TS Inter 1st Year

Here students can locate TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 1 Introduction to Economics to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 1 Introduction to Economics

→ Economics is a social science. It explains how an economy and different individuals behave while managing their economic activities.

→ The term Economics is originated from greek words ‘OIKOS’ and ‘Nemein’.

→ Economic problem is concerned with economizing scarce resources. Wants, efforts and satisfaction constitute the essence of economics.

1. Wealth definition – Adam Smith
2. Welfare definition – Alfred Marshall
3. Scarcity definition – Lionel Robbins
4. Growth definition – Samuelson

→ Modern economists have divided economic theory into two parts,

• Micro Economics
• Macro Economics.

The two terms were first coined and used by ‘Ragnar Frisch’ in 1933. Micro Economics was popularised by Alfred Marshall, and J.M. Keynes popularised Macro Economics. Both approaches are essential for a proper understanding of a problem. The two approaches are interdependent.

→ The method of studying economic phenomena by taking assumptions and deducing conclusions from assumptions is called deduction.

→ Inductive method is the process in which one can arrive generalization on the basis of observed facts.

→ Economic static – analysis where establishing the functional relationship between two variables whose values are related to the same point of time.

→ Economic dynamics is the study of in relation to the preceding and succeeding events.

→ A positive science may be defined as a body of systematized knowledge concerning ‘What it is’.

→ A normative science may be defined as a body of systematized knowledge relating to the object of “What ought to be”?

→ Anything which satisfies human want is good.

→ Goods can be divided into two types: i) Free goods ii) Economic goods.
Economic goods are again divided into three types: i) Consumer goods ii) Capital goods iii) Intermediary Goods.
Semi-finished and under-finished products are called intermediary goods.

→ Wealth means money but in Economics all economic goods including land is treated as wealth. Wealth has three characters.

1. Utility
2. Exchange value
3. Transferability
4. Scarcity

→ Income is a flow over a period of time. Income flow is circular in character. There are two types of income, i) Money income ii) Real income.

→ Wants satisfying capacity of good is called utility. There are four types of utilities,

1. Form utility
2. Place utility
3. Time utility
4. Service utility.

→ Value means the exchange value of goods in economics. A good has value in use and value in exchange.

→ The value of a good expressed in terms of money is its price.

→ Human wants are starting points of all economic activities. They are unlimited, competitive, complementary, and recur. Wants are classified into necessities, comforts, and luxuries.

→ In Economics welfare means utility of satisfaction. Welfare indicates better living conditions of people in society. Wealth and welfare are closely related to one another.

TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 1 అర్థశాస్త్ర పరిచయం

→ అర్థశాస్త్రం అనే పదం గ్రీకు భాషలోని “Okinomickos” అనే పదం నుంచి ఆవిర్భవించింది.

→ ఆడమ్ స్మిత్ అభిప్రాయం ప్రకారం అర్థశాస్త్రం ప్రధానంగా “సంపదను” గూర్చి చర్చిస్తుంది.

→ మార్షల్ అర్థశాస్త్రంలో సంపద కన్నా శ్రేయస్సుకు ఎక్కువ ప్రాధాన్యత ఇచ్చాడు.

→ రాబిన్స్ ప్రకారం ఆర్థిక సమస్యలన్నింటికి మూలకారణం ‘కొరత’,

→ శామ్యూల్సన్ తన నిర్వచనములో ప్రస్తుత వినియోగానికే కాక భవిష్యత్ వినియోగానికి కూడా ప్రాధాన్యతను ఇచ్చాడు.

→ జేకబ్ వైనర్ ప్రకారం ఆర్థికవేత్తల ప్రశ్నలు వాటికి సంబంధించిన చర్చల ద్వారా అర్థశాస్త్రంను అర్థం చేసుకోవచ్చును.

→ రాగ్నార్ ఫ్రిష్ మొట్టమొదటిసారిగా 1933 సం॥లో సూక్ష్మ స్థూల అర్థశాస్త్రం అనే పదాలను ఉపయోగించడం జరిగింది.

→ సూక్ష్మ అర్థశాస్త్రం వైయుక్తిక యూనిట్లను పరిశీలిస్తుంది. దీనిని ‘ధరల సిద్ధాంతం’ అని కూడా అంటారు.

→ స్థూల అర్థశాస్త్రం ఆర్థిక వ్యవస్థ మొత్తాన్ని ఒకే యూనిట్గా పరిశీలిస్తుంది. దీనిని ‘ఆదాయ ఉద్యోగిత’ సిద్ధాంతం అని కూడా అంటారు.

→ నిగమన పద్ధతి సార్వత్రిక ప్రతిపాదనల నుంచి ఆరంభమై ప్రత్యేక ప్రతిపాదనలకు దారితీస్తుంది.

→ ఆగమన పద్ధతిలో ప్రత్యేక ప్రతిపాదనల నుంచి సార్వజనీన ప్రతిపాదనలు రూపొందిస్తారు.

→ ఆర్థిక నిశ్చలత్వం అనగా కాలంతో సంబంధం లేకుండా ఆర్థిక కార్యకలాపాలను పరిశీలించడం.

→ ఆర్థిక చలనత్వం అనగా కాలంతో పాటు మార్పు చెందే వివిధ చలాంకాల మధ్య ఉన్న సంబంధాన్ని అధ్యయనం చేయడం.

→ ఉనికిలో ఉన్న విషయాలను గురించి ఒక క్రమబద్ధమైన అధ్యయనం చేయడాన్ని నిశ్చయాత్మక అర్థశాస్త్రం అంటారు.

→ ‘ఎలా ఉండాలి’ అనే విషయాన్ని గురించి క్రమబద్ధమైన పద్ధతిలో అధ్యయనం చేసేది నిర్ణయాత్మక శాస్త్రం.

→ అర్థశాస్త్రంలో మానవ కోరికను సంతృప్తిపరచగలిగే భౌతిక, అభౌతికాంశాలన్నింటిని వస్తువులుగా పరిగణిస్తారు.

→ ప్రకృతి నుండి ఉచితంగా లభించే వస్తువులను ఉచిత వస్తువులంటారు.

→ మానవులచే ఉత్పత్తి చేయబడే వస్తువులన్నింటిని ఆర్థిక వస్తువులంటారు.

→ మానవ కోరికలను ప్రత్యక్షంగా సంతృప్తిపరిచే వస్తువులన్నింటిని వినియోగ వస్తువులంటారు.

→ ఉత్పత్తి చేయబడిన ఉత్పత్తి కారకాన్ని ఉత్పాదక వస్తువులంటారు.

→ ఉత్పత్తి ప్రక్రియలో పూర్తిగా తయారు కాకుండా ఉన్న ముడి సరుకులను మాధ్యమిక వస్తువులంటారు.

→ అర్థశాస్త్ర పరిభాషలో భూమితోపాటుగా ఆర్థిక వస్తువులన్నింటిని కలిపి సంపదగా పరిగణిస్తారు.

→ ఆదాయం ఒక ప్రవాహం వంటిది. ఈ ప్రవాహానికి మూలం సంపద.

→ మానవుని కోర్కెలను తీర్చగలిగే వస్తు సేవల యొక్క శక్తినే ప్రయోజనం అంటారు. ఇది నాలుగు రకాలు.

1. ఆకార ప్రయోజనం
2. స్థాన ప్రయోజనం
3. కాల ప్రయోజనం
4. సేవా ప్రయోజనం.

→ అర్థశాస్త్రంలో విలువ భావనను రెండు రకాలుగా వివరిస్తారు.

1. వినియోగపు విలువ
2. మారకపు విలువ.

→ వస్తువు యొక్క విలువను ద్రవ్య రూపంలో తెలియజేయటాన్ని ‘ధర’ అంటారు.

→ మానవుని కోర్కెలు అనంతాలు. వనరులు పరిమితం, మానవుని కోర్కెలు ఆర్థిక కార్యకలాపములకు మూలం.

→ ఆర్థికపరమైన ఒక విరామస్థితిని సమతౌల్యం అంటారు.

→ ఒక వ్యక్తి లేదా సమాజం సంపద నుండి పొందే సంతృప్తిని తెలియజేస్తుంది సంక్షేమం.

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 4th Lesson సమతలంలో చలనం Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 4th Lesson సమతలంలో చలనం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఒక సదిశ నిలువు అంశం దాని క్షితిజ సమాంతర అంశానికి సమానం. ఆ సదిశ x-అక్షంతో చేసే కోణం ఎంత ?
జవాబు:
ఒక సదిశ Ā నిలువు అంశం Ā_⊥ = Ā sin θ.
క్షితిజ సమాంతర అంశం A_|| = Ā cos θ
A_⊥ = A_|| అయితే వాటి మధ్య కోణము tan θ = \(\frac{\mathrm{A}_{\perp}}{\mathrm{A}_{\|}}\) = 1
అనగా θ = 45°

ప్రశ్న 2.
ఒక సదిశ V క్షితిజ సమాంతరంతో రికోణం చేస్తుంది. ఆ సదిశను ఆ కోణం భ్రమణం చెందించడమైంది. ఈ భ్రమణం సదిశ V లో మార్పు తెస్తుందా ?
జవాబు:
నిర్దేశక అక్షాలను త్రిప్పినంత మాత్రాన సదిశ పరిమాణం మారదు. ఇచ్చిన సదిశ పరిమాణము = V
క్షితిజ సమాంతర అక్షంతో కోణము = θ (అనుకొనుము)
నిరూపకాక్షాలను త్రిప్పిన కోణము = e అయితే, క్షితిజ సమాంతరంతో కోణము θ + e అవుతుంది.
ఇప్పుడు క్షితిజ సమాంతరాంశం = V_x = V Cos (θ + e), క్షితిజ లంబ అంశం V_y = V sin (θ + e)
ఇచ్చిన సదిశ పరిమాణము V = \(\sqrt{v_x^2+v_y^2}\) = V \(\left(\sqrt{\cos ^2(e+\theta)+\sin ^2(e+\theta)}\right)=\) = V
కావున అక్షాన్ని భ్రమణం చెందించటం వల్ల సదిశ పరిమాణం మారదు.

ప్రశ్న 3.
3 ప్రమాణాలు, 5 ప్రమాణాల పరిమాణం ఉన్న రెండు బలాలు ఒకదానితో ఒకటి 60° కోణంలో పనిచేస్తున్నాయి. వాటి ఫలిత పరిమాణం ఎంత ?
జవాబు:
సదిశల పరిమాణాలు 3 యూనిట్లు, 5 యూనిట్లు. వాటి మధ్య కోణము = θ
∴ ఫలిత సదిశ R = \(\sqrt{3^2+5^2+2 \times 3 \times 5 \cos 60^{\circ}}=\sqrt{9+25+15}=\sqrt{49}\) = 7 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 4.
\(\overrightarrow{\mathrm{A}}=\overrightarrow{\mathrm{i}}+\overrightarrow{\mathrm{j}}\) . ఈ సదిశ x-అక్షంతో చేసే కోణం ఎంత ?
జవాబు:
\(\overrightarrow{\mathrm{A}}=\overrightarrow{\mathrm{i}}+\overrightarrow{\mathrm{j}}\) స్థాన సదిశ పటంలో చూపినట్లు ఉంటుంది.

పటం నుండి tan θ = \(\frac{y}{x}\) = -1
∴ θ = 45° (సవ్యదిశలో అనగా 4వ పాదంలో ఉంటుంది.)

ప్రశ్న 5.
యూనిట్లు, 24 యూనిట్లు పరిమాణం ఉన్న రెండు లంబ సదిశలు సంయోగం చెందినట్లైతే ఫలిత సదిశ పరిమాణం ఎంత ?
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి \(\overline{\mathrm{P}}\) = 7 యూనిట్లు; \(\overline{\mathrm{Q}}\) = 24 యూనిట్లు; వాటి మధ్య కోణము θ = 90°
∴ ఫలిత సదిశ \(\overline{\mathrm{R}}=\sqrt{\overline{\mathrm{P}}^2+\overline{\mathrm{Q}}^2+2 \mathrm{PQ} \cos \theta}=\sqrt{\overline{\mathrm{P}}^2+\overline{\mathrm{Q}}^2}\) (∵ cos 90° = 0)
∴ \(\overline{\mathrm{R}}=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}\) = 25 యూనిట్లు.

ప్రశ్న 6.
P = 2i + 4j + 14k, Q = 4i + 4j + 10k అయితే P + Q పరిమాణం కనుక్కోండి.
జవాబు:

ప్రశ్న 7.
శూన్య పరిమాణం కలిగిన సదిశకు శూన్యం కాని అంశాలు ఉంటాయా ?
జవాబు:
శూన్య సదిశ యొక్క అంశాలు శూన్యేతర పరిమాణమును కలిగి ఉండవు. ఎందుకనగా \(\overline{\mathrm{V}}=\sqrt{\mathrm{V}_{\mathrm{x}}^2+\mathrm{V}_{\mathrm{y}}^2}\) కావున \(\overline{\mathrm{V}}\) = (0) కావాలంటే తప్పనిసరిగా V_x² మరియు V_y² సున్న కావలెను. అనగా V_x = V_y = 0 కావలెను.

ప్రశ్న 8.
ప్రక్షేపకం యొక్క ప్రక్షేప పథం అగ్రభాగంలో దాని త్వరణం ఎంత ?
జవాబు:
ప్రక్షేపకం అగ్రభాగంలో త్వరణము గురుత్వత్వరణము g = 9.8 మీ/సె². ఇది భూమి కేంద్రంవైపు పనిచేస్తుంది.

ప్రశ్న 9.
రెండు అసమ పరిమాణం వున్న సదిశల సంకలన మొత్తం శూన్య సదిశను ఇవ్వగలదా ? మూడు అసమాన సదిశలు కలిసి శూన్య సదిశను ఇవ్వగలవా ?
జవాబు:
శూన్యం కాదు. రెండు అసమాన సదిశల ఫలిత సదిశ శూన్యం కాదు. కాని ఒకే సమతలంలో గల మూడు అసమాన సదిశల ఫలిత సదిశ శూన్యం కావచ్చును.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
సదిశల సమాంతర చతుర్భుజ నియమాన్ని పేర్కొనండి. ఫలిత సదిశ పరిమాణం, దిశలకు సమీకరణం రాబట్టండి.
జవాబు:
సమాంతర చతుర్భుజ నియమం : “ఒక బిందువు వద్ద, ఏక కాలంలో పనిచేసే రెండు సదిశలను పరిమాణంలోను, దిశలోను సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క రెండు ఆసన్న భుజాలతో సూచిస్తే అదే బిందువు గుండా పోయే కర్ణం రెండు సదిశల ఫలిత సదిశను పరిమాణం మరియు దిశలోను సూచిస్తుంది.”

P, Q అను రెండు అనుషక్త సదిశలు ‘O’ వద్ద పనిచేయుచున్నవి. OA, OB భుజాలు ఆ రెండు సదిశల పరిమాణం మరియు దిశను సూచిస్తాయి. OA, OB ల మధ్యకోణం ‘θ’ అనుకొనుము. OA, OB లను ఆసన్న భుజాలుగా తీసుకొని సమాంతర చతుర్భుజం OACB ని నిర్మించండి.

OA ని పొడిగించి, దానిపై C నుండి లంబం గీస్తే ఆ లంబం OAని D వద్ద కలుస్తుంది. ODC లంబ కోణ త్రిభుజం కనుక, OC² = OD² + DC²
కాని OD = OA + AD, ∴ OC² = (OA + AD)² + DC² = OA² + 2 (OA) (AD) + AD² + DC²
కాని AD² + DC² = AC² = OB² (ADC లంబకోణ త్రిభుజం కనుక)
∴ OC² = OA² + 2 (OA) (AD) + OB²
\(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AC}}\) = cos θ కనుక
OC² = OA² + 2(OA) (AC) cos θ + OB²
∴ \(\overline{\mathrm{R}}^2\) = OC² = OA² + 2 (OA)(OB)cosθ + OB²
= P² + 2PQ cos θ + Q²
∴ R = \(\sqrt{\mathrm{P}^2+\mathrm{Q}^2+2 \mathrm{PQ} \cos \theta}\) ఇది రెండు సదిశల ఫలిత విలువ Rని తెలియచేస్తుంది.
R ఫలిత సదిశ OA తో α కోణం చేస్తుంది అనుకుంటే,

ఇక్కడ α ఫలిత సదిశ ఆసన్న భుజంతో చేయు కోణమును తెలియజేస్తుంది.

ప్రశ్న 2.
సాపేక్ష చలనం అంటే ఏమిటి ? వివరించండి.
జవాబు:
సాపేక్ష వేగము : గమనం ఉన్న రెండు వస్తువులు A, B ల వేగాలను ఒకదానితో పోల్చి వేరొకదాని వేగాన్ని వివరించడాన్ని సాపేక్ష వేగము అంటారు. అనగా ఇటువంటి చలనంలో A పరంగా B వేగాన్ని (V_BA) లేదా B పరంగా A వేగాన్ని (V_AB) వివరించడాన్ని సాపేక్ష వేగం అంటారు.

వివరణ : రెండు వస్తువులు A, B లు ఒకే అక్షం వెంబడి V_A మరియు V_B అను సగటు వేగంతో చలిస్తున్నాయనుకోండి. కాలము t = 0 వద్ద వాటి స్థానాలు X_A = X_B = 0 అనుకుందాం. t కాలం తరువాత వాటి స్థానాలు వరుసగా X_A (t) మరియు X_B (t) అనుకుంటే
X_A (t) = X_A (0) + V_At
X_B (t) = X_B (0) + V_Bt అవుతాయి..
ఇప్పుడు A నుంచి B స్థానభ్రంశం X_BA (t) = X_B (t) – X_A (t)
లేదా X_BA (t) = X_B (0) + V_B t – X_A (0) – V_At
X_BA (t) = X_B (0) – X_A (0) + (V_B – V_A) t
X_A, X_B ల తొలిస్థానాలు సున్న అని భావిస్తే X_BA (t) = (V_B – V_A) t
A పరంగా B సాపేక్ష వేగము = \(\frac{X_{B A}(t)}{t}\) V_B – V_A = V_BA
అనగా రెండు వస్తువులు ఒకే దిశలో చలిస్తే వాటి సాపేక్ష వేగము ఆ వస్తువుల విడివిడి వేగాల బేధానికి సమానము.
ఇదే విధంగా B పరంగా A వస్తువు సాపేక్ష వేగము V_AB = V_A + V_B.
అనగా సాపేక్ష వేగాలలో V_AB = -V_BA
A, B లు వ్యతిరేక దిశలలో చలిస్తుంటే V_AB = V_A + V_B.
అనగా వ్యతిరేక దిశలలో చలించే వస్తువుల సాపేక్ష వేగము వాటి విడివిడి వేగాల మొత్తమునకు సమానము.

ప్రశ్న 3.
కనిష్ఠ కాలంలో నదిని దాటడానికి నావ నది నీటితో కొంత కోణం చేస్తూ ప్రయాణం చేయాలని చూపండి.
జవాబు:
ఒక పడవ నిశ్చలమైన నీటిలో ఒడ్డు దృష్ట్యా V_bE అను వేగంతో చలించగలదు అనుకొనుము. ఈ పడవను ఉపయోగించి ఒడ్డు దృష్ట్యా V_wE వేగంతో చలిస్తున్న నదీ ప్రవాహాన్ని దాటవలెను. నది వెడల్పు W అనుకోండి.

నదిని అతి తక్కువ కాలంలో దాటడం :
నదిని అతి తక్కువ కాలంలో దాటడానికి పట్టిన కాలము

నదిని కనీసకాలంలో దాటాలంటే పడవ ఎల్లపుడు నది వెడల్పు దిశలోనే చలించాలి. అనగా పడవ ఒడ్డుకు లంబంగా (θ = 90°) చలించాలి. ఎందుకంటే మనం దాటడానికి కావలసిన అతి తక్కువ దూరం నది వెడల్పు W కావున.

ఈ సందర్భంలో పడవ వేగము V_bE మరియు నది వేగము V_wE లు పరస్పర లంబము కావున పడవ నది వెంబడి కొంతదూరము ప్రయాణిస్తుంది. పడవ ఫలిత ప్రయాణ మార్గం పటంలో చూపినట్లు AC దిశలో ఉంటుంది. కాని ఒడ్డుతో పోల్చితే పడవ ఎల్లపుడు లంబంగా (θ = 90°) చలించవలెను.

ప్రశ్న 4.
ప్రమాణ సదిశ, శూన్య సదిశ, స్థానాంతర సదిశలను నిర్వచించండి.
జవాబు:
ప్రమాణ సదిశ : ఏకాంక పరిమాణం గల సదిశను ఏకాంక సదిశ లేక ప్రమాణ సదిశ అంటారు.
ఇచ్చిన సదిశను \(\overline{\mathrm{a}}\) అనుకొన్నపుడు \(\overline{\mathrm{a}}\) యొక్క ప్రమాణ సదిశ \(\hat{a}=\frac{\bar{a}}{|\bar{a}|}\) గా నిర్వచించినారు.

శూన్య సదిశ : ఏదైనా సదిశ పరిమాణం శూన్యమైతే దానిని శూన్య సదిశ అంటారు. శూన్య సదిశకు ఆరంభ బిందువు అంత్య బిందువులు ఒకదానితో ఒకటి ఏకీభవిస్తాయి. అటువంటి సదిశ దిశను నిర్ణయించలేము.
ఉదా : \(\overline{\mathrm{A}} \times \overline{\mathrm{B}}\) = 0 అయితే దానిని \(\overrightarrow{\mathrm{O}}\) శూన్య సదిశగా వ్యవహరిస్తారు.
స్థాన సదిశ : అంతరాళంలో గల ఏదైనా బిందువును \(\overline{\mathrm{i}}, \overline{\mathrm{j}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{k}}\) ప్రమాణ సదిశల రేఖీయ సంయోగంగా తెలుపవచ్చును. మూలబిందువు ‘0’ అయినపుడు P బిందువును \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) తో సూచిస్తారు.
\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \bar{i}+y \bar{j}+z \bar{k}\) గా సూచిస్తారు. దీనిని P బిందువు స్థాన సదిశ అంటారు.
ఇందులో x, y మరియు 2 లు నిరూపకాక్షాలు \(\overline{\mathrm{i}}, \overline{\mathrm{j}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{k}}\) ల వెంబడి గల పరిమాణాలను తెలుపుతాయి
\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) పరిమాణాన్ని \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\sqrt{\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+\mathrm{z}^2}\) ద్వారా లెక్కగడతారు.

ప్రశ్న 5.
\(|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|=|\overrightarrow{\mathrm{a}}-\overrightarrow{\mathrm{b}}|\) అయితే, \(\overrightarrow{\mathrm{a}}, \overrightarrow{\mathrm{b}}\) ల మధ్య కోణం 90° అని చూపండి.
జవాబు:
|a|,|b| లు రెండు అనుషక్త సదిశలు అనుకోండి.
సదిశల మొత్తం పరిమాణము

కాని |a|, |b| లు సున్న కావు కావున cos θ = 0 కావలెను. అనగా θ = 90° అనగా |a|, |b| ల మధ్య కోణము θ = 90°

ప్రశ్న 6.
క్షితిజ సమాంతర దిశకు కొంత కోణం చేస్తూ విసిరిన వస్తువు (ప్రక్షిప్త) పథం పరావలయం అని చూపండి. (మే 2014)
జవాబు:
క్షితిజ సమాంతర తలంలో θ కోణం చేయునట్లు u వేగంతో ఒక వస్తువుని పైకి విసిరామనుకుందాము. ప్రక్షేపకము ప్రయాణించిన మార్గాన్ని ప్రక్షేపకపు గమన పథము అంటారు. ప్రక్షేపకాలలో వస్తువుపై గురుత్వ త్వరణం g మాత్రమే పనిచేస్తుంది. ఇది ఎల్లప్పుడూ నిలువుగా క్రిందికి ఉంటుంది. వస్తువుకి క్షితిజ సమాంతరంగా త్వరణం ఉండదు. కావున ప్రక్షేపకాలలో క్షితిజ సమాంతర వేగము మారదు.
OX దిశలో వేగాంశం = u cos θ. (ఇది మారదు
OY దిశలో వేగాంశం = u sin θ. ఇది గురుత్వ త్వరణం వలన మారుతూ ఉంటుంది.
t కాలం తరువాత క్షితిజ సమాంతరంగా పయనించిన దూరం = x = (x-దిశలో వేగాంశం) (కాలం)

y = Ax – Bx²
ఇది ‘పరావలయ సమీకరణము.
అందువలన క్షితిజ సమాంతర దిశకు కొంత కోణంతో విసరిన వస్తువు పథం పరావలయం.

ప్రశ్న 7.
సగటు వేగం, తాక్షణిక వేగం పదాలను వివరించండి. ఈ రెండు ఎప్పుడు సమానం అవుతాయి ?
జవాబు:
సగటు వేగము : వస్తువు స్థానభ్రంశానికి, ఆ స్థాన భ్రంశానికి పట్టిన కాలవ్యవధికి గల నిష్పత్తిని వస్తువు సరాసరి లేదా సగటు వేగము అంటారు.
సగటు వేగము V = \(\frac{\Delta r}{\Delta t}=\frac{\Delta x \bar{i}+\Delta y \hat{j}}{\Delta t}\)
∴ సగటు వేగము \(\frac{\Delta \mathrm{x}_{\mathbf{i}}}{\Delta \mathrm{t}}+\frac{\Delta \mathrm{yj}}{\Delta \mathrm{t}}\)
తాక్షణిక వేగము : కాలవ్యవధి అతితక్కువగా ఉన్నపుడు అనగా శూన్యాన్ని సమీపించేటంత చిన్నదైనపుడు వస్తువు స్థానభ్రంశం మరియు కాలముల నిష్పత్తిని తాక్షణిక వేగం అంటారు.
\({Lt}_{\Delta \mathrm{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathrm{r}}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}\) = V తాక్షణిక వేగము
కాలవ్యవధులు అత్యల్పంగా తీసుకొనినపుడు వస్తువు తాక్షణిక వేగము మరియు ఆ కాలంలో సగటు వేగము సమానమవుతాయి.

ప్రశ్న 8.
ప్రక్షేపకం యొక్క గరిష్టోన్నతి మరియు గరిష్ఠ వ్యాప్తులు వరుసగా \(\frac{u^2 \sin ^2 \theta}{2 g}\) మరియు \(\frac{\mathrm{u}^2 \sin 2 \theta}{g}\) అని చూపండి. ఇక్కడ వాడిన పదాలు సాధారణంగా ఉపయోగించే అర్థంలోనే వాడాము.
గమనిక : ఈ ప్రశ్నను ఇంగ్లీషు మీడియమ్ టెక్స్ట్బుక్ ప్రకారం ఇవ్వడం జరిగింది. తెలుగు మీడియమ్ ప్రశ్న వేరే విధంగా ఉంది.
జవాబు:
ఏదైనా వస్తువును ‘u’ అను తొలివేగంతో క్షితిజ సమాంతరానికి ‘θ’ అను కోణంతో గాలిలోనికి విసరినామనుకొనుము. తొలివేగము u_x = u cos θ ; y-దిశలో తొలివేగము u_y = u sin θ
గరిష్లోన్నతి (h_max) : ప్రక్షిప్త వస్తువు క్షితిజ లంబవేగాంశము సున్న అయ్యేవరకు వస్తువు పైకి పోయిన ఎత్తును దాని గరిస్త్రోన్నతిగా నిర్వచించినారు.
త్వరణము a = − g
తొలి వేగము u_y = u sin θ
v² – u² = 2as అను సమీకరణం నుండి
0 – u² sin² θ = – 2 gh_max
∴ గరిష్లోన్నతి h_max = \(\frac{u^2 \sin ^2 \theta}{2 g}\)

క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి (R) :
వస్తువు పలాయన కాలం (T) లో ప్రయాణించిన క్షితిజ సమాంతర దూరాన్ని వ్యాప్తిగా నిర్వచించినారు.
x-దిశలో తొలివేగము u_x = u cos θ;
పలాయన కాలము T = \(\frac{2 u \sin \theta}{g}\)
xదిశలో వేగము మారదు కావున వ్యాప్తి R = u_x × T = \(\frac{u \cos \theta \cdot 2 u \sin \theta}{g}=\frac{u^2 2 \sin \theta \cos \theta}{g}=\frac{u^2 \sin 2 \theta}{g}\)
∴ క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి R = \(\frac{\mathrm{u}^2 \sin 2 \theta}{\mathrm{g}}\)

ప్రశ్న 9.
ఒక నిర్దేశ చట్రంలో వస్తువు ప్రక్షిప్త పథం పరావలయం అయితే, ఈ నిర్దేశ చట్రంతో సాపేక్షంగా స్థిరవేగంతో -కదులుతున్న మరొక నిర్దేశ చట్రంలో కూడా వస్తువు పథం పరావలయ ఆకృతిలో ఉంటుందా ? ఒకవేళ ప్రక్షేపక పథం పరావలయం కాకపోతే అది ఏ ఆకృతిలో ఉంటుంది ?
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి ఒక నిర్దేశ చట్రంలో వస్తువు గమనపథము పరావలయము.

రెండవ నిర్దేశ చట్రము మొదటి దానితో సాపేక్షంగా స్థిరవేగంతో చలిస్తున్నది. అనగా ఆ రెండు చట్రముల మధ్య త్వరణము సున్న. కేవలం ఆ రెంటి మధ్య కొంత దశాబేధం ఉంటే వుండవచ్చు. ఈ పరిస్థితులలో ఆ రెండు చట్రాలు ఒకేరకమైన నిర్దేశ చట్రాలను కలిగి ఉంటాయి. ఆ రెండు (1) జడత్వ నిర్దేశ చట్రంలో ఉండవచ్చు లేదా ఆ రెండు (2) సమానమైన త్వరణ నిర్దేశచట్రంలో ఉండవచ్చు. ఎందుకనగా సాపేక్ష త్వరణము సున్నకావున.

పై వివరణను బట్టి ఆ రెండు వ్యవస్థలు ఒకే రకమైన నిర్దేశ చట్రంలో వున్నాయి. తుల్యతా నియమం ప్రకారము ఒకేరకమైన వ్యవస్థలో జరిపిన ప్రయోగాలు ఒకేరకమైన ఫలితాన్ని ఇస్తాయి. కావున మొదటి నిర్దేశక చట్రంలో వస్తువు గమనము పరావలయమైతే రెండవ నిర్దేశ చట్రంలో కూడా దాని గమనపథము పరావలయమే అవుతుంది.

ప్రశ్న 10.
నిశ్చలస్థితిలో ఉన్న వస్తువుపై 2i + j – k న్యూటన్ల బలం పనిచేస్తుంది. 20 సెకనుల చివర వస్తువు వేగం 4i + 2j – 2k ms^-1 అయితే ఆ వస్తువు ద్రవ్యరాశి ఎంత ?
జవాబు:
బలము F = 2i + j – k, కాలము t = 20
తొలి వేగము V_o = 0
తుది వేగము V = 4i + 2j – 2k
∴ త్వరణము a = \(\frac{\mathrm{V}-\mathrm{V}_0}{\mathrm{t}}=\frac{4 \mathrm{i}+2 \mathrm{j}-2 \mathrm{k}}{20}=\frac{2(2 \mathrm{i}+\mathrm{j}-\mathrm{k})}{10}\)
వస్తువు ద్రవ్యరాశి m = \(\frac{F}{a}=\frac{2 i+j-k}{(2 i+j-k) / 10}\) = 10 కి.గ్రా.

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఓడ B కి ఓడ A పశ్చిమ దిశలో 10 km దూరంలో ఉంది. ఓడ A నేరుగా ఉత్తర దిక్కువైపు 30 km/h వడితో వెళు తుంటే, ఓడ B ఉత్తర దిశతో పడమరవైపు 60° కోణం చేస్తూ 20 km/h వడితో వెళుతుంది.
(i) ఓడ A కి సాపేక్షంగా ఓడ B వేగ పరిమాణాన్ని, దిశను కనుక్కోండి.
(ii) రెండింటి మధ్య అత్యంత సమీప దూరం (closest approach) ఎంత ?
సాధన:
A వేగము = 30 kmph ఉత్తరం వైపు ∴V_A = 30j
B వేగము = 20 kmph 60° పశ్చిమ దిశ నుండి ఉత్తరం వైపు
∴ V_B = -20sin60° + 20 cos 60° = \(10 \sqrt{3} \hat{\mathrm{i}}+10 \hat{\mathrm{j}}\)
A తో పోల్చితే B వేగము = V_B – V_A = -10\(\sqrt{3} \hat{\mathrm{i}}+10 \hat{\mathrm{j}}-30 \hat{\mathrm{j}}\)
= -10\(\sqrt{3} \hat{\mathrm{i}}-20 \hat{\mathrm{j}}\)
V_R = | V_B – V_A|= \(\sqrt{100 \times 3+400}\) = 10\(\sqrt{7}\) kmph.

అతి తక్కువ దూరము :
త్రిభజం ABN నుండి అతి తక్కువ దూరము AN = AB sin θ
కాని AB = 10 km
∴ AN = 10 × \(\frac{20}{10 \sqrt{7}}=\frac{20}{\sqrt{7}}\) = 7.56 km

ప్రశ్న 2.
ప్రక్షేపక కోణం Q, వ్యాప్తి R, గరిష్ఠ ఎత్తు h, ప్రయాణ కాలం T అయితే
a) tan α = 4h/R,
(b) h = gT² / 8 అని చూపండి.
సాధన:
(a) ప్రక్షేపక కోణము = θ, వ్యాప్తి, R = \(\frac{\mathrm{u}^2 \sin 2 \theta}{\mathrm{g}}\)

ప్రశ్న 3.
క్షితిజ సమాంతరంతో 60° కోణం చేస్తూ 800 m/s తొలి వేగంతో ఒక ప్రక్షేపకాన్ని పేల్చారు :
(i) భూమిని తాకే ముందు ప్రక్షేపకం ప్రయాణ కాలం కనుక్కోండి.
(ii) అది భూమిని తాకే ముందు ప్రయాణించిన దూరాన్ని (వ్యాప్తి) కనుక్కోండి.
(iii) గరిష్ఠ ఎత్తుకు చేరుకోడానికి పట్టే ప్రయాణ కాలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రక్షేపక కోణము θ = 60°, తొలివేగము, U = 800 m/s

iii) గరిష్టోన్నతి చేరటానికి పట్టిన కాలము = \(\frac{\mathrm{T}}{2}\)
T₁ = \(\frac{2 \mathrm{u} \sin \theta}{2 \mathrm{~g}}=\frac{\mathrm{u} \sin \theta}{\mathrm{g}}=\frac{800 \sin 60^{\circ}}{9.8}\)
= \(\frac{800 \times 0.8660}{9.80}\) = 70.7 sec

ప్రశ్న 4.
భూమికి ఏటవాలుగా ప్రక్షిప్తం చేసిన కణం తన పథంలో గరిష్ఠ బిందువు దగ్గర ఉన్నప్పుడు ప్రక్షేపణ బిందువు దృష్ట్యా దాని స్థాన సదిశ పరిమాణం అది చేరుకొనే గరిష్ఠ ఎత్తుకు \(\sqrt{2}\) రెట్లు ఉన్నట్లయితే ప్రక్షేపక కోణం tan^-1(2) అని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 5.
భూమికి 20 m ఎత్తున ఉన్న శిఖరంపై నుంచి వస్తువును క్షితిజ సమాంతరానికి 30° కోణంతో 30m/s తొలివేగంతో ప్రయోగించారు. భూమిపై దిగే ముందు క్షితిజ సమాంతరంగా వస్తువు ఎంత దూరం ప్రయాణిస్తుంది ? (g = 10 m/s²)
సాధన:
శిఖరం ఎత్తు = 20m
ప్రక్షేపక కోణము, θ = 30°
ప్రక్షేపక వేగము, u = 30 m/s
క్షితిజ సమాంతరదిశలో ప్రయాణించిన మొత్తం దూరము = OC = OB’ + B’C
(a)కాని OB’ = AB = వ్యాప్తి R = \(\frac{\mathrm{u}^2 \sin 2 \theta}{\mathrm{g}}\)
∴ R = \(\frac{30 \times 30 \sin 60^{\circ}}{10}=90 \frac{\sqrt{3}}{2}=45 \sqrt{3}\) …………… (1)

(b)దూరము B’C = క్షితిజ సమాంతర ప్రక్షేపకం వ్యాప్తి
∴ వ్యాప్తి = u cos θ t
u. cos θ = 30 . \(\frac{\sqrt{3}}{2}=15 \sqrt{3}\)
భూమిని తాకుటకు పట్టినకాలము, t = ?
దత్తాంశం నుండి S_y = 20, u_y = u sin θ = 30 sin 30° = 15 m/s
∴ S_y = 20 = 15 t + \(\frac{10}{2}\) t² ⇒ 5t² + 15t – 20 = 0
లేదా t² + 3t – 4 = 0 లేదా (t + 4) (t – 1) = 0
∴ t = – 4 లేదా t = 1 ∴ t ఋణాత్మకంగా ఉండదు కావున t = 1 అగును.
∴ వ్యాప్తి = 4 . cos θ . t = 15\(\sqrt{3}\) …………… (2)
భూమిపై దిగే ముందు క్షితిజ సమాంతరంగా వస్తువు ప్రయాణించిన మొత్తం దూరం = 45\(\sqrt{3}\) + 15\(\sqrt{3}\) = 60\(\sqrt{3}\) m.

ప్రశ్న 6.
నేలపై ౦ బిందువును మూల బిందువుగా తీసుకోవడమైంది. ఒక వస్తువు ముందు ఈశాన్య (North-East) దిశలో 10\(\sqrt{2}\) m స్థానభ్రంశాన్ని, ఆ తరవాత ఉత్తర దిశలో 10 m, పిమ్మట 10\(\sqrt{2}\) m వాయువ్య దిశలో పొందింది. మూల బిందువు నుంచి అది ఎంత దూరంలో ఉంది ?
సాధన:
a) 10\(\sqrt{2}\) m ఈశాన్య దిశ
b) 10m ఉత్తర దిశ
c) 10\(\sqrt{2}\) m వాయువ్య దిశ

పటములో మూలబిందువు ‘O’ నుండి మొత్తం స్థానభ్రంశము = OC
కాని OC = OA’ + A’B’ + B’C = 10 + 10 + 10 = 30m.

ప్రశ్న 7.
భూమిపై ఒక బిందువు నుంచి తొలి వేగం తో కణాన్ని క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి గరిష్ఠం అయ్యే విధంగా ప్రక్షిప్తం చేశారు. దాని ఆరోహణ క్రమంలో (ascent) ఉండే సగటు వేగం పరిమాణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ప్రక్షేపక వేగము : = u.
వ్యాప్తి గరిష్ఠము ⇒ θ = 45°
ఆరోహణ కాలంలో అనగా h = h_max ⇒ u_x = v_x = u . cos θ
సగటు వేగము, V_A = \(\sqrt{v_{\mathrm{x}}^2+v_{\mathrm{y}}^2}\)
V_x = x-దిశలో సగటు వేగము = \(\frac{\mathrm{u} \cdot \cos \theta+\mathrm{u} \cos \theta}{2}\)
v_x = u . cos θ = u – cos 45° = u/\(\sqrt{2}\) …………….. (1)
y-దిశలో సగటు వేగము = \(\frac{\mathrm{u}_{\mathrm{y}}+\mathrm{v}_{\mathrm{y}}}{2}\)
u_y = u sinθ = u/latex]\sqrt{2}[/latex], v_y = 0 (h_max వద్ద)
∴ v_y = \(\frac{u / \sqrt{2}}{2}=\frac{u}{2 \sqrt{2}}\) …………….. (2)
ఆరోహణ కాలంలో సగటు వేగము = \(\sqrt{\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{u}{2 \sqrt{2}}\right)^2}\)
సరాసరి వేగము = \(\sqrt{\frac{u^2}{2}+\frac{u^2}{4 \times 2}}=\sqrt{\frac{4 u^2+u^2}{8}}=\frac{u \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}}\)

ప్రశ్న 8.
భూమిపై నుంచి ఒక కణాన్ని కొంత తొలివేగంతో క్షితిజ సమాంతరానికి 45° కోణంతో ప్రక్షిప్తం చేశారు. అది క్షితిజ సమాంతరంగా 10m దూరం ప్రయాణించేంతలో, భూమి నుండి 7.5 m ఎత్తుకు చేరుతుంది. ప్రక్షేపకం తొలి వడి ఎంత? (g = 10 m/s²)
సాధన:
ప్రక్షేపక కోణము = 45°
నిలువు దిశలో ఎత్తు, h_y = 7.5 m
క్షితిజ సమాంతర దూరము, h_x = 10 m

u² = 400 ⇒ u = 20m/s

ప్రశ్న 9.
దక్షిణ దిశ నుంచి 5 ms^-1 వేగంతో గాలి వీస్తుంది. ఒక సైకిల్ తొక్కే వ్యక్తికి అది 5 ms^-1 వేగంతో తూర్పు దిశ నుంచి వీస్తుందనిపిస్తుంది. సైకిల్ తొక్కే వ్యక్తి ఈశాన్య దిశలో 5\(\sqrt{2}\) ms^-1 వేగంతో ప్రయాణిస్తున్నాడని చూపించండి.
సాధన:

1. గాలి వేగము పక్షిణం నుండి ఉత్తరం వైపు 5 m/s
2. వ్యక్తి భావించిన వేగము = సాపేక్ష వేగము = 5 m/s తూర్పు నుండి
3. సైకిలిష్ట్ వేగము కనుక్కోవటానికి ఫలిత సదిశను వెనుకకు తిప్పి మరల ఫలిత సదిశ కనుక్కోవలె.
   ∴ సైకిలిష్ట్ వేగము = \(\sqrt{5^2+5^2+0}\) = 5\(\sqrt{2}\) m/s

ప్రశ్న 10.
4m/s తో నడుస్తున్న మనిషి వాన బిందువులు ఏటవాలుగా తన ముఖంపై 4 m/s వడితో నిట్టనిలువుగా 30° కోణం చేస్తూ పడుతున్నాయని గమనించాడు. వాన బిందువు వాస్తవ వడి 4 m/s అని చూపండి.
సాధన:
మనిషి వేగము = 4 m/sec
వాన చినుకులను గమనించిన వేగము = 4 m/sec
క్షితిజలంబముతో 30°. ఇది సాపేక్ష వేగము
a) మనిషి వేగము = \(4 \hat{\mathrm{i}}\)
వాన చినుకుల వేగము = 4 m/s, 30° (లంబముతో)
∴ ఈ వేగాన్ని = – 4 sin 30 i – 4 . cos 30° \(\hat{\mathrm{j}}\) తో సూచిస్తారు.
= -4\(\frac{1}{2} \hat{\mathrm{i}}+4 \frac{\sqrt{3}}{2}\) అనుకోండి. V_R = -2\(\hat{\mathrm{i}}+2 \sqrt{3} \hat{\mathrm{j}}\)
కాని V_R = V_B – V_A ఇందులో V_B వాన చినుకుల నిజవేగము
V_B – V_A + V_A = V_B = –\(2 \hat{\mathrm{i}}+2 \sqrt{3} \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{i}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \sqrt{3} \hat{\mathrm{j}}\)
|V_B|= \(\sqrt{4+4 \times 3}=\sqrt{16}\) = 4 m/s

ముఖ్యమైన ఉదాహరణ లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
35 ms^-1 వడితో వాన నిట్టనిలువుగా పడుతోంది. కొంతసేపటి తరువాత 12 ms^-1 వడితో గాలి తూర్పు నుంచి పడమర దిశగా వీచడం ప్రారంభించింది. బస్ స్టాప్లో వేచి ఉన్న బాలుడు వాన మీద పడకూడదు అంటే గొడుగును ఏ దిశలో పట్టుకోవాలి ?

సాధన:
పటంలో వాన, గాలి వేగ సదిశలను వరుసగా v_r, v_w లతో సమస్యలో ఇచ్చిన దిశలో చూపించడమైనది. సదిశల సంకలన నియమం ద్వారా v_r, v₂ ల ఫలిత సదిశ R పటంలో చూపిన విధంగా ఉంటుంది. R పరిమాణాన్ని కింది విధంగా లెక్కించవచ్చు.
R = \(\sqrt{v_{\mathrm{r}}^2+v_w^2}=\sqrt{35^2+12^2}\) ms^-1 = 37 ms^-1
నిట్టనిలువుతో ఫలిత సదిశ R చేసే కోణం 9 ను కింది విధంగా రాయవచ్చు.
tan θ = \(\frac{v_w}{v_r}=\frac{12}{35}\) = 0.343
లేదా θ. = tan^-1 (0.343) = 19°
కాబట్టి, నిట్టనిలువు తలంలో తూర్పుదిశకు 19° చేసే విధంగా గొడుగు పట్టుకొని నిలబడాలి.

ప్రశ్న 2.
ఒక మోటారు బోటు ఉత్తర దిశవైపు 25 km/h వేగంతో దూసుకుపోతోంది. అక్కడ నీటి ప్రవాహం 10 km/h వేగం కలిగి దక్షిణం దిశతో 60° కోణం చేస్తూ తూర్పువైపుకు ఉంది. బోటు ఫలితవేగాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
మోటారు బోటు వేగాన్ని v_b తో, నీటి ప్రవాహవేగాన్ని v_{c/sub> తో సమస్యలో ఇచ్చిన దిశలలో పటంలో చూపించడమైంది.
సమాంతర చతుర్భుజ సంకలన నియమం ప్రకారం ఫలిత సదిశ R దిశ పటంలో చూపించిన విధంగా ఉంటుంది. కొసైన్ల న్యాయం ప్రకారం R పరిమాణాన్ని కింది విధంగా రాబట్టవచ్చు.}

ప్రశ్న 3.
ఒక కణం స్థానాన్ని \(3.0 t \hat{i}+2.0 t^2 \hat{j}+5.0 \hat{k}\) సూచిస్తుంది. ఇక్కడ t సెకనులలో, మీటర్లలో ఉండే విధంగా గుణకాలు సరైన ప్రమాణాలను కలిగి ఉన్నాయి. కణం యొక్క (a) v(t), a(t) లను కనుక్కోండి. (b) t = 1.0 s వద్ద v(t) పరిమాణం, దిశను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 4.
కాలం t = 0 వద్ద మూలబిందువు దగ్గర నుంచి బయలుదేరిన కణం 5.0\(\hat{\mathrm{i}}\)m/s వేగంతో x-y తలంలో ప్రయోగించిన బలం వల్ల స్థిర త్వరణం (\(3.0 \hat{\mathrm{i}}+2.0 \hat{\mathrm{j}}\))m/s² పొంది చలిస్తుంది. (a) x-నిరూపకం 84 m అయినప్పుడు కణం y-నిరూపకం ఎంత ? ఈ కాలం వద్ద కణం వడి ఎంత ?
సాధన:
కణం స్థానాన్ని కింది విధంగా రాయవచ్చు.
r (t) = v_ot + \(\frac{1}{2}\) at²
= \(5.0 \hat{\mathrm{i}} \mathrm{t}+(1 / 2)(3.0 \hat{\mathrm{i}}+2.0 \hat{\mathrm{j}}) \mathrm{t}^2\)
= \(\left(5.0 \mathrm{t}+1.5 \mathrm{t}^2\right) \hat{\mathrm{i}}+1.0 \mathrm{t}^2 \hat{\mathrm{j}}\)
కాబట్టి, x(t) = 5.0 t + 1.5 t²
y(t) = + 1.0t²
x(t) = 84 m గా ఇచ్చారు. అప్పుడు, t = ?
5.0 t + 1.5 t² = 84 ⇒ t = 6s
t = 6 s అయినప్పుడు, y = 1.0 (6)² = 36.0 m
ఇప్పుడు వేగం v = \(\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dx}}\) (5.0 + 3.0 t) \(\hat{\mathrm{i}}+2.0 \mathrm{t} \hat{\mathrm{j}}\)
t = 6 s అయినపుడు, v = 23.0 \(23.0 \hat{\mathrm{i}}+12.0 \hat{\mathrm{j}}\)
వడి = | v | = \(\sqrt{23^2+12^2}\) ≅ 26 ms^-1.

ప్రశ్న 5.
వాన నిట్టనిలువుగా 35 ms^-1 వడితో పడుతోంది. ఒక మహిళ 12 ms^-1 వేగంతో తూర్పు నుండి పశ్చిమ దిశలో సైకిల్పై వెళుతుంది. ఆమె ఏ దిశలో గొడుగును పట్టుకోవాలి ?
సాధన:
పటంలో v_r వాన వేగాన్ని, v_b మహిళ తొక్కుతున్న సైకిల్ వేగాన్ని సూచిస్తాయి. ఈ రెండు వేగాలు కూడా భూమి దృష్ట్యానే. మహిళ సైకిల్ తొక్కుతుంది. కాబట్టి, ఆమె దృష్ట్యా వాన వేగం, అంటే సైకిల్ వేగానికి సాపేక్షంగా వాన వేగం అని అర్థం. అంటే v_rb = v_r – v_b

ఈ సాపేక్ష వేగం సదిశ పటంలో చూపినట్లు నిట్టనిలువుతో θ కోణం చేస్తుంది.
tan θ = \(\frac{\mathrm{v}_{\mathrm{b}}}{\mathrm{v}_{\mathrm{r}}}=\frac{12}{35}\) = 0.343
లేదా θ ≅ 19°
అంటే మహిళ పడమర దిశలో నిట్టనిలువుతో 19° కోణం చేస్తూ గొడుగును పట్టుకోవాలి.

ప్రశ్న 6.
భూమికి 490 m ఎత్తున ఉన్న శిఖరం పైనుంచి ఒక పర్వతారోహకుడు రాయిని 15 m s^-1 తొలివేగంతో క్షితిజ సమాంతరంగా విసిరాడు. గాలి నిరోధాన్ని ఉపేక్షించి, రాయి నేలను తాకేందుకు పట్టే కాలాన్ని, అది నేలను తాకే వేగాన్ని కనుక్కోండి. (g = 9.8 m s^-2 గా తీసుకోండి).
సాధన:
శిఖర శీర్షాన్ని మూల బిందువుగా తీసుకొని x-, y-అక్షాలను ఊహించండి. రాయిని t = 0 s వద్ద విసిరాడు అనుకొందాం. తొలి వేగం దిశలో ధన X అక్షం దిశ, నిట్టనిలువు ఊర్ధ్వదిశలో ధన y అక్షం దిశ ఉందనుకొందాం. x-, y-చలన అంశాలను స్వతంత్ర అంశాలుగా పరిగణించవచ్చు. ఇప్పుడు చలన సమీకరణాలు :
x(t) = x₀ + v_0xt
y(t) = y₀ + v_oyt + (1/2)a_yt²
ఇక్కడ, x₀ = y₀ = 0, v_0y = 0, a_y = -g = -9.8 ms^-2
v_0x = 15 ms^-1.
y(t) = -490 m అయినప్పుడు రాయి నేలను తాకుతుంది.
– 490 m = – (1/2) (9.8) t². దీనిని సాధించగా, t = 10 s,
వేగాంశాలు v_x = v_0x, v_y = v_0y – g t
రాయి నేలను తాకే సందర్భంలో :
v_0x = 15 m s^-1 ; v_0y = 0 – 9.8 × 10 = -98 m s^-1
కాబట్టి, నేలను రాయి తాకే వడి
\(\sqrt{v_{\mathrm{x}}^2+v_{\mathrm{y}}^2}=\sqrt{15^2+98^2}\) = 99 ms^-1

ప్రశ్న 7.
క్షితిజ సమాంతరంతో 30° కోణం చేస్తూ ఒక క్రికెట్ బంతిని 28 m s^-1 వేగంతో విసిరారు. కింది వాటిని లెక్కించండి. (a) గరిష్ఠ ఎత్తు, (b) బంతి తిరిగి అదే స్థాయికి రావడానికి పట్టే కాలం, (c) బంతి విసిరిన స్థానం నుంచి బంతి తిరిగి అదే స్థాయికి చేరిన స్థానానికి మధ్య దూరం.
సాధన:
(a) గరిష్ఠ ఎత్తు
h_m = \(\frac{\left(\mathrm{v}_0 \sin \theta_0\right)^2}{2 \mathrm{~g}}=\frac{\left(28 \sin 30^{\circ}\right)^2}{2(9.8)} \mathrm{m}\)
= \(\frac{14 \times 14}{2 \times 9.8}\) = 10.0 m

(b) బంతి తిరిగి అదే స్థాయికి రావడానికి పట్టిన కాలం (2 v₀ sin θ₀)/g = (2 × 28 × sin 30°) / 9.8
= 28/9.8s = 2.9s

ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో వున్న వస్తువు వేగం, త్వరణం. కాలవ్యవధి ∆t (a) నుంచి (c) వరకు తగ్గుతూ వచ్చి c వద్ద శూన్యం అయింది. పథంలో ప్రతి బిందువు దగ్గర వున్న త్వరణం వృత్త కేంద్రం వైపు వుంటుంది.

(c) బంతి విసిరిన స్థానం నుంచి బంతి తిరిగి అదే స్థాయికి చేరిన స్థానానికి మధ్య దూరం
R = \(\frac{\left(v_{\mathrm{o}}^2 \sin 2 \theta_{\mathrm{o}}\right)}{g}=\frac{28 \times 28 \times \sin 60^{\circ}}{9.8}\) = 69 m

ప్రశ్న 8.
12cm వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తాకార గాడిలో ఇరుక్కొన్న కీటకం 100s కాలంలో నిలకడగా 7 పరిభ్రమణాలు పూర్తి చేసింది. (a) కీటకం కోణీయ వడి, రేఖీయ వడి ఎంత ? (b) త్వరణం సదిశ స్థిర సదిశేనా ? దాని పరిమాణం ఎంత ?
సాధన:
ఏకరీతి వృత్తాకార చలనానికి ఇది ఒక ఉదాహరణ.
ఇక్కడ R = 12 cm. కోణీయ వడి ప ని ఇలా రావయచ్చు.
ω = 2πT = 2π × 7/ 100 = 0.44 rad/s
రేఖీయ వడి v :
v = ωR = 0.44s^-1 × 12 cm = 5.3 cm s^-1
వేగ సదిశ V వృత్తంపై ప్రతీ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖ దిశలో ఉంటుంది. త్వరణం వృత్తకేంద్రం వైపు ఉంటుంది. ఇక్కడ త్వరణం దిశ నిరంతరం మారుతుంది కాబట్టి స్థిర సదిశ కాదు. త్వరణం పరిమాణం మాత్రం స్థిరం.
a = ω²R = (0.44s^-1)² (12 cm) = 2.3 cm s^-2

అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
కింద ఇచ్చిన రాశులు సదిశలా లేదా అదిశలా తెలపండి. ఘనపరిమాణం, ద్రవ్యరాశి, వడి, త్వరణం, సాంద్రత మోల్ల సంఖ్య, వేగం, కోణీయ పౌనఃపున్యం, స్థానభ్రంశం, కోణీయ వేగం.
సాధన:
అదిశ రాశులు : ఘనపరిమాణము, ద్రవ్యరాశి, వడి, సాంద్రత, మోల్ల సంఖ్య, కోణీయ పౌనఃపున్యము.
సదిశ రాశులు : త్వరణము, వేగము, స్థానభ్రంశము, కోణీయ వేగము.

ప్రశ్న 2.
కింద ఇచ్చిన జాబితాలో రెండు అదిశరాశులను ఎంపిక చేయండి. బలం, కోణీయ ద్రవ్యవేగం, పని, విద్యుత్ ప్రవాహం, రేఖీయ ద్రవ్యవేగం, విద్యుత్ క్షేత్రం, సగటు వేగం, అయస్కాంత భ్రామకం, సాపేక్ష వేగం.
సాధన:
ఇచ్చిన వాటిలో పని మరియు విద్యుత్ ప్రవాహము అదిశరాశులు.

ప్రశ్న 3.
కింద ఇచ్చిన జాబితాలో సదిశరాశి ఉన్నది. దానిని ఎంపిక చేయండి. ఉష్ణోగ్రత, పీడనం, ప్రచోదనం, కాలం, సామర్థ్యం, మొత్తం పథం పొడవు, శక్తి, గురుత్వ పొటెన్షియల్, ఘర్షణ గుణకం, విద్యుదావేశం.
సాధన:
ఇచ్చిన వాటిలో సదిశరాశి ప్రచోదనము. ఇది బలము మరియు కాలముల లబ్ధము. ఇది ద్రవ్యవేగంలో మార్పుకు సమానము కావున సదిశరాశి.

ప్రశ్న 4.
కింది ఇచ్చిన సదిశ, అదిశ రాశుల మధ్య జరిగే బీజగణిత పరిక్రియలు అర్థవంతమైనవో, కావో కారణాలతో వివరించండి.
(a) ఏవైనా రెండు అదిశల సంకలనం,
(b) ఒకే మితులు ఉన్న అదిశను సదిశకు సంకలనం చేయడం,
(c) ఏదైనా సదిశను ఏదైనా అదిశతో గుణించడం,
(d) ఏవైనా రెండు అదిశలను గుణించడం,
(e) ఏవైనా రెండు సదిశలను సంకలనం చేయడం,
(f) ఒక సదిశ అంశాన్ని అదే సదిశకు సంకలనం చేయడం.
సాధన:
a) సరి అయినది కాదు. ఎందుకనగా ఒకే మితి కలిగిన అదిశలను మాత్రమే సంకలనము చేయవలెను.

b) సరి అయినది కాదు. అదిశలను సదిశలకు కలపడం సాధ్యపడదు. ఎందుకనగా సంకలనం సజాతిరాశుల మధ్య మాత్రమే జరుగును.

c) సరి అయినది. సదిశలను అదిశతో గుణించవచ్చు.
ఉదా : త్వరణము × ద్రవ్యరాశి = బలము

d) సరి అయినది. రెండు అదిశలను గుణించడం సరి అయినది.
ఉదా : పని = సామర్థ్యము × కాలము

e) సరి అయినది కాదు : కేవలం ఒకే మితి గల సదిశలను మాత్రమే సంకలనం చేయగలము.

f) సరి అయినది. ఎందుకనగా రెండు సదిశలు ఒకే మితిని కలిగి ఉన్నాయి కావున.

ప్రశ్న 5.
కింద ఇచ్చిన ప్రవచనాలను జాగ్రత్తగా చదివి కారణాలతో అవి తప్పా లేదా ఒప్పా తెలియచేయండి.
(a) సదిశ పరిమాణం ఎప్పుడూ అదిశే,
(b) సదిశ ప్రతీ అంశం ఎప్పుడూ అదిశే,
(c) మొత్తం పథం పొడవు ఎప్పుడూ కణం స్థానభ్రంశ సదిశ పరిమాణానికి సమానం,
(d) కణం సగటు వడి (మొత్తం పథ దూరాన్ని ఆ పథాన్ని పూర్తిచేయడానికి పట్టేకాలంతో భాగించగా వచ్చే రాశి) అదే కాలవ్యవధిలో కణం సగటు వేగం పరిమాణం కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటుంది.
(e) ఒకే తలంలో లేని మూడు సదిశలు కలిసి ఎప్పుడూ శూన్య సదిశను ఇవ్వలేవు.
సాధన:
a) సరి అయినది. ఎందుకనగా పరిమాణం ఒక సంఖ్య మాత్రమే.
b) సరి అయినది కాదు. ఎందుకనగా సదిశ ప్రతి అంశం మరల సదిశ కావున.
c) నిజమైనది. ఇచ్చిన వస్తువు సరళరేఖ వెంబడి అదే దిశలో చలిస్తుంది. ఈ ప్రవచనము సరి అయినది.
d) నిజమైనది. పథం పొడవు స్థానభ్రంశానికన్నా ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉండవచ్చు.
e) నిజమైనది. ఎందుకనగా ఈ మూడు సదిశలు కలసి ఒక సమతలంలో గల త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచలేవు కావున.

ప్రశ్న 6.
రేఖాచిత్ర పట పద్ధతి లేదా ఇతర పద్ధతిలో కింద ఇచ్చిన సదిశా అసమానతలను రుజువు చేయండి :
a) \(|\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}| \leq|\overrightarrow{\mathrm{A}}|+|\overrightarrow{\mathrm{B}}|\)
b) \(|\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}| \geq|| \overrightarrow{\mathrm{A}}|-| \overrightarrow{\mathrm{B}} \mid\)
c) \(|\overrightarrow{\mathbf{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}| \geq\|\overrightarrow{\mathrm{A}}|-| \overrightarrow{\mathrm{B}}\|\)
d) \(|\overrightarrow{\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{B}}| \geq|| \overrightarrow{\mathrm{A}}|-| \overrightarrow{\mathbf{B}} \|\)
ఏ సందర్భంలో సమానత గుర్తు వర్తిస్తుంది ?
సాధన:
a) \(|\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}| \leq|\overrightarrow{\mathrm{A}}|+|\overrightarrow{\mathrm{B}}|\)అని చూపుట :

b) \(|\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}| \geq|| \overrightarrow{\mathrm{A}}|-| \overrightarrow{\mathrm{B}} \mid\) అని చూపుట :
∆OPS నుండి OS + PS > OP లేదా OS > |OP – PS| లేదా
OS > |OP – OQ| → 1 (∵ PS = OQ)
పై సమీకరణలో OS ఎల్లపుడు ధనాత్మకము కాని OP – OQ ధనాత్మకం లేదా ఋణాత్మకం కావచ్చు. OP < PS లేదా OQ అయినపుడు ∴ \(|\mathrm{OS}|=|\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}|>|\overline{\mathrm{A}}|-|\overline{\mathrm{B}}|\) → 2
\(\overline{\mathrm{A}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{B}}\) లు వ్యతిరేక దిశలో ఒకే సరళరేఖ వెంబడి పనిచేస్తే \(|\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}|=|\overline{\mathrm{A}}|-|\overline{\mathrm{B}}|\) → 3
1, 2, 3 సమీకరణాలను కలిపితే \(|\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}| \geq|| \overline{\mathrm{A}}|-| \overline{\mathrm{B}}||\)

c) \(|\overrightarrow{\mathrm{A}}+\overrightarrow{\mathrm{B}}| \geq\|\overrightarrow{\mathrm{A}}|-| \overrightarrow{\mathrm{B}}\|\) అని చూపుట :

d) \(|\overrightarrow{\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{B}}| \geq|| \overrightarrow{\mathrm{A}}|-| \overrightarrow{\mathrm{B}} \|\) అని చూపుట :
పటములోని OPR త్రిభుజం నుండి OR + PR > OP లేదా
OR > |OP – PR| లేదా OR > | OR – OT| → 6 (∵ OT= PR)
పై సమీకరణలో L.H.S. వైపు గల OP ధనాత్మకము కాని OP – OT
ధనాత్మకము లేదా ఋణాత్మకము
∴ \(\overline{\mathrm{OR}}=|\overline{\mathrm{A}}-\overline{\mathrm{B}}|>|\overline{\mathrm{A}}|-\mid \overline{\mathrm{B}} \|\)→ 7
సదిశలు \(\overline{\mathrm{A}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{B}}\) లు ఒకే సరళరేఖ వెంబడి ఒకే దిశలో పనిచేస్తే \(|\overline{\mathrm{A}}-\overline{\mathrm{B}}| \geq|| \overline{\mathrm{A}}|-| \overline{\mathrm{B}}||\)
6, 7 నియమాల నుండి \(|\overline{\mathrm{A}}-\overline{\mathrm{B}}| \geq|| \overline{\mathrm{A}}|-| \overline{\mathrm{B}}||\)

ప్రశ్న 7.
a + b + c + d = 0 అని ఇచ్చారు. కింది ప్రవచనాలలో ఏది సరియైనది :
a) a, b, c, d లలో ప్రతీది శూన్య సదిశ,
b) (a + c) పరిమాణం (b + d) పరిమాణానికి సమానం,
c) సదిశ a పరిమాణం ఎప్పుడూ b, c, d ల మొత్తం పరిమాణం కంటె అధికం కాదు.
d) a, d లు ఏకరేఖీయాలు కానప్పుడు b + c, a, d ఉండే తలంలోనే ఉండాలి. అవి ఏక రేఖీయాలు అయితే a, d లకు రేఖీయంగా ఉండాలి.
సాధన:
a) సరి అయినది కాదు. ఎందుకనగా \(\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}}+\overline{\mathrm{d}}\) లను ఇచ్చిన ప్రవచనం ప్రకారమే కాకుండా అనేక విధాలుగా సున్నకు సమానం చేయవచ్చు.

b) సరి అయినది. ఎందుకనగా \(\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{D}}\) = 0 ఐతే \(\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{C}}=-\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{D}}\) లేదా \(|\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{C}}|=(\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{D}})\)

c) సరి అయినది. ఎందుకనగా \(\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{D}}\) = 0 ఐతే \(\overline{\mathrm{A}}=-(\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{D}})\) అనగా \(\overline{\mathrm{A}}\) పరిమాణము మిగిలిన సదిశల పరిమాణమునకు సమానము. కాని \(\overline{\mathrm{A}}\) పరిమాణము \(\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{D}}\) ల మొత్తం కన్న ఎక్కువ కాదు.

d) సరి అయినది. ఎందుకనగా \(\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{D}}\) = 0 అనగా \(\overline{\mathrm{A}}+(\overline{\mathrm{B}}+\overline{\mathrm{C}})+\overline{\mathrm{D}}\) = 0 కావున B, C, D ల పరిమాణం \(\overline{\mathrm{A}}\) కి సమానము. మూడు సదిశల ఫలిత పరిమాణం సున్న కావలెనంటే అవి ఒకే తలంలో ఉండాలి. ఒకవేళ \(\overline{\mathrm{A}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{D}}\) లు ఏకరేఖీయాలైతే అపుడు రెండు సదిశల ఫలిత సదిశ శూన్యం కావాలంటే అవి ఏకరేఖీయాలు కావాలి. అనగా \(\overline{\mathrm{A}}, \overline{\mathrm{D}}\) లు ఏకరేఖీయాలైతే \(\overline{\mathrm{B}}, \overline{\mathrm{C}}\) కూడా ఏక రేఖీయాలే.

ప్రశ్న 8.
ముగ్గురు బాలికలు 200 m వృత్తాకార మంచు ఆటస్థలంలో ఆటస్థలం అంచు వెంబడి ఉన్న P బిందువు నుండి స్కేటింగ్ చేసుకుంటూ బయలుదేరి P కి వ్యాసీయంగా ఎదురుగా ఉన్న Q బిందువు వద్దకు వేరు వేరు మార్గాలలో పటంలో చూపిన విధంగా చేరుకొన్నారు. ప్రతి ఒక్కరి స్థానభ్రంశం సదిశ పరిమాణం ఎంత ? ఇది ఏ బాలిక తీసుకొన్న మార్గం పొడవుకు సమానం ?

సాధన:
ప్రతి బాలిక స్థానభ్రంశము \(\overline{\mathrm{PQ}}\) కి సమానము. PQ = 2 × 200 = 400. B అను బాలికకు మాత్రమే స్థానభ్రంశము మరియు మార్గం పొడవు సమానము.

ప్రశ్న 9.
1 km, వ్యాసార్ధం ఉన్న పార్క్ కేంద్రం నుంచి సైకిల్పై బయలుదేరిన ఒక వ్యక్తి వృత్త అంచు P కి చేరుకుని, వృత్త పరిధిపై సైకిల్ తొక్కుతూ తిరిగి వృత్త కేంద్రాన్ని పటంలో చూపిన OQ రేఖ వెంబడి చేరుకొన్నాడు. పూర్తి తిరుగు ప్రయాణానికి 10 నిమిషాలు తీసుకొంటే (a) ఫలిత స్థానభ్రంశం ఎంత ?, (b) సగటు వేగం, (c) సైకిల్ తొక్కే వ్యక్తి సగటు వడి ఎంత ?

సాధన:
a) ఫలిత స్థానభ్రంశము సున్న.

ప్రశ్న 10.
కొత్తగా పట్టణానికి వచ్చిన ప్రయాణీకుడు స్టేషన్ నుండి నేరుగా ఉన్న రోడ్డుపై 10 km దూరంలో ఉండే హోటలు చేరుకోవాలనుకున్నాడు. మోసగాడు అయిన ఒక టాక్సీ కారు డ్రైవరు అతనిని మెలికల మార్గాల గుండా తిప్పుతూ 23 km దూరాన్ని 28 నిమిషాలపాటు తిప్పి హోటల్కు తీసుకొని వచ్చాడు. అయితే (a) టాక్సీ సగటు వడి ఎంత ? (b) సగటు వేగం పరిమాణం ఎంత ? (c) ఈ రెండూ సమానమేనా ?
సాధన:
ప్రయాణ మార్గం పొడవు S = 23 k.m. స్థానభ్రంశము = 10 k.m.
కాలము = 28 ని = \(\frac{28}{60}\) గం.

ఈ సందర్భంలో సగటు వేగము మరియు సగటు వడి సమానం కాదు.

ప్రశ్న 11.
30 ms^-1 వడితో వర్షం నిట్టనిలువుగా పడుతోంది. ఒక మహిళ 10 ms^-1 వడితో ఉత్తరం నుంచి దక్షిణ దిశకు సైకిలు తొక్కుతోంది. ఏ దిశలో ఆమె గొడుగును పట్టుకోవాలి ?
సాధన:
పటం నుండి వర్షం 30 మీ॥ సె వడితో OA దిశలో పడుతున్నది.
మహిళ 10 మీ/సె వేగంతో OS దిశలో చలిస్తున్నది.

వాన నుండి రక్షించుకోవడానికి ఆమె సాపేక్ష వేగానికి వ్యతిరేక దిశలో గొడుగు పట్టుకోవాలి.
సాపేక్ష వేగం కనుక్కోవడానికి మహిళ వేగాన్ని వ్యతిరేక దిశలో తీసుకొని ఫలిత వేగం కనుక్కోవాలి.
పటంలో సమాంతర చతుర్భుజము OADC లో కర్ణము OD ఫలిత వేగము (సాపేక్ష వేగం) ను ఇస్తుంది.
దాని దిశను tan θ = \(\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{OA}}=\frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{OA}}=\frac{10}{30}\) = 0.3333 = tan 18°26′
అనగా గొడుగు పట్టుకోవలసిన దిశ క్షితిజలంబం నుండి 18°26′ కోణంతో మహిళ నడిచేవైపు పట్టుకోవాలి.

ప్రశ్న 12.
నిలకడగా ఉన్న నీటిలో ఒక వ్యక్తి 4.0 km/h వడితో ఈదగలడు. 1.0km వెడల్పు ఉండి 3.0 km/h సమవడితో ప్రవహిస్తున్న నదిని ప్రవాహ దిశకు లంబంగా ఈదుతూ ఎంత కాలంలో దాటగలడు ? రెండో ఒడ్డుకు చేరేటప్పటికి అతడు నదిలో ఎంత కిందకు ప్రయాణిస్తాడు ?
సాధన:
నది వెడల్పు = 1 k.m., వ్యక్తి వేగము = 4 KMPH
నదిని దాటడానికి పట్టిన కాలము

ప్రశ్న 13.
పెద్ద హాలు లోకప్పు 25 m ఎత్తు ఉంది. 40ms వడితో విసిరిన బంతి హాలు లోకప్పును తాకకుండా వెళ్ళే గరిష్ఠ క్షితిజ సమాంతర దూరం ఎంత ?
సాధన:
తొలి వేగము v_o = 40 మీ/సె. కప్పు ఎత్తు H = 25 మీ.
కప్పును తాకుతూ వెళ్ళడానికి ప్రక్షేపక కోణము ‘θ’ అనుకోండి.

ప్రశ్న 14.
ఒక క్రికెటర్ బంతిని గరిష్ఠంగా 100 m దూరం విసరగలడు. అదే బంతిని భూమికి ఎంత ఎత్తు వరకు అతడు విసరగలడు?
సాధన:
ప్రక్షేపక వేగం v₀ అనుకోండి. గరిష్ఠ వ్యాప్తి R_max = \(\frac{v_0^2}{g}\) = 100 మీ.
∴ ప్రక్షేపక కోణము θ = 45°
అదే వేగం v₀ తో నిట్టనిలువుగా పైకి విసరితే అది చేరగల ఎత్తు
y = y₀ + v₀t + \(\frac{1}{2}\)at²
ఇందులో y₀ = 0,
కాలము t = \({\mathrm{v}_0}{\mathrm{~g}}\)
∴ y = 0 + v₀ . \({\mathrm{v}_0}{\mathrm{~g}}\) – \(\frac{1}{2} \mathrm{~g}\left(\frac{v_0}{g}\right)^2\)
⇒ y = \(\frac{\mathrm{v}_0^2}{\mathrm{~g}}-\frac{1}{2} \frac{\mathrm{v}_0^2}{\mathrm{~g}}\)
= 100 – \(\frac{1}{2}\) × 100 = 50
∴ నిట్టనిలువుగా పైకి చేరగల ఎత్తు y = 50 మీ.

ప్రశ్న 15.
80 cm పొడవు ఉన్న తాడుకు ఒక కొన వద్ద రాయిని కట్టి స్థిర వడితో క్షితిజ సమాంతర వృత్తంలో తిప్పారు. రాయి 25 s లలో 14 భ్రమణాలు చేస్తే, రాయి త్వరణం పరిమాణం, దిశను కనుక్కోండి.
సాధన:
తాడు పొడవు = వ్యాసార్ధము r = 80 సెం.మీ. = 0.8 మీ; భ్రమణాల సంఖ్య = 14 ; కాలము t = 25 సె.
ω = భ్రమణ వేగము = \(\frac{14}{25}\) భ్రమణాలు/సె.
ω = \(\frac{14 \times 2 \times 22}{25 \times 7}=\frac{88}{25}\) రే/సె.
అభిలంబ త్వరణము a_⊥ = ω²r = \(\frac{88}{25} \times \frac{88}{25}\) × 0.8 = 9.90 మీ/సె²

ప్రశ్న 16.
ఒక విమానం స్థిర వడి 900 km/h తో 1.00 km వ్యాసార్ధం వున్న క్షితిజ సమాంతర వలయాన్ని పూర్తిచేసింది. దాని అభికేంద్ర త్వరణాన్ని గురుత్వ త్వరణంతో పోల్చండి.
సాధన:
విమానం వడి = 900 KMPH = \(\frac{900 \times 5}{18}\) = 250 మీ/సె
వ్యాసార్ధము r = 1 k.m. = 1000 మీ.
అభిలంబ త్వరణము a = \(\frac{v^2}{r}=\frac{250 \times 250}{1000}\) = 62.5 మీ/సె²
అభిలంబత్వరణము, గురుత్వ త్వరణాల నిష్పత్తి \(\frac{62.5}{9.8}\) = 6.38

ప్రశ్న 17.
కింది ప్రచవనాలను జాగ్రత్తగా చదివి తప్పొప్పుల కారణాలను ఇవ్వండి :
a) వృత్తాకార చలనంలో ఉన్న కణం ఫలిత త్వరణం ఎప్పుడూ వ్యాసార్ధం వెంబడి వృత్తకేంద్రంవైపు ఉంటుంది.
b) ఏదైనా బిందువు వద్ద కణం వేగ సదిశ ఆ బిందువు వద్ద పథం స్పర్శరేఖ వెంబడి ఉంటుంది.
c) ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో ఒక పూర్తి భ్రమణంలో కణం సగటు త్వరణం ఒక శూన్య సదిశ.
సాధన:
a) ప్రవచనం తప్పు. ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో మాత్రమే ఫలిత త్వరణం వృత్త వ్యాసార్ధం వెంబడి ఉంటుంది.
b) ప్రవచనం సరి అయినది. ఎందుకనగా వస్తువు వృత్తాకార మార్గం వదిలేటపుడు ఆ బిందువు వద్ద గల స్పర్శరేఖ వెంబడి ప్రయాణిస్తుంది.
c) ప్రవచనం సరి అయినది. ఒక పూర్తి భ్రమణానికి వేగ సదిశలలో ఫలిత మార్పు సున్న కావున కణం త్వరణము సున్న.

ప్రశ్న 18.
ఒక కణం స్థానం కింది విధంగా ఉంది.
r = \(3.0 \mathrm{t} \hat{\mathrm{i}}-2.0 \mathrm{t}^2 \hat{\mathrm{j}}+4.0 \hat{\mathrm{k}}\)
ఇక్కడ t (కాలం) సెకనులో, ప్రమాణాలు మీటర్లలో ఉండే విధంగా ఇతర గుణకాల ప్రమాణాలు ఉన్నాయి. (a) కణం యొక్క v, a లను కనుక్కోండి, (b) t = 2.0 s వద్ద కణం వేగం పరిమాణం, దిశ ఏమిటి ?
సాధన:

= – tan 69.5° అనగా దాని దిశ x- అక్షానికి కింది వైపు x-అక్షంతో 69.5° కోణం చేస్తుంది.

ప్రశ్న 19.
అంతరాళంలో ఏదైనా యాదృచ్ఛిక చలనానికి కింద ఇచ్చిన ఏ సంబంధాలు ఒప్పు :
(a) v_average = (1/2) (v(t₁) + v(t₂))
(b) v_average = [r(t₂) – r(t₁)] / (t₂ – t₁)
(c) v (t) = v (0) + at
(d) r(t) = r(0) + v(0) t + (1/2) a t²
(e) a_average = [v (t₂) – vt₁)] / t₂ – t₁)
(ఇక్కడ ‘average’ పదం t₁ నుంచి t₂ మధ్య ఉన్న కాలవ్యవధిలో ఆయా రాశుల సగటు విలువను తెలియచేస్తుంది.)
సాధన:
పైన ఇచ్చిన వాటిలో b, e సంబంధాలు సరి అయినవి. ఎందుకనగా అవి సగటు వేగము, సగటు త్వరణముల గణిత శాస్త్రరూపాలు. మిగిలిన a, c, d అను నియమాలు సమత్వరణంతో చలించే వస్తువులకు వర్తిస్థాయి. యాదృచ్ఛిక చలనం సమత్వరణం కలిగి ఉండాలి అన్న కచ్చితమైన నిబంధన లేనందువల్ల a, c, d లు సరి అయినవి కావు.

ప్రశ్న 20.
కింది ప్రవచనాలను జాగ్రత్తగా చదివి కారణాలు, ఉదాహరణలలో తప్పొప్పులను వివరించండి :
అదిశ రాశి అనేది
(a) ఇచ్చిన ప్రక్రియలో నిత్యత్వమయ్యేది.
(b) ఎప్పుడూ రుణ విలువలను తీసుకోదు.
(c) మితులు ఉండవు.
(d) అంతరాళంలో ఒక బిందువు నుంచి మరొక బిందువుకు దాని విలువ మారదు.
(e) పరిశీలకులు వివిధ దిగ్విన్యాసాలతో కూడిన అక్షాలలో ఉన్నా దాని విలువ ఒకే విధంగా ఉంటుంది.
సాధన:
a) అబద్ధము. ఎందుకనగా అస్థితి స్థాపక అభిఘాతాలలో శక్తి నిత్యత్వము కాదు (శక్తి అదిశరాశి).
b) అబద్ధము. ఎందుకనగా ఉష్ణోగ్రత ఋణాత్మకంగా కూడా ఉండవచ్చు (ఉష్ణోగ్రత అదిశరాశి).
c) అబద్ధము. ఎందుకనగా సాంద్రతకు మితులు కలవు. సాంద్రత అదిశరాశి.
d) అబద్ధము. ఎందుకనగా అంతరాళంలో ఒకచోట నుండి మరొకచోటుకు గురుత్వ పొటెన్షియల్ (ఇది అదిశరాశి) మారుతుంది కావున.
e) నిజమైనది. ఎందుకనగా అదిశ పరిమాణము పరిశీలకుల దృగ్విన్యాసంతో మారదు కావున.

ప్రశ్న 21.
భూమికి 3400 m ఎత్తున ఒక విమానం ఎగురుతోంది. భూమిపై ఉన్న పరిశీలన బిందువు వద్ద ఆ విమానం 10.0 s కాలవ్యవధిలో 30° కోణం చేస్తే వడి ఎంత ?
సాధన:
పటంలో ‘O’ అనేది భూమిపై పరిశీలన బిందువు. A, B అను బిందువులు ‘O’ వద్ద చేసే కోణము ∠AOB = 30°. A, B లకు గీసిన మధ్య లంబరేఖ OC = 3400. ∠AOC = ∠COB = 15°.
A నుండి Bకి విమానం ప్రయాణించిన కాలము t = 10 సె.
పటంలో AC = OC tan 15° = 3400 × 0.2679 = 910.86 మీ.
AB = AC + BC – 910.86 + 910.86 = 1821.7 మీ.

ప్రశ్న 22.
ఒక సదిశకు పరిమాణం, దిశ ఉన్నాయి. దానికి అంతరాళంలో స్థానం ఉంటుందా ? అది కాలంతో మారుతుందా ? అంతరాళంలో వివిధ స్థానాల దగ్గర ఉన్న రెండు సమాన సదిశలు a, bలు సర్వసమాన భౌతిక ప్రభావాలను చూపించవలసిన ఆవశ్యకత ఉందా ? మీ సమాధానానికి మద్దతుగా ఉదాహరణలివ్వండి.
సాధన:

1. ఒక సదిశ యొక్క దిశ, పరిమాణం మారకుండా దానిని ఎక్కడికైనా జరపవచ్చు. కావున సదిశకు అంతరాళంలో నియమతస్థానం ఉండదు.
2. సదిశ పరిమాణం కాలంతో పాటు మారవచ్చు. ఉదా : త్వరణం కలిగిన వస్తువు వేగం నిరంతరం మారుతుంది.
3. అంతరాళంలో రెండు వేరు వేరు ప్రదేశాలలో ఉన్న సమాన సదిశలు ఒకే ప్రభావం చూపవలసిన అవసరం లేదు.
   ఉదా : ఒక వస్తువు మీద వ్యతిరేక దిశలో వేరు వేరు బిందువుల వద్ద పనిచేసే బలాలు ఒకే రకమైన టార్క్ను ఉత్పత్తి చేయవు.

ప్రశ్న 23.
ఒక సదిశకు పరిమాణం, దిశ ఉన్నాయి. అంటే దిశ, పరిమాణం ఉన్న ప్రతీది సదిశ కావలసిన ఆవశ్యకత ఉందా? వస్తువు భ్రమణాన్ని దాని భ్రమణాక్షం దిశ, భ్రమణ కోణంతో వ్యక్తపరచవచ్చు. అంటే ప్రతి భ్రమణం సదిశ అవుతుందా?
సాధన:
దిశ, పరిమాణం ఉన్న ప్రతీది సదిశ కానవసరం లేదు. సదిశలు తప్పనిసరిగా సంకలన నియమాలు పాటించాలి.
ఉదా : కాంతి వేగము. ఇది సదిశ కాదు.

వస్తువును భ్రమణ అక్షపరంగా భ్రమణం చెందించితే అది సదిశ కానవసరం లేదు. ఎందుకనగా అది సదిశల సంకలన నియమాల వంటి నియమాలను పాటించదు. కాని భ్రమణ కోణము 9 చిన్నదైతే అది సదిశల సంకలన నియమాలను పాటిస్తుంది కాబట్టి అటువంటి సందర్భంలో భ్రమణాన్ని సదిశగా భావిస్తారు.

ప్రశ్న 24.
కింది వాటితో సదిశలను జతచేయవచ్చా ? వివరించండి. (a) ఉచ్చు (loop) ఆకారంలో వంచిన తీగ పొడవు (b) ఒక తల వైశాల్యం, (c) గోళం.
సాధన:
a) ఉచ్చు ఆకారంలో వంచిన తీగతో సదిశను జతచేయలేదు.
b) సమతలంతో ఒక సదిశను జత చేయవచ్చు. ఇటువంటి దానిని విస్తీర్ణ సదిశ అంటారు. తలానికి గీసిన లంబదిశలో దీన్ని సూచిస్తారు.
c) గోళ ఘనపరిమాణంతో సదిశను జత చేయలేము కాని గోళ ఉపరితల వైశాల్యంతో సదిశను జతచేయవచ్చు.

ప్రశ్న 25.
క్షితిజ సమాంతరానికి 30° కోణంతో పేల్చిన బుల్లెట్ 3.0 km దూరంలో భూమిని తాకింది. దాని ప్రక్షేపక కోణాన్ని సరిచేసి 5.0 km దూరంలో ఉన్న లక్ష్యాన్ని గురికొట్టవచ్చని ఎవరైనా ఆశించవచ్చా ? వడి స్థిరం అని, గాలి నిరోధాన్ని ఉపేక్షించడమైంది అని అనుకోండి.
సాధన:
కోణము θ = 30° ప్రయాణించిన దూరము = వ్యాప్తి = 3కి.మీ. 3000 మీ.
g = 10 మీ/సె²
వ్యాప్తి R = \(\frac{\mathrm{u}^2 \sin 2 \theta}{\mathrm{g}}\) ⇒ 3 = \(\frac{\mathrm{u}^2}{\mathrm{~g}}\) sin60° ⇒ 3 = \(\frac{u^2}{g} \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{u^2}{g}=\frac{3}{\sqrt{3 / 2}}=2 \sqrt{3}\) k.m. = 3.464 km.
కాని గరిష్ఠ వ్యాప్తి \(\frac{\mathrm{u}^2}{\mathrm{~g}}\) = 3.464 k.m కావున ఆ బులెట్లో 5k.m. లక్ష్యాన్ని తాకలేము.

Students must practice this TS Inter 1st Year Maths 1B Study Material Chapter 10 Applications of Derivatives Ex 10(h) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1B Applications of Derivatives Solutions Exercise 10(h)

I.
Question 1.
Find the points of local extrema (if any) and local extrema values of the following functions each of whose domain is shown against the function.
(i) f(x) = x², ∀ x ∈ ℛ. (V.S.A.Q.)
Answer:
f'(x) = 2x
For maximum or minimum we must have
f’ (x) = 0 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0
and f’ (x) = 2 > 0
∴ f has minimum at x = 0
∴ Point of local minimum is x = 0
and local minimum value is = 0

(ii) f(x) = sin x, [0, 4π] (E.Q.)
Answer:
f'(x) = cos x
For extremum, we have f'(x) = 0
⇒ cos x = 0 ⇒ x = (2n + 1) \(\frac{\pi}{2}\), n ∈ Z⁺
∴ x = \(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\) are to be considered in [0, 4π]
f'(x) = -sin x

i) f’\(\left(\frac{\pi}{2}\right)\) = -sin\(\frac{\pi}{2}\) = -1 < 0 ∴ f(x) = sin \(\frac{\pi}{2}\) = 1 Hence point of local maximum = \(\frac{\pi}{2}\) and local maximum value = 1 ii) f’\(\left(\frac{3 \pi}{2}\right)\) = – sin \(\frac{3 \pi}{2}\) = 1 > 0
and f\(\left(\frac{3 \pi}{2}\right)\) = sin \(\frac{3 \pi}{2}\) = -1
∴ Point of local minimum is \(\frac{3 \pi}{2}\)
and local minimum value is -1

ii) f’\(\left(\frac{5 \pi}{2}\right)\) = -sin\(\frac{5 \pi}{2}\) = -1 < 0 and f\(\left(\frac{5 \pi}{2}\right)\) = sin\(\frac{5 \pi}{2}\) = 1 ∴ f has local maximum at \(\frac{5 \pi}{2}\) and local maximum value is 1 iv) f’\(\left(\frac{7 \pi}{2}\right)\) = -sin\(\left(\frac{7 \pi}{2}\right)\) = 1 > 0
and f\(\left(\frac{7 \pi}{2}\right)\) = sin\(\left(\frac{7 \pi}{2}\right)\) = -1
∴ f has local minimum at x = \(\frac{7 \pi}{2}\)
and local minimum value is -1

iii) f(x) = x³ – 6x² + 9x + 15 ∀ x ∈ ℛ (E.Q.)
Answer:
f(x) = 3x² – 12x + 9
and f”(x) = 6x – 12
For extremum values of the function T,
we must have f’ (x) = 0
3x² – 12x + 9 = 0
⇒ x² – 4x + 3 = 0
⇒ (x – 3) (x – 1) = 0
⇒ x = 1 or x = 3
When x = 1, f” (1) = 6 – 12 = -6 < 0 and f(1) = 1-6 + 9 + 15 = 19
∴ f has maximum value at x = 1
and the maximum value of f is 19
Similarly at x = 3, f” (3) = 18 – 12 = 6 > 0
and f has a minimum value at x = 3
∴ Minimum value of f is f(3) = 3³ – 6(3)² + 9(3) + 15
= 27 – 54 + 27 + 15 = 15
∴ f has minimum value at x = 3
and the minimum value is 15

iv) f(x) = x\(\sqrt{1-\mathrm{x}}\), ∀ x ∈ (0, 1) (E.Q)
Answer:

v) f(x) = \(\frac{1}{x^2+2}\), ∀ x ∈ R (S.A.Q)
Answer:

For maximum and minimum values of the function ‘f’ we have f’ (x) = 0
⇒ \(\frac{-2 x}{\left(x^2+2\right)^2}\) = 0 ⇒ x = 0
∴ f”(0) = \(\frac{2(0-2)}{(0+2)^3}=\frac{-1}{2}\) < 0
∴ f has maximum value at x = 0
and local maximum value at x = 0
∴ Local maximum value f(0) = \(\frac{1}{0^2+2}=\frac{1}{2}\)

vi) f(x) = x³ – 3x, ∀ x ∈ ℛ. (V.S.A.Q.)
Sol.
f'(x) = 3x² – 3
For maximum and minimum values of f, we must have f’ (x) = 0
⇒ 3x² – 3 = 0
⇒ x = ±1
f”(x) = 6x
At x = 1, f”(1) = 6 > 0
f has a local minimum at x = 1 and the minimum value is f(1) = 1 – 3 = – 2
At x = – 1 f”(- 1) = – 6 < 0
f has a local maximum at x = – 1
and the maximum value is f (- 1) = (- 1)³ – 3 (- 1) = 2

vii) f(x) = (x – 1) (x + 2)2 ∀ x ∈ ℛ. (S.A.Q.)
Answer:
f (x) = (x – 1) 2 (x + 2) + (x + 2)²
= (x + 2) [2x – 2 + x + 2]
= (x + 2) (3x)
f” (x) = (x + 2)³ + 3x = 6x + 6
For maximum and minimum values of f, we must have
f’ (x) = 0 => 3x (x + 2) = 0
⇒ x = 0 or x = -2
At x = 0, f’ (0) = 6 > 0 ; so the function f has minimum at x = 0
Minimum value of f is f(0) = (- 1) (2)2
= – 4
At x = – 2, f’ (-2) = – 12 + 6 = – 6 < 0
So f has maximum value at x = – 2
Maximum value of f is
f (-2) = (-2 – 1) (- 2 + 2)² = 0

viii) f(x) = \(\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\) ∀ x ∈ (0, ∞) (S.A)
Answer:
f ‘(x) = \(\frac{1}{2}-\frac{2}{x^2}\)
For maximum and minimum values of f, we must have
f'(x) = 0 ⇒ \(\frac{2}{x^2}=\frac{1}{2}\)
⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2
f”(x) = \(\frac{4}{x^3}\)
At x = 2, f”(2) = \(\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\) >0
f has minimum value at x = 2
and minimum value of f is f (2) = \(\frac{2}{2}+\frac{2}{2}\) = 2
[At x = – 2, f”(- 2) = \(\frac{4}{-8}=\frac{-1}{2}\) < 0
f has maximum value at x = – 2
and maximum value of f at x = – 2 is
f(-2) = \(-\frac{2}{2}+\frac{2}{-2}\) = -2]
But we require the extremum in (0, °° )
Hence there exists only minimum value at x = 2 and minimum value is 2 only.

ix) f(x) = -(x – 1)³ (x + 1)² ∀ x ∈ ℛ (E.Q.)
Answer:
Given f(x) = – (x – 1)³ (x + 1)² ∀ x ∈ ℛ
f’ (x) = – [(x- 1)³ 2(x + 1) + ( x + 1)² 3 (x – 1)²]
= – (x – 1)² [2 (x² – 1) + 3 (x² + 2x + 1)]
= -(x – 1)² [5x² + 6x + 1]
= -(x – 1)² [5x + 1] [x + 1]
= (x + 1) (x – 1)² (- 1 – 5x)
f”(x) = (x + 1) (x – 1)² (- 5) + (x – 1²) (- 1 – 5x) = (x + 1) (- 1 – 5x) 2 (x – 1)
For maximum or minimum values of f,
we must have f’ (x) = 0 => x = – 1 or x = 1
or x = – 7
f “(1) = 0
∴ At x = 0, f has a critical value
f”(-1) =(1 + 1)² (-1 + 5) = 4 (4) = 16 > 0
∴ f has minimum at x = – 1

∴ Minimum value of f is

(x) f(x) = x² e^3x ∀ x ∈ ℛ. (S.A.Q.)
Answer:
f'(x) = 3x² e^3x + 2x e^3x
= e^3x(3x² + 2x) . xe^3x (3x + 2)
For maximum or minimum values f’(x) = 0
⇒ x = 0, x = \(\frac{-2}{3}\)
e^3x = 0 solution is not feasible.
f”(x) = xe^3x(3) + e^3x(3x+2) + x(3x.2)3e^3x
= e^3x[3x + 3x + 2 + 3x (3x + 2)]
= e^3x [9x² + 12x + 2]
When x = 0 ⇒ f'(0) = 2 > 0
f has minimum value at x = 0 given by
f(0) = 0
when x = \(\frac{-2}{3}\) we have

Question 2.
Prove that the following functions do not have absolute maximum and absolute minimum. (V.S.A.Q.)
(i) e^x in ℛ.
Answer:
f(x) = e^x and f'(x) = e^x, f”(x) = e^x
For maxima or minima, f'(x) = 0 ⇒ e^x = 0
x value is not admissible.
∴ Hence f has no maxima or minima.

ii) log x in (0, ∞)
Answer:
Let f(x) = log x defined over (0, ∞)
Then f'(x) = \(\frac{1}{x}\) and f”(x) = \(\frac{-1}{x^2}\)
For maxima or minima,
f’ (x) = 0 ⇒ x value is not admissible
⇒ f(x) has no maxima or minima.

iii) x³ + x² + x + 1 in ℛ.
Answer:
Let f (x) = x³ + x² + x + 1
Then f'(x) = 3x² + 2x + 1
f'(x) = 0 ⇒ 3x² + 2x + 1 = 0
Since b² – 4ac < 0 Equation has imaginary roots.
⇒ It has no maxima or minima.

II.
Question 1.
Find the absolute maximum value and absolute minimum value of the following functions on the domain specified against the function. (S.A.Q.)
i) f(x) = x³ on [-2, 2]
Answer:
The given function f(x) = x³ is continuous over [-2, 2]
f'(x) = 0 ⇒ 3x² = 0 ⇒ x = 0;
so x = 0 is a minimum local point.
Local minimum value is ‘O’.
Hence out of f(-2), f(0), f(2)
i.e., – 8, 0, 8 the maximum value 8 is the
absolute maximum for ‘f
Similarly out of – 8, 0, 8, the absolute minimum is – 8.

ii) f(x) = (x – 1)² + 3 on [-3, 1]
Answer:
f’ (x) = 2(x – 1) and f’ (x) = 2
f'(x) = 0 ⇒ x = 1 and f (1) = 2 > 0
Hence the minimum value is f(1) = 3
Similarly, f(-3) = (-3 – 1)² + 3 = 16 + 3 = 19
∴ Absolute maximum value =19
Absolute minimum value = 3

iii) f(x) = 2|x| on [-1, 6]
Answer:
f’ (x) = \(\frac{2|\mathrm{x}|}{\mathrm{x}}\) and for max. or min. we have x
f’ (x) = 0 ⇒ |x| = 0 ⇒ x = 0 is a point of minimum
∴ f(0) = 0 is a minimum value.
Also f(- 1) = 2|(-1)| = 2 and
f(6) = 2|6| =12
∴ Absolute maximum value = 12
Absolute minimum value = 0

iv) f(x) = sin x + cos x on [ 0, π]
Answer:
We have f’ (x) = cos x – sin x
For maximum or minimum f'(x) = 0
⇒ cosx – sinx = 0
⇒ tan x = 1 ⇒ x = \(\frac{\pi}{4}\)
Also f”(x) = -sin x – cos x
and f”\(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = -sin\(\frac{\pi}{4}\) – cos\(\frac{\pi}{4}\)
= \(-\frac{2}{\sqrt{2}}\) = -√2 < 0
∴ f has maximum at x = \(\frac{\pi}{4}\) and
maximum value is f\(\left(\frac{\pi}{4}\right)\) = sin\(\frac{\pi}{4}\) + cos\(\frac{\pi}{4}\) = √2
Also f (0) = 1 and f (π) = – 1
∴ Absolute minimum value of f is – 1
Absolute maximum value of f is √2

v) f(x) = x + sin 2x on [0, π]
Answer:
f’ (x) = 1 + 2 cos 2x
and f”(x) = -4 sin2x
For maximum or minimum we have
f (x) = 0 ⇒ 1 + 2 cos 2x = 0
⇒ cos 2x = –\(\frac{1}{2}\)
⇒ 2x = 2nπ ± \(\frac{2 \pi}{3}\)
⇒ x = nπ ± \(\frac{\pi}{3}\)
The values of x lies in [0, π] are

Out of all above values the absolute maximum value = \(\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\)
and absolute minimum value is \(\frac{2 \pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Question 2.
Use the first derivative test to find local extrema of f(x) = x³ – 12x on R. (S.A.Q.)
Answer:
If f is differentiable in (a, b) and c ∈ (a, b) is the local minimum or maximum of f then
f’ (c) = 0. This is the first derivative test.
f(x) = x³ – 12x
⇒ f'(x) = 3x² – 12
f’ (x) = 6x ;
For max. or min. 3x² – 12 = 0
⇒ x = ± 2
Consider [- 2, 2] for f(x) = x³ – 12x
f'(-2.1) = 3(-2.1)² – 12 = 1.23 > 0
and f'(-1.9) = 3(-1.9)² – 12 = -1.17 < 0
Derivative changes sign from positive to negative f” (-2) < 0.
Hence there exists maximum at – 2.
Max. value is f (- 2) = (- 2)³ – 12 (- 2)
= – 8 + 24 = 16
Similarly f (1.9) = – 1.17 < 0 and f (24) = 1.23 > 0
The derivative changes sign from negative to positive and f”(2) > 0.
Hence there exists minimum value at x = 2 and minimum value is f(2) = 8 – 24 = -16
∴ Local point of minimum is x = 2
Local minimum value is = – 16
Local point of maximum is x = – 2
Local maximum value is = 16

Question 3.
Use the first derivative test to find local extrema of f(x) = x² – 6x + 8 on H. (S.A.Q.)
Answer:
Given f(x) = x² – 6x + 8
f’ (x) = 2x – 6 and f” (x) = 2
Also f’ (x) = 0 ⇒ 2x – 6 = 0 ⇒ x = 3
Consider the behaviour of f’ (x) in the nbd of ‘3’.
When x = 2.9 we have f’ (2.9) = 2 (2.9) – 6
= 5.8 – 6 < 0 and when x = 3.1 we have f’ (3-1) = 2 (3.1) – 6 > 0
Hence derivative changes sign from
negative to positive and f”(x) > 0
∴ f has only local minimum at x = 3
and the local minimum value is f(3) = 32 – 6(3) + 8 = – 1

Question 4.
Use the second derivative test to find local extrema of the function f(x) = x³ – 9x² – 48x + 72 on R.
Answer:
As per the second derivative test f is twice differentiable at ’c’ such that
i) f’ (c) = 0, f’ (c) < 0 theft f has maximum at ’c’ and maximum value is f(c).
ii) f’ (c) = 0, f’ (c) > 0 then f has minimum at ‘c’ and minimum value is f(c).
Given f(x) = x³ – 9x² – 48x + 72
∴ f (x) = 3x² – 18x – 48 = 3 (x² – 6x – 16)
f'(x) = 0 ⇒ 3 (x – 8) (x + 2) = 0
⇒ stationary points are – 2 and 8.
f”(x) = 6x – 18 = 6(x – 3)
At x = – 2
f”(-2) = 6(-2 – 3) < 0
Hence f has maximum at x = – 2
and maximum value is f(- 2) = – 8 – 9 (- 2)² – 48 (- 2) + 72
= -8-36 + 96 + 72
= 124
Also f”(8) =6 (8 – 3) = 30 > 0
Hence f has minimum at x = 8 and
minimum value is
f(8) = 8³ – 9(8)² – 48 (8) + 72
= 512 – 576 – 384 + 72 = – 376
∴ Local minimum = – 376
Local maximum = 124

Question 5.
Use the second derivative test to find the local extrema of the function f(x) = – x³ + 12x² – 5 on ℛ. (S.A.Q.)
Answer:
Let f(x) = – x³ + 12x² – 5
Then for max. or min. we must have f'(x) – 0
⇒ – 3x² + 24x = 0
⇒ – 3x (x – 8) = 0
So the stationary points are x = 0, x = 8
f”(x) = -6x + 24
∴ f”(0) = 24 > 0,
Hence f has a minimum at x = 0 .
and minimum value is f(0) = – 5
Also f”(8) = -48 + 24 = -24 < 0,
Hence f has a maximum at x = 8
Maximum value is f(8) = – 8³ + 12 (8)² – 5
= – 512 + 768 – 5
= 251
∴ Local minimum = – 5
Local maximum = 251

Question 6.
Find the local maximum or local minimum of f(x) = -sin 2x – x defined on \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) (S.A.Q)
Answer:
f(x) = – sin 2x – x defined on \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
f’ (x) = -2 cos 2x – 1
and f’ (x) = 4 sin 2x
For maximum or minimum values,
f’ (x) = 0 ⇒ 2 cos 2x + 1 = 0
⇒ cos 2x = –\(\frac{1}{2}\)
⇒ 2x = 2nπ ± \(\frac{2 \pi}{3}\)
⇒ x = nπ ± \(\frac{\pi}{3}\)

Values of x to be considered in \(\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\) are \(\frac{\pi}{3}\) and –\(\frac{\pi}{3}\) respectively

Question 7.
Find the absolute maximum and absolute minimum of f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 2 on the interval [0, 5]. (S.A.Q.)
Answer:
Given f(x) = 2x³ – 3x² – 36x + 2
We have f’ (x) = 6x² – 6x – 36 and f’ (x) = 12x – 6
f'(x) = 0 ⇒ 6x² – 6x – 36 = 0
⇒ x² – x – 6 = 0
⇒ (x – 3) (x + 2) = 0
Stationary values of f are – 2 and 3.
The value x = – 2 is not admissible since -2 ∉ [0, 5]
At x = 0, we have f”(0) = -6 < 0 At x = 5, we have f “(5) = 12 (5) – 6 = 54 > 0
At x = 3 we have f”(3) = 12 (3) – 6 = 30 > 0
The absolute maximum value of f is f(0) = 2
and absolute minimum value out of minimum values is – 79
[f(3) = 2 (3)³ – 3 (3)² – 36 (3) + 2
= 54 – 27 – 108 + 2 = – 79
f(5) = 2 (5)³ – 3 (5)² – 36 (5) + 2 = – 3]
∴ Absolute minimum = – 79
Absolute maximum = 2

Question 8.
Find the absolute extremum of
f(x) = 4x – \(\frac{x^2}{2}\) on [-2, \(\frac{9}{2}\)] (S.A.Q)
Answer:
f(x) = 4x – \(\frac{x^2}{2}\)
f (x) = 4 – \(\frac{2 x}{2}\)
For extremum we have
4 – x = 0 ⇒ x = 4
f”(x) = -1 < 0
f has maximum value at x = 4
1(4) = 16 – \(\frac{16}{2}\) = 8
-2 ≤ x ≤ \(\frac{9}{2}\) we have
f (- 2) = – 8 – 2 = – 10
Absolute minimum = – 10
and Absolute maximum = 8

Question 9.
Find the maximum profit that a company can make if the profit function is given by P(x) = -41 + 72x – 18x². (S.A.Q.)
P(x) = -41 + 72x – 18x²
Answer:
P'(x)= 0 ⇒ 72 – 36x = 0 ⇒ x = 2
Since P”(x) = – 36 < 0
P(x) has maximum
for x = 2 and the maximum profit
P(2) = – 41 + 72 (2) – 18(4)
= – 41 + 144 – 72 = 31

Question 10.
The profit function P(x) of a company selling x items is given by P(x) = – x³ + 9x² – 15x – 13 where x represents thousands of units. Find the absolute maximum profit if the company can manufacture a maximum of 6000 units. (S.A.Q.)
Answer:
P(x) = – x³ + 9x² – 15x – 13 and p’ (x) = – 3x² + 18x – 15
For maximum or minimum p’ (x) = 0
⇒ – 3x² + 18x- 15 = 0
⇒ x² – 6x + 5 = 0
⇒ (x – 5) (x – 1) = 0
⇒ x = 1, 5
Also p”(x) = -6x + 18
P”(1) = 12 >0, P”(5) = -12 < 0
P(x) has maximum when x = 5
and maximum profit is P(5) = – 5³ + 9(5)² – 15 (5) – 13
= -125 + 225 – 75 – 13 = 12
∴ Maximum profit = 12

III.
Question 1.
The profit function P(x) of a company selling x items per day is given by P(x) = (150 – x) x – 1000. Find the number of items that the company should manufac-ture to get maximum profit. Also find the maximum profit. (E.Q.)
Answer:
Given that the profit function is
P(x) = (150 – x) x – 1000
For extremum, we have p’ (x) = 0
⇒ 150 – 2x = 0 ⇒ x = 75
P”(x) = – 2 < 0 ;
P(x) has maximum at x = 75
∴ The profit is maximum for x = 75
The number of items that the company should manufacture to get maximum profit = 75 and the maximum profit = (150 – 75)75 – 1000 = 4625

Question 2.
Find the absolute maximum and absolute minimum of f(x) = 8x³ + 81x² – 42x – 8 on [- 8, 2]. (E.Q.)
Answer:
Given f(x) = 8x³ + 81x² – 42x – 8 on [ – 8, 2]
For extrema we have f'(x) = 0
⇒ 24x² + 162x – 42 = 0
⇒ 4x² + 27x – 7 = 0
⇒ 4x² + 28x – x – 7 = 0
⇒ 4x(x + 7)-l(x + 7) = 0
⇒ (4x – 1) (x + 7) = 0
⇒ x = – or x = – 7
f'(x) = 48x + 162
f”\(\left(\frac{1}{4}\right)\) = 48\(\left(\frac{1}{4}\right)\) + 162 = 12 + 162 = 174 > 0
f has a minimum at x = \(\frac{1}{4}\)
Minimum value is

Question 3.
Find two positive integers whose sum is 16 and the sum of whose squares is minimum. (E.Q.)
Answer:
Suppose x and y are two positive integers and given that
x + y = 16 and x² + y² = f(x, y) is to be minimised,
f (x, y) = x² + y²
⇒ f(x) = x² + (16 – x)²
For extremum we have f'(x) = 0
⇒ 2x – 2(16 – x) = 0
⇒ x – 16 + x = 0
⇒ 2x- 16 = 0
⇒ x = 8
Since f”(8) = 4 > 0
f(x) has minimum at x = 8
∴ y = 16 – x = 16 – 8 = 8
∴ The two positive integers are 8 and 8

Question 4.
Find two positive integers x and y such that x + y = 60 and xy3 is maximum. (E.Q.) (May 2014)
Answer:
Given x + y = 60
⇒ y = 60 – x (1)
and f(x, y) = xy³
f(x) = x (60 – x)³ …………..(2)
For extrema, f’ (x) = 0
⇒ x(3) (60 – x)² (-1) + (60 – x)³
= (60 – x)² [60 – x – 3x]
= (60 – x)² (60 – 4x)
x = 60 and x = 15
x = 60 is not admissible. So we take x = 15
r (x) = (60 – x)² (- 4) + (60 – 4x) 2 (60 – x) (- 1)
and f” (15) < 0
∴ f has maximum at x = 15
∴ From (1) y = 45
The required two positive integers are x = 15 and y = 45.

Question 5.
From a rectangular sheet of dimensions 30 cm x 80 cm four equal squares of side x cm are removed at the corners and the sides are then turned up so as to form an open rectangular box. Find the value of x so that the volume of the box is the greatest. (March 2014) (E.Q.)
Answer:

Length of the box = 80 – 2x = l
Breadth of the box = 30 – 2x = b
Height of the box = x = h
Volume of the box V = lbh
∴ f(x) = (80 – 2x) (30 – 2x) x
= x (2400 – 220 x + 4x²)
= 4x³ – 220 x² + 2400 x

∴ f'(x) = 12x² – 440 x + 2400
= 4[3x² – 110x + 600]
∴ f'(x) = 0 ⇒ 3x² – 110x + 600

When x = 30, then f”(x) = 24x – 440
and f”(30) = 24 × 30 – 440
= 720 – 440 = 280 > 0
∴ f has a minimum or least at x = 30
When x = \(\frac{20}{3}\) then
f”\(\left(\frac{20}{3}\right)\) = 24\(\left(\frac{20}{3}\right)\) – 440 = 160 – 440 = -280 < 0
f has maximum at x = \(\frac{20}{3}\)
In order the volume of the box is the greatest the value of x must be \(\frac{20}{3}\)cm.

Question 6.
A window is in the shape of a rectangle surrounded by a semicircle. If the perimeter of the window is 20 feet, find the maximum area. (E.Q.)
Answer:

Let the length of the window be 2x and breadth be y so that the radius of the semicircle is x
∴ Perimeter = 2x + 2y + π. x = 20
⇒ 2y = 20 – 2x – πx
∴ y = 10 – x – \(\frac{\pi x}{2}\)
Area = 2xy + \(\frac{\pi}{2}\) x²
f(x) = x (20 – 2x – 7ix) + \(\frac{\pi}{2}\) x²
⇒ f'(x) = x (- 2 – π) + (20 – 2x – πx) + πx
= – 2x + 20 – 2x – πx = 20 – 4x – πx
For maximum or minimum f'(x) = 0
⇒ 20 – (4 + π)x = 0
⇒ x = \(\frac{20}{\pi+4}\)
f” (x) = – 4 – π < 0
⇒ f has maximum at x = \(\frac{20}{\pi+4}\)

Question 7.
If the curved surface of a right circular cylinder inscribed in a sphere of radius r is maximum, show that the height of the cyliner is √2r. (IPE May ’11 Mar. 13, ’08, 04, June 2004)
Answer:

Let the radius of the cylinder be R’ and height be ‘h’
From ΔOAB we have
OA² = AB² + OB²
⇒ r² = R² + \(\frac{h^2}{4}\)
⇒ R² = r² – \(\frac{h^2}{4}\)

Curved surface area = 2πrh

Hence f has maximum at h = √2r
Height of the cylinder = √2r

Question 8.
A wire of length l is cut into two parts which are bent respectively in the form of a square and a circle. What are the lengths of the pieces of the wire respectively so that the sum of the areas is the least ? (E.Q) (BIE New Model Paper)
Answer:
Let x be the side of the square and r be the radius of the circle.
Given 4x + 2π r = l

So when the wire is cut into two pieces, Sum of the areas of square and circle will be the least and their lengths are
\(\frac{\pi l}{\pi+4}\) and \(\frac{4 l}{\pi+4}\) respectively.

Here students can locate TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 6 Theories of Distribution to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 6 Theories of Distribution

→ Land: Land is a free gift of nature. In economics, land refers to the soil, forests, water, minerals, atmosphere etc.

→ Contract Rent: Contract rent is the reward paid for the services of land, buildings etc., according to an agreement made earlier.

→ Piece Wage: Piece wage is the amount paid for labourers according to the volume of work done by them.

→ Time Wage: Time wage is the amount paid to labourers for a fixed period of work, i.e., daily, weekly and monthly etc.

→ Money Wage: Money wage is the reward received by a labourer in cash for his labour.

→ Real Wage: Real wage is the purchasing power of money wages in terms of goods and services.

→ Capital: Capital is that part of wealth other than land which is used for further production.

→ Net Interest: Net interest is the reward for the service of the capital alone.

→ Normal Profit: No profit no loss situation. In this situation, both the firm and industry will be in equilibrium.

→ Supernormal Profit: Supernormal Profit is the total revenue of the firm will be more than the total cost. Only in the short run firm gets these profits.

TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 6 పంపిణీ సిద్ధాంతాలు

→ మొత్తం ఉత్పత్తి విలువ నాలుగు ఉత్పత్తి కారకాల మధ్య ఏవిధంగా పంపిణీ చేయబడుతుందో తెలియ జేసేది పంపిణీ.

→ పంపిణీని ఆదాయ పంపిణీ, వైయక్తిక ఆదాయ పంపిణీ అని రెండు విధాలుగా పరిశీలించవచ్చును.

→ నిశ్చల పరిస్థితిలో ఉద్యమదారునితో సహా ప్రతి ఉత్పత్తి కారకము దాని ఉపాంత ఉత్పాదనకు సమానంగా ప్రతిఫలం పొందుతుందని జె.బి. క్లార్క్ ఉపాంత ఉత్పాదకత సిద్ధాంతాన్ని తెలిపెను.

→ ఉత్పత్తి కారకంగా భూమి అందించే సేవలకు లభించే ప్రతిఫలం భాటకం. భూమికున్న సహజమైన నశింపులేని శక్తులను ఉపయోగించుకున్నందుకుగాను రైతు తన పంటలో భూస్వామికి చెల్లించే భాగం భాటకం.

→ శ్రామికుల సేవలకు ఒప్పందం ప్రకారం, యజమాని ప్రతిఫలంగా ఇచ్చే మొత్తం ద్రవ్యాన్ని వేతనం అంటారు. వేతనాలు నాలుగు రకాలు.

1. ద్రవ్యవేతనం
2. వాస్తవిక వేతనం
3. పనినిబట్టి వేతనం
4. కాలాన్నిబట్టి వేతనం.

→ ద్రవ్యత్వాభిరుచిని వీడినందుకుగాను ఋణగ్రహీత, ఋణదాతకు చెల్లించే ప్రతిఫలం వడ్డీ అని కీన్స్ అభిప్రాయం.

→ ఋణగ్రహీత నుండి ఋణదాత పొందే మొత్తం వడ్డీని స్థూలవడ్డీ అంటారు. కేవలం మూలధనం సేవకిచ్చే ప్రతిఫలం నికర వడ్డీ.

→ ఉత్పత్తిలో అనిశ్చితత్వం భరించినందుకు వ్యవస్థాపనకు వచ్చే ప్రతిఫలం లాభమని ప్రొ నైట్ అభిప్రాయం.

→ మొత్తం రాబడి నుండి వ్యయాన్ని తీసివేస్తే వచ్చేది స్థూలలాభం. కేవలం వ్యవస్థాపకుని సేవకు లభించే ప్రతిఫలం నికర లాభం.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1B Solutions Chapter 7 The Plane Ex 7(a) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1B The Plane 7(a)

I.
Question 1.
Find the equation of the plane if the foot of the perpendicular from origin to the plane is (1, 3, – 5). (V.S.A.Q.)
Answer:

OP is the normal to the plane and plane is passing through P (1, 3, – 5).
Dr’s of normal OP are (1 – 0, 3 – 0, – 5 – 0)
= 1, 3, – 5
Hence equation of the plane is
⇒ a (x – x₁) + b (y – y₁) + c (z – z₁) = 0
⇒ 1(x – 1) + 3(y – 3) – 5(z + 5) = 0
⇒ x + 3y – 5z – 35 = 0

Question 2.
Reduce the equation x + 2y – 3z – 6 = 0 of the plane to the normal form. (V.S.A.Q.)
Answer:
Equation of the plane is x + 2y – 3z – 6 = 0
⇒ x + 2y – 3z = 6
Dividing both sides by
\(\sqrt{1^2+2^2+(-3)^2}\) = \(\sqrt{1+4+9}\) = √14
We get
\(\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right) x+\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right) y+\left(\frac{-3}{\sqrt{14}}\right) z=\frac{6}{\sqrt{14}}\)

Question 3.
Find the equation of the plane whose intercepts on X, Y, Z – axes are 1,2,4 respectively. (S.A.Q.) (May 2014)
Answer:
Equation of the plane in the intercepts form x y z is \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1, given a = 1, b = 2, c = 4
We have \(\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{4}\) = 1
⇒ 4x + 2y + z = 4

Question 4.
Find the intercepts of the plane 4x + 3y- 2z + 2 = 0 on the co-ordinate axes. (V.S.A.Q.)
Answer:
Given 4x + 3y – 2z = – 2
⇒ – 2x – \(\frac{3}{2}\)y + z = 1
⇒ \(\frac{x}{-\left(\frac{1}{2}\right)}+\frac{y}{-\left(\frac{2}{3}\right)}+\frac{z}{(1)}\)
∴ x – intercept = – \(\frac{1}{2}\), y – intercept = – \(\frac{2}{3}\) and z – intercept = 1.

Question 5.
Find the d.c’s of the normal to the plane x + 2y + 2z – 4 = 0. (V.S.A.Q.) [Mar. ’13, May ’12]
Answer:
Equation of the plane is x + 2y + 2z – 4 = 0
D.r’s of the normal = 1, 2, 2
∴ \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) = \(\sqrt{1+4+4}\) = 3
∴ D.c’s of the normal are \(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\)

Question 6.
Find the equation of the plane passing through the point (-2, 1, 3), and having (3, -5, 4) as d.r’s of its normal. (V.S.A.Q.)
Answer:
D.r’s of normal are 3, -5, 4 and since the plane passes through (- 2, 1, 3), we have equation of the plane is
3(x + 2) – 5 (y – 1) + 4 (z – 3) = 0
⇒ 3x + 6-5y + 5 + 4z – 12 = 0
⇒ 3x – 5y + 4z – 1 = 0

Question 7.
Write the equation of the plane 4x – 4y + 2z + 5 = 0 in the intercept form. (V.S.A.Q.) [March 2012]
Answer:
Equation of the plane is
4x – 4y + 2z + 5 = 0
∴ 4x – 4y + 2z = – 5

Question 8.
Find the angle between the planes
x + 2y + 2z – 5 = 0 and 3x + 3y + 2z – 8 = 0. (V.S.A.Q.)
Answer:
Equations of the planes are
x + 2y + 2z-5 = 0 ………………. (1)
and 3x + 3y + 2z – 8 = 0 ………………. (2)
If θ is the angle between the planes then by the formula,

II.
Question 1.
Find the equation of the plane passing through the point (1, 1, 1) and parallel to the plane x + 2y + 3z – 7 = 0. (V.S.A.Q.) [May 2011]
Answer:
Equation of the plane parallel to the given plane x + 2y + 3z – 7 = 0 is of the form x + 2y + 3z + k = 0
If this passes through the point (1, 1, 1) then
1 + 2 + 3 + k = 0 k = – 6
So, the equation of the required plane is
x + 2y + 3z – 6 = 0

Question 2.
Find the equation of the plane passing through (2, 3, 4) and perpendicular to X-axis. (V.S.A.Q.)
Answer:
If the plane is perpendicular to X-axis then X-axis is a normal to the plane and d.c’s of X-axis are 1, 0, 0.
∴ Equation of the plane is of the form x = k.
Since this passes through (2, 3, 4) we have k = 2.
∴ Equation of the required plane is x = 2.

Question 3.
Show that 2x + 3y + 7 = 0 represents a plane perpendicular to XY-plane. (V.S.A.Q.)
Answer:
Equation of the given plane is 2x + 3y + 7 = 0
Equation of the plane perpendicular to XY plane is z = 0
i. e., 0.x + 0.y + 1.z = 0
Since the two planes are perpendicular by the condition a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0 we have 2(0) + 3(0) + 0(1) = 0
∴ Plane 2x + 3y + 7 = 0 is perpendicular to XY – plane.

Question 4.
Find the constant k so that the planes x – 2y + kz = 0 and 2x + 5y – z = 0 are at right angles. Find the equation of the plane through (1, -1,-1) and perpendicular to these planes. (S.A.Q.)
Answer:
Equations of the given planes are x – 2y + kz = 0 and 2x + 5y – z = 0
If the planes are perpendicular then
1(2) + (- 2) (5) + k (-1) = 0
⇒ 2 – 10 – k = 0 ⇒ k = – 8
Equation of the plane is
x – 2y – z = 0 …………….. (1)
and 2x + 5y – z = 0 ………………….. (2)
Equation of the plane passing through (1, – 1, – 1) is of the form
a (x – 1) + b (y + 1) + c (z + 1) = 0 …………………. (3)
If this plane is perpendicular to (1) and (2) then a – 2b – 8c = 0 and 2a + 5b – c = 0
Solving

∴ From (3), equation of the required plane is 42 (x – 1) – 15 (y + 1) + 9 (z + 1) = 0
⇒ 42x – 15y + 9z – 48 = 0

Question 5.
Find the equation of the plane through (- 1, 6, 2) and perpendicular to the join of (1, 2, 3) and (- 2, 3, 4). (S.A.Q.)
Answer:

Let A (1, 2, 3) and B (-2, 3, 4) be the given points.
D.r’s of AB are 3, -1,-1.
The line AB is perpendicular to the plane and passing through the point P (- 1, 6, 2).
Then equation of the plane is
3(x + 1) – 1 (y – 6) – 1 (z – 2) = 0
⇒ 3x – y – z + 11 = 0

Question 6.
Find the equation of the plane bisecting the line segment joining (2, 0, 6) and (-6, 2, 4) and perpendicular to it. (S.A.Q.)
Answer:

Let A (2, 0, 6) and B(- 6, 2, 4) be the two points.
Then mid point of AB
= \(\left(\frac{2-6}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{6+4}{2}\right)\) = (- 2, 1, 5)
Equation of the plane is perpendicular to AB.
∴ Dr’s of normal to the plane are
2 + 6, 0 – 2, 6 – 4 = 8, – 2, 2
Equation of the required plane is
8(x + 2) – 2(y – 1) + 2 (z – 5) = 0
⇒ 8x – 2y + 2z + 8 = 0

Question 7.
Find the equation of the plane passing through (0,0, – 4) and perpendicular to the line joining the points (1, – 2, 2) and (- 3, 1, – 2). (S.A.Q.)
Answer:
Let A (1, -2, 2) and B (-3, 1, -2) be the given points.
D.r’s of normal to the plane are
(1 + 3, -2 – 1, 2 + 2) = (4, -3, 4)
Equation of the required plane passing through (0, 0 -4) is
4(x – 0) – 3 (y – 0) + 4 (z + 4) = 0
⇒ 4x – 3y + 4z + 16 = 0

Question 8.
Find the equation of the plane through (4, 4, 0) and perpendicular to the planes 2x + y + 2z + 3 = 0 and 3x + 3y + 2z – 8 = 0. (S.A.Q.)
Answer:
The equation of the plane passing through the point (4, 4, 0) is of the form
a (x – 4) + b (y – 4) + c (z – 0) = 0 ………………. (1)
If this is perpendicular to 2x + y + 2z + 3 = 0 and 3x + 3y + 2z – 8 = 0
Then 2a + b + 2c = 0 ……………… (2)
and 3a + 3b + 2c = 0 ……………… (3)
Solving (2) and (3)

∴ From (1) equation of the required plane is
– 4 (x – 4) + 2 (y – 4) + 3 (z – 0) = 0
⇒ – 4x + 2y + 3z + 8 = 0
⇒ 4x – 2y – 3z – 8 = 0

III.
Question 1.
Find the equation of the plane through the points (2, 2, – 1), (3, 4, 2), (7, 0, 6). (E.Q.)
Answer:
Equation of the plane passing through (2, 2, – 1) is
a (x – 2) + b (y – 2) + c (z + 1) = 0 ………………. (1)
If this passes through (3, 4, 2) then
a (3 – 2) + b (4 – 2) + c (2 + 1) = 0
⇒ a + 2b + 3c = 0 …………………. (2)
Similarly if the plane passing through (7, 0. 6) is
a (7 – 2) + b (0 – 2) + c (6 + 1) = 0
⇒ 5a – 2b + 7c = 0 ………………… (3)
Solving (2) and (3) we get

∴ From (1) equation of the required plane is
5 (x – 2) + 2 (y – 2) – 3 (z +1) = 0
⇒ 5x + 2y – 3z – 17 = 0

Question 2.
Show that the points (0, – 1, 0), (2, 1, – 1), (1, 1, 1), (3, 3, 0) are coplanar. (E.Q.)
Answer:
Equation of the plane passing through (0, -1, 0) will be of the form
a (x – 0) + b (y + 1) + c (z – 0) = 0 …………………… (1)
If this passes through (2, 1, – 1) then a (2 – 0) + b (1 + 1) + c (- 1 – 0) = 0
⇒ 2a + 2b – c = 0 …………………… (2)
Similarly if the plane passes through (1, 1, 1) then
a (1 – 0) + b (1 + 1) + c (1 – 0) = 0
⇒ a + 2b + c = 0 ………………….. (3)
Solving (2) and (3),

∴ Equation of the plane passing through (0, -1, 0), (2, 1,-1) and (1, 1, 1) is
4 (x – 0) – 3 (y + 1) + 2 (z – 0) = 0 [From (1)]
⇒ 4x – 3y + 2z – 3 = 0 ………………….. (4)
If it passes through (3, 3, 0), then
4(3) – 3(3) + 2 (0) – 3 = 0
Hence the point (3,3,0) also passes through (4) and hence the given points are coplanar.

Question 3.
Find the equation of the plane through (6, -4, 3), (0, 4, -3) and cutting of intercepts whose sum is zero. (E.Q.)
Answer:
Equation of the plane in the intercepts form is \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 1.
Given a + b + c = 0
⇒ c = – (a + b)
The plane passes through the points A(6, – 4, 3) and B (0, 4, -3)
Hence, \(\frac{6}{a}-\frac{4}{b}+\frac{3}{c}\) = 1 ……………………. (1)
If this passes through B(0, 4, – 3), then
\(\frac{4}{b}-\frac{3}{c}\) = 1 ……………………….. (2)
Adding (1) and (2); \(\frac{6}{a}\) = 2 ⇒ a = 3
From (2),
\(\frac{4}{b}-\frac{3}{c}\) = 1 ⇒ 4c – 3b = bc
⇒ – 4 (a + b) – 3b = – b (a + b)
⇒ – 4a – 4b – 3b = – ab – b²
⇒ 4a + 7b = ab + b²
Since a = 3 we have 12 + 7b = 3b + b²
⇒ b² – 4b – 12 = 0 ⇒ (b – 6) (b + 2) = 0

Case – (i): b = 6, then c = -(3 + 6) = – 9
Equation of the plane is \(\frac{x}{3}+\frac{y}{6}-\frac{z}{9}\) = 1
⇒ 6x + 3y – 2z = 18

Case – (ii): b = – 2, then c = -(3 – 2) = – 1
Equation of the plane is \(\frac{x}{3}-\frac{y}{2}+\frac{z}{-1}\) = 1
⇒ \(\frac{x}{3}-\frac{y}{2}+\frac{z}{-1}\) = 1 ⇒ 2x – 3y – 6z = 6

Question 4.
A plane meets the co-ordinate axes in A, B, C. If the centroid of ∆ABC is (a, b, c). Show that the equation to the plane is \(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\) = 3. (E.Q.)
Answer:
Suppose α, β, γ be the intercepts of the plane ABC.
Equation of the plane in the intercept form is
\(\frac{x}{\alpha}+\frac{y}{\beta}+\frac{z}{\gamma}\) = 1 ……………… (1)

Co-ordinates of A = (α, 0, 0), B = (0, β, 0) and C = (0, 0, γ)
G is the centroid of ∆ABC.

Question 5.
Show that the plane through (1, 1, 1), (1, – 1, 1) and (- 7, – 3, – 5) is parallel to Y – axis. (S.A.Q.)
Answer:
Equation of the plane through A (1, 1, 1) is
a (x – 1) + b (y – 1) + c (z – 1) = 0 ………………… (1)
This plane passes through B (1, – 1, 1) then
0 – 2b + 0 = 0 0 ⇒ b = 0
Equation of XZ plane is y = 0
∴ 0 . x + 1 . y + 0 . z = 0
The required plane is perpendicular to XZ plane and hence parallel to Y – axis.

Question 6.
Show that the equations ax + by + r = 0, by + cz + p = 0, cz + ax + q = 0 represent planes perpendicular to XY, YZ, ZX planes respectively. (S.A.Q.)
Answer:
Let the equation of the plane be ax + by + c = 0
The d.r’s of normal to the plane are a, b, c Equation of XY plane is z = 0 .-. D.r’s of normal are (0, 0, 1)
∴ a (0) + b (0) + 0 (1) = 0
∴ ax + by + r = 0 represent a plane perpendicular to XY – plane.
Similarly by + cz + p = 0 and cz + ax + q = 0 represent planes perpendicular to YZ – plane, ZX planes respectively.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(a) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Matrices Solutions Exercise 3(a)

Question 1.
Write the following as a single matrix.
(i) [2 1 3] + [0 0 0]
Answer:
[2 1 3] + [0 0 0] = [2 + 0 1 + 0 3 + 0]
= [2 1 3]

(ii) \(\left[\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{r}
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right]\)
Answer:
\(\left[\begin{array}{r}
0 \\
1 \\
-1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{r}
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{r}
0-1 \\
1+1 \\
-1+0
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{r}
-1 \\
2 \\
-1
\end{array}\right]\)

(iii) \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 9 & 0 \\
1 & 8 & -2
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}
4 & 0 & 2 \\
7 & 1 & 4
\end{array}\right]\)
Answer:

(iv) \(\left[\begin{array}{rr}
-1 & 2 \\
1 & -2 \\
3 & -1
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0 \\
-2 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:

Question 2.
If A = \(\left[\begin{array}{cc}
-1 & 3 \\
4 & 2
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
3 & -5
\end{array}\right]\), X = \(\left[\begin{array}{ll}
\mathbf{x}_1 & \mathbf{x}_2 \\
\mathbf{x}_3 & \mathbf{x}_4
\end{array}\right]\) and A + B = X then find the values of x₁, x₂, x₃ and x₄.
Answer:
A + B = X

⇒ x₁ = 1, x₂ = 4, x₃ = 7, x₄ = – 3.

Question 3.
If A = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & -2 & 3 \\
1 & 2 & 4 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right]\) B = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 5 \\
0 & -2 & 2 \\
1 & 2 & -3
\end{array}\right]\) and C = \(\left[\begin{array}{ccc}
-2 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 2 \\
2 & 0 & 1
\end{array}\right]\) then find A + B + C.
Answer:
A + B + C =

Question 4.
If A = \(\left[\begin{array}{ccc}
3 & 2 & -1 \\
2 & -2 & 0 \\
1 & 3 & 1
\end{array}\right]\), B = \(\left[\begin{array}{ccc}
-3 & -1 & 0 \\
2 & 1 & 3 \\
4 & -1 & 2
\end{array}\right]\) and X = A + B then find X.
Answer:
X = A + B

Question 5.
If \(\left[\begin{array}{cc}
x-3 & 2 y-8 \\
z+2 & 6
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{cc}
5 & 2 \\
-2 & a-4
\end{array}\right]\) then find the values of x, y, z and a. [May 2006, Mar. 14]
Answer:
Given \(\left[\begin{array}{cc}
x-3 & 2 y-8 \\
z+2 & 6
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{cc}
5 & 2 \\
-2 & a-4
\end{array}\right]\)
We have x – 3 = 5, 2y – 8 = 2, z + 2 = – 2, a – 4 = 6
⇒ x = 8, y = 5, z = – 4, a = 10

II.
Question 1.
If \(\left[\begin{array}{ccc}
x-1 & 2 & 5-y \\
0 & z-1 & 7 \\
1 & 0 & a-5
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 7 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right]\) then find the values x, y, z and a.
Answer:
Given \(\left[\begin{array}{ccc}
x-1 & 2 & 5-y \\
0 & z-1 & 7 \\
1 & 0 & a-5
\end{array}\right]\) = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 7 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right]\)
we have x – 1 = 1, 5 – y = 3, z – 1 = 4,
a – 5 = 0
⇒ x = 2, y = 2, z = 5, a = 5

Question 2.
Find the trace of \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 3 & -5 \\
2 & -1 & 5 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:
Trace of the given matrix
= 1 – 1 + 1 = sum of the diagonal elements
= 1

Question 3.
If A = \(\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 2 \\
2 & 3 & 4 \\
4 & 5 & -6
\end{array}\right]\) and B = \(\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1
\end{array}\right]\) find A – B and 4A – 5B.
Answer:

Question 4.
If A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right]\) and B = \(\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 1 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right]\) find 3B – 2A.
Answer:

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 1 Functions Ex 1(c) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Functions Solutions Exercise 1(c)

I.
Question 1.
Find the domains of the following real valued functions. (May 2014, Mar. 14)
(i) f(x) = \(\frac{1}{\left(x^2-1\right)(x+3)}\)
Answer:
Domain of f is the value of all real x for which (x² – 1) (x + 3) ≠ 0
⇔ (x + 1) (x – 1) (x + 3) ≠ 0
⇔ x ≠ – 1, 1, -3
∴ Domain of f is, R – {-1, 1, – 3}

(ii) f(x) = \(\frac{2 x^2-5 x+7}{(x-1)(x-2)(x-3)}\)
Answer:
Here (x – 1) (x – 2) (x – 3) + 0
⇔ x ≠ 1, x ≠ 2, x ≠ 3.
Domain of f is, R – {1, 2, 3}

(iii) f(x) = \(\frac{1}{\log (2-x)}\)
Answer:
f(x) = \(\frac{1}{\log (2-x)}\) ∈ R
⇔ log (2 – x) ≠ 0 and 2 – x > 0
⇔ 2 – x ≠ 1 and 2 > x
⇔ x ≠ 1 and x < 2
⇔ x ∈ (-∞, 1) U (1, 2)
(or) x ∈ (-∞, 2) – {1}
Domain of f = x ∈ {∞, 2} – {1}

(iv) f(x) = |x – 3|
Answer:
f(x) = |x – 3| ∈ R
⇔ x ∈ R
∴ Domain of f = R

(v) f(x) = \(\sqrt{4 x-x^2}\). (May 2005)
Answer:
f(x) = \(\sqrt{4 x-x^2}\) ∈ R
⇔ 4x – x² ≥ 0
⇔ x(4 – x) ≥ 0
⇔ x ∈ [0, 4]
∴ Domain of f = [0, 4]

(vi) f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
Answer:
f(x) = \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) ∈ R
⇔ 1 – x² > 0
⇔ (1 – x)(1 – x) > 0
⇔ x ∈ (-1, 1)
∴ Domain of f = {x/x ∈ (-1, 1)}

(vii) f(x) = \(\frac{3^x}{x+1}\)
Answer:
f(x) = \(\frac{3^x}{x+1}\) ∈ R
⇔ 3^x ∈ R, ∀ x ∈ R and x + 1 ≠ 0
⇔ x ≠ – 1
∴ Domain of f = R – {-1}

(viii) f(x) = \(\sqrt{x^2-25}\) (May 2012)
Answer:
f(x) = \(\sqrt{x^2-25}\) ∈ R
⇔ x² – 25 ≥ 0
⇔ (x + 5)(x – 5) ≥ 0
⇔ x ∈ (-∞, -5] ∪ [5, ∞)
⇔ x ∈ R – (-5, 5)
∴ Domain of f is R – (-5, 5)

(ix) f(x) = \(\sqrt{x-[\mathrm{x}]}\)
Answer:
f(x) = \(\sqrt{x-[\mathrm{x}]}\) ∈ R
⇔ x – [x] ≥ 0
⇔ x ≥ [x]
⇔ x ∈ R
∴ Domain of f is R

(x) f(x) = \(\sqrt{[\mathbf{x}]-\mathbf{x}}\)
Answer:
f(x) = \(\sqrt{[\mathbf{x}]-\mathbf{x}}\) ∈ R
⇔ [x] – x ≥ 0
⇔ [x] ≥ x
⇔ x ≤ [x]
⇔ x ∈ z
∴ Domain of f is Z (Set of injection)

Question 2.
Find the ranges of the following real valued functions,
(i) log |4 – x²|
Answer:
Let y = f(x) = log |4 – x²| ∈ R
⇔ 4 – x² ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 2
y = log|4 – x²|
⇒ |4 – x²| = e^y
e^y > 0 ∀ y ∈ R
∴ Range of f is R.

(ii) \(\sqrt{[\mathbf{x}]-\mathbf{x}}\)
Answer:
Let y = f(x) = \(\sqrt{[\mathbf{x}]-\mathbf{x}}\) ∈ R
⇔ [x] – x > 0
⇔ [x] ≥ x ⇔ x ≤ [x]
∴ Domain of f is z
Then Range of f is {0}
∴ The Range of f = [1, ∞]

(iii) \(\frac{\sin \pi[x]}{1+[x]^2}\)
Answer:
Let y = f(x) = \(\frac{\sin \pi[x]}{1+[x]^2}\) ∈ R
⇔ x ∈ R
∴ Domain of f is R
For x ∈ R, [x] is an integer and sin n [x]= 0 ∀ n ∈ R Range of f is {0}

(iv) \(\frac{x^2-4}{x-2}\)
Answer:
Let y = f(x) = \(\frac{x^2-4}{x-2}\) = (x + 2) ⇔ x – 2 ≠ 0
∴ Domain of f is R – {2}
Then y = x + 2 ∴ x ≠ 2, we have y ≠ 4
∴ Range of f is R – {4}.

(v) \(\sqrt{9+x^2}\)
Answer:
Let y = \(\sqrt{9+x^2}\) f(x) ∈ R
Domain of f is R.
When x = 0, f (0) = √9 = ± 3, But when f(0) = 3,
For all values of x e R – {0}, f (x) > 3
Range of f = {3, ∞).

Question 3.
If f and g are real valued functions defined by f(x) – 2x – 1 and g(x) = x², then find
(i) (3f – 2g)(x)
Answer:
(3f – 2g) (x) = 3 f(x) – 2 g(x)= 3 (2x – 1) – 2(x²)
= -2x² + 6x – 3

(ii) (fg) (x)
Answer:
(fg)(x) = f(x) g(x) = (2x – 1)(x²) = 2x³ – x²

(iii) \(\left(\frac{\sqrt{f}}{g}\right)\)(x)
Answer:
\(\frac{\sqrt{f(x)}}{g(x)}=\frac{\sqrt{2 x-1}}{x^2}\)

(iv) (f + g + 2)(x)
Answer:
(f + g + 2) (x) = f(x) + g(x) + 2
= 2x – 1 + x² + 2
= x² + 2x + 1 = (x + 1)²

Question 4.
If f = {(1, 2), (2, -3), (3, -1)}, then find
(i) 2f
(ii) 2 + f
(iii) f²
(iv) √f
[May 2012, May 2008]
Answer:
Given f = {(1, 2), (2, -3), (3, -1)} we have f(1) = 2, f(2) = -3 and f(3) = -1
(i) 2f = {(1, 2 x 2), (2, 2 (-3), (3, 2(-1))}
= {(1. 4). (2, – 6). (3, -2)}

(ii) 2 + f = {(1, 2+2), (2, 2+(-3), (3, 2+(-1))}
= {(1, 4), (2, -1), (3. 1)}

(iii) f² = {(1, 22), (2, (-3)2), (3, (-1)2)]
= {(1, 4), (2, 9), (3, 1)}

(iv) √f = {(1, √2)| (∵ √-3 and √-1 are not real)

II.
Question 1.
Find the domains of the following real valued functions
(i) f(x)= \(\sqrt{x^2-3 x+2}\)
Answer:
f(x) = \(\sqrt{x^2-3 x+2}\) ∈ R
Domain of f is x² -3x + 2 > 0
⇒ (x – 2) (x – 1) > 0
⇒ x ∈ [-∞, 1] u [2, ∞]
∴ Domain of f = R – [1, 2]

(ii) f (x) = log (x² – 4x + 3)
Answer:
f(x) = log (x² – 4x + 3) ∈ R
⇔ x² – 4x + 3 > 0
⇔ (x – 3) (x – 1) > 0
x ∈ (-∞, 1) ∪ (3, ∞)
Domain f = R – (1, 3)

(iii) f(x) = \(\frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}{x}\)
Answer:
f(x) = \(\frac{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}}{x}\) ∈ R
⇔ 2 + x > 0 2 – x > 0, x ≠ 0
⇔ x > -2, x < 2 x ≠ 0
⇔ -2 < x < 2, x ≠ 0 Domain of f is [-2, 2] – {0}

(iv) f(x) = \(\frac{1}{\sqrt[3]{x-2} \log (4-x)^{10}}\)
Answer:
f(x) = \(\frac{1}{\sqrt[3]{x-2} \log (4-x)^{10}}\) ∈ R
⇔ 4 – x > 0, 4 – x ≠ 1 and x – 2 ≠ 0
⇔ x < 4, x ≠ 3, x ≠ 2
Domain of f is [-∞, 4] – {2, 3}

(v) f(x) = \(\sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}\)
Answer:
f(x) = \(\sqrt{\frac{4-x^2}{[x]+2}}\) ∈ R
⇔ 4 – x > 0, [x] + 2 > 0 or
4 – x² < 0 and [x] > + 2 < 0
When 4 – x² > 0, and [x] + 2 > 0
we have (2 – x) (2 + x) > 0 and [x] > – 2
⇔ x ∈ [-2, 2] and x ∈ [-1, ∞)
⇔ x ∈ [-1, 2] …………….(1)
When 4 – x² < 0, and [x] + 2 < 0
⇔ (2 + x) (2 – x) < 0 and [x] + 2 < 0
⇔ x ∈ [-∞, -2] ∪ [2, ∞] and [x] < – 2
⇔ x ∈ [- ∞, -2] ∪ [2, ∞] and x ∈ (- ∞,-2)
⇔ x ∈ [-∞, -2] ………………(2)
∴ from (1) and (2)
∴ Domain of f is [-∞, -2] ∪ {-1, 2}

(vi) f(x) = \(\sqrt{\log _{0.3}\left(x-x^2\right)}\)
Answer:
f(x) = \(\sqrt{\log _{0.3}\left(x-x^2\right)}\) ∈ R
⇔ log_0.3 (x – x²) > 0 .
⇒ x – x² < (0.3) 0
⇒ x – x² < 1
⇒ -x² + x < 1
⇒ -x² + x – 1 < 0
⇒ x² – x + 1 > 0
This is true for all x ∈ R …..(1)
and x – x² > 0
⇒ x² – x < 0
⇒ x (x – 1) < 0
⇒ x ∈ (0, 1) ……….(2)
∴ Domain of f is R n (0, 1) = (0, 1)
∴ Domain of f = (0, 1)

(vii) f(x) = \(\frac{1}{x+|\mathrm{x}|}\)
Answer:
f(x) = \(\frac{1}{x+|\mathrm{x}|}\) ∈ R
⇔ x + |x| ≠ 0 ⇒ x ∈ (0, ∞)
(∵ |x| = x if x ≥ 0
= -x if x < 0)
∴ Domain of f = (0, ∞)

Question 2.
Prove that the real valued function f(x) = \(\frac{x}{e^x-1}+\frac{x}{2}+1\) is an even function on R – {0} –
Answer:
f (x) ∈ R, e^x – 1 ≠ 0
⇒ e^x ≠ 1 ⇒ x ≠ 0

Since f(-x) = f(x), the function f is even function on R – {0}.

Question 3.
Find the domain and range of the following functions.
(i) f(x) = \(\frac{\tan \pi[x]}{1+\sin \pi[x]+\left[x^2\right]}\)
Answer:
f(x) = \(\frac{\tan \pi[x]}{1+\sin \pi[x]+\left[x^2\right]}\) ∈ R
⇔ x ∈ R; since [x] is an integar so that tan π [x] and sin π [x] are zero. ∀ x ∈ R
Domain of f is R and Range = {0}

(ii) f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\)
Answer:
f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\) ∈ R
⇔ 2 – 3x ≠ 0 ⇒ x ≠ \(\frac{2}{3}\)
∴ Domain of f = R – {\(\frac{2}{3}\)}

Let y = f(x) = \(\frac{x}{2-3 x}\)
⇒ 2y – 3xy = x
⇒ 2y = x(1 + 3y)
⇒ x = \(\frac{2 \mathrm{y}}{1+3 \mathrm{y}}\)
∴ x ∈ R – {\(\frac{2}{3}\)}, 1 + 3y ≠ 0
⇒ y ≠ \(\frac{-1}{3}\)
∴ Range of f = R – {\(\frac{-1}{3}\)}

(iii) f(x) = |x| + |1 + x|
Answer:
f(x) ∈ R ⇔ x ∈ R
Domain of f = R
∴ |x| = x if x > 0
= – x if x < 0 |1 + x| = 1 + x if 1 + x > 0 ie., x > -1
= – (1 + x) if 1 + x < 0 ie., x < – 1
For x = 0, f(0) = 1,
x= 1, f(1) = |1| + |1 + 1| = 3
x = 2, f(2) = |2| + |1 + 2| = 2 + 3 = 5
x = -2, f(-2) = |-2| + |1 +(-2)| = 2 + 1 = 3
x = -1, f(-1) = |-1| + |1 + (-1)| = 1

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 1 Functions Ex 1(b) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Functions Solutions Exercise 1(b)

I.
Question 1.
If f(x) = e^x, and g(x) = log_ex, then show that fog = gof and find f^-1 and g^-1.
Answer:
Given f(x) = ex and g(x) = log_ex
Now (fog) (x) = f[g(x)] = f [log_ex]
= e^log_ex = x
(gof) (x) = g [f(x)] = g [e^x] = log_ee^x = x
fog = gof
given f(x) = e^x = y
then x = f^-1 (y) and y = e^x ⇒ x = log_ey
f^-1(y) = log_ey ⇒ f^-1 (x) = log_ex
similarly y = g(x) = loge^x
then x = g^-1 (y) and y = log_ex
⇒ x = e^y
g^-1 (y) = e^y ⇒ g^-1(x) = e^x

Question 2.
If f(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\), g(y) = \(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}\) then show that (fog)(y) = y.
Answer:

∴ (fog) (y) = y

Question 3.
If R → R; g : R → R are defined by . f(x) = 2x² + 3 and g(x) = 3x – 2, then find
(i) (fog) (x)
(ii) (gof) (x)
(iii) (fof)(0)
(iv) go (fof) (3)
Answer:
f; R → R; g : R → R and
f(x) = 2x² + 3, g(x) = 3x – 2 then
(i) (fog) (x) = f [g (x)] = f (3x – 2)
= 2 [(3x – 2)²] + 3 (∵ f (x) = 2x² + 3)
= 2 [9x² – 12x + 4] + 3
= 18x² – 24x + 11

(ii) (gof) (x) = g [f (x)] = g (2x² + 3)
= 3 (2x² + 3) -2 = 6x² + 7

iii) (fof) (0) = f [f (0)] = f [3] = 2(3)2 + 3 = 21

iv) go (fof) (3)
= go [f (f (3))] (v f (x) = 2x² + 3)
= go [f (2(3)² + 3)]
= go [f (21)]
= g [2 (21)² + 3]
= g [2 (441) + 3]
= g [885]
= 3 (885) – 2 = 2653 (∵ g(x) = 3x – 2)

Question 4.
If f:R → R, g:R → R are defined by f(x) = 3x – 1, g(x) = x² + 1, then find
(i) (fof) (x² + 1)
(ii) (fog) (2) (March 2012)
(iii) (gof)(2a – 3)
Answer:
Given f: R → R and g : R → R defined by f (x) = 3x – 1, g (x) = x² + 1
(i)(fof) (x² + 1 ) = f [f (x² + 1)]
= f [3 (x² + 1) – 1]
⇒ f [3x² + 2] (∵ f (x) = 3x – 1)
= 3 (3×2 + 2) – 1 = 9×2 + 5

(ii) (fog) (2) = f [g (2)] = f [2² + 1] = f [5]
= 3(5) – 1 = 14

(iii) (gof ) (2a – 3)
=g[f(2a – 3)]
= g[3(2a – 3) – 1] (∵ f(x) = 3x- 1)
= g [6a – 10]
= (6a – 10)² + 1 (∵ g(x)=x² + 1)
= 36a² – 120a + 101

Question 5.
If f(x) = \(\frac{1}{x}\), g(x) = √x ∀ x ∈ (0, ∞) then find (gof)(x).
Answer:
(gof)(x) = g[f(x)] = g\(\left[\frac{1}{x}\right]\)
= \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) (∵ g(x) = x)

Question 6.
f(x) = 2x – 1, g(x) = \(\frac{x+1}{2}\) ∀ x ∈ R, find (gof)(x).
Answer:
(gof)(x) = g[f(x)] = g(2x – 1)
= \(\frac{2 x-1+1}{2}\) = x (∵ g(x) = \(\frac{2 x-1+1}{2}\))

Question 7.
If f(x) = 2, g(x) = x², h(x) = 2x ∀ x ∈ R, then find [fo(goh) (x)].
Answer:
[fo(goh)] (x)= fog [h(x)]
= fog [2x]
= f [g(2x)]
= f [ (2x)² ] = f (4x²) = 2
∴ [fo(goh)] (x) = 2

Question 8.
Find the inverse of the following functions.
(i) a, b ∈ R, f: R → R, defined by f(x) = ax + b, (a ≠ 0).
Answer:
a, b ∈ R, f : R → R and f(x) = ax + b
⇒ y = ax + b = f(x)
⇒ x = f^-1(y)
= \(\frac{y-b}{a}\)
∴ f^-1(x) = \(\frac{x-b}{a}\)

(ii) f: R → (0, ∞) defined by 5^x (March 2011)
Answer:
f: R→ (0, ∞) and f(x) = 5^x
Let y = f (x) = 5^x ⇒ x = f^-1(y)
and x = log₅y
∴ f^-1(y) = log₅y ⇒ f^-1(x) = log₅x

(iii) f : (0, ∞) → R defined by f(x) = log₂x
Answer:
Gii’en f: (0, ∞) → R defined by f(x) = log₂x
Let y = f (x) = log₂x then x = f1 (y)
y = log₂x ⇒ x = 2^y
∴ f^-1(y) = 2^y ⇒ f^-1(x) = 2^x

Question 9.
If f(x) = 1 + x + x² + ………….. for |x| < 1, then show that f^-1(x) = \(\frac{x-1}{x}\)
Answer:
Given f(x) = 1 + x + x² + ………. for |x| < 1

Question 10.
If f : [1, ∞] → [1, ∞] defined by f(x) = 2^{x(x – 1)}, then find f^-1(x)
Answer:
Given f : [1, ∞] → [1, ∞] defined by f(x) = 2^{x(x – 1)}
Let y = f(x) then x = f^-1(y)
Also y = 2^{x(x – 1)} ⇒ x(x – 1) = log₂y
⇒ x² – x – log₂y = 0

II.
Question 1.
If f(x) = \(\frac{x-1}{x+1}\), x ≠ ±1, then verify (fof^-1)(x) = x
Answer:
Given f(x) = \(\frac{x-1}{x+1}\), (x ≠ ±1)
and Let y = f(x) ⇒ x = f^-1(x)

Question 2.
If A = (1, 2, 3), B = (α, β, γ), C = (p, q, r) and f : A → B, g : B → C are defined by f = {(1, α), (2, γ), (3, β)}, g = {(α, q), (β, r), (γ, p)}
then show that f and g are bijective functions and (gof)^-1 = f^-1og^-1.
Answer:
Given A = {1, 2, 3}, B = (α, β, γ), c = {p, q, r) and f : A → B, g : B → C defined by f ={(1, α) (2, γ), (3, β)}and g = {(a, q), (β, r), (γ, p)}
From the definitions of f and g f (1) = α, f (2) = γ, f (3) = β and g (α) = q, g (β) = r, g (γ) = p
Distinct elements of A have distinct imagine in B. Hence f is an Injection. Also, range of f = (a, y, P) and f is a surjection.
∴ f is abijection = B similarly distinct elements of B have distinct images in c and g is an Injection.
Also range of ‘g’ = {q, γ, p} = C;
∴ g is a surjection.
Hence g is a bijection.
∴ f and g are bijective functions.
Also gof = {(1, q), (2, r), (3, p)}
and (gof^-1) = {(q, 1), (r, 2), (p, 3)} …………….(1)
f^-1 = {(α, 1), (γ, 2), (β, 3)}
and g^-1 = {(q, α), (r, β), (p, γ)}
∴ f^-1og^-1 ={(q, 1), (r, 2), (p, 3)} ………………(2)
∴ From (1) and (2), (gof^-1) = f^-1og^-1

Question 3.
If f:R → R; g:R → R defined by f(x) = 3x – 2, g(x) = x² + 1, then find
(i) (gof^-1) (2)
(ii)(gof)(x – 1) (March 2008, May 2006)
Answer:
Given f: R → R, g : R → R defined by f(x) = 3x – 2, g(x) = x² + 1
et y = f (x) then x = f^-1 (y)
y = 3x – 2 ⇒ 3x = y + 2
⇒ x = \(\frac{y+2}{3}\)
∴ f^-1(y) = \(\frac{3+2}{3}\) ⇒ f^-1(x) = \(\frac{x+2}{3}\)
∴ (i)(gof^-1) (2) = g[f^-1(2)] = g\(\left[\frac{4}{3}\right]\)
= \(\left(\frac{4}{3}\right)^2\) + 1 = \(\frac{16}{9}\) + 1 = \(\frac{25}{9}\)

(ii)(gof) (x – 1) = g [f (x – 1)
= g [3 (x – 1) – 2] = g [3x – 5]
= (3x – 5)² + 1
= 9x² – 30x + 26
(∵ g(x) = x² + 1)

Question 4.
Let f = {(1, a), (2, c), (4, d), (3, b)} and g^-1 = {(2, a) (4, b), (1, c), (3, d)} then show that (gof)^-1 = f^-1o g^-1
Answer:
Given f = {(1, a), (2, c), (4, d), (3, b)} and g^-1 = {(2, a), (4, b), (1, c), (3, d)}
∴ g = {(a, 2), (b, 4), (c, 1), (d, 3)} gof = {(1, 2), (2, 1), (4, 3), (3, 4)}
∴ (gof)^-1 = {(2, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)}
f^-1 = {(a, 1) (c, 2), (d, 4), (b, 3)}
g^-1 = {(2, a), (4, b), (1, c), (3, d)}
f(x) = 3x – 2, g(x) = x² + 1
Let y = f (x) then x = f” (y)
∴ f^-1o g^-1 = {(2, 1), (1, 2), (4, 3), (3, 4)}
(gof)^-1 = f^-1o g^-1

Question 5.
Let f:R → R; g:R → R be defined by f(x) = 2x – 3, g(x) = x³ + 5 then find (fog)^-1(x)
Answer:
We have from the formula
(fog)^-1(x) = (g^-1of^-1) …………..(1)
where f: R → R and g : R → R are defined by
f(x) = 2x – 3 and g(x) = x³ + 5
Let y = f(x) = 2x – 3 : Then x = f^-1(y)
and 2x – 3 = y ⇒ x = \(\frac{y+3}{2}\)
f^-1(x)\(\frac{x+3}{2}\) ………..(2)

Let y = g(x) = x³ + 5. Then x = g^-1(y) and x³ + 5 = y
⇒ x = (y – 5)^1/3
g^-1(y) = (y – 5)^1/3
g^-1(x) = (x – 5)^1/3 ……….(3)

From (1), (g^-1of^-1)(x)

Question 6.
Let f(x) = x²,g(z) = 2^x. Then solve the equation (fog) (x) = (gof) (x)
Answer:
Given f(x) = x² and g(x) = 2^x
(fog) (x) = f [g(x)] = f [2^x] = (2^x)² = 2^2x ……………(1)
and (gof)(x) = g[f(x)] = g[x²] = 2^x2
∴ from (1) and (2), 2^2x = 2^x2
⇒ x² – 2x = 0
⇒ x(x – 2) =0
⇒ x = 0, 2

Question 7.
If f(x) = \(\frac{x+1}{x-1}\),(x ≠ ±1),then find(fofof)(x) and (fofofof) (z)
Answer:
Given f(x) = \(\frac{x+1}{x-1}\), (x ≠ ± 1)
then (fofof) (x) = fof(f(x)]

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 1 Functions Ex 1(a) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Functions Solutions Exercise 1(a)

I.
Question 1.
If the function f is defined by

then find the values of
(i) f(3)
(ii) f(0)
(iii) f(-1.5)
(iv) f(2) + f(- 2)
(v) f(- 5)
Answer:
(i) f(3), For x > 1; f(x) = x + 2
f(3) = 3 + 2 = 5

(ii) f(0), For – 1 ≤ x ≤ 1; f(0) = 2

(iii) f(-1.5), For – 3 < x < – 1; f(x) = x – 1
∴ f(-1.5) = -1.5- 1 = – 2.5

(iv) f(2) + f(-2); For x > 1, f(x) = x + 2
∴ f(2) = 2 + 2 = 4
For – 3 < x < – 1;
f(x) = x – 1
f(-2) = -2 – 1 = -3
f(2) + f (-2) = 4 – 3 = 1

(v) f(-5); is not defined such domain of ‘f’ is {x / x > – 3].

Question 2.
If f : R {0} → R defined by f(x) = x³ – \(\frac{1}{x^3}\), then show that f(x) + f\(\left(\frac{1}{x}\right)\) = 0.
Answer:
Given f(x) = x³ – \(\frac{1}{x^3}\)

Question 3.
If f: R → R defined by f(x) = \(\frac{1-x^2}{1+x^2}\), then show that f(tan θ) = cos 2θ
Answer:
Given f(x) = \(\frac{1-x^2}{1+x^2}\) ∀ x ∈ R

= cos 2θ

Question 4.
If f: R – (±1) → R is defined by f(x) = log\(\left|\frac{1+x}{1-x}\right|\), then show that f\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\) = 2f(x).
Answer:
Given f: R – (±1) → R defined by f(x) = log\(\left|\frac{1+x}{1-x}\right|\)

Question 5.
If A = (-2, -1, 0, 1, 2) and f : A → B is a surjection defined by f(x) = x² + x + 1, then find B. (May 2014)
Answer:
A = {-2,-1,0,1,2} and f: A → B is a surjection and f(x) = x² + x + 1;
∴ f(-2) = (-2)² + (-2) + 1=3,
f(-1) = (-1)² + (-1) + 1 = 1
f(0) = 0² + 0 + 1 = 1
f(1) =1² + 1 + 1 = 3
f(2) = 2² + 2 + 1 = 7
∴ B = f(A) = (1, 3, 7)

Question 6.
If A = {1, 2, 3, 4} and f: A → R is a function defined by f(x) = \(\frac{x^2-x+1}{x+1}\), then find the range of f.
Answer:
Given A = {1, 2, 3, 4} and f(x) = \(\frac{x^2-x+1}{x+1}\)

Question 7.
If f (x + y) = f (xy) ∀ x, y ∈ R, then prove that f is a constant function.
Answer:
Given f (x + y) = f(x y) ∀ x, y ∈ R Suppose x = y = 0 then
f(0 + 0) = f(0 x 0)
⇒ f(0) = f(0) ………………..(1)
Suppose x = 1, y = 0 then then f (1 + 0) = f(1 x 0)
⇒ f(D = f (0) ……………(2)
Suppose x = 1, y = 1 then f (1 + 1) = f(1 x 1)
⇒ f(2) = f(1) …………….. (3)
f(0) = f(1) = f(2)
= f(0) = f(2)
Similarly f(3) = f(0), f(4) = f(0) …………. f(n) = f(0)
∴ f is a constant function.

II.
Question 1.
If A = {x / – 1 ≤ x ≤ 11, f(x) = x², g(x) = x³ Which of the following are surjections
(i) f : A → A
(ii) g : A → A.
Answer:
i) Given A {x / – 1 ≤ x ≤ 1}, f(x) = x²
and f : A → A
Suppose y ∈ A
then x² = y ⇒ x = ± √y
If x = √y and if y = – 1 then x = √-1 ∈ A
f : A → A is not a surjection.

ii) Given A = {x/-1 ≤ x ≤ 1), g(x) = x³
and g : A → A
Suppose ye A then x² = y ⇒ x = \(\sqrt[3]{y}\) ∈ A
If y = -1 then x = -1 ∈ A
y = 0 then x = 0 ∈ A
y = 1 then x = 1 ∈ A
g : A → A is a surjection.

Question 2.
Which of the following are injections or surjections or Bisections ? Justify your answers.
i) f : R → R defined by f(x) = \(\frac{2 x+1}{3}\)
Answer:
Given f(x) = \(\frac{2 x+1}{3}\)
Let a₁, a₂ ∈ R
∴ f(a₁) = f(a₂)
⇒ \(\frac{2 \mathrm{a}_1+1}{3}=\frac{2 \mathrm{a}_2+1}{3}\)
⇒ 2a₁ + 1 = 2a₂ + 1
⇒ a₁ = a₂
f(a₁) = f(a₂) ⇒ a₁ = a₂ ∀ a₁, a₂ ∈ R
f(x) = \(\frac{2 x+1}{3}\) is an injection.

Suppose y ∈ R (codomain of f) then
y = \(\frac{2 x+1}{3}\) ⇒ x = \(\frac{3 y-1}{2}\)
Then f(x) = f\(\left(\frac{3 y-1}{2}\right)=\frac{\frac{2(3 y-1)}{2}+1}{3}\) = y
f is a surjection f: R → R defined by f(x) = \(\frac{2 x+1}{3}\) is a bijection.

ii) f : R → (0, ∞) defined by f(x) = 2^x
Answer:
Let a₁, a₂ ∈ R then f(a₁) = f(a₂)
⇒ 2^a₁ = 2^a₂
⇒ a₁ = a₂ ∀ a₁, a₂ ∈ R
f(x) = 2x, f: R → (0, ∞) is injection.
Let y ∈ (0, ∞) and y = 2^x ⇒ x = log₂ y
then f(x) = 2^x = 2 log2^y = y
∴ f is a surjection.
Since f is injection and surjection, f is a bijection.

iii) f : (0, ∞) → R defined by f(x) = log_ex.
Answer:
Let x₁, x₂ ∈ (0, ∞)and = log_ex. then f(x₁) = f(x₂)
⇒ log_ex₁ = log_ex₂ ⇒ x₁ = x₂
∴ f(x₁) = f(x₂)
x₁ = x₂ and f is injection.

Let y ∈ R then y = log_ex ⇒ x = e^y
f(x) = log_ex = log_ee^y = y and f is a surjection.
Since f is both injective and surjective, f is a bijection.

iv) f : [0, ∞) → [0, ∞) defined by f(x) = x²
Answer:
Let x₁, x₁ ∈ [0, ∞) given f(x) = x²
f(x₁) = f(x₂)
⇒ x₁ = x₂
x₁ = x₂ (∵ x₁, x₂ > 0)
f(x) = x²,
∴ f: [0, ∞) → [0, ∞) is an injection.

Let y ∈ [0, ∞)then y = x² ⇒ x = √y (∵ y > 0)
f(x) = x² = (√y)² = y
and f is a surjection
∴ f is a bijection.

v) f : R → [0, ∞) defined by f(x) = x²
Answer:
Let x₁ x₂ ∈ R and f(x) = x²
∴ f(x₁) = f(x₂)
⇒ x₁² = x₂²
⇒ x₁ = ±x₂ (∵ x₁, x₂ ∈ R)
f is not an injection
Let y ∈ [0, ∞] then y = x² ⇒ x = ±√y
where y ∈ [0, ∞] then f(x) = x² = (√y )² = y.
∴ f is a surjection.
Since f is not injective and only surjective, we say that f is not a bijection.

vi) f : R → R defined by f(x) = x²
Answer:
Let x₁ x₂ ∈ R then f(x₁) = f(x₂)
⇒ x₁² = x₂²
⇒ x₁ = ± x₂ (∵ x₁, x₂ ∈ R)
f(x) is not an injection.
Let y ∈ R then y = x²
⇒ x = ±√y
For elements that belong to (-∞, 0).
codomain R of f has no pre-image in f.
∴ f is not a surjection.
Hence f is not a bijection.

Question 3.
If g = 1(1,1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)) is a function from A = {1, 2, 3, 4} to B = {1, 3, 5, 7}. If this is given by the formula g(x) = ax + b then find a and b.
Answer:
A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 3, 5, 7}
g = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}
∵ g(1) = 1, g(2) = 3, g(3) = 5, g(4) = 7
Hence for an element a ∈ A f ∃ b ∈ B such that g : A → B is a function.
Given g(x) = ax + b ∀ x ∈ A
g(1) = a + b = 1
g(2) = 2a + b = 3
solving a = 2, b = -1

Question 4.
If the function f : R → R defined by f(x) = \(\frac{3^x+3^{-x}}{2}\), then show that f (x+y) + f (x-y) = 2 f(x) f(y).
Answer:

Question 5.
If the function f : R → R defined by f(x) = \(\frac{4^x}{4^x+2}\), then show that f (1 – x) = 1 – f(x) and hence reduce the value of f\(\left(\frac{1}{4}\right)\) + 2f\(\left(\frac{1}{2}\right)\) + f\(\left(\frac{3}{4}\right)\).
Answer:

Question 6.
If the function f : {-1, 1} → {0, 2} defined by f(x) = ax + b is a suijection, then find a and b.
Answer:
Since f: {-1, 1} → {0, 2} and f(x) = ax + b is a surjection.
Given f (-1) = 0, f (1) = 2 (or) f (-1) = 2, f (1)=0
Case I : f (-1) = 0, f (1) = 2
∴ – a + b = 0, a + b = 2
Solving b =1 , a = 1

Case II : f (-1) = 2, and f (1) = 0
then – a + b = 2 and a + b = 0
Solving b = 1, a = -1
Hence a = + 1 and b = 1

Question 7.
If f(x) = cos (log x), then show that f\(\left(\frac{1}{x}\right)\) f\(\left(\frac{1}{y}\right)\) – \(\left(\frac{1}{2}\right)\)[f\(\left(\frac{x}{y}\right)\) + f(xy)] = 0
Answer:
Given f(x) = cos(log x)
then f\(\left(\frac{1}{x}\right)\) = cos(log\(\left(\frac{1}{x}\right)\))
= cos(-log x) = cos(log x) (∵ log 1 = 0)
Similarly f\(\left(\frac{1}{x}\right)\) = cos(log y)
f\(\left(\frac{x}{y}\right)\) = cos(log\(\left(\frac{x}{y}\right)\)) = cos(log x – log y)
f(xy) = cos (log xy) = cos [log x + log y]
f\(\left(\frac{x}{y}\right)\) + f(x y) = cos(log x – log y) + cos (log x + log y)
= 2 cos (log x) cos (log y) (∵ cos (A – B) + cos (A + B))
= 2 cos A cos B
f\(\left(\frac{1}{x}\right)\) f\(\left(\frac{1}{y}\right)\) – \(\left(\frac{1}{2}\right)\)[f\(\left(\frac{x}{y}\right)\) + f(xy)] = cos (log x) cos (log y) – \(\frac{1}{2}\) [2cos (log x) cos (logy)]
= 0

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 3rd Lesson సరళరేఖాత్మక గమనం Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 3rd Lesson సరళరేఖాత్మక గమనం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
గమన, నిశ్చల స్థితులు సాపేక్షం. వివరించండి.
జవాబు:
పరిసరాలతో పోల్చినపుడు వస్తువు స్థానం కాలంతోపాటు మారితే అది గమనంలో ఉన్నది అంటారు. దాని స్థానం మారకపోతే ఆ వస్తువు నిశ్చలంగా ఉంది అంటారు. కాబట్టి గమనము లేదా నిశ్చలత్వము అనేది సాపేక్ష భావన మాత్రమే!

ప్రశ్న 2.
సగటు వేగం ఏవిధంగా తత్కాల వేగంతో విభేదిస్తుంది?
జవాబు:
సగటు వేగము వస్తువు యొక్క మొత్తము స్థానభ్రంశము మరియు మొత్తం కాలవ్యవధుల నిష్పత్తి. తత్కాల వేగము ఇచ్చిన క్షణంలో వస్తువుకు గల వేగము. మొత్తం కాలవ్యవధిని At వ్యవధి గల చిన్న చిన్న అంశాలుగా భావించి ఆ కాలాలలో గల తత్కాల వేగాల మొత్తమునకు, మొత్తం కాలమునకు గల నిష్పత్తిని సగటు వేగంగా భావిస్తారు. అనగా కొన్ని క్షణాలలో తత్కాల వేగం సగటు వేగం కన్నా ఎక్కువగా లేక తక్కువగా ఉండే అవకాశం ఉంది.

ప్రశ్న 3.
ఒక వస్తువు వేగం శూన్యమై దాని త్వరణం శూన్యం కాని సందర్భానికి ఒక ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
వస్తువు వేగం శూన్యమైనప్పటికీ దాని త్వరణం సున్న కానవసరం లేదు. ఉదా : నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరిన వస్తువుకు గరిష్ఠ స్థానం వద్ద వేగము సున్న కానీ త్వరణం సున్న కాదు.

ప్రశ్న 4.
ఒక వాహనం ప్రయాణించిన దూరం L లో సగం దూరం వడి v₁ తోనూ, రెండవ సగం దూరం వడి v₂ ప్రయాణించింది. ఆ వాహనం సగటు వడి ఎంత?
జవాబు:
మొత్తం ప్రయాణానికి పట్టిన కాలము t = \(\frac{L}{2 v_1}+\frac{L}{2 v_2}=\frac{\left(v_2+v_1\right) L}{2 v_1 v_2}\)
∴ సగటు వేగము v = \(\frac{L}{t}=\frac{L}{\left(v_1+v_2\right) L} 2 v_1 v_2=\frac{2 v_1 v_2}{\left(v_1+v_2\right)}\)

ప్రశ్న 5.
కింది దిశలో ప్రయాణిస్తూ ఒక లిఫ్టుభూ అంతస్తు (ground floor) కు చేరబోతున్నది. భూ అంతస్తును మూల బిందువుగానూ, ఊర్ధ్వ దిశను ధన దిశగానూ అన్ని రాశులకూ ఎంపిక చేసుకొంటే కింద ఇచ్చినవాటిలో ఏది సరియైనది?
a) x < 0, v < 0, a > 0
c) x > 0, v < 0, a > 0
b) x > 0, v < 0, a < 0
d) x > 0, v > 0, a > 0
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి భూ అంతస్తు మూలబిందువు ⇒ x = 0; ఊర్ధ్వ దిశ ధనాత్మకము అనగా అధోదిశకు v’ – ve’ ⇒ x < 0, v < 0 మరియు a < 0 లిఫ్ట్ భూమికి చేరబోతుంది. ఈ సందర్భంలో x < 0, v > 0 మరియు a < 0 అన్న నియమాలు వర్తిస్తాయి. కావున ఇచ్చిన వాటిలో (a) x < 0, v < 0, a > 0 అన్నది సరియైన సమాధానము.

ప్రశ్న 6.
ఏకరీతి (సమరీతి) గమనం గల ఒక క్రికెట్ బంతి చాలా స్వల్పకాలం పాటు ఒక బ్యాట్తో కొట్టగా వెనుకకు మరలింది. తిరోదిశలో త్వరణాన్ని ధనాత్మకంగా తీసుకొని కాలంపరంగా త్వరణంలో మార్పుకు గ్రాఫు గీయండి.
జవాబు:
సమవేగంతో చలించే వస్తువుకు త్వరణము సున్న. బంతి, బ్యాటు కలిసి ఉన్న క్షణంలో బ్యాటు వలన బంతి గమనదిశకు వ్యతిరేకంగా కొంత త్వరణం ప్రయోగించబడింది. ఇది త్వరణం కాలం గ్రాఫ్ పటంలో చూపినట్లు ఉంటుంది.

ప్రశ్న 7.
ధన x − దిశలో అక్షం వెంబడి ఏకమితీయ గమనాన్ని కలిగి ఉండి, ఆవర్తకంగా నిశ్చలస్థితికి వచ్చి ముందుకు పోతూ ఉండే ఒక కణం గమనానికి ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
లోలకం పొడవు బాగా ఎక్కువగా ఉండి కంపన పరిమితి తక్కువగా ఉన్న సందర్భంలో లోలకం చలనం సరళరేఖ వెంబడి జరుగుతున్నట్లు భావించవచ్చు. గరిష్ఠ స్థానభ్రంశ బిందువు వద్ద లోలకం వేగం సున్న కాని దాని త్వరణం సున్న కాదు. ఈ రకమైన చలనం నిర్ణీత కాలవ్యవధి తరువాత పునరావృతమవుతుంది.

ప్రశ్న 8.
ఒక (ద్రవంలో) ప్రవాహిలో పతనం చెందే ఒక వస్తువు a = g – bv త్వరణం కలిగి ఉందని పరిశీలించడం జరిగింది. ఇక్కడ g గురుత్వ త్వరణం, b ఒక స్థిరాంకం. కొంతకాలం తరువాత వస్తువు స్థిర వేగంతో పతనం చెందుతుందని తెలుసుకొన్నారు. ఆ స్థిరవేగం విలువ ఎంతై ఉండవచ్చు?
జవాబు:
స్థిరవేగము అనగా త్వరణము a = 0. ఇచ్చిన సమీకరణం a = g – bv నుండి 0 = g – bv ⇒ v = \(\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{b}}\) మీ/సె.

ప్రశ్న 9.
ఒక నిర్దేశ చట్రం పరంగా ఒక వస్తువు గమన పథం పరావలయం. ఈ నిర్దేశ చట్రం పరంగా స్థిర వేగంతో గమనంలో ఉన్న వేరొక నిర్దేశ చట్రం పరంగా వస్తువు గమన పథం పరావలయం అవుతుందా? కాకపోతే మరేమై ఉండవచ్చు?
జవాబు:
ఒక నిర్దేశ చట్రం పరంగా వస్తువు గమన పథం పరావలయము: ఈ నిర్దేశ చట్రం పరంగా రెండవ చట్రం స్థిరవేగంతో చలిస్తున్నది అంటే ఆ రెండు చట్రాలు జడత్వ నిర్దేశక చట్రాలే. కావున మొదటి చట్రంలో కనిపించిన పరావలయ గమన పథమే రెండవ దానిలో కూడా కనిపిస్తుంది.

ప్రశ్న 10.
ఒక స్ప్రింగు ఒక కొనను దృఢ ఆధారానికి బిగించి, రెండో కొనకు ఒక ద్రవ్యరాశిని వేలాడదీసి, లాగి వదిలారు. ఎప్పుడు త్వరణం పరిమాణం గరిష్ఠంగా ఉంటుంది?
జవాబు:
వ్రేలాడదీసిన స్ప్రింగ్ చివర బరువు తగిలించి లాగి వదిలితే అది సరళహరాత్మక చలనం చేస్తుంది. దత్తాంశం నుండి
F ∝ r. ఈ సందర్భంలో a = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}=-\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{m}} \mathrm{r}\) r. (r = స్థానభ్రంశము) గరిష్ఠ స్థానభ్రంశ బిందువుల వద్ద త్వరణము గరిష్ఠము.

స్వల్పసమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
త్వరణం కాలంతోపాటు మారుతూ ఉన్నప్పుడు శుద్ధగతిశాస్త్రంలోని సమీకరణాలను ఉపయోగించవచ్చా? ఉపయోగించ వీలులేకపోతే ఆ సమీకరణాలు ఏ రూపాన్ని సంతరించుకొంటాయి?
జవాబు:
త్వరణం కాలంతోపాటు మారుతున్నది. అనగా వస్తువు అసమ త్వరణాన్ని కలిగి ఉంది. కావున గతి శాస్త్ర సమీకరణాలు ఇటువంటి సందర్భానికి వాడరాదు.

గతి శాస్త్ర సమీకరణాలు 1) v = v_o + at 2) x = v_ot + \(\frac{1}{2}\)at² 3) v² – v₀² = 2ax లలో ప్రతి సమీకరణంలోను త్వరణము ‘a’ ఉంది. ఇక్కడ ‘a’ సమత్వరణము కావున గతిశాస్త్ర సమీకరణాలను అసమత్వరణంతో చలించే వస్తువుకు వాడరాదు. అందువలన ఈ సమీకరణాలు ఏ రూపం సంతరించుకుంటాయి అన్న ప్రశ్న ఉండదు.

ప్రశ్న 2.
ఒక కణం ఒక సరళరేఖ వెంబడి సమత్వరణంతో గమనంలో ఉంది. t = 0 వద్ద కణం వేగం v_p, t = t వద్ద వేగం v₂, ఆ కణం సగటు వేగం, ఈ కాలవ్యవధిలో (v₁+v₂)/2 అని తెలిపితే, అది సరియైనదేనా? మీ సమాధానానికి తగిన వివరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
t = 0 వద్ద వేగము v₁ మరియు t = t వద్ద వేగము v₂ అయినపుడు సగటు వేగము v = \(\frac{v_1+v_2}{2}\) అన్న సమీకరణం సరియైనది.
వివరణ : దత్తాంశం నుండి కాలము t₁ = 0 మరియు t₂ = t. ల వద్ద వేగము v₁ మరియు v₂

అనగా సగటు వేగము v = \(\frac{v_1+v_2}{2}\) సరియైనది అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 3.
ఒక కణం వేగ దిశ, కణ త్వరణ దిశతో పోల్చితే వేరుగా ఉండవచ్చా? అవును అయితే ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
వస్తువు వేగము మరియు త్వరణములు వేరు వేరు దిశలలో ఉండవచ్చును.

ఉదా :

1. ప్రక్షేపకాలలో క్షితిజ లంబదిశలో తొలి వేగము u_y = u sinθ. ఇది ఊర్ధ్వ దిశలో ఉంటుంది. కాని గురుత్వ త్వరణం అధోదిశలో ఉంటుంది. అనగా వేగము, త్వరణాలు వ్యతిరేక దిశలో ఉన్నాయి.
2. ప్రక్షేపకాలలో క్షితిజ సమాంతర దిశలో వేగము X అక్షము వెంబడి ఉంటుంది. కాని త్వరణము y- అక్షము వెంబడి ఉంటుంది. అనగా వేగము, త్వరణాలు పరస్పర లంబదిశలో ఉన్నాయి.

పై ఉదాహరణల నుండి వేగము, త్వరణాలు వేరువేరు దిశలలో ఉండవచ్చును అని తెలుస్తోంది.

ప్రశ్న 4.
ఎగురుతూ ఉన్న విమానం నుంచి పారాచూట్ సహాయంతో ఒక వ్యక్తి భూమి నుండి 3 km ఎత్తు నుంచి దూకాడు. అతడు భూమి నుంచి 1 km ఎత్తులో ఉన్నప్పుడు పారాచూట్ను పూర్తిగా విప్పాడు. అతడి గమనాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
ఎ) పారాచూట్ తెరచుకోవడానికి ముందు కిందికి దిగిన దూరము h₁ = 2 km 2000 మీ.
∴ భూమి నుండి 1km ఎత్తు వద్ద వేగము v = \(\sqrt{2 \mathrm{gh}_1}=\sqrt{2 \times 10 \times 2000}\)
= \(\sqrt{40,000}\) = 200 మీ/సె.
2 km కిందికి దిగటానికి పట్టిన కాలము t = \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{~h}_1}{\mathrm{~g}}}=\sqrt{\frac{2 \times 2000}{10}}\)
t = \(\sqrt{400}\) = 20 సె.

బి) పారాచూట్ తెరచుకున్న తరువాత అది భూమిని దాదాపు సున్న వేగంతో తాకుతుంది.

కావున తుది వేగము v = 0; తొలివేగము v_o = 200 మీ/సె,
తుదివేగము v_o = 0, x = h = 1000 మీ.
పారాచూట్ త్వరణము v² – v_o² = 2ax నుండి
a = \(\frac{0^2-200^2}{2 \times 1000}=\frac{-40000}{2000}\) = – 20 మీ/సె.
కాలము t = \(\frac{v_0}{a}=\frac{200}{-20}\) = 10 సె.
ఈ సందర్భములో v – t వక్రము ఆకృతి

ప్రశ్న 5.
ఒక పక్షి తన ముక్కున ఒక పండు కరుచుకుని భూమికి సమాంతరంగా ఎగురుతున్నది. ఒకానొక ఎత్తున అది పండును జారవిడిచింది. (ఎ) పక్షి పరంగానూ (బి) భూమిపై నిలబడిన వ్యక్తి పరంగానూ కింద పడుతున్న పండు గమన పథాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
పక్షి భూమికి సమాంతరంగా ఎగురుతున్నది. కావున దాని నోటి నుండి జారిపడిన పండు తొలివేగం (V₀) క్షితిజ సమాంతరంగా ఉంటుంది. నోటి నుండి జారిన తరువాత పండు పై గురుత్వ త్వరణం ‘g’ పనిచేస్తుంది. కాని పక్షి మరియు పండు ఒకే క్షితిజ సమాంతర వేగం కలిగి ఉండడం వల్ల పక్షికి పండు నిట్టనిలువుగా క్రిందికి పడినట్లు కనిపిస్తుంది.

భూమిపై నిలబడి పరిశీలించిన వ్యక్తికి పండుకు గల క్షితిజ సమాంతర మరియు గురుత్వ త్వరణం వలన కలిగిన క్షితిజ లంబ అంశ వేగాల ఫలితమైన పరావలయ మార్గం కనిపిస్తుంది.

ప్రశ్న 6.
ఒకడు ఎత్తయిన భవన ఉపరితలంపై పరిగెడుతూ, పక్కనే కొద్దిగా తక్కువ ఎత్తున్న ఇంకొక భవనం పైకి క్షితిజ సమాంతరంగా దూకాడు. అతడి వేగం 9 m s^-1, రెండు భవనాల మధ్య దూరం 10 m, భవనాల ఎత్తులలో తేడా 9 m అయితే అతడు రెండవ భవనం పైకి దూకగలడా? (g = 10 m s^-2)
జవాబు:
తొలివేగము V₀ = 9 మీ/సె. భవనాల ఎత్తులలో తేడా = 9 మీ. భవనముల మధ్య క్షితిజ సమాంతర దూరము x = 10 మీ. ఆ వ్యక్తి సురక్షితంగా రెండవ భవనం మీదకు దూకడానికి అతని క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి భవనముల మధ్య దూరము ‘x’ కన్నా ఎక్కువ ఉండాలి.
క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి R = V₀ \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{~h}}{\mathrm{~g}}}=9 \cdot \sqrt{\frac{2 \times 9}{10}}=9 \sqrt{1.8}\)
∴ R = 9 × 1.341 = 12.069
∵ R > x అతను సురక్షితంగా రెండవ భవనం మీదకు దూకుతాడు.

ప్రశ్న 7.
ఒక ఎత్తయిన భవనంపై నుంచి ఒక బంతిని జారవిడిచారు. అదే క్షణంలో అక్కడి నుంచే, ఇంకొక బంతిని కొంత వేగంతో క్షితిజ సమాంతరంగా విసిరారు. ఏ బంతి మొదటగా భూమిని చేరుతుంది? మీ సమాధానాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
జారవిడిచిన బంతికి దిశలో తొలివేగం సున్న ⇒ V_ov = 0
క్షితిజ సమాంతరంగా విసరబడిన బంతికి ‘y’ దిశలో తొలివేగము సున్న ⇒ V_oy = 0
రెండు వస్తువులు కిందికి దిగిన దూరం ‘y’కు సమానము.
పైనుంచి వస్తువు కింద పడటానికి పట్టిన కాలము t = \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{y}}{\mathrm{g}}}\)
రెండు వస్తువులకు స్త్రీ సమానము. ఎత్తు = సమానము కావున ఆ రెండు వస్తువులు ఒకేసారి క్రింద పడతాయి. గమనిక : వస్తువు కిందకు పడటానికి పట్టిన కాలము క్షితిజ సమాంతర దిశలో వేగంపై ఆధారపడదు.

ప్రశ్న 8.
ఒక భవనంపై నుంచి ఒక బంతిని జారవిడిచారు. అదే క్షణంలో ఇంకొక బంతిని నిట్టనిలువుగా పైకి కొంత వేగంతో విసిరారు. ఆ బంతుల సాపేక్ష వేగాలలో మార్పును కాలం ప్రమేయంగా వివరించండి.
జవాబు:
భవనంపై నుంచి జారవిడిచిన బంతికి తొలివేగము V_o = 0; ఏదైనా క్షణంలో దాని వేగము V₁ = V_o + gt = gt ……………….. (1)
నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరిన బంతికి తొలివేగము V_o = u అనుకోండి.
వస్తువుకు ఏదైనా క్షణంలో వేగము V₂ = V_o – gt = u – gt ……………….. (2)
ఈ వస్తువులు వ్యతిరేక దిశలో చలించడం వల్ల వాటి సాపేక్ష వేగము V_R = V₂ + V₁ = u – gt + gt = u.
ఈ సందర్భంలో వాటి మధ్య సాపేక్ష వేగము ‘u’. ఇది కాలంతో పాటు మారదు. ఎందుకనగా మొదటి వస్తువు వేగం ఎంత పెరిగితే పైకి విసిరిన వస్తువు వేగం అదే కాలంలో అంతే తగ్గుతుంది కావున.

ప్రశ్న 9.
ఒకానొక వర్ష బిందువు వ్యాసం 4 mm. భూమి నుంచి 1 km ఎత్తున గల మేఘం నుంచి ఆ వర్ష బిందువు జారిపడితే అది భూమిని ఎంత ద్రవ్యవేగంతో తాకుతుంది?
జవాబు:
వర్షపు బిందువు వ్యాసము D = 4 మి.మీ. ⇒ వ్యాసార్ధము r = 2 మి.మీ. = 2 × 10^-3m.
వర్షపు బిందు ద్రవ్యరాశి m = ఘ.ప. x సాంద్రత = \(\frac{4}{3}\) πг³ × 1000
(∵ నీటి సాంద్రత d = 1000 kg/m³ కావున)
∴ m = \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × (2 × 10^-3)³ ×1000 = \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × 8 × 10^-9 × 10³
= 33.52 × 10^-6 Kg
ఎత్తు h = 1 కి.మీ. 1000 మీ.; g = 9.8 మీ/సె²
నేలను తాకుటకు ముందు వేగము V = \(\sqrt{2 \mathrm{gh}}=\sqrt{2 \times 9.8 \times 1000}\)
= \(\sqrt{19600}\) = 140 మీ/సె.
∴ నీటి బిందువు ద్రవ్యరాశి వేగము \(\overline{\mathrm{p}}\) = m V = 33.52 × 10^-6 × 140
= 4.693 × 10^-3 Kg-m

ప్రశ్న 10.
క్షితిజంతో 45° కోణంతో ప్రక్షిప్తం చేసిన ప్రక్షేపకం చేరే గరిష్ఠ ఎత్తు దాని వ్యాప్తిలో నాలుగో వంతు ఉంటుందని చూపండి.
జవాబు:
ప్రక్షేపకాలలో వ్యాప్తి R = \(\frac{u^2 \sin 2 \theta}{\mathrm{g}}\)
గరిష్లోన్నతి h_max = \(\frac{\mathrm{u}^2 \sin ^2 \theta}{2 \mathrm{~g}}\)
ప్రక్షేపకోణము θ = 45°;
sin45 = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

అదనపు ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
వేగ – కాల వక్రాలు అనగానేమి? వివిధ రకాలైన వేగ – కాల వక్రాల ఆకృతులు, వాటి ఉపయోగాలు తెలుపండి.
జవాబు:
వేగ – కాల వక్రాలు (V-t గ్రాఫ్) : వేగము Vని Y- అక్షం మీద, కాలము t ని X- అక్షం మీద తీసుకొని గీచిన రేఖా పటాన్ని వేగ ‘కాల వక్రము అంటారు. వేగ కాలవక్రాలలో
a) సమవేగంతో చలించే వస్తువు వేగ – కాల వక్రం X- అక్షానికి సమాంతరంగా గల సరళరేఖ.
b) నిశ్చలస్థితి నుండి బయలుదేరి సమత్వరణంతో చలించే వస్తువు వేగ – కాల వక్రం మూల బిందువు గుండా పోవు సరళరేఖ.
c) తొలివేగం ‘V₀‘ తో బయలుదేరి సమత్వరణంతో చలించు వస్తువు వేగ – కాల వక్రం కొంత Y అంతరఖండం కలిగి X- అక్షంతో కొంత కోణం చేయు సరళరేఖ. దీని Y అంతర ఖండం తొలివేగం ‘V₀‘ ను ఇస్తుంది.
d) వేగ – కాల వక్రం వాలు వస్తువు సమత్వరణం ‘a’ ను ఇస్తుంది.
e) వేగ – కాల వక్రం కింద గల వైశాల్యం వస్తువు మొత్తం స్థానభ్రంశం ‘s’ ను తెలియజేస్తుంది.
f) వేగ – కాల వక్రాల నుండి గతి శాస్త్ర సమీకరణములు V = V₀ + at, X = V₀t + \(\frac{1}{2}\)at², V² – V₀² = 2ax లను ఉత్పాదించవచ్చు.

ప్రశ్న 2.
వేగ – కాల వక్రాల నుండి గతిశాస్త్ర ప్రాథమిక సమీకరణాలు ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
తొలివేగము ‘V₀‘ తో బయలుదేరి సమత్వరణము ‘a’ తో చలించు వస్తువు వేగ – కాల వక్రము పటంలో చూపినట్లు ఉంటుంది.
1) V = V₀ + at ఉత్పాదన :
వేగకాల వక్రం వాలు \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) వస్తువు త్వరణము

‘a’ ను సూచిస్తుంది.
పటంలో AC = dx = t
BC = DB – DC = V – V₀ = dy
∴ త్వరణము \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = a = \(\frac{V-V_0}{t}\)
⇒ at = V – V₀ లేదా V = V₀ + at

2) X = V₀t + \(\frac{1}{2}\) at² ఉత్పాదన :
వేగ – కాల వక్రాల కింద గల వైశాల్యము మొత్తం స్థానభ్రంశాన్ని సూచిస్తుంది.
∴ మొత్తం స్థానభ్రంశము x = OABD వైశాల్యము = దీర్ఘచతురస్రము
OACD వైశాల్యము + త్రిభుజము ABC వైశాల్యము ……………. (1)
OACD వైశాల్యము = OA × OD = V_o × t …………….. (2)
త్రిభుజము ABC వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\) × AC × CD = \(\frac{1}{2}\)t(V – V₀)
కాని V – V₀ = at
∴ త్రిభుజ వైశాల్యము = \(\frac{1}{2}\)t at = \(\frac{1}{2}\)at² …………….. (3)
1, 2, 3 సమీకరణాల నుండి x = V₀t + \(\frac{1}{2}\) at²

3) V² – V₀² = 2ax ఉత్పాదన :
వస్తువు మొత్తం స్థానభ్రంశము X = సగటువేగము × కాలము
సగటు వేగము = \(\frac{V+V_0}{2}\) మరియు కాలము t = \(\frac{V-V_0}{2}\)
∴ x = \(\left(\frac{\mathrm{V}+\mathrm{V}_0}{2}\right)\left(\frac{\mathrm{V}-\mathrm{V}_0}{\mathrm{a}}\right)=\frac{\mathrm{V}^2-\mathrm{V}_0^2}{2 \mathrm{a}}\) లేదా V² – V₀² = 2ax

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఒకడు ఒక తిన్నని రోడ్డు వెంట తన ఇంటి నుంచి 2.5 km దూరాన ఉన్న మార్కెట్కు 5 km h^-1 వడితో నడిచాడు. మార్కెట్ మూసి ఉండటం గమనించి, వెంటనే వెనుదిరిగి ఇంటికి 7.5 km ho వేగంతో చేరాడు. 0 నుండి 50 నిమిషాల కాలవ్యవధిలో అతడి (a) సగటు వేగ పరిమాణం, (b) సగటు వడి ఎంత?
సాధన:

ప్రశ్న 2.
ఒక కారు మొదటి మూడు వంతుల దూరాన్ని 10 kmph వేగంతోనూ, రెండవ మూడువంతుల దూరాన్ని 20 kmph వేగంతోనూ, చివరి మూడు వంతుల దూరాన్ని 60 kmph వేగంతోనూ ప్రయాణిస్తే, మొత్తం దూరాన్ని పూర్తి చేయడంలో కారు సగటు వడి ఎంత? (మే 2014)
సాధన:
మొత్తము దూరము = s;
ప్రయాణించిన దూరము, s₁ = \(\frac{s}{3}\) ; వేగము, v₁ = 10 kmph
దూరము, s₂ = \(\frac{s}{3}\) వేగము, v₂ = 20 kmph
దూరము, s₃ = \(\frac{s}{3}\) వేగము, v₃ = 60 kmph

ప్రశ్న 3.
ఒక తుపాకి గుండు 150 m s^-1 వడితో ప్రయాణిస్తూ చెట్టును తాకి 3.5 cm దూరం దూసుకొని పోయి ఆగిపోయింది. చెట్టు కాండంలో గుండు ఋణత్వరణం పరిమాణం, చెట్టును తాకిన తరువాత గుండు ఆగిపోవడానికి పట్టిన కాలం ఎంత?
సాధన:
బుల్లెట్ తొలి వేగము, u = 150 m/s; తుది వేగము, v = 0
ప్రయాణించిన దూరము, s = 3.5 cm = 3.5 × 10^-2 m,
a) త్వరణము, a = \(\frac{\mathrm{v}^2-\mathrm{u}^2}{2 \mathrm{~s}}=\frac{0^2-150^2}{2 \times 3.50 \times 10^{-2}}=\frac{22500}{7 \times 10^{-2}}\) = 3.214 × 10⁵ m / sec²
(−గుర్తు ఋణత్వరణము)
b) ఆగిపోవుటకు పట్టిన కాలము, t = \(\frac{\mathrm{v}-\mathrm{u}}{\mathrm{a}}=\frac{-150}{-3.214 \times 10^5}\) = 4.67 × 10^-4 sec.

ప్రశ్న 4.
ఒక మోటారు వాహకుడు మోటారును 30 నిమిషాలపాటు 85 km/h వేగంతో ఉత్తర దిశగా నడిపి 15 నిమిషాలపాటు ఆగిపోయాడు. తరువాత ఉత్తర దిశలోనే ప్రయాణించి 2 గంటలలో 130 km దూరం వెళ్ళాడు. అతడి మొత్తం స్థానభ్రంశం, సగటు వేగం ఎంత?
సాధన:
మొదటి భాగములో :
వేగము, v₁ = 85 kmph
కాలము, t₁ = 30 ని.
ప్రయాణించిన దూరము
s₁ = v₁ t₁ = 85 × \(\frac{30}{60}\) = 42.5 km
రెండవ భాగములో :
ప్రయాణించిన దూరము, s₂ = 0
కాలము, t₂ = 15.0 ని.
మూడవ భాగములో :
ప్రయాణించిన దూరము, s₃ = 130 km కాలము, t₃ = 120 ని. = 2 గం.
a) ప్రయాణించిన మొత్తం దూరము, s = s₁ + s₂ + s₃ = 42.5 + 0 + 130 = 172.5 km
b) ప్రయాణించిన మొత్తం కాలము, t = t₁ + t₂ + t₃ = 30 + 15 + 120 = 165 ని. = 2 గం. 45 నిమిషాలు

= 2 \(\frac{3}{4}\) గంటలు = \(\frac{11}{4}\) గంటలు
∴ సగటు వేగము, v_avg = \(\frac{172.5}{\frac{11}{4}}\) = 62.7 kmph.

ప్రశ్న 5.
ఒక భవనం పైకప్పు నుంచి బంతి Aని జారవిడిచిన క్షణంలోనే, అలాంటిదే బంతి B ను భూమిపై నుంచి నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరారు. బంతులు ఢీకొట్టుకున్న క్షణంలో బంతి A వడి, బంతి B వడికి రెట్టింపు ఉంది. బంతులు అభిఘాతం జరుపుకొన్న ఎత్తు, భవనం ఎత్తులో ఎన్నో వంతు ఉంటుంది?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి వస్తువులు ఢీ కొనేటప్పుడు A వస్తువు వేగము V_A = 2 × V_B (B వేగము)
‘A’ ను h ఎత్తు నుంచి జారవిడిచినారనుకొనుము. రెండు వస్తువులు భూమి నుండి x ఎత్తులో ఢీకొన్నవి అనుకొనుము.
జారవిడిచిన వస్తువుకు S_A = h – x = \(\frac{1}{2}\) gt² ………….. (1)
పైకి విసిరిన వస్తువుకు S_B = x = ut – \(\frac{1}{2}\) gt² ………….. (2)
x వద్ద జారవిడిచిన వస్తువు వేగము V_A = 0 + gt = gt …………….. (3)
పైకి విసిరిన వస్తువుకు x వద్ద వేగము V_B = u – gt ………………. (4)
కాని V_A = 2 × V_B ⇒ gt = 2 (u – gt) లేదా u = \(\frac{3 \mathrm{gt}}{2}\) …………… (5)


అనగా మొత్తం ఎత్తులో వస్తువులు ఢీకొన్న సమయంలోని ఎత్తు భాగము = \(\frac{2}{3}\)

ప్రశ్న 6.
16 m ఎత్తు గల ఒక భవనం పై కప్పు నుంచి క్రమ కాలవ్యవధులలో నీటి బిందువులు పడుతున్నాయి. మొదటి నీటి బిందువు భూమిని తాకిన క్షణంలో, అయిదవ నీటి బిందువు పైకప్పును వదిలింది. వరుస నీటి బిందువుల మధ్య దూరం కనుక్కోండి.
సాధన:
భూమి నుండి ఇంటి పైకప్పు ఎత్తు, h = 16 m
నీటి బిందువు భూమిని చేరుటకు పట్టు కాలము, t = \(\sqrt{\frac{2 h}{g}}\)
∴ t = \(\sqrt{\frac{2 \times 16}{9.8}}=\sqrt{\frac{32}{9.8}}=\sqrt{3.26}\)= 1.8 సెం.
మొత్తం బిందువుల సంఖ్య, n = 5
కాల వ్యవధుల సంఖ్య = n – 1 = 5 – 1 = 4
ఒక్కొక్క బిందువు మధ్య కాలవ్యవధి = \(\frac{1.8}{4}\) = 0.45 సె.
మొదటి బిందువు ప్రయాణించిన కాలము t₁ = 4 × 0.45 = 1.8 సె.
∴ ప్రయాణించిన దూరము
S₁ = \(\frac{1}{2}\)gt₁² = \(\frac{1}{2}\) × 9.8 × 1.8 ×1.8 = 16 m
రెండవ నీటి బిందువు విషయంలో t₂ = 3 × 3t₁ = 3 × 0.45 = 1.35 sec.
ప్రయాణించిన దూరము S₂ = \(\frac{1}{2}\)gt₂²
∴ S₂ = \(\frac{1}{2}\) × 9.8 × 1.35² = 4.9 × 1.822 = 9m
మూడవ బిందువు విషయంలో, t₃ = 2 × 0.45 = 0.9 sec.
ప్రయాణించిన దూరము, S₃ = \(\frac{1}{2}\)gt₃² = \(\frac{1}{2}\) × 9.8 × 0.9² = 3.97 ≃ 4m
నాల్గవ బిందువు విషయంలో. t₄ = 1 × 0.45 = 0.45 sec
ప్రయాణించిన దూరము S₄ = \(\frac{1}{2}\)gt₄² = \(\frac{1}{2}\) × 9.8 × (0.45)² ≃ 1 m
ఐదవ బిందువు విషయంలో t₅ = 0 × 0.45 = 0 sec.
దూరము S₅ = \(\frac{1}{2}\)gt₅² = 0 m

1వ మరియు 2వ బిందువుల మధ్య దూరము S₁¹ = S₁ – S₂ = 16 – 9 = 7 m
2వ మరియు 3వ బిందువుల మధ్య దూరము S₂¹ = S₂ – S₃ = 9 – 4 = 5 m
3వ మరియు 4వ బిందువుల మధ్య దూరము S₃¹ = S₃ – S₄ = 4 – 1 = 3 m
4వ మరియు 5వ బిందువుల మధ్య దూరము S₄¹ = S₄ – S₅ = 1 – 0 = 1 m
∴ వరుస బిందువుల మధ్య దూరములు 7m, 5m, 3m మరియు 1m.

ప్రశ్న 7.
ఒక వేటగాడు తనకు కొంత దూరంలో ఉన్న చెట్టు నుంచి వేలాడుతున్న ఒక కోతికి తుపాకీ గురిపెట్టాడు. వేటగాడు తుపాకీ పేల్చిన క్షణాన, గుండు తగలకుండా తప్పించుకోవాలని కోతి కొమ్మను విడిచి జారిపడింది. కోతిది తప్పుడు నిర్ణయం అని వివరించండి.
సాధన:
బుల్లెట్ను ప్రక్షిప్తం చేసిన కోణం α అనుకొనుము.
వేటగాని నుండి కోతికి గల దూరము = x అనుకొనుము.
కోతిని ఖచ్చితంగా గురిపెట్టినపుడు s_y = v sinα t = h
గురుత్వ త్వరణం వలన h₁ = u sin α t – \(\frac{1}{2}\) gt² = h – \(\frac{1}{2}\) gt² ………………… (1)
కనుక కోతి క్రింద నుండి బుల్లెట్ పోయిన దూరము = \(\frac{1}{2}\) gt²
అయితే కోతి స్వేచ్ఛగా క్రిందకు పడుతున్నప్పుడు t సెకనులలో ప్రయాణించిన దూరము t = \(\frac{1}{2}\) gt²
అయిన కొత్త దూరము h₂ = h – \(\frac{1}{2}\) gt² …………. (2)
∴ సమీకరణము (1) మరియు (2)ల నుండి h₁ = h₂ ఋజువైనది. కనుక కోతి చేతులు వదిలివేసి జారటం వల్ల బుల్లెట్ ఖచ్చితంగా దానికి తాకింది. అనగా ఆ కోతి పొరపాటు పడింది.

ప్రశ్న 8.
భూమి నుంచి 500 m ఎత్తున 360 kmph వడితో క్షితిజ సమాంతర దిశలో ప్రయాణిస్తున్న విమానం నుంచి ఆహారపు పొట్లాన్ని జారవిడిచారు. (i) పొట్లం అవరోహణ కాలం, (ii) జారవిడిచిన బిందువు నుండి క్షితిజ సమాంతరంగా ఎంత దూరంలో పొట్లం భూమిని చేరుతుందో కనుక్కోండి.
సాధన:
విమానం వేగము V = 360 kmph = 360 × \(\frac{5}{18}\) = 100 మీ/సె.
భూమి నుండి ఎత్తు h = 500 మీ; g = 10 మీ/సె²
i) భూమిని చేరటానికి పట్టిన కాలం = పలాయన కాలం t = \(\sqrt{\frac{2 h}{g}}=\sqrt{\frac{2 \times 500}{10}}=\sqrt{100}\) = 10 సెకనులు
ii) జారవిడిచిన బిందువు నుండి భూమి లంబ పాదాన్ని తాకే దూరం = వ్యాప్తి (R).
∴ వ్యాప్తి (R) = u \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{~h}}{\mathrm{~g}}}=100 \sqrt{\frac{2 \times 500}{10}}=100 \sqrt{100}\) = 1000 మీ.

ప్రశ్న 9.
ఒక భవనం కిటికీ నుంచి, క్షితిజానికి 20° కిందగా, 8 ms^-1 వేగంతో ఒక బంతిని విసిరారు. బంతి భూమిని 3s తరువాత తాకింది. బంతిని ఎంత ఎత్తు నుంచి విసిరారు? భవనం పునాది నుంచి ఎంత దూరంలో బంతి భూమిని తాకుతుంది?
సాధన:
తొలివేగము u = 8 మీ/సె;
ప్రక్షిప్త కోణము θ = 20° ;
భూమిని చేరుటకు పట్టు కాలము t = 3 సె.
క్షితిజ సమాంతర తొలివేగము u_x = u. cos θ = 8 cos 20° = 8 × 0.94 = 7.52 మీ/సె
నిలువుతులం దిశలో తొలివేగము v_y = u sin θ = 8 sin 20° = 8 × 0.342 = 2.786 మీ/సె
a) t సెకనులలో క్షితిజ సమాంతరంగా ప్రయాణించిన దూరము X = u_xt = 7.52 × 3 = 22.56 మీ

b) బంతిని విసిరిన ఎత్తు h = -u_yt + \(\frac{1}{2}\)gt²
h = -2.786 × 3 + \(\frac{1}{2}\) × 9.8 × 3² = -8.208 + 44.1 = 35.9 మీ.

c) 10 మీ క్రింద ఉన్న బిందువును చేరటానికి పట్టిన కాలము లెక్కించుట
h₁ = 10m
u_y = 2.786 = 2.8 m/s, t₁ = ?
h₁ = -u_yt₁ + \(\frac{1}{2}\)gt₁² ⇒ 10 = -2.8 × t₁ + \(\frac{1}{2}\) × 10 × t₁²
∴ 10 = -2.8t₁ + 5t₁² ⇒ 2.8 t – 10 = 0
t = \(\frac{2.8 \pm \sqrt{2.8^2-(4 \times 5 \times(-10))}}{2 \times 5}=\frac{2.8 \pm 14.42}{10}\)
⇒ t = 1.722 సె.

ప్రశ్న 10.
క్షితిజంతో 30°, 60° చేసే దిశలలో, ఒకే బిందువు నుంచి రెండు బంతులను ప్రక్షిప్తం చేశారు. ఆ రెండు బంతులూ (a) ఒకే ఎత్తును చేరితే, (b) ఒకే వ్యాప్తిని కలిగి ఉంటే వాటి తొలివేగాల నిష్పత్తి ఎంత?
సాధన:
మొదటి బంతి ప్రక్షేప కోణము θ₁ = 30°
రెండవ బంతి ప్రక్షేప కోణము θ₂ = 60°
బ వేగాలు u₁ మరియు u₂ అనుకుందాం.
(a) దత్తాంశం నుండి అవి ఒకే గరిష్ఠ ఎత్తును చేరాయి అనగా h_{max 1} = h_{max 2}

∴ వాటి తొలివేగాల నిష్పత్తి 3:1

(b) దత్తాంశం నుండి వాటి వ్యాప్తి సమానము.
వ్యాప్తి R = \(\frac{u^2 \sin 2 \theta}{g} \Rightarrow \frac{u_1^2 \sin 60^{\circ}}{g}=\frac{u_2^2 \sin 120^{\circ}}{g}\)
⇒ \(\frac{u_1^2}{u^2}=\frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{\cos 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3} / 2}{\sqrt{3} / 2}\) = 1 (∵ sin 120° = cos 30°)
∴ వేగాల నిష్పత్తి u₁ : u₂ = 1 : 1

ముఖ్యమైన ఉదాహరణ లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఒక కారు ఒక సరళరేఖ వెంబడి, OP అనుకుందాం, గమనంలో ఉన్నది. అది 18sలో 0 నుంచి P బిందువును చేరి మరల P నుంచి బిందువు ను 6.08 లలో చేరింది. (a) O నుంచి P ను చేరినప్పుడు, (b) O నుంచి P ను, అటు నుంచి వెనుదిరిగి Q ను చేరినప్పుడు వస్తువు సగటు వేగం, సగటు వడి విలువలేమిటి?
సాధన:

ప్రశ్న 2.
x- అక్షం వెంబడి గమనంలో ఉన్న ఒక వస్తువు స్థానం x = a + bt² గా ఇవ్వడమైంది. ఇక్కడ a = 8.5m, b = 2.5ms^-2, t ను సెకండ్లలో కొలిచారు. t = 0s,t = 2.0 s వద్ద వేగం ఎంత? t = 2.0 s, t = 4.0 s మధ్య సగటు వేగం ఎంత?
సాధన:
వేగము v = \(\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\) (a + bt²) = 2bt = 5.0tms^-1
t = 0 s వద్ద v = 0 ms^-1, t = 2.0s వద్ద v=10 ms^-1
సగటు వేగం \(\frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=\frac{x(4.0)-x(2.0)}{4.0-2.0}\)
= \(\frac{a+16 b-a-4 b}{2.0}\) = 6.0 × b = 6.0 × 2.5 = 15 ms^-1

ప్రశ్న 3.
ఉత్తర – దక్షిణ దిశలో రెండు సమాంతర రైలు మార్గాలున్నాయి. రైలు A 54 km h^-1 వడితో ఉత్తరం వైపు, రైలు B 90 km h^-1 వడితో దక్షిణంవైపు ప్రయాణిస్తున్నాయి. (a) A పరంగా B వేగం ఎంత? (b) B పరంగా భూమి వేగం ఎంత? (c) రైలు A పైకప్పుపై 18km h^-1 వేగంతో రైలు వేగానికి వ్యతిరేక దిశలో పరుగెడుతున్న కోతి సాపేక్ష వేగం భూమిపై నిల్చున్న పరిశీలకుడి పరంగా ఎంత?
సాధన:
దక్షిణం నుండి ఉత్తరంవైపు ధన x – అక్షం దిశగా ఎంచుకొందాం. అప్పుడు,
V_A = +54 kmh^-1 = 15 ms^-1
V_B = -90 kmh^-1 = -25ms^-1
A పరంగా B సాపేక్ష వేగం = v_B – v_A = -40ms^-1, అంటే రైలు A పరంగా రైలు B 40m s^-1 వడితో ఉత్తరం నుంచి దక్షిణంవైపు ప్రయాణిస్తున్నట్లు అనిపిస్తుంది.
రైలు B పరంగా భూమి సాపేక్ష వేగం = 0 – v_B = 25 ms^-1
భాగం (c) లో భూమి పరంగా కోతి వేగం v_M అనుకొందాం. రైలు A పరంగా కోతి సాపేక్ష వేగం
V_MA = V_M – V_A = -18 kmh^-1 = -5ms^-1. అందువల్ల V_M = (15 – 5)ms^-1 =10m s^-1

ప్రశ్న 4.
ఒక బహుళ అంతస్థు పైభాగం నుంచి ఒక బంతిని నిట్టనిలువుగా పైకి 20 m s^-1 వేగంతో విసిరారు. బంతిని విసిరిన బిందువు భూమి నుంచి 25.0m ఎత్తున ఉంది. (a) బంతి ఎంత ఎత్తుకు ఎగురుతుంది? (b) విసిరిన తరువాత బంతి భూమిని తాకడానికి ఎంత కాలము పడుతుంది? g = 10 ms^-2 గా తీసుకోండి (g నిజ విలువ 9.8 ms^-2).
సాధన:
తొలివేగము v_o = 20 m / s; గురుత్వత్వరణము g = 10m/s²
భవనం ఎత్తు = y_o = 25 మీ; తుదివేగము v = 0
(a) బంతి చేరిన ఎత్తు భవనం నుండి = y – y_o
v² – v_o² = 2a(y – y_o) నుండి 0 – 20² = 2 × 10(y – y_o)
y – y_o = \(\frac{0-20^2}{20}\) = 20 మీ.

(b)బంతి నేలను తాకటానికి పట్టిన కాలము t = ?
ఈ సందర్భానికి y = y_o + v_ot + \(\frac{1}{2}\)at² ను వాడవలెను.
ఇందులో y_o = 25మీ, v_o = 20 మీ/సె. g = -10మీ/సె²
మొత్తం స్థానభ్రంశము y = 0 (భూమి నుండి)
∴ 0 = 25 + 20t – \(\frac{1}{2}\) 10t² ⇒ -5t² + 20t + 25 = 0
లేదా t² – 4t – 5t² = 0 దీనిని సాధించగా
(t – 5)(t + 1) = 0 అనగా t = 5 సె లేదా t = -1 సె కాలము ‘ఋణాత్మకం’ కాదు కావున రాయి భూమిని చేరుటకు పట్టినకాలము t = 5 సె.

అదనపు లెక్కలు.

ప్రశ్న 1.
కింద ఇచ్చిన గమన సంబంధ ఉదాహరణలలో దేనిలో వస్తువును బిందు వస్తువుగా ఉజ్జాయింపు చేయవచ్చు.
a) రెండు స్టేషన్ల మధ్య కుదుపులు లేకుండా ప్రయాణించే రైలు కారేజ్.
b) వృత్తాకార మార్గంలో సైకిల్ తొక్కే వ్యక్తి తలపై కూర్చున్న కోతి.
c) స్పిన్ తిరుగుతూ భూమిని తాకి హఠాత్తుగా మలుపు తిరిగిన క్రికెట్ బంతి.
d) టేబుల్ అంచు నుంచి జారిపడి అటూ ఇటూ దొర్లుతున్న బీకర్.
సాధన:
a) స్టేషన్ల మధ్య దూరంతో పోలిస్తే రైలు క్యారేజ్ పరిమాణం చాలా చిన్నది. కావున దీన్ని బిందు పరిమాణ వస్తువుగా భావించవచ్చు.

b) వృత్తాకార మార్గ వ్యాసార్ధం బాగా ఎక్కువగా ఉంటే కోతిని బిందు పరిమాణ వస్తువుగా భావించవచ్చు.

c) బంతి, భూమిని తాకి ఉన్న పరిమాణంతో పోలిస్తే బంతి పరిమాణం పెద్దది కావున దీనిని బిందు పరిమాణ వస్తువుగా భావించలేము.

d) బల్ల ఎత్తుతో పోల్చితే బీకరు పరిమాణాన్ని విస్మరించలేము కావున దీనిని బిందు పరిమాణ వస్తువుగా భావించలేము.

ప్రశ్న 2.
ఇద్దరు పిల్లలు A, B లు వారి స్కూలు () నుంచి వారి ఇళ్ళు P,Q లకు తిరిగి ప్రయాణమయ్యే సందర్భంలో వారి గమనాన్ని సూచించే స్థానం – కాలం (x – t) గ్రాఫు చూపడం జరిగింది. కింద ఇచ్చిన బ్రాకెట్లలో సరియైన
ఎంపికచేయండి.
a) (A/B) స్కూలుకు (B/A) కంటే దగ్గరగా ఉంటాడు.
b) (A/B) స్కూలుకు (B/A) కంటే ముందుగా బయలుదేరుతాడు.
c) (A/B), (B/A) కంటే వేగంగా నడుస్తాడు.
d) A, B లు ఇంటికి (ఒకే సమయంలో / వేరు వేరు సమయాలలో) చేరుతారు.
e) (A/B) ప్రయాణంలో (B/A) ను (ఒకసారి/రెండుసార్లు) దాటి వెళతాడు.

సాధన:
a) P బిందువు Q కన్నా దగ్గరగా ఉంది. OP < OQ కావున A ఇల్లు B ఇంటి కన్నా దగ్గర.

b) A విషయంలో t = 0 వద్ద x = 0. కాని B విషయంలో t = 0 వద్ద x ≠ 0 కావున B కన్న A ముందుగా స్కూల్ నుండి బయలుదేరతాడు.

c) x – t గ్రాఫ్ వాలు సమవేగాన్ని ఇస్తుంది. పటంలో A ప్రయాణించిన వక్రం వాలుకన్నా B స్థానభ్రంశ రేఖ వాలు ఎక్కువ. అనగా B ఎక్కువ వేగంతో ప్రయాణిస్తాడు.

d) పటంలో P, Q రేఖల నుండి x- అక్షానికి సమాంతర రేఖలు గీస్తే అవి A, B లకు చెందిన రేఖాపటాలను ఒకే కాల వ్యవధి వద్ద ఖండిస్తాయి. అనగా A, B లు ఇద్దరు ఒకేసారి ఇంటికి చేరతారు.

e) ఇచ్చిన రేఖాపటం నుండి A, B రేఖలు ఒకేసారి ఖండించుకున్నాయి. అనగా వారు మార్గంలో ఒకసారి మాత్రమే కలుసుకుంటారు.

ప్రశ్న 3.
ఒక స్త్రీ ఇంటి వద్ద 9 am కు బయలుదేరి, కాలి నడకన 5km h^-1 వడితో తిన్నని రోడ్డుపై 2.5 km దూరంలో ఉ న్న కార్యాలయానికి చేరి, 5pm వరకు అక్కడ ఉండిపోయి, ఆటోలో 25 km h^-1 వడితో తిరిగి ఇంటికి చేరింది. తగిన స్కేలు తీసుకొని ఆ స్త్రీ గమనానికి సంబంధించి x – t గ్రాఫు గీయండి.
సాధన:

ఆమె 9.00 గం.ల నుండి 9.30 గం.ల వరకు చలనంలోను, 9.30 గం.ల నుండి సాయంత్రం 5 గం.ల వరకు స్థిరంగాను, మరలా 5.00 గం.ల నుండి 5 గం. 6 నిమిషాల వరకు చలనంలోను ఉంది. ఆమె స్థానభ్రంశ కాలవక్రము పై గ్రాఫులో చూపిన విధంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
ఒక వ్యక్తి సన్నని వీధిలో 5 అడుగులు ముందుకు, 3 అడుగులు వెనక్కి మరల 5 అడుగులు ముందుకు, 3 అడుగులు వెనక్కి ఇలా నడిచాడు. ప్రతి అడుగులో అతడు 1 m దూరం, 1 సెకనులో ప్రయాణిస్తే, అతని గమనానికి x-t గ్రాఫు గీయండి. వ్యక్తి తాగినవాడైతే బయలుదేరిన చోటు నుంచి 13 m దూరంలో ఉన్న గుంతలో పడడానికి ఎంత సమయం పడుతుందో గ్రాఫు ద్వారా కనుక్కోండి.
సాధన:
5 అడుగులు ముందుకు నడిస్తే 3 అడుగులు వెనుకకు నడిచాడు. అనగా 8 అడుగులలో నికరస్థానభ్రంశం = 5 – 3 = 2
ఒక అడుగు దూరంలో నడిచినది = 1 మీ.
∴ 8 అడుగులలో నికర స్థానభ్రంశం = 2 మీ.
గుంట దూరము = 13 మీ.
ఒక యత్నంలో ముందుకు వెళ్ళిన దూరం = 5 మీ.
ముందుకు, వెనుకకు నడుస్తూ వెళ్ళవలసినది = 13 – 5 = 8 మీ.
∴ 8 మీ. కొరకు నడవవలసిన అడుగులు = \(\frac{8}{2}\) × 8 = 32
32 అడుగుల తరువాత 5 అడుగులు ముందుకు నడిస్తే అతడు గుంటలో పడిపోతాడు. కాబట్టి గుంటలో పడటానికి వేసిన అడుగులు 32+5=37: ఒక అడుగుకు సమయం = 1 సె.
∴ గుంటలో పడటానికి పట్టిన కాలం 37 × 1 = 37 సె. (బయలుదేరినప్పటి నుండి)

ప్రశ్న 5.
500 km h^-1 వడితో పోతున్న ఒక జెట్ విమానం పరంగా దాని నుంచి దగ్ధం చెందిన ఇంధన వాయువులు 1500 km h^-1 వడితో వెలువడుతున్నాయి. భూమిపై నుంచి పరిశీలించిన వ్యక్తికి వాయువులు ఎంత వడితో వెలువడుతున్నట్లు అనిపిస్తుంది?
సాధన:
విమానం వేగము V = 500 kmph
వాయువుల సాపేక్ష వేగము V_PA = 1500 kmph వ్యతిరేక దిశలో
V_PA = V_P – V_A = – 1500 ⇒ V_P = 500 – 1500 = -1000 kmph
∴ భూమి నుంచి చూస్తే వాయువుల వేగము V_P = 1000 kmph .
– గుర్తు వాయువులు విమాన గమన దిశకు వ్యతిరేకము అని చెపుతుంది.

ప్రశ్న 6.
ఒక తిన్నని రహదారి వెంట ఒక కారు 126 km h^-1 వడిలో ప్రయాణిస్తూ 200m దూరంలో నిశ్చలస్థితిలోకి వచ్చింది. కారు ఋణ త్వరణం (త్వరణం సమరీతి త్వరణం అని భావించండి) ఎంత? నిశ్చలస్థితికి రావడానికి కారు తీసుకొన్న సమయం ఎంత?
సాధన:
తొలివేగము V_o = 126 kmph = 126 × \(\frac{5}{18}\) = 35 మీ/సె.
తుదివేగము V = 0, ఆగిపోవుటకు పట్టిన దూరము x = 200 మీ.
V² – V_o² = 2ax నుండి a = \(\frac{-35^2}{2 \times 200}=\frac{-35 \times 35}{2 \times 200}=\frac{-49}{16}\) = -3.06 మీ/సె²
ఆగిపోవుటకు పట్టిన కాలము t = ?
V = V_o + at నుండి
0 = 35 + \(\frac{49}{16}\) × t
⇒ t = \(\frac{35 \times 16}{49}=\frac{80}{7}\) = 11.43 సె.

ప్రశ్న 7.
400 m పొడవున్న రెండు రైళ్ళు A, B లు రెండు సమాంతర రైలు మార్గాలపై 72 km h^-1 సమవడితో ఒకే దిశలో ప్రయాణిస్తున్నాయి. రైలు A, రైలు B కంటే ముందు ఉన్నది. రైలు B డ్రైవరు, రైలు Aని దాటిపోవాలని నిర్ణయించి తన రైలుకు 1 m s^-2 త్వరణం కలిగించాడు. 50s తరువాత రైలు Bలోని గార్డు, రైలు A డ్రైవరును దాటితే రెండు రైళ్ళ మధ్య ఉన్న అసలు దూరం ఎంత?
సాధన:
A రైలు పొడవు A, = 200 మీ. ; వేగము V_o = 72kmph = \(\frac{72 \times 5}{18}\) = 20 మీ/సె.
త్వరణము a = 0, కాలము t = 50 సె.
X = V_ot + \(\frac{1}{2}\)at² నుండి X_A = 20 × 50 + 0 = 1000 మీ.
B రైలుకు తొలివేగము V_o = 72kmph = 72 × \(\frac{5}{18}\) = 20 మీ/సె.
త్వరణము a = 1 మీ/సె²; కాలము t = 50 సె.
X = V_ot + \(\frac{1}{2}\)at² నుండి X_B = 20 × 50 + \(\frac{1}{2}\) × 1 × 50 × 50
= 1000 + \(\frac{2500}{2}\) = 1000 + 1250 = 2250 మీ.
రైలు B, రైలు A ను దాటడానికి ప్రయాణించవలసిన దూరము
S = రైళ్ళమధ్య దూరము x + A రైలు పొడవు A_o + B రైలుపొడవు B_o
∴ S = x + 400 + 400 కానీ రైళ్ళు ప్రయాణించిన దూరము ‘S’ వాటి సాపేక్ష దూరమునకు సమానము.
∴ S = X_B – X_A = 2250 – 1000 = 1250
∴ 1250 = x + 800
రైళ్ళమధ్య తొలిదూరము x = 1250 – 800 = 450 మీ.

ప్రశ్న 8.
రెండు వరుసలున్న (two-lane) రోడ్డుపై కారు A 36 km h^-1 వడితో పోతున్నది. రెండు కార్లు B, C లు వ్యతిరేక దిశల్లో 54kmh^-1 వడితో A వైపు ప్రయాణిస్తున్నాయి. ఒకానొక క్షణాన, దూరాలు AB, AC లు 1km కు సమానమైనప్పుడు, C కంటే ముందుగా A ని దాటిపోవాలని B నిర్ణయించడం జరిగింది. ప్రమాదాన్ని నివారించడానికి కారు B కి ఉండాల్సిన కనీస త్వరణం ఎంత?
సాధన:
కారు A వేగము 36 kmph = 36 × \(\frac{5}{18}\) =10 మీ/సె.
B మరియు C కార్ల వేగము = 54 kmph = 54 × \(\frac{5}{18}\) = 15 మీ/సె.
A తో పోల్చితే B సాపేక్ష వేగము = 15 – 10 = 5 మీ/సె.
A తో పోల్చితే C సాపేక్ష వేగము = 15 + 10 = 25 మీ/సె. (ఎదురు దశ కావున)
A నుండి B మరియు C ల దూరాలు AB = AC = 1km = 1000 మీ.
C లేదా B కి అందుబాటులో గల కాలవ్యవధి \(\frac{1000}{25}\) = 40 సె.
‘C’ కారు సమీపించే లోపల B అను కారు A ను దాటాలంటే
తొలివేగము V_o = 5 మీ/సె. కాలము t = 40 సె. దూరము x = 1000 మీ.
∴ త్వరణము a = ?; S = V_ot + \(\frac{1}{2}\)at² నుండి
1000 = 5 × 40 + \(\frac{1}{2}\) a × 40 × 40 ⇒ 1000 – 200 + 800a
∴ 800a = 1000 – 200 = 800 లేదా a = 1 మీ/సె²

ప్రశ్న 9.
రెండు పట్టణాలు A, B ల నుంచి ప్రతి T నిమిషాలకు రెండు దిశల్లోనూ బస్సులు బయలుదేరేటట్లు రవాణా సౌకర్యంతో వాటిని సంధానించారు. A నుంచి Bకు 20 km h^-1 వడితో సైకిల్పై ప్రయాణించే వ్యక్తిని, అతని గమన దిశలో, ప్రతి 18 నిమిషాలకు ఒక బస్సు దాటుతుంది. వ్యతిరేక దిశలో ప్రతి 6 నిమిషాలకు ఒక బస్సు దాటుతుంది. రవాణా వ్యవస్థలో రెండు వరుస బస్సుల మధ్య కాలవ్యవధి T, బస్సుల వడి (స్థిర వడిగా భావించండి) ఎంత?
సాధన:
A.B పట్టణాల మధ్య బస్సుల సమవడి = V kmph అనుకోండి.
సైక్లిస్ట్ వేగము = 20 kmph
T కాలంలో బస్ ప్రయాణించిన దూరము = VT
బస్ సాపేక్ష వేగము V_R = (V – 20) kmph
18 ని. ఒక బస్సు వెనుక నుంచి దాటింది అనగా \(\frac{\mathrm{VT}}{\mathrm{V}-20}\) = 18 ⇒ VT = 18(V – 20) → (1)
ఎదురు దిశలో 6 ని. ఒక బస్సు దాటింది అనగా \(\frac{\mathrm{VT}}{\mathrm{V}+20}\) = 6 ⇒ VT= 6(V + 20) → (2)
1, 2 సమీకరణాల నుండి 18(V – 20) = 6(V + 20)
⇒3V – 60 = V + 20 ⇒ 3V – V = 20 + 60
∴ 2V = 80 or V = 40kmph దీనిని సమీకరణం 1 లో రాయగా
40T = 18(40 – 20) ⇒ T = \(\frac{18 \times 20}{40}\) = 9 ని.
∴ బస్సు వేగము V=40kmph
బస్సుల మధ్య కాలవ్యవధి = 9 ని.

ప్రశ్న 10.
ఒక క్రీడాకారుడు ఒక బంతిని 29.4 m s^-1 తొలివేగంతో నిట్టనిలువుగా విసిరాడు.
a) బంతి ఊర్ధ్వ దిశలో గమనంలో ఉన్న కాలంలో త్వరణం దిశ ఏమిటి?
b) బంతి గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద గల బిందువును చేరినప్పుడు బంతి వేగం, త్వరణాల విలువలు ఎంతెంత?
c) బంతి గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద x = 0 m, t = 0 s గా స్థానం, కాలం విలువలను ఎన్నుకొని, నిమ్నదిశను ధన x- దిశగా భావించి, స్థానం, వేగం, త్వరణం సంజ్ఞలను బంతి ఊర్ధ్వ దిశలో గమనంలో ఉన్నప్పుడు, నిమ్న దిశలో గమనంలో ఉన్నప్పుడు ఎలా ఉంటాయో తెలుపండి.
d) బంతి ఎంత ఎత్తుకు చేరుతుందో, ఎంత కాలం తరవాత క్రీడాకారుని చేతిలోకి తిరిగి వస్తుందో తెలుపండి. ( g = 9.8 ms^-2 గాను, గాలి నిరోధం లేనట్లుగానూ భావించండి)
సాధన:
a) వస్తువు గురుత్వాకర్షణ క్షేత్రంలో చలిస్తున్నది కాబట్టి దానిపై త్వరణము ఎల్లపుడు అధోదిశలో ఉంటుంది.
b) గరిష్ఠ స్థానభ్రంశ బిందువు వద్ద వేగము v = 0. కాని త్వరణము a = g = 9.8 మీ/సె. అధోదిశలో

c) గరిష్ఠ స్థానభ్రంశ బిందువు వద్ద x = 0 మరియు t = 0 గా, అధోదిశను X- ధన అక్షంగా తీసుకుంటే అధోదిశలో చలించే వస్తువుకు దాని దిశ ధనాత్మకము, వస్తువు వేగము ధనాత్మకము, త్వరణము ధనాత్మకము.

d) తొలివేగము v₀ = -29.4 మీ/సె. a = 9.8 మీ/సె² v = 0. చేరగల గరిష్ఠ ఎత్తు ‘y’ = ? v² – v₀² = 2ay నుండి
0² – (29.4)² = 2 × 9.8y ⇒ y = \(\frac{-29.4 \times 29.4}{2 \times 9.8}\) = 44.1 మీ.
గరిష్ఠ ఎత్తు చేరటానికి పట్టిన కాలము t = ? v = v₀ + at నుండి 0 = – 29.4 + 9.8t
∴ పైకి పోవుటకు కాలము t = \(\frac{29.4}{-9.8}\) = 3 సె.
వస్తువు మరల చేతిలోనికి రావటానికి పట్టిన కాలము T = 3 + 3 = 6 సె.

ప్రశ్న 11.
కింది వాక్యాలను జాగ్రత్తగా చదివి, అవి తప్పో, ఒప్పో తెలిపి తగిన కారణాలను, ఉదాహరణలను పేర్కొనండి. ఒక కణం ఏకమితీయ గమనంలో ఉంది.
a) ఒకానొక క్షణంలో దాని వడి శూన్యమై, ఆ క్షణంలో త్వరణం శూన్యేతర విలువ కలిగి ఉండవచ్చు.
b) దాని వడి శూన్యమై, వేగం శూన్యేతర విలువ కలిగి ఉండవచ్చు.
c) అది స్థిరవడి కలిగి ఉండి తప్పక త్వరణం శూన్యమై ఉండి తీరాలి.
(d) దాని త్వరణం విలువ ధనాత్మకమై తప్పక వడి వృద్ధి కలిగి ఉండాలి.
సాధన:
a) ఈ వాక్యము నిజమైనది. పైకి విసిరిన వస్తువుకు గరిష్ఠ స్థానభ్రంశ బిందువు వద్ద వడి ‘సున్న’ కాని త్వరణము సున్న కాదు.

b) ఈ వాక్యము తప్పు. వడి సున్న అయినపుడు వేగము సున్న కాకుండా ఉండటానికి వీలులేదు. వడి మరియు వేగముల మధ్య భేదము దిశ ఒక్కటే. కాని పరిమాణము సమానము.

c) ఈ వాక్యము నిజమైనది. వడి స్థిరంగా ఉండి వస్తువు సరళరేఖామార్గంలో ప్రయాణిస్తే దాని త్వరణము తప్పకుండా సున్న అవుతుంది.

d) ఈ వాక్యము నిజమా కాదా అన్నది మనము తీసుకున్న మూల బిందువు నుండి గల దిశపై ఆధారపడుతుంది. వడికి దిశ లేదు. కాబట్టి త్వరణము ఉన్న వస్తువుకు వడి వృద్ధి ఉంటుంది. కాని వస్తువు గమనదిశకు వ్యతిరేకంగా త్వరణదిశ ఉంటే వడిలో వృద్ధి ఉండదు. అనగా వడిలో వృద్ధి ఉండడమా లేదా అన్నది మనం తీసుకున్న నిర్దేశక వ్యవస్థపై ఆధారపడుతుంది.

ప్రశ్న 12.
90 m ఎత్తు నుంచి ఒక బంతిని నేలపైకి జారవిడిచారు. నేలతో అభిఘాతం జరిపిన ప్రతిసారి బంతి తన వేగంలో 10వ వంతు కోల్పోతుంది. t = 0,12s మధ్య బంతి గమనానికి సంబంధించి వడి-కాలం గ్రాఫును గీయండి.
సాధన:
తొలివేగము V = 0
త్వరణము a = g = 10 మీ/సె²
స్థానభ్రంశము y = 90 మీ.
వస్తువు భూమిని తాకటానికి పట్టిన కాలము t = \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{y}}{\mathrm{g}}}=\sqrt{\frac{2 \times 90}{10}}=\sqrt{18}\) = 4.24 సె.
భూమిని తాకుటకు ముందు వేగము V =?
V² – V₀² = 2gy నుండి
V = \(\sqrt{2 g y}=\sqrt{2 \times 10 \times 90}=30 \sqrt{2}\) మీ/సె.
ప్రతి అభిఘాతంలో వేగ నష్టము = 10% అనగా V¹ = \(\frac{9}{10}\) v
∴ V¹ = \(\frac{9}{10} \times 30 \sqrt{2}=27 \sqrt{2}\) మీ/సె.

మరల పైకి పోవుటకు పట్టిన కాలము t₁ = \(\frac{\mathrm{V}^1}{\mathrm{a}}=\frac{27 \sqrt{2}}{10}=2.7 \sqrt{2}\) = 3.81
మొత్తం కాలము = 4.24 + 3.81 = 8.05 సె.
వస్తువు మరల 3.81 సెకనులకు కిందపడుతుంది. అనగా మరల 8.05 + 3.81 = 11.86 సెకనులకు నేలను తాకును.
2వ అభిఘాతము పిమ్మట వేగము V¹¹ = \(\frac{9}{10}\) V¹ = \(\frac{9}{10}\)27 \(\sqrt{2}\) = 24.3\(\sqrt{2}\) మీ/సె
అనగా వస్తువు జారవిడిచిన పిమ్మట 4.24 సె.లకు 30\(\sqrt{2}\) మీ/సె వేగంతో నేలకు తాకి 27\(\sqrt{2}\) మీ/సె వేగంతో పైకి లేచి 8.05 సెకనులకు గరిష్ఠ ఎత్తుకు చేరి మరల 11.86 సె. మరల భూమిని తాకుతుంది. ఈ చలనానికి గ్రాఫ్ పై విధంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 13.
పటంలో ఒక కణం ఏకమితీయ గమనానికి x – t గ్రాఫు చూపడం జరిగింది. గ్రాఫు ద్వారా t < 0 అయినప్పుడు కణం సరళరేఖా మార్గంలో గమనంలో ఉన్నదనీ, t > 0 అయినప్పుడు పరావలయ పథంలో గమనంలో ఉన్నదనీ అనడం సరియైనదేనా? ఒకవేళ సరికాకపోతే, గ్రాఫు సూచించే తగిన భౌతిక సందర్భాన్ని తెలపండి.
సాధన:
కణం సరళరేఖామార్గంలో ఉండదు. ఇచ్చిన స్థానభ్రంశకాల వక్రము సమత్వరణంతో చలించే వస్తువు స్థానభ్రంశాన్ని సూచిస్తుంది. ఈ రేఖాపటము పై నుండి’ స్వేచ్ఛగా కిందికి పడే వస్తువు స్థానభ్రంశ, కాల వక్రాన్ని చూపిస్తుంది.

ప్రశ్న 14.
రహదారిపై 30 km h^-1 వడితో గమనంలో ఉన్న పోలీసు వ్యాను నుంచి అదే దిశలో 192 km h^-1 వడితో కారులో పారిపోతున్న దొంగలపైకి తుపాకీ గుండ్లను పేల్చారు. తుపాకి నుండి వెలువడిన గుండ్ల వడి 150 ms^-1 అయితే, ఎంత వడితో తుపాకి గుండు దొంగల కారును తాకుతుంది? (గమనిక : దొంగల కారుకు హాని చేకూర్చే వడిని రాబట్టండి).
సాధన:
బుల్లెట్ వడి V_B = 150 మీ/సె = 150 × \(\frac{18}{5}\) = 540 kmph
పోలీసు వ్యాన్ వేగము V_P = 30kmph
దొంగ ప్రయాణించే కారు వేగము V_T = 192kmph
చలిస్తున్న కారు నుండి కాల్చడం వల్ల బుల్లెట్ ఫలిత వడి = V_R = V_B + V_P
V_R = 540 + 30 = 570 kmph
దొంగ ప్రయాణించే కారుతో బుల్లెట్ సాపేక్ష వేగము V_BT = V_B – V_T
= 570 – 192 = 378 kmph = \(\frac{378 \times 5}{18}\) = 105m/s.
బుల్లెట్ దొంగల కారును తాకు వేగము = 378 kmph లేదా 105 మీ/సె.

ప్రశ్న 15.
ఒక కణం యొక్క ఏకమితీయ గమనానికి x – t గ్రాఫులో చూపించారు. మూడు వేరు వేరు సమాన కాలవ్యవధులను సూచించారు. ఏ కాలవ్యవధిలో సగటు వడి గరిష్ఠం, ఏ కాలవ్యవధిలో సగటు వడి కనిష్టం? ప్రతి కాలవ్యవధిలో సగటు వేగపు సంజ్ఞను తెలపండి.
సాధన:
స్థానభ్రంశ కాలపు వక్రం వాలు ఇచ్చిన వ్యవధిలో వస్తువుకు గల సగటు వేగాన్ని తెలియజేస్తుంది. ఇచ్చిన పటంలో 3వ కాల వ్యవధి వద్ద రేఖాపటము వాలు గరిష్ఠము కావున దానికి వేగము గరిష్ఠము. ఇది ‘-ve’ గుర్తు కలిగి ఉంటుంది.

కాలవ్యవధి రెండు వద్ద వాలు అతి తక్కువ కావున ఈ వ్యవధిలో వేగము అతి తక్కువ. ఈ వేగము ధన దిశ కలిగి ఉంది. కాల వ్యవధి ఒకటి వద్ద వేగము ధనాత్మకము. దాని విలువ 2వ వ్యవధి కన్నా ఎక్కువ. కాని 3వ వ్యవధి వేగం కన్నా తక్కువ.

ప్రశ్న 16.
స్థిరమైన (ఒకే) దిశ వెంబడి గమనంలో ఉన్న ఒక కణం గమనానికి వడి – కాలం గ్రాఫును పటంలో చూపించారు. మూడు సమాన కాలవ్యవధులు చూపించారు. ఏ కాలవ్యవధిలో సగటు త్వరణం పరిమాణం గరిష్ఠం? ఏ కాలవ్యవధిలో సగటు వడి గరిష్ఠం? (స్థిర దిశ గల) గమన దిశను ధన దిశగా ఎంచుకుని, v, a ల సంజ్ఞలను మూడు కాలవ్యవధులలోనూ తెలపండి. A, B, C, D బిందువుల వద్ద త్వరణాలు ఏమిటి?
సాధన:
వడి-కాలం యొక్క రేఖాపటపు వాలు కాలవ్యవధిలో వస్తువుకు
గల సమత్వరణాన్ని సూచిస్తుంది. ఇచ్చిన పటంలో
1వ అంతరము వద్ద వడి-కాల వక్రం వాలు ధనాత్మకము కావున త్వరణము ధనాత్మకము మరియు వస్తువు వడి ధనాత్మకము.
2వ కాలవ్యవధి వద్ద వడి కాలము రేఖ వాలు ఋణాత్మకము కావున త్వరణము ఋణాత్మకము కానీ వడి దిశ ధనాత్మకము. (ఎందుకనగా వస్తువు గమన దిశ ‘x+ve’ ను ధనాత్మకంగా
తీసుకున్నాం కావున)

3వ కాలవ్యవధిలో వడి-కాల వక్రం వాలు చాలా ఎక్కువ కావున ఈ అవధిలో త్వరణము గరిష్ఠము వాలు ధనాత్మకం కావున త్వరణము ధనాత్మకము, వడి ధనాత్మకము.
A, B, C, D బిందువులు X- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉన్నాయి. కావున ఈ బిందువుల వద్ద త్వరణము a = 0.

ప్రశ్న 17.
నిశ్చలంగా ఉన్న పైకప్పు లేని లిఫ్ట్ లో నిలబడిన ఒక బాలుడు ఒక బంతిని నిట్టనిలువుగా అతడు విసరగలిగిన గరిష్ఠ తొలి వడి 49 m s^-1 తో విసిరాడు. అతని చేతిలోకి తిరిగి చేరడానికి బంతికి ఎంత సమయం పడుతుంది? లిఫ్టు, సమవడి 5 m s^-1 తో పై దిశలో కదులుతూ ఉన్నప్పుడు తిరిగి ఆ బాలుడు అతడు విసరగలిగిన గరిష్ఠ వడితో (49 ms ^-1 ) బంతిని పైకి విసిరితే అతని చేతిలోకి తిరిగి చేరడానికి బంతి తీసుకొనే సమయం ఎంత?
సాధన:
నిట్టనిలువుగా పైకి చలించే దిశను ‘X + ve’ దిశగా తీసుకుంటే
a) లిఫ్ట్ స్థిరంగా ఉన్నపుడు తొలివేగము V_o = 49 మీ/సె. a = -9.8m/s² X – X_o = S = 0 కావున S = V_ot + \(\frac{1}{2}\) gt²
నుండి 0 = 49t + \(\frac{1}{2}\)(-9.8)t² లేదా 4.9t² = 49t అనగా t = \(\frac{49}{4.9}\) = 10 సె.

b) లిఫ్ట్ సమ వేగంతో చలిస్తుంటే త్వరణము a = 0 కావున లిప్పై ఫలితత్వరణము ‘శ్రీ’ కి సమానము. తొలివేగము v_o = 49 మీ/సె, a = g = – 9.8 మీ/సె². కావున ఈ సందర్భంలో కూడా బంతిని పైకి విసిరితే మరలా 10 సెకనులకు చేతిలో పడటం జరుగుతుంది.

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 4th Lesson సమతలంలో చలనం to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 4th Lesson సమతలంలో చలనం

→ సదిశ : దిశ, పరిమాణము ఉన్న భౌతిక రాశులను సదిశలు అంటారు.
ఉదా : స్థానభ్రంశము, వేగము, బలము వంటివి.
సదిశలు త్రిభుజ నియమము లేదా సమాంతర చతుర్భుజ సంకలన న్యాయాన్ని పాటించాలి.

→ అదిశ : కేవలం పరిమాణము మాత్రమే ఉండి దిశ లేని రాశులను అదిశలు అంటారు. ఉదా : ద్రవ్యరాశి, వడి, దూరము వంటివి.

→ సదిశల సమానత్వము : రెండు సదిశలు A̅, B̅ లు దిశలోను, పరిమాణంలోను సమానంగా ఉంటే వాటిని సమాన సదిశలు అంటారు.

→ వాస్తవ సంఖ్యలతో సదిశాగుణకారాలు : సదిశలను ఒక ధన సంఖ్య λ చేత గుణించగా లేదా భాగించగా వచ్చే ఫలితం మరల సదిశ అవుతుంది. దాని దిశ మారదు కాని పరిమాణం మారుతుంది.
ఉదా : λ > 0 అయినప్పుడు |λA̅| = λ|A̅|
అనగా A̅ పరిమాణం λ రెట్లు పెద్దది. ఇదే విధంగా
\(\left|\frac{\vec{A}}{\lambda}\right|=\frac{1}{\lambda}|\bar{A}|\) అనగా A̅ పరిమాణం λ రెట్లు చిన్నది.

→ సదిశా సంకలనము : ఒకే తలంలో ఉన్న రెండు సదిశలు A̅, B̅ లను ఒకదాని తల మరొక దాని తోకతో ఏకీభవించే విధంగా జరిపితే అవి ఒక సరళరేఖ వెంబడి లేదా ఒక తలంలో ఉంటాయి.
a) ఒకే సరళరేఖ వెంబడి ఒకే దిశలో ఉంటే ఫలిత సదిశ
R̅ = A̅ + B̅

b) ఒకే సరళరేఖ వెంబడి వ్యతిరేక దిశలో ఉంటే ఫలిత సదిశ

c) ఒకే తలంలో A, B లు ఉంటే త్రిభుజ నియమం లేదా సమాంతర చతుర్భుజ నియమం ద్వారా సంకలనం,
వ్యవకలనం చేయవచ్చు.

→ త్రిభుజ నియమము : రెండు సదిశలను దిశలోను, పరిమాణంలోను ఒక త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాలుగా క్రమపద్ధతిలో సూచిస్తే ఆ త్రిభుజాన్ని పూర్తి చేయడానికి అవసరమైన మూడవ భుజాన్ని వ్యతిరేకదిశలో తీసుకుంటే అది ఫలిత సదిశను దిశలోను, పరిమాణంలోను సూచిస్తుంది.

→ సదిశా సంకలన నియమాలు :
1) సదిశా సంకలనము స్థిత్యంతర న్యాయాన్ని పాటిస్తుంది. అనగా A̅ + B̅ = B̅ + A̅
2) సదిశా సంకలనము సహచర న్యాయాన్ని పాటిస్తుంది.
అనగా (A̅ + B̅) + C̅ = A̅ + (B̅ + C̅)

→ ప్రమాణ సదిశ : ఏదైనా సదిశ పరిమాణము ఏకాంకమైతే (1 యూనిట్) దానిని ఏకాంక సదిశ అంటారు.
ప్రమాణ సదిశకు \(\frac{\overline{\mathrm{A}}}{|\overrightarrow{\mathrm{A}}|}\) = 1
Note : ఒక సమతలంలోని X, Y అక్షాల వెంబడి ప్రమాణ దిశలను i̅ మరియు j̅ లతోను, అంతరాళంలోని x, y, z అక్షాల దిశలలోని ప్రమాణ సదిశలను i̅, j̅ మరియు k̅ లతోను సూచిస్తారు.

→ శూన్య సదిశ : పరిమాణము శూన్యమై కేవలం దిశ మాత్రమే కలిగిన రాశిని శూన్య సదిశ అంటారు. దీనిని గె అని సూచిస్తారు.

ఉదా : A̅ – Ā = 0̅ అనగా |0̅| = 0, ఏదైనా సదిశను సున్నతో గుణిస్తే అది శూన్య సదిశ అవుతుంది. Ā × 0 = 0̅

→ స్థాన సదిశ : ఒక సమతలంలోని ఏదైనా సదిశను A̅ = A_xi̅ + A_yj̅ అని, అంతరాళంలో ఏదైనా సదిశను Ā = A_xī + A_yī + A_zk అని సూచిస్తారు. వీటిని స్థాన సదిశలు అంటారు.

→ సమదిశల విభేదనము (Resolution of Vectors) : ప్రతి సదిశను రెండు సదిశలుగా విభేదనం (Resolve) చేయవచ్చు. ఈ మూడు సదిశలు ఒకే సమతలంలో ఉంటాయి. ఈ విభజన ప్రాథమిక త్రికోణమితి నియమాల ఆధారంగా జరుగుతుంది.

ఉదా : A̅ అను సదిశ X-అక్షంతో ‘θ’ అను కోణం చేస్తుంది.
\(\overline{\mathrm{OB}}\) = A_x = A̅ cos θ;
\(\overline{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{B} A}\) = BA = A̅_y = A̅ sin θ

Note : A_x, A_y లను ఇస్తే ఫలిత సదిశ
A̅ = \(\sqrt{A_x^2+A_y^2}\) ఫలిత సదిశ X-అక్షంతో
చేసే కోణము tan θ = \(\frac{A_y}{A_x}\) లేదా θ = tan^-1\(\left[\frac{A_y}{A_x}\right]\)

→ సమాంతర చతుర్భుజ నియమము : ఒక బిందువు వద్ద ఏకకాలంలో పనిచేసే రెండు సదిశలను దిశలోను, పరిమాణంలోను ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క రెండు ఆసన్న భుజాలుగా చూపి ఆ సమాంతర చతుర్భుజాన్ని పూర్తిచేస్తే ఇచ్చిన సదిశల ఖండన బిందువు గుండా పోవు కర్ణము ఫలిత సదిశను దిశలోను,. పరిమాణంలోను సూచిస్తుంది.
ద్విమితీయ చలనము లేదా సమతలంలో చలనము :

→ ద్విమితీయ చలనంలో వస్తువుకు ఏక కాలంలో X-అక్షం వెంబడి మరియు Y-అక్షం వెంబడి చలనం ఉంటుంది. ఏదైనా క్షణంలో వస్తువు యొక్క మొత్తం చలనం X, Y-అక్షములు వెంబడి గల చలన సదిశల మొత్తంగా భావిస్తారు. ఉదా : వస్తువు మొత్తం స్థానభ్రంశము S̅ = S̅_x + S̅_y లేదా r̅ = xi̅ + yj̅

→ వస్తువు గమన పథంపై ఏ బిందువు వద్ద అయినా దాని వేగం అక్కడ గీసిన స్పర్శరేఖ (Tangent) వెంబడి ఉంటుంది.

→ ఏకమితీయ చలనంలో వస్తువు వేగం, త్వరణం ఎల్లపుడూ ఒకే సరళరేఖ వెంబడి సమాంతరంగా కాని లేక వ్యతిరేకంగా కాని ఉంటాయి. కాని ద్విమితీయ చలనంలో వేగము, త్వరణముల మధ్యకోణము 0° నుండి 180° మధ్య ఎంత అయినా ఉండవచ్చు.

→ ద్విమితీయ చలనాన్ని, ఏకకాలంలో రెండు లంబదిశలలో స్థిర వేగము లేదా స్థిర త్వరణము గల రెండు ఏకమితీయ, ఏకకాల చలనాలుగా భావించవచ్చు.

→ ప్రక్షేపకము : ఏదైనా వస్తువును గాలిలోనికి కొంత కోణంతో విసరితే (θ ≠ 90°) దానిని ప్రక్షేపకము అంటారు. ప్రక్షేపకము గమన పథము పరావలయము.
Note : ప్రక్షేపకం గమన పథము y = ax – bx² అనే రెండవ ఘాత రూపంలో ఉంటుంది. ఇటువంటి సమీకరణ గమన పథము పరావలయము.

→ గరిష్టోన్నతి : ప్రక్షేపకం గమన పథం మొత్తంలో క్షితిజ లంబదిశ (y-దిశ) లో గల అత్యధిక స్థానభ్రంశాన్ని గరిపోన్నతి (h_max) అంటారు.
ప్రక్షేపకం గరిష్ఠ ఎత్తు చేరడానికి పట్టే కాలము T = \(\frac{V_0 \sin \theta}{g}\)
గరిష్టాన్నతి h_max = \(\frac{V_0^2 \sin ^2 \theta}{2 g}\)

→ పలాయన కాలము లేదా ప్రక్షేపకం గాలిలో ఉన్న కాలము : వస్తువును గాలిలోనికి విసరిన క్షణం నుండి మరల అది నేలను తాకు వరకు పట్టిన కాలాన్ని పలాయన కాలము లేదా గాలిలో ఉన్న కాలము అంటారు.
పలాయన కాలము T = 2 × గరిష్టోన్నతి కాలము = \(\frac{2 V_0 \sin \theta}{\mathrm{g}}\)

→ క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి (Range) : వస్తువును గాలిలోనికి ప్రక్షిప్తం చేసిన బిందువు (x + y = 0) నుండి మరల అది క్షితిజ సమాంతర తలాన్ని (y = 0) తాకిన బిందువుకి మధ్యగల దూరాన్ని క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి అంటారు.
వ్యాప్తి R = \(\frac{2 V_0^2 \sin 2 \theta}{g}\)

→ ఏకరీతి వృత్తాకార చలనము : ఏదైనా వస్తువు స్థిరవడితో వృత్తాకార మార్గం వెంబడి చలిస్తుంటే దానిని ఏకరీతి వృత్తాకార చలనం అంటారు. ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో వస్తువు వేగం, దిశ నిరంతరం మారుతుంటుంది. కాబట్టి ఆ వస్తువుపై త్వరణం నిరంతరం పని చేస్తుంది.

→ వృత్తాకారచలనంలో వస్తువు వేగము V ఎల్లపుడు వ్యాసార్ధము r కి లంబంగా ఉంటుంది.

→ వృత్తాకారచలనంలో వస్తువుపై V²/R పరిమాణం గల త్వరణం నిరంతరం వృత్త కేంద్రంవైపు పనిచేస్తుంది. దీనిని అభిలంబ త్వరణము అంటారు.
అభిలంబ త్వరణము a_⊥ = V²/R లేదా a_⊥ = ω²R

→ వస్తువు వృత్తాకార మార్గంలో తిరగడానికి ఒక బలం నిరంతరం వృత్త కేంద్రంవైపు పనిచేయాలి. దీనిని అభికేంద్రం బలం అంటారు. అభికేంద్ర బలం = mV²/R

→ భ్రమణ ఆవర్తన కాలము (T) = స్థిరవడితో వృత్త పరిధిపై ఒకసారి పూర్తి భ్రమణం చేయడానికి పట్టిన కాలాన్ని భ్రమణ ఆవర్తన కాలము ‘T’ అంటారు.
Note : పౌనఃపున్యము

కోణీయ వేగము ω = 2πυ, రేఖీయ వేగము V = 2πυR.

→ ఒకే దిశలో ఉన్న P, Q అను సమాంతర సదిశల ఫలిత సదిశ R = P + Q

→ వ్యతిరేక దిశలో ఉన్న P, Q అను సమాంతర సదిశల ఫలిత సదిశ R = P – Q
Ā అను ఒక సదిశను అంశ సదిశలుగా విభజిస్తే A̅_y = Ā cos θ
A̅_y = A̅ sin θ. ఇందులో ‘θ’ X-అక్షంతో A̅ చేయు కోణము.

→ సమాంతర చతుర్భుజ నియమం నుండి P, Q అను అనుషక్త సదిశల ఫలిత సదిశ R̅ = \(\sqrt{\overline{\mathrm{P}}^2+\overline{\mathrm{Q}}^2+2 \overline{\mathrm{P}} \overline{\mathrm{Q}} \cos \theta}\)
ఫలిత సదిశ (R̅)X-అక్షంతో చేయు కోణము a = tan^-1\(\left[\frac{\overline{\mathrm{Q}} \sin \theta}{\overline{\mathrm{P}}+\overline{\mathrm{Q}} \cos \theta}\right]\)
P̅, Q̅ సదిశల బేధము = R_diff = \(\sqrt{\overline{\mathrm{P}}+\overline{\mathrm{Q}}-2 \overline{\mathrm{P}} \overline{\mathrm{Q}} \cos \theta}\)

→ a̅, b̅ అను రెండు సదిశలను ఒక త్రిభుజం యొక్క రెండు ఆసన్న భుజాలుగా క్రమపద్ధతిలో
చూపితే ఫలిత సదిశ c̅ = a̅ + b̅

→ రెండు వస్తువులు (A, B) ఒకే దిశలో V_A, V_B వేగాలతో చలిస్తే వాటి సాపేక్ష వేగము V_R = V_A – V_B

→ రెండు వస్తువులు (A. B) వ్యతిరేక దిశలలో V_A, V_B వేగాలతో చలిస్తే సాపేక్ష వేగము = V_R = V_A + V_B

→ నదిని అతి తక్కువ దూరంలో దాటడం : నదిని అతి తక్కువ దూరంలో దాటాలంటే ప్రవాహవేగానికి ఎదురుదిశలో
పడవ నడపవలసిన కోణము θ = sin^-1\(\left[\frac{v_{\mathrm{WE}}}{\mathrm{v}_{\mathrm{BW}}}\right]\)
V_WA : నేల దృష్ట్యా నీటి వేగము ; V_BE : నేల దృష్ట్యా బోటు వేగము

→ నేల దృష్ట్యా బోటు వేగము V_BE = \(\sqrt{\mathrm{V}_{\mathrm{BW}}^2-\mathrm{V}_{\mathrm{WE}}^2}\)
V_BE = నదిలోని నీటితో పోల్చితే బోటు వేగము

→ నదిని దాటడానికి పట్టిన కాలము t

→ నదిని అతి తక్కువ కాలంలో దాటడం :
నదిని దాటడానికి పట్టిన కాలము

V_BE = ప్రవాహంతో పోలిస్తే బోటు వేగము

→ బోటు ఫలిత వేగము V_R = \(\sqrt{\mathrm{v}_{\mathrm{BW}}^2-\mathrm{v}_{\mathrm{WE}}^2}\)

→ ప్రవాహదిశతో బోటు చేయు కోణము θ = tan^-1\(\left[\frac{V_{\mathrm{WE}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{BE}}}\right]\)

→ ప్రక్షేపకాలలో
ఒక వస్తువును క్షితిజ సమాంతర దిశతో ‘θ’ కోణం చేస్తూ ప్రక్షేపించబడిన, ప్రక్షేపకం యొక్క వేగం క్షితిజ సమాంతర అంశం u_x = u cos θ. u_x విలువ, చలనం అంతటా స్థిరంగా ఉండిపోతుంది.

→ వేగం యొక్క లంబ అంశము u_y = u sin θ. ఈ అంశము కాలముతో పాటు మారుతుంది.

→ ప్రయాణకాలం T = \(\frac{2 \mathrm{u} \sin \theta}{\mathrm{g}}\), గరిష్ఠ ఎత్తు H_max = \(\frac{\mathrm{u}^2 \sin ^2 \theta}{2 \mathrm{~g}}\), క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి R = \(\frac{\mathrm{u}^2 \sin 2 \theta}{\mathrm{g}}\)

→ t సెకనుల తరువాత, ప్రక్షేపక వేగం v = \(\sqrt{v_x^2+v_y^2}\); v_x = u_x = u cos θ మరియు v_x = u sin θ – gt

→ వేగ సదిశ ‘v’ క్షితిజ సమాంతరంతో చేయు కోణం α = tan^-1\(\left[\frac{v_y}{v_x}\right]\) v_y = u sin θ – gt మరియు v_x = u cos θ.

→ ప్రక్షిప్త కోణాలు θ మరియు (90- θ) లకు క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి సమానము. θ = 45° అయిన వ్యాప్తి గరిష్ఠము.
R_max = \(\frac{u^2}{\mathrm{~g}}\) మరియు h_max = \(\frac{\mathrm{u}^2}{4 \mathrm{~g}}\)

→ R_max మరియు h_max ల మధ్య సంబంధము R_max = 4 h_max

→ పూరక కోణాల ఎత్తులు h₁ మరియు h₂ అయిన h₁ + h₂ = \(\frac{u^2}{4 \mathrm{~g}}\); R = 4\(\sqrt{\mathrm{h}_1 \mathrm{~h}_2}\); R_max = 2(h₁ + h₁)

→ క్షితిజ సమాంతర ప్రక్షేపకం యొక్క అవరోహణ కాలం t = \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{~h}}{\mathrm{~g}}}\)

→ క్షితిజ సమాంతర ప్రక్షేపకం యొక్క వ్యాప్తి R = u × t = u\(\sqrt{\frac{2 \mathrm{~h}}{\mathrm{~g}}}\).

→ కాలం ‘t’ సెకనుల తరువాత ప్రక్షేపకం వేగము v = \(\sqrt{v_x^2+v_y^2}\)
ఇందులో v_x = u_x : v_x = gt
v = \(\sqrt{\mathrm{u}^2+\mathrm{g}^2 \mathrm{t}^2}\)

→ వేగ సదిశ ‘v’, x-అక్షముతో చేయు కోణం α = tan^-1\(\left[\frac{v_y}{v_x}\right]\) కాని v_x = u, v_y = gt
∴ α = tan^-1\(\left[\frac{\mathrm{gt}}{\mathrm{u}}\right]\)