TS Inter 1st Year

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 11th Lesson P బ్లాక్ మూలకాలు – 14వ గ్రూప్ Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 11th Lesson P బ్లాక్ మూలకాలు – 14వ గ్రూప్

అత్యంత లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
గ్రూపు 14 మూలకాల ఆక్సీకరణ స్థితులలో మార్పును చర్చించండి.
జవాబు:
14వ గ్రూపు మూలకాల బాహ్యతమ కర్పరంలో 4 ఎలక్ట్రానులు ఉన్నాయి. ఈ మూలకాలు కనబరచే సాధారణ ఆక్సీకరణ స్థితులు +4, + 2. కార్బన్ ఋణ ఆక్సీకరణ స్థితుల్ని కూడా చూపుతుంది.
+ 4 ఆక్సీకరణ స్థితిలో ఉన్న సమ్మేళనాలు సమయోజనీయ స్వభావం కలవిగా ఉంటాయి. భారతర మూలకాలలో +2 ఆక్సీకరణ స్థితిని చూపే ప్రవృత్తి పెరిగే క్రమం Ge < Sn < Pb. కార్బన్, సిలికాన్లు తరచుగా +4 ఆక్సీకరణ స్థితిని చూపుతాయి. జెర్మేనియం స్థిర సమ్మేళనాలను +4 స్థితిలో ఏర్పరుస్తుంది. టిన్ రెండు (+2, +4) ఆక్సీకరణ. స్థితులలోను సమ్మేళనాలను ఏర్పరుస్తుంది. లెడ్ సమ్మేళనాలు +2 స్థితిలో స్థిరమైనది.

ప్రశ్న 2.
క్రింది సమ్మేళనాలు నీటితో ఎలా ప్రవర్తిస్తాయి.
a) BCl₃
b) CCl₄
జవాబు:
a) BCl₃ నీటితో చర్య పొంది H₃BO₃ ను ఏర్పరుస్తుంది.
BCl₃ + 3 H₂O → H₃BO₃ + 3HCl
b) CCl₄ నీటితో చర్య పొందదు. నీటిలో కరుగదు. వేరే ప్రావస్థగా వుంటుంది.

ప్రశ్న 3.
BCl₃, SiCl₄ ఎలక్ట్రాన్ కొరత ఉన్న సమ్మేళనాలా ? వివరించండి.
జవాబు:
BCl₃ లో బోరాన్ బాహ్య కర్పరంలో ఎలక్ట్రాన్ అష్టకం లేదు. కనుక అది ఎలక్ట్రాన్ కొరత గల సమ్మేళనం.
SiCl₄ లోని Si కు బాహ్య కర్పరంలో ఎలక్ట్రాన్ అష్టకం ఉన్నది. అది ఎలక్ట్రాన్ కొరత గల సమ్మేళనం కాదు.

ప్రశ్న 4.
క్రింది వాటిలో కార్బన్ సంకరీకరణాన్ని సూచించండి.
a) C\(\mathrm{O}_3^{-2}\)
b) వజ్రం
c) గ్రాఫైట్
d) పుల్లరీన్
జవాబు:
a) C\(\mathrm{O}_3^{-2}\) : …….. sp² సంకరీకరణం
b) వజ్రం : ………… sp³ సంకరీకరణం
c) గ్రాఫైట్ : ……… sp² సంకరీకరణం
d) పుల్లరీన్ : …….. sp² సంకరీకరణం

ప్రశ్న 5.
CO ఎందుకు విషపూరితమైనది ? (March 2013)
జవాబు:
CO విషపూరితమైనది. అది రక్తంలోని హిమోగ్లోబిన్ తో కలిసి స్థిరమైన సంక్లిష్టం ఏర్పరుస్తుంది. అందువల్ల హీమోగ్లోబిన్

కార్బాక్సీ హిమోగ్లోబిన్ ఆక్సీహిమోగ్లోబిన్ కన్నా 300 రెట్లు అధిక స్థిరమైనది.

ప్రశ్న 6.
రూపాంతర (allotropy) అంటే ఏమిటి ? స్పటిక రూపంలోని కార్బన్ భిన్న రూపాంతరాలను తెలపండి. (March 2013)
జవాబు:
ఒకే మూలకం భిన్న భౌతిక రూపాలలో లభించుటను రూపాంతరత అంటారు.
కార్బన్ మూడు స్ఫటిక రూపాంతరాలలో లభిస్తోంది. అవి వజ్రం, గ్రాఫైట్, ఫుల్లరిన్.

ప్రశ్న 7.
కింది ఆక్సెడులను తటస్థ, ఆమ్ల, క్షార, ద్విస్వభావం గల వాటిగా వర్గీకరించండి.
a) CO
b) B₂O₃
c) SiO₂
d) CO₂
e) Al₂O₃
f) PbO₂
g) Tl₂O₃
జవాబు:
a) CO – తటస్థ
b) B₂O₃ – ఆమ్ల
c) SiO₂ – ఆమ్ల
d) CO₂ – ఆమ్ల
e) Al₂O₃ – ద్విస్వభావ
f) PbO₂ – ద్విస్వభావ
g) Tl₂O₃ – క్షార
e) Al₂O₃ – ద్విస్వభావ
f) PbO₂ – ద్విస్వభావ
g) Tl₂O₃ – క్షార

ప్రశ్న 8.
మనిషి (కృత్రిమంగా) తయారుచేసిన ఏవైనా రెండు సిలికేట్ల పేర్లు రాయండి.
జవాబు:

1. గాజు
2. సిమెంట

ప్రశ్న 9.
గ్రూపు 14 మూలకాల బాహ్య ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసాన్ని రాయండి.
జవాబు:
గ్రూపు 14 మూలకాలు కార్బన్ (C); సిలికాన్ (Si); జెర్మేనియం (Ge); టిన్ (Sn) మరియు లెడ్ (Pb).
వాటి ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసాలు :
కార్బన్ : 1s²2s²2p² (Z = 6)
సిలికాన్ : 1s²2s²2p⁶3s²3p² (Z = 14)
జెర్మేనియం : 1s²2s²2p⁶3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p² (Z = 32)
టిన్ : 1s²2s²2p⁶3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶4d¹⁰5s²5p² (Z = 50)
లెడ్ : 1s²2s²2p⁶3s²3p⁶3d¹⁰4s²4p⁶4d¹⁰4f¹⁴5s²5p⁶5d¹⁰6s²6p² (Z = 82)
గ్రూపు 14 మూలకాల సాధారణ ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం ns²np².

ప్రశ్న 10.
గ్రాఫైట్ కందెనలాగా ఎట్లా పనిచేస్తుంది ?
జవాబు:
గ్రాఫైట్ ద్వి జ్యామితీయ పొరల నిర్మాణం కలిగి ఉంటుంది. అంతేగాక ఈ పొరలు ఒకదానిపై ఒకటి జారుతూ ఉంటాయి. అందుకనే గ్రాఫైట్ కందెనగా పనిచేస్తుంది.

ప్రశ్న 11.
గ్రాఫైట్ మంచి వాహకం – వివరించండి.
జవాబు:
గ్రాఫైట్ ప్రతి కార్బన్ పరమాణువు వద్ద సంకరీకరణంలో పాల్గొనని p – ఆర్బిటాల్లో ఎలక్ట్రాన్ ఉంది. దీనినే స్వేచ్ఛా ఎలక్ట్రాన్ అంటారు. ఒక్కొక్క కార్బన్ పరమాణువు మూడు ఆసన్న కార్బన్ sp² సంకర ఆర్బిటాల్లను ఉపయోగించుకొని మూడు సిగ్మా బంధాలను ఏర్పరుస్తుంది. నాలుగవ ఎలక్ట్రాన్ π బంధాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఈ ఎలక్ట్రాన్లు మొత్తం పొర అస్థానీకృతం అవుతాయి. ఈ ఎలక్ట్రానులు చలనంలో ఉంటాయి. అందువల్ల గ్రాఫైట్ మంచి విద్యుద్వాహకం.

ప్రశ్న 12.
సిలికా నిర్మాణాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
సిలికాన్ డై ఆక్సైడును సిలికా అంటారు. సిలికాన్ డై ఆక్సైడ్ సమయోజనీయ, త్రిమితీయ అల్లిక గల ఘనం. ఇందులో సిలికాన్ పరమాణువు సమయోజనీయ బంధంతో టెట్రా హెడ్రల్ రీతిలో నాలుగు ఆక్సిజన్ పరమాణువులతో కలిసి ఉంటుంది. ప్రతి ఆక్సిజన్ పరమాణువు ఇంకొక సిలికాన్ పరమాణువుతో సమయోజనీయ బంధంతో ఉంటుంది. మొత్తం స్ఫటికాన్ని బృహత్ అణువుగా భావించవచ్చు.

ప్రశ్న 13.
“సంశ్లేషణ వాయువు” అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
వేడిగానున్న కోక్ మీదకు నీటి ఆవిరిని పంపడం ద్వారా వ్యాపార పద్ధతిలో CO, H₂ ల మిశ్రమాన్ని తయారుచేస్తారు. ఏర్పడిన CO, H₂ ల మిశ్రమాన్ని సంశ్లేషణ వాయువు అంటారు.

ప్రశ్న 14.
“ప్రొడ్యూసర్ వాయువు” అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
CO, N₂ ల మిశ్రమాన్ని ప్రొడ్యూసర్ గ్యాస్ అంటారు. దీని సంఘటనం CO = 33%, N₂ = 64%, CO₂ మరియు
H₂ = 2.5%

ప్రశ్న 15.
వజ్రానికి అధిక ద్రవీభవన ఉష్ణోగ్రత ఉంటుంది. వివరించండి.
జవాబు:
వజ్రం త్రిజ్యామితీయ బృహదణు నిర్మాణం కలిగి ఉంటుంది. ప్రతి కార్బన్ sp³ సంకరీకరణం చెందుతుంది. ప్రతి కార్బన్ నాలుగు ఇతర కార్బన్ పరమాణువులతో sp³ సంకర ఆర్బిటాళ్ళతో బంధాలను ఏర్పరుస్తుంది. ఈ నిర్మాణం ప్రాదేశికంగా వ్యాపించి కార్బన్ పరమాణువులతో దృఢమైన త్రిమితీయ అల్లికను ఏర్పరుస్తుంది. ఇలా వ్యాపించి ఉన్న సమయోజనీయ బంధాలను విచ్ఛిన్నం చేయడం చాలా శక్తితో కూడుకున్న పని. అందువల్ల వజ్రానికి అధిక ద్రవీభవన ఉష్ణోగ్రత ఉంటుంది.

ప్రశ్న 16.
కిరణజన్య సంయోగ క్రియలో CO₂ పాత్ర ఏమిటి ?
జవాబు:
కిరణజన్య సంయోగక్రియ ద్వారా పచ్చటి చెట్లు వాతావరణంలోని కార్బన్ డై ఆక్సైడ్ను గ్లూకోజ్ వంటి కార్బోహైడ్రేటులుగా మారుస్తాయి.

ప్రశ్న 17.
హరిత గృహ ప్రభావాన్ని ఏ విధంగా CO₂ పెంచుతుంది ?
జవాబు:
శిలాజ ఇంధనాల దహనం పెరగడం, సిమెంట్ను ఉత్పత్తి చేయడానికి ఇటీవలి కాలంలో లైమ్ స్టోన్ వినియోగం బాగా పెరగడం వల్ల వాతావరణంలో CO₂ భాగం పెరుగుతోంది. దీనివల్ల హరితగృహ ఫలితం పెరుగుతోంది.

ప్రశ్న 18.
సిలికోన్లు అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
సిలికోన్లు ఆర్గానో సిలికాన్ సమ్మేళనాలు. వీటిలో సిలికాన్ కు ఆక్సిజన్, కార్బన్లు బలంగా బంధింపబడి ఉంటాయి.

ప్రశ్న 19.
సిలికోన్ల ఉపయోగాలు వ్రాయండి.
జవాబు:
సిలికోన్ల ఉపయోగాలు :

1. వాటర్ ఫ్రూఫ్ బట్టలు, కాగితాలను తయారుచేయడానికి వాడతారు.
2. సిలికోన్ రబ్బరు ఉత్తమ విద్యున్నిరోధకం. అందువల్ల ఎలక్ట్రికల్ మోటార్లలో ఉపయోగిస్తారు.
3. వీటికి రసాయన జడత్వం ఉన్నది. అందువలన అధిక ఉష్ణోగ్రతలను తట్టుకుంటాయి. ఈ కారణంగా వాటిని పెయింట్లలోనూ, పింగాణీలలోనూ ఉపయోగిస్తారు.
4. ద్రవ సిలికోన్ల స్నిగ్ధత ఉష్ణోగ్రతతో మారదు. -40°C వద్ద కూడ ఇవి గడ్డ కట్టవు. అందువలన వీటిని విమానాలలో కందెనగా వాడతారు.
5. సిలికోన్ నూనెలు అధిక స్థిరత్వం కలిగి ఉంటాయి. వేడిచేసినా కూడా ఆవిరి చెందవు. అందువలన వాటిని అధిక ఉష్ణోగ్రతల వద్ద ఆయిల్ బాథ్ మరియు అధిక శూన్యత పంపులలోనూ వాడతారు.

ఈ విధంగా ఆధునిక యుగంలో సిలికోన్లను అన్ని రంగాలలో వాడతారు.

ప్రశ్న 20.
తగరం (టిన్) మీద నీటి ప్రభావం ఏమిటి ?
జవాబు:
టిన్ నీటి ఆవిరిని వియోగం చెందించి డై ఆక్సైడు, డై హైడ్రోజన్లను ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 21.
SiCl₄ గురించి వ్రాయండి.
జవాబు:
సిలికాన్ టెట్రా క్లోరైడును సిలికాన్పై క్లోరిన్ చర్యవల్ల ఏర్పడుతుంది.
Si + 2Cl₂ – SiCl₄
SiCl₄ బాష్పశీలి ద్రవం. నీటి అణువు ఇచ్చే ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ జంటను Si లోని d ఆర్బిటాల్ స్వీకరించి Si(OH)₄ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 22.
CO₂ వాయువు కానీ SiO₂ ఘనపదార్థం – వివరించండి.
జవాబు:
సిలికాన్ డై ఆక్సైడ్ త్రిమితీయ బృహదణు నిర్మాణం కలిగి ఉంటుంది. ప్రతి సిలికాన్ పరమాణువు నాలుగు ఆక్సిజన్ పరమాణువులతో చతుర్ముఖీయంగా నాలుగు సమయోజనీయ బంధాలతో బంధింపబడి ఉంటుంది. అందువలన SiO₂ ఘనపదార్థంగా ఉంటుంది.

CO₂ రేఖీయ అణువు. ఈ అణువులు విడివిడిగా ఉంటాయి. ఈ అణువుల మధ్య వాన్ డర్వాల్ బలాలు ఉంటాయి. అందువలన CO₂ వాయువుగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 23.
ZSM – 5 ఉపయోగం వ్రాయండి.
జవాబు:
జియొలైట్లను ఉత్ప్రేరకాలుగా వాడతారు. ZSM-5 అనే జియోలైట్ను ఆల్కహాల్లను నేరుగా గాసోలిన్ మార్చడానికి ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 24.
పొడి మంచు ఉపయోగం ఏమిటి ?
జవాబు:
ఘన CO₂ ను పొడి మంచు అంటారు. ఐస్క్రీమ్, అతిశీతలమైన ఆహారపదార్థాల కోసం ప్రశీతకంగా ఉ పయోగిస్తున్నారు. బరువైనదీ, దహనానికి దోహదపడేదీ కనుక దీనిని మంటలను ఆర్పడానికి వాడతారు.

ప్రశ్న 25.
జలవాయువు (Water gas) ను ఎలా తయారుచేస్తారు ?
జవాబు:
వేడిగా నున్న కోక్ మీదకు నీటి ఆవిరిని పంపుట ద్వారా వ్యాపార పద్ధతిలో జలవాయువును తయారుచేస్తారు.

ప్రశ్న 26.
ప్రొడ్యూసర్ వాయువును ఎలా తయారుచేస్తారు ?
జవాబు:
కొలిమిని కోక్తో నింపి, దాని అడుగు భాగం నుండి వేడి గాలిని పంపుతారు. మొదట CO₂ వాయువు ఏర్పడుతుంది.
CO₂ కోల్ బెడ్ మీదుగా ప్రయాణించి CO గా క్షయకరణం చెందుతుంది.
CO, N₂ ల మిశ్రమం బయటకు వస్తుంది.
C + O₂ → CO₂
C + O₂ → 2CO

ప్రశ్న 27.
గ్రాఫైట్లో C − C బంధ దూరం, వజ్రంలో C – C బంధ దూరం కంటే తక్కువ – వివరించండి.
జవాబు:
గ్రాఫైట్ కార్బన్ C – C బంధ దూరం 141.5 pm గ్రాఫైట్లో కార్బన్ sp² సంకరీకరణం చెంది ఉంటుంది. అందువల్ల మూడు సిగ్మా బంధాలను ఏర్పరుస్తుంది. నాల్గవ ఎలక్ట్రాన్ 7 బంధాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ద్విబంధ స్వభావం వల్ల C – C బంధ దూరం తక్కువ.
వజ్రంలో కార్బన్ sp³ ఆర్బిటాళ్ళతో C – C ఏకబంధాలను మాత్రమే ఏర్పరుస్తుంది. అందువల్ల C – C బంధ దూరం 154 pm.

ప్రశ్న 28.
వజ్రాన్ని అమూల్యమైన రాయిగా వాడతారు – వివరించండి.
జవాబు:
వజ్రానికి వక్రీభవన గుణకం గరిష్ఠంగా 2.45 ఉన్నది. కాంతి పతనమైనపుడు అధిక వక్రీభవన గుణకం వల్ల సంపూర్ణాంతర పరావర్తనం జరుగుతుంది. అందువల్ల వజ్రం కాంతి పడినపుడు ప్రకాశిస్తుంది. అందువల్ల వజ్రాన్ని అమూల్య రాయిగా వాడతారు.

ప్రశ్న 29.
కార్బన్ సంయోజకత నాలుగు కంటే ఎక్కువ ఎప్పుడూ చూపించదు. కానీ ఆ కుటుంబంలో మిగతా మూలకాలు
సంయోజకత ఆరు వరకు చూపిస్తాయి – వివరించండి.
జవాబు:
కార్బన్ బాహ్య కర్పరం 2వ కర్పరం. దీనిలో d ఆర్బిటాళ్ళు ఉండవు. అందువల్ల బాహ్య కర్పరంలో నాలుగు ఎలక్ట్రానులను ఉపయోగించుకొని నాలుగు బంధాలను మాత్రమే ఏర్పరుస్తుంది. కావున కార్బన్ సంయోజకత నాలుగుకు మించదు. మిగిలిన 14వ గ్రూపు మూలకాలు బాహ్య స్థాయిలో ఖాళీ d ఆర్బిటాళ్ళు అందుబాటులో ఉన్నాయి. అందువల్ల అవి ఎలక్ట్రాన్ జంటలను స్వీకరించగలవు. అధిక సమన్వయ సంఖ్యను చూపించగలవు.

ప్రశ్న 30.
ప్రొడ్యూసర్ వాయువు, జల వాయువు కంటె తక్కువ సామర్థ్యం గల ఇంధనం – వివరించండి.
జవాబు:
ప్రొడ్యూసర్ వాయువులో 33% CO మరియు 65% N₂ ఉన్నాయి. నైట్రోజన్ దహనశీలి కాదు. అందువల్ల దాని కెలోరిఫిక్ విలువ 5439 కి.జౌ./మీ³.
జలవాయువులో CO మరియు H₂ లు దహనశీలి వాయువులు. అందువల్ల జలవాయువులో దహనం చెందగల వాయువుల శాతం ఎక్కువ. దాని కెలోరిఫిక్ విలువ 13,000 కి.జౌ./మీ³.

ప్రశ్న 31.
Si\(F_6^{-2}\) తెలుసు కాని SiC\(l_6^{-2}\) తెలియదు వివరించండి.
జవాబు:

1. Si⁺ అయాన్ సైజు పరిమితి వల్ల దాని చుట్టూ ఆరు పెద్ద క్లోరైడు అయాన్లకు సరిపడినంత చోటు లేకపోవుట.
2. క్లోరైడు అయాన్ ఒంటరి జంట, si⁴⁺ ల మధ్య అన్యోన్య చర్య బలహీనమైనది.

లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 32.
నిర్మాణాల ఆధారంగా వజ్రం, గ్రాఫైట్ల ధర్మాలలో తేడాలను వివరించండి.
జవాబు:
గ్రాఫైట్ :

1) గ్రాఫైట్ మృదువుగా వుండి, జారుడు స్వభావం కలిగి ఉంటుంది. కందెనగా ఉపయోగించవచ్చు.
కారణం : గ్రాఫైట్ ని ప్రంతి కార్బన్ (0 సంకరీకరణం చగ్రాఫైట్ పొరల నిర్మాణం కలిగి ఉండి, ఆ పొరలు ఒకదానిపై ఒకటి బలహీన వాండర్ వాల్ బలాలచే బంధించబడి ఉంటాయి. అందువల్లనే, ఒత్తిడి కలుగచేసినపుడు ఆ పొరలు ఒకదానిపై ఒకటి జారుతాయి. అందువలననే గ్రాఫైట్ మృదువుగా ఉంటుంది. కందెనగా ఉపయోగిస్తారు.

2) గ్రాఫైట్ ఉత్తమ ఉష్ణ వాహకం.
కారణం : గ్రాఫైట్లో స్వేచ్ఛా ఎలక్ట్రాన్ ఉంది. అది π బంధాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఈ ఎలక్ట్రానులు మొత్తం పొర అంతా అస్థానీకృతం అవుతాయి. ఈ ఎలక్ట్రానులు చలనంలో ఉంటాయి. అందువల్ల గ్రాఫైట్ మంచి విద్యుద్వాహకం.

వజ్రం :

1) వజ్రం కఠినంగా ఉండి అరగదీసే రాయిగా పనిచేస్తుంది.
కారణం : వజ్రంలోని ప్రతి కార్బన్ sp³ సంకరీకరణం చెంది వుంటుంది. ప్రతి కార్బన్ నాలుగు ఇతర కార్బన్లతో sp³ – sp³ అతిపాతాల ద్వారా బలమైన బంధాలను ఏర్పరచడం వల్ల త్రిమితీయ బృహదణు నిర్మాణాన్ని పొందుతుంది. ఈ బంధాలను ఛేదించుట కష్టం. అందువల్ల వజ్రం కఠినం.

2) వజ్రం ఉష్ణ వాహకం కాదు.
కారణం : వజ్రంలోని కార్బన్ల వద్ద స్వేచ్ఛా ఎలక్ట్రానులు లేవు.
డైమండ్ మరియు గ్రాఫైట్ మధ్య భేదాలు :

ప్రశ్న 33.
క్రింది వాటిని వివరించండి.
a) PbCl₂, Cl₂ తో చర్య జరిగి, PbCl₄ ఇస్తుంది
b) PbCl₄ ఉష్ణ అస్థిర పదార్ధం
c) లెడ్ PbI₄ ను ఏర్పరచదు
జవాబు:
a) PbCl₂ లో Pb + 2 ఆక్సీకరణ స్థితిలో ఉన్నది. Cl₂ బలమైన ఆక్సీకారిణి. అందువల్ల అది Pb⁺² ను Pb⁺⁴ గా
ఆక్సీకరణం చేస్తుంది. కనుక PbCl₂ ను Cl₂, PbCl₄ గా ఆక్సీకరణం చేస్తుంది.

b) జడ ఎలక్ట్రాన్ జంట ప్రభావం కారణంగా Pb⁺⁺, Pb⁺⁺⁺⁺ కన్నా స్థిరమైనది. అంటే PbCl₂, PbCl₄ కన్నా స్థిరమైనది. అందువల్ల వేడి చేసినపుడు PbCl₄ ను వేడి చేస్తే Cl₂ ను కోల్పోయి PbCl₂ గా మారుతుంది.
c) Pb⁺⁴ జడ ఎలక్ట్రాన్ జంట ప్రభావం కారణంగా అస్థిరం. అందువల్ల Pb⁺⁴ మంచి ఆక్సీకారిణి. I^– మంచి క్షయకారిణి. అందువల్ల Pb⁺⁴ ను Pb⁺² గా క్షయీకరిస్తుంది. అందువల్ల PbI₄ ఏర్పడదు.

ప్రశ్న 34.
క్రింది వాటిని వివరించండి.
a) సిలికాన్ను మిథైల్ క్లోరైడ్తో కాపర్ సమక్షంలో అత్యధిక ఉష్ణోగ్రత వద్ద వేడి చేయబడింది.
b) SiO₂ ను HF తో చర్య జరపడం
c) గ్రాఫైట్ కందెనగా పనిచేస్తుంది
d) వజ్రం అపఘర్షకంగా ఉంటుంది.
జవాబు:
a) 573K వద్ద కాపర్ ఉత్ప్రేరకం సమక్షంలో మిథైల్ క్లోరైడ్ను సిలికాన్ పైకి పంపితే అనేక రకాలైన మిథైల్ ప్రతిక్షేపిత క్లోరో సైలేనులు, Me SiCl₃, Me₂, SiCl₂, Me₃, SiCl చాలా తక్కువ పరిమాణంలో Me₄ Si ఏర్పడతాయి.

b) SiO_n ను HF తో చర్య జరపడం
SiO₂ + 4HF → SiF₄ + 2H₂O
సిలికా HF లో కరిగి Silicon టెట్రా ఫ్లోరైడ్ను ఏర్పరుస్తుంది.

c) గ్రాఫైట్ ద్విజ్యామితీయ పొరల నిర్మాణం కలిగి ఉంటుంది. అంతేగాక, ఈ పొరలు ఒకదానిపై ఒకటి జారుతూ ఉంటాయి. అందుకనే గ్రాఫైట్ కందెనగా పనిచేస్తుంది.

d) వజ్రం త్రిజ్యామితీయ బృహదణు నిర్మాణం కలిగి ఉంటుంది. దీనిలో ప్రతి కార్బన్ పరమాణువు నాలుగు వేరు వేరు కార్బన్లతో బలమైన ఏకబంధాలతో బంధింపబడి ఉంటుంది. అందువల్ల వజ్రం కఠిన పదార్థం. అందువల్ల అపఘర్షకంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 35.
మీరేమి అర్ధం చేసుకొన్నారు :
a) రూపాంతరత
b) జడజంట ప్రభావం
c) శృంఖలత్వం (catination)
జవాబు:
a) రూపాంతరత : ఒకే మూలకం రెండు లేక అంతకన్నా ఎక్కువ భౌతిక రూపాలలో లభించడాన్ని రూపాంతరత అంటారు.
డైమండ్, గ్రాఫైట్లు, కార్బన్ స్ఫాటిక రూపాంతరాలు. కోక్, కోల్, అస్ఫాటిక రూపాంతరాలు.

b) జడజంట ప్రభావం : బాహ్య కర్పరంలో ns² ఎలక్ట్రాన్ జంట. బంధాలు ఏర్పరచడంలో పాల్గొనకపోవడాన్ని జడజంట ప్రభావం అంటారు. ఈ ప్రభావం కారణంగా తక్కువ విలువ గల ఆక్సీకరణ స్థితి అధిక ఆక్సీకరణ స్థితి కన్నా స్థిరమైనదిగా ఉంటుంది. ఒక గ్రూపు మూలకాలలో పైనుండి క్రిందకు, అల్ప ఆక్సీకరణ స్థితి స్థిరత్వం
పెరుగుతుంది.
13వ గ్రూపు మూలకాలలో +3 సాధారణ ఆక్సీకరణ స్థితి కాగా Tl లో +1 స్థితి స్థిరమైనది. అదే విధంగా 14వ గ్రూపు మూలకాలలో +4 సాధారణ ఆక్సీకరణ స్థితి కాగా Pb లో +2 స్థితి స్థిరమైనది.

c) శృంఖలత్వం :
ఏదేని మూలక పరమాణువులు తమలో తాము గొలుసుకట్టుగా ఏర్పడే స్వభావాన్ని శృంఖలత్వం అంటారు. ఈ ధర్మం కార్బన్కు అధికం. అందువల్ల కార్బన్ గొలుసులు, వలయాలు ఏర్పడతాయి.

ప్రశ్న 36.
సిలికోన్ల తయారీలో RSiCl₃ ప్రారంభ పదార్థంగా వాడితే తయారైన క్రియాజన్యాల నిర్మాణాలను రాయండి.
జవాబు:
R SiCl₃ + 3H₂O → R Si (OH)₃
జలవిశ్లేషణ ఉత్పన్నం సంఘననం చెందితే త్రిజ్యామితీయ సిలికోన్ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 37.
జియొలైట్ల మీద సంక్షిప్తంగా రాయండి.
జవాబు:
అల్యూమినియం సిలికేటులను జియొలైట్లు అంటారు. త్రిమితీయంగా అల్లిక గల సిలికాన్ డై ఆక్సైడ్లో కొన్ని సిలికాన్ పరమాణువులను అల్యూమినియం పరమాణువులు స్థానభ్రంశం చేస్తే అల్యూమినియం సిలికేట్లు ఏర్పడతాయి. దీనికి రుణావేశం ఉంటుంది. Na⁺, K⁺ లేదా Ca⁺⁺ కేటయాన్లు రుణావేశాన్ని తుల్యం చేస్తాయి.

ఉదా : ఫెల్డ్స్పర్ జియొలైటులు. పెట్రో కెమికల్ పరిశ్రమల్లో హైడ్రోకార్బన్లను భంజనం చేయడానికి, వాటి సాదృశీకరణ చర్యలకు జియొలైట్లను ఉత్ప్రేరకాలుగా విస్తృతంగా వాడతారు. ఉదా : ZSM-5 ఆల్కహాల్లను నేరుగా గాసోలీన్ గా మార్చడానికి ఉపయోగిస్తారు. కఠినజలం కఠినత్వాన్ని తగ్గించడానికి ఆర్ద్ర జియొలైట్లను అయాన్ వినిమయాలుగా ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 38.
సిలికేట్ల మీద సంక్షిప్తంగా వ్రాయండి.
జవాబు:
సిలికేట్ల మూల నిర్మాణాత్మక యూనిట్ Si\(\mathrm{O}_4^{4-}\). ఇందులో సిలికాన్ పరమాణువు నాలుగు ఆక్సిజన్ పరమాణువులతో టెట్రాహెడ్రల్ రీతిలో బంధంలో కలిసి ఉంటాయి. సిలికేట్లలో ఆక్సిజన్ పరమాణువులను ఇతర యూనిట్లతో పంచుకోవడం ద్వారా శృంఖల, వలయ, షీట్ లేదా త్రిమితీయ నిర్మాణాలు ఏర్పడవచ్చు.

సిలికేట్ యూనిట్లలో రుణావేశం ధనావేశం గల లోహ అయానులతో తటస్థీకరించబడుతుంది. ఒకవేళ, యూనిట్ యొక్క నాలుగు మూలలు ఇతర టెట్రాహెడ్రల్ యూనిట్లతో పంచుకుంటే త్రిమితీయ అల్లిక నిర్మాణాన్ని పొందుతుంది.

ప్రశ్న 39.
సిలికోన్లు అంటే ఏమిటి ? అవి ఏ విధంగా పొందుతారు ?
జవాబు:

1. సిలికోన్లు ఆర్గానో సిలికాన్ తరగతికి చెందిన అణుపుంజాలు.
2. సిలికోన్లలో అనేక పర్యాయాలు పునరావృతమయ్యే R₂SiO – యూనిట్ ఉంది.
3. సిలికోన్ల తయారీకి ఆల్కైల్ లేదా ఎరైల్ ప్రతిక్షేపిత సిలికాన్ క్లోరైడులు R_n SiCl_(4-n) ప్రారంభ పదార్థాలు. ఇందులో R ఆల్కైల్ లేదా ఎరైల్ సమూహం.
4. 573 K వద్ద కాపర్ ఉత్ప్రేరకం సమక్షంలో మిథైల్ క్లోరైడును సిలికాన్ పైకి పంపితే అనేక రకాలైన మిథైల్ ప్రతిక్షేపిత క్లోరో సినులు ఏర్పడతాయి.
5. డైమిథైల్ క్లోరో సిలేన్ (CH₃)₂ SiCl₂ జలవిశ్లేషణం చెందగా ఏర్పడిన ఉత్పన్నాలు సంఘననం చెంది పొడవైన గొలుసుల అణుపుంజాలు ఇస్తాయి.

అణుపుంజీకరణం వల్ల గొలుసు ఏర్పడుతుంది.

ఉపయోగాలు :

1. వీటిని సీల్ వేసే పదార్థాలుగా, గ్రీజులుగా, విద్యుత్ బంధకాలుగాను
2. బట్టలపై జలనిరోధకంగా ఉపయోగిస్తారు.
3. శస్త్ర చికిత్స సంబంధమైన, సౌందర్య సాధన ద్రవ్యాల తయారీ పరిశ్రమలలో వాడతారు.

ప్రశ్న 40.
ఫుల్లరీన్ మీద సంక్షిప్తంగా వ్రాయండి.
జవాబు:
ఫుల్లరీన్ కార్బన్ స్ఫాటిక రూపాంతరం
తయారుచేయుట : జడవాయువులైన హీలియం లేదా ఆర్గాన్ల సమక్షంలో గ్రాఫైట్ను విద్యుచ్ఛాపంతో వేడి చేసిన ఫుల్లరీన్ తయారవుతుంది.

బాష్పీభవనం చెందిన C_n చిన్న అణువులు ఘనీభవించడం వల్ల వచ్చిన మసిలాంటి పదార్థంలో ముఖ్యంగా C₆₀ తక్కువ పరిమాణంలో C₇₀ ఉంటాయి. కార్బన్ పరమాణువులు 350 ఆ పైన ఫుల్లరిన్లు లేశమాత్రం ఉంటాయి.

ఫుల్లరీన్లు పంజరాన్ని పోలిన అణువులు. C₆₀ అణువుకు సాకర్ బంతిని పోలిన నిర్మాణం ఉండటం వల్ల దీనిని బక్ మినిష్టర్ ఫుల్లరీన్ అంటారు. దీనిలో ఆరు కార్బన్లున్న వలయాలు ఇరవై, ఐదు కార్బన్లున్న వలయాలు పన్నెండు ఉంటాయి. ఆరు కార్బన్ల వలయం ఆరు కార్బన్ల వలయం లేదా అయిదు కార్బన్ల వలయంతో సంలీనం చెందుతాయి. కానీ అయిదు కార్బన్ల వలయాలు ఆరు కార్బన్ల వలయాలతో మాత్రమే సంలీనం చెందుతాయి. అన్ని కార్బన్లు sp² సంకరీకరణం చెంది ఉంటాయి.

ప్రతి కార్బన్ ఆసన్న కార్బన్లతో మూడు సిగ్మా బంధాలను ఏర్పరుస్తుంది. మిగిలిన ఎలక్ట్రాన్ అణు ఆర్బిటాల్ తో అస్థానీకృతమయి అణువుకు ఎరోమాటిక్ స్వభావం చేకూరుస్తుంది. ఈ బంతి ఆకృతి గల అణువుకు 60 శీర్షాలు ఉన్నాయి. ప్రతి శీర్షంను ఒక కార్బన్ పరమాణువు ఆక్రమించి ఉంటుంది. ఈ కార్బన్లకు ఏక, ద్విబంధాలు రెండు ఉండి C – C బంధ దూరాలు 143.5 pm, 138.3 pm లు ఉంటాయి.

ప్రశ్న 41.
SiO₂ నీటిలో ఎందుకు కరగదు ?
జవాబు:
సిలికాన్ డై ఆక్సెడ్ సమయోజనీయ, త్రిమితీయ అల్లిక గల ఘనం. ఇందులో సిలికాన్ పరమాణువు సమయోజనీయ బంధంతో టెట్రాహెడ్రల్ రీతిలో నాలుగు ఆక్సిజన్ పరమాణువులతో కలిసి ఉంటుంది.
సాధారణ స్థితిలో సిలికా దాదాపు చర్యాశీలత లేనిది. ఎందుకంటే Si – O బంధ ఎంథాల్పీ చాలా ఎక్కువ. అందువల్లనే అది నీటిలో కరగదు.

ప్రశ్న 42.
వజ్రం కఠినంగా ఎందుకు వుంటుంది ?
జవాబు:
డైమండ్ ప్రతి కార్బన్ sp³ సంకరీకరణం చెందుతుంది. ప్రతి కార్బన్ నాలుగు ఇతర కార్బన్ పరమాణువులతో sp³ సంకర ఆర్బిటాల్లను టెట్రా హెడ్రల్ రీతిలో ఉపయోగించుకొని బంధాలను ఏర్పరుస్తుంది. ఈ నిర్మాణం ప్రాదేశికంగా వ్యాపించి కార్బన్ పరమాణువులతో దృఢమైన త్రిమితీయ అల్లికను ఏర్పరుస్తుంది. ఇలా వ్యాపించి వున్న సమయోజనీయ బంధాలను విచ్ఛిన్నం చేయడం చాలా శక్తితో కూడుకున్న పని. అందువల్ల డైమండ్ (వజ్రం) కఠినమైనది.

ప్రశ్న 43.
కింది వాటిని వేడి చేసినపుడు ఏమి జరుగుతుంది ?
a) CaCO₃
b) CaCO₃, SiO₂
c) CaCO₃ అధికంగా కోక్
జవాబు:
a) కాల్షియం కార్బొనేటు విఘటనం చెంది CO₂ విడుదలవుతుంది.
CaCO₃ (ఘ) → CaO (ఘ) + CO₂ (వా)

b) CaCO₃ మరియు SiO₂
CaCO₃ విఘటనం చెందినపుడు ఏర్పడిన CaO తో SiO₂ చర్యపొంది కాల్షియం సిలికేటు ఏర్పడుతుంది.
CaCO₃ → CaO + CO₂
CaO + SiO₂ → CaSiO₃

c) CaCO₃ విఘటనం వల్ల ఏర్పడిన CaO తో కోక్ చర్య పొందుతుంది. కాల్షియం కార్బైడ్ ఏర్పడుతుంది.
CaCO₃ → CaO + CO₂

ప్రశ్న 44.
Na₂CO₃ ద్రావణాన్ని CO₂ వాయువులో సంతృప్తం చేస్తే అవలంబనం అవుతుంది. ఎందువల్ల ?
జవాబు:
నీటిలో సోడియం బైకార్బొనేటు అల్పద్రావణీయత గలది. స్వల్పంగా కరుగుతుంది. దీనికి బై కార్బొనేటు అయాన్లు హైడ్రోజన్ బంధాల వల్ల పొలిమరీకరణం చెంది ఉంటుంది. Na₂CO₃ ద్రావణంలోని CO₂ ను పంపితే అల్ప ద్రావణీయత కల సోడియం బై కార్బొనేటు ఏర్పడుతుంది. అందువల్ల NaHCO₃ అవలంబనం చెందుతుంది.
Na₂CO₃ + H₂O + CO₂ → 2 NaHCO₃

ప్రశ్న 45.
ఈ క్రింది చర్యలలో ఏమి జరుగుతుంది ?
a) తడిసున్నం ద్వారా CO₂ను పంపడం
b) CaC₂ ను N₂ తో వేడిచేయడం
జవాబు:
a) తడిసున్నంలోనికి CO₂ ను పంపితే నీటిలో కరగని CaCO₃ ఏర్పడుతుంది. ద్రావణం పాలవలె మారుతుంది.
Ca(OH)₂ + CO₂ → CaCO₃ + H₂O + CO₂
CO₂ అధికంగా పంపితే కాల్షియం బైకార్బొనేటు ఏర్పడుతుంది. అందువల్ల CaCO₃ కరుగుతుంది.
CaCO₃ + H₂O + CO₂ → Ca(HCO₃)₂
Ca(HCO₃)₂ నీటిలో కరుగుతుంది.

b) వేడి చేసిన CaC₂ మీదికి నైట్రోజన్ వాయువును పంపితే కాల్షియం సైనమైడ్ మరియు గ్రాఫైట్ల మిశ్రమం ఏర్పడుతుంది.
CaC₂ + N₂ → Ca CN₂ + C
కాల్షియం సైనమైడ్, గ్రాఫైట్ల మిశ్రమాన్ని నైట్రోలిమ్ అంటారు.

ప్రశ్న 46.
గ్రూపు 14 లో కార్బన్ అసంగత స్వభావాన్ని గురించి వ్రాయండి.
జవాబు:
ఒక గ్రూపులోని మొదటి మూలకం మిగిలిన మూలకాల కంటే భిన్న ధర్మాలను చూపుతుంది. కార్బన్ కూడా గ్రూపులోని మిగిలిన మూలకాలతో పోలిస్తే భిన్నంగా ప్రవర్తిస్తుంది. దీనికి కారణం కార్బన్కు గల తక్కువ పరిమాణం, అధిక ఋణ విద్యుదాత్మకత, అధిక అయనీకరణ ఎంథాల్పీ, d – ఆర్బిటాళ్ళు లేకపోవటం.

1. కార్బన్ ప్రకృతిలో స్వేచ్ఛా స్థితిలో లభిస్తుంది. మిగతా మూలకాలు ప్రకృతిలో స్వేచ్ఛా స్థితిలో దాదాపుగా దొరకవు.
2. కార్బన్లో అందుబాటులో ఉండే d – ఆర్బిటాళ్ళు ఉండవు. మిగతా మూలకాలలో d – ఆర్బిటాళ్ళు అందుబాటులో ఉంటాయి.
3. కార్బన్ అలోహం. దీని పరమాణు సైజు చాలా చిన్నది. అందువలన ఇది అధిక కోవలంటే స్వభావం ఉన్న సమ్మేళనాలను ఇస్తుంది.
4. కార్బన్ కెటనేషన్ అనే విశిష్ట లక్షణం చూపిస్తుంది. ఈ లక్షణం కొంతవరకు సిలికాన్లో ఉంటుంది.
5. కార్బన్ తన పరమాణువుల మధ్య బహు బంధాలను ఏర్పరచగలదు. అలాగే ఇతర మూలకాలతో కూడా బహు బంధాలను ఏర్పరచగలదు.
6. కార్బన్ యొక్క హైడ్రైడ్లను హైడ్రోకార్బన్లు అంటారు. మిగిలిన మూలకాలు కూడా హైడ్రైడ్లను ఇస్తాయి. ఈ హైడ్రైడ్ స్థిరత్వం క్రమంగా తగ్గుతుంది.
7. కార్బన్ క్షయకరణ సామర్థ్యం చాలా ఎక్కువ. మిగిలిన మూలకాల క్షయకరణ సామర్థ్యం తక్కువ.
8. కార్బన్ – హాలోజన్ సమ్మేళనాలు జల విశ్లేషణం చెందవు. కాని మిగతా మూలకాలు టెట్రాహాలైడ్లు తేలిగ్గా జలవిశేషణం చెందుతాయి.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 47.
సిలికోన్లు అంటే ఏమిటి ? వాటిని ఏ విధంగా తయారుచేస్తారు ? ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
సిలికోన్లు ఆర్గానో సిలికాన్ సమ్మేళనాలు. వీటిలో సిలికాన్కు ఆక్సిజన్, కార్బన్లు బలంగా బంధింపబడి ఉంటాయి. వీటి నిర్మాణాత్మక ఫార్ములా క్రింది విధంగా ఉంటుంది.

573 K వద్ద కాపర్ ఉత్ప్రేరకం సమక్షంలో మిథైల్ క్లోరైడును సిలికాన్ పైకి పంపితే అనేక రకాలైన మిథైల్ ప్రతిక్షేపిత క్లోరోసిలేనులు, ఏర్పడతాయి.

డై మిథైల్ డైక్లోరోసిలేన్ (CH₃)₂ SiCl₂ జల విశ్లేషణ చెందగా ఏర్పడిన ఉత్పన్నాలు సంఘనన అణుపుంజీకరణం చెంది పొడవైన గొలుసుల అణుపుంజాలు ఇస్తాయి.

పొలిమర్ శృంఖలం పొడవును (CH₃)₃ SiCl ను కలిపి నియంత్రించవచ్చు.

ధర్మాలు :

అధ్రువ ఆల్కెల్ సమూహాలతో చుట్టుకొన్న సిలికోన్లు జలవికర్షణ స్వభావం ఉన్నవి.
వీటికి అధిక ఉష్ణ స్థిరత్వం కలదు. ఆక్సీకరణం, ఇతర రసాయన చర్యలను నిరోధిస్తాయి.

ఉపయోగాలు :

1. సిలికోన్ రబ్బర్లు తయారీలో వాడతారు.
2. వాటర్ ఫ్రూఫ్ బట్టలు, కాగితాలు తయారుచేయడానికి వాడతారు.
3. విమానాలలో కందెనలుగాను, గ్రీజు తయారీలోను వాడతారు.
4. వీటికి రసాయన జడత్వం ఉన్నది. అందువలన అధిక ఉష్ణోగ్రతలను తట్టుకొంటాయి. కనుక పెయింటులలోను, పింగాణీలలోను ఉపయోగిస్తారు.
5. సీలు వేసే పదార్థాలుగా
6. విద్యుత్ బంధకాలుగా ఉపయోగిస్తారు.
7. -40°C వద్ద కూడా గడ్డ కట్టవు. అందువలన విమానాలలో కందెనగా ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 48.
సిలికా నిర్మాణాన్ని వివరించండి. అది
a) NaOH
b) HF తో ఏ విధంగా చర్య జరుపుతుంది ?
జవాబు:
సిలికాన్ డై ఆక్సైడ్ను సాధారణంగా సిలికా అంటారు. ఇది అనేక స్ఫాటిక రూపాలలో దొరుకుతుంది. క్వార్ట్జ్, క్రిస్టో బలైట్, ట్రిడిమైట్లు సిలికా యొక్క కొన్ని స్ఫటికాకారాలు. సిలికాన్ ఆక్సైడ్ సమయోజనీయ, త్రిమితీయ అల్లికగన ఘనం.

సిలికాన్ నిర్మాణం : సిలికాలో ప్రతి సిలికాన్ పరమాణువు నాలుగు ఆక్సిజన్ పరమాణువులతో ఏక సమయోజనీయ బంధంతో చతుర్ముఖీయంగా అమర్చబడి ఉంటుంది. ప్రతి ఆక్సిజన్ పరమాణువు రెండు సిలికాన్ పరమాణువుల మధ్య బంధింపబడి ఉంటుంది. ఈ విధంగా SiO₂ బలమైన త్రిజ్యామితీయ బృహదణు నిర్మాణం కలిగి ఉంటుంది. సాధారణ స్థితిలో సిలికా దాదాపు చర్యాశీలత లేనిది. ఎందుకంటే Si – O బంధ ఎంథాల్ఫీ చాలా ఎక్కువ.

a) NaOH తో చర్య జరిపి సోడియం సిలికేటును ఏర్పరుస్తుంది.
SiO₂ + 2 NaOH → Na₂ SiO₃ + H₂O

b) HF తో చర్య జరిపి SiF₄ ను ఏర్పరుస్తుంది.
SiO₂ + 4 HF → SiF₄ + 2H₂O

ప్రశ్న 49.
కార్బన్ రూపాంతరాలపై వివరణ వ్రాయండి.
జవాబు:
కార్బన్ భిన్న రూపాలలో లభిస్తుంది. అవి స్పటిక, అస్ఫాటిక రూపాలు.

స్ఫాటిక రూపాలు : డైమండ్, గ్రాఫైట్, ఫుల్లరీన్
అస్ఫాటిక రూపాలు : కోక్, కోల్ మొదలైనవి.

డైమండ్ మరియు గ్రాఫైట్లు కార్బన్ యొక్క స్ఫటిక రూపాంతరాలు. డైమండ్ త్రిజ్యామితీయ బృహదణు నిర్మాణం కలిగి ఉంటుంది.

వజ్రం (డైమండ్) నిర్మాణం : వజ్రంలో ప్రతికార్బన్ పరమాణువు sp³ సంకరీకరణాన్ని పొందుతుంది. దానివలన ప్రతి కార్బన్ పరమాణువు మీద నాలుగు sp³ సంకర ఆర్బిటాళ్ళు ఏర్పడతాయి. ప్రతి కార్బన్ పరమాణువులోని నాలుగు sp³ సంకర ఆర్బిటాళ్ళు నాలుగు ఇతర కార్బన్ పరమాణువులతో బంధాలను ఏర్పరచుకుంటాయి. ప్రతి కార్బన్ పరమాణువు చతుర్ముఖీయ సౌష్ఠవాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఈ విధంగా కార్బన్ పరమాణువులు ఒకదానితో ఒకటి బంధింపబడి ఉండటం వలన పెద్ద అణువు ఏర్పడుతుంది.

దీనిలో C – C బంధదూరం 1.54 Ä, బంఢకోణం 190°28′

ఉపయోగాలు :

1. ఆభరణాలలో విలువైన రాళ్ళుగా ఉపయోగిస్తారు.
2. పాలరాయిని కోయడానికి ఉపయోగిస్తారు.
3. టంగ్స్టన్ వంటి లోహాల నుండి అతి సన్నని తీగను తీయుటకు వాడతారు.

గ్రాఫైట్ నిర్మాణము : గ్రాఫైట్ ద్విజ్యామితీయ పొరల నిర్మాణాన్ని కల్గి ఉంటుంది. ఈ నిర్మాణం కార్బన్ పరమాణువులతో కూడిన షడ్భుజాకార వలయాలను కల్గి ఉంటుంది. గ్రాఫైట్లో ప్రతి కార్బన్ పరమాణువు sp² సంకరీకరణాన్ని పొంది, మూడు ఇతర కార్బన్ పరమాణువులతో షడ్భుజాకార వలయాలుగా బంధించబడి ఉంటాయి. ఇటువంటి అనేక వలయాలు కలిసి ఒకే తలంలో ఉంటాయి. ఒంటరి ఎలక్ట్రాలు గల p ఆర్బిటాల్ ఈ తలానికి లంబంగా ఉంటుంది. ఈ p ఆర్బిటాళ్ళు ఒకదానితో ఒకటి కలిసిపోయి షడ్భుజాకార తలానికి పైన, క్రింద విస్తరించి ఉంటాయి. ఈ వలయాకారాలు ఒకదానిపై ఒకటి బలహీనమైన వాండర్వాల్ బలాలచే బంధించబడి ఉంటాయి. దీనిలో C – C బంధదూరం 1.42 రెండు వలయాల మధ్య దూరం 3.4 .

ఉపయోగాలు :

1. కందెనగా ఉపయోగిస్తారు.
2. లెడ్ పెన్సిళ్ళ తయారీలో ఉపయోగిస్తారు.
3. గ్రాఫైట్ ఉత్తమ విద్యుద్వాహకము. అందువల్ల ఎలక్ట్రోడ్ల తయారీలో ఉపయోగిస్తారు.

ఫుల్లరీన్ : ఫుల్లరీన్ కార్బన్ స్పాటిక రూపాంతరం

తయారుచేయుట : జడవాయువులైన హీలియం లేదా ఆర్గాన్ల సమక్షంలో గ్రాఫైట్ను విద్యుచ్ఛాపంతో వేడి చేసిన ఫుల్లరీన్ తయారవుతుంది.

బాష్పీభవనం చెందిన C_n చిన్న అణువులు ఘనీభవించడం వల్ల వచ్చిన మసిలాంటి పదార్థంలో ముఖ్యంగా C₆₀, తక్కువ పరిమాణంలో C₇₀ ఉంటాయి. కార్బన్ పరమాణువులు 350 ఆ పైన పుల్లరిన్లు లేశమాత్రం ఉంటాయి.
ఫుల్లరీన్లు పంజరాన్ని పోలిన అణువులు. C₆₀ అణువుకు సాకర్ బంతిని పోలిన నిర్మాణం ఉండటం వల్ల దీనిని బక్ మినిష్టర్ ఫుల్లరీన్ అంటారు. దీనిలో ఆరు కార్బన్లున్న వలయాలు ఇరవై, ఐదు కార్బన్లున్న వలయాలు పన్నెండు ఉంటాయి. .ఆరు కార్బన్ల వలయం ఆరు కార్బన్ల వలయం లేదా అయిదు కార్బన్ల వలయంతో సంలీనం చెందుతాయి. కానీ అయిదు కార్బన్ల వలయాలు ఆరు కార్బన్ల వలయాలతో మాత్రమే సంలీనం చెందుతాయి. అన్ని కార్బన్లు sp² సంకరీకరణం చెంది ఉంటాయి.

ప్రతి కార్బన్ ఆసన్న కార్బన్లతో మూడు సిగ్మా బంధాలను ఏర్పరుస్తుంది. మిగిలిన ఎలక్ట్రాన్ ఆర్బిటాల్లతో అస్థానీకృతమయి అణువుకు ఎరోమాటిక్ స్వభావం చేకూరుస్తుంది. ఈ బంతి ఆకృతి గల అణువుకు 60 శీర్షాలు ఉన్నాయి. ప్రతి శీర్షంను ఒక కార్బన్ పరమాణువు ఆక్రమించి ఉంటుంది. ఈ కార్బన్లకు ఏక, ద్విబంధాలు రెండు ఉండి C – C బంధ దూరాలు 143.5 pm, 138.3 pm లు ఉంటాయి.

అస్ఫాటిక రూపాంతరాలు :

కోల్ : భూమిలో కొన్ని శతాబ్దాల క్రితం మట్టితో కప్పబడిపోయిన వృక్ష సంబంధమైన పదార్థాలు ఆక్సిజన్ సమక్షంలో అధిక పీడనం, ఉష్ణోగ్రతల వద్ద కృశించిపోయినపుడు కోల్ ఏర్పడుతుంది. కోల్లో కార్బన్, హైడ్రోజన్, ఆక్సిజన్, నైట్రోజన్ ఉంటాయి. 60% కార్బన్ ఉన్న కోలన్ను పీట్ అని 70% కార్బన్ ఉన్న కోల్న లిగ్నైట్ అని, 78% బిట్యూ మినస్ అని, 83% సెమి బిట్యూమినస్ కోల్, 90% కార్బన్ ఉన్నదాన్ని ఆంధ్ర సైట్ అని అంటారు.

కోక్ : కోల్న ఆక్సిజన్ లేని వాతావరణంలో విధ్వంసక స్వేదనం చర్యకు గురి చేసినపుడు భాష్పశీలి పదార్థాలయిన కోల్స్, అమ్మోనియా, బెంజీన్ లు ఏర్పడతాయి. మిగిలిన అవశేషాన్నే కోక్ అంటారు.

ఉపయోగాలు :

1. కోల్ను ఇంధనంగా వాడతారు.
2. కృత్రిమ పెట్రోలు తయారీలో వాడతారు.
3. కోకను స్టీలు పరిశ్రమలో క్షయకారిణిగా వాడతారు.
4. గ్రాఫైట్ను, వాటర్ సన్ను తయారుచేయడానికి వాడతారు.

ప్రశ్న 50.
కిందివాటిపై వివరణ వ్రాయండి.
ఎ) సిలికేట్లు
బి) జియోలైట్లు
సి) పుల్లరీన్లు
జవాబు:
ఎ) సిలికేట్లు : సిలికేట్ల మూల నిర్మాణాత్మక యూనిట్ Si\(\mathrm{O}_4^{4-}\). ఇందులో సిలికాన్ పరమాణువు నాలుగు ఆక్సిజన్ పరమాణువులతో టెట్రాహెడ్రల్ రీతిలో బంధంలో కలిసి ఉంటాయి. సిలికేట్లలో ఆక్సిజన్ పరమాణువులను ఇతర యూనిట్లతో పంచుకోవడం ద్వారా శృంఖల, వలయ, షీట్ లేదా త్రిమితీయ నిర్మాణాలు ఏర్పడవచ్చు.

సిలికేట్ యూనిట్లలో రుణావేశం ధనావేశం గల లోహ అయానులతో తటస్థీకరించబడుతుంది. ఒకవేళ, యూనిట్ యొక్క నాలుగు మూలలు ఇతర టెట్రాహెడ్రల్ యూనిట్లతో పంచుకుంటే త్రిమితీయ అల్లిక నిర్మాణాన్ని పొందుతుంది.

బి) జియోలైట్లు : అల్యూమినియం సిలికేటులను జియొలైట్లు అంటారు. త్రిమితీయంగా అల్లిక గల సిలికాన్ డై ఆక్సైడ్ కొన్ని సిలికాన్ పరమాణువులను అల్యూమినియం పరమాణువులు స్థానభ్రంశం చేస్తే అల్యూమినియం సిలికేట్లు ఏర్పడతాయి. దీనికి రుణావేశం ఉంటుంది. Na⁺, K⁺ లేదా Ca⁺⁺ కేటయాన్లు రుణావేశాన్ని తుల్యం చేస్తాయి.
ఉదా : ఫెల్డ్ స్పార్ జియొలైటులు. పెట్రో కెమికల్ పరిశ్రమల్లో హైడ్రోకార్బన్లను భంజనం చేయడానికి, వాటి సాదృశీకరణ చర్యలకు జియొలైట్లను ఉత్ప్రేరకాలుగా విస్తృతంగా వాడతారు. ఉదా : ZSM – 5 ఆల్కహాల్లను నేరుగా గాసోలీన్ మార్చడానికి ఉపయోగిస్తారు. కఠినజలం కఠినత్వాన్ని తగ్గించడానికి ఆర్ద్ర జియొలైట్లను అయాన్ వినిమయాలుగా ఉపయోగిస్తారు.

సి) ఫుల్లరీన్లు : ఫుల్లరీన్ కార్బన్ స్పాటిక రూపాంతరం
తయారుచేయుట : జడవాయువులైన హీలియం లేదా ఆర్గాన్ల సమక్షంలో గ్రాఫైట్ను విద్యుచ్ఛాపంతో వేడి చేసిన ఫుల్లరీన్ తయారవుతుంది.

బాష్పీభవనం చెందిన C_n చిన్న అణువులు ఘనీభవించడం వల్ల వచ్చిన మసిలాంటి పదార్థంలో ముఖ్యంగా C₆₀. తక్కువ పరిమాణంలో C₇₀ ఉంటాయి. కార్బన్ పరమాణువులు 350 ఆ పైన పుల్లరిన్లు లేశమాత్రం ఉంటాయి.

ఫుల్లరీన్ లు పంజరాన్ని పోలిన అణువులు. C₆₀ అణువుకు సాకర్ బంతిని పోలిన నిర్మాణం ఉండటం వల్ల దీనిని బక్ మినిష్టర్ ఫుల్లరీన్ అంటారు. దీనిలో ఆరు కార్బన్లున్న వలయాలు ఇరవై, ఐదు కార్బన్లున్న వలయాలు పన్నెండు ఉంటాయి. ఆరు కార్బన్ల వలయం. ఆరు కార్బన్ల వలయం లేదా అయిదు కార్బన్ల వలయంతో సంలీనం చెందుతాయి. కానీ అయిదు కార్బన్ల వలయాలు ఆరు కార్బన్ల వలయాలతో మాత్రమే సంలీనం చెందుతాయి. అన్ని కార్బన్లు sp² సంకరీకరణం చెంది ఉంటాయి.

ప్రతి కార్బన్ ఆసన్న కార్బన్లతో మూడు సిగ్మా బంధాలను ఏర్పరుస్తుంది. మిగిలిన ఎలక్ట్రాన్ అణు ఆర్బిటాల్లతో అస్థానీకృతమయి అణువుకు ఎరోమాటిక్ స్వభావం చేకూరుస్తుంది. ఈ బంతి ఆకృతి గల అణువుకు 60 శీర్షాలు ఉన్నాయి. ప్రతి శీర్షంను ఒక కార్బన్ పరమాణువు ఆక్రమించి ఉంటుంది. ఈ కార్బన్లకు ఏక, ద్విబంధాలు రెండు ఉండి C – C బంధ దూరాలు 143.5 pm, 138.3 pm లు ఉంటాయి.

అదనపు పశ్నలు

ప్రశ్న 1.
14వ గ్రూపు మూలకాలలో
1) అధిక ఆమ్ల డై ఆక్సెడును ఏర్పరచేది
2) సాధారణంగా +2 ఆక్సీకరణ స్థితిలో ఏర్పడేది.
3) అర్థవాహక ఉపకరణాలలో ఉపయోగపడేది
జవాబు:
1) కార్బన్
2) లెడ్
3) సిలికాన్, జెర్మేనియం

ప్రశ్న 2.
డైమండ్ సమయోజనీయ స్వభావం కలది. అయినప్పటికి అధిక ద్రవీభవన ఉష్ణోగ్రత ఎందుకు ?
జవాబు:
ధృఢమైన C – C బంధాల అల్లికతో ఉన్న త్రిమితీయ నిర్మాణం డైమండ్కు ఉంటుంది. దృఢమైన C – C బంధాలను విచ్ఛిన్నం చేయడానికి చాలా శక్తి కావాలి. అందువల్ల దీని ద్రవీభవన ఉష్ణోగ్రత చాలా అధికం.

ప్రశ్న 3.
కార్బన్ మోనాక్సైడ్ నిర్మాణం వ్రాయండి.
జవాబు:
CO అణువులో ఒక సిగ్మా, రెండు π బంధాలు కార్బన్ ఆక్సిజన్ల మధ్య గలవు. :C ≡ O: కార్బన్ పై ఒంటరి ఎలక్ట్రాన్ ఉండుటవలన CO అణువు ఎలక్ట్రాన్ జంట దాతగా పనిచేస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
IV A గ్రూపులో రూపాంతరతను చూపించని మూలకం ఏది ?
జవాబు:
లెడ్

ప్రశ్న 5.
కార్బన్ మోనాక్సైడ్ యొక్క అనువర్తనాలను రాయండి.
జవాబు:

1. వాటర్స్, ప్రొడ్యూసర్గాస్, కోల్గాస్ల వంటి వాయు ఇంధనాలలో CO ముఖ్యమైన అనుఘటకం.
2. అనేక లోహ ఆక్సైడ్లను క్షయకరణం చెందించి లోహాలుగా మారుస్తుంది.
3. మాండ్ పద్ధతిలో Ni నిష్కర్షణలో CO ని లైగాండ్గా వాడతారు.

ప్రశ్న 6.
కార్బన్ డై ఆక్సైడ్ యొక్క అనువర్తనాలను రాయండి.
జవాబు:

1. ఘనస్థితిలో ఉన్న CO₂ ను డ్రై ఐస్ అంటారు. దీనిని ప్రశీతకంగా వాడతారు.
2. ప్రయోగశాలలో శీతలీకరణిగా వాడతారు.
3. యూరియాను తయారుచేయడానికి, జడవాతావరణాన్ని ఏర్పరచడానికి, క్షారాలను తటస్థీకరించడానికి వాడతారు.
4. అగ్నిమాపక యంత్రాలలో వాడతారు.

ప్రశ్న 7.
CO₂, SiO₂ ధర్మాలలో భేదాలు వ్రాయండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 8.
కార్బన్, సిలికాన్ల మధ్య గల పోలికలను రాయండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 9.
పెన్సిళ్ళ తయారీలో కార్బన్ యొక్క ఏ రూపాంతరాన్ని వాడతారు ?
జవాబు:
గ్రాఫైట్ను పెన్సిళ్ళ తయారీలో వాడతారు.

ప్రశ్న 10.
లెడ్ యొక్క స్థిర ఆక్సీకరణ స్థితి ఏది ? కారణం ఏమిటి ?
జవాబు:
లెడ్ యొక్క స్థిర ఆక్సీకరణ స్థితి + 2 (జడ ఎలక్ట్రాన్ +4 ఆక్సీకరణ స్థితి అస్థిరమైనది. జంట ప్రభావం వల్ల చూపదు)

ప్రశ్న 11.
కార్బొరండం అనగా ఏమి ? ఇది ఎలా ఏర్పడుతుంది ?
జవాబు:
సిలికాన్ కార్బెడు కార్బొరండం అంటారు. విద్యుత్ కొలిమిలో సిలికాన్, కార్బన్లను కలిపి వేడి చేయడం ద్వారా దీనిని తయారుచేస్తారు.

ప్రశ్న 12.
గ్రాఫైట్లో రెండు పొరల మధ్య దూరం ఎంత ? కారణం ఏమిటి ?
జవాబు:
గ్రాఫైట్లో రెండు పొరల మధ్య దూరం 3.35. గ్రాఫైట్ పొరల మధ్య బలహీన వాన్ డర్ వాల్ బలాలు ఉండటం వల్ల పొరల మధ్య దూరం ఎక్కువగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 13.
CO₂మరియు SiO₂ లలో ఉండే సంకరీకరణాలు ఏమిటి ?
జవాబు:
CO₂ లో sp సంకరీకరణం ఉంటుంది. SiO₂ లో sp³ సంకరీకరణం ఉంటుంది.

ప్రశ్న 14.
డైమండ్ కఠినంగా ఉండగా గ్రాఫైట్ మృదువుగా ఉంటుంది. ఎందువలన ?
జవాబు:
డైమండ్కు బృహదణు నిర్మాణం ఉంటుంది. అందువలన అది కఠినంగా ఉంటుంది. గ్రాఫైట్లో పొరల నిర్మాణం ఉంటుంది. అందువలన అది మృదువుగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 15.
సిలికా ఫార్ములా SiO₂ గా ఎందుకు ఉంటుంది ?
జవాబు:
Si సిలికా నిర్మాణంలో ప్రతి టెట్రాహెడ్రన్ మూలమీద ఉన్న ఆక్సిజన్ను రెండు సిలికాన్ పరమాణువులు పంచుకుంటాయి. ప్రతి సిలికాన్ పరమాణువు శీర్షం వద్ద ఆక్సిజన్లో అర్ధ భాగాన్ని మాత్రమే ప్రదానం చేస్తుంది అన్నమాట. అందువలననే సిలికా ఫార్ములా SiO₂ అవుతుంది.

ప్రశ్న 16.
క్వార్ట్జ్ అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
పరిశుద్ధ సిలికాను క్వార్ట్జ్ అంటారు.

ప్రశ్న 17.
ఆర్థో సిలికేట్స్, పైరో సిలికేట్స్ మరియు చైన్ సిలికేట్స్లోలో గల యూనిట్లను తెలపండి.
జవాబు:
ఆర్థో సిలికేట్లు : Si\(\mathrm{O}_4^{-4}\) యూనిట్లు
పైరో సిలికేట్లు : SiO^-6 యూనిట్లు
చైన్ సిలికేట్లు : \(\mathrm{O}_3^{-4}\) యూనిట్లు

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 12th Lesson పదార్ధ ఉష్ణ ధర్మాలు Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 12th Lesson పదార్ధ ఉష్ణ ధర్మాలు

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఉష్ణం, ఉష్ణోగ్రతల మధ్య భేదాలను పేర్కొనండి.
జవాబు:
ఉష్ణము మరియు ఉష్ణోగ్రతల మధ్య భేదాలు :
ఉష్ణము

1. ఉష్ణము శక్తి స్వరూపము. దీనికి ప్రమాణాలు జౌల్ లేదా ఉష్ణోగ్రత
2. మనం వస్తువుకు నేరుగా ఉష్ణశక్తిని అందించగలము.
3. వస్తువు ఉష్ణోగ్రతను పెంచడానికి ఉష్ణశక్తిని మనం అందించాలి.
4. వస్తువుకు అందజేసిన ఉష్ణరాశి Q = mSt.

ఉష్ణోగ్రతల

1. ఉష్ణోగ్రత ఒక పదార్థము యొక్క వేడిమి లేదా చల్లదనాన్ని తెలిపే కొలమానము. ప్రమాణము °F లేదా °C.
2. వస్తువుకు ఉష్ణశక్తిని అందించడంవల్ల దాని ఉష్ణోగ్రత పెరుగుతుంది. మనం వస్తువుకు ఉష్ణోగ్రతను నేరుగా అందించలేము.
3. వస్తువుల మధ్య ఉష్ణోగ్రతాభేదం ఉంటేనే ఉష్ణరాశి ఒక వస్తువు నుండి మరొక వస్తువుకు ప్రవహిస్తుంది.
4. వస్తువు ఉష్ణోగ్రతలో మార్పు ∆t = \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{mS}}\)

ప్రశ్న 2.
సెల్సియస్, ఫారన్ హీట్ ఉష్ణోగ్రతా మానాలలో అధో, ఊర్ధ్వ స్థిర విలువలను తెలపండి. (మే 2014)
జవాబు:
సెల్సియస్ మానంలో నీటి త్రిక బిందు ఉష్ణోగ్రతను నిమ్న స్థిర బిందువు (°C అని వ్యవహరిస్తారు. సాధారణ వాతావరణ దగ్గర నీరు మరుగు స్థానాన్ని ఊర్ధ్వ స్థిర బిందువు 100°C అంటారు.
ఫారన్హీట్ మానంలో నీటి త్రిక బిందువును నిమ్న స్థిర బిందువు 32°F గా వ్యవహరిస్తారు. సాధారణ వాతావరణ పీడనం వద్ద నీరు మరుగు స్థానాన్ని ఊర్ధ్వ స్థిర బిందువు 212°F అంటారు.

ప్రశ్న 3.
ఉష్ణోగ్రతలను సెల్సియస్ లేదా ఫారస్వీట్ మానాలలో కొలిస్తే, వ్యాకోచ గుణకాల విలువలు మారతాయా ?
జవాబు:
వ్యాకోచ గుణకాలు ఉష్ణోగ్రతామానంపై ఆధారపడతాయి. ఉష్ణోగ్రతామానం మారితే ఉష్ణోగ్రతను కొలిచే ప్రమాణం విలువ మారుతుంది. α, β మరియు γ ను 1°C ఉష్ణోగ్రతా భేదానికి నిర్వచించటం వల్ల సెల్సియస్ మానంలో α, β, γ లు ఫారెన్హీట్ మానంలోని α, β మరియు γ విలువల కన్న 1.8 రెట్లు పెద్దవి.

ప్రశ్న 4
వేడిచేస్తే పదార్థాలు సంకోచిస్తాయా ? ఒక ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
కొన్ని రకాలైన పదార్థాలు వేడిచేస్తే సంకోచిస్తాయి.
ఉదా : రబ్బరు, తోలు, పోత ఇనుము మరియు టైపు మెటల్ వంటివి.

ప్రశ్న 5.
రైల్వే ట్రాక్పై రెండు వరస రైలు పట్టాల మధ్య ఖాళీ ప్రదేశం ఎందుకు వదులుతారు ?
జవాబు:
వేసవికాలంలో రైలు పట్టాలలోని వ్యాకోచ ప్రభావాన్ని తొలగించడానికి వీలుగా రైలు పట్టాల మధ్య ఖాళీని వదులుతారు. ఖాళీని వదలకపోతే రైలు పట్టాల వ్యాకోచం వల్ల రై. పటాలు వంకర చెంది ప్రమాదాలను కలగజేస్తాయి.

ప్రశ్న 6.
ద్రవాలకు దైర్ఘ్య, విస్తీర్ణ వ్యాకోచ గుణకాలు ఎందుకు లేవు ?
జవాబు:
ద్రవాలకు స్వతంత్ర ఆకారం లేదు. అందువల్ల వాటికి దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకము, విస్తీర్ణ వ్యాకోచ గుణకాలు ఉండవు. వీటిని పాత్రలలో తీసుకోవటం వల్ల కేవలం ఘనపరిమాణమును మాత్రమే లెక్కలోకి తీసుకుంటారు. అందుకని ద్రవాలకు ఘనపరిమాణ వ్యాకోచ గుణకం మాత్రమే చెపుతారు.

ప్రశ్న 7.
ద్రవీభవన గుప్తోష్ణం అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
ద్రవీభవన గుప్తోష్ణము : ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి గల పదార్థము ఘనస్థితి నుండి ద్రవస్థితికి లేదా ద్రవస్థితి నుండి ఘనస్థితికి మార్పుచెందునపుడు గ్రహించిన లేక కోల్పోయిన ఉష్ణరాశిని ద్రవీభవన గుప్తోష్ణముగా నిర్వచించినారు.

ప్రశ్న 8.
బాష్పీభవన గుప్తోష్టం అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
బాష్పీభవన గుప్తోష్ణం : ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి గల పదార్థము ద్రవస్థితి నుండి బాష్పస్థితికి లేదా బాష్పస్థితి నుండి ద్రవస్థితికి మారునపుడు అది గ్రహించిన లేక కోల్పోయిన ఉష్ణరాశిని బాష్పీభవన గుప్తోష్ఠముగా నిర్వచించినారు.

ప్రశ్న 9.
వంట పాత్రలకు నల్లటి రంగు ఎందుకు పూస్తారు ? వంట పాత్రల అడుగు భాగాన్ని రాగితో ఎందుకు తయారుచేస్తారు?
జవాబు:
వంట పాత్రల అడుగు భాగం నల్లని పూత వేయటానికి ముఖ్య కారణము నల్లని వస్తువులు ఉత్తమ శోషకాలు. కావున అవి ఎక్కువ మొత్తంలో ఉష్ణాన్ని శోషిస్తాయి. రాగి ఉత్తమ ఉష్ణవాహకం కావున వంట పాత్రల అడుగు భాగంలో రాగిని ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 10.
వీన్ స్థానభ్రంశ నియమాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
కృష్ణ వస్తువు గరిష్ట వికిరణం జరిగే తరంగదైర్ఘ్యం, ఆ కృష్ణ వస్తువు పరమ ఉష్ణోగ్రతకు విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
అనగా λ_m = \(\frac{1}{T}\) లేదా λ_m = \(\frac{b}{T}\)
ఇచ్చట ‘b’ ను వీన్ స్థిరాంకం అని అందురు.

ప్రశ్న 11.
వెంటిలేటర్లను గదిలోని ఇంటిపై కప్పుకు కొద్దిగా కిందకి అమరుస్తారు. ఎందుకు ? (మార్చి 2014)
జవాబు:
వేడిగాలికి సాంద్రత తక్కువ. ఇది వాతావరణంలో పై పొరలను ఆక్రమిస్తుంది. గదిలో వేడిగాలి పైకప్పుకు దగ్గరగా చేరుతుంది. అందువల్ల వెంటిలేటర్లను కప్పుకు దగ్గరగా అమర్చితే వేడిగాలి తొందరగా బయటకు పోతుంది. ఫలితంగా గదిలోకి చల్లని గాలి ధారాళంగా క్రింది భాగాల గుండా రావటం జరుగుతుంది.

ప్రశ్న 12.
0 K వద్ద మానవ దేహం ఉష్ణాన్ని వికిరణం చేస్తుందా ? 0°C వద్ద కూడా అది వికిరణం చేస్తుందా ?
జవాబు:
ప్రివోస్ట్ సిద్ధాంత ప్రకారము ‘సున్న’ కెల్విన్ కన్న ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత వద్ద గల ప్రతి వస్తువు పరిసరాలలో ఉష్ణ వినిమయాన్ని కలిగి ఉంటుంది. కావున

1. ‘సున్న’ కెల్విన్ వద్ద గల వస్తువు నుండి ఏ విధమైన ఉష్ణవికిరణ శక్తి వెలువడదు. అనగా ఉష్ణ వికిరణం సాధ్యం కాదు.
2. 0 K అనగా 273 K కావున 0°C వద్ద గల వస్తువు ఉష్ణశక్తి వికిరణం వెలువడును. అనగా ఉష్ణ వికిరణం సాధ్యపడును.

ప్రశ్న 13.
ఉష్ణ బదిలీకి సంబంధించి వివిధ విధానాలను తెలపండి. వీటిలో ఏ విధానాలకు యానకం అవసరం ?
జవాబు:
ఉష్ణ ప్రసారము మూడు రకాలుగా జరుగుతుంది.

1. ఉష్ణ వహనము
2. ఉష్ణ సంవహనము
3. ఉష్ణ వికిరణము.

ఉష్ణ ప్రసారంలో ఉష్ణ వహనము మరియు ఉష్ణ సంవహనము అన్న పద్ధతుల ద్వారా ఉష్ణము ప్రసరించడానికి యానకం అవసరము.

ప్రశ్న 14.
ఉష్ణ వాహకత్వ గుణకం, ఉష్ణోగ్రత ప్రవణతలను నిర్వచించండి.
జవాబు:
పదార్థం ఏకాంక అడ్డుకోత వైశాల్యానికి లంబంగా, ఏకాంక ఉష్ణోగ్రతా ప్రవణత ఉన్నపుడు సెకనుకు జరిగిన ఉష్ణరాశి ప్రసారాన్నే ఉష్ణ వహన గుణకంగా నిర్వచించినారు.
ఉష్ణ వహన గుణకం K = \(\frac{\mathrm{Q} \cdot \mathrm{d}}{\mathrm{A}\left(\theta_2-\theta_1\right) \cdot \mathrm{t}}\)

ప్రశ్న 15.
ఉద్గార సామర్థ్యం, ఉద్గారతలను నిర్వచించండి.
జవాబు:
ఉద్గార సామర్థ్యము (E_λ) : ఏదైనా ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఏకాంక వైశాల్యం గల వస్తువు నుండి తరంగదైర్ఘ్యము . మరియు λ + dλ. అవధులలో వస్తువు ప్రమాణ కాలంలో వికిరణం చెందించిన ఉష్ణరాశిని ఆ వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యంగా నిర్వచించినారు.
ఉద్గార సామర్థ్యము E_λ = \(\frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{d} \lambda}\); ప్రమాణము : వాట్ / మీ².
ఉద్గారత (e_λ) : ఒక వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యానికి అదే ఉష్ణోగ్రత వద్ద పరిపూర్ణ కృష్ణ వస్తువు ఉద్గార సామర్థ్యానికి గల నిష్పత్తినే ఆ వస్తువు ఉద్గారత e_λ గా నిర్వచించినారు.

ప్రశ్న 16.
హరితగృహ ప్రభావం అంటే ఏమిటి ? గ్లోబల్ వార్మింగ్ గురించి వివరించండి.
జవాబు:
హరితగృహ ప్రభావము : భూమి నుండి శూన్యంలోకి వికిరణం చెందే ఉష్ణశక్తి తరంగదైర్ఘ్యం ఎక్కువ. ఈ ఉష్ణశక్తిని కార్బన్ డై ఆక్సైడ్ (CO₂), మీథేన్ (CH₄), క్లోరోఫ్లోరో కార్బన్ (CF_x Cl_x) వంటి వాయువులు గ్రహించి భూమి వాతావరణాన్ని వేడెక్కిస్తాయి. ఈ ప్రక్రియను హరితగృహ ప్రభావము అంటారు.

గ్లోబల్ వార్మింగ్ :
మానవుల చర్యల వల్ల హరితగృహ వాయువుల (CO₂, CH₄, N₂O మొ॥) గాఢత అధికమై భూమి వేడిగా తయారవుతుంది. భూమి ఉష్ణోగ్రత పెరుగుదలను గ్లోబల్ వార్మింగ్ అందురు. దీనివల్ల మంచు పర్వతాలు త్వరగా ద్రవీభవించడం, సముద్రమట్టం పెరగడం, వాతావరణం విధానం మార్పు చెందడం జరుగుతుంది.

ప్రశ్న 17.
ఒక వస్తువు శోషణ సామర్థ్యాన్ని నిర్వచించండి. పరిపూర్ణ కృష్ణ వస్తువు శోషణ సామర్థ్యం ఎంత ?(మార్చి 2014)
జవాబు:
శోషణ సామర్థ్యము (a_λ) : ఏదైనా వస్తువు యొక్క నియమిత వైశాల్యం మీద నియమిత కాలంలో dλ) తరంగ వ్యవధిలో పతనమైన వికిరణ శక్తి తరంగ అభివాహం (dΦ_λ) మరియు అదే కాలవ్యవధిలో అదే వైశాల్యం గల తలం శోషణం చేసుకున్న అభివాహానికి (dΦ_λ) గల నిష్పత్తి నిశోషణ సామర్థ్యము (a_λ) గా నిర్వచించినారు.

ఉత్తమ కృష్ణ వస్తువు శోషణ సామర్థ్యం ఒకటి (1).

ప్రశ్న 18.
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమము : వస్తువుకు, పరిసరాలకు మధ్య ఉష్ణోగ్రతా భేదం స్వల్పంగా ఉన్నపుడు ఆ వస్తువు కోల్పోయే ఉష్ణ శక్తి రేటు వస్తువుకూ, పరిసరాలకు మధ్య గల ఉష్ణోగ్రతా భేదానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
వస్తువు కోల్పోయే ఉష్ణశక్తి రేటు \(\frac{\mathrm{dE}}{\mathrm{dt}}\) ∝ (T – T_s) లేదా
శీతలీకరణ రేటు \(\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dt}}\) = – \(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{mc}}\) (T – T_s) ఇందులో T_s పరిసరాల ఉష్ణోగ్రత, T వస్తువు ఉష్ణోగ్రత.

ప్రశ్న 19.
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమం అనువర్తించడానికి కావలసిన పరిస్థితులను తెలపండి.
జవాబు:
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమం అనువర్తింపచేయడానికి అనువైన పరిస్థితులు :

1. వహనం ద్వారా ఉష్ణ నష్టం విస్మరించ దగినంత తక్కువగా ఉండి కేవలం సంవహనం ద్వారానే ఉష్ణ నష్టం జరిగినపుడు,
2. లేదా బలాత్కృత సంవహనం వలన ఉష్ణ నష్టం జరిగినపుడు,
3. వస్తువుకు, పరిసరాలకు గల ఉష్ణోగ్రతా భేదం స్వల్పంగా ఉన్నపుడు అనగా సుమారు 30 K ఉన్నపుడు,
4. వస్తువుపై ఉష్ణోగ్రత ఏకరీతి వితరణలో ఉన్నపుడు.

ప్రశ్న 20.
వేసవి కాలంలో భవనాలపై పై కప్పుకు తరచుగా తెలుపు రంగును పూతగా పూస్తారు. ఎందుకు ?
జవాబు:
భవనాల పైభాగాన తెల్లని రంగు పూయటం వల్ల ఎండాకాలంలో భవనం లోపలి భాగం చల్లగా ఉంటుంది.
ఎందుకనగా తెల్లని వస్తువులకు శోషణ గుణకము తక్కువ. కావున తెల్లని భాగాలు వాటిపై పడిన ఉష్ణశక్తిలో తక్కువ భాగాన్ని శోషణం చేసుకొని ఎక్కువ ఉష్ణశక్తిని పరావర్తనం చెందిస్తాయి. ఫలితంగా ఆ వస్తువు తక్కువ వేడెక్కును. అనగా ఇంటి పైకప్పు ఇంటి లోపలికి తక్కువ ఉష్ణశక్తిని ప్రసారం చేస్తుంది.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
సెల్సియస్, ఫారన్హీట్ ఉష్ణోగ్రతా మానాలను వివరించండి. సెల్సియస్, ఫారన్హీట్ ఉష్ణోగ్రతా మానాల మధ్య సంబంధాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:
సెంటిగ్రేడ్ లేదా సెల్సియస్ ఉష్ణమానము : సెంటీగ్రేడ్ ఉష్ణమానంలో సాధారణ వాతావరణ పీడనం వద్ద నీరు ఘనీభవించు స్థానాన్ని అధోస్థిరస్థానంగా తీసుకున్నారు. దీనిని 0°C గా వ్యవహరిస్తారు.

సాధారణ వాతావరణ పీడనం వద్ద నీరు మరుగు స్థానాన్ని ఊర్ధ్వ స్థిరస్థానంగా తీసుకున్నారు. దీనిని 100°C గా వ్యవహరిస్తారు.

ఊర్ధ్వ, అధో స్థిరస్థానాల మధ్య భేదాన్ని (100 – 0 = 100) వంద సమాన భాగాలుగా చేసి ఒక్కొక్క భాగాన్ని 1°C గా పిలుస్తారు.

ఫారన్హీట్ ఉష్ణోగ్రతామానము : ఫారెన్హీట్ ఉష్ణోగ్రతామానంలో సాధారణ వాతావరణ పీడనం వద్ద నీరు ఘనీభవించు ఉష్ణోగ్రతను అధో స్థిరస్థానంగా తీసుకున్నారు. దీనిని 32°F గా నిర్వచించారు.

సాధారణ వాతావరణ పీడనం వద్ద నీరు మరుగుస్థానాన్ని ఊర్ధ్వ స్థిరస్థానంగా నిర్ణయించారు. దీనిని 212°F గా తీసుకున్నారు.

ఊర్ధ్వ, అధో స్థిరస్థానాల మధ్య భేదాన్ని (212 – 32 = 180) 180 సమాన భాగాలుగా చేసి ఒక్కొక్క భాగాన్ని 1°C గా పిలుస్తారు.

సెంటీగ్రేడ్ మరియు ఫారెన్హీట్ ఉష్ణోగ్రతల మధ్య సంబంధము : సెంటీగ్రేడ్ మరియు ఫారెన్హీట్ మానములలో ప్రామాణికంగా తీసుకున్న ఊర్ధ్వ స్థిరబిందువు మరియు అధో స్థిర బిందువులు ఒక్కటే.
కావున \(\frac{\mathrm{t}_{\mathrm{F}}-32}{180}=\frac{\mathrm{t}_{\mathrm{C}}}{100}\) (లేదా) \(\frac{9}{5}\) C = F – 32 (లేదా) 1.8 C = F – 32
C = సెల్సియస్ మానంలో ఉష్ణోగ్రత, F = ఫారెన్హీట్ మానంలో ఉష్ణోగ్రత.

ప్రశ్న 2.
రాగి, స్టీల్తో చేసిన రెండు సర్వసమాన లోహ పట్టీలను ఒకదానితో ఒకటి కలిపి సంయోగ పట్టీగా తయారుచేశారు. ఆ సంయోగ పట్టీని వేడిచేస్తే ఏమవుతుంది ?
జవాబు:
రెండు భిన్నజాతిలోహపు బద్దలను (రాగి మరియు ఇనుము అనుకోండి) రివిట్ల సహాయంతో అతికితే ఆ అమరికను ద్విలోహపు పట్టి అంటారు. ఇటువంటి ద్విలోహపు పట్టీని వేడిచేస్తే అది ఒక లోహపు ముక్కవలె సంకోచ వ్యాకోచాలను పొందుతుంది.

ద్విలోహాత్మక పట్టీని వేడిచేసినపుడు వృత్త చాపము వలె వంగుతుంది. ఈ చాపంపైభాగంలో ఎక్కువ వ్యాకోచ గుణకం గల పదార్థము, క్రింది భాగంలో తక్కువ వ్యాకోచ గుణకం గల పదార్థము ఉంటాయి.
ఈ స్థిరాంకమును స్థితిస్థాపక గుణకము అంటారు.

ప్రశ్న 3.
లోలక గడియారాలు సాధారణంగా శీతాకాలంలో అధిక కాలాన్ని చూపుతాయి. వేసవిలో తక్కువ కాలాన్ని చూపుతాయి. ఎందుకు ?
జవాబు:
సాధారణంగా లోలకంతో పనిచేసే గడియారాలను తయారుచేసేటప్పుడు అవి రోజుకు ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్యలో (0 డోలనాలు చేసే విధంగా తయారుచేస్తారు).

ఎండాకాలంలో వాతావరణంలో ఉష్ణోగ్రత పెరగడం వల్ల ఘనపదార్థాలు వ్యాకోచిస్తాయి. అనగా లోలకం పొడవు పెరుగును. లోలకం పొడవు l₁ = l (l + α ∆t)

లోలకం ఆవర్తన కాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\) లేదా T ∝ \(\sqrt{l}\) అనగా లోలకం పొడవు పెరిగితే దాని ఆవర్తనకాలం పెరగడం వల్ల అది ఒకరోజులో చేసే డోలనాల సంఖ్య తగ్గుతుంది. అనగా గడియారం నెమ్మదిగా నడుస్తుంది.

చలికాలంలో వాతావరణ ఉష్ణోగ్రత తగ్గటం వల్ల లోలక పదార్థం సంకోచిస్తుంది. అనగా లోలకం పొడవు తగ్గుతుంది. ఫలితంగా డోలనావర్తన కాలం తగ్గుతుంది. అనగా లోలకం ఒకరోజులో చేసిన డోలనాల సంఖ్య పెరుగును. అంటే చలికాలంలో గడియారాలు వేగంగా చలిస్తాయి.

ప్రశ్న 4.
నీటి అసంగత వ్యాకోచం ఏ విధంగా జలచర సంబంధమైన జంతువులకు లాభం చేకూరుస్తుంది ? (March 2014 / May 2014)
జవాబు:
చలి దేశాలలో ముఖ్యంగా ధృవ ప్రాంతాలలో చలికాలంలో వాతావరణంలో ఉష్ణోగ్రతలు 0°C కన్న చాలా తక్కువకు పడిపోతాయి. ఫలితంగా నదులు, సరస్సులు మరియు సముద్రాల పైభాగాలు గడ్డ కడతాయి. కాని మంచు అధమ ఉష్ణవాహకం కావడం వల్ల మంచు పొరలలో లోతుకు పోయిన కొలది మనం నీరు 1°C, 2°C లేదా 3°C వంటి వివిధ పొరల రూపంలో ఉంటుంది. కాని సముద్రం అడుగు భాగం వద్ద నీరు 4°C వద్ద ఉంటుంది. దీనికి కారణము నీటికి 4°C వద్ద గరిష్ఠ సాంద్రత ఉండుట.

ప్రాముఖ్యత : సముద్ర జలాలు ఉపరితలం వద్ద గడ్డ కట్టినప్పటికి లోపలి భాగం 4°C వద్ద ఉండటం వల్ల జలచరాలు జీవించగలుగుతున్నాయి.

ప్రశ్న 5.
వహనం, సంవహనం, వికిరణాలను ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
వహనం : వస్తువులోని కణాలు స్థానాంతరం చెందకుండా, వస్తువులో ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత గల ప్రదేశం నుండి తక్కువ ఉష్ణోగ్రత గల ప్రదేశానికి జరుగు ఉష్ణ ప్రసారాన్ని ఉష్ణ వహనం అంటారు.
ఉదా : ఒక పొడవైన లోహపు కడ్డీని ఒక చివర చేతితో పట్టుకొని రెండవ కొన మంటలో ఉంచితే, ఉష్ణం వాహనం ద్వారా కడ్డీ ఒక కొన నుండి మరొక కొనకు ప్రసరిస్తుంది.

సంవహనం : వస్తువులోని కణాలు స్థానాంతరం చెందుతూ, వస్తువులో ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రత గల ప్రదేశం నుండి తక్కువ ఉష్ణోగ్రత గల ప్రదేశానికి ఉష్ణ ప్రసారాన్ని ఉష్ణ సంవహనం అంటారు.
ఉదా : సముద్రగాలి, భూగాలి

వికిరణం : యానకం నిమిత్తం లేకుండా ఒకచోట నుండి మరొక చోటుకు జరుగు ఉష్ణ ప్రసారాన్ని ఉష్ణ వికిరణం అంటారు.
ఉదా : సూర్యుని నుండి భూమికి ఉష్ణం వికిరణం ద్వారా చేరుతుంది..

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఉష్ణవాహకత్వం, ఉష్ణవాహకత్వ గుణకాన్ని వివరించండి. 0.10 m పొడవు, 1.0 × 10⁶ m^-2 మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న ఒక రాగి కడ్డీ ఉష్ణ వాహకత్వం 401 W/(mK). కడ్డీ ఒక కొన 104°C వద్ద, మరొక కొన 24° C వద్ద కలవు. కడ్డీ వెంబడి ఉష్ణ ప్రవాహ రేటు ఎంత ?
జవాబు:
ఉష్ణవహనము : ఈ పద్ధతిలో ఉష్ణము ఒకచోటు నుండి మరొక చోటికి యానకంలోని అణువులను స్థానభ్రంశము చెందించకుండా ప్రయాణం చేస్తుంది.

ఉష్ణవహనము ద్వారా ఉష్ణము ఘనపదార్థాలలో ప్రసరిస్తుంది.

పటంలో చూపిన విధంగా ఒక దీర్ఘ ఘనమును తీసుకొనుము. దీని ఎదురెదురు సమాంతర తలాలు ABCD మరియు EFGH అనుకొనుము. ఈ తలాలను θ₁ మరియు θ₂ ఉష్ణోగ్రతల మధ్య ఉంచినామనుకొనుము. దీని అడ్డుకోత వైశాల్యము A మరియు పొడవు l అనుకొనుము.

ఒక పదార్థం గుండా ప్రవహించు ఉష్ణరాశి (Q) ఈ క్రింది నియమాలను పాటిస్తుంది అని ప్రయోగపూర్వకంగా కనుగొన్నారు.

1. ఇచ్చిన వాహకం గుండా ప్రవహించు ఉష్ణరాశి వాహకం అడ్డుకోత వైశాల్యము (A) కి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
   ∴ Q∝ A ……………. (1)
2. వాహకం గుండా ప్రవహించిన ఉష్ణరాశి (Q) వాహకపు కొనల మధ్య గల ఉష్ణోగ్రతా భేదానికి అనులోమానుపాతంలో
   ఉంటుంది.
   ∴ Q ∝ (θ₂ – θ₁) …………….. (2)
3. వాహకం గుండా ప్రవహించిన ఉష్ణరాశి (Q) ఉష్ణము ప్రవహించిన కాలము (t) నకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
   Q ∝ t …………. (3)
4. వాహకం గుండా ప్రవహించిన ఉష్ణరాశి (Q) వాహకము పొడవు (l) కు విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
   Q ∝ \(\frac{1}{l}\) ……………….. (4)

పై నాలుగు నియమాల నుండి Q ∝ \(\frac{\mathrm{A}\left(\theta_2-\theta_1\right) \mathrm{t}}{l}\) (లేదా) Q = \(\frac{{KA}\left(\theta_2-\theta_1\right) \mathrm{t}}{l}\)
ఇందులో K స్థిరాంకము. దీనిని ఉష్ణవహన గుణకము అంటారు.

ఉష్ణవహన గుణకము (K) : ప్రమాణ అడ్డుకోత వైశాల్యం గల పదార్థపు ఎదురెదురు సమాంతర తలముల మధ్య ఏకాంక ఉష్ణోగ్రతా అతిక్రమం ఉన్నపుడు ప్రమాణ కాలంలో ఆ తలముల మధ్య ప్రవహించిన ఉష్ణరాశిని ఆ పదార్థం ఉష్ణవహన గుణకంగా నిర్వచించినారు.
ఉష్ణవహన గుణకము K = \(\frac{\mathrm{Q} . l}{\mathrm{~A}\left(\theta_2-\theta_1\right) \mathrm{t}}\)
ఉష్ణవహన గుణకానికి ప్రమాణాలు వాట్ మీటర్^-1 కెల్విన్^-1 లేదా జౌల్సకన్^-1 మీటర్^-1 కెల్విన్^-1
మితి ఫార్ములా = [ M¹L¹T^-3θ^-1]

సమస్య :
రాగి ఉష్ణవహన గుణకము K_c = 401 W/m-k
ఒక కొన వద్ద ఉష్ణోగ్రత θ₂ = 104°C
రెండవ కొన వద్ద ఉష్ణోగ్రత θ₁ = 24°C
రాగి దండం పొడవు l = 0.1m; వైశాల్యము = A = 1.0 × 10^-6 m²
ఉష్ణవహన రేటు \(\frac{\mathrm{Q}}{\mathrm{t}}=\frac{{KA}\left(\theta_2-\theta_1\right)}{l}=\frac{401 \times 1 \times 10^{-6}(104-24)}{0.1}\) = 401 × 80 × 10^-5 = 0.3208 J/S

ప్రశ్న 2.
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమాన్ని తెలిపి, వివరించండి. న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమం అనువర్తించడానికి కావలసిన పరిస్థితులను తెలపండి.
ఒక వస్తువు 60°Cనుంచి 50°C కు చల్లబడటానికి 5 నిమిషాల కాలం పట్టింది. తరువాత 40°C కు చల్లబడటానికి మరొక 8 నిమిషాలు పట్టింది. పరిసరాల ఉష్ణోగ్రతను కనుక్కోండి.
జవాబు:
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమము : వస్తువుకు, పరిసరాలకు మధ్య ఉష్ణోగ్రతా భేదం స్వల్పంగా ఉన్నపుడు ఆ వస్తువు కోల్పోయే ఉష్ణ శక్తి రేటు వస్తువుకూ, పరిసరాలకు మధ్య గల ఉష్ణోగ్రతా భేదానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

వస్తువు కోల్పోయే ఉష్ణశక్తి రేటు \(\frac{\mathrm{dE}}{\mathrm{dt}}\) ∝ (T – T_s) లేదా
శీతలీకరణ రేటు \(\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dt}}\) = – \(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{mc}}\) (T – T_s). ఇందులో T_s పరిసరాల ఉష్ణోగ్రత, T వస్తువు ఉష్ణోగ్రత.
ఉష్ణోగ్రతా భేదం స్వల్పంగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే ఈ నియమం వర్తిస్తుంది. వికిరణం ద్వారా నష్టపోయే ఉష్ణం, వస్తువు ఉపరితల స్వభావం మీద, ప్రత్యక్షీకరణం అయ్యే ఉపరితల వైశాల్యంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
– \(\frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dt}}\) = k (T₂ – T₁) (రుణ గుర్తు నష్టాన్ని సూచిస్తుంది) ………………. (1)
ఇక్కడ k ధనాత్మక స్థిరాంకం. దీని విలువ వస్తువు ఉపరితల స్వభావం, వైశాల్యంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. s విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యం, mద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువు, T₂ ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉందనుకోండి. పరిసరాల ఉష్ణోగ్రత T₁ అనుకోండి. dtకాలంలో స్వల్ప పరిమాణంలో ఉష్ణోగ్రతలో తగ్గుదల dT₂ అనుకొంటే, నష్టపోయిన ఉష్ణ పరిమాణం
dQ = ms dT₂
∴ నష్టపోయిన ఉష్ణ రేటును కింది విధంగా ఇవ్వచ్చు.
\(\frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dt}}\) = ms \(\frac{\mathrm{dT}_2}{\mathrm{dt}}\) ………….. (2)
సమీకరణాలు (1), (2) ల నుంచి
-ms \(\frac{\mathrm{dT}_2}{\mathrm{dt}}\) = k (T₂ – T₁)
\(\frac{\mathrm{dT}_2}{\mathrm{~T}_2-\mathrm{T}_1}\) = – \(\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{ms}}\) dt = -Kdt …………….. (3)
ఇక్కడ K = k/ms
సమాకలనం చేయగా,
loge (T₂ – T₁) = – Kt + c …………….. (4)
(T₂ – T₂) = e^{-Kt + c}
లేదా T₂ = T₁ + C’ e^-Kt; ఇక్కడ C’ = e^c ……………. (5)
ప్రత్యేకమైన ఉష్ణోగ్రత అవధిలో ఒక వస్తువు శీతలీకరణానికి పట్టే కాలాన్ని సమీకరణం (5) ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు.

స్వల్ప ఉష్ణోగ్రతా భేదాలకు, ఉష్ణ వహనం, సంవహనం, వికిరణాల కలయిక వల్ల శీతలీకరణ రేటు ఉష్ణోగ్రతా భేదానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. ఒక వికిరణకం నుంచి గదిలోకి బదిలీ అయ్యే ఉష్ణం, గదిలోని గోడల ద్వారా నష్టపోయే ఉష్ణం లేదా టేబుల్పై అమర్చిన కప్పులోని వేడి టీ శీతలీకరణం చెందే సందర్భాలలో ఈ నియమం ఉజ్జాయింపుగా చెల్లుబాటు అవుతుంది.

న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమం అనువర్తింపచేయడానికి అనువైన పరిస్థితులు :

1. వహనం ద్వారా ఉష్ణ నష్టం విస్మరించదగినంత తక్కువగా ఉండి కేవలం సంవహనం ద్వారానే ఉష్ణ నష్టం జరిగినపుడు,
2. లేదా బలాత్కృత సంవహనం వలన ఉష్ణ నష్టం జరిగినపుడు,
3. వస్తువుకు, పరిసరాలకు గల ఉష్ణోగ్రతా భేదం స్వల్పంగా ఉన్నపుడు అనగా సుమారు 30K ఉన్నపుడు,
4. వస్తువుపై ఉష్ణోగ్రత ఏకరీతి వితరణలో ఉన్నపుడు.

సమస్య :
తొలి ఉష్ణోత్ర θ₁ = 60 C;
తుది ఉష్ణోగ్రత θ₂ = 50°C
పట్టిన కాలము t = 5 ని॥ = 300 సె॥; గది ఉష్ణోగ్రత = θ₀ అనుకొనుము.
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమం నుండి \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}=K\left[\frac{\theta_1+\theta_2}{2}-\theta_0\right]\)
⇒ \(\frac{60-50}{300}\) = K \(\left[\frac{60+50}{2}-\theta_0\right]\) ⇒ \(\frac{10}{300}\) = K [55 – θ₀] (లేదా) ⇒ \(\frac{1}{30}\) = K[55 – θ₀] ….. (1)
రెండవ సందర్భంలో వస్తువు 50 C నుండి 40°C కు 8 నిమిషాలలో చల్లారింది.
న్యూటన్ నియమం నుండి \(\frac{50-40}{8 \times 60}\) = K \(\left[\frac{50+40}{2}-\theta_0\right]\)
⇒ \(\frac{10}{480}\) = K[45 – θ₀] ⇒ 1 = 48K (45 – θ₀)
1 మరియు 2 సమీకరణముల నుండి 30 K (55 – θ₀) = 48K (45 – θ₀)
275 – 5θ₀ = 360 – 8θ₀ ⇒ 3θ₀ = 360 – 275
∴ θ₀ = \(\frac{85}{3}\) = 28.33°C

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్ద కెల్విన్ మానంలోని రీడింగ్, ఫారన్హీట్ మానంలోని రీడింగ్లు సమానం అవుతాయి ?
సాధన:
కెల్విన్, ఫారన్ హీట్ మానాలలో \(\frac{\mathrm{K}-273.15}{100}\) = \(\frac{F-32}{180}\)
ఇక్కడ K = F కావున
\(\frac{\mathrm{F}-273.15}{100}=\frac{\mathrm{F}-32}{180}\)
⇒ F – 273.15 = \(\frac{5}{9}\) F – \(\frac{160}{9}\)
\(\frac{4}{9}\) F – 273.15 – 17.77
⇒ F = \(\frac{9}{4}\) (255.38) = 574.6
∴ 574.6K = 574.6°F.

ప్రశ్న 2.
ఒక అల్యూమినియం కడ్డీ పొడవును 1% పెంచాలంటే దాని ఉష్ణోగ్రతలో కలిగే పెరుగుదల కనుక్కోండి. (అల్యూమినియం విలువ = 25 × 10^-6 / °C)
సాధన:
అల్యూమినియం దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకము, α = 25 × 10^-6 / °C

ప్రశ్న 3.
20°C ఉష్ణోగ్రత, 100 g ద్రవ్యరాశి ఉన్న నీటి ఉష్ణోగ్రతను 5°C పెంచడానికి 100°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న ఎంత ఆవిరిని ఆ నీటిలోకి పంపించాలి ? (నీటి ఆవిరి గుప్తోష్ణం 510 cal / g, నీటి విశిష్టోష్ణం 1 cal / g°C)
సాధన:
నీటి బాష్పీభవన గుప్తోష్ణం, L_s = 540 cal / g; నీటి విశిష్టోష్ణం, S_w = 1 cal / g°C
నీటి ద్రవ్యరాశి, m_w = 100g
మిశ్రమ పద్ధతి సూత్రం ప్రకారం
నీటి ఆవిరి కోల్పోయిన ఉష్ణరాశి = నీరు గ్రహించిన ఉష్ణరాశి
i.e., m_sL_s + m_sS_w (100 – t) = m_wS_w (t – 20)
⇒ m_s × 540 + m_s × 1(100 – 25) = 100 × 1 × (25 – 20)
⇒ 615m_s = 500 (or)m_s = \(\frac{500}{615}\) = 0.813 g

ప్రశ్న 4.
2 kg ల గాలిని స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద వేడిచేశారు. గాలి ఉష్ణోగ్రత 293 K నుంచి 313 K కు పెరిగింది. స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద గాలి విశిష్టోష్ణం 0.718kJ/kg K. అది శోషించుకొనే ఉష్ణ పరిమాణాన్ని kJ లలో, kcalలలో కనుక్కోండి. (J = 4.2 kJ/kcal.)
సాధన:
గాలి సాంద్రత m = 2 kg;
ఉష్ణోగ్రతలో మార్పు ∆T = 313 – 293 20K.
స్థిర ఘనపరిమాణ విశిష్టోష్ణము C_v = 0.718 k. J/kg – K.
ఉష్ణ యాంత్రిక తుల్యాంకము = J. = 4.2 kJ/k.cal.
C_v = \(\frac{1}{\mathrm{~m}} \frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dT}}\) ⇒ dQ = mC_vdT (లేదా) dQ = \(\frac{\mathrm{mC}_{\mathrm{v}} \mathrm{dT}}{\mathrm{J}}\) cal.
∴ గాలి శోషించుకొనిన ఉష్ణరాశి Q = 2 × 0.718 × 10³ × 20 = 28.72 kJ = 6.838 k calories.

ప్రశ్న 5.
ఇత్తడి లోలకం కలిగిన ఒక గడియారం 20°C వద్ద సరియైన కాలాన్ని చూపుతుంది. ఉష్ణోగ్రత 30°C కు పెరిగినప్పుడు ఆ గడియారం రోజుకు 8.212 సెకనుల కాలం తక్కువ చూపుతుంది. ఇత్తడి దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకం కనుక్కోండి.
సాధన:
సరియైన కాలం వద్ద ఉష్ణోగ్రత t = 20°C;
ఒక రోజులో నష్టపోయిన లేక లాభపడిన కాలము = 8.212 sec.
తుది ఉష్ణోగ్రత t₂ = 30 C ∴ ∆t = 30 – 20 = 10;
లోలకం చేయబడిన పదార్థం α = ?
లోలకంలో ఒక రోజుకు నష్టపోయిన లేదా లాభపడిన సెకండ్ల సంఖ్య = 43,200. α ∆t
∴ α = \(\frac{8.212}{43.200 \times 10}\) = 19 × 10^-6 / C.

ప్రశ్న 6.
ఒక వస్తువు 7 నిమిషాలలో 60°C నుంచి 40°C కు చల్లబడుతుంది. పరిసరాల ఉష్ణోగ్రత 10°C అయితే, తదుపరి 7 నిమిషాల తరువాత అది ఎంత ఉష్ణోగ్రతకు చేరుకొంటుంది ?
సాధన:
మొదటి సందర్భము :
తొలి’ ఉష్ణోగ్రత, θ₁ = 60°C;
తుది ఉష్ణోగ్రత, θ₂ = 40°C
చల్లబడటానికి పట్టిన కాలము, t₁ = 7 నిమిషాలు = 7 × 60 = 420s ;
పరిసరాల ఉష్ణోగ్రత, θ₀ = 10°C
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమం ప్రకారం,
\(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) = k \(\left[\frac{\theta_1+\theta_2}{2}-\theta_0\right]\) ⇒ \(\frac{60-40}{420}\) = k \(\left[\frac{60+40}{2}-10\right]\)
⇒ \(\frac{20}{420}\) = k × 40 …………….. (1)
రెండవ సందర్భము :
తొలి ఉష్ణోగ్రత, θ₁ = 40°C
చల్లబడటానికి పట్టిన కాలము, t₂ = 7 నిమిషాలు = 7 × 60 = 420s
న్యూటన్ శీతలీకరణ నియమం ప్రకారం,
\(\frac{50-\theta}{420}\) = k\(\left[\frac{50+\theta}{2}-10\right]\)
సమీకరణాలు (1) మరియు (2) లను సాధించగా, θ = 34°C

ప్రశ్న 7.
ఒక కృష్ణ వస్తువు గరిష్ఠ వికిరణ తీవ్రత 2.65 µ m వద్ద కనుక్కోవడమైంది. వికిరణాన్ని ఉద్గారం చేసే వస్తువు ఉష్ణోగ్రత ఎంత ? (వీన్ స్థిరాంకం = 2.9 × 10^-3 mK)
సాధన:
గరిష్ట తీవ్రత పద్ధతి తరంగదైర్ఘ్యం λ_max = 2.65 µm = 2.65 × 10^-6 m.
వస్తువు ఉష్ణోగ్రత T = ? వీన్ స్థిరాంకము b = 2.90 × 10^-3 mK.
వీస్ నియమం నుండి T = \(\frac{b}{\lambda_m}\) = \(\frac{2.90 \times 10^{-3}}{2.65 \times 10^{-6}}\) = 1094 K.

ముఖ్యమైన అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
నియాన్, కార్బన్-డై-ఆక్సైడ్ త్రిక బిందువులు వరుసగా 24.57 K, 216.55 K. ఈ ఉష్ణోగ్రతలను సెల్సియస్, ఫారన్హీట్ మానాలలో తెలియచేయండి.
సాధన:
కెల్విన్ మానము మరియు సెల్సియస్ మానముల మధ్య సంబంధము T_C = T_K – 273.15
ఇక్కడ T_C, T_K లు సెల్సియస్ మరియు కెల్విన్ మానాలలో ఉష్ణోగ్రతలు
నియాను, T_C = 24.57 – 273.15 = – 248.58°C
CO₂, T_C = 216.55 – 273.15 = – 56.60°C.
ఫారన్హీట్ మానము మరియు కెల్విన్ మానంల మధ్య గల సంబంధము = \(\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{F}}-32}{180}=\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{K}}-273.15}{100}\)
T_F = \(\frac{180}{100}\) (T_K – 273.15) + 12
నియాను, T_F = \(\frac{180}{100}\) (24.57 – 273.15) + 32 = -415.44°F
CO₂, T_F = \(\frac{180}{100}\) (216.55 – 273.15) + 32 = -69.88°F

ప్రశ్న 2.
A, B అనే రెండు పరమ ఉష్ణోగ్రతా మానాలు నీటి త్రిక బిందువును 200 A, 350 B గా నిర్వచించాయి. T_A, T_B మధ్య ఉన్న సంబంధం ఏమిటి ?
సాధన:
దత్తాంశం ప్రకారం, ఉష్ణోగ్రతా మానం A లో నీటి త్రిక బిందువు = 200A
ఉష్ణోగ్రతా మానం Bలో నీటి త్రిక బిందువు = 350 B.
మన ప్రశ్నను బట్టి, 200A = 350 B = 273.16 లేదా 1A = \(\frac{273.16}{200}\)K మరియు 1B = \(\frac{273.16}{350}\) K
T_A మరియు T_B అనునవి వరుసగా నీటి త్రిక బిందువులుగా మానము A మరియు మానము B లలో సూచిస్తే
\(\frac{273.16}{200}\) T_A = \(\frac{273.16}{350}\) T_B (లేదా) \(\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{B}}}\) = \(\frac{200}{350}\) = \(\frac{4}{7}\) (లేదా) T_A = \(\frac{4}{7}\) T_B

ప్రశ్న 3.
ఒక థర్మామీటర్ విద్యుత్ నిరోధం ఓమ్లలో ఉష్ణోగ్రతతో ఉజ్జాయింపు నియమం ప్రకారం క్రింది విధంగా మారుతుంది. R = R₀ [1 + α (T – T₀)]
నీటి త్రిక బిందువు 273.16 K వద్ద నిరోధం 101.6 Ω, సీసం ప్రమాణ ద్రవీభవన స్థానం 600.5 Ω వద్ద నిరోధం 165.5 Ω. ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్ద నిరోధం 123.4 Ω అవుతుంది ?
సాధన:
దత్తాంశము నుండి R₀ = 101.6 Ω; T₀ = 273.16 K
సందర్భం (i) R₁ = 165.5 Ω; T₁ = 600.5 K
సందర్భం (ii) R₂ = 123.4 Ω; T₂ = ?
R = R₀ [1 + α (T – T₀)] నకు సందర్భము (i) ఉపయోగించిన
165.5 = 101.6 [1 + α (600.5 – 273.16)]
α = \(\frac{165.5-101.6}{101.6 \times(600.5-273.16)}=\frac{63.9}{101.6 \times 327.34}\)
సందర్భం (ii) నుండి 123.4 = 101.6 [1+ α(T₂ – 273.16)]
(లేదా) 123.4 = 101.6 [1 + \(\frac{63.9}{101.6 \times 327.34}\) (T₂ – 273.16)] = 101.6 + \(\frac{63.9}{327.34}\) (T₂ – 273.16)
(లేదా) T₂ = \(\frac{(123.4-101.6) \times 327.34}{63.9}\) + 273.16 = 111.67 + 273.16 = 384.83K

ప్రశ్న 4.
క్రింది వాటికి సమాధానాలు ఇవ్వండి :
(a) ఆధునిక ఉష్ణమితిలో నీటి త్రిక బిందువు ప్రమాణ స్థిర బిందువు. ఎందుకు ? మంచు ద్రవీభవన స్థానాన్ని, నీటి బాష్పీభవన స్థానాన్ని ప్రమాణ స్థిర బిందువులుగా తీసుకొంటే కలిగే తప్పు ఏమిటి ? (సెల్సియస్ మానంలో అదే విధంగా తీసుకోవడమైంది)
(b) సెల్సియస్ మానంలో పై ప్రశ్నలో తెలిపిన విధంగా రెండు స్థిర బిందువులు కలవు. వాటికి వరుసగా 0°C, 100°C సంఖ్యలను కేటాయించడమైంది. పరమమానంలో రెండు స్థిర బిందువుల్లో ఒకటి నీటి త్రిక బిందువుగా తీసుకొని కెల్విన్ మానంలో 273.16 K సంఖ్యను కేటాయించడమైంది. ఈ (కెల్విన్) మానంలో మరొక స్థిర బిందువు ఏమిటి ?
(c) పరమ ఉష్ణోగ్రత (కెల్విన్ మానం) T, సెల్సియస్ మానంపై ఉష్ణోగ్రత t_c కి మధ్య సంబంధం t_c = T – 273.15
ఈ సంబంధంలో 273.16 కాకుండా, 273.15 ను తీసుకోవడానికి కారణం ఏమిటి ?
(d) పరమ ఉష్ణోగ్రతా మానంలో యూనిట్ అంతరం ఫారన్హీట్ మానంలో యూనిట్ అంతరానికి సమానం అయితే పరమ ఉష్ణోగ్రత మానంపై నీటి త్రిక బిందువు ఉష్ణోగ్రత ఎంత ?
సాధన:
(a) నీటి త్రిక బిందువుకు ఒకే ఒక విలువ 273.16 K. ఒకే ఒక బిందువు వుండుట ఒక సత్యం. అక్కడ పీడనానికి మరియు ఘనపరిమాణానికి ఒకే ఒక విలువ కలిగి వుంటుంది. వేరే విధంగా తెలిపిన, పీడనము మరియు ఘనపరిమాణములో మార్పు వచ్చునప్పుడు, నీరు మరుగు స్థానము, బాష్పీభవన స్థానములకు ఒకే విలువ వుండక మార్పు చెందుతూ ఉంటాయి.

(b) కెల్విన్ మానం లేదా కెల్విన్ సంపూర్ణ మానం నందు నిర్దేశ బిందువే దాని సంపూర్ణ లేదా పరమ శూన్య బిందువు.

(c) సెల్సియస్ మానంలో ‘C అనునది సాధారణ పీడనం వద్ద మంచు మరుగు బిందువు. దానికి అనుగుణమైన పరమ ఉష్ణోగ్రత 273.15 K, 273.16 K అనే ఉష్ణోగ్రత నీటి త్రిక బిందువును సూచిస్తుంది. ఈ సంబంధంను బట్టి నీటి త్రిక బిందువు సెల్సియస్ మానం నందు = 273.16 – 273.15 = 0.01°C.

(d) ఫారన్ హీట్ మానం మరియు పరమ ఉష్ణోగ్రతల మధ్య సంబంధము

నీటి త్రిక బిందువు ఉష్ణోగ్రత 273.16 K అనునది కొత్త ఉష్ణోగ్రత మానంలో
= 273.16 × \(\frac{9}{5}\) = 491.69

ప్రశ్న 5.
A, B అనే ఆదర్శవాయు థర్మామీటర్లలో వరుసగా ఆక్సిజన్, హైడ్రోజన్ వాయువులను ఉపయోగించారు. కింది పరిశీలనలు చేయడమైంది.

(a) A, B థర్మామీటర్లు సూచించే సల్ఫర్ సాధారణ ద్రవీభవన స్థానం పరమ ఉష్ణోగ్రత ఎంత ?
(b) A, B థర్మామీటర్ల జవాబులో స్వల్పంగా తేడా ఉండటానికి గల కారణాన్ని మీరు ఏమని ఊహిస్తున్నారు ? (థర్మామీటర్లలో ఎలాంటి దోషం లేదు) రెండింటి రీడింగ్ల మధ్య ఉన్న తేడాను తగ్గించడానికి పై ప్రయోగంలో ఇంకా ఏ పద్ధతి అవసరం ?
సాధన:
సల్ఫర్ ద్రవీభవన స్థానంను “T” అనుకొనుము.
(a) థర్మామీటర్ A లో T = \(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{P}_{\mathrm{tr}}}\) × 273.16 = \(\frac{1.797 \times 10^5}{1.250 \times 10^5}\) × 273.16 = 392.69K
థర్మామీటర్ B లో T = \(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{P}_{\mathrm{tr}}}\) × 273.16 = \(\frac{0.287 \times 10^5}{0.200 \times 10^5}\) × 273.16 = 391.98 K

(b) థర్మామీటర్ A మరియు B ల సమాధానముల యందు స్వల్ప తేడా వచ్చుటకు కారణం ఆక్సిజన్ మరియు హైడ్రోజన్ వాయువులు కచ్చితమైన ఆదర్శవాయువులు కావు.

ఇలాంటి అసమానతను తగ్గించాలంటే, అతి తక్కువ పీడనం వద్ద పరిశీలనలను తీసుకోవాలి. ఇలాంటి సందర్భము నందు వాయువులు ఆదర్శ వాయు ప్రవర్తనకు దగ్గరగా వుండగలవు.

ప్రశ్న 6.
1m పొడవు ఉన్న ఉక్కు కొలబద్ద 27.0°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద సరియైన కొలతను ఇచ్చే విధంగా క్రమాంకనం చేశారు. బాగా వేడిగా ఉన్న రోజు, అంటే 45.0°C ఉష్ణోగ్రత ఉన్నప్పుడు ఈ కొలబద్ద ఉక్కు కడ్డీ పొడవును 63.0 cm గా కొలిచింది. ఆ రోజున ఉక్కు కడ్డీ అసలు పొడవు ఎంత ? 27.0°C ఉష్ణోగ్రత ఉన్న రోజున అదే ఉక్కు కడ్డీ పొడవు ఎంత ? ఉక్కు దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకం = 1.20 × 10^-5°K^-1
సాధన:
27°C వద్ద ఉక్కు కొలబద్ద పొడవు 100 cm. i.e., L = 100 cm మరియు T = 27°C
45°C వద్ద ఉక్కు కొలబద్ద పొడవు L’ = L + ∆L = L + αL∆T
= 100 + (1.20 × 10^-5°) × 100 × (45° – 27°) = 100.0216 cm.
27°C వద్ద కొలబద్దపై 1 భాగము పొడవు 45°C = 100.0216/100 cm.
63 cm ల ఉక్కు కడ్డీని కొలచిన పొడవు 45°C = \(\frac{100.0216}{100}\) × 63 = 63.0136 cm
27°C ఉష్ణోగ్రత ఉన్న రోజున అదే ఉక్కు కడ్డీ పొడవు = 63 × 1 = 63 cm.

ప్రశ్న 7.
ఒక పెద్ద ఉక్కు చక్రాన్ని అదే పదార్థంతో చేసిన కమ్మీపై 27°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద బిగించాలి. ఆ కమ్మీ వెలుపల వ్యాసం 8.70 cm, చక్రం మధ్య ఉన్న రంధ్రం వ్యాసం 8.69 cm. కమ్మీని పొడి మంచు ఉపయోగించి చల్లబరచారు. కమ్మీ ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్ద చక్రాన్ని కమ్మీపై బిగించవచ్చు. మనకు కావలసిన ఉష్ణోగ్రత అవధిలో ఉక్కు దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకం స్థిరంగా ఉంటుంది అని అనుకోండి. α_{ఉక్కు} 1.20 × 10^-5 K^-1.
సాధన:
ఇచ్చట T₁ = 27°C = 27 + 273 = 300 K.
T₁K ఉష్ణోగ్రత వద్ద పొడవు = l_T1 = 8.70 cm;
T₂ K ఉష్ణోగ్రత వద్ద పొడవు = l_T2 = 8.69 cm
పొడవులో మార్పు = l_T2 – l_T1 = l_T1 α (T₂ – T₁) (లేదా) 8.69 – 8.70 = 8.70 × (1.20 × 10^-5) (T₂ – 300)
(లేదా) T₂ – 300 = – \(\frac{0.01}{8.70 \times 1.2 \times 10^{-5}}\) = -95.8 (లేదా) T₂ = 300 – 95.8 = 204.2 K = – 68.8°C.

ప్రశ్న 8.
ఒక రాగి పలకలో రంధ్రం చేశారు. 27°C వద్ద ఆ రంధ్రం వ్యాసం 4.24 cm. ఆ పలకను 227°C కు వేడిచేసినప్పుడు ఆ రంధ్రం వ్యాసంలో కలిగే మార్పు ఎంత ? రాగి దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకం = 1.70 × 10^-5 K^-1
సాధన:
ఈ లెక్కలో వేడిచేసినపుడు రాగి రేకు విస్తీర్ణ వ్యాకోచము ఇమిడి ఉంటుంది.
27°C వద్ద రంధ్రం వైశాల్యం, S₁ = \(\frac{\pi \mathrm{D}_1^2}{4}=\frac{\pi}{4}\) × (4.24)² cm²
227°C వద్ద రంధ్రం వ్యాసార్ధం, D₂ cm అయిన
227°C వద్ద రంధ్రం వైశాల్యం, S₂ = \(\frac{\pi \mathrm{D}_2^2}{4}\) cm².
రాగి విస్తీర్ణ వ్యాకోచ గుణకం β = 2 α = 2 × 1.70 × 10^-5 = 3.4 × 10^-5 °C^-1
వైశాల్యంలో పెరుగుదల = S₂ – S₁ = βS₁∆T (లేదా) S₂ = S₁ + βS₁∆T = S₁ (1 + β∆T)
\(\frac{\pi \mathrm{D}_2^2}{4}=\frac{\pi}{4}\) (4.24)² [1 + 3.4 × 10^-5 (228 – 27)] (లేదా) D₂² = (4.24)² × 1.0068
D₂ = 4.2544 cm
వ్యాసంలో మార్పు = D₂ – D₁ = 4.2544 – 4.24 = 0.0144 cm

ప్రశ్న 9.
1.8 m పొడవు, 20 mm వ్యాసం ఉన్న ఒక ఇత్తడి తీగను 27°C వద్ద రెండు దృఢమైన ఆధారాల మధ్య తీగలో స్వల్ప తన్యత ఉండేటట్లు బిగించారు. ఒకవేళ తీగను -39°C ఉష్ణోగ్రతకు చల్లబరిస్తే, తీగలో ఏర్పడే తన్యత ఎంత ? తీగ వ్యాసం 2.0 mm. ఇత్తడి దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకం 2.0 × 10^-5 K^-1; ఇత్తడి యంగ్ గుణకం = 0.91 × 10¹¹ Pa.
సాధన:
ఇచ్చట L = 1.8 m, T₁ = 27°C, T₂ = -39°C, F = ?, r = 1 mm = 10^-3 m,
α = 2 × 10^-5 °K^-1, Y = 0.91 × 10¹¹ N/m²
Y = \(\frac{F \cdot L}{a \Delta L}\) . ∆L = \(\frac{F L}{a Y}\) నుండి
ఇంకా ∆L = α L ∆T ∴ \(\frac{F L}{a Y}\) = α L ∆T (లేదా) F = α∆TaY = α(T₂ – T₁) πr²Y
= 2 × 10^-5 × (39 – 27) × \(\frac{22}{7}\) (10^-3)² × 0.91 × 10¹¹ = -3.77 × 10² N
తీగ సంకోచం చెందునపుడు బలం లోపలి వైపు పనిచేయును అని ఋణగుర్తు తెలుపుతున్నది.

ప్రశ్న 10.
50 cm పొడవు, 3.0 mm వ్యాసం ఉన్న ఒక ఇత్తడి కడ్డీని అంతే పొడవు, వ్యాసం ఉన్న మరొక ఉక్కు కడ్డీతో జతపరచారు. వాటి తొలి పొడవులు 40°C వద్ద ఉంటే, 250°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఆ సంయోగ కడ్డీ పొడవులో కలిగే మార్పు ఎంత ? ఆ రెండు కడ్డీలు కలిసే సంధి వద్ద ఉష్ణప్రతిబలం ఏర్పడుతుందా ? కడ్డీ ఛివరి కొనలు స్వేచ్ఛగా వ్యాకోచించగలవు. (ఇత్తడి, ఉక్కు కడ్డీల దైర్ఘ్య వ్యాకోచ గుణకాలు వరుసగా 2.0 × 10^-5K^-1, 1.2 × 10^-5 K^-1).
సాధన:
∆L₁ =L₁α₁∆T= 50 × (2.10 × 10^-5 )(250 – 40) = 0.2205 cm
∆L₂ = L₂α₂∆T = 50(1.2 × 10^-5) (250 – 40) = 0.126 cm
∴ సంయోగ కడ్డీలో మార్పు = ∆L₁ + ∆L₂ = 0.220 + 0.126 = 0.346 cm

ప్రశ్న 11.
గ్లిసరిన్ ఘనపరిమాణ వ్యాకోచ గుణకం 49 × 10^-5K^-1. ఉష్ణోగ్రతను 30°C కు పెంచితే దాని సాంద్రతలో కలిగే అంశిక మార్పు ఎంత ?
సాధన:
ఇచ్చట γ = 49 × 10^-5K^-1,
∆T = 30°C
V’ = V + ∆V = V(1 + γ∆T)
∴ V’ =V(1 + 49 × 10^-5 × 30) = 1.0147 V
ρ = కనుక ρ’ = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{V}^{\prime}}=\frac{\mathrm{m}}{1.0147 \mathrm{~V}}\) = 0.9855p
సాంద్రతలో కలిగే అంశిక మార్పు = \(\frac{\rho-\rho^{\prime}}{\rho}=\frac{\rho-0.9855 \rho}{\rho}\) = 0.0145

ప్రశ్న 12.
8.0 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక చిన్న అల్యూమినియం దిమ్మెలో రంధ్రం వేయడానికి 10kW (రంధ్రాలు చేసే) యంత్రాన్ని ఉపయోగించారు. 50% యంత్రం సామర్థ్యం యంత్రం వేడెక్కడానికి లేదా పరిసరాలలోకి ఉష్ణ నష్టం జరగడానికి ఉపయోగపడింది అనుకొంటే 2.5 నిమిషాలలో దిమ్మె ఉష్ణోగ్రతలో కలిగే పెరుగుదల ఎంత ? అల్యూమినియం విశిష్ట గుప్తోష్ణం = 0.91 Jg^-1 °K^-1,
సాధన:
ఇచ్చట P = 10 k W = 10⁴W, ద్రవ్యరాశి,m = 8.0 kg = 8 × 10³ g
ఉష్ణోగ్రతలో తగ్గుదల AT = ?, కాలం t = 2.5 నిమిషాలు = 2.5 × 60 = 150s
రాగి విశిష్టోష్టం, C = 0.91 Jg^-1 K^-1
మొత్తం శక్తి Q = P × t = 10⁴ × 150 = 15 × 10⁵ J
50% శక్తి నష్టపోయిన ఉపయోగించుటకు వీలుగా వున్న శక్తి ∆Q = \(\frac{1}{2}\) × 15 × 10⁵ = 7.5 × 10⁵ J
As, ∆Q = m c ∆T
∴ ∆T = \(\frac{\Delta Q}{\mathrm{mc}}=\frac{7.5 \times 10^5}{8 \times 10^3 \times 0.91}\) = 103°C

ప్రశ్న 13.
2.5 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక రాగి దిమ్మెను కొలిమిలో 500°C ఉష్ణోగ్రతకు వేడిచేసి ఒక పెద్ద మంచు దిమ్మెపై ఉంచారు. అప్పుడు గరిష్ఠంగా కరిగే మంచు పరిమాణం ఎంత ? (రాగి విశిష్టోష్ణం = 0.39 Jg^-1 K^-1 నీటి ద్రవీభవన గుప్తోష్ణం = 335 Jg^-1 ).
సాధన:
రాగి దిమ్మె ద్రవ్యరాశి m = 2.5 kg = 2500 g ;
రాగి విశిష్టోష్ణం c = 0.39 J g^-1 K^-1;
ఉష్ణోగ్రతలో తగ్గుదల ∆T = 500 – 0 = 500°C
ద్రవీభవన గుప్తోష్ణం L = 335 J g^-1
కరుగుచున్న మంచు ద్రవ్యరాశిని m’ అని అనుకొనుము.
మంచు గ్రహించిన ఉష్ణరాశి = రాగి కోల్పోయిన ఉష్ణరాశి
∴ m’L = mc ∆T
m’ = \(\frac{\mathrm{mc} \Delta \mathrm{T}}{\mathrm{L}}=\frac{2500 \times 0.39 \times 500}{335}\) = 1500g = 1.5kg

ప్రశ్న 14.
ఒక పదార్థం విశిష్టోష్ణం కనుక్కొనే ప్రయోగంలో 150°C వద్ద ఉన్న 0.20 kg ల ఒక లోహపు దిమ్మెను 27°C వద్ద 150 cm3 నీరు ఉన్న కెలోరిమీటరు (జల తుల్యాంకం 0.025 kg) లోకి జారవిడిచారు. తుది ఉష్ణోగ్రత 40°C. లోహపు దిమ్మె విశిష్టోష్ణం గణన చేయండి. పరిసరాలలోకి నష్టపోయిన ఉష్ణం విస్మరించదగినంత కాకపోతే మీ సమాధానం ఆ పదార్థం విశిష్టోష్టం అసలు విలువ కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందా లేదా తక్కువగా ఉంటుందా ?
సాధన:
లోహం ద్రవ్యరాశి m = 0.20 kg = 200 g
లోహం ఉష్ణోగ్రతలో తగ్గుదల ∆T = 150 – 40 = 110°C
‘C’ అనునది లోహం విశిష్టోష్టం అయిన లోహం కోల్పోయిన ఉష్ణరాశి
∆Q = mC∆T = 200 × c × 110 ………………. (i)
నీటి ఘనపరిమాణం = 150 c.c.
∴ నీటి ద్రవ్యరాశి m’. = 150 g
కైలోరి మీటరు నీటి తుల్యాంకం w = 0.025 kg = 25 g
నీటి మరియు కెలోరీ మీటరు ఉష్ణోగ్రతలో పెరుగుదల ∆T’ = 40 – 27 = 13°C
నీరు మరియు కెలోరీ మీటరు గ్రహించిన ఉష్ణరాశి
∆Q’ = (m’ + w)∆T’ = (150 + 25) × 13 = 175 × 13 …………….. (ii)
∆Q = ∆Q’ కావున
∴ (i) మరియు (ii) సమీకరణముల నుంచి 200 × c × 110 = 175 × 13 (లేదా) c = \(\frac{175 \times 13}{200 \times 110}\) ≈ 0.1.
పరిసరాలకు కొంత ఉష్ణం నష్టపోవడం వలన నిజ విలువ కన్నా సాధించిన c విలువ తక్కువగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 15.
గది ఉష్ణోగ్రత వద్ద కొన్ని సాధారణ వాయువుల మోలార్ విశిష్టోష్టాలపై చేసిన పరిశీలనలు కింద ఇవ్వడమైంది.

ఈ విధంగా కొలచిన వాయువుల మోలార్ విశిష్టోష్ట విలువలు ఏక పరమాణు వాయువుల విలువల కంటె విశేషంగా భిన్నమైనవి. ఉదాహరణకు, ఏక పరమాణుక వాయువు మోలార్ విశిష్టోష్ణం 2.92 cal/mol K. ఈ వ్యత్యాసం ఎందుకో వివరించండి. క్లోరిన్ విలువ కొంత వరకు అధికంగా (మిగతా వాటి కంటే) ఉండటాన్ని బట్టి ఏమి చెప్పవచ్చు ?
సాధన:
పైన పట్టికలో ఇవ్వబడిన వాయువుల ద్వి పరమాణు వాయువులు, ఏక పరమాణు వాయువులు కావు. ద్విపరమాణువు వాయువుల మోలార్ విశిష్టోష్ణం = \(\frac{1}{2}\)R = \(\frac{5}{2}\) × 1.98=4 .95 ఈ పట్టిక నందు ఇచ్చిన పరిశీలనల దృష్ట్యా క్లోరిన్ మినహాయించి మిగిలిన వాయువులు అన్నియూ నియమానుసారం ఉన్నట్లుగా ఆమోదించవచ్చును. ఏక పరమాణు వాయువులలో β అణువులకు స్థానాంతర చలనం మాత్రమే ఉంటుంది.

ద్వి పరమాణువు వాయువులో β అణువులు స్థానాంతర చలనంతో పాటు కంపన మరియు భ్రమణ చలనాలను కూడా కలిగి ఉంటాయి. అందువలన 1 మోల్ ద్విపరమాణు వాయువు ఉష్ణోగ్రతను 1°C పెంచుటకు, స్థానాంతర శక్తితో పాటుగా, భ్రమణ మరియు కంపన శక్తులను పెంచుటకు కావలసిన ఉష్ణరాశిని సరఫరా చేయవలెను. అందువల్ల మోలార్ విశిష్టోష్టం ఏక పరమాణు వాయువుల కన్నా ద్వి పరమాణు వాయువులకు ఎక్కువ.

గది ఉష్ణోగ్రత వద్ద క్లోరిన్ మోలార్ విశిష్టోష్ణం విలువ మిగిలిన ద్విపరమాణు వాయువులు హైడ్రోజన్, నైట్రోజన్, ఆక్సిజన్ మొ॥ కన్నా అధికముగా ఉండటాన్ని బట్టి క్లోరిన్క స్థానాంతర, భ్రమణ చలనాలతో పాటు కంపన చలనాలు కూడా ఉంటాయి. మిగిలిన వాయువులకు స్థానాంతర మరియు భ్రమణ చలనాలు మాత్రమే ఉంటాయి. ఈ కారణం వలన క్లోరిన్ వాయువు కొంత అధిక మోలార్ విశిష్టోష్ణం విలువను కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 16.
కార్బన్ డై ఆక్సైడ్ P-T ప్రావస్థా పటం ఆధారంగా కింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలను ఇవ్వండి.
(a) ఏ ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద సమతాస్థితిలో CO₂ ఘన, ద్రవ, బాష్ప స్థితులు కలిసి ఉంటాయి ?
(b) CO₂ ఘనీభవన, బాష్పీభవన స్థానాలపై పీడన తగ్గుదల ప్రభావమేమిటి ?
(c) CO₂ సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రత, పీడన విలువలు ఏమిటి ? వాటి ప్రాముఖ్యత ఏమిటి ?
(d) క్రింది వివిధ సందర్భాలలో CO₂ ఘనమా, ద్రవమా లేదా వాయువా తెలపండి. a) 1atm, – 70°C వద్ద b) 10atm, -60°C వద్ద c) 56 atm, 15°C వద్ద ?

సాధప:
(a) -56.6° C ఉష్ణోగ్రత, 5.11 వాతావరణ పీడనం (త్రిక బిందువు) ల వద్ద CO₂, ఘన, ద్రవ మరియు బాష్ప స్థితులు కలసి ఉంటాయి.

(b)పీడనాన్ని తగ్గిస్తూ ఉంటే, CO₂ యొక్క ఘనీభవన మరియు బాష్పీభవన స్థానాలు తగ్గుతాయి.

(c) CO₂ సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రత విలువ 31.1°C మరియు సందిగ్ధ పీడనము విలువ 73 వాతావరణ పీడనము. CO₂ ఉష్ణోగ్రత 31.1°C కన్నా పెంచినపుడు ఎంత ఎక్కువ పీడనాన్ని ప్రయోగించిన అది ద్రవంగా మారదు.

(d) (a) 1 atm, -70° C వద్ద CO₂ వాయువు వాయు స్థితిలో ఉంటుంది.
(b) 1 atm, -60°C వద్ద CO₂ ఘన స్థితిలో ఉంటుంది.
(c) 56 atm, 150°C వద్ద CO₂ ద్రవ స్థితిలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 17.
CO₂ P-T ప్రావస్థా పటం ఆధారంగా క్రింది ప్రశ్నలకు సమాధానాలు ఇవ్వండి.
(a) 1 atm పీడనం, -60°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద CO₂ ను సమోష్ణోగ్రతా ప్రక్రియలో సంపీడనం చెందిస్తే దానిలో మార్పు ద్రవ ప్రావస్థ ద్వారా జరుగుతుందా ?
(b) 4 atm పీడనం వద్ద ఉన్న CO₂ను స్థిర పీడనం వద్ద గది ఉష్ణోగ్రత నుంచి చల్లబరిస్తే ఏమవుతుంది ?
(c) 10 atm పీడనం, -65°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద నిర్దిష్ట ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఘన CO₂ ను స్థిర పీడనం వద్ద గది ఉష్ణోగ్రతకు వేడిచేస్తే, దానిలో కలిగే మార్పులను గుణాత్మకంగా వివరించండి.
(d) CO₂ను 70°C ఉష్ణోగ్రతకు వేడిచేసి సమోష్ణోగ్రతా ప్రక్రియలో సంపీడనం చెందించారు. దాని ధర్మాలలో ఎలాంటి మార్పులు కలుగుతాయో మీరు ఊహించగలరా ?
సాధన:
(a) 60°C ఉష్ణోగ్రత వక్రంలో 56.6°C కు ఎడమవైపు ఉన్నది. అనగా ఇది ఘన మరియు బాష్ప ప్రదేశాలలో ఉంటుంది. కావున CO₂ ద్రవ ప్రావస్థను చేరకుండా బాష్ప ప్రావస్థ నుండి ఘన ప్రావస్థను చేరుతుంది.

(b) CO₂ పీడనం 4 atm విలువ 5.11 atm ల కన్నా తక్కువగా ఉన్నది కావున, అది ద్రవ ప్రావస్థను పొందకుండా నేరుగా ఘనీభవిస్తుంది.

(c) 10 atm పీడనం, -65°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద నిర్దిష్ట ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఘన CO₂ ను స్థిర పీడనం వద్ద వేడిచేస్తే ఘన స్థితి నుండి ద్రవ స్థితికి మారి ఆ తరువాత బాష్ప స్థితికి చేరుతుంది. P-T పటంలో క్షితిజ సమాంతర రేఖ 10 atm స్థిర పీడనం వద్ద ఘనీభవన, బాష్పీభవన వక్రాలను ఖండించే బిందువులు ఘనీభవన, బాష్పీభవన బిందువులను ఇస్తాయి.

(d) CO₂ ను 70°C ఉష్ణోగ్రతకే వేడిచేసి సమ ఉష్ణోగ్రతా ప్రక్రియలో సంపీడనం చెందించిన ద్రవస్థితికి పరివర్తనను విస్పష్టంగా ప్రదర్శించదు. ఎందుకనగా వాయువు ఉష్ణోగ్రత, సందిగ్ధ ఉష్ణోగ్రత కన్నా ఎక్కువ. కాని పీడనం అధికమయ్యే కొలదీ ఆదర్శ వాయు ప్రవర్తన నుంచి విచలనము పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 18.
ఒక బాలుడు 101°F ఉష్ణోగ్రత జ్వరంతో ఉన్నాడు. అతడు జ్వరాన్ని తగ్గించే ఆంటీసైరిన్ మాత్ర తీసుకొన్నప్పుడు ఆ మాత్ర కారణంగా అతని దేహం నుంచి వెలువడే చెమట ఆవిరయ్యే రేటు పెరుగుతుంది. 20 నిమిషాలలో బాలుడి జ్వరాన్ని 98°Fకు తగ్గిస్తే, ఆ మాత్ర వల్ల కలిగే ఆదనపు ఆవిరయ్యే రేటు ఎంత ? ఆవిరిగా మారే క్రియ వల్లనే ఉష్ణ నష్టం జరుగుతుంది అనుకోండి. బాలుడి ద్రవ్యరాశి 30 kg. మానవ దేహం విశిష్టోష్ణం ఉజ్జాయింపుగా నీటి విశిష్టోష్ణానికి సమానం. ఆ ఉష్ణోగ్రత వద్ద నీటి ఆవిరి గుప్తోష్టం సుమారుగా 580 cal g^-1,
సాధన:
ఉష్ణోగ్రతలో తగ్గుదల, ∆T = 101 – 98 = 3°F = 3 × \(\frac{5}{9}\)°C = 5/3°C
బాలుడు ద్రవ్యరాశి, m = 30 kg
మానవ శరీరం విశిష్టోష్ణం = నీటి విశిష్టోష్ణం c = 1000 cal. kg^-1 °C^-1
∴ బాలుడు నష్టపోయిన ఉష్ణరాశి, ∆Q = mc∆T = 30 × 1000 × \(\frac{5}{3}\) = 50000 cals
20 నిమిషాలలో ఆవిరి అయిన నీటి ద్రవ్యరాశి m’ అయిన m’L = ∆Q (లేదా) m’ = \(\frac{\Delta Q}{L}\) = \(\frac{50000}{580}\) = 86.2g
∴ అధికంగా ఆవిరి కాబడిన నీటి సగటు రేటు = \(\frac{86.2}{20}\) = 4.31 g min^-1

ప్రశ్న 19.
ప్రత్యేకంగా వేసవి కాలంలో తక్కువ పరిమాణంలో వండిన ఆహారాన్ని నిల్వ చేయడానికి చౌకయిన, సమర్థవంతమైన పద్ధతి థర్మోకోల్ మంచుపెట్టె. 30 cm పొడవు గల ఘన మంచు పెట్టె మందం 5.0 cm. ఆ పెట్టెలో 4.0 kg ల మంచును ఉంచారు. 6 గంటల తరువాత మిగిలి ఉండే మంచు పరిమాణాన్ని అంచనా వేయండి. వెలుపలి ఉష్ణోగ్రత 45°C, థర్మోకోల్ ఉష్ణ వాహకత్వ గుణకం 0.01 J s^-1 m^-1K^-1 [నీటి ద్రవీభవన ఉష్ణం = 335 × 10^-3 J kg^-1]
సాధన:
మంచు పెట్టె పొడవు, l = 30 cm = 0.3 m;
మందం, ∆x = 5 cm = 0.05 m
మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం, A = 6l² = 6 × 0.3 × 0.3 = 0.54 m²
ఉష్ణోగ్రతలో వ్యత్యాసము, ∆T = 45 – 0 = 45°C, K = 0.01 Js^-1 m^-1 K^-1
కాలం = ∆t = 6hrs = 6 × 60 × 60s
ద్రవీభవన గుప్తోష్టం, L = 335 × 10³ J / kg
ఈ కాలంలో కరిగిన మంచు ద్రవ్యరాశిని ‘m’ అనుకొనిన ∆Q = mL = KA\(\left(\frac{\Delta \mathrm{T}}{\Delta \mathrm{x}}\right)\)ΔΤ
m = KA \(\left(\frac{\Delta \mathrm{T}}{\Delta \mathrm{x}}\right) \frac{\Delta \mathrm{t}}{\mathrm{L}}\) = 0.01 × 0.54 × \(\frac{45}{0.05}\) × \(\frac{6 \times 60 \times 60}{335 \times 10^3}\) = 0.313kg
∴ మిగిలిన మంచు ద్రవ్యరాశి = 4 – 0.313 = 3.687 kg.

ప్రశ్న 20.
ఒక ఇత్తడి బాయిలర్ అడుగు భాగం వైశాల్యం 0.15 m², మందం 1.0 cm. దీనిని ఒక గ్యాస్ స్టవ్ పై పెట్టినప్పుడు 6.0 kg/min రేటున నీటిని మరిగిస్తుంది. బాయిలర్తో స్పర్శలో ఉన్న మంటలోని కొంత భాగం ఉష్ణోగ్రతను అంచనా వేయండి. ఇత్తడి-ఉష్ణవాహకత్వం = 109 J s^-1 m^-1 K^-1; నీటి బాష్పీభవన ఉష్ణం = 2256 × 10³ J kg^-1.
సాధన:
ఇచ్చట A = 0.15 m², ∆x = 1.0 cm = 10^-2 m.
\(\frac{\Delta \mathrm{Q}}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{6 \times 10^3 \times 2256}{60}\) Js^-1 = 2256 × 10² Js^-1
K = 609 J s^-1 m^-1 °C^-1, ∆T = (t-100)
\(\frac{\Delta Q}{\Delta t}\) = KA \(\left(\frac{\Delta T}{\Delta \mathrm{x}}\right)\) నుండి 2256 × 10² = 609 × 0.15\(\frac{(\mathrm{t}-100)}{10^{-2}}\)
t – 100 = \(\frac{2256}{609 \times 0.15}\) = 24.70
⇒ t = 124.70°C

ప్రశ్న 21.
ఎందుకో వివరించండి :
(a) అధిక పరావర్తకత ఉన్న వస్తువు అధమ ఉద్గారకం.
(b) అతి శీతలంగా ఉన్న రోజు చెక్క పళ్ళెం కంటే ఇత్తడి పాత్ర చాలా చల్లగా ఉంటుంది.
(c) పరిపూర్ణ కృష్ణ వస్తువు వికిరణానికి క్రమాంకనం చేసిన దృశా పైరామీటరు (అధిక ఉష్ణోగ్రత కొలవడానికి) బాహ్య ప్రదేశంలో ఉన్న బాగా ఎర్రగా వేడెక్కిన ఇనుప కడ్డీ ఉష్ణోగ్రతను చాలా తక్కువ విలువగా చూపుతుంది. కాని, అదే కడ్డీని కొలిమిలో అమర్చినప్పుడు ఆ ఉష్ణోగ్రత వద్ద సరైన విలువను చూపుతుంది.
(d) భూమిపై భూ వాతావరణం లేకుంటే జీవకోటి ఉండటానికి వీలులేనంత చల్లగా ఉండేది.
(e) వేడి నీటిని ప్రవహింపచేయడంపై ఆధారపడ్డ తాపన వ్యవస్థ కంటే ఆవిరిని ప్రవహింప చేయడంపై ఆధారపడ్డ తాపన వ్యవస్థ చాలా సమర్థవంతంగా భవంతిని వేడి చేయగలదు.
సాధన:
(a) అధిక పరావర్తకత కలిగిన వస్తువు ఉష్ణాన్ని అధమంగా శోషించుకుంటుంది. ప్రివోస్ట్ సిద్ధాంతము ప్రకారము అధమ శోషకాలు, అధమ ఉద్గారకాలు.

(b) అతిశీతలంగా ఉన్న రోజున ఇత్తడి పాత్రను తాకిన, ఉష్ణం మనిషి శరీరం నుండి ఇత్తడి పాత్రకు ప్రవర్తిస్తుంది. అందువల్ల ఇత్తడి పలక చల్లగా ఉంటుంది. చెక్క పళ్ళెంను తాకిన, ఉష్ణం మనిషి శరీరం నుండి పళ్ళెంనకు ప్రసరించదు.

(c) కొలమిలో అమర్చి బాగా ఎర్రగా వేడిచేసిన ఇనుపకడ్డీ ఉష్ణోగ్రత TK ను E = σT^-1 అను సంబంధము ద్వారా రాబట్టవచ్చు. T_o ఉష్ణోగ్రత కలిగిన బాహ్య ప్రదేశంలో ఉంచిన బాగా ఎర్రగా వేడెక్కిన ఇనుప కడ్డీ విడుదల చేసే శక్తిని, E = σ(T⁴ – T_o^4-) అను సంబంధము ద్వారా కనుగొనవచ్చు.

దృశ్యా పైరోమీటరు అను పరికరము వస్తువు యొక్క ప్రకాశం, దాని ఉష్ణోగ్రతపై ఆధారపడి ఉంటుందనే సూత్రముపై పనిచేస్తుంది. అందువల్ల బాహ్య ప్రదేశంలో ఉంచిన ఇనుప కడ్డీ ఉష్ణోగ్రతను చాలా తక్కువగా చూపుతుంది.

(d) సూర్యుని నుంచి భూమికి వచ్చే ఉష్ణ వికిరణాలలో పరారుణ వికిరణాలను భూవాతావరణంలోని పొరలు పరావర్తనం చెందించి భూఉపరితలానికి చేరుస్తాయి. దీని ఫలితంగా భూవాతావరణం వెచ్చగా ఉంటుంది. భూమిపై భూవాతావరణం లేకుంటే, పరారుణ వికిరణాలు పరావర్తనం జరగక జీవకోటి ఉండటానికి వీలు లేనంత చల్లగా ఉంటుంది.

(e) 100°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న బాష్పం, 100°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న అంతే ద్రవ్యరాశి కలిగిన వేడి నీటికన్నా ఎక్కువ ఉష్ణరాశిని కలిగియుంటుంది. 100°C వద్ద ఉన్న 1 గ్రామ్ నీటి ఉష్ణం కన్నా, 100°C వద్ద ఉన్న 1 గ్రామ్ బాష్పం 540 కెలరీల ఎక్కువ ఉష్ణరాశిని కలిగియుంటుంది. కావున వేడినీటిని ప్రవహింపచేయడంపై ఆధారపడ్డ తాపన వ్యవస్థ కంటే ఆవిరిని ప్రవహింపచేయటంపై ఆధారపడ్డ తాపన వ్యవస్థ చాలా సమర్థవంతంగా భవంతిని వేడి చేయగలదు.

ప్రశ్న 22.
ఒక వస్తువు 5 నిమిషాలలో 80°C నుంచి 50°C కు చల్లబడుతుంది. 60°C నుంచి 30°C కు చల్లబడటానికి పట్టే కాలం కనుక్కోండి. పరిసరాల ఉష్ణోగ్రత 20°C.
సాధన:
వస్తువు ఉష్ణోగ్రత మరియు పరిసరాల ఉష్ణోగ్రతలు వరుసగా T మరియు T_o అయిన న్యూటన్ శీతలీకరణ సిద్ధాంతము ప్రకారము
\(\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{dt}}\) = -K(T – T_o) (లేదా) \(\frac{\mathrm{dT}}{\mathrm{T}-\mathrm{T}_0}\) = -K dt
వస్తువు ఉష్ణోగ్రత T₁ నుంచి T₂ వరకు t అనే కాలంలో తగ్గిన పై సంబంధాన్ని సమాకలనం చేయగా

ప్రశ్నలోని మొదటి సందర్భమునకు,
T₁ = 80°C,
T₂ = 50°C,
T₀ = 20°C,
t = 5 min. = 5 × 60s

(లేదా) t = 5 × 60 × 2 = 10 × 60s = 10 min.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 5 Products of Vectors Ex 5(b) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Products of Vectors Solutions Exercise 5(b)

I.
Question 1.
If |p̅| = 2, |q̅| = 3 and (p, q) = \(\frac{\pi}{6}\), then find |p̅ × q̅|².
Answer:
p̅ × q̅ = |p̅| |q̅| sinθn̂
Given p̅ = 2, q̅ = 3 and (p̅. q̅) = \(\frac{\pi}{6}\)
|p̅ × q̅| = (2) (3)sin\(\frac{\pi}{6}\) = 3
∴ |p̅ × q̅|² = 9

Question 2.
If a̅ = 2i̅ – j̅ + k̅ and b̅ = i̅ – 3j̅ – 5k̅, then find |a̅ × b̅|. (March 2013)
Answer:
a̅ = 2 i̅ – j̅ + k̅ and b̅ = i̅ – 3 j̅ – 5k̅

Question 3.
If a̅ = 2i̅ – 3j̅ + k̅ and b̅ = i̅ + 4j̅ – 2k̅, then find (a̅ + b̅) × (a̅ – b̅).
Answer:
Given a̅ = 2i̅ – 3j̅ + k̅ and b̅ = i̅ + 4j̅ – 2k̅
Then a̅ + b̅ = 3 i̅ + j̅ – k̅ and a̅ – b̅ = i̅ – 7j̅ + 3k̅
(a + b) × (a – b) = \(\left|\begin{array}{rrr}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
3 & 1 & -1 \\
1 & -7 & 3
\end{array}\right|\)
= i̅(3 – 7) – j̅(9 + l) + k̅ (- 21 – 1)
= -4i̅ – 10j̅ – 22k̅
= -2 (2i̅ + 5j̅ + 11k̅)

Question 4.
If 4i̅ + \(\frac{2 p}{3}\) j̅ + pk̅ is parallel to the vector 3 i̅ + 2j̅ + 3k̅, find p.
Answer:
Given 4i̅ + \(\frac{2 p}{3}\) j̅ + pk̅ is parallel to
i̅ + 2j̅ + 3k̅
∴ \(\frac{4}{1}=\frac{\frac{2 p}{3}}{2}=\frac{p}{3}\)
⇒ \(\frac{2 p}{3}\) = -4 ⇒ p = 12

Question 5.
Compute
a̅ × (b̅ + c̅) + b̅ × (c̅ + a̅) + c̅ × (a̅ + b̅)
Sol.
a̅ × (b̅ + c̅) + b̅ × (c̅ + a̅) + c̅ × (a̅ + b̅)
= (a̅ × b̅) + (a̅ × c̅) + (b̅ × c̅) + (b̅ × a̅) + (c̅ × a̅) + (c̅ × b̅)
= (a̅ × b̅) + (a̅ × c̅) + (b̅ × c̅) – (a̅ × b̅) – (a̅ × c̅) – (b̅ × c̅)
= 0

Question 6.
If p̅ = xi̅ + yj̅ + zk̅, then find |p̅ × k̅|².
Answer:
p̅ × k̅ = (xi̅ + yj̅ + zk̅) × k̅
= x(i̅ × k̅) + y(j̅ × k̅) + z(k̅ × k̅)
= -xj̅ + yi̅ + z(0)
= yi̅ – xj̅
|p̅ × k̅|² = x² + y²

Question 7.
Compute 2j̅ × (3i̅ – 4k̅) + (i̅ + 2j̅) × k̅
Sol.
2j̅ × (3i̅ – 4k̅) + (i̅ + 2j̅) × k̅
= 6(j̅ × i̅) – 8(j̅ × k̅) + (i̅ × k̅) + 2(j̅ × k̅)
= -6k̅ – 8i̅ – j̅ + 2i̅
= -6i̅ – j̅ – 6k̅

Question 8.
Find unit vector perpendicular to both i̅ + j̅ + k̅ and 2i̅ + j̅ + 3k̅.
Answer:
Given a̅ = i̅ + j̅ + k̅ and b̅ = 2i̅ + j̅ + 3k̅
then a̅ × b̅ = \(\left|\begin{array}{lll}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right|\)
= i̅(3 – 1) – j̅(3 – 2) + k̅(1 – 2)
= 2i̅ – j̅ – k̅
|a̅ × b̅| = \(\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}\)
Unit vector perpendicular to both a̅ and b̅
= ±\(\frac{\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}}{|\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}|}=\pm\left(\frac{2 \overline{\mathrm{i}}-\overline{\mathrm{j}}-\overline{\mathrm{k}}}{\sqrt{6}}\right)\)

Question 9.
If θ is the angle between the vectors i̅ + j̅ and j̅ + k̅, then find sin θ.
Answer:
Let a̅ = i̅ + j̅ and b̅ = j̅ + k̅

Question 10.
Find the area of the parallelogram having a̅ = 2j̅ – k̅ and b̅ = – i̅ + k̅ as adjacent sides.
Answer:
Vector area of the parallelogram having
a̅ = 2j̅ – k̅ and b̅ = -i̅ + k̅ as adjacent sides = a̅ × b̅
= \(\left|\begin{array}{rrr}
\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\
0 & 2 & -1 \\
-1 & 0 & 1
\end{array}\right|\) = 2 i̅ + j̅ + 2k̅
Area of the parallelogram
= |a̅ × b̅| = \(\sqrt{4+1+4}\) = 3 sq. units.

Question 11.
Find the area of the parallelogram whose diagonals are 3i̅ + j̅ – 2k̅ and i̅ – 3j̅ + 4k̅.
Answer:
Let a̅ = 3i̅ + j̅ – 2k̅ and b̅ = i̅ – 3j̅ + 4k̅ be the diagonals of a parallelogram then its vector area = \(\frac{1}{2}\)(a̅ × b̅) and area |\(\frac{1}{2}\)(a̅ × b̅)|
a̅ × b̅ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
3 & 1 & -2 \\
1 & -3 & 4
\end{array}\right|\)
= i̅ [4 – 6] – j̅ [12 + 2] + k̅ [-9 – 1]
= -2i̅ – 14j̅ – 10k̅
= 2(-i̅ – 7j̅ – 5k̅)
Vector area of parallelogram = |\(\frac{1}{2}\)(a̅ × b̅)|
= |[2(-i̅ – 7j̅ – 5k̅)]
= (-i̅ – 7j̅ – 5k̅)
Area of the parallelogram = |- i̅ – 7 j̅ – 5k̅|
= \(\sqrt{1+49+25}=\sqrt{75}\) = 5√3 sq. units.

Question 12.
Find the area of the triangle having 3 i̅ + 4j̅ and – 5 i̅ + 7j̅ as two of its sides.
Answer:
Area of the triangle = \(\frac{1}{2}\) \(|\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}|\)
\(\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}\) = (3i̅ + 4j̅) × (-5i̅ + 7j̅)
= -15(i̅ × i̅) – 20(j̅ × i̅) + 21(i̅ × j̅) + 28 (j̅ × j̅)
= 20k̅ + 21k̅ = 41k̅
Area of the ΔABC = \(\frac{1}{2}\) \((41) = 20.5 sq. units

Question 13.
Find unit vector perpendicular to the plane determined by the vectors a̅ = 4i + 3j – k and b̅ = 2 i – 6 j 3k .
Answer:
Here a̅ = 4 i̅ + 3 j̅ – k̅ and b̅ = 2 i̅ – 6 j̅ – 3k̅
then a̅ × b̅

= i̅(-15) – j̅(-10) + k̅(-30)
= -15i̅ +10j̅ – 30k̅
= -5(3i̅ – 2j̅ + 6k̅)
|a̅ × b̅| = 5[latex]\sqrt{9+4+36}\) = 5(7) = 35
∴ Unit vector perpendicular to the plane
= \(\pm \frac{5(3 \bar{i}-2 \bar{j}+6 \bar{k})}{35}\)
= \(\frac{\pm(3 \bar{i}-2 \bar{j}+6 \bar{k})}{7}\)

Question 14.
Find the area of the triangle whose vertices are A (1, 2, 3), B (2, 3, 1) and C (3, 1, 2). (Mar. ’14, ’06)
Answer:
Suppose i̅, j̅, k̅ are unit vectors along the coordinate axes.
Position vectors of A, B, C are i̅ + 2j̅ + 3k̅, 2i̅ + 3j̅ + k̅, 3i̅ + j̅ + 2k̅
\(\overline{\mathrm{AB}}\) = (2i̅ + 3j̅ + k̅) – (i̅ + 2j̅ + 3k̅)
= i̅ + j̅ – 2k̅
\(\overline{\mathrm{AC}}\) = (3 i̅ + j̅ + 2k̅) – (i̅ + 2 j̅ + 3k̅)
= 2i̅ – j̅ + k̅

\(\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}=\left|\begin{array}{rrr}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
1 & 1 & -2 \\
2 & -1 & -1
\end{array}\right|\)
= i̅(-1 – 2) – j̅(-1 + 4) + k̅(-1 – 2)
= -3i̅ – 3 j̅ – 3k̅ = -3(i̅ + j̅ + k̅)
Area of the ΔABC = \(\frac{1}{2}|\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}|\)
= \(\frac{3}{2} \sqrt{1+1+1}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}\)sq.units

II.
Question 1.
If a̅ + b̅ + c̅ = 0, then prove that a̅ × b̅ = b̅ × c̅ = c̅ × a̅.
Answer:
Given a̅ + b̅ + c̅ = 0
⇒ a̅ = -b̅ – c̅
∴ a̅ × b̅ = -(b̅ × b̅) – (c̅ × b̅)
= 0 + (b̅ × c̅) = (b̅ × c̅) …………(1)
Again a̅ + b̅ + c̅ = 0
⇒ c = -a̅ – b̅
⇒ c̅ × a̅ = (-a̅ – b̅) × a̅
= -(a̅ × a̅) – (b̅ × a̅)
= 0 + (a̅ × b̅)
∴ (c̅ × a̅) = (a̅ × b̅) …………..(2)
From (1) and (2), a̅ × b̅ = b̅ × c̅ – c̅ × a̅

Question 2.
If a̅ = 2i̅ + j̅ – k̅, b̅ = -i̅ + 2j̅ – 4k̅ and c̅ = i̅ + j̅ + k̅, then find (a̅ × b̅) – (b̅ × c̅). (March 2015-A.P)
Answer:
Given a̅ = 2i̅ + j̅ – k̅, b̅ = – i̅ + 2 j̅ – 4k̅ and c̅ = i̅ + j̅ + k̅
Then a̅ × b̅ = \(\left|\begin{array}{rrr}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
2 & 1 & -1 \\
-1 & 2 & -4
\end{array}\right|\)
= i̅ (-4 + 2) – j̅ (-8 – 1) + k̅(4 + 1)
= -2i̅ + 9 j̅ + 5k̅
b̅ × c̅ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
-1 & 2 & -4 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right|\)
= i̅ (2 + 4) – j̅ (-1 + 4) + k̅(-1 – 2)
= 6i̅ – 3j̅ – 3k̅
(a̅ × b̅) – (b̅ × c̅) = (-2i̅ + 9j̅ + 5k̅) – (6i̅ – 3j̅ – 3k̅)
= -12 – 27 – 15
= -54

Question 3.
Find the vector area and the area of the parallelogram having a̅ = i̅ + 2j̅ – k̅ and b̅ = 2i̅ – j̅ + 2k̅ as adjacent sides.
Answer:
Given a̅ = i̅ + 2j̅ – k̅ and b̅ = 2i̅ – j̅ + 2k̅
Then the vector area of parallelogram = a̅ × b̅
∴ (a̅ x b̅) = \(\left|\begin{array}{rrr}
\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\
1 & 2 & -1 \\
2 & -1 & 2
\end{array}\right|\)
= i̅ (4 – 1)- j̅ (2 + 2) + k̅(-1 – 4)
= 3i̅ – 4j̅ – 5k̅

Magnitude of the area = \(\sqrt{9+16+25}\)
= \(\sqrt{50}\) = 5√2 sq. units

Question 4.
If a̅ × b̅ = b̅ × c̅ ≠ 0, then show that a̅ + c̅ = pb̅, where p is some scalar.
Answer:
Consider (a̅ + c̅ – pb̅) × b̅
= (a̅ × b̅) + (c̅ × b̅) – p(b̅ × b̅)
= (b̅ × c̅) – (b̅ × c̅) – p(0) = 0
∴ a̅ + c̅ – pb̅ = 0 ⇒ a̅ + c̅ = pb̅

Question 5.
Let a and b be vectors, satisfying |a̅| = |b̅| = 5 and (a̅, b̅) = 45°. Find the area of the triangle having a̅ – 2b̅ and 3a̅ + 2b̅ as two of its sides. [March 2007]
Answer:
Area of the triangle = \(\frac{1}{2}\) |(a̅ – 2b̅) × (3a̅ + 2b̅)|
Now |(a̅ – 2b̅) × (3a̅ + 2b̅)|
= 13(a̅ × a̅) – 2(b̅ × a̅) – 6(b̅ × a̅) – 4(b̅ × b̅)|
= 12(a̅ × b̅) + 6(a̅ × b̅)| = 18(a̅ × b̅)|
= 8|a̅| |b̅| sin45°
= 8(5)(5)\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)n̂
= 100√2n̂
From (1)
Area of the triangle = \(\frac{1}{2}\)(100)√2
= 50√2 sq. units

Question 6.
Find die vector having magnitude √6 units and perpendicular to both 2j̅ – k̅ and 3j̅ – i̅ – k̅.
Answer:
Let a̅ = 2 i̅ – k̅ and b̅ = 3i̅ – j̅ – k̅
Then a̅ × b̅ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\bar{j} & \bar{i} & \bar{k} \\
2 & 0 & -1 \\
3 & -1 & -1
\end{array}\right|\)
= i̅(-1) – j̅(-2 + 3) + k̅(-2)
= – i̅ – j̅ – 2k̅
= -(i̅ + j̅ + 2k̅)
|a̅ × b̅| = \(\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}\)
Vector perpendicular to a̅ and b̅ and having magnitude √6 units is = -(i̅ + j̅ + 2k̅)
Unit vector perpendicular to a and b and having magnitude √6 units is ±\(\left(\frac{\bar{a} \times \bar{b}}{|\bar{a} \times \bar{b}|}\right)\)

Question 7.
Find unit vector perpendicular to the plane determined by the points P (1, – 1, 2), Q (2, 0, – 1) and R (0, 2, 1).
Answer:
Let O be the origin.
\(\overline{\mathrm{OP}}\) = i̅ – j̅ + 2k̅
\(\overline{\mathrm{OQ}}\) = 2i̅ – k̅
\(\overline{\mathrm{OR}}\) = 2j̅ + k̅
\(\overline{\mathrm{PQ}}=\overline{\mathrm{OQ}}-\overline{\mathrm{OP}}\) = (2i̅ – k̅) – (i̅ – j̅ + 2k̅)
= i̅ + j̅ – 3k̅
\(\overline{\mathrm{PR}}=\overline{\mathrm{OR}}-\overline{\mathrm{OP}}\) = (2j̅ + k̅) – (i̅ – j̅ + 2k̅)
= – i̅ + 3 j̅ – k̅

Now \(\overline{\mathrm{PQ}} \times \overline{\mathrm{PR}}=\left|\begin{array}{ccc}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
1 & 1 & -3 \\
-1 & 3 & -1
\end{array}\right|\)
= i̅ (-1 + 9) – j̅ (-1 – 3) + k̅(3 + 1)
= 8i̅ + 4j̅ + 4k̅
= 4(2i̅ + j̅ + k̅)
\(|\overline{\mathrm{PQ}} \times \overline{\mathrm{PR}}|=4 \sqrt{4+1+1}=4 \sqrt{6}\)

∴ Unit vector perpendicular to the plane determined by the points P, Q and R is

Question 8.
If a̅. b̅ = a̅. c̅ and a̅ × b̅ = a̅ × c̅, a ≠ 0, then show that b̅ = c̅.
Answer:
a̅ . b̅ = a̅. c̅
⇒ a̅.b̅ – a̅.c̅ = 0
⇒ a̅ . (b̅ – c̅) = 0
⇒ b̅ – c̅ = 0 (or) a̅ is perpendicular to
b̅ – c̅ ……… (1) (∵ a̅ ≠ 0)
Again a̅ × b̅ = a̅ × c̅ = 0
⇒ a̅ × b̅ – a̅ × c̅
⇒ a̅ × (b̅ – c̅) = 0 (∵ a ≠ 0)
⇒ b̅ – c̅ = 0 (or) a is parallel to
b̅ – c̅ ………(2)
From (1) and (2);
b̅ – c̅ = 0 ⇒ b̅ = c

Question 9.
Find a vector of magnitude 3 and perpendicular to both the vectors b̅ = 2 i̅ – 2j̅ + k̅ and c̅ = 2i̅ + 2j̅ + 3k̅.
Answer:
b̅ × c̅ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\bar{i} & \vec{j} & \bar{k} \\
2 & -2 & 1 \\
2 & 2 & 3
\end{array}\right|\)
= i̅ [-6 – 2] – j̅ [6 – 2] + k̅ [4 + 4]
= -8i̅ – 4j̅ + 8k̅ = -4(2i̅ + j̅ – 2k̅)
∴ A vector of magnitude 3 and perpendicular to both the vectors b̅ and c̅ is = ± 3\(\frac{\bar{b} \times \bar{c}}{|\bar{b} \times \bar{c}|}\)
= 3\(\left[\frac{-4(2 \bar{i}+\bar{j}-2 \bar{k})}{12}\right]\)
= ± (2i̅ + j̅ – 2k̅)

Question 10.
If |a̅|=13, |b̅| = 5 and a̅. b̅ = 60, then find |a̅ × b̅|.
Answer:
We have |a̅ × b̅| = |a̅|² |b̅|² – (a̅. b̅)²
= (13)² (5)² – (60)²
= (169) 25 – 3600
= 4224 – 3600 = 625
|a̅ × b̅| = \(\sqrt{625}\) = 25

Question 11.
Find unit vector perpendicular to the plane passing through the points (1, 2, 3), (2,-1, 1) and (1,2,- 4). (March 2005)
Answer:
Let O’ be the origin and let A (1, 2, 3), B (2, – 1, 1) and C (1, 2,-4) be the given points.
Then \(\overline{\mathrm{OA}}\) = i̅ + 2 j̅ + 3k̅
\(\overline{\mathrm{OB}}\) = 2 i̅ – j̅ + k̅
\(\overline{\mathrm{OC}}\) = i̅ + 2j̅ – 4k̅
\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\)
= (2i̅ – j̅ + k̅) – (i̅ + 2j̅ + 3k̅)
= i̅ – 3 j̅ – 2k̅
\(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{OC}}-\overline{\mathrm{OA}}\)
= (i̅ + 2j̅ – 4k̅) – (i̅ + 2j̅ + 3k̅)
= -7k̅
\(\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}=\left|\begin{array}{ccc}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
1 & -3 & -2 \\
0 & 0 & -7
\end{array}\right|\)
= i̅(21) – j̅(-7) + k̅(0)
= 7(3i̅ + j̅)
\(|\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}|=7 \sqrt{9+1}=7 \sqrt{10}\)

Unit vector perpendicular to the plane

III.
Question 1.
If a̅, b̅ and c̅ represent the vertices A, B and C respectively of ΔABC, then prove that |(a̅ × b̅) + (b̅ × c̅) + (c̅ × a̅)| is twice the area of ΔABC.
Answer:
Let ‘O’ be the origin and
\(\overline{\mathrm{OA}}\) = a̅, \(\overline{\mathrm{OB}}\) = b̅, \(\overline{\mathrm{OC}}\) = c̅
\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = b – a
and \(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{OC}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = c – a
∴ Area of ΔABC = \(\frac{1}{2}|\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}|\) ………(1)
Here \(\overline{\mathrm{AB}} \times \overline{\mathrm{AC}}\) = (b̅ – a̅) × (c̅ – a̅)
= (b̅ × c̅) – (a̅ × c̅) – (b̅ × a̅) + (a̅ × a̅)
= (b̅ × c̅) + (c̅ × a̅) + (a̅ × b̅) (v a̅ × a̅ = 0)
∴ Area of ΔABC = \(\frac{1}{2}\)|b̅ × c̅ + c̅ × a̅ + a̅ × b̅|
⇒ |b̅ × c̅ + c̅ × a̅ + a̅ × b̅| = 2 (area of ΔABC)
⇒ |(a̅ × b̅) + (b̅ × c̅) + (c̅ × a̅)|
= 2 (area of ΔABC)

Question 2.
If a̅ = 2i̅ + 3j̅ + 4k̅, b̅ = i̅ + j̅ – k̅ and c̅ = i̅ – j̅ + k̅, then compute a̅ × (b̅ × c̅) and verify that it is perpendicular to a̅.
Answer:
b̅ × c̅ = \(\left|\begin{array}{rrr}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right|\)
= i̅(1 – 1) – j̅(1 + 1) + k̅(-1 – 1)
= -2j̅ – 2k̅

a̅ × (b̅ × c̅) = \(\left|\begin{array}{ccc}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
2 & 3 & 4 \\
0 & -2 & -2
\end{array}\right|\)
= i̅(-6 + 8)- j̅(-4) + k̅(-4)
= 2i̅ + 4j̅ – 4k̅
Now [a̅ × (b̅ × c̅)].a̅
= (2i̅ + 4j̅ – 4k̅)(2i̅ + 3j̅ + 4k̅)
= 4 + 12 – 16 = 0
a̅ × (b̅ × c̅) is perpendicular to a̅.

Question 3.
If a̅ = 7i̅ – 2j̅ + 3k̅, b̅ = 2i̅ + 8k̅ and c̅ = i̅ + j̅ + k̅, then compute a̅ × b̅, a̅ × c̅ and a̅ × (b̅ + c̅), Verify whether the cross product is distributive over vector addition.
Answer:
a̅ × b̅ = \(\left|\begin{array}{rrr}
\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\
7 & -2 & 3 \\
2 & 0 & 8
\end{array}\right|\)
= i̅ (-16 – 0) – j̅ (56 – 6) + k̅(4)
= -16 i̅ – 50 j̅ + 4k̅

a̅ × c̅ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\
7 & -2 & 3 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right|\)
= i̅ (-2 – 3) – j̅ (7 – 3) + k̅(7 + 2)
= -5i̅ – 4 j̅ + 9k̅

b̅ + c̅ = 2i̅ + 8k̅ + i̅ + j̅ + k̅
= 3 i̅ + j̅ + 9k̅

a̅ × (b̅ + c̅) = \(\left|\begin{array}{ccc}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
7 & -2 & 3 \\
3 & 1 & 9
\end{array}\right|\)
= i̅ (-18 – 3) – j̅ (63 – 9) + k̅(7 + 6)
= -21i̅ – 54j̅+ 13k̅ …………..(1)
Now (a̅ × b̅) + (a̅ × c̅)
= -16i̅ – 50j̅ + 4k̅ – 5i̅ – 4j̅ + 9k̅
= -21i̅ – 54j̅ + 13k̅ …………(2)
From (1) and (2);
a̅ × (b̅ + c̅) = (a̅ × b̅) + (a̅ × c̅)
∴ Vector product is distributive over vector addition.

Question 4.
If a̅ = i̅ + j̅ + k̅, c = j̅ – k̅, then find vector b such that a̅ × b̅ = c̅ and a̅. b̅ = 3
Answer:
Let b̅ = b₁i̅ + b₂j̅ + b₃k̅
Given a̅. b̅ = 3
⇒ b₁ + b₂ + b₃ = 3 ………..(1)
and a̅ × b̅ = c̅
\(\left|\begin{array}{ccc}
\overline{\mathrm{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
1 & 1 & 1 \\
\mathrm{~b}_1 & \mathrm{~b}_2 & \mathrm{~b}_3
\end{array}\right|\) = j̅ – k̅
⇒ i̅(b₃ – b₂) – j̅(b₃ – b₁) + k̅(b₂ -b₁) = j̅ – k̅
∴ b₃ – b₁ = – 1 ……………(2)
and b₂ – b₁ = – 1 ……………(3)

∴ b₃ – b₂ = 0 ⇒ b₃ = b₂
∴ From (1), b₁ + 2b₂ = 3 ………(4)
∴ From (3), – b₁ + b₂ = – 1
∴ 3b₂ = 2 ⇒ b₂ = \(\frac{2}{3}\) ……..(5)
∴ b₂ = b₃ = \(\frac{2}{3}\)
b₁ = 3 – 2b₂ = 3 – \(\frac{4}{3}=\frac{5}{3}\) ………(6)

b = b₁ i̅ + b₂ j̅ + b₃k̅
= \(\frac{5}{2}\)i̅ + \(\frac{2}{3}\) j̅ + \(\frac{2}{3}\)k̅
= \(\frac{1}{3}\) (5i̅ + 2 j̅ + 2k̅)

Question 5.
a̅, b̅, c̅ are three vectors of equal magnitudes and each of them is inclined at an angle of 60° to the others. If |a̅ + b̅ + c̅| = √6(5 then find |a̅|.
Answer:
Given |a̅| = |b̅| = |c̅| = k(suppose)
and (a̅,b̅) = (b̅, c̅) = (c̅, a̅) = 60°
Also
(a̅ + b̅ + c̅) = |a̅|² + |b̅|² + |c̅|² + 2(a̅.b̅ + b̅.c̅ + c̅.a̅)
= k² + k² + k² + 2 [|a̅| |b̅| cos60° + |b̅| |c̅| cos60° + |c̅||a̅|cos60°]
= 3k² + \(\frac{2}{2}\)[k² + k² + k²] = 6k²
∴ 6 = 6k² (∵ |a̅ + b̅ + c̅| = √6)
⇒ k = 1
∴ |a̅| = 1

Question 6.
For any two vectors a and b, show that (1 + |a̅|²)(1 + |b̅|²) = |1 – a̅.b̅|² + |a̅ + b̅ + a̅ × b̅|²
Answer:

Question 7.
If a̅, b̅, c̅ are unit vectors such that a is perpendicular to the plane of b̅, c̅ and the angle between b̅ and c̅ is \(\frac{\pi}{3}\), then find |a̅ + b̅ + c̅|.
Answer:
Given that |a̅| = |b̅| = |c̅| = 1
Since a is perpendicular to the plane of b̅, c̅
⇒ We have a̅ . b̅ = 0 and a̅ . c̅ = 0
and given (b̅, c̅) = \(\frac{\pi}{3}\)
Now (a̅ + b̅ + c̅)² = |a̅|² + |b̅|² + |c̅|² + 2[(a̅. b̅) + (b̅. c̅) + (c̅. a̅)]
= 1 + 1 + 1 + 2|b̅||c̅|cos \(\frac{\pi}{3}\)
= 3 + 2\(\left(\frac{1}{2}\right)\) = 4
∴ |a + b + c| = 2

Question 8.
If a̅ = 3i̅ – j̅ + 2k̅, b̅ = – i̅ + 3j̅ + 2k̅, c̅ = 4i̅ + 5j̅ – 2k̅ and d̅ = i̅ + 3j̅ + 5k̅. then compute the following
i) (a̅ × b̅) × (c̅ × d̅)
Answer:
a̅ × b̅ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\
3 & -1 & 2 \\
-1 & 3 & 2
\end{array}\right|\)
= i̅ (-2 – 6) – j̅ (6 + 2) + k̅(9 – 1)
= -8i̅ – 8j̅ + 8k̅ = 8(-i̅ – j̅ + k̅)

c̅ × d̅ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\
4 & 5 & -2 \\
1 & 3 & 5
\end{array}\right|\)
= i̅(25 + 6) – j̅(20 + 2) + k̅(12 – 5)
= 31i̅ – 22j̅ + 7k̅

(a̅ × b̅) × (c̅ × d̅) = \(\left|\begin{array}{ccc}
\bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\
-8 & -8 & 8 \\
31 & -22 & 7
\end{array}\right|\)
= i̅ (-56 +176) – j̅ (-56 – 248) + k̅(176 + 248)
= i̅(120) + j̅(304) + 424 k̅
= 8[15i̅ + 38j̅ + 53k̅]

ii) (a̅ × b̅) . c̅ – (a̅ × d̅), b̅
Answer:
a̅ × b̅ = -8i̅ – 8j̅ + 8k̅
c̅ = 4 i̅ + 5 j̅ – 2k̅
∴ (a̅ × b̅). c̅ = -32 – 40 – 16 = -88 ………(1)
a̅ × d̅ = \(\left|\begin{array}{rrr}
\overline{\mathbf{i}} & \overline{\mathrm{j}} & \overline{\mathrm{k}} \\
3 & -1 & 2 \\
1 & 3 & 5
\end{array}\right|\)
= i̅ (-5 – 6) – j̅ (15 – 2) + k̅(9 + 1)
= -11i̅ – 13j̅ + 10k̅
(a̅ × d̅) . b̅ = (-11i̅ – 13 j̅ + 10k̅) – (-i̅ + 3j̅ + 2k̅)
= 11 – 39 + 20 = -8 ……….(2)
(a̅ × b̅).c̅ – (a̅ × d̅).b̅ = – 88 + 8 = – 80

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 5 Products of Vectors Ex 5(a) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Products of Vectors Solutions Exercise 5(a)

Question 1.
Find the angle between the vectors i̅ + 2j̅ + 3k̅ and 3i̅ – j̅ + 2k̅. (Mar. ’14)
Answer:
Let a̅ = i̅ + 2j̅ + 3k̅ and b̅ = 3i̅ – j̅ + 2k̅ and θ be the angle between them. Then

Question 2.
If the vectors 2i̅ + λ j̅ – k̅ and 4i̅ – 2j̅+ 2k̅ are perpendicular to each other then find λ. [March, May 2005]
Answer:
Let a̅ = 2i̅ + λ j̅ – k̅ and b̅ = 4i̅ – 2j̅+ 2k̅ and If a̅ is perpendicular to b̅ then a̅.b̅ = o
⇒ (2i̅ + λ j̅ – k̅).(4i̅ – 2j̅+ 2k̅) = o
⇒ 8 – 2λ – 2 = 0 ⇒ 6 – 2λ = 0 ⇒ λ = 3

Question 3.
For what values of , the vectors i̅ – j̅ + 2k̅ and 8i̅ + 6j̅ – k̅ are at right angles?
Answer:
Let a̅ = i̅ – j̅ + 2k̅ and b̅ = 8i̅ + 6j̅ – k̅
If a̅, b̅ are right angles then a̅.b̅ = o
⇒ 8 – 6λ – 2 = 0
⇒ -6λ + 6 = 0
⇒ λ = 1

Question 4.
a̅ = 2i̅ – j̅ + k̅, b̅ = i̅ – 3j̅ – 5k̅. Find the vector c such that a, b and c form the sides of a triangle.
Answer:
a̅ = 2i̅ – j̅ + k̅, b̅ = i̅ – 3j̅ – 5k̅
∵ a̅, b̅, c̅ form the sides of a triangle a̅ + b̅ + c̅ = 0

∴ c̅ = -a̅ – b̅
= -(2i̅ – j̅ + k̅) – (i̅ – 3 j̅ – 5k̅)
= -3i̅ + 4j̅ + 4k̅

Question 5.
Find the angle between the planes r̅ . (2i̅ – j̅ + 2k̅) = 3 and r̅ .(3i̅ + 6j̅ + k̅) =4 (March 2015-T.S)
Answer:
If the angle between planes

Question 6.
Let \(\overline{\mathrm{e}}_1\) and \(\overline{\mathrm{e}}_{\mathbf{2}}\) be unit vectors making angle θ. If \(\frac{1}{2}\left|\overline{\mathrm{e}}_1-\overline{\mathrm{e}}_2\right|\) = sin λθ, then find λ.
Answer:

Question 7.
Let a̅ = i̅ + j̅ + k̅ and b̅ = 2 i̅ + 3j̅ + k̅. Find
(i) the projection vector of bona and its magnitude
(ii) The vector components of b̅ in the direction of a̅ and perpendicular to a̅. [May 2006]
Answer:
Orthogonal projection of a vector b̅ on a̅ is

(ii) The component vector b in the direction of –

Question 8.
Find the equation of the plane through the point (3, – 2, 1) and perpendicular to the vector (4, 7, – 4).
Answer:
The equation of the plane passing through a̅ and perpendicular to the vector n̅ is r̅. n̅ = a̅. n̅
Given n̅ = 4i̅ + 7j̅ – 4k̅ and a̅ = 3i̅ – 2j̅ + k̅
r̅ . (4i̅ + 7j̅ – 4k̅) – (3i̅ – 2j̅ + k̅) . (4i̅ + 7j̅ – 4k̅)
r . (4i̅ + 7j̅ – 4k̅) = 12 – 14 – 4 = – 6
⇒ r̅ . (-4i̅ – 7j̅ + 4k̅) = 6

Question 9.
If a̅ = 2i̅ + 2j̅ – 3k̅, b = 3i̅ – j̅ + 2k̅, then find the euigle between 2a̅ + b̅ and a̅ + 2b̅.
Answer:
Given a̅ = 2i̅ + 2j̅ – 3k̅ and b̅ = 3i̅ – j̅ + 2k̅
We have
2a̅ + b = 4i + 4j̅ – 6k̅ + 3i̅ – j̅ + 2k̅ = 7i̅ + 3j̅ – 4k̅
and a̅ + 2b̅ = (2i̅ + 2 j̅ – 3k̅) + 2(31-7 + 2k) = 8i̅ + k̅
Let ‘θ’ be the angle between the vectors 2a̅ + b̅ and a̅ + 2b̅

II.
Question 1.
Find the unit vector parallel to the XOY plane and perpendicular to the vector 4i̅ – 3j̅ + k̅.
Answer:
Any vector parallel to XOY plane will be of the form xi̅ + yj̅.
The vector parallel to the XOY plane and perpendicular to the vector 4i̅ – 3j̅ + k̅ is 3i̅ + 4j̅
Its magnitudes |3i̅ + 4j̅| = \(\sqrt{9+16}\) = 5
Unit vector parallel to XOY plane and perpendicular to the vector 4i̅ – 3j̅ + k̅ is
\(\pm\left(\frac{3 \overline{\mathrm{i}}+4 \overline{\mathrm{j}}}{\sqrt{9+16}}\right)=\pm\left(\frac{3 \overline{\mathrm{i}}+4 \overline{\mathrm{j}}}{5}\right)\)

Question 2.
If a̅ + b̅ + c̅ = 0, |a̅I|= 3, |b̅| = 5 and |c̅| = 5 then find the angle between a̅ and b̅.
Answer:
Given a̅ + b̅ + c̅ = 0
c̅ = -(a̅ + b̅)
⇒ |c̅|² = (a̅ + b̅)² = a̅² + b̅² + 2(a̅. b̅)
⇒ 49 = 9 + 25 + 2( .6)

Question 3.
If |a̅| = 2, |b̅| = 3 and |c̅| = 4 juid each of a̅, b̅, c̅ is perpendicular to the sum of the other two vectors, then find the magnitude of a̅ + b̅ + c̅.
Answer:
Given |a̅| = 2, |b̅| = 3 and |c̅| = 4
Since each of a̅, b̅, c̅ is perpendicular to the sum of other two vectors i.e., a̅ is perpendicular to b̅ + c̅
a̅ . (b̅ + c̅) = 0 ⇒ a̅ . b̅ + a̅ . c̅ = 0
Similarly
b̅.(c̅ + a̅) = 0 ⇒ b̅.c̅ + b̅.a̅ = 0
and c-(a + b) = 0 ⇒ c̅. a̅ + c̅. b̅ = 0 Adding we get
2 [(a̅ . b̅) + (b̅ . c̅) + (c̅ . a̅)] = 0 …….(1)
Also (a̅ + b̅ + c̅)
= |a̅|² + |b̅|² + |c̅|² + 2(a̅.b̅ + b̅.c̅ + c̅.a̅)
= 4 + 9 + 16 + 2(a̅.b̅ + b̅. c̅ + c̅.a̅)
= 4 + 9 + 16 + 2 (0) = 29
∴ |a̅ + b̅ + c̅| = \(\sqrt{29}\)

Question 4.
Find the equation of the plane passing through the point a̅ = 2i̅ + 3j̅ – k̅ and perpendicular to the vector 3i̅ – 2j̅ – 2k̅ and the distance of this plane from the origin.
Answer:
Equation of the plane passing through the point a, and perpendicular to the vector n̅ is (r̅ – a̅) . n̅ = 0
⇒ 7 . n̅ = a̅ . n̅
(liven a̅ = 2i̅ + 3 j̅ – k̅ and n̅ = 3i̅ – 2j̅ – 2k̅
We have r̅ . (3 i̅ – 2 j̅ – 2k̅)
= (2i̅ + 3j̅ – k̅) . (3i̅ – 2j̅ – 2k̅)
= 6 – 6 + 2 = 2
⇒ r̅ . (3i̅ – 2j̅ – 2k̅) = 2
The distance from origin to this plane is

Question 5.
a̅, b̅, c̅ and d̅ are the position vectors of four coplanar points such that (a̅ – d̅) . (b̅ – c̅) = (b̅ – d̅) . (c̅ – a̅) = 0. Show that the point d represents the orthocentre of the triangle with a̅, b̅ and c̅ as its vertices.
Answer:

Position vectors of A, B, C, D are a̅, b̅, c̅, d̅ respectively.
\(\overline{\mathrm{DA}}=\overline{\mathrm{OA}}-\overline{\mathrm{OD}}\) = a̅ – d̅
\(\overline{\mathrm{CB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OC}}\) = b̅ – c̅
\(\overline{\mathrm{DB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OD}}\) = b̅ – d̅
\(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{OC}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = c̅ – a̅
Given (a̅ – d̅) . (b̅ – c̅) = 0
⇒ \(\overline{\mathrm{DA}} \cdot \overline{\mathrm{CB}}\) = 0
⇒ \(\overline{\mathrm{DA}}\) is perpendicular to \(\overline{\mathrm{BC}}\)
∴ \(\overline{\mathrm{AD}}\) is an altitude of ΔABC
and (b̅ – d̅) . (c̅ – a̅) = 0
⇒ \(\overline{\mathrm{DB}} \cdot \overline{\mathrm{AC}}\) = 0
⇒ \(\overline{\mathrm{DB}}\) is perpendicular to \(\overline{\mathrm{AC}}\)
\(\overline{\mathrm{DB}}\) another altitude ΔABC
Altitudes AD and BD intersect at D
D(d) is the orthocentre of ΔABC.

III.
Question 1.
Show that the points (5, – 1, 1), (7, – 4, 7), (1,-6, 10) and (- 1, – 3, 4) are the vertices of a rhombus. (March 2013)
Answer:
Let A (5,-1, 1), B (7,-4, 7), C (1,-6, 10) and D (- 1, – 3, 4) are the given points.

∴ AB = BC = CD = DA = 7 units and AC ≠ BD
∴ A, B, C, D are the points which are the vertices of a rhombus.

Question 2.
Let a̅ = 4i̅ + 5j̅ – k̅, b̅ = i̅ – 4j̅ + 5k̅ and c̅ = 3i̅ + j̅ – k̅. Find the vector which is perpendicular to both a and b and whose magnitude is twenty one times the magnitude of c̅.
Answer:
Given a̅ = 4 i̅ + 5 j̅ – k̅
b̅ = i̅ – 4 j̅ + 5k̅
and c̅ = 3 i̅ + j̅ – k̅
Let r̅ = xi̅ + yj̅ + zk̅ be the vector which is perpendicular to both a and b.
Then r̅. a̅ = 0 and r̅.b̅ = 0
⇒ 4x + 5y – z = 0 …………..(1)
and x – 4y + 5z = 0 ……….(2)

⇒ x = λ, y = -λ, z = -λ
∴ The vector which is perpendicular to both a̅ and b̅ is r̅ = λ(i̅ – j̅ – k̅)
Magnitude of c = \(\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}\)
∴ The vector which is perpendicular to both a̅ and b̅ whose magnitude is 21 times the
magnitude of c̅ is = ± \(\frac{21 \sqrt{11}(\bar{i}-\bar{j}-\bar{k})}{|\bar{i}-\bar{j}-\bar{k}|}\)
= ± 7\(\sqrt{33}\) (i̅ – j̅ – k̅)

Question 3.
G is the centroid of ΔABC and a̅, b̅, c̅ are the lengths of the sides \(\overline{\mathrm{B C}}, \overline{\mathrm{C A}}\) and \(\overline{\mathrm{AB}}\) respectively. Prove that \(\bar{a}^2+\bar{b}^2+\bar{c}^2=3\left(\overline{\mathrm{OA}}^2+\overline{\mathrm{OB}}^2+\overline{\mathrm{OC}}^2\right)-9(\overline{\mathrm{OG}})^2\). where ‘O’ is any point.

Answer:
Given that \(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{CA}}=\overline{\mathrm{b}}\) and \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{c}}\).
Let O’ be the origin and let p.q.r be the position vectors of A, B, C then \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{p}}\), \(\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{q}}, \quad \overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{r}}\) respectively.
Then the position vector of centroid

Question 4.
A line makes angles θ₁, θ₂, θ₃, and θ₄ with the diagonals of a cube. Show that cos²θ₁ + cos²θ₂ + cos²θ₃ + cos²θ₄ = \(\frac{4}{3}\).
Answer:

Let ‘O’ be the origin and ‘a’ be the length of the side of a cube.
i̅, j̅, k̅ are unit vectors along X, Y and Z axes respectively.

Let r̅ = xi̅ + yj̅ + zk̅ be the line makes angles θ₁, θ₂, θ₃, θ₄ with diagonals of a cube

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 10th Lesson P బ్లాక్ మూలకాలు – 13వ గ్రూప్ Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 10th Lesson P బ్లాక్ మూలకాలు – 13వ గ్రూప్

అత్యంత లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
బోరాన్, థాలియం ఆక్సిడేషన్ స్థితుల మార్పు విధానాన్ని చర్చించండి.
జవాబు:
IIIA గ్రూపు మూలకాల బాహ్య ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం ns² np¹. ఈ విన్యాసం వలన ఈ మూలకాలన్ని +3 ఆక్సిడేషన్ స్థితిని కనపరుస్తాయి. B, Al మినహా మిగిలిన అన్ని మూలకాలు +1 ఆక్సిడేషన్ స్థితిని చూపిస్తాయి. +3 ఆక్సీకరణ స్థితి యొక్క స్థిరత్వం B నుంచి Tl కు తగ్గుతుంది. +1 ఆక్సీకరణ స్థితి యొక్క స్థిరత్వం జడ ఎలక్ట్రాన్ జంట ప్రభావం వలన పై నుంచి క్రిందకు పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 2.
Tl Cl₃ అధిక స్థిరత్వాన్ని ఎట్లా వివరిస్తారు ?
జవాబు:
TlCl₃ అస్థిరమైనది జడ ఎలక్ట్రాన్ జంట ప్రభావం వలన Tl⁺³ అయాన్ అస్థిరమైనది. థాలియం +1 ఆక్సీకరణ స్థితిలో స్థిరంగా ఉంటుంది. కావున TlCl స్థిరమైనది.

ప్రశ్న 3.
BF₃ లూయీ ఆమ్లంగా ఎందుకు ప్రవర్తిస్తుంది ?
జవాబు:

• BF₃ ఎలక్ట్రాన్ కొరత గల సమ్మేళనం.
• అష్టక విన్యాసం పొందటం కోసం ఇది ఎలక్ట్రాన్ జంటను స్వీకరిస్తుంది.
• ఎలక్ట్రాన్ జంటల స్వీకర్తలను లూయీ ఆమ్లాలు అంటారు.
• కావున BF₃ లూయీ ఆమ్లంగా ప్రవర్తిస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
బోరిక్ ఆమ్లం ప్రోటాన్ ఇచ్చే ఆమ్లమా ? వివరించండి.
జవాబు:

• బోరిక్ ఆమ్లం ప్రోటాన్ ఇచ్చే ఆమ్లము కాదు. కాని ఇది లూయీ ఆమ్లంగా ప్రవర్తిస్తుంది.
• ఇది ఎలక్ట్రాన్ జంటను హైడ్రాక్సిల్ అయాన్ నుంచి స్వీకరించి లూయీ ఆమ్లంగా పనిచేస్తుంది.
  B(OH)₃ + 2HOH → [B(OH)₄]^– + H₃\(\mathrm{O}^{+}\)

ప్రశ్న 5.
బోరిక్ ఆమ్లాన్ని వేడిచేస్తే ఏమవుతుంది ?
జవాబు:
బోరిక్ ఆమ్లాన్ని 370K కంటే ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రతకు వేడిచేస్తే మెటాబోరికామ్లం (HBO₂) ఏర్పడుతుంది. దీనిని ఇంకా వేడిచేస్తే బోరిక్ ఆక్సైడ్ (B₂O₃) ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 6.
BF₃, B\(H_4^{-}\) ల ఆకారాలను వర్ణించండి. ఈ కణాలలో బోరాన్ సంకరకరణం రాయండి.
జవాబు:

• BF₃ అణువు ఆకారం సమతల త్రిభుజాకారం. దీనిలో బోరాన్ sp² సంకరీకరణం జరుపుకుంటుంది.
• B\(\mathrm{H}_4^{-}\) అణువు ఆకారం టెట్రాహెడ్రల్. దీనిలో బోరాన్ sp³ సంకరీకరణం జరుపుకుంటుంది.

ప్రశ్న 7.
Ga పరమాణు వ్యాసార్ధం Al కంటే ఎందుకు తక్కువ ఉంటుంది ? వివరించండి.
జవాబు:

• గాలియంలో ఉపాంత్యకర్పరంలో పది 3d – ఎలక్ట్రాన్లు ఉంటాయి.
• ఈ ఎలక్ట్రాన్ల వలన పరిరక్షక ప్రభావం తక్కువగా ఉంటుంది. కావున ‘Ga’ లో కేంద్రక ఆవేశం పెరుగును.
• కావున Ga యొక్క పరమాణు వ్యాసార్ధం Al కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 8.
జడజంట ప్రభావాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
బాహ్యస్థాయి (ns) లోని ఎలక్ట్రాన్లను విడగొట్టి బంధంలో పాల్గొనకుండా చేసే ప్రభావాన్ని జడ ఎలక్ట్రాన్ జంట ప్రభావం అంటారు.

ప్రశ్న 9.
ఈ క్రింది సమీకరణాలను తుల్యంచేసి రాయండి.
a) BF₃ + LiH →
b) B₂H₆ + H₂O →
c) NaH + B₂H₆
d)

e)

జవాబు:
a) 2BF₃ + 6LiH → B₂H₆ + 6LiF
b) B₂H₆ + 6H₂O → 2 H₃BO₃ + 6H₂
c) 2NaH + B₂H₆ → 2 NaBH₄
d)

e)

ప్రశ్న 10.
బోరిక్ ఆమ్లం బహ్వణుకగా ఎందుకు ఉంటుంది ?
జవాబు:
బోరిక్ ఆమ్లం పొరలవంటి జాలక నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఈ నిర్మాణంలో BO₃ యూనిట్లు హైడ్రోజన్ బంధాలతో కలుపబడి బహ్వణుక (పాలిమర్) అణువుగా ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 11.
డైబోరేన్, బోరజీన్లలో బోరాన్ సంకరకరణం ఏమిటి ?
జవాబు:

• డై బోరేన్లో బోరాన్ sp³ సంకరీకరణం జరుపుకుంటుంది.
• బోరజీన్లో బోరాన్ sp² సంకరీకరణం జరుపుకుంటుంది.

ప్రశ్న 12.
13 గ్రూప్ మూలకాల ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసాన్ని రాయండి.
జవాబు:
13 గ్రూపు మూలకాల ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం

ప్రశ్న 13.
బోరజీన్ సాంకేతికాన్ని రాయండి. దాని సాధారణ నామం ఏమిటి?
జవాబు:

• బోరజీనన్ను B₃N₃H₆ అనే ఫార్ములాతో సూచిస్తారు.
• దీని నిర్మాణం బెంజీన్ నిర్మాణాన్ని పోలి ఉండటం వలన దీనిని ఇనార్గానిక్ బెంజీన్ అని అంటారు.

ప్రశ్న 14.
(a) బోరాక్స్
(b) కోలిమనైట్ సాంకేతికాలు ఇవ్వండి.
జవాబు:
a) బోరాక్స్ ఫార్ములా Na₂B₄O₇. 10H₂O
b) కోలిమనైట్ ఫార్ములా Ca₂B₆O₁₁ . 5H₂O

ప్రశ్న 15.
అల్యూమినియం ఉపయోగాలు రెండు రాయండి.
జవాబు:

• అల్యూమినియమ్న మిశ్రమ లోహాల తయారీలో ఉపయోగిస్తారు.
• విమాన విడిభాగాల తయారీలో ఉపయోగిస్తారు.
• పైపులు, ట్యూబులు, రాడ్లు, తీగలు వంటి వాటి తయారీలో ఉపయోగిస్తారు.
• నిర్మాణాలలో, రవాణా పరిశ్రమల్లో కూడా దీనిని ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 16.
కింది చర్యల్లో ఏమి జరుగుతుంది ?
(a) LiAlH₄, BCl₃ మిశ్రమాన్ని అనార్ద్ర ఈథర్లో వెచ్చబెట్టినప్పుడు
b) బోరాక్స్న H₂SO₄ తో వేడిచేసినప్పుడు
జవాబు:
a) LiAlH₄, BCl₃ మిశ్రమాన్ని అనార్ద్ర ఈథర్ వెచ్చబెట్టినపుడు డైబోరేన్ ఏర్పడుతుంది.

b) బోరాక్స్ను H₂SO₄ తో వేడిచేసినపుడు బోరిక్ ఆమ్లం ఏర్పడును.
Na₂B₄O₇ + H₂SO₄ + 5H₂O → Na₂SO₄ + 4H₃BO₃

ప్రశ్న 17.
ఆర్థోబోరిక్ ఆమ్ల నిర్మాణాన్ని గీయండి.
జవాబు:
ఆర్థోబోరిక్ ఆమ్లం నిర్మాణం :

ప్రశ్న 18.
AlCl₃ ద్విఅణుక నిర్మాణాన్ని రాయండి.
జవాబు:
AlCl₃ ద్విఅణుక నిర్మాణం :

ప్రశ్న 19.
లోహ బోరైడ్లను (¹⁰B) రక్షణ కవచాలుగా వాడతారు. ఎందుకు ?
జవాబు:
లోహ బోరైడ్లకు (¹⁰B) న్యూట్రాన్లను శోషించుకొనే సామర్థ్యం కలదు. కావున వీనిని న్యూక్లియర్ పరిశ్రమలలో రక్షణ కవచాలుగా వాడతారు.

లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 20.
అల్యూమినియంకు ద్విస్వభావికం ఉన్నదని రుజువు చేసే చర్యలు రాయండి.
జవాబు:
అల్యూమినియం ఆమ్ల మరియు క్షారద్రావణాలలో కరుగుతుంది. కావున దీనికి ద్విస్వభావికం కలదు.

• విలీన ఆమ్లాలలో Al కరిగి H₂ వాయువును విడుదల చేస్తుంది.
  2 Al + 6 HCl → 2 AlCl₃ + 3H₂↑
• క్షారాలలో Al కరిగి H2 వాయువును విడుదలచేస్తుంది.
  2 Al + 2NaOH + 6H₂O → 2 Na⁺ [Al (OH)₄]^– + 3H₂

ప్రశ్న 21.
ఎలక్ట్రాన్ కొరత గల సమ్మేళనాలంటే ఏమిటి ? BCl₃ ఎలక్ట్రాన్ కొరత గల సమ్మేళనమా ? వివరించండి.
జవాబు:

• అష్టక విన్యాసాన్ని పొందని కేంద్రక పరమాణువులు కలిగి ఉన్న అణువులను ఎలక్ట్రాన్ కొరత గల అణువులు అంటారు.
• BCl₃ ఎలక్ట్రాన్ కొరత గల సమ్మేళనం. దీనిలో కేంద్రకం B చుట్టూ 6 ఎలక్ట్రాన్లు మాత్రమే ఉంటాయి.
• BCl₃ అణువులోని కేంద్రక బోరాన్ పరమాణువు అష్టక విన్యాసాన్ని పొందలేదు.

ప్రశ్న 22.
BF₃, B\(F_4^{-}\) లో B – F బంధ దూరాలు వరసగా 130 pm, 143 pm ఎందుకు వేరువేరుగా ఉన్నాయో కారణాలు సూచించండి.
జవాబు:
BF₃ లో B పరమాణువు sp² సంకరీకరణం జరుపుకుంటుంది. ఇది సమతల త్రిభుజాకృతిని కలిగి ఉంటుంది. BF₃ లో బోరాన్ పరమాణువు ఫ్లోరిన్ నుంచి ఒక ఎలక్ట్రాన్ జంటను స్వీకరించి దానితో బాక్ బంధంలో పాల్గొంటుంది. కావున B – F బంధము కొంత ద్విబంధ స్వభావాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

కాని B\(F_4^{-}\) లో B పరమాణువు sp³ సంకరీకరణం జరుపుకుంటుంది. ఇది టెట్రెహెడ్రల్ ఆకృతిని కలిగి ఉంటుంది. బోరాన్కు ఫ్లోరిన్కు మధ్య బాక్ బంధం ఉండదు.
కావున BF₃ లో బంధ దూరం 130PPM ఉంటే B\(F_4^{-}\) లో 143 PPM ఉంటుంది.

ప్రశ్న 23.
B – Cl బంధానికి బంధ భ్రామకం ఉంది కాని BCl₃ అణువుకు ద్విధ్రువ భ్రామకం సున్నా ఉంటుంది. వివరించండి.
జవాబు:
B – Cl బంధం దృవణ బంధం కావున బంధ భ్రామకం ఉంటుంది. కాని BCl₃ అణువు సౌష్టవ నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉంటుంది. మూడు B – Cl బంధ బ్రామకాలు వ్యతిరేక దిశలలో పనిచేయటం వలన మొత్తం ద్విద్రువ భ్రామకం సున్నాగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 24.
బోరిక్ ఆమ్లం నిర్మాణాన్ని వివరించండి.
జవాబు:

• బోరిక్ ఆమ్లం పొరలవంటి జాలక నిర్మాణాన్ని కలిగి ఉంటుంది.
• ఈ నిర్మాణంలో BO₃ యూనిట్లు హైడ్రోజన్ బంధాలతో కలపబడి ఉంటాయి.
• కావున బోరిక్ ఆమ్లం బాహ్వణుక అణువుగా ఉంటుంది.

ఆర్థోబోరిక్ ఆమ్లం నిర్మాణం :

ప్రశ్న 25.
ఏమి జరుగుతుంది :
a) బోరాక్స్న ప్రబలంగా వేడిచేస్తే,
b) బోరిక్ ఆమ్లాన్ని నీటికి కలిపితే,
c) అల్యూమినియాన్ని సజల NaOH తో వేడిచేస్తే
d) అమ్మోనియాతో BF₃ చర్య జరిపినప్పుడు
e) అర్థ అల్యూమినాను సజల NaOH ద్రావణంతో చర్య జరిపినప్పుడు
జవాబు:
a) బోరాక్స్న ప్రబలంగా వేడిచేస్తే చివరగా గాజువంటి పదార్థం ఏర్పడుతుంది.

b) బోరిక్ ఆమ్లంనకు నీటిని కలిపితే బోరిక్ ఆమ్లం నీటి నుంచి OH అయాన్లను స్వీకరిస్తుంది.
B(OH)₃ + 2H₂O → [B(OH)₄]^– + H₃O⁺

c) Al ను సజల NaOH తో వేడిచేస్తే సోడియం మెటా అల్యూమినేట్తో పాటు H₂ వాయువు విడుదలవుతుంది.

d) BF₃, ని NH₃ లో చర్య జరిపినపుడు NH₃ ఎలక్ట్రాన్ జంటను BF₃ కి దానం చేస్తుంది. రెండింటి మధ్య సమన్వయ సమయోజనీయ బంధం ఏర్పడుతుంది.
BF₃ + NH₃ → [BF₃ ← NH₃] లేదా [BF₃ . NH₃]

e) ఆర్ద్ర అల్యూమినాను సజల NaOH ద్రావణంతో చర్య జరిపితే సోడియం మెటా అల్యూమినేట్ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 26.
కారణాలు తెలపండి :
సోడియమ్ మెటా అల్యుమినేట్
a) అల్యూమినియం పాత్రలలో గాఢ HNO₃ రవాణా చేయవచ్చు.
b) సజల NaOH, అల్యూమినియం ముక్కల మిశ్రమాన్ని మురుగు కాలువను తెరవడానికి వాడతారు.
c) అల్యూమినియం మిశ్రమలోహాన్ని విమానాలను తయారుచేయడానికి వాడతారు.
d) అల్యూమినియం పాత్రలను రాత్రంతా నీళ్ళలో పెట్టకూడదు.
e) అల్యూమినియం తీగలను ప్రసార కేబుల్ తయారీకి వాడతారు.
జవాబు:
a) Al మరియు గాఢ HNO₃ కి మధ్య చర్యారాహిత్యం కలదు. అందువలన అల్యూమినియం పాత్రలలో గాఢ HNO₃ని రవాణా చేయవచ్చు.

b) సజల NaOH అల్యూమినియమ్ చర్య జరిపి H₂ వాయువును విడుదలచేస్తుంది. ఈ వాయు పీడనం వలన మురుగు కాలువలు తెరచుకుంటాయి. కావున సజల NaOH, Al మిశ్రమాన్ని మురుగు కాలువను తెరవటానికి వాడతారు.

c) Al తేలికయిన, బలమైన లోహం. గాలిలో క్షయం చెందదు. కావున దీనిని విమాన విడిభాగాలను తయారుచేయటానికి వాడతారు.

d) అల్యూమినియమ్ పాత్రలను రాత్రంతా నీటిలో పెట్టకూడదు. నీటిలోని లవణాలు పాత్ర ఉపరితలంపై ఉన్న ఆక్సైడ్ పొరతో చర్య జరిపి అల్యూమినియమ్ యొక్క చర్యాశీలతను పెంచుతాయి. దీనివలన Al నీటితో చర్య జరుపుతుంది.

e) అల్యూమినియమ్ తీగలను ప్రసార కేబుల్ తయారీకి వాడతారు. దీనికి కారణం దాని యొక్క మంచి విద్యుద్వాహకత.

ప్రశ్న 27.
Ga, ln, Tl లలో రుణవిద్యుదాత్మకత భేదం ఎందుకు ఎక్కువగా మారదో వివరించండి.
జవాబు:
Ga మరియు ln లలో d ఎలక్ట్రాన్ల వలన పరిరక్షక ప్రభావం తక్కువగా ఉంటుంది. అలాగే Tl లో ‘d’ మరియు ‘f’ ఎలక్ట్రాన్ల వలన పరిరక్షక ప్రభావం తక్కువగా ఉంటుంది. కావున Ga, ln, Tl ల యొక్క పరమాణు పరిమాణంలో పెద్దగా మార్పు ఉండదు. కాని కేంద్రక ఆవేశం మాత్రము పెరుగుతుంది. కావున ఈ మూడు మూలకాల ఋణవిద్యుదాత్మకత విలువలలో భేదం ఎక్కువగా మారదు.

ప్రశ్న 28.
సరైన ఉదాహరణతో బోరాక్స్ పూస పరీక్షను వివరించండి. (March 2013)
జవాబు:
బోరాక్సిని వేడిచేస్తే మొదట నీటి అణువులను కోల్పోయి ఉబ్బి పరిమాణంలో పెద్దదవుతుంది. ఇంకా వేడిచేస్తే అది పారదర్శక ద్రవంగా మారి ఘనీభవనం చెంది గాజులాంటి పదార్థంగా మారుతుంది. దీనిలో సోడియం బొరేట్ మరియు B₂O₃ ఉంటాయి. ఈ B₂O₃ను లోహ ఆక్సైడ్ తో కలిపి వేడి చేస్తే లోహ మెటాబొరేట్లు ఏర్పడతాయి. ఈ మెటాబొరేట్లు ప్రత్యేకమైన రంగును కలిగి ఉంటాయి. వచ్చిన రంగును బట్టి లవణంలోని కేటయాను గుర్తించవచ్చును.

Na₂B₄O₇ + CoO → 2NaBO₂ + Co (BO₂)

ఆక్సీకరణ, క్షయకరణ జ్వాలలో వేడి చేసినపుడు ఒక్కొక్క లోహం ఒక్కొక్క రంగుగల మెటాబోరేట్లను ఏర్పరుస్తుంది. దీనిని బోరాన్ పూస పరీక్ష అంటారు.

ప్రశ్న 29.
డైబోరేన్ నిర్మాణాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
డైబోరేన్ నిర్మాణము :

• డైబోరేన్లో రెండు సమతల BH₂ గ్రూపులు ఉంటాయి. ఈ రెండు BH₂ గ్రూపులను కలుపుతూ రెండు H పరమాణువులు ఉంటాయి. రెండు బోరాన్ పరమాణువులకు అతకబడి ఉన్న నాలుగు H లను అంత్య హైడ్రోజన్లు అని, BH₂ గ్రూపులను కలిపే రెండు H పరమాణువులను వారధి (బ్రిడ్జ్) H పరమాణువులని అంటారు.
• B₂H₆ లో రెండు బోరాన్ పరమాణువులు sp³ సంకరీకరణం జరుపుకొని నాలుగు sp³ సంకర ఆర్బిటాళ్ళను ఏర్పరుస్తాయి. నాలుగు sp³ సంకర ఆర్బిటాళ్లలో ఒక ఆర్బిటాల్లో ఎలక్ట్రాన్ ఉండదు.
• ప్రతి బోరాన్లోని రెండు బంధ ఎలక్ట్రాన్లు గల sp³ సంకర ఆర్బిటాల్స్లో రెండు హైడ్రోజన్ల యొక్క s ఆర్బిటాల్స్తో అతిపాతం చెంది సహజమైన B-H బంధాలు (2 – కేంద్రక 2 – ఎలక్ట్రాన్లు) ఏర్పడతాయి.
• ఒక బోరాన్లోని బంధ ఎలక్ట్రాన్ గల sp³ సంకర ఆర్బిటాల్, వేరొక బోరాన్లోని ఖాళీ sp³ సంకర ఆర్బిటాల్ మరియు H యొక్క 1s ఆర్బిటాల్తో అతిపాతం చెంది B-H-B (బిడ్జ్ బంధాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. ఈ విధంగా B₂H₆ లో రెండు B-H-B బ్రిడ్జ్ బంధాలు ఏర్పడతాయి. ఈ బంధాలనే బనానా బంధాలు అని లేదా 3-కేంద్రక-2-ఎలక్ట్రాన్ బంధాలని అంటారు.
  

ప్రశ్న 30.
ఆమ్లాలతో అల్యూమినియం చర్యలను వివరించండి.
జవాబు:

1. అల్యూమినియమ్ విలీన లేదా గాఢ HCl లో కరిగి H₂ వాయువును విడుదలచేస్తుంది.
   2Al + 6HCl → 2AlCl₃ + 3H₂ ↑
2. అల్యూమినియమ్ విలీన H₂SO₄ లో H₂ ను విడుదలచేస్తుంది.
   2Al + 3H₂SO₄ → Al₂ (SO₄)₃ + 3H₂ ↑
3. అల్యూమినియమ్ గాఢ H₂SO₄ లో కరిగి SO₄ ను ఇస్తుంది.
   2Al + 6H₂SO₄ → Al₂(SO₄)₃ + 3SO₂ + 6H₂O
4. అతి విలీన HNO₃ని అల్యూమినియమ్ NH₄NO₃ గా క్షయకరణం చేస్తుంది.
   8Al + 30HNO₃ → 8Al (NO₃)₃ + 3NH₄NO₃ + 9H₂O
5. గాఢ HNO₃ తో Al క్రియారహితం అవుతుంది. లోహపు ఉపరితలంపై పలుచని ఆక్సైడ్ పొర ఏర్పడటం వలన క్రియారాహిత్యం వస్తుంది.

ప్రశ్న 31.
గ్రూపు 13లో బోరాన్ అసంగత ప్రవర్తనను సంక్షిప్తంగా రాయండి.
జవాబు:
బోరాన్ పరమాణు సైజు చిన్నది కావటం, అయొనైజేషన్ పొటెన్షియల్ ఎక్కువగా ఉండటం వలన మిగిలిన మూలకాలతో అసంగత ప్రవర్తనను చూపిస్తుంది. ఉదా :

• బోరాన్ అలోహం, Al ద్వంద్వ స్వభావం గల లోహం Ga, ln, Tl లు లోహాలు.
• బోరాన్ ఎల్లప్పుడు కోవలంట్ సమ్మేళనాలను ఇస్తుంది. కాని మిగిలిన మూలకాలు అయానిక సమ్మేళనాలను ఇస్తాయి.
• బోరాన్కు సిలికాన్తో కర్ణ సంబంధం ఉంటుంది. మిగిలిన మూలకాలు ఈ కర్ణ సంబంధాన్ని చూపవు.
• ఆమ్లాల నుండి బోరాన్ H₂ ను స్థానభ్రంశం చేయదు. కాని మిగిలిన మూలకాలు H₂ స్థానభ్రంశం చెందిస్తాయి. బోరాన్ ఆక్సైడ్ ఆమ్ల ఆక్సెడ్. కాని మిగిలిన మూలకాల ఆక్సైడ్లు ద్విస్వభావ ఆక్సైడ్లుగా గాని క్షార ఆక్సైడ్లుగా గాని ఉంటాయి.
• సరళ బోరేట్లు, సిలికేటులు తేలికగా పాలిమరీకరణం చెంది పాలీ ఆమ్లాలను ఇస్తాయి. మిగిలిన మూలకాలు పాలిమర్ ఆమ్లాలను ఇవ్వవు.
• బోరాన్ అత్యధిక కో వేలన్సీ 4. ఇతర మూలకాల అత్యధిక కోవలన్సీ 6.
• స్థిరమైన కోవలంట్ హైడ్రేడ్లను ఇస్తుంది. మిగిలిన మూలకాలు స్థిరమైన హైడ్రైడ్లను ఇవ్వవు.

ప్రశ్న 32.
అల్యూమినియం సజల HNO₃ తో చర్య జరుపుతుంది కాని గాఢ HNO₃ తో చర్య జరపదు. వివరించండి.
జవాబు:
విలీన HNO₃ తో అల్యూమినియమ్ చర్యజరిపి HNO₃ ని NH₄ NO₃ గా క్షయకరణం చేస్తుంది.
8Al + 3OHNO₃ → 8Al(NO₃)₃ + 3NH₄NO₃ + 9H₂O

కాని గాఢ HNO₃ కి అల్యూమినియమ్ను కలిపినపుడు లోహపు తలంపై పలుచని ఆక్సైడ్పొర ఏర్పడుతుంది.. ఈ. ఆక్సైడ్ పొర రక్షిత పొరగా పనిచేసి Al ని HNO₃ తో చర్య జరగకుండా అడ్డుకుంటుంది. కావున గాఢ HNO₃ తో Al క్రియారహితం అవుతుంది.

ప్రశ్న 33.
డైబోరేన్ ను తయారుచేసే రెండు పద్ధతులు రాయండి.
జవాబు:
డైబోరేన్ [B₂H₆] ను తయారుచేయు పద్ధతులు :
బోరాన్ ట్రై ఫ్లోరైడు లిథియమ్ అల్యూమినియమ్ హైడ్రైడ్తో డైఈథైల్ ఈథర్లో చర్య జరిపి డైబోరేన్ను తయారుచేస్తారు.
4BF₃ + 3LiAlH₄ → 2B₂H₆ + 3LiF + 3AlF₃

• ప్రయోగశాలలో సోడియం బోరోహైడ్రైడు, అయోడిన్ ఆక్సీకరణం చేసి డైబోరేన న్ను తయారుచేస్తారు.
  2NaBH₄ + I₂ → B₂H₆ + 2Nal + H₂
• పారిశ్రామికంగా డైబోరేన్ న్ను ఉత్పత్తి చేయడానికి BF₃ ని సోడియం హైడ్రైడ్తో చర్య జరిపిస్తారు.
  

ప్రశ్న 34.
డైబోరేన్ ఈ కింది వాటితో ఏ విధంగా చర్య జరుపుతుంది ?
a) H₂O
b) CO
c) N(CH₃)₃
జవాబు:
a) డైబోరేన్ నీటితో చర్య : డైబోరేన్ నీటిలో జలవిశ్లేషణ చెంది బోరిక్ ఆమ్లాన్ని ఇస్తుంది.

b) డైబోరేన్ CO తో చర్య : డైబోరేన్ 1000°C ఉష్ణోగ్రత మరియు 2 atm పీడనం వద్ద CO తో చర్య జరిపి బోరేన్ కార్బోనైల్ను ఏర్పరుస్తుంది.

c) డైబోరేన్ N(CH₃)₃ తో చర్య : డైబోరేన్ N(CH₃)₃ తో చర్య జరిపి బోరాన్ సంకలితాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

ప్రశ్న 35.
Al₂O₃ ద్విస్వభావం కలదని సరైన చర్యలతో వివరించండి.
బోరాన్ సంకలితం
జవాబు:
Al₂O₃ కు ద్విస్వభావం కలదు. ఇది ఆమ్లాలతో మరియు క్షారాలతో చర్య జరిపి లవణాలను ఏర్పరుస్తుంది.
ఆమ్లాలతో చర్య : ‘Al₂O₃ ఆమ్లాలతో ఈ క్రింది విధంగా చర్య జరుపుతుంది.
Al₂O₃ +6HCl → 2AlCl₃ + H₂O
క్షారాలతో చర్య : Al₂O₃ క్షారాలతో ఈ క్రింది విధంగా చర్య జరుపుతుంది.
Al₂O₃ + 2NaOH → NaAlO₂ + H₂O

ప్రశ్న 36.

జవాబు:

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 37.
బోరాక్స్న, బోరిక్ ఆమ్లాన్ని ఎలా తయారుచేస్తారు ? వాటిమీద ఉష్ణం చర్యను వివరించండి.
జవాబు:
బోరాక్స్ తయారీ : బోరిక్ ఆమ్లంను వేడిచేయగా టెట్రాబోరిక్ ఆమ్లం ఏర్పడుతుంది. దీనిని NaOH తో చర్య జరపగా బోరాక్స్ ఏర్పడును.

బోరాకున్ను అధికంగా వేడిచేస్తే గాజులాంటి పదార్థంగా మారుతుంది. దీనినే బోరాక్స్ పూస అంటారు.

బోరిక్ ఆమ్లం తయారీ : బోరాక్స్ను గాఢ H₂SO₄ తో చర్య జరిపినపుడు బోరిక్ ఆమ్లం ఏర్పడుతుంది.

బోరిక్ ఆమ్లంను వేడిచేయగా మెటాబోరికామ్లం ఏర్పడుతుంది. దీనిని ఇంకా వేడిచేస్తే బోరిక్ ఆక్సైడ్ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 38.
డైబోరేన్ ను ఎలా తయారుచేస్తారు ? దాని నిర్మాణాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
డైబోరేన్ [B₂H₆] ను తయారుచేయు పద్ధతులు :

• బోరాన్ ట్రై ఫ్లోరైడ్ను లిథియమ్ అల్యూమినియమ్ హైడ్రైడ్తో డైఈథైల్ ఈథర్లో చర్య జరిపి డైబోరేన్ ను తయారుచేస్తారు.
  4BF₃ + 3LiAlH₄ → 2B₂H₆ + 3LiF + 3AlF₃
• ప్రయోగశాలలో సోడియం బోరోహైడ్రైడ్న, అయోడిన్తో ఆక్సీకరణం చేసి డైబోరేన్ తయారుచేస్తారు.
  2NaBH₄ + I₂ → B₂H₆ + 2Nal + H₂
  పారిశ్రామికంగా డైబోరేన్ ను ఉత్పత్తి చేయడానికి BF₃ ని సోడియం హైడ్రైడ్తో చర్య జరిపిస్తారు.
  

డైబోరేన్ నిర్మాణము :

• డైబోరేన్లో రెండు సమతల BH₂ గ్రూపులు ఉంటాయి. ఈ రెండు BH₂ గ్రూపులను కలుపుతూ రెండు H పరమాణువులు ఉంటాయి. రెండు బోరాన్ పరమాణువులకు అతకబడి ఉన్న నాలుగు H లను అంత్య హైడ్రోజన్లు అని, BH₂ గ్రూపులను కలిపే రెండు H పరమాణువులను వారధి (బ్రిడ్జ్) H పరమాణువులని అంటారు.
• B₂H₆ లో రెండు బోరాన్ పరమాణువులు sp³ సంకరీకరణం జరుపుకొని నాలుగు sp³ సంకర ఆర్బిటాళ్ళను ఏర్పరుస్తాయి. నాలుగు sp³ సంకర ఆర్బిటాళ్లలో ఒక ఆర్బిటాల్లో ఎలక్ట్రాన్ ఉండదు.
• ప్రతి బోరాన్లోని రెండు బంధ. ఎలక్ట్రాన్లు గల sp³ సంకర ఆర్బిటాల్స్తో రెండు హైడ్రోజన్ల యొక్క s – ఆర్బిటాల్స్తో అతిపాతం చెంది సహజమైన B – H బంధాలు (2 – కేంద్రక 2 – ఎలక్ట్రాన్లు) ఏర్పడతాయి.
• ఒక బోరాన్లోని బంధ ఎలక్ట్రాన్ గల sp³ సంకర ఆర్బిటాల్, వేరొక బోరాన్లోని ఖాళీ sp³ సంకర ఆర్బిటాల్ మరియు H యొక్క 1s ఆర్బిటాల్తో అతిపాతం చెంది B-H-B బ్రిడ్జ్ బంధాన్ని ఏర్పరుస్తాయి. ఈ విధంగా B₂H₆ లో రెండు B-H-B బ్రిడ్జ్ బంధాలు ఏర్పడతాయి. ఈ బంధాలనే బనానా బంధాలు అని లేదా 3-కేంద్రక-2-ఎలక్ట్రాన్ బంధాలని అంటారు.
  

ప్రశ్న 39.
డైబోరేన్ను తయారుచేసే ఏవైనా రెండు పద్ధతులు రాయండి. అది ఈ కింది వాటితో ఏ విధంగా చర్య జరుపుతుంది?
a) కార్బన్ మోనాక్సైడ్
b) అమ్మోనియా
జవాబు:
డైబోరేన్ [B₂H₆] ను తయారుచేయు పద్ధతులు :

• బోరాన్ ట్రై ఫ్లోరైడ్ను లిథియమ్ అల్యూమినియమ్ హైడ్రైడ్ డైఈథైల్ ఈథర్లో చర్య జరిపి డైబోరేన్ను తయారుచేస్తారు.
  4BF₃ + 3LiAlH₄ → 2B₂H₆ + 3LiF + 3AlF₃
• ప్రయోగశాలలో సోడియం బోరోహైడ్రైడ్న, అయోడిన్తో ఆక్సీకరణం చేసి డైబోరేన్ ను తయారుచేస్తారు.
  2NaBH₄ + I₂ → B₂HË₆ + 2Nal + H₂
• పారిశ్రామికంగా డైబోరేన్ను ఉత్పత్తి చేయడానికి BF₃ ని సోడియం హైడ్రైడ్తో చర్య జరిపిస్తారు.
  

a) డైబోరేన్ కార్బన్ మోనాక్సైడ్తో చర్య : డైబోరేన్ 1000°C ఉష్ణోగ్రత మరియు 22atm పీడనం వద్ద CO తో చర్య జరిపి బోరేన్ కార్బనైల్ అనే బోరాన్ సంకలితాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

b) డైబోరేన్ అమ్మోనియాతో చర్య డైబోరేన్ అమ్మోనియాతో చర్యనొంది మొదట B₆H₆. 2NH₃ ని ఇస్తుంది. దీనినే
(BH₂(NH₃)₂)⁺ B\(\mathrm{H}_4^{-}\) గా కూడా వ్రాయవచ్చు. దీనిని ఇంకా వేడిచేస్తే బోరజీన్ ఏర్పడుతుంది. బోరజీన్కు బెంజీన్ వంటి వలయ నిర్మాణం ఉంటుంది. కావున దీనిని ఇనార్గానిక్ బెంజీన్ అని కూడా అంటారు.

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 12 Forms of Governments to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 12 Forms of Governments

→ Government formulates, expresses and realizes the will of the State.

→ Government is described as the executive organ of the State.

→ Government consists of three organs i.e. Legislature, Executive and Judiciary.

→ Legislature Makes laws, the Executive executes laws and Judiciary interprets laws.

→ Aristotle classified Governments into normal and perverted forms.

→ Aristotle says that monarchy, aristocracy and polity are the normal forms of Government. Tyranny, oligarchy and democracy are the perverted forms of Government.

→ “Unitary Government is one in which one central power habitually exercises the supreme legislative authority.” -A.V. Dicey

→ The term ‘Federation’ is derived from the Latin word ‘Foedus’ which means ‘treaty’ or ‘agreement’.

→ “Federation is an association of states that forms a new one.” – Hamilton

→ Collective responsibility is the salient feature of the Parliamentary form of Government.

→ Presidential form of Government is known as single Executive Government.

→ Montesque advocated ‘the theory of separation of powers’, that is based on ‘checks and balance.’

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 12 ప్రభుత్వం – రకాలు

→ రాజ్యానికి ముఖ్యసాధనం ప్రభుత్వం.

→ రాజ్యము యొక్క లక్ష్యాలను, ఆశయాలను రూపొందించి, అమలుపరిచేందుకు తోడ్పడే సాధనమే ప్రభుత్వం.

→ ప్రభుత్వం మూడు అంగాలను కలిగి ఉంటుంది. అవి 1) శాసననిర్మాణశాఖ 2) కార్యనిర్వాహకశాఖ 3) న్యాయశాఖ,

→ శాసననిర్మాణశాఖ శాసనాలను రూపొందిస్తుంది. కార్యనిర్వాహకశాఖ శాసనాలను అమలు చేస్తుంది. న్యాయశాఖ శాసనాలకు అర్థవివరణ ఇస్తుంది. మరియు నిష్పక్షపోతంగా న్యాయాన్ని ప్రసాదిస్తుంది.

→ ఏ వ్యవస్థలో రాజ్యము యొక్క సర్వాధికారాలను ఒకే కేంద్రీయ అధికార వ్యవస్థ వాడుకగా వినియోగిస్తుందో ఆ వ్యవస్థనే “ఏకకేంద్ర ప్రభుత్వము” అని ఎ.వి.డైసీ మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ సమాఖ్య ప్రభుత్వాన్ని ఆంగ్లంలో ‘ఫెడరేషన్’ అని అంటారు. ఈ పదం ‘ఫోడస్’ అనే లాటిన్ పదము నుండి గ్రహించబడింది. ఫోడస్ అనగా ‘ఒప్పందము’ లేదా ‘ఒడంబడిక’ అని అర్థం.

→ సమాఖ్య ప్రభుత్వము యొక్క లక్షణం ‘లిఖిత, దృఢ, ఉన్నత రాజ్యాంగం మరియు కేంద్ర – రాష్ట్ర ప్రభుత్వాల మధ్య స్పష్టమైన, నిర్దిష్టమైన అధికారాల పంపిణి.

→ పార్లమెంటరీ ప్రభుత్వ వ్యవస్థలో కార్యనిర్వాహక వర్గం శాసనసభ నుండి ఎన్నుకోబడి, శాసనసభ యొక్క విశ్వాసాన్ని కలిగి ఉన్నంత కాలం అధికారంలో కొనసాగుతుంది.
ఉదా : ఇంగ్లాండ్ మరియు ఇండియా.

→ అధ్యక్షతరహా ప్రభుత్వ వ్యవస్థలో కార్యనిర్వాహక వర్గం తన చర్యలకు శాసననిర్మాణ శాఖకు ఎటువంటి బాధ్యత వహించదు. ఉదా : అమెరికా.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 10 Properties of Triangles Ex 10(b) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Properties of Triangles Solutions Exercise 10(b)

(Note : All problems in this exercise have reference to ∆ABC)

I.
Question 1.
Express Σ r₁ cot \(\frac{\mathrm{A}}{2}\) in terms of s. (Mar. 2006)
Answer:
We have r₁ = s tan \(\frac{\mathrm{A}}{2}\)
∴ Σ r₁ cot\(\left(\frac{\mathrm{A}}{2}\right)\)
= Σ s tan\(\left(\frac{\mathrm{A}}{2}\right)\) cot\(\frac{\mathrm{A}}{2}\)
= Σs = s + s + s = 3s

Question 2.
Show that Σ a cot A = 2 (R + r).
Answer:
L.H.S. = Σ a cot A
= Σ 2R sin A \(\frac{\cos A}{\sin A}\)
= Σ 2R cos A
= 2R Σ cos A
= 2R (cos A + cos B + cos C)

Question 3.
In ∆ ABC, prove that
r₁ + r₂ + r₃ – r = 4R (Mar. 2006)
Answer:

Question 4.
In ∆ ABC, prove that
r + r₁ + r₂ – r₃ = 4R cos C. (May 2006)
Answer:

Question 5.
If r + r₁ + r₂ = r₃, then show that C = 90°
Answer:
Given r + r₁ + r₂ = r₃
We have given that r₁ + r₂ = r₃ – r
r₁ + r₂ = 4R sin\(\frac{\mathrm{A}}{2}\) cos\(\frac{\mathrm{B}}{2}\) cos\(\frac{\mathrm{C}}{2}\) + 4R sin\(\frac{B}{2}\) cos\(\frac{C}{2}\) cos\(\frac{A}{2}\)

II.
Question 1.
Prove that
4 (r₁r₂ + r₂r₃ + r₃r₁) = (a + b + c)²
Answer:
r₁r₂ + r₂r₃ + r₃r₁

Question 2.
Prove that
\(\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_1}\right)\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_2}\right)\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_3}\right)=\frac{a b c}{\Delta^3}=\frac{4 R}{r^2 s^2}\)
Answer:

Question 3.
Prove that r(r₁ + r₂ + r₃) = ab + bc + ca – s² – s²
Answer:
L.H.S. = r(r₁ + r₂ + r₃)

= \(\frac{\Delta^2}{\Delta^2}\) [(s² + s² + s²) – s(b + c) – s(a + c) – s (a + b) + bc + ca + ab]
= [3s² – 2s (a + b + c) + bc + ca + ab]
= 3s² – 2s (2s) + ab + bc + ca
= ab + bc + ca – s²
= R.H.S.

Question 4.
Show that \(\Sigma \frac{r_1}{(s-b)(s-c)}=\frac{3}{r}\).
Answer:

Question 5.
Show that
(r₁ + r₂) tan\(\frac{C}{2}\) = (r₃ – r)cot\(\frac{C}{2}\) = c.
Answer:

Question 6.
Show that
r₁ r₂ r₃ = r₃ cot²\(\frac{A}{2}\) cot²\(\frac{B}{2}\) cot²\(\frac{C}{2}\)
Answer:

III.
Question 1.
Show that cos A + cos B + cos C = 1 + \(\frac{\mathbf{r}}{\mathbf{R}}\)
Answer:

Question 2.
Show that cos²\(\frac{A}{2}\) + cos²\(\frac{B}{2}\) + cos²\(\frac{C}{2}\) = 2 + \(\frac{\mathbf{r}}{2 R}\). (Mar. 2005)
Answer:

Question 3.
Show that
sin²\(\frac{A}{2}\) + sin²\(\frac{B}{2}\) + sin²\(\frac{C}{2}\) = 1 – \(\frac{r}{2 R}\)
Answer:

Question 4.
Show that
(i) a = (r₂ + r₃) \(\sqrt{\frac{r r_1}{r_2 r_3}}\)
Answer:

(ii) ∆ = r₁r₂\(\sqrt{\frac{4 R-r_1-r_2}{r_1+r_2}}\)
Answer:

Question 5.
Prove that
r₁² + r₂² + r₃² + r² = 16R² – (a² + b² + c²).
Answer:
(r₁ + r₂ + r₃ – r)² = [(r₁ + r₂ + r₃ – r]²
= (r₁ + r₂ + r₃)² – 2r(r₁ + r₂ + r₃)r + r²
= (r₁² + r₂² + r₃² + r²) – 2r(r₁ + r₂ + r₃) + 2(r₁ r₂ + r₂ r₃ + r₃ r₁)
But using results r₁ + r₂ + r₃ – r = 4R and
r₁ r₂ + r₂r₃ + r₃r₁ = s²
We have 16R² = (r₁² + r₂² + r₃² + r²) – 2r(r₁ + r₂ + r₃) + 2s² …………………….. (1)
Now 2r(r₁ + r₂ + r₃)

= 2 (ab + bc + ca) – 2s²
= 2(ab + bc + ca – s²) ……………….. (2)
∴ From (1)
r₁² + r₂² + r₃² + r² = 16R² + 2(ab + bc + ca – s²) – 2s²
= 16R² + 2(ab + bc + ca) – 4s²
= 16R² = [4s² – 2 (ab + bc + ca)]
= 16R² – {(a + b + c)² – 2(ab + bc + ca)}
= 16R² – (a² + b²+ c²)

Question 6.
If P₁, P₂, P₃ are altitudes drawn from vertices A, B, C to the opposite sides of a triangle respectively, then show that
(i) \(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}=\frac{1}{r}\)
(ii) \(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}-\frac{1}{p_3}=\frac{1}{r_3}\) and
(iii) P₁.P₂.p₃ = \(\frac{(a b c)^2}{8 R^3}=\frac{8 \Delta^3}{a b c}\) (Mar.2010)
Answer:

(i)

(ii)

(iii)

Question 7.
If a = 13, b = 14, c = 15 show that R = \(\frac{65}{8}\) r = 4, r₁ = \(\frac{21}{2}\), r₂ = 12 and r₃ = 14. (Mar. 14) (Board New Model Paper) (March 2015-A.P)
Answer:
Given a = 13, b = 14, c = 15
We have s = \(\frac{a+b+c}{2}\) = \(\frac{13+14+15}{2}\) = 21
s – a = 21 – 13 = 8; s – b = 21 – 14 = 7;
s – c = 21 – 15 = 6

∴ The values are R = \(\frac{65}{8}\), r = 4, r₁ = \(\frac{21}{2}\), r₂ = 12 and r₃ = 14.

Question 8.
If r₁ = 2, r₂ = 3, r₃ = 6 and r = 1, Prove that a = 3, b = 4 and c = 5. (March 2015-T.s) (Mar. 09, Oct. 97)
Answer:
We have given r = 1, r₁ = 2, r₂ = 3 and r₃ = 6 and ∆² = r . r₁.r₂.r₃ = (1) (2) (3) (6) = 36
⇒ ∆ = 6
Now r = \(\frac{\Delta}{s}\) ⇒ s = \(\frac{\Delta}{r}\) = 6
r₁ = \(\frac{\Delta}{s-a}\) ⇒ 2 = \(\frac{6}{s-a}\)
⇒ s – a = 3 ⇒ 6 – a = 3 ⇒ a = 3
r₁ = \(\frac{\Delta}{s-b}\) ⇒ 2 = \(\frac{6}{s-b}\)
⇒ s – b = 2
⇒ b = 4
r₁ = \(\frac{\Delta}{s-c}\) ⇒ 2 = \(\frac{6}{s-c}\)
⇒ s – c = 1
⇒ c= 5
∴ a= 3, b = 4, c = 5.

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 9th Lesson S బ్లాక్ మూలకాలు Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 9th Lesson S బ్లాక్ మూలకాలు

అత్యంత లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఆవర్తన పట్టికలో కర్ణ సంబంధం ఉండటానికి గల కారణాలను తెలపండి.
జవాబు:
ఆవర్తన పట్టికలో Li – Mg, Be – Al, B – Si ల మధ్య కర్ణ సంబంధం ఉంటుంది. దీనికి కారణం

1. మూలక పరమాణు పరిమాణం సమానంగా ఉండటం.
2. వాటి ఋణవిద్యుదాత్మకత విలువలు సమానంగా ఉండటం.
3. మూలకాలకు ఒకే ద్రువణ సామర్ధ్యం (ఆవేశం / వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి) ఉండటం.

ప్రశ్న 2.
K, Rb ల ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసాలను పూర్తిగా రాయండి.
జవాబు:
ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసాలు
K (Z = 19) – 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 4s¹
Rb (Z = 37) – 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 3d¹⁰ 4s² 4p⁶ 5s¹

ప్రశ్న 3.
లిథియమ్ లవణాలు చాలావరకు ఆర్ద్రీకృతమై ఉంటాయి. ఎందుకు ?
జవాబు:
Li^– అయాన్ యొక్క పరమాణు పరిమాణం తక్కువ మరియు హైడ్రేషన్ తీవ్రత ఎక్కువ. కావున Li లవణాలు చాలా వరకు ఆర్ద్రీకృతమై ఉంటాయి. ఉదా : LiCl 2H₂O

ప్రశ్న 4.
క్షారలోహాలలో దేనికి అసాధారణ సాంద్రత ఉంటుంది ? గ్రూపు 1 మూలకాల సాంద్రతల మార్పులో క్రమం ఏమిటి ?
జవాబు:
‘K’ మూలకానికి అసాధారణ సాంద్రత ఉంటుంది. దీని సాంద్రత Na కన్నా తక్కువ ఉంటుంది. K యొక్క స్ఫటిక జాలకంలో అంతర పరమాణుక దూరాలు ఎక్కువగా ఉంటాయి.
IA group మూలకాల సాంద్రత క్రమం పెరుగుతుంది. అంటే Li < Na > K < Rb < Cs

ప్రశ్న 5.
సోడియమ్ కంటే లిథియమ్ నీటితో జరిపే చర్యాతీక్షణత తక్కువ. కారణాలను తెలపండి.
జవాబు:
లిథియమ్కు పరమాణు పరిమాణం తక్కువ మరియు హైడ్రేషన్ శక్తి ఎక్కువ. కావున Na కంటె Li నీటితో జరిపే చర్యా తీక్షణత తక్కువ.

ప్రశ్న 6.
క్షారలోహాల హాలైడ్లలో లిథియమ్ అయొడైడ్ అత్యధిక కోవలెంట్ ధర్మం కలది. కారణాలను తెలపండి.
జవాబు:
క్షారలోహాల హాలైడ్లలో లిథియమ్ అయొడైడ్ అత్యధిక కోవలెంట్ ధర్మం కలది. కారణం

1. Li⁺ కు పరమాణు పరిమాణం తక్కువ.
2. Li⁺కు ద్రువణతా సామర్థ్యం ఎక్కువ.
3. I^– అయాన్ యొక్క పరిమాణం మిగిలిన హాలైడ్ అయాన్ల పరిమాణం కన్నా ఎక్కువ ఉండటం వలన దీనికి విస్తారం చేయు సామర్థ్యం ఎక్కువ.

ప్రశ్న 7.
క్షారలోహ హైడ్రోజన్ కార్బొనేట్ కంటే లిథియమ్ హైడ్రోజన్ కార్బొనేట్ ఏ విధంగా విభేదిస్తుంది ?
జవాబు:
లిథియమ్ హైడ్రోజన్ కార్బొనేట్ ఘనరూపంలో లభ్యం కాదు. కాని మిగిలిన క్షారలోహ హైడ్రోజన్ కార్బొనేట్లు ఘన పదార్థాలుగా ఏర్పడతాయి.

ప్రశ్న 8.
ఏవైనా రెండు క్షారమృత్తిక లోహాల ఎలక్ట్రానిక్ విన్యాసాలను పూర్తిగా రాయండి.
జవాబు:
Be(Z = 4) – 1s² 2s²
Mg (Z = 12) – 1s² 2s² 2p⁶ 3s²
Ca (Z = 20) – 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 4s²

ప్రశ్న 9.
క్షారమృత్తిక లోహాల ద్రవీభవన, బాష్పీభవన స్థానాల మార్పుల గురించి చెప్పండి.
జవాబు:
క్షార మృతిక లోహ పరమాణువులు తక్కువ అయనీకరణ శక్తి కలిగి ఉండటం వల్ల వీటి ద్రవీభవన, బాష్పీభవన స్థానాలు సరైన క్రమంలో ఉండవు.

ప్రశ్న 10.
గ్రూపు 2 మూలకాలు జ్వాలకు కలిగించే స్వాభావిక రంగులు ఏమిటి ?
జవాబు:
గ్రూపు 2 మూలకాలు జ్వాలకు కలిగించే స్వాభావిక రంగులు

ప్రశ్న 11.
మెగ్నీషియమ్ లోహాన్ని గాలిలో మండిస్తే ఏం జరుగుతుంది ?
జవాబు:
Mg లోహాన్ని గాలిలో మండిస్తే కాంతివంతంగా మండి MgO మరియు Mg₃N₃ లను ఏర్పరచును.
2Mg + O₂ → 2Mgo (మెగ్నీషియం ఆక్సైడ్)
3Mg + N₂ → Mg₃N₂ (మెగ్నీషియం నైట్రైడ్)

ప్రశ్న 12.
లిథియమ్ కార్బొనేటికి మిగిలిన క్షారలోహాల కార్బొనేట్ల వలె ఉష్ణ స్థిరత్వం లేదు. వివరించండి.
జవాబు:
Li కు పరమాణు పరిమాణం తక్కువ మరియు ధృవణ సామర్థ్యం ఎక్కువ. కావున Li₂CO₃ తొందరగా విఘటనం చెంది స్థిరమైన Li₂O మరియు CO₂ లను ఏర్పరచును. కావున లిథియమ్ కార్బొనేట్కు మిగిలిన క్షారలోహాల కార్బొనేట్ల వలె ఉష్ణ స్థిరత్వం లేదు. Li₂CO₃ → Li₂O + CO₂

ప్రశ్న 13.
గ్రూపు 2 లోహాలు ద్రవ అమ్మోనియాలో అమ్మోనియేటెడ్ లోహ అయాన్లు ఏర్పడటానికి తుల్య సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు:
M + (x + y) NH₃ → [M(NH₃)_x]²⁺ + 2 [e(NH₃)_y]^–

ప్రశ్న 14.
క్షారమృత్తిక లోహాల ఫ్లోరైడ్లు నీటిలో ఆయా క్లోరైడ్ కంటే అల్ప ద్రావణీయత కలిగి ఉన్నవి. ఎందుకు ?
జవాబు:
ఫ్లోరైడ్ అయాన్ యొక్క పరిమాణం తక్కువ మరియు జాలక శక్తి ఎక్కువ. కావున క్షారమృత్తిక లోహాల ఫ్లోరైడ్లు నీటిలో ఆయా క్లోరైడ్ కంటే అల్ప ద్రావణీయత కలిగి ఉన్నవి.

ప్రశ్న 15.
ఆర్ద్ర Mg(NO₃)₂ ని వేడిచేస్తే ఏమౌతుంది ? దానికి తుల్య సమీకరణాన్ని ఇవ్వండి.
జవాబు:
ఆర్ద్ర Mg(NO₃)₂ లవణాన్ని వేడిచేయగా మొదట అనార్ద్ర Mg(NO₃)₂ ఏర్పడుతుంది. దీనిని తిరిగి వేడిచేస్తే ఆక్సైడ్ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 16.
క్షారమృత్తిక లోహ హైడ్రాక్సైడ్ జల ద్రావణీయత గ్రూపులో పైనుంచి కిందికి పెరుగుతుంది. ఎందుకో చెప్పండి.
జవాబు:
క్షార మృత్తిక లోహ గ్రూపులో (IIA) పై నుండి క్రిందకుపోయే కొలది సాధ్రీకరణోష్ణం కంటే స్ఫటిక జాలక శక్తి అధికంగా తగ్గడం వల్ల వీటి హైడ్రాక్సైడ్ జల ద్రావణీయత క్రమంగా పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 17.
క్షారమృత్తిక లోహాల కార్బొనేట్ల, సల్ఫేట్ల జలద్రావణీయత గ్రూపులో కిందికి పోయినకొద్దీ ఎందుకు తగ్గుతుంది?
జవాబు:
గ్రూపులో పై నుంచి క్రిందకు పరమాణు పరిమాణం పెరుగుతుంది. కావున కార్బొనేట్, సల్ఫేట్ల యొక్క జాలక మరియు హైడ్రేషన్ ఎంథాల్పీలు తగ్గుతాయి. హైడ్రేషన్ ఎంథాల్పీలో తగ్గుదల జాలక ఎంథాల్పీలో తగ్గుదల కన్నా ఎక్కువగా ఉంటుంది. కావున క్షార మృత్తిక లోహాల కార్బొనేట్ల, సల్ఫేట్ల జలద్రావణీయత పై నుంచి క్రిందకు తగ్గుతాయి.

ప్రశ్న 18.
పోర్ట్లాండ్ సిమెంట్ సగటు సంఘటనాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
పోర్ట్లాండ్ సిమెంట్ సంఘటనం :

ప్రశ్న 19.
సిమెంట్కి జిప్సమ్ని ఎందుకు కలుపుతారు ?
జవాబు:
సిమెంట్కు జిప్సమ్ కలుపుట వలన సెట్టింగ్ నెమ్మదిగా జరిగి సిమెంట్ తగినంతగా గట్టిపడుతుంది.

ప్రశ్న 20.
ప్రకృతిలో క్షారలోహాలు స్వేచ్ఛా స్థితిలో ఎందుకు దొరకవు ? (March 2013)
జవాబు:
క్షారలోహాలు చాలా చురుకైనవి. అందుచేత అవి స్వేచ్ఛా స్థితిలో దొరకవు. ఎప్పుడూ సంయోగస్థితిలోనే దొరుకుతాయి. Na మరియు K లు విస్తారంగా దొరికే క్షారలోహాలు.

ప్రశ్న 21.
సాల్వే పద్ధతిలో పొటాషియమ్ కార్బొనేట్ని తయారుచేయలేం. ఎందుకు ?
జవాబు:
అమ్మోనియం బై కార్బొనేట్ను సంతృప్త KCl కలిపితే KHCO₃ అవక్షేపం ఏర్పడుతుంది. కాని అట్లేర్పడ్డ KHCO₃ అధిక ద్రావణీయత కలిగి ఉంటుంది. కావున పొటాషియమ్ కార్బొనేట్ను సాల్వే పద్దతిలో తయారు చేయలేము.

ప్రశ్న 22.
కాస్టిక్ సోడా ముఖ్యమైన ఉపయోగాలను వివరించండి.
జవాబు:
కాస్టిక్ సోడా యొక్క ఉపయోగాలు

1. సబ్బు, కాగితం, కృత్రిమ సిల్క్ మరియు అనేక రసాయన పదార్థాల భారీ తయారీల్లో ఉపయోగిస్తారు.
2. పెట్రోలియం శుద్ధి చేయడంలో ఉపయోగిస్తారు.
3. బాక్సెట్ను శుద్ధి చేయడంలో ఉపయోగిస్తారు.
4. శుద్ధ కొవ్వులను, నూనెలను తయారుచేయటానికి ఉపయోగిస్తారు.
5. ప్రయోగశాలలో కారకంగా ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 23.
సోడియమ్ కార్బొనేట్ ముఖ్య ఉపయోగాలను వివరించండి.
జవాబు:
సోడియమ్ కార్బొనేట్ ముఖ్య ఉపయోగాలు

1. మృదుజలాన్ని తయారుచేయటానికి, నేలను శుభ్రపరచటానికి Na₂CO₃ ను వాడతారు.
2. లాండ్రీలలో Na₂CO₃ ను వాడతారు.
3. గాజు, సబ్బు, బొరాక్స్. కాస్టిక్ సోడాల తయారీలో వాడతారు.
4. కాగితం, రంగులు, వస్త్ర పరిశ్రమలలో వాడతారు.

ప్రశ్న 24.
పొడిసున్నం ముఖ్య ఉపయోగాలను వివరించండి.
జవాబు:
పొడిసున్నం ఉపయోగాలు

1. చక్కెరను శుద్ధి చేయుటలో ఉపయోగిస్తారు.
2. రంజన ద్రవ్యాలను తయారుచేయటంలో వాడతారు.
3. సిమెంట్ తయారీలో వాడతారు.
4. Na₂CO₃, NaOH ల తయారీలో ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 25.
(i) BeCl₂ (బాష్పం)
(ii) BeCl₂ (ఘనపదార్థం) ల నిర్మాణాలను గీయండి.
జవాబు:
i) BeCl₂ (బాష్పం) 1200K వద్ద రేఖీయ రూపంలో ఉండును.
Cl – Be – Cl

ii) ఘనస్థితిలో BeCl₂ శృంఖల నిర్మాణం కలిగి ఉండును.

ప్రశ్న 26.
ప్లాస్టర్ ఆఫ్ పారిస్ ప్రాముఖ్యతను వివరించండి.
జవాబు:

1. ప్లాస్టర్ ఆఫ్ పారిస్ని గృహ నిర్మాణాల్లోను, ప్లాస్టర్లోను ఉపయోగిస్తారు.
2. ఎముకలు విరిగినా, నొప్పులు పట్టినా శరీర అవయవాలను కదలిక లేకుండా చేయడానికి దీనిని వాడతారు.
3. దంత వైద్యంలో దీనిని వాడతారు.

ప్రశ్న 27.
క్షారమృత్తిక లోహాల కార్బొనేట్లలో దేనికి అధిక ఉష్ణ స్థిరత్వం ఉంటుంది ? ఎందుకు ?
జవాబు:
క్షారమృత్తిక లోహాల కార్బొనేట్లలో BaCO₃ కు అధిక ఉష్ణస్థిరత్వం ఉంటుంది. కారణం Ba⁺² అయాన్ యొక్క పరిమాణం ఎక్కువ కావటం వలన ద్రువణ సామర్థ్యం తక్కువగా ఉంటుంది. అందువలన BaCO₃ త్వరగా విఘటనం చెందదు. కావున BaCO₃ కు ఉష్ణస్థిరత్వం ఎక్కువగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 28.
కింది చర్యలకు తుల్య సమీకరణాలను రాయండి.
i) Na₂O₂ నీరు రసాయన చర్య
ii) నీటితో K₂O చర్య
జవాబు:
i) Na₂O₂ + 2H₂O → 2 NaOH + H₂O₂
ii) K₂O + H₂O → 2KOH

లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 29.
ఆక్సీకరణ జ్వాలకు క్షారలోహాలు, వాటి సమ్మేళనాలు స్వాభావిక రంగులను ఇస్తాయి. కారణాలను వివరించండి.
జవాబు:
క్షారలోహాలు, వాటి సమ్మేళనాలు ఆక్సీకరణ జ్వాలకు స్వాభావిక రంగులను ఇస్తాయి. జ్వాల నుంచి ఉష్ణాన్ని గ్రహించి బాహ్య ఆర్బిటాల్ ఎలక్ట్రానన్ను పై శక్తిస్థాయికి ఉత్తేజపరుస్తాయి. ఉత్తేజిత ఎలక్ట్రాన్ స్థాయికి పడినప్పుడు వికిరణాలను ఉద్గారిస్తుంది. ఈ వికిరణాలు దృశ్య కాంతి ప్రాంతంలో ఉంటాయి. కావున ఇవి రంగులను ప్రదర్శిస్తాయి.

ప్రశ్న 30.
కాంతి విద్యుత్ ఘటాల ఎలక్ట్రోడ్లుగా సీసియమ్, పొటాషియమ్ ఏ ధర్మాలు ఉపయోగపడతాయి ?
జవాబు:
సీసియమ్, పొటాషియమ్లలో అయనీకరణ శక్తులు తక్కువగా ఉంటాయి. కాంతితో ఈ లోహాలను చర్య జరిపినపుడు ఆ లోహ పరమాణువులు ఎలక్ట్రాన్ కోల్పోవుటకు సరైన శక్తిని శోషించుకొంటాయి. కావున సీసియమ్, పొటాషియమ్లు కాంతి విద్యుద్ఘాటాల ఎలక్ట్రోడ్లుగా ఉపయోగపడతాయి.

ప్రశ్న 31.
క్షార లోహాలు గాలితో చర్యపై లఘు వ్యాఖ్యను రాయండి.
జవాబు:
క్షార లోహాలు గాలిలో చురుగ్గా మండి ఆక్సైడ్లను ఇస్తాయి. లిథియమ్ మోనాక్సైడ్నస్తుంది. 4Li + O₂ → 2Li₂O (లిథియమ్ మోనాక్సైడ్) సోడియమ్ ఆక్సిజన్తో మితంగాచర్య జరిపితే మోనాక్సైడ్ను, అధికంగా చర్యజరిపితే పెరాక్సైడ్ను ఏర్పరుస్తుంది.
4 Na + O₂ (మితంగా) → 2Na₂O (సోడియమ్ మోనాక్సైడ్)
2Na + O₂ (అధికంగా) → Na₂O₂ (పెరాక్సైడ్)
మిగిలిన లోహాలు ఆక్సిజన్లో చర్య జరిపి సూపరాక్సైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి.
M + O₂ → MO₂ (సూపరాక్సైడ్)

ప్రశ్న 32.
కింది లోహాలు ఒక్కొక్కదానికి ఏవైనా రెండు ఉపయోగాలను రాయండి.
(i) లిథియమ్
(ii) సోడియమ్
జవాబు:
i) లిథియమ్ ఉపయోగాలు.
a) మిశ్రమ లోహాల తయారీలో వాడతారు. ఉదా : Li – Pb మిశ్రమ లోహం మోటార్ ఇంజన్లలో బేరింగ్లుగా వాడతారు. Li – Al మిశ్రమ లోహాలు విమాన భాగాల తయారీలో వాడతారు.
b) Li ను ఉష్ణకేంద్రక చర్యలలోను, విద్యుత్ రసాయన ఘటాల తయారీలోను వాడతారు.

ii) సోడియమ్ లోహం – ఉపయోగాలు.
a) కర్బన రసాయన చర్యల్లో కారకంగా వాడతారు.
b) మిశ్రమ లోహాల తయారీలో వాడతారు.
c) శీతలకారిగా వాడతారు.
d) ఐసోప్రీన్ ను పాలిమరీకరణం చెందించి రబ్బర్ ఏర్పడటంలో ఉత్ప్రేరకంగా వాడతారు.

ప్రశ్న 33.
వాషింగ్ సోడా ధర్మాలను రాయండి.
జవాబు:
వాషింగ్ సోడా ధర్మాలు :

• Na₂CO₃ . 10H₂O (డెకా హైడ్రేట్) ను వాషింగ్ సోడా అంటారు. ఇది తెల్లని, రంగులేని, స్ఫటిక ఘనపదార్థం.
• ఇది నీటిలో కరుగుతుంది.
• దీనిని వేడిచేయగా నీటి అణువులను కోల్పోయి మోనోహైడ్రేట్గా మారును. దీనిని 373K కంటే ఎక్కువగా వేడిచేసినపుడు సోడా యాషన్ను ఏర్పరచును.
  
• Na₂CO₃ జలద్రావణం CO₂ ను శోషించుకొని సోడియం బై కార్బొనేట్ను ఇస్తుంది.
  Na₂CO₃ + H₂O + CO₂ → 2NaHCO₃
• NO₂CO₃ ఆమ్లాలతో చర్య జరిపి CO₂ వాయువును ఇస్తుంది.
  Na₂CO₃ + 2HCl → 2NaCl + H₂O + CO₂
  ఆనయాన్ జలవిశ్లేషణం వలన Na₂CO₃ జలద్రావణానికి క్షారస్వభావం ఉంటుంది. \(\mathrm{CO}_3^{-2}\) + H₂O → HC\(\mathrm{O}_3^{-}\) + OH^–

ప్రశ్న 34.
సోడియమ్ కార్బొనేట్ ఉపయోగాలను రాయండి.
జవాబు:
సోడియమ్ కార్బొనేట్ ముఖ్య ఉపయోగాలు

1. మృదుజలాన్ని తయారుచేయటానికి, నేలను శుభ్రపరచటానికి Na₂CO₃ ను వాడతారు.
2. లాండ్రీలలో Na₂CO₃ ను వాడతారు.
3. గాజు, సబ్బు, బొరాక్స్, కాస్టిక్ సోడాల తయారీలో వాడతారు.
4. కాగితం, రంగులు, వస్త్ర పరిశ్రమలలో వాడతారు.

ప్రశ్న 35.
ముడి సోడియమ్ క్లోరైడ్ నుంచి శుద్ధ లవణాన్ని మీరు ఎట్లా తయారుచేస్తారు ?
జవాబు:
ముడి సోడియమ్ క్లోరైడ్ నుంచి శుద్ధ లవణాన్ని తయారుచేయుట.

1. ముడి NaCl నుంచి శుద్ధ లవణం చేయటానికి ముడి లవణాన్ని ముందుగా వీలైనంత కనీస నీటిలో కరిగించి, తరువాత వడబోస్తారు. నీటిలో కరగని మలినాలను తీసివేస్తారు.
2. ద్రావణంలోనికి హైడ్రోజన్ క్లోరైడ్ వాయువును పంపి సంతృప్తపరుస్తారు. శుద్ధ NaCl స్ఫటికాలు వేరుపడతాయి.
3. కాల్షియమ్ క్లోరైడ్, మెగ్నీషియమ్ క్లోరైడ్లు NaCl కంటే అధిక ద్రావణీయత కలవి కాబట్టి ద్రావణంలో మిగిలిపోతాయి.

ప్రశ్న 36.
కాష్టనర్-కెల్నర్ పద్ధతి గురించి మీకేమి తెలుసు ? దానిలో ఉన్న సూత్రాన్ని రాయండి.
జవాబు:
కాష్టనర్-కెల్నర్ ఘటంలో NaCl ను విద్యుద్విశ్లేషణ చేసి NaOH ను తయారుచేస్తారు. ఈ పద్ధతిలో మెర్క్యురీ కాథోడ్గాను, కార్బన్ ఆనోడ్గాను పనిచేస్తాయి. కాథోడ్ వద్ద ఏర్పడ్డ Na లోహం మెర్క్యురీతో సంయోగం చెంది సోడియమ్ ఎమాల్గమ్ను ఇస్తుంది. ఆనోడ్ వద్ద క్లోరిన్ వాయువు వెలువడుతుంది.
కాథోడ్ :

ఆనోడ్ : Cl^– → \(\frac{1}{2}\) Cl₂ + e^– ఎమాల్గము నీటిలో అభిచర్య జరిపితే సోడియమ్ హైడ్రాక్సైడ్, హైడ్రోజన్ వాయువు వస్తాయి.
2Na – ఎమాల్గమ్ + 2H₂O → 2NaOH + 2Hg + H₂

ప్రశ్న 37.
కాస్టిక్ సోడా అనువర్తనాలను రాయండి.
జవాబు:
కాస్టిక్ సోడా యొక్క ఉపయోగాలు

1. సబ్బు, కాగితం, కృత్రిమ సిల్క్ మరియు అనేక రసాయన పదార్థాల భారీ తయారీల్లో ఉపయోగిస్తారు.
2. పెట్రోలియం శుద్ధి చేయడంలో ఉపయోగిస్తారు.
3. బాక్సెట్ను శుద్ధి చేయడంలో ఉపయోగిస్తారు.
4. శుద్ధ కొవ్వులను, నూనెలను తయారుచేయటానికి ఉపయోగిస్తారు.
5. ప్రయోగశాలలో కారకంగా ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 38.
Na⁺, K⁺ అయాన్ల ప్రాముఖ్యతను జీవరసాయన శాస్త్రంలో చెప్పండి.
జవాబు:

1. కణాల్లోని కర్బన అణువులలో ఉన్న ఋణావేశాలను లోహ అయాన్లపై ఉండే ఆవేశాలు తుల్యం చేస్తాయి.
2. కణాలలో ద్రవాభిసరణ పీడనాన్ని కూడా నిలకడగా ఉంచటానికి ఈ అయాన్లు సహయపడతాయి.
3. కణపు పొరకు అటు, ఇటు రెండు పక్కల Na⁺, K⁺ అయాన్ లుంటాయి. దీని వలన కణంలో విద్యుత్ శక్మం ఏర్పడుతుంది. Na⁺ అయాన్లుండటం వలన గ్లూకోజ్ కణం లోపలికి వెళుతుంది. అధికంగా ఉన్న Na⁺ అయాన్లు బహిష్కృతమవుతాయి.
4. పొటాషియమ్ అయాన్లు కణాంతర్భాగంలో గ్లూకోజ్ జీవన క్రియల్లో దోహదపడతాయి. ప్రోటీన్ సంశ్లేషణలోనూ, కొన్ని నిర్దిష్టమైన ఎంజైములు ఉత్తేజితమవటానికి సహాయపడుతుంది.

ప్రశ్న 39.
Mg లోహం ముఖ్య ఉపయోగాలను చెప్పండి.
జవాబు:
Mg లోహం ముఖ్య ఉపయోగాలు

• Mg లోహం Al, Zn, Mn మరియు Sn లలో ముఖ్యమైన మిశ్రమ లోహాలను ఏర్పరచును.
• మిల్క్ ఆఫ్ మెగ్నీషియమ్ను ఆమ్ల విరోధిగా వాడతారు.
• టూత్పేస్ట్లలో ఉపయోగిస్తారు.
• ఇన్ సెండియర్ బాంబ్లు మరియు సిగ్నలలో Mg ని ఉపయోగిస్తారు.
• Mg పొడి మరియు రిబ్బన్లను ఫ్లాష్ బల్బులలో ఉపయోగిస్తారు.

ప్రశ్న 40.
Be(OH)₂ ద్విస్వభావ పదార్థం అని రుజువు చేయండి.
జవాబు:
బెరిలియమ్ హైడ్రాక్సైడ్ ఆమ్లాలతోను, క్షారాలతోను చర్య జరుపుతుంది. కాబట్టి దానికి ద్విస్వభావం ఉంటుంది.

ప్రశ్న 41.
బెరిలియమ్ అసంగత ప్రవర్తన గురించి ఒక వ్యాఖ్యను రాయండి.
జవాబు:
బెరిలియమ్ అసంగత ప్రవర్తన.
బెరిలియమ్ అదే గ్రూపులోని ఇతర లోహాలతో పోలిస్తే అసంగత ప్రవర్తనని చూపిస్తుంది.

1. బెరిలియమ్ పరమాణు, అయానిక పరిమాణాలు తక్కువగా ఉండటం వలన, ఇది ఎక్కువగా కోవలెంట్ సమ్మేళనాలను ఇస్తుంది. ఈ సమ్మేళనాలు తేలిగ్గా జలవిశ్లేషణ చెందుతాయి.
2. Be సమన్వయ సంఖ్య 4. కాని మిగిలిన మూలకాలు d – ఆర్బిటాళ్ళను ఉపయోగించుకొని సమన్వయ సంఖ్య 6ను ప్రదర్శిస్తాయి.
3. బెరిలియమ్ ఆక్సైడ్లు, హైడ్రాక్సైడ్లు ద్వి స్వభావాన్ని ప్రదర్శిస్తాయి.

ప్రశ్న 42.
Be, Al తో కర్ణ సంబంధం కలిగి ఉంటుంది. చర్చించండి.
జవాబు:
బెరిలియమ్, అల్యూమినియాతో కర్ణసంబంధాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

1. Al మాదిరిగానే Be కూడా ఆమ్లాలతో చర్య జరపదు.
2. Be (OH)₂ మరియు Al (OH)₃ రెండు కూడా క్షారంలో కరిగి బేరిలేట్ అయాన్ [Be(OH)₄]^2- మరియు అల్యూమినేట్ అయాన్ (Al (OH₄)]^– లను ఏర్పరుస్తాయి.
3. వాయు ప్రావస్థలో బెరిలియమ్, అల్యూమినియమ్ క్లోరైడ్లకు వంతెన నిర్మాణాలు ఉంటాయి.
4. Be, Al రెండు కూడా సంక్లిష్టాలను ఏర్పరుస్తాయి.
5. Be, Al క్లోరైడ్లు లూయీ ఆమ్లాలుగా పనిచేస్తాయి.

ప్రశ్న 43.
ప్లాస్టర్ ఆఫ్ పారిస్ అంటే ఏమిటి ? దాని మీద లఘు వ్యాఖ్యను రాయండి.
జవాబు:
కాల్షియమ్ సల్ఫేట్ హెమిహైడ్రేటిని (CaSO₄ . \(\frac{1}{2}\)H₂O) ప్లాస్టర్ ఆఫ్ పారిస్ అంటారు.
తయారి : జిప్సమ్ CaSO₄. 2H₂O ని 393 K వద్ద వేడిచేసి దీనిని తయారు చేస్తారు.
2(CaSO₄ . 2H₂O) → 2 (CaSO₄) . H₂O + 3H₂O

393K కంటే అధిక ఉష్ణోగ్రతల వద్ద ప్లాస్టర్ ఆఫ్ పారిస్ నన్ను వేడిచేస్తే అనార్ద్ర CaSO, ఏర్పడుతుంది. దీనినే “డెడ్ బరస్ట్ ప్లాస్టర్” అంటారు.
ప్లాస్టర్ ఆఫ్ పారిస్కు తగినంత నీరు కలిపితే ప్లాస్టిక్ పదార్థం లాంటిది ఏర్పడుతుంది. ఈ పదార్థం 5 నుంచి 15 నిమిషాలలో గట్టిపడుతుంది.

ఉపయోగాలు :

• దీనిని గృహ నిర్మాణాల్లోను, ప్లాస్టర్లలోను అతి ఎక్కువగా ఉపయోగిస్తారు.
• ఎముకలు విరిగినా, నొప్పులు పట్టినా శరీర అవయవాలను కదలిక లేకుండా చేయటానికి దీనిని వాడతారు.
• దంతవైద్యంలో దీనిని వాడతారు.

ప్రశ్న 44.
రసాయన ప్రవృత్తిలో మెగ్నీషియమ్ లిథియమ్ ఏ రకంగా సారూప్యతను చూపిస్తుంది ?
జవాబు:
రసాయన ప్రవృత్తిలో Mg, Li ల సారూప్యత.

1. Li, Mg లు నీటితో నెమ్మదిగా చర్య జరుపుతాయి. వాటి ఆక్సైడ్లు, హైడ్రాక్సైడ్లు తక్కువగా కరుగుతాయి.
2. అవి రెండూ నైట్రోజన్లో చర్య జరిపి నైట్రైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి.
3. Li, Mg లు రెండూ కూడా ఆక్సిజన్తో చర్య జరిపి మోనాక్సైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి.
4. Li, Mg కార్బొనేట్లు వేడిచేస్తే తేలిగ్గా విఘటనం చెంది ఆక్సైడ్లను, CO₂ ను ఇస్తాయి.
5. LiCl, MgCl₂ లు రెండూ చెమ్మగిల్లే పదార్థాలే. సజల ద్రావణాల నుంచి వాటి హైడ్రేట్లు LiCl. 2H₂O, MgCl₂ . 8H₂O, స్ఫటికీకరణం చెందుతాయి.

ప్రశ్న 45.
ద్రవ అమ్మోనియాలో క్షార లోహాలను కరిగిస్తే, ద్రావణానికి వివిధ రంగులు వస్తాయి. ఈ రకమైన రంగుల్లో మార్పుకు కారణాలను వివరించండి.
జవాబు:

• క్షారలోహాలు ద్రవ అమ్మోనియాలో కరిగి ముదురు నీలిరంగు ద్రావణాలను ఇస్తాయి. ఈ ద్రావణాలకు విద్యుద్వాహక లక్షణం ఉంటుంది.
  M + (x + y) NH₃ → [M(NH₃)_x]⁺ + [e (NH₃)₄]^–
• ఈ నీలిరంగు ద్రావణంలో అమ్మోనియాలో ఎలక్ట్రాన్ కలిసి ఉంటుంది. ఈ ఎలక్ట్రాన్ దృగ్గోచర ప్రాంతంలో కాంతిని శోషించుకుంటుంది. కాబట్టి ద్రావణానికి నీలి రంగు వస్తుంది.
• ఈ ద్రావణాలు పారా అయస్కాంత ధర్మాన్ని కలిగి ఉంటాయి.
• గాఢ ద్రావణాన్ని వేడిచేస్తే నీలంరంగు కంచు రంగుగా మారుతుంది. ద్రావణం డయా అయస్కాంత ధర్మాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 46.
i) సోడియమ్ లోహాన్ని నీటిలో వేస్తే ఏమి జరుగుతుంది ?
ii) సోడియమ్ లోహానికి గాలిని స్వేచ్ఛగా సరఫరా చేస్తే ఏమి జరుగుతుంది?
జవాబు:
i) సోడియం లోహాన్ని నీటిలో వేస్తే H₂ వాయువును విడుదల చేస్తుంది.
2Na + 2H₂O → 2 NaOH + H₂

ii) సోడియమ్ లోహానికి గాలిని స్వేచ్ఛగా సరఫరా చేస్తే సోడియమ్ పెరాక్సైడ్ ఏర్పడుతుంది.
2Na + O₂ → Na₂O₂

ప్రశ్న 47.
కింది వాటికి కారణాలేమిటి ?
i) Na₂CO₃ జల ద్రావణం క్షార ధర్మం కలిగి ఉంటుంది.
ii) క్షార లోహాలను, వాటి గలన క్లోరైడ్లని విద్యుద్విశ్లేషణ చేసి తయారుచేస్తారు.
జవాబు:
i) Na₂CO₃ జల ద్రావణం క్షార స్వభావం కలిగి ఉంటుంది. నీటిలో ఆనయానిక్ జలవిశ్లేషణ జరిగి OH^– అయాన్లు విడుదలవుతాయి. జలద్రావణం pH > 7 కావున ద్రావణం క్షార స్వభావం కలిగి ఉండును.
Na₂CO₃ → 2Na⁺ + C\(\mathrm{O}_3^{2-}\)
C\(\mathrm{O}_3^{2-}\) + H₂O → HC\(\mathrm{O}_3^{-}\) + OH^–

ii) క్షారలోహాలు బలమైన క్షయకరణులు. కావున రసాయన క్షయకరణ పద్ధతుల ద్వారా వీటిని తయారుచేయలేము. క్షారలోహ లవణ జల ద్రావణాలను విద్యుద్విశ్లేషణ చేస్తే క్షార లోహాలకు బదులుగా కాథోడ్ వద్ద H₂ వాయువు విడుదలవుతుంది. కావున గలన క్లోరైడ్లను విద్యుద్విశ్లేషణ చేయటం ద్వారా మాత్రమే మనము క్షారలోహాలను తయారుచేస్తాము. ఉదా : గలన NaCl ను విద్యుద్విశ్లేషణ చేసి Na లోహాన్ని తయారుచేస్తాము.

ప్రశ్న 48.
కింది పరిశీలనలను మీరు ఎట్లా వివరిస్తారు ?
i) BeO దాదాపు కరగదు, కానీ BeSO₄ నీటిలో కరుగుతుంది.
ii) BaO నీటిలో కరుగుతుంది, కానీ BaSO₄ కరగదు.
జవాబు:
BeO లో జాలక ఎంథాల్పీ, హైడ్రేషన్ ఎంథాల్పీ కన్నా ఎక్కువగా ఉంటుంది. కావున అది నీటిలో కరగదు. కాని BeSO₄ లో జాలక ఎంథాల్పీ హైడ్రేషన్ ఎంథాల్పీ కన్నా తక్కువగా ఉంటుంది. కావున అది నీటిలో కరుగుతుంది.

BaO లో జాలక ఎంథాల్పీ, హైడ్రేషన్ ఎంథాల్పీ కన్నా తక్కువగా ఉంటుంది. కావున అది నీటిలో కరుగుతుంది. BaSO₄ లో జాలక ఎంథాల్పీ, హైడ్రేషన్ ఎంథాల్పీ కన్నా ఎక్కువగా ఉంటుంది. కావున అది నీటిలో కరగదు.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 49.
కింది అంశాలపరంగా క్షారలోహాలను ఒకే గ్రూపులో చేర్చడాన్ని సమర్థించండి.
i) ఎలక్ట్రానిక్ విన్యాసం,
ii) క్షయకరణి స్వభావం,
iii) ఆక్సైడ్లు, హైడ్రాక్సైడ్లు
జవాబు:
i) ఎలక్ట్రానిక్ విన్యాసం

• క్షార లోహాల బాహ్య కక్షలో ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం ns¹
• అన్ని మూలకాలు వేలన్సీ కక్షలో ఒక ఎలక్ట్రానన్ను కలిగి ఉంటాయి.
• ఒకే ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం కలిగి ఉండటం వలన ధర్మాలలో సారూప్యత కనిపిస్తుంది. కావున క్షారలోహాలన్నీ ఒకే గ్రూపులో ఉండటాన్ని సమర్థించవచ్చు.

ii) క్షయకరణ స్వభావం

• క్షారలోహాలు బలమైన క్షయకరణులు
• Li అధిక క్షయకరణ స్వభావం కలది. ‘Na’ తక్కువ క్షయకరణ స్వభావం కలది.
• క్షయకరణ స్వభావానికి ప్రమాణ విద్యుత్ పొటన్షియల్ (E⁰) ఒక కొలమానం.
• Li కు అధిక హైడ్రేషన్ ఎంథాల్పీ కలదు. దీనికి అధిక రుణాత్మక E° విలువ కలదు. కావున ఇది బలమైన క్షయకారిణి.

iii) a) ఆక్సైడ్లు : అన్ని క్షార లోహాలు మంచి క్షయకారిణులు. కాబట్టి వాటిని ఒకే గ్రూపులో ఉంచారు. క్షార లోహాలు గాలిలో చురుగ్గా మండి ఆక్సైడ్లను ఇస్తాయి. లిథియమ్ మోనాక్సైడ్నస్తుంది. 4Li + O₂ → 2Li₂O (లిథియమ్ మోనాక్సైడ్) సోడియమ్ ఆక్సిజన్ మితంగాచర్య జరిపితే మోనాక్సైడు, అధికంగా చర్యజరిపితే పెరాక్సైడ్ను ఏర్పరుస్తుంది.

4 Na + O₂ (మితంగా) → 2Na₂(సోడియమ్ మోనాక్సైడ్)
2 Na + O₂ (అధికంగా) → 2Na₂(పెరాక్సైడ్)
మిగిలిన లోహాలు ఆక్సిజన్తో చర్య జరిపి సూపరాక్సైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి.
M + O₂ → MO₂ (సూపరాక్సైడ్)
క్షారలోహ అయాన్ పరిమాణం పెరిగిన కొలది జాలక శక్తి పెరుగుతుంది. కాబట్టి సూపరాక్సైడ్ స్థిరత్వం పెరుగుతుంది.

b) హైడ్రాక్సైడ్లు : క్షారలోహ ఆక్సైడ్లు జల విశ్లేషణ జరిపి హైడ్రాక్సైడ్లు ఏర్పరచును.
M₂O + H₂O → 2MOH
M₂O₂ + 2H₂O → 2MOH + H₂O₂
2MO₂ + 2H₂O → 2MOH + H₂O₂ + O₂ (M = క్షార లోహం)

• ఇవి రంగులేని స్ఫటిక ఘన పదార్ధాలు.
• ఇవి బలమైన క్షారాలు మరియు నీటిలో కరిగి ఉష్ణాన్ని విడుదల చేయును. కాబట్టి ఆక్సైడ్, హైడ్రాక్సైడ్ ధర్మాల పరంగా క్షారలోహాలను ఒకే గ్రూపులో చేర్చడం సమంజసం.

ప్రశ్న 50.
లిథియము, మిగిలిన క్షార లోహాలకు మధ్య తేడాలపై వ్యాసాన్ని రాయండి.
జవాబు:
గ్రూపులో ఇతర మూలకాలలో పోలిస్తే లిథియమ్ అసాధారణ ధర్మాలు ప్రదర్శిస్తుంది. లిథియమ్ అసాధారణ ప్రవర్తనకు
కారణాలు.

1. అత్యంత తక్కువ పరమాణు సైజు, అయానిక సైజు ఉండటం.
2. అత్యధిక ద్రువణ సామర్థ్యం ఉండటం.
   వీటి ఫలితంగా లిథియమ్ సమ్మేళనాలకు కోవలెంట్ ధర్మాలు ఎక్కువవుతాయి. కావున అవి కర్బన ద్రావణుల్లో కరుగుతాయి.

లిథియమ్ అసాధారణ ధర్మాలు :

1. లిథియమ్ మిగిలిన క్షారలోహాల కంటే గట్టిగా ఉంటుంది.
2. క్షార లోహాల్లో Li అత్యల్ప చర్యాశీలత కలది. గాలిలో మండిస్తే మోనాక్సైడ్ను ఏర్పరుస్తుంది.
3. లిథియమ్ నేరుగా N₂ తో సంయోగం చెందుతుంది. ఏ ఇతర క్షారలోహం N₂ తో చర్య జరపదు.
4. లిథియమ్ హైడ్రోజన్ కార్బొనేట్ ఘనరూపంలో లభ్యం కాదు. మిగిలిన మూలకాలు ఘన హైడ్రోజన్ కార్బొనేట్లను ఏర్పరుస్తాయి.
5. లిథియమ్ నైట్రేట్ను వేడిచేస్తే లిథియమ్ ఆక్సైడ్ ఏర్పడుతుంది. ఇతర క్షారలోహాల నైట్రేట్లు విఘటనం చెంది నైట్రైట్లను ఇస్తాయి.
   4 LiNO₃ → 2 Li₂O + 4 NO₂ + O₂
   2MaNO₃ → 2MaNO₂ + O₂
6. LiF, Li₂O లు వాటి అనురూప క్షారలోహాల సమ్మేళనాలకంటే నీటిలో సాపేక్షంగా తక్కువగా కరుగుతాయి.

ప్రశ్న 51.
సోడియమ్ కార్బొనేట్ని తయారుచేయడం, దాని ధర్మాలను చర్చించండి.
జవాబు:
సోడియమ్ కార్బొనేట్ను సాధారణంగా సాల్వే పద్ధతిలో తయారు చేస్తారు. ఈ పద్ధతిలో Na₂CO₃ ను క్రింది విధంగా తయారు చేస్తారు.

1. అమ్మోనియా ద్రావణంలోనికి CO₂ వాయువును పంపితే అమ్మోనియం బై కార్బొనేట్ ఏర్పడుతుంది.
   NH₃ + H₂O + CO₂ → NH₄HCO₃
2. ఏర్పడిన అమ్మోనియమ్ బైకార్బొనేట్ను సోడియమ్ క్లోరైడ్తో చర్య జరిపిస్తే సోడియమ్ బైకార్బొనేట్ ఏర్పడుతుంది.
   NH₄HCO₃ + NaCl → NH₄Cl + NaHCO₃
3. సోడియమ్ బైకార్బొనేట్ను వేడిచేస్తే సోడియమ్ కార్బొనేట్ ఏర్పడుతుంది.
   

ధర్మాలు :

• సోడియమ్ కార్బొనేట్ తెల్లని, స్ఫటిక పదార్థం.
• Na₂CO₃ . 10H₂O ను డెకాహైడ్రేట్ అంటారు. దీనిని వాషింగ్ సోడా అంటారు.
• 373 K కంటే ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద దీనిని వేడిచేస్తే పూర్తిగా అనార్ద్రంగా తయారవుతుంది. దీనినే సోడాయాష్ అంటారు.
  
• Na₂CO₃ లోని కార్బొనేట్ భాగం నీటిలో జలవిశ్లేషణ చెంది క్షార ద్రావణాన్ని ఇస్తుంది.
  C\(\mathrm{O}_3^{2-}\) + H₂O → HC\(\mathrm{O}_3^{-}\) + OH^–
• ఇది ఆమ్లాలతో చర్య జరిపి, CO₂ వాయువును ఇస్తుంది. Na₂CO₃ + 2HCl → 2 Nacl + H₂O + CO₂

ప్రశ్న 52.
కింది అంశాలపరంగా క్షార మృత్తికలోహాల సారూప్యతను చర్చించండి.
i) ఎలక్ట్రానిక్ విన్యాసం,
ii) ఆర్ద్రీకరణోషాలు,
iii) ఆక్సైడ్లు, హైడ్రాక్సైట్ల స్వభావాలు
జవాబు:
i) ఎలక్ట్రానిక్ విన్యాసం :

• క్షారమృత్తిక లోహాల సాధారణ ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం ns².
• ఈ మూలకాల వేలన్సీ కక్ష s – ఆర్బిటాల్లో రెండు ఎలక్ట్రాన్లు ఉంటాయి. కావున ఈ మూలకాల ధర్మాలలో సారూప్యత కనిపిస్తుంది.

ii) ఆర్ద్రీకరణోష్టాలు

• క్షార మృత్తిక లోహాల ఆర్ద్రీకరణోష్టాలు లోహ అయాన్ పరిమాణం పెరిగేకొలది తగ్గుతాయి.
  Be²⁺ > Mg⁺² > Ca⁺² > Sr⁺² > Ba⁺²
• క్షార లోహ అయాన్ల ఆర్ద్రీకరణోష్టాల కంటే క్షార మృత్తిక లోహాలకు ఆర్ద్రీకరణోష్టాలు ఎక్కువగా ఉంటాయి.

iii) a. ఆక్సైడ్లు

• క్షారమృత్తిక లోహాలు ఆక్సిజన్లో మండి మోనాక్సైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి.
• BeO ద్విస్వభావ సంయోజనీయ ఆక్సైడ్. మిగతా ఆక్సైడ్లు అయానిక క్షార స్వభావం కలిగి ఉంటాయి.

b. హైడ్రాక్సైడ్లు

• BéO తప్ప మిగిలిన ఆక్సైడ్లు జల విశ్లేషణ చేసినపుడు హైడ్రాక్సెడ్లు ఏర్పడతాయి.
• క్షారలోహ హైడ్రాక్సైడ్ కంటే క్షార మృత్తికలోహ హైడ్రాక్సెడ్లు తక్కువ క్షార స్వభావం కలిగి ఉంటాయి.
• Be(OH)₂ ద్విస్వభావ పదార్థం అంటే ఇది ఆమ్లాలతోనూ, క్షారాలతోనూ చర్య జరుపుతుంది.

ప్రశ్న 53.
క్షారమృత్తిక లోహాల
i) కార్బొనేట్లు
ii) సల్ఫేట్లు
iii)నైట్రేట్ల గురించి చర్చించండి.
జవాబు:
i) కార్బొనేట్లు

• క్షార మృత్తిక లోహాలు MCO₃ రకమైన కార్బొనేట్లను ఏర్పరుస్తాయి.
  నీటిలో కరిగే లోహ లవణ ద్రావణాలకు Na₂CO₃ ద్రావణాన్ని కలిపి ఈ కార్బొనేట్లను తయారుచేస్తారు.
• గ్రూపులో పై నుంచి క్రిందకు పరమాణు సంఖ్య పెరిగే కొలది కార్బనేట్ల ద్రావణీయతలు తగ్గుతాయి.
• ఈ కార్బొనేట్లు వేడిచేయగా వియోగం చెంది CO₂ ను ఏర్పరచును.

ii) సల్ఫేట్లు

• క్షార మృత్తిక లోహాలు MSO₄ రకమైన సల్ఫేట్లను ఏర్పరుస్తాయి.
• ఇవి తెల్లని ఘన పదార్థాలు. ఉష్ణ స్థిరమైనవి.
• Be⁺², Mg⁺² కు ఆర్ద్రీకరణోష్ణం ఎక్కువ. అందువలన BeSO₄ మరియు MgSO₄ లు నీటిలో కరుగుతాయి.
• CaSO₄ నుంచి BaSO₄ కు ద్రావణీయత తగ్గును.

iii) నైట్రేట్లు

• క్షారమృత్తిక లోహాలు M(NO₃)₂ రకమైన నైట్రేట్లను ఏర్పరుస్తాయి.
• ఇవి కార్బొనేట్లను సజల HNO₃ తో చర్యజరపడం ద్వారా ఏర్పడతాయి.
• Mg(NO₃)₂ ఆరు నీటి అణువులతో స్పటికీకరణం చెందును. Ba(NO₃)₂ అనార్ధమైనవి.
• ఈ నైట్రేట్లను వేడిచేయగా ఆక్సైడ్లను ఏర్పరచును.
  2 M(NO₃)₂ → 2MO + 4NO₂ + O₂

ప్రశ్న 54.
క్షారలోహాల సాధారణ భౌతిక, రసాయన ధర్మాలు ఏమిటి ?
జవాబు:
భౌతిక ధర్మాలు :

• క్షారలోహాలన్నీ తెల్లని మెత్తని తేలికైన లోహాలు.
• సైజు ఎక్కువగా ఉండటం వలన సాంద్రత తక్కువగా ఉంటుంది.
• వీటి ద్రవీభవన, బాష్పీభవన స్థానాలు తక్కువగా ఉంటాయి.
• క్షారలోహాలు, వాటి లవణాలు ఆక్సీకరణ జ్వాలకు విలక్షణమైన రంగునిస్తాయి.
• ఇవి బలమైన క్షయకరణులు

రసాయన ధర్మాలు :

• O₂ తో చర్య : క్షారలోహాలన్నీ ఆక్సిజన్లో వేడిచేసినపుడు ఆక్సైడ్లను ఇస్తాయి. లిథియమ్ O₂ తో మోనాక్సైడు, సోడియమ్ పెరాక్సైడ్ను, మిగిలిన మూలకాలతో సూపరాక్సైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి.
• H₂ తో చర్య : క్షారలోహాలు 300-600°C వద్ద H₂ తో సంయోగం చెంది హైడ్రైడ్లనిస్తాయి.
  
• ఈ హైడ్రైడ్లన్నీ అయానిక పదార్థాలు.

నీటితో చర్యాశీలత : క్షారలోహాలు నీటితో తీవ్రమైన చర్య జరుపుతాయి. ఈ చర్యలో H₂ వాయువు విడుదలవుతుంది.
2M + 2H₂O → 2MOH + H₂ (M = క్షార లోహం)

హాలోజన్లతో చర్య : క్షారలోహాలు హాలోజన్లతో సంయోగం చెంది ద్విగుణాత్మక సమ్మేళనాలనిస్తాయి.
2M + X₂ → 2MX (M = క్షార లోహం)
క్షారలోహాల హాలైడ్ల న్నీ అయానిక సమ్మేళనాలే.

ప్రశ్న 55.
క్షార మృత్తిక లోహాల సాధారణ ధర్మాలని, వాటిలోని క్రమతను గురించి చర్చించండి.
జవాబు:
i) ఎలక్ట్రానిక్ విన్యాసం :

• క్షారమృత్తిక లోహాల సాధారణ ఎలక్ట్రాన్ విన్యాసం ns².
• ఈ మూలకాల వేలన్సీ కక్ష s – ఆర్బిటాల్లో రెండు ఎలక్ట్రాన్లు ఉంటాయి. కావున ఈ మూలకాల ధర్మాలలో సారూప్యత కనిపిస్తుంది.

ii) ఆర్ద్రీకరణోష్టాలు

• క్షార మృత్తిక లోహాల ఆర్ద్రీకరణోష్టాలు లోహ అయాన్ పరిమాణం పెరిగేకొలది తగ్గుతాయి.
  Be²⁺ > Mg⁺² > Ca⁺² > Sr⁺² > Ba⁺²
• క్షార లోహ అయాన్ల ఆర్ద్రీకరణోష్టాల కంటే క్షార మృత్తిక లోహాలకు ఆర్ద్రీకరణోష్టాలు ఎక్కువగా ఉంటాయి.

iii) a. ఆక్సైడ్లు

• క్షారమృత్తిక లోహాలు ఆక్సిజన్లో మండి మోనాక్సైడ్లను ఏర్పరుస్తాయి.
• BeO ద్విస్వభావ సంయోజనీయ ఆక్సైడ్. మిగతా ఆక్సైడ్లు అయానిక క్షార స్వభావం కలిగి ఉంటాయి.

b. హైడ్రాక్సైడ్లు

• BeO తప్ప మిగిలిన ఆక్సైడ్లు జల విశ్లేషణ చేసినపుడు హైడ్రాక్సైడ్లు ఏర్పడతాయి.

i) కార్బొనేట్లు

• క్షార మృత్తిక లోహాలు MCO₃ రకమైన కార్బొనేట్లను ఏర్పరుస్తాయి.
• నీటిలో కరిగే లోహ లవణ ద్రావణాలకు Na₂CO₃ ద్రావణాన్ని కలిపి ఈ కార్బొనేట్లను తయారుచేస్తారు.
• గ్రూపులో పై నుంచి క్రిందకు పరమాణు సంఖ్య పెరిగే కొలది కార్బొనేట్ల ద్రావణీయతలు తగ్గుతాయి.
• ఈ కార్బొనేట్లు వేడిచేయగా వియోగం చెంది CO₂ ను ఏర్పరచును.
  

ii) సల్ఫేట్లు

• క్షార మృత్తిక లోహాలు MSO₄ రకమైన సల్ఫేట్లను ఏర్పరుస్తాయి.
• ఇవి తెల్లని ఘన పదార్థాలు. ఉష్ణ స్థిరమైనవి.
• Be⁺²; Mg⁺² కు ఆర్ద్రీకరణోష్ణం ఎక్కువ. అందువలన BeSO₄ మరియు MgSO₄ లు నీటిలో కరుగుతాయి.
• CaSO₄ నుంచి BaSO₄ కు ద్రావణీయత తగ్గును.

iii) నైట్రేట్లు

• క్షారమృత్తిక లోహాలు M(NO₃)₂ రకమైన నైట్రేట్లను ఏర్పరుస్తాయి.
• ఇవి కార్బొనేట్లు సజల HNO₃ తో చర్య ద్వారా ఏర్పడతాయి.
• Mg(NO₃)₂ ఆరు నీటి అణువులతో స్పటికీకరణం చెందును. Ba(NO₃)₂ అనార్ధమైనవి.
• ఈ నైట్రేట్లను వేడిచేయగా ఆక్సైడ్లను ఏర్పరచును.
  2 M(NO₃)₂ → 2MO + 4NO₂ + O₂

ప్రశ్న 56.
సాల్వే పద్దతిలో జరిగే వివిధ చర్యలను చర్చించండి.
జవాబు:
సోడియమ్ కార్బొనేట్ను సాధారణంగా సాల్వే పద్ధతిలో తయారు చేస్తారు. ఈ పద్ధతిలో Na₂CO₃ ను క్రింది విధంగా తయారు చేస్తారు.

1. అమ్మోనియా ద్రావణంలోనికి CO₂ వాయువును పంపితే అమ్మోనియం బై కార్బొనేట్ ఏర్పడుతుంది.
   NH₃ + H₂O + CO₂ → NH₄HCO₃
2. ఏర్పడిన అమ్మోనియమ్ బైకార్బొనేట్ను సోడియమ్ క్లోరైడ్తో చర్య జరిపిస్తే సోడియమ్ బైకార్బొనేట్ ఏర్పడుతుంది. Na₄HCO₃ →
   NH₄Cl + NaHCO₃
3. సోడియం బైకార్బొనేటును వేడిచేస్తే సోడియం కార్బొనేటు ఏర్పడుతుంది.
   

ధర్మాలు :

• సోడియమ్ కార్బొనేట్ తెల్లని, స్ఫటిక పదార్థం.
• Na₂CO₃ . 10H₂O ను డెకా హైడ్రేట్ అంటారు. దీనిని వాషింగ్ సోడా అంటారు.
• 373 K కంటే ఎక్కువ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద దీనిని వేడిచేస్తే పూర్తిగా అనార్ధంగా తయారవుతుంది. దీనినే సోడాయాష్ అంటారు.
  
• Na₂CO₃ లోని కార్బొనేట్ భాగం నీటిలో జలవిశ్లేషణ చెంది క్షార ద్రావణాన్ని ఇస్తుంది.
  C\(\mathrm{O}_3^{2-}\) + H₂O →HC\(\mathrm{O}_3^{-}\) + OH^–

ప్రశ్న 57.
సోడియమ్ క్లోరైడ్ నుంచి కింది వాటిని ఎట్లా తయారుచేస్తారు ?
i) సోడియమ్ లోహం
ii) సోడియమ్ హైడ్రాక్సైడ్
iii)సోడియమ్ పెరాక్సైడ్
iv) సోడియమ్ కార్బొనేట్
జవాబు:
సోడియమ్ క్లోరైడ్ నుంచి Na లోహం తయారుచేయుట
గలన NaCl ను విద్యుద్విశ్లేషణ చేయగా Na లోహం ఏర్పడును.
2NaCl → 2Na + Cr
కాథోడ్ వద్ద 2Na⁺ + 2e^– → Na
ఆనోడ్ వద్ద 2Cl^– → Cl₂ + 2e^–

సోడియమ్ క్లోరైడ్ నుంచి NaOH తయారుచేయుట
NaCl జలద్రావణాన్ని విద్యుద్విశ్లేషణ చేయగా NaOH ఏర్పడును.
NaCl → Na⁺ + Cl^–
H₂O → H⁺ + OH^–
ఆనోడ్ వద్ద 2Cl^– → Cl₂ + 2e^–
కాథోడ్ వద్ద 2H,sup>+ + 2e^– → H₂
Na⁺ + OH^– → NaOH

NaCl నుంచి సోడియమ్ పెరాక్సైడ్ను తయారుచేయుట
మొదట గలన NaCl ను విద్యుద్విశ్లేషణ చేసి Na లోహం తయారుచేస్తారు. Na ను అదిక 0 తో మండిస్తే సోడియమ్ పెరాక్సైడ్ ఏర్పడుతుంది.
2Na + O₂ → Na₂O₂

NaCl నుంచి సోడియమ్ కార్బొనేట్ను తయారుచేయుట
అమ్మోనియా ద్రావణంలోకి CO₂ వాయువును పంపితే అమ్మోనియం బై కార్బొనేట్ ఏర్పడుతుంది. అమ్మోనియం బై కార్బొనేట్ను NaCl తో చర్య జరిపితే సోడియమ్ బైకార్బొనేట్ ఏర్పడుతుంది. సోడియమ్ బై కార్బొనేటును వేడిచేస్తే సోడియమ్ కార్బొనేటు ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 58.
i) మెగ్నీషియమ్ని గాలిలో వేడిచేస్తే
ii) పొడిసున్నాన్ని సిలికాతో వేడిచేస్తే
iii) తడిసున్నంతో క్లోరిన్ చర్య
iv) కాల్షియమ్ నైట్రేట్ని బాగా వేడిచేస్తే, ఏం జరుగుతుంది ?
జవాబు:
i) Mg ని గాలిలో మండించినపుడు కాంతివంతంగా మండి MgO మరియు Mg₃N₂ లను ఏర్పరచును.
2Mg + O₂ → 2MgO (మెగ్నీషియమ్ ఆక్సైడ్)
3Mg + N₂ → Mg₃N₂ (మెగ్నీషియమ్ నైట్రెడ్)

ii) పొడిసున్నాన్ని సిలికాతో వేడిచేస్తే కాల్షియమ్ సిలికేట్ ఏర్పడుతుంది.
CaO + SiO₂ → CaSiO₃

iii) తడిసున్నం క్లోరిన్తో చర్య జరిపి బ్లీచింగ్ పౌడర్ను ఏర్పరచును.

iv) కాల్షియమ్ నైట్రేట్ను బాగా వేడిచేస్తే అది విఘటనం చెంది CaO, NO₂ మరియు O₂ లను ఏర్పరచును.
2 Ca(NO₃)₂ → 2CaO + 4NO₂ + O₂

ప్రశ్న 59.
జీవశాస్త్ర ప్రవాహికల్లో సోడియమ్, పొటాషియమ్, మెగ్నీషియమ్, కాల్షియమ్ల సార్ధకతను వివరించండి. (March 2013)
జవాబు:
జీవశాస్త్ర ప్రవాహికల్లో Na, Kల పాత్ర

1. కణాల్లోని కర్బన అణువులలో ఉన్న ఋణావేశాలను లోహ అయాన్లపై ఉండే ఆవేశాలు తుల్యం చేస్తాయి.
2. కణాలలో ద్రవాభిసరణ పీడనాన్ని కూడా నిలకడగా ఉంచటానికి ఈ అయాన్లు సహాయపడతాయి.
3. కణపు పొరకు అటు, ఇటు రెండు పక్కల Na⁺, K⁺ అయాన్ లుంటాయి. దీని వలన కణంలో విద్యుత్ శక్మం ఏర్పడుతుంది. Na⁺ అయాన్లుండటం వలన గ్లూకోజ్ కణం లోపలికి వెళుతుంది. అధికంగా ఉన్న Na⁺ అయాన్లు బహిష్కృతమవుతాయి.
4. పొటాషియమ్ అయాన్లు కణాంతర్భాగంలో గ్లూకోజ్ జీవన క్రియల్లో దోహదపడతాయి. ప్రోటీన్ సంశ్లేషణలోనూ, కొన్ని నిర్దిష్టమైన ఎంజైములు ఉత్తేజితమవటానికి సహాయపడుతుంది.

జీవశాస్త్రంలో Mg పాత్ర :

1. జంతు కణాలలో Mg⁺² అయాన్ల గాఢత ఎక్కువగా ఉంటుంది.
2. ఫాస్ఫోహైడ్రోలేజ్లు, ఫాస్పోట్రాన్స్ఫరేజ్లు వంటి ఎంజైములలో Mg⁺² ఉంటుంది. ఈ ఎంజైములు ATP చర్యలలో పాల్గొని శక్తిని విడుదల చేస్తాయి.
3. క్లోరోఫిల్ చెట్లలోని ఆకుపచ్చ పదార్థం. ఇందులో Mg⁺² ఉంటుంది.

జీవశాస్త్రంలో Ca పాత్ర

1. మన శరీరంలో 99% కాల్షియమ్ అయాన్లు ఎముకలు మరియు దంతాల తయారీలో ఉపయోగపడతాయి.
2. రక్త స్కందనములో మరియు కణపొర అయాన్ బదిలీ కార్యక్రమంలో ఈ అయాన్ ముఖ్య పాత్ర వహిస్తుంది.
3. కాల్షియమ్ అయాన్లు గుండె క్రమంగా కొట్టుకొనే ప్రక్రియలో మరియు కండరాల సంకోచ ప్రక్రియలో కూడా ముఖ్యపాత్రను వహిస్తాయి.

ప్రశ్న 60.
సిమెంట్ని గురించి కొన్ని వాక్యాలు రాయండి.
జవాబు:

• సిమెంట్ ఒక ముఖ్యమైన నిర్మాణోపయోగకరమైన పదార్థం. దీనిని 1824లో జోసఫ్ ఆస్పిడిన్ మొట్టమొదటగా ఇంగ్లాండ్లో ప్రవేశపెట్టాడు. దీనినే పోర్ట్లాండ్ సిమెంట్ అంటారు.
• పొర్ట్ లాండ్ సిమెంట్ సగటు సంఘటనం కింది విధంగా ఉంటుంది. Ca0, 50-60%, SiO₂, 20 – 25%; Al₂O₃, 5 – 10%; MgO, 2 – 3%; Fe₂O₃, 1 – 2%; SO₃, 1 – 2%
• మంచిరకం సిమెంట్ సిలికా (SiO₂) కి అల్యూమినా (Al₂O₃) కి ఉండే నిష్పత్తి 2.5 నుంచి 4.0 మధ్యలో
  ఉండాలి.
• బంకమట్టిని సున్నంతో కలిపి బాగా వేడిచేస్తే అవి ద్రవీభవించి, చర్య జరిపి “సిమెంట్ క్లింకర్” ని ఏర్పరుస్తాయి. ఈ క్లింకర్ను 2-3% జిప్సమ్ కలిపితే సిమెంట్ వస్తుంది.
• సిమెంటు నీటిని కలిపితే గట్టి పదార్థంగా ఏర్పడుతుంది. ఈ ప్రక్రియను “సెట్టింగ్ ఆఫ్ సిమెంట్” అంటారు.

సిమెంట్ ఉపయోగాలు :

• సిమెంటు కాంక్రీట్ మరియు ప్రబలిత కాంక్రీట్లలో ఉపయోగిస్తారు.
• ప్లాస్టరింగ్లో ఉపయోగిస్తారు.
• వారధులను, డ్యామ్లను, భవంతులను నిర్మించుటకు ఉపయోగిస్తారు.

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 10th Lesson ఘనపదార్ధాల యాంత్రిక ధర్మాలు Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 10th Lesson ఘనపదార్ధాల యాంత్రిక ధర్మాలు

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
స్థితిస్థాపకతలో హుక్ నియమాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
స్థితిస్థాపక అవధిలో ప్రతిబలము వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉండును.

ఈ స్థిరాంకమును స్థితిస్థాపకతా గుణకము అందురు.

ప్రశ్న 2.
ప్రతిబలానికి మితులు, ప్రమాణాలు తెలపండి.
జవాబు:

S.I. పద్ధతిలో ప్రమాణము : న్యూ/మీ² లేదా పాస్కల్. మితిఫార్ములా : ML^-1T^-2

ప్రశ్న 3.
స్థితిస్థాపక గుణకానికి ప్రమాణాలు, మితులను తెలపండి.
జవాబు:

S.I. ప్రమాణము : న్యూ/మీ² లేదా పాస్కల్. మితిఫార్ములా : ML^-1T^-2

ప్రశ్న 4.
యంగ్ గుణకం ప్రమాణాలు, మితులను తెలపండి.
జవాబు:

మితిఫార్ములా : ML^-1T^-2
ప్రమాణము : న్యూటన్/మీ² లేదా పాస్కల్

ప్రశ్న 5.
దృఢతా గుణకం ప్రమాణాలు, మితులను తెలపండి.
జవాబు:

మితిఫార్ములా : ML^-1T^-2
ప్రమాణము : న్యూటన్/మీ2 లేదా పాస్కల్

ప్రశ్న 6.
ఆయత గుణకం ప్రమాణాలు, మితులను తెలపండి.
జవాబు:

మితిఫార్ములా : ML^-1T^-2
ప్రమాణము : న్యూటన్/మీ² లేదా పాస్కల్

ప్రశ్న 7.
సంపూర్ణ స్థితిస్థాపక, ప్లాస్టిక్ కు సమీపంగా ఉండే వస్తువులకు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
జవాబు:
సమ సర్పిలాకార స్ప్రింగు సంపూర్ణ స్థితిస్థాపక వస్తువులకు ఉదాహరణ. పిండి లేదా మట్టి ముద్ద ప్లాస్టిక్ వస్తువులకు ఉదాహరణ.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
హుక్ నియమం, అనుపాత అవధి, శాశ్వత స్థితి, విచ్ఛేదన ప్రతిబలం పదాలను నిర్వచించండి.
జవాబు:
హుక్ నియమము : స్థితిస్థాపక అవధులలో ప్రతిబలము వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

ఈ స్థిరాంకమును స్థితిస్థాపక గుణకము అంటారు.

అనుపాత అవధి : ప్రతిబలము – వికృతి వక్రరేఖపై OA బిందువుల మధ్య భాగం సరళరేఖ ఈ ప్రాంతంలో ప్రతిబలం వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. బాహ్య బలం తొలగించగానే వస్తువు సంపూర్ణంగా యథాస్థితి పొందుతుంది. అందువల్ల ‘A’ బిందువును అనుపాత అవధి అంటారు.

శాశ్వత స్థితి : ప్రతిబలం – వికృతి వక్రంలో బాహ్యబలాన్ని ‘C’ బిందువు వరకు పెంచి తొలగిస్తే వస్తువు తన పూర్వ స్థితిని సంపూర్ణంగా పొందలేదు. వస్తువులో కొంత వికృతి శాశ్వతంగా మిగిలిపోతుంది. అందువల్ల ‘C’ బిందువును శాశ్వత స్థితి బిందువు అంటారు.

విచ్ఛేదన ప్రతిబలము : ప్రతిబలం-వికృతి వక్రంలో వస్తువుపై ప్రతిబలాన్ని ఈగే బిందువు దాటి ప్రయోగిస్తే (E బిందువు వరకు) ప్రతిబలంలో స్వల్ప మార్పుకే వికృతి విపరీతంగా పెరిగి E అను బిందువు వద్ద తీగ సన్నబడి తెగిపోతుంది. తీగ తెగిపోవడానికి అవసరమైన E బిందువు వద్ద గల ప్రతిబలాన్ని విచ్ఛేదన ప్రతిబలం అంటారు.

ప్రశ్న 2.
స్థితిస్థాపక గుణకం, ప్రతిబలం, వికృతి, స్వాజూన్ నిష్పత్తులను నిర్వచించండి.
జవాబు:

ఈ స్థిరాంకమును స్థితిస్థాపక గుణకము అంటారు.

ప్రతిబలము (σ) : ఏకాంక వైశాల్యంపై పనిచేసే పునఃస్థాపక బలాన్ని ప్రతిబలం అంటారు.

ప్రమాణము Nm^-2 లేదా పాస్కల్ మితి ఫార్ములా = ML^-1T^-2

వికృతి : ప్రమాణ పరిమాణం గల వస్తువు ఆకారంలో వచ్చిన మార్పును వికృతి అంటారు.

ఇది నిష్పత్తి. కావున ప్రమాణాలు, మితులు లేవు.

ప్వాజూన్ నిష్పత్తి (σ) : సాగదీసిన తీగలో పార్శ వికృతి మరియు అనుదైర్ఘ్య వికృతుల నిష్పత్తిని ప్వాజూన్ నిష్పత్తి అంటారు.
ప్వాజూన్ నిష్పత్తి (σ) = \(\frac{\Delta \mathrm{d} / \mathrm{d}}{\Delta l / l}\) దీనికి మితులు, ప్రమాణాలు లేవు.

ప్రశ్న 3.
యంగ్ గుణకం, ఆయత గుణకం, ద్రుఢతా గుణకాలను నిర్వచించండి.
జవాబు:
యంగ్ గుణకము : అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలము, అనుదైర్ఘ్య వికృతిల నిష్పత్తిని యంగ్ గుణకమందురు.

అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలము = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{A}}\); అనుదైర్ఘ్య వికృతి = \(\frac{\Delta \mathrm{L}}{\mathrm{L}}\)
∴ Y = \(\frac{\mathrm{F} / \mathrm{A}}{\Delta \mathrm{L} / \mathrm{L}}=\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{A}} \frac{\mathrm{l}}{\Delta \mathrm{L}}\)
ఆయత గుణకము (B) : ఘనపరిమాణాత్మక ప్రతిబలము మరియు ఘనపరిమాణాత్మక వికృతిల నిష్పత్తిని ఆయత గుణకము అందురు.

విమోటనా గుణకము లేదా దృఢతా గుణకము (G) :
స్పర్శీయ ప్రతిబలము మరియు విరూపణా వికృతిలో నిష్పత్తిని విమోటనా గుణకము అందురు.

ప్రశ్న 4.
ప్రతిబలం నిర్వచనం తెలిపి వివిధ రకాల ప్రతిబలాలను వివరించండి.
జవాబు:
ప్రతిబలము (σ) : ఏకాంక వైశాల్యంపై పనిచేసే పునఃస్థాపక బలాన్ని ప్రతిబలం అంటారు.

ప్రమాణము Nm^-2 లేదా
పాస్కల్ మితి ఫార్ములా = ML^-1T^-2
ప్రతిబలమునందలి రకాలు : 1) అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలము 2) స్పర్శియ ప్రతిబలము 3) ఘనపరిమాణాత్మక ప్రతిబలము

అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలము లేదా తన్యజ ప్రతిబలం : వస్తువుపై దాని పొడవు పెరుగునట్లు బలమును ప్రయోగించిన ప్రమాణ వైశాల్యములోని పునఃస్థాపక బలమును అనుదైర్ఘ్య ప్రతిబలము అంటారు.

స్పర్శీయ లేదా విమోటన ప్రతిబలము : తలానికి సమాంతరముగా దాని ఉపరితల పొరలో స్థానభ్రంశము కలుగునట్లు బలమును ప్రయోగించిన ప్రమాణ వైశాల్యములోని పునఃస్థాపక బలమును స్పర్శియ ప్రతిబలము అందురు.

ఘనపరిమాణాత్మక ప్రతిబలము : ఒక వస్తువుపై అన్ని వైపులా లేదా వస్తువు ఘనపరిమాణమంతటా బలమును ప్రయోగించిన ప్రమాణ. వైశాల్యములోని పునఃస్థాపక బలమును ఘనపరిమాణాత్మక ప్రతిబలము అందురు.

ప్రశ్న 5.
వికృతిని నిర్వచించి, వివిధ రకాల వికృతులను వివరించండి.
జవాబు:
వికృతి : ప్రమాణ పరిమాణం గల వస్తువు ఆకారంలో వచ్చిన మార్పును వికృతి అంటారు.

ఇది నిష్పత్తి. కావున ప్రమాణాలు, మితులు లేవు.
వికృతి నందలి రకాలు : వికృతి మూడు రకములు.
1) అనుదైర్ఘ్య వికృతి 2) స్పర్శీయ లేదా విరూపణ వికృతి 3) ఘనపరిమాణ వికృతి.

1) అనుదైర్ఘ్య వికృతి (ε) : వస్తువు పొడవులో మార్పు (∆l) మరియు తొలి పొడవు (l) లకు గల నిష్పత్తిని అనుదైర్ఘ్య వికృతి అంటారు.
అనుదైర్ఘ్య వికృతి (ε) = \(\frac{\Delta l}{l}\)

2) విరూపణ వికృతి : ఒక వస్తువు తలముపై స్పర్శరేఖ దిశలో బలమును ప్రయోగించిన, దాని ఉపరితలము పొందిన స్థానభ్రంశపు మరియు మొదటి లంబ తలముల మధ్య గల కోణమును విరూపణ వికృతి అంటారు.
విరూపణ వికృతి = θ = \(\left(\frac{\Delta l}{l}\right)\) = tan θ (కోణము చిన్న విలువలకు tan θ = θ)

3) ఘనపరిమాణాత్మక వికృతి : వస్తువు ఘనపరిమాణంలో మార్పు కలుగునట్లు బలమును ప్రయోగించిన ఘనపరిమాణంలో మార్పుకు తొలి ఘనపరిమాణ మార్పుకు గల నిష్పత్తిని ఘనపరిమాణాత్మక వికృతి అందురు.

ప్రశ్న 6.
వికృతి శక్తి అంటే ఏమిటో తెలిపి, దానికి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి. (మార్చి 2014, మే 2014)
జవాబు:
వికృతిశక్తి : తీగలో వికృతి కలుగునట్లు బలమును ప్రయోగించినపుడు జరిగిన పని తీగలో స్థితిశక్తిగా నిల్వయుండును. దీనిని వికృతిశక్తి అందురు.
తీగపై ప్రయోగించిన విరూపణ బలమును తొలగించిన వికృతిశక్తి ఉష్ణశక్తిగా మారును.

సమీకరణ ఉత్పాదన : L పొడవు గల ఏకరీతి తీగ ఒక చివరను స్థిర ఆధారము నుండి వ్రేలాడదీసి దానిపై F బలమును . ప్రయోగించిన దానిలో సాగుదల dl అనుకొనుము.
∴ జరిగిన పని = dW = Fdl
తీగను దాని పొడవులో మార్పు ‘0’ నుండి / ను పొందుటలో జరిగిన పని
W = \(\int\) dW కాని \(\int_o^l \mathrm{Fd} l=\int_0^l \frac{\mathrm{YA} l}{\mathrm{~L}}=\frac{\mathrm{YA}}{\mathrm{L}}\left(\frac{l^2}{2}\right)_0^l \mathrm{~d} l\)
∴ \(\frac{\mathrm{YA}}{\mathrm{L}}\left(\frac{l^2}{2}\right)=\frac{\mathrm{YA}}{\mathrm{L}}\left(\frac{l^2}{2}\right) \frac{1}{2} \frac{\mathrm{Ya} l}{\mathrm{~L}} \cdot l\)
W = \(\frac{1}{2}\) × బలము × సాగుదల. ఈ పని తీగలో వికృతిశక్తికి సమానము.
∴ వికృతి శక్తి = \(\frac{1}{2}\) × బలము × సాగుదల.
ప్రమాణ ఘనపరిమాణంలో వికృతి శక్తి

ప్రమాణ ఘనపరిమాణంలో శక్తి = \(\frac{1}{2}\) × ప్రతిబలము × వికృతి

ప్రశ్న 7.
భారీ పని యంత్రాలలోనూ, నిర్మాణరంగ రూపకల్పనలోనూ రాగి, ఇత్తడి, అల్యూమినియంతో పోల్చితే ఉక్కును ఎందుకు వాడతారు ?
జవాబు:
ఉక్కుకు యంగ్ గుణకము మరియు దృఢతా గుణకములు రాగి, ఇత్తడి మరియు అల్యూమినియంల కన్న చాలా ఎక్కువ. అందువల్ల ఉక్కు కడ్డీలను సాగదీయడానికి మరియు వంచడానికి చాలా ఎక్కువ ప్రతిబలం కావాలి.

సుమారు 0.1 సెం.మీ2 వైశాల్యం గల ఉక్కు తీగను 0.1% సాగదీయటానికి సుమారు 2000 న్యూటన్ల బలం అవసరము. ఇదే సాగుదలకు అల్యూమినియంకు 690 న్యూ, రాగికి 900 న్యూ మరియు ఇత్తడికి 1100 న్యూటన్ల బలం అవసరము. అంటే ఉక్కు స్థితిస్థాపక గుణకము అల్యూమినియం, రాగి, ఇత్తడిల కన్నా ఎక్కువ కాబట్టి ఉక్కుతో కట్టిన కట్టడాలు ఎక్కువ బరువును మోయగల సామర్థ్యాన్ని, దృఢత్వాన్ని కలిగి ఉండటం వల్ల భవన నిర్మాణంలో, భారీ కట్టడాలు కట్టడంలోను ఉక్కును వాడతారు.

ప్రశ్న 8.
క్రమంగా భారం పెంచుతూ పోయినప్పుడు తీగ ప్రవర్తన ఏ విధంగా ఉంటుందో విశదీకరించండి.
జవాబు:
ఏకరీతి అడ్డుకోత వైశాల్యము గల తీగ ఒక చివరను స్థిరమైన ఆధారానికి బిగించి రెండవ చివర భారమును క్రమంగా పెంచినామనుకొనుము. వస్తువుపై ప్రయోగించిన ప్రతిబలము మరియు వస్తువులోని వికృతికి రేఖాపటం గీయగా అది పటంలో చూపినట్లు ఉంటుంది. ఈ రేఖాపటం నుండి తీగ ప్రవర్తనను వివిధ బిందువుల వద్ద వివరించవచ్చు.

అనుపాత అవధి : ప్రతిబలము వికృతి వక్రరేఖపై OA బిందువుల మధ్య భాగం సరళరేఖ ఈ ప్రాంతంలో ప్రతిబలం వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. బాహ్య బలం తొలగించగానే వస్తువు సంపూర్ణంగా యథాస్థితి పొందుతుంది. అందువల్ల ‘A’ బిందువును అనుపాత అవధి అంటారు.

స్థితిస్థాపక అవధి : ప్రతిబలము – వికృతి వక్రంలోని AB ప్రాంతము వక్రరేఖ. ఈ ప్రాంతంలో ప్రతిబలము, వికృతికి రేఖీయ సంబంధం కలిగి ఉండదు. కాని బాహ్యబలాన్ని తొలగించగానే వస్తువు తన యథాస్థితిని సంపూర్ణంగా పొందుతుంది. అందువల్ల B బిందువును ఈగే బిందువు లేదా స్థితిస్థాపక అవధి అంటారు.
ఈగే బిందువును చేరడానికి ప్రయోగించిన బాహ్యబలాన్ని ఈగుడుబలం అంటారు.

శాశ్వత స్థితి : ప్రతిబలం – వికృతి వక్రంలో బాహ్యబలాన్ని ‘C’ బిందువు వరకు పెంచి తొలగిస్తే వస్తువు తన పూర్వ స్థితిని సంపూర్ణంగా పొందలేదు. వస్తువులో కొంత వికృతి శాశ్వతంగా మిగిలిపోతుంది. అందువల్ల ‘C’ బిందువును శాశ్వత స్థితి బిందువు అంటారు.

విచ్ఛేదన ప్రతిబలము : ప్రతిబలం-వికృతి వక్రంలో వస్తువుపై ప్రతిబలాన్ని ఈగే బిందువు దాటి ప్రయోగిస్తే (E బిందువు వరకు) ప్రతిబలంలో స్వల్ప మార్పుకే వికృతి విపరీతంగా పెరిగి E అను బిందువు వద్ద తీగ సన్నబడి తెగిపోతుంది. తీగ తెగిపోవడానికి అవసరమైన E బిందువు వద్ద గల ప్రతిబలాన్ని విచ్ఛేదన ప్రతిబలం అంటారు.

ప్రశ్న 9.
ఏనుగు దంతంతో, బంక మట్టితో చేసిన రెండు సర్వసమాన బంతులను కొంత ఎత్తు నుంచి కిందికి వేసినారు. నేలను తాకిన తరువాత రెండింటిలో ఏది ఎక్కువ ఎత్తుకు లేస్తుంది ? ఎందువల్ల ?
జవాబు:
ఏనుగు దంతంతోను మరియు బంకమట్టితోను తయారుచేసిన రెండు సర్వసమానమైన బంతులను ఒకే ఎత్తు నుంచి జారవిడిచితే ఏనుగు దంతంతో చేసిన బంతి ఎక్కువ ఎత్తుకు లేస్తుంది.

వివరణ : 1) బంకమట్టి ప్లాస్టిక్ పదార్థము. అనగా దీని మీద బాహ్యబలం ప్రయోగిస్తే దాని ఆకారం మారుతుంది. పైనుండి క్రింద పడి నేలను తాకగానే వస్తువుకు గల శక్తి దానిలో విరూపణ కలిగించడానికి సరిపోవడం వల్ల బంకమట్టి ముద్ద దాదాపు సంపూర్ణ అస్థితిస్థాపక అభిఘాతానికి లోనుగావడం వల్ల పైకి లేవదు.

2) ఏనుగు దంతము దృఢమైన నిర్మాణం గల పదార్థంతో చేయబడటం వల్ల ఎక్కువ స్థితిస్థాపకతను కలిగి ఉంటుంది. ఫలితంగా నేలను తాకినపుడు దాని ఆకారంలో విరూపణ అతిస్వల్పంగా ఉండి దంతపు బంతి స్థితిస్థాపక అభిఘాతానికి లోనై ఎక్కువ ఎత్తు పైకి లేస్తుంది.

ప్రశ్న 10.
వంతెనలు, భవనాల నిర్మాణంలో భారం వితరణ చెందని స్తంభాల కంటే వితరిత స్తంభాలను వాడతారు. ఎందుకు ?
జవాబు:
భవనాలు, వంతెనలు వంటి కట్టడాలకు ఆధారంగా ఉండవలసిన దూలాలవంటివి నిర్మించేటపుడు నిర్మాణంలో వాడిన పదార్థాల స్థితిస్థాపక ధర్మాలతో పాటు నిర్మాణపు ఆకారం వల్ల కూడా దృఢత్వం సంతరించు కుంటుంది. స్థంభాలు లేదా కాలమ్స్ విషయంలో కొనలు ఉన్న స్తంభాలు (వితరిత స్తంభాలు), కొనలు లేని (వితరితం చెందని) స్థంభాల కన్నా ఎక్కువ భారం మోయగలుగుతాయి. అందువల్ల పెద్ద పెద్ద నిర్మాణాలలో భార వితరిత కొనలు ఉన్న స్థంభాలను ఎక్కువగా వాడతారు.

ప్రశ్న 11.
భూమిపై పర్వతాల గరిష్ఠ ఎత్తు సుమారు 10 కి.మీ. మాత్రమే ఎందుకు ఉంటుందో వివరించండి.
జవాబు:
రాళ్ళ స్థితి స్థాపక ధర్మాలను పరిగణనలోకి తీసుకొని భూమిపై పర్వతాల గరిష్ఠ ఎత్తు సుమారు 10 కి.మీ. దాటదు అని వివరించవచ్చు.

రాయి స్థితిస్థాపక అవధి సుమారు 30 × 10⁷ న్యూ/మీ³ మరియు రాయి తయారుచేయబడిన పదార్థ సాంద్రత ρ = 3 × 10³ కి.గ్రా./మీ³.
కావున h ఎత్తు గల రాళ్ళ పర్వతాల వల్ల పర్వతం అడుగున ఉన్న రాయిపై ప్రతిబలము ప్రతిబలము = hρg న్యూ/మీ². ఈ ప్రతిబలము రాయి స్థితిస్థాపక హద్దులలో గల ప్రతిబలము దాటరాదు. ఒకవేళ దాటితే రాయి స్థితిస్థాపక ధర్మాలు కోల్పోయి పూర్తిగా విరూపణం చెందే అవకాశం ఎక్కువ.
∴ 30 × 10⁷ = hpg లేదా 30 × 10⁷ = h . 3 × 10³ × 10
∴ h = 10⁴ = 10 కి.మీ.
అందువల్ల భూమిపై పర్వతాల ఎత్తు గరిష్ఠంగా 10 కి.మీ.కు మించదు.

ప్రశ్న 12.
సాగదీసిన తీగలో స్థితిస్థాపక స్థితిజశక్తి భావనను వివరించి దానికి సమాసాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:
తీగపై తన్యజ ప్రతిబలం పనిచేసినపుడు అంతరపరమాణు బలాలకు వ్యతిరేకంగా పని జరుగుతుంది. ఈ పని తీగలో స్థితిస్థాపక స్థితిజశక్తిగా మిగిలిపోతుంది.
‘l’ పొడవు గల, A మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం గల తీగపై F బలం ప్రయోగించామనుకోండి. తీగ యంగ్ గుణకము Y అనుకొనుము.
Y = \(\frac{\mathrm{F} / \mathrm{A}}{l / \mathrm{L}}\) సమీకరణం నుండి F = \(\frac{\text { YAl }}{\text { L }}\)
తీగలో ∆l పొడవులో వృద్ధి కలిగించడానికి చేసిన పని ∆W అనుకుంటే తీగను ‘l’ పొడవు సాగదీయడానికి చేసిన పని
∴ W = \(\int \mathrm{dw}=\int_0^l \mathrm{~F} \cdot \Delta l=\int_0^l \frac{\mathrm{YA} l}{\mathrm{~L}} \mathrm{~d} l=\frac{1}{2} \mathrm{YA} \frac{l^2}{\mathrm{~L}}\)
∴ W = \(\frac{1}{2}\) Y . AL . \(\frac{l^2}{\mathrm{~L}}\) = \(\frac{1}{2}\) × యంగ్ గుణకము × తీగ ఘ.ప. × (వికృతి)² ……………. (1)
× ఘ.ప. × (వికృతి)² = \(\frac{1}{2}\) ప్రతిబలము × వికృతి × ఘ.ప.
ప్రమాణ ఘనపరిమాణానికి వికృతి శక్తి = W/ఘ.ప. = \(\frac{1}{2}\) ప్రతిబలము (σ) × వికృతి (ε) …………. (2)
పై సమీకరణాలలో తీగను సాగదీయడానికి జరిపిన పని W వస్తువులో గల స్థితిస్థాపక శక్తికి సమానము.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
స్థితిస్థాపకతలోని హుక్ నియమాన్ని నిర్వచించి, తీగ పదార్థపు యంగ్ గుణకాన్ని కనుక్కొనే ప్రయోగాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
హుక్ సూత్రము :
స్థితిస్థాపక అవధిలో ప్రతిబలము వికృతికి అనులోమానుపాతంలో ఉండును.

E అనుపాత స్థిరాంకము. దీనిని పదార్థము యొక్క స్థితిస్థాపకతా గుణకము అందురు.

పరికరం వర్ణన : యంగ్ గుణకాన్ని కనుగొనే ప్రయోగం అమరికలో సమాన పొడవు, వ్యాసార్థం గల రెండు తీగలను (A, B) దృఢమైన ఆధారం నుండి వ్రేలాడదీసి వాటి చివర ఒక వెర్నియర్ మాపకాన్ని కలుపుతారు. తీగ A ను మాపకం ప్రధాన స్కేలు (M) కు కలిపి దాని క్రింద భాగంలో ఒక స్థిరమైన బరువును కలిపి తీగ A లో నొక్కులు లేకుండా స్థిరంగా ఉండేటట్లు చేస్తారు. తీగ B ని వెర్నియర్ స్కేలుకు కలుపుతారు.. ఈ తీగకు గల పళ్ళెంలో కావలసిన విధంగా బరువులను మార్చవచ్చు. ఈ ప్రయోగంలో ప్రతిసారి ప్రధాన స్కేలు రీడింగు (M.S.R.) మరియు వెర్నియర్ స్కేలు రీడింగు (V.S.R.) లను కొలుస్తారు.

చేయు విధానము : ప్రయోగపు తీగ నొక్కులు లేకుండా ఉండటానికి తగినంత బరువును కొంకి తీగకు తగిలిస్తారు. వెర్నియర్ మాపకం రీడింగులు కొలుస్తారు. కొంకి బరువులను ప్రతిసారి 1/2 కిలో చొప్పున పెంచుతూ సుమారు 3 కి.గ్రా. వరకు బరువు పెంచుతారు. బరువు పెంచేటప్పుడు ప్రతిసారి ప్రధాన స్కేలు రీడింగు (M.S.R) మరియు వెర్నియర్ స్కేలు రీడింగు (V.S.R) లను కొలుస్తారు.

బరువు 3 కి.గ్రా. వరకు పెంచిన తరువాత క్రమంగా ప్రతిసారి 1/2 కి.గ్రా. చొప్పున తగ్గిస్తారు. బరువు తగ్గించిన ప్రతిసారి ప్రధాన స్కేలు (M.S.R.) మరియు వెర్నియర్ స్కేలు (V.S.R.) రీడింగులు కొలుస్తారు. ఈ విలువలు పట్టికలో పొందుపరుస్తారు.

మొదటి రీడింగును (M₁ మరియు e₁) లను ఆధారంగా తీసుకొని ప్రతి విలువ (M₂, M₃ మరియు e₂, e₃ వంటివి) నుండి తొలి విలువ (M₁, e₁) లను తీసివేయడం ద్వారా ద్రవ్యరాశిలో మార్పు ‘m’ మరియు దానికి సంబంధించిన సాగుదల ‘e’ లను లెక్కగడతారు.
ద్రవ్యరాశిలో మార్పు m = m₂ – m₁; తీగలో సాగుదల e = e₂ – e₁

సరాసరి = m/e; తీగపై బలము = mg
తీగ అడ్డుకోత వైశాల్యము = πr²
r = తీగ వ్యాసార్ధము
సాగుదల = e,
తీగ తొలి పొడవు = l
ప్రతిబలము = \(\left(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{a}}\right)=\frac{\mathrm{mg}}{\pi r^2}\)
వికృతి = \(\left(\frac{\mathrm{e}}{l}\right)\)
యంగ్ గుణకము Y = \(\left(\frac{g l}{\pi r^2}\right)\left(\frac{m}{e}\right)\)

ప్రయోగపూర్వకంగా కనుగొనిన విలువలు l, r, e, m లను ఈ సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించి Y విలువ కనుగొంటారు.
జాగ్రత్తలు :

1. వ్రేలాడదీయు బరువులు స్థితిస్థాపక అవధి కన్న చాలా తక్కువగా ఉండవలెను.
2. ఏకీభవించు వెర్నియర్ స్థానమును పారలాక్సు దోషము లేకుండా కొలవవలెను.

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
1 mmవ్యాసం ఉన్న రాగి తీగను 10 N బలం అనువర్తించి సాగదీశారు. ఆ తీగలోని ప్రతిబలం కనుక్కోండి.
సాధన:
వ్యాసము d = 1 mm;
బలము F = 10N;
∴ వ్యాసార్ధము r = 0.5 mm = = 0.5 × 10^-3 m
∴ ప్రతిబలము = \(\frac{\mathrm{F}}{\pi \mathrm{r}^2}=\frac{10}{3.141 \times 0.5 \times 0.5 \times 10^{-6}}=\frac{40 \times 10^6}{3.141}\) = 1.273 × 10⁷ Pa

ప్రశ్న 2.
20 cm పొడవు వున్న టంగ్స్టన్ తీగను 0.1 cm అదనంగా సాగదీశారు. తీగలోని వికృతిని కనుక్కోండి.
సాధన:
తీగ పొడవు l = 20cm = 0.2m;
సాగుదల e = 0.1cm = 1 × 10^-3 m

= \(\frac{1 \times 10^{-3}}{0.2}\) = 5 × 10^-3 = 0.005

ప్రశ్న 3.
ఇనుప తీగను 1% సాగదీసినట్లయితే దానిలో వచ్చిన వికృతి ఎంత ?
సాధన:
పొడవులో పెరుగుదల = e = 1% = \(\frac{1}{100}\) l

= \(\frac{\mathrm{e}}{l}=\frac{1}{100 \times l}=\frac{1}{100}\) = 0.01

ప్రశ్న 4.
1 mm వ్యాసం, 2m పొడవు ఉన్న ఇత్తడి తీగపై 20 N బలం ప్రయోగించి సాగదీశారు. పొడవులో పెరుగుదల 0.51 mm అయితే, 1) తీగ ప్రతిబలం, 2) వికృతి, 3) యంగ్ గుణకాలను కనుక్కోండి.
సాధన:
తీగ పొడవు l = 2m;
బలము F = 20N;
వ్యాసము d = 1mm = 10^-3 m
పొడవులో పెరుగుదల e = 0.51mm = 0.51 × 10^-3 m

ప్రశ్న 5.
రాగి, అల్యూమినియం తీగల పొడవుల నిష్పత్తి 3: 2, వ్యాసాల నిష్పత్తి 2: 3, వీటిపై అనువర్తిత బలాల నిష్పత్తి 4:5గా ఉన్నాయి. రెండు తీగల పొడవుల పెరుగుదల నిష్పత్తిని కనుక్కోండి. (Y_Cu = 1.1 × 10¹¹ Nm^-2, Y_Al = 0.7 × 10¹¹ Nm^-2)
సాధన:
పొడవుల నిష్పత్తి l₁ : l₂ = 3 : 2 ;
వ్యాసముల నిష్పత్తి d₁ : d₂ = 2 : 3
బలాల నిష్పత్తి F₁ : F₂ = 4:5
Y₁ = రాగి యంగ్ గుణకము : 1.1 × 10¹¹
Y₂ = అల్యూమినియం యంగ్ గుణకము = 0.7 × 10¹¹
సాగుదల నిష్పత్తి e₁ : e₂ = ?
e = \(\frac{\mathrm{Fl}}{\mathrm{AY}}=\frac{4 \mathrm{~F} l}{\pi \mathrm{d}^2 \mathrm{Y}}\)
∴ \(\frac{\mathrm{e}_1}{\mathrm{e}_2}=\frac{4 \mathrm{~F}_1 l_1}{\pi \mathrm{d}_1^2 \mathrm{Y}_1} \times \frac{\pi \mathrm{d}_2^2 \mathrm{Y}_2}{4 \mathrm{~F}_2 l_2}\)
⇒ \(\frac{\mathrm{e}_1}{\mathrm{e}_2}=\frac{\mathrm{F}_1 l_1 \mathrm{~d}_2^2 \mathrm{Y}_2}{\mathrm{~F}_2 l_2 \mathrm{~d}_1^2 \mathrm{Y}_1}=\frac{4 \times 3 \times 3^2 \times 0.7 \times 10^{11}}{5 \times 2 \times 2^2 \times 1.1 \times 10^{11}}=\frac{189}{110}\)
∴ e₁ : e₂ = 189 : 110

ప్రశ్న 6.
2 mm² మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న ఇత్తడి తీగ ఒక కొనను ద్రుఢ ఆధారానికి బిగించి రెండో కొనకు 100 cm³ ఘనపరిమాణం ఉన్న వస్తువును కట్టారు. వస్తువును నీటిలో పూర్తిగా ముంచినప్పుడు తీగ పొడవు 0.11 mm తగ్గింది. తీగ సహజ పొడవును కనుక్కోండి. (Y_{ఇత్తడి} : 0.91 × 10¹¹ Nm^-2, ρ_నీరు = 10³ kg m^-3)
సాధన:
అడ్డుకోత వైశాల్యము A = 2mm² = 2 × 10^-6 m²
వస్తువు ఘనపరిమాణము V = 100cc = 100 × 10^-6 m³
పొడవులో తగ్గుదల e’ = 0.11mm = 0.11 × 10^-3 m
ఇత్తడి యంగ్ గుణకము Y = 0.91 × 10¹¹ N/m²
నీరు సాంద్రత ρ = 1000 kg / m³; వికృతి e’ = \(\frac{\mathrm{V} \rho \mathrm{g} l}{\mathrm{AY}}\) ని ఉపయోగించగా
తీగ సహజ పొడవు l = \(\frac{\mathrm{e}^{\prime} \mathrm{AY}}{\mathrm{V} \rho \mathrm{g}}=\frac{0.11 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-6} \times 0.91 \times 10^{11}}{100 \times 10^{-6} \times 1000 \times 9.8}\)
∴ l = \(\frac{0.2002 \times 10^2}{9.8}=\frac{20.02}{9.8}\) = 2.043 m

ప్రశ్న 7.
ఒకే పదార్థంతో చేసిన రెండు తీగల వ్యాసార్ధాల, పొడవుల నిష్పత్తులు ఒకే విధంగా ఉన్నాయి. ఆ నిష్పత్తి 1 : 2 రెండింటిలోనూ వచ్చిన దైర్ఘ్యవృద్ధి సమంగా ఉంటే, వాటిపై వేసిన భారాల నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన:
పొడవుల నిష్పత్తి l₁ : l₂ = 1 : 2; .
తీగలలో సాగుదలలు సమానము ⇒ e₁ = e₂;
వ్యాసార్ధముల నిష్పత్తి r₁ : r₂ = 1 : 2
రెండు తీగలు ఒకే పదార్థముతో చేయబడినవి ⇒ Y₁ = Y₂
వ్రేలాడదీసిన ద్రవ్యరాశుల నిష్పత్తి m₁ : m₂ = ?
Y = \(\frac{\mathrm{mg}}{\pi \mathrm{r}^2} \frac{\mathrm{l}}{\mathrm{e}}\) ని ఉపయోగించగా
\(\frac{\mathrm{m}_1}{\mathrm{~m}_2}=\frac{\mathrm{Y}_1 \mathrm{r}_1^2 l_2}{l_1 \mathrm{Y}_2 \mathrm{r}_2^2}=\frac{1 \times 2}{1 \times 2^2}=\frac{1}{2}\)
∴ m₁ : m₂ = 1 : 2

ప్రశ్న 8.
వేరు వేరు పదార్థాలతో చేసిన రెండు తీగలు ఒకే పొడవు, మధ్యచ్ఛేదాన్ని కలిగి ఉన్నాయి. వీటిపై సమానమైన బలాలను అనువర్తించినప్పుడు రెండింటి పొడవుల పెరుగుదల నిష్పత్తి ఎంత ?
(Y₁ = 0.9 × 10¹¹ Nm^-2, Y₂ = 3.60 × 10¹¹ Nm^-2)
సాధన:
రెండు తీగల పొడవులు సమానము ⇒ l₁ = l₂; తీగల అడ్డుకోత వైశాల్యములు సమానము A₁ = A₂
Y₁ = 0.9 × 10¹¹ Nm^-2
Y₂ = 3.60 × 10¹¹ Nm^-2
సాగుదల e = \(\frac{\mathrm{Fl}}{\mathrm{AY}}\)
∴ \(\frac{e_1}{e_2}=\frac{F_1 l_1}{A_1 Y_1} \cdot \frac{A_2 Y_2}{F_2 l_2}\) (∵ ఇందులో F, I మరియు A లు సమానము)
∴ \(\frac{e_1}{e_2}=\frac{Y_2}{Y_1}\)
∴ \(\frac{e_1}{e_2}=\frac{3.60 \times 10^{11}}{0.9 \times 10^{11}}=\frac{4}{1}\) (లేదా) e₁ : e₂ = 4 : 1

ప్రశ్న 9.
2.5 m పొడవు, 1.5 × 10⁶ m² మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న లోహతీగను 2 mm సాగదీశారు. తీగ యంగ్ గుణకం 1.25 × 10¹¹ Nm^-2 అయితే దానిలో ఉండే తన్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
తీగ పొడవు l = 2.5m
సాగుదల e = 2 m.m = 2 × 10^-3 m
అడ్డుకోత వైశాల్యము A = 1.5 × 10^-6 m²
Y = 1.25 × 10²² N/m²
తన్యత T = mg = F = ?
Y = \(\frac{\mathrm{Fl}}{\mathrm{Ae}}\) ⇒ F = \(\frac{\mathrm{YAe}}{l}\)
∴ T = \(\frac{1.25 \times 10^{11} \times 1.5 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}}{2.5}\) = \(\frac{3.75 \times 10^2}{2.5}\) = 150 N

ప్రశ్న 10.
ఒకే పొడవు, మధ్యచ్ఛేదం ఉన్న అల్యూమినియం, ఉక్కు తీగల కొనలను కలిపారు. ఈ మిశ్రమ తీగ ఒక కొనను ద్రుఢ ఆధారానికి బిగించి రెండో కొనకు భారాన్ని వేలాడదీశారు. మిశ్రమ తీగ పొడవులో పెరుగుదల 1.35mm ఉంటే 1) రెండు తీగలపై పనిచేసే ప్రతిబలాల 2) రెండు తీగలలో వచ్చే వికృతుల నిష్పత్తులను కనుక్కోండి.
(Y_AL = 0.7 × 10¹¹ Nm^-2, Y_steel = 2 × 10¹¹ Nm^-2)
సాధన:
i) రెండు తీగల పొడవులు సమానము ⇒ l₁ = l₂ ;
అడ్డుకోత వైశాల్యములు సమానము ⇒ A₁ = A₂
సంయోగ తీగలో రెండు తీగలపై ఒకే బలము పనిచేయును;
∴ ప్రతిబలాల నిష్పత్తి = 1 : 1

ii) మొత్తము సాగుదల e = 1.35mm = e_Al + e_s
అల్యూమినియం యంగ్ గుణకము 7 × 10¹¹ N/m²,
స్టీలు తీగ యంగ్ గుణకము, Y = 2 × 10¹¹ N/m²
సాగుదల e = \(\frac{\mathrm{Fl}}{\mathrm{AY}}\) కాని F, I మరియు A లు సమానము.
∴ e ∝ \(\frac{1}{\mathrm{Y}}\) లేదా \(\frac{\mathrm{e}_{\mathrm{A} l}}{\mathrm{e}_{\mathrm{S}}}=\frac{\mathrm{Y}_{\mathrm{S}}}{\mathrm{Y}_{\mathrm{A} l}}=\frac{20 \times 10^{10}}{7 \times 10^{10}}=\frac{20}{7}\) లేదా 20 : 7
∴ తీగలలో వికృతిల నిష్పత్తి 20 : 7.

ప్రశ్న 11.
ఒక పదార్థంతో చేసిన 2 cm భుజం కలిగిన ఘనంపై ప్రయోగించిన 0.3 N స్పర్శాబలం దాని పై తలాన్ని 0.15 cm స్థానభ్రంశం చెందించింది. ఘనం కింది తలాన్ని స్థిరంగా ఉంచారు. పదార్థం విమోటన గుణకం కనుక్కోండి.
జవాబు:
ఘనము యొక్క ఒక భుజము పొడవు a = 2.0cm = 2 × 10² m
∴ ఘనము యొక్క ఒక తలము వైశాల్యము A = 4 × 10^-4 m²
ఉపరితల పొర స్థాన భ్రంశం = 0.15cm = 0.15 × 10^-2m
స్పర్శీయ బలము F = 0.30N
విమోటనా గుణకము η = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{A}} \cdot \frac{\mathrm{x}}{\Delta \mathrm{x}}=\frac{0.30}{4 \times 10^{-4}} \frac{2 \times 10^{-2}}{0.15 \times 10^{-2}}\)
∴ η = \(\frac{0.60 \times 10^4}{0.60}\) = 1 × 10⁴ N/m²

ప్రశ్న 12.
1000 cm³ ఘనపరిమాణం ఉన్న గోళాకార బంతిపై 10 atm పీడనాన్ని ప్రయోగించారు. ఘనపరిమాణంలో వచ్చిన మార్పు 10^-2 cm³. బంతిని ఇనుముతో తయారుచేసినట్లైతే దాని యంగ్ గుణకాన్ని కనుక్కోండి. (1 atm = 1 × 10⁵ Nm^-2)
సాధన:
గోళాకార బంతి ఘనపరిమాణము V = 1000 cm³ = 10^-3 m³ (∵ 1M³ = 10⁶ cm³)
పీడనము P = 10 అట్మాస్పియర్లు = 10 × 10⁵ పాస్కల్ ( ∵ 1 atm = 10⁵ cm)
ఘనపరిమాణములో మార్పు ∆V = 10^-8 cm³ స్థూల గుణకము K ?
K = \(\frac{\mathrm{PV}}{\Delta \mathrm{V}}=\frac{10^6 \times 10^{-3}}{10^{-8}}\) = 1 × 10¹¹ N/m²

ప్రశ్న 13.
1 cm భుజం ఉన్న రాగి ఘనాన్ని 100 atm పీడనానికి గురిచేశారు. రాగి ఆయత గుణకం 1.4 × 10¹¹ Nm^-2 అయితే ఘనపరిమాణంలో వచ్చే మార్పును కనుక్కోండి. (1 atm = 1 × 10⁵ Nm^-2)
సాధన:
ఒక రాగి ఘనము ఒక్కొక్క భుజము పొడవు ‘a’ 1 సెం.మీ. = 10^-2 m
∴ ఘనము ఘనపరిమాణము = 10^-6m
పీడనము P = 100 అట్మాస్పియర్లు = 100 × 10⁵ = 10⁷ పాస్కల్లు
స్థూల గుణకము K = 1.4 × 10¹¹ N/m²;
ఘనపరిమాణములో మార్పు ∆V = \(\frac{P . V}{K}=\frac{10^7 \times 10^{-6}}{1.4 \times 10^{11}}=\frac{10^{-10}}{1.4}\)
= 0.7143 × 10^-10 m³

ప్రశ్న 14.
ఇచ్చిన నీటి ఘనపరిమాణాన్ని 2% తగ్గించడానికి ఎంత పీడనం అవసరమవుతుంది ? నీటి ఆయత గుణకం 2.2 × 10⁹ Nm^-2.
సాధన:
స్థూల వికృతి = \(\frac{\Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}}\) = 2% ⇒ ∆V = \(\frac{2}{100}\) V
స్థూల గుణకము _ K = 2.2 × 10⁹ Nm^-2
∴ కావలసిన పీడనము P = \(\frac{\mathrm{K} \Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}}=\frac{2.2 \times 10^9 \times 2 \mathrm{~V}}{\mathrm{~V} \times 100}\) = 4.4 × 10⁷ పాస్కల్

ప్రశ్న 15.
20 cm పొడవు ఉన్న ఉక్కు తీగను సాగదీసి దాని పొడవును 0.2 cm పెంచారు. ఉక్కు ప్వాజూన్ నిష్పత్తి 0.19 అయితే, తీగలో వచ్చే పార్శ్వ వికృతి ఎంత ?
సాధన:
తీగ పొడవు l = 20cm = 0.20m, ప్వాజూన్ నిష్పత్తి σ = 0.19
పొడవులో సాగుదల ∆l = 0.2cm = 2 × 10³ m;
పార్శ్వీయ వికృతి = ?
పార్శ్వ వికృతి = σ × అనుదైర్ఘ్య వికృతి ‘e’;
కాని e = \(\)
∴ పార్శ్వీయ వికృతి = σ \(\frac{\Delta l}{l}\) = \(\frac{0.19 \times 2 \times 10^{-3}}{0.20}\) = 1.9 × 10^-3 = 0.0019m.

ముఖ్యమైన అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
4.7 m పొడవు, 3.0 × 10^-5 m² మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న ఉక్కు తీగ, 3.5 m పొడవు, 4.0 × 10^-5 m² తీగ రెండూ ఇచ్చిన భారం వల్ల సమానంగా సాగాయి. ఉక్కు రాగి యంగ్ గుణకాల మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న రాగి నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన:
ఉక్కు తీగకు a₁ = 3.0 × 10^-5 m²; l₁ = 4.7 m; ∆l₁ = ∆l ; F₁ = F
రాగి తీగకు a₂ = 4.0 × 10^-5 m²; l₂ = 3.5 m; ∆l₂ = ∆l ; F₂ = F
Y₁, Y₂ లను వరుసగా ఉక్కు, కాపర్ల యంగ్ గుణకాలు అనుకొనుము.

ప్రశ్న 2.
పటంలో ఒక పదార్థం వికృతి-ప్రతిబలం వక్రం చూపించడమైనది. ఈ పదార్థం ఎ) యంగ్ గుణకం, బి) ఉజ్జాయింపు ఈగే సామర్థ్యం ఎంత ?
సాధన:
ఎ) గ్రాఫ్ నుండి ప్రతిబలము = 150 × 10⁶ Nm^-2,
వికృతి = 0.002

= 7.5 × 10¹⁰ Nm^-2

బి) ఉజ్జాయింపుగా ఊగే సామర్థ్యము అది భరించగల అత్యధిక ప్రతిబలానికి సమానము.
∴ ఉజ్జాయింపుగా ఊగే సామర్థ్యము
= 300 × 10⁶ Nm^-2 = 3 × 10⁸ Nm^-2

ప్రశ్న 3.
రెండు పదార్థాలు A, B ప్రతిబలం – వికృతి వక్రాలను పటంలో ఇవ్వడమైంది. రెండు వక్రాలను ఒకే స్కేలు ప్రకారం గీశారు.
ఎ) రెండు పదార్థాల్లో ఏ పదార్థం యంగ్ గుణకం ఎక్కువ ?
బి) రెండు పదార్థాల్లో ఏది బలమైనది ?

సాధన:
ఎ) ఇచ్చిన రెండు ప్రతిబలము – వికృతి రేఖాపటాలలో A గ్రాఫ్ ప్రతిబలము B కన్న ఎక్కువ కావున A కి యంగ్ గుణకము ఎక్కువ. (Y = ప్రతిబలము/వికృతి కావున)
బి) ఒక వస్తువు యొక్క దృఢత్వము దానిని తెంపటానికి కావలసిన ప్రతిబలంపై ఆధారపడును. A కి ప్రతిబలం ఎక్కువ కావున కన్న A దృఢమైనది.

ప్రశ్న 4.
కింద ఇచ్చిన రెండు ప్రవచనాలను జాగ్రత్తగా చదివి అది తప్పా, ఒప్పా కారణాలతో వివరించండి.
ఎ) రబ్బరు యంగ్ గుణకం ఉక్కు కంటే ఎక్కువ.
బి) తీగ చుట్ట సాగుదలను దాని విమోటన గుణకం ఆధారంగా నిర్ణయించవచ్చు.
సాధన:
ఎ) ఈ వాక్యము అబద్ధము. ఒకే ప్రతిబలానికి స్టీలు కన్న రబ్బరుకు వికృతి ఎక్కువ. స్థితిస్థాపక గుణకము వికృతికి విలోమానుపాతంలో ఉండును. yo : 1/వికృతి

బి) ఈ వాక్యము నిజము. స్ప్రింగ్ను సాగదీస్తే మనం వాడిన బలం తీగ పొడవు మారకుండా స్ప్రింగ్ ఆకారాన్ని మారుస్తుంది. అందువల్ల ఈ ప్రక్రియలో దృఢతా గుణకము లెక్కలోనికి వస్తుంది.

ప్రశ్న 5.
పటంలో చూపించినట్లు 0.25 cm వ్యాసం ఉన్న ఉక్కు, ఇత్తడి తీగలను భారయుతం చేశారు. భారరహిత స్థితిలో ఉక్కుతీగ పొడవు 1.5 m, ఇత్తడి తీగ పొడవు 1.0 m. ఉక్కు, ఇత్తడి తీగలలో వచ్చే దైర్ఘ్యవృద్ధి లెక్కించండి.

సాధన:
ఉక్కుతీగకు, ఉక్కు తీగపై మొత్తం బలము
F₁ = 4 + 6 = 10 kg f = 10 × 9.8 N;
l₁ = 1.5 m, ∆l₁ = ?; 2r₁ = 0.25 cm
లేదా r₁ = (0.25/2) cm = 0.125 × 10^-2 m;
Y₁ = 2.0 × 10¹¹ Pa
ఇత్తడి తీగకు F₂ = 6.0 kg, f = 6 × 9.8 N; 2r₂ = 0.25 cm
లేదా r₂ = (0.25/2) cm = 0.125 × 10^-2 m;
Y₂ = 0.91 × 10¹¹ Pa, l₂ = 1.0 m, ∆l₂= ?
Y₁ = \(\frac{\mathrm{F}_1 \times l_1}{\mathrm{a}_1 \times \Delta l_1}=\frac{\mathrm{F}_1 \times l_1}{\pi \mathrm{r}_1^2 \times \Delta l_1}\)

ప్రశ్న 6.
అల్యూమినియం ఘనం అంచు పొడవు 10 cm. ఘనం ఒక తలాన్ని నిలువు గోడకు గట్టిగా బిగించారు. ఘనం ఎదురు తలానికి 100 kg ద్రవ్యరాశిని తగిలించారు. అల్యూమినియం విమోటన గుణకం 25 GPa. ఈ తలం నిట్టనిలువు అపవర్తనం ఎంత ?
సాధన:
A = 0.10 × 0.10 = 10^-2 m²; F = mg = 100 × 10 N
విమోటన వికృతి = \(\frac{\Delta \mathrm{L}}{\mathrm{L}}\) = \(\frac{(\mathrm{F} / \mathrm{A})}{\mathrm{G}}\) or ∆L = \(\frac{\mathrm{FL}}{\mathrm{AG}}\) = \(\frac{(100 \times 10) \times 0.10}{10^{-2} \times\left(25 \times 10^9\right)}\) = 4 × 10^-7 m.

ప్రశ్న 7.
50,000 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న భారీ కట్టడానికి ఆధారంగా నాలుగు బోలు స్థూపాకార, మృదు ఉక్కుస్తంభాలు ఉన్నాయి. ప్రతీ స్తంభం లోపలి, బాహ్య వాసార్ధాలు వరుసగా 30, 60 cm గా ఉన్నాయి. భార వితరణ ఏకరీతిగా ఉన్నదనుకొని ప్రతీ స్తంభంలో వచ్చే సంపీడన వికృతిని కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 8.
15.2 mm × 19.1 mm కొలతలు ఉన్న దీర్ఘచతురస్రాకార రాగి ముక్కను 44,500 N తన్యత బలంతో కేవలం స్థితిస్థాపక విరూపణ కలిగే విధంగా లాగారు. దాని మూలంగా కలిగే ఫలిత వికృతిని గణించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి A = 15.2 × 19.2 × 10^-6 m²; F = 44,500 N; G = 42 × 10⁹ Nm^-2

ప్రశ్న 9.
స్కీయింగ్ ప్రాంతంలో ఉన్న చైర్ లిఫ్ట్ను మోసే ఉక్కు కేబుల్ వ్యాసార్ధం 1.5cm. గరిష్ట ప్రతిబలం విలువ 10⁸ Nm^-2 ను దాటకూడదు. అంటే, కేబుల్ గరిష్ఠంగా ఎంత బరువును మోయగలదు ?
సాధన:
గరిష్ఠ భారము = గరిష్ఠ ప్రతిబలము × అడ్డుకోత వైశాల్యము
= 10⁸ × πr² = 10⁸ × (22/7) × (1.5 × 10^-2)² = 7.07 × 10⁴ N

ప్రశ్న 10.
15 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ద్రుఢమైన కడ్డీని సౌష్ఠవంగా అమర్చి ఉన్న మూడు తీగలు మోస్తున్నాయి. ప్రతి తీగ పొడవు 2.0 m. రెండు చివరల ఉన్న తీగలు రాగికి కాగా, మధ్యలో తీగ ఇనుముతో తయారయింది. అన్ని సమాన తన్యతను కలిగి ఉండాలంటే, వాటి వ్యాసాల నిష్పత్తులు ఎలా ఉండాలి ?
సాధన:
ప్రతీ తీగ ఒకే తన్యత 1 ను కల్గి ఉన్నందున, అవి ద్రుఢమైన కడ్డీ ద్రవ్యరాశి కారణంగా ఒకే విధమైన సాగుదలను కలిగి ఉంటాయి. ప్రతీ తీగ ఒకే పొడవు కలిగి ఉన్నందున వాటికి సమాన వికృతి ఉంటుంది. తీగ వ్యాసం D అయితే
Y = \(\frac{4 \mathrm{~F} / \pi \mathrm{D}^2}{\text { వికృతి }}\) (లేదా) D² ∝ 1/Y
∴ \(\frac{D_{\mathrm{cu}}}{\mathrm{D}_{\mathrm{iron}}}\) = \(\sqrt{\frac{Y_{\text {iron }}}{Y_{\mathrm{Cu}}}}\) = \(\sqrt{\frac{190 \times 10^9}{110 \times 10^9}}\) = \(\sqrt{\frac{19}{11}}\) = 1.31

ప్రశ్న 11.
1.0 m సహజ పొడవు ఉన్న ఉక్కు తీగ ఒక చివర 14.5 kg ద్రవ్యరాశిని కట్టి నిలువు తలంలో వృత్తాకారంగా తిప్పారు. దాని కనిష్ఠ బిందువు వద్ద కోణీయ వేగం 2 reu/s. తీగ మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం 0.065 cm². ద్రవ్యరాశి వృత్తాకార పథంలో కనిష్ఠ బిందువు వద్ద ఉన్నప్పుడు తీగలో వచ్చే దైర్ఘ్యవృద్ధిని లెక్కించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి m = 14.5 kg; l = r = 1 m; v = 2 rps; A = 0.065 × 10^-4 m²
నిలువు వృత్తంలో కనిష్ఠ బిందువు వద్ద మొత్తము బలము
F = mg + mr ω² = mg + mr 4 π² v² = 14.5 × 9.8 + 14.5 × 1 × 4 × (22/7)² × 2²
= 142.1+ 2291.6 = 2433.7 N
Y =\(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{A}} \times \frac{l}{\Delta l}\) or ∆l = \(\frac{\mathrm{Fl}}{\mathrm{AY}}=\frac{2433.7 \times 1}{\left(0.065 \times 10^{-4}\right) \times\left(2 \times 10^{11}\right)}\) = 1.87 × 10^-3 m = 1.87mm

ప్రశ్న 12.
క్రింద ఇచ్చిన దత్తాంశం సహాయంతో నీటి ఆయత గుణకాన్ని కనుక్కోండి. తొలి ఘనపరిమాణం = 100.0 litre, పీడనం పెరుగుదల = 100.0 atm (1 atm = 1,013 × 10⁵ Pa), తుది ఘనపరిమాణం = 100,5 litre. నీటి ఆయతన గుణకాన్ని గాలి (స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద) ఆయత గుణకంతో పోల్చండి. ఈ నిష్పత్తి ఎందుకు చాలా అధికంగా ఉంటుందో సులభరీతిలో వివరించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి V = 100 litre = 100 × 10^-3 m³; p = 100 atm = 100 × 1.013 10⁵ Pa.
V + ∆V = 100.5 లీటర్లు (లేదా) ∆V = (V + ∆V) – V = 100.5 – 100 = 0.5 litre = 0.5 ×10^-3 m³.
ఆయతన గుణకము, B = \(\frac{\mathrm{pV}}{\Delta \mathrm{V}}\) = \(\frac{100 \times 1.013 \times 10^5 \times 100 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-3}}\) = 2.026 × 10⁹ Pa
గాలి ఆయతన గుణకము 1.0 × 10⁵ Pa

వాయువులలో అణువుల మధ్య దూరము చాలా ఎక్కువ. వాటి మధ్య గల బంధాలు చాలా బలహీనమైనవి. అందువల్ల ద్రవాల కన్నా వాయువుల ఆయతన గుణకం చాలా తక్కువ.

ప్రశ్న 13.
ఉపరితలంపై నీటి సాంద్రత 1.03 × 10³ kg m^-3 గా ఉన్నట్లయితే, 80.00 atm పీడనం ఉండే లోతులో నీటి సాంద్రత ఎంత ఉంటుంది ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి_p = 80.00 atm = 80.0 × 1.013 × 10⁵ Pa; సంపీడ్యత \(\frac{1}{B}\) = 45.8 × 10^-11 Pa^-1
ఉపరితలం వద్ద నీటి సాంద్రత ρ = 1.03 × 10³ kg m^-3
M ద్రవ్యరాశి గల నీటికి ఉపరితలం వద్ద మరియు ఇచ్చిన లోతు వద్ద నీటి ఘనపరిమాణాలు
V = \(\frac{M}{\rho}\) మరియు V’ = \(\frac{\mathrm{M}}{\rho^{\prime}}\)

ప్రశ్న 14.
10 atm హైడ్రాలిక్ పీడనానికి గురిచేసిన గాజు పలక ఘనపరిమాణంలో వచ్చే అంశిక మార్పు కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి p = 10 atm = 10 × 1.013 × 10⁵ Pa; B = 37 × 10⁹ Nm^-2
ఘనపరిమాణ వికృతి = \(\frac{\Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}}=\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{B}}=\frac{10 \times 1.013 \times 10^5}{37 \times 10^9}\) = 2.74 × 10^-5
∴ ఘనపరిమాణంలో అంశిక మార్పు = \(\frac{\Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}}\) = 2.74 × 10^-5

ప్రశ్న 15.
7.0 × 10⁶ Pa హైడ్రాలిక్ పీడనానికి గురయిన 10 cm భుజం ఉన్న ఘన రాగి ఘనం ఏర్పడే ఘనపరిమాణ సంకోచాన్ని నిర్ణయించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి L = 10 cm = 0.10 m; p = 7 × 10⁶ Pa; B = 140 GPa = 140 × 10⁹ Pa
B = \(\frac{\mathrm{pV}}{\Delta \mathrm{V}}=\frac{\mathrm{p} L^3}{\Delta \mathrm{V}}\) or ∆V = \(\frac{\mathrm{pL}^3}{\mathrm{~B}}=\frac{\left(7 \times 10^6\right) \times(0.10)^3}{140 \times 10^9}\) = 5 × 10^-8; m³ = 5 × 10^-2 mm³

ప్రశ్న 16.
ఒక లీటరు నీటిని 0.10% సంపీడనం చెందించడానికి ఎంత పీడనం అవసరం ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి V = 1 లీటరు = 10^-3 m³; ∆V/V = 0.10/100 = 10^-3
B = \(\frac{\mathrm{pV}}{\Delta \mathrm{V}}\) (లేదా) p = B\(\frac{\Delta V}{V}\) = (2.2 × 10⁹) × 10^-3 = 2.2 × 10⁶ Pa

ప్రశ్న 17.
అధిక పీడనాల వద్ద పదార్థాల ప్రవర్తనను తెలుసుకోవడానికి పటంలో చూపిన ఆకృతిలో ఉన్న ఏక స్పటిక వజ్రం (స్వర్ణకారులు వాడేది) దాగిలి (Anvil) ని వాడతారు. సన్నకొన వద్ద ఉండే సమతలం వ్యాసం 0.50mm. వెడల్పు కొనను 50,000 N సంపీడ్యత బలానికి గురిచేశారు. దాగిలి మొన (tip) పై పనిచేసే పీడనం ఎంత ?

సాధన:
దత్తాంశం నుండి D = 0.5 mm = 0.5 × 10^-3 m = 5 × 10^-4 m
F = 50,000 N = 5 × 10⁴ N
దాగిలి మొనపై పీడనము, P = \(\frac{\mathrm{F}}{\pi \mathrm{D}^2 / 4}=\frac{4 \mathrm{~F}}{\pi \mathrm{D}^2}\)
∴ P = \(\frac{4 \times\left(5 \times 10^4\right)}{(22 / 7) \times\left(5 \times 10^{-4}\right)^2}\) = 2.5 × 10¹¹ Pa

ప్రశ్న 18.
రెండు లోహ పలకలను ఒకదానితో ఒకటి చివరల నాలుగు రివెట్లనుపయోగించి బిగించారు. ప్రతి రివెట్ వ్యాసం 6.0 mm. ప్రతి రివెట్పై విమోటన బలం 6.9 × 10⁷ Pa దాటకూడదు. రివెట్లు కట్టిన లోహ పలకల వల్ల కలిగే గరిష్ఠ తన్యత ఎంత ? ప్రతి రివెట్ భారంలో నాలుగో వంతును భరిస్తుందనుకోండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి = : 6/2 = 3 mm = 3 × 10^-3 m; గరిష్ఠ ప్రతిబలము = 6.9 × 10⁷ Pa;
రివెట్ పై గరిష్ఠ భారము = గరిష్ఠ ప్రతిబలము × అడ్డుకోత వైశాల్యము = 6.9 × 10⁷ × (22/7) × (3 × 10^-3)²
∴ గరిష్ఠ తన్యత = 4[6.9 × 10⁷ × \(\frac{22}{7}\) × 9 × 10^-6] = 7.8 × 10³ N

ప్రశ్న 19.
పసిఫిక్ మహాసముద్రంలో ఉన్న మరీనా అగాధం లోతు ఒక చోట ఉపరితలం నుంచి 11 km ఉంటుంది. అగాధం అడుగు భాగంలో ద్రవ పీడనం సుమారు 1.1 × 10⁸ Pa గా ఉంటుంది. సముద్రంలో 0.32 m³ తొలి ఘనపరిమాణం ఉన్న ఉక్కు బంతిని వదిలినప్పుడు అది అగాధం అడుగుకు చేరుకొంది. అక్కడ బంతి ఘనపరిమాణంలో వచ్చే మార్పు ఎంత ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి p = 1.1 × 10⁸ pa; V = 0.32 m³; B = 1.6 × 10¹¹ Pa
∆V = \(\frac{\mathrm{pV}}{\mathrm{B}}\) = \(\frac{\left(1.1 \times 10^8\right) \times 0.32}{1.6 \times 10^{11}}\) = 2.2 × 10^-4 m³.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 10 Properties of Triangles Ex 10(a) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Properties of Triangles Solutions Exercise 10(a)

(Note : All problems in this exercise refer to ∆ABC)

I.
Question 1.
Show that Σa (sin B – sin C) = 0
Answer:
L.H.S. = Σa (sin B – sin C)
= Σa \(\left(\frac{b}{2 R}-\frac{c}{2 R}\right)\) (∵ a = 2R sin A, b = 2R sin B, c = 2R sin C)
= \(\frac{1}{2 R}\) Σa(b – c)
= \(\frac{1}{2 R}\) [a(b – c) + b(c – a) + c(a – b)]
= 0 = R.H.S.

Question 2.
If a = √3 + 1 cm, ∠B = 30°, ∠C = 45°, then find c.
Answer:
Given ∠B = 30°, ∠C = 45°, a = √3 + 1, we have ∠A = 180° – (30 + 45) = 180° – 75° = 105°

Question 3.
If a = 2 cm, b = 3 cm, c = 4 cm, then find cos A.
Answer:
Given a = 2cm, b = 3 cm, c = 4 cm.
cos A = \(\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}\)
= \(\frac{9+16-4}{2(3)(4)}=\frac{21}{24}=\frac{7}{8}\)

Question 4.
If a = 26 cm, b = 30 cm and cos C = \(\frac{63}{65}\) then find c. (Mar. 2011)
Answer:
By the formula c² = a² + b² – 2ab cos C
c2² = (26)² + (30)² – 2 (26) (30)
= 676 + 900 – 1512
= 1576 – 1512 = 64
c = 8 cm

Question 5.
If the angles are in the ratio 1:5:6, then find the ratio of its sides. (May 2007)
Answer:
Given A : B : C = 1 : 5 : 6
∴ \(\frac{\mathrm{A}}{1}=\frac{\mathrm{B}}{5}=\frac{\mathrm{C}}{6}\) = B = C 1 “ 5 “ 6
A + B + C = 180° ;
⇒ A + 5A + 6A = 180°
⇒ 12 A = 180° ⇒ A = 15°
Ratio of sides = a : b : c
= sin A : sin B : sin C
= sin 15° : sin 75° : sin 90°
= \(\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}: \frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}\) : 1
= √3 – 1 : √3 + 1 : 2√2

Question 6.
Prove that 2(bc cos A + ca cos B + ab cos C) = a² + b² + c². (Mar. 2005)
Answer:
L.H.S. = Σ 2bc cos A
= Σ 2bc \(\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c}\right)\)
= Σ (b² + c² – a²)
= b² + c² – a² + c² + a²
= a² + b² + c²
= R.H.S.

Question 7.
Prove that \(\frac{a^2+b^2-c^2}{c^2+a^2-b^2}=\frac{\tan B}{\tan C}\)
Answer:
Use c² = a² + b² – 2ab cos C and
b² = c² + a² – 2ca cos B in L.H.S. then

Question 8.
Prove that (b + c) cos A + (c + a) cos B + (a + b) cos C = a + b + c.
Answer:
L.H.S. = (b + c) cos A + (c + a) cos B + (a + b) cos C
= (b cos A + a cos B) + (c cos A + a cos C) + (b cos C + c cos B)
= c + b + a = a + b + c = R.H.S. (Use projection formula)

Question 9.
Prove that (b – a cos C) sin A = a cos A sin C. (Mar. 2006)
Answer:
L.H.S. = (b – a cos C) sin A
= (a cos C + c cos A – a cos C) sin A
= c cos A sin A
= 2R sin C cos A sin A
= (2R sin A) cos A sin C
= a cos A sin C = R.H.S.

Question 10.
If 4, 5 are two sides of a triangle and the included angle is 60°, find its area.
Answer:
Let a = 4, b = 5 both sides and angle between them be C = 60° then area of ∆ABC,
∆ = \(\frac{1}{2}\) ab sin C
= \(\frac{1}{2}\) (4) (5) sin 60°
= 10 \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) = 5√3 sq. cm.

Question 11.
Show that b cos² \(\frac{C}{2}\) + c cos² \(\frac{B}{2}\) = s.
Answer:

Question 12.
If \(\frac{a}{\cos A}=\frac{b}{\cos B}=\frac{c}{\cos C}\), then show that ∆ABC is equilateral.
Answer:

⇒ tan A = tan B = tan C
⇒ A = B = C
⇒ ∆ ABC is an equilateral triangle.

II.
Question 1.
Prove that a cos A + b cos B + c cos C = 4R sin A sin B sin C.
Answer:
L.H.S. = a cos A + b cos B + c cos C
= Σ a cos A
= Σ 2R sin A cos A
= R Σ sin 2A
= R [sin 2A + sin 2B + sin 2C]
= R [sin 2A + 2 sin (B + C) cos (B – C)]
= R [2 sinA cosA + 2 sin A cos(B – C)]
(∵ A + B + C = 180° ⇒ sin (B + C) = sin A)
= 2R sin A [cos A + cos (B – C)]
= 2R sin A[- cos(B + C) + cos(B – C)]
= 2R sin A [cos (B – C) – cos (B + C)]
= 2R sin A (2 sin B sin C)
= 4R sin A sin B sin C = R.H.S.

Question 2.
Prove that Σa³ sin (B – C) = 0.
Answer:
L.H.S. = Σa³ sin (B – C)
= Σa². a sin (B – C)
= Σa² (2R sin A) sin (B – C)
= 2R Σa² sin A sin (B – C)
= R Σa² 2 sin (B + C) . sin (B – C)
(∵ A + B + C = π, sin (B + C) = sin A)
= R Σa² 2(sin²B – sin²C)

Question 3.
Prove that
\(\frac{a \sin (B-C)}{b^2-c^2}=\frac{b \sin (C-A)}{c^2-a^2}=\frac{c \sin (A-B)}{a^2-b^2}\)
Answer:

Question 4.
Prove that Σa² \(\frac{\sin (B-C)}{\sin B+\sin C}\) = 0
Answer:

= Σ a(b – c)
= a(b – c) + b(c – a) + c(a – b)
= 0 = R.H.S.

Question 5.
Prove that
\(\frac{a}{b c}+\frac{\cos A}{a}=\frac{b}{c a}+\frac{\cos B}{b}=\frac{c}{a b}+\frac{\cos C}{c}\)
Answer:

Question 6.
Prove that
\(\frac{1+\cos (A-B) \cos C}{1+\cos (A-C) \cos B}=\frac{a^2+b^2}{a^2+c^2}\)
Answer:

Question 7.
If C = 60°, then show that
(i) \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}\) = 1
(ii) \(\frac{b}{c^2-a^2}+\frac{a}{c^2-b^2}\) = 0
Answer:
C = 60° ⇒ c² = a² + b² – 2ab cos C
= a² + b² – 2ab (cos 60°)
= a² + b² – 2ab (½)
= a² + b² – ab ……………….. (1)

(i)

(ii)

Question 8.
If a : b : c = 7 : 8 : 9, find cos A : cos B : cos C.
Answer:

Question 9.
Show that
\(\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2 a b c}\)
Answer:

Question 10.
Prove that (b – a) cos C + c (cos B – cos A)
= c sin \(\left(\frac{A-B}{2}\right)\) cosec \(\left(\frac{A+B}{2}\right)\)
Answer:
L.H.S. = (b – a) cos C + c (cos B – cos A)
= b cos C – a cos C + c cos B – c cos A
= (b cos C + c cos B) – (a cos C + c cos A)
= a – b
= 2R (sin A – sin B)
(using Projection and sine rule)

Question 11.
Express a sin²\(\frac{C}{2}\) + c sin² \(\frac{A}{2}\) in terms of s, a, b, c.
Answer:

Question 12.
If b + c = 3a, then find the value of cot \(\frac{B}{2}\) cot \(\frac{C}{2}\).
Answer:
2s = a + b + c = a + 3a = 4a ⇒ s = 2a

Question 13.
Prove that
(b + c) cos \(\left(\frac{B+C}{2}\right)\) = a cos \(\left(\frac{B-C}{2}\right)\).
Answer:

Question 14.
In a ∆ABC show that \(\frac{b^2-c^2}{a^2}=\frac{\sin (B-C)}{\sin (B+C)}\)
Answer:

III.
Question 1.
Prove that
(i) cot \(\frac{A}{2}\) + cot \(\frac{B}{2}\) + cot \(\frac{C}{2}\) = \(\frac{s^2}{\Delta}\)
Answer:
Using the formulae

(ii) tan\(\frac{A}{2}\) + tan \(\frac{B}{2}\) + tan\(\frac{C}{2}\) = \(\frac{b c+c a+a b-s^2}{\Delta}\)
Answer:

(iii)

Answer:

Question 2.
Show that
(i) Σ(a + b) tan\(\left(\frac{A-B}{2}\right)\) = 0.
Answer:
We have Napler’s analogy as

(ii) \(\frac{b-c}{b+c}\) cot \(\frac{A}{2}\) + \(\frac{b+c}{b-c}\) tan \(\frac{A}{2}\) = 2 cosec (B – C).
Answer:
We have using Napler’s rule

Question 3.
(i) If sin θ = \(\frac{a}{b+c}\), then show that cos θ = \(\frac{2 \sqrt{b c}}{b+c}\) cos \(\frac{A}{2}\). (May 2014, Mar.12)
Answer:
We have cos²θ = 1 – sin²θ
= 1 – \(\frac{a^2}{(b+c)^2}\)

(ii) If a = (b + c) cos θ, then prove that sin θ = \(\frac{2 \sqrt{b c}}{b+c}\) cos \(\frac{A}{2}\).
Answer:

(iii) For any angle θ, show that
a cos θ = b cos (C + θ) + c cos (B – θ).
Sol.
R.HS. = b cos (C + θ) + c cos (B – θ)
= b (cos C cos θ – sin C sin θ) + c(cos B cos θ + sin B sin θ)
= (b cos C + C cos B) cos θ – sin θ(- c sin B – b sin C)
= a cos θ + sin θ(- b sin C + c sin B)
= a cos θ +(- 2R sin B sin θ sin C + 2R sin B sin C sin θ)
= a cos θ (∵ a = b cos C + c cos B)

Question 4.
If the angles of ∆ ABC are in A.P. and b : c = √3 : √2 , then show that A = 75°.
Answer:
Given A, B, C are in A.P
⇒ 2B = A + C
∴ A + B + C = π ⇒ 3B = π ⇒ B = 60°
Also b : c = √3 : √2

Question 5.
If \(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\) = \(\frac{\sin C}{\sin (A-B)}\), prove that ∆ABC is either isosceles or right angled.
Answer:

⇒ 2R sin A cos A = 2R sin B cos B
⇒ R sin 2A = R sin 2B
⇒ sin 2A – sin 2B = 0
∴ ∆ ABC is isosceles.
(or) 2A = 180° – 2B ⇒ A + B = 90°
Hence A ≠ B
⇒ ∆ABC is a right angled triangle.
∴ ∆ ABC is either isosceles or right angled.

Question 6.
If cos A + cos B + cos C = \(\frac{3}{2}\), then show that the triangle is equilateral.
Answer:

Question 7.
If cos² A + cos² B + cos² C = 1, then show that ∆ ABC is right angled.
Answer:
Given cos² A + cos² B + cos² C = 1 ……………. (1)
∴ cos² A + cos² B + cos² C
= cos² A + cos² B + 1 – sin² C
= 1 + cos² A + cos (B + C) cos (B – C).
= 1 + cos² A – cos A cos (B – C)
= 1 + cos A [cos (A) – cos (B – C)]
= 1 – cos A [cos (B + C) + cos (B – C)]
= 1 – 2 cos A cos B cos C
(∵ A + B + C = π, cos (B + C) = – cos A)
∴ 1 – 2 cos A cos B cos C = 1
⇒ 2 cos A cos B cos C = 0
⇒ A = 90° or B = 90° or C = 90°
⇒ ∆ ABC is right angled.

Question 8.
If a² + b² + c² = 8R², then prove that the triangle is right angled. (June 2001)
Answer:
Given a² + b² + c² = 8R²
⇒ 4R² (sin² A + sin² B + sin² C) = 8R²
⇒ sin² A + sin² B + sin² C = 2 ………………. (1)
Consider sin² A + sin² B + sin² C
= sin² A + sin² B + 1 – cos² C
= 1 + sin² A + sin² B – cos² C
= 1 + sin² A – (cos² C – sin² B)
= 1 + sin² A – cos (B + C) cos (B – C)
= 1 + sin² A + cos A cos (B – C)
(∵ cos (B + C) = cos (180 – A)° = – cos A)
= 1 + 1 – cos² A + cos A cos (B – C)
= 2 + cos A [cos (B – C) – cos A]
= 2 + cos A [cos (B – C) + cos (B + C)]
= 2 + 2 cos A cos B cos C ……………… (2)
∴ From (1) we have
2 + 2 cos A cos B cos C = 2
⇒ 2 cos A cos B cos C = 0
⇒ cos A = 0 or cos B = 0 or cos C = 0
⇒ A = \(\frac{\pi}{2}\) or B = \(\frac{\pi}{2}\) or C = \(\frac{\pi}{2}\)
∴ ∆ ABC is right angled.

Question 9.
If cot \(\frac{A}{2}\), cot \(\frac{B}{2}\), cot \(\frac{C}{2}\) are in A.P., then prove that a, b, c are in A.P.
Answer:
cot \(\frac{A}{2}\), cot \(\frac{B}{2}\), cot \(\frac{C}{2}\) are in A.P.
⇒ \(\frac{s(s-a)}{\Delta}, \frac{s(s-b)}{\Delta}, \frac{s(s-c)}{\Delta}\) are in A.P.
⇒ (s – a), (s – b), (s – c) are in A.P.
⇒ – a, – b, – c are in A.P.
⇒ a, b, c are in A.P.

Question 10.
If sin²\(\frac{A}{2}\), sin²\(\), sin²\(\) are in H.P., then show that a, d, c are in H.P.
Answer:

Question 11.
If C = 90°, then prove that
\(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\) sin (A – B) = 1.
Answer:
Given C = 90° and c² = a² + b² – 2ab cos C.
⇒ c² = a² + b²

Question 12.
Show that \(\frac{a^2}{4}\) sin 2C + \(\frac{a^2}{4}\) sin 2A = ∆.
Answer:

= 2R² sin² A sin C cos C + 2R² sin² C sin A cos A
= 2R² sin A sin C (sin A cos C + cos A sin C)
= 2R² sin A sin C sin (A + C)
= 2R² sin A sin C sin B
(∵ A + B + C = π ⇒ sin (A + C) = sin B)
= ∆ = R.H.S.

Question 13.
A lamp post is situated at the middle point M of the side AC of a triangular plot ABC with BC = 7 m, CA = 8 m and AB = 9 m. Lamp post subtends an angle 15° at the point B. Find the height of the lamp post.
Answer:

Let MR = h be the height of the lamp post and MR = h.
From ∆BMR, tan 15° = \(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{BM}}\)
∴ h = (2 – √3) BM ……………… (1)

Question 14.
Two ships leave a port at the same time. One goes 24 km per hour in the direction N 45° E and other travel 32 kms per hour in the direction S 75° E. Find the distance between the ships at the end of 3 hours.
Answer:

The first ship goes 24 km/hr.
∴ After 3 hrs. first ship goes 72 kms.
The second ship goes 32 km/hr.
∴ After 3 hrs. second ship goes 96 kms.
Let AB = x be the distance between the ships.
From the geometry of the figure ∠AOB = 60°
Using cosine rule in ∆AOB we have
cos 60° = \(\frac{(72)^2+(96)^2-x^2}{2(72)+(96)}\)
⇒ \(\frac{1}{2}\) = \(\frac{5184+9216-x^2}{13824}\)
⇒ 13824 = 28800 – 2x²
⇒ 2x² = 14976
⇒ x² = 7488
⇒ x = 86.4 (approximate)
At the end of 3 hours the difference between the ships is 86.4 kms.

Question 15.
A tree stands vertically on the slant of the hill. From a point A on the ground 35 metres down the hill from the base of the tree, the angle of elevation of the top of the tree is 60°. If the angle of elevation of the foot of the tree from A is 15°, then find the height of the tree.
Answer:

Let BC = h be the height of the tree. AL is the slant of hill.
Let BD = x and AD = y and given AB = 35 m
∴ From ∆ADB, sin 15° = \(\frac{x}{35}\)
⇒ x = 35\(\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}\right)\)
Also cos 15° = \(\frac{\mathrm{y}}{35}\)

Question 16.
The upper 3/4^th portion of a vertical pole subtends an angle tan^-13/5 at a point in the horizontal plane through its foot and at a distance of 40 m from the foot. Given that the vertical pole is at a height less than 100 m from the ground, find its height.
Answer:

From the figure AB is the vertical pole of height ‘h’.
∠BCD = θ, suppose ∠DCA = α and ∠BCA = β.
Also AC = 40 m ; given tan θ = 3/5

Question 17.
AB is a vertical pole with B at the ground level and A at the top. A man finds that the angle of elevation of the point A from a certain point C on the ground is 60°. He moves away from the pole along the line BC to a point D such that CD = 7 m. From D, the angle of elevation of the point A is 45°. Find the height of the pole.
Answer:

Let AB = ‘h’ be the height of the pole.
Given CD = 7
∠ACB = 60°, ∠ADB = 45° and line BC = x.

Question 18.
Let an object be placed at some height h cm and let P and Q be two points of observation which are at a distance of 10 cm apart on a line inclined at angle 15° to the horizontal. If the angles of elevation of the object from P and Q are 30° and 60° respectively then find h.
Answer:

Let AB = h cm be the height of the tower P and Q are points of observations.
From the geometry of the figure ∠BPA = 30° given ∠BPQ = 15°. Also ∠PQB = 135°.
∴ ∠PBQ = 30°, PQ = 10 cm (given).
In the ∆PQB, applying sine rule.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 4 Addition of Vectors Ex 4(b) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Addition of Vectors Solutions Exercise 4(b)

I.
Question 1.
Find the vector equation of the line passing through the point 2i̅ + 3j̅ + k̅ and parallel to the vector 4i̅ – 2j̅ + 3k̅.(March 2015-A.P) (May, March ’01) (V.S.A)
Answer:
Let a = 2i̅ + 3j̅ + k̅ and b = 4i̅ – 2 j̅ + 3k̅
The vector equation of the line passing through the point a̅ and parallel to the vector b̅ is
r̅ = a̅ + tb̅ where t is a scalar.
r̅ = (2i̅ + 3j̅ + k̅) + t (4i̅ – 2j̅ + 3k̅)
⇒ r̅ = (2 + 4t) i̅ + (3 – 2t) j̅ + (1 + 3t) k̅

Question 2.
OABC is a parallelogram. If \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{a}}\) and \(\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{c}}\). Find the vector equation of the side BC. (March 2015-T.S) (V.S.A)
Answer:
OABC is a parallelogram.

∴ The vector equation of side BC is r̅ = (1 – t)c̅ + t(a̅ + c̅)
= (1 – t + t)c̅ + ta̅
= c̅ + t a̅ where t ∈ R.

Question 3.
If a̅, b̅, c̅ are the position vectors of the vertices A, B and C respectively of a ΔABC, then find the vector equation of the median through the vertex A. (March 2013) (V.S.A)
Answer:

Let \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{b}}\), and \(\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{c}}\)
Vector equation of the median AD is (1 – t)
a̅ + tb̅ = r̅
r̅ = (1 – t)a̅ + t\(\left(\frac{\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}}}{2}\right)\)

Question 4.
Find the vector equation of the line joining the points 2i̅ + j̅ + 3k̅ and – 4i̅ + 3j̅ – k̅.(V.S.A)
Answer:
Let a = 2i̅ + j̅ + 3k̅ and b = -4i̅ + 3 j̅ – k̅
The vector equation of the line passing through the points a,b is
r̅ = (1 – t)a̅ + tb̅, t ∈ R
= a̅ + t (b̅ – a̅)
= (2i̅ + j̅ + 3k̅) + t (-4i̅ + 3j̅ – k̅ – 2i̅ – j̅ – 3k̅)
= (2i̅ + j̅ + 3k̅) +t(-6i̅ + 2j̅ – 4k̅)

Question 5.
Find the vector equation of the plane passing through the points i̅ – 2j̅ + 5k̅, – 5j̅ – k̅ and -3 i̅ + 5j̅. (V.S.A)
Answer:
Let a̅ = i̅ – 2 j̅ + 5k̅, b̅ = -5 j̅ – k̅, c = -3i̅ + 5j̅. (May 2014)
The vector equation of the plane passing through the points a̅, b̅, c̅ is r = (1 – s – t)a̅ + sb̅ + tc̅ where s, t ∈ R
= a̅ + s(b̅ – a̅) + t(c̅ – a̅)
= (i̅ – 2j̅ + 5k̅) + s(-5j̅ – k̅ – i̅ + 2j̅ – 5k̅) + t(-3i̅ + 5j̅ – i̅ + 2j̅ – 5k̅)
= i̅ – 2j̅ + 5k̅ + s(-i̅ – 3j̅ – 6k̅) + t(-4i̅ + 7j̅ – 5k̅)

Question 6.
Find the vector equation of the plane passing through the points (0,0, 0), (0, 5, 0) and (2, 0, 1). (V.S.A)
Answer:
The vector equation of the plane through a, b,c is
r̅ = (1 – s – t)a̅ + sb̅ + tc̅ where s, t ∈ R
⇒ r̅ = (1 – s – t) 0 + s(5j̅) + t(2i̅ + k̅)
= (5s) j̅ + t(2i̅ + k̅);s, t ∈ R

II.
Question 1.
If a, b, c are noncoplanar find the point of intersection of the line passing through the points 2a̅ + 3b̅ – c̅, 3a̅ + 4b̅ – 2c̅ with the line joining points a̅ – 2b̅ + 3c̅, a̅ – 6b̅ + 6c̅. (S.A)
Answer:
The vector equation of the straight line passing through the points 2a̅ + 3b̅ – c̅ and 3a̅ + 4b̅ – 2c̅ is
r̅ = (1 – t) (2a̅ + 3b̅ – c̅) + t(3a̅ + 4b̅ – 2c̅) where t ∈ 1
⇒ r̅ = (2 + t)a̅ + (3 + t) b̅ + (-1 – t)c̅
= (2a̅ + 3b̅ – c̅) + t (a̅ + b̅ – c̅) ……………(1)
The vector equation of the straight line passing through the points a̅ – 2b̅ + 3c̅ and a̅ – 6b̅ + 6c̅ is
r̅ = (a̅ – 2b̅ + 3c̅) (1 – s) + s (a̅ – 6b̅ + 6c̅) where s ∈ R
⇒ r̅ = a̅ + (-2 – 4s) b̅ + (3 + 3s)c̅
= (a̅ – 2b̅ + 3c̅) + s (-4b̅ + 3c̅) …………..(2)
Equating coefficients a̅, b̅, c̅ in (1) and (2) we have
2 + t = 1 ………..(3)
3 + t = – 2 – 4s ……….(4)
and – 1 – t = 3 + 3s ………..(5)
Solving equations (3), (4) and (5) we get t = – 1, and s = – 1
Hence from (1) and (2) the point of intersection of lines (1) and (2) is a̅ + 2b̅
Also line (1) is parallel to a + b – c ancl (2) is parallel to -4b̅ + 3c̅
If a̅ + b̅ – c̅ and 3c̅ – 4b̅ are parallel then two lines are same since they have common point otherwise they have only one point of intersection a̅ + 2b̅

Question 2.
ABCD is a trapezium in which AB and CD are parallel. Prove by vector methods that the mid points of the sides AB, CD and the intersection of the diagonals are collinear. (E.Q)
Answer:
Let A be the origin and \(\overline{\mathrm{AB}}\) = b̅
∴ \(\overline{\mathrm{DC}}\) = sb̅ (∵ \(\overline{\mathrm{DC}} \| \overline{\mathrm{AB}}\))
\(\overline{\mathrm{DC}}\) = c̅ – d̅ = sb
⇒ d̅ = c̅ – sb̅
⇒ c̅ – d̅ = sb̅

Equation of diagonal AC is
r̅ = (1 – t)o + tc̅
= tc̅ for t ∈ R …………..(2)
Equation of diagonal BD is
r̅ = (1 – s)b̅ + sd̅ for s ∈ R …………(3)

Let R be the point of intersection of diagonals AC and BD.
From (2) and (3) t c = (1 – s) b̅ + s d̅
⇒ t c̅ = (1 – s) b̅ + s (c – sb̅) from (1)
⇒ tc̅ = (1 – s)λ (c – d̅) + sd̅
= (1 – s) λc̅ – [λ(1 – s) – s]d̅
Equating coefficients of c̅ and d̅ on both sides
t = (1 – s) λ and λ (1 – s) – s = 0
⇒ s = λ (1 – s)
⇒ s(1 + λ) = λ
⇒ s = \(\frac{\lambda}{1+\lambda}\)
∴ t = (1 – s)λ = (1 – \(\frac{\lambda}{1+\lambda}\))λ
= \(\frac{\lambda}{1+\lambda}\)
Position vector of the point of intersection ‘R’ is

From (4) and (5)
\(\overline{\mathrm{RM}}\) = λ \(\overline{\mathrm{NR}}\)
⇒ M, R, N are collinear.
So the mid points of parallel sides of a trapezium and the point of intersection of the diagonals are collinear.

Question 3.
In a quadrilateral ABCD, if the midpoints of one pair of opposite sides and the point of intersection of the diagonals are collinear, using vector methods, prove that the quadrilateral ABCD is a trapezium. (S.A)
Answer:

\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{c}}\) and \(\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{d}}\)
Let M, N be the mid points of one pair of opposite sides AB and CD of a quadrilateral ABCD.
\(\overline{\mathrm{AM}}=\frac{\overline{\mathrm{b}}}{2}\)
\(\overline{\mathrm{AN}}=\frac{\overline{\mathrm{c}}+\overline{\mathrm{d}}}{2}\)
Let P be the point of intersection of mid points of sides AB, CD and pair of diagonals AC, BD respectively.
Let \(\overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{r}}\). Then equation of \(\overline{\mathrm{AC}}\) is
r̅ = t c̅ where t is a scalar ………….(1)
Equation of BD is
r̅ = (1 – s)b̅ + sd̅ for some scalars ………..(2)
and equation of line MN is
r̅ = (1 – α)\(\frac{\bar{b}}{2}\) + α\(\left(\frac{\bar{c}+\bar{d}}{2}\right)\)
where α is a scalar
⇒ 2r̅ = (1 – α)b̅ + a(c̅ + d̅)
⇒ r̅ + r̅ = (1 – α)b̅ + a(c̅ + d̅)
From (1) and (2)
tc̅ + (1 – s)b̅ + sd̅ = (1 – α)b̅ + α(c̅ + d̅)
Equating coefficients of b, c, d we get
1 – s = 1 – oc ⇒ s = a and .
t = a ⇒ s = t = a
From (1) and (2),
t c̅ = (1 – s) b̅ + s d̅
⇒ sc̅ = (1 – s) b̅ + s d̅ (‘- t = s)
⇒ (1 -s) b̅ =s(c̅ – d̅)
⇒ b is parallel to c̅ – d̅
⇒ AB is parallel to CD
∴ ABCD is a trapezium.

III.
Question 1.
Find the vector equation of the plane which passes through the points 2i̅ + 4j̅ + 2k̅, 2i̅ + 3j̅ + 5k̅ and parallel to the vector 3 i̅ – 2 j̅ + k̅. Also find the point where this plane meets the line joining the points 2 i̅ + j̅ + 3k̅ and 4 i̅ – 2 j̅ + 3k̅. (March 2012) (E.Q)
Answer:
Vector equation of the plane which passes through the points a̅ = 2i̅ + 4j̅ + 2k̅, b̅ = 2i̅ + 3j̅ + 5k̅ and parallel to vector c̅ = 3i̅ – 2j̅ + k̅ is
r̅ = (1 – t)a̅ + tb̅ + sc̅ where t, s e R
⇒ r̅ = (1 – t) (2i̅ + 4j̅ + 2k̅) + t(2i̅ + 3j̅ + 5k̅) + s(3i̅ – 2j̅ + k̅)
⇒ r̅ = (2 – 2t + 2t + 3s) i̅ + (4 – 4t + 3t – 2s) j̅ + (2 – 2t + 5t + s) k̅
⇒ r̅ = (2 – 2t + 2t + 3s) i̅ + (4 – 4t + 3t – 2s) j̅ + (2 – 2t + 5t + s) k̅
⇒ r̅ = (2 + 3s) i̅ + (4 – t – 2s) j̅ + (2 + 3t + s)k̅ …………(1)
Vector equation of the line passing through the points c̅ = 2i̅ + j̅ + 3k̅ and d̅ = 4 i̅ – 2 j̅ + 3k̅ is r̅ = (1 – a)d̅ + ac̅ where a e R
⇒ r̅ = (1 – α)(2i̅ + j̅ + 3k̅) + α(4i̅ – 2j̅ + 3k̅)
⇒ r̅ = (2 – 2α + 4α) i̅ + (1 – α – 2α) j̅ + (3 – 3α + 3α)k̅
⇒ r̅ = (2 + 2α) i̅ + (1 – 3α) j̅ + 3k̅ (2)
Let 7 be the point of intersection of (1) and (2)
(2 + 3s)i̅ + (4 – t – 2s) j̅ + (2 + 3t + s) k̅
= (2 + 2α) i̅ + (1 – 3α) j̅ + 3k̅
v Since i̅, j̅, k̅ are non coplanar,
2 + 3s = 2 + 2α ⇒ 2α – 3s = 0 ………………(3)
4 – 1 – 2s = 1 – 3α ⇒ 3α – 2s -1 = – 3 …………(4)
2 + 3t + s = 3 ⇒ s + 3t = 1 ………………(5)
From (5), t = \(\frac{1-\mathrm{s}}{3}\)
∴ From (4) 3α – 2s – \(\left(\frac{1-s}{3}\right)\) = -3
⇒ 9α – 6s – 1 + s = -9
9α – 5s + 8 = 0 (6)
Solving (6) & (3) equations

Question 2.
Find the vector equation of the plane passing through the points 4 i̅ – 3 j̅ – k̅ , 3i̅ + 7j̅ – 10k̅ and 2i̅ + 5j̅ – 7k̅ and show that the point i̅ + 2 j̅ – 3k̅ lies in the plane. (March 2013) (S.A.Q.)
Answer:
Vector equation of the plane passing through
A(4i̅ – 3j̅ – k̅ ), B (3i̅ + 7j̅ – 10k̅ ) and C(2i̅ + 5j̅ – 7k̅ ) is
r̅ = (1 – s – t) (4i̅ – 3 j̅ – k̅ ) + s(3i̅ + 7j̅ – 10k̅ ) + t(2i̅ + 5j̅ – 7k̅ )
Let D (i̅ + 2j̅ – 3k̅ ) lies on the plane, then
(i̅ + 2j̅ – 3k̅ ) = (1 – s – t)(4i̅ – 3j̅ – k̅ ) + s (3i̅ + 7j̅ – 10k̅ ) + t (2i̅ + 5j̅ – 7k̅ )
Since i̅ , j̅ ,k̅ are non coplanar, equating coefficients of i̅ , j̅ , k̅ both sides.
4(1 – s – t) + 3s + 2t = 1
⇒ 4 – 4s – 4t + 3s + 2t = 1
⇒ s + 2t = 3 …………(1)
– 3 (1 – s – t) + 7s + 5t = 2
⇒ -3 + 3s + 3t + 7s + 5t = 2
⇒ 10s + 8t = 5
Also – (1 – s – t) – 10s – 7t = – 3
⇒ – 1 + s + t – 10s – 7t = – 3
⇒ 9s + 6t = 2
From (1), 3s + 6t = 9
Solving (1) & (3) equations 6s = – 7
⇒ s = – 7/6

s = \(\frac{-7}{6}\) t = \(\frac{25}{12}\). satisfy (1), (2), (3).
and D lies on the plane passing through A, B, C.