TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(f)

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(f) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Matrices Solutions Exercise 3(f)

I.
Find the rank of each of the following matrices.

Question 1.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\) and det A = 1
∴ ρ(A) = Rank of the matrix A = 1.

Question 2.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) and det A = 1 ≠ 0.
∴ ρ(A) = 2

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(f)

Question 3.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\) and det A = 0
∴ ρ(A) = 1

Question 4.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right]\) and det A = -1 ≠ 0.

Question 5.
\(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & -4 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & -4 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right]\)
The determinant of a submatrix of order 2 × 2 of A = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & -4 \\
2 & 3
\end{array}\right|\) = 3 + 8 = 11 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2

Question 6.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 3 & 6 \\
2 & 4 & 3
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 3 & 6 \\
2 & 4 & 3
\end{array}\right]\)
The determinant of a submatrix order 2 × 2 of A is = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
2 & 4
\end{array}\right|\) = -2 ≠ 0

II.
Question 1.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\) and det A = 1(1 – 0) = 1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 3

Question 2.
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -1 \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -1 \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right]\)
and det A = 1(6) – 4(4) – 1(2)
= 6 – 16 – 12 = -12 ≠ 0
∴ ρ(A) = 3

Question 3.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right]\) (March 2015 T.S)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right]\)
and det A = 1(6 – 4) – 2(4) + 3(2)
= 2 – 8 + 6 = 0
The determinant of submatrix of order 2 × 2 of A = \(\left|\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
3 & 4
\end{array}\right|\) = 8 – 9 = – 1 ≠ 0
Hence ρ(A) = 2

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(f)

Question 4.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\) and
det A = 1(0) – 1(0) + 1(0) = 0
The determinant of submatrix of order 2 × 2 of A is \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right|\) = 0
Hence ρ(A) = 1

Question 5.
\(\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 2 & 0 & -1 \\
3 & 4 & 1 & 2 \\
-2 & 3 & 2 & 5
\end{array}\right]\)
Answer:
Consider 3 × 3 submatrix of above matrix
|A| = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0 \\
3 & 4 & 1 \\
-2 & 3 & 2
\end{array}\right|\)
= 1(8 – 3) – 2(9 + 8)
= 5 – 34 = -29 ≠ 0
∴ ρ(A) = 3

Question 6.
\(\left[\begin{array}{rrrr}
0 & 1 & 1 & -2 \\
4 & 0 & 2 & 5 \\
2 & 1 & 3 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{rrrr}
0 & 1 & 1 & -2 \\
4 & 0 & 2 & 5 \\
2 & 1 & 3 & 1
\end{array}\right]\) and
Consider a submatrix B of order 3 × 3 of above matrix ‘A’.
Then |B| = \(\left|\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
4 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right|\)
= -1(12 – 4) + 1(4)
= -8 + 4 = -4
Hence ρ(A) = 3

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 5th Lesson గమన నియమాలు Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 5th Lesson గమన నియమాలు

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
జడత్వం అంటే ఏమిటి ? జడత్వ కొలతను ఏది ఇస్తుంది (మార్చి 2014)
జవాబు:
జడత్వం అంటే మార్పుకు నిరోధం. వస్తువు తనంతట తానుగా తన స్థితిని మార్చుకోజాలని వస్తు ధర్మాన్ని జడత్వం అంటారు. వస్తువు జడత్వాన్ని ద్రవ్యరాశి ‘m’ తో కొలుస్తారు.

ప్రశ్న 2.
న్యూటన్ మూడవ గమన నియమం ప్రకారం ప్రతి బలం సమానం, వ్యతిరేక బలాలతో కూడా ఉన్నప్పుడు గమనం అనేది ఏ విధంగా సాధ్యమవుతుంది?
జవాబు:
న్యూటన్ మూడవ నియమం ప్రకారము బలాలు ఎప్పుడూ జంటగానే ఏర్పడతాయి. చర్య = – ప్రతిచర్య.
సాధారణంగా చర్య, ప్రతిచర్యలు వేరు వేరు వ్యవస్థలపై పని చేయడం వల్ల చలనం సాధ్యపడుతుంది.

ప్రశ్న 3.
ఒక తుపాకి నుంచి బుల్లెట్ను పేల్చినప్పుడు, తుపాకినీ వెనుకకు నెట్టివేసినట్లు అనిపిస్తుంది. వివరించండి.
జవాబు:
తుపాకి పేల్చటం అంతర్గత చర్య. అంతర్గత బలాలు వస్తువు ద్రవ్యవేగాన్ని మార్చలేవు. కావున m1u1 + m2u2 = 0. (తుపాకి పేలకముందు అవి విరామస్థితిలో ఉన్నవి కావున)
∴ m1u1 = -m2u2 కావున తుపాకి గుండు ముందుకు, తుపాకి వెనుకకు పోవడం ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం జరుగుతుంది.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 4.
ఒకే గుళ్లను ఉపయోగించినా బరువుగా ఉన్న రైఫిల్ తేలిక రైఫిల్ కంటే తక్కువ వేగంతో వెనకకు వస్తుంది. ఎందువల్ల?
జవాబు:
తుపాకి వెనుకకు తన్నే వేగం v1 = \(\frac{\mathrm{mv}}{\mathrm{M}}\) తుపాకి వేగము బులెట్ ద్రవ్యవేగానికి (mv), తుపాకి బరువుకు గల నిష్పత్తి. mv స్థిరంగా ఉన్నప్పటికి తుపాకి బరువు తగ్గితే దాని వెనుకకు తన్నే వేగం పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 5.
విరామస్థితిలో ఉన్న ఒక బాంబు రెండు ముక్కలుగా పేలితే దాని ముక్కలు వ్యతిరేకదిశలో చలిస్తాయి. వివరించండి.
జవాబు:
విరామ స్థితిలో ఉన్న బాంబుకు తొలి ద్రవ్యవేగం m1v1 + m2v2 = 0 బాంబు పేలిన తరువాత దాని ముక్కల ద్రవ్యవేగాల మొత్తం (ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం ‘సున్న.)
∴ m1u1 + m2u2 = 0 లేదా m1v1 + m2v2 (- గుర్తు వ్యతిరేక దిశ) అనగా ఆ రెండు ముక్కలు వ్యతిరేక దిశలో చలిస్తాయి.

ప్రశ్న 6.
బలాన్ని నిర్వచించండి. ప్రకృతిలోని ప్రాథమిక బలాలను పేర్కొనండి.
జవాబు:
ఒక వస్తువు యొక్క స్థితిని మార్చునది లేక మార్చుటకు ప్రయత్నించే భౌతికరాశిని బలంగా నిర్వచించారు. ఇది సదిశరాశి.
ప్రకృతిలో ప్రాథమిక బలాలు : 1) గురుత్వాకర్షణ బలాలు, 2) విద్యుదయస్కాంత బలాలు, 3) ప్రబల కేంద్రక బలాలు, 4) దుర్బల కేంద్రక బలాలు.

ప్రశ్న 7.
ఘర్షణ గుణకం విలువ ఒకటి కంటె ఎక్కువగా ఉంటుందా ?
జవాబు:
అవును. సాధారణంగా ఘర్షణ గుణకం ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. కాని కొన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలలో ‘i’ కంటె ఎక్కువగా ఉండవచ్చు.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 8.
గాలి నిండిన టైర్లు ఉన్న కారు కంటే గాలి లేని టైర్లు ఉన్న కారు తొందరగా ఆగుతుంది. ఎందుకు ?
జవాబు:
టైర్లలోని గాలి తక్కువగా ఉన్నపుడు అవి ఎక్కువ భాగము సమాంతరముగా మారి భూమిని తాకుతాయి. దానివలన ఘర్షణ బలం పెరుగుతుంది. దొర్లుడు ఘర్షణ బలం వస్తువుల మధ్య ఉన్న స్పర్శతలం వైశాల్యంపై ఆధారపడుతుంది. కాబట్టి కారు త్వరగా నిశ్చల స్థితికి వస్తుంది.

ప్రశ్న 9.
గుర్రం చలనంలో ఉన్నప్పటికంటే, అది బయలుదేరడం ప్రారంభించే సమయంలో ఎక్కువ బలాన్ని ఎందుకు ఉపయోగిస్తుంది ?
జవాబు:
వస్తువు చలనంలోనికి రావటానికి సీమాంత ఘర్షణ బలాన్ని అధిగమించాలి. (Fs = μsmg). కాని ఒకసారి చలనములోనికి ఉండ వచ్చిన తరువాత గతిక ఘర్షణ బలం పనిచేస్తుంది. గతిక ఘర్షణ బలం సీమాంత ఘర్షణ బలం కంటే తక్కువ. కావున వలన చలనం ఆరంభంలో గుర్రం ఎక్కువ బలంతో బండిని లాగవలసి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 10.
వస్తువు భారాన్ని రెట్టింపు చేస్తే ఘర్షణ గుణకం ఏమవుతుంది ? (మే 2014)
జవాబు:
వస్తువు భారాన్ని రెట్టింపు చేసినప్పటికి ఘర్షణ గుణకం విలువ మారదు. ఎందుకనగా ఘర్షణ బలం లంబ ప్రతిచర్య కావున భారం రెండింతలైన, లంబ ప్రతిచర్య, ఘర్షణ బలం కూడా రెట్టింపు అవుతాయి. కాని ఘర్షణ గుణకం విలువ మారదు.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
0.1 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక రాయిని నిలువుగా పైకి విసిరారు. కింది సందర్భాలలో రాయిపై పనిచేసే నికర బలం పరిమాణం, దిశను తెలపండి. ఎ) నిలువుగా పైకి ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు, బి) క్రిందికి ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు, సి) గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద, (ఎక్కడైతే క్షణం పాటు రాయి విరామస్థితికి వస్తుందో)
జవాబు:
రాయి ద్రవ్యరాశి m = 0.1 kg.
ఎ) రాయి పైకి పోవునపుడు దానిపై పనిచేసే బలం గురుత్వాకర్షణ బలము.
∴ F = mg = 0.1 × 9.8 = 0.98 న్యూ.

బి) రాయి క్రిందికి పడునపుడు దానిపై పనిచేసే బలం F = గురుత్వాకర్షణ బలము
∴ F = mg = 0.1 ×: 9.8 = 0.98 .న్యూ.

సి) రాయి గరిష్టోన్నతి స్థానం వద్ద ఉన్నపుడు దాని వేగం సున్న కాని అధోదిశలో గురుత్వాకర్షణ బలం పనిచేస్తుంది.
∴ ఫలిత బలము = mg = 0.1 × 9.8 = 0.98 న్యూ.
గమనిక : రాయి యొక్క మొత్తం ప్రయాణమార్గంలో గురుత్వాకర్షణ బలం అధోదిశలోనే పనిచేస్తుంది.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 2.
ద్రవ్యవేగం, ప్రచోదనాలను నిర్వచించండి. రేఖీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని నిర్వచించి, వివరించండి. ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
జవాబు:
ద్రవ్యవేగం (\(\overline{\mathrm{p}}\)) : వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశిని దాని వేగంతో గుణించగా వచ్చు లబ్ధాన్ని ద్రవ్యవేగంగా నిర్వచించినారు.
ద్రవ్యవేగం (\(\overline{\mathrm{p}}\)) = ద్రవ్యరాశి × వేగము ∴ \(\overline{\mathrm{p}}\) = mv. ఇది సదిశరాశి.
ప్రమాణము : కి.గ్రా. మీ/సె.; మితిఫార్ములా : MLT-1
ప్రచోదనము (J): వస్తువుపై ఎక్కువ బలం స్వల్పకాలంపాటు పనిచేస్తే బలము మరియు కాలముల లబ్దాన్ని ప్రచోదనము అంటారు.
ప్రచోదనము (J) = F × t, ఇది సదిశరాశి. ప్రమాణము : న్యూటన్ – సెకను; మితిఫార్ములా : MLT-1
ప్రచోదనము = ద్రవ్యవేగంలో మార్పు అని చూపుట :
నిర్వచనం ప్రకారము ప్రచోదనము (J) = బలము × కాలము = F × t
కాని బలము F = ma ఇందులో a = \(\left(\frac{\mathrm{v}-\mathrm{u}}{\mathrm{t}}\right)\)
ప్రచోదనము J = m\(\left(\frac{\mathrm{v}-\mathrm{u}}{\mathrm{t}}\right)\) × t = mv – mu. = ద్రవ్యవేగంలోని మార్పు.
అనగా ప్రచోదనము J = mv – mu ద్రవ్యవేగంలో మార్పు.

ప్రశ్న 3.
మోటారు సైకిళ్ళు, కార్లకు షాక్ అబ్సార్బర్లను ఎందుకు ఉపయోగిస్తారు ?
జవాబు:
వాహనాలు వేగంగా చలించేటపుడు రోడ్డుపై గల ఎగుడు దిగుడు గుంటలపై గుండా వెళ్ళినపుడు అవి ప్రచోదనానికి లోనవుతాయి.
ద్రవ్యవేగంలో మార్పు సమానమైనప్పటికి కాలవ్యవధి ఎక్కువ ఐతే ప్రచోదనం దుష్ప్రభావం చూపదు. ప్రచోదనము
J = F.dt = (mv – mu). బలము F = \(\frac{m v-m u}{\Delta t}\) ఇందులో ∆t చిన్నదైతే ద్రవ్యవేగంలో మార్పు సమానమైనప్పటికి బలము ఎక్కువ, కాలవ్యవధి ∆t పెద్దదైతే బలము F విలువ తక్కువ. కావున కాలవ్యవధి పెరిగితే ఒకే విధమైన ప్రచోదనానికి మనపై పనిచేసే బలం తక్కువ. ప్రచోదనంలో కాలవ్యవధిని పెంచడానికి వాహనాలకు షాక్ అబ్జార్బర్లు వాడతారు.

షాక్ అబ్జార్బర్లు ప్రచోదనం వల్ల వచ్చిన బలం ఉపయోగించుకొని వాటిలో గల స్ప్రింగ్లను సంపీడనం చెందిస్తాయి. ఈ స్ప్రింగ్లకు కాలస్థిరాంకము ఎక్కువగా ఉండేటట్లు చేయడం వల్ల స్ప్రింగ్ గ్రహించిన బలాన్ని నిదానంగా విడుదల చేస్తుంది. ఫలితంగా మనపై ప్రచోదన ప్రభావం తగ్గటం వల్ల ప్రయాణం సుఖవంతంగా ఉంటుంది.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 4.
సీమాంత ఘర్షణ, గతిక ఘర్షణ, దొర్లుడు ఘర్షణలను వివరించండి.
జవాబు:
స్థితిక ఘర్షణ : విరామ స్థితిలో గల వస్తువుల మధ్య ఘర్షణను స్థితిక ఘర్షణ లేదా సీమాంత ఘర్షణ అంటారు. ఇది వస్తువుల మధ్య జరగబోయే చలనాన్ని వ్యతిరేకిస్తుంది.

వస్తువుపై అనువర్తిత బలం ప్రయోగించినపుడు మాత్రమే స్థితిక ఘర్షణ బలం పనిచేయడం ప్రారంభిస్తుంది. ఈ బలాలు అనువర్తిత బలంతో పాటు ఒక సీమాంత విలువ వరకు పెరుగుతాయి. గరిష్ఠ స్థితిక ఘర్షణ (fs) విలువ అభిలంబ ప్రతిచర్య (N) కు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
(fs) max = μkN

గతిక ఘర్షణ : గమనంలోకి వచ్చిన తరువాత స్పర్శ తలాల మధ్య సాపేక్ష చలనాన్ని నిరోధించే బలాన్ని గతిక ఘర్షణ
బలం అంటారు.
fk = μkN
గతిక ఘర్షణ గుణకం μk విలువ స్థితిక ఘర్షణ గుణకం μs కన్నా తక్కువ.

దొర్లుడు ఘర్షణ : వస్తువుల మధ్య దొర్లుడు చలనం ఉన్నపుడు దొర్లుడు చలనాన్ని వ్యతిరేకిస్తూ స్పర్శ తలాలకు సమాంతరంగా పనిచేసే బలాన్ని దొర్లుడు ఘర్షణ అంటారు.
ఘర్షణ బలాలన్నింటిలో కన్న దొర్లుడు ఘర్షణ బలం విలువ అతి తక్కువ.

ప్రశ్న 5.
ఘర్షణ వల్ల కలిగే లాభాలు, నష్టాలను వివరించండి.
జవాబు:
లాభాలు :

  1. ఘర్షణ బలాలు మన నిత్యజీవనంలో ముఖ్యమైన పాత్రను పోషిస్తాయి. నడిచేటప్పుడు భూమికి, చెప్పులకు మధ్య గల ఘర్షణ బలం జారిపడిపోకుండా ఆపుతుంది.
  2. ఘర్షణ బలాలు యంత్రాలలో చలనాన్ని ఒక చక్రము నుండి రెండవ దానికి బెల్టుల ద్వారా అందించుటలో ఉపయోగపడతాయి.
  3. బ్రేకులు వేసినపుడు వాహనాలు నిశ్చలస్థితికి రావటానికి ఘర్షణ బలాలు అవసరం.
  4. ఘర్షణ బలాలు లేకున్నచో తాడుతో వస్తువులను బంధించలేము.
  5. ఘర్షణ బలాలు కారణంగానే మేకులు, బోల్టులు చెక్కలను కలిపి ఉంచుతాయి.

నష్టాలు :

  1. ఘర్షణ వలన చాలా శక్తి వృధా అవుతుంది.
  2. యంత్ర భాగాలు త్వరగా అరిగిపోతాయి.
  3. ఘర్షణ వలన ఉష్ణం జనించి, యంత్ర పదార్థాల బలం తగ్గిపోతుంది

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 6.
ఘర్షణను తగ్గించే పద్ధతులను పేర్కొనండి. (మార్చి 2014, మే 2014)
జవాబు:
ఘర్షణను తగ్గించు పద్ధతులు:

  1. నునుపు చేయుట :.ఘర్షణ ముఖ్యముగా తలములోని హెచ్చుతగ్గుల వలన వస్తుంది. కాబట్టి తలములను నునుపు చేయుట ద్వారా ఘర్షణ తగ్గించవచ్చు. కాని బాగా ఎక్కువగా నునుపు చేసినచో మరల ఘర్షణ పెరుగుతుంది.
  2. స్నేహకాలు ఉపయోగించుట : గ్రీజు, నూనె మొదలగు పదార్థములను ఉపయోగించి యంత్ర భాగాల మధ్య ఘర్షణను తగ్గించవచ్చు.
  3. బాల్ బేరింగులు ఉపయోగించుట : చిన్నవి, గుండ్రనైన ఇనుపగోళాలు ఉపయోగించి రెండు తలాల మధ్య గల జారుడు చలనాన్ని దొర్లుడు చలనంగా మార్చవచ్చు. ఇలా చేయుట వలన ఘర్షణ తగ్గుతుంది.
  4. స్ట్రీమ్ లైనింగ్ : గాలిలో ప్రయాణించే విమానాలకు, గాలి వలన ఘర్షణ ఉంటుంది. అదే విధంగా నీటిలో ప్రయాణించే ఓడలకు, నీటికి మధ్య ఘర్షణ ఉంటుంది. ఈ రకమైన ఘర్షణను తగ్గించటాన్కి, విమానాలు, ఓడలు ఒక ప్రత్యేకమైన ఆకారంలో తయారుచేస్తారు. దీనిని స్ట్రీమ్ లైనింగ్ అంటారు.

ప్రశ్న 7.
దొర్లుడు ఘర్షణ నియమాలను తెలపండి.
జవాబు:
ఒక వస్తువు వేరొక తలంపై దొర్లుతున్నపుడు, వాటి మధ్య గల ఘర్షణను దొర్లుడు ఘర్షణ అంటారు.
దొర్లుడు ఘర్షణ గుణకం
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 1
దొర్లుడు ఘర్షణ సూత్రాలు :

  1. దొర్లుడు ఘర్షణ విలువ స్పర్శలోనున్న తలాల వైశాల్యంపై ఆధారపడుతుంది.
  2. దొర్లే వస్తువు, దొర్లుతున్న తలం ఆకారాన్ని మార్పు చేస్తుంది. అందువలన తలంలోని పదార్థం దొర్లుడును వ్యతిరేకిస్తుంది.
  3. దొర్లుడు ఘర్షణ, దొర్లుతున్న వస్తువు వ్యాసార్ధముపై ఆధారపడుతుంది. వ్యాసార్ధము ఎక్కువైన దొర్లుడు ఘర్షణ తక్కువగా ఉంటుంది. fr ∝ \(\frac{1}{r}\)
  4. దొర్లుడు ఘర్షణ, లంబ ప్రతిచర్యకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది Fr ∝ R.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 8.
లాన్ రోలర్ను నెట్టడం కంటే లాగడం తేలిక. ఎందుకు ?
జవాబు:
గడ్డిని చదునుచేయు రోలరు లేదా రోడ్డు రోలరును F అనే బలం క్షితిజ సమాంతరంతో ‘θ’ కోణం చేస్తూ ముందుకు లాగుతున్నదనుకొనుము. ఈ బలమును రెండు లంబ అంశములుగా విడదీయవచ్చు.

  1. క్షితిజ సమాంతర అంశ F cos θ – ఇది రోలరును లాగుటకు ఉపయోగపడుతుంది.
  2. లంబ అంశ F sin θ – ఇది భారానికి వ్యతిరేకంగా పనిచేస్తూ, లంబ ప్రతిచర్యను తగ్గిస్తుంది.
    ∴ లంబ ప్రతిచర్య R = mg – F sin θ
    ఘర్షణ బలం f = μ . R
    = [μ (mg – F sin θ)] ………………. (1)
    TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 2

కాని రోలరును ‘F’ బలము క్షితిజంతో ‘θ’ కోణం చేస్తూ నెట్టుచున్నచో ఈ సందర్భంలో పటములో చూపినట్లు లంబ అంశము ‘F sin θ’ భారం వలెనే కిందకు పని చేయుచూ లంబ ప్రతిచర్య విలువను పెంచుతుంది. అనగా R = mg + F sin θ
కావున ఘర్షణ బలం f = μ (mg + F sin θ) ………………. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి నెట్టుటలో ఘర్షణ బలం ఎక్కువగా నున్నది కావున నెట్టుట, లాగుట కంటే కష్టము.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఎ) న్యూటన్ రెండవ గమన నియమాన్ని తెలపండి. దాని నుంచి గమన సమీకరణం F= ma ను రాబట్టండి. బి) ఒక వస్తువు వృత్త పథంలో ఎప్పుడూ సమవడితో చలిస్తూ ఉంటే దాని మీద బలం పనిచేస్తుందా ?
జవాబు:
న్యూటన్ రెండవ నియమము: వస్తువు ‘ద్రవ్యవేగంలోని మార్పురేటు వస్తువుపై ప్రయోగించిన బాహ్యబలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండి, బాహ్యబలం పనిచేసే దిశలోనే పనిచేస్తుంది.
అనగా \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{p}}}{\mathrm{d} \mathrm{t}}\) ∝ F లేదా F = k . \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{p}}}{\mathrm{d} \mathrm{t}}\) లేదా F = k.ma
ఇందులో k విలువ ఒకటి అగునట్లుగా బలప్రమాణాన్ని నిర్వచించినారు.
కావున F = \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{p}}}{\mathrm{d} \mathrm{t}}\) లేదా F = ma

F = ma సమీకరణ ఉత్పాదన :
న్యూటన్ రెండవ నియమం నుండి ఏదైనా వస్తువు యొక్క ద్రవ్యవేగంలోని మార్పురేటు బాహ్యబలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
అనగా \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{p}}}{\mathrm{d} \mathrm{t}}\) ∝ F లేదా F= k . \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{p}}}{\mathrm{d} \mathrm{t}}\) ఇందులో \(\overline{\mathrm{p}}\) = వస్తువు ద్రవ్యవేగము = mv.
∴ F = k . \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\mathrm{m} \overline{\mathrm{v}})\)
⇒ k.m. \(\frac{\mathrm{dv}} {\mathrm{dt}}\)
కాని \(\frac{\mathrm{dv}} {\mathrm{dt}}\) = వస్తువు వేగంలోని మార్పురేటు. దీనిని త్వరణము ‘a’ అంటారు.
∴ F = k . m. a ఇందులో k ఒక స్థిరాంకము.

ప్రమాణ బలము (Unit force) : ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువులో ప్రమాణ త్వరణం కలిగించడానికి కావలసిన బలాన్ని ప్రమాణ బలంగా నిర్వచించినారు.
అనగా ద్రవ్యరాశి m = 1 యూనిట్, త్వరణము a = 1 యూనిట్ ఐతే బలము F = 1 యూనిట్ అవుతుంది.
∴ F = kma లో m = 1, a = 1, F = 1 అని వ్రాస్తే k = 1 అవుతుంది.
ప్రమాణబలం నిర్వచనం ప్రకారము F = kma = ma
∴ F = ma
ఒక వస్తువు వృత్త పథంలో ఎప్పుడూ సమవడితో చలిస్తుంటే దాని మీద బలం : m ద్రవ్యరాశి గల ఒక వస్తువు ‘r’ వ్యాసార్ధం గల వృత్తాకార మార్గంలో సమవడితో చలించుచున్నదనుకొనుము. ఏదైనా బిందువు వద్ద వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖ వస్తువుకు ఆ బిందువు వద్ద గల వేగాన్ని తెలుపుతుంది. వస్తువుకు గల వేగదిశ అనుక్షణం మారుతుండటం వల్ల వస్తువుకు త్వరణం ఉంటుంది. వృత్తకేంద్రం వైపు పనిచేసే ఈ త్వరణాన్ని అభిలంబత్వరణము అంటారు.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 2.
ఘర్షణ కోణం, విశ్రామ కోణాలను నిర్వచించండి. గరుకు వాలుతలం విషయంలో ఘర్షణ కోణం, విశ్రామ కోణానికి సమానమని చూపండి. గరుకు క్షితిజ సమాంతర తలంపై 4కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక చెక్క దిమ్మె విరామస్థితిలో కలదు. దిమ్మెపై 30 N క్షితిజ సమాంతర బలాన్ని ప్రయోగిస్తే అది కదలడానికి సిద్ధం అయ్యింది. g = 10 m/s2 అయితే, దిమ్మెపై ఆ తలం ప్రయోగించే మొత్తం స్పర్శా బలాన్ని కనుక్కోండి.
జవాబు:
గరుకు వాలుతలంపై ‘m’ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువును ఉంచినారనుకొనుము. వాలుతలం క్షితిజ సమాంతరంతో చేసే కోణం ‘θ’ ను పెంచుతూ పోతే, ఒక ప్రత్యేక కోణం θ = α వద్ద దానిపై ఉంచిన వస్తువు త్వరణం లేకుండా తలం వెంబడి కిందకు జారటం మొదలవుతుంది. వాలుతలం చేసే ఈ కోణంను ప్రశాంతత కోణం అంటారు. ఈ విధంగా జారుతున్నపుడు వస్తువు త్వరణం ‘సున్న’ ఉంటుంది.

వస్తువు భారం ‘mg’ నిలువుగా కిందకు పని చేస్తుంది. దీనిని రెండు లంబ అంశాలుగా విడదీయవచ్చు.
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 3
1) ‘mg sin θ’ వాలుతలం వెంబడి కిందకు పనిచేస్తూ వస్తువు కిందకు జరుగునట్లు చేస్తుంది. కాని దీని విలువ, ఘర్షణ బలం fk కు సమానంగా ఉంటుంది.
∴ fk = mg sin θ

2) రెండవ అంశ ‘mg cos θ’ తలానికి లంబంగా పనిచేస్తుంది. దీనికి సమానంగా వ్యతిరేక దిశలో లంబ ప్రతిచర్య పనిచేస్తుంది.
∴ R = mg sin θ
∴ గతిక ఘర్షణ గుణకం μk = \(\frac{\mathrm{f}_{\mathrm{k}}}{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{mg} \sin \theta}{\mathrm{mg} \cos \theta}\) = tan θ
కాని ఇందులో θ = α
∴ μk = tan α
కావున ప్రశాంతత కోణం టాంజెంట్ విలువ ఘర్షణ గుణకంనకు సమానం.
లెక్క ; క్షితిజ సమాంతర తలంపై విరామ స్థితిలో ఉన్న వస్తువుపై పనిచేయు బలాలు
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 4

  1. అభిలంబ చర్య (N)
  2. వస్తువు భారము (mg)
  3. క్షితిజ సమాంతర దిశలో బాహ్యబలము (30N)
  4. స్థితిక ఘర్షణ బలము fs

సమతా స్థితిలో అభిలంబ బలమును వస్తువు భారం తుల్యం చేస్తుంది.
బాహ్యబలము f విలువ స్థితిక ఘర్షణ బలానికి సమానమైతే అది సమతాస్థితిలో ఉంటుంది.
కావున క్షితిజ సమాంతర దిశలో స్పర్శబలము = ఘర్షణ బలం = 30 న్యూ.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఒక కణం రేఖీయ ద్రవ్యవేగం, కాలం (t) ప్రమేయంగా p = a + bt గా ఇచ్చారు. a, b లు ధనాత్మక స్థిరాంకాలు అయితే, కణంపై పనిచేసే బలం ఏమిటి ?
సాధన:
వస్తువు ద్రవ్యవేగము \(\overline{\mathrm{p}}\) = a + bt
వస్తువుపై బలము \(\overline{\mathrm{F}}=\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{p}}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\) (a + bt)
∴ F = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\) (a) + \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\) (bt) = 0 + b
∴ వస్తువుపై బలము = b

ప్రశ్న 2.
10 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువు వేగంలో 2 m/s మార్పు కలిగించడానికి 5N బలాన్ని ఎంత కాలం ప్రయోగించాలి ?
సాధన:
బలము F = 5 న్యూ;
వేగంలో మార్పు = v – u = 2 మీ/సె.
ద్రవ్యరాశి m = 10 kg
బలము F = ma, కాలము t = ?
బలము F = m \(\frac{(v-u)}{t}\)
⇒ t = \(\frac{\mathrm{m}(\mathrm{v}-\mathrm{u})}{\mathrm{F}}=\frac{10 \times 2}{5}\) = 4 సె.

ప్రశ్న 3.
m ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక బంతిని భూమిపై నుంచి నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరితే అది క్షణకాలంపాటు విరామస్థితికి వచ్చేలోపు ‘h’ ఎత్తుకు చేరుకొంది. గురుత్వ త్వరణం ‘g’ అనుకోండి. బంతి తన ప్రయాణ కాలంలో గురుత్వాకర్షణ బలం వల్ల పొందే ప్రచోదనం ఎంత ? (గాలి నిరోధాన్ని విస్మరించండి)
సాధన:
ప్రచోదనము J = బలము × కాలము = F × t; వస్తువుపై బలము = భారము = mg
పైకి విసిరిన వస్తువు గాలిలో ఉన్న కాలము t = \(\frac{2 \mathrm{u}}{\mathrm{g}}\). ఇందులో u = \(\sqrt{2 \mathrm{gh}}\)
∴ J = mg × \(\frac{2 \mathrm{u}}{\mathrm{g}}\) = mg × \(\frac{2 \times \sqrt{2 \mathrm{gh}}}{\mathrm{g}}\) = \(\sqrt{8 \mathrm{~m}^2 \mathrm{gh}}\)

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 4.
ఒక స్థిర బలాన్ని 3.0 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువుపై 25 s కాలంపాటు ప్రయోగిస్తే, ఆ వస్తువు వేగం 2.0 m s-1 నుంచి 3.5 m s-1 కు మారింది. వస్తువు వేగ దిశలో మాత్రం ఎలాంటి మార్పు లేదు. బలం పరిమాణాన్ని, బలఁ ప్రయోగించిన దిశను కనుక్కోండి.
సాధన:
వస్తువు ద్రవ్యరాశి m = 3 kg; తొలి వేగము t = 2.0 మీ/సె.;
కాలము t = 25 సె. ;
తుదివేగము v = 3.5 మీ/సె.
బలము F = ma = \(\frac{\mathrm{m}(\mathrm{v}-\mathrm{u})}{\mathrm{t}}=\frac{3(3.5-2)}{25}\) = 0.18 న్యూ.

ప్రశ్న 5.
ఒక లిఫ్ట్ గురుత్వ త్వరణంలో 1/3వ వంతు ఏకరీతి త్వరణంతో పైకి చలిస్తున్నప్పుడు లిఫ్ట్ లో ఉన్న వ్యక్తి దృశ్య భారం. W. అదే లిఫ్ట్ గురుత్వ త్వరణంలో 1/2వ వంతు ఏకరీతి త్వరణంతో కిందికి చలిస్తున్నప్పుడు అతడి దృశ్యభారం ఎంత?
సాధన:
మనిషి దృశ్యభారము = W, త్వరణము = a = \(\frac{\mathrm{g}}{3}\)
వైకి పోవునపుడు లిఫ్ట్లో దృశ్యభారము W = m (g + a) = m(g + \(\frac{\mathrm{g}}{3}\)) = \(\frac{4}{3}\) mg = \(\frac{4}{3}\) N [∵ N = mg]
లేదా అభిలంబ చర్య N = \(\frac{3}{4}\) W
లిఫ్ట్ కిందికి దిగునపుడు త్వరణము a = g/2
కిందికి దిగునపుడు దృశ్యభారము W1 = m (g – a) = m (g – g/2) = m \(\frac{\mathrm{g}}{2}\)
∴ కిందికి దిగునపుడు దృశ్యభారము = W1 = \(\frac{\mathrm{mg}}{2}=\frac{3}{4} \frac{1}{2} \mathrm{~W}=\frac{3 \mathrm{~W}}{8}\)

ప్రశ్న 6.
ఒక తెరచిన ట్రక్కు వెనుక వైపు 200 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక పెద్ద పెట్టె విరామస్థితిలో కలదు. ట్రక్కు 1.5 m/s2 త్వరణంతో ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు ట్రక్కులోని పెట్టె జారిపోకుండా ఉండటానికి ట్రక్కు తలానికి, పెట్టెకు మధ్య ఉండవలసిన కనిష్ఠ స్థితిక ఘర్షణ గుణకం ఎంత ?
సాధన:
పెట్టె బరువు m = 200 kg;
ట్రక్కు త్వరణము a = 1.5 మీ/సె2
పెట్టెలో కలిగిన త్వరణము స్థితిక ఘర్షణ వలన కావున ma = fs ≤ μsN = μsmg (పెట్టె విరామంలో ఉంది కావున)
⇒ a ≤ μsg లేదా μs = \(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{g}}=\frac{1.5}{9.8}\) = 0.153

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 7.
భూమికి 40 m ఎత్తున తొలుత విరామస్థితిలో ఉన్న ఒక బాంబు అకస్మాత్తుగా పేలి, సర్వసమానం అయిన రెండు ముక్కలుగా పేలింది. వాటిలో ఒకటి 10m/s తొలి వేగంతో నిట్టనిలువుగా కిందికి చలిస్తున్నది. బాంబు పేలిన 2 సెకన్ల తరువాత ఆ రెండు ముక్కల మధ్య దూరం ఎంత? (గురుత్వ త్వరణం 10m/s2).
సాధన:
బాంబు రెండు సర్వసమానమైన ముక్కలుగా విభజింపబడటం వల్ల రెండు ముక్కలకు వేగం సమానము. మొదటి ముక్క అధో దిశలో చలిస్తే రెండవది అదే సరళరేఖ వెంబడి ఊర్ధ్వ దిశలో చలిస్తుంది.
కాలము t = 2 సె.
గురుత్వ త్వరణము g = 10 మీ/సె2
1) క్రిందకు చలించిన ముక్క స్థానభ్రంశము s = ut + \(\frac{1}{2}\) gt2
తొలి వేగము u = 20 మీ/సె
∴ s1 = 10 × 2 + \(\frac{1}{2}\) × 10 × 2 × 2 = 40 మీ.

2) ఊర్ధ్వ దిశలో చలించిన ముక్క స్థానభ్రంశము s2 = ut – \(\frac{1}{2}\) gt2 ; తొలివేగం u = 10 మీ/సె
∴ s2 = 10 × 2 – \(\frac{1}{2}\) × 10 × 2 × 2 = 0
ఆ రెండు ముక్కల మధ్య దూరము d – s1 – s2 = 40 – 0 = 40 మీ.

ప్రశ్న 8.
స్థిరంగా బిగించిన ఒక నునుపైన కప్పీ మీదుగా తేలికైన దారాన్ని అమర్చి, దారానికి ఒక వైపు 4 kg ద్రవ్యరాశి, మరొక వైపు 3 kg ద్రవ్యరాశిని వేలాడదీశారు. ఈ 3 kg ద్రవ్యరాశికి మరొక తేలిక దారంతో అదనంగా మరో 3 kg ద్రవ్యరాశి వేలాడదీశారు. విరామస్థితి నుంచి ఆ వ్యవస్థను లాగి వదిలితే, ఆ వ్యవస్థ ఉమ్మడి త్వరణం ఎంత ? (g = 10 m/s2)
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 5
సాధన:
ఒక వైపు మొత్తం ద్రవ్యరాశి m1 = 3 + 3 = 6 kg
రెండవవైపు ద్రవ్యరాశి m2 = 4 kg; g = 10 మీ/సె2
ఆ వ్యవస్థ త్వరణము a = \(\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right) g=\left(\frac{6-4}{6+4}\right)\) × 10 = 2 మీ/సె2

ప్రశ్న 9.
క్షితిజ సమాంతర తలంతో 30° కోణం చేస్తున్న ఒక వాలుతలంపై 2 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న దిమ్మె జారుతుంది. దిమ్మెకు, వాలు తలానికి మధ్య ఘర్షణ గుణకం \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 6
ఎ) దిమ్మె ఎలాంటి త్వరణం లేకుండా కిందికి కదలాలంటే, దిమ్మెపై ఎంత బలాన్ని ప్రయోగించాలి ?
బి) దిమ్మె ఎలాంటి త్వరణం లేకుండా పైకి కదలాలంటే, దిమ్మెపై ఎంత బలాన్ని ప్రయోగించాలి ?
జవాబు:
దిమ్మె ద్రవ్యరాశి m = 2 కి.గ్రా.; వాలు కోణము θ = 30°
వాలు తలము, దిమ్మెల మధ్య ఘర్షణ గుణకము u = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
1) వాలుతలంపై త్వరణం లేకుండా దిమ్మె క్రిందికి దిగటానికి కావలసిన బలం
F = mg (sin θ – μk cos θ) = 2 × 9.8 (sin 30° – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × cos 30°)
= 2 × 9.8 \(\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) = 4.9 న్యూ
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 7
2) దిమ్మను వాలుతలంపైకి త్వరణం లేకుండా లాగడానికి కావలసిన బలం
F = mg (sin θ + μk cos θ)
F = 2 × 9.8 (sin 30° + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) cos 30°)
= 2 × 9.8 \(\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) = 24.5 న్యూ

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 10.
y = x2/20 అదే సమీకరణం సూచించే పరావలయ ఆకారంలో ఉన్న ఒక నునుపు తలంపై పటంలో చూపినట్లు ఒక దిమ్మెను ఉంచారు. μs = 0.5 అయితే, ఆ దిమ్మె జారిపోకుండా ఉండాలంటే, భూమి నుంచి ఎంత ఎత్తులో ఆ దిమ్మెను నునుపు తలంపై అమర్చాలి ? (tan θ = μk = \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\))
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 8
సాధన:
దత్తాంశం నుండి y = \(\frac{x^2}{20}\) ;
∴ వాలు \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left(\frac{\mathrm{x}^2}{20}\right)=\frac{2 \mathrm{x}}{10}\)
tan θ = వాలు \([latex]\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\)=\frac{x}{10}[/latex] కాని \([latex]\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\)[/latex] = tan θ = μs = 0.5 దత్తాంశం నుండి
∴ x = 10 tan θ = 10 μ = 10 × 0.5 = 5
వస్తువు జారకుండా వీలైనంత గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద ఉంచాలంటే
x = 5 అయినపుడు y లెక్కగట్టాలి.
∴ y = \(\frac{x^2}{20}=\frac{5 \times 5}{20}=\frac{25}{20}\) = 1.25 మీ.

ప్రశ్న 11.
ఒక క్షితిజ సమాంతర టేబుల్పై 2 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక లోహపు దిమ్మెను ఘర్షణలేని కప్పి మీదుగా అమర్చిన దారం సహాయంతో 0.45 kg మరొక ద్రవ్యరాశికి కలిపారు. 0.45 kg ల ద్రవ్యరాశి కిందపడటం వల్ల లోహపు దిమ్మెపై క్షితిజ సమాంతర బలం పనిచేస్తుంది. టేబుల్, దిమ్మెకు మధ్య గతిక ఘర్షణ గుణకం 0.2 అయితే,
ఎ) తొలి త్వరణం, బి) దారంలో తన్యత, సి) దిమ్మె కదిలిన 2 సెకన్ల తరువాత దారం తెగిపోతే, దారం తెగిన తరువాత దిమ్మె కదిలే దూరం కనుక్కోండి.
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 9
సాధన:
మొదటి దిమ్మె ద్రవ్యరాశి m1 = 0.45 కి.గ్రా.;
రెండవ దిమ్మె ద్రవ్యరాశి m2 = 2 కి.గ్రా.
బల్ల, దిమ్మెల మధ్య ఘర్షణ గుణకము μ = 0.2

ఎ) తొలి త్వరణము a = \(\left(\frac{m_1-\mu m_2}{m_1+m_2}\right) g\) (చలనానికి ముందు μs లెక్కలోకి తీసుకోవాలి.)
∴ a = \(\left(\frac{0.45-2 \times 0.2}{0.45+2}\right) \times 9.8=\frac{0.05 \times 9.8}{2.45}\) = a = 0.2 మీ/సె2

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

బి) దారంలో తన్యత = T; పటం నుండి T – f = m = a
బలము f = μsmg = 0.2 × 2 × 9.8 = 3.92 న్యూ
∴ T – 3.92 = 2 × 0.2 (లేదా) T = 0.4 + 3.92 = 4.32 న్యూ

సి) కదిలిన తరువాత దారం తెగటానికి పట్టిన కాలము t = 2 సె.
తొలివేగం u = 0 ; త్వరణము a = 0.2 మీ/సె2
తుదివేగము v = u + at = 0 + 0.2 × 2 = 0.4 మీ/సె.
దిమ్మె ప్రయాణించిన దూరము s = \(\frac{\mathrm{v}^2-\mathrm{u}^2}{2 \mu \mathrm{g}}=\frac{0.4 \times 0.4-0}{2 \times 0.2 \times 9.8}\)
∴ s = \(\frac{0.16}{0.4 \times 9.8}\) = 0.0408 మీ. లేదా 4.1 సెం.మీ.

ప్రశ్న 12.
ఒక నునుపైన క్షితిజ సమాంతర తలం మీద 10 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న A అనే దిమ్మెను ఉంచారు. 5 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న B అనే మరొక దిమ్మెను పటంలో చూపినట్లు A దిమ్మెపై ఉంచారు. రెండు దిమ్మెల మధ్య ఘర్షణ గుణకం 0.4. కింది దిమ్మెపై 30 N క్షితిజ సమాంతర బలం ప్రయోగించారు. రెండు దిమ్మెల మధ్య ఉన్న ఘర్షణ బలం కనుక్కోండి. (g = 10 m/s2 గా తీసుకోండి)
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 10
సాధన:
దిమ్మె A ద్రవ్యరాశి mA = 10 కి.గ్రా.
దిమ్మె B ద్రవ్యరాశి mB = 5 కి.గ్రా.; g = 10 మీ/సె2
బలము F = 30 న్యూ; ఘర్షణ గుణకము μ = 0.4
AB ల మధ్య ఘర్షణ బలము f = μmg = 0.4 × 5 × 10 = 20 న్యూ
దిమ్మె B పై ఫలిత బలము = F – f = 30 – 20 = 10 న్యూ.

ముఖ్యమైన అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
క్రింది వాటిపై పనిచేసే నికర బలం పరిమాణం, దిశను తెలపండి.
ఎ) స్థిర వడితో కిందికి పడుతున్న ఒక వర్షపు బిందువు
బి) నీటిలో తేలియాడుతున్న 10 గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న కార్క్
సి) ఆకాశంలో నైపుణ్యంతో విరామస్థితిలో ఉంచిన గాలిపటం
డి) ఒక గరుకు రోడ్డుపై 30 km/h వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న కారు
ఇ) అన్ని ద్రవ్యాత్మక వస్తువులకు చాలా దూరంగా, విద్యుత్ అయస్కాంత క్షేత్రాల ప్రభావానికి లోనుకాకుండా అంతరాళంలో అత్యధిక వేగంతో చలిస్తున్న ఎలక్ట్రాన్
సాధన:
ఎ) స్థిర వడితో పడునపుడు a = 0 కావున బలం F = ma = 0.
బి) కార్కు నీటిపై తేలుతున్నది అనగా అది సమతా స్థితిలో ఉంది. సమతా స్థితిలో ఫలిత బలం F = 0.
సి) ఆకాశంలో స్థిరంగా ఉన్న గాలిపటం మీద ఫలిత బలం F= 0.
డి) స్థిర వడితో ప్రయాణిస్తున్న కారుకు త్వరణం a = 0 కావున బలం F = 0.
ఇ) అన్ని బలాలకు దూరంగా అనగా దానిపై బాహ్యబల ప్రభావం లేదు కావున F = 0.

ప్రశ్న 2.
0.05కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక గులకరాయిని నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరారు. ఆ గులకరాయిపై పనిచేసే నికర బలం పరమాణాన్ని, దిశను కింది సందర్భాలలో తెలియచేయండి.
ఎ) నిలువుగా పైకి ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు
బి) కిందికి ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు
సి) గరిష్ఠ ఎత్తువద్ద క్షణకాలంపాటు విరామస్థితిలో ఉన్నప్పుడు. ఒకవేళ గులకరాయిని క్షితిజ సమాంతర దిశతో 45° కోణంలో విసిరితే, మీ సమాధానాలు మారతాయా ? (గాలి నిరోధాన్ని విస్మరించండి)
సాధన:
రాయి ఎ) నిలువుగా పైకి వెళుతున్నపుడు బి) క్రిందికి ప్రయాణిస్తున్నపుడు సి) గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద విరామంలో ఉన్నపుడు. ఈ అన్ని సందర్భాలలోను దాని త్వరణం a = g అధోదిశలో ఉంటుంది.
కావున దానిపై బలం F = mg = 0.05 × 10 = 0.5 న్యూ.
రాయిని గాలిలోనికి 45° కోణంతో విసిరినప్పటికి ఈ మూడు స్థానాలలో దానిపై పనిచేసే బలం పరిమాణం మారదు. ఎందుకనగా భారం (mg) ఎల్లపుడు అధో దిశలోనే ఉంది. కావున.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 3.
0.1కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక రాయిపై పనిచేసే నికర బలం పరిమాణం, దిశను కింది సందర్భాలలో తెలపండి.
ఎ) విరామస్థితిలో ఉన్న రైలు కిటికీ నుంచి బయటికి విసిరిన వెంటనే
బి) 36 km/h స్థిర వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న రైలు కిటికీ నుంచి బయటికి విసిరిన వెంటనే
సి) 1 ms-2 త్వరణంతో ప్రయాణిస్తున్న రైలు కిటికీ నుంచి బయటికి విసిరిన వెంటనే
డి) 1 ms-2 త్వరణంతో ప్రయాణిస్తున్న రైలు అడుగు తలంపై ఉన్నప్పుడు. రైలుతో సాపేక్షంగా రాయి విరామస్థితిలో ఉంది.
పై అన్ని సందర్భాలలో గాలి నిరోధాన్ని విస్మరించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి m = 0.1 కి.గ్రా.; g = 10 మీ/సె2
ఎ) కిటికీలోనుంచి వదలిన వెంటనే F = mg = 0.1 × 10 = 1 న్యూ.

బి) రైలు స్థిరవేగం 36 k.mpH తో చలిస్తుంటే దాని త్వరణము a = 0 కావున కిటికీ నుంచి రాయిని జారవిడిస్తే
F = mg = 0.1 × 10 = 1 న్యూ.

సి) రైలు 1 మీ/సె2 త్వరణంతో చలిస్తున్నా కిటికీ నుంచి జారవిడిస్తే దానిపై రైలు త్వరణం ప్రభావం ఉండదు.
∴ రాయిపై బలము F = mg = 0.1 × 10 = 1 న్యూ.

డి) రైలు అడుగుభాగంలో రాయి ఆనుకొని ఉంటే దానిపై బలము
F = ma ‘a’ రైలు త్వరణము = 1 మీ/సె2
∴ బలము F = 0.1 × 1 = 0.1 న్యూ.

ప్రశ్న 4.
నునుపైన క్షితిజ సమాంతర బల్ల మీద l పొడవున్న దారం ఒక చివర m ద్రవ్యరాశి ఉన్న కణాన్ని, మరొక చివర చిన్న మేకుకు కలిపారు. కణం v వడితో వృత్తాకార మార్గంలో చలిస్తే, ఆ కణంపై పనిచేసే నికర బలం (వృత్తకేంద్రంవైపు పని చేసే బలం)
(i) T,
(ii) T – \(\frac{m v^2}{l}\)
(iii) T + \(\frac{m v^2}{l}\)
(iv) 0
T దారంలోని తన్యత. సరైన సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
సాధన:
వస్తువు వృత్తాకార మార్గంలో చలించడానికి కావలసిన బలం దారంలోని తన్యత T వలన లభిస్తుంది. కావున (i) సరియైనది.

ప్రశ్న 5.
20 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి కలిగి, 15 మీ/సె-1 తొలి వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న వస్తువుపై 50 N స్థిర అపత్వరణ బలాన్ని ప్రయోగిస్తే, ఎంత కాలం తర్వాత అది ఆగిపోతుంది ?
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 20 కి.గ్రా.
తొలివేగము u = 15 మీ/సె2
తుది వేగము υ = 0
బలము F = -50 న్యూ.
త్వరణము a = \(\frac{F}{m}=-\frac{50}{20}\) = -2.5 మీ/సె2
v = u + at నుండి 0 = 15 + (-2.5) t
కాలము t = \(\frac{15}{2.5}\) = 6 సె.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 6.
ఒక స్థిర బలాన్ని 3.0 కి. గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువుపై 25 సెకన్లపాటు ప్రయోగిస్తే, ఆ వస్తువు వేగం 2.0 మీ/సె నుంచి 3.5 మీ/సె-1 మారింది. వస్తువు వేగదిశలో మాత్రం ఎలాంటి మార్పులేదు. బలం పరిమాణాన్ని, బలం ప్రయోగించిన దిశను కనుక్కోండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 300 కి.గ్రా.;
తొలివేగము u = 2 మీ. సె.
తుది వేగము υ = 3.5 మీ/సె.
కాలము t = 25 సె.; F = ?
బలము F = ma = \(\frac{\mathrm{m}(\mathrm{v}-\mathrm{u})}{\mathrm{t}}=\frac{3(3.5-2)}{25}=\frac{3 \times 1.5}{25}\)
F = \(\frac{4.5}{25}\) = 0.18 న్యూ.

ప్రశ్న 7.
ఒకదానికి ఒకటి లంబంగా ఉన్న 8N, 6N పరిమాణం గల రెండు బలాలను 5 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువుపై ప్రయోగించారు. వస్తువు త్వరణం పరిమాణాన్ని, దిశను తెలపండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి = m
F1 = \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = 8 న్యూ.
F2 = \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = 6 న్యూ.
OA, OB లు లంబాలు కావున ఫలిత బలం FR = \(\sqrt{\mathrm{F}_1^2+\mathrm{F}_2^2}=\sqrt{64+36}\)
∴ F = \(\sqrt{100}\) = 10 న్యూ.

ప్రశ్న 8.
ఒక ఆటో డ్రైవర్ రోడ్డు మధ్యలో ఉన్న బాలుని చూసి, ఆ బాలుణ్ణి కాపాడటానికి 36 km/h వేగంతో పోతున్న తన ఆటోకు బ్రేకులు వేస్తే 4.0 s కాలంలో ఆగింది. ఆటోపై ప్రయోగించిన సరాసరి నిరోధ బలం ఎంత ? ఆటో ద్రవ్యరాశి 400 కి.గ్రా. డ్రైవర్ ద్రవ్యరాశి 65 కి.గ్రా.
సాధన:
తొలివేగము u = 36 kmph = 36 × \(\frac{5}{18}\) = 10 మీ/సె.
తుదివేగము V = 0; కాలము t = 4 సె.
ఆటో ద్రవ్యరాశి m1 = 400 కి.గ్రా., డ్రైవర్ ద్రవ్యరాశి m2 = 65 కి.గ్రా.
మొత్తం ద్రవ్యరాశి m = m1 + m2 = 400 + 65 = 465 కి.గ్రా.
నిరోధక బలం F = ma = \(\frac{\mathrm{m}(\mathrm{v}-\mathrm{u})}{\mathrm{t}}=\frac{465(0-10)}{4}\) = – 1162.5 న్యూ.

ప్రశ్న 9.
20,000 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక రాకెట్ను ఊర్ధ్వ దిశలో పేల్చితే అది 5.0 మీ/సె2 తొలి త్వరణంతో ఆకాశంలోకి వెళ్ళిపోయింది. పేల్చినప్పుడు ప్రయోగించిన తొలి అభిబలం కనుక్కోండి.
సాధన:
రాకెట్ ద్రవ్యరాశి m = 20,000 కి.గ్రా.
తొలి త్వరణము a = 5 మీ/సె2 ఊర్ధ్వ దిశలో
నికర త్వరణం = g + a = 9.8 + 5 = 14.8
ఆరంభ బలం F = ma = 20,000 × 14.8 = 2.96 × 105 న్యూ.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 10.
ప్రారంభంలో 10 మీ/సె-1 స్థిరవేగంతో ఉత్తరం దిశలో ప్రయాణిస్తున్న 0.40 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువుపై 8.0 న్యూ స్థిరబలాన్ని దక్షిణం దిశలో 30 సెకన్లపాటు ప్రయోగించారు. బలం ప్రయోగించిన క్షణ కాలం వద్ద t = 0 అని, ఆ క్షణకాలం వద్ద వస్తువు స్థానం .x = 0 అని అనుకోండి. t = – 5s, 25s, 100s ల వద్ద వస్తువు స్థానాన్ని
ఊహించండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 0.4 కి.గ్రా.;
తొలివేగము u = 10 మీ/సె. ఉత్తర దిశలో
బలము F = -8 న్యూ (- గుర్తు వ్యతిరేక దిశ)
త్వరణము a = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}=\frac{-8.0}{0.4}\) = -20 మీ/సె2 (0 ≤ t ≤ 30 సె. అయినపుడు)
1) కాలము t = -5 సె. అయినపుడు స్థానభ్రంశము s = ?
ఆరంభంలో స్థిరవేగము అనగా t = 0 వద్ద t = -5 కావున (t = -5 నుండి t = 0 వరకు) వేగము స్థిరము.
∴ s = ut = 5 × (-10) = -50 మీ.

2) కాలము t = 25 సె. వద్ద స్థానభ్రంశము s = ut + \(\frac{1}{2}\) at2 నుండి
s = 10 × 25 + \(\frac{1}{2}\) (-20) × 252 = 250 – \(\frac{20}{2}\) × 25 × 25
= -6000 మీ.

3) t = 100 సె. అయినపుడు బలము 30 సెకనులు పనిచేసింది.
కావున 30 సె. తరువాత వస్తువుకు స్థిరవేగం ఉంటుంది.
∴ S = s1 + s2 ఇందులో s1 కు ut1 + \(\frac{1}{2}\) at12 మరియు
s2 = vt2 వాడాడు.
ఇందులో t2 = 30 సె., t2 = 70 సె., v = u + at నుండి
v = 10 + (-20) × 30 = 10 – 600 = – 590 మీ/సె
S1 = ut1 + \(\frac{1}{2}\) at12 నుండి S1 = 10 × 30 + \(\frac{1}{2}\) (-20) × 30 × 30
S1 = 300 – \(\frac{1}{2}\) × 20 × 30 × 30 = 300 – 9000 = -8700 మీ.
S2 = vt2 = -590 × 70 = -41300 మీ.
మొత్తం స్థానభ్రంశము = S = s1 + s2 = -8700 – 41300 = -50000 మీ. = 50 కి.మీ.

ప్రశ్న 11.
ఒక ట్రక్ విరామస్థితితో నుంచి బయలుదేరి 2.0 మీ/సె2 ఏకరీతి త్వరణంతో ప్రయాణిస్తుంది. t = 10 సె. తరువాత ట్రక్ పై కప్పుపై నిల్చొని ఉన్న వ్యక్తి ఒక రాయిని జారవిడిచాడు. (ట్రక్ పైకప్పు భూమి నుంచి 6 మీ.ల ఎత్తులో కలదు). 11 సె. వద్ద ఆ రాయి ఎ) వేగం, బి) త్వరణం కనుక్కోండి. (గాలి నిరోధాన్ని విస్మరించండి.)
సాధన:
తొలివేగము u = 0, త్వరణము a = 2 మీ/సె2,
కాలము t = 10 సె.
రాయి వేగము (జారవిడచిన క్షణంలో) v = u + at
v = 0 + 2 × 10 = 20 మీ/సె.
రాయి క్షితిజ సమాంతర వేగము vx = v = 20 మీ/సె ……………… (1)
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 11
క్షితిజ లంబ దిశలో uy = 0, a = g = 10 మీ/సె2
t = 11 సెకనులు అనగా y దిశలో ప్రయాణించిన కాలము t2 = 11 – 10 = 1 సె.
0°.vy = gt = 10 × 1 = 10 మీ/సె ……………. (2)
11వ సెకనులో వేగము v = \(\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{20^2+10^2}=\sqrt{500}\) = 22.4 మీ/సె2.

బి) రాయిని జారవిడచిన తరువాత దానిమీద త్వరణము గురుత్వ త్వరణము g = 10 మీ/సె2

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 12.
0.1కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక గోళాన్ని 2 మీ. పొడవు ఉన్న దారంతో ఒక గదిలోని లోకప్పుకు వేలాడదీశారు. గోళం డోలనాలు చేయడం ప్రారంభిస్తే, మాధ్యమిక స్థానం వద్ద గోళం వడి 1 ms-1. ఒకవేళ దారాన్ని తెంపితే గోళం ప్రయాణించే పథం కింది సందర్భాలలో ఎలా ఉంటుంది ? ఎ) ఏదైనా ఒక గరిష్ఠ స్థానం వద్ద, బి) మాథ్యమిక స్ధానం వద్ద.
సాధన:
ఎ) గరిష్ఠ స్థానం వద్ద గోళం వేగము v = 0. ఇక్కడ దారాన్ని తెంపితే అది గురుత్వాకర్షణ బలం వల్ల నిట్టనిలువుగా కిందికి పడుతుంది.
బి) మాధ్యమిక స్థానం వద్ద వేగము v = 1 మీ/సె. ఇక్కడ దారాన్ని తెంపితే లోలకం మాధ్యమిక స్థానం వద్ద గీసిన స్పర్శ రేఖ వెంబడి వేగం ఉంటుంది. గోళం క్షితిజ సమాంతర ప్రక్షేపకం వలె పరావలయ పదాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 13.
ఒక వ్యక్తి ద్రవ్యరాశి 70 కి.గ్రా. ఇతడు లిఫ్ట్లో అమర్చిన బరువులు తూచే యంత్రంపై నిల్చొని ఉన్నాడు. ఆ లిఫ్ట్
ఎ) 10 ms-1 ఏకరీతి వేగంతో పైకి,
బి) 5 ms-2 ఏకరీతి త్వరణంతో కిందికి,
సి) 5 ms-2 ఏకరీతి త్వరణంతో పైకి చలిస్తుంది. ప్రతీ సందర్భంలో యంత్రం చూపే రీడింగ్ ఎంత ?
డి) ఒకవేళ లిఫ్ట్ను నడిపే యంత్రం పనిచేయక, భూమ్యాకర్షణ బలం వల్ల స్వేచ్ఛగా కిందికి పడిపోయినట్లయితే యంత్రం చూపే రీడింగ్ ఎంత ?
సాధన:
వ్యక్తి ద్రవ్యరాశి m = 70 కి.గ్రా., గురుత్వ త్వరణము g = 10 మీ/సె2
ఎ) 10 m/s ఏకరీతి వేగంతో చలిస్తుంటే త్వరణము a = 1
∴ దృశ్యభారము వాస్తవ భారము W = mg కి సమానము.
∴ W = mg = 70 × 10 = 700 న్యూ.

b) 5 మీ/సె2 ఏకరీతి త్వరణంతో కిందికి దిగితే
దృశ్యభారము W1 = m(g – a) = 70(10 – 5) = 350 న్యూ.

c) 5 మీ/సె2 ఏకరీతి త్వరణంతో పైకి వెళుతుంటే
దృశ్యభారము . W1 = m (g + a) = 70 (10 + 5) = 1050 న్యూ.

d) లిఫ్ట్ స్వేచ్ఛగా కిందికి పడిపోతే a = g కావున
దృశ్యభారము W = m (g – a) = m(g – g) = 0

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 14.
4కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక కణం స్థానం – కాలం వక్రం పటంలో చూపడమైంది.
ఎ) t < 0, t > 4s, 0 < t < 4s కాలాల వద్ద కణంపై పనిచేసే బలం ఎంత ?
బి) t = 0, t = 4 s ల వద్ద ప్రచోదనం ఎంత ? (ఏకమితీయ గమనం మాత్రమే తీసుకోండి)
సాధన:
ఎ)

  1. ఇచ్చిన రేఖాపటం నుండి t < 0 వద్ద స్థానభ్రంశము A = 0 నిశ్చలంగా ఉంది కావున బలం F = 0.
    TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 12
  2. t > 4 సె అయినపుడు వస్తువు స్థానభ్రంశ – వక్రరేఖ x సమాంతరము. ఇది నిశ్చలస్థితిని చూపిస్తుంది కావున a = 0 మరియు బలము F= 0.
  3. 0 < t < 4 సెకనుల వద్ద వస్తువు స్థానభ్రంశ-కాల వక్రము OB సరళరేఖ దీని వాలు వస్తువు సమవేగాన్ని ఇస్తుంది.
    ∴ a = 0 కావున బలము F = ma = 0

బి)

  1. t < 0 తొలి వేగము u = 0 కావున ప్రచోదనము = 0
    TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 13
  2. t > 4 సె. వద్ద వస్తువు వేగము సున్న. ప్రచోదనము J = 0
  3. 0 < t < 4 సెకనుల వద్ద వస్తువుకు సమవేగము ఉంది.
    తొలి వేగము u = 0 ;
    తుదివేగము v = \(\frac{3}{4}\) మీ/సె. (గ్రాఫ్ నుండి)
    ద్రవ్యరాశి m = 4కి.గ్రా.
    ∴ ప్రచోదనము J = mv – mu = 4(\(\frac{3}{4}\) – 0) = 4 కి.గ్రా. – మీ/సె.

ప్రశ్న 15.
నునుపైన క్షితిజ సమాంతర తలంపై 10 కి.గ్రా., 20 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశులు ఉన్న A, B అనే రెండు వస్తువులను వరుసగా అమర్చి రెండింటిని తేలికైన దారంతో కలిపారు. F= 600 N క్షితిజ సమాంతర బలాన్ని దారం వెంబడి i) A, ii) B ల మీద ప్రయోగించారు. ప్రతీ సందర్భంలో దారంలో తన్యత ఎంత ?
సాధన:
బలము F = 600 న్యూ. A ద్రవ్యరాశి m1 = 10కి.గ్రా., B ద్రవ్యరాశి m2 = 20 కి.గ్రా.
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 14

  1. బలం Aమీద ప్రయోగిస్తే తన్యత T = m2a = 20 × 20 = 400 న్యూ
  2. బలం B మీద ప్రయోగిస్తే తన్యత T = m1a = 10 × 20 = 200 న్యూ.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 16.
8 కి.గ్రా., 12 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశులను ఘర్షణ లేని కప్పి మీదుగా అమర్చిన తేలికైన, సాగని దారం సహాయంతో కలిపారు. ఆ వస్తువులను వదిలినప్పుడు ఆ వస్తువుల త్వరణాలను, దారంలోని తన్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 15

ప్రశ్న 17.
ప్రయోగశాల నిర్దేశ చట్రంలో ఒక కేంద్రకం విరామస్థితిలో కలదు. ఒకవేళ ఆ కేంద్రకం రెండు చిన్న కేంద్రకాలుగా విఘటనం చెందితే, ఆ రెండు కేంద్రకాలు వ్యతిరేక దిశలలో ప్రయాణిస్తాయని చూపండి.
సాధన:
కేంద్రకం విభజించబడటం వల్ల వచ్చిన ముక్కల ద్రవ్యరాశులు m1, m2 మరియు వేగాలు v1, v2 అనుకోండి. పేలకముందు వ్యవస్థ మొత్తం ద్రవ్యవేగము ‘0’ ఎందుకనగా కేంద్రకం విరామంలో ఉంది కావున.
∴ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం నుండి m1v1 + m2v2 = 0
లేదా m1v1 = – m2v2 – గుర్తు వ్యతిరేక దిశను తెలియజేస్తుంది. కావున కేంద్రక విచ్ఛిత్తి తరువాత
ఆ ముక్కలు వ్యతిరేక దిశలలో చలిస్తాయి.

ప్రశ్న 18.
0.05కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు బిలియర్డ్స్ బంతులు 6 ms-1 వేగంతో వ్యతిరేక దిశలలో ప్రయాణిస్తూ అభిఘాతం చెంది, ఆ తరువాత అంతే వేగంతో వెనుకకు తిరిగి వచ్చాయి. ప్రతి బంతికి, రెండవ బంతి వల్ల అందే ప్రచోదనం కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక్కొక్క బంతి ద్రవ్యరాశి m = 0.05కి.గ్రా.
వేగము v1 = 6 మీ/సె; వేగము v2 = -6 మీ/సె. (వ్యతిరేక దిశ)
అభిఘాతం పిమ్మట వ్యతిరేక దిశలో వెనుదిరిగితే అభిఘాతం వల్ల ఒక్కొక్కదాని ద్రవ్యవేగంలో మార్పు J = m(v – u)
= 0.05 (-6 – 6) = -0.05 × 12 = -0.6కి.గ్రా. -మీ/సె.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 19.
100 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న తుపాకీని పేల్చినప్పుడు 0.020కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న బుల్లెట్ బయటికి వెలువడింది. తుపాకీ గొట్టం నుంచి బుల్లెట్ 80 ms-1 వడితో వెలువడితే, ఆ తుపాకి ప్రత్యావర్తన వడి ఎంత ?
సాధన:
బుల్లెట్ ద్రవ్యరాశి m = 0.02 కి.గ్రా.
వేగము vB = 80 మీ/సె.
తుపాకి బరువు m = 100 కి.గ్రా.
తుపాకి వెనుకకు మరలు వేగము vG = ?
పేలకముందు వ్యవస్థ మొత్తం ద్రవ్యవేగము = 0
ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం నుండి mvB + MvG = 0
∴ vG = –\(\frac{\mathrm{m} \cdot \mathrm{v}_{\mathrm{B}}}{\mathrm{M}}=\frac{0.02 \times 80}{100}\) = 0.016 మీ/సె.

ప్రశ్న 20.
ఒక బ్యాట్స్మన్ 54 km/h తొలి వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న బంతిని 45 కోణంతో తొలి వడిలో మార్పు లేకుండా అనువర్తనం చెందించాడు. బంతికి అందిన ప్రచోదనం ఎంత ? (బంతి ద్రవ్యరాశి 0.15 కి.గ్రా.)
సాధన:
బంతి ద్రవ్యరాశి m = 0.15కి.గ్రా.
వేగము = 54 km/h = 54 × \(\frac{5}{18}\) = 15 మీ/సె.
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 16
అభిఘాతం పిమ్మట బంతి దిశలో మార్పు θ = 45°
బంతి వేగాన్ని x, y దిశలలో విభజించగా
ux = u. cos θ, vx = -u.cos θ
y దిశలో uy = u sin θ, vy = v sin θ
y దిశలో అంశలు పరస్పరం రద్దు చేసుకుంటాయి.
∴ ఫలితము = 0
∴ బంతిపై ప్రచోదనం = mv – mu
m(-ux cos θ – ux cos θ) = 0.15 (-2ux cos θ) = 0.15 (-2 × 15 cos 22.5°)
బంతి ప్రచోదనము J = 0.15 × 30 × 0.9239 = 4.16కి.గ్రా.మీ/సె.

ప్రశ్న 21.
0.25 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న రాయిని దారం ఒక చివర కట్టి, 1.5 మీ.ల వ్యాసార్ధం ఉన్న క్షితిజ సమాంతర వృత్తాకార పథంలో 40 rev./min వడితో తిప్పారు. దారంలో ఏర్పడే తన్యత ఎంత ? దారం భరించగల గరిష్ఠ తన్యత 200 N అయితే, రాయిని ఎంత గరిష్ఠ వడితో తిప్పగలం ?
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 0.25 కి.గ్రా.,
భ్రమణాల సంఖ్య n = 40 r.p.m.
వ్యాసార్ధము r = 1.5 మీ.
కోణీయ వేగము ω = \(\frac{40 \times 2 \pi}{60}=\frac{4}{3} \pi\) రే/సె
గరిష్ఠ తన్యత T = 200 న్యూ
దారంలో తన్యత T = m ω2r = 0.25 × \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{4}{3}\)π2 × 1.5 = 6.6 న్యూ
బి) గరిష్ఠ తన్యత T = 200 న్యూ = \(\frac{m v_{\max }^2}{r}\)
∴ vmax2 = \(\frac{200 \times 1.5}{0.25}\) = 1200
⇒ v = \(\sqrt{1200}\) = 34.6 మీ/సె.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 22.
ఒకవేళ, పై లెక్కలో రాయి వేగాన్ని గరిష్ఠ వేగాన్ని అధిగమించేటట్లు పెంచితే, హఠాత్తుగా దారం తెగుతుంది. దారం తెగిన తరువాత, కింది వాటిలో ఏది రాయి ప్రయాణించే పథాన్ని తెలియచేస్తుంది ?
ఎ) రాయి వ్యాసార్ధం వెంబడి వెలుపలికి ప్రయాణిస్తుంది.
బి) దారం తెగిన క్షణంలో, స్పర్శారేఖ దిశలో రాయి ఎగిరిపోతుంది.
సి) స్పర్శా రేఖకు కొంత కోణంలో ఎగిరిపోతుంది. ఆ కోణం పరిమాణం రాయి వడిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
సాధన:
పై లెక్కలో (21లో) రాయి వేగము గరిష్ఠ వేగాన్ని మించితే తీగ తెగిపోతుంది. తీగ తెగిన క్షణంలో ద్రవ్యరాశి ఆ బిందువు వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ వెంబడి ఎగిరిపోతుంది.
కావున ‘బి’ సరయిన జవాబు.

ప్రశ్న 23.
ఎందుకో వివరించండి.
ఎ) శూన్యాంతరాళంలో గుర్రం బండిని లాగలేదు, పరిగెత్తలేదు.
బి) వేగంగా ప్రయాణిస్తున్న బస్సును హఠాత్తుగా ఆపితే, బస్సులో కూర్చున్న ప్రయాణీకులు, వాళ్ళు కూర్చున్న స్థలం నుంచి ముందుకు తూలుతారు.
సి) లాన్ రోలర్ను నెట్టడం కంటె లాగడం తేలిక.
డి) క్రికెటర్ బంతిని క్యాచ్ పట్టుకొనేటప్పుడు తన చేతులను వెనుకకు లాగుతాడు.
సాధన:
ఎ) శూన్యంలో గుర్రంబండి ప్రతిచర్య జరిపే అవకాశం లేదు. అందువల్ల చర్య కూడా సాధ్యపడదు. అందువల్ల గుర్రం బండిని లాగలేదు.

బి) వేగంగా వెళుతున్న బస్సును హఠాత్తుగా ఆపితే ప్రయాణీకులు ముందుకు పడటానికి కారణం నిశ్చలస్థితిలోని జడత్వము.

సి) లాన్ రోలర్ను నెట్టినపుడు ప్రయోగించిన బలం (F) లోని ఒక అంశ F sin θ రోలర్ను భూమివైపుకి బలంగా నెట్టుతుంది. కాని అదే బలం F తో లాగితే బల అంశ F sin 9θ రోలర్ను గురుత్వాకర్షణకు వ్యతిరేక దిశలో పైకి లాగుతుంది. అందువల్ల లాన్ రోలర్ను నెట్టడం కన్నా తోయడం తేలిక.

డి) బంతిని క్యాచ్ పట్టుకునేందుకు చేతిని వెనుకకు లాగడం వల్ల బంతి ఆగిపోవడానికి పట్టిన కాలం పెరుగుతుంది. ఫలితంగా చేయి మీద ప్రచోదన ప్రభావం తగ్గును.

ప్రశ్న 24.
0.04 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక వస్తువు స్థానం-కాలం వక్రం పటంలో ఇవ్వడమైంది. ఈ గమనానికి తగిన భౌతిక సందర్భాన్ని సూచించండి. వస్తువు పొందిన రెండు వరుస ప్రచోదనాల మధ్య కాలం ఎంత ? ప్రతీ ప్రచోదనం పరిమాణం ఎంత ?
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 17
సాధన:
వస్తువు ద్రవ్యరాశి m = 0.04 కి.గ్రా.
పటం నుండి వస్తువు 2 సెకన్లలో ‘0’ నుండి 2 సెం.మీ. వరకు స్థానభ్రంశం పొందింది.
∴ వస్తువు వేగము = వాలు \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2}{2}\)
= 1 సెం.మీ./సె. = 10-2 మీ/సె.
మరల తరువాత రెండు సెకన్లలో 2 నుంచి ‘0’ కి స్థానభ్రంశం పొందింది. ఈ దిశలో వేగము v = -1 సెం.మీ/సె.
వస్తువు రెండు సెకనులకొకసారి వేగ దిశ మార్చుకోవడానికి దానిపై కొంత ప్రచోదనబలం పనిచేయాలి.
ప్రచోదనం J = m(v – u) = 0.04 (-1-1) × 10-2 = -0.08 × 10-2
= 8 × 10-4 కి.గ్రా. మీ/సె.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 25.
పటంలో చూపినట్లు 1 ms-2 త్వరణంతో తిరుగుతున్న క్షితిజ సమాంతర కన్వేయర్ బెల్ట్ప ఒక వ్యక్తి. బెల్ట్కు సాపేక్షంగా విరామస్థితిలో నిల్చొని ఉన్నాడు. ఆ వ్యక్తిపై నికర బలం ఎంత ? వ్యక్తి బూట్లకు, బెల్ట్కు మధ్య నైతిక ఘర్షణ గుణకం 0.2 అయితే, బెల్ట్ త్వరణం ఏ విలువ వరకు బెల్ట్కు సాపేక్షంగా ఆ వ్యక్తి అదే విధంగా విరామస్థితిలో కొనసాగుతాడు ?
(వ్యక్తి ద్రవ్యరాశి = 65కి.గ్రా.)
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 18
సాధన:
ఎ) బెల్టు త్వరణము a = 1 మీ/సె2
కన్వేయర్ బెల్ట్ పరంగా మనిషి స్థిరంగా ఉండటం వల్ల అతని త్వరణము a = 1 మీ/సె.
మనిషి ద్రవ్యరాశి m = 65 కి.గ్రా.; నికరబలం F = ma = 65 × 1 = 65 న్యూ.

బి) సీమాంత ఘర్షణ బలం μmg ఇందులో μ – 0.2
∴ F = 0.2 mg
మనిషి కదలకుండా ఉండటానికి గరిష్ఠ త్వరణము a’ = \(\frac{\mu \mathrm{mg}}{\mathrm{m}}\)
a’ = μg = 0.2 × 9.8 = 1.96 మీ/సె2

ప్రశ్న 26.
దారం ఒక చివర కట్టిన m ద్రవ్యరాశి ఉన్న రాయి R వ్యాసార్ధం ఉన్న నిలువు వృత్త పథంలో పరిభ్రమిస్తుంది. ఆ వృత్త నిమ్నతమ, ఊర్ధ్వతమ బిందువుల వద్ద నిట్టనిలువుగా కిందికి పనిచేసే నికర బలాలు (సరియైన సమాధానం ఎన్నుకోండి)
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు 19
T1, v1 లు నిమ్నతమ బిందువు వద్ద తన్యత, వడిని సూచిస్తాయి. T2, v2 లు ఊర్ధ్వతమ బిందువు వద్ద తన్యత, వడిని సూచిస్తాయి.
సాధన:
నిమ్నతమ బిందువు (L) వద్ద ఫలిత బలము FL = (mg – T1),
గరిషోన్నతి బిందువు (H) వద్ద ఫలిత తన్యత FH = mg + T2
కావున (a) సరియైన ఎంపిక.

ప్రశ్న 27.
100 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక హెలికాప్టర్ 15 ms-2 నిలువు త్వరణంతో పైకిలేస్తుంది. హెలికాప్టర్ నడిపే వ్యక్తి, అందులోని ప్రయాణీకుల భారం 300 కి.గ్రా. కింది వివిధ సందర్భాలలో పనిచేసే బలం పరిమాణాన్ని, దిశను తెలియచేయండి.
ఎ) హెలికాప్టర్ నడిపే వ్యక్తి, ప్రయాణీకుల వల్ల హెలికాప్టర్ అడుగు తలంపై పనిచేసే బలం
బి) హెలికాప్టర్ రోటర్ దాని పరిసరాలలోని గాలిపై జరిపే చర్య
సి) పరిసరాలలో ఉన్న గాలి, హెలికాప్టర్పై ప్రయోగించే బలం.
సాధన:
హెలికాప్టర్ ద్రవ్యరాశి m = 1000 కి.గ్రా.
ప్రయాణీకులు + సిబ్బంది బరువు m2 = 300 కి.గ్రా.
∴ మొత్తం బరువు M = 1000 + 300 = 1300 కి.గ్రా.
ఊర్ధ్వదిశలో త్వరణము a = 15 మీ/సె2, g = 10 మీ/సె2

ఎ) హెలికాప్టర్ నేలపై సిబ్బంది వల్ల బలము F = m (g + a)
F = 300 (10 + 15) = 300 × 25 = 7500 న్యూ.

బి) రోటరు బ్లేడ్ల వల్ల పరిసరాలపై ప్రతిచర్య అధో దిశలో ఉంటుంది. (హెలికాప్టర్ పైకి వెళ్ళింది కనుక) పైకి లేవడానికి హెలికాప్టర్ రోటర్ ల వల్ల మొత్తం బలం
F = (m1 + m2) (g + a)
F= 1300 (10 + 15) = 32500 న్యూ.

సి) పరిసరాల గాలివల్ల హెలికాప్టర్పై ప్రతిచర్య = హెలికాప్టర్
ఇంజన్ పరిసరాలపై ప్రయోగించిన బలము = 32500 న్యూ.
(చర్య = – ప్రతిచర్య కావున)

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 28.
10-2m2 మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న ఒక పైపు ద్వారా నీటి ప్రవాహం 15 ms-1 వేగంతో క్షితిజ సమాంతరంగా ప్రయాణిస్తూ బయటకు చిమ్మి, దగ్గరగా ఉన్న నిలువు గోడను తాకింది. గోడపై పతనం అయిన నీరు వెనుకకు తిరిగి రాదని భావిస్తే నీటి వల్ల గోడపై కలిగే బలం ఎంత ?
సాధన:
నీటివేగము u = 15 మీ/సె. ;
సెకనులో బయటకు వచ్చిన గొట్టం అడ్డుకోత a1 = 10-2 మీ2
నీటి పరిమాణము = a1 × v1 = 10-2 × 15 మీ3/సె
నీటి వేగము v1 = 15 మీ/సె.
నీటి సాంద్రత d = 1000 కి.గ్రా./మీ3
1 సెకన్లో గోడను తాకిన నీటి ద్రవ్యరాశి a1 v1 d
= 10-2 × 15 × 1000 = 150 కి.గ్రా.
నీరు వెనుకకు మరల లేదని భావిస్తే నీటి వల్ల గోడపై బలము F = \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{p}}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{mu}}{\mathrm{t}}=\frac{150 \times 15}{1}\) = 2250 న్యూ.

ప్రశ్న 29.
రూపాయి నాణేలను పదింటిని ఒకదానిమీద ఒకటిగా ఒక బల్లపై ఉంచారు. ప్రతి నాణెం ద్రవ్యరాశి m. కింది ప్రతి సందర్భంలో ‘బల పరిమాణం, దిశను తెలపండి.
ఎ) క్రింది నుంచి 7వ నాణెం మీద, పైనున్న నాణేల వల్ల బల పరిమాణం, దిశ
బి) 8వ నాణెం వల్ల 7వ నాణెం మీద పనిచేసే బలపరిమాణం, దిశ
సి) 6వ నాణెం వల్ల 7వ నాణెం మీద ప్రతిచర్య పరిమాణం, దిశ
సాధన:
ఎ) 7వ నాణెంపై బలము = దానిపై గల 3 నాణెముల భారము
∴ F = 3 mg న్యూ

బి) 8వ నాణెంపై ప్రతిచర్య 8వ నాణెం 7వ నాణెంపై ప్రయోగించిన బలానికి సమానము.
∴ F = 3 mg
వివరణ : 8వ నాణెం భారము mg, దానిపై గల 9, 10 నాణెంల భారము 2 mg. మొత్తం 3 mg. ఈ మొత్తం భారాన్ని 8వ నాణెం 7వ నాణెంపై ప్రయోగిస్తుంది.

ప్రశ్న 30.
ఒక విమానం 720 km/h వడితో క్షితిజ సమాంతర వలయం ఆకారంలో ప్రయాణించింది. విమానం రెక్కల గట్టు కోణం 15°. ఆ వలయం వ్యాసార్ధం ఎంత ?
సాధన:
రెక్కల గట్టు కోణము θ = 15°;
వేగము v = 720 kmph = 720 × \(\frac{5}{18}\) = 200మీ/సె
g = 9.8 మీ/సె2
గట్టు కట్టినపుడు tan θ = \(\frac{\mathrm{v}^2}{\mathrm{rg}}\)
∴ వంపు వ్యాసార్ధము r = \(\frac{\mathrm{v}^2}{\mathrm{~g} \tan \theta}=\frac{200 \times 200}{9.8 \times \tan 15^{\circ}}\)
= 15232 మీ. లేదా 15.232 కి.మీ.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 31.
ఒక రైలు 54 km/h వడితో 30 మీ. వ్యాసార్ధం ఉన్న గట్టుకట్టని వృత్తాకార రైలు మార్గం గుండా ప్రయాణిస్తుంది. రైలు ద్రవ్యరాశి 106 కి.గ్రా. ఇంజన్, బోగీలు ఈ రెండింటిలో ఏది రైలుకు కావలసిన అభికేంద్ర బలాన్ని సమకూరుస్తుంది. పట్టాలు అరిగిపోకుండా ఉండాలంటే, ఎంత కోణంలో గట్టు కట్టాలి ?
సాధన:
వ్యాసార్ధము r = 30 మీ.
వడి = v = 54 kmph = 54 × \(\frac{5}{18}\) = 15 మీ/సె.
రైలు ద్రవ్యరాశి m = 106 కి.గ్రా.
రైలుకు కావలసిన అభికేంద్ర బలాన్ని ఎత్తుగా నిర్మించిన వెలుపలి పట్టా అందజేస్తుంది. గట్టు కట్టకపోతే ఈ పట్టాకు అరుగుదల ఎక్కువ.
ఏటవాలు గట్టుకోణము tan θ = \(\frac{\mathrm{v}^2}{\mathrm{rg}}=\frac{15 \times 15}{30 \times 9.8}\) = 0.76
∴ tan θ = 0.76 ⇒ θ = tan-1 0.76 = 37.4°

ప్రశ్న 32.
సర్కస్ గ్లోబులో మోటారు సైకిల్ను నిలువు వృత్తంలలో వివిధ రకాల భంగిమలలో అబ్బురపరిచే విన్యాసాలను అతి సులువుగా ప్రదర్శించడం మనం చూస్తూనే ఉంటాం. (ఆ గ్లోబు గోళాకారంగా ఉండి, బయట నుంచి మనం చూడటానికి వీలుగా రంధ్రాలు కలిగి ఉంటుంది) గ్లోబులో మోటారు సైకిల్పై నిలువు వృత్తంలో పరిభ్రమించే ప్రదర్శకునికి కింది నుంచి ఎలాంటి ఆధారం లేకున్నా ఊర్ధ్వతమ బిందువు వద్ద ఉన్నప్పుడు పడిపోకుండా ఉండటానికి కారణమేమిటో వివరించండి. నిలువు వృత్తంలో ఊర్ధ్వతమ స్థానం వద్ద మోటారు సైకిల్పై గమనం పూర్తిచేయడానికి, నిమ్నతమ బిందువు వద్ద ఉండవలసిన కనిష్ఠ వేగం ఎంత ? గ్లోబు వ్యాసార్ధం 25 మీ.
సాధన:
ఊర్ధ్వతమ బిందువు వద్ద R + mg = \(\frac{\mathrm{mv}^2}{\mathrm{r}}\) ఇందులో R. మోటారిస్ట్ అభిలంబచర్య
R = 0 అయితే అతని వేగము అతి తక్కువ
∴ mg = \(\frac{\mathrm{mv}^2}{\mathrm{r}}\) లేదా బావిలో అతని కనిష్ఠ వేగము v = \(\sqrt{\mathrm{gr}}\)
∴ v = \(\sqrt{10 \times 25}=\sqrt{250}\) = 15.8 మీ/సె.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 5 గమన నియమాలు

ప్రశ్న 33.
3 మీ. వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక బోలు స్థూపాకార డ్రమ్ దాని నిలువు అక్షంపరంగా, 200 rev/min వడితో పరిభ్రమిస్తుంది. 70 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక వ్యక్తి డ్రమ్ లోపలి గోడలకు తాకుతూ నిల్చొని ఉన్నాడు. వ్యక్తి బట్టలకు, డ్రమ్ గోడకు మధ్య ఘర్షణ గుణకం 0.గత్. అడుగు తలాన్ని హఠాత్తుగా తొలగించినప్పుడు, ఆ వ్యక్తి లోపలి గోడలకు అదే విధంగా తాకుతూ పడిపోకుండా ఉండాలంటే స్థూపాకార డ్రమ్కు ఉండాల్సిన కనిష్ఠ భ్రమణ వడి
ఎంత?
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 70 కి.గ్రా.
వ్యాసార్ధము r = 3 మీ.
n = 200 r.p.m. = \(\frac{200}{60}\) × r.p.s.; ఘర్షణ గుణకము μ = 0.15; మనిషి పడిపోకుండా ఉండటానికి డ్రమ్కు ఉండవలసిన కనీస భ్రమణ వడి w = ?
ఈ సందర్భంలో మనిషి భారము mg = μ.mrw2 కావలెను
w2 = \(\frac{\mathrm{mg}}{\mu \mathrm{mr}} \Rightarrow \mathrm{w}=\sqrt{\frac{\mathrm{g}}{\mu \mathrm{r}}}=\sqrt{\frac{10}{0.15 \times 3}}\) = 4.7 రేడియన్/సె.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns

Essay Questions:

Question 1.
Define final accounts and explain various stages in their preparation.
Answer:
Final Accounts :

  1. To know the business results and financial position at the end of the period, the business prepares various statement which are called as “Final Accounts”.
  2. These final accounts of a sole trader are prepared based on the nature of the business establishments.
  3. If the business organization is trading concern it has to prepare Trading Account, profit & loss account and Balance sheet, if the concern is manufacturing entities they prepare manufacturing account, trading account, profit and loss account and Balance sheet.

Various stages in Financial Accounts :
1. Trading account:

  • Preparation of Trading Account is the first stage in final accounts. It is prepared to find the “Gross Profit” or “Gross Loss”, which is transferred to profit and loss account.
  • Trading account is a “nominal account” in nature. All the trading expenses should be debited and trading incomes should be credited to this trading account.

2. Profit & Loss account:

  • The second stage of the preparation of final account is the preparation of profit & loss account. Profit & loss account is prepared to find out the Net Profit or Net Loss of the business. This is a nominal account.
  • The balance of profit and loss account is transfered to capital account in Balance sheet.

3. Balance Sheet:
Balance sheet is the statement prepared to find out financial position i.e., assets and liabilities of a concern on a given date. In preparing Balance Sheet, liabilities and capital are shown on the left hand side and the assets are shown on the right hand side.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Question 2.
Describe various types of expenses and incomes with suitable examples.
Answer:
In the preparation of final accounts, clear distinction is made between capital and revenue items. The allocation of expenditure and incomes between capital and revenue plays a vital role in the preparation of correct and true financial statements of the business concerns.
Business expenditure of a concern can be broadly classified into :

  1. Capital expenditure,
  2. Revenue expenditure,
  3. Deferred revenue expenditure.

1. Capital Expenditure :
Capital expenditure is the expenditure which is normally incurred for acquiring fixed assets which increases the earning capacity of the business. Benefits of capital expenditure extends over number of years. Examples of capital expenditure are purchase of fixed assets like plant, building, installation of machinery and their improvement. These are shown as assets in Balance Sheet.

2. Revenue Expenditure :
Revenue expenditure is the expenditure which is incurred in normal course of the business activities. The benefit of revenue expenditure is limited to only one accounting year. Examples of revenue expenditure are payment of salaries, rent, carriage, advertisement etc. These are debited to profit and loss account.

3. Deferred Revenue Expenditure :
Any amount of revenue expenditure spent in huge sums and its benefits spread over more than one year is called deferred revenue expen-diture. It includes the expenses like preliminary expenses, discount on issue of shares and debentures, heavy amount spent of advertisement, shifting of business premises etc.

Incomes are divided into capital receipts and revenue receipts :
1. Capital Receipts / Capital Income :
Amount received as investment by the owners, raised by way of loans and sale proceeds of fixed assets is called capital receipts (or) capital income. Ex. Capital, sale of machinery. All the capital receipts are recorded as liability in the Balance Sheet.

2. Revenue Receipts / Revenue Income :
Amount received in the normal course of business is called revenue receipts and includes sale of goods, interest, discount, commission etc. These incomes are credited to profit and loss a/c.

3. Deferred Income :
This consists of income which spreads over several years is called deferred income. Ex. Rent or interest received for more than one year.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Question 3.
Write the differences between trading account and profit & loss account.
Solution:

BasisTrading accountProfit & Loss account
1. Meaning & objectTrading account is prepared to findout the Gross profit / Gross loss of the business.Profit & loss account is prepared to find out the Net profit / Net loss of the business.
2. TimingTrading account is prepared before the profit and loss a/c.Profit & loss account is prepared after the trading account.
3. AccountsIn the trading account, the direct expenses and direct incomes are posted.In profit and loss account, the accounts related to the indirect expenses and indirect incomes are posted.
4. Trasfer of BalanceThe balance of trading account is transferred to profit & loss a/c.The balance of profit & loss account is transferred to capital account in balance sheet.
5. StageTrading account is the first stage of the final accounts.Profit & loss account is the second stage of the final accounts.

Question 4.
Present the main features, advantages and limitations of final accounts.
Answer:
Features :

  1. Final accounts consider monetary transactions only.
  2. Final accounts considers only those transactions which are of historical nature, i.e., the transactions which are already taken place.
  3. Preparation of final accounts is a legal requirement.
  4. Final accounts are used by internal and external users for their decision making.

Advantages :

  1. Business profit or loss can be known to the trader through the trading account and profit and loss account (Income statements).
  2. Financial position can be revealed by the preparation of Balance Sheet.
  3. Final accounts are important source of finance information and this help the trader or management to plan the financial activities of the business concern for any period or time.
  4. Financial statement help the trader to take business decisions by comparing current year results with the results of the previous year statements.
  5. As the profit & loss account discloses either profit or loss, based on which a trader prepares himself to pay the taxes correctly.
  6. Tax authorities also needs financial statements to determine the account of tax exactly.
  7. As financial statements reveals the solvency position of the organization, the banks and other lending organizations may con v r for extending the loan facility.

Limitations :

  1. Do not reflect the current prices as they are based on the historical costs. *
  2. Do not consider qualitative data, such as, qualLy, efficiency of workforce, employee and employer relationship, motivation level of employees, value of human resources etc.
  3. Do not reveal the accurate picture of the business, as certain values of assets and some expenses and income items are based on the judgement of the management, who may have prejudice.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Short Answer Questions:

Question 1.
Give the objectives of final accounts.
Answer:
The main objectives of preparation of final accounts are :

  1. To ascertain the profit or loss of the business for a particular period. (By preparing Trading and Profit & Loss Account.)
  2. To find out the financial position of the business concern on a specified date or period. (By preparing the Balance Sheet).

Question 2.
Write the features of Trading Account.
Answer:
Features :

  1. It is the first stage of final accounts.
  2. Trading account is a Nominal account.
  3. It helps to find the Gross Profit or Gross Loss.
  4. It records only the net sales and direct cost of goods sold.
  5. The balance of trading account is transferred to profit and loss account.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Question 3.
Explain the meaning and main characteristics of profit & loss account
Answer:
After preparing the trading account, profit and loss account is prepared to find out the net profit or net loss of the business. This is also a nominal account. So, all the expenses and losses should be debited and all the incomes and gains to be credited to profit and loss account.

The balance of profit and loss account is either net profit or net loss and the same is added or deducted from the capital account in the balance sheet.

Characteristics of Profit and Loss Account :

  1. Profit & Loss account is a Nominal account.
  2. It is prepared at end of the financial year.
  3. It records all current year indirect expenses and incomes.
  4. It reveals net profit or net loss.
  5. Net profit ratio can be calculated.
  6. Current year administration expenses and other expenses can be compared with the previous years expenses.
  7. It facilitates for the preparation of Balance Sheet.

Question 4.
Briefly explain various types of assets.
Answer:
Assets :
Property of any description belonging to a person or business organization can be named as an asset. Assets are the ‘ownings’ of a business and they may be classified as follows :

1. Fixed Assets :
The assets permanent in nature and not intended for the re-sale, but are used to carry the business continuously are called fixed assets. They earn profit or gain to the business.
Ex : Land and buildings, machinery, furniture etc. These assets are recorded in the balance sheet after deducting depreciation if any.

Fixed Assets can be further classified as :
a) Tangible Assets – which can be seen and touched, e.g., Furniture, Machinery etc.
b) Intangible assets – which can neither be seen nor touched, e.g., Patents, Goodwill etc.

2. Current Assets :
These assets are held for resale or can be converted into cash on a later date. These are also known as floating or circulating assets. Cash, Stock, Debtors, Bank balance etc., are the examples of these assets.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Question 5.
Define Manufacturing Account and give it contents.
Answer:
Manufacturing Account:
A trader or a business concern who undertakes the job of manufacturing or production of goods will prepare this account.

As trading account it is also a nominal account. Hence, all the expenses incurred on goods and factory will be considered and rec orded at debit side of it and in progress and sale of scrap etc., are recorded at creuit side and the difference debit and credit will be termed as ‘Cost of Production’, wnieh will be transferred to the debit side of the trading account.

This accovnt may be prepared either on horizontal form or on vertical form.

Horizontal form Proforma:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 1

Vertical form Proforma:

Manufacturing Account of XYZ Co., for the year ending XX, XX, XXX

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 2

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Very Short Answer Questions:

Question 1.
Define deferred expenditure.
Answer:
The Deferred Expenditure consists of revenue and capital items. Benefits from these expenses are spread over several years. In other words, the expenses which are incurred in one accounting year but benefits of the same accrue in the future years are called as Deferred Expenses.
Ex : amount of expenditure on advertisement in the initial years, expenditure incurred on research and development, innovation etc.

Question 2.
Define current assets & current liabilities.
Answer:
a. Current Assets:
Current assets are those assets which are for resale or can be converted into in short period, usually within one year. These are also known as floating or circulating assets.
Ex.: Cash in hand, Cash at bank, Sundry debtors, Stock-in-trade etc.

b. Current Liabilities :
These liabilities are payable by the business organisation within one accounting period. These are short term liabilities as they are repayable in not more than 12 months from the date of acquiring them.
Ex.: Bills payable, Sundry creditors, Bank overdraft etc.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Question 3.
Give examples of intangible assets.
Answer:
Intangible assets are those which cannot be seen and touched.
Ex.: Patents, Goodwill etc.

Question 4.
Write accounting equation.
Answer:

  1. The relationship of assets with liabilities and owners equity in the equation form is known as “Accounting Equation”.
  2. Accounting Equation: Assets = Liabilities + Capital
  3. The complete picture of the balance sheet in manner of accounting equation.

Question 5.
Write a short note on Opening Stock & Closing stock.
Answer:
a) Opening Stock :
The opening stock is the first item to be shown on the debit side of trading account. The closing stock of the preceeding year is the opening stock of the current year.

b) Closing Stock :
It is the unsold stock left with the organization on the last day of the accounting year. The closing stock of the current year becomes the opening stock of the next year.

If the closing stock is given in the adjustments, record it in the trading account on credit side and also in Balance Sheet on assets side.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Additional Questions:

Question 1.
Capital expenditure.
Answer:

  1. Capital expenditure is the expenditure which is normally incurred for acquiring fixed assets or assets which increase the earning capacity of the business. Benefits of capital expenditure are extended over a number of years.
  2. Ex. : Purchase of fixed assets like machinery, building, furniture etc.

Question 2.
Revenue expenditure
Answer:

  1. Revenue expenditure is the expenditure incurred in the normal course of the business activities. The benefit of revenue expenditure is restricted to only one accounting year.
  2. Ex: Office expenses such as rent, salaries, selling expenses like carriage outwards, advertisement expenses.

Question 3.
Capital income.
Answer:

  1. Any amount received as investment by the owners, raised by way of loans and income received on sale of fixed assets is called capital income.
  2. Ex.: Capital, sale of machinery.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Problems:

Question 1.
Prepare Trading Account of Srikanth Traders for the year ended 31.12.2015.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 3

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 4

Question 2.
Prepare Trading Account from the following particulars for the year ended 31.03.2017 :

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 5

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 6

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Question 3.
Prepare Trading Account:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 7

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 8

Question 4.
Prepare Trading Account of Hyderabad Traders as on 31,12.2017 :

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 9

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 10

Note :
Manufacturing expenses given twice so, 2nd one is not taken into problem.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Question 5.
From the following particulars, prepare Profit & Loss a/c as on 31.03.2019 :

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 11

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 12

Note :
Stationary is given twice so we take 1st one and ignore 2nd one.

Question 6.
Prepare Profit & Loss a/c from the following particulars :

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 13

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 14

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Question 7.
From the following particulars, prepare Trading and Profit & Loss a/c as on 31.12.2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 15

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 16

Question 8.
Prepare Trading a/c & Profit & Loss a/c of Suresh Traders for the year ending 31.12.2017.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 17

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 18

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Question 9.
From the following Trial Balance, prepare Trading a/c, and Profit & Loss a/c of Ms. Veena Reddy for the year ended 31.12.2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 19

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 20

Question 10.
Prepare Trading Account and Profit & Loss a/c (amounts in rupees).

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 21

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 22

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Question 11.
Prepare Balance Sheet from the following details of Yadagiri as on 31.12.2016.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 23

Solution:
Balance Sheet of Yadagiri as on 31.12.16

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 24

Question 12.
Prepare Balance Sheet of Karnakar Reddy Traders from the following as on 31.12.2017.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 25

Solution:
Balance Sheet of Karnakar Reddy as on 31.12.2017

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 26

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Question 13.
Prepare Balance Sheet of Madhavi Traders for the year ended on 31.12.2016.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 27

Solution:
Balance Sheet of Madhavi Traders as on 31.12.16

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 28

Question 14.
From the following Trial Balance, prepare Trading, P & L Account and Balance Sheet.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 29

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 30

Balance Sheet

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 31

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Question 15.
From the following trial balances prepare final accounts for the year ending 31.03.2015.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 32

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 33

Balance Sheet

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 34

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Textual Questions:

Question 1.
From the following information, prepare Trading Account of Shylaja Traders for the year ending 31.12.2018:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 35

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 36

Question 2.
From the following information, prepare Trading Account of Swamy as on 31.12.2018 :

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 37

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 38

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Question 3.
Prepare Trading Account of Ayyappa Traders for the year ending 31.12.2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 39

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 40

Question 4.
From the following particulars, prepare Profit & Loss a/c of Sathwlka for the year ending 31.12.2018 :

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 41

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 42

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Question 5.
Prepare Profit & Loss a/c of Naveen Kumar Traders as on 31.03.2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 43

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 44

Question 6.
From the following balances, prepare Profit & Loss a/C of Harini for the year ended 31.12.2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 45

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 46

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Question 7.
Prepare leading Account and Profit & Loss a/c from the following particulars.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 47

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 48

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 9 Final Accounts of Sole Trading Concerns

Question 8.
Prepare Balance Sheet of Srinivas from the following particulars as on 31.12.2017 :

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 49

Solution:
Balance Sheet of Srinivas as on 31.12.2018

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Rectification of Errors 50

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts

Essay Questions:

Question 1.
Describe the various types of adjustments with suitable examples.
Ans.
The following are the various adjustments :
1. Outstanding expenses:
Outstanding expenses are the expenses relating to the current year but unpaid during the year and are to be paid in the next year is known as outstanding expenses. E.g. Salary or rent for the month of March is due but not paid. These expenses are added to the concerned expenditure either in trading or profit and loss account debit side. These expenses are again shown as liability in balance sheet.

2. Prepaid expenses :
Prepaid expenses are the expenses relating to the next year but paid during the year. E.g. Insurance or taxes are paid for the next year. These expenses are deducted from the concerned expenditure either in trading or profit and loss account debit side. These expenses are shown as assets in the balance sheet.

3. Income to be received :
It is also known as accured income. It is the income relating to the current year which is not received but to be received in the next year. These incomes are added to the concerned income in profit and loss account credit side. These incomes are shown as assets in the balance sheet.

4. Income received in advance:
Income relating to the next year but received in advance during the current year. These incomes are deducted from the concerned income in profit and loss account credit side. These incomes are shown as liability on the Balance Sheet.

5. Depreciation on fixed assets:
The value of fixed assets like machinery, plant, buildings will decrease year after year due to reasons like wear and tear, obsolescence etc. Such decline is called as depreciation. It is considered as an expense and generally calculated as a percentage on the value of asset. It is debited to profit and loss account and again deducted from the asset on the balance sheet.

6. Interest on capital :
Interest paid on the owners capital is treated as expenditure is debited profit and loss account. It is added to the capital on the liabilities side of the balance sheet.

7. Interest on drawings :
The amount of cash or goods taken for personal use are known as drawings. Interest on such drawings is credited to profit and loss a/c and again it should be deducted from capital in balance sheet.

8. Closing stock :
If the closing stock is given as adjustment, it is credited to trading a/c and shown as an asset in the balance sheet.

9. Bad debts :
The debts which cannot be recovered are called as bad debts.
i) If the bad debts are given in the trial balance. It is debited to profit and loss account only.
ii) If the bad debts are given as adjustment, they should be debited to profit and loss account and deducted from the sundry debtors on the asset side of the balance sheet.

10. Provision for bad debts :
Some of the debts of a year may or may not be recovered in the next year. These are known as doubtful debts. So, the trader create some amount on current year to meet the doubtful debts of the next year which is called provision for bad and doubtful debts when the provision is given as an adjustment, the amount so calculated on debtors is debited to profit and loss a/c. It is again deducted from the debtors on the asset side of the balance sheet.

11. When provision for doubtful debts is given in the trial balance and also in adjustments. The provision given in the trial balance is created in the last year, is the old reserve. If the new provision is more than the old provision the difference is debited to profit and loss account, and the new provision is deducted from the debtors in the balance sheet.

On the other hand, if the new provision is less than old provision. The difference is credited to profit and loss account. New provision only deducted form sundry debtors in the balance sheet.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Short Answer Questions:

Question 1.
What do you mean by Adjustments ? State the importance of Adjustments.
Answer:
On the date of preparing the final accounts, all the expenses whether paid or not and all incomes whether received or not should be taken, similarly, expenses and incomes relating to next year should not taken. All these items are to be adjustment in final accounts by way of adjustments entries. Addition or subtraction of the amounts from revenue items is called adjustment.

Importance of adjustments :

  1. Expenses or incomes relating to the accounting period can be ascertained accurately.
  2. Profit or loss can be calculated accurately.
  3. True value of assets and liabilities can be ascertained easily.
  4. Unrecorded transactions can be brought into the books of accounts.

Question 2.
Write the following :
a) Interest on capital.
b) Interest on Drawings.
Answer:
a) Interest on capital :
It is the amount of interest payable on owner’s capital by the business firm. It is an expenditure.

Adjustment entry :
Interest on capital a/c Dr
To Capital a/c (Being the interest payable capital)

Calculate interest on capital at a given percentage and is debited to profit and loss account. Interest on capital is added to capital on the liabilities side of balance sheet.

b) Interest on drawings:
The amount of cash or goods taken by the proprietor for personal use is called drawings. Interest should be calculated at a given rate and it is credited to profit and loss account as it is income to business. The interest on drawings is deducted from the capital on the liabilities side of balance sheet.

Interest on Drawings entry :
Capital / Drawings a/c Dr
To Interest on Drawings a/c (Being interest receivable on drawings).

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 3.
Briefly explain about the following.
a) Depreciation
b) Loss of stock by Fire.
Answer:
a) Depreciation :
The value of fixed assets such as Buildings, Machinery, Furniture, Loose tools etc., will decrease year after year due to various reasons, such as wear and tear, obsolescence etc. Such decline in the value of fixed asses is called “Depreciation”.

Depreciation may be defined as “the gradual decrease in the value of an asset”. Depreciation should be considered as a business expense and is to be charged to the Profit and Loss Account. Generally depreciation is calculated as a percentage on the value of the asset given in Trial Balance.

Adjustment Entry :
Depreciation a/c Dr XX
To Asset a/c (individually) XX
(Being the depreciation provided on asset)

b) Loss of stock by Fire Accident:
Sometimes business stock may be lost due to fire accident. A provision has to be made for such loss. Stock lost by fire accident is an abnormal loss and hence it should be treated properly in the final accounts. Firstly, the total loss of stock by fire should be shown on credit side of the Trading Account. Again, it should be treated according to the following situations :
a) When Stock is fully insured.
b) When Stock is partly insured.
c) When Stock is not insured at all.

a) When Stock is fully insured and full claim is admitted by the Insurance Company : Adjustment Entries
i) Loss of Stock by Fire Accident a/c …………. Dr XX
To Trading a/c XX
(Being loss of stock by fire accident)

ii) Insurance company a/c …………. Dr XX
To Loss of stock by Fire Accident a/c XX
(Being claim admitted by the Insurance Company)

b) When stock is partly insured and Insurance company admits a part of the claim :
i) Loss of Stock by Fire Accident a/c …………. Dr XX
To Trading a/c XX
(Being loss of stock by fire accident)

ii) Insurance company a/c …………. Dr XX
Profit and Loss a/c …………. Dr XX
To Loss of stock by fire accident a/c XX
(Being part of the claim admitted by the Insurance Company and remaining loss transferred to P & L a/c)

c) When Stock is not insured at all:
i) Loss of Stock by Fire Accident a/c …………. Dr XX
To Trading a/c XX
(Being loss of stock by Fire Accident)

ii) Profit and Loss a/c …………. Dr XX
To Loss of Stock by Fire Accident a/c XX
(Being loss of stock transferred to P & L a/c).

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 4.
Explain the treatment of Adjustment on Debtors in Final accounts.
Answer:
In final accounts, Bad Debts, Provision for Bad and Doubtful Debts and Provision for Discount on Debtors may be given as adjustments relating to Debtors.

I. Bad Debts :
When goods are sold on credit basis, some cf the customers may not pay die amount. The debts which are not collected and irreco\s ole are known as Bad Debts which are a loss.

After preparing the Trial Balance, the trader may notice some amounts are irrecoverable debts. These bad debts are called Further Bad Debts or Additional Bad Debts.

Adjustment Entry :
Bad Debts a/c Dr XX
To Sundry Debtors a/c XX
(Being bad debts written off)

Accounting Treatment in Final Accounts :

a) When bad debts are given only in the adjustments :
Accounting Treatment :

  1. Bad Debts are to be shown on debit side of the Profit and Loss Account.
  2. Bad Debts should be deducted from the debtors on the assets side of the Balance Sheet.

If the Bad debts are given in Trial Balance only, it should be shown on debit side of the Profit & Loss Account as a loss and need not be shown in Balance sheet.

b) When Bad Debts are given in both Trial Balance and Adjustments :
Accounting Treatment in Final Accounts :

  1. Both the bad debts (Bad debts given in Trial Balance and given in adjustment) are ~ to be shown on debit side of the Profit and Loss Account.
  2. Bad debts given only in the adjustments are to be deducted from debtors on the assets side of the Balance Sheet.

II. Provision for Bad and Doubtful Debts :
According to the principle of Conservatism, anticipated losses must be provided. Therefore, the trader creates some provision on the basis of some percentage which is fixed on the basis of past experience. Such provision is called as Provision for Bad and Doubtful Debts. It is also termed as Reserve for Bad and Doubtful Debts.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

a) When provision is given as an adjustment:
Adjustment entry:
Profit and Loss a/c Dr XX
To provision for Bad and Doubtful Debts a/c XX
(Being provision for bad and doubtful debts created on debtors)

Accounting Treatment in Final Accounts :

  1. Provision for Bad and Doubtful Debts should be shown on debit side of the Profit and Loss Account.
  2. It will be deducted from the Debtors on the assets side of the Balance Sheet.

When Provision for Bad and Doubtful Debts is give in the Trial Balance, it should be deducted from the Debtors on the assets side of the Balance Sheet and need not be shown in the Profit and Loss Account.

b) When provision for doubtful debts is given in Trial Balance and also in adjustments :
The provision for doubtful debts given in Trial Balance is created as created in the last year and is known as the old provision or existing provision.

The provision for doubtful debts given in the adjustments is treated as to be created in the current year and is known as the new provision or provision required.

Accounting Treatment in Final Accounts :
1. Compare the old provision (given in trial balance) with new provision (given in the adjustments), if the new provision for doubtful debts is more than the old provision for doubtful debts, the difference amount (New provision – old provision) should be debited to the Profit and Loss Account.

On the other hand, new provision for doubtful debts is less than the old provision for doubtful debts, the difference amount (old provision – new provision) should be recorded on the credit side of the Profit & Loss Account.

2. Deduct only the amount of new provision for bad and doubtful debts from sundry debtors on the assets side of the Balance Sheet.

c) If tne bad debts are given both in trial balance and in adjustments, and also provision for bad and doubtful debts given in adjustments:

Accounting Treatment in Final Accounts :
1. Firstly, calculate the provision for Bad and Doubtful Debts as per the percentage given in the adjustments after deducting the further bad debts given in the adjustments from the debtors. Then both the Bad Debts (given in Trial Balance and in adjustments) and provision for Bad and Doubtful Debts should be shown on debit side of the Profit and Loss Account.

2. Further, Bad Debts given in the adjustments and Provision for Bad and Doubtful Debts should be deducted from the Debtors on the assets side of the Balance Sheet.

III. Provision for Discount on Debtors :
When a customer (debtor) pays the amount of sales within certain period, trader normally allows certain percentage of discount. The provision created towards the discount on debtors is called as “Provision for Discount on Debtor”.

Adjustment Entry :
Profit and Loss a/c Dr XX
To provision for Discount on Debtor a/c X X
(Being provision for discount on debtors created)

Accounting Treatment in Final Accounts :

  1. Provision for Discount on Debtors is shown on debit side of the Profit and Loss Account.
  2. It will be again shown by way of deduction from the Debtors on the assets side of the Balance Sheet.

However, if Provision for Discount on Debtors is given in the Trial Balance, it should be deducted directly from the Debtors on the assets side of the Balance Sheet.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 5.
Describe the following.
a) Goods Distributed as Free Samples.
b) Accrued Income.
Answer:
a) Goods Distributed as Free Samples :
With a view to promote the sales, some of the goods are distributed among customers at free of cost. These free samples are treated as advertisement expenses.

Adjustment Entry:
Advertisement a/c …………. Dr XX
To Purchases a/c XX
(Being goods distributed as free samples)

Accounting Treatment in Final Accounts :
1. Goods distributed as Free Samples should be deducted from the purchases on debit side of the Trading Account.
2. These Free Sample should be treated as Advertisement Expense and is to be shown on debit side of the Profit and Loss a/c. No need to be shown in the Balance Sheet.

b) Accrued Income :
The income which is earned but not received during the accounting year is called Accrued Income or Income Receivable.
Adjustment Entry :
Accrued Income a/c Dr X X
To Income a/c XX
(Being the income receivable)

Accounting Treatment in Final Accounts :

  1. Accrued Income should be added to the concerned income on credit side of the Profit and Loss Account.
  2. It will be shown on the assets side of the Balance Sheet.
    If Accrued income is given in the Trial Balance, the amount should be shown only once on the assets side of the Balance Sheet, i.e., need not be shown in the Profit & Loss a/c.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Very Short Answer Questions:

Question 1.
What is the meaning of Adjustment ?
Answer:
On the date of preparing the final accounts, all the expenses whether paid or not and all incomes whether received or not should be taken, similarly, expenses and incomes relating to next year should not taken. All these items are to be adjustment in final accounts by way of adjustments entries. Addition or substraction of the amounts from revenue items is called adjustment.

Question 2.
Explain the importance of Adjustment.
Answer:Importance of adjustments :

  1. Expenses or incomes relating to the accounting period can be ascertained accurately.
  2. Profit or loss can be calculated accurately.
  3. True value of assets and liabilities can be ascertained easily.
  4. Unrecorded transactions can be brought into the books of accounts.

Question 3.
Give the meaning of bad debts.
Answer:

  1. The trader sells the goods on credit to some of the customers. The customer who has taken the credit may not pay the amount. These debts which are not collected and irrecoverable are known as bad debts.
  2. Bad debts is a loss to the business. It shown in debit side of the Profit & Loss a/c.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 4.
Describe provision for Discount on Creditors.
Answer:
When the payment is made to creditors within the scheduled period, the discount is likely to be earned. Such discount on creditors is an anticipated profit. The reserve created on creditors is known as Reserve for Discount on Creditors.

Adjustment Entry :
Reserve for Discount on Creditors a/c …………. Dr XX
To Profit and Loss a/c XX
(Being reserve for discount on creditor created)

Question 5.
Explain the accounting treatment of Manager’s Commission.
Answer:
Manager’s Commission: In order to encourage the manager to work more and to increase the profits, manager may be given commission on net profits of the business. It can be given at a certain percentage on the net profits in any of the following two ways :

Manager’s Commission paid on :
a) Net Profit before charging such commission.
b) Net Profit after charging such commission.

Adjustment Entry :
Profit and Loss a/c ………… Dr XX
To Commission Payable a/c XX
(Being commission payable to manager).

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Problems:

Question 1.
From the following Trial Balance, prepare final accounts of SathishTraders as on 31-12-2013.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 1

Adjustments :
1) Closing Stock : ₹ 2,100
2) Outstanding Stationery : ₹ 600
3) Depreciationof Machinery : 10%
4) Bad Debts : ₹ 500
5) Prepaid Wages : ₹ 500
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 2

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 3

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 2.
From the following particulars, prepare final accounts of Godrej Traders for the year ending 31.12.2018:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 4

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 5

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 6

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 3.
From the following Trial Balance, prepare final accounts of Sachin Trader’s for the year ended 31-3-2019.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 7

Adjustments :
1) Outstanding Salaries : ₹ 500
2) Closing Stock : ₹ 4,500
3) Prepaid Insurance : ₹ 400
4) Outstanding Wages : ₹ 300
5) Depreciation on Machinery : 10%.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 8

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 9

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 4.
From the following Trial Balance of M/s Manoj & Son’s Trader’s prepare Trading, Profit & Loss a/c and Balance Sheet for the year ended 31-3-2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 10

1) Closing Stock : ₹ 9,000
2) Outstanding Salaries : ₹ 1,000
3) Prepaid insurance : ₹ 100
4) Create 5% Provision for Bad Debts
5) Depreciation on Furniture : 200 and on Machinery : 600
6) Outstanding Wages : ₹ 1,200.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 11

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 12

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 5.
From the following particulars of Anasuya Traders, prepare final accounts for the year ended 31-12-2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 13

Adjustments :
1) Closing Stock : ₹ 15,500
2) Interest on Capital: 6%
3) Write off ₹ 2,000 as Bad Debt and provide 5% Reserve for Doubtful Debts
4) Outstanding Wages : ₹ 1,000
5) Depreciation on Furniture : 10%.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 14

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 15

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 6.
Prepare Final Accounts from the Trial Balance of Brindavan Business for the year ended 31-3-2019.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 16

Adjustments :
1) Outstanding Wages : ₹ 2,000.
2) Outstanding Salaries : ₹ 1,000.
3) Prepaid Insurance: ₹ 50.
4) Create 5% Reserve for Bad Debts on Debtors.
5) Depreciation on Furniture ₹ 150 and on Machinery ₹ 500.
6) Closing Stock ₹ 11,000.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 17

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 18

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 7.
Prepare Final Accounts of Pawan Enterprises for the ending 31-3-2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 19

Adjustments :
1) Closing Stock : ₹ 6,800.
2) Depreciation of Motor Van : 5%.
3) Reserve for Bad & Doubtful Debts : 6%.
4) Outstanding Rent: ₹ 500
5) Prepaid Insurance ₹ 300
6) Create Reserve for Discount on Creditors : 3%.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 20

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 21

Working Note :
Accounting for Reserve for Bad & Doubtful Debts :
Old Reserve for Bad & Doubtful Debts 200
New Reserve for Bad & Doubtful Debts [10,000 × \(\frac{6}{100}\)] = 600
New RBD is > Old RBD
⇒ 600 – 200 = 400

Accounting Treatment :
1. Debit the difference (New Reserve – Old Reserve) to the Profit & Loss a/c
2. Deduct new provision for bad debts from debtors on assets side of Balance Sheet.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 8.
Prepare Final Accounts from the following Trial Balance of Mamaji Trader’s for the year ended 31-12-2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 22

Adjustments :
1) Closing Stock (31-12-2018) : ₹ 2,500.
2) Outstanding Stationary : ₹ 600
3) Depreciation on Buildings : 10%.
4) Bad Debts : ₹ 500 and Provision for Bad and Doubtful Debts : 5%
5) Prepaid Wages : ₹ 500
6) Interest on Drawings : 6%.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 23

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 24

Working Note :
i) Accounting Related with Debtors :
Calculation of Provision for Bad and Doubtful Debts = (Debtors – New Bad Debts) (Rate of PBD / 100)
= (12,500 – 500) \(\frac{5}{100}\)
= 12,000 × \(\frac{5}{100}\) = 600
∴ PB & DD = 600.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 9.
From the following Trial Balance of Vinayaka Enterprises, prepare Final Accounts for the year ending 31-12-2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 25

Adjustments :
1) Closing Stock : ₹ 10,500.
2) Bad Debts : ₹ 1,500 and Provide Reserve for Doubtful Debts : 5%.
3) Outstanding Factory Rent: ₹ 400.
4) Depreciation of Furniture : 10%.
5) Interest received in advance : ₹ 500.
6) Stock worth of: 10,000 destroyed in fire and Insurance Co. admitted a claim of ? 7,500.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 26

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 27

Working Note:
1) Renne for Doubtfùl Debts = (Debtors – New Bad debts) (RDD Rate / 100)
= (13,500 – 1,500) × \(\frac{5}{100}\)
= 12000 × \(\frac{5}{100}\)
∴ RDD = 600.

2) Calculation of actual loss on stock destroyed by fire :
Value of stock destroyed = 10,000
(-) Insurance claim = (-) 7,500

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 28

Actual loss = 2,500 (Transfer to P & L a/c).

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 10.
Prepare Final Accounts of Raghavendra Trader’s for the year ended 31-12-2019.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 29

Adjustments :
1) Closing Stock Value : ₹ 7,500.
2) Depreciation on Machinery : 10%
3) Commission Received in Advance: ₹ 1,000.
4) Outstanding Salaries : ₹ 1,500.
5) Further Bad Debts : ₹ 400 and Provision for Bad & Doubtful Debts : 5%
6) Good worth of ₹ 5,000 withdrawn by the owner for his personal use.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 25

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 31

Working Note :
Accounting treatment for provision for Bad & Doubtful debts (PB & DD) :
i) Calculation of new PB & DD = (Debtors – Bad debts) (Rate of PB & DD / 100)
= (40,000 – 400) × \(\frac{5}{100}\)
= 39,600 × \(\frac{5}{100}\) = 1,980

ii) Accounting : Old PB & DD (2,500) > New PB & DD (1,980)
Difference is record on Cr. side of P & L a/c [i.e., 2,500 – 1,980 = 520]
Deduct new PB & DD from Debtors in Balance Sheet [i.e., 1,980].

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 11.
Prepare final accounts of Yadadri Trader’s as on 31-12-2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 32

Adjustments :
1) Closing Stock : ₹ 6,500.
2) Prepaid Salaries & Wages : ₹ 400
3) Create 6% for Provision for Bad & Doubtful Debts.
4) Depreciation on Machinery : 10%.
5) Interest on Capital: 6%
6) MD’s Commission on Net Profit is 10% before charging such commission.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 33

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 34

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Working Note :
Calculation of MD’s Commission :
M.D’s commission on Net profit before charging commission
= Net profit before commission × (Rate of commission / 100)
= 5,900 × \(\frac{10}{100}\)
∴ M.D’s Commission = 590.

Question 12.
Prepare Veena Enterprises Final Accounts for the year ended 31-12-2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 35

Adjustments :
1) Closing Stock Value : ₹ 8,300.
2) Reserve for Bad Debts : 5%
3) Depreciation on Patents 10%
4) Outstanding Rent: ₹ 600
5) Commission Receivable : ₹ 400
6) Interest on Capital: 6%.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 36

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 37

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 13.
Prepare Final Accounts of Srivasthava Traders as on 31-12-2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 38

Adjustments :
1) Closing Stock Value : ₹ 6,000
2) Outstanding Salary : ₹ 450
3) Interest on Drawings : 10%
4) Provide Reserve for Doubtful Debts : 5% and Create Provision for Discount on Debtors 2%.
5) Depreciation on Buildings : 10%
6) Goods worth of ₹ 2,000 distributed as free samples.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 39

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 40

Working Note :
Treatment of Reserve for Doubtful Debts :
Old RDD = 2,000
NewRDD = 15,000 = 750
Old RDD > New RDD

Accounting Treatment :
Difference of Old & New RDD record on Cr. side in profit and loss a/c New RDD deduct from Debtors in Balance Sheet.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 14.
From the following Trial Balance, prepare Final Accounts for the year ended 31-03-2019.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 41

Adjustments :
1) Closing Stock Value : ₹ 17,800
2) Outstanding Wages : ₹ 400
3) Prepaid Rent & Taxes : ₹ 380
4) Provide Reserve for Bad & Doubtful Debts on Sundry Debtors 5%.
5) Depreciation on Furniture : 10%
6) Reserve for Discount on Creditors : 5%
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 42

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 43

Working Note :
Calculation of New Reserve for Bad & Doubtful Debts (RB & DD) :
New RB & DD = Debtors × RB & DD Rate / 100
= 10,400 × \(\frac{5}{100}\) = 520.

Accounting Treatment :
Old RB & DD <800) > New RB & DD (520)
∴ → Credit the difference (i.e., 800 – 520 = 280) in Profit & Loss a/c.
→ Deduct New RB & DD from Debtors in Balance Sheet.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 15.
From the following Trial Balance of Sudheer Trader’s prepare Final Accounts for the year ended 31-03-2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 44

Adjustments :
1) Closing Stock Value : ₹ 16,400.
2) Depreciation on Furniture : 5%, on Machinery : 10%
3) Outstanding Wages : ₹ 500.
4) Write off ₹ 600 as Bad Debts and create Provision for Bad & Doubtful Debts : 6%
5) Interest on Drawings : 5%
6) Stock worth of ₹ 12,000 destroyed by fire and Insurance Company admitted a cliam of ₹ 8,500.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 45

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 46

Working Note :
Calculation of Actual loss of goods by fire :
Value of goods/stock destroyed by fire = 12,000
(-) Insurance claim = (-) 8,500
Actual loss = 3,500

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 47

Accounting Treatment :
→ Deduct total loss from purchases in trading a/c (i.e., 12,000)
→ Debit actual loss (ie 3,500) in Profit & Loss a/c.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 16.
Prepare Final Accounts for the year ended 31-03-2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 48

Adjustments :
1) Closing Stock Value : ₹ 53,000.
2) Outstanding Salaries : ₹ 5,000.
3) Bad Debts : ₹ 2,000, Create Reserve for Bad Debts : 5% and Provision for Discount on Debtors : 2%.
4) Depreciation on Machinery : 5%
5) Lighting : Factory ₹ 4,000 and Office ₹ 2,000.
6) Manager’s Commission is 10% on Net Profit after charging such commission.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 49

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 50

Working Note :
1. Calculation of Manager’s commission on net profit after charging such commission:
Manager s commission = Net profit before commission × (Rate of commission / (100 + Rate of commission))
= 1,54,330 × \(\frac{10}{100+10}\)
= l,54,330 × \(\frac{10}{110}\) = 14,030.

2. Accounting treatment for RDD :
Old RDD (1000) < New RDD (4500)
→ Debit the difference (3,500) on Profit & Loss a/c.
→ Deduct New RDD (4,500) from Debtors in Balance Sheet.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 17.
From the following Trial Balance and additional information of Lalitha, prepare Trading and Profit and Loss Account for the year ended 31st Dec. 2018 and Balance Sheet as on that date.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 51

Adjustments :
1) Closing Stock : ₹ 28,800.
2) Depreciate 10% on Machinery and 20% on Patents.
3) Outstanding Salaries : ₹ 3,600.
4) Unexpired Insurance : ₹ 230.
5) Create 5% Provision for Bad Debts on Debtors.
6) Create 3% Resere for Discount on Creditors.
Solution:
Trading and Profit & Loss a/c of Lalitha as on 31.12.2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 52

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 53

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 18.
From the following Trial Balance of Mallikaijuna Trader’s prepare the Trading, Profit and Loss Account and Balance Sheet for the year ended 31-12-2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 54

Adjustments :
1) Closing Stock : ₹ 32,500.
2) Outstanding Salaries : ₹ 5,300.
3) Depreciate Plant and Machinery by 5%.
4) Prepaid Insurance ₹ 1,800.
5) 5% Provision is to be made for Bad and Doubtful Debts.
6) Goods worth of ₹ 3,000 used by Owner for his personal use.
Solution:
Trading and Profit & Loss a/c of Mallikaijuna Trader’s as on 31.12.2018

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 55

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 56

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 19.
From the following Trial Balance, prepare final accounts of Sri Raja Rajeshwara Traders as on 31-3-2019.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 57

Adjustments :
1) Closing Stock : ₹ 7,500.
2) Outstanding Wages : ₹ 400.
3) Accrued Interest: ₹ 600
4) Interest on Capital: 6%.
5) Write off ₹ 1,000 as Bad Debts and create 6% Provision for Bad & Doubtful Debts
6) Depreciation on Furniture : 10%.
Solution:
Trading and Profit & Loss a/c of Sri Raja Rajeswara Trader’s as on 31.3.2019

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 58

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 59

Working Note :
Calculation of New provision for Bad & Doubtful Debts (PB&DD)
New PB & DD = (Debtors – Bad debts) × (Rate of PB&DD / 100)
= (10,000 – 1,000) \(\frac{6}{100}\)
= 9000 × \(\frac{4}{4}\) = 540.

Accounting Treatment:
Old PB & DD (300) < New PB & DD (540)
→ Debit the difference (540 – 300 = 240) in profit & loss a/c.
→ Deduct New PB & DD (540) from Debtors in Balance Sheet.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 20.
From the Trial Balance of M/s Sathyam Trader’s, prepare Trading and Profit & Loss Account and Balance Sheet for the year ended 31-3-2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 60

Adjustments :
1) Closing Stock : ₹ 34,500.
2) Outstanding Salaries : ₹ 5,500.
3) Depreciation on Machinery : 5%.
4) Prepaid Insurance : ₹ 1,500.
5) Provide for Bad Debts : 5%.
Solution:
Trading and Profit & Loss a/c of M/s Sathyam Trader’s as on 31.3.2018

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 61

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 6

Working Note :
1. Calculation of Depreciation on Machinery = 80,000 × \(\frac{5}{100}\) = 4,000.
2. Calculation of Bad Debts = 50,000 × \(\frac{5}{100}\) = 2,500.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Textual Examples:

Question 1.
From the following trial balance of Mahindra Traders, prepare final accounts for the year ended 31.12.2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 63

Adjustments :
(1) Value of Closing Stock ₹ 2,500
(2) Prepaid Insurance ₹ 250
(3) Outstanding Salaries ₹ 300
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 64

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 65

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 2.
Prepare Final Accounts of Telangana Traders for the year ended 31.12.2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 66

Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 67

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 68

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 3.
From the following trial balance, prepare Mahesh Trader’s final accounts for the year ended 31.03.2018 :

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 69

Adjustments :
1) Values of Closing Stock : ₹ 5,400
2) Prepaid Wages : ₹ 300
3) Outstanding Rent: ₹ 400
4) Depreciation on Machinery : 5%, Depreciation on Furniture : 10%.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 70

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 71

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 4.
From the following Trial Balance of Warangal Trader’s, prepare final accounts for the year ended 31.12.2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 72

Adjustments :
1) Closing Stock ₹ 15,000.
2) Outstanding Wages ₹ 600; Accrued Interest ₹ 1,000.
3) Unexpired Insurance ₹ 200.
4) Depreciation on Plant & Machinery is 10%.
5) Bad Debts to written off ₹ 1,000 and provide 5% for Bad and Doubtful Debts.
6) Create 2% Provision for Discount on Debtors and on Creditors.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 73

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 74

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 5.
From the following trial balance, and adjustments, prepare final accounts of Revanth Traders as on 31.03.2019.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 75

Adjustments :
1) Closing Stock : 15,000.
2) Reserve for Bad Debts : 5%.
3) Goods worth of ₹ 1,000 withdrawn by owner for his personal use.
4) Stock destroyed by fire ₹ 6,000 and Insurance company admitted a claim to the extent of ₹ 4,500.
5) Manager’s Commission is 5% on net profit after charging such commission.
6) Goods worth of ₹ 300 distributed as free samples.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 76

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 77

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 6.
Prepare final accounts of Mahathi Trader for the year ending 31.03.2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 78

Adjustments :
1) Closing Stock : ₹ 6,000
2) Reserve for Bad and Doubtful Debts : 5%
3) Interest on Capital: 5%
4) Outstanding Wages : ₹ 300
5) Depreciation on Machinery : 5%.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 79

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 80

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 10 Preparation of Final Accounts

Question 7.
From the following trial balance, prepare final accounts of Shankari Traders for the year ending 31.12.2018.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 81

Adjustments :
1) Closing Stock : ₹ 6,500
2) Prepaid Salaries : ₹ 600
3) Accrued Interest: ₹ 200
4) Write off Bad Debts : ₹ 1,000, Provision for Bad and Doubtful Debts : 5% and Provision for Discount on Debtors : 2%.
5) Reserve for Discount of Creditors : 2%.
6) Stock of worth ₹ 3,000 destroyed in Fire and Insurance Company admitted a claim of ₹ 1,500
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 82

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 83

Question 8.
From the following trial balance of Mahishmathi Traders, prepare final accounts for the year ended 31.03.2019.
Trial Balance as on 31.03.2019

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 84

Adjustments :
1) Closing stock : ₹ 12,000
2) Interest on capital : 5%
3) Bad Debts : 1000 and Reserve for Bad Debts : 5%
4) Depreciation on Machinery : 10%
5) Manager’s Commission is 5% on net profit before charging such commission.
6) Reserve for Discount on Creditors : 3%
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 10th Lesson Preparation of Final Accounts 85

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h)

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Matrices Solutions Exercise 3(h)

Question 1.
Solve the following systems of equations.
(i) By using Cramer’s rule and Matrix inversion method, when the coefficient matrix is non-singular.
(ii) By using Gauss Jordan Method. Also deter-mine whether the system has a unique solution or infinite number of solutions or no solution and find the solutions if exist.
I) 5x – 6y + 4z = 15
7x + 4y-3z = 17
2x + y + 6z = 46
Answer:
i) Cramer’s rule
Δ = \(\left|\begin{array}{rrr}
5 & -6 & 4 \\
7 & 4 & -3 \\
2 & 1 & 6
\end{array}\right|\)
= 5(24 + 3) + 6(42 + 6) + 4(7 – 8)
= 135 + 288-4 = 419 ≠ 0
Hence Cramer’s rule is applicable.

Δ1 = \(\left|\begin{array}{rrr}
15 & -6 & 4 \\
19 & 4 & -3 \\
46 & 1 & 6
\end{array}\right|\)
= 15(24 + 3) + 6(114 + 138) + 4(19 -184)
= 405 + 1512 – 660
= 1917 – 660
= 1257

Δ2 = \(\left|\begin{array}{rrr}
5 & 15 & 4 \\
7 & 19 & -3 \\
2 & 46 & 6
\end{array}\right|\)
= = 5(114 + 138) -15(42 + 6) + 4(322 – 38)
= 1260 – 720 + 1136
= 1676

Δ3 = \(\left|\begin{array}{rrr}
5 & -6 & 15 \\
7 & 4 & 19 \\
2 & 1 & 46
\end{array}\right|\)
= 5(184 – 19) + 6 (322 – 38) + 15 (7 – 8)
= 825 + 1704 – 15
= 2529 – 15
= 2514

∴ x = \(\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{1257}{419}\) = 3
y = \(\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{1676}{419}\) = 4
z = \(\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{2514}{419}\) = 6
∴ Solution is x = 3, y = 4, and z = 6

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h)

ii) Matrix Inversion method:
Use the formula A-1 = \(\frac{{Adj} A}{{det} A}\)
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 1

iii) Gauss Jordan Method:
Augmented matrix of the system is
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 2
The given system is consistent and has a unique solution given by x = 3, y = 4, z = 6.

Question 2.
x + y + z = 1
2x + 2y + 3z = 6
x + 4y + 9z = 3
Answer:
i) Cramer’s rule :
Δ = \(\left|\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
2 & 2 & 3 \\
1 & 4 & 9
\end{array}\right|\)
= 1(18 – 12) – 1(18 – 3) + 1(8 – 2)
= 6- 15 + 6
= -3

Δ1 = \(\left|\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
6 & 2 & 3 \\
3 & 4 & 9
\end{array}\right|\)
= 1(18 – 12) – 1(54 – 9) + 1(24 – 6)
= 6 – 45 + 18
= -21

Δ2 = \(\left|\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
2 & 6 & 3 \\
1 & 3 & 9
\end{array}\right|\)
= 1(54 – 9) – 1(18 – 3) + 1(6 – 6)
= 45 – 15
= 30
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 3
∴ Solution is x = 7, y = -10, and z = 4.

ii) Matrix Inversion Method:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 4
∴ Solution is x = 7, y = -10 and z = 4

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h)

iii) Gauss Jordan Method:
Augmented matrix of the system
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 5
The given system is consistent and has a unique solution given by x = 7,y = -10,z = 4. [∵ ρ(A) = ρ(AB)]

Question 3.
x – y + 3z = 5 (March 2015-T.S)
4x + 2y – z = 0
-x + 3y + z = 5
Answer:
i) Cramer’s rule
Δ = \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 3 \\
4 & 2 & -1 \\
-1 & 3 & 1
\end{array}\right|\)
= 1(2 + 3) + 1(4-1) + 3(12 + 2)
= 5 + 3 + 42
= 50 ≠ 0
Cramer’s rule is applicable.

Δ1 = \(\left|\begin{array}{rrr}
5 & -1 & 3 \\
0 & 2 & -1 \\
5 & 3 & 1
\end{array}\right|\)
= 5(2 + 3) + 1(0+ 5) + 3(0 -10)
= 25 + 5 – 30
= 0

Δ2 = \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & 5 & 3 \\
4 & 0 & -1 \\
-1 & 5 & 1
\end{array}\right|\)
= 1(0+ 5)-5(4-1)+ 3(20)
= 5 – 15 + 60 = 0

Δ3 = \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & -1 & 5 \\
4 & 2 & 0 \\
-1 & 3 & 5
\end{array}\right|\)
= 1(10 – 0) + 1(20 – 0)+ 5(12 + 2)
= 10 + 20 + 70
= 100

∴ x = \(\frac{\Delta_1}{\Delta}\) = 0
y = \(\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{50}{50}\) = 1
z = \(\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{100}{50}\) = 2
∴ x = 0, y = 1 and z = 2.

ii) Matrix Inversion Method:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 6

iii) Gauss Jordan Method:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 7
The given system of equations is consistent since ρ(A) = ρ(AB) = 3 and the system has a unique solution. x = 0, y = 1, z = 2.

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h)

Question 4.
2x + 6y + 11 = 0
6x + 20y – 6z + 3 = 0
6y – 18z + 1 = 0
Answer:
Δ = \(\left|\begin{array}{rrr}
2 & 6 & 0 \\
6 & 20 & -6 \\
0 & 6 & -18
\end{array}\right|\)
= 2(- 360 + 36) – 6(-108-0) + 0(36)
= -648 + 648 = 0
Cramer’s and matrix inversion methods are not applicable.

Gauss Jordan Process:
The augmented matrix of the given system is
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 8
Since ρ(A) = 2 and ρ(AB) = 3, the given system is not consistent and has no solution.

Question 5.
2x – y + 3z = 9
x + y + z = 6
x – y + z = 2 (May 2014, Mar. ’14, ’05, ’02)
Answer:
i) Cramer’s rule :
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 9

ii) Martix Inversion Method:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 10
det A = 2(2) + 1(0) + 3(- 2)
= 4 -6 = -2 ≠ 0
∴ A-1 exists and A-1 = \(\frac{{Adj} \mathrm{A}}{{det} \mathrm{A}}\)
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 11
∴ x = 1, y = 2, z = 3 is the solution.

iii) Gauss Jordan Method:
Augmented matrix of the system
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 12
Since ρ(A) = ρ(AB) = 3; the system is consistent and has a unique solution given by x = 1, y = 2, z = 3.

Question 6.
2x- y + 8z = 13
3x + 4y + 5z = 18
5x – 2y + 7z = 20 (March 2004, 03, ’01) (Board New Model Paper)
Answer:
i) Cramer’s rule :
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 13

ii) Matrix Inversion Method:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 14
∴ Solution is x = 3, y = 1 and z = 1

iii) Gauss Jordan Method:
Augmented matrix of the system
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 15
Since ρ(A) = ρ(AB) = 3, the system is consistent and has a unique solution given by x = 3, y = 1 and z = 1.
Then the cofactors of elements in the matrix A are

Question 7.
2x – y + 3z = 8
-x + 2y + z = 4
3x + y – 4z = 0
Answer:
i) Cramer’s rule :
Δ = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 3 \\
-1 & 2 & 1 \\
3 & 1 & -4
\end{array}\right|\)
= 2(- 8 – 1) + 1(4 – 3) + 3(- 1-6)
= -18 + 1 – 21 = -38 ≠ 0
Cramer’s rule is applicable.

Δ1 = \(\left|\begin{array}{ccc}
8 & -1 & 3 \\
4 & 2 & 1 \\
0 & 1 & -4
\end{array}\right|\)
= 8(- 8 – 1) + 1(- 16 – 0) + 3(4 – 0)
= -72 – 16 + 12
= -76

Δ2 = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 & 8 & 3 \\
-1 & 4 & 1 \\
3 & 0 & -4
\end{array}\right|\)
= 2(- 16 – 0) – 8(4 – 3) + 3(0 – 12)
= – 32 – 8 – 36 = – 76

Δ3 = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 8 \\
-1 & 2 & 4 \\
3 & 1 & 0
\end{array}\right|\)
= 2(0 – 4) + 1(0 – 12) + 8(-1 – 6)
= -8 – 12 – 56
= -76
∴ x = \(\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{-76}{-38}\) = 2
y = \(\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{-76}{-38}\) = 2
z = \(\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{-76}{-38}\) = 2
∴ Solution is x = 2, y =2, z = 2.

Matrix Inversion Method:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 16
∴ Solution is x = 2, y = 2 and z = 2

iii) Gauss Jordan Method:
The augmented matrix of the system is
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 17
∴ ρ(A) = ρ(AB) = 3 ; the system is consistent and has a unique solution, x = 2, y = 2 and z = 2.

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h)

Question 8.
x + y + z = 9
2x + 5y + 7z = 52
2x + y-z = 0 (May 2011)
Answer:
i) Cramer’s rule :
Δ = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
2 & 5 & 7 \\
2 & 1 & -1
\end{array}\right|\)
= 1(-5 – 7) – 1(-2 – 14) + 1(2 – 10)
= – 12 + 16-8 = -4 ≠ 0
∴ The Cramer’s method is applicable.

Δ1 = \(\left|\begin{array}{ccc}
9 & 1 & 1 \\
52 & 5 & 7 \\
0 & 1 & -1
\end{array}\right|\)
= 9(-5 – 7) -1(-52) + 1(52)
= -108 + 52 + 52 =-4

Δ2 = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 9 & 1 \\
2 & 52 & 7 \\
2 & 0 & -1
\end{array}\right|\)
= 1(- 52 – 0) – 9(- 2 – 14) + 1(0 – 104)
= -52 + 144 – 104
= -12

Δ3 = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 9 \\
2 & 5 & 52 \\
2 & 1 & 0
\end{array}\right|\)
= 1(0 – 52) -1(0 – 104) + 9(2 – 10)
= -52 + 104 – 72
= -20
∴ x = \(\frac{\Delta_1}{\Delta}=\frac{-4}{-4}\) = 1
y = \(\frac{\Delta_2}{\Delta}=\frac{-12}{-4}\) = 3
z = \(\frac{\Delta_3}{\Delta}=\frac{-20}{-4}\) = 5
x = 1, y = 3, z = 5 is a solution.

ii) Matrix Inversion Method:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 18
∴ x = 1, y = 3, z = 5 is the solution.

iii) Gauss Jordan Method:
Augmented matrix
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(h) 19
ρ(A) = ρ(AB) = 3 and the system is consistent.
The system has a unique solution given by
x = 1, y = 3 and z = 5.

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(g)

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(g) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Matrices Solutions Exercise 3(g)

I.
Examine whether the following systems of equations are consistent or inconsistent and if consistent find the complete solutions,
Question 1.
x + y + z = 4
2x + 5y – 2z = 3
x + 7y – 7z = 5
Answer:
Augmented matrix of the above system is
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(g) 1
Rank of the matrix ρ(A) = 2 and ρ(AB) = 3.
Since ρ(A) ≠ ρ(AB), the given system of equa¬tions are inconsistent.

Question 2.
x + y + z = 6
x – y + z = 2
2x – y + 3z = 9
Answer:
Augmented matrix [AB] = \(\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 1 & 1 & 6 \\
1 & -1 & 1 & 2 \\
2 & -1 & 3 & 9
\end{array}\right]\)
Apply operations R2 – R1, R3 – 2R1, we get
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(g) 2
Here ρ(A) = 3 and ρ(AB) = 3
Since ρ(A) = ρ(AB), the given system is consistent and has a unique solution.
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(g) 3

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(g)

Question 3.
x + y + z = 1
2x + y + z = 2
x + 2y + 2z = 1 (March 2015-T.S)
Answer:
Augmented matrix of the system is
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(g) 4
ρ(AB) = 2 and ρ(A) = 2 and ρ(A) = ρ(AB) < 3
The given system of equations is consis¬tent and has infinitely many solutions.
The given system is equivalent to x + y + z = 1 and y + z = 0.
Solution set is
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(g) 5

Question 4.
x + y + z = 9
2x + 5y + 7z = 52
2x + y – z = 0
Answer:
Augmented matrix of the system
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(g) 6
Here ρ(A) = ρ(AB) = 3; and the system of given equations is consistent; and has a unique solution.
Also x = 1, y = 3, z = 5 form the solution.

Question 5.
x + y + z = 6
x + 2y + 3z = 10
x + 2y + 4z = 1
Answer:
Augmented matrix of the system is
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(g) 7

Question 6.
x – 3y – 8z = – 10
3x + y – 4z = 0
2x + 5y + 6z = 13
Answer:
The augmented matrix of the above system is
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(g) 8
Since ρ(A) = 2 = ρ(AB) < 3, given system of equations is consistent with infinitely many solutions.
The given system is equivalent to
x – 3y – 8z = – 10,
y + 2z = 3
Put z = t then y = 3 – 2t
∴ x = – 10 + 3(3 – 2t) + 8t
= -10 + 9 – 6t + 8t
= 2t – 1
Hence the solutions are given by
x = 2t – 1, y = 3 – 2t and z = t
Where t is any scalar.

Question 7.
2x + 3y + z = 9
x + 2y + 3z = 6
3x + y + 2z = 8
Answer:
Augmented matrix of the above system is
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(g) 9
ρ(A) = ρ(AB) = 3; system is consistent and has a unique solution given by
x = \(\frac{35}{18}\), y = \(\frac{29}{18}\), z = \(\frac{5}{18}\)

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(g)

Question 8.
x + y + 4z = 6
3x + 2y – 2z = 9
5x + y + 2z = 13
Answer:
Augmented matrix of the system
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(g) 10
ρ(A) = ρ(AB) = 3;
Hence the system is consistent and has a unique solution given by
x = 2, y = 2, z = \(\frac{1}{2}\).

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d)

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Matrices Solutions Exercise 3(d)

I.
Question 1.
Find the determinants of the following matrices.
(i) \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & -5
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & -5
\end{array}\right]\) then determinant A
= det A = |A| = 2(-5) – 1(1)
= -10 – 1
= -11

(ii) \(\left[\begin{array}{cc}
4 & 5 \\
-6 & 2
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{cc}
4 & 5 \\
-6 & 2
\end{array}\right]\) then
det A = 4(2) – 5(-6)
= 8 + 30 = 38

(iii) \(\left[\begin{array}{cc}
\mathrm{i} & 0 \\
0 & -\mathrm{i}
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{cc}
\mathrm{i} & 0 \\
0 & -\mathrm{i}
\end{array}\right]\) then
det A = i(-1) – 0 = -i2 = 1 (∵ i2 = -1)

(iv) \(\left[\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right]\)
Answer:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d) 1

(v) \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & 4 & 2 \\
2 & -1 & 4 \\
-3 & 7 & 6
\end{array}\right|\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 4 & 2 \\
2 & -1 & 4 \\
-3 & 7 & 6
\end{array}\right]\)
Then det A = 1\(\left|\begin{array}{rr}
-1 & 4 \\
7 & 6
\end{array}\right|\) – 4\(\left|\begin{array}{ll}
-2 & 4 \\
-3 & 6
\end{array}\right|\) + 2\(\left|\begin{array}{rr}
2 & -1 \\
-3 & 7
\end{array}\right|\)
= 1(-6 – 28) – 4(12 + 12)+ 2(14 – 3)
= 1 (- 34) – 4(24) + 2(11)
= -34 – 96 + 22
= -108

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d)

(vi) \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 4 \\
4 & -3 & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 4 \\
4 & -3 & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{array}\right]\)
Then det A = 2\(\left|\begin{array}{rr}
-3 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right|\) + 1\(\left|\begin{array}{ll}
4 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right|\) + 4\(\left|\begin{array}{rr}
4 & -3 \\
1 & 2
\end{array}\right|\)
= 2(- 3 – 2)+ 1(4 – 1) + 4(8 + 3)
= 2(-5) + 3 + 4(11)
= – 10 + 3 + 44
= 37

(vii) \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & -3 \\
4 & -1 & 7 \\
2 & 4 & -6
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 2 & -3 \\
4 & -1 & 7 \\
2 & 4 & -6
\end{array}\right]\)
Then det A = 1\(\left|\begin{array}{rr}
-1 & 7 \\
4 & -6
\end{array}\right|\) – 2\(\left|\begin{array}{rr}
4 & 7 \\
2 & -6
\end{array}\right|\) – 3\(\left|\begin{array}{rr}
4 & -1 \\
2 & 4
\end{array}\right|\)
= 1(6 – 28) – 2(- 24 – 14) – 3(16 + 2)
= -22 + 76 – 54 = 0
[Note : Since R1 and R2 are proportional, we have det A = 0.]

(viii) \(\left[\begin{array}{lll}
a & h & g \\
h & b & f \\
g & f & c
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{lll}
a & h & g \\
h & b & f \\
g & f & c
\end{array}\right]\)
Then det A = a\(\left|\begin{array}{ll}
b & f \\
f & c
\end{array}\right|\) – h\(\left|\begin{array}{ll}
\mathrm{h} & \mathrm{f} \\
\mathrm{g} & \mathrm{c}
\end{array}\right|\) – g\(\left|\begin{array}{ll}
h & b \\
g & f
\end{array}\right|\)
= a(bc – f2) – h(ch – fg) + g(fh – bg)
= abc – af2 – ch2 + fgh + fgh – bg2
= abc + 2fgh – af2 – bg2 – ch2

(ix) \(\left[\begin{array}{lll}
a & b & c \\
b & c & a \\
c & a & b
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{lll}
a & b & c \\
b & c & a \\
c & a & b
\end{array}\right]\)
Then det A = 1\(\left|\begin{array}{ll}
c & a \\
a & b
\end{array}\right|\) – b\(\left|\begin{array}{ll}
b & a \\
c & b
\end{array}\right|\) – c\(\left|\begin{array}{ll}
b & \mathrm{c} \\
\mathrm{c} & \mathrm{a}
\end{array}\right|\)
= a(bc – a2) – b(b2 – ac) + c(ab – c2)
= 3abc – a3 – b3 – c3

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d)

(x) \(\left[\begin{array}{ccc}
1^2 & 2^2 & 3^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1^2 & 2^2 & 3^2 \\
2^2 & 3^2 & 4^2 \\
3^2 & 4^2 & 5^2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 4 & 9 \\
4 & 9 & 16 \\
9 & 16 & 25
\end{array}\right]\)
Then det A = 1(225 – 256) – 4(100 – 144) + 9(64 – 81)
= -31 + 176 – 153 = -8

Question 2.
If A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 4 \\
5 & -6 & x
\end{array}\right]\) and det A = 45 then find x.
Answer:
det A = 45
⇒ \(\left|\begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
2 & 3 & 4 \\
5 & -6 & x
\end{array}\right|\) = 45
⇒ 1(3x + 24) = 45
⇒ 3x = 21
⇒ x = 7

II.
Question 1.
Show that \(\left|\begin{array}{lll}
\mathrm{b c} & \mathrm{b}+\mathrm{c} & 1 \\
\mathrm{c a} & \mathrm{c}+\mathrm{a} & 1 \\
\mathrm{a b} & \mathrm{a}+\mathrm{b} & 1
\end{array}\right|\) = (a – b)(b – c)(c – a).
Answer:
Operating R2 – R1, R3 – R1, on the given determinant
LHS = \(\left|\begin{array}{ccc}
b c & b+c & 1 \\
c(a-b) & a-b & 0 \\
b(a-c) & a-c & 0
\end{array}\right|\)
= (a – b)(a – c)\(\left|\begin{array}{ccc}
b c & b+c & 1 \\
c & 1 & 0 \\
b & 1 & 0
\end{array}\right|\)
= (a – b)(a – c)(1)(c – b)
= (a – b)(b – c)(c – a) (exponding on 3rd column)
= RHS

Question 2.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
b+c & c+a & a+b \\
a+b & b+c & c+a \\
a & b & c
\end{array}\right|\) = a2 + b2 + c2 – 3abc (Mar. 2008; May 2007)
Answer:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d) 2
= (a + b + c) [(c – b) (c – a) – (a – b) (b – a)]
= (a + b + c) [c2 – bc – ac + ab + a2 – 2ab + b2]
= (a + b + c) [a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca]
= a2 + b2 + c2 – 3abc

Question 3.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{y}+\mathrm{z} & \mathrm{x} & \mathrm{x} \\
\mathrm{y} & \mathrm{z}+\mathrm{x} & \mathrm{y} \\
\mathrm{z} & \mathrm{z} & \mathrm{x}+\mathrm{y}
\end{array}\right|\) = 4xyz.
Answer:
R1 – (R2 + R3) on the given determinant gives
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d) 3
= 2[z(xy) – y(-xz)]
= 2[2xyz] = 4xyz = RHS

Question 4.
If \(\left|\begin{array}{ccc}
a & a^2 & 1+a^3 \\
b & b^2 & 1+b^3 \\
c & c^2 & 1+c^3
\end{array}\right|\) = 0 and \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{a} & \mathrm{a}^2 & 1 \\
\mathrm{b} & \mathrm{b}^2 & 1 \\
\mathrm{c} & \mathrm{c}^2 & 1
\end{array}\right|\) ≠ 0, then show that abc = -1. (Mar. ’14)
Answer:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d) 4
⇒ abc + 1 = 0
⇒ abc = -1

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d)

Question 5.
Without expanding the determinant, prove that
(i) \(\left|\begin{array}{lll}
\mathrm{a} & \mathrm{a}^2 & \mathrm{b c} \\
\mathrm{b} & \mathrm{b}^2 & \mathrm{c a} \\
\mathrm{c} & \mathrm{c}^2 & \mathrm{a b}
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & \mathrm{a}^2 & \mathrm{a}^3 \\
1 & \mathrm{b}^2 & \mathrm{b}^3 \\
1 & \mathrm{c}^2 & \mathrm{c}^3
\end{array}\right|\)
Answer:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d) 5

(ii) \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{a x} & \mathrm{b y} & \mathrm{c z} \\
\mathrm{x}^2 & \mathrm{y}^2 & \mathrm{z}^2 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{a} & \mathrm{b} & \mathrm{c} \\
\mathrm{x} & \mathrm{y} & \mathrm{z} \\
\mathrm{y z} & \mathrm{z x} & \mathrm{x y}
\end{array}\right|\)
Answer:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d) 6

(iii) \(\left|\begin{array}{lll}
1 & b c & b+c \\
1 & c a & c+a \\
1 & a b & a+b
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}
1 & a & a^2 \\
1 & b & b^2 \\
1 & c & c^2
\end{array}\right|\) (Board Model Paper)
Answer:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d) 7
(∵ R2 – R1; R3 – R1)
= (b – a) (c2 – a2) – (c – a) (b2 – a2)
= (b – a) (c – a) (c + a) – (c – a) (b – a) (b + a)
= (b – a) (c – a) (c + a – b – a)
= (b – a) (c – a) (c – b)
= (a – b) (b – c) (c – a)
LHS = RHS

Question 6.
If Δ1 = \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{a}_1^2+\mathrm{b}_1+c_1 & \mathrm{a}_1 \mathrm{a}_2+\mathrm{b}_2+c_2 & \mathrm{a}_1 \mathrm{a}_3+\mathrm{b}_3+c_3 \\
\mathrm{b}_1 \mathrm{b}_2+c_1 & \mathrm{b}_2^2+\mathrm{c}_2 & \mathrm{b}_2 \mathrm{b}_3+\mathrm{c}_3 \\
\mathrm{c}_3 c_1 & \mathrm{c}_3 \mathrm{c}_2 & \mathrm{c}_3^2
\end{array}\right|\) and Δ2 = \(\left|\begin{array}{lll}
\mathrm{a}_1 & \mathrm{b}_1 & \mathrm{c}_1 \\
\mathrm{a}_2 & \mathrm{b}_2 & \mathrm{c}_2 \\
\mathrm{a}_3 & \mathrm{b}_3 & \mathrm{c}_3
\end{array}\right|\), then find the value of \(\frac{\Delta_1}{\Delta_2}\).
Answer:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d) 8

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d)

Question 7.
If Δ1 = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 1 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 1
\end{array}\right|\) and Δ2 = \(\left|\begin{array}{ccc}
0 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 0 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 0
\end{array}\right|\) and Δ1 = Δ2 then show that cos2α + cos2β + cos2γ = 1.
Answer:
Given \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 1 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 1
\end{array}\right|\)
= (1 – cos2γ) – cos α (cos α – cos β cos γ) + cos β (cos α cos γ – cos β)
= 1 – cos2γ – cos2α + cos β cos α cos γ + cos α cos β cos γ – cos2β
= 1 – (cos2α + cos2β + cos2γ) + 2 cos α cos β cos γ

Δ2 = \(\left|\begin{array}{ccc}
0 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 0 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 0
\end{array}\right|\)
= – cos α (0 – cos γ cos β) + cos β (cos α cos γ)
= cos α cos β cos γ + cos α cos β cos γ
= 2cos α cos β cos γ
Also given Δ1 = Δ2
⇒ 1 – (cos2α + cos2β + cos2γ) + 2 cos α cos β cos γ
= 2 cos α cos β cos γ
⇒ 1 – (cos2α + cos2β + cos2γ) = 0
∴ cos2α + cos2β + cos2γ = 1

III.
Question 1.
Show that
\(\left|\begin{array}{ccc}
a+b+2 c & a & b \\
c & b+c+2 a & b \\
c & a & c+a+2 b
\end{array}\right|\) = 2(a + b + c)3
Answer:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d) 9

Question 2.
Show that \(\left|\begin{array}{lll}
a & b & c \\
b & c & a \\
c & a & b
\end{array}\right|^2\) = \(\left|\begin{array}{ccc}
2 b c-a^2 & c^2 & b^2 \\
c^2 & 2 a c-b^2 & a^2 \\
b^2 & a^2 & 2 a b-c^2
\end{array}\right|\) = (a3 + b3 + c3 – 3abc)2. (May 2014, Mar. 01′)
Answer:
Let Δ = \(\left|\begin{array}{lll}
a & b & c \\
b & c & a \\
c & a & b
\end{array}\right|\) = a(bc – a2) – b(b2 – ac) + c(ab – c2)
= abc – a3 – b3 + abc + abc – c3
= – (a3 + b3 + c3 – 3abc)
⇒ Δ2 = (a3 + b3 + c3 – 3abc)2 …………..(1)
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d) 10
From (1) and (2) the result is proved.

Question 3.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
a^2+2 a & 2 a+1 & 1 \\
2 a+1 & a+2 & 1 \\
3 & 3 & 1
\end{array}\right|\) = (a – 1)3. (March 2007)
Answer:
Apply operations R1 – R2 and R2 – R3 we get
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d) 11

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d)

Question 4.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{a} & \mathrm{b} & \mathrm{c} \\
\mathrm{a}^2 & \mathrm{b}^2 & \mathrm{c}^2 \\
\mathrm{a}^3 & \mathrm{b}^3 & \mathrm{c}^3
\end{array}\right|\) = abc(a – b)(b – c)(c – a)
Answer:
LHS = abc\(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
a^2 & b^2 & c^2
\end{array}\right|\)
= abc\(\left|\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
a-b & b-c & c \\
a^2-b^2 & b^2-c^2 & c^2
\end{array}\right|\) (Use operations C1 – C2, C2 – C3)
= abc [(a – b) (b2 – c2) – (b – c) (a2 – b2)]
= abc [(a – b) (b – c) (b + c) – (b – c) (a – b) (a + b)]
= abc (a – b) (b – c) [b + c – a – b]
= abc (a – b) (b – c) (c – a)

Question 5.
Show that \(\left|\begin{array}{ccc}
-2 a & a+b & c+a \\
a+b & -2 b & b+c \\
c+a & c+b & -2 c
\end{array}\right|\) = 4(a + b)(b + c)(c + a)
Answer:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d) 12
= 0 (∵ R1 & R3 are similar)
∴ (a + b) is a factor of Δ.
Similarly putting b + c = 0 and c + a = 0 we shall find that b + c and c + a are also factors of Δ.
∵ Δ is a 3rd degree expression in a, b, c.

Let Δ = k (a + b) (b + c) (c + a)
Where k ≠ 0 is a scalar.
Put a = 1, b = 1, c = 1 then
= k(1 + 1) (1 + 1) (1 + 1)
= 8k -2(4 – 4) – 2(-4 – 4) + 2(4 + 4)
= 8k
⇒ -16 + 16 = 8k ⇒ k = 4
Δ = 4(a + b) (b + c) (c + a)
Here \(\left|\begin{array}{ccc}
-2 a & a+b & c+a \\
a+b & -2 b & b+c \\
c+a & c+b & -2 c
\end{array}\right|\) = 4(a + b)(b + c)(c + a)

Question 6.
Show that \(\left|\begin{array}{lll}
\mathrm{a}-\mathrm{b} & \mathrm{b}-\mathrm{c} & \mathrm{c}-\mathrm{a} \\
\mathrm{b}-\mathrm{c} & \mathrm{c}-\mathrm{a} & \mathrm{a}-\mathrm{b} \\
\mathrm{c}-\mathrm{a} & \mathrm{a}-\mathrm{b} & \mathrm{b}-\mathrm{c}
\end{array}\right|\) = 0
Answer:
R1 + (R2 + R3) given
\(\left|\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
b-c & c-a & a-b \\
c-a & a-b & b-c
\end{array}\right|\)
= 0 (∵ If one row or column elements of a square matrix are zeroes then the value of the determinant of that matrix is equal to zero)
= RHS.

Question 7.
Show that \(\left|\begin{array}{lll}
1 & a & a^2-b c \\
1 & b & b^2-c a \\
1 & c & c^2-a b
\end{array}\right|\) = 0
Answer:
Make operations R2 – R1, R3 – R1 then the given determinant.
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d) 13

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d)

Question 8.
Show that \(\left|\begin{array}{lll}
x & a & a \\
a & x & a \\
a & a & x
\end{array}\right|\) = (x + 2a)(x – a)2.
Answer:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(d) 14

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors

Essay Questions:

Question 1.
What are the various types of errors ? Explain with suitable examples.
Answer:
In accountancy errors are not rectified by striking off the wrong figures and replacing it by correct one. It is better to pass an appropriate entry for rectification of mistake to neutralise the effect of error and to bring correct position.

Errors are classified into two types.

  1. Error of principle
  2. Clerical errors.

1. Error of principle :
Error of principle occurs where errors are made to defective knowledge of accounting principles. These errors may arise, when distinction is not made between capital and revenue nature items. Ex : Salaries paid to staff debited to their personal accounts purchase of furniture debited to purchases A/c. These errors are not disclosed by the trial balance because one error is compensated by the other.

2. Clerical errors :
When mistake is committed while recording them either in the books of original entry or posting them in the ledger. These errors are of three types. They are :
a) Errors of omission
b) Errors of commission
c) Compensating errors

a) Errors of omission :
These errors in the books due to omission of some transactions in any subsidiary books or posting them into ledger. Complete omission of a transactions does not effect trial balance. Ex: Credit purchases made not recorded in the purchases book. Paid cash to Suresh not entered in the cash book.

b) Errors of commission :
These are clerical errors. These errors arises because of mistakes in calculations, totalling, carry forward or balancing. There may be wrong postings or posting twice into the ledger and wrong entries in the original books. Such errors may or may not effect the trial balance. Ex : Instead of posting purchases with ^ 1,000 posted ₹ 100 in the Account.

c) Compensating errors :
These errors arise as one error is compensated by the other error. The effect of one error is cancelled with the effect of other error or errors.
Ex: Excess debit compensated with excess credit. This type of errors are not disclosed by the trial balance.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 2.
What are the errors disclosed by Trial Balance and not disclosed by Trial Balance ?
Answer:
Errors may be classified as

  1. Errors not disclosed by Trial Balance
  2. Errors disclosed by Trial Balance

1. Errors not disclosed by Trial Balance :
This type of errors cannot be traced out in the preparation of trial balance, because these errors cannot affect the agreement of the trial balance.

  1. Errors of principle, Ex : Repairs to machinery debited to machinery a/c.
  2. Errors of omission, Ex : Sales made are not recorded in the sales book.
  3. Errors of commission, Ex : Purchase Book overcast by ₹ 1000.
  4. Compensating errors, Ex: Amount paid to Ram ₹ 5,000 recorded as ₹ 5,500 and amount received from Shyam ₹ 10,000 recorded as ₹ 9,500.
  5. Posting wrong entry in the subsidiary books.
  6. Posting to correct side in a wrong account.
  7. Recording a transaction in books of account in twice.

2. Errors disclosed by Trial Balance :
The errors which are revealed by trial balance are known as Errors disclosed by trial balance.

  1. Posting a transaction to wrong side of an account. Ex : Discount allowed posted to credit side discount account.
  2. Posting a wrong amount in account. Ex : Sales ₹ 25,000 posted to sales a/c as ₹ 2,500.
  3. Errors in totally Ex : Sales return book is overcast by ₹ 100.
  4. Errors made in carrying forward. Ex : Purchases book total is carried forward ₹ 1,500 instead of ₹ 150.
  5. Omission to post an amount from the subsidiary book to ledger. Ex : Sold goods to Hari ₹ 1,000 not entered in Hari’s account.
  6. Recording one aspect twice. Ex : Paid salaries ? 1,000 debited to salaries account twice.
  7. Omission to enter a balance or wrong balancing in ledger account.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 3.
What do you mean by Suspense Account ? Explain it briefly.
Answer:
When the trial balance does not agree, an effort is made to locate the errors and rectify them. But if the errors cannot be located easily and quickly and at the same time, if the final accounts are to be prepared urgently, the difference in the trial balance is made good by writing it to smaller side of the trial balance under the name suspense account’ such temporary suspense account is closed later when once errors are located and rectified.

The suspense account is an imaginary account opened temporarily for the purpose of just tallying trial balance. Ex: if the ‘debit side of the trial balance exceeds credit side, then the difference put on the credit side and the suspense account shows credit balance. If the credit side of the trial balance exceeds debit side, then the difference is put on the debit side and suspense account shows debit balance.

The difference in trial balance are due to one side errors and not due to other errors. The errors which involve both the accounts permits the trial balance to agree and therefore they do not give rise to sus: pense account. The balance of suspense account is shown on the balance sheet either on liabilities or assets side, depending upon whether the suspense account has a credit or debit balance.

Question 4.
Distinguish between partial omission and complete omission with suitable illustra¬tions.
Answer:

Basic differenceError of Complete OmissionError of Partial Omission
1. MeaningThis error arises when a transaction        is totally omitted in the books of accounts.This error arises when onlyone aspect of the transaction either debit or credit is recorded.
2. ExampleFurniture purchased from Saketh & Co. Completely not recorded.A credit sale of goods to Sunder is recorded in sales book but not posted in Sunder’s account.
3. Effect on Trial BalanceThis error does not affect the trial balance.This error affects the trial balance.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Short Answer Questions:

Question 1.
What is of Errors of Omission.
Answer:
These errors arise in the books due to omission of some transactions in any subsidiary book or posting into ledger account.
Ex :

  1. When no entry is made for a transaction in any subsidiary book or in journal.
  2. Omission of posting some entry in ledger.

Question 2.
Explain the errors of commission with two examples.
Answer:
These are clerical errors. These errors arise due to mistakes in calculations, totalling, carry forward or balancing.
Ex :

  1. Instead of posting purchases worth ₹ 1,000 posted ₹ 100 in the account.
  2. Instead of debiting Prasad account wrongly debited to Pratap account.

Question 3.
Explain the errors of principle with two examples.
Answer: Errors of principle occurs when errors are made due to defective knowledge of account¬ing principles. These errors arise when correct distinction between capital items is not made.
Ex :

  1. Purchase of furniture debited to purchases account.
  2. Paid salary to manager is debited to manager account.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 4.
What do you mean by compensating error.
Answer:
These errors arises as one error is compensated by the other error. The effect of one error is cancelled with the effect of other errors.
Ex : Amount paid to Ram ₹ 5,000 recorded as ₹ 4,500 ana amount received from syam ₹ 10,000 recorded as ₹ 9,500.

Question 5.
Define suspense account.
Answer:

  1. If the trial balance not agree, then difference between the debit and credit totals should be transferred to an account called suspense account.
  2. Suspense account is an imaginary account, opened and used as a temporary measure to make the two sides of the trial balance agree.
  3. As and when the errors which causes the disagreement in trial balance is detected, rectification entries should be passed through suspense account.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Problems:

Question 1.
Rectify the following errors.
a) A sale of goods to Adithya for ₹ 2,500 was passed through the purchases book.
b) Salary of ₹ 800 paid to Sandeep was wrongly debited to his personal account.
c) Furniture purchased on credit from Sekhar for ₹ 1,000 was entered in the purchases book.
d) ₹ 5,000 spent on the extension of buildings was debited to buildings repairs account.
e) Goods returned by Shailesh ₹ 1,200 were entered in the return outwards book.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 1

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 2.
Rectify the following errors :
a) Furniture purchased for ₹ 10,000 wrongly debited to purchase account.
b) Machinery purchased on credit from Ramana for ₹ 10,000 was recorded through purchases book.
c) Repairs on machinery ₹ 1,400 debited to machinery account.
d) Repairs on overhauling of second hand machinery purchased ₹ 2,000 was debited to repairs account.
e) Sale of old machinery at book value of ₹ 3,000 was credited to sales account.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 2

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 3.
Pass journal entries to rectify the following errors :
a) Machinery purchased for ₹ 5,000 has been debited to purchases account.
b) ₹ 700 paid to Ruchira as legal charges were debited to his personal account.
c) ₹ 10,000 paid to Escorts Company for machinery purchased stand debited to Escorts company account.
d) Typewriter purchased for ₹ 6,000 was wrongly passed through purchase book.
e) ₹ 20,000 paid for the purchase of Motor-Cycle for proprietor has been charged to ‘General Expenses’ account.
f) ₹ 15,000 paid for the purchase of ‘Gas engine’ were debited to ‘Purchases’ account.
g) Cash paid to Saritha ₹ 400 was debited to the account of Amani.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 3

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 4.
Give rectification entries for the following errors :
a) Wages payable to furniture maker ₹ 670 debited to Wages account.
b) A credit sale of ₹ 150 to Srinivas debited to Shiva Ram.
c) Payment of salary to Varshini not passed through book at all ₹ 1,000.
d) A credit purchase of ₹ 140 to Harshini, recorded in the books as ₹ 410.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 4

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 5.
Pass journal entries-to rectify the following errors :
a) The purchases book of the trader is overadded by ₹ 200 (Overcast by)
b) Old furniture sold for ₹ 100 was wrongly credited to sales account.
c) ₹ 100 paid on account of interest was debited to commission a/c.
d) An amount of ₹ 125 received from Soni was wrongly credited to his account as ₹ 152.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 5

Question 6.
Rectify the following errors :
a) Purchases of furniture costing ₹ 1,200 have been recorded in purchases book.
b) Repairs to machinery ₹ 200 were debited to machinery account.
c) A credit sale of ₹ 200 to Ramesh through properly entered in the sales book has been credited to his account.
d) The total of purchases book, was overcast by ₹ 200.
e) Salary ₹ 2,000 paid to manager debited to his personal account.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 6

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 7.
Rectify the following errors :
a) Sale of old machinery ₹ 500 has been entered in the sales book.
b) Rakesh pays ₹ 300. This amount has been credited to Rajesh.
c) A sale of ₹ 250 to Shah & Co., has been debited to them as ? 520.
d) Returns to Ramanuji ₹ 350 have not been posted to his account.
e) Salary of ₹ 1,500 paid to Ramana has been debited to his account.
f) A purchase of ₹ 700 from Gupta & Co. has been entered in the sales book.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 7

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 8.
Rectify the following errors :
a) An amount of ₹ 100 paid for the repairs of furniture was debited to furniture account.
b) Sales book total was overcast by ₹ 500.
c) Expenses ₹ 1,500 were posted in the ledger as ₹ 150.
d) A sale of ₹ 200 to Mr. S was wrongly debited to the account of Mr. V.
e) Old furniture sold has been credited to sales account ₹ 500.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 8

Question 9.
Write the entries for the rectification of the following errors :
a) Sales book was overcast by ₹ 300.
b) Sales of ₹ 100 to Madhavi was wrongly debited to account of Sharath.
c) General expenses of ₹ 200 were posted in the general ledger as ₹ 300.
d) ₹ 300 received from Shankar was debited to Sandhya.
e) Legal expenses ₹ 200 paid to Saritha was debited to her personal account.
f) An amount of ₹ 200 paid of Ramesh is not posted to his account.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 9

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 10.
Pass journal entries to rectification of the following errors :
a) The total of purchases book was under cast by ₹ 200.
b) A credit purchase from Vaishnavi for ₹ 1,000 has been wrongly passed through the sales book.
c) Wages paid ₹ 200 was wrongly debited to salaries account.
d) ₹ 100 received on account interest stands wrongly credited to commission account.
e) Salary of ₹ 500 paid to manager Mr. Krishna is debited to his personal account.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 10

Question 11.
Rectify the following errors before preparation of trial balance :
a) Purchase book was undercast by ₹ 2,000.
b) Rent paid ₹ 350 was debited to that account as ₹ 530.
c) Discount received from Rama & Co. ₹ 250 was not posted to their account.
d) Interest paid ₹ 89 was wrongly credited to that account as ₹ 98.
e) Sales book was overcast by ₹ 1,700.
f) Purchase returns book undercast by ₹ 275.
Solution:
Rectification entries :
a) Purchase a/c is debited with ₹ 2,000.
b) Rent account is credited with ₹ 180.
c) Rama & Co. a/c Dr 250.
To Discount a/c 250 (Being error of omission is retified)
Note :
In transaction ‘c’, it not posted to their account, i.e. it’s a complete omission so we write the omission entry)
d) Interest a/c is debited with ₹ 187(89 + 98).
e) Sales a/c is debited with ₹ 1,700.
f) Purchase returns a/c is credited with ₹ 275.

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 12.
Rectify the following errors discovered before preparation of the trial balance.
a) The sales book has been total ₹ 1,000 short.
b) Sale of old furniture ₹ 4,000 was credited to sales account.
c) ₹ 250 paid towards interest was debited to commission account.
d) ₹ 125 paid by Sandeep but was entered in his account ₹ 152.
e) The purchase account was overcast by ₹ 750.
f) ₹ 4,500 salary paid to Mr. Shekar heard clerk stands debited to his personal account.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 11

Question 13.
Rectify the following errors discovered before preparation of the trial balance :
a) Furniture purchased ₹ 3,500 has been entered in the purchases book.
b) The returns inward book was overcast by ₹ 250.
c) ₹ 800 paid for repairs to machinery was debited to machinery account.
d) A sale of ₹ 750 made to Sriman Narayana was entered in sales book but was credited to his account
e) A purchase of ₹ 760 made from Radhika was credited to his account ₹ 670.
Solution:

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 12

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 14.
Rectify the following errors before preparation of trial balance.
a) ₹ 250 paid for proprietors medical bill was debited to sundry expenses account.
b) Sale of goods to Sandhya & Co. for ₹ 2,900 was entered through the purchase book.
c) Sale of old machinery ₹ 5,000 was posted to the credit of sales account.
d) The total of purchases book was overcast by ₹ 2,000.
e) Salary of ₹ 4,500 paid to Kittu has been debited to his account.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 13

Question 15.
Pass necessary entries to rectify the following errors. After the preparation of trial balance.
a) ₹ 1,500 received from Gopal has been wrongly credited to Chandu’s account.
b) The purchase book was undercast by ₹ 1,000.
c) Repairs to machinery ₹ 800 were debited to machinery account.
d) Discount allowed to Chiru ₹ 200 correctly entered in cash book, has not been posted to his account.
e) Bills payable from Mr.Gopichand ₹ 1,000 was entered in the bills payables book.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 14

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Textual Examples:

Question 1.
Rectify the following errors.
a) Salary paid to Pavan ₹ 1,200 has been debited to his account.
b) Paid rent to owner of the house Mr. Murali ₹ 5,000, has been debited to his account.
c) ₹ 2,000 paid for the repairs of building was debited to building a/c.
d) ₹ 850 used by proprietor for his personal use has been debited to Trade Expenses a/c.
e) Goods amounting to ₹ 235 returned by Ramesh were taken into stock, but no entry was made in the books.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 15

Question 2.
Rectify the following through passing Journal Entries :
a) Office Furniture bought for ₹ 7,200 wrongly debited to Office Expenses a/c.
b) A credit sale ₹ 1,500 to Pradeep has been passed through purchases book.
c) Received cheque for amount ₹ 1,600 from Venkat is dishonoured and wrongly entered in Sales Return Book.
d) Goods sold to Sudha ₹ 4,000. not recorded in the Books.
e) ₹ 2,000 received from Sudheer has been wrongly credited to Sandeep’s a/c.
Solution:
Rectification Entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 16

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 3.
The following errors were found in the books of Laxminarayana & Sons. Give the necessary entries to correct them.
a) ₹ 500 paid for furniture purchased has been charged to ordinary purchases a/c.
b) Repairs made to building were debited to Building a/c for ₹ 50.
c) ₹ 1000 paid for rent debited to Landlord’s a/c.
d) ₹ 100 received from Shah & Co., has been wrongly entered as from Shan & Co.,
e) An amount of ₹ 1150 withdrawn by the proprietor for his personal use had been debited to travelling expenses a/c.
f) ₹ 1,500 paid for the purchase of a typewriter was charged to office expenses a/c.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 17

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 4.
Pass journal entries to rectify the following errors discovered while preparing the trial balance.
a) Commission of ₹ 200 received was wrongly credited to interest account.
b) Return outwards book was undercast by ₹ 500.
c) Furniture worth ₹ 600 purchased was debited to Purchases a/c.
d) An amount of ₹ 300 received from Sri Bhima Raju was wrongly credited to the account of Sri Rama Raju.
Solution:
Rectification Entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 18

Question 5.
The following errors, affecting the accounts were detected in the books of Varun Bros., Warangal.
a) Sale of Old Furniture ₹ 1,500 treated as sale of goods.
b) Receipt of ₹ 500 from Ram credited to Shyam.
c) Goods worth ₹ 1,000 bought of Mohan have remained unrecorded.
d) A return of goods ₹ 120 from Mukesh posted to debit of his account.
e) Rent of proprietor’s residence ₹ 600 debited to Rent a/c.
f) A payment of ₹ 215 to Rafi posted to his credit as ₹ 125.
g) Sales book added ₹ 400 short.
h) The total of bills receivable book ₹ 1,500 left un posted.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 19

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 6.
Rectify the following errors with the help of Suspense Account.
a) Credit sales to Mohan ₹ 7,000 were posted to Srinu as ₹ 5,000.
b) Credit purchases from Sarath ₹ 9,000 were posted to the debit of Kiran as ₹ 10,000.
c) Goods returned to Sailaja ₹ 4,000 were posted to the credit of Pavani as ₹ 3,000.
d) Goods returned by Ratnaji ₹ 1,000 were posted to debit of Sandhya’s account as ₹ 2,000.
e) Cash sales of ₹ 2,000 were posted to commission account as ₹ 200.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 22

Question 7.
Rectify the following errors.
a) Received cash from Lalitha ₹ 200 has been posted to her account as ₹ 180.
b) Goods sold to Ashok ₹ 75 were omitted to be entered in his account.
c) Credit side of Hari’s account was overcast by ₹ 200.
d) Goods returned from Ramesh ₹ 650 were not posted to his account.
e) Sales book under cast by ₹ 500.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 20

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 8.
Rectify the following errors with the help of Suspense a/c.
a) Purchases book overcast by ₹ 650.
b) Purchases returns book under cast ₹ 250.
c) Received ? 222 from Amala has been entered in her account ₹ 2,222.
d) Sold goods to Rajesh ₹ 296 in his account posted as ₹ 269.
e) Received ₹ 350 from Sharath was posted on the Debit side of his account.
Solution:
Rectification retries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 21

Question 9.
The books of Mahendra traders did not agree. They found the difference of ₹ 1,130 in the trial balance. The difference was placed on the credit side of suspense a/c. Later, the following errors were discovered, you are required to rectify them and show the Suspense a/c.
a) Purchased goods from Vinay ₹ 800 recorded correctly in purchases book but wrongly debited to his account.
b) Sales book was overcast by ₹ 600.
c) ₹ 115 paid for general expenses but entered in account as ₹ 150.
d) Cash discount allowed to Amar ₹ 225 entered in cash book but not posted to her personal account.
Solution:
Rectification Entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 23

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 10.
The Trial balance of a firm is out by ₹ 750 (excess debit) and the amount was put to the credit side of Suspense a/c, following errors are detected. You are asked to rectify them and prepare the Suspense a/c.
a) An amount of ₹ 250 received from Rajesh was wrongly debited to his personal account.
b) Sold goods to Mahesh ₹ 540 but is entered in Sales book as ₹ 450.
c) Discount received ₹ 150 entered in cash book but not entered in discount account.
d) Purchases returns amount ₹ 50 has been debited to purchases account.
e) Repairs to machinery ₹ 370 but wrongly debited to repairs account as ₹ 170,
f) Sales book under cast by ₹ 200.
Solution:
Rectification Entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 24

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 11.
Rectify the following errors.
a) Received cash from Anand ₹ 188 has been posted to his a/c as ₹ 180.
b) Goods sold to Vardhan ₹ 75 were omitted to be entered in his account.
c) Credit side of Dikshith account was overcast by ₹ 20.
d) Goods returned by Radhika ₹ 35 was not posted to her account.
Solution:
Rectification entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 25

Question 12.
Rectify the following errors with the help of Suspense a/c.
a) Purchases book overcast by ₹ 400.
b) Purchases returns book undercast ₹ 260.
c) ? 660 received from Sunder has been entered in his account ₹ 1,160.
d) Goods sold to Param for ₹ 550 was posted to his account as ₹ 450.
e) ₹ 1050 received from Kiran were posted to the debit side of his account.
Solution:
Rectification Entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 26

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 13.
An accountant could not tally the Trial balance. The difference of ₹ 5,180 was temporarily placed to the credit of suspense account for preparing the final accounts. The following errors were later located.
a) Commission of ₹ 500 paid, was posted twice, once to discount allowed account and once to commission account.
b) The sales book was undercast by ₹ 1,000.
c) A credit sale of t 2,780 to Sudha though correctly entered in sales book, was posted wrongly to her account as ₹ 3,860.
d) A credit purchase from Nataraj of ₹ 1,500, though correctly entered in purchases book, was wrongly debited to his personal account.
e) Discount column of the payments side of the cash book was wrongly added as ₹ 2,800 instead of ₹ 2,400.
You are required to pass necessary rectifying entries and prepare suspense account.
Solution:
Rectification Entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 27

TS Board Inter First Year Accountancy Study Material Chapter 8 Rectification of Errors

Question 14.
The following errors affecting the account for the year 2018 were detected in the books of Sheshu & Brothers, Warangal.
a) Sale of old furniture ₹ 1,500 treated as sale of goods.
b) Receipt of ₹ 5,000 from Sairam credited to Ramsai.
c) Goods worth ₹ 1,200 brought from Pavan Kumar have remained unrecorded so far
d) Rent of proprietor’s residence ₹ 7,500 debited to rent a/c.
e) Repairs made were debited to building account for ? 600.
You are required to pass the necessary rectifying entries.
Solution:
Rectification Entries

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 8th Lesson Rectification of Errors 28

Question 15.
Rectify the following errors.
a) Purchases book overcast by ₹ 2,500.
b) Sales book undercast by ₹ 4,200.
c) Purchases return book overcast by ₹ 1,450.
d) Sales return book undercast by ₹ 3,500.
Solution:

Nature of Mistake

Effect of Mistake

Rectification

1. Over casting of Purchases bookExcess debit in Purchases a/cCredit the Purchases a/c
2. Under casting of Sales bookShort credit in Sales a/cGive further credit to Sales a/c
3. Over casting of Purchases return bookExcess credit in Purchases Return a/cDebit Purchases Return a/c
4. Under casting of Sales return bookShort debit in Sales Return a/cGive further debit to Sales Return a/c

To rectify the errors :
i) Credit – Purchases a/c with ₹ 2,500.
ii) Credit – Sales a/c with ₹ 4,200.
iii) Debit – Purchases return a/c with ₹ 1,450.
iv) Debit – Sales return a/c with ₹ 3,500.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
వ్యవస్థకైనా దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి తప్పక ఉండవలసిన అవసరం ఉందా ? (మే 2014)
జవాబు:
ఒక వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద కొంత ద్రవ్యరాశి ఉండి తీరాలి అన్న నియమం లేదు) ఉదా : ఉంగరము లేదా గాజుల విషయంలో వాటి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ఏ విధమైన ద్రవ్యరాశి లేదు.

ప్రశ్న 2.
ఒక అమ్మాయి బరువులున్న ఒక సంచిని ఒక చేతిలో పట్టుకొని నిలుచున్నది. ఇంకొక అమ్మాయి అంతే బరువు ఉన్న రెండు సంచులను తన రెండు చేతులతో పట్టుకొని నిలుచున్నది. ఆ అమ్మాయిల ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాలలో మార్పులెలా ఉంటాయి ?
జవాబు:
a) అమ్మాయి బరువులు ఉన్న సంచిని ఒక చేతితో పట్టుకున్నపుడు ఆమె ద్రవ్యరాశి కేంద్రం బరువు ఉన్న చేతివైపు జరుగును.

b) అమ్మాయి రెండు చేతులతో సమానమైన బరువులు మోసినపుడు ఆమె ద్రవ్యరాశి కేంద్రస్థానము మారదు. అనగా బరువులు లేనపుడు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఉన్న ప్రదేశంలోనే ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
రెండు ద్రుఢ వస్తువుల జడత్వ భ్రామకాలు, వాటి సౌష్టవాక్షాల పరంగా సమానం. ఆ రెండింటిలో దేని గతిజ శక్తి అధికంగా ఉంటుంది ?
జవాబు:
ఒక వస్తువు భ్రమణ గతిశక్తి KErot మరియు కోణీయ ద్రవ్యవేగం (L) ల మధ్య సంబంధం KErot = \(\frac{\mathrm{L}^2}{2 \mathrm{I}}\)
ఇచ్చిన ప్రశ్నలో జడత్వ భ్రామకములు సమానం కావున KErot ∝ L2
ఎక్కువ కోణీయ ద్రవ్యవేగము గల వస్తువు ఎక్కువ భ్రమణ గతిశక్తి కల్గి ఉంటుంది.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 4.
సైకిల్ చక్రాలకు కమ్మీలు (spokes) ఎందుకు అమర్చుతారు ? (మే 2014)
జవాబు:
సైకిల్ చక్రాలకు కమ్మీలు (spokes) అమర్చడం వల్ల చక్రం బరువులో అధికభాగం భ్రమణాక్షం నుండి దూరంగా పంపిణీ చేయబడును. ఫలితంగా అంతే ద్రవ్యరాశి గల కమ్మీలు లేని చక్రం కన్నా కమ్మీలు గల చక్రం జడత్వ భ్రామకం చాలా ఎక్కువ. ఫలితంగా ఆ చక్రం ఎక్కువ జడత్వ భ్రామకం గల గతిపాలక చక్రం వలె పనిచేసి కుదుపులను తగ్గిస్తుంది. బాహ్య టార్క్న సున్న చేసినప్పటికి సమవేగంతో ఎక్కువ దూరం ప్రయాణిస్తుంది.

ప్రశ్న 5.
మడత బందుల (hinges) వద్ద బలాన్ని ప్రయోగించి ఒక తలుపును తెరవడం లేదా మూయడం సాధ్యంకాదు. ఎందువల్ల ?
జవాబు:
తలుపులు చలించే భ్రమణాక్షం మడత బందు గుండా పోతున్నది. కాబట్టి భ్రమణాక్షం నుండి బలానికి (\(\overline{\mathrm{F}}\)) గల
దూరము \(\overline{\mathrm{r}}\) = 0
తలుపులు తెరవడానికి అందించిన బలభ్రామకం
టార్క్, τ = \(\overline{\mathrm{r}}\) × \(\overline{\mathrm{F}}\) = |\(\overline{\mathrm{r}}\)| |\(\overline{\mathrm{F}}\)| sin θ = 0 ∵ sin 0 = 0
అందువల్ల \(\overline{\mathrm{r}}\) = 0 అయితే ఎంత ఎక్కువ బలం (F) వాడినప్పటికి టార్క్, τ = 0 కావడం వల్ల తలుపులు తెరవడం సాధ్యపడదు.

ప్రశ్న 6.
భుజం పొట్టిగా ఉన్న స్పానర్ (మరను తిప్పడానికి వాడే ఉపకరణం) కంటే భుజం పొడవుగా ఉన్న స్పానర్ను మనమెందుకు ఎక్కువగా ఎంచుకొంటాం ?
జవాబు:
టార్క్, τ = \(\overline{\mathrm{r}}\) × \(\overline{\mathrm{F}}\). స్పానర్ను వాడేటపుడు స్పానర్ పొడవు బలం నుండి ఆధారానికి గల దూరము \(\overline{\mathrm{r}}\) అవుతుంది. స్పానర్ పొడవు ఎక్కువ ఉంటే అదే బలము F కి టార్క్ ఎక్కువ. అందువలన అటువంటి స్పానర్లతో బోల్ట్ ను తేలికగా భ్రమణం చెందించవచ్చు.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 7.
టేబుల్ తలంపై ఒక గుడ్డును బొంగరంవలె తిప్పి అది ఉడికినదీ లేనిదీ ఎలా నిర్ధారించగలం ?
జవాబు:
గుడ్డును టేబుల్పై ఉంచి భ్రమణం చెందించితే అది ఉడికిన గుడ్డు అయితే మొత్తం ఘనపదార్థం వలె ఉంటుంది. కాబట్టి తేలికగా బల్లతోపాటు భ్రమణం చెందుతుంది.

ఉడకని గుడ్డు అయితే లోపల ద్రవాలు ఉంటాయి. దీనిని భ్రమణం చెందించేటప్పుడు ద్రవాలకు గల స్నిగ్ధతా బలాలవల్ల అవి భ్రమణవేగాన్ని అడ్డుకుంటాయి. అందువల్ల ఉడకని గుడ్డు భ్రమణ వేగం తక్కువ. ఈ విధంగా మనం గుడ్డు ఉడికిందీ, లేనిదీ తెలుసుకొనవచ్చు.
Note : ద్రవాలలో వివిధ పొరల మధ్య గల ఘర్షణబలమే స్నిగ్ధతా బలము.

ప్రశ్న 8.
ఒక హెలికాప్టర్కు ఎందుకు రెండు ప్రొపెల్లర్లు (propellers – ముందుకు నడిపే యంత్రం) తప్పక వుండి తీరాలి ?
జవాబు:
హెలికాప్టర్కు రెండు ప్రొపెల్లర్లు ఉండి తీరాలి. ఒకే ప్రొపెల్లర్ ఉంటే కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారము హెలికాప్టర్ వ్యతిరేక దిశలో ఆత్మభ్రమణం చెందుతుంది. స్థానాంతరణ గమనం సాధ్యపడదు. స్థానాంతరణ గమనం కోసం, హెలికాప్టర్ ఆత్మభ్రమణ నిరోధం కోసం హెలికాప్టర్లో రెండు ప్రొపెల్లర్లు వాడతారు.

ప్రశ్న 9.
భూగోళ ధ్రువాల వద్ద వున్న మంచు పూర్తిగా కరిగిపోతే ఒక రోజు కాలవ్యవధి ఏ విధంగా ప్రభావితమౌతుంది ?
జవాబు:
ధృవాల వద్ద ఉన్న మంచు పూర్తిగా కరిగిపోతే నీరు భూమధ్య రేఖ వద్దకు చేరుతుంది. అనగా భూమి భ్రమణాక్షం మీద ఉన్న మంచు, భ్రమణాక్షం నుండి ఎక్కువ దూరానికి జరగడం వల్ల భూమి జడత్వ భ్రామకం పెరిగి కోణీయ వేగం తగ్గును. కారణం I1ω1 + I2ω2 = 0 అన్న కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమము.

ఫలితంగా భూమి ఆత్మభ్రమణకాలం పెరుగుతుంది. అంటే ఒకరోజు కాలవ్యవధి పెరుగును.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 10.
కదిలే సైకిల్ను సులభంగా అటూ ఇటూ ఒరగకుండా నిలుపవచ్చు. ఎందుకు ?
జవాబు:
కదిలే సైకిల్ చక్రాలు భ్రమణ సమతాస్థితిలో ఉంటాయి. భ్రమణ సమతాస్థితి నియమాల నుండి భ్రమణాక్షానికి లంబంగా ఉండే టార్క్ అంశవల్ల వస్తువు భ్రమణాక్షపరంగా తిరుగుతుంది. బాహ్య టార్క్ లో భ్రమణాక్షానికి లంబంగా గల అంశ టార్క్ ప్రభావాన్ని శూన్యపరచే విధంగా ప్రతిబంధక బలాన్ని జడత్వ భ్రామకంలోని మార్పులు కలుగజేస్తాయి. ఫలితంగా గమనంలో ఉన్న సైకిల్ను సులభంగా పక్కకి ఒరగకుండా ఉంచవచ్చు.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఒక వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గరిమనాభుల మధ్య భేదాలను గుర్తించండి. (మార్చి 2014)
జవాబు:
ద్రవ్యరాశి కేంద్రము, మధ్య తేడాలు :
ద్రవ్యరాశి కేంద్రము

  1. వస్తువులోని ద్రవ్యరాశి అంతా దానిలో గల ఒక బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమైనట్లు ప్రవర్తిస్తుంది. ఈ బిందువునే ద్రవ్యరాశి కేంద్రము అంటారు.
  2. క్రమాకారం కలిగిన చిన్న వస్తువుల విషయంలో ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గరిమనాభులు ఏకీభవిస్తాయి.
  3. ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా వస్తువులో గల కణముల ద్రవ్యరాశుల భ్రామకాల బీజీయ మొత్తం సున్నాకి సమానము.
  4. వస్తువు సంక్లిష్టచలనంలో ఉన్నపుడు దాని స్థానాంతరణ గమనాన్ని వివరించడానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని ఉపయోగిస్తారు.

గరిమనాభి

  1. వస్తువుపై పనిచేయు ‘మొత్తం గురుత్వాకర్షణ బలం దానిలో గల ఒక బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమైనట్లు ప్రవర్తిస్తుంది. ఈ బిందువును గరిమనాభి అంటారు.
  2. వస్తు పరిమాణం చాలా పెద్దదిగా ఉండి, దానిలో ద్రవ్యరాశి పంపిణీ ఏకరీతిగా లేనపుడు, లేదా వస్తువు వ్యాప్తి చెందిన ప్రదేశంలో గురుత్వ త్వరణం స్థిరంగా లేనపుడు వాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గరిమనాభులు ఏకీభవించకపోవచ్చును.
  3. గరిమనాభిపరంగా వస్తువులో గల కణముల భారముల భ్రామకాల బీజీయ మొత్తం సున్నాకి సమానము.
  4. వస్తువుకు స్థిరత్వము కలిగించడానికి ఆధారమును కల్పించు ప్రక్రియలో గరిమనాభి అను భావనను వాడతారు.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 2.
బాహ్య బల ప్రభావానికి గురయిన ఒక కణవ్యవస్థ, ఆ బలం వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ప్రయోగించినట్లుగా గమనంలో ఉంటుందని చూపండి.
జవాబు:
ఏదైనా వ్యవస్థలో గల m1, m2, m3, ……… mn అను కణాలు \(\overline{\mathrm{v}}_1, \overline{\mathrm{v}}_2, \overline{\mathrm{v}}_3, \ldots . . \overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}\) అను వేగాలతో చలించుచున్నాయను కొనుము.
ద్రవ్యరాశి కేంద్రవేగము \(\overline{v}_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M}\left\{\mathrm{~m}_1 \overline{v}_1+\mathrm{m}_2 \overline{v}_2+\mathrm{m}_3 \overline{\mathrm{v}}_3+\ldots . \mathrm{m}_{\mathrm{n}} \overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}\right\}\)
ఇందులో m1 + m1 + m3 + ……….. + mn = M వస్తువు మొత్తం ద్రవ్యరాశి
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 1
వ్యవస్థపై పనిచేయు మొత్తం బలము F = F1 + F2 + F3 + ……… + Fn = Fcm
∴ వ్యవస్థపై పనిచేయు మొత్తం బలం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద పనిచేసే బలంలా ప్రవర్తించడం వల్ల అనేక కణవ్యవస్థలపై బాహ్య బల ప్రయోగం వల్ల కలిగే గమనం ద్రవ్యరాశి కేంద్రంపై అదే బలం ప్రయోగిస్తే కలిగే గమనాన్ని పోలి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
భూమి-చంద్రుడు వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా సూర్యుని చుట్టూ దాని భ్రమణాలను వివరించండి.
జవాబు:
భూమికి, చంద్రునికి మధ్య గల గురుత్వాకర్షణ బలాలు, భూమి మరియు చంద్రుని వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రంపై ప్రభావం చూపవు. ఎందుకనగా భూమి మరియు చంద్రుల మధ్య గల గురుత్వాకర్షణ బలాలు అంతర్గత బలాలు. ఇవి ద్రవ్యరాశి కేంద్రస్థానాన్ని మార్చజాలవు.

భూమి, చంద్రుల వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రంపై పనిచేసే బాహ్యబలము సూర్యునికి, భూమి చంద్రుల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాల మధ్య గల బలము. ఈ బలం వల్ల భూమి చంద్రుల వ్యవస్థ సూర్యుని చుట్టూ చలిస్తుంది. కావున సూర్యుని చుట్టూ భూమి-చంద్రుల వ్యవస్థ యొక్క గమనము చంద్రుడు భూమి చుట్టూ పరిభ్రమించటం వల్ల ప్రభావితం కాదు.

ప్రశ్న 4.
సదిశాలబ్ధాన్ని నిర్వచించండి. సదిశా లబ్ధ ధర్మాలను రెండు ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
సదిశల సదిశా లబ్ధము : రెండు సదిశలు \(\overline{\mathrm{a}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{b}}\) లను మరల సదిశ ఏర్పడేవిధంగా గుణించడాన్ని సదిశల సదిశాలబ్ధము అంటారు.
\(\overline{\mathrm{a}}\) × \(\overline{\mathrm{b}}\) = |\(\overline{\mathrm{a}}\)||\(\overline{\mathrm{b}}\)| sin θ. \(\overline{\mathrm{n}}\). ఇందులో \(\overline{\mathrm{n}}\) ఇచ్చిన సదిశల తలానికి లంబదిశలో గల ప్రమాణ సదిశ.

సదిశా లబ్ధ ధర్మాలు :
1) రెండు సదిశల సదిశా లబ్ధము స్థిత్యంతర న్యాయాన్ని పాటించదు. \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}} \neq \overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}}\) కాని \(\bar{a} \times \bar{b}=-(\bar{b} \times \bar{a})\) \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}\) = ab sin θ; \(\overline{b} \times \overline{a}\) = b a sin θ ఈ రెండూ పరిమాణంలో సమానమే కాని కుడిచేతి మర నిబంధన ననుసరించి a × \(a \times \overline{b}\) భ్రమణం \(\overline{\mathrm{a}}\) నుంచి \(\overline{\mathrm{b}}\) వైపు ఉంటుంది. \(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}}\) లో భ్రమణం \(\overline{\mathrm{b}}\) నుంచి \(\overline{\mathrm{a}}\) వైపు ఉంటుంది. అనగా పరిమాణం సమానమైనా \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}}\) ల దిశలు వ్యతిరేకము. అందువల్ల \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}=-(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}})\) అని రాస్తారు. కావున \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}} \neq \overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}}\)

2) సదిశా లబ్ధము సంకలనపరంగా విభాజక న్యాయాన్ని పాటిస్తుంది. అనగా \(\overline{\mathrm{a}} \times(\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}})=\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{c}}\)

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 5.
కోణీయ వేగానికి నిర్వచనం తెలపండి. v = r ω లు రాబట్టండి. (మే 2014)
జవాబు:
కోణీయ స్థానభ్రంశము (θ) : భ్రమణ గమనంలో ఉన్న వస్తువు వృత్త కేంద్రం వద్ద చేసిన కోణాన్ని కోణీయ స్థానభ్రంశము ‘θ’ అంటారు. ప్రమాణము రేడియన్.
కోణీయ వేగము (ω) : కోణీయ స్థానభ్రంశంలోని మార్పు రేటును కోణీయవేగం అంటారు.
కోణీయ వేగములు = \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) ప్రమాణము రేడియన్ / సెకను
ఏదైనా కణము ‘P’ వృత్తపరిధి వెంబడి V అను సమవడితో తిరుగుతున్నదను కొనుము. వృత్తవ్యాసార్ధం ‘r’ అనుకోనుము. మొదటగా P అను కణము ‘A’ అనే బిందువు వద్ద ఉన్నదనుకొనుము. B నుండి Cకు ప్రయాణించుటలో అది కేంద్రము వద్ద చేసిన కోణము ∆θ, మరియు పట్టిన కాలము ∆t అనుకొనుము.
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 2
నిర్వచనము ప్రకారం కోణీయవేగం ω = \({Lt}_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{d \theta}{d t}\)
కాని రేఖీయ వేగము V = \({Lt}_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{B C}{\Delta t}\) ఇందులో BC = r dθ
కోణము dθ చిన్నదైనపుడు చాపము BC ని సరళరేఖ BC గా భావిస్తారు.
∴ V = r . \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) ( కాని \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) = ω ) ⇒ V = rω

ప్రశ్న 6.
కోణీయ త్వరణాన్ని, టార్క్ను నిర్వచించండి. ఈ రెండు రాశుల మధ్య సంబంధాన్ని తెలిపే సమాసాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:
కోణీయ త్వరణము : కోణీయ వేగంలో మార్పు రేటును కోణీయ త్వరణం అంటారు.
కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{dt}^2}\) ప్రమాణము రేడియన్ / సె2 .
బలభ్రామకము లేదా టార్క్ (τ): మూలబిందువు (O) పరంగా \(\overline{\mathrm{r}}\) స్థానసదిశను కలిగిన ఒక వస్తువు లేదా కణంపై బలము \(\overline{\mathrm{F}}\) ను ప్రయోగిస్తే, \(\overline{\mathrm{r}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{F}}\) ల వజ్రలబ్ధాన్ని టార్క్ నిర్వచించినారు.
టార్క్, τ = \(\overline{\mathrm{r}} \times \overline{\mathrm{F}}=|\overline{\mathrm{r}}||\overline{\mathrm{F}}| \sin \theta \overline{\mathrm{n}}\)
టార్క్ సదిశరాశి. దీని దిశ \(\overline{\mathrm{r}}\), \(\overline{\mathrm{F}}\)ల తలానికి లంబంగా ఉంటుంది.
టార్కు ప్రమాణము న్యూటన్ – మీటరు. D.F = ML2T-2

కోణీయ త్వరణము a మరియు టార్క్ ల మధ్య సంబంధము : ఏదైనా వ్యవస్థపై కొంత టార్క్ ప్రయోగించడం వల్ల అది dθ అను కోణం స్థానభ్రంశం చెందితే జరిగిన పని dW = τdθ …………. (1)
సామర్థ్యము P = \(\frac{d W}{d t}=\tau \cdot \frac{d \theta}{d t}\) ………………. (2) కాని \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) = ω
∴ P = τω ………….. 3
సామర్థ్యము P = వ్యవస్థ భ్రమణ గతిజ శక్తిలోని మార్పు రేటు అని కూడా చెప్పవచ్చు.
P = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left(\frac{1}{2} \mathrm{I} \omega^2\right)=\frac{1}{2} \cdot 2 \mathrm{I} \omega \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{dt}}\) = Iωα ……………… 4
సమీకరణం 3, 4 ల నుండి τω = Iωα లేదా τ = Iα
టార్క్ τ, కోణీయ త్వరణాల మధ్య సంబంధము τ = Iα

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 7.
ఒక స్థిర అక్షం పరంగా భ్రమణం చేస్తున్న కణం గమన సమీకరణాలను రాయండి.
జవాబు:
భ్రమణ గమనానికి గతిశాస్త్ర సమీకరణాలు
1) ω = ω0 + αt
2) θ = ω0t + \(\frac{1}{2}\) αt2
3) ω2 – ω02 = 2αθ
ఉత్పాదన : ఏదైనా వస్తువు స్థిర అక్షపరంగా కొంత కోణీయ త్వరణంతో చలిస్తున్నదనుకొనుము.
వస్తువు తొలికోణీయ వేగము = ω0 ., తుది కోణీయ వేగము ω మరియు మార్పుకు పట్టిన కాలము t అనుకోండి.
1) ω = ω0 + αt ఉత్పాదన
కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{\omega-\omega_0}{t}\) ⇒ ω – ω0 = αt లేదా ω = ω0 + αt ……………. (1)

2) θ = ω0t + \(\frac{1}{2}\) = αt2 ఉత్పాదన
వస్తువు మొత్తం స్థానభ్రంశము θ = సగటు కోణీయ వేగము × కాలము
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 3

3) ω2 – ω02 = 2αθ ఉత్పాదన
వస్తువు మొత్తం కోణీయ స్థానభ్రంశము θ = సగటు కోణీయ వేగము × కాలము
సగటు కోణీయ వేగము = \(\frac{\omega+\omega_0}{2}\)
కాలము t = \(\frac{\omega-\omega_0}{2}\)
∴ θ = \(\frac{\left(\omega+\omega_0\right)}{2} \frac{\left(\omega-\omega_0\right)}{\alpha}=\frac{\omega^2-\omega_0^2}{2 \alpha}\)
∴ ω2 – ω02 = 2αθ …………….. 3

ప్రశ్న 8.
సమతలంపై నిశ్చల స్థితి నుంచి స్లిప్ కాకుండా దొర్లుతూ ఉన్న ఒక వస్తువు తుది వేగం, మొత్తం శక్తికి సమాసాలను రాబట్టండి.
జవాబు:
దొర్లుడు గమనము : దొర్లుడు గమనము అనేది స్థానాంతరణ గమనము మరియు భ్రమణ గమనముల సంయోగము.
దొర్లుడు గమనం గతిజశక్తి (R.K.E) : దొర్లుడు గమనంలో ఉన్న వస్తువుకు స్థానాంతరణ గమనం వల్ల గతిజశక్తి (1/2mv2) మరియు భ్రమణ గమనం వల్ల గతిజశక్తి (\(\frac{1}{2}\)Iω2) ఉంటాయి.
∴ దొర్లుడు గమనంలో వస్తువు గతిజశక్తి_K.ER = \(\frac{1}{2}\)mv2 + \(\frac{1}{2}\)Iω2
∴ K.ER = \(\frac{1}{2}\)mv2 + \(\frac{1}{2}\) mk2 \(\frac{v^2}{r^2}\) (∵ I = mk2 మరియు v = rω)
∴ దొర్లే వస్తువు మొత్తం శక్తి E అనుకుంటే E = \(\frac{1}{2}\) mv2 \(\left[1+\frac{\mathrm{k}^2}{\mathrm{r}^2}\right]\) …………….. (1)
లేదా v2 = \(\frac{2 E}{m\left(1+\frac{k^2}{r^2}\right)}\)
వస్తువు వేగము V = \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{E}}{\mathrm{m}\left[1+\frac{\mathrm{k}^2}{\mathrm{r}^2}\right]}}\) …………. (2)

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
(a)సమాంతరాక్షాల సిద్ధాంతాన్ని తెలిపి నిరూపించండి.
(b) పలుచని వృత్తాకార బిళ్ళకు, దాని వ్యాసం పరంగా భ్రమణ వ్యాసార్ధం k. పటంలో చూపినట్లు బిళ్ళను వ్యాసం AB వెంబడి రెండు ముక్కలుగా కత్తిరించినప్పుడు, AB పరంగా ప్రతి ముక్క భ్రమణ వ్యాసార్ధం కనుక్కోండి.
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 4
జవాబు:
సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతము : ఏదైనా వస్తువులో ద్రవ్యరాశి కేంద్రంగుండా పోవు అక్షానికి సమాంతరంగాగల వేరొక అక్షం మీది జడత్వ భ్రామకం (I), ద్రవ్యరాశి కేంద్రంగుండా పోవు అక్షపరంగా గల జడత్వ భ్రామకము (IG) మరియు వస్తువు ద్రవ్యరాశిని (M) అక్షముల మధ్యగల లంబదూరపు వర్గము (R2) చేత గుణించి కలుపగా వచ్చు మొత్తమునకు సమానము.
అనగా I = IG + MR2
M ద్రవ్యరాశిగల ఒక సమతల పటలం యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రము ‘G’ అనుకొనుము. ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము IG అనుకొనుము. ద్రవ్యరాశి కేంద్రంగుండా పోవు అక్షానికి సమాంతరంగా గల వేరొక సమాంతరాక్షము పటతలంలోని మరొక బిందువు ” గుండా పోతున్నది అనుకొనుము.
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 5
‘O’ గుండా పోవు కొత్త అక్షపరంగా జడత్వ భ్రామకము మరియు ‘O’, ‘G’ ల మధ్య దూరము OG = R అనుకొనుము.

ఇచ్చిన సమతలంలో ఏదైనా బిందువు ‘P’ ని తీసుకొనుము. OP మరియు GP లను కలుపుతూ సరళరేఖలు గీయుము. OG ని కలుపుతూ గీసిన రేఖను పొడిగించి P నుండి దానిపైకి లంబమును గీయుము. ఇది పటంలో చూపిన విధంగా ఉంటుంది.
ద్రవ్యరాశి కేంద్రము G పరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము IG = ΣmOG2 ……………. (1)
‘O’ బిందువుపరంగా వస్తువు జడత్వభ్రామకము I = ΣmOP2 …………….. (2)
పటంలో OPD లంబకోణ త్రిభుజం నుండి OP2 = OD2 + PD2
కాని OD = OG + GD ……………. (3)
∴ I = ΣmOP2 = Σm { (OG2 + GD2 + DP2} ……….. (4)
I = Σm {OG2 + GD2 + DP2 + 2OG, GD} –
కాని లంబకోణ త్రిభుజము GPD నుండి GD2 + DP2 + GP2
∴ I = Σm {OG2 + GP2 + 2OG, GD}
∴ I = ΣmOG2 + ΣmGP2 + 2OG ΣmGD …………… (5)
కాని ΣmOG2 = MR2 (ఇందులో 2m = M వస్తువు మొత్తం ద్రవ్యరాశి, OG = R)
ΣmGP2 = IG ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము
2OG ΣmGD = 0 (ఇది ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా వస్తువు ద్రవ్యరాశుల భ్రామకముల బీజీయ మొత్తానికి సమానము. దీని విలువ సున్నాకు సమానము.)
ఈ విలువలను పై సమీకరణంలో వ్రాయగా I = IG + MR2 అనగా సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతము నిరూపించబడినది.

b) M ద్రవ్యరాశి R వ్యాసార్ధము గల బిళ్ళ జడత్వ భ్రామకము I = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\)
భ్రమణ వ్యాసార్ధము k అనుకుంటే Mk2 = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\) ⇒ k = R/2
బిళ్ళను రెండుముక్కలుగా విభజిస్తే దాని ద్రవ్యరాశి M1 = \(\frac{\mathrm{M}}{2}\)
కొత్త జడత్వ భ్రామకము I’ = \(\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{M}}{2} \times \mathrm{R}^2=\frac{\mathrm{M}}{2} \mathrm{k}_1^2\)
∴ ప్రతిముక్క భ్రమణ వ్యాసార్ధము k1 = \(\frac{\mathrm{R}}{2}\)

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 2.
(a)లంబాక్షాల సిద్ధాంతాన్ని తెలిపి నిరూపించండి.
(b)ఒక సన్నని వృత్తాకార కంకణం, ఒక పలుచని చదునైన వృత్తాకార బిళ్ళలు సమాన ద్రవ్యరాశి, వాటి వాటి వ్యాసాల పరంగా సమాన జడత్వ భ్రామకాన్ని కలిగి ఉంటే వాటి వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి కనుక్కోండి.
జవాబు:
లంబాక్ష సిద్ధాంతము : సమతల పటలానికి లంబంగా గల ఏదో ఒక బిందువు గుండా పోవు అక్షపరంగా గల జడత్వ భ్రామకము ఆ సమతల పటలంలో ఇచ్చిన బిందువు గుండా పోవు పరస్పర లంబ అక్షాల పరంగాగల విడి విడి జడత్వ భ్రామకముల మొత్తమునకు సమానము.
అనగా Iz = Ix + Iy
ఒక సమతల పటలంలో గల ఏదైనా బిందువు ” గుండా పోవు ఒక లంబాక్షము ‘Z’ ను తీసుకొనుము. అదే సమతల పటలంలో ‘O’ బిందువు గుండా పోవు మరొక రెండు పరస్పర లంబాక్షములు (x, y) లను తీసుకొనుము. XOY తలంలో గల ఏదైనా బిందువు P ని తీసుకొనుము. ఇది x-అక్షం నుండి ‘y’ దూరంలోను, y-అక్షం నుండి ‘x’ దూరంలోను కలదనుకొనుము.
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 6
అప్పుడు X అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము Ix = Σ my2.
y అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము Iy = Σmx2
z-అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము Iz = ΣmOP2
కాని పటంలోని OAP త్రిభుజం నుండి
OP2 = OA2 + AD2 = x2 + y2
∴ Iz = Σm (x2 + y2) = Σmx2 + Σmy2
కాని Σ my2 = x అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము Ix
Σmx2
= y అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము Iy
కావున Iz = Ix + Iy
అనగా x, y అక్షముల ఖండన బిందువు ‘0’ గుండా పోవు
అక్షపరంగా (z) గల జడత్వ భ్రామకము Iz = Ix + Iy అనగా లంబాక్ష సిద్ధాంతము నిరూపించబడినది.

b) వ్యాసము వెంబడి పలుచని రింగు జడత్వ భ్రామకము I1 = m1 R12
వ్యాసము వెంబడి వృత్తాకార బిళ్ళ జడత్వ భ్రామకము I2 = \(\frac{\mathrm{m}_2 \mathrm{R}_2^2}{2}\)
రెంటికి జడత్వ భ్రామకాలు సమానము ⇒ I1 = I2
అనగా m1 R12 = m2 \(\frac{\mathrm{R}_2^2}{2}\) కాని m1 = m2
∴ వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి R12 = \(\frac{\mathrm{R}_2^2}{2}\) లేదా R1 = \(\frac{R_2}{\sqrt{2}}\)
∴ R1 : R2 = \({\sqrt{2}}\) : 1

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 3.
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని తెలిపి నిరూపించండి. ఈ నియమాన్ని ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం : ఏదైనా వ్యవస్థపై బాహ్య టార్క్ పని చేయనంతవరకు ఆ వ్యవస్థకు గల కోణీయ ద్రవ్య వేగము స్థిరము. అనగా I1ω1 = I2ω2 (τ = 0 అయినపుడు )

వివరణ : భ్రమణ గమనంలో ఉన్న వస్తువు జడత్వ భ్రామకాలు I1, I2 మరియు దాని తొలి, తుది కోణీయ ద్రవ్యవేగాలు ω1 మరియు ω2 అనుకొనుము. బాహ్య టార్క్ పనిచేయనపుడు
అనగా τ = \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{L}}}{\mathrm{dt}}\) = 0 లేదా \(\mathrm{d} \overline{\mathrm{L}}\) = 0 అనగా కోణీయ ద్రవ్య వేగంలోని మార్పు \(\mathrm{d} \overline{\mathrm{L}}_2-\mathrm{d} \overline{\mathrm{L}}_1\) = 0
లేదా I2ω2 – I1ω1 = 0 అనగా I1ω1 = I2ω2

కోణీయ ద్రవ్య వేగ నిత్యత్వ నియమానికి ఉదాహరణలు :
1) నిలువు అక్షం చుట్టూ స్వేచ్ఛగా గుండ్రని బల్ల భ్రమణం చేస్తున్నది. దీనిపై ఒక బాలుడు రెండు చేతులతో రెండు భారాలు పట్టుకొని కాళ్ళు, చేతులు చాపుకొని నిల్చున్నాడు. అపుడు అతని జడత్వ భ్రామకం I1. అతడి కోణీయ వేగం ω1. అతడు చేతులను ముడుచుకొంటే అతడి జడత్వ భ్రామకం I2 తగ్గిపోతుంది. కావున బల్ల వ్యవస్థ కోణీయ వేగం ω2 పెరుగుతుంది.
బల్ల జడత్వ భ్రామకం I అనుకుంటే, (I + I11 = (I + I22
∴ ω2 = \(\frac{\left(\mathrm{I}+\mathrm{I}_1\right) \omega_1}{\left(\mathrm{I}+\mathrm{I}_2\right)}\) కాని – (I + I2) < (I + I1) కనుక ω2 + ω1.

2) సూర్యుని చుట్టూ పరిభ్రమించే గ్రహం కోణీయ త్వరణం స్థిరంగా ఉంటుంది.
గ్రహం P వద్ద ఉన్నపుడు వేగం = v1 ; సూర్యుని నుండి దూరం = r1 ∴ కోణీయ ద్రవ్యవేగం = m v1 r1
అదే విధంగా Q వద్ద కోణీయ ద్రవ్యవేగం = m v2 r2 కాని m v1 r1 = m v2 r2 కాని v = rω
∴ m r1 ω1 r1 = m r2 ω2 r2 ⇒ I1ω1 = I2ω2 (∵ mr2 = I)

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
a . (b × c) పరిమాణం a, b, c సదిశలు భుజాలుగా గల సమానాంతర చతుర్భుజ ఘనం (parallelepiped) ఘనపరిమాణానికి సమానం అని చూపండి.
సాధన:
సమాంతర చతుర్భుజ ఘనమును ఏర్పరచిన సదిశలు \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{a}}\) ; \(\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{b}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{c}}\) అనుకోండి.
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 7
\(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}}=|\overline{\mathrm{b}}||\overline{\mathrm{c}}| \sin \theta \overline{\mathrm{n}}=\mathrm{ab}(\overline{\mathrm{n}})\) (∵ θ = 90°)
ఇందులో \(\overline{\mathrm{n}}\) ప్రమాణ సదిశ. ఇది \(\overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) ల తలానికి లంబంగా ఉంటుంది.
అనగా ఇది \(\overline{\mathrm{a}}\) కు సమాంతరంగా ఉంటుంది.
\(\overline{\mathrm{a}} \cdot(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}})=\overline{\mathrm{a}} \cdot(\mathrm{bc}) \overline{\mathrm{n}}=\overline{\mathrm{a}} \cdot \overline{\mathrm{n}}(\mathrm{bc})\) cos θ = abc
ఇది సమాంతర చతుర్భుజ ఘనము ఘనపరిమాణానికి సమానము.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 2.
3 kg ద్రవ్యరాశి, 40 cm వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక బోలు స్థూపం చుట్టూ దాదాపు ద్రవ్యరాశి లేని ఒక తాడు చుట్టారు. 30 N బలంతో తాడును లాగితే స్థూపం ఎంత కోణీయ త్వరణాన్ని పొందుతుంది ? తాడు రేఖీయ త్వరణం ఎంత అవుతుంది? తాడు స్థూపంపై జారదు అని భావించండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి M = 3 కి. గ్రా.
వ్యాసార్ధము R = 40 సెం.మీ. = 0.4 మీ.
బోలు స్థూపానికి అక్షం వెంబడి జడత్వ భ్రామకము
I = MR2 = 3 (0.4)2 = 0.48 kg . m2
బలము, F = 30 న్యూ; టార్క్, τ = F × R = 30 × 0.4 = 12 న్యూ
వస్తువులో త్వరణం ‘α’ అనుకుంటే α = \(\frac{\tau}{\mathrm{I}}=\frac{12}{0.48}\) = 25 రే/సె2
రేఖీయ త్వరణము a = r . α = 0.4 × 25 = 10 మీ/సె2

ప్రశ్న 3.
క్షితిజ తలంలో భ్రమణం చెందే తిరుగుడు బల్లపై దాని కేంద్రం నుండి 10 cm దూరంలో ఒక నాణాన్ని ఉంచారు. తిరుగుడు బల్ల, నాణాల మధ్య స్థితిక ఘర్షణ గుణకం 0.8 అయితే, నాణెం బల్లపై జారడం మొదలుపెట్టడానికి తిరుగుడు బల్ల భ్రమణ పౌనఃపున్యం ఎంత ఉండాలి ?
సాధన:
నాణెము ఉన్న దూరం r = 10 cm = 0.1 m. ; ఘర్షణ గుణకం μ = 0.8.
భ్రమణ పౌనఃపున్యము = 1 సెకనులో చేసిన భ్రమణాల సంఖ్య
నాణెము జారిపోకుండుటకు μmg = mrω2 ⇒ ω = \(\sqrt{\frac{\mu \mathrm{g}}{\mathrm{r}}}\)
∴ ω = \(\sqrt{\frac{0.8 \times 9.8}{1}}=\sqrt{78.4}\) = 8.854 రే/సె.
సెకనుకు భ్రమణాల సంఖ్య = భ్రమణ పౌనఃపున్యం = \(\frac{\omega}{2 \pi}=\frac{8.854}{2 \pi}\) = 1.409 Rot/sec లేక 84.54 R.P.M.

ప్రశ్న 4.
ఒక మీటరు స్కేలుపై 1 cm, 2 cm, 3 cm, . 100 cm ల గుర్తుల వద్ద వరసగా 1g, 2g, 3g ….., 100g ద్రవ్యరాశు లు గల కణాలను ఉంచారు. మీటరు స్కేలు మధ్య లంబరేఖ పరంగా ఈ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన ద్రవ్యరాశులు 1g, 2g, 3g….. 100 g స్కేలు మీద 1, 2, 3 …… 100 cm ల వద్ద ఉన్నవి.
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 8

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

iii) జడత్వ భ్రామకము = I = m1r12 +m2r22 + m3r32 + …+ m100r1002
∴ I = 1 × 1 × 1 + 2 × 22 + 3 × 32 + 100 × 1002
= 1 + 23 + 33 +……+ 1003 × 10-7 Kg.m2 ( ∵ 1 g = 10-3 kg & 1 cm = 10-2 m)
n సంఖ్యల ఘనముల మొత్తం S = \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) ; ∴ I = \(\frac{100^2 \times(101)^2}{4}\) × 10-7 = 2.550 Kg. m2
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం = IG = I – MR2
= 2.550 × – 5.05 × 0.67 x 0.67 = 2.550 – 2.267 = 0.283 kg.m2

iv) లంబ సమద్విఖండన రేఖ 50 cm వద్ద ఉంటుంది.
x1 = 50 cm నుండి x2 = 67 cm కు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం మారినపుడు
∴ అక్షముల మధ్యదూరం R = 67 – 50 – 17cm = 0.17 m
జడత్వ భ్రామకం I = IG + MR2 = 0.283 + 5.05 × 0.17 × 0.17
= 0.283 + 0.146 = 0.429 kgm2
∴ లంబ సమద్విఖండన రేఖ వలన జడత్వ భ్రామకం = 0.429 kg – m2

ప్రశ్న 5.
10 cm భుజం కలిగిన ఒక సమబాహు త్రిభుజ శీర్షాల వద్ద ప్రతిది 100g ద్రవ్యరాశి ఉన్న మూడు కణాలను ఉంచారు. ఆ త్రిభుజ కేంద్రాభం ద్వారా పోతూ, త్రిభుజ తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా ఈ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక్కొక్క కణం ద్రవ్యరాశి = 100 gm;
సమబాహు త్రిభుజం, భుజం పొడవు = 10 cm.
కోణ సమద్విఖండన రేఖ ఎత్తు CD : \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)l
గురుత్వ కేంద్రం ఈ రేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో ఖండిస్తుంది.
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 9
శీర్షము నుండి గురుత్వ కేంద్రం దూరం 2. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)l = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)l
వ్యవస్థ మొత్తం జడత్వ భ్రామకం I = m1r12 + m2r22 + m3r32
∴ I = 0.1 × \(\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \times 0.1\right)^2\) + 0.1 × \(\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \times 0.1\right)^2\) + 0.1 × \(\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \times 0.1\right)^2\)
= 3 × \(\frac{3}{2}\) × 0.13 = 1 × 10-3 kg. m3 = 10-3 kg. m3

ప్రశ్న 6.
10 cm భుజం ఉన్న చతురస్ర శీర్షాల వద్ద ప్రతిది 100 g ద్రవ్యరాశి ఉన్న నాలుగు కణాలను ఉంచారు. చతురస్రం మధ్య బిందువు ద్వారా పోతూ, దాని తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా వ్యవస్థ జడత్వ భామ్రకాన్ని కనుక్కోండి. వ్యవస్థ భ్రమణ వ్యాసార్ధాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక్కొక్క కణము ద్రవ్యరాశి m = 100 g = 0.1 kg.
చతురస్రము పొడవు a = 10 cm = 0.1 m
చతురస్ర కేంద్రం నుండి, చతురస్ర మూలలకు దూరం = \(\frac{1}{2}\) కర్ణం = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\)
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 10
a) ∴ మొత్తం జడత్వ భ్రామకం I = m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42 = 4mr2
∴ I = 4 × 0.1 \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \times 0.1\right)^2\) = 4 × \(\frac{1}{2}\) × 0.133 = 2 × 10-3 Kg. m2

b) భ్రమణ వ్యాసార్ధము K = \(\sqrt{\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{m}}}=\sqrt{\frac{2 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-1}}}=\sqrt{2} \times \frac{10^{-1}}{\sqrt{2}} 10^{-1}\)
= 0.7071 × 0.12 m or 7.071 cm. = 0.07071 m.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 7.
1 kg ద్రవ్యరాశి, 20 cm వ్యాసార్ధం ఉన్న రెండు ఏకరీతి వృత్తాకార దిమ్మెలు ఒకదానికొకటి స్పృశించుకునేటట్లుగా స్పర్శారేఖ (tangent) స్పర్శా బిందువు ద్వారా పోయేటట్లు అమర్చారు. స్పర్శా బిందువు ద్వారా పోయే స్పర్శారేఖ పరంగా ఈ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి = M = 1 kg.; బిళ్ళ వ్యాసార్ధం = 20 cm = 0.2 m అవి పటములో చూపినట్లుగా స్పర్శలో నున్నవి.
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 11
తలానికి లంబంగా స్పర్శరేఖ పరంగా జడత్వ భ్రామకం = \(\frac{5}{4}\) MR2
మొత్తం వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకం I = \(\frac{5}{4}\) MR2 + \(\frac{5}{4}\) MR2 = \(\frac{5}{2}\) MR2
∴ I = \(\frac{5}{2}\) × 1 × 0.2 × 0.2 = 5 × 1 × 0.1 × 0.2 = 0.1 kgm2

ప్రశ్న 8.
24 వ్యాసం, m ద్రవ్యరాశి ఉన్న నాలుగు గోళాల కేంద్రాలను b భుజంగా ఉన్న ఒక చతురస్ర నాలుగు శీర్షాల వద్ద ఉంచారు. ఒక భుజం భ్రమణ అక్షంగా ఈ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
గోళం వ్యాసం = 2a ⇒ వ్యాసార్ధం = a; చతురస్ర భుజం = b.
1, 2 గోళాలకు వ్యాసం పరంగా జడత్వ భ్రామకం \(\frac{2}{5}\) MR2
(M = m, R = aగా రాయగా)
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 12
∴ 1 మరియు 2 గోళాల జడత్వ భ్రామకం = I1 + I2
= \(\frac{2}{5}\) ma2 + \(\frac{2}{5}\) ma2 = \(\frac{4}{5}\) ma2 …………… (1)
3,4 గోళాల జడత్వ భ్రామకం = \(\frac{2}{5}\) ma2 + \(\frac{2}{5}\) ma2 = \(\frac{4}{5}\) ma2
సమాంతర అక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం
∴ I3 + I4 = \(\frac{2}{5}\) ma2 + mb2 + \(\frac{2}{5}\) ma2 + mb2 = \(\frac{4}{5}\) ma2 + 2 mb2
మొత్తం వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకం I = \(\frac{4}{5}\) ma2 + \(\frac{4}{5}\) ma2 + 2mb2 ⇒ I = [\(\frac{8}{5}\) ma2 + 2mb2]

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 9.
ఒక యంత్రం భ్రమణ భాగానికి (rotor) 200 rad s-1 ఏకరీతి కోణీయ వడిని సమకూర్చడానికి యంత్రం 180 Nm టార్క్ ను అందించవలసి ఉంది. యంత్రానికి అవసరమయ్యే సామర్థ్యం ఎంత ? (గమనిక : ఘర్షణ లేనప్పుడు సమకోణీయ వేగం కలిగి ఉండటమంటే టార్క్ శూన్యం అని అర్థం. వాస్తవానికి ప్రయోగించిన టార్క్ ఘర్షణ వల్ల కలిగే టార్క్న వ్యతిరేకిస్తుంది) యంత్రం 100% దక్షత కలిగి ఉన్నదని భావించండి.
సాధన:
కోణీయ వేగము, ω = 200 రేడియన్ / సె ;
ప్రయోగించిన టార్క్, τ = 180 నూ – మీ.
యంత్రం సామర్థ్యము, p = ? p = τω
∴ P = 180 × 200 = 36000 = 36 కి. వాట్

ప్రశ్న 10.
ఒక మీటర్ స్కేలును దాని కేంద్రం వద్ద కత్తిమొన ఉంచి తుల్య స్థితిలో నిలిపారు. ఒక్కొక్కటి 5g ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు నాణాలను ఒకదానిపై ఒకటి అమరేటట్లుగా స్కేలుపై 12.0 cm విభాగం వద్ద ఉంచారు. అప్పుడు కత్తిమొన 45.0 cm విభాగం వద్ద ఉన్నప్పుడు స్కేలు తుల్య స్థితికి వచ్చింది. మీటర్ స్కేలు ద్రవ్యరాశి ఎంత ?
సాధన:
స్కేలు బరువు M. ఇది C వద్ద కేంద్రీకరింపబడినది అనుకోండి.
C’ బిందుపరంగా సమతాస్థితి ఉంది, C’ దూరము = 45 సెం.మీ.
రెండు నాణెముల బరువు = 10 గ్రా.; వాటి స్థానము = 12 సెం.మీ. వద్ద
∴ సమతాస్థితి వద్ద 10g (45 – 12) = mg (50 – 45)
∴ 10g × 33 = mg. 5 ⇒ m = \(\frac{10 \times 330}{5}\) = 66 గ్రా.

ప్రశ్న 11.
వృత్తపరిధిపై ఏదో ఒక బిందువు ద్వారా పోతూ, తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా 60 rpm వడితో భ్రమణం చెందే ఒక వృత్తాకార దిమ్మె గతిజ శక్తిని కనుక్కోండి. దిమ్మె ద్రవ్యరాశి 5 kg, వ్యాసార్ధం 1 m.
సాధన:
వృత్తాకార బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి M = 5 kg, వ్యాసార్ధం R = 1 m. ; కోణీయ వేగం ω = 60 RPM = \(\frac{60 \times 2 \pi}{60}\) = 2π రే/సె.
వృత్తాకార బిళ్ళ అంచులోని బిందువు ద్వారా పోతూ తలానికి లంబంగా నున్న అక్షంపరంగా జడత్వ భ్రామకం
I’ = IG + MR2 కాని IG = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\) (పై వస్తువు విషయంలో)
∴ I’ = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\) + MR2 = \(\frac{3}{2}\) MR2
భ్రమణ గతిశక్తి = \(\frac{1}{2}\) Iω2 = \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{3}{2}\) MR2 × (2π)2 = \(\frac{3}{4}\) × 5 × 1 × 1 × 2 × 3.142 × 2 × 3.142
∴ భ్రమణ గతిశక్తి = 15 × 3.142 × 3.142 = 148.1 J.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 12.
ఒక్కొక్కటిm ద్రవ్యరాశి గల రెండు కణాలు, వ్యతిరేక దిశలో, d దూరంలో ఉన్న సమాంతర రేఖలపై U వడితో గమనంలో ఉన్నాయి. ఏ బిందువు పరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కొలిచినా, ఈ ద్వికణ వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగ సదిశ సమానమని చూపండి.
సాధన:
కోణీయ ద్రవ్యవేగము L = mvr, ద్రవ్యరాశి = m, వడి = u
ఏదైనా అక్షము A పరంగా వస్తువుల దూరాలు L1 మరియు L2 అనుకోండి.
L = L1 + L2
మొత్తం కోణీయ ద్రవ్యవేగము L = muL1 + muL1 = mu (L1 + L1) = muL ………….. (1)
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 13
ఏదైనా కొత్తం అక్షం B పరంగా m, m, ద్రవ్యరాశుల దూరాలు
L’1 మరియు L’2 అనుకోండి.
అపుడు L = L’1 + L’2
కొత్త అక్షం B పరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగము L1 = muL’1 + muL’2
L1 = mu(L’1 + L’2) = muL → 1
1, 2 సమీకరణాల నుండి మొత్తం కోణీయ ద్రవ్యవేగము స్థిరమని తెలుస్తున్నది.

ప్రశ్న 13.
నిమిషానికి 300 భ్రమణాలు చేసే ఒక గతిపాలకచక్రం (flywheel) జడత్వ భ్రామకం 0.3 kgm2. 20 సెకన్లలో దీన్ని నిశ్చల స్థితికి తీసుకురావడానికి అవసరమైన టార్క్ను కనుక్కోండి.
సాధన:
జడత్వ భ్రామకము I = 0.3 కి.గ్రా. మీ2
కాలము = 20 సె
ω1 = 300 R.P.M. = \(\frac{300}{60}\) = 5 × 2π = 10π రేడియన్ / సె ;
ω2 = 0 (ఆగిపోయింది కావున)
టార్క్, τ = Iα = I \(\left(\frac{\omega_2-\omega_1}{t}\right)\)
∴ τ = 0.33 \(\left(\frac{10 \pi-0}{20}\right)=\frac{3 \pi}{20}\) = 0.471 న్యూ.మీ.

ప్రశ్న 14.
ఒక గతిపాలకచక్రం (flywheel) పై 100 J పని జరిగినప్పుడు దాని కోణీయ వేగం 60 rpm నుంచి 180 rpm కి పెరిగింది. చక్రం జడత్వ భ్రామకాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
పని W = 100 J, ω1 = 600 RPM = 1 R.P.S = 2π రేడియన్/సె
ω2 = 180 R.P.M. = \(\frac{180}{60}\) R.P.S = 3 RPS = 3 × 2π = 6π రే/సె
కాని పని W = భ్రమణ గతిజశక్తిలోని భేదము = \(\frac{1}{2}\)I(ω22 – ω12)
∴ 100 = \(\frac{1}{2}\) (36π2 – 4π2) = \(\frac{1}{2}\) 32π2 I
∴ జడత్వ భ్రామకము I = \(\frac{200}{32 \pi^2}\) = 0.6332 కి.గ్రా.మీ 2 .

ముఖ్యమైన ఉదాహరణ లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
0.5 m భుజం ఉన్న ఒక సమబాహు త్రిభుజం శీర్షాల వద్ద ఉన్న మూడు కణాల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. కణాల ద్రవ్యరాశులు వరసగా 100 g, 150 g, 200 g.
సాధన:
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 14
పటంలో చూపినట్లు X-, y- అక్షాలను ఎంచుకొంటే సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచే బిందువులు O, A, B ల నిరూపకాలు వరసగా (0, 0), (0.5, 0), (0.25, 0.25 \(\sqrt{3}\)). 100 g, 150g, 200g ద్రవ్యరాశులు వరసగా O, A, B ల వద్ద ఉన్నాయనుకొంటే,
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 15

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 2.
L-ఆకారంలో ఉన్న పల్చని ఏకరీతి పలక (పటలం) ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. దాని కొలతలు పటంలో చూపడమైంది. పలక ద్రవ్యరాశి 3 kg.
సాధన:
పటంలో చూపినట్లు X, Y అక్షాలను తీసుకొంటే Lఆకారం ఉన్న పటలం శీర్షాలు 000, 0), A(2, 0), B(2, 1), D(1, 1), E(1, 2), F(0, 2) అవుతాయి. ఈ పటలాన్ని 1 m భుజం ఉన్న మూడు చతురస్రాలుగా భావించవచ్చు. ఈ చతురస్రాల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాలు C, C2, C3 లు, సౌష్ఠవం వల్ల, ఆయా చతురస్రాల జ్యామితీయ కేంద్రాలవుతాయి. వాటి నిరూపకాలు వరసగా (1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2) అని తెలుసుకోవచ్చు. చతురస్రాల ద్రవ్యరాశులు ఈ బిందువుల వద్ద కేంద్రీకృతమైనట్లుగా మనం భావించవచ్చు. ఈ మూడు ద్రవ్యరాశి బిందువుల ద్రవ్యరాశి కేంద్రమే, మొత్తంగా L ఆకారం ఉన్న పటలం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం (X, Y) అవుతుంది.
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 16
Y = \(\frac{[1(1 / 2)+1(1 / 2)+1(3 / 2)] \mathrm{kg} \mathrm{m}}{(1+1+1) \mathrm{kg}}=\frac{5}{6}\) m
∴ L-ఆకార పటలం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం OD రేఖపై ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
రెండు సదిశలు a = \((3 \hat{\mathrm{i}}-4 \hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}})\), b = \((-2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}})\) ల అదిశ, సదిశా లబ్ధాలను కనుక్కోండి. (3î – o
సాధన:
a · b = \((3 \hat{\mathrm{i}}-4 \hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}})\) . \((-2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}})\)
= -6 – 4 – 15
= – 25
a × b = \(\left|\begin{array}{ccc}
\hat{\mathrm{i}} & \hat{\mathrm{j}} & \hat{\mathrm{k}} \\
3 & -4 & 5 \\
-2 & 1 & -3
\end{array}\right|=7 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}\)
b × a = – \(7 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}}\) అని గుర్తించండి.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 4.
ఒక మోటారు చక్రం కోణీయ వడిని 1200 rpm నుంచి 3120 rpm కు 16 సెకన్లలో పెంచారు. (i) కోణీయ త్వరణం స్థిరమని భావించి, కోణీయ త్వరణాన్ని లెక్కించండి. (ii) ఈ సమయంలో ఇంజను ఎన్ని భ్రమణాలు చేస్తుంది ?
సాధన:
(i) తొలి కోణీయ వడి, ω0 = 1200 R.P.M. 1200 × \(\frac{2 \pi}{60}\) = 40π రే/సె
తుది కోణీయ వడి, ω = 3120 RPM = 3120 × \(\frac{2 \pi}{60}\) = 104π రే/సె
కాలము t = 16 సె. కోణీయ త్వరణము α = ?
ω = ω0 + αt నుండి α = \(\frac{\omega-\omega_0}{t}=\frac{(104-40) \pi}{16}\) = 4π రే/సె2

(ii) ఆగిపోవుటకు ముందు కోణీయ స్థానభ్రంశము θ = భ్రమణములలో
1 భ్రమణము = 2π రేడియన్
θ = \(\frac{\omega^2-\omega_0^2}{2 \alpha}\) భ్రమణాలలో ‘θ’ ను చెపితే θ = \(\frac{\omega^2-\omega_0^2}{2 \alpha \times 2 \pi}\)
= \(\frac{(104 \pi)^2-(40 \pi)^2}{2 \times 4 \pi \times 2 \pi}=\frac{(104+4.0)(104-40) \pi^2}{16 \pi^2}\) [a2 – b2 = (a + b)(a – b) నుండి]
= \(\frac{144 \times 64}{16}\) = 576 భ్రమణాలు

ప్రశ్న 5.
బలం \(\mathrm{7 i}+3 \hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}\) వల్ల, మూలబిందువు పరంగా టార్క్ను కనుక్కోండి. బలం ప్రయోగించిన కణం స్థానసదిశ \(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\) (మార్చి 2014)
సాధన:
ఇక్కడ r = \(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\), F = \(\mathrm{7 i}+3 \hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}\)
టార్క్ τ = r × F కనుక్కోవడానికి నిర్ధారక నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాం..
τ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\hat{\mathrm{i}} & \hat{\mathrm{j}} & \hat{\mathrm{k}} \\
1 & -1 & 1 \\
7 & 3 & -5
\end{array}\right|=(5-3) \hat{\mathrm{i}}-(-5-7) \hat{\mathrm{j}}+3-(-7) \hat{\mathrm{k}}\)
లేదా τ = \(2 \hat{i}+12 \hat{j}+10 \hat{k}\)

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 6.
M ద్రవ్యరాశి, l పొడవు ఉన్న కడ్డీకి లంబంగా, ఒక కొన ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం ఎంత ?
సాధన:
M ద్రవ్యరాశి, l పొడవు ఉన్న కడ్డీకి I = Ml2 / 12. సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం,
I’ = M\(\frac{l^2}{12}+\mathrm{M}\left(\frac{l}{2}\right)^2=\frac{\mathrm{M} l^2}{3}\)
2M ద్రవ్యరాశి, 2l పొడవు ఉన్న కడ్డీ మధ్య బిందువు నుంచి పోతూ, పొడవుకు లంబంగా ఉండే అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకంలో సగం I’ అవ్వడం వల్ల ఈ ఫలితాన్ని స్వతంత్రంగానే సరిచూడవచ్చు.
I’ = 2M. \(\frac{4 l^2}{12} \times \frac{1}{2}=\frac{\mathrm{M} l^3}{3}\)

అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఏకరీతి సాంద్రత ఉన్న (i) గోళం, (ii) స్తూపం, (iii) కంకణం, (iv) ఘనాల ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాన్ని గుర్తించండి. వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం తప్పక ఆ వస్తువులో ఉండి తీరాలా ?
సాధన:
(i) గోళానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గోళ కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది.

(ii) స్థూపానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం దాని జ్యామితీయ కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది. (స్థూపం పొడవు, r వ్యాసార్ధము అయితే దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం స్థూల అక్షం మీద l/2 దూరంలో) ఉంటుంది.

(iii) కంకణం : కంకణానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, కంకణం కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది.

(iv) ఘనానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం దాని జ్యామితీయ కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది.
ఘనము భుజము = a మరియు ఘనం ఒక మూలను మూలబిందువుగా తీసుకుంటే దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం నిర్దేశకాలు x, y; 2 దిశలలో a/2, 2/2, a/2.
వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి ఉండవలసిన అవసరం లేదు. ఉదా : కంకణం కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి లేదు. కాని కంకణం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, కంకణ కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
HCl అణువులో రెండు పరమాణువుల కేంద్రకాల మధ్య దూరం దాదాపు 1.27 Å (1Å = 10-10 m). ఈ అణువు ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాన్ని ఉజ్జాయింపుగా కనుక్కోండి. హైడ్రోజన్ పరమాణువుతో పోలిస్తే క్లోరిన్ పరమాణువు ద్రవ్యరాశి సుమారు 35.5 రెట్లు ఉంటుంది. పరమాణు ద్రవ్యరాశి అంతా కేంద్రకం వద్దనే కేంద్రీకృతమవుతుందని ఊహించండి.
సాధన:
హైడ్రోజన్ పరమాణు ద్రవ్యరాశి = m యూనిట్లు
క్లోరిన్ పరమాణు ద్రవ్యరాశి = 35.5 m యూనిట్లు
హైడ్రోజన్ పరమాణువులు నుండి x Å కు దూరము c.m అనుకొనుము.
∴ క్లోరిన్ పరమాణువు నుండి ద్రవ్యరాశి కేంద్రానికి దూరము – (1.27 – x)Å
ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని మూలబిందువు వద్ద తీసుకొంటే, m x + (1.27 – x) 35.5 m = 0
mx = – (1.27 – x) 35.5 m
c.m (ద్రవ్యరాశి కేంద్రం) (+) క్లోరిన్ పరమాణువు కుడివైపున ఉంటే, హైడ్రోజన్ పరమాణువు c. m కు ఎడమవైపున ఉంటుందని ఋణాత్మక గుర్తు సూచిస్తుంది.
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 17
కనుక ఋణాత్మక గుర్తును వదలివేస్తే,
x + 35.5 x = 1.27 × 35.5
i.e. 36.5 x = 45.085
= \(\frac{45.085}{36.5}\) = 1.235
x = 1.235 Å
∴ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం హైడ్రోజన్, క్లోరిన్ పరమాణువుల కేంద్రకాలను కలిపే రేఖపై హైడ్రోజన్ నుండి 1.235 Å దూరంలో ఉండును.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 3.
నున్నని క్షితిజ సమాంతర నేలపై V వడితో సమరీతి గమనం కలిగిన ఒక ట్రాలీ (trolley – చక్రాలున్న పొడవైన బండి) మీద ఒక చివర ఒక బాలుడు నిశ్చలంగా కూర్చుని ఉన్నాడు. బాలుడు లేచి ట్రాలీపై ఏ విధంగా పరిగెత్తినా ట్రాలీ – బాలుడు వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వడి ఎంత ?
సాధన:
ట్రాలి, బాలుడి వ్యవస్థలో బాలుడు లేచి ఏ విధంగా పరిగెత్తినా ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వడి మారదు. ఎందుకనగా ఈ చర్యలో ఇమిడి ఉన్న బలాలు అంతర్గత బలాలు. అంతర్గత బలాలు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం గమనాన్ని మార్చజాలవు.

ప్రశ్న 4.
సదిశలు a, b లు భుజాలుగా కలిగి ఉన్న త్రిభుజ వైశాల్యం axb పరిమాణంలో సగం ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
\(\overline{\mathrm{a}}\) = OP మరియు \(\overline{\mathrm{b}}\) = OQ లను ఆసన్న భుజాలుగా తీసుకొని సమాంతర చతుర్భుజాన్ని (OPRQ) నిర్మించండి. ఈ సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యము A = \(|\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}|\) = ab sin θ = OP . ON
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 18
∆Oప్రశ్న నుండి sin θ = \(\frac{\mathrm{ప్రశ్న}}{\mathrm{OP}}\) ⇒ ప్రశ్న = \(\overline{\mathrm{b}}\) sin θ
కాని సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యము
A = 2 త్రిభుజము Oప్రశ్న వైశాల్యము
∴ \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}\) = ab sin θ = 2 త్రిభుజము OPQ వైశాల్యము
∴ ∆OPQ వైశాల్యము = \(\frac{\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}}{2}\) అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 5.
a · (b × c) పరిమాణం a, b, c సదిశలు భుజాలుగా గల సమానాంతర చతుర్భుజ ఘనం (parallelepiped) ఘనపరిమాణానికి సమానం అని చూపండి.
సాధన:
సమాంతర చతుర్భుజ ఘనమును ఏర్పరచిన సదిశలు \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{a}}\) ; \(\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{b}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{c}}\) అనుకోండి.
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 7
\(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}}=|\overline{\mathrm{b}}||\overline{\mathrm{c}}| \sin \theta \overline{\mathrm{n}}=\mathrm{ab}(\overline{\mathrm{n}})\) (∵ θ = 90°)
ఇందులో \(\overline{\mathrm{n}}\) ప్రమాణ సదిశ. ఇది \(\overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) ల తలానికి లంబంగా ఉంటుంది.
అనగా ఇది \(\overline{\mathrm{a}}\) కు సమాంతరంగా ఉంటుంది.
\(\overline{\mathrm{a}} \cdot(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}})=\overline{\mathrm{a}} \cdot(\mathrm{bc}) \overline{\mathrm{n}}=\overline{\mathrm{a}} \cdot \overline{\mathrm{n}}(\mathrm{bc})\) cos θ = abc
ఇది సమాంతర చతుర్భుజ ఘనము ఘనపరిమాణానికి సమానము.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 6.
ఒక కణం కోణీయ ద్రవ్యవేగం 1. x, y, z అక్షాల వెంబడి అంశాలను కనుక్కోండి. కణం స్థానసదిశ అంశాలు x, y, z లు, రేఖీయ ద్రవ్యవేగం p అంశాలు px, py, pz ఒకవేళ కణం కేవలం x-y తలంలోనే గమనంలో ఉంటే కోణీయ ద్రవ్యవేగం zఅంశాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 19

ప్రశ్న 7.
ఒక్కొక్కటి m ద్రవ్యరాశి గల రెండు కణాలు, వ్యతిరేక దిశలో, d దూరంలో ఉన్న సమాంతర రేఖలపై v వడితో గమనంలో ఉన్నాయి. ఏ బిందువు పరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కొలిచినా, ఈ ద్వికణ వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగ సదిశ సమానమని చూపండి.
సాధన:
పటము నుండి X1,Y1, రేఖపై గల ఏదైనా బిందువు వద్ద కోణీయ ద్రవ్యవేగము \(\overrightarrow{\mathrm{L}}_{\mathrm{A}}=m \vec{v} \times 0+m \vec{v} \times d=m \vec{v} d\) ఇదే విధంగా X2Y2 రేఖపై గల B బిందువు వద్ద కోణీయ
ద్రవ్యవేగము \(\bar{L}_{\mathrm{B}}=m \overline{\mathrm{v}} \times \mathrm{d}+\mathrm{m} \overline{\mathrm{v}} \times 0=m \overline{v} d\)
AB రేఖపై గల ఏదైనా బిందువు C వద్ద AC = x అయితే BC = d – x
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 20
C బిందువు పరంగా రెండు కణముల వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగము \(\overline{\mathrm{L}}_{\mathrm{c}}=m \overline{\mathrm{v}}(\mathrm{x})+\mathrm{m} \overline{\mathrm{v}}(\mathrm{d}-\mathrm{x})=\mathrm{m} \overline{\mathrm{v}} \mathrm{d}\)
అనగా \(\overline{\mathrm{L}}_{\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{L}}_{\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{L}}_{\mathrm{C}}\) అని నిరూపించబడినవి.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 8.
ఒక అసమరీతి, W భారం ఉన్న కడ్డీని ఉపేక్షించదగ్గ ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు దారాలతో, పటంలో చూపినట్లు నిశ్చల స్థితిలో ఉండేటట్లు వేలాడదీశారు. క్షితిజ లంబరేఖతో దారాలు చేసే కోణాలు వరసగా 36.9°, 53.1°. కడ్డీ పొడవు 2m. కడ్డీ ఎడమ చివర నుంచి గరిమనాభి ఉండే దూరం d ని లెక్కించండి.
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 21
సాధన:
పటము నుండి θ1 = 36.9° మరియు θ2 = 53.1° .
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 22
కడ్డీ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రము ‘C’ దూరము ఒక చివర నుండి ‘d’ అనుకోండి. అపుడు
T1 cosθ1 × d = T2 cos θ2 (2 – d) లేదా T1 cos 36.9° × d = T2 cos(53.1°)(2 – d)
∴ T1 × 0.8366 d = T2 × 0.6718(2 – d) ఇందులో
T1 = 1.3523 T2 ను వాడితే d = 0.745 మీ.

ప్రశ్న 9.
ఒక కారు 1800 kg బరువుంది. ముందు వెనకాల ఇరుసుల మధ్య దూరం 1.8 m. కారు గరిమనాభి, ముందు ఇరుసు వెనక 1.05 m దూరంలో ఉంది. సమతలంగా ఉన్న భూమి వల్ల ముందు వెనక గల చక్రాలొక్కొక్కటి పై ప్రయోగించే బలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి m = 1800 కి.గ్రా ; అక్షముల మధ్యదూరము = 1.8 మీ.
వెనక అక్షం నుండి ద్రవ్యరాశి కేంద్రదూరము = 1.05 మీ.
సమాంతరంగా ఉన్న నేల ముందువైపు, వెనుకవైపు గల చక్రాలపై అభిలంబచర్యలు R1 మరియు R2 అనుకుంటే
R1 + R2 = mg = 1800 × 9.8 → (i).
భ్రమణ సమతాస్థితి కోసం R1 × 1.05 = R2 (1.8 – 1.05) = 0.75R2
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 23

ప్రశ్న 10.
a) ఘనగోళానికి స్పర్శరేఖ పరంగా దాని జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి. గోళం వ్యాసంపరంగా జడత్వ భ్రామకం 2MR2/5 గా ఇచ్చారు. M గోళం ద్రవ్యరాశి, R దాని వ్యాసార్ధం.
b) M ద్రవ్యరాశి, R వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తాకార దిమ్మె జడత్వ భ్రామకం, వ్యాసం పరంగా MR2/4, దిమ్మె ఒక అంచు నుంచి పోతూ దిమ్మె తలానికి లంబంగా ఉండే అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
a) ఏదైనా అక్షంపరంగా గోళం M.O.I = \(\frac{2}{5}\) MR2
సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతం నుండి ఏదైనా స్పర్శరేఖ పరంగా M.O.I = \(\frac{2}{5}\) MR2 + MR2 = \(\frac{7}{5}\) MR2

b) వృత్తాకారపు బిళ్ళ వ్యాసము పరంగా M.O.I. = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\)
i) లంబాక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం తలానికి లంబంగా ఉండి బిళ్ళ కేంద్రం గుండా పోవు అక్షపరంగా
M.O.I = Ix + I4 = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\) + \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\) = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\)

ii) సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతం నుండి అంచుకు లంబంగాగల ఏదైనా అక్షపరంగా
M.O.I = IG + MR2 = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\) + MR2 = 3/2 MR2

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 11.
సమాన ద్రవ్యరాశి, సమాన వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక బోలు స్తూపం, ఒక ఘనగోళంపై సమాన పరిమాణం ఉన్న టార్క్లను ప్రయోగించారు. స్తూపం దాని సౌష్టవాక్షం పరంగా స్వేచ్ఛగా భ్రమణం చేయగలుగుతుంది. గోళం దాని కేంద్రం ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా స్వేచ్ఛగా భ్రమణం చేయగలుగుతుంది. వీటిల్లో, ఇచ్చిన కాలవ్యవధిలో, ఏది అధిక కోణీయ వేగాన్ని పొందుతుంది ?
సాధన:
బోలు స్థూపము మరియు ఘనగోళముల ద్రవ్యరాశి M మరియు వ్యాసార్ధము R అనుకోండి.
అక్షపరంగా బోలు స్థూపానికి M.O.I = I1 = MR2, గోళానికి I2 = \(\frac{2}{5}\) MR2
కావలసిన టార్క్ τ = I1α1 = I2α2
∴ \(\frac{\alpha_2}{\alpha_1}=\frac{\mathrm{I}_1}{\mathrm{I}_2}=\frac{\mathrm{MR}^2}{\frac{2}{5} \mathrm{MR}^2}=\frac{5}{2}\)
∴ α2 > α1
ω = ω0 + αt సమీకరణం నుండి ఇచ్చిన ω0 మరియు t లకు ω2 విలువ ω1 కన్న ఎక్కువ అనగా ఘనగోళం కోణీయ వేగం బోలు స్థూపం కోణీయ వేగం కన్న ఎక్కువ.

ప్రశ్న 12.
20 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక ఘన స్తూపం దాని అక్షం పరంగా 100 rad s-1 కోణీయ వడితో భ్రమణాలు చేస్తుంది. స్తూపం వ్యాసార్ధం 0.25 m. స్తూపం గతిజ శక్తి ఎంత ? స్తూపం అక్షంపరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగ పరిమాణం ఎంత?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి M = 20 కి.గ్రా.; R = 0.25 మీ.; ω = 100 Rad/s
ఘనస్థూపానికి M.O.I = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}=\frac{20 \times 0.25 \times 0.25}{2}\) = 0.65 కి. గ్రా. -మీ2
భ్రమణ గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) Iω2 = \(\frac{1}{2}\) × 0.625 × 100 × 100 = 3125 J.
కోణీయ ద్రవ్యవేగము L = Iω = 0.625 × 100 = 62.5 Js.

ప్రశ్న 13.
(a)ఒక తిరుగుడు బల్ల కేంద్రం వద్ద ఒక బాలుడు తన చేతులను బయటకు చాచి నిలబడి ఉన్నాడు. తిరుగుడు బల్ల 40 భ్రమణాలు / నిమిషం కోణీయ వడితో భ్రమణంచేసేట్లు దాన్ని తిప్పారు. ఇలా తిరుగుతున్న బల్ల మీద బాలుడు తన చేతులను అతని జడత్వ భ్రామకం తొలి విలువకు 2/5 వంతులయ్యేట్లు ముడిస్తే అతని కోణీయ వడి ఎంత ? తిరుగుడు బల్ల ఘర్షణ లేకుండా భ్రమణాలు చేస్తుందని భావించండి.
(b)బాలుని కొత్త భ్రమణ గతిజశక్తి తొలి గతిజశక్తి కంటె ఎక్కువ అని చూపండి. అతని భ్రమణ గతిజశక్తి పెరుగుదలకు కారణాన్ని వివరించండి.
సాధన:
a) దత్తాంశం నుండి తొలి కోణీయ వడి
ω1 = 40R.P.M
తుది M.O.I. I2 = \(\frac{2}{5}\) I1, ω2 = ?
ఈ ప్రక్రియలో బాహ్య టార్క్ τ = 0;
∴ L = స్థిరరాశి కావున I1ω1 = I2ω2
∴ తుది కోణీయ వడి ω2 = \(\frac{l_1}{\mathrm{l}_2} \omega_1=\frac{5}{2} \times 40\) = 100 R.P.M

b) తొలి భ్రమణ గతిజశక్తి E1 = \(\frac{1}{2}\) I1ω12 ; తుది R.K.E. (E2) = \(\frac{1}{2}\) I2ω22
∴ \(\frac{\mathrm{E}_2}{\mathrm{E}_1}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{I}_2 \omega_2^2}{\frac{1}{2} \mathrm{l}_1 \omega_1^2}=\left(\frac{\mathrm{I}_2}{\mathrm{I}_1}\right)\left(\frac{\omega_2}{\omega_1}\right)^2=\frac{2}{5} \times \frac{100}{40} \times \frac{100}{4}=\frac{5}{2}\)
∴ E2 = 2.5 E1

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 14.
3 kg ద్రవ్యరాశి, 40 cm వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక బోలు స్తూపం చుట్టూ దాదాపు ద్రవ్యరాశి లేని ఒక తాడు చుట్టారు. 30 N బలంతో తాడును లాగితే స్తూపం ఎంత కోణీయ త్వరణాన్ని పొందుతుంది ? తాడు రేఖీయ త్వరణం ఎంత అవుతుంది? తాడు స్థూపంపై స్లిప్కాదు అని భావించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి M = 3కి.గ్రా.; R = 40 సెం.మీ. = 0.4 మీ.
అక్షపరంగా బోలు స్థూపము M.O.I = I = MR2 = 3 × 0.4 × 0.4 = 0.48 kg m2.
బలము F = 30 N ∴ టార్క్ τ = F × R = 30 × 0.4 = 12 N-m.
కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{\tau}{\mathrm{I}}\) (∵ τ = Iα)
∴ α = \(\frac{12}{0.48}\) = 25 Rad/s
రేఖీయ త్వరణము a = R α = 0.4 × 25 = 10 m/s2

ప్రశ్న 15.
ఒక యంత్రం భ్రమణ భాగానికి (rotor) 200 rad s-1 ఏకరీతి కోణీయ వడిని సమకూర్చడానికి యంత్రం 180 Nm టార్క్న అందించవలసి ఉంది. యంత్రానికి అవసరమయ్యే సామర్థ్యం ఎంత ? (గమనిక : ఘర్షణ లేనప్పుడు సమకోణీయ వేగం కలిగి ఉండటమంటే టార్క్ శూన్యం అని అర్థం. వాస్తవానికి ప్రయోగించిన టార్క్ ఘర్షణ వల్ల కలిగే టార్క్్న వ్యతిరేకిస్తుంది.) యంత్రం 100% దక్షత కలిగి ఉన్నదని భావించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి (ω) = 200 Rad/s ; టార్క్ τ = 180 N – m
సామర్థ్యము P = τω = 180 × 200 = 36000 = 36 KW.

ప్రశ్న 16.
R వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక ఏకరీతి వృత్తాకార దిమ్మె నుంచి R/2 వ్యాసార్ధం గల వృత్తాకార ముక్కను వేరుచేసి రంధ్రాన్ని చేశారు. రంధ్రం కేంద్రం అసలు దిమ్మె కేంద్రం నుంచి R/2 దూరంలో ఉంది. ఫలితంగా ఏర్పడిన చదును వస్తువు గరిమనాభి స్థానాన్ని తెలపండి.
సాధన:
వృత్తాకార పలక ద్రవ్యరాశి కేంద్రం మూల బిందువు వద్ద కలదు.
చిన్న వృత్తాకార పలకను తొలగించకముందు, ద్రవ్యరాశి కేంద్రం = 0, 0
మొత్తం వృత్తాకార పలక ద్రవ్యరాశి = M = π (R)2 = πR2ρ = M
ρ = ప్రమాణవైశాల్యానికి ద్రవ్యరాశి
చిన్న వృత్తాకార పలక వ్యాసార్ధం = \(\frac{\mathrm{R}}{2}\)
∴ ద్రవ్యరాశి M2 = \(\frac{\pi \mathrm{R}^2}{4}\) ρ = \(\frac{\mathrm{M}}{4}\)
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 24
చిన్నపలక ద్రవ్యరాశి కేంద్రం దాని కేంద్రం వద్ద ఉండును. అనగా పెద్ద పలక కేంద్రం నుండి \(\frac{\mathrm{R}}{2}\) దూరంలో ఉండును.
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం నిరూపకం \(\frac{m_1 x_1+m_2 x_2}{m_1+m_2}\) = 0 (చిన్నపలక తొలగించకముందు)
చిన్నపలకను తొలగించిన తరువాత ద్రవ్యరాశి M1 = M – \(\frac{\mathrm{M}}{4}\) = \(\frac{\mathrm{3}}{4}\) M
∴ \(\frac{3}{4}\) M . x1 + \(\frac{\mathrm{M}}{4}\) . \(\frac{\mathrm{R}}{2}\) = 0 ⇒ \(\frac{-3}{4}\) Mx1 = \(\frac{\mathrm{M}}{4}\) \(\frac{\mathrm{R}}{2}\)
∴ x1 = – \(\frac{\mathrm{R}}{6}\)
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వ్యతిరేక దిశలో కదులును అని ఋణ గుర్తు వలన తెలియును.

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 17.
ఒక మీటర్ స్కేలును దాని కేంద్రం వద్ద కత్తిమొన ఉంచి తుల్య స్థితిలో నిలిపారు. ఒక్కొక్కటి 58 ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు నాణాలను ఒకదానిపై ఒకటి అమరేట్లుగా స్కేలుపై 12.0 cm విభాగం వద్ద ఉంచారు. అప్పుడు కత్తిమొన 45.0 cm విభాగం వద్ద ఉన్నప్పుడు స్కేలు తుల్య స్థితికి వచ్చింది. మీటర్ స్కేలు ద్రవ్యరాశి ఎంత ?
సాధన:
స్కేలు బరువు M. ఇది C వద్ద కేంద్రీకరింపబడినది అనుకోండి.
C’ బిందుపరంగా సమతాస్థితి ఉంది, C’ దూరము = 45 సెం.మీ.
రెండు నాణెముల బరువు = 10 గ్రా.; వాటి స్థానము = 12 సెం.మీ. వద్ద
∴ సమతాస్థితి వద్ద 10g (45 – 12) = mg (50 – 45)
∴ 10g × 33 = mg. 5 ⇒ m = \(\frac{10 \times 330}{5}\) = 66 గ్రా.

ప్రశ్న 18.
ఒక ఘనగోళం, వరస క్రమంలో, సమాన ఎత్తులున్న రెండు భిన్న వాలు కోణాలున్న వాలుతలాలపై కిందికి
(a) ప్రతి వాలుతలంపై దొర్లుతూ అడుగుభాగానికి చేరినప్పుడు గోళం సమాన వడి కలిగి ఉంటుందా ?
b) ఒక వాలు తలంపై దొర్లడానికి తీసుకొనే కాలం, రెండవ దానిపై తీసుకొన్న కాలం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందా ? c) అలా అయితే ఏ వాలుతలంపై ఎక్కువ సమయం తీసుకొంటుంది ? ఎందుకు ?
సాధన:
a) వాలుతలం అడుగుభాగంలో ఘనగోళం వేగం ‘v’ అనుకోండి. శక్తినిత్యత్వ నియమం నుండి
\(\frac{1}{2}\) mv2 + \(\frac{1}{2}\) Iω2 = mgh కాని ఘనగోళం MOI = I = \(\frac{2}{5}\) MR2
∴ \(\frac{1}{2}\) mv2 + \(\frac{1}{2}\) \(\frac{2}{5}\) (mR)2ω2 = mgh కాని v = rω
∴ \(\frac{1}{2}\) mv2 + \(\frac{1}{5}\) mv2 = mgh ⇒ v2 = \(\frac{10}{7}\) gh ⇒ v = \(\sqrt{\frac{10}{7} \mathrm{gh}}\)
వాలుకోణం θ మారినప్పటికి తుదివేగం ” మారదు. అనగా గోళం వాలుతలం అడుగుభాగాన్ని తాకే వేగం వాలు కోణము ‘θ’ పై ఆధారపడదు.

b) కాని ప్రయాణించిన కాలము t ∝ \(\frac{1}{\sin \theta}\) అనగా వాలుకోణము ‘θ’ తగ్గితే కాలము t పెరుగును.

c) తక్కువ వాలుకోణము గల తలముపై గోళము ఎక్కువసేపు దొర్లుతుంది.

ప్రశ్న 19.
2 m వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక కంకణం 100 kg ల బరువు కలిగి ఉంది. అది ఒక క్షితిజ సమాంతర తలంపై, దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం 20 cm/s వడితో గమనంలో ఉండేటట్లు దొర్లుతున్నది. దీన్ని నిశ్చలస్థితికి తేవడానికి ఎంతపని చేయవలసి ఉంటుంది ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి R = 2 మీ., M = 100 కి.గ్రా., v = 20 సెం.మీ/సె = 0.2 మీ/సె
కంకణం మొత్తం శక్తి E = \(\frac{1}{2}\) mV2 + \(\frac{1}{2}\) Iω2 = \(\frac{1}{2}\) mV2 + \(\frac{1}{2}\) mR2ω2
= \(\frac{1}{2}\) mV2 + \(\frac{1}{2}\) mR2 \([\frac{\mathrm{V}^2}{\mathrm{R}^2}/latex] = [latex]\frac{1}{2}\) mV2 + \(\frac{1}{2}\)mV2 = mv2 ( ∵ ω = \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{R}}\))
కంకణాన్ని ఆపడానికి చేసిన పని W = కంకణంలోని మొత్తం శక్తి
⇒ W = mV2 = 100 × 0.2 x 0.2 = 4 J

TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

ప్రశ్న 20.
ఆక్సిజన్ అణువు ద్రవ్యరాశి 5.30 × 10-26 kg. ఈ అణువులోని పరమాణువులను కలిపే రేఖకు గల మధ్య లంబరేఖ పరంగా దాని జడత్వ భ్రామకం 1.94 × 10-46 kg m2. ఇటువంటి అణువులున్న ఒక వాయువులో అణువు సగటు వడి పరంగా 500 m/s, అణువు భ్రమణ గతిజశక్తి దాని స్థానాంతరణ గతిజ శక్తిలో 2/3 వంతులు ఉన్నది అనుకొంటే అణువు సగటు కోణీయ వేగం ఎంత ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి m = 5.30 × 10-26 kg,
I = 1.94 × 10-46 kg m2,
v = 500m/s
ఒక్కొక్క ఆక్సిజన్ పరమాణువు ద్రవ్యరాశి = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{2}}\)
వాటి మధ్యదూరము d = 2r. పటము నుండి ఆక్సిజన్ అణువుల
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 25
కాని భ్రమణ గతిజశక్తి = \(\frac{2}{3}\) స్థానాంతరణ గతిజశక్తి
∴ \(\frac{1}{2}\) Iω2 = \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{1}{2}\) mv2 = \(\frac{1}{2}\) (mr22 = \(\frac{1}{3}\) mv2 ⇒ ω = \(\sqrt{\frac{2}{3}} \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{r}}\)
∴ ω = \(\sqrt{\frac{2}{3}} \times \frac{500}{0.61 \times 10^{-10}}\) = 6.7 × 1012 Rad/Sec.

ప్రశ్న 21.
ఒక ఘన స్తూపం 30° వాలు కోణం ఉన్న ఒక వాలు తలంపై కింది నుంచి పైకి దొర్లుతోంది. వాలుతలం కింది అంచువద్ద స్తూపం ద్రవ్యరాశి కేంద్ర వడి 5m/s.
(a)స్తూపం ఎంత దూరం వాలుతలం మీద పైకి దొర్లుతుంది ?
(b)మళ్ళీ అడుగుకు చేరడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి θ = 30°, v = 5 m/s
స్థూపము ‘h’ ఎత్తు వరకు వెళ్ళింది అని అనుకోండి.
శక్తి నిత్యత్వ నియమం నుండి \(\frac{1}{2}\) mV2 + \(\frac{1}{2}\) Iω2 = mgh
TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 7 కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం 26

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(i)

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(i) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Matrices Solutions Exercise 3(i)

Question 1.
2x + 3y – z = 0,
x – y – 2z = 0,
3x + y + 3z = 0
Answer:
The coefficient matrix obtained from the given equations is
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(i) 1
Since the determinant of the coefficient matrix ≠ 0 the system has a trivial solution, x = y = z = 0 and ρ(A) = 3.

Question 2.
3x + y – 2z = 0,
x + y + z = 0,
x – 2y + z = 0
Answer:
The coefficient matrix obtained from the given equations is
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(i) 2
ρ(A) = 3; and the system has a trivial solution x = y = z = 0

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(i)

Question 3.
x + y – 2z = 0,
2x + y – 3z = 0,
5x + 4y – 9z = 0
Answer:
The coefficient matrix is
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right]\)
and \(\left|\begin{array}{lll}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right|\)
= 1(-9 + 12) – 1(-18 + 15) – 2
= 3 + 3 – 6 = 0
If \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) is any submatrix of order 2 x 2 and
\(\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right|\) = 1 – 2 = -1 ≠ 0, ρ(A) < 3. Hence the system has a nontrival solution.
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(i) 3
∴ System of equations is equivalent to
x + y – 2z = 0 and y – z = 0
Let z = k then y = k and x = k
∴ x = y = z = k for a real number k.

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(i)

Question 4.
x + y – z= 0
x – 2y + z = 0
3x + 6y – 5z = 0
Answer:
Coefficient matrix
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
1 & -2 & 1 \\
3 & 6 & -5
\end{array}\right]\)
|A| = 1(10 – 6) – 1(-5 – 3) – 1(6 + 6)
= 4 + 8 – 12 = 0

∴ If \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -2
\end{array}\right]\) is a submatrix of order 2 and
\(\left|\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -2
\end{array}\right|\) = -3 ≠ 0, ρ(A) = 2. System has a non-trivial solution ρ(A) < 3.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -1 \\
1 & -2 & 1 \\
3 & 6 & -5
\end{array}\right]\)
Use R2 – R1 and R3 – 3R1
A – \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -1 \\
0 & -3 & 2 \\
0 & 3 & -2
\end{array}\right]\)
System of equations is equivalent to x + y – z = 0
3y – 2z = 0
Let z = k, then 3y = 2k
⇒ y = \(\frac{2 \mathrm{k}}{3}\)
x = -y + z = –\(\frac{2 \mathrm{k}}{3}\) + k = \(\frac{k}{3}\)
x = \(\frac{k}{3}\), y = \(\frac{2 \mathrm{k}}{3}\), z = k
for any real number of k.

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(c)

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(c) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Matrices Solutions Exercise 3(c)

Question 1.
If A = \(\left[\begin{array}{rrr}
2 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 5
\end{array}\right]\) and B = \(\left[\begin{array}{rrr}
-1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & -2
\end{array}\right]\) then find (AB’)’
Answer:
We have (AB)’ = B’A’
and (AB’)’ = (B’)’ A’ = BA’ (∵ (B )’ = B)
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(c) 1

Question 2.
If A = \(\left[\begin{array}{rr}
-2 & 1 \\
5 & 0 \\
-1 & 4
\end{array}\right]\) and B = \(\left[\begin{array}{rrr}
-2 & 3 & 1 \\
4 & 0 & 2
\end{array}\right]\) then find 2A + B’ and 3B’ – A.
Answer:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(c) 2

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(c)

Question 3.
If A = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & -4 \\
-5 & 3
\end{array}\right]\) then find A + A’ and A. A’ (May 2007) (Board Model Paper)
Answer:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(c) 3

Question 4.
If A = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 3 \\
2 & 5 & 6 \\
3 & x & 7
\end{array}\right]\) is a symmetric matrix then find x.
Answer:
A matrix ‘A’ is said to be symmetric if A’ = A
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(c) 4

Question 5.
If A = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 2 & 1 \\
-2 & 0 & -2 \\
-1 & x & 0
\end{array}\right]\) is a skew symmetric matrix, find x. (May 2014, 11)
Answer:
A matrix A is said to be skew symmetric if A’ = – A
\(\left[\begin{array}{ccc}
0 & -2 & -1 \\
2 & 0 & \mathrm{x} \\
1 & -2 & 0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
0 & -2 & -1 \\
2 & 0 & 2 \\
1 & -\mathrm{x} & 0
\end{array}\right]\)
from equality of matrix x = 2

Question 6.
Is \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 4 \\
-1 & 0 & 7 \\
-4 & -7 & 0
\end{array}\right]\) a symmetric or skew symmetric?
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 4 \\
-1 & 0 & 7 \\
-4 & -7 & 0
\end{array}\right]\) then A is symmetric if A’ = A and skew symmetric if A’ = – A
i.e., A’ = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & -1 & -4 \\
1 & 0 & -7 \\
4 & 7 & 0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 4 \\
-1 & 0 & 7 \\
-4 & -7 & 0
\end{array}\right]\) = -A
∴ The matrix A is a skew symmetric matrix.

TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(c)

II.
Question 1.
If A = \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \alpha & \sin \alpha \\
-\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\), show that A . A’ = A’ . A = I2. (March 2007)
Answer:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(c) 5

Question 2.
If A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 5 & 3 \\
2 & 4 & 0 \\
3 & -1 & -5
\end{array}\right]\) and B = \(\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 0 \\
0 & -2 & 5 \\
1 & 2 & 0
\end{array}\right]\), then find 3A – 4B’.
Answer:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(c) 6

Question 3.
If A = \(\left[\begin{array}{rr}
7 & -2 \\
-1 & 2 \\
5 & 3
\end{array}\right]\) and B = \(\left[\begin{array}{rr}
-2 & -1 \\
4 & 2 \\
-1 & 0
\end{array}\right]\) then find AB’ and BA’.
Answer:
TS Inter 1st Year Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(c) 7

Question 4.
For any square matrix A; show that A A’ is symmetric. (March 2015-A.P)
Answer:
By definition a matrix is said to be symmetric if A’ = A.
∴(A A’)’ = (A’)’ A’ = A A’
[(∵ (AB)’ = B’A’ and (A’)’ = A]
Hence AA’ is a symmetric matrix.