TS Inter 1st Year

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Matrices Solutions Exercise 3(d)

I.
Question 1.
Find the determinants of the following matrices.
(i) \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & -5
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & -5
\end{array}\right]\) then determinant A
= det A = |A| = 2(-5) – 1(1)
= -10 – 1
= -11

(ii) \(\left[\begin{array}{cc}
4 & 5 \\
-6 & 2
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{cc}
4 & 5 \\
-6 & 2
\end{array}\right]\) then
det A = 4(2) – 5(-6)
= 8 + 30 = 38

(iii) \(\left[\begin{array}{cc}
\mathrm{i} & 0 \\
0 & -\mathrm{i}
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{cc}
\mathrm{i} & 0 \\
0 & -\mathrm{i}
\end{array}\right]\) then
det A = i(-1) – 0 = -i² = 1 (∵ i² = -1)

(iv) \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right]\)
Answer:

(v) \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & 4 & 2 \\
2 & -1 & 4 \\
-3 & 7 & 6
\end{array}\right|\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 4 & 2 \\
2 & -1 & 4 \\
-3 & 7 & 6
\end{array}\right]\)
Then det A = 1\(\left|\begin{array}{rr}
-1 & 4 \\
7 & 6
\end{array}\right|\) – 4\(\left|\begin{array}{ll}
-2 & 4 \\
-3 & 6
\end{array}\right|\) + 2\(\left|\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
-3 & 7
\end{array}\right|\)
= 1(-6 – 28) – 4(12 + 12)+ 2(14 – 3)
= 1 (- 34) – 4(24) + 2(11)
= -34 – 96 + 22
= -108

(vi) \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 4 \\
4 & -3 & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 4 \\
4 & -3 & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{array}\right]\)
Then det A = 2\(\left|\begin{array}{rr}
-3 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right|\) + 1\(\left|\begin{array}{ll}
4 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right|\) + 4\(\left|\begin{array}{rr}
4 & -3 \\
1 & 2
\end{array}\right|\)
= 2(- 3 – 2)+ 1(4 – 1) + 4(8 + 3)
= 2(-5) + 3 + 4(11)
= – 10 + 3 + 44
= 37

(vii) \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & -3 \\
4 & -1 & 7 \\
2 & 4 & -6
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & -3 \\
4 & -1 & 7 \\
2 & 4 & -6
\end{array}\right]\)
Then det A = 1\(\left|\begin{array}{rr}
-1 & 7 \\
4 & -6
\end{array}\right|\) – 2\(\left|\begin{array}{rr}
4 & 7 \\
2 & -6
\end{array}\right|\) – 3\(\left|\begin{array}{rr}
4 & -1 \\
2 & 4
\end{array}\right|\)
= 1(6 – 28) – 2(- 24 – 14) – 3(16 + 2)
= -22 + 76 – 54 = 0
[Note : Since R₁ and R₂ are proportional, we have det A = 0.]

(viii) \(\left[\begin{array}{lll}
a & h & g \\
h & b & f \\
g & f & c
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{lll}
a & h & g \\
h & b & f \\
g & f & c
\end{array}\right]\)
Then det A = a\(\left|\begin{array}{ll}
b & f \\
f & c
\end{array}\right|\) – h\(\left|\begin{array}{ll}
\mathrm{h} & \mathrm{f} \\
\mathrm{g} & \mathrm{c}
\end{array}\right|\) – g\(\left|\begin{array}{ll}
h & b \\
g & f
\end{array}\right|\)
= a(bc – f²) – h(ch – fg) + g(fh – bg)
= abc – af² – ch² + fgh + fgh – bg²
= abc + 2fgh – af² – bg² – ch²

(ix) \(\left[\begin{array}{lll}
a & b & c \\
b & c & a \\
c & a & b
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{lll}
a & b & c \\
b & c & a \\
c & a & b
\end{array}\right]\)
Then det A = 1\(\left|\begin{array}{ll}
c & a \\
a & b
\end{array}\right|\) – b\(\left|\begin{array}{ll}
b & a \\
c & b
\end{array}\right|\) – c\(\left|\begin{array}{ll}
b & \mathrm{c} \\
\mathrm{c} & \mathrm{a}
\end{array}\right|\)
= a(bc – a²) – b(b² – ac) + c(ab – c²)
= 3abc – a³ – b³ – c³

(x) \(\left[\begin{array}{ccc}
1^2 & 2^2 & 3^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1^2 & 2^2 & 3^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 9 \\
4 & 9 & 16 \\
9 & 16 & 25
\end{array}\right]\)
Then det A = 1(225 – 256) – 4(100 – 144) + 9(64 – 81)
= -31 + 176 – 153 = -8

Question 2.
If A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 4 \\
5 & -6 & x
\end{array}\right]\) and det A = 45 then find x.
Answer:
det A = 45
⇒ \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 4 \\
5 & -6 & x
\end{array}\right|\) = 45
⇒ 1(3x + 24) = 45
⇒ 3x = 21
⇒ x = 7

II.
Question 1.
Show that \(\left|\begin{array}{lll}
\mathrm{b c} & \mathrm{b}+\mathrm{c} & 1 \\
\mathrm{c a} & \mathrm{c}+\mathrm{a} & 1 \\
\mathrm{a b} & \mathrm{a}+\mathrm{b} & 1
\end{array}\right|\) = (a – b)(b – c)(c – a).
Answer:
Operating R₂ – R₁, R₃ – R₁, on the given determinant
LHS = \(\left|\begin{array}{ccc}
b c & b+c & 1 \\
c(a-b) & a-b & 0 \\
b(a-c) & a-c & 0
\end{array}\right|\)
= (a – b)(a – c)\(\left|\begin{array}{ccc}
b c & b+c & 1 \\
c & 1 & 0 \\
b & 1 & 0
\end{array}\right|\)
= (a – b)(a – c)(1)(c – b)
= (a – b)(b – c)(c – a) (exponding on 3rd column)
= RHS

Question 2.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
b+c & c+a & a+b \\
a+b & b+c & c+a \\
a & b & c
\end{array}\right|\) = a² + b² + c² – 3abc (Mar. 2008; May 2007)
Answer:

= (a + b + c) [(c – b) (c – a) – (a – b) (b – a)]
= (a + b + c) [c² – bc – ac + ab + a² – 2ab + b²]
= (a + b + c) [a² + b² + c² – ab – bc – ca]
= a² + b² + c² – 3abc

Question 3.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{y}+\mathrm{z} & \mathrm{x} & \mathrm{x} \\
\mathrm{y} & \mathrm{z}+\mathrm{x} & \mathrm{y} \\
\mathrm{z} & \mathrm{z} & \mathrm{x}+\mathrm{y}
\end{array}\right|\) = 4xyz.
Answer:
R₁ – (R₂ + R₃) on the given determinant gives

= 2[z(xy) – y(-xz)]
= 2[2xyz] = 4xyz = RHS

Question 4.
If \(\left|\begin{array}{ccc}
a & a^2 & 1+a^3 \\
b & b^2 & 1+b^3 \\
c & c^2 & 1+c^3
\end{array}\right|\) = 0 and \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{a} & \mathrm{a}^2 & 1 \\
\mathrm{b} & \mathrm{b}^2 & 1 \\
\mathrm{c} & \mathrm{c}^2 & 1
\end{array}\right|\) ≠ 0, then show that abc = -1. (Mar. ’14)
Answer:

⇒ abc + 1 = 0
⇒ abc = -1

Question 5.
Without expanding the determinant, prove that
(i) \(\left|\begin{array}{lll}
\mathrm{a} & \mathrm{a}^2 & \mathrm{b c} \\
\mathrm{b} & \mathrm{b}^2 & \mathrm{c a} \\
\mathrm{c} & \mathrm{c}^2 & \mathrm{a b}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & \mathrm{a}^2 & \mathrm{a}^3 \\
1 & \mathrm{b}^2 & \mathrm{b}^3 \\
1 & \mathrm{c}^2 & \mathrm{c}^3
\end{array}\right|\)
Answer:

(ii) \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{a x} & \mathrm{b y} & \mathrm{c z} \\
\mathrm{x}^2 & \mathrm{y}^2 & \mathrm{z}^2 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{a} & \mathrm{b} & \mathrm{c} \\
\mathrm{x} & \mathrm{y} & \mathrm{z} \\
\mathrm{y z} & \mathrm{z x} & \mathrm{x y}
\end{array}\right|\)
Answer:

(iii) \(\left|\begin{array}{lll}
1 & b c & b+c \\
1 & c a & c+a \\
1 & a b & a+b
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
1 & a & a^2 \\
1 & b & b^2 \\
1 & c & c^2
\end{array}\right|\) (Board Model Paper)
Answer:

(∵ R₂ – R₁; R₃ – R₁)
= (b – a) (c² – a²) – (c – a) (b² – a²)
= (b – a) (c – a) (c + a) – (c – a) (b – a) (b + a)
= (b – a) (c – a) (c + a – b – a)
= (b – a) (c – a) (c – b)
= (a – b) (b – c) (c – a)
LHS = RHS

Question 6.
If Δ₁ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{a}_1^2+\mathrm{b}_1+c_1 & \mathrm{a}_1 \mathrm{a}_2+\mathrm{b}_2+c_2 & \mathrm{a}_1 \mathrm{a}_3+\mathrm{b}_3+c_3 \\
\mathrm{b}_1 \mathrm{b}_2+c_1 & \mathrm{b}_2^2+\mathrm{c}_2 & \mathrm{b}_2 \mathrm{b}_3+\mathrm{c}_3 \\
\mathrm{c}_3 c_1 & \mathrm{c}_3 \mathrm{c}_2 & \mathrm{c}_3^2
\end{array}\right|\) and Δ₂ = \(\left|\begin{array}{lll}
\mathrm{a}_1 & \mathrm{b}_1 & \mathrm{c}_1 \\
\mathrm{a}_2 & \mathrm{b}_2 & \mathrm{c}_2 \\
\mathrm{a}_3 & \mathrm{b}_3 & \mathrm{c}_3
\end{array}\right|\), then find the value of \(\frac{\Delta_1}{\Delta_2}\).
Answer:

Question 7.
If Δ₁ = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 1 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 1
\end{array}\right|\) and Δ₂ = \(\left|\begin{array}{ccc}
0 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 0 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 0
\end{array}\right|\) and Δ₁ = Δ₂ then show that cos²α + cos²β + cos²γ = 1.
Answer:
Given \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 1 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 1
\end{array}\right|\)
= (1 – cos²γ) – cos α (cos α – cos β cos γ) + cos β (cos α cos γ – cos β)
= 1 – cos²γ – cos²α + cos β cos α cos γ + cos α cos β cos γ – cos²β
= 1 – (cos²α + cos²β + cos²γ) + 2 cos α cos β cos γ

Δ₂ = \(\left|\begin{array}{ccc}
0 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 0 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 0
\end{array}\right|\)
= – cos α (0 – cos γ cos β) + cos β (cos α cos γ)
= cos α cos β cos γ + cos α cos β cos γ
= 2cos α cos β cos γ
Also given Δ₁ = Δ₂
⇒ 1 – (cos²α + cos²β + cos²γ) + 2 cos α cos β cos γ
= 2 cos α cos β cos γ
⇒ 1 – (cos²α + cos²β + cos²γ) = 0
∴ cos²α + cos²β + cos²γ = 1

III.
Question 1.
Show that
\(\left|\begin{array}{ccc}
a+b+2 c & a & b \\
c & b+c+2 a & b \\
c & a & c+a+2 b
\end{array}\right|\) = 2(a + b + c)³
Answer:

Question 2.
Show that \(\left|\begin{array}{lll}
a & b & c \\
b & c & a \\
c & a & b
\end{array}\right|^2\) = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 b c-a^2 & c^2 & b^2 \\
c^2 & 2 a c-b^2 & a^2 \\
b^2 & a^2 & 2 a b-c^2
\end{array}\right|\) = (a³ + b³ + c³ – 3abc)². (May 2014, Mar. 01′)
Answer:
Let Δ = \(\left|\begin{array}{lll}
a & b & c \\
b & c & a \\
c & a & b
\end{array}\right|\) = a(bc – a²) – b(b² – ac) + c(ab – c²)
= abc – a³ – b³ + abc + abc – c³
= – (a³ + b³ + c³ – 3abc)
⇒ Δ² = (a³ + b³ + c³ – 3abc)² …………..(1)

From (1) and (2) the result is proved.

Question 3.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
a^2+2 a & 2 a+1 & 1 \\
2 a+1 & a+2 & 1 \\
3 & 3 & 1
\end{array}\right|\) = (a – 1)³. (March 2007)
Answer:
Apply operations R₁ – R₂ and R₂ – R₃ we get

Question 4.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{a} & \mathrm{b} & \mathrm{c} \\
\mathrm{a}^2 & \mathrm{b}^2 & \mathrm{c}^2 \\
\mathrm{a}^3 & \mathrm{b}^3 & \mathrm{c}^3
\end{array}\right|\) = abc(a – b)(b – c)(c – a)
Answer:
LHS = abc\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^2 & b^2 & c^2
\end{array}\right|\)
= abc\(\left|\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
a-b & b-c & c \\
a^2-b^2 & b^2-c^2 & c^2
\end{array}\right|\) (Use operations C₁ – C₂, C₂ – C₃)
= abc [(a – b) (b² – c²) – (b – c) (a² – b²)]
= abc [(a – b) (b – c) (b + c) – (b – c) (a – b) (a + b)]
= abc (a – b) (b – c) [b + c – a – b]
= abc (a – b) (b – c) (c – a)

Question 5.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
-2 a & a+b & c+a \\
a+b & -2 b & b+c \\
c+a & c+b & -2 c
\end{array}\right|\) = 4(a + b)(b + c)(c + a)
Answer:

= 0 (∵ R₁ & R₃ are similar)
∴ (a + b) is a factor of Δ.
Similarly putting b + c = 0 and c + a = 0 we shall find that b + c and c + a are also factors of Δ.
∵ Δ is a 3rd degree expression in a, b, c.

Let Δ = k (a + b) (b + c) (c + a)
Where k ≠ 0 is a scalar.
Put a = 1, b = 1, c = 1 then
= k(1 + 1) (1 + 1) (1 + 1)
= 8k -2(4 – 4) – 2(-4 – 4) + 2(4 + 4)
= 8k
⇒ -16 + 16 = 8k ⇒ k = 4
Δ = 4(a + b) (b + c) (c + a)
Here \(\left|\begin{array}{ccc}
-2 a & a+b & c+a \\
a+b & -2 b & b+c \\
c+a & c+b & -2 c
\end{array}\right|\) = 4(a + b)(b + c)(c + a)

Question 6.
Show that \(\left|\begin{array}{lll}
\mathrm{a}-\mathrm{b} & \mathrm{b}-\mathrm{c} & \mathrm{c}-\mathrm{a} \\
\mathrm{b}-\mathrm{c} & \mathrm{c}-\mathrm{a} & \mathrm{a}-\mathrm{b} \\
\mathrm{c}-\mathrm{a} & \mathrm{a}-\mathrm{b} & \mathrm{b}-\mathrm{c}
\end{array}\right|\) = 0
Answer:
R₁ + (R₂ + R₃) given
\(\left|\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
b-c & c-a & a-b \\
c-a & a-b & b-c
\end{array}\right|\)
= 0 (∵ If one row or column elements of a square matrix are zeroes then the value of the determinant of that matrix is equal to zero)
= RHS.

Question 7.
Show that \(\left|\begin{array}{lll}
1 & a & a^2-b c \\
1 & b & b^2-c a \\
1 & c & c^2-a b
\end{array}\right|\) = 0
Answer:
Make operations R₂ – R₁, R₃ – R₁ then the given determinant.

Question 8.
Show that \(\left|\begin{array}{lll}
x & a & a \\
a & x & a \\
a & a & x
\end{array}\right|\) = (x + 2a)(x – a)².
Answer:

Students must practice these Maths 1B Important Questions TS Inter 1st Year Maths 1B Tangent and Normal Important Questions to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 1st Year Maths 1B Tangent and Normal Important Questions

Question 1.
Find the slope of the tangent to the curve y = 5x² at the point (-1, 5). [May ’04]
Solution:
Given, the equation of the curve is y = 5x²
Differentiating on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 5(2x) = 10x
∴ Slope of the tangent at P(-1, 5) is m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_P\)
= 10(-1)
= -10

Question 2.
Find the equations of the tangent and the normal to the curve y = 5x⁴ at the point (1, 5). [May ’15 (AP), ’10, ’07]
Solution:
Given, the equation of the curve is y = 5x⁴
Differentiating on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 5 . 4x³ = 20x³
Slope of tangent at P(1, 5) is m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_P\)
= 20(1)³
= 20
The equation of the tangent at P is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 5 = 20(x – 1)
y – 5 = 20x – 20
20x – y – 15 = 0
The equation of normal at P is y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – 5 = \(\frac{-1}{20}\) (x – 1)
20y – 100 = -x + 1
x + 20y – 101 = 0

Question 3.
Find the equations of the tangent and the normal to the curve y⁴ = ax³ at (a, a). [May ’13]
Solution:
Given the equation of the curve is y⁴ = ax³
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

Equation of tangent at P(a, a) is y – y₁ = m(x – x₁)
y – a = \(\frac{3}{4}\)(x – a)
4y – 4a = 3x – 3a
3x – 4y + a = 0
Equation of normal at P (a, a) is y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – a = \(\frac{-1}{\frac{3}{4}}\) (x – a)
3y – 3a = 4x + 4a
4x + 3y – 7a = 0

Question 4.
II Show that the tangent at any point ‘θ’ on the curve x = c sec θ, y = c tan θ is y sin θ = x – c cos θ. [Mar. ’19 (TS)]
Solution:
Given that x = c sec θ
Differentiating on both sides with respect to ‘θ’.
\(\frac{d x}{d \theta}\) = c sec θ tan θ
and y = c tan θ
Differentiating on both sides with respect to ‘θ’
\(\frac{d y}{d \theta}\) = c sec²θ
Now,


y sin θ cos θ – c sin²θ = x cos θ – c
y sin θ cos θ – c sin²θ + c = x cos θ
y sin θ cos θ + c(1 – sin²θ) = x cos θ
y sin θ cos θ + c cos²θ = x cos θ
y sin θ + c cos θ = x
y sin θ = x – c cos θ

Question 5.
Find the equations of tangent and the normal to the curve y = x² – 4x + 2 at the point (4, 2).
Solution:
Given equation of the curve is y = x² – 4x + 2 ……….(1)
Let given point be P(x, y) = (4, 2)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{d y}{d x}\) = 2x – 4
Slope of the tangent at P is m = \(\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{dx}}\right)_{\mathrm{P}}\)
m = 2(4) – 4 = 4
The equation of the tangent at P is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 2 = 4(x – 4)
y – 2 = 4x – 16
4x – y – 14 = 0
Equation of normal at P is y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – 2 = \(\frac{-1}{m}\) (x – 4)
4y – 8 = -x + 4
x + 4y – 12 = 0

Question 6.
Show that the length of the subnormal at any point on the curve y² = 4ax is a constant. [Mar. ’13 (Old), ’11, ’05; May ’09]
Solution:
Given, the equation of the curve is y² = 4ax
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

∴ The length of the subnormal at any point (x, y) on the curve is a constant.

Question 7.
Show that the length of the subtangent at any point on the curve y = a^x (a > 0) is a constant.
Solution:
Given, the equation of the curve is y = a^x
Differentiating on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = a^x log a
The slope of the tangent at any point P(x, y) is

∴ The length of the subtangent at any point P(x, y) on the curve is a constant.

Question 8.
Show that the square of the length of sub tangent at any point on the curve by² = (x + a)³ (b ≠ 0) varies with the length of the subnormal at that point.
Solution:
Given, equation of the curve is by² = (x + a)³
Differentiating on both sides with respect to ‘x’


∴ (length of subtangent)² ∝ (length of the subnormal).

Question 9.
Find the lengths of sub tangent and subnormal at a point on the curve y = b sin(\(\frac{x}{a}\)). [Mar. ’16 (TS); May ’05]
Solution:
Given equation of the curve is y = b sin(\(\frac{x}{a}\))
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

Question 10.
Show that at any point (x, y) on the curve y = \(b e^{x / a}\), the length of the subtangent is a constant and the length of the subnormal is \(\frac{\mathbf{y}^2}{a}\). [Mar. ’18 (TS); May ’12; Mar. ’10]
Solution:
Given equation of the curve is y = \(b e^{x / a}\)
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

Question 11.
Find the lengths of normal and subnormal at a point on the curve y = \(\frac{a}{2}\left[e^{\frac{x}{a}}+e^{\frac{-x}{a}}\right]\). [Mar. ’13]
Solution:
Given equation of the curve is y = \(\frac{a}{2}\left[e^{\frac{x}{a}}+e^{\frac{-x}{a}}\right]\)
y = a cosh(\(\frac{x}{a}\))
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

Question 12.
Show that the tangent at P(x₁, y₁) on the curve √x + √y = √a is \(\mathrm{y}_1 \mathrm{y}^{-1 / 2}+\mathrm{xx}_1^{-1 / 2}\) = \(a^{1 / 2}\). [May ’15 (AP), ’04]
Solution:
Given the equation of the curve is √x + √y = √a ……….(1)
Since the point P(x₁, y₁) lies on the curve (1) then √x₁ + √y₁ = √a ……….(2)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’


Which is a required equation of a tangent.

Question 13.
If the tangent at any point on the curve \(x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=a^{2 / 3}\) intersects the coordinate axes in A and B, then show that the length AB is a constant. [Mar. ’19 (TS); Mar. ’15 (TS), ’14, ’13, ’08, ’07, ’05, ’03; May ’10]
Solution:
Given equation of the curve is \(x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=a^{2 / 3}\)
Differentiating on both sides with respect to ‘x’


AB² = a²
⇒ AB = a (constant)
∴ The length AB is a constant.

Question 14.
If the tangent at any point P on the curve x^m yⁿ = a^m+n (mn ≠ 0) meets the coordinate axes in A, B, then show that AP : BP is a constant. [Mar. ’10; May ’08, ’06]
Solution:
Given the equation of the curve is x^m yⁿ = a^m+n
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

Question 15.
At any point, ‘t’ on the curve x = a (t + sin t), y = a(1 – cos t), find the lengths of a tangent, normal, subtangent, and subnormal. [Mar. ’18 (AP)]
Solution:
Given that x = a(t + sin t)
Differentiating on both sides with respect to ‘t’

Question 16.
(i) Find the angle between the curves xy = 2 and x² + 4y = 0. [Mar. ’17 (AP); May ’13, ’11]
(ii) Define the angle between the curves. [May ’11]
Solution:
(i) Given, the equations of the curves are
xy = 2 …….(1)
x² + 4y = 0 ………(2)
From (1), y = \(\frac{2}{x}\)
Substituting in equation (2)


(ii) Angle between two curves: If two curves intersect at a point P and the tangents at P for both curves exists then the angle between the tangents at P is called the angle between the curves at P.

Question 17.
Show that the curves y² = 4(x + 1) and y² = 36(9 – x) intersect orthogonally. [Mar. ’13 (old), ’11, ’09, ’08, ’06, ’02; May ’15 (AP), ’05]
Solution:
Given curves are
y² = 4(x + 1) ………(1)
y² = 36(9 – x) ……..(2)
From (1) and (2)
4(x + 1) = 36(9 – x)
x + 1 = 81 – 9x
10x = 80
x = 8
If x = 8,
y² = 4(8 + 1) = 4(9) = 36
y = ±6
∴ Required points are P(8, 6), Q(8, -6)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’

Now, m₁m₂ = \(\frac{-1}{3}\)(3) = -1
∴ m₁m₂ = -1
Since, m₁m₂ = -1, the two curves cut each other orthogonally.

Question 18.
Find the angle between the curves y² = 4x and x² + y² = 5. [Mar. ’16 (AP), ’12; May ’07]
Solution:
Given, the equations of the curves are
y² = 4x ……..(1)
x² + y² = 5 ……..(2)
Substitute equation (1) with equation (2)
x² + 4x = 5
x² + 4x – 5 = 0
x² + 5x – x – 5 = 0
x(x + 5) – 1(x + 5) = 0
(x + 5) (x – 1) = 0
x + 5 = 0 (or) x – 1 = 0
x = -5 (or) x = +1
If x = -5, from (1)
y² = 4(-5)
y² = -20 ∉ R
If x = 1, from (1)
y² = 4(1)
y² = 4
y = √4 = ±2
∴ Required point are P(1, 2), Q(1, -2)

Question 19.
Find the angle between the curves x² + 3y = 3 and x² – y² + 25 = 0. [May ’03]
Solution:
Given, the equations of the curves are
x² + 3y = 3 …….(1)
x² – y² + 25 = 0 …….(2)
From (1),
x² + 3y = 3
x² = 3 – 3y
Substituting in equation (2)
3 – 3y – y² + 25 = 0
-y² – 3y + 28 = 0
y² + 3y – 28 = 0
y² + 7y – 4y – 28 = 0
y(y + 7) – 4(y + 7) = 0
(y + 7)(y – 4) = 0
y + 7 = 0 (or) y – 4 = 0
y = -7 (or) y = 4
If y = -7,
x² = 3 – 3(-7)
= 3 + 21
x² = 24
x = ±2√6
If y = 4,
x² = 3 – 3(4)
= 3 – 12
= -9 ∉ R
∴ Required points are P(2√6, -7), Q(-2√6, -7)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’

Question 20.
Find the angle between the curves 2y² – 9x = 0 and 3x² + 4y = 0 (in the 4th quadrant). [May ’09]
Solution:
Given, the equations of the curves are
2y² – 9x = 0 ……..(1)
3x² + 4y = 0 ………(2)
From (1), 2y² = 9x
x = \(\frac{2 y^2}{9}\)
Substituting in equation (2)

Question 21.
Find the angle between the curves y² = 8x and 4x² + y² = 32. [Mar. ’18 (AP); May ’12]
Solution:
Given, the equations of the curves are
y² = 8x ……..(1)
4x² + y² = 32 ………(2)
Substituting y² = 8x in equation (2)
4x² + 8x = 32
4x² + 8x – 32 = 0
x² + 2x – 8 = 0
x² + 4x – 2x – 8 = 0
x(x + 4) – 2(x + 4) = 0
(x + 4) (x – 2) = 0
x + 4 = 0 (or) x – 2 = 0
x = -4 (or) x = 2
If x = -4,
y² = 8(-4) = -32 ∉ R
If x = 2,
y² = 8(2) = 16
y = ±4
∴ Required point are P(2, 4), Q(2, -4).
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’
2y . \(\frac{d y}{d x}\) = 8
y . \(\frac{d y}{d x}\) = 4
\(\frac{d y}{d x}=\frac{4}{y}\)
Differentiating (2) on both sides with respect to ‘x’
4(2x) + 2y . \(\frac{d y}{d x}\) = 0
8x + 2y . \(\frac{d y}{d x}\) = 0

Question 22.
Show that the curves 6x² – 5x + 2y = 0 and 4x² + 8y² = 3 touch each other at \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\). [Mar. ’15 (AP), ’10; May ’13 (old)]
Solution:
Given, the equations of the curves are
6x² – 5x + 2y = 0 ……….(1)
4x² + 8y² = 3 ………(2)
Let the given point P = \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’


∴ m₁ = m₂
∴ The curves 6x² – 5x + 2y = 0, 4x² + 8y² = 3 touch each other.

Some More Maths 1B Tangent and Normal Important Questions

Question 23.
Find the equations of the tangents to the curve y = 3x² – x³, where it meets the X-axis.
Solution:
Given, equation of the curve is y = 3x² – x³ ………(1)
Given that the curve meets at X-axis then y = 0
∴ 3x² – x³ = 0
x²(3 – x) = 0
x² = 0 or 3 – x = 0
x = 0 or x = 3
∴ P(0, 0), Q(3, 0)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’.
\(\frac{d y}{d x}\) = 3(2x) – 3x² = 6x – 3x²
at P(0, 0):
Slope of the tangent at P(0, 0) is
m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_P\)
= 6(0) – 3(0)²
= 0
Equation of tangent at P(0, 0) is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 0 = 0(x – 0)
y = 0
at Q(3, 0):
Slope of tangent at Q(3, 0) is m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_Q\)
= 6(3) – 3(3)²
= 18 – 27
= -9
∴ Equation of the tangent at Q(3, 0) is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 0 = -9(x – 3)
y = -9x + 27
9x + y – 27 = 0
∴ The required equations of the tangents are y = 0, 9x + y – 27 = 0.

Question 24.
Show that the area of the triangle formed by the tangent at any point on the curve xy = c (c ≠ 0), with the coordinate axes is constant.
Solution:
Given, the equation of the curve is xy = c
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

\(\frac{x}{2 x_1}+\frac{y}{2 y_1}\) = 1
∴ x-intercept, a = 2x₁, y-intercept, b = 2y₁
∴ The area of the triangle formed by this tangent and the coordinate axes = \(\frac{1}{2}\) |ab|
= \(\frac{1}{2}\) |2x₁ . 2y₁|
= 2|x₁y₁|
= 2c (constant) (∵ P(x₁, y₁) lies on curve, x₁y₁ = c)

Question 25.
Show that the equation of the tangent to the curve is \(\left(\frac{x}{a}\right)^n+\left(\frac{y}{b}\right)^n\) = 2 (a ≠ 0, b ≠ 0) at the point (a, b) is \(\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{a}}+\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{b}}\) = 2. [Mar. ’18 (TS)]
Solution:
Given, equation of the curve is \(\left(\frac{x}{a}\right)^n+\left(\frac{y}{b}\right)^n\) = 2
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

∴ The equation of the tangent to the curve at the point (a, b) is y – y₁ = m(x – x₁)
y – b = \(\frac{-b}{a}\) (x – a)
ay – ab = -bx + ab
bx + ay = 2ab
\(\frac{b x}{a b}+\frac{a y}{a b}=2\)
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2\)

Question 26.
Find the slope of the tangent to the curve y = \(\frac{x-1}{x-2}\) at x = 10.
Solution:
Given, equation of the curve is y = \(\frac{x-1}{x-2}\)
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

Question 27.
Find the slope of the tangent to the curve y = x³ – x + 1 at the point whose x-coordinate is 2.
Solution:
Given, equation of curve is y = x³ – x + 1
Differentiating on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(x³ – x + 1) = 3x² – 1
Slope of tangent at x = 2 is m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=2}\)
= 3(2)² – 1
= 12 – 1
= 11

Question 28.
Find the slope of the tangent to the curve y = x³ – 3x + 2 at the point whose x-coordinate is 3.
Solution:
Given, equation of curve is y = x³ – 3x + 2
Differentiating on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(x^3\right)-3 \frac{d}{d x}(x)+\frac{d}{d x}(2)\)
= 3x² – 3 + 0
= 3x² – 3
Slope of tangent at x = 3 is m = \(\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)_{\mathrm{x}=3}\)
= 3(3)² – 3
= 27 – 3
= 24

Question 29.
Find the slope of the normal to the curve x = a cos³θ, y = a sin³θ at θ = \(\frac{\pi}{4}\).
Solution:
Given, x = a cos³θ
Differentiating on both sides with respect to ‘θ’

Question 30.
Find the point on the curve y = x³ – 11x + 5 at which the tangent is y = x – 11.
Solution:
Given, the equation of the curve is y = x³ – 11x + 5
Differentiating on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(x^3\right)-11 \frac{d}{d x}(x)+\frac{d}{d x}(5)\) = 3x² – 11
The slope of the tangent at any point P(x, y) is m = \(\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)_{\mathrm{P}}\) = 3x² – 11
Given the equation of the tangent is y = x – 11
Slope of the tangent is m = \(\frac{-\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{-1}{-1}\) = 1
∴ 3x² – 11 = 1
3x² = 12
x² = 4
x = 2
If x = 2, y = 2 – 11 = -9
∴ The required point is (2, -9).

Question 31.
Find the equations of tangent and normal to the curve y = x⁴ – 6x³ + 13x² – 10x + 5 at the point (0, 5).
Solution:
Given, equation of the curve is y = x⁴ – 6x³ + 13x² – 10x + 5 ……..(1)
Let the given point P(x, y) = (0, 5)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(x^4\right)-6 \frac{d}{d x}\left(x^3\right)+13 \frac{d}{d x}\left(x^2\right)\) – \(10 \frac{d}{d x}(x)+\frac{d}{d x}(5)\)
= 4x³ – 18x² + 26x – 10
Slope of the tangent at P is m = \(\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)_{\mathrm{P}}\)
= 4(0)³ – 18(0)² + 26(0) – 10
= -10
The equation of the tangent at P is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 5 = -10(x – 0)
y – 5 = -10x
10x + y – 5 = 0
The equation of the normal at P is y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – 5 = \(\frac{-1}{-10}\) (x – 10)
10y – 50 = x
x – 10y + 50 = 0

Question 32.
Find the equations of tangent and normal to the curve x = cos t, y = sin t at t = \(\frac{\pi}{4}\).
Solution:
Given, x = cos t
Differentiating on both sides with respect to ‘t’.
\(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) = -sin t
Now, y = sin t
Differentiating on both sides with respect to ‘t’
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}\) = cos t

Question 33.
Find the equations of tangent and normal to the curve y = \(\frac{1}{1+x^2}\) at the point (0, 1).
Solution:
Given, equation of the curve is y = \(\frac{1}{1+x^2}\)
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

The equation of the tangent at P is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 1 = 0(x – 0)
y – 1 = 0
Equation of normal at P is y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – 1 = \(\frac{-1}{-0}\) (x – 0)
0(y – 1) = -x + 0
0 = -x
x = 0

Question 34.
Find the equations of tangent and normal to the curve xy = 10 at (2, 5). [Mar. ’17 (AP)]
Solution:
Given, the equation of the curve is xy = 10
y = \(\frac{10}{x}\) …….(1)
Let given point be P(x₁, y₁) = (2, 5)
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

The equation of the tangent at P is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 5 = \(\frac{-5}{2}\) (x – 2)
2y – 10 = -5x + 10
5x + 2y – 20 = 0
Equation of normal at P is y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – 5= \(\frac{-1}{\frac{-5}{2}}(x-2)\)
y – 5 = \(\frac{2}{5}\) (x – 2)
5y – 25 = 2x – 4
2x – 5y + 21 = 0

Question 35.
Find the equations of tangent and normal to the curve y = x³ + 4x² at (-1, 3). [May ’15 (TS), ’14]
Solution:
Given, the equation of the curve is y = x³ + 4x² …….(1)
Let the given point P(x₁, y₁) = (-1, 3)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² + 8x
Slope of tangent at P is m = \(\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)_{\mathrm{P}}\)
= 3(-1)² + 8(-1)
= 3 – 8
= -5
The equation of the tangent at P is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 3 = -5(x + 1)
y – 3 = -5x – 5
5x + y + 2 = 0
Equation of normal at P is y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – 3 = \(\frac{-1}{-5}\) (x + 1)
5y – 15 = x + 1
x – 5y + 16 = 0

Question 36.
If the slope of the tangent to the curve y = x log x at a point on it is \(\frac{3}{2}\), then find the equations of tangent and normal at the point.
Solution:
Given, the equation of the curve is y = x log x
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

Question 37.
Show that the curves x² + y² = 2 and 3x² + y² = 4x have a common tangent at the point (1, 1).
Solution:
Given the equation of the first curve is x² + y² = 2
Differentiating on both sides with respect to ‘x’
2x + 2y . \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 0
x + y . \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 0
y \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = -x
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{-\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\)
Slope of the tangent at P(1, 1) is m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_P=\frac{-1}{1}\) = -1
The equation of the tangent at P is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 1 = -1(x – 1)
y – 1 = -x + 1
x + y – 2 = 0
Given the equation of the second curve is 3x² + y² = 4x
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

The equation of the tangent at P is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 1 = -1(x – 1)
y – 1 = -x + 1
x + y – 2 = 0
∴ The curves x² + y² = 2 and 3x² + y² = 4x have a common tangent at the point (1, 1).

Question 38.
At a point (x₁, y₁) on the curve x³ + y³ = 3axy, show that the tangent is (\(x_1^2\) – ay₁)x + (\(y_1^2\) – ax₁)y = ax₁y₁. [Mar. ’17 (TS)]
Solution:
Given, equation of the curve is x³ + y³ = 3axy ……..(1)
Since P(x₁, y₁) lies on the curve (1). Then


Which is the required equation of tangent.

Question 39.
Show that the length of the subnormal at any point on the curve xy = a² varies as the cube of the ordinate of the point.
Solution:
Given the equation of the curve is xy = a²
Differentiating on both sides with respect to ‘x’
x . \(\frac{d y}{d x}\) + y . 1 = 0
x \(\frac{d y}{d x}\) = -y
\(\frac{d y}{d x} = \frac{-y}{x}\)
Let P(x, y) be any point on the curve.
The slope of the tangent at P is m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_P=\frac{-y}{x}\)
Length of the sub-normal = |y₁m|

∴ Length of the sub-normal ∝ y³. (Cube of ordinate)

Question 40.
Find the value of k so that the length of the subnormal at any point on the curve xy^k = a^k+1 is a constant.
Solution:
Given the equation of the curve is xy^k = a^k+1
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

∴ Length of the subnormal at any point is constant then k + 2 = 0
∴ k = -2.

Question 41.
Find the value of k, so that the length of the subnormal at any point on the curve y = a^1-k x^k is a constant.
Solution:
Given, the equation of the curve is y = a^1-k x^k
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

The length of subnormal at any point is constant then 2k – 1 = 0
2k = 1
k = \(\frac{1}{2}\)

Question 42.
Find the lengths of sub tangent, and subnormal at a point ‘t’ on the curves x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t – t cos t). [Mar. ’17 (TS); May ’15 (TS), ’14]
Solution:
Given that, x = a(cos t + t sin t)
Differentiating on both sides with respect to ‘t’
\(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) = a[(-sin t) + t(cos t) + sin t (1)]
= a[-sin t + t cos t + sin t]
= at cos t
y = a(sin t – t cos t)
Differentiating on both sides with respect to ‘t’
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}\) = a[cos t – (t(-sin t) + cos t (1)]
= a[cos t + t sin t – cos t]
= at sin t
\(\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{\not t \sin t}{\not t \cos t}=\tan t\)
Slope of tangent at any point t is m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_t\) = tan t
Length of the sub tangent = \(\left|\frac{y_1}{m}\right|\)
= \(\left|\frac{\mathrm{a}(\sin \mathrm{t}-\mathrm{t} \cos \mathrm{t})}{\tan \mathrm{t}}\right|\)
= |a(sin t – t cos t) . cot t|
Length of the subnormal = |y₁ . m| = |a (sin t – t cos t) . tan t|

Question 43.
Show that the condition for the orthogonality of the curves ax² + by² = 1 and a₁x² + b₁y² = 1 is \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{b_1}\). [Mar. ’19 (AP); Mar. ’16 (TS); May ’14]
Solution:
Given, curves are
ax² + by² = 1 ……..(1)
a₁x² + b₁y² = 1 ……….(2)
Let the curves intersect at P(x₁, y₁) then
\(\mathrm{ax}_1^2+\mathrm{by}_1^2=1, \mathrm{a}_1 \mathrm{x}_1{ }^2+\mathrm{b}_1 \mathrm{y}_1{ }^2=1\)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’

Question 44.
Find the angle between the curves x + y + 2 = 0 and x² + y² – 10y = 0. [Mar. ’14]
Solution:
Given equations of the curves are
x + y + 2 = 0 ………(1)
x² + y² – 10y = 0 ……….(2)
From (1), x = -y – 2
Substitute in (2)
(-y – 2) + y² – 10y = 0
y² + 4 + 4y + y² – 10y = 0
2y² – 6y + 4 = 0
y² – 3y + 2 = 0
y² – 2y – y + 2 = 0
y(y – 2) – 1(y – 2) = 0
(y – 2) (y – 1) = 0
y- 2 = 0 (or) y – 1 = 0
y = 2 (or) y = 1
If y = 2, x = -2 – 2 = -4
If y = 1, x = -1 – 2 = -3
Required points are P(-4, 2), Q(-3, 1)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’
1 + \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) + 0 = 0
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = -1
Differentiating (2) on both sides with respect to ‘x’

Question 45.
Find the equation of tangent and normal to the curve y = \(\text { 2. } \mathrm{e}^{-\mathrm{x} / 3}\) at the point where the curve meets the y-axis. [Mar. ’16 (TS)]
Solution:
Equation of the curve is y = \(\text { 2. } \mathrm{e}^{-\mathrm{x} / 3}\)
The equation of the y-axis is x = 0
y = 2
Required point = (0, 2)
Also \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{-2}{3} \cdot \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{x}}{3}}\)
and slope m = \(\frac{-2}{3} \cdot \mathrm{e}^{\frac{-0}{3}}=\frac{-2}{3}\)
Equation tangent at p(0, 2) is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 2 = \(\frac{-2}{3}\)(x – 0)
3y – 6 = 2x
2x + 3y – 6 = 0
Equation of the normal is y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – 2 = \(\frac{3}{2}\) (x – 0)
2y – 4 = 3x
3x – 2y + 4 = 0

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors

Essay Questions:

Question 1.
What are the various types of errors ? Explain with suitable examples.
Answer:
In accountancy errors are not rectified by striking off the wrong figures and replacing it by correct one. It is better to pass an appropriate entry for rectification of mistake to neutralise the effect of error and to bring correct position.

Errors are classified into two types.

1. Error of principle
2. Clerical errors.

1. Error of principle :
Error of principle occurs where errors are made to defective knowledge of accounting principles. These errors may arise, when distinction is not made between capital and revenue nature items. Ex : Salaries paid to staff debited to their personal accounts purchase of furniture debited to purchases A/c. These errors are not disclosed by the trial balance because one error is compensated by the other.

2. Clerical errors :
When mistake is committed while recording them either in the books of original entry or posting them in the ledger. These errors are of three types. They are :
a) Errors of omission
b) Errors of commission
c) Compensating errors

a) Errors of omission :
These errors in the books due to omission of some transactions in any subsidiary books or posting them into ledger. Complete omission of a transactions does not effect trial balance. Ex: Credit purchases made not recorded in the purchases book. Paid cash to Suresh not entered in the cash book.

b) Errors of commission :
These are clerical errors. These errors arises because of mistakes in calculations, totalling, carry forward or balancing. There may be wrong postings or posting twice into the ledger and wrong entries in the original books. Such errors may or may not effect the trial balance. Ex : Instead of posting purchases with ^ 1,000 posted ₹ 100 in the Account.

c) Compensating errors :
These errors arise as one error is compensated by the other error. The effect of one error is cancelled with the effect of other error or errors.
Ex: Excess debit compensated with excess credit. This type of errors are not disclosed by the trial balance.

Question 2.
What are the errors disclosed by Trial Balance and not disclosed by Trial Balance ?
Answer:
Errors may be classified as

1. Errors not disclosed by Trial Balance
2. Errors disclosed by Trial Balance

1. Errors not disclosed by Trial Balance :
This type of errors cannot be traced out in the preparation of trial balance, because these errors cannot affect the agreement of the trial balance.

1. Errors of principle, Ex : Repairs to machinery debited to machinery a/c.
2. Errors of omission, Ex : Sales made are not recorded in the sales book.
3. Errors of commission, Ex : Purchase Book overcast by ₹ 1000.
4. Compensating errors, Ex: Amount paid to Ram ₹ 5,000 recorded as ₹ 5,500 and amount received from Shyam ₹ 10,000 recorded as ₹ 9,500.
5. Posting wrong entry in the subsidiary books.
6. Posting to correct side in a wrong account.
7. Recording a transaction in books of account in twice.

2. Errors disclosed by Trial Balance :
The errors which are revealed by trial balance are known as Errors disclosed by trial balance.

1. Posting a transaction to wrong side of an account. Ex : Discount allowed posted to credit side discount account.
2. Posting a wrong amount in account. Ex : Sales ₹ 25,000 posted to sales a/c as ₹ 2,500.
3. Errors in totally Ex : Sales return book is overcast by ₹ 100.
4. Errors made in carrying forward. Ex : Purchases book total is carried forward ₹ 1,500 instead of ₹ 150.
5. Omission to post an amount from the subsidiary book to ledger. Ex : Sold goods to Hari ₹ 1,000 not entered in Hari’s account.
6. Recording one aspect twice. Ex : Paid salaries ? 1,000 debited to salaries account twice.
7. Omission to enter a balance or wrong balancing in ledger account.

Question 3.
What do you mean by Suspense Account ? Explain it briefly.
Answer:
When the trial balance does not agree, an effort is made to locate the errors and rectify them. But if the errors cannot be located easily and quickly and at the same time, if the final accounts are to be prepared urgently, the difference in the trial balance is made good by writing it to smaller side of the trial balance under the name suspense account’ such temporary suspense account is closed later when once errors are located and rectified.

The suspense account is an imaginary account opened temporarily for the purpose of just tallying trial balance. Ex: if the ‘debit side of the trial balance exceeds credit side, then the difference put on the credit side and the suspense account shows credit balance. If the credit side of the trial balance exceeds debit side, then the difference is put on the debit side and suspense account shows debit balance.

The difference in trial balance are due to one side errors and not due to other errors. The errors which involve both the accounts permits the trial balance to agree and therefore they do not give rise to sus: pense account. The balance of suspense account is shown on the balance sheet either on liabilities or assets side, depending upon whether the suspense account has a credit or debit balance.

Question 4.
Distinguish between partial omission and complete omission with suitable illustra¬tions.
Answer:

Short Answer Questions:

Question 1.
What is of Errors of Omission.
Answer:
These errors arise in the books due to omission of some transactions in any subsidiary book or posting into ledger account.
Ex :

1. When no entry is made for a transaction in any subsidiary book or in journal.
2. Omission of posting some entry in ledger.

Question 2.
Explain the errors of commission with two examples.
Answer:
These are clerical errors. These errors arise due to mistakes in calculations, totalling, carry forward or balancing.
Ex :

1. Instead of posting purchases worth ₹ 1,000 posted ₹ 100 in the account.
2. Instead of debiting Prasad account wrongly debited to Pratap account.

Question 3.
Explain the errors of principle with two examples.
Answer: Errors of principle occurs when errors are made due to defective knowledge of account¬ing principles. These errors arise when correct distinction between capital items is not made.
Ex :

1. Purchase of furniture debited to purchases account.
2. Paid salary to manager is debited to manager account.

Question 4.
What do you mean by compensating error.
Answer:
These errors arises as one error is compensated by the other error. The effect of one error is cancelled with the effect of other errors.
Ex : Amount paid to Ram ₹ 5,000 recorded as ₹ 4,500 ana amount received from syam ₹ 10,000 recorded as ₹ 9,500.

Question 5.
Define suspense account.
Answer:

1. If the trial balance not agree, then difference between the debit and credit totals should be transferred to an account called suspense account.
2. Suspense account is an imaginary account, opened and used as a temporary measure to make the two sides of the trial balance agree.
3. As and when the errors which causes the disagreement in trial balance is detected, rectification entries should be passed through suspense account.

Problems:

Question 1.
Rectify the following errors.
a) A sale of goods to Adithya for ₹ 2,500 was passed through the purchases book.
b) Salary of ₹ 800 paid to Sandeep was wrongly debited to his personal account.
c) Furniture purchased on credit from Sekhar for ₹ 1,000 was entered in the purchases book.
d) ₹ 5,000 spent on the extension of buildings was debited to buildings repairs account.
e) Goods returned by Shailesh ₹ 1,200 were entered in the return outwards book.
Solution:
Rectification entries

Question 2.
Rectify the following errors :
a) Furniture purchased for ₹ 10,000 wrongly debited to purchase account.
b) Machinery purchased on credit from Ramana for ₹ 10,000 was recorded through purchases book.
c) Repairs on machinery ₹ 1,400 debited to machinery account.
d) Repairs on overhauling of second hand machinery purchased ₹ 2,000 was debited to repairs account.
e) Sale of old machinery at book value of ₹ 3,000 was credited to sales account.
Solution:
Rectification entries

Question 3.
Pass journal entries to rectify the following errors :
a) Machinery purchased for ₹ 5,000 has been debited to purchases account.
b) ₹ 700 paid to Ruchira as legal charges were debited to his personal account.
c) ₹ 10,000 paid to Escorts Company for machinery purchased stand debited to Escorts company account.
d) Typewriter purchased for ₹ 6,000 was wrongly passed through purchase book.
e) ₹ 20,000 paid for the purchase of Motor-Cycle for proprietor has been charged to ‘General Expenses’ account.
f) ₹ 15,000 paid for the purchase of ‘Gas engine’ were debited to ‘Purchases’ account.
g) Cash paid to Saritha ₹ 400 was debited to the account of Amani.
Solution:
Rectification entries

Question 4.
Give rectification entries for the following errors :
a) Wages payable to furniture maker ₹ 670 debited to Wages account.
b) A credit sale of ₹ 150 to Srinivas debited to Shiva Ram.
c) Payment of salary to Varshini not passed through book at all ₹ 1,000.
d) A credit purchase of ₹ 140 to Harshini, recorded in the books as ₹ 410.
Solution:
Rectification entries

Question 5.
Pass journal entries-to rectify the following errors :
a) The purchases book of the trader is overadded by ₹ 200 (Overcast by)
b) Old furniture sold for ₹ 100 was wrongly credited to sales account.
c) ₹ 100 paid on account of interest was debited to commission a/c.
d) An amount of ₹ 125 received from Soni was wrongly credited to his account as ₹ 152.
Solution:
Rectification entries

Question 6.
Rectify the following errors :
a) Purchases of furniture costing ₹ 1,200 have been recorded in purchases book.
b) Repairs to machinery ₹ 200 were debited to machinery account.
c) A credit sale of ₹ 200 to Ramesh through properly entered in the sales book has been credited to his account.
d) The total of purchases book, was overcast by ₹ 200.
e) Salary ₹ 2,000 paid to manager debited to his personal account.
Solution:
Rectification entries

Question 7.
Rectify the following errors :
a) Sale of old machinery ₹ 500 has been entered in the sales book.
b) Rakesh pays ₹ 300. This amount has been credited to Rajesh.
c) A sale of ₹ 250 to Shah & Co., has been debited to them as ? 520.
d) Returns to Ramanuji ₹ 350 have not been posted to his account.
e) Salary of ₹ 1,500 paid to Ramana has been debited to his account.
f) A purchase of ₹ 700 from Gupta & Co. has been entered in the sales book.
Solution:
Rectification entries

Question 8.
Rectify the following errors :
a) An amount of ₹ 100 paid for the repairs of furniture was debited to furniture account.
b) Sales book total was overcast by ₹ 500.
c) Expenses ₹ 1,500 were posted in the ledger as ₹ 150.
d) A sale of ₹ 200 to Mr. S was wrongly debited to the account of Mr. V.
e) Old furniture sold has been credited to sales account ₹ 500.
Solution:
Rectification entries

Question 9.
Write the entries for the rectification of the following errors :
a) Sales book was overcast by ₹ 300.
b) Sales of ₹ 100 to Madhavi was wrongly debited to account of Sharath.
c) General expenses of ₹ 200 were posted in the general ledger as ₹ 300.
d) ₹ 300 received from Shankar was debited to Sandhya.
e) Legal expenses ₹ 200 paid to Saritha was debited to her personal account.
f) An amount of ₹ 200 paid of Ramesh is not posted to his account.
Solution:
Rectification entries

Question 10.
Pass journal entries to rectification of the following errors :
a) The total of purchases book was under cast by ₹ 200.
b) A credit purchase from Vaishnavi for ₹ 1,000 has been wrongly passed through the sales book.
c) Wages paid ₹ 200 was wrongly debited to salaries account.
d) ₹ 100 received on account interest stands wrongly credited to commission account.
e) Salary of ₹ 500 paid to manager Mr. Krishna is debited to his personal account.
Solution:
Rectification entries

Question 11.
Rectify the following errors before preparation of trial balance :
a) Purchase book was undercast by ₹ 2,000.
b) Rent paid ₹ 350 was debited to that account as ₹ 530.
c) Discount received from Rama & Co. ₹ 250 was not posted to their account.
d) Interest paid ₹ 89 was wrongly credited to that account as ₹ 98.
e) Sales book was overcast by ₹ 1,700.
f) Purchase returns book undercast by ₹ 275.
Solution:
Rectification entries :
a) Purchase a/c is debited with ₹ 2,000.
b) Rent account is credited with ₹ 180.
c) Rama & Co. a/c Dr 250.
To Discount a/c 250 (Being error of omission is retified)
Note :
In transaction ‘c’, it not posted to their account, i.e. it’s a complete omission so we write the omission entry)
d) Interest a/c is debited with ₹ 187(89 + 98).
e) Sales a/c is debited with ₹ 1,700.
f) Purchase returns a/c is credited with ₹ 275.

Question 12.
Rectify the following errors discovered before preparation of the trial balance.
a) The sales book has been total ₹ 1,000 short.
b) Sale of old furniture ₹ 4,000 was credited to sales account.
c) ₹ 250 paid towards interest was debited to commission account.
d) ₹ 125 paid by Sandeep but was entered in his account ₹ 152.
e) The purchase account was overcast by ₹ 750.
f) ₹ 4,500 salary paid to Mr. Shekar heard clerk stands debited to his personal account.
Solution:
Rectification entries

Question 13.
Rectify the following errors discovered before preparation of the trial balance :
a) Furniture purchased ₹ 3,500 has been entered in the purchases book.
b) The returns inward book was overcast by ₹ 250.
c) ₹ 800 paid for repairs to machinery was debited to machinery account.
d) A sale of ₹ 750 made to Sriman Narayana was entered in sales book but was credited to his account
e) A purchase of ₹ 760 made from Radhika was credited to his account ₹ 670.
Solution:

Question 14.
Rectify the following errors before preparation of trial balance.
a) ₹ 250 paid for proprietors medical bill was debited to sundry expenses account.
b) Sale of goods to Sandhya & Co. for ₹ 2,900 was entered through the purchase book.
c) Sale of old machinery ₹ 5,000 was posted to the credit of sales account.
d) The total of purchases book was overcast by ₹ 2,000.
e) Salary of ₹ 4,500 paid to Kittu has been debited to his account.
Solution:
Rectification entries

Question 15.
Pass necessary entries to rectify the following errors. After the preparation of trial balance.
a) ₹ 1,500 received from Gopal has been wrongly credited to Chandu’s account.
b) The purchase book was undercast by ₹ 1,000.
c) Repairs to machinery ₹ 800 were debited to machinery account.
d) Discount allowed to Chiru ₹ 200 correctly entered in cash book, has not been posted to his account.
e) Bills payable from Mr.Gopichand ₹ 1,000 was entered in the bills payables book.
Solution:
Rectification entries

Textual Examples:

Question 1.
Rectify the following errors.
a) Salary paid to Pavan ₹ 1,200 has been debited to his account.
b) Paid rent to owner of the house Mr. Murali ₹ 5,000, has been debited to his account.
c) ₹ 2,000 paid for the repairs of building was debited to building a/c.
d) ₹ 850 used by proprietor for his personal use has been debited to Trade Expenses a/c.
e) Goods amounting to ₹ 235 returned by Ramesh were taken into stock, but no entry was made in the books.
Solution:
Rectification entries

Question 2.
Rectify the following through passing Journal Entries :
a) Office Furniture bought for ₹ 7,200 wrongly debited to Office Expenses a/c.
b) A credit sale ₹ 1,500 to Pradeep has been passed through purchases book.
c) Received cheque for amount ₹ 1,600 from Venkat is dishonoured and wrongly entered in Sales Return Book.
d) Goods sold to Sudha ₹ 4,000. not recorded in the Books.
e) ₹ 2,000 received from Sudheer has been wrongly credited to Sandeep’s a/c.
Solution:
Rectification Entries

Question 3.
The following errors were found in the books of Laxminarayana & Sons. Give the necessary entries to correct them.
a) ₹ 500 paid for furniture purchased has been charged to ordinary purchases a/c.
b) Repairs made to building were debited to Building a/c for ₹ 50.
c) ₹ 1000 paid for rent debited to Landlord’s a/c.
d) ₹ 100 received from Shah & Co., has been wrongly entered as from Shan & Co.,
e) An amount of ₹ 1150 withdrawn by the proprietor for his personal use had been debited to travelling expenses a/c.
f) ₹ 1,500 paid for the purchase of a typewriter was charged to office expenses a/c.
Solution:
Rectification entries

Question 4.
Pass journal entries to rectify the following errors discovered while preparing the trial balance.
a) Commission of ₹ 200 received was wrongly credited to interest account.
b) Return outwards book was undercast by ₹ 500.
c) Furniture worth ₹ 600 purchased was debited to Purchases a/c.
d) An amount of ₹ 300 received from Sri Bhima Raju was wrongly credited to the account of Sri Rama Raju.
Solution:
Rectification Entries

Question 5.
The following errors, affecting the accounts were detected in the books of Varun Bros., Warangal.
a) Sale of Old Furniture ₹ 1,500 treated as sale of goods.
b) Receipt of ₹ 500 from Ram credited to Shyam.
c) Goods worth ₹ 1,000 bought of Mohan have remained unrecorded.
d) A return of goods ₹ 120 from Mukesh posted to debit of his account.
e) Rent of proprietor’s residence ₹ 600 debited to Rent a/c.
f) A payment of ₹ 215 to Rafi posted to his credit as ₹ 125.
g) Sales book added ₹ 400 short.
h) The total of bills receivable book ₹ 1,500 left un posted.
Solution:
Rectification entries

Question 6.
Rectify the following errors with the help of Suspense Account.
a) Credit sales to Mohan ₹ 7,000 were posted to Srinu as ₹ 5,000.
b) Credit purchases from Sarath ₹ 9,000 were posted to the debit of Kiran as ₹ 10,000.
c) Goods returned to Sailaja ₹ 4,000 were posted to the credit of Pavani as ₹ 3,000.
d) Goods returned by Ratnaji ₹ 1,000 were posted to debit of Sandhya’s account as ₹ 2,000.
e) Cash sales of ₹ 2,000 were posted to commission account as ₹ 200.
Solution:
Rectification entries

Question 7.
Rectify the following errors.
a) Received cash from Lalitha ₹ 200 has been posted to her account as ₹ 180.
b) Goods sold to Ashok ₹ 75 were omitted to be entered in his account.
c) Credit side of Hari’s account was overcast by ₹ 200.
d) Goods returned from Ramesh ₹ 650 were not posted to his account.
e) Sales book under cast by ₹ 500.
Solution:
Rectification entries

Question 8.
Rectify the following errors with the help of Suspense a/c.
a) Purchases book overcast by ₹ 650.
b) Purchases returns book under cast ₹ 250.
c) Received ? 222 from Amala has been entered in her account ₹ 2,222.
d) Sold goods to Rajesh ₹ 296 in his account posted as ₹ 269.
e) Received ₹ 350 from Sharath was posted on the Debit side of his account.
Solution:
Rectification retries

Question 9.
The books of Mahendra traders did not agree. They found the difference of ₹ 1,130 in the trial balance. The difference was placed on the credit side of suspense a/c. Later, the following errors were discovered, you are required to rectify them and show the Suspense a/c.
a) Purchased goods from Vinay ₹ 800 recorded correctly in purchases book but wrongly debited to his account.
b) Sales book was overcast by ₹ 600.
c) ₹ 115 paid for general expenses but entered in account as ₹ 150.
d) Cash discount allowed to Amar ₹ 225 entered in cash book but not posted to her personal account.
Solution:
Rectification Entries

Question 10.
The Trial balance of a firm is out by ₹ 750 (excess debit) and the amount was put to the credit side of Suspense a/c, following errors are detected. You are asked to rectify them and prepare the Suspense a/c.
a) An amount of ₹ 250 received from Rajesh was wrongly debited to his personal account.
b) Sold goods to Mahesh ₹ 540 but is entered in Sales book as ₹ 450.
c) Discount received ₹ 150 entered in cash book but not entered in discount account.
d) Purchases returns amount ₹ 50 has been debited to purchases account.
e) Repairs to machinery ₹ 370 but wrongly debited to repairs account as ₹ 170,
f) Sales book under cast by ₹ 200.
Solution:
Rectification Entries

Question 11.
Rectify the following errors.
a) Received cash from Anand ₹ 188 has been posted to his a/c as ₹ 180.
b) Goods sold to Vardhan ₹ 75 were omitted to be entered in his account.
c) Credit side of Dikshith account was overcast by ₹ 20.
d) Goods returned by Radhika ₹ 35 was not posted to her account.
Solution:
Rectification entries

Question 12.
Rectify the following errors with the help of Suspense a/c.
a) Purchases book overcast by ₹ 400.
b) Purchases returns book undercast ₹ 260.
c) ? 660 received from Sunder has been entered in his account ₹ 1,160.
d) Goods sold to Param for ₹ 550 was posted to his account as ₹ 450.
e) ₹ 1050 received from Kiran were posted to the debit side of his account.
Solution:
Rectification Entries

Question 13.
An accountant could not tally the Trial balance. The difference of ₹ 5,180 was temporarily placed to the credit of suspense account for preparing the final accounts. The following errors were later located.
a) Commission of ₹ 500 paid, was posted twice, once to discount allowed account and once to commission account.
b) The sales book was undercast by ₹ 1,000.
c) A credit sale of t 2,780 to Sudha though correctly entered in sales book, was posted wrongly to her account as ₹ 3,860.
d) A credit purchase from Nataraj of ₹ 1,500, though correctly entered in purchases book, was wrongly debited to his personal account.
e) Discount column of the payments side of the cash book was wrongly added as ₹ 2,800 instead of ₹ 2,400.
You are required to pass necessary rectifying entries and prepare suspense account.
Solution:
Rectification Entries

Question 14.
The following errors affecting the account for the year 2018 were detected in the books of Sheshu & Brothers, Warangal.
a) Sale of old furniture ₹ 1,500 treated as sale of goods.
b) Receipt of ₹ 5,000 from Sairam credited to Ramsai.
c) Goods worth ₹ 1,200 brought from Pavan Kumar have remained unrecorded so far
d) Rent of proprietor’s residence ₹ 7,500 debited to rent a/c.
e) Repairs made were debited to building account for ? 600.
You are required to pass the necessary rectifying entries.
Solution:
Rectification Entries

Question 15.
Rectify the following errors.
a) Purchases book overcast by ₹ 2,500.
b) Sales book undercast by ₹ 4,200.
c) Purchases return book overcast by ₹ 1,450.
d) Sales return book undercast by ₹ 3,500.
Solution:

To rectify the errors :
i) Credit – Purchases a/c with ₹ 2,500.
ii) Credit – Sales a/c with ₹ 4,200.
iii) Debit – Purchases return a/c with ₹ 1,450.
iv) Debit – Sales return a/c with ₹ 3,500.

Students must practice these Maths 1B Important Questions TS Inter 1st Year Maths 1B Errors and Approximations Important Questions to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 1st Year Maths 1B Errors and Approximations Important Questions

Question 1.
If y = x² + 3x + 6, find ∆y and dy when x = 10, ∆x = 0.01. [Mar. ’15 (TS), ’14, ’11, ’05; May ’15 (AP)]
Solution:
Let y = f(x) = x² + 3x + 6, x = 10, ∆x = 0.01
∆y = f(x + ∆x) – f(x)
= (x + ∆x)² + 3(x + ∆x) + 6 – (x² + 3x + 6)
= x² + (∆x)² + 2 . x . ∆x + 3x + 3(∆x) + 6 – x² – 3x – 6
= (∆x)² + 2 . x . ∆x + 3 . ∆x
= (2x + 3) ∆x + (∆x)²
= (2.10 + 3) (0.01) + (0. 01)²
= (23)(0.01) + 0.0001
= 0.23 + 0.0001
= 0.2301
dy = \(\frac{d y}{d x}\) × ∆x
= (2x + 3) ∆x
= (2.10 + 3)(0.01)
= 23(0.01)
= 0.23

Question 2.
Find ∆y and dy for the function y = e^x + x when x = 5, ∆x = 0.02. [May ’13]
Solution:
Let y = f(x) = e^x + x, x = 5, ∆x = 0.02
∆y = f(x + ∆x) – f(x)
= e^(x+∆x) + (x + ∆x) – (e^x + x)
= e^x+∆x + x + ∆x – e^x – x
= e^x+∆x + ∆x – e^x
= e^5+0.02 + 0.02 – e⁵
dy = \(\frac{d y}{d x}\) × ∆x
= (e^x + 1) × ∆x
= (e⁵ + 1) 0.02

Question 3.
Find the approximate value of √82. [Mar. ’13; May ’09]
Solution:
f(x) = √x, x = 81, ∆x = 1
∆f = df = \(\frac{d f}{d x}\) . ∆x
= \(\frac{1}{2 \sqrt{81}} \cdot 1\)
= \(\frac{1}{18}\)
= 0.05556
Now, √82 = f(x + ∆x) = ∆f + f(x)
= 0.05556 + 9
= 9.05556

Question 4.
Find the approximate value of \(\sqrt[3]{65}\).
Solution:
Let f(x) = \(\sqrt[3]{65}\), x = 64, ∆x = 1

f(x) = \(\sqrt[3]{x}\) = \(\sqrt[3]{64\) = 4
Now, \(\sqrt[3]{65}\) = f(x + ∆x) = ∆f + f(x)
= 4 + 0.02083
= 4.02083

Question 5.
If the increase in the side of a square is 2% then find the approximate percentage of increase in its area. [Mar. ’18 (TS); Mar. ’12, ’08; May ’05]
Solution:

Let x be the side and A be the area of a square.
Given, that % error in x = 2
\(\frac{\Delta \mathrm{x}}{\mathrm{x}}\) × 100 = 2
The area of a square, A = x²

∴ % error in area = 4.

Question 6.
The diameter of a sphere is measured to be 40 cm. If an error of 0.02 cm is made in it, then find approximate errors in the volume and surface area of the sphere. [Mar. ’13(old), ’09; May ’03]
Solution:

Let r, d, s, v be the radius, diameter, surface area, and volume of a sphere.
Given, diameter, d = 40 cm,
radius, r = 20 cm
error in diameter, ∆d = 0.02 cm
error in radius, ∆r = 0.01 cm
(i) Volume of a sphere, V = \(\frac{4}{3}\)πr³
error in V = ∆V = \(\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dr}}\) . ∆r
= \(\frac{4}{3}\)π(3r²) . ∆r
= 4πr² . ∆r
= 4π(20)² (0.01)
= 16π cu. cm
(ii) Surface area of a sphere, s = 4πr²
error in surface area of a sphere ∆s = \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dr}}\) ∆dr
= 4π(2r) . ∆r
= 8π(20)(0.01)
= 1.6π sq. cm
∴ Approximate error in the volume of sphere = 16π cu. cm.
∴ Approximate error in the area of sphere = 1.6π sq. cm.

Some More Maths 1B Errors and Approximations Important Questions

Question 7.
If y = 5x² + 6x + 6, find ∆y and dy when x = 2, ∆x = 0.001.
Solution:
Let y = f(x) = 5x² + 6x + 6, x = 2, ∆x = 0.001
∆y = f(x + ∆x) – f(x)
= 5(x + ∆x)² + 6(x + ∆x) + 6 – (5x² + 6x + 6)
= 5(x² + (∆x)² + 2 . x . ∆x) + 6x + 6(∆x) + 6 – 5x² – 6x – 6
= 5x² + 5(∆x)² + 10 . x . ∆x + 6(∆x) – 5x²
= [5(∆x) + 10x + 6)] ∆x
= [5(0.001) + 10(2) + 6] (0.001)
= [0.005 + 20 + 6] 0.001
= 0.026005
dy = \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) × ∆x
= (5(2x) + 6) ∆x
= (10x + 6) ∆x
= (10 . 2 + 6) 0.001
= (26) 0.001
= 0.026

Question 8.
Find the approximate value of \(\sqrt{\mathbf{25.001}}\).
Solution:
Let f(x) = √x, x = 25, ∆x = 0.001

f(x) = √x = √25 = 5
Now, \(\sqrt{\mathbf{25.001}}\) = f(x + ∆x)
= ∆f + f(x)
= 0.0001 + 5
= 5.0001

Question 9.
If the increase in the side of a square is 4% then find the approximate percentage of increase in the area of the square.
Solution:
Let x be the side and A be the area of a square.
Given, that % error in the side = 4
∴ \(\frac{\Delta x}{x}\) × 100 = 4
Area of a square, A = x²
∆A = 2x . ∆x (∵ ∆A = \(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dx}}\) . ∆x)
Now, % error in area = \(\frac{\Delta \mathrm{A}}{\mathrm{A}}\) × 100
= \(\frac{2 \mathrm{x} \cdot \Delta \mathrm{x}}{\mathrm{x}^2}\) × 100
= \(\frac{2 \cdot \Delta x}{x}\) × 100
= 2 × 4
= 8
∴ % error in area = 8

Question 10.
Find dy and ∆y of y = f(x) = x² + x, at x = 10 when ∆x = 0.1. [Mar. ’16 (TS), ’15 (AP); May ’15 (TS); Mar. ’17 (AP & TS)]
Solution:
Given, y = f(x) = x² + x, x = 10, ∆x = 0.1
∆y = f(x + ∆x) – f(x)
= (x + ∆x)² + x + ∆x – (x² + x)
= x² + (∆x)² + 2 . x . ∆x + x + ∆x – x² – x
= (∆x)² + 2 . x . ∆x + ∆x
= (2x + 1) ∆x + (∆x)²
= (2 . 10 + 1) 0.1 + (0.1)²
= (21) (0.1) + 0.01
= 2.1 + 0.01
= 2.11
dy = \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) × ∆x
= (2x + 1) ∆x
= (2 . 10 + 1) 0.1
= (21) (0.1)
= 2.1

Question 11.
Find ∆y and dy of y = \(\frac{1}{x+2}\), x = 8 and ∆x = 0.02.
Solution:
Let y = f(x) = \(\frac{1}{x+2}\), x = 8, ∆x = 0.02
∆y = f(x + ∆x) – f(x)

Question 12.
Find ∆y and dy of y = cos x, x = 60°, and ∆x = 1°. [Mar. ’19 (TS)]
Solution:
Let y = f(x) = cos x, x = 60°,
∆x = 1° = 1(0.01745) = 0.01745
∆y = f(x + ∆x) – f(x)
= cos(x + ∆x) – cos x
= cos (60° + 1°) – cos 60°
= cos 61° – cos 60°
= 0.4848 – \(\frac{1}{2}\)
= 0.4848 – 0.5
= -0.0152
dy = \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) . ∆x
= -sin x . ∆x
= -sin 60° . (0.01745)
= \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) . (0.01745)
= -(0.8660)(0.01745)
= -0.015

Question 13.
Find the approximate value of \(\sqrt[3]{999}\). [Mar. ’19 (AP)]
Solution:

Question 14.
Find the approximate value of \(\sqrt[3]{7.8}\).
Solution:

Question 15.
Find the approximate value of sin 62°.
Solution:
Let y = f(x) = sin x, x = 60°,
∆x = 2° = 2(0.01745) = 0.03490
∆f = df = \(\frac{d f}{d x}\) . ∆x
= cos x . ∆x
= cos 60° (0.03490)
= \(\frac{0.03490}{2}\)
= 0.01745
f(x) = sin x = sin 60° = 0.8660
Now, sin 62° = f(x + ∆x) = f(x) + ∆f
= 0.8660 + 0.01745
= 0.88345

Question 16.
Find the approximate value of cos(60°5′).
Solution:
Let y = f(x) = cos x, x = 60°,
∆x = 5′ = \(\left(\frac{5}{60}\right)^{\circ}=\left(\frac{1}{12}\right)^{\circ}\)
= \(\frac{1}{12}\)(0.01745)
= 0.001454
∆f = df = \(\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{dx}}\) . ∆x
= -sin x . ∆x
= -sin 60° . (0.001454)
= -0.8660 . (0.001454)
= -0.001259
f(x) = cos x = cos 60° = 0.5
Now, cos(60° 5′) = f(x + ∆x) = f(x) + ∆x
= 0.5 – 0.001259
= 0.498741

Question 17.
Find the approximate value of \(\sqrt[4]{17}\).
Solution:

Question 18.
The radius of a sphere is measured as 14 cm. Later it was found that there is an error of 0.02 cm in measuring the radius. Find the approximate error in the surface area of the sphere.
Solution:
Let r be the radius and s be the surface area of the sphere.
Given, radius, r = 14 cm
error in radius, ∆r = 0.02 cm
the surface area of a sphere, s = 4πr²
error in surface area of sphere = ∆s
= \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dr}}\) . ∆r
= 4π(2r) . ∆r
= 8π(14)(0.02)
= 2.24π
= 2.24(3.14)
= 7.03356 or 7.04 sq.cm.

Question 19.
The side of a square is increased from 3 cm to 3.01 cm. Find the approximate increase in the area of the square.
Solution:
Let x be the side and A be the area of a square.
Given that x = 3, ∆x = 0.01
Area of a square, A = x²
error in area = ∆A = \(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dx}}\) . ∆x
= 2x . ∆x
= 2.3(0.01)
= 6(0.01)
= 0.06 sq. cm

Question 20.
If the radius of a sphere is increased from 7 cm to 7.02 cm then find the approximate increase in the volume of the sphere.
Solution:
Ler r be the radius of a sphere and V be its volume.
Given that, radius r = 7 cm, ∆r = 0.02 cm
Volume of the sphere, V = \(\frac{4}{3} \pi r^3\)
error in volume = ∆V = \(\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dr}}\) . ∆r

Question 21.
If y = f(x) = kxⁿ then show that the approximate relative error (or increase) in y is n times the relative error (or increase) in x where n and k are constants.
Solution:
Given that y = f(x) = k . xⁿ
error in y = ∆y = \(\frac{d y}{d x}\) . ∆x
= k . n . x^n-1 . ∆x
relative error in y = \(\frac{\Delta \mathrm{y}}{\mathrm{y}}\)

∴ The relative error in y is n times the relative error in x.

Question 22.
The time t, of a complete oscillation of a simple pendulum of length l, is given by t = \(2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\), where g is gravitational constant. Find the approximate percentage of error in ‘t’ when the percentage of error in l is 1%.
Solution:

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 5th Lesson స్టాయికియోమెట్రీ Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 5th Lesson స్టాయికియోమెట్రీ

అత్యంత లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
540 గ్రాముల గ్లూకోజ్లో ఎన్ని మోల్ల గ్లూకోజ్ ఉంది?
జవాబు:

ప్రశ్న 2.
0.1 మోల్ సోడియం కార్బొనేటు భారాన్ని లెక్క కట్టండి.
జవాబు:
భారం = మోల్ల సంఖ్య × గ్రా. అణుభారం = 0.1 × 106 = 10.6 గ్రా.

ప్రశ్న 3.
5.23 గ్రా.ల గ్లూకోజ్లో ఎన్ని అణువులు ఉంటాయి?
జవాబు:
అణువుల సంఖ్య = మోల్ల సంఖ్య × 6.023 × 10²³
= \(\frac{5.23}{180}\) × 6.023 × 10²³
= 1.75 × 10²² అణువులు

ప్రశ్న 4.
S.T.P. వద్ద 1.12 × 10^-7 CC ల వాయువులో ఉండే అణువుల సంఖ్యను లెక్కించండి.
జవాబు:
అణువుల సంఖ్య = \(\frac{1.12 \times 10^{-7}}{22.4 \times 10^3}\) × 6.023 × 10²³
= \(\frac{11.2}{22.4}\) × 6.023 × 10²² × 10^-3 × 10^-7
= 3.01 × 10¹² మోల్ ల
గమనిక : మోల్ల సంఖ్య =

ప్రశ్న 5.
ఒక సమ్మేళనం అనుభావిక ఫార్ములా CH₂O. దాని అణుభారం 90. ఆ సమ్మేళనం అణు ఫార్ములాను కనుక్కోండి.
జవాబు:
అనుభావిక ఫార్ములా భారం = 12 +2+16=30

అణుఫార్ములా = 3 × అనుభావిక ఫార్ములా
= 3 × CH₂O = C₃H₆O₃

ప్రశ్న 6.
కింది సమీకరణాన్ని ఆక్సిడేషన్ సంఖ్య పద్ధతిలో తుల్యం చేయండి. (March 2013)
జవాబు:

ఆక్సీకరణ ప్రక్రియ లో మార్పు 3 యూనిట్లు క్షయకరణ ప్రక్రియ [(pb⁺² → Pb⁰)] లో మార్పు 2 యూనిట్లు. ఆక్సీకరణ ప్రక్రియలో ఆక్సీకరణ సంఖ్య యూనిట్లలో మార్పు, క్షయకరణ ప్రక్రియలో వచ్చిన ఆక్సీకరణ సంఖ్య యూనిట్లలో మార్పుకు సమానం చేయాలి. తగిన సంఖ్యలతో గుణించాలి.
2Cr + 3Pb(NO₃)_2(ag) → 2Cr(NO₃)_3(ag) + 3Pb(s)

ప్రశ్న 7.
0.795 గ్రా.ల CuO ని Cu, H₂O లుగా క్షయకరణం చేయడానికి STP వద్ద ఘ.ప. H₂ అవసరం అవుతుంది.
జవాబు:
CuO, H₂ ల మధ్య చర్య CuO + H₂ → Cu + H₂O

0.01 మోల్ల CuO ను క్షయకరణం చేయడానికి 0.01 మోల్ల H₂ అవసరం.
STP వద్ద ఘనపరిమాణం = మోల్ల సంఖ్య × 22.4 లీ. = 0.01 × 22.4 లీ. = 0.224 లీ.

ప్రశ్న 8.
100 ml ల ఎసిటిలీన్ ని పూర్తిగా దహనం చేయడానికి కావలసిన O₂ ఘనపరిమాణాన్ని STP వద్ద లెక్కకట్టండి.
జవాబు:

22,400 మి.లీ. ఎలిటిలీన్ ను దహనం చేయడానికి STP వద్ద అవసరమయ్యే ఆక్సిజన్ \(\frac{5}{2}\) × 22,400 మి.లీ.
100mlల ఎసిటిలీన్ (STP వద్ద) దహనం చేయడానికి అవసరమయ్యే ఆక్సిజన్ = \(\frac{100 \mathrm{ml}}{22,400 \mathrm{ml}}\) × \(\frac{5}{2}\) × 22,400 మి.లీ.
= \(\frac{500}{2}\) మి.లీ. = 250 మి.లీ.

ప్రశ్న 9.
ప్రస్తుత కాలంలో ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత తగ్గుదలను ఆక్సీకరణం అనీ, ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత పెరగడాన్ని క్షయకరణం అనీ అంటారు. దీనిని మీరు సమర్ధించండి.
జవాబు:
H₂ + Cl₂ → 2Hcl ఈ చర్యలో ఎలక్ట్రాన్ బదిలీ లేదు. కానీ క్లోరిన్ అధిక ఋణవిద్యుదాత్మకత వల్ల క్లోరిన్ వద్ద ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత పెరుగుతుంది. హైడ్రోజన్ వద్ద ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత తగ్గుతుంది. అందువల్ల క్లోరిన్ క్షయకరణం చెందినట్టు, హైడ్రోజన్ ఆక్సీకరణం చెందినట్టు పరిగణించవచ్చు.

ప్రశ్న 10.
ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ భావం అంటే ఏమిటి? ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
CuSO₄ (జ. ద్రా.) + Zn (ఘ) → Zn SO₄ (ద్ర) Cu (ఘ) (లేదా) Cu⁺⁺ + Zn → Zn⁺⁺ + Cu
ఈ చర్యలో Cu⁺⁺ ఆక్సీకరణ సంఖ్య “+2” నుండి “0” కు తగ్గింది. “Zn” అక్సీకరణ సంఖ్య “0” నుండి “+2” కి పెరిగింది. ఆక్సీకరణ సంఖ్యలో పెరుగుదలను ఆక్సీకరణమనీ, తగ్గుదలను క్షయకరణమనీ భావిస్తారు.
ఈ చర్యలో “Zn” Zn⁺⁺. గా ఆక్సీకరణ చెందింది.
Cu⁺⁺, Cu గా క్షయకరణం చెందింది.

ప్రశ్న 11.
సోడియమ్ సల్ఫేట్ (Na₂SO₄) లోని వివిధ మూలకాల ద్రవ్యరాశి శాతాలను గణించండి.
జవాబు:
Na₂ SO₄ అణుభారం = 2 (23) + 32 + 16(4) = 46 + 32 + 64 = 142 gms
సోడియం ద్రవ్యరాశి శాతం = \(\frac{100}{142}\) × 46 = 32.38%
సల్ఫర్ ద్రవ్యరాశి శాతం = \(\frac{100}{142}\) × 32 = 22.54%
ఆక్సిజన్ ద్రవ్యరాశి శాతం = \(\frac{100}{142}\) × 64 = 45.08%

ప్రశ్న 12.
సార్థక అంకెలు అంటే మీరు ఏమి చెబుతారు?
జవాబు:
ప్రాయోగిక లేదా సిద్ధాంత రీత్యా రాబట్టిన విలువల్లో అనిశ్చితత్వం ఉంటుంది. దానిని సార్థక అంకెలతో సూచిస్తారు. ఖచ్చితంగా తెలిసిన అర్థవంతమైన అంకెలను సార్థక అంకెలు అంటారు. ఒక సంఖ్యలోని అనిశ్చితత్వాన్ని దానికి కొన్ని అంకెలు రాసిన తర్వాత చివరి అంకె అనిశ్చితమై ఉంటుంది. ఈ విధంగా ఒక ప్రయోగ విలువను 11.2ml అని రాస్తే అందులో పదకొండు నిశ్చయంగా తెలిసింది. చివరి అంకె రెండు అనిశ్చితమైనది. ఇందులో అనిశ్చితత్వం ±1 ఉంటుంది. ప్రత్యేకించి చెబితే తప్ప ఆఖరి అంకెలో అనిశ్చితత్వం ±1 ఉంటుందని అర్థం చెప్పుకోవాలి.

ప్రశ్న 13.
కాంతివేగం 3.0 × 10⁸m.s^-1 అయితే 2 నానో సెకండ్లలో అది ప్రయాణించే దూరాన్ని లెక్కించండి.
జవాబు:
కాంతి ప్రయాణించిన దూరం = కాంతివేగం × ప్రయాణించిన కాలం
= 3 × 10⁸ × 2 × 10^-9 = 0.6 మీటర్లు
కావున కాంతి 2 నానో సెకండ్లలోనూ 0.6 మీటర్ల దూరం ప్రయాణిస్తుంది.

లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 14.
సోడియంకార్బొనేట్ తయారీ నెలకు సుమారు 424 × 10⁶ g. మిథైల్ ఆల్కహాల్ 320 × 10⁶ g. అయితే ఏది ఎక్కువ మోల్లు తయారవుతుంది?
జవాబు:
నెలలో తయారైన సోడియం కార్బొనేట్ మోల్ సంఖ్య = \(\frac{424 \times 10^6}{106}\) = 4 × 10⁶
నెలలో తయారైన మిథైల్ ఆల్కహాల్ మోత్ల సంఖ్య = \(\frac{320 \times 10^6}{32}\) = 10⁷
కావున తయారయ్యే మిథైల్ ఆల్కహాల్ మోల్ల సంఖ్య ఎక్కువ.

ప్రశ్న 15.
1.5 atm పీడనం, 127⁰ల C వద్ద 0.112 లీటర్ల O₂ పూర్తిగా చర్య జరిపి CO₂ ఏర్పడడానికి STP వద్ద CO ఘనపరిమాణం కనీసం ఎంత కావాలి?
జవాబు:

సమీకరణం ప్రకారం
కావల్సిన CO ఘనపరిమాణం 2 × O₂ ఘనపరిమాణం = 114.66 × 2 = 229.32 మిల్లీ లీటర్లు.

ప్రశ్న 16.
కర్బన సమ్మేళనంలోని మూలకాల రసాయన విశ్లేషణ చేశారు. భారాత్మకంగా వాటి సంఘటన శాతాలు కింది విధంగా ఉన్నాయి. కార్బన్ 10.06%, హైడ్రోజన్ = 0.84%, క్లోరిన్ = 89.10% సమ్మేళనం అనుభావిక ఫార్ములాను కనుక్కోండి.
జవాబు:

అనుభావిక ఫార్ములా = CHCl₃

ప్రశ్న 17.
ఒక కర్బన సమ్మేళనాన్ని విశ్లేషించగా కింది సంఘటన శాతాలను ఇచ్చింది. కార్బన్ 14.5%, హైడ్రోజన్ 1.8%, క్లోరిన్ 64.46%, ఆక్సిజన్ 19.24% అయితే సమ్మేళనం అనుభావిక ఫార్ములా కనుక్కోండి.
జవాబు:

అనుభావిక ఫార్ములా = C₂H₃Cl₃O₂

ప్రశ్న 18.
కింది సంఘటన శాతం ఉన్న సమ్మేళనపు అనుభావిక ఫార్ములాను కనుక్కోండి. పొటాషియం K = 26.57%, క్రోమియం Cr = 35.36%, ఆక్సిజన్ (O) 38.07% [K, Cr, O ల పరమాణు భారాలు వరుసగా 39, 52, 16 ఉంటాయి ] అనుభావిక ఫార్ములా కనుక్కోండి.
జవాబు:

అనుభావిక ఫార్ములా = K₂ Cr₂ O₇

ప్రశ్న 19.
ఒక కర్బన సమ్మేళనం 12.8% కార్బన్, 2.1% హైడ్రోజన్, 85.1% బ్రోమీన్ ఉంటాయి. దాని అణుభారం 187.9 అణుఫార్ములాను కనుక్కోండి.
జవాబు:

అనుభావిక ఫార్ములా = CH₂Br
అనుభావిక ఫార్ములా భారం = 12 + 2 × 1 + 80 = 94

అణుఫార్ములా = అనుభావిక ఫార్ములా × n = CH₂ Br × 2 = C₂H₄Br₂

ప్రశ్న 20.
ఒక కార్బనిక సమ్మేళనం అనుభావిక ఫార్ములా CH₂ Br. O. 188 g ల సమ్మేళనం 14 °C ఉష్ణోగ్రత వద్ద, 752 mm ల పీడనం వద్ద 24.2 c.cల గాలిని స్థానభ్రంశం చేసింది. అయితే సమ్మేళనం అణుఫార్ములాను కనుక్కోండి. (జలబాష్ప పీడనం 14°C వద్ద 12mm )
జవాబు:
పొడివాయువు పీడనం = వాయువు పీడనం – నీటి ఆవిరి సంతృప్తి పీడనం ‘
= 752 – 12 = 740 mm
PV = nRT ఆదర్శ వాయు సమీకరణము
PV = \(\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{M}}\)RT
W = 0.188 V = \(\frac{24.2}{1000}\)Lt
P = \(\frac{740}{760}\) T = 273 + 14 = 287K
M = ?
M = \(\frac{0.188 \times 0.0821 \times 287 \times 760 \times 1000}{740 \times 24.2}\) = 188
అనుభావిక ఫార్ములా = CH₂Br
అనుభావిక ఫార్ములా భారం = 12 + 2 + 80 = 94

అణుఫార్ములా = అనుభావిక ఫార్ములా × 2
= CH₂Br × 2 = C₂H₄Br₂

ప్రశ్న 21.
420 Kg ల Hclని తయారు చేయడానికి 90% H₂SO₄ ఎంత అవసరమవుతుంది?
జవాబు:
2NaCl + H₂SO₄ → Na₂SO₄ + 2Hcl
Hcl మోల్ల సంఖ్య = \(\frac{420 \times 10^3}{36.5}\) = 11.5 × 10³
రెండు మోల్ల Hcl తయారు చేయడానికి అవసరమైన H₂SO₄ మోల్ల సంఖ్య =1
11.5 × 10³ మోల్లు తయారు చేయడానికి అవసరమయ్యే
H₂SO₄ మోల్ల సంఖ్య = \(\frac{11.5 \times 10^3}{2}\) = 5.75 × 10³
H₂SO₄ భారం = మోల్ల సంఖ్య × 98 = 5.75 × 10³ × 98 = 563.5 Kg
H₂SO,₄ 90% కావున, H₂SO₄ భారం = \(\frac{563.5 \times 100}{90}\) = 627 Kg

ప్రశ్న 22.
ఒక అంతరిక్ష ప్రయాణీకుడికి 34g ల సుక్రోజ్ను దహనం చేయడం వల్ల వచ్చే శక్తి తన శరీరానికి ఒక గంటకు అవసరమవుతుంది. ఒక రోజుకు తనకు కావలసిన శక్తి కోసం అతడు ఎంత ఆక్సిజన్ను తనతో తీసుకుపోవాలి?
జవాబు:
ఒకరోజుకు అవసరమయ్యే సుక్రోజ్ భారం 34 × 24 = 816 గ్రా.
సుక్రోజ్ మోత్ల సంఖ్య = \(\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{M} \cdot \mathrm{Wt}}\) = \(\frac{816}{342}\) = 2.385

1 మోల్ సుక్రోజ్ను దహనం చేయడానికి కావలసిన ఆక్సిజన్ 12 మోల్లు.
2.385 మోల్లకు కావలసిన 0₂ = \(\frac{2.355 \times 12}{1}\) = 28.63
ఆక్సిజన్ భారం = మోల్ల సంఖ్య × అణుభారం
= 28.63 × 32 = 916.2 గ్రా.

ప్రశ్న 23.
4 గ్రా. CaCO₃ని వేడిచేస్తే STP వద్ద వెలువడే CO₂ ఘ.ప. ఎంత?
జవాబు:

100 గ్రా. CaCO₃ వేడిచేయడం వల్ల వెలువడే CO₂ ఘ.ప. STP వద్ద 22.4 Lt
4 గ్రా. CaCO₃ వేడిచేయడం వల్ల వెలువడే CO₂ ఘ.ప. STP వద్ద 22.4 Lt
\(\frac{4 \times 22.4}{100}\) = 0.896 Lt

ప్రశ్న 24.
50 గ్రా. గంధక నమూనా(S) గాలిలో మండిస్తే 4% నమూనా మిగిలిపోయింది. STP వద్ద 21% ఆక్సిజన్ ఘ.ప. గల గాలి ఘ.ప. లెక్కించండి.
జవాబు:
సల్ఫర్ నమూనా భారం = 50 గ్రా. ; మిగిలిన సల్ఫర్ భారం = 2 గ్రా.; చర్యపొందిన సల్ఫర్ = 50 – 2 = 48 గ్రా.
S + O₂ → SO₂
సల్ఫర్ మోల్ల సంఖ్య = \(\frac{48}{32}\) = 1.5
ఆక్సిజన్ మోల్ల సంఖ్య = 1.5
STP వద్ద ఆక్సిజన్ ఘ.ప. = 22.4 × 1.5 = 33.6 Lit
గాలి ఘ.ప. = \(\frac{33.6 \times 100}{21}\) = 160 లీ.

ప్రశ్న 25.
20°C, 770mm Hg పీడనం వద్ద 10 cc మీథేనన్ను పూర్తిగా దహనం చేయడానికి STP పరిస్థితిలో కావలసిన ఆక్సిజన్ ఘన పరిమాణాన్ని లెక్కించండి.
జవాబు:
మీథేన్ దహనం CH₄ + 2O₂ → CO₂ + 2H₂O
CH₄ మోల్ల సంఖ్య = \(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{RT}}\) = \(\frac{770}{760} \times \frac{10}{82.1 \times 293}\) = 4 × 10^-4
ఆక్సీజన్ మోల్లు = 2 × 4 × 10^-4 = 8 × 10^-4
STP వద్ద O₂ ఘ.ప. = 8 × 10^-4 × 22,400 = 18.88 cc
మరొక పద్ధతి :
STP వద్ద మీథేన్ ఘ.ప. లెక్కించాలి.
\(\frac{P_1 V_1}{T_1}\) = \(\frac{\mathrm{P}_2 \mathrm{~V}_2}{\mathrm{~T}_2}\)
V₂ = \(\frac{770 \times 10}{293} \times \frac{273}{760}\) = 9.44 cc
STP వద్ద O₂, ఘ. ప. = 2 × CH₄ ఘ. ప.
= 2 × 9.44 = 18.88 cc

ప్రశ్న 26.
27°C, 760mm Hg పీడనం వద్ద 0.6 గ్రా. మెగ్నీషియంపై అధిక సజల Hcl సమక్షంలో వెలువడే H₂ ఘ.ప. గణించండి.
జవాబు:
Mg + 2Hcl → MgCl₂ + H₂
Mg మోల్ల సంఖ్య = \(\frac{0.6}{24}\) = 0.025
సమీకరణం ప్రకారం
1 మోల్ Mg – 1 మోల్ H₂ ను ఇస్తుంది.
0.025Mg – 0.0025 H₂ ను ఇస్తుంది.
PV = nRT
P = 760 mm = 1 atm n = 0.025
T = 27 + 273 = 300K R = 0.0821
V = \(\frac{\mathrm{nRT}}{\mathrm{P}}\) = \(\frac{0.025 \times 0.0821 \times 300}{1}\) = 0.615L

ప్రశ్న 27.
అంశమాపక పద్ధతిలో గాల్వనో ఘటంలో రిడాక్స్ చర్యల పాత్రను వివరించండి.
జవాబు:
ఒక ద్రావణానికి మరియొక ద్రావణాన్ని వాటి మధ్య చర్య పూర్తి అయ్యే వరకు కలపడాన్ని అంశమాపనం అంటారు. చర్య పూర్తయ్యే స్థానాన్ని ‘అంతిమస్థానం’ అంటారు. కొన్ని అంశమాపన చర్యలలో ఎలక్ట్రాన్ బదిలీ జరిగి, ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ మార్పులు జరుగుతాయి. ఇటువంటి చర్యలలో అంతిమ స్థానాన్ని రంగు మార్పు ద్వారా గుర్తించవచ్చు.
ఉదా : 1) KMnO₄ పాల్గొనే చర్యలలో అంతిమస్థానం వద్ద గులాబి రంగు ఏర్పడుతుంది.
2) కొన్ని చర్యలలో రిడాక్స్ సూచికల రంగు మార్పు ద్వారా అంతిమస్థానాన్ని గుర్తిస్తారు.
డైక్రోమేటుతో జరిగే చర్యలలో డైఫినైల్ ఎమీన్ సూచిక ఆక్సీకరణం చెంది గాఢమైన నీలిరంగుని ఇస్తుంది.
3) అయోడోమెట్రీ అంశమాపనంలో Cut ను లెక్కించుట.

ఏర్పడిన అయొడిన్ స్టార్చ్ నీలిరంగునిస్తుంది.
రిడాక్స్ అంశమాపనాలలో \(\mathrm{MnO}_4^{-}\), \(\mathrm{Cr}_2 \mathrm{O}_7^{2-}\) ఆక్సీకరణకారకాలుగాను, \(\mathrm{S}_2 \mathrm{O}_3^{2-}\) క్షయకరణ కారకం గాను పనిచేస్తాయి.

గాల్వనిక్ ఘటాలలో రిడాక్స్ చర్యల పాత్ర
కాపర్సల్ఫేటు ద్రావణంలో జింక్ పలకను ఉంచితే రిడాక్స్ చర్య జరుగుతుంది.

ఇదే చర్యను గాల్వానిక్ ఘటంలో జరుపుతారు. రసాయనశక్తిని విద్యుత్ శక్తిగా మార్చే విద్యుత్ రసాయన ఘటాన్ని గాల్వానిక్ ఘటం అంటారు.

1. జింక్ (ఆనోడ్)
2. రాగి (కాథోడ్)
3. లవణవారధి
4. అమ్మీటరు
5. రియోస్టాట్

ఎడమవైపు ZnSO₄ ద్రావణంలో జింక్ పలక ఉంచబడినది. కుడివైపు CuSO, ద్రావణంలో Cu పలక ఉంచబడినది. ఎడమవైపు ఆక్సీకరణ చర్య జరుగుతుంది.
Zn → Zn⁺⁺ + 2e^–
ఈ చర్యలో విడుదలయిన ఎలక్ట్రాన్లు తీగగుండా ప్రవహించి Cu⁺⁺ ను Cu గా క్షయకరణం చేస్తాయి.
Cu⁺⁺ + 2e → Cu
ఈ విధంగా రెండు బీకర్లలోను రిడాక్స్ చర్యలు జరుగుతాయి. రెండు బీకర్లలోను ఉన్న Zn/Zn⁺⁺ Cu⁺⁺/Cu లను రిడాక్స్ జంటలు అంటారు. ఈ జంటల వల్ల ఎలక్ట్రిక్ పొటెన్షియల్ ఏర్పడుతుంది. తీగల ద్వారా ఎలక్ట్రాన్ ప్రవాహం వల్ల విద్యుత్ ప్రవాహం ఏర్పడుతుంది. రెండు అర్థఘటాలను లవణ వారధి కలుపుతుంది.

ప్రశ్న 28.
మోలార్ ద్రవ్యరాశిని నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
పరమాణువులు, అణువులు, కణాలు, ఎలక్ట్రానులు అయాన్ లు మొదలైన వాటికి మోల్ భావనను వాడతారు. SI పద్ధతిలో మోల్ (mol) ఒక పదార్థపు మౌలికమైన భౌతిక పరిమాణాన్ని చెప్పడానికి ప్రవేశపెట్టబడింది.
ఖచ్ఛితంగా 12g (లేదా 0.012 కి.గ్రా) ల ¹²C ఐసోటోపులో ఉండే పరమాణువులకు సమాన సంఖ్యలో కణాలు లేదా వస్తువులు ఉన్న పదార్థ పరిమాణాన్ని ఒక మోల్ అంటారు. ఒక మోల్ కార్బన్ భారం 12 గ్రా. దానిలో ఉండే పరమాణువుల సంఖ్య = 6.0221367 × 10²³ mol^-1

మోలార్ ద్రవ్యరాశి : ఒక మోల్ పదార్థం ద్రవ్యరాశిని గ్రాములలో చెబితే అది మోలార్ ద్రవ్యరాశి అవుతుంది.
నీటి మోలార్ ద్రవ్యరాశి = 18.02 గ్రా.
నీటి అణు ద్రవ్యరాశి = 18.02 amu.
మోలార్ ద్రవ్యరాశి సంఖ్యాత్మకంగా పరమాణు ద్రవ్యరాశి లేదా అణుద్రవ్యరాశి లేదా ఫార్ములా ద్రవ్యరాశికి సమానం.
వాటి యూనిట్ ‘u’.
సోడియం క్లోరైడ్ అణుద్రవ్యరాశి = 58.5amu.

ప్రశ్న 29.
అసౌష్ఠవ విఘటన చర్యలు (అననుపాత చర్యలు) (డిస్ ప్రపోర్షనేషన్ చర్యలు) ఏవి? ఉదాహరణలివ్వండి.
జవాబు:
కొన్ని చర్యలలో ఒకే మూలకం ఒకేసారి ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్యలకు లోనవుతుంది. ఈ చర్యలను అననుపాత చర్యలు అంటారు.
ఉదా :

ఈ చర్యలో పెరాక్సైడ్లోని ఆక్సిజన్ -1 స్థితిలో ఉంటుంది. దాని స్థితి O₂లో సున్నకు పెరుగుతుంది. H₂O లో -2కు తగ్గుతుంది. ఈ చర్యలో ఆక్సిజన్ అననుపాత చర్యకు గురి అయినది.

హాలోజన్లు క్షారాలతో చర్యలో అననుపాత విఘటన చర్య జరుగుతుంది.
పై చర్యలో క్లోరిన్ \(\mathrm{ClO}_3^{-}\) గా ఆక్సీకరణం చెందినది. అదే సమయంలో Cl^– గా క్షయకరణం కూడా చెందినది.

ప్రశ్న 30.
కంప్రపోర్షనేషన్ (సహానుపాత) చర్యలను ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
ఒకే మూలకం వేరు వేరు ఆక్సీకరణ స్థితులలో ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్యకు లోనై ఒకే ఉత్పన్నాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఈ చర్యలో మూలకస్థితి మధ్యంతర ఆక్సీకరణ స్థితిలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 31.
69.9% Fe, 30.1% O₂ గల ఐరన్ ఆక్సైడ్ అనుభావిక ఫార్ములా కనుక్కోండి.
జవాబు:

అనుభావిక ఫార్ములా = Fe₂O₃

ప్రశ్న 32.
82.0245 గ్రా.మోల్’ మోలార్ ద్రవ్యరాశి గల సోడియం ఎసిటేట్ 500 ml 0.375 మోలార్ జల ద్రావణాన్ని తయారుచేయడానికి కావలసిన సోడియం ఎసిటేటు ద్రవ్యరాశిని గణించండి.
జవాబు:
ద్రావిత భారం = మోలారిటి × ఘ.ప. లీటర్లలో × గ్రా. అణుభారం
= 0.375 × \(\frac{500}{1000}\) × 82.0245 గ్రా
CH₃COONa భారం = 15.375 గ్రాములు.
∴ 500 mL 0.375M సోడియం ఎసిటేటు ద్రావణాన్ని తయారుచేయడానికి కావలసిన సోడియం ఎసిటేటు ద్రవ్యరాశి 15.375 గ్రాములు.

ప్రశ్న 33.
20 గ్రా. షుగర్ (C₁₂H₂₂O₁₁) ని 2L నీటిలో కరిగిస్తే వచ్చే గాఢత ఎంత?
జవాబు:

ప్రశ్న 34.
ఈ క్రింది వాటిలో ఎన్ని సార్థక అంకెలు ఉన్నాయో తెలపండి.
(i) 0.0025
జవాబు:
0.0025లో సార్థక సంఖ్యలు 2

(ii) 208
జవాబు:
208లో సార్థక సంఖ్యలు 3

(iii) 5005
జవాబు:
5005లో సార్థక సంఖ్యలు 4

(iv) 1,26,000
జవాబు:
1,26,000లో సార్థక సంఖ్యలు 6

(v) 500.0
జవాబు:
500.0లో సార్థక సంఖ్యలు 4

(vi) 2.0034
జవాబు:
2.0034 లో సార్థక సంఖ్యలు 5

ప్రశ్న 35.
ఈ క్రింది వాటిని మూడు సార్థక అంకెల వరకు సరిదిద్దండి.
(i) 34.216
(ii) 10.4107
(iii) 0.04597
(iv) 2808
జవాబు:
(i) 34.216 సరిచేయగా 34.2
(ii) 10.4107 సరిచేయగా 10.4
(iii) 0.04597 సరిచేయగా 0.046
(iv) 2808 సరిచేయగా 2.81 × 10³

ప్రశ్న 36.
0.040 మోల్ భాగం ఉన్న ఇథనోల్ జల ద్రావణంలో ఇథనోల్ మొలారిటీని గణించండి (నీటి సాంద్రతను ఒకటిగా తీసుకోండి)
జవాబు:
ఇథనోల్ మోల్ల సంఖ్య = 0.04. నీటి మోల్ల సంఖ్య = 1 – 0.04 = 0.996.
మోల్ల సంఖ్య × గ్రాము అణుభారము = 0.996 × 18 గ్రాములు. (నీటి సాంద్రత ఒకటిగా తీసుకోవడమైనది)
నీటి ఘనపరిమాణం = 0.996 × 18 మిల్లీలీటర్లు. (నీటి
మొలారిటీ = మోల్ల సంఖ్య + ఘనపరిమాణం లీటర్లలో
= మోల్ల సంఖ్య × 1000/ఘ.ప. మి.లీ
= 0.04 × 1000/0.996 × 18 మి.లీ.
= 2.223 M

ప్రశ్న 37.
కింది పట్టికలోని దత్తాంశాలనుపయోగించి ప్రకృతి సిద్ధంగా లభించే ఆర్గాన్ ఐసోటోప్ల మోలార్ ద్రవ్యరాశిని గణించండి.

జవాబు:
ఆర్గాన్ మోలార్ ద్రవ్యరాశి :
= \(\frac{(35.96755 \times 0.337)+(37.96272 \times 0.063)+(39.9624 \times 99.6)}{100}\)
= 39.947

ప్రశ్న 38.
వెల్డింగ్ చేసే వాయు ఇంధనంలో కార్బన్, హైడ్రోజన్ మాత్రమే ఉంటాయి. కొద్ది నమూనాను ఆక్సిజన్ సమక్షంలో మండిస్తే 3.38g కార్బన్ డై ఆక్సైడ్, 0.690g నీరు ఏర్పడ్డాయి. మరి ఏ యితర ఉత్పన్న పదార్థం రాలేదు. 10.0L (STP వద్ద కొలిచిన) ఈ వెల్డింగ్ వాయువు 11.6g బరువు ఉన్నది. దాని
(i) అనుభావిక ఫార్ములా
(ii) వాయువు ద్రవ్యరాశి
(iii) అణుఫార్ములా గణించండి.
జవాబు:
CO₂ మోల్ ల సంఖ్య = \(\frac{3.38}{44}\) = 0.07682; H₂O మోల్ల సంఖ్య = \(\frac{0.69}{18}\) = 0.03833
CO₂, H₂Oల మోల్ల నిష్పత్తి 0.07682; 0.03833 = 2 : 1
కార్బన్, హైడ్రోజన్ పరమాణువుల నిష్పత్తి = 1 : 1
అణుభావిక ఫార్ములా = CH
పది లీటర్ల వాయువు భారం STP వద్ద 11.6 గ్రాములు.
STP వద్ద 22.4 లీటర్ల వాయువు భారాన్ని అణుభారంగా తీసుకోవచ్చు.
∴ అణుభారం = \(\frac{22.4 \times 11.6}{10}\) = 26
అణుభావిక ఫార్ములా భారం = 12 + 1 = 13

ప్రశ్న 39.
కాల్షియం కార్బొనేట్ సజల Hclతో చర్య జరిపి Cacl₂ను, CO₂ను ఇచ్చే రసాయన చర్య,
CaCO₃(ఘ) + 2Hcl(జల) → CaCl₂ (జల) + CO₂(వా) + H₂O(ద్ర).
25mlల 0.75M Hcl సజల ద్రావణంతో పూర్తిగా చర్య జరగడానికి కావలసిన CaCO₃ ద్రవ్యరాశి ఎంత?
జవాబు:
CaCO₃ ద్రవ్యరాశి = మోల్ల సంఖ్య ×100 గ్రా.
సమీకరణం ప్రకారం, CaCO₃ మోత్ల సంఖ్య
=
Hcl మోల్ల సంఖ్య = మోలారిటి × ఘ.ప. లీటర్లలో
= M × V లీ.
= 0.75 × \(\frac{25}{1000}\) = 0.01875
CaCO₃ మోల్ల సంఖ్య = \(\frac{0.01875}{2}\) = 0.009375
CaCO₃ భారం = 0.009375 × 100 = 0.9375 గ్రా.

ప్రశ్న 40.
50ml 0.1N సోడియం కార్బొనేట్ ద్రావణానికి 150ml నీటిని కలిపితే వచ్చిన ద్రావణం నార్మాలిటీని గణించండి.
జవాబు:
విలీనానికి ముందు నార్మాలిటి విలీనానికి తరువాత నార్మాలిటి
N₁ V₁ = N₂V₂
50 × 0.1 = N₂ × 200
N₂ = \(\frac{50 \times 0.1}{200}\) = 0.025 N

ప్రశ్న 41.
200 mL 0.2N NaOH ద్రావణాన్ని తటస్థీకరించడానికి కావలసిన 0.1N సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లం ఘనపరిమాణాన్ని
జవాబు:
ఆమ్ల తుల్యాంకాలు = క్షార తుల్యాంకాలు
N₁V₁ = N₂V₂
0.1 × V₁ = 0.2 × 200ml
V₁ = \(\frac{0.2 \times 200}{0.1}\)
= 2 × 200 = 400m L

ప్రశ్న 42.
250 mL ల 0.2 N NaOHని తటస్థీకరించడానికి ఎంత నార్మాలిటీ గల 50 mL H₂SO₄ కావాలి?
జవాబు:
ఆమ్ల తుల్యాంకాలు = క్షార తుల్యాంకలు
ఆమ్ల మిల్లీ తుల్యాంకాలు – క్షార మిల్లీ తుల్యాంకాలు
N₁V₁ = N₂V₂
N₁.50mL = 0.2 × 250ml
N₁ = \(\frac{0.2 \times 250}{50}\) = 1N
గమనిక : మిల్లీ మోల్ల సంఖ్య = మిల్లీ లీటర్లు × మోలారిటి
మిల్లీ తుల్యాంకాలు = మిల్లీ లీటర్లు × నార్మాలిటి
మోల్ల సంఖ్య = మొలారిటీ × లీటర్లలో ఘ.ప.

ప్రశ్న 43.
100 mL ల 0.1 M H₂C₂O₄2H₂O ద్రావణంతో సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లం సమక్షంలో చర్య జరపడానికి కావలసిన 0.1 M KMnO₄ ద్రావణం ఘనపరిమాణాన్ని గణించండి.
జవాబు:
2KMnO₄ + 3H₂SO₄ + 5H₂C₂O₄ → K₂SO₄ + 2MnSO₄ + 8H₂O + 10CO₂
\(\frac{\mathrm{M}_1 \mathrm{~V}_1}{\mathrm{n}_1}\) = \(\frac{\mathrm{M}_2 \mathrm{~V}_2}{\mathrm{n}_2}\)
M₁ = ఆగ్జాలికామ్లం మొలారిటి M₂ = KMnO₄ మొలారిటి
V₁ = ఆగ్జాలికామ్లం ఘ. ప. V₂ = ?
n₁ = ఆగ్జాలికామ్లం మోల్ ల సంఖ్య n₂ = ?
\(\frac{0.1 \times 100}{5}\) = \(\frac{0.1 \times V_2}{2}\)
V₂ = \(\frac{0.1 \times 100 \times 2}{5 \times 0.1}\) = 40ml

ప్రశ్న 44.
కింది పదార్థాల్లో కింద గీతతో చూపించిన మూలకాల ఆక్సీకరణ స్థితులు వ్రాయండి.
(a) NaH₂PO₄
(b) NaHSO₄
(c) H₄P2O₇
(d) K₂MnO₄
(e) CaO₂
(f) NaBH₄
(g) H₂S₂O₇
(h) KAl(sO₄)₂.12H₂O
జవాబు:
(a) NaH₂PO₄
+1+2+x+8 = 0
x-5= 0 x = +5
ఫాస్పరస్ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +5

(b) NaHSO₄
1+1+x-8 = 0
x-6 = 0 x=+6
సల్ఫర్ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6

(c) H₄P2O₇
+4+2x+-14 = 0
2x – 10 = 0 x = \(\frac{10}{2}\) = +5
H₄P₂O₇ P ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +5

(d) K₂MnO₄
Mn ఆక్సీకరణ సంఖ్య = x అనుకొనుము.
+2+x-8 = 0
x-6 = 0 x=+6
K₂MnO₄ Mn ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6

(e) CaO₂
(Ca) క్షార మృత్తిక లోహాల ఆక్సీకరణ స్థితి = +2
‘O’ ఆక్సీకరణ స్థితి = x
+2 + 2x = 0 2x = -2 x = -1
CaO₂ లో O ఆక్సీకరణ స్థితి = -1

(f) NaBH₄
+ 1+x+-4 = 0
x-3= 0 x=+3
NaBH₄ లో బోరాన్ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +3

(g) H₂S₂O₇
+2+2x-14= 0
2x-12= 0 2x= +12 x=+6
H₂S₂O₇ లో ‘S’ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6

(h) KAl(sO₄)₂.12H₂O
\(\mathrm{SO}_4^{–}\) లో ‘S’ ఆక్సీకరణ సంఖ్య ఇచ్చిన పదార్థంతో ‘S’ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6
x-8=-2
x=+6

ప్రశ్న 45.
కింది పదార్థాల్లో కింద గీతతో చూపించిన మూలకాల ఆక్సీకరణ స్థితులను వివరించండి. మీరిచ్చిన ఆక్సీకరణ స్థితులను ఎలా వివరిస్తారు?
a) KI₃
b) H₂S₄O₆
c) Fe₃O₄
జవాబు:
a) Kl₃ → K⁺ + \(\mathrm{l}_3^{-}\)
\(\mathrm{l}_3^{-}\) ion I^– మరియు I₂ ల కలయిక వల్ల ఏర్పడుతుంది.
I^– ఆక్సీకరణస్థితి-1. I₂ ఆక్సీకరణ స్థితి 0.

b) H₂S₄O₆

S₂, S₃ ల ఆక్సీకరణ సంఖ్యలు సున్న.
S₁, S₄ల ఆక్సీకరణ సంఖ్యలు +5.
సరాసరి ఆక్సీకరణ సంఖ్య = \(\frac{10}{4}\) = +2.5

c) Fe₃O₄ లో FeO, Fe₂O₃లు ఉంటాయి.
FeO లో Fe ఆక్సీకరణ స్థితి = +2
Fe₂O₃ లో Fe ఆక్సీకరణ స్థితి = +3
సరాసరి ఆక్సీకరణ సంఖ్య = \(\frac{+2-2 \times 3}{3}\) = \(\frac{8}{3}\) = 2.67 3

ప్రశ్న 46.
కింది ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్యలను వివరించండి.
a) Cuo(ఘ) + H₂(వా) → Cu(ఘ) + H₂O(వా)
b) Fe₂O₃(ఘ) + 3CO(వా) → 2 Fe(ఘ) + 3CO₂(వా)
c) 4Bcl₃ (వా) + 3Li AlH₄ → 2B₂H₆(వా) + 3 Lic (ఘ) + 3AlCl₃
d) 2K(ఘ) + F₂(వా) → 2K⁺F^–(ఘ)
e) 4NH₃ (వా) + 5O₂ (వా) → 4NO (వా) + 6H₂O(వా)
జవాబు:
a) Cu⁺² → Cu⁰ – క్షయకరణం
\(\mathrm{H}_2^0\) → 2H⁺ – ఆక్సీకరణం
∴ ఇది రిడాక్స్ చర్య.

b) Fe⁺³ → Fe^– క్షయకరణం
C⁺² → C⁺⁴ – ఆక్సీకరణం
∴ ఇది రిడాక్స్ చర్య

c) ఈ చర్యలో ఏ పరమాణువుకు ఆక్సీకరణ సంఖ్యలో మార్పులేదు.
∴ ఇది రిడాక్స్ చర్య కాదు.

d) K⁰ → K⁺ – ఆక్సీకరణం
F⁰ → F^– – క్షయకరణం
∴ ఇది రిడాక్స్ చర్య.

e) N^-3 → N⁺² – ఆక్సీకరణం
O⁰ → O^-2 – క్షయకరణం
∴ ఇది రిడాక్స్ చర్య.

ప్రశ్న 47.
ఫ్లోరిన్ మంచుతో చర్య జరిపి కింది మార్పును ఇస్తుంది. H₂O(ఘ) + F₂(వా) → 2HF(వా) + HOF(వా) దీనిని రిడాక్సు చర్యగా చూపండి.
జవాబు:
H₂O లోని O–H బంధంలో ఆక్సిజన్ వద్ద ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత కన్నా OF బంధంలో -0- వద్ద ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత తక్కువ. అందువల్ల 0 – ఆక్సీకరణం చెందుతుంది. F₂ లో F ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత కన్నా HOF లో F వద్ద ఎలక్ట్రాన్ సాంద్ర” పెరుగుతుంది. ఇది క్షయకరణం. కనుక ఈ చర్య క్షయకరణం.
O^-2 → O⁰ – ఆక్సీకరణం
F → F^– – క్షయకరణం
∴ ఇది రిడాక్స్ చర్య.

ప్రశ్న 48.
H₂SO₅, Cr₂, \(\mathrm{O}_7^{2-}\) లలో \(\mathrm{NO}_3^{-}\) లలో S, Cr, N ల ఆక్సీకరణ సంఖ్యలను, నిర్మాణాలను వ్రాయండి.
జవాబు:
H₂SO₅ దీనిని H₂SO₃.(O₂)
ఆక్సీకరణ సంఖ్య +2+x-6-2 = 0

x = +6
కనుక H₂SO₅ లో పెరాక్సీ బంధం ఉంటుంది.

(ii)
Cr₂\(\mathrm{O}_7^{-}\)
Cr ఆక్సీకరణ సంఖ్య = x
O ఆక్సీకరణ సంఖ్య = -2
2x – 14 = -2 (అయాన్ పై ఆవేశం)
2x = 14 – 2 = 12
x = \(\frac{12}{2}\) = +6
క్రోమియం ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6

(iii) N\(\mathrm{O}_3^{-}\)
నైట్రోజన్ ఆక్సీకరణ స్థితి = x
ఆక్సిజన్ ఆక్సీకరణ స్థితి = -2
x-6 = -1
x = +5

ప్రశ్న 49.
కింది సంయోగ పదార్థాల ఫార్ములాలు వ్రాయండి.
a) మెర్క్యూరీ (II) క్లోరైడు
b) నికెల్ (II) సల్ఫేటు
c) టిన్ (IV) ఆక్సైడ్
d) థాలియం (I) సల్ఫేటు
e) ఐరన్ (III) సల్ఫేటు
f) క్రోమియం (III) ఆక్సైడ్
జవాబు:
a) Hg⁺².Cl^–
ఫార్ములా HgCl₂

b) Ni⁺²S \(\mathrm{O}_4^{2-}\)
ఫార్ములా NiSO₄

c) Sn^-4.O^-2 Sn₂O₄
లేదా SnO₂

d) Tl⁺¹.S\(\mathrm{O}_4^{-2}\)
ఫార్ములా Tl₂.SO₄

e) Fe⁺³S\(\mathrm{O}_4^{-2}\)
ఫార్ములా Fe₂(SO₄)₃

f) Cr⁺³.O^-2
ఫార్ములా Cr₂.O₃

ప్రశ్న 50.
కార్బన్ –4 నుంచి + 4 వరకు నైట్రోజన్ -3 నుండి + 5 వరకు ఆక్సీకరణ స్థితులు చూపే పదార్థాల పట్టిక ఇవ్వండి.
జవాబు:
కింది పదార్థాలలో -4 నుండి + 4 వరకు ఆక్సీకరణ సంఖ్యలను కార్బన్ ప్రదర్శిస్తుంది.

నైట్రోజన్ (-3 నుండి +5)

ప్రశ్న 51.
SO₂, H₂O₂ లు ఆక్సీకరణులుగాను, క్షయకరణులుగాను పనిచేస్తాయి. కాని HNO₃ కేవలం ఆక్సీకరణిగానే పనిచేస్తుంది. ఎందువల్ల ?
జవాబు:
SO₂లో సల్ఫర్ ఆక్సీకరణ స్థితి +4. సల్ఫర్కు ఆక్సీకరణ స్థితిని +6 వరకు పెంచుకొనగలదు. అందువల్ల అది క్షయకరణిగా పనిచేయగలదు. అంతేగాక దాని ఆక్సీకరణ సంఖ్య 0 లేదా -2 వరకు తగ్గవచ్చు. కనుక ఆక్సీకరణి గా కూడా పనిచేయగలదు. అదేవిధంగా హైడ్రోజన్ పెరాక్సైడ్ ఆక్సిజన్ ఆక్సీకరణ స్థితి -1. ఈ ఆక్సీకరణ స్థితి ( కు పెరగవచ్చు లేదా -2కు తగ్గవచ్చు. ఈ విధంగా SO₂ మరియు H₂O,లు ఆక్సీకరణులుగాను మరియు క్షయకరణులుగాను కూడా పనిచేస్తాయి.

HNO₃లో నైట్రోజన్ ఆక్సీకరణస్థితి +5. ఇది నైట్రోజన్ యొక్క గరిష్ఠ ఆక్సీకరణ స్థితి. కనుక దాని ఆక్సీకరణ స్థితి పెరిగే అవకాశం లేదు. కాబట్టి HNO₃ క్షయకరణిగా పనిచేయలేదు.
ఆక్సీకరణ స్థితి తగ్గే అవకాశం ఉన్నందువల్ల ఆక్సీకరణిగా మాత్రమే పనిచేయగలదు.

ప్రశ్న 52.
a) 6CO₂ (వా) +6H₂O(ద్ర) → C₆H₁₂O₆(జల) + 6O₂(వా)
b) O₃(వా) + H₂O₂(ద్ర) → H₂O(ద్ర) + 2O₂(వా)
పైన ఇచ్చిన చర్యలను కింది విధంగా రాస్తే ఇంకా ఎక్కువ అర్థవంతంగా ఉంటుంది. ఎందువల్ల?
a) 6CO₂ (వా) + 12H₂O(ద్ర) → C₆H₁₂O₆(జల) + 6H₂O(ద్ర) + 6O₂ (వా)
b) O₃(వా) + H₂O₂(ద్ర) → H₂O(ద్ర) + O₂(వా) + O₂(వా)
(a), (b) చర్యాగతుల శోధనకు సాంకేతిక ప్రక్రియలను వివరించండి.
జవాబు:
మొక్కలు, గాలిలోని CO₂ను, భూమి నుండి నీరును సూర్యరశ్మి, క్లోరోఫిల్లల సమక్షంలో గ్రహించి కార్బోహైడ్రేటులను సంశ్లేషిస్తాయి. ఈ చర్యలో ఆక్సిజన్ విడుదల అవుతుంది. ఆక్సిజన్ నీటి నుండి విడుదలవుతుంది. CO₂ నుండి కాదు. చర్య (a) లో 6H₂O అణువులు 3O₂ అణువులను మాత్రమే విడుదల చేయగలవు. కావున పై సమీకరణం కన్నా కింది విధంగా వ్రాయుట అర్థవంతం.
6CO₂ (వా) + 12H₂O (ద్ర) → C₆H₁₂O₆(జల) + 6H₂O (ద్ర) → 6¹⁸O₂(వా)
O¹⁸ ఐసోటోప్ గల నీరు ఈ విషయాన్ని స్పష్టం చేస్తుంది
6CO₂ (వా) + 12H₂O¹⁸ (ద్ర) → C₆H₁₂O₆(జల) + 6H₂O (ద్ర) + 6¹⁸O₂(వా)
ఈ చర్య H₂O¹⁸ వాడినపుడు \(\mathrm{O}_2^{18}\) విడుదల అవుతుంది

(b)
O₃ → O₂ + (O)

ఈ చర్యలో ఒక ఆక్సిజెన్ నుండి మరియొకటి నుండి విడుదల అవుతుంది ఈ విషయాన్ని ద్వారా నిరూపితమవుతుంది.

ప్రశ్న 53.
AgF₂ చాలా అస్థిరమైనది. అది ఏర్పడితే ఒక బలమైన ఆక్సీకరణిగా పనిచేస్తుంది ఎందువల్ల?
జవాబు:
AgF₂ అనేది అస్థిరమైనది. దీనిలో Ag, Ag⁺² స్థితిలో ఉన్నది. ఇది స్థిరమైన Ag⁺ గా మారుతుంది. అందువల్ల అది అస్థిరమైనది. AgF గాను, మరియు F గాను విఘటనం చెందుతుంది. విడుదలయిన ఫ్లోరిన్ బలమైన ఆక్సీకరణి. కనుక AgF₂ బలమైన ఆక్సీకరణిగా పనిచేస్తుంది.
2AgF₂ → 2AgF + F₂

ప్రశ్న 54.
ఒక ఆక్సీకరణి, ఒక క్షయకరణిల మధ్య చర్య జరిగితే క్షయకరణి అధికంగా ఉన్నపుడు తక్కువ ఆక్సీకరణ స్థితి సంయోగ పదార్థం, ఆక్సీకరణి అధికంగా ఉంటే ఎక్కువ ఆక్సీకరణ స్థితి సంయోగ పదార్థం ఏర్పడతాయి. దీనిని కనీసం మూడు ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
HgCl₂ మరియు SnCl₂ చర్యలో, HgCl₂ ఆక్సీకరణిగాను SnCl₂ క్షయకరణిగాను పనిచేస్తాయి. SnCl₂ అధికంగా ఉన్నపుడు ఏర్పడిన ఉత్పన్నం అల్ప ఆక్సీకరణ స్థితిలో ఉంటుంది. కాని HgCl₂ అధికంగా ఉన్నపుడు ఏర్పడిన ఉత్పన్నంలో Hg అధిక ఆక్సీకరణ స్థితిలో ఉంటుంది.

1.

2. ఫాస్పరస్, క్లోరిన్ల చర్యలో ఫాస్పరస్ క్షయకరణి, క్లోరిన్ ఆక్సీకరణి. క్లోరిన్ స్వల్ప పరమాణంలో ఉన్నప్పుడు ఏర్పడే ఉత్పన్నం PCl₅ కాని క్లోరిన్ అధికంగా ఉన్నప్పుడు PCl₅ ఉత్పన్నంగా ఏర్పడుతుంది.
P₄ + 6Cl₂ → 4PCl₃
P₄ + 10Cl₂ → 4PCl₅

a) CuO(ఘ) + H₂(వా) → Cu(ఘ) + H₂O(వా)
ఈ చర్యలో Cu ఆక్సీకరణ సంఖ్య + 2 నుంచి 0కు తగ్గింది. H₂ ఆక్సీకరణ స్థితి 0 నుండి +1 కు పెరిగింది. అందువల్ల ఇది రీడాక్సు చర్య.

b) Fe₂O₃(ఘ) + 3CO(వా) → 2Fe(ఘ) +3CO₂(వా)
ఈ చర్యలో Fe ఆక్సీకరణ స్థితి +3 నుండి 0 కు తగ్గింది. కార్బన్ ఆక్సీకరణ స్థితి + 2 నుండి +4కు పెరిగింది. అందువల్ల రీడాక్సు చర్య.

c) 4BCl₃ (వా) + 3LiAlH₄(ఘ) → 2B₂H₆(వా) + 2LiCl(ఘ) + 3AlCl₃ (ఘ)
LiAlH₄లో Hydrogen H^– ion గా ఉంటుంది. B₂H₆ లో కూడా హైడ్రోజన్ మీద కొంత ఋణావేశం ఉంటుంది. అందువల్ల ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత H వద్ద తగ్గుతుంది. కనుక ఆక్సీకరణం.
BCl₃ నుండి B₂H₆కు B వద్ద ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత పెరుగుతుంది. అందువల్ల క్షయకరణం. అందువల్ల ఇది ఒక రిడాక్సు చర్య.

d) 2K(s) + F₂(వా) → 2K⁺F^–(s)
ఈ చర్యలో K ఎలక్ట్రాన్ కోల్పోతుంది. కనుక ఆక్సీకరణం.
F ఎలక్ట్రాను గ్రహిస్తుంది. కనుక క్షయకరణం. K → K⁺ ఆక్సీకరణం F₂ → 2F^–క్షయకరణం.

e) 4NH₃ (వా) + 50₂ (వా) → 4NO (వా) + 6H₂O(వా)
NH₃ → NO లో N ఆక్సీకరణ స్థితి – 3 నుండి +2 గా మారుతుంది. కనుక ఆక్సీకరణం O₂ → H₂O చర్యలో O ఆక్సీకరణ స్థితి సున్న నుండి -2కు తగ్గింది.
3. అధికంగా ఉన్న ద్రవ సల్ఫర్ లోనికి క్లోరినన్ను పంపించినపుడు సల్ఫర్ మోనోక్లోరైడు ఏర్పడుతుంది. కాని అధికంగా క్లోరిన్ ఉన్నప్పుడు సల్ఫర్ డై క్లోరైడ్ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 55.
కింది వాటిని ఏ విధంగా వివరిస్తారు?
a) క్షారీకృత KMnO₄ అమ్లీకృత KMnO₄లు ఆక్సీకరణులైనా టోలీన్ నుంచి బెంజోయిక్ ఆమ్లం తయారీలో ఆల్కహాలిక్ KMnO₄ ను ఆక్సీకరణిగా వాడతారు. ఎందువల్ల? చర్యకు తుల్య ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ సమీకరణం రాయండి.
b) మూలక రసాయన మిశ్రమంలో క్లోరైడ్ ఉంటే దానికి గాఢ సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లం కలిపినపుడు ఘాటైన వాసన గల HCl వాయువు వెలువడుతుంది. ఐతే మిశ్రమంలో బ్రోమైడ్ లవణం ఉంటే ఎర్రటి బ్రోమిన్ వస్తుంది. ఎందువల్ల?
జవాబు:
a) ఆమ్లీకృత KMnO₄ కర్బన పదార్థాలను CO₂ మరియు నీరుగా ఆక్సీకరణం చేస్తుంది. క్షారయుత పెర్మాంగనేటు, కర్బన పదార్థాలను ఆల్డిహైడ్లుగాను, ఆమ్లాలుగానూ ఆక్సీకరణం చేస్తుంది. ఈ కారణం వల్ల టోలీన్ నుండి బెంజాయిక్ ఆమ్లం తయారీలో క్షారయుత పెర్మాంగనేటును ఉపయోగిస్తారు.

b) అల్పబాష్పశాలి ఆమ్లాలు లవణాలతో చర్యపొందినపుడు అధిక బాష్పశీలి ఆమ్లాలు ఏర్పడతాయి. క్లోరైడు, బ్రోమైడ్ లవణాలు గాఢ H₂SO₄ తో చర్య జరిపినపుడు అధిక భాష్పశీలి Hcl మరియు HBr లు ఏర్పడతాయి. అయితే HCl, Cl₂ గా ఆక్సీకరణం చెందదు. కాని HBr ను H₂SO₄, Br₂ గా ఆక్సీకరణం చెందిస్తుంది.
కనుక H₂SO₄, HBrను ఎరుపురంగు Br₂ గా ఆక్సీకరణం చేస్తుంది.
2Nacl + H₂SO₄ → Na₂SO₄ + 2Hcl
2KBr + H₂SO₄ → K₂SO₄ + 2HBr
2HBr + H₂SO₄ → 2H₂O + SO₂ + Br₂

ప్రశ్న 56.
కింది చర్యలలో ఆక్సీకరణి, క్షయకరణి, ఆక్సీకరణం చెందిన పదార్థం, క్షయకరణం చెందిన పదార్థం తెలపండి.
a) 2AgBr(ఘ) + C₆H₆O₂ → 2Ag(ఘ) + 2HBr(జల) + C₆H₄O₂(జల)
b) HCHO(ద్ర) + 2[Ag(NH₃)₂]⁺ (జల) + 30H^– (జల) → 2Ag(ఘ) + HCOO^– (జల) + 4NH₃ (జల) + 2H₂O(ద్ర)
c) HCHO(ద్ర) + 2Cu⁺⁺ (జల) + 50H^– (జల) → Cu₂O(ఘ) +HCOO^– (జల) + 3H₂O(ద్ర)
d) N₂H₄(ద్ర) + 2H₂O₂(ద్ర) → N₂(వా) + 4H₂O(ద్ర)
e) Pb(ఘ) + PbO₂(ఘ) + 2H₂SO₄(జల) → PbSO₄ (ఘ) + 2H₂O(ద్ర)
జవాబు:
ఆక్సీకరణం చెందే పదార్థం క్షయకరణి. క్షయకరణం చెందే పదార్థం ఆక్సీకరణి.
a) ఈ చర్యలో Ag⁺ → Ag గా మారింది. క్షయకరణం చెందింది. అందువల్ల Ag⁺ ఆక్సీకరణి. C₆H₆O₂ లోని C ఆక్సీకరణం చెందింది. C₆H₆O₂ క్షయకరణి.

b) HCHO → HCOO^– గా ఆక్సీకరణం చెందింది. అందువల్ల HCHO క్షయకరణి. అమ్మోనికల్ సిల్వర్ నైట్రేటులో Ag⁺ గా Ag క్షయకరణం చెందింది. అందువల్ల (Ag(NH₃)₂]⁺ ఆక్సీకరణి.
Cu⁺⁺ → Cu₂O గా క్షయకరణం చెందినది.

c) HCHO → HCOO గా ఆక్సీకరణం చెందినది.
కావున Cu⁺⁺ ఆక్సీకరణి. HCHO క్షయకరణి.

d) N₂H₄(ద్ర) + 2H₂O₂(ద్ర) → N₂ (వా) + 4H₂O(ద్ర)
N₂H₄ → N₂ ; ఆక్సీకరణ చర్య
2H₂O₂ → 2H₂O; క్షయకరణ చర్య
N₂H₄ క్షయకరణి. H₂O₂ ఆక్సీకరణి

e) Pb ఆక్సీకరణం చెందుతుంది. కనుక క్షయకరణి. PbO₂ → PbSO₄ గా క్షయకరణం చెందుతుంది. కావున PbO₂ ఆక్సీకరణి.

ప్రశ్న 57.
2S₂\(\mathrm{O}_3{ }^{2-}\)(జల) + I₂(ఘ) → S₄\(O_6^{2-}\)(జల) + 2I^– (జల)
S₂\(\mathrm{O}_3^{2-}\)(జల) + 2Br₂(ద్ర) → 5H₂O(ద్ర) → 2S\(\mathrm{O}_4^{2-}\) (జల) + 4Br^– (జల) + 10H⁺ (జల)
లలో Br₂, I₂లు వేరు వేరు విధానాల్లో చర్య జరుపుతున్నాయి. ఎందువల్ల?
జవాబు:
అయోడిన్ బలహీన ఆక్సీకరణి కాగా బ్రోమీన్ బలమైన ఆక్సీకరణి. అందువల్ల అయోడిన్ చర్యలో సల్ఫర్ ఆక్సీకరణ స్థితి S₂\(\mathrm{O}_3{ }^{2-}\) లో + 2 నుండి S₄\(\mathrm{O}_6{ }^{2-}\) లో +2.5కు మారుతుంది. కాని Br₂ బలమైన ఆక్సీకరణి కనుక సల్ఫర్ను అత్యధిక ఆక్సీకరణ స్థితికి +6 కు ఆక్సీకరణం చేస్తుంది. S₂\(\mathrm{O}_3{ }^{2-}\), S\(\mathrm{O}_4{ }^{2-}\) మారేవరకు చర్య జరుగుతుంది.

ప్రశ్న 58.
హాలోజన్లలో ఫ్లోరిన్ బలమైన ఆక్సీకరణి. హైడ్రోహాలిక్ సంయోగ పదార్థాలలో హైడ్రో అయోడిక్ ఆమ్లం బలమైన క్షయకరణి వివరించండి.
జవాబు:
హాలోజన్ల ఆక్సీకరణ సామర్థ్యం ఫ్లోరిన్ నుండి అయోడిన్క తగ్గుతుంది.
Fl₂ > Cl₂ > Br₂ > I₂
దీనికి కారణం, F₂, నుండి I₂ కు ఋణ విద్యుదాత్మకతలు మరియు ఎలక్ట్రాన్ గ్రాహ్య ఎంథాల్పీలు క్రమంగా తగ్గడమే. హాలైడులను హాలోజన్లుగా F₂ ఆక్సీకరణం చేస్తుంది.
2Kcl + F₂ → 2KF + Cl₂
2kBr + F₂ → 2KF + Br₂
2KI + F₂ → 2KF + I₂
క్లోరిన్ Brను, Iను మాత్రమే స్థానభ్రంశం చెందించగలదు.
2kBr + Cl₂ → 2Kcl + Br₂
2KI + Cl₂ → 2Kcl + I₂
అదేవిధంగా I^– ను I₂గా Br₂ ఆక్సీకరణం చెందిస్తుంది.
2KI + Br₂ → 2KBr + I₂
అయొడిన్ హాలైడులను స్థానభ్రంశం చేయలేదు.
హైడ్రోజన్ హాలైడులలో క్షయకరణ సామర్థ్యం HF నుండి HI కు పెరుగుతుంది. దీనికి కారణం హైడ్రోజన్ హాలైడ్లలో బంధ దూరం పెరుగుదలతో ఉష్ణ స్థిరత్వం తగ్గడమే. అందువల్ల HF ను ఆక్సీకరణం చేయటం కష్టం. HI ను సులభంగా ఆక్సీకరణం చెందించవచ్చు. ఈ కారణంగా HI బలమైన క్షయకరణి.

ప్రశ్న 59.
కింది చర్య ఎందుకు జరుగుతుంది?
Xe\(\mathrm{O}_6^{4-}\) (జల) + 2F^– (జల) + 6H⁺ (జల) → XeO₃(వా) + F₂(వా) + 3H₂O(ద్ర)
ఈ చర్య నుంచి Na₄ XeO₆ అనే పదార్థం (దీనిలో Xe\(O_6^{4-}\) ఒక విభాగం) గురించి ఏమని నిర్ధారించవచ్చు.
జవాబు:
Xe\(\mathrm{O}_6^{4-}\) అయాన్ చాలా బలమైన ఆక్సీకరణి. F₂ కన్నా బలమైనది. అందువల్ల అది F^– ను ఆమ్లయానకంలో F₂ గా ఆక్సీకరణం చేయగలదు. Na₄ XeO₆ అయానిక పదార్థం.

ప్రశ్న 60.
క్రింది చర్యలను పరిశీలించండి.
a) H₃PO₂(జల) + 4AgNO₃(జల) + 2H₂O(ద్ర) → H₃PO₄(జల) + 4Ag(ఘ) + 4HNO₃
b) H₃PO₂(జల) + 2CuSO₄ (జల) + 2H₂O(ద్ర) → H₃PO₄ (జల) + 2Cu(ఘ) + 2H₂SO₄(జల)
c) C₆H₅CHO(ద్ర) + 2[Ag\(\left(\mathrm{NH}_3\right)_2{ }^{+}\) (జల) + 3OH^– (జల) → C₆H₅COO^– (జల) + 2Ag(ఘ) + 4NH₃(జల) + 2H₂O(ద్ర)
d) C₆H₅CHO(ద్ర) + 2Cu²⁺ (జల) 5OH^– (జల) → మార్పులేదు.
ఈ చర్యల గురించి Ag⁺, Cu⁺⁺ల ప్రవృత్తి గురించి మీరు ఏమని నిర్ధారించగలరు.
జవాబు:
ఆమ్లయానకంలో A⁺, Cu⁺⁺ ఒకే రకమైన పై చర్యలలో ఆక్సీకరణ సామర్ధ్యాన్ని ప్రదర్శిస్తాయి. క్షారయానకంలో Ag⁺ బలమైన ఆక్సీకరణి. Cu⁺⁺ బెంజాల్ డిహైడ్ ను క్షారయానకంలో ఆక్సీకరణం చెందించుట లేదు. అందువల్ల బలహీనమైన ఆక్సీకరణి.

ప్రశ్న 61.
కింది ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్యలను అయాన్-ఎలక్ట్రాన్ పద్ధతి ద్వారా తుల్యం చేయండి.
a) Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + I^–(జల) → MnO₂(ఘ) + I₂(ఘ) (క్షార యానకంలో)
b) Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + SO₂ (వా) → Mn²⁺(జల) + HS\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) (ఆమ్ల ద్రావణంలో)
c) H₂O₂(జల) + Fe²⁺(జల) → Fe³⁺ (జల) + H₂O(ద్ర) (ఆమ్ల ద్రావణంలో)
d) Cr₂\(\mathrm{O}_7^{2-}\) + SO₂(వా) → Cr³⁺ (జల) + S\(\mathrm{O}_4^{2-}\) (జల) (ఆమ్ల ద్రావణంలో)
జవాబు:
a) Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + I^– (జల) → MnO₂(ఘ) + I₂ (మ) (క్షార యానకంలో)
1వ దశ : మొదట సంక్షిప్త అయానిక సమీకరణాన్ని రాయండి.
Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + I^– (జల) → MnO₂(ఘ) + I₂(ఘ)
2వ దశ : రెండు అర్ధ చర్యలను వ్రాయండి.
ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్య :

క్షయకరణ అర్ధ చర్య :

3వ దశ : I పరమాణువులను తుల్యం చేయాలి.
2I^– (జల) → I₂(ఘ)
4వ దశ : చర్య క్షార యానకంలో జరుగుతుంది కాబట్టి O పరమాణువులను తుల్యం చేయడానికి క్షయకరణ అర్ధ చర్యలో OH^– అయాన్లను తగిన సంఖ్యలో కలపాలి.
Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\)(జల) → MnO₂(ఘ) + 2OH^–(ద్ర)
H పరమాణువులను తుల్యం చేయడానికి ఎడమ ప్రక్కన రెండు H₂O అణువులను కలపాలి.
Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + 2H₂O (జల) → MnO₂(ఘ) + 2OH^–
H, O పరమాణువులను దాగుడుమూతల పద్ధతిలో తుల్యం చేయాలి.
Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + 2H₂O(జల) → MnO₂(ఘ) + 4OH^–(జల)
5వ దశ : రెండు అర్ధచర్యలలోని ఆవేశాలను తుల్యం చేయాలి.
2I^–(జల) → I₂(ఘ) + 2e^–
Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + 2H₂O(ద్ర ) +3e^– → MnO₂ (ఘ) + 4OH^–(జల)
విడుదలయిన ఎలక్ట్రాన్ల సంఖ్య, గ్రహించిన ఎలక్ట్రాన్ల సంఖ్యను తుల్యం చేయాలి. ఆక్సీకరణ అర్ధచర్యను 3 పెట్టి క్షయకరణ అర్ధ చర్యను 2 పెట్టి హెచ్చవేయాలి.
6I^–(జల) → 3I₂(ఘ) + 6e^–
2Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + 4H,O(ద్ర) + 6e^– → 2MnO₂(ఘ) + 80H^–(జల)
6వ దశ : రెండు అర్ధ చర్యలను కలిపితే మొత్తం మీది చర్య వస్తుంది. రెండు వైపుల ఎలక్ట్రాన్లను కొట్టివేయాలి.
6I^–(జల) + 2Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + 4H₂O(ద్ర) → 3I₂ (ఘ) + 2MnO₂(ఘ) + 8OH^–(జల)
7వ దశ : చివరగా సమీకరణాన్ని పరమాణువులు, ఆవేశాల పరంగా సరిచూసుకోవాలి.

b) Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + SO₂(వా) → Mn²⁺(జల) + HS\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) (ఆమ్ల ద్రావణంలో)
1వ దశ : మొదటగా సంక్షిప్త అయానిక సమీకరణాన్ని రాయండి.
2వ దశ : రెండు అర్ధ చర్యలను రాయండి.
ఆక్సీకరణం చర్య :
క్షయకరణం చర్య :
3వ దశ : O₂ పరమాణువులను ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్యలో తుల్యం చేయడానికి ఎడమవైపు 2H₂O రాయాలి.
SO₂ + 2H₂O → HSO^–
H పరమాణువులను తుల్యం చేయడానికి H⁺లు కలపాలి.
SO₂ + 2H₂O → HS\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 3H⁺
క్షయకరణ అర్ధ చర్యలో O, H లను తుల్యం చేయాలి.
Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) → Mn⁺⁺ + 4H₂O
చర్య ఆమ్ల యానకంలో జరుగుతున్నది. కాబట్టి H⁺ లను ఉపయోగించి Hలను తుల్యం చేయాలి.
Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 8H⁺ → Mn⁺⁺ + 4H₂O
4వ దశ : రెండు చర్యలలోని విద్యుదావేశాలను తుల్యం చేయాలి.
SO₂ + 2H₂O → HSO₄ + 3H⁺ + 2e^–
Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 8H⁺ + 5e^– → Mn⁺⁺ + 4H₂O
5వ దశ : ఎలక్ట్రాన్లను తుల్యం చేయడానికి ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్యను 5 చేత, క్షయకరణ అర్ధ చర్యను 2 చేత గుణించాలి.
5SO₂ + 10H₂O → 5HS\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 15H⁺ + 10e^–
2Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 16H⁺ + 10e^– → 2Mn⁺⁺ + 8H₂O
6వ దశ : పై రెండు అర్ధ చర్యలను కలపాలి.
5SO₂ + 2Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 2H₂O + H⁺ → 5HS\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 2Mn⁺⁺

c) H₂O₂(జల) + Fe⁺⁺(జల) → Fe³⁺ (జల) + H₂O(ద్ర) (ఆమ్ల ద్రావణంలో)
1వ దశ : ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్య : Fe²⁺ (జల) → Fe³⁺ (జల)
క్షయకరణ అర్ధ చర్య : H₂\(\mathrm{O}_2^{-1}\) (జల) → H₂O^-2
2వ దశ : ‘O’ పరమాణువులను తుల్యం చేయాలి.
H₂O₂ → H₂O + H₂O
H₂O₂ → 2H₂O
‘H’ పరమాణువులను తుల్యం చేయాలి.
H₂O₂ + 2H⁺ → 2H₂O
3వ దశ : విద్యుదావేశాలను తుల్యం చేయాలి.
Fe²⁺(జల) → Fe³⁺(జల) + e^–
H₂O₂ + 2H⁺ + 2e^– → 2H₂O
4వ దశ : ఎలక్ట్రాన్లను తుల్యం చేయాలి.
2Fe²⁺ → 2Fe³⁺ + 2e^–
H₂O₂ + 2H⁺ + 2e^– → 2H₂O
5వ దశ : పై తుల్య చర్యలను కలపాలి.
2Fe²⁺ + H₂O₂ + 2H⁺ → 2 Fe³⁺ + 2H₂O

d) Cr₂\(\mathrm{O}_7^{2-}\) + SO₂(వా) → Cr³⁺ + \(\mathrm{SO}_4{ }^{2-}\) (ఆమ్ల ద్రావణంలో)
1వ దశ :
ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్య : SO₂ → S\(\mathrm{O}_4^{2-}\)
క్షయకరణ అర్ధ చర్య: Cr₂\(\mathrm{O}_7^{2-}\) → Cr^3-
2వ దశ : O, H మినహా ఇతర పరమాణువులను తుల్యం చేయాలి.

ప్రశ్న 62.
కింది సమీకరణాలను క్షార యానకంలో అయాన్-ఎలక్ట్రాన్ పద్ధతి ద్వారా, ఆక్సీకరణ సంఖ్యా పద్ధతి ద్వారా తుల్యం చేసి, ఆక్సీకరణ కారకాన్ని, క్షయకరణ కారకాన్ని గుర్తించండి.
a) P₄(ఘ) + OH^–(జల) → PH₃(వా) + HP\(\mathrm{O}_2^{-}\) (జల)
b) N₂H₄(ద్ర) + ClO₃ (జల) → NO (వా) + Cl^–(వా)
c) Cl₂O₇(వా) + H₂O₂ → CI\(\mathrm{O}_2^{-}\)(జల) + O₂(వా) + H⁺
జవాబు:
a)
P₄(ఘ) + OH^– (జల) → PH₃(వా) + H₃P\(\mathrm{O}_2^{-}\) (జల)
అయాన్-ఎలక్ట్రాన్ పద్ధతి :
1వ దశ : ఆక్సీకరణ సంఖ్యలను గుర్తించుట.

2వ దశ : P₄ → PH₃ క్షయకరణ అర్ధ చర్య
P₄ → H₂P\(\mathrm{O}_2^{-}\) ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్య
3వ దశ : P పరమాణువులను తుల్యం చేయాలి.
P₄ → 4PH₃
P₄ → 4H₂P\(\mathrm{O}_2^{-}\)
4వ దశ : ఆక్సిజన్లను తుల్యం చేయాలి, ఆక్సిజన్ తక్కువగా ఉన్నవైపు H₂O లు వ్రాయాలి.
P₄ + 8H₂O → 4H₂P\(\mathrm{O}_2^{-}\)
5వ దశ : Hలను తుల్యం చేయాలి. చర్య క్షార యానకంలో జరుగుతున్నది కాబట్టి H₂O మరియు OH^– అయానులను కలపాలి. హైడ్రోజన్లు తక్కువగా ఉన్న వైపు ఎన్ని తక్కువగా ఉన్నాయో అన్ని H₂O లను, వ్యతిరేక వైపు సమాన సంఖ్య
OH^– లను కలపాలి.

1వ దశ : ఈ చర్యలో ఫాస్ఫరస్ ఆక్సీకరణం మరియు క్షయకరణం చెందుతుంది.

ఆక్సీకరణ సంఖ్యలో మార్పులను సమం చేయాలి.
P₄ + OH^– → PH₃ + 3H₂P\(\mathrm{O}_2^{-}\)

2వ దశ :

a) H, O లను తుల్యం చేయాలి. ఇందుకోసం హైడ్రోజన్ పరమాణువుల కొరత ఉన్న వైపు చర్య ఆమ్లయానకంలో జరిగినట్లైతే H⁺ అయాన్లని, క్షార యానకంలో జరిగినట్లయితే H₂O ని తగిన సంఖ్యలో కలపాలి.
b) ఆక్సిజన్ పరమాణువుల కొరత ఉన్న వైపున చర్య ఆమ్ల యానకంలో జరిపితే H₂O ని క్షారయానకంలో జరిగితే OH^– ని తగిన సంఖ్యలో కలపాలి.
P₄ + 3OH^– + 3H₂O → PH₃ + 3H₂P\(\mathrm{O}_2^{-}\)
తుల్య సమీకరణం P₄ + 3OH^– + 3H₂O → PH₃ + 3H₂P\(\mathrm{O}_2^{-}\)

b) N₂H₂(ద్ర) + ClO (జల) → NO(వా) + Cl^–(వా)
ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్యను, క్షయకరణ అర్ధ చర్యను గుర్తించాలి.
1వ దశ :
N₂H₄(ద్ర) → NO(ద్ర) ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్య
Cl\(\mathrm{O}_3^{-}\)(వా) → Cl^–(వా)

2వ దశ : O, H నినహా మిగిలిన వాటిని తుల్యం చేయాలి.
N₂H₄(ద్ర) → 2NO

3వ దశ : చర్య క్షారయానకంలో జరుగుతున్నది. హైడ్రోజన్ తుల్యంచేయడానికి H₂Oలను, OH^– లను ఉపయోగించాలి. ముందుగా ఆక్సిజన్రను తుల్యం చేయాలి. అందుకోసం ఆక్సిజన్ తక్కువగా ఉన్నవైపు H₂Oలను వ్రాయాలి.

ఆక్సీకరణ సంఖ్యా పద్ధతి : 1వ దశ : ఆక్సీకరణ సంఖ్యలో మార్పును గుర్తించాలి.

3వ దశ : ఆక్సీకరణ సంఖ్యలో పెరుగుదలను, తగ్గుదలను సమం చేయాలి. N₂H₄ ను 3 చేత, Cl\(\mathrm{O}_3^{-}\) ను 2చేత గుణించాలి.
3N₂H₄ + 4Cl\(\mathrm{O}_3^{-}\) → 6NO + 4Cl^–

4వ దశ : H, O లు మిగిలిన పరమాణువులను తుల్యం చేయాలి. పై సమీకరణంలో అవి తుల్యం అయినవి.

5వ దశ : O, H లను తుల్యం చేయడానికి OH^–, H₂O లను వ్రాయాలి.
3N₂H₄ + 4Cl\(\mathrm{O}_3^{-}\) → 6NO + 4Cl^– + 6H₂O

c) Cl₂O₇(వా) + H₂O₂ → Cl\(\mathrm{O}_2^{-}\) (జల) + O₂(వా) + H⁺ అయాన్ ఎలక్ట్రాన్ పద్ధతి లేదా అర్థ చర్యా పద్ధతి

1వ దశ :
Cl₂O₇ + H₂O₂ → Cl\(\mathrm{O}_2{ }^{-}\) + O₂ + H⁺ ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్యను, క్షయకరణ అర్ధ చర్యను విడివిడిగా వ్రాయాలి.

2వ దశ : పరమాణువులను (O, Hమినహా) తుల్యం చేయాలి.

ఆక్సీకరణ సంఖ్య పద్ధతి : ఆక్సీకరణ సంఖ్యలో పెరుగుదలను తగ్గుదలను గుర్తించాలి.

2వ దశ : ఆక్సీకరణ సంఖ్య పెరుగుదలను, తగ్గుదలను సమం చేయాలి. H₂O₂ ను 4 చే గుణించాలి.
Cl₂O₇ + 4H₂O₂ → 2Cl\(\mathrm{O}_2^{-}\) + O₂ + H⁺

3వ దశ : O, H లను తుల్యం చేయాలి. దాగుడు మూతల పద్ధతిలో H₂O₂ OH^– లను చేర్చాలి.

ప్రశ్న 63.
ఈ కింది చర్య ద్వారా ఏమి తెలుస్తోంది. (CN)₂(వా) + 2OH^–(జల) → CN^–(జల) + CNO^– (జల) + H₂O(ద్ర)
జవాబు:
ఈ చర్యలో సయనోజన్ వాయువు క్షారయానకంలో అననుపాత చర్యకు లోనవుతోంది. ఈ చర్యలో CN ప్రాతిపదిక ఆక్సీకరణ సంఖ్య CN^– ఏర్పడుటలో -1కి తగ్గుతుంది. CNO^– లో +1 కి పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 64.
Mn³⁺ అయాన్ ద్రావణంలో అస్థిరంగా ఉండి, అననుపాతం చెంది Mn²⁺, MnO₂, H⁺ అయాన్లను ఇస్తుంది. ఈ చర్యకు తుల్య అయానిక సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు:
Mn³⁺ + 2H₂O → MnO₂ + Mn⁺⁺ + 4H⁺
2Mn³⁺ + 2H₂O → MnO₂ + Mn⁺⁺ + 4H⁺

ప్రశ్న 65.
a) ఋణ ఆక్సీకరణస్థితిని మాత్రమే ప్రదర్శించే మూలకం ఏది ?
b) ధన అక్సీకరణస్థితిని మాత్రమే ప్రదర్శించే మూలకం ఏది ?
c) ధన, ఋణ ఆక్సీకరణ స్థితులు రెండింటినీ ప్రదర్శించే మూలకం ఏది ?
d) ధన, ఋణ అక్సీకరణ స్థితులలో దేనిని కూడా ప్రదర్శించని మూలకం ఏది ?
జవాబు:
a) ఫ్లోరిన్ F ఋణ ఆక్సీకరణస్థితిని మాత్రమే ప్రదర్శిస్తుంది. అది అధిక ఋణ విద్యుదాత్మకత గల మూలకం. ఫ్లోరిన్ కన్నా అధిక ఋణ విద్యుదాత్మకత కలిగిన మూలకము మరియొకటి లేదు. కనుక అది ఎల్లప్పుడు ఋణ ఆక్సీకరణస్థితి (-1) మాత్రమే చూపుతుంది.

b) CS అత్యధిక ధన విద్యుదాత్మకత గల మూలకము. అది ధన ఆక్సీకరణస్థితి (+1) ని మాత్రమే చూపుతుంది.

c) అయోడిన్ | ధన ఋణ ఆక్సీకరణ స్థితులను చూపగలదు. ఉదా : ICl₃ లో I ఆక్సీకరణస్థితి HNal లో దాని అక్సీకరణ స్థితి -1.

d) నియాన్ Ne జడవాయువు. అది రసాయన చర్యలలో పాల్గొనదు. కనుక అది ధన లేదా ఋణ చూపదు.

ప్రశ్న66.
తాగునీటిని శుద్ధిచేయటానికి క్లోరినన్ను వాడతారు. అధిక క్లోరిన్ హానికరమైనది. అధికంగా ఉన్న క్లోరినన్ను సల్ఫర్ డై ఆక్సైడ్తో చర్య నొందించి తొలగిస్తారు. నీటిలో జరిగే ఈ ఆక్సీకరణ క్షయకరణ మార్పుకు తుల్య సమీకరణాన్నివ్వండి.
జవాబు:
SO₂ + Cl₂ + 2H₂O → H₂SO₄ + 2HCl

ప్రశ్న67.
మీ పుస్తకంలో ఇచ్చిన ఆవర్తనపట్టికను పరిశీలించి, కింది ప్రశ్నలకు జవాబు ఇవ్వండి.
a) అననుపాత చర్యలను ప్రదర్శించే అలోహాలను ఎంపిక చేయండి.
b) అననుపాత చర్యలను ప్రదర్శించే మూడు లోహాలను ఎంపిక చేయండి.
జవాబు:
a) ఫాస్ఫరస్, సల్ఫర్, క్లోరిన్, బ్రోమిన్, అయోడిన్
b) క్రోమియం, మాంగనీస్, లెడ్

ప్రశ్న68.
ఆస్వాల్డ్ పద్ధతిలో నత్రికామ్లం తయారుచేసే చర్యల్లో మొదటి అంచెలో అమ్మోనియా ఆక్సిజన్తో ఆక్సీకరణం చెంది నైట్రిక్ ఆక్సైడ్, నీటి ఆవిరి వస్తాయి. చర్యను 10.0 గ్రా. అమ్మోనియా, 20.0 గ్రా. ఆక్సిజన్ జరిపితే గరిష్ఠంగా ఎంత నైట్రిక్ ఆక్సైడ్ వస్తుంది.
జవాబు:
ఆస్వార్డు పద్ధతిలో NH₃ ఆక్సీకరణం చెంది నైట్రిక్ ఆక్సైడ్గా మారుతుంది.
4NH₃ + 5O₂ → 4NO + 6H₂O
స్థాయికియోమెట్రీ

10 గ్రా అమ్మోనియాతో చర్యపొందే ఆక్సిజన్ భారం = \(\frac{10}{68}\) × 160 = 23.529 గ్రా

తగినంత ఆక్సిజన్ లేకపోవుట వలన 10గ్రా. అమ్మోనియా చర్య పొందలేదు. అందువల్ల 20 గ్రా. ఆక్సిజన్ మాత్రమే చర్యలో పాల్గొన్నప్పుడు NO ఏర్పడుతుంది.
160 గ్రా. ఆక్సిజన్ నుండి 120 గ్రా. NO ఏర్పడుతుంది.
20 గ్రా. ఆక్సిజన్ నుండి ?
NO భారం = \(\frac{20}{160}\) × 120 = 15 గ్రా.
[20 గ్రా. O₂ తో చర్య పొందే అమ్మోనియా
160 గ్రా. O₂ తో చర్య పొందే అమ్మోనియా 68 గ్రా.
20 గ్రా. ౦ తో చర్య పొందే అమ్మోనియా = \(\frac{20 \times 68}{160}\) = 8.5 గ్రా. NH₃
68 గ్రా. అమ్మోనియా నుండి ఏర్పడే NO 120 గ్రా.
8.5 గ్రా. అమ్మోనియా నుండి ఏర్పడే NO = \(\frac{8.5}{68}\) × 120 = 15 గ్రా
∴ 10 గ్రా. అమ్మోనియా 20 గ్రా. ఆక్సిజన్తో చర్య పొందినపుడు 15 గ్రా. NO ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 69.
క్రింది లోహాలను వాటి లవణాల నుంచి ఒకదానితో ఒకటి స్థానభ్రంశం చెందించే క్రమంలో అమర్చండి.
Al, Cu, Fe, Mg, Zn.
జవాబు:
విద్యుత్ రసాయన శ్రేణిలో ఎక్కువ ఋణ క్షయకరణ పొటెన్షియల్ గల మూలకం దాని క్రింద నున్న మూలకాన్ని దాని లవణ ద్రావణం నుండి స్థానభ్రంశం చెందిస్తుంది.
ఉదా : CuSO₄ + Zn → 2nSO₄ + Cu
Zn⁺⁺/Zn క్షయకరణ పొటెన్షియల్ -0.762 Cu⁺⁺/Cu +0/337. జింక్కు ఎలక్ట్రానులను విడుదల చేసే స్వభావం ఎక్కువ. అందువల్ల Cu⁺⁺ ను Cu గా క్షయకరణం చేస్తుంది.

పై టేబుల్ నుండి స్థానభ్రంశ క్రమం క్రింది విధంగా ఉంటుంది.
Mg > Al > Zn > Fe > Cu

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 70.
క్షార యానకంలో పర్మాంగనేట్ అయాన్, అయొడైడ్ (I^–) అయానన్ను ఆక్సీకరణం చేసి, అయొడిన్ (I₂), మాంగనీస్ డై ఆక్సైడ్ (MnO₂) ఇచ్చే చర్యకు తుల్య అయానిక సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు:

ప్రశ్న71.
ఆమ్ల యానకంలో పర్మాంగనేట్, సల్ఫైట్ అయాన్లను సల్ఫేట్ అయాన్లుగా ఆక్సీకరణ చేసే చర్యకు తుల్య సమీకరణాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:

ప్రశ్న72.
ఆమ్లయానకంలో ఆక్జాలిక్ ఆమ్లం, పర్మాంగనేట్ అయాన్తో Mn”tగా అక్సీకరించబడుతుంది. అయాన్ – ఎలక్ట్రాన్ పద్ధతిలో తుల్యం చేయండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 73.
ఫాస్ఫరసు NaOH ద్రావణంలో వేడి చేస్తే ఫాస్ఫేన్ PH₃, H₂P\(\mathrm{O}_2^{-}\) లను ఇస్తుంది. తుల్య సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 74.
కింది సమీకరణాన్ని తుల్యం చేయండి.

జవాబు:

ప్రశ్న 75.
క్రింది సమీకరణాన్ని ఆక్సీకరణ సంఖ్య పద్ధతిలో తుల్యం చేయండి.
Mn\(\mathrm{O}_4^{-2}\) + Cl₂ → Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + Cl^–
జవాబు:
మొదటిదశ : Mn\(\mathrm{O}_4^{-2}\) + Cl₂ → Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + Cl^–
రెండవదశ : ఆక్సీకరణ సంఖ్యలలో మార్పులను గుర్తించాలి.

మూడవదశ : ఆక్సీకరణ సంఖ్యలో తగ్గుదల, పెరుగుదల సమానంగానే ఉన్నాయి.
నాల్గవదశ : O, H మినహా మిగిలిన పరమాణువులను తుల్యం చేయాలి.
Mn\(\mathrm{O}_4^{-2}\) + Cl₂ → Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 2Cl^–
ఐదవదశ : విద్యుదావేశాన్ని తుల్యం చేయాలి.
2Mn\(\mathrm{O}_4^{-2}\) + Cl₂ → Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 2Cl^–

ప్రశ్న 76.
వివిధ రకాల ఆక్సీకరణ, క్షయకరణ (రెడాక్స్) చర్యలను వివరించండి.
జవాబు:
ఆక్సీకరణం : ఒక కణం ఆక్సీకరణ సంఖ్య ఇచ్చిన చర్యలో పెరగడం ఆ కణం అక్సీకరణం అంటారు. క్షయకరణం : ఒక కణం ఆక్సీకరణ సంఖ్య ఇచ్చిన చర్యలో తగ్గడం ఆ కణం క్షయకరణం అంటారు.
ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్యలు : ఏక కాలంలో ఒక కణం ఆక్సీకరణం చెంది, వేరొక కణం క్షయకరణం చెందడం జరిగే రసాయన చర్యలను ఆక్సీకరణ-క్షయకరణ చర్యలు అంటారు. కాబట్టి పరస్పరం చర్య జరిపే కణాల అక్సీకరణ సంఖ్యలలో మార్పులను తీసుకువచ్చే చర్యలు ఆక్సీకరణ క్షయకరణ చర్యలు.
1. సంకలన చర్య : A + B → C
ఇందులో A గాని B గాని లేదా A, B లు రెండూ గాని మూలకస్థితిలో ఉంటే ఆక్సీకరణ క్షయకరణ చర్య జరుగుతుంది. ఇవన్నీ సంయోగచర్యలే.
ఉదా :

2. విఘటన చర్య :
సంకలన చర్యకు వ్యతిరేకంగా జరిగే చర్యను విఘటన చర్య అంటారు.
ఉదా :

3. స్థానభ్రంశ చర్యలు : స్థానభ్రంశ చర్యలు 2 రకాలు. 1. లోహ స్థానభ్రంశ చర్యలు. 2. అలోహ స్థానభ్రంశ చర్యలు.
X + YZ → XZ + Y
1. లోహ స్థానభ్రంశ చర్యలు : సమ్మేళనంలోని లోహాన్ని వేరొక లోహంతో స్థానభ్రంశం చెందించవచ్చు. ఈ చర్యలలో క్షయకరణం చేసే లోహం క్షయీకృతం అయ్యే లోహంకంటే బలమైన క్షయకారిణి. దీనిని బట్టి క్షయకరణికి ఎలక్ట్రాన్లను వదులుకొనే శక్తి క్షయకరణం చెందే లోహం కంటే ఎక్కువ అని తెలుస్తుంది.

1. అలోహ స్థానభ్రంశ చర్యలు : అలోహాన్ని స్థానభ్రంశం చేసే చర్యలలో హైడ్రోజన్ స్థానభ్రంశం అరుదుగా జరిగే ఆక్సిజన్ స్థానభ్రంశం ఉంటాయి.
క్షార లోహాలన్నీ, కొన్ని క్షార మృత్తిక లోహాలు (Ca, Sr, Ba) చాలా బలమైన క్షయకరణులు. అవి చల్లని నీటి నుంచి హైడ్రోజన్ను స్థాన భ్రంశం చేస్తాయి.

సాపేక్షంగా తక్కువ చర్యాశీలతగల లోహాలు (మెగ్నీషియమ్, ఐరన్ వంటివి) నీటి ఆవిరితో చర్యలో హైడ్రోజన్ని స్థానభ్రంశం చేస్తాయి.

నీటి ఆవిరితో కూడా చర్య జరపని లోహాలు

ఫ్లోరిన్ చాలా చురుకైన మూలకం. ద్రావణాల నుంచి క్లోరైడ్, బ్రోమైడ్, అయోడైడ్లు అయాన్లను స్థానభ్రంశం చేస్తుంది. వాస్తవానికి ఫ్లోరిన్ నీటి నుంచి ఆక్సిజనిని స్థానభ్రంశం చేయగలిగేటంత చర్యాశీలత గలది.

4. అసౌష్టవ విఘటన చర్యలు (అననుపాత చర్యలు) :
అసౌష్ఠవ విఘటన చర్యలలో నిర్ధిష్ట కణంలోని మూలకం ఒక ఆక్సీకరణ స్థితిలో ఉంటుంది. అది ఒకే సమయంలో ఆక్సీకరణం, క్షయకరణం కూడా చెందుతుంది. అననుపాతం చెందే క్రియా జనకాల్లో ఒకదాంట్లోని మూలకం ఒకటి కనీసం మూడు ఆక్సీకరణ స్థితులలో ఉండగలదు. క్రియాజన్యంలో ఆ మూలకం మూడు ఆక్సీకరణ స్థితులలోని మధ్యస్థ స్థితిలో ఉంటుంది. దానికి పై ఆక్సీకరణ స్థితి కింది ఆక్సీకరణ స్థితి ఉన్న క్రియాజన్యాలు ఏర్పడతాయి. ఈ విధమైన చర్యకు హైడ్రోజన్ పెరాక్సైడ్ విఘటనం మనకు పరిచయమైన ఉదాహరణ. ఇందులో ఆక్సిజన్ అసౌష్ఠవ విఘటనం
చెందుతుంది.

ఈ చర్యలో పెరాక్సైడ్లోని ఆక్సిజన్ -1 స్థితిలో ఉంటుంది. దాని స్థితి O₂ లో సున్నా అక్సీకరణ స్థితికి పెరగడం, H₂O లో -2 ఆక్సీకరణ స్థితికి తగ్గడం జరుగుతుంది.
ఫాస్ఫరస్, సల్ఫర్, కోర్లిన్లు క్షార యానకంలో ఈ అననుపాత చర్యలను జరుపుతాయి.

ప్రశ్న 77.
స్థిరానుపాత నియమాన్ని తెలపండి ఒక సమస్యను సాధనచేయడం ద్వారా ఈ నియమాన్ని విశదీకరించండి.
జవాబు:
జోసెఫ్ ప్రౌస్ట్ (Joseph Proust) అనే ఫ్రెంచి రసాయన శాస్త్రవేత్త ఈ నియమాన్ని చెప్పాడు. “ఒక నిర్దిష్ట సమ్మేళనంలో అవే మూలకాలు భారాత్మకంగా ఒకే నిష్పత్తిలో కలిసి ఉంటాయి.” అని చెప్పాడు.
ప్రౌస్ట్ రెండు నమూనాలు క్యూప్రక్ కార్బొనేట్తో పని చేశాడు. ఒక నమూనా సహజ సిద్ధమైంది. రెండోది కృత్రిమంగా తయారు చేయబడింది. ఈ రెండు నమూనాల సంఘటనం ఒక్కటిగానే ఉంటుంది.

ఈ విధంగా ప్రాప్తి స్థానంతో సంబంధం లేకుండా ఒక నిర్దిష్ట సమ్మేళనంలో ఘటక మూలకాలు భారాత్మకంగా అదే నిష్పత్తిలో సంయోగం చెంది ఉంటాయి.

ప్రశ్న 78.
క్రింది చర్యల అంశమాపనంలో అంతిమ స్థానాలను ఎట్లా గుర్తిస్తారు.
(i) Mn\(\mathrm{O}_4{ }^{2-}\) తో Fe²⁺ ను ఆక్సీకరించుట.
(ii) Cr₂\(\mathrm{O}_7^{2-}\) తో Fe⁺ ను ఆక్సీకరించుట.
(iii) Cu²⁺ తో I^– ను ఆక్సీకరించుట.
జవాబు:
(i) 2Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) తో Fe²⁺ పర్మాంగనేటు ఫెర్రస్ను ఫెర్రిక్గా ఆమ్లయానకంలో ఆక్సీకరణం చేస్తుంది. ఈ చర్యలో పర్మాంగనేట్ వివర్ణం అవుతుంది. అందువల్ల అంతిమ స్థానం వద్ద చర్య పొందని పర్మాంగనేట్ వల్ల ద్రావణానికి కలిగే గులాబి రంగు ద్వారా అంతిమ స్థానాన్ని గుర్తించవచ్చు. ఈ చర్యలో పర్మాంగనేట్ స్వయం సూచిక. Fe⁺⁺ అంతయూ F⁺⁺⁺ గా మారిన తరువాత పర్మాంగనేట్ వల్ల ద్రావణానికి గులాబి రంగు కలుగుతుంది.

(ii) Cr₂\(\mathrm{O}_7{ }^{2-}\) తో Fe⁺⁺ ను ఆక్సీకరించుట : అంత్యస్థానము వద్ద స్వయం మార్పు ఖచ్చితంగా లేకపోతే అంత్యస్థానాన్ని తెలుసుకోవడం కోసం సూచికలను వాడతారు. Cr₂\(\mathrm{O}_7^{2-}\) స్వయం సూచిక కాదు. కాని తుల్య స్థానం దాటిన వెంటనే డైఫినైల్ ఎమీన్ సూచికను శాశ్వతంగా ఆక్సీకరణం చేస్తుంది. ఫలితంగా ముదురు నీలిరంగు వస్తుంది. ఇది అంత్యస్థానాన్ని సూచిస్తుంది.
Cr₂\(\mathrm{O}_7^{2-}\)తో Fe⁺⁺ ను అంశమాపనం చేయడంలో డైఫినైల్ ఎమీన్ సూచికను వాడతారు. అంతిమస్థానం వద్ద ముదురు నీలిరంగు ఏర్పడుతుంది.

(iii) Cu⁺⁺ తో I^– ను ఆక్సీకరించుట : Cu⁺⁺ అయాన్ను అయోడైడ్ అయానుతో జరిపే చర్యలో అయొడీన్ ను విడుదల చేస్తుంది. 2Cu⁺⁺(జల) + 4l^–(జల) → Cu₂l₂(ఘ) + I₂(జల). ఈ అంశమాపనంలో విడుదలైన అయొడిన్ న్ను థయోసల్ఫేట్ అంశమాపనం చేస్తారు.
I₂(జల) + 2S₂\(\mathrm{O}_3{ }^{2-}\)(జల) → 21^–(జల) + S₄\(\mathrm{O}_6^{2-}\) (జల). ఇపుడు స్టార్చిని కలిపితే ముదురు నీలి రంగు వస్తుంది. అయొడిన్తో థయోసల్ఫేట్ అయానులు పూర్తిగా చర్య పొందినపుడు ఈ రంగు పోతుంది. ఈ విధంగా అంత్య స్థానాన్ని తేలికగా తెలుసుకోవచ్చు.

ప్రశ్న 79.
కింది చర్యలలో వెలువడే కార్బన్ డై ఆక్సైడ్ భారాన్ని లెక్కకట్టండి.
1. గాలిలో ‘ఒక మోల్ కార్బన్ను మండించినప్పుడు
2. 16 గ్రా. డైఆక్సిజన్లో 2 మోల్ల కార్బన్ను మండించినపుడు
జవాబు:
1.

ఒక మోల్ కార్బన్ను మండించినపుడు 44 గ్రా. CO₂ విడుదలవుతుంది.

2. 16 గ్రా. డైఆక్సిజన్లో 2 మోల్ల కార్బన్ను మండించినపుడు

64 గ్రా. ఆక్సిజన్లో మండే కార్బన్ 24 గ్రా.
16 గ్రా. ఆక్సిజన్లో మండే కార్బన్ ?
= \(\frac{16}{64}\) × 24 = 6గ్రా.
కనుక 6 గ్రా. కార్బన్ మాత్రమే చర్యపొంది CO₂ ను ఇస్తుంది. 12 గ్రా. కార్బన్ 32 గ్రా. ఆక్సిజన్తో చర్య పొందుతుంది. కనుక 6 గ్రా. కార్బన్ 16 గ్రా. ఆక్సిజన్తో చర్య పొందుతుంది.

ప్రశ్న 80.
కింది రసాయన సమీకరణాన్ని అనుసరించి, డైనైట్రోజన్ డైహైడ్రోజన్ ఒకదానితో ఒకటి చర్య జరిపినప్పుడు అమ్మోనియా ఏర్పడుతుంది.
N₂(వా) + 3H₂(వా) + 2NH₃(వా)
(i) 2.00 × 10³గ్రా. డైనైట్రోజన్, 1.00 × 10³ గ్రా. డై హైడ్రోజన్తో చర్య జరిపినప్పుడు ఏర్పడే అమ్మోనియా భారాన్ని లెక్కించండి.
(ii) రెండు క్రియాజనకాలలో ఏదైనా చర్య జరపకుండా మిగిలిపోతుందా?
(iii) అయితే ఏ క్రియాజనకం మిగిలిపోతుంది. దాని భారం ఎంత?
జవాబు:
(i) నైట్రోజన్ మోత్ల సంఖ్య = \(\frac{2 \times 10}{28}\) = 71.4 మోల్లు
హైడ్రోజన్ మోత్ల సంఖ్య = \(\frac{1 \times 10^3}{2}\) = 500 మోల్లు
సమీకరణం ప్రకారం

తగినంత హైడ్రోజన్ ఉన్నది కనుక 71.4 మోల్లు నైట్రోజన్ చర్య పొందుతుంది.
71.4 మోల్ నైట్రోజన్ 2 × 71.4 మోల్ల అమ్మోనియాను ఇస్తుంది.
∴ ఏర్పడే అమ్మోనియా భారం 2 × 71.4 × 17గ్రా. = 247.6 గ్రా.

ii) ఈ చర్యలో అధికంగా ఉన్న హైడ్రోజన్ మిగిలిపోతుంది.

iii) మిగిలిన ఆక్సిజన్ = 500 – 214.2 = 285.8 మోల్స్
ఆక్సిజన్ భారం = 285.8 × 2 గ్రా = 571.6 గ్రా.

ప్రశ్న 81.
కింది సమ్మేళనపు అణువులలో కింద గీతలో చూపించిన మూలకాల ఆక్సీకరణ సంఖ్యలను తెలపండి.
a) NaH₂PO₄
b) NaHSO₄
c) H₄P₂O₇
d) K₂MnO₄
e) CaO₂
f) NaBH₄
g) H₂S₂O₇
h) KAl(SO₄)₂.12H₂O
జవాబు:
(a) NaH₂PO₄
+1+2+x-8=.0
x-5 = 0 x=+5
ఫాస్పరస్ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +5

b) NaHSO₄
1+1+x-8=0
x-6= 0 x=+6
సల్ఫర్ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6

c) H₄P₂O₇
+4+2x+-14 = 0
2x-10= 0 x = \(\frac{10}{2}\) = +5
H₂P₂O₇ P ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +5

d) K₂MnO₄
Mn ఆక్సీకరణ సంఖ్య = x అనుకొనుము.
+2+x-8 = 0
x-6 = 0
x=+6
K₂MnO₄ Mn ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6

e) CaO₂
(Ca) క్షార మృత్తిక లోహాల ఆక్సీకరణ స్థితి = +2
‘O’ ఆక్సీకరణ స్థితి = X
+2+2x = 0 2x = -2 x = -1
CaO₂ లో O ఆక్సీకరణ స్థితి = -1

f) NaBH₄
+1 +x+-4 = 0
x-3= 0 x=+3
NaBH₄ లో బోరాన్ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +3

g) H₂S₂O₇
+2+2x-14 = 0
2x-12= 0 2x= +12 x=+6
H₂S₂O₇ లో ‘S’ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6

(h) KAI(SO₄)₂.12H₂O
\(\mathrm{SO}_4^{–}\) లో ‘S’ ఆక్సీకరణ సంఖ్య ఇచ్చిన పదార్థంతో,
‘S’ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6
x-8=-2 x=+6

ప్రశ్న 82.
కింది వాటిలో కింద గీత చూపించిన మూలకాల ఆక్సీకరణ సంఖ్యలు లెక్క కట్టండి. మీరు ఆ ఫలితాలను ఎలా సమర్థించుకుంటారు?
జవాబు:
a) H₂S₄O₆

S₁, S₂ల ఆక్సీకరణ సంఖ్యలు సున్న
S₁, S₄ ల ఆక్సీకరణ సంఖ్యలు +5
సరాసరి విలువ = \(\frac{10}{4}\) = 2.5

b) Fe₃O₄
Fe₃O₄ లో FeO మరియు Fe₃O₄ ఉంటాయి.
FeO లో Fe ఆక్సీకరణ స్థితి = +2
Fe₂O₃ లో Fe ఆక్సీకరణ స్థితి = + 3
సరాసరి ఆక్సీకరణ స్థితి = \(\frac{+2+2(+3)}{3}\) = \(\frac{8}{3}\) = 2.67

c) CH₃-CH₂-OH
CH₃ సమూహంలోని కార్బన్ ఆక్సీకరణ స్థితి = -3
CH₂OH లో కార్బన్ ఆక్సీకరణ స్థితి = -1

d) CH₃COOH
CH₃ లో C ఆక్సీకరణ స్థితి -3
COOH లో C ఆక్సీకరణ స్థితి +3

అదనపు ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
16 గ్రా. మీథేన్ను మండిస్తే తయారయ్యే నీటి పరిమాణాన్ని గణించండి.
జవాబు:
మీథేన్ దహనక్రియకు తుల్య సమీకరణం

∴ 16 గ్రా. మీథేన్ ను మండిస్తే తుల్య సమీకరణాన్ని అనుసరించి, 36 గ్రా. నీరు ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 2.
దహన చర్యలో 22 గ్రా. CO₂ ని ఏర్పరచడానికి ఎన్ని మోల్ల మీథేన్ కావాలి.
జవాబు:

∴ 22 గ్రా. CO₂ ను ఏర్పరచడానికి 8 గ్రా. మీథేన్ అనగా \(\frac{8}{16}\) గ్రా. = 0.5 గ్రా. మోల్ల మీథేన్ కావలెను.

ప్రశ్న 3.
పరిమిత కారకం అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
సమతుల రసాయన చర్యకు ఉండవలసిన క్రియాజనకాల పరిమాణాల కంటే తక్కువ పరిమాణంలో కొన్ని క్రియాజనకాలు ఉన్నప్పుడు ఒక క్రియాజనకం మరొక క్రియాజనకం కన్నా అధికంగా ఉంటుంది. తక్కువగా ఉన్న క్రియాజనకం కొంత చర్య జరిగిన తరువాత పూర్తిగా ఖర్చు అయిపోతుంది. దాని తరువాత రెండో క్రియాజనకం ఎంత ప్రమాణంలో ఉన్నప్పటికి చర్య జరగదు. కాబట్టి ఖర్చు అయిపోయిన క్రియాజనకం ఏర్పడే క్రియాజన్యం పరిమాణాన్ని పరిమితం చేస్తుంది. అందువల్ల దానిని పరిమిత కారకం అంటారు.

ప్రశ్న 4.
50 కేజీల N₂(వా), 10 కేజీల H₂(వా) ని కలిపి NH₃ (వా) ను తయారుచేస్తారు. ఏర్పడిన NH₃(వా)ని లెక్కించండి. ఈ పరిస్థితులలో NH₃(వా)ని తయారు చేయడానికి ఏదైనా పరిమిత కారకం ఉంటే దానిని గుర్తించండి.
జవాబు:
50 Kg ల N₂ మోల్ సంఖ్య = \(\frac{50 \times 10^3}{28}\) = 17.86 × 10² మోల్.
10 Kg ల H₂ మోల్ సంఖ్య = \(\frac{10 \times 10^3}{2.016}\) = 4.96 × 10³ మోల్.

17.86 × 10² మోల్ 3 × 17.8 × 10² మోల్ 2 × 17.86 × 10² మోల్
17.86 × 10² మోల్ల N₂ తో చర్య జరపడానికి అవసరమయ్యే H₂ = 5.36 × 10³ మోల్
కాని 4.96 × 10³ మోల్ H₂ మాత్రమే ఉంది.
కాబట్టి హైడ్రోజన్ పరిమిత కారకం అవుతుంది.
3 మోల్ల హైడ్రోజన్ – 2 మోల్ NH₃ ను ఇస్తుంది.
4.96 × 10³ మోల్ హైడ్రోజన్ నుండి ఏర్పడే NH₃
= \(\frac{4.96 \times 10^3}{3}\) × 2 = 3.30 × 10³ మోల్.
NH₃ భారం గ్రాములలో = 3.30 × 10³ × 17 గ్రా. = 56.1 × 10³గ్రా. = 56.1 Kgలు.

ప్రశ్న 5.
2 గ్రా. ‘A’ ని 18 గ్రా. నీటిలో కలిపి ద్రావణాన్ని తయారుచేస్తారు. ద్రావితం ద్రవ్యరాశిని, శాతాన్ని లెక్కించండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 6.
4 గ్రా. NaOH ని తగినంత నీటిలో కరిగించి 250 మి.లీ. ద్రావణం చేయగా దాని మొలారిటీని లెక్కించండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 7.
500 మి.లీ.ల ద్రావణంలో 6.3 గ్రా. H₂C₂O₄. 2H₂O ఉంటే దాని నార్మాలిటి ఎంత?
జవాబు:
ఆక్సాలిక్ ఆమ్లం H₂C₂O₄.2H₂O
అణుభారం = 126
తుల్యభారం = \(\frac{126}{2}\) = 63

ప్రశ్న 8.
250 మోల్ల 0.5 N ద్రావణాన్ని తయారుచేయడానికి కావలసిన Na₂CO₃ ద్రవ్యరాశిని కనుక్కోండి.
జవాబు:
ద్రావణపు నార్మాలిటి = 0.5N
Na₂CO₃ తుల్యభారం = \(\frac{106}{2}\) = 53
ఘనపరిమాణం = 250mL = \(\frac{250}{1000}\)L
ద్రావిత భారం = నార్మాలిటి × ఘ.ఫ.లీ × గ్రాము. తుల్యభారం
= 0.5 × \(\frac{250}{1000}\) × 53 = \(\frac{53}{8}\) = 6.62 గ్రా.

ప్రశ్న 9.
ఇవ్వబడిన చర్యలలో ఆక్సీకరణం – క్షయకరణం చెందే పదార్థాలను గుర్తించండి.
(i) H₂S(వా) + Cl₂(వా) → 24Cl(వా) + S(ఘ)
(ii) 3Fe₃O₄(ఘ) + 8Al(ఘ) → 9Fe(ఘ) + 4Al₂O₂(ఘ)
(iii) 2Na(ఘ) + H₂(వా) → 2NaH(ఘ)
జవాబు:
(i) H₂S ఆక్సీకరణం చెందింది. అధిక ఋణ విద్యుదాత్మకత గల క్లోరిన్ని హైడ్రోజన్ సంకలనం చేయబడింది. క్లోరిన్ క్షయకరణం చెందింది. దాని ఆక్సీకరణస్థితి 0 నుండి (-1) కి తగ్గింది.
సల్ఫర్ ఆక్సీకరణస్థితి -2 నుండి 0 కు పెరుగుతుంది. అందువల్ల ‘S’ ఆక్సీకరణం చెందింది.

(ii) 3Fe₃O₄ + 8Al → 9Fe + 4Al₂O₃ Fe⁺⁺⁺, Fe గా క్షయకరణం చెందింది. దాని ఆక్సీకరణస్థితి + 3 నుండి ‘0’కు తగ్గింది. Al ఆక్సీకరణ స్థితి 0 నుండి +3కు పెరిగింది. కనుక ఆక్సీకరణం చెందింది.

(iii) Na అక్సీకరణ స్థితి నుండి 0 నుండి +1 కు పెరిగింది. కనుక ఆక్సీకరణం. H ఆక్సీకరణ స్థితి 0 నుండి -1కి తగ్గింది. కనుక క్షయకరణం.

Here students can locate TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 9 Money, Banking and Inflation to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 9 Money, Banking and Inflation

→ Liquidity: Liquidity is the ability of an asset to be çonverted into money (cash).

→ Currency: Currency is the form in which money is circulated in the economy. It includes coins and currency flotes.

→ Near money: Near money refers to those highly liquid assets which are not accepted as money but can be quickly converted into money e.g.: drafts, cheques, shares, treasury bills, bonds etc.

→ Legal tender: Money that must be accepted by everyone as per law towards payment for commodities and services and settlement of debt is called legal tender money.

→ Token money: Token money is the money or unit of currency whose face value is higher than its intrinsic value and which is not convertible into gold or silver on par with its face value.

→ Credit money: Credit money which is also called bank money is created by commercial banks from out of the primary deposits.

→ Store of value: By this function, money preserves the value of perishable commodities in the form of money il they are exchanged before they perish, It stores the value of durable commodities also.

→ Standard of deferred payments: This is an important function of money by which money facilitates payment in future for the present transaction. Further payments can be calculated in terms of money.

→ Current account: Current account is the kind of deposit accepted by commercial banks which allows any number of deposits and withdrawals and which facilitates the transfer of money through cheques by businessmen, industrialists and government offices. The current account does not earn any interest.

→ Cash credit: Cash credit is a type of loan given by a commercial bank that facilitates the withdrawal of loan amount in installments as and when necessary.

→ Overdraft: This is a facility extended to the current account holders in a commercial bank, by which the account holder can draw an amount above the available balance, subject to an upper limit.

→ Inflation: Persistent rise ¡n the general price level over a period is called inflation.

→ Demand-pull inflation: Inflation caused by excess aggregate demand over the aggre gate supply is called demand-pull inflation.

→ Cost-push inflation: The rise in the general price level caused by the increase in the production cost is called cost-push inflation.

→ Deficit Financing: It is a method of meeting government deficits through the creation of new money. The deficit is the gap caused by the excess of government expenditure over receipts.

→ Devaluation: A reduction ¡n the external value of the domestic currency while the internal value of the domestic currency remains constant.

TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 9 ద్రవ్యం, బాంకింగ్, ద్రవ్యోల్బణం

→ వినిమయ సాధనంగా అందరూ అంగీకరించేది విలువ, కొలమానంగా ఉపయోగించబడేది ద్రవ్యం అని క్రౌథర్ నిర్వచించాడు.

→ ఒక వస్తువును ఇచ్చి మరో వస్తువును వేరుగా తీసుకొనే పద్ధతిని వస్తు వినిమయ పద్ధతి లేదా వస్తు మార్పిడి పద్ధతి అంటారు.

→ ద్రవ్యం ముఖ్యంగా విలువల కొలమానం, వినిమయ మాంద్యం, విలువల నిధి, వాయిదాల చెల్లింపుల ప్రమాణం మొదలగు విధులను నిర్వహించును.

→ పూర్తి ప్రమాణాలు నాణేలు, తక్కువ ప్రమాణం నాణేలు, చిల్లర ద్రవ్యం, కాగితపు ద్రవ్యం, పరపతి ద్రవ్యం.

→ వాణిజ్య బ్యాంకులు నిర్వహించే కార్యకలాపాలు రెండు రకాలుగా విభజించవచ్చు.

1. ప్రాథమిక విధులు
2. అనుషంగిక విధులు.

→ దేశంలోని అత్యుత్తమ బ్యాంకింగ్ వ్యవస్థకు కేంద్ర బ్యాంకు శిఖరం. అది బ్యాంకింగ్ వ్యవస్థలో బ్యాంకుల ఆర్థిక కార్యకలాపాలను పర్యవేక్షిస్తుంది, నియంత్రిస్తుంది, క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.

→ కేంద్ర బ్యాంకు విధులు-కరెన్సీ నోట్ల జారీ, ప్రభుత్వ బ్యాంకరు, బ్యాంకుల బ్యాంకరు, అంతిమ ఋణదాత మొ||నవి.

→ రిజర్వు బ్యాంక్ ఆఫ్ ఇండియాను 1935లో నెలకొల్పారు. 1949లో జాతీయం చేశారు. నోట్ల జారీ, ప్రభుత్వ బ్యాంకరు, బ్యాంకుల బ్యాంకర్, అంతిమ ఋణదాత, పరపతి నియంత్రణ మొ||నవి.

→ ద్రవ్యోల్బణం అనేక రకాలుగా ఉంటుంది. డిమాండ్ ప్రేరిత ద్రవ్యోల్బణం, వ్యయ ప్రేరిత ద్రవ్యోల్బణం మొ||నవి. ఇవే కాకుండా ద్రవ్యోల్బణ స్థాయినిబట్టి, తీవ్రతను బట్టి ఇందులో ఇతర రకాలు కూడా ఉన్నాయి.

→ ద్రవోల్బణ ప్రభావం ఉత్పత్తి మీద, పంపిణీ మీద స్థిర ఆదాయాల వర్గాల వారి మీద, శ్రామిక వర్గం మీద ఉంది.

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
వ్యవస్థకైనా దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి తప్పక ఉండవలసిన అవసరం ఉందా ? (మే 2014)
జవాబు:
ఒక వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద కొంత ద్రవ్యరాశి ఉండి తీరాలి అన్న నియమం లేదు) ఉదా : ఉంగరము లేదా గాజుల విషయంలో వాటి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ఏ విధమైన ద్రవ్యరాశి లేదు.

ప్రశ్న 2.
ఒక అమ్మాయి బరువులున్న ఒక సంచిని ఒక చేతిలో పట్టుకొని నిలుచున్నది. ఇంకొక అమ్మాయి అంతే బరువు ఉన్న రెండు సంచులను తన రెండు చేతులతో పట్టుకొని నిలుచున్నది. ఆ అమ్మాయిల ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాలలో మార్పులెలా ఉంటాయి ?
జవాబు:
a) అమ్మాయి బరువులు ఉన్న సంచిని ఒక చేతితో పట్టుకున్నపుడు ఆమె ద్రవ్యరాశి కేంద్రం బరువు ఉన్న చేతివైపు జరుగును.

b) అమ్మాయి రెండు చేతులతో సమానమైన బరువులు మోసినపుడు ఆమె ద్రవ్యరాశి కేంద్రస్థానము మారదు. అనగా బరువులు లేనపుడు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఉన్న ప్రదేశంలోనే ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
రెండు ద్రుఢ వస్తువుల జడత్వ భ్రామకాలు, వాటి సౌష్టవాక్షాల పరంగా సమానం. ఆ రెండింటిలో దేని గతిజ శక్తి అధికంగా ఉంటుంది ?
జవాబు:
ఒక వస్తువు భ్రమణ గతిశక్తి KE_rot మరియు కోణీయ ద్రవ్యవేగం (L) ల మధ్య సంబంధం KE_rot = \(\frac{\mathrm{L}^2}{2 \mathrm{I}}\)
ఇచ్చిన ప్రశ్నలో జడత్వ భ్రామకములు సమానం కావున KE_rot ∝ L²
ఎక్కువ కోణీయ ద్రవ్యవేగము గల వస్తువు ఎక్కువ భ్రమణ గతిశక్తి కల్గి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
సైకిల్ చక్రాలకు కమ్మీలు (spokes) ఎందుకు అమర్చుతారు ? (మే 2014)
జవాబు:
సైకిల్ చక్రాలకు కమ్మీలు (spokes) అమర్చడం వల్ల చక్రం బరువులో అధికభాగం భ్రమణాక్షం నుండి దూరంగా పంపిణీ చేయబడును. ఫలితంగా అంతే ద్రవ్యరాశి గల కమ్మీలు లేని చక్రం కన్నా కమ్మీలు గల చక్రం జడత్వ భ్రామకం చాలా ఎక్కువ. ఫలితంగా ఆ చక్రం ఎక్కువ జడత్వ భ్రామకం గల గతిపాలక చక్రం వలె పనిచేసి కుదుపులను తగ్గిస్తుంది. బాహ్య టార్క్న సున్న చేసినప్పటికి సమవేగంతో ఎక్కువ దూరం ప్రయాణిస్తుంది.

ప్రశ్న 5.
మడత బందుల (hinges) వద్ద బలాన్ని ప్రయోగించి ఒక తలుపును తెరవడం లేదా మూయడం సాధ్యంకాదు. ఎందువల్ల ?
జవాబు:
తలుపులు చలించే భ్రమణాక్షం మడత బందు గుండా పోతున్నది. కాబట్టి భ్రమణాక్షం నుండి బలానికి (\(\overline{\mathrm{F}}\)) గల
దూరము \(\overline{\mathrm{r}}\) = 0
తలుపులు తెరవడానికి అందించిన బలభ్రామకం
టార్క్, τ = \(\overline{\mathrm{r}}\) × \(\overline{\mathrm{F}}\) = |\(\overline{\mathrm{r}}\)| |\(\overline{\mathrm{F}}\)| sin θ = 0 ∵ sin 0 = 0
అందువల్ల \(\overline{\mathrm{r}}\) = 0 అయితే ఎంత ఎక్కువ బలం (F) వాడినప్పటికి టార్క్, τ = 0 కావడం వల్ల తలుపులు తెరవడం సాధ్యపడదు.

ప్రశ్న 6.
భుజం పొట్టిగా ఉన్న స్పానర్ (మరను తిప్పడానికి వాడే ఉపకరణం) కంటే భుజం పొడవుగా ఉన్న స్పానర్ను మనమెందుకు ఎక్కువగా ఎంచుకొంటాం ?
జవాబు:
టార్క్, τ = \(\overline{\mathrm{r}}\) × \(\overline{\mathrm{F}}\). స్పానర్ను వాడేటపుడు స్పానర్ పొడవు బలం నుండి ఆధారానికి గల దూరము \(\overline{\mathrm{r}}\) అవుతుంది. స్పానర్ పొడవు ఎక్కువ ఉంటే అదే బలము F కి టార్క్ ఎక్కువ. అందువలన అటువంటి స్పానర్లతో బోల్ట్ ను తేలికగా భ్రమణం చెందించవచ్చు.

ప్రశ్న 7.
టేబుల్ తలంపై ఒక గుడ్డును బొంగరంవలె తిప్పి అది ఉడికినదీ లేనిదీ ఎలా నిర్ధారించగలం ?
జవాబు:
గుడ్డును టేబుల్పై ఉంచి భ్రమణం చెందించితే అది ఉడికిన గుడ్డు అయితే మొత్తం ఘనపదార్థం వలె ఉంటుంది. కాబట్టి తేలికగా బల్లతోపాటు భ్రమణం చెందుతుంది.

ఉడకని గుడ్డు అయితే లోపల ద్రవాలు ఉంటాయి. దీనిని భ్రమణం చెందించేటప్పుడు ద్రవాలకు గల స్నిగ్ధతా బలాలవల్ల అవి భ్రమణవేగాన్ని అడ్డుకుంటాయి. అందువల్ల ఉడకని గుడ్డు భ్రమణ వేగం తక్కువ. ఈ విధంగా మనం గుడ్డు ఉడికిందీ, లేనిదీ తెలుసుకొనవచ్చు.
Note : ద్రవాలలో వివిధ పొరల మధ్య గల ఘర్షణబలమే స్నిగ్ధతా బలము.

ప్రశ్న 8.
ఒక హెలికాప్టర్కు ఎందుకు రెండు ప్రొపెల్లర్లు (propellers – ముందుకు నడిపే యంత్రం) తప్పక వుండి తీరాలి ?
జవాబు:
హెలికాప్టర్కు రెండు ప్రొపెల్లర్లు ఉండి తీరాలి. ఒకే ప్రొపెల్లర్ ఉంటే కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారము హెలికాప్టర్ వ్యతిరేక దిశలో ఆత్మభ్రమణం చెందుతుంది. స్థానాంతరణ గమనం సాధ్యపడదు. స్థానాంతరణ గమనం కోసం, హెలికాప్టర్ ఆత్మభ్రమణ నిరోధం కోసం హెలికాప్టర్లో రెండు ప్రొపెల్లర్లు వాడతారు.

ప్రశ్న 9.
భూగోళ ధ్రువాల వద్ద వున్న మంచు పూర్తిగా కరిగిపోతే ఒక రోజు కాలవ్యవధి ఏ విధంగా ప్రభావితమౌతుంది ?
జవాబు:
ధృవాల వద్ద ఉన్న మంచు పూర్తిగా కరిగిపోతే నీరు భూమధ్య రేఖ వద్దకు చేరుతుంది. అనగా భూమి భ్రమణాక్షం మీద ఉన్న మంచు, భ్రమణాక్షం నుండి ఎక్కువ దూరానికి జరగడం వల్ల భూమి జడత్వ భ్రామకం పెరిగి కోణీయ వేగం తగ్గును. కారణం I₁ω₁ + I₂ω₂ = 0 అన్న కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమము.

ఫలితంగా భూమి ఆత్మభ్రమణకాలం పెరుగుతుంది. అంటే ఒకరోజు కాలవ్యవధి పెరుగును.

ప్రశ్న 10.
కదిలే సైకిల్ను సులభంగా అటూ ఇటూ ఒరగకుండా నిలుపవచ్చు. ఎందుకు ?
జవాబు:
కదిలే సైకిల్ చక్రాలు భ్రమణ సమతాస్థితిలో ఉంటాయి. భ్రమణ సమతాస్థితి నియమాల నుండి భ్రమణాక్షానికి లంబంగా ఉండే టార్క్ అంశవల్ల వస్తువు భ్రమణాక్షపరంగా తిరుగుతుంది. బాహ్య టార్క్ లో భ్రమణాక్షానికి లంబంగా గల అంశ టార్క్ ప్రభావాన్ని శూన్యపరచే విధంగా ప్రతిబంధక బలాన్ని జడత్వ భ్రామకంలోని మార్పులు కలుగజేస్తాయి. ఫలితంగా గమనంలో ఉన్న సైకిల్ను సులభంగా పక్కకి ఒరగకుండా ఉంచవచ్చు.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఒక వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గరిమనాభుల మధ్య భేదాలను గుర్తించండి. (మార్చి 2014)
జవాబు:
ద్రవ్యరాశి కేంద్రము, మధ్య తేడాలు :
ద్రవ్యరాశి కేంద్రము

1. వస్తువులోని ద్రవ్యరాశి అంతా దానిలో గల ఒక బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమైనట్లు ప్రవర్తిస్తుంది. ఈ బిందువునే ద్రవ్యరాశి కేంద్రము అంటారు.
2. క్రమాకారం కలిగిన చిన్న వస్తువుల విషయంలో ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గరిమనాభులు ఏకీభవిస్తాయి.
3. ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా వస్తువులో గల కణముల ద్రవ్యరాశుల భ్రామకాల బీజీయ మొత్తం సున్నాకి సమానము.
4. వస్తువు సంక్లిష్టచలనంలో ఉన్నపుడు దాని స్థానాంతరణ గమనాన్ని వివరించడానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని ఉపయోగిస్తారు.

గరిమనాభి

1. వస్తువుపై పనిచేయు ‘మొత్తం గురుత్వాకర్షణ బలం దానిలో గల ఒక బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమైనట్లు ప్రవర్తిస్తుంది. ఈ బిందువును గరిమనాభి అంటారు.
2. వస్తు పరిమాణం చాలా పెద్దదిగా ఉండి, దానిలో ద్రవ్యరాశి పంపిణీ ఏకరీతిగా లేనపుడు, లేదా వస్తువు వ్యాప్తి చెందిన ప్రదేశంలో గురుత్వ త్వరణం స్థిరంగా లేనపుడు వాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గరిమనాభులు ఏకీభవించకపోవచ్చును.
3. గరిమనాభిపరంగా వస్తువులో గల కణముల భారముల భ్రామకాల బీజీయ మొత్తం సున్నాకి సమానము.
4. వస్తువుకు స్థిరత్వము కలిగించడానికి ఆధారమును కల్పించు ప్రక్రియలో గరిమనాభి అను భావనను వాడతారు.

ప్రశ్న 2.
బాహ్య బల ప్రభావానికి గురయిన ఒక కణవ్యవస్థ, ఆ బలం వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ప్రయోగించినట్లుగా గమనంలో ఉంటుందని చూపండి.
జవాబు:
ఏదైనా వ్యవస్థలో గల m₁, m₂, m₃, ……… m_n అను కణాలు \(\overline{\mathrm{v}}_1, \overline{\mathrm{v}}_2, \overline{\mathrm{v}}_3, \ldots . . \overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}\) అను వేగాలతో చలించుచున్నాయను కొనుము.
ద్రవ్యరాశి కేంద్రవేగము \(\overline{v}_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M}\left\{\mathrm{~m}_1 \overline{v}_1+\mathrm{m}_2 \overline{v}_2+\mathrm{m}_3 \overline{\mathrm{v}}_3+\ldots . \mathrm{m}_{\mathrm{n}} \overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}\right\}\)
ఇందులో m₁ + m₁ + m₃ + ……….. + m_n = M వస్తువు మొత్తం ద్రవ్యరాశి

వ్యవస్థపై పనిచేయు మొత్తం బలము F = F₁ + F₂ + F₃ + ……… + F_n = F_cm
∴ వ్యవస్థపై పనిచేయు మొత్తం బలం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద పనిచేసే బలంలా ప్రవర్తించడం వల్ల అనేక కణవ్యవస్థలపై బాహ్య బల ప్రయోగం వల్ల కలిగే గమనం ద్రవ్యరాశి కేంద్రంపై అదే బలం ప్రయోగిస్తే కలిగే గమనాన్ని పోలి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
భూమి-చంద్రుడు వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా సూర్యుని చుట్టూ దాని భ్రమణాలను వివరించండి.
జవాబు:
భూమికి, చంద్రునికి మధ్య గల గురుత్వాకర్షణ బలాలు, భూమి మరియు చంద్రుని వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రంపై ప్రభావం చూపవు. ఎందుకనగా భూమి మరియు చంద్రుల మధ్య గల గురుత్వాకర్షణ బలాలు అంతర్గత బలాలు. ఇవి ద్రవ్యరాశి కేంద్రస్థానాన్ని మార్చజాలవు.

భూమి, చంద్రుల వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రంపై పనిచేసే బాహ్యబలము సూర్యునికి, భూమి చంద్రుల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాల మధ్య గల బలము. ఈ బలం వల్ల భూమి చంద్రుల వ్యవస్థ సూర్యుని చుట్టూ చలిస్తుంది. కావున సూర్యుని చుట్టూ భూమి-చంద్రుల వ్యవస్థ యొక్క గమనము చంద్రుడు భూమి చుట్టూ పరిభ్రమించటం వల్ల ప్రభావితం కాదు.

ప్రశ్న 4.
సదిశాలబ్ధాన్ని నిర్వచించండి. సదిశా లబ్ధ ధర్మాలను రెండు ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
సదిశల సదిశా లబ్ధము : రెండు సదిశలు \(\overline{\mathrm{a}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{b}}\) లను మరల సదిశ ఏర్పడేవిధంగా గుణించడాన్ని సదిశల సదిశాలబ్ధము అంటారు.
\(\overline{\mathrm{a}}\) × \(\overline{\mathrm{b}}\) = |\(\overline{\mathrm{a}}\)||\(\overline{\mathrm{b}}\)| sin θ. \(\overline{\mathrm{n}}\). ఇందులో \(\overline{\mathrm{n}}\) ఇచ్చిన సదిశల తలానికి లంబదిశలో గల ప్రమాణ సదిశ.

సదిశా లబ్ధ ధర్మాలు :
1) రెండు సదిశల సదిశా లబ్ధము స్థిత్యంతర న్యాయాన్ని పాటించదు. \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}} \neq \overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}}\) కాని \(\bar{a} \times \bar{b}=-(\bar{b} \times \bar{a})\) \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}\) = ab sin θ; \(\overline{b} \times \overline{a}\) = b a sin θ ఈ రెండూ పరిమాణంలో సమానమే కాని కుడిచేతి మర నిబంధన ననుసరించి a × \(a \times \overline{b}\) భ్రమణం \(\overline{\mathrm{a}}\) నుంచి \(\overline{\mathrm{b}}\) వైపు ఉంటుంది. \(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}}\) లో భ్రమణం \(\overline{\mathrm{b}}\) నుంచి \(\overline{\mathrm{a}}\) వైపు ఉంటుంది. అనగా పరిమాణం సమానమైనా \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}}\) ల దిశలు వ్యతిరేకము. అందువల్ల \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}=-(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}})\) అని రాస్తారు. కావున \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}} \neq \overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}}\)

2) సదిశా లబ్ధము సంకలనపరంగా విభాజక న్యాయాన్ని పాటిస్తుంది. అనగా \(\overline{\mathrm{a}} \times(\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}})=\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{c}}\)

ప్రశ్న 5.
కోణీయ వేగానికి నిర్వచనం తెలపండి. v = r ω లు రాబట్టండి. (మే 2014)
జవాబు:
కోణీయ స్థానభ్రంశము (θ) : భ్రమణ గమనంలో ఉన్న వస్తువు వృత్త కేంద్రం వద్ద చేసిన కోణాన్ని కోణీయ స్థానభ్రంశము ‘θ’ అంటారు. ప్రమాణము రేడియన్.
కోణీయ వేగము (ω) : కోణీయ స్థానభ్రంశంలోని మార్పు రేటును కోణీయవేగం అంటారు.
కోణీయ వేగములు = \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) ప్రమాణము రేడియన్ / సెకను
ఏదైనా కణము ‘P’ వృత్తపరిధి వెంబడి V అను సమవడితో తిరుగుతున్నదను కొనుము. వృత్తవ్యాసార్ధం ‘r’ అనుకోనుము. మొదటగా P అను కణము ‘A’ అనే బిందువు వద్ద ఉన్నదనుకొనుము. B నుండి Cకు ప్రయాణించుటలో అది కేంద్రము వద్ద చేసిన కోణము ∆θ, మరియు పట్టిన కాలము ∆t అనుకొనుము.

నిర్వచనము ప్రకారం కోణీయవేగం ω = \({Lt}_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{d \theta}{d t}\)
కాని రేఖీయ వేగము V = \({Lt}_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{B C}{\Delta t}\) ఇందులో BC = r dθ
కోణము dθ చిన్నదైనపుడు చాపము BC ని సరళరేఖ BC గా భావిస్తారు.
∴ V = r . \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) ( కాని \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) = ω ) ⇒ V = rω

ప్రశ్న 6.
కోణీయ త్వరణాన్ని, టార్క్ను నిర్వచించండి. ఈ రెండు రాశుల మధ్య సంబంధాన్ని తెలిపే సమాసాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:
కోణీయ త్వరణము : కోణీయ వేగంలో మార్పు రేటును కోణీయ త్వరణం అంటారు.
కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{dt}^2}\) ప్రమాణము రేడియన్ / సె² .
బలభ్రామకము లేదా టార్క్ (τ): మూలబిందువు (O) పరంగా \(\overline{\mathrm{r}}\) స్థానసదిశను కలిగిన ఒక వస్తువు లేదా కణంపై బలము \(\overline{\mathrm{F}}\) ను ప్రయోగిస్తే, \(\overline{\mathrm{r}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{F}}\) ల వజ్రలబ్ధాన్ని టార్క్ నిర్వచించినారు.
టార్క్, τ = \(\overline{\mathrm{r}} \times \overline{\mathrm{F}}=|\overline{\mathrm{r}}||\overline{\mathrm{F}}| \sin \theta \overline{\mathrm{n}}\)
టార్క్ సదిశరాశి. దీని దిశ \(\overline{\mathrm{r}}\), \(\overline{\mathrm{F}}\)ల తలానికి లంబంగా ఉంటుంది.
టార్కు ప్రమాణము న్యూటన్ – మీటరు. D.F = ML²T^-2

కోణీయ త్వరణము a మరియు టార్క్ ల మధ్య సంబంధము : ఏదైనా వ్యవస్థపై కొంత టార్క్ ప్రయోగించడం వల్ల అది dθ అను కోణం స్థానభ్రంశం చెందితే జరిగిన పని dW = τdθ …………. (1)
సామర్థ్యము P = \(\frac{d W}{d t}=\tau \cdot \frac{d \theta}{d t}\) ………………. (2) కాని \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) = ω
∴ P = τω ………….. 3
సామర్థ్యము P = వ్యవస్థ భ్రమణ గతిజ శక్తిలోని మార్పు రేటు అని కూడా చెప్పవచ్చు.
P = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left(\frac{1}{2} \mathrm{I} \omega^2\right)=\frac{1}{2} \cdot 2 \mathrm{I} \omega \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{dt}}\) = Iωα ……………… 4
సమీకరణం 3, 4 ల నుండి τω = Iωα లేదా τ = Iα
టార్క్ τ, కోణీయ త్వరణాల మధ్య సంబంధము τ = Iα

ప్రశ్న 7.
ఒక స్థిర అక్షం పరంగా భ్రమణం చేస్తున్న కణం గమన సమీకరణాలను రాయండి.
జవాబు:
భ్రమణ గమనానికి గతిశాస్త్ర సమీకరణాలు
1) ω = ω₀ + αt
2) θ = ω₀t + \(\frac{1}{2}\) αt²
3) ω² – ω₀² = 2αθ
ఉత్పాదన : ఏదైనా వస్తువు స్థిర అక్షపరంగా కొంత కోణీయ త్వరణంతో చలిస్తున్నదనుకొనుము.
వస్తువు తొలికోణీయ వేగము = ω₀ ., తుది కోణీయ వేగము ω మరియు మార్పుకు పట్టిన కాలము t అనుకోండి.
1) ω = ω₀ + αt ఉత్పాదన
కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{\omega-\omega_0}{t}\) ⇒ ω – ω₀ = αt లేదా ω = ω₀ + αt ……………. (1)

2) θ = ω₀t + \(\frac{1}{2}\) = αt² ఉత్పాదన
వస్తువు మొత్తం స్థానభ్రంశము θ = సగటు కోణీయ వేగము × కాలము

3) ω² – ω₀² = 2αθ ఉత్పాదన
వస్తువు మొత్తం కోణీయ స్థానభ్రంశము θ = సగటు కోణీయ వేగము × కాలము
సగటు కోణీయ వేగము = \(\frac{\omega+\omega_0}{2}\)
కాలము t = \(\frac{\omega-\omega_0}{2}\)
∴ θ = \(\frac{\left(\omega+\omega_0\right)}{2} \frac{\left(\omega-\omega_0\right)}{\alpha}=\frac{\omega^2-\omega_0^2}{2 \alpha}\)
∴ ω² – ω₀² = 2αθ …………….. 3

ప్రశ్న 8.
సమతలంపై నిశ్చల స్థితి నుంచి స్లిప్ కాకుండా దొర్లుతూ ఉన్న ఒక వస్తువు తుది వేగం, మొత్తం శక్తికి సమాసాలను రాబట్టండి.
జవాబు:
దొర్లుడు గమనము : దొర్లుడు గమనము అనేది స్థానాంతరణ గమనము మరియు భ్రమణ గమనముల సంయోగము.
దొర్లుడు గమనం గతిజశక్తి (R.K.E) : దొర్లుడు గమనంలో ఉన్న వస్తువుకు స్థానాంతరణ గమనం వల్ల గతిజశక్తి (1/2mv²) మరియు భ్రమణ గమనం వల్ల గతిజశక్తి (\(\frac{1}{2}\)Iω²) ఉంటాయి.
∴ దొర్లుడు గమనంలో వస్తువు గతిజశక్తి_K.E_R = \(\frac{1}{2}\)mv² + \(\frac{1}{2}\)Iω²
∴ K.E_R = \(\frac{1}{2}\)mv² + \(\frac{1}{2}\) mk² \(\frac{v^2}{r^2}\) (∵ I = mk² మరియు v = rω)
∴ దొర్లే వస్తువు మొత్తం శక్తి E అనుకుంటే E = \(\frac{1}{2}\) mv² \(\left[1+\frac{\mathrm{k}^2}{\mathrm{r}^2}\right]\) …………….. (1)
లేదా v² = \(\frac{2 E}{m\left(1+\frac{k^2}{r^2}\right)}\)
వస్తువు వేగము V = \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{E}}{\mathrm{m}\left[1+\frac{\mathrm{k}^2}{\mathrm{r}^2}\right]}}\) …………. (2)

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
(a)సమాంతరాక్షాల సిద్ధాంతాన్ని తెలిపి నిరూపించండి.
(b) పలుచని వృత్తాకార బిళ్ళకు, దాని వ్యాసం పరంగా భ్రమణ వ్యాసార్ధం k. పటంలో చూపినట్లు బిళ్ళను వ్యాసం AB వెంబడి రెండు ముక్కలుగా కత్తిరించినప్పుడు, AB పరంగా ప్రతి ముక్క భ్రమణ వ్యాసార్ధం కనుక్కోండి.

జవాబు:
సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతము : ఏదైనా వస్తువులో ద్రవ్యరాశి కేంద్రంగుండా పోవు అక్షానికి సమాంతరంగాగల వేరొక అక్షం మీది జడత్వ భ్రామకం (I), ద్రవ్యరాశి కేంద్రంగుండా పోవు అక్షపరంగా గల జడత్వ భ్రామకము (I_G) మరియు వస్తువు ద్రవ్యరాశిని (M) అక్షముల మధ్యగల లంబదూరపు వర్గము (R²) చేత గుణించి కలుపగా వచ్చు మొత్తమునకు సమానము.
అనగా I = I_G + MR²
M ద్రవ్యరాశిగల ఒక సమతల పటలం యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రము ‘G’ అనుకొనుము. ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_G అనుకొనుము. ద్రవ్యరాశి కేంద్రంగుండా పోవు అక్షానికి సమాంతరంగా గల వేరొక సమాంతరాక్షము పటతలంలోని మరొక బిందువు ” గుండా పోతున్నది అనుకొనుము.

‘O’ గుండా పోవు కొత్త అక్షపరంగా జడత్వ భ్రామకము మరియు ‘O’, ‘G’ ల మధ్య దూరము OG = R అనుకొనుము.

ఇచ్చిన సమతలంలో ఏదైనా బిందువు ‘P’ ని తీసుకొనుము. OP మరియు GP లను కలుపుతూ సరళరేఖలు గీయుము. OG ని కలుపుతూ గీసిన రేఖను పొడిగించి P నుండి దానిపైకి లంబమును గీయుము. ఇది పటంలో చూపిన విధంగా ఉంటుంది.
ద్రవ్యరాశి కేంద్రము G పరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_G = ΣmOG² ……………. (1)
‘O’ బిందువుపరంగా వస్తువు జడత్వభ్రామకము I = ΣmOP² …………….. (2)
పటంలో OPD లంబకోణ త్రిభుజం నుండి OP² = OD² + PD²
కాని OD = OG + GD ……………. (3)
∴ I = ΣmOP² = Σm { (OG² + GD² + DP²} ……….. (4)
I = Σm {OG² + GD² + DP² + 2OG, GD} –
కాని లంబకోణ త్రిభుజము GPD నుండి GD² + DP² + GP²
∴ I = Σm {OG² + GP² + 2OG, GD}
∴ I = ΣmOG² + ΣmGP² + 2OG ΣmGD …………… (5)
కాని ΣmOG² = MR² (ఇందులో 2m = M వస్తువు మొత్తం ద్రవ్యరాశి, OG = R)
ΣmGP² = IG ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము
2OG ΣmGD = 0 (ఇది ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా వస్తువు ద్రవ్యరాశుల భ్రామకముల బీజీయ మొత్తానికి సమానము. దీని విలువ సున్నాకు సమానము.)
ఈ విలువలను పై సమీకరణంలో వ్రాయగా I = I_G + MR² అనగా సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతము నిరూపించబడినది.

b) M ద్రవ్యరాశి R వ్యాసార్ధము గల బిళ్ళ జడత్వ భ్రామకము I = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\)
భ్రమణ వ్యాసార్ధము k అనుకుంటే Mk² = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\) ⇒ k = R/2
బిళ్ళను రెండుముక్కలుగా విభజిస్తే దాని ద్రవ్యరాశి M₁ = \(\frac{\mathrm{M}}{2}\)
కొత్త జడత్వ భ్రామకము I’ = \(\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{M}}{2} \times \mathrm{R}^2=\frac{\mathrm{M}}{2} \mathrm{k}_1^2\)
∴ ప్రతిముక్క భ్రమణ వ్యాసార్ధము k₁ = \(\frac{\mathrm{R}}{2}\)

ప్రశ్న 2.
(a)లంబాక్షాల సిద్ధాంతాన్ని తెలిపి నిరూపించండి.
(b)ఒక సన్నని వృత్తాకార కంకణం, ఒక పలుచని చదునైన వృత్తాకార బిళ్ళలు సమాన ద్రవ్యరాశి, వాటి వాటి వ్యాసాల పరంగా సమాన జడత్వ భ్రామకాన్ని కలిగి ఉంటే వాటి వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి కనుక్కోండి.
జవాబు:
లంబాక్ష సిద్ధాంతము : సమతల పటలానికి లంబంగా గల ఏదో ఒక బిందువు గుండా పోవు అక్షపరంగా గల జడత్వ భ్రామకము ఆ సమతల పటలంలో ఇచ్చిన బిందువు గుండా పోవు పరస్పర లంబ అక్షాల పరంగాగల విడి విడి జడత్వ భ్రామకముల మొత్తమునకు సమానము.
అనగా I_z = I_x + I_y
ఒక సమతల పటలంలో గల ఏదైనా బిందువు ” గుండా పోవు ఒక లంబాక్షము ‘Z’ ను తీసుకొనుము. అదే సమతల పటలంలో ‘O’ బిందువు గుండా పోవు మరొక రెండు పరస్పర లంబాక్షములు (x, y) లను తీసుకొనుము. XOY తలంలో గల ఏదైనా బిందువు P ని తీసుకొనుము. ఇది x-అక్షం నుండి ‘y’ దూరంలోను, y-అక్షం నుండి ‘x’ దూరంలోను కలదనుకొనుము.

అప్పుడు X అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_x = Σ my².
y అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_y = Σmx²
z-అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_z = ΣmOP²
కాని పటంలోని OAP త్రిభుజం నుండి
OP² = OA² + AD² = x² + y²
∴ I_z = Σm (x² + y²) = Σmx² + Σmy²
కాని Σ my² = x అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_x
Σmx²
= y అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_y
కావున I_z = I_x + I_y
అనగా x, y అక్షముల ఖండన బిందువు ‘0’ గుండా పోవు
అక్షపరంగా (z) గల జడత్వ భ్రామకము I_z = I_x + I_y అనగా లంబాక్ష సిద్ధాంతము నిరూపించబడినది.

b) వ్యాసము వెంబడి పలుచని రింగు జడత్వ భ్రామకము I₁ = m₁ R₁²
వ్యాసము వెంబడి వృత్తాకార బిళ్ళ జడత్వ భ్రామకము I₂ = \(\frac{\mathrm{m}_2 \mathrm{R}_2^2}{2}\)
రెంటికి జడత్వ భ్రామకాలు సమానము ⇒ I₁ = I₂
అనగా m₁ R₁² = m₂ \(\frac{\mathrm{R}_2^2}{2}\) కాని m₁ = m₂
∴ వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి R₁² = \(\frac{\mathrm{R}_2^2}{2}\) లేదా R₁ = \(\frac{R_2}{\sqrt{2}}\)
∴ R₁ : R₂ = \({\sqrt{2}}\) : 1

ప్రశ్న 3.
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని తెలిపి నిరూపించండి. ఈ నియమాన్ని ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం : ఏదైనా వ్యవస్థపై బాహ్య టార్క్ పని చేయనంతవరకు ఆ వ్యవస్థకు గల కోణీయ ద్రవ్య వేగము స్థిరము. అనగా I₁ω₁ = I₂ω₂ (τ = 0 అయినపుడు )

వివరణ : భ్రమణ గమనంలో ఉన్న వస్తువు జడత్వ భ్రామకాలు I₁, I₂ మరియు దాని తొలి, తుది కోణీయ ద్రవ్యవేగాలు ω₁ మరియు ω₂ అనుకొనుము. బాహ్య టార్క్ పనిచేయనపుడు
అనగా τ = \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{L}}}{\mathrm{dt}}\) = 0 లేదా \(\mathrm{d} \overline{\mathrm{L}}\) = 0 అనగా కోణీయ ద్రవ్య వేగంలోని మార్పు \(\mathrm{d} \overline{\mathrm{L}}_2-\mathrm{d} \overline{\mathrm{L}}_1\) = 0
లేదా I₂ω₂ – I₁ω₁ = 0 అనగా I₁ω₁ = I₂ω₂

కోణీయ ద్రవ్య వేగ నిత్యత్వ నియమానికి ఉదాహరణలు :
1) నిలువు అక్షం చుట్టూ స్వేచ్ఛగా గుండ్రని బల్ల భ్రమణం చేస్తున్నది. దీనిపై ఒక బాలుడు రెండు చేతులతో రెండు భారాలు పట్టుకొని కాళ్ళు, చేతులు చాపుకొని నిల్చున్నాడు. అపుడు అతని జడత్వ భ్రామకం I₁. అతడి కోణీయ వేగం ω₁. అతడు చేతులను ముడుచుకొంటే అతడి జడత్వ భ్రామకం I₂ తగ్గిపోతుంది. కావున బల్ల వ్యవస్థ కోణీయ వేగం ω₂ పెరుగుతుంది.
బల్ల జడత్వ భ్రామకం I అనుకుంటే, (I + I₁)ω₁ = (I + I₂)ω₂
∴ ω₂ = \(\frac{\left(\mathrm{I}+\mathrm{I}_1\right) \omega_1}{\left(\mathrm{I}+\mathrm{I}_2\right)}\) కాని – (I + I₂) < (I + I₁) కనుక ω₂ + ω₁.

2) సూర్యుని చుట్టూ పరిభ్రమించే గ్రహం కోణీయ త్వరణం స్థిరంగా ఉంటుంది.
గ్రహం P వద్ద ఉన్నపుడు వేగం = v₁ ; సూర్యుని నుండి దూరం = r₁ ∴ కోణీయ ద్రవ్యవేగం = m v₁ r₁
అదే విధంగా Q వద్ద కోణీయ ద్రవ్యవేగం = m v₂ r₂ కాని m v₁ r₁ = m v₂ r₂ కాని v = rω
∴ m r₁ ω₁ r₁ = m r₂ ω₂ r₂ ⇒ I₁ω₁ = I₂ω₂ (∵ mr² = I)

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
a . (b × c) పరిమాణం a, b, c సదిశలు భుజాలుగా గల సమానాంతర చతుర్భుజ ఘనం (parallelepiped) ఘనపరిమాణానికి సమానం అని చూపండి.
సాధన:
సమాంతర చతుర్భుజ ఘనమును ఏర్పరచిన సదిశలు \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{a}}\) ; \(\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{b}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{c}}\) అనుకోండి.

\(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}}=|\overline{\mathrm{b}}||\overline{\mathrm{c}}| \sin \theta \overline{\mathrm{n}}=\mathrm{ab}(\overline{\mathrm{n}})\) (∵ θ = 90°)
ఇందులో \(\overline{\mathrm{n}}\) ప్రమాణ సదిశ. ఇది \(\overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) ల తలానికి లంబంగా ఉంటుంది.
అనగా ఇది \(\overline{\mathrm{a}}\) కు సమాంతరంగా ఉంటుంది.
\(\overline{\mathrm{a}} \cdot(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}})=\overline{\mathrm{a}} \cdot(\mathrm{bc}) \overline{\mathrm{n}}=\overline{\mathrm{a}} \cdot \overline{\mathrm{n}}(\mathrm{bc})\) cos θ = abc
ఇది సమాంతర చతుర్భుజ ఘనము ఘనపరిమాణానికి సమానము.

ప్రశ్న 2.
3 kg ద్రవ్యరాశి, 40 cm వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక బోలు స్థూపం చుట్టూ దాదాపు ద్రవ్యరాశి లేని ఒక తాడు చుట్టారు. 30 N బలంతో తాడును లాగితే స్థూపం ఎంత కోణీయ త్వరణాన్ని పొందుతుంది ? తాడు రేఖీయ త్వరణం ఎంత అవుతుంది? తాడు స్థూపంపై జారదు అని భావించండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి M = 3 కి. గ్రా.
వ్యాసార్ధము R = 40 సెం.మీ. = 0.4 మీ.
బోలు స్థూపానికి అక్షం వెంబడి జడత్వ భ్రామకము
I = MR² = 3 (0.4)² = 0.48 kg . m²
బలము, F = 30 న్యూ; టార్క్, τ = F × R = 30 × 0.4 = 12 న్యూ
వస్తువులో త్వరణం ‘α’ అనుకుంటే α = \(\frac{\tau}{\mathrm{I}}=\frac{12}{0.48}\) = 25 రే/సె²
రేఖీయ త్వరణము a = r . α = 0.4 × 25 = 10 మీ/సె²

ప్రశ్న 3.
క్షితిజ తలంలో భ్రమణం చెందే తిరుగుడు బల్లపై దాని కేంద్రం నుండి 10 cm దూరంలో ఒక నాణాన్ని ఉంచారు. తిరుగుడు బల్ల, నాణాల మధ్య స్థితిక ఘర్షణ గుణకం 0.8 అయితే, నాణెం బల్లపై జారడం మొదలుపెట్టడానికి తిరుగుడు బల్ల భ్రమణ పౌనఃపున్యం ఎంత ఉండాలి ?
సాధన:
నాణెము ఉన్న దూరం r = 10 cm = 0.1 m. ; ఘర్షణ గుణకం μ = 0.8.
భ్రమణ పౌనఃపున్యము = 1 సెకనులో చేసిన భ్రమణాల సంఖ్య
నాణెము జారిపోకుండుటకు μmg = mrω² ⇒ ω = \(\sqrt{\frac{\mu \mathrm{g}}{\mathrm{r}}}\)
∴ ω = \(\sqrt{\frac{0.8 \times 9.8}{1}}=\sqrt{78.4}\) = 8.854 రే/సె.
సెకనుకు భ్రమణాల సంఖ్య = భ్రమణ పౌనఃపున్యం = \(\frac{\omega}{2 \pi}=\frac{8.854}{2 \pi}\) = 1.409 Rot/sec లేక 84.54 R.P.M.

ప్రశ్న 4.
ఒక మీటరు స్కేలుపై 1 cm, 2 cm, 3 cm, . 100 cm ల గుర్తుల వద్ద వరసగా 1g, 2g, 3g ….., 100g ద్రవ్యరాశు లు గల కణాలను ఉంచారు. మీటరు స్కేలు మధ్య లంబరేఖ పరంగా ఈ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన ద్రవ్యరాశులు 1g, 2g, 3g….. 100 g స్కేలు మీద 1, 2, 3 …… 100 cm ల వద్ద ఉన్నవి.

iii) జడత్వ భ్రామకము = I = m₁r₁² +m₂r₂² + m₃r₃² + …+ m₁₀₀r₁₀₀²
∴ I = 1 × 1 × 1 + 2 × 2² + 3 × 3² + 100 × 100²
= 1 + 2³ + 3³ +……+ 100³ × 10^-7 Kg.m² ( ∵ 1 g = 10^-3 kg & 1 cm = 10^-2 m)
n సంఖ్యల ఘనముల మొత్తం S = \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) ; ∴ I = \(\frac{100^2 \times(101)^2}{4}\) × 10^-7 = 2.550 Kg. m²
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం = I_G = I – MR²
= 2.550 × – 5.05 × 0.67 x 0.67 = 2.550 – 2.267 = 0.283 kg.m²

iv) లంబ సమద్విఖండన రేఖ 50 cm వద్ద ఉంటుంది.
x₁ = 50 cm నుండి x₂ = 67 cm కు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం మారినపుడు
∴ అక్షముల మధ్యదూరం R = 67 – 50 – 17cm = 0.17 m
జడత్వ భ్రామకం I = I_G + MR² = 0.283 + 5.05 × 0.17 × 0.17
= 0.283 + 0.146 = 0.429 kgm²
∴ లంబ సమద్విఖండన రేఖ వలన జడత్వ భ్రామకం = 0.429 kg – m²

ప్రశ్న 5.
10 cm భుజం కలిగిన ఒక సమబాహు త్రిభుజ శీర్షాల వద్ద ప్రతిది 100g ద్రవ్యరాశి ఉన్న మూడు కణాలను ఉంచారు. ఆ త్రిభుజ కేంద్రాభం ద్వారా పోతూ, త్రిభుజ తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా ఈ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక్కొక్క కణం ద్రవ్యరాశి = 100 gm;
సమబాహు త్రిభుజం, భుజం పొడవు = 10 cm.
కోణ సమద్విఖండన రేఖ ఎత్తు CD : \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)l
గురుత్వ కేంద్రం ఈ రేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో ఖండిస్తుంది.

శీర్షము నుండి గురుత్వ కేంద్రం దూరం 2. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)l = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)l
వ్యవస్థ మొత్తం జడత్వ భ్రామకం I = m₁r₁² + m₂r₂² + m₃r₃²
∴ I = 0.1 × \(\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \times 0.1\right)^2\) + 0.1 × \(\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \times 0.1\right)^2\) + 0.1 × \(\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \times 0.1\right)^2\)
= 3 × \(\frac{3}{2}\) × 0.1³ = 1 × 10^-3 kg. m³ = 10^-3 kg. m³

ప్రశ్న 6.
10 cm భుజం ఉన్న చతురస్ర శీర్షాల వద్ద ప్రతిది 100 g ద్రవ్యరాశి ఉన్న నాలుగు కణాలను ఉంచారు. చతురస్రం మధ్య బిందువు ద్వారా పోతూ, దాని తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా వ్యవస్థ జడత్వ భామ్రకాన్ని కనుక్కోండి. వ్యవస్థ భ్రమణ వ్యాసార్ధాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక్కొక్క కణము ద్రవ్యరాశి m = 100 g = 0.1 kg.
చతురస్రము పొడవు a = 10 cm = 0.1 m
చతురస్ర కేంద్రం నుండి, చతురస్ర మూలలకు దూరం = \(\frac{1}{2}\) కర్ణం = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\)

a) ∴ మొత్తం జడత్వ భ్రామకం I = m₁r₁² + m₂r₂² + m₃r₃² + m₄r₄² = 4mr²
∴ I = 4 × 0.1 \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \times 0.1\right)^2\) = 4 × \(\frac{1}{2}\) × 0.13³ = 2 × 10^-3 Kg. m²

b) భ్రమణ వ్యాసార్ధము K = \(\sqrt{\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{m}}}=\sqrt{\frac{2 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-1}}}=\sqrt{2} \times \frac{10^{-1}}{\sqrt{2}} 10^{-1}\)
= 0.7071 × 0.12 m or 7.071 cm. = 0.07071 m.

ప్రశ్న 7.
1 kg ద్రవ్యరాశి, 20 cm వ్యాసార్ధం ఉన్న రెండు ఏకరీతి వృత్తాకార దిమ్మెలు ఒకదానికొకటి స్పృశించుకునేటట్లుగా స్పర్శారేఖ (tangent) స్పర్శా బిందువు ద్వారా పోయేటట్లు అమర్చారు. స్పర్శా బిందువు ద్వారా పోయే స్పర్శారేఖ పరంగా ఈ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి = M = 1 kg.; బిళ్ళ వ్యాసార్ధం = 20 cm = 0.2 m అవి పటములో చూపినట్లుగా స్పర్శలో నున్నవి.

తలానికి లంబంగా స్పర్శరేఖ పరంగా జడత్వ భ్రామకం = \(\frac{5}{4}\) MR²
మొత్తం వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకం I = \(\frac{5}{4}\) MR² + \(\frac{5}{4}\) MR² = \(\frac{5}{2}\) MR²
∴ I = \(\frac{5}{2}\) × 1 × 0.2 × 0.2 = 5 × 1 × 0.1 × 0.2 = 0.1 kgm²

ప్రశ్న 8.
24 వ్యాసం, m ద్రవ్యరాశి ఉన్న నాలుగు గోళాల కేంద్రాలను b భుజంగా ఉన్న ఒక చతురస్ర నాలుగు శీర్షాల వద్ద ఉంచారు. ఒక భుజం భ్రమణ అక్షంగా ఈ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
గోళం వ్యాసం = 2a ⇒ వ్యాసార్ధం = a; చతురస్ర భుజం = b.
1, 2 గోళాలకు వ్యాసం పరంగా జడత్వ భ్రామకం \(\frac{2}{5}\) MR²
(M = m, R = aగా రాయగా)

∴ 1 మరియు 2 గోళాల జడత్వ భ్రామకం = I₁ + I₂
= \(\frac{2}{5}\) ma² + \(\frac{2}{5}\) ma² = \(\frac{4}{5}\) ma² …………… (1)
3,4 గోళాల జడత్వ భ్రామకం = \(\frac{2}{5}\) ma² + \(\frac{2}{5}\) ma² = \(\frac{4}{5}\) ma²
సమాంతర అక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం
∴ I₃ + I₄ = \(\frac{2}{5}\) ma² + mb² + \(\frac{2}{5}\) ma² + mb² = \(\frac{4}{5}\) ma² + 2 mb²
మొత్తం వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకం I = \(\frac{4}{5}\) ma² + \(\frac{4}{5}\) ma² + 2mb² ⇒ I = [\(\frac{8}{5}\) ma² + 2mb²]

ప్రశ్న 9.
ఒక యంత్రం భ్రమణ భాగానికి (rotor) 200 rad s^-1 ఏకరీతి కోణీయ వడిని సమకూర్చడానికి యంత్రం 180 Nm టార్క్ ను అందించవలసి ఉంది. యంత్రానికి అవసరమయ్యే సామర్థ్యం ఎంత ? (గమనిక : ఘర్షణ లేనప్పుడు సమకోణీయ వేగం కలిగి ఉండటమంటే టార్క్ శూన్యం అని అర్థం. వాస్తవానికి ప్రయోగించిన టార్క్ ఘర్షణ వల్ల కలిగే టార్క్న వ్యతిరేకిస్తుంది) యంత్రం 100% దక్షత కలిగి ఉన్నదని భావించండి.
సాధన:
కోణీయ వేగము, ω = 200 రేడియన్ / సె ;
ప్రయోగించిన టార్క్, τ = 180 నూ – మీ.
యంత్రం సామర్థ్యము, p = ? p = τω
∴ P = 180 × 200 = 36000 = 36 కి. వాట్

ప్రశ్న 10.
ఒక మీటర్ స్కేలును దాని కేంద్రం వద్ద కత్తిమొన ఉంచి తుల్య స్థితిలో నిలిపారు. ఒక్కొక్కటి 5g ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు నాణాలను ఒకదానిపై ఒకటి అమరేటట్లుగా స్కేలుపై 12.0 cm విభాగం వద్ద ఉంచారు. అప్పుడు కత్తిమొన 45.0 cm విభాగం వద్ద ఉన్నప్పుడు స్కేలు తుల్య స్థితికి వచ్చింది. మీటర్ స్కేలు ద్రవ్యరాశి ఎంత ?
సాధన:
స్కేలు బరువు M. ఇది C వద్ద కేంద్రీకరింపబడినది అనుకోండి.
C’ బిందుపరంగా సమతాస్థితి ఉంది, C’ దూరము = 45 సెం.మీ.
రెండు నాణెముల బరువు = 10 గ్రా.; వాటి స్థానము = 12 సెం.మీ. వద్ద
∴ సమతాస్థితి వద్ద 10g (45 – 12) = mg (50 – 45)
∴ 10g × 33 = mg. 5 ⇒ m = \(\frac{10 \times 330}{5}\) = 66 గ్రా.

ప్రశ్న 11.
వృత్తపరిధిపై ఏదో ఒక బిందువు ద్వారా పోతూ, తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా 60 rpm వడితో భ్రమణం చెందే ఒక వృత్తాకార దిమ్మె గతిజ శక్తిని కనుక్కోండి. దిమ్మె ద్రవ్యరాశి 5 kg, వ్యాసార్ధం 1 m.
సాధన:
వృత్తాకార బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి M = 5 kg, వ్యాసార్ధం R = 1 m. ; కోణీయ వేగం ω = 60 RPM = \(\frac{60 \times 2 \pi}{60}\) = 2π రే/సె.
వృత్తాకార బిళ్ళ అంచులోని బిందువు ద్వారా పోతూ తలానికి లంబంగా నున్న అక్షంపరంగా జడత్వ భ్రామకం
I’ = I_G + MR² కాని I_G = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\) (పై వస్తువు విషయంలో)
∴ I’ = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\) + MR² = \(\frac{3}{2}\) MR²
భ్రమణ గతిశక్తి = \(\frac{1}{2}\) Iω² = \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{3}{2}\) MR² × (2π)² = \(\frac{3}{4}\) × 5 × 1 × 1 × 2 × 3.142 × 2 × 3.142
∴ భ్రమణ గతిశక్తి = 15 × 3.142 × 3.142 = 148.1 J.

ప్రశ్న 12.
ఒక్కొక్కటిm ద్రవ్యరాశి గల రెండు కణాలు, వ్యతిరేక దిశలో, d దూరంలో ఉన్న సమాంతర రేఖలపై U వడితో గమనంలో ఉన్నాయి. ఏ బిందువు పరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కొలిచినా, ఈ ద్వికణ వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగ సదిశ సమానమని చూపండి.
సాధన:
కోణీయ ద్రవ్యవేగము L = mvr, ద్రవ్యరాశి = m, వడి = u
ఏదైనా అక్షము A పరంగా వస్తువుల దూరాలు L₁ మరియు L₂ అనుకోండి.
L = L₁ + L₂
మొత్తం కోణీయ ద్రవ్యవేగము L = muL₁ + muL₁ = mu (L₁ + L₁) = muL ………….. (1)

ఏదైనా కొత్తం అక్షం B పరంగా m, m, ద్రవ్యరాశుల దూరాలు
L’₁ మరియు L’₂ అనుకోండి.
అపుడు L = L’₁ + L’₂
కొత్త అక్షం B పరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగము L₁ = muL’₁ + muL’₂
L₁ = mu(L’₁ + L’₂) = muL → 1
1, 2 సమీకరణాల నుండి మొత్తం కోణీయ ద్రవ్యవేగము స్థిరమని తెలుస్తున్నది.

ప్రశ్న 13.
నిమిషానికి 300 భ్రమణాలు చేసే ఒక గతిపాలకచక్రం (flywheel) జడత్వ భ్రామకం 0.3 kgm². 20 సెకన్లలో దీన్ని నిశ్చల స్థితికి తీసుకురావడానికి అవసరమైన టార్క్ను కనుక్కోండి.
సాధన:
జడత్వ భ్రామకము I = 0.3 కి.గ్రా. మీ²
కాలము = 20 సె
ω₁ = 300 R.P.M. = \(\frac{300}{60}\) = 5 × 2π = 10π రేడియన్ / సె ;
ω₂ = 0 (ఆగిపోయింది కావున)
టార్క్, τ = Iα = I \(\left(\frac{\omega_2-\omega_1}{t}\right)\)
∴ τ = 0.33 \(\left(\frac{10 \pi-0}{20}\right)=\frac{3 \pi}{20}\) = 0.471 న్యూ.మీ.

ప్రశ్న 14.
ఒక గతిపాలకచక్రం (flywheel) పై 100 J పని జరిగినప్పుడు దాని కోణీయ వేగం 60 rpm నుంచి 180 rpm కి పెరిగింది. చక్రం జడత్వ భ్రామకాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
పని W = 100 J, ω₁ = 600 RPM = 1 R.P.S = 2π రేడియన్/సె
ω₂ = 180 R.P.M. = \(\frac{180}{60}\) R.P.S = 3 RPS = 3 × 2π = 6π రే/సె
కాని పని W = భ్రమణ గతిజశక్తిలోని భేదము = \(\frac{1}{2}\)I(ω₂² – ω₁²)
∴ 100 = \(\frac{1}{2}\) (36π² – 4π²) = \(\frac{1}{2}\) 32π² I
∴ జడత్వ భ్రామకము I = \(\frac{200}{32 \pi^2}\) = 0.6332 కి.గ్రా.మీ ² .

ముఖ్యమైన ఉదాహరణ లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
0.5 m భుజం ఉన్న ఒక సమబాహు త్రిభుజం శీర్షాల వద్ద ఉన్న మూడు కణాల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. కణాల ద్రవ్యరాశులు వరసగా 100 g, 150 g, 200 g.
సాధన:

పటంలో చూపినట్లు X-, y- అక్షాలను ఎంచుకొంటే సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచే బిందువులు O, A, B ల నిరూపకాలు వరసగా (0, 0), (0.5, 0), (0.25, 0.25 \(\sqrt{3}\)). 100 g, 150g, 200g ద్రవ్యరాశులు వరసగా O, A, B ల వద్ద ఉన్నాయనుకొంటే,

ప్రశ్న 2.
L-ఆకారంలో ఉన్న పల్చని ఏకరీతి పలక (పటలం) ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. దాని కొలతలు పటంలో చూపడమైంది. పలక ద్రవ్యరాశి 3 kg.
సాధన:
పటంలో చూపినట్లు X, Y అక్షాలను తీసుకొంటే Lఆకారం ఉన్న పటలం శీర్షాలు 000, 0), A(2, 0), B(2, 1), D(1, 1), E(1, 2), F(0, 2) అవుతాయి. ఈ పటలాన్ని 1 m భుజం ఉన్న మూడు చతురస్రాలుగా భావించవచ్చు. ఈ చతురస్రాల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాలు C, C2, C3 లు, సౌష్ఠవం వల్ల, ఆయా చతురస్రాల జ్యామితీయ కేంద్రాలవుతాయి. వాటి నిరూపకాలు వరసగా (1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2) అని తెలుసుకోవచ్చు. చతురస్రాల ద్రవ్యరాశులు ఈ బిందువుల వద్ద కేంద్రీకృతమైనట్లుగా మనం భావించవచ్చు. ఈ మూడు ద్రవ్యరాశి బిందువుల ద్రవ్యరాశి కేంద్రమే, మొత్తంగా L ఆకారం ఉన్న పటలం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం (X, Y) అవుతుంది.

Y = \(\frac{[1(1 / 2)+1(1 / 2)+1(3 / 2)] \mathrm{kg} \mathrm{m}}{(1+1+1) \mathrm{kg}}=\frac{5}{6}\) m
∴ L-ఆకార పటలం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం OD రేఖపై ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
రెండు సదిశలు a = \((3 \hat{\mathrm{i}}-4 \hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}})\), b = \((-2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}})\) ల అదిశ, సదిశా లబ్ధాలను కనుక్కోండి. (3î – o
సాధన:
a · b = \((3 \hat{\mathrm{i}}-4 \hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}})\) . \((-2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}})\)
= -6 – 4 – 15
= – 25
a × b = \(\left|\begin{array}{ccc}
\hat{\mathrm{i}} & \hat{\mathrm{j}} & \hat{\mathrm{k}} \\
3 & -4 & 5 \\
-2 & 1 & -3
\end{array}\right|=7 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}\)
b × a = – \(7 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}}\) అని గుర్తించండి.

ప్రశ్న 4.
ఒక మోటారు చక్రం కోణీయ వడిని 1200 rpm నుంచి 3120 rpm కు 16 సెకన్లలో పెంచారు. (i) కోణీయ త్వరణం స్థిరమని భావించి, కోణీయ త్వరణాన్ని లెక్కించండి. (ii) ఈ సమయంలో ఇంజను ఎన్ని భ్రమణాలు చేస్తుంది ?
సాధన:
(i) తొలి కోణీయ వడి, ω₀ = 1200 R.P.M. 1200 × \(\frac{2 \pi}{60}\) = 40π రే/సె
తుది కోణీయ వడి, ω = 3120 RPM = 3120 × \(\frac{2 \pi}{60}\) = 104π రే/సె
కాలము t = 16 సె. కోణీయ త్వరణము α = ?
ω = ω₀ + αt నుండి α = \(\frac{\omega-\omega_0}{t}=\frac{(104-40) \pi}{16}\) = 4π రే/సె²

(ii) ఆగిపోవుటకు ముందు కోణీయ స్థానభ్రంశము θ = భ్రమణములలో
1 భ్రమణము = 2π రేడియన్
θ = \(\frac{\omega^2-\omega_0^2}{2 \alpha}\) భ్రమణాలలో ‘θ’ ను చెపితే θ = \(\frac{\omega^2-\omega_0^2}{2 \alpha \times 2 \pi}\)
= \(\frac{(104 \pi)^2-(40 \pi)^2}{2 \times 4 \pi \times 2 \pi}=\frac{(104+4.0)(104-40) \pi^2}{16 \pi^2}\) [a² – b² = (a + b)(a – b) నుండి]
= \(\frac{144 \times 64}{16}\) = 576 భ్రమణాలు

ప్రశ్న 5.
బలం \(\mathrm{7 i}+3 \hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}\) వల్ల, మూలబిందువు పరంగా టార్క్ను కనుక్కోండి. బలం ప్రయోగించిన కణం స్థానసదిశ \(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\) (మార్చి 2014)
సాధన:
ఇక్కడ r = \(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\), F = \(\mathrm{7 i}+3 \hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}\)
టార్క్ τ = r × F కనుక్కోవడానికి నిర్ధారక నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాం..
τ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\hat{\mathrm{i}} & \hat{\mathrm{j}} & \hat{\mathrm{k}} \\
1 & -1 & 1 \\
7 & 3 & -5
\end{array}\right|=(5-3) \hat{\mathrm{i}}-(-5-7) \hat{\mathrm{j}}+3-(-7) \hat{\mathrm{k}}\)
లేదా τ = \(2 \hat{i}+12 \hat{j}+10 \hat{k}\)

ప్రశ్న 6.
M ద్రవ్యరాశి, l పొడవు ఉన్న కడ్డీకి లంబంగా, ఒక కొన ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం ఎంత ?
సాధన:
M ద్రవ్యరాశి, l పొడవు ఉన్న కడ్డీకి I = Ml² / 12. సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం,
I’ = M\(\frac{l^2}{12}+\mathrm{M}\left(\frac{l}{2}\right)^2=\frac{\mathrm{M} l^2}{3}\)
2M ద్రవ్యరాశి, 2l పొడవు ఉన్న కడ్డీ మధ్య బిందువు నుంచి పోతూ, పొడవుకు లంబంగా ఉండే అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకంలో సగం I’ అవ్వడం వల్ల ఈ ఫలితాన్ని స్వతంత్రంగానే సరిచూడవచ్చు.
I’ = 2M. \(\frac{4 l^2}{12} \times \frac{1}{2}=\frac{\mathrm{M} l^3}{3}\)

అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఏకరీతి సాంద్రత ఉన్న (i) గోళం, (ii) స్తూపం, (iii) కంకణం, (iv) ఘనాల ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాన్ని గుర్తించండి. వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం తప్పక ఆ వస్తువులో ఉండి తీరాలా ?
సాధన:
(i) గోళానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గోళ కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది.

(ii) స్థూపానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం దాని జ్యామితీయ కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది. (స్థూపం పొడవు, r వ్యాసార్ధము అయితే దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం స్థూల అక్షం మీద l/2 దూరంలో) ఉంటుంది.

(iii) కంకణం : కంకణానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, కంకణం కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది.

(iv) ఘనానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం దాని జ్యామితీయ కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది.
ఘనము భుజము = a మరియు ఘనం ఒక మూలను మూలబిందువుగా తీసుకుంటే దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం నిర్దేశకాలు x, y; 2 దిశలలో a/2, 2/2, a/2.
వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి ఉండవలసిన అవసరం లేదు. ఉదా : కంకణం కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి లేదు. కాని కంకణం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, కంకణ కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
HCl అణువులో రెండు పరమాణువుల కేంద్రకాల మధ్య దూరం దాదాపు 1.27 Å (1Å = 10^-10 m). ఈ అణువు ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాన్ని ఉజ్జాయింపుగా కనుక్కోండి. హైడ్రోజన్ పరమాణువుతో పోలిస్తే క్లోరిన్ పరమాణువు ద్రవ్యరాశి సుమారు 35.5 రెట్లు ఉంటుంది. పరమాణు ద్రవ్యరాశి అంతా కేంద్రకం వద్దనే కేంద్రీకృతమవుతుందని ఊహించండి.
సాధన:
హైడ్రోజన్ పరమాణు ద్రవ్యరాశి = m యూనిట్లు
క్లోరిన్ పరమాణు ద్రవ్యరాశి = 35.5 m యూనిట్లు
హైడ్రోజన్ పరమాణువులు నుండి x Å కు దూరము c.m అనుకొనుము.
∴ క్లోరిన్ పరమాణువు నుండి ద్రవ్యరాశి కేంద్రానికి దూరము – (1.27 – x)Å
ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని మూలబిందువు వద్ద తీసుకొంటే, m x + (1.27 – x) 35.5 m = 0
mx = – (1.27 – x) 35.5 m
c.m (ద్రవ్యరాశి కేంద్రం) (+) క్లోరిన్ పరమాణువు కుడివైపున ఉంటే, హైడ్రోజన్ పరమాణువు c. m కు ఎడమవైపున ఉంటుందని ఋణాత్మక గుర్తు సూచిస్తుంది.

కనుక ఋణాత్మక గుర్తును వదలివేస్తే,
x + 35.5 x = 1.27 × 35.5
i.e. 36.5 x = 45.085
= \(\frac{45.085}{36.5}\) = 1.235
x = 1.235 Å
∴ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం హైడ్రోజన్, క్లోరిన్ పరమాణువుల కేంద్రకాలను కలిపే రేఖపై హైడ్రోజన్ నుండి 1.235 Å దూరంలో ఉండును.

ప్రశ్న 3.
నున్నని క్షితిజ సమాంతర నేలపై V వడితో సమరీతి గమనం కలిగిన ఒక ట్రాలీ (trolley – చక్రాలున్న పొడవైన బండి) మీద ఒక చివర ఒక బాలుడు నిశ్చలంగా కూర్చుని ఉన్నాడు. బాలుడు లేచి ట్రాలీపై ఏ విధంగా పరిగెత్తినా ట్రాలీ – బాలుడు వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వడి ఎంత ?
సాధన:
ట్రాలి, బాలుడి వ్యవస్థలో బాలుడు లేచి ఏ విధంగా పరిగెత్తినా ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వడి మారదు. ఎందుకనగా ఈ చర్యలో ఇమిడి ఉన్న బలాలు అంతర్గత బలాలు. అంతర్గత బలాలు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం గమనాన్ని మార్చజాలవు.

ప్రశ్న 4.
సదిశలు a, b లు భుజాలుగా కలిగి ఉన్న త్రిభుజ వైశాల్యం axb పరిమాణంలో సగం ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
\(\overline{\mathrm{a}}\) = OP మరియు \(\overline{\mathrm{b}}\) = OQ లను ఆసన్న భుజాలుగా తీసుకొని సమాంతర చతుర్భుజాన్ని (OPRQ) నిర్మించండి. ఈ సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యము A = \(|\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}|\) = ab sin θ = OP . ON

∆Oప్రశ్న నుండి sin θ = \(\frac{\mathrm{ప్రశ్న}}{\mathrm{OP}}\) ⇒ ప్రశ్న = \(\overline{\mathrm{b}}\) sin θ
కాని సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యము
A = 2 త్రిభుజము Oప్రశ్న వైశాల్యము
∴ \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}\) = ab sin θ = 2 త్రిభుజము OPQ వైశాల్యము
∴ ∆OPQ వైశాల్యము = \(\frac{\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}}{2}\) అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 5.
a · (b × c) పరిమాణం a, b, c సదిశలు భుజాలుగా గల సమానాంతర చతుర్భుజ ఘనం (parallelepiped) ఘనపరిమాణానికి సమానం అని చూపండి.
సాధన:
సమాంతర చతుర్భుజ ఘనమును ఏర్పరచిన సదిశలు \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{a}}\) ; \(\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{b}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{c}}\) అనుకోండి.

\(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}}=|\overline{\mathrm{b}}||\overline{\mathrm{c}}| \sin \theta \overline{\mathrm{n}}=\mathrm{ab}(\overline{\mathrm{n}})\) (∵ θ = 90°)
ఇందులో \(\overline{\mathrm{n}}\) ప్రమాణ సదిశ. ఇది \(\overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) ల తలానికి లంబంగా ఉంటుంది.
అనగా ఇది \(\overline{\mathrm{a}}\) కు సమాంతరంగా ఉంటుంది.
\(\overline{\mathrm{a}} \cdot(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}})=\overline{\mathrm{a}} \cdot(\mathrm{bc}) \overline{\mathrm{n}}=\overline{\mathrm{a}} \cdot \overline{\mathrm{n}}(\mathrm{bc})\) cos θ = abc
ఇది సమాంతర చతుర్భుజ ఘనము ఘనపరిమాణానికి సమానము.

ప్రశ్న 6.
ఒక కణం కోణీయ ద్రవ్యవేగం 1. x, y, z అక్షాల వెంబడి అంశాలను కనుక్కోండి. కణం స్థానసదిశ అంశాలు x, y, z లు, రేఖీయ ద్రవ్యవేగం p అంశాలు p_x, p_y, p_z ఒకవేళ కణం కేవలం x-y తలంలోనే గమనంలో ఉంటే కోణీయ ద్రవ్యవేగం zఅంశాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
ఒక్కొక్కటి m ద్రవ్యరాశి గల రెండు కణాలు, వ్యతిరేక దిశలో, d దూరంలో ఉన్న సమాంతర రేఖలపై v వడితో గమనంలో ఉన్నాయి. ఏ బిందువు పరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కొలిచినా, ఈ ద్వికణ వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగ సదిశ సమానమని చూపండి.
సాధన:
పటము నుండి X₁,Y₁, రేఖపై గల ఏదైనా బిందువు వద్ద కోణీయ ద్రవ్యవేగము \(\overrightarrow{\mathrm{L}}_{\mathrm{A}}=m \vec{v} \times 0+m \vec{v} \times d=m \vec{v} d\) ఇదే విధంగా X₂Y₂ రేఖపై గల B బిందువు వద్ద కోణీయ
ద్రవ్యవేగము \(\bar{L}_{\mathrm{B}}=m \overline{\mathrm{v}} \times \mathrm{d}+\mathrm{m} \overline{\mathrm{v}} \times 0=m \overline{v} d\)
AB రేఖపై గల ఏదైనా బిందువు C వద్ద AC = x అయితే BC = d – x

C బిందువు పరంగా రెండు కణముల వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగము \(\overline{\mathrm{L}}_{\mathrm{c}}=m \overline{\mathrm{v}}(\mathrm{x})+\mathrm{m} \overline{\mathrm{v}}(\mathrm{d}-\mathrm{x})=\mathrm{m} \overline{\mathrm{v}} \mathrm{d}\)
అనగా \(\overline{\mathrm{L}}_{\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{L}}_{\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{L}}_{\mathrm{C}}\) అని నిరూపించబడినవి.

ప్రశ్న 8.
ఒక అసమరీతి, W భారం ఉన్న కడ్డీని ఉపేక్షించదగ్గ ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు దారాలతో, పటంలో చూపినట్లు నిశ్చల స్థితిలో ఉండేటట్లు వేలాడదీశారు. క్షితిజ లంబరేఖతో దారాలు చేసే కోణాలు వరసగా 36.9°, 53.1°. కడ్డీ పొడవు 2m. కడ్డీ ఎడమ చివర నుంచి గరిమనాభి ఉండే దూరం d ని లెక్కించండి.

సాధన:
పటము నుండి θ₁ = 36.9° మరియు θ₂ = 53.1° .

కడ్డీ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రము ‘C’ దూరము ఒక చివర నుండి ‘d’ అనుకోండి. అపుడు
T₁ cosθ₁ × d = T₂ cos θ₂ (2 – d) లేదా T₁ cos 36.9° × d = T₂ cos(53.1°)(2 – d)
∴ T₁ × 0.8366 d = T₂ × 0.6718(2 – d) ఇందులో
T₁ = 1.3523 T₂ ను వాడితే d = 0.745 మీ.

ప్రశ్న 9.
ఒక కారు 1800 kg బరువుంది. ముందు వెనకాల ఇరుసుల మధ్య దూరం 1.8 m. కారు గరిమనాభి, ముందు ఇరుసు వెనక 1.05 m దూరంలో ఉంది. సమతలంగా ఉన్న భూమి వల్ల ముందు వెనక గల చక్రాలొక్కొక్కటి పై ప్రయోగించే బలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి m = 1800 కి.గ్రా ; అక్షముల మధ్యదూరము = 1.8 మీ.
వెనక అక్షం నుండి ద్రవ్యరాశి కేంద్రదూరము = 1.05 మీ.
సమాంతరంగా ఉన్న నేల ముందువైపు, వెనుకవైపు గల చక్రాలపై అభిలంబచర్యలు R₁ మరియు R₂ అనుకుంటే
R₁ + R₂ = mg = 1800 × 9.8 → (i).
భ్రమణ సమతాస్థితి కోసం R₁ × 1.05 = R₂ (1.8 – 1.05) = 0.75R₂

ప్రశ్న 10.
a) ఘనగోళానికి స్పర్శరేఖ పరంగా దాని జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి. గోళం వ్యాసంపరంగా జడత్వ భ్రామకం 2MR²/5 గా ఇచ్చారు. M గోళం ద్రవ్యరాశి, R దాని వ్యాసార్ధం.
b) M ద్రవ్యరాశి, R వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తాకార దిమ్మె జడత్వ భ్రామకం, వ్యాసం పరంగా MR²/4, దిమ్మె ఒక అంచు నుంచి పోతూ దిమ్మె తలానికి లంబంగా ఉండే అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
a) ఏదైనా అక్షంపరంగా గోళం M.O.I = \(\frac{2}{5}\) MR²
సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతం నుండి ఏదైనా స్పర్శరేఖ పరంగా M.O.I = \(\frac{2}{5}\) MR² + MR² = \(\frac{7}{5}\) MR²

b) వృత్తాకారపు బిళ్ళ వ్యాసము పరంగా M.O.I. = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\)
i) లంబాక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం తలానికి లంబంగా ఉండి బిళ్ళ కేంద్రం గుండా పోవు అక్షపరంగా
M.O.I = I_x + I₄ = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\) + \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\) = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\)

ii) సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతం నుండి అంచుకు లంబంగాగల ఏదైనా అక్షపరంగా
M.O.I = I_G + MR² = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\) + MR² = 3/2 MR²

ప్రశ్న 11.
సమాన ద్రవ్యరాశి, సమాన వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక బోలు స్తూపం, ఒక ఘనగోళంపై సమాన పరిమాణం ఉన్న టార్క్లను ప్రయోగించారు. స్తూపం దాని సౌష్టవాక్షం పరంగా స్వేచ్ఛగా భ్రమణం చేయగలుగుతుంది. గోళం దాని కేంద్రం ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా స్వేచ్ఛగా భ్రమణం చేయగలుగుతుంది. వీటిల్లో, ఇచ్చిన కాలవ్యవధిలో, ఏది అధిక కోణీయ వేగాన్ని పొందుతుంది ?
సాధన:
బోలు స్థూపము మరియు ఘనగోళముల ద్రవ్యరాశి M మరియు వ్యాసార్ధము R అనుకోండి.
అక్షపరంగా బోలు స్థూపానికి M.O.I = I₁ = MR², గోళానికి I₂ = \(\frac{2}{5}\) MR²
కావలసిన టార్క్ τ = I₁α₁ = I₂α₂
∴ \(\frac{\alpha_2}{\alpha_1}=\frac{\mathrm{I}_1}{\mathrm{I}_2}=\frac{\mathrm{MR}^2}{\frac{2}{5} \mathrm{MR}^2}=\frac{5}{2}\)
∴ α₂ > α₁
ω = ω₀ + αt సమీకరణం నుండి ఇచ్చిన ω₀ మరియు t లకు ω₂ విలువ ω₁ కన్న ఎక్కువ అనగా ఘనగోళం కోణీయ వేగం బోలు స్థూపం కోణీయ వేగం కన్న ఎక్కువ.

ప్రశ్న 12.
20 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక ఘన స్తూపం దాని అక్షం పరంగా 100 rad s^-1 కోణీయ వడితో భ్రమణాలు చేస్తుంది. స్తూపం వ్యాసార్ధం 0.25 m. స్తూపం గతిజ శక్తి ఎంత ? స్తూపం అక్షంపరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగ పరిమాణం ఎంత?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి M = 20 కి.గ్రా.; R = 0.25 మీ.; ω = 100 Rad/s
ఘనస్థూపానికి M.O.I = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}=\frac{20 \times 0.25 \times 0.25}{2}\) = 0.65 కి. గ్రా. -మీ²
భ్రమణ గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) Iω² = \(\frac{1}{2}\) × 0.625 × 100 × 100 = 3125 J.
కోణీయ ద్రవ్యవేగము L = Iω = 0.625 × 100 = 62.5 Js.

ప్రశ్న 13.
(a)ఒక తిరుగుడు బల్ల కేంద్రం వద్ద ఒక బాలుడు తన చేతులను బయటకు చాచి నిలబడి ఉన్నాడు. తిరుగుడు బల్ల 40 భ్రమణాలు / నిమిషం కోణీయ వడితో భ్రమణంచేసేట్లు దాన్ని తిప్పారు. ఇలా తిరుగుతున్న బల్ల మీద బాలుడు తన చేతులను అతని జడత్వ భ్రామకం తొలి విలువకు 2/5 వంతులయ్యేట్లు ముడిస్తే అతని కోణీయ వడి ఎంత ? తిరుగుడు బల్ల ఘర్షణ లేకుండా భ్రమణాలు చేస్తుందని భావించండి.
(b)బాలుని కొత్త భ్రమణ గతిజశక్తి తొలి గతిజశక్తి కంటె ఎక్కువ అని చూపండి. అతని భ్రమణ గతిజశక్తి పెరుగుదలకు కారణాన్ని వివరించండి.
సాధన:
a) దత్తాంశం నుండి తొలి కోణీయ వడి
ω₁ = 40R.P.M
తుది M.O.I. I₂ = \(\frac{2}{5}\) I₁, ω₂ = ?
ఈ ప్రక్రియలో బాహ్య టార్క్ τ = 0;
∴ L = స్థిరరాశి కావున I₁ω₁ = I₂ω₂
∴ తుది కోణీయ వడి ω₂ = \(\frac{l_1}{\mathrm{l}_2} \omega_1=\frac{5}{2} \times 40\) = 100 R.P.M

b) తొలి భ్రమణ గతిజశక్తి E₁ = \(\frac{1}{2}\) I₁ω₁² ; తుది R.K.E. (E₂) = \(\frac{1}{2}\) I₂ω₂²
∴ \(\frac{\mathrm{E}_2}{\mathrm{E}_1}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{I}_2 \omega_2^2}{\frac{1}{2} \mathrm{l}_1 \omega_1^2}=\left(\frac{\mathrm{I}_2}{\mathrm{I}_1}\right)\left(\frac{\omega_2}{\omega_1}\right)^2=\frac{2}{5} \times \frac{100}{40} \times \frac{100}{4}=\frac{5}{2}\)
∴ E₂ = 2.5 E₁

ప్రశ్న 14.
3 kg ద్రవ్యరాశి, 40 cm వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక బోలు స్తూపం చుట్టూ దాదాపు ద్రవ్యరాశి లేని ఒక తాడు చుట్టారు. 30 N బలంతో తాడును లాగితే స్తూపం ఎంత కోణీయ త్వరణాన్ని పొందుతుంది ? తాడు రేఖీయ త్వరణం ఎంత అవుతుంది? తాడు స్థూపంపై స్లిప్కాదు అని భావించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి M = 3కి.గ్రా.; R = 40 సెం.మీ. = 0.4 మీ.
అక్షపరంగా బోలు స్థూపము M.O.I = I = MR² = 3 × 0.4 × 0.4 = 0.48 kg m².
బలము F = 30 N ∴ టార్క్ τ = F × R = 30 × 0.4 = 12 N-m.
కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{\tau}{\mathrm{I}}\) (∵ τ = Iα)
∴ α = \(\frac{12}{0.48}\) = 25 Rad/s
రేఖీయ త్వరణము a = R α = 0.4 × 25 = 10 m/s²

ప్రశ్న 15.
ఒక యంత్రం భ్రమణ భాగానికి (rotor) 200 rad s^-1 ఏకరీతి కోణీయ వడిని సమకూర్చడానికి యంత్రం 180 Nm టార్క్న అందించవలసి ఉంది. యంత్రానికి అవసరమయ్యే సామర్థ్యం ఎంత ? (గమనిక : ఘర్షణ లేనప్పుడు సమకోణీయ వేగం కలిగి ఉండటమంటే టార్క్ శూన్యం అని అర్థం. వాస్తవానికి ప్రయోగించిన టార్క్ ఘర్షణ వల్ల కలిగే టార్క్్న వ్యతిరేకిస్తుంది.) యంత్రం 100% దక్షత కలిగి ఉన్నదని భావించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి (ω) = 200 Rad/s ; టార్క్ τ = 180 N – m
సామర్థ్యము P = τω = 180 × 200 = 36000 = 36 KW.

ప్రశ్న 16.
R వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక ఏకరీతి వృత్తాకార దిమ్మె నుంచి R/2 వ్యాసార్ధం గల వృత్తాకార ముక్కను వేరుచేసి రంధ్రాన్ని చేశారు. రంధ్రం కేంద్రం అసలు దిమ్మె కేంద్రం నుంచి R/2 దూరంలో ఉంది. ఫలితంగా ఏర్పడిన చదును వస్తువు గరిమనాభి స్థానాన్ని తెలపండి.
సాధన:
వృత్తాకార పలక ద్రవ్యరాశి కేంద్రం మూల బిందువు వద్ద కలదు.
చిన్న వృత్తాకార పలకను తొలగించకముందు, ద్రవ్యరాశి కేంద్రం = 0, 0
మొత్తం వృత్తాకార పలక ద్రవ్యరాశి = M = π (R)² = πR²ρ = M
ρ = ప్రమాణవైశాల్యానికి ద్రవ్యరాశి
చిన్న వృత్తాకార పలక వ్యాసార్ధం = \(\frac{\mathrm{R}}{2}\)
∴ ద్రవ్యరాశి M₂ = \(\frac{\pi \mathrm{R}^2}{4}\) ρ = \(\frac{\mathrm{M}}{4}\)

చిన్నపలక ద్రవ్యరాశి కేంద్రం దాని కేంద్రం వద్ద ఉండును. అనగా పెద్ద పలక కేంద్రం నుండి \(\frac{\mathrm{R}}{2}\) దూరంలో ఉండును.
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం నిరూపకం \(\frac{m_1 x_1+m_2 x_2}{m_1+m_2}\) = 0 (చిన్నపలక తొలగించకముందు)
చిన్నపలకను తొలగించిన తరువాత ద్రవ్యరాశి M₁ = M – \(\frac{\mathrm{M}}{4}\) = \(\frac{\mathrm{3}}{4}\) M
∴ \(\frac{3}{4}\) M . x₁ + \(\frac{\mathrm{M}}{4}\) . \(\frac{\mathrm{R}}{2}\) = 0 ⇒ \(\frac{-3}{4}\) Mx₁ = \(\frac{\mathrm{M}}{4}\) \(\frac{\mathrm{R}}{2}\)
∴ x₁ = – \(\frac{\mathrm{R}}{6}\)
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వ్యతిరేక దిశలో కదులును అని ఋణ గుర్తు వలన తెలియును.

ప్రశ్న 17.
ఒక మీటర్ స్కేలును దాని కేంద్రం వద్ద కత్తిమొన ఉంచి తుల్య స్థితిలో నిలిపారు. ఒక్కొక్కటి 58 ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు నాణాలను ఒకదానిపై ఒకటి అమరేట్లుగా స్కేలుపై 12.0 cm విభాగం వద్ద ఉంచారు. అప్పుడు కత్తిమొన 45.0 cm విభాగం వద్ద ఉన్నప్పుడు స్కేలు తుల్య స్థితికి వచ్చింది. మీటర్ స్కేలు ద్రవ్యరాశి ఎంత ?
సాధన:
స్కేలు బరువు M. ఇది C వద్ద కేంద్రీకరింపబడినది అనుకోండి.
C’ బిందుపరంగా సమతాస్థితి ఉంది, C’ దూరము = 45 సెం.మీ.
రెండు నాణెముల బరువు = 10 గ్రా.; వాటి స్థానము = 12 సెం.మీ. వద్ద
∴ సమతాస్థితి వద్ద 10g (45 – 12) = mg (50 – 45)
∴ 10g × 33 = mg. 5 ⇒ m = \(\frac{10 \times 330}{5}\) = 66 గ్రా.

ప్రశ్న 18.
ఒక ఘనగోళం, వరస క్రమంలో, సమాన ఎత్తులున్న రెండు భిన్న వాలు కోణాలున్న వాలుతలాలపై కిందికి
(a) ప్రతి వాలుతలంపై దొర్లుతూ అడుగుభాగానికి చేరినప్పుడు గోళం సమాన వడి కలిగి ఉంటుందా ?
b) ఒక వాలు తలంపై దొర్లడానికి తీసుకొనే కాలం, రెండవ దానిపై తీసుకొన్న కాలం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందా ? c) అలా అయితే ఏ వాలుతలంపై ఎక్కువ సమయం తీసుకొంటుంది ? ఎందుకు ?
సాధన:
a) వాలుతలం అడుగుభాగంలో ఘనగోళం వేగం ‘v’ అనుకోండి. శక్తినిత్యత్వ నియమం నుండి
\(\frac{1}{2}\) mv² + \(\frac{1}{2}\) Iω² = mgh కాని ఘనగోళం MOI = I = \(\frac{2}{5}\) MR²
∴ \(\frac{1}{2}\) mv² + \(\frac{1}{2}\) \(\frac{2}{5}\) (mR)²ω² = mgh కాని v = rω
∴ \(\frac{1}{2}\) mv² + \(\frac{1}{5}\) mv² = mgh ⇒ v² = \(\frac{10}{7}\) gh ⇒ v = \(\sqrt{\frac{10}{7} \mathrm{gh}}\)
వాలుకోణం θ మారినప్పటికి తుదివేగం ” మారదు. అనగా గోళం వాలుతలం అడుగుభాగాన్ని తాకే వేగం వాలు కోణము ‘θ’ పై ఆధారపడదు.

b) కాని ప్రయాణించిన కాలము t ∝ \(\frac{1}{\sin \theta}\) అనగా వాలుకోణము ‘θ’ తగ్గితే కాలము t పెరుగును.

c) తక్కువ వాలుకోణము గల తలముపై గోళము ఎక్కువసేపు దొర్లుతుంది.

ప్రశ్న 19.
2 m వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక కంకణం 100 kg ల బరువు కలిగి ఉంది. అది ఒక క్షితిజ సమాంతర తలంపై, దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం 20 cm/s వడితో గమనంలో ఉండేటట్లు దొర్లుతున్నది. దీన్ని నిశ్చలస్థితికి తేవడానికి ఎంతపని చేయవలసి ఉంటుంది ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి R = 2 మీ., M = 100 కి.గ్రా., v = 20 సెం.మీ/సె = 0.2 మీ/సె
కంకణం మొత్తం శక్తి E = \(\frac{1}{2}\) mV² + \(\frac{1}{2}\) Iω² = \(\frac{1}{2}\) mV² + \(\frac{1}{2}\) mR²ω²
= \(\frac{1}{2}\) mV² + \(\frac{1}{2}\) mR² \([\frac{\mathrm{V}^2}{\mathrm{R}^2}/latex] = [latex]\frac{1}{2}\) mV² + \(\frac{1}{2}\)mV² = mv² ( ∵ ω = \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{R}}\))
కంకణాన్ని ఆపడానికి చేసిన పని W = కంకణంలోని మొత్తం శక్తి
⇒ W = mV² = 100 × 0.2 x 0.2 = 4 J

ప్రశ్న 20.
ఆక్సిజన్ అణువు ద్రవ్యరాశి 5.30 × 10^-26 kg. ఈ అణువులోని పరమాణువులను కలిపే రేఖకు గల మధ్య లంబరేఖ పరంగా దాని జడత్వ భ్రామకం 1.94 × 10^-46 kg m². ఇటువంటి అణువులున్న ఒక వాయువులో అణువు సగటు వడి పరంగా 500 m/s, అణువు భ్రమణ గతిజశక్తి దాని స్థానాంతరణ గతిజ శక్తిలో 2/3 వంతులు ఉన్నది అనుకొంటే అణువు సగటు కోణీయ వేగం ఎంత ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి m = 5.30 × 10^-26 kg,
I = 1.94 × 10^-46 kg m²,
v = 500m/s
ఒక్కొక్క ఆక్సిజన్ పరమాణువు ద్రవ్యరాశి = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{2}}\)
వాటి మధ్యదూరము d = 2r. పటము నుండి ఆక్సిజన్ అణువుల

కాని భ్రమణ గతిజశక్తి = \(\frac{2}{3}\) స్థానాంతరణ గతిజశక్తి
∴ \(\frac{1}{2}\) Iω² = \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{1}{2}\) mv² = \(\frac{1}{2}\) (mr²)ω² = \(\frac{1}{3}\) mv² ⇒ ω = \(\sqrt{\frac{2}{3}} \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{r}}\)
∴ ω = \(\sqrt{\frac{2}{3}} \times \frac{500}{0.61 \times 10^{-10}}\) = 6.7 × 10¹² Rad/Sec.

ప్రశ్న 21.
ఒక ఘన స్తూపం 30° వాలు కోణం ఉన్న ఒక వాలు తలంపై కింది నుంచి పైకి దొర్లుతోంది. వాలుతలం కింది అంచువద్ద స్తూపం ద్రవ్యరాశి కేంద్ర వడి 5m/s.
(a)స్తూపం ఎంత దూరం వాలుతలం మీద పైకి దొర్లుతుంది ?
(b)మళ్ళీ అడుగుకు చేరడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి θ = 30°, v = 5 m/s
స్థూపము ‘h’ ఎత్తు వరకు వెళ్ళింది అని అనుకోండి.
శక్తి నిత్యత్వ నియమం నుండి \(\frac{1}{2}\) mV² + \(\frac{1}{2}\) Iω² = mgh

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 2 State and Sovereignty to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 2 State and Sovereignty

→ State is the most significant and powerful among all social institutions.

→ “Machiavelli” an Italian thinker, used the word state in his famous book “The Prince”.

→ The word state is used differently in day-to-day life. But it has a scientific meaning in political science.

→ State possesses four essential elements. They are :

1. Population
2. Territory
3. Government and
4. Sovereignty.

→ International recognition, permanence, general obedience and popular will are the other elements of the state.

→ The present-day modern states have their origin in the city-states of ancient Greece and Medieval Europe.

→ Athens, Corinth, Thabes, Sparta etc were some prominent city-states in the ancient period.

→ The ancient city-states became popular during the 5 and 4 centuries B.C.

→ Maclver described that blood relationship (kinship) created society and society in turn led to the state.

→ The theory of National self-determination led to the origin of the modern nation-state system.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 2 రాజ్యం, సార్వభౌమాధికారం

→ అన్ని సాంఘిక సంస్థల మధ్య రాజ్యం ఒక ప్రముఖ, శక్తివంతమైన సంస్థ.

→ “మాఖియవెల్లి” అను గొప్ప ఇటాలియన్ రాజనీతిజ్ఞుడు తన ప్రముఖ గ్రంథం ‘ది ప్రిన్స్’లో ‘రాజ్యము’ అనే పదాన్ని ఉపయోగించారు.

→ రాజ్యము అనే పదం నిత్యజీవితంలో వేరువేరుగా ఉపయోగిస్తున్నాము. కాని ‘రాజ్యము’నకు రాజనీతికి శాస్త్రంలో ఒక శాస్త్రీయ అర్థం కలదు.

→ రాజ్యానికి 4 ప్రధానాంగాలు కలవు. అవి : 1. ప్రజలు, 2. ప్రదేశం, 3. ప్రభుత్వం, 4. సార్వభౌమాధికారం.

→ రాజ్యానికి నాలుగు ఇతర లక్షణాలు కూడా ఉంటాయి. అవి :

1. అంతర్జాతీయ గుర్తింపు
2. శాశ్వతత్వం
3. సాధారణ విధేయత
4. ప్రజాభీష్టం.

→ రాజ్యము-సమాజము అనే పదాలు సమాన అర్థాలలో వాడినప్పటికి, అనేక అంశాల దృష్ట్యా ఇవి ఒకదానితో ఒకటి విభేదిస్తాయి.

→ లాస్కి మరియు కోల్ “ప్రభుత్వం” అనే పదాన్ని రాజ్యానికి పర్యాయపదంగా ఉపయోగించారు కాని ఈ రెండింటి మధ్య అనేక తారతమ్యాలు కలవు.

→ రాజ్యం, సంస్థలు రెండూ పూర్తి విరుద్ధాలు. ఆ రెండింటి లక్షణాలు, ఉద్దేశ్యాలు మరియు స్వభావాలలో అనేక భేదాలు కలవు. ఏమైనప్పటికి అన్ని సంస్థలలో రాజ్యం ఒకటి.

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1B Study Material Chapter 9 Differentiation Ex 9(c) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1B Differentiation 9(c)

I.
Question 1.
Find the derivatives of the following functions.
(i) sin^-1(3x – 4x³) (May 2011) (V.S.A.Q.)
Answer:
Let y = sin^-1(3x – 4x³)
Let x = sin θ then y = sin^-1(3 sin θ – 4 sin³θ)
= sin^-1 (sin 3θ) = 3θ = 3 sin^-1x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 3 \(\frac{d}{d x}\) (sin^-1x) = \(\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)

(ii) cos^-1 (4x³ – 3x) (March 2014) (V.S.A.Q.)
Answer:
Let y = cos^-1 (4x³ – 3x)
Suppose x = cos θ, then y
= cos^-1 (4 cos³ θ – 3 cos θ)
= cos^-1 (cos 3θ) = 3θ = 3 cos^-1x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 3 . \(\frac{d}{d x}\) (cos^-1x) = \(\frac{-3}{\sqrt{1-x^2}}\)

(iii) sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\) (S.A.Q.)
Answer:
Let y = sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\)
Suppose x = cos θ
then y = sin^-1\(\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)\)
= sin^-1 (sin 2θ) = 2θ = 2 tan^-1x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 2 . \(\frac{d}{d x}\) (tan^-1x) = \(\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}\)

(iv) tan^-1 \(\left(\frac{\mathbf{a}-\mathbf{x}}{1+\mathbf{a x}}\right)\) (S.A.Q.)
Answer:

(v) tan^-1\(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\) (S.A.Q.)
Answer:

(vi) sin [cos (x²)] (S.A.Q.)
Answer:
Let y = sin [cos (x²)]
Let x² = u, cos u = v and y = sin v

(vii) sec^-1 \(\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)\) (0 < x < \(\frac{1}{\sqrt{2}}\))
Answer:

(viii) sin [tan^-1 (e^-x)] (V.S.A.Q.)
Answer:
Let y = sin [tan^-1 (e^-x)]
Let e^-x = u, tan^-1u = v and y = sin v

Question 2.
Differentiate f(x) with respect to g(x) for the following. (S.A.Q.)
(i) f(x) = e^x, g(x) = √x
Answer:
Let y = e^x and z = √x

(ii) f(x) = e^{sin x}, g(x) = sin x (S.A.Q.)
Answer:
Let y = e^{sin x} and z = sin x

(iii) f(x) = tan^-1\(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\), g(x) = sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\)
Answer:

Question 3.
If y = e^{a sin-1 x} then prove that (V.S.A.Q.)
\(\frac{d y}{d x}=\frac{a y}{\sqrt{1-x^2}}\)
Answer:
y = e^{a sin-1 x}

II.
Question 1.
Find the derivatives of the following functions. (S.A.Q.)
(i) tan^-1\(\left(\frac{3 a^2 x-x^3}{a\left(a^2-3 x^2\right)}\right)\)
Answer:

(ii) tan^-1 (sec x + tan x)
Answer:
Let y = tan^-1 (sec x + tan x)

(iii) tan^-1\(\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\)
Answer:

(iv) (log x)^{tan x}
Answer:
Let y = (log x)^{tan x}
Then log y = tan x lobg I(log x)
Differentiating both sides with respect to ‘x’,

(v) (x^x)²
Answer:
Let y = x^x2
∴ log y = x² log x

(vi) 20^{log (tan x)}
Answer:
Let y = 20^{log (tan x)}
Then log y = log(tan x) log 20
Differentiating with respect to ‘x’

(vii) x^x + e^ex
Answer:
Let u = x^x and v = e^ex

(viii) (x log x) log (log x)
Answer:
Let y = x . log x . log (log x)
Then
\(\frac{dy}{d x}\) = x.log x . \(\frac{d}{d x}\) [log (log x)] + log x . log(log x) \(\frac{d}{d x}\) (x) + x . log(log x). \(\frac{d}{d x}\) (log x)
= x log x . \(\frac{1}{x log x}\) + log x log(log x) . 1 + x . log(log x) \(\left(\frac{1}{x}\right)\)
= 1 + log x . log (log x) + log (log x)
= log_ee + log (log x) + log x . log (log x)
= log (e log x) + log x . log (log x)

(ix) e^-ax2 . sin (x log x)
Answer:
Let y = e^-ax2 . sin (x log x)
Then
\(\frac{d y}{d x}\) = e^-ax2 \(\frac{d}{d x}\) [sin(x log x)] + sin(x log x) \(\frac{d}{d x}\) [e^-ax2]
= e^-ax2 cos (x log x) [x \(\left(\frac{1}{x}\right)\) + log x] + sin (x log x) (e^-ax2) . (- 2ax)
= e^-ax2 [cos (x log x) (1 + log x) – sin (x log x) . 2ax]
= e^-ax2 [cos (x log x) (log xe) – 2ax sin (x log x)]

(x) sin^-1\(\left(\frac{2^{x+1}}{1+4^x}\right)\) (Put 2^x = tan θ)
Answer:

Question 2.
Find \(\frac{d y}{d x}\) for the following functions.
(i) x = 3 cos t – 2 cos³t
y = 3 sin t – 2 sin³t (E.Q.)
Answer:
\(\frac{d x}{d t}\) = – 3 sin t + 6 cos²t(sin t)
= 3 sin t(2 cos²t – 1) = 3 sin t cos 2t
\(\frac{d y}{d t}\) = 3 cos t – 6 sin²t cos t
= 3 cos t (1 – 2 sin²t) = 3 cos t . cos 2t

(ii) x = \(\frac{3 a t}{1+t^3}\), y = \(\frac{3 a t^2}{1+t^3}\) (E.Q.) [Board Model paper]
Answer:

(iii) x = a (cos t + t sin t),
y = a (sin t – t cos t). (S.A.Q.)
Answer:
\(\frac{d x}{d t}\) = a(- sin t + t cos t + sin t)
= at cos t
\(\frac{d y}{d t}\) = a [cos t – (- t sin t + cos t)] = at sin t

(iv) x = a\(\left[\frac{1-t^2}{1+t^2}\right]\), y = \(\frac{2 b t}{1+t^2}\) (S.A.Q.)
Answer:

Question 3.
DifferentIate f(x) with respect to g(x) for the following. (S.A.Q.)
(i) f(x) = log_a^x, g(x) = a^x
Answer:
Let y = log_a^x and z = a^x

(ii) f(x) = sec^-1\(\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)\), g(x) = \(\sqrt{1-x^2}\)
Answer:

(iii) f(x) = tan^-1\(\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\), g(x) = tan^-1x [June 2009 IPE]
Answer:

Question 4.
Find the derivative of the function y defined implicitly, by each of the following equations. (S.A.Q.)
(i) x⁴ + y⁴ – a² xy = 0
Answer:
Differentiating with respect to ‘x

(ii) y = x^y (S.A.Q.) (March 2004)
Answer:
Given y = x^y
Then log y = y log x ………………. (1)
Differentiating w.r.t. to ‘x’ both sides

(iii) y^x = x^{sin y} (S.A.Q.)
Answer:
Taking logarithm on both sides
x log y = sin y . log x
Differentiating w.r.t to ‘x’

Question 5.
Establish the following.
(i) If \(\sqrt{1-x^2}\) + \(\sqrt{1-y^2}\) = a(x – y) then \(\frac{d y}{d x}=\frac{\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-x^2}}\) (E.Q.) (May 2014, March 2009)
Answer:
Take x = sin θ and y = sin Φ
∴ From the given condition

(ii) If y = x\(\sqrt{a^2+x^2}\) + a² log(x + \(\sqrt{a^2+x^2}\)) then \(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\) = 2\(\sqrt{a^2+x^2}\) (E.Q.)
Answer:

(iii) If x^{log y} = log x then \(\frac{d y}{d x}\) = \(\left[\frac{1-\log x \log y}{(\log x)^2}\right]\) (S.A.Q)
Answer:
Given x^{log y} = log x
Taking logarithm on both sides
log y . log x = log (log x)
Differentiating with respect to ‘x’

(iv) If y = tan^-1\(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\) + tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\) – tan^-1\(\left(\frac{4 x-4 x^3}{1-6 x^2+x^4}\right)\) then \(\frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+x^2}\) (S.A.Q.)
Answer:
Let x = tan θ, then

= tan^-1(tan 2θ) + tan^-1 (tan 3θ) – tan^-1 (tan 4θ)
= 2θ + 3θ – 4θ = θ = tan^-1x
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+x^2}\)

(v) If x^y = y^x then \(\) (S.A.Q.)
Answer:
Given x^y = y^x
Then log x^y = log y^x
⇒ y log x = x log y
Differentiating both sides w.r.t to ‘x’

(vi) If x^{\(\frac{2}{3}\)} + y^{\(\frac{2}{3}\)} = a^{\(\frac{2}{3}\)} then \(\frac{d y}{d x}=-\sqrt[3]{\frac{y}{x}}\) (S.A.Q.)
Answer:
Given x^{\(\frac{2}{3}\)} + y^{\(\frac{2}{3}\)} = a^{\(\frac{2}{3}\)}
Then differentiating both sides w.r.t to ‘x’

Question 6.
Find \(\frac{d y}{d x}\) of each of the following functions. (S.A.Q.)

(i) y = \(\frac{(1-2 x)^{\frac{2}{3}}(1+3 x)^{\frac{-3}{4}}}{(1-6 x)^{\frac{5}{6}}(1+7 x)^{\frac{-6}{7}}}\)
Answer:

(ii) y = \(\frac{x^4 \sqrt[3]{x^2+4}}{\sqrt{4 x^2-7}}\)
Answer:

(iii) y = \(\frac{(a-x)^2(b-x)^3}{(c-2 x)^3}\)
Answer:
log y = log (a – x)² + log(b – x)³ – log (c – 2x)³
= 2 log (a – x) + 3 log (b – x) – 3 log (c – 2x)
Differentiating both sides w.r.t to ‘x’

(iv) y = \(\frac{x^3 \sqrt{2+3 x}}{(2+x)(1-x)}\)
Answer:
log y = log \(\left[\frac{x^3 \sqrt{2+3 x}}{(2+x)(1-x)}\right]\)
= log x³ + \(\frac{1}{2}\) log (2 + 3x) – log (2 + x) – log (1 – x)
= 3 log x + \(\frac{1}{2}\) log (2 + 3x) – log (2 + x) – log (1 – x)
Differentiating both sides w.r.t to ‘x’

(v) y = \(\sqrt{\frac{(x-3)\left(x^2+4\right)}{3 x^2+4 x+5}}\)
Answer:

III.
Question 1.
Find the derivatives of the following functions. (E.Q.) (March 2013)
(i) (sin x)^{log x} + x^{sin x}
Answer:
y = (sin x)^{log x} + x^{sin x}
Let y = u + v where u = (sin x)^{log x} ………….. (1)
and v = x^{sin x} ……………….. (2)
From (1) log u = log x log (sin x)
Differentiate w.r.to x both sides

(ii) x^xx
Answer:
Let y = x^xx
∴ log y = log x^(xx) = x^x log x
Differentiate both sides w.r.t. ‘x’.
\(\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}\) = x^x \(\left(\frac{1}{x}\right)\) + log x . x^x (1 + log x)
(∵ \(\frac{d y}{d x}\) (x^x) = x^x (1 + log x))
= x^{x – 1} + x^x . (1 + log x). log x
= x^{x – 1} [1 + x log x . log ex]
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = x^xx x^{x – 1} [1 + x log x log ex]
= x^{xx + x – 1} (1 + x log x log ex)

(iii) (sin x)^x = x^{sin x}
Answer:
Let y = u + v where u = (sin x)^x ………………… (1)
and v = x^{sin x} …………………… (2)

(iv) x^x + (cot x)^x
Answer:
Let y = x^x + (cot x)^x
and suppose y = u + v and
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}\) ………………… (1)
Where u = x^x …………………… (2)
and v = (cot x)^x …………………….. (3)
From (2)
u = x^x ⇒ \(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\) = x^x (1 + log x)
From (3) v = (cot x)^x
⇒ log v = x log (cot x)
Differentiating both sides w.r.t to ‘x’

Question 2.
Establish the following (E.Q.)
(i) If x^y + y^x = a^b then
\(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\) = – \(\left(\frac{y \cdot x^{y-1}+y^x \cdot \log y}{x^y \log x+x \cdot y^{x-1}}\right)\)
Answer:
Let u = x^y ………………… (1) and v = y^x …………………… (2)
then given u + v = a^b ……………………… (3)
From (1), log u = y log x

(ii) If f(x) = sin^-1\(\sqrt{\frac{x-\beta}{\alpha-\beta}}\) and g(x) = tan^-1\(\sqrt{\frac{\mathbf{x}-\beta}{\alpha-\mathbf{x}}}\) then f'(x) = g'(x) (β < x < α) (March 2006)
Answer:

(iii) If a > b > 0 and 0 < x < π;
f(x) = (a² – b²)^-1/2 . cos^-1\(\left(\frac{a \cos x+b}{a+b \cos x}\right)\) then f'(x) = (a + b cos x)^-1
Answer:

Question 3.
Differentiate (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9) by
(i) Using product rule
(ii) Obtaining a single polynomial and expanding the product
(iii) Logarithmic differentiation.
Do they all give the same answer? (EQ.)
Answer:
(i) Using product rule:
\(\frac{d}{d x}\) (uv) = u\(\frac{d v}{d x}\) + v\(\frac{d u}{d x}\)
\(\frac{d}{d x}\)[(x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
= (x² – 5x + 8) \(\frac{d}{d x}\) (x³ + 7x + 9) + (x³ + 7x + 9) \(\frac{d}{d x}\) (x² – 5x + 8)
= (x² – 5x + 8) (3x² + 7) + (x² + 7x + 9) (2x – 5)
= 3x⁴ – 15x³ + 24x² + 7x² – 35x + 56 + 2x⁴ + 14x² + 18x – 5x³ – 35x – 45
= 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52x + 11

(ii) Expanding the product:
y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
= x⁵ + 7x³ + 9x² – 5x⁴ – 35x² – 45x + 8x³ + 56x + 72
= x² – 5x⁴ + 15x³ – 26x² + 11x + 72
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52x + 11

(iii) By logarithmic differentiation:
y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
log y = log (x² – 5x + 8) + log (x³ + 7x + 9)

= (2x – 5) (x³ + 7x + 9) + (3x² + 7) (x² – 5x + 8)
= 2x⁴ + 14x² + 18x – 5x³ – 35x – 45 + 3x⁴ – 15x³ + 24x² + 7x² – 35x + 56
= 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52x + 11
We observe that the same result is obtained by using the above three procedures.

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 1 Meaning, Nature and Scope of Political Science to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 1 Meaning, Nature, and Scope of Political Science

→ Political Science is a premier Social Science.

→ It’s study is mainly concerned with the study of the state in its Relation with society Citizens, Associations, and the World at large.

→ Political Science had its origin in the Ancient Greek city-states.

→ The Greeks separated Political Science from philosophy and made it an Independent Social Science.

→ Aristotle, the famous Greek political thinker was hailed as the “Father of Political Science”.

→ Political Science is variedly referred to as “Political Theory”. “Political Thought”, “Political Philosophy” and the like.

→ Political Science is a science as well as an art.

→ Political Science in its scope includes the study of man in relation to society and state, the study of the state, the study of the government, the study of associations and institutions, the study of rights and responsibilities, national and international issues, power, public policy etc.

→ The study of Political Science helps-

1. Getting Information about the State
2. Knowledge of Government and Administration
3. Information about Democratic values
4. Makes Democracy successful
5. Awareness about Rights and Responsibilities
6. To know the Qualities of Good Citizenship
7. Knowledge about World Affairs
8. Knowledge about International Organisations
9. Developing Political awareness
10. Promotes National Integration.

→ Political Science became a prominent academic subject when the London School of Economics in 1895 at first Recognised it as an independent discipline for Teaching and Research.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 1 రాజనీతి శాస్త్రం – అర్థం, స్వభావం, పరిధి

→ రాజనీతిశాస్త్రాన్ని, రాజ్యానికి సంబంధించిన శాస్త్రంగా పరిగణించవచ్చు.

→ రాజనీతిశాస్త్ర పితామహుడిగా ‘అరిస్టాటిల్’ ప్రసిద్ధి చెందాడు.

→ గార్నర్ మహాశయుని ప్రకారం “రాజనీతిశాస్త్రానికి ఆద్యంతాలు రెండూ రాజ్యమే”.

→ ప్రాచీన గ్రీకు నగర రాజ్యాలైన ఏథెన్స్, రోమ్, స్టార్టా, మెసిడోనియా మొదలగు వాటిలో నాగరికత విరాజిల్లినట్లుగా రాజనీతిజ్ఞులు భావించారు.

→ రాజకీయశాస్త్ర అధ్యయనం ప్రభుత్వ స్వరూపాల పరిజ్ఞానాన్ని పెంపొందిస్తుంది.

→ రాజనీతిశాస్త్రం వ్యక్తుల హక్కులను, బాధ్యతలను వాటి మధ్యగల సంబంధాలను వివరిస్తుంది.

→ ‘మానవుడు సంఘజీవి’ మరియు ‘రాజకీయ జీవి’ అని అరిస్టాటిల్ పేర్కొన్నాడు.

→ రాజనీతిశాస్త్ర అధ్యయనం రాజ్యం, ప్రభుత్వం, జాతి, జాతీయత, రాజ్యాంగం మొదలగు వాటికి సంబంధించిన ఖచ్చితమైన సమాచారాన్ని అందిస్తుంది.

→ స్వేచ్ఛ, సమానత్వం, సౌభ్రాతృత్వం, న్యాయం మొదలగు రాజకీయ ఆదర్శాలకు సంబంధించిన పరిజ్ఞానాన్ని రాజనీతి శాస్త్రం అధ్యయనం చేస్తుంది.

→ రాజనీతి శాస్త్ర అధ్యయనం అంతర్జాతీయవాద స్ఫూర్తిని పెంపొందిస్తుంది.

→ ప్రపంచ రాజ్యాలన్నింటిలోను రాజనీతిశాస్త్ర అధ్యయనానికి పత్యేక స్థానం ఉంది.

Students must practice these Maths 1B Important Questions TS Inter 1st Year Maths 1B Maxima and Minima Important Questions to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 1st Year Maths 1B Maxima and Minima Important Questions

Question 1.
Find two positive integers whose sum is 16 and the sum of whose square is minimum. [Mar. ’18 (AP); Mar. ’07; May ’03]
Solution:
Let x, y be the required positive integers.
Given that sum of two positive integers = 16
x + y = 16
y = 16 – x
Sum of the squares of the numbers = x² + y²
= x² + (16 – x)²
= x² + 256 + x² – 32x
= 2x² – 32x + 256
Let f(x) = 2x² – 32x + 256
Now, f(x) = 4x – 32
f”(x) = 4
for maxima or minima, f'(x) = 0
4x – 32 = 0
4x = 32
x = 8
x = 8 ⇒ f”(8) = 4 > 0
∴ f(x) has minima at x = 8
If x = 8, y = 16 – 8 = 8
∴ The required numbers are 8, 8.

Question 2.
From a rectangular sheet of dimensions 30 cm × 80 cm. Four equal squares of side x cm are removed at the corners and the sides are then turned up so as to form an open rectangular box. Find the value of x so that the volume of the box is the greatest. [Mar. ’16 (AP), ’14, ’09; Mar. ’18, May ’15 (TS)]
Solution:
Let l, b, h denote the length, breadth, and height of the box.
Since x cm are removed at the corners. Then
l = 80 – 2x; b = 30 – 2x; h = x

The volume of a box, V = lbh
= (80 – 2x) (30 – 2x) x
V = (80 – 2x) (30x – 2x²)
= 2400x – 160x² – 60x² + 4x³
= 4x³ – 220x² + 2400x
\(\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dx}}\) = 12x² – 440x + 2400
\(\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{V}}{\mathrm{dx}^2}\) = 24x – 440
V has maxima or minima, \(\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dx}}\) = 0
12x² – 440x + 2400 = 0
3x² – 110x + 600 = 0
3x² – 90x – 20 x + 600 = 0
3x(x – 30) – 20(x – 30) = 0
(x – 30)(3x – 20) = 0
x – 30 = 0 (or) 3x – 20 = 0
x = 30 (or) x = \(\frac{20}{3}\)
If x = \(\frac{20}{3}\), \(\left(\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{~V}}{\mathrm{dx^{2 }}}\right)_{\mathrm{x}=\frac{20}{3}}\)
= 24(\(\frac{20}{3}\)) – 440
= 160 – 440
= -280 < 0
∴ V has maxima at x = \(\frac{20}{3}\)
∴ x = \(\frac{20}{3}\) cm

Question 3.
A window is in the shape of a rectangle surmounted by a semicircle. If the perimeter of the window is 20 ft. Find the maximum area. [Mar. ’17, ’15 (TS); May ’12, ’09]
Solution:
Let r be the radius of the semi-circle
Let x be the one side of a rectangle.
Given that, the perimeter of the window = 20ft

x + πr + x + 2r = 20
2x = 20 – πr – 2r ……..(1)
Area of window = Area of rectangle + Area of semi-circle
A = x(2r) + \(\frac{\pi r^2}{2}\)
A = r(20 – πr – 2r) + \(\frac{\pi r^2}{2}\)

Question 4.
If the curved surface of the right circular cylinder inscribed in a sphere of radius ‘r’ is maximum. Show that the height of the cylinder is √2r. [May ’15 (AP), ’13, ’11, ’10, ’04; Mar. ’13, ’08, ’04]
Solution:
Given r be the radius of the sphere.
Let R, h be the base radius and height of the cylinder.

Question 5.
A wire of length l is cut into two parts which are bent respectively in the form of a square and a circle. What are the lengths of pieces of the wire respectively so that the sum of the areas is the least? [Mar. ’17 (AP), ’14; B.P.]
Solution:
Given that the total length of wire = l
Let x be the first part length and it is bent in the form of a square.
The remaining part l – x is made into a circle of radius ‘r’.
Let y be the side of the square.
The perimeter of a square = 4y

Question 6.
Find the absolute maximum value and absolute minimum value of the function f(x) = x + sin 2x on [0, π].
Solution:
Given f(x) = x + sin 2x
f'(x) = 1 + 2 cos 2x
and f”(x) = -4 sin 2x
For maximum or minimum we have

Question 7.
Find two positive integers x and y such that x + y = 60 and xy³ is maximum. [Mar. ’15 (AP); May ’14]
Solution:
Let x, y be the required positive integers
given that x + y = 60
y = 60 – x
given that xy³ is maximum
Let f(x) = x(60 – x)³
Now, f(x) = x . 3(60 – x)² (0 – 1) + (60 – x)³ . 1
= -3x(60 – x)² + (60 – x)³
= (60 – x)² (-3x + 60 – x)
= (60 – x)² (60 – 4x)
f”(x) = (60 – x)² (0 – 4) + (60 – 4x) . 2(60 – x) (0 – 1)
= -4(60 – x)² – 2(60 – 4x) (60 – x)
f(x) has maximum or minimum, f'(x) = 0
(60 – x)² (60 – 4x) = 0
(60 – x)² = 0 (or) 60 – 4x = 0
60 – x = 0 (or) 60 = 4x
x = 60 (or) x = 15
∴ x = 60, 15
If x = 60,
f”(60) = -4(60 – 60) – 2(60 – 4 . 60) (60 – 60)
= 0 – 0
= 0
f(x) has neither maximum nor minimum.
If x= 15,
f”(15) = -4(60 – 15)² – 2(60 – 4 . 15) (60 – 15)
= -4(45)² – 0
= -4(45)² < 0
∴ f(x) has maximum at x = 15
If x = 15, y = 60 – 15 = 45
∴ The required positive integers are 15, 45.

Some More Maths 1B Maxima and Minima Important Questions

Question 8.
Find the maximum area of the rectangle that can be formed with a fixed perimeter of 20. [Mar. ’19 (TS)]
Solution:
Let x and y denote the length and breadth of a rectangle respectively.
Given that the perimeter of the rectangle = 20
2(x + y) = 20
x + y = 10
y = 10 – x
The area of a rectangle, A = xy
A = x(10 – x) = 10x – x²

Question 9.
Prove that the radius of the right circular cylinder of the greatest curved surface area which can be inscribed in a given cone is half of that of the cone.
Solution:
Let ‘O’ be the centre of the circular base of the cone & height be ‘h’.
Let ‘r’ be the radius of the circular base of the cone. Then AO = h, OC = r.
Let a cylinder with radius x(OS) be inscribed in the given cone.
let its height be u, i.e., PR = OD = QS = u.



Hence the radius of the cylinder of the greatest curved surface which can be inscribed in a given cone is \(\frac{r}{2}\).

Question 10.
The profit function P(x) of a company selling x items per day is given by P(x) = (150 – x)x – 1000. Find the no.of items that the company should manufacture to get maximum profit. Also, find the maximum profit.
Solution:
Given P(x) = (150 – x)x – 1000
P(x) = 150x – x² – 1000
Now, P'(x) = 150 – 2x
For maximum or minimum, P'(x) = 0
150 – 2x = 0
2x = 150
x = 75
P”(x) = 0 – 2 . 1 = -2
If x = 75
P”(75) = -2 < 0
∴ P(x) has maximum at x = 75.
Maximum value P(75) = (150 – 75)75 – 1000 = 4625
∴ The required no.of items = 75
∴ Maximum profit = 4625.

Question 11.
Find the maxima or minima of f(x) = x³ – 6x² + 9x + 15, ∀ x ∈ R.
Solution:
Given, f(x) = x³ – 6x² + 9x + 15
Now, f'(x) = 3x² – 12x + 9
For, maxima or minima, f'(x) = 0
3x² – 12x + 9 = 0
3x² – 3x – 9x + 9 = 0
3x(x – 1) – 9(x – 1) = 0
(x – 1)(3x – 9) = 0
x – 1 = 0 or 3x – 9 = 0
x = 1 (or) x = 3
∴ x = 1, 3
f”(x) = 6x – 12
If x = 1, f”(1) = 6(1) – 12
= 6 – 12
= -6 < 0
f(x) has maxima at x = 1
maxima value = f(1) = (1)³ – 6(1)² + 9(1) + 15
= 1 – 6 + 9 + 15
= 19
If x = 3, f”(3) = 6 . 3 – 12
= 18 – 12
= 6 > 0
f(x) has minima at x = 3
minima value = f(3)
= (3)³ – 6(3)² + 9(3) + 15
= 27 – 54 + 27 + 15
= 15

Question 12.
Find the maxima or minima of f(x) = \(\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\), ∀ x ∈ (0, ∞)
Solution:

Question 13.
Define the strictly increasing function and strictly decreasing function on an interval. [May ’14]
Solution:
Let f: A → R be a function. Then
(i) f is said to be strictly increasing on A if
x₁, x₂ ∈ A,
x₁ < x₂
⇒ f(x₁) < f(x₂)
(ii) f is said to be strictly decreasing on A if
x₁, x₂ ∈ A,
x₁ > x₂
⇒ f(x₁) > f(x₂)

Question 14.
Verify Rolle’s theorem for the function f(x) = log(x² + 2) – log 3 on [-1, 1]. [Mar. ’15 (AP)]
Solution:
f(x) = log(x² + 2) – log 3 is continuous on [-1, 1] and derivable on (-1, 1).
Now f'(x) = \(\frac{2 \mathrm{x}}{\mathrm{x}^2+2}\) ∀ x ∈ (-1, 1)
Further f(-1) = 0, f(l) = 0
f(-1) = f(1)
By Rolle’s theorem ∃ c ∈ (-1, 1) ∃ f'(c) = 0
\(\frac{2 c}{x^2+2}\) = 0
2c = 0
c = 0 ∈ (-1, 1)
∴ Rolle’s theorem is verified.

Question 15.
Determine the intervals in which f(x) = \(\frac{2}{x-1}\) + 18x ∀ x ∈ R / {0} is strictly increasing and decreasing. [Mar. ’15 (TS)]
Solution:

Question 16.
Find the absolute extremum of f(x) = x² defined on [-2, 2]. [Mar. ’19 (AP)]
Solution:
f(x) = x²
f'(x) = 2x, f”(x) = 2 > 0
f'(x) = 0 ⇒ x = 0
∴ f(x) has minimum value at x = 0
Minimum value = f(0) = 0
f(2) = 4 and f(-2) = 4
Absolute maximum = max{f(-2), f(2), f(0)}
= max {4, 4, 0}
= 4
Absolute minimum = min{f(-2), f(2), f(0)}
= min {4, 4, 0}
= 0

Question 17.
Find the points of local extrema and local extrema for the function f(x) = cos 4x defined on (0, \(\frac{\pi}{2}\)).
Solution:
f(x) = cos 4x
f'(x) = -4 sin 4x
f”(x) = -16 cos 4x
f'(x) = 0
-4 sin 4x = 0
4x = π
x = \(\frac{\pi}{4}\)
f”(\(\frac{\pi}{4}\)) = -16 cos π = 16 > 0
f(x) has minimum value at x = \(\frac{\pi}{4}\)
Minimum value = f(\(\frac{\pi}{4}\)) = cos π = -1