TS Inter 1st Year

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 4 Political Concepts to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 4 Political Concepts

→ The term “Law” is used to mean uniform rules of conduct enforced by a Sovereign Political Authority.

→ Law regulates the external behavior of human beings.

→ Law has six sources: 1) Customs 2) Religion 3) Judicial Decisions 4) Scientific Commentaries 5) Equity and 6) Legislature.

→ Law is of different kinds.

→ Law is closely related to morality. At the same time, it differs from morality.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 4 రాజనీతి భావనలు

→ వ్యక్తుల బాహ్య ప్రవర్తనను నియంత్రించటానికి అత్యంత అవసరమైన సాధనమే చట్టం.

→ ‘సార్వభౌముని ఆజ్ఞే చట్టం’ అని జాన్ ఎరిస్కిన్ మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ చట్టం ప్రజల అభిప్రాయానికి అనుగుణంగా రూపొందించబడుతుంది.

→ చట్టాలు బలప్రయోగంతో అమలు చేయబడతాయి. ఇవి నిర్బంధమైన, శిక్షాత్మక స్వభావాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

→ చట్టం నిర్దిష్టమైనది, ఖచ్ఛితమైనది, విశ్వవ్యాప్తమైనది.

→ ప్రొఫెసర్ హాలండ్ ప్రకారం చట్టానికి ఆరు ఆధారాలున్నాయి.
అవి : 1) ఆచారాలు 2) మతం 3) న్యాయమూర్తుల తీర్పులు 4) శాస్త్రీయమైన వ్యాఖ్యానాలు 5) సమత లేదా సమబద్ధత 6) శాసనసభలు.

→ ‘సమత అనే పదానికి నిష్పక్షపాతం, న్యాయం మొదలగు సూత్రాలను పర్యాయపదాలుగా వాడుతున్నారు.

→ శాసనసభలను, చట్టం యొక్క ప్రత్యక్ష ఆధారంగా భావిస్తారు.

→ సహజ చట్టాన్ని దైవిక న్యాయంగా కూడా వ్యవహరిస్తారు.

→ రాజ్యం యొక్క మౌలిక శాసనాన్ని ‘రాజ్యాంగ శాసనం’ అని అంటారు.

→ ప్రపంచ దేశాల మధ్య గల సంబంధాలను నియంత్రించే చట్టాన్ని అంతర్జాతీయ చట్టం అని అంటారు.

→ ‘Liberty’ అనే ఇంగ్లీషు పదం ‘లిబర్’ అనే లాటిన్ పదం నుండి గ్రహించబడింది. లిబర్ అనగా ‘ఆంక్షల నుండి విముక్తి’ అని అర్థం.

→ ‘మితిమీరని ప్రభుత్వ పరిపాలనే స్వేచ్ఛ’ అని సిలీ మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ ‘స్వేచ్ఛ అంటే ఎటువంటి ఆంక్షలు లేకపోవటం కాదు. వ్యక్తి మూర్తిమత్వ వికాసంలోనే స్వేచ్ఛ ఇమిడి ఉంటుంది’ అని మహాత్మాగాంధీ పేర్కొన్నారు.

→ పౌరస్వేచ్ఛ ప్రజలకు పౌరహక్కుల రూపంలో ప్రసాదించబడుతుంది.

→ ఒక జాతి సర్వస్వతంత్రంగా జీవించటాన్నే జాతీయ స్వేచ్ఛ అని అంటారు.

→ రాజ్యము యొక్క, ప్రభుత్వము యొక్క కార్యకలాపాలలో పాల్గొనేందుకు పౌరులందరికి అవకాశాలను కల్పించడమే రాజకీయ స్వేచ్ఛ.

→ ప్రతి ఒక్కరూ తమ జీవనోపాధిని తామే సంపాదించుకోగలగటాన్ని ఆర్థిక స్వేఛ్ఛ అని అంటారు.

→ సమానత్వం అనే పదం నిరపేక్షమైన సమాన ఆదరణను సూచిస్తుంది.

→ సమాజంలో ప్రజలందరిని ఎటువంటి జాతి, మత, కుల, వర్గ, వర్ణ విచక్షణ లేకుండా సమభావంతో గౌరవించటాన్ని సాంఘిక సమానత్వం అని అంటారు.

→ రాజ్యములో నివసించే పౌరులందరికి రాజకీయ హక్కులను సమానంగా ప్రసాదించటాన్ని రాజకీయ సమానత్వం అంటారు.

→ స్వేచ్ఛ – సమానత్వం పరస్పర సంబంధం కలిగి ఉంటాయని’ లాస్కీ మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ జస్టిస్ అనే ఆంగ్లపదం ‘జస్’ (Jus) అనే లాటిన్ పదము నుండి గ్రహించబడింది. జస్ అనగా ‘బంధించి ఉంచటం’ లేదా ‘కలిపి ఉంచటం’ అని అర్థం.

→ ప్రతి వ్యక్తి తన పని తాను చేసుకుంటూ, ఇతరుల వ్యవహారాలలో జోక్యం చేసుకోకపోవడమే న్యాయం” అని ప్లేటో మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ న్యాయానికి సంబంధించి రెండు ప్రధాన భావనలు ఉన్నాయి. అవి :

1. సంఖ్యాత్మక భావన
2. క్షేత్రగణిత భావన.

→ యోగ్యతా ప్రాతిపదికపై రాజ్య సంపదను వ్యక్తుల మధ్య పంపిణీ చేయటాన్ని వితరణ న్యాయం అని

→ న్యాయానికి ప్రధానంగా నాలుగు ఆధారాలు ఉన్నాయి. అవి :

1. ప్రకృతి
2. నైతికత
3. మతము
4. ఆర్థికాంశాలు

→ న్యాయం ఐదు రకాలుగా వర్గీకరించబడింది. అవి సహజ, ఆర్థిక, సామాజిక, రాజకీయ, చట్టబద్ధమైన న్యాయాలు.

→ ప్రపంచంలో లభించే సహజ వనరులను ప్రతి ఒక్కరూ వినియోగించుకునే హక్కు సూత్రంగా ప్రతిపాదించబడినదే సహజ న్యాయసూత్రం.

→ ఆర్థికన్యాయం ఆదాయంలో విపరీత వ్యత్యాసాలను తొలగించాలని ప్రతిపాదిస్తుంది.

→ ‘చట్టం దృష్టిలో ప్రజలంతా సమానులే’ అని సామాజిక న్యాయం విశ్వసిస్తుంది.

→ రాజ్యాంగ శాసనం ద్వారా ఏర్పడిందే చట్టబద్ధమైన న్యాయం.

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 3 Nation, Nationality and Nationalism to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 3 Nation, Nationality and Nationalism

→ The words Nation, Nationality and Nationalism emerged from the Latin word “Natio” which means “Birth” or “Descent”.

→ Nation means a Nationality with an independent political status.

→ Nationality emerges whenever unity and oneness prevail in human groups.

→ Nationality is promoted by many Factors like common race, common language, common religion, common history etc.

→ Nationalism refers to the strong desire of a Nationality to emerge as a Nation-state.

→ Theory of Nations’ self-Determination was advocated by the former president of the united states of America, Woodrow Wilson in 1917.

→ The Right to National self-determination has asserted the National Liberation Movements in Afro-Asian and Latin American countries.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 3 జాతి – జాతీయత, జాతీయవాదం

→ ఆధునిక రాజ్యాలన్నీ జాతిరాజ్యాలే.

→ ‘ఒకే జాతి ఒకే రాజ్యం’ అనే సిద్ధాంతం మొదటి ప్రపంచయుద్ధం తరువాత ప్రాచుర్యంలోకి వచ్చింది.

→ ‘నేషన్’ అనే పదం ‘నేషియో’ అనే లాటిన్ పదం నుండి గ్రహించబడింది. నేషియో అనగా ‘పుట్టుక అని అర్థం.

→ “స్వాతంత్ర్యం కలిగి ఉండి లేదా స్వాతంత్య్రాన్ని అభిలషిస్తూ రాజకీయసంస్థగా రూపొందే ప్రజా సముదాయమే జాతి” అని లార్డైస్ నిర్వచించటం జరిగింది.

→ “ఒకే తెగ, భాష, మతం, ఆచారాలు, చరిత్ర వంటి ఉమ్మడి అంశాలు గల ప్రజానీకమే జాతీయత” అని గెటిల్ మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ ప్రజల మధ్య భావ వ్యక్తీకరణకు, సంప్రదింపులకు ఉపకరించే సాధనమే భాష.

→ జాతీయతా భావాలు గల ప్రజల పగ్రాఢమైన ఆకాంక్షయే జాతిరాజ్యం.

→ రాజ్యం పట్ల, ప్రభుత్వం పట్ల ప్రజలు విధేయతను ప్రకటించేందుకు జాతీయవాదం తోడ్పడింది.

→ జాతుల స్వయం నిర్ణయాధికార సిద్ధాంతం ప్రతి ఒక్క జాతి స్వతంత్ర రాజకీయ సంస్థగా ఎదగాలని కోరుకుంటుంది.

→ భారతదేశాన్ని నిస్సందేహంగా జాతిరాజ్యంగా పేర్కొనవచ్చు.

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1B Study Material Chapter 9 Differentiation Ex 9(d) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1B Differentiation 9(d)

I.
Question 1.
If y = \(\frac{2 x+3}{4 x+5}\) then find y”. (V.S.A.Q.)
Answer:

Question 2.
If y = ae^nx + be^-nx then prove that y” = n²y. (May 2014) (V.S.A.Q.)
Answer:
y’ = ane^nx – bne^-nx
y” = an²e^nx + bn²e^-nx
= n²(ae^nx + be^{– nx}) = n²y
∴ y” = n²y

II.
Question 1.
Find the second order derivatives of the following functions f(x). (S.A.Q.)
(i) cos³x
Answer:
Let y = cos³x = \(\frac{1}{4}\)[cos 3x + 3 cos x]
y’ = \(\frac{1}{4}\) [- 3 sin x – 3 sin x]
y” = \(\frac{1}{4}\) [- 9 cos 3x – 3 cos x]
= – \(\frac{3}{4}\) (3 cos 3x + cos x)

(ii) sin⁴x
Answer:
Let y = sin⁴x sin³x sin x

y” = 2 cos 2x – 2 cos 4x
= 2 (cos 2x – cos 4x)

(iii) log (4x² – 9)
Answer:
Let y = log (4x² – 9)
= log [(2x – 3) (2x + 3)]
= log (2x + 3) + log (2x + 3)

(iv) e^-2x sin³x
Answer:
Let y = e^-2x sin³x
y ‘ = e^-2x (3 sin²x cos x) + sin³x (-2) e^-2x
= e^-2x [ 3 sin²x cos x – 2 sin³x]
y” = e^-2x [3 sin²x (- sin x) + cos x (6 sin x cos x) – 6 sin²x cos x] – 2e^-2x [ 3 sin²x cos x – 2 sin³x]
= – e^-2x [6 sin x cos²x – 6 sin²x cos x – 3 sin³x – 6 sin²x cos x + 4 sin³x]
= e^-2x [sin³x – 12 sin²x cos x + 6 sin x cos²x]

(v) e^x sin x cos 2x
Answer:
Let y = e^x sin x cos 2x
= e^x \(\frac{1}{2}\) [sin 3x – sin x]
y’ = \(\frac{1}{2}\)[e^x (3 cos 3x – cos x) + e^x (sin 3x – sin x)]
y” = \(\frac{1}{2}\)[e^x (- 9 sin 3x + sin x) + e^x (3 cos 3x – cos x) + e^x (3 cos 3x – cos x) + (sin 3x – sin x)e^x]
= \(\frac{1}{2}\) e^x [6 cos 3x – 8 sin 3x – 2 cos x]
= e^x [3 cos 3x – 4 sin 3x – cos x]

(vi) tan^-1 \(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
Answer:

(vii) tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\)
Answer:

Question 2.
Prove the following. (S.A.Q.)
(i) If y = ax^{n + 1} + bx^-n then x²y” = n(n + 1) y.
Answer:
y = ax^{n + 1} + bx^-n
y’ = (n + 1) ax^-n – nbx^{– n – 1}
y” = an (n + 1) x^{n + 1} + bn (n + 1) x^-n-2
x²y” = an(n + 1) x^{n + 1} + b(n + 1)n x^{– n}
= n(n + 1) [ax^{n + 1} + bx^{– n}]
= n(n + 1) y

(ii) If y = a cos x + (b + 2x) sin x then y” + y = 4 cos x.
Answer:
y = a cos x + (b + 2x) sin x
y’ = – a sin x + (b + 2x) cos x + 2 sin x
y” = – a cos x + (b + 2x) (- sin x) + 2 cos x + 2 cos x
= – a cos x + 4 cos x – (b + 2x) sin x
= -[a cos x + (b + 2x) sin x] + 4 cos x
= – y + 4 cos x
∴ y” + y = 4 cos x

(iii) If y = 6 (x + 1) + (a + bx) e^3x then y” – 6y’ + 9y = 54x + 18
Answer:
y = 6 (x + 1) + (a + bx) e^3x
∴ y’ = 6 + (a + bx) 3e^3x + be^3x
y” = (a + bx) 9e^3x + 3e^3x(b) + 3be^3x
∴ L.H.S. = y” – 6y’ + 9y
= (a + bx) 9e^3x + 6be^3x – 6 [6 + (a + bx) 3e^3x + be^3x] + 9 [ 6 (x + 1) + (a + bx) e^3x]
= (a + bx) 9e^3x + ebe^3x – 36 – 18e^3x (a + bx) – 6be^3x+ 54 (x + 1) + 9 (a + bx) e^3x
= 54x+ 18

(iv) If ay⁴ = (x + b)⁵ then 5yy” = (y’)²
Answer:

(v) If y = a cos (sin x) + b sin (sin x) then y” + (tan x)y’ + y cos²x = 0
Answer:
Given y = a cos (sin x) + b sin (sin x) then
y’ = -a sin (sin x) cos x + b cos (sin x) cos x
= cos x [-a sin (sin x) + b cos (sin x)]
y” = cos x [- a cos (sin x) cos x – b sin (sin x) (cos x)] – sin x [- a sin (sin x) + b cos (sin x)]
= – sin x \(\frac{y^{\prime}}{\cos x}\) – cos² x . y
∴ y” + (tan x) y’ + y cos²x = 0

III.
Question 1.
(i) If y = 128 sin³ x cos⁴x then find y”. (E.Q.)
Answer:
Given y = 128 sin³x cos⁴x
∴ y’ = 128 [sin³x 4 cos³x (- sin x) + cos⁴x (3 sin²x) cos x]
= 128 [3 sin²x cos⁵x – 4 sin⁴x cos³x]
y” = 128[3 sin²x (5 cos⁴x) (- sin x) + cos⁵x (6 sin x cos x) – 4 [sin⁴x (3 cos²x) (- sin x) + c0s³x 4 sin³x cos x]]
= 128 [- 15 sin³ x cos⁴x + 6 cos⁶x sin x + 12 sin⁵x cos²x – 16 cos⁴x sin³x]
= 128 [6 sin x cos⁶x + 12 sin⁵x cos²x – 31 cos⁴x sin³x]
= 128 sin x cos²x (12 sin⁴x – 31 sin²x cos²x + 6 cos⁴x)

(ii) If y = sin 2x sin 3x sin 4x then find y”. (E.Q.)
Answer:
y = sin 2x \(\frac{1}{2}\) [2sin 3x sin 4x]
= sin 2x \(\frac{1}{2}\) [cos x – cos 7x]
= \(\frac{1}{2}\) sin 2x cos x – \(\frac{1}{2}\) sin 2x cos 7x
= \(\frac{1}{4}\) [sin 3x + sin x – sin 9x + sin 5x]
= \(\frac{1}{4}\) [- sin 9x + sin 5x + sin 3x + sin x]
y’ = \(\frac{1}{4}\) [- 9 cos 9x + 5 cos 5x + 3 cos 3x + cos x] 1
y” = \(\frac{1}{4}\) [81 sin 9x – 25 sin 5x – 9 sin 3x – sin x]

(iii) If ax² + 2hxy + by² = 1 then prove that \(\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{h^2-a b}{(h x+b y)^3}\) (E.Q.)
Answer:
Differentiating ax² + 2hxy + by² = 1 with respect to x on both sides we get

(iv) If y = ae^-bx cos (cx + d) then prove that y” + 2by’ + (b² + c²)y = 0 (E.Q.)
Answer:
Given y = ae^-bx cos (cx + d)
Differentiating w.r.t ‘x’ then
y’ = a[e^-bx(-c sin (cx + d)) – cos(cx + d) be^-bx]
= ae^-bx [- c sin(cx + d) – bcos(cx + d)]
= – ace^-bx sin (cx + d) – by
∴ y’ + by = -ace^-bx sin(cx + d)
Differentiating again w.r.t ‘x’
∴ y” + by’ = -ac [e^-bx c cos (cx + d) – be^-bx sin (cx + d)]
= – ac e^-bx [c cos (cx + d) – b sin(cx + d)]
= abce^-bx sin (cx + d) – ac²e^-bxcos (cx + d)
= – b (y’ + by) – c²y
∴ y” + 2by’ + (b² + c²)y = 0

(v) If y = e^{–\(\frac{\mathbf{k}}{2}\)x} (a cos nx + b sin nx) then prove that y” + ky’ + (n² + \(\frac{k^2}{4}\)) y = 0 (E.Q.)
Answer:

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 11 Organs of Government to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 11 Organs of Government

→ Government formulates, expresses and realizes the will of the state.

→ Government is described as the executive organ of the State.

→ Government consists of three organs i.e., Legislature, Executive and Judiciary.

→ Legislature makes Laws, the Executive executes laws and Judiciary interprets laws.

→ Aristotle classified Governments into normal and perverted forms.

→ Aristotle says that monarchy, aristocracy and polity are the normal forms of Government. Tyranny, oligarchy and democracy are the perverted forms of Government.

→ “Unitary Government is one in which one central power habitually exercises the supreme legislative authority.” – A.V. Dicey

→ The term ‘Federation’ is derived from the Latin word ‘Foedus’ which means ‘treaty’ or ‘agreement’.

→ “Federation is an association of states that forms a new one”. – Hamilton

→ Collective responsibility is the salient feature of the Parliamentary form of Government.

→ Presidential form of Government is known as single Executive Government.

→ Mottesque advocated ‘the theory of separation of powers, that is based on ‘checks and balance.’

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 10 Constitution to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 10 Constitution

→ Constitution and government are two indispensable elements of the modern State.

→ Lord Bryce: “Constitution is a set of established rules embodying and enacting the practice of Government”.

→ Some political writers view the Constitution as ‘Rules of the State’, ‘Instrument of Government’, ‘Fundamental Law of the Land’, and ‘Basic structure of the policy’, etc.

→ A written Constitution is formulated and adopted by a Constituent Assembly.

→ Unwritten Constitution is one whose provisions are not written in a single document.

→ Constitution is described as the source of all governmental activities.

→ The Preamble explains the aims and aspirations of the Constitution.

→ Clarity is the most important feature of the Constitution.

→ Flexible Constitution is one whose provisions can be amended easily.

→ Rigid Constitution is one whose provisions cannot be changed easily.

→ Evolved Constitution is also called Cumulative Constitution. It is the result of evolutionary changes.

→ Enacted Constitution is also known as Conventional Constitution. It is consciously made.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 10 రాజ్యాంగం

→ రాజ్యాంగం, ప్రభుత్వం మొదలగునవి ఆధునిక రాజ్యము యొక్క ప్రధాన అంశాలుగా పరిగణించ బడుతున్నాయి.

→ రాజ్యాంగాన్ని ఆంగ్లంలో ‘Constitution’ అని అంటారు. ఈ పదం ‘Constitutio’ అనే లాటిన్ పదం నుండి గహ్రించబడింది. ‘కాన్స్టిట్యూషియో’ అనగా ‘స్థాపించు’ అని అర్థం.

→ ‘రాజ్యాంగం ప్రభుత్వ రూపం’ అని ‘స్టీఫెన్ లీకాక్’ పేర్కొన్నాడు.

→ పత్రి రాజ్యాంగం ఒక పీఠికను కలిగి ఉంటుంది. రాజ్యంగ లక్ష్యాలు, ఆశయాలు ఈ పీఠికలో స్పష్టంగా పొందుపరచబడి ఉంటాయి. అందుకనే ఈ పీఠికను ‘రాజ్యాంగము యొక్క ఆత్మ’గా వర్ణిస్తారు.

→ రాజ్యాంగము స్పష్టంగా, నిర్దిష్టంగా, ఖచ్ఛితంగా ఉండాలి.

→ రాజ్యాంగ స్వభావం ఆధారంగా రాజ్యాంగాలను రెండు రకాలుగా విభజించినారు.
అవి 1) లిఖిత రాజ్యాంగం 2) అలిఖిత రాజ్యాంగం.

→ లిఖిత రాజ్యాంగాన్ని ఒక రాజ్యాంగ పరిషత్తు ఏర్పాటుచేస్తుంది. లిఖిత రాజ్యాంగానికి ఉదాహరణ ఇండియా, అమెరికా.

→ అలిఖిత రాజ్యాంగం ప్రత్యేక వ్రాతప్రతిలో పేర్కొనబడదు. అనేక ఆచార, సంపద్రాయాల ప్రాతిపదికగా ఏర్పడుతుంది. ఉదా : బ్రిటన్ రాజ్యాంగం.

→ రాజ్యాంగ సవరణ ప్రాతిపదికగా రాజ్యాంగాలు రెండు రకాలు.
అవి 1) అదృఢ రాజ్యాంగం 2) దృఢ రాజ్యాంగం.

→ దృఢ రాజ్యాంగం అమెరికాలో అమలులో ఉన్నది.

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 9 Secularism to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 9 Secularism

→ Secularism is an important social and political phenomenon.

→ “Secularism is an ideology which provides a theory of life and conduct as against one provided in religion”. – ERIC.S.Waterhouse

→ Secular State is neither religious nor irreligious.

→ Secular State gives equal freedom to all religions.

→ Religion of citizens has nothing to do with secular matters in secularism.

→ Secularism strongly opposes the existence, continuance and survival of authoritarian religious leaders and institutions.

→ It is vehemently opposed to the supporting of religion in public matters.

→ Theocracy technically means rule by God.

→ There will be a particular religion, which is declared as the official religion in a Theocratic State.

→ Religious priests and spiritual heads will be given special significance in Theocratic States.

→ Secularism enables individuals to enjoy their religious freedom to their full extent.

→ The word ‘secular’ was included in the Indian Constitution in the year 1976 through 42nd Constitutional Amendment Act.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 9 లౌకికవాదం

→ మతం, రాజ్యం వేరు వేరు అని లౌకికవాదం విశ్వసిస్తుంది.

→ సెక్యులర్ అనే ఆంగ్ల పదానికి లాటిన్ భాషలో ‘ఇహలోకం’ (This world) అని అర్థం.

→ “మతంలో పేర్కొన్న దానికంటే భిన్నమైన జీవనం, ప్రవర్తనలకు సంబంధించిన సిద్ధాంతాన్ని ప్రతిపాదించే ఒకానొక ఆదర్శమే” లౌకికవాదమని వాటర్హిస్ (Water house) మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ లౌకిక రాజ్యం అన్ని మతాలవారికి సమానమైన స్వేచ్ఛా, స్వాతంత్ర్యాలను ప్రసాదిస్తుంది.

→ లౌకిక రాజ్యం ఒక మతానికి అనుకూలం కాదు. మరొక మతానికి వ్యతిరేకం కాదు. మత విషయాలలో తటస్థంగా ఉంటుంది.

→ స్వేచ్ఛ, ప్రజాస్వామ్యానికి లౌకికవాదం అత్యంత ఆవశ్యకమైనది.

→ లౌకికవాదం సమ సమాజానికి పాత్రిపదిక. అన్ని మతాల వారిని సమానంగా పరిగణిస్తుంది. మానవులు సృష్టించిన అసమానతలను గుర్తించదు.

→ మతస్వామ్యం (Theocracy) అనే పదాన్ని ప్రథమంగా ‘జోసెఫస్’ అనే యూదు చరిత్రకారుడు యూదు మతగ్రంథమైన ‘థోరా’లో పేర్కొన్నాడు.

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 8th Lesson హైడ్రోజన్ – దాని సమ్మేళనాలు Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 8th Lesson హైడ్రోజన్ – దాని సమ్మేళనాలు

అత్యంత లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
హైడ్రోజన్ ఐసోటోపులు మూడు వాటి చర్యావేగాల్లో భేదపడతాయి. కారణాలు తెలపండి.
జవాబు:

1. హైడ్రోజన్ మూడు రకాల ఐసోటోపులు కలిగి ఉంటుంది. అవి
   1. ప్రోటియమ్ (¹H₁)
   2. డ్యుటీరియమ్ (²H₁)
   3. ట్రైటియమ్ (³H₁).
2. ఈ మూడు ఐసోటోపులలో వరుసగా 0, 1, 2 న్యూట్రాన్లు ఉంటాయి. ట్రిటియం రేడియోధార్మికత కలిగి ఉంటుంది. ఈ హైడ్రోజన్ ఐసోటోపులు వాటి చర్యావేగాల్లో విభేదిస్తాయి. వీటి చర్యాశీలత క్రింది క్రమంలో ఉంటుంది.
   H > D > T.
3. ఈ ఐసోటోపులు ఒకే ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం కలిగి ఉండటం వల్ల వాటికి సారూప్యరసాయన ధర్మాలు ఉంటాయి.

ప్రశ్న 2.
అధిక ద్రవీభవన స్థానాలున్న లోహాలను వెల్డింగ్ చేయడానికి డైహైడ్రోజను ఎందుకు వాడతారు ?
జవాబు:
డ్రైహైడ్రోజన్ వియోగం చెంది పరమాణు హైడ్రోజన్ను ఇస్తుంది. ఈ పరమాణు హైడ్రోజన్ మండి 4000K ఉష్ణోగ్రతను ఇస్తుంది. కావున ఈ ఉష్ణోగ్రత జ్వాల సహాయంతో అధిక ద్రవీభవన స్థానాలున్న లోహాలను వెల్డింగ్ చేయటానికి డై హైడ్రోజను వాడతారు.

ప్రశ్న 3.
అత్యంత శుద్ధమైన డైహైడ్రోజనన్ను తయారుచేయడానికి ఒక పద్ధతిని వివరించండి.
జవాబు:
నికెల్ ఎలక్ట్రోడ్లతో వెచ్చని సజల బేరియమ్ హైడ్రాక్సైడ్ (Ba(OH)₂]ను విద్యుద్విశ్లేషణ చేసి అత్యంత శుద్ధమయిన హైడ్రోజన్ ను పొందవచ్చు. ఈ ప్రక్రియలో 99.95% శుద్ధమైన H₂, ఏర్పడును.

ప్రశ్న 4.
“సినా గ్యాస్” పదాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
CO, H₂ ల మిశ్రమాన్ని వాటర్ గ్యాస్ లేదా సిన్ గ్యాస్ అని అంటారు. దీనిని మిథనోల్ మరియు ఇతర హైడ్రోకార్బన్లను సంశ్లేషణం చేయటానికి వాడతారు.
తయారీ :

ప్రశ్న 5.
“కోల్ గాసిఫికేషన్” అంటే ఏమిటి ? దానిని సరైన తుల్య సమీకరణంతో వివరించండి.
జవాబు:
కోలన్ను ఉపయోగించి 1270K ఉష్ణోగ్రత వద్ద నుంచి సిన్ గ్యాస్ ను తయారు చేయటాన్ని కోల్ గాసిఫికేషన్ అంటారు.

ప్రశ్న 6.
హైడ్రైడ్ అంటే నిర్వచనం చెప్పండి. ఎన్ని రకాల హైడ్రేడ్లున్నాయి ? వాటి పేర్లను చెప్పండి.
జవాబు:
హైడ్రోజన్ ఇతర మూలకాలతో ఏర్పరచే ద్విగుణాత్మక సమ్మేళనాలను హైడ్రైడ్లు అంటారు. ఇవి మూడు రకాలు.

1. అయానిక లేదా సెలైన్ లేదా ఆవరణ సదృశ హైడ్రైడ్లు. ఉదా || NaH, CaH₂ మొ||
2. కోవలెంట్ లేదా అణు హైడ్రైడ్లు. ఉదా || B₂H₆, CH₄ మొ||వి.
3. లోహ లేదా నాన్ – స్టాయికియోమెట్రిక్ హైడ్రైడ్లు. ఉదా || PdH

ప్రశ్న 7.
ద్రవీకృత ప్రావస్థలో నీటికి అసాధారణ లక్షణం ఉంటుంది. అది నీటి అధిక భాష్పీభవనోష్టానికి దారితీస్తుంది. ఆ ధర్మం ఏమిటి ?
జవాబు:
నీటి అణువుల మధ్య అంతరణుక హైడ్రోజన్ బంధాలు ఉండటం వలన ద్రవీకృత ప్రావస్థలో నీటికి అసాధారణ లక్షణం ఉంటుంది. దీని వలన నీటికి అధిక భాష్పీభవన స్థానం ఉంటుంది.

ప్రశ్న 8.
కిరణజన్య సంయోగక్రియ జరుగుతున్నప్పుడు నీరు గా ఆక్సీకరణం చెందుతుంది. అయితే ఏ మూలకం క్షయకరణం చెందుతుంది ?
జవాబు:
కిరణజన్య సంయోగక్రియను ఈ విధంగా వ్రాస్తారు. 6CO₂ + 6H₂O → C₆H₁₂O₆ + 6O₂.
ఈ చర్యలో నీరు, O₂ గా ఆక్సీకరణం చెందుతుంది. కార్బన్ క్షయకరణం చెందుతుంది. (కార్బన్ యొక్క ఆక్సీకరణ స్థితి +4 నుంచి ‘0’ కు తగ్గుతుంది.)

ప్రశ్న 9.
“స్వయం ప్రోటోలసిస్” అంటే మీకేమి తెలుస్తుంది ? నీటి స్వయం ప్రోటోలసిసికి సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు:
నీరు ఆమ్లంగాను, క్షారంగాను పనిచేయగల ద్విస్వభావ పదార్థంగా పనిచేస్తుంది. ఈ విధంగా నీరు స్వయం అయనీకరణం చెందే ధర్మాన్ని ‘స్వయం ప్రొటోలసిస్’ అంటారు. నీటి స్వయం ప్రొటోలసిస్ చర్యను క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు.

ప్రశ్న 10.
బ్రాన్ స్టెడ్ సిద్ధాంతపరంగా నీరు ద్విస్వభావం గల పదార్థం. దానిని మీరు ఎట్లా వివరిస్తారు ?
జవాబు:
బ్రానెడ్ సిద్ధాంతం ప్రకారం ప్రోటాన్ దాత ఆమ్లంగాను, ప్రోటాన్ స్వీకర్త క్షారంగాను పనిచేస్తాయి. నీరు NH₃ కు ప్రోటాను దానం చేసి ఆమ్లంగా పనిచేస్తుంది.

నీరు H₂S నుంచి ప్రోటాన్ ను స్వీకరించి క్షారంగా పనిచేస్తుంది.

కావున నీరు ద్విస్వభావం గల పదార్ధం.

లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 11.
NH₃, H₂O, HF ల బాష్పీభవన స్థానాలు, ఆయా గ్రూపుల్లో వాటి తరవాత మూలకాల హైడ్రైడ్ల బాష్పీభవన స్థానాలకంటే ఎక్కువగా ఉంటాయి. మీ కారణాలు చెప్పండి.
జవాబు:
NH₃, H₂O, HF ల బాష్పీభవన స్థానాలు, అయా గ్రూపుల్లో వాటి తరువాత మూలకాల హైడ్రైడ్ల బాష్పీభవన స్థానాలకంటే ఎక్కువగా ఉంటాయి. కారణం,

1. NH₃, H₂O, HF లలో హైడ్రోజన్ అధిక ఋణ విద్యుదాత్మకత గల N, O, F లతో బంధించబడి ఉంటుంది.
2. అందువలన ఈ హైడ్రేడ్లలో హైడ్రోజన్ బంధాలు ఏర్పడతాయి.
3. ఈ హైడ్రోజన్ బంధాలు ఏర్పడుట వలన ఈ హైడ్రైడ్లకు అధిక భాష్పీభవన స్థానాలుంటాయి.

ప్రశ్న 12.
ఆవర్తన పట్టికలో హైడ్రోజన్ స్థానాన్ని దాని ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసపరంగా చర్చించండి.
జవాబు:
ఆవర్తన పట్టికలో హైడ్రోజన్ యొక్క స్థానం చర్చనీయాంశం. హైడ్రోజన్ IA గ్రూపులోని క్షార లోహాలతోను, VIIA గ్రూపులోని హాలోజన్లతోను పోలికలు కలిగి ఉంటుంది.

హైడ్రోజన్ను IA గ్రూపు మూలకాలతో చేర్చుటకు కారణాలు

1. హైడ్రోజన్ యొక్క ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం (1s¹) క్షార లోహాల బాహ్య ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసంను (ns¹) పోలి ఉంటుంది.
2. క్షార లోహలవలె హైడ్రోజన్ ఒక ఎలక్ట్రాన్ను పోగొట్టుకొని ఏకమాత్ర ధనావేశిత అయాన్ ను ఏర్పచగలదు. (H⁺)

హైడ్రోజన్ ను VII A గ్రూపు మూలకాలతో చేర్చుటకు కారణాలు :

1. హైడ్రోజన్ హాలోజన్లవలె ద్విపరమాణుక అణువులను ఏర్పరుస్తుంది.
2. హైడ్రోజన్ హాలోజన్లవలె ఒక ఎలక్ట్రాన్ను పొంది ఏకమాత్ర ఋణావేశిత అయాన్లను ఏర్పరుస్తుంది. (H^–) హైడ్రోజన్ యొక్క స్థానాన్ని దాని ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసాన్ని 1s¹ మాత్రమే పరిగణలోనికి తీసికుని 1A గ్రూపు మూలకాలతో కలిపారు.

ప్రశ్న 13.
హైడ్రోజన్ ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం దాని రసాయన ధర్మాలకు ఎట్లా అనువుగా ఉంటుంది ?
జవాబు:
హైడ్రోజన్ యొక్క ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం 1s¹. కావున

1. హైడ్రోజన్ ఒక ఎలక్ట్రాను కోల్పోయి చర్యలలో పాల్గొని H⁺ ను ఏర్పరచును.
   ఉదా : HF + H₂O → H₃O⁺ + F^–
2. హైడ్రోజన్ ఒక ఎలక్ట్రాను గ్రహించి చర్యలలో పాల్గొని HP ను ఏర్పరుస్తుంది.
   ఉదా : 2Na + H₂ → 2NaH [Na⁺ H^–]
3. హైడ్రోజన్ ఒక ఎలక్ట్రాను పంచుకొని సమయోజనీయ బంధాలను ఏర్పరచును.
   ఉదా : H : Cl.

ప్రశ్న 14.
(a) క్లోరిన్ (b) సోడియం లోహంతో డైహైడ్రోజన్ చర్య జరిపితే ఏమవుతుంది ? వివరించండి.
జవాబు:
a) క్లోరిన్తో డైహైడ్రోజన్ చర్య : డై హైడ్రోజన్ క్లోరిన్తో చర్య జరిపి హైడ్రోజన్ క్లోరైడ్ను ఏర్పరచును.
H₂ + Cl₂ → 2HCI.
b) డై హైడ్రోజన్ Na లోహంతో చర్య : డై హైడ్రోజన్ Na లోహంతో చర్య జరిపి సోడియం హైడ్రైడన్ను ఏర్పరుస్తుంది.
2Na + H₂ → 2NaH

ప్రశ్న 15.
భారజలం పై ఒక వ్యాఖ్యను రాయండి.
జవాబు:
డ్యుటీరియం ఆక్సైడ్ (D₂O) ను భారజలం అంటారు. \(\frac{\mathrm{N}}{2}\) NaOH ద్రావణంతో క్షారయుతం చేసిన నీటిని ఎక్కువ కాలం పాటు విద్యుద్విశ్లేషణ జరిపి భారజలాన్ని తయారుచేస్తారు.

(1) న్యూక్లియర్ రియాక్టర్లలో మోడరేటర్గాను,
(2) చర్యా విధానాల అధ్యయనంలో వినిమయ కారకంగాను భారజలాన్ని ఉపయోగిస్తారు.

ఇతర డ్యుటీరియమ్ సమ్మేళనాలను తయారుచేయటానికి D₂O ను ఉపయోగిస్తారు.
CaC₂ + 2D₂O → C₂D₂ + Ca(OD)₂
SO₃ + D₂O → D₂SO₄
Al₄ C₃ + 12D₂O → 3 CD₄ + 4 Al(OD)₃
ఈ చర్యలను డ్యుటిరాలసిస్ చర్యలు అంటారు.

ప్రశ్న 16.
హైడ్రోజన్ ఐసోటోపుల పేర్లను తెలపండి. ఈ ఐసోటోపుల ద్రవ్యరాశుల నిష్పత్తి ఏమిటి ?
జవాబు:
హైడ్రోజన్కు మూడు ఐసోటోపులున్నాయి.

1. హైడ్రోజన్ \({ }_1^1 \mathrm{H}\)
2. డ్యుటీరియమ్ \({ }_1^2 \mathrm{H}\) లేదా \({ }_1^2 \mathrm{D}\)
3. ట్రైటియమ్ \({ }_1^3 \mathrm{H}\) లేదా \({ }_1^3 \mathrm{~T}\)
   ఈ ఐసోటోపుల ద్రవ్యరాశుల నిష్పత్తి
   H : D : T = 1 : 2 : 3

ప్రశ్న 17.
“వాటర్ గ్యాస్ షిఫ్ట్” చర్య అంటే ఏమిటి ? ఈ చర్యతో హైడ్రోజన్ తయారీని ఎట్లా పెంచగలరు ?
జవాబు:
CO, H₂ ల మిశ్రమాన్ని వాటర్గా గ్యాస్ లేదా సిన్ గ్యాస్ అంటారు.
వాటర్గాస్ షిప్ట్ చర్య : H₂ యొక్క ఉత్పత్తి పెంచటానికి సిన్గ్యాస్ మిశ్రమంలోని కార్బన్ మోనాక్సైడ్ను ఐరన్ క్రోమోట్ ఉత్ప్రేరకం సమక్షంలో నీటి ఆవిరితో చర్యనొందిస్తారు. ఈ చర్యను “వాటర్ గ్యాస్ షిఫ్ట్ చర్య” అంటారు.

సోడియం ఆర్మినైట్ ద్రావణంలో మార్జనం చేసి CO₂ ను తొలగించవచ్చు.

ప్రశ్న 18.
కింది చర్యలను పూర్తిచేసి, తుల్యం చేయండి.

జవాబు:

ప్రశ్న 19.
13వ గ్రూపు మూలకాలు ఏర్పరచే హైడ్రైడ్ల స్వభావం ఏమిటి ?
జవాబు:
13వ గ్రూపు మూలకాలు p – బ్లాకు చెందుతాయి. ఇవి కోవలెంట్ హైడ్రైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి. ఈ హైడ్రైడ్లు మూడు రకాలు

1. ఎలక్ట్రాన్ న్యూనతగల సమ్మేళనాలు.
2. ఎలక్ట్రాన్ ఖచ్చిత హైడ్రైడ్లు
3. ఎలక్ట్రాన్ అధిక హైడ్రైడ్లు. ఇవి లూయీ ఆమ్లాలుగా పనిచేస్తాయి. ఉదా : B₂H₆
   బోరాన్ ఏర్పరచే హైడ్రైడ్లను బోరేన్లు అంటారు.

ప్రశ్న 20.
సంశ్లేషిత రెజిన్ పద్ధతి, అయాన్ వినిమయ రెజిన్ పద్ధతుల్లో జలకాఠిన్యతను తొలగించడానికి ఉపయోగించే సూత్రాన్ని, పద్ధతిని చర్చించండి.
జవాబు:
i) సంశ్లేషిత రెజిన్ల పద్దతి : ఈ పద్దతిలో అయాన్లను తొలగించడం రెండు రకాలుగా జరుగుతుంది. అన్ని రకాల లవణాలు తొలగించబడిన నీటిని అయాన్ విరహిత జలం అంటారు.

1. కాటయాను తొలగించుట : కాటయాన్ వినిమయ రెజిన్ ను కలిగి ఉన్న ట్యాంక్ గుండా కఠినజలాన్ని పంపుతారు. అపుడు Ca⁺² మరియు Mg⁺² అయాన్లు H⁺ అయాన్లతో స్థానభ్రంశం చెందించబడతాయి.
2RCOOH + Ca⁺² → (R COO)₂ + 2H⁺

2. ఆనయాన్లను తొలగించుట : ఆ తర్వాత నీటిని ఆనయాన్ వినిమయ రెజిన్ ట్యాంక్ ద్వారా పంపుతారు. అపుడు నీటిలోని ఆనయాన్లు రెజిన్లోని OH^– అయాన్లతో స్థానభ్రంశం చెందించబడతాయి.

H⁺ మరియు OH^– అయాన్లు ఏకమై అయాన్ విరహిత జలాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.
కొంత కాలానికి రెజిన్లు తమ వినిమయ సామర్థ్యాన్ని కోల్పోతాయి. అందువలన వాటిని మరల ఉద్ధరించాలి. `కాటయాన్ రెజిన్ గుండా విలీన H₂SO₄ ప్రసరింపచేయడం ద్వారా పునరుద్ధరిస్తారు. ఆనయాన్ రెజిన్ గుండా కాస్టిక్ సోడా ప్రసరింపచేయడం ద్వారా పునరుద్ధరిస్తారు.

ii) అయాన్ వినిమయ పద్ధతి: ఈ పద్ధతిని జియొలైట్ లేదా పెరుటిట్ ప్రక్రియ అని కూడా అంటారు. ఆర్థ సోడియమ్ అల్యూమినియమ్ సిలికేట్ (Na A/SiO₄) ను జియొలైట్ లేదా పెరుటిట్ అంటారు. దీనిని కఠిన జలానికి కలిపినపుడు వినిమయ చర్యలు జరుగుతాయి.

జియొలైట్లో ఉన్న సోడియమ్ అంతా ఖర్చు అయిపోయినపుడు అది వ్యయమైపోయింది అని అంటారు. దాన్ని సజల NaCl ద్రావణంతో అభిచర్యని జరిపి పునరుత్పత్తి చేస్తారు.

ప్రశ్న 21.
ఇంధనంగా హైడ్రోజన్ ఉపయోగాన్ని గురించి కొన్ని వాక్యాలు రాయండి. (March 2013)
జవాబు:
హైడ్రోజన్ అధిక మండు ఉష్ణోగ్రతలను కలిగి ఉంటుంది. అందువలననే, దీనిని పారిశ్రామిక ఇంధనంగా విరివిగా ఉపయోగిస్తారు.

1. ఆక్సీ హైడ్రోజన్ బ్లోటార్చ్ : పరిశుద్ధ H₂ మరియు O₂ వాయువుల మిశ్రమాన్ని అత్యధిక ఉష్ణోగ్రత (3000°C సుమారుగా) వద్ద మండిస్తే ఆక్సీ హైడ్రోజన్ బ్లోటార్చ్ ఏర్పడుతుంది. ఈ జ్యాలను వెల్డింగ్ మరియు కరిగించే ప్రక్రియలలో ఉపయోగిస్తారు.
2. వాటర్ గ్యాస్ : CO మరియు H₂ ల మిశ్రమాన్ని వాటర్ గ్యాస్ అంటారు. వేడిగా ఉన్న ఎర్రని కోక్ మీదుగా నీటి ఆవిరిని పంపి దీనిని తయారుచేస్తారు. దీనిని పారిశ్రామిక ఇంధనంగా వాడతారు.
3. సెమివాటర్ గ్యాస్ : హైడ్రోజన్, కార్బన్ మోనాక్సైడ్, కార్బన్ డై ఆక్స్డ్, నైట్రోజన్ మరియు మిథేన్ల మిశ్రమాన్ని సెమివాటర్ గ్యాస్ అంటారు. స్టీల్ పరిశ్రమలలో దీనిని ఇంధనంగా ఉపయోగిస్తారు.
4. హైడ్రోజన్ ను, ఇంధన ఘటాలలో విద్యుత్ శక్తిని ఉత్పత్తి చేయుటకు ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 22.
1% H₂O₂ ద్రావణాన్ని మీకు ఇచ్చాం. దాని నుంచి శుద్ధ H₂O₂ ని తయారుచేయడానికి మీరు ఏమి చర్యలను తీసుకుంటారు ?
జవాబు:
ఇవ్వబడిన 1% H₂O₂ నుండి శుద్ధ H₂O₂ ను క్రింది విధంగా పొందవచ్చు.

1. 1% H₂O₂ ద్రావణాన్ని మొదట నీటితో నిష్కర్షించి. దానిని తగ్గించిన పీడనం వద్ద స్వేదనానికి గురిచేస్తారు. అప్పుడు H₂O₂ ఏర్పడుతుంది.
2. 30% గాఢత గల H₂O₂ ద్రావణాన్ని అల్ప పీడనాల వద్ద జాగ్రత్తగా స్వేదనం చేస్తే గాఢత ఇంకా పెరిగి 85% అవుతుంది.
3. పై దశలోని H₂O₂ ను ఘనీభవనంచేస్తే శుద్ధ H₂O₂ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 23.
ఆధునిక కాలంలో H₂O₂ వలన కలిగే ఏవైనా మూడు ఉపయోగాలను చెప్పండి.
జవాబు:

1. గృహ పారిశ్రామిక వ్యర్థ పదార్థాల కాలుష్య నివారణ అభిచర్యలో వాడతారు.
2. సయనైడ్ల ఆక్సీకరణలో వాడతారు.
3. మురుగు కాల్వల వ్యర్థాలకు ఏరోబిక్ స్థితులను పునర్వవస్థీకరించడానికి దీనిని వాడతారు.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 24.
వ్యాపార సరళిలో డైహైడ్రోజనిని తయారుచేయడంపై ఒక వ్యాసం రాయండి. తుల్య సమీకరణాలను ఇవ్వండి.
జవాబు:
వ్యాపార సరళిలో డైహైడ్రోజన్ ను ఈ క్రింది పద్ధతులలో తయారు చేస్తారు.

i) ప్లాటినమ్ ఎలక్ట్రోడ్లను ఉపయోగించి ఆమ్లీకృత లేదా క్షారయుత జలాన్ని విద్యుద్విశ్లేషణ చేస్తే డై హైడ్రోజన్ ఏర్పడుతుంది.

ii) నెల్సన్ పద్దతిలో బ్రైన్ ద్రావణాన్ని విద్యుత్ విశ్లేషణ చేసి డై హైడ్రోజన్ ను తయారు చేస్తారు.
Nacl → Na⁺ + Cl^–
H₂O → H⁺ + OH^–
ఆనోడ్ వద్ద 2Cl^– → Cl₂ + 2e^–
కాథోడ్ వద్ద 2H⁺ + 2e^– → H₂
2Na⁺ + 20H^– → 2NaOH

iii) ఉత్ప్రేరకం సమక్షంలో, అధిక ఉష్ణోగ్రతల వద్ద హైడ్రోకార్బన్ల పై నీటి ఆవిరి చర్య ఫలితంగా డై హైడ్రోజన్

iv)ఎర్రగా కాల్చిన కోక్ మీదుగా నీటి ఆవిరిని పంపినపుడు డై హైడ్రోజన్ ఏర్పడుతుంది.

CO, H₂ మిశ్రమాన్ని సిన్గ్యాస్ అంటారు. దీనిలోని CO ను ఐరన్ క్రోమేట్ ఉత్ప్రేరకం సమక్షంలో నీటి ఆవిరితో చర్యనొందించి H₂ ను అధికంగా ఉత్పత్తి చేస్తారు. దీనినే వాటర్ గ్యాస్ షిఫ్ట్ చర్య అంటారు.

సోడియం ఆర్శినైట్ ద్రావణంతో మార్జనం చేసి CO₂ ను తొలగిస్తారు.

ప్రశ్న 25.
i) N₂
ii) లోహ అయాన్లు, లోహ ఆక్సైడ్లు
iii) కర్బన సమ్మేళనాలు.
వీటితో చర్యలను బట్టి డైహైడ్రోజన్ రసాయనశాస్త్రాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
i) నైట్రోజన్ చర్య: నైట్రోజన్ హైడ్రోజన్ చర్య జరిపి అమ్మోనియాను ఇస్తుంది.

అమ్మోనియాను భారీగా తయారుచేయటానికి హాబర్ విధానంలో ఈ చర్యనే వాడతారు.

ii) a) లోహ అయాన్లతో చర్య : హైడ్రోజన్, లోహ అయానులను జల ద్రావణంలో లోహాలుగా క్షయకరణం చెందించును.

b) లోహ ఆక్సైడ్లతో చర్య : హైడ్రోజన్ లోహ ఆక్సైడ్ ను లోహాలుగా క్షయకరణం చెందించును.
H₂ + CuO → Cu + H₂O

iii) కర్బన సమ్మేళనాలతో చర్య ఉత్ప్రేరకాల సమక్షంలో హైడ్రోజన్ వివిధ రకాల కర్బన సమ్మేళనాలతో చర్య
జరుపుతుంది.
a) వృక్షజనితమయిన నూనెలను నికెల్ ఉత్ప్రేరక సమక్షంలో హైడ్రోజనీకరణం చేస్తే తినే కొవ్వును ఇస్తుంది.
b) ఓలిఫిన్లతో హైడ్రో ఫార్మైలేషన్ జరిపితే ఆల్డిహైడ్లు వస్తాయి. అవి మళ్ళీ క్షయకరణం చెంది ఆల్కహల్లను ఇస్తాయి.
H₂C = CH₂ + CO + H₂ → CH₃ CH₂ CHO
CH₃ CH₂ CHO + H₂ → CH₃ CH₂ CH₂ OH

ప్రశ్న 26.
కింది వాటిని సరైన ఉదాహరణలతో వివరించండి.
i) ఎలక్ట్రాన్ కొరత గల హైడ్రైడ్లు
ii) ఎలక్ట్రాన్లు కచ్చితంగా ఉన్న హైడ్రైడ్లు
iii) ఎలక్ట్రాన్లు అధికంగాగల హైడ్రైడ్లు
జవాబు:
i) ఎలక్ట్రాన్ కొరత గల హైడ్రైడ్లు : 13వ గ్రూపు మూలకాలన్ని ఎలక్ట్రాన్ కొరత గల హైడ్రైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి. లూయీ నిర్మాణాన్ని సాంప్రదాయ పద్దతిలో రాయటానికి కావలసిన ఎలక్ట్రాన్ల కన్నా తక్కువ ఎలక్ట్రాన్లు ఉంటాయి. ఇవి లూయీ ఆమ్లాలుగా పనిచేస్తాయి. ఉదా : B₂H₆

ii) ఎలక్ట్రాన్లు కచ్చితంగా ఉన్న హైడ్రైడ్లు: 14వ గ్రూపు మూలకాలు ఎలక్ట్రాన్లు కచ్చితంగా ఉన్న హైడ్రైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి. లూయీ నిర్మాణాన్ని సాంప్రదాయక పద్ధతిలో రాయటానికి కావలసిన ఎలక్ట్రాన్లు ఉంటాయి.
ఉదా : CH₄, SiH₄

iii) ఎలక్ట్రాన్లు అధికంగా గల హైడ్రైడ్లు: 15 – 17 గ్రూపు మూలకాలు ఎలక్ట్రాన్లు అధికంగాగల హైడ్రైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి. లూయీ నిర్మాణాన్ని సాంప్రదాయక పద్దతిలో రాయటానికి కావలసిన ఎలక్ట్రాన్ల కన్నా ఎక్కువ ఎలక్ట్రాన్లు ఉంటాయి. ఎక్కువయిన ఈ ఎలక్ట్రాన్లు ఒంటరి జంటలుగా ఉంటాయి. ఇవి లూయీ క్షారాలుగా పనిచేస్తాయి.
ఉదా : NH₃, H₂O

ప్రశ్న 27.
i) అయానిక హైడ్రైడ్లు
ii) అల్పాంతరాళ హైడ్రైడ్ల గూర్చి క్లుప్తంగా రాయండి.
జవాబు:
i) అయానిక హైడ్రైడ్లు లేదా సెలైన్ హైడ్రైడ్లు :
– అధిక ధన విద్యుదాత్మకత కల s – బ్లాక్ మూలకాలు అయానిక హైడ్రేడ్లను ఏర్పరుస్తాయి.
– LiH, BeHz, MgH, వంటి హైడ్రైడ్లలో కొంత సమయోజనీయ లక్షణం కనిపిస్తుంది.
– తయారీ : లోహాన్ని నేరుగా H₂ తో సంయోగం ద్వారా వీటిని పొందవచ్చు.

– ఘన స్థితిలో అయానిక హైడ్రైడ్లు స్పటిక, అభాష్పశీల, అవాహక పదార్థాలు. అయినా వీటి ద్రవాలు విద్యుత్ వాహకాలు. వాటి విద్యుత్ విశ్లేషణలో ఆనోడ్ వద్ద హైడ్రోజన్ వాయువు ఏర్పడుతుంది. దీనిని బట్టి H^– అయాన్ ఉంటుందని నిర్ధారణ అవుతుంది.

– సెలైన్ హైడ్రైడ్లు నీటితో చర్య జరిపి H₂ వాయువును ఇస్తాయి.
NaH + H₂O → NaOH + H₂

ii) అల్పాంతరాళ హైడ్రైడ్లు: d – బ్లాకు, f బ్లాకు మూలకాలు హైడ్రోజన్తో సంయోగం చెంది అల్పాంతర లేదా నాన్-స్టాయికియోమెట్రిక్ హైడ్రైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి. ఉదా : CrH, CrH₂, ZnH₂
అయితే 7, 8, 9 గ్రూపు లోహలు హైడ్రైడ్లను ఇవ్వవు. ఇవి నాన్-స్టాయికియోమెట్రిక్ సమ్మేళనాలు.
ఇంతకు ముందు కాలంలో, ఈ హైడ్రైడ్లలోని హైడ్రోజన్ లోహ జాలకంలోని అల్పాంతరాళాల్లో ఆక్రమించుకొని, జాలక రకంలో మార్పు లేకుండా దానిని వికృతి చెందిస్తుందని భావించారు. అయితే ఇటీవల అధ్యయనాలు Ni, Pd, Ce, AC హైడ్రైడ్లు మినహా మిగిలిన ఈ తరగతి హైడ్రైడ్లన్నింటి జాలకాలు వాటి మాతృ లోహల జాలకాల కంటే భిన్నంగా ఉంటాయని చూపాయి.

pd, pt వంటి లోహాలు చాలా ఎక్కువ ఘనపరిమాణంలో హైడ్రోజనన్ను తమలో ఇముడ్చుకోగలవు. అందుకని హైడ్రోజనన్ను నిల్వచేసే మాధ్యమాలుగా వాటిని ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 28.
నీటి రసాయన ధర్మాలను ఏ నాలుగింటినైనా విశదీకరించండి.
జవాబు:
i) ద్విస్వభావ ప్రవృత్తి : నీరు ఆమ్లంగాను, క్షారంగాను పనిచేయగల సామర్థ్యాన్ని చూపుతుంది. అంటే ద్విస్వభావ పదార్థంగా పనిచేస్తుంది. బ్రాన్టెడ్ సిద్ధాంతపరంగా అది NH₃ తో ఆమ్లంగా పనిచేస్తుంది. H₂S తో నీరు క్షారంగా పనిచేస్తుంది.
H₂O + NH₃ ⇌ OH^– + \(\mathrm{NH}_4^{+}\)
H₂O + H₂S ⇌ H₃O⁺ + HS^–

ii) లోహలతో చర్య : అధిక ధనవిద్యుదాత్మకత గల లోహాలు నీటిని క్షయీకరించి డై హైడ్రోజన్గా మార్చగలవు.
2H₂O + 2Na → 2NaOH + H₂

iii) జలవిశ్లేషణ చర్య : కొన్ని సమయోజనీయ పదార్థాలు, కొన్ని అయానిక పదార్థాలు నీటిలో జలవిశ్లేషణ చెందుతాయి.
P₄O₁₀ + 6H₂O → 4 H₃PO₄
SiCl₄ + 2H₂O → SiO₂ + 4HCl

iv) ఆర్ద్ర లవణాలు ఏర్పడడం : జల ద్రావణాల నుంచి చాలా లవణాలు ఆర్ధ లవణాలుగా స్ఫటికీకరణం చెందగలవు.

a) సమన్వయ సమయోజనీయ జలం : ఉదా : [Cr(H₂O)₆]³⁺ 3Cl^–
b) అల్పాంతరాళ జలం : ఉదా : BaCl₂. 2H₂O
c) హైడ్రోజన్ బంధిత జలం : ఉదా : [Cu (H₂O)₄]²⁺ \(\mathrm{SO}_4^{2-}\) . H₂O ఇది CuSO₄ . 5H₂O లో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 29.
కఠినజలం, మృదుజలం అంటే వివరించండి.
i) `అయాన్ – వినిమయ పద్ధతి
ii) కాల్గన్ పద్ధతులను నీటి కఠినత్వాన్ని తొలగించడానికి వాడకంపై వ్యాఖ్యను రాయండి.
జవాబు:
కఠిన జలం : సబ్బుతో త్వరగా నురుగును ఇవ్వని నీటిని కఠిన జలం అంటారు.

• నీటిలో Ca మరియు Mg లవణాల వలన కఠినత్వం వస్తుంది.
• Ca, Mg బై కార్బోనేట్ల వల్ల అశాశ్వత కాఠిన్యత వస్తుంది.
• Ca, Mg క్లోరైడ్ లు, సల్ఫేట్ల వల్ల శాశ్వత కాఠిన్యత వస్తుంది.

మృదుజలం : సబ్బుతో త్వరగా నురుగును ఏర్పరచే నీటిని మృదుజలం అంటారు.

i) అయాన్ – వినిమయ పద్ధతి : ఈ పద్ధతిని జియొలైట్ లేదా పెరుటిట్ ప్రక్రియ అని కూడా అంటారు. ఆర్థ సోడియమ్ అల్యూమినియమ్ సిలికేట్ (Na AlSiO₄) ను జియొలైట్ లేదా పెరుటిట్ అంటారు. దీనిని కఠిన జలానికి కలిపినపుడు వినిమయ చర్యలు జరుగుతాయి.

జియొలైట్లో ఉన్న సోడియమ్ అంతా ఖర్చు అయిపోయినపుడు అది వ్యయమైపోయింది అని అంటారు. దాన్ని సజల NaCl ద్రావణంతో అభిచర్యని జరిపి పునరుత్పత్తి చేస్తారు.

ii) కాల్గన్ పద్ధతి : సోడియమ్ హెక్సా మెటాఫాస్ఫేట్ (Na₆P₆O₁₈) ని వ్యాపార సరళిలో కాల్గన్ అంటారు. దీనిని కఠిన జలానికి కలిపినపుడు కింది చర్యలు జరుగుతాయి.

సంక్లిష్ట Mg⁺², Ca⁺² అయాన్లు ద్రావణంలో ఉంటాయి. ఇవి సబ్బుతో చర్య నొందవు. కావున ఈ నీరు సబ్బుతో నురగను ఇస్తుంది.

ప్రశ్న 30.
హైడ్రోజన్ పెరాక్సైడ్ ఆక్సీకరణిగాను, క్షయకరణిగాను పనిచేయగలదు అనడానికి రసాయన చర్యలను రాసి సమర్ధించండి.
జవాబు:
ఆమ్ల, క్షార యానకాలు రెండింటిలోను హైడ్రోజన్ పెరాక్సైడ్ ఆక్సీకరణిగాను, క్షయకరణిగాను పనిచేస్తుంది.

i) ఆమ్ల యానకంలో ఆక్సీకరణ చర్య :
2Fe⁺² + 2H⁺ + H₂O → 2Fe⁺³ + 2H₂O
Pbs + 4H₂O₂ → PbSO₄ + 4H₂O

ii) ఆమ్ల యానకంలో క్షయకరణ చర్య :
2 Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 6H⁺ + 5H₂O₂ → 2Mn⁺² + 8H₂O + O₂
HOCl + H₂O₂ → H₃O⁺ + O₂

iii) క్షార యానకంలో ఆక్సీకరణ చర్య :
2Fe⁺² + H₂O₂ → 2Fe⁺³ + 2OH^–
Mn⁺² + H₂O₂ → Mn⁺⁴ + 2OH^–

iv) క్షార యానకంలో క్షయకరణ చర్య :
I₂ + H₂O₂ + 2OH^– → 2I^– + 2H₂O + O₂
2 Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 3H₂O₂ → 2MnO₂ + 3O₂ + 2H₂O + 20H^–

ప్రశ్న 31.
క్రింది రసాయన చర్యలను పూర్తి చేసి తుల్యం చేయండి.
i) Pbs (ఘ) + H₂O₂ (జల) →
ii) Mn\(O_4^{-}\) (జల) + H₂O₂ (జల) →
iii) CaO (ఘ) + H₂O (వా) →
iv) Ca₃N₂ (ఘ) + H₂O (ద్ర) →
పై చర్యలను
a) జలవిశ్లేషణ,
b) ఆక్సీకరణ-క్షయకరణ,
c) హైడ్రేషన్ చర్యలుగా వర్గీకరించండి.
జవాబు:

1. Pbs + 4H₂O₂ → PbSO₄ + 4H₂O
   ఈ చర్య రిడాక్స్ చర్య Pbs ఆక్సీకరణం చెందుతుంది. H₂O₂ క్షయకరణం చెందుతుంది.
2. 2 Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 6H⁺ + 5H₂O₂ → 2Mn⁺² + 8H₂O + 5O₂
   ఈ చర్య రిడాక్స్ చర్య. Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) క్షయకరణం చెందుతుంది. H₂O₂ ఆక్సీకరణం చెందుతుంది.
3. CaO + H₂O → Ca(OH)₂
   ఈ చర్య హైడ్రేషన్ చర్య
4. Ca₃N₂ + H₂O → 3 Ca(OH)₂ + 2NH₃
   ఈ చర్య జలవిశ్లేషణ చర్య.

ప్రశ్న 32.
హైడ్రోజన్ పెరాక్సైడిని తయారుచేయడానికి వివిధ పద్ధతులను వాటికి అనువైన రసాయన సమీకరణాలతో చర్చించండి. వీటిలో ఏ పద్ధతి H₂O₂ ని తయారుచేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది ?
జవాబు:

1. బెరీయం పెరాక్సైడు చల్లని విలీన H₂SO₄ ను కలపడం ద్వారా H₂O₂ ను తయారుచేయవచ్చు.
   BaO₂. 8H₂O (s) + H₂SO₄ (aq) → BaSO₄ + H₂O₂ (aq) 8H₂O
2. 50% H₂SO₄ ద్రావణాన్ని విద్యుద్విశ్లేషణ చేయడం ద్వారా పెరాక్సో డై సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లాన్ని తయారుచేస్తారు. దీనిని జలవిశ్లేషణ చేస్తే H₂O₂ ఏర్పడుతుంది.
   2HS\(\mathrm{O}_4^{-}\) → H₂ S₂ O₈ + 2e^–
   H₂S₂O₈ + 2H₂O → 2H₂SO₄ + H₂O₂
3. పారిశ్రామికంగా H₂O₂ ను 2 – ఆల్మెన్ ఆంత్రా క్వినోల్ను స్వయం ఆక్సీకరణం చేసి తయారుచేస్తారు.
   

ప్రశ్న 33.
H₂O₂ గాఢతని ఎన్ని రకాలుగా మీరు చెప్పగలరు ? 15 ఘనపరిమాణ H₂O₂ గాఢతని gL^-1 లలో లెక్కగట్టండి. ఈ గాఢతను నార్మాలిటీ, మొలారిటీలలో తెలియజేయండి.
జవాబు:
i) H₂O₂ ద్రావణ గాఢతను ఘనపరిమాణాలలో సూచిస్తారు.
ఉదా : 10 ఘ.ప H₂O₂, 20 ఘ.ప H₂O₂ మరియు 100 ఘ.ప H₂O₂
20 ఘ.ప H₂O₂ అనగా 1 మి.లీ ద్రావణం STP వద్ద 20 మి.లీ. O₂ ను విడుదలచేస్తుంది.
∵ 10 మి.లీ 20 ఘ.ప H₂O₂ STP వద్ద 200 మి.లీ. O₂ విడుదల చేస్తుంది.
10 ఘ.ప H₂O₂ ద్రావణం అనగా 1 మి.లీ. ద్రావణం STP వద్ద 10 మి.లీ. O₂ వాయువును విడుదలచేస్తుంది.

ii) H₂O₂ గాఢతను భారశాతంలో చెప్పడం : H₂O₂ ఈ క్రింది విధంగా విఘటనం చెందుతుంది.

2 మోల్ల H₂O₂ నుండి 1 మోల్ O₂ వాయువు వెలువడుతుంది. ∴ 2 × 34 గ్రా. H₂O₂ నుండి 22.4 లీ O₂ వెలువడుతుంది.
STP వద్ద 10 లీ O₂ వాయువును ఇచ్చే H₂O₂ భారం
1 లీ|| ద్రావణంలో H₂O₂ భారం = \(\frac{2 \times 34 \times 10}{22.4}\) = 30.36 %
30.36%(W/V) 100 మి.లీ ద్రావణం H₂O భారాన్ని సూచిస్తుంది.
∵ H₂O₂ శక్తి = 30.36 (W/V)
∵ H₂O₂ మొలారిటి : ∵ H₂O₂ ద్రావణపు మొలారిటి = \(\frac{30.36}{34}\) = 0.893 M
H₂O₂ నార్మాలిటి : నార్మాలిటి అనగా 1లీ ద్రావణంలో గల ద్రావితపు తుల్యభారాల సంఖ్య.
∴ నార్మాలిటి = \(\frac{30.36}{17}\) = 1.786 N
15 ఘ.ప H₂O₂ శక్తి :
10 ఘ.ప H₂O₂ అనగా 3% W/V
15 ఘ.ప H₂O₂ అనగా \(\frac{15 \times 3}{10}\) = 4.5 gm / 100 మి.లీ.
1 litre H₂O₂ భారం = 45 gm/Litre
10 ఘ.ప H₂O₂ నార్మాలిటి – 1.786
15 ఘ.ప H₂O₂ నార్మాలిటి = \(\frac{15 \times 1.786}{10}\) = 2.679 N

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 8 Democracy to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 8 Democracy

→ Democracy is not only a form of government but also a way of life.

→ The term ‘Democracy’ is originated from two Greek words ‘Demos’ and ‘Kratos’ which means people and rule or authority.

→ “Democracy is the government of the people, by the people and for the people”. – Abraham Lincoln.

→ “Democracy is a government in which everyone has a share.” – J.R.Seeley

→ Democracy is classified into two types, namely, Direct democracy and Indirect democracy.

→ Referendum, initiative, plebiscite, and recall are said to be the devices of direct democracy.

→ Direct democracy is followed in some cantons of Switzerland.

→ Indirect democracy is also known as representative democracy.

→ The term ‘referendum’ literally means ‘refer to’.

→ Initiative ensures popular sovereignty.

→ The term ‘plebiscite’ is derived from two Latin words ‘plebis’ and ‘scitum’ which means people and decree respectively.

→ Recall is an important direct democratic device that allows the voters to call back their elected representatives on their failures.

→ The future of Democracy totally depends on how citizens perceive and play their role in public affairs.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 8 ప్రజాస్వామ్యం

→ ప్రజాస్వామ్యాన్ని ఆంగ్లంలో ‘డెమోక్రసీ (Democracy)’ అంటారు. ఈ పదము ‘డెమోస్ (Demos)’ మరియు’ క్రటోస్ (Kratos)’ అను రెండు గ్రీకు పదముల నుండి గ్రహించబడింది. డెమోస్ అంటే ‘ప్రజలు’, క్రటోస్ అంటే ”అధికారం’ లేదా ‘పాలనా’ అని అర్థం.’

→ ప్రజాస్వామ్యం ఒక ప్రభుత్వ విధానమే కాదు ఒక జీవన విధానం కూడా.

→ “ప్రజాస్వామ్యం అంటే ప్రజల యొక్క, ప్రజల చేత, ప్రజల కొరకు పరిపాలించే, నిర్వహించబడే ప్రభుత్వం” కి అబ్రహాం లింకన్ మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ “పరిపాలనలో, ప్రభుత్వంలో ప్రతి ఒక్కరికి భాగస్వామ్యం కల్పించే ప్రభుత్వమే ప్రజాన మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ ప్రజాస్వామ్య వ్యవస్థలో ప్రజలంతా సంపూర్ణ స్వేచ్ఛా, స్వాతంత్య్రాలను కలిగి ఉంటారు.

→ ప్రజాస్వామ్యం రెండు రకాలుగా ఉంటుంది. అవి : 1) ప్రత్యక్ష ప్రజాస్వామ్యం 2) పరోక్ష ప్రజాస్వామ్యం.

→ ప్రత్యక్ష ప్రజాస్వామ్యం నాలుగు పద్ధతుల ప్రాతిపదికగా పనిచేస్తుంది. అవి :

1. ప్రజాభిప్రాయ సేకరణ
2. ప్రజాభిప్రాయ నివేదన
3. ప్రజాభిప్రాయ నిర్ణయం
4. పునరాయనం.

→ పరోక్ష ప్రజాస్వామ్యాన్నే పాత్రినిధ్య ప్రజాస్వామ్యమని కూడా అంటారు.

→ పత్యక్ష ప్రజాస్వామ్య పద్ధతి స్విట్జర్లాండ్ లోని కొన్ని కాంటన్ (రాష్ట్రాలు) లలో అమలులో ఉన్నది.

→ పునరాయనం అనగా ఎన్నికైన ప్రతినిధులు తమ విధులను నిర్వర్తించటంలో విఫలమైతే ఓటర్లచేత వెనుకకు పిలవబడతారు.

→ ప్రజాభిప్రాయ సేకరణ ప్రజల సార్వభౌమాధికారాన్ని ప్రతిబింబిస్తుంది.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 4 Addition of Vectors Ex 4(a) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Addition of Vectors Solutions Exercise 4(a)

I.
Question 1.
ABCD is a parallelogram. If L and M are the middle points of BC CD respectively then find
i) \(\overline{\mathrm{A L}}\) and \(\overline{\mathrm{A M}}\) in terms of \(\overline{\mathrm{A B}}\) and \(\overline{\mathrm{A D}}\)
ii) λ, if \(\overline{\mathrm{A M}}\) = λ \(\overline{\mathrm{A C}}-\overline{\mathrm{A L}}\) (V.S.A)
Answer:

ABCD is a parallelogram and hence \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{DC}}\) and \(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{AD}}\)
We have \(\overline{\mathrm{BC}}\) = \(\frac{1}{2} \overline{\mathrm{BC}}\)
(∵ L is the mid point of BC)
= \(\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AD}}\) (∵ BC = AD)

Question 2.
In AABC, P, Q and R are the mid points of the sides AB, BC and CA respectively. If D is any point
i) Then express \(\overline{\mathrm{DA}}+\overline{\mathrm{DB}}+\overline{\mathrm{DC}}\) in terms of \(\overline{\mathrm{DP}}, \overline{\mathrm{DQ}}\) and \(\overline{\mathrm{DR}}\).
ii) If \(\overline{\mathrm{P A}}+\overline{\mathrm{Q B}}+\overline{\mathrm{R C}}=\bar{\alpha}\), then find a.(V.S.A)
Answer:
Let D be the origin.

and \(\overline{\mathrm{DA}}=\overline{\mathrm{a}}\) , \(\overline{\mathrm{DB}}=\overline{\mathrm{b}}\) and \(\overline{\mathrm{DC}}=\overline{\mathrm{c}}\)
P.V. of P is mid point of \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{DP}}=\frac{\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}}{2}\)
P.V. of Q is mid point of \(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{DQ}}=\frac{\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}}}{2}\)
P.V. of R is mid point of \(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{DR}}=\frac{\overline{\mathrm{c}}+\overline{\mathrm{a}}}{2}\)

Question 3.
Let a̅ = i̅ + 2 j̅ + 3k̅ and b̅ = 3 i̅ + j̅. Find the unit vector in the direction of \(\bar{a}+\bar{b}\). (V.S.A)
Answer:
Unit vector in the direction of \(\bar{a}+\bar{b}\) is

Question 4.
If the vectors -3i̅ + 4j̅ + λk̅ and μi̅ + 8j̅ + 6k̅ are collinear vectors then find λ and μ. (May 2014, ’12, Mar. ’14)
Answer:
If the vectors a₁ i̅ + b₁ j̅ + c₁k̅ and a₂ i̅ + b₂ j̅ + c₂k̅ are collinear then

Question 5.
ABCDE is a pentagon. If the sum of the vectors \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{AE}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{DC}}, \overline{\mathrm{ED}}\) and \(\overline{\mathrm{A C}}\) is λ \(\overline{\mathrm{A C}}\) , then find the value of λ. (S.A)
Answer:

Given ABCDE is a pentagon and

Question 6.
If the position vectors of the points A, B and C are -2i̅ + j̅ – k̅, -4i̅ + 2j̅ + 2k̅ and 6i̅ – 3j̅ – 13k̅ respectively and \(\overline{\mathrm{AB}}\) = λ\(\overline{\mathrm{A C}}\) then find the value of λ. (March 2011) (S.A)
Answer:
Let O be the origin and given

Question 7.
If \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}\); \(\overline{\mathrm{AB}}=3 \overline{\mathrm{i}}-2 \overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}\), \(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{i}}+2 \overline{\mathrm{j}}-2 \overline{\mathrm{k}}\) and \(\overline{\mathrm{CD}}=2 \overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}+3 \overline{\mathrm{k}}\) then find the vector \(\overline{\mathrm{OD}}\). (March 2013) (V.S.A)
Answer:
Since \(\overline{\mathrm{OA}}+\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{OD}}\)
⇒ \(\overline{\mathrm{OD}}\) = (i̅ + j̅ + k̅) + (3i̅ – 2j̅ + k̅) + (i̅ + 2 j̅ – 2k̅) + (2 i̅ + j̅ + 3k̅)
= 7i̅ + 2j̅ + 3k̅

Question 8.
If a̅ = 2i̅ + 5j̅ + k̅ and b̅ = 4i̅ + mj̅ + nk̅ are collinear vectors then find m and n. (May 2011) (V.S.A)
Answer:
Since a̅ = 2i̅ + 5j̅ + k̅ and
b̅ = 4i̅ + mj̅ + nk̅ are collinear
⇒ \(\frac{2}{4}=\frac{5}{m}=\frac{1}{n}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{5}{m}\) and \(\frac{1}{2}=\frac{1}{n}\) ⇒ m = 10 and n = 2

Question 9.
Let a̅ = 2i̅ + 4j̅ – 5k̅, b̅ = i̅ + j̅ + k̅ and c̅ = i̅ + 2k̅. Find the unit vector in the opposite direction of a̅ + b̅ + c̅. (March 2015-A.P)(May 2012; Mar. ’04, ’12; Board Model Paper) (V.S.A)
Answer:

Question 10.
Is the triangle formed by the vectors 3i̅ + 5j̅ + 2k̅, 2i̅ – 3j̅ – 5k̅ and -5i̅ – 2 j̅ + 3k̅ equilateral ? (V.S.A)
Answer:
Let ABC be the triangle with AB = 3i̅ + 5 j̅ + 2k̅
BC = 2i̅ – 3 j̅ – 5k̅
CA = -5i̅ – 2j̅ + 3k̅

∴ The given vectors formed on equilateral triangle.

Question 11.
If α, β and γ are the angles made by the vector 3i̅ – 6j̅ + 2k̅ with the positive directions of the coordinate axes then find cos α, cos β, cos γ. (S.A)
Answer:
Unit vectors along the coordinate axes are respectively i̅, j̅, k̅
Let p̅ = 3i̅ – 6j̅ + 2k̅

Question 12.
Find the angles made by the straight line passing through the points (1, -3, 2) and (3, -5, 1) with the coordinate axes. (S.A)
Answer:
Let the vectors along the coordinate axes be i̅, j̅, k̅ respectively. Let O be the origin and the points A(1, -3, 2) and B(3, -5, 1).
i. e. \(\overline{\mathrm{OA}}\) = i̅ – 3 j̅ + 2k̅, \(\overline{\mathrm{OB}}\) = 3 i̅ – 5 j̅ + k̅
\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (3i̅ – 5j̅ + k̅) – (i̅ – 3j̅ + 2k̅) = 2i̅ – 2j̅ – k̅
Let α be the angle between \(\overline{\mathrm{AB}}\) and i̅ then
cos α = \(\frac{\overline{\mathrm{AB}} \cdot \overline{\mathrm{i}}}{|\overline{\mathrm{AB}}||\overline{\mathrm{i}}|}=\frac{2}{\sqrt{4+4+1} \cdot(1)}=\frac{2}{3}\)

Similarly if β, γ be the angles between \(\overline{\mathrm{AB}}\) and j and \(\overline{\mathrm{AB}}\) and k̅ then

∴ The angles made by the straight line AB with X, Y, Z axes are
α = cos^-1\(\left(\frac{2}{3}\right)\)
β = cos^-1\(\left(\frac{2}{3}\right)\)
γ = cos^-1\(\left(\frac{2}{3}\right)\)

II.
Question 1.
If a̅ + b̅ + c̅ = αd̅, b̅ + c̅ + d̅ = βa̅ and a̅, b̅, c̅ are non-coplanar vectors, then show that a̅ + b̅ + c̅ + d̅ = 0̅. (S.A)
Answer:
Given a̅ + b̅ + c̅ = αd̅ ……………. (1)
b̅ + c̅ + d̅ = βa̅ …………….. (2)
From (2), d̅ = pa̅ – b̅ – c̅
From (1), a̅ + b̅ + c̅ = a, (pa̅ – b̅ – c̅)
⇒ (1 – αβ)a̅ + (1 + a)b̅ + (1 + a)c̅ = 0
∴ a̅, b̅, c̅ are non coplanar vectors
1 – αβ = 0 ⇒ αβ = 1 and
1 + α = 0 ⇒ α = -l β = -1
Hence from (1); a̅ + b̅ + c̅ = -d̅
⇒ a̅ + b̅ + c̅ + d̅ = 0

Question 2.
a̅, b̅, c̅ are non coplanar vectors. Prove that the following four points are coplanar.
i) -a̅ + 4b̅ – 3c̅, 3a̅ + 2b̅ – 5c̅ (May,’14,’12)
-3a̅ + 8b̅ – 5c̅, – 3a̅ + 2b̅ + c̅
Answer:
Let 0 be the origin and A, B, C, D are the four points given by
OA = -a̅ + 4b̅ – 3c̅, OB = 3a̅ + 2b̅ – 5c̅
OC = -3a̅ + 8b̅ – 5c̅, OD = -3a̅ + 2b̅ + c̅
\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (3a̅ + 2b̅ – 5c̅) – (-a̅ + 4b̅ – 3c̅)
= 4a̅ – 2b̅ – 2c̅
\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (-3a̅ + 2b̅ – 5c̅) – (3a̅ + 2b̅ – 5c̅)
= -6a̅ – 4b̅ + 3c̅
\(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{OC}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (-3a̅ + 8b̅ – 5c̅) – (-a̅ + 4b̅ – 3c̅) = -2a̅ + 4b̅ – 2c̅
\(\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{OD}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (3a̅ + 2b̅ + c̅) – (-a̅ + 4b̅ – 3c̅) = -2a̅ – 2b̅ + 4c̅
Let a vector be expressed as a linear combination of other two.
Suppose \(\overline{\mathrm{AB}}\) = x(\(\overline{\mathrm{AC}}\)) + y (\(\overline{\mathrm{AD}}\)) where x, y are scalars.
∴ 4a̅ – 2b̅ – 2c̅ = x (-2a̅ + 4b̅ – 2c̅) + y(-2a̅ – 2b̅ + 4c̅)

Comparing coefficients of a̅, b̅, c̅ we get
(∵ a̅, b̅, c̅ are non coplanar vectors)
-2x – 2y = 4 ……………(1)
4x – 2y = -2 ……………(2)
-2x + 4y = -2 ………….(3)
Solving (1) and (2) we get 2x + 2y = – 4 and 4x – 2y = – 2
6x = – 6 ⇒ x = -1
x + y = -2 ⇒ y = -1
x = – 1 and y = -1 satisfy equation (3).
⇒ A, B, C, D are coplanar and
\(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{AD}}\) are coplanar.
and \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{AD}}\) are coplanar.
∴ The given points A, B, C, D are coplanar.

ii) 6a̅ + 2b̅ – c̅, 2a̅ – b̅ + 3c̅, -a̅ + 2b̅ – 4c̅, -12a̅ – b̅ – 3c̅
Answer:
Let O be the origin and A, B, C, D be the given points.
\(\overline{\mathrm{OA}}\) = 6a̅ + 2b̅ – c̅, \(\overline{\mathrm{OB}}\) = 2a̅ – b̅ + 3c̅
\(\overline{\mathrm{OC}}\) = -a̅ + 2b̅ – 4c̅, \(\overline{\mathrm{OD}}\) = -12a̅ – b̅ – 3c̅
∴ \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\)
= (2a̅ – b̅ + 3c̅) – (6a̅ + 2b̅ – c̅)
= – 4a̅ – 3b̅ + 4c̅
\(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{OC}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (-a̅ + 2b̅ – 4c̅) – (6a̅ + 2b̅ – c̅) = -7a̅ – 3c̅
\(\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{OD}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (-12a̅ – b̅ – 3c̅) – (6a̅ + 2b̅ – c̅)= -18a̅ – 3b̅ – 2c̅
∴ Let a vector be expressed as a linear combination of other two.
Suppose \(\overline{\mathrm{AB}}\) = x\(\overline{\mathrm{AC}}\) + y\(\overline{\mathrm{AD}}\)
⇒ -4a̅ – 3b̅ + 4c̅ = x(-7a̅ – 3c̅) + y(-18a̅ – 3b̅ – 2c̅)

Comparing coefficients of a̅, b̅, c̅ since a̅, b̅, c̅ are non coplanar,
-7x – 18y = – 4 …………(1)
-3y = -3 ⇒ y = 1 ……….(2)
∴ -7x – 18 = – 4 ⇒ – 7x = 14 ⇒ x = -2
Comparing coefficient of c,
-3x – 2y = 4 ………..(3)
x = – 2 and y = 1 satisfy equation (3)
and hence A, B, C, D are coplanar.

Alternate Method For Above Problem :
Use scalar triple product of vectors \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{AC}}\) and \(\overline{\mathrm{AD}}\) show that this
\(\overline{\mathrm{AB}} \cdot(\overline{\mathrm{AC}} \times \overline{\mathrm{AD}})\) = 0
\([\overline{\mathrm{AB}} \overline{\mathrm{AC}} \overline{\mathrm{AD}}]=\left|\begin{array}{rrr}
-4 & -3 & 4 \\
-7 & 0 & -3 \\
-18 & -3 & -2
\end{array}\right|\)
= -4 (-9) + 3 (14 – 54) + 4 (21)
= 36- 120 + 84 = 0
∴ Vectors AB, AC, AD are coplanar
⇒ The given points A, B, C, D are coplanar.

Question 3.
If i̅, j̅, k̅ are unit vectors along the positive directions of the co-ordinate axes, then show that the four points 4i̅ + 5j̅ + k̅, – j̅ – k̅ , 3i̅ + 9j̅ + 4k̅ and -4i̅ +4j̅ +4k̅ are coplanar. (Mar. ’14)
Answer:
Let O be the origin and let A, B, C, D be the given points. Then \(\overline{\mathrm{OA}}\) = 4i̅ + 5j̅ + k̅,
\(\overline{\mathrm{OB}}\) = – j̅ – k̅, \(\overline{\mathrm{OC}}\) = 3i̅ + 9 j̅ + 4k̅,
\(\overline{\mathrm{OD}}\) = -4 i̅, + 4 j̅, + 4k̅,
Now AB = OB — OA = (-j̅ – k̅) – (4i̅ + 5j̅ + k̅) – 4i̅ – 6j̅ – 2k̅
AC = OC – OD = -i̅ + 4j̅ + 3k̅,
AD = OD – OA = -8i̅ – j̅ + 3k̅
Let \(\overline{\mathrm{AB}}\) = x(\(\overline{\mathrm{AC}}\)) + y(\(\overline{\mathrm{AD}}\)) for some values of x and y
⇒ – 4i̅ – 6j̅ – 2k̅ = x(- i̅ + 4j̅ + 3k̅) + y(-8i̅ – j̅ + 3k̅)
⇒ (x + 8y – 4) i̅ + (-4x + y – 6)j̅ + (-3x – 3y – 2)k̅ = 0
∴ i̅, j̅, k̅ are non coplanar
x + 8y – 4 = 0 …………..(1)
4x – y + 6 = 0 …………..(2)
3x + 3y + 2 = 0 ………….(3)
Solving (1) and (2) we get

Hence the vectors AB, AC and AD are coplanar
⇒ The given points A, B, C, D are coplanar.

Second method :
\(\left[\begin{array}{lll}
\overline{\mathrm{AB}} & \overline{\mathrm{AC}} & \overline{\mathrm{AD}}
\end{array}\right]=\left|\begin{array}{rrr}
-4 & -6 & -2 \\
-1 & 4 & 3 \\
-8 & -1 & 3
\end{array}\right|\)
= – 4 (12 + 3) + 6 (- 3 + 24) – 2 (1 + 32)
= – 60 + 126 – 66 = 0
The vectors \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{AD}}\) are coplanar.
⇒ The given points A, B, C, D are coplanar.

Question 4.
If a̅, b̅, c̅ are non coplanar vectors, then test for the collinearity of the following points whose position vectors are given by
(i) a̅ – 2b̅ + 3c̅, 2a̅ + 3b̅ – 4c̅, – 7b̅ + 10c̅ (S.A)
Answer:
Given a, b, c are the non coplanar vectors
Let \(\overline{\mathrm{OA}}\) = a̅ – 2b̅ + 3c̅. \(\overline{\mathrm{OB}}\) = 2a̅ + 3b̅ – 4c̅
and \(\overline{\mathrm{OC}}\) = -7b̅ + 10c̅ be the points with respect to specific origin O’.
Then \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = a̅ + 5b̅ – 7c̅
\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = -2a̅ – 10b̅ + 14c̅
and \(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{OC}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = -a̅ – 5b̅ + 7c̅
∴ \(\overline{\mathrm{BC}}=-2(\overline{\mathrm{AB}}) \Rightarrow \overline{\mathrm{BC}}=2 \overline{\mathrm{BA}}\)
∴ The points A, B, C are collinear.
(∵ \(\overline{\mathrm{BC}}=\lambda \overline{\mathrm{BA}}\) where λ = 2)

ii) 3a̅ – 4b̅ + 3c̅, – 4a̅ + 5b̅ – 6c̅, 4a̅ – 7b̅ + 6c̅
Answer:
Let \(\overline{\mathrm{OA}}\) = 3a̅ – 4b̅ + 3c̅,
\(\overline{\mathrm{OB}}\) = -4a̅ + 5b̅ – 6c̅,
\(\overline{\mathrm{OC}}\) = 4a̅ – 7b̅ + 6c̅
∴ \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = -7a̅ + 9b̅ – 9c̅
\(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{OC}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = a̅ – 3b̅ + 3c̅
\(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{OC}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = 8a̅ – 12b̅ + 12c̅
∴ \(\overline{\mathrm{AB}} \neq \lambda \overline{\mathrm{BC}}\), λ is a scalar.
⇒ The points A, B, C are non collinear.

iii) 2a̅ + 5b̅ – 4c̅, a̅ + 4b̅ – 3c̅, 4a̅ + 7b̅ – 6c̅
Answer:
Let O be the origin and A, B, C be the given points.
Then \(\overline{\mathrm{OA}}\) = 2a̅ + 5b̅ – 4c̅.
\(\overline{\mathrm{OB}}\) = a̅ + 4b̅ – 3c̅.
and \(\overline{\mathrm{OC}}\) = 4a̅ + 7b̅ – 6c̅
\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (a̅ + 4b̅ – 3c̅) – (2a̅ + 5b̅ – 4c̅)
= -a̅ – b̅ + c̅
\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (4a̅ + 7b̅ – 6c̅) – (a̅ + 4b̅ – 3c̅)
= 3a̅ + 3b̅ – 3c̅ = -3(a̅ – b̅ + c̅)
\(\overline{\mathrm{BC}}=-3(\overline{\mathrm{AB}})\)
⇒ \(\overline{\mathrm{BC}}=3(\overline{\mathrm{BA}})\) where λ = 3
∴ The points A, B, C are collinear.

III.
Question 1.
In the cartesian plane, O is the origin of the coordinate axes. A person starts at O and walks a distance of 3 units in the North-East direction and reaches the point P. From P he walks 4 units of distance parallel to North-West direction and reaches the point
Q. Express the vector \(\overline{\mathrm{OQ}}\) in terms of i̅ and j̅ (observe that (∠XOP=45°) (S.A)
Answer:

O is the origin and ∠XOP = 45°
The person starts at 0 and walks a distance of 3 units in North-East direction.
∴ \(\overline{\mathrm{OP}}\) = (3cos45°) i̅ + (3sin45°) j̅
= \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)i̅ + \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)j̅
PQ = 4 units
and pp is parallel to X axis
∴ ∠RPQ = 135°
PQ is parallel to North-West direction

Question 2.
The points O, A, B, X and Y are such that \(\overline{\mathrm{OA}}\) = a̅, \(\overline{\mathrm{OB}}\) = b̅, \(\overline{\mathrm{OX}}\) = 3a̅ and \(\overline{\mathrm{OY}}\) = 3b̅. Find \(\overline{\mathrm{BX}}\) and \(\overline{\mathrm{AY}}\) interms of a and 5. Further, if the point P divides AY in the ratio 1 : 3, then express \(\overline{\mathrm{BP}}\) in terms of a and b. (S.A)
Answer:
Given \(\overline{\mathrm{OA}}\) = a̅, \(\overline{\mathrm{OB}}\) = b̅, \(\overline{\mathrm{OX}}\) = 3a̅ \(\overline{\mathrm{OY}}\) = 3b̅
\(\overline{\mathrm{BX}}=\overline{\mathrm{OX}}-\overline{\mathrm{OB}}\) = 3a̅ – b̅
\(\overline{\mathrm{AY}}=\overline{\mathrm{OY}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = 3b̅ – a̅
If P divides \(\overline{\mathrm{AY}}\) in the ratio 1 : 3 then the position vector of P is \(\overline{\mathrm{OP}}\)

Question 3.
In ΔOAB, E is the midpoint of AB and F Is a point on OA such that OF = 2 FA. If C Is the point of intersection of \(\overline{\mathrm{OE}}\) and \(\overline{\mathrm{BF}}\) then find the ratios OC : CE and BC : CF. (S.A)
Answer:

Let O be the origin and \(\overline{\mathrm{OA}}\) = a̅, \(\overline{\mathrm{OB}}\) = b̅
Since E is the midpoint of AB,
\(\overline{\mathrm{OE}}\) = \(\frac{\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}}{2}\)

and OF = 2 FA ⇒ F divides OA in the ratio 2 : 1
\(\overline{\mathrm{OF}}\) = \(\frac{2 \bar{a}+1(0)}{2+1}=\frac{2}{3} \bar{a}\)

C is the point of intersection of \(\overline{\mathrm{OE}}\) and \(\overline{\mathrm{BF}}\).
let C divides \(\overline{\mathrm{OE}}\) in the ratio 1 : λ then the position vector of C is
\(\overline{\mathrm{OC}}\) = \(\frac{1(\overline{\mathrm{OE}})+\lambda(0)}{1+\lambda}=\frac{\overline{\mathrm{OE}}}{\lambda+1}=\frac{\bar{a}+\bar{b}}{2(\lambda+1)}\) ………..(1)

Let C divides \(\overline{\mathrm{BF}}\) in the ratio μ : 1 then the position vector of C is

⇒ 4(λ + 1) = 5
⇒ 4λ = 1 ⇒ λ = \(\frac{1}{4}\)

C divides OE in the ratio 1 : \(\frac{1}{4}\) = 4 : 1
∴ OC : CE = 4 : 1
C divides BF in the ratio μ : 1 = \(\frac{3}{2}\) : 1
= 3 : 2
∴ BC : CF = 3 : 2

Question 4.
The point E divides the segment PQ internally in the ratio 1 : 2 and R is any point not on the line PQ. If F is a point on QR such that QF: FR = 2 : 1, then show that EF is parallel to PR. (S.A)
Answer:

Let O be the origin and \(\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{OQ}}=\overline{\mathrm{b}}\) and \(\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{OQ}}=\overline{\mathrm{b}}\)
E divides PQ in the ratio 1: 2

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 7 Citizenship to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 7 Citizenship

→ Citizenship is a privilege of individuals residing in democratic states.

→ Persons, who possess citizenship are known as citizens.

→ Citizen is a person who has shared in deliberative functions of the state – Aristotle.

→ One’s capacity to rule and to be ruled is citizenship -Aristotle.

→ The persons who reside in other states are known as Aliens.

→ According to Jus Sanguinis, citizenship is acquired on the basis of blood relationship.

→ According to Jus Soli, citizenship is acquired by the principle of the place of Birth.

→ Natural citizenship is acquired by the persons on the grounds of birth or residence.

→ Naturalised citizenship is conferred by a state to the Aliens.

→ Ignorance, illiteracy, poverty, and selfishness are hindrances to good citizenship.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 7 పౌరసత్వం

→ పౌరసత్వం ప్రజాస్వామ్య రాజ్యాలలో నివసించే వ్యక్తుల ప్రత్యేక హక్కు.

→ రాజ్య వ్యవహారాలలో ప్రత్యక్షంగా, చురుకైన పాత్ర కలిగిన వ్యక్తియే పౌరుడిగా పరిగణించాలని అరిస్టాటిల్ పేర్కొన్నాడు.

→ రాజ్యంలో పౌరుడు శాశ్వత ప్రాతిపదికగా నివసిస్తాడు.

→ రాజ్యంలో విదేశీయులు తాత్కాలిక ప్రాతిపదికన నివసిస్తారు.

→ పౌరసత్వం రెండు పద్ధతుల ద్వారా సంక్రమిస్తుంది.
అవి :

1. సహజ పౌరసత్వం
2. సహజీకృత లేదా సంపాదిత పౌరసత్వం.

→ సహజ పౌరసత్వం మూడు అంశాల ప్రాతిపదికగా లభిస్తుంది. అవి :

1. జస్ సోలి (భూమి లేదా జన్మస్థలం)
2. జస్ సాంగ్వినీస్ (బంధుత్వం లేదా రక్తసంబంధం)
3. మిశ్రమ సూత్రం.

→ సహజ పౌరసత్వం లేని వ్యక్తి సహజీకృత పద్ధతి ద్వారా రాజ్య పౌరసత్వాన్ని పొందేందుకు నిర్ణీత కాలం పాటు నివసించాలి.

→ విదేశీ పురుషుడిని వివాహం చేసుకొన్న మహిళ తన స్వదేశీ పౌరసత్వాన్ని కోల్పోయి, తన భర్తకు చెందిన రాజ్య పౌరసత్వాన్ని పొందుతుంది.

→ సైన్యం నుండి పారిపోయినా, రాజ్యానికి వ్యతిరేకంగా కుట్రలు, కుతంత్రాలకు పాల్పడినా, వారి పౌరసత్వాన్ని కొన్ని దేశాలు రద్దు చేస్తాయి.

→ మంచి పౌరుడు మంచి ప్రవర్తనను కలిగి ఉండాలి.

→ మంచి పౌరసత్వానికి అజ్ఞానం, నిరక్షరాస్యతలనేవి ప్రధాన ఆటంకాలుగా పరిగణించబడతాయి.

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 8th Lesson డోలనాలు Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 8th Lesson డోలనాలు

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
డోలనాత్మకం కాని ఆవర్తన చలనాలకు రెండు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
జవాబు:

1. గడియారములో సెకనుల ముల్లు చలనము.
2. స్థిరకోణీయ వడితో తిరుగుతూ ఉన్న ఫ్యాన్ రెక్కలు.

ఈ రెండు సందర్భాలలో అవి స్థిర కోణీయ వడితో తిరుగుచున్నవి. అవి ఆవర్తన చలనాలు. వీటి కంపన పరిమితి కాలంతో మారదు. కావున వీటిని సరళహరాత్మక చలనముగా తీసుకొనబడవు.

ప్రశ్న 2.
సరళ హరాత్మక చలన స్థానభ్రంశాన్ని y = a sin (20t + 4) తో సూచించారు. కాలాన్ని \(\frac{2 \pi}{\omega}\) పెంచితే దాని స్థానభ్రంశం ఎంత ?
జవాబు:
సరళ హరాత్మక చలన స్థానభ్రంశం y = a sin (20t + 4) తో సూచిస్తే అందులోని sin ప్రమేయంలో గల ఆర్గ్యుమెంట్ 20t. ఇది \(\frac{2 \pi}{\omega}\) అనగా ఆవర్తనకాలము (T) తో ఆవర్తనం చెందితే దాని స్థానభ్రంశంలో మార్పు ఉండదు.
వివరణ : (20t + 4) ను θ అనుకోండి. \(\frac{2 \pi}{\omega}\) = T. Tకాలంలో స్థానభ్రంశము 2π (ఆవర్తన చలనానికి)
y = sin θ మరియు Ꭹ₁ = sin (θ + 2π) అవుతాయి. కాని sin θ = sin (θ + 2π) కావున y₁ = y అవుతుంది.

ప్రశ్న 3.
ఒక బాలిక ఊయలలో కూర్చొని ఊగుతుంది. బాలిక ఊయలలో నిలబడితే దాని డోలన పౌనఃపున్యం ఏవిధంగా మారుతుంది ?
జవాబు:
బాలిక ఊయలలో నిలబడితే ఆమె ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఆధారానికి దగ్గరగా జరగడంవల్ల లోలకం పొడవు తగ్గును.
ఫలితంగా ఆవర్తన కాలము (T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g}}\)) తగ్గుతుంది.
కాబట్టి ఊయల పౌనఃపున్యం పెరుగును.

ప్రశ్న 4.
లఘులోలకం గుండు నీటితో నిండిన ఒక బోలు గోళం. గోళం నుంచి నీరు కారిపోతుంటే దాని డోలనావర్తన కాలం ఏవిధంగా మారుతుంది ?
జవాబు:
బోలు గోళం నుండి నీరు కారిపోతుంటే ద్రవ్యరాశి కేంద్రం గోళ కేంద్రం నుండి కిందికి జరుగును. కావున లోలకం పొడవు పెరిగి ఆవర్తన కాలం తగ్గును. ఈ ప్రక్రియ ద్రవం గోళంలో సగం వరకు కారేదాకా జరుగును.
గోళంలో ద్రవం సగాని కన్న కిందికి దిగునపుడు మరల ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పైకి జరుగును. అంటే లోలకం పొడవు తగ్గడం మొదలై ఆవర్తనకాలం ‘T’ పెరుగును.
గోళం పూర్తిగా ఖాళీ అయితే డోలనావర్తనకాలంలో తొలి విలువను చేరును.

ప్రశ్న 5.
లఘులోలకానికి కట్టిన చెక్క గుండుకు బదులు దాన్ని పోలి ఉండే అల్యూమినియం గుండును ఉపయోగిస్తే దాని ఆవర్తన కాలం ఏవిధంగా మారుతుంది ?
జవాబు:
లోలకంలో చెక్క గుండుకు బదులుగా దానిని పోలిన అల్యూమినియం గుండును వాడితే దాని డోలనావర్తనకాలం మారదు.
డోలనావర్తనకాలం గోళం ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడదు.

ప్రశ్న 6.
లోలక గడియారాన్ని పర్వతంపైకి తీసుకొని వెళితే అది సమయాన్ని పొందుతుందా ? కోల్పోతుందా ?
జవాబు:
పర్వతం పైన g విలువ తక్కువ. లోలక గడియారాన్ని పర్వతం పైకి తీసుకొనిపోతే ఆవర్తనకాలం పెరుగుతుంది. లోలకం ఆవర్తనకాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\) కావున ‘g’ తగ్గితే T పెరుగును.

ప్రశ్న 7.
భూమధ్యరేఖ వద్ద సరైన సమయాన్ని చూపే లోలక గడియారాన్ని ధ్రువాల వద్దకు తీసుకొనిపోతే అది సమయాన్ని పొందుతుందా ? కోల్పోతుందా ? అయితే ఎందుకు ?
జవాబు:
భూమధ్యరేఖ వద్ద సరియైన కాలము చూపు లోలక గడియారమును ధృవాల వద్దకు తీసుకొనిపోయిన ఇది కాలంలో ‘g’ పెరిగిన యెడల T లాభం పొందును. ధృవాల వద్ద గురుత్వ త్వరణము అధికము. ఆవర్తనకాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\). ‘g’ తగ్గును. కావున ఇచ్చిన సమయములో అది చేయు డోలనాల సంఖ్య పెరుగును. కావున గడియారము వేగంగా కదలటం వల్ల కాలాన్ని ఎక్కువగా చూపిస్తుంది.

ప్రశ్న 8.
సరళ హరాత్మక చలనం చేసే కణం స్థానభ్రంశం కంపన పరిమితిలో సగానికి సమానమైనప్పుడు, దాని మొత్తం శక్తిలో K.E, వంతు ఎంత ?
జవాబు:
సరళ హరాత్మక డోలకం మొత్తం శక్తి E = \(\frac{1}{2}\) mω²A²
స్థానభ్రంశం X = \(\frac{\mathrm{A}}{2}\) అయితే P.E. = \(\frac{1}{2}\) mω²x² = \(\frac{1}{2}\) mω² \(\frac{A^2}{4}\)
∴ గతిజశక్తి KE =\(\frac{1}{2}\) mω²A² – \(\frac{1}{2}\) mω²\(\frac{A^2}{4}\) = \(\frac{3}{4}\) \(\frac{1}{2}\) mω²A²
గతిజశక్తి KE = మొత్తం శక్తి × \(\frac{3}{4}\) = మొత్తం శక్తిలో 75%

ప్రశ్న 9.
సరళ హరాత్మక డోలకం కంపన పరిమితిని రెట్టింపు చేస్తే దాని శక్తి ఏవిధంగా మారుతుంది ?
జవాబు:
స.హ.చ. డోలకం మొత్తము శక్తి E = \(\frac{1}{2}\) mω²A²; కొత్త కంపన పరిమితి A₁ = 2A
∴ E₁ = \(\frac{1}{2}\) mω² (2A)² = 4 . \(\frac{1}{2}\) mω²A² ⇒ E₁ = 4E
కంపన పరిమితిని రెట్టింపు చేసిన మొత్తము శక్తి నాలుగు రెట్లు అగును.

ప్రశ్న 10.
కృత్రిమ ఉపగ్రహంలో లఘులోలకాన్ని ఉపయోగించవచ్చా ?
జవాబు:
కృత్రిమ ఉపగ్రహాలలో లఘులోలకాన్ని ఉపయోగించరాదు. కృత్రిమ ఉపగ్రహాలు భారరహిత స్థితిలో ఉంటాయి. అనగా g = 0. ఈ స్థితిలో లోలకం డోలనాలు చేయడానికి కావలసిన టార్క్ τ = L mg sin 6 = θ కావున లోలకం కదలదు.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
సరళ హరాత్మక చలనాన్ని నిర్వచించండి. రెండు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
జవాబు:
సరళ హరాత్మక చలనం : డోలన చలనం యొక్క సరళమైన రూపాన్ని సరళ హరాత్మక చలనం అంటారు. ఈ చలనం కాల ప్రమేయము (f(t)) తో ఆవర్తనంగా ఉంటుంది.
సరళ హరాత్మక చలనాన్ని f(t) = A cos ωt లేదా A sin ωt వంటి అతిసరళమైన సమీకరణంతో సూచిస్తారు.
ఉదా :

1. సమవృత్తాకార గమనములోని వస్తువు లంబపాదము దాని వ్యాసముపై చలనము.
2. తక్కువ కంపన పరిమితితో చేయు కంపనాలు.
3. భారగ్రస్త స్ప్రింగ్ చేయు కంపనాలు.
4. గొట్టములోని ద్రవము చేయు కంపనాలు.

ప్రశ్న 2.
సరళ హరాత్మక చలనం చేసే కణం స్థానభ్రంశం, వేగం, త్వరణాలు కాలం దృష్ట్యా మారే విధానాన్ని గ్రాఫ్ ద్వారా సూచించండి.
జవాబు:
S.H.M లో ఉన్న కణం స్థానభ్రంశం X = A cos (ωt + Φ)
వేగము v = Aω sin (ωt + Φ)
త్వరణము a = – ω²A cos (ωt + Φ) అను ప్రమేయాలతో సూచిస్తారు. కాలము (t) ని x – అక్షం మీద స్థానభ్రంశము (X), వేగము (v) మరియు త్వరణము (a) లను y – అక్షం మీద తీసుకొని గీసిన రేఖాపటాలు ఈ క్రింది విధంగా ఉంటాయి.

a) స్థానభ్రంశ కాలవక్రము cosine ప్రమేయపు జ్యా వక్రీయ రేఖ. దీని విలువ t = 0 వద్ద గరిష్ఠంగా మొదలవుతుంది. కంపన పరిమితి – A నుండి A వరకు మారును.

b) వేగము ‘v’ sine ప్రమేయంగా మారుతుంది. t = 0 వద్ద వేగము సున్నగా ఉంటూ దీని విలువ -ωA నుండి + ωA వరకు మారును.

c) త్వరణము ‘a’ cosine ప్రమేయంగా మారుతుంది. t = 0 వద్ద – ω²A వద్ద ప్రారంభమై -ω²A నుండి ω²A వరకు మారుతుంది. ఇది స్థానభ్రంశ కాల వక్రాన్ని పోలి ఉండి \(\frac{\pi}{2}\) స్థిర దశాభేదంతో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
దశ అంటే ఏమిటి ? సరళ హరాత్మక చలనంలో స్థానభ్రంశం, వేగం, త్వరణాల మధ్య దశా సంబంధాన్ని చర్చించండి.
జవాబు:
స.హ.చ. లో ఉన్న కణము ఏదైనా సమయములో మాధ్యమిక బిందువు నుండి దాని ప్రయాణదిశను, దాని స్థానమును తెలుపు భౌతికరాశిని దశ అందురు.
ప్రావస్థ లేక దశ (Φ) : ఆవర్తన చలన ప్రారంభంలో t = 0 వద్ద ωt + Φ = Φ అవుతుంది. t = 0 వద్ద గల స్థానభ్రంశాన్ని ప్రావస్థ లేదా దశ ”Φ’ అంటారు.
ఆరంభదశ : స.హ.చ. లో ఉన్న కణము స్థానభ్రంశము Y = A cos (ωt – Φ)
వేగము V = A sin (ωt – Φ)
స్థానభ్రంశము మరియు వేగముల మధ్య దశాభేదము 90° ఉండును.
స్థానభ్రంశము, త్వరణముల మధ్య దశాకోణము :
స.హ.చ.లో త్వరణము ‘a’ = -ω² Y లేదా Y = A cos ωt మరియు a = -ω²A cos ωt
– ఋణగుర్తు స్థానభ్రంశము, త్వరణము వ్యతిరేకదిశలలో ఉండుటను సూచించును. వాటి మధ్య దశాభేదము 180° .

ప్రశ్న 4.
k బలస్థిరాంకం గల స్ప్రింగ్కు m ద్రవ్యరాశిని తగిలించారు. స్ప్రింగ్ వ్యవస్థ చేసే దోలన పౌనఃపున్యానికి సమీకరణం రాబట్టండి.
జవాబు:
భారగ్రస్త స్ప్రింగ్ డోలనావర్తనకాలం :
విస్మరించతగినంత తక్కువ ద్రవ్యరాశి గల స్ప్రింగుని ఒక చివర దృఢమైన ఆధారం నుండి వ్రేలాడదీశామనుకుందాము. దాని రెండవ చివర m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు ఉంది. ఈ వస్తువుని నిలువుగా క్రిందికి X దూరం లాగి వదిలామనుకోండి. అపుడు ఆ వస్తువు నిలువు తలంలో డోలనాలు చేస్తుంది.

ఇక్కడ X = మాధ్యమిక స్థానం నుండి వస్తువు స్థానంశం. వస్తువుపై పనిచేసే పునఃస్థాపక బలం స్థానభ్రంశంకి వ్యతిరేక దిశలో ఉంటూ, స్థానభ్రంశంకి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

∴ F ∝ – x లేదా F = -kx. ఇక్కడ k, స్ప్రింగు యొక్క స్ప్రింగు స్థిరాంకం. (- గుర్తు వ్యతిరేక దిశను తెలియజేయును)
∴ వస్తువు త్వరణం = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}=-\frac{\mathrm{kx}}{\mathrm{m}}\) = a
త్వరణం, స్థానభ్రంశంకి అనులోమానుపాతంలో ఉంది కనుక వస్తువు సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉంటుంది.
సరళహరాత్మక చలనంలో గల వస్తువు ఆవర్తనకాలము

కనుక T = 2π \(\sqrt{\frac{x}{a}}\)
కాని స్ప్రింగ్లలో \(\frac{x}{a}=\frac{m}{y}\)
∴ స్ప్రింగ్ ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}}\)

ప్రశ్న 5.
సరళ హరాత్మక డోలకానికి గతిజ, స్థితిజ శక్తులకు సమీకరణాలను రాబట్టండి.
జవాబు:
గతిజశక్తికి సమీకరణమును ఉత్పాదించుట :
సరళహరాత్మక చలనంలో గల వస్తువు స్థానభ్రంశమును x = A cos ωt తో సూచింపవచ్చును. ఇందులో A = కంపన పరిమితి; ωt = θ = కోణీయ స్థానభ్రంశము. స్థానభ్రంశములోని మార్పురేటును వేగం(v)గా నిర్వచించినారు.
వేగం = v = \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\) (A cos ωt) = – Aω sin ωt
∴ గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) mv² = \(\frac{1}{2}\) mA² ω²sin² ωt = \(\frac{1}{2}\) mA²ω² (1 – cos² ωt) = \(\frac{1}{2}\)mω² (A² – x²)
∴ ఏదైనా స్థానంలో గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) mω² (A² – x²
స్థానభ్రంశం x = 0 వద్ద K.E_max = \(\frac{1}{2}\) mω² A²

స్థితిజశక్తికి సమీకరణమును ఉత్పాదించుట :
m ద్రవ్యరాశి గల ఒక వస్తువు ‘O’ అను మధ్యబిందువు ఆధారంగా సరళహరాత్మక చలనంలో ఉన్నది అనుకొనుము. దీని కంపన పరిమితి ‘A’ అనుకొనుము.
సరళ హరాత్మక చలనంలో గల వస్తువు చలనాన్ని y = a cos ωt అను సమీకరణం సూచిస్తుంది.
S.H.M లో గల వస్తువుకు త్వరణము a = – ω²x;
∴ బలము F = mω²x
వస్తువును దాని స్థానం (x) నుండి కొంచెం దూరము dx ప్రక్కకు జరుపుటకు చేసిన పని = dw = F:dx = ఈ పని వస్తువులో స్థితిశక్తి రూపంలో నిలవ ఉంటుంది.
∴ స్థితిశక్తి P.E. = mω²x.dx
మొత్తం పని w = \(\int d w=\int_0^x m \omega^2 x \cdot d x\) దీనిని సమాకలనం చేయగా
మొత్తం పని = స్థితిశక్తి P.E. = \(\frac{1}{2}\) mω²x² …………… (5)

ప్రశ్న 6.
డోలనాలు చేసే లఘులోలకం ఒక అంత్యస్థానం నుంచి మరో అంత్యస్థానానికి చలించే సమయంలో శక్తి ఏవిధంగా మారుతుంది ?
జవాబు:
లఘు లోలకము : సాగదీయడానికి వీలులేని ద్రవ్యరాశి లేనటువంటి పొడవు గల దారానికి ఒక చిన్న లోహపు గుండును తగిలించి దృఢమైన ఆ దారానికి కడితే దానిని లఘు లోలకము అంటారు.
కంపన పరిమితి తక్కువగా గల లఘు లోలకం చేసే డోలనాలు సరళ హరాత్మక చలనాలు.
లోలకం పొడవు వెంబడి నికర వ్యాసార్ధము బలం mg cos θ.
ఇది దారంతో తన్యత T ని తుల్యం చేస్తుంది.
లోలకం డోలనాలు చేయడానికి కావలసిన టార్క్ τ ను
స్పర్శీయ బలం mg sin θ ఇస్తుంది.
లోలకం డోలనాలకు కావలసిన టార్క్ τ = – L mg sin θ
లోలకం కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{-\mathrm{mgL}}{\mathrm{I}}\) θ
లోలకం జడత్వ భ్రామకం I = mL²
లోలకం ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{ms} \mathrm{L}}}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{g}}}\)
లఘు లోలకంలో T = \(\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}\) అనగా ω = \(\sqrt{\frac{g}{L}}\)
లఘు లోలకం మొత్తం శక్తి E = \(\frac{1}{2}\) mω²A² = \(\frac{1}{2}\) Iω² = \(\frac{1}{2} \mathrm{I} \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{L}}\)

S.H.M లో గల వస్తువుకు సగటు స్థానం వద్ద గతిజశక్తి గరిష్ఠంగాను, గరిష్ఠ స్థానభ్రంశ బిందువువద్ద స్థితిశక్తి గరిష్ఠంగాను ఉంటుంది. కావున లోలకం ఒక అంత్య స్థానం నుండి మరొక అంత్య స్థానానికి మారులోపల సగటు స్థానం వద్ద దాని శక్తి స్థితిజశక్తి నుండి మొత్తం గతిజశక్తి మారుతుంది. సగటు స్థానం నుండి మరల అంత్య బిందువు చేరేసరికి మొత్తం గతిజశక్తి, స్థితిజశక్తిగా మారుతుంది. కాని లఘులోలకం మొత్తం శక్తి విలువ మారదు.

ప్రశ్న 7.
సరళ హరాత్మక చలనం చేసే కణం స్థానభ్రంశం, వేగం, త్వరణాలకు సమాసాలను ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
సరళ హరాత్మక చలనంలో గల వస్తువు స్థానభ్రంశము X = A cos (ωt + Φ) అన్న సమీకరణంతో సూచిస్తారు.
a) t = 0 వద్ద స్థానభ్రంశము ‘A’, ωt + Φ = 90° అయిన చోట స్థానభ్రంశము X = 0. ఏదైనా కాలము t వద్ద స్థానభ్రంశము
x = A cos (ωt + Φ) అవుతుంది.

b) S.H.M లో గల వస్తువు వేగము V = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\) A cos (ωt + Φ) = -ω \(\sqrt{A^2-x^2}\)
= – Aw sin (ωt + Φ)
t = 0 వద్ద వస్తువు వేగము ‘0’ ; (ωt + Φ) = 90° అయినచోట వేగము గరిష్ఠంగా – ωA ను చేరుతుంది.

c) త్వరణము a = \(\frac{d v}{d t}=\frac{d}{d t}\) [- Aw sin (ωt + Φ)] = – Aω² cos ωt + Φ) = -ω²x
గరిష్ఠ త్వరణము a_max = -ω²A

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
సరళ హరాత్మక చలనాన్ని నిర్వచించండి. ఏకరీతి వృత్తాకార చలనం చేసే కణం విక్షేపం (ఏదైనా) వ్యాసంపై సరళ హరాత్మక చలనం చేస్తుందని చూపండి. (మే 2014)
జవాబు:
సరళ హరాత్మక చలనం : డోలన చలనం యొక్క సరళమైన రూపాన్ని సరళ హరాత్మక చలనం అంటారు. ఈ చలనం కాల ప్రమేయము (f(t)) తో ఆవర్తనంగా ఉంటుంది.
సరళ హరాత్మక చలనాన్ని f(t) = A cos ωt లేదా A sin ωt వంటి అతిసరళమైన సమీకరణంతో సూచిస్తారు.

సమవృత్తాకార చలనము మరియు సరళ హరాత్మక చలనముల మధ్య సంబంధము :
‘O’ కేంద్రము, ‘ వ్యాసార్ధం గల ఒక వృత్త పరిధి పై P అను ఒక వస్తువు లేదా కణము అపసవ్యదిశలో ”’ అను సమకోణీఁ వేగంతో చలిస్తున్నది అనుకొనుము. t అను స్వల్ప కాలము తరువాత వస్తువు స్థానము ‘P’ అనుకొనుము.

P నుండి X – – అక్షము మరియు y – అక్షముల మీదకు లంబములను గీయగా ON మరియు OM లు x, y అక్షమ విూద లంబపాదములను సూచించును.
t కాలంలో వస్తువు కోణీయ స్థానభ్రంశము θ = ωt
OPM త్రిభుజం నుండి x అక్షము మీద లంబపాదము
ON = OP cos θ కాని OP = కంపన పరిమితి = OY = r వ్యాసార్ధము
θ = ωt
∴ ఇచ్చిన క్షణంలో X అక్షంపై స్థానభ్రంశము = r cos ωt …………….. (1)

ఇదే విధంగా OPM లంబకోణ త్రిభుజం నుండి y అక్షము మీద లంబపాదము OM = OP sin θ (కాని OP = వ్యాసార్ధము, = కంపన పరిమితి, θ = ωt)
∴ ఇచ్చిన క్షణంలో y – అక్షము మీద స్థానభ్రంశము y = r sin ωt …………… (2)
వస్తువు వృత్తము ఒక భ్రమణము పూర్తిచేయుసరికి లంబపాదములు
ON, OM లు xox’ మరియు yoy’ ల మధ్య ఒక కంపనాన్ని పూర్తిచేస్తాయి.
ఏ క్షణంలోనైనా P బిందువు స్థానభ్రంశాన్ని OP² = ON² + OM² ద్వారా లెక్కగట్టవచ్చును. ఇందులో (ON = r cos ωt, OM = r sin ωt)
కావున సమవృత్తాకారచలనాన్ని పరస్పర లంబదిశలలో గల రెండు సరళ హరాత్మక చలనముల కలయికగా భావించవచ్చును.

ప్రశ్న 2.
లఘులోలకం చలనం సరళ హరాత్మకం అని చూపి, దాని డోలనావర్తన కాలానికి సమీకరణం ఉత్పాదించండి. సెకండ్ల లోలకం అంటే ఏమిటి ? (మార్చి 2014)
జవాబు:
లఘు లోలకము : సాగదీయడానికి వీలులేని ద్రవ్యరాశి లేనటువంటి ఓ పొడవు గల దారానికి ఒక చిన్న లోహపు గుండును తగిలించి దృఢమైన ఆధారానికి కడితే దానిని లఘు లోలకము అంటారు.
కంపన పరిమితి తక్కువగా గల లఘు లోలకం చేసే డోలనాలు సరళ హరాత్మక చలనాలు.

లోలకం పొడవు వెంబడి నికర వ్యాసార్ధియ బలం mg cos θ.
ఇది దారంతో తన్యత Tని తుల్యం చేస్తుంది.
లోలకం డోలనాలు చేయడానికి కావలసిన టార్క్ τ ను
స్పర్శీయ బలం mg sin θ ఇస్తుంది.
లోలకం డోలనాలకు కావలసిన టార్క్ τ = – L mg sin θ
లోలకం కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{-m g L}{I} \theta \Rightarrow \frac{\theta}{\alpha}=\frac{I}{m g L}\)
లోలకం జడత్వ భ్రామకం I = mL²
లోలకం ఆవర్తన కాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{mgL}}}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{ML}^2}{\mathrm{mgL}}}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{g}}}\)
లఘు లోలకంలో కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{-\mathrm{mgL}}{\mathrm{I}}\) θ
అనగా త్వరణము α ∝ – θ (కోణీయ స్థానభ్రంశము) మరియు ఆవర్తన కాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{L}{g}}\) ఈ రెండు లక్షణాలు వస్తువు సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉండటానికి కావలసిన నిబంధనలు. కావున లఘులోలకం చలనం సరళ హరాత్మక చలనము.
సెకండ్ల లోలకం : డోలనావర్తన కాలం రెండు సెకనులు గల లోలకాన్ని సెకండ్ల లోలకం అంటారు. సెకన్ల లోలకం ఆవర్తన కాలము T = 2సెకనులు.

ప్రశ్న 3.
సరళ హరాత్మక డోలకం గతిజ, స్థితిజ శక్తులకు సమీకరణాలను ఉత్పాదించండి. సరళ హరాత్మక చలనంలోని కణం పథంపై అన్ని బిందువుల వద్ద మొత్తం శక్తి స్థిరం అని చూపండి.
జవాబు:
సరళ హరాత్మక చలనం చేసే కణం స్థానభ్రంశాన్ని x = A cos (ωt + Φ) అని రాస్తారు.

లేదా స్ప్రింగ్ పై బలం F = – Kx. ఇది కాలంతో పాటు మారే నిత్యత్వ బలం కాబట్టి స్థితిశక్తి
U = –\(\frac{1}{2}\) Kx . x = – \(\frac{1}{2}\) Kx²
∴ స్థితిశక్తి U = – \(\frac{1}{2}\) K.A² cos² (ωt + Φ)
S.H.M లో గల వస్తువుకు లేదా కణంకు ఏదైనా బిందువు వద్ద గల మొత్తం శక్తి KE + PE
∴ మొత్తం శక్తి E = \(\frac{1}{2}\) mω² (A² – x²) + \(\frac{1}{2}\) mω² x² (సమీకరణములు 1, 2 ల నుండి)
∴ E = \(\frac{1}{2}\) ω² A² S.H.M లో గల వస్తువుపై పనిచేయు బలాలు నిత్యత్వ బలాలు. ఇవి శక్తి నిత్యత్వ నియమం పాటిస్తాయి. అందువల్ల S.H.M లో గల వస్తువుకు అన్ని బిందువుల వద్ద మొత్తం శక్తి స్థిరము.

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
బోలుగా ఉండే ఇత్తడి గోళంతో ఒక లోలకం గుండును తయారుచేశారు. దాన్ని పూర్తిగా నీటితో నింపితే దాని డోలనావర్తన కాలం ఏమవుతుంది ? ఎందువల్ల ?
జవాబు:
బోలుగా ఉన్న ఇత్తడి గోళంలో పూర్తిగా నీటిని నింపితే దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రస్థానంలో మార్పురాదు. కావున డోలనా వర్తనకాలం మారదు. లోలకం డోలనావర్తన కాలం గోళం ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడదు.

ప్రశ్న 2.
k బల స్థిరాంకం గల రెండు సర్వసమానమైన స్ప్రింగ్లను శ్రేణిలో (ఒకదాని కొనకు మరొకటి) కలిపితే సంయుక్త స్ప్రింగ్ ప్రభావాత్మక బల స్థిరాంకం ఎంత ?
జవాబు:
స్ప్రింగులను శ్రేణిలో కలిపిన ఫలిత స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము k_s = \(\frac{\mathrm{k}_1 \mathrm{k}_2}{\mathrm{k}_1+\mathrm{k}_2}\)
k₁ = k₂ = k అయిన k_s = \(\frac{k k}{k+k}=\frac{k^2}{2 k}=\frac{k}{2}\)
శ్రేణిసంధానములో ఫలితస్ప్రింగ్ స్థిరాంకము తగ్గును.

ప్రశ్న 3.
సరళ హరాత్మక చలనంలో మాధ్యమిక స్థానం వద్ద ఏయే భౌతికరాశులు గరిష్ఠ విలువను కలిగి ఉంటాయి ?
జవాబు:
సరళ హరాత్మక చలనంలో మాధ్యమిక స్థానం వద్ద వేగము గరిష్ఠము. కావున గతిజశక్తి కూడా గరిష్ఠము.

ప్రశ్న 4.
సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం గరిష్ఠ వేగం, గరిష్ఠ త్వరణంలో సంఖ్యాత్మకంగా సగం ఉంది. దాని డోలనావర్తన కాలం ఎంత?
జవాబు:
గరిష్ఠవేగము V_max = \(\frac{1}{2}\) గరిష్ఠ త్వరణము (a_max) ; కాని V_max = Aω మరియు a_max = ω²A
∴ Aω = \(\frac{1}{2}\) Aω² = ω = 2
∴ ఆవర్తన కాలము T = \(\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{2 \pi}{2}\) = π సెకనులు.

ప్రశ్న 5.
బల స్థిరాంకం 260 Nm^-1 గల స్ప్రింగ్కు 2 kg ద్రవ్యరాశిని వేలాడదీశారు. అది 100 డోలనాలు చేయడానికి పట్టే కాలం ఎంత ?
జవాబు:
వ్రేలాడదీసిన ద్రవ్యరాశి m = 2 kg
బలస్థిరాంకము k = 260 N/m
∴ T = 2 × 3.142 × 0.0877 = 0.551 sec
100 డోలనాలకు పట్టుకాలము = 100 × 0.551 = 55.1 sec

ప్రశ్న 6.
నిశ్చలంగా ఉన్న లిఫ్ట్లోని లఘులోలకం డోలనావర్తన కాలం T. లిఫ్ట్ (1) సమవేగంతో పైకి వెళుతున్నప్పుడు (ii) సమవేగంతో కిందికి వెళుతున్నప్పుడు (iii) సమత్వరణం a తో పైకి వెళుతున్నప్పుడు (iv) సమత్వరణం 4 తో కిందికి వెళుతున్నప్పుడు (v) గురుత్వం వల్ల స్వేచ్ఛగా కిందికి పడుతున్నప్పుడు లోలకం డోలనావర్తన కాలం ఏవిధంగా మారుతుంది ?
జవాబు:
i) లిఫ్ట్ సమవేగంతో పైకి వెళుతుంటే దాని త్వరణము a = 0. లోలకంపై ఫలిత త్వరణము = g కావున లోలకం డోలనా వర్తన కాలము మారదు.

ii) సమవేగంతో కిందికి దిగునపుడు దాని త్వరణము a = 0 లోలకంపై ఫలిత త్వరణము a = g కావున దాని ఆవర్తన కాలం మారదు.

iii) లిఫ్ట్ ‘a’ సమత్వరణముతో పైకి పోతుంటే లోలకంపై ఫలిత త్వరణము = (a + g),
ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{(g+a)}}\) కావున ఆవర్తన కాలం తగ్గును.

iv) లిఫ్ట్ ‘a’ అను సమత్వరణంతో కిందికి దిగుతుంటే లోలకంపై ఫలిత త్వరణము = g – a కావున లోలకం ఆవర్తన కాలం పెరుగును.

v) లిఫ్ట్ స్వేచ్ఛగా కిందికి పడుతుంటే a = g. లోలకంపై ఫలిత త్వరణం = 0. ∴ ఆవర్తన కాలము అనంతము.

ప్రశ్న 7.
సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉండే కణం కంపన పరిమితి 4 సెం.మీ. అది మాధ్యమిక స్థానం నుంచి 1 సెం.మీ. దూరంలో ఉన్నప్పుడు త్వరణం 3 cm s^-2. మాధ్యమిక స్థానం నుంచి 2 సెం.మీ. దూరంలో ఉన్నప్పుడు దాని వేగం ఎంత ?
జవాబు:
కంపన పరిమితి A = 4 cm = 4 × 10^-2m
త్వరణము a = 3cm/s² = 3 × 10^-2 m/s² ; స్థానభ్రంశము Y = 1cm = 10^-2m
∴ కోణీయ వేగం ω = \(\sqrt{\frac{a}{Y}}=\sqrt{\frac{3}{1}}=\sqrt{3}\)
స్థానభ్రంశము 2 సెం.మీ. వద్ద వేగము V = ω \(\sqrt{A^2-Y^2}\), y = 2 సెం.మీ. కావున
∴ V = \(\sqrt{3} \sqrt{(16-4) 10^{-4}}=\sqrt{3} \times \sqrt{12} \cdot 10^{-2}=\sqrt{3} 2 \sqrt{3} \times 10^{-2}=\) = 6 × 10^-2 m/sec = 6 cm/sec

ప్రశ్న 8.
సరళ హరాత్మక డోలకం డోలనావర్తనం కాలం 2s. డోలకం మాధ్యమిక స్థానాన్ని దాటిన 0.25s తరువాత దాని దశలో కలిగే మార్పు ఎంత ?
జవాబు:
ఆవర్తన కాలము T = 2 sec
కాలము t = 0.25 sec
దశాభేదము = Φ = \(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{T}}\) × 2π = \(\frac{0.25}{2}\) × 2π = \(\frac{\pi}{4}\) = 45°
అది మాధ్యమిక బిందువు నుండి \(\frac{\pi}{4}\) దూరములో ఉండును. అనగా దశలో మార్పు \(\frac{\pi}{4}\) రేడియ

ప్రశ్న 9.
సరళ హరాత్మక చలనం చేసే వస్తువు కంపన పరిమితి 5 cm, డోలనావర్తన కాలం 0.2s. వస్తువు స్థానభ్రంశం
(a) 5 cm (b) 3 cm (c) 0 cm వద్ద దాని త్వరణం, వేగాలను కనుక్కోండి.
జవాబు:
కంపన పరిమితి A = 5 సెం.మీ. ; డోలనా వర్తనకాలం T = 0.2 సె
a) స్థానభ్రంశం x = 5 సెం.మీ. అనగా x = A గరిష్ఠము
గరిష్ఠ త్వరణము a = – ω²A కాని ω = \(\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \pi}{0.2}\) = 2π
∴ a = (-10π)² × 5 = 500π² m/s = 5π² మీ/సె
వేగము V = 0 (గరిష్ఠ స్థానభ్రంశం వద్ద V = 0 కావున)

b) స్థానభ్రంశం 3 సెం.మీ. వద్ద
త్వరణం a = – ω²x = – (- 10π)² × 3 = – 100π² × 3
= -30π² సెం.మీ./సె²
= – 3π² మీ/సె
వేగము V = – ω\(\sqrt{A^2-x^2}\) = – 10π\(\sqrt{25-9}\) = 10π\(\sqrt{16}\) సెం.మీ./సె
= 40π సెం.మీ./సె’ = 0.4π మీ/సె

c) స్థానభ్రంశము x = 0 అయిన అనగా మధ్య బిందువు వద్ద
త్వరణము a = -ω²x = 0
వేగము V = – ω\(\sqrt{A^2-x^2}\) = – ωA = 10π × 5 = 50π సెం.మీ./సె
= 0.5π మీ/సె

ప్రశ్న 10.
ఒక గ్రహం ద్రవ్యరాశి, వ్యాసార్థాలు భూమి ద్రవ్యరాశి, వ్యాసార్థాల కంటే రెట్టింపు. భూమిపై లఘులోలకం డోలనావర్తన కాలం T అయితే గ్రహంపై లోలకం డోలనావర్తన కాలం ఎంత ?
జవాబు:
గ్రహము ద్రవ్యరాశి M_p = 2 M_e;
గ్రహము వ్యాసార్ధము R_p = 2 R_e
భూమిపై లోలకము ఆవర్తన కాలము = T
గ్రహముపై ఆవర్తన కాలము T’ = ? g_e = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\)
g_p = \(\frac{\mathrm{G} \cdot 2 \mathrm{M}}{(2 \mathrm{R})^2}=\frac{\mathrm{GM}}{2 \mathrm{R}^2}=\frac{\mathrm{g}_{\mathrm{e}}}{2}\) ; భూమి మీద, T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}_{\mathrm{e}}}}\) ; గ్రహము మీద T’ = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}_{\mathrm{p}}}}\)
∴ \(\frac{T^{\prime}}{T}=\sqrt{\frac{g_e}{g_p}}=\sqrt{2}\) T = \(\sqrt{2}\)T

ప్రశ్న 11.
1 m పొడవు ఉండే లఘులోలకం డోలనావర్తన కాలం 2s నుండి 1.5s కు మారితే పొడవులో వచ్చే మార్పును లెక్కించండి.
జవాబు:
సెకండ్ల లోలకమునకు T₁ = 2 sec; పొడవు l₁ = 1 m.
కొత్త ఆవర్తన కాలము T₂ = 1.5 sec; పొడవు 1₂ = ?
T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}}}\); సెకండ్ల లోలకమునకు 2 = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}}}\)
2వ సందర్భంలో 1.5 = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}}}\)
∴ \(\frac{2}{1.5}=\frac{1}{\sqrt{l}}=\frac{4}{3}\) ⇒ l = \(\frac{9}{16}\) m
∴ పొడవులో తగ్గుదల = 1 – \(\frac{9}{16}\) = \(\frac{7}{16}\) m = 0.4375 m

ప్రశ్న 12.
ఒక గ్రహంపై 8m ఎత్తు నుంచి వస్తువు స్వేచ్ఛగా కిందికి పడేందుకు 2s తీసుకొంటుంది. ఆ గ్రహంపై లోలకం డోలనావర్తన కాలం 7TS అయితే లోలకం పొడవును లెక్కించండి.
జవాబు:
ఎత్తు, h = 8m ; గ్రహతలమును చేరుటకు పట్టుకాలము t = 2 sec
స్వేచ్ఛగా వదలిన వస్తువుకు t = \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{~h}}{\mathrm{~g}}}\) ⇒ 2 = \(\sqrt{\frac{16}{\mathrm{~g}}}\)
∴ గ్రహముపైన g = \(\frac{16}{4}\) = 4m/s²
లోలకము డోలనావర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}}}\) = π ⇒ 2 \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}}}\) = 1 లేదా \(\frac{l}{g}=\frac{1}{4}\) ⇒ l = \(\frac{g}{4}\)
ఆ గ్రహముపైన లోలకము పొడవు = \(\frac{4}{4}\) = 1m = 100 సెం.మీ.

ప్రశ్న 13.
ఒక లఘులోలకం పొడవును 0.6m పెంచినప్పుడు, డోలనావర్తన కాలం 50% పెరగడాన్ని గమనించడమైనది. g = 9.8 ms^-2 ఉన్న ప్రదేశంలో దాని తొలి పొడవు, తొలి డోలనావర్తన కాలాలను లెక్కించండి.
జవాబు:
a) లోలకము పొడవులో పెరుగుదల = 0.6m ; ఆవర్తన కాలములో పెరుగుదల = 50% = 1.5T
లోలకము యథార్థ పొడవు = l అనుకొనుము;
యథార్థ ఆవర్తన కాలము = T;
గురుత్వ త్వరణము g = 9.8 m/s²
మొదటి సందర్భానికి 9.8 = 4π² \(\frac{l}{\mathrm{~T}^2}\) ……………… (1)
రెండవ సందర్భానికి l₁ = (l + 0.6), T₁ = 1.5 T; ∴ 9.8 = 4π² \(\frac{l_1}{\mathrm{~T}_1^2}\) …………….. (2)
2ని 1చే భాగించగా 1 = \(\frac{l_1}{l} \cdot \frac{\mathrm{T}^2}{\mathrm{~T}_1^2} \Rightarrow \frac{l_1}{l}=\frac{\mathrm{T}_1^2}{\mathrm{~T}^2}\) 2.25 ⇒ l₁ = 2.25 1; కాని l₁ = l + 0.6;
∴ l + 0.6 = 2.25 l ⇒ 0.6 = 1.25 l ;
∴ లోలకము పొడవు l = \(\frac{0.6}{1.25}\) = 0.48 m

b) ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}}}\) = 2 × 3.142 \(\sqrt{\frac{0.48}{9.8}}\) = 6.284 × 0.2213 = 1.391 sec.

ప్రశ్న 14.
సెకండ్ల లోలకంతో నియంత్రితమైన (regulated) ఒక గడియారం సరైన సమయాన్ని చూపిస్తూ ఉంది. ‘వేసవి కాలంలో లోలకం పొడవు 1.02 m లకు పెరిగినట్లైతే గడియారం ఒక రోజులో ఎంత కాలాన్ని పొందుతుంది లేదా కోల్పోతుంది ?
జవాబు:
సెకండ్ల లోలకము ఆవర్తనకాలము, T = 2 sec
సెకండ్ల లోలకము పొడవు, l = g² / 4π² = 0.9927 m
వేసవిలో సెకండ్ల లోలకము పొడవు = 1.02 m
∴ పొడవులో దోషము = ∆l = 1.02 – 1 = 0.0273
లోలకమునందు T ∝ \(\sqrt{\mathrm{l}}\). దోషముల వ్యాపన నియమము నుండి \(\frac{\Delta \mathrm{T}}{\mathrm{T}}=\frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}=\frac{1}{2} \quad \frac{0.0273}{0.9927}\)
∴ ఒక దినమునకు కాలములో దోషము = 86,400 × \(\frac{1}{2} \frac{0.0273}{0.9927}\) = 1188 sec.

ప్రశ్న 15.
స్ప్రింగ్కు వేలాడదీసిన వస్తువు ఆవర్తన కాలం T. ఆ స్ప్రింగ్ను రెండు సమాన భాగాలుగా చేసి (i) వస్తువును ఒక భాగానికి వేలాడదీసినప్పుడు (ii) రెండు భాగాలకు (సమాంతరంగా) ఒకేసారి వస్తువును వేలాడదీసినప్పుడు డోలనావర్తన కాలాలను లెక్కించండి.
జవాబు:
స్ప్రింగ్ ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{K}}}\)
స్ప్రింగు రెండు సమానభాగాలుగా కత్తిరించిన ఒక్కొక్క భాగము
స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము K₁ = 2K

i) ఇచ్చిన ప్రదేశమునకు T = 2π \(\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{K}_1}}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{K}}} \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\mathrm{T}}{\sqrt{2}}\)

ii) రెండు స్ప్రింగులను సమాంతరముగా కలిపి వాటికి ఒకేసారి ద్రవ్యరాశిని వ్రేలాడదీసిన ఫలిత స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము
K_p = K₁ + K₂ = 4K
ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{m}{K_p}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{4 \cdot K}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{K}} \cdot \frac{1}{2}=\frac{T}{2}\)

ముఖ్యమైన ఉదాహరణ లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
మానవ గుండె, సగటు స్పందన రేటు నిమిషానికి 75. గుండె పౌనఃపున్యం, ఆవర్తన కాలాలను లెక్కించండి.
జవాబు:
గుండె స్పందన పౌనఃపున్యం = 75 / (1 min) = 75/(60s) = 1.25 s^-1 = 1.25 Hz = 75 min
ఆవర్తన కాలం, T = 1/(1.25s^-1) = 0.8s

ప్రశ్న 2.
కింది కాల ప్రమేయాల్లో ఏది (a) సరళ హరాత్మక చలనం (b) ఆవర్తన చలనమే కాని సరళ హరాత్మక చలనం కాదు. రెండు సందర్భాల్లో ఆవర్తన కాలాలను తెలపండి.
a) sin ωt – cot ωt
b) sin² ωt
జవాబు:
a) sin ωt – cos ωt = sin ωt – sin (π/2 – ωt)
= 2 cos (π/4) sin (ωt – π/4)
= \(\sqrt{2}\) sin (ωt – π/4)
పై సమీకరణం ఆవర్తన కాలం T = 2 π/ω, దశా కోణం (−π/4) లేదా (π/4) తో ఉండే సరళ హరాత్మక చలనాన్ని సూచిస్తుంది.

b) sin²ωt = 1/2 – 1/2 cos 2ωt
ఇది ఆవర్తన కాలం T = π/ω తో ఉండే ఆవర్తన చలనాన్ని సూచిస్తుంది. ఇది 0 వద్ద కాక 1/2 వద్ద సమతాస్థితి స్థానాన్ని కలిగి ఉండే హరాత్మక చలనాన్ని కూడా సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 3.
కింద ఇచ్చిన సమీకరణా (SI ప్రమాణాలలో) నికి అనుగుణంగా ఒక వస్తువు సరళ హరాత్మక చలనం చేస్తుంది.
x = 5 cos [2πt + π/4]
t = 1.58 వద్ద వస్తువు (a) స్థానభ్రంశం, (b) వడి, (c) త్వరణాలను లెక్కించండి.
జవాబు:
వస్తువు కోణీయ పౌనఃపున్యం ω = 2πs^-1,
ఆవర్తన కాలం T = 1s
t = 1.5s వద్ద
a) స్థానభ్రంశం = (5.0m) cos [(2πs^-1) × 1.5s + π/4]
= (5.0 m) cos [(3π + π/4)]
= – 5.0 × 0.707 m = – 3.535 m

b) సమీకరణం v(t) = – ωA sin (ωt + Φ) ని ఉపయోగించి, వస్తువు వడి
= – (5.0m) (2πs^-1) sin ((2πs^-1) × 1.5s + π/4]
= – (5.0m) (2πs^-1) sin [(3π + π/4]
= 10π × 0.707 ms^-1 = 22 ms^-1

c) సమీకరణం v(t) = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\) x(t) = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\) [A cos (ωt + Φ)] ని ఉపయోగించి, వస్తువు త్వరణం
= – (2πs^-1)² × స్థానభ్రంశం
= – (2πs^-1)² × (-3.535 m) = 140 ms^-2

ప్రశ్న 4.
500 Nm^-1 బల స్థిరాంకం గల స్ప్రింగ్కు 5kg ద్రవ్యరాశి గల లోహ కంకణాన్ని (ring) బిగించారు. క్షితిజ సమాంతరంగా ఉండే కడ్డీపై ఘర్షణ లేకుండా కంకణం జారుతుంది. మాధ్యమిక స్థానం నుంచి కంకణాన్ని 10.0 cm లాగి వదిలారు. అయితే కంకణం a) డోలనావర్తన కాలం 5) గరిష్ఠ వడి c) గరిష్ఠ త్వరణాలను లెక్కించండి.
జవాబు:
a) సమీకరణం T = 2π \(\) నుంచి డోలనావర్తన కాలం
T = 2π \(\sqrt{\frac{5.0 \mathrm{~kg}}{500 \mathrm{Nm}^{-1}}}\)
= (2π/10)s = 0.63s

b) సరళ హరాత్మక చలనం చేసే కంకణం వేగం v(t) = – Aω sin (ωt + Φ)
గరిష్ఠ వడి
v_m = Αω
= 0.1 × \(\sqrt{\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}}}\)
= 0.1 × \(\sqrt{\frac{500 \mathrm{Nm}^{-1}}{5 \mathrm{~kg}}}\) = 1 ms^-1
x = 0 వద్ద గరిష్ఠ వడి ఉంటుంది.

c) మాధ్యమిక స్థానం నుంచి x(t) స్థానభ్రంశం వద్ద కంకణం త్వరణం
a(t) = -ω²x(t)
= – \(\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}}\) x(t)
గరిష్ఠ త్వరణం, a_max = ω²A
= \(\frac{500 \mathrm{Nm}^{-1}}{5 \mathrm{~kg}}\) × 0.1 m = 10 ms^-2
ఇది అంత్య స్థానాల వద్ద ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
సెకండులను టిక్చేసే లఘులోలకం పొడవు ఎంత ?
జవాబు:
లఘులోలకం డోలనావర్తన కాలం
T = 2π \(\sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{g}}}\)
దీని నుంచి కింది విధంగా రాయవచ్చు.
L = \(\frac{\mathrm{g} \mathrm{T}^2}{4 \pi^2}\)
సెకండ్లను టిక్ చేసే లఘులోలకం డోలనావర్తన కాలం 2s.
∴ g = 9.8 ms^-2, T = 2s విలువలకు
L = \(\frac{9.8\left(\mathrm{~ms}^{-2}\right) \times 4\left(\mathrm{~s}^2\right)}{4 \pi^2}\) = 1 m

ముఖ్యమైన అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
కింది వాటిలో ఏవి ఆవర్తన చలనాలను సూచిస్తాయి ?
a) చెరువు ఒక ఒడ్డు నుంచి అవతలి ఒడ్డుకు, తిరిగి అవతలి ఒడ్డు నుంచి మొదటి ఒడ్డుకు ఒక ఈతగాడు పూర్తి చేసే ట్రిప్.
b) స్వేచ్ఛగా వేలాడదీసిన దండాయస్కాంతాన్ని NS దిశ నుంచి కదిల్చి వదిలితే అది చేసే చలనం.
c) తన ద్రవ్యరాశి కేంద్రం చుట్టూ భ్రమణం చెందే హైడ్రోజన్ అణువు.
d) ధనుస్సు (విల్లు) నుంచి విడుదలైన బాణం.
జవాబు:
a) ఈతగాడు ఈ ఒడ్డు నుండి ఆ ఒడ్డుకు మరల మొదటి వైపుకు వస్తే అది సంవృత చలనమే గాని ఆవృత చలనం కాదు. కారణం ఈ చలనము నియమిత కాలవ్యవధిలో పునరావృతం కాదు.
b) స్వేచ్ఛగా వేలాడదీసిన దండాయస్కాంత కంపనాలు ఆవృత చలనాలు.
c) ఇది ఆవృత చలనము. కారణం వస్తువు పరిభ్రమణంలో ఉంది.
d) విల్లు నుంచి వచ్చిన బాణం ఒకే దిశలో ముందుకు పోతుంది. ఇది ఆవృత చలనం కాదు.

ప్రశ్న 2.
కింది ఉదాహరణలలో ఏవి దాదాపు సరళ హరాత్మక చలనాలు, ఏవి సరళ హరాత్మకం కాని ఆవర్తన చలనాలను సూచిస్తాయి ?
a) తన అక్షం పరంగా భూమి చేసే భ్రమణ చలనం
b) U – గొట్టంలో డోలనం చేసే పాదరస స్తంభం చలనం
c) నునుపైన వక్రత గల లోతు గిన్నెలో సమతాస్థితి స్థానం కంటే కొద్దిగా ఎగువన వదిలిన ఇనుప గుండు చలనం
d) తన సమతాస్థితి స్థానం పరంగా బహుపరమాణుక అణువు చేసే సాధారణ కంపనాలు
జవాబు:
a) భూమి తన అక్షం చుట్టూ చేసే భ్రమణం ఆవృత చలనము. ఇది S.H.M కాదు.
b) U – గొట్టంలో ద్రవం చేసే డోలనాలు సరళ హరాత్మక చలనాలు.
c) సమతాస్థితి నుంచి ఇనుప గుండును స్థానభ్రంశం చెందిస్తే అది నునుపు తలంపై సరళ హరాత్మక చలనం చేస్తుంది.
d) సగటు స్థానం నుండి బహుపరమాణుక అణువు కంపనాలు ఆవర్తన చలనాలు కావు.

ప్రశ్న 3.
దిగువన ఇవ్వబడిన పటం కణం రేఖీయ చలనానికి x – t ల మధ్య గీచిన గ్రాఫ్లను సూచిస్తుంది. వీటిలో ఏవి ఆవర్తన చలనాన్ని సూచిస్తాయి ? సూచిస్తే వాటి డోలనావర్తన కాలం ఎంత ?

జవాబు:
a) ఈ రేఖాపటము కాలంతో పాటు ఒకే దిశలో స్థానభ్రంశంలో మార్పు సూచిస్తుంది. కావున ఆవృత చలనం కాదు.
b) ఇది ఆవృత చలనాన్ని సూచిస్తుంది. దీని ఆవర్తన కాలము 2 సెకనులు.
c) ఈ చలన వక్రంలోని ఆకారం నియమిత కాలం తరువాత పునరావృతం కాలేదు. అందువల్ల ఇది ఆవృత చలనం కాదు.
d) ఇది ఆవృత చలనము. ఆవర్తన కాలము 2 సెకనులు.

ప్రశ్న 4.
కింది వాటిలో ఏ కాల ప్రమేయాలు a) సరళ హరాత్మక, b) ఆవర్తనమే కానీ సరళ హరాత్మకం కాని, c) ఆవర్తనం కాని చలనాలను సూచిస్తాయి. ప్రతి ఆవర్తన చలనం సందర్భంలో ఆవర్తన కాలాన్ని తెలియచేయండి. (ఎ ఏదైనా ధన స్థిరాంకం)
a) sin ωt – cos ωt
(b) sin³ ωt
(c) 3 cos\(\left(\frac{\pi}{4}-2 \omega t\right)\)
(d) cos ωt + cos 3ωt + cos 5ωt
(e) exp (- ω²t²)
(f) 1 + ωt + ω²t².
జవాబు:

1. ఒక చలనం ఆవృత చలనం కావాలంటే దాని చలనం ఒకే విధంగా ఉండి నిర్ణీత కాలవ్యవధి తరువాత పునరావృతం కావాలి.
2. వస్తువు చలనం S.H.M కావాలంటే దాని చలనం cos (ωt + Φ) లేదా sin (ωt + Φ) వంటి రూపంలో ఉండాలి.

a) sin ωt – cos ωt = \(\sqrt{2}\left[\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega \mathrm{t}-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega \mathrm{t}\right]=\sqrt{2}\left[\cos \frac{\pi}{4} \sin \omega \mathrm{t}-\sin \frac{\pi}{4} \cos \omega \mathrm{t}\right]\)
= \(\sqrt{2} \sin \left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right)\)
ఇది S.H.M లో గల వస్తువు సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది. కావున సరళ హరాత్మక చలనము.

b) sin³ ωt = \(\frac{1}{4}\) [3 sin ωt – sin 3ωt]
ఇందులో sin ωt మరియు sin 3ωt లు ఆవృత చలనాలు. ఆవర్తన కాలము 2π/ω. కాని ఈ రెంటి కలయిక సరళ హరాత్మక చలనం కాదు. కేవలం ఆవృత చలనం మాత్రమే.

c) 3 cos \(\left(\frac{\pi}{4}-2 \omega t\right)\) = 3 cos (2ωt – \(\frac{\pi}{4}\)); [∵ cos – θ = cos θ]
కావున ఇది సరళ హరాత్మక చలనము.

d) cos ωt + cos 3ωt + cos 5ωt లలో ప్రతి పదము ఆవర్తన చలనాన్ని కలిగి ఉంది. వీటి అన్నింటి ఫలితంగా వచ్చిన చలనం సరళ హరాత్మక చలనం కాదు.

e) e^-ω2t2 వంటి ఘాతాంక ప్రమేయాలు ఒకే దిశలో పెరుగుతాయి. వీటి ప్రవర్తన పునరావృతం కాదు. అందువల్ల ఇవి ఆవృత చలనాలు లేదా S.H.M లు కావు.

f) 1 + ωt + ω²t² వంటి సమీకరణాల పరిమాణాలు కాలంతో పాటు పునరావృతం కావు. అందువల్ల ఇవి ఆవృత చలనాలు లేదా S.H.M లు కావు.

ప్రశ్న 5.
10 cm ఎడంతో ఉండే రెండు బిందువులు A, B ల మధ్య ఒక కణం రేఖీయ సరళ హరాత్మక చలనం చేస్తుంది. A నుంచి B కి దిశను ధన దిశగా తీసుకొని, కింద ఇచ్చిన స్థానాల వద్ద కణం ఉన్నప్పుడు వేగం, త్వరణం, బలం
దిశలను తెలపండి.
a) A
b) B
c) A, B ల మధ్య బిందువు వద్ద A వైపు వెళ్ళేటప్పుడు,
d) B నుంచి 2 cm దూరంలో, A వైపు వెళ్ళేటప్పుడు,
e) A నుంచి 3 cm దూరంలో, B వైపు వెళ్ళేటప్పుడు,
f) B నుంచి 4 cm దూరంలో, A వైపు వెళ్ళేటప్పుడు.
జవాబు:
a) A బిందువు వద్ద స్థానభ్రంశం గరిష్ఠము. కావున వేగం V = 0 త్వరణము, బలము గరిష్ఠము. వీటి దిశ A నుండి B వైపు ఉంటుంది.

b) B బిందువు వద్ద స్థానభ్రంశం గరిష్ఠము కావున V త్వరణము, బలము గరిష్ఠము. వీటి దిశ B నుండి A వైపు ఉంటుంది.

c) మధ్యబిందువు ‘C’ వద్ద స్థానభ్రంశము సున్న వేగము గరిష్ఠము. ఇది x -ve దిశలో ఉంటుంది. త్వరణము, బలముల పరిమాణము సున్న.

d) B నుండి 2 cm దూరంలో A వైపు చలిస్తే ఇవి x -ve వైపు చలించే ప్రవృత్తి కలిగి ఉన్నాయి. కావున వేగము, త్వరణము, బలం అన్నీ ఋణాత్మకమే.

e) A నుండి 3 cm దూరంలో B వైపు చలిస్తుంటే కణం గమన దిశ x ‘+ve’ వైపు ఉంది. కావున వేగం, త్వరణము మరియు బలముల దిశ ధనాత్మకము.

f) B నుండి 4 cm దూరంలో A వైపు చలిస్తుంటే వేగం x -ve వైపు ఉంది కావున ఋణాత్మకము, త్వరణము మధ్య బిందువు వైపు ఉంది. కావున త్వరణము, బలము ధనాత్మకము.

ప్రశ్న 6.
కణం త్వరణం a, స్థానభ్రంశం x ల మధ్య సంబంధాన్ని తెలిపే కింది సమీకరణాల్లో ఏవి సరళ హరాత్మక చలనాన్ని కలిగి ఉన్నాయి ?
a) a = 0.7 x
b) a = – 200 x²
c) a = – 10x
d) a = 100 x³
జవాబు:
a) ఇది S.H.M కాదు
b) S.H.M కాదు
c) a = – 10x ఇది a = – ω²y రూపంలో ఉంది కావున సరళ హరాత్మక చలనం (S.H.M) ను సూచిస్తుంది.
d) ఇది S.H.M కాదు.
గమనిక : S.H.M లో గల వస్తువు త్వరణము a = – ω²y రూపంలో ఉండాలి. ω = స్థిరపదము (విలువ స్థిరము).

ప్రశ్న 7.
స్ప్రింగ్ త్రాసు స్కేలుపై 0 నుంచి 50 kg వరకు రీడింగ్లు కలవు. స్కేలు పొడవు 20 cm. ఈ త్రాసుకు వేలాడదీసిన వస్తువును లాగి వదిలితే అది 0.6s డోలనావర్తన కాలంతో డోలనాలు చేస్తుంది. అయితే వేలాడదీసిన వస్తువు భారం ఎంత ?
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి m₁ = 50 కి.గ్రా లకు సాగుదల y = 20 సెం.మీ. = 0.2 మీ; కాలము T = 0.6 సె
గరిష్ఠ బలం F = mg = 50 × 9.8 = 490 N
బలస్థిరాంకము K = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{y}}=\frac{490}{0.2}\) = 2450 న్యూ
ఆవర్తన కాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}}\) ⇒ m = \(\frac{\mathrm{KT}^2}{4 \pi^2}\)
m = \(\frac{2450 \times 0.6 \times 0.6}{4 \times(3.14)^2}\) = = 22.56 kg
వస్తువు భారము w = mg = 22.56 × 9.8 = 221.1 న్యూ

ప్రశ్న 8.
పటంలో చూపిన విధంగా 1200 Nm^-1 స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం గల స్ప్రింగ్ను క్షితిజ సమాంతరంగా ఉండే బల్లపై అమర్చారు. స్ప్రింగ్ స్వేచ్ఛా చివరకు 3 kg ద్రవ్యరాశిని తగిలించారు. ద్రవ్యరాశిని 2.0 cm దూరం పక్కకు లాగి వదిలారు. i) డోలనాల పౌనఃపున్యం, ii) ద్రవ్యరాశి గరిష్ఠ త్వరణం, iii) ద్రవ్యరాశి గరిష్ఠ వేగాలను కనుక్కోండి.
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి k = 1200 Nm^-1; m = 3.0 kg; a = 2 cm = 0.02 m

ప్రశ్న 9.
పై అభ్యాసంలో స్ప్రింగ్ సాగదీయనప్పుడు ద్రవ్యరాశి స్థానం x = 0 అని, ఎడమ నుంచి కుడికి ధనాత్మక x – అక్షం అని తీసుకోండి. t = 0 వద్ద స్టాప్ వాచ్ను మొదలు పెట్టినట్లైతే, డోలనాలు చేస్తున్న ద్రవ్యరాశి కింది స్థానాల వద్ద ఉన్నప్పుడు t ప్రమేయంగా x విలువను తెలపండి.
a) మాధ్యమిక స్థానం
b) గరిష్టంగా సాగిన స్థానం
c) గరిష్ఠంగా సంపీడనం (నొక్కిన) చెందిన స్థానం
పై సరళ హరాత్మక చలన ప్రమేయాలు పౌనఃపున్యం, కంపన పరిమితి, తొలి దశల్లో ఒకదానితో ఒకటి ఏవిధంగా విభేదిస్తాయో తెలపండి.
జవాబు:
కంపన పరిమితి A = 2 సెం.మీ; ω = \(\sqrt{\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}}}=\sqrt{\frac{1200}{3}}\) = 20 రే/సె
a) మాధ్యమిక స్థానం వద్ద x = A sin ωt నుండి x = 2 sin 2ω t

b) గరిష్ఠంగా సాగిన స్థానం వద్ద x = A అనగా Φ = \(\frac{\pi}{2}\) మూల సమీకరణం నుండి
x = A sin (ωt + Φ) నుండి x = 2 sin (20t + \(\frac{\pi}{2}\)) = 2 cos (20t)

c) గరిష్ఠ సంపీడన స్థానం వద్ద x = – A. కావున Φ = \(\frac{3\pi}{2}\) మూల సమీకరణం
x = A sin (ωt + Φ) నుండి x = – 2 sin (20t + \(\frac{3\pi}{2}\)) = -2 cos 20t.

ప్రశ్న 10.
పటం రెండు వృత్తాకార చలనాలను సూచిస్తుంది. వృత్త వ్యాసార్ధం, భ్రమణ కాలం, తొలిస్థానం, తిరిగే దిశ (సవ్య లేదా అపసవ్య) మొదలైన అంశాలు పటంలో చూపించడమైంది.

పై రెండు సందర్భాలలో భ్రమణం చెందే కణం P యొక్క వ్యాసార్ధ సదిశ x – అక్ష విక్షేపం యొక్క సహచలనాలను రాబట్టండి.
జవాబు:
పటము (a) నుండి T = 2సె; కంపన పరిమితి A = 3 సెం.మీ. ;
t = 0 వద్ద ‘OP’ x – అక్షంతో చేసిన కోణము \(\frac{\pi}{2}\) = 90° సవ్యదిశ
∴ S.H.M లో గల వస్తుసమీకరణం x = A cos \(\left(\frac{2 \pi \mathrm{t}}{\mathrm{T}}+\phi\right)\) = 3 cos \(\left(\frac{2 \pi \mathrm{t}}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\) = 3 cos \(\left(\pi \mathrm{t}+\frac{\pi}{2}\right)\) సెం.మీ.

b) పటము (b) నుండి కాలము T = 4 సె ; కంపన పరిమితి A = 2 మీ.
t = 0 వద్ద x – అక్షంతో P చేయు కోణము Φ = π. (సవ్యదిశలో)
∴ S.H.M లో గల వస్తు సమీకరణం
x = A cos \(\left(\frac{2 \pi t}{T}+\phi\right)\) = 2 cos \(\left(\frac{2 \pi \mathrm{t}}{4}+\pi\right)\) = -2 cos \(\left(\frac{\pi}{2} t\right)\)

ప్రశ్న 11.
పటం (a)లో చూపించిన విధంగా బల స్థిరాంకం గల స్ప్రింగ్ ఒక చివరను దృఢంగా బిగించి, రెండో స్వేచ్ఛా చివరకు ద్రవ్యరాశి m ని బిగించారు. స్వేచ్ఛా చివర ప్రయోగించిన బలం Fవల్ల స్ప్రింగ్ కొంత సాగుతుంది. పటం (b)లో చూపించిన విధంగా అదే స్ప్రింగ్ రెండు స్వేచ్ఛా చివరలను m ద్రవ్యరాశి గల రెండు దిమ్మెలకు అనుసంధానం చేసి, రెండు చివరలా అంతే బలం F ప్రయోగించి స్ప్రింగ్ను సాగదీశారు.

(a) రెండు సందర్భాల్లో స్ప్రింగ్ పొందే గరిష్ఠ సాగుదల ఎంత ?
(b) పటం (a) లో ద్రవ్యరాశిని, పటం (b) లో రెండు ద్రవ్యరాశులను వదిలిపెడితే ప్రతి సందర్భంలో స్ప్రింగ్ చేసే డోలనావర్తన కాలం ఎంత ?
జవాబు:
రెండు సందర్భాలలోను స్ప్రింగ్లో గరిష్ఠ సాగుదల_x = F/k
పటం ‘a’ నుండి స్ప్రింగ్ను సాగదీసిన స్థానం వద్ద బరువును వదలివేస్తే పునఃస్థాపక బలం F = – kx లేదా F ∝ x
ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}}\) స్ప్రింగ్లలో
m = తగిలించిన ద్రవ్యరాశి ; k = స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము
పటము ‘b’ నుండి రెండు ద్రవ్యరాశులను శ్రేణి పద్ధతిలో కలిపితే స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము k అయినపుడు ఫలిత ద్రవ్యరాశి
μ = \(\frac{\mathrm{m} \times \mathrm{m}}{\mathrm{m}+\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{2}\)
ఆవర్తన కాలము T= 2π \(\sqrt{\frac{\mu}{k}}\) = 2π \(\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{2 \mathrm{k}}}\)

ప్రశ్న 12.
ఒక వాహన ఇంజన్లోని సిలిండర్లో గల ముషలకం 1.0m (కంపన పరిమితికి రెట్టింపు) ఘాతం (stroke) ను ఇస్తుంది. ఒకవేళ ముషలకం 200 rad/min పౌనఃపున్యంతో సరళ హరాత్మక చలనం చేస్తున్నట్లైతే, దాని గరిష్ఠ వడి ఎంత ?
జవాబు:
కంపన పరిమితి A = \(\frac{1}{2}\) మీ.,
ω = 200 R.P.M
గరిష్ఠ వేగము V_max = A . ω = \(\frac{1}{2}\) × 200 = 100 మీ/నిమిషము

ప్రశ్న 13.
చంద్రుడిపై గురుత్వ త్వరణము విలువ 1.7 ms^-2. భూమిపై 3.58 డోలనావర్తన కాలం గల లఘులోలకాన్ని చంద్రుడిపైకి తీసుకొనిపోతే అక్కడ దాని డోలనావర్తన కాలం ఎంత ? (భూమిపై g విలువ 9.8 ms^-2)
జవాబు:
చంద్రునిపై గురుత్వ త్వరణము g_m = 1.7 మీ/సె^-2 ; భూమిపై g = 9.8 మీ/సె²
భూమిపై లోలకం ఆవర్తన కాలము T_e = 3.5 సె ;
చంద్రునిపై ఆవర్తన కాలం T_m = ?
T_e = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g_e}}\)
T_m = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g_m}}\)
∴ \(\frac{T_m}{T_e}=\sqrt{\frac{g_e}{g_m}\)
చంద్రునిపై ఆవర్తన కాలం T_m = T_e \(\sqrt{\frac{9.8}{1.7}}\) = 8.4 s

ప్రశ్న 14.
Mద్రవ్యరాశి గల గుండును కలిగి ఉన్న ! పొడవు గల లఘులోలకాన్ని కారులో వేలాడదీశారు. కారు R వ్యాసార్ధం గల వృత్తాకార మార్గంపై సమవడితో చలిస్తోంది. లోలకం వ్యాసార్ధ దిశలో సమతాస్థితి స్థానం పరంగా స్వల్ప డోలనాలను చేస్తే, దాని ఆవర్తన కాలం ఎంత ?
జవాబు:
అభిలంబ త్వరణము a_c = \(\frac{v^2}{\mathrm{R}}\) ఇది క్షితిజ సమాంతరంగా పనిచేస్తుంది.
గురుత్వ త్వరణము ‘g’ క్షితిజ లంబంగా పనిచేస్తుంది.
ఫలిత గురుత్వ త్వరణము g’ = \(\sqrt{g^2+a_c^2}=\sqrt{g^2+\frac{v^4}{R^2}}\)
ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g^{\prime}}}\) = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g^2 \quad v^4 / R^2}}\)

ప్రశ్న 15.
10 kg ద్రవ్యరాశి గల వృత్తాకార లోహపలక కేంద్రం వద్ద తీగతో కట్టి పలకను వేలాడదీశారు. తీగను మెలి తిప్పి వదిలితే పలక చేసే విమోటన డోలనాల ఆవర్తన కాలం 1.58 పలక వ్యాసార్ధం 15 cm అయితే తీగ విమోటన స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం విలువను కనుక్కోండి. (విమోటన స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం aను J = – α θ తో నిర్వచిస్తారు. ఇక్కడ J పునఃస్థాపక టార్క్, θ పురి తిప్పిన కోణం).
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి m = 10 కి.గ్రా; R = 15 సెం.మీ. = 0.15 మీ; T = 1.5 సె
బిళ్ళ జడత్వ భ్రామకము I = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) × 10 × (0.15)² = 0.1125 kg m²
ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{\mathrm{I}}{\alpha}}\)
లేదా α = \(\frac{4 \pi^2 \mathrm{I}}{\mathrm{T}^2}\) = 4 × (3.14)² × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{0.1125}{(1.5)^2}\) = 1.97 Nm/Rad

ప్రశ్న 16.
5 cm కంపన పరిమితి, 0.2s డోలనావర్తన కాలంతో ఒక వస్తువు సహచ చేస్తుంది. వస్తువు స్థానభ్రంశాలు (a) 5 cm (b) 3 cm (c) 0 cm అయినప్పుడు దాని త్వరణం, వేగాలను కనుక్కోండి.
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి A = 5 సెం.మీ. = 0.05 మీ; T = 0.2 సె
కోణీయ వేగము ω = \(\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \times 3.14}{0.2}\) = 10π
a) స్థానభ్రంశము x = 5 cm ⇒ x = A వద్ద
త్వరణము A = – ω²A = 10π × 10π × \(\frac{5}{100}\) = 5π² = 49.3 మీ/సె²
వేగము V = 0 (x = A అయినపుడు)

b) స్థానభ్రంశము x = 3 సెం.మీ.= \(\frac{3}{100}\) మీ.
త్వరణము a = – ω²x = 10π × 10π × \(\frac{3}{100}\) = 29.58 మీ/సె²
వేగము V = ω \(\sqrt{\mathrm{A}^2-\mathrm{x}^2}=10 \pi \sqrt{\left(\frac{5}{100}\right)^2-\left(\frac{3}{100}\right)^2}=\frac{10 \pi}{100} \sqrt{25-9}\)
= \(\frac{\pi}{10} \cdot \sqrt{16}=\frac{4 \pi}{10}\) = 1.256 మీ/సె

c) స్థానభ్రంశము x = 0 వద్ద, త్వరణము a = ω²x = 0
వేగము V గరిష్ఠము
∴ V_max = Aω = \(\frac{5}{100}\) × 10π = \(\frac{\pi}{2}\) = 1.57 మీ/సె

ప్రశ్న 17.
క్షితిజ సమాంతరంగా ఉండే స్ప్రింగ్ స్వేచ్ఛా చివరన కట్టిన ద్రవ్యరాశి, తలంపై ఎలాంటి ఘర్షణ లేదా అవరోధం లేనప్పుడు » కోణీయ వేగంతో డోలనాలు చేస్తుంది. t = 0 కాలం వద్ద ద్రవ్యరాశిని x₀ దూరం లాగి కేంద్రం వైపు V₀ వేగంతో నెట్టినప్పుడు కలిగే ఫలిత డోలనాల కంపన పరిమితిని ω, x₀, V₀ పదాలలో కనుక్కోండి.
(సూచన : x = a cos (ωt + θ) సమీకరణంతో ప్రారంభించండి. తొలి వేగం రుణాత్మకం అని గమనించండి.)
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి కాలము t = 0 వద్ద x = x₀ మరియు \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) = -V₀
S.H.M సమీకరణం x = A cos (ωt + Φ) నుండి x₀ = A cos ωt …………….. (1)
కాని \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) = V₀ = -ω A sin ωt
⇒ A sin ωt = \(\frac{V_0}{\omega}\) ………………. (2)
1, 2 సమీకరణాలను వర్గీకరించి కలుపగా
x₀² + \(\frac{\mathrm{V}_0^2}{\omega^2}\) = A² (sin²ωt + cos²ωt) లేదా A² = x₀² + \(\frac{\mathrm{V}_0^2}{\omega^2}\)
∴ కంపన పరిమితి A = \(\sqrt{\mathrm{x}_0^2+\frac{\mathrm{V}_0^2}{\omega^2}}\)