Srinivas

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 14th Lesson అణుచలన సిద్ధాంతం Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 14th Lesson అణుచలన సిద్ధాంతం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
స్వేచ్ఛా పథమధ్యమాన్ని నిర్వచించండి.
జవాబు:
స్వేచ్ఛా పథమధ్యమము : ఒక వాయు అణువు లేక పరమాణువు అభిఘాతం చెందకుండా ప్రయాణించే సగటు దూరాన్ని స్వేచ్ఛా పథమథ్యమం అంటారు.
(లేక)
ఒక వాయు అణువు రెండు వరుస అభిఘాతాల మధ్య ప్రయాణించే దూరాన్ని స్వేచ్ఛా పథమధ్యమం అంటారు.

ప్రశ్న 2.
అణుచలన సిద్ధాంతం అవొగాడ్రో పరికల్పనను ఏ విధంగా సమర్థిస్తుంది ? వివిధ వాయువులకు ఉండే అవొగాడ్రో సంఖ్య ఒకటే అయి ఉంటుందని చూపండి.
జవాబు:
అవొగాడ్రో నియమము లేక అవొగాడ్రో పరికల్పన :
“సమాన ఉష్ణోగ్రత, పీడనాల వద్ద సమాన ఘనపరిమాణం ఉన్న అన్ని వాయువులలో అణువుల సంఖ్య సమానం”. వాయు సమీకరణం ప్రకారం PV = KT
ఇందులో వాయు అణువుల సంఖ్య N ను లెక్కలోనికి తీసుకుంటే స్థిరాంకము K = NK_B అని రాయగా
\(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{NT}}\) = K_B లేదా \(\frac{\mathrm{P}_1 \mathrm{~V}_1}{\mathrm{~N}_1 \mathrm{~T}_1}=\frac{\mathrm{P}_2 \mathrm{~V}_2}{\mathrm{~N}_2 \mathrm{~T}_2}\)
= K_B
K_B బోల్ట్స్మన్ స్థిరాంకము అన్ని వాయువులకు సమానము. కావున P, V, T లు సమానంగా ఉంటే అవాయువులలో గల అణువుల సంఖ్య N కూడా సమానంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
నిజ వాయువు ఆదర్శ వాయువు లాగా ఎప్పుడు ప్రవర్తిస్తుంది ?
జవాబు:
ఆదర్శ వాయువు అనేది ఒక వాయువుకు సరళ, సైద్ధాంతిక నమూనా. ఏ నిజ వాయువైనా యధార్థంగా ఆదర్శ వాయువు కాదు. అల్ప పీడనాలు, అధిక ఉష్ణోగ్రతల వద్ద కొన్ని నిజ వాయువులు (H₂, O₂, N₂, He వంటివి) ఆదర్శ వాయువులుగా ప్రవర్తిస్తాయి. వాయువులోని అణువుల మధ్య అన్యోన్య చర్యలు లేనప్పుడు వాయువు ఆదర్శ వాయువు వలె ప్రవర్తిస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
బాయిల్, ఛార్లెస్ నియమాలను పేర్కొనండి.
జవాబు:
బాయిల్ నియమం : ఉష్ణోగ్రత స్థిరంగా ఉన్నప్పుడు, ఇచ్చిన ద్రవ్యరాశి కలిగిన వాయు పీడనం (P), దాని ఘనపరిమాణానికి (V) విలోమానుపాతంలో మారుతూ ఉంటుంది.
∴ V ∝ \(\frac{1}{\mathrm{P}}\) లేక PV = స్థిరాంకం = K.
ఛార్లెస్ నియమం : స్థిర పీడనం వద్ద వాయువు ఘనపరిమాణము (V), దాని పరమ ఉష్ణోగ్రతకు (T) అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
∴ V ∝ T లేక = \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{T}}\) = K (స్థిరాంకము)

ప్రశ్న 5.
డాల్టన్ పాక్షిక పీడనాల నియమాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
డాల్టన్ పాక్షిక పీడనాల నియమము : స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద, వాయువుల మిశ్రమం మొత్తం పీడనం ఆ మిశ్రమంలోని వివిధ వాయువులు కలుగజేసే పాక్షిక పీడనాల మొత్తానికి సమానము.
మొత్తం పీడనం, P = P₂ + P₂ + P₃
ఇక్కడ P₁, P₂, P₃……………………..మిశ్రమంలోని వివిధ వాయువులు కలుగచేసే పాక్షిక పీడనాలు.

ప్రశ్న 6.
పాత్రలోని ఆదర్శ వాయువు పీడనం పాత్ర ఆకారంపై ఆధారపడదు – వివరించండి.
జవాబు:
నిర్వచనం ప్రకారముగా, వాయు పీడనము ఆ వాయు అణువులు పాత్ర గోడలపై జరిపే వరుస అభిఘాతాల ఫలితము అని తెలియుచున్నది. ఇటువంటి ప్రతి అభిఘాతములో కొంత ద్రవ్యవేగము అణువుల నుండి పాత్ర ‘గోడలకు అందుతుంది. ఈ మార్పు పాత్ర యొక్క ఆకారంపై ఆధారపడదు ఎందుకనగా తుది ఫలితంలో పాత్ర వైశాల్యం A, అభిఘాతం సమయం ∆t లు ఉండవు. కావున, పాత్రలోని ఆదర్శ వాయువు పీడనం పాత్ర ఆకారంపై ఆధారపడదు.

ప్రశ్న 7.
వాయువులోని అణువుల స్వతంత్ర పరిమితులనే భావనను వివరించండి.
జవాబు:
అంతరాళంలో స్వేచ్ఛగా చలిస్తున్న అణువు యొక్క స్థానాన్ని నిర్దేశించడానికి కావలసిన నిరూపకాల సంఖ్యను స్వతంత్ర పరిమితులు అని చెప్పవచ్చును.

ప్రశ్న 8.
వాయు అణువు గతిజశక్తికీ, వాయు పీడనానికి మధ్య సంబంధాన్ని తెలిపే సమాసం ఏమిటి ?
జవాబు:
ఆదర్శ వాయువు యొక్క పీడనము ఆ వాయు అణువుల యొక్క సగటు గతిజశక్తికి \(\frac{2}{3}\) వ వంతు ఉంటుంది.
P = \(\frac{2}{3}\) E

ప్రశ్న 9.
వాయువు పరమ ఉష్ణోగ్రతను 3 రెట్లు పెంచితే, ఆ వాయు అణువు rms వేగంలో పెరుగుదల ఎంత ఉంటుంది ?
జవాబు:
వాయువు పరమ ఉష్ణోగ్రత మరియు వాయు అణువు rms వేగముల మధ్య సంబంధం
C ∝ \(\sqrt{\mathrm{T}}\).
కావున, పరమ ఉష్ణోగ్రతను 3 రెట్లు పెంచితే rms వేగం \(\sqrt{3}\) C అవుతుంది.
∴ rms వేగం పెరుగుదల = \(\sqrt{3}\) C – C = 0.732C = 73.2%

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఉష్ణోగ్రతకు గతిక అర్థ వివరణను వివరించండి.
జవాబు:
వాయు అణుచలన సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఒక మోల్ వాయువు కలిగించే పీడనం P కి సమీకరణము
P = \(\frac{1}{3}\) ρC²
⇒ P = \(\frac{1}{3}\) \(\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}\) C² (∵ సాంద్రత, ρ = \(\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}\))
⇒ PV = \(\frac{1}{3}\) MC²
⇒ \(\frac{1}{3}\) MC² = RT ………………… (1)
(∵ PV = RT (1 మోల్ వాయువునకు))
⇒ C² = \(\frac{3 \mathrm{RT}}{\mathrm{M}}\) లేక C² ∝ T
⇒ C ∝ \(\sqrt{\mathrm{T}}\) లేక \(\sqrt{\mathrm{T}}\) ∝ C …………………. (2)
కావున, ఒక ఆదర్శ వాయువు యొక్క పరమ ఉష్ణోగ్రత వర్గమూలం దాని అణువుల యొక్క rms వేగానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
మరియు సమీకరణం (1) నుండి
\(\frac{1}{3} \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{N}_{\mathrm{A}}}\)C² = \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{N}_{\mathrm{A}}}\) T = K_BT (లేక) = \(\frac{1}{2}\) mc² = \(\frac{3}{2}\) k_BT
⇒ \(\frac{1}{2}\) mc² ∝ T (∵ \(\frac{3}{2}\) k_B ఒక స్థిరాంకం)
కాని \(\frac{1}{2}\) mc² అనునది వాయువులోని అణువుల సగటు స్థానాంతరణ గతిజశక్తి.
కాబట్టి, వాయు అణువుల సగటు స్థానాంతరణ గతిజశక్తి ఆ వాయువు యొక్క పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
ఏకపరమాణుక, ద్విపరమాణుక, బహు పరమాణుక వాయువుల విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యాన్ని శక్తి సమవిభాజన నియమం ఆధారంగా ఏ విధంగా వివరించవచ్చు ?
జవాబు:
శక్తి సమవిభజన నియమం ప్రకారం ఒక్కొక్క స్వేచ్ఛా కంపన స్థితికి గల వక్తి = \(\frac{1}{2}\)K_BT
ఏకపరమాణుక వాయువులకు మూడు స్వతంత్ర పరిమితులు ఉంటాయి. ఒక మోల్ వాయువుకు శక్తి
U = \(\frac{3}{2}\) K_BT × N_A = \(\frac{3}{2}\) RT
∴ స్థిర ఘనపరిమాణ విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యము \(\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{dT}}\) = \(\frac{3}{2}\) R
స్థిర పీడన విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యము C_p = C_v + R = (\(\frac{3}{2}\) + 1) = \(\frac{5}{2}\) R
ద్విపరమాణుక వాయువుకు మూడు స్థానాంతరణ, 2 భ్రమణ స్వతంత్ర పరిమితులు కలవు. మొత్తం స్వతంత్ర పరిమితుల సంఖ్య 5.
∴ ఒక మోల్ వాయువుకు శక్తి U = 5 × \(\frac{1}{2}\) k_B× N_A = \(\frac{5}{2}\) RT
స్థిర ఘనపరిమాణ విశిష్టోష్టము C_v = \(\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{dT}}\) = \(\frac{5}{2}\) R
స్థిర పీడన విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యము C_p = C_v + R = (\(\frac{5}{2}\) + 1) R = \(\frac{7}{2}\) R
బహుపరమాణుక వాయువులకు మూడు స్థానాంతరణ, మూడు భ్రమణ మరియు కనీసం ఒక కంపన స్వతంత్ర రీతులు ఉంటాయి.
∴ 1 మోల్ వాయువు శక్తి U = (\(\frac{3}{2}\) k_BT + \(\frac{3}{2}\) k_BT + \(\frac{3}{2}\) k_BT) N_A
∴ U = (3 + f) K_BTN_A = (3 + f) R
∴ C_v = \(\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{dT}}\) = (3 + f) R; C_p = C_v + R = (4 + f) R

ప్రశ్న 3.
అణుచలన సిద్ధాంతం ఆధారంగా పరమ శూన్య ఉష్ణోగ్రత భావనను వివరించండి.
జవాబు:
వాయు అణుచలన సిద్ధాంతం ప్రకారంగా, ఒక మోల్ ఆదర్శ వాయువు కలుగజేసే పీడనము,
P = \(\frac{1}{3}\) ρC² ⇒ P = \(\frac{1}{3}\) \(\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}\) C²
⇒ P = \(\frac{1}{3}\) MC²
⇒ \(\frac{1}{3}\) MC² = RT …………… (1) (∵ PV = RT)
పరమ శూన్య ఉష్ణోగ్రత :
ఉష్ణోగ్రత, T = 0 అయిన సమీకరణం (1) నుండి, C = 0 కాబట్టి, పరమశూన్య ఉష్ణోగ్రత అనగా వాయు అణువుల యొక్క rms వేగము శూన్యముగా మారు ఉష్ణోగ్రత. అనగా, పరమ శూన్య ఉష్ణోగ్రత వద్ద వాయు అణువులలో ఎటువంటి కదలికా లేక నిశ్చల స్థితిలో ఉండును.

ఈ నిర్వచనము కేవలము ఆదర్శ వాయువులకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది. కానీ, వాడుకలో ఉన్న నిజ వాయువులు ఆదర్శ వాయువులుగా అతి తక్కువ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద వ్యవహరించవు.

ప్రశ్న 4.
ఆదర్శ వాయువులోని అణువు సగటు గతిజశక్తి, వాయువు పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుందని రుజువు చేయండి.
జవాబు:
వాయు అణుచలన సిద్ధాంతం ప్రకారంగా, ఒక మోల్ ఆదర్శ వాయువు కలుగజేసే పీడనము,
P = \(\frac{1}{3}\) ρC² ఇచ్చట ρ = వాయుసాంద్రత
∴ P = \(\frac{1}{3}\) \(\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}\) C²
⇒ PV = \(\frac{1}{3}\) MC²
కాని PV = RT (ఆదర్శ వాయు సమీకరణము నుండి)
∴ \(\frac{1}{3}\) MC² = RT
⇒ \(\frac{1}{3} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{N}_{\mathrm{A}}}\) C² = \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{N}_{\mathrm{A}}}\) T = k_BT (∵ K_B = \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{N}_{\mathrm{A}}}\))
⇒ \(\frac{1}{2}\) mc² = \(\frac{3}{2}\) k_BT (లేదా)
⇒ \(\frac{1}{2}\) mc² ∝ T
\(\frac{1}{2}\) mc² అనగా వాయువులోని అణువు సగటు గతిజశక్తి.
కాబట్టి, ఆదర్శ వాయువులోని అణువు సగటు గతిజశక్తి, వాయువు పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
V₁, V₂ ఘనపరిమాణాలు కలిగిన రెండు ఉష్ణ బంధక పాత్రలు 1, 2 లను ఒక వాల్వుతో కలిపి వాటిలో ఉష్ణోగ్రతలు (T₁, T₂) పీడనాలు (P₁, P₂) వరుసగా ఉండేటట్లుగా గాలిని నింపారు. ఈ రెండు పాత్రలను కలిపే ఆ వాల్వ్ ను ఇప్పుడు తెరిస్తే, సమతాస్థితి వద్ద ఆ పాత్రల్లో ఉష్ణోగ్రత ఎంత ఉంటుంది ?
జవాబు:
ఆదర్శ వాయు సమీకరణము నుండి
\(\frac{\mathrm{P}_1 \mathrm{~V}_1}{\mathrm{~T}_1}\) = μ₁ R; మరియు \(\frac{\mathrm{P}_2 \mathrm{~V}_2}{\mathrm{~T}_2}\) = μ₂R
వాయు పాత్రలు ఉష్ణబంధక పాత్రలు గనుక, ఎటువంటి బాహ్యపని జరుగదు, కనుక మొత్తం శక్తి స్థిరముగా ఉండును.
కాబట్టి, \(\frac{3}{2}\) (P₁V₁ + P₂V₂) = \(\frac{3}{2}\) P(V₁ +V₂)
∴ మిశ్రమ పీడనము P = \(\frac{P_1 V_1+P_2 V_2}{V_1+V_2}\) …………… (2)
రెండు వాయువుల మిశ్రమంలో,
(μ₁ + μ₂) RT = P(V₁ + V₂)
ఇందులో T = మిశ్రమ ఉష్ణోగ్రత
సమీకరణాలు (1), (2) లను పై సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా,

ఇదే సమతాస్థితి వద్ద ఆ పాత్రల్లో ఉన్న గాలి యొక్క ఉష్ణోగ్రత.

ప్రశ్న 6.
ఒకే ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న ఆక్సిజన్, హైడ్రోజన్ అణువుల rms వడుల నిష్పత్తి ఎంత ? (మే 2014)
జవాబు:
T ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న ఆక్సిజన్ వాయువులోని అణువుల rms వడి,
C_{ఆక్సి} = \(\sqrt{\frac{3 \mathrm{RT}}{\mathrm{M}_0}}\) = \(\sqrt{\frac{3 \mathrm{RT}}{32}}\)
అదే ఉష్ణోగ్రత (T) వద్ద ఉన్న హైడ్రోజన్ వాయు అణువుల rms వడి,
C_హై = \(\sqrt{\frac{3 \mathrm{RT}}{\mathrm{M}_{\mathrm{H}}}}=\sqrt{\frac{3 \mathrm{RT}}{1}}=\sqrt{3 \mathrm{RT}}\)
ఆక్సిజన్, హైడ్రోజన్ అణువుల rms వడుల నిష్పత్తి

∴ C_{ఆక్సి} : C_హై = 1 : 5.656

ప్రశ్న 7.
ఒక వాయువులోని నాలుగు అణువులు 1, 2, 3, 4km/s ల వడులు కలిగి ఉన్నాయి. ఆ వాయు అణువు rms వడిని కనుక్కోండి.
జవాబు:
ఇక్కడ, C₁ = 1 km/s; C₂ = 2 km/s; C₃ = 3 km/s; C₄ = 4km/s
వాయు అణువుల rms వడి,
C_rms = \(\sqrt{\frac{\mathrm{c}_1^2+\mathrm{C}_2^2+\mathrm{C}_3^2+\mathrm{C}_4^2}{4}}\) = \(\sqrt{\frac{1^2+2^2+3^2+4^2}{4}}\)
= \(\sqrt{\frac{1+4+9+16}{4}}\) = \(\sqrt{7.5}\)
∴ C_rms = 2.75 km/s

ప్రశ్న 8.
ఒక వాయువుకు f స్వతంత్ర పరిమితులు ఉంటే, C_p, C_v ల నిష్పత్తిని కనుక్కోండి.
జవాబు:
ఒక బహుపరమాణుక వాయువుకు ‘f’ స్వతంత్ర పరిమితులు ఉన్నాయి అని అనుకొనుము.
కాబట్టి, ఒక గ్రాము మోల్ వాయువు యొక్క అంతర్గత శక్తి,

ప్రశ్న 9.
127°C వద్ద ఉన్న 1 గ్రాము హీలియం (అణుభారం 4) కు అణు గతిజశక్తిని లెక్కించండి. R = 8.31 J mol^-1 K^-1.
జవాబు:
n = హీలియం వాయువులోని మోలుల సంఖ్య = \(\frac{1 \mathrm{gm}}{4 \mathrm{gm} \mathrm{mol}^{-1}}\) = 0.25 మోల్
R = 8.314 J mol^-1 K^-1,
T = 127°C = 127 + 273 = 400K
∴ అణు గతిజశక్తి = \(\frac{3}{2}\) nRT = \(\frac{3}{2}\) × 0.25 mol × 8.314 J mol^-1 K^-1 × 400K = 1247.1 J

ప్రశ్న 10.
ఒక వాయువుకు పీడనం 2% పెరిగితే, దాని ఘనపరిమాణంలో తగ్గుదల శాతం ఎంత వుంటుంది ? వాయువు బాయిల్ నియమం పాటిస్తుందని ఊహించండి.
జవాబు:
ఒక వాయువు యొక్క తొలిపీడనం ‘P’ మరియు ఘనపరిమాణం ‘V’ అని అనుకొనుము.
ఆ వాయు పీడనం 2% పెరిగితే, కొత్త పీడనం,
P’ = P + \(\frac{2}{100}\) P
⇒ P¹ = \(\frac{102}{100}\) P
బాయిల్ నియమం ప్రకారం, PV = స్థిరాంకం ⇒ PV = P¹V¹
⇒ PV = \(\frac{102}{100}\) P × V¹
⇒ V¹ = \(\frac{100}{102}\) V
వాయు ఘనపరిమాణంలో తగ్గుదల శాతం = \(\frac{\mathrm{V}-\mathrm{V}^{\prime}}{\mathrm{V}}\) × 100 = \(\frac{\left(\mathrm{V}-\frac{100}{102} \mathrm{~V}\right)}{\mathrm{V}}\) × 100 = \(\frac{2}{102}\) × 100 = 1.96%
కావున వాయుపీడనం 2% పెరిగితే వాయు ఘనపరిమాణం 1.96% తగ్గుతుంది.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
అణుచలన సిద్ధాంతం నుంచి ఒక పాత్రలోని ఆదర్శ వాయువు పీడనానికి సమాసం రాబట్టి, తద్వారా ఉష్ణోగ్రతకు గతిక అర్ధ వివరణను ఇవ్వండి.
జవాబు:
భుజము పొడవు ‘ ఉన్న ఒక ఘనాన్ని తీసుకోండి. దాని భుజముల వెంబడి నిరూపకాక్షాలు x, y మరియు Z అనుకోండి. ఈ దిశలలో వాయు అణువు వేగ అంశాలు v_x, v_y మరియు v_z అనుకోండి. y – z తలానికి లంబంగా X – అక్షం వెంబడి చలించే అణువు వేగము v_x. ఇది y – z తలంతో స్థితిస్థాపక అభిఘాతం జరపడం వల్ల వచ్చిన దిశలో వెనుకకు మరలుతుంది కావున వేగాలు v_y, v_z లు ప్రభావితం కావు.

x – దిశలో వాయు అణువు ద్రవ్యవేగంలో మార్పు తుది ద్రవ్య వేగము (-mv_x) – తొలి ద్రవ్య వేగము (mv_x) = -mv_x – (mv_x) = -2mv_x …………… (1)

పాత్ర గోడ వైశాల్యము A అనుకుంటే ∆t కాలంలో పాత్ర గోడ నుండి v_x ∆t దూరంలో గల అణువులు మాత్రమే గోడను ఢీకొంటాయి. కావున Av_x. ∆t ఘనపరిమాణంలో ఏకాంక ఘనపరిమాణానికి గల అణువుల సంఖ్య ‘n’ అనుకుంటే వీటిలో సగం పాత్రవైపు మిగిలినవి పాత్ర గోడ నుండి దూరంగా చలిస్తాయి. కావున ∆t కాలంలో గోడకు బదిలీ ఐన ద్రవ్యవేగము

Q = 2mv_x × గోడను తాకిన అణువుల సంఖ్య
∴ Q = 2mv_x (\(\frac{1}{2}\)n . Av_x∆t)
పాత్ర గోడ y, z తలంపై పీడనము

పాస్కల్ నియమం ప్రకారం పాత్ర అంతటా ఒకే పీడనం ఉంటుంది. కాబట్టి x, y, z దిశలో ఏ దిశ వెంబడి అయినా పీడనం విలువ ఒక్కటే.

పై సమీకరణలో పాత్ర ఆకారానికి సంబంధించిన పదం లేకపోవడం వల్ల ఈ సమీకరణ ఎటువంటి ఆకారం గల పాత్రకైనా వర్తిస్తుంది.

ఉష్ణోగ్రతకు గతిక వివరణ :
వాయు సమీకరణం నుండి PV = \(\frac{1}{3} \mathrm{nvm} \overline{v^2}\) = \(\frac{2}{3} \mathrm{~N}\left(\frac{1}{2} \mathrm{~m} \overline{\mathrm{v}^2}\right)\)
ఇందులో N = nv మరియు \(\frac{1}{2} m \overline{v^2}\) = గతిజశక్తి
ఆదర్శ వాయువు అంతర్గత శక్తి శుద్ధంగా గతిజశక్తి కావున E = N.\(\frac{1}{2}\)mv²
∴ PV = \(\frac{3}{2}\) E = \(\frac{3}{2}\) K_BNT పై సమీకరణాల నుండి
\(\frac{E}{N}=\frac{1}{2} m \overline{v^2}\) ; మరియు \(\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{N}}=\frac{3}{2}\)K_BT ⇒ \(\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{N}}\) ∝ T
అనగా ఒక అణువు సగటు గతిజశక్తి దాని పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. ఇది వాయువు పీడనం, పాత్ర ఘనపరిమాణం మీద ఆధారపడని ఉష్ణ గతిక చలరాశి.

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
STP వద్ద ఆక్సిజన్ వాయువు ఆక్రమించే ఘనపరిమాణంలో, ఆక్సిజన్ అణు ఘనపరిమాణ భాగాన్ని అంచనావేయండి. ఆక్సిజన్ అణువు వ్యాసాన్ని 3 Å గా తీసుకోండి.
సాధన:
ఇచ్చట అణువు వ్యాసము, d = 3 ,
అణువు వ్యాసార్ధము, r = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{2}}\) = \(\frac{3}{2}\) Å = \(\frac{3}{2}\) × 10^-8 cm.
అణు ఘనపరిమాణము, V = \(\frac{4}{3}\) πr³ . N,
ఇచ్చట N అనునది అవొగాడ్రో సంఖ్య
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) (1.5 × 10)³ × (6.023 × 10²³) = 8.52 cc.
STP వద్ద 1 మోల్ వాయువు ఆక్రమించు నిజ ఘనపరిమాణము, V’ = 22400 cc
∴ \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{V}^{\prime}}\) = \(\frac{8.52}{22400}\) = 3.8 × 10^-4 ≈ 4 × 10^-4

ప్రశ్న 2.
ప్రామాణిక ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద (STP : 1 వాతావరణ పీడనం, 0°C) ఏదైనా ఒక మోల్ (ఆదర్శ) వాయువు ఆక్రమించే ఘనపరిమాణాన్ని మోలార్ ఘనపరిమాణం అంటారు. ఇది 22.4 లీటర్లు అని చూపండి.
సాధన:
1 మోల్ ఆదర్శ వాయువుకు, PV = RT ∴ V = \(\frac{\mathrm{RT}}{\mathrm{P}}\)
R = 8.31 J mole^-1 K^-1, T = 273 K, మరియు P = 1 వాతావరణ పీడనం = 1.013 × 10⁵ Nm^-2 విలువలను పై సమీకరణములో ప్రయోగించగా,
V = \(\frac{8.31 \times 273}{1.013 \times 10^5}\) = 0.0224 m³ = 0.0224 × 10⁶ cc = 22400 cc = 22.4 లీటర్లు.

ప్రశ్న 3.
రెండు వేరు వేరు ఉష్ణోగ్రతల వద్ద 1.00 × 10^-3 kg ఆక్సిజన్ వాయువుకు PV/Tకి P కీ మధ్య గ్రాఫ్ వక్రాన్ని పటం సూచిస్తుంది.
a) చుక్కల గీత వక్రం ఏ ప్రాధాన్యతను సూచిస్తుంది ?
b) వీటిలో ఏది నిజం : T₁ >T₂ (లేదా) T₁ < T₂?
c) Y-అక్షంపై వక్రాలు కలిసిన చోట PV/T విలువ ఎంత ?
d) 1.00 × 10^-3 kg హైడ్రోజనక్కు ఇటువంటి వక్రాలే వస్తే, Y-అక్షంపై వక్రాలు కలిసిన చోట PV/T కి ఇదే విలువ వస్తుందా ? ఒకవేళ రాకుంటే, ఎంత ద్రవ్యరాశి ఉన్న హైడ్రోజన్, అదే PV/T విలువను ఇస్తుంది. (గ్రాఫ్లో అల్పపీడనం, అధిక ఉష్ణోగ్రత ఉన్న ప్రాంతానికి) ? (H₂ అణు ద్రవ్యరాశి = 2.02 u, O₂ అణు ద్రవ్యరాశి = 32.0 u, R = 8.31 Jmol^-1 K^-1.)

సాధన:
a) చుక్కల గీత \(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{T}}\) (= μR) అనునది స్థిరరాశి అని సూచిస్తుంది. ఇది పీడనంపై ఆధారపడదు. చుక్కల గీత వక్రం ఆదర్శ వాయు ప్రవర్తనను సూచిస్తుంది.

b) T₁ ఉష్ణోగ్రతా వక్రం, T₂ ఉష్ణోగ్రతా వక్రం కన్నా చుక్కల గీతకు సమీపంలో ఉంది. ఉష్ణోగ్రతను పెంచినపుడు నిజవాయువు ప్రవర్తన ఆదర్శ వాయు ప్రవర్తనకు దగ్గరగా ఉంటుంది. అందువల్ల T₁ > T₂.

c) Y-అక్షంపై వక్రాలు కలిసిన చోట \(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{T}}\) విలువ μ R కు సమానం.
∴ \(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{T}}\) = μR = \(\left(\frac{1}{32}\right)\) × 8.31 JK^-1 = 0.26 JK^-1

d) Y-అక్షంపై వక్రాలు కలిసిన చోట \(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{T}}\) కి ఇదే విలువ రాదు. Y-అక్షంపై వక్రాలు కలిసిన చోట ఇదే విలువ రాదు. ఎందువలన అనగా ఆక్సిజన్ అణు ద్రవ్యరాశి, హైడ్రోజన్ అణు ద్రవ్యరాశికి మధ్య తేడా ఉంటుంది. \(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{T}}\) విలువ పైన ఉదహరించినట్లుగా రావలెనంటే, కావలసిన హైడ్రోజన్ ద్రవ్యరాశి
\(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{T}}\) = μR = \(\frac{\mathrm{m}}{2.02}\) × 8.31 = 0.26
m = \(\frac{2.02 \times 0.26}{8.31}\) gram = 6.32 ×10^-2 gram.

ప్రశ్న 4.
30 లీటర్ల ఘనపరిమాణం ఉన్న ఆక్సిజన్ సిలిండర్ తొలి గేజ్ పీడనం 15 atm, ఉష్ణోగ్రత 27°C. ఆ సిలిండర్ నుంచి కొంత ఆక్సిజన్ వాయువును తొలగించిన తరువాత గేజ్ పీడనం 11atm కు, ఉష్ణోగ్రత 17°Cకు పడిపోయాయి. అయితే, సిలిండరు నుంచి తొలగించిన ఆక్సిజన్ వాయువు ద్రవ్యరాశిని అంచనా కట్టండి.
(R = 8.31 J mole^-1 K^-1, O₂ అణు ద్రవ్యరాశి = 32 u).
సాధన:
ప్రారంభమున ఆక్సిజన్ సిలిండరు నందు, V₁ = 30 litres = 30 × 10^-3m³
P₁ = 15 atm. = 15 × 1.01 × 10° Pa; T₁ = 27 + 273 = 300 K.
సిలిండర్ n₁ మోల్ల ఆక్సిజన్ కల్గియున్న P₁V₁ = n₁ RT₁
(లేదా) n₁ = \(\frac{\left(15 \times 1.01 \times 10^5\right) \times\left(30 \times 10^{-3}\right)}{8.3 \times 300}\) = 18.253
ఆక్సిజన్ అణువు భారం M = 32 g
సిలిండర్లో ఆక్సిజన్ అణువు తొలి ద్రవ్యరాశి = m₁ = n₁ M = 18.253 × 32 = 584.1 g.
చివరగా ఆక్సిజన్ సిలిండర్ నందు n₂ మోల్ల ఆక్సిజన్ మిగిలినది.
ఇచ్చట V₂ = 30 × 10^-3m³; P₂ = 11 × 1.01 × 10⁵ Pa; T₂ = 17 + 273 = 290 K
ఇపుడు n₂ = \(\frac{\mathrm{P}_2 \mathrm{~V}_2}{\mathrm{RT}_2}=\frac{\left(11 \times 1.01 \times 10^5\right) \times\left(30 \times 10^{-3}\right)}{8.3 \times 290}\) = 13.847
∴ సిలిండర్లో ఆక్సిజన్ వాయువు తుది ద్రవ్యరాశి, m₂ = 13.847 × 32 = 453.1 g
∴ సిలిండర్ నుంచి తొలగించిన ఆక్సిజన్ వాయువు ద్రవ్యరాశి = m₁ – m₂ = 584.1 – 453.1 = 131.0 g

ప్రశ్న 5.
40 m లోతు, 12°C ఉష్ణోగ్రత ఉన్న సరస్సు అడుగు నుంచి 1.0 cm³ ఘనపరిమాణం ఉన్న గాలి బుడగ పైకి లేస్తుంది. ఉష్ణోగ్రత 35°C ఉన్న సరస్సు ఉపరితలాన్ని చేరుకోగానే అది ఎంత ఘనపరిమాణానికి పెరుగుతుంది ?
సాధన:
V₁ = 1.0 cm³ = 1.0 × 10^-6 m³; T₁ = 12°C = 12 + 273 = 285 K;
P₁ = 1 atm. + h₁ ρg = 1.01 × 10⁵ + 40 × 10³ × 9.8 = 493000 Pa.
గాలి బుడగ సరస్సు ఉపరితలాన్ని చేరినపుడు
V₂ = ? ; T₂ = 35°C = 35 + 273 = 308 K; P₂ = 1 atm. = 1.01 × 10⁵ Pa
ఇప్పుడు \(\frac{\mathrm{P}_1 \mathrm{~V}_1}{\mathrm{~T}_1}=\frac{\mathrm{P}_2 \mathrm{~V}_2}{\mathrm{~T}_2}\) or V₂ = \(\frac{\mathrm{P}_1 \mathrm{~V}_1 \mathrm{~T}_2}{\mathrm{~T}_1 \mathrm{P}_2}\)
∴ V₂ = \(\frac{(493000) \times\left(1.0 \times 10^{-6}\right) \times 308}{285 \times 1.01 \times 10^5}\) = 5.275 × 10^-6 m³

ప్రశ్న 6.
27°C ఉష్ణోగ్రత 1 atm పీడనం వద్ద 25.0 m³ ఘనపరిమాణం ఉన్న గదిలోని మొత్తం గాలి (ఆక్సిజన్, నైట్రోజన్, నీటి ఆవిరి, ఇతర అంతర్భాగాలను కలుపుకొని) అణువుల సంఖ్యను అంచనా కట్టండి.
సాధన:ద
త్తాంశము ప్రకారము V = 25.0m³; T = 27 + 273 = 300 K; k = 1.38 × 10^-23 JK^-1;
ఇప్పుడు, PV = nRT = n(Nk)T = (nN) kT = N’ kT
nN = N’ = గదిలోని మొత్తం గాలిలో గల అణువుల సంఖ్య.
∴ N’ = \(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{kT}}=\frac{\left(1.01 \times 10^5\right) \times 25}{\left(1.38 \times 10^{-23}\right) \times 300}\) = 6.10 × 10²⁶

ప్రశ్న 7.
హీలియం పరమాణువు సగటు ఉష్ణశక్తిని,
(i) గది ఉష్ణోగ్రత (27°C),
(ii) సూర్యుని ఉపరితల ఉష్ణోగ్రత (6000 K),
(iii) 10 మిలియన్ కెల్విన్ ఉష్ణోగ్రత (ఒక నక్షత్రం యొక్క మాదిరి అంతర్భాగ ఉష్ణోగ్రత) ల వద్ద అంచనా కట్టండి.
సాధన:
i) దత్తాంశము ప్రకారము T = 27°C = 27 + 273 = 300 K
సగటు ఉష్ణశక్తి = \(\frac{3}{2}\) kT = \(\frac{3}{2}\) × 1.38 × 10^-23 × 300 = 6.2 × 10^-21 J.

ii) T = 6000 K, సగటు ఉష్ణశక్తి = \(\frac{3}{2}\) kT = \(\frac{3}{2}\) × 1.38 × 10^-23 × 6000 = 1.24 × 10^-19 J.

iii) T = 10 మిలియన్ కెల్విన్ K = 10⁷ K వద్ద
సగటు ఉష్ణశక్తి = \(\frac{3}{2}\) kT = \(\frac{3}{2}\) × 1.38 × 10^-23 × 10 7 = 2.1 × 10^-16 J.

ప్రశ్న 8.
సమాన ఘనపరిమాణాలు ఉన్న మూడు పాత్రలలోని వాయువులు ఒకే ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద ఉన్నాయి. మొదటి పాత్రలో నియాన్ (ఏకపరమాణుక), రెండో దానిలో క్లోరిన్ (ద్విపరమాణుక), మూడో దానిలో యురేనియం హెక్సాఫ్లోరైడ్ (బహుపరమాణుక) వాయువులు ఉన్నాయి. ఈ పాత్రలలో ఉన్న సంబంధిత వాయు అణువుల సంఖ్యలు సమానంగా ఉంటాయా ? ఈ అణువుల rms (వడి వర్గమధ్యమ వర్గమూల) వడి మూడు సందర్భాల్లో సమానంగా ఉంటుందా ? అలా ఉండకపోతే, ఏ సందర్భానికి V_rms అత్యధికమై ఉంటుంది ?
సాధన:
మూడు పాత్రలు (ఒకే ఉష్ణోగ్రత మరియు పీడనం వద్ద) సమాన ఘనపరిమాణాన్ని కలిగి ఉన్నాయి. అవొగాడ్రో నియమం ప్రకాకరము మూడు పాత్రలు సమాన సంఖ్యలో అణువులను కలిగి ఉంటాయి. ఇది అవొగాడ్రో సంఖ్యకు
సమానము.
అనగా N = 6.023 × 10²³.
నిర్ణీత ఉష్ణోగ్రత వద్ద V_rms = \(\sqrt{\frac{3 \mathrm{kT}}{\mathrm{m}}}\) i.e., V_rms ∝ \(\frac{1}{\sqrt{m}}\)
అణువుల rms వేగము మూడు సందర్భాలలో సమానము కాదు. నియాన్కు అతి తక్కువ ద్రవ్యరాశీ వుంటుంది. కావున rms వేగం చాలా ఎక్కువ.

ప్రశ్న 9.
ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఆర్గాన్ వాయువు సిలిండర్లోని ఒక పరమాణువు rms వడి -20°C వద్ద ఉన్న హీలియం పరమాణువు rms వడికి సమానంగా ఉంటుంది (Ar పరమాణు ద్రవ్యరాశి = 39.9 u, He పరమాణు ద్రవ్యరాశి = 4.0u).
సాధన:
TK మరియు T’ K ఉష్ణోగ్రతల వద్ద వరుసగా ఆర్గాన్ మరియు హీలియం వాయు పరమాణువులు. rms వేగము C మరియు C’ అని అనుకొనుము.
ఇచ్చట, M = 39.9 ; M’ = 4.0; T= ? T’ = -20 + 273 = 253K

ప్రశ్న 10.
ఒక సిలిండర్లో 2.0 atm పీడనం, 17°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న నైట్రోజన్ వాయు అణువు స్వేచ్ఛా పథమధ్యమాన్ని, అభిఘాత పౌనఃపున్యాన్ని లెక్కించండి. నైట్రోజన్ అణువు వ్యాసార్ధాన్ని సుమారు 1.0Å గా తీసుకోండి. దాని అభిఘాత కాలాన్ని రెండు వరుస అభిఘాతాల మధ్య అణువు స్వేచ్ఛగా తిరగడానికి పట్టే కాలంతో పోల్చండి. N₂ అణువు ద్రవ్యరాశి = 28.0 u),
సాధన:
λ = ?, f = ? ; p = 2 atm = 2 × 1.013 × 10⁵ Nm^-2; T = 17°C = (17 + 273) K = 290 K
σ = 2 × 1 = 2 Å = 2 × 10^-10 m; k = 1.38 × 10^-23 J molecule^-1 K^-1‚ M = 28 × 10^-3 kg

అభిఘాత పౌనఃపున్యము = ఒక సెకనులో జరిగే అభిఘాతాల సంఖ్య = \(\frac{\mathrm{v}_{\mathrm{rms}}}{\lambda}=\frac{508.24}{1.11 \times 10^{-7}}\) = 4.58 × 10⁹.

ప్రశ్న 11.
ఒక మీటరు పొడవు కలిగి, ఇరుకైన బోలు రంధ్రం (bore) ఉన్న (ఒకవైపు మూసిన) గొట్టాన్ని క్షితిజ సమాంతరంగా ఉంచినప్పుడు, అందులో 76 cm పొడవైన పాదరస దారం (thread) ఉంటే, అది 15 cm (పొడవైన) ల గాలి స్తంభాన్ని పట్టుకోగలుగుతుంది. ఇప్పుడు గొట్టాన్ని, తెరిచిన కొన కిందివైపు ఉండేటట్లు నిలువుగా ఉంచితే ఏం జరుగుతుంది?
సాధన:
గాజు గొట్టమును క్షితిజ సమాంతరంగా వుంచిన, 76 cm పొడవుగా గల పాదరసం 15 cm పొడవు గల గాలిని బంధించును. తెరిచి ఉన్న వైపు 9 cm పొడవు గల గొట్టం మిగిలి ఉంటుంది.
గొట్టంలో గల గాలిపై వాతావరణ పీడనం వుండును.
గొట్టం అడ్డుకోత వైశాల్యంను 1sq.cm. అని అనుకొనుము.
∴ P₁ = 76 cm మరియు V₁ = 15 cm³.
అదే గొట్టమును నిట్టనిలువుగా వుంచిన, 15cm పొడవు గల గాలి అదనముగా 9 cm పెరుగును. మరియు పాదరసం, వాతావరణ పీడనమును సమము చేయుటకు h cm దూరం బయటకి ప్రవహించును. దీనిని పటం (b)లో చూపితిమి. అందువలన గాలి ఎత్తు మరియు పాదరసం ఎత్తు వరుసగా (24 + h) cm మరియు (76 – h) cm.
గాలి పీడనము = 76 – (76 – b) = h cm పాదరసం

∴ V₂ = (24 + b) cm³ మరియు P₂ = h cm
ఉష్ణోగ్రత స్థిరం అని ఊహించిన
P₁V₁ = P₂V₂
(లేదా) 76 × 15 = h × (24 + b)
(లేదా) h² + 24h – 1140 = 0
(లేదా) h = \(\frac{-24 \pm \sqrt{(24)^2+4 \times 1140}}{2}\)
= 23.8 cm (లేదా) 47.8 cm
h అనునది ఋణాత్మకము కాదు. కావున
(ఎందువలన అనగా ఎక్కువ పాదరసం గొట్టంలో ప్రవహించదు)
h = 23.8 cm అందువల్ల, గొట్టం నిట్టనిలువు స్థితిలో 23.8 cm పాదరసం బయటికి వచ్చును.

ప్రశ్న 12.
ఒక నిర్దిష్టమైన పరికరం నుంచి హైడ్రోజన్ సగటు విసరణ రేటు విలువ 28.7 cm³s^-1 గా ఉంది. అదే పరిస్థితులలో ఉన్న మరొక వాయువు సగటు విసరణ రేటు 7.2 cm³s^-1 గా కొలవడమైంది. ఆ వాయువు ఏదో గుర్తించండి. సూచన : గ్రాహమ్ విసరణ నియమాన్ని ఉపయోగించండి. R₁/R₂ = (M₂/ M₁)^1/2 ఇందులో R₁, R₂ లు వరుసగా 1, 2 వాయువుల విసరణ రేట్లు, M₁, M₂లు వాటి (అనురూప) అణు ద్రవ్యరాశులు. అణుచలన సిద్ధాంతం యొక్క సరళమైన పర్యవసానమే ఈ నియమం.]
సాధన:
గ్రాహమ్ విసరణ వాయు నియమము ప్రకారము \(\frac{r_1}{r_2}=\sqrt{\frac{M_2}{M_1}}\)
హైడ్రోజన్ వాయువు విసరణ రేటు r₁ = 28.7 cm³ s^-1
వేరొక వాయువు విసరణ రేటు r₂ = 7.2 cm³ s^-1
M₁ = హైడ్రోజన్ అణు ద్రవ్యరాశి = 2 u
M₂ = ?
∴ \(\frac{28.7}{7.2}=\sqrt{\frac{\mathrm{M}_2}{2}}\) (లేదా) M₂ = \(\left(\frac{28.7}{7.2}\right)^2\) × 2 = 31.78 ≈ 32.
ఇది ఆక్సిజన్ వాయువు యొక్క అణు ద్రవ్యరాశి.

ప్రశ్న 13.
సమతాస్థితిలో ఉన్న వాయువు, దాని ఘనపరిమాణమంతటా ఏకరీతి సాంద్రత, పీడనాలను కలిగి ఉంది. ఇది తప్పనిసరిగా బాహ్య ప్రభావాలు లేనపుడే యదార్థం. ఉదాహరణకు, గురుత్వ ప్రభావంలో ఉన్న ఒక వాయు స్తంభం ఏకరీతి సాంద్రత (పీడనం) కలిగి ఉండదు. ఎత్తుతో దాని సాంద్రత తగ్గుతుందని మీరు ఊహించవచ్చు. ఎత్తుపై వాయు సాంద్రత కచ్చితంగా ఎలా ఆధారపడుతుందో మనం చెప్పుకొనే వాతావరణాల నియమం ఇవ్వగలుగుతుంది.
అది,
n₂ = n₁ exp [-mg (h₂ – h₁) / k_B T]
దీనిలోని ng, n, లు ఎత్తులు h, h, వద్ద గల సంఖ్య సాంద్రతను వరుసగా సూచిస్తాయి. ద్రవ స్తంభంలోని వ్యాక్షేపం (suspension) యొక్క అపసారం (మద్ది) (sedimentation)కు ఉండే కింది సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించటానికి పై సంబంధాన్ని ఉపయోగించండి.
n₂ = n₁ exp (-mg N_A (ρ – ρ’) (h₂ – h₁)/(ρRT)
ఇందులో p ద్రవంలో వేలాడే కణం సాంద్రత, p’ అనేది ఆ కణం చుట్టూ ఉన్న యానకం సాంద్రత (NA అవొగాడ్రో సంఖ్య. R సార్వత్రిక వాయు స్థిరాంకం) (సూచన : వేలాడే కణం దృశ్య భారాన్ని కనుక్కోవడానికి ఆర్కిమెడిస్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి.)
సాధన:
వాతావరణాల నియమం ప్రకారము n₂ = n₁ exp.[-\(\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{k}_{\mathrm{B}} \mathrm{T}}\) (h₂ – h₁] ………….. (i)
ఇచ్చట n₁, n₂ లు వరుసగా h₁, h₂ ఎత్తుల వద్ద కణాల సంఖ్యా సాంద్రతలు.

ద్రవ స్తంభంలోని వ్యాక్షేపం యొక్క అపసారంను పరిగణించినపుడు mg స్థానంలోని వ్యాక్షేపం చెందిన కణాల దృశ్యాభారంను తీసుకొనవలెను.

వ్రేలాడే కణం ఘనపరిమాణము V అని దాని సాంద్రతను ρ అని మరియు కణం చుట్టూ ఉన్న యానకం సాంద్రతను ρ’ అని, వ్రేలాడే ఒక కణం ద్రవ్యరాశి m అని, కణం వలన స్థానభ్రంశం చెందిన ద్రవం ద్రవ్యరాశిని m’ అని అనుకొనుము.

ఆర్కిమెడీస్ సూత్రమును అనుసరించి వ్రేలాడే ఒక్క కణం దృశ్యాభారం = నిజభారం – స్థానభ్రంశం చెందిన ద్రవభారం.
= mg – m’ g
= mg – V ρ’g – mg – \(\left(\frac{m}{\rho}\right)\) ρ’g = mg\(\left(1-\frac{\rho^{\prime}}{\rho}\right)\)
బోల్ట్ స్థిరాంకము ప్రకారము k_B = \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{N}_{\mathrm{A}}}\)
R = సార్వత్రిక వాయు స్థిరాంకము మరియు N_A = అవొగాడ్రో
mg స్థానంలో mg \(\left(1-\frac{\rho^{\prime}}{\rho}\right)\) ను మరియు k_B విలువను సమీకరణం (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
n₂ = n₁ exp. [\(\frac{\mathrm{mg} \mathrm{N}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{RT}}\left(1-\frac{\rho^{\prime}}{\rho}\right)\) (h₂ – h₁)]
ఇదే మనకు అవసరమయిన సంబంధం.

ప్రశ్న 14.
కొన్ని ఘనపదార్థాలకు, ద్రవాలకు సాంద్రతలను కింద ఇచ్చాం. వాటి పరమాణువుల పరిమాణా (size) లకు ఉజ్జాయింపు అంచనాలను ఇవ్వండి.

(సూచన : ఘన (పదార్థం) రూప, ద్రవరూప ప్రావస్థలో అణువులు దగ్గర దగ్గరగా బంధితమై ఉంటాయని ఊహించుకొంటూ మీకు తెలిసిన అవొగాడ్రో సంఖ్య విలువను ఉపయోగించండి. అయితే, వివిధ పరమాణు పరిమాణాలకు, ఈ విధంగా మీరు పొందే వాస్తవిక విలువలను నిజంగానే వాటికుంటాయని మాత్రం భావించకండి. దగ్గర దగ్గరగా అణువులు బంధితమై ఉంటాయనే ఉజ్జాయింపుకుండే ముడితత్వ భావన (Crudeness of the tight packing approximation) వల్ల, ఈ ఫలితాలు కొన్ని Åల వ్యాప్తిలో పరమాణు పరిమాణాలు ఉంటాయని మాత్రమే సూచిస్తాయి).
సాధన:
పరమాణు వ్యాసార్ధం r అయిన, పరమాణు ఘనపరిమాణం = \(\frac{4}{3}\) πr³
ఒక మోల్ పదార్థంలో B అన్ని పరమాణువుల ఘనపరిమాణం = \(\frac{4}{3}\) πr³ × N = \(\frac{\mathrm{M}}{\rho}\)
∴ r = \(\left[\frac{3 M}{4 \pi \rho N}\right]^{1 / 3}\)
కార్బన్కు M = 12.01 × 10^-3 kg, ρ = 2.22 × 10³ kg m^-3
కావున r = \(\frac{3 \times 12.01 \times 10^{-3}}{4 \times \frac{22}{7} \times\left(2.22 \times 10^3\right) \times\left(6.023 \times 10^{23}\right)}\) = 1.29 × 10^-10 m = 1.29 Å
ఇదే విధంగా బంగారం, r = 1.59 Å
ద్రవ నైట్రోజన్క r = 1.77 Å
లిథియమ్కు r = 1.73 Å
మరియు ద్రవ ఫ్లోరిన్్కు r = 1.88 Å

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 13th Lesson ఉష్ణోగతిక శాస్త్రం Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 13th Lesson ఉష్ణోగతిక శాస్త్రం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఉష్ణ సమతాస్థితిని నిర్వచించండి. ఇది ఉష్ణగతిక శాస్త్ర శూన్యాంక నియమానికి ఎలా దారితీసిందో తెలపండి.
జవాబు:
ఉష్ణ సమతాస్థితి : ఒక వ్యవస్థలోని స్థూలచరరాశులైన పీడనం, ఘనపరిమాణం, ఉష్ణోగ్రత, ద్రవ్యరాశి, వాటి సంఘటన కాలంతోపాటు మారకుండా ఉంటే ఆ వ్యవస్థ ఉష్ణ సమతాస్థితిలో ఉంది అంటారు.

రెండు వ్యవస్థలు ఉష్ణ సమతాస్థితిలో ఉండాలంటే ఆ రెండు వ్యవస్థల ఉష్ణోగ్రతలు సమానంగా ఉండాలి. ఈ భావన ఆధారంగా ఉష్ణ గతిక శాస్త్ర శూన్యాంక నియమం రూపుదిద్దుకుంది.

ప్రశ్న 2.
కెలోరిని నిర్వచించండి. కెలోరి, ఉష్ణయాంత్రిక తుల్యాంకాల మధ్య గల సంబంధం ఏమిటి ?
జవాబు:
కెలోరి : ఒక గ్రాము నీటి ఉష్ణోగ్రతను 1°C మేరకు పెంచడానికి కావలసిన ఉష్ణరాశిని కెలోరిగా నిర్వచించారు.

ప్రామాణిక కెలోరి లేదా సగటు 15°C కెలోరి : ఒక గ్రాము నీటి ఉష్ణోగ్రతను 14.5°C నుండి 15.5°C వరకు పెంచడానికి కావలసిన ఉష్ణరాశిని సగటు 15°C కెలోరిగా నిర్వచించారు.

ఉష్ణయాంత్రిక తుల్యాంకము (1) నిర్వచనం ప్రకారము J అనగా 1 కెలోరి ఉష్ణాన్ని జనింపచేయడానికి కావలసిన పని J = 4.186 J/g – k

ప్రశ్న 3.
a) శూన్యాంక నియమం
b) మొదటి నియమాల వల్ల ఏ ఉష్ణగతిక చరరాశులు నిర్వచించడమైంది ?
జవాబు:
a) ఉష్ణగతిక శాస్త్ర శూన్యాంక నియమం నుండి ఉష్ణోగ్రత మరియు ఉష్ణ సమతాస్థితి అన్న భావనలు రూపొందుకున్నాయి. ఫలితంగా ఉష్ణోగ్రతను కొలవడం అన్న భావన రూపుదిద్దుకుంది.

b) ఉష్ణగతిక శాస్త్ర మొదటి నియమం నుండి అంతరికశక్తి ∆U = ∆Q – ∆W వ్యవస్థ పని జరిగే మార్గంపై ఆధారపడక కేవలం వ్యవస్థ తొలిస్థితి (i) మరియు తుది స్థితి (f) పైనే ఆధారపడుతుంది అని స్పష్టం చేసింది.

ప్రశ్న 4.
పదార్థ విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యాన్ని నిర్వచించండి. అది వేటి మీద ఆధారపడి ఉంటుంది ?
జవాబు:
విశిష్టోష్ణ సామర్ధ్యం (S) : ప్రమాణ ద్రవ్యరాశిగల పదార్థంలో ఏకాంక ఉష్ణోగ్రతా మార్పు కోసం అందజేసిన ఉష్ణరాశిని లేదా కోల్పోయిన ఉష్ణరాశిని విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యము అంటారు.

విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యం S = \(\frac{1}{\mathrm{~m}} \frac{\Delta \mathrm{Q}}{\Delta \mathrm{T}}\) ప్రమాణము J/kg-k

విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యము ఒక వస్తువుకు సంబంధించిన భౌతిక స్థిరరాశి. ఇది పదార్థపు రసాయన సంఘటనముపై ఆధారపడును.

ప్రశ్న 5.
మోలార్ విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యాన్ని నిర్వచించండి.
జవాబు:
మోలార్ విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యం : 1 గ్రామ్ మోల్ ద్రవ్యరాశిగల పదార్థానికి అందజేసిన ఉష్ణరాశి ∆Q మరియు దాని ఉష్ణోగ్రతలోని మార్పు ∆T కి గల నిష్పత్తిని మోలార్ విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యము అంటారు.
మోలార్ విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యము C = \(\frac{1}{\mu} \frac{\Delta \mathrm{Q}}{\Delta \mathrm{T}}\) J/g-mol-k

ప్రశ్న 6.
ఒక ఘనపదార్థంలో ఒక డోలకం మొత్తం శక్తి ఎంత ?
జవాబు:
ఘనపదార్థంలో డోలకం మొత్తం శక్తి Eని దానికి గల స్థితిజ శక్తి PE మరియు గతిజశక్తి KE ల మొత్తంగా భావిస్తాము. డోలకం మొత్తం శక్తి E = PE + KE

ప్రశ్న 7.
నీటి విశిష్టోష్ఠం ఉష్ణోగ్రతతో పాటు మారడాన్ని తెలియచేసే గ్రాఫ్ను సూచించండి. ఇది దేనిని తెలియచేస్తుంది ?
జవాబు:
నీటి విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యం నీటి ఉష్ణోగ్రతతో పాటు మారుతుంది. పటం నుండి 15°C వద్ద నీటి విశిష్టోష్ణ ధారణ సామర్థ్యాన్ని కెలోరీగా నిర్వచిస్తే 0°C నుండి 15°C వరకు కెలోరి పరిమాణం ఎక్కువ. 40°C వద్ద విశిష్టోష్ట సామర్థ్యం అతి తక్కువ. 40°C నుండి ‘s’ విలువ క్రమంగా పెరుగుతూ సుమారు 60°C ప్రాంతంలో ‘S’ విలువ ఒక కెలోరిగా
ఉంటుంది.

60°C నుండి 100°C అవధిలో ‘s’ విలువ కెలోరికన్నా ఎక్కువ.

ప్రశ్న 8.
స్థితి చరరాశులను, స్థితి సమీకరణాన్ని నిర్వచించండి.
జవాబు:
స్థితి చరరాశులు : ఉష్ణయాంత్రిక శాస్త్రంలో ఒక వ్యవస్థ సమతాస్థితిని సూచించే పీడనము, ఘనపరిమాణము, ఉష్ణోగ్రత, ద్రవ్యరాశి వంటి చరరాశులను స్థితి చరరాశులు అంటారు.
స్థితి చరరాశుల మధ్య సంబంధాన్ని సూచించే సమీకరణం PV = μ RT

ప్రశ్న 9.
100% దక్షతతో పనిచేసే ఉష్ణయంత్రాన్ని తయారుచేయడం సాధ్యం కాదు. ఎందుకు ?
జవాబు:
ఉష్ణయంత్రం సామర్ధ్యము η = 1 – \(\frac{\mathrm{Q}_2}{\mathrm{Q}_1}\) ఇందులో పరిసరాలకు ఇచ్చిన ఉష్ణం Q₂ = 0 అయితే ఆ ఉష్ణయంత్రం 100% దక్షత కలిగి ఉంటుంది లేదా కొలిమి ఉష్ణోగ్రత, (Q₁ = ∞) అనంతము కావాలి. ఉష్ణగతిక శాస్త్ర రెండవ నియమం నుండి ఇటువంటి పరిస్థితులు సాధ్యపడవు అని తెలుస్తుంది.
కాబట్టి ఉష్ణ యంత్రాలను 100% దక్షతతో తయారుచేయలేము.

ప్రశ్న 10.
వేసవికాలంలో సైకిల్ ట్యూబ్ నుంచి గాలిని తొలగిస్తున్నప్పుడు ఆ గాలి చల్లగా అనిపించడానికి కారణం ఏమిటి ?
జవాబు:
సైకిల్ ట్యూబ్ నుండి వేగంగా గాలి తొలగించేటపుడు అది స్థిరోష్ణక వ్యాకోచం చెందుతుంది. కాబట్టి వాయువు కొంత పనిచేస్తుంది. W = \(\frac{\mu \mathrm{R}\left(\mathrm{T}_1-\mathrm{T}_2\right)}{\gamma-1}\) ఈ పనికి కావలసిన శక్తి వ్యవస్థ నుండే పొందటం వల్ల తుది ఉష్ణోగ్రత T₂ తగ్గుతుంది.

ప్రశ్న 11.
ఒక మోటారు వాహనాన్ని ఏటవాలు రోడ్డుపై దిగువకు స్థిరవడితో ప్రయాణం చేసేటట్లు బ్రేకులను ఉపయోగిస్తే బ్రేక్ డ్రమ్ములు ఎందుకు వేడెక్కుతాయి ?
జవాబు:
ఏటవాలు మార్గంలో స్థిర వడితో కిందికి ప్రయాణం చేయడానికి గురుత్వ త్వరణ అంశ (g Sin θ కి) సమానమైన మంద త్వరణాన్ని ప్రయోగించాలి. ఇందుకోసం కారు చలనదిశకు వ్యతిరేకంగా కొంత మందబలము F = mg sinθ ను బ్రేకులు ప్రయోగిస్తాయి. ఈ బలం పనిగా మారి బ్రేకు డ్రమ్ములను వేడి చేస్తుంది లేదా వాహనం కిందికి దిగేటప్పుడు స్థితిశక్తిలో మార్పు (mg h₁ – mgh₂) పనిగా మారటం వల్ల బ్రేకు డ్రమ్ములు వేడెక్కుతాయి.

ప్రశ్న 12.
విద్యుత్ శీతలీకరణ యంత్రాన్ని (రిఫ్రిజిరేటర్) తెరచి ఉంచి గదిని చల్లబరచడం సాధ్యమవుతుందా ?
జవాబు:
సాధ్యపడదు. శీతలీకరణ యంత్రం రెండు వేరువేరు వ్యవస్థలు (ఉష్ణాశయం, శీతలాశయం)ల మధ్య మాత్రమే పనిచేస్తుంది. రిఫ్రిజిరేటరు తలుపు తెరిస్తే గది మరియు రిఫ్రిజిరేటరు ఒకే వ్యవస్థగా వ్యవహరిస్తాయి. కావున శీతలీకరణ యంత్రం పనిచేయదు.

ప్రశ్న 13.
వ్యవస్థ ఘనపరిమాణాన్ని 50%కి తగ్గించినప్పుడు, స్థిరోష్ణక లేదా సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియలలో దేనిలో పీడనం అధికంగా పెరుగుతుంది ?
జవాబు:
స్థిరోష్ణక ప్రక్రియలో వ్యవస్థ నుండి శక్తి బయటకు పోవడం లేదా లోపలికి రావడం జరగదు. ఘనపరిమాణాన్ని 50% తగ్గించడానికి బాహ్యపని అవసరము. ఇది వ్యవస్థ ఉష్ణోగ్రతను పెంచుతుంది. కాబట్టి పీడనం ఎక్కువ ఉంటుంది.
సమఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియలో వ్యవస్థ ఉష్ణోగ్రత T స్థిరం కావున V లో తగ్గుదల వల్ల పీడనంలో పెరుగుదల స్థిరోష్ణక ప్రక్రియ కన్నా తక్కువ.

ప్రశ్న 14.
ఒక థర్మాస్ ఫ్లాస్క్ లో ఉన్న ద్రవాన్ని బాగా కుదిపితే, దాని ఉష్ణోగ్రత ఏమవుతుంది ?
జవాబు:
థర్మాస్ ఫ్లాస్క్ లో ద్రవాన్ని బాగా కుదిపితే దానిలోని ద్రవం ఉష్ణోగ్రత పెరుగుతుంది.
కారణం థర్మాస్ ఫ్లాస్క్ ఉష్ణ బంధక వ్యవస్థ. అంటే స్థిరోష్ణక మార్పులు జరుగుతాయి. కాబట్టి కుదుపులకు వాడిన పని ఉష్ణంగా మారి లోపలి ద్రవాన్ని వేడెక్కిస్తాయి.

ప్రశ్న 15.
వాయువుతో నిండి ఉన్న గొట్టంలోకి ఒక ధ్వని తరంగాన్ని పంపితే దాని అంతరిక శక్తి మారుతుందా ?
జవాబు:
మారుతుంది. ధ్వని తరంగం కొంత శక్తిని కలిగి ఉంటుంది. దీనిని గొట్టంలోకి పంపితే వ్యవస్థ అంతరికశక్తి పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 16.
i) సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియ
ii) స్థిరోష్ణక ప్రక్రియలలో అంతరిక శక్తిలోని మార్పు ఎంత ?
జవాబు:
i) సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియలో, ఉష్ణోగ్రత (T) స్థిరము ∴ dT = 0 కావున అంతరికశక్తిలో మార్పు dU = 0
స్థిరోష్ణక ప్రక్రియలో dQ = dU + dw కాని dQ = 0 కావున du = -dW.
అనగా స్థిరోష్ణక ప్రక్రియలో అంతరికశక్తిలో మార్పు వ్యవస్థ జరిపిన పనికి సమానము.

ప్రశ్న 17.
రసాయనిక లేదా అణుకేంద్రాలలో వాడే శీతలీకరణి అధిక విశిష్టోష్టతను కలిగి ఉంటుంది. ఎందుకు ?
జవాబు:
ఒకే ద్రవ్యరాశి గల శీతలీకరణులలో అవి ఉష్ణాన్ని గ్రహించి బయటకు తేగల సామర్థ్యం విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యంకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. (Q = mc T కావున Q ∝ C) అందువల్ల శీతలీకరణిగావాడే ద్రవానికి వీలైనంత ఎక్కువ విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యం ఉండాలి.

ప్రశ్న 18.
i) సమ ఘనపరిమాణ ప్రక్రియ,
ii) సమ పీడన ప్రక్రియలను గురించి వివరించండి.
జవాబు:
i) సమ ఘనపరిమాణ ప్రక్రియ : సమఘనపరిమాణ ప్రక్రియలో ఉష్ణ యాంత్రిక మార్పులు వ్యవస్థ ఘనపరిమాణంను స్థిరంగా ఉంచుతూ జరుగుతాయి. ఈ ప్రక్రియలో dV = 0.

ii) సమపీడన ప్రక్రియ : సమపీడన ప్రక్రియలో ఉష్ణ యాంత్రిక మార్పులు వ్యవస్థ స్థిరంగా ఉంచుతూ జరుగుతాయి. అనగా dP = 0

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఉష్ణగతికశాస్త్ర మొదటి నియమాన్ని నిర్వచించి, వివరించండి.
జవాబు:
ఒక వ్యవస్థ ఒక స్థితి నుండి మరియొక స్థితికి మారినపుడు ఆ వ్యవస్థకు సరఫరా చేసిన ఉష్ణరాశి dQ ఆ వ్యవస్థ అంతర్గత శక్తి పెరుగుదల (dU) మరియు వ్యవస్థ చేయు బాహ్య పని (dW) ల మొత్తమునకు సమానమని మొదటి నియమం తెల్పుతుంది.
∴ dQ = dU + dW కాని dW = PdV, కనుక dQ = dU + PdV.
ఉష్ణ సరఫరా లేకుండా వ్యవస్థ పనిచేస్తే
dQ = 0 కనుక dU + PdV = 0; ∴ PdV = – dU
అంటే దాని అంతర్గత శక్తి ఎంత తగ్గుతుందో, అదంతా బాహ్యపని చేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది.
ఉష్ణగతికశాస్త్ర మొదటి నియమానికి అవధులు : ఉష్ణగతికశాస్త్ర ప్రథమ నియమానికి రెండు అవధులు ఉన్నాయి. అవి

1. ఈ నియమం ఉష్ణప్రవాహ దిశను తెలియజేయదు మరియు ఏ పరిస్థితులలో పని జరపడానికి లేదా ఉత్పన్నం చేయడానికి వస్తువు ఉష్ణశక్తిని వినియోగించుకుంటుందో తెలియజేయదు.
2. ఈ నియమం వ్యవస్థ ఎంత దక్షతతో ఉష్ణశక్తిని యాంత్రికశక్తిగా మార్చగలదో తెలియజేయదు.

ప్రశ్న 2.
వాయువుల రెండు ప్రధాన విశిష్టోష్టాలను నిర్వచించండి. ఆ రెండింటిలో ఏది ఎక్కువ ? ఎందుకు ?
జవాబు:
స్థిరఘనపరిమాణ మోలార్ విశిష్టోష్ణ సామర్ధ్యము (C_v): స్థిరఘనపరిమాణము వద్ద ఒక గ్రామ్ మోల్ ద్రవ్యరాశి గల ‘ వాయువు ఉష్ణోగ్రతను 1°C లేదా 1 కెల్విన్ పెంచడానికి కావలసిన ఉష్ణరాశిని స్థిరఘనపరిమాణ మోలార్ విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యము C_v గా నిర్వచించినారు.
C_v = \(\frac{1}{\mu} \frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dT}}\)
μ = వాయువులోని మోల్ ల సంఖ్య

స్థిరపీడన మోలార్ విశిష్టోష్ణ సామర్ధ్యము (C_p) : స్థిరపీడనము వద్ద ఒక గ్రామ్ మోల్ ద్రవ్యరాశి గల వాయువు ఉష్ణోగ్రతను 1°C లేదా 1 కెల్విన్ మేరకు పెంచడానికి కావలసిన ఉష్ణరాశిని స్థిరపీడన మోలార్ విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యము C_p గా నిర్వచించినారు.
C_p = \(\frac{1}{\mu} \frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dT}}\)
μ = వాయువులోని గ్రామ్ మోల్ సంఖ్య

వాయువులలో C_p > C_v వివరణ : వాయువును స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద వేడిచేస్తే వాయువుకు అందజేసిన మొత్తం ఉష్ణరాశి వాయువు ఉష్ణోగ్రతను పెంచడానికి ఉపయోగపడును. అనగా దాని అంతర్గత శక్తి పెరుగును.
∴ dQ = dU = C_vdT

స్థిర పీడనం వద్ద వాయువుకు అందజేసిన ఉష్ణరాశి (dQ) వాయువు అంతర్గతశక్తిని పెంచడంతో పాటు వాయువును వ్యాకోచింపచేయడానికి కొంత పని (dW = PdV) కూడా చేస్తుంది. కావున ఈ స్థిరపీడనం వద్ద dQ = dU + PdV.

వాయువులలో స్థిరపీడన విశిష్టోష్ణము, స్థిరఘనపరిమాణ విశిష్టోష్టము కన్నా ఎక్కువ. స్థిరపీడనం వద్ద వాయువును వేడిచేయటానికి ఇచ్చిన ఉష్ణశక్తి 1) వాయువును వేడిచేయటానికి 2) వాయువు పీడనానికి వ్యతిరేకంగా వ్యాకోచించడానికి కూడా ఉపయోగపడుతుంది. అనగా ఉష్ణశక్తి కొంత పని (dW = PdV) అదనంగా చేయడం వలన C_p > C_v అవుతుంది.

ప్రశ్న 3.
ఉష్ణ గతిక శాస్త్ర మొదటి నియమం ఆధారంగా, వాయువు రెండు విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యాల మధ్య ఉన్న సంబంధాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
స్థిరఘనపరిమాణ మోలార్ విశిష్టోష్ణ సామర్ధ్యము (C_p) : స్థిరఘనపరిమాణము వద్ద ఒక గ్రామ్ మోల్ ద్రవ్యరాశి గల వాయువు ఉష్ణోగ్రతను 1°C లేదా 1 కెల్విన్ పెంచడానికి కావలసిన ఉష్ణరాశిని స్థిరఘనపరిమాణ మోలార్ విశిష్టోష్ణ సామర్ధ్యము Cగా నిర్వచించినారు.
C_v = \(\frac{1}{\mu} \frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dT}}\)
μ = వాయువులోని మోత్ల సంఖ్య

స్థిరపీడన మోలార్ విశిష్టోష్ణ సామర్ధ్యము (C_v) : స్థిరపీడనము వద్ద ఒక గ్రామ్ మోల్ ద్రవ్యరాశి గల వాయువు ఉష్ణోగ్రతను 1°C లేదా 1 కెల్విన్ మేరకు పెంచడానికి కావలసిన ఉష్ణరాశిని స్థిరపీడన మోలార్ విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యము C_p గా నిర్వచించినారు.
C_p = \(\frac{1}{\mu} \frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dT}}\)
μ = వాయువులోని గ్రామ్ మోల్ల సంఖ్య
గమనిక : విశిష్టోష్ణము మరియు విశిష్టోష్ణసామర్థ్యములను ఒకే అర్థంలో వాడతారు.

ఉష్ణ గతిక శాస్త్ర మొదటి నియమం నుండి C_p – C_v = R ఉత్పాదన.
ఉష్ణ గతిక శాస్త్ర మొదటి నియమం నుండి dQ = dU + dW = ∆U = P∆V………….. (1)
ఒక మోల్ వాయువును స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద వేడి చేస్తే అది శోషించుకున్న ఉష్ణం dQ = dU (∵ dV = 0 కావున)
∴ C_v = \(\frac{\Delta \mathrm{Q}}{\Delta \mathrm{T}}=\frac{\Delta \mathrm{U}}{\Delta \mathrm{T}}\) ……………. (2)
ఒక మోల్ వాయువును స్థిరపీడనం వద్ద వేడిచేస్తే అది శోషించుకున్న ఉష్ణరాశి = C_p = \(\frac{\Delta \mathrm{Q}}{\Delta \mathrm{T}}=\frac{\Delta \mathrm{U}}{\Delta \mathrm{T}}+\mathrm{P} \frac{\Delta \mathrm{V}}{\Delta \mathrm{T}}\) ……………….. (3)
వాయు సమీకరణం PV = RT అవకలనం చేయగా
P ∆ V + V ∆ P = R ∆ T కాని C_p వద్ద ∆P = 0
∴ P \(\frac{\Delta \mathrm{V}}{\Delta \mathrm{T}}\) = R ……………… (4)
సమీకరణ 2, 4 లను 3 లో ప్రతిక్షేపించగా C_p = C_v + R లేదా C_p – C_v = R

ప్రశ్న 4.
సమఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియలో ఒక వాయువు చేసిన పనికి సమాసాన్ని సాధించండి.
జవాబు:
సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియ : సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియలో వ్యవస్థ ఉష్ణోగ్రత T స్థిరము. ఇది PV = μ RT ని పాటిస్తుంది. వ్యవస్థ పీడనం P, ఘనపరిమాణం V₁ నుండి V₂ మారడం వల్ల జరిగిన పని dW = PdV ……….. (1) కాని P = \(\frac{\mu \mathrm{RT}}{\mathrm{V}}\)
ఇందులో μ = వాయువులోని మోత్ల సంఖ్య
ఈ ప్రక్రియలో జరిగిన మొత్తం పని W = \(\int\) dW = \(\int\) P dV
= \(\int_{\mathrm{v}_1}^{\mathrm{v}_2} \frac{\mu \mathrm{RT}}{\mathrm{V}} \mathrm{dV}=\mu \mathrm{RT} \int_{\mathrm{v}_1}^{\mathrm{v}_2} \frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{V}}=\mu \mathrm{RT}\left[\log _{\mathrm{e}} \mathrm{V}\right]_{\mathrm{v}_1}^{\mathrm{v}_2}\) = μ RT [log_e V₂ = log_e V₁]
∴ సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియలో జరిగిన పని W = μ RT log_e \(\frac{\mathrm{V}_2}{\mathrm{~V}_1}\)

ప్రశ్న 5.
స్థిరోష్ణక ప్రక్రియలో ఒక వాయువు చేసిన పనికి సమాసాన్ని సాధించి, వివరించండి.
జవాబు:
స్థిరోష్ణక ప్రక్రియ : స్థిరోష్ణక ప్రక్రియలో వ్యవస్థకు గల శక్తి Q స్థిరము. ఈ ప్రక్రియలో PV^γ = K స్థిరము. …..(1) μ మోల్ల ఒక ఆదర్శ వాయువును స్థిరోష్ణక ప్రక్రియలో వ్యాకోచింపచేయడంవల్ల దాని పీడనము P₁ నుండి P₂ కు ఘనపరిమాణం V₁ నుండి V₂కు మారినదనుకోండి. ఆదర్శ వాయువు వ్యాకోచించడంలో జరిగిన పని
W = \(\int_{\mathrm{V}_1}^{\mathrm{v}_2} \mathrm{PdV}\) కాని స్థిరోష్ణక ప్రక్రియలో PV^γ = K లేదా P = \(\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{V}^\gamma}\)
∴ మొత్తం పని W = \(\int_{v_1}^{v_2} \frac{K}{v^\gamma}\) dV. దీనిని సమాకలనం చేయగా

ప్రశ్న 6.
సమఉష్ణోగ్రత, స్థిరోష్ణక ప్రక్రియలను పోల్చండి.
జవాబు:
సమఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియ

1. ఈ ప్రక్రియలో వ్యవస్థ ఉష్ణోగ్రత (T) స్థిరము.
   ∴ ∆T = 0
2. వ్యవస్థను ఉత్తమ ఉష్ణ వాహకంతో చేయవలెను.
3. వాయుసమీకరణ PV = RTని పాటిస్తాయి.
4. వ్యవస్థకు పరిసరాలకు మధ్య ఉష్ణ వినిమయం ఉంటుంది.
5. ఈ చర్యలు నెమ్మదిగా జరుగును.
6. అంతర్గత శక్తిలో మార్పు ∆U = 0
7. విశిష్టోష్ణము అనంతము
8. సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియ వక్రాల వాలు \(\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dV}}\) = -P / V కి సమానము.

స్థిరోష్ణక ప్రక్రియ

1. ఈ ప్రక్రియలో వ్యవస్థ మొత్తం శక్తి ‘Q’ స్థిరము.
   ∴ ∆Q = 0
2. వ్యవస్థను అధమ ఉష్ణ వాహకంతో చేయవలెను.
3. PV^γ = స్థిరరాశి అన్న నియమం పాటిస్తాయి.
4. వ్యవస్థకు పరిసరాలకు మధ్య ఉష్ణ వినిమయం ఉండదు.
5. ఇవి వేగంగా జరుగుతాయి.
6. అంతర్గత శక్తి మారుతుంది. ∆U ≠ 0
7. విశిష్టోష్ణము ‘0’
8. ఈ వక్రాల వాలు \(\frac{\mathrm{dP}}{\mathrm{dV}}\) = -r \(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{V}}\) కి సమానము.

ప్రశ్న 7.
కింది ప్రక్రియలను ఉదాహరణతో వివరించండి.
i) చక్రీయ ప్రక్రియ
ii) చక్రీయం కానటువంటి ప్రక్రియ
జవాబు:
i) చక్రీయ ప్రక్రియ (Cyclic Process) : ఏదైనా ఉష్ణయాంత్రిక వ్యవస్థ దాని పీడనం, ఉష్ణోగ్రత వంటి చలరాశులలో వేరువేరు దశలలో మార్పులు పొందినప్పటికి చివరకు తొలిస్థితికి తిరిగివస్తే అటువంటి ప్రక్రియను చక్రీయ ప్రక్రియ అంటారు.
చక్రీయ ప్రక్రియ తొలిపీడనం, ఉష్ణోగ్రతలకు తిరిగి వస్తుంది కాబట్టి దీని అంతర్గత శక్తిలోని మార్పు dU = 0.
చక్రీయ ప్రక్రియలో జరిగిన పని ఆ వ్యవస్థ శోషణం చేసుకున్న ఉష్ణశక్తికి సమానము. అనగా dW = dQ.
చక్రీయ ప్రక్రియలో అంతర్గత శక్తిలోని మార్పు dU = 0 మరియు వ్యవస్థ జరిపిన పని dW = dQ. కావున సాధారణంగా అన్నిరకాల ఉష్ణయంత్రాలు మరియు శీతలీకరణ యంత్రాలు చక్రీయ ప్రక్రియ ఆధారంగా పనిచేస్తాయి.

ii) చక్రీయం కానటువంటి ప్రక్రియ : ఏదైనా ఉష్ణయాంత్రిక వ్యవస్థలో పీడనము, ఘనపరిమాణము, ఉష్ణోగ్రత వంటి చలరాశులు వివిధ దశలలో మార్పులు పొందినప్పటికి చివరి దశలో తొలి విలువలను పొందలేకపోతే అటువంటి ప్రక్రియను అచక్రీయ ప్రక్రియ అంటారు.

ప్రశ్న 8.
అర్ధస్థితిక ప్రక్రియ మీద లఘుటీక రాయండి.
జవాబు:
అర్ధస్టైతిక ప్రక్రియ (Quasi static process) : అర్ధస్థితిక ప్రక్రియలో ఉష్ణయాంత్రిక వ్యవస్థలోని మార్పులు అత్యంత నిదానంగా జరుగుతూ ప్రతిదశలోను వ్యవస్థకు చెందిన ఉష్ణగతిక స్థిరరాశులు పరిసరాలతో దాదాపు సమతాస్థితిలో ఉన్నట్లు భావిస్తాము.

వివరణ : సమతాస్థితిలో లేని ఏదైనా ఉష్ణయాంత్రిక వ్యవస్థను గురించి వివరించడానికి ఆ వ్యవస్థ ప్రతిస్థితిలోను పరిసరాలతో సమతాస్థితిలో ఉండే ఆదర్శవంతమైన ప్రక్రియగా ఊహిస్తారు.

ఇటువంటి ఉష్ణయాంత్రిక వ్యవస్థలో ముషలకాన్ని వేగంగా, లేదా అకస్మాత్తుగా జరిపే బదులుగా అతి నెమ్మదిగా ముషలకాన్ని జరిపినట్లు భావిస్తారు. అందువల్ల వ్యవస్థలోపలి పీడనం P + ∆P మరియు ఉష్ణోగ్రత T + ∆T లు పరిసరాల పీడనము P మరియు ఉష్ణోగ్రత T లకు దాదాపు సమానము.

ఈ ప్రక్రియ అత్యంత నెమ్మదిగా జరగడం వల్ల పీడనంలో మార్పు ∆P మరియు ఉష్ణోగ్రతలో మార్పు ∆T లు అతిచిన్నవి కావడం వల్ల P + ∆P = P మరియు T + ∆T = T అని భావిస్తారు. ఇటువంటి ప్రక్రియలను అర్ధస్థితిక ప్రక్రియలు అంటారు.

ప్రశ్న 9.
ఉష్ణయంత్రం పనిచేసే విధానాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
ఉష్ణయంత్రాలు : ఉష్ణశక్తిని పని లేక యాంత్రికశక్తిగా మార్చే పరికరాన్ని ఉష్ణయంత్రం అంటారు.
ఉష్ణయంత్రాలు అన్నీ చక్రీయ ప్రక్రియలపై ఆధారపడతాయి. వీటిలో మూడు ముఖ్యమైన భాగాలు ఉంటాయి.
1) జనకం : ఇది అధిక ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉండే వస్తువు. ఉష్ణయంత్రం దీని నుండి ఉష్ణశక్తి (Q₁) ని గ్రహిస్తుంది.

2) పనిచేసే పదార్థము : ఇది యంత్రం పనిచేయడానికి అవసరమైన పదార్థాన్ని కలిగి ఉంటుంది. సాధారణంగా ఈ పనిచేసే పదార్థం ఎక్కువ పీడనం కలిగిన నీటి ఆవిరి లేదా ఇంధన మిశ్రితమైన గాలి రూపంలో ఉంటాయి.

3) సింక్ లేదా రిజర్వాయర్ : ఇది తక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద గల వస్తువు లేదా పదార్థం. ఉష్ణయంత్రంలోని పనిచేసే పదార్థం పని పూర్తి ఐన తరువాత తనలో మిగిలి ఉన్న ఉష్ణశక్తిని సింక్ లేదా రిజర్వాయర్లోకి విసర్జిస్తుంది. ప్రతి ఉష్ణ యంత్రం జనకం నుండి Q₁ అన్నే ఉష్ణశక్తిని తీసుకొని కొంత పనిచేసిన తరువాత మిగిలిన ఉష్ణరాశి Q₂ ని సింక్లోనికి విసర్జిస్తుంది.
ఉష్ణయంత్రం జరిపిన పని W = Q₁ – Q₂

ఉష్ణయంత్రపు సామర్ధ్యము : ఏదైనా యంత్రము జరిపిన పనికి, దానికి అందజేసిన శక్తికి గల నిష్పత్తిని ఆ ఉష్ణ యంత్రపు సామర్థ్యంగా నిర్వచించినారు.

ఇందులో Q₁ = యంత్రానికి అందజేసిన శక్తి, Q₂ = యంత్రం సింక్కి అందజేసిన శక్తి.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఏకగత, ద్విగత ప్రక్రియలను వివరించండి. కార్నో యంత్రం పనిచేసే విధానాన్ని వివరించి, దాని దక్షతకు సమాసాన్ని రాబట్టండి. (మార్చి 2014)
జవాబు:
ఏకగత ప్రక్రియ లేదా ఉత్రమణీయ ప్రక్రియ : విశ్వంలో ఎక్కడా ఏ విధమైన మార్పులూ లేకుండా, వ్యవస్థ మరియు పరిసరాలు తొలిదశకు చేరుకునేటట్లుగా ఒక ప్రక్రియను అదే ప్రక్రియ సూటి పద్ధతిలో ఏయే దశల గుండా ప్రయాణం చేసిందో అదే దశల గుండా దానిని వెనుకకు తీసుకొనిరాగలిగితే ఆ ప్రక్రియను ఉత్రమణీయ ప్రక్రియ అంటారు. ఉత్రమణీయ ప్రక్రియ కేవలం ఆదర్శభావన మాత్రమే.
ఉత్రమణీయ ప్రక్రియ పాటించవలసిన నిబంధనలు :

1. వ్యవస్థ జరిపే మార్పులు అత్యంత నెమ్మదిగా ఉండాలి.
2. వ్యవస్థ ఎప్పుడూ పరిసరాలతో ఉష్ణ మరియు యాంత్రిక సమతాస్థితిలో ఉండాలి.
3. ఉష్ణవహనం, సంవహనం, ఘర్షణ మరియు నిరోధం వంటి ఏ విధమైన పద్ధతుల ద్వారా వ్యవస్థ ఉష్ణశక్తిని నష్టపోరాదు.
4. ఉష్ణశక్తి ఏ విధమైన ఇతర శక్తులలోనికి (విద్యుత్తు లేదా అయస్కాంత శక్తి వంటివి) రూపాంతరం చెందరాదు.

ద్విగత ప్రక్రియ లేదా అనుత్ప్ర్కమణీయ ప్రక్రియ : ఏదైనా ఉష్ణయాంత్రిక ప్రక్రియను సూటి పద్ధతి ప్రక్రియకు వ్యతిరేకదిశలో వెనుకకు మరలించి తీసుకొని రాలేకపోతే అటువంటి ప్రక్రియను అనుత్రమణీయ ప్రక్రియ అంటారు.
ఉదా :

1. ఘర్షణ బలాలకు వ్యతిరేకంగా పని జరుపుట.
2. వాహకం గుండా విద్యుత్ పంపినపుడు అది వేడెక్కుట. దీనిని జౌల్ ఉష్ణ ప్రభావం అంటారు.

కార్నో యంత్రం : కార్నో యంత్రం T₁ మరియు T₂ ఉష్ణోగ్రతల మధ్య పనిచేసే ఉత్రమణీయ ఉష్ణయంత్రము. దానిలోని నాలుగు వరుస ప్రక్రియలను కలిపి కార్నో చక్రము (cornot cycle) అంటారు.
1వ దశలో వాయువు సమఉష్ణోగ్రత వ్యాకోచం చెందటం వల్ల స్థిరము కావున ఈ దశను

ఈ దశలో జరిగిన పని W_3-4 = Q₂ = μ RT log_e \(\left(\frac{V_3}{V_4}\right)\)
నాల్గవ దశలో వాయువు స్థిరోష్ణక సంపీడనం చెంది తిరిగి మొదటి స్థితికి వస్తుంది.

ఈ దశలో జరిగిన పని W_4-1 = \(\left(\mu \mathrm{R} \frac{\mathrm{T}_1-\mathrm{T}_2}{\mathrm{r}-1}\right)\)
పూర్తి చక్రంలో జరిపిన పని W = W_1,2 + W_2,3 + W_3,4 + W_4,1
ఈ మొత్తం పని Q₁ – Q₂ కి సమానము. అనగా రిజర్వాయరు నుండి గ్రహించిన ఉష్ణరాశి Q₁ మరియు సింక్కు ఇచ్చిన ఉష్ణరాశి Q₂ ల భేదానికి సమానము.

కార్నో యంత్రం దక్షత η = 1 – \(\frac{\mathrm{Q}_2}{\mathrm{Q}_1}\) = 1 – \(\frac{\mathrm{T}_2}{\mathrm{T}_1}\)

ప్రశ్న 2.
ఉష్ణగతికశాస్త్ర రెండవ నియమాన్ని నిర్వచించండి. ఉష్ణ యంత్రం శీతలీకరణ యంత్రం కంటె ఏ విధంగా భిన్నమయిందో తెలపండి. (మే 2014)
జవాబు:
ఉష్ణగతిక శాస్త్ర రెండవ నియమము :
a) కెల్విన్ – ప్లాంక్ ప్రవచనము : ఒక ఉష్ణాశయం నుంచి ఉష్ణశక్తిని గ్రహించి ఏ ఇతర ఫలితాలు కలుగజేయకుండా మొత్తం శక్తిని పనిగా మార్చే చక్రీయ ప్రక్రియ సాధ్యం కాదు.

b) క్లాసియస్ ప్రవచనము : తక్కువ ఉష్ణోగ్రత గల ఒక వస్తువు నుంచి ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత గల మరొక వస్తువుకు తనంతట తాను ఉష్ణరూపంలో శక్తిని బదిలీ చేసే ఏ ప్రక్రియ సాధ్యం కాదు.
ఉష్ణ గతిక శాస్త్ర రెండవ నియమం ఉష్ణ ప్రసార దిశను తెలుపుతుంది.
ఉష్ణగతిక శాస్త్ర రెండవ నియమం ప్రకారము ఏ ఉష్ణ యంత్రం దక్షత η విలువ 1కి సమానం కాదని మరియు శీతలీకరణ యంత్రం క్రియాశీలతా గుణకం (∝) విలువ అనంతం కాదని చెపుతుంది.

I. ఉష్ణయంత్రాలు : ఉష్ణశక్తిని పని లేక యాంత్రికశక్తిగా మార్చే పరికరాన్ని ఉష్ణయంత్రం అంటారు.
సాధారణంగా ఉష్ణయంత్రాలు అన్నీ చక్రీయ ప్రక్రియలపై ఆధారపడతాయి. ప్రతి ఉష్ణ యంత్రంలోను మూడు ముఖ్యమైన భాగాలు ఉంటాయి.
1) జనకం : ఇది అధిక ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉండే వస్తువు. ఉష్ణయంత్రం దీని నుండి ఉష్ణశక్తి (Q) ని గ్రహిస్తుంది.

2) పనిచేసే పదార్థము : ఇది యంత్రం పనిచేయడానికి అవసరమైన పదార్థాన్ని కలిగి ఉంటుంది. సాధారణంగా ఈ పనిచేసే పదార్థం ఎక్కువ పీడనం కలిగిన నీటి ఆవిరి లేదా ఇంధన మిశ్రితమైన గాలి రూపంలో ఉంటాయి.

3) సింక్ లేదా రిజర్వాయర్ : ఇది తక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద గల వస్తువు లేదా పదార్థం. ఉష్ణయంత్రంలోని పనిచేసే పదార్థం పని పూర్తి అయిన తరువాత తనలో మిగిలి ఉన్న ఉష్ణశక్తిని సింక్ లేదా రిజర్వాయర్లోకి విసర్జిస్తుంది. ప్రతి ఉష్ణయంత్రం జనకం నుండి Q₁ అనే ఉష్ణశక్తిని తీసుకొని కొంత పనిచేసిన తరువాత మిగిలిన ఉష్ణరాశి Q₂ని సింక్లోనికి విసర్జిస్తుంది.
ఉష్ణయంత్రం జరిపిన పని W = Q₁ – Q₂

ఉష్ణయంత్రపు సామర్థ్యము : ఏదైనా యంత్రము జరిపిన పనికి, దానికి అందజేసిన శక్తికి గల నిష్పత్తిని ఆ ఉష్ణ యంత్రపు సామర్థ్యంగా నిర్వచించినారు.

కాని పని W = Q₁ – Q₂ కావున η = \(\frac{\mathrm{Q}_1-\mathrm{Q}_2}{\mathrm{Q}_1}\) = 1 – \(\frac{\mathrm{Q}_2}{\mathrm{Q}_1}\)
ఇందులో Q₁ = యంత్రానికి అందజేసిన శక్తి, Q₂ = యంత్రం సింక్లోనికి వదిలివేసిన శక్తి.

II. శీతలీకరణ యంత్రము : శీతలీకరణ యంత్రం, ఉష్ణయంత్రం యొక్క విలోమ ప్రక్రియ ద్వారా పనిచేస్తుంది. ఇది తక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద గల వస్తువు సింక్ నుండి ఉష్ణశక్తి Q₂ని గ్రహించి దానికి కొంతపనిని జోడించి (బాహ్య పని Wని) ఉష్ణరాశి Q₁ ని అధిక ఉష్ణోగ్రత గల వస్తువు (Source) కు అందజేస్తుంది.

శీతలీకరణ యంత్రం జరిపిన బాహ్య పని W = Q₁ – Q₂ శీతలీకరణ యంత్రం పనిచేసే పదార్థానికి బాహ్య పనిని జోడిస్తుంది.

ఉష్ణయంత్రము, శీతలీకరణ యంత్రాల మధ్య భేదము.
ఉష్ణయంత్రం జనకం నుండి ఉష్ణశక్తి ‘Q₁‘ గ్రహించి దానిలో కొంత భాగాన్ని పనిగా మార్చి (W) మిగిలిన ఉష్ణశక్తిని (Q₂) రిజర్వాయర్ లేదా సింక్కు ఇస్తుంది. ఈ యంత్రంలో Q₂ < Q₁

శీతలీకరణ యంత్రము రిజర్వాయర్ లేదా తక్కువ ఉష్ణోగ్రత గల పదార్థం నుండి ఉష్ణశక్తిని గ్రహించి దానికి కొంత బాహ్య పనిని జోడించి మొత్తాన్ని ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత గల పదార్థానికి అందజేస్తుంది. అనగా శీతలీకరణ యంత్రం చల్లని వస్తువు నుండి గ్రహించిన ఉష్ణరాశి Q₂ కన్న పరిసరాలకు అందజేసిన ఉష్ణరాశి Q₁ ఎక్కువ.

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
N.T.P. వద్ద 1 లీటరు ఘనపరిమాణం ఉన్న ఒక ఏక పరమాణుక ఆదర్శ వాయువును సంపీడనం చేశారు. (i) సంపీడనం స్థిరోష్ణకమై, ఘనపరిమాణం సగం అయితే వాయువు మీద జరిగిన పనిని, (ii) సంపీడనం సమ ఉష్ణోగ్రతమైతే జరిగిన పనిని లెక్కించండి. (y=5/3)
సాధన:

మోల్లల సంఖ్య, n = \(\frac{1}{22.4}\) ; T = 273 K; R = 8.314 J mol^-1K^-1
∴ W = \(\frac{2.3026 \times 8.314 \times 273 \log _{10}(0.5)}{22.4}\) = – 70J.

ప్రశ్న 2.
5 మోల్ల హైడ్రోజన్ను స్థిర పీడనం 10⁵ N/m⁵ వద్ద ఉష్ణోగ్రతలో పెరుగుదల 20 K ఉండేటట్లు వేడిచేస్తే అది 8.3 × 10^-3m³ ల వ్యాకోచం చెందింది. C_v = 20 J/mole K, అయితే C^p ని కనుక్కోండి.
సాధన:
వాయువులలో C_p – C_v = R.
ఇరువైపులా n ∆T చే గుణించగా
nC_p ∆T- nC_v ∆T = nR ∆ T లేదా n ∆ T(C_p – C_v) = P ∆ V
5 × 20 (C_p – 20) = 105 ×‍ 8.3 × 10 – 3 (∵ nR∆T = P∆V)
C_p – 20 = 8.3 ⇒ C_p = 28.3 J/mole K.
( ∵ n = 5, ∆T = 20 K, P = 1 × 10⁵N/m² & C_v = 20 J/mole K and ∆V = 8.3 × 10³ m³)

ముఖ్యమైన అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఒక గీజరు నిముషానికి 3.0 లీటర్ల ప్రవాహ రేటు కలిగిన నీటిని 27°C నుంచి 77°C వరకు వేడిచేస్తుంది. గీజరులో 4.0 × 10⁴ J/g దహనోష్ణం గల సహజ వాయువు ఇంధనంగా పనిచేస్తే, ఇంధనం ఖర్చయ్యే రేటును కనుక్కోండి.
సాధన:
వేడి చేయబడిన నీటి ఘనపరిమాణము = 3.0 లీ./ ని.
వేడెక్కిన నీటి ద్రవ్యరాశి, = m = 3000 గ్రా./ని.
ఉష్ణోగ్రతలో పెరుగుదల, ∆T = 77 – 27 = 50°C
నీటి విశిష్టోష్ణం c = 4.2 J g^-1°C^-1
వాడిన ఉష్ణశక్తి, ∆Q = mc ∆T = 3000 × 4.2 × 50 = 63 × 10⁴ J/min.
దహనం వల్ల విడుదలైన ఉష్ణశక్తి = 4 × 10⁴ J/g
ఇంధనం దహనం చెందిన రేటు = \(\frac{63 \times 10^4}{4 \times 10^4}\) = 15.75 g/min.

ప్రశ్న 2.
స్థిర పీడనం వద్ద, గది ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న 2.0 × 10^-2 kg ల నైట్రోజన్ ఉష్ణోగ్రతను 45°C కు పెంచడానికి ‘ అందచేయాల్సిన ఉష్ణం ఎంత ? (N₂ అణు ద్రవ్యరాశి = 28; R = 8.3 Jmol^-1K^-1)
సాధన:
వాయువు ద్రవ్యరాశి, m = 2 × 10^-2 kg = 20g; ఉష్ణోగ్రతలో పెరుగుదల, ∆T = 45°C
కావలసిన ఉష్ణశక్తి, ∆Q = ?;
అణుభారము, M = 28
గ్రామ్ మోల్ల సంఖ్య, n = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{M}}=\frac{20}{28}\) = 0.714 నైట్రోజన్ ద్విపరమాణుక వాయువు కావున
C_p = \(\frac{7}{2}\) R = \(\frac{7}{2}\) × 8.3 J mol^-1 K^-1, కావున ∆Q = n C_p ∆T
∴ ∆Q = 0.714 × \(\frac{7}{2}\) × 8.3 × 45 J = 933.4 J

ప్రశ్న 3.
కింద ఇచ్చిన వాటిని వివరించండి.
a) T₁, T₂ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద ఉన్న రెండు వస్తువులను ఒకదానితో ఒకటి తాకుతున్నట్లు ఉంచినప్పుడు వాటి సగటు ఉష్ణోగ్రత (T₁ + T₂) /2 కు చేగాల్సిన అవసరం లేదు.
b) ఒక రసాయనిక లేదా న్యూక్లియర్ ప్లాంట్లో ఉపయోగించే శీతలీకరణి (ప్లాంట్ లోని వివిధ భాగాలు అత్యధిక ఉష్ణోగ్రతలు పొందకుండా చల్లబరిచే ద్రవం) తప్పకుండా అధిక విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యాన్ని కలిగి ఉండాలి.
c) మోటారు వాహనం చలనంలో ఉన్నప్పుడు, దాని టైరులోని గాలి పీడనం పెరుగుతుంది.
d) ఒకే అక్షాంశంపై ఉన్న సముద్రతీర పట్టణ వాతావరణం ఎడారి ప్రాంత పట్టణ వాతావరణం కంటే అధిక సమశీతోష్ణత కలిగి ఉంటుంది.
సాధన:
a) వస్తువులు ఒకదానితో ఒకటి తాకి ఉన్నపుడు ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత గల వస్తువుల నుంచి తక్కువ ఉష్ణోగ్రత గల వస్తువుకు ఉష్ణం ప్రసరిస్తుంది. తుది ఉష్ణోగ్రత సగటు ఉష్ణోగ్రత \(\frac{\mathrm{T}_1+\mathrm{T}_2}{2}\)కి సమానము. ఇది వాటి విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యాలు సమానమైతేనే సాధ్యపడును.

b) ఒక వస్తువు గ్రహించిన ఉష్ణరాశి దాని విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండును.

c) డ్రైవింగ్లో ఉన్నపుడు చక్రాలు చలనంలో ఉండటంవల్ల చక్రాలలోని గాలి ఉష్ణోగ్రత పెరుగును. ఉష్ణోగ్రత పెరిగితే పీడనం ‘P’ పెరుగును. ఛార్లెస్ నియమం నుండి P∝ T కావున

d) ఎడారి పట్టణాల కంటే నౌకాశ్రయ పట్టణాలలోని గాలిలో తేమ ఎక్కువ. కావున సముద్ర పట్టణ ప్రాంతాలలో అధిక సమశీతోష్ణస్థితి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
కదలగలిగే ముషలకం ఉన్న ఒక స్థూపాకార పాత్రలో, సాధారణ ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద 3 మోల్ల హైడ్రోజన్ వాయువు ఉంది. పాత్ర గోడలు, ముషలకాలు ఉష్ణబంధక పదార్థంతో చేయడమైంది. ముషలకంపైన కొంత ఇసుక ఉన్నది. వాయువును, దాని తొలి ఘనపరిమాణంలో సగానికి తగ్గేటట్లుగా సంపీడనం చెందిస్తే వాయు పీడనం ఎన్ని రెట్లు పెరుగుతుంది ?
సాధన:
వ్యవస్థ నుండి ఉష్ణ వినిమయం లేకపోవడం వల్ల ఇది స్థిరోష్ణక ప్రక్రియ
∴ P₂V₁^γ లేదా \(\frac{\mathrm{P}_2}{\mathrm{P}_1}=\left(\frac{\mathrm{V}_1}{\mathrm{~V}_2}\right)^\gamma\)
దత్తాంశం నుండి V₂ = \(\frac{1}{2}\) V₁
∴ \(\frac{\mathrm{P}_2}{\mathrm{P}_1}=\left(\frac{\mathrm{V}_1}{\frac{1}{2} \mathrm{~V}_1}\right)^{1.4}\) = 2^1.4 = 2.64

ప్రశ్న 5.
ఒక వాయువును స్థిరోష్ణక ప్రక్రియ ద్వారా సమతాస్థితి A నుంచి మరొక సమతాస్థితి B కి మార్చడానికి, దానిపై 22.3Jల పని జరపడమైంది. వాయువు 9.35 cal నికర ఉష్ణాన్ని గ్రహించేటట్లుగా ఒక ప్రక్రియ ద్వారా వాయు స్థితిని A నుంచి B కి చేర్చితే ఈ ప్రక్రియలో వాయువుపై జరిగిన నికర పని ఎంత ? (1 cal = 4.19 J గా తీసుకోండి)
సాధన:
స్థిరోష్ణక మార్పులో ∆Q = 0, ∆W = – 22.3 J
అంతర్గత శక్తిలో మార్పు du అయితే ∆Q = ∆U + ∆W
0 = ∆U – 22.3 (లేదా) ∆U = 22.3 J
రెండవ సందర్భంలో, ∆ = 9.35 cal. = 9.35 × 4.2 J = 39.3 J ; ∆W = ?
కాని ∆U + ∆W = ∆Q
∴ ∆W = ∆Q – ∆U = 39.3 – 22.3 = 17.0 J

ప్రశ్న 6.
సమాన ఘనపరిమాణాలున్న A, B రెండు స్థూపాకార పాత్రలను ఒక స్టాప్ కాక్ (ప్రవాహ నియంత్రణ మర) తో కలపడమైంది. పాత్ర A లో సాధారణ ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద ఒక వాయువు ఉన్నది. B పూర్తిగా శూన్యం చేయడమైంది. ఈ మొత్తం వ్యవస్థ అంతా ఉష్ణబంధకం చేయడమైంది. స్టాప్కక్ను ఒక్కసారిగా తెరిచారు. కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలు తెలపండి.
a) A, B లలో వాయువు తుది పీడనం ఎంత ?
b) వాయువు అంతరిక శక్తిలో మార్పు ఎంత ?
c) వాయువు ఉష్ణోగ్రతలో మార్పు ఎంత ?
d) వ్యవస్థ యొక్క మధ్యస్థ స్థితులు (తుది సమతాస్థితిని చేరడానికి పూర్వం) P-V-T గ్రాఫ్ తలంపై ఉంటాయా ?
సాధన:
a) స్థూపములు A, B ల మధ్య గల స్టాపిక్ను తెరిస్తే Aలోని వాయువు B లోకి పీడనం సమానమయ్యే దాకా వ్యాపిస్తుంది. ఇప్పుడు ఘనపరిమాణం V₁ = V_A + V_B = 2V. కాని PV స్థిరరాశి
∴ P₁V₁ = PV + 0 ⇒ P₁ = P . \(\frac{V}{2 V}=\frac{P}{2}\)
అనగా కొత్త పీడనం P = \(\frac{P}{2}\) తొలి పీడనంలో సగము

b) వాయువు ఉష్ణోగ్రతలో మార్పు లేకపోవడం వల్ల, PV స్థిరంగా ఉండటం వల్ల అంతరిక శక్తిలో మార్పు ఉండదు.

c) ఈ ప్రక్రియలో వాయువు పని చేయలేదు. కావున దాని ఉష్ణోగ్రతలో మార్పులేదు.

d) ఉండవు. ఎందుకనగా వాయువులు స్వేచ్ఛగా శూన్యంలోకి వ్యాపించాయి. ఇది వేగవంతమైన ప్రక్రియ దీనిని అదుపులో ఉంచలేము. అందువల్ల మధ్యస్థ దశ సమతాస్థితిలో ఉండదు. కావున వాయు సమీకరణాన్ని తృప్తిపరచదు. ఇది అనుత్రమణీయ చర్య.

ప్రశ్న 7.
ఒక ఆవిరి యంత్రం నిమిషానికి 5.4 × 10⁸ Jల పని జరిపి, నిమిషానికి 3.6 × 10⁹ J ల ఉష్ణాన్ని దాని బాయిలర్ ద్వారా సరఫరా చేస్తుంది. ఆ యంత్రం దక్షత ఎంత ? నిమిషానికి ఎంత ఉష్ణం వృధాగా పోతుంది ?
సాధన:
నిమిషానికి జరిగిన పని = 5.4 × 10⁸ J
నిమిషంలో వాడిన ఉష్ణశక్తి = 3.6 × 10⁹ J

= \(\frac{5.4 \times 10^8}{3.6 \times 10^9}\) = 0.15 = 0.15 × 100% = 15%
నిమిషంలో వృధా అయిన ఉష్ణం = నిమిషంలో గ్రహించిన ఉష్ణము – నిమిషంలో జరిగిన పని
= 3.6 × 10⁹ – 5.4 × 10⁸ = 109 (3.6 – 0.54) = 3.06 × 10⁹ J

ప్రశ్న 8.
ఒక ఎలక్ట్రిక్ హీటరు 100W రేటు చొప్పున ఉష్ణాన్ని ఒక వ్యవస్థకు అందచేస్తుంది. వ్యవస్థ సెకనుకు 75 J ల రేటు చొప్పున పనిచేస్తుంటే, అంతరిక శక్తి ఏ రేటుతో పెరుగుతుంది ?
సాధన:
అందజేసిన ఉష్ణరాశి, ∆Q = 100 W = 100 J/s
ఉపయోగపడిన పని, ∆W = 75 J/s
సెకనుకు అంతర్గత శక్తిలో పెరుగుదల ∆U = ?
కాని ∆Q = ∆U + ∆W
∴ ∆U = ∆Q – ∆W = 100 – 75 = 25J/s

ప్రశ్న 9.
ఒక ఉష్ణగతిక వ్యవస్థను దాని నిజ స్థితి నుంచి ఒక మధ్యస్థ స్థితికి, రేఖీయ ప్రక్రియ ద్వారా పటంలో చూపినట్లుగా తీసుకోవడమైంది.

వ్యవస్థ ఘనపరిమాణం, నిజ విలువకు E నుంచి F కు సమపీడన ప్రక్రియ ద్వారా తగ్గించడమైంది. వాయువును D నుంచి Eకు, E నుంచి F కు చేర్చడానికి జరిగిన మొత్తం పనిని లెక్కించండి.
సాధన:
పటం నుండి
పీడనంలో మార్పు, dP = DF = 5.0 – 2.0 = 3.0 atm = 3.0 × 10⁵ Nm^-2
ఘనపరిమాణంలో మార్పు, dV = EF = 600 – 300 = 300 cc = 300 × 10^-6 m³
D నుండి E నుండి F వరకు జరగటంలో వాయువు జరిపిన పని = వైశాల్యం ∆DEF
W = \(\frac{1}{2}\) × EF × DF = \(\frac{1}{2}\) × (300 × 10^-6) × (3.0 × 10⁵) = 45 J

ప్రశ్న 10.
ఒక శీతలీకరణ యంత్రంలో ఉంచిన తినే పదార్థాలను ఆ యంత్రం 9°C వద్ద ఉంచుతుంది. గది ఉష్ణోగ్రత 36°C అయితే దాని క్రియాశీలతా గుణకాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి, T₂ = 9°C = 9 + 273 = 282 K ;
T₁ = 36°C = 36 + 273 = 309 K
క్రియాశీలతా గుణకం నుండి = \(\frac{\mathrm{T}_2}{\mathrm{~T}_1-\mathrm{T}_2}\) = \(\frac{282}{309-282}\) = \(\frac{282}{27}\) = 10.4

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 11th Lesson ప్రవాహుల యాంత్రిక ధర్మాలు Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 11th Lesson ప్రవాహుల యాంత్రిక ధర్మాలు

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
సగటు పీడనాన్ని నిర్వచించండి. దీని ప్రమాణం, మితీయ ఫార్ములాను తెలపండి. ఇది సదిశరాశా ? అదిశరాశా ?
జవాబు:
సగటు పీడనం : ఏకాంక వైశాల్యంపై చర్య జరిపే అభిలంబ బలాన్ని సగటు పీడనం అంటారు.
అనగా, సగటు పీడనం, P_av = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{A}}\) ; (ఇది అదిశరాశి.)
పీడనం యొక్క SI ప్రమాణం : Nm^-2 ; మితిఫార్ములా : ML^-1 T^-2

ప్రశ్న 2.
స్నిగ్ధతను నిర్వచించండి. స్నిగ్ధతా గుణకం ప్రమాణాలు, మితులు ఏమిటి ?
జవాబు:
స్నిగ్ధత : ప్రవాహి పొరల మధ్య సాపేక్ష చలనాన్ని నిరోధించే ప్రవాహి ధర్మాన్ని స్నిగ్ధత అంటారు.
స్నిగ్ధతా గుణకం SI ప్రమాణం : Nm^-2 s లేదా Pa- s ; C.G.S. ప్రమాణం : పాయిజ్
స్నిగ్ధతా గుణకం మితిఫార్ములా : ML^-1T^-1

ప్రశ్న 3.
ఒక ఆటోమొబైల్ యొక్క కార్బ్యురేటర్ పనిచేయడం వెనక ఉన్న సూత్రం ఏది ?
జవాబు:
ఆటోమొబైల్ యొక్క కార్బ్యురేటర్ బెర్నౌలీ సిద్దాంతము ఆధారంగా పనిచేస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
మాగ్నస్ ప్రభావం అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
మాగ్నస్ ప్రభావం : బంతి స్పిన్ కావడం వల్ల ఏర్పడే గతిక ఉత్థాపనాన్ని మాగ్నస్ ప్రభావం అంటారు.

ప్రశ్న 5.
ద్రవ బిందువులు, బుడగలు గోళాకారంలో ఎందుకు ఉంటాయి ? (మార్చి 2014, మే 2014)
జవాబు:
తలతన్యత వలన ద్రవ బిందువు కనిష్ఠ వైశాల్యమును పొందడానికి ప్రయత్నిస్తుంది. సమాన ఘనపరిమాణం గల వివిధ రూపాలలో గోళమునకు కనిష్ఠ తలవైశాల్యం ఉంటుంది. కావున వర్ష బిందువులు, బుడగలు తలతన్యత వల్ల గోళాకారం పొందుతాయి.

ప్రశ్న 6.
ద్రవ బిందువులోని అదనపు పీడనానికి సమీకరణాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
ద్రవ బిందువులో గల అదనపు పీడనము, P = \(\frac{2 \mathrm{~s}}{\mathrm{r}}\) ఇచ్చట ‘S’ అనునది తలతన్యత మరియు ‘r’ అనునది ద్రవ బిందువు వ్యాసార్ధము.

ప్రశ్న 7.
ద్రవంలోపల ఉండే గాలి బుడగలోని అదనపు పీడనానికి సమీకరణాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
ద్రవం లోపల ఉండే గాలి బుడగలో అదనపు పీడనము, P = \(\frac{2 \mathrm{~S}}{\mathrm{r}}\) ఇచ్చట ‘S’ అనునది తలతన్యత మరియు ‘r’ అనునది గాలి బుడగ వ్యాసార్ధము.

ప్రశ్న 8.
గాలీలో ఉన్న సబ్బు బుడగలోని అదనపు పీడనానికి సమీకరణాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
గాలిలో ఉన్న సబ్బు బుడగలోని అదనపు పీడనము, P = \(\frac{4 \mathrm{~S}}{\mathrm{r}}\) ‘ఇచ్చట ‘S’ అనునది తలతన్యత మరియు ‘r’ అనునది సబ్బు బుడగ వ్యాసార్ధము.

ప్రశ్న 9.
జలసంసక్తకాలు (Water wetting agents), జలఅసక్తకాలు (Water proofing agents) అంటే ఏమిటి ? అవి ఏమిచేస్తాయి ?
జవాబు:
జలసంసక్తకాలు : స్పర్శ కోణమును తగ్గించటానికి ఉపయోగించే వాటిని జలసంసక్తకాలు అని అంటారు.
ఉదా : రంగులద్దే ద్రవ్యాలు.
జల అసక్తకాలు : స్పర్శకోణంను పెంచటానికి ఉపయోగించే వాటిని జల అసక్తకాలు అంటారు.
ఉదా : సబ్బులు, డిటర్జెంట్లు,
జలరసక్తీపాలను ద్రవాలను నలిపినప్పుడుప్పు కూర పెరుగువాంచి 10. . అందమున వడిపి స్వభావం తగ్గుతుంది.

ప్రశ్న 10.
స్పర్శకోణం అంటే ఏమిటి ? (మే 2014)
జవాబు:
పాత్ర గోడలను తాకి ఉన్న ద్రవపు ఉపరితలంపై గీసిన స్పర్శరేఖకు, పాత్ర గోడలకు మధ్య ద్రవాంతర్భాగంలో కొలిచిన I కోణాన్ని స్పర్శకోణము ‘θ’ గా నిర్వచించినారు.

ప్రశ్న 11.
బెర్నౌలీ సిద్ధాంతాన్ని పాటించే వాటికి రెండు ఉదాహరణలను ఇవ్వండి. ఆయా ఉదాహరణలను సమర్ధించండి.
జవాబు:
ఎ) వస్తువులు ద్రవంలో తేలుతున్నపుడు ద్రవంలో మునిగిన వస్తువు ఘనపరిమాణ భాగము =

(బి) వస్తువు ప్రవాహిలో తేలుతున్నపుడు వస్తువు వలన తొలగింపబడిన ద్రవం భారము, ప్రవాహిలో తేలుతున్న వస్తువు భారమునకు సమానము.

ప్రశ్న 12.
ఒక గొట్టం ద్వారా నీరు ప్రవహిస్తున్నప్పుడు ఆ నీటి ప్రవాహంలో ఏ పొర అత్యధిక వేగంతో ప్రవహిస్తుంది ? ఏ పొర అత్యల్ప వేగంతో ప్రవహిస్తుంది ?
జవాబు:
గొట్టం ద్వారా నీరు ప్రవహిస్తున్నపుడు గొట్టము లోపలి వైపు ఆనుకొని ఉన్న నీటి పొరలకు వేగం తక్కువ. గొట్టం అడుగుభాగం నుండి దూరంగా ఉన్న పొరలకు వేగం ఎక్కువ. అనగా గొట్టంలోపల పై అంచుకు దగ్గరగా ఉన్న ద్రవం పొరలకు వేగం ఎక్కువ.

ప్రశ్న 13.
ఒక వస్తువు యొక్క ఉపరితల వైశాల్యం ఎక్కువైనప్పుడు దాని చరమ వేగం (Terminal Velocity)కూడా అధికంగా ఉంటుంది. మీ సమాధానాన్ని సమర్ధించే కారణాలను తెలపండి.
జవాబు:
వస్తువు ఉపరితల వైశాల్యం ఎక్కువ ఐతే ఆ వస్తువుకు అంత్య వేగము ఎక్కువ.
స్టోక్స్ సిద్ధాంతం ప్రకారము అంత్యవేగము v = \(\frac{2}{9}\) a² \(\frac{(\rho-\sigma) g}{\eta}\) మిగిలిన రాశులు స్థిరంగా ఉన్నపుడు v ∝ a²
గోళాకార వస్తువు ఉపరితల వైశాల్యం A = 4π a² అనగా A ∝ a² కావున v ∝ A అవుతుంది. అనగా ఉపరితల వైశాల్యం A పెరిగితే చరమ వేగం v పెరుగును.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
వాతావరణ పీడనం అంటే ఏమిటి ? భారమితి (బారో మీటర్) సహాయంతో ఎలా నిర్ధారిస్తారు ?
జవాబు:
వాతావరణ పీడనం : ఏదైనా ఒక బిందువు వద్ద వాతావరణ పీడనం, ఆ బిందువు నుంచి విస్తరిస్తూ వాతావరణపు పై అంచుదాకా కొనసాగే ఏకాంక మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం గల వాయుస్తంభం యొక్క బరువుకు సమానము.

భారమితి (Barometer) సహాయంతో వాతవరణ పీడనాన్ని నిర్ధారించుట :
పాదరస భారమితి : ఇది వాతావరణ పీడనాన్ని కొలిచే పరికరం సుమారు 1 మీటరు పొడవు గల గాజు గొట్టాన్ని పాదరసంతో నింపి దీనిని పాదరసపు తొట్టెలో తలక్రిందులుగా నిలబెడతారు. సముద్రమట్టం వద్ద ఈ గాజు గొట్టంలో 76 సెం.మీ. ఎత్తులో పాదరసం నిలిచి ఉంటుంది. పాదరస మట్టం పైన గల భాగంలో కేవలం పాదరస భాష్పం ఉంటుంది. పాదరసానికి భాష్పపీడనం చాలా తక్కువ కావటం వల్ల గొట్టంలో పాదరసం పై భాగాన్ని శూన్యంగా భావిస్తారు. వాతావరణ పీడనం బట్టి పాదరస మట్టము ఎత్తు ‘h’ మారుతుంది. ఈ పాదరస మట్టపు ఎత్తునే పీడనంగా వ్యవహరిస్తారు.

సముద్రమట్టం వద్ద వాతావరణ పీడనం P = hρg
ρ = పాదరసం సాంద్రత, g = గురుత్వ త్వరణము, h = పాదరస స్థంభం ఎత్తు = 76 c.m.
పాదరసము సాంద్రత, ρ = 13.6 × 10³ kg m^-3 g = 9.8 ms^-2.
∴ వాతావరణ పీడనము, P_a = hρg = 0.76 × (13.6 × 10³) × 9.8 = 1.013 × 10⁵ Nm^-2 or Pa

ప్రశ్న 2.
గేజ్ పీడనం అంటే ఏమిటి ? మానోమీటర్ సహాయంతో పీడన వ్యత్యాసాన్ని ఎలా కనుక్కొంటారు ?
జవాబు:
గేజ్ పీడనం : ఒక ద్రవంలోపల ‘h’ లోతులో ఉన్న ఒక బిందువు వద్ద గల పీడనం P, ద్రవ ఉపరితలంపై పనిచేసే వాతావరణ పీడనం విలువ (P_a) కన్నా ρgh ఎక్కువగా ఉంటుంది. ‘h’ లోతులో గల బిందువు వద్ద గల ఈ పీడన వ్యత్యాసాన్నే (P – P_a) ఆ బిందువు వద్ద గల గేజ్ పీడనం అని అంటారు.

మానోమీటర్ సహాయంతో పీడన వ్యత్యాసాన్ని కనుగొనుట :
మానోమీటరు పీడన భేదం కొలవడానికి వాడే పరికరం. ఇది ఒక ‘U’ గొట్టము. ఈ ‘U’ గొట్టంలో ద్రవాన్ని తీసుకొని గొట్టం ఒక కొనను పీడనం కొలవవలసిన ప్రాంతానికి కలిపి రెండవ కొనను వాతావరణ పీడనం వద్ద ఉండే విధంగా స్వేచ్ఛగా వదిలేస్తారు. ‘U’ గొట్టంలోని ద్రవమట్టములలోని ఎత్తుల భేదము పీడనాన్ని తెలియచేస్తుంది. అల్పపీడన వ్యత్యాసాలను కొలవడానికి ‘U’ గొట్టంలో తక్కువ సాంద్రత గల ద్రవాన్ని, ఎక్కువ పీడన బేధనాన్ని కొలవడానికి ‘U’ గొట్టంలో పాదరసాన్ని వాడతారు.

బిందువు వద్ద ఉండే పీడనం P బిందువు B వద్ద ఉన్న పీడనానికి సమానము అవుతుంది. పాత్రలోని పీడనం ‘P’, వాతావరణ పీడనము కన్నా అధికమైనచో, U-గొట్టంలోని భుజము ” లోని ద్రవ మట్టము బిందువు ‘A’ వద్దకు తగ్గుతుంది. మరియు భుజము-‘I’ లోని ద్రవ మట్టము బిందువు ‘C’ వరకు పెరుగును, అప్పుడు పాత్రలోని వాయువు యొక్క పీడనము బిందువు ‘A’ వద్ద గల పీడనమునకు సమానమగును. U- గొట్టంలోని రెండు భుజములలో గల ద్రవ మట్టముల వ్యత్యాసము ‘h’ అనుకొనుము. U- గొట్టంలోని ద్రవము యొక్క సాంద్రత ‘ρ’, మరియు వాతావరణ పీడనము ρ_a అని అనుకొనుము.
ఒకే మట్టములో గల అన్ని బిందువుల వద్ద సమాన పీడనము ఉండును.
∴ P_A = P_B = P_C + hρg
బిందువు A వద్ద పీడనము, P_A = బిందువు B వద్ద పీడనము
= బిందువు C వద్ద పీడనము (P) + ‘h’ ఎత్తు గల ద్రవస్తంభం వలన కలిగిన పీడనము
∴ P_A = P + h

ప్రశ్న 3.
పాస్కల్ నియమాన్ని తెలిపి ఒక ప్రయోగం సహాయంతో దాన్ని నిరూపించండి.
జవాబు:
పాస్కల్ నియమం :
“విరామస్థితిలో ఉన్న ఒక ప్రవాహిలో ఒకే ఎత్తులో ఉన్న అన్ని బిందువుల వద్ద పీడనం ఒకే విలువను కలిగి ఉంటుంది.”

పాస్కల్ నియమానికి నిరూపణ :
ఒక విరామ స్థితిలో ప్రవాహి లోపలి స్వల్పంశ భాగాన్ని పటములో చూపిన విధముగా అనుకొనుము. ఈ స్వల్పాంశ భాగము ABC – DEF ఒక లంబకోణ పట్టకాకృతిలో ఉంది.

సూత్రప్రాయంగా, ఈ పట్టకీయ స్వల్పాంత భాగం ఎంత స్వల్పాతి స్వల్పంగా ఉంటుందంటే, దాని ప్రతి భాగం ద్రవ ఉపరితలం నుంచి ఒకే లోతులో ఉన్నట్లుగా మనం భావించవచ్చు. కాబట్టి ఈ బిందువులన్నింటి వద్ద గురుత్వ ప్రభావం ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

ఈ స్వల్పాంశ భాగంపై ఉండే బలాలు తక్కిన ప్రవాహి దానిపై ప్రయోగించే బలాలే. ఇవి స్వల్పాంశ ఉపరితలాలకు అభిలంబంగా ఉంటాయి.

కాబట్టి పటములో చూపిన విధముగా వైశాల్యంశాలు A_a, A_b, A_c లు వరుసగా సూచించే ముఖాలు BEFC, ADFC, ADEB ల పైన అభిలంబ బలాలు F_a, F_b, F_c ల వల్ల ప్రవాహి P_a, P_b, P_c లు అనే పీడనాలను ఆయా వైశాల్యంశాల పైన కలుగచేస్తుంది.
అప్పుడు,
F_b sin θ₂ – F_c and F_b cos θ₂ = F_a (సమతాస్థితి వల్ల)
A_b sin θ₂ = A_c and A_b cos θ₂ = A_a (జ్యామితి వల్ల)
కాబట్టి,
\(\frac{F_b}{A_b}=\frac{F_c}{A_c}=\frac{F_a}{A_a}\) ⇒ P_b = P_c = P_a
కాబట్టి, ఒక విరామ స్థితిలోని ప్రవాహిలో అన్ని దిశలలో అది కలుగచేసే పీడనం ఒకే విలువను కలిగి ఉంటుంది. ఇదే పాస్కల్ నియమము.

ప్రశ్న 4.
హైడ్రాలిక్ లిఫ్ట్, హైడ్రాలిక్ బ్రేక్లను వివరించండి.
జవాబు:
హైడ్రాలిక్ (జలోత్పీడన) యంత్రాలు : పాస్కల్ పీడనం ప్రసరణ నియమం ప్రకారము ఒక పాత్రలో ఉన్న ప్రవాహి యొక్క ఏ భాగం మీద అయినా బాహ్యపీడనాన్ని ప్రయోగిస్తే ఆ పీడనం విలువ ఏ మాత్రం క్షీణించకుండా ద్రవం అన్నివైపులకు సమానంగా ప్రసరిస్తుంది. ఈ సూత్రం ఆధారంగా హైడ్రాలిక్ లిఫ్ట్ పనిచేస్తుంది.

హైడ్రాలిక్ లిఫ్ట్లో భిన్న వైశాల్యాలు గల రెండు ముషలకాలు (A₁, A₂) లు ద్రవంతో పూర్తిగా నింపబడిన ‘U’ గొట్టం వంటి పరికరం ద్వారా
కలుపబడి ఉంటాయి.

పీడనం P = F₁/A₁ ను చిన్న గొట్టంపై ప్రయోగిస్తే అదే పీడనం P = F₂/A₂ను పెద్ద ముషలకం A₂ పై ప్రయోగిస్తుంది. పాస్కల్ నియమం ప్రకారం P సమానం కావున
\(\frac{\mathrm{F}_1}{\mathrm{~A}_1}=\frac{\mathrm{F}_2}{\mathrm{~A}_2}\) లేదా F₂ = \(\frac{\mathrm{A}_2}{\mathrm{~A}_1}\) F₁ అనగా చిన్న ముషలకంపై ప్రయోగించిన F₁ బలం A₂/A₁ అన్న రెట్లు పెద్దదిగా పెద్ద ముషలకంపై పనిచేయడం వల్ల ఎక్కువ వైశాల్యం గల ముషలకం అధిక బరువును పైకి లేపుతుంది. ఇందులో A₂/A₁ ను యాంత్రిక లాభం అంటారు.

హైడ్రాలిక్ బ్రేకులు : హైడ్రాలిక్ బ్రేకులు పాస్కల్ పీడన ప్రసరణ నియమం ఆధారంగా పనిచేస్తాయి. ఇందులో మన పాదం క్రింద గల పెడల్పై స్వల్ప బలం ప్రయోగిస్తే అది మాస్టర్ స్థూపంలో గల బ్రేక్ నూనెపై పీడనాన్ని కలుగచేస్తుంది. ఈ బ్రేక్ నూనె అధిక వైశాల్యాలు గల ముషలకాలపై ఎక్కువ ప్రభావం చూపుతుంది. ఈ ముషలకాలు చక్రాలకు కలుపబడిన బ్రేక్ లైనింగులకు వ్యతిరేకంగా బ్రేక్ షూలను వ్యాకోచింపచేసి వాహనాలకు అధికమందక బలం (Retarding force) ను అందజేస్తాయి. ఈ అమరికలో ద్రవం ద్వారా పీడనం అన్ని చక్రాల ముషలకాలకు సమానంగా అందటం వల్ల అన్ని చక్రాలపై ఒకే పరిమాణం గల బలం ప్రయోగింపబడి బ్రేకింగ్ వ్యవస్థ అధిక సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
ద్రవ స్థితిక విరోధాభాసము అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
ద్రవస్థితిక విరోధభాసం : ఒకే క్షితిజ సమాంతర మట్టం వద్ద ఉన్న అన్ని బిందువుల వద్ద ద్రవ పీడనం సమానంగా ఉంటుంది. ఈ ఫలితాన్నే ద్రవస్థితిక విరోధాభాసం అంటారు.

పటంలో చూపించిన మూడు పాత్రలు A, B, C లు భిన్న ఆకారాల్ని కలిగి ఉన్నాయి. వాటి అడుగు భాగాన్ని ఒక క్షితిజ సమాంతర గొట్టం సంధానం చేస్తోంది. వాటిని నీటితో నింపినప్పుడు ఆ మూడు పాత్రలలోను నీటి మట్టం, వాటిలో నిలిచి ఉన్న నీటి మొత్తాలు భిన్నమైనప్పటికీ, ఒకటిగానే ఉన్నాయి. ఇలా ఎందుకు జరుగుతుందంటే, పాత్ర యొక్క ఒక్కొక్క భాగం అడుగులో నీరు కలిగించే పీడనం సమానంగా ఉంటుంది.

ప్రవాహి స్తంభం ఎత్తు కేవలం పీడనం మీద ఆధారపడును. ఇది ద్రవం మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం లేదా పీఠ వైశాల్యం లేదా పాత్ర ఆకారంపైన ఆధారపడదు.

ప్రశ్న 6.
లోతులో పీడనం ఎలా మారుతుందో వివరించండి.
జవాబు:
లోతులో పీడనంలో వచ్చే మార్పు :
ఒక పాత్రలో ఒక ప్రవాహి నిశ్చలంగా ఉందనుకొనుము. పటంలో బిందువు 2కి పైన h ఎత్తులో బిందువు 1 ఉంది. బిందువు 1, బిందువు 2 ల వద్ద పీడనాలు వరుసగా P₁, P₂ అనుకొనుము. పీఠ వైశాల్యం A, ఎత్తు ఉన్నటువంటి ఒక స్థూపాకార స్వల్పాంశ ప్రవాహి భాగాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకొనుము. ప్రవాహి నిశ్చలంగా ఉంది కాబట్టి క్షితిజ సమాంతర బలాల వల్ల కలిగే ఫలితబలం శూన్యం కావాలి. అంతేగాక క్షితిజ లంబ బలాల ఫలిత బలం, స్వల్పాంశ ప్రవాహి భాగం భారాన్ని సంతులనం చేయాలి. స్వల్పాంశ భాగానికి నిలువు దిశలో చర్య జరిపే బలాలు (P₁ A) దానిపై భాగాన ఉండి, అధోముఖ దిశలోని పీడనం వల్ల ఏర్పడగా, అడుగు భాగంలోని ప్రవాహి వల్ల ఇలా ఏర్పడే బలాలు (P₂A) ఊర్ధ్వ దిశలో చర్య జరిపే పీడనం వల్ల ఏర్పడతాయి. మనం పరిగణనలోకి తీసుకున్న స్థూపంలోని ప్రవాహి భారం mg అయితే,
(P₂ – P₁) A = mg ……………….. (1)
ప్రవాహి ద్రవ్యరాశి సాంద్రత ρ అయితే, ఆ ప్రవాహి ద్రవ్యరాశి, m = ρv = ρhA అవుతుంది.
కావున P₂ – P₁ = ρgh ……………… (2)

పైన సూచించిన బిందువులు 1, 2 ల మధ్య ఉండే నిలువు దూరం h పైనా, ప్రవాహి ద్రవ్యరాశి సాంద్రత p, గురుత్వ త్వరణం g పైనా పీడన వ్యత్యాసం ఆధారపడి ఉంటుంది. పరిగణనలోకి తీసుకున్న బిందువు 1ని ప్రవాహి ఉపరితలానికి మారిస్తే, అది వాతావరణ పీడనానికి (P_a) లోనయి ఉంటుంది కాబట్టి, P₁ స్థానంలో వాతావరణ పీడనం (P_a) ని, P₂ స్థానంలో P ని ప్రతిక్షేపించవచ్చు.
సమీకరణం (2) నుండి P – P_a = ρgh
లేదా P = P_a + ρgh
కాబట్టి వాతావరణ పీడనానికి లోనైనటువంటి ప్రవాహి ఉపరితలం నుంచి కొంత లోతులో ఉన్న బిందువు వద్ద పీడనం P, వాతావరణ పీడనం కంటే ρgh ఎక్కువగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 7.
టోరిచెల్లి నియమం అంటే ఏమిటి ? ఒక ప్రయోగంతో బహిస్రావం (efflux) వడిని ఎలా నిర్ధారిస్తారో వివరించండి.
జవాబు:
బహిస్రావం వడి :
టోరిచెల్లి నియమం : బహిస్రావం అనే పదానికి అర్థం ప్రవాహి బయటకు వెళ్ళడం. ఒక తెరచిన తొట్టి (టాంక్) నుంచి ఉండే బహిస్రావ వడి స్వేచ్ఛగా కిందకు పడుతున్న వస్తువుకు వర్తించే ఫార్ములాకు సరిసమానమైన రూపాన్నే కలిగి ఉంటుందని టోరి చెల్లి కనుక్కొన్నాడు. ρ సాంద్రతగల ద్రవంతో నిండి ఉన్న ఒక టాంక్ను పరిగణించండి. దాని అడుగు భాగం నుంచి y₁ ఎత్తులో దానికి ఒక పక్కన ఒక చిన్న రంధ్రం ఉందనుకొందాం. ద్రవం పైభాగంలో, y₂ ఎత్తు వద్ద ఉన్న దాని ఉపరితలంపైన ఉన్న గాలి (2 వద్ద) పీడనం P వద్ద ఉంది. సాంతత్య సమీకరణం నుంచి
v₁ A₁ = v₂ A₂

⇒ v₂ = \(\frac{A_1}{A_2}\) v₁ ……………. (1)
టాంక్ మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం A₂ రంధ్రం మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం A1 కంటే చాలా ఎక్కువగా ఉన్నట్లయితే (A₂ >> A₁) పై భాగం వద్ద ప్రవాహి (ఉజ్జాయింపుగా) విరామంలో ఉన్నట్లుగా తీసుకోవచ్చు. అంటే v₂ = 0. రంధ్రం వద్ద P₁ = P_a (P_a = వాతావరణ పీడనం) అవుతుందని గుర్తిస్తూ, బిందువులు 1, 2 ల వద్ద బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని అనువర్తిస్తే,
సమీకరణం నుంచి
P_a + \(\frac{1}{2}\)ρv₁² + ρgy₁ = P + ρgy₂ గా రాయవచ్చు.
y₂ – y₁ = h అని అనుకొంటే
v₁ = \(\sqrt{2 g h+\frac{2\left(\mathrm{P}-\mathrm{P}_{\mathrm{a}}\right)}{\rho}}\) ……………. (2)
P > > P_a అయినప్పుడు, 2gh ను ఉపేక్షించినప్పుడు బహిస్రావం యొక్క వడిని పాత్ర (టాంక్) పీడనం నిర్ధారిస్తుంది. ఇలాంటి పరిస్థితి రాకెట్ చోదనంలో సంభవిస్తుంది. ఒకవేళ టాంక్ను వాతవరణ పీడనానికి తెరచి ఉంచినట్లయితే, అప్పుడు P = P_a
v₁ = \(\sqrt{2 g h}\)

ప్రశ్న 8.
వెంటురి – మీటర్ అంటే ఏమిటి ? దీన్ని ఎలా ఉపయోగిస్తారో వివరించండి.
జవాబు:
వెంటురి-మీటర్ : వెంటురి మీటరును అసంపీడ్య ప్రవాహుల వడిని కొలవడానికి వాడతారు.

వెంటురి – మీటరు ఎక్కువ వైశాల్యము కలిగి మధ్యలో చిన్న నొక్కు గల గొట్టము. ‘U’ ఆకారపు మానోమీటరు యొక్క ఒక భుజము వెంటురి-మీటరు వెడల్పాటి భాగానికి రెండవ కొన వెంటురి-మీటరు నొక్కు వద్ద కలపబడి ఉంటాయి.

బెర్నౌలి సిద్ధాంత ప్రకారము
P₁ + \(\frac{1}{2}\)ρv₁² = P₂ + \(\frac{1}{2}\)ρv₂² (వెంటురి మీటరు గొట్టం ఒకే ఎత్తులో ఉండడం వల్ల ρgh ఇరువైపులా సమానం)
∴ P₁ – P₂ = latex]\frac{1}{2}[/latex]ρ(v₂² – v₁²)
లేదా P₁ – P₂ = \(\frac{1}{2}\)ρv₁² \(\left[\left(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{a}}\right)^2-1\right]\)
\(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{a}}\) వెంటురి మీటరు గొట్టము (A) నొక్కు (a) వద్ద గల
వైశాల్యం (a) ల నిష్పత్తి, పీడన భేదము P₁ – P₂ = ρmgh
h = మానోమీటరులో పాదరస మట్టముల బేధము
సాంతత్వ సమీకరణం నుండి \(\frac{v_2}{v_1}=\frac{A}{a}\)
∴ ప్రవాహ వడి v_i = \(\sqrt{\frac{2 \rho_{\mathrm{m}} \mathrm{gh}}{\rho}}\left[\left(\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{a}}\right)^2-1\right]\)

ప్రశ్న 9.
రెనాల్డ్స్ సంఖ్య అంటే ఏమిటి ? దాని ప్రాముఖ్యత ఏమిటి ?
జవాబు:
రేనాల్డ్ సంఖ్య (R) : ప్రవాహులలో ఒక ప్రవాహము ధారారేఖా ప్రవాహమా లేక సంక్షుబ్ధ ప్రవాహమా అని నిర్ణయించడానికి రేనాల్డ్ సంఖ్యను వాడతారు.
రేనాల్డ్ సంఖ్య ప్రవాహుల జడత్వ బలానికి మరియు స్నిగ్ధతా బలాలకు గల నిష్పత్తిగా చెప్పవచ్చు.

ఇక్కడ ρ అనేది v వేగంతో ప్రవహిస్తున్న ప్రవాహి సాంద్రత, d అనేది గొట్టానికి ఉండే ఒకానొక కొలతను (పొడవు లేదా వ్యాసం) సూచిస్తుంది. η ప్రవాహి స్నిగ్ధతా గుణకం. ఇక R_e ఒక మితిరహిత సంఖ్య కాబట్టి ప్రమాణాలకు ఉండే ఏ పద్ధతిలోనైనా అది మారకుండా సమానంగా ఉంటుంది.

ప్రాముఖ్యత : ఒక ప్రవాహం R_e విలువ 1000 కంటే తక్కువగా ఉన్నప్పుడు అది ధారారేఖా ప్రవాహం లేదా స్తరీయ ప్రవాహంగా ఉంటుందని కనుక్కొన్నారు. R_e > 2000 అయితే ప్రవాహం సంక్షుబ్ధ ప్రవాహం అవుతుంది. R_e విలువ 1000 నుండి 2000 ల మధ్య ఉన్నప్పుడు ఆ ప్రవాహం ‘నిలకడ రహిత’ ప్రవాహంగా మారుతుంది. ఏ R విలువ వద్ద ప్రవాహంలో సంక్షుబ్ధత మొదలవుతుందో ఆ సందిగ్ధ విలువను సందిగ్ధ రెనాల్డ్స్ సంఖ్య అంటారు.

ప్రశ్న 10.
గతిక ఉత్థాపనాన్ని ఉదాహరణలతో సహా వివరించండి.
జవాబు:
ఆత్మభ్రమణంలో గల బంతిపై గతిక ఉత్థాపన : ఆత్మభ్రమణంతో ముందుకు చలించే బంతికి రెండు రకాల చలనం
ఉంటుంది. 1) స్థానాంతరణ చలనము ; 2) భ్రమణ చలనము

1) స్థానాంతరణ చలనం ఉన్నప్పుడు : కేవలం స్థానాంతరణ చలనం గల బంతి యానకంలో ముందుకు దూసుకొనిపోవునపుడు బంతి పై భాగాన, క్రింద భాగాన గల వేగము సమానము. కావున బంతిపై గతిక ఉత్థాపన ఉండదు.

బంతి భ్రమణ గమనం కలిగి ఉన్నపుడు : గాలిలో బంతి వేగము v మరియు బంతి ∆v అను వేగంతో సవ్యదిశలో ఆత్మభ్రమణం చేస్తున్నది అనుకొనుము. బంతి ఉపరితలం పూర్తిగా నున్నగా ఉండకపోవడం వల్ల వాయు అణువులు కూడా బంతితో పాటు ∆v వేగంతో భ్రమణం చెందుతాయి. ఈ చలనాన్ని డ్రాగ్ (Drag) అంటారు.

డ్రాగ్ ఫలితంగా బంతి పై భాగంలో గల వాయు అణువుల వేగం v + ∆v గాను, బంతి క్రింద భాగంలో గల వాయు అణువులవేగం v – ∆v గాను మారుతుంది. బంతి పై భాగంలో వాయు అణువుల వేగం ఎక్కువ. కావున బెర్నౌలి సిద్ధాంతం ప్రకారము పీడనం తక్కువ. బంతి క్రింద భాగంలో వాయు అణువుల వేగం తక్కువ కావున పీడనం ఎక్కువ. ఈ పీడన భేదం వల్ల భ్రమణంలో ఉన్న బంతిపై కొంత గతిజ ఉత్థాపకం పనిచేస్తుంది. ఫలితంగా భ్రమణంలో ఉన్న బంతి మార్గం వక్రంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 11.
తలతన్యత, తలశక్తులను వివరించండి.
జవాబు:
తలతన్యత : ద్రవ ఉపరితలంపై ఏకాంక పొడవు గల ఊహాజనిత రేఖ పొడవుకు లంబంగా పనిచేసే బలాన్ని తలతన్యతగా నిర్వచించారు.
తలతన్యతా బలాలు ద్రవం ఉపరితలంపై గల అణువులపై లంబంగా ద్రవం లోపలి వైపుకు పనిచేస్తాయి.
ప్రమాణము : న్యూ/మీ
మితిఫార్ములా : MT^-2
ఉపరితల శక్తి : అణుబలాల వల్ల ప్రమాణ వైశాల్యంలో గల అధిక స్థితిజ శక్తిని ఉపరితల శక్తి అంటారు.
ఉపరితలశక్తి మరియు తలతన్యతల మధ్య సంబంధం : ఉపరితలశక్తి, ద్రవం తలతన్యతకు సమానం.

ప్రశ్న 12.
ప్రయోగాత్మకంగా తలతన్యతను కనుక్కొనే విధానాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
ప్రయోగశాలలో ద్రవం తలతన్యతను కనుగొనటానికి విమోటన త్రాసును వాడతారు. ఇందులో ఒక ఆధారపరంగా చలించగల ఒక లోహపు కడ్డీకి ఒక వైపు గాజుపలకను మరొకవైపు బరువులు ఉంచే పళ్ళెంను కలుపుతారు.

శుభ్రమైన ఒక గాజు పలకను తీసుకొని దాని పొడవు ” మందము ‘t’ లను కనుగొంటారు. మందము t పొడవు (l) కన్న చాలా తక్కువ అయితే t ని లెక్కలోకి తీసుకోరు.

గాజు పలకను త్రాసుకు తగిలించి పళ్ళెంలో బరువులను వేసి లోహపు కడ్డీ క్షితిజ సమాంతరంగా ఉండే విధంగా పళ్ళెంలో బరువులను మారుతారు. బరువు W_o ను కనుగొంటారు.

తలతన్యత కనుగొనవలసిన ద్రవాన్ని శుభ్రమైన బీకరులో తీసుకొని ద్రవం గాజు పలకను తాకే వరకు బీకరులో ద్రవాన్ని పోస్తారు. గాజు పలక ద్రవతలాన్ని స్పర్శించినపుడు తలతన్యతా బలం వల్ల గాజు పలక లోపలికి లాగబడుతుంది. త్రాసులో అదనంగా బరువులు W ను వేసి గాజు పలక నీటి తలాన్ని తప్పించుకొని పైకి లేచే విధంగా బరువులను కొద్ది కొద్దిగా పెంచుతారు.
పలక పైకి లేవడానికి అదనంగా వేసిన బరువు W ను కొలుస్తారు.

∴ తలతన్యతను S = \(\frac{\mathrm{W}}{2 l}\) ద్వారా లెక్కగడతారు.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
బెర్నౌలీ సూత్రాన్ని తెలపండి. ఒక గొట్టంలో ప్రవహిస్తున్న ప్రవాహికి శక్తి నిత్యత్వ నియమాన్ని అనువర్తించి బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని రాబట్టండి. బెర్నౌలీ సిద్ధాంతానికి ఒక అనువర్తనాన్ని ఇవ్వండి.
జవాబు:
బెర్నౌలీ సిద్ధాంతము : ధారా ప్రవాహంలో ఉన్న ప్రవాహిలోని ఏదైనా బిందువు వద్ద గల మొత్తం శక్తి స్థిరము. అనగా ఆ ప్రవాహి యొక్క ప్రమాణ ఘనపరిమాణానికి గల పీడన శక్తి, గతిజశక్తి మరియు స్థితిశక్తుల మొత్తము స్థిరము. అనగా
\(\frac{\mathrm{P}}{\rho}+\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{g}}+\frac{\mathrm{v}^2}{2}\) = స్థిరరాశి.

బెర్నౌలీ సిద్ధాంతము ధారా ప్రవాహంలో ఉన్న, స్నిగ్ధత లేని, అసంపీడ్య, భ్రమణ రహిత ద్రవములకు మాత్రమే వర్తించును.
నిరూపణ : A₁, A₂ అను వేరు వేరు వైశాల్యములు గల ఒక గొట్టము గుండా స్నిగ్ధత లేని, అసంపీడ్యమైన ఒక ద్రవం ప్రవహిస్తున్నది అనుకొనుము. ద్రవం A₁ వద్ద గొట్టంలోనికి v₁ వేగంతో ప్రవేశించి A₁ ద్వారా v₂ అను వేగంతో బయటకు పోయినది అనుకొనుము. A₁ వద్ద పీడము P₁, ద్రవపు సాంద్రత ρ, A₂ వద్ద పీడనము P₂ మరియు సాంద్రత ρ అనుకొనుము. ఒక స్థిరమైన ఆధారంతో పోల్చినపుడు A₁ యొక్క ఎత్తు h₁ మరియు A₂ యొక్క ఎత్తు h₂ అనుకొనుము.
dt కాలంలో A₁ వద్ద గొట్టంలోనికి ప్రవేశించిన ద్రవం
ద్రవ్యరాశి dm = ఘనపరిమాణము × సాంద్రత,
ద్రవం ఘనపరిమాణము = A₁ v₁dt ⇒ ∴ ద్రవం ద్రవ్యరాశి dm₁ = A₁V₁ρ dt . ρ ………….. (1)
A₂ గుండా dt కాలంలో బయటకుపోయిన ద్రవం ద్రవ్యరాశి dm₂ కాని dm₂= A₂ V₂ ρ dt ……………….. (2)
గొట్టంలోనికి ప్రవేశించిన ద్రవం అంతా బయటకు పోవును కావున
dm₁ = dm₂ లేదా A₁V₁ρdt = A₂V₂ ρdt = dm ……………… (3)
ద్రవం P₁ నుండి P₂ పీడనానికి ప్రయాణించునపుడు జరిగిన పని
W = పీడనము × వైశాల్యము × ద్రవం ప్రయాణించిన దూరము = P₁A₁V₁dt – P₂A₂V₂dt ……….. (4)
ద్రవం h₁ నుండి h₂ ఎత్తుకి దిగడం వల్ల జరిగిన పని W = dm₁gh₁ – dm₂gh₂ …………………. (5)
కాని పనిశక్తి సిద్ధాంతం ప్రకారం వ్యవస్థ జరిపిన మొత్తం పని దాని గతిజశక్తిలోని భేదానికి సమానము.
∴ \(\frac{1}{2}\) dm₂ v₂²– \(\frac{1}{2}\) dm₁v₁² = P₁A₁V₁dt – P₂A₂V₂dt + dm₁gh₁ – dm₂gh₂ …………….. (6)
ఇరువైపులా dm చేత భాగించగా

అనగా \(\frac{\mathrm{P}}{\rho}+\frac{\mathrm{v}^2}{2}\) + gh = స్థిరరాశి. ఇందులో \(\frac{P}{\rho}\) = ప్రమాణ ఘనపరిమాణానికి పీడనశక్తి
\(\frac{\mathrm{v}^2}{2}\) = ప్రమాణ ఘనపరిమాణానికి గతిజశక్తి gh = ప్రమాణ ఘనపరిమాణానికి స్థితిశక్తి
కావున ద్రవంలో ఏ బిందువు వద్ద అయినా ప్రమాణ ఘనపరిమాణం గల ద్రవానికి ఉన్న పీడనశక్తి, గతిజశక్తి మరియు స్థితిశక్తుల మొత్తం స్థిరము. అనగా బెర్నౌలి సిద్ధాంతము నిరూపించబడినది.
బెర్నౌలీ సిద్ధాంతపు అనువర్తనాలు :

1. విమానపు రెక్కపై గల గతిక ఉత్థాపన బెర్నౌలీ సిద్ధాంతం ఆధారంగా ఏర్పడినదే.
2. స్పిన్తో చలించు క్రికెట్ బంతి స్వింగ్కు గల కారణము బెర్నౌలి సిద్ధాంతం.
3. తుఫానులలో ఇళ్ళకప్పులు పైకి ఎగురుట బెర్నౌలీ సిద్ధాంత ప్రభావమే.

ప్రశ్న 2.
స్నిగ్ధతా గుణకాన్ని నిర్వచించండి. స్టోక్స్ నియమాన్ని వివరించి, ఏ పరిస్థితులలో ఒక వర్షపు బిందువు చరమవేగం v₁ ని పొందుతుందో వివరించండి. v₂ కి సమీకరణాన్ని ఇవ్వండి.
జవాబు:
స్నిగ్ధతా గుణకము : ప్రవాహి దిశకు లంబంగా పొరల మధ్య ఏకాంక వేగ ప్రవణత ఉన్నప్పుడు ఏకాంక వైశాల్యం గల పొరల మీద పనిచేసే బలపరిమణాన్ని ఆ ద్రవం స్నిగ్ధతా గుణకం అంటారు.

చరమవేగానికి సమీకరణ:
స్ట్రోక్ సిద్ధాంతం ప్రకారము ప్రవాహి గుండా క్రిందికి పడుతున్న గోళంపై పనిచేసే నిరోధక బలం F గోళం వ్యాసార్ధము (a) ; ప్రవాహి స్నిగ్ధతా గుణకం (η) మరియు గోళం వేగం (v) కి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుందని స్ట్రోక్ కనుగొన్నాడు.
∴ F ∝ ηav లేదా F = 6 π η av. ఇక్కడ 6π అనుపాత స్థిరాంకం. ఈ బలం ప్రవాహిలో గోళం బరువుకి సమానమయితే, అది v సమవేగంతో పోతుంది. ఇదే అంత్యవేగం.
∴ F = గోళం భారం – ప్రవాహిలో అది కోల్పోయే భారం = \(\frac{4}{3}\)πa³ρg – \(\frac{4}{3}\) 4πa³σg = \(\frac{4}{3}\)πa³ (ρ – σ) g
ఇక్కడ ρ, σ గోళం మరియు ప్రవాహి సాంద్రతలు.
∴ \(\frac{4}{3}\)πa³ (ρ – σ) g = 6π ηav;
అంత్యవేగము v = \(\frac{2}{9}\) a² \(\frac{(\rho-\sigma) g}{\eta}\)

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
0.6 సెం.మీ. వ్యాసం గల ఒక సబ్బు బుడగను ఊదేందుకు తలతన్యతా బలానికి వ్యతిరేకంగా చేయాల్సిన పనిని లెక్కించండి. (సబ్బు ద్రావణం తలతన్యత = 2.5 × 10^-2 Nm^-1)
సాధన:
జరిగిన పని = W = తలతన్యత (S) × వైశాల్యములోని పెరుగుదల (2 × 4πr)
∴ W = S (4πr²) × 2 (నీటి బుడగకు రెండు తలములు ఉండుట వలన)
= \(\frac{2.5}{100}\) × 4π × \(\left(\frac{0.3}{100}\right)^2\) × 2 = \(\frac{20 \pi \times 9}{10^8}=\frac{1.8 \pi}{10^6}\) = 5.65 × 10^-6 J.

ప్రశ్న 2.
0.06 సెం.మీ. వ్యాసం గల గాజు గొట్టంలో మిథైల్ ఆల్కహాల్ ఎంత ఎత్తుకు ఎగబాకుతుంది ? (మిథైల్ ఆల్కహాల్ తలతన్యత = 0.023 Nm^-1, సాంద్రత = 0.8 gmcm^-3. స్పర్శకోణాన్ని శూన్యంగా పరిగణించండి.)
సాధన:
మిథైల్ ఆల్కహాల్ తలతన్యత (S) = 0.023 N/m; సాంద్రత ρ = 0.8 gr/cm³ = 800 kg/m³
గొట్టపు వ్యాసము D = 0.06 cm
⇒ వ్యాసార్ధము r = 0.03 cm = \(\frac{0.03}{100}\) m
తలతన్యత S = \(\frac{\mathrm{h} \rho \mathrm{rg}}{2 \cos \theta}\) ; ఇక్కడ θ = 0°, cos 0° = 1; ρ = 0.8 g/cm³ = 800 kg/m³
∴ h = \(\frac{2 \mathrm{~S}}{\rho \mathrm{rg}}\) = \(\frac{2 \times 0.023}{800 \times \frac{0.03}{100} \times 9.8}\)
= \(\frac{2 \times 0.023}{0.24 \times 9.8}\) = 0.0196 m. = 1.96 cm.

ప్రశ్న 3.
నీటిలో ముంచిన కేశనాళం వ్యాసార్ధం ఎంత ఉంటే దానిలో నీరు 6 సెం.మీ. ఎత్తుకు ఎగబాకుతుంది ? (నీటి తలతన్యత = 7.2 × 10^-2 Nm^-1)
సాధన:
నీటి తలతన్యత, S = 7.2 × 10^-2 N/m; నీటి స్తంభము ఎత్తు, h= 6 cm = \(\frac{6}{100}\) m
కేశనాళిక వ్యాసార్ధము r = ? ; తలతన్యత S = \(\frac{\mathrm{h} \rho \mathrm{rg}}{2}\), ఇక్కడ ρ – నీటి సాంద్రత = 10³ kg/m³
7.2 × 10^-2 = \(\frac{6}{100} \times \frac{1000 \times r \times 10}{2}\) = 300 r
∴ r = \(\frac{7.2 \times 10^{-2}}{300}\) = 2.4 × 10^-4 m = 0.24 mm.

ప్రశ్న 4.
0.4 మి.మీ. వ్యాసం గల ఒక కేశనాళికను బీకరులో ఉన్న పాదరసంలో ముంచినప్పుడు, నాళంలోని ద్రవచంద్రరేఖాకృతి (meniscus) లో కలిగే నిమ్నతను లెక్కించండి. (పాదరసం సాంద్రత = 13.6 × 10^{3/sup>.గ్రా. మీ, పాదరసం తలతన్యత = 0.49 Nm-1స్పర్శకోణం = 135°)
సాధన:
గొట్టము వ్యాసము = 0.4 mm ;
∴ వ్యాసార్ధము, (r) = 0.2 mm = \(\frac{0.2}{10^3}\) m
పాదరసం సాంద్రత = 13.6 × 103 kg/m3 ;
స్పర్శకోణం, θ = 135° ; పాదరసం తలతన్యత, S = 0.49 N/m.}

ప్రశ్న 5.
ఒక సబ్బు బుడగ వ్యాసం 10 మి.మీ. దాని తలతన్యత 0.04 Nm^-1. ఆ బుడగలోని అదనపు పీడనాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
సబ్బు నీటి బుడగ వ్యాసం = 10 mm
∴ వ్యాసార్ధం, r = 5 mm = 5 × 10^-3m
తలతన్యత S = 0.04 Nm^-1
నీటి బుడగలోని అధికపీడనం P = \(\frac{4 \mathrm{~S}}{\mathrm{r}}\)
∴ P = \(\frac{4 \times 0.04}{5 \times 10^{-3}}=\frac{160}{5}\) = 32 Nm^-2 పాస్కల్

ప్రశ్న 6.
R వ్యాసార్ధం గల బుడగను రూపొందించేందుకు చేసిన పని W అయితే బుడగ వ్యాసార్ధం రెట్టింపు అయ్యేందుకు (2R అయ్యేందుకు) ఎంత శక్తి అవసరం ? (మార్చి 2014)
సాధన:
‘R’ వ్యాసార్ధము గల బుడగను ఊదుటలో జరిగిన పని W = 8πR²
2R వ్యాసార్ధము గల బుడగను ఊదుటకు జరిగిన పని W’ = 8π (2R)²(S) = 4 (8πR²S)
∴ W = 4W
∴ R నుండి 2R కు వ్యాసార్ధం పెంచుటలో జరిగిన పని
W’ – W = 4W – W = 3W

ప్రశ్న 7.
R₁, R₂ వ్యాసార్ధాలు గల రెండు సబ్బు బుడగలు శూన్యంలో సమోష్ణోగ్రతా ప్రక్రియ పరిస్థితిలో కలిసిపోయి, ఒక కొత్త బుడగను ఏర్పరచాయి. ఆ కొత్త బుడగ వ్యాసార్ధం ఎంత ? సబ్బు ద్రావణం తలతన్యతను T గా తీసుకోండి.
సాధన:
సమ ఉష్ణోగ్రత ప్రక్రియలో ఉష్ణోగ్రతలోని మార్పు సున్నా. కావున వ్యవస్థ అంతర్గత శక్తిలోని మార్పు సున్న.
మొదటి బుడగ తలశక్తి U₁ = 4πR₁²S ; రెండవ బుడగ తలశక్తి U₂ = 4πR₂²S
కొత్తగా ఏర్పడిన బుడగ తలశక్తి U = 4πR²S
కానీ 4πR²S = 4πR₁²S + 4πR₂²S
⇒ R² = R₁² + R₂²
కొత్త బుడగ వ్యాసార్ధం R = \(\sqrt{\mathrm{R}_1^2+\mathrm{R}_2^2}\)

ముఖ్యమైన అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఎందుకో వివరించండి.
ఎ) మనిషి శరీరంలో పాదాల వద్ద రక్త పీడనం మెదడు వద్ద కంటే ఎక్కువ.
బి) భూమి నుంచి 100 కి.మీ. కంటే ఎక్కువగా వాతావరణం ఉన్నప్పటికీ 6కి.మీ. ఎత్తు వద్ద వాతావరణ పీడనం, సముద్రమట్టం వద్ద ఉండే వాతావరణ పీడనంలో సగం ఉంటుంది.
సి) బలాన్ని, వైశాల్యంతో భాగిస్తే వచ్చేదే పీడనం అయినప్పటికీ ఈ ద్రవస్థితిక పీడనం ఒక అదిశరాశి.
సాధన:
ఎ) మానవ శరీరంలోని రక్త స్తంభం ఎత్తు మెదడుతో పోల్చిన పాదాల వద్ద ఎక్కువ అందువల్ల రక్త పీడనము మెదడుతో పోల్చిన పాదాల వద్ద ఎక్కువ.
(∴ పీడనము = hρg)

బి) గాలి సాంద్రత భూమి ఉపరితలం మీద గరిష్టంగా వుంటుంది. మరియు ఎత్తుకు వెళుతున్నప్పుడు సాంద్రత త్వరితగతిన తగ్గుతూ ఉంటుంది. సుమారు 6 కి.మీ. ఎత్తు వద్ద సాంద్రత సముద్ర మట్టం వద్ద ఉండే సాంద్రతలో సగం ఉంటుంది. 6 కి.మీ. ఎత్తు మించిన తరువాత గాలి సాంద్రత ఎత్తుతో చాలా నెమ్మదిగా తగ్గుతుంది. ఈ కారణంగా 6 కి.మీ. ఎత్తు వద్ద వాతావరణ పీడనం, సముద్ర మట్టం వద్ద ఉంటే వాతావరణ పీడనంలో సగం
ఉంటుంది.

సి) ఏదైనా ద్రవంపై బలాన్ని ప్రయోగించినప్పుడు పీడనం ద్రవంలో అన్ని దిశలలోను సమానంగా పనిచేస్తుంది. అందువల్ల ద్రవాలలో పీడనానికి ఒక నిర్దిష్ట దిశ ఉండదు. కనుక ద్రవ స్థితిక పీడనం అదిశరాశి.

ప్రశ్న 2.
ఎందుకో వివరించండి.
ఎ) గాజుతో పాదరసం స్పర్శకోణం గురుకోణం కాని నీటితో లఘుకోణం.
బి) శుభ్రమైన గాజుపలక తలంపైన వేసిన నీరు దానిపై వ్యాపించడానికి ప్రయత్నిస్తుంది. కాని పాదరసం అయితే బిందువులుగా ఏర్పడటానికి ప్రయత్నిస్తుంది. (దీన్నే ఇంకో రకంగా చెప్పాలంటే, నీరు గాజును తడుపుతుంది. కాని పాదరసం గాజును తడపలేదు).
సి) ఒక ద్రవం తలతన్యత ఆ తలవైశాల్యంపై ఆధారపడి ఉండదు.
డి) డిటర్జంట్ కలిపిన నీరు తక్కువ స్పర్శకోణాలను కలిగి ఉంటుంది.
ఇ) బాహ్య బలాలకు లోనుకానటువంటి ద్రవబిందువు ఎప్పుడూ గోళాకారాన్నే కలిగి ఉంటుంది.
సాధన:
ఎ) ఒక ఘన వస్తువుపై అతి తక్కువ పరిమాణంలో ద్రవాన్ని పోసిన ద్రవం – ఘనం, ద్రవం-గాలి, ఘనం-గాలి అను మూడు రకాల అంతర్గత తలాలు ఏర్పడతాయి.
ఈ అంతర్గత తలాల తలతన్యతలు వరుసగా S_LA, S_SA, S_SL ద్రవం మరియు ఘనానికి మధ్య స్పర్శ కోణము ‘O’ అని అనుకొనుము. మూడు అంతర్గతా తలాలు కలుసుకున్న తలములో అణువులు సమతాస్థితిలో ఉండును. దీనివలన అణువులపై పనిచేసే మొత్తం బలం శూన్యము.
‘0’ వద్ద సమతాస్థితిలో వున్న అణువుకు
S_SL + S_LA cos θ = S_SA లేదా cos θ = \(\frac{\mathrm{S}_{\mathrm{SA}}-\mathrm{S}_{\mathrm{SL}}}{\mathrm{S}_{\mathrm{LA}}}\)
పాదరసం గాజు సందర్భములో S_SA < S_SL, అందువల్ల cos θ ఋణాత్మకము లేదా θ > 90° అనగా గురుకోణం. నీరు గాజు సందర్భంలో S_SA > S_SL అందువల్ల cos θ ధనాత్మకము లేదా θ < 90° అనగా లఘుకోణం.

బి) పాదరసం – గాజుల మధ్య స్పర్శకోణం గురుకోణం. ఇలాంటి గురుకోణం గల స్పర్శకోణం పొందాలి అంటే పాదరసం బిందువు వలె వుండాలి. నీరు – గాజు సందర్భంలో స్పర్శకోణం లఘుకోణం. ఇలాంటి లఘుకోణం పొందాలి అంటే నీరు వ్యాప్తి చెందాలి.

సి) సమతాస్థితిలో ఉన్న ఒక స్వేచ్ఛాతలంపై ఒక ఊహారేఖకు ఇరువైపులా రేఖకు లంబంగా ప్రమాణ పొడవుపై తలానికి స్పర్శీయంగా పనిచేసే బలాన్నే తలతన్యత అంటారు. ఈ బలం ద్రవ ఉపరితల వైశాల్యంపై ఆధారపడదు. అందువల్ల తలతన్యత కూడా ద్రవ ఉపరితల వైశాల్యంపై ఆధారపడదు.

డి) వస్త్రాలలో వుండే సన్నని ప్రదేశం కేశనాళికలవలె వుంటాయి. కేశనాళికలో ఎగబ్రాకే ద్రవం cos θ కి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. θ స్వల్పం అయిన cos θ హెచ్చుగా వుంటుంది. అందువల్ల కేశనాళికలో ఎగబ్రాకే ద్రవం ఎక్కువ. అందువల్ల వస్త్రాలను శుభ్రం చేయు పదార్థము (డిటర్జెంట్స్) వస్త్రం లోపలికి చొచ్చుకొని పోవును.

ఇ) బాహ్య బలాలు పనిచేయునప్పుడు ద్రవ ఉపరితలం తక్కువ ఉపరితల వైశాల్యం కలిగి ఉంటుంది. నిర్ణీత ఘనపరిమాణం గల అనేక ఆకృతులలో గోళం ఉపరితలం వైశాల్యం కనిష్టం కావున ద్రవ బిందువు గోళాకారాన్ని పొందుతుంది.

ప్రశ్న 3.
ప్రతి వాక్యానికి అనుబంధంగా ఇచ్చిన పదాలతో ఖాళీలను పూరించండి.
ఎ) ద్రవాల తలతన్యత ఉష్ణోగ్రతతో పాటు సాధారణంగా …. (పెరుగుతుంది / తగ్గుతుంది)
బి) వాయువుల స్నిగ్ధత ఉష్ణోగ్రతతో పాటు …… అదే ద్రవాల స్నిగ్ధత ఉష్ణోగ్రతతో పాటు …. (పెరుగుతుంది / తగ్గుతుంది)
సి) స్థితిస్థాపక ద్రుఢతా గుణకమున్న ఘనపదార్థాల విషయంలో విరూపణ బలం …. కు అనులోమానుపాతంలో ఉంటే ప్రవాహులకు ….. కు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. (విరూపణ వికృతి / విరూపణ వికృతి రేటు)
డి) నిలకడ ప్రవాహి ప్రవాహంలో నొక్కు (ఇరుకైన) ప్రాంతంలో ప్రవాహి వడి పెరుగుతుందనేది … అనుసరించి (ద్రవ్యరాశి నిత్యత్వం / బెర్నౌలీ సూత్రం)
ఇ) వాయు సొరంగం (wind tunnel) లో దూసుకుపోతున్న నమూనా విమానానికి సంక్షోభం ఉత్పన్నమయ్యే వేగం, వాస్తవ పరిస్థితులలో ఎగిరే నిజమైన విమానానికి సంక్షోభం ఉత్పన్నమయ్యే వేగం కంటే (ఎక్కువ/ తక్కువ).
సాధన:
ఎ) తగ్గుతుంది
బి) పెరుగుతుంది, తగ్గుతుంది
సి) విరూపణ వికృతి, విరూపణ వికృతిరేటు
డి) ద్రవ్యరాశి నిత్యత్వ నియమం, బెర్నౌలీ సూత్రం
ఇ) ఎక్కువ

ప్రశ్న 4.
ఎందుకో వివరించండి.
ఎ) ఒక కాగితాన్ని క్షితిజ సమాంతరంగా ఉంచేందుకు నీవు గాలిని దాని కింద నుంచి కాక దానిపైన ఊదాలి.
బి) ఒక కుళాయిని కట్టివేసేందుకు దాని మూతిని వేళ్లతో మూయడానికి ప్రయత్నిస్తే మన వేళ్ల మధ్య ఉన్న ఖాళీల నుంచి నీరు వేగంగా బయటకు చిమ్ముకొస్తుంది.
సి) ఒక డాక్టరు ఇంజక్షన్ ఇస్తున్నప్పుడు అతడు తన బొటనవేలితో సిరంజిపై ప్రయోగించిన పీడనం కంటే ఆ సిరంజి సూది పరిమాణమే (size) మందు ప్రవాహరేటును అదికంగా ప్రభావితం చేస్తుంది.
డి) పాత్రకు ముందువైపున్న ఒక చిన్న రంధ్రం ద్వారా ప్రవాహి వెలుపలికి ప్రవహించేటప్పుడు పాత్రపై ఒక అభిబలం వెనకకు పనిచేస్తుంది.
ఇ) ఆత్మభ్రమణం చెందే క్రికెట్ బంతి గాలిలో పరావలయ పథాన్ని అనుసరించదు.
సాధన:
ఎ) గాలిని గట్టిగా కాగితంపైన ఊదినప్పుడు, ఊదిన గాలియొక్క వేగం పెరుగుతుంది. అందువల్ల బెర్నౌలీ సిద్ధాంతము ప్రకారం దానిమీద పనిచేసే పీడనం తగ్గుతుంది. కాగితం క్రింద గాలిపీడనం వాతావరణ పీడనంకు సమానం. అందువల్ల కాగితం క్షితిజ సమాంతరంగా వుంటుంది.

బి) కుళాయి మూతిని వేళ్ళతో మూయడానికి ప్రయత్నించినపుడు కుళాయి మూతి వైశాల్యం తగ్గుతుంది. సాంతత్య సమీకరణం ప్రకారం, av = స్థిరం కావున నీటి వేగం పెరుగుతుంది.

సి) సిరంజి సూది పరిమాణం ప్రవాహి వేగాన్ని అదుపుచేస్తుంది. మరియు బ్రొటనవేలితో ప్రయోగించిన పీడనం పీడనాన్ని అదుపు చేస్తుంది. బెర్నౌలీ సిద్ధాంతము ప్రకారం
P + ρ gh + \(\frac{1}{2}\) ρ v² = a ఒక స్థిరాంకము
ఇచ్చట ‘p’ ఘాతము ‘1’ (ఒకటి) ‘v’ ఘాతం ‘2’ (రెండు) అందువలన వేగం ప్రభావం ఎక్కువ. అందువలన సిరంజి సూది పరిమాణమే మందు ప్రవాహ రేటును అధికంగా ప్రభావితం చేస్తుంది.

డి) పాత్రకు ముందువైపున్న ఒక చిన్న రంధ్రం ద్వారా ప్రవాహి వెలుపలికి ప్రవహిస్తున్న, ఆ ప్రవాహం అధికవేగమును కల్గియుంటుంది. దీనివలన ప్రవాహి ద్రవ్యవేగం అధికంగా ఉంటుంది. వ్యవస్థపై ఏ విధమైన బాహ్య బలాలు పని చేయనప్పుడు, ద్రవ్య వేగ నిత్యత్వ నియమము ప్రకారము పాత్ర తిరోగమన (వెనుకకు) వేగాన్ని పొందుతుంది. దీని ఫలితంగా పాత్రపై ఒక అభిబలం వెనుకకు పనిచేస్తుంది.

ఇ) ఆత్మ భ్రమణం చెందే క్రికెట్ బంతి మాగ్నసే ప్రభావము వలన దాని మార్గాన్ని మార్చుకొంటుంది. ఆత్మ భ్రమణం వలన బంతిపై కలిగే గతిక ఉత్థాపకాన్ని మాగ్నస్ ప్రభావం అంటారు.

ప్రశ్న 5.
ఎత్తైన మడిమలుండే చెప్పులను ధరించిన 50 kg ల ద్రవ్యరాశి గల ఒక అమ్మాయి ఒంటికాలిపై తనను తాను నిలబెట్టుకుంది. చెప్పు మడిమ 1.0 cm వ్యాసంతో వృత్తాకారంగా ఉంది. క్షితిజ సమాంతర నేలపై చెప్పుకలగచేసే పీడనం ఎంత ?
సాధన:
దత్తాంశము ప్రకారము అమ్మాయి ద్రవ్యరాశి, m = 50 kg ;
చెప్పు మడిమ వ్యాసార్ధము, r = D/2 = 1/2 cm = \(\frac{1}{200}\) m

ప్రశ్న 6.
టోరిచెల్లీ బారోమీటర్లో పాదరసాన్ని ఉపయోగించాడు. పాస్కల్ 984 kg m 3. సాంద్రత గల ఫ్రెంచి సారాయి (wine) తో టోరిచెల్లీ బారోమీటర్ను పోలి ఉండేటట్లు మరొక బారోమీటర్ను తయారుచేశాడు. సాధారణ వాతావరణ పీడనాన్ని సూచించే ద్రాక్ష సారాయి స్తంభం ఎత్తు ఎంత ?
సాధన:
P = 0.76 × (13.6 × 10³) × 9.8 = h × 984 × 9.8
(లేదా) h = \(\frac{0.76 \times 13.6 \times 10^3 \times 9.8}{984 \times 9.8}\) = 10.5 m.

ప్రశ్న 7.
సముద్రతీర ప్రాంతంలో 10⁹ Pa పీడనాన్ని తట్టుకోగల ఒక నిలువైన నిర్మాణాన్ని రూపొందించారు. సముద్రంలోని ఒక చమురు బావి శిఖర భాగంలో ఉంచడానికి ఈ నిర్మాణం అనువైనదేనా ? సముద్రం లోతు దాదాపు 3 km అనుకోండి. సముద్ర ప్రవాహాలను ఉపేక్షించండి.
సాధన:
గరిష్ఠ ప్రతిబలం = 10⁹ Pa,
h = 3 km = 3 × 10³ m;
ρ (నీరు) = 10³ kg/m³ మరియు g = 9.8 m/s².
రూపొందించిన విలువైన నిర్మాణాన్ని చమురు బావి శిఖర భాగంలో ఉంచటానికి అనువైనది. సముద్రపు నీరు ప్రయోగించు పీడనం కన్నా, నిర్మాణం గరిష్ఠ ప్రతిబలం చాలా ఎక్కువ. అందువల్ల సముద్రపు అలల పీడనాన్ని భరిస్తుంది. సముద్రపు నీటి పీడనం
P = hρg = 3 × 10³ × 10³ × 9.8 = 2.94 × 10⁷ Pa
అందువల్ల సముద్రపు నీటి పీడనం, ఇచ్చిన నిర్మాణం ప్రతిబలం 10⁹ Pa కన్నా తక్కువ. అందువల్ల రూపొందించిన విలువైన నిర్మాణము చమురు బావి ఉపరితలంపైన వుంచుటకు సరియైనది.

ప్రశ్న 8.
గరిష్ఠంగా 3000 kg ద్రవ్యరాశి గల కార్లను ఎత్తగల హైడ్రాలిక్ లిఫ్ట్ను తయారుచేశారు. బరువులను ఎత్తే ముషలకం మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం 425 cm3 అయితే చిన్న ముషలకం భరించగల గరిష్ఠ పీడనం ఎంత ?
సాధన:
పెద్ద ముషలకము భరించగల గరిష్ఠ బలం,
F = 3000 kgf = 3000 × 9.8 N
ముషలకము వైశాల్యం A = 425 cm² = 425 × 10⁴ m²
∴ పెద్ద ముషలకముపై పనిచేసే గరిష్ఠ పీడనం,
P = \(\frac{F}{A}=\frac{3000 \times 9.8}{425 \times 10^{-4}}\) = 6.92 × 10⁵ Pa
ద్రవం, పీడనాన్ని అన్నివైపుల సమానంగా సరఫరా చేస్తుంది. కావున, చిన్న ముషలకము భరించు గరిష్ఠ పీడనం 6.92 × 10⁵ Pa.

ప్రశ్న 9.
U- ఆకార గొట్టంలో పాదరసంతో వేరుచేసిన నీరు, మిథిలేటెడ్ స్పిరిట్ ధ్రవస్తంభాలు ఇరువైపులా ఉన్నాయి. నీటి మట్టం 10.0 cm, స్పిరిట్ మట్టం ఎత్తు 12.5 cm ఉండే విధంగా రెండు భుజాల్లో పాదరస మట్టం ఉంది. స్పిరిట్ విశిష్ట గురుత్వం ఎంత ?
సాధన:
U గొట్టంలోని ఒక భుజంలో నీటి స్తంభం ఎత్తు
h₁ = 10.0 cm ; ρ₁ (సాంద్రత) = 1 g cm^-3
Uగొట్టంలోని వేరొక భుజంలో గల స్పిరిట్ స్తంభం
ఎత్తు h₂= 12.5cm ; ρ₂ = ?
Uగొట్టంలోని రెండు భుజాలలోని పాదరస మట్టాలు సమానం అయిన, పీడనం సమానము. అందువల్ల
h₁ρ₁g = h₂ρ₂g
(లేదా) ρ₂ = \(\frac{\mathrm{h}_1 \rho_1}{\mathrm{~h}_2}=\frac{10 \times 1}{12.5}\) = 0.8g.cm^-3
స్పిరిట్ సాపేక్ష సాంద్రత = ρ₂/ ρ₁ = 0.8 /1 = 0.8

ప్రశ్న 10.
ఇంతకుముందు లెక్కలోని గొట్టంలోని సంబంధిత భుజాల్లో 15.0 cm మట్టం పెరిగే విధంగా నీరు, స్పిరిట్లను అదనంగా కలిపితే, రెండు భుజాల్లోని పాదరస మట్టాలలోని వ్యత్యాసం ఎంత ? (పాదరసం విశిష్ఠ గురుత్వం = 13.6)
సాధన:
U గొట్టంలోని రెండు భుజాలలో 15 సెం.మీ. నీరు మరియు స్పిరిట్ను వరుసగా నింపవలెను. స్పిరిట్ గల భుజంలోని పాదరస మట్టం పెరుగును.
‘U’ గొట్టంలోని రెండు భుజములలో గల పాదరస మట్టం ఎత్తులో గల భేదం ‘h’ మరియు ‘p’ అనునది పాదరసం సాంద్రత.
∴ ‘h’ ఎత్తు గల పాదరస స్తంభం కలుగచేయు పీడనం = నీరు మరియు స్పిరిట్ కలుగచేయు పీడనం వ్యత్యాసం.
∴ h ρ g = h₁ ρ₁ g₁ – h₁ ρ₂ g₂
ఇచ్చట h = ? ; ρ = 13.6gcm^-3 ; h₁ = 15 + 10 = 25 cm;
ρ₁ = 1 g cm^-3
h₂ = 15 + 12.5 = 27.5 cm; ρ₂ = 0.8 g cm^-3
పై విలువలను సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా
h × 13.6 × g = 25 × 1 × g – 27.5 × 0.8 × g = 3g
(లేదా) h = 3/13.6 = 0.22 cm

ప్రశ్న 11.
నదిలో నీటి ప్రవాహం ఉధృతంగా ఉన్న ప్రాంతంలో ఆ నీటి ప్రవాహాన్ని వర్ణించేందుకు బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించవచ్చా ? వివరించండి.
సాధన:
ధారారేఖ ప్రవాహిలకు మాత్రమే బెర్నౌలీ సిద్ధాంతము ఉపయోగపడును. కావున నదిలో నీటి ప్రవాహం ఉదృతంగా ఉన్న ప్రాంతంలో ఆ నీటి ప్రవాహాన్ని వర్ణించేందుకు బెర్నౌలీ సమీకరణం ఉపయోగించలేము.

ప్రశ్న 12.
బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని అనువర్తించేటప్పుడు పరమ పీడనానికి బదులు గేజ్ పీడనాన్ని ఉపయోగిస్తే ఏదైనా ప్రభావం ఉంటుందా ?
సాధన:
ఉండదు. బెర్నౌలీ సూత్రం అనువర్తించే రెండు బిందువుల వద్ద ఉన్న వాతావరణ పీడనాలలో చెప్పుకోదగ్గ వ్యత్యాసం ఉన్నప్పుడే గేజ్ పీడనం ప్రభావం ఉంటుంది.

ప్రశ్న 13.
1.5 m పొడవు, 1.0 cm వ్యాసార్ధం గల ఒక క్షితిజ సమాంతర గొట్టం ద్వారా గ్లిజరిన్ నిలకడగా ప్రవహిస్తున్నది. గొట్టం ఒక చివర ఒక సెకన్ కాలంలో సేకరించిన గ్లిజరిన్ పరిమాణం 4.0 × 10^-3 kgs^-1 అయితే గొట్టం రెండు చివరల మధ్య ఉండే పీడన వ్యత్యాసం ఎంత ? (గ్లిజరిన్ సాంద్రత = 1.3 × 10³ kg m^-3, గ్లిజరిన్ స్నిగ్ధత = 0.83 Pa s). (గొట్టంలోని ప్రవాహం స్తరీయం అనే మీ ఊహ సరైందా ? లేదా ? అని పరీక్షించడంలో మీరు ఆసక్తి కనబరచవచ్చు.)
సాధన:
ఇచ్చట l = 1.5 m ; r = 1.0 cm = 10^-2m;
ρ = 1.3 × 10³kg/m³ ; η = 0.83 Ns m^-2
ఒక సెకను కాలంలో ప్రవహించు గ్లిజరిన్ ద్రవ్యరాశి
M = 4 × 10^-3 kg/s
ఒక సెకను కాలంలో ప్రవహించు గ్లిజరిన్ ఘనపరిమాణం
V = \(\frac{\mathrm{M}}{\rho}=\frac{4 \times 10^{-3}}{1.3 \times 10^3}\) m³s^-1
గొట్టం రెండు చివరల మధ్య గల పీడనం తేడా ρ అయితే పాజ్వేజ్ సూత్రము ప్రకారము
V = \(\frac{\pi \mathrm{pr}^4}{8 \eta l}\) (లేదా) P = \(\frac{\mathrm{V} \times 8 \eta l}{\pi \mathrm{r}^4}\)
∴ p = \(\left(\frac{4 \times 10^{-3}}{1.3 \times 10^3}\right) \times \frac{8 \times 0.83 \times 1.5}{3.142 \times\left(10^{-2}\right)^4}\) = 975.37 Pa

ప్రశ్న 14.
ఒక వాయు సొరంగంలో నమూనా విమానాన్ని పరీక్షించే ప్రయోగంలో విమాన రెక్కల పైతలం, క్రింది తలంపై ప్రవాహ వడులు వరుసగా 70 ms^-1, 63 ms^-1. విమాన రెక్క వైశాల్యం 2.5 m² అయితే దానిపై పనిచేసే ఉత్థాపక బలాన్ని లెక్కగట్టండి. గాలి సాంద్రతను 1.3 kg m^-3 గా తీసుకోండి.
సాధన:
విమానం రెక్కల పై తలం మరియు క్రింద తలం వద్ద వేగాలు వరుసగా v₁, v₂ అని మరియు పీడనాలను P₁, P₂ అని అనుకొనుము.
v₁ = 70 ms^-1; v₂ = 63 ms^-1, ρ = 1.3 kg m^-1.
బెర్నౌలీ సిద్ధాంతము ప్రకారము

ఈ పీడనంలో వ్యత్యాసము విమానముపై ఉత్థాపక బలాన్ని కలుగచేస్తుంది.
విమానంపై పనిచేసే ఉత్థాపక బలం = పీడనంలో తేడా × రెక్కల వైశాల్యము
= 605.15 × 2.5
= 1512.875 N
= 1.51 × 10³ N

ప్రశ్న 15.
పటాలు (ఎ), (బి) లు స్నిగ్ధతారహిత ద్రవం నిలకడ ప్రవాహాన్ని సూచిస్తున్నాయి. అప్పుడు ఈ రెండు పటాల్లో ఏది సరైంది కాదు ? ఎందువల్ల?

సాధన:
పటం సరియైనది కాదు.
సాంతత్య సమీకరణం ప్రకారం av = a స్థిరం. గొట్టం అడ్డుకోత వైశాల్యం ఎక్కడ తక్కువగా ఉంటుందో అక్కడ ప్రవహించు ప్రవాహి వేగం ఎక్కువ.
గొట్టంలో మిగిలిన భాగంలో గల ప్రవాహి వేగం కన్నా సన్నని భాగంలో ప్రవాహి వేగం ఎక్కువ.
బెర్నౌలీ సిద్ధాంతము ప్రకారం, P + \(\frac{1}{2}\) ρ v² = 9 స్థిరం, ఎక్కడ వేగం ఎక్కువగా ఉంటుందో అక్కడ P పీడనం తక్కువ.
అదే విధంగా P ఎక్కువగా ఉంటుందో అక్కడ వేగం U తక్కువ.

ప్రశ్న 16.
ఒక స్ప్రే పంప్ స్తూపాకార గొట్టం మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం 8.0cm². దాని ఒక చివర 1.0 mm వ్యాసం గల సూక్ష్మ రంధ్రాలు 40 ఉన్నాయి. గొట్టంలో ద్రవం ప్రవాహం వడి 1.5 m min^-1 అయితే రంధ్రాల నుంచి విరజిమ్మే ద్రవం వడి ఎంత ?
సాధన:
గొట్టం అడ్డుకోత వైశాల్యం
a₁ = 8.0 cm² = 8 × 10^-4m²,
రంధ్రముల సంఖ్య = 40 ;
ఒక్కొక్క రంధ్రం వ్యాసం, D = 1.0 mm = 1.0 × 10^-3 m
∴ రంధ్రం వ్యాసార్ధం, r = \(\frac{D}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) × 10^-3 m = 5 × 10^-4 m
ఒక్కొక్క రంధ్రం అడ్డుకోత వైశాల్యం = πr² = π(5 × 10^-4)² m²
40 రంధ్రముల మొత్తం అడ్డుకోత వైశాల్యం a₂ = 40 × π (5 × 10^-4)² m²
గొట్టం లోపల ద్రవం వేగం v₁ = 1.5 m/min = \(\frac{1.5}{60}\) ms^-1
v₂ అనునది రంధ్రం నుంచి విరజిమ్మే ద్రవం వేగం అయితే
a₁ v₁ = a₂ v₂ (లేదా) v₂ = a₁ v₁/a₂
∴ v₂ = \(\frac{\left(8 \times 10^{-4}\right) \times 1.5}{60 \times 40 \times \pi \times\left(5 \times 10^{-4}\right)^2}\) = 0.637 ms^-1

ప్రశ్న 17.
ఒక U-ఆకార తీగను సబ్బు ద్రావణంలో ముంచి తీస్తే తీగకు, తీగపై జారే మరొక తీగకు మధ్య ఒక సబ్బు పొర్ల ఏర్పడుతుంది. U-ఆకారం తీగకు దానిపై జారుతున్న తేలికైన తీగకు మధ్య ఏర్పడిన పలుచని సబ్బుపొర 1.5 × 10^-2 N(జారుడు తీగ స్వల్ప భారం కూడా ఇందులో కలిసి ఉంది). భారాన్ని మోయగలుగుతుంది. జారుడు తీగ పొడవు 30 cm. పొర తలతన్యత ఎంత ?
సాధన:
సబ్బు పొరకి రెండు ఉపరితలాలు వుంటాయి. కావున పల్చని పొర మొత్తం పొడవు = 2 l = 2 × 30 = 60 cm = 0.6 m. తలతన్యత వలన జారుడు తీగపై పనిచేసే బలము
F = S × 2l = S × 0.6 N.
సమతాస్థితి స్థానము వద్ద తలతన్యత వలన జారుడు తీగపై పనిచేస్తే బలము, భారం (mg) కు సమానంగా ఉంటుంది. (=1.5 × 10^-2 N)
F = 1.5 × 10^-2 = S × 0.6 N (లేదా)
S = \(\frac{1.5 \times 10^{-2}}{0.6}\) = 2.5 × 10^-2 Nm^-2.

ప్రశ్న 18.
పటంలో చూపించిన ద్రవపొర 4.5 × 10^-2 N. స్వల్ప భారాన్ని మోయగలదు. పటం (b), (c) లలో చూపించిన పొరలు అదే ద్రవంతో ఏర్పడి అంతే ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్నట్లయితే ఆ పొరలు భరించగలిగే భారం ఎంతో తెలపండి. భౌతికశాస్త్ర నియమాలను అనుసరించి మీ జవాబును వివరించండి.

సాధన:
స్వల్ప భారాన్ని మోయగల ద్రవ పొర పొడవు = 40 cm = 0.4 m.
మొత్తం బరువు = 4.5 × 10^-2 N
పల్చని పొర రెండు ఉపరితలాలను కల్గియుంటుంది.
∴ తలతన్యత, S = \(\frac{4.5 \times 10^{-2}}{2 \times 0.4}\) = 5.625 × 10^-2 Nm^-1.
(a), (b) మరియు (c) అన్ని సందర్భాలలో ద్రవం ఒకటే మరియు ఉష్ణోగ్రత కూడా సమానం కావున
(b) మరియు (c) సందర్భాలలో తలతన్యత సమానం. ఇది 5.625 × 10^-2 Nm^-1 కు సమానం. పటంలో (a) లో వలె (b) మరియు (c) పటాలలో స్వల్ప భారాన్ని మోయగల ద్రవ పొర పొడవులు సమానం.
ప్రతి సందర్భంలో పొరలు భరించగలిగే భారం 4.5 × 10^-2 N.

ప్రశ్న 19.
గది ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న 3.00mm వ్యాసార్ధం గల పాదరస బిందువు లోపల ఉండే పీడనం ఎంత ?ఆ ఉష్ణోగ్రత (20° C) వద్ద పాదరసం తలతన్యత 4.65 × 10 N m^-1. వాతావరణ పీడనం 1.01 × 10⁵ Pa. పాదరస బిందువు లోపల ఉండే అదనపు పీడనం విలువను కూడా తెలుపండి.
సాధన:
ఇచ్చట r = 3.0 mm = 3 × 10³m; S = 4.65 × 10^-1 Nm^-1; P = 1.01 × 10⁵ Pa
పాదరస బిందువు లోపల ఉండే అదనపు పీడనం, P = \(\frac{2 S}{r}\) = \(\frac{2 \times 4.65 \times 10^{-1}}{3 \times 10^{-3}}\) = 310 Pa
బిందువు లోపల మొత్తం అదనపు పీడనం = P + p = 1.01 × 10⁵ + 310 = 1,0131 × 10⁵ Pa

ప్రశ్న 20.
గది ఉష్ణోగ్రత (20° C) వద్ద సబ్బు ద్రావణం తలతన్యత 2.50 × 10^-2 Nm^-1 అని ఇచ్చినప్పుడు, 5.00 mm వ్యాసార్ధం గల సబ్బు ద్రావణపు బుడగ లోపల ఉండే అదనపు పీడనాన్ని లెక్కించండి. అంతే పరిమాణం లేదా అవే కొలతలున్న ఒక గాలి బుడగ ఒక పాత్రలో ఉన్న సబ్బు ద్రావణంలో 40.0 cm లోతున ఉంటే, ఆ బుడగ అంతర్భాగంలోని అదనపు పీడనం ఎంత ? సబ్బు ద్రావణం సాపేక్ష సాంద్రత = 1.20. ఒక వాతావరణ పీడనం – 1.01 × 10⁵ Pa.
సాధన:
ఇచ్చట S = 2.5 × 10^-2 Nm^-1,
r = 5.00 mm = 5 × 10^-3 m,
సబ్బు ద్రావణం సాంద్రత, ρ = 1.2 × 10³ kg m^-3
సబ్బు బుడగ లోపల గల అధిక పీడనం P = \(\frac{4 \mathrm{~S}}{\mathrm{r}}=\frac{4 \times 2.5 \times 10^{-2}}{5 \times 10^{-3}}\) = 20 Pa
గాలి బుడగ లోపల గల అధిక పీడనం P¹ = \(\frac{2 \mathrm{~S}}{\mathrm{r}}=\frac{4 \times 2.5 \times 10^{-2}}{5 \times 10^{-3}}\) = 10 Pa
సబ్బు ద్రావణంలో ‘h’ లోతులో ఉన్న గాలి బుడగలో మొత్తం పీడనం
= P¹ + వాతావరణ పీడనం + h ρ g
= 10 + 1.01 × 10⁵ + 0.4 × 1.2 × 10³ × 9.8 = 1.06 × 10⁵ Pa

ప్రశ్న 21.
ఒక టాంక్ అడుగు భాగం చతురస్రాకారంలో ఉంది. ఆ అడుగు భాగం లేదా ఆధారం వైశాల్యం 1.0 m²;. ఈ టాంక్ మధ్యలో ఒక నిట్టనిలువు గోడను నిర్మించి దాన్ని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించారు. ఈ గోడ అడుగున మడతబందు సహాయంతో తిరిగే 20 cm² వైశాల్యం గల చిన్న ద్వారం ఉంది. రెండు అర్ధభాగాల్లో ఒకదానిలో నీరు మరొక దానిలో ఆమ్లం (సాపేక్ష సాంద్రత 1.7) లతో 4.0m ఎత్తు వరకు నింపారు. ఆ ద్వారాన్ని మూసి ఉంచేందుకు అవసరమయ్యే బలాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:

నీటిని కల్గియున్న భాగమునకు,
h₁ = 4m, ρ₁= 10³ kg m³.
టాంక్ అడుగు భాగాన గల ద్వారంపై నీటి వలన కలిగే పీడనం
P₁ = h₁ ρ₁ g = 4 × 10³ × 9.8 = 3.92 × 10⁴ Pa
ఆమ్లంను కల్గియున్న భాగమునకు,
h₂ = 4m,
P₂ = 1.7 × 10³ kg/m³
టాంక్ అడుగు భాగాన గల ద్వారంపై ఆమ్లం వలన కలిగే పీడనం,
P₂ = h₂ρ₂g = 4 × 1.7 × 10³ × 9.8 = 6.664 × 10⁴ Pa
∴ పీడనములోని తేడా = P₂ – P₁
= 6.664 × 10⁴ – 3.92 × 10⁴ = 2.774 × 10⁴ Pa
ద్వారం వైశాల్యం, A = 20 cm⁴ = 20 × 10^-4 m²
ద్వారంపై పనిచేసే బలం = పీడనములోని తేడా × వైశాల్యం
= (P₂ – P₁) × A = (2.774 × 10⁴) (20 × 10^-4) = 54.88 N ≃ 55 N
ద్వారంను మూసి ఉంచేందుకు 55 N బలాన్ని, ద్వారంపై క్షితిజ సమాంతరముగా నీటిని కల్గియున్న భాగము వైపు నుండి ఆమ్లం కలిగియున్న భాగంవైపుకు అనువర్తించవలెను.

ప్రశ్న 22.
ఒక పాత్రలో బంధితమై ఉన్న వాయువు పీడనాన్ని ఒక మానోమీటర్ పటంలో చూపించిన విధంగా రీడింగ్ చూపిస్తుంది. పాత్రలోని కొంత వాయువును ఒక పంపు ద్వారా తొలగిస్తే ఉండే మానోమీటర్ రీడింగ్ను పటం (b) సూచిస్తుంది. మానోమీటర్లో ఉపయోగించిన ద్రవం పాదరసం అయి, వాతావరణ పీడనం 76 cm ల పాదరస స్తంభం ఎత్తుకు సమానమైతే,
ఎ) పటం (a) పటం (b) సూచించిన రెండు సందర్భాలలోను పాత్రలోని వాయు పరమ పీడనాన్ని, గేజ్ పీడనాన్ని పాదరస cm ప్రమాణాలలో తెలపండి.
బి) రెండో సందర్భంలో, అంటే పటం (b) లోని మానోమీటర్ కుడి భుజంలో 13.6 cm ఎత్తు పెరిగే విధంగా నీటిని (నీరు, పాదరసం కలవవు) నింపితే, మానోమీటర్ మట్టాలు ఏ విధంగా మారతాయి ? (వాయువు ఘనపరిమాణంలో వచ్చే స్వల్ప మార్పులను ఉపేక్షించండి.)

సాధన:
1) వాతావరణ పీడనం, P = 76 cm పాదరసం పటం
(a) లో పీడన శీర్షం, h = + 20 cm ల పాదరసం
∴ పరమ పీడనం, P + h = 76 + 20 = 96 cm ల పాదరసం
గేజ్ పీడనం = h = 20 cm ల పాదరసం
పటం (b) లో పీడన శీర్షం, h = -18 cm ల పాదరసం
పరమ పీడనం = P + h = 76 + (-18) = 58 cm ల పాదరసం
గేజ్ పీడనం = h = -18 cm ల పాదరసం

2) మానోమీటర్ కుడి భుజంలో 13.6 cm ఎత్తు పెరిగే విధముగా నీటిని నింపితే, అది \(\frac{13.6}{13.6}\) = 1 cm పాదరస స్తంభానికి సమానం.
ఇప్పుడు A వద్ద పీడనం, P_A = P + h’ = 76 + 1 = 77 cm ల పాదరసం
మానోమీటర్ రెండు భుజములలో పాదరస మట్టంలోని తేడా h₁ అని అనుకొనిన B వద్ద పీడనం
P_B = 58 + h₁ As, P_A = P_B
∴ 77 = 58 + h₁ (లేదా) h= 77 – 58 = 19 cm ల పాదరసం

ప్రశ్న 23.
విభిన్న ఆకారాల్లో ఉండే రెండు పాత్రల ఆధార వైశాల్యాలు సమానం. రెండు పాత్రల్లోను ఒక నిర్ణీత సమాన ఎత్తు వరకు నీటిని నింపాలంటే మొదటి పాత్ర తీసుకొనే నీటి ఘనపరిమాణం రెండో పాత్ర తీసుకొనే నీటి ఘనపరిమాణానికి రెట్టింపు. అయితే నీరు పాత్ర ఆధారంపై ప్రయోగించే బలం రెండు సందర్భాల్లోను సమానంగానే ఉంటుందా ? ఒకవేళ అలా సమానమైతే, సమాన మట్టాల వరకు నీటితో నింపిన ఆ పాత్రలు బరువు తూచే పరికరంపై రెండు వేరు వేరు రీడింగులను ఎందుకు చూపిస్తాయి ?
సాధన:
పీడనం, నీటి స్తంభము ఎత్తు మీద ఆధారపడి ఉంటుంది.

విభిన్న ఆకారాల్లో ఉన్న రెండు పాత్రలలో నీటి మట్టాలు ఒకే ఎత్తులో ఉన్నాయి కావున పాత్రల అడుగు భాగంపై పనిచేసే పీడనం సమానంగా ఉంటుంది. పాత్రల ఆధార వైశాల్యాలు సమానం కావున నీటి పీడనం వలన రెండు పాత్రల అడుగు భాగంపై పనిచేసే బలాలు సమానంగా ఉంటాయి. పాత్ర గోడల మీద కూడ నీరు బలాన్ని ప్రయోగిస్తుంది. ఒకవేళ పాత్రల గోడలు, పాత్ర అడుగు భాగానికి లంబంగా లేకపోతే పాత్ర గోడల మీద పనిచేసే నీరు శూన్యంకాని నిలువు అంశలను కల్గియుంటుంది. ఇది మొదట పాత్రలో ఎక్కువ, రెండవ పాత్రలో తక్కువ. అందువలన రెండు పాత్రలలో నింపిన నీటిని నిలువు ఎత్తు సమానంగా ఉన్నప్పటికి బరువు తూచే పరికరం వేరు వేరు పరిశీలనలను చూపుతుంది.

ప్రశ్న 24.
రక్త మార్పిడి చేస్తున్నప్పుడు సూదిని సిరలోకి (రక్తనాళంలోకి గుచ్చారు. అక్కడ గేజ్ పీడనం 2000 పాస్కల్, అప్పుడు ఈ సిరలోకి రక్తం ఎక్కాలంటే రక్తం ఉండే సీసాను ఎంత ఎత్తులో అమర్చాలి? (పరిపూర్ణ రక్తం సాంద్రత విలువను పట్టిక నుంచి తీసుకోండి).
సాధన:
h = \(\frac{\mathrm{P}}{\rho \mathrm{g}}\) = \(\frac{2000}{1.06 \times 10^3 \times 9.8}\) = 0.1925 m
రక్తం సిరలోకి ఎక్కాలి అంటే, రక్తం కలిగి ఉన్న సీసాను 0.1925 మీ. అనగా 0.2 మీ. కన్నా కొంచెం ఎక్కువ ఎత్తులో ఉంచాలి.

ప్రశ్న 25.
బెర్నౌలీ సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించేటప్పుడు గొట్టంలోని ప్రవాహిపై జరిగిన పనిని ప్రవాహి స్థితిజ, గతిజ శక్తులలోని వ్యత్యాసానికి సమానం చేశాం. ఎ) 2 × 10^-3 m వ్యాసం గల ధమనిలో రక్త ప్రవాహం స్తరీయంగా కొనసాగేందుకు రక్తానికి ఉండాల్సిన గరిష్ఠ సగటు వేగం ఎంత ? బి) ప్రవాహి వేగం పెరిగే కొద్దీ దుర్వ్వయ బలాల ప్రాముఖ్యత పెరుగుతుందా ? గుణాత్మకంగా చర్చించండి.
సాధన:
ఎ) దుర్వయ బలాలు పనిచేస్తుంటే, పీడన వ్యత్యాసము వలన ప్రవాహిలో కలిగే కొన్ని బలాలు ఈ బలాలను అధిగమించటానికి ఉపయోగపడతాయి. కావున ప్రవాహి ప్రవహిస్తున్నప్పుడు పీడనంలో భారీ తగ్గుదల ఉంటుంది.

బి) ప్రవాహి వేగం పెరిగే కొద్దీ దుర్వ్యయ బలాల ప్రాముఖ్యత పెరుగుతుంది. వేగం పెరిగే కొలది స్నిగ్ధతా ఈడ్పు ఉంటుంది. అనగా దుర్వ్యయ బలాలు పెరుగుతాయి.

ప్రశ్న 26.
ఎ) 2 × 10^-3m వ్యాసం గల ధమనిలోని రక్త ప్రవాహం స్తరీయంగా కొనసాగేందుకు రక్తం కలిగి ఉండాల్సిన గరిష్ఠ సగటు వేగం ఎంత ? బి) సంబంధిత రక్త ప్రవాహరేటు ఎంత? (రక్తం స్నిగ్ధతను 2.084 × 10^-3 Pas) గా తీసుకోండి.)
సాధన:
ఇచ్చట r = 2 × 10^-3 m; D = 2 r = 2 × 2 × 10^-3 = 4 × 10^-3 m;
η = 2.084 × 10^-3 Pa-s; ρ = 1.06 × 10³ kg m^-3.
ప్రవాహం స్తరీయంగా కొనసాగేందుకు, N_R = 2000
ఎ) గరిష్ట సగటు వేగం, v_c = \(\frac{\mathrm{N}_{\mathrm{R}} \eta}{\rho D}\) = \(\frac{2000 \times\left(2.084 \times 10^{-3}\right)}{\left(1.06 \times 10^3\right) \times\left(4 \times 10^{-3}\right)}\)
బి) రక్త ప్రవాహ రేటు = πr² v_c = \(\frac{22}{7}\) × (2 × 10²)^-3 × 9.8 = 1.23 × 10^-5 m³ s^-1

ప్రశ్న 27.
ఒక్కొక్కటి 25 m² వైశాల్యం గల రెండు రెక్కలను కలిగి ఉండే విమానం ఒక నిర్ణీత ఎత్తు వద్ద స్థిరవడితో ప్రయాణిస్తున్నది. రెక్క అడుగు తలంపై గాలివేగం 180 km/h, రెక్కపై తలంపై ఉన్న గాలి వేగం 234 km/h అయితే విమానం ద్రవ్యరాశిని నిర్ధారించండి. (గాలి సాంద్రతను 1 kg m^-3 గా తీసుకోండి.)
సాధన:
ఇచ్చట v₁ = 180 km/h = 50 m/s ;
v₂ = 234 km/h = 65 m/s ;
A = 2 × 25 = 50 m² ; ρ = 1 kg/m³
P₁ – P₂ = \(\frac{1}{2}\)ρ(v₂² – v₁²) = \(\frac{1}{2}\) × 1 × [65² × 50²]
బెర్నౌలీ సిద్ధాంతము ప్రకారము, (P₁ – P₂) A = \(\frac{1}{2}\) × [65² – 50²] × 50 N
ఊర్ధ్వ దిశలో పనిచేసే బలం mg = (P₁ – P₂) A
(లేదా) m = \(\frac{\left(P_1-P_2\right) A}{g}=\frac{1 \times\left[65^2-50^2\right] \times 50}{2 \times 9.8}\) = 4.4 × 10³ kg.

ప్రశ్న 28.
మిల్లికాన్ తైల బిందు ప్రయోగంలో 2.0 × 10^-5 m వ్యాసార్ధం, 1.2 × 10³ kg m^-3 సాంద్రత గల తటస్థ బిందువు (అనావేశిత బిందువు) (uncharged particle) చరమవేగం ఎంత ? ప్రయోగ ఉష్ణోగ్రత వద్ద గాలి స్నిగ్ధతను 1.8 × 10^-5 Pasగా తీసుకోండి. ఆ చరమవేగం వద్ద బిందువుపై పనిచేసే స్నిగ్ధతాబలం ఎంత ? గాలివల్ల బిందువుపై పనిచేసే ఉత్సవన బలాన్ని ఉపేక్షించండి.
సాధన:
ఇచ్చట r = 2.0 × 10^-5 m; ρ = 1.2 × 10³ kg m^-2 ;
η = 1.8 × 10^-5 Ns m^-2, σ = 0, v = ?; F= ?
చరమవేగం, v = \(\frac{2 r^2(\rho-\sigma) g}{9 \eta}\)
= \(\frac{2 \times\left(2.0 \times 10^{-5}\right)^2\left(1.2 \times 10^3-0\right) \times 9.8}{9 \times 1.8 \times 10^{-5}}\)
= 5.8 × 10^-2 ms^-1 = 5.8 cm s^-1
బిందువుపై పనిచేసే స్నిగ్ధతా బలం, F = 6π η r v
= 6 × \(\frac{22}{7}\) × (1.8 × 10^-5) × (2.0 × 10^-5) × (5.8 × 10^-2) = 3.93 × 10^-10 N

ప్రశ్న 29.
సోడాలైమ్ గాజుతో పాదరస స్పర్శకోణం 140. ఈ రకమైన గాజుతో చేసిన 1.00 mm వ్యాసార్ధం గల సన్నని గొట్టాన్ని పాదరసం ఉండే తొట్టెలో నిలువుగా ముంచారు. పాత్రలోని పాదరస ద్రవ మట్టానికి సాపేక్షంగా నాళంలోని పాదరస మట్టం ఎంత కిందికి దిగుతుంది ? ప్రయోగ ఉష్ణోగ్రత వద్ద పాదరసం తలతన్యత 0.465 N m^-1. పాదరస సాంద్రత = 13.6 × 10³ kg m^-3.
సాధన:
ఇచ్చట θ = 140°, r = 1 × 10^-3 m; S = 0.465 Nm^-1 ; ρ = 13.6 × 10³ kg, h = ?
cos 140 ° = -cos 40° = -0.7660
ఇప్పుడు h = \(\frac{2 \mathrm{~S} \cos \theta}{\mathrm{r} \rho \mathrm{g}}\) = \(\frac{2 \times 0.465 \times \cos 140^{\circ}}{10^{-3} \times 13.6 \times 10^3 \times 9.8}\)
= \(\frac{2 \times 0.465 \times(-0.7660)}{10^{-3} \times 13.6 \times 10^3 \times 9.8}\)
= -5.34 × 10^-3 m = -5.34 mm
ఇచ్చట ఋణగుర్తు నాళంలో పాదరస మట్టం తగ్గుతుందని సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 30.
3.0 mm, 6.0 mm వ్యాసాలున్న రెండు సన్నని నాళాలను కలిపి రెండు చివరలలో తెరచి ఉంచిన U- ఆకార గొట్టాన్ని తయారుచేశారు. U- గొట్టంలోని నీటిని కలిగి ఉంటే, గొట్టంలోని రెండు భుజాల్లోని నీటి మట్టాల్లోని వ్యత్యాసం ఎంత? ప్రయోగ ఉష్ణోగ్రత వద్ద నీటి తలతన్యత 7.3 × 10^-2 N m^-1. స్పర్శకోణాన్ని శూన్యంగా, నీటి సాంద్రతను 1.0 × 10³ kg m^-3 గా తీసుకోండి (g = 9.8 m s^-2).
సాధన:
ఇచ్చట S = 7.3 × 10^-2 Nm^-2; ρ = 1.0 × 10³ kg m^-3; θ = 0°
సన్నని నాళముమునకు, 2 r₁ = 3.00 mm = 3 × 10^-3m
(లేదా) r₁ = 1.5 × 10^-3 m
వెడల్పు నాళమునకు, 2 r₂ = 6.00 mm = 6 × 10^-3 m (లేదా) r₂ = 3 × 10^-3 m
h₁ మరియు h₂ అనునవి సన్నని మరియు వెడల్పు నాళములలో నీరు ఎగబ్రాకిన ఎత్తులు అయిన
అప్పుడు h₁ = \(\frac{2 \mathrm{~S} \cos \theta}{\mathrm{r}_1 \rho \mathrm{g}}\)
మరియు h₂ = \(\frac{2 \mathrm{~S} \cos \theta}{\mathrm{r}_2 \rho \mathrm{g}}\)
∴ గొట్టంలోని రెండు నాళాలలోని నీటిమట్ట వ్యత్యాసం, h₁ – h₂ = \(\frac{2 S \cos \theta}{\rho g}\left[\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right]\)
= \(\frac{2 \times 7.3 \times 10^{-2} \times \cos 0^{\circ}}{10^3 \times 9.8} \times\left[\frac{1}{1.5 \times 10^{-3}}-\frac{1}{3 \times 10^{-3}}\right]\) = 4.97 × 10^-3 m

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 9th Lesson గురుత్వాకర్షణ Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 9th Lesson గురుత్వాకర్షణ

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు (2 మార్కులు)

ప్రశ్న 1.
విశ్వ గురుత్వ స్థిరాంకం (G) ప్రమాణాలను, మితులను తెలపండి.
జవాబు:
విశ్వ గురుత్వ స్థిరాంకము G కి ప్రమాణాలు న్యూటన్ – మీటరు²/కి.గ్రా.², మితిఫార్ములా M^-1L³T^-2.

ప్రశ్న 2.
న్యూటన్ గురుత్వాకర్షణ నియమాన్ని సదిశా రూపంలో వ్యక్తీకరించండి.
జవాబు:
న్యూటన్ విశ్వగురుత్వాకర్షణ బలము సదిశా సమీకరణము \(\overline{\mathrm{F}}=\frac{\mathrm{Gm}_1 \mathrm{~m}_2 \overline{\mathrm{r}}}{\overline{\mathrm{r}}^3}\)

ప్రశ్న 3.
చంద్రునిపై భూమి గురుత్వాకర్షణ బలం F అయితే, భూమిపై చంద్రుని గురుత్వాకర్షణ బలం ఎంత ? ఈ బలాలు చర్య – ప్రతిచర్య జంటను ఏర్పరుస్తాయా ?
జవాబు:
భూమి, చంద్రుడు మరియు చంద్రుడు, భూమిల మధ్య గురుత్వాకర్షణ బలాలు సమానము. కావున F_EM = -F_ME రెండు వస్తువుల మధ్య గురుత్వాకర్షణ బలాలను చర్య – ప్రతిచర్య బలాలుగా తీసుకొనవచ్చును.

ప్రశ్న 4.
భూమి ద్రవ్యరాశిని స్థిరంగా ఉంచుతూనే, భూమి వ్యాసార్ధం 2% తగ్గిస్తే, దాని ఉపరితలం వద్ద గురుత్వ త్వరణం విలువ (g) లో వచ్చే మార్పు ఎంత ఉంటుంది ?
జవాబు:
గురుత్వ త్వరణము g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\)
ద్రవ్యరాశిని స్థిరంగా ఉంచి వ్యాసార్ధమును 2% తగ్గిస్తే \(\frac{\Delta \mathrm{R}}{\mathrm{R}}\) × 100 = -2
దోష విభాజన నియమము ప్రకారము \(\frac{\Delta \mathrm{g}}{\mathrm{g}}\) × 100 = -2 \(\frac{\Delta \mathrm{R}}{\mathrm{R}}\) × 100
‘g’ లో మార్పు శాతము = – 2 × 2 = – 4% అనగా R తగ్గితే ‘g’ పెరుగును.

ప్రశ్న 5.
మనం ఒక గ్రహం నుంచి మరొక గ్రహానికి మారుతూ ఉంటే వస్తువు a) ద్రవ్యరాశి b) భారం ఎలా మారుతుంటాయి ?
జవాబు:
ఒక “గ్రహము నుండి వేరొక గ్రహమునకు పోయినపుడు ద్రవ్యరాశి మారదు. వస్తువు ద్రవ్యరాశి స్థిరము.
ఒక గ్రహము నుండి వేరొక గ్రహానికి పోవుకొలది కొంత దూరము వరకు భారము క్రమముగా తగ్గును.
శూన్యంలో g = 0 వద్ద భారము సున్న.
మరలా వేరొక గ్రహమును సమీపించు కొలది భారము క్రమముగా పెరుగును.

ప్రశ్న 6.
ఒక లఘులోలకం పొడవును స్థిరంగా ఉంచినప్పుడు, అన్ని గ్రహాల మీద దాని డోలనావర్తన కాలం సమానంగా ఉంటుందా ? కారణంతో సహా మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.
జవాబు:
లోలకము పొడవును స్థిరంగా ఉంచిన డోలనావర్తనకాలము ఒక గ్రహము నుండి వేరొక గ్రహానికి మారును. లోలకము డోలనావర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}}}\) ‘T’ ఆ గ్రహము ‘g’ పై ఆధారపడి ఉండును. గురుత్వ త్వరణము g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\) ఒక గ్రహము నుండి వేరొక గ్రహానికి మారును.
కావున లోలకము పొడవు స్థిరంగా ఉన్నప్పటికి ఆవర్తన కాలము గ్రహాన్ని బట్టి మారును.

ప్రశ్న 7.
భూఉపరితలం నుంచి d లోతులో ఉన్న బిందువు వద్ద గురుత్వ త్వరణానికి సమీకరణాన్ని తెలపండి. భూకేంద్రం వద్ద g విలువ ఎంత ?
జవాబు:
భూమి ఉపరితలము నుండి ‘d’ లోతు వద్ద గురుత్వ త్వరణము g_d = g(1 – \(\frac{D}{R}\))
భూమి కేంద్రము వద్ద గురుత్వ త్వరణము విలువ సున్నా.

ప్రశ్న 8.
g విలువను భూమధ్య రేఖ వద్ద కనిష్ఠంగా, ధ్రువాల వద్ద గరిష్ఠంగా ఉండే విధంగా చేసే అంశాలేమిటో తెలపండి.
జవాబు:
గురుత్వత్వరణము భూమధ్యరేఖ వద్ద కనిష్ఠము కారణము,

1. భూమి భూమధ్యరేఖా వ్యాసార్ధము గరిష్ఠము g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\). ‘R’ గరిష్ఠము కావున ‘g’ కనిష్ఠము.
2. భూమధ్యరేఖ వద్ద అపకేంద్రబలము గరిష్ఠము. ఇది గురుత్వాకర్షణ బలమును వ్యతిరేకించును. భూమధ్యరేఖ వద్ద అపకేంద్ర బలము గరిష్ఠము. g విలువ కనిష్ఠము.

భూమి ధ్రువాల పరంగా వ్యాసార్ధము కనిష్ఠము. g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\), కావున g విలువ ధ్రువాల వద్ద గరిష్ఠము. ధ్రువాల వద్ద భ్రమణపరంగా అపకేంద్రబలము సున్నా. కావున g విలువ ధ్రువాల వద్ద గరిష్ఠము.

ప్రశ్న 9.
“హైడ్రోజన్ సూర్యుని చుట్టూ పుష్కలంగా ఉంది. కాని భూమి చుట్టూ అంత పుష్కలంగా లేదు.” వివరించండి.
జవాబు:
హైడ్రోజన్ అణువుల పలాయన వేగంతో పోలిస్తే సూర్యుని పై పలాయన వేగం చాలా ఎక్కువ. సుమారు 620 కి.మీ/సె. అందువలన హైడ్రోజన్ అణువులు అత్యధిక ఆకర్షణ బలానికి లోనయి, సూర్యుని చుట్టూ ఉండిపోతాయి.
భూమి మీద g విలువ సూర్యునితో పోలిస్తే తక్కువ. ఆకర్షణ బలం తక్కువ. అందువలన హైడ్రోజన్, సూర్యుని చుట్టూ బంధింపబడినట్లు భూమిపై బంధింపబడదు. అందువలన సూర్యుని చుట్టూ హైడ్రోజన్ సమృద్ధిగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 10.
ఒక భూస్థావర ఉపగ్రహం పరిభ్రమణావర్తన కాలం ఎంత ? అది పశ్చిమం నుంచి తూర్పుకి లేదా తూర్పు నుంచి పశ్చిమానికి తిరుగుతుందా ?
జవాబు:
భూస్థావర ఉపగ్రహము ఆవర్తన కాలము 24 గంటలు.
భూస్థావర ఉపగ్రహము భూమి చుట్టూ పడమర నుండి తూర్పు వైపుకు భూమధ్యరేఖా తలములో తిరుగుచుండును.

ప్రశ్న 11.
ధ్రువీయ ఉపగ్రహాలు అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
ఇవి అల్ప ఉన్నతాంశ ఉపగ్రహాలు. ఈ ధ్రువీయ ఉపగ్రహాల పరిభ్రమణావర్తనకాలం 100 నిమిషాలు. అందువల్ల ఇవి రోజులో అనేక సార్లు భూమి చుట్టూ పరిభ్రమిస్తూ కొద్దిపాటి ప్రాంతాన్ని ఎక్కువ పృధక్కరణ (Resolution) తో ఫోటోలు తీస్తాయి. ఈ ఉపగ్రహాలు భూమి ధృవాల చుట్టూ ఉత్తర, దక్షిణ దిశలలో పరిభ్రమిస్తాయి.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
కెప్లర్ గ్రహ గమన నియమాలను పేర్కొనండి.
జవాబు:
కెప్లర్ గ్రహగమన నియమాలు :

1. కక్ష్యల నియమము : గ్రహాలన్నీ సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘ వృత్తాకార కక్ష్యలలో తిరుగుతుంటాయి. ఆ దీర్ఘ వృత్తం ఒకానొక నాభి వద్ద సూర్యుడు ఉంటాడు.
2. వైశాల్యాల నియమము : సూర్యుని నుంచి ఏదైనా గ్రహాన్ని కలిపే సరళరేఖ సమానకాలవ్యవధులలో సమాన వైశాల్యం ఉన్న క్షేత్రాలను చిమ్ముతుంది. అనగా గ్రహాలు సూర్యునికి దగ్గరగా ఉన్నప్పటికంటే దూరంగా ఉన్నపుడు తక్కువ వేగంతో చలిస్తాయి.
3. ఆవర్తన కాలాల నియమము : ఒక గ్రహం పరిభ్రమణ ఆవర్తన కాలవర్గం (T²), ఆ గ్రహ దీర్ఘ వృత్తాకారకక్ష్య అర్ధగురు అక్షం పొడవు ఘనాని (R³)కి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
   T² ∝ R³ లేదా \(\frac{\mathrm{T}^2}{\mathrm{R}^3}\) = స్థిరరాశి

ప్రశ్న 2.
ఒక గ్రహం ఉపరితలంపై గురుత్వ త్వరణం విలువ (g), విశ్వ గురుత్వ స్థిరాంకం (G) ల మధ్య సంబంధాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:
గురుత్వ త్వరణము ‘g’ మరియు విశ్వ గురుత్వ స్థిరాంకము ‘G’ ల మధ్య సంబంధము : ప్రతి వస్తువును భూమి కొంత బలంతో తన కేంద్రంవైపు ఆకర్షిస్తుంది. భూమి వస్తువులపై చూపే ఈ ఆకర్షణ బలాన్నే వస్తువు భారము అంటారు. వస్తువు భారము W = mg ……………… (1)
న్యూటన్ గురుత్వాకర్షణ నియమం ప్రకారము ప్రతి రెండు వస్తువుల మధ్య పనిచేయు ఆకర్షణ బలం F = \(\frac{\mathrm{G} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{M}}{\mathrm{R}^2}\) సమానము. ఇందులో R భూమి వ్యాసార్ధము, M భూమి ద్రవ్యరాశి.
∴ వస్తువుల మధ్య ఆకర్షణ బలం F = \(\frac{\mathrm{GmM}}{\mathrm{R}^2}\) …………….. (2)
1, 2 సమీకరణాలు ఒకే భౌతికరాశి అయిన వస్తువుల మధ్య ఆకర్షణ బలాన్ని కొలుస్తున్నాయి. కాబట్టి ఆ రెండు సమీకరణాలు సమానమే.
∴ mg = \(\frac{\mathrm{GmM}}{\mathrm{R}^2}\) లేదా g =\(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\)
కావున ‘g’ మరియు ‘G’ ల మధ్య సంబంధము g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\)

ప్రశ్న 3.
సమాన విలువలు కలిగిన ఎత్తు (h), లోతు (d) లకు గురుత్వ త్వరణం విలువ ఏ విధంగా మారుతుంది ?
జవాబు:
భూమి నుండి ‘h’ ఎత్తుకు పోతే అక్కడ గురుత్వ త్వరణము ‘g’ విలువ తగ్గుతుంది. గురుత్వ త్వరణము g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\) కాని R2 . ‘h’ ఎత్తుకు వెళ్ళినపుడు భూమి కేంద్రం నుండి ఎత్తు R + h అవుతుంది. కాని భూమి ద్రవ్యరాశి M విలువలో మార్పులేదు.

కావున భూమి నుండి పైకి పోయినకొలది గురుత్వ త్వరణము ‘g’ విలువ తగ్గును.

గురుత్వ త్వరణం’g’ పై భూమి ఉపరితలం నుండి లోతు ప్రభావం : భూమి నుండి లోతుకు పోయిన కొలది గురుత్వ త్వరణం ‘g’ విలువ తగ్గుతుంది.

భూమి లోపల ‘d’ అను లోతుకు వెళ్ళినామనుకొనుము. అక్కడ ఉన్న వస్తువుపై భూమి కేంద్రం నుండి ఆ బిందువు వరకుగల భూమి ద్రవ్యరాశి మాత్రమే ఆకర్షణ చూపుతుంది. అనగా భూమి ఫలిత వ్యాసార్ధము (R- d) గా తీసుకోవాలి.
‘d’ లోతు, గురుత్వ త్వరణము g_d = \(\frac{4}{3}\) πρG (R – d) (∵ d = \(\frac{4}{3}\) πρGR కావున)
లేదా g_d = \(\frac{4}{3}\) πρGR (1 – \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}\)) లేదా g_d = g (1 – \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}\)) కావున భూమి నుండి లోతుకు పోతే ‘g’ విలువ తగ్గును.
ఎత్తు h = లోతు g అయిన సందర్భంలో g_h < g_d అవుతుంది.

ప్రశ్న 4.
కక్ష్యా వేగం అంటే ఏమిటి ? దానికి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి. (మార్చి 2014, మే 2014)
జవాబు:
కక్ష్యా వేగము (V₀) : కక్ష్యలో పరిభ్రమించు వస్తువు లేదా ఉపగ్రహానికి గల వేగాన్ని కక్ష్యా వేగము Vo అంటారు. కక్ష్యా వేగానికి సమీకరణం : ‘m’ ద్రవ్యరాశి గల ఒక ఉపగ్రహం భూమి నుండి ‘h’ ఎత్తులో గల ఒక వృత్తాకార కక్ష్యలో పరిభ్రమిస్తుంది అని అనుకోండి.
కక్ష్యా వ్యాసార్ధము = R + h (ఇందులో R = భూమి వ్యాసార్ధము)
వస్తువులు కక్ష్యలో పరిభ్రమించాలంటే వాటిపై పనిచేయు అపకేంద్ర, అభికేంద్ర బలాలు సమానం కావాలి.
వస్తువుపై అపకేంద్రబలం = \(\frac{\mathrm{mV}^2}{\mathrm{r}}=\frac{\mathrm{mV}_0^2}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}\) …………….. (1)
(ఇందులో V = V₀ వస్తువు కక్ష్యావేగము; R + h = కక్ష్యా వ్యాసార్ధము.)
భూమికి ఉపగ్రహానికి మధ్యగల గురుత్వాకర్షణబలం, అభికేంద్ర బలానికి సమానము.
∴ ఉపగ్రహంపై అభికేంద్రబలం = \(\frac{\text { GMm }}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})^2}\) …………… (2)

కక్ష్యలో పరిభ్రమించటంలో గల నియమం ప్రకారము
\(\frac{\mathrm{mV}_0^2}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}=\frac{\mathrm{GMm}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})^2}\)
∴ V₀² = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}\) లేదా V₀ = \(\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}}\)
Rతో పోల్చితే భూమి నుండి ఎత్తు ‘h’ చాలా చిన్నదైనపుడు కక్ష్యా వేగము V₀ = \(\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}}}=\sqrt{\mathrm{gR}}\)
దీనిని భూమి సమీప కక్ష్యా వేగము అంటారు. సమీప కక్ష్యా వేగము V₀ = 7.92 కి.మీ./సెకను.

ప్రశ్న 5.
పలాయన వడి అంటే ఏమిటి ? దానికి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
పలాయన వేగము (V_e) : ఏదైనా వస్తువును గురుత్వాకర్షణ పరిధి దాటి అనంత దూరం పంపడానికి ఆ వస్తువుకు భూమి లేక ఇచ్చిన గ్రహంపై ఉండవలసిన కనీస తొలివేగాన్ని పలాయన వేగంగా నిర్వచించినారు.
పలాయన వేగము V_e = \(\sqrt{2 \mathrm{gR}}=\sqrt{2 \frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}}}\)
పలాయన వేగానికి సమీకరణమును ఉత్పాదించుట : ‘m’ ద్రవ్యరాశి గల ఒక వస్తువును భూమి కేంద్రం నుండి గురుత్వాకర్షణ బలాలను ఎదురించుతూ భూమి ఉపరితలం వద్దకు తెచ్చినామనుకొనుము.
వస్తువుకు భూమికి మధ్య గురుత్వాకర్షణ బలం F = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}^2}\) …………… (1)
వస్తువును భూమి కేంద్రం నుండి ఉపరితలానికి తెచ్చుటలో జరిపిన పని W = F. R …………… (2)
ఈ పని భూమి ఉపరితలం వద్ద గల వస్తువులో స్థితిశక్తి రూపంలో నిలవ ఉంటుంది.
∴ వస్తువుకు ఉపరితలం వద్ద గల స్థితి శక్తి P.E. = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}}\) …………… (3)
భూమి గురుత్వాకర్షణ పరిధి దాటి వస్తువును బయటకు పంపవలెనంటే దానికి ఉండవలసిన కనీస గతిశక్తి భూమి ఉపరితలం వద్ద గల స్థితిశక్తికి సమానం కావలెను.
∴ \(\frac{1}{2}\) mV_e² = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}}\) లేదా V_e² = \(\frac{\mathrm{2GM}}{\mathrm{R}}\)
∴ పలాయన వేగము V_e = \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{GM}}{\mathrm{R}}}=\sqrt{2 \mathrm{gR}}\) (∵ g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\))
భూమిపై పలాయన వేగం V_e = 11.2 కి.మీ/సె.
పలాయన వేగము (V_e) మరియు కక్ష్యా వేగము V₀ ల మధ్య సంబంధము V_e = \(\sqrt{2}\)V₀

ప్రశ్న 6.
భూస్థావర ఉపగ్రహం అంటే ఏమిటి ? వాటి ఉపయోగాలను తెలపండి.
జవాబు:
భూస్థావర ఉపగ్రహం : కృత్రిమ ఉపగ్రహం పరిభ్రమణ ఆవర్తన కాలం భూమి పరిభ్రమణ ఆవర్తన కాలానికి సమానంగా ఉండి అది భూమధ్యరేఖపై భూమి ఆత్మ భ్రమణ దిశలో చలిస్తుంటే, ఆ ఉపగ్రహం భూమి దృష్ట్యా స్థిరంగా ఉంటుంది. ఇటువంటి ఉపగ్రహాలను భూస్థావర ఉపగ్రహాలు అంటారు.
భూస్థావర కక్ష్య భూమి నుండి 35,800 కి.మీ. ఎత్తులో ఉంది.
ఉపయోగాలు :

1. వాతావరణంలోని పై పొరలను అధ్యయనం చేయుటకు,
2. వాతావరణంలో సంభవించే మార్పులను ముందుగా తెలుసుకోవడానికి,
3. భూమిలోపల ఉన్న ఖనిజ సంపద గురించి తెలుసుకోవడానికి,
4. టెలివిజన్, టెలిఫోన్, రేడియో ప్రసారాలకు, అంతరిక్ష వస్తువులపై పరిశోధనలు చేయడానికి,
5. భూమి ఆకారము, పరిమాణములను తెలుసుకొనుటకు,
6. భూమి మీద మనము చేరలేని ప్రాంతాల గురించి తెలుసుకోవడానికి ఈ ఉపగ్రహాలు ఉపయోగపడతాయి.

ప్రశ్న 7.
సరాసరి సముద్ర మట్టం నుంచి రెండు ప్రదేశాలు ఒకే ఎత్తులో ఉన్నాయనుకొందాం. ఒకటి పర్వతం మీద ఉంది. మరొకటి గాలిలో ఉంది. ఎక్కడ g ఎక్కువగా ఉంటుంది ? మీ సమాధానానికి కారణం తెలపండి.
జవాబు:
భూమి ఉపరితలంపైన, లోపల గురుత్వ త్వరణము :
1. భూమి ఉపరితలంపై ‘h’ ఎత్తు ఉన్న బిందు ద్రవ్యరాశి m పై బలము F_h = \(\frac{\mathrm{GM}_e \mathrm{~m}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})^2}\) R భూమి వ్యాసార్ధము
g_h = \(\frac{\mathrm{F}_{\mathrm{h}}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{Gm}_{\mathrm{e}}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})^2}\) = g(1 + h/R)^-2 = g( 1 – \(\frac{2 \mathrm{~h}}{\mathrm{R}}\))

2. భూమి నుండి ‘d’ లోతులో గల బిందువు వద్ద గురుత్వాకరణ బలం (R – d) మందంగల కర్పరం వల్ల పనిచేసిన బలానికి సమానము. ఇచ్చిన బిందువుపైనగల ‘d’ మందపు కర్పరం వల్ల ఆకర్షణ బలం సున్న.
∴ F_d = \(\frac{\mathrm{GM}_e \mathrm{~m}}{(\mathrm{R}-\mathrm{d})^2}\) ; g_d = \(\frac{F_d}{m}=\frac{G_e}{(R-d)^2}\) = g(1 – d/R)
గమనిక : భూమి నుండి పైకి వెళ్ళినా లేక భూమిలోపలికి వెళ్ళినా గురుత్వ త్వరణం ‘g’ తగ్గును. ‘g’ లో తగ్గుదల లోతుకు వెళ్ళిన దాని కన్న భూమిపైకి వెళితే (‘g’ విలువ) ఎక్కువగా తగ్గుతుంది.

ప్రశ్న 8.
ఒక వస్తువు భారం భూమధ్య రేఖ వద్ద కంటే ధ్రువాల వద్ద ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఒకే బరువుకు ఈ రెండు ప్రదేశాల్లో ఎక్కడ ఎక్కువ చక్కెర (sugar) వస్తుంది ? మీ సమాధానానికి కారణం తెలపండి.
జవాబు:
పంచదారను తూచటానికి సాధారణ త్రాసును ఉపయోగిస్తే ధ్రువాల వద్ద తూచినా, భూమధ్య రేఖ వద్ద తూచినా ఒకే పరిమాణంగల పంచదార వస్తుంది. దీనిని కారణం సాధారణ త్రాసులో వస్తువును తూయడానికి రెండు పళ్ళెముల మీద గురుత్వ ఆకర్షణ బలాన్ని సమానం చేయడం.

స్ప్రింగ్ త్రాసును ఉపయోగించి పంచదారను తూస్తే ధ్రువాలవద్ద పంచదార పరిమాణం తక్కువగాను, భూమధ్య రేఖవద్ద పంచదార పరిమాణం ఎక్కువగాను ఉంటుంది. కారణం స్ప్రింగ్ త్రాసు వస్తువు భారము W నిర్ణయిస్తుంది. పంచదార భారం W స్థిరంగా ఉన్నా ధ్రువాల వద్ద ‘g’ విలువ ఎక్కువ కావడం వల్ల తక్కువ ద్రవ్యరాశి ‘m’ గల పంచదార తూయబడుతుంది. భూమధ్య రేఖ వద్ద ‘g’ విలువ తక్కువ కావున అదే భారానికి పంచదార ద్రవ్యరాశి ‘m’ ఎక్కువ.

ప్రశ్న 9.
భూమి చుట్టూ తిరుగుతున్న ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం చీల (nut) వదులై దాని నుంచి వేరయిపోతే అది భూమి వైపు కిందకు పడుతుందా ? లేదా భూమి చుట్టూ తిరుగుతుందా ? మీ సమాధానానికి కారణం తెలపండి.
జవాబు:
కక్ష్యలో తిరుగు ఉపగ్రహం నుండి ఒక చీల (nut) వదులై దాని నుండి విడిపోతే అది ఉపగ్రహము వెంబడి అంతే వేగంతో అదే కక్ష్యలో చలిస్తుంది. కాని భూమి మీదపడదు. ఎందుకనగా ఉపగ్రహం నుండి వేరైన మేకు ఉపగ్రహం నుండి వేరైన సందర్భంలో ఉపగ్రహానికి గల వేగం ఉంటుంది. కక్ష్యలో తిరిగే వస్తువులపై గురుత్వాకర్షణ బలం (అభిలంబ బలము) మరియు అపకేంద్ర బలాలు సమానం కావడంవల్ల అది భార రహిత స్థితిలో ఉంటుంది. ఈ స్థితిలో దానిపై గల ఫలిత బలం సున్న కాబట్టి వస్తువు అదే వేగంతో అదే కక్ష్యలో పరిభ్రమిస్తుంది.

ప్రశ్న 10.
ఒక వస్తువును 11.2 km s వేగంతో లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేగంతో ప్రక్షిప్తం చేసినప్పుడు అది తిరిగి . భూమికి చేరుకోలేదు. కారణాలతో వివరించండి.
జవాబు:
భూమిపై పలాయన వేగము 11.2 కి.మీ/సె. ఏదైనా వస్తువుకు 11.2 కి.మీ./సె. లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ వేగం ఉంటే దాని గతిజశక్తి భూమిపై గల వస్తువుల గురుత్వ పొటెన్షియల్ శక్తి కన్నా ఎక్కువ. కావున అటువంటి వస్తువుల గమనాన్ని భూమి నిరోధించలేదు. అనగా 11.2 కి.మీ/సె. లేదా అంతకన్న ఎక్కువ వేగం గల వస్తువులు భూమి గురుత్వాకర్షణ క్షేత్రాన్ని ఛేదించుకొని అనంత దూరం వెళ్తాయి.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
గురుత్వ స్థితిజ శక్తిని నిర్వచించండి. m₁, m₂, ద్రవ్యరాశులు ఉన్న రెండు కణాలకు సంబంధించిన గురుత్వ స్థితిజ శక్తికి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
గురుత్వ స్థితిజ శక్తి : గురుత్వాకర్షణ బలం వల్ల ఒక వస్తువులో ఉత్పన్నమయ్యే శక్తిని గురుత్వ స్థితిజ శక్తి అంటారు. గురుత్వ స్థితిజ
శక్తి G.P.E = – GMm \(\left(\frac{1}{r_2^2}-\frac{1}{r_1^2}\right)\) ఇందులో r₁ మరియు r₂ లు
భూమి కేంద్రం నుండి వస్తువు దూరాలు.

m₁, m₂ ద్రవ్యరాశులుగల రెండు వస్తువులు పటంలో చూపిన విధంగా O, P బిందువుల వద్ద ఉన్నాయనుకోండి. వాటి మధ్య దూరము ‘X’ అనుకోండి.
గురుత్వాకర్షణ నియమం ప్రకారం వాటి మధ్య గల బలం F = \(\frac{\mathrm{Gm}_1 \mathrm{~m}_2}{\mathrm{x}^2}\) కి సమానము వస్తువు m₂ ను A నుండి B వైపుకు స్వల్పదూరం ‘dx’ జరపడానికి చేయవలసిన పని dW = F. dx వస్తువును A నుండి B కి జరపటంలో జరిగిన
మొత్తం పని W అనుకుంటే W =\(\int \mathrm{dW}=\int \frac{G m_1 \mathrm{~m}_2}{\mathrm{x}^2}\) dx. దీని అవధులు r, ∝. స్థితిశక్తి నిర్వచనం ప్రకారం అనంత దూరం ∝ నుండి ఒక వస్తువును ఇచ్చిన బిందువు (మూలబిందువు ‘O’ నుండి దూరం ‘r’) వరకు జరపడంలో చేసిన పని కావున
∴ W = \(\int_{\infty}^r \frac{G m_1 m_2}{x^2} d x=G m_1 m_2 \int_{\infty}^r x^{-2} d x=-G m_1 m_2\left[\frac{1}{\dot{x}}\right]_{\infty}^r=-\frac{G m_1 m_2}{r}\)
– గుర్తు ఆకర్షణ బలానికి వ్యతిరేకంగా పని జరగడాన్ని తెలుపుతుంది. వస్తువును జరపడంలో చేసిన పని ఆ వస్తువులో స్థితిశక్తి రూపంలో (U) నిలువ ఉంటుంది. కావున m, m, ద్రవ్యరాశుల మధ్య దూరం ‘r’ (మూలబిందువు నుండి)గా భావిస్తే వాటి మధ్య గల గురుత్వ స్థితిజశక్తి U = – \(\frac{\mathrm{Gm}_1 \mathrm{~m}_2}{\mathrm{r}}\) కి సమానము.

ప్రశ్న 2.
గురుత్వ త్వరణం a) భూమి ఉపరితలంపైన, b) భూమి ఉపరితలం లోపల ఎలా మారుతుందో తెలిపే సమీకరణాలను ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
ఒక గ్రహం ఉపరితలం నుండి ‘h’ ఎత్తులో గురుత్వ త్వరణానికి సమీకరణం ఉత్పాదన : ఏదైనా గ్రహంపై గురుత్వ త్వరణము g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\). ఒక గ్రహానికి సంబంధించినంత వరకు ‘g’ విలువ స్థిరంగా ఉండాలి. కాని భూమిపై గురుత్వ త్వరణము ప్రదేశాన్ని బట్టి మారుతున్నది. దీనికి కారణం భూమి నుండి ఎత్తు, భూమి నుండి లోతు వంటి అంశాలు. ఉన్నతాంశము (ఎత్తు) వలన ‘g’ లో మార్పు : భూమి నుండి ‘h’ ఎత్తుకు పోతే అక్కడ గురుత్వ త్వరణము ‘g’ విలువ తగ్గుతుంది. గురుత్వ త్వరణము g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\) కాని ‘h’ ఎత్తుకు వెళ్ళినపుడు భూమి కేంద్రం నుండి ఎత్తు R + h అవుతుంది.
కాని భూమి ద్రవ్యరాశి M విలువలో మార్పులేదు.

d లోతులో గురుత్వ త్వరణానికి సమీకరణం ఉత్పాదన :
గురుత్వ త్వరణం ‘g’ పై భూమి ఉపరితలం నుండి d లోతు ప్రభావం : భూమి నుండి లోతుకు పోయిన కొలది గురుత్వ త్వరణం ‘g’ విలువ తగ్గుతుంది.

భూమి లోపల ‘d’ అను లోతుకు వెళ్ళినామనుకొనుము. అక్కడ ఉన్న వస్తువుపై భూమి కేంద్రం నుండి ఆ బిందువు వరకుగల భూమి ద్రవ్యరాశి మాత్రమే ఆకర్షణ చూపుతుంది. అనగా భూమి ఫలిత వ్యాసార్ధము (R- d) గా తీసుకోవాలి.
`d’ లోతు వద్ద గురుత్వ త్వరణము g_d = \(\frac{4}{3}\) πρG (R – d) (∵ g = \(\frac{4}{3}\) πρGR) కావున
లేదా g_d = \(\frac{4}{3}\) πρGR (1 – \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}\)) లేదా g_d = g(1 – \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}\))
కావున భూమి నుండి లోతుకు పోతే g విలువ తగ్గును.

ప్రశ్న 3.
న్యూటన్ విశ్వ గురుత్వాకర్షణ నియమాన్ని పేర్కొనండి. కావెండిష్ పద్ధతి ద్వారా విశ్వగురుత్వ స్థిరాంకం (G) విలువను ఎలా కనుక్కొంటారో వివరించండి.
జవాబు:
న్యూటన్ విశ్వ గురుత్వాకర్షణ నియమము : ఈ విశ్వంలో ప్రతి వస్తువు మరొక ఇతర వస్తువును ఆకర్షిస్తుంది. ఈ ఆకర్షణ బలం ఆ వస్తువుల ద్రవ్యరాశుల లబ్ధానికి అనులోమాను పాతంలో ఉంటుంది. వాటి మధ్య దూరం వర్గానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
F ∝ m₁m₂ మరియు F ∝ \(\frac{1}{\mathrm{~d}^2}\) లేదా లేదా F ∝ \(\frac{m_1 m_2}{d^2}\) లేదా F = \(\frac{G m_1 m_2}{d^2}\). ఇందులో G విశ్వ గురుత్వ స్థిరాంకము. గురుత్వాకర్షణ బలం ఎప్పుడూ ఒక ఆకర్షణ బలం. ఇది వస్తువులను కలిపే సరళ రేఖ వెంబడి ఉంటుంది.

గురుత్వ స్థిరాంకం కనుగొనడానికి కేవెండిష్ ప్రయోగము : కేవెండిష్ ప్రయోగంలో ఒక పొడవాటి కడ్డీ (AB) చివరల రెండు చిన్న సీసం గోళాలను (m) అమర్చినాడు. దీనిని అతి సన్నని తీగ సహాయంతో ఆధారం నుంచి వ్రేలాడదీసినాడు. రెండు పెద్ద సీసం గోళాలను (M) చిన్నగోళం m వద్దకు తెచ్చినపుడు ఆ రెండు చిన్న ద్రవ్యరాశుల మీద సమానమైన గురుత్వాకర్షణ బలం పనిచేయడం వల్ల ఫలితబలం సున్న. చిన్న గోళానికి, పెద్ద గోళానికి మధ్య గురుత్వాకర్షణ బలం F = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{d}^2}\)
కడ్డీ రెండు చివరల సమానము, వ్యతిరేకమైన బలాలు పనిచేయడం వల్ల కడ్డీ AB పై కొంత టార్క్ ప్రయోగించబడింది. ఫలితంగా అది ఆధారం వెంబడి భ్రమణం చెందుతుంది. కడ్డీ పక్కకు జరిగిన పురికోణం ‘θ’ (Angle of twist) అనుకుంటే తీగలోని పునఃస్థాపక టార్క్ (τ) పురి కోణానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. τ ∝ θ.
కడ్డీపై టార్క్ τ = బలము × కడ్డీ పొడవు (L)
∴ τ = \(\frac{\mathrm{G} \mathrm{Mm}}{\mathrm{d}^2}\) .L ………….. (1) (గురుత్వ బలయుగ్మము)
కడ్డీపై పునస్థాపక బలయుగ్మము = τθ …………….. (2)
∴ τθ = \(\frac{\mathrm{G} \mathrm{Mm}}{\mathrm{d}^2}\) L లేదా G = \(\frac{\tau \theta \cdot \mathrm{d}^2}{\mathrm{MmL}}\)
MmL
ఈ ప్రయోగంలో θ విలువను కొలవడం వల్ల G విలువను లెక్కగట్టవచ్చును.
G ప్రామాణిక విలువ = 6.67 × 10^-11 N – m² / kg²

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఒక్కొక్కటి 1 kg ద్రవ్యరాశులు ఉన్న రెండు గోళాకార బంతుల్ని 1 cm దూరంలో ఉంచారు. వాటి మధ్య ఉండే గురుత్వాకర్షణ బలాన్ని కనుక్కోండి.
జవాబు:
ఒక్కొక్క బంతి ద్రవ్యరాశి m = 1 kg
బంతుల మధ్యదూరము r = 1 cm = 10^-2 m
గురుత్వాకర్షణ బలము F = \(\frac{\mathrm{Gmm}}{\mathrm{r}^2}=\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1 \times 1}{\left(10^{-2}\right)^2}\)
= 6.67 × 10^-11 × 10⁴ = 6.67 × 10^-7 N

ప్రశ్న 2.
ఒక బంతి ద్రవ్యరాశి వేరొక బంతి ద్రవ్యరాశికి 4 రెట్లు ఉంది. ఈ బంతులను 10 cm దూరంలో ఉంచినప్పుడు వాటి మధ్య గురుత్వాకర్షణ బలం 6.67 × 10^-7 N అయితే ఆ బంతుల ద్రవ్యరాశులను కనుక్కోండి.
జవాబు:
మొదటి బంతి ద్రవ్యరాశి m; రెండవ బంతి ద్రవ్యరాశి = 4m.
బంతుల మధ్య దూరము r = 10 cm = 0.1 m
గురుత్వాకర్షణ బలము F = 6.67 × 10^-7 N.
బంతి ద్రవ్యరాశి m = ?
గురుత్వాకర్షణ బలము F = \(\frac{\mathrm{G} \cdot \mathrm{m} \cdot 4 \mathrm{~m}}{\mathrm{r}^2}\) ⇒ 6.67 × 10^-7 = \(\frac{6.67 \times 10^{-11} 4 \mathrm{~m}^2}{0.1 \times 0.1}\) ⇒ 10^-7 = 10^-9 . 4m²
∴ m² = \(\frac{10^{-7}}{4 \times 10^{-9}}=\frac{100}{4}\) = 25 ⇒ m = 5
∴ బంతుల ద్రవ్యరాశులు : 5 kg, 20 kg.

ప్రశ్న 3.
1 m భుజం పొడవు కలిగిన ఒక సమబాహు త్రిభుజం మూడు శీర్షాల వద్ద 1kg, 2kg, 3kg ల ద్రవ్యరాశులు కలిగిన గోళాకార బంతులను ఉంచారు. 1kg ద్రవ్యరాశిపై 2kg, 3kgల ద్రవ్యరాశులు ప్రయోగించే గురుత్వాకర్షణ బలాన్ని గణించండి.
జవాబు:
సమబాహు త్రిభుజము భుజము a = 1m.
మూడు శీర్షాల వద్ద ద్రవ్యరాశులు = 1 kg, 2 kg, 3 kg.
1 kg, 2 kg ల మధ్య బలము F₁ = G. \(\frac{2 \times 1}{1^2}\) = 2 G
1 kg, 3 kg ల మధ్య బలము F₂ = G. \(\frac{3 \times 1}{1^2}\) = 3 G

F₁, F₂ లు ఒకదానికొకటి 60° కోణముతో పనిచేయును.
∴ ఫలితబలము F_R = \(\sqrt{F_1^2+F_2^2+2 F_1 F_2 \cos \theta}=\sqrt{4 G^2+9 G^2+2 \times 2 \times 3 G^2 \times \frac{1}{2}}\)
= G\(\sqrt{4+9+6}\) = \(\sqrt{19}\) G

ప్రశ్న 4.
భూఉపరితలం నుంచి ఒక నిర్ణీత ఎత్తులో గురుత్వ త్వరణం భూఉపరితలంపై ఉన్న విలువలో 4% ఉంది. అయితే ఆ ఎత్తు ఎంత ?
జవాబు:
h ఎత్తులో గురుత్వత్వరణము g_h = g విలువలో 4 శాతము.
∴ g_h = \(\frac{4 \mathrm{~g}}{100}\) కాని g_h = \(\frac{g \cdot R^2}{\left(1+\frac{h}{R}\right)^2}\) ఇందులో భూమి వ్యాసార్ధము R = 6400 K.M. = 6.4 × 10⁶ m.
\(\frac{4}{100} g=\frac{g}{(1+h / R)^2} \Rightarrow\left(1+\frac{h}{R}\right)^2=\frac{100}{4}\) (రెండు వైపుల వర్గమూలము చేయగా)
1 + \(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{R}}\) = \(\frac{10}{2}\) = 5 ⇒ 1 + \(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{R}}\) = 5 ⇒ \(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{R}}\) = 5 – 1 = 4
∴ h = 4R = 6400 × 4 = 25.600 k.m.

ప్రశ్న 5.
ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం 1000 km ఎత్తులో భూమి చుట్టూ తిరుగుతున్నది. దాని కక్ష్యా వడి ఎంత ?
జవాబు:
భూమి వ్యాసార్ధము R = 6,400 km = 6.4 × 10⁶ m.
ఉపగ్రహము ఎత్తు h = 1000 km; G = 6.67 × 10¹¹ N – m² / kg²
భూమి ద్రవ్యరాశి M = 6 × 10²⁴
కక్ష్యా వేగము V_o = \(\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}}\)
∴ V_o= \(\sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{6400+1000}}=\sqrt{\frac{6.67 \times 6 \times 10^{13}}{7.4 \times 10^6}}=\sqrt{\frac{40.02 \times 10^7}{7.4}}\) = 7354 m = 7.354 km.

ప్రశ్న 6.
భూ వ్యాసార్ధానికి సమానమైన ఎత్తులో ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం భూమి చుట్టూ తిరుగుతున్నది. దాని
i) కక్ష్యావడి,
ii) పరిభ్రమణావర్తన కాలాలను కనుక్కోండి.
జవాబు:
భూమి వ్యాసార్ధము R = 6400k.m. ; భూమి నుండి ఎత్తు h = R.
భూమి ద్రవ్యరాశి M = 6 × 10²⁴ ; G = 6.67 × 10^-11 N – m²/kg²
i) కక్ష్యావేగము V_o = \(\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}}=\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{2 \mathrm{R}}}\)
∴ V_o = \(\sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{2 \times 6.4 \times 10^6}}=\sqrt{\frac{40.02 \times 10^{13}}{12.8 \times 10^6}}=\sqrt{\frac{40.02 \times 10^7}{12.8}}\)
= 5592 m/s = 5.592 కి. మీ. / సె.

ii) ఆవర్తన కాలము T = \(\frac{2 \pi(2 R)}{V}=\frac{2 \times 3.142 \times 6.4 \times 10^6 \times 2}{5592}\)
= 14, 380 sec. = 3.994h = 4 గంటలు.

ప్రశ్న 7.
రెండు వస్తువుల మధ్య ఉన్న దూరాన్ని 4m పెంచితే, వాటి మధ్య ఉన్న గురుత్వాకర్షణ బలం 36% తగ్గింది. వాటి మధ్య ఉన్న తొలి దూరం ఎంత ?
జవాబు:
వస్తువుల మధ్య బలము F; వస్తువుల మధ్య దూరము = r.
రెండవ సందర్భమునకు r₁ = (r + 4); కాని కొత్త బలము Fకన్నా 36% తక్కువ.
⇒ F₁ = F (1 – \(\frac{36}{100}\)) = \(\frac{64}{100}\) F
∴ \(\frac{\text { G.m.m. }}{(r+4)^2}=\frac{64}{100} \frac{\text { G.m.m }}{r^2}\)
⇒ 100 r² = 64 (r + 4)² రెండువైపుల వర్గమూలము చేయగా
⇒ 10 r = 8 (r + 4) ⇒ 10 r = 8r + 32
∴ (10 – 8) r = 2r = 32 లేదా ∴ r = 16 m.

ప్రశ్న 8.
a భుజం ఉన్న ఒక చతురస్రం ప్రతి శీర్షం వద్ద సర్వసమానమైన ద్రవ్యరాశులు m లను ఉంచారు. ఒక ద్రవ్యరాశిపై మిగతా మూడు ద్రవ్యరాశులు ప్రయోగించే గురుత్వబలాన్ని గణించండి.
జవాబు:
అన్ని ద్రవ్యరాశులు సమానము అని ఇవ్వబడినవి.
∴ m₁ = m₂ = m₃ = m₄
m₁, m₄ ద్రవ్యరాశుల మధ్య బలము F₁ = \(\frac{\mathrm{G} \cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{a}^2}\) …… (1)
m₄, m₃ ద్రవ్యరాశుల మధ్య బలము F₂ = \(\frac{\mathrm{G} \cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{a}^2}\) ……….. (2)

F₁ మరియు F₂ లు పరస్పరము లంబాలు మరియు పరిమాణములో సమానము.
సమాంతర చతుర్భుజ బల నియమము నుండి
∴ F_R = \(\sqrt{2 \mathrm{~F}}=\sqrt{2} \cdot \frac{\mathrm{Gm}^2}{\mathrm{a}^2}\) ………… (3)
(సమాంతర చతుర్భుజ బల నియమము నుండి)
m₄, m₂ ల మధ్య బలము F₃ = \(\frac{\mathrm{Gm}^2}{(\sqrt{2} a)^2}=\frac{\mathrm{Gm}^2}{2 a^2}\) (F₃ అనుకొనుము) …………. (4)
F_R మరియు F₃ లు పరస్పరము సమాంతరము కావున వాటి ఫలిత బలము వాటి మొత్తానికి సమానము.
m₄ వద్ద అన్ని ద్రవ్యరాశుల వలన మొత్తము బలము = \(\sqrt{2} \frac{G m^2}{a^2}+\frac{G m^2}{2 a^2}=\frac{G m^2}{a^2}\left(\sqrt{2}+\frac{1}{2}\right)\)

ప్రశ్న 9.
1kg, 4kg ద్రవ్యరాశులు ఉన్న రెండు గోళాకార బంతుల మధ్య దూరం 12cm. 1kg ద్రవ్యరాశి నుంచి ఎంత దూరంలో ఉన్న బిందువు వద్ద ఏ ద్రవ్యరాశి మీదనైనా పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ బలం శూన్యం అవుతుంది ?
జవాబు:
ద్రవ్యరాశి m₁ = 1 kg ; ద్రవ్యరాశి m₂ = 4 kg
మధ్యదూరము d = 12 cm
మూడవ వస్తువు ద్రవ్యరాశి m₃ = ?
m₃ ద్రవ్యరాశిపై ఏ బలమూ పనిచేయకుండుటకు

m₁, m₃ ల మధ్య బలము = m₂, m₃ ల మధ్య బలము.
∴ \(\frac{\mathrm{G}_1 \times \mathrm{m}_3}{\mathrm{x}^2}=\frac{\mathrm{G} \times 4 \mathrm{~m}_3}{(\mathrm{~d}-\mathrm{x})^2}\) ⇒ (d – x)² = 4x². రెండు వైపుల వర్గమూలము తీసుకొనగా
d – x = 2x + d = 3x లేదా x = \(\frac{12}{3}\) = 4 cm
∴ 1 kg ద్రవ్యరాశి నుండి దూరము = 4 cm

ప్రశ్న 10.
ఒక్కొక్కటి ద్రవ్యరాశి m, వ్యాసార్ధం R ఉన్నట్టి మూడు ఏకరీతి గోళాలను, అందులో ప్రతి ఒకటి మిగతా రెండింటిని తాకే విధంగా అమర్చారు. వాటిలో ఏ ఒక్క గోళం పైనైనా మిగతా రెండు గోళాల వల్ల కలిగే గురుత్వాకర్షణ బల పరిమాణాన్ని లెక్కించండి.
జవాబు:
ద్రవ్యరాశి m, వ్యాసార్ధము R లు అన్ని గోళాలకు సమానము.
1, 3 గోళాల మధ్య బలము F₁ = \(\frac{\mathrm{G} \cdot \mathrm{m}^2}{(2 \mathrm{R})^2}\)
1, 2 గోళాల మధ్య బలము F₂ = \(\frac{\mathrm{G} \cdot \mathrm{m}^2}{(2 \mathrm{R})^2}\)

F₁, F₂ లు ఒకదానికొకటి 60° కోణముతో పనిచేయును. సమాంతర చతుర్భుజ బలనియమము ప్రకారము ఫలిత బలము
F = \(\sqrt{F_1^2+F_2^2+2 F_1 F_2 \cos \theta}=\sqrt{F^2+F^2+2 F^2 \frac{1}{2}}=\sqrt{3} F\)
∴ మొదటి గోళముపై మిగిలిన రెండు గోళాల వలన బలము = \(\frac{\sqrt{3} \cdot \mathrm{Gm}^2}{4 \mathrm{R}^2}\)

ప్రశ్న 11.
రెండు కృత్రిమ ఉపగ్రహాలు వేరువేరు ఎత్తులలో భూమి చుట్టూ పరిభ్రమిస్తున్నాయి. వాటి కక్ష్యా వడుల నిష్పత్తి 2: 1. అందులో ఒకటి 100 km ఎత్తులో ఉంటే, మరొకటి ఎంత ఎత్తులో ఉంటుంది ?
జవాబు:
భూమి ద్రవ్యరాశి m = 6 × 10²⁰ kg ; G = 6.67 × 10^-11 N-m² / kg²
కక్ష్యావేగముల నిష్పత్తి V₀₁ : V₀₂ = 2 : 1;
ఒక ఉపగ్రహం ఎత్తు h = 100 k.m
V_o = \(\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}}\)
∴ \(\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}_1}}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}_2}}\)
ఇరువైపులా వర్గము చేయగా \(\frac{\mathrm{Gm}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}_1}=\frac{1}{4} \frac{\mathrm{Gm}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}_2}\) ⇒ 4 (R + h₂) = R + h₁
4R + 4h₂ = R + h₁ = 3R + 4h₂, h₂ = 100 km ప్రతిక్షేపించగా
∴ h₁ = 3 × 6400 + 400 = 19600 km.

ప్రశ్న 12.
గురుత్వ త్వరణం విలువ 8 ms^-2 ఉన్నటువంటి ఒక ఎత్తు వద్ద ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం 8 m s^-1 వడితో వృత్తాకార కక్ష్యలో తిరుగుతున్నది. భూఉపరితలం నుంచి ఉపగ్రహం ఎంత ఎత్తులో ఉన్నట్లు ? (గ్రహం వ్యాసార్ధం = 6000 km)
జవాబు:
ఉపగ్రహము కక్ష్యావేగము V_o = 8 km/s. = 8 × 10³ m/s.
ఆ కక్ష్యలో గురుత్వత్వరణము g = 8 m/s²
కక్ష్యా వేగము V = \(\sqrt{\mathrm{gR}}\) ఇందులో R = కక్ష్యా వ్యాసార్ధము, g = ఆ కక్ష్యలో గురుత్వ త్వరణము
∴ R = V²/g = \(\frac{8 \times 8 \times 10^6}{8}\) = 8 × 10⁶m = 8000 km.
ఉపగ్రహము ఎత్తు = 8000 – భూమి వ్యాసార్ధము;
భూమి వ్యాసార్ధము = 6000km.
భూ ఉపరితలము నుండి ఉపగ్రహము ఎత్తు = 8000 – 6000 = 2000 km.

ప్రశ్న 13.
(a) భూఉపరితలం నుంచి ఒక వస్తువు పలాయన వడిని కనుక్కోండి. (b) ఒక వేళ భూమి కర్రతో గనుక తయారై ఉంటే, దాని ద్రవ్యరాశి భూమి ప్రస్తుత ద్రవ్యరాశిలో 10% ఉండేది. భూమి కర్రతో తయారై ఉండి ఉంటే, పలాయన వడి ఎంత ?
జవాబు:భ
భూమి వ్యాసార్ధం, R = 6400 km = 6.4 × 10⁶.m
భూమి ద్రవ్యరాశి, M = 6 × 10²⁴ kg ; g = 9.8 ms^-2
a) పలాయన వడి, V_e = \(\sqrt{2 g R}\)
∴ V_e = \(\sqrt{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6}\) = 11.2 km/s

b) భూమి కర్రతో తయారై ఉండి ఉంటే, M₁ = ద్రవ్యరాశిలో 10% = 6 × 10²³
పలాయన వడి, V_e = \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{Gm}}{\mathrm{R}}}=\sqrt{\frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{23}}{6.4 \times 10^6}}=\sqrt{\frac{2 \times 40.02 \times 10^{12}}{6.4 \times 10^6}}\)
∴ V_e = \(\sqrt{12.51 \times 10^{16}}\)= 3.537 km/s.

ముఖ్యమైన ఉదాహరణ లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
భుజం పొడవు గా ఉన్న ఒక చతురస్రం యొక్క ప్రతీ శీర్షం వద్ద ఒక్కో కణాన్ని ఉంచితే, ఆ నాలుగు కణాల వ్యవస్థ మొత్తం స్థితిజశక్తిని కనుక్కోండి. ఆ చతురస్ర కేంద్రం వద్ద పొటెన్షియల్ను కూడా గణించండి.
సాధన:
భుజం పొడవు l ఉన్నటువంటి ఒక చతురస్రం ప్రతీ శీర్షం వద్ద m ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక్కో కణాన్ని ఉంచామనుకోండి. పటంని పరిశీలిస్తే, l దూరంలో నాలుగు ద్రవ్యరాశుల జతలు, \(\sqrt{2}\) l దూరంలో కర్ణాల పరంగా రెండు ద్రవ్యరాశుల జతలూ మనకు కనిపిస్తాయి. కాబట్టి,

ప్రశ్న 2.
కుజ గ్రహానికి ఫోబోస్ (phobos), డెల్మోస్ (delmos) అనే రెండు ఉపగ్రహాలు ఉన్నాయి. (i) ఫోబోస్ కక్ష్యావర్తన కాలం 7 గం. 39 నిమిషాలు. దాని కక్ష్యా వ్యాసార్ధం 9.4 × 10³ km. కుజుని ద్రవ్యరాశిని కనుక్కోండి. (ii) భూమి, కుజుడూ సూర్యుని చుట్టూ వృత్తాకార కక్ష్యల్లో, కుజుని కక్ష్యా వ్యాసార్ధం భూకక్ష్యా వ్యాసార్ధానికి 1.52 రెట్లు ఉండే విధంగా తిరుగుతున్నాయనుకొందాం. అప్పుడు ఒక కుజ సంవత్సరంలో ఎన్ని రోజులుంటాయి ?
సాధన:
i) సమీకరణం T² = k (R_E + h)³ (k = 4π² / GM_E) లో భూమి ద్రవ్యరాశికి బదులుగా కుజుని ద్రవ్యరాశి M_m ను ప్రతిక్షేపిస్తే,
T² = \(\frac{4 \pi^2}{\mathrm{GM}_{\mathrm{m}}}\) R³ ; M_m = \(\frac{4 \pi^2}{G} \frac{P^3}{T^2}\)
M_m = \(\frac{4 \times(3.14)^2 \times(9.4)^3 \times 10^{18}}{6.67 \times 10^{-11} \times(459 \times 60)^2}=\frac{4 \times(3.14)^2 \times(9.4)^3 \times 10^{18}}{6.67 \times(459 \times 60)^2 \times 10^{-5}}\)
∴ కుజుని ద్రవ్యరాశి = 6.48 × 10²³ kg

ii) కెప్లర్ మూడవ నియమం ప్రకారం,
\(\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{M}}^2}{\mathrm{~T}_{\mathrm{E}}^2}=\frac{\mathrm{R}_{\mathrm{MS}}^3}{\mathrm{R}_{\mathrm{ES}}^3}\)
ఇక్కడ RMS కుజునికి, సూర్యునికి మధ్య దూరం, R_ES భూమికి, సూర్యునికి మధ్య దూరం.
∴ TM = (1.52)^3/2 × 365 = 684 రోజులు.

ప్రశ్న 3.
భూమిని తూచడం (Weighing the Earth) : కింది సమాచారాన్ని మీకిచ్చారు :
g = 9.81 ms^-2, R_E = 6.37 × 10⁶ m, చంద్రునికి ఉన్న దూరం R = 3.84 × 10⁸ m, చంద్రుని పరిభ్రమణావర్తన కాలం 27.3 రోజులు. భూమి ద్రవ్యరాశి M_E ని రెండు విభిన్న పద్ధతుల్లో రాబట్టండి.
సాధన:
పద్ధతి -1 : దత్తాంశం నుండి g = 9.81 మీ/సె ; R_E = 6.37 × 10⁶ మీ ; M_E = భూమి ద్రవ్యరాశి
M_E = \(\frac{\mathrm{gR}_{\mathrm{E}}^2}{\mathrm{G}}=\frac{9.81 \times\left(6.37 \times 10^6\right)^2}{6.67 \times 10^{-11}}\) = 5.97 × 10²⁴ kg.
పద్ధతి – 2 : చంద్రుడు భూమికి ఉపగ్రహం. కెప్లర్ మూడవ నియమం ఉత్పాదన నుంచి
(సమీకరణం T² = k (R_E + h)³ (k = 4π²/GM_E) ప్రకారం)
T² = \(\frac{4 \pi^2 R^3}{\mathrm{GM}_{\mathrm{E}}}\) ⇒ M_E = \(\frac{4 \pi^2 R^3}{\mathrm{GT}^2}\)
= \(\frac{4 \times 3.14 \times 3.14 \times(3.84)^3 \times 10^{24}}{6.67 \times 10^{-11} \times(27.3 \times 24 \times 60 \times 60)^2}\) = 6.02 × 10²⁴ kg
రెండు పద్ధతుల ద్వారా దాదాపు ఒకే ఫలితం వచ్చింది. ఆయా పద్ధతుల ద్వారా వచ్చిన విలువల్లో తేడా 1% కంటే తక్కువగానే ఉంది.

ముఖ్యమైన అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
కింది వాటికి సమాధానాలు రాయండి :
a) ఒక విద్యుదావేశాన్ని ఒక బోలు వాహకంలోపల ఉంచడం ద్వారా దానిపై విద్యుత్ బలం పనిచేయకుండా రక్షణ కల్పించవచ్చు. ఒక వస్తువును ఒక బోలు గోళం లోపల ఉంచడం ద్వారా లేదా మరే ఇతర పద్ధతిలోనైనా దానికి దగ్గరలో ఉన్న ద్రవ్యం యొక్క గురుత్వాకర్షణ బలం నుంచి రక్షించవచ్చా ?
b) భూమి చుట్టూ తిరుగుతున్న ఒక చిన్న వ్యోమ నౌకలోని వ్యోమగామి గురుత్వాకర్షణ బలం ఉనికిని గుర్తించలేదు. భూమి చుట్టూ తిరుగుతున్న వ్యోమనౌక చాలా పెద్దదిగా ఉంటే, గురుత్వాకర్షణ బలం ఉనికిని గుర్తించగలనని అతడు ఆశించవచ్చా ?
c) సూర్యుని మూలంగా భూమిపై కలిగే గురుత్వ త్వరణం, చంద్రుని మూలంగా భూమిపై కలిగే గురుత్వ త్వరణాలను పోల్చినప్పుడు చంద్రుని ఆకర్షణకంటే సూర్యుని ఆకర్షణ ఎక్కువగా ఉంటుందని స్పష్టమవుతుంది. (తరువాతి అభ్యాసాలలో లభ్యమయ్యే సమాచారాన్ని వినియోగించుకొని మీరీ విషయాన్ని స్వయంగా సరిచూసుకోవచ్చు). అయితే, చంద్రుని ఆకర్షణ వల్ల సముద్రపు అల ఎగిసిపడే ప్రభావం కంటే తక్కువ. ఎందుకు ?
జవాబు:
a) గురుత్వాకర్షణ బలాల నుండి ఒక వస్తువును రక్షించడం సాధ్యంకాదు ఎందుకంటే వస్తువుల మధ్యగల గురుత్వాకర్షణ బలాలు యానకం స్వభావంపై ఆధారపడవు. ఇవి ద్రవ్యరాశిగల అన్ని వస్తువుల మధ్య పనిచేస్తాయి.
విద్యుదావేశ బలాలు వాటి మధ్యగల యానకం పెర్మిటివిటి మరియు పదార్థ స్వభావం మీద ఆధారపడటం వల్ల విద్యుత్ బలం నుండి రక్షణ కల్పించవచ్చు.

b) అవును. .అంతరిక్ష నౌక పరిమాణం చాలా పెద్దదయితే కక్ష్యలో తిరుగుతున్న అంతరిక్ష నౌకలోని వ్యోమగామి గురుత్వ త్వరణంలో మార్పు గుర్తించగలడు.

c) అలలపై బలం ప్రభావం, దూరము యొక్క ఘనానికి (cube) విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది. కాని గురుత్వాకర్షణ బలం దూరం యొక్క వర్గానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది. చంద్రునికన్నా సూర్యుని దూరం చాలా ఎక్కువ కావటం వల్ల సూర్యుని గురుత్వాకర్షణ ప్రభావం అలలపై చాలా తక్కువ. చంద్రుని ఆకర్షణ తక్కువ అయినప్పటికీ భూమి, చంద్రుల మధ్య దూరం చిన్నది కావడం వల్ల అలలపై చంద్రుని ప్రభావం ఎక్కువ.

ప్రశ్న 2.
సరియైన ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఎంచుకోండి :
a) ఉన్నతాంశం పెరుగుతున్నకొద్దీ గురుత్వ త్వరణం పెరుగుతుంది / తగ్గుతుంది.
b) లోతు పెరుగుతున్న కొద్దీ గురుత్వ త్వరణం పెరుగుతుంది / తగ్గుతుంది (భూమిని ఏకరీతి సాంద్రత కలిగిన గోళంగా పరిగణించండి).
c) భూమి ద్రవ్యరాశి / వస్తువు ద్రవ్యరాశిపై గురుత్వ త్వరణం ఆధారపడి ఉండదు.
d) భూకేంద్రం నుంచి r₁, r₂ దూరాలలో ఉన్న రెండు బిందువుల మధ్య స్థితిజ శక్తి భేదానికి సూత్రం -G Mm(1/r₂ – 1/r₁) అనేది సూత్రం mg(r₂ – r₁) కంటే ఎక్కువ / తక్కువ.
జవాబు:
a) తగ్గుతుంది
b) తగ్గుతుంది
c) వస్తువు ద్రవ్యరాశి
d) ఎక్కువ

ప్రశ్న 3.
సూర్యుని చుట్టూ భూమి కంటే రెండు రెట్లు ఎక్కువ వడితో తిరిగే ఒక గ్రహం ఉందనుకొందాం. భూమితో పోల్చినప్పుడు దాని కక్ష్యా పరిమాణం (orbital size) ఎంత ఉంటుంది ?
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి T_e = = 1 సం||;
T_p = \(\frac{T_e}{2}=\frac{1}{2}\) సం|| r_e = 1 A.U.; r_p = ?
కెప్లర్ సిద్ధాంతం నుండి
r_p = r_e \(\left(\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{e}}}\right)^{2 / 3}=1\left(\frac{\frac{1}{2}}{1}\right)^{2 / 3}\) = 0.63 A.U.

ప్రశ్న 4.
బృహస్పతి గ్రహానికి ఉన్న ఒకానొక ఉపగ్రహం ఇయో (I₀) కక్ష్యావర్తన కాలం 1.769 రోజులు, కక్ష్యావ్యాసార్ధం 4.22 × 10⁸m అయితే బృహస్పతి ద్రవ్యరాశి, సూర్యుని ద్రవ్యరాశిలో దాదాపు వెయ్యవ వంతు ఉంటుందని చూపండి.
జవాబు:
జూపిటర్ ఉపగ్రహం ఆవర్తన కాలము T₁ = 1.769 రోజులు = 1.769 × 24 × 60 × 60 s
ఉపగ్రహం కక్ష్యా వ్యాసార్ధము r = 4.22 × 10⁸ m

ప్రశ్న 5.
ఒక్కొక్కటి సౌర ద్రవ్యరాశికి సమానమైన ద్రవ్యరాశి ఉన్న 2.5 × 10¹¹ నక్షత్రాలు మన నక్షత్ర మండలం (galaxy) లో ఉన్నాయని ఊహిద్దాం. నక్షత్ర మండల కేంద్రం నుంచి 50,000 కాంతి సంవత్సరాల దూరంలో ఉన్న ఒక నక్షత్రం ఒక పూర్తి పరిభ్రమణానికి ఎంతకాలం తీసుకొంటుంది ? మన నక్షత్ర మండలమైన పాలపుంత వ్యాసం 10⁵ ly (ly = light year = కాంతి సంవత్సరం)గా తీసుకోండి.
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి r = 50,000 కాంతి సంవత్సరాలు = 50,000 × 9.46 × 10¹⁵ m = 4.73 × 10²⁰ m
M = 2.5 × 10¹¹ సౌరద్రవ్యరాశి = 2.5 × 10¹¹ × (2 × 10³⁰) kg = 5.0 × 10⁴¹ kg
కాని M = \(\frac{4 \pi^2 r^3}{\mathrm{GT}^2}\) లేదా T = \(\left(\frac{4 \pi^2 r^3}{\mathrm{GM}}\right)^{1 / 2}=\left[\frac{4 \times(22 / 7)^2 \times\left(4.73 \times 10^{20}\right)^3}{\left(6.67 \times 10^{-11}\right) \times\left(5.0 \times 10^{41}\right)}\right]^{1 / 2}\)
= 1.12 × 10¹⁶ s

ప్రశ్న 6.
సరియైన ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఎంచుకోండి :
a) స్థితిజ శక్తి శూన్య విలువను అనంత దూరం వద్ద తీసుకొంటే, పరిభ్రమిస్తున్న ఉపగ్రహం మొత్తం శక్తి దాని గతిజశక్తి / స్థితిజ శక్తికి ఋణాత్మకం.
b) పరిభ్రమిస్తున్న ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహాన్ని భూమ్యాకర్షణ ప్రభావానికి ఆవల వరకు సంధించడానికి అవసరమయ్యే శక్తి కృత్రిమ ఉపగ్రహం ఉన్న ఎత్తులోనే నిశ్చలంగా ఉన్న ఒక ప్రక్షేపకాన్ని భూమ్యాకర్షణ ప్రభావాన్నుంచి ప్రక్షిప్తం చెయ్యడానికి అవసరమయ్యే శక్తి కంటే ఎక్కువ / తక్కువ.
జవాబు:
a) గతిజశక్తి
b) తక్కువ

ప్రశ్న 7.
భూమి నుంచి ఒక వస్తువు పలాయన వడి ఈ అంశాలపై ఆధారపడుతుందా ? a) వస్తువు ద్రవ్యరాశి, b) వస్తువు ప్రక్షిప్తం చేసిన స్థానం, c) ప్రక్షిప్తం చేసిన దిశ, d) వస్తువును ప్రక్షేపించిన స్థానం ఎత్తు.
జవాబు:
పలాయన వడి ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడదు.
పలాయన వడి ప్రక్షేపస్థానం వద్దగల గురుత్వ పొటెన్షియల్ పై ఆధారపడును. ఇది భూమి కేంద్రం నుండి దూరము, (ఎత్తు) ఇచ్చిన బిందు స్థానము మరియు ప్రక్షేప దిశలపై ఆధారపడును.

ప్రశ్న 8.
ఒక తోక చుక్క సూర్యుని చుట్టూ ఒక అత్యధిక అర్థగురు అక్షంగల దీర్ఘవృత్తాకార కక్ష్యలో తిరుగుతున్నది. ఈ తోకచుక్క కక్ష్య యావత్తు ఈ రాశులు స్థిరంగా ఉంటాయా ? a) రేఖీయ వడి, b) కోణీయ వడి, c) కోణీయ ద్రవ్యవేగం, d) గతిజ శక్తి, e) స్థితిజ శక్తి, f) మొత్తం యాంత్రిక శక్తి. తోకచుక్క సూర్యునికి దగ్గరగా వచ్చినప్పుడు అది ఏమైనా ద్రవ్యరాశిని కోల్పోతే ఆ ద్రవ్యరాశిని ఉపేక్షించండి.
జవాబు:
సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘ వృత్తాకార కక్ష్యలో పరిభ్రమిస్తున్న తోకచుక్కకు కోణీయ ద్రవ్యవేగము మరియు మొత్తం శక్తులు మాత్రమే స్థిరము. మిగిలిన రాశులు స్థానం బట్టి మారుతాయి.

ప్రశ్న 9.
ఈ లక్షణాలలో ఏది రోదసిలోని వ్యోమగామికి హాని కలిగించవచ్చు ? a) కాళ్ళ వాపు, b) ముఖం వాపు, c) తల నొప్పి, d) దిగ్విన్యాస (orientational problem) సమస్య.
జవాబు:
వ్యోమగామి భార రహిత స్థితిలో ఉంటాడు. కావున గురుత్వ త్వరణ ప్రభావం అతని మీద ఉండదు.
a) కాళ్ళు బరువు మోయవలసిన అవసరం లేనందున కాళ్ళనొప్పులు రావు:

b) ముఖానికి రక్త ప్రసరణ ఎక్కువగా జరగడం వల్ల ముఖం వాపు వస్తుంది. (ముఖభాగాలు ఉబ్బడం అధిక పీడనంతో రక్త ప్రసరణం వల్ల)

c) అధికమైన మానసిక ఒత్తిడివల్ల తలనొప్పి వస్తుంది. ఇది భూమి మీద ఉన్నా రావచ్చు, అంతరిక్షంలోను రావచ్చు.

d) అంతరాళానికి కూడా దిగ్విన్యాసం ఉంటుంది. కాబట్టి దిగ్విన్యాస సమస్యలు కలుగుతాయి.

ప్రశ్న 10.
ఈ దిగువ ఉన్న రెండు అభ్యాసాల్లో ఇచ్చిన వాటి నుంచి సరియైన సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.

ఏకరీతి ద్రవ్యరాశి సాంద్రత (mass density) కలిగిన ఒక అర్ధగోళాకార కర్పరం కేంద్రం దగ్గర ఉండే గురుత్వాకర్షణ తీవ్రత దిశ పటంలో బాణం గుర్తు సూచించిన విధంగా ఉంది. (i) a, (ii) b, (iii) c, (iv) 0.
జవాబు:
ఏకరీతి సాంద్రతగల అర్ధగోళాకార కర్పరం మీద అన్ని బిందువుల వద్ద గురుత్వాకర్షణ బలం ఒకే విధంగా ఉంటుంది. కావున గురుత్వాకర్షణ తీవ్రత \(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\) = 0 కావున గోళం లోపలగల అన్ని బిందువుల వద్ద గురుత్వాకర్షణ తీవ్రత సున్నా.

గోళం ఒక అర్ధభాగాన్ని తొలగిస్తే అంటే ఇచ్చిన అర్ధగోళంలో కేంద్రము Q లేదా ఇతర బిందువు P వద్ద గురుత్వాకర్షణ అధోదిశలో ఉండటం వల్ల గురుత్వాకర్షణ తీవ్రత కూడా అధోదిశలోనే (C) ఉంటుంది. కావున ఇచ్చిన వాటిలో (iii) ‘c’ సరియైన సమాధానము.

ప్రశ్న 11.
పై సమస్యలో ఒకానొక యాదృచ్ఛిక బిందువు P వద్ద ఉండే గురుత్వాకర్షణ తీవ్రత దిశను బాణం గుర్తుతో సూచించడమైంది. (i) d, (ii) e, (iii) f, (iv) g.
జవాబు:
పైన ఇచ్చిన వివరణ 10వ లెక్కలో ఇచ్చిన వివరణ ప్రకారం P వద్ద గురుత్వాకర్షణ తీవ్రత అధోదిశలో ఉంటుంది. కావున ఇచ్చిన వాటిలో ii) ‘e’ సరియైన సమాధానము.

ప్రశ్న 12.
భూమి నుంచి సూర్యుని వైపు దూసుకెళ్లే విధంగా ఒక రాకెట్ను పేల్చారు. భూ కేంద్రం నుంచి ఎంత ఎత్తులో రాకెట్పై పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ బలం శూన్యమవుతుంది ? సూర్యుని ద్రవ్యరాశి = 2 × 10³⁰ kg, భూమి ద్రవ్యరాశి = 6 × 10²⁴ kg. మిగతా ఉపగ్రహాల ప్రభావాన్ని ఉపేక్షించండి. (కక్ష్యా వ్యాసార్ధం = 1.5 × 10¹¹ m).
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి M_s = 2 × 10³⁰ kg; M_e = 6 × 10²⁴ kg ; r =
= 1.5 × 10¹¹ m.
రాకెట్ మీద సూర్యుడు, భూమి వల్ల గురుత్వాకర్షణ బలం సమానంగా గల బిందువు భూమి నుండి ‘x’ దూరంలో ఉందనుకోండి. సూర్యుని నుండి దూరము (r – x) అవుతుంది.

ప్రశ్న 13.
సూర్యుని ఎలా తూచుతారు ? అంటే దాని ద్రవ్యరాశిని అంచనావేయండి. సూర్యుని చుట్టూ భూమి సరాసరి కక్ష్యా వ్యాసార్ధం 1.5 × 10⁸ km.
జవాబు:
సూర్యుని ద్రవ్యరాశి లెక్కించడానికి మనకు భూమి పరిభ్రమణ కాలం T సూర్యుని నుండి గల సగటు కక్ష్యా వ్యాసార్ధము R మరియు భూమి ద్రవ్యరాశి M_e కావలెను.
సూర్యుని వల్ల భూమిపై గురుత్వాకర్షణ F = \(\frac{\mathrm{GM}_{\mathrm{s}} \cdot \mathrm{M}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{r}^2}\)
భూమి సూర్యునిచుట్టూ () అను స్థిరవడితో చలిస్తుంటే భూమిపై అభికేంద్ర బలం F’ = M_erω² = M_er\(\frac{4 \pi^2}{\mathrm{~T}^2}\)
అభికేంద్రబలం భూమి, సూర్యుల మధ్య గురుత్వాకర్షణ వల్ల కలుగుతుంది.
\(\frac{\mathrm{GM}_{\mathrm{s}} \mathrm{M}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{r}^2}=\mathrm{M}_{\mathrm{e}} \mathrm{r} \frac{4 \pi^2}{\mathrm{~T}^2}\) లేక M_s = \(\frac{4 \pi^2 r^3}{\mathrm{GT}^2}\)
r, T మరియు M విలువలు తెలిస్తే సూర్యుని ద్రవ్యరాశి లెక్కగట్టవచ్చు.
దత్తాంశం నుండి r = 1.5 × 10⁸ km = 1.5 × 10¹¹ m;
T = 365 days = 365 × 24 × 60 ×60 s
M_s = \(\frac{4 \times(22 / 7)^2 \times\left(1.5 \times 10^{11}\right)^3}{\left(6.67 \times 10^{-11}\right) \times(365 \times 24 \times 60 \times 60)^2}\) ≈ 2 × 10³⁰kg

ప్రశ్న 14.
శని సంవత్సరం భూసంవత్సరానికి 29.5 రెట్లు ఉంటుంది. సూర్యుని నుంచి భూమి 1.50 × 10⁸ km దూరంలో ఉన్నట్లయితే సూర్యుని నుంచి శనిగ్రహం దూరం ఎంత ?
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి T_s = 29.5 T_e; R_e = 1.5 × 10⁸ km; R_s = ?
\(\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{s}}^2}{\mathrm{R}_{\mathrm{s}}^3}=\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{e}}^2}{\mathrm{R}_{\mathrm{e}}^3}\) అను సమీకరణం నుండి
లేక R_s = R_e \(\left(\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{s}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{e}}}\right)^{2 / 3}\) = 1.5 × 10⁸ \(\left(\frac{29.5 \mathrm{~T}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{e}}}\right)^{2 / 3}\) = 1.43 × 10⁹ km.

ప్రశ్న 15.
భూఉపరితలంపై ఒక వస్తువు 63 N బరువు ఉంటుంది. భూవ్యాసార్ధానికి సగం ఎత్తులో భూమి పరంగా ఆ వస్తువుపై పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ బలం ఎంత ?
జవాబు:
వస్తువు భారము = mg = 63 N
‘h’ ఎత్తు వద్ద గురుత్వ త్వరణము, g’ = \(\frac{g R^2}{(R+h)^2}=\frac{g R^2}{(R+R / 2)^2}=\frac{4}{9} g^2\)
h ఎత్తు వద్ద వస్తువుపై గురుత్వాకర్షణ బలం F = mg’ = m × \(\frac{4}{9}\) g = \(\frac{4}{9}\) mg = \(\frac{4}{9}\) × 63 = 28 N

ప్రశ్న 16.
భూమిని ఒక ఏకరీతి ద్రవ్యరాశి సాంద్రత గల గోళంగా పరిగణిస్తే, భూఉపరితలంపై 250 N భారం కలిగిన వస్తువు భూకేంద్రంవైపు పోతున్నప్పుడు కేంద్రానికి సగం దూరంలో ఎంత భారం కలిగి ఉంటుంది ?
జవాబు:
d లోతు వద్ద వస్తువు భారము = mg’ = m × g(1 – \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}\)) = 250\(\left(1-\frac{\frac{\mathrm{R}}{2}}{\mathrm{R}}\right)\) = 125 N

ప్రశ్న 17.
భూఉపరితలం నుంచి ఒక రాకెట్ను 5 km s^-1 వడితో నిట్టనిలువుగా పేల్చారు. భూమికి తిరిగి వచ్చేలోగా అది భూమి నుంచి ఎంత దూరం పోతుంది ? భూమి ద్రవ్యరాశి = 6.0 × 10²⁴ kg;భూమి సగటు వ్యాసార్ధం 6.4 × 10⁶ m; G = 6.67 × 10^-11 Nm²kg^-2
జవాబు:
రాకెట్ను భూమి మీద వేగంతో పైకి పంపినామనుకొనుము అది చేరగల గరిష్ఠ ఎత్తు h అనుకొనుము.
భూమిపై మొత్తం శక్తి = K.E. + P.E = \(\frac{1}{2}\) mv² + \(\left(\frac{-\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}}\right)\)
గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద v = 0, K.E = 0 మరియు P.E = – \(\frac{\mathrm{GMm}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}\)
మొత్తం శక్తి = K.E + P.E = 0 + \(\left(\frac{-\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}\right)=-\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}\)
శక్తి నిత్యత్వ నియమం నుండి

ప్రశ్న 18.
భూఉపరితలంపై ఒక ప్రక్షేపకం పలాయనవడి 11.2 km s^-1 దీనికి మూడు రెట్లు వేగంతో ఒక వస్తువును ప్రక్షిప్తం చేశారు. భూమి నుంచి సుదూరంలో (అంటే అనంత దూరంలో) వస్తువు వడి ఎంత ? సూర్యుడు, ఇతర గ్రహాల ఉనికిని విస్మరించండి.
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి v_e = 11.2 kms^-1; ప్రక్షేప వేగము V = 3v_e గురుత్వాకర్షణ పరిధి దాటిన తరువాత వస్తువు ద్రవ్యరాశి m₀, దాని వేగము V₀ అనుకొనుము.
\(\frac{1}{2}\) mv₀² = \(\frac{1}{2}\) mv² – \(\frac{1}{2}\)mv_e² (శక్తి నిత్యత్వ నియమం నుండి)
లేదా v₀ = \(\sqrt{v^2-v_{\mathrm{e}}^2}=\sqrt{\left(3 \mathrm{v}_{\mathrm{e}}\right)^2-\mathrm{v}_{\mathrm{e}}^2}=\sqrt{8} \mathrm{v}_{\mathrm{e}}=\sqrt{8} \times 11.2\) = 31.68 kms^-1 ·

ప్రశ్న 19.
భూ ఉపరితలం నుంచి 400km ఎత్తున ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం పరిభ్రమిస్తుంది. భూమి గురుత్వాకర్షణ ప్రభావం నుంచి కృత్రిమ ఉపగ్రహాన్ని తప్పించడానికి ఎంత శక్తిని వెచ్చించాలి ? కృత్రిమ ఉపగ్రహం ద్రవ్యరాశి = 200kg; భూమి ద్రవ్యరాశి = 6.0 × 10²⁴ kg; భూ వ్యాసార్ధం = 6.4× 10⁶ m; G = 6.67 × 10^-11Nm² kg^-2.
జవాబు:
h ఎత్తులోగల ఉపగ్రహం మొత్తం శక్తి
= \(-\frac{\mathrm{GMm}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}+\frac{1}{2} \mathrm{mv} v^2=-\frac{\mathrm{GMm}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}+\frac{1}{2} \mathrm{~m} \frac{\mathrm{GM}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}=\frac{-\mathrm{GMm}}{2(\mathrm{R}+\mathrm{h})}\)
ఉపగ్రహాన్ని గురుత్వాకర్షణ క్షేత్రం నుండి దాటించడానికి రాకెట్ ఖర్చుపెట్టిన శక్తి = – కక్ష్యలో గల ఉపగ్రహం మొత్తం శక్తి
= \(\frac{\mathrm{GMm}}{2(\mathrm{R}+\mathrm{h})}=\frac{\left(6.67 \times 10^{-11}\right) \times\left(6 \times 10^{24}\right) \times 200}{2\left(6.4 \times 10^6+4 \times 10^5\right)}\) = 5.9 × 10⁹ J

ప్రశ్న 20.
ఒక్కొక్కటి సూర్యుని ద్రవ్యరాశి (= 2 × 10³⁰ kg) కి సమానమైన ద్రవ్యరాశి కలిగిన రెండు నక్షత్రాలు ముఖాముఖీ అభిఘాతం చెందే విధంగా పరస్పరం సమీపిస్తున్నాయి. వాటి మధ్య దూరం 10⁹ km గా ఉన్నప్పుడు వాటి వడులు విస్మరింపదగినవిగా ఉన్నాయి. అవి ఏ వడితో అభిఘాతం చెందుతాయి ? ప్రతి నక్షత్రం వ్యాసార్ధం 10⁴ km. పరస్పరం అభిఘాతం చెందేంత వరకు అవి విరూపణ చెందకుండా ఉంటాయని అనుకొందాం. (తెలిసిన G విలువ ఉపయోగించండి).
జవాబు:
నక్షత్రం ద్రవ్యరాశి M = 2 × 10³⁰ kg
నక్షత్రముల మధ్య తొలి దూరం r = 10⁹ km = 10¹² m
వ్యవస్థ తొలి స్థితి శక్తి = – \(\frac{\mathrm{GMM}}{\mathrm{R}}\)
నక్షత్రాల మొత్తం గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) Mv² + \(\frac{1}{2}\)mv² = Mv²
అభిఘాతం ముందు నక్షత్రాల వేగం ‘v’ మరియు వాటి మధ్య దూరము r = 2R.
రెండు నక్షత్రాల మొత్తం స్థితిశక్తి = – \(\frac{\mathrm{GMM}}{2 \mathrm{R}}\)
K.E. లో పెరుగుదల P.E. లో తరుగుదల వల్ల సాధ్యము

ప్రశ్న 21.
ఒక క్షితిజ సమాంతర బల్లపై ఒక్కొక్కటి 100 kg ద్రవ్యరాశి, 0.10 m వ్యాసార్ధం ఉన్న రెండు బరువైన గోళాలు 1.0 m దూరంలో ఉన్నాయి. ఆ గోళ కేంద్రాలను కలిపే రేఖ మధ్య బిందువు వద్ద గురుత్వాకర్షణ బలం, పొటెన్షియల్ ఎంత ఉంటాయి ? ఆ బిందువు వద్ద ఉంచిన వస్తువు సమతాస్థితిలో ఉంటుందా ? ఒకవేళ ఉంటే, ఆ వస్తువు స్థిర సమతాస్థితిలో ఉంటుందా ? అస్థిర సమతాస్థితిలో ఉంటుందా ?
జవాబు:
గోళములను కలుపు రేఖ మధ్య బిందువు వద్ద గురుత్వ క్షేత్రము = \(\frac{\mathrm{GM}}{(\mathrm{r} / 2)^2}(-\hat{\mathrm{r}})+\frac{\mathrm{GM}}{(\mathrm{r} / 2)} \hat{\mathrm{r}}\) = 0
గోళాలను కలుపు రేఖ మధ్య బిందువు వద్ద గురుత్వ పొటెన్షియల్
V = \(-\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{r} / 2}+\left(\frac{-\mathrm{GM}}{\mathrm{r} / 2}\right)=\frac{-4 \mathrm{GM}}{\mathrm{r}}=\frac{-4 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 100}{1.0}\) = -2.7 × 10^-8 J/kg
మధ్య బిందువు వద్ద ఫలిత బలము సున్నా కావున వస్తువు సమతా స్థితిలో ఉంది. దాని స్థానాన్ని కొంచెం పక్కకు జరిపితే ఒక గోళం వల్ల ఆకర్షణ పెరిగి అది సమతా స్థితి కోల్పోతుంది. కావున ఆ వస్తువు అస్థిర నిశ్చల స్థితిలో ఉండును.

ప్రశ్న 22.
మీరు నేర్చుకున్నట్లుగా, ఒక భూస్థావర ఉపగ్రహం భూమి ఉపరితలం నుంచి 36,000 km ఎత్తులో ఉన్న కక్ష్యలో భూమి చుట్టూ పరిభ్రమిస్తుంది. ఉపగ్రహం ఉన్న ప్రదేశంలో భూమి గురుత్వం మూలంగా కలిగే పొటెన్షియల్ ఎంత ? (అనంత దూరం వద్ద పొటెన్షియల్ సున్నాగా తీసుకోండి) భూమి ద్రవ్యరాశి = 6.0 × 10²⁴ kg, భూ వ్యాసార్ధం = 6400 km.
జవాబు:
భూమి నుండి h ఎత్తులో గురుత్వ పొటెన్షియల్
V = – \(\frac{\mathrm{GM}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}=\frac{-6.67 \times 10^{-11} \times\left(6 \times 10^{24}\right)}{\left(6.4 \times 10^6+36 \times 10^6\right)}\) = -9.4 × 10⁶ J/kg

ప్రశ్న 23.
సూర్యుని ద్రవ్యరాశికి 2.5 రెట్లు ద్రవ్యరాశిని కలిగి, 12 km పరిమాణానికి కుంచించుకుపోయిన ఒక నక్షత్రం సెకనుకు 1.2 పరిభ్రమణాల వడితో తిరుగుతుంది. (ఈ రకమైన నక్షత్రాలను ‘న్యూట్రాన్ నక్షత్రాలు’ అంటారు. Pulsars అని పిలవబడే కొన్ని ఖగోళ వస్తువులు ఈ కోవకు చెందినవే). ఆ నక్షత్ర మధ్యరేఖ (equator) పై ఉంచిన వస్తువు గురుత్వాకర్షణ వల్ల దానికే అతుక్కొనిపోతుందా ? (సూర్యుని ద్రవ్యరాశి = 2 × 10³⁰ kg)
జవాబు:
వస్తువు నక్షత్రానికి అతుక్కొని ఉండాలంటే నక్షత్రంపై గురుత్వ త్వరణము వస్తువు భ్రమణం వల్ల కలిగిన అపకేంద్ర త్వరణము (rω²) కన్న ఎక్కువ ఉండాలి.
గురుత్వ త్వరణము g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}=\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.5 \times 2 \times 10^{30}}{(12000)^2}\) = 2.3 × 10¹² ms^-2
అభిలంబ త్వరణము = rω² = r (2πv)² = 12000 (2π × 1.5)² = 1.1 × 10⁶ ms^-2
g > rω² కావడం వల్ల వస్తువు నక్షత్రం ఉపరితలంపై అతుక్కొని ఉంటుంది.

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year English Study Material Revision Test-I Exercise Questions and Answers.

TS Inter 1st Year English Study Material Revision Test-I

Time: 1 1/2Hrs.
Marks: 50

Section – A

Question 1.
Annotate ANY ONE of the following in about 100 words. [1 × 4 = 4]
a) Education is not what a person is able to hold in his head, so much as it is what a person is able to find.
Answer:
Introduction :
This beautiful sentence is taken from the character building speech. ‘Two Sides of Life” delivered by Booker T Washington. This speech is extracted from his popular book ‘Character Building’.

Context & Explanation :
The writer gives very forceful explanation of character building. He inspires teacher tranies how they should be in their profession. He tells them to be honest. If they don’t know anything, they have to accept it frankly and honestly. Their students will respect them for it. it is because education is not possible to hold in one’s head. It is what a person is able to find. It is not the correct notion that the teacher should know everything.

Critical Comment :
Here, the writer addresses the teacher trainees and advises them to have the character of frankness and honesty.

b) Do not be satisfied until you have put yourselves into that atmosphere where you can seize and hold on to the very highest and most beautiful things that can be got out of life.
Answer:
Introduction :
There motivational lines are at the concluding lines taken from the essay ‘Two Sides of Life’ written by Booker T Washington. Lt is a speech taken from his popular book Character Building.

Context & Explanation : The writer concludes his speech by inspiring his students to be positive in life. He advises them to cultive positive thought, positive attitude to become the strong individual. He tells them to be the best people in life. He warns them not satisfy with the second hand things in life. He inspires them to be in the highest position in the life by achieving great and beautiful things in life.

Critical Comment :
He advises his students to see the happier side and spread cheer all round.

Question 2.
Annotate ANY ONE of the following in about 100 words. [1 × 4 = 4]
a) I asked the professors who teach the meaning of life to tell me what happiness is.
Answer:
Introduction :
This line is taken from the poem ‘Happiness’ written by Carl Sandburg. He is a famous American poet. The poem is extracted from his collection of poems, ‘Chicago Songs.

Context & Explanation :
It depicts the narrator’s experience. He wants to know what happiness is. First, he consults the professors for the answer. They represent the intelligence and success. But, they can’t answer it They claim that they teach the meaning of life. Finally, he finds the real meaning of happiness from a crowd of Hungarians with their women and children under a tree.

Critical Comment :
Here the line describes the narrators experience. He asks the professors about the meaning of happiness.

b) And I saw a crowd of Hungarians under the trees with their women and children and a keg of beer and an accordion.
Answer:
Introduction : These lines are taken from the poem ‘Happiness’ written by Cari Sandburg, a famous American poet. The poem is extracted from his collection of poems, ‘Chicago Songs’.

Context & Explanation :
The poet wants to know the meaning of happiness. He asks professors and top executives to help him on this regard. But, they express their inability. At last he sees a group of Hungarians under the trees with their women and children. They do not have money, intelligence or success. They are spending happy moments under the tree.
They are the symbol of real meaning of happiness. The poet at once understands what happiness is.

Critical Comment :
Here the poet describes how he came across a group of Hungarians, beside a river and beneath the tree.

Question 3.
Answer ANY ONE of the following questions in about 100 words. [1 × 4 = 4]
a) How do the two types of persons react to an overcast morning ?
Answer:
Booker T Washington’s addresses are very forceful explanations of character building. In his speech Two Sides of Life he describes how people react to an overcast morning. To a person who constantly looks at the dark side of things in life, the morning appears gloomy, dull and the streets full of muddy water. Everything looks disagreeable to him. Whereas for a person who always looks at the bright side of things in life, the morning appears beautiful in all aspects. He speaks of the beauties in the rain drops, of the freshness in the newly bathed flowers, shrubs and trees.

b) Why does the speaker feel it unfortunate about the students in assessing the personality of their teachers ?
Answer:
Bgoker T Washington is a world-famous Afro-American writer, activist and educator. His collection of speeches comes in the form of Character Building. A selection from that celebrated book is our present lesson. It discusses the two sides of life. It recommends the positive side. Washington lists some mistakes students make about their teachers. He makes it clear that every teacher makes mistakes at times. It is human to err. He advises students to ignore such mistakes. He asks them to see the positive aspects of the lesson as well as the teacher. He emphasises the need to see the good and forget the bad. Good advice indeed!

Question 4.
Answer ANY ONE of the following questions in about 100 words. [1 × 4 = 4]
a) Explain the narrator’s experience in finding out what happiness is.
Answer:
The poem ‘Happines& is written by Carl Sandburg. It conveys a beautiful message. It is extracted from his collection of poems. Chicago songs. The poem is an expression of the narrators search for the meaning of happiness and his ultimate realization.

The narrator seeks to know what happiness is. He enquires with many professors but in vain. Even, the top executives are consulted, but to no avail. One Sunday afternoon, he wanders along a river. There, he sees a group of Hungarians with their women and children under the trees. They are spending happy moments there. He at once understands what happiness is. Happiness is living in the present. It is not wealth or success or fame.

b) Seeing helps one better in understanding than listening to. Justify the statement in view of the narrator’s experience in the poem, Happiness.
Answer:
Carl Sandburg’s poem, ‘Happiness’ conveys a beautiful message. True happiness’ It is extracted from his collection, Chicago songs. It shows how the narrator tries to find out the real meaning of happiness and his ultimate realization.

This seems like a more light hearted poem. The poet depicts the narrator’s experience. He asks people what they think of happiness. The first two he asks are the people who should know what happiness is. But, both look at him as if he is trying to fool them. He then ventures out to observe some of the lower class. He examplifies, what he sees, his image of happiness. The poem centers around the difference between the lower and the upper class. He favours the lower class for their simplicity. They value the things in their lives. It is proved in the lives of Hungarians. They show him what happiness is. They enjoy then food, drink, music and fun. At last, seeing Hungarians helps the narrator in understanding how they spend happy moments under a tree. Then he realizes what happiness is. Even if they are not very well educated or wealthy, they stand as a symbol of sharing and helping mentality people.

Question 5.
Answer ANY ONE of the following questions in about 100 words. [1 × 4 = 4]
a) Narrate the feelings of Alan for not being able to reach the ground in time after meeting the old man on his way.
Answer:
?laying the Game”, from the pen of Arthur Mee, pictures the humane angle of Alan. Alan was studying in a school. He got his long-awaited chance to play cricket in his school team. He was excited. On that important day, he started early. But on his way, he saw an old, lean and weak man. That old man was walking with difficulty. The man in Alan woke up. He helped the old man walk with his support. So, he couldn’t reach the ground in time. His chance to play was given to another boy. Alan felt bad. He bit his lips. His sorrow knew no bounds. He couldn’t even express his inability to go there in time. He walked back home slowly in disappointment.

b) Helping the old is as good as playing the game. Elucidate with reference to the story.
Answer:
Arthur Mee is known for his humanism. He expresses it artistically. “Playing the Game” exhibits that rare quality Alan is the central character. He loved cricket. Once, he got a chance to represent his school in cricket. On the scheduled day, Alan started for the ground early. But on the way, he noticed an old man struggling to walk. He was move. He held his helping hand to that aged man. Hence, he couldn’t reach the ground in time. He missed the much-awaited opportunity. He felt sad. But for this kind act, his parents presented him with his favourite bicycle. His classmates cheered him. The story proves, thus, that helping the old is better than playing the game.

Question 6.
Read the following passage carefully and answer ANY FIVE questions given below in a word or a sentence each. [5 × 1 = 5]

“Bravo, Alan,” he said, patting his little son on the back.
“But; Daddy,” began Alan. But his father interrupted him.
“It’s all right, Old man,” he said. ‘You see, I came up behind that policeman and he told me what had happened. So I knew you were playing the game although it wasn’t on the cricket-pitch. So I went back into the High Street and bought the bicycle I promised you. It’s a beauty. And, Alan, we’re proud of you, your Mother and I.”

Questions:
i) Who is the writer of the story from which this passage is taken ?
Answer:
Arthur Henry Mee

ii) Why did Alan’s father pat on his back ?
Answer:
to encourage and to appreciate what Alan had done

iii) How did Alan’s father come to know what had happened ?
Answer:
through the policeman behind whom Alan’s father came

iv) I came up behind that policeman. Did Alan’s father go to the spot where Alan helped the old man ?
Answer:
Yes.

v) Alan’s father says, ” ………… although it wasn’t on the cricket-pitch.” Where did Alan play the game ?
Answer:
in the real world-in life-on the meadow

vi) Why did Alan’s father buy the bicycle ?
Answer:
to support and appreciate Alan’s service activities

vii) Why were they proud of Alan ?
Answer:
because Alan ‘played the game’ in its true sense

viii) When would you use the expression, bravo ?
Answer:
When we want to appreciate someone’s achievement we use the word bravo’.

Question 7.
Read the following passage carefully and answer ANY FIVE questions given below in a word or a sentence each. [5 × 1 = 5]

Small is Beautiful
Be it a big task or tough problem, make it into smaller units and see its impact ! Break down an unthought desire into its components and allow the child to decide. The Mac Donald’s Happy Meal comes with a burger, a drink, some fries and a small toy. My kid wanted it at age five. I could buy it but broke down the decision for her – “you don’t like fries, the burger is not the kind you really like, and the drink on its own costs far less. Are we buying because they are selling or we really like the deal ? If we do so, sure, let us get it.” At age five, she walked from the deal. And from many others after that.

Questions:
i) Break down an unthought desire into components. How would this help one ?
Answer:
that helps one in taking proper decisions

ii) What does the Happy Meal include ?
Answer:
It includes a burger, a drink, some fries and a small toy.

iii) Who asked for the Happy Meal and when ?
Answer:
The narrator’s kid wanted it at age five.

iv) The narrator could buy it. Yet he/she didn’t. What did he/she do ?
Answer:
The narrator broke down the decision for her.

v) What should be the deciding factor to buy something, according to the narrator ?
Answer:
Whether we really like the deal should be the deciding factor.

vi) The five-year-old kid did not cry when her desire was not fulfilled. Why ?
Answer:
The broken down decision helped the girl understand that the deal was not what she really liked.

vii) The passage extends a valuable piece of advice to parents. Say true or false.
Answer:
true

viii) ” ………… the drink on its own ………… ” Write the Part of speech of drink.
Answer:
‘drink’-noun

Section – B

Question 8.
Match ANY EIGHT of the following words in Column-A with their meanings in Column B. [8 × 1/2 = 4]

Column A – Column – B
i) dwell upon – a) repeatedly, all the time
ii) consideration – b) very unhappy or uncomfortable
iii) excellence – c) depressed, nervous
iv) frankness – d) the mixture of gases that surrounds the earth
v) charming – e) the act of thinking process
vi) miserable – f) slightly wet, often in a way that is unpleasant
vii) constantly – g) openness, truthfulness
viii) damp – h) to think or talk a lot about something
ix) atmosphere – i) very pleasant or attractive
x) moody – j) superiority, distinction
Answer:
i) – h
ii) – e
iii) – j
iv) – g
v) – i
vi) – b
vii) – a
viii) – f
ix) – d
x) – c

Question 9.
Identify the parts of speech of ANY EIGHT of the following underlined words. [8 × 1/2 = 4]

No teacher (1) knows everything about (2) every (3) subject. A good (4) teacher will say (5) frankly and (6) clearly (7), “I(8) don’t know. I cannot answer (9) that question (10).”
Answer:
1) teacher – noun
2) about – preposition
3) every – adjective
4) good – adjective
5) will say – verb
6) and – conjuction
7) clearly – adverb
8) I – pronoun
9) answer – verb
10) question – noun

Question 10.
Fill ANY EIGHT of the following blanks with a, an or the. [8 × 1/2 = 4]

i) When you meet ____________ (1) fellow student, ___________ (2) teacher, or anybody, or when
you write letters home, get into ___________ (3) habit of calling attention to ________ (4) bright things of life that you have seen, the things that are beautiful, __________ (5) things that are charming.
ii) ________ (6) apple ________ (7) day builds immunity!
iii) It rained a little during _________ (8) night.
iv) I interviewed ________ (9) M.P. in ________ (10) evening.
Answer:
i)) 1 – a
2 – a
3 – the
4 – the
5 – the

ii) 6 – An
7 – a

iii) 8 – the

iv) 9 – an
10 – the

Question 11.
Supply the missing letters to ANY EIGHT of the following words. [8 × 1/2 = 4]

i) sch _ _ l
ii) enc _ _ raging
iii) app _ _ ranee
iv) exce _ _ ent
v) sp _ _ k
vi) a _ _ ention
vii) p _ _ pie
viii) kno _ _ edge
ix) di _ _ ipline
x) a _ _ ord
Answer:
i) school
ii) encouraging
iii) appearance
iv) excellent
v) speak
vi) attention
vii) people
viii) knowledge
ix) discipline
x) afford

Question 12.
Identify the silent consonant letters in ANY EIGHT of the following words. [8 × 1/2 = 4]

i) bright
ii) doubt
iii) hour
iv) neighbour
v) wrong
vi) handsome
vii) knee
viii) calm
ix) listen
x) dawn
Answer:
i) bright – h
ii) doubt – b
iii) hour – h
iv) neighbour – gh
v) wrong – w
vi) handsome – d
vii) knee – k
viii) calm – l
ix) listen – t
x) dawn – w

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1A Study Material Chapter 6 Trigonometric Ratios upto Transformations Ex 6(a) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Trigonometric Ratios upto Transformations Solutions Exercise 6(a)

I.
Question 1.
Convert the following into simplest form
(i) tan (θ – 14π)
Answer:
tan (θ – 14π) = tan [- (14π – θ)]
= – tan (14π – θ)
= – tan [ 2(7π) – θ)
= – tan (-θ) = tan θ

(ii) cot (\(\frac{21 \pi}{2}\) – θ)
Answer:
cot (\(\frac{21 \pi}{2}\) – θ) = cot[10π + (\(\frac{\pi}{2}\) – θ)]
= cot (\(\frac{\pi}{2}\) – θ) = tan θ

(iii) cosec (5π + θ)
Answer:
cosec (5π + θ) = cosec [4π + (π + θ)]
= cosec(π + θ) = – cosec θ

(iv) sec (4π – θ)
Answer:
sec (4π – θ) = sec [2(2π) – θ]
= sec (- θ) = sec θ

Question 2.
Find the values of each of the following
(i) sin (-405°)
Answer:
sin (-405°) = -sin 405° = -sin (360°+45°)
= – sin 45° = \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

(ii) cos \(\left(-\frac{7 \pi}{2}\right)\)
Answer:
cos \(\left(-\frac{7 \pi}{2}\right)\) = cos \(\frac{7 \pi}{2}\) = cos (630°)
= cos (360 + 270°) = cos 270°
= cos (180 + 90) = -cos 90 = 0
(or) cos \(\left(-\frac{7 \pi}{2}\right)\) = 0 (∵ cos(2n + 1)\(\frac{\pi}{2}\) = 0)

(iii) sec (2100°)
Sol. sec (2100°) = sec [5 × 360° + 300°]
= sec 300° = sec (360° – 60°)
= sec 60° = 2

(iv) cot (-315°)
Answer:
cot (-315°) = – cot 315° = – cot (270 + 45°)
= cot 45° = 1

Question 3.
Evaluate
(i) cos² 45° + cos² 135° + cos² 225° + cos² 315°
Answer:
cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), cos 135° = cos (180 – 45°)
= – cos 45° = \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

cos 225° = cos (180 + 45°)
= – cos 45° = –\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

cos 315° = cos(360 – 45°)
= cos 45° = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

∴ cos² 45° + cos² 135° + cos² 225° + cos² 315°
= \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\) = 2

(ii) sin²\(\frac{2 \pi}{3}\) + cos²\(\frac{5 \pi}{6}\) – tan²\(\frac{3 \pi}{4}\)
Answer:

(iii) cos 225° – sin 225° + tan 495° – cot 495°
Answer:
cot (180 + 45) – sIn (180 + 45) + tan (360 + 135) – cot (360 + 135)
= – cot 45° + sin 45° + tan 135 – cot 135°
= – cos 45° + sin 45° +tan(180 – 45) – cot(180 – 45)
= – cos 45° + sin 45° – tan 45° + cot 45°
= \(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\) – 1 + 1 = 0

(iv) (cos θ – sin θ) if
(a) θ = \(\frac{7 \pi}{4}\)
(b) θ = \(\frac{11 \pi}{4}\)
Answer:

Question 4.
(i) If sin θ = –\(\frac{1}{3}\) and 0 does not lie in the third 3 quadrant, find the values of (a) cos θ and (b) cot θ. (March 2013)
Answer:
sin θ = –\(\frac{1}{3}\) and sin θ is negative and does not lie in third quadrant,
⇒ θ lies in fourth quadrant. In IVth quadrant cos θ is positive and cot θ is negative.
a) cos θ = \(\sqrt{1-\sin ^2 \theta}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3}\)
b) cot θ = \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\) = -2√2

(ii) If cos θ = t (0 < t < 1) and θ does not lie in the first quadrant, find the values of a) sin θ b) tan θ
Answer:
cos θ = t, (0 < t < 1)
⇒ cos θ is positive and 0 does not lie in first quadrant
⇒ θ lies in IVth quadrant
a) sin θ = \(-\sqrt{1-\cos ^2 \theta}=-\sqrt{1-t^2}\)
b) tan θ = \(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=-\frac{\sqrt{1-t^2}}{t}\)

(iii) Find the value of sin 330°. cos 120° + cos 210°. sin 300°
Answer:
sin 330° cos 120° + cos 210° sin 300°
= sin (360 – 30) cos (180 – 60) + cos ( 180 + 30) sin (360 – 60)
= (-sin 30°) (-cos 60°) + (-cos 30°) (- sin 60°)
= sin 30 cos 60 + cos 30 sin 60 = sin (30 + 60)
= sin 90° = 1

(iv) If cosec θ + cot θ = \(\frac{1}{3}\), find cos θ and determine the quadrant in which θ lies.
Answer:
we have coses²θ – cot² θ = 1
⇒ (cosec θ + cot θ) (cosec θ – cot θ) = 1

∴ sin θ is positive and cos θ is negative,
⇒ θ lies in IInd quadrant.

Question 5.
(i) If sin α + cosec α= 2, find the value of sinⁿ α + cosecⁿ α; n ∈ Z.
Answer:
Given sin α + cosec α = 2
Squaring both sides
sin² α = cosec² α + 2 = 4
⇒ sin α + cosec α = 2
cubing on both sides
sin³ α + cosec³ α + 3 sin α cosec α (sin α + cosec α) = 8
sin³ α + cosec³ α + 3 (2) = 8
⇒ sin³ α + cosec³ α = 2
In the same way sinⁿ α + cosecⁿ α = 2 (n ∈ z)

(ii) If sec θ + tan θ = 5, find the quadrant in which θ lies and find the value of sin θ
Answer:
We have sec² θ – tan² θ = 1
⇒ (sec θ + tan θ) (sec θ – tan θ) = 1
Also given sec θ + tan θ = 5 ………….(2)

Adding (1) and (2)

tan θ is +ve, sec θ is + ve
⇒ θ lies is first quadrant.

II.
Question 1.
Prove that
(i) \(\frac{\cos (\pi-A) \cot \left(\frac{\pi}{2}+A\right) \cos (-A)}{\tan (\pi+A) \tan \left(\frac{3 \pi}{2}+A\right) \sin (2 \pi-A)}\) = cos A
Answer:

(ii) \(\frac{\sin (3 \pi-A) \cos \left(A-\frac{\pi}{2}\right) \tan \left(\frac{3 \pi}{2}-A\right)}{{cosec}\left(\frac{13 \pi}{2}+A\right) \sec (3 \pi+A) \cot \left(A-\frac{\pi}{2}\right)}\)
Answer:

(iii) sin 780°. sin 480° + cos 240°. cos 300° = \(\frac{1}{2}\)
Answer:
sin [2 × 360 + 60] sin [360 + 120] + cos [180 + 60] cos [360-60]
= sin 60 sin 120 – cos 60 cos 60
= sin 60 sin 60 – cos 60. cos 60
= \(\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)

(iv) \(\frac{\sin 150^{\circ}-5 \cos 300^{\circ}+7 \tan 225^{\circ}}{\tan 135^{\circ}+3 \sin 210^{\circ}}\) = -2
Answer:

(v) cot\(\left(\frac{\pi}{20}\right)\). cot\(\left(\frac{3 \pi}{20}\right)\). cot\(\left(\frac{5 \pi}{20}\right)\). cot\(\left(\frac{7 \pi}{20}\right)\). cot\(\left(\frac{9 \pi}{20}\right)\) = 1
Answer:
cot\(\left(\frac{\pi}{20}\right)\). cot\(\left(\frac{3 \pi}{20}\right)\). cot\(\left(\frac{5 \pi}{20}\right)\). cot\(\left(\frac{7 \pi}{20}\right)\). cot\(\left(\frac{9 \pi}{20}\right)\)
= cot 9°. cot 27°. cot 45°. cot 63°. cot 81°
= cot 9°. cot 27°. 1.cot (90 – 27) . cot (90 -9)
= cot 9°. cot 27°. 1. tan 27°. tan 9°
= 1

Question 2.
(i) Simplify \(\frac{\sin \left(-\frac{11 \pi}{3}\right) \tan \left(\frac{35 \pi}{6}\right) \sec \left(-\frac{7 \pi}{3}\right)}{\cot \left(\frac{5 \pi}{4}\right) {cosec}\left(\frac{7 \pi}{4}\right) \cos \left(\frac{17 \pi}{6}\right)}\)
Answer:

(ii) If tan 20 ° = p, prove that
\(\frac{\tan 610^{\circ}+\tan 700^{\circ}}{\tan 560^{\circ}-\tan 470^{\circ}}=\frac{1-p^2}{1+p^2}\)
Answer:
Given that tan 20° = p then

(iii) If α, β are complementary angles such that b sin α = a, then find the value of (sin α cos β – cos α sin β)
Answer:
Given α, β are complementary angles α + β = 90°
⇒ β = 90° – α
∴ sin α cos β – cos α sin β
= sin (α – β)
= sin[α – (90 – α)]
= sin [2α – 90°]
= -sin[90 – 2α]
= -cos 2α
= -(1 – 2sin²α) = -1 + 2sin²α
= -1 + 2\(\left(\frac{a^2}{b^2}\right)\)
= \(\frac{2 a^2-b^2}{b^2}\)

Question 3.
(i) If cos A = cos B = – \(\frac{1}{2}\), A does not lie in the second quadrant and B does not lie in third quadrant, then find the value of \(\frac{4 \sin B-3 \tan A}{\tan B+\sin A}\)
Answer:
cos A = –\(\frac{1}{2}\) and A does not lie in second quadrant
⇒ A lies in third quadrant
cos B = –\(\frac{1}{2}\) and B does not lie in third quadrant
⇒ B lies in second quadrant
cos A = –\(\frac{1}{2}\) and A lie in third quadrant
⇒ A = 240°
cos B = –\(\frac{1}{2}\) and B lies in second quadrant.
⇒ B = 120°

(ii) If 8 tan A = -15 and 25 sin B = -7 and neither A nor B is in the fourth quadrant, then show that sin A cos B + cos A sin B = \(\frac{-304}{425}\)
Answer:
8 tan A = -15 25 sin B = -7
⇒ tan A = \(\frac{-15}{8}\) ⇒ sin B = \(\frac{-7}{25}\)
Given neither A nor B is in the fourth quadrant, clearly A is in second quadrant and B is in third quadrant,
sin A cos B + cos A sin B

(iii) If A, B, C, D are angle of a cyclic quadrilateral then prove that
a) sin A – sin C = sin D – sin B
b) cos A + cos B + cos C + cos D = 0
Answer:
A, B, C, D are angles of a cyclic quadrilateral
⇒ A + C = 180°, and B + D = 180° ……………(1)
C = 180 – A and D = 180° – B
a) LHS = sin A – sin C
= Sin A – sin (180 – A) = 0
RHS = sin D – sin B
= sin (180 – B) – sin B
= sin B – sin B = 0
LHS = RHS

b) LHS cos A + cos B + cos C + cos D
= cos A + cos B + cos (180 – A) + cos (180 – B)
= cos A + cos B – cos A – cos B = 0
= RHS

Question 4.
If a cos θ – b sin θ = c, then show that a sin θ + b sin θ = ±\(\sqrt{a^2+b^2-c^2}\)
Answer:
Given a cos θ – b sin θ = c
and let a sin θ + b cos θ = x
squaring and adding, we get
⇒ (a cos θ – b sin θ)² + (a sin θ + b cos θ)²
= c² + x²
a² (cos² θ + sin² θ)² + b² (sin² θ + cos² θ)
= c² + x²
⇒ a² + b² + c² + x² ⇒ x² = a² + b² + c²
⇒ x = ±\(\sqrt{a^2+b^2-c^2}\)

(ii) If 3 sin A + 5 cos A = 5, then show that 5 sin A – 3 cos A = ± 3
Answer:
Given that 3 sin A + 5 cos A = 5
Let 5 sin A – 3 cos A = x
squaring and adding, we get
(3 sin A + 5 cos A)² + (5 sin A – 3 cos A)²
= 5² + x²
⇒ 9 (sin² A + cos² A) + 25 (cos² A + sin² A)
⇒ 34 = 25 + x² ± ⇒ x² = 9 ⇒ x = ±3
∴ 5 sin A – 3 cos A = ± 3

(iii) If tan² θ = (1 – e²), show that sec θ + tan³ θ. cosec θ = (2 – e²)^3/2.
Answer:
Given tan²θ = 1 – e²
⇒ sec² θ= 1 + tan² θ = 1
LHS = sec θ + tan³ θ. cosec θ
= sec θ + \(\frac{\sin ^3 \theta}{\cos ^3 \theta} \cdot \frac{1}{\sin \theta}\)
= sec θ + tan² θ sec θ = ( 1 + tan² θ) sec θ
= sec² θ sec θ
= (2 – e²) \(\sqrt{2-\mathrm{e}^2}\)
= (2 – e²)^3/2 = RHS

III.
Question 1.
Prove that following
(i) \(\frac{\tan \theta+\sec \theta-1}{\tan \theta-\sec \theta+1}=\frac{1+\sin \theta}{\cos \theta}\)
Answer:

(ii) prove that
(1 + cot θ – cosec θ) (1 + tan θ + sec θ) = 2
Answer:
(1 + cot θ – cosec θ) (1 + tan θ + sec θ)

(iii) 3 (sin θ – cos θ)⁴ + 6 (sin θ + cos θ)² + 4 (sin⁶ θ + cos⁶ θ) = 13
Answer:
(sin θ – cos θ)² = sin² θ + cos² θ – 2 sin θ cos θ
= 1 – 2sin θ cos θ (sin θ – cos θ)⁴
= (1 – 2 sin θ cos θ)²
= 1 – 4 sin θ cos θ + 4 sin² θ cos² θ (sin θ + cos θ)²
= sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cos θ
= 1 + 2 sin θ cos θ
sin⁶ θ + cos⁶ θ = (sin² θ)³ + (cos² θ)³
= (sin² θ + cos² θ) ( sin⁴ θ + cos⁴ θ + sin² θ cos² θ)
= 1 [(sin²θ + cos²θ)² – 2 sin²θ cos²θ + sin²θ cos²θ]
= [1 – sin² θ cos² θ]
LHS = 3 (sin θ – cos θ)⁴ + 6 (sin θ + cos θ)² + 4(sin⁶θ + cos⁶θ)
= 3 [ 1 – 4 sin θ cos θ + 4 sin² θ cos² θ] + 6 [1 + 2sin θ cos θ] + 4 [ 1 – sin² θ cos² θ]
= 3 + 6 + 4 = 13 = RHS

Question 2.
(i) Prove that (sin θ + cosec θ)² + (cos θ + sec θ)² – (tan² θ + cot² θ) = 7
Answer:
(sin θ + cosec θ)² + (cos θ + sec θ)² – (tan²θ + cot²θ)
= sin² θ + 2 + cosec² θ + cos² θ + 2 + sec² θ – tan² θ cot² θ
= sin² θ + 2 + 1 + cot² θ + cos² θ+ 2 + 1 + tan² θ – tan² θ – cot² θ
= (sin² θ + cos² θ) + 2 + 1 + 2 + 1
= 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 7

(ii) cos⁴α + 2 cos²α(1 – \(\frac{1}{\sec ^2 \alpha}\)) = 1 – sin²α
Answer:
cos⁴α + 2 cos²α(1 – cos²α)
= cos⁴α + 2 cos²α sin²α
= cos²α[cos²α + 2sin²α]
= (1 – sin²α)[cos²α + sin²α + sin²α]
= (1 – sin²α)(1 + sin²α) = 1 – sin⁴α

(iii) \(\frac{(1+\sin \theta-\cos \theta)^2}{(1+\sin \theta+\cos \theta)^2}=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\)
Answer:

(iv) If \(\frac{2 \sin \theta}{(1+\cos \theta+\sin \theta)}\) = x, then find the value of \(\frac{1-\cos \theta+\sin \theta}{1+\sin \theta}\)
Answer:

Question 3.
Eliminate θ from the following
(i) x = a cos³ θ, y = b sin³ θ
Answer:

(ii) x = a cos⁴ θ, y = b sin⁴ θ
Answer:

(iii) x = a (sec θ + tan θ), y = b(sec θ – tan θ)
Answer:
\(\frac{x}{a}\) = sec θ + tan θ, \(\frac{y}{b}\) = sec θ – tan θ
⇒ \(\left(\frac{x}{a}\right)\left(\frac{y}{b}\right)\) = (sec θ + tan θ)(sec θ – tan θ)
= sec²θ – tan²θ = 1
⇒ xy = ab

(iv) x = cot θ + tan θ, y = sec θ – cos θ
Answer:
x = cot θ + tan θ
⇒ x² = (cot θ + tan θ)²
= cot²θ + tan²θ + 2
= (1 + cot²θ) + (1 + tan²θ)
= cosec²θ + sec²θ
= \(\frac{1}{\sin ^2 \theta}+\frac{1}{\cos ^2 \theta}\)
= \(\frac{\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta}{\sin ^2 \theta \cos ^2 \theta}=\frac{1}{\sin ^2 \theta \cos ^2 \theta}\)
∴ x² = sec²θ cosec²θ …………..(1)
y = sec θ – cos θ
⇒ y² = sec² θ + cos² θ – 2
= -1 + sec² θ – 1 + cos² θ
= tan² θ – sin² θ

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 12th Lesson పదార్ధ ఉష్ణ ధర్మాలు Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 12th Lesson పదార్ధ ఉష్ణ ధర్మాలు

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఉష్ణం, ఉష్ణోగ్రతల మధ్య భేదాలను పేర్కొనండి.
జవాబు:
ఉష్ణము మరియు ఉష్ణోగ్రతల మధ్య భేదాలు :
ఉష్ణము

1. ఉష్ణము శక్తి స్వరూపము. దీనికి ప్రమాణాలు జౌల్ లేదా ఉష్ణోగ్రత
2. మనం వస్తువుకు నేరుగా ఉష్ణశక్తిని అందించగలము.
3. వస్తువు ఉష్ణోగ్రతను పెంచడానికి ఉష్ణశక్తిని మనం అందించాలి.
4. వస్తువుకు అందజేసిన ఉష్ణరాశి Q = mSt.

ఉష్ణోగ్రతల

1. ఉష్ణోగ్రత ఒక పదార్థము యొక్క వేడిమి లేదా చల్లదనాన్ని తెలిపే కొలమానము. ప్రమాణము °F లేదా °C.
2. వస్తువుకు ఉష్ణశక్తిని అందించడంవల్ల దాని ఉష్ణోగ్రత పెరుగుతుంది. మనం వస్తువుకు ఉష్ణోగ్రతను నేరుగా అందించలేము.
3. వస్తువుల మధ్య ఉష్ణోగ్రతాభేదం ఉంటేనే ఉష్ణరాశి ఒక వస్తువు నుండి మరొక వస్తువుకు ప్రవహిస్తుంది.
4. వస్తువు ఉష్ణోగ్రతలో మార్పు ∆t = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{mS}}\)

ప్రశ్న 2.
సెల్సియస్, ఫారన్ హీట్ ఉష్ణోగ్రతా మానాలలో అధో, ఊర్ధ్వ స్థిర విలువలను తెలపండి. (మే 2014)
జవాబు:
సెల్సియస్ మానంలో నీటి త్రిక బిందు ఉష్ణోగ్రతను నిమ్న స్థిర బిందువు (°C అని వ్యవహరిస్తారు. సాధారణ వాతావరణ దగ్గర నీరు మరుగు స్థానాన్ని ఊర్ధ్వ స్థిర బిందువు 100°C అంటారు.
ఫారన్హీట్ మానంలో నీటి త్రిక బిందువును నిమ్న స్థిర బిందువు 32°F గా వ్యవహరిస్తారు. సాధారణ వాతావరణ పీడనం వద్ద నీరు మరుగు స్థానాన్ని ఊర్ధ్వ స్థిర బిందువు 212°F అంటారు.

ప్రశ్న 3.
ఉష్ణోగ్రతలను సెల్సియస్ లేదా ఫారస్వీట్ మానాలలో కొలిస్తే, వ్యాకోచ గుణకాల విలువలు మారతాయా ?
జవాబు:
వ్యాకోచ గుణకాలు ఉష్ణోగ్రతామానంపై ఆధారపడతాయి. ఉష్ణోగ్రతామానం మారితే ఉష్ణోగ్రతను కొలిచే ప్రమాణం విలువ మారుతుంది. α, β మరియు γ ను 1°C ఉష్ణోగ్రతా భేదానికి నిర్వచించటం వల్ల సెల్సియస్ మానంలో α, β, γ లు ఫారెన్హీట్ మానంలోని α, β మరియు γ విలువల కన్న 1.8 రెట్లు పెద్దవి.

ప్రశ్న 4
వేడిచేస్తే పదార్థాలు సంకోచిస్తాయా ? ఒక ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
కొన్ని రకాలైన పదార్థాలు వేడిచేస్తే సంకోచిస్తాయి.
ఉదా : రబ్బరు, తోలు, పోత ఇనుము మరియు టైపు మెటల్ వంటివి.

ప్రశ్న 5.
రైల్వే ట్రాక్పై రెండు వరస రైలు పట్టాల మధ్య ఖాళీ ప్రదేశం ఎందుకు వదులుతారు ?
జవాబు:
వేసవికాలంలో రైలు పట్టాలలోని వ్యాకోచ ప్రభావాన్ని తొలగించడానికి వీలుగా రైలు పట్టాల మధ్య ఖాళీని వదులుతారు. ఖాళీని వదలకపోతే రైలు పట్టాల వ్యాకోచం వల్ల రై. పటాలు వంకర చెంది ప్రమాదాలను కలగజేస్తాయి.

ప్రశ్న 6.
ద్రవాలకు దైర్ఘ్య, విస్తీర్ణ వ్యాకోచ గుణకాలు ఎందుకు లేవు ?
జవాబు:
ద్రవాలకు స్వతంత్ర ఆకారం లేదు. అందువల్ల వాటికి దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకము, విస్తీర్ణ వ్యాకోచ గుణకాలు ఉండవు. వీటిని పాత్రలలో తీసుకోవటం వల్ల కేవలం ఘనపరిమాణమును మాత్రమే లెక్కలోకి తీసుకుంటారు. అందుకని ద్రవాలకు ఘనపరిమాణ వ్యాకోచ గుణకం మాత్రమే చెపుతారు.

ప్రశ్న 7.
ద్రవీభవన గుప్తోష్ణం అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
ద్రవీభవన గుప్తోష్ణము : ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి గల పదార్థము ఘనస్థితి నుండి ద్రవస్థితికి లేదా ద్రవస్థితి నుండి ఘనస్థితికి మార్పుచెందునపుడు గ్రహించిన లేక కోల్పోయిన ఉష్ణరాశిని ద్రవీభవన గుప్తోష్ణముగా నిర్వచించినారు.

ప్రశ్న 8.
బాష్పీభవన గుప్తోష్టం అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
బాష్పీభవన గుప్తోష్ణం : ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి గల పదార్థము ద్రవస్థితి నుండి బాష్పస్థితికి లేదా బాష్పస్థితి నుండి ద్రవస్థితికి మారునపుడు అది గ్రహించిన లేక కోల్పోయిన ఉష్ణరాశిని బాష్పీభవన గుప్తోష్ఠముగా నిర్వచించినారు.

ప్రశ్న 9.
వంట పాత్రలకు నల్లటి రంగు ఎందుకు పూస్తారు ? వంట పాత్రల అడుగు భాగాన్ని రాగితో ఎందుకు తయారుచేస్తారు?
జవాబు:
వంట పాత్రల అడుగు భాగం నల్లని పూత వేయటానికి ముఖ్య కారణము నల్లని వస్తువులు ఉత్తమ శోషకాలు. కావున అవి ఎక్కువ మొత్తంలో ఉష్ణాన్ని శోషిస్తాయి. రాగి ఉత్తమ ఉష్ణవాహకం కావున వంట పాత్రల అడుగు భాగంలో రాగిని ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 10.
వీన్ స్థానభ్రంశ నియమాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
కృష్ణ వస్తువు గరిష్ట వికిరణం జరిగే తరంగదైర్ఘ్యం, ఆ కృష్ణ వస్తువు పరమ ఉష్ణోగ్రతకు విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
అనగా λ_m = \(\frac{1}{T}\) లేదా λ_m = \(\frac{b}{T}\)
ఇచ్చట ‘b’ ను వీన్ స్థిరాంకం అని అందురు.

ప్రశ్న 11.
వెంటిలేటర్లను గదిలోని ఇంటిపై కప్పుకు కొద్దిగా కిందకి అమరుస్తారు. ఎందుకు ? (మార్చి 2014)
జవాబు:
వేడిగాలికి సాంద్రత తక్కువ. ఇది వాతావరణంలో పై పొరలను ఆక్రమిస్తుంది. గదిలో వేడిగాలి పైకప్పుకు దగ్గరగా చేరుతుంది. అందువల్ల వెంటిలేటర్లను కప్పుకు దగ్గరగా అమర్చితే వేడిగాలి తొందరగా బయటకు పోతుంది. ఫలితంగా గదిలోకి చల్లని గాలి ధారాళంగా క్రింది భాగాల గుండా రావటం జరుగుతుంది.

ప్రశ్న 12.
0 K వద్ద మానవ దేహం ఉష్ణాన్ని వికిరణం చేస్తుందా ? 0°C వద్ద కూడా అది వికిరణం చేస్తుందా ?
జవాబు:
ప్రివోస్ట్ సిద్ధాంత ప్రకారము ‘సున్న’ కెల్విన్ కన్న ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద గల ప్రతి వస్తువు పరిసరాలలో ఉష్ణ వినిమయాన్ని కలిగి ఉంటుంది. కావున

1. ‘సున్న’ కెల్విన్ వద్ద గల వస్తువు నుండి ఏ విధమైన ఉష్ణవికిరణ శక్తి వెలువడదు. అనగా ఉష్ణ వికిరణం సాధ్యం కాదు.
2. 0 K అనగా 273 K కావున 0°C వద్ద గల వస్తువు ఉష్ణశక్తి వికిరణం వెలువడును. అనగా ఉష్ణ వికిరణం సాధ్యపడును.

ప్రశ్న 13.
ఉష్ణ బదిలీకి సంబంధించి వివిధ విధానాలను తెలపండి. వీటిలో ఏ విధానాలకు యానకం అవసరం ?
జవాబు:
ఉష్ణ ప్రసారము మూడు రకాలుగా జరుగుతుంది.

1. ఉష్ణ వహనము
2. ఉష్ణ సంవహనము
3. ఉష్ణ వికిరణము.

ఉష్ణ ప్రసారంలో ఉష్ణ వహనము మరియు ఉష్ణ సంవహనము అన్న పద్ధతుల ద్వారా ఉష్ణము ప్రసరించడానికి యానకం అవసరము.

ప్రశ్న 14.
ఉష్ణ వాహకత్వ గుణకం, ఉష్ణోగ్రత ప్రవణతలను నిర్వచించండి.
జవాబు:
పదార్థం ఏకాంక అడ్డుకోత వైశాల్యానికి లంబంగా, ఏకాంక ఉష్ణోగ్రతా ప్రవణత ఉన్నపుడు సెకనుకు జరిగిన ఉష్ణరాశి ప్రసారాన్నే ఉష్ణ వహన గుణకంగా నిర్వచించినారు.
ఉష్ణ వహన గుణకం K = \(\frac{\mathrm{Q} \cdot \mathrm{d}}{\mathrm{A}\left(\theta_2-\theta_1\right) \cdot \mathrm{t}}\)

ప్రశ్న 15.
ఉద్గార సామర్థ్యం, ఉద్గారతలను నిర్వచించండి.
జవాబు:
ఉద్గార సామర్థ్యము (E_λ) : ఏదైనా ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఏకాంక వైశాల్యం గల వస్తువు నుండి తరంగదైర్ఘ్యము . మరియు λ + dλ. అవధులలో వస్తువు ప్రమాణ కాలంలో వికిరణం చెందించిన ఉష్ణరాశిని ఆ వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యంగా నిర్వచించినారు.
ఉద్గార సామర్థ్యము E_λ = \(\frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{d} \lambda}\); ప్రమాణము : వాట్ / మీ².
ఉద్గారత (e_λ) : ఒక వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యానికి అదే ఉష్ణోగ్రత వద్ద పరిపూర్ణ కృష్ణ వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యానికి గల నిష్పత్తినే ఆ వస్తువు ఉద్గారత e_λ గా నిర్వచించినారు.

ప్రశ్న 16.
హరితగృహ ప్రభావం అంటే ఏమిటి ? గ్లోబల్ వార్మింగ్ గురించి వివరించండి.
జవాబు:
హరితగృహ ప్రభావము : భూమి నుండి శూన్యంలోకి వికిరణం చెందే ఉష్ణశక్తి తరంగదైర్ఘ్యం ఎక్కువ. ఈ ఉష్ణశక్తిని కార్బన్ డై ఆక్సైడ్ (CO₂), మీథేన్ (CH₄), క్లోరోఫ్లోరో కార్బన్ (CF_x Cl_x) వంటి వాయువులు గ్రహించి భూమి వాతావరణాన్ని వేడెక్కిస్తాయి. ఈ ప్రక్రియను హరితగృహ ప్రభావము అంటారు.

గ్లోబల్ వార్మింగ్ :
మానవుల చర్యల వల్ల హరితగృహ వాయువుల (CO₂, CH₄, N₂O మొ॥) గాఢత అధికమై భూమి వేడిగా తయారవుతుంది. భూమి ఉష్ణోగ్రత పెరుగుదలను గ్లోబల్ వార్మింగ్ అందురు. దీనివల్ల మంచు పర్వతాలు త్వరగా ద్రవీభవించడం, సముద్రమట్టం పెరగడం, వాతావరణం విధానం మార్పు చెందడం జరుగుతుంది.

ప్రశ్న 17.
ఒక వస్తువు శోషణ సామర్థ్యాన్ని నిర్వచించండి. పరిపూర్ణ కృష్ణ వస్తువు శోషణ సామర్థ్యం ఎంత ?(మార్చి 2014)
జవాబు:
శోషణ సామర్థ్యము (a_λ) : ఏదైనా వస్తువు యొక్క నియమిత వైశాల్యం మీద నియమిత కాలంలో dλ) తరంగ వ్యవధిలో పతనమైన వికిరణ శక్తి తరంగ అభివాహం (dΦ_λ) మరియు అదే కాలవ్యవధిలో అదే వైశాల్యం గల తలం శోషణం చేసుకున్న అభివాహానికి (dΦ_λ) గల నిష్పత్తి నిశోషణ సామర్థ్యము (a_λ) గా నిర్వచించినారు.

ఉత్తమ కృష్ణ వస్తువు శోషణ సామర్థ్యం ఒకటి (1).

ప్రశ్న 18.
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమము : వస్తువుకు, పరిసరాలకు మధ్య ఉష్ణోగ్రతా భేదం స్వల్పంగా ఉన్నపుడు ఆ వస్తువు కోల్పోయే ఉష్ణ శక్తి రేటు వస్తువుకూ, పరిసరాలకు మధ్య గల ఉష్ణోగ్రతా భేదానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
వస్తువు కోల్పోయే ఉష్ణశక్తి రేటు \(\frac{\mathrm{dE}}{\mathrm{dt}}\) ∝ (T – T_s) లేదా
శీతలీకరణ రేటు \(\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dt}}\) = – \(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{mc}}\) (T – T_s) ఇందులో T_s పరిసరాల ఉష్ణోగ్రత, T వస్తువు ఉష్ణోగ్రత.

ప్రశ్న 19.
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమం అనువర్తించడానికి కావలసిన పరిస్థితులను తెలపండి.
జవాబు:
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమం అనువర్తింపచేయడానికి అనువైన పరిస్థితులు :

1. వహనం ద్వారా ఉష్ణ నష్టం విస్మరించ దగినంత తక్కువగా ఉండి కేవలం సంవహనం ద్వారానే ఉష్ణ నష్టం జరిగినపుడు,
2. లేదా బలాత్కృత సంవహనం వలన ఉష్ణ నష్టం జరిగినపుడు,
3. వస్తువుకు, పరిసరాలకు గల ఉష్ణోగ్రతా భేదం స్వల్పంగా ఉన్నపుడు అనగా సుమారు 30 K ఉన్నపుడు,
4. వస్తువుపై ఉష్ణోగ్రత ఏకరీతి వితరణలో ఉన్నపుడు.

ప్రశ్న 20.
వేసవి కాలంలో భవనాలపై పై కప్పుకు తరచుగా తెలుపు రంగును పూతగా పూస్తారు. ఎందుకు ?
జవాబు:
భవనాల పైభాగాన తెల్లని రంగు పూయటం వల్ల ఎండాకాలంలో భవనం లోపలి భాగం చల్లగా ఉంటుంది.
ఎందుకనగా తెల్లని వస్తువులకు శోషణ గుణకము తక్కువ. కావున తెల్లని భాగాలు వాటిపై పడిన ఉష్ణశక్తిలో తక్కువ భాగాన్ని శోషణం చేసుకొని ఎక్కువ ఉష్ణశక్తిని పరావర్తనం చెందిస్తాయి. ఫలితంగా ఆ వస్తువు తక్కువ వేడెక్కును. అనగా ఇంటి పైకప్పు ఇంటి లోపలికి తక్కువ ఉష్ణశక్తిని ప్రసారం చేస్తుంది.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
సెల్సియస్, ఫారన్హీట్ ఉష్ణోగ్రతా మానాలను వివరించండి. సెల్సియస్, ఫారన్హీట్ ఉష్ణోగ్రతా మానాల మధ్య సంబంధాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:
సెంటిగ్రేడ్ లేదా సెల్సియస్ ఉష్ణమానము : సెంటీగ్రేడ్ ఉష్ణమానంలో సాధారణ వాతావరణ పీడనం వద్ద నీరు ఘనీభవించు స్థానాన్ని అధోస్థిరస్థానంగా తీసుకున్నారు. దీనిని 0°C గా వ్యవహరిస్తారు.

సాధారణ వాతావరణ పీడనం వద్ద నీరు మరుగు స్థానాన్ని ఊర్ధ్వ స్థిరస్థానంగా తీసుకున్నారు. దీనిని 100°C గా వ్యవహరిస్తారు.

ఊర్ధ్వ, అధో స్థిరస్థానాల మధ్య భేదాన్ని (100 – 0 = 100) వంద సమాన భాగాలుగా చేసి ఒక్కొక్క భాగాన్ని 1°C గా పిలుస్తారు.

ఫారన్హీట్ ఉష్ణోగ్రతామానము : ఫారెన్హీట్ ఉష్ణోగ్రతామానంలో సాధారణ వాతావరణ పీడనం వద్ద నీరు ఘనీభవించు ఉష్ణోగ్రతను అధో స్థిరస్థానంగా తీసుకున్నారు. దీనిని 32°F గా నిర్వచించారు.

సాధారణ వాతావరణ పీడనం వద్ద నీరు మరుగుస్థానాన్ని ఊర్ధ్వ స్థిరస్థానంగా నిర్ణయించారు. దీనిని 212°F గా తీసుకున్నారు.

ఊర్ధ్వ, అధో స్థిరస్థానాల మధ్య భేదాన్ని (212 – 32 = 180) 180 సమాన భాగాలుగా చేసి ఒక్కొక్క భాగాన్ని 1°C గా పిలుస్తారు.

సెంటీగ్రేడ్ మరియు ఫారెన్హీట్ ఉష్ణోగ్రతల మధ్య సంబంధము : సెంటీగ్రేడ్ మరియు ఫారెన్హీట్ మానములలో ప్రామాణికంగా తీసుకున్న ఊర్ధ్వ స్థిరబిందువు మరియు అధో స్థిర బిందువులు ఒక్కటే.
కావున \(\frac{\mathrm{t}_{\mathrm{F}}-32}{180}=\frac{\mathrm{t}_{\mathrm{C}}}{100}\) (లేదా) \(\frac{9}{5}\) C = F – 32 (లేదా) 1.8 C = F – 32
C = సెల్సియస్ మానంలో ఉష్ణోగ్రత, F = ఫారెన్హీట్ మానంలో ఉష్ణోగ్రత.

ప్రశ్న 2.
రాగి, స్టీల్తో చేసిన రెండు సర్వసమాన లోహ పట్టీలను ఒకదానితో ఒకటి కలిపి సంయోగ పట్టీగా తయారుచేశారు. ఆ సంయోగ పట్టీని వేడిచేస్తే ఏమవుతుంది ?
జవాబు:
రెండు భిన్నజాతిలోహపు బద్దలను (రాగి మరియు ఇనుము అనుకోండి) రివిట్ల సహాయంతో అతికితే ఆ అమరికను ద్విలోహపు పట్టి అంటారు. ఇటువంటి ద్విలోహపు పట్టీని వేడిచేస్తే అది ఒక లోహపు ముక్కవలె సంకోచ వ్యాకోచాలను పొందుతుంది.

ద్విలోహాత్మక పట్టీని వేడిచేసినపుడు వృత్త చాపము వలె వంగుతుంది. ఈ చాపంపైభాగంలో ఎక్కువ వ్యాకోచ గుణకం గల పదార్థము, క్రింది భాగంలో తక్కువ వ్యాకోచ గుణకం గల పదార్థము ఉంటాయి.
ఈ స్థిరాంకమును స్థితిస్థాపక గుణకము అంటారు.

ప్రశ్న 3.
లోలక గడియారాలు సాధారణంగా శీతాకాలంలో అధిక కాలాన్ని చూపుతాయి. వేసవిలో తక్కువ కాలాన్ని చూపుతాయి. ఎందుకు ?
జవాబు:
సాధారణంగా లోలకంతో పనిచేసే గడియారాలను తయారుచేసేటప్పుడు అవి రోజుకు ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్యలో (0 డోలనాలు చేసే విధంగా తయారుచేస్తారు).

ఎండాకాలంలో వాతావరణంలో ఉష్ణోగ్రత పెరగడం వల్ల ఘనపదార్థాలు వ్యాకోచిస్తాయి. అనగా లోలకం పొడవు పెరుగును. లోలకం పొడవు l₁ = l (l + α ∆t)

లోలకం ఆవర్తన కాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\) లేదా T ∝ \(\sqrt{l}\) అనగా లోలకం పొడవు పెరిగితే దాని ఆవర్తనకాలం పెరగడం వల్ల అది ఒకరోజులో చేసే డోలనాల సంఖ్య తగ్గుతుంది. అనగా గడియారం నెమ్మదిగా నడుస్తుంది.

చలికాలంలో వాతావరణ ఉష్ణోగ్రత తగ్గటం వల్ల లోలక పదార్థం సంకోచిస్తుంది. అనగా లోలకం పొడవు తగ్గుతుంది. ఫలితంగా డోలనావర్తన కాలం తగ్గుతుంది. అనగా లోలకం ఒకరోజులో చేసిన డోలనాల సంఖ్య పెరుగును. అంటే చలికాలంలో గడియారాలు వేగంగా చలిస్తాయి.

ప్రశ్న 4.
నీటి అసంగత వ్యాకోచం ఏ విధంగా జలచర సంబంధమైన జంతువులకు లాభం చేకూరుస్తుంది ? (March 2014 / May 2014)
జవాబు:
చలి దేశాలలో ముఖ్యంగా ధృవ ప్రాంతాలలో చలికాలంలో వాతావరణంలో ఉష్ణోగ్రతలు 0°C కన్న చాలా తక్కువకు పడిపోతాయి. ఫలితంగా నదులు, సరస్సులు మరియు సముద్రాల పైభాగాలు గడ్డ కడతాయి. కాని మంచు అధమ ఉష్ణవాహకం కావడం వల్ల మంచు పొరలలో లోతుకు పోయిన కొలది మనం నీరు 1°C, 2°C లేదా 3°C వంటి వివిధ పొరల రూపంలో ఉంటుంది. కాని సముద్రం అడుగు భాగం వద్ద నీరు 4°C వద్ద ఉంటుంది. దీనికి కారణము నీటికి 4°C వద్ద గరిష్ఠ సాంద్రత ఉండుట.

ప్రాముఖ్యత : సముద్ర జలాలు ఉపరితలం వద్ద గడ్డ కట్టినప్పటికి లోపలి భాగం 4°C వద్ద ఉండటం వల్ల జలచరాలు జీవించగలుగుతున్నాయి.

ప్రశ్న 5.
వహనం, సంవహనం, వికిరణాలను ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
వహనం : వస్తువులోని కణాలు స్థానాంతరం చెందకుండా, వస్తువులో ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత గల ప్రదేశం నుండి తక్కువ ఉష్ణోగ్రత గల ప్రదేశానికి జరుగు ఉష్ణ ప్రసారాన్ని ఉష్ణ వహనం అంటారు.
ఉదా : ఒక పొడవైన లోహపు కడ్డీని ఒక చివర చేతితో పట్టుకొని రెండవ కొన మంటలో ఉంచితే, ఉష్ణం వాహనం ద్వారా కడ్డీ ఒక కొన నుండి మరొక కొనకు ప్రసరిస్తుంది.

సంవహనం : వస్తువులోని కణాలు స్థానాంతరం చెందుతూ, వస్తువులో ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత గల ప్రదేశం నుండి తక్కువ ఉష్ణోగ్రత గల ప్రదేశానికి ఉష్ణ ప్రసారాన్ని ఉష్ణ సంవహనం అంటారు.
ఉదా : సముద్రగాలి, భూగాలి

వికిరణం : యానకం నిమిత్తం లేకుండా ఒకచోట నుండి మరొక చోటుకు జరుగు ఉష్ణ ప్రసారాన్ని ఉష్ణ వికిరణం అంటారు.
ఉదా : సూర్యుని నుండి భూమికి ఉష్ణం వికిరణం ద్వారా చేరుతుంది..

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఉష్ణవాహకత్వం, ఉష్ణవాహకత్వ గుణకాన్ని వివరించండి. 0.10 m పొడవు, 1.0 × 10⁶ m^-2 మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న ఒక రాగి కడ్డీ ఉష్ణ వాహకత్వం 401 W/(mK). కడ్డీ ఒక కొన 104°C వద్ద, మరొక కొన 24° C వద్ద కలవు. కడ్డీ వెంబడి ఉష్ణ ప్రవాహ రేటు ఎంత ?
జవాబు:
ఉష్ణవహనము : ఈ పద్ధతిలో ఉష్ణము ఒకచోటు నుండి మరొక చోటికి యానకంలోని అణువులను స్థానభ్రంశము చెందించకుండా ప్రయాణం చేస్తుంది.

ఉష్ణవహనము ద్వారా ఉష్ణము ఘనపదార్థాలలో ప్రసరిస్తుంది.

పటంలో చూపిన విధంగా ఒక దీర్ఘ ఘనమును తీసుకొనుము. దీని ఎదురెదురు సమాంతర తలాలు ABCD మరియు EFGH అనుకొనుము. ఈ తలాలను θ₁ మరియు θ₂ ఉష్ణోగ్రతల మధ్య ఉంచినామనుకొనుము. దీని అడ్డుకోత వైశాల్యము A మరియు పొడవు l అనుకొనుము.

ఒక పదార్థం గుండా ప్రవహించు ఉష్ణరాశి (Q) ఈ క్రింది నియమాలను పాటిస్తుంది అని ప్రయోగపూర్వకంగా కనుగొన్నారు.

1. ఇచ్చిన వాహకం గుండా ప్రవహించు ఉష్ణరాశి వాహకం అడ్డుకోత వైశాల్యము (A) కి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
   ∴ Q∝ A ……………. (1)
2. వాహకం గుండా ప్రవహించిన ఉష్ణరాశి (Q) వాహకపు కొనల మధ్య గల ఉష్ణోగ్రతా భేదానికి అనులోమానుపాతంలో
   ఉంటుంది.
   ∴ Q ∝ (θ₂ – θ₁) …………….. (2)
3. వాహకం గుండా ప్రవహించిన ఉష్ణరాశి (Q) ఉష్ణము ప్రవహించిన కాలము (t) నకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
   Q ∝ t …………. (3)
4. వాహకం గుండా ప్రవహించిన ఉష్ణరాశి (Q) వాహకము పొడవు (l) కు విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
   Q ∝ \(\frac{1}{l}\) ……………….. (4)

పై నాలుగు నియమాల నుండి Q ∝ \(\frac{\mathrm{A}\left(\theta_2-\theta_1\right) \mathrm{t}}{l}\) (లేదా) Q = \(\frac{{KA}\left(\theta_2-\theta_1\right) \mathrm{t}}{l}\)
ఇందులో K స్థిరాంకము. దీనిని ఉష్ణవహన గుణకము అంటారు.

ఉష్ణవహన గుణకము (K) : ప్రమాణ అడ్డుకోత వైశాల్యం గల పదార్థపు ఎదురెదురు సమాంతర తలముల మధ్య ఏకాంక ఉష్ణోగ్రతా అతిక్రమం ఉన్నపుడు ప్రమాణ కాలంలో ఆ తలముల మధ్య ప్రవహించిన ఉష్ణరాశిని ఆ పదార్థం ఉష్ణవహన గుణకంగా నిర్వచించినారు.
ఉష్ణవహన గుణకము K = \(\frac{\mathrm{Q} . l}{\mathrm{~A}\left(\theta_2-\theta_1\right) \mathrm{t}}\)
ఉష్ణవహన గుణకానికి ప్రమాణాలు వాట్ మీటర్^-1 కెల్విన్^-1 లేదా జౌల్సకన్^-1 మీటర్^-1 కెల్విన్^-1
మితి ఫార్ములా = [ M¹L¹T^-3θ^-1]

సమస్య :
రాగి ఉష్ణవహన గుణకము K_c = 401 W/m-k
ఒక కొన వద్ద ఉష్ణోగ్రత θ₂ = 104°C
రెండవ కొన వద్ద ఉష్ణోగ్రత θ₁ = 24°C
రాగి దండం పొడవు l = 0.1m; వైశాల్యము = A = 1.0 × 10^-6 m²
ఉష్ణవహన రేటు \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{t}}=\frac{{KA}\left(\theta_2-\theta_1\right)}{l}=\frac{401 \times 1 \times 10^{-6}(104-24)}{0.1}\) = 401 × 80 × 10^-5 = 0.3208 J/S

ప్రశ్న 2.
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమాన్ని తెలిపి, వివరించండి. న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమం అనువర్తించడానికి కావలసిన పరిస్థితులను తెలపండి.
ఒక వస్తువు 60°Cనుంచి 50°C కు చల్లబడటానికి 5 నిమిషాల కాలం పట్టింది. తరువాత 40°C కు చల్లబడటానికి మరొక 8 నిమిషాలు పట్టింది. పరిసరాల ఉష్ణోగ్రతను కనుక్కోండి.
జవాబు:
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమము : వస్తువుకు, పరిసరాలకు మధ్య ఉష్ణోగ్రతా భేదం స్వల్పంగా ఉన్నపుడు ఆ వస్తువు కోల్పోయే ఉష్ణ శక్తి రేటు వస్తువుకూ, పరిసరాలకు మధ్య గల ఉష్ణోగ్రతా భేదానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

వస్తువు కోల్పోయే ఉష్ణశక్తి రేటు \(\frac{\mathrm{dE}}{\mathrm{dt}}\) ∝ (T – T_s) లేదా
శీతలీకరణ రేటు \(\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dt}}\) = – \(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{mc}}\) (T – T_s). ఇందులో T_s పరిసరాల ఉష్ణోగ్రత, T వస్తువు ఉష్ణోగ్రత.
ఉష్ణోగ్రతా భేదం స్వల్పంగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే ఈ నియమం వర్తిస్తుంది. వికిరణం ద్వారా నష్టపోయే ఉష్ణం, వస్తువు ఉపరితల స్వభావం మీద, ప్రత్యక్షీకరణం అయ్యే ఉపరితల వైశాల్యంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
– \(\frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dt}}\) = k (T₂ – T₁) (రుణ గుర్తు నష్టాన్ని సూచిస్తుంది) ………………. (1)
ఇక్కడ k ధనాత్మక స్థిరాంకం. దీని విలువ వస్తువు ఉపరితల స్వభావం, వైశాల్యంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. s విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యం, mద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువు, T₂ ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉందనుకోండి. పరిసరాల ఉష్ణోగ్రత T₁ అనుకోండి. dtకాలంలో స్వల్ప పరిమాణంలో ఉష్ణోగ్రతలో తగ్గుదల dT₂ అనుకొంటే, నష్టపోయిన ఉష్ణ పరిమాణం
dQ = ms dT₂
∴ నష్టపోయిన ఉష్ణ రేటును కింది విధంగా ఇవ్వచ్చు.
\(\frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dt}}\) = ms \(\frac{\mathrm{dT}_2}{\mathrm{dt}}\) ………….. (2)
సమీకరణాలు (1), (2) ల నుంచి
-ms \(\frac{\mathrm{dT}_2}{\mathrm{dt}}\) = k (T₂ – T₁)
\(\frac{\mathrm{dT}_2}{\mathrm{~T}_2-\mathrm{T}_1}\) = – \(\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{ms}}\) dt = -Kdt …………….. (3)
ఇక్కడ K = k/ms
సమాకలనం చేయగా,
loge (T₂ – T₁) = – Kt + c …………….. (4)
(T₂ – T₂) = e^{-Kt + c}
లేదా T₂ = T₁ + C’ e^-Kt; ఇక్కడ C’ = e^c ……………. (5)
ప్రత్యేకమైన ఉష్ణోగ్రత అవధిలో ఒక వస్తువు శీతలీకరణానికి పట్టే కాలాన్ని సమీకరణం (5) ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు.

స్వల్ప ఉష్ణోగ్రతా భేదాలకు, ఉష్ణ వహనం, సంవహనం, వికిరణాల కలయిక వల్ల శీతలీకరణ రేటు ఉష్ణోగ్రతా భేదానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. ఒక వికిరణకం నుంచి గదిలోకి బదిలీ అయ్యే ఉష్ణం, గదిలోని గోడల ద్వారా నష్టపోయే ఉష్ణం లేదా టేబుల్పై అమర్చిన కప్పులోని వేడి టీ శీతలీకరణం చెందే సందర్భాలలో ఈ నియమం ఉజ్జాయింపుగా చెల్లుబాటు అవుతుంది.

న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమం అనువర్తింపచేయడానికి అనువైన పరిస్థితులు :

1. వహనం ద్వారా ఉష్ణ నష్టం విస్మరించదగినంత తక్కువగా ఉండి కేవలం సంవహనం ద్వారానే ఉష్ణ నష్టం జరిగినపుడు,
2. లేదా బలాత్కృత సంవహనం వలన ఉష్ణ నష్టం జరిగినపుడు,
3. వస్తువుకు, పరిసరాలకు గల ఉష్ణోగ్రతా భేదం స్వల్పంగా ఉన్నపుడు అనగా సుమారు 30K ఉన్నపుడు,
4. వస్తువుపై ఉష్ణోగ్రత ఏకరీతి వితరణలో ఉన్నపుడు.

సమస్య :
తొలి ఉష్ణోత్ర θ₁ = 60 C;
తుది ఉష్ణోగ్రత θ₂ = 50°C
పట్టిన కాలము t = 5 ని॥ = 300 సె॥; గది ఉష్ణోగ్రత = θ₀ అనుకొనుము.
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమం నుండి \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}=K\left[\frac{\theta_1+\theta_2}{2}-\theta_0\right]\)
⇒ \(\frac{60-50}{300}\) = K \(\left[\frac{60+50}{2}-\theta_0\right]\) ⇒ \(\frac{10}{300}\) = K [55 – θ₀] (లేదా) ⇒ \(\frac{1}{30}\) = K[55 – θ₀] ….. (1)
రెండవ సందర్భంలో వస్తువు 50 C నుండి 40°C కు 8 నిమిషాలలో చల్లారింది.
న్యూటన్ నియమం నుండి \(\frac{50-40}{8 \times 60}\) = K \(\left[\frac{50+40}{2}-\theta_0\right]\)
⇒ \(\frac{10}{480}\) = K[45 – θ₀] ⇒ 1 = 48K (45 – θ₀)
1 మరియు 2 సమీకరణముల నుండి 30 K (55 – θ₀) = 48K (45 – θ₀)
275 – 5θ₀ = 360 – 8θ₀ ⇒ 3θ₀ = 360 – 275
∴ θ₀ = \(\frac{85}{3}\) = 28.33°C

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్ద కెల్విన్ మానంలోని రీడింగ్, ఫారన్హీట్ మానంలోని రీడింగ్లు సమానం అవుతాయి ?
సాధన:
కెల్విన్, ఫారన్ హీట్ మానాలలో \(\frac{\mathrm{K}-273.15}{100}\) = \(\frac{F-32}{180}\)
ఇక్కడ K = F కావున
\(\frac{\mathrm{F}-273.15}{100}=\frac{\mathrm{F}-32}{180}\)
⇒ F – 273.15 = \(\frac{5}{9}\) F – \(\frac{160}{9}\)
\(\frac{4}{9}\) F – 273.15 – 17.77
⇒ F = \(\frac{9}{4}\) (255.38) = 574.6
∴ 574.6K = 574.6°F.

ప్రశ్న 2.
ఒక అల్యూమినియం కడ్డీ పొడవును 1% పెంచాలంటే దాని ఉష్ణోగ్రతలో కలిగే పెరుగుదల కనుక్కోండి. (అల్యూమినియం విలువ = 25 × 10^-6 / °C)
సాధన:
అల్యూమినియం దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకము, α = 25 × 10^-6 / °C

ప్రశ్న 3.
20°C ఉష్ణోగ్రత, 100 g ద్రవ్యరాశి ఉన్న నీటి ఉష్ణోగ్రతను 5°C పెంచడానికి 100°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న ఎంత ఆవిరిని ఆ నీటిలోకి పంపించాలి ? (నీటి ఆవిరి గుప్తోష్ణం 510 cal / g, నీటి విశిష్టోష్ణం 1 cal / g°C)
సాధన:
నీటి బాష్పీభవన గుప్తోష్ణం, L_s = 540 cal / g; నీటి విశిష్టోష్ణం, S_w = 1 cal / g°C
నీటి ద్రవ్యరాశి, m_w = 100g
మిశ్రమ పద్ధతి సూత్రం ప్రకారం
నీటి ఆవిరి కోల్పోయిన ఉష్ణరాశి = నీరు గ్రహించిన ఉష్ణరాశి
i.e., m_sL_s + m_sS_w (100 – t) = m_wS_w (t – 20)
⇒ m_s × 540 + m_s × 1(100 – 25) = 100 × 1 × (25 – 20)
⇒ 615m_s = 500 (or)m_s = \(\frac{500}{615}\) = 0.813 g

ప్రశ్న 4.
2 kg ల గాలిని స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద వేడిచేశారు. గాలి ఉష్ణోగ్రత 293 K నుంచి 313 K కు పెరిగింది. స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద గాలి విశిష్టోష్ణం 0.718kJ/kg K. అది శోషించుకొనే ఉష్ణ పరిమాణాన్ని kJ లలో, kcalలలో కనుక్కోండి. (J = 4.2 kJ/kcal.)
సాధన:
గాలి సాంద్రత m = 2 kg;
ఉష్ణోగ్రతలో మార్పు ∆T = 313 – 293 20K.
స్థిర ఘనపరిమాణ విశిష్టోష్ణము C_v = 0.718 k. J/kg – K.
ఉష్ణ యాంత్రిక తుల్యాంకము = J. = 4.2 kJ/k.cal.
C_v = \(\frac{1}{\mathrm{~m}} \frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dT}}\) ⇒ dQ = mC_vdT (లేదా) dQ = \(\frac{\mathrm{mC}_{\mathrm{v}} \mathrm{dT}}{\mathrm{J}}\) cal.
∴ గాలి శోషించుకొనిన ఉష్ణరాశి Q = 2 × 0.718 × 10³ × 20 = 28.72 kJ = 6.838 k calories.

ప్రశ్న 5.
ఇత్తడి లోలకం కలిగిన ఒక గడియారం 20°C వద్ద సరియైన కాలాన్ని చూపుతుంది. ఉష్ణోగ్రత 30°C కు పెరిగినప్పుడు ఆ గడియారం రోజుకు 8.212 సెకనుల కాలం తక్కువ చూపుతుంది. ఇత్తడి దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకం కనుక్కోండి.
సాధన:
సరియైన కాలం వద్ద ఉష్ణోగ్రత t = 20°C;
ఒక రోజులో నష్టపోయిన లేక లాభపడిన కాలము = 8.212 sec.
తుది ఉష్ణోగ్రత t₂ = 30 C ∴ ∆t = 30 – 20 = 10;
లోలకం చేయబడిన పదార్థం α = ?
లోలకంలో ఒక రోజుకు నష్టపోయిన లేదా లాభపడిన సెకండ్ల సంఖ్య = 43,200. α ∆t
∴ α = \(\frac{8.212}{43.200 \times 10}\) = 19 × 10^-6 / C.

ప్రశ్న 6.
ఒక వస్తువు 7 నిమిషాలలో 60°C నుంచి 40°C కు చల్లబడుతుంది. పరిసరాల ఉష్ణోగ్రత 10°C అయితే, తదుపరి 7 నిమిషాల తరువాత అది ఎంత ఉష్ణోగ్రతకు చేరుకొంటుంది ?
సాధన:
మొదటి సందర్భము :
తొలి’ ఉష్ణోగ్రత, θ₁ = 60°C;
తుది ఉష్ణోగ్రత, θ₂ = 40°C
చల్లబడటానికి పట్టిన కాలము, t₁ = 7 నిమిషాలు = 7 × 60 = 420s ;
పరిసరాల ఉష్ణోగ్రత, θ₀ = 10°C
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమం ప్రకారం,
\(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) = k \(\left[\frac{\theta_1+\theta_2}{2}-\theta_0\right]\) ⇒ \(\frac{60-40}{420}\) = k \(\left[\frac{60+40}{2}-10\right]\)
⇒ \(\frac{20}{420}\) = k × 40 …………….. (1)
రెండవ సందర్భము :
తొలి ఉష్ణోగ్రత, θ₁ = 40°C
చల్లబడటానికి పట్టిన కాలము, t₂ = 7 నిమిషాలు = 7 × 60 = 420s
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమం ప్రకారం,
\(\frac{50-\theta}{420}\) = k\(\left[\frac{50+\theta}{2}-10\right]\)
సమీకరణాలు (1) మరియు (2) లను సాధించగా, θ = 34°C

ప్రశ్న 7.
ఒక కృష్ణ వస్తువు గరిష్ఠ వికిరణ తీవ్రత 2.65 µ m వద్ద కనుక్కోవడమైంది. వికిరణాన్ని ఉద్గారం చేసే వస్తువు ఉష్ణోగ్రత ఎంత ? (వీన్ స్థిరాంకం = 2.9 × 10^-3 mK)
సాధన:
గరిష్ట తీవ్రత పద్ధతి తరంగదైర్ఘ్యం λ_max = 2.65 µm = 2.65 × 10^-6 m.
వస్తువు ఉష్ణోగ్రత T = ? వీన్ స్థిరాంకము b = 2.90 × 10^-3 mK.
వీస్ నియమం నుండి T = \(\frac{b}{\lambda_m}\) = \(\frac{2.90 \times 10^{-3}}{2.65 \times 10^{-6}}\) = 1094 K.

ముఖ్యమైన అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
నియాన్, కార్బన్-డై-ఆక్సైడ్ త్రిక బిందువులు వరుసగా 24.57 K, 216.55 K. ఈ ఉష్ణోగ్రతలను సెల్సియస్, ఫారన్హీట్ మానాలలో తెలియచేయండి.
సాధన:
కెల్విన్ మానము మరియు సెల్సియస్ మానముల మధ్య సంబంధము T_C = T_K – 273.15
ఇక్కడ T_C, T_K లు సెల్సియస్ మరియు కెల్విన్ మానాలలో ఉష్ణోగ్రతలు
నియాను, T_C = 24.57 – 273.15 = – 248.58°C
CO₂, T_C = 216.55 – 273.15 = – 56.60°C.
ఫారన్హీట్ మానము మరియు కెల్విన్ మానంల మధ్య గల సంబంధము = \(\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{F}}-32}{180}=\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{K}}-273.15}{100}\)
T_F = \(\frac{180}{100}\) (T_K – 273.15) + 12
నియాను, T_F = \(\frac{180}{100}\) (24.57 – 273.15) + 32 = -415.44°F
CO₂, T_F = \(\frac{180}{100}\) (216.55 – 273.15) + 32 = -69.88°F

ప్రశ్న 2.
A, B అనే రెండు పరమ ఉష్ణోగ్రతా మానాలు నీటి త్రిక బిందువును 200 A, 350 B గా నిర్వచించాయి. T_A, T_B మధ్య ఉన్న సంబంధం ఏమిటి ?
సాధన:
దత్తాంశం ప్రకారం, ఉష్ణోగ్రతా మానం A లో నీటి త్రిక బిందువు = 200A
ఉష్ణోగ్రతా మానం Bలో నీటి త్రిక బిందువు = 350 B.
మన ప్రశ్నను బట్టి, 200A = 350 B = 273.16 లేదా 1A = \(\frac{273.16}{200}\)K మరియు 1B = \(\frac{273.16}{350}\) K
T_A మరియు T_B అనునవి వరుసగా నీటి త్రిక బిందువులుగా మానము A మరియు మానము B లలో సూచిస్తే
\(\frac{273.16}{200}\) T_A = \(\frac{273.16}{350}\) T_B (లేదా) \(\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{B}}}\) = \(\frac{200}{350}\) = \(\frac{4}{7}\) (లేదా) T_A = \(\frac{4}{7}\) T_B

ప్రశ్న 3.
ఒక థర్మామీటర్ విద్యుత్ నిరోధం ఓమ్లలో ఉష్ణోగ్రతతో ఉజ్జాయింపు నియమం ప్రకారం క్రింది విధంగా మారుతుంది. R = R₀ [1 + α (T – T₀)]
నీటి త్రిక బిందువు 273.16 K వద్ద నిరోధం 101.6 Ω, సీసం ప్రమాణ ద్రవీభవన స్థానం 600.5 Ω వద్ద నిరోధం 165.5 Ω. ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్ద నిరోధం 123.4 Ω అవుతుంది ?
సాధన:
దత్తాంశము నుండి R₀ = 101.6 Ω; T₀ = 273.16 K
సందర్భం (i) R₁ = 165.5 Ω; T₁ = 600.5 K
సందర్భం (ii) R₂ = 123.4 Ω; T₂ = ?
R = R₀ [1 + α (T – T₀)] నకు సందర్భము (i) ఉపయోగించిన
165.5 = 101.6 [1 + α (600.5 – 273.16)]
α = \(\frac{165.5-101.6}{101.6 \times(600.5-273.16)}=\frac{63.9}{101.6 \times 327.34}\)
సందర్భం (ii) నుండి 123.4 = 101.6 [1+ α(T₂ – 273.16)]
(లేదా) 123.4 = 101.6 [1 + \(\frac{63.9}{101.6 \times 327.34}\) (T₂ – 273.16)] = 101.6 + \(\frac{63.9}{327.34}\) (T₂ – 273.16)
(లేదా) T₂ = \(\frac{(123.4-101.6) \times 327.34}{63.9}\) + 273.16 = 111.67 + 273.16 = 384.83K

ప్రశ్న 4.
క్రింది వాటికి సమాధానాలు ఇవ్వండి :
(a) ఆధునిక ఉష్ణమితిలో నీటి త్రిక బిందువు ప్రమాణ స్థిర బిందువు. ఎందుకు ? మంచు ద్రవీభవన స్థానాన్ని, నీటి బాష్పీభవన స్థానాన్ని ప్రమాణ స్థిర బిందువులుగా తీసుకొంటే కలిగే తప్పు ఏమిటి ? (సెల్సియస్ మానంలో అదే విధంగా తీసుకోవడమైంది)
(b) సెల్సియస్ మానంలో పై ప్రశ్నలో తెలిపిన విధంగా రెండు స్థిర బిందువులు కలవు. వాటికి వరుసగా 0°C, 100°C సంఖ్యలను కేటాయించడమైంది. పరమమానంలో రెండు స్థిర బిందువుల్లో ఒకటి నీటి త్రిక బిందువుగా తీసుకొని కెల్విన్ మానంలో 273.16 K సంఖ్యను కేటాయించడమైంది. ఈ (కెల్విన్) మానంలో మరొక స్థిర బిందువు ఏమిటి ?
(c) పరమ ఉష్ణోగ్రత (కెల్విన్ మానం) T, సెల్సియస్ మానంపై ఉష్ణోగ్రత t_c కి మధ్య సంబంధం t_c = T – 273.15
ఈ సంబంధంలో 273.16 కాకుండా, 273.15 ను తీసుకోవడానికి కారణం ఏమిటి ?
(d) పరమ ఉష్ణోగ్రతా మానంలో యూనిట్ అంతరం ఫారన్హీట్ మానంలో యూనిట్ అంతరానికి సమానం అయితే పరమ ఉష్ణోగ్రత మానంపై నీటి త్రిక బిందువు ఉష్ణోగ్రత ఎంత ?
సాధన:
(a) నీటి త్రిక బిందువుకు ఒకే ఒక విలువ 273.16 K. ఒకే ఒక బిందువు వుండుట ఒక సత్యం. అక్కడ పీడనానికి మరియు ఘనపరిమాణానికి ఒకే ఒక విలువ కలిగి వుంటుంది. వేరే విధంగా తెలిపిన, పీడనము మరియు ఘనపరిమాణములో మార్పు వచ్చునప్పుడు, నీరు మరుగు స్థానము, బాష్పీభవన స్థానములకు ఒకే విలువ వుండక మార్పు చెందుతూ ఉంటాయి.

(b) కెల్విన్ మానం లేదా కెల్విన్ సంపూర్ణ మానం నందు నిర్దేశ బిందువే దాని సంపూర్ణ లేదా పరమ శూన్య బిందువు.

(c) సెల్సియస్ మానంలో ‘C అనునది సాధారణ పీడనం వద్ద మంచు మరుగు బిందువు. దానికి అనుగుణమైన పరమ ఉష్ణోగ్రత 273.15 K, 273.16 K అనే ఉష్ణోగ్రత నీటి త్రిక బిందువును సూచిస్తుంది. ఈ సంబంధంను బట్టి నీటి త్రిక బిందువు సెల్సియస్ మానం నందు = 273.16 – 273.15 = 0.01°C.

(d) ఫారన్ హీట్ మానం మరియు పరమ ఉష్ణోగ్రతల మధ్య సంబంధము

నీటి త్రిక బిందువు ఉష్ణోగ్రత 273.16 K అనునది కొత్త ఉష్ణోగ్రత మానంలో
= 273.16 × \(\frac{9}{5}\) = 491.69

ప్రశ్న 5.
A, B అనే ఆదర్శవాయు థర్మామీటర్లలో వరుసగా ఆక్సిజన్, హైడ్రోజన్ వాయువులను ఉపయోగించారు. కింది పరిశీలనలు చేయడమైంది.

(a) A, B థర్మామీటర్లు సూచించే సల్ఫర్ సాధారణ ద్రవీభవన స్థానం పరమ ఉష్ణోగ్రత ఎంత ?
(b) A, B థర్మామీటర్ల జవాబులో స్వల్పంగా తేడా ఉండటానికి గల కారణాన్ని మీరు ఏమని ఊహిస్తున్నారు ? (థర్మామీటర్లలో ఎలాంటి దోషం లేదు) రెండింటి రీడింగ్ల మధ్య ఉన్న తేడాను తగ్గించడానికి పై ప్రయోగంలో ఇంకా ఏ పద్ధతి అవసరం ?
సాధన:
సల్ఫర్ ద్రవీభవన స్థానంను “T” అనుకొనుము.
(a) థర్మామీటర్ A లో T = \(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{P}_{\mathrm{tr}}}\) × 273.16 = \(\frac{1.797 \times 10^5}{1.250 \times 10^5}\) × 273.16 = 392.69K
థర్మామీటర్ B లో T = \(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{P}_{\mathrm{tr}}}\) × 273.16 = \(\frac{0.287 \times 10^5}{0.200 \times 10^5}\) × 273.16 = 391.98 K

(b) థర్మామీటర్ A మరియు B ల సమాధానముల యందు స్వల్ప తేడా వచ్చుటకు కారణం ఆక్సిజన్ మరియు హైడ్రోజన్ వాయువులు కచ్చితమైన ఆదర్శవాయువులు కావు.

ఇలాంటి అసమానతను తగ్గించాలంటే, అతి తక్కువ పీడనం వద్ద పరిశీలనలను తీసుకోవాలి. ఇలాంటి సందర్భము నందు వాయువులు ఆదర్శ వాయు ప్రవర్తనకు దగ్గరగా వుండగలవు.

ప్రశ్న 6.
1m పొడవు ఉన్న ఉక్కు కొలబద్ద 27.0°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద సరియైన కొలతను ఇచ్చే విధంగా క్రమాంకనం చేశారు. బాగా వేడిగా ఉన్న రోజు, అంటే 45.0°C ఉష్ణోగ్రత ఉన్నప్పుడు ఈ కొలబద్ద ఉక్కు కడ్డీ పొడవును 63.0 cm గా కొలిచింది. ఆ రోజున ఉక్కు కడ్డీ అసలు పొడవు ఎంత ? 27.0°C ఉష్ణోగ్రత ఉన్న రోజున అదే ఉక్కు కడ్డీ పొడవు ఎంత ? ఉక్కు దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకం = 1.20 × 10^-5°K^-1
సాధన:
27°C వద్ద ఉక్కు కొలబద్ద పొడవు 100 cm. i.e., L = 100 cm మరియు T = 27°C
45°C వద్ద ఉక్కు కొలబద్ద పొడవు L’ = L + ∆L = L + αL∆T
= 100 + (1.20 × 10^-5°) × 100 × (45° – 27°) = 100.0216 cm.
27°C వద్ద కొలబద్దపై 1 భాగము పొడవు 45°C = 100.0216/100 cm.
63 cm ల ఉక్కు కడ్డీని కొలచిన పొడవు 45°C = \(\frac{100.0216}{100}\) × 63 = 63.0136 cm
27°C ఉష్ణోగ్రత ఉన్న రోజున అదే ఉక్కు కడ్డీ పొడవు = 63 × 1 = 63 cm.

ప్రశ్న 7.
ఒక పెద్ద ఉక్కు చక్రాన్ని అదే పదార్థంతో చేసిన కమ్మీపై 27°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద బిగించాలి. ఆ కమ్మీ వెలుపల వ్యాసం 8.70 cm, చక్రం మధ్య ఉన్న రంధ్రం వ్యాసం 8.69 cm. కమ్మీని పొడి మంచు ఉపయోగించి చల్లబరచారు. కమ్మీ ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్ద చక్రాన్ని కమ్మీపై బిగించవచ్చు. మనకు కావలసిన ఉష్ణోగ్రత అవధిలో ఉక్కు దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకం స్థిరంగా ఉంటుంది అని అనుకోండి. α_{ఉక్కు} 1.20 × 10^-5 K^-1.
సాధన:
ఇచ్చట T₁ = 27°C = 27 + 273 = 300 K.
T₁K ఉష్ణోగ్రత వద్ద పొడవు = l_T1 = 8.70 cm;
T₂ K ఉష్ణోగ్రత వద్ద పొడవు = l_T2 = 8.69 cm
పొడవులో మార్పు = l_T2 – l_T1 = l_T1 α (T₂ – T₁) (లేదా) 8.69 – 8.70 = 8.70 × (1.20 × 10^-5) (T₂ – 300)
(లేదా) T₂ – 300 = – \(\frac{0.01}{8.70 \times 1.2 \times 10^{-5}}\) = -95.8 (లేదా) T₂ = 300 – 95.8 = 204.2 K = – 68.8°C.

ప్రశ్న 8.
ఒక రాగి పలకలో రంధ్రం చేశారు. 27°C వద్ద ఆ రంధ్రం వ్యాసం 4.24 cm. ఆ పలకను 227°C కు వేడిచేసినప్పుడు ఆ రంధ్రం వ్యాసంలో కలిగే మార్పు ఎంత ? రాగి దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకం = 1.70 × 10^-5 K^-1
సాధన:
ఈ లెక్కలో వేడిచేసినపుడు రాగి రేకు విస్తీర్ణ వ్యాకోచము ఇమిడి ఉంటుంది.
27°C వద్ద రంధ్రం వైశాల్యం, S₁ = \(\frac{\pi \mathrm{D}_1^2}{4}=\frac{\pi}{4}\) × (4.24)² cm²
227°C వద్ద రంధ్రం వ్యాసార్ధం, D₂ cm అయిన
227°C వద్ద రంధ్రం వైశాల్యం, S₂ = \(\frac{\pi \mathrm{D}_2^2}{4}\) cm².
రాగి విస్తీర్ణ వ్యాకోచ గుణకం β = 2 α = 2 × 1.70 × 10^-5 = 3.4 × 10^-5 °C^-1
వైశాల్యంలో పెరుగుదల = S₂ – S₁ = βS₁∆T (లేదా) S₂ = S₁ + βS₁∆T = S₁ (1 + β∆T)
\(\frac{\pi \mathrm{D}_2^2}{4}=\frac{\pi}{4}\) (4.24)² [1 + 3.4 × 10^-5 (228 – 27)] (లేదా) D₂² = (4.24)² × 1.0068
D₂ = 4.2544 cm
వ్యాసంలో మార్పు = D₂ – D₁ = 4.2544 – 4.24 = 0.0144 cm

ప్రశ్న 9.
1.8 m పొడవు, 20 mm వ్యాసం ఉన్న ఒక ఇత్తడి తీగను 27°C వద్ద రెండు దృఢమైన ఆధారాల మధ్య తీగలో స్వల్ప తన్యత ఉండేటట్లు బిగించారు. ఒకవేళ తీగను -39°C ఉష్ణోగ్రతకు చల్లబరిస్తే, తీగలో ఏర్పడే తన్యత ఎంత ? తీగ వ్యాసం 2.0 mm. ఇత్తడి దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకం 2.0 × 10^-5 K^-1; ఇత్తడి యంగ్ గుణకం = 0.91 × 10¹¹ Pa.
సాధన:
ఇచ్చట L = 1.8 m, T₁ = 27°C, T₂ = -39°C, F = ?, r = 1 mm = 10^-3 m,
α = 2 × 10^-5 °K^-1, Y = 0.91 × 10¹¹ N/m²
Y = \(\frac{F \cdot L}{a \Delta L}\) . ∆L = \(\frac{F L}{a Y}\) నుండి
ఇంకా ∆L = α L ∆T ∴ \(\frac{F L}{a Y}\) = α L ∆T (లేదా) F = α∆TaY = α(T₂ – T₁) πr²Y
= 2 × 10^-5 × (39 – 27) × \(\frac{22}{7}\) (10^-3)² × 0.91 × 10¹¹ = -3.77 × 10² N
తీగ సంకోచం చెందునపుడు బలం లోపలి వైపు పనిచేయును అని ఋణగుర్తు తెలుపుతున్నది.

ప్రశ్న 10.
50 cm పొడవు, 3.0 mm వ్యాసం ఉన్న ఒక ఇత్తడి కడ్డీని అంతే పొడవు, వ్యాసం ఉన్న మరొక ఉక్కు కడ్డీతో జతపరచారు. వాటి తొలి పొడవులు 40°C వద్ద ఉంటే, 250°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఆ సంయోగ కడ్డీ పొడవులో కలిగే మార్పు ఎంత ? ఆ రెండు కడ్డీలు కలిసే సంధి వద్ద ఉష్ణప్రతిబలం ఏర్పడుతుందా ? కడ్డీ ఛివరి కొనలు స్వేచ్ఛగా వ్యాకోచించగలవు. (ఇత్తడి, ఉక్కు కడ్డీల దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకాలు వరుసగా 2.0 × 10^-5K^-1, 1.2 × 10^-5 K^-1).
సాధన:
∆L₁ =L₁α₁∆T= 50 × (2.10 × 10^-5 )(250 – 40) = 0.2205 cm
∆L₂ = L₂α₂∆T = 50(1.2 × 10^-5) (250 – 40) = 0.126 cm
∴ సంయోగ కడ్డీలో మార్పు = ∆L₁ + ∆L₂ = 0.220 + 0.126 = 0.346 cm

ప్రశ్న 11.
గ్లిసరిన్ ఘనపరిమాణ వ్యాకోచ గుణకం 49 × 10^-5K^-1. ఉష్ణోగ్రతను 30°C కు పెంచితే దాని సాంద్రతలో కలిగే అంశిక మార్పు ఎంత ?
సాధన:
ఇచ్చట γ = 49 × 10^-5K^-1,
∆T = 30°C
V’ = V + ∆V = V(1 + γ∆T)
∴ V’ =V(1 + 49 × 10^-5 × 30) = 1.0147 V
ρ = కనుక ρ’ = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{V}^{\prime}}=\frac{\mathrm{m}}{1.0147 \mathrm{~V}}\) = 0.9855p
సాంద్రతలో కలిగే అంశిక మార్పు = \(\frac{\rho-\rho^{\prime}}{\rho}=\frac{\rho-0.9855 \rho}{\rho}\) = 0.0145

ప్రశ్న 12.
8.0 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక చిన్న అల్యూమినియం దిమ్మెలో రంధ్రం వేయడానికి 10kW (రంధ్రాలు చేసే) యంత్రాన్ని ఉపయోగించారు. 50% యంత్రం సామర్థ్యం యంత్రం వేడెక్కడానికి లేదా పరిసరాలలోకి ఉష్ణ నష్టం జరగడానికి ఉపయోగపడింది అనుకొంటే 2.5 నిమిషాలలో దిమ్మె ఉష్ణోగ్రతలో కలిగే పెరుగుదల ఎంత ? అల్యూమినియం విశిష్ట గుప్తోష్ణం = 0.91 Jg^-1 °K^-1,
సాధన:
ఇచ్చట P = 10 k W = 10⁴W, ద్రవ్యరాశి,m = 8.0 kg = 8 × 10³ g
ఉష్ణోగ్రతలో తగ్గుదల AT = ?, కాలం t = 2.5 నిమిషాలు = 2.5 × 60 = 150s
రాగి విశిష్టోష్టం, C = 0.91 Jg^-1 K^-1
మొత్తం శక్తి Q = P × t = 10⁴ × 150 = 15 × 10⁵ J
50% శక్తి నష్టపోయిన ఉపయోగించుటకు వీలుగా వున్న శక్తి ∆Q = \(\frac{1}{2}\) × 15 × 10⁵ = 7.5 × 10⁵ J
As, ∆Q = m c ∆T
∴ ∆T = \(\frac{\Delta Q}{\mathrm{mc}}=\frac{7.5 \times 10^5}{8 \times 10^3 \times 0.91}\) = 103°C

ప్రశ్న 13.
2.5 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక రాగి దిమ్మెను కొలిమిలో 500°C ఉష్ణోగ్రతకు వేడిచేసి ఒక పెద్ద మంచు దిమ్మెపై ఉంచారు. అప్పుడు గరిష్ఠంగా కరిగే మంచు పరిమాణం ఎంత ? (రాగి విశిష్టోష్ణం = 0.39 Jg^-1 K^-1 నీటి ద్రవీభవన గుప్తోష్ణం = 335 Jg^-1 ).
సాధన:
రాగి దిమ్మె ద్రవ్యరాశి m = 2.5 kg = 2500 g ;
రాగి విశిష్టోష్ణం c = 0.39 J g^-1 K^-1;
ఉష్ణోగ్రతలో తగ్గుదల ∆T = 500 – 0 = 500°C
ద్రవీభవన గుప్తోష్ణం L = 335 J g^-1
కరుగుచున్న మంచు ద్రవ్యరాశిని m’ అని అనుకొనుము.
మంచు గ్రహించిన ఉష్ణరాశి = రాగి కోల్పోయిన ఉష్ణరాశి
∴ m’L = mc ∆T
m’ = \(\frac{\mathrm{mc} \Delta \mathrm{T}}{\mathrm{L}}=\frac{2500 \times 0.39 \times 500}{335}\) = 1500g = 1.5kg

ప్రశ్న 14.
ఒక పదార్థం విశిష్టోష్ణం కనుక్కొనే ప్రయోగంలో 150°C వద్ద ఉన్న 0.20 kg ల ఒక లోహపు దిమ్మెను 27°C వద్ద 150 cm3 నీరు ఉన్న కెలోరిమీటరు (జల తుల్యాంకం 0.025 kg) లోకి జారవిడిచారు. తుది ఉష్ణోగ్రత 40°C. లోహపు దిమ్మె విశిష్టోష్ణం గణన చేయండి. పరిసరాలలోకి నష్టపోయిన ఉష్ణం విస్మరించదగినంత కాకపోతే మీ సమాధానం ఆ పదార్థం విశిష్టోష్టం అసలు విలువ కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందా లేదా తక్కువగా ఉంటుందా ?
సాధన:
లోహం ద్రవ్యరాశి m = 0.20 kg = 200 g
లోహం ఉష్ణోగ్రతలో తగ్గుదల ∆T = 150 – 40 = 110°C
‘C’ అనునది లోహం విశిష్టోష్టం అయిన లోహం కోల్పోయిన ఉష్ణరాశి
∆Q = mC∆T = 200 × c × 110 ………………. (i)
నీటి ఘనపరిమాణం = 150 c.c.
∴ నీటి ద్రవ్యరాశి m’. = 150 g
కైలోరి మీటరు నీటి తుల్యాంకం w = 0.025 kg = 25 g
నీటి మరియు కెలోరీ మీటరు ఉష్ణోగ్రతలో పెరుగుదల ∆T’ = 40 – 27 = 13°C
నీరు మరియు కెలోరీ మీటరు గ్రహించిన ఉష్ణరాశి
∆Q’ = (m’ + w)∆T’ = (150 + 25) × 13 = 175 × 13 …………….. (ii)
∆Q = ∆Q’ కావున
∴ (i) మరియు (ii) సమీకరణముల నుంచి 200 × c × 110 = 175 × 13 (లేదా) c = \(\frac{175 \times 13}{200 \times 110}\) ≈ 0.1.
పరిసరాలకు కొంత ఉష్ణం నష్టపోవడం వలన నిజ విలువ కన్నా సాధించిన c విలువ తక్కువగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 15.
గది ఉష్ణోగ్రత వద్ద కొన్ని సాధారణ వాయువుల మోలార్ విశిష్టోష్టాలపై చేసిన పరిశీలనలు కింద ఇవ్వడమైంది.

ఈ విధంగా కొలచిన వాయువుల మోలార్ విశిష్టోష్ట విలువలు ఏక పరమాణు వాయువుల విలువల కంటె విశేషంగా భిన్నమైనవి. ఉదాహరణకు, ఏక పరమాణుక వాయువు మోలార్ విశిష్టోష్ణం 2.92 cal/mol K. ఈ వ్యత్యాసం ఎందుకో వివరించండి. క్లోరిన్ విలువ కొంత వరకు అధికంగా (మిగతా వాటి కంటే) ఉండటాన్ని బట్టి ఏమి చెప్పవచ్చు ?
సాధన:
పైన పట్టికలో ఇవ్వబడిన వాయువుల ద్వి పరమాణు వాయువులు, ఏక పరమాణు వాయువులు కావు. ద్విపరమాణువు వాయువుల మోలార్ విశిష్టోష్ణం = \(\frac{1}{2}\)R = \(\frac{5}{2}\) × 1.98=4 .95 ఈ పట్టిక నందు ఇచ్చిన పరిశీలనల దృష్ట్యా క్లోరిన్ మినహాయించి మిగిలిన వాయువులు అన్నియూ నియమానుసారం ఉన్నట్లుగా ఆమోదించవచ్చును. ఏక పరమాణు వాయువులలో β అణువులకు స్థానాంతర చలనం మాత్రమే ఉంటుంది.

ద్వి పరమాణువు వాయువులో β అణువులు స్థానాంతర చలనంతో పాటు కంపన మరియు భ్రమణ చలనాలను కూడా కలిగి ఉంటాయి. అందువలన 1 మోల్ ద్విపరమాణు వాయువు ఉష్ణోగ్రతను 1°C పెంచుటకు, స్థానాంతర శక్తితో పాటుగా, భ్రమణ మరియు కంపన శక్తులను పెంచుటకు కావలసిన ఉష్ణరాశిని సరఫరా చేయవలెను. అందువల్ల మోలార్ విశిష్టోష్టం ఏక పరమాణు వాయువుల కన్నా ద్వి పరమాణు వాయువులకు ఎక్కువ.

గది ఉష్ణోగ్రత వద్ద క్లోరిన్ మోలార్ విశిష్టోష్ణం విలువ మిగిలిన ద్విపరమాణు వాయువులు హైడ్రోజన్, నైట్రోజన్, ఆక్సిజన్ మొ॥ కన్నా అధికముగా ఉండటాన్ని బట్టి క్లోరిన్క స్థానాంతర, భ్రమణ చలనాలతో పాటు కంపన చలనాలు కూడా ఉంటాయి. మిగిలిన వాయువులకు స్థానాంతర మరియు భ్రమణ చలనాలు మాత్రమే ఉంటాయి. ఈ కారణం వలన క్లోరిన్ వాయువు కొంత అధిక మోలార్ విశిష్టోష్ణం విలువను కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 16.
కార్బన్ డై ఆక్సైడ్ P-T ప్రావస్థా పటం ఆధారంగా కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలను ఇవ్వండి.
(a) ఏ ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద సమతాస్థితిలో CO₂ ఘన, ద్రవ, బాష్ప స్థితులు కలిసి ఉంటాయి ?
(b) CO₂ ఘనీభవన, బాష్పీభవన స్థానాలపై పీడన తగ్గుదల ప్రభావమేమిటి ?
(c) CO₂ సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రత, పీడన విలువలు ఏమిటి ? వాటి ప్రాముఖ్యత ఏమిటి ?
(d) క్రింది వివిధ సందర్భాలలో CO₂ ఘనమా, ద్రవమా లేదా వాయువా తెలపండి. a) 1atm, – 70°C వద్ద b) 10atm, -60°C వద్ద c) 56 atm, 15°C వద్ద ?

సాధప:
(a) -56.6° C ఉష్ణోగ్రత, 5.11 వాతావరణ పీడనం (త్రిక బిందువు) ల వద్ద CO₂, ఘన, ద్రవ మరియు బాష్ప స్థితులు కలసి ఉంటాయి.

(b)పీడనాన్ని తగ్గిస్తూ ఉంటే, CO₂ యొక్క ఘనీభవన మరియు బాష్పీభవన స్థానాలు తగ్గుతాయి.

(c) CO₂ సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రత విలువ 31.1°C మరియు సందిగ్ధ పీడనము విలువ 73 వాతావరణ పీడనము. CO₂ ఉష్ణోగ్రత 31.1°C కన్నా పెంచినపుడు ఎంత ఎక్కువ పీడనాన్ని ప్రయోగించిన అది ద్రవంగా మారదు.

(d) (a) 1 atm, -70° C వద్ద CO₂ వాయువు వాయు స్థితిలో ఉంటుంది.
(b) 1 atm, -60°C వద్ద CO₂ ఘన స్థితిలో ఉంటుంది.
(c) 56 atm, 150°C వద్ద CO₂ ద్రవ స్థితిలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 17.
CO₂ P-T ప్రావస్థా పటం ఆధారంగా క్రింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలు ఇవ్వండి.
(a) 1 atm పీడనం, -60°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద CO₂ ను సమోష్ణోగ్రతా ప్రక్రియలో సంపీడనం చెందిస్తే దానిలో మార్పు ద్రవ ప్రావస్థ ద్వారా జరుగుతుందా ?
(b) 4 atm పీడనం వద్ద ఉన్న CO₂ను స్థిర పీడనం వద్ద గది ఉష్ణోగ్రత నుంచి చల్లబరిస్తే ఏమవుతుంది ?
(c) 10 atm పీడనం, -65°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద నిర్దిష్ట ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఘన CO₂ ను స్థిర పీడనం వద్ద గది ఉష్ణోగ్రతకు వేడిచేస్తే, దానిలో కలిగే మార్పులను గుణాత్మకంగా వివరించండి.
(d) CO₂ను 70°C ఉష్ణోగ్రతకు వేడిచేసి సమోష్ణోగ్రతా ప్రక్రియలో సంపీడనం చెందించారు. దాని ధర్మాలలో ఎలాంటి మార్పులు కలుగుతాయో మీరు ఊహించగలరా ?
సాధన:
(a) 60°C ఉష్ణోగ్రత వక్రంలో 56.6°C కు ఎడమవైపు ఉన్నది. అనగా ఇది ఘన మరియు బాష్ప ప్రదేశాలలో ఉంటుంది. కావున CO₂ ద్రవ ప్రావస్థను చేరకుండా బాష్ప ప్రావస్థ నుండి ఘన ప్రావస్థను చేరుతుంది.

(b) CO₂ పీడనం 4 atm విలువ 5.11 atm ల కన్నా తక్కువగా ఉన్నది కావున, అది ద్రవ ప్రావస్థను పొందకుండా నేరుగా ఘనీభవిస్తుంది.

(c) 10 atm పీడనం, -65°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద నిర్దిష్ట ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఘన CO₂ ను స్థిర పీడనం వద్ద వేడిచేస్తే ఘన స్థితి నుండి ద్రవ స్థితికి మారి ఆ తరువాత బాష్ప స్థితికి చేరుతుంది. P-T పటంలో క్షితిజ సమాంతర రేఖ 10 atm స్థిర పీడనం వద్ద ఘనీభవన, బాష్పీభవన వక్రాలను ఖండించే బిందువులు ఘనీభవన, బాష్పీభవన బిందువులను ఇస్తాయి.

(d) CO₂ ను 70°C ఉష్ణోగ్రతకే వేడిచేసి సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియలో సంపీడనం చెందించిన ద్రవస్థితికి పరివర్తనను విస్పష్టంగా ప్రదర్శించదు. ఎందుకనగా వాయువు ఉష్ణోగ్రత, సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రత కన్నా ఎక్కువ. కాని పీడనం అధికమయ్యే కొలదీ ఆదర్శ వాయు ప్రవర్తన నుంచి విచలనము పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 18.
ఒక బాలుడు 101°F ఉష్ణోగ్రత జ్వరంతో ఉన్నాడు. అతడు జ్వరాన్ని తగ్గించే ఆంటీసైరిన్ మాత్ర తీసుకొన్నప్పుడు ఆ మాత్ర కారణంగా అతని దేహం నుంచి వెలువడే చెమట ఆవిరయ్యే రేటు పెరుగుతుంది. 20 నిమిషాలలో బాలుడి జ్వరాన్ని 98°Fకు తగ్గిస్తే, ఆ మాత్ర వల్ల కలిగే ఆదనపు ఆవిరయ్యే రేటు ఎంత ? ఆవిరిగా మారే క్రియ వల్లనే ఉష్ణ నష్టం జరుగుతుంది అనుకోండి. బాలుడి ద్రవ్యరాశి 30 kg. మానవ దేహం విశిష్టోష్ణం ఉజ్జాయింపుగా నీటి విశిష్టోష్ణానికి సమానం. ఆ ఉష్ణోగ్రత వద్ద నీటి ఆవిరి గుప్తోష్టం సుమారుగా 580 cal g^-1,
సాధన:
ఉష్ణోగ్రతలో తగ్గుదల, ∆T = 101 – 98 = 3°F = 3 × \(\frac{5}{9}\)°C = 5/3°C
బాలుడు ద్రవ్యరాశి, m = 30 kg
మానవ శరీరం విశిష్టోష్ణం = నీటి విశిష్టోష్ణం c = 1000 cal. kg^-1 °C^-1
∴ బాలుడు నష్టపోయిన ఉష్ణరాశి, ∆Q = mc∆T = 30 × 1000 × \(\frac{5}{3}\) = 50000 cals
20 నిమిషాలలో ఆవిరి అయిన నీటి ద్రవ్యరాశి m’ అయిన m’L = ∆Q (లేదా) m’ = \(\frac{\Delta Q}{L}\) = \(\frac{50000}{580}\) = 86.2g
∴ అధికంగా ఆవిరి కాబడిన నీటి సగటు రేటు = \(\frac{86.2}{20}\) = 4.31 g min^-1

ప్రశ్న 19.
ప్రత్యేకంగా వేసవి కాలంలో తక్కువ పరిమాణంలో వండిన ఆహారాన్ని నిల్వ చేయడానికి చౌకయిన, సమర్థవంతమైన పద్ధతి థర్మోకోల్ మంచుపెట్టె. 30 cm పొడవు గల ఘన మంచు పెట్టె మందం 5.0 cm. ఆ పెట్టెలో 4.0 kg ల మంచును ఉంచారు. 6 గంటల తరువాత మిగిలి ఉండే మంచు పరిమాణాన్ని అంచనా వేయండి. వెలుపలి ఉష్ణోగ్రత 45°C, థర్మోకోల్ ఉష్ణ వాహకత్వ గుణకం 0.01 J s^-1 m^-1K^-1 [నీటి ద్రవీభవన ఉష్ణం = 335 × 10^-3 J kg^-1]
సాధన:
మంచు పెట్టె పొడవు, l = 30 cm = 0.3 m;
మందం, ∆x = 5 cm = 0.05 m
మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం, A = 6l² = 6 × 0.3 × 0.3 = 0.54 m²
ఉష్ణోగ్రతలో వ్యత్యాసము, ∆T = 45 – 0 = 45°C, K = 0.01 Js^-1 m^-1 K^-1
కాలం = ∆t = 6hrs = 6 × 60 × 60s
ద్రవీభవన గుప్తోష్టం, L = 335 × 10³ J / kg
ఈ కాలంలో కరిగిన మంచు ద్రవ్యరాశిని ‘m’ అనుకొనిన ∆Q = mL = KA\(\left(\frac{\Delta \mathrm{T}}{\Delta \mathrm{x}}\right)\)ΔΤ
m = KA \(\left(\frac{\Delta \mathrm{T}}{\Delta \mathrm{x}}\right) \frac{\Delta \mathrm{t}}{\mathrm{L}}\) = 0.01 × 0.54 × \(\frac{45}{0.05}\) × \(\frac{6 \times 60 \times 60}{335 \times 10^3}\) = 0.313kg
∴ మిగిలిన మంచు ద్రవ్యరాశి = 4 – 0.313 = 3.687 kg.

ప్రశ్న 20.
ఒక ఇత్తడి బాయిలర్ అడుగు భాగం వైశాల్యం 0.15 m², మందం 1.0 cm. దీనిని ఒక గ్యాస్ స్టవ్ పై పెట్టినప్పుడు 6.0 kg/min రేటున నీటిని మరిగిస్తుంది. బాయిలర్తో స్పర్శలో ఉన్న మంటలోని కొంత భాగం ఉష్ణోగ్రతను అంచనా వేయండి. ఇత్తడి-ఉష్ణవాహకత్వం = 109 J s^-1 m^-1 K^-1; నీటి బాష్పీభవన ఉష్ణం = 2256 × 10³ J kg^-1.
సాధన:
ఇచ్చట A = 0.15 m², ∆x = 1.0 cm = 10^-2 m.
\(\frac{\Delta \mathrm{Q}}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{6 \times 10^3 \times 2256}{60}\) Js^-1 = 2256 × 10² Js^-1
K = 609 J s^-1 m^-1 °C^-1, ∆T = (t-100)
\(\frac{\Delta Q}{\Delta t}\) = KA \(\left(\frac{\Delta T}{\Delta \mathrm{x}}\right)\) నుండి 2256 × 10² = 609 × 0.15\(\frac{(\mathrm{t}-100)}{10^{-2}}\)
t – 100 = \(\frac{2256}{609 \times 0.15}\) = 24.70
⇒ t = 124.70°C

ప్రశ్న 21.
ఎందుకో వివరించండి :
(a) అధిక పరావర్తకత ఉన్న వస్తువు అధమ ఉద్గారకం.
(b) అతి శీతలంగా ఉన్న రోజు చెక్క పళ్ళెం కంటే ఇత్తడి పాత్ర చాలా చల్లగా ఉంటుంది.
(c) పరిపూర్ణ కృష్ణ వస్తువు వికిరణానికి క్రమాంకనం చేసిన దృశా పైరామీటరు (అధిక ఉష్ణోగ్రత కొలవడానికి) బాహ్య ప్రదేశంలో ఉన్న బాగా ఎర్రగా వేడెక్కిన ఇనుప కడ్డీ ఉష్ణోగ్రతను చాలా తక్కువ విలువగా చూపుతుంది. కాని, అదే కడ్డీని కొలిమిలో అమర్చినప్పుడు ఆ ఉష్ణోగ్రత వద్ద సరైన విలువను చూపుతుంది.
(d) భూమిపై భూ వాతావరణం లేకుంటే జీవకోటి ఉండటానికి వీలులేనంత చల్లగా ఉండేది.
(e) వేడి నీటిని ప్రవహింపచేయడంపై ఆధారపడ్డ తాపన వ్యవస్థ కంటే ఆవిరిని ప్రవహింప చేయడంపై ఆధారపడ్డ తాపన వ్యవస్థ చాలా సమర్థవంతంగా భవంతిని వేడి చేయగలదు.
సాధన:
(a) అధిక పరావర్తకత కలిగిన వస్తువు ఉష్ణాన్ని అధమంగా శోషించుకుంటుంది. ప్రివోస్ట్ సిద్ధాంతము ప్రకారము అధమ శోషకాలు, అధమ ఉద్గారకాలు.

(b) అతిశీతలంగా ఉన్న రోజున ఇత్తడి పాత్రను తాకిన, ఉష్ణం మనిషి శరీరం నుండి ఇత్తడి పాత్రకు ప్రవర్తిస్తుంది. అందువల్ల ఇత్తడి పలక చల్లగా ఉంటుంది. చెక్క పళ్ళెంను తాకిన, ఉష్ణం మనిషి శరీరం నుండి పళ్ళెంనకు ప్రసరించదు.

(c) కొలమిలో అమర్చి బాగా ఎర్రగా వేడిచేసిన ఇనుపకడ్డీ ఉష్ణోగ్రత TK ను E = σT^-1 అను సంబంధము ద్వారా రాబట్టవచ్చు. T_o ఉష్ణోగ్రత కలిగిన బాహ్య ప్రదేశంలో ఉంచిన బాగా ఎర్రగా వేడెక్కిన ఇనుప కడ్డీ విడుదల చేసే శక్తిని, E = σ(T⁴ – T_o^4-) అను సంబంధము ద్వారా కనుగొనవచ్చు.

దృశ్యా పైరోమీటరు అను పరికరము వస్తువు యొక్క ప్రకాశం, దాని ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడి ఉంటుందనే సూత్రముపై పనిచేస్తుంది. అందువల్ల బాహ్య ప్రదేశంలో ఉంచిన ఇనుప కడ్డీ ఉష్ణోగ్రతను చాలా తక్కువగా చూపుతుంది.

(d) సూర్యుని నుంచి భూమికి వచ్చే ఉష్ణ వికిరణాలలో పరారుణ వికిరణాలను భూవాతావరణంలోని పొరలు పరావర్తనం చెందించి భూఉపరితలానికి చేరుస్తాయి. దీని ఫలితంగా భూవాతావరణం వెచ్చగా ఉంటుంది. భూమిపై భూవాతావరణం లేకుంటే, పరారుణ వికిరణాలు పరావర్తనం జరగక జీవకోటి ఉండటానికి వీలు లేనంత చల్లగా ఉంటుంది.

(e) 100°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న బాష్పం, 100°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న అంతే ద్రవ్యరాశి కలిగిన వేడి నీటికన్నా ఎక్కువ ఉష్ణరాశిని కలిగియుంటుంది. 100°C వద్ద ఉన్న 1 గ్రామ్ నీటి ఉష్ణం కన్నా, 100°C వద్ద ఉన్న 1 గ్రామ్ బాష్పం 540 కెలరీల ఎక్కువ ఉష్ణరాశిని కలిగియుంటుంది. కావున వేడినీటిని ప్రవహింపచేయడంపై ఆధారపడ్డ తాపన వ్యవస్థ కంటే ఆవిరిని ప్రవహింపచేయటంపై ఆధారపడ్డ తాపన వ్యవస్థ చాలా సమర్థవంతంగా భవంతిని వేడి చేయగలదు.

ప్రశ్న 22.
ఒక వస్తువు 5 నిమిషాలలో 80°C నుంచి 50°C కు చల్లబడుతుంది. 60°C నుంచి 30°C కు చల్లబడటానికి పట్టే కాలం కనుక్కోండి. పరిసరాల ఉష్ణోగ్రత 20°C.
సాధన:
వస్తువు ఉష్ణోగ్రత మరియు పరిసరాల ఉష్ణోగ్రతలు వరుసగా T మరియు T_o అయిన న్యూటన్ శీతలీకరణ సిద్ధాంతము ప్రకారము
\(\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dt}}\) = -K(T – T_o) (లేదా) \(\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{T}-\mathrm{T}_0}\) = -K dt
వస్తువు ఉష్ణోగ్రత T₁ నుంచి T₂ వరకు t అనే కాలంలో తగ్గిన పై సంబంధాన్ని సమాకలనం చేయగా

ప్రశ్నలోని మొదటి సందర్భమునకు,
T₁ = 80°C,
T₂ = 50°C,
T₀ = 20°C,
t = 5 min. = 5 × 60s

(లేదా) t = 5 × 60 × 2 = 10 × 60s = 10 min.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 5 Products of Vectors Ex 5(b) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Products of Vectors Solutions Exercise 5(b)

I.
Question 1.
If |p̅| = 2, |q̅| = 3 and (p, q) = \(\frac{\pi}{6}\), then find |p̅ × q̅|².
Answer:
p̅ × q̅ = |p̅| |q̅| sinθn̂
Given p̅ = 2, q̅ = 3 and (p̅. q̅) = \(\frac{\pi}{6}\)
|p̅ × q̅| = (2) (3)sin\(\frac{\pi}{6}\) = 3
∴ |p̅ × q̅|² = 9

Question 2.
If a̅ = 2i̅ – j̅ + k̅ and b̅ = i̅ – 3j̅ – 5k̅, then find |a̅ × b̅|. (March 2013)
Answer:
a̅ = 2 i̅ – j̅ + k̅ and b̅ = i̅ – 3 j̅ – 5k̅

Question 3.
If a̅ = 2i̅ – 3j̅ + k̅ and b̅ = i̅ + 4j̅ – 2k̅, then find (a̅ + b̅) × (a̅ – b̅).
Answer:
Given a̅ = 2i̅ – 3j̅ + k̅ and b̅ = i̅ + 4j̅ – 2k̅
Then a̅ + b̅ = 3 i̅ + j̅ – k̅ and a̅ – b̅ = i̅ – 7j̅ + 3k̅
(a + b) × (a – b) = \(\left|\begin{array}{rrr}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
3 & 1 & -1 \\
1 & -7 & 3
\end{array}\right|\)
= i̅(3 – 7) – j̅(9 + l) + k̅ (- 21 – 1)
= -4i̅ – 10j̅ – 22k̅
= -2 (2i̅ + 5j̅ + 11k̅)

Question 4.
If 4i̅ + \(\frac{2 p}{3}\) j̅ + pk̅ is parallel to the vector 3 i̅ + 2j̅ + 3k̅, find p.
Answer:
Given 4i̅ + \(\frac{2 p}{3}\) j̅ + pk̅ is parallel to
i̅ + 2j̅ + 3k̅
∴ \(\frac{4}{1}=\frac{\frac{2 p}{3}}{2}=\frac{p}{3}\)
⇒ \(\frac{2 p}{3}\) = -4 ⇒ p = 12

Question 5.
Compute
a̅ × (b̅ + c̅) + b̅ × (c̅ + a̅) + c̅ × (a̅ + b̅)
Sol.
a̅ × (b̅ + c̅) + b̅ × (c̅ + a̅) + c̅ × (a̅ + b̅)
= (a̅ × b̅) + (a̅ × c̅) + (b̅ × c̅) + (b̅ × a̅) + (c̅ × a̅) + (c̅ × b̅)
= (a̅ × b̅) + (a̅ × c̅) + (b̅ × c̅) – (a̅ × b̅) – (a̅ × c̅) – (b̅ × c̅)
= 0

Question 6.
If p̅ = xi̅ + yj̅ + zk̅, then find |p̅ × k̅|².
Answer:
p̅ × k̅ = (xi̅ + yj̅ + zk̅) × k̅
= x(i̅ × k̅) + y(j̅ × k̅) + z(k̅ × k̅)
= -xj̅ + yi̅ + z(0)
= yi̅ – xj̅
|p̅ × k̅|² = x² + y²

Question 7.
Compute 2j̅ × (3i̅ – 4k̅) + (i̅ + 2j̅) × k̅
Sol.
2j̅ × (3i̅ – 4k̅) + (i̅ + 2j̅) × k̅
= 6(j̅ × i̅) – 8(j̅ × k̅) + (i̅ × k̅) + 2(j̅ × k̅)
= -6k̅ – 8i̅ – j̅ + 2i̅
= -6i̅ – j̅ – 6k̅

Question 8.
Find unit vector perpendicular to both i̅ + j̅ + k̅ and 2i̅ + j̅ + 3k̅.
Answer:
Given a̅ = i̅ + j̅ + k̅ and b̅ = 2i̅ + j̅ + 3k̅
then a̅ × b̅ = \(\left|\begin{array}{lll}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right|\)
= i̅(3 – 1) – j̅(3 – 2) + k̅(1 – 2)
= 2i̅ – j̅ – k̅
|a̅ × b̅| = \(\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}\)
Unit vector perpendicular to both a̅ and b̅
= ±\(\frac{\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}}{|\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}|}=\pm\left(\frac{2 \overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{k}}}{\sqrt{6}}\right)\)

Question 9.
If θ is the angle between the vectors i̅ + j̅ and j̅ + k̅, then find sin θ.
Answer:
Let a̅ = i̅ + j̅ and b̅ = j̅ + k̅

Question 10.
Find the area of the parallelogram having a̅ = 2j̅ – k̅ and b̅ = – i̅ + k̅ as adjacent sides.
Answer:
Vector area of the parallelogram having
a̅ = 2j̅ – k̅ and b̅ = -i̅ + k̅ as adjacent sides = a̅ × b̅
= \(\left|\begin{array}{rrr}
\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\
0 & 2 & -1 \\
-1 & 0 & 1
\end{array}\right|\) = 2 i̅ + j̅ + 2k̅
Area of the parallelogram
= |a̅ × b̅| = \(\sqrt{4+1+4}\) = 3 sq. units.

Question 11.
Find the area of the parallelogram whose diagonals are 3i̅ + j̅ – 2k̅ and i̅ – 3j̅ + 4k̅.
Answer:
Let a̅ = 3i̅ + j̅ – 2k̅ and b̅ = i̅ – 3j̅ + 4k̅ be the diagonals of a parallelogram then its vector area = \(\frac{1}{2}\)(a̅ × b̅) and area |\(\frac{1}{2}\)(a̅ × b̅)|
a̅ × b̅ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
3 & 1 & -2 \\
1 & -3 & 4
\end{array}\right|\)
= i̅ [4 – 6] – j̅ [12 + 2] + k̅ [-9 – 1]
= -2i̅ – 14j̅ – 10k̅
= 2(-i̅ – 7j̅ – 5k̅)
Vector area of parallelogram = |\(\frac{1}{2}\)(a̅ × b̅)|
= |[2(-i̅ – 7j̅ – 5k̅)]
= (-i̅ – 7j̅ – 5k̅)
Area of the parallelogram = |- i̅ – 7 j̅ – 5k̅|
= \(\sqrt{1+49+25}=\sqrt{75}\) = 5√3 sq. units.

Question 12.
Find the area of the triangle having 3 i̅ + 4j̅ and – 5 i̅ + 7j̅ as two of its sides.
Answer:
Area of the triangle = \(\frac{1}{2}\) \(|\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}|\)
\(\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}\) = (3i̅ + 4j̅) × (-5i̅ + 7j̅)
= -15(i̅ × i̅) – 20(j̅ × i̅) + 21(i̅ × j̅) + 28 (j̅ × j̅)
= 20k̅ + 21k̅ = 41k̅
Area of the ΔABC = \(\frac{1}{2}\) \((41) = 20.5 sq. units

Question 13.
Find unit vector perpendicular to the plane determined by the vectors a̅ = 4i + 3j – k and b̅ = 2 i – 6 j 3k .
Answer:
Here a̅ = 4 i̅ + 3 j̅ – k̅ and b̅ = 2 i̅ – 6 j̅ – 3k̅
then a̅ × b̅

= i̅(-15) – j̅(-10) + k̅(-30)
= -15i̅ +10j̅ – 30k̅
= -5(3i̅ – 2j̅ + 6k̅)
|a̅ × b̅| = 5[latex]\sqrt{9+4+36}\) = 5(7) = 35
∴ Unit vector perpendicular to the plane
= \(\pm \frac{5(3 \bar{i}-2 \bar{j}+6 \bar{k})}{35}\)
= \(\frac{\pm(3 \bar{i}-2 \bar{j}+6 \bar{k})}{7}\)

Question 14.
Find the area of the triangle whose vertices are A (1, 2, 3), B (2, 3, 1) and C (3, 1, 2). (Mar. ’14, ’06)
Answer:
Suppose i̅, j̅, k̅ are unit vectors along the coordinate axes.
Position vectors of A, B, C are i̅ + 2j̅ + 3k̅, 2i̅ + 3j̅ + k̅, 3i̅ + j̅ + 2k̅
\(\overline{\mathrm{AB}}\) = (2i̅ + 3j̅ + k̅) – (i̅ + 2j̅ + 3k̅)
= i̅ + j̅ – 2k̅
\(\overline{\mathrm{AC}}\) = (3 i̅ + j̅ + 2k̅) – (i̅ + 2 j̅ + 3k̅)
= 2i̅ – j̅ + k̅

\(\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}=\left|\begin{array}{rrr}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
1 & 1 & -2 \\
2 & -1 & -1
\end{array}\right|\)
= i̅(-1 – 2) – j̅(-1 + 4) + k̅(-1 – 2)
= -3i̅ – 3 j̅ – 3k̅ = -3(i̅ + j̅ + k̅)
Area of the ΔABC = \(\frac{1}{2}|\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}|\)
= \(\frac{3}{2} \sqrt{1+1+1}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}\)sq.units

II.
Question 1.
If a̅ + b̅ + c̅ = 0, then prove that a̅ × b̅ = b̅ × c̅ = c̅ × a̅.
Answer:
Given a̅ + b̅ + c̅ = 0
⇒ a̅ = -b̅ – c̅
∴ a̅ × b̅ = -(b̅ × b̅) – (c̅ × b̅)
= 0 + (b̅ × c̅) = (b̅ × c̅) …………(1)
Again a̅ + b̅ + c̅ = 0
⇒ c = -a̅ – b̅
⇒ c̅ × a̅ = (-a̅ – b̅) × a̅
= -(a̅ × a̅) – (b̅ × a̅)
= 0 + (a̅ × b̅)
∴ (c̅ × a̅) = (a̅ × b̅) …………..(2)
From (1) and (2), a̅ × b̅ = b̅ × c̅ – c̅ × a̅

Question 2.
If a̅ = 2i̅ + j̅ – k̅, b̅ = -i̅ + 2j̅ – 4k̅ and c̅ = i̅ + j̅ + k̅, then find (a̅ × b̅) – (b̅ × c̅). (March 2015-A.P)
Answer:
Given a̅ = 2i̅ + j̅ – k̅, b̅ = – i̅ + 2 j̅ – 4k̅ and c̅ = i̅ + j̅ + k̅
Then a̅ × b̅ = \(\left|\begin{array}{rrr}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
2 & 1 & -1 \\
-1 & 2 & -4
\end{array}\right|\)
= i̅ (-4 + 2) – j̅ (-8 – 1) + k̅(4 + 1)
= -2i̅ + 9 j̅ + 5k̅
b̅ × c̅ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
-1 & 2 & -4 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right|\)
= i̅ (2 + 4) – j̅ (-1 + 4) + k̅(-1 – 2)
= 6i̅ – 3j̅ – 3k̅
(a̅ × b̅) – (b̅ × c̅) = (-2i̅ + 9j̅ + 5k̅) – (6i̅ – 3j̅ – 3k̅)
= -12 – 27 – 15
= -54

Question 3.
Find the vector area and the area of the parallelogram having a̅ = i̅ + 2j̅ – k̅ and b̅ = 2i̅ – j̅ + 2k̅ as adjacent sides.
Answer:
Given a̅ = i̅ + 2j̅ – k̅ and b̅ = 2i̅ – j̅ + 2k̅
Then the vector area of parallelogram = a̅ × b̅
∴ (a̅ x b̅) = \(\left|\begin{array}{rrr}
\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\
1 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 2
\end{array}\right|\)
= i̅ (4 – 1)- j̅ (2 + 2) + k̅(-1 – 4)
= 3i̅ – 4j̅ – 5k̅

Magnitude of the area = \(\sqrt{9+16+25}\)
= \(\sqrt{50}\) = 5√2 sq. units

Question 4.
If a̅ × b̅ = b̅ × c̅ ≠ 0, then show that a̅ + c̅ = pb̅, where p is some scalar.
Answer:
Consider (a̅ + c̅ – pb̅) × b̅
= (a̅ × b̅) + (c̅ × b̅) – p(b̅ × b̅)
= (b̅ × c̅) – (b̅ × c̅) – p(0) = 0
∴ a̅ + c̅ – pb̅ = 0 ⇒ a̅ + c̅ = pb̅

Question 5.
Let a and b be vectors, satisfying |a̅| = |b̅| = 5 and (a̅, b̅) = 45°. Find the area of the triangle having a̅ – 2b̅ and 3a̅ + 2b̅ as two of its sides. [March 2007]
Answer:
Area of the triangle = \(\frac{1}{2}\) |(a̅ – 2b̅) × (3a̅ + 2b̅)|
Now |(a̅ – 2b̅) × (3a̅ + 2b̅)|
= 13(a̅ × a̅) – 2(b̅ × a̅) – 6(b̅ × a̅) – 4(b̅ × b̅)|
= 12(a̅ × b̅) + 6(a̅ × b̅)| = 18(a̅ × b̅)|
= 8|a̅| |b̅| sin45°
= 8(5)(5)\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)n̂
= 100√2n̂
From (1)
Area of the triangle = \(\frac{1}{2}\)(100)√2
= 50√2 sq. units

Question 6.
Find die vector having magnitude √6 units and perpendicular to both 2j̅ – k̅ and 3j̅ – i̅ – k̅.
Answer:
Let a̅ = 2 i̅ – k̅ and b̅ = 3i̅ – j̅ – k̅
Then a̅ × b̅ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\bar{j} & \bar{i} & \bar{k} \\
2 & 0 & -1 \\
3 & -1 & -1
\end{array}\right|\)
= i̅(-1) – j̅(-2 + 3) + k̅(-2)
= – i̅ – j̅ – 2k̅
= -(i̅ + j̅ + 2k̅)
|a̅ × b̅| = \(\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}\)
Vector perpendicular to a̅ and b̅ and having magnitude √6 units is = -(i̅ + j̅ + 2k̅)
Unit vector perpendicular to a and b and having magnitude √6 units is ±\(\left(\frac{\bar{a} \times \bar{b}}{|\bar{a} \times \bar{b}|}\right)\)

Question 7.
Find unit vector perpendicular to the plane determined by the points P (1, – 1, 2), Q (2, 0, – 1) and R (0, 2, 1).
Answer:
Let O be the origin.
\(\overline{\mathrm{OP}}\) = i̅ – j̅ + 2k̅
\(\overline{\mathrm{OQ}}\) = 2i̅ – k̅
\(\overline{\mathrm{OR}}\) = 2j̅ + k̅
\(\overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{OQ}}-\overline{\mathrm{OP}}\) = (2i̅ – k̅) – (i̅ – j̅ + 2k̅)
= i̅ + j̅ – 3k̅
\(\overline{\mathrm{PR}}=\overline{\mathrm{OR}}-\overline{\mathrm{OP}}\) = (2j̅ + k̅) – (i̅ – j̅ + 2k̅)
= – i̅ + 3 j̅ – k̅

Now \(\overline{\mathrm{PQ}} \times \overline{\mathrm{PR}}=\left|\begin{array}{ccc}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
1 & 1 & -3 \\
-1 & 3 & -1
\end{array}\right|\)
= i̅ (-1 + 9) – j̅ (-1 – 3) + k̅(3 + 1)
= 8i̅ + 4j̅ + 4k̅
= 4(2i̅ + j̅ + k̅)
\(|\overline{\mathrm{PQ}} \times \overline{\mathrm{PR}}|=4 \sqrt{4+1+1}=4 \sqrt{6}\)

∴ Unit vector perpendicular to the plane determined by the points P, Q and R is

Question 8.
If a̅. b̅ = a̅. c̅ and a̅ × b̅ = a̅ × c̅, a ≠ 0, then show that b̅ = c̅.
Answer:
a̅ . b̅ = a̅. c̅
⇒ a̅.b̅ – a̅.c̅ = 0
⇒ a̅ . (b̅ – c̅) = 0
⇒ b̅ – c̅ = 0 (or) a̅ is perpendicular to
b̅ – c̅ ……… (1) (∵ a̅ ≠ 0)
Again a̅ × b̅ = a̅ × c̅ = 0
⇒ a̅ × b̅ – a̅ × c̅
⇒ a̅ × (b̅ – c̅) = 0 (∵ a ≠ 0)
⇒ b̅ – c̅ = 0 (or) a is parallel to
b̅ – c̅ ………(2)
From (1) and (2);
b̅ – c̅ = 0 ⇒ b̅ = c

Question 9.
Find a vector of magnitude 3 and perpendicular to both the vectors b̅ = 2 i̅ – 2j̅ + k̅ and c̅ = 2i̅ + 2j̅ + 3k̅.
Answer:
b̅ × c̅ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\bar{i} & \vec{j} & \bar{k} \\
2 & -2 & 1 \\
2 & 2 & 3
\end{array}\right|\)
= i̅ [-6 – 2] – j̅ [6 – 2] + k̅ [4 + 4]
= -8i̅ – 4j̅ + 8k̅ = -4(2i̅ + j̅ – 2k̅)
∴ A vector of magnitude 3 and perpendicular to both the vectors b̅ and c̅ is = ± 3\(\frac{\bar{b} \times \bar{c}}{|\bar{b} \times \bar{c}|}\)
= 3\(\left[\frac{-4(2 \bar{i}+\bar{j}-2 \bar{k})}{12}\right]\)
= ± (2i̅ + j̅ – 2k̅)

Question 10.
If |a̅|=13, |b̅| = 5 and a̅. b̅ = 60, then find |a̅ × b̅|.
Answer:
We have |a̅ × b̅| = |a̅|² |b̅|² – (a̅. b̅)²
= (13)² (5)² – (60)²
= (169) 25 – 3600
= 4224 – 3600 = 625
|a̅ × b̅| = \(\sqrt{625}\) = 25

Question 11.
Find unit vector perpendicular to the plane passing through the points (1, 2, 3), (2,-1, 1) and (1,2,- 4). (March 2005)
Answer:
Let O’ be the origin and let A (1, 2, 3), B (2, – 1, 1) and C (1, 2,-4) be the given points.
Then \(\overline{\mathrm{OA}}\) = i̅ + 2 j̅ + 3k̅
\(\overline{\mathrm{OB}}\) = 2 i̅ – j̅ + k̅
\(\overline{\mathrm{OC}}\) = i̅ + 2j̅ – 4k̅
\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\)
= (2i̅ – j̅ + k̅) – (i̅ + 2j̅ + 3k̅)
= i̅ – 3 j̅ – 2k̅
\(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{OC}}-\overline{\mathrm{OA}}\)
= (i̅ + 2j̅ – 4k̅) – (i̅ + 2j̅ + 3k̅)
= -7k̅
\(\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}=\left|\begin{array}{ccc}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
1 & -3 & -2 \\
0 & 0 & -7
\end{array}\right|\)
= i̅(21) – j̅(-7) + k̅(0)
= 7(3i̅ + j̅)
\(|\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}|=7 \sqrt{9+1}=7 \sqrt{10}\)

Unit vector perpendicular to the plane

III.
Question 1.
If a̅, b̅ and c̅ represent the vertices A, B and C respectively of ΔABC, then prove that |(a̅ × b̅) + (b̅ × c̅) + (c̅ × a̅)| is twice the area of ΔABC.
Answer:
Let ‘O’ be the origin and
\(\overline{\mathrm{OA}}\) = a̅, \(\overline{\mathrm{OB}}\) = b̅, \(\overline{\mathrm{OC}}\) = c̅
\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = b – a
and \(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{OC}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = c – a
∴ Area of ΔABC = \(\frac{1}{2}|\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}|\) ………(1)
Here \(\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}\) = (b̅ – a̅) × (c̅ – a̅)
= (b̅ × c̅) – (a̅ × c̅) – (b̅ × a̅) + (a̅ × a̅)
= (b̅ × c̅) + (c̅ × a̅) + (a̅ × b̅) (v a̅ × a̅ = 0)
∴ Area of ΔABC = \(\frac{1}{2}\)|b̅ × c̅ + c̅ × a̅ + a̅ × b̅|
⇒ |b̅ × c̅ + c̅ × a̅ + a̅ × b̅| = 2 (area of ΔABC)
⇒ |(a̅ × b̅) + (b̅ × c̅) + (c̅ × a̅)|
= 2 (area of ΔABC)

Question 2.
If a̅ = 2i̅ + 3j̅ + 4k̅, b̅ = i̅ + j̅ – k̅ and c̅ = i̅ – j̅ + k̅, then compute a̅ × (b̅ × c̅) and verify that it is perpendicular to a̅.
Answer:
b̅ × c̅ = \(\left|\begin{array}{rrr}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right|\)
= i̅(1 – 1) – j̅(1 + 1) + k̅(-1 – 1)
= -2j̅ – 2k̅

a̅ × (b̅ × c̅) = \(\left|\begin{array}{ccc}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
2 & 3 & 4 \\
0 & -2 & -2
\end{array}\right|\)
= i̅(-6 + 8)- j̅(-4) + k̅(-4)
= 2i̅ + 4j̅ – 4k̅
Now [a̅ × (b̅ × c̅)].a̅
= (2i̅ + 4j̅ – 4k̅)(2i̅ + 3j̅ + 4k̅)
= 4 + 12 – 16 = 0
a̅ × (b̅ × c̅) is perpendicular to a̅.

Question 3.
If a̅ = 7i̅ – 2j̅ + 3k̅, b̅ = 2i̅ + 8k̅ and c̅ = i̅ + j̅ + k̅, then compute a̅ × b̅, a̅ × c̅ and a̅ × (b̅ + c̅), Verify whether the cross product is distributive over vector addition.
Answer:
a̅ × b̅ = \(\left|\begin{array}{rrr}
\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\
7 & -2 & 3 \\
2 & 0 & 8
\end{array}\right|\)
= i̅ (-16 – 0) – j̅ (56 – 6) + k̅(4)
= -16 i̅ – 50 j̅ + 4k̅

a̅ × c̅ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\
7 & -2 & 3 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right|\)
= i̅ (-2 – 3) – j̅ (7 – 3) + k̅(7 + 2)
= -5i̅ – 4 j̅ + 9k̅

b̅ + c̅ = 2i̅ + 8k̅ + i̅ + j̅ + k̅
= 3 i̅ + j̅ + 9k̅

a̅ × (b̅ + c̅) = \(\left|\begin{array}{ccc}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
7 & -2 & 3 \\
3 & 1 & 9
\end{array}\right|\)
= i̅ (-18 – 3) – j̅ (63 – 9) + k̅(7 + 6)
= -21i̅ – 54j̅+ 13k̅ …………..(1)
Now (a̅ × b̅) + (a̅ × c̅)
= -16i̅ – 50j̅ + 4k̅ – 5i̅ – 4j̅ + 9k̅
= -21i̅ – 54j̅ + 13k̅ …………(2)
From (1) and (2);
a̅ × (b̅ + c̅) = (a̅ × b̅) + (a̅ × c̅)
∴ Vector product is distributive over vector addition.

Question 4.
If a̅ = i̅ + j̅ + k̅, c = j̅ – k̅, then find vector b such that a̅ × b̅ = c̅ and a̅. b̅ = 3
Answer:
Let b̅ = b₁i̅ + b₂j̅ + b₃k̅
Given a̅. b̅ = 3
⇒ b₁ + b₂ + b₃ = 3 ………..(1)
and a̅ × b̅ = c̅
\(\left|\begin{array}{ccc}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
1 & 1 & 1 \\
\mathrm{~b}_1 & \mathrm{~b}_2 & \mathrm{~b}_3
\end{array}\right|\) = j̅ – k̅
⇒ i̅(b₃ – b₂) – j̅(b₃ – b₁) + k̅(b₂ -b₁) = j̅ – k̅
∴ b₃ – b₁ = – 1 ……………(2)
and b₂ – b₁ = – 1 ……………(3)

∴ b₃ – b₂ = 0 ⇒ b₃ = b₂
∴ From (1), b₁ + 2b₂ = 3 ………(4)
∴ From (3), – b₁ + b₂ = – 1
∴ 3b₂ = 2 ⇒ b₂ = \(\frac{2}{3}\) ……..(5)
∴ b₂ = b₃ = \(\frac{2}{3}\)
b₁ = 3 – 2b₂ = 3 – \(\frac{4}{3}=\frac{5}{3}\) ………(6)

b = b₁ i̅ + b₂ j̅ + b₃k̅
= \(\frac{5}{2}\)i̅ + \(\frac{2}{3}\) j̅ + \(\frac{2}{3}\)k̅
= \(\frac{1}{3}\) (5i̅ + 2 j̅ + 2k̅)

Question 5.
a̅, b̅, c̅ are three vectors of equal magnitudes and each of them is inclined at an angle of 60° to the others. If |a̅ + b̅ + c̅| = √6(5 then find |a̅|.
Answer:
Given |a̅| = |b̅| = |c̅| = k(suppose)
and (a̅,b̅) = (b̅, c̅) = (c̅, a̅) = 60°
Also
(a̅ + b̅ + c̅) = |a̅|² + |b̅|² + |c̅|² + 2(a̅.b̅ + b̅.c̅ + c̅.a̅)
= k² + k² + k² + 2 [|a̅| |b̅| cos60° + |b̅| |c̅| cos60° + |c̅||a̅|cos60°]
= 3k² + \(\frac{2}{2}\)[k² + k² + k²] = 6k²
∴ 6 = 6k² (∵ |a̅ + b̅ + c̅| = √6)
⇒ k = 1
∴ |a̅| = 1

Question 6.
For any two vectors a and b, show that (1 + |a̅|²)(1 + |b̅|²) = |1 – a̅.b̅|² + |a̅ + b̅ + a̅ × b̅|²
Answer:

Question 7.
If a̅, b̅, c̅ are unit vectors such that a is perpendicular to the plane of b̅, c̅ and the angle between b̅ and c̅ is \(\frac{\pi}{3}\), then find |a̅ + b̅ + c̅|.
Answer:
Given that |a̅| = |b̅| = |c̅| = 1
Since a is perpendicular to the plane of b̅, c̅
⇒ We have a̅ . b̅ = 0 and a̅ . c̅ = 0
and given (b̅, c̅) = \(\frac{\pi}{3}\)
Now (a̅ + b̅ + c̅)² = |a̅|² + |b̅|² + |c̅|² + 2[(a̅. b̅) + (b̅. c̅) + (c̅. a̅)]
= 1 + 1 + 1 + 2|b̅||c̅|cos \(\frac{\pi}{3}\)
= 3 + 2\(\left(\frac{1}{2}\right)\) = 4
∴ |a + b + c| = 2

Question 8.
If a̅ = 3i̅ – j̅ + 2k̅, b̅ = – i̅ + 3j̅ + 2k̅, c̅ = 4i̅ + 5j̅ – 2k̅ and d̅ = i̅ + 3j̅ + 5k̅. then compute the following
i) (a̅ × b̅) × (c̅ × d̅)
Answer:
a̅ × b̅ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\
3 & -1 & 2 \\
-1 & 3 & 2
\end{array}\right|\)
= i̅ (-2 – 6) – j̅ (6 + 2) + k̅(9 – 1)
= -8i̅ – 8j̅ + 8k̅ = 8(-i̅ – j̅ + k̅)

c̅ × d̅ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\
4 & 5 & -2 \\
1 & 3 & 5
\end{array}\right|\)
= i̅(25 + 6) – j̅(20 + 2) + k̅(12 – 5)
= 31i̅ – 22j̅ + 7k̅

(a̅ × b̅) × (c̅ × d̅) = \(\left|\begin{array}{ccc}
\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\
-8 & -8 & 8 \\
31 & -22 & 7
\end{array}\right|\)
= i̅ (-56 +176) – j̅ (-56 – 248) + k̅(176 + 248)
= i̅(120) + j̅(304) + 424 k̅
= 8[15i̅ + 38j̅ + 53k̅]

ii) (a̅ × b̅) . c̅ – (a̅ × d̅), b̅
Answer:
a̅ × b̅ = -8i̅ – 8j̅ + 8k̅
c̅ = 4 i̅ + 5 j̅ – 2k̅
∴ (a̅ × b̅). c̅ = -32 – 40 – 16 = -88 ………(1)
a̅ × d̅ = \(\left|\begin{array}{rrr}
\overline{\mathbf{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
3 & -1 & 2 \\
1 & 3 & 5
\end{array}\right|\)
= i̅ (-5 – 6) – j̅ (15 – 2) + k̅(9 + 1)
= -11i̅ – 13j̅ + 10k̅
(a̅ × d̅) . b̅ = (-11i̅ – 13 j̅ + 10k̅) – (-i̅ + 3j̅ + 2k̅)
= 11 – 39 + 20 = -8 ……….(2)
(a̅ × b̅).c̅ – (a̅ × d̅).b̅ = – 88 + 8 = – 80

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 5 Products of Vectors Ex 5(a) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Products of Vectors Solutions Exercise 5(a)

Question 1.
Find the angle between the vectors i̅ + 2j̅ + 3k̅ and 3i̅ – j̅ + 2k̅. (Mar. ’14)
Answer:
Let a̅ = i̅ + 2j̅ + 3k̅ and b̅ = 3i̅ – j̅ + 2k̅ and θ be the angle between them. Then

Question 2.
If the vectors 2i̅ + λ j̅ – k̅ and 4i̅ – 2j̅+ 2k̅ are perpendicular to each other then find λ. [March, May 2005]
Answer:
Let a̅ = 2i̅ + λ j̅ – k̅ and b̅ = 4i̅ – 2j̅+ 2k̅ and If a̅ is perpendicular to b̅ then a̅.b̅ = o
⇒ (2i̅ + λ j̅ – k̅).(4i̅ – 2j̅+ 2k̅) = o
⇒ 8 – 2λ – 2 = 0 ⇒ 6 – 2λ = 0 ⇒ λ = 3

Question 3.
For what values of , the vectors i̅ – j̅ + 2k̅ and 8i̅ + 6j̅ – k̅ are at right angles?
Answer:
Let a̅ = i̅ – j̅ + 2k̅ and b̅ = 8i̅ + 6j̅ – k̅
If a̅, b̅ are right angles then a̅.b̅ = o
⇒ 8 – 6λ – 2 = 0
⇒ -6λ + 6 = 0
⇒ λ = 1

Question 4.
a̅ = 2i̅ – j̅ + k̅, b̅ = i̅ – 3j̅ – 5k̅. Find the vector c such that a, b and c form the sides of a triangle.
Answer:
a̅ = 2i̅ – j̅ + k̅, b̅ = i̅ – 3j̅ – 5k̅
∵ a̅, b̅, c̅ form the sides of a triangle a̅ + b̅ + c̅ = 0

∴ c̅ = -a̅ – b̅
= -(2i̅ – j̅ + k̅) – (i̅ – 3 j̅ – 5k̅)
= -3i̅ + 4j̅ + 4k̅

Question 5.
Find the angle between the planes r̅ . (2i̅ – j̅ + 2k̅) = 3 and r̅ .(3i̅ + 6j̅ + k̅) =4 (March 2015-T.S)
Answer:
If the angle between planes

Question 6.
Let \(\overline{\mathrm{e}}_1\) and \(\overline{\mathrm{e}}_{\mathbf{2}}\) be unit vectors making angle θ. If \(\frac{1}{2}\left|\overline{\mathrm{e}}_1-\overline{\mathrm{e}}_2\right|\) = sin λθ, then find λ.
Answer:

Question 7.
Let a̅ = i̅ + j̅ + k̅ and b̅ = 2 i̅ + 3j̅ + k̅. Find
(i) the projection vector of bona and its magnitude
(ii) The vector components of b̅ in the direction of a̅ and perpendicular to a̅. [May 2006]
Answer:
Orthogonal projection of a vector b̅ on a̅ is

(ii) The component vector b in the direction of –

Question 8.
Find the equation of the plane through the point (3, – 2, 1) and perpendicular to the vector (4, 7, – 4).
Answer:
The equation of the plane passing through a̅ and perpendicular to the vector n̅ is r̅. n̅ = a̅. n̅
Given n̅ = 4i̅ + 7j̅ – 4k̅ and a̅ = 3i̅ – 2j̅ + k̅
r̅ . (4i̅ + 7j̅ – 4k̅) – (3i̅ – 2j̅ + k̅) . (4i̅ + 7j̅ – 4k̅)
r . (4i̅ + 7j̅ – 4k̅) = 12 – 14 – 4 = – 6
⇒ r̅ . (-4i̅ – 7j̅ + 4k̅) = 6

Question 9.
If a̅ = 2i̅ + 2j̅ – 3k̅, b = 3i̅ – j̅ + 2k̅, then find the euigle between 2a̅ + b̅ and a̅ + 2b̅.
Answer:
Given a̅ = 2i̅ + 2j̅ – 3k̅ and b̅ = 3i̅ – j̅ + 2k̅
We have
2a̅ + b = 4i + 4j̅ – 6k̅ + 3i̅ – j̅ + 2k̅ = 7i̅ + 3j̅ – 4k̅
and a̅ + 2b̅ = (2i̅ + 2 j̅ – 3k̅) + 2(31-7 + 2k) = 8i̅ + k̅
Let ‘θ’ be the angle between the vectors 2a̅ + b̅ and a̅ + 2b̅

II.
Question 1.
Find the unit vector parallel to the XOY plane and perpendicular to the vector 4i̅ – 3j̅ + k̅.
Answer:
Any vector parallel to XOY plane will be of the form xi̅ + yj̅.
The vector parallel to the XOY plane and perpendicular to the vector 4i̅ – 3j̅ + k̅ is 3i̅ + 4j̅
Its magnitudes |3i̅ + 4j̅| = \(\sqrt{9+16}\) = 5
Unit vector parallel to XOY plane and perpendicular to the vector 4i̅ – 3j̅ + k̅ is
\(\pm\left(\frac{3 \overline{\mathrm{i}}+4 \overline{\mathrm{j}}}{\sqrt{9+16}}\right)=\pm\left(\frac{3 \overline{\mathrm{i}}+4 \overline{\mathrm{j}}}{5}\right)\)

Question 2.
If a̅ + b̅ + c̅ = 0, |a̅I|= 3, |b̅| = 5 and |c̅| = 5 then find the angle between a̅ and b̅.
Answer:
Given a̅ + b̅ + c̅ = 0
c̅ = -(a̅ + b̅)
⇒ |c̅|² = (a̅ + b̅)² = a̅² + b̅² + 2(a̅. b̅)
⇒ 49 = 9 + 25 + 2( .6)

Question 3.
If |a̅| = 2, |b̅| = 3 and |c̅| = 4 juid each of a̅, b̅, c̅ is perpendicular to the sum of the other two vectors, then find the magnitude of a̅ + b̅ + c̅.
Answer:
Given |a̅| = 2, |b̅| = 3 and |c̅| = 4
Since each of a̅, b̅, c̅ is perpendicular to the sum of other two vectors i.e., a̅ is perpendicular to b̅ + c̅
a̅ . (b̅ + c̅) = 0 ⇒ a̅ . b̅ + a̅ . c̅ = 0
Similarly
b̅.(c̅ + a̅) = 0 ⇒ b̅.c̅ + b̅.a̅ = 0
and c-(a + b) = 0 ⇒ c̅. a̅ + c̅. b̅ = 0 Adding we get
2 [(a̅ . b̅) + (b̅ . c̅) + (c̅ . a̅)] = 0 …….(1)
Also (a̅ + b̅ + c̅)
= |a̅|² + |b̅|² + |c̅|² + 2(a̅.b̅ + b̅.c̅ + c̅.a̅)
= 4 + 9 + 16 + 2(a̅.b̅ + b̅. c̅ + c̅.a̅)
= 4 + 9 + 16 + 2 (0) = 29
∴ |a̅ + b̅ + c̅| = \(\sqrt{29}\)

Question 4.
Find the equation of the plane passing through the point a̅ = 2i̅ + 3j̅ – k̅ and perpendicular to the vector 3i̅ – 2j̅ – 2k̅ and the distance of this plane from the origin.
Answer:
Equation of the plane passing through the point a, and perpendicular to the vector n̅ is (r̅ – a̅) . n̅ = 0
⇒ 7 . n̅ = a̅ . n̅
(liven a̅ = 2i̅ + 3 j̅ – k̅ and n̅ = 3i̅ – 2j̅ – 2k̅
We have r̅ . (3 i̅ – 2 j̅ – 2k̅)
= (2i̅ + 3j̅ – k̅) . (3i̅ – 2j̅ – 2k̅)
= 6 – 6 + 2 = 2
⇒ r̅ . (3i̅ – 2j̅ – 2k̅) = 2
The distance from origin to this plane is

Question 5.
a̅, b̅, c̅ and d̅ are the position vectors of four coplanar points such that (a̅ – d̅) . (b̅ – c̅) = (b̅ – d̅) . (c̅ – a̅) = 0. Show that the point d represents the orthocentre of the triangle with a̅, b̅ and c̅ as its vertices.
Answer:

Position vectors of A, B, C, D are a̅, b̅, c̅, d̅ respectively.
\(\overline{\mathrm{DA}}=\overline{\mathrm{OA}}-\overline{\mathrm{OD}}\) = a̅ – d̅
\(\overline{\mathrm{CB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OC}}\) = b̅ – c̅
\(\overline{\mathrm{DB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OD}}\) = b̅ – d̅
\(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{OC}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = c̅ – a̅
Given (a̅ – d̅) . (b̅ – c̅) = 0
⇒ \(\overline{\mathrm{DA}} \cdot \overline{\mathrm{CB}}\) = 0
⇒ \(\overline{\mathrm{DA}}\) is perpendicular to \(\overline{\mathrm{BC}}\)
∴ \(\overline{\mathrm{AD}}\) is an altitude of ΔABC
and (b̅ – d̅) . (c̅ – a̅) = 0
⇒ \(\overline{\mathrm{DB}} \cdot \overline{\mathrm{AC}}\) = 0
⇒ \(\overline{\mathrm{DB}}\) is perpendicular to \(\overline{\mathrm{AC}}\)
\(\overline{\mathrm{DB}}\) another altitude ΔABC
Altitudes AD and BD intersect at D
D(d) is the orthocentre of ΔABC.

III.
Question 1.
Show that the points (5, – 1, 1), (7, – 4, 7), (1,-6, 10) and (- 1, – 3, 4) are the vertices of a rhombus. (March 2013)
Answer:
Let A (5,-1, 1), B (7,-4, 7), C (1,-6, 10) and D (- 1, – 3, 4) are the given points.

∴ AB = BC = CD = DA = 7 units and AC ≠ BD
∴ A, B, C, D are the points which are the vertices of a rhombus.

Question 2.
Let a̅ = 4i̅ + 5j̅ – k̅, b̅ = i̅ – 4j̅ + 5k̅ and c̅ = 3i̅ + j̅ – k̅. Find the vector which is perpendicular to both a and b and whose magnitude is twenty one times the magnitude of c̅.
Answer:
Given a̅ = 4 i̅ + 5 j̅ – k̅
b̅ = i̅ – 4 j̅ + 5k̅
and c̅ = 3 i̅ + j̅ – k̅
Let r̅ = xi̅ + yj̅ + zk̅ be the vector which is perpendicular to both a and b.
Then r̅. a̅ = 0 and r̅.b̅ = 0
⇒ 4x + 5y – z = 0 …………..(1)
and x – 4y + 5z = 0 ……….(2)

⇒ x = λ, y = -λ, z = -λ
∴ The vector which is perpendicular to both a̅ and b̅ is r̅ = λ(i̅ – j̅ – k̅)
Magnitude of c = \(\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}\)
∴ The vector which is perpendicular to both a̅ and b̅ whose magnitude is 21 times the
magnitude of c̅ is = ± \(\frac{21 \sqrt{11}(\bar{i}-\bar{j}-\bar{k})}{|\bar{i}-\bar{j}-\bar{k}|}\)
= ± 7\(\sqrt{33}\) (i̅ – j̅ – k̅)

Question 3.
G is the centroid of ΔABC and a̅, b̅, c̅ are the lengths of the sides \(\overline{\mathrm{B C}}, \overline{\mathrm{C A}}\) and \(\overline{\mathrm{AB}}\) respectively. Prove that \(\bar{a}^2+\bar{b}^2+\bar{c}^2=3\left(\overline{\mathrm{OA}}^2+\overline{\mathrm{OB}}^2+\overline{\mathrm{OC}}^2\right)-9(\overline{\mathrm{OG}})^2\). where ‘O’ is any point.

Answer:
Given that \(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{CA}}=\overline{\mathrm{b}}\) and \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{c}}\).
Let O’ be the origin and let p.q.r be the position vectors of A, B, C then \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{p}}\), \(\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{q}}, \quad \overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{r}}\) respectively.
Then the position vector of centroid

Question 4.
A line makes angles θ₁, θ₂, θ₃, and θ₄ with the diagonals of a cube. Show that cos²θ₁ + cos²θ₂ + cos²θ₃ + cos²θ₄ = \(\frac{4}{3}\).
Answer:

Let ‘O’ be the origin and ‘a’ be the length of the side of a cube.
i̅, j̅, k̅ are unit vectors along X, Y and Z axes respectively.

Let r̅ = xi̅ + yj̅ + zk̅ be the line makes angles θ₁, θ₂, θ₃, θ₄ with diagonals of a cube

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 10th Lesson ఘనపదార్ధాల యాంత్రిక ధర్మాలు Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 10th Lesson ఘనపదార్ధాల యాంత్రిక ధర్మాలు

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
స్థితిస్థాపకతలో హుక్ నియమాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
స్థితిస్థాపక అవధిలో ప్రతిబలము వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉండును.

ఈ స్థిరాంకమును స్థితిస్థాపకతా గుణకము అందురు.

ప్రశ్న 2.
ప్రతిబలానికి మితులు, ప్రమాణాలు తెలపండి.
జవాబు:

S.I. పద్ధతిలో ప్రమాణము : న్యూ/మీ² లేదా పాస్కల్. మితిఫార్ములా : ML^-1T^-2

ప్రశ్న 3.
స్థితిస్థాపక గుణకానికి ప్రమాణాలు, మితులను తెలపండి.
జవాబు:

S.I. ప్రమాణము : న్యూ/మీ² లేదా పాస్కల్. మితిఫార్ములా : ML^-1T^-2

ప్రశ్న 4.
యంగ్ గుణకం ప్రమాణాలు, మితులను తెలపండి.
జవాబు:

మితిఫార్ములా : ML^-1T^-2
ప్రమాణము : న్యూటన్/మీ² లేదా పాస్కల్

ప్రశ్న 5.
దృఢతా గుణకం ప్రమాణాలు, మితులను తెలపండి.
జవాబు:

మితిఫార్ములా : ML^-1T^-2
ప్రమాణము : న్యూటన్/మీ2 లేదా పాస్కల్

ప్రశ్న 6.
ఆయత గుణకం ప్రమాణాలు, మితులను తెలపండి.
జవాబు:

మితిఫార్ములా : ML^-1T^-2
ప్రమాణము : న్యూటన్/మీ² లేదా పాస్కల్

ప్రశ్న 7.
సంపూర్ణ స్థితిస్థాపక, ప్లాస్టిక్ కు సమీపంగా ఉండే వస్తువులకు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
జవాబు:
సమ సర్పిలాకార స్ప్రింగు సంపూర్ణ స్థితిస్థాపక వస్తువులకు ఉదాహరణ. పిండి లేదా మట్టి ముద్ద ప్లాస్టిక్ వస్తువులకు ఉదాహరణ.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
హుక్ నియమం, అనుపాత అవధి, శాశ్వత స్థితి, విచ్ఛేదన ప్రతిబలం పదాలను నిర్వచించండి.
జవాబు:
హుక్ నియమము : స్థితిస్థాపక అవధులలో ప్రతిబలము వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

ఈ స్థిరాంకమును స్థితిస్థాపక గుణకము అంటారు.

అనుపాత అవధి : ప్రతిబలము – వికృతి వక్రరేఖపై OA బిందువుల మధ్య భాగం సరళరేఖ ఈ ప్రాంతంలో ప్రతిబలం వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. బాహ్య బలం తొలగించగానే వస్తువు సంపూర్ణంగా యథాస్థితి పొందుతుంది. అందువల్ల ‘A’ బిందువును అనుపాత అవధి అంటారు.

శాశ్వత స్థితి : ప్రతిబలం – వికృతి వక్రంలో బాహ్యబలాన్ని ‘C’ బిందువు వరకు పెంచి తొలగిస్తే వస్తువు తన పూర్వ స్థితిని సంపూర్ణంగా పొందలేదు. వస్తువులో కొంత వికృతి శాశ్వతంగా మిగిలిపోతుంది. అందువల్ల ‘C’ బిందువును శాశ్వత స్థితి బిందువు అంటారు.

విచ్ఛేదన ప్రతిబలము : ప్రతిబలం-వికృతి వక్రంలో వస్తువుపై ప్రతిబలాన్ని ఈగే బిందువు దాటి ప్రయోగిస్తే (E బిందువు వరకు) ప్రతిబలంలో స్వల్ప మార్పుకే వికృతి విపరీతంగా పెరిగి E అను బిందువు వద్ద తీగ సన్నబడి తెగిపోతుంది. తీగ తెగిపోవడానికి అవసరమైన E బిందువు వద్ద గల ప్రతిబలాన్ని విచ్ఛేదన ప్రతిబలం అంటారు.

ప్రశ్న 2.
స్థితిస్థాపక గుణకం, ప్రతిబలం, వికృతి, స్వాజూన్ నిష్పత్తులను నిర్వచించండి.
జవాబు:

ఈ స్థిరాంకమును స్థితిస్థాపక గుణకము అంటారు.

ప్రతిబలము (σ) : ఏకాంక వైశాల్యంపై పనిచేసే పునఃస్థాపక బలాన్ని ప్రతిబలం అంటారు.

ప్రమాణము Nm^-2 లేదా పాస్కల్ మితి ఫార్ములా = ML^-1T^-2

వికృతి : ప్రమాణ పరిమాణం గల వస్తువు ఆకారంలో వచ్చిన మార్పును వికృతి అంటారు.

ఇది నిష్పత్తి. కావున ప్రమాణాలు, మితులు లేవు.

ప్వాజూన్ నిష్పత్తి (σ) : సాగదీసిన తీగలో పార్శ వికృతి మరియు అనుదైర్ఘ్య వికృతుల నిష్పత్తిని ప్వాజూన్ నిష్పత్తి అంటారు.
ప్వాజూన్ నిష్పత్తి (σ) = \(\frac{\Delta \mathrm{d} / \mathrm{d}}{\Delta l / l}\) దీనికి మితులు, ప్రమాణాలు లేవు.

ప్రశ్న 3.
యంగ్ గుణకం, ఆయత గుణకం, ద్రుఢతా గుణకాలను నిర్వచించండి.
జవాబు:
యంగ్ గుణకము : అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలము, అనుదైర్ఘ్య వికృతిల నిష్పత్తిని యంగ్ గుణకమందురు.

అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలము = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{A}}\); అనుదైర్ఘ్య వికృతి = \(\frac{\Delta \mathrm{L}}{\mathrm{L}}\)
∴ Y = \(\frac{\mathrm{F} / \mathrm{A}}{\Delta \mathrm{L} / \mathrm{L}}=\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{A}} \frac{\mathrm{l}}{\Delta \mathrm{L}}\)
ఆయత గుణకము (B) : ఘనపరిమాణాత్మక ప్రతిబలము మరియు ఘనపరిమాణాత్మక వికృతిల నిష్పత్తిని ఆయత గుణకము అందురు.

విమోటనా గుణకము లేదా దృఢతా గుణకము (G) :
స్పర్శీయ ప్రతిబలము మరియు విరూపణా వికృతిలో నిష్పత్తిని విమోటనా గుణకము అందురు.

ప్రశ్న 4.
ప్రతిబలం నిర్వచనం తెలిపి వివిధ రకాల ప్రతిబలాలను వివరించండి.
జవాబు:
ప్రతిబలము (σ) : ఏకాంక వైశాల్యంపై పనిచేసే పునఃస్థాపక బలాన్ని ప్రతిబలం అంటారు.

ప్రమాణము Nm^-2 లేదా
పాస్కల్ మితి ఫార్ములా = ML^-1T^-2
ప్రతిబలమునందలి రకాలు : 1) అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలము 2) స్పర్శియ ప్రతిబలము 3) ఘనపరిమాణాత్మక ప్రతిబలము

అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలము లేదా తన్యజ ప్రతిబలం : వస్తువుపై దాని పొడవు పెరుగునట్లు బలమును ప్రయోగించిన ప్రమాణ వైశాల్యములోని పునఃస్థాపక బలమును అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలము అంటారు.

స్పర్శీయ లేదా విమోటన ప్రతిబలము : తలానికి సమాంతరముగా దాని ఉపరితల పొరలో స్థానభ్రంశము కలుగునట్లు బలమును ప్రయోగించిన ప్రమాణ వైశాల్యములోని పునఃస్థాపక బలమును స్పర్శియ ప్రతిబలము అందురు.

ఘనపరిమాణాత్మక ప్రతిబలము : ఒక వస్తువుపై అన్ని వైపులా లేదా వస్తువు ఘనపరిమాణమంతటా బలమును ప్రయోగించిన ప్రమాణ. వైశాల్యములోని పునఃస్థాపక బలమును ఘనపరిమాణాత్మక ప్రతిబలము అందురు.

ప్రశ్న 5.
వికృతిని నిర్వచించి, వివిధ రకాల వికృతులను వివరించండి.
జవాబు:
వికృతి : ప్రమాణ పరిమాణం గల వస్తువు ఆకారంలో వచ్చిన మార్పును వికృతి అంటారు.

ఇది నిష్పత్తి. కావున ప్రమాణాలు, మితులు లేవు.
వికృతి నందలి రకాలు : వికృతి మూడు రకములు.
1) అనుదైర్ఘ్య వికృతి 2) స్పర్శీయ లేదా విరూపణ వికృతి 3) ఘనపరిమాణ వికృతి.

1) అనుదైర్ఘ్య వికృతి (ε) : వస్తువు పొడవులో మార్పు (∆l) మరియు తొలి పొడవు (l) లకు గల నిష్పత్తిని అనుదైర్ఘ్య వికృతి అంటారు.
అనుదైర్ఘ్య వికృతి (ε) = \(\frac{\Delta l}{l}\)

2) విరూపణ వికృతి : ఒక వస్తువు తలముపై స్పర్శరేఖ దిశలో బలమును ప్రయోగించిన, దాని ఉపరితలము పొందిన స్థానభ్రంశపు మరియు మొదటి లంబ తలముల మధ్య గల కోణమును విరూపణ వికృతి అంటారు.
విరూపణ వికృతి = θ = \(\left(\frac{\Delta l}{l}\right)\) = tan θ (కోణము చిన్న విలువలకు tan θ = θ)

3) ఘనపరిమాణాత్మక వికృతి : వస్తువు ఘనపరిమాణంలో మార్పు కలుగునట్లు బలమును ప్రయోగించిన ఘనపరిమాణంలో మార్పుకు తొలి ఘనపరిమాణ మార్పుకు గల నిష్పత్తిని ఘనపరిమాణాత్మక వికృతి అందురు.

ప్రశ్న 6.
వికృతి శక్తి అంటే ఏమిటో తెలిపి, దానికి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి. (మార్చి 2014, మే 2014)
జవాబు:
వికృతిశక్తి : తీగలో వికృతి కలుగునట్లు బలమును ప్రయోగించినపుడు జరిగిన పని తీగలో స్థితిశక్తిగా నిల్వయుండును. దీనిని వికృతిశక్తి అందురు.
తీగపై ప్రయోగించిన విరూపణ బలమును తొలగించిన వికృతిశక్తి ఉష్ణశక్తిగా మారును.

సమీకరణ ఉత్పాదన : L పొడవు గల ఏకరీతి తీగ ఒక చివరను స్థిర ఆధారము నుండి వ్రేలాడదీసి దానిపై F బలమును . ప్రయోగించిన దానిలో సాగుదల dl అనుకొనుము.
∴ జరిగిన పని = dW = Fdl
తీగను దాని పొడవులో మార్పు ‘0’ నుండి / ను పొందుటలో జరిగిన పని
W = \(\int\) dW కాని \(\int_o^l \mathrm{Fd} l=\int_0^l \frac{\mathrm{YA} l}{\mathrm{~L}}=\frac{\mathrm{YA}}{\mathrm{L}}\left(\frac{l^2}{2}\right)_0^l \mathrm{~d} l\)
∴ \(\frac{\mathrm{YA}}{\mathrm{L}}\left(\frac{l^2}{2}\right)=\frac{\mathrm{YA}}{\mathrm{L}}\left(\frac{l^2}{2}\right) \frac{1}{2} \frac{\mathrm{Ya} l}{\mathrm{~L}} \cdot l\)
W = \(\frac{1}{2}\) × బలము × సాగుదల. ఈ పని తీగలో వికృతిశక్తికి సమానము.
∴ వికృతి శక్తి = \(\frac{1}{2}\) × బలము × సాగుదల.
ప్రమాణ ఘనపరిమాణంలో వికృతి శక్తి

ప్రమాణ ఘనపరిమాణంలో శక్తి = \(\frac{1}{2}\) × ప్రతిబలము × వికృతి

ప్రశ్న 7.
భారీ పని యంత్రాలలోనూ, నిర్మాణరంగ రూపకల్పనలోనూ రాగి, ఇత్తడి, అల్యూమినియంతో పోల్చితే ఉక్కును ఎందుకు వాడతారు ?
జవాబు:
ఉక్కుకు యంగ్ గుణకము మరియు దృఢతా గుణకములు రాగి, ఇత్తడి మరియు అల్యూమినియంల కన్న చాలా ఎక్కువ. అందువల్ల ఉక్కు కడ్డీలను సాగదీయడానికి మరియు వంచడానికి చాలా ఎక్కువ ప్రతిబలం కావాలి.

సుమారు 0.1 సెం.మీ2 వైశాల్యం గల ఉక్కు తీగను 0.1% సాగదీయటానికి సుమారు 2000 న్యూటన్ల బలం అవసరము. ఇదే సాగుదలకు అల్యూమినియంకు 690 న్యూ, రాగికి 900 న్యూ మరియు ఇత్తడికి 1100 న్యూటన్ల బలం అవసరము. అంటే ఉక్కు స్థితిస్థాపక గుణకము అల్యూమినియం, రాగి, ఇత్తడిల కన్నా ఎక్కువ కాబట్టి ఉక్కుతో కట్టిన కట్టడాలు ఎక్కువ బరువును మోయగల సామర్థ్యాన్ని, దృఢత్వాన్ని కలిగి ఉండటం వల్ల భవన నిర్మాణంలో, భారీ కట్టడాలు కట్టడంలోను ఉక్కును వాడతారు.

ప్రశ్న 8.
క్రమంగా భారం పెంచుతూ పోయినప్పుడు తీగ ప్రవర్తన ఏ విధంగా ఉంటుందో విశదీకరించండి.
జవాబు:
ఏకరీతి అడ్డుకోత వైశాల్యము గల తీగ ఒక చివరను స్థిరమైన ఆధారానికి బిగించి రెండవ చివర భారమును క్రమంగా పెంచినామనుకొనుము. వస్తువుపై ప్రయోగించిన ప్రతిబలము మరియు వస్తువులోని వికృతికి రేఖాపటం గీయగా అది పటంలో చూపినట్లు ఉంటుంది. ఈ రేఖాపటం నుండి తీగ ప్రవర్తనను వివిధ బిందువుల వద్ద వివరించవచ్చు.

అనుపాత అవధి : ప్రతిబలము వికృతి వక్రరేఖపై OA బిందువుల మధ్య భాగం సరళరేఖ ఈ ప్రాంతంలో ప్రతిబలం వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. బాహ్య బలం తొలగించగానే వస్తువు సంపూర్ణంగా యథాస్థితి పొందుతుంది. అందువల్ల ‘A’ బిందువును అనుపాత అవధి అంటారు.

స్థితిస్థాపక అవధి : ప్రతిబలము – వికృతి వక్రంలోని AB ప్రాంతము వక్రరేఖ. ఈ ప్రాంతంలో ప్రతిబలము, వికృతికి రేఖీయ సంబంధం కలిగి ఉండదు. కాని బాహ్యబలాన్ని తొలగించగానే వస్తువు తన యథాస్థితిని సంపూర్ణంగా పొందుతుంది. అందువల్ల B బిందువును ఈగే బిందువు లేదా స్థితిస్థాపక అవధి అంటారు.
ఈగే బిందువును చేరడానికి ప్రయోగించిన బాహ్యబలాన్ని ఈగుడుబలం అంటారు.

శాశ్వత స్థితి : ప్రతిబలం – వికృతి వక్రంలో బాహ్యబలాన్ని ‘C’ బిందువు వరకు పెంచి తొలగిస్తే వస్తువు తన పూర్వ స్థితిని సంపూర్ణంగా పొందలేదు. వస్తువులో కొంత వికృతి శాశ్వతంగా మిగిలిపోతుంది. అందువల్ల ‘C’ బిందువును శాశ్వత స్థితి బిందువు అంటారు.

విచ్ఛేదన ప్రతిబలము : ప్రతిబలం-వికృతి వక్రంలో వస్తువుపై ప్రతిబలాన్ని ఈగే బిందువు దాటి ప్రయోగిస్తే (E బిందువు వరకు) ప్రతిబలంలో స్వల్ప మార్పుకే వికృతి విపరీతంగా పెరిగి E అను బిందువు వద్ద తీగ సన్నబడి తెగిపోతుంది. తీగ తెగిపోవడానికి అవసరమైన E బిందువు వద్ద గల ప్రతిబలాన్ని విచ్ఛేదన ప్రతిబలం అంటారు.

ప్రశ్న 9.
ఏనుగు దంతంతో, బంక మట్టితో చేసిన రెండు సర్వసమాన బంతులను కొంత ఎత్తు నుంచి కిందికి వేసినారు. నేలను తాకిన తరువాత రెండింటిలో ఏది ఎక్కువ ఎత్తుకు లేస్తుంది ? ఎందువల్ల ?
జవాబు:
ఏనుగు దంతంతోను మరియు బంకమట్టితోను తయారుచేసిన రెండు సర్వసమానమైన బంతులను ఒకే ఎత్తు నుంచి జారవిడిచితే ఏనుగు దంతంతో చేసిన బంతి ఎక్కువ ఎత్తుకు లేస్తుంది.

వివరణ : 1) బంకమట్టి ప్లాస్టిక్ పదార్థము. అనగా దీని మీద బాహ్యబలం ప్రయోగిస్తే దాని ఆకారం మారుతుంది. పైనుండి క్రింద పడి నేలను తాకగానే వస్తువుకు గల శక్తి దానిలో విరూపణ కలిగించడానికి సరిపోవడం వల్ల బంకమట్టి ముద్ద దాదాపు సంపూర్ణ అస్థితిస్థాపక అభిఘాతానికి లోనుగావడం వల్ల పైకి లేవదు.

2) ఏనుగు దంతము దృఢమైన నిర్మాణం గల పదార్థంతో చేయబడటం వల్ల ఎక్కువ స్థితిస్థాపకతను కలిగి ఉంటుంది. ఫలితంగా నేలను తాకినపుడు దాని ఆకారంలో విరూపణ అతిస్వల్పంగా ఉండి దంతపు బంతి స్థితిస్థాపక అభిఘాతానికి లోనై ఎక్కువ ఎత్తు పైకి లేస్తుంది.

ప్రశ్న 10.
వంతెనలు, భవనాల నిర్మాణంలో భారం వితరణ చెందని స్తంభాల కంటే వితరిత స్తంభాలను వాడతారు. ఎందుకు ?
జవాబు:
భవనాలు, వంతెనలు వంటి కట్టడాలకు ఆధారంగా ఉండవలసిన దూలాలవంటివి నిర్మించేటపుడు నిర్మాణంలో వాడిన పదార్థాల స్థితిస్థాపక ధర్మాలతో పాటు నిర్మాణపు ఆకారం వల్ల కూడా దృఢత్వం సంతరించు కుంటుంది. స్థంభాలు లేదా కాలమ్స్ విషయంలో కొనలు ఉన్న స్తంభాలు (వితరిత స్తంభాలు), కొనలు లేని (వితరితం చెందని) స్థంభాల కన్నా ఎక్కువ భారం మోయగలుగుతాయి. అందువల్ల పెద్ద పెద్ద నిర్మాణాలలో భార వితరిత కొనలు ఉన్న స్థంభాలను ఎక్కువగా వాడతారు.

ప్రశ్న 11.
భూమిపై పర్వతాల గరిష్ఠ ఎత్తు సుమారు 10 కి.మీ. మాత్రమే ఎందుకు ఉంటుందో వివరించండి.
జవాబు:
రాళ్ళ స్థితి స్థాపక ధర్మాలను పరిగణనలోకి తీసుకొని భూమిపై పర్వతాల గరిష్ఠ ఎత్తు సుమారు 10 కి.మీ. దాటదు అని వివరించవచ్చు.

రాయి స్థితిస్థాపక అవధి సుమారు 30 × 10⁷ న్యూ/మీ³ మరియు రాయి తయారుచేయబడిన పదార్థ సాంద్రత ρ = 3 × 10³ కి.గ్రా./మీ³.
కావున h ఎత్తు గల రాళ్ళ పర్వతాల వల్ల పర్వతం అడుగున ఉన్న రాయిపై ప్రతిబలము ప్రతిబలము = hρg న్యూ/మీ². ఈ ప్రతిబలము రాయి స్థితిస్థాపక హద్దులలో గల ప్రతిబలము దాటరాదు. ఒకవేళ దాటితే రాయి స్థితిస్థాపక ధర్మాలు కోల్పోయి పూర్తిగా విరూపణం చెందే అవకాశం ఎక్కువ.
∴ 30 × 10⁷ = hpg లేదా 30 × 10⁷ = h . 3 × 10³ × 10
∴ h = 10⁴ = 10 కి.మీ.
అందువల్ల భూమిపై పర్వతాల ఎత్తు గరిష్ఠంగా 10 కి.మీ.కు మించదు.

ప్రశ్న 12.
సాగదీసిన తీగలో స్థితిస్థాపక స్థితిజశక్తి భావనను వివరించి దానికి సమాసాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:
తీగపై తన్యజ ప్రతిబలం పనిచేసినపుడు అంతరపరమాణు బలాలకు వ్యతిరేకంగా పని జరుగుతుంది. ఈ పని తీగలో స్థితిస్థాపక స్థితిజశక్తిగా మిగిలిపోతుంది.
‘l’ పొడవు గల, A మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం గల తీగపై F బలం ప్రయోగించామనుకోండి. తీగ యంగ్ గుణకము Y అనుకొనుము.
Y = \(\frac{\mathrm{F} / \mathrm{A}}{l / \mathrm{L}}\) సమీకరణం నుండి F = \(\frac{\text { YAl }}{\text { L }}\)
తీగలో ∆l పొడవులో వృద్ధి కలిగించడానికి చేసిన పని ∆W అనుకుంటే తీగను ‘l’ పొడవు సాగదీయడానికి చేసిన పని
∴ W = \(\int \mathrm{dw}=\int_0^l \mathrm{~F} \cdot \Delta l=\int_0^l \frac{\mathrm{YA} l}{\mathrm{~L}} \mathrm{~d} l=\frac{1}{2} \mathrm{YA} \frac{l^2}{\mathrm{~L}}\)
∴ W = \(\frac{1}{2}\) Y . AL . \(\frac{l^2}{\mathrm{~L}}\) = \(\frac{1}{2}\) × యంగ్ గుణకము × తీగ ఘ.ప. × (వికృతి)² ……………. (1)
× ఘ.ప. × (వికృతి)² = \(\frac{1}{2}\) ప్రతిబలము × వికృతి × ఘ.ప.
ప్రమాణ ఘనపరిమాణానికి వికృతి శక్తి = W/ఘ.ప. = \(\frac{1}{2}\) ప్రతిబలము (σ) × వికృతి (ε) …………. (2)
పై సమీకరణాలలో తీగను సాగదీయడానికి జరిపిన పని W వస్తువులో గల స్థితిస్థాపక శక్తికి సమానము.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
స్థితిస్థాపకతలోని హుక్ నియమాన్ని నిర్వచించి, తీగ పదార్థపు యంగ్ గుణకాన్ని కనుక్కొనే ప్రయోగాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
హుక్ సూత్రము :
స్థితిస్థాపక అవధిలో ప్రతిబలము వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉండును.

E అనుపాత స్థిరాంకము. దీనిని పదార్థము యొక్క స్థితిస్థాపకతా గుణకము అందురు.

పరికరం వర్ణన : యంగ్ గుణకాన్ని కనుగొనే ప్రయోగం అమరికలో సమాన పొడవు, వ్యాసార్థం గల రెండు తీగలను (A, B) దృఢమైన ఆధారం నుండి వ్రేలాడదీసి వాటి చివర ఒక వెర్నియర్ మాపకాన్ని కలుపుతారు. తీగ A ను మాపకం ప్రధాన స్కేలు (M) కు కలిపి దాని క్రింద భాగంలో ఒక స్థిరమైన బరువును కలిపి తీగ A లో నొక్కులు లేకుండా స్థిరంగా ఉండేటట్లు చేస్తారు. తీగ B ని వెర్నియర్ స్కేలుకు కలుపుతారు.. ఈ తీగకు గల పళ్ళెంలో కావలసిన విధంగా బరువులను మార్చవచ్చు. ఈ ప్రయోగంలో ప్రతిసారి ప్రధాన స్కేలు రీడింగు (M.S.R.) మరియు వెర్నియర్ స్కేలు రీడింగు (V.S.R.) లను కొలుస్తారు.

చేయు విధానము : ప్రయోగపు తీగ నొక్కులు లేకుండా ఉండటానికి తగినంత బరువును కొంకి తీగకు తగిలిస్తారు. వెర్నియర్ మాపకం రీడింగులు కొలుస్తారు. కొంకి బరువులను ప్రతిసారి 1/2 కిలో చొప్పున పెంచుతూ సుమారు 3 కి.గ్రా. వరకు బరువు పెంచుతారు. బరువు పెంచేటప్పుడు ప్రతిసారి ప్రధాన స్కేలు రీడింగు (M.S.R) మరియు వెర్నియర్ స్కేలు రీడింగు (V.S.R) లను కొలుస్తారు.

బరువు 3 కి.గ్రా. వరకు పెంచిన తరువాత క్రమంగా ప్రతిసారి 1/2 కి.గ్రా. చొప్పున తగ్గిస్తారు. బరువు తగ్గించిన ప్రతిసారి ప్రధాన స్కేలు (M.S.R.) మరియు వెర్నియర్ స్కేలు (V.S.R.) రీడింగులు కొలుస్తారు. ఈ విలువలు పట్టికలో పొందుపరుస్తారు.

మొదటి రీడింగును (M₁ మరియు e₁) లను ఆధారంగా తీసుకొని ప్రతి విలువ (M₂, M₃ మరియు e₂, e₃ వంటివి) నుండి తొలి విలువ (M₁, e₁) లను తీసివేయడం ద్వారా ద్రవ్యరాశిలో మార్పు ‘m’ మరియు దానికి సంబంధించిన సాగుదల ‘e’ లను లెక్కగడతారు.
ద్రవ్యరాశిలో మార్పు m = m₂ – m₁; తీగలో సాగుదల e = e₂ – e₁

సరాసరి = m/e; తీగపై బలము = mg
తీగ అడ్డుకోత వైశాల్యము = πr²
r = తీగ వ్యాసార్ధము
సాగుదల = e,
తీగ తొలి పొడవు = l
ప్రతిబలము = \(\left(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{a}}\right)=\frac{\mathrm{mg}}{\pi r^2}\)
వికృతి = \(\left(\frac{\mathrm{e}}{l}\right)\)
యంగ్ గుణకము Y = \(\left(\frac{g l}{\pi r^2}\right)\left(\frac{m}{e}\right)\)

ప్రయోగపూర్వకంగా కనుగొనిన విలువలు l, r, e, m లను ఈ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించి Y విలువ కనుగొంటారు.
జాగ్రత్తలు :

1. వ్రేలాడదీయు బరువులు స్థితిస్థాపక అవధి కన్న చాలా తక్కువగా ఉండవలెను.
2. ఏకీభవించు వెర్నియర్ స్థానమును పారలాక్సు దోషము లేకుండా కొలవవలెను.

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
1 mmవ్యాసం ఉన్న రాగి తీగను 10 N బలం అనువర్తించి సాగదీశారు. ఆ తీగలోని ప్రతిబలం కనుక్కోండి.
సాధన:
వ్యాసము d = 1 mm;
బలము F = 10N;
∴ వ్యాసార్ధము r = 0.5 mm = = 0.5 × 10^-3 m
∴ ప్రతిబలము = \(\frac{\mathrm{F}}{\pi \mathrm{r}^2}=\frac{10}{3.141 \times 0.5 \times 0.5 \times 10^{-6}}=\frac{40 \times 10^6}{3.141}\) = 1.273 × 10⁷ Pa

ప్రశ్న 2.
20 cm పొడవు వున్న టంగ్స్టన్ తీగను 0.1 cm అదనంగా సాగదీశారు. తీగలోని వికృతిని కనుక్కోండి.
సాధన:
తీగ పొడవు l = 20cm = 0.2m;
సాగుదల e = 0.1cm = 1 × 10^-3 m

= \(\frac{1 \times 10^{-3}}{0.2}\) = 5 × 10^-3 = 0.005

ప్రశ్న 3.
ఇనుప తీగను 1% సాగదీసినట్లయితే దానిలో వచ్చిన వికృతి ఎంత ?
సాధన:
పొడవులో పెరుగుదల = e = 1% = \(\frac{1}{100}\) l

= \(\frac{\mathrm{e}}{l}=\frac{1}{100 \times l}=\frac{1}{100}\) = 0.01

ప్రశ్న 4.
1 mm వ్యాసం, 2m పొడవు ఉన్న ఇత్తడి తీగపై 20 N బలం ప్రయోగించి సాగదీశారు. పొడవులో పెరుగుదల 0.51 mm అయితే, 1) తీగ ప్రతిబలం, 2) వికృతి, 3) యంగ్ గుణకాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
తీగ పొడవు l = 2m;
బలము F = 20N;
వ్యాసము d = 1mm = 10^-3 m
పొడవులో పెరుగుదల e = 0.51mm = 0.51 × 10^-3 m

ప్రశ్న 5.
రాగి, అల్యూమినియం తీగల పొడవుల నిష్పత్తి 3: 2, వ్యాసాల నిష్పత్తి 2: 3, వీటిపై అనువర్తిత బలాల నిష్పత్తి 4:5గా ఉన్నాయి. రెండు తీగల పొడవుల పెరుగుదల నిష్పత్తిని కనుక్కోండి. (Y_Cu = 1.1 × 10¹¹ Nm^-2, Y_Al = 0.7 × 10¹¹ Nm^-2)
సాధన:
పొడవుల నిష్పత్తి l₁ : l₂ = 3 : 2 ;
వ్యాసముల నిష్పత్తి d₁ : d₂ = 2 : 3
బలాల నిష్పత్తి F₁ : F₂ = 4:5
Y₁ = రాగి యంగ్ గుణకము : 1.1 × 10¹¹
Y₂ = అల్యూమినియం యంగ్ గుణకము = 0.7 × 10¹¹
సాగుదల నిష్పత్తి e₁ : e₂ = ?
e = \(\frac{\mathrm{Fl}}{\mathrm{AY}}=\frac{4 \mathrm{~F} l}{\pi \mathrm{d}^2 \mathrm{Y}}\)
∴ \(\frac{\mathrm{e}_1}{\mathrm{e}_2}=\frac{4 \mathrm{~F}_1 l_1}{\pi \mathrm{d}_1^2 \mathrm{Y}_1} \times \frac{\pi \mathrm{d}_2^2 \mathrm{Y}_2}{4 \mathrm{~F}_2 l_2}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{e}_1}{\mathrm{e}_2}=\frac{\mathrm{F}_1 l_1 \mathrm{~d}_2^2 \mathrm{Y}_2}{\mathrm{~F}_2 l_2 \mathrm{~d}_1^2 \mathrm{Y}_1}=\frac{4 \times 3 \times 3^2 \times 0.7 \times 10^{11}}{5 \times 2 \times 2^2 \times 1.1 \times 10^{11}}=\frac{189}{110}\)
∴ e₁ : e₂ = 189 : 110

ప్రశ్న 6.
2 mm² మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న ఇత్తడి తీగ ఒక కొనను ద్రుఢ ఆధారానికి బిగించి రెండో కొనకు 100 cm³ ఘనపరిమాణం ఉన్న వస్తువును కట్టారు. వస్తువును నీటిలో పూర్తిగా ముంచినప్పుడు తీగ పొడవు 0.11 mm తగ్గింది. తీగ సహజ పొడవును కనుక్కోండి. (Y_{ఇత్తడి} : 0.91 × 10¹¹ Nm^-2, ρ_నీరు = 10³ kg m^-3)
సాధన:
అడ్డుకోత వైశాల్యము A = 2mm² = 2 × 10^-6 m²
వస్తువు ఘనపరిమాణము V = 100cc = 100 × 10^-6 m³
పొడవులో తగ్గుదల e’ = 0.11mm = 0.11 × 10^-3 m
ఇత్తడి యంగ్ గుణకము Y = 0.91 × 10¹¹ N/m²
నీరు సాంద్రత ρ = 1000 kg / m³; వికృతి e’ = \(\frac{\mathrm{V} \rho \mathrm{g} l}{\mathrm{AY}}\) ని ఉపయోగించగా
తీగ సహజ పొడవు l = \(\frac{\mathrm{e}^{\prime} \mathrm{AY}}{\mathrm{V} \rho \mathrm{g}}=\frac{0.11 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-6} \times 0.91 \times 10^{11}}{100 \times 10^{-6} \times 1000 \times 9.8}\)
∴ l = \(\frac{0.2002 \times 10^2}{9.8}=\frac{20.02}{9.8}\) = 2.043 m

ప్రశ్న 7.
ఒకే పదార్థంతో చేసిన రెండు తీగల వ్యాసార్ధాల, పొడవుల నిష్పత్తులు ఒకే విధంగా ఉన్నాయి. ఆ నిష్పత్తి 1 : 2 రెండింటిలోనూ వచ్చిన దైర్ఘ్యవృద్ధి సమంగా ఉంటే, వాటిపై వేసిన భారాల నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన:
పొడవుల నిష్పత్తి l₁ : l₂ = 1 : 2; .
తీగలలో సాగుదలలు సమానము ⇒ e₁ = e₂;
వ్యాసార్ధముల నిష్పత్తి r₁ : r₂ = 1 : 2
రెండు తీగలు ఒకే పదార్థముతో చేయబడినవి ⇒ Y₁ = Y₂
వ్రేలాడదీసిన ద్రవ్యరాశుల నిష్పత్తి m₁ : m₂ = ?
Y = \(\frac{\mathrm{mg}}{\pi \mathrm{r}^2} \frac{\mathrm{l}}{\mathrm{e}}\) ని ఉపయోగించగా
\(\frac{\mathrm{m}_1}{\mathrm{~m}_2}=\frac{\mathrm{Y}_1 \mathrm{r}_1^2 l_2}{l_1 \mathrm{Y}_2 \mathrm{r}_2^2}=\frac{1 \times 2}{1 \times 2^2}=\frac{1}{2}\)
∴ m₁ : m₂ = 1 : 2

ప్రశ్న 8.
వేరు వేరు పదార్థాలతో చేసిన రెండు తీగలు ఒకే పొడవు, మధ్యచ్ఛేదాన్ని కలిగి ఉన్నాయి. వీటిపై సమానమైన బలాలను అనువర్తించినప్పుడు రెండింటి పొడవుల పెరుగుదల నిష్పత్తి ఎంత ?
(Y₁ = 0.9 × 10¹¹ Nm^-2, Y₂ = 3.60 × 10¹¹ Nm^-2)
సాధన:
రెండు తీగల పొడవులు సమానము ⇒ l₁ = l₂; తీగల అడ్డుకోత వైశాల్యములు సమానము A₁ = A₂
Y₁ = 0.9 × 10¹¹ Nm^-2
Y₂ = 3.60 × 10¹¹ Nm^-2
సాగుదల e = \(\frac{\mathrm{Fl}}{\mathrm{AY}}\)
∴ \(\frac{e_1}{e_2}=\frac{F_1 l_1}{A_1 Y_1} \cdot \frac{A_2 Y_2}{F_2 l_2}\) (∵ ఇందులో F, I మరియు A లు సమానము)
∴ \(\frac{e_1}{e_2}=\frac{Y_2}{Y_1}\)
∴ \(\frac{e_1}{e_2}=\frac{3.60 \times 10^{11}}{0.9 \times 10^{11}}=\frac{4}{1}\) (లేదా) e₁ : e₂ = 4 : 1

ప్రశ్న 9.
2.5 m పొడవు, 1.5 × 10⁶ m² మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న లోహతీగను 2 mm సాగదీశారు. తీగ యంగ్ గుణకం 1.25 × 10¹¹ Nm^-2 అయితే దానిలో ఉండే తన్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
తీగ పొడవు l = 2.5m
సాగుదల e = 2 m.m = 2 × 10^-3 m
అడ్డుకోత వైశాల్యము A = 1.5 × 10^-6 m²
Y = 1.25 × 10²² N/m²
తన్యత T = mg = F = ?
Y = \(\frac{\mathrm{Fl}}{\mathrm{Ae}}\) ⇒ F = \(\frac{\mathrm{YAe}}{l}\)
∴ T = \(\frac{1.25 \times 10^{11} \times 1.5 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}}{2.5}\) = \(\frac{3.75 \times 10^2}{2.5}\) = 150 N

ప్రశ్న 10.
ఒకే పొడవు, మధ్యచ్ఛేదం ఉన్న అల్యూమినియం, ఉక్కు తీగల కొనలను కలిపారు. ఈ మిశ్రమ తీగ ఒక కొనను ద్రుఢ ఆధారానికి బిగించి రెండో కొనకు భారాన్ని వేలాడదీశారు. మిశ్రమ తీగ పొడవులో పెరుగుదల 1.35mm ఉంటే 1) రెండు తీగలపై పనిచేసే ప్రతిబలాల 2) రెండు తీగలలో వచ్చే వికృతుల నిష్పత్తులను కనుక్కోండి.
(Y_AL = 0.7 × 10¹¹ Nm^-2, Y_steel = 2 × 10¹¹ Nm^-2)
సాధన:
i) రెండు తీగల పొడవులు సమానము ⇒ l₁ = l₂ ;
అడ్డుకోత వైశాల్యములు సమానము ⇒ A₁ = A₂
సంయోగ తీగలో రెండు తీగలపై ఒకే బలము పనిచేయును;
∴ ప్రతిబలాల నిష్పత్తి = 1 : 1

ii) మొత్తము సాగుదల e = 1.35mm = e_Al + e_s
అల్యూమినియం యంగ్ గుణకము 7 × 10¹¹ N/m²,
స్టీలు తీగ యంగ్ గుణకము, Y = 2 × 10¹¹ N/m²
సాగుదల e = \(\frac{\mathrm{Fl}}{\mathrm{AY}}\) కాని F, I మరియు A లు సమానము.
∴ e ∝ \(\frac{1}{\mathrm{Y}}\) లేదా \(\frac{\mathrm{e}_{\mathrm{A} l}}{\mathrm{e}_{\mathrm{S}}}=\frac{\mathrm{Y}_{\mathrm{S}}}{\mathrm{Y}_{\mathrm{A} l}}=\frac{20 \times 10^{10}}{7 \times 10^{10}}=\frac{20}{7}\) లేదా 20 : 7
∴ తీగలలో వికృతిల నిష్పత్తి 20 : 7.

ప్రశ్న 11.
ఒక పదార్థంతో చేసిన 2 cm భుజం కలిగిన ఘనంపై ప్రయోగించిన 0.3 N స్పర్శాబలం దాని పై తలాన్ని 0.15 cm స్థానభ్రంశం చెందించింది. ఘనం కింది తలాన్ని స్థిరంగా ఉంచారు. పదార్థం విమోటన గుణకం కనుక్కోండి.
జవాబు:
ఘనము యొక్క ఒక భుజము పొడవు a = 2.0cm = 2 × 10² m
∴ ఘనము యొక్క ఒక తలము వైశాల్యము A = 4 × 10^-4 m²
ఉపరితల పొర స్థాన భ్రంశం = 0.15cm = 0.15 × 10^-2m
స్పర్శీయ బలము F = 0.30N
విమోటనా గుణకము η = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{A}} \cdot \frac{\mathrm{x}}{\Delta \mathrm{x}}=\frac{0.30}{4 \times 10^{-4}} \frac{2 \times 10^{-2}}{0.15 \times 10^{-2}}\)
∴ η = \(\frac{0.60 \times 10^4}{0.60}\) = 1 × 10⁴ N/m²

ప్రశ్న 12.
1000 cm³ ఘనపరిమాణం ఉన్న గోళాకార బంతిపై 10 atm పీడనాన్ని ప్రయోగించారు. ఘనపరిమాణంలో వచ్చిన మార్పు 10^-2 cm³. బంతిని ఇనుముతో తయారుచేసినట్లైతే దాని యంగ్ గుణకాన్ని కనుక్కోండి. (1 atm = 1 × 10⁵ Nm^-2)
సాధన:
గోళాకార బంతి ఘనపరిమాణము V = 1000 cm³ = 10^-3 m³ (∵ 1M³ = 10⁶ cm³)
పీడనము P = 10 అట్మాస్పియర్లు = 10 × 10⁵ పాస్కల్ ( ∵ 1 atm = 10⁵ cm)
ఘనపరిమాణములో మార్పు ∆V = 10^-8 cm³ స్థూల గుణకము K ?
K = \(\frac{\mathrm{PV}}{\Delta \mathrm{V}}=\frac{10^6 \times 10^{-3}}{10^{-8}}\) = 1 × 10¹¹ N/m²

ప్రశ్న 13.
1 cm భుజం ఉన్న రాగి ఘనాన్ని 100 atm పీడనానికి గురిచేశారు. రాగి ఆయత గుణకం 1.4 × 10¹¹ Nm^-2 అయితే ఘనపరిమాణంలో వచ్చే మార్పును కనుక్కోండి. (1 atm = 1 × 10⁵ Nm^-2)
సాధన:
ఒక రాగి ఘనము ఒక్కొక్క భుజము పొడవు ‘a’ 1 సెం.మీ. = 10^-2 m
∴ ఘనము ఘనపరిమాణము = 10^-6m
పీడనము P = 100 అట్మాస్పియర్లు = 100 × 10⁵ = 10⁷ పాస్కల్లు
స్థూల గుణకము K = 1.4 × 10¹¹ N/m²;
ఘనపరిమాణములో మార్పు ∆V = \(\frac{P . V}{K}=\frac{10^7 \times 10^{-6}}{1.4 \times 10^{11}}=\frac{10^{-10}}{1.4}\)
= 0.7143 × 10^-10 m³

ప్రశ్న 14.
ఇచ్చిన నీటి ఘనపరిమాణాన్ని 2% తగ్గించడానికి ఎంత పీడనం అవసరమవుతుంది ? నీటి ఆయత గుణకం 2.2 × 10⁹ Nm^-2.
సాధన:
స్థూల వికృతి = \(\frac{\Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}}\) = 2% ⇒ ∆V = \(\frac{2}{100}\) V
స్థూల గుణకము _ K = 2.2 × 10⁹ Nm^-2
∴ కావలసిన పీడనము P = \(\frac{\mathrm{K} \Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}}=\frac{2.2 \times 10^9 \times 2 \mathrm{~V}}{\mathrm{~V} \times 100}\) = 4.4 × 10⁷ పాస్కల్

ప్రశ్న 15.
20 cm పొడవు ఉన్న ఉక్కు తీగను సాగదీసి దాని పొడవును 0.2 cm పెంచారు. ఉక్కు ప్వాజూన్ నిష్పత్తి 0.19 అయితే, తీగలో వచ్చే పార్శ్వ వికృతి ఎంత ?
సాధన:
తీగ పొడవు l = 20cm = 0.20m, ప్వాజూన్ నిష్పత్తి σ = 0.19
పొడవులో సాగుదల ∆l = 0.2cm = 2 × 10³ m;
పార్శ్వీయ వికృతి = ?
పార్శ్వ వికృతి = σ × అనుదైర్ఘ్య వికృతి ‘e’;
కాని e = \(\)
∴ పార్శ్వీయ వికృతి = σ \(\frac{\Delta l}{l}\) = \(\frac{0.19 \times 2 \times 10^{-3}}{0.20}\) = 1.9 × 10^-3 = 0.0019m.

ముఖ్యమైన అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
4.7 m పొడవు, 3.0 × 10^-5 m² మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న ఉక్కు తీగ, 3.5 m పొడవు, 4.0 × 10^-5 m² తీగ రెండూ ఇచ్చిన భారం వల్ల సమానంగా సాగాయి. ఉక్కు రాగి యంగ్ గుణకాల మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న రాగి నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన:
ఉక్కు తీగకు a₁ = 3.0 × 10^-5 m²; l₁ = 4.7 m; ∆l₁ = ∆l ; F₁ = F
రాగి తీగకు a₂ = 4.0 × 10^-5 m²; l₂ = 3.5 m; ∆l₂ = ∆l ; F₂ = F
Y₁, Y₂ లను వరుసగా ఉక్కు, కాపర్ల యంగ్ గుణకాలు అనుకొనుము.

ప్రశ్న 2.
పటంలో ఒక పదార్థం వికృతి-ప్రతిబలం వక్రం చూపించడమైనది. ఈ పదార్థం ఎ) యంగ్ గుణకం, బి) ఉజ్జాయింపు ఈగే సామర్థ్యం ఎంత ?
సాధన:
ఎ) గ్రాఫ్ నుండి ప్రతిబలము = 150 × 10⁶ Nm^-2,
వికృతి = 0.002

= 7.5 × 10¹⁰ Nm^-2

బి) ఉజ్జాయింపుగా ఊగే సామర్థ్యము అది భరించగల అత్యధిక ప్రతిబలానికి సమానము.
∴ ఉజ్జాయింపుగా ఊగే సామర్థ్యము
= 300 × 10⁶ Nm^-2 = 3 × 10⁸ Nm^-2

ప్రశ్న 3.
రెండు పదార్థాలు A, B ప్రతిబలం – వికృతి వక్రాలను పటంలో ఇవ్వడమైంది. రెండు వక్రాలను ఒకే స్కేలు ప్రకారం గీశారు.
ఎ) రెండు పదార్థాల్లో ఏ పదార్థం యంగ్ గుణకం ఎక్కువ ?
బి) రెండు పదార్థాల్లో ఏది బలమైనది ?

సాధన:
ఎ) ఇచ్చిన రెండు ప్రతిబలము – వికృతి రేఖాపటాలలో A గ్రాఫ్ ప్రతిబలము B కన్న ఎక్కువ కావున A కి యంగ్ గుణకము ఎక్కువ. (Y = ప్రతిబలము/వికృతి కావున)
బి) ఒక వస్తువు యొక్క దృఢత్వము దానిని తెంపటానికి కావలసిన ప్రతిబలంపై ఆధారపడును. A కి ప్రతిబలం ఎక్కువ కావున కన్న A దృఢమైనది.

ప్రశ్న 4.
కింద ఇచ్చిన రెండు ప్రవచనాలను జాగ్రత్తగా చదివి అది తప్పా, ఒప్పా కారణాలతో వివరించండి.
ఎ) రబ్బరు యంగ్ గుణకం ఉక్కు కంటే ఎక్కువ.
బి) తీగ చుట్ట సాగుదలను దాని విమోటన గుణకం ఆధారంగా నిర్ణయించవచ్చు.
సాధన:
ఎ) ఈ వాక్యము అబద్ధము. ఒకే ప్రతిబలానికి స్టీలు కన్న రబ్బరుకు వికృతి ఎక్కువ. స్థితిస్థాపక గుణకము వికృతికి విలోమానుపాతంలో ఉండును. yo : 1/వికృతి

బి) ఈ వాక్యము నిజము. స్ప్రింగ్ను సాగదీస్తే మనం వాడిన బలం తీగ పొడవు మారకుండా స్ప్రింగ్ ఆకారాన్ని మారుస్తుంది. అందువల్ల ఈ ప్రక్రియలో దృఢతా గుణకము లెక్కలోనికి వస్తుంది.

ప్రశ్న 5.
పటంలో చూపించినట్లు 0.25 cm వ్యాసం ఉన్న ఉక్కు, ఇత్తడి తీగలను భారయుతం చేశారు. భారరహిత స్థితిలో ఉక్కుతీగ పొడవు 1.5 m, ఇత్తడి తీగ పొడవు 1.0 m. ఉక్కు, ఇత్తడి తీగలలో వచ్చే దైర్ఘ్యవృద్ధి లెక్కించండి.

సాధన:
ఉక్కుతీగకు, ఉక్కు తీగపై మొత్తం బలము
F₁ = 4 + 6 = 10 kg f = 10 × 9.8 N;
l₁ = 1.5 m, ∆l₁ = ?; 2r₁ = 0.25 cm
లేదా r₁ = (0.25/2) cm = 0.125 × 10^-2 m;
Y₁ = 2.0 × 10¹¹ Pa
ఇత్తడి తీగకు F₂ = 6.0 kg, f = 6 × 9.8 N; 2r₂ = 0.25 cm
లేదా r₂ = (0.25/2) cm = 0.125 × 10^-2 m;
Y₂ = 0.91 × 10¹¹ Pa, l₂ = 1.0 m, ∆l₂= ?
Y₁ = \(\frac{\mathrm{F}_1 \times l_1}{\mathrm{a}_1 \times \Delta l_1}=\frac{\mathrm{F}_1 \times l_1}{\pi \mathrm{r}_1^2 \times \Delta l_1}\)

ప్రశ్న 6.
అల్యూమినియం ఘనం అంచు పొడవు 10 cm. ఘనం ఒక తలాన్ని నిలువు గోడకు గట్టిగా బిగించారు. ఘనం ఎదురు తలానికి 100 kg ద్రవ్యరాశిని తగిలించారు. అల్యూమినియం విమోటన గుణకం 25 GPa. ఈ తలం నిట్టనిలువు అపవర్తనం ఎంత ?
సాధన:
A = 0.10 × 0.10 = 10^-2 m²; F = mg = 100 × 10 N
విమోటన వికృతి = \(\frac{\Delta \mathrm{L}}{\mathrm{L}}\) = \(\frac{(\mathrm{F} / \mathrm{A})}{\mathrm{G}}\) or ∆L = \(\frac{\mathrm{FL}}{\mathrm{AG}}\) = \(\frac{(100 \times 10) \times 0.10}{10^{-2} \times\left(25 \times 10^9\right)}\) = 4 × 10^-7 m.

ప్రశ్న 7.
50,000 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న భారీ కట్టడానికి ఆధారంగా నాలుగు బోలు స్థూపాకార, మృదు ఉక్కుస్తంభాలు ఉన్నాయి. ప్రతీ స్తంభం లోపలి, బాహ్య వాసార్ధాలు వరుసగా 30, 60 cm గా ఉన్నాయి. భార వితరణ ఏకరీతిగా ఉన్నదనుకొని ప్రతీ స్తంభంలో వచ్చే సంపీడన వికృతిని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
15.2 mm × 19.1 mm కొలతలు ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార రాగి ముక్కను 44,500 N తన్యత బలంతో కేవలం స్థితిస్థాపక విరూపణ కలిగే విధంగా లాగారు. దాని మూలంగా కలిగే ఫలిత వికృతిని గణించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి A = 15.2 × 19.2 × 10^-6 m²; F = 44,500 N; G = 42 × 10⁹ Nm^-2

ప్రశ్న 9.
స్కీయింగ్ ప్రాంతంలో ఉన్న చైర్ లిఫ్ట్ను మోసే ఉక్కు కేబుల్ వ్యాసార్ధం 1.5cm. గరిష్ట ప్రతిబలం విలువ 10⁸ Nm^-2 ను దాటకూడదు. అంటే, కేబుల్ గరిష్ఠంగా ఎంత బరువును మోయగలదు ?
సాధన:
గరిష్ఠ భారము = గరిష్ఠ ప్రతిబలము × అడ్డుకోత వైశాల్యము
= 10⁸ × πr² = 10⁸ × (22/7) × (1.5 × 10^-2)² = 7.07 × 10⁴ N

ప్రశ్న 10.
15 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ద్రుఢమైన కడ్డీని సౌష్ఠవంగా అమర్చి ఉన్న మూడు తీగలు మోస్తున్నాయి. ప్రతి తీగ పొడవు 2.0 m. రెండు చివరల ఉన్న తీగలు రాగికి కాగా, మధ్యలో తీగ ఇనుముతో తయారయింది. అన్ని సమాన తన్యతను కలిగి ఉండాలంటే, వాటి వ్యాసాల నిష్పత్తులు ఎలా ఉండాలి ?
సాధన:
ప్రతీ తీగ ఒకే తన్యత 1 ను కల్గి ఉన్నందున, అవి ద్రుఢమైన కడ్డీ ద్రవ్యరాశి కారణంగా ఒకే విధమైన సాగుదలను కలిగి ఉంటాయి. ప్రతీ తీగ ఒకే పొడవు కలిగి ఉన్నందున వాటికి సమాన వికృతి ఉంటుంది. తీగ వ్యాసం D అయితే
Y = \(\frac{4 \mathrm{~F} / \pi \mathrm{D}^2}{\text { వికృతి }}\) (లేదా) D² ∝ 1/Y
∴ \(\frac{D_{\mathrm{cu}}}{\mathrm{D}_{\mathrm{iron}}}\) = \(\sqrt{\frac{Y_{\text {iron }}}{Y_{\mathrm{Cu}}}}\) = \(\sqrt{\frac{190 \times 10^9}{110 \times 10^9}}\) = \(\sqrt{\frac{19}{11}}\) = 1.31

ప్రశ్న 11.
1.0 m సహజ పొడవు ఉన్న ఉక్కు తీగ ఒక చివర 14.5 kg ద్రవ్యరాశిని కట్టి నిలువు తలంలో వృత్తాకారంగా తిప్పారు. దాని కనిష్ఠ బిందువు వద్ద కోణీయ వేగం 2 reu/s. తీగ మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం 0.065 cm². ద్రవ్యరాశి వృత్తాకార పథంలో కనిష్ఠ బిందువు వద్ద ఉన్నప్పుడు తీగలో వచ్చే దైర్ఘ్యవృద్ధిని లెక్కించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి m = 14.5 kg; l = r = 1 m; v = 2 rps; A = 0.065 × 10^-4 m²
నిలువు వృత్తంలో కనిష్ఠ బిందువు వద్ద మొత్తము బలము
F = mg + mr ω² = mg + mr 4 π² v² = 14.5 × 9.8 + 14.5 × 1 × 4 × (22/7)² × 2²
= 142.1+ 2291.6 = 2433.7 N
Y =\(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{A}} \times \frac{l}{\Delta l}\) or ∆l = \(\frac{\mathrm{Fl}}{\mathrm{AY}}=\frac{2433.7 \times 1}{\left(0.065 \times 10^{-4}\right) \times\left(2 \times 10^{11}\right)}\) = 1.87 × 10^-3 m = 1.87mm

ప్రశ్న 12.
క్రింద ఇచ్చిన దత్తాంశం సహాయంతో నీటి ఆయత గుణకాన్ని కనుక్కోండి. తొలి ఘనపరిమాణం = 100.0 litre, పీడనం పెరుగుదల = 100.0 atm (1 atm = 1,013 × 10⁵ Pa), తుది ఘనపరిమాణం = 100,5 litre. నీటి ఆయతన గుణకాన్ని గాలి (స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద) ఆయత గుణకంతో పోల్చండి. ఈ నిష్పత్తి ఎందుకు చాలా అధికంగా ఉంటుందో సులభరీతిలో వివరించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి V = 100 litre = 100 × 10^-3 m³; p = 100 atm = 100 × 1.013 10⁵ Pa.
V + ∆V = 100.5 లీటర్లు (లేదా) ∆V = (V + ∆V) – V = 100.5 – 100 = 0.5 litre = 0.5 ×10^-3 m³.
ఆయతన గుణకము, B = \(\frac{\mathrm{pV}}{\Delta \mathrm{V}}\) = \(\frac{100 \times 1.013 \times 10^5 \times 100 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-3}}\) = 2.026 × 10⁹ Pa
గాలి ఆయతన గుణకము 1.0 × 10⁵ Pa

వాయువులలో అణువుల మధ్య దూరము చాలా ఎక్కువ. వాటి మధ్య గల బంధాలు చాలా బలహీనమైనవి. అందువల్ల ద్రవాల కన్నా వాయువుల ఆయతన గుణకం చాలా తక్కువ.

ప్రశ్న 13.
ఉపరితలంపై నీటి సాంద్రత 1.03 × 10³ kg m^-3 గా ఉన్నట్లయితే, 80.00 atm పీడనం ఉండే లోతులో నీటి సాంద్రత ఎంత ఉంటుంది ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి_p = 80.00 atm = 80.0 × 1.013 × 10⁵ Pa; సంపీడ్యత \(\frac{1}{B}\) = 45.8 × 10^-11 Pa^-1
ఉపరితలం వద్ద నీటి సాంద్రత ρ = 1.03 × 10³ kg m^-3
M ద్రవ్యరాశి గల నీటికి ఉపరితలం వద్ద మరియు ఇచ్చిన లోతు వద్ద నీటి ఘనపరిమాణాలు
V = \(\frac{M}{\rho}\) మరియు V’ = \(\frac{\mathrm{M}}{\rho^{\prime}}\)

ప్రశ్న 14.
10 atm హైడ్రాలిక్ పీడనానికి గురిచేసిన గాజు పలక ఘనపరిమాణంలో వచ్చే అంశిక మార్పు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి p = 10 atm = 10 × 1.013 × 10⁵ Pa; B = 37 × 10⁹ Nm^-2
ఘనపరిమాణ వికృతి = \(\frac{\Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}}=\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{B}}=\frac{10 \times 1.013 \times 10^5}{37 \times 10^9}\) = 2.74 × 10^-5
∴ ఘనపరిమాణంలో అంశిక మార్పు = \(\frac{\Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}}\) = 2.74 × 10^-5

ప్రశ్న 15.
7.0 × 10⁶ Pa హైడ్రాలిక్ పీడనానికి గురయిన 10 cm భుజం ఉన్న ఘన రాగి ఘనం ఏర్పడే ఘనపరిమాణ సంకోచాన్ని నిర్ణయించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి L = 10 cm = 0.10 m; p = 7 × 10⁶ Pa; B = 140 GPa = 140 × 10⁹ Pa
B = \(\frac{\mathrm{pV}}{\Delta \mathrm{V}}=\frac{\mathrm{p} L^3}{\Delta \mathrm{V}}\) or ∆V = \(\frac{\mathrm{pL}^3}{\mathrm{~B}}=\frac{\left(7 \times 10^6\right) \times(0.10)^3}{140 \times 10^9}\) = 5 × 10^-8; m³ = 5 × 10^-2 mm³

ప్రశ్న 16.
ఒక లీటరు నీటిని 0.10% సంపీడనం చెందించడానికి ఎంత పీడనం అవసరం ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి V = 1 లీటరు = 10^-3 m³; ∆V/V = 0.10/100 = 10^-3
B = \(\frac{\mathrm{pV}}{\Delta \mathrm{V}}\) (లేదా) p = B\(\frac{\Delta V}{V}\) = (2.2 × 10⁹) × 10^-3 = 2.2 × 10⁶ Pa

ప్రశ్న 17.
అధిక పీడనాల వద్ద పదార్థాల ప్రవర్తనను తెలుసుకోవడానికి పటంలో చూపిన ఆకృతిలో ఉన్న ఏక స్పటిక వజ్రం (స్వర్ణకారులు వాడేది) దాగిలి (Anvil) ని వాడతారు. సన్నకొన వద్ద ఉండే సమతలం వ్యాసం 0.50mm. వెడల్పు కొనను 50,000 N సంపీడ్యత బలానికి గురిచేశారు. దాగిలి మొన (tip) పై పనిచేసే పీడనం ఎంత ?

సాధన:
దత్తాంశం నుండి D = 0.5 mm = 0.5 × 10^-3 m = 5 × 10^-4 m
F = 50,000 N = 5 × 10⁴ N
దాగిలి మొనపై పీడనము, P = \(\frac{\mathrm{F}}{\pi \mathrm{D}^2 / 4}=\frac{4 \mathrm{~F}}{\pi \mathrm{D}^2}\)
∴ P = \(\frac{4 \times\left(5 \times 10^4\right)}{(22 / 7) \times\left(5 \times 10^{-4}\right)^2}\) = 2.5 × 10¹¹ Pa

ప్రశ్న 18.
రెండు లోహ పలకలను ఒకదానితో ఒకటి చివరల నాలుగు రివెట్లనుపయోగించి బిగించారు. ప్రతి రివెట్ వ్యాసం 6.0 mm. ప్రతి రివెట్పై విమోటన బలం 6.9 × 10⁷ Pa దాటకూడదు. రివెట్లు కట్టిన లోహ పలకల వల్ల కలిగే గరిష్ఠ తన్యత ఎంత ? ప్రతి రివెట్ భారంలో నాలుగో వంతును భరిస్తుందనుకోండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి = : 6/2 = 3 mm = 3 × 10^-3 m; గరిష్ఠ ప్రతిబలము = 6.9 × 10⁷ Pa;
రివెట్ పై గరిష్ఠ భారము = గరిష్ఠ ప్రతిబలము × అడ్డుకోత వైశాల్యము = 6.9 × 10⁷ × (22/7) × (3 × 10^-3)²
∴ గరిష్ఠ తన్యత = 4[6.9 × 10⁷ × \(\frac{22}{7}\) × 9 × 10^-6] = 7.8 × 10³ N

ప్రశ్న 19.
పసిఫిక్ మహాసముద్రంలో ఉన్న మరీనా అగాధం లోతు ఒక చోట ఉపరితలం నుంచి 11 km ఉంటుంది. అగాధం అడుగు భాగంలో ద్రవ పీడనం సుమారు 1.1 × 10⁸ Pa గా ఉంటుంది. సముద్రంలో 0.32 m³ తొలి ఘనపరిమాణం ఉన్న ఉక్కు బంతిని వదిలినప్పుడు అది అగాధం అడుగుకు చేరుకొంది. అక్కడ బంతి ఘనపరిమాణంలో వచ్చే మార్పు ఎంత ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి p = 1.1 × 10⁸ pa; V = 0.32 m³; B = 1.6 × 10¹¹ Pa
∆V = \(\frac{\mathrm{pV}}{\mathrm{B}}\) = \(\frac{\left(1.1 \times 10^8\right) \times 0.32}{1.6 \times 10^{11}}\) = 2.2 × 10^-4 m³.