TS Inter 1st Year

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 10 Properties of Triangles Ex 10(b) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Properties of Triangles Solutions Exercise 10(b)

(Note : All problems in this exercise have reference to ∆ABC)

I.
Question 1.
Express Σ r₁ cot \(\frac{\mathrm{A}}{2}\) in terms of s. (Mar. 2006)
Answer:
We have r₁ = s tan \(\frac{\mathrm{A}}{2}\)
∴ Σ r₁ cot\(\left(\frac{\mathrm{A}}{2}\right)\)
= Σ s tan\(\left(\frac{\mathrm{A}}{2}\right)\) cot\(\frac{\mathrm{A}}{2}\)
= Σs = s + s + s = 3s

Question 2.
Show that Σ a cot A = 2 (R + r).
Answer:
L.H.S. = Σ a cot A
= Σ 2R sin A \(\frac{\cos A}{\sin A}\)
= Σ 2R cos A
= 2R Σ cos A
= 2R (cos A + cos B + cos C)

Question 3.
In ∆ ABC, prove that
r₁ + r₂ + r₃ – r = 4R (Mar. 2006)
Answer:

Question 4.
In ∆ ABC, prove that
r + r₁ + r₂ – r₃ = 4R cos C. (May 2006)
Answer:

Question 5.
If r + r₁ + r₂ = r₃, then show that C = 90°
Answer:
Given r + r₁ + r₂ = r₃
We have given that r₁ + r₂ = r₃ – r
r₁ + r₂ = 4R sin\(\frac{\mathrm{A}}{2}\) cos\(\frac{\mathrm{B}}{2}\) cos\(\frac{\mathrm{C}}{2}\) + 4R sin\(\frac{B}{2}\) cos\(\frac{C}{2}\) cos\(\frac{A}{2}\)

II.
Question 1.
Prove that
4 (r₁r₂ + r₂r₃ + r₃r₁) = (a + b + c)²
Answer:
r₁r₂ + r₂r₃ + r₃r₁

Question 2.
Prove that
\(\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_1}\right)\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_2}\right)\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_3}\right)=\frac{a b c}{\Delta^3}=\frac{4 R}{r^2 s^2}\)
Answer:

Question 3.
Prove that r(r₁ + r₂ + r₃) = ab + bc + ca – s² – s²
Answer:
L.H.S. = r(r₁ + r₂ + r₃)

= \(\frac{\Delta^2}{\Delta^2}\) [(s² + s² + s²) – s(b + c) – s(a + c) – s (a + b) + bc + ca + ab]
= [3s² – 2s (a + b + c) + bc + ca + ab]
= 3s² – 2s (2s) + ab + bc + ca
= ab + bc + ca – s²
= R.H.S.

Question 4.
Show that \(\Sigma \frac{r_1}{(s-b)(s-c)}=\frac{3}{r}\).
Answer:

Question 5.
Show that
(r₁ + r₂) tan\(\frac{C}{2}\) = (r₃ – r)cot\(\frac{C}{2}\) = c.
Answer:

Question 6.
Show that
r₁ r₂ r₃ = r₃ cot²\(\frac{A}{2}\) cot²\(\frac{B}{2}\) cot²\(\frac{C}{2}\)
Answer:

III.
Question 1.
Show that cos A + cos B + cos C = 1 + \(\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{R}}\)
Answer:

Question 2.
Show that cos²\(\frac{A}{2}\) + cos²\(\frac{B}{2}\) + cos²\(\frac{C}{2}\) = 2 + \(\frac{\mathbf{r}}{2 R}\). (Mar. 2005)
Answer:

Question 3.
Show that
sin²\(\frac{A}{2}\) + sin²\(\frac{B}{2}\) + sin²\(\frac{C}{2}\) = 1 – \(\frac{r}{2 R}\)
Answer:

Question 4.
Show that
(i) a = (r₂ + r₃) \(\sqrt{\frac{r r_1}{r_2 r_3}}\)
Answer:

(ii) ∆ = r₁r₂\(\sqrt{\frac{4 R-r_1-r_2}{r_1+r_2}}\)
Answer:

Question 5.
Prove that
r₁² + r₂² + r₃² + r² = 16R² – (a² + b² + c²).
Answer:
(r₁ + r₂ + r₃ – r)² = [(r₁ + r₂ + r₃ – r]²
= (r₁ + r₂ + r₃)² – 2r(r₁ + r₂ + r₃)r + r²
= (r₁² + r₂² + r₃² + r²) – 2r(r₁ + r₂ + r₃) + 2(r₁ r₂ + r₂ r₃ + r₃ r₁)
But using results r₁ + r₂ + r₃ – r = 4R and
r₁ r₂ + r₂r₃ + r₃r₁ = s²
We have 16R² = (r₁² + r₂² + r₃² + r²) – 2r(r₁ + r₂ + r₃) + 2s² …………………….. (1)
Now 2r(r₁ + r₂ + r₃)

= 2 (ab + bc + ca) – 2s²
= 2(ab + bc + ca – s²) ……………….. (2)
∴ From (1)
r₁² + r₂² + r₃² + r² = 16R² + 2(ab + bc + ca – s²) – 2s²
= 16R² + 2(ab + bc + ca) – 4s²
= 16R² = [4s² – 2 (ab + bc + ca)]
= 16R² – {(a + b + c)² – 2(ab + bc + ca)}
= 16R² – (a² + b²+ c²)

Question 6.
If P₁, P₂, P₃ are altitudes drawn from vertices A, B, C to the opposite sides of a triangle respectively, then show that
(i) \(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}=\frac{1}{r}\)
(ii) \(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}-\frac{1}{p_3}=\frac{1}{r_3}\) and
(iii) P₁.P₂.p₃ = \(\frac{(a b c)^2}{8 R^3}=\frac{8 \Delta^3}{a b c}\) (Mar.2010)
Answer:

(i)

(ii)

(iii)

Question 7.
If a = 13, b = 14, c = 15 show that R = \(\frac{65}{8}\) r = 4, r₁ = \(\frac{21}{2}\), r₂ = 12 and r₃ = 14. (Mar. 14) (Board New Model Paper) (March 2015-A.P)
Answer:
Given a = 13, b = 14, c = 15
We have s = \(\frac{a+b+c}{2}\) = \(\frac{13+14+15}{2}\) = 21
s – a = 21 – 13 = 8; s – b = 21 – 14 = 7;
s – c = 21 – 15 = 6

∴ The values are R = \(\frac{65}{8}\), r = 4, r₁ = \(\frac{21}{2}\), r₂ = 12 and r₃ = 14.

Question 8.
If r₁ = 2, r₂ = 3, r₃ = 6 and r = 1, Prove that a = 3, b = 4 and c = 5. (March 2015-T.s) (Mar. 09, Oct. 97)
Answer:
We have given r = 1, r₁ = 2, r₂ = 3 and r₃ = 6 and ∆² = r . r₁.r₂.r₃ = (1) (2) (3) (6) = 36
⇒ ∆ = 6
Now r = \(\frac{\Delta}{s}\) ⇒ s = \(\frac{\Delta}{r}\) = 6
r₁ = \(\frac{\Delta}{s-a}\) ⇒ 2 = \(\frac{6}{s-a}\)
⇒ s – a = 3 ⇒ 6 – a = 3 ⇒ a = 3
r₁ = \(\frac{\Delta}{s-b}\) ⇒ 2 = \(\frac{6}{s-b}\)
⇒ s – b = 2
⇒ b = 4
r₁ = \(\frac{\Delta}{s-c}\) ⇒ 2 = \(\frac{6}{s-c}\)
⇒ s – c = 1
⇒ c= 5
∴ a= 3, b = 4, c = 5.

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 9th Lesson S బ్లాక్ మూలకాలు Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 9th Lesson S బ్లాక్ మూలకాలు

అత్యంత లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఆవర్తన పట్టికలో కర్ణ సంబంధం ఉండటానికి గల కారణాలను తెలపండి.
జవాబు:
ఆవర్తన పట్టికలో Li – Mg, Be – Al, B – Si ల మధ్య కర్ణ సంబంధం ఉంటుంది. దీనికి కారణం

1. మూలక పరమాణు పరిమాణం సమానంగా ఉండటం.
2. వాటి ఋణవిద్యుదాత్మకత విలువలు సమానంగా ఉండటం.
3. మూలకాలకు ఒకే ద్రువణ సామర్ధ్యం (ఆవేశం / వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి) ఉండటం.

ప్రశ్న 2.
K, Rb ల ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసాలను పూర్తిగా రాయండి.
జవాబు:
ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసాలు
K (Z = 19) – 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 4s¹
Rb (Z = 37) – 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 3d¹⁰ 4s² 4p⁶ 5s¹

ప్రశ్న 3.
లిథియమ్ లవణాలు చాలావరకు ఆర్ద్రీకృతమై ఉంటాయి. ఎందుకు ?
జవాబు:
Li^– అయాన్ యొక్క పరమాణు పరిమాణం తక్కువ మరియు హైడ్రేషన్ తీవ్రత ఎక్కువ. కావున Li లవణాలు చాలా వరకు ఆర్ద్రీకృతమై ఉంటాయి. ఉదా : LiCl 2H₂O

ప్రశ్న 4.
క్షారలోహాలలో దేనికి అసాధారణ సాంద్రత ఉంటుంది ? గ్రూపు 1 మూలకాల సాంద్రతల మార్పులో క్రమం ఏమిటి ?
జవాబు:
‘K’ మూలకానికి అసాధారణ సాంద్రత ఉంటుంది. దీని సాంద్రత Na కన్నా తక్కువ ఉంటుంది. K యొక్క స్ఫటిక జాలకంలో అంతర పరమాణుక దూరాలు ఎక్కువగా ఉంటాయి.
IA group మూలకాల సాంద్రత క్రమం పెరుగుతుంది. అంటే Li < Na > K < Rb < Cs

ప్రశ్న 5.
సోడియమ్ కంటే లిథియమ్ నీటితో జరిపే చర్యాతీక్షణత తక్కువ. కారణాలను తెలపండి.
జవాబు:
లిథియమ్కు పరమాణు పరిమాణం తక్కువ మరియు హైడ్రేషన్ శక్తి ఎక్కువ. కావున Na కంటె Li నీటితో జరిపే చర్యా తీక్షణత తక్కువ.

ప్రశ్న 6.
క్షారలోహాల హాలైడ్లలో లిథియమ్ అయొడైడ్ అత్యధిక కోవలెంట్ ధర్మం కలది. కారణాలను తెలపండి.
జవాబు:
క్షారలోహాల హాలైడ్లలో లిథియమ్ అయొడైడ్ అత్యధిక కోవలెంట్ ధర్మం కలది. కారణం

1. Li⁺ కు పరమాణు పరిమాణం తక్కువ.
2. Li⁺కు ద్రువణతా సామర్థ్యం ఎక్కువ.
3. I^– అయాన్ యొక్క పరిమాణం మిగిలిన హాలైడ్ అయాన్ల పరిమాణం కన్నా ఎక్కువ ఉండటం వలన దీనికి విస్తారం చేయు సామర్థ్యం ఎక్కువ.

ప్రశ్న 7.
క్షారలోహ హైడ్రోజన్ కార్బొనేట్ కంటే లిథియమ్ హైడ్రోజన్ కార్బొనేట్ ఏ విధంగా విభేదిస్తుంది ?
జవాబు:
లిథియమ్ హైడ్రోజన్ కార్బొనేట్ ఘనరూపంలో లభ్యం కాదు. కాని మిగిలిన క్షారలోహ హైడ్రోజన్ కార్బొనేట్లు ఘన పదార్థాలుగా ఏర్పడతాయి.

ప్రశ్న 8.
ఏవైనా రెండు క్షారమృత్తిక లోహాల ఎలక్ట్రానిక్ విన్యాసాలను పూర్తిగా రాయండి.
జవాబు:
Be(Z = 4) – 1s² 2s²
Mg (Z = 12) – 1s² 2s² 2p⁶ 3s²
Ca (Z = 20) – 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 4s²

ప్రశ్న 9.
క్షారమృత్తిక లోహాల ద్రవీభవన, బాష్పీభవన స్థానాల మార్పుల గురించి చెప్పండి.
జవాబు:
క్షార మృతిక లోహ పరమాణువులు తక్కువ అయనీకరణ శక్తి కలిగి ఉండటం వల్ల వీటి ద్రవీభవన, బాష్పీభవన స్థానాలు సరైన క్రమంలో ఉండవు.

ప్రశ్న 10.
గ్రూపు 2 మూలకాలు జ్వాలకు కలిగించే స్వాభావిక రంగులు ఏమిటి ?
జవాబు:
గ్రూపు 2 మూలకాలు జ్వాలకు కలిగించే స్వాభావిక రంగులు

ప్రశ్న 11.
మెగ్నీషియమ్ లోహాన్ని గాలిలో మండిస్తే ఏం జరుగుతుంది ?
జవాబు:
Mg లోహాన్ని గాలిలో మండిస్తే కాంతివంతంగా మండి MgO మరియు Mg₃N₃ లను ఏర్పరచును.
2Mg + O₂ → 2Mgo (మెగ్నీషియం ఆక్సైడ్)
3Mg + N₂ → Mg₃N₂ (మెగ్నీషియం నైట్రైడ్)

ప్రశ్న 12.
లిథియమ్ కార్బొనేటికి మిగిలిన క్షారలోహాల కార్బొనేట్ల వలె ఉష్ణ స్థిరత్వం లేదు. వివరించండి.
జవాబు:
Li కు పరమాణు పరిమాణం తక్కువ మరియు ధృవణ సామర్థ్యం ఎక్కువ. కావున Li₂CO₃ తొందరగా విఘటనం చెంది స్థిరమైన Li₂O మరియు CO₂ లను ఏర్పరచును. కావున లిథియమ్ కార్బొనేట్కు మిగిలిన క్షారలోహాల కార్బొనేట్ల వలె ఉష్ణ స్థిరత్వం లేదు. Li₂CO₃ → Li₂O + CO₂

ప్రశ్న 13.
గ్రూపు 2 లోహాలు ద్రవ అమ్మోనియాలో అమ్మోనియేటెడ్ లోహ అయాన్లు ఏర్పడటానికి తుల్య సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు:
M + (x + y) NH₃ → [M(NH₃)_x]²⁺ + 2 [e(NH₃)_y]^–

ప్రశ్న 14.
క్షారమృత్తిక లోహాల ఫ్లోరైడ్లు నీటిలో ఆయా క్లోరైడ్ కంటే అల్ప ద్రావణీయత కలిగి ఉన్నవి. ఎందుకు ?
జవాబు:
ఫ్లోరైడ్ అయాన్ యొక్క పరిమాణం తక్కువ మరియు జాలక శక్తి ఎక్కువ. కావున క్షారమృత్తిక లోహాల ఫ్లోరైడ్లు నీటిలో ఆయా క్లోరైడ్ కంటే అల్ప ద్రావణీయత కలిగి ఉన్నవి.

ప్రశ్న 15.
ఆర్ద్ర Mg(NO₃)₂ ని వేడిచేస్తే ఏమౌతుంది ? దానికి తుల్య సమీకరణాన్ని ఇవ్వండి.
జవాబు:
ఆర్ద్ర Mg(NO₃)₂ లవణాన్ని వేడిచేయగా మొదట అనార్ద్ర Mg(NO₃)₂ ఏర్పడుతుంది. దీనిని తిరిగి వేడిచేస్తే ఆక్సైడ్ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 16.
క్షారమృత్తిక లోహ హైడ్రాక్సైడ్ జల ద్రావణీయత గ్రూపులో పైనుంచి కిందికి పెరుగుతుంది. ఎందుకో చెప్పండి.
జవాబు:
క్షార మృత్తిక లోహ గ్రూపులో (IIA) పై నుండి క్రిందకుపోయే కొలది సాధ్రీకరణోష్ణం కంటే స్ఫటిక జాలక శక్తి అధికంగా తగ్గడం వల్ల వీటి హైడ్రాక్సైడ్ జల ద్రావణీయత క్రమంగా పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 17.
క్షారమృత్తిక లోహాల కార్బొనేట్ల, సల్ఫేట్ల జలద్రావణీయత గ్రూపులో కిందికి పోయినకొద్దీ ఎందుకు తగ్గుతుంది?
జవాబు:
గ్రూపులో పై నుంచి క్రిందకు పరమాణు పరిమాణం పెరుగుతుంది. కావున కార్బొనేట్, సల్ఫేట్ల యొక్క జాలక మరియు హైడ్రేషన్ ఎంథాల్పీలు తగ్గుతాయి. హైడ్రేషన్ ఎంథాల్పీలో తగ్గుదల జాలక ఎంథాల్పీలో తగ్గుదల కన్నా ఎక్కువగా ఉంటుంది. కావున క్షార మృత్తిక లోహాల కార్బొనేట్ల, సల్ఫేట్ల జలద్రావణీయత పై నుంచి క్రిందకు తగ్గుతాయి.

ప్రశ్న 18.
పోర్ట్లాండ్ సిమెంట్ సగటు సంఘటనాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
పోర్ట్లాండ్ సిమెంట్ సంఘటనం :

ప్రశ్న 19.
సిమెంట్కి జిప్సమ్ని ఎందుకు కలుపుతారు ?
జవాబు:
సిమెంట్కు జిప్సమ్ కలుపుట వలన సెట్టింగ్ నెమ్మదిగా జరిగి సిమెంట్ తగినంతగా గట్టిపడుతుంది.

ప్రశ్న 20.
ప్రకృతిలో క్షారలోహాలు స్వేచ్ఛా స్థితిలో ఎందుకు దొరకవు ? (March 2013)
జవాబు:
క్షారలోహాలు చాలా చురుకైనవి. అందుచేత అవి స్వేచ్ఛా స్థితిలో దొరకవు. ఎప్పుడూ సంయోగస్థితిలోనే దొరుకుతాయి. Na మరియు K లు విస్తారంగా దొరికే క్షారలోహాలు.

ప్రశ్న 21.
సాల్వే పద్ధతిలో పొటాషియమ్ కార్బొనేట్ని తయారుచేయలేం. ఎందుకు ?
జవాబు:
అమ్మోనియం బై కార్బొనేట్ను సంతృప్త KCl కలిపితే KHCO₃ అవక్షేపం ఏర్పడుతుంది. కాని అట్లేర్పడ్డ KHCO₃ అధిక ద్రావణీయత కలిగి ఉంటుంది. కావున పొటాషియమ్ కార్బొనేట్ను సాల్వే పద్దతిలో తయారు చేయలేము.

ప్రశ్న 22.
కాస్టిక్ సోడా ముఖ్యమైన ఉపయోగాలను వివరించండి.
జవాబు:
కాస్టిక్ సోడా యొక్క ఉపయోగాలు

1. సబ్బు, కాగితం, కృత్రిమ సిల్క్ మరియు అనేక రసాయన పదార్థాల భారీ తయారీల్లో ఉపయోగిస్తారు.
2. పెట్రోలియం శుద్ధి చేయడంలో ఉపయోగిస్తారు.
3. బాక్సెట్ను శుద్ధి చేయడంలో ఉపయోగిస్తారు.
4. శుద్ధ కొవ్వులను, నూనెలను తయారుచేయటానికి ఉపయోగిస్తారు.
5. ప్రయోగశాలలో కారకంగా ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 23.
సోడియమ్ కార్బొనేట్ ముఖ్య ఉపయోగాలను వివరించండి.
జవాబు:
సోడియమ్ కార్బొనేట్ ముఖ్య ఉపయోగాలు

1. మృదుజలాన్ని తయారుచేయటానికి, నేలను శుభ్రపరచటానికి Na₂CO₃ ను వాడతారు.
2. లాండ్రీలలో Na₂CO₃ ను వాడతారు.
3. గాజు, సబ్బు, బొరాక్స్. కాస్టిక్ సోడాల తయారీలో వాడతారు.
4. కాగితం, రంగులు, వస్త్ర పరిశ్రమలలో వాడతారు.

ప్రశ్న 24.
పొడిసున్నం ముఖ్య ఉపయోగాలను వివరించండి.
జవాబు:
పొడిసున్నం ఉపయోగాలు

1. చక్కెరను శుద్ధి చేయుటలో ఉపయోగిస్తారు.
2. రంజన ద్రవ్యాలను తయారుచేయటంలో వాడతారు.
3. సిమెంట్ తయారీలో వాడతారు.
4. Na₂CO₃, NaOH ల తయారీలో ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 25.
(i) BeCl₂ (బాష్పం)
(ii) BeCl₂ (ఘనపదార్థం) ల నిర్మాణాలను గీయండి.
జవాబు:
i) BeCl₂ (బాష్పం) 1200K వద్ద రేఖీయ రూపంలో ఉండును.
Cl – Be – Cl

ii) ఘనస్థితిలో BeCl₂ శృంఖల నిర్మాణం కలిగి ఉండును.

ప్రశ్న 26.
ప్లాస్టర్ ఆఫ్ పారిస్ ప్రాముఖ్యతను వివరించండి.
జవాబు:

1. ప్లాస్టర్ ఆఫ్ పారిస్ని గృహ నిర్మాణాల్లోను, ప్లాస్టర్లోను ఉపయోగిస్తారు.
2. ఎముకలు విరిగినా, నొప్పులు పట్టినా శరీర అవయవాలను కదలిక లేకుండా చేయడానికి దీనిని వాడతారు.
3. దంత వైద్యంలో దీనిని వాడతారు.

ప్రశ్న 27.
క్షారమృత్తిక లోహాల కార్బొనేట్లలో దేనికి అధిక ఉష్ణ స్థిరత్వం ఉంటుంది ? ఎందుకు ?
జవాబు:
క్షారమృత్తిక లోహాల కార్బొనేట్లలో BaCO₃ కు అధిక ఉష్ణస్థిరత్వం ఉంటుంది. కారణం Ba⁺² అయాన్ యొక్క పరిమాణం ఎక్కువ కావటం వలన ద్రువణ సామర్థ్యం తక్కువగా ఉంటుంది. అందువలన BaCO₃ త్వరగా విఘటనం చెందదు. కావున BaCO₃ కు ఉష్ణస్థిరత్వం ఎక్కువగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 28.
కింది చర్యలకు తుల్య సమీకరణాలను రాయండి.
i) Na₂O₂ నీరు రసాయన చర్య
ii) నీటితో K₂O చర్య
జవాబు:
i) Na₂O₂ + 2H₂O → 2 NaOH + H₂O₂
ii) K₂O + H₂O → 2KOH

లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 29.
ఆక్సీకరణ జ్వాలకు క్షారలోహాలు, వాటి సమ్మేళనాలు స్వాభావిక రంగులను ఇస్తాయి. కారణాలను వివరించండి.
జవాబు:
క్షారలోహాలు, వాటి సమ్మేళనాలు ఆక్సీకరణ జ్వాలకు స్వాభావిక రంగులను ఇస్తాయి. జ్వాల నుంచి ఉష్ణాన్ని గ్రహించి బాహ్య ఆర్బిటాల్ ఎలక్ట్రానన్ను పై శక్తిస్థాయికి ఉత్తేజపరుస్తాయి. ఉత్తేజిత ఎలక్ట్రాన్ స్థాయికి పడినప్పుడు వికిరణాలను ఉద్గారిస్తుంది. ఈ వికిరణాలు దృశ్య కాంతి ప్రాంతంలో ఉంటాయి. కావున ఇవి రంగులను ప్రదర్శిస్తాయి.

ప్రశ్న 30.
కాంతి విద్యుత్ ఘటాల ఎలక్ట్రోడ్లుగా సీసియమ్, పొటాషియమ్ ఏ ధర్మాలు ఉపయోగపడతాయి ?
జవాబు:
సీసియమ్, పొటాషియమ్లలో అయనీకరణ శక్తులు తక్కువగా ఉంటాయి. కాంతితో ఈ లోహాలను చర్య జరిపినపుడు ఆ లోహ పరమాణువులు ఎలక్ట్రాన్ కోల్పోవుటకు సరైన శక్తిని శోషించుకొంటాయి. కావున సీసియమ్, పొటాషియమ్లు కాంతి విద్యుద్ఘాటాల ఎలక్ట్రోడ్లుగా ఉపయోగపడతాయి.

ప్రశ్న 31.
క్షార లోహాలు గాలితో చర్యపై లఘు వ్యాఖ్యను రాయండి.
జవాబు:
క్షార లోహాలు గాలిలో చురుగ్గా మండి ఆక్సైడ్లను ఇస్తాయి. లిథియమ్ మోనాక్సైడ్నస్తుంది. 4Li + O₂ → 2Li₂O (లిథియమ్ మోనాక్సైడ్) సోడియమ్ ఆక్సిజన్తో మితంగాచర్య జరిపితే మోనాక్సైడ్ను, అధికంగా చర్యజరిపితే పెరాక్సైడ్ను ఏర్పరుస్తుంది.
4 Na + O₂ (మితంగా) → 2Na₂O (సోడియమ్ మోనాక్సైడ్)
2Na + O₂ (అధికంగా) → Na₂O₂ (పెరాక్సైడ్)
మిగిలిన లోహాలు ఆక్సిజన్లో చర్య జరిపి సూపరాక్సైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి.
M + O₂ → MO₂ (సూపరాక్సైడ్)

ప్రశ్న 32.
కింది లోహాలు ఒక్కొక్కదానికి ఏవైనా రెండు ఉపయోగాలను రాయండి.
(i) లిథియమ్
(ii) సోడియమ్
జవాబు:
i) లిథియమ్ ఉపయోగాలు.
a) మిశ్రమ లోహాల తయారీలో వాడతారు. ఉదా : Li – Pb మిశ్రమ లోహం మోటార్ ఇంజన్లలో బేరింగ్లుగా వాడతారు. Li – Al మిశ్రమ లోహాలు విమాన భాగాల తయారీలో వాడతారు.
b) Li ను ఉష్ణకేంద్రక చర్యలలోను, విద్యుత్ రసాయన ఘటాల తయారీలోను వాడతారు.

ii) సోడియమ్ లోహం – ఉపయోగాలు.
a) కర్బన రసాయన చర్యల్లో కారకంగా వాడతారు.
b) మిశ్రమ లోహాల తయారీలో వాడతారు.
c) శీతలకారిగా వాడతారు.
d) ఐసోప్రీన్ ను పాలిమరీకరణం చెందించి రబ్బర్ ఏర్పడటంలో ఉత్ప్రేరకంగా వాడతారు.

ప్రశ్న 33.
వాషింగ్ సోడా ధర్మాలను రాయండి.
జవాబు:
వాషింగ్ సోడా ధర్మాలు :

• Na₂CO₃ . 10H₂O (డెకా హైడ్రేట్) ను వాషింగ్ సోడా అంటారు. ఇది తెల్లని, రంగులేని, స్ఫటిక ఘనపదార్థం.
• ఇది నీటిలో కరుగుతుంది.
• దీనిని వేడిచేయగా నీటి అణువులను కోల్పోయి మోనోహైడ్రేట్గా మారును. దీనిని 373K కంటే ఎక్కువగా వేడిచేసినపుడు సోడా యాషన్ను ఏర్పరచును.
  
• Na₂CO₃ జలద్రావణం CO₂ ను శోషించుకొని సోడియం బై కార్బొనేట్ను ఇస్తుంది.
  Na₂CO₃ + H₂O + CO₂ → 2NaHCO₃
• NO₂CO₃ ఆమ్లాలతో చర్య జరిపి CO₂ వాయువును ఇస్తుంది.
  Na₂CO₃ + 2HCl → 2NaCl + H₂O + CO₂
  ఆనయాన్ జలవిశ్లేషణం వలన Na₂CO₃ జలద్రావణానికి క్షారస్వభావం ఉంటుంది. \(\mathrm{CO}_3^{-2}\) + H₂O → HC\(\mathrm{O}_3^{-}\) + OH^–

ప్రశ్న 34.
సోడియమ్ కార్బొనేట్ ఉపయోగాలను రాయండి.
జవాబు:
సోడియమ్ కార్బొనేట్ ముఖ్య ఉపయోగాలు

1. మృదుజలాన్ని తయారుచేయటానికి, నేలను శుభ్రపరచటానికి Na₂CO₃ ను వాడతారు.
2. లాండ్రీలలో Na₂CO₃ ను వాడతారు.
3. గాజు, సబ్బు, బొరాక్స్, కాస్టిక్ సోడాల తయారీలో వాడతారు.
4. కాగితం, రంగులు, వస్త్ర పరిశ్రమలలో వాడతారు.

ప్రశ్న 35.
ముడి సోడియమ్ క్లోరైడ్ నుంచి శుద్ధ లవణాన్ని మీరు ఎట్లా తయారుచేస్తారు ?
జవాబు:
ముడి సోడియమ్ క్లోరైడ్ నుంచి శుద్ధ లవణాన్ని తయారుచేయుట.

1. ముడి NaCl నుంచి శుద్ధ లవణం చేయటానికి ముడి లవణాన్ని ముందుగా వీలైనంత కనీస నీటిలో కరిగించి, తరువాత వడబోస్తారు. నీటిలో కరగని మలినాలను తీసివేస్తారు.
2. ద్రావణంలోనికి హైడ్రోజన్ క్లోరైడ్ వాయువును పంపి సంతృప్తపరుస్తారు. శుద్ధ NaCl స్ఫటికాలు వేరుపడతాయి.
3. కాల్షియమ్ క్లోరైడ్, మెగ్నీషియమ్ క్లోరైడ్లు NaCl కంటే అధిక ద్రావణీయత కలవి కాబట్టి ద్రావణంలో మిగిలిపోతాయి.

ప్రశ్న 36.
కాష్టనర్-కెల్నర్ పద్ధతి గురించి మీకేమి తెలుసు ? దానిలో ఉన్న సూత్రాన్ని రాయండి.
జవాబు:
కాష్టనర్-కెల్నర్ ఘటంలో NaCl ను విద్యుద్విశ్లేషణ చేసి NaOH ను తయారుచేస్తారు. ఈ పద్ధతిలో మెర్క్యురీ కాథోడ్గాను, కార్బన్ ఆనోడ్గాను పనిచేస్తాయి. కాథోడ్ వద్ద ఏర్పడ్డ Na లోహం మెర్క్యురీతో సంయోగం చెంది సోడియమ్ ఎమాల్గమ్ను ఇస్తుంది. ఆనోడ్ వద్ద క్లోరిన్ వాయువు వెలువడుతుంది.
కాథోడ్ :

ఆనోడ్ : Cl^– → \(\frac{1}{2}\) Cl₂ + e^– ఎమాల్గము నీటిలో అభిచర్య జరిపితే సోడియమ్ హైడ్రాక్సైడ్, హైడ్రోజన్ వాయువు వస్తాయి.
2Na – ఎమాల్గమ్ + 2H₂O → 2NaOH + 2Hg + H₂

ప్రశ్న 37.
కాస్టిక్ సోడా అనువర్తనాలను రాయండి.
జవాబు:
కాస్టిక్ సోడా యొక్క ఉపయోగాలు

1. సబ్బు, కాగితం, కృత్రిమ సిల్క్ మరియు అనేక రసాయన పదార్థాల భారీ తయారీల్లో ఉపయోగిస్తారు.
2. పెట్రోలియం శుద్ధి చేయడంలో ఉపయోగిస్తారు.
3. బాక్సెట్ను శుద్ధి చేయడంలో ఉపయోగిస్తారు.
4. శుద్ధ కొవ్వులను, నూనెలను తయారుచేయటానికి ఉపయోగిస్తారు.
5. ప్రయోగశాలలో కారకంగా ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 38.
Na⁺, K⁺ అయాన్ల ప్రాముఖ్యతను జీవరసాయన శాస్త్రంలో చెప్పండి.
జవాబు:

1. కణాల్లోని కర్బన అణువులలో ఉన్న ఋణావేశాలను లోహ అయాన్లపై ఉండే ఆవేశాలు తుల్యం చేస్తాయి.
2. కణాలలో ద్రవాభిసరణ పీడనాన్ని కూడా నిలకడగా ఉంచటానికి ఈ అయాన్లు సహయపడతాయి.
3. కణపు పొరకు అటు, ఇటు రెండు పక్కల Na⁺, K⁺ అయాన్ లుంటాయి. దీని వలన కణంలో విద్యుత్ శక్మం ఏర్పడుతుంది. Na⁺ అయాన్లుండటం వలన గ్లూకోజ్ కణం లోపలికి వెళుతుంది. అధికంగా ఉన్న Na⁺ అయాన్లు బహిష్కృతమవుతాయి.
4. పొటాషియమ్ అయాన్లు కణాంతర్భాగంలో గ్లూకోజ్ జీవన క్రియల్లో దోహదపడతాయి. ప్రోటీన్ సంశ్లేషణలోనూ, కొన్ని నిర్దిష్టమైన ఎంజైములు ఉత్తేజితమవటానికి సహాయపడుతుంది.

ప్రశ్న 39.
Mg లోహం ముఖ్య ఉపయోగాలను చెప్పండి.
జవాబు:
Mg లోహం ముఖ్య ఉపయోగాలు

• Mg లోహం Al, Zn, Mn మరియు Sn లలో ముఖ్యమైన మిశ్రమ లోహాలను ఏర్పరచును.
• మిల్క్ ఆఫ్ మెగ్నీషియమ్ను ఆమ్ల విరోధిగా వాడతారు.
• టూత్పేస్ట్లలో ఉపయోగిస్తారు.
• ఇన్ సెండియర్ బాంబ్లు మరియు సిగ్నలలో Mg ని ఉపయోగిస్తారు.
• Mg పొడి మరియు రిబ్బన్లను ఫ్లాష్ బల్బులలో ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 40.
Be(OH)₂ ద్విస్వభావ పదార్థం అని రుజువు చేయండి.
జవాబు:
బెరిలియమ్ హైడ్రాక్సైడ్ ఆమ్లాలతోను, క్షారాలతోను చర్య జరుపుతుంది. కాబట్టి దానికి ద్విస్వభావం ఉంటుంది.

ప్రశ్న 41.
బెరిలియమ్ అసంగత ప్రవర్తన గురించి ఒక వ్యాఖ్యను రాయండి.
జవాబు:
బెరిలియమ్ అసంగత ప్రవర్తన.
బెరిలియమ్ అదే గ్రూపులోని ఇతర లోహాలతో పోలిస్తే అసంగత ప్రవర్తనని చూపిస్తుంది.

1. బెరిలియమ్ పరమాణు, అయానిక పరిమాణాలు తక్కువగా ఉండటం వలన, ఇది ఎక్కువగా కోవలెంట్ సమ్మేళనాలను ఇస్తుంది. ఈ సమ్మేళనాలు తేలిగ్గా జలవిశ్లేషణ చెందుతాయి.
2. Be సమన్వయ సంఖ్య 4. కాని మిగిలిన మూలకాలు d – ఆర్బిటాళ్ళను ఉపయోగించుకొని సమన్వయ సంఖ్య 6ను ప్రదర్శిస్తాయి.
3. బెరిలియమ్ ఆక్సైడ్లు, హైడ్రాక్సైడ్లు ద్వి స్వభావాన్ని ప్రదర్శిస్తాయి.

ప్రశ్న 42.
Be, Al తో కర్ణ సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. చర్చించండి.
జవాబు:
బెరిలియమ్, అల్యూమినియాతో కర్ణసంబంధాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

1. Al మాదిరిగానే Be కూడా ఆమ్లాలతో చర్య జరపదు.
2. Be (OH)₂ మరియు Al (OH)₃ రెండు కూడా క్షారంలో కరిగి బేరిలేట్ అయాన్ [Be(OH)₄]^2- మరియు అల్యూమినేట్ అయాన్ (Al (OH₄)]^– లను ఏర్పరుస్తాయి.
3. వాయు ప్రావస్థలో బెరిలియమ్, అల్యూమినియమ్ క్లోరైడ్లకు వంతెన నిర్మాణాలు ఉంటాయి.
4. Be, Al రెండు కూడా సంక్లిష్టాలను ఏర్పరుస్తాయి.
5. Be, Al క్లోరైడ్లు లూయీ ఆమ్లాలుగా పనిచేస్తాయి.

ప్రశ్న 43.
ప్లాస్టర్ ఆఫ్ పారిస్ అంటే ఏమిటి ? దాని మీద లఘు వ్యాఖ్యను రాయండి.
జవాబు:
కాల్షియమ్ సల్ఫేట్ హెమిహైడ్రేటిని (CaSO₄ . \(\frac{1}{2}\)H₂O) ప్లాస్టర్ ఆఫ్ పారిస్ అంటారు.
తయారి : జిప్సమ్ CaSO₄. 2H₂O ని 393 K వద్ద వేడిచేసి దీనిని తయారు చేస్తారు.
2(CaSO₄ . 2H₂O) → 2 (CaSO₄) . H₂O + 3H₂O

393K కంటే అధిక ఉష్ణోగ్రతల వద్ద ప్లాస్టర్ ఆఫ్ పారిస్ నన్ను వేడిచేస్తే అనార్ద్ర CaSO, ఏర్పడుతుంది. దీనినే “డెడ్ బరస్ట్ ప్లాస్టర్” అంటారు.
ప్లాస్టర్ ఆఫ్ పారిస్కు తగినంత నీరు కలిపితే ప్లాస్టిక్ పదార్థం లాంటిది ఏర్పడుతుంది. ఈ పదార్థం 5 నుంచి 15 నిమిషాలలో గట్టిపడుతుంది.

ఉపయోగాలు :

• దీనిని గృహ నిర్మాణాల్లోను, ప్లాస్టర్లలోను అతి ఎక్కువగా ఉపయోగిస్తారు.
• ఎముకలు విరిగినా, నొప్పులు పట్టినా శరీర అవయవాలను కదలిక లేకుండా చేయటానికి దీనిని వాడతారు.
• దంతవైద్యంలో దీనిని వాడతారు.

ప్రశ్న 44.
రసాయన ప్రవృత్తిలో మెగ్నీషియమ్ లిథియమ్ ఏ రకంగా సారూప్యతను చూపిస్తుంది ?
జవాబు:
రసాయన ప్రవృత్తిలో Mg, Li ల సారూప్యత.

1. Li, Mg లు నీటితో నెమ్మదిగా చర్య జరుపుతాయి. వాటి ఆక్సైడ్లు, హైడ్రాక్సైడ్లు తక్కువగా కరుగుతాయి.
2. అవి రెండూ నైట్రోజన్లో చర్య జరిపి నైట్రైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి.
3. Li, Mg లు రెండూ కూడా ఆక్సిజన్తో చర్య జరిపి మోనాక్సైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి.
4. Li, Mg కార్బొనేట్లు వేడిచేస్తే తేలిగ్గా విఘటనం చెంది ఆక్సైడ్లను, CO₂ ను ఇస్తాయి.
5. LiCl, MgCl₂ లు రెండూ చెమ్మగిల్లే పదార్థాలే. సజల ద్రావణాల నుంచి వాటి హైడ్రేట్లు LiCl. 2H₂O, MgCl₂ . 8H₂O, స్ఫటికీకరణం చెందుతాయి.

ప్రశ్న 45.
ద్రవ అమ్మోనియాలో క్షార లోహాలను కరిగిస్తే, ద్రావణానికి వివిధ రంగులు వస్తాయి. ఈ రకమైన రంగుల్లో మార్పుకు కారణాలను వివరించండి.
జవాబు:

• క్షారలోహాలు ద్రవ అమ్మోనియాలో కరిగి ముదురు నీలిరంగు ద్రావణాలను ఇస్తాయి. ఈ ద్రావణాలకు విద్యుద్వాహక లక్షణం ఉంటుంది.
  M + (x + y) NH₃ → [M(NH₃)_x]⁺ + [e (NH₃)₄]^–
• ఈ నీలిరంగు ద్రావణంలో అమ్మోనియాలో ఎలక్ట్రాన్ కలిసి ఉంటుంది. ఈ ఎలక్ట్రాన్ దృగ్గోచర ప్రాంతంలో కాంతిని శోషించుకుంటుంది. కాబట్టి ద్రావణానికి నీలి రంగు వస్తుంది.
• ఈ ద్రావణాలు పారా అయస్కాంత ధర్మాన్ని కలిగి ఉంటాయి.
• గాఢ ద్రావణాన్ని వేడిచేస్తే నీలంరంగు కంచు రంగుగా మారుతుంది. ద్రావణం డయా అయస్కాంత ధర్మాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 46.
i) సోడియమ్ లోహాన్ని నీటిలో వేస్తే ఏమి జరుగుతుంది ?
ii) సోడియమ్ లోహానికి గాలిని స్వేచ్ఛగా సరఫరా చేస్తే ఏమి జరుగుతుంది?
జవాబు:
i) సోడియం లోహాన్ని నీటిలో వేస్తే H₂ వాయువును విడుదల చేస్తుంది.
2Na + 2H₂O → 2 NaOH + H₂

ii) సోడియమ్ లోహానికి గాలిని స్వేచ్ఛగా సరఫరా చేస్తే సోడియమ్ పెరాక్సైడ్ ఏర్పడుతుంది.
2Na + O₂ → Na₂O₂

ప్రశ్న 47.
కింది వాటికి కారణాలేమిటి ?
i) Na₂CO₃ జల ద్రావణం క్షార ధర్మం కలిగి ఉంటుంది.
ii) క్షార లోహాలను, వాటి గలన క్లోరైడ్లని విద్యుద్విశ్లేషణ చేసి తయారుచేస్తారు.
జవాబు:
i) Na₂CO₃ జల ద్రావణం క్షార స్వభావం కలిగి ఉంటుంది. నీటిలో ఆనయానిక్ జలవిశ్లేషణ జరిగి OH^– అయాన్లు విడుదలవుతాయి. జలద్రావణం pH > 7 కావున ద్రావణం క్షార స్వభావం కలిగి ఉండును.
Na₂CO₃ → 2Na⁺ + C\(\mathrm{O}_3^{2-}\)
C\(\mathrm{O}_3^{2-}\) + H₂O → HC\(\mathrm{O}_3^{-}\) + OH^–

ii) క్షారలోహాలు బలమైన క్షయకరణులు. కావున రసాయన క్షయకరణ పద్ధతుల ద్వారా వీటిని తయారుచేయలేము. క్షారలోహ లవణ జల ద్రావణాలను విద్యుద్విశ్లేషణ చేస్తే క్షార లోహాలకు బదులుగా కాథోడ్ వద్ద H₂ వాయువు విడుదలవుతుంది. కావున గలన క్లోరైడ్లను విద్యుద్విశ్లేషణ చేయటం ద్వారా మాత్రమే మనము క్షారలోహాలను తయారుచేస్తాము. ఉదా : గలన NaCl ను విద్యుద్విశ్లేషణ చేసి Na లోహాన్ని తయారుచేస్తాము.

ప్రశ్న 48.
కింది పరిశీలనలను మీరు ఎట్లా వివరిస్తారు ?
i) BeO దాదాపు కరగదు, కానీ BeSO₄ నీటిలో కరుగుతుంది.
ii) BaO నీటిలో కరుగుతుంది, కానీ BaSO₄ కరగదు.
జవాబు:
BeO లో జాలక ఎంథాల్పీ, హైడ్రేషన్ ఎంథాల్పీ కన్నా ఎక్కువగా ఉంటుంది. కావున అది నీటిలో కరగదు. కాని BeSO₄ లో జాలక ఎంథాల్పీ హైడ్రేషన్ ఎంథాల్పీ కన్నా తక్కువగా ఉంటుంది. కావున అది నీటిలో కరుగుతుంది.

BaO లో జాలక ఎంథాల్పీ, హైడ్రేషన్ ఎంథాల్పీ కన్నా తక్కువగా ఉంటుంది. కావున అది నీటిలో కరుగుతుంది. BaSO₄ లో జాలక ఎంథాల్పీ, హైడ్రేషన్ ఎంథాల్పీ కన్నా ఎక్కువగా ఉంటుంది. కావున అది నీటిలో కరగదు.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 49.
కింది అంశాలపరంగా క్షారలోహాలను ఒకే గ్రూపులో చేర్చడాన్ని సమర్థించండి.
i) ఎలక్ట్రానిక్ విన్యాసం,
ii) క్షయకరణి స్వభావం,
iii) ఆక్సైడ్లు, హైడ్రాక్సైడ్లు
జవాబు:
i) ఎలక్ట్రానిక్ విన్యాసం

• క్షార లోహాల బాహ్య కక్షలో ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం ns¹
• అన్ని మూలకాలు వేలన్సీ కక్షలో ఒక ఎలక్ట్రానన్ను కలిగి ఉంటాయి.
• ఒకే ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం కలిగి ఉండటం వలన ధర్మాలలో సారూప్యత కనిపిస్తుంది. కావున క్షారలోహాలన్నీ ఒకే గ్రూపులో ఉండటాన్ని సమర్థించవచ్చు.

ii) క్షయకరణ స్వభావం

• క్షారలోహాలు బలమైన క్షయకరణులు
• Li అధిక క్షయకరణ స్వభావం కలది. ‘Na’ తక్కువ క్షయకరణ స్వభావం కలది.
• క్షయకరణ స్వభావానికి ప్రమాణ విద్యుత్ పొటన్షియల్ (E⁰) ఒక కొలమానం.
• Li కు అధిక హైడ్రేషన్ ఎంథాల్పీ కలదు. దీనికి అధిక రుణాత్మక E° విలువ కలదు. కావున ఇది బలమైన క్షయకారిణి.

iii) a) ఆక్సైడ్లు : అన్ని క్షార లోహాలు మంచి క్షయకారిణులు. కాబట్టి వాటిని ఒకే గ్రూపులో ఉంచారు. క్షార లోహాలు గాలిలో చురుగ్గా మండి ఆక్సైడ్లను ఇస్తాయి. లిథియమ్ మోనాక్సైడ్నస్తుంది. 4Li + O₂ → 2Li₂O (లిథియమ్ మోనాక్సైడ్) సోడియమ్ ఆక్సిజన్ మితంగాచర్య జరిపితే మోనాక్సైడు, అధికంగా చర్యజరిపితే పెరాక్సైడ్ను ఏర్పరుస్తుంది.

4 Na + O₂ (మితంగా) → 2Na₂(సోడియమ్ మోనాక్సైడ్)
2 Na + O₂ (అధికంగా) → 2Na₂(పెరాక్సైడ్)
మిగిలిన లోహాలు ఆక్సిజన్తో చర్య జరిపి సూపరాక్సైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి.
M + O₂ → MO₂ (సూపరాక్సైడ్)
క్షారలోహ అయాన్ పరిమాణం పెరిగిన కొలది జాలక శక్తి పెరుగుతుంది. కాబట్టి సూపరాక్సైడ్ స్థిరత్వం పెరుగుతుంది.

b) హైడ్రాక్సైడ్లు : క్షారలోహ ఆక్సైడ్లు జల విశ్లేషణ జరిపి హైడ్రాక్సైడ్లు ఏర్పరచును.
M₂O + H₂O → 2MOH
M₂O₂ + 2H₂O → 2MOH + H₂O₂
2MO₂ + 2H₂O → 2MOH + H₂O₂ + O₂ (M = క్షార లోహం)

• ఇవి రంగులేని స్ఫటిక ఘన పదార్ధాలు.
• ఇవి బలమైన క్షారాలు మరియు నీటిలో కరిగి ఉష్ణాన్ని విడుదల చేయును. కాబట్టి ఆక్సైడ్, హైడ్రాక్సైడ్ ధర్మాల పరంగా క్షారలోహాలను ఒకే గ్రూపులో చేర్చడం సమంజసం.

ప్రశ్న 50.
లిథియము, మిగిలిన క్షార లోహాలకు మధ్య తేడాలపై వ్యాసాన్ని రాయండి.
జవాబు:
గ్రూపులో ఇతర మూలకాలలో పోలిస్తే లిథియమ్ అసాధారణ ధర్మాలు ప్రదర్శిస్తుంది. లిథియమ్ అసాధారణ ప్రవర్తనకు
కారణాలు.

1. అత్యంత తక్కువ పరమాణు సైజు, అయానిక సైజు ఉండటం.
2. అత్యధిక ద్రువణ సామర్థ్యం ఉండటం.
   వీటి ఫలితంగా లిథియమ్ సమ్మేళనాలకు కోవలెంట్ ధర్మాలు ఎక్కువవుతాయి. కావున అవి కర్బన ద్రావణుల్లో కరుగుతాయి.

లిథియమ్ అసాధారణ ధర్మాలు :

1. లిథియమ్ మిగిలిన క్షారలోహాల కంటే గట్టిగా ఉంటుంది.
2. క్షార లోహాల్లో Li అత్యల్ప చర్యాశీలత కలది. గాలిలో మండిస్తే మోనాక్సైడ్ను ఏర్పరుస్తుంది.
3. లిథియమ్ నేరుగా N₂ తో సంయోగం చెందుతుంది. ఏ ఇతర క్షారలోహం N₂ తో చర్య జరపదు.
4. లిథియమ్ హైడ్రోజన్ కార్బొనేట్ ఘనరూపంలో లభ్యం కాదు. మిగిలిన మూలకాలు ఘన హైడ్రోజన్ కార్బొనేట్లను ఏర్పరుస్తాయి.
5. లిథియమ్ నైట్రేట్ను వేడిచేస్తే లిథియమ్ ఆక్సైడ్ ఏర్పడుతుంది. ఇతర క్షారలోహాల నైట్రేట్లు విఘటనం చెంది నైట్రైట్లను ఇస్తాయి.
   4 LiNO₃ → 2 Li₂O + 4 NO₂ + O₂
   2MaNO₃ → 2MaNO₂ + O₂
6. LiF, Li₂O లు వాటి అనురూప క్షారలోహాల సమ్మేళనాలకంటే నీటిలో సాపేక్షంగా తక్కువగా కరుగుతాయి.

ప్రశ్న 51.
సోడియమ్ కార్బొనేట్ని తయారుచేయడం, దాని ధర్మాలను చర్చించండి.
జవాబు:
సోడియమ్ కార్బొనేట్ను సాధారణంగా సాల్వే పద్ధతిలో తయారు చేస్తారు. ఈ పద్ధతిలో Na₂CO₃ ను క్రింది విధంగా తయారు చేస్తారు.

1. అమ్మోనియా ద్రావణంలోనికి CO₂ వాయువును పంపితే అమ్మోనియం బై కార్బొనేట్ ఏర్పడుతుంది.
   NH₃ + H₂O + CO₂ → NH₄HCO₃
2. ఏర్పడిన అమ్మోనియమ్ బైకార్బొనేట్ను సోడియమ్ క్లోరైడ్తో చర్య జరిపిస్తే సోడియమ్ బైకార్బొనేట్ ఏర్పడుతుంది.
   NH₄HCO₃ + NaCl → NH₄Cl + NaHCO₃
3. సోడియమ్ బైకార్బొనేట్ను వేడిచేస్తే సోడియమ్ కార్బొనేట్ ఏర్పడుతుంది.
   

ధర్మాలు :

• సోడియమ్ కార్బొనేట్ తెల్లని, స్ఫటిక పదార్థం.
• Na₂CO₃ . 10H₂O ను డెకాహైడ్రేట్ అంటారు. దీనిని వాషింగ్ సోడా అంటారు.
• 373 K కంటే ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద దీనిని వేడిచేస్తే పూర్తిగా అనార్ద్రంగా తయారవుతుంది. దీనినే సోడాయాష్ అంటారు.
  
• Na₂CO₃ లోని కార్బొనేట్ భాగం నీటిలో జలవిశ్లేషణ చెంది క్షార ద్రావణాన్ని ఇస్తుంది.
  C\(\mathrm{O}_3^{2-}\) + H₂O → HC\(\mathrm{O}_3^{-}\) + OH^–
• ఇది ఆమ్లాలతో చర్య జరిపి, CO₂ వాయువును ఇస్తుంది. Na₂CO₃ + 2HCl → 2 Nacl + H₂O + CO₂

ప్రశ్న 52.
కింది అంశాలపరంగా క్షార మృత్తికలోహాల సారూప్యతను చర్చించండి.
i) ఎలక్ట్రానిక్ విన్యాసం,
ii) ఆర్ద్రీకరణోషాలు,
iii) ఆక్సైడ్లు, హైడ్రాక్సైట్ల స్వభావాలు
జవాబు:
i) ఎలక్ట్రానిక్ విన్యాసం :

• క్షారమృత్తిక లోహాల సాధారణ ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం ns².
• ఈ మూలకాల వేలన్సీ కక్ష s – ఆర్బిటాల్లో రెండు ఎలక్ట్రాన్లు ఉంటాయి. కావున ఈ మూలకాల ధర్మాలలో సారూప్యత కనిపిస్తుంది.

ii) ఆర్ద్రీకరణోష్టాలు

• క్షార మృత్తిక లోహాల ఆర్ద్రీకరణోష్టాలు లోహ అయాన్ పరిమాణం పెరిగేకొలది తగ్గుతాయి.
  Be²⁺ > Mg⁺² > Ca⁺² > Sr⁺² > Ba⁺²
• క్షార లోహ అయాన్ల ఆర్ద్రీకరణోష్టాల కంటే క్షార మృత్తిక లోహాలకు ఆర్ద్రీకరణోష్టాలు ఎక్కువగా ఉంటాయి.

iii) a. ఆక్సైడ్లు

• క్షారమృత్తిక లోహాలు ఆక్సిజన్లో మండి మోనాక్సైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి.
• BeO ద్విస్వభావ సంయోజనీయ ఆక్సైడ్. మిగతా ఆక్సైడ్లు అయానిక క్షార స్వభావం కలిగి ఉంటాయి.

b. హైడ్రాక్సైడ్లు

• BéO తప్ప మిగిలిన ఆక్సైడ్లు జల విశ్లేషణ చేసినపుడు హైడ్రాక్సెడ్లు ఏర్పడతాయి.
• క్షారలోహ హైడ్రాక్సైడ్ కంటే క్షార మృత్తికలోహ హైడ్రాక్సెడ్లు తక్కువ క్షార స్వభావం కలిగి ఉంటాయి.
• Be(OH)₂ ద్విస్వభావ పదార్థం అంటే ఇది ఆమ్లాలతోనూ, క్షారాలతోనూ చర్య జరుపుతుంది.

ప్రశ్న 53.
క్షారమృత్తిక లోహాల
i) కార్బొనేట్లు
ii) సల్ఫేట్లు
iii)నైట్రేట్ల గురించి చర్చించండి.
జవాబు:
i) కార్బొనేట్లు

• క్షార మృత్తిక లోహాలు MCO₃ రకమైన కార్బొనేట్లను ఏర్పరుస్తాయి.
  నీటిలో కరిగే లోహ లవణ ద్రావణాలకు Na₂CO₃ ద్రావణాన్ని కలిపి ఈ కార్బొనేట్లను తయారుచేస్తారు.
• గ్రూపులో పై నుంచి క్రిందకు పరమాణు సంఖ్య పెరిగే కొలది కార్బనేట్ల ద్రావణీయతలు తగ్గుతాయి.
• ఈ కార్బొనేట్లు వేడిచేయగా వియోగం చెంది CO₂ ను ఏర్పరచును.

ii) సల్ఫేట్లు

• క్షార మృత్తిక లోహాలు MSO₄ రకమైన సల్ఫేట్లను ఏర్పరుస్తాయి.
• ఇవి తెల్లని ఘన పదార్థాలు. ఉష్ణ స్థిరమైనవి.
• Be⁺², Mg⁺² కు ఆర్ద్రీకరణోష్ణం ఎక్కువ. అందువలన BeSO₄ మరియు MgSO₄ లు నీటిలో కరుగుతాయి.
• CaSO₄ నుంచి BaSO₄ కు ద్రావణీయత తగ్గును.

iii) నైట్రేట్లు

• క్షారమృత్తిక లోహాలు M(NO₃)₂ రకమైన నైట్రేట్లను ఏర్పరుస్తాయి.
• ఇవి కార్బొనేట్లను సజల HNO₃ తో చర్యజరపడం ద్వారా ఏర్పడతాయి.
• Mg(NO₃)₂ ఆరు నీటి అణువులతో స్పటికీకరణం చెందును. Ba(NO₃)₂ అనార్ధమైనవి.
• ఈ నైట్రేట్లను వేడిచేయగా ఆక్సైడ్లను ఏర్పరచును.
  2 M(NO₃)₂ → 2MO + 4NO₂ + O₂

ప్రశ్న 54.
క్షారలోహాల సాధారణ భౌతిక, రసాయన ధర్మాలు ఏమిటి ?
జవాబు:
భౌతిక ధర్మాలు :

• క్షారలోహాలన్నీ తెల్లని మెత్తని తేలికైన లోహాలు.
• సైజు ఎక్కువగా ఉండటం వలన సాంద్రత తక్కువగా ఉంటుంది.
• వీటి ద్రవీభవన, బాష్పీభవన స్థానాలు తక్కువగా ఉంటాయి.
• క్షారలోహాలు, వాటి లవణాలు ఆక్సీకరణ జ్వాలకు విలక్షణమైన రంగునిస్తాయి.
• ఇవి బలమైన క్షయకరణులు

రసాయన ధర్మాలు :

• O₂ తో చర్య : క్షారలోహాలన్నీ ఆక్సిజన్లో వేడిచేసినపుడు ఆక్సైడ్లను ఇస్తాయి. లిథియమ్ O₂ తో మోనాక్సైడు, సోడియమ్ పెరాక్సైడ్ను, మిగిలిన మూలకాలతో సూపరాక్సైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి.
• H₂ తో చర్య : క్షారలోహాలు 300-600°C వద్ద H₂ తో సంయోగం చెంది హైడ్రైడ్లనిస్తాయి.
  
• ఈ హైడ్రైడ్లన్నీ అయానిక పదార్థాలు.

నీటితో చర్యాశీలత : క్షారలోహాలు నీటితో తీవ్రమైన చర్య జరుపుతాయి. ఈ చర్యలో H₂ వాయువు విడుదలవుతుంది.
2M + 2H₂O → 2MOH + H₂ (M = క్షార లోహం)

హాలోజన్లతో చర్య : క్షారలోహాలు హాలోజన్లతో సంయోగం చెంది ద్విగుణాత్మక సమ్మేళనాలనిస్తాయి.
2M + X₂ → 2MX (M = క్షార లోహం)
క్షారలోహాల హాలైడ్ల న్నీ అయానిక సమ్మేళనాలే.

ప్రశ్న 55.
క్షార మృత్తిక లోహాల సాధారణ ధర్మాలని, వాటిలోని క్రమతను గురించి చర్చించండి.
జవాబు:
i) ఎలక్ట్రానిక్ విన్యాసం :

• క్షారమృత్తిక లోహాల సాధారణ ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం ns².
• ఈ మూలకాల వేలన్సీ కక్ష s – ఆర్బిటాల్లో రెండు ఎలక్ట్రాన్లు ఉంటాయి. కావున ఈ మూలకాల ధర్మాలలో సారూప్యత కనిపిస్తుంది.

ii) ఆర్ద్రీకరణోష్టాలు

• క్షార మృత్తిక లోహాల ఆర్ద్రీకరణోష్టాలు లోహ అయాన్ పరిమాణం పెరిగేకొలది తగ్గుతాయి.
  Be²⁺ > Mg⁺² > Ca⁺² > Sr⁺² > Ba⁺²
• క్షార లోహ అయాన్ల ఆర్ద్రీకరణోష్టాల కంటే క్షార మృత్తిక లోహాలకు ఆర్ద్రీకరణోష్టాలు ఎక్కువగా ఉంటాయి.

iii) a. ఆక్సైడ్లు

• క్షారమృత్తిక లోహాలు ఆక్సిజన్లో మండి మోనాక్సైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి.
• BeO ద్విస్వభావ సంయోజనీయ ఆక్సైడ్. మిగతా ఆక్సైడ్లు అయానిక క్షార స్వభావం కలిగి ఉంటాయి.

b. హైడ్రాక్సైడ్లు

• BeO తప్ప మిగిలిన ఆక్సైడ్లు జల విశ్లేషణ చేసినపుడు హైడ్రాక్సైడ్లు ఏర్పడతాయి.

i) కార్బొనేట్లు

• క్షార మృత్తిక లోహాలు MCO₃ రకమైన కార్బొనేట్లను ఏర్పరుస్తాయి.
• నీటిలో కరిగే లోహ లవణ ద్రావణాలకు Na₂CO₃ ద్రావణాన్ని కలిపి ఈ కార్బొనేట్లను తయారుచేస్తారు.
• గ్రూపులో పై నుంచి క్రిందకు పరమాణు సంఖ్య పెరిగే కొలది కార్బొనేట్ల ద్రావణీయతలు తగ్గుతాయి.
• ఈ కార్బొనేట్లు వేడిచేయగా వియోగం చెంది CO₂ ను ఏర్పరచును.
  

ii) సల్ఫేట్లు

• క్షార మృత్తిక లోహాలు MSO₄ రకమైన సల్ఫేట్లను ఏర్పరుస్తాయి.
• ఇవి తెల్లని ఘన పదార్థాలు. ఉష్ణ స్థిరమైనవి.
• Be⁺²; Mg⁺² కు ఆర్ద్రీకరణోష్ణం ఎక్కువ. అందువలన BeSO₄ మరియు MgSO₄ లు నీటిలో కరుగుతాయి.
• CaSO₄ నుంచి BaSO₄ కు ద్రావణీయత తగ్గును.

iii) నైట్రేట్లు

• క్షారమృత్తిక లోహాలు M(NO₃)₂ రకమైన నైట్రేట్లను ఏర్పరుస్తాయి.
• ఇవి కార్బొనేట్లు సజల HNO₃ తో చర్య ద్వారా ఏర్పడతాయి.
• Mg(NO₃)₂ ఆరు నీటి అణువులతో స్పటికీకరణం చెందును. Ba(NO₃)₂ అనార్ధమైనవి.
• ఈ నైట్రేట్లను వేడిచేయగా ఆక్సైడ్లను ఏర్పరచును.
  2 M(NO₃)₂ → 2MO + 4NO₂ + O₂

ప్రశ్న 56.
సాల్వే పద్దతిలో జరిగే వివిధ చర్యలను చర్చించండి.
జవాబు:
సోడియమ్ కార్బొనేట్ను సాధారణంగా సాల్వే పద్ధతిలో తయారు చేస్తారు. ఈ పద్ధతిలో Na₂CO₃ ను క్రింది విధంగా తయారు చేస్తారు.

1. అమ్మోనియా ద్రావణంలోనికి CO₂ వాయువును పంపితే అమ్మోనియం బై కార్బొనేట్ ఏర్పడుతుంది.
   NH₃ + H₂O + CO₂ → NH₄HCO₃
2. ఏర్పడిన అమ్మోనియమ్ బైకార్బొనేట్ను సోడియమ్ క్లోరైడ్తో చర్య జరిపిస్తే సోడియమ్ బైకార్బొనేట్ ఏర్పడుతుంది. Na₄HCO₃ →
   NH₄Cl + NaHCO₃
3. సోడియం బైకార్బొనేటును వేడిచేస్తే సోడియం కార్బొనేటు ఏర్పడుతుంది.
   

ధర్మాలు :

• సోడియమ్ కార్బొనేట్ తెల్లని, స్ఫటిక పదార్థం.
• Na₂CO₃ . 10H₂O ను డెకా హైడ్రేట్ అంటారు. దీనిని వాషింగ్ సోడా అంటారు.
• 373 K కంటే ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద దీనిని వేడిచేస్తే పూర్తిగా అనార్ధంగా తయారవుతుంది. దీనినే సోడాయాష్ అంటారు.
  
• Na₂CO₃ లోని కార్బొనేట్ భాగం నీటిలో జలవిశ్లేషణ చెంది క్షార ద్రావణాన్ని ఇస్తుంది.
  C\(\mathrm{O}_3^{2-}\) + H₂O →HC\(\mathrm{O}_3^{-}\) + OH^–

ప్రశ్న 57.
సోడియమ్ క్లోరైడ్ నుంచి కింది వాటిని ఎట్లా తయారుచేస్తారు ?
i) సోడియమ్ లోహం
ii) సోడియమ్ హైడ్రాక్సైడ్
iii)సోడియమ్ పెరాక్సైడ్
iv) సోడియమ్ కార్బొనేట్
జవాబు:
సోడియమ్ క్లోరైడ్ నుంచి Na లోహం తయారుచేయుట
గలన NaCl ను విద్యుద్విశ్లేషణ చేయగా Na లోహం ఏర్పడును.
2NaCl → 2Na + Cr
కాథోడ్ వద్ద 2Na⁺ + 2e^– → Na
ఆనోడ్ వద్ద 2Cl^– → Cl₂ + 2e^–

సోడియమ్ క్లోరైడ్ నుంచి NaOH తయారుచేయుట
NaCl జలద్రావణాన్ని విద్యుద్విశ్లేషణ చేయగా NaOH ఏర్పడును.
NaCl → Na⁺ + Cl^–
H₂O → H⁺ + OH^–
ఆనోడ్ వద్ద 2Cl^– → Cl₂ + 2e^–
కాథోడ్ వద్ద 2H,sup>+ + 2e^– → H₂
Na⁺ + OH^– → NaOH

NaCl నుంచి సోడియమ్ పెరాక్సైడ్ను తయారుచేయుట
మొదట గలన NaCl ను విద్యుద్విశ్లేషణ చేసి Na లోహం తయారుచేస్తారు. Na ను అదిక 0 తో మండిస్తే సోడియమ్ పెరాక్సైడ్ ఏర్పడుతుంది.
2Na + O₂ → Na₂O₂

NaCl నుంచి సోడియమ్ కార్బొనేట్ను తయారుచేయుట
అమ్మోనియా ద్రావణంలోకి CO₂ వాయువును పంపితే అమ్మోనియం బై కార్బొనేట్ ఏర్పడుతుంది. అమ్మోనియం బై కార్బొనేట్ను NaCl తో చర్య జరిపితే సోడియమ్ బైకార్బొనేట్ ఏర్పడుతుంది. సోడియమ్ బై కార్బొనేటును వేడిచేస్తే సోడియమ్ కార్బొనేటు ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 58.
i) మెగ్నీషియమ్ని గాలిలో వేడిచేస్తే
ii) పొడిసున్నాన్ని సిలికాతో వేడిచేస్తే
iii) తడిసున్నంతో క్లోరిన్ చర్య
iv) కాల్షియమ్ నైట్రేట్ని బాగా వేడిచేస్తే, ఏం జరుగుతుంది ?
జవాబు:
i) Mg ని గాలిలో మండించినపుడు కాంతివంతంగా మండి MgO మరియు Mg₃N₂ లను ఏర్పరచును.
2Mg + O₂ → 2MgO (మెగ్నీషియమ్ ఆక్సైడ్)
3Mg + N₂ → Mg₃N₂ (మెగ్నీషియమ్ నైట్రెడ్)

ii) పొడిసున్నాన్ని సిలికాతో వేడిచేస్తే కాల్షియమ్ సిలికేట్ ఏర్పడుతుంది.
CaO + SiO₂ → CaSiO₃

iii) తడిసున్నం క్లోరిన్తో చర్య జరిపి బ్లీచింగ్ పౌడర్ను ఏర్పరచును.

iv) కాల్షియమ్ నైట్రేట్ను బాగా వేడిచేస్తే అది విఘటనం చెంది CaO, NO₂ మరియు O₂ లను ఏర్పరచును.
2 Ca(NO₃)₂ → 2CaO + 4NO₂ + O₂

ప్రశ్న 59.
జీవశాస్త్ర ప్రవాహికల్లో సోడియమ్, పొటాషియమ్, మెగ్నీషియమ్, కాల్షియమ్ల సార్ధకతను వివరించండి. (March 2013)
జవాబు:
జీవశాస్త్ర ప్రవాహికల్లో Na, Kల పాత్ర

1. కణాల్లోని కర్బన అణువులలో ఉన్న ఋణావేశాలను లోహ అయాన్లపై ఉండే ఆవేశాలు తుల్యం చేస్తాయి.
2. కణాలలో ద్రవాభిసరణ పీడనాన్ని కూడా నిలకడగా ఉంచటానికి ఈ అయాన్లు సహాయపడతాయి.
3. కణపు పొరకు అటు, ఇటు రెండు పక్కల Na⁺, K⁺ అయాన్ లుంటాయి. దీని వలన కణంలో విద్యుత్ శక్మం ఏర్పడుతుంది. Na⁺ అయాన్లుండటం వలన గ్లూకోజ్ కణం లోపలికి వెళుతుంది. అధికంగా ఉన్న Na⁺ అయాన్లు బహిష్కృతమవుతాయి.
4. పొటాషియమ్ అయాన్లు కణాంతర్భాగంలో గ్లూకోజ్ జీవన క్రియల్లో దోహదపడతాయి. ప్రోటీన్ సంశ్లేషణలోనూ, కొన్ని నిర్దిష్టమైన ఎంజైములు ఉత్తేజితమవటానికి సహాయపడుతుంది.

జీవశాస్త్రంలో Mg పాత్ర :

1. జంతు కణాలలో Mg⁺² అయాన్ల గాఢత ఎక్కువగా ఉంటుంది.
2. ఫాస్ఫోహైడ్రోలేజ్లు, ఫాస్పోట్రాన్స్ఫరేజ్లు వంటి ఎంజైములలో Mg⁺² ఉంటుంది. ఈ ఎంజైములు ATP చర్యలలో పాల్గొని శక్తిని విడుదల చేస్తాయి.
3. క్లోరోఫిల్ చెట్లలోని ఆకుపచ్చ పదార్థం. ఇందులో Mg⁺² ఉంటుంది.

జీవశాస్త్రంలో Ca పాత్ర

1. మన శరీరంలో 99% కాల్షియమ్ అయాన్లు ఎముకలు మరియు దంతాల తయారీలో ఉపయోగపడతాయి.
2. రక్త స్కందనములో మరియు కణపొర అయాన్ బదిలీ కార్యక్రమంలో ఈ అయాన్ ముఖ్య పాత్ర వహిస్తుంది.
3. కాల్షియమ్ అయాన్లు గుండె క్రమంగా కొట్టుకొనే ప్రక్రియలో మరియు కండరాల సంకోచ ప్రక్రియలో కూడా ముఖ్యపాత్రను వహిస్తాయి.

ప్రశ్న 60.
సిమెంట్ని గురించి కొన్ని వాక్యాలు రాయండి.
జవాబు:

• సిమెంట్ ఒక ముఖ్యమైన నిర్మాణోపయోగకరమైన పదార్థం. దీనిని 1824లో జోసఫ్ ఆస్పిడిన్ మొట్టమొదటగా ఇంగ్లాండ్లో ప్రవేశపెట్టాడు. దీనినే పోర్ట్లాండ్ సిమెంట్ అంటారు.
• పొర్ట్ లాండ్ సిమెంట్ సగటు సంఘటనం కింది విధంగా ఉంటుంది. Ca0, 50-60%, SiO₂, 20 – 25%; Al₂O₃, 5 – 10%; MgO, 2 – 3%; Fe₂O₃, 1 – 2%; SO₃, 1 – 2%
• మంచిరకం సిమెంట్ సిలికా (SiO₂) కి అల్యూమినా (Al₂O₃) కి ఉండే నిష్పత్తి 2.5 నుంచి 4.0 మధ్యలో
  ఉండాలి.
• బంకమట్టిని సున్నంతో కలిపి బాగా వేడిచేస్తే అవి ద్రవీభవించి, చర్య జరిపి “సిమెంట్ క్లింకర్” ని ఏర్పరుస్తాయి. ఈ క్లింకర్ను 2-3% జిప్సమ్ కలిపితే సిమెంట్ వస్తుంది.
• సిమెంటు నీటిని కలిపితే గట్టి పదార్థంగా ఏర్పడుతుంది. ఈ ప్రక్రియను “సెట్టింగ్ ఆఫ్ సిమెంట్” అంటారు.

సిమెంట్ ఉపయోగాలు :

• సిమెంటు కాంక్రీట్ మరియు ప్రబలిత కాంక్రీట్లలో ఉపయోగిస్తారు.
• ప్లాస్టరింగ్లో ఉపయోగిస్తారు.
• వారధులను, డ్యామ్లను, భవంతులను నిర్మించుటకు ఉపయోగిస్తారు.

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 10th Lesson ఘనపదార్ధాల యాంత్రిక ధర్మాలు Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 10th Lesson ఘనపదార్ధాల యాంత్రిక ధర్మాలు

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
స్థితిస్థాపకతలో హుక్ నియమాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
స్థితిస్థాపక అవధిలో ప్రతిబలము వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉండును.

ఈ స్థిరాంకమును స్థితిస్థాపకతా గుణకము అందురు.

ప్రశ్న 2.
ప్రతిబలానికి మితులు, ప్రమాణాలు తెలపండి.
జవాబు:

S.I. పద్ధతిలో ప్రమాణము : న్యూ/మీ² లేదా పాస్కల్. మితిఫార్ములా : ML^-1T^-2

ప్రశ్న 3.
స్థితిస్థాపక గుణకానికి ప్రమాణాలు, మితులను తెలపండి.
జవాబు:

S.I. ప్రమాణము : న్యూ/మీ² లేదా పాస్కల్. మితిఫార్ములా : ML^-1T^-2

ప్రశ్న 4.
యంగ్ గుణకం ప్రమాణాలు, మితులను తెలపండి.
జవాబు:

మితిఫార్ములా : ML^-1T^-2
ప్రమాణము : న్యూటన్/మీ² లేదా పాస్కల్

ప్రశ్న 5.
దృఢతా గుణకం ప్రమాణాలు, మితులను తెలపండి.
జవాబు:

మితిఫార్ములా : ML^-1T^-2
ప్రమాణము : న్యూటన్/మీ2 లేదా పాస్కల్

ప్రశ్న 6.
ఆయత గుణకం ప్రమాణాలు, మితులను తెలపండి.
జవాబు:

మితిఫార్ములా : ML^-1T^-2
ప్రమాణము : న్యూటన్/మీ² లేదా పాస్కల్

ప్రశ్న 7.
సంపూర్ణ స్థితిస్థాపక, ప్లాస్టిక్ కు సమీపంగా ఉండే వస్తువులకు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
జవాబు:
సమ సర్పిలాకార స్ప్రింగు సంపూర్ణ స్థితిస్థాపక వస్తువులకు ఉదాహరణ. పిండి లేదా మట్టి ముద్ద ప్లాస్టిక్ వస్తువులకు ఉదాహరణ.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
హుక్ నియమం, అనుపాత అవధి, శాశ్వత స్థితి, విచ్ఛేదన ప్రతిబలం పదాలను నిర్వచించండి.
జవాబు:
హుక్ నియమము : స్థితిస్థాపక అవధులలో ప్రతిబలము వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

ఈ స్థిరాంకమును స్థితిస్థాపక గుణకము అంటారు.

అనుపాత అవధి : ప్రతిబలము – వికృతి వక్రరేఖపై OA బిందువుల మధ్య భాగం సరళరేఖ ఈ ప్రాంతంలో ప్రతిబలం వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. బాహ్య బలం తొలగించగానే వస్తువు సంపూర్ణంగా యథాస్థితి పొందుతుంది. అందువల్ల ‘A’ బిందువును అనుపాత అవధి అంటారు.

శాశ్వత స్థితి : ప్రతిబలం – వికృతి వక్రంలో బాహ్యబలాన్ని ‘C’ బిందువు వరకు పెంచి తొలగిస్తే వస్తువు తన పూర్వ స్థితిని సంపూర్ణంగా పొందలేదు. వస్తువులో కొంత వికృతి శాశ్వతంగా మిగిలిపోతుంది. అందువల్ల ‘C’ బిందువును శాశ్వత స్థితి బిందువు అంటారు.

విచ్ఛేదన ప్రతిబలము : ప్రతిబలం-వికృతి వక్రంలో వస్తువుపై ప్రతిబలాన్ని ఈగే బిందువు దాటి ప్రయోగిస్తే (E బిందువు వరకు) ప్రతిబలంలో స్వల్ప మార్పుకే వికృతి విపరీతంగా పెరిగి E అను బిందువు వద్ద తీగ సన్నబడి తెగిపోతుంది. తీగ తెగిపోవడానికి అవసరమైన E బిందువు వద్ద గల ప్రతిబలాన్ని విచ్ఛేదన ప్రతిబలం అంటారు.

ప్రశ్న 2.
స్థితిస్థాపక గుణకం, ప్రతిబలం, వికృతి, స్వాజూన్ నిష్పత్తులను నిర్వచించండి.
జవాబు:

ఈ స్థిరాంకమును స్థితిస్థాపక గుణకము అంటారు.

ప్రతిబలము (σ) : ఏకాంక వైశాల్యంపై పనిచేసే పునఃస్థాపక బలాన్ని ప్రతిబలం అంటారు.

ప్రమాణము Nm^-2 లేదా పాస్కల్ మితి ఫార్ములా = ML^-1T^-2

వికృతి : ప్రమాణ పరిమాణం గల వస్తువు ఆకారంలో వచ్చిన మార్పును వికృతి అంటారు.

ఇది నిష్పత్తి. కావున ప్రమాణాలు, మితులు లేవు.

ప్వాజూన్ నిష్పత్తి (σ) : సాగదీసిన తీగలో పార్శ వికృతి మరియు అనుదైర్ఘ్య వికృతుల నిష్పత్తిని ప్వాజూన్ నిష్పత్తి అంటారు.
ప్వాజూన్ నిష్పత్తి (σ) = \(\frac{\Delta \mathrm{d} / \mathrm{d}}{\Delta l / l}\) దీనికి మితులు, ప్రమాణాలు లేవు.

ప్రశ్న 3.
యంగ్ గుణకం, ఆయత గుణకం, ద్రుఢతా గుణకాలను నిర్వచించండి.
జవాబు:
యంగ్ గుణకము : అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలము, అనుదైర్ఘ్య వికృతిల నిష్పత్తిని యంగ్ గుణకమందురు.

అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలము = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{A}}\); అనుదైర్ఘ్య వికృతి = \(\frac{\Delta \mathrm{L}}{\mathrm{L}}\)
∴ Y = \(\frac{\mathrm{F} / \mathrm{A}}{\Delta \mathrm{L} / \mathrm{L}}=\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{A}} \frac{\mathrm{l}}{\Delta \mathrm{L}}\)
ఆయత గుణకము (B) : ఘనపరిమాణాత్మక ప్రతిబలము మరియు ఘనపరిమాణాత్మక వికృతిల నిష్పత్తిని ఆయత గుణకము అందురు.

విమోటనా గుణకము లేదా దృఢతా గుణకము (G) :
స్పర్శీయ ప్రతిబలము మరియు విరూపణా వికృతిలో నిష్పత్తిని విమోటనా గుణకము అందురు.

ప్రశ్న 4.
ప్రతిబలం నిర్వచనం తెలిపి వివిధ రకాల ప్రతిబలాలను వివరించండి.
జవాబు:
ప్రతిబలము (σ) : ఏకాంక వైశాల్యంపై పనిచేసే పునఃస్థాపక బలాన్ని ప్రతిబలం అంటారు.

ప్రమాణము Nm^-2 లేదా
పాస్కల్ మితి ఫార్ములా = ML^-1T^-2
ప్రతిబలమునందలి రకాలు : 1) అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలము 2) స్పర్శియ ప్రతిబలము 3) ఘనపరిమాణాత్మక ప్రతిబలము

అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలము లేదా తన్యజ ప్రతిబలం : వస్తువుపై దాని పొడవు పెరుగునట్లు బలమును ప్రయోగించిన ప్రమాణ వైశాల్యములోని పునఃస్థాపక బలమును అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలము అంటారు.

స్పర్శీయ లేదా విమోటన ప్రతిబలము : తలానికి సమాంతరముగా దాని ఉపరితల పొరలో స్థానభ్రంశము కలుగునట్లు బలమును ప్రయోగించిన ప్రమాణ వైశాల్యములోని పునఃస్థాపక బలమును స్పర్శియ ప్రతిబలము అందురు.

ఘనపరిమాణాత్మక ప్రతిబలము : ఒక వస్తువుపై అన్ని వైపులా లేదా వస్తువు ఘనపరిమాణమంతటా బలమును ప్రయోగించిన ప్రమాణ. వైశాల్యములోని పునఃస్థాపక బలమును ఘనపరిమాణాత్మక ప్రతిబలము అందురు.

ప్రశ్న 5.
వికృతిని నిర్వచించి, వివిధ రకాల వికృతులను వివరించండి.
జవాబు:
వికృతి : ప్రమాణ పరిమాణం గల వస్తువు ఆకారంలో వచ్చిన మార్పును వికృతి అంటారు.

ఇది నిష్పత్తి. కావున ప్రమాణాలు, మితులు లేవు.
వికృతి నందలి రకాలు : వికృతి మూడు రకములు.
1) అనుదైర్ఘ్య వికృతి 2) స్పర్శీయ లేదా విరూపణ వికృతి 3) ఘనపరిమాణ వికృతి.

1) అనుదైర్ఘ్య వికృతి (ε) : వస్తువు పొడవులో మార్పు (∆l) మరియు తొలి పొడవు (l) లకు గల నిష్పత్తిని అనుదైర్ఘ్య వికృతి అంటారు.
అనుదైర్ఘ్య వికృతి (ε) = \(\frac{\Delta l}{l}\)

2) విరూపణ వికృతి : ఒక వస్తువు తలముపై స్పర్శరేఖ దిశలో బలమును ప్రయోగించిన, దాని ఉపరితలము పొందిన స్థానభ్రంశపు మరియు మొదటి లంబ తలముల మధ్య గల కోణమును విరూపణ వికృతి అంటారు.
విరూపణ వికృతి = θ = \(\left(\frac{\Delta l}{l}\right)\) = tan θ (కోణము చిన్న విలువలకు tan θ = θ)

3) ఘనపరిమాణాత్మక వికృతి : వస్తువు ఘనపరిమాణంలో మార్పు కలుగునట్లు బలమును ప్రయోగించిన ఘనపరిమాణంలో మార్పుకు తొలి ఘనపరిమాణ మార్పుకు గల నిష్పత్తిని ఘనపరిమాణాత్మక వికృతి అందురు.

ప్రశ్న 6.
వికృతి శక్తి అంటే ఏమిటో తెలిపి, దానికి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి. (మార్చి 2014, మే 2014)
జవాబు:
వికృతిశక్తి : తీగలో వికృతి కలుగునట్లు బలమును ప్రయోగించినపుడు జరిగిన పని తీగలో స్థితిశక్తిగా నిల్వయుండును. దీనిని వికృతిశక్తి అందురు.
తీగపై ప్రయోగించిన విరూపణ బలమును తొలగించిన వికృతిశక్తి ఉష్ణశక్తిగా మారును.

సమీకరణ ఉత్పాదన : L పొడవు గల ఏకరీతి తీగ ఒక చివరను స్థిర ఆధారము నుండి వ్రేలాడదీసి దానిపై F బలమును . ప్రయోగించిన దానిలో సాగుదల dl అనుకొనుము.
∴ జరిగిన పని = dW = Fdl
తీగను దాని పొడవులో మార్పు ‘0’ నుండి / ను పొందుటలో జరిగిన పని
W = \(\int\) dW కాని \(\int_o^l \mathrm{Fd} l=\int_0^l \frac{\mathrm{YA} l}{\mathrm{~L}}=\frac{\mathrm{YA}}{\mathrm{L}}\left(\frac{l^2}{2}\right)_0^l \mathrm{~d} l\)
∴ \(\frac{\mathrm{YA}}{\mathrm{L}}\left(\frac{l^2}{2}\right)=\frac{\mathrm{YA}}{\mathrm{L}}\left(\frac{l^2}{2}\right) \frac{1}{2} \frac{\mathrm{Ya} l}{\mathrm{~L}} \cdot l\)
W = \(\frac{1}{2}\) × బలము × సాగుదల. ఈ పని తీగలో వికృతిశక్తికి సమానము.
∴ వికృతి శక్తి = \(\frac{1}{2}\) × బలము × సాగుదల.
ప్రమాణ ఘనపరిమాణంలో వికృతి శక్తి

ప్రమాణ ఘనపరిమాణంలో శక్తి = \(\frac{1}{2}\) × ప్రతిబలము × వికృతి

ప్రశ్న 7.
భారీ పని యంత్రాలలోనూ, నిర్మాణరంగ రూపకల్పనలోనూ రాగి, ఇత్తడి, అల్యూమినియంతో పోల్చితే ఉక్కును ఎందుకు వాడతారు ?
జవాబు:
ఉక్కుకు యంగ్ గుణకము మరియు దృఢతా గుణకములు రాగి, ఇత్తడి మరియు అల్యూమినియంల కన్న చాలా ఎక్కువ. అందువల్ల ఉక్కు కడ్డీలను సాగదీయడానికి మరియు వంచడానికి చాలా ఎక్కువ ప్రతిబలం కావాలి.

సుమారు 0.1 సెం.మీ2 వైశాల్యం గల ఉక్కు తీగను 0.1% సాగదీయటానికి సుమారు 2000 న్యూటన్ల బలం అవసరము. ఇదే సాగుదలకు అల్యూమినియంకు 690 న్యూ, రాగికి 900 న్యూ మరియు ఇత్తడికి 1100 న్యూటన్ల బలం అవసరము. అంటే ఉక్కు స్థితిస్థాపక గుణకము అల్యూమినియం, రాగి, ఇత్తడిల కన్నా ఎక్కువ కాబట్టి ఉక్కుతో కట్టిన కట్టడాలు ఎక్కువ బరువును మోయగల సామర్థ్యాన్ని, దృఢత్వాన్ని కలిగి ఉండటం వల్ల భవన నిర్మాణంలో, భారీ కట్టడాలు కట్టడంలోను ఉక్కును వాడతారు.

ప్రశ్న 8.
క్రమంగా భారం పెంచుతూ పోయినప్పుడు తీగ ప్రవర్తన ఏ విధంగా ఉంటుందో విశదీకరించండి.
జవాబు:
ఏకరీతి అడ్డుకోత వైశాల్యము గల తీగ ఒక చివరను స్థిరమైన ఆధారానికి బిగించి రెండవ చివర భారమును క్రమంగా పెంచినామనుకొనుము. వస్తువుపై ప్రయోగించిన ప్రతిబలము మరియు వస్తువులోని వికృతికి రేఖాపటం గీయగా అది పటంలో చూపినట్లు ఉంటుంది. ఈ రేఖాపటం నుండి తీగ ప్రవర్తనను వివిధ బిందువుల వద్ద వివరించవచ్చు.

అనుపాత అవధి : ప్రతిబలము వికృతి వక్రరేఖపై OA బిందువుల మధ్య భాగం సరళరేఖ ఈ ప్రాంతంలో ప్రతిబలం వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. బాహ్య బలం తొలగించగానే వస్తువు సంపూర్ణంగా యథాస్థితి పొందుతుంది. అందువల్ల ‘A’ బిందువును అనుపాత అవధి అంటారు.

స్థితిస్థాపక అవధి : ప్రతిబలము – వికృతి వక్రంలోని AB ప్రాంతము వక్రరేఖ. ఈ ప్రాంతంలో ప్రతిబలము, వికృతికి రేఖీయ సంబంధం కలిగి ఉండదు. కాని బాహ్యబలాన్ని తొలగించగానే వస్తువు తన యథాస్థితిని సంపూర్ణంగా పొందుతుంది. అందువల్ల B బిందువును ఈగే బిందువు లేదా స్థితిస్థాపక అవధి అంటారు.
ఈగే బిందువును చేరడానికి ప్రయోగించిన బాహ్యబలాన్ని ఈగుడుబలం అంటారు.

శాశ్వత స్థితి : ప్రతిబలం – వికృతి వక్రంలో బాహ్యబలాన్ని ‘C’ బిందువు వరకు పెంచి తొలగిస్తే వస్తువు తన పూర్వ స్థితిని సంపూర్ణంగా పొందలేదు. వస్తువులో కొంత వికృతి శాశ్వతంగా మిగిలిపోతుంది. అందువల్ల ‘C’ బిందువును శాశ్వత స్థితి బిందువు అంటారు.

విచ్ఛేదన ప్రతిబలము : ప్రతిబలం-వికృతి వక్రంలో వస్తువుపై ప్రతిబలాన్ని ఈగే బిందువు దాటి ప్రయోగిస్తే (E బిందువు వరకు) ప్రతిబలంలో స్వల్ప మార్పుకే వికృతి విపరీతంగా పెరిగి E అను బిందువు వద్ద తీగ సన్నబడి తెగిపోతుంది. తీగ తెగిపోవడానికి అవసరమైన E బిందువు వద్ద గల ప్రతిబలాన్ని విచ్ఛేదన ప్రతిబలం అంటారు.

ప్రశ్న 9.
ఏనుగు దంతంతో, బంక మట్టితో చేసిన రెండు సర్వసమాన బంతులను కొంత ఎత్తు నుంచి కిందికి వేసినారు. నేలను తాకిన తరువాత రెండింటిలో ఏది ఎక్కువ ఎత్తుకు లేస్తుంది ? ఎందువల్ల ?
జవాబు:
ఏనుగు దంతంతోను మరియు బంకమట్టితోను తయారుచేసిన రెండు సర్వసమానమైన బంతులను ఒకే ఎత్తు నుంచి జారవిడిచితే ఏనుగు దంతంతో చేసిన బంతి ఎక్కువ ఎత్తుకు లేస్తుంది.

వివరణ : 1) బంకమట్టి ప్లాస్టిక్ పదార్థము. అనగా దీని మీద బాహ్యబలం ప్రయోగిస్తే దాని ఆకారం మారుతుంది. పైనుండి క్రింద పడి నేలను తాకగానే వస్తువుకు గల శక్తి దానిలో విరూపణ కలిగించడానికి సరిపోవడం వల్ల బంకమట్టి ముద్ద దాదాపు సంపూర్ణ అస్థితిస్థాపక అభిఘాతానికి లోనుగావడం వల్ల పైకి లేవదు.

2) ఏనుగు దంతము దృఢమైన నిర్మాణం గల పదార్థంతో చేయబడటం వల్ల ఎక్కువ స్థితిస్థాపకతను కలిగి ఉంటుంది. ఫలితంగా నేలను తాకినపుడు దాని ఆకారంలో విరూపణ అతిస్వల్పంగా ఉండి దంతపు బంతి స్థితిస్థాపక అభిఘాతానికి లోనై ఎక్కువ ఎత్తు పైకి లేస్తుంది.

ప్రశ్న 10.
వంతెనలు, భవనాల నిర్మాణంలో భారం వితరణ చెందని స్తంభాల కంటే వితరిత స్తంభాలను వాడతారు. ఎందుకు ?
జవాబు:
భవనాలు, వంతెనలు వంటి కట్టడాలకు ఆధారంగా ఉండవలసిన దూలాలవంటివి నిర్మించేటపుడు నిర్మాణంలో వాడిన పదార్థాల స్థితిస్థాపక ధర్మాలతో పాటు నిర్మాణపు ఆకారం వల్ల కూడా దృఢత్వం సంతరించు కుంటుంది. స్థంభాలు లేదా కాలమ్స్ విషయంలో కొనలు ఉన్న స్తంభాలు (వితరిత స్తంభాలు), కొనలు లేని (వితరితం చెందని) స్థంభాల కన్నా ఎక్కువ భారం మోయగలుగుతాయి. అందువల్ల పెద్ద పెద్ద నిర్మాణాలలో భార వితరిత కొనలు ఉన్న స్థంభాలను ఎక్కువగా వాడతారు.

ప్రశ్న 11.
భూమిపై పర్వతాల గరిష్ఠ ఎత్తు సుమారు 10 కి.మీ. మాత్రమే ఎందుకు ఉంటుందో వివరించండి.
జవాబు:
రాళ్ళ స్థితి స్థాపక ధర్మాలను పరిగణనలోకి తీసుకొని భూమిపై పర్వతాల గరిష్ఠ ఎత్తు సుమారు 10 కి.మీ. దాటదు అని వివరించవచ్చు.

రాయి స్థితిస్థాపక అవధి సుమారు 30 × 10⁷ న్యూ/మీ³ మరియు రాయి తయారుచేయబడిన పదార్థ సాంద్రత ρ = 3 × 10³ కి.గ్రా./మీ³.
కావున h ఎత్తు గల రాళ్ళ పర్వతాల వల్ల పర్వతం అడుగున ఉన్న రాయిపై ప్రతిబలము ప్రతిబలము = hρg న్యూ/మీ². ఈ ప్రతిబలము రాయి స్థితిస్థాపక హద్దులలో గల ప్రతిబలము దాటరాదు. ఒకవేళ దాటితే రాయి స్థితిస్థాపక ధర్మాలు కోల్పోయి పూర్తిగా విరూపణం చెందే అవకాశం ఎక్కువ.
∴ 30 × 10⁷ = hpg లేదా 30 × 10⁷ = h . 3 × 10³ × 10
∴ h = 10⁴ = 10 కి.మీ.
అందువల్ల భూమిపై పర్వతాల ఎత్తు గరిష్ఠంగా 10 కి.మీ.కు మించదు.

ప్రశ్న 12.
సాగదీసిన తీగలో స్థితిస్థాపక స్థితిజశక్తి భావనను వివరించి దానికి సమాసాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:
తీగపై తన్యజ ప్రతిబలం పనిచేసినపుడు అంతరపరమాణు బలాలకు వ్యతిరేకంగా పని జరుగుతుంది. ఈ పని తీగలో స్థితిస్థాపక స్థితిజశక్తిగా మిగిలిపోతుంది.
‘l’ పొడవు గల, A మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం గల తీగపై F బలం ప్రయోగించామనుకోండి. తీగ యంగ్ గుణకము Y అనుకొనుము.
Y = \(\frac{\mathrm{F} / \mathrm{A}}{l / \mathrm{L}}\) సమీకరణం నుండి F = \(\frac{\text { YAl }}{\text { L }}\)
తీగలో ∆l పొడవులో వృద్ధి కలిగించడానికి చేసిన పని ∆W అనుకుంటే తీగను ‘l’ పొడవు సాగదీయడానికి చేసిన పని
∴ W = \(\int \mathrm{dw}=\int_0^l \mathrm{~F} \cdot \Delta l=\int_0^l \frac{\mathrm{YA} l}{\mathrm{~L}} \mathrm{~d} l=\frac{1}{2} \mathrm{YA} \frac{l^2}{\mathrm{~L}}\)
∴ W = \(\frac{1}{2}\) Y . AL . \(\frac{l^2}{\mathrm{~L}}\) = \(\frac{1}{2}\) × యంగ్ గుణకము × తీగ ఘ.ప. × (వికృతి)² ……………. (1)
× ఘ.ప. × (వికృతి)² = \(\frac{1}{2}\) ప్రతిబలము × వికృతి × ఘ.ప.
ప్రమాణ ఘనపరిమాణానికి వికృతి శక్తి = W/ఘ.ప. = \(\frac{1}{2}\) ప్రతిబలము (σ) × వికృతి (ε) …………. (2)
పై సమీకరణాలలో తీగను సాగదీయడానికి జరిపిన పని W వస్తువులో గల స్థితిస్థాపక శక్తికి సమానము.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
స్థితిస్థాపకతలోని హుక్ నియమాన్ని నిర్వచించి, తీగ పదార్థపు యంగ్ గుణకాన్ని కనుక్కొనే ప్రయోగాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
హుక్ సూత్రము :
స్థితిస్థాపక అవధిలో ప్రతిబలము వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉండును.

E అనుపాత స్థిరాంకము. దీనిని పదార్థము యొక్క స్థితిస్థాపకతా గుణకము అందురు.

పరికరం వర్ణన : యంగ్ గుణకాన్ని కనుగొనే ప్రయోగం అమరికలో సమాన పొడవు, వ్యాసార్థం గల రెండు తీగలను (A, B) దృఢమైన ఆధారం నుండి వ్రేలాడదీసి వాటి చివర ఒక వెర్నియర్ మాపకాన్ని కలుపుతారు. తీగ A ను మాపకం ప్రధాన స్కేలు (M) కు కలిపి దాని క్రింద భాగంలో ఒక స్థిరమైన బరువును కలిపి తీగ A లో నొక్కులు లేకుండా స్థిరంగా ఉండేటట్లు చేస్తారు. తీగ B ని వెర్నియర్ స్కేలుకు కలుపుతారు.. ఈ తీగకు గల పళ్ళెంలో కావలసిన విధంగా బరువులను మార్చవచ్చు. ఈ ప్రయోగంలో ప్రతిసారి ప్రధాన స్కేలు రీడింగు (M.S.R.) మరియు వెర్నియర్ స్కేలు రీడింగు (V.S.R.) లను కొలుస్తారు.

చేయు విధానము : ప్రయోగపు తీగ నొక్కులు లేకుండా ఉండటానికి తగినంత బరువును కొంకి తీగకు తగిలిస్తారు. వెర్నియర్ మాపకం రీడింగులు కొలుస్తారు. కొంకి బరువులను ప్రతిసారి 1/2 కిలో చొప్పున పెంచుతూ సుమారు 3 కి.గ్రా. వరకు బరువు పెంచుతారు. బరువు పెంచేటప్పుడు ప్రతిసారి ప్రధాన స్కేలు రీడింగు (M.S.R) మరియు వెర్నియర్ స్కేలు రీడింగు (V.S.R) లను కొలుస్తారు.

బరువు 3 కి.గ్రా. వరకు పెంచిన తరువాత క్రమంగా ప్రతిసారి 1/2 కి.గ్రా. చొప్పున తగ్గిస్తారు. బరువు తగ్గించిన ప్రతిసారి ప్రధాన స్కేలు (M.S.R.) మరియు వెర్నియర్ స్కేలు (V.S.R.) రీడింగులు కొలుస్తారు. ఈ విలువలు పట్టికలో పొందుపరుస్తారు.

మొదటి రీడింగును (M₁ మరియు e₁) లను ఆధారంగా తీసుకొని ప్రతి విలువ (M₂, M₃ మరియు e₂, e₃ వంటివి) నుండి తొలి విలువ (M₁, e₁) లను తీసివేయడం ద్వారా ద్రవ్యరాశిలో మార్పు ‘m’ మరియు దానికి సంబంధించిన సాగుదల ‘e’ లను లెక్కగడతారు.
ద్రవ్యరాశిలో మార్పు m = m₂ – m₁; తీగలో సాగుదల e = e₂ – e₁

సరాసరి = m/e; తీగపై బలము = mg
తీగ అడ్డుకోత వైశాల్యము = πr²
r = తీగ వ్యాసార్ధము
సాగుదల = e,
తీగ తొలి పొడవు = l
ప్రతిబలము = \(\left(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{a}}\right)=\frac{\mathrm{mg}}{\pi r^2}\)
వికృతి = \(\left(\frac{\mathrm{e}}{l}\right)\)
యంగ్ గుణకము Y = \(\left(\frac{g l}{\pi r^2}\right)\left(\frac{m}{e}\right)\)

ప్రయోగపూర్వకంగా కనుగొనిన విలువలు l, r, e, m లను ఈ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించి Y విలువ కనుగొంటారు.
జాగ్రత్తలు :

1. వ్రేలాడదీయు బరువులు స్థితిస్థాపక అవధి కన్న చాలా తక్కువగా ఉండవలెను.
2. ఏకీభవించు వెర్నియర్ స్థానమును పారలాక్సు దోషము లేకుండా కొలవవలెను.

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
1 mmవ్యాసం ఉన్న రాగి తీగను 10 N బలం అనువర్తించి సాగదీశారు. ఆ తీగలోని ప్రతిబలం కనుక్కోండి.
సాధన:
వ్యాసము d = 1 mm;
బలము F = 10N;
∴ వ్యాసార్ధము r = 0.5 mm = = 0.5 × 10^-3 m
∴ ప్రతిబలము = \(\frac{\mathrm{F}}{\pi \mathrm{r}^2}=\frac{10}{3.141 \times 0.5 \times 0.5 \times 10^{-6}}=\frac{40 \times 10^6}{3.141}\) = 1.273 × 10⁷ Pa

ప్రశ్న 2.
20 cm పొడవు వున్న టంగ్స్టన్ తీగను 0.1 cm అదనంగా సాగదీశారు. తీగలోని వికృతిని కనుక్కోండి.
సాధన:
తీగ పొడవు l = 20cm = 0.2m;
సాగుదల e = 0.1cm = 1 × 10^-3 m

= \(\frac{1 \times 10^{-3}}{0.2}\) = 5 × 10^-3 = 0.005

ప్రశ్న 3.
ఇనుప తీగను 1% సాగదీసినట్లయితే దానిలో వచ్చిన వికృతి ఎంత ?
సాధన:
పొడవులో పెరుగుదల = e = 1% = \(\frac{1}{100}\) l

= \(\frac{\mathrm{e}}{l}=\frac{1}{100 \times l}=\frac{1}{100}\) = 0.01

ప్రశ్న 4.
1 mm వ్యాసం, 2m పొడవు ఉన్న ఇత్తడి తీగపై 20 N బలం ప్రయోగించి సాగదీశారు. పొడవులో పెరుగుదల 0.51 mm అయితే, 1) తీగ ప్రతిబలం, 2) వికృతి, 3) యంగ్ గుణకాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
తీగ పొడవు l = 2m;
బలము F = 20N;
వ్యాసము d = 1mm = 10^-3 m
పొడవులో పెరుగుదల e = 0.51mm = 0.51 × 10^-3 m

ప్రశ్న 5.
రాగి, అల్యూమినియం తీగల పొడవుల నిష్పత్తి 3: 2, వ్యాసాల నిష్పత్తి 2: 3, వీటిపై అనువర్తిత బలాల నిష్పత్తి 4:5గా ఉన్నాయి. రెండు తీగల పొడవుల పెరుగుదల నిష్పత్తిని కనుక్కోండి. (Y_Cu = 1.1 × 10¹¹ Nm^-2, Y_Al = 0.7 × 10¹¹ Nm^-2)
సాధన:
పొడవుల నిష్పత్తి l₁ : l₂ = 3 : 2 ;
వ్యాసముల నిష్పత్తి d₁ : d₂ = 2 : 3
బలాల నిష్పత్తి F₁ : F₂ = 4:5
Y₁ = రాగి యంగ్ గుణకము : 1.1 × 10¹¹
Y₂ = అల్యూమినియం యంగ్ గుణకము = 0.7 × 10¹¹
సాగుదల నిష్పత్తి e₁ : e₂ = ?
e = \(\frac{\mathrm{Fl}}{\mathrm{AY}}=\frac{4 \mathrm{~F} l}{\pi \mathrm{d}^2 \mathrm{Y}}\)
∴ \(\frac{\mathrm{e}_1}{\mathrm{e}_2}=\frac{4 \mathrm{~F}_1 l_1}{\pi \mathrm{d}_1^2 \mathrm{Y}_1} \times \frac{\pi \mathrm{d}_2^2 \mathrm{Y}_2}{4 \mathrm{~F}_2 l_2}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{e}_1}{\mathrm{e}_2}=\frac{\mathrm{F}_1 l_1 \mathrm{~d}_2^2 \mathrm{Y}_2}{\mathrm{~F}_2 l_2 \mathrm{~d}_1^2 \mathrm{Y}_1}=\frac{4 \times 3 \times 3^2 \times 0.7 \times 10^{11}}{5 \times 2 \times 2^2 \times 1.1 \times 10^{11}}=\frac{189}{110}\)
∴ e₁ : e₂ = 189 : 110

ప్రశ్న 6.
2 mm² మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న ఇత్తడి తీగ ఒక కొనను ద్రుఢ ఆధారానికి బిగించి రెండో కొనకు 100 cm³ ఘనపరిమాణం ఉన్న వస్తువును కట్టారు. వస్తువును నీటిలో పూర్తిగా ముంచినప్పుడు తీగ పొడవు 0.11 mm తగ్గింది. తీగ సహజ పొడవును కనుక్కోండి. (Y_{ఇత్తడి} : 0.91 × 10¹¹ Nm^-2, ρ_నీరు = 10³ kg m^-3)
సాధన:
అడ్డుకోత వైశాల్యము A = 2mm² = 2 × 10^-6 m²
వస్తువు ఘనపరిమాణము V = 100cc = 100 × 10^-6 m³
పొడవులో తగ్గుదల e’ = 0.11mm = 0.11 × 10^-3 m
ఇత్తడి యంగ్ గుణకము Y = 0.91 × 10¹¹ N/m²
నీరు సాంద్రత ρ = 1000 kg / m³; వికృతి e’ = \(\frac{\mathrm{V} \rho \mathrm{g} l}{\mathrm{AY}}\) ని ఉపయోగించగా
తీగ సహజ పొడవు l = \(\frac{\mathrm{e}^{\prime} \mathrm{AY}}{\mathrm{V} \rho \mathrm{g}}=\frac{0.11 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-6} \times 0.91 \times 10^{11}}{100 \times 10^{-6} \times 1000 \times 9.8}\)
∴ l = \(\frac{0.2002 \times 10^2}{9.8}=\frac{20.02}{9.8}\) = 2.043 m

ప్రశ్న 7.
ఒకే పదార్థంతో చేసిన రెండు తీగల వ్యాసార్ధాల, పొడవుల నిష్పత్తులు ఒకే విధంగా ఉన్నాయి. ఆ నిష్పత్తి 1 : 2 రెండింటిలోనూ వచ్చిన దైర్ఘ్యవృద్ధి సమంగా ఉంటే, వాటిపై వేసిన భారాల నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన:
పొడవుల నిష్పత్తి l₁ : l₂ = 1 : 2; .
తీగలలో సాగుదలలు సమానము ⇒ e₁ = e₂;
వ్యాసార్ధముల నిష్పత్తి r₁ : r₂ = 1 : 2
రెండు తీగలు ఒకే పదార్థముతో చేయబడినవి ⇒ Y₁ = Y₂
వ్రేలాడదీసిన ద్రవ్యరాశుల నిష్పత్తి m₁ : m₂ = ?
Y = \(\frac{\mathrm{mg}}{\pi \mathrm{r}^2} \frac{\mathrm{l}}{\mathrm{e}}\) ని ఉపయోగించగా
\(\frac{\mathrm{m}_1}{\mathrm{~m}_2}=\frac{\mathrm{Y}_1 \mathrm{r}_1^2 l_2}{l_1 \mathrm{Y}_2 \mathrm{r}_2^2}=\frac{1 \times 2}{1 \times 2^2}=\frac{1}{2}\)
∴ m₁ : m₂ = 1 : 2

ప్రశ్న 8.
వేరు వేరు పదార్థాలతో చేసిన రెండు తీగలు ఒకే పొడవు, మధ్యచ్ఛేదాన్ని కలిగి ఉన్నాయి. వీటిపై సమానమైన బలాలను అనువర్తించినప్పుడు రెండింటి పొడవుల పెరుగుదల నిష్పత్తి ఎంత ?
(Y₁ = 0.9 × 10¹¹ Nm^-2, Y₂ = 3.60 × 10¹¹ Nm^-2)
సాధన:
రెండు తీగల పొడవులు సమానము ⇒ l₁ = l₂; తీగల అడ్డుకోత వైశాల్యములు సమానము A₁ = A₂
Y₁ = 0.9 × 10¹¹ Nm^-2
Y₂ = 3.60 × 10¹¹ Nm^-2
సాగుదల e = \(\frac{\mathrm{Fl}}{\mathrm{AY}}\)
∴ \(\frac{e_1}{e_2}=\frac{F_1 l_1}{A_1 Y_1} \cdot \frac{A_2 Y_2}{F_2 l_2}\) (∵ ఇందులో F, I మరియు A లు సమానము)
∴ \(\frac{e_1}{e_2}=\frac{Y_2}{Y_1}\)
∴ \(\frac{e_1}{e_2}=\frac{3.60 \times 10^{11}}{0.9 \times 10^{11}}=\frac{4}{1}\) (లేదా) e₁ : e₂ = 4 : 1

ప్రశ్న 9.
2.5 m పొడవు, 1.5 × 10⁶ m² మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న లోహతీగను 2 mm సాగదీశారు. తీగ యంగ్ గుణకం 1.25 × 10¹¹ Nm^-2 అయితే దానిలో ఉండే తన్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
తీగ పొడవు l = 2.5m
సాగుదల e = 2 m.m = 2 × 10^-3 m
అడ్డుకోత వైశాల్యము A = 1.5 × 10^-6 m²
Y = 1.25 × 10²² N/m²
తన్యత T = mg = F = ?
Y = \(\frac{\mathrm{Fl}}{\mathrm{Ae}}\) ⇒ F = \(\frac{\mathrm{YAe}}{l}\)
∴ T = \(\frac{1.25 \times 10^{11} \times 1.5 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}}{2.5}\) = \(\frac{3.75 \times 10^2}{2.5}\) = 150 N

ప్రశ్న 10.
ఒకే పొడవు, మధ్యచ్ఛేదం ఉన్న అల్యూమినియం, ఉక్కు తీగల కొనలను కలిపారు. ఈ మిశ్రమ తీగ ఒక కొనను ద్రుఢ ఆధారానికి బిగించి రెండో కొనకు భారాన్ని వేలాడదీశారు. మిశ్రమ తీగ పొడవులో పెరుగుదల 1.35mm ఉంటే 1) రెండు తీగలపై పనిచేసే ప్రతిబలాల 2) రెండు తీగలలో వచ్చే వికృతుల నిష్పత్తులను కనుక్కోండి.
(Y_AL = 0.7 × 10¹¹ Nm^-2, Y_steel = 2 × 10¹¹ Nm^-2)
సాధన:
i) రెండు తీగల పొడవులు సమానము ⇒ l₁ = l₂ ;
అడ్డుకోత వైశాల్యములు సమానము ⇒ A₁ = A₂
సంయోగ తీగలో రెండు తీగలపై ఒకే బలము పనిచేయును;
∴ ప్రతిబలాల నిష్పత్తి = 1 : 1

ii) మొత్తము సాగుదల e = 1.35mm = e_Al + e_s
అల్యూమినియం యంగ్ గుణకము 7 × 10¹¹ N/m²,
స్టీలు తీగ యంగ్ గుణకము, Y = 2 × 10¹¹ N/m²
సాగుదల e = \(\frac{\mathrm{Fl}}{\mathrm{AY}}\) కాని F, I మరియు A లు సమానము.
∴ e ∝ \(\frac{1}{\mathrm{Y}}\) లేదా \(\frac{\mathrm{e}_{\mathrm{A} l}}{\mathrm{e}_{\mathrm{S}}}=\frac{\mathrm{Y}_{\mathrm{S}}}{\mathrm{Y}_{\mathrm{A} l}}=\frac{20 \times 10^{10}}{7 \times 10^{10}}=\frac{20}{7}\) లేదా 20 : 7
∴ తీగలలో వికృతిల నిష్పత్తి 20 : 7.

ప్రశ్న 11.
ఒక పదార్థంతో చేసిన 2 cm భుజం కలిగిన ఘనంపై ప్రయోగించిన 0.3 N స్పర్శాబలం దాని పై తలాన్ని 0.15 cm స్థానభ్రంశం చెందించింది. ఘనం కింది తలాన్ని స్థిరంగా ఉంచారు. పదార్థం విమోటన గుణకం కనుక్కోండి.
జవాబు:
ఘనము యొక్క ఒక భుజము పొడవు a = 2.0cm = 2 × 10² m
∴ ఘనము యొక్క ఒక తలము వైశాల్యము A = 4 × 10^-4 m²
ఉపరితల పొర స్థాన భ్రంశం = 0.15cm = 0.15 × 10^-2m
స్పర్శీయ బలము F = 0.30N
విమోటనా గుణకము η = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{A}} \cdot \frac{\mathrm{x}}{\Delta \mathrm{x}}=\frac{0.30}{4 \times 10^{-4}} \frac{2 \times 10^{-2}}{0.15 \times 10^{-2}}\)
∴ η = \(\frac{0.60 \times 10^4}{0.60}\) = 1 × 10⁴ N/m²

ప్రశ్న 12.
1000 cm³ ఘనపరిమాణం ఉన్న గోళాకార బంతిపై 10 atm పీడనాన్ని ప్రయోగించారు. ఘనపరిమాణంలో వచ్చిన మార్పు 10^-2 cm³. బంతిని ఇనుముతో తయారుచేసినట్లైతే దాని యంగ్ గుణకాన్ని కనుక్కోండి. (1 atm = 1 × 10⁵ Nm^-2)
సాధన:
గోళాకార బంతి ఘనపరిమాణము V = 1000 cm³ = 10^-3 m³ (∵ 1M³ = 10⁶ cm³)
పీడనము P = 10 అట్మాస్పియర్లు = 10 × 10⁵ పాస్కల్ ( ∵ 1 atm = 10⁵ cm)
ఘనపరిమాణములో మార్పు ∆V = 10^-8 cm³ స్థూల గుణకము K ?
K = \(\frac{\mathrm{PV}}{\Delta \mathrm{V}}=\frac{10^6 \times 10^{-3}}{10^{-8}}\) = 1 × 10¹¹ N/m²

ప్రశ్న 13.
1 cm భుజం ఉన్న రాగి ఘనాన్ని 100 atm పీడనానికి గురిచేశారు. రాగి ఆయత గుణకం 1.4 × 10¹¹ Nm^-2 అయితే ఘనపరిమాణంలో వచ్చే మార్పును కనుక్కోండి. (1 atm = 1 × 10⁵ Nm^-2)
సాధన:
ఒక రాగి ఘనము ఒక్కొక్క భుజము పొడవు ‘a’ 1 సెం.మీ. = 10^-2 m
∴ ఘనము ఘనపరిమాణము = 10^-6m
పీడనము P = 100 అట్మాస్పియర్లు = 100 × 10⁵ = 10⁷ పాస్కల్లు
స్థూల గుణకము K = 1.4 × 10¹¹ N/m²;
ఘనపరిమాణములో మార్పు ∆V = \(\frac{P . V}{K}=\frac{10^7 \times 10^{-6}}{1.4 \times 10^{11}}=\frac{10^{-10}}{1.4}\)
= 0.7143 × 10^-10 m³

ప్రశ్న 14.
ఇచ్చిన నీటి ఘనపరిమాణాన్ని 2% తగ్గించడానికి ఎంత పీడనం అవసరమవుతుంది ? నీటి ఆయత గుణకం 2.2 × 10⁹ Nm^-2.
సాధన:
స్థూల వికృతి = \(\frac{\Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}}\) = 2% ⇒ ∆V = \(\frac{2}{100}\) V
స్థూల గుణకము _ K = 2.2 × 10⁹ Nm^-2
∴ కావలసిన పీడనము P = \(\frac{\mathrm{K} \Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}}=\frac{2.2 \times 10^9 \times 2 \mathrm{~V}}{\mathrm{~V} \times 100}\) = 4.4 × 10⁷ పాస్కల్

ప్రశ్న 15.
20 cm పొడవు ఉన్న ఉక్కు తీగను సాగదీసి దాని పొడవును 0.2 cm పెంచారు. ఉక్కు ప్వాజూన్ నిష్పత్తి 0.19 అయితే, తీగలో వచ్చే పార్శ్వ వికృతి ఎంత ?
సాధన:
తీగ పొడవు l = 20cm = 0.20m, ప్వాజూన్ నిష్పత్తి σ = 0.19
పొడవులో సాగుదల ∆l = 0.2cm = 2 × 10³ m;
పార్శ్వీయ వికృతి = ?
పార్శ్వ వికృతి = σ × అనుదైర్ఘ్య వికృతి ‘e’;
కాని e = \(\)
∴ పార్శ్వీయ వికృతి = σ \(\frac{\Delta l}{l}\) = \(\frac{0.19 \times 2 \times 10^{-3}}{0.20}\) = 1.9 × 10^-3 = 0.0019m.

ముఖ్యమైన అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
4.7 m పొడవు, 3.0 × 10^-5 m² మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న ఉక్కు తీగ, 3.5 m పొడవు, 4.0 × 10^-5 m² తీగ రెండూ ఇచ్చిన భారం వల్ల సమానంగా సాగాయి. ఉక్కు రాగి యంగ్ గుణకాల మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న రాగి నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన:
ఉక్కు తీగకు a₁ = 3.0 × 10^-5 m²; l₁ = 4.7 m; ∆l₁ = ∆l ; F₁ = F
రాగి తీగకు a₂ = 4.0 × 10^-5 m²; l₂ = 3.5 m; ∆l₂ = ∆l ; F₂ = F
Y₁, Y₂ లను వరుసగా ఉక్కు, కాపర్ల యంగ్ గుణకాలు అనుకొనుము.

ప్రశ్న 2.
పటంలో ఒక పదార్థం వికృతి-ప్రతిబలం వక్రం చూపించడమైనది. ఈ పదార్థం ఎ) యంగ్ గుణకం, బి) ఉజ్జాయింపు ఈగే సామర్థ్యం ఎంత ?
సాధన:
ఎ) గ్రాఫ్ నుండి ప్రతిబలము = 150 × 10⁶ Nm^-2,
వికృతి = 0.002

= 7.5 × 10¹⁰ Nm^-2

బి) ఉజ్జాయింపుగా ఊగే సామర్థ్యము అది భరించగల అత్యధిక ప్రతిబలానికి సమానము.
∴ ఉజ్జాయింపుగా ఊగే సామర్థ్యము
= 300 × 10⁶ Nm^-2 = 3 × 10⁸ Nm^-2

ప్రశ్న 3.
రెండు పదార్థాలు A, B ప్రతిబలం – వికృతి వక్రాలను పటంలో ఇవ్వడమైంది. రెండు వక్రాలను ఒకే స్కేలు ప్రకారం గీశారు.
ఎ) రెండు పదార్థాల్లో ఏ పదార్థం యంగ్ గుణకం ఎక్కువ ?
బి) రెండు పదార్థాల్లో ఏది బలమైనది ?

సాధన:
ఎ) ఇచ్చిన రెండు ప్రతిబలము – వికృతి రేఖాపటాలలో A గ్రాఫ్ ప్రతిబలము B కన్న ఎక్కువ కావున A కి యంగ్ గుణకము ఎక్కువ. (Y = ప్రతిబలము/వికృతి కావున)
బి) ఒక వస్తువు యొక్క దృఢత్వము దానిని తెంపటానికి కావలసిన ప్రతిబలంపై ఆధారపడును. A కి ప్రతిబలం ఎక్కువ కావున కన్న A దృఢమైనది.

ప్రశ్న 4.
కింద ఇచ్చిన రెండు ప్రవచనాలను జాగ్రత్తగా చదివి అది తప్పా, ఒప్పా కారణాలతో వివరించండి.
ఎ) రబ్బరు యంగ్ గుణకం ఉక్కు కంటే ఎక్కువ.
బి) తీగ చుట్ట సాగుదలను దాని విమోటన గుణకం ఆధారంగా నిర్ణయించవచ్చు.
సాధన:
ఎ) ఈ వాక్యము అబద్ధము. ఒకే ప్రతిబలానికి స్టీలు కన్న రబ్బరుకు వికృతి ఎక్కువ. స్థితిస్థాపక గుణకము వికృతికి విలోమానుపాతంలో ఉండును. yo : 1/వికృతి

బి) ఈ వాక్యము నిజము. స్ప్రింగ్ను సాగదీస్తే మనం వాడిన బలం తీగ పొడవు మారకుండా స్ప్రింగ్ ఆకారాన్ని మారుస్తుంది. అందువల్ల ఈ ప్రక్రియలో దృఢతా గుణకము లెక్కలోనికి వస్తుంది.

ప్రశ్న 5.
పటంలో చూపించినట్లు 0.25 cm వ్యాసం ఉన్న ఉక్కు, ఇత్తడి తీగలను భారయుతం చేశారు. భారరహిత స్థితిలో ఉక్కుతీగ పొడవు 1.5 m, ఇత్తడి తీగ పొడవు 1.0 m. ఉక్కు, ఇత్తడి తీగలలో వచ్చే దైర్ఘ్యవృద్ధి లెక్కించండి.

సాధన:
ఉక్కుతీగకు, ఉక్కు తీగపై మొత్తం బలము
F₁ = 4 + 6 = 10 kg f = 10 × 9.8 N;
l₁ = 1.5 m, ∆l₁ = ?; 2r₁ = 0.25 cm
లేదా r₁ = (0.25/2) cm = 0.125 × 10^-2 m;
Y₁ = 2.0 × 10¹¹ Pa
ఇత్తడి తీగకు F₂ = 6.0 kg, f = 6 × 9.8 N; 2r₂ = 0.25 cm
లేదా r₂ = (0.25/2) cm = 0.125 × 10^-2 m;
Y₂ = 0.91 × 10¹¹ Pa, l₂ = 1.0 m, ∆l₂= ?
Y₁ = \(\frac{\mathrm{F}_1 \times l_1}{\mathrm{a}_1 \times \Delta l_1}=\frac{\mathrm{F}_1 \times l_1}{\pi \mathrm{r}_1^2 \times \Delta l_1}\)

ప్రశ్న 6.
అల్యూమినియం ఘనం అంచు పొడవు 10 cm. ఘనం ఒక తలాన్ని నిలువు గోడకు గట్టిగా బిగించారు. ఘనం ఎదురు తలానికి 100 kg ద్రవ్యరాశిని తగిలించారు. అల్యూమినియం విమోటన గుణకం 25 GPa. ఈ తలం నిట్టనిలువు అపవర్తనం ఎంత ?
సాధన:
A = 0.10 × 0.10 = 10^-2 m²; F = mg = 100 × 10 N
విమోటన వికృతి = \(\frac{\Delta \mathrm{L}}{\mathrm{L}}\) = \(\frac{(\mathrm{F} / \mathrm{A})}{\mathrm{G}}\) or ∆L = \(\frac{\mathrm{FL}}{\mathrm{AG}}\) = \(\frac{(100 \times 10) \times 0.10}{10^{-2} \times\left(25 \times 10^9\right)}\) = 4 × 10^-7 m.

ప్రశ్న 7.
50,000 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న భారీ కట్టడానికి ఆధారంగా నాలుగు బోలు స్థూపాకార, మృదు ఉక్కుస్తంభాలు ఉన్నాయి. ప్రతీ స్తంభం లోపలి, బాహ్య వాసార్ధాలు వరుసగా 30, 60 cm గా ఉన్నాయి. భార వితరణ ఏకరీతిగా ఉన్నదనుకొని ప్రతీ స్తంభంలో వచ్చే సంపీడన వికృతిని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
15.2 mm × 19.1 mm కొలతలు ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార రాగి ముక్కను 44,500 N తన్యత బలంతో కేవలం స్థితిస్థాపక విరూపణ కలిగే విధంగా లాగారు. దాని మూలంగా కలిగే ఫలిత వికృతిని గణించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి A = 15.2 × 19.2 × 10^-6 m²; F = 44,500 N; G = 42 × 10⁹ Nm^-2

ప్రశ్న 9.
స్కీయింగ్ ప్రాంతంలో ఉన్న చైర్ లిఫ్ట్ను మోసే ఉక్కు కేబుల్ వ్యాసార్ధం 1.5cm. గరిష్ట ప్రతిబలం విలువ 10⁸ Nm^-2 ను దాటకూడదు. అంటే, కేబుల్ గరిష్ఠంగా ఎంత బరువును మోయగలదు ?
సాధన:
గరిష్ఠ భారము = గరిష్ఠ ప్రతిబలము × అడ్డుకోత వైశాల్యము
= 10⁸ × πr² = 10⁸ × (22/7) × (1.5 × 10^-2)² = 7.07 × 10⁴ N

ప్రశ్న 10.
15 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ద్రుఢమైన కడ్డీని సౌష్ఠవంగా అమర్చి ఉన్న మూడు తీగలు మోస్తున్నాయి. ప్రతి తీగ పొడవు 2.0 m. రెండు చివరల ఉన్న తీగలు రాగికి కాగా, మధ్యలో తీగ ఇనుముతో తయారయింది. అన్ని సమాన తన్యతను కలిగి ఉండాలంటే, వాటి వ్యాసాల నిష్పత్తులు ఎలా ఉండాలి ?
సాధన:
ప్రతీ తీగ ఒకే తన్యత 1 ను కల్గి ఉన్నందున, అవి ద్రుఢమైన కడ్డీ ద్రవ్యరాశి కారణంగా ఒకే విధమైన సాగుదలను కలిగి ఉంటాయి. ప్రతీ తీగ ఒకే పొడవు కలిగి ఉన్నందున వాటికి సమాన వికృతి ఉంటుంది. తీగ వ్యాసం D అయితే
Y = \(\frac{4 \mathrm{~F} / \pi \mathrm{D}^2}{\text { వికృతి }}\) (లేదా) D² ∝ 1/Y
∴ \(\frac{D_{\mathrm{cu}}}{\mathrm{D}_{\mathrm{iron}}}\) = \(\sqrt{\frac{Y_{\text {iron }}}{Y_{\mathrm{Cu}}}}\) = \(\sqrt{\frac{190 \times 10^9}{110 \times 10^9}}\) = \(\sqrt{\frac{19}{11}}\) = 1.31

ప్రశ్న 11.
1.0 m సహజ పొడవు ఉన్న ఉక్కు తీగ ఒక చివర 14.5 kg ద్రవ్యరాశిని కట్టి నిలువు తలంలో వృత్తాకారంగా తిప్పారు. దాని కనిష్ఠ బిందువు వద్ద కోణీయ వేగం 2 reu/s. తీగ మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం 0.065 cm². ద్రవ్యరాశి వృత్తాకార పథంలో కనిష్ఠ బిందువు వద్ద ఉన్నప్పుడు తీగలో వచ్చే దైర్ఘ్యవృద్ధిని లెక్కించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి m = 14.5 kg; l = r = 1 m; v = 2 rps; A = 0.065 × 10^-4 m²
నిలువు వృత్తంలో కనిష్ఠ బిందువు వద్ద మొత్తము బలము
F = mg + mr ω² = mg + mr 4 π² v² = 14.5 × 9.8 + 14.5 × 1 × 4 × (22/7)² × 2²
= 142.1+ 2291.6 = 2433.7 N
Y =\(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{A}} \times \frac{l}{\Delta l}\) or ∆l = \(\frac{\mathrm{Fl}}{\mathrm{AY}}=\frac{2433.7 \times 1}{\left(0.065 \times 10^{-4}\right) \times\left(2 \times 10^{11}\right)}\) = 1.87 × 10^-3 m = 1.87mm

ప్రశ్న 12.
క్రింద ఇచ్చిన దత్తాంశం సహాయంతో నీటి ఆయత గుణకాన్ని కనుక్కోండి. తొలి ఘనపరిమాణం = 100.0 litre, పీడనం పెరుగుదల = 100.0 atm (1 atm = 1,013 × 10⁵ Pa), తుది ఘనపరిమాణం = 100,5 litre. నీటి ఆయతన గుణకాన్ని గాలి (స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద) ఆయత గుణకంతో పోల్చండి. ఈ నిష్పత్తి ఎందుకు చాలా అధికంగా ఉంటుందో సులభరీతిలో వివరించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి V = 100 litre = 100 × 10^-3 m³; p = 100 atm = 100 × 1.013 10⁵ Pa.
V + ∆V = 100.5 లీటర్లు (లేదా) ∆V = (V + ∆V) – V = 100.5 – 100 = 0.5 litre = 0.5 ×10^-3 m³.
ఆయతన గుణకము, B = \(\frac{\mathrm{pV}}{\Delta \mathrm{V}}\) = \(\frac{100 \times 1.013 \times 10^5 \times 100 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-3}}\) = 2.026 × 10⁹ Pa
గాలి ఆయతన గుణకము 1.0 × 10⁵ Pa

వాయువులలో అణువుల మధ్య దూరము చాలా ఎక్కువ. వాటి మధ్య గల బంధాలు చాలా బలహీనమైనవి. అందువల్ల ద్రవాల కన్నా వాయువుల ఆయతన గుణకం చాలా తక్కువ.

ప్రశ్న 13.
ఉపరితలంపై నీటి సాంద్రత 1.03 × 10³ kg m^-3 గా ఉన్నట్లయితే, 80.00 atm పీడనం ఉండే లోతులో నీటి సాంద్రత ఎంత ఉంటుంది ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి_p = 80.00 atm = 80.0 × 1.013 × 10⁵ Pa; సంపీడ్యత \(\frac{1}{B}\) = 45.8 × 10^-11 Pa^-1
ఉపరితలం వద్ద నీటి సాంద్రత ρ = 1.03 × 10³ kg m^-3
M ద్రవ్యరాశి గల నీటికి ఉపరితలం వద్ద మరియు ఇచ్చిన లోతు వద్ద నీటి ఘనపరిమాణాలు
V = \(\frac{M}{\rho}\) మరియు V’ = \(\frac{\mathrm{M}}{\rho^{\prime}}\)

ప్రశ్న 14.
10 atm హైడ్రాలిక్ పీడనానికి గురిచేసిన గాజు పలక ఘనపరిమాణంలో వచ్చే అంశిక మార్పు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి p = 10 atm = 10 × 1.013 × 10⁵ Pa; B = 37 × 10⁹ Nm^-2
ఘనపరిమాణ వికృతి = \(\frac{\Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}}=\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{B}}=\frac{10 \times 1.013 \times 10^5}{37 \times 10^9}\) = 2.74 × 10^-5
∴ ఘనపరిమాణంలో అంశిక మార్పు = \(\frac{\Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}}\) = 2.74 × 10^-5

ప్రశ్న 15.
7.0 × 10⁶ Pa హైడ్రాలిక్ పీడనానికి గురయిన 10 cm భుజం ఉన్న ఘన రాగి ఘనం ఏర్పడే ఘనపరిమాణ సంకోచాన్ని నిర్ణయించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి L = 10 cm = 0.10 m; p = 7 × 10⁶ Pa; B = 140 GPa = 140 × 10⁹ Pa
B = \(\frac{\mathrm{pV}}{\Delta \mathrm{V}}=\frac{\mathrm{p} L^3}{\Delta \mathrm{V}}\) or ∆V = \(\frac{\mathrm{pL}^3}{\mathrm{~B}}=\frac{\left(7 \times 10^6\right) \times(0.10)^3}{140 \times 10^9}\) = 5 × 10^-8; m³ = 5 × 10^-2 mm³

ప్రశ్న 16.
ఒక లీటరు నీటిని 0.10% సంపీడనం చెందించడానికి ఎంత పీడనం అవసరం ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి V = 1 లీటరు = 10^-3 m³; ∆V/V = 0.10/100 = 10^-3
B = \(\frac{\mathrm{pV}}{\Delta \mathrm{V}}\) (లేదా) p = B\(\frac{\Delta V}{V}\) = (2.2 × 10⁹) × 10^-3 = 2.2 × 10⁶ Pa

ప్రశ్న 17.
అధిక పీడనాల వద్ద పదార్థాల ప్రవర్తనను తెలుసుకోవడానికి పటంలో చూపిన ఆకృతిలో ఉన్న ఏక స్పటిక వజ్రం (స్వర్ణకారులు వాడేది) దాగిలి (Anvil) ని వాడతారు. సన్నకొన వద్ద ఉండే సమతలం వ్యాసం 0.50mm. వెడల్పు కొనను 50,000 N సంపీడ్యత బలానికి గురిచేశారు. దాగిలి మొన (tip) పై పనిచేసే పీడనం ఎంత ?

సాధన:
దత్తాంశం నుండి D = 0.5 mm = 0.5 × 10^-3 m = 5 × 10^-4 m
F = 50,000 N = 5 × 10⁴ N
దాగిలి మొనపై పీడనము, P = \(\frac{\mathrm{F}}{\pi \mathrm{D}^2 / 4}=\frac{4 \mathrm{~F}}{\pi \mathrm{D}^2}\)
∴ P = \(\frac{4 \times\left(5 \times 10^4\right)}{(22 / 7) \times\left(5 \times 10^{-4}\right)^2}\) = 2.5 × 10¹¹ Pa

ప్రశ్న 18.
రెండు లోహ పలకలను ఒకదానితో ఒకటి చివరల నాలుగు రివెట్లనుపయోగించి బిగించారు. ప్రతి రివెట్ వ్యాసం 6.0 mm. ప్రతి రివెట్పై విమోటన బలం 6.9 × 10⁷ Pa దాటకూడదు. రివెట్లు కట్టిన లోహ పలకల వల్ల కలిగే గరిష్ఠ తన్యత ఎంత ? ప్రతి రివెట్ భారంలో నాలుగో వంతును భరిస్తుందనుకోండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి = : 6/2 = 3 mm = 3 × 10^-3 m; గరిష్ఠ ప్రతిబలము = 6.9 × 10⁷ Pa;
రివెట్ పై గరిష్ఠ భారము = గరిష్ఠ ప్రతిబలము × అడ్డుకోత వైశాల్యము = 6.9 × 10⁷ × (22/7) × (3 × 10^-3)²
∴ గరిష్ఠ తన్యత = 4[6.9 × 10⁷ × \(\frac{22}{7}\) × 9 × 10^-6] = 7.8 × 10³ N

ప్రశ్న 19.
పసిఫిక్ మహాసముద్రంలో ఉన్న మరీనా అగాధం లోతు ఒక చోట ఉపరితలం నుంచి 11 km ఉంటుంది. అగాధం అడుగు భాగంలో ద్రవ పీడనం సుమారు 1.1 × 10⁸ Pa గా ఉంటుంది. సముద్రంలో 0.32 m³ తొలి ఘనపరిమాణం ఉన్న ఉక్కు బంతిని వదిలినప్పుడు అది అగాధం అడుగుకు చేరుకొంది. అక్కడ బంతి ఘనపరిమాణంలో వచ్చే మార్పు ఎంత ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి p = 1.1 × 10⁸ pa; V = 0.32 m³; B = 1.6 × 10¹¹ Pa
∆V = \(\frac{\mathrm{pV}}{\mathrm{B}}\) = \(\frac{\left(1.1 \times 10^8\right) \times 0.32}{1.6 \times 10^{11}}\) = 2.2 × 10^-4 m³.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 10 Properties of Triangles Ex 10(a) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Properties of Triangles Solutions Exercise 10(a)

(Note : All problems in this exercise refer to ∆ABC)

I.
Question 1.
Show that Σa (sin B – sin C) = 0
Answer:
L.H.S. = Σa (sin B – sin C)
= Σa \(\left(\frac{b}{2 R}-\frac{c}{2 R}\right)\) (∵ a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C)
= \(\frac{1}{2 R}\) Σa(b – c)
= \(\frac{1}{2 R}\) [a(b – c) + b(c – a) + c(a – b)]
= 0 = R.H.S.

Question 2.
If a = √3 + 1 cm, ∠B = 30°, ∠C = 45°, then find c.
Answer:
Given ∠B = 30°, ∠C = 45°, a = √3 + 1, we have ∠A = 180° – (30 + 45) = 180° – 75° = 105°

Question 3.
If a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm, then find cos A.
Answer:
Given a = 2cm, b = 3 cm, c = 4 cm.
cos A = \(\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}\)
= \(\frac{9+16-4}{2(3)(4)}=\frac{21}{24}=\frac{7}{8}\)

Question 4.
If a = 26 cm, b = 30 cm and cos C = \(\frac{63}{65}\) then find c. (Mar. 2011)
Answer:
By the formula c² = a² + b² – 2ab cos C
c2² = (26)² + (30)² – 2 (26) (30)
= 676 + 900 – 1512
= 1576 – 1512 = 64
c = 8 cm

Question 5.
If the angles are in the ratio 1:5:6, then find the ratio of its sides. (May 2007)
Answer:
Given A : B : C = 1 : 5 : 6
∴ \(\frac{\mathrm{A}}{1}=\frac{\mathrm{B}}{5}=\frac{\mathrm{C}}{6}\) = B = C 1 “ 5 “ 6
A + B + C = 180° ;
⇒ A + 5A + 6A = 180°
⇒ 12 A = 180° ⇒ A = 15°
Ratio of sides = a : b : c
= sin A : sin B : sin C
= sin 15° : sin 75° : sin 90°
= \(\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}: \frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}\) : 1
= √3 – 1 : √3 + 1 : 2√2

Question 6.
Prove that 2(bc cos A + ca cos B + ab cos C) = a² + b² + c². (Mar. 2005)
Answer:
L.H.S. = Σ 2bc cos A
= Σ 2bc \(\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}\right)\)
= Σ (b² + c² – a²)
= b² + c² – a² + c² + a²
= a² + b² + c²
= R.H.S.

Question 7.
Prove that \(\frac{a^2+b^2-c^2}{c^2+a^2-b^2}=\frac{\tan B}{\tan C}\)
Answer:
Use c² = a² + b² – 2ab cos C and
b² = c² + a² – 2ca cos B in L.H.S. then

Question 8.
Prove that (b + c) cos A + (c + a) cos B + (a + b) cos C = a + b + c.
Answer:
L.H.S. = (b + c) cos A + (c + a) cos B + (a + b) cos C
= (b cos A + a cos B) + (c cos A + a cos C) + (b cos C + c cos B)
= c + b + a = a + b + c = R.H.S. (Use projection formula)

Question 9.
Prove that (b – a cos C) sin A = a cos A sin C. (Mar. 2006)
Answer:
L.H.S. = (b – a cos C) sin A
= (a cos C + c cos A – a cos C) sin A
= c cos A sin A
= 2R sin C cos A sin A
= (2R sin A) cos A sin C
= a cos A sin C = R.H.S.

Question 10.
If 4, 5 are two sides of a triangle and the included angle is 60°, find its area.
Answer:
Let a = 4, b = 5 both sides and angle between them be C = 60° then area of ∆ABC,
∆ = \(\frac{1}{2}\) ab sin C
= \(\frac{1}{2}\) (4) (5) sin 60°
= 10 \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) = 5√3 sq. cm.

Question 11.
Show that b cos² \(\frac{C}{2}\) + c cos² \(\frac{B}{2}\) = s.
Answer:

Question 12.
If \(\frac{a}{\cos A}=\frac{b}{\cos B}=\frac{c}{\cos C}\), then show that ∆ABC is equilateral.
Answer:

⇒ tan A = tan B = tan C
⇒ A = B = C
⇒ ∆ ABC is an equilateral triangle.

II.
Question 1.
Prove that a cos A + b cos B + c cos C = 4R sin A sin B sin C.
Answer:
L.H.S. = a cos A + b cos B + c cos C
= Σ a cos A
= Σ 2R sin A cos A
= R Σ sin 2A
= R [sin 2A + sin 2B + sin 2C]
= R [sin 2A + 2 sin (B + C) cos (B – C)]
= R [2 sinA cosA + 2 sin A cos(B – C)]
(∵ A + B + C = 180° ⇒ sin (B + C) = sin A)
= 2R sin A [cos A + cos (B – C)]
= 2R sin A[- cos(B + C) + cos(B – C)]
= 2R sin A [cos (B – C) – cos (B + C)]
= 2R sin A (2 sin B sin C)
= 4R sin A sin B sin C = R.H.S.

Question 2.
Prove that Σa³ sin (B – C) = 0.
Answer:
L.H.S. = Σa³ sin (B – C)
= Σa². a sin (B – C)
= Σa² (2R sin A) sin (B – C)
= 2R Σa² sin A sin (B – C)
= R Σa² 2 sin (B + C) . sin (B – C)
(∵ A + B + C = π, sin (B + C) = sin A)
= R Σa² 2(sin²B – sin²C)

Question 3.
Prove that
\(\frac{a \sin (B-C)}{b^2-c^2}=\frac{b \sin (C-A)}{c^2-a^2}=\frac{c \sin (A-B)}{a^2-b^2}\)
Answer:

Question 4.
Prove that Σa² \(\frac{\sin (B-C)}{\sin B+\sin C}\) = 0
Answer:

= Σ a(b – c)
= a(b – c) + b(c – a) + c(a – b)
= 0 = R.H.S.

Question 5.
Prove that
\(\frac{a}{b c}+\frac{\cos A}{a}=\frac{b}{c a}+\frac{\cos B}{b}=\frac{c}{a b}+\frac{\cos C}{c}\)
Answer:

Question 6.
Prove that
\(\frac{1+\cos (A-B) \cos C}{1+\cos (A-C) \cos B}=\frac{a^2+b^2}{a^2+c^2}\)
Answer:

Question 7.
If C = 60°, then show that
(i) \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}\) = 1
(ii) \(\frac{b}{c^2-a^2}+\frac{a}{c^2-b^2}\) = 0
Answer:
C = 60° ⇒ c² = a² + b² – 2ab cos C
= a² + b² – 2ab (cos 60°)
= a² + b² – 2ab (½)
= a² + b² – ab ……………….. (1)

(i)

(ii)

Question 8.
If a : b : c = 7 : 8 : 9, find cos A : cos B : cos C.
Answer:

Question 9.
Show that
\(\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2 a b c}\)
Answer:

Question 10.
Prove that (b – a) cos C + c (cos B – cos A)
= c sin \(\left(\frac{A-B}{2}\right)\) cosec \(\left(\frac{A+B}{2}\right)\)
Answer:
L.H.S. = (b – a) cos C + c (cos B – cos A)
= b cos C – a cos C + c cos B – c cos A
= (b cos C + c cos B) – (a cos C + c cos A)
= a – b
= 2R (sin A – sin B)
(using Projection and sine rule)

Question 11.
Express a sin²\(\frac{C}{2}\) + c sin² \(\frac{A}{2}\) in terms of s, a, b, c.
Answer:

Question 12.
If b + c = 3a, then find the value of cot \(\frac{B}{2}\) cot \(\frac{C}{2}\).
Answer:
2s = a + b + c = a + 3a = 4a ⇒ s = 2a

Question 13.
Prove that
(b + c) cos \(\left(\frac{B+C}{2}\right)\) = a cos \(\left(\frac{B-C}{2}\right)\).
Answer:

Question 14.
In a ∆ABC show that \(\frac{b^2-c^2}{a^2}=\frac{\sin (B-C)}{\sin (B+C)}\)
Answer:

III.
Question 1.
Prove that
(i) cot \(\frac{A}{2}\) + cot \(\frac{B}{2}\) + cot \(\frac{C}{2}\) = \(\frac{s^2}{\Delta}\)
Answer:
Using the formulae

(ii) tan\(\frac{A}{2}\) + tan \(\frac{B}{2}\) + tan\(\frac{C}{2}\) = \(\frac{b c+c a+a b-s^2}{\Delta}\)
Answer:

(iii)

Answer:

Question 2.
Show that
(i) Σ(a + b) tan\(\left(\frac{A-B}{2}\right)\) = 0.
Answer:
We have Napler’s analogy as

(ii) \(\frac{b-c}{b+c}\) cot \(\frac{A}{2}\) + \(\frac{b+c}{b-c}\) tan \(\frac{A}{2}\) = 2 cosec (B – C).
Answer:
We have using Napler’s rule

Question 3.
(i) If sin θ = \(\frac{a}{b+c}\), then show that cos θ = \(\frac{2 \sqrt{b c}}{b+c}\) cos \(\frac{A}{2}\). (May 2014, Mar.12)
Answer:
We have cos²θ = 1 – sin²θ
= 1 – \(\frac{a^2}{(b+c)^2}\)

(ii) If a = (b + c) cos θ, then prove that sin θ = \(\frac{2 \sqrt{b c}}{b+c}\) cos \(\frac{A}{2}\).
Answer:

(iii) For any angle θ, show that
a cos θ = b cos (C + θ) + c cos (B – θ).
Sol.
R.HS. = b cos (C + θ) + c cos (B – θ)
= b (cos C cos θ – sin C sin θ) + c(cos B cos θ + sin B sin θ)
= (b cos C + C cos B) cos θ – sin θ(- c sin B – b sin C)
= a cos θ + sin θ(- b sin C + c sin B)
= a cos θ +(- 2R sin B sin θ sin C + 2R sin B sin C sin θ)
= a cos θ (∵ a = b cos C + c cos B)

Question 4.
If the angles of ∆ ABC are in A.P. and b : c = √3 : √2 , then show that A = 75°.
Answer:
Given A, B, C are in A.P
⇒ 2B = A + C
∴ A + B + C = π ⇒ 3B = π ⇒ B = 60°
Also b : c = √3 : √2

Question 5.
If \(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\) = \(\frac{\sin C}{\sin (A-B)}\), prove that ∆ABC is either isosceles or right angled.
Answer:

⇒ 2R sin A cos A = 2R sin B cos B
⇒ R sin 2A = R sin 2B
⇒ sin 2A – sin 2B = 0
∴ ∆ ABC is isosceles.
(or) 2A = 180° – 2B ⇒ A + B = 90°
Hence A ≠ B
⇒ ∆ABC is a right angled triangle.
∴ ∆ ABC is either isosceles or right angled.

Question 6.
If cos A + cos B + cos C = \(\frac{3}{2}\), then show that the triangle is equilateral.
Answer:

Question 7.
If cos² A + cos² B + cos² C = 1, then show that ∆ ABC is right angled.
Answer:
Given cos² A + cos² B + cos² C = 1 ……………. (1)
∴ cos² A + cos² B + cos² C
= cos² A + cos² B + 1 – sin² C
= 1 + cos² A + cos (B + C) cos (B – C).
= 1 + cos² A – cos A cos (B – C)
= 1 + cos A [cos (A) – cos (B – C)]
= 1 – cos A [cos (B + C) + cos (B – C)]
= 1 – 2 cos A cos B cos C
(∵ A + B + C = π, cos (B + C) = – cos A)
∴ 1 – 2 cos A cos B cos C = 1
⇒ 2 cos A cos B cos C = 0
⇒ A = 90° or B = 90° or C = 90°
⇒ ∆ ABC is right angled.

Question 8.
If a² + b² + c² = 8R², then prove that the triangle is right angled. (June 2001)
Answer:
Given a² + b² + c² = 8R²
⇒ 4R² (sin² A + sin² B + sin² C) = 8R²
⇒ sin² A + sin² B + sin² C = 2 ………………. (1)
Consider sin² A + sin² B + sin² C
= sin² A + sin² B + 1 – cos² C
= 1 + sin² A + sin² B – cos² C
= 1 + sin² A – (cos² C – sin² B)
= 1 + sin² A – cos (B + C) cos (B – C)
= 1 + sin² A + cos A cos (B – C)
(∵ cos (B + C) = cos (180 – A)° = – cos A)
= 1 + 1 – cos² A + cos A cos (B – C)
= 2 + cos A [cos (B – C) – cos A]
= 2 + cos A [cos (B – C) + cos (B + C)]
= 2 + 2 cos A cos B cos C ……………… (2)
∴ From (1) we have
2 + 2 cos A cos B cos C = 2
⇒ 2 cos A cos B cos C = 0
⇒ cos A = 0 or cos B = 0 or cos C = 0
⇒ A = \(\frac{\pi}{2}\) or B = \(\frac{\pi}{2}\) or C = \(\frac{\pi}{2}\)
∴ ∆ ABC is right angled.

Question 9.
If cot \(\frac{A}{2}\), cot \(\frac{B}{2}\), cot \(\frac{C}{2}\) are in A.P., then prove that a, b, c are in A.P.
Answer:
cot \(\frac{A}{2}\), cot \(\frac{B}{2}\), cot \(\frac{C}{2}\) are in A.P.
⇒ \(\frac{s(s-a)}{\Delta}, \frac{s(s-b)}{\Delta}, \frac{s(s-c)}{\Delta}\) are in A.P.
⇒ (s – a), (s – b), (s – c) are in A.P.
⇒ – a, – b, – c are in A.P.
⇒ a, b, c are in A.P.

Question 10.
If sin²\(\frac{A}{2}\), sin²\(\), sin²\(\) are in H.P., then show that a, d, c are in H.P.
Answer:

Question 11.
If C = 90°, then prove that
\(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\) sin (A – B) = 1.
Answer:
Given C = 90° and c² = a² + b² – 2ab cos C.
⇒ c² = a² + b²

Question 12.
Show that \(\frac{a^2}{4}\) sin 2C + \(\frac{a^2}{4}\) sin 2A = ∆.
Answer:

= 2R² sin² A sin C cos C + 2R² sin² C sin A cos A
= 2R² sin A sin C (sin A cos C + cos A sin C)
= 2R² sin A sin C sin (A + C)
= 2R² sin A sin C sin B
(∵ A + B + C = π ⇒ sin (A + C) = sin B)
= ∆ = R.H.S.

Question 13.
A lamp post is situated at the middle point M of the side AC of a triangular plot ABC with BC = 7 m, CA = 8 m and AB = 9 m. Lamp post subtends an angle 15° at the point B. Find the height of the lamp post.
Answer:

Let MR = h be the height of the lamp post and MR = h.
From ∆BMR, tan 15° = \(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{BM}}\)
∴ h = (2 – √3) BM ……………… (1)

Question 14.
Two ships leave a port at the same time. One goes 24 km per hour in the direction N 45° E and other travel 32 kms per hour in the direction S 75° E. Find the distance between the ships at the end of 3 hours.
Answer:

The first ship goes 24 km/hr.
∴ After 3 hrs. first ship goes 72 kms.
The second ship goes 32 km/hr.
∴ After 3 hrs. second ship goes 96 kms.
Let AB = x be the distance between the ships.
From the geometry of the figure ∠AOB = 60°
Using cosine rule in ∆AOB we have
cos 60° = \(\frac{(72)^2+(96)^2-x^2}{2(72)+(96)}\)
⇒ \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{5184+9216-x^2}{13824}\)
⇒ 13824 = 28800 – 2x²
⇒ 2x² = 14976
⇒ x² = 7488
⇒ x = 86.4 (approximate)
At the end of 3 hours the difference between the ships is 86.4 kms.

Question 15.
A tree stands vertically on the slant of the hill. From a point A on the ground 35 metres down the hill from the base of the tree, the angle of elevation of the top of the tree is 60°. If the angle of elevation of the foot of the tree from A is 15°, then find the height of the tree.
Answer:

Let BC = h be the height of the tree. AL is the slant of hill.
Let BD = x and AD = y and given AB = 35 m
∴ From ∆ADB, sin 15° = \(\frac{x}{35}\)
⇒ x = 35\(\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}\right)\)
Also cos 15° = \(\frac{\mathrm{y}}{35}\)

Question 16.
The upper 3/4^th portion of a vertical pole subtends an angle tan^-13/5 at a point in the horizontal plane through its foot and at a distance of 40 m from the foot. Given that the vertical pole is at a height less than 100 m from the ground, find its height.
Answer:

From the figure AB is the vertical pole of height ‘h’.
∠BCD = θ, suppose ∠DCA = α and ∠BCA = β.
Also AC = 40 m ; given tan θ = 3/5

Question 17.
AB is a vertical pole with B at the ground level and A at the top. A man finds that the angle of elevation of the point A from a certain point C on the ground is 60°. He moves away from the pole along the line BC to a point D such that CD = 7 m. From D, the angle of elevation of the point A is 45°. Find the height of the pole.
Answer:

Let AB = ‘h’ be the height of the pole.
Given CD = 7
∠ACB = 60°, ∠ADB = 45° and line BC = x.

Question 18.
Let an object be placed at some height h cm and let P and Q be two points of observation which are at a distance of 10 cm apart on a line inclined at angle 15° to the horizontal. If the angles of elevation of the object from P and Q are 30° and 60° respectively then find h.
Answer:

Let AB = h cm be the height of the tower P and Q are points of observations.
From the geometry of the figure ∠BPA = 30° given ∠BPQ = 15°. Also ∠PQB = 135°.
∴ ∠PBQ = 30°, PQ = 10 cm (given).
In the ∆PQB, applying sine rule.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 4 Addition of Vectors Ex 4(b) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Addition of Vectors Solutions Exercise 4(b)

I.
Question 1.
Find the vector equation of the line passing through the point 2i̅ + 3j̅ + k̅ and parallel to the vector 4i̅ – 2j̅ + 3k̅.(March 2015-A.P) (May, March ’01) (V.S.A)
Answer:
Let a = 2i̅ + 3j̅ + k̅ and b = 4i̅ – 2 j̅ + 3k̅
The vector equation of the line passing through the point a̅ and parallel to the vector b̅ is
r̅ = a̅ + tb̅ where t is a scalar.
r̅ = (2i̅ + 3j̅ + k̅) + t (4i̅ – 2j̅ + 3k̅)
⇒ r̅ = (2 + 4t) i̅ + (3 – 2t) j̅ + (1 + 3t) k̅

Question 2.
OABC is a parallelogram. If \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{a}}\) and \(\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{c}}\). Find the vector equation of the side BC. (March 2015-T.S) (V.S.A)
Answer:
OABC is a parallelogram.

∴ The vector equation of side BC is r̅ = (1 – t)c̅ + t(a̅ + c̅)
= (1 – t + t)c̅ + ta̅
= c̅ + t a̅ where t ∈ R.

Question 3.
If a̅, b̅, c̅ are the position vectors of the vertices A, B and C respectively of a ΔABC, then find the vector equation of the median through the vertex A. (March 2013) (V.S.A)
Answer:

Let \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{b}}\), and \(\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{c}}\)
Vector equation of the median AD is (1 – t)
a̅ + tb̅ = r̅
r̅ = (1 – t)a̅ + t\(\left(\frac{\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}}}{2}\right)\)

Question 4.
Find the vector equation of the line joining the points 2i̅ + j̅ + 3k̅ and – 4i̅ + 3j̅ – k̅.(V.S.A)
Answer:
Let a = 2i̅ + j̅ + 3k̅ and b = -4i̅ + 3 j̅ – k̅
The vector equation of the line passing through the points a,b is
r̅ = (1 – t)a̅ + tb̅, t ∈ R
= a̅ + t (b̅ – a̅)
= (2i̅ + j̅ + 3k̅) + t (-4i̅ + 3j̅ – k̅ – 2i̅ – j̅ – 3k̅)
= (2i̅ + j̅ + 3k̅) +t(-6i̅ + 2j̅ – 4k̅)

Question 5.
Find the vector equation of the plane passing through the points i̅ – 2j̅ + 5k̅, – 5j̅ – k̅ and -3 i̅ + 5j̅. (V.S.A)
Answer:
Let a̅ = i̅ – 2 j̅ + 5k̅, b̅ = -5 j̅ – k̅, c = -3i̅ + 5j̅. (May 2014)
The vector equation of the plane passing through the points a̅, b̅, c̅ is r = (1 – s – t)a̅ + sb̅ + tc̅ where s, t ∈ R
= a̅ + s(b̅ – a̅) + t(c̅ – a̅)
= (i̅ – 2j̅ + 5k̅) + s(-5j̅ – k̅ – i̅ + 2j̅ – 5k̅) + t(-3i̅ + 5j̅ – i̅ + 2j̅ – 5k̅)
= i̅ – 2j̅ + 5k̅ + s(-i̅ – 3j̅ – 6k̅) + t(-4i̅ + 7j̅ – 5k̅)

Question 6.
Find the vector equation of the plane passing through the points (0,0, 0), (0, 5, 0) and (2, 0, 1). (V.S.A)
Answer:
The vector equation of the plane through a, b,c is
r̅ = (1 – s – t)a̅ + sb̅ + tc̅ where s, t ∈ R
⇒ r̅ = (1 – s – t) 0 + s(5j̅) + t(2i̅ + k̅)
= (5s) j̅ + t(2i̅ + k̅);s, t ∈ R

II.
Question 1.
If a, b, c are noncoplanar find the point of intersection of the line passing through the points 2a̅ + 3b̅ – c̅, 3a̅ + 4b̅ – 2c̅ with the line joining points a̅ – 2b̅ + 3c̅, a̅ – 6b̅ + 6c̅. (S.A)
Answer:
The vector equation of the straight line passing through the points 2a̅ + 3b̅ – c̅ and 3a̅ + 4b̅ – 2c̅ is
r̅ = (1 – t) (2a̅ + 3b̅ – c̅) + t(3a̅ + 4b̅ – 2c̅) where t ∈ 1
⇒ r̅ = (2 + t)a̅ + (3 + t) b̅ + (-1 – t)c̅
= (2a̅ + 3b̅ – c̅) + t (a̅ + b̅ – c̅) ……………(1)
The vector equation of the straight line passing through the points a̅ – 2b̅ + 3c̅ and a̅ – 6b̅ + 6c̅ is
r̅ = (a̅ – 2b̅ + 3c̅) (1 – s) + s (a̅ – 6b̅ + 6c̅) where s ∈ R
⇒ r̅ = a̅ + (-2 – 4s) b̅ + (3 + 3s)c̅
= (a̅ – 2b̅ + 3c̅) + s (-4b̅ + 3c̅) …………..(2)
Equating coefficients a̅, b̅, c̅ in (1) and (2) we have
2 + t = 1 ………..(3)
3 + t = – 2 – 4s ……….(4)
and – 1 – t = 3 + 3s ………..(5)
Solving equations (3), (4) and (5) we get t = – 1, and s = – 1
Hence from (1) and (2) the point of intersection of lines (1) and (2) is a̅ + 2b̅
Also line (1) is parallel to a + b – c ancl (2) is parallel to -4b̅ + 3c̅
If a̅ + b̅ – c̅ and 3c̅ – 4b̅ are parallel then two lines are same since they have common point otherwise they have only one point of intersection a̅ + 2b̅

Question 2.
ABCD is a trapezium in which AB and CD are parallel. Prove by vector methods that the mid points of the sides AB, CD and the intersection of the diagonals are collinear. (E.Q)
Answer:
Let A be the origin and \(\overline{\mathrm{AB}}\) = b̅
∴ \(\overline{\mathrm{DC}}\) = sb̅ (∵ \(\overline{\mathrm{DC}} \| \overline{\mathrm{AB}}\))
\(\overline{\mathrm{DC}}\) = c̅ – d̅ = sb
⇒ d̅ = c̅ – sb̅
⇒ c̅ – d̅ = sb̅

Equation of diagonal AC is
r̅ = (1 – t)o + tc̅
= tc̅ for t ∈ R …………..(2)
Equation of diagonal BD is
r̅ = (1 – s)b̅ + sd̅ for s ∈ R …………(3)

Let R be the point of intersection of diagonals AC and BD.
From (2) and (3) t c = (1 – s) b̅ + s d̅
⇒ t c̅ = (1 – s) b̅ + s (c – sb̅) from (1)
⇒ tc̅ = (1 – s)λ (c – d̅) + sd̅
= (1 – s) λc̅ – [λ(1 – s) – s]d̅
Equating coefficients of c̅ and d̅ on both sides
t = (1 – s) λ and λ (1 – s) – s = 0
⇒ s = λ (1 – s)
⇒ s(1 + λ) = λ
⇒ s = \(\frac{\lambda}{1+\lambda}\)
∴ t = (1 – s)λ = (1 – \(\frac{\lambda}{1+\lambda}\))λ
= \(\frac{\lambda}{1+\lambda}\)
Position vector of the point of intersection ‘R’ is

From (4) and (5)
\(\overline{\mathrm{RM}}\) = λ \(\overline{\mathrm{NR}}\)
⇒ M, R, N are collinear.
So the mid points of parallel sides of a trapezium and the point of intersection of the diagonals are collinear.

Question 3.
In a quadrilateral ABCD, if the midpoints of one pair of opposite sides and the point of intersection of the diagonals are collinear, using vector methods, prove that the quadrilateral ABCD is a trapezium. (S.A)
Answer:

\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{c}}\) and \(\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{d}}\)
Let M, N be the mid points of one pair of opposite sides AB and CD of a quadrilateral ABCD.
\(\overline{\mathrm{AM}}=\frac{\overline{\mathrm{b}}}{2}\)
\(\overline{\mathrm{AN}}=\frac{\overline{\mathrm{c}}+\overline{\mathrm{d}}}{2}\)
Let P be the point of intersection of mid points of sides AB, CD and pair of diagonals AC, BD respectively.
Let \(\overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{r}}\). Then equation of \(\overline{\mathrm{AC}}\) is
r̅ = t c̅ where t is a scalar ………….(1)
Equation of BD is
r̅ = (1 – s)b̅ + sd̅ for some scalars ………..(2)
and equation of line MN is
r̅ = (1 – α)\(\frac{\bar{b}}{2}\) + α\(\left(\frac{\bar{c}+\bar{d}}{2}\right)\)
where α is a scalar
⇒ 2r̅ = (1 – α)b̅ + a(c̅ + d̅)
⇒ r̅ + r̅ = (1 – α)b̅ + a(c̅ + d̅)
From (1) and (2)
tc̅ + (1 – s)b̅ + sd̅ = (1 – α)b̅ + α(c̅ + d̅)
Equating coefficients of b, c, d we get
1 – s = 1 – oc ⇒ s = a and .
t = a ⇒ s = t = a
From (1) and (2),
t c̅ = (1 – s) b̅ + s d̅
⇒ sc̅ = (1 – s) b̅ + s d̅ (‘- t = s)
⇒ (1 -s) b̅ =s(c̅ – d̅)
⇒ b is parallel to c̅ – d̅
⇒ AB is parallel to CD
∴ ABCD is a trapezium.

III.
Question 1.
Find the vector equation of the plane which passes through the points 2i̅ + 4j̅ + 2k̅, 2i̅ + 3j̅ + 5k̅ and parallel to the vector 3 i̅ – 2 j̅ + k̅. Also find the point where this plane meets the line joining the points 2 i̅ + j̅ + 3k̅ and 4 i̅ – 2 j̅ + 3k̅. (March 2012) (E.Q)
Answer:
Vector equation of the plane which passes through the points a̅ = 2i̅ + 4j̅ + 2k̅, b̅ = 2i̅ + 3j̅ + 5k̅ and parallel to vector c̅ = 3i̅ – 2j̅ + k̅ is
r̅ = (1 – t)a̅ + tb̅ + sc̅ where t, s e R
⇒ r̅ = (1 – t) (2i̅ + 4j̅ + 2k̅) + t(2i̅ + 3j̅ + 5k̅) + s(3i̅ – 2j̅ + k̅)
⇒ r̅ = (2 – 2t + 2t + 3s) i̅ + (4 – 4t + 3t – 2s) j̅ + (2 – 2t + 5t + s) k̅
⇒ r̅ = (2 – 2t + 2t + 3s) i̅ + (4 – 4t + 3t – 2s) j̅ + (2 – 2t + 5t + s) k̅
⇒ r̅ = (2 + 3s) i̅ + (4 – t – 2s) j̅ + (2 + 3t + s)k̅ …………(1)
Vector equation of the line passing through the points c̅ = 2i̅ + j̅ + 3k̅ and d̅ = 4 i̅ – 2 j̅ + 3k̅ is r̅ = (1 – a)d̅ + ac̅ where a e R
⇒ r̅ = (1 – α)(2i̅ + j̅ + 3k̅) + α(4i̅ – 2j̅ + 3k̅)
⇒ r̅ = (2 – 2α + 4α) i̅ + (1 – α – 2α) j̅ + (3 – 3α + 3α)k̅
⇒ r̅ = (2 + 2α) i̅ + (1 – 3α) j̅ + 3k̅ (2)
Let 7 be the point of intersection of (1) and (2)
(2 + 3s)i̅ + (4 – t – 2s) j̅ + (2 + 3t + s) k̅
= (2 + 2α) i̅ + (1 – 3α) j̅ + 3k̅
v Since i̅, j̅, k̅ are non coplanar,
2 + 3s = 2 + 2α ⇒ 2α – 3s = 0 ………………(3)
4 – 1 – 2s = 1 – 3α ⇒ 3α – 2s -1 = – 3 …………(4)
2 + 3t + s = 3 ⇒ s + 3t = 1 ………………(5)
From (5), t = \(\frac{1-\mathrm{s}}{3}\)
∴ From (4) 3α – 2s – \(\left(\frac{1-s}{3}\right)\) = -3
⇒ 9α – 6s – 1 + s = -9
9α – 5s + 8 = 0 (6)
Solving (6) & (3) equations

Question 2.
Find the vector equation of the plane passing through the points 4 i̅ – 3 j̅ – k̅ , 3i̅ + 7j̅ – 10k̅ and 2i̅ + 5j̅ – 7k̅ and show that the point i̅ + 2 j̅ – 3k̅ lies in the plane. (March 2013) (S.A.Q.)
Answer:
Vector equation of the plane passing through
A(4i̅ – 3j̅ – k̅ ), B (3i̅ + 7j̅ – 10k̅ ) and C(2i̅ + 5j̅ – 7k̅ ) is
r̅ = (1 – s – t) (4i̅ – 3 j̅ – k̅ ) + s(3i̅ + 7j̅ – 10k̅ ) + t(2i̅ + 5j̅ – 7k̅ )
Let D (i̅ + 2j̅ – 3k̅ ) lies on the plane, then
(i̅ + 2j̅ – 3k̅ ) = (1 – s – t)(4i̅ – 3j̅ – k̅ ) + s (3i̅ + 7j̅ – 10k̅ ) + t (2i̅ + 5j̅ – 7k̅ )
Since i̅ , j̅ ,k̅ are non coplanar, equating coefficients of i̅ , j̅ , k̅ both sides.
4(1 – s – t) + 3s + 2t = 1
⇒ 4 – 4s – 4t + 3s + 2t = 1
⇒ s + 2t = 3 …………(1)
– 3 (1 – s – t) + 7s + 5t = 2
⇒ -3 + 3s + 3t + 7s + 5t = 2
⇒ 10s + 8t = 5
Also – (1 – s – t) – 10s – 7t = – 3
⇒ – 1 + s + t – 10s – 7t = – 3
⇒ 9s + 6t = 2
From (1), 3s + 6t = 9
Solving (1) & (3) equations 6s = – 7
⇒ s = – 7/6

s = \(\frac{-7}{6}\) t = \(\frac{25}{12}\). satisfy (1), (2), (3).
and D lies on the plane passing through A, B, C.

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 4 Political Concepts to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 4 Political Concepts

→ The term “Law” is used to mean uniform rules of conduct enforced by a Sovereign Political Authority.

→ Law regulates the external behavior of human beings.

→ Law has six sources: 1) Customs 2) Religion 3) Judicial Decisions 4) Scientific Commentaries 5) Equity and 6) Legislature.

→ Law is of different kinds.

→ Law is closely related to morality. At the same time, it differs from morality.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 4 రాజనీతి భావనలు

→ వ్యక్తుల బాహ్య ప్రవర్తనను నియంత్రించటానికి అత్యంత అవసరమైన సాధనమే చట్టం.

→ ‘సార్వభౌముని ఆజ్ఞే చట్టం’ అని జాన్ ఎరిస్కిన్ మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ చట్టం ప్రజల అభిప్రాయానికి అనుగుణంగా రూపొందించబడుతుంది.

→ చట్టాలు బలప్రయోగంతో అమలు చేయబడతాయి. ఇవి నిర్బంధమైన, శిక్షాత్మక స్వభావాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

→ చట్టం నిర్దిష్టమైనది, ఖచ్ఛితమైనది, విశ్వవ్యాప్తమైనది.

→ ప్రొఫెసర్ హాలండ్ ప్రకారం చట్టానికి ఆరు ఆధారాలున్నాయి.
అవి : 1) ఆచారాలు 2) మతం 3) న్యాయమూర్తుల తీర్పులు 4) శాస్త్రీయమైన వ్యాఖ్యానాలు 5) సమత లేదా సమబద్ధత 6) శాసనసభలు.

→ ‘సమత అనే పదానికి నిష్పక్షపాతం, న్యాయం మొదలగు సూత్రాలను పర్యాయపదాలుగా వాడుతున్నారు.

→ శాసనసభలను, చట్టం యొక్క ప్రత్యక్ష ఆధారంగా భావిస్తారు.

→ సహజ చట్టాన్ని దైవిక న్యాయంగా కూడా వ్యవహరిస్తారు.

→ రాజ్యం యొక్క మౌలిక శాసనాన్ని ‘రాజ్యాంగ శాసనం’ అని అంటారు.

→ ప్రపంచ దేశాల మధ్య గల సంబంధాలను నియంత్రించే చట్టాన్ని అంతర్జాతీయ చట్టం అని అంటారు.

→ ‘Liberty’ అనే ఇంగ్లీషు పదం ‘లిబర్’ అనే లాటిన్ పదం నుండి గ్రహించబడింది. లిబర్ అనగా ‘ఆంక్షల నుండి విముక్తి’ అని అర్థం.

→ ‘మితిమీరని ప్రభుత్వ పరిపాలనే స్వేచ్ఛ’ అని సిలీ మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ ‘స్వేచ్ఛ అంటే ఎటువంటి ఆంక్షలు లేకపోవటం కాదు. వ్యక్తి మూర్తిమత్వ వికాసంలోనే స్వేచ్ఛ ఇమిడి ఉంటుంది’ అని మహాత్మాగాంధీ పేర్కొన్నారు.

→ పౌరస్వేచ్ఛ ప్రజలకు పౌరహక్కుల రూపంలో ప్రసాదించబడుతుంది.

→ ఒక జాతి సర్వస్వతంత్రంగా జీవించటాన్నే జాతీయ స్వేచ్ఛ అని అంటారు.

→ రాజ్యము యొక్క, ప్రభుత్వము యొక్క కార్యకలాపాలలో పాల్గొనేందుకు పౌరులందరికి అవకాశాలను కల్పించడమే రాజకీయ స్వేచ్ఛ.

→ ప్రతి ఒక్కరూ తమ జీవనోపాధిని తామే సంపాదించుకోగలగటాన్ని ఆర్థిక స్వేఛ్ఛ అని అంటారు.

→ సమానత్వం అనే పదం నిరపేక్షమైన సమాన ఆదరణను సూచిస్తుంది.

→ సమాజంలో ప్రజలందరిని ఎటువంటి జాతి, మత, కుల, వర్గ, వర్ణ విచక్షణ లేకుండా సమభావంతో గౌరవించటాన్ని సాంఘిక సమానత్వం అని అంటారు.

→ రాజ్యములో నివసించే పౌరులందరికి రాజకీయ హక్కులను సమానంగా ప్రసాదించటాన్ని రాజకీయ సమానత్వం అంటారు.

→ స్వేచ్ఛ – సమానత్వం పరస్పర సంబంధం కలిగి ఉంటాయని’ లాస్కీ మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ జస్టిస్ అనే ఆంగ్లపదం ‘జస్’ (Jus) అనే లాటిన్ పదము నుండి గ్రహించబడింది. జస్ అనగా ‘బంధించి ఉంచటం’ లేదా ‘కలిపి ఉంచటం’ అని అర్థం.

→ ప్రతి వ్యక్తి తన పని తాను చేసుకుంటూ, ఇతరుల వ్యవహారాలలో జోక్యం చేసుకోకపోవడమే న్యాయం” అని ప్లేటో మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ న్యాయానికి సంబంధించి రెండు ప్రధాన భావనలు ఉన్నాయి. అవి :

1. సంఖ్యాత్మక భావన
2. క్షేత్రగణిత భావన.

→ యోగ్యతా ప్రాతిపదికపై రాజ్య సంపదను వ్యక్తుల మధ్య పంపిణీ చేయటాన్ని వితరణ న్యాయం అని

→ న్యాయానికి ప్రధానంగా నాలుగు ఆధారాలు ఉన్నాయి. అవి :

1. ప్రకృతి
2. నైతికత
3. మతము
4. ఆర్థికాంశాలు

→ న్యాయం ఐదు రకాలుగా వర్గీకరించబడింది. అవి సహజ, ఆర్థిక, సామాజిక, రాజకీయ, చట్టబద్ధమైన న్యాయాలు.

→ ప్రపంచంలో లభించే సహజ వనరులను ప్రతి ఒక్కరూ వినియోగించుకునే హక్కు సూత్రంగా ప్రతిపాదించబడినదే సహజ న్యాయసూత్రం.

→ ఆర్థికన్యాయం ఆదాయంలో విపరీత వ్యత్యాసాలను తొలగించాలని ప్రతిపాదిస్తుంది.

→ ‘చట్టం దృష్టిలో ప్రజలంతా సమానులే’ అని సామాజిక న్యాయం విశ్వసిస్తుంది.

→ రాజ్యాంగ శాసనం ద్వారా ఏర్పడిందే చట్టబద్ధమైన న్యాయం.

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 3 Nation, Nationality and Nationalism to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 3 Nation, Nationality and Nationalism

→ The words Nation, Nationality and Nationalism emerged from the Latin word “Natio” which means “Birth” or “Descent”.

→ Nation means a Nationality with an independent political status.

→ Nationality emerges whenever unity and oneness prevail in human groups.

→ Nationality is promoted by many Factors like common race, common language, common religion, common history etc.

→ Nationalism refers to the strong desire of a Nationality to emerge as a Nation-state.

→ Theory of Nations’ self-Determination was advocated by the former president of the united states of America, Woodrow Wilson in 1917.

→ The Right to National self-determination has asserted the National Liberation Movements in Afro-Asian and Latin American countries.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 3 జాతి – జాతీయత, జాతీయవాదం

→ ఆధునిక రాజ్యాలన్నీ జాతిరాజ్యాలే.

→ ‘ఒకే జాతి ఒకే రాజ్యం’ అనే సిద్ధాంతం మొదటి ప్రపంచయుద్ధం తరువాత ప్రాచుర్యంలోకి వచ్చింది.

→ ‘నేషన్’ అనే పదం ‘నేషియో’ అనే లాటిన్ పదం నుండి గ్రహించబడింది. నేషియో అనగా ‘పుట్టుక అని అర్థం.

→ “స్వాతంత్ర్యం కలిగి ఉండి లేదా స్వాతంత్య్రాన్ని అభిలషిస్తూ రాజకీయసంస్థగా రూపొందే ప్రజా సముదాయమే జాతి” అని లార్డైస్ నిర్వచించటం జరిగింది.

→ “ఒకే తెగ, భాష, మతం, ఆచారాలు, చరిత్ర వంటి ఉమ్మడి అంశాలు గల ప్రజానీకమే జాతీయత” అని గెటిల్ మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ ప్రజల మధ్య భావ వ్యక్తీకరణకు, సంప్రదింపులకు ఉపకరించే సాధనమే భాష.

→ జాతీయతా భావాలు గల ప్రజల పగ్రాఢమైన ఆకాంక్షయే జాతిరాజ్యం.

→ రాజ్యం పట్ల, ప్రభుత్వం పట్ల ప్రజలు విధేయతను ప్రకటించేందుకు జాతీయవాదం తోడ్పడింది.

→ జాతుల స్వయం నిర్ణయాధికార సిద్ధాంతం ప్రతి ఒక్క జాతి స్వతంత్ర రాజకీయ సంస్థగా ఎదగాలని కోరుకుంటుంది.

→ భారతదేశాన్ని నిస్సందేహంగా జాతిరాజ్యంగా పేర్కొనవచ్చు.

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1B Study Material Chapter 9 Differentiation Ex 9(d) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1B Differentiation 9(d)

I.
Question 1.
If y = \(\frac{2 x+3}{4 x+5}\) then find y”. (V.S.A.Q.)
Answer:

Question 2.
If y = ae^nx + be^-nx then prove that y” = n²y. (May 2014) (V.S.A.Q.)
Answer:
y’ = ane^nx – bne^-nx
y” = an²e^nx + bn²e^-nx
= n²(ae^nx + be^{– nx}) = n²y
∴ y” = n²y

II.
Question 1.
Find the second order derivatives of the following functions f(x). (S.A.Q.)
(i) cos³x
Answer:
Let y = cos³x = \(\frac{1}{4}\)[cos 3x + 3 cos x]
y’ = \(\frac{1}{4}\) [- 3 sin x – 3 sin x]
y” = \(\frac{1}{4}\) [- 9 cos 3x – 3 cos x]
= – \(\frac{3}{4}\) (3 cos 3x + cos x)

(ii) sin⁴x
Answer:
Let y = sin⁴x sin³x sin x

y” = 2 cos 2x – 2 cos 4x
= 2 (cos 2x – cos 4x)

(iii) log (4x² – 9)
Answer:
Let y = log (4x² – 9)
= log [(2x – 3) (2x + 3)]
= log (2x + 3) + log (2x + 3)

(iv) e^-2x sin³x
Answer:
Let y = e^-2x sin³x
y ‘ = e^-2x (3 sin²x cos x) + sin³x (-2) e^-2x
= e^-2x [ 3 sin²x cos x – 2 sin³x]
y” = e^-2x [3 sin²x (- sin x) + cos x (6 sin x cos x) – 6 sin²x cos x] – 2e^-2x [ 3 sin²x cos x – 2 sin³x]
= – e^-2x [6 sin x cos²x – 6 sin²x cos x – 3 sin³x – 6 sin²x cos x + 4 sin³x]
= e^-2x [sin³x – 12 sin²x cos x + 6 sin x cos²x]

(v) e^x sin x cos 2x
Answer:
Let y = e^x sin x cos 2x
= e^x \(\frac{1}{2}\) [sin 3x – sin x]
y’ = \(\frac{1}{2}\)[e^x (3 cos 3x – cos x) + e^x (sin 3x – sin x)]
y” = \(\frac{1}{2}\)[e^x (- 9 sin 3x + sin x) + e^x (3 cos 3x – cos x) + e^x (3 cos 3x – cos x) + (sin 3x – sin x)e^x]
= \(\frac{1}{2}\) e^x [6 cos 3x – 8 sin 3x – 2 cos x]
= e^x [3 cos 3x – 4 sin 3x – cos x]

(vi) tan^-1 \(\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
Answer:

(vii) tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\)
Answer:

Question 2.
Prove the following. (S.A.Q.)
(i) If y = ax^{n + 1} + bx^-n then x²y” = n(n + 1) y.
Answer:
y = ax^{n + 1} + bx^-n
y’ = (n + 1) ax^-n – nbx^{– n – 1}
y” = an (n + 1) x^{n + 1} + bn (n + 1) x^-n-2
x²y” = an(n + 1) x^{n + 1} + b(n + 1)n x^{– n}
= n(n + 1) [ax^{n + 1} + bx^{– n}]
= n(n + 1) y

(ii) If y = a cos x + (b + 2x) sin x then y” + y = 4 cos x.
Answer:
y = a cos x + (b + 2x) sin x
y’ = – a sin x + (b + 2x) cos x + 2 sin x
y” = – a cos x + (b + 2x) (- sin x) + 2 cos x + 2 cos x
= – a cos x + 4 cos x – (b + 2x) sin x
= -[a cos x + (b + 2x) sin x] + 4 cos x
= – y + 4 cos x
∴ y” + y = 4 cos x

(iii) If y = 6 (x + 1) + (a + bx) e^3x then y” – 6y’ + 9y = 54x + 18
Answer:
y = 6 (x + 1) + (a + bx) e^3x
∴ y’ = 6 + (a + bx) 3e^3x + be^3x
y” = (a + bx) 9e^3x + 3e^3x(b) + 3be^3x
∴ L.H.S. = y” – 6y’ + 9y
= (a + bx) 9e^3x + 6be^3x – 6 [6 + (a + bx) 3e^3x + be^3x] + 9 [ 6 (x + 1) + (a + bx) e^3x]
= (a + bx) 9e^3x + ebe^3x – 36 – 18e^3x (a + bx) – 6be^3x+ 54 (x + 1) + 9 (a + bx) e^3x
= 54x+ 18

(iv) If ay⁴ = (x + b)⁵ then 5yy” = (y’)²
Answer:

(v) If y = a cos (sin x) + b sin (sin x) then y” + (tan x)y’ + y cos²x = 0
Answer:
Given y = a cos (sin x) + b sin (sin x) then
y’ = -a sin (sin x) cos x + b cos (sin x) cos x
= cos x [-a sin (sin x) + b cos (sin x)]
y” = cos x [- a cos (sin x) cos x – b sin (sin x) (cos x)] – sin x [- a sin (sin x) + b cos (sin x)]
= – sin x \(\frac{y^{\prime}}{\cos x}\) – cos² x . y
∴ y” + (tan x) y’ + y cos²x = 0

III.
Question 1.
(i) If y = 128 sin³ x cos⁴x then find y”. (E.Q.)
Answer:
Given y = 128 sin³x cos⁴x
∴ y’ = 128 [sin³x 4 cos³x (- sin x) + cos⁴x (3 sin²x) cos x]
= 128 [3 sin²x cos⁵x – 4 sin⁴x cos³x]
y” = 128[3 sin²x (5 cos⁴x) (- sin x) + cos⁵x (6 sin x cos x) – 4 [sin⁴x (3 cos²x) (- sin x) + c0s³x 4 sin³x cos x]]
= 128 [- 15 sin³ x cos⁴x + 6 cos⁶x sin x + 12 sin⁵x cos²x – 16 cos⁴x sin³x]
= 128 [6 sin x cos⁶x + 12 sin⁵x cos²x – 31 cos⁴x sin³x]
= 128 sin x cos²x (12 sin⁴x – 31 sin²x cos²x + 6 cos⁴x)

(ii) If y = sin 2x sin 3x sin 4x then find y”. (E.Q.)
Answer:
y = sin 2x \(\frac{1}{2}\) [2sin 3x sin 4x]
= sin 2x \(\frac{1}{2}\) [cos x – cos 7x]
= \(\frac{1}{2}\) sin 2x cos x – \(\frac{1}{2}\) sin 2x cos 7x
= \(\frac{1}{4}\) [sin 3x + sin x – sin 9x + sin 5x]
= \(\frac{1}{4}\) [- sin 9x + sin 5x + sin 3x + sin x]
y’ = \(\frac{1}{4}\) [- 9 cos 9x + 5 cos 5x + 3 cos 3x + cos x] 1
y” = \(\frac{1}{4}\) [81 sin 9x – 25 sin 5x – 9 sin 3x – sin x]

(iii) If ax² + 2hxy + by² = 1 then prove that \(\frac{d^2 y}{d x^2}=\frac{h^2-a b}{(h x+b y)^3}\) (E.Q.)
Answer:
Differentiating ax² + 2hxy + by² = 1 with respect to x on both sides we get

(iv) If y = ae^-bx cos (cx + d) then prove that y” + 2by’ + (b² + c²)y = 0 (E.Q.)
Answer:
Given y = ae^-bx cos (cx + d)
Differentiating w.r.t ‘x’ then
y’ = a[e^-bx(-c sin (cx + d)) – cos(cx + d) be^-bx]
= ae^-bx [- c sin(cx + d) – bcos(cx + d)]
= – ace^-bx sin (cx + d) – by
∴ y’ + by = -ace^-bx sin(cx + d)
Differentiating again w.r.t ‘x’
∴ y” + by’ = -ac [e^-bx c cos (cx + d) – be^-bx sin (cx + d)]
= – ac e^-bx [c cos (cx + d) – b sin(cx + d)]
= abce^-bx sin (cx + d) – ac²e^-bxcos (cx + d)
= – b (y’ + by) – c²y
∴ y” + 2by’ + (b² + c²)y = 0

(v) If y = e^{–\(\frac{\mathbf{k}}{2}\)x} (a cos nx + b sin nx) then prove that y” + ky’ + (n² + \(\frac{k^2}{4}\)) y = 0 (E.Q.)
Answer:

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 11 Organs of Government to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 11 Organs of Government

→ Government formulates, expresses and realizes the will of the state.

→ Government is described as the executive organ of the State.

→ Government consists of three organs i.e., Legislature, Executive and Judiciary.

→ Legislature makes Laws, the Executive executes laws and Judiciary interprets laws.

→ Aristotle classified Governments into normal and perverted forms.

→ Aristotle says that monarchy, aristocracy and polity are the normal forms of Government. Tyranny, oligarchy and democracy are the perverted forms of Government.

→ “Unitary Government is one in which one central power habitually exercises the supreme legislative authority.” – A.V. Dicey

→ The term ‘Federation’ is derived from the Latin word ‘Foedus’ which means ‘treaty’ or ‘agreement’.

→ “Federation is an association of states that forms a new one”. – Hamilton

→ Collective responsibility is the salient feature of the Parliamentary form of Government.

→ Presidential form of Government is known as single Executive Government.

→ Mottesque advocated ‘the theory of separation of powers, that is based on ‘checks and balance.’

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 10 Constitution to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 10 Constitution

→ Constitution and government are two indispensable elements of the modern State.

→ Lord Bryce: “Constitution is a set of established rules embodying and enacting the practice of Government”.

→ Some political writers view the Constitution as ‘Rules of the State’, ‘Instrument of Government’, ‘Fundamental Law of the Land’, and ‘Basic structure of the policy’, etc.

→ A written Constitution is formulated and adopted by a Constituent Assembly.

→ Unwritten Constitution is one whose provisions are not written in a single document.

→ Constitution is described as the source of all governmental activities.

→ The Preamble explains the aims and aspirations of the Constitution.

→ Clarity is the most important feature of the Constitution.

→ Flexible Constitution is one whose provisions can be amended easily.

→ Rigid Constitution is one whose provisions cannot be changed easily.

→ Evolved Constitution is also called Cumulative Constitution. It is the result of evolutionary changes.

→ Enacted Constitution is also known as Conventional Constitution. It is consciously made.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 10 రాజ్యాంగం

→ రాజ్యాంగం, ప్రభుత్వం మొదలగునవి ఆధునిక రాజ్యము యొక్క ప్రధాన అంశాలుగా పరిగణించ బడుతున్నాయి.

→ రాజ్యాంగాన్ని ఆంగ్లంలో ‘Constitution’ అని అంటారు. ఈ పదం ‘Constitutio’ అనే లాటిన్ పదం నుండి గహ్రించబడింది. ‘కాన్స్టిట్యూషియో’ అనగా ‘స్థాపించు’ అని అర్థం.

→ ‘రాజ్యాంగం ప్రభుత్వ రూపం’ అని ‘స్టీఫెన్ లీకాక్’ పేర్కొన్నాడు.

→ పత్రి రాజ్యాంగం ఒక పీఠికను కలిగి ఉంటుంది. రాజ్యంగ లక్ష్యాలు, ఆశయాలు ఈ పీఠికలో స్పష్టంగా పొందుపరచబడి ఉంటాయి. అందుకనే ఈ పీఠికను ‘రాజ్యాంగము యొక్క ఆత్మ’గా వర్ణిస్తారు.

→ రాజ్యాంగము స్పష్టంగా, నిర్దిష్టంగా, ఖచ్ఛితంగా ఉండాలి.

→ రాజ్యాంగ స్వభావం ఆధారంగా రాజ్యాంగాలను రెండు రకాలుగా విభజించినారు.
అవి 1) లిఖిత రాజ్యాంగం 2) అలిఖిత రాజ్యాంగం.

→ లిఖిత రాజ్యాంగాన్ని ఒక రాజ్యాంగ పరిషత్తు ఏర్పాటుచేస్తుంది. లిఖిత రాజ్యాంగానికి ఉదాహరణ ఇండియా, అమెరికా.

→ అలిఖిత రాజ్యాంగం ప్రత్యేక వ్రాతప్రతిలో పేర్కొనబడదు. అనేక ఆచార, సంపద్రాయాల ప్రాతిపదికగా ఏర్పడుతుంది. ఉదా : బ్రిటన్ రాజ్యాంగం.

→ రాజ్యాంగ సవరణ ప్రాతిపదికగా రాజ్యాంగాలు రెండు రకాలు.
అవి 1) అదృఢ రాజ్యాంగం 2) దృఢ రాజ్యాంగం.

→ దృఢ రాజ్యాంగం అమెరికాలో అమలులో ఉన్నది.

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 9 Secularism to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 9 Secularism

→ Secularism is an important social and political phenomenon.

→ “Secularism is an ideology which provides a theory of life and conduct as against one provided in religion”. – ERIC.S.Waterhouse

→ Secular State is neither religious nor irreligious.

→ Secular State gives equal freedom to all religions.

→ Religion of citizens has nothing to do with secular matters in secularism.

→ Secularism strongly opposes the existence, continuance and survival of authoritarian religious leaders and institutions.

→ It is vehemently opposed to the supporting of religion in public matters.

→ Theocracy technically means rule by God.

→ There will be a particular religion, which is declared as the official religion in a Theocratic State.

→ Religious priests and spiritual heads will be given special significance in Theocratic States.

→ Secularism enables individuals to enjoy their religious freedom to their full extent.

→ The word ‘secular’ was included in the Indian Constitution in the year 1976 through 42nd Constitutional Amendment Act.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 9 లౌకికవాదం

→ మతం, రాజ్యం వేరు వేరు అని లౌకికవాదం విశ్వసిస్తుంది.

→ సెక్యులర్ అనే ఆంగ్ల పదానికి లాటిన్ భాషలో ‘ఇహలోకం’ (This world) అని అర్థం.

→ “మతంలో పేర్కొన్న దానికంటే భిన్నమైన జీవనం, ప్రవర్తనలకు సంబంధించిన సిద్ధాంతాన్ని ప్రతిపాదించే ఒకానొక ఆదర్శమే” లౌకికవాదమని వాటర్హిస్ (Water house) మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ లౌకిక రాజ్యం అన్ని మతాలవారికి సమానమైన స్వేచ్ఛా, స్వాతంత్ర్యాలను ప్రసాదిస్తుంది.

→ లౌకిక రాజ్యం ఒక మతానికి అనుకూలం కాదు. మరొక మతానికి వ్యతిరేకం కాదు. మత విషయాలలో తటస్థంగా ఉంటుంది.

→ స్వేచ్ఛ, ప్రజాస్వామ్యానికి లౌకికవాదం అత్యంత ఆవశ్యకమైనది.

→ లౌకికవాదం సమ సమాజానికి పాత్రిపదిక. అన్ని మతాల వారిని సమానంగా పరిగణిస్తుంది. మానవులు సృష్టించిన అసమానతలను గుర్తించదు.

→ మతస్వామ్యం (Theocracy) అనే పదాన్ని ప్రథమంగా ‘జోసెఫస్’ అనే యూదు చరిత్రకారుడు యూదు మతగ్రంథమైన ‘థోరా’లో పేర్కొన్నాడు.