Mahesh

Here students can locate TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 8 Theories of Employment and Public Finance to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 8 Theories of Employment and Public Finance

→ Aggregate Supply Price: Aggregate supply is the total supply of goods and services in the economy. Aggregate supply price refers to the minimum total income that the entrepreneurs in the economy expect to receive from the sale of the total output.

→ Aggregate Demand Price: Aggregate demand is the total demand for the goods and services in the economy. Aggregate demand price refers to the amount that is expected to be spent on the total output. This is also called the total expenditure (Aggregate Demand = Consumption expenditure + Investment).

→ Effective Demand: Effective demand is that aggregate demand which becomes equal to the aggregate supply. This refers to the aggregate demand at equilibrium.

→ Wage-Cut Policy: This is the policy advocated by A.C. Pigou (classical economist) to reduce unemployment in the economy. It suggests that the wages of the labour should be reduced so that the unemployed can be employed.

→ Budget: Budget is the annual statement of the estimated receipts (income) and the estimated expenditure of the government for the ensuing financial year (April 1 to March 31).

→ Vote on Account: Vote – on the account is an interim budget presented for a few months pending the presentation of the regular budget.

→ Surplus Budget: Surplus budget refers to the budget in which the total receipts exceed the total expenditure.

→ Deficit Budget: Deficit budget refers to the budget in which the total expenditure exceeds total receipts.

→ Balanced Budget: Balanced budget is a budget in which the total receipts and total expenditures are equal.

→ Budget Deficit: A budget deficit is the difference between the total receipts and the total expenditure in the budget.

→ Revenue Deficit: Revenue deficit is the difference between the revenue receipts and the revenue expenditure.

→ Fiscal Deficit: It is the budget deficit plus the market borrowings.

→ Primary Deficit: It is the fiscal deficit minus the interest payments.

→ Redemption of Debt: It means repayment of public debt.

→ Public Finance: It deals with the income and expenditure of the public authorities (central, state and local governments).

→ Capital levy: It is a once – for – all tax imposed on capital assets and estates.

→ Federal Finance: It means divisions and coordinations of different heads of income and expenditure between central, state, and local governments.

→ Finance Commission: This was established in the year 1951 by the president of India under Article 280 of the Indian constitution with a duration of five years. It recommends the distribution of financial resources between the center and the state. So far, fifteen Finance Commissions have been constituted in India.

TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 8 ఉద్యోగిత సిద్ధాంతాలు మరియు ప్రభుత్వ విత్తం

→ సాంప్రదాయ ఆర్థికవేత్తలయిన ఆడమస్మిత్, రికార్డో, మాల్డస్, J. B. సే మొదలగు ఆర్థికవేత్తలు రూపొందించిన ఉద్యోగితా సిద్ధాంతాన్నే సాంప్రదాయ సిద్ధాంతం అంటారు.

→ ఈ సిద్ధాంతంలో ప్రభుత్వ జోక్యం ఉండదు. సంపూర్ణ పోటీ ఉద్యోగిత, వేతనాల సరళత్వం మొదలగు ప్రమేయాలపై ఆధారపడింది.

→ సంపూర్ణ ఉద్యోగితా స్థాయిని పొందక ముందే సమిష్టి సప్లై, సమిష్టి డిమాండ్ సమానమైన సమతౌల్యాన్ని సాధించడం జరుగుతుందని కీన్స్ అభిప్రాయం. ఆర్థిక వ్యవస్థలో కొంత మంది నిరుద్యోగులు ఉంటారు. ఈ స్థితినే అల్ప ఉద్యోగితా సమతౌల్యం అని అంటారు.

→ ఆర్థిక వ్యవస్థలో మొత్తం వస్తురాశికుండే డిమాండ్ సమిష్టి డిమాండ్.

→ ఆర్థిక వ్యవస్థలో మొత్తం వస్తురాశి సప్లైని తెలియజేయునది సమిష్టి సప్లై, సమిష్టి డిమాండ్. సప్లై సమానమైన స్థితిని సార్థక డిమాండ్ అంటారు.

→ ప్రభుత్వం ఆదాయ, వ్యయాలను గురించి వీటి మధ్య సర్దుబాట్లకు సంబంధించిన విషయాలను అధ్యయనం చేసేదే ‘ప్రభుత్వ విత్తశాస్త్రం.

→ ప్రభుత్వ ఆదాయ వ్యయాల పట్టికను బడ్జెట్ అంటారు. కొన్ని సందర్భాలలో ప్రభుత్వాలు పూర్తి బడ్జెట్ను సమర్పించే వీలు లేనప్పుడు ‘ఓట్ ఆన్ అకౌంట్’ బడ్జెట్ను తాత్కాలికంగా కొన్ని నెలల కోసం సమర్పిస్తుంది.

Here students can locate TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 7 National Income Analysis to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 7 National Income Analysis

→ National Income: National income is the market value of goods and services produced annually in a country.

→ Gross National Product (GNP): Gross national product is the current monetary value of goods and services produced in a year in a country and to this net income from abroad has to be added.

→ Depreciation: Depreciation is the wear and tear of machines or replacement cost.

→ Net National Product (NNP): Depreciation has to be deducted from the gross national product to arrive at NNR.

→ Gross Domestic Product (GDP): Gross domestic, the product is the current monetary value of goods and services produced in a year in a country by their own factors of production. Net income from abroad is not included in gross domestic product.

→ Transfer Payments: Payments made in the form of pensions, unemployment allowances etc., which need not be returned.

→ Subsidies: When a producer sells his product at the price less than its cost he incurs loss and this will be paid by the government to the producer in the form of subsidies.

→ Per Capita Income: Per capita income is the average income of people in a country in a particular year. It can be arrived at by dividing national income with population.

→ Disposable Income: Disposable income is the part of personal income which is left with the individual after payment of direct taxes.

TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 7 జాతీయాదాయ విశ్లేషణ

→ ఒక దేశంలో ఒక సంవత్సర కాలంలో ఉత్పత్తి అయిన వస్తు సేవల మొత్తం నికర విలువ.

→ ఫిషర్ నిర్వచనం: వినియోగదారులు మానవ వనరుల నుండి లేదా భౌతిక వనరుల నుండి పొందే వస్తు సేవల సముదాయమే జాతీయాదాయం.

→ జాతీయాదాయాన్ని ప్రకృతి వనరులు, శ్రమ, మూలధనం, వ్యవస్థాపన, ఇతర కారకాలు నిర్ణయిస్తాయి.

→ స్థూల జాతీయోత్పత్తి, స్థూల దేశీయోత్పత్తి, నికర జాతీయోత్పత్తి, ఉత్పత్తి కారకాల ఖరీదు దృష్ట్యా జాతీయాదాయం, వ్యష్టి ఆదాయం, వ్యయార్హ ఆదాయం, తలసరి ఆదాయం మొదలైనవి జాతీయాదా యానికి సంబంధించిన వివిధ భావనలు.

→ వినియోగం, స్థూల దేశీయ పెట్టుబడి, ప్రభుత్వ వ్యయం, నికర దేశీయ పెట్టుబడి మొదలగునవి జాతీయ ఆదాయంలోని వివిధ భాగాలు.

→ జాతీయాదాయ మదింపు మూడు పద్ధతుల ద్వారా లెక్కించవచ్చు.

1. ఉత్పత్తి మదింపు పద్ధతి
2. వ్యయాల మదింపు పద్ధతి
3. ఆదాయాల మదింపు పద్ధతి.

→ ద్రవ్య రూపంలో కొన్ని వస్తువుల విలువను చెప్పలేకపోవటం, కొన్ని సంస్థలలో లెక్కలు సరిగా లేకపోవటం, ప్రభుత్వ ఖర్చులు, పన్నులు మొదలైన వాటి లెక్కల సమగ్ర సేకరణ జరగకపోవటం, మనదేశంలో వృత్తుల ప్రత్యేకీకరణ లేకపోవటం మొదలైన అనేక సమస్యలు ఉన్నాయి.

→ ఉత్పత్తి కారకాల మధ్య పంపిణీ సంవత్సర కాలంలో ఉత్పత్తియైన వస్తురాశిని అంచనా వేయటం, జీవన ప్రమాణ స్థాయిని తెలుసుకోవటం, వివిధ దేశాల అభివృద్ధిని గుర్తించటం, ఆర్థిక సమస్యలను గుర్తించటం, ఆర్థిక ప్రణాళికల రూపకల్పన, వినియోగ వ్యయం, పొదుపు మొదలగు అంశాల అంచనాకు జాతీయాదాయ లెక్కలు తోడ్పడతాయి.

Students must practice these Maths 1B Important Questions TS Inter 1st Year Maths 1B Tangent and Normal Important Questions to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 1st Year Maths 1B Tangent and Normal Important Questions

Question 1.
Find the slope of the tangent to the curve y = 5x² at the point (-1, 5). [May ’04]
Solution:
Given, the equation of the curve is y = 5x²
Differentiating on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 5(2x) = 10x
∴ Slope of the tangent at P(-1, 5) is m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_P\)
= 10(-1)
= -10

Question 2.
Find the equations of the tangent and the normal to the curve y = 5x⁴ at the point (1, 5). [May ’15 (AP), ’10, ’07]
Solution:
Given, the equation of the curve is y = 5x⁴
Differentiating on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 5 . 4x³ = 20x³
Slope of tangent at P(1, 5) is m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_P\)
= 20(1)³
= 20
The equation of the tangent at P is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 5 = 20(x – 1)
y – 5 = 20x – 20
20x – y – 15 = 0
The equation of normal at P is y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – 5 = \(\frac{-1}{20}\) (x – 1)
20y – 100 = -x + 1
x + 20y – 101 = 0

Question 3.
Find the equations of the tangent and the normal to the curve y⁴ = ax³ at (a, a). [May ’13]
Solution:
Given the equation of the curve is y⁴ = ax³
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

Equation of tangent at P(a, a) is y – y₁ = m(x – x₁)
y – a = \(\frac{3}{4}\)(x – a)
4y – 4a = 3x – 3a
3x – 4y + a = 0
Equation of normal at P (a, a) is y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – a = \(\frac{-1}{\frac{3}{4}}\) (x – a)
3y – 3a = 4x + 4a
4x + 3y – 7a = 0

Question 4.
II Show that the tangent at any point ‘θ’ on the curve x = c sec θ, y = c tan θ is y sin θ = x – c cos θ. [Mar. ’19 (TS)]
Solution:
Given that x = c sec θ
Differentiating on both sides with respect to ‘θ’.
\(\frac{d x}{d \theta}\) = c sec θ tan θ
and y = c tan θ
Differentiating on both sides with respect to ‘θ’
\(\frac{d y}{d \theta}\) = c sec²θ
Now,


y sin θ cos θ – c sin²θ = x cos θ – c
y sin θ cos θ – c sin²θ + c = x cos θ
y sin θ cos θ + c(1 – sin²θ) = x cos θ
y sin θ cos θ + c cos²θ = x cos θ
y sin θ + c cos θ = x
y sin θ = x – c cos θ

Question 5.
Find the equations of tangent and the normal to the curve y = x² – 4x + 2 at the point (4, 2).
Solution:
Given equation of the curve is y = x² – 4x + 2 ……….(1)
Let given point be P(x, y) = (4, 2)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{d y}{d x}\) = 2x – 4
Slope of the tangent at P is m = \(\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{dx}}\right)_{\mathrm{P}}\)
m = 2(4) – 4 = 4
The equation of the tangent at P is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 2 = 4(x – 4)
y – 2 = 4x – 16
4x – y – 14 = 0
Equation of normal at P is y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – 2 = \(\frac{-1}{m}\) (x – 4)
4y – 8 = -x + 4
x + 4y – 12 = 0

Question 6.
Show that the length of the subnormal at any point on the curve y² = 4ax is a constant. [Mar. ’13 (Old), ’11, ’05; May ’09]
Solution:
Given, the equation of the curve is y² = 4ax
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

∴ The length of the subnormal at any point (x, y) on the curve is a constant.

Question 7.
Show that the length of the subtangent at any point on the curve y = a^x (a > 0) is a constant.
Solution:
Given, the equation of the curve is y = a^x
Differentiating on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = a^x log a
The slope of the tangent at any point P(x, y) is

∴ The length of the subtangent at any point P(x, y) on the curve is a constant.

Question 8.
Show that the square of the length of sub tangent at any point on the curve by² = (x + a)³ (b ≠ 0) varies with the length of the subnormal at that point.
Solution:
Given, equation of the curve is by² = (x + a)³
Differentiating on both sides with respect to ‘x’


∴ (length of subtangent)² ∝ (length of the subnormal).

Question 9.
Find the lengths of sub tangent and subnormal at a point on the curve y = b sin(\(\frac{x}{a}\)). [Mar. ’16 (TS); May ’05]
Solution:
Given equation of the curve is y = b sin(\(\frac{x}{a}\))
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

Question 10.
Show that at any point (x, y) on the curve y = \(b e^{x / a}\), the length of the subtangent is a constant and the length of the subnormal is \(\frac{\mathbf{y}^2}{a}\). [Mar. ’18 (TS); May ’12; Mar. ’10]
Solution:
Given equation of the curve is y = \(b e^{x / a}\)
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

Question 11.
Find the lengths of normal and subnormal at a point on the curve y = \(\frac{a}{2}\left[e^{\frac{x}{a}}+e^{\frac{-x}{a}}\right]\). [Mar. ’13]
Solution:
Given equation of the curve is y = \(\frac{a}{2}\left[e^{\frac{x}{a}}+e^{\frac{-x}{a}}\right]\)
y = a cosh(\(\frac{x}{a}\))
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

Question 12.
Show that the tangent at P(x₁, y₁) on the curve √x + √y = √a is \(\mathrm{y}_1 \mathrm{y}^{-1 / 2}+\mathrm{xx}_1^{-1 / 2}\) = \(a^{1 / 2}\). [May ’15 (AP), ’04]
Solution:
Given the equation of the curve is √x + √y = √a ……….(1)
Since the point P(x₁, y₁) lies on the curve (1) then √x₁ + √y₁ = √a ……….(2)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’


Which is a required equation of a tangent.

Question 13.
If the tangent at any point on the curve \(x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=a^{2 / 3}\) intersects the coordinate axes in A and B, then show that the length AB is a constant. [Mar. ’19 (TS); Mar. ’15 (TS), ’14, ’13, ’08, ’07, ’05, ’03; May ’10]
Solution:
Given equation of the curve is \(x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=a^{2 / 3}\)
Differentiating on both sides with respect to ‘x’


AB² = a²
⇒ AB = a (constant)
∴ The length AB is a constant.

Question 14.
If the tangent at any point P on the curve x^m yⁿ = a^m+n (mn ≠ 0) meets the coordinate axes in A, B, then show that AP : BP is a constant. [Mar. ’10; May ’08, ’06]
Solution:
Given the equation of the curve is x^m yⁿ = a^m+n
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

Question 15.
At any point, ‘t’ on the curve x = a (t + sin t), y = a(1 – cos t), find the lengths of a tangent, normal, subtangent, and subnormal. [Mar. ’18 (AP)]
Solution:
Given that x = a(t + sin t)
Differentiating on both sides with respect to ‘t’

Question 16.
(i) Find the angle between the curves xy = 2 and x² + 4y = 0. [Mar. ’17 (AP); May ’13, ’11]
(ii) Define the angle between the curves. [May ’11]
Solution:
(i) Given, the equations of the curves are
xy = 2 …….(1)
x² + 4y = 0 ………(2)
From (1), y = \(\frac{2}{x}\)
Substituting in equation (2)


(ii) Angle between two curves: If two curves intersect at a point P and the tangents at P for both curves exists then the angle between the tangents at P is called the angle between the curves at P.

Question 17.
Show that the curves y² = 4(x + 1) and y² = 36(9 – x) intersect orthogonally. [Mar. ’13 (old), ’11, ’09, ’08, ’06, ’02; May ’15 (AP), ’05]
Solution:
Given curves are
y² = 4(x + 1) ………(1)
y² = 36(9 – x) ……..(2)
From (1) and (2)
4(x + 1) = 36(9 – x)
x + 1 = 81 – 9x
10x = 80
x = 8
If x = 8,
y² = 4(8 + 1) = 4(9) = 36
y = ±6
∴ Required points are P(8, 6), Q(8, -6)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’

Now, m₁m₂ = \(\frac{-1}{3}\)(3) = -1
∴ m₁m₂ = -1
Since, m₁m₂ = -1, the two curves cut each other orthogonally.

Question 18.
Find the angle between the curves y² = 4x and x² + y² = 5. [Mar. ’16 (AP), ’12; May ’07]
Solution:
Given, the equations of the curves are
y² = 4x ……..(1)
x² + y² = 5 ……..(2)
Substitute equation (1) with equation (2)
x² + 4x = 5
x² + 4x – 5 = 0
x² + 5x – x – 5 = 0
x(x + 5) – 1(x + 5) = 0
(x + 5) (x – 1) = 0
x + 5 = 0 (or) x – 1 = 0
x = -5 (or) x = +1
If x = -5, from (1)
y² = 4(-5)
y² = -20 ∉ R
If x = 1, from (1)
y² = 4(1)
y² = 4
y = √4 = ±2
∴ Required point are P(1, 2), Q(1, -2)

Question 19.
Find the angle between the curves x² + 3y = 3 and x² – y² + 25 = 0. [May ’03]
Solution:
Given, the equations of the curves are
x² + 3y = 3 …….(1)
x² – y² + 25 = 0 …….(2)
From (1),
x² + 3y = 3
x² = 3 – 3y
Substituting in equation (2)
3 – 3y – y² + 25 = 0
-y² – 3y + 28 = 0
y² + 3y – 28 = 0
y² + 7y – 4y – 28 = 0
y(y + 7) – 4(y + 7) = 0
(y + 7)(y – 4) = 0
y + 7 = 0 (or) y – 4 = 0
y = -7 (or) y = 4
If y = -7,
x² = 3 – 3(-7)
= 3 + 21
x² = 24
x = ±2√6
If y = 4,
x² = 3 – 3(4)
= 3 – 12
= -9 ∉ R
∴ Required points are P(2√6, -7), Q(-2√6, -7)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’

Question 20.
Find the angle between the curves 2y² – 9x = 0 and 3x² + 4y = 0 (in the 4th quadrant). [May ’09]
Solution:
Given, the equations of the curves are
2y² – 9x = 0 ……..(1)
3x² + 4y = 0 ………(2)
From (1), 2y² = 9x
x = \(\frac{2 y^2}{9}\)
Substituting in equation (2)

Question 21.
Find the angle between the curves y² = 8x and 4x² + y² = 32. [Mar. ’18 (AP); May ’12]
Solution:
Given, the equations of the curves are
y² = 8x ……..(1)
4x² + y² = 32 ………(2)
Substituting y² = 8x in equation (2)
4x² + 8x = 32
4x² + 8x – 32 = 0
x² + 2x – 8 = 0
x² + 4x – 2x – 8 = 0
x(x + 4) – 2(x + 4) = 0
(x + 4) (x – 2) = 0
x + 4 = 0 (or) x – 2 = 0
x = -4 (or) x = 2
If x = -4,
y² = 8(-4) = -32 ∉ R
If x = 2,
y² = 8(2) = 16
y = ±4
∴ Required point are P(2, 4), Q(2, -4).
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’
2y . \(\frac{d y}{d x}\) = 8
y . \(\frac{d y}{d x}\) = 4
\(\frac{d y}{d x}=\frac{4}{y}\)
Differentiating (2) on both sides with respect to ‘x’
4(2x) + 2y . \(\frac{d y}{d x}\) = 0
8x + 2y . \(\frac{d y}{d x}\) = 0

Question 22.
Show that the curves 6x² – 5x + 2y = 0 and 4x² + 8y² = 3 touch each other at \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\). [Mar. ’15 (AP), ’10; May ’13 (old)]
Solution:
Given, the equations of the curves are
6x² – 5x + 2y = 0 ……….(1)
4x² + 8y² = 3 ………(2)
Let the given point P = \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’


∴ m₁ = m₂
∴ The curves 6x² – 5x + 2y = 0, 4x² + 8y² = 3 touch each other.

Some More Maths 1B Tangent and Normal Important Questions

Question 23.
Find the equations of the tangents to the curve y = 3x² – x³, where it meets the X-axis.
Solution:
Given, equation of the curve is y = 3x² – x³ ………(1)
Given that the curve meets at X-axis then y = 0
∴ 3x² – x³ = 0
x²(3 – x) = 0
x² = 0 or 3 – x = 0
x = 0 or x = 3
∴ P(0, 0), Q(3, 0)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’.
\(\frac{d y}{d x}\) = 3(2x) – 3x² = 6x – 3x²
at P(0, 0):
Slope of the tangent at P(0, 0) is
m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_P\)
= 6(0) – 3(0)²
= 0
Equation of tangent at P(0, 0) is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 0 = 0(x – 0)
y = 0
at Q(3, 0):
Slope of tangent at Q(3, 0) is m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_Q\)
= 6(3) – 3(3)²
= 18 – 27
= -9
∴ Equation of the tangent at Q(3, 0) is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 0 = -9(x – 3)
y = -9x + 27
9x + y – 27 = 0
∴ The required equations of the tangents are y = 0, 9x + y – 27 = 0.

Question 24.
Show that the area of the triangle formed by the tangent at any point on the curve xy = c (c ≠ 0), with the coordinate axes is constant.
Solution:
Given, the equation of the curve is xy = c
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

\(\frac{x}{2 x_1}+\frac{y}{2 y_1}\) = 1
∴ x-intercept, a = 2x₁, y-intercept, b = 2y₁
∴ The area of the triangle formed by this tangent and the coordinate axes = \(\frac{1}{2}\) |ab|
= \(\frac{1}{2}\) |2x₁ . 2y₁|
= 2|x₁y₁|
= 2c (constant) (∵ P(x₁, y₁) lies on curve, x₁y₁ = c)

Question 25.
Show that the equation of the tangent to the curve is \(\left(\frac{x}{a}\right)^n+\left(\frac{y}{b}\right)^n\) = 2 (a ≠ 0, b ≠ 0) at the point (a, b) is \(\frac{\mathbf{x}}{\mathbf{a}}+\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{b}}\) = 2. [Mar. ’18 (TS)]
Solution:
Given, equation of the curve is \(\left(\frac{x}{a}\right)^n+\left(\frac{y}{b}\right)^n\) = 2
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

∴ The equation of the tangent to the curve at the point (a, b) is y – y₁ = m(x – x₁)
y – b = \(\frac{-b}{a}\) (x – a)
ay – ab = -bx + ab
bx + ay = 2ab
\(\frac{b x}{a b}+\frac{a y}{a b}=2\)
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=2\)

Question 26.
Find the slope of the tangent to the curve y = \(\frac{x-1}{x-2}\) at x = 10.
Solution:
Given, equation of the curve is y = \(\frac{x-1}{x-2}\)
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

Question 27.
Find the slope of the tangent to the curve y = x³ – x + 1 at the point whose x-coordinate is 2.
Solution:
Given, equation of curve is y = x³ – x + 1
Differentiating on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\)(x³ – x + 1) = 3x² – 1
Slope of tangent at x = 2 is m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_{x=2}\)
= 3(2)² – 1
= 12 – 1
= 11

Question 28.
Find the slope of the tangent to the curve y = x³ – 3x + 2 at the point whose x-coordinate is 3.
Solution:
Given, equation of curve is y = x³ – 3x + 2
Differentiating on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(x^3\right)-3 \frac{d}{d x}(x)+\frac{d}{d x}(2)\)
= 3x² – 3 + 0
= 3x² – 3
Slope of tangent at x = 3 is m = \(\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)_{\mathrm{x}=3}\)
= 3(3)² – 3
= 27 – 3
= 24

Question 29.
Find the slope of the normal to the curve x = a cos³θ, y = a sin³θ at θ = \(\frac{\pi}{4}\).
Solution:
Given, x = a cos³θ
Differentiating on both sides with respect to ‘θ’

Question 30.
Find the point on the curve y = x³ – 11x + 5 at which the tangent is y = x – 11.
Solution:
Given, the equation of the curve is y = x³ – 11x + 5
Differentiating on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(x^3\right)-11 \frac{d}{d x}(x)+\frac{d}{d x}(5)\) = 3x² – 11
The slope of the tangent at any point P(x, y) is m = \(\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)_{\mathrm{P}}\) = 3x² – 11
Given the equation of the tangent is y = x – 11
Slope of the tangent is m = \(\frac{-\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{-1}{-1}\) = 1
∴ 3x² – 11 = 1
3x² = 12
x² = 4
x = 2
If x = 2, y = 2 – 11 = -9
∴ The required point is (2, -9).

Question 31.
Find the equations of tangent and normal to the curve y = x⁴ – 6x³ + 13x² – 10x + 5 at the point (0, 5).
Solution:
Given, equation of the curve is y = x⁴ – 6x³ + 13x² – 10x + 5 ……..(1)
Let the given point P(x, y) = (0, 5)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}\left(x^4\right)-6 \frac{d}{d x}\left(x^3\right)+13 \frac{d}{d x}\left(x^2\right)\) – \(10 \frac{d}{d x}(x)+\frac{d}{d x}(5)\)
= 4x³ – 18x² + 26x – 10
Slope of the tangent at P is m = \(\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)_{\mathrm{P}}\)
= 4(0)³ – 18(0)² + 26(0) – 10
= -10
The equation of the tangent at P is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 5 = -10(x – 0)
y – 5 = -10x
10x + y – 5 = 0
The equation of the normal at P is y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – 5 = \(\frac{-1}{-10}\) (x – 10)
10y – 50 = x
x – 10y + 50 = 0

Question 32.
Find the equations of tangent and normal to the curve x = cos t, y = sin t at t = \(\frac{\pi}{4}\).
Solution:
Given, x = cos t
Differentiating on both sides with respect to ‘t’.
\(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) = -sin t
Now, y = sin t
Differentiating on both sides with respect to ‘t’
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}\) = cos t

Question 33.
Find the equations of tangent and normal to the curve y = \(\frac{1}{1+x^2}\) at the point (0, 1).
Solution:
Given, equation of the curve is y = \(\frac{1}{1+x^2}\)
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

The equation of the tangent at P is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 1 = 0(x – 0)
y – 1 = 0
Equation of normal at P is y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – 1 = \(\frac{-1}{-0}\) (x – 0)
0(y – 1) = -x + 0
0 = -x
x = 0

Question 34.
Find the equations of tangent and normal to the curve xy = 10 at (2, 5). [Mar. ’17 (AP)]
Solution:
Given, the equation of the curve is xy = 10
y = \(\frac{10}{x}\) …….(1)
Let given point be P(x₁, y₁) = (2, 5)
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

The equation of the tangent at P is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 5 = \(\frac{-5}{2}\) (x – 2)
2y – 10 = -5x + 10
5x + 2y – 20 = 0
Equation of normal at P is y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – 5= \(\frac{-1}{\frac{-5}{2}}(x-2)\)
y – 5 = \(\frac{2}{5}\) (x – 2)
5y – 25 = 2x – 4
2x – 5y + 21 = 0

Question 35.
Find the equations of tangent and normal to the curve y = x³ + 4x² at (-1, 3). [May ’15 (TS), ’14]
Solution:
Given, the equation of the curve is y = x³ + 4x² …….(1)
Let the given point P(x₁, y₁) = (-1, 3)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’
\(\frac{d y}{d x}\) = 3x² + 8x
Slope of tangent at P is m = \(\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)_{\mathrm{P}}\)
= 3(-1)² + 8(-1)
= 3 – 8
= -5
The equation of the tangent at P is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 3 = -5(x + 1)
y – 3 = -5x – 5
5x + y + 2 = 0
Equation of normal at P is y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – 3 = \(\frac{-1}{-5}\) (x + 1)
5y – 15 = x + 1
x – 5y + 16 = 0

Question 36.
If the slope of the tangent to the curve y = x log x at a point on it is \(\frac{3}{2}\), then find the equations of tangent and normal at the point.
Solution:
Given, the equation of the curve is y = x log x
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

Question 37.
Show that the curves x² + y² = 2 and 3x² + y² = 4x have a common tangent at the point (1, 1).
Solution:
Given the equation of the first curve is x² + y² = 2
Differentiating on both sides with respect to ‘x’
2x + 2y . \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 0
x + y . \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 0
y \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = -x
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{-\mathrm{x}}{\mathrm{y}}\)
Slope of the tangent at P(1, 1) is m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_P=\frac{-1}{1}\) = -1
The equation of the tangent at P is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 1 = -1(x – 1)
y – 1 = -x + 1
x + y – 2 = 0
Given the equation of the second curve is 3x² + y² = 4x
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

The equation of the tangent at P is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 1 = -1(x – 1)
y – 1 = -x + 1
x + y – 2 = 0
∴ The curves x² + y² = 2 and 3x² + y² = 4x have a common tangent at the point (1, 1).

Question 38.
At a point (x₁, y₁) on the curve x³ + y³ = 3axy, show that the tangent is (\(x_1^2\) – ay₁)x + (\(y_1^2\) – ax₁)y = ax₁y₁. [Mar. ’17 (TS)]
Solution:
Given, equation of the curve is x³ + y³ = 3axy ……..(1)
Since P(x₁, y₁) lies on the curve (1). Then


Which is the required equation of tangent.

Question 39.
Show that the length of the subnormal at any point on the curve xy = a² varies as the cube of the ordinate of the point.
Solution:
Given the equation of the curve is xy = a²
Differentiating on both sides with respect to ‘x’
x . \(\frac{d y}{d x}\) + y . 1 = 0
x \(\frac{d y}{d x}\) = -y
\(\frac{d y}{d x} = \frac{-y}{x}\)
Let P(x, y) be any point on the curve.
The slope of the tangent at P is m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_P=\frac{-y}{x}\)
Length of the sub-normal = |y₁m|

∴ Length of the sub-normal ∝ y³. (Cube of ordinate)

Question 40.
Find the value of k so that the length of the subnormal at any point on the curve xy^k = a^k+1 is a constant.
Solution:
Given the equation of the curve is xy^k = a^k+1
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

∴ Length of the subnormal at any point is constant then k + 2 = 0
∴ k = -2.

Question 41.
Find the value of k, so that the length of the subnormal at any point on the curve y = a^1-k x^k is a constant.
Solution:
Given, the equation of the curve is y = a^1-k x^k
Differentiating on both sides with respect to ‘x’

The length of subnormal at any point is constant then 2k – 1 = 0
2k = 1
k = \(\frac{1}{2}\)

Question 42.
Find the lengths of sub tangent, and subnormal at a point ‘t’ on the curves x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t – t cos t). [Mar. ’17 (TS); May ’15 (TS), ’14]
Solution:
Given that, x = a(cos t + t sin t)
Differentiating on both sides with respect to ‘t’
\(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) = a[(-sin t) + t(cos t) + sin t (1)]
= a[-sin t + t cos t + sin t]
= at cos t
y = a(sin t – t cos t)
Differentiating on both sides with respect to ‘t’
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}\) = a[cos t – (t(-sin t) + cos t (1)]
= a[cos t + t sin t – cos t]
= at sin t
\(\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{\not t \sin t}{\not t \cos t}=\tan t\)
Slope of tangent at any point t is m = \(\left(\frac{d y}{d x}\right)_t\) = tan t
Length of the sub tangent = \(\left|\frac{y_1}{m}\right|\)
= \(\left|\frac{\mathrm{a}(\sin \mathrm{t}-\mathrm{t} \cos \mathrm{t})}{\tan \mathrm{t}}\right|\)
= |a(sin t – t cos t) . cot t|
Length of the subnormal = |y₁ . m| = |a (sin t – t cos t) . tan t|

Question 43.
Show that the condition for the orthogonality of the curves ax² + by² = 1 and a₁x² + b₁y² = 1 is \(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{b_1}\). [Mar. ’19 (AP); Mar. ’16 (TS); May ’14]
Solution:
Given, curves are
ax² + by² = 1 ……..(1)
a₁x² + b₁y² = 1 ……….(2)
Let the curves intersect at P(x₁, y₁) then
\(\mathrm{ax}_1^2+\mathrm{by}_1^2=1, \mathrm{a}_1 \mathrm{x}_1{ }^2+\mathrm{b}_1 \mathrm{y}_1{ }^2=1\)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’

Question 44.
Find the angle between the curves x + y + 2 = 0 and x² + y² – 10y = 0. [Mar. ’14]
Solution:
Given equations of the curves are
x + y + 2 = 0 ………(1)
x² + y² – 10y = 0 ……….(2)
From (1), x = -y – 2
Substitute in (2)
(-y – 2) + y² – 10y = 0
y² + 4 + 4y + y² – 10y = 0
2y² – 6y + 4 = 0
y² – 3y + 2 = 0
y² – 2y – y + 2 = 0
y(y – 2) – 1(y – 2) = 0
(y – 2) (y – 1) = 0
y- 2 = 0 (or) y – 1 = 0
y = 2 (or) y = 1
If y = 2, x = -2 – 2 = -4
If y = 1, x = -1 – 2 = -3
Required points are P(-4, 2), Q(-3, 1)
Differentiating (1) on both sides with respect to ‘x’
1 + \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) + 0 = 0
\(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = -1
Differentiating (2) on both sides with respect to ‘x’

Question 45.
Find the equation of tangent and normal to the curve y = \(\text { 2. } \mathrm{e}^{-\mathrm{x} / 3}\) at the point where the curve meets the y-axis. [Mar. ’16 (TS)]
Solution:
Equation of the curve is y = \(\text { 2. } \mathrm{e}^{-\mathrm{x} / 3}\)
The equation of the y-axis is x = 0
y = 2
Required point = (0, 2)
Also \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{-2}{3} \cdot \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{x}}{3}}\)
and slope m = \(\frac{-2}{3} \cdot \mathrm{e}^{\frac{-0}{3}}=\frac{-2}{3}\)
Equation tangent at p(0, 2) is y – y₁ = m(x – x₁)
y – 2 = \(\frac{-2}{3}\)(x – 0)
3y – 6 = 2x
2x + 3y – 6 = 0
Equation of the normal is y – y₁ = \(\frac{-1}{m}\) (x – x₁)
y – 2 = \(\frac{3}{2}\) (x – 0)
2y – 4 = 3x
3x – 2y + 4 = 0

Students must practice these Maths 1B Important Questions TS Inter 1st Year Maths 1B Errors and Approximations Important Questions to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 1st Year Maths 1B Errors and Approximations Important Questions

Question 1.
If y = x² + 3x + 6, find ∆y and dy when x = 10, ∆x = 0.01. [Mar. ’15 (TS), ’14, ’11, ’05; May ’15 (AP)]
Solution:
Let y = f(x) = x² + 3x + 6, x = 10, ∆x = 0.01
∆y = f(x + ∆x) – f(x)
= (x + ∆x)² + 3(x + ∆x) + 6 – (x² + 3x + 6)
= x² + (∆x)² + 2 . x . ∆x + 3x + 3(∆x) + 6 – x² – 3x – 6
= (∆x)² + 2 . x . ∆x + 3 . ∆x
= (2x + 3) ∆x + (∆x)²
= (2.10 + 3) (0.01) + (0. 01)²
= (23)(0.01) + 0.0001
= 0.23 + 0.0001
= 0.2301
dy = \(\frac{d y}{d x}\) × ∆x
= (2x + 3) ∆x
= (2.10 + 3)(0.01)
= 23(0.01)
= 0.23

Question 2.
Find ∆y and dy for the function y = e^x + x when x = 5, ∆x = 0.02. [May ’13]
Solution:
Let y = f(x) = e^x + x, x = 5, ∆x = 0.02
∆y = f(x + ∆x) – f(x)
= e^(x+∆x) + (x + ∆x) – (e^x + x)
= e^x+∆x + x + ∆x – e^x – x
= e^x+∆x + ∆x – e^x
= e^5+0.02 + 0.02 – e⁵
dy = \(\frac{d y}{d x}\) × ∆x
= (e^x + 1) × ∆x
= (e⁵ + 1) 0.02

Question 3.
Find the approximate value of √82. [Mar. ’13; May ’09]
Solution:
f(x) = √x, x = 81, ∆x = 1
∆f = df = \(\frac{d f}{d x}\) . ∆x
= \(\frac{1}{2 \sqrt{81}} \cdot 1\)
= \(\frac{1}{18}\)
= 0.05556
Now, √82 = f(x + ∆x) = ∆f + f(x)
= 0.05556 + 9
= 9.05556

Question 4.
Find the approximate value of \(\sqrt[3]{65}\).
Solution:
Let f(x) = \(\sqrt[3]{65}\), x = 64, ∆x = 1

f(x) = \(\sqrt[3]{x}\) = \(\sqrt[3]{64\) = 4
Now, \(\sqrt[3]{65}\) = f(x + ∆x) = ∆f + f(x)
= 4 + 0.02083
= 4.02083

Question 5.
If the increase in the side of a square is 2% then find the approximate percentage of increase in its area. [Mar. ’18 (TS); Mar. ’12, ’08; May ’05]
Solution:

Let x be the side and A be the area of a square.
Given, that % error in x = 2
\(\frac{\Delta \mathrm{x}}{\mathrm{x}}\) × 100 = 2
The area of a square, A = x²

∴ % error in area = 4.

Question 6.
The diameter of a sphere is measured to be 40 cm. If an error of 0.02 cm is made in it, then find approximate errors in the volume and surface area of the sphere. [Mar. ’13(old), ’09; May ’03]
Solution:

Let r, d, s, v be the radius, diameter, surface area, and volume of a sphere.
Given, diameter, d = 40 cm,
radius, r = 20 cm
error in diameter, ∆d = 0.02 cm
error in radius, ∆r = 0.01 cm
(i) Volume of a sphere, V = \(\frac{4}{3}\)πr³
error in V = ∆V = \(\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dr}}\) . ∆r
= \(\frac{4}{3}\)π(3r²) . ∆r
= 4πr² . ∆r
= 4π(20)² (0.01)
= 16π cu. cm
(ii) Surface area of a sphere, s = 4πr²
error in surface area of a sphere ∆s = \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dr}}\) ∆dr
= 4π(2r) . ∆r
= 8π(20)(0.01)
= 1.6π sq. cm
∴ Approximate error in the volume of sphere = 16π cu. cm.
∴ Approximate error in the area of sphere = 1.6π sq. cm.

Some More Maths 1B Errors and Approximations Important Questions

Question 7.
If y = 5x² + 6x + 6, find ∆y and dy when x = 2, ∆x = 0.001.
Solution:
Let y = f(x) = 5x² + 6x + 6, x = 2, ∆x = 0.001
∆y = f(x + ∆x) – f(x)
= 5(x + ∆x)² + 6(x + ∆x) + 6 – (5x² + 6x + 6)
= 5(x² + (∆x)² + 2 . x . ∆x) + 6x + 6(∆x) + 6 – 5x² – 6x – 6
= 5x² + 5(∆x)² + 10 . x . ∆x + 6(∆x) – 5x²
= [5(∆x) + 10x + 6)] ∆x
= [5(0.001) + 10(2) + 6] (0.001)
= [0.005 + 20 + 6] 0.001
= 0.026005
dy = \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) × ∆x
= (5(2x) + 6) ∆x
= (10x + 6) ∆x
= (10 . 2 + 6) 0.001
= (26) 0.001
= 0.026

Question 8.
Find the approximate value of \(\sqrt{\mathbf{25.001}}\).
Solution:
Let f(x) = √x, x = 25, ∆x = 0.001

f(x) = √x = √25 = 5
Now, \(\sqrt{\mathbf{25.001}}\) = f(x + ∆x)
= ∆f + f(x)
= 0.0001 + 5
= 5.0001

Question 9.
If the increase in the side of a square is 4% then find the approximate percentage of increase in the area of the square.
Solution:
Let x be the side and A be the area of a square.
Given, that % error in the side = 4
∴ \(\frac{\Delta x}{x}\) × 100 = 4
Area of a square, A = x²
∆A = 2x . ∆x (∵ ∆A = \(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dx}}\) . ∆x)
Now, % error in area = \(\frac{\Delta \mathrm{A}}{\mathrm{A}}\) × 100
= \(\frac{2 \mathrm{x} \cdot \Delta \mathrm{x}}{\mathrm{x}^2}\) × 100
= \(\frac{2 \cdot \Delta x}{x}\) × 100
= 2 × 4
= 8
∴ % error in area = 8

Question 10.
Find dy and ∆y of y = f(x) = x² + x, at x = 10 when ∆x = 0.1. [Mar. ’16 (TS), ’15 (AP); May ’15 (TS); Mar. ’17 (AP & TS)]
Solution:
Given, y = f(x) = x² + x, x = 10, ∆x = 0.1
∆y = f(x + ∆x) – f(x)
= (x + ∆x)² + x + ∆x – (x² + x)
= x² + (∆x)² + 2 . x . ∆x + x + ∆x – x² – x
= (∆x)² + 2 . x . ∆x + ∆x
= (2x + 1) ∆x + (∆x)²
= (2 . 10 + 1) 0.1 + (0.1)²
= (21) (0.1) + 0.01
= 2.1 + 0.01
= 2.11
dy = \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) × ∆x
= (2x + 1) ∆x
= (2 . 10 + 1) 0.1
= (21) (0.1)
= 2.1

Question 11.
Find ∆y and dy of y = \(\frac{1}{x+2}\), x = 8 and ∆x = 0.02.
Solution:
Let y = f(x) = \(\frac{1}{x+2}\), x = 8, ∆x = 0.02
∆y = f(x + ∆x) – f(x)

Question 12.
Find ∆y and dy of y = cos x, x = 60°, and ∆x = 1°. [Mar. ’19 (TS)]
Solution:
Let y = f(x) = cos x, x = 60°,
∆x = 1° = 1(0.01745) = 0.01745
∆y = f(x + ∆x) – f(x)
= cos(x + ∆x) – cos x
= cos (60° + 1°) – cos 60°
= cos 61° – cos 60°
= 0.4848 – \(\frac{1}{2}\)
= 0.4848 – 0.5
= -0.0152
dy = \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) . ∆x
= -sin x . ∆x
= -sin 60° . (0.01745)
= \(\frac{-\sqrt{3}}{2}\) . (0.01745)
= -(0.8660)(0.01745)
= -0.015

Question 13.
Find the approximate value of \(\sqrt[3]{999}\). [Mar. ’19 (AP)]
Solution:

Question 14.
Find the approximate value of \(\sqrt[3]{7.8}\).
Solution:

Question 15.
Find the approximate value of sin 62°.
Solution:
Let y = f(x) = sin x, x = 60°,
∆x = 2° = 2(0.01745) = 0.03490
∆f = df = \(\frac{d f}{d x}\) . ∆x
= cos x . ∆x
= cos 60° (0.03490)
= \(\frac{0.03490}{2}\)
= 0.01745
f(x) = sin x = sin 60° = 0.8660
Now, sin 62° = f(x + ∆x) = f(x) + ∆f
= 0.8660 + 0.01745
= 0.88345

Question 16.
Find the approximate value of cos(60°5′).
Solution:
Let y = f(x) = cos x, x = 60°,
∆x = 5′ = \(\left(\frac{5}{60}\right)^{\circ}=\left(\frac{1}{12}\right)^{\circ}\)
= \(\frac{1}{12}\)(0.01745)
= 0.001454
∆f = df = \(\frac{\mathrm{df}}{\mathrm{dx}}\) . ∆x
= -sin x . ∆x
= -sin 60° . (0.001454)
= -0.8660 . (0.001454)
= -0.001259
f(x) = cos x = cos 60° = 0.5
Now, cos(60° 5′) = f(x + ∆x) = f(x) + ∆x
= 0.5 – 0.001259
= 0.498741

Question 17.
Find the approximate value of \(\sqrt[4]{17}\).
Solution:

Question 18.
The radius of a sphere is measured as 14 cm. Later it was found that there is an error of 0.02 cm in measuring the radius. Find the approximate error in the surface area of the sphere.
Solution:
Let r be the radius and s be the surface area of the sphere.
Given, radius, r = 14 cm
error in radius, ∆r = 0.02 cm
the surface area of a sphere, s = 4πr²
error in surface area of sphere = ∆s
= \(\frac{\mathrm{ds}}{\mathrm{dr}}\) . ∆r
= 4π(2r) . ∆r
= 8π(14)(0.02)
= 2.24π
= 2.24(3.14)
= 7.03356 or 7.04 sq.cm.

Question 19.
The side of a square is increased from 3 cm to 3.01 cm. Find the approximate increase in the area of the square.
Solution:
Let x be the side and A be the area of a square.
Given that x = 3, ∆x = 0.01
Area of a square, A = x²
error in area = ∆A = \(\frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dx}}\) . ∆x
= 2x . ∆x
= 2.3(0.01)
= 6(0.01)
= 0.06 sq. cm

Question 20.
If the radius of a sphere is increased from 7 cm to 7.02 cm then find the approximate increase in the volume of the sphere.
Solution:
Ler r be the radius of a sphere and V be its volume.
Given that, radius r = 7 cm, ∆r = 0.02 cm
Volume of the sphere, V = \(\frac{4}{3} \pi r^3\)
error in volume = ∆V = \(\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dr}}\) . ∆r

Question 21.
If y = f(x) = kxⁿ then show that the approximate relative error (or increase) in y is n times the relative error (or increase) in x where n and k are constants.
Solution:
Given that y = f(x) = k . xⁿ
error in y = ∆y = \(\frac{d y}{d x}\) . ∆x
= k . n . x^n-1 . ∆x
relative error in y = \(\frac{\Delta \mathrm{y}}{\mathrm{y}}\)

∴ The relative error in y is n times the relative error in x.

Question 22.
The time t, of a complete oscillation of a simple pendulum of length l, is given by t = \(2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}\), where g is gravitational constant. Find the approximate percentage of error in ‘t’ when the percentage of error in l is 1%.
Solution:

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 5th Lesson స్టాయికియోమెట్రీ Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 5th Lesson స్టాయికియోమెట్రీ

అత్యంత లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
540 గ్రాముల గ్లూకోజ్లో ఎన్ని మోల్ల గ్లూకోజ్ ఉంది?
జవాబు:

ప్రశ్న 2.
0.1 మోల్ సోడియం కార్బొనేటు భారాన్ని లెక్క కట్టండి.
జవాబు:
భారం = మోల్ల సంఖ్య × గ్రా. అణుభారం = 0.1 × 106 = 10.6 గ్రా.

ప్రశ్న 3.
5.23 గ్రా.ల గ్లూకోజ్లో ఎన్ని అణువులు ఉంటాయి?
జవాబు:
అణువుల సంఖ్య = మోల్ల సంఖ్య × 6.023 × 10²³
= \(\frac{5.23}{180}\) × 6.023 × 10²³
= 1.75 × 10²² అణువులు

ప్రశ్న 4.
S.T.P. వద్ద 1.12 × 10^-7 CC ల వాయువులో ఉండే అణువుల సంఖ్యను లెక్కించండి.
జవాబు:
అణువుల సంఖ్య = \(\frac{1.12 \times 10^{-7}}{22.4 \times 10^3}\) × 6.023 × 10²³
= \(\frac{11.2}{22.4}\) × 6.023 × 10²² × 10^-3 × 10^-7
= 3.01 × 10¹² మోల్ ల
గమనిక : మోల్ల సంఖ్య =

ప్రశ్న 5.
ఒక సమ్మేళనం అనుభావిక ఫార్ములా CH₂O. దాని అణుభారం 90. ఆ సమ్మేళనం అణు ఫార్ములాను కనుక్కోండి.
జవాబు:
అనుభావిక ఫార్ములా భారం = 12 +2+16=30

అణుఫార్ములా = 3 × అనుభావిక ఫార్ములా
= 3 × CH₂O = C₃H₆O₃

ప్రశ్న 6.
కింది సమీకరణాన్ని ఆక్సిడేషన్ సంఖ్య పద్ధతిలో తుల్యం చేయండి. (March 2013)
జవాబు:

ఆక్సీకరణ ప్రక్రియ లో మార్పు 3 యూనిట్లు క్షయకరణ ప్రక్రియ [(pb⁺² → Pb⁰)] లో మార్పు 2 యూనిట్లు. ఆక్సీకరణ ప్రక్రియలో ఆక్సీకరణ సంఖ్య యూనిట్లలో మార్పు, క్షయకరణ ప్రక్రియలో వచ్చిన ఆక్సీకరణ సంఖ్య యూనిట్లలో మార్పుకు సమానం చేయాలి. తగిన సంఖ్యలతో గుణించాలి.
2Cr + 3Pb(NO₃)_2(ag) → 2Cr(NO₃)_3(ag) + 3Pb(s)

ప్రశ్న 7.
0.795 గ్రా.ల CuO ని Cu, H₂O లుగా క్షయకరణం చేయడానికి STP వద్ద ఘ.ప. H₂ అవసరం అవుతుంది.
జవాబు:
CuO, H₂ ల మధ్య చర్య CuO + H₂ → Cu + H₂O

0.01 మోల్ల CuO ను క్షయకరణం చేయడానికి 0.01 మోల్ల H₂ అవసరం.
STP వద్ద ఘనపరిమాణం = మోల్ల సంఖ్య × 22.4 లీ. = 0.01 × 22.4 లీ. = 0.224 లీ.

ప్రశ్న 8.
100 ml ల ఎసిటిలీన్ ని పూర్తిగా దహనం చేయడానికి కావలసిన O₂ ఘనపరిమాణాన్ని STP వద్ద లెక్కకట్టండి.
జవాబు:

22,400 మి.లీ. ఎలిటిలీన్ ను దహనం చేయడానికి STP వద్ద అవసరమయ్యే ఆక్సిజన్ \(\frac{5}{2}\) × 22,400 మి.లీ.
100mlల ఎసిటిలీన్ (STP వద్ద) దహనం చేయడానికి అవసరమయ్యే ఆక్సిజన్ = \(\frac{100 \mathrm{ml}}{22,400 \mathrm{ml}}\) × \(\frac{5}{2}\) × 22,400 మి.లీ.
= \(\frac{500}{2}\) మి.లీ. = 250 మి.లీ.

ప్రశ్న 9.
ప్రస్తుత కాలంలో ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత తగ్గుదలను ఆక్సీకరణం అనీ, ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత పెరగడాన్ని క్షయకరణం అనీ అంటారు. దీనిని మీరు సమర్ధించండి.
జవాబు:
H₂ + Cl₂ → 2Hcl ఈ చర్యలో ఎలక్ట్రాన్ బదిలీ లేదు. కానీ క్లోరిన్ అధిక ఋణవిద్యుదాత్మకత వల్ల క్లోరిన్ వద్ద ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత పెరుగుతుంది. హైడ్రోజన్ వద్ద ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత తగ్గుతుంది. అందువల్ల క్లోరిన్ క్షయకరణం చెందినట్టు, హైడ్రోజన్ ఆక్సీకరణం చెందినట్టు పరిగణించవచ్చు.

ప్రశ్న 10.
ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ భావం అంటే ఏమిటి? ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
CuSO₄ (జ. ద్రా.) + Zn (ఘ) → Zn SO₄ (ద్ర) Cu (ఘ) (లేదా) Cu⁺⁺ + Zn → Zn⁺⁺ + Cu
ఈ చర్యలో Cu⁺⁺ ఆక్సీకరణ సంఖ్య “+2” నుండి “0” కు తగ్గింది. “Zn” అక్సీకరణ సంఖ్య “0” నుండి “+2” కి పెరిగింది. ఆక్సీకరణ సంఖ్యలో పెరుగుదలను ఆక్సీకరణమనీ, తగ్గుదలను క్షయకరణమనీ భావిస్తారు.
ఈ చర్యలో “Zn” Zn⁺⁺. గా ఆక్సీకరణ చెందింది.
Cu⁺⁺, Cu గా క్షయకరణం చెందింది.

ప్రశ్న 11.
సోడియమ్ సల్ఫేట్ (Na₂SO₄) లోని వివిధ మూలకాల ద్రవ్యరాశి శాతాలను గణించండి.
జవాబు:
Na₂ SO₄ అణుభారం = 2 (23) + 32 + 16(4) = 46 + 32 + 64 = 142 gms
సోడియం ద్రవ్యరాశి శాతం = \(\frac{100}{142}\) × 46 = 32.38%
సల్ఫర్ ద్రవ్యరాశి శాతం = \(\frac{100}{142}\) × 32 = 22.54%
ఆక్సిజన్ ద్రవ్యరాశి శాతం = \(\frac{100}{142}\) × 64 = 45.08%

ప్రశ్న 12.
సార్థక అంకెలు అంటే మీరు ఏమి చెబుతారు?
జవాబు:
ప్రాయోగిక లేదా సిద్ధాంత రీత్యా రాబట్టిన విలువల్లో అనిశ్చితత్వం ఉంటుంది. దానిని సార్థక అంకెలతో సూచిస్తారు. ఖచ్చితంగా తెలిసిన అర్థవంతమైన అంకెలను సార్థక అంకెలు అంటారు. ఒక సంఖ్యలోని అనిశ్చితత్వాన్ని దానికి కొన్ని అంకెలు రాసిన తర్వాత చివరి అంకె అనిశ్చితమై ఉంటుంది. ఈ విధంగా ఒక ప్రయోగ విలువను 11.2ml అని రాస్తే అందులో పదకొండు నిశ్చయంగా తెలిసింది. చివరి అంకె రెండు అనిశ్చితమైనది. ఇందులో అనిశ్చితత్వం ±1 ఉంటుంది. ప్రత్యేకించి చెబితే తప్ప ఆఖరి అంకెలో అనిశ్చితత్వం ±1 ఉంటుందని అర్థం చెప్పుకోవాలి.

ప్రశ్న 13.
కాంతివేగం 3.0 × 10⁸m.s^-1 అయితే 2 నానో సెకండ్లలో అది ప్రయాణించే దూరాన్ని లెక్కించండి.
జవాబు:
కాంతి ప్రయాణించిన దూరం = కాంతివేగం × ప్రయాణించిన కాలం
= 3 × 10⁸ × 2 × 10^-9 = 0.6 మీటర్లు
కావున కాంతి 2 నానో సెకండ్లలోనూ 0.6 మీటర్ల దూరం ప్రయాణిస్తుంది.

లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 14.
సోడియంకార్బొనేట్ తయారీ నెలకు సుమారు 424 × 10⁶ g. మిథైల్ ఆల్కహాల్ 320 × 10⁶ g. అయితే ఏది ఎక్కువ మోల్లు తయారవుతుంది?
జవాబు:
నెలలో తయారైన సోడియం కార్బొనేట్ మోల్ సంఖ్య = \(\frac{424 \times 10^6}{106}\) = 4 × 10⁶
నెలలో తయారైన మిథైల్ ఆల్కహాల్ మోత్ల సంఖ్య = \(\frac{320 \times 10^6}{32}\) = 10⁷
కావున తయారయ్యే మిథైల్ ఆల్కహాల్ మోల్ల సంఖ్య ఎక్కువ.

ప్రశ్న 15.
1.5 atm పీడనం, 127⁰ల C వద్ద 0.112 లీటర్ల O₂ పూర్తిగా చర్య జరిపి CO₂ ఏర్పడడానికి STP వద్ద CO ఘనపరిమాణం కనీసం ఎంత కావాలి?
జవాబు:

సమీకరణం ప్రకారం
కావల్సిన CO ఘనపరిమాణం 2 × O₂ ఘనపరిమాణం = 114.66 × 2 = 229.32 మిల్లీ లీటర్లు.

ప్రశ్న 16.
కర్బన సమ్మేళనంలోని మూలకాల రసాయన విశ్లేషణ చేశారు. భారాత్మకంగా వాటి సంఘటన శాతాలు కింది విధంగా ఉన్నాయి. కార్బన్ 10.06%, హైడ్రోజన్ = 0.84%, క్లోరిన్ = 89.10% సమ్మేళనం అనుభావిక ఫార్ములాను కనుక్కోండి.
జవాబు:

అనుభావిక ఫార్ములా = CHCl₃

ప్రశ్న 17.
ఒక కర్బన సమ్మేళనాన్ని విశ్లేషించగా కింది సంఘటన శాతాలను ఇచ్చింది. కార్బన్ 14.5%, హైడ్రోజన్ 1.8%, క్లోరిన్ 64.46%, ఆక్సిజన్ 19.24% అయితే సమ్మేళనం అనుభావిక ఫార్ములా కనుక్కోండి.
జవాబు:

అనుభావిక ఫార్ములా = C₂H₃Cl₃O₂

ప్రశ్న 18.
కింది సంఘటన శాతం ఉన్న సమ్మేళనపు అనుభావిక ఫార్ములాను కనుక్కోండి. పొటాషియం K = 26.57%, క్రోమియం Cr = 35.36%, ఆక్సిజన్ (O) 38.07% [K, Cr, O ల పరమాణు భారాలు వరుసగా 39, 52, 16 ఉంటాయి ] అనుభావిక ఫార్ములా కనుక్కోండి.
జవాబు:

అనుభావిక ఫార్ములా = K₂ Cr₂ O₇

ప్రశ్న 19.
ఒక కర్బన సమ్మేళనం 12.8% కార్బన్, 2.1% హైడ్రోజన్, 85.1% బ్రోమీన్ ఉంటాయి. దాని అణుభారం 187.9 అణుఫార్ములాను కనుక్కోండి.
జవాబు:

అనుభావిక ఫార్ములా = CH₂Br
అనుభావిక ఫార్ములా భారం = 12 + 2 × 1 + 80 = 94

అణుఫార్ములా = అనుభావిక ఫార్ములా × n = CH₂ Br × 2 = C₂H₄Br₂

ప్రశ్న 20.
ఒక కార్బనిక సమ్మేళనం అనుభావిక ఫార్ములా CH₂ Br. O. 188 g ల సమ్మేళనం 14 °C ఉష్ణోగ్రత వద్ద, 752 mm ల పీడనం వద్ద 24.2 c.cల గాలిని స్థానభ్రంశం చేసింది. అయితే సమ్మేళనం అణుఫార్ములాను కనుక్కోండి. (జలబాష్ప పీడనం 14°C వద్ద 12mm )
జవాబు:
పొడివాయువు పీడనం = వాయువు పీడనం – నీటి ఆవిరి సంతృప్తి పీడనం ‘
= 752 – 12 = 740 mm
PV = nRT ఆదర్శ వాయు సమీకరణము
PV = \(\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{M}}\)RT
W = 0.188 V = \(\frac{24.2}{1000}\)Lt
P = \(\frac{740}{760}\) T = 273 + 14 = 287K
M = ?
M = \(\frac{0.188 \times 0.0821 \times 287 \times 760 \times 1000}{740 \times 24.2}\) = 188
అనుభావిక ఫార్ములా = CH₂Br
అనుభావిక ఫార్ములా భారం = 12 + 2 + 80 = 94

అణుఫార్ములా = అనుభావిక ఫార్ములా × 2
= CH₂Br × 2 = C₂H₄Br₂

ప్రశ్న 21.
420 Kg ల Hclని తయారు చేయడానికి 90% H₂SO₄ ఎంత అవసరమవుతుంది?
జవాబు:
2NaCl + H₂SO₄ → Na₂SO₄ + 2Hcl
Hcl మోల్ల సంఖ్య = \(\frac{420 \times 10^3}{36.5}\) = 11.5 × 10³
రెండు మోల్ల Hcl తయారు చేయడానికి అవసరమైన H₂SO₄ మోల్ల సంఖ్య =1
11.5 × 10³ మోల్లు తయారు చేయడానికి అవసరమయ్యే
H₂SO₄ మోల్ల సంఖ్య = \(\frac{11.5 \times 10^3}{2}\) = 5.75 × 10³
H₂SO₄ భారం = మోల్ల సంఖ్య × 98 = 5.75 × 10³ × 98 = 563.5 Kg
H₂SO,₄ 90% కావున, H₂SO₄ భారం = \(\frac{563.5 \times 100}{90}\) = 627 Kg

ప్రశ్న 22.
ఒక అంతరిక్ష ప్రయాణీకుడికి 34g ల సుక్రోజ్ను దహనం చేయడం వల్ల వచ్చే శక్తి తన శరీరానికి ఒక గంటకు అవసరమవుతుంది. ఒక రోజుకు తనకు కావలసిన శక్తి కోసం అతడు ఎంత ఆక్సిజన్ను తనతో తీసుకుపోవాలి?
జవాబు:
ఒకరోజుకు అవసరమయ్యే సుక్రోజ్ భారం 34 × 24 = 816 గ్రా.
సుక్రోజ్ మోత్ల సంఖ్య = \(\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{M} \cdot \mathrm{Wt}}\) = \(\frac{816}{342}\) = 2.385

1 మోల్ సుక్రోజ్ను దహనం చేయడానికి కావలసిన ఆక్సిజన్ 12 మోల్లు.
2.385 మోల్లకు కావలసిన 0₂ = \(\frac{2.355 \times 12}{1}\) = 28.63
ఆక్సిజన్ భారం = మోల్ల సంఖ్య × అణుభారం
= 28.63 × 32 = 916.2 గ్రా.

ప్రశ్న 23.
4 గ్రా. CaCO₃ని వేడిచేస్తే STP వద్ద వెలువడే CO₂ ఘ.ప. ఎంత?
జవాబు:

100 గ్రా. CaCO₃ వేడిచేయడం వల్ల వెలువడే CO₂ ఘ.ప. STP వద్ద 22.4 Lt
4 గ్రా. CaCO₃ వేడిచేయడం వల్ల వెలువడే CO₂ ఘ.ప. STP వద్ద 22.4 Lt
\(\frac{4 \times 22.4}{100}\) = 0.896 Lt

ప్రశ్న 24.
50 గ్రా. గంధక నమూనా(S) గాలిలో మండిస్తే 4% నమూనా మిగిలిపోయింది. STP వద్ద 21% ఆక్సిజన్ ఘ.ప. గల గాలి ఘ.ప. లెక్కించండి.
జవాబు:
సల్ఫర్ నమూనా భారం = 50 గ్రా. ; మిగిలిన సల్ఫర్ భారం = 2 గ్రా.; చర్యపొందిన సల్ఫర్ = 50 – 2 = 48 గ్రా.
S + O₂ → SO₂
సల్ఫర్ మోల్ల సంఖ్య = \(\frac{48}{32}\) = 1.5
ఆక్సిజన్ మోల్ల సంఖ్య = 1.5
STP వద్ద ఆక్సిజన్ ఘ.ప. = 22.4 × 1.5 = 33.6 Lit
గాలి ఘ.ప. = \(\frac{33.6 \times 100}{21}\) = 160 లీ.

ప్రశ్న 25.
20°C, 770mm Hg పీడనం వద్ద 10 cc మీథేనన్ను పూర్తిగా దహనం చేయడానికి STP పరిస్థితిలో కావలసిన ఆక్సిజన్ ఘన పరిమాణాన్ని లెక్కించండి.
జవాబు:
మీథేన్ దహనం CH₄ + 2O₂ → CO₂ + 2H₂O
CH₄ మోల్ల సంఖ్య = \(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{RT}}\) = \(\frac{770}{760} \times \frac{10}{82.1 \times 293}\) = 4 × 10^-4
ఆక్సీజన్ మోల్లు = 2 × 4 × 10^-4 = 8 × 10^-4
STP వద్ద O₂ ఘ.ప. = 8 × 10^-4 × 22,400 = 18.88 cc
మరొక పద్ధతి :
STP వద్ద మీథేన్ ఘ.ప. లెక్కించాలి.
\(\frac{P_1 V_1}{T_1}\) = \(\frac{\mathrm{P}_2 \mathrm{~V}_2}{\mathrm{~T}_2}\)
V₂ = \(\frac{770 \times 10}{293} \times \frac{273}{760}\) = 9.44 cc
STP వద్ద O₂, ఘ. ప. = 2 × CH₄ ఘ. ప.
= 2 × 9.44 = 18.88 cc

ప్రశ్న 26.
27°C, 760mm Hg పీడనం వద్ద 0.6 గ్రా. మెగ్నీషియంపై అధిక సజల Hcl సమక్షంలో వెలువడే H₂ ఘ.ప. గణించండి.
జవాబు:
Mg + 2Hcl → MgCl₂ + H₂
Mg మోల్ల సంఖ్య = \(\frac{0.6}{24}\) = 0.025
సమీకరణం ప్రకారం
1 మోల్ Mg – 1 మోల్ H₂ ను ఇస్తుంది.
0.025Mg – 0.0025 H₂ ను ఇస్తుంది.
PV = nRT
P = 760 mm = 1 atm n = 0.025
T = 27 + 273 = 300K R = 0.0821
V = \(\frac{\mathrm{nRT}}{\mathrm{P}}\) = \(\frac{0.025 \times 0.0821 \times 300}{1}\) = 0.615L

ప్రశ్న 27.
అంశమాపక పద్ధతిలో గాల్వనో ఘటంలో రిడాక్స్ చర్యల పాత్రను వివరించండి.
జవాబు:
ఒక ద్రావణానికి మరియొక ద్రావణాన్ని వాటి మధ్య చర్య పూర్తి అయ్యే వరకు కలపడాన్ని అంశమాపనం అంటారు. చర్య పూర్తయ్యే స్థానాన్ని ‘అంతిమస్థానం’ అంటారు. కొన్ని అంశమాపన చర్యలలో ఎలక్ట్రాన్ బదిలీ జరిగి, ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ మార్పులు జరుగుతాయి. ఇటువంటి చర్యలలో అంతిమ స్థానాన్ని రంగు మార్పు ద్వారా గుర్తించవచ్చు.
ఉదా : 1) KMnO₄ పాల్గొనే చర్యలలో అంతిమస్థానం వద్ద గులాబి రంగు ఏర్పడుతుంది.
2) కొన్ని చర్యలలో రిడాక్స్ సూచికల రంగు మార్పు ద్వారా అంతిమస్థానాన్ని గుర్తిస్తారు.
డైక్రోమేటుతో జరిగే చర్యలలో డైఫినైల్ ఎమీన్ సూచిక ఆక్సీకరణం చెంది గాఢమైన నీలిరంగుని ఇస్తుంది.
3) అయోడోమెట్రీ అంశమాపనంలో Cut ను లెక్కించుట.

ఏర్పడిన అయొడిన్ స్టార్చ్ నీలిరంగునిస్తుంది.
రిడాక్స్ అంశమాపనాలలో \(\mathrm{MnO}_4^{-}\), \(\mathrm{Cr}_2 \mathrm{O}_7^{2-}\) ఆక్సీకరణకారకాలుగాను, \(\mathrm{S}_2 \mathrm{O}_3^{2-}\) క్షయకరణ కారకం గాను పనిచేస్తాయి.

గాల్వనిక్ ఘటాలలో రిడాక్స్ చర్యల పాత్ర
కాపర్సల్ఫేటు ద్రావణంలో జింక్ పలకను ఉంచితే రిడాక్స్ చర్య జరుగుతుంది.

ఇదే చర్యను గాల్వానిక్ ఘటంలో జరుపుతారు. రసాయనశక్తిని విద్యుత్ శక్తిగా మార్చే విద్యుత్ రసాయన ఘటాన్ని గాల్వానిక్ ఘటం అంటారు.

1. జింక్ (ఆనోడ్)
2. రాగి (కాథోడ్)
3. లవణవారధి
4. అమ్మీటరు
5. రియోస్టాట్

ఎడమవైపు ZnSO₄ ద్రావణంలో జింక్ పలక ఉంచబడినది. కుడివైపు CuSO, ద్రావణంలో Cu పలక ఉంచబడినది. ఎడమవైపు ఆక్సీకరణ చర్య జరుగుతుంది.
Zn → Zn⁺⁺ + 2e^–
ఈ చర్యలో విడుదలయిన ఎలక్ట్రాన్లు తీగగుండా ప్రవహించి Cu⁺⁺ ను Cu గా క్షయకరణం చేస్తాయి.
Cu⁺⁺ + 2e → Cu
ఈ విధంగా రెండు బీకర్లలోను రిడాక్స్ చర్యలు జరుగుతాయి. రెండు బీకర్లలోను ఉన్న Zn/Zn⁺⁺ Cu⁺⁺/Cu లను రిడాక్స్ జంటలు అంటారు. ఈ జంటల వల్ల ఎలక్ట్రిక్ పొటెన్షియల్ ఏర్పడుతుంది. తీగల ద్వారా ఎలక్ట్రాన్ ప్రవాహం వల్ల విద్యుత్ ప్రవాహం ఏర్పడుతుంది. రెండు అర్థఘటాలను లవణ వారధి కలుపుతుంది.

ప్రశ్న 28.
మోలార్ ద్రవ్యరాశిని నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
పరమాణువులు, అణువులు, కణాలు, ఎలక్ట్రానులు అయాన్ లు మొదలైన వాటికి మోల్ భావనను వాడతారు. SI పద్ధతిలో మోల్ (mol) ఒక పదార్థపు మౌలికమైన భౌతిక పరిమాణాన్ని చెప్పడానికి ప్రవేశపెట్టబడింది.
ఖచ్ఛితంగా 12g (లేదా 0.012 కి.గ్రా) ల ¹²C ఐసోటోపులో ఉండే పరమాణువులకు సమాన సంఖ్యలో కణాలు లేదా వస్తువులు ఉన్న పదార్థ పరిమాణాన్ని ఒక మోల్ అంటారు. ఒక మోల్ కార్బన్ భారం 12 గ్రా. దానిలో ఉండే పరమాణువుల సంఖ్య = 6.0221367 × 10²³ mol^-1

మోలార్ ద్రవ్యరాశి : ఒక మోల్ పదార్థం ద్రవ్యరాశిని గ్రాములలో చెబితే అది మోలార్ ద్రవ్యరాశి అవుతుంది.
నీటి మోలార్ ద్రవ్యరాశి = 18.02 గ్రా.
నీటి అణు ద్రవ్యరాశి = 18.02 amu.
మోలార్ ద్రవ్యరాశి సంఖ్యాత్మకంగా పరమాణు ద్రవ్యరాశి లేదా అణుద్రవ్యరాశి లేదా ఫార్ములా ద్రవ్యరాశికి సమానం.
వాటి యూనిట్ ‘u’.
సోడియం క్లోరైడ్ అణుద్రవ్యరాశి = 58.5amu.

ప్రశ్న 29.
అసౌష్ఠవ విఘటన చర్యలు (అననుపాత చర్యలు) (డిస్ ప్రపోర్షనేషన్ చర్యలు) ఏవి? ఉదాహరణలివ్వండి.
జవాబు:
కొన్ని చర్యలలో ఒకే మూలకం ఒకేసారి ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్యలకు లోనవుతుంది. ఈ చర్యలను అననుపాత చర్యలు అంటారు.
ఉదా :

ఈ చర్యలో పెరాక్సైడ్లోని ఆక్సిజన్ -1 స్థితిలో ఉంటుంది. దాని స్థితి O₂లో సున్నకు పెరుగుతుంది. H₂O లో -2కు తగ్గుతుంది. ఈ చర్యలో ఆక్సిజన్ అననుపాత చర్యకు గురి అయినది.

హాలోజన్లు క్షారాలతో చర్యలో అననుపాత విఘటన చర్య జరుగుతుంది.
పై చర్యలో క్లోరిన్ \(\mathrm{ClO}_3^{-}\) గా ఆక్సీకరణం చెందినది. అదే సమయంలో Cl^– గా క్షయకరణం కూడా చెందినది.

ప్రశ్న 30.
కంప్రపోర్షనేషన్ (సహానుపాత) చర్యలను ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
ఒకే మూలకం వేరు వేరు ఆక్సీకరణ స్థితులలో ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్యకు లోనై ఒకే ఉత్పన్నాన్ని ఏర్పరుస్తుంది. ఈ చర్యలో మూలకస్థితి మధ్యంతర ఆక్సీకరణ స్థితిలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 31.
69.9% Fe, 30.1% O₂ గల ఐరన్ ఆక్సైడ్ అనుభావిక ఫార్ములా కనుక్కోండి.
జవాబు:

అనుభావిక ఫార్ములా = Fe₂O₃

ప్రశ్న 32.
82.0245 గ్రా.మోల్’ మోలార్ ద్రవ్యరాశి గల సోడియం ఎసిటేట్ 500 ml 0.375 మోలార్ జల ద్రావణాన్ని తయారుచేయడానికి కావలసిన సోడియం ఎసిటేటు ద్రవ్యరాశిని గణించండి.
జవాబు:
ద్రావిత భారం = మోలారిటి × ఘ.ప. లీటర్లలో × గ్రా. అణుభారం
= 0.375 × \(\frac{500}{1000}\) × 82.0245 గ్రా
CH₃COONa భారం = 15.375 గ్రాములు.
∴ 500 mL 0.375M సోడియం ఎసిటేటు ద్రావణాన్ని తయారుచేయడానికి కావలసిన సోడియం ఎసిటేటు ద్రవ్యరాశి 15.375 గ్రాములు.

ప్రశ్న 33.
20 గ్రా. షుగర్ (C₁₂H₂₂O₁₁) ని 2L నీటిలో కరిగిస్తే వచ్చే గాఢత ఎంత?
జవాబు:

ప్రశ్న 34.
ఈ క్రింది వాటిలో ఎన్ని సార్థక అంకెలు ఉన్నాయో తెలపండి.
(i) 0.0025
జవాబు:
0.0025లో సార్థక సంఖ్యలు 2

(ii) 208
జవాబు:
208లో సార్థక సంఖ్యలు 3

(iii) 5005
జవాబు:
5005లో సార్థక సంఖ్యలు 4

(iv) 1,26,000
జవాబు:
1,26,000లో సార్థక సంఖ్యలు 6

(v) 500.0
జవాబు:
500.0లో సార్థక సంఖ్యలు 4

(vi) 2.0034
జవాబు:
2.0034 లో సార్థక సంఖ్యలు 5

ప్రశ్న 35.
ఈ క్రింది వాటిని మూడు సార్థక అంకెల వరకు సరిదిద్దండి.
(i) 34.216
(ii) 10.4107
(iii) 0.04597
(iv) 2808
జవాబు:
(i) 34.216 సరిచేయగా 34.2
(ii) 10.4107 సరిచేయగా 10.4
(iii) 0.04597 సరిచేయగా 0.046
(iv) 2808 సరిచేయగా 2.81 × 10³

ప్రశ్న 36.
0.040 మోల్ భాగం ఉన్న ఇథనోల్ జల ద్రావణంలో ఇథనోల్ మొలారిటీని గణించండి (నీటి సాంద్రతను ఒకటిగా తీసుకోండి)
జవాబు:
ఇథనోల్ మోల్ల సంఖ్య = 0.04. నీటి మోల్ల సంఖ్య = 1 – 0.04 = 0.996.
మోల్ల సంఖ్య × గ్రాము అణుభారము = 0.996 × 18 గ్రాములు. (నీటి సాంద్రత ఒకటిగా తీసుకోవడమైనది)
నీటి ఘనపరిమాణం = 0.996 × 18 మిల్లీలీటర్లు. (నీటి
మొలారిటీ = మోల్ల సంఖ్య + ఘనపరిమాణం లీటర్లలో
= మోల్ల సంఖ్య × 1000/ఘ.ప. మి.లీ
= 0.04 × 1000/0.996 × 18 మి.లీ.
= 2.223 M

ప్రశ్న 37.
కింది పట్టికలోని దత్తాంశాలనుపయోగించి ప్రకృతి సిద్ధంగా లభించే ఆర్గాన్ ఐసోటోప్ల మోలార్ ద్రవ్యరాశిని గణించండి.

జవాబు:
ఆర్గాన్ మోలార్ ద్రవ్యరాశి :
= \(\frac{(35.96755 \times 0.337)+(37.96272 \times 0.063)+(39.9624 \times 99.6)}{100}\)
= 39.947

ప్రశ్న 38.
వెల్డింగ్ చేసే వాయు ఇంధనంలో కార్బన్, హైడ్రోజన్ మాత్రమే ఉంటాయి. కొద్ది నమూనాను ఆక్సిజన్ సమక్షంలో మండిస్తే 3.38g కార్బన్ డై ఆక్సైడ్, 0.690g నీరు ఏర్పడ్డాయి. మరి ఏ యితర ఉత్పన్న పదార్థం రాలేదు. 10.0L (STP వద్ద కొలిచిన) ఈ వెల్డింగ్ వాయువు 11.6g బరువు ఉన్నది. దాని
(i) అనుభావిక ఫార్ములా
(ii) వాయువు ద్రవ్యరాశి
(iii) అణుఫార్ములా గణించండి.
జవాబు:
CO₂ మోల్ ల సంఖ్య = \(\frac{3.38}{44}\) = 0.07682; H₂O మోల్ల సంఖ్య = \(\frac{0.69}{18}\) = 0.03833
CO₂, H₂Oల మోల్ల నిష్పత్తి 0.07682; 0.03833 = 2 : 1
కార్బన్, హైడ్రోజన్ పరమాణువుల నిష్పత్తి = 1 : 1
అణుభావిక ఫార్ములా = CH
పది లీటర్ల వాయువు భారం STP వద్ద 11.6 గ్రాములు.
STP వద్ద 22.4 లీటర్ల వాయువు భారాన్ని అణుభారంగా తీసుకోవచ్చు.
∴ అణుభారం = \(\frac{22.4 \times 11.6}{10}\) = 26
అణుభావిక ఫార్ములా భారం = 12 + 1 = 13

ప్రశ్న 39.
కాల్షియం కార్బొనేట్ సజల Hclతో చర్య జరిపి Cacl₂ను, CO₂ను ఇచ్చే రసాయన చర్య,
CaCO₃(ఘ) + 2Hcl(జల) → CaCl₂ (జల) + CO₂(వా) + H₂O(ద్ర).
25mlల 0.75M Hcl సజల ద్రావణంతో పూర్తిగా చర్య జరగడానికి కావలసిన CaCO₃ ద్రవ్యరాశి ఎంత?
జవాబు:
CaCO₃ ద్రవ్యరాశి = మోల్ల సంఖ్య ×100 గ్రా.
సమీకరణం ప్రకారం, CaCO₃ మోత్ల సంఖ్య
=
Hcl మోల్ల సంఖ్య = మోలారిటి × ఘ.ప. లీటర్లలో
= M × V లీ.
= 0.75 × \(\frac{25}{1000}\) = 0.01875
CaCO₃ మోల్ల సంఖ్య = \(\frac{0.01875}{2}\) = 0.009375
CaCO₃ భారం = 0.009375 × 100 = 0.9375 గ్రా.

ప్రశ్న 40.
50ml 0.1N సోడియం కార్బొనేట్ ద్రావణానికి 150ml నీటిని కలిపితే వచ్చిన ద్రావణం నార్మాలిటీని గణించండి.
జవాబు:
విలీనానికి ముందు నార్మాలిటి విలీనానికి తరువాత నార్మాలిటి
N₁ V₁ = N₂V₂
50 × 0.1 = N₂ × 200
N₂ = \(\frac{50 \times 0.1}{200}\) = 0.025 N

ప్రశ్న 41.
200 mL 0.2N NaOH ద్రావణాన్ని తటస్థీకరించడానికి కావలసిన 0.1N సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లం ఘనపరిమాణాన్ని
జవాబు:
ఆమ్ల తుల్యాంకాలు = క్షార తుల్యాంకాలు
N₁V₁ = N₂V₂
0.1 × V₁ = 0.2 × 200ml
V₁ = \(\frac{0.2 \times 200}{0.1}\)
= 2 × 200 = 400m L

ప్రశ్న 42.
250 mL ల 0.2 N NaOHని తటస్థీకరించడానికి ఎంత నార్మాలిటీ గల 50 mL H₂SO₄ కావాలి?
జవాబు:
ఆమ్ల తుల్యాంకాలు = క్షార తుల్యాంకలు
ఆమ్ల మిల్లీ తుల్యాంకాలు – క్షార మిల్లీ తుల్యాంకాలు
N₁V₁ = N₂V₂
N₁.50mL = 0.2 × 250ml
N₁ = \(\frac{0.2 \times 250}{50}\) = 1N
గమనిక : మిల్లీ మోల్ల సంఖ్య = మిల్లీ లీటర్లు × మోలారిటి
మిల్లీ తుల్యాంకాలు = మిల్లీ లీటర్లు × నార్మాలిటి
మోల్ల సంఖ్య = మొలారిటీ × లీటర్లలో ఘ.ప.

ప్రశ్న 43.
100 mL ల 0.1 M H₂C₂O₄2H₂O ద్రావణంతో సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లం సమక్షంలో చర్య జరపడానికి కావలసిన 0.1 M KMnO₄ ద్రావణం ఘనపరిమాణాన్ని గణించండి.
జవాబు:
2KMnO₄ + 3H₂SO₄ + 5H₂C₂O₄ → K₂SO₄ + 2MnSO₄ + 8H₂O + 10CO₂
\(\frac{\mathrm{M}_1 \mathrm{~V}_1}{\mathrm{n}_1}\) = \(\frac{\mathrm{M}_2 \mathrm{~V}_2}{\mathrm{n}_2}\)
M₁ = ఆగ్జాలికామ్లం మొలారిటి M₂ = KMnO₄ మొలారిటి
V₁ = ఆగ్జాలికామ్లం ఘ. ప. V₂ = ?
n₁ = ఆగ్జాలికామ్లం మోల్ ల సంఖ్య n₂ = ?
\(\frac{0.1 \times 100}{5}\) = \(\frac{0.1 \times V_2}{2}\)
V₂ = \(\frac{0.1 \times 100 \times 2}{5 \times 0.1}\) = 40ml

ప్రశ్న 44.
కింది పదార్థాల్లో కింద గీతతో చూపించిన మూలకాల ఆక్సీకరణ స్థితులు వ్రాయండి.
(a) NaH₂PO₄
(b) NaHSO₄
(c) H₄P2O₇
(d) K₂MnO₄
(e) CaO₂
(f) NaBH₄
(g) H₂S₂O₇
(h) KAl(sO₄)₂.12H₂O
జవాబు:
(a) NaH₂PO₄
+1+2+x+8 = 0
x-5= 0 x = +5
ఫాస్పరస్ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +5

(b) NaHSO₄
1+1+x-8 = 0
x-6 = 0 x=+6
సల్ఫర్ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6

(c) H₄P2O₇
+4+2x+-14 = 0
2x – 10 = 0 x = \(\frac{10}{2}\) = +5
H₄P₂O₇ P ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +5

(d) K₂MnO₄
Mn ఆక్సీకరణ సంఖ్య = x అనుకొనుము.
+2+x-8 = 0
x-6 = 0 x=+6
K₂MnO₄ Mn ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6

(e) CaO₂
(Ca) క్షార మృత్తిక లోహాల ఆక్సీకరణ స్థితి = +2
‘O’ ఆక్సీకరణ స్థితి = x
+2 + 2x = 0 2x = -2 x = -1
CaO₂ లో O ఆక్సీకరణ స్థితి = -1

(f) NaBH₄
+ 1+x+-4 = 0
x-3= 0 x=+3
NaBH₄ లో బోరాన్ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +3

(g) H₂S₂O₇
+2+2x-14= 0
2x-12= 0 2x= +12 x=+6
H₂S₂O₇ లో ‘S’ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6

(h) KAl(sO₄)₂.12H₂O
\(\mathrm{SO}_4^{–}\) లో ‘S’ ఆక్సీకరణ సంఖ్య ఇచ్చిన పదార్థంతో ‘S’ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6
x-8=-2
x=+6

ప్రశ్న 45.
కింది పదార్థాల్లో కింద గీతతో చూపించిన మూలకాల ఆక్సీకరణ స్థితులను వివరించండి. మీరిచ్చిన ఆక్సీకరణ స్థితులను ఎలా వివరిస్తారు?
a) KI₃
b) H₂S₄O₆
c) Fe₃O₄
జవాబు:
a) Kl₃ → K⁺ + \(\mathrm{l}_3^{-}\)
\(\mathrm{l}_3^{-}\) ion I^– మరియు I₂ ల కలయిక వల్ల ఏర్పడుతుంది.
I^– ఆక్సీకరణస్థితి-1. I₂ ఆక్సీకరణ స్థితి 0.

b) H₂S₄O₆

S₂, S₃ ల ఆక్సీకరణ సంఖ్యలు సున్న.
S₁, S₄ల ఆక్సీకరణ సంఖ్యలు +5.
సరాసరి ఆక్సీకరణ సంఖ్య = \(\frac{10}{4}\) = +2.5

c) Fe₃O₄ లో FeO, Fe₂O₃లు ఉంటాయి.
FeO లో Fe ఆక్సీకరణ స్థితి = +2
Fe₂O₃ లో Fe ఆక్సీకరణ స్థితి = +3
సరాసరి ఆక్సీకరణ సంఖ్య = \(\frac{+2-2 \times 3}{3}\) = \(\frac{8}{3}\) = 2.67 3

ప్రశ్న 46.
కింది ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్యలను వివరించండి.
a) Cuo(ఘ) + H₂(వా) → Cu(ఘ) + H₂O(వా)
b) Fe₂O₃(ఘ) + 3CO(వా) → 2 Fe(ఘ) + 3CO₂(వా)
c) 4Bcl₃ (వా) + 3Li AlH₄ → 2B₂H₆(వా) + 3 Lic (ఘ) + 3AlCl₃
d) 2K(ఘ) + F₂(వా) → 2K⁺F^–(ఘ)
e) 4NH₃ (వా) + 5O₂ (వా) → 4NO (వా) + 6H₂O(వా)
జవాబు:
a) Cu⁺² → Cu⁰ – క్షయకరణం
\(\mathrm{H}_2^0\) → 2H⁺ – ఆక్సీకరణం
∴ ఇది రిడాక్స్ చర్య.

b) Fe⁺³ → Fe^– క్షయకరణం
C⁺² → C⁺⁴ – ఆక్సీకరణం
∴ ఇది రిడాక్స్ చర్య

c) ఈ చర్యలో ఏ పరమాణువుకు ఆక్సీకరణ సంఖ్యలో మార్పులేదు.
∴ ఇది రిడాక్స్ చర్య కాదు.

d) K⁰ → K⁺ – ఆక్సీకరణం
F⁰ → F^– – క్షయకరణం
∴ ఇది రిడాక్స్ చర్య.

e) N^-3 → N⁺² – ఆక్సీకరణం
O⁰ → O^-2 – క్షయకరణం
∴ ఇది రిడాక్స్ చర్య.

ప్రశ్న 47.
ఫ్లోరిన్ మంచుతో చర్య జరిపి కింది మార్పును ఇస్తుంది. H₂O(ఘ) + F₂(వా) → 2HF(వా) + HOF(వా) దీనిని రిడాక్సు చర్యగా చూపండి.
జవాబు:
H₂O లోని O–H బంధంలో ఆక్సిజన్ వద్ద ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత కన్నా OF బంధంలో -0- వద్ద ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత తక్కువ. అందువల్ల 0 – ఆక్సీకరణం చెందుతుంది. F₂ లో F ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత కన్నా HOF లో F వద్ద ఎలక్ట్రాన్ సాంద్ర” పెరుగుతుంది. ఇది క్షయకరణం. కనుక ఈ చర్య క్షయకరణం.
O^-2 → O⁰ – ఆక్సీకరణం
F → F^– – క్షయకరణం
∴ ఇది రిడాక్స్ చర్య.

ప్రశ్న 48.
H₂SO₅, Cr₂, \(\mathrm{O}_7^{2-}\) లలో \(\mathrm{NO}_3^{-}\) లలో S, Cr, N ల ఆక్సీకరణ సంఖ్యలను, నిర్మాణాలను వ్రాయండి.
జవాబు:
H₂SO₅ దీనిని H₂SO₃.(O₂)
ఆక్సీకరణ సంఖ్య +2+x-6-2 = 0

x = +6
కనుక H₂SO₅ లో పెరాక్సీ బంధం ఉంటుంది.

(ii)
Cr₂\(\mathrm{O}_7^{-}\)
Cr ఆక్సీకరణ సంఖ్య = x
O ఆక్సీకరణ సంఖ్య = -2
2x – 14 = -2 (అయాన్ పై ఆవేశం)
2x = 14 – 2 = 12
x = \(\frac{12}{2}\) = +6
క్రోమియం ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6

(iii) N\(\mathrm{O}_3^{-}\)
నైట్రోజన్ ఆక్సీకరణ స్థితి = x
ఆక్సిజన్ ఆక్సీకరణ స్థితి = -2
x-6 = -1
x = +5

ప్రశ్న 49.
కింది సంయోగ పదార్థాల ఫార్ములాలు వ్రాయండి.
a) మెర్క్యూరీ (II) క్లోరైడు
b) నికెల్ (II) సల్ఫేటు
c) టిన్ (IV) ఆక్సైడ్
d) థాలియం (I) సల్ఫేటు
e) ఐరన్ (III) సల్ఫేటు
f) క్రోమియం (III) ఆక్సైడ్
జవాబు:
a) Hg⁺².Cl^–
ఫార్ములా HgCl₂

b) Ni⁺²S \(\mathrm{O}_4^{2-}\)
ఫార్ములా NiSO₄

c) Sn^-4.O^-2 Sn₂O₄
లేదా SnO₂

d) Tl⁺¹.S\(\mathrm{O}_4^{-2}\)
ఫార్ములా Tl₂.SO₄

e) Fe⁺³S\(\mathrm{O}_4^{-2}\)
ఫార్ములా Fe₂(SO₄)₃

f) Cr⁺³.O^-2
ఫార్ములా Cr₂.O₃

ప్రశ్న 50.
కార్బన్ –4 నుంచి + 4 వరకు నైట్రోజన్ -3 నుండి + 5 వరకు ఆక్సీకరణ స్థితులు చూపే పదార్థాల పట్టిక ఇవ్వండి.
జవాబు:
కింది పదార్థాలలో -4 నుండి + 4 వరకు ఆక్సీకరణ సంఖ్యలను కార్బన్ ప్రదర్శిస్తుంది.

నైట్రోజన్ (-3 నుండి +5)

ప్రశ్న 51.
SO₂, H₂O₂ లు ఆక్సీకరణులుగాను, క్షయకరణులుగాను పనిచేస్తాయి. కాని HNO₃ కేవలం ఆక్సీకరణిగానే పనిచేస్తుంది. ఎందువల్ల ?
జవాబు:
SO₂లో సల్ఫర్ ఆక్సీకరణ స్థితి +4. సల్ఫర్కు ఆక్సీకరణ స్థితిని +6 వరకు పెంచుకొనగలదు. అందువల్ల అది క్షయకరణిగా పనిచేయగలదు. అంతేగాక దాని ఆక్సీకరణ సంఖ్య 0 లేదా -2 వరకు తగ్గవచ్చు. కనుక ఆక్సీకరణి గా కూడా పనిచేయగలదు. అదేవిధంగా హైడ్రోజన్ పెరాక్సైడ్ ఆక్సిజన్ ఆక్సీకరణ స్థితి -1. ఈ ఆక్సీకరణ స్థితి ( కు పెరగవచ్చు లేదా -2కు తగ్గవచ్చు. ఈ విధంగా SO₂ మరియు H₂O,లు ఆక్సీకరణులుగాను మరియు క్షయకరణులుగాను కూడా పనిచేస్తాయి.

HNO₃లో నైట్రోజన్ ఆక్సీకరణస్థితి +5. ఇది నైట్రోజన్ యొక్క గరిష్ఠ ఆక్సీకరణ స్థితి. కనుక దాని ఆక్సీకరణ స్థితి పెరిగే అవకాశం లేదు. కాబట్టి HNO₃ క్షయకరణిగా పనిచేయలేదు.
ఆక్సీకరణ స్థితి తగ్గే అవకాశం ఉన్నందువల్ల ఆక్సీకరణిగా మాత్రమే పనిచేయగలదు.

ప్రశ్న 52.
a) 6CO₂ (వా) +6H₂O(ద్ర) → C₆H₁₂O₆(జల) + 6O₂(వా)
b) O₃(వా) + H₂O₂(ద్ర) → H₂O(ద్ర) + 2O₂(వా)
పైన ఇచ్చిన చర్యలను కింది విధంగా రాస్తే ఇంకా ఎక్కువ అర్థవంతంగా ఉంటుంది. ఎందువల్ల?
a) 6CO₂ (వా) + 12H₂O(ద్ర) → C₆H₁₂O₆(జల) + 6H₂O(ద్ర) + 6O₂ (వా)
b) O₃(వా) + H₂O₂(ద్ర) → H₂O(ద్ర) + O₂(వా) + O₂(వా)
(a), (b) చర్యాగతుల శోధనకు సాంకేతిక ప్రక్రియలను వివరించండి.
జవాబు:
మొక్కలు, గాలిలోని CO₂ను, భూమి నుండి నీరును సూర్యరశ్మి, క్లోరోఫిల్లల సమక్షంలో గ్రహించి కార్బోహైడ్రేటులను సంశ్లేషిస్తాయి. ఈ చర్యలో ఆక్సిజన్ విడుదల అవుతుంది. ఆక్సిజన్ నీటి నుండి విడుదలవుతుంది. CO₂ నుండి కాదు. చర్య (a) లో 6H₂O అణువులు 3O₂ అణువులను మాత్రమే విడుదల చేయగలవు. కావున పై సమీకరణం కన్నా కింది విధంగా వ్రాయుట అర్థవంతం.
6CO₂ (వా) + 12H₂O (ద్ర) → C₆H₁₂O₆(జల) + 6H₂O (ద్ర) → 6¹⁸O₂(వా)
O¹⁸ ఐసోటోప్ గల నీరు ఈ విషయాన్ని స్పష్టం చేస్తుంది
6CO₂ (వా) + 12H₂O¹⁸ (ద్ర) → C₆H₁₂O₆(జల) + 6H₂O (ద్ర) + 6¹⁸O₂(వా)
ఈ చర్య H₂O¹⁸ వాడినపుడు \(\mathrm{O}_2^{18}\) విడుదల అవుతుంది

(b)
O₃ → O₂ + (O)

ఈ చర్యలో ఒక ఆక్సిజెన్ నుండి మరియొకటి నుండి విడుదల అవుతుంది ఈ విషయాన్ని ద్వారా నిరూపితమవుతుంది.

ప్రశ్న 53.
AgF₂ చాలా అస్థిరమైనది. అది ఏర్పడితే ఒక బలమైన ఆక్సీకరణిగా పనిచేస్తుంది ఎందువల్ల?
జవాబు:
AgF₂ అనేది అస్థిరమైనది. దీనిలో Ag, Ag⁺² స్థితిలో ఉన్నది. ఇది స్థిరమైన Ag⁺ గా మారుతుంది. అందువల్ల అది అస్థిరమైనది. AgF గాను, మరియు F గాను విఘటనం చెందుతుంది. విడుదలయిన ఫ్లోరిన్ బలమైన ఆక్సీకరణి. కనుక AgF₂ బలమైన ఆక్సీకరణిగా పనిచేస్తుంది.
2AgF₂ → 2AgF + F₂

ప్రశ్న 54.
ఒక ఆక్సీకరణి, ఒక క్షయకరణిల మధ్య చర్య జరిగితే క్షయకరణి అధికంగా ఉన్నపుడు తక్కువ ఆక్సీకరణ స్థితి సంయోగ పదార్థం, ఆక్సీకరణి అధికంగా ఉంటే ఎక్కువ ఆక్సీకరణ స్థితి సంయోగ పదార్థం ఏర్పడతాయి. దీనిని కనీసం మూడు ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
HgCl₂ మరియు SnCl₂ చర్యలో, HgCl₂ ఆక్సీకరణిగాను SnCl₂ క్షయకరణిగాను పనిచేస్తాయి. SnCl₂ అధికంగా ఉన్నపుడు ఏర్పడిన ఉత్పన్నం అల్ప ఆక్సీకరణ స్థితిలో ఉంటుంది. కాని HgCl₂ అధికంగా ఉన్నపుడు ఏర్పడిన ఉత్పన్నంలో Hg అధిక ఆక్సీకరణ స్థితిలో ఉంటుంది.

1.

2. ఫాస్పరస్, క్లోరిన్ల చర్యలో ఫాస్పరస్ క్షయకరణి, క్లోరిన్ ఆక్సీకరణి. క్లోరిన్ స్వల్ప పరమాణంలో ఉన్నప్పుడు ఏర్పడే ఉత్పన్నం PCl₅ కాని క్లోరిన్ అధికంగా ఉన్నప్పుడు PCl₅ ఉత్పన్నంగా ఏర్పడుతుంది.
P₄ + 6Cl₂ → 4PCl₃
P₄ + 10Cl₂ → 4PCl₅

a) CuO(ఘ) + H₂(వా) → Cu(ఘ) + H₂O(వా)
ఈ చర్యలో Cu ఆక్సీకరణ సంఖ్య + 2 నుంచి 0కు తగ్గింది. H₂ ఆక్సీకరణ స్థితి 0 నుండి +1 కు పెరిగింది. అందువల్ల ఇది రీడాక్సు చర్య.

b) Fe₂O₃(ఘ) + 3CO(వా) → 2Fe(ఘ) +3CO₂(వా)
ఈ చర్యలో Fe ఆక్సీకరణ స్థితి +3 నుండి 0 కు తగ్గింది. కార్బన్ ఆక్సీకరణ స్థితి + 2 నుండి +4కు పెరిగింది. అందువల్ల రీడాక్సు చర్య.

c) 4BCl₃ (వా) + 3LiAlH₄(ఘ) → 2B₂H₆(వా) + 2LiCl(ఘ) + 3AlCl₃ (ఘ)
LiAlH₄లో Hydrogen H^– ion గా ఉంటుంది. B₂H₆ లో కూడా హైడ్రోజన్ మీద కొంత ఋణావేశం ఉంటుంది. అందువల్ల ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత H వద్ద తగ్గుతుంది. కనుక ఆక్సీకరణం.
BCl₃ నుండి B₂H₆కు B వద్ద ఎలక్ట్రాన్ సాంద్రత పెరుగుతుంది. అందువల్ల క్షయకరణం. అందువల్ల ఇది ఒక రిడాక్సు చర్య.

d) 2K(s) + F₂(వా) → 2K⁺F^–(s)
ఈ చర్యలో K ఎలక్ట్రాన్ కోల్పోతుంది. కనుక ఆక్సీకరణం.
F ఎలక్ట్రాను గ్రహిస్తుంది. కనుక క్షయకరణం. K → K⁺ ఆక్సీకరణం F₂ → 2F^–క్షయకరణం.

e) 4NH₃ (వా) + 50₂ (వా) → 4NO (వా) + 6H₂O(వా)
NH₃ → NO లో N ఆక్సీకరణ స్థితి – 3 నుండి +2 గా మారుతుంది. కనుక ఆక్సీకరణం O₂ → H₂O చర్యలో O ఆక్సీకరణ స్థితి సున్న నుండి -2కు తగ్గింది.
3. అధికంగా ఉన్న ద్రవ సల్ఫర్ లోనికి క్లోరినన్ను పంపించినపుడు సల్ఫర్ మోనోక్లోరైడు ఏర్పడుతుంది. కాని అధికంగా క్లోరిన్ ఉన్నప్పుడు సల్ఫర్ డై క్లోరైడ్ ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 55.
కింది వాటిని ఏ విధంగా వివరిస్తారు?
a) క్షారీకృత KMnO₄ అమ్లీకృత KMnO₄లు ఆక్సీకరణులైనా టోలీన్ నుంచి బెంజోయిక్ ఆమ్లం తయారీలో ఆల్కహాలిక్ KMnO₄ ను ఆక్సీకరణిగా వాడతారు. ఎందువల్ల? చర్యకు తుల్య ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ సమీకరణం రాయండి.
b) మూలక రసాయన మిశ్రమంలో క్లోరైడ్ ఉంటే దానికి గాఢ సల్ఫ్యూరిక్ ఆమ్లం కలిపినపుడు ఘాటైన వాసన గల HCl వాయువు వెలువడుతుంది. ఐతే మిశ్రమంలో బ్రోమైడ్ లవణం ఉంటే ఎర్రటి బ్రోమిన్ వస్తుంది. ఎందువల్ల?
జవాబు:
a) ఆమ్లీకృత KMnO₄ కర్బన పదార్థాలను CO₂ మరియు నీరుగా ఆక్సీకరణం చేస్తుంది. క్షారయుత పెర్మాంగనేటు, కర్బన పదార్థాలను ఆల్డిహైడ్లుగాను, ఆమ్లాలుగానూ ఆక్సీకరణం చేస్తుంది. ఈ కారణం వల్ల టోలీన్ నుండి బెంజాయిక్ ఆమ్లం తయారీలో క్షారయుత పెర్మాంగనేటును ఉపయోగిస్తారు.

b) అల్పబాష్పశాలి ఆమ్లాలు లవణాలతో చర్యపొందినపుడు అధిక బాష్పశీలి ఆమ్లాలు ఏర్పడతాయి. క్లోరైడు, బ్రోమైడ్ లవణాలు గాఢ H₂SO₄ తో చర్య జరిపినపుడు అధిక భాష్పశీలి Hcl మరియు HBr లు ఏర్పడతాయి. అయితే HCl, Cl₂ గా ఆక్సీకరణం చెందదు. కాని HBr ను H₂SO₄, Br₂ గా ఆక్సీకరణం చెందిస్తుంది.
కనుక H₂SO₄, HBrను ఎరుపురంగు Br₂ గా ఆక్సీకరణం చేస్తుంది.
2Nacl + H₂SO₄ → Na₂SO₄ + 2Hcl
2KBr + H₂SO₄ → K₂SO₄ + 2HBr
2HBr + H₂SO₄ → 2H₂O + SO₂ + Br₂

ప్రశ్న 56.
కింది చర్యలలో ఆక్సీకరణి, క్షయకరణి, ఆక్సీకరణం చెందిన పదార్థం, క్షయకరణం చెందిన పదార్థం తెలపండి.
a) 2AgBr(ఘ) + C₆H₆O₂ → 2Ag(ఘ) + 2HBr(జల) + C₆H₄O₂(జల)
b) HCHO(ద్ర) + 2[Ag(NH₃)₂]⁺ (జల) + 30H^– (జల) → 2Ag(ఘ) + HCOO^– (జల) + 4NH₃ (జల) + 2H₂O(ద్ర)
c) HCHO(ద్ర) + 2Cu⁺⁺ (జల) + 50H^– (జల) → Cu₂O(ఘ) +HCOO^– (జల) + 3H₂O(ద్ర)
d) N₂H₄(ద్ర) + 2H₂O₂(ద్ర) → N₂(వా) + 4H₂O(ద్ర)
e) Pb(ఘ) + PbO₂(ఘ) + 2H₂SO₄(జల) → PbSO₄ (ఘ) + 2H₂O(ద్ర)
జవాబు:
ఆక్సీకరణం చెందే పదార్థం క్షయకరణి. క్షయకరణం చెందే పదార్థం ఆక్సీకరణి.
a) ఈ చర్యలో Ag⁺ → Ag గా మారింది. క్షయకరణం చెందింది. అందువల్ల Ag⁺ ఆక్సీకరణి. C₆H₆O₂ లోని C ఆక్సీకరణం చెందింది. C₆H₆O₂ క్షయకరణి.

b) HCHO → HCOO^– గా ఆక్సీకరణం చెందింది. అందువల్ల HCHO క్షయకరణి. అమ్మోనికల్ సిల్వర్ నైట్రేటులో Ag⁺ గా Ag క్షయకరణం చెందింది. అందువల్ల (Ag(NH₃)₂]⁺ ఆక్సీకరణి.
Cu⁺⁺ → Cu₂O గా క్షయకరణం చెందినది.

c) HCHO → HCOO గా ఆక్సీకరణం చెందినది.
కావున Cu⁺⁺ ఆక్సీకరణి. HCHO క్షయకరణి.

d) N₂H₄(ద్ర) + 2H₂O₂(ద్ర) → N₂ (వా) + 4H₂O(ద్ర)
N₂H₄ → N₂ ; ఆక్సీకరణ చర్య
2H₂O₂ → 2H₂O; క్షయకరణ చర్య
N₂H₄ క్షయకరణి. H₂O₂ ఆక్సీకరణి

e) Pb ఆక్సీకరణం చెందుతుంది. కనుక క్షయకరణి. PbO₂ → PbSO₄ గా క్షయకరణం చెందుతుంది. కావున PbO₂ ఆక్సీకరణి.

ప్రశ్న 57.
2S₂\(\mathrm{O}_3{ }^{2-}\)(జల) + I₂(ఘ) → S₄\(O_6^{2-}\)(జల) + 2I^– (జల)
S₂\(\mathrm{O}_3^{2-}\)(జల) + 2Br₂(ద్ర) → 5H₂O(ద్ర) → 2S\(\mathrm{O}_4^{2-}\) (జల) + 4Br^– (జల) + 10H⁺ (జల)
లలో Br₂, I₂లు వేరు వేరు విధానాల్లో చర్య జరుపుతున్నాయి. ఎందువల్ల?
జవాబు:
అయోడిన్ బలహీన ఆక్సీకరణి కాగా బ్రోమీన్ బలమైన ఆక్సీకరణి. అందువల్ల అయోడిన్ చర్యలో సల్ఫర్ ఆక్సీకరణ స్థితి S₂\(\mathrm{O}_3{ }^{2-}\) లో + 2 నుండి S₄\(\mathrm{O}_6{ }^{2-}\) లో +2.5కు మారుతుంది. కాని Br₂ బలమైన ఆక్సీకరణి కనుక సల్ఫర్ను అత్యధిక ఆక్సీకరణ స్థితికి +6 కు ఆక్సీకరణం చేస్తుంది. S₂\(\mathrm{O}_3{ }^{2-}\), S\(\mathrm{O}_4{ }^{2-}\) మారేవరకు చర్య జరుగుతుంది.

ప్రశ్న 58.
హాలోజన్లలో ఫ్లోరిన్ బలమైన ఆక్సీకరణి. హైడ్రోహాలిక్ సంయోగ పదార్థాలలో హైడ్రో అయోడిక్ ఆమ్లం బలమైన క్షయకరణి వివరించండి.
జవాబు:
హాలోజన్ల ఆక్సీకరణ సామర్థ్యం ఫ్లోరిన్ నుండి అయోడిన్క తగ్గుతుంది.
Fl₂ > Cl₂ > Br₂ > I₂
దీనికి కారణం, F₂, నుండి I₂ కు ఋణ విద్యుదాత్మకతలు మరియు ఎలక్ట్రాన్ గ్రాహ్య ఎంథాల్పీలు క్రమంగా తగ్గడమే. హాలైడులను హాలోజన్లుగా F₂ ఆక్సీకరణం చేస్తుంది.
2Kcl + F₂ → 2KF + Cl₂
2kBr + F₂ → 2KF + Br₂
2KI + F₂ → 2KF + I₂
క్లోరిన్ Brను, Iను మాత్రమే స్థానభ్రంశం చెందించగలదు.
2kBr + Cl₂ → 2Kcl + Br₂
2KI + Cl₂ → 2Kcl + I₂
అదేవిధంగా I^– ను I₂గా Br₂ ఆక్సీకరణం చెందిస్తుంది.
2KI + Br₂ → 2KBr + I₂
అయొడిన్ హాలైడులను స్థానభ్రంశం చేయలేదు.
హైడ్రోజన్ హాలైడులలో క్షయకరణ సామర్థ్యం HF నుండి HI కు పెరుగుతుంది. దీనికి కారణం హైడ్రోజన్ హాలైడ్లలో బంధ దూరం పెరుగుదలతో ఉష్ణ స్థిరత్వం తగ్గడమే. అందువల్ల HF ను ఆక్సీకరణం చేయటం కష్టం. HI ను సులభంగా ఆక్సీకరణం చెందించవచ్చు. ఈ కారణంగా HI బలమైన క్షయకరణి.

ప్రశ్న 59.
కింది చర్య ఎందుకు జరుగుతుంది?
Xe\(\mathrm{O}_6^{4-}\) (జల) + 2F^– (జల) + 6H⁺ (జల) → XeO₃(వా) + F₂(వా) + 3H₂O(ద్ర)
ఈ చర్య నుంచి Na₄ XeO₆ అనే పదార్థం (దీనిలో Xe\(O_6^{4-}\) ఒక విభాగం) గురించి ఏమని నిర్ధారించవచ్చు.
జవాబు:
Xe\(\mathrm{O}_6^{4-}\) అయాన్ చాలా బలమైన ఆక్సీకరణి. F₂ కన్నా బలమైనది. అందువల్ల అది F^– ను ఆమ్లయానకంలో F₂ గా ఆక్సీకరణం చేయగలదు. Na₄ XeO₆ అయానిక పదార్థం.

ప్రశ్న 60.
క్రింది చర్యలను పరిశీలించండి.
a) H₃PO₂(జల) + 4AgNO₃(జల) + 2H₂O(ద్ర) → H₃PO₄(జల) + 4Ag(ఘ) + 4HNO₃
b) H₃PO₂(జల) + 2CuSO₄ (జల) + 2H₂O(ద్ర) → H₃PO₄ (జల) + 2Cu(ఘ) + 2H₂SO₄(జల)
c) C₆H₅CHO(ద్ర) + 2[Ag\(\left(\mathrm{NH}_3\right)_2{ }^{+}\) (జల) + 3OH^– (జల) → C₆H₅COO^– (జల) + 2Ag(ఘ) + 4NH₃(జల) + 2H₂O(ద్ర)
d) C₆H₅CHO(ద్ర) + 2Cu²⁺ (జల) 5OH^– (జల) → మార్పులేదు.
ఈ చర్యల గురించి Ag⁺, Cu⁺⁺ల ప్రవృత్తి గురించి మీరు ఏమని నిర్ధారించగలరు.
జవాబు:
ఆమ్లయానకంలో A⁺, Cu⁺⁺ ఒకే రకమైన పై చర్యలలో ఆక్సీకరణ సామర్ధ్యాన్ని ప్రదర్శిస్తాయి. క్షారయానకంలో Ag⁺ బలమైన ఆక్సీకరణి. Cu⁺⁺ బెంజాల్ డిహైడ్ ను క్షారయానకంలో ఆక్సీకరణం చెందించుట లేదు. అందువల్ల బలహీనమైన ఆక్సీకరణి.

ప్రశ్న 61.
కింది ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్యలను అయాన్-ఎలక్ట్రాన్ పద్ధతి ద్వారా తుల్యం చేయండి.
a) Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + I^–(జల) → MnO₂(ఘ) + I₂(ఘ) (క్షార యానకంలో)
b) Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + SO₂ (వా) → Mn²⁺(జల) + HS\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) (ఆమ్ల ద్రావణంలో)
c) H₂O₂(జల) + Fe²⁺(జల) → Fe³⁺ (జల) + H₂O(ద్ర) (ఆమ్ల ద్రావణంలో)
d) Cr₂\(\mathrm{O}_7^{2-}\) + SO₂(వా) → Cr³⁺ (జల) + S\(\mathrm{O}_4^{2-}\) (జల) (ఆమ్ల ద్రావణంలో)
జవాబు:
a) Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + I^– (జల) → MnO₂(ఘ) + I₂ (మ) (క్షార యానకంలో)
1వ దశ : మొదట సంక్షిప్త అయానిక సమీకరణాన్ని రాయండి.
Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + I^– (జల) → MnO₂(ఘ) + I₂(ఘ)
2వ దశ : రెండు అర్ధ చర్యలను వ్రాయండి.
ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్య :

క్షయకరణ అర్ధ చర్య :

3వ దశ : I పరమాణువులను తుల్యం చేయాలి.
2I^– (జల) → I₂(ఘ)
4వ దశ : చర్య క్షార యానకంలో జరుగుతుంది కాబట్టి O పరమాణువులను తుల్యం చేయడానికి క్షయకరణ అర్ధ చర్యలో OH^– అయాన్లను తగిన సంఖ్యలో కలపాలి.
Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\)(జల) → MnO₂(ఘ) + 2OH^–(ద్ర)
H పరమాణువులను తుల్యం చేయడానికి ఎడమ ప్రక్కన రెండు H₂O అణువులను కలపాలి.
Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + 2H₂O (జల) → MnO₂(ఘ) + 2OH^–
H, O పరమాణువులను దాగుడుమూతల పద్ధతిలో తుల్యం చేయాలి.
Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + 2H₂O(జల) → MnO₂(ఘ) + 4OH^–(జల)
5వ దశ : రెండు అర్ధచర్యలలోని ఆవేశాలను తుల్యం చేయాలి.
2I^–(జల) → I₂(ఘ) + 2e^–
Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + 2H₂O(ద్ర ) +3e^– → MnO₂ (ఘ) + 4OH^–(జల)
విడుదలయిన ఎలక్ట్రాన్ల సంఖ్య, గ్రహించిన ఎలక్ట్రాన్ల సంఖ్యను తుల్యం చేయాలి. ఆక్సీకరణ అర్ధచర్యను 3 పెట్టి క్షయకరణ అర్ధ చర్యను 2 పెట్టి హెచ్చవేయాలి.
6I^–(జల) → 3I₂(ఘ) + 6e^–
2Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + 4H,O(ద్ర) + 6e^– → 2MnO₂(ఘ) + 80H^–(జల)
6వ దశ : రెండు అర్ధ చర్యలను కలిపితే మొత్తం మీది చర్య వస్తుంది. రెండు వైపుల ఎలక్ట్రాన్లను కొట్టివేయాలి.
6I^–(జల) + 2Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + 4H₂O(ద్ర) → 3I₂ (ఘ) + 2MnO₂(ఘ) + 8OH^–(జల)
7వ దశ : చివరగా సమీకరణాన్ని పరమాణువులు, ఆవేశాల పరంగా సరిచూసుకోవాలి.

b) Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) + SO₂(వా) → Mn²⁺(జల) + HS\(\mathrm{O}_4^{-}\) (జల) (ఆమ్ల ద్రావణంలో)
1వ దశ : మొదటగా సంక్షిప్త అయానిక సమీకరణాన్ని రాయండి.
2వ దశ : రెండు అర్ధ చర్యలను రాయండి.
ఆక్సీకరణం చర్య :
క్షయకరణం చర్య :
3వ దశ : O₂ పరమాణువులను ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్యలో తుల్యం చేయడానికి ఎడమవైపు 2H₂O రాయాలి.
SO₂ + 2H₂O → HSO^–
H పరమాణువులను తుల్యం చేయడానికి H⁺లు కలపాలి.
SO₂ + 2H₂O → HS\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 3H⁺
క్షయకరణ అర్ధ చర్యలో O, H లను తుల్యం చేయాలి.
Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) → Mn⁺⁺ + 4H₂O
చర్య ఆమ్ల యానకంలో జరుగుతున్నది. కాబట్టి H⁺ లను ఉపయోగించి Hలను తుల్యం చేయాలి.
Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 8H⁺ → Mn⁺⁺ + 4H₂O
4వ దశ : రెండు చర్యలలోని విద్యుదావేశాలను తుల్యం చేయాలి.
SO₂ + 2H₂O → HSO₄ + 3H⁺ + 2e^–
Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 8H⁺ + 5e^– → Mn⁺⁺ + 4H₂O
5వ దశ : ఎలక్ట్రాన్లను తుల్యం చేయడానికి ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్యను 5 చేత, క్షయకరణ అర్ధ చర్యను 2 చేత గుణించాలి.
5SO₂ + 10H₂O → 5HS\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 15H⁺ + 10e^–
2Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 16H⁺ + 10e^– → 2Mn⁺⁺ + 8H₂O
6వ దశ : పై రెండు అర్ధ చర్యలను కలపాలి.
5SO₂ + 2Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 2H₂O + H⁺ → 5HS\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 2Mn⁺⁺

c) H₂O₂(జల) + Fe⁺⁺(జల) → Fe³⁺ (జల) + H₂O(ద్ర) (ఆమ్ల ద్రావణంలో)
1వ దశ : ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్య : Fe²⁺ (జల) → Fe³⁺ (జల)
క్షయకరణ అర్ధ చర్య : H₂\(\mathrm{O}_2^{-1}\) (జల) → H₂O^-2
2వ దశ : ‘O’ పరమాణువులను తుల్యం చేయాలి.
H₂O₂ → H₂O + H₂O
H₂O₂ → 2H₂O
‘H’ పరమాణువులను తుల్యం చేయాలి.
H₂O₂ + 2H⁺ → 2H₂O
3వ దశ : విద్యుదావేశాలను తుల్యం చేయాలి.
Fe²⁺(జల) → Fe³⁺(జల) + e^–
H₂O₂ + 2H⁺ + 2e^– → 2H₂O
4వ దశ : ఎలక్ట్రాన్లను తుల్యం చేయాలి.
2Fe²⁺ → 2Fe³⁺ + 2e^–
H₂O₂ + 2H⁺ + 2e^– → 2H₂O
5వ దశ : పై తుల్య చర్యలను కలపాలి.
2Fe²⁺ + H₂O₂ + 2H⁺ → 2 Fe³⁺ + 2H₂O

d) Cr₂\(\mathrm{O}_7^{2-}\) + SO₂(వా) → Cr³⁺ + \(\mathrm{SO}_4{ }^{2-}\) (ఆమ్ల ద్రావణంలో)
1వ దశ :
ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్య : SO₂ → S\(\mathrm{O}_4^{2-}\)
క్షయకరణ అర్ధ చర్య: Cr₂\(\mathrm{O}_7^{2-}\) → Cr^3-
2వ దశ : O, H మినహా ఇతర పరమాణువులను తుల్యం చేయాలి.

ప్రశ్న 62.
కింది సమీకరణాలను క్షార యానకంలో అయాన్-ఎలక్ట్రాన్ పద్ధతి ద్వారా, ఆక్సీకరణ సంఖ్యా పద్ధతి ద్వారా తుల్యం చేసి, ఆక్సీకరణ కారకాన్ని, క్షయకరణ కారకాన్ని గుర్తించండి.
a) P₄(ఘ) + OH^–(జల) → PH₃(వా) + HP\(\mathrm{O}_2^{-}\) (జల)
b) N₂H₄(ద్ర) + ClO₃ (జల) → NO (వా) + Cl^–(వా)
c) Cl₂O₇(వా) + H₂O₂ → CI\(\mathrm{O}_2^{-}\)(జల) + O₂(వా) + H⁺
జవాబు:
a)
P₄(ఘ) + OH^– (జల) → PH₃(వా) + H₃P\(\mathrm{O}_2^{-}\) (జల)
అయాన్-ఎలక్ట్రాన్ పద్ధతి :
1వ దశ : ఆక్సీకరణ సంఖ్యలను గుర్తించుట.

2వ దశ : P₄ → PH₃ క్షయకరణ అర్ధ చర్య
P₄ → H₂P\(\mathrm{O}_2^{-}\) ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్య
3వ దశ : P పరమాణువులను తుల్యం చేయాలి.
P₄ → 4PH₃
P₄ → 4H₂P\(\mathrm{O}_2^{-}\)
4వ దశ : ఆక్సిజన్లను తుల్యం చేయాలి, ఆక్సిజన్ తక్కువగా ఉన్నవైపు H₂O లు వ్రాయాలి.
P₄ + 8H₂O → 4H₂P\(\mathrm{O}_2^{-}\)
5వ దశ : Hలను తుల్యం చేయాలి. చర్య క్షార యానకంలో జరుగుతున్నది కాబట్టి H₂O మరియు OH^– అయానులను కలపాలి. హైడ్రోజన్లు తక్కువగా ఉన్న వైపు ఎన్ని తక్కువగా ఉన్నాయో అన్ని H₂O లను, వ్యతిరేక వైపు సమాన సంఖ్య
OH^– లను కలపాలి.

1వ దశ : ఈ చర్యలో ఫాస్ఫరస్ ఆక్సీకరణం మరియు క్షయకరణం చెందుతుంది.

ఆక్సీకరణ సంఖ్యలో మార్పులను సమం చేయాలి.
P₄ + OH^– → PH₃ + 3H₂P\(\mathrm{O}_2^{-}\)

2వ దశ :

a) H, O లను తుల్యం చేయాలి. ఇందుకోసం హైడ్రోజన్ పరమాణువుల కొరత ఉన్న వైపు చర్య ఆమ్లయానకంలో జరిగినట్లైతే H⁺ అయాన్లని, క్షార యానకంలో జరిగినట్లయితే H₂O ని తగిన సంఖ్యలో కలపాలి.
b) ఆక్సిజన్ పరమాణువుల కొరత ఉన్న వైపున చర్య ఆమ్ల యానకంలో జరిపితే H₂O ని క్షారయానకంలో జరిగితే OH^– ని తగిన సంఖ్యలో కలపాలి.
P₄ + 3OH^– + 3H₂O → PH₃ + 3H₂P\(\mathrm{O}_2^{-}\)
తుల్య సమీకరణం P₄ + 3OH^– + 3H₂O → PH₃ + 3H₂P\(\mathrm{O}_2^{-}\)

b) N₂H₂(ద్ర) + ClO (జల) → NO(వా) + Cl^–(వా)
ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్యను, క్షయకరణ అర్ధ చర్యను గుర్తించాలి.
1వ దశ :
N₂H₄(ద్ర) → NO(ద్ర) ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్య
Cl\(\mathrm{O}_3^{-}\)(వా) → Cl^–(వా)

2వ దశ : O, H నినహా మిగిలిన వాటిని తుల్యం చేయాలి.
N₂H₄(ద్ర) → 2NO

3వ దశ : చర్య క్షారయానకంలో జరుగుతున్నది. హైడ్రోజన్ తుల్యంచేయడానికి H₂Oలను, OH^– లను ఉపయోగించాలి. ముందుగా ఆక్సిజన్రను తుల్యం చేయాలి. అందుకోసం ఆక్సిజన్ తక్కువగా ఉన్నవైపు H₂Oలను వ్రాయాలి.

ఆక్సీకరణ సంఖ్యా పద్ధతి : 1వ దశ : ఆక్సీకరణ సంఖ్యలో మార్పును గుర్తించాలి.

3వ దశ : ఆక్సీకరణ సంఖ్యలో పెరుగుదలను, తగ్గుదలను సమం చేయాలి. N₂H₄ ను 3 చేత, Cl\(\mathrm{O}_3^{-}\) ను 2చేత గుణించాలి.
3N₂H₄ + 4Cl\(\mathrm{O}_3^{-}\) → 6NO + 4Cl^–

4వ దశ : H, O లు మిగిలిన పరమాణువులను తుల్యం చేయాలి. పై సమీకరణంలో అవి తుల్యం అయినవి.

5వ దశ : O, H లను తుల్యం చేయడానికి OH^–, H₂O లను వ్రాయాలి.
3N₂H₄ + 4Cl\(\mathrm{O}_3^{-}\) → 6NO + 4Cl^– + 6H₂O

c) Cl₂O₇(వా) + H₂O₂ → Cl\(\mathrm{O}_2^{-}\) (జల) + O₂(వా) + H⁺ అయాన్ ఎలక్ట్రాన్ పద్ధతి లేదా అర్థ చర్యా పద్ధతి

1వ దశ :
Cl₂O₇ + H₂O₂ → Cl\(\mathrm{O}_2{ }^{-}\) + O₂ + H⁺ ఆక్సీకరణ అర్ధ చర్యను, క్షయకరణ అర్ధ చర్యను విడివిడిగా వ్రాయాలి.

2వ దశ : పరమాణువులను (O, Hమినహా) తుల్యం చేయాలి.

ఆక్సీకరణ సంఖ్య పద్ధతి : ఆక్సీకరణ సంఖ్యలో పెరుగుదలను తగ్గుదలను గుర్తించాలి.

2వ దశ : ఆక్సీకరణ సంఖ్య పెరుగుదలను, తగ్గుదలను సమం చేయాలి. H₂O₂ ను 4 చే గుణించాలి.
Cl₂O₇ + 4H₂O₂ → 2Cl\(\mathrm{O}_2^{-}\) + O₂ + H⁺

3వ దశ : O, H లను తుల్యం చేయాలి. దాగుడు మూతల పద్ధతిలో H₂O₂ OH^– లను చేర్చాలి.

ప్రశ్న 63.
ఈ కింది చర్య ద్వారా ఏమి తెలుస్తోంది. (CN)₂(వా) + 2OH^–(జల) → CN^–(జల) + CNO^– (జల) + H₂O(ద్ర)
జవాబు:
ఈ చర్యలో సయనోజన్ వాయువు క్షారయానకంలో అననుపాత చర్యకు లోనవుతోంది. ఈ చర్యలో CN ప్రాతిపదిక ఆక్సీకరణ సంఖ్య CN^– ఏర్పడుటలో -1కి తగ్గుతుంది. CNO^– లో +1 కి పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 64.
Mn³⁺ అయాన్ ద్రావణంలో అస్థిరంగా ఉండి, అననుపాతం చెంది Mn²⁺, MnO₂, H⁺ అయాన్లను ఇస్తుంది. ఈ చర్యకు తుల్య అయానిక సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు:
Mn³⁺ + 2H₂O → MnO₂ + Mn⁺⁺ + 4H⁺
2Mn³⁺ + 2H₂O → MnO₂ + Mn⁺⁺ + 4H⁺

ప్రశ్న 65.
a) ఋణ ఆక్సీకరణస్థితిని మాత్రమే ప్రదర్శించే మూలకం ఏది ?
b) ధన అక్సీకరణస్థితిని మాత్రమే ప్రదర్శించే మూలకం ఏది ?
c) ధన, ఋణ ఆక్సీకరణ స్థితులు రెండింటినీ ప్రదర్శించే మూలకం ఏది ?
d) ధన, ఋణ అక్సీకరణ స్థితులలో దేనిని కూడా ప్రదర్శించని మూలకం ఏది ?
జవాబు:
a) ఫ్లోరిన్ F ఋణ ఆక్సీకరణస్థితిని మాత్రమే ప్రదర్శిస్తుంది. అది అధిక ఋణ విద్యుదాత్మకత గల మూలకం. ఫ్లోరిన్ కన్నా అధిక ఋణ విద్యుదాత్మకత కలిగిన మూలకము మరియొకటి లేదు. కనుక అది ఎల్లప్పుడు ఋణ ఆక్సీకరణస్థితి (-1) మాత్రమే చూపుతుంది.

b) CS అత్యధిక ధన విద్యుదాత్మకత గల మూలకము. అది ధన ఆక్సీకరణస్థితి (+1) ని మాత్రమే చూపుతుంది.

c) అయోడిన్ | ధన ఋణ ఆక్సీకరణ స్థితులను చూపగలదు. ఉదా : ICl₃ లో I ఆక్సీకరణస్థితి HNal లో దాని అక్సీకరణ స్థితి -1.

d) నియాన్ Ne జడవాయువు. అది రసాయన చర్యలలో పాల్గొనదు. కనుక అది ధన లేదా ఋణ చూపదు.

ప్రశ్న66.
తాగునీటిని శుద్ధిచేయటానికి క్లోరినన్ను వాడతారు. అధిక క్లోరిన్ హానికరమైనది. అధికంగా ఉన్న క్లోరినన్ను సల్ఫర్ డై ఆక్సైడ్తో చర్య నొందించి తొలగిస్తారు. నీటిలో జరిగే ఈ ఆక్సీకరణ క్షయకరణ మార్పుకు తుల్య సమీకరణాన్నివ్వండి.
జవాబు:
SO₂ + Cl₂ + 2H₂O → H₂SO₄ + 2HCl

ప్రశ్న67.
మీ పుస్తకంలో ఇచ్చిన ఆవర్తనపట్టికను పరిశీలించి, కింది ప్రశ్నలకు జవాబు ఇవ్వండి.
a) అననుపాత చర్యలను ప్రదర్శించే అలోహాలను ఎంపిక చేయండి.
b) అననుపాత చర్యలను ప్రదర్శించే మూడు లోహాలను ఎంపిక చేయండి.
జవాబు:
a) ఫాస్ఫరస్, సల్ఫర్, క్లోరిన్, బ్రోమిన్, అయోడిన్
b) క్రోమియం, మాంగనీస్, లెడ్

ప్రశ్న68.
ఆస్వాల్డ్ పద్ధతిలో నత్రికామ్లం తయారుచేసే చర్యల్లో మొదటి అంచెలో అమ్మోనియా ఆక్సిజన్తో ఆక్సీకరణం చెంది నైట్రిక్ ఆక్సైడ్, నీటి ఆవిరి వస్తాయి. చర్యను 10.0 గ్రా. అమ్మోనియా, 20.0 గ్రా. ఆక్సిజన్ జరిపితే గరిష్ఠంగా ఎంత నైట్రిక్ ఆక్సైడ్ వస్తుంది.
జవాబు:
ఆస్వార్డు పద్ధతిలో NH₃ ఆక్సీకరణం చెంది నైట్రిక్ ఆక్సైడ్గా మారుతుంది.
4NH₃ + 5O₂ → 4NO + 6H₂O
స్థాయికియోమెట్రీ

10 గ్రా అమ్మోనియాతో చర్యపొందే ఆక్సిజన్ భారం = \(\frac{10}{68}\) × 160 = 23.529 గ్రా

తగినంత ఆక్సిజన్ లేకపోవుట వలన 10గ్రా. అమ్మోనియా చర్య పొందలేదు. అందువల్ల 20 గ్రా. ఆక్సిజన్ మాత్రమే చర్యలో పాల్గొన్నప్పుడు NO ఏర్పడుతుంది.
160 గ్రా. ఆక్సిజన్ నుండి 120 గ్రా. NO ఏర్పడుతుంది.
20 గ్రా. ఆక్సిజన్ నుండి ?
NO భారం = \(\frac{20}{160}\) × 120 = 15 గ్రా.
[20 గ్రా. O₂ తో చర్య పొందే అమ్మోనియా
160 గ్రా. O₂ తో చర్య పొందే అమ్మోనియా 68 గ్రా.
20 గ్రా. ౦ తో చర్య పొందే అమ్మోనియా = \(\frac{20 \times 68}{160}\) = 8.5 గ్రా. NH₃
68 గ్రా. అమ్మోనియా నుండి ఏర్పడే NO 120 గ్రా.
8.5 గ్రా. అమ్మోనియా నుండి ఏర్పడే NO = \(\frac{8.5}{68}\) × 120 = 15 గ్రా
∴ 10 గ్రా. అమ్మోనియా 20 గ్రా. ఆక్సిజన్తో చర్య పొందినపుడు 15 గ్రా. NO ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 69.
క్రింది లోహాలను వాటి లవణాల నుంచి ఒకదానితో ఒకటి స్థానభ్రంశం చెందించే క్రమంలో అమర్చండి.
Al, Cu, Fe, Mg, Zn.
జవాబు:
విద్యుత్ రసాయన శ్రేణిలో ఎక్కువ ఋణ క్షయకరణ పొటెన్షియల్ గల మూలకం దాని క్రింద నున్న మూలకాన్ని దాని లవణ ద్రావణం నుండి స్థానభ్రంశం చెందిస్తుంది.
ఉదా : CuSO₄ + Zn → 2nSO₄ + Cu
Zn⁺⁺/Zn క్షయకరణ పొటెన్షియల్ -0.762 Cu⁺⁺/Cu +0/337. జింక్కు ఎలక్ట్రానులను విడుదల చేసే స్వభావం ఎక్కువ. అందువల్ల Cu⁺⁺ ను Cu గా క్షయకరణం చేస్తుంది.

పై టేబుల్ నుండి స్థానభ్రంశ క్రమం క్రింది విధంగా ఉంటుంది.
Mg > Al > Zn > Fe > Cu

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 70.
క్షార యానకంలో పర్మాంగనేట్ అయాన్, అయొడైడ్ (I^–) అయానన్ను ఆక్సీకరణం చేసి, అయొడిన్ (I₂), మాంగనీస్ డై ఆక్సైడ్ (MnO₂) ఇచ్చే చర్యకు తుల్య అయానిక సమీకరణాన్ని రాయండి.
జవాబు:

ప్రశ్న71.
ఆమ్ల యానకంలో పర్మాంగనేట్, సల్ఫైట్ అయాన్లను సల్ఫేట్ అయాన్లుగా ఆక్సీకరణ చేసే చర్యకు తుల్య సమీకరణాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:

ప్రశ్న72.
ఆమ్లయానకంలో ఆక్జాలిక్ ఆమ్లం, పర్మాంగనేట్ అయాన్తో Mn”tగా అక్సీకరించబడుతుంది. అయాన్ – ఎలక్ట్రాన్ పద్ధతిలో తుల్యం చేయండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 73.
ఫాస్ఫరసు NaOH ద్రావణంలో వేడి చేస్తే ఫాస్ఫేన్ PH₃, H₂P\(\mathrm{O}_2^{-}\) లను ఇస్తుంది. తుల్య సమీకరణాన్ని వ్రాయండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 74.
కింది సమీకరణాన్ని తుల్యం చేయండి.

జవాబు:

ప్రశ్న 75.
క్రింది సమీకరణాన్ని ఆక్సీకరణ సంఖ్య పద్ధతిలో తుల్యం చేయండి.
Mn\(\mathrm{O}_4^{-2}\) + Cl₂ → Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + Cl^–
జవాబు:
మొదటిదశ : Mn\(\mathrm{O}_4^{-2}\) + Cl₂ → Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + Cl^–
రెండవదశ : ఆక్సీకరణ సంఖ్యలలో మార్పులను గుర్తించాలి.

మూడవదశ : ఆక్సీకరణ సంఖ్యలో తగ్గుదల, పెరుగుదల సమానంగానే ఉన్నాయి.
నాల్గవదశ : O, H మినహా మిగిలిన పరమాణువులను తుల్యం చేయాలి.
Mn\(\mathrm{O}_4^{-2}\) + Cl₂ → Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 2Cl^–
ఐదవదశ : విద్యుదావేశాన్ని తుల్యం చేయాలి.
2Mn\(\mathrm{O}_4^{-2}\) + Cl₂ → Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) + 2Cl^–

ప్రశ్న 76.
వివిధ రకాల ఆక్సీకరణ, క్షయకరణ (రెడాక్స్) చర్యలను వివరించండి.
జవాబు:
ఆక్సీకరణం : ఒక కణం ఆక్సీకరణ సంఖ్య ఇచ్చిన చర్యలో పెరగడం ఆ కణం అక్సీకరణం అంటారు. క్షయకరణం : ఒక కణం ఆక్సీకరణ సంఖ్య ఇచ్చిన చర్యలో తగ్గడం ఆ కణం క్షయకరణం అంటారు.
ఆక్సీకరణ – క్షయకరణ చర్యలు : ఏక కాలంలో ఒక కణం ఆక్సీకరణం చెంది, వేరొక కణం క్షయకరణం చెందడం జరిగే రసాయన చర్యలను ఆక్సీకరణ-క్షయకరణ చర్యలు అంటారు. కాబట్టి పరస్పరం చర్య జరిపే కణాల అక్సీకరణ సంఖ్యలలో మార్పులను తీసుకువచ్చే చర్యలు ఆక్సీకరణ క్షయకరణ చర్యలు.
1. సంకలన చర్య : A + B → C
ఇందులో A గాని B గాని లేదా A, B లు రెండూ గాని మూలకస్థితిలో ఉంటే ఆక్సీకరణ క్షయకరణ చర్య జరుగుతుంది. ఇవన్నీ సంయోగచర్యలే.
ఉదా :

2. విఘటన చర్య :
సంకలన చర్యకు వ్యతిరేకంగా జరిగే చర్యను విఘటన చర్య అంటారు.
ఉదా :

3. స్థానభ్రంశ చర్యలు : స్థానభ్రంశ చర్యలు 2 రకాలు. 1. లోహ స్థానభ్రంశ చర్యలు. 2. అలోహ స్థానభ్రంశ చర్యలు.
X + YZ → XZ + Y
1. లోహ స్థానభ్రంశ చర్యలు : సమ్మేళనంలోని లోహాన్ని వేరొక లోహంతో స్థానభ్రంశం చెందించవచ్చు. ఈ చర్యలలో క్షయకరణం చేసే లోహం క్షయీకృతం అయ్యే లోహంకంటే బలమైన క్షయకారిణి. దీనిని బట్టి క్షయకరణికి ఎలక్ట్రాన్లను వదులుకొనే శక్తి క్షయకరణం చెందే లోహం కంటే ఎక్కువ అని తెలుస్తుంది.

1. అలోహ స్థానభ్రంశ చర్యలు : అలోహాన్ని స్థానభ్రంశం చేసే చర్యలలో హైడ్రోజన్ స్థానభ్రంశం అరుదుగా జరిగే ఆక్సిజన్ స్థానభ్రంశం ఉంటాయి.
క్షార లోహాలన్నీ, కొన్ని క్షార మృత్తిక లోహాలు (Ca, Sr, Ba) చాలా బలమైన క్షయకరణులు. అవి చల్లని నీటి నుంచి హైడ్రోజన్ను స్థాన భ్రంశం చేస్తాయి.

సాపేక్షంగా తక్కువ చర్యాశీలతగల లోహాలు (మెగ్నీషియమ్, ఐరన్ వంటివి) నీటి ఆవిరితో చర్యలో హైడ్రోజన్ని స్థానభ్రంశం చేస్తాయి.

నీటి ఆవిరితో కూడా చర్య జరపని లోహాలు

ఫ్లోరిన్ చాలా చురుకైన మూలకం. ద్రావణాల నుంచి క్లోరైడ్, బ్రోమైడ్, అయోడైడ్లు అయాన్లను స్థానభ్రంశం చేస్తుంది. వాస్తవానికి ఫ్లోరిన్ నీటి నుంచి ఆక్సిజనిని స్థానభ్రంశం చేయగలిగేటంత చర్యాశీలత గలది.

4. అసౌష్టవ విఘటన చర్యలు (అననుపాత చర్యలు) :
అసౌష్ఠవ విఘటన చర్యలలో నిర్ధిష్ట కణంలోని మూలకం ఒక ఆక్సీకరణ స్థితిలో ఉంటుంది. అది ఒకే సమయంలో ఆక్సీకరణం, క్షయకరణం కూడా చెందుతుంది. అననుపాతం చెందే క్రియా జనకాల్లో ఒకదాంట్లోని మూలకం ఒకటి కనీసం మూడు ఆక్సీకరణ స్థితులలో ఉండగలదు. క్రియాజన్యంలో ఆ మూలకం మూడు ఆక్సీకరణ స్థితులలోని మధ్యస్థ స్థితిలో ఉంటుంది. దానికి పై ఆక్సీకరణ స్థితి కింది ఆక్సీకరణ స్థితి ఉన్న క్రియాజన్యాలు ఏర్పడతాయి. ఈ విధమైన చర్యకు హైడ్రోజన్ పెరాక్సైడ్ విఘటనం మనకు పరిచయమైన ఉదాహరణ. ఇందులో ఆక్సిజన్ అసౌష్ఠవ విఘటనం
చెందుతుంది.

ఈ చర్యలో పెరాక్సైడ్లోని ఆక్సిజన్ -1 స్థితిలో ఉంటుంది. దాని స్థితి O₂ లో సున్నా అక్సీకరణ స్థితికి పెరగడం, H₂O లో -2 ఆక్సీకరణ స్థితికి తగ్గడం జరుగుతుంది.
ఫాస్ఫరస్, సల్ఫర్, కోర్లిన్లు క్షార యానకంలో ఈ అననుపాత చర్యలను జరుపుతాయి.

ప్రశ్న 77.
స్థిరానుపాత నియమాన్ని తెలపండి ఒక సమస్యను సాధనచేయడం ద్వారా ఈ నియమాన్ని విశదీకరించండి.
జవాబు:
జోసెఫ్ ప్రౌస్ట్ (Joseph Proust) అనే ఫ్రెంచి రసాయన శాస్త్రవేత్త ఈ నియమాన్ని చెప్పాడు. “ఒక నిర్దిష్ట సమ్మేళనంలో అవే మూలకాలు భారాత్మకంగా ఒకే నిష్పత్తిలో కలిసి ఉంటాయి.” అని చెప్పాడు.
ప్రౌస్ట్ రెండు నమూనాలు క్యూప్రక్ కార్బొనేట్తో పని చేశాడు. ఒక నమూనా సహజ సిద్ధమైంది. రెండోది కృత్రిమంగా తయారు చేయబడింది. ఈ రెండు నమూనాల సంఘటనం ఒక్కటిగానే ఉంటుంది.

ఈ విధంగా ప్రాప్తి స్థానంతో సంబంధం లేకుండా ఒక నిర్దిష్ట సమ్మేళనంలో ఘటక మూలకాలు భారాత్మకంగా అదే నిష్పత్తిలో సంయోగం చెంది ఉంటాయి.

ప్రశ్న 78.
క్రింది చర్యల అంశమాపనంలో అంతిమ స్థానాలను ఎట్లా గుర్తిస్తారు.
(i) Mn\(\mathrm{O}_4{ }^{2-}\) తో Fe²⁺ ను ఆక్సీకరించుట.
(ii) Cr₂\(\mathrm{O}_7^{2-}\) తో Fe⁺ ను ఆక్సీకరించుట.
(iii) Cu²⁺ తో I^– ను ఆక్సీకరించుట.
జవాబు:
(i) 2Mn\(\mathrm{O}_4^{-}\) తో Fe²⁺ పర్మాంగనేటు ఫెర్రస్ను ఫెర్రిక్గా ఆమ్లయానకంలో ఆక్సీకరణం చేస్తుంది. ఈ చర్యలో పర్మాంగనేట్ వివర్ణం అవుతుంది. అందువల్ల అంతిమ స్థానం వద్ద చర్య పొందని పర్మాంగనేట్ వల్ల ద్రావణానికి కలిగే గులాబి రంగు ద్వారా అంతిమ స్థానాన్ని గుర్తించవచ్చు. ఈ చర్యలో పర్మాంగనేట్ స్వయం సూచిక. Fe⁺⁺ అంతయూ F⁺⁺⁺ గా మారిన తరువాత పర్మాంగనేట్ వల్ల ద్రావణానికి గులాబి రంగు కలుగుతుంది.

(ii) Cr₂\(\mathrm{O}_7{ }^{2-}\) తో Fe⁺⁺ ను ఆక్సీకరించుట : అంత్యస్థానము వద్ద స్వయం మార్పు ఖచ్చితంగా లేకపోతే అంత్యస్థానాన్ని తెలుసుకోవడం కోసం సూచికలను వాడతారు. Cr₂\(\mathrm{O}_7^{2-}\) స్వయం సూచిక కాదు. కాని తుల్య స్థానం దాటిన వెంటనే డైఫినైల్ ఎమీన్ సూచికను శాశ్వతంగా ఆక్సీకరణం చేస్తుంది. ఫలితంగా ముదురు నీలిరంగు వస్తుంది. ఇది అంత్యస్థానాన్ని సూచిస్తుంది.
Cr₂\(\mathrm{O}_7^{2-}\)తో Fe⁺⁺ ను అంశమాపనం చేయడంలో డైఫినైల్ ఎమీన్ సూచికను వాడతారు. అంతిమస్థానం వద్ద ముదురు నీలిరంగు ఏర్పడుతుంది.

(iii) Cu⁺⁺ తో I^– ను ఆక్సీకరించుట : Cu⁺⁺ అయాన్ను అయోడైడ్ అయానుతో జరిపే చర్యలో అయొడీన్ ను విడుదల చేస్తుంది. 2Cu⁺⁺(జల) + 4l^–(జల) → Cu₂l₂(ఘ) + I₂(జల). ఈ అంశమాపనంలో విడుదలైన అయొడిన్ న్ను థయోసల్ఫేట్ అంశమాపనం చేస్తారు.
I₂(జల) + 2S₂\(\mathrm{O}_3{ }^{2-}\)(జల) → 21^–(జల) + S₄\(\mathrm{O}_6^{2-}\) (జల). ఇపుడు స్టార్చిని కలిపితే ముదురు నీలి రంగు వస్తుంది. అయొడిన్తో థయోసల్ఫేట్ అయానులు పూర్తిగా చర్య పొందినపుడు ఈ రంగు పోతుంది. ఈ విధంగా అంత్య స్థానాన్ని తేలికగా తెలుసుకోవచ్చు.

ప్రశ్న 79.
కింది చర్యలలో వెలువడే కార్బన్ డై ఆక్సైడ్ భారాన్ని లెక్కకట్టండి.
1. గాలిలో ‘ఒక మోల్ కార్బన్ను మండించినప్పుడు
2. 16 గ్రా. డైఆక్సిజన్లో 2 మోల్ల కార్బన్ను మండించినపుడు
జవాబు:
1.

ఒక మోల్ కార్బన్ను మండించినపుడు 44 గ్రా. CO₂ విడుదలవుతుంది.

2. 16 గ్రా. డైఆక్సిజన్లో 2 మోల్ల కార్బన్ను మండించినపుడు

64 గ్రా. ఆక్సిజన్లో మండే కార్బన్ 24 గ్రా.
16 గ్రా. ఆక్సిజన్లో మండే కార్బన్ ?
= \(\frac{16}{64}\) × 24 = 6గ్రా.
కనుక 6 గ్రా. కార్బన్ మాత్రమే చర్యపొంది CO₂ ను ఇస్తుంది. 12 గ్రా. కార్బన్ 32 గ్రా. ఆక్సిజన్తో చర్య పొందుతుంది. కనుక 6 గ్రా. కార్బన్ 16 గ్రా. ఆక్సిజన్తో చర్య పొందుతుంది.

ప్రశ్న 80.
కింది రసాయన సమీకరణాన్ని అనుసరించి, డైనైట్రోజన్ డైహైడ్రోజన్ ఒకదానితో ఒకటి చర్య జరిపినప్పుడు అమ్మోనియా ఏర్పడుతుంది.
N₂(వా) + 3H₂(వా) + 2NH₃(వా)
(i) 2.00 × 10³గ్రా. డైనైట్రోజన్, 1.00 × 10³ గ్రా. డై హైడ్రోజన్తో చర్య జరిపినప్పుడు ఏర్పడే అమ్మోనియా భారాన్ని లెక్కించండి.
(ii) రెండు క్రియాజనకాలలో ఏదైనా చర్య జరపకుండా మిగిలిపోతుందా?
(iii) అయితే ఏ క్రియాజనకం మిగిలిపోతుంది. దాని భారం ఎంత?
జవాబు:
(i) నైట్రోజన్ మోత్ల సంఖ్య = \(\frac{2 \times 10}{28}\) = 71.4 మోల్లు
హైడ్రోజన్ మోత్ల సంఖ్య = \(\frac{1 \times 10^3}{2}\) = 500 మోల్లు
సమీకరణం ప్రకారం

తగినంత హైడ్రోజన్ ఉన్నది కనుక 71.4 మోల్లు నైట్రోజన్ చర్య పొందుతుంది.
71.4 మోల్ నైట్రోజన్ 2 × 71.4 మోల్ల అమ్మోనియాను ఇస్తుంది.
∴ ఏర్పడే అమ్మోనియా భారం 2 × 71.4 × 17గ్రా. = 247.6 గ్రా.

ii) ఈ చర్యలో అధికంగా ఉన్న హైడ్రోజన్ మిగిలిపోతుంది.

iii) మిగిలిన ఆక్సిజన్ = 500 – 214.2 = 285.8 మోల్స్
ఆక్సిజన్ భారం = 285.8 × 2 గ్రా = 571.6 గ్రా.

ప్రశ్న 81.
కింది సమ్మేళనపు అణువులలో కింద గీతలో చూపించిన మూలకాల ఆక్సీకరణ సంఖ్యలను తెలపండి.
a) NaH₂PO₄
b) NaHSO₄
c) H₄P₂O₇
d) K₂MnO₄
e) CaO₂
f) NaBH₄
g) H₂S₂O₇
h) KAl(SO₄)₂.12H₂O
జవాబు:
(a) NaH₂PO₄
+1+2+x-8=.0
x-5 = 0 x=+5
ఫాస్పరస్ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +5

b) NaHSO₄
1+1+x-8=0
x-6= 0 x=+6
సల్ఫర్ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6

c) H₄P₂O₇
+4+2x+-14 = 0
2x-10= 0 x = \(\frac{10}{2}\) = +5
H₂P₂O₇ P ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +5

d) K₂MnO₄
Mn ఆక్సీకరణ సంఖ్య = x అనుకొనుము.
+2+x-8 = 0
x-6 = 0
x=+6
K₂MnO₄ Mn ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6

e) CaO₂
(Ca) క్షార మృత్తిక లోహాల ఆక్సీకరణ స్థితి = +2
‘O’ ఆక్సీకరణ స్థితి = X
+2+2x = 0 2x = -2 x = -1
CaO₂ లో O ఆక్సీకరణ స్థితి = -1

f) NaBH₄
+1 +x+-4 = 0
x-3= 0 x=+3
NaBH₄ లో బోరాన్ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +3

g) H₂S₂O₇
+2+2x-14 = 0
2x-12= 0 2x= +12 x=+6
H₂S₂O₇ లో ‘S’ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6

(h) KAI(SO₄)₂.12H₂O
\(\mathrm{SO}_4^{–}\) లో ‘S’ ఆక్సీకరణ సంఖ్య ఇచ్చిన పదార్థంతో,
‘S’ ఆక్సీకరణ సంఖ్య = +6
x-8=-2 x=+6

ప్రశ్న 82.
కింది వాటిలో కింద గీత చూపించిన మూలకాల ఆక్సీకరణ సంఖ్యలు లెక్క కట్టండి. మీరు ఆ ఫలితాలను ఎలా సమర్థించుకుంటారు?
జవాబు:
a) H₂S₄O₆

S₁, S₂ల ఆక్సీకరణ సంఖ్యలు సున్న
S₁, S₄ ల ఆక్సీకరణ సంఖ్యలు +5
సరాసరి విలువ = \(\frac{10}{4}\) = 2.5

b) Fe₃O₄
Fe₃O₄ లో FeO మరియు Fe₃O₄ ఉంటాయి.
FeO లో Fe ఆక్సీకరణ స్థితి = +2
Fe₂O₃ లో Fe ఆక్సీకరణ స్థితి = + 3
సరాసరి ఆక్సీకరణ స్థితి = \(\frac{+2+2(+3)}{3}\) = \(\frac{8}{3}\) = 2.67

c) CH₃-CH₂-OH
CH₃ సమూహంలోని కార్బన్ ఆక్సీకరణ స్థితి = -3
CH₂OH లో కార్బన్ ఆక్సీకరణ స్థితి = -1

d) CH₃COOH
CH₃ లో C ఆక్సీకరణ స్థితి -3
COOH లో C ఆక్సీకరణ స్థితి +3

అదనపు ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
16 గ్రా. మీథేన్ను మండిస్తే తయారయ్యే నీటి పరిమాణాన్ని గణించండి.
జవాబు:
మీథేన్ దహనక్రియకు తుల్య సమీకరణం

∴ 16 గ్రా. మీథేన్ ను మండిస్తే తుల్య సమీకరణాన్ని అనుసరించి, 36 గ్రా. నీరు ఏర్పడుతుంది.

ప్రశ్న 2.
దహన చర్యలో 22 గ్రా. CO₂ ని ఏర్పరచడానికి ఎన్ని మోల్ల మీథేన్ కావాలి.
జవాబు:

∴ 22 గ్రా. CO₂ ను ఏర్పరచడానికి 8 గ్రా. మీథేన్ అనగా \(\frac{8}{16}\) గ్రా. = 0.5 గ్రా. మోల్ల మీథేన్ కావలెను.

ప్రశ్న 3.
పరిమిత కారకం అంటే ఏమిటి?
జవాబు:
సమతుల రసాయన చర్యకు ఉండవలసిన క్రియాజనకాల పరిమాణాల కంటే తక్కువ పరిమాణంలో కొన్ని క్రియాజనకాలు ఉన్నప్పుడు ఒక క్రియాజనకం మరొక క్రియాజనకం కన్నా అధికంగా ఉంటుంది. తక్కువగా ఉన్న క్రియాజనకం కొంత చర్య జరిగిన తరువాత పూర్తిగా ఖర్చు అయిపోతుంది. దాని తరువాత రెండో క్రియాజనకం ఎంత ప్రమాణంలో ఉన్నప్పటికి చర్య జరగదు. కాబట్టి ఖర్చు అయిపోయిన క్రియాజనకం ఏర్పడే క్రియాజన్యం పరిమాణాన్ని పరిమితం చేస్తుంది. అందువల్ల దానిని పరిమిత కారకం అంటారు.

ప్రశ్న 4.
50 కేజీల N₂(వా), 10 కేజీల H₂(వా) ని కలిపి NH₃ (వా) ను తయారుచేస్తారు. ఏర్పడిన NH₃(వా)ని లెక్కించండి. ఈ పరిస్థితులలో NH₃(వా)ని తయారు చేయడానికి ఏదైనా పరిమిత కారకం ఉంటే దానిని గుర్తించండి.
జవాబు:
50 Kg ల N₂ మోల్ సంఖ్య = \(\frac{50 \times 10^3}{28}\) = 17.86 × 10² మోల్.
10 Kg ల H₂ మోల్ సంఖ్య = \(\frac{10 \times 10^3}{2.016}\) = 4.96 × 10³ మోల్.

17.86 × 10² మోల్ 3 × 17.8 × 10² మోల్ 2 × 17.86 × 10² మోల్
17.86 × 10² మోల్ల N₂ తో చర్య జరపడానికి అవసరమయ్యే H₂ = 5.36 × 10³ మోల్
కాని 4.96 × 10³ మోల్ H₂ మాత్రమే ఉంది.
కాబట్టి హైడ్రోజన్ పరిమిత కారకం అవుతుంది.
3 మోల్ల హైడ్రోజన్ – 2 మోల్ NH₃ ను ఇస్తుంది.
4.96 × 10³ మోల్ హైడ్రోజన్ నుండి ఏర్పడే NH₃
= \(\frac{4.96 \times 10^3}{3}\) × 2 = 3.30 × 10³ మోల్.
NH₃ భారం గ్రాములలో = 3.30 × 10³ × 17 గ్రా. = 56.1 × 10³గ్రా. = 56.1 Kgలు.

ప్రశ్న 5.
2 గ్రా. ‘A’ ని 18 గ్రా. నీటిలో కలిపి ద్రావణాన్ని తయారుచేస్తారు. ద్రావితం ద్రవ్యరాశిని, శాతాన్ని లెక్కించండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 6.
4 గ్రా. NaOH ని తగినంత నీటిలో కరిగించి 250 మి.లీ. ద్రావణం చేయగా దాని మొలారిటీని లెక్కించండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 7.
500 మి.లీ.ల ద్రావణంలో 6.3 గ్రా. H₂C₂O₄. 2H₂O ఉంటే దాని నార్మాలిటి ఎంత?
జవాబు:
ఆక్సాలిక్ ఆమ్లం H₂C₂O₄.2H₂O
అణుభారం = 126
తుల్యభారం = \(\frac{126}{2}\) = 63

ప్రశ్న 8.
250 మోల్ల 0.5 N ద్రావణాన్ని తయారుచేయడానికి కావలసిన Na₂CO₃ ద్రవ్యరాశిని కనుక్కోండి.
జవాబు:
ద్రావణపు నార్మాలిటి = 0.5N
Na₂CO₃ తుల్యభారం = \(\frac{106}{2}\) = 53
ఘనపరిమాణం = 250mL = \(\frac{250}{1000}\)L
ద్రావిత భారం = నార్మాలిటి × ఘ.ఫ.లీ × గ్రాము. తుల్యభారం
= 0.5 × \(\frac{250}{1000}\) × 53 = \(\frac{53}{8}\) = 6.62 గ్రా.

ప్రశ్న 9.
ఇవ్వబడిన చర్యలలో ఆక్సీకరణం – క్షయకరణం చెందే పదార్థాలను గుర్తించండి.
(i) H₂S(వా) + Cl₂(వా) → 24Cl(వా) + S(ఘ)
(ii) 3Fe₃O₄(ఘ) + 8Al(ఘ) → 9Fe(ఘ) + 4Al₂O₂(ఘ)
(iii) 2Na(ఘ) + H₂(వా) → 2NaH(ఘ)
జవాబు:
(i) H₂S ఆక్సీకరణం చెందింది. అధిక ఋణ విద్యుదాత్మకత గల క్లోరిన్ని హైడ్రోజన్ సంకలనం చేయబడింది. క్లోరిన్ క్షయకరణం చెందింది. దాని ఆక్సీకరణస్థితి 0 నుండి (-1) కి తగ్గింది.
సల్ఫర్ ఆక్సీకరణస్థితి -2 నుండి 0 కు పెరుగుతుంది. అందువల్ల ‘S’ ఆక్సీకరణం చెందింది.

(ii) 3Fe₃O₄ + 8Al → 9Fe + 4Al₂O₃ Fe⁺⁺⁺, Fe గా క్షయకరణం చెందింది. దాని ఆక్సీకరణస్థితి + 3 నుండి ‘0’కు తగ్గింది. Al ఆక్సీకరణ స్థితి 0 నుండి +3కు పెరిగింది. కనుక ఆక్సీకరణం చెందింది.

(iii) Na అక్సీకరణ స్థితి నుండి 0 నుండి +1 కు పెరిగింది. కనుక ఆక్సీకరణం. H ఆక్సీకరణ స్థితి 0 నుండి -1కి తగ్గింది. కనుక క్షయకరణం.

Here students can locate TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 9 Money, Banking and Inflation to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 9 Money, Banking and Inflation

→ Liquidity: Liquidity is the ability of an asset to be çonverted into money (cash).

→ Currency: Currency is the form in which money is circulated in the economy. It includes coins and currency flotes.

→ Near money: Near money refers to those highly liquid assets which are not accepted as money but can be quickly converted into money e.g.: drafts, cheques, shares, treasury bills, bonds etc.

→ Legal tender: Money that must be accepted by everyone as per law towards payment for commodities and services and settlement of debt is called legal tender money.

→ Token money: Token money is the money or unit of currency whose face value is higher than its intrinsic value and which is not convertible into gold or silver on par with its face value.

→ Credit money: Credit money which is also called bank money is created by commercial banks from out of the primary deposits.

→ Store of value: By this function, money preserves the value of perishable commodities in the form of money il they are exchanged before they perish, It stores the value of durable commodities also.

→ Standard of deferred payments: This is an important function of money by which money facilitates payment in future for the present transaction. Further payments can be calculated in terms of money.

→ Current account: Current account is the kind of deposit accepted by commercial banks which allows any number of deposits and withdrawals and which facilitates the transfer of money through cheques by businessmen, industrialists and government offices. The current account does not earn any interest.

→ Cash credit: Cash credit is a type of loan given by a commercial bank that facilitates the withdrawal of loan amount in installments as and when necessary.

→ Overdraft: This is a facility extended to the current account holders in a commercial bank, by which the account holder can draw an amount above the available balance, subject to an upper limit.

→ Inflation: Persistent rise ¡n the general price level over a period is called inflation.

→ Demand-pull inflation: Inflation caused by excess aggregate demand over the aggre gate supply is called demand-pull inflation.

→ Cost-push inflation: The rise in the general price level caused by the increase in the production cost is called cost-push inflation.

→ Deficit Financing: It is a method of meeting government deficits through the creation of new money. The deficit is the gap caused by the excess of government expenditure over receipts.

→ Devaluation: A reduction ¡n the external value of the domestic currency while the internal value of the domestic currency remains constant.

TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 9 ద్రవ్యం, బాంకింగ్, ద్రవ్యోల్బణం

→ వినిమయ సాధనంగా అందరూ అంగీకరించేది విలువ, కొలమానంగా ఉపయోగించబడేది ద్రవ్యం అని క్రౌథర్ నిర్వచించాడు.

→ ఒక వస్తువును ఇచ్చి మరో వస్తువును వేరుగా తీసుకొనే పద్ధతిని వస్తు వినిమయ పద్ధతి లేదా వస్తు మార్పిడి పద్ధతి అంటారు.

→ ద్రవ్యం ముఖ్యంగా విలువల కొలమానం, వినిమయ మాంద్యం, విలువల నిధి, వాయిదాల చెల్లింపుల ప్రమాణం మొదలగు విధులను నిర్వహించును.

→ పూర్తి ప్రమాణాలు నాణేలు, తక్కువ ప్రమాణం నాణేలు, చిల్లర ద్రవ్యం, కాగితపు ద్రవ్యం, పరపతి ద్రవ్యం.

→ వాణిజ్య బ్యాంకులు నిర్వహించే కార్యకలాపాలు రెండు రకాలుగా విభజించవచ్చు.

1. ప్రాథమిక విధులు
2. అనుషంగిక విధులు.

→ దేశంలోని అత్యుత్తమ బ్యాంకింగ్ వ్యవస్థకు కేంద్ర బ్యాంకు శిఖరం. అది బ్యాంకింగ్ వ్యవస్థలో బ్యాంకుల ఆర్థిక కార్యకలాపాలను పర్యవేక్షిస్తుంది, నియంత్రిస్తుంది, క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.

→ కేంద్ర బ్యాంకు విధులు-కరెన్సీ నోట్ల జారీ, ప్రభుత్వ బ్యాంకరు, బ్యాంకుల బ్యాంకరు, అంతిమ ఋణదాత మొ||నవి.

→ రిజర్వు బ్యాంక్ ఆఫ్ ఇండియాను 1935లో నెలకొల్పారు. 1949లో జాతీయం చేశారు. నోట్ల జారీ, ప్రభుత్వ బ్యాంకరు, బ్యాంకుల బ్యాంకర్, అంతిమ ఋణదాత, పరపతి నియంత్రణ మొ||నవి.

→ ద్రవ్యోల్బణం అనేక రకాలుగా ఉంటుంది. డిమాండ్ ప్రేరిత ద్రవ్యోల్బణం, వ్యయ ప్రేరిత ద్రవ్యోల్బణం మొ||నవి. ఇవే కాకుండా ద్రవ్యోల్బణ స్థాయినిబట్టి, తీవ్రతను బట్టి ఇందులో ఇతర రకాలు కూడా ఉన్నాయి.

→ ద్రవోల్బణ ప్రభావం ఉత్పత్తి మీద, పంపిణీ మీద స్థిర ఆదాయాల వర్గాల వారి మీద, శ్రామిక వర్గం మీద ఉంది.

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 2 State and Sovereignty to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 2 State and Sovereignty

→ State is the most significant and powerful among all social institutions.

→ “Machiavelli” an Italian thinker, used the word state in his famous book “The Prince”.

→ The word state is used differently in day-to-day life. But it has a scientific meaning in political science.

→ State possesses four essential elements. They are :

1. Population
2. Territory
3. Government and
4. Sovereignty.

→ International recognition, permanence, general obedience and popular will are the other elements of the state.

→ The present-day modern states have their origin in the city-states of ancient Greece and Medieval Europe.

→ Athens, Corinth, Thabes, Sparta etc were some prominent city-states in the ancient period.

→ The ancient city-states became popular during the 5 and 4 centuries B.C.

→ Maclver described that blood relationship (kinship) created society and society in turn led to the state.

→ The theory of National self-determination led to the origin of the modern nation-state system.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 2 రాజ్యం, సార్వభౌమాధికారం

→ అన్ని సాంఘిక సంస్థల మధ్య రాజ్యం ఒక ప్రముఖ, శక్తివంతమైన సంస్థ.

→ “మాఖియవెల్లి” అను గొప్ప ఇటాలియన్ రాజనీతిజ్ఞుడు తన ప్రముఖ గ్రంథం ‘ది ప్రిన్స్’లో ‘రాజ్యము’ అనే పదాన్ని ఉపయోగించారు.

→ రాజ్యము అనే పదం నిత్యజీవితంలో వేరువేరుగా ఉపయోగిస్తున్నాము. కాని ‘రాజ్యము’నకు రాజనీతికి శాస్త్రంలో ఒక శాస్త్రీయ అర్థం కలదు.

→ రాజ్యానికి 4 ప్రధానాంగాలు కలవు. అవి : 1. ప్రజలు, 2. ప్రదేశం, 3. ప్రభుత్వం, 4. సార్వభౌమాధికారం.

→ రాజ్యానికి నాలుగు ఇతర లక్షణాలు కూడా ఉంటాయి. అవి :

1. అంతర్జాతీయ గుర్తింపు
2. శాశ్వతత్వం
3. సాధారణ విధేయత
4. ప్రజాభీష్టం.

→ రాజ్యము-సమాజము అనే పదాలు సమాన అర్థాలలో వాడినప్పటికి, అనేక అంశాల దృష్ట్యా ఇవి ఒకదానితో ఒకటి విభేదిస్తాయి.

→ లాస్కి మరియు కోల్ “ప్రభుత్వం” అనే పదాన్ని రాజ్యానికి పర్యాయపదంగా ఉపయోగించారు కాని ఈ రెండింటి మధ్య అనేక తారతమ్యాలు కలవు.

→ రాజ్యం, సంస్థలు రెండూ పూర్తి విరుద్ధాలు. ఆ రెండింటి లక్షణాలు, ఉద్దేశ్యాలు మరియు స్వభావాలలో అనేక భేదాలు కలవు. ఏమైనప్పటికి అన్ని సంస్థలలో రాజ్యం ఒకటి.

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1B Study Material Chapter 9 Differentiation Ex 9(c) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1B Differentiation 9(c)

I.
Question 1.
Find the derivatives of the following functions.
(i) sin^-1(3x – 4x³) (May 2011) (V.S.A.Q.)
Answer:
Let y = sin^-1(3x – 4x³)
Let x = sin θ then y = sin^-1(3 sin θ – 4 sin³θ)
= sin^-1 (sin 3θ) = 3θ = 3 sin^-1x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 3 \(\frac{d}{d x}\) (sin^-1x) = \(\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)

(ii) cos^-1 (4x³ – 3x) (March 2014) (V.S.A.Q.)
Answer:
Let y = cos^-1 (4x³ – 3x)
Suppose x = cos θ, then y
= cos^-1 (4 cos³ θ – 3 cos θ)
= cos^-1 (cos 3θ) = 3θ = 3 cos^-1x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 3 . \(\frac{d}{d x}\) (cos^-1x) = \(\frac{-3}{\sqrt{1-x^2}}\)

(iii) sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\) (S.A.Q.)
Answer:
Let y = sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\)
Suppose x = cos θ
then y = sin^-1\(\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)\)
= sin^-1 (sin 2θ) = 2θ = 2 tan^-1x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 2 . \(\frac{d}{d x}\) (tan^-1x) = \(\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}\)

(iv) tan^-1 \(\left(\frac{\mathbf{a}-\mathbf{x}}{1+\mathbf{a x}}\right)\) (S.A.Q.)
Answer:

(v) tan^-1\(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\) (S.A.Q.)
Answer:

(vi) sin [cos (x²)] (S.A.Q.)
Answer:
Let y = sin [cos (x²)]
Let x² = u, cos u = v and y = sin v

(vii) sec^-1 \(\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)\) (0 < x < \(\frac{1}{\sqrt{2}}\))
Answer:

(viii) sin [tan^-1 (e^-x)] (V.S.A.Q.)
Answer:
Let y = sin [tan^-1 (e^-x)]
Let e^-x = u, tan^-1u = v and y = sin v

Question 2.
Differentiate f(x) with respect to g(x) for the following. (S.A.Q.)
(i) f(x) = e^x, g(x) = √x
Answer:
Let y = e^x and z = √x

(ii) f(x) = e^{sin x}, g(x) = sin x (S.A.Q.)
Answer:
Let y = e^{sin x} and z = sin x

(iii) f(x) = tan^-1\(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\), g(x) = sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\)
Answer:

Question 3.
If y = e^{a sin-1 x} then prove that (V.S.A.Q.)
\(\frac{d y}{d x}=\frac{a y}{\sqrt{1-x^2}}\)
Answer:
y = e^{a sin-1 x}

II.
Question 1.
Find the derivatives of the following functions. (S.A.Q.)
(i) tan^-1\(\left(\frac{3 a^2 x-x^3}{a\left(a^2-3 x^2\right)}\right)\)
Answer:

(ii) tan^-1 (sec x + tan x)
Answer:
Let y = tan^-1 (sec x + tan x)

(iii) tan^-1\(\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\)
Answer:

(iv) (log x)^{tan x}
Answer:
Let y = (log x)^{tan x}
Then log y = tan x lobg I(log x)
Differentiating both sides with respect to ‘x’,

(v) (x^x)²
Answer:
Let y = x^x2
∴ log y = x² log x

(vi) 20^{log (tan x)}
Answer:
Let y = 20^{log (tan x)}
Then log y = log(tan x) log 20
Differentiating with respect to ‘x’

(vii) x^x + e^ex
Answer:
Let u = x^x and v = e^ex

(viii) (x log x) log (log x)
Answer:
Let y = x . log x . log (log x)
Then
\(\frac{dy}{d x}\) = x.log x . \(\frac{d}{d x}\) [log (log x)] + log x . log(log x) \(\frac{d}{d x}\) (x) + x . log(log x). \(\frac{d}{d x}\) (log x)
= x log x . \(\frac{1}{x log x}\) + log x log(log x) . 1 + x . log(log x) \(\left(\frac{1}{x}\right)\)
= 1 + log x . log (log x) + log (log x)
= log_ee + log (log x) + log x . log (log x)
= log (e log x) + log x . log (log x)

(ix) e^-ax2 . sin (x log x)
Answer:
Let y = e^-ax2 . sin (x log x)
Then
\(\frac{d y}{d x}\) = e^-ax2 \(\frac{d}{d x}\) [sin(x log x)] + sin(x log x) \(\frac{d}{d x}\) [e^-ax2]
= e^-ax2 cos (x log x) [x \(\left(\frac{1}{x}\right)\) + log x] + sin (x log x) (e^-ax2) . (- 2ax)
= e^-ax2 [cos (x log x) (1 + log x) – sin (x log x) . 2ax]
= e^-ax2 [cos (x log x) (log xe) – 2ax sin (x log x)]

(x) sin^-1\(\left(\frac{2^{x+1}}{1+4^x}\right)\) (Put 2^x = tan θ)
Answer:

Question 2.
Find \(\frac{d y}{d x}\) for the following functions.
(i) x = 3 cos t – 2 cos³t
y = 3 sin t – 2 sin³t (E.Q.)
Answer:
\(\frac{d x}{d t}\) = – 3 sin t + 6 cos²t(sin t)
= 3 sin t(2 cos²t – 1) = 3 sin t cos 2t
\(\frac{d y}{d t}\) = 3 cos t – 6 sin²t cos t
= 3 cos t (1 – 2 sin²t) = 3 cos t . cos 2t

(ii) x = \(\frac{3 a t}{1+t^3}\), y = \(\frac{3 a t^2}{1+t^3}\) (E.Q.) [Board Model paper]
Answer:

(iii) x = a (cos t + t sin t),
y = a (sin t – t cos t). (S.A.Q.)
Answer:
\(\frac{d x}{d t}\) = a(- sin t + t cos t + sin t)
= at cos t
\(\frac{d y}{d t}\) = a [cos t – (- t sin t + cos t)] = at sin t

(iv) x = a\(\left[\frac{1-t^2}{1+t^2}\right]\), y = \(\frac{2 b t}{1+t^2}\) (S.A.Q.)
Answer:

Question 3.
DifferentIate f(x) with respect to g(x) for the following. (S.A.Q.)
(i) f(x) = log_a^x, g(x) = a^x
Answer:
Let y = log_a^x and z = a^x

(ii) f(x) = sec^-1\(\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)\), g(x) = \(\sqrt{1-x^2}\)
Answer:

(iii) f(x) = tan^-1\(\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\), g(x) = tan^-1x [June 2009 IPE]
Answer:

Question 4.
Find the derivative of the function y defined implicitly, by each of the following equations. (S.A.Q.)
(i) x⁴ + y⁴ – a² xy = 0
Answer:
Differentiating with respect to ‘x

(ii) y = x^y (S.A.Q.) (March 2004)
Answer:
Given y = x^y
Then log y = y log x ………………. (1)
Differentiating w.r.t. to ‘x’ both sides

(iii) y^x = x^{sin y} (S.A.Q.)
Answer:
Taking logarithm on both sides
x log y = sin y . log x
Differentiating w.r.t to ‘x’

Question 5.
Establish the following.
(i) If \(\sqrt{1-x^2}\) + \(\sqrt{1-y^2}\) = a(x – y) then \(\frac{d y}{d x}=\frac{\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-x^2}}\) (E.Q.) (May 2014, March 2009)
Answer:
Take x = sin θ and y = sin Φ
∴ From the given condition

(ii) If y = x\(\sqrt{a^2+x^2}\) + a² log(x + \(\sqrt{a^2+x^2}\)) then \(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\) = 2\(\sqrt{a^2+x^2}\) (E.Q.)
Answer:

(iii) If x^{log y} = log x then \(\frac{d y}{d x}\) = \(\left[\frac{1-\log x \log y}{(\log x)^2}\right]\) (S.A.Q)
Answer:
Given x^{log y} = log x
Taking logarithm on both sides
log y . log x = log (log x)
Differentiating with respect to ‘x’

(iv) If y = tan^-1\(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\) + tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\) – tan^-1\(\left(\frac{4 x-4 x^3}{1-6 x^2+x^4}\right)\) then \(\frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+x^2}\) (S.A.Q.)
Answer:
Let x = tan θ, then

= tan^-1(tan 2θ) + tan^-1 (tan 3θ) – tan^-1 (tan 4θ)
= 2θ + 3θ – 4θ = θ = tan^-1x
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+x^2}\)

(v) If x^y = y^x then \(\) (S.A.Q.)
Answer:
Given x^y = y^x
Then log x^y = log y^x
⇒ y log x = x log y
Differentiating both sides w.r.t to ‘x’

(vi) If x^{\(\frac{2}{3}\)} + y^{\(\frac{2}{3}\)} = a^{\(\frac{2}{3}\)} then \(\frac{d y}{d x}=-\sqrt[3]{\frac{y}{x}}\) (S.A.Q.)
Answer:
Given x^{\(\frac{2}{3}\)} + y^{\(\frac{2}{3}\)} = a^{\(\frac{2}{3}\)}
Then differentiating both sides w.r.t to ‘x’

Question 6.
Find \(\frac{d y}{d x}\) of each of the following functions. (S.A.Q.)

(i) y = \(\frac{(1-2 x)^{\frac{2}{3}}(1+3 x)^{\frac{-3}{4}}}{(1-6 x)^{\frac{5}{6}}(1+7 x)^{\frac{-6}{7}}}\)
Answer:

(ii) y = \(\frac{x^4 \sqrt[3]{x^2+4}}{\sqrt{4 x^2-7}}\)
Answer:

(iii) y = \(\frac{(a-x)^2(b-x)^3}{(c-2 x)^3}\)
Answer:
log y = log (a – x)² + log(b – x)³ – log (c – 2x)³
= 2 log (a – x) + 3 log (b – x) – 3 log (c – 2x)
Differentiating both sides w.r.t to ‘x’

(iv) y = \(\frac{x^3 \sqrt{2+3 x}}{(2+x)(1-x)}\)
Answer:
log y = log \(\left[\frac{x^3 \sqrt{2+3 x}}{(2+x)(1-x)}\right]\)
= log x³ + \(\frac{1}{2}\) log (2 + 3x) – log (2 + x) – log (1 – x)
= 3 log x + \(\frac{1}{2}\) log (2 + 3x) – log (2 + x) – log (1 – x)
Differentiating both sides w.r.t to ‘x’

(v) y = \(\sqrt{\frac{(x-3)\left(x^2+4\right)}{3 x^2+4 x+5}}\)
Answer:

III.
Question 1.
Find the derivatives of the following functions. (E.Q.) (March 2013)
(i) (sin x)^{log x} + x^{sin x}
Answer:
y = (sin x)^{log x} + x^{sin x}
Let y = u + v where u = (sin x)^{log x} ………….. (1)
and v = x^{sin x} ……………….. (2)
From (1) log u = log x log (sin x)
Differentiate w.r.to x both sides

(ii) x^xx
Answer:
Let y = x^xx
∴ log y = log x^(xx) = x^x log x
Differentiate both sides w.r.t. ‘x’.
\(\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}\) = x^x \(\left(\frac{1}{x}\right)\) + log x . x^x (1 + log x)
(∵ \(\frac{d y}{d x}\) (x^x) = x^x (1 + log x))
= x^{x – 1} + x^x . (1 + log x). log x
= x^{x – 1} [1 + x log x . log ex]
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = x^xx x^{x – 1} [1 + x log x log ex]
= x^{xx + x – 1} (1 + x log x log ex)

(iii) (sin x)^x = x^{sin x}
Answer:
Let y = u + v where u = (sin x)^x ………………… (1)
and v = x^{sin x} …………………… (2)

(iv) x^x + (cot x)^x
Answer:
Let y = x^x + (cot x)^x
and suppose y = u + v and
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}\) ………………… (1)
Where u = x^x …………………… (2)
and v = (cot x)^x …………………….. (3)
From (2)
u = x^x ⇒ \(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\) = x^x (1 + log x)
From (3) v = (cot x)^x
⇒ log v = x log (cot x)
Differentiating both sides w.r.t to ‘x’

Question 2.
Establish the following (E.Q.)
(i) If x^y + y^x = a^b then
\(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\) = – \(\left(\frac{y \cdot x^{y-1}+y^x \cdot \log y}{x^y \log x+x \cdot y^{x-1}}\right)\)
Answer:
Let u = x^y ………………… (1) and v = y^x …………………… (2)
then given u + v = a^b ……………………… (3)
From (1), log u = y log x

(ii) If f(x) = sin^-1\(\sqrt{\frac{x-\beta}{\alpha-\beta}}\) and g(x) = tan^-1\(\sqrt{\frac{\mathbf{x}-\beta}{\alpha-\mathbf{x}}}\) then f'(x) = g'(x) (β < x < α) (March 2006)
Answer:

(iii) If a > b > 0 and 0 < x < π;
f(x) = (a² – b²)^-1/2 . cos^-1\(\left(\frac{a \cos x+b}{a+b \cos x}\right)\) then f'(x) = (a + b cos x)^-1
Answer:

Question 3.
Differentiate (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9) by
(i) Using product rule
(ii) Obtaining a single polynomial and expanding the product
(iii) Logarithmic differentiation.
Do they all give the same answer? (EQ.)
Answer:
(i) Using product rule:
\(\frac{d}{d x}\) (uv) = u\(\frac{d v}{d x}\) + v\(\frac{d u}{d x}\)
\(\frac{d}{d x}\)[(x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
= (x² – 5x + 8) \(\frac{d}{d x}\) (x³ + 7x + 9) + (x³ + 7x + 9) \(\frac{d}{d x}\) (x² – 5x + 8)
= (x² – 5x + 8) (3x² + 7) + (x² + 7x + 9) (2x – 5)
= 3x⁴ – 15x³ + 24x² + 7x² – 35x + 56 + 2x⁴ + 14x² + 18x – 5x³ – 35x – 45
= 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52x + 11

(ii) Expanding the product:
y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
= x⁵ + 7x³ + 9x² – 5x⁴ – 35x² – 45x + 8x³ + 56x + 72
= x² – 5x⁴ + 15x³ – 26x² + 11x + 72
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52x + 11

(iii) By logarithmic differentiation:
y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
log y = log (x² – 5x + 8) + log (x³ + 7x + 9)

= (2x – 5) (x³ + 7x + 9) + (3x² + 7) (x² – 5x + 8)
= 2x⁴ + 14x² + 18x – 5x³ – 35x – 45 + 3x⁴ – 15x³ + 24x² + 7x² – 35x + 56
= 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52x + 11
We observe that the same result is obtained by using the above three procedures.

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 1 Meaning, Nature and Scope of Political Science to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 1 Meaning, Nature, and Scope of Political Science

→ Political Science is a premier Social Science.

→ It’s study is mainly concerned with the study of the state in its Relation with society Citizens, Associations, and the World at large.

→ Political Science had its origin in the Ancient Greek city-states.

→ The Greeks separated Political Science from philosophy and made it an Independent Social Science.

→ Aristotle, the famous Greek political thinker was hailed as the “Father of Political Science”.

→ Political Science is variedly referred to as “Political Theory”. “Political Thought”, “Political Philosophy” and the like.

→ Political Science is a science as well as an art.

→ Political Science in its scope includes the study of man in relation to society and state, the study of the state, the study of the government, the study of associations and institutions, the study of rights and responsibilities, national and international issues, power, public policy etc.

→ The study of Political Science helps-

1. Getting Information about the State
2. Knowledge of Government and Administration
3. Information about Democratic values
4. Makes Democracy successful
5. Awareness about Rights and Responsibilities
6. To know the Qualities of Good Citizenship
7. Knowledge about World Affairs
8. Knowledge about International Organisations
9. Developing Political awareness
10. Promotes National Integration.

→ Political Science became a prominent academic subject when the London School of Economics in 1895 at first Recognised it as an independent discipline for Teaching and Research.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 1 రాజనీతి శాస్త్రం – అర్థం, స్వభావం, పరిధి

→ రాజనీతిశాస్త్రాన్ని, రాజ్యానికి సంబంధించిన శాస్త్రంగా పరిగణించవచ్చు.

→ రాజనీతిశాస్త్ర పితామహుడిగా ‘అరిస్టాటిల్’ ప్రసిద్ధి చెందాడు.

→ గార్నర్ మహాశయుని ప్రకారం “రాజనీతిశాస్త్రానికి ఆద్యంతాలు రెండూ రాజ్యమే”.

→ ప్రాచీన గ్రీకు నగర రాజ్యాలైన ఏథెన్స్, రోమ్, స్టార్టా, మెసిడోనియా మొదలగు వాటిలో నాగరికత విరాజిల్లినట్లుగా రాజనీతిజ్ఞులు భావించారు.

→ రాజకీయశాస్త్ర అధ్యయనం ప్రభుత్వ స్వరూపాల పరిజ్ఞానాన్ని పెంపొందిస్తుంది.

→ రాజనీతిశాస్త్రం వ్యక్తుల హక్కులను, బాధ్యతలను వాటి మధ్యగల సంబంధాలను వివరిస్తుంది.

→ ‘మానవుడు సంఘజీవి’ మరియు ‘రాజకీయ జీవి’ అని అరిస్టాటిల్ పేర్కొన్నాడు.

→ రాజనీతిశాస్త్ర అధ్యయనం రాజ్యం, ప్రభుత్వం, జాతి, జాతీయత, రాజ్యాంగం మొదలగు వాటికి సంబంధించిన ఖచ్చితమైన సమాచారాన్ని అందిస్తుంది.

→ స్వేచ్ఛ, సమానత్వం, సౌభ్రాతృత్వం, న్యాయం మొదలగు రాజకీయ ఆదర్శాలకు సంబంధించిన పరిజ్ఞానాన్ని రాజనీతి శాస్త్రం అధ్యయనం చేస్తుంది.

→ రాజనీతి శాస్త్ర అధ్యయనం అంతర్జాతీయవాద స్ఫూర్తిని పెంపొందిస్తుంది.

→ ప్రపంచ రాజ్యాలన్నింటిలోను రాజనీతిశాస్త్ర అధ్యయనానికి పత్యేక స్థానం ఉంది.

Students must practice these Maths 1B Important Questions TS Inter 1st Year Maths 1B Maxima and Minima Important Questions to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 1st Year Maths 1B Maxima and Minima Important Questions

Question 1.
Find two positive integers whose sum is 16 and the sum of whose square is minimum. [Mar. ’18 (AP); Mar. ’07; May ’03]
Solution:
Let x, y be the required positive integers.
Given that sum of two positive integers = 16
x + y = 16
y = 16 – x
Sum of the squares of the numbers = x² + y²
= x² + (16 – x)²
= x² + 256 + x² – 32x
= 2x² – 32x + 256
Let f(x) = 2x² – 32x + 256
Now, f(x) = 4x – 32
f”(x) = 4
for maxima or minima, f'(x) = 0
4x – 32 = 0
4x = 32
x = 8
x = 8 ⇒ f”(8) = 4 > 0
∴ f(x) has minima at x = 8
If x = 8, y = 16 – 8 = 8
∴ The required numbers are 8, 8.

Question 2.
From a rectangular sheet of dimensions 30 cm × 80 cm. Four equal squares of side x cm are removed at the corners and the sides are then turned up so as to form an open rectangular box. Find the value of x so that the volume of the box is the greatest. [Mar. ’16 (AP), ’14, ’09; Mar. ’18, May ’15 (TS)]
Solution:
Let l, b, h denote the length, breadth, and height of the box.
Since x cm are removed at the corners. Then
l = 80 – 2x; b = 30 – 2x; h = x

The volume of a box, V = lbh
= (80 – 2x) (30 – 2x) x
V = (80 – 2x) (30x – 2x²)
= 2400x – 160x² – 60x² + 4x³
= 4x³ – 220x² + 2400x
\(\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dx}}\) = 12x² – 440x + 2400
\(\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{V}}{\mathrm{dx}^2}\) = 24x – 440
V has maxima or minima, \(\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dx}}\) = 0
12x² – 440x + 2400 = 0
3x² – 110x + 600 = 0
3x² – 90x – 20 x + 600 = 0
3x(x – 30) – 20(x – 30) = 0
(x – 30)(3x – 20) = 0
x – 30 = 0 (or) 3x – 20 = 0
x = 30 (or) x = \(\frac{20}{3}\)
If x = \(\frac{20}{3}\), \(\left(\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{~V}}{\mathrm{dx^{2 }}}\right)_{\mathrm{x}=\frac{20}{3}}\)
= 24(\(\frac{20}{3}\)) – 440
= 160 – 440
= -280 < 0
∴ V has maxima at x = \(\frac{20}{3}\)
∴ x = \(\frac{20}{3}\) cm

Question 3.
A window is in the shape of a rectangle surmounted by a semicircle. If the perimeter of the window is 20 ft. Find the maximum area. [Mar. ’17, ’15 (TS); May ’12, ’09]
Solution:
Let r be the radius of the semi-circle
Let x be the one side of a rectangle.
Given that, the perimeter of the window = 20ft

x + πr + x + 2r = 20
2x = 20 – πr – 2r ……..(1)
Area of window = Area of rectangle + Area of semi-circle
A = x(2r) + \(\frac{\pi r^2}{2}\)
A = r(20 – πr – 2r) + \(\frac{\pi r^2}{2}\)

Question 4.
If the curved surface of the right circular cylinder inscribed in a sphere of radius ‘r’ is maximum. Show that the height of the cylinder is √2r. [May ’15 (AP), ’13, ’11, ’10, ’04; Mar. ’13, ’08, ’04]
Solution:
Given r be the radius of the sphere.
Let R, h be the base radius and height of the cylinder.

Question 5.
A wire of length l is cut into two parts which are bent respectively in the form of a square and a circle. What are the lengths of pieces of the wire respectively so that the sum of the areas is the least? [Mar. ’17 (AP), ’14; B.P.]
Solution:
Given that the total length of wire = l
Let x be the first part length and it is bent in the form of a square.
The remaining part l – x is made into a circle of radius ‘r’.
Let y be the side of the square.
The perimeter of a square = 4y

Question 6.
Find the absolute maximum value and absolute minimum value of the function f(x) = x + sin 2x on [0, π].
Solution:
Given f(x) = x + sin 2x
f'(x) = 1 + 2 cos 2x
and f”(x) = -4 sin 2x
For maximum or minimum we have

Question 7.
Find two positive integers x and y such that x + y = 60 and xy³ is maximum. [Mar. ’15 (AP); May ’14]
Solution:
Let x, y be the required positive integers
given that x + y = 60
y = 60 – x
given that xy³ is maximum
Let f(x) = x(60 – x)³
Now, f(x) = x . 3(60 – x)² (0 – 1) + (60 – x)³ . 1
= -3x(60 – x)² + (60 – x)³
= (60 – x)² (-3x + 60 – x)
= (60 – x)² (60 – 4x)
f”(x) = (60 – x)² (0 – 4) + (60 – 4x) . 2(60 – x) (0 – 1)
= -4(60 – x)² – 2(60 – 4x) (60 – x)
f(x) has maximum or minimum, f'(x) = 0
(60 – x)² (60 – 4x) = 0
(60 – x)² = 0 (or) 60 – 4x = 0
60 – x = 0 (or) 60 = 4x
x = 60 (or) x = 15
∴ x = 60, 15
If x = 60,
f”(60) = -4(60 – 60) – 2(60 – 4 . 60) (60 – 60)
= 0 – 0
= 0
f(x) has neither maximum nor minimum.
If x= 15,
f”(15) = -4(60 – 15)² – 2(60 – 4 . 15) (60 – 15)
= -4(45)² – 0
= -4(45)² < 0
∴ f(x) has maximum at x = 15
If x = 15, y = 60 – 15 = 45
∴ The required positive integers are 15, 45.

Some More Maths 1B Maxima and Minima Important Questions

Question 8.
Find the maximum area of the rectangle that can be formed with a fixed perimeter of 20. [Mar. ’19 (TS)]
Solution:
Let x and y denote the length and breadth of a rectangle respectively.
Given that the perimeter of the rectangle = 20
2(x + y) = 20
x + y = 10
y = 10 – x
The area of a rectangle, A = xy
A = x(10 – x) = 10x – x²

Question 9.
Prove that the radius of the right circular cylinder of the greatest curved surface area which can be inscribed in a given cone is half of that of the cone.
Solution:
Let ‘O’ be the centre of the circular base of the cone & height be ‘h’.
Let ‘r’ be the radius of the circular base of the cone. Then AO = h, OC = r.
Let a cylinder with radius x(OS) be inscribed in the given cone.
let its height be u, i.e., PR = OD = QS = u.



Hence the radius of the cylinder of the greatest curved surface which can be inscribed in a given cone is \(\frac{r}{2}\).

Question 10.
The profit function P(x) of a company selling x items per day is given by P(x) = (150 – x)x – 1000. Find the no.of items that the company should manufacture to get maximum profit. Also, find the maximum profit.
Solution:
Given P(x) = (150 – x)x – 1000
P(x) = 150x – x² – 1000
Now, P'(x) = 150 – 2x
For maximum or minimum, P'(x) = 0
150 – 2x = 0
2x = 150
x = 75
P”(x) = 0 – 2 . 1 = -2
If x = 75
P”(75) = -2 < 0
∴ P(x) has maximum at x = 75.
Maximum value P(75) = (150 – 75)75 – 1000 = 4625
∴ The required no.of items = 75
∴ Maximum profit = 4625.

Question 11.
Find the maxima or minima of f(x) = x³ – 6x² + 9x + 15, ∀ x ∈ R.
Solution:
Given, f(x) = x³ – 6x² + 9x + 15
Now, f'(x) = 3x² – 12x + 9
For, maxima or minima, f'(x) = 0
3x² – 12x + 9 = 0
3x² – 3x – 9x + 9 = 0
3x(x – 1) – 9(x – 1) = 0
(x – 1)(3x – 9) = 0
x – 1 = 0 or 3x – 9 = 0
x = 1 (or) x = 3
∴ x = 1, 3
f”(x) = 6x – 12
If x = 1, f”(1) = 6(1) – 12
= 6 – 12
= -6 < 0
f(x) has maxima at x = 1
maxima value = f(1) = (1)³ – 6(1)² + 9(1) + 15
= 1 – 6 + 9 + 15
= 19
If x = 3, f”(3) = 6 . 3 – 12
= 18 – 12
= 6 > 0
f(x) has minima at x = 3
minima value = f(3)
= (3)³ – 6(3)² + 9(3) + 15
= 27 – 54 + 27 + 15
= 15

Question 12.
Find the maxima or minima of f(x) = \(\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\), ∀ x ∈ (0, ∞)
Solution:

Question 13.
Define the strictly increasing function and strictly decreasing function on an interval. [May ’14]
Solution:
Let f: A → R be a function. Then
(i) f is said to be strictly increasing on A if
x₁, x₂ ∈ A,
x₁ < x₂
⇒ f(x₁) < f(x₂)
(ii) f is said to be strictly decreasing on A if
x₁, x₂ ∈ A,
x₁ > x₂
⇒ f(x₁) > f(x₂)

Question 14.
Verify Rolle’s theorem for the function f(x) = log(x² + 2) – log 3 on [-1, 1]. [Mar. ’15 (AP)]
Solution:
f(x) = log(x² + 2) – log 3 is continuous on [-1, 1] and derivable on (-1, 1).
Now f'(x) = \(\frac{2 \mathrm{x}}{\mathrm{x}^2+2}\) ∀ x ∈ (-1, 1)
Further f(-1) = 0, f(l) = 0
f(-1) = f(1)
By Rolle’s theorem ∃ c ∈ (-1, 1) ∃ f'(c) = 0
\(\frac{2 c}{x^2+2}\) = 0
2c = 0
c = 0 ∈ (-1, 1)
∴ Rolle’s theorem is verified.

Question 15.
Determine the intervals in which f(x) = \(\frac{2}{x-1}\) + 18x ∀ x ∈ R / {0} is strictly increasing and decreasing. [Mar. ’15 (TS)]
Solution:

Question 16.
Find the absolute extremum of f(x) = x² defined on [-2, 2]. [Mar. ’19 (AP)]
Solution:
f(x) = x²
f'(x) = 2x, f”(x) = 2 > 0
f'(x) = 0 ⇒ x = 0
∴ f(x) has minimum value at x = 0
Minimum value = f(0) = 0
f(2) = 4 and f(-2) = 4
Absolute maximum = max{f(-2), f(2), f(0)}
= max {4, 4, 0}
= 4
Absolute minimum = min{f(-2), f(2), f(0)}
= min {4, 4, 0}
= 0

Question 17.
Find the points of local extrema and local extrema for the function f(x) = cos 4x defined on (0, \(\frac{\pi}{2}\)).
Solution:
f(x) = cos 4x
f'(x) = -4 sin 4x
f”(x) = -16 cos 4x
f'(x) = 0
-4 sin 4x = 0
4x = π
x = \(\frac{\pi}{4}\)
f”(\(\frac{\pi}{4}\)) = -16 cos π = 16 > 0
f(x) has minimum value at x = \(\frac{\pi}{4}\)
Minimum value = f(\(\frac{\pi}{4}\)) = cos π = -1

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1B Study Material Chapter 8 Limits and Continuity Ex 8(b) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1B Limits and Continuity 8(b)

Find the right and left hand limits of the functions in 1, 2, 3 of I and 1, 2 of II at the point ‘a’ mentioned against them. Hence, check whether the functions have limits at those a’s.

I.
Question 1.

Answer:

Question 2.

Answer:

Question 3.

Answer:

II.
Question 1.

Answer:

Question 2.

Answer:

Question 3.
Show that \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{|x-2|}{x-2}\) = – 1 (V.S.A.Q.)
Answer:
We have x → 2^– means x < 2
When x < 2, |x – 2| = – (x – 2)

Question 4.
Show that \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{2|x|}{x}+x+1\right)\) = 3 (V.S.A.Q.)
Answer:
As x → 0⁺ means x > 0 and |x| = x if x > 0

Question 5.
Compute \(\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\) and \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\) ([x] + x) (S.A.Q.)
Answer:

Question 6.
Show that \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\) x³ cos \(\left(\frac{3}{x}\right)\) = 0 (V.S.A.Q.)
Answer:

III.
Question 1.
Find \(\lim _{x \rightarrow 0}\) f(x) where (V.S.A.Q.)

Answer:

Question 2

Answer: