి
⇒ W = mV² = 100 × 0.2 x 0.2 = 4 J

ప్రశ్న 20.
ఆక్సిజన్ అణువు ద్రవ్యరాశి 5.30 × 10^-26 kg. ఈ అణువులోని పరమాణువులను కలిపే రేఖకు గల మధ్య లంబరేఖ పరంగా దాని జడత్వ భ్రామకం 1.94 × 10^-46 kg m². ఇటువంటి అణువులున్న ఒక వాయువులో అణువు సగటు వడి పరంగా 500 m/s, అణువు భ్రమణ గతిజశక్తి దాని స్థానాంతరణ గతిజ శక్తిలో 2/3 వంతులు ఉన్నది అనుకొంటే అణువు సగటు కోణీయ వేగం ఎంత ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి m = 5.30 × 10^-26 kg,
I = 1.94 × 10^-46 kg m²,
v = 500m/s
ఒక్కొక్క ఆక్సిజన్ పరమాణువు ద్రవ్యరాశి = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{2}}\)
వాటి మధ్యదూరము d = 2r. పటము నుండి ఆక్సిజన్ అణువుల

కాని భ్రమణ గతిజశక్తి = \(\frac{2}{3}\) స్థానాంతరణ గతిజశక్తి
∴ \(\frac{1}{2}\) Iω² = \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{1}{2}\) mv² = \(\frac{1}{2}\) (mr²)ω² = \(\frac{1}{3}\) mv² ⇒ ω = \(\sqrt{\frac{2}{3}} \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{r}}\)
∴ ω = \(\sqrt{\frac{2}{3}} \times \frac{500}{0.61 \times 10^{-10}}\) = 6.7 × 10¹² Rad/Sec.

ప్రశ్న 21.
ఒక ఘన స్తూపం 30° వాలు కోణం ఉన్న ఒక వాలు తలంపై కింది నుంచి పైకి దొర్లుతోంది. వాలుతలం కింది అంచువద్ద స్తూపం ద్రవ్యరాశి కేంద్ర వడి 5m/s.
(a)స్తూపం ఎంత దూరం వాలుతలం మీద పైకి దొర్లుతుంది ?
(b)మళ్ళీ అడుగుకు చేరడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి θ = 30°, v = 5 m/s
స్థూపము ‘h’ ఎత్తు వరకు వెళ్ళింది అని అనుకోండి.
శక్తి నిత్యత్వ నియమం నుండి \(\frac{1}{2}\) mV² + \(\frac{1}{2}\) Iω² = mgh

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(i) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Matrices Solutions Exercise 3(i)

Question 1.
2x + 3y – z = 0,
x – y – 2z = 0,
3x + y + 3z = 0
Answer:
The coefficient matrix obtained from the given equations is

Since the determinant of the coefficient matrix ≠ 0 the system has a trivial solution, x = y = z = 0 and ρ(A) = 3.

Question 2.
3x + y – 2z = 0,
x + y + z = 0,
x – 2y + z = 0
Answer:
The coefficient matrix obtained from the given equations is

ρ(A) = 3; and the system has a trivial solution x = y = z = 0

Question 3.
x + y – 2z = 0,
2x + y – 3z = 0,
5x + 4y – 9z = 0
Answer:
The coefficient matrix is
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right]\)
and \(\left|\begin{array}{lll}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right|\)
= 1(-9 + 12) – 1(-18 + 15) – 2
= 3 + 3 – 6 = 0
If \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) is any submatrix of order 2 x 2 and
\(\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right|\) = 1 – 2 = -1 ≠ 0, ρ(A) < 3. Hence the system has a nontrival solution.

∴ System of equations is equivalent to
x + y – 2z = 0 and y – z = 0
Let z = k then y = k and x = k
∴ x = y = z = k for a real number k.

Question 4.
x + y – z= 0
x – 2y + z = 0
3x + 6y – 5z = 0
Answer:
Coefficient matrix
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
1 & -2 & 1 \\
3 & 6 & -5
\end{array}\right]\)
|A| = 1(10 – 6) – 1(-5 – 3) – 1(6 + 6)
= 4 + 8 – 12 = 0

∴ If \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -2
\end{array}\right]\) is a submatrix of order 2 and
\(\left|\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -2
\end{array}\right|\) = -3 ≠ 0, ρ(A) = 2. System has a non-trivial solution ρ(A) < 3.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -1 \\
1 & -2 & 1 \\
3 & 6 & -5
\end{array}\right]\)
Use R₂ – R₁ and R₃ – 3R₁
A – \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -1 \\
0 & -3 & 2 \\
0 & 3 & -2
\end{array}\right]\)
System of equations is equivalent to x + y – z = 0
3y – 2z = 0
Let z = k, then 3y = 2k
⇒ y = \(\frac{2 \mathrm{k}}{3}\)
x = -y + z = –\(\frac{2 \mathrm{k}}{3}\) + k = \(\frac{k}{3}\)
x = \(\frac{k}{3}\), y = \(\frac{2 \mathrm{k}}{3}\), z = k
for any real number of k.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(c) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Matrices Solutions Exercise 3(c)

Question 1.
If A = \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 5
\end{array}\right]\) and B = \(\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -2
\end{array}\right]\) then find (AB’)’
Answer:
We have (AB)’ = B’A’
and (AB’)’ = (B’)’ A’ = BA’ (∵ (B )’ = B)

Question 2.
If A = \(\left[\begin{array}{rr}
-2 & 1 \\
5 & 0 \\
-1 & 4
\end{array}\right]\) and B = \(\left[\begin{array}{rrr}
-2 & 3 & 1 \\
4 & 0 & 2
\end{array}\right]\) then find 2A + B’ and 3B’ – A.
Answer:

Question 3.
If A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -4 \\
-5 & 3
\end{array}\right]\) then find A + A’ and A. A’ (May 2007) (Board Model Paper)
Answer:

Question 4.
If A = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 3 \\
2 & 5 & 6 \\
3 & x & 7
\end{array}\right]\) is a symmetric matrix then find x.
Answer:
A matrix ‘A’ is said to be symmetric if A’ = A

Question 5.
If A = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1 \\
-2 & 0 & -2 \\
-1 & x & 0
\end{array}\right]\) is a skew symmetric matrix, find x. (May 2014, 11)
Answer:
A matrix A is said to be skew symmetric if A’ = – A
\(\left[\begin{array}{ccc}
0 & -2 & -1 \\
2 & 0 & \mathrm{x} \\
1 & -2 & 0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
0 & -2 & -1 \\
2 & 0 & 2 \\
1 & -\mathrm{x} & 0
\end{array}\right]\)
from equality of matrix x = 2

Question 6.
Is \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 4 \\
-1 & 0 & 7 \\
-4 & -7 & 0
\end{array}\right]\) a symmetric or skew symmetric?
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 4 \\
-1 & 0 & 7 \\
-4 & -7 & 0
\end{array}\right]\) then A is symmetric if A’ = A and skew symmetric if A’ = – A
i.e., A’ = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & -1 & -4 \\
1 & 0 & -7 \\
4 & 7 & 0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 4 \\
-1 & 0 & 7 \\
-4 & -7 & 0
\end{array}\right]\) = -A
∴ The matrix A is a skew symmetric matrix.

II.
Question 1.
If A = \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
-\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\), show that A . A’ = A’ . A = I₂. (March 2007)
Answer:

Question 2.
If A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 5 & 3 \\
2 & 4 & 0 \\
3 & -1 & -5
\end{array}\right]\) and B = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 0 \\
0 & -2 & 5 \\
1 & 2 & 0
\end{array}\right]\), then find 3A – 4B’.
Answer:

Question 3.
If A = \(\left[\begin{array}{rr}
7 & -2 \\
-1 & 2 \\
5 & 3
\end{array}\right]\) and B = \(\left[\begin{array}{rr}
-2 & -1 \\
4 & 2 \\
-1 & 0
\end{array}\right]\) then find AB’ and BA’.
Answer:

Question 4.
For any square matrix A; show that A A’ is symmetric. (March 2015-A.P)
Answer:
By definition a matrix is said to be symmetric if A’ = A.
∴(A A’)’ = (A’)’ A’ = A A’
[(∵ (AB)’ = B’A’ and (A’)’ = A]
Hence AA’ is a symmetric matrix.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(b) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Matrices Solutions Exercise 3(b)

I.
Question 1.
Find the following products wherever possible.
i) [-1 4 2]\(\left[\begin{array}{l}
5 \\
1 \\
3
\end{array}\right]\)
Answer:
It is a product of 1 × 3 and 3 × 1 matrices and the resulting is an 1 × 1 matrix.
[-1 4 2]\(\left[\begin{array}{l}
5 \\
1 \\
3
\end{array}\right]\)
= [-1 × 5 + 4 × 1 + 2 × 3]_{1 × 1} = [5]_{1 × 1}

ii) \(\left[\begin{array}{lll}
2 & 1 & 4 \\
6 & -2 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
1
\end{array}\right]\)
Answer:
It is a product of 2 × 3 and 3 × 1 matrices and the resulting is an 2 × 1 matrix.

iii) \(\left[\begin{array}{cc}
3 & -2 \\
1 & 6
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
4 & -1 \\
2 & 5
\end{array}\right]\)
Answer:
Product of 2 × 2 and 2 × 2 matrices and the resulting is an 2 × 2 matrix.

iv) \(\left[\begin{array}{lll}
2 & 2 & 1 \\
1 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 2
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}
-2 & -3 & 4 \\
2 & 2 & -3 \\
1 & 2 & -2
\end{array}\right]\)
Answer:
Product of 3 × 3 and 3 × 3 matrices and the resulting is an 3 × 3 matrix.

v) \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 4 & 9 \\
0 & -1 & 5 \\
2 & 6 & 12
\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}
13 & -2 & 0 \\
0 & 4 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:
Product of A_{3 × 3} and B_{2 × 3} matrices. Matrix multiplication is not confirmable since the number of columns of A ≠ number of rows of B.

vi) \(\left[\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}
2 & 1 & 4 \\
6 & -2 & 3
\end{array}\right]\)
Answer:
Product of A_{3 × 1} and B_{2 × 3} matrices. Matrix multiplication is not confirmable since the number of coloumn of A ≠ number of rows of B.

vii) \(\left[\begin{array}{rr}
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:
Product of 2 × 2 and 2 × 2 matrices and the resulting is an 2 × 2 matrix.

viii) \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & c & -b \\
-c & 0 & a \\
b & -a & 0
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}
a^2 & a b & a c \\
a b & b^2 & b c \\
a c & b c & c^2
\end{array}\right]\)
Answer:
Product of 3 × 3 and 3 × 3 matrices and the resulting matrix is an 3 × 3 matrix.

Question 2.
If A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
-4 & 2 & 5
\end{array}\right]\) and B = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
4 & 5 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) do AB and BA exist ? If they exist find them. Do A and B commute with respect to
multiplication.
Answer:
Given A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 3 \\
-4 & 2 & 5
\end{array}\right]\) and B = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
4 & 5 \\
2 & 1
\end{array}\right]\)
We have the product of A_2×3 and B_3×2 matrices and resulting AB is a product matrix of order 2 × 2. Similarly the product of B_3×2 and A_2×3 matrices results a product matrix BA of order 3 × 3.

Since AB ≠ BA, we have A and B are not com¬mutative with respect to multiplication of matrices.

Question 3.
Find A² where A = \(\left[\begin{array}{cc}
4 & 2 \\
-1 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:

Question 4.
If A = \(\left[\begin{array}{ll}
\mathrm{i} & 0 \\
0 & \mathrm{i}
\end{array}\right]\) find A².
Answer:

Question 5.
If A = \(\left[\begin{array}{cc}
\mathrm{i} & 0 \\
0 & -\mathrm{i}
\end{array}\right]\); B = \(\left[\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right]\) and C = \(\left[\begin{array}{ll}
0 & \mathrm{i} \\
\mathrm{i} & 0
\end{array}\right]\) and I is the unit matrix of order 2, then show that
i) A² = B² = C² = – I
Answer:

ii) AB = – BA = – C (March 2008)
Answer:

Question 6.
If A = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right]\) and B = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 4
\end{array}\right]\) find AB. Find BA if it exists.
Answer:
Given A = \(\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
1 & 3
\end{array}\right]\) and B = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 0 \\
1 & 0 & 4
\end{array}\right]\) are matrices of 2 × 2 and 2 × 3. The resulting matrix AB is of the form 2 × 3.

Question 7.
If A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 4 \\
-1 & K
\end{array}\right]\) and A² = 0 then find the value of K. (May 2011, Mar. ’14, ’05)
Answer:

II.
Question 1.
If A = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 0 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right]\) there find A⁴.
Answer:

Question 2.
If A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 3 \\
5 & 2 & 6 \\
-2 & -1 & -3
\end{array}\right]\) then Find A³.
Answer:

Question 3.
If A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
3 & -1 & 1
\end{array}\right]\) then find A³ – 3A² – A – 3I, where I is a unit matrix of order 3. (March 2011)
Answer:

Question 4.
If I = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) and E = \(\left[\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\) show that (aI + bE) = a³I + 3a²bE, where I is a unit matrix of order 2. (Mar. 2015-A.P)(May ’05)|
Answer:

III.
Question 1.
If A = _diag[a₁ a₂ a₃] then for any Integer n ≥ 1 show that Aⁿ = _diag\(\left[\mathrm{a}_1^{\mathrm{n}}, \mathrm{a}_2^{\mathrm{n}}, \mathrm{a}_3^{\mathrm{n}}\right]\)
Answer:

We prove this result by using mathematical induction suppose n = 1 then
A’ = \(\left[\begin{array}{ccc}
\mathrm{a}_1 & 0 & 0 \\
0 & \mathrm{a}_2 & 0 \\
0 & 0 & \mathrm{a}_3
\end{array}\right]\) = A
The result is true for n = 1.
Suppose the result for n = k then

The result is true for n = k + 1.
So by the principle of mathematical induc-tion the statement is true ∀ n ∈ N.

Question 2.
If θ – Φ = \(\frac{\pi}{2}\), then show that \(\left[\begin{array}{cc}
\cos ^2 \theta & \cos \theta \sin \theta \\
\cos \theta \sin \theta & \sin ^2 \theta
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
\cos ^2 \phi & \cos \phi \sin \phi \\
\cos \phi \sin \phi & \sin ^2 \phi
\end{array}\right]\) = 0
Answer:

Question 3.
If A = \(\left[\begin{array}{rr}
3 & -4 \\
1 & -1
\end{array}\right]\), then show that Aⁿ = \(\left[\begin{array}{cc}
1+2 n & -4 n \\
n & 1-2 n
\end{array}\right]\) for any integer n ≥ 1, by using mathematical induction.
Answer:
We shall prove the result by mathematical induction.

∴ The given result is true for n = k + 1
∴ By Mathematical induction the given result is true for all positive integral values of n.

Question 4.
Given examples of two square matrices A and B of the same order for which AB = 0 but BA ≠ 0.
Answer:

Question 5.
A trust fund has to invest Rs. 30,000 in two different types of bonds. The first bond pays 5% interest per year, and the second bond pays 7% interest per year. Using matrix multiplication determine how to divide Rs. 30,000 among the two types of bonds, if the trust fund must obtain an annual total interest of (a) Rs. 1800 and (b) Rs. 2,000.
Answer:
Let the first bond be ‘x’, then the second bond will be 30,000 – x.
Rate of interest are 5% and 7% means 0.05 and 0.07.
a) [x 30,000 – x]\(\left[\begin{array}{l}
0.05 \\
0.07
\end{array}\right]\) = [1800]
⇒ 0.05x + 0.07 (30,000 – x) = 1800
⇒ – 0.02x + 0.07 (30,000) = 1800
⇒ – 0.02x + 2100 = 1800
⇒ – 0.02x = – 300
⇒ x = \(\frac{300}{0.02}\) = 300 × \(\frac{100}{2}\) = 15, 000
First bond = 15, 000
Second bond = 30,000 – x
= 30,000 – 15,000 = 15,000

(b) [x 30,000 – x]\(\left[\begin{array}{l}
0.05 \\
0.07
\end{array}\right]\) = [2000]
⇒ 0.05x + 0.07 (30,000 – x) = 2000
⇒ – 0.02x + 0.07 (30,000) = 2000
⇒ – 0.02x + 2100 = 2000
⇒ x = \(\frac{100}{0.02}\) = 5, 000
∴ Second bond = 30,000 – x
= 30,000 – 5,000
= 25,000

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 4th Lesson సమతలంలో చలనం Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 4th Lesson సమతలంలో చలనం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఒక సదిశ నిలువు అంశం దాని క్షితిజ సమాంతర అంశానికి సమానం. ఆ సదిశ x-అక్షంతో చేసే కోణం ఎంత ?
జవాబు:
ఒక సదిశ Ā నిలువు అంశం Ā_⊥ = Ā sin θ.
క్షితిజ సమాంతర అంశం A_|| = Ā cos θ
A_⊥ = A_|| అయితే వాటి మధ్య కోణము tan θ = \(\frac{\mathrm{A}_{\perp}}{\mathrm{A}_{\|}}\) = 1
అనగా θ = 45°

ప్రశ్న 2.
ఒక సదిశ V క్షితిజ సమాంతరంతో రికోణం చేస్తుంది. ఆ సదిశను ఆ కోణం భ్రమణం చెందించడమైంది. ఈ భ్రమణం సదిశ V లో మార్పు తెస్తుందా ?
జవాబు:
నిర్దేశక అక్షాలను త్రిప్పినంత మాత్రాన సదిశ పరిమాణం మారదు. ఇచ్చిన సదిశ పరిమాణము = V
క్షితిజ సమాంతర అక్షంతో కోణము = θ (అనుకొనుము)
నిరూపకాక్షాలను త్రిప్పిన కోణము = e అయితే, క్షితిజ సమాంతరంతో కోణము θ + e అవుతుంది.
ఇప్పుడు క్షితిజ సమాంతరాంశం = V_x = V Cos (θ + e), క్షితిజ లంబ అంశం V_y = V sin (θ + e)
ఇచ్చిన సదిశ పరిమాణము V = \(\sqrt{v_x^2+v_y^2}\) = V \(\left(\sqrt{\cos ^2(e+\theta)+\sin ^2(e+\theta)}\right)=\) = V
కావున అక్షాన్ని భ్రమణం చెందించటం వల్ల సదిశ పరిమాణం మారదు.

ప్రశ్న 3.
3 ప్రమాణాలు, 5 ప్రమాణాల పరిమాణం ఉన్న రెండు బలాలు ఒకదానితో ఒకటి 60° కోణంలో పనిచేస్తున్నాయి. వాటి ఫలిత పరిమాణం ఎంత ?
జవాబు:
సదిశల పరిమాణాలు 3 యూనిట్లు, 5 యూనిట్లు. వాటి మధ్య కోణము = θ
∴ ఫలిత సదిశ R = \(\sqrt{3^2+5^2+2 \times 3 \times 5 \cos 60^{\circ}}=\sqrt{9+25+15}=\sqrt{49}\) = 7 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 4.
\(\overrightarrow{\mathrm{A}}=\overrightarrow{\mathrm{i}}+\overrightarrow{\mathrm{j}}\) . ఈ సదిశ x-అక్షంతో చేసే కోణం ఎంత ?
జవాబు:
\(\overrightarrow{\mathrm{A}}=\overrightarrow{\mathrm{i}}+\overrightarrow{\mathrm{j}}\) స్థాన సదిశ పటంలో చూపినట్లు ఉంటుంది.

పటం నుండి tan θ = \(\frac{y}{x}\) = -1
∴ θ = 45° (సవ్యదిశలో అనగా 4వ పాదంలో ఉంటుంది.)

ప్రశ్న 5.
యూనిట్లు, 24 యూనిట్లు పరిమాణం ఉన్న రెండు లంబ సదిశలు సంయోగం చెందినట్లైతే ఫలిత సదిశ పరిమాణం ఎంత ?
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి \(\overline{\mathrm{P}}\) = 7 యూనిట్లు; \(\overline{\mathrm{Q}}\) = 24 యూనిట్లు; వాటి మధ్య కోణము θ = 90°
∴ ఫలిత సదిశ \(\overline{\mathrm{R}}=\sqrt{\overline{\mathrm{P}}^2+\overline{\mathrm{Q}}^2+2 \mathrm{PQ} \cos \theta}=\sqrt{\overline{\mathrm{P}}^2+\overline{\mathrm{Q}}^2}\) (∵ cos 90° = 0)
∴ \(\overline{\mathrm{R}}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}\) = 25 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 6.
P = 2i + 4j + 14k, Q = 4i + 4j + 10k అయితే P + Q పరిమాణం కనుక్కోండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 7.
శూన్య పరిమాణం కలిగిన సదిశకు శూన్యం కాని అంశాలు ఉంటాయా ?
జవాబు:
శూన్య సదిశ యొక్క అంశాలు శూన్యేతర పరిమాణమును కలిగి ఉండవు. ఎందుకనగా \(\overline{\mathrm{V}}=\sqrt{\mathrm{V}_{\mathrm{x}}^2+\mathrm{V}_{\mathrm{y}}^2}\) కావున \(\overline{\mathrm{V}}\) = (0) కావాలంటే తప్పనిసరిగా V_x² మరియు V_y² సున్న కావలెను. అనగా V_x = V_y = 0 కావలెను.

ప్రశ్న 8.
ప్రక్షేపకం యొక్క ప్రక్షేప పథం అగ్రభాగంలో దాని త్వరణం ఎంత ?
జవాబు:
ప్రక్షేపకం అగ్రభాగంలో త్వరణము గురుత్వత్వరణము g = 9.8 మీ/సె². ఇది భూమి కేంద్రంవైపు పనిచేస్తుంది.

ప్రశ్న 9.
రెండు అసమ పరిమాణం వున్న సదిశల సంకలన మొత్తం శూన్య సదిశను ఇవ్వగలదా ? మూడు అసమాన సదిశలు కలిసి శూన్య సదిశను ఇవ్వగలవా ?
జవాబు:
శూన్యం కాదు. రెండు అసమాన సదిశల ఫలిత సదిశ శూన్యం కాదు. కాని ఒకే సమతలంలో గల మూడు అసమాన సదిశల ఫలిత సదిశ శూన్యం కావచ్చును.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
సదిశల సమాంతర చతుర్భుజ నియమాన్ని పేర్కొనండి. ఫలిత సదిశ పరిమాణం, దిశలకు సమీకరణం రాబట్టండి.
జవాబు:
సమాంతర చతుర్భుజ నియమం : “ఒక బిందువు వద్ద, ఏక కాలంలో పనిచేసే రెండు సదిశలను పరిమాణంలోను, దిశలోను సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క రెండు ఆసన్న భుజాలతో సూచిస్తే అదే బిందువు గుండా పోయే కర్ణం రెండు సదిశల ఫలిత సదిశను పరిమాణం మరియు దిశలోను సూచిస్తుంది.”

P, Q అను రెండు అనుషక్త సదిశలు ‘O’ వద్ద పనిచేయుచున్నవి. OA, OB భుజాలు ఆ రెండు సదిశల పరిమాణం మరియు దిశను సూచిస్తాయి. OA, OB ల మధ్యకోణం ‘θ’ అనుకొనుము. OA, OB లను ఆసన్న భుజాలుగా తీసుకొని సమాంతర చతుర్భుజం OACB ని నిర్మించండి.

OA ని పొడిగించి, దానిపై C నుండి లంబం గీస్తే ఆ లంబం OAని D వద్ద కలుస్తుంది. ODC లంబ కోణ త్రిభుజం కనుక, OC² = OD² + DC²
కాని OD = OA + AD, ∴ OC² = (OA + AD)² + DC² = OA² + 2 (OA) (AD) + AD² + DC²
కాని AD² + DC² = AC² = OB² (ADC లంబకోణ త్రిభుజం కనుక)
∴ OC² = OA² + 2 (OA) (AD) + OB²
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}\) = cos θ కనుక
OC² = OA² + 2(OA) (AC) cos θ + OB²
∴ \(\overline{\mathrm{R}}^2\) = OC² = OA² + 2 (OA)(OB)cosθ + OB²
= P² + 2PQ cos θ + Q²
∴ R = \(\sqrt{\mathrm{P}^2+\mathrm{Q}^2+2 \mathrm{PQ} \cos \theta}\) ఇది రెండు సదిశల ఫలిత విలువ Rని తెలియచేస్తుంది.
R ఫలిత సదిశ OA తో α కోణం చేస్తుంది అనుకుంటే,

ఇక్కడ α ఫలిత సదిశ ఆసన్న భుజంతో చేయు కోణమును తెలియజేస్తుంది.

ప్రశ్న 2.
సాపేక్ష చలనం అంటే ఏమిటి ? వివరించండి.
జవాబు:
సాపేక్ష వేగము : గమనం ఉన్న రెండు వస్తువులు A, B ల వేగాలను ఒకదానితో పోల్చి వేరొకదాని వేగాన్ని వివరించడాన్ని సాపేక్ష వేగము అంటారు. అనగా ఇటువంటి చలనంలో A పరంగా B వేగాన్ని (V_BA) లేదా B పరంగా A వేగాన్ని (V_AB) వివరించడాన్ని సాపేక్ష వేగం అంటారు.

వివరణ : రెండు వస్తువులు A, B లు ఒకే అక్షం వెంబడి V_A మరియు V_B అను సగటు వేగంతో చలిస్తున్నాయనుకోండి. కాలము t = 0 వద్ద వాటి స్థానాలు X_A = X_B = 0 అనుకుందాం. t కాలం తరువాత వాటి స్థానాలు వరుసగా X_A (t) మరియు X_B (t) అనుకుంటే
X_A (t) = X_A (0) + V_At
X_B (t) = X_B (0) + V_Bt అవుతాయి..
ఇప్పుడు A నుంచి B స్థానభ్రంశం X_BA (t) = X_B (t) – X_A (t)
లేదా X_BA (t) = X_B (0) + V_B t – X_A (0) – V_At
X_BA (t) = X_B (0) – X_A (0) + (V_B – V_A) t
X_A, X_B ల తొలిస్థానాలు సున్న అని భావిస్తే X_BA (t) = (V_B – V_A) t
A పరంగా B సాపేక్ష వేగము = \(\frac{X_{B A}(t)}{t}\) V_B – V_A = V_BA
అనగా రెండు వస్తువులు ఒకే దిశలో చలిస్తే వాటి సాపేక్ష వేగము ఆ వస్తువుల విడివిడి వేగాల బేధానికి సమానము.
ఇదే విధంగా B పరంగా A వస్తువు సాపేక్ష వేగము V_AB = V_A + V_B.
అనగా సాపేక్ష వేగాలలో V_AB = -V_BA
A, B లు వ్యతిరేక దిశలలో చలిస్తుంటే V_AB = V_A + V_B.
అనగా వ్యతిరేక దిశలలో చలించే వస్తువుల సాపేక్ష వేగము వాటి విడివిడి వేగాల మొత్తమునకు సమానము.

ప్రశ్న 3.
కనిష్ఠ కాలంలో నదిని దాటడానికి నావ నది నీటితో కొంత కోణం చేస్తూ ప్రయాణం చేయాలని చూపండి.
జవాబు:
ఒక పడవ నిశ్చలమైన నీటిలో ఒడ్డు దృష్ట్యా V_bE అను వేగంతో చలించగలదు అనుకొనుము. ఈ పడవను ఉపయోగించి ఒడ్డు దృష్ట్యా V_wE వేగంతో చలిస్తున్న నదీ ప్రవాహాన్ని దాటవలెను. నది వెడల్పు W అనుకోండి.

నదిని అతి తక్కువ కాలంలో దాటడం :
నదిని అతి తక్కువ కాలంలో దాటడానికి పట్టిన కాలము

నదిని కనీసకాలంలో దాటాలంటే పడవ ఎల్లపుడు నది వెడల్పు దిశలోనే చలించాలి. అనగా పడవ ఒడ్డుకు లంబంగా (θ = 90°) చలించాలి. ఎందుకంటే మనం దాటడానికి కావలసిన అతి తక్కువ దూరం నది వెడల్పు W కావున.

ఈ సందర్భంలో పడవ వేగము V_bE మరియు నది వేగము V_wE లు పరస్పర లంబము కావున పడవ నది వెంబడి కొంతదూరము ప్రయాణిస్తుంది. పడవ ఫలిత ప్రయాణ మార్గం పటంలో చూపినట్లు AC దిశలో ఉంటుంది. కాని ఒడ్డుతో పోల్చితే పడవ ఎల్లపుడు లంబంగా (θ = 90°) చలించవలెను.

ప్రశ్న 4.
ప్రమాణ సదిశ, శూన్య సదిశ, స్థానాంతర సదిశలను నిర్వచించండి.
జవాబు:
ప్రమాణ సదిశ : ఏకాంక పరిమాణం గల సదిశను ఏకాంక సదిశ లేక ప్రమాణ సదిశ అంటారు.
ఇచ్చిన సదిశను \(\overline{\mathrm{a}}\) అనుకొన్నపుడు \(\overline{\mathrm{a}}\) యొక్క ప్రమాణ సదిశ \(\hat{a}=\frac{\bar{a}}{|\bar{a}|}\) గా నిర్వచించినారు.

శూన్య సదిశ : ఏదైనా సదిశ పరిమాణం శూన్యమైతే దానిని శూన్య సదిశ అంటారు. శూన్య సదిశకు ఆరంభ బిందువు అంత్య బిందువులు ఒకదానితో ఒకటి ఏకీభవిస్తాయి. అటువంటి సదిశ దిశను నిర్ణయించలేము.
ఉదా : \(\overline{\mathrm{A}} \times \overline{\mathrm{B}}\) = 0 అయితే దానిని \(\overrightarrow{\mathrm{O}}\) శూన్య సదిశగా వ్యవహరిస్తారు.
స్థాన సదిశ : అంతరాళంలో గల ఏదైనా బిందువును \(\overline{\mathrm{i}}, \overline{\mathrm{j}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{k}}\) ప్రమాణ సదిశల రేఖీయ సంయోగంగా తెలుపవచ్చును. మూలబిందువు ‘0’ అయినపుడు P బిందువును \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) తో సూచిస్తారు.
\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \bar{i}+y \bar{j}+z \bar{k}\) గా సూచిస్తారు. దీనిని P బిందువు స్థాన సదిశ అంటారు.
ఇందులో x, y మరియు 2 లు నిరూపకాక్షాలు \(\overline{\mathrm{i}}, \overline{\mathrm{j}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{k}}\) ల వెంబడి గల పరిమాణాలను తెలుపుతాయి
\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) పరిమాణాన్ని \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\sqrt{\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2}\) ద్వారా లెక్కగడతారు.

ప్రశ్న 5.
\(|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|=|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|\) అయితే, \(\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}\) ల మధ్య కోణం 90° అని చూపండి.
జవాబు:
|a|,|b| లు రెండు అనుషక్త సదిశలు అనుకోండి.
సదిశల మొత్తం పరిమాణము

కాని |a|, |b| లు సున్న కావు కావున cos θ = 0 కావలెను. అనగా θ = 90° అనగా |a|, |b| ల మధ్య కోణము θ = 90°

ప్రశ్న 6.
క్షితిజ సమాంతర దిశకు కొంత కోణం చేస్తూ విసిరిన వస్తువు (ప్రక్షిప్త) పథం పరావలయం అని చూపండి. (మే 2014)
జవాబు:
క్షితిజ సమాంతర తలంలో θ కోణం చేయునట్లు u వేగంతో ఒక వస్తువుని పైకి విసిరామనుకుందాము. ప్రక్షేపకము ప్రయాణించిన మార్గాన్ని ప్రక్షేపకపు గమన పథము అంటారు. ప్రక్షేపకాలలో వస్తువుపై గురుత్వ త్వరణం g మాత్రమే పనిచేస్తుంది. ఇది ఎల్లప్పుడూ నిలువుగా క్రిందికి ఉంటుంది. వస్తువుకి క్షితిజ సమాంతరంగా త్వరణం ఉండదు. కావున ప్రక్షేపకాలలో క్షితిజ సమాంతర వేగము మారదు.
OX దిశలో వేగాంశం = u cos θ. (ఇది మారదు
OY దిశలో వేగాంశం = u sin θ. ఇది గురుత్వ త్వరణం వలన మారుతూ ఉంటుంది.
t కాలం తరువాత క్షితిజ సమాంతరంగా పయనించిన దూరం = x = (x-దిశలో వేగాంశం) (కాలం)

y = Ax – Bx²
ఇది ‘పరావలయ సమీకరణము.
అందువలన క్షితిజ సమాంతర దిశకు కొంత కోణంతో విసరిన వస్తువు పథం పరావలయం.

ప్రశ్న 7.
సగటు వేగం, తాక్షణిక వేగం పదాలను వివరించండి. ఈ రెండు ఎప్పుడు సమానం అవుతాయి ?
జవాబు:
సగటు వేగము : వస్తువు స్థానభ్రంశానికి, ఆ స్థాన భ్రంశానికి పట్టిన కాలవ్యవధికి గల నిష్పత్తిని వస్తువు సరాసరి లేదా సగటు వేగము అంటారు.
సగటు వేగము V = \(\frac{\Delta r}{\Delta t}=\frac{\Delta x \bar{i}+\Delta y \hat{j}}{\Delta t}\)
∴ సగటు వేగము \(\frac{\Delta \mathrm{x}_{\mathbf{i}}}{\Delta \mathrm{t}}+\frac{\Delta \mathrm{yj}}{\Delta \mathrm{t}}\)
తాక్షణిక వేగము : కాలవ్యవధి అతితక్కువగా ఉన్నపుడు అనగా శూన్యాన్ని సమీపించేటంత చిన్నదైనపుడు వస్తువు స్థానభ్రంశం మరియు కాలముల నిష్పత్తిని తాక్షణిక వేగం అంటారు.
\({Lt}_{\Delta \mathrm{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathrm{r}}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}\) = V తాక్షణిక వేగము
కాలవ్యవధులు అత్యల్పంగా తీసుకొనినపుడు వస్తువు తాక్షణిక వేగము మరియు ఆ కాలంలో సగటు వేగము సమానమవుతాయి.

ప్రశ్న 8.
ప్రక్షేపకం యొక్క గరిష్టోన్నతి మరియు గరిష్ఠ వ్యాప్తులు వరుసగా \(\frac{u^2 \sin ^2 \theta}{2 g}\) మరియు \(\frac{\mathrm{u}^2 \sin 2 \theta}{g}\) అని చూపండి. ఇక్కడ వాడిన పదాలు సాధారణంగా ఉపయోగించే అర్థంలోనే వాడాము.
గమనిక : ఈ ప్రశ్నను ఇంగ్లీషు మీడియమ్ టెక్స్ట్బుక్ ప్రకారం ఇవ్వడం జరిగింది. తెలుగు మీడియమ్ ప్రశ్న వేరే విధంగా ఉంది.
జవాబు:
ఏదైనా వస్తువును ‘u’ అను తొలివేగంతో క్షితిజ సమాంతరానికి ‘θ’ అను కోణంతో గాలిలోనికి విసరినామనుకొనుము. తొలివేగము u_x = u cos θ ; y-దిశలో తొలివేగము u_y = u sin θ
గరిష్లోన్నతి (h_max) : ప్రక్షిప్త వస్తువు క్షితిజ లంబవేగాంశము సున్న అయ్యేవరకు వస్తువు పైకి పోయిన ఎత్తును దాని గరిస్త్రోన్నతిగా నిర్వచించినారు.
త్వరణము a = − g
తొలి వేగము u_y = u sin θ
v² – u² = 2as అను సమీకరణం నుండి
0 – u² sin² θ = – 2 gh_max
∴ గరిష్లోన్నతి h_max = \(\frac{u^2 \sin ^2 \theta}{2 g}\)

క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి (R) :
వస్తువు పలాయన కాలం (T) లో ప్రయాణించిన క్షితిజ సమాంతర దూరాన్ని వ్యాప్తిగా నిర్వచించినారు.
x-దిశలో తొలివేగము u_x = u cos θ;
పలాయన కాలము T = \(\frac{2 u \sin \theta}{g}\)
xదిశలో వేగము మారదు కావున వ్యాప్తి R = u_x × T = \(\frac{u \cos \theta \cdot 2 u \sin \theta}{g}=\frac{u^2 2 \sin \theta \cos \theta}{g}=\frac{u^2 \sin 2 \theta}{g}\)
∴ క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి R = \(\frac{\mathrm{u}^2 \sin 2 \theta}{\mathrm{g}}\)

ప్రశ్న 9.
ఒక నిర్దేశ చట్రంలో వస్తువు ప్రక్షిప్త పథం పరావలయం అయితే, ఈ నిర్దేశ చట్రంతో సాపేక్షంగా స్థిరవేగంతో -కదులుతున్న మరొక నిర్దేశ చట్రంలో కూడా వస్తువు పథం పరావలయ ఆకృతిలో ఉంటుందా ? ఒకవేళ ప్రక్షేపక పథం పరావలయం కాకపోతే అది ఏ ఆకృతిలో ఉంటుంది ?
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి ఒక నిర్దేశ చట్రంలో వస్తువు గమనపథము పరావలయము.

రెండవ నిర్దేశ చట్రము మొదటి దానితో సాపేక్షంగా స్థిరవేగంతో చలిస్తున్నది. అనగా ఆ రెండు చట్రముల మధ్య త్వరణము సున్న. కేవలం ఆ రెంటి మధ్య కొంత దశాబేధం ఉంటే వుండవచ్చు. ఈ పరిస్థితులలో ఆ రెండు చట్రాలు ఒకేరకమైన నిర్దేశ చట్రాలను కలిగి ఉంటాయి. ఆ రెండు (1) జడత్వ నిర్దేశ చట్రంలో ఉండవచ్చు లేదా ఆ రెండు (2) సమానమైన త్వరణ నిర్దేశచట్రంలో ఉండవచ్చు. ఎందుకనగా సాపేక్ష త్వరణము సున్నకావున.

పై వివరణను బట్టి ఆ రెండు వ్యవస్థలు ఒకే రకమైన నిర్దేశ చట్రంలో వున్నాయి. తుల్యతా నియమం ప్రకారము ఒకేరకమైన వ్యవస్థలో జరిపిన ప్రయోగాలు ఒకేరకమైన ఫలితాన్ని ఇస్తాయి. కావున మొదటి నిర్దేశక చట్రంలో వస్తువు గమనము పరావలయమైతే రెండవ నిర్దేశ చట్రంలో కూడా దాని గమనపథము పరావలయమే అవుతుంది.

ప్రశ్న 10.
నిశ్చలస్థితిలో ఉన్న వస్తువుపై 2i + j – k న్యూటన్ల బలం పనిచేస్తుంది. 20 సెకనుల చివర వస్తువు వేగం 4i + 2j – 2k ms^-1 అయితే ఆ వస్తువు ద్రవ్యరాశి ఎంత ?
జవాబు:
బలము F = 2i + j – k, కాలము t = 20
తొలి వేగము V_o = 0
తుది వేగము V = 4i + 2j – 2k
∴ త్వరణము a = \(\frac{\mathrm{V}-\mathrm{V}_0}{\mathrm{t}}=\frac{4 \mathrm{i}+2 \mathrm{j}-2 \mathrm{k}}{20}=\frac{2(2 \mathrm{i}+\mathrm{j}-\mathrm{k})}{10}\)
వస్తువు ద్రవ్యరాశి m = \(\frac{F}{a}=\frac{2 i+j-k}{(2 i+j-k) / 10}\) = 10 కి.గ్రా.

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఓడ B కి ఓడ A పశ్చిమ దిశలో 10 km దూరంలో ఉంది. ఓడ A నేరుగా ఉత్తర దిక్కువైపు 30 km/h వడితో వెళు తుంటే, ఓడ B ఉత్తర దిశతో పడమరవైపు 60° కోణం చేస్తూ 20 km/h వడితో వెళుతుంది.
(i) ఓడ A కి సాపేక్షంగా ఓడ B వేగ పరిమాణాన్ని, దిశను కనుక్కోండి.
(ii) రెండింటి మధ్య అత్యంత సమీప దూరం (closest approach) ఎంత ?
సాధన:
A వేగము = 30 kmph ఉత్తరం వైపు ∴V_A = 30j
B వేగము = 20 kmph 60° పశ్చిమ దిశ నుండి ఉత్తరం వైపు
∴ V_B = -20sin60° + 20 cos 60° = \(10 \sqrt{3} \hat{\mathrm{i}}+10 \hat{\mathrm{j}}\)
A తో పోల్చితే B వేగము = V_B – V_A = -10\(\sqrt{3} \hat{\mathrm{i}}+10 \hat{\mathrm{j}}-30 \hat{\mathrm{j}}\)
= -10\(\sqrt{3} \hat{\mathrm{i}}-20 \hat{\mathrm{j}}\)
V_R = | V_B – V_A|= \(\sqrt{100 \times 3+400}\) = 10\(\sqrt{7}\) kmph.

అతి తక్కువ దూరము :
త్రిభజం ABN నుండి అతి తక్కువ దూరము AN = AB sin θ
కాని AB = 10 km
∴ AN = 10 × \(\frac{20}{10 \sqrt{7}}=\frac{20}{\sqrt{7}}\) = 7.56 km

ప్రశ్న 2.
ప్రక్షేపక కోణం Q, వ్యాప్తి R, గరిష్ఠ ఎత్తు h, ప్రయాణ కాలం T అయితే
a) tan α = 4h/R,
(b) h = gT² / 8 అని చూపండి.
సాధన:
(a) ప్రక్షేపక కోణము = θ, వ్యాప్తి, R = \(\frac{\mathrm{u}^2 \sin 2 \theta}{\mathrm{g}}\)

ప్రశ్న 3.
క్షితిజ సమాంతరంతో 60° కోణం చేస్తూ 800 m/s తొలి వేగంతో ఒక ప్రక్షేపకాన్ని పేల్చారు :
(i) భూమిని తాకే ముందు ప్రక్షేపకం ప్రయాణ కాలం కనుక్కోండి.
(ii) అది భూమిని తాకే ముందు ప్రయాణించిన దూరాన్ని (వ్యాప్తి) కనుక్కోండి.
(iii) గరిష్ఠ ఎత్తుకు చేరుకోడానికి పట్టే ప్రయాణ కాలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రక్షేపక కోణము θ = 60°, తొలివేగము, U = 800 m/s

iii) గరిష్టోన్నతి చేరటానికి పట్టిన కాలము = \(\frac{\mathrm{T}}{2}\)
T₁ = \(\frac{2 \mathrm{u} \sin \theta}{2 \mathrm{~g}}=\frac{\mathrm{u} \sin \theta}{\mathrm{g}}=\frac{800 \sin 60^{\circ}}{9.8}\)
= \(\frac{800 \times 0.8660}{9.80}\) = 70.7 sec

ప్రశ్న 4.
భూమికి ఏటవాలుగా ప్రక్షిప్తం చేసిన కణం తన పథంలో గరిష్ఠ బిందువు దగ్గర ఉన్నప్పుడు ప్రక్షేపణ బిందువు దృష్ట్యా దాని స్థాన సదిశ పరిమాణం అది చేరుకొనే గరిష్ఠ ఎత్తుకు \(\sqrt{2}\) రెట్లు ఉన్నట్లయితే ప్రక్షేపక కోణం tan^-1(2) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 5.
భూమికి 20 m ఎత్తున ఉన్న శిఖరంపై నుంచి వస్తువును క్షితిజ సమాంతరానికి 30° కోణంతో 30m/s తొలివేగంతో ప్రయోగించారు. భూమిపై దిగే ముందు క్షితిజ సమాంతరంగా వస్తువు ఎంత దూరం ప్రయాణిస్తుంది ? (g = 10 m/s²)
సాధన:
శిఖరం ఎత్తు = 20m
ప్రక్షేపక కోణము, θ = 30°
ప్రక్షేపక వేగము, u = 30 m/s
క్షితిజ సమాంతరదిశలో ప్రయాణించిన మొత్తం దూరము = OC = OB’ + B’C
(a)కాని OB’ = AB = వ్యాప్తి R = \(\frac{\mathrm{u}^2 \sin 2 \theta}{\mathrm{g}}\)
∴ R = \(\frac{30 \times 30 \sin 60^{\circ}}{10}=90 \frac{\sqrt{3}}{2}=45 \sqrt{3}\) …………… (1)

(b)దూరము B’C = క్షితిజ సమాంతర ప్రక్షేపకం వ్యాప్తి
∴ వ్యాప్తి = u cos θ t
u. cos θ = 30 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}=15 \sqrt{3}\)
భూమిని తాకుటకు పట్టినకాలము, t = ?
దత్తాంశం నుండి S_y = 20, u_y = u sin θ = 30 sin 30° = 15 m/s
∴ S_y = 20 = 15 t + \(\frac{10}{2}\) t² ⇒ 5t² + 15t – 20 = 0
లేదా t² + 3t – 4 = 0 లేదా (t + 4) (t – 1) = 0
∴ t = – 4 లేదా t = 1 ∴ t ఋణాత్మకంగా ఉండదు కావున t = 1 అగును.
∴ వ్యాప్తి = 4 . cos θ . t = 15\(\sqrt{3}\) …………… (2)
భూమిపై దిగే ముందు క్షితిజ సమాంతరంగా వస్తువు ప్రయాణించిన మొత్తం దూరం = 45\(\sqrt{3}\) + 15\(\sqrt{3}\) = 60\(\sqrt{3}\) m.

ప్రశ్న 6.
నేలపై ౦ బిందువును మూల బిందువుగా తీసుకోవడమైంది. ఒక వస్తువు ముందు ఈశాన్య (North-East) దిశలో 10\(\sqrt{2}\) m స్థానభ్రంశాన్ని, ఆ తరవాత ఉత్తర దిశలో 10 m, పిమ్మట 10\(\sqrt{2}\) m వాయువ్య దిశలో పొందింది. మూల బిందువు నుంచి అది ఎంత దూరంలో ఉంది ?
సాధన:
a) 10\(\sqrt{2}\) m ఈశాన్య దిశ
b) 10m ఉత్తర దిశ
c) 10\(\sqrt{2}\) m వాయువ్య దిశ

పటములో మూలబిందువు ‘O’ నుండి మొత్తం స్థానభ్రంశము = OC
కాని OC = OA’ + A’B’ + B’C = 10 + 10 + 10 = 30m.

ప్రశ్న 7.
భూమిపై ఒక బిందువు నుంచి తొలి వేగం తో కణాన్ని క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి గరిష్ఠం అయ్యే విధంగా ప్రక్షిప్తం చేశారు. దాని ఆరోహణ క్రమంలో (ascent) ఉండే సగటు వేగం పరిమాణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రక్షేపక వేగము : = u.
వ్యాప్తి గరిష్ఠము ⇒ θ = 45°
ఆరోహణ కాలంలో అనగా h = h_max ⇒ u_x = v_x = u . cos θ
సగటు వేగము, V_A = \(\sqrt{v_{\mathrm{x}}^2+v_{\mathrm{y}}^2}\)
V_x = x-దిశలో సగటు వేగము = \(\frac{\mathrm{u} \cdot \cos \theta+\mathrm{u} \cos \theta}{2}\)
v_x = u . cos θ = u – cos 45° = u/\(\sqrt{2}\) …………….. (1)
y-దిశలో సగటు వేగము = \(\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{y}}+\mathrm{v}_{\mathrm{y}}}{2}\)
u_y = u sinθ = u/latex]\sqrt{2}[/latex], v_y = 0 (h_max వద్ద)
∴ v_y = \(\frac{u / \sqrt{2}}{2}=\frac{u}{2 \sqrt{2}}\) …………….. (2)
ఆరోహణ కాలంలో సగటు వేగము = \(\sqrt{\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{u}{2 \sqrt{2}}\right)^2}\)
సరాసరి వేగము = \(\sqrt{\frac{u^2}{2}+\frac{u^2}{4 \times 2}}=\sqrt{\frac{4 u^2+u^2}{8}}=\frac{u \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}\)

ప్రశ్న 8.
భూమిపై నుంచి ఒక కణాన్ని కొంత తొలివేగంతో క్షితిజ సమాంతరానికి 45° కోణంతో ప్రక్షిప్తం చేశారు. అది క్షితిజ సమాంతరంగా 10m దూరం ప్రయాణించేంతలో, భూమి నుండి 7.5 m ఎత్తుకు చేరుతుంది. ప్రక్షేపకం తొలి వడి ఎంత? (g = 10 m/s²)
సాధన:
ప్రక్షేపక కోణము = 45°
నిలువు దిశలో ఎత్తు, h_y = 7.5 m
క్షితిజ సమాంతర దూరము, h_x = 10 m

u² = 400 ⇒ u = 20m/s

ప్రశ్న 9.
దక్షిణ దిశ నుంచి 5 ms^-1 వేగంతో గాలి వీస్తుంది. ఒక సైకిల్ తొక్కే వ్యక్తికి అది 5 ms^-1 వేగంతో తూర్పు దిశ నుంచి వీస్తుందనిపిస్తుంది. సైకిల్ తొక్కే వ్యక్తి ఈశాన్య దిశలో 5\(\sqrt{2}\) ms^-1 వేగంతో ప్రయాణిస్తున్నాడని చూపించండి.
సాధన:

1. గాలి వేగము పక్షిణం నుండి ఉత్తరం వైపు 5 m/s
2. వ్యక్తి భావించిన వేగము = సాపేక్ష వేగము = 5 m/s తూర్పు నుండి
3. సైకిలిష్ట్ వేగము కనుక్కోవటానికి ఫలిత సదిశను వెనుకకు తిప్పి మరల ఫలిత సదిశ కనుక్కోవలె.
   ∴ సైకిలిష్ట్ వేగము = \(\sqrt{5^2+5^2+0}\) = 5\(\sqrt{2}\) m/s

ప్రశ్న 10.
4m/s తో నడుస్తున్న మనిషి వాన బిందువులు ఏటవాలుగా తన ముఖంపై 4 m/s వడితో నిట్టనిలువుగా 30° కోణం చేస్తూ పడుతున్నాయని గమనించాడు. వాన బిందువు వాస్తవ వడి 4 m/s అని చూపండి.
సాధన:
మనిషి వేగము = 4 m/sec
వాన చినుకులను గమనించిన వేగము = 4 m/sec
క్షితిజలంబముతో 30°. ఇది సాపేక్ష వేగము
a) మనిషి వేగము = \(4 \hat{\mathrm{i}}\)
వాన చినుకుల వేగము = 4 m/s, 30° (లంబముతో)
∴ ఈ వేగాన్ని = – 4 sin 30 i – 4 . cos 30° \(\hat{\mathrm{j}}\) తో సూచిస్తారు.
= -4\(\frac{1}{2} \hat{\mathrm{i}}+4 \frac{\sqrt{3}}{2}\) అనుకోండి. V_R = -2\(\hat{\mathrm{i}}+2 \sqrt{3} \hat{\mathrm{j}}\)
కాని V_R = V_B – V_A ఇందులో V_B వాన చినుకుల నిజవేగము
V_B – V_A + V_A = V_B = –\(2 \hat{\mathrm{i}}+2 \sqrt{3} \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{i}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \sqrt{3} \hat{\mathrm{j}}\)
|V_B|= \(\sqrt{4+4 \times 3}=\sqrt{16}\) = 4 m/s

ముఖ్యమైన ఉదాహరణ లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
35 ms^-1 వడితో వాన నిట్టనిలువుగా పడుతోంది. కొంతసేపటి తరువాత 12 ms^-1 వడితో గాలి తూర్పు నుంచి పడమర దిశగా వీచడం ప్రారంభించింది. బస్ స్టాప్లో వేచి ఉన్న బాలుడు వాన మీద పడకూడదు అంటే గొడుగును ఏ దిశలో పట్టుకోవాలి ?

సాధన:
పటంలో వాన, గాలి వేగ సదిశలను వరుసగా v_r, v_w లతో సమస్యలో ఇచ్చిన దిశలో చూపించడమైనది. సదిశల సంకలన నియమం ద్వారా v_r, v₂ ల ఫలిత సదిశ R పటంలో చూపిన విధంగా ఉంటుంది. R పరిమాణాన్ని కింది విధంగా లెక్కించవచ్చు.
R = \(\sqrt{v_{\mathrm{r}}^2+v_w^2}=\sqrt{35^2+12^2}\) ms^-1 = 37 ms^-1
నిట్టనిలువుతో ఫలిత సదిశ R చేసే కోణం 9 ను కింది విధంగా రాయవచ్చు.
tan θ = \(\frac{v_w}{v_r}=\frac{12}{35}\) = 0.343
లేదా θ. = tan^-1 (0.343) = 19°
కాబట్టి, నిట్టనిలువు తలంలో తూర్పుదిశకు 19° చేసే విధంగా గొడుగు పట్టుకొని నిలబడాలి.

ప్రశ్న 2.
ఒక మోటారు బోటు ఉత్తర దిశవైపు 25 km/h వేగంతో దూసుకుపోతోంది. అక్కడ నీటి ప్రవాహం 10 km/h వేగం కలిగి దక్షిణం దిశతో 60° కోణం చేస్తూ తూర్పువైపుకు ఉంది. బోటు ఫలితవేగాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
మోటారు బోటు వేగాన్ని v_b తో, నీటి ప్రవాహవేగాన్ని v_{c/sub> తో సమస్యలో ఇచ్చిన దిశలలో పటంలో చూపించడమైంది.
సమాంతర చతుర్భుజ సంకలన నియమం ప్రకారం ఫలిత సదిశ R దిశ పటంలో చూపించిన విధంగా ఉంటుంది. కొసైన్ల న్యాయం ప్రకారం R పరిమాణాన్ని కింది విధంగా రాబట్టవచ్చు.}

ప్రశ్న 3.
ఒక కణం స్థానాన్ని \(3.0 t \hat{i}+2.0 t^2 \hat{j}+5.0 \hat{k}\) సూచిస్తుంది. ఇక్కడ t సెకనులలో, మీటర్లలో ఉండే విధంగా గుణకాలు సరైన ప్రమాణాలను కలిగి ఉన్నాయి. కణం యొక్క (a) v(t), a(t) లను కనుక్కోండి. (b) t = 1.0 s వద్ద v(t) పరిమాణం, దిశను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
కాలం t = 0 వద్ద మూలబిందువు దగ్గర నుంచి బయలుదేరిన కణం 5.0\(\hat{\mathrm{i}}\)m/s వేగంతో x-y తలంలో ప్రయోగించిన బలం వల్ల స్థిర త్వరణం (\(3.0 \hat{\mathrm{i}}+2.0 \hat{\mathrm{j}}\))m/s² పొంది చలిస్తుంది. (a) x-నిరూపకం 84 m అయినప్పుడు కణం y-నిరూపకం ఎంత ? ఈ కాలం వద్ద కణం వడి ఎంత ?
సాధన:
కణం స్థానాన్ని కింది విధంగా రాయవచ్చు.
r (t) = v_ot + \(\frac{1}{2}\) at²
= \(5.0 \hat{\mathrm{i}} \mathrm{t}+(1 / 2)(3.0 \hat{\mathrm{i}}+2.0 \hat{\mathrm{j}}) \mathrm{t}^2\)
= \(\left(5.0 \mathrm{t}+1.5 \mathrm{t}^2\right) \hat{\mathrm{i}}+1.0 \mathrm{t}^2 \hat{\mathrm{j}}\)
కాబట్టి, x(t) = 5.0 t + 1.5 t²
y(t) = + 1.0t²
x(t) = 84 m గా ఇచ్చారు. అప్పుడు, t = ?
5.0 t + 1.5 t² = 84 ⇒ t = 6s
t = 6 s అయినప్పుడు, y = 1.0 (6)² = 36.0 m
ఇప్పుడు వేగం v = \(\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dx}}\) (5.0 + 3.0 t) \(\hat{\mathrm{i}}+2.0 \mathrm{t} \hat{\mathrm{j}}\)
t = 6 s అయినపుడు, v = 23.0 \(23.0 \hat{\mathrm{i}}+12.0 \hat{\mathrm{j}}\)
వడి = | v | = \(\sqrt{23^2+12^2}\) ≅ 26 ms^-1.

ప్రశ్న 5.
వాన నిట్టనిలువుగా 35 ms^-1 వడితో పడుతోంది. ఒక మహిళ 12 ms^-1 వేగంతో తూర్పు నుండి పశ్చిమ దిశలో సైకిల్పై వెళుతుంది. ఆమె ఏ దిశలో గొడుగును పట్టుకోవాలి ?
సాధన:
పటంలో v_r వాన వేగాన్ని, v_b మహిళ తొక్కుతున్న సైకిల్ వేగాన్ని సూచిస్తాయి. ఈ రెండు వేగాలు కూడా భూమి దృష్ట్యానే. మహిళ సైకిల్ తొక్కుతుంది. కాబట్టి, ఆమె దృష్ట్యా వాన వేగం, అంటే సైకిల్ వేగానికి సాపేక్షంగా వాన వేగం అని అర్థం. అంటే v_rb = v_r – v_b

ఈ సాపేక్ష వేగం సదిశ పటంలో చూపినట్లు నిట్టనిలువుతో θ కోణం చేస్తుంది.
tan θ = \(\frac{\mathrm{v}_{\mathrm{b}}}{\mathrm{v}_{\mathrm{r}}}=\frac{12}{35}\) = 0.343
లేదా θ ≅ 19°
అంటే మహిళ పడమర దిశలో నిట్టనిలువుతో 19° కోణం చేస్తూ గొడుగును పట్టుకోవాలి.

ప్రశ్న 6.
భూమికి 490 m ఎత్తున ఉన్న శిఖరం పైనుంచి ఒక పర్వతారోహకుడు రాయిని 15 m s^-1 తొలివేగంతో క్షితిజ సమాంతరంగా విసిరాడు. గాలి నిరోధాన్ని ఉపేక్షించి, రాయి నేలను తాకేందుకు పట్టే కాలాన్ని, అది నేలను తాకే వేగాన్ని కనుక్కోండి. (g = 9.8 m s^-2 గా తీసుకోండి).
సాధన:
శిఖర శీర్షాన్ని మూల బిందువుగా తీసుకొని x-, y-అక్షాలను ఊహించండి. రాయిని t = 0 s వద్ద విసిరాడు అనుకొందాం. తొలి వేగం దిశలో ధన X అక్షం దిశ, నిట్టనిలువు ఊర్ధ్వదిశలో ధన y అక్షం దిశ ఉందనుకొందాం. x-, y-చలన అంశాలను స్వతంత్ర అంశాలుగా పరిగణించవచ్చు. ఇప్పుడు చలన సమీకరణాలు :
x(t) = x₀ + v_0xt
y(t) = y₀ + v_oyt + (1/2)a_yt²
ఇక్కడ, x₀ = y₀ = 0, v_0y = 0, a_y = -g = -9.8 ms^-2
v_0x = 15 ms^-1.
y(t) = -490 m అయినప్పుడు రాయి నేలను తాకుతుంది.
– 490 m = – (1/2) (9.8) t². దీనిని సాధించగా, t = 10 s,
వేగాంశాలు v_x = v_0x, v_y = v_0y – g t
రాయి నేలను తాకే సందర్భంలో :
v_0x = 15 m s^-1 ; v_0y = 0 – 9.8 × 10 = -98 m s^-1
కాబట్టి, నేలను రాయి తాకే వడి
\(\sqrt{v_{\mathrm{x}}^2+v_{\mathrm{y}}^2}=\sqrt{15^2+98^2}\) = 99 ms^-1

ప్రశ్న 7.
క్షితిజ సమాంతరంతో 30° కోణం చేస్తూ ఒక క్రికెట్ బంతిని 28 m s^-1 వేగంతో విసిరారు. కింది వాటిని లెక్కించండి. (a) గరిష్ఠ ఎత్తు, (b) బంతి తిరిగి అదే స్థాయికి రావడానికి పట్టే కాలం, (c) బంతి విసిరిన స్థానం నుంచి బంతి తిరిగి అదే స్థాయికి చేరిన స్థానానికి మధ్య దూరం.
సాధన:
(a) గరిష్ఠ ఎత్తు
h_m = \(\frac{\left(\mathrm{v}_0 \sin \theta_0\right)^2}{2 \mathrm{~g}}=\frac{\left(28 \sin 30^{\circ}\right)^2}{2(9.8)} \mathrm{m}\)
= \(\frac{14 \times 14}{2 \times 9.8}\) = 10.0 m

(b) బంతి తిరిగి అదే స్థాయికి రావడానికి పట్టిన కాలం (2 v₀ sin θ₀)/g = (2 × 28 × sin 30°) / 9.8
= 28/9.8s = 2.9s

ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో వున్న వస్తువు వేగం, త్వరణం. కాలవ్యవధి ∆t (a) నుంచి (c) వరకు తగ్గుతూ వచ్చి c వద్ద శూన్యం అయింది. పథంలో ప్రతి బిందువు దగ్గర వున్న త్వరణం వృత్త కేంద్రం వైపు వుంటుంది.

(c) బంతి విసిరిన స్థానం నుంచి బంతి తిరిగి అదే స్థాయికి చేరిన స్థానానికి మధ్య దూరం
R = \(\frac{\left(v_{\mathrm{o}}^2 \sin 2 \theta_{\mathrm{o}}\right)}{g}=\frac{28 \times 28 \times \sin 60^{\circ}}{9.8}\) = 69 m

ప్రశ్న 8.
12cm వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తాకార గాడిలో ఇరుక్కొన్న కీటకం 100s కాలంలో నిలకడగా 7 పరిభ్రమణాలు పూర్తి చేసింది. (a) కీటకం కోణీయ వడి, రేఖీయ వడి ఎంత ? (b) త్వరణం సదిశ స్థిర సదిశేనా ? దాని పరిమాణం ఎంత ?
సాధన:
ఏకరీతి వృత్తాకార చలనానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ.
ఇక్కడ R = 12 cm. కోణీయ వడి ప ని ఇలా రావయచ్చు.
ω = 2πT = 2π × 7/ 100 = 0.44 rad/s
రేఖీయ వడి v :
v = ωR = 0.44s^-1 × 12 cm = 5.3 cm s^-1
వేగ సదిశ V వృత్తంపై ప్రతీ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ దిశలో ఉంటుంది. త్వరణం వృత్తకేంద్రం వైపు ఉంటుంది. ఇక్కడ త్వరణం దిశ నిరంతరం మారుతుంది కాబట్టి స్థిర సదిశ కాదు. త్వరణం పరిమాణం మాత్రం స్థిరం.
a = ω²R = (0.44s^-1)² (12 cm) = 2.3 cm s^-2

అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
కింద ఇచ్చిన రాశులు సదిశలా లేదా అదిశలా తెలపండి. ఘనపరిమాణం, ద్రవ్యరాశి, వడి, త్వరణం, సాంద్రత మోల్ల సంఖ్య, వేగం, కోణీయ పౌనఃపున్యం, స్థానభ్రంశం, కోణీయ వేగం.
సాధన:
అదిశ రాశులు : ఘనపరిమాణము, ద్రవ్యరాశి, వడి, సాంద్రత, మోల్ల సంఖ్య, కోణీయ పౌనఃపున్యము.
సదిశ రాశులు : త్వరణము, వేగము, స్థానభ్రంశము, కోణీయ వేగము.

ప్రశ్న 2.
కింద ఇచ్చిన జాబితాలో రెండు అదిశరాశులను ఎంపిక చేయండి. బలం, కోణీయ ద్రవ్యవేగం, పని, విద్యుత్ ప్రవాహం, రేఖీయ ద్రవ్యవేగం, విద్యుత్ క్షేత్రం, సగటు వేగం, అయస్కాంత భ్రామకం, సాపేక్ష వేగం.
సాధన:
ఇచ్చిన వాటిలో పని మరియు విద్యుత్ ప్రవాహము అదిశరాశులు.

ప్రశ్న 3.
కింద ఇచ్చిన జాబితాలో సదిశరాశి ఉన్నది. దానిని ఎంపిక చేయండి. ఉష్ణోగ్రత, పీడనం, ప్రచోదనం, కాలం, సామర్థ్యం, మొత్తం పథం పొడవు, శక్తి, గురుత్వ పొటెన్షియల్, ఘర్షణ గుణకం, విద్యుదావేశం.
సాధన:
ఇచ్చిన వాటిలో సదిశరాశి ప్రచోదనము. ఇది బలము మరియు కాలముల లబ్ధము. ఇది ద్రవ్యవేగంలో మార్పుకు సమానము కావున సదిశరాశి.

ప్రశ్న 4.
కింది ఇచ్చిన సదిశ, అదిశ రాశుల మధ్య జరిగే బీజగణిత పరిక్రియలు అర్థవంతమైనవో, కావో కారణాలతో వివరించండి.
(a) ఏవైనా రెండు అదిశల సంకలనం,
(b) ఒకే మితులు ఉన్న అదిశను సదిశకు సంకలనం చేయడం,
(c) ఏదైనా సదిశను ఏదైనా అదిశతో గుణించడం,
(d) ఏవైనా రెండు అదిశలను గుణించడం,
(e) ఏవైనా రెండు సదిశలను సంకలనం చేయడం,
(f) ఒక సదిశ అంశాన్ని అదే సదిశకు సంకలనం చేయడం.
సాధన:
a) సరి అయినది కాదు. ఎందుకనగా ఒకే మితి కలిగిన అదిశలను మాత్రమే సంకలనము చేయవలెను.

b) సరి అయినది కాదు. అదిశలను సదిశలకు కలపడం సాధ్యపడదు. ఎందుకనగా సంకలనం సజాతిరాశుల మధ్య మాత్రమే జరుగును.

c) సరి అయినది. సదిశలను అదిశతో గుణించవచ్చు.
ఉదా : త్వరణము × ద్రవ్యరాశి = బలము

d) సరి అయినది. రెండు అదిశలను గుణించడం సరి అయినది.
ఉదా : పని = సామర్థ్యము × కాలము

e) సరి అయినది కాదు : కేవలం ఒకే మితి గల సదిశలను మాత్రమే సంకలనం చేయగలము.

f) సరి అయినది. ఎందుకనగా రెండు సదిశలు ఒకే మితిని కలిగి ఉన్నాయి కావున.

ప్రశ్న 5.
కింద ఇచ్చిన ప్రవచనాలను జాగ్రత్తగా చదివి కారణాలతో అవి తప్పా లేదా ఒప్పా తెలియచేయండి.
(a) సదిశ పరిమాణం ఎప్పుడూ అదిశే,
(b) సదిశ ప్రతీ అంశం ఎప్పుడూ అదిశే,
(c) మొత్తం పథం పొడవు ఎప్పుడూ కణం స్థానభ్రంశ సదిశ పరిమాణానికి సమానం,
(d) కణం సగటు వడి (మొత్తం పథ దూరాన్ని ఆ పథాన్ని పూర్తిచేయడానికి పట్టేకాలంతో భాగించగా వచ్చే రాశి) అదే కాలవ్యవధిలో కణం సగటు వేగం పరిమాణం కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటుంది.
(e) ఒకే తలంలో లేని మూడు సదిశలు కలిసి ఎప్పుడూ శూన్య సదిశను ఇవ్వలేవు.
సాధన:
a) సరి అయినది. ఎందుకనగా పరిమాణం ఒక సంఖ్య మాత్రమే.
b) సరి అయినది కాదు. ఎందుకనగా సదిశ ప్రతి అంశం మరల సదిశ కావున.
c) నిజమైనది. ఇచ్చిన వస్తువు సరళరేఖ వెంబడి అదే దిశలో చలిస్తుంది. ఈ ప్రవచనము సరి అయినది.
d) నిజమైనది. పథం పొడవు స్థానభ్రంశానికన్నా ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉండవచ్చు.
e) నిజమైనది. ఎందుకనగా ఈ మూడు సదిశలు కలసి ఒక సమతలంలో గల త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచలేవు కావున.

ప్రశ్న 6.
రేఖాచిత్ర పట పద్ధతి లేదా ఇతర పద్ధతిలో కింద ఇచ్చిన సదిశా అసమానతలను రుజువు చేయండి :
a) \(|\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}| \leq|\overrightarrow{\mathrm{A}}|+|\overrightarrow{\mathrm{B}}|\)
b) \(|\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}| \geq|| \overrightarrow{\mathrm{A}}|-| \overrightarrow{\mathrm{B}} \mid\)
c) \(|\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}| \geq\|\overrightarrow{\mathrm{A}}|-| \overrightarrow{\mathrm{B}}\|\)
d) \(|\overrightarrow{\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{B}}| \geq|| \overrightarrow{\mathrm{A}}|-| \overrightarrow{\mathbf{B}} \|\)
ఏ సందర్భంలో సమానత గుర్తు వర్తిస్తుంది ?
సాధన:
a) \(|\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}| \leq|\overrightarrow{\mathrm{A}}|+|\overrightarrow{\mathrm{B}}|\)అని చూపుట :

b) \(|\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}| \geq|| \overrightarrow{\mathrm{A}}|-| \overrightarrow{\mathrm{B}} \mid\) అని చూపుట :
∆OPS నుండి OS + PS > OP లేదా OS > |OP – PS| లేదా
OS > |OP – OQ| → 1 (∵ PS = OQ)
పై సమీకరణలో OS ఎల్లపుడు ధనాత్మకము కాని OP – OQ ధనాత్మకం లేదా ఋణాత్మకం కావచ్చు. OP < PS లేదా OQ అయినపుడు ∴ \(|\mathrm{OS}|=|\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}|>|\overline{\mathrm{A}}|-|\overline{\mathrm{B}}|\) → 2
\(\overline{\mathrm{A}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{B}}\) లు వ్యతిరేక దిశలో ఒకే సరళరేఖ వెంబడి పనిచేస్తే \(|\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}|=|\overline{\mathrm{A}}|-|\overline{\mathrm{B}}|\) → 3
1, 2, 3 సమీకరణాలను కలిపితే \(|\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}| \geq|| \overline{\mathrm{A}}|-| \overline{\mathrm{B}}||\)

c) \(|\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}| \geq\|\overrightarrow{\mathrm{A}}|-| \overrightarrow{\mathrm{B}}\|\) అని చూపుట :

d) \(|\overrightarrow{\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{B}}| \geq|| \overrightarrow{\mathrm{A}}|-| \overrightarrow{\mathrm{B}} \|\) అని చూపుట :
పటములోని OPR త్రిభుజం నుండి OR + PR > OP లేదా
OR > |OP – PR| లేదా OR > | OR – OT| → 6 (∵ OT= PR)
పై సమీకరణలో L.H.S. వైపు గల OP ధనాత్మకము కాని OP – OT
ధనాత్మకము లేదా ఋణాత్మకము
∴ \(\overline{\mathrm{OR}}=|\overline{\mathrm{A}}-\overline{\mathrm{B}}|>|\overline{\mathrm{A}}|-\mid \overline{\mathrm{B}} \|\)→ 7
సదిశలు \(\overline{\mathrm{A}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{B}}\) లు ఒకే సరళరేఖ వెంబడి ఒకే దిశలో పనిచేస్తే \(|\overline{\mathrm{A}}-\overline{\mathrm{B}}| \geq|| \overline{\mathrm{A}}|-| \overline{\mathrm{B}}||\)
6, 7 నియమాల నుండి \(|\overline{\mathrm{A}}-\overline{\mathrm{B}}| \geq|| \overline{\mathrm{A}}|-| \overline{\mathrm{B}}||\)

ప్రశ్న 7.
a + b + c + d = 0 అని ఇచ్చారు. కింది ప్రవచనాలలో ఏది సరియైనది :
a) a, b, c, d లలో ప్రతీది శూన్య సదిశ,
b) (a + c) పరిమాణం (b + d) పరిమాణానికి సమానం,
c) సదిశ a పరిమాణం ఎప్పుడూ b, c, d ల మొత్తం పరిమాణం కంటె అధికం కాదు.
d) a, d లు ఏకరేఖీయాలు కానప్పుడు b + c, a, d ఉండే తలంలోనే ఉండాలి. అవి ఏక రేఖీయాలు అయితే a, d లకు రేఖీయంగా ఉండాలి.
సాధన:
a) సరి అయినది కాదు. ఎందుకనగా \(\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}}+\overline{\mathrm{d}}\) లను ఇచ్చిన ప్రవచనం ప్రకారమే కాకుండా అనేక విధాలుగా సున్నకు సమానం చేయవచ్చు.

b) సరి అయినది. ఎందుకనగా \(\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{D}}\) = 0 ఐతే \(\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{C}}=-\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{D}}\) లేదా \(|\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{C}}|=(\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{D}})\)

c) సరి అయినది. ఎందుకనగా \(\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{D}}\) = 0 ఐతే \(\overline{\mathrm{A}}=-(\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{D}})\) అనగా \(\overline{\mathrm{A}}\) పరిమాణము మిగిలిన సదిశల పరిమాణమునకు సమానము. కాని \(\overline{\mathrm{A}}\) పరిమాణము \(\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{D}}\) ల మొత్తం కన్న ఎక్కువ కాదు.

d) సరి అయినది. ఎందుకనగా \(\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{D}}\) = 0 అనగా \(\overline{\mathrm{A}}+(\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{C}})+\overline{\mathrm{D}}\) = 0 కావున B, C, D ల పరిమాణం \(\overline{\mathrm{A}}\) కి సమానము. మూడు సదిశల ఫలిత పరిమాణం సున్న కావలెనంటే అవి ఒకే తలంలో ఉండాలి. ఒకవేళ \(\overline{\mathrm{A}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{D}}\) లు ఏకరేఖీయాలైతే అపుడు రెండు సదిశల ఫలిత సదిశ శూన్యం కావాలంటే అవి ఏకరేఖీయాలు కావాలి. అనగా \(\overline{\mathrm{A}}, \overline{\mathrm{D}}\) లు ఏకరేఖీయాలైతే \(\overline{\mathrm{B}}, \overline{\mathrm{C}}\) కూడా ఏక రేఖీయాలే.

ప్రశ్న 8.
ముగ్గురు బాలికలు 200 m వృత్తాకార మంచు ఆటస్థలంలో ఆటస్థలం అంచు వెంబడి ఉన్న P బిందువు నుండి స్కేటింగ్ చేసుకుంటూ బయలుదేరి P కి వ్యాసీయంగా ఎదురుగా ఉన్న Q బిందువు వద్దకు వేరు వేరు మార్గాలలో పటంలో చూపిన విధంగా చేరుకొన్నారు. ప్రతి ఒక్కరి స్థానభ్రంశం సదిశ పరిమాణం ఎంత ? ఇది ఏ బాలిక తీసుకొన్న మార్గం పొడవుకు సమానం ?

సాధన:
ప్రతి బాలిక స్థానభ్రంశము \(\overline{\mathrm{PQ}}\) కి సమానము. PQ = 2 × 200 = 400. B అను బాలికకు మాత్రమే స్థానభ్రంశము మరియు మార్గం పొడవు సమానము.

ప్రశ్న 9.
1 km, వ్యాసార్ధం ఉన్న పార్క్ కేంద్రం నుంచి సైకిల్పై బయలుదేరిన ఒక వ్యక్తి వృత్త అంచు P కి చేరుకుని, వృత్త పరిధిపై సైకిల్ తొక్కుతూ తిరిగి వృత్త కేంద్రాన్ని పటంలో చూపిన OQ రేఖ వెంబడి చేరుకొన్నాడు. పూర్తి తిరుగు ప్రయాణానికి 10 నిమిషాలు తీసుకొంటే (a) ఫలిత స్థానభ్రంశం ఎంత ?, (b) సగటు వేగం, (c) సైకిల్ తొక్కే వ్యక్తి సగటు వడి ఎంత ?

సాధన:
a) ఫలిత స్థానభ్రంశము సున్న.

ప్రశ్న 10.
కొత్తగా పట్టణానికి వచ్చిన ప్రయాణీకుడు స్టేషన్ నుండి నేరుగా ఉన్న రోడ్డుపై 10 km దూరంలో ఉండే హోటలు చేరుకోవాలనుకున్నాడు. మోసగాడు అయిన ఒక టాక్సీ కారు డ్రైవరు అతనిని మెలికల మార్గాల గుండా తిప్పుతూ 23 km దూరాన్ని 28 నిమిషాలపాటు తిప్పి హోటల్కు తీసుకొని వచ్చాడు. అయితే (a) టాక్సీ సగటు వడి ఎంత ? (b) సగటు వేగం పరిమాణం ఎంత ? (c) ఈ రెండూ సమానమేనా ?
సాధన:
ప్రయాణ మార్గం పొడవు S = 23 k.m. స్థానభ్రంశము = 10 k.m.
కాలము = 28 ని = \(\frac{28}{60}\) గం.

ఈ సందర్భంలో సగటు వేగము మరియు సగటు వడి సమానం కాదు.

ప్రశ్న 11.
30 ms^-1 వడితో వర్షం నిట్టనిలువుగా పడుతోంది. ఒక మహిళ 10 ms^-1 వడితో ఉత్తరం నుంచి దక్షిణ దిశకు సైకిలు తొక్కుతోంది. ఏ దిశలో ఆమె గొడుగును పట్టుకోవాలి ?
సాధన:
పటం నుండి వర్షం 30 మీ॥ సె వడితో OA దిశలో పడుతున్నది.
మహిళ 10 మీ/సె వేగంతో OS దిశలో చలిస్తున్నది.

వాన నుండి రక్షించుకోవడానికి ఆమె సాపేక్ష వేగానికి వ్యతిరేక దిశలో గొడుగు పట్టుకోవాలి.
సాపేక్ష వేగం కనుక్కోవడానికి మహిళ వేగాన్ని వ్యతిరేక దిశలో తీసుకొని ఫలిత వేగం కనుక్కోవాలి.
పటంలో సమాంతర చతుర్భుజము OADC లో కర్ణము OD ఫలిత వేగము (సాపేక్ష వేగం) ను ఇస్తుంది.
దాని దిశను tan θ = \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{OA}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OA}}=\frac{10}{30}\) = 0.3333 = tan 18°26′
అనగా గొడుగు పట్టుకోవలసిన దిశ క్షితిజలంబం నుండి 18°26′ కోణంతో మహిళ నడిచేవైపు పట్టుకోవాలి.

ప్రశ్న 12.
నిలకడగా ఉన్న నీటిలో ఒక వ్యక్తి 4.0 km/h వడితో ఈదగలడు. 1.0km వెడల్పు ఉండి 3.0 km/h సమవడితో ప్రవహిస్తున్న నదిని ప్రవాహ దిశకు లంబంగా ఈదుతూ ఎంత కాలంలో దాటగలడు ? రెండో ఒడ్డుకు చేరేటప్పటికి అతడు నదిలో ఎంత కిందకు ప్రయాణిస్తాడు ?
సాధన:
నది వెడల్పు = 1 k.m., వ్యక్తి వేగము = 4 KMPH
నదిని దాటడానికి పట్టిన కాలము

ప్రశ్న 13.
పెద్ద హాలు లోకప్పు 25 m ఎత్తు ఉంది. 40ms వడితో విసిరిన బంతి హాలు లోకప్పును తాకకుండా వెళ్ళే గరిష్ఠ క్షితిజ సమాంతర దూరం ఎంత ?
సాధన:
తొలి వేగము v_o = 40 మీ/సె. కప్పు ఎత్తు H = 25 మీ.
కప్పును తాకుతూ వెళ్ళడానికి ప్రక్షేపక కోణము ‘θ’ అనుకోండి.

ప్రశ్న 14.
ఒక క్రికెటర్ బంతిని గరిష్ఠంగా 100 m దూరం విసరగలడు. అదే బంతిని భూమికి ఎంత ఎత్తు వరకు అతడు విసరగలడు?
సాధన:
ప్రక్షేపక వేగం v₀ అనుకోండి. గరిష్ఠ వ్యాప్తి R_max = \(\frac{v_0^2}{g}\) = 100 మీ.
∴ ప్రక్షేపక కోణము θ = 45°
అదే వేగం v₀ తో నిట్టనిలువుగా పైకి విసరితే అది చేరగల ఎత్తు
y = y₀ + v₀t + \(\frac{1}{2}\)at²
ఇందులో y₀ = 0,
కాలము t = \({\mathrm{v}_0}{\mathrm{~g}}\)
∴ y = 0 + v₀ . \({\mathrm{v}_0}{\mathrm{~g}}\) – \(\frac{1}{2} \mathrm{~g}\left(\frac{v_0}{g}\right)^2\)
⇒ y = \(\frac{\mathrm{v}_0^2}{\mathrm{~g}}-\frac{1}{2} \frac{\mathrm{v}_0^2}{\mathrm{~g}}\)
= 100 – \(\frac{1}{2}\) × 100 = 50
∴ నిట్టనిలువుగా పైకి చేరగల ఎత్తు y = 50 మీ.

ప్రశ్న 15.
80 cm పొడవు ఉన్న తాడుకు ఒక కొన వద్ద రాయిని కట్టి స్థిర వడితో క్షితిజ సమాంతర వృత్తంలో తిప్పారు. రాయి 25 s లలో 14 భ్రమణాలు చేస్తే, రాయి త్వరణం పరిమాణం, దిశను కనుక్కోండి.
సాధన:
తాడు పొడవు = వ్యాసార్ధము r = 80 సెం.మీ. = 0.8 మీ; భ్రమణాల సంఖ్య = 14 ; కాలము t = 25 సె.
ω = భ్రమణ వేగము = \(\frac{14}{25}\) భ్రమణాలు/సె.
ω = \(\frac{14 \times 2 \times 22}{25 \times 7}=\frac{88}{25}\) రే/సె.
అభిలంబ త్వరణము a_⊥ = ω²r = \(\frac{88}{25} \times \frac{88}{25}\) × 0.8 = 9.90 మీ/సె²

ప్రశ్న 16.
ఒక విమానం స్థిర వడి 900 km/h తో 1.00 km వ్యాసార్ధం వున్న క్షితిజ సమాంతర వలయాన్ని పూర్తిచేసింది. దాని అభికేంద్ర త్వరణాన్ని గురుత్వ త్వరణంతో పోల్చండి.
సాధన:
విమానం వడి = 900 KMPH = \(\frac{900 \times 5}{18}\) = 250 మీ/సె
వ్యాసార్ధము r = 1 k.m. = 1000 మీ.
అభిలంబ త్వరణము a = \(\frac{v^2}{r}=\frac{250 \times 250}{1000}\) = 62.5 మీ/సె²
అభిలంబత్వరణము, గురుత్వ త్వరణాల నిష్పత్తి \(\frac{62.5}{9.8}\) = 6.38

ప్రశ్న 17.
కింది ప్రచవనాలను జాగ్రత్తగా చదివి తప్పొప్పుల కారణాలను ఇవ్వండి :
a) వృత్తాకార చలనంలో ఉన్న కణం ఫలిత త్వరణం ఎప్పుడూ వ్యాసార్ధం వెంబడి వృత్తకేంద్రంవైపు ఉంటుంది.
b) ఏదైనా బిందువు వద్ద కణం వేగ సదిశ ఆ బిందువు వద్ద పథం స్పర్శరేఖ వెంబడి ఉంటుంది.
c) ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో ఒక పూర్తి భ్రమణంలో కణం సగటు త్వరణం ఒక శూన్య సదిశ.
సాధన:
a) ప్రవచనం తప్పు. ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో మాత్రమే ఫలిత త్వరణం వృత్త వ్యాసార్ధం వెంబడి ఉంటుంది.
b) ప్రవచనం సరి అయినది. ఎందుకనగా వస్తువు వృత్తాకార మార్గం వదిలేటపుడు ఆ బిందువు వద్ద గల స్పర్శరేఖ వెంబడి ప్రయాణిస్తుంది.
c) ప్రవచనం సరి అయినది. ఒక పూర్తి భ్రమణానికి వేగ సదిశలలో ఫలిత మార్పు సున్న కావున కణం త్వరణము సున్న.

ప్రశ్న 18.
ఒక కణం స్థానం కింది విధంగా ఉంది.
r = \(3.0 \mathrm{t} \hat{\mathrm{i}}-2.0 \mathrm{t}^2 \hat{\mathrm{j}}+4.0 \hat{\mathrm{k}}\)
ఇక్కడ t (కాలం) సెకనులో, ప్రమాణాలు మీటర్లలో ఉండే విధంగా ఇతర గుణకాల ప్రమాణాలు ఉన్నాయి. (a) కణం యొక్క v, a లను కనుక్కోండి, (b) t = 2.0 s వద్ద కణం వేగం పరిమాణం, దిశ ఏమిటి ?
సాధన:

= – tan 69.5° అనగా దాని దిశ x- అక్షానికి కింది వైపు x-అక్షంతో 69.5° కోణం చేస్తుంది.

ప్రశ్న 19.
అంతరాళంలో ఏదైనా యాదృచ్ఛిక చలనానికి కింద ఇచ్చిన ఏ సంబంధాలు ఒప్పు :
(a) v_average = (1/2) (v(t₁) + v(t₂))
(b) v_average = [r(t₂) – r(t₁)] / (t₂ – t₁)
(c) v (t) = v (0) + at
(d) r(t) = r(0) + v(0) t + (1/2) a t²
(e) a_average = [v (t₂) – vt₁)] / t₂ – t₁)
(ఇక్కడ ‘average’ పదం t₁ నుంచి t₂ మధ్య ఉన్న కాలవ్యవధిలో ఆయా రాశుల సగటు విలువను తెలియచేస్తుంది.)
సాధన:
పైన ఇచ్చిన వాటిలో b, e సంబంధాలు సరి అయినవి. ఎందుకనగా అవి సగటు వేగము, సగటు త్వరణముల గణిత శాస్త్రరూపాలు. మిగిలిన a, c, d అను నియమాలు సమత్వరణంతో చలించే వస్తువులకు వర్తిస్థాయి. యాదృచ్ఛిక చలనం సమత్వరణం కలిగి ఉండాలి అన్న కచ్చితమైన నిబంధన లేనందువల్ల a, c, d లు సరి అయినవి కావు.

ప్రశ్న 20.
కింది ప్రవచనాలను జాగ్రత్తగా చదివి కారణాలు, ఉదాహరణలలో తప్పొప్పులను వివరించండి :
అదిశ రాశి అనేది
(a) ఇచ్చిన ప్రక్రియలో నిత్యత్వమయ్యేది.
(b) ఎప్పుడూ రుణ విలువలను తీసుకోదు.
(c) మితులు ఉండవు.
(d) అంతరాళంలో ఒక బిందువు నుంచి మరొక బిందువుకు దాని విలువ మారదు.
(e) పరిశీలకులు వివిధ దిగ్విన్యాసాలతో కూడిన అక్షాలలో ఉన్నా దాని విలువ ఒకే విధంగా ఉంటుంది.
సాధన:
a) అబద్ధము. ఎందుకనగా అస్థితి స్థాపక అభిఘాతాలలో శక్తి నిత్యత్వము కాదు (శక్తి అదిశరాశి).
b) అబద్ధము. ఎందుకనగా ఉష్ణోగ్రత ఋణాత్మకంగా కూడా ఉండవచ్చు (ఉష్ణోగ్రత అదిశరాశి).
c) అబద్ధము. ఎందుకనగా సాంద్రతకు మితులు కలవు. సాంద్రత అదిశరాశి.
d) అబద్ధము. ఎందుకనగా అంతరాళంలో ఒకచోట నుండి మరొకచోటుకు గురుత్వ పొటెన్షియల్ (ఇది అదిశరాశి) మారుతుంది కావున.
e) నిజమైనది. ఎందుకనగా అదిశ పరిమాణము పరిశీలకుల దృగ్విన్యాసంతో మారదు కావున.

ప్రశ్న 21.
భూమికి 3400 m ఎత్తున ఒక విమానం ఎగురుతోంది. భూమిపై ఉన్న పరిశీలన బిందువు వద్ద ఆ విమానం 10.0 s కాలవ్యవధిలో 30° కోణం చేస్తే వడి ఎంత ?
సాధన:
పటంలో ‘O’ అనేది భూమిపై పరిశీలన బిందువు. A, B అను బిందువులు ‘O’ వద్ద చేసే కోణము ∠AOB = 30°. A, B లకు గీసిన మధ్య లంబరేఖ OC = 3400. ∠AOC = ∠COB = 15°.
A నుండి Bకి విమానం ప్రయాణించిన కాలము t = 10 సె.
పటంలో AC = OC tan 15° = 3400 × 0.2679 = 910.86 మీ.
AB = AC + BC – 910.86 + 910.86 = 1821.7 మీ.

ప్రశ్న 22.
ఒక సదిశకు పరిమాణం, దిశ ఉన్నాయి. దానికి అంతరాళంలో స్థానం ఉంటుందా ? అది కాలంతో మారుతుందా ? అంతరాళంలో వివిధ స్థానాల దగ్గర ఉన్న రెండు సమాన సదిశలు a, bలు సర్వసమాన భౌతిక ప్రభావాలను చూపించవలసిన ఆవశ్యకత ఉందా ? మీ సమాధానానికి మద్దతుగా ఉదాహరణలివ్వండి.
సాధన:

1. ఒక సదిశ యొక్క దిశ, పరిమాణం మారకుండా దానిని ఎక్కడికైనా జరపవచ్చు. కావున సదిశకు అంతరాళంలో నియమతస్థానం ఉండదు.
2. సదిశ పరిమాణం కాలంతో పాటు మారవచ్చు. ఉదా : త్వరణం కలిగిన వస్తువు వేగం నిరంతరం మారుతుంది.
3. అంతరాళంలో రెండు వేరు వేరు ప్రదేశాలలో ఉన్న సమాన సదిశలు ఒకే ప్రభావం చూపవలసిన అవసరం లేదు.
   ఉదా : ఒక వస్తువు మీద వ్యతిరేక దిశలో వేరు వేరు బిందువుల వద్ద పనిచేసే బలాలు ఒకే రకమైన టార్క్ను ఉత్పత్తి చేయవు.

ప్రశ్న 23.
ఒక సదిశకు పరిమాణం, దిశ ఉన్నాయి. అంటే దిశ, పరిమాణం ఉన్న ప్రతీది సదిశ కావలసిన ఆవశ్యకత ఉందా? వస్తువు భ్రమణాన్ని దాని భ్రమణాక్షం దిశ, భ్రమణ కోణంతో వ్యక్తపరచవచ్చు. అంటే ప్రతి భ్రమణం సదిశ అవుతుందా?
సాధన:
దిశ, పరిమాణం ఉన్న ప్రతీది సదిశ కానవసరం లేదు. సదిశలు తప్పనిసరిగా సంకలన నియమాలు పాటించాలి.
ఉదా : కాంతి వేగము. ఇది సదిశ కాదు.

వస్తువును భ్రమణ అక్షపరంగా భ్రమణం చెందించితే అది సదిశ కానవసరం లేదు. ఎందుకనగా అది సదిశల సంకలన నియమాల వంటి నియమాలను పాటించదు. కాని భ్రమణ కోణము 9 చిన్నదైతే అది సదిశల సంకలన నియమాలను పాటిస్తుంది కాబట్టి అటువంటి సందర్భంలో భ్రమణాన్ని సదిశగా భావిస్తారు.

ప్రశ్న 24.
కింది వాటితో సదిశలను జతచేయవచ్చా ? వివరించండి. (a) ఉచ్చు (loop) ఆకారంలో వంచిన తీగ పొడవు (b) ఒక తల వైశాల్యం, (c) గోళం.
సాధన:
a) ఉచ్చు ఆకారంలో వంచిన తీగతో సదిశను జతచేయలేదు.
b) సమతలంతో ఒక సదిశను జత చేయవచ్చు. ఇటువంటి దానిని విస్తీర్ణ సదిశ అంటారు. తలానికి గీసిన లంబదిశలో దీన్ని సూచిస్తారు.
c) గోళ ఘనపరిమాణంతో సదిశను జత చేయలేము కాని గోళ ఉపరితల వైశాల్యంతో సదిశను జతచేయవచ్చు.

ప్రశ్న 25.
క్షితిజ సమాంతరానికి 30° కోణంతో పేల్చిన బుల్లెట్ 3.0 km దూరంలో భూమిని తాకింది. దాని ప్రక్షేపక కోణాన్ని సరిచేసి 5.0 km దూరంలో ఉన్న లక్ష్యాన్ని గురికొట్టవచ్చని ఎవరైనా ఆశించవచ్చా ? వడి స్థిరం అని, గాలి నిరోధాన్ని ఉపేక్షించడమైంది అని అనుకోండి.
సాధన:
కోణము θ = 30° ప్రయాణించిన దూరము = వ్యాప్తి = 3కి.మీ. 3000 మీ.
g = 10 మీ/సె²
వ్యాప్తి R = \(\frac{\mathrm{u}^2 \sin 2 \theta}{\mathrm{g}}\) ⇒ 3 = \(\frac{\mathrm{u}^2}{\mathrm{~g}}\) sin60° ⇒ 3 = \(\frac{u^2}{g} \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{u^2}{g}=\frac{3}{\sqrt{3 / 2}}=2 \sqrt{3}\) k.m. = 3.464 km.
కాని గరిష్ఠ వ్యాప్తి \(\frac{\mathrm{u}^2}{\mathrm{~g}}\) = 3.464 k.m కావున ఆ బులెట్లో 5k.m. లక్ష్యాన్ని తాకలేము.

Students must practice this TS Inter 1st Year Maths 1B Study Material Chapter 10 Applications of Derivatives Ex 10(h) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1B Applications of Derivatives Solutions Exercise 10(h)

I.
Question 1.
Find the points of local extrema (if any) and local extrema values of the following functions each of whose domain is shown against the function.
(i) f(x) = x², ∀ x ∈ ℛ. (V.S.A.Q.)
Answer:
f'(x) = 2x
For maximum or minimum we must have
f’ (x) = 0 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0
and f’ (x) = 2 > 0
∴ f has minimum at x = 0
∴ Point of local minimum is x = 0
and local minimum value is = 0

(ii) f(x) = sin x, [0, 4π] (E.Q.)
Answer:
f'(x) = cos x
For extremum, we have f'(x) = 0
⇒ cos x = 0 ⇒ x = (2n + 1) \(\frac{\pi}{2}\), n ∈ Z⁺
∴ x = \(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\) are to be considered in [0, 4π]
f'(x) = -sin x

i) f’\(\left(\frac{\pi}{2}\right)\) = -sin\(\frac{\pi}{2}\) = -1 < 0 ∴ f(x) = sin \(\frac{\pi}{2}\) = 1 Hence point of local maximum = \(\frac{\pi}{2}\) and local maximum value = 1 ii) f’\(\left(\frac{3 \pi}{2}\right)\) = – sin \(\frac{3 \pi}{2}\) = 1 > 0
and f\(\left(\frac{3 \pi}{2}\right)\) = sin \(\frac{3 \pi}{2}\) = -1
∴ Point of local minimum is \(\frac{3 \pi}{2}\)
and local minimum value is -1

ii) f’\(\left(\frac{5 \pi}{2}\right)\) = -sin\(\frac{5 \pi}{2}\) = -1 < 0 and f\(\left(\frac{5 \pi}{2}\right)\) = sin\(\frac{5 \pi}{2}\) = 1 ∴ f has local maximum at \(\frac{5 \pi}{2}\) and local maximum value is 1 iv) f’\(\left(\frac{7 \pi}{2}\right)\) = -sin\(\left(\frac{7 \pi}{2}\right)\) = 1 > 0
and f\(\left(\frac{7 \pi}{2}\right)\) = sin\(\left(\frac{7 \pi}{2}\right)\) = -1
∴ f has local minimum at x = \(\frac{7 \pi}{2}\)
and local minimum value is -1

iii) f(x) = x³ – 6x² + 9x + 15 ∀ x ∈ ℛ (E.Q.)
Answer:
f(x) = 3x² – 12x + 9
and f”(x) = 6x – 12
For extremum values of the function T,
we must have f’ (x) = 0
3x² – 12x + 9 = 0
⇒ x² – 4x + 3 = 0
⇒ (x – 3) (x – 1) = 0
⇒ x = 1 or x = 3
When x = 1, f” (1) = 6 – 12 = -6 < 0 and f(1) = 1-6 + 9 + 15 = 19
∴ f has maximum value at x = 1
and the maximum value of f is 19
Similarly at x = 3, f” (3) = 18 – 12 = 6 > 0
and f has a minimum value at x = 3
∴ Minimum value of f is f(3) = 3³ – 6(3)² + 9(3) + 15
= 27 – 54 + 27 + 15 = 15
∴ f has minimum value at x = 3
and the minimum value is 15

iv) f(x) = x\(\sqrt{1-\mathrm{x}}\), ∀ x ∈ (0, 1) (E.Q)
Answer:

v) f(x) = \(\frac{1}{x^2+2}\), ∀ x ∈ R (S.A.Q)
Answer:

For maximum and minimum values of the function ‘f’ we have f’ (x) = 0
⇒ \(\frac{-2 x}{\left(x^2+2\right)^2}\) = 0 ⇒ x = 0
∴ f”(0) = \(\frac{2(0-2)}{(0+2)^3}=\frac{-1}{2}\) < 0
∴ f has maximum value at x = 0
and local maximum value at x = 0
∴ Local maximum value f(0) = \(\frac{1}{0^2+2}=\frac{1}{2}\)

vi) f(x) = x³ – 3x, ∀ x ∈ ℛ. (V.S.A.Q.)
Sol.
f'(x) = 3x² – 3
For maximum and minimum values of f, we must have f’ (x) = 0
⇒ 3x² – 3 = 0
⇒ x = ±1
f”(x) = 6x
At x = 1, f”(1) = 6 > 0
f has a local minimum at x = 1 and the minimum value is f(1) = 1 – 3 = – 2
At x = – 1 f”(- 1) = – 6 < 0
f has a local maximum at x = – 1
and the maximum value is f (- 1) = (- 1)³ – 3 (- 1) = 2

vii) f(x) = (x – 1) (x + 2)2 ∀ x ∈ ℛ. (S.A.Q.)
Answer:
f (x) = (x – 1) 2 (x + 2) + (x + 2)²
= (x + 2) [2x – 2 + x + 2]
= (x + 2) (3x)
f” (x) = (x + 2)³ + 3x = 6x + 6
For maximum and minimum values of f, we must have
f’ (x) = 0 => 3x (x + 2) = 0
⇒ x = 0 or x = -2
At x = 0, f’ (0) = 6 > 0 ; so the function f has minimum at x = 0
Minimum value of f is f(0) = (- 1) (2)2
= – 4
At x = – 2, f’ (-2) = – 12 + 6 = – 6 < 0
So f has maximum value at x = – 2
Maximum value of f is
f (-2) = (-2 – 1) (- 2 + 2)² = 0

viii) f(x) = \(\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\) ∀ x ∈ (0, ∞) (S.A)
Answer:
f ‘(x) = \(\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}\)
For maximum and minimum values of f, we must have
f'(x) = 0 ⇒ \(\frac{2}{x^2}=\frac{1}{2}\)
⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2
f”(x) = \(\frac{4}{x^3}\)
At x = 2, f”(2) = \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\) >0
f has minimum value at x = 2
and minimum value of f is f (2) = \(\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\) = 2
[At x = – 2, f”(- 2) = \(\frac{4}{-8}=\frac{-1}{2}\) < 0
f has maximum value at x = – 2
and maximum value of f at x = – 2 is
f(-2) = \(-\frac{2}{2}+\frac{2}{-2}\) = -2]
But we require the extremum in (0, °° )
Hence there exists only minimum value at x = 2 and minimum value is 2 only.

ix) f(x) = -(x – 1)³ (x + 1)² ∀ x ∈ ℛ (E.Q.)
Answer:
Given f(x) = – (x – 1)³ (x + 1)² ∀ x ∈ ℛ
f’ (x) = – [(x- 1)³ 2(x + 1) + ( x + 1)² 3 (x – 1)²]
= – (x – 1)² [2 (x² – 1) + 3 (x² + 2x + 1)]
= -(x – 1)² [5x² + 6x + 1]
= -(x – 1)² [5x + 1] [x + 1]
= (x + 1) (x – 1)² (- 1 – 5x)
f”(x) = (x + 1) (x – 1)² (- 5) + (x – 1²) (- 1 – 5x) = (x + 1) (- 1 – 5x) 2 (x – 1)
For maximum or minimum values of f,
we must have f’ (x) = 0 => x = – 1 or x = 1
or x = – 7
f “(1) = 0
∴ At x = 0, f has a critical value
f”(-1) =(1 + 1)² (-1 + 5) = 4 (4) = 16 > 0
∴ f has minimum at x = – 1

∴ Minimum value of f is

(x) f(x) = x² e^3x ∀ x ∈ ℛ. (S.A.Q.)
Answer:
f'(x) = 3x² e^3x + 2x e^3x
= e^3x(3x² + 2x) . xe^3x (3x + 2)
For maximum or minimum values f’(x) = 0
⇒ x = 0, x = \(\frac{-2}{3}\)
e^3x = 0 solution is not feasible.
f”(x) = xe^3x(3) + e^3x(3x+2) + x(3x.2)3e^3x
= e^3x[3x + 3x + 2 + 3x (3x + 2)]
= e^3x [9x² + 12x + 2]
When x = 0 ⇒ f'(0) = 2 > 0
f has minimum value at x = 0 given by
f(0) = 0
when x = \(\frac{-2}{3}\) we have

Question 2.
Prove that the following functions do not have absolute maximum and absolute minimum. (V.S.A.Q.)
(i) e^x in ℛ.
Answer:
f(x) = e^x and f'(x) = e^x, f”(x) = e^x
For maxima or minima, f'(x) = 0 ⇒ e^x = 0
x value is not admissible.
∴ Hence f has no maxima or minima.

ii) log x in (0, ∞)
Answer:
Let f(x) = log x defined over (0, ∞)
Then f'(x) = \(\frac{1}{x}\) and f”(x) = \(\frac{-1}{x^2}\)
For maxima or minima,
f’ (x) = 0 ⇒ x value is not admissible
⇒ f(x) has no maxima or minima.

iii) x³ + x² + x + 1 in ℛ.
Answer:
Let f (x) = x³ + x² + x + 1
Then f'(x) = 3x² + 2x + 1
f'(x) = 0 ⇒ 3x² + 2x + 1 = 0
Since b² – 4ac < 0 Equation has imaginary roots.
⇒ It has no maxima or minima.

II.
Question 1.
Find the absolute maximum value and absolute minimum value of the following functions on the domain specified against the function. (S.A.Q.)
i) f(x) = x³ on [-2, 2]
Answer:
The given function f(x) = x³ is continuous over [-2, 2]
f'(x) = 0 ⇒ 3x² = 0 ⇒ x = 0;
so x = 0 is a minimum local point.
Local minimum value is ‘O’.
Hence out of f(-2), f(0), f(2)
i.e., – 8, 0, 8 the maximum value 8 is the
absolute maximum for ‘f
Similarly out of – 8, 0, 8, the absolute minimum is – 8.

ii) f(x) = (x – 1)² + 3 on [-3, 1]
Answer:
f’ (x) = 2(x – 1) and f’ (x) = 2
f'(x) = 0 ⇒ x = 1 and f (1) = 2 > 0
Hence the minimum value is f(1) = 3
Similarly, f(-3) = (-3 – 1)² + 3 = 16 + 3 = 19
∴ Absolute maximum value =19
Absolute minimum value = 3

iii) f(x) = 2|x| on [-1, 6]
Answer:
f’ (x) = \(\frac{2|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}\) and for max. or min. we have x
f’ (x) = 0 ⇒ |x| = 0 ⇒ x = 0 is a point of minimum
∴ f(0) = 0 is a minimum value.
Also f(- 1) = 2|(-1)| = 2 and
f(6) = 2|6| =12
∴ Absolute maximum value = 12
Absolute minimum value = 0

iv) f(x) = sin x + cos x on [ 0, π]
Answer:
We have f’ (x) = cos x – sin x
For maximum or minimum f'(x) = 0
⇒ cosx – sinx = 0
⇒ tan x = 1 ⇒ x = \(\frac{\pi}{4}\)
Also f”(x) = -sin x – cos x
and f”\(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = -sin\(\frac{\pi}{4}\) – cos\(\frac{\pi}{4}\)
= \(-\frac{2}{\sqrt{2}}\) = -√2 < 0
∴ f has maximum at x = \(\frac{\pi}{4}\) and
maximum value is f\(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = sin\(\frac{\pi}{4}\) + cos\(\frac{\pi}{4}\) = √2
Also f (0) = 1 and f (π) = – 1
∴ Absolute minimum value of f is – 1
Absolute maximum value of f is √2

v) f(x) = x + sin 2x on [0, π]
Answer:
f’ (x) = 1 + 2 cos 2x
and f”(x) = -4 sin2x
For maximum or minimum we have
f (x) = 0 ⇒ 1 + 2 cos 2x = 0
⇒ cos 2x = –\(\frac{1}{2}\)
⇒ 2x = 2nπ ± \(\frac{2 \pi}{3}\)
⇒ x = nπ ± \(\frac{\pi}{3}\)
The values of x lies in [0, π] are

Out of all above values the absolute maximum value = \(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\)
and absolute minimum value is \(\frac{2 \pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Question 2.
Use the first derivative test to find local extrema of f(x) = x³ – 12x on R. (S.A.Q.)
Answer:
If f is differentiable in (a, b) and c ∈ (a, b) is the local minimum or maximum of f then
f’ (c) = 0. This is the first derivative test.
f(x) = x³ – 12x
⇒ f'(x) = 3x² – 12
f’ (x) = 6x ;
For max. or min. 3x² – 12 = 0
⇒ x = ± 2
Consider [- 2, 2] for f(x) = x³ – 12x
f'(-2.1) = 3(-2.1)² – 12 = 1.23 > 0
and f'(-1.9) = 3(-1.9)² – 12 = -1.17 < 0
Derivative changes sign from positive to negative f” (-2) < 0.
Hence there exists maximum at – 2.
Max. value is f (- 2) = (- 2)³ – 12 (- 2)
= – 8 + 24 = 16
Similarly f (1.9) = – 1.17 < 0 and f (24) = 1.23 > 0
The derivative changes sign from negative to positive and f”(2) > 0.
Hence there exists minimum value at x = 2 and minimum value is f(2) = 8 – 24 = -16
∴ Local point of minimum is x = 2
Local minimum value is = – 16
Local point of maximum is x = – 2
Local maximum value is = 16

Question 3.
Use the first derivative test to find local extrema of f(x) = x² – 6x + 8 on H. (S.A.Q.)
Answer:
Given f(x) = x² – 6x + 8
f’ (x) = 2x – 6 and f” (x) = 2
Also f’ (x) = 0 ⇒ 2x – 6 = 0 ⇒ x = 3
Consider the behaviour of f’ (x) in the nbd of ‘3’.
When x = 2.9 we have f’ (2.9) = 2 (2.9) – 6
= 5.8 – 6 < 0 and when x = 3.1 we have f’ (3-1) = 2 (3.1) – 6 > 0
Hence derivative changes sign from
negative to positive and f”(x) > 0
∴ f has only local minimum at x = 3
and the local minimum value is f(3) = 32 – 6(3) + 8 = – 1

Question 4.
Use the second derivative test to find local extrema of the function f(x) = x³ – 9x² – 48x + 72 on R.
Answer:
As per the second derivative test f is twice differentiable at ’c’ such that
i) f’ (c) = 0, f’ (c) < 0 theft f has maximum at ’c’ and maximum value is f(c).
ii) f’ (c) = 0, f’ (c) > 0 then f has minimum at ‘c’ and minimum value is f(c).
Given f(x) = x³ – 9x² – 48x + 72
∴ f (x) = 3x² – 18x – 48 = 3 (x² – 6x – 16)
f'(x) = 0 ⇒ 3 (x – 8) (x + 2) = 0
⇒ stationary points are – 2 and 8.
f”(x) = 6x – 18 = 6(x – 3)
At x = – 2
f”(-2) = 6(-2 – 3) < 0
Hence f has maximum at x = – 2
and maximum value is f(- 2) = – 8 – 9 (- 2)² – 48 (- 2) + 72
= -8-36 + 96 + 72
= 124
Also f”(8) =6 (8 – 3) = 30 > 0
Hence f has minimum at x = 8 and
minimum value is
f(8) = 8³ – 9(8)² – 48 (8) + 72
= 512 – 576 – 384 + 72 = – 376
∴ Local minimum = – 376
Local maximum = 124

Question 5.
Use the second derivative test to find the local extrema of the function f(x) = – x³ + 12x² – 5 on ℛ. (S.A.Q.)
Answer:
Let f(x) = – x³ + 12x² – 5
Then for max. or min. we must have f'(x) – 0
⇒ – 3x² + 24x = 0
⇒ – 3x (x – 8) = 0
So the stationary points are x = 0, x = 8
f”(x) = -6x + 24
∴ f”(0) = 24 > 0,
Hence f has a minimum at x = 0 .
and minimum value is f(0) = – 5
Also f”(8) = -48 + 24 = -24 < 0,
Hence f has a maximum at x = 8
Maximum value is f(8) = – 8³ + 12 (8)² – 5
= – 512 + 768 – 5
= 251
∴ Local minimum = – 5
Local maximum = 251

Question 6.
Find the local maximum or local minimum of f(x) = -sin 2x – x defined on \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) (S.A.Q)
Answer:
f(x) = – sin 2x – x defined on \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
f’ (x) = -2 cos 2x – 1
and f’ (x) = 4 sin 2x
For maximum or minimum values,
f’ (x) = 0 ⇒ 2 cos 2x + 1 = 0
⇒ cos 2x = –\(\frac{1}{2}\)
⇒ 2x = 2nπ ± \(\frac{2 \pi}{3}\)
⇒ x = nπ ± \(\frac{\pi}{3}\)

Values of x to be considered in \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) are \(\frac{\pi}{3}\) and –\(\frac{\pi}{3}\) respectively

Question 7.
Find the absolute maximum and absolute minimum of f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 2 on the interval [0, 5]. (S.A.Q.)
Answer:
Given f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 2
We have f’ (x) = 6x² – 6x – 36 and f’ (x) = 12x – 6
f'(x) = 0 ⇒ 6x² – 6x – 36 = 0
⇒ x² – x – 6 = 0
⇒ (x – 3) (x + 2) = 0
Stationary values of f are – 2 and 3.
The value x = – 2 is not admissible since -2 ∉ [0, 5]
At x = 0, we have f”(0) = -6 < 0 At x = 5, we have f “(5) = 12 (5) – 6 = 54 > 0
At x = 3 we have f”(3) = 12 (3) – 6 = 30 > 0
The absolute maximum value of f is f(0) = 2
and absolute minimum value out of minimum values is – 79
[f(3) = 2 (3)³ – 3 (3)² – 36 (3) + 2
= 54 – 27 – 108 + 2 = – 79
f(5) = 2 (5)³ – 3 (5)² – 36 (5) + 2 = – 3]
∴ Absolute minimum = – 79
Absolute maximum = 2

Question 8.
Find the absolute extremum of
f(x) = 4x – \(\frac{x^2}{2}\) on [-2, \(\frac{9}{2}\)] (S.A.Q)
Answer:
f(x) = 4x – \(\frac{x^2}{2}\)
f (x) = 4 – \(\frac{2 x}{2}\)
For extremum we have
4 – x = 0 ⇒ x = 4
f”(x) = -1 < 0
f has maximum value at x = 4
1(4) = 16 – \(\frac{16}{2}\) = 8
-2 ≤ x ≤ \(\frac{9}{2}\) we have
f (- 2) = – 8 – 2 = – 10
Absolute minimum = – 10
and Absolute maximum = 8

Question 9.
Find the maximum profit that a company can make if the profit function is given by P(x) = -41 + 72x – 18x². (S.A.Q.)
P(x) = -41 + 72x – 18x²
Answer:
P'(x)= 0 ⇒ 72 – 36x = 0 ⇒ x = 2
Since P”(x) = – 36 < 0
P(x) has maximum
for x = 2 and the maximum profit
P(2) = – 41 + 72 (2) – 18(4)
= – 41 + 144 – 72 = 31

Question 10.
The profit function P(x) of a company selling x items is given by P(x) = – x³ + 9x² – 15x – 13 where x represents thousands of units. Find the absolute maximum profit if the company can manufacture a maximum of 6000 units. (S.A.Q.)
Answer:
P(x) = – x³ + 9x² – 15x – 13 and p’ (x) = – 3x² + 18x – 15
For maximum or minimum p’ (x) = 0
⇒ – 3x² + 18x- 15 = 0
⇒ x² – 6x + 5 = 0
⇒ (x – 5) (x – 1) = 0
⇒ x = 1, 5
Also p”(x) = -6x + 18
P”(1) = 12 >0, P”(5) = -12 < 0
P(x) has maximum when x = 5
and maximum profit is P(5) = – 5³ + 9(5)² – 15 (5) – 13
= -125 + 225 – 75 – 13 = 12
∴ Maximum profit = 12

III.
Question 1.
The profit function P(x) of a company selling x items per day is given by P(x) = (150 – x) x – 1000. Find the number of items that the company should manufac-ture to get maximum profit. Also find the maximum profit. (E.Q.)
Answer:
Given that the profit function is
P(x) = (150 – x) x – 1000
For extremum, we have p’ (x) = 0
⇒ 150 – 2x = 0 ⇒ x = 75
P”(x) = – 2 < 0 ;
P(x) has maximum at x = 75
∴ The profit is maximum for x = 75
The number of items that the company should manufacture to get maximum profit = 75 and the maximum profit = (150 – 75)75 – 1000 = 4625

Question 2.
Find the absolute maximum and absolute minimum of f(x) = 8x³ + 81x² – 42x – 8 on [- 8, 2]. (E.Q.)
Answer:
Given f(x) = 8x³ + 81x² – 42x – 8 on [ – 8, 2]
For extrema we have f'(x) = 0
⇒ 24x² + 162x – 42 = 0
⇒ 4x² + 27x – 7 = 0
⇒ 4x² + 28x – x – 7 = 0
⇒ 4x(x + 7)-l(x + 7) = 0
⇒ (4x – 1) (x + 7) = 0
⇒ x = – or x = – 7
f'(x) = 48x + 162
f”\(\left(\frac{1}{4}\right)\) = 48\(\left(\frac{1}{4}\right)\) + 162 = 12 + 162 = 174 > 0
f has a minimum at x = \(\frac{1}{4}\)
Minimum value is

Question 3.
Find two positive integers whose sum is 16 and the sum of whose squares is minimum. (E.Q.)
Answer:
Suppose x and y are two positive integers and given that
x + y = 16 and x² + y² = f(x, y) is to be minimised,
f (x, y) = x² + y²
⇒ f(x) = x² + (16 – x)²
For extremum we have f'(x) = 0
⇒ 2x – 2(16 – x) = 0
⇒ x – 16 + x = 0
⇒ 2x- 16 = 0
⇒ x = 8
Since f”(8) = 4 > 0
f(x) has minimum at x = 8
∴ y = 16 – x = 16 – 8 = 8
∴ The two positive integers are 8 and 8

Question 4.
Find two positive integers x and y such that x + y = 60 and xy3 is maximum. (E.Q.) (May 2014)
Answer:
Given x + y = 60
⇒ y = 60 – x (1)
and f(x, y) = xy³
f(x) = x (60 – x)³ …………..(2)
For extrema, f’ (x) = 0
⇒ x(3) (60 – x)² (-1) + (60 – x)³
= (60 – x)² [60 – x – 3x]
= (60 – x)² (60 – 4x)
x = 60 and x = 15
x = 60 is not admissible. So we take x = 15
r (x) = (60 – x)² (- 4) + (60 – 4x) 2 (60 – x) (- 1)
and f” (15) < 0
∴ f has maximum at x = 15
∴ From (1) y = 45
The required two positive integers are x = 15 and y = 45.

Question 5.
From a rectangular sheet of dimensions 30 cm x 80 cm four equal squares of side x cm are removed at the corners and the sides are then turned up so as to form an open rectangular box. Find the value of x so that the volume of the box is the greatest. (March 2014) (E.Q.)
Answer:

Length of the box = 80 – 2x = l
Breadth of the box = 30 – 2x = b
Height of the box = x = h
Volume of the box V = lbh
∴ f(x) = (80 – 2x) (30 – 2x) x
= x (2400 – 220 x + 4x²)
= 4x³ – 220 x² + 2400 x

∴ f'(x) = 12x² – 440 x + 2400
= 4[3x² – 110x + 600]
∴ f'(x) = 0 ⇒ 3x² – 110x + 600

When x = 30, then f”(x) = 24x – 440
and f”(30) = 24 × 30 – 440
= 720 – 440 = 280 > 0
∴ f has a minimum or least at x = 30
When x = \(\frac{20}{3}\) then
f”\(\left(\frac{20}{3}\right)\) = 24\(\left(\frac{20}{3}\right)\) – 440 = 160 – 440 = -280 < 0
f has maximum at x = \(\frac{20}{3}\)
In order the volume of the box is the greatest the value of x must be \(\frac{20}{3}\)cm.

Question 6.
A window is in the shape of a rectangle surrounded by a semicircle. If the perimeter of the window is 20 feet, find the maximum area. (E.Q.)
Answer:

Let the length of the window be 2x and breadth be y so that the radius of the semicircle is x
∴ Perimeter = 2x + 2y + π. x = 20
⇒ 2y = 20 – 2x – πx
∴ y = 10 – x – \(\frac{\pi x}{2}\)
Area = 2xy + \(\frac{\pi}{2}\) x²
f(x) = x (20 – 2x – 7ix) + \(\frac{\pi}{2}\) x²
⇒ f'(x) = x (- 2 – π) + (20 – 2x – πx) + πx
= – 2x + 20 – 2x – πx = 20 – 4x – πx
For maximum or minimum f'(x) = 0
⇒ 20 – (4 + π)x = 0
⇒ x = \(\frac{20}{\pi+4}\)
f” (x) = – 4 – π < 0
⇒ f has maximum at x = \(\frac{20}{\pi+4}\)

Question 7.
If the curved surface of a right circular cylinder inscribed in a sphere of radius r is maximum, show that the height of the cyliner is √2r. (IPE May ’11 Mar. 13, ’08, 04, June 2004)
Answer:

Let the radius of the cylinder be R’ and height be ‘h’
From ΔOAB we have
OA² = AB² + OB²
⇒ r² = R² + \(\frac{h^2}{4}\)
⇒ R² = r² – \(\frac{h^2}{4}\)

Curved surface area = 2πrh

Hence f has maximum at h = √2r
Height of the cylinder = √2r

Question 8.
A wire of length l is cut into two parts which are bent respectively in the form of a square and a circle. What are the lengths of the pieces of the wire respectively so that the sum of the areas is the least ? (E.Q) (BIE New Model Paper)
Answer:
Let x be the side of the square and r be the radius of the circle.
Given 4x + 2π r = l

So when the wire is cut into two pieces, Sum of the areas of square and circle will be the least and their lengths are
\(\frac{\pi l}{\pi+4}\) and \(\frac{4 l}{\pi+4}\) respectively.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(a) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Matrices Solutions Exercise 3(a)

Question 1.
Write the following as a single matrix.
(i) [2 1 3] + [0 0 0]
Answer:
[2 1 3] + [0 0 0] = [2 + 0 1 + 0 3 + 0]
= [2 1 3]

(ii) \(\left[\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{r}
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right]\)
Answer:
\(\left[\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{r}
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{r}
0-1 \\
1+1 \\
-1+0
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{r}
-1 \\
2 \\
-1
\end{array}\right]\)

(iii) \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 9 & 0 \\
1 & 8 & -2
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}
4 & 0 & 2 \\
7 & 1 & 4
\end{array}\right]\)
Answer:

(iv) \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & 2 \\
1 & -2 \\
3 & -1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
-2 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:

Question 2.
If A = \(\left[\begin{array}{cc}
-1 & 3 \\
4 & 2
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
3 & -5
\end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{ll}
\mathbf{x}_1 & \mathbf{x}_2 \\
\mathbf{x}_3 & \mathbf{x}_4
\end{array}\right]\) and A + B = X then find the values of x₁, x₂, x₃ and x₄.
Answer:
A + B = X

⇒ x₁ = 1, x₂ = 4, x₃ = 7, x₄ = – 3.

Question 3.
If A = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & -2 & 3 \\
1 & 2 & 4 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right]\) B = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 5 \\
0 & -2 & 2 \\
1 & 2 & -3
\end{array}\right]\) and C = \(\left[\begin{array}{ccc}
-2 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 \\
2 & 0 & 1
\end{array}\right]\) then find A + B + C.
Answer:
A + B + C =

Question 4.
If A = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 2 & -1 \\
2 & -2 & 0 \\
1 & 3 & 1
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
-3 & -1 & 0 \\
2 & 1 & 3 \\
4 & -1 & 2
\end{array}\right]\) and X = A + B then find X.
Answer:
X = A + B

Question 5.
If \(\left[\begin{array}{cc}
x-3 & 2 y-8 \\
z+2 & 6
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{cc}
5 & 2 \\
-2 & a-4
\end{array}\right]\) then find the values of x, y, z and a. [May 2006, Mar. 14]
Answer:
Given \(\left[\begin{array}{cc}
x-3 & 2 y-8 \\
z+2 & 6
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{cc}
5 & 2 \\
-2 & a-4
\end{array}\right]\)
We have x – 3 = 5, 2y – 8 = 2, z + 2 = – 2, a – 4 = 6
⇒ x = 8, y = 5, z = – 4, a = 10

II.
Question 1.
If \(\left[\begin{array}{ccc}
x-1 & 2 & 5-y \\
0 & z-1 & 7 \\
1 & 0 & a-5
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 7 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right]\) then find the values x, y, z and a.
Answer:
Given \(\left[\begin{array}{ccc}
x-1 & 2 & 5-y \\
0 & z-1 & 7 \\
1 & 0 & a-5
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 7 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right]\)
we have x – 1 = 1, 5 – y = 3, z – 1 = 4,
a – 5 = 0
⇒ x = 2, y = 2, z = 5, a = 5

Question 2.
Find the trace of \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 3 & -5 \\
2 & -1 & 5 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:
Trace of the given matrix
= 1 – 1 + 1 = sum of the diagonal elements
= 1

Question 3.
If A = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 4 \\
4 & 5 & -6
\end{array}\right]\) and B = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right]\) find A – B and 4A – 5B.
Answer:

Question 4.
If A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right]\) and B = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right]\) find 3B – 2A.
Answer:

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 1 Functions Ex 1(c) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Functions Solutions Exercise 1(c)

I.
Question 1.
Find the domains of the following real valued functions. (May 2014, Mar. 14)
(i) f(x) = \(\frac{1}{\left(x^2-1\right)(x+3)}\)
Answer:
Domain of f is the value of all real x for which (x² – 1) (x + 3) ≠ 0
⇔ (x + 1) (x – 1) (x + 3) ≠ 0
⇔ x ≠ – 1, 1, -3
∴ Domain of f is, R – {-1, 1, – 3}

(ii) f(x) = \(\frac{2 x^2-5 x+7}{(x-1)(x-2)(x-3)}\)
Answer:
Here (x – 1) (x – 2) (x – 3) + 0
⇔ x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3.
Domain of f is, R – {1, 2, 3}

(iii) f(x) = \(\frac{1}{\log (2-x)}\)
Answer:
f(x) = \(\frac{1}{\log (2-x)}\) ∈ R
⇔ log (2 – x) ≠ 0 and 2 – x > 0
⇔ 2 – x ≠ 1 and 2 > x
⇔ x ≠ 1 and x < 2
⇔ x ∈ (-∞, 1) U (1, 2)
(or) x ∈ (-∞, 2) – {1}
Domain of f = x ∈ {∞, 2} – {1}

(iv) f(x) = |x – 3|
Answer:
f(x) = |x – 3| ∈ R
⇔ x ∈ R
∴ Domain of f = R

(v) f(x) = \(\sqrt{4 x-x^2}\). (May 2005)
Answer:
f(x) = \(\sqrt{4 x-x^2}\) ∈ R
⇔ 4x – x² ≥ 0
⇔ x(4 – x) ≥ 0
⇔ x ∈ [0, 4]
∴ Domain of f = [0, 4]

(vi) f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
Answer:
f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ∈ R
⇔ 1 – x² > 0
⇔ (1 – x)(1 – x) > 0
⇔ x ∈ (-1, 1)
∴ Domain of f = {x/x ∈ (-1, 1)}

(vii) f(x) = \(\frac{3^x}{x+1}\)
Answer:
f(x) = \(\frac{3^x}{x+1}\) ∈ R
⇔ 3^x ∈ R, ∀ x ∈ R and x + 1 ≠ 0
⇔ x ≠ – 1
∴ Domain of f = R – {-1}

(viii) f(x) = \(\sqrt{x^2-25}\) (May 2012)
Answer:
f(x) = \(\sqrt{x^2-25}\) ∈ R
⇔ x² – 25 ≥ 0
⇔ (x + 5)(x – 5) ≥ 0
⇔ x ∈ (-∞, -5] ∪ [5, ∞)
⇔ x ∈ R – (-5, 5)
∴ Domain of f is R – (-5, 5)

(ix) f(x) = \(\sqrt{x-[\mathrm{x}]}\)
Answer:
f(x) = \(\sqrt{x-[\mathrm{x}]}\) ∈ R
⇔ x – [x] ≥ 0
⇔ x ≥ [x]
⇔ x ∈ R
∴ Domain of f is R

(x) f(x) = \(\sqrt{[\mathbf{x}]-\mathbf{x}}\)
Answer:
f(x) = \(\sqrt{[\mathbf{x}]-\mathbf{x}}\) ∈ R
⇔ [x] – x ≥ 0
⇔ [x] ≥ x
⇔ x ≤ [x]
⇔ x ∈ z
∴ Domain of f is Z (Set of injection)

Question 2.
Find the ranges of the following real valued functions,
(i) log |4 – x²|
Answer:
Let y = f(x) = log |4 – x²| ∈ R
⇔ 4 – x² ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 2
y = log|4 – x²|
⇒ |4 – x²| = e^y
e^y > 0 ∀ y ∈ R
∴ Range of f is R.

(ii) \(\sqrt{[\mathbf{x}]-\mathbf{x}}\)
Answer:
Let y = f(x) = \(\sqrt{[\mathbf{x}]-\mathbf{x}}\) ∈ R
⇔ [x] – x > 0
⇔ [x] ≥ x ⇔ x ≤ [x]
∴ Domain of f is z
Then Range of f is {0}
∴ The Range of f = [1, ∞]

(iii) \(\frac{\sin \pi[x]}{1+[x]^2}\)
Answer:
Let y = f(x) = \(\frac{\sin \pi[x]}{1+[x]^2}\) ∈ R
⇔ x ∈ R
∴ Domain of f is R
For x ∈ R, [x] is an integer and sin n [x]= 0 ∀ n ∈ R Range of f is {0}

(iv) \(\frac{x^2-4}{x-2}\)
Answer:
Let y = f(x) = \(\frac{x^2-4}{x-2}\) = (x + 2) ⇔ x – 2 ≠ 0
∴ Domain of f is R – {2}
Then y = x + 2 ∴ x ≠ 2, we have y ≠ 4
∴ Range of f is R – {4}.

(v) \(\sqrt{9+x^2}\)
Answer:
Let y = \(\sqrt{9+x^2}\) f(x) ∈ R
Domain of f is R.
When x = 0, f (0) = √9 = ± 3, But when f(0) = 3,
For all values of x e R – {0}, f (x) > 3
Range of f = {3, ∞).

Question 3.
If f and g are real valued functions defined by f(x) – 2x – 1 and g(x) = x², then find
(i) (3f – 2g)(x)
Answer:
(3f – 2g) (x) = 3 f(x) – 2 g(x)= 3 (2x – 1) – 2(x²)
= -2x² + 6x – 3

(ii) (fg) (x)
Answer:
(fg)(x) = f(x) g(x) = (2x – 1)(x²) = 2x³ – x²

(iii) \(\left(\frac{\sqrt{f}}{g}\right)\)(x)
Answer:
\(\frac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}=\frac{\sqrt{2 x-1}}{x^2}\)

(iv) (f + g + 2)(x)
Answer:
(f + g + 2) (x) = f(x) + g(x) + 2
= 2x – 1 + x² + 2
= x² + 2x + 1 = (x + 1)²

Question 4.
If f = {(1, 2), (2, -3), (3, -1)}, then find
(i) 2f
(ii) 2 + f
(iii) f²
(iv) √f
[May 2012, May 2008]
Answer:
Given f = {(1, 2), (2, -3), (3, -1)} we have f(1) = 2, f(2) = -3 and f(3) = -1
(i) 2f = {(1, 2 x 2), (2, 2 (-3), (3, 2(-1))}
= {(1. 4). (2, – 6). (3, -2)}

(ii) 2 + f = {(1, 2+2), (2, 2+(-3), (3, 2+(-1))}
= {(1, 4), (2, -1), (3. 1)}

(iii) f² = {(1, 22), (2, (-3)2), (3, (-1)2)]
= {(1, 4), (2, 9), (3, 1)}

(iv) √f = {(1, √2)| (∵ √-3 and √-1 are not real)

II.
Question 1.
Find the domains of the following real valued functions
(i) f(x)= \(\sqrt{x^2-3 x+2}\)
Answer:
f(x) = \(\sqrt{x^2-3 x+2}\) ∈ R
Domain of f is x² -3x + 2 > 0
⇒ (x – 2) (x – 1) > 0
⇒ x ∈ [-∞, 1] u [2, ∞]
∴ Domain of f = R – [1, 2]

(ii) f (x) = log (x² – 4x + 3)
Answer:
f(x) = log (x² – 4x + 3) ∈ R
⇔ x² – 4x + 3 > 0
⇔ (x – 3) (x – 1) > 0
x ∈ (-∞, 1) ∪ (3, ∞)
Domain f = R – (1, 3)

(iii) f(x) = \(\frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}{x}\)
Answer:
f(x) = \(\frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}{x}\) ∈ R
⇔ 2 + x > 0 2 – x > 0, x ≠ 0
⇔ x > -2, x < 2 x ≠ 0
⇔ -2 < x < 2, x ≠ 0 Domain of f is [-2, 2] – {0}

(iv) f(x) = \(\frac{1}{\sqrt[3]{x-2} \log (4-x)^{10}}\)
Answer:
f(x) = \(\frac{1}{\sqrt[3]{x-2} \log (4-x)^{10}}\) ∈ R
⇔ 4 – x > 0, 4 – x ≠ 1 and x – 2 ≠ 0
⇔ x < 4, x ≠ 3, x ≠ 2
Domain of f is [-∞, 4] – {2, 3}

(v) f(x) = \(\sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}\)
Answer:
f(x) = \(\sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}\) ∈ R
⇔ 4 – x > 0, [x] + 2 > 0 or
4 – x² < 0 and [x] > + 2 < 0
When 4 – x² > 0, and [x] + 2 > 0
we have (2 – x) (2 + x) > 0 and [x] > – 2
⇔ x ∈ [-2, 2] and x ∈ [-1, ∞)
⇔ x ∈ [-1, 2] …………….(1)
When 4 – x² < 0, and [x] + 2 < 0
⇔ (2 + x) (2 – x) < 0 and [x] + 2 < 0
⇔ x ∈ [-∞, -2] ∪ [2, ∞] and [x] < – 2
⇔ x ∈ [- ∞, -2] ∪ [2, ∞] and x ∈ (- ∞,-2)
⇔ x ∈ [-∞, -2] ………………(2)
∴ from (1) and (2)
∴ Domain of f is [-∞, -2] ∪ {-1, 2}

(vi) f(x) = \(\sqrt{\log _{0.3}\left(x-x^2\right)}\)
Answer:
f(x) = \(\sqrt{\log _{0.3}\left(x-x^2\right)}\) ∈ R
⇔ log_0.3 (x – x²) > 0 .
⇒ x – x² < (0.3) 0
⇒ x – x² < 1
⇒ -x² + x < 1
⇒ -x² + x – 1 < 0
⇒ x² – x + 1 > 0
This is true for all x ∈ R …..(1)
and x – x² > 0
⇒ x² – x < 0
⇒ x (x – 1) < 0
⇒ x ∈ (0, 1) ……….(2)
∴ Domain of f is R n (0, 1) = (0, 1)
∴ Domain of f = (0, 1)

(vii) f(x) = \(\frac{1}{x+|\mathrm{x}|}\)
Answer:
f(x) = \(\frac{1}{x+|\mathrm{x}|}\) ∈ R
⇔ x + |x| ≠ 0 ⇒ x ∈ (0, ∞)
(∵ |x| = x if x ≥ 0
= -x if x < 0)
∴ Domain of f = (0, ∞)

Question 2.
Prove that the real valued function f(x) = \(\frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}+1\) is an even function on R – {0} –
Answer:
f (x) ∈ R, e^x – 1 ≠ 0
⇒ e^x ≠ 1 ⇒ x ≠ 0

Since f(-x) = f(x), the function f is even function on R – {0}.

Question 3.
Find the domain and range of the following functions.
(i) f(x) = \(\frac{\tan \pi[x]}{1+\sin \pi[x]+\left[x^2\right]}\)
Answer:
f(x) = \(\frac{\tan \pi[x]}{1+\sin \pi[x]+\left[x^2\right]}\) ∈ R
⇔ x ∈ R; since [x] is an integar so that tan π [x] and sin π [x] are zero. ∀ x ∈ R
Domain of f is R and Range = {0}

(ii) f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\)
Answer:
f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\) ∈ R
⇔ 2 – 3x ≠ 0 ⇒ x ≠ \(\frac{2}{3}\)
∴ Domain of f = R – {\(\frac{2}{3}\)}

Let y = f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\)
⇒ 2y – 3xy = x
⇒ 2y = x(1 + 3y)
⇒ x = \(\frac{2 \mathrm{y}}{1+3 \mathrm{y}}\)
∴ x ∈ R – {\(\frac{2}{3}\)}, 1 + 3y ≠ 0
⇒ y ≠ \(\frac{-1}{3}\)
∴ Range of f = R – {\(\frac{-1}{3}\)}

(iii) f(x) = |x| + |1 + x|
Answer:
f(x) ∈ R ⇔ x ∈ R
Domain of f = R
∴ |x| = x if x > 0
= – x if x < 0 |1 + x| = 1 + x if 1 + x > 0 ie., x > -1
= – (1 + x) if 1 + x < 0 ie., x < – 1
For x = 0, f(0) = 1,
x= 1, f(1) = |1| + |1 + 1| = 3
x = 2, f(2) = |2| + |1 + 2| = 2 + 3 = 5
x = -2, f(-2) = |-2| + |1 +(-2)| = 2 + 1 = 3
x = -1, f(-1) = |-1| + |1 + (-1)| = 1

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 1 Functions Ex 1(b) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Functions Solutions Exercise 1(b)

I.
Question 1.
If f(x) = e^x, and g(x) = log_ex, then show that fog = gof and find f^-1 and g^-1.
Answer:
Given f(x) = ex and g(x) = log_ex
Now (fog) (x) = f[g(x)] = f [log_ex]
= e^log_ex = x
(gof) (x) = g [f(x)] = g [e^x] = log_ee^x = x
fog = gof
given f(x) = e^x = y
then x = f^-1 (y) and y = e^x ⇒ x = log_ey
f^-1(y) = log_ey ⇒ f^-1 (x) = log_ex
similarly y = g(x) = loge^x
then x = g^-1 (y) and y = log_ex
⇒ x = e^y
g^-1 (y) = e^y ⇒ g^-1(x) = e^x

Question 2.
If f(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\), g(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\) then show that (fog)(y) = y.
Answer:

∴ (fog) (y) = y

Question 3.
If R → R; g : R → R are defined by . f(x) = 2x² + 3 and g(x) = 3x – 2, then find
(i) (fog) (x)
(ii) (gof) (x)
(iii) (fof)(0)
(iv) go (fof) (3)
Answer:
f; R → R; g : R → R and
f(x) = 2x² + 3, g(x) = 3x – 2 then
(i) (fog) (x) = f [g (x)] = f (3x – 2)
= 2 [(3x – 2)²] + 3 (∵ f (x) = 2x² + 3)
= 2 [9x² – 12x + 4] + 3
= 18x² – 24x + 11

(ii) (gof) (x) = g [f (x)] = g (2x² + 3)
= 3 (2x² + 3) -2 = 6x² + 7

iii) (fof) (0) = f [f (0)] = f [3] = 2(3)2 + 3 = 21

iv) go (fof) (3)
= go [f (f (3))] (v f (x) = 2x² + 3)
= go [f (2(3)² + 3)]
= go [f (21)]
= g [2 (21)² + 3]
= g [2 (441) + 3]
= g [885]
= 3 (885) – 2 = 2653 (∵ g(x) = 3x – 2)

Question 4.
If f:R → R, g:R → R are defined by f(x) = 3x – 1, g(x) = x² + 1, then find
(i) (fof) (x² + 1)
(ii) (fog) (2) (March 2012)
(iii) (gof)(2a – 3)
Answer:
Given f: R → R and g : R → R defined by f (x) = 3x – 1, g (x) = x² + 1
(i)(fof) (x² + 1 ) = f [f (x² + 1)]
= f [3 (x² + 1) – 1]
⇒ f [3x² + 2] (∵ f (x) = 3x – 1)
= 3 (3×2 + 2) – 1 = 9×2 + 5

(ii) (fog) (2) = f [g (2)] = f [2² + 1] = f [5]
= 3(5) – 1 = 14

(iii) (gof ) (2a – 3)
=g[f(2a – 3)]
= g[3(2a – 3) – 1] (∵ f(x) = 3x- 1)
= g [6a – 10]
= (6a – 10)² + 1 (∵ g(x)=x² + 1)
= 36a² – 120a + 101

Question 5.
If f(x) = \(\frac{1}{x}\), g(x) = √x ∀ x ∈ (0, ∞) then find (gof)(x).
Answer:
(gof)(x) = g[f(x)] = g\(\left[\frac{1}{x}\right]\)
= \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) (∵ g(x) = x)

Question 6.
f(x) = 2x – 1, g(x) = \(\frac{x+1}{2}\) ∀ x ∈ R, find (gof)(x).
Answer:
(gof)(x) = g[f(x)] = g(2x – 1)
= \(\frac{2 x-1+1}{2}\) = x (∵ g(x) = \(\frac{2 x-1+1}{2}\))

Question 7.
If f(x) = 2, g(x) = x², h(x) = 2x ∀ x ∈ R, then find [fo(goh) (x)].
Answer:
[fo(goh)] (x)= fog [h(x)]
= fog [2x]
= f [g(2x)]
= f [ (2x)² ] = f (4x²) = 2
∴ [fo(goh)] (x) = 2

Question 8.
Find the inverse of the following functions.
(i) a, b ∈ R, f: R → R, defined by f(x) = ax + b, (a ≠ 0).
Answer:
a, b ∈ R, f : R → R and f(x) = ax + b
⇒ y = ax + b = f(x)
⇒ x = f^-1(y)
= \(\frac{y-b}{a}\)
∴ f^-1(x) = \(\frac{x-b}{a}\)

(ii) f: R → (0, ∞) defined by 5^x (March 2011)
Answer:
f: R→ (0, ∞) and f(x) = 5^x
Let y = f (x) = 5^x ⇒ x = f^-1(y)
and x = log₅y
∴ f^-1(y) = log₅y ⇒ f^-1(x) = log₅x

(iii) f : (0, ∞) → R defined by f(x) = log₂x
Answer:
Gii’en f: (0, ∞) → R defined by f(x) = log₂x
Let y = f (x) = log₂x then x = f1 (y)
y = log₂x ⇒ x = 2^y
∴ f^-1(y) = 2^y ⇒ f^-1(x) = 2^x

Question 9.
If f(x) = 1 + x + x² + ………….. for |x| < 1, then show that f^-1(x) = \(\frac{x-1}{x}\)
Answer:
Given f(x) = 1 + x + x² + ………. for |x| < 1

Question 10.
If f : [1, ∞] → [1, ∞] defined by f(x) = 2^{x(x – 1)}, then find f^-1(x)
Answer:
Given f : [1, ∞] → [1, ∞] defined by f(x) = 2^{x(x – 1)}
Let y = f(x) then x = f^-1(y)
Also y = 2^{x(x – 1)} ⇒ x(x – 1) = log₂y
⇒ x² – x – log₂y = 0

II.
Question 1.
If f(x) = \(\frac{x-1}{x+1}\), x ≠ ±1, then verify (fof^-1)(x) = x
Answer:
Given f(x) = \(\frac{x-1}{x+1}\), (x ≠ ±1)
and Let y = f(x) ⇒ x = f^-1(x)

Question 2.
If A = (1, 2, 3), B = (α, β, γ), C = (p, q, r) and f : A → B, g : B → C are defined by f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}, g = {(α, q), (β, r), (γ, p)}
then show that f and g are bijective functions and (gof)^-1 = f^-1og^-1.
Answer:
Given A = {1, 2, 3}, B = (α, β, γ), c = {p, q, r) and f : A → B, g : B → C defined by f ={(1, α) (2, γ), (3, β)}and g = {(a, q), (β, r), (γ, p)}
From the definitions of f and g f (1) = α, f (2) = γ, f (3) = β and g (α) = q, g (β) = r, g (γ) = p
Distinct elements of A have distinct imagine in B. Hence f is an Injection. Also, range of f = (a, y, P) and f is a surjection.
∴ f is abijection = B similarly distinct elements of B have distinct images in c and g is an Injection.
Also range of ‘g’ = {q, γ, p} = C;
∴ g is a surjection.
Hence g is a bijection.
∴ f and g are bijective functions.
Also gof = {(1, q), (2, r), (3, p)}
and (gof^-1) = {(q, 1), (r, 2), (p, 3)} …………….(1)
f^-1 = {(α, 1), (γ, 2), (β, 3)}
and g^-1 = {(q, α), (r, β), (p, γ)}
∴ f^-1og^-1 ={(q, 1), (r, 2), (p, 3)} ………………(2)
∴ From (1) and (2), (gof^-1) = f^-1og^-1

Question 3.
If f:R → R; g:R → R defined by f(x) = 3x – 2, g(x) = x² + 1, then find
(i) (gof^-1) (2)
(ii)(gof)(x – 1) (March 2008, May 2006)
Answer:
Given f: R → R, g : R → R defined by f(x) = 3x – 2, g(x) = x² + 1
et y = f (x) then x = f^-1 (y)
y = 3x – 2 ⇒ 3x = y + 2
⇒ x = \(\frac{y+2}{3}\)
∴ f^-1(y) = \(\frac{3+2}{3}\) ⇒ f^-1(x) = \(\frac{x+2}{3}\)
∴ (i)(gof^-1) (2) = g[f^-1(2)] = g\(\left[\frac{4}{3}\right]\)
= \(\left(\frac{4}{3}\right)^2\) + 1 = \(\frac{16}{9}\) + 1 = \(\frac{25}{9}\)

(ii)(gof) (x – 1) = g [f (x – 1)
= g [3 (x – 1) – 2] = g [3x – 5]
= (3x – 5)² + 1
= 9x² – 30x + 26
(∵ g(x) = x² + 1)

Question 4.
Let f = {(1, a), (2, c), (4, d), (3, b)} and g^-1 = {(2, a) (4, b), (1, c), (3, d)} then show that (gof)^-1 = f^-1o g^-1
Answer:
Given f = {(1, a), (2, c), (4, d), (3, b)} and g^-1 = {(2, a), (4, b), (1, c), (3, d)}
∴ g = {(a, 2), (b, 4), (c, 1), (d, 3)} gof = {(1, 2), (2, 1), (4, 3), (3, 4)}
∴ (gof)^-1 = {(2, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)}
f^-1 = {(a, 1) (c, 2), (d, 4), (b, 3)}
g^-1 = {(2, a), (4, b), (1, c), (3, d)}
f(x) = 3x – 2, g(x) = x² + 1
Let y = f (x) then x = f” (y)
∴ f^-1o g^-1 = {(2, 1), (1, 2), (4, 3), (3, 4)}
(gof)^-1 = f^-1o g^-1

Question 5.
Let f:R → R; g:R → R be defined by f(x) = 2x – 3, g(x) = x³ + 5 then find (fog)^-1(x)
Answer:
We have from the formula
(fog)^-1(x) = (g^-1of^-1) …………..(1)
where f: R → R and g : R → R are defined by
f(x) = 2x – 3 and g(x) = x³ + 5
Let y = f(x) = 2x – 3 : Then x = f^-1(y)
and 2x – 3 = y ⇒ x = \(\frac{y+3}{2}\)
f^-1(x)\(\frac{x+3}{2}\) ………..(2)

Let y = g(x) = x³ + 5. Then x = g^-1(y) and x³ + 5 = y
⇒ x = (y – 5)^1/3
g^-1(y) = (y – 5)^1/3
g^-1(x) = (x – 5)^1/3 ……….(3)

From (1), (g^-1of^-1)(x)

Question 6.
Let f(x) = x²,g(z) = 2^x. Then solve the equation (fog) (x) = (gof) (x)
Answer:
Given f(x) = x² and g(x) = 2^x
(fog) (x) = f [g(x)] = f [2^x] = (2^x)² = 2^2x ……………(1)
and (gof)(x) = g[f(x)] = g[x²] = 2^x2
∴ from (1) and (2), 2^2x = 2^x2
⇒ x² – 2x = 0
⇒ x(x – 2) =0
⇒ x = 0, 2

Question 7.
If f(x) = \(\frac{x+1}{x-1}\),(x ≠ ±1),then find(fofof)(x) and (fofofof) (z)
Answer:
Given f(x) = \(\frac{x+1}{x-1}\), (x ≠ ± 1)
then (fofof) (x) = fof(f(x)]