TS Inter 1st Year

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 8 Democracy to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 8 Democracy

→ Democracy is not only a form of government but also a way of life.

→ The term ‘Democracy’ is originated from two Greek words ‘Demos’ and ‘Kratos’ which means people and rule or authority.

→ “Democracy is the government of the people, by the people and for the people”. – Abraham Lincoln.

→ “Democracy is a government in which everyone has a share.” – J.R.Seeley

→ Democracy is classified into two types, namely, Direct democracy and Indirect democracy.

→ Referendum, initiative, plebiscite, and recall are said to be the devices of direct democracy.

→ Direct democracy is followed in some cantons of Switzerland.

→ Indirect democracy is also known as representative democracy.

→ The term ‘referendum’ literally means ‘refer to’.

→ Initiative ensures popular sovereignty.

→ The term ‘plebiscite’ is derived from two Latin words ‘plebis’ and ‘scitum’ which means people and decree respectively.

→ Recall is an important direct democratic device that allows the voters to call back their elected representatives on their failures.

→ The future of Democracy totally depends on how citizens perceive and play their role in public affairs.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 8 ప్రజాస్వామ్యం

→ ప్రజాస్వామ్యాన్ని ఆంగ్లంలో ‘డెమోక్రసీ (Democracy)’ అంటారు. ఈ పదము ‘డెమోస్ (Demos)’ మరియు’ క్రటోస్ (Kratos)’ అను రెండు గ్రీకు పదముల నుండి గ్రహించబడింది. డెమోస్ అంటే ‘ప్రజలు’, క్రటోస్ అంటే ”అధికారం’ లేదా ‘పాలనా’ అని అర్థం.’

→ ప్రజాస్వామ్యం ఒక ప్రభుత్వ విధానమే కాదు ఒక జీవన విధానం కూడా.

→ “ప్రజాస్వామ్యం అంటే ప్రజల యొక్క, ప్రజల చేత, ప్రజల కొరకు పరిపాలించే, నిర్వహించబడే ప్రభుత్వం” కి అబ్రహాం లింకన్ మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ “పరిపాలనలో, ప్రభుత్వంలో ప్రతి ఒక్కరికి భాగస్వామ్యం కల్పించే ప్రభుత్వమే ప్రజాన మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ ప్రజాస్వామ్య వ్యవస్థలో ప్రజలంతా సంపూర్ణ స్వేచ్ఛా, స్వాతంత్య్రాలను కలిగి ఉంటారు.

→ ప్రజాస్వామ్యం రెండు రకాలుగా ఉంటుంది. అవి : 1) ప్రత్యక్ష ప్రజాస్వామ్యం 2) పరోక్ష ప్రజాస్వామ్యం.

→ ప్రత్యక్ష ప్రజాస్వామ్యం నాలుగు పద్ధతుల ప్రాతిపదికగా పనిచేస్తుంది. అవి :

1. ప్రజాభిప్రాయ సేకరణ
2. ప్రజాభిప్రాయ నివేదన
3. ప్రజాభిప్రాయ నిర్ణయం
4. పునరాయనం.

→ పరోక్ష ప్రజాస్వామ్యాన్నే పాత్రినిధ్య ప్రజాస్వామ్యమని కూడా అంటారు.

→ పత్యక్ష ప్రజాస్వామ్య పద్ధతి స్విట్జర్లాండ్ లోని కొన్ని కాంటన్ (రాష్ట్రాలు) లలో అమలులో ఉన్నది.

→ పునరాయనం అనగా ఎన్నికైన ప్రతినిధులు తమ విధులను నిర్వర్తించటంలో విఫలమైతే ఓటర్లచేత వెనుకకు పిలవబడతారు.

→ ప్రజాభిప్రాయ సేకరణ ప్రజల సార్వభౌమాధికారాన్ని ప్రతిబింబిస్తుంది.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 4 Addition of Vectors Ex 4(a) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Addition of Vectors Solutions Exercise 4(a)

I.
Question 1.
ABCD is a parallelogram. If L and M are the middle points of BC CD respectively then find
i) \(\overline{\mathrm{A L}}\) and \(\overline{\mathrm{A M}}\) in terms of \(\overline{\mathrm{A B}}\) and \(\overline{\mathrm{A D}}\)
ii) λ, if \(\overline{\mathrm{A M}}\) = λ \(\overline{\mathrm{A C}}-\overline{\mathrm{A L}}\) (V.S.A)
Answer:

ABCD is a parallelogram and hence \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{DC}}\) and \(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{AD}}\)
We have \(\overline{\mathrm{BC}}\) = \(\frac{1}{2} \overline{\mathrm{BC}}\)
(∵ L is the mid point of BC)
= \(\frac{1}{2} \overline{\mathrm{AD}}\) (∵ BC = AD)

Question 2.
In AABC, P, Q and R are the mid points of the sides AB, BC and CA respectively. If D is any point
i) Then express \(\overline{\mathrm{DA}}+\overline{\mathrm{DB}}+\overline{\mathrm{DC}}\) in terms of \(\overline{\mathrm{DP}}, \overline{\mathrm{DQ}}\) and \(\overline{\mathrm{DR}}\).
ii) If \(\overline{\mathrm{P A}}+\overline{\mathrm{Q B}}+\overline{\mathrm{R C}}=\bar{\alpha}\), then find a.(V.S.A)
Answer:
Let D be the origin.

and \(\overline{\mathrm{DA}}=\overline{\mathrm{a}}\) , \(\overline{\mathrm{DB}}=\overline{\mathrm{b}}\) and \(\overline{\mathrm{DC}}=\overline{\mathrm{c}}\)
P.V. of P is mid point of \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{DP}}=\frac{\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}}{2}\)
P.V. of Q is mid point of \(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{DQ}}=\frac{\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}}}{2}\)
P.V. of R is mid point of \(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{DR}}=\frac{\overline{\mathrm{c}}+\overline{\mathrm{a}}}{2}\)

Question 3.
Let a̅ = i̅ + 2 j̅ + 3k̅ and b̅ = 3 i̅ + j̅. Find the unit vector in the direction of \(\bar{a}+\bar{b}\). (V.S.A)
Answer:
Unit vector in the direction of \(\bar{a}+\bar{b}\) is

Question 4.
If the vectors -3i̅ + 4j̅ + λk̅ and μi̅ + 8j̅ + 6k̅ are collinear vectors then find λ and μ. (May 2014, ’12, Mar. ’14)
Answer:
If the vectors a₁ i̅ + b₁ j̅ + c₁k̅ and a₂ i̅ + b₂ j̅ + c₂k̅ are collinear then

Question 5.
ABCDE is a pentagon. If the sum of the vectors \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{AE}}, \overline{\mathrm{BC}}, \overline{\mathrm{DC}}, \overline{\mathrm{ED}}\) and \(\overline{\mathrm{A C}}\) is λ \(\overline{\mathrm{A C}}\) , then find the value of λ. (S.A)
Answer:

Given ABCDE is a pentagon and

Question 6.
If the position vectors of the points A, B and C are -2i̅ + j̅ – k̅, -4i̅ + 2j̅ + 2k̅ and 6i̅ – 3j̅ – 13k̅ respectively and \(\overline{\mathrm{AB}}\) = λ\(\overline{\mathrm{A C}}\) then find the value of λ. (March 2011) (S.A)
Answer:
Let O be the origin and given

Question 7.
If \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}\); \(\overline{\mathrm{AB}}=3 \overline{\mathrm{i}}-2 \overline{\mathrm{j}}+\overline{\mathrm{k}}\), \(\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{i}}+2 \overline{\mathrm{j}}-2 \overline{\mathrm{k}}\) and \(\overline{\mathrm{CD}}=2 \overline{\mathrm{i}}+\overline{\mathrm{j}}+3 \overline{\mathrm{k}}\) then find the vector \(\overline{\mathrm{OD}}\). (March 2013) (V.S.A)
Answer:
Since \(\overline{\mathrm{OA}}+\overline{\mathrm{AB}}+\overline{\mathrm{BC}}+\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{OD}}\)
⇒ \(\overline{\mathrm{OD}}\) = (i̅ + j̅ + k̅) + (3i̅ – 2j̅ + k̅) + (i̅ + 2 j̅ – 2k̅) + (2 i̅ + j̅ + 3k̅)
= 7i̅ + 2j̅ + 3k̅

Question 8.
If a̅ = 2i̅ + 5j̅ + k̅ and b̅ = 4i̅ + mj̅ + nk̅ are collinear vectors then find m and n. (May 2011) (V.S.A)
Answer:
Since a̅ = 2i̅ + 5j̅ + k̅ and
b̅ = 4i̅ + mj̅ + nk̅ are collinear
⇒ \(\frac{2}{4}=\frac{5}{m}=\frac{1}{n}\)
⇒ \(\frac{1}{2}=\frac{5}{m}\) and \(\frac{1}{2}=\frac{1}{n}\) ⇒ m = 10 and n = 2

Question 9.
Let a̅ = 2i̅ + 4j̅ – 5k̅, b̅ = i̅ + j̅ + k̅ and c̅ = i̅ + 2k̅. Find the unit vector in the opposite direction of a̅ + b̅ + c̅. (March 2015-A.P)(May 2012; Mar. ’04, ’12; Board Model Paper) (V.S.A)
Answer:

Question 10.
Is the triangle formed by the vectors 3i̅ + 5j̅ + 2k̅, 2i̅ – 3j̅ – 5k̅ and -5i̅ – 2 j̅ + 3k̅ equilateral ? (V.S.A)
Answer:
Let ABC be the triangle with AB = 3i̅ + 5 j̅ + 2k̅
BC = 2i̅ – 3 j̅ – 5k̅
CA = -5i̅ – 2j̅ + 3k̅

∴ The given vectors formed on equilateral triangle.

Question 11.
If α, β and γ are the angles made by the vector 3i̅ – 6j̅ + 2k̅ with the positive directions of the coordinate axes then find cos α, cos β, cos γ. (S.A)
Answer:
Unit vectors along the coordinate axes are respectively i̅, j̅, k̅
Let p̅ = 3i̅ – 6j̅ + 2k̅

Question 12.
Find the angles made by the straight line passing through the points (1, -3, 2) and (3, -5, 1) with the coordinate axes. (S.A)
Answer:
Let the vectors along the coordinate axes be i̅, j̅, k̅ respectively. Let O be the origin and the points A(1, -3, 2) and B(3, -5, 1).
i. e. \(\overline{\mathrm{OA}}\) = i̅ – 3 j̅ + 2k̅, \(\overline{\mathrm{OB}}\) = 3 i̅ – 5 j̅ + k̅
\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (3i̅ – 5j̅ + k̅) – (i̅ – 3j̅ + 2k̅) = 2i̅ – 2j̅ – k̅
Let α be the angle between \(\overline{\mathrm{AB}}\) and i̅ then
cos α = \(\frac{\overline{\mathrm{AB}} \cdot \overline{\mathrm{i}}}{|\overline{\mathrm{AB}}||\overline{\mathrm{i}}|}=\frac{2}{\sqrt{4+4+1} \cdot(1)}=\frac{2}{3}\)

Similarly if β, γ be the angles between \(\overline{\mathrm{AB}}\) and j and \(\overline{\mathrm{AB}}\) and k̅ then

∴ The angles made by the straight line AB with X, Y, Z axes are
α = cos^-1\(\left(\frac{2}{3}\right)\)
β = cos^-1\(\left(\frac{2}{3}\right)\)
γ = cos^-1\(\left(\frac{2}{3}\right)\)

II.
Question 1.
If a̅ + b̅ + c̅ = αd̅, b̅ + c̅ + d̅ = βa̅ and a̅, b̅, c̅ are non-coplanar vectors, then show that a̅ + b̅ + c̅ + d̅ = 0̅. (S.A)
Answer:
Given a̅ + b̅ + c̅ = αd̅ ……………. (1)
b̅ + c̅ + d̅ = βa̅ …………….. (2)
From (2), d̅ = pa̅ – b̅ – c̅
From (1), a̅ + b̅ + c̅ = a, (pa̅ – b̅ – c̅)
⇒ (1 – αβ)a̅ + (1 + a)b̅ + (1 + a)c̅ = 0
∴ a̅, b̅, c̅ are non coplanar vectors
1 – αβ = 0 ⇒ αβ = 1 and
1 + α = 0 ⇒ α = -l β = -1
Hence from (1); a̅ + b̅ + c̅ = -d̅
⇒ a̅ + b̅ + c̅ + d̅ = 0

Question 2.
a̅, b̅, c̅ are non coplanar vectors. Prove that the following four points are coplanar.
i) -a̅ + 4b̅ – 3c̅, 3a̅ + 2b̅ – 5c̅ (May,’14,’12)
-3a̅ + 8b̅ – 5c̅, – 3a̅ + 2b̅ + c̅
Answer:
Let 0 be the origin and A, B, C, D are the four points given by
OA = -a̅ + 4b̅ – 3c̅, OB = 3a̅ + 2b̅ – 5c̅
OC = -3a̅ + 8b̅ – 5c̅, OD = -3a̅ + 2b̅ + c̅
\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (3a̅ + 2b̅ – 5c̅) – (-a̅ + 4b̅ – 3c̅)
= 4a̅ – 2b̅ – 2c̅
\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (-3a̅ + 2b̅ – 5c̅) – (3a̅ + 2b̅ – 5c̅)
= -6a̅ – 4b̅ + 3c̅
\(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{OC}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (-3a̅ + 8b̅ – 5c̅) – (-a̅ + 4b̅ – 3c̅) = -2a̅ + 4b̅ – 2c̅
\(\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{OD}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (3a̅ + 2b̅ + c̅) – (-a̅ + 4b̅ – 3c̅) = -2a̅ – 2b̅ + 4c̅
Let a vector be expressed as a linear combination of other two.
Suppose \(\overline{\mathrm{AB}}\) = x(\(\overline{\mathrm{AC}}\)) + y (\(\overline{\mathrm{AD}}\)) where x, y are scalars.
∴ 4a̅ – 2b̅ – 2c̅ = x (-2a̅ + 4b̅ – 2c̅) + y(-2a̅ – 2b̅ + 4c̅)

Comparing coefficients of a̅, b̅, c̅ we get
(∵ a̅, b̅, c̅ are non coplanar vectors)
-2x – 2y = 4 ……………(1)
4x – 2y = -2 ……………(2)
-2x + 4y = -2 ………….(3)
Solving (1) and (2) we get 2x + 2y = – 4 and 4x – 2y = – 2
6x = – 6 ⇒ x = -1
x + y = -2 ⇒ y = -1
x = – 1 and y = -1 satisfy equation (3).
⇒ A, B, C, D are coplanar and
\(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{AD}}\) are coplanar.
and \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{AD}}\) are coplanar.
∴ The given points A, B, C, D are coplanar.

ii) 6a̅ + 2b̅ – c̅, 2a̅ – b̅ + 3c̅, -a̅ + 2b̅ – 4c̅, -12a̅ – b̅ – 3c̅
Answer:
Let O be the origin and A, B, C, D be the given points.
\(\overline{\mathrm{OA}}\) = 6a̅ + 2b̅ – c̅, \(\overline{\mathrm{OB}}\) = 2a̅ – b̅ + 3c̅
\(\overline{\mathrm{OC}}\) = -a̅ + 2b̅ – 4c̅, \(\overline{\mathrm{OD}}\) = -12a̅ – b̅ – 3c̅
∴ \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\)
= (2a̅ – b̅ + 3c̅) – (6a̅ + 2b̅ – c̅)
= – 4a̅ – 3b̅ + 4c̅
\(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{OC}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (-a̅ + 2b̅ – 4c̅) – (6a̅ + 2b̅ – c̅) = -7a̅ – 3c̅
\(\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{OD}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (-12a̅ – b̅ – 3c̅) – (6a̅ + 2b̅ – c̅)= -18a̅ – 3b̅ – 2c̅
∴ Let a vector be expressed as a linear combination of other two.
Suppose \(\overline{\mathrm{AB}}\) = x\(\overline{\mathrm{AC}}\) + y\(\overline{\mathrm{AD}}\)
⇒ -4a̅ – 3b̅ + 4c̅ = x(-7a̅ – 3c̅) + y(-18a̅ – 3b̅ – 2c̅)

Comparing coefficients of a̅, b̅, c̅ since a̅, b̅, c̅ are non coplanar,
-7x – 18y = – 4 …………(1)
-3y = -3 ⇒ y = 1 ……….(2)
∴ -7x – 18 = – 4 ⇒ – 7x = 14 ⇒ x = -2
Comparing coefficient of c,
-3x – 2y = 4 ………..(3)
x = – 2 and y = 1 satisfy equation (3)
and hence A, B, C, D are coplanar.

Alternate Method For Above Problem :
Use scalar triple product of vectors \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{AC}}\) and \(\overline{\mathrm{AD}}\) show that this
\(\overline{\mathrm{AB}} \cdot(\overline{\mathrm{AC}} \times \overline{\mathrm{AD}})\) = 0
\([\overline{\mathrm{AB}} \overline{\mathrm{AC}} \overline{\mathrm{AD}}]=\left|\begin{array}{rrr}
-4 & -3 & 4 \\
-7 & 0 & -3 \\
-18 & -3 & -2
\end{array}\right|\)
= -4 (-9) + 3 (14 – 54) + 4 (21)
= 36- 120 + 84 = 0
∴ Vectors AB, AC, AD are coplanar
⇒ The given points A, B, C, D are coplanar.

Question 3.
If i̅, j̅, k̅ are unit vectors along the positive directions of the co-ordinate axes, then show that the four points 4i̅ + 5j̅ + k̅, – j̅ – k̅ , 3i̅ + 9j̅ + 4k̅ and -4i̅ +4j̅ +4k̅ are coplanar. (Mar. ’14)
Answer:
Let O be the origin and let A, B, C, D be the given points. Then \(\overline{\mathrm{OA}}\) = 4i̅ + 5j̅ + k̅,
\(\overline{\mathrm{OB}}\) = – j̅ – k̅, \(\overline{\mathrm{OC}}\) = 3i̅ + 9 j̅ + 4k̅,
\(\overline{\mathrm{OD}}\) = -4 i̅, + 4 j̅, + 4k̅,
Now AB = OB — OA = (-j̅ – k̅) – (4i̅ + 5j̅ + k̅) – 4i̅ – 6j̅ – 2k̅
AC = OC – OD = -i̅ + 4j̅ + 3k̅,
AD = OD – OA = -8i̅ – j̅ + 3k̅
Let \(\overline{\mathrm{AB}}\) = x(\(\overline{\mathrm{AC}}\)) + y(\(\overline{\mathrm{AD}}\)) for some values of x and y
⇒ – 4i̅ – 6j̅ – 2k̅ = x(- i̅ + 4j̅ + 3k̅) + y(-8i̅ – j̅ + 3k̅)
⇒ (x + 8y – 4) i̅ + (-4x + y – 6)j̅ + (-3x – 3y – 2)k̅ = 0
∴ i̅, j̅, k̅ are non coplanar
x + 8y – 4 = 0 …………..(1)
4x – y + 6 = 0 …………..(2)
3x + 3y + 2 = 0 ………….(3)
Solving (1) and (2) we get

Hence the vectors AB, AC and AD are coplanar
⇒ The given points A, B, C, D are coplanar.

Second method :
\(\left[\begin{array}{lll}
\overline{\mathrm{AB}} & \overline{\mathrm{AC}} & \overline{\mathrm{AD}}
\end{array}\right]=\left|\begin{array}{rrr}
-4 & -6 & -2 \\
-1 & 4 & 3 \\
-8 & -1 & 3
\end{array}\right|\)
= – 4 (12 + 3) + 6 (- 3 + 24) – 2 (1 + 32)
= – 60 + 126 – 66 = 0
The vectors \(\overline{\mathrm{AB}}, \overline{\mathrm{AC}}, \overline{\mathrm{AD}}\) are coplanar.
⇒ The given points A, B, C, D are coplanar.

Question 4.
If a̅, b̅, c̅ are non coplanar vectors, then test for the collinearity of the following points whose position vectors are given by
(i) a̅ – 2b̅ + 3c̅, 2a̅ + 3b̅ – 4c̅, – 7b̅ + 10c̅ (S.A)
Answer:
Given a, b, c are the non coplanar vectors
Let \(\overline{\mathrm{OA}}\) = a̅ – 2b̅ + 3c̅. \(\overline{\mathrm{OB}}\) = 2a̅ + 3b̅ – 4c̅
and \(\overline{\mathrm{OC}}\) = -7b̅ + 10c̅ be the points with respect to specific origin O’.
Then \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = a̅ + 5b̅ – 7c̅
\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = -2a̅ – 10b̅ + 14c̅
and \(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{OC}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = -a̅ – 5b̅ + 7c̅
∴ \(\overline{\mathrm{BC}}=-2(\overline{\mathrm{AB}}) \Rightarrow \overline{\mathrm{BC}}=2 \overline{\mathrm{BA}}\)
∴ The points A, B, C are collinear.
(∵ \(\overline{\mathrm{BC}}=\lambda \overline{\mathrm{BA}}\) where λ = 2)

ii) 3a̅ – 4b̅ + 3c̅, – 4a̅ + 5b̅ – 6c̅, 4a̅ – 7b̅ + 6c̅
Answer:
Let \(\overline{\mathrm{OA}}\) = 3a̅ – 4b̅ + 3c̅,
\(\overline{\mathrm{OB}}\) = -4a̅ + 5b̅ – 6c̅,
\(\overline{\mathrm{OC}}\) = 4a̅ – 7b̅ + 6c̅
∴ \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = -7a̅ + 9b̅ – 9c̅
\(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{OC}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = a̅ – 3b̅ + 3c̅
\(\overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{OC}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = 8a̅ – 12b̅ + 12c̅
∴ \(\overline{\mathrm{AB}} \neq \lambda \overline{\mathrm{BC}}\), λ is a scalar.
⇒ The points A, B, C are non collinear.

iii) 2a̅ + 5b̅ – 4c̅, a̅ + 4b̅ – 3c̅, 4a̅ + 7b̅ – 6c̅
Answer:
Let O be the origin and A, B, C be the given points.
Then \(\overline{\mathrm{OA}}\) = 2a̅ + 5b̅ – 4c̅.
\(\overline{\mathrm{OB}}\) = a̅ + 4b̅ – 3c̅.
and \(\overline{\mathrm{OC}}\) = 4a̅ + 7b̅ – 6c̅
\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (a̅ + 4b̅ – 3c̅) – (2a̅ + 5b̅ – 4c̅)
= -a̅ – b̅ + c̅
\(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{OB}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = (4a̅ + 7b̅ – 6c̅) – (a̅ + 4b̅ – 3c̅)
= 3a̅ + 3b̅ – 3c̅ = -3(a̅ – b̅ + c̅)
\(\overline{\mathrm{BC}}=-3(\overline{\mathrm{AB}})\)
⇒ \(\overline{\mathrm{BC}}=3(\overline{\mathrm{BA}})\) where λ = 3
∴ The points A, B, C are collinear.

III.
Question 1.
In the cartesian plane, O is the origin of the coordinate axes. A person starts at O and walks a distance of 3 units in the North-East direction and reaches the point P. From P he walks 4 units of distance parallel to North-West direction and reaches the point
Q. Express the vector \(\overline{\mathrm{OQ}}\) in terms of i̅ and j̅ (observe that (∠XOP=45°) (S.A)
Answer:

O is the origin and ∠XOP = 45°
The person starts at 0 and walks a distance of 3 units in North-East direction.
∴ \(\overline{\mathrm{OP}}\) = (3cos45°) i̅ + (3sin45°) j̅
= \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)i̅ + \(\frac{3}{\sqrt{2}}\)j̅
PQ = 4 units
and pp is parallel to X axis
∴ ∠RPQ = 135°
PQ is parallel to North-West direction

Question 2.
The points O, A, B, X and Y are such that \(\overline{\mathrm{OA}}\) = a̅, \(\overline{\mathrm{OB}}\) = b̅, \(\overline{\mathrm{OX}}\) = 3a̅ and \(\overline{\mathrm{OY}}\) = 3b̅. Find \(\overline{\mathrm{BX}}\) and \(\overline{\mathrm{AY}}\) interms of a and 5. Further, if the point P divides AY in the ratio 1 : 3, then express \(\overline{\mathrm{BP}}\) in terms of a and b. (S.A)
Answer:
Given \(\overline{\mathrm{OA}}\) = a̅, \(\overline{\mathrm{OB}}\) = b̅, \(\overline{\mathrm{OX}}\) = 3a̅ \(\overline{\mathrm{OY}}\) = 3b̅
\(\overline{\mathrm{BX}}=\overline{\mathrm{OX}}-\overline{\mathrm{OB}}\) = 3a̅ – b̅
\(\overline{\mathrm{AY}}=\overline{\mathrm{OY}}-\overline{\mathrm{OA}}\) = 3b̅ – a̅
If P divides \(\overline{\mathrm{AY}}\) in the ratio 1 : 3 then the position vector of P is \(\overline{\mathrm{OP}}\)

Question 3.
In ΔOAB, E is the midpoint of AB and F Is a point on OA such that OF = 2 FA. If C Is the point of intersection of \(\overline{\mathrm{OE}}\) and \(\overline{\mathrm{BF}}\) then find the ratios OC : CE and BC : CF. (S.A)
Answer:

Let O be the origin and \(\overline{\mathrm{OA}}\) = a̅, \(\overline{\mathrm{OB}}\) = b̅
Since E is the midpoint of AB,
\(\overline{\mathrm{OE}}\) = \(\frac{\overline{\mathrm{a}}+\overline{\mathrm{b}}}{2}\)

and OF = 2 FA ⇒ F divides OA in the ratio 2 : 1
\(\overline{\mathrm{OF}}\) = \(\frac{2 \bar{a}+1(0)}{2+1}=\frac{2}{3} \bar{a}\)

C is the point of intersection of \(\overline{\mathrm{OE}}\) and \(\overline{\mathrm{BF}}\).
let C divides \(\overline{\mathrm{OE}}\) in the ratio 1 : λ then the position vector of C is
\(\overline{\mathrm{OC}}\) = \(\frac{1(\overline{\mathrm{OE}})+\lambda(0)}{1+\lambda}=\frac{\overline{\mathrm{OE}}}{\lambda+1}=\frac{\bar{a}+\bar{b}}{2(\lambda+1)}\) ………..(1)

Let C divides \(\overline{\mathrm{BF}}\) in the ratio μ : 1 then the position vector of C is

⇒ 4(λ + 1) = 5
⇒ 4λ = 1 ⇒ λ = \(\frac{1}{4}\)

C divides OE in the ratio 1 : \(\frac{1}{4}\) = 4 : 1
∴ OC : CE = 4 : 1
C divides BF in the ratio μ : 1 = \(\frac{3}{2}\) : 1
= 3 : 2
∴ BC : CF = 3 : 2

Question 4.
The point E divides the segment PQ internally in the ratio 1 : 2 and R is any point not on the line PQ. If F is a point on QR such that QF: FR = 2 : 1, then show that EF is parallel to PR. (S.A)
Answer:

Let O be the origin and \(\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{OQ}}=\overline{\mathrm{b}}\) and \(\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{a}}, \overline{\mathrm{OQ}}=\overline{\mathrm{b}}\)
E divides PQ in the ratio 1: 2

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 7 Citizenship to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 7 Citizenship

→ Citizenship is a privilege of individuals residing in democratic states.

→ Persons, who possess citizenship are known as citizens.

→ Citizen is a person who has shared in deliberative functions of the state – Aristotle.

→ One’s capacity to rule and to be ruled is citizenship -Aristotle.

→ The persons who reside in other states are known as Aliens.

→ According to Jus Sanguinis, citizenship is acquired on the basis of blood relationship.

→ According to Jus Soli, citizenship is acquired by the principle of the place of Birth.

→ Natural citizenship is acquired by the persons on the grounds of birth or residence.

→ Naturalised citizenship is conferred by a state to the Aliens.

→ Ignorance, illiteracy, poverty, and selfishness are hindrances to good citizenship.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 7 పౌరసత్వం

→ పౌరసత్వం ప్రజాస్వామ్య రాజ్యాలలో నివసించే వ్యక్తుల ప్రత్యేక హక్కు.

→ రాజ్య వ్యవహారాలలో ప్రత్యక్షంగా, చురుకైన పాత్ర కలిగిన వ్యక్తియే పౌరుడిగా పరిగణించాలని అరిస్టాటిల్ పేర్కొన్నాడు.

→ రాజ్యంలో పౌరుడు శాశ్వత ప్రాతిపదికగా నివసిస్తాడు.

→ రాజ్యంలో విదేశీయులు తాత్కాలిక ప్రాతిపదికన నివసిస్తారు.

→ పౌరసత్వం రెండు పద్ధతుల ద్వారా సంక్రమిస్తుంది.
అవి :

1. సహజ పౌరసత్వం
2. సహజీకృత లేదా సంపాదిత పౌరసత్వం.

→ సహజ పౌరసత్వం మూడు అంశాల ప్రాతిపదికగా లభిస్తుంది. అవి :

1. జస్ సోలి (భూమి లేదా జన్మస్థలం)
2. జస్ సాంగ్వినీస్ (బంధుత్వం లేదా రక్తసంబంధం)
3. మిశ్రమ సూత్రం.

→ సహజ పౌరసత్వం లేని వ్యక్తి సహజీకృత పద్ధతి ద్వారా రాజ్య పౌరసత్వాన్ని పొందేందుకు నిర్ణీత కాలం పాటు నివసించాలి.

→ విదేశీ పురుషుడిని వివాహం చేసుకొన్న మహిళ తన స్వదేశీ పౌరసత్వాన్ని కోల్పోయి, తన భర్తకు చెందిన రాజ్య పౌరసత్వాన్ని పొందుతుంది.

→ సైన్యం నుండి పారిపోయినా, రాజ్యానికి వ్యతిరేకంగా కుట్రలు, కుతంత్రాలకు పాల్పడినా, వారి పౌరసత్వాన్ని కొన్ని దేశాలు రద్దు చేస్తాయి.

→ మంచి పౌరుడు మంచి ప్రవర్తనను కలిగి ఉండాలి.

→ మంచి పౌరసత్వానికి అజ్ఞానం, నిరక్షరాస్యతలనేవి ప్రధాన ఆటంకాలుగా పరిగణించబడతాయి.

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 8th Lesson డోలనాలు Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 8th Lesson డోలనాలు

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
డోలనాత్మకం కాని ఆవర్తన చలనాలకు రెండు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
జవాబు:

1. గడియారములో సెకనుల ముల్లు చలనము.
2. స్థిరకోణీయ వడితో తిరుగుతూ ఉన్న ఫ్యాన్ రెక్కలు.

ఈ రెండు సందర్భాలలో అవి స్థిర కోణీయ వడితో తిరుగుచున్నవి. అవి ఆవర్తన చలనాలు. వీటి కంపన పరిమితి కాలంతో మారదు. కావున వీటిని సరళహరాత్మక చలనముగా తీసుకొనబడవు.

ప్రశ్న 2.
సరళ హరాత్మక చలన స్థానభ్రంశాన్ని y = a sin (20t + 4) తో సూచించారు. కాలాన్ని \(\frac{2 \pi}{\omega}\) పెంచితే దాని స్థానభ్రంశం ఎంత ?
జవాబు:
సరళ హరాత్మక చలన స్థానభ్రంశం y = a sin (20t + 4) తో సూచిస్తే అందులోని sin ప్రమేయంలో గల ఆర్గ్యుమెంట్ 20t. ఇది \(\frac{2 \pi}{\omega}\) అనగా ఆవర్తనకాలము (T) తో ఆవర్తనం చెందితే దాని స్థానభ్రంశంలో మార్పు ఉండదు.
వివరణ : (20t + 4) ను θ అనుకోండి. \(\frac{2 \pi}{\omega}\) = T. Tకాలంలో స్థానభ్రంశము 2π (ఆవర్తన చలనానికి)
y = sin θ మరియు Ꭹ₁ = sin (θ + 2π) అవుతాయి. కాని sin θ = sin (θ + 2π) కావున y₁ = y అవుతుంది.

ప్రశ్న 3.
ఒక బాలిక ఊయలలో కూర్చొని ఊగుతుంది. బాలిక ఊయలలో నిలబడితే దాని డోలన పౌనఃపున్యం ఏవిధంగా మారుతుంది ?
జవాబు:
బాలిక ఊయలలో నిలబడితే ఆమె ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఆధారానికి దగ్గరగా జరగడంవల్ల లోలకం పొడవు తగ్గును.
ఫలితంగా ఆవర్తన కాలము (T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g}}\)) తగ్గుతుంది.
కాబట్టి ఊయల పౌనఃపున్యం పెరుగును.

ప్రశ్న 4.
లఘులోలకం గుండు నీటితో నిండిన ఒక బోలు గోళం. గోళం నుంచి నీరు కారిపోతుంటే దాని డోలనావర్తన కాలం ఏవిధంగా మారుతుంది ?
జవాబు:
బోలు గోళం నుండి నీరు కారిపోతుంటే ద్రవ్యరాశి కేంద్రం గోళ కేంద్రం నుండి కిందికి జరుగును. కావున లోలకం పొడవు పెరిగి ఆవర్తన కాలం తగ్గును. ఈ ప్రక్రియ ద్రవం గోళంలో సగం వరకు కారేదాకా జరుగును.
గోళంలో ద్రవం సగాని కన్న కిందికి దిగునపుడు మరల ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పైకి జరుగును. అంటే లోలకం పొడవు తగ్గడం మొదలై ఆవర్తనకాలం ‘T’ పెరుగును.
గోళం పూర్తిగా ఖాళీ అయితే డోలనావర్తనకాలంలో తొలి విలువను చేరును.

ప్రశ్న 5.
లఘులోలకానికి కట్టిన చెక్క గుండుకు బదులు దాన్ని పోలి ఉండే అల్యూమినియం గుండును ఉపయోగిస్తే దాని ఆవర్తన కాలం ఏవిధంగా మారుతుంది ?
జవాబు:
లోలకంలో చెక్క గుండుకు బదులుగా దానిని పోలిన అల్యూమినియం గుండును వాడితే దాని డోలనావర్తనకాలం మారదు.
డోలనావర్తనకాలం గోళం ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడదు.

ప్రశ్న 6.
లోలక గడియారాన్ని పర్వతంపైకి తీసుకొని వెళితే అది సమయాన్ని పొందుతుందా ? కోల్పోతుందా ?
జవాబు:
పర్వతం పైన g విలువ తక్కువ. లోలక గడియారాన్ని పర్వతం పైకి తీసుకొనిపోతే ఆవర్తనకాలం పెరుగుతుంది. లోలకం ఆవర్తనకాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\) కావున ‘g’ తగ్గితే T పెరుగును.

ప్రశ్న 7.
భూమధ్యరేఖ వద్ద సరైన సమయాన్ని చూపే లోలక గడియారాన్ని ధ్రువాల వద్దకు తీసుకొనిపోతే అది సమయాన్ని పొందుతుందా ? కోల్పోతుందా ? అయితే ఎందుకు ?
జవాబు:
భూమధ్యరేఖ వద్ద సరియైన కాలము చూపు లోలక గడియారమును ధృవాల వద్దకు తీసుకొనిపోయిన ఇది కాలంలో ‘g’ పెరిగిన యెడల T లాభం పొందును. ధృవాల వద్ద గురుత్వ త్వరణము అధికము. ఆవర్తనకాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\). ‘g’ తగ్గును. కావున ఇచ్చిన సమయములో అది చేయు డోలనాల సంఖ్య పెరుగును. కావున గడియారము వేగంగా కదలటం వల్ల కాలాన్ని ఎక్కువగా చూపిస్తుంది.

ప్రశ్న 8.
సరళ హరాత్మక చలనం చేసే కణం స్థానభ్రంశం కంపన పరిమితిలో సగానికి సమానమైనప్పుడు, దాని మొత్తం శక్తిలో K.E, వంతు ఎంత ?
జవాబు:
సరళ హరాత్మక డోలకం మొత్తం శక్తి E = \(\frac{1}{2}\) mω²A²
స్థానభ్రంశం X = \(\frac{\mathrm{A}}{2}\) అయితే P.E. = \(\frac{1}{2}\) mω²x² = \(\frac{1}{2}\) mω² \(\frac{A^2}{4}\)
∴ గతిజశక్తి KE =\(\frac{1}{2}\) mω²A² – \(\frac{1}{2}\) mω²\(\frac{A^2}{4}\) = \(\frac{3}{4}\) \(\frac{1}{2}\) mω²A²
గతిజశక్తి KE = మొత్తం శక్తి × \(\frac{3}{4}\) = మొత్తం శక్తిలో 75%

ప్రశ్న 9.
సరళ హరాత్మక డోలకం కంపన పరిమితిని రెట్టింపు చేస్తే దాని శక్తి ఏవిధంగా మారుతుంది ?
జవాబు:
స.హ.చ. డోలకం మొత్తము శక్తి E = \(\frac{1}{2}\) mω²A²; కొత్త కంపన పరిమితి A₁ = 2A
∴ E₁ = \(\frac{1}{2}\) mω² (2A)² = 4 . \(\frac{1}{2}\) mω²A² ⇒ E₁ = 4E
కంపన పరిమితిని రెట్టింపు చేసిన మొత్తము శక్తి నాలుగు రెట్లు అగును.

ప్రశ్న 10.
కృత్రిమ ఉపగ్రహంలో లఘులోలకాన్ని ఉపయోగించవచ్చా ?
జవాబు:
కృత్రిమ ఉపగ్రహాలలో లఘులోలకాన్ని ఉపయోగించరాదు. కృత్రిమ ఉపగ్రహాలు భారరహిత స్థితిలో ఉంటాయి. అనగా g = 0. ఈ స్థితిలో లోలకం డోలనాలు చేయడానికి కావలసిన టార్క్ τ = L mg sin 6 = θ కావున లోలకం కదలదు.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
సరళ హరాత్మక చలనాన్ని నిర్వచించండి. రెండు ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
జవాబు:
సరళ హరాత్మక చలనం : డోలన చలనం యొక్క సరళమైన రూపాన్ని సరళ హరాత్మక చలనం అంటారు. ఈ చలనం కాల ప్రమేయము (f(t)) తో ఆవర్తనంగా ఉంటుంది.
సరళ హరాత్మక చలనాన్ని f(t) = A cos ωt లేదా A sin ωt వంటి అతిసరళమైన సమీకరణంతో సూచిస్తారు.
ఉదా :

1. సమవృత్తాకార గమనములోని వస్తువు లంబపాదము దాని వ్యాసముపై చలనము.
2. తక్కువ కంపన పరిమితితో చేయు కంపనాలు.
3. భారగ్రస్త స్ప్రింగ్ చేయు కంపనాలు.
4. గొట్టములోని ద్రవము చేయు కంపనాలు.

ప్రశ్న 2.
సరళ హరాత్మక చలనం చేసే కణం స్థానభ్రంశం, వేగం, త్వరణాలు కాలం దృష్ట్యా మారే విధానాన్ని గ్రాఫ్ ద్వారా సూచించండి.
జవాబు:
S.H.M లో ఉన్న కణం స్థానభ్రంశం X = A cos (ωt + Φ)
వేగము v = Aω sin (ωt + Φ)
త్వరణము a = – ω²A cos (ωt + Φ) అను ప్రమేయాలతో సూచిస్తారు. కాలము (t) ని x – అక్షం మీద స్థానభ్రంశము (X), వేగము (v) మరియు త్వరణము (a) లను y – అక్షం మీద తీసుకొని గీసిన రేఖాపటాలు ఈ క్రింది విధంగా ఉంటాయి.

a) స్థానభ్రంశ కాలవక్రము cosine ప్రమేయపు జ్యా వక్రీయ రేఖ. దీని విలువ t = 0 వద్ద గరిష్ఠంగా మొదలవుతుంది. కంపన పరిమితి – A నుండి A వరకు మారును.

b) వేగము ‘v’ sine ప్రమేయంగా మారుతుంది. t = 0 వద్ద వేగము సున్నగా ఉంటూ దీని విలువ -ωA నుండి + ωA వరకు మారును.

c) త్వరణము ‘a’ cosine ప్రమేయంగా మారుతుంది. t = 0 వద్ద – ω²A వద్ద ప్రారంభమై -ω²A నుండి ω²A వరకు మారుతుంది. ఇది స్థానభ్రంశ కాల వక్రాన్ని పోలి ఉండి \(\frac{\pi}{2}\) స్థిర దశాభేదంతో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
దశ అంటే ఏమిటి ? సరళ హరాత్మక చలనంలో స్థానభ్రంశం, వేగం, త్వరణాల మధ్య దశా సంబంధాన్ని చర్చించండి.
జవాబు:
స.హ.చ. లో ఉన్న కణము ఏదైనా సమయములో మాధ్యమిక బిందువు నుండి దాని ప్రయాణదిశను, దాని స్థానమును తెలుపు భౌతికరాశిని దశ అందురు.
ప్రావస్థ లేక దశ (Φ) : ఆవర్తన చలన ప్రారంభంలో t = 0 వద్ద ωt + Φ = Φ అవుతుంది. t = 0 వద్ద గల స్థానభ్రంశాన్ని ప్రావస్థ లేదా దశ ”Φ’ అంటారు.
ఆరంభదశ : స.హ.చ. లో ఉన్న కణము స్థానభ్రంశము Y = A cos (ωt – Φ)
వేగము V = A sin (ωt – Φ)
స్థానభ్రంశము మరియు వేగముల మధ్య దశాభేదము 90° ఉండును.
స్థానభ్రంశము, త్వరణముల మధ్య దశాకోణము :
స.హ.చ.లో త్వరణము ‘a’ = -ω² Y లేదా Y = A cos ωt మరియు a = -ω²A cos ωt
– ఋణగుర్తు స్థానభ్రంశము, త్వరణము వ్యతిరేకదిశలలో ఉండుటను సూచించును. వాటి మధ్య దశాభేదము 180° .

ప్రశ్న 4.
k బలస్థిరాంకం గల స్ప్రింగ్కు m ద్రవ్యరాశిని తగిలించారు. స్ప్రింగ్ వ్యవస్థ చేసే దోలన పౌనఃపున్యానికి సమీకరణం రాబట్టండి.
జవాబు:
భారగ్రస్త స్ప్రింగ్ డోలనావర్తనకాలం :
విస్మరించతగినంత తక్కువ ద్రవ్యరాశి గల స్ప్రింగుని ఒక చివర దృఢమైన ఆధారం నుండి వ్రేలాడదీశామనుకుందాము. దాని రెండవ చివర m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు ఉంది. ఈ వస్తువుని నిలువుగా క్రిందికి X దూరం లాగి వదిలామనుకోండి. అపుడు ఆ వస్తువు నిలువు తలంలో డోలనాలు చేస్తుంది.

ఇక్కడ X = మాధ్యమిక స్థానం నుండి వస్తువు స్థానంశం. వస్తువుపై పనిచేసే పునఃస్థాపక బలం స్థానభ్రంశంకి వ్యతిరేక దిశలో ఉంటూ, స్థానభ్రంశంకి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

∴ F ∝ – x లేదా F = -kx. ఇక్కడ k, స్ప్రింగు యొక్క స్ప్రింగు స్థిరాంకం. (- గుర్తు వ్యతిరేక దిశను తెలియజేయును)
∴ వస్తువు త్వరణం = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}=-\frac{\mathrm{kx}}{\mathrm{m}}\) = a
త్వరణం, స్థానభ్రంశంకి అనులోమానుపాతంలో ఉంది కనుక వస్తువు సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉంటుంది.
సరళహరాత్మక చలనంలో గల వస్తువు ఆవర్తనకాలము

కనుక T = 2π \(\sqrt{\frac{x}{a}}\)
కాని స్ప్రింగ్లలో \(\frac{x}{a}=\frac{m}{y}\)
∴ స్ప్రింగ్ ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}}\)

ప్రశ్న 5.
సరళ హరాత్మక డోలకానికి గతిజ, స్థితిజ శక్తులకు సమీకరణాలను రాబట్టండి.
జవాబు:
గతిజశక్తికి సమీకరణమును ఉత్పాదించుట :
సరళహరాత్మక చలనంలో గల వస్తువు స్థానభ్రంశమును x = A cos ωt తో సూచింపవచ్చును. ఇందులో A = కంపన పరిమితి; ωt = θ = కోణీయ స్థానభ్రంశము. స్థానభ్రంశములోని మార్పురేటును వేగం(v)గా నిర్వచించినారు.
వేగం = v = \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\) (A cos ωt) = – Aω sin ωt
∴ గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) mv² = \(\frac{1}{2}\) mA² ω²sin² ωt = \(\frac{1}{2}\) mA²ω² (1 – cos² ωt) = \(\frac{1}{2}\)mω² (A² – x²)
∴ ఏదైనా స్థానంలో గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) mω² (A² – x²
స్థానభ్రంశం x = 0 వద్ద K.E_max = \(\frac{1}{2}\) mω² A²

స్థితిజశక్తికి సమీకరణమును ఉత్పాదించుట :
m ద్రవ్యరాశి గల ఒక వస్తువు ‘O’ అను మధ్యబిందువు ఆధారంగా సరళహరాత్మక చలనంలో ఉన్నది అనుకొనుము. దీని కంపన పరిమితి ‘A’ అనుకొనుము.
సరళ హరాత్మక చలనంలో గల వస్తువు చలనాన్ని y = a cos ωt అను సమీకరణం సూచిస్తుంది.
S.H.M లో గల వస్తువుకు త్వరణము a = – ω²x;
∴ బలము F = mω²x
వస్తువును దాని స్థానం (x) నుండి కొంచెం దూరము dx ప్రక్కకు జరుపుటకు చేసిన పని = dw = F:dx = ఈ పని వస్తువులో స్థితిశక్తి రూపంలో నిలవ ఉంటుంది.
∴ స్థితిశక్తి P.E. = mω²x.dx
మొత్తం పని w = \(\int d w=\int_0^x m \omega^2 x \cdot d x\) దీనిని సమాకలనం చేయగా
మొత్తం పని = స్థితిశక్తి P.E. = \(\frac{1}{2}\) mω²x² …………… (5)

ప్రశ్న 6.
డోలనాలు చేసే లఘులోలకం ఒక అంత్యస్థానం నుంచి మరో అంత్యస్థానానికి చలించే సమయంలో శక్తి ఏవిధంగా మారుతుంది ?
జవాబు:
లఘు లోలకము : సాగదీయడానికి వీలులేని ద్రవ్యరాశి లేనటువంటి పొడవు గల దారానికి ఒక చిన్న లోహపు గుండును తగిలించి దృఢమైన ఆ దారానికి కడితే దానిని లఘు లోలకము అంటారు.
కంపన పరిమితి తక్కువగా గల లఘు లోలకం చేసే డోలనాలు సరళ హరాత్మక చలనాలు.
లోలకం పొడవు వెంబడి నికర వ్యాసార్ధము బలం mg cos θ.
ఇది దారంతో తన్యత T ని తుల్యం చేస్తుంది.
లోలకం డోలనాలు చేయడానికి కావలసిన టార్క్ τ ను
స్పర్శీయ బలం mg sin θ ఇస్తుంది.
లోలకం డోలనాలకు కావలసిన టార్క్ τ = – L mg sin θ
లోలకం కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{-\mathrm{mgL}}{\mathrm{I}}\) θ
లోలకం జడత్వ భ్రామకం I = mL²
లోలకం ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{ms} \mathrm{L}}}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{g}}}\)
లఘు లోలకంలో T = \(\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}\) అనగా ω = \(\sqrt{\frac{g}{L}}\)
లఘు లోలకం మొత్తం శక్తి E = \(\frac{1}{2}\) mω²A² = \(\frac{1}{2}\) Iω² = \(\frac{1}{2} \mathrm{I} \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{L}}\)

S.H.M లో గల వస్తువుకు సగటు స్థానం వద్ద గతిజశక్తి గరిష్ఠంగాను, గరిష్ఠ స్థానభ్రంశ బిందువువద్ద స్థితిశక్తి గరిష్ఠంగాను ఉంటుంది. కావున లోలకం ఒక అంత్య స్థానం నుండి మరొక అంత్య స్థానానికి మారులోపల సగటు స్థానం వద్ద దాని శక్తి స్థితిజశక్తి నుండి మొత్తం గతిజశక్తి మారుతుంది. సగటు స్థానం నుండి మరల అంత్య బిందువు చేరేసరికి మొత్తం గతిజశక్తి, స్థితిజశక్తిగా మారుతుంది. కాని లఘులోలకం మొత్తం శక్తి విలువ మారదు.

ప్రశ్న 7.
సరళ హరాత్మక చలనం చేసే కణం స్థానభ్రంశం, వేగం, త్వరణాలకు సమాసాలను ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
సరళ హరాత్మక చలనంలో గల వస్తువు స్థానభ్రంశము X = A cos (ωt + Φ) అన్న సమీకరణంతో సూచిస్తారు.
a) t = 0 వద్ద స్థానభ్రంశము ‘A’, ωt + Φ = 90° అయిన చోట స్థానభ్రంశము X = 0. ఏదైనా కాలము t వద్ద స్థానభ్రంశము
x = A cos (ωt + Φ) అవుతుంది.

b) S.H.M లో గల వస్తువు వేగము V = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\) A cos (ωt + Φ) = -ω \(\sqrt{A^2-x^2}\)
= – Aw sin (ωt + Φ)
t = 0 వద్ద వస్తువు వేగము ‘0’ ; (ωt + Φ) = 90° అయినచోట వేగము గరిష్ఠంగా – ωA ను చేరుతుంది.

c) త్వరణము a = \(\frac{d v}{d t}=\frac{d}{d t}\) [- Aw sin (ωt + Φ)] = – Aω² cos ωt + Φ) = -ω²x
గరిష్ఠ త్వరణము a_max = -ω²A

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
సరళ హరాత్మక చలనాన్ని నిర్వచించండి. ఏకరీతి వృత్తాకార చలనం చేసే కణం విక్షేపం (ఏదైనా) వ్యాసంపై సరళ హరాత్మక చలనం చేస్తుందని చూపండి. (మే 2014)
జవాబు:
సరళ హరాత్మక చలనం : డోలన చలనం యొక్క సరళమైన రూపాన్ని సరళ హరాత్మక చలనం అంటారు. ఈ చలనం కాల ప్రమేయము (f(t)) తో ఆవర్తనంగా ఉంటుంది.
సరళ హరాత్మక చలనాన్ని f(t) = A cos ωt లేదా A sin ωt వంటి అతిసరళమైన సమీకరణంతో సూచిస్తారు.

సమవృత్తాకార చలనము మరియు సరళ హరాత్మక చలనముల మధ్య సంబంధము :
‘O’ కేంద్రము, ‘ వ్యాసార్ధం గల ఒక వృత్త పరిధి పై P అను ఒక వస్తువు లేదా కణము అపసవ్యదిశలో ”’ అను సమకోణీఁ వేగంతో చలిస్తున్నది అనుకొనుము. t అను స్వల్ప కాలము తరువాత వస్తువు స్థానము ‘P’ అనుకొనుము.

P నుండి X – – అక్షము మరియు y – అక్షముల మీదకు లంబములను గీయగా ON మరియు OM లు x, y అక్షమ విూద లంబపాదములను సూచించును.
t కాలంలో వస్తువు కోణీయ స్థానభ్రంశము θ = ωt
OPM త్రిభుజం నుండి x అక్షము మీద లంబపాదము
ON = OP cos θ కాని OP = కంపన పరిమితి = OY = r వ్యాసార్ధము
θ = ωt
∴ ఇచ్చిన క్షణంలో X అక్షంపై స్థానభ్రంశము = r cos ωt …………….. (1)

ఇదే విధంగా OPM లంబకోణ త్రిభుజం నుండి y అక్షము మీద లంబపాదము OM = OP sin θ (కాని OP = వ్యాసార్ధము, = కంపన పరిమితి, θ = ωt)
∴ ఇచ్చిన క్షణంలో y – అక్షము మీద స్థానభ్రంశము y = r sin ωt …………… (2)
వస్తువు వృత్తము ఒక భ్రమణము పూర్తిచేయుసరికి లంబపాదములు
ON, OM లు xox’ మరియు yoy’ ల మధ్య ఒక కంపనాన్ని పూర్తిచేస్తాయి.
ఏ క్షణంలోనైనా P బిందువు స్థానభ్రంశాన్ని OP² = ON² + OM² ద్వారా లెక్కగట్టవచ్చును. ఇందులో (ON = r cos ωt, OM = r sin ωt)
కావున సమవృత్తాకారచలనాన్ని పరస్పర లంబదిశలలో గల రెండు సరళ హరాత్మక చలనముల కలయికగా భావించవచ్చును.

ప్రశ్న 2.
లఘులోలకం చలనం సరళ హరాత్మకం అని చూపి, దాని డోలనావర్తన కాలానికి సమీకరణం ఉత్పాదించండి. సెకండ్ల లోలకం అంటే ఏమిటి ? (మార్చి 2014)
జవాబు:
లఘు లోలకము : సాగదీయడానికి వీలులేని ద్రవ్యరాశి లేనటువంటి ఓ పొడవు గల దారానికి ఒక చిన్న లోహపు గుండును తగిలించి దృఢమైన ఆధారానికి కడితే దానిని లఘు లోలకము అంటారు.
కంపన పరిమితి తక్కువగా గల లఘు లోలకం చేసే డోలనాలు సరళ హరాత్మక చలనాలు.

లోలకం పొడవు వెంబడి నికర వ్యాసార్ధియ బలం mg cos θ.
ఇది దారంతో తన్యత Tని తుల్యం చేస్తుంది.
లోలకం డోలనాలు చేయడానికి కావలసిన టార్క్ τ ను
స్పర్శీయ బలం mg sin θ ఇస్తుంది.
లోలకం డోలనాలకు కావలసిన టార్క్ τ = – L mg sin θ
లోలకం కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{-m g L}{I} \theta \Rightarrow \frac{\theta}{\alpha}=\frac{I}{m g L}\)
లోలకం జడత్వ భ్రామకం I = mL²
లోలకం ఆవర్తన కాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{mgL}}}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{ML}^2}{\mathrm{mgL}}}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{g}}}\)
లఘు లోలకంలో కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{-\mathrm{mgL}}{\mathrm{I}}\) θ
అనగా త్వరణము α ∝ – θ (కోణీయ స్థానభ్రంశము) మరియు ఆవర్తన కాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{L}{g}}\) ఈ రెండు లక్షణాలు వస్తువు సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉండటానికి కావలసిన నిబంధనలు. కావున లఘులోలకం చలనం సరళ హరాత్మక చలనము.
సెకండ్ల లోలకం : డోలనావర్తన కాలం రెండు సెకనులు గల లోలకాన్ని సెకండ్ల లోలకం అంటారు. సెకన్ల లోలకం ఆవర్తన కాలము T = 2సెకనులు.

ప్రశ్న 3.
సరళ హరాత్మక డోలకం గతిజ, స్థితిజ శక్తులకు సమీకరణాలను ఉత్పాదించండి. సరళ హరాత్మక చలనంలోని కణం పథంపై అన్ని బిందువుల వద్ద మొత్తం శక్తి స్థిరం అని చూపండి.
జవాబు:
సరళ హరాత్మక చలనం చేసే కణం స్థానభ్రంశాన్ని x = A cos (ωt + Φ) అని రాస్తారు.

లేదా స్ప్రింగ్ పై బలం F = – Kx. ఇది కాలంతో పాటు మారే నిత్యత్వ బలం కాబట్టి స్థితిశక్తి
U = –\(\frac{1}{2}\) Kx . x = – \(\frac{1}{2}\) Kx²
∴ స్థితిశక్తి U = – \(\frac{1}{2}\) K.A² cos² (ωt + Φ)
S.H.M లో గల వస్తువుకు లేదా కణంకు ఏదైనా బిందువు వద్ద గల మొత్తం శక్తి KE + PE
∴ మొత్తం శక్తి E = \(\frac{1}{2}\) mω² (A² – x²) + \(\frac{1}{2}\) mω² x² (సమీకరణములు 1, 2 ల నుండి)
∴ E = \(\frac{1}{2}\) ω² A² S.H.M లో గల వస్తువుపై పనిచేయు బలాలు నిత్యత్వ బలాలు. ఇవి శక్తి నిత్యత్వ నియమం పాటిస్తాయి. అందువల్ల S.H.M లో గల వస్తువుకు అన్ని బిందువుల వద్ద మొత్తం శక్తి స్థిరము.

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
బోలుగా ఉండే ఇత్తడి గోళంతో ఒక లోలకం గుండును తయారుచేశారు. దాన్ని పూర్తిగా నీటితో నింపితే దాని డోలనావర్తన కాలం ఏమవుతుంది ? ఎందువల్ల ?
జవాబు:
బోలుగా ఉన్న ఇత్తడి గోళంలో పూర్తిగా నీటిని నింపితే దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రస్థానంలో మార్పురాదు. కావున డోలనా వర్తనకాలం మారదు. లోలకం డోలనావర్తన కాలం గోళం ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడదు.

ప్రశ్న 2.
k బల స్థిరాంకం గల రెండు సర్వసమానమైన స్ప్రింగ్లను శ్రేణిలో (ఒకదాని కొనకు మరొకటి) కలిపితే సంయుక్త స్ప్రింగ్ ప్రభావాత్మక బల స్థిరాంకం ఎంత ?
జవాబు:
స్ప్రింగులను శ్రేణిలో కలిపిన ఫలిత స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము k_s = \(\frac{\mathrm{k}_1 \mathrm{k}_2}{\mathrm{k}_1+\mathrm{k}_2}\)
k₁ = k₂ = k అయిన k_s = \(\frac{k k}{k+k}=\frac{k^2}{2 k}=\frac{k}{2}\)
శ్రేణిసంధానములో ఫలితస్ప్రింగ్ స్థిరాంకము తగ్గును.

ప్రశ్న 3.
సరళ హరాత్మక చలనంలో మాధ్యమిక స్థానం వద్ద ఏయే భౌతికరాశులు గరిష్ఠ విలువను కలిగి ఉంటాయి ?
జవాబు:
సరళ హరాత్మక చలనంలో మాధ్యమిక స్థానం వద్ద వేగము గరిష్ఠము. కావున గతిజశక్తి కూడా గరిష్ఠము.

ప్రశ్న 4.
సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉన్న కణం గరిష్ఠ వేగం, గరిష్ఠ త్వరణంలో సంఖ్యాత్మకంగా సగం ఉంది. దాని డోలనావర్తన కాలం ఎంత?
జవాబు:
గరిష్ఠవేగము V_max = \(\frac{1}{2}\) గరిష్ఠ త్వరణము (a_max) ; కాని V_max = Aω మరియు a_max = ω²A
∴ Aω = \(\frac{1}{2}\) Aω² = ω = 2
∴ ఆవర్తన కాలము T = \(\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{2 \pi}{2}\) = π సెకనులు.

ప్రశ్న 5.
బల స్థిరాంకం 260 Nm^-1 గల స్ప్రింగ్కు 2 kg ద్రవ్యరాశిని వేలాడదీశారు. అది 100 డోలనాలు చేయడానికి పట్టే కాలం ఎంత ?
జవాబు:
వ్రేలాడదీసిన ద్రవ్యరాశి m = 2 kg
బలస్థిరాంకము k = 260 N/m
∴ T = 2 × 3.142 × 0.0877 = 0.551 sec
100 డోలనాలకు పట్టుకాలము = 100 × 0.551 = 55.1 sec

ప్రశ్న 6.
నిశ్చలంగా ఉన్న లిఫ్ట్లోని లఘులోలకం డోలనావర్తన కాలం T. లిఫ్ట్ (1) సమవేగంతో పైకి వెళుతున్నప్పుడు (ii) సమవేగంతో కిందికి వెళుతున్నప్పుడు (iii) సమత్వరణం a తో పైకి వెళుతున్నప్పుడు (iv) సమత్వరణం 4 తో కిందికి వెళుతున్నప్పుడు (v) గురుత్వం వల్ల స్వేచ్ఛగా కిందికి పడుతున్నప్పుడు లోలకం డోలనావర్తన కాలం ఏవిధంగా మారుతుంది ?
జవాబు:
i) లిఫ్ట్ సమవేగంతో పైకి వెళుతుంటే దాని త్వరణము a = 0. లోలకంపై ఫలిత త్వరణము = g కావున లోలకం డోలనా వర్తన కాలము మారదు.

ii) సమవేగంతో కిందికి దిగునపుడు దాని త్వరణము a = 0 లోలకంపై ఫలిత త్వరణము a = g కావున దాని ఆవర్తన కాలం మారదు.

iii) లిఫ్ట్ ‘a’ సమత్వరణముతో పైకి పోతుంటే లోలకంపై ఫలిత త్వరణము = (a + g),
ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{(g+a)}}\) కావున ఆవర్తన కాలం తగ్గును.

iv) లిఫ్ట్ ‘a’ అను సమత్వరణంతో కిందికి దిగుతుంటే లోలకంపై ఫలిత త్వరణము = g – a కావున లోలకం ఆవర్తన కాలం పెరుగును.

v) లిఫ్ట్ స్వేచ్ఛగా కిందికి పడుతుంటే a = g. లోలకంపై ఫలిత త్వరణం = 0. ∴ ఆవర్తన కాలము అనంతము.

ప్రశ్న 7.
సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉండే కణం కంపన పరిమితి 4 సెం.మీ. అది మాధ్యమిక స్థానం నుంచి 1 సెం.మీ. దూరంలో ఉన్నప్పుడు త్వరణం 3 cm s^-2. మాధ్యమిక స్థానం నుంచి 2 సెం.మీ. దూరంలో ఉన్నప్పుడు దాని వేగం ఎంత ?
జవాబు:
కంపన పరిమితి A = 4 cm = 4 × 10^-2m
త్వరణము a = 3cm/s² = 3 × 10^-2 m/s² ; స్థానభ్రంశము Y = 1cm = 10^-2m
∴ కోణీయ వేగం ω = \(\sqrt{\frac{a}{Y}}=\sqrt{\frac{3}{1}}=\sqrt{3}\)
స్థానభ్రంశము 2 సెం.మీ. వద్ద వేగము V = ω \(\sqrt{A^2-Y^2}\), y = 2 సెం.మీ. కావున
∴ V = \(\sqrt{3} \sqrt{(16-4) 10^{-4}}=\sqrt{3} \times \sqrt{12} \cdot 10^{-2}=\sqrt{3} 2 \sqrt{3} \times 10^{-2}=\) = 6 × 10^-2 m/sec = 6 cm/sec

ప్రశ్న 8.
సరళ హరాత్మక డోలకం డోలనావర్తనం కాలం 2s. డోలకం మాధ్యమిక స్థానాన్ని దాటిన 0.25s తరువాత దాని దశలో కలిగే మార్పు ఎంత ?
జవాబు:
ఆవర్తన కాలము T = 2 sec
కాలము t = 0.25 sec
దశాభేదము = Φ = \(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{T}}\) × 2π = \(\frac{0.25}{2}\) × 2π = \(\frac{\pi}{4}\) = 45°
అది మాధ్యమిక బిందువు నుండి \(\frac{\pi}{4}\) దూరములో ఉండును. అనగా దశలో మార్పు \(\frac{\pi}{4}\) రేడియ

ప్రశ్న 9.
సరళ హరాత్మక చలనం చేసే వస్తువు కంపన పరిమితి 5 cm, డోలనావర్తన కాలం 0.2s. వస్తువు స్థానభ్రంశం
(a) 5 cm (b) 3 cm (c) 0 cm వద్ద దాని త్వరణం, వేగాలను కనుక్కోండి.
జవాబు:
కంపన పరిమితి A = 5 సెం.మీ. ; డోలనా వర్తనకాలం T = 0.2 సె
a) స్థానభ్రంశం x = 5 సెం.మీ. అనగా x = A గరిష్ఠము
గరిష్ఠ త్వరణము a = – ω²A కాని ω = \(\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \pi}{0.2}\) = 2π
∴ a = (-10π)² × 5 = 500π² m/s = 5π² మీ/సె
వేగము V = 0 (గరిష్ఠ స్థానభ్రంశం వద్ద V = 0 కావున)

b) స్థానభ్రంశం 3 సెం.మీ. వద్ద
త్వరణం a = – ω²x = – (- 10π)² × 3 = – 100π² × 3
= -30π² సెం.మీ./సె²
= – 3π² మీ/సె
వేగము V = – ω\(\sqrt{A^2-x^2}\) = – 10π\(\sqrt{25-9}\) = 10π\(\sqrt{16}\) సెం.మీ./సె
= 40π సెం.మీ./సె’ = 0.4π మీ/సె

c) స్థానభ్రంశము x = 0 అయిన అనగా మధ్య బిందువు వద్ద
త్వరణము a = -ω²x = 0
వేగము V = – ω\(\sqrt{A^2-x^2}\) = – ωA = 10π × 5 = 50π సెం.మీ./సె
= 0.5π మీ/సె

ప్రశ్న 10.
ఒక గ్రహం ద్రవ్యరాశి, వ్యాసార్థాలు భూమి ద్రవ్యరాశి, వ్యాసార్థాల కంటే రెట్టింపు. భూమిపై లఘులోలకం డోలనావర్తన కాలం T అయితే గ్రహంపై లోలకం డోలనావర్తన కాలం ఎంత ?
జవాబు:
గ్రహము ద్రవ్యరాశి M_p = 2 M_e;
గ్రహము వ్యాసార్ధము R_p = 2 R_e
భూమిపై లోలకము ఆవర్తన కాలము = T
గ్రహముపై ఆవర్తన కాలము T’ = ? g_e = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\)
g_p = \(\frac{\mathrm{G} \cdot 2 \mathrm{M}}{(2 \mathrm{R})^2}=\frac{\mathrm{GM}}{2 \mathrm{R}^2}=\frac{\mathrm{g}_{\mathrm{e}}}{2}\) ; భూమి మీద, T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}_{\mathrm{e}}}}\) ; గ్రహము మీద T’ = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}_{\mathrm{p}}}}\)
∴ \(\frac{T^{\prime}}{T}=\sqrt{\frac{g_e}{g_p}}=\sqrt{2}\) T = \(\sqrt{2}\)T

ప్రశ్న 11.
1 m పొడవు ఉండే లఘులోలకం డోలనావర్తన కాలం 2s నుండి 1.5s కు మారితే పొడవులో వచ్చే మార్పును లెక్కించండి.
జవాబు:
సెకండ్ల లోలకమునకు T₁ = 2 sec; పొడవు l₁ = 1 m.
కొత్త ఆవర్తన కాలము T₂ = 1.5 sec; పొడవు 1₂ = ?
T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}}}\); సెకండ్ల లోలకమునకు 2 = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}}}\)
2వ సందర్భంలో 1.5 = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}}}\)
∴ \(\frac{2}{1.5}=\frac{1}{\sqrt{l}}=\frac{4}{3}\) ⇒ l = \(\frac{9}{16}\) m
∴ పొడవులో తగ్గుదల = 1 – \(\frac{9}{16}\) = \(\frac{7}{16}\) m = 0.4375 m

ప్రశ్న 12.
ఒక గ్రహంపై 8m ఎత్తు నుంచి వస్తువు స్వేచ్ఛగా కిందికి పడేందుకు 2s తీసుకొంటుంది. ఆ గ్రహంపై లోలకం డోలనావర్తన కాలం 7TS అయితే లోలకం పొడవును లెక్కించండి.
జవాబు:
ఎత్తు, h = 8m ; గ్రహతలమును చేరుటకు పట్టుకాలము t = 2 sec
స్వేచ్ఛగా వదలిన వస్తువుకు t = \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{~h}}{\mathrm{~g}}}\) ⇒ 2 = \(\sqrt{\frac{16}{\mathrm{~g}}}\)
∴ గ్రహముపైన g = \(\frac{16}{4}\) = 4m/s²
లోలకము డోలనావర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}}}\) = π ⇒ 2 \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}}}\) = 1 లేదా \(\frac{l}{g}=\frac{1}{4}\) ⇒ l = \(\frac{g}{4}\)
ఆ గ్రహముపైన లోలకము పొడవు = \(\frac{4}{4}\) = 1m = 100 సెం.మీ.

ప్రశ్న 13.
ఒక లఘులోలకం పొడవును 0.6m పెంచినప్పుడు, డోలనావర్తన కాలం 50% పెరగడాన్ని గమనించడమైనది. g = 9.8 ms^-2 ఉన్న ప్రదేశంలో దాని తొలి పొడవు, తొలి డోలనావర్తన కాలాలను లెక్కించండి.
జవాబు:
a) లోలకము పొడవులో పెరుగుదల = 0.6m ; ఆవర్తన కాలములో పెరుగుదల = 50% = 1.5T
లోలకము యథార్థ పొడవు = l అనుకొనుము;
యథార్థ ఆవర్తన కాలము = T;
గురుత్వ త్వరణము g = 9.8 m/s²
మొదటి సందర్భానికి 9.8 = 4π² \(\frac{l}{\mathrm{~T}^2}\) ……………… (1)
రెండవ సందర్భానికి l₁ = (l + 0.6), T₁ = 1.5 T; ∴ 9.8 = 4π² \(\frac{l_1}{\mathrm{~T}_1^2}\) …………….. (2)
2ని 1చే భాగించగా 1 = \(\frac{l_1}{l} \cdot \frac{\mathrm{T}^2}{\mathrm{~T}_1^2} \Rightarrow \frac{l_1}{l}=\frac{\mathrm{T}_1^2}{\mathrm{~T}^2}\) 2.25 ⇒ l₁ = 2.25 1; కాని l₁ = l + 0.6;
∴ l + 0.6 = 2.25 l ⇒ 0.6 = 1.25 l ;
∴ లోలకము పొడవు l = \(\frac{0.6}{1.25}\) = 0.48 m

b) ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}}}\) = 2 × 3.142 \(\sqrt{\frac{0.48}{9.8}}\) = 6.284 × 0.2213 = 1.391 sec.

ప్రశ్న 14.
సెకండ్ల లోలకంతో నియంత్రితమైన (regulated) ఒక గడియారం సరైన సమయాన్ని చూపిస్తూ ఉంది. ‘వేసవి కాలంలో లోలకం పొడవు 1.02 m లకు పెరిగినట్లైతే గడియారం ఒక రోజులో ఎంత కాలాన్ని పొందుతుంది లేదా కోల్పోతుంది ?
జవాబు:
సెకండ్ల లోలకము ఆవర్తనకాలము, T = 2 sec
సెకండ్ల లోలకము పొడవు, l = g² / 4π² = 0.9927 m
వేసవిలో సెకండ్ల లోలకము పొడవు = 1.02 m
∴ పొడవులో దోషము = ∆l = 1.02 – 1 = 0.0273
లోలకమునందు T ∝ \(\sqrt{\mathrm{l}}\). దోషముల వ్యాపన నియమము నుండి \(\frac{\Delta \mathrm{T}}{\mathrm{T}}=\frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}=\frac{1}{2} \quad \frac{0.0273}{0.9927}\)
∴ ఒక దినమునకు కాలములో దోషము = 86,400 × \(\frac{1}{2} \frac{0.0273}{0.9927}\) = 1188 sec.

ప్రశ్న 15.
స్ప్రింగ్కు వేలాడదీసిన వస్తువు ఆవర్తన కాలం T. ఆ స్ప్రింగ్ను రెండు సమాన భాగాలుగా చేసి (i) వస్తువును ఒక భాగానికి వేలాడదీసినప్పుడు (ii) రెండు భాగాలకు (సమాంతరంగా) ఒకేసారి వస్తువును వేలాడదీసినప్పుడు డోలనావర్తన కాలాలను లెక్కించండి.
జవాబు:
స్ప్రింగ్ ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{K}}}\)
స్ప్రింగు రెండు సమానభాగాలుగా కత్తిరించిన ఒక్కొక్క భాగము
స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము K₁ = 2K

i) ఇచ్చిన ప్రదేశమునకు T = 2π \(\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{K}_1}}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{K}}} \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\mathrm{T}}{\sqrt{2}}\)

ii) రెండు స్ప్రింగులను సమాంతరముగా కలిపి వాటికి ఒకేసారి ద్రవ్యరాశిని వ్రేలాడదీసిన ఫలిత స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము
K_p = K₁ + K₂ = 4K
ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{m}{K_p}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{4 \cdot K}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{K}} \cdot \frac{1}{2}=\frac{T}{2}\)

ముఖ్యమైన ఉదాహరణ లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
మానవ గుండె, సగటు స్పందన రేటు నిమిషానికి 75. గుండె పౌనఃపున్యం, ఆవర్తన కాలాలను లెక్కించండి.
జవాబు:
గుండె స్పందన పౌనఃపున్యం = 75 / (1 min) = 75/(60s) = 1.25 s^-1 = 1.25 Hz = 75 min
ఆవర్తన కాలం, T = 1/(1.25s^-1) = 0.8s

ప్రశ్న 2.
కింది కాల ప్రమేయాల్లో ఏది (a) సరళ హరాత్మక చలనం (b) ఆవర్తన చలనమే కాని సరళ హరాత్మక చలనం కాదు. రెండు సందర్భాల్లో ఆవర్తన కాలాలను తెలపండి.
a) sin ωt – cot ωt
b) sin² ωt
జవాబు:
a) sin ωt – cos ωt = sin ωt – sin (π/2 – ωt)
= 2 cos (π/4) sin (ωt – π/4)
= \(\sqrt{2}\) sin (ωt – π/4)
పై సమీకరణం ఆవర్తన కాలం T = 2 π/ω, దశా కోణం (−π/4) లేదా (π/4) తో ఉండే సరళ హరాత్మక చలనాన్ని సూచిస్తుంది.

b) sin²ωt = 1/2 – 1/2 cos 2ωt
ఇది ఆవర్తన కాలం T = π/ω తో ఉండే ఆవర్తన చలనాన్ని సూచిస్తుంది. ఇది 0 వద్ద కాక 1/2 వద్ద సమతాస్థితి స్థానాన్ని కలిగి ఉండే హరాత్మక చలనాన్ని కూడా సూచిస్తుంది.

ప్రశ్న 3.
కింద ఇచ్చిన సమీకరణా (SI ప్రమాణాలలో) నికి అనుగుణంగా ఒక వస్తువు సరళ హరాత్మక చలనం చేస్తుంది.
x = 5 cos [2πt + π/4]
t = 1.58 వద్ద వస్తువు (a) స్థానభ్రంశం, (b) వడి, (c) త్వరణాలను లెక్కించండి.
జవాబు:
వస్తువు కోణీయ పౌనఃపున్యం ω = 2πs^-1,
ఆవర్తన కాలం T = 1s
t = 1.5s వద్ద
a) స్థానభ్రంశం = (5.0m) cos [(2πs^-1) × 1.5s + π/4]
= (5.0 m) cos [(3π + π/4)]
= – 5.0 × 0.707 m = – 3.535 m

b) సమీకరణం v(t) = – ωA sin (ωt + Φ) ని ఉపయోగించి, వస్తువు వడి
= – (5.0m) (2πs^-1) sin ((2πs^-1) × 1.5s + π/4]
= – (5.0m) (2πs^-1) sin [(3π + π/4]
= 10π × 0.707 ms^-1 = 22 ms^-1

c) సమీకరణం v(t) = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\) x(t) = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\) [A cos (ωt + Φ)] ని ఉపయోగించి, వస్తువు త్వరణం
= – (2πs^-1)² × స్థానభ్రంశం
= – (2πs^-1)² × (-3.535 m) = 140 ms^-2

ప్రశ్న 4.
500 Nm^-1 బల స్థిరాంకం గల స్ప్రింగ్కు 5kg ద్రవ్యరాశి గల లోహ కంకణాన్ని (ring) బిగించారు. క్షితిజ సమాంతరంగా ఉండే కడ్డీపై ఘర్షణ లేకుండా కంకణం జారుతుంది. మాధ్యమిక స్థానం నుంచి కంకణాన్ని 10.0 cm లాగి వదిలారు. అయితే కంకణం a) డోలనావర్తన కాలం 5) గరిష్ఠ వడి c) గరిష్ఠ త్వరణాలను లెక్కించండి.
జవాబు:
a) సమీకరణం T = 2π \(\) నుంచి డోలనావర్తన కాలం
T = 2π \(\sqrt{\frac{5.0 \mathrm{~kg}}{500 \mathrm{Nm}^{-1}}}\)
= (2π/10)s = 0.63s

b) సరళ హరాత్మక చలనం చేసే కంకణం వేగం v(t) = – Aω sin (ωt + Φ)
గరిష్ఠ వడి
v_m = Αω
= 0.1 × \(\sqrt{\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}}}\)
= 0.1 × \(\sqrt{\frac{500 \mathrm{Nm}^{-1}}{5 \mathrm{~kg}}}\) = 1 ms^-1
x = 0 వద్ద గరిష్ఠ వడి ఉంటుంది.

c) మాధ్యమిక స్థానం నుంచి x(t) స్థానభ్రంశం వద్ద కంకణం త్వరణం
a(t) = -ω²x(t)
= – \(\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}}\) x(t)
గరిష్ఠ త్వరణం, a_max = ω²A
= \(\frac{500 \mathrm{Nm}^{-1}}{5 \mathrm{~kg}}\) × 0.1 m = 10 ms^-2
ఇది అంత్య స్థానాల వద్ద ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
సెకండులను టిక్చేసే లఘులోలకం పొడవు ఎంత ?
జవాబు:
లఘులోలకం డోలనావర్తన కాలం
T = 2π \(\sqrt{\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{g}}}\)
దీని నుంచి కింది విధంగా రాయవచ్చు.
L = \(\frac{\mathrm{g} \mathrm{T}^2}{4 \pi^2}\)
సెకండ్లను టిక్ చేసే లఘులోలకం డోలనావర్తన కాలం 2s.
∴ g = 9.8 ms^-2, T = 2s విలువలకు
L = \(\frac{9.8\left(\mathrm{~ms}^{-2}\right) \times 4\left(\mathrm{~s}^2\right)}{4 \pi^2}\) = 1 m

ముఖ్యమైన అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
కింది వాటిలో ఏవి ఆవర్తన చలనాలను సూచిస్తాయి ?
a) చెరువు ఒక ఒడ్డు నుంచి అవతలి ఒడ్డుకు, తిరిగి అవతలి ఒడ్డు నుంచి మొదటి ఒడ్డుకు ఒక ఈతగాడు పూర్తి చేసే ట్రిప్.
b) స్వేచ్ఛగా వేలాడదీసిన దండాయస్కాంతాన్ని NS దిశ నుంచి కదిల్చి వదిలితే అది చేసే చలనం.
c) తన ద్రవ్యరాశి కేంద్రం చుట్టూ భ్రమణం చెందే హైడ్రోజన్ అణువు.
d) ధనుస్సు (విల్లు) నుంచి విడుదలైన బాణం.
జవాబు:
a) ఈతగాడు ఈ ఒడ్డు నుండి ఆ ఒడ్డుకు మరల మొదటి వైపుకు వస్తే అది సంవృత చలనమే గాని ఆవృత చలనం కాదు. కారణం ఈ చలనము నియమిత కాలవ్యవధిలో పునరావృతం కాదు.
b) స్వేచ్ఛగా వేలాడదీసిన దండాయస్కాంత కంపనాలు ఆవృత చలనాలు.
c) ఇది ఆవృత చలనము. కారణం వస్తువు పరిభ్రమణంలో ఉంది.
d) విల్లు నుంచి వచ్చిన బాణం ఒకే దిశలో ముందుకు పోతుంది. ఇది ఆవృత చలనం కాదు.

ప్రశ్న 2.
కింది ఉదాహరణలలో ఏవి దాదాపు సరళ హరాత్మక చలనాలు, ఏవి సరళ హరాత్మకం కాని ఆవర్తన చలనాలను సూచిస్తాయి ?
a) తన అక్షం పరంగా భూమి చేసే భ్రమణ చలనం
b) U – గొట్టంలో డోలనం చేసే పాదరస స్తంభం చలనం
c) నునుపైన వక్రత గల లోతు గిన్నెలో సమతాస్థితి స్థానం కంటే కొద్దిగా ఎగువన వదిలిన ఇనుప గుండు చలనం
d) తన సమతాస్థితి స్థానం పరంగా బహుపరమాణుక అణువు చేసే సాధారణ కంపనాలు
జవాబు:
a) భూమి తన అక్షం చుట్టూ చేసే భ్రమణం ఆవృత చలనము. ఇది S.H.M కాదు.
b) U – గొట్టంలో ద్రవం చేసే డోలనాలు సరళ హరాత్మక చలనాలు.
c) సమతాస్థితి నుంచి ఇనుప గుండును స్థానభ్రంశం చెందిస్తే అది నునుపు తలంపై సరళ హరాత్మక చలనం చేస్తుంది.
d) సగటు స్థానం నుండి బహుపరమాణుక అణువు కంపనాలు ఆవర్తన చలనాలు కావు.

ప్రశ్న 3.
దిగువన ఇవ్వబడిన పటం కణం రేఖీయ చలనానికి x – t ల మధ్య గీచిన గ్రాఫ్లను సూచిస్తుంది. వీటిలో ఏవి ఆవర్తన చలనాన్ని సూచిస్తాయి ? సూచిస్తే వాటి డోలనావర్తన కాలం ఎంత ?

జవాబు:
a) ఈ రేఖాపటము కాలంతో పాటు ఒకే దిశలో స్థానభ్రంశంలో మార్పు సూచిస్తుంది. కావున ఆవృత చలనం కాదు.
b) ఇది ఆవృత చలనాన్ని సూచిస్తుంది. దీని ఆవర్తన కాలము 2 సెకనులు.
c) ఈ చలన వక్రంలోని ఆకారం నియమిత కాలం తరువాత పునరావృతం కాలేదు. అందువల్ల ఇది ఆవృత చలనం కాదు.
d) ఇది ఆవృత చలనము. ఆవర్తన కాలము 2 సెకనులు.

ప్రశ్న 4.
కింది వాటిలో ఏ కాల ప్రమేయాలు a) సరళ హరాత్మక, b) ఆవర్తనమే కానీ సరళ హరాత్మకం కాని, c) ఆవర్తనం కాని చలనాలను సూచిస్తాయి. ప్రతి ఆవర్తన చలనం సందర్భంలో ఆవర్తన కాలాన్ని తెలియచేయండి. (ఎ ఏదైనా ధన స్థిరాంకం)
a) sin ωt – cos ωt
(b) sin³ ωt
(c) 3 cos\(\left(\frac{\pi}{4}-2 \omega t\right)\)
(d) cos ωt + cos 3ωt + cos 5ωt
(e) exp (- ω²t²)
(f) 1 + ωt + ω²t².
జవాబు:

1. ఒక చలనం ఆవృత చలనం కావాలంటే దాని చలనం ఒకే విధంగా ఉండి నిర్ణీత కాలవ్యవధి తరువాత పునరావృతం కావాలి.
2. వస్తువు చలనం S.H.M కావాలంటే దాని చలనం cos (ωt + Φ) లేదా sin (ωt + Φ) వంటి రూపంలో ఉండాలి.

a) sin ωt – cos ωt = \(\sqrt{2}\left[\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega \mathrm{t}-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega \mathrm{t}\right]=\sqrt{2}\left[\cos \frac{\pi}{4} \sin \omega \mathrm{t}-\sin \frac{\pi}{4} \cos \omega \mathrm{t}\right]\)
= \(\sqrt{2} \sin \left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right)\)
ఇది S.H.M లో గల వస్తువు సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది. కావున సరళ హరాత్మక చలనము.

b) sin³ ωt = \(\frac{1}{4}\) [3 sin ωt – sin 3ωt]
ఇందులో sin ωt మరియు sin 3ωt లు ఆవృత చలనాలు. ఆవర్తన కాలము 2π/ω. కాని ఈ రెంటి కలయిక సరళ హరాత్మక చలనం కాదు. కేవలం ఆవృత చలనం మాత్రమే.

c) 3 cos \(\left(\frac{\pi}{4}-2 \omega t\right)\) = 3 cos (2ωt – \(\frac{\pi}{4}\)); [∵ cos – θ = cos θ]
కావున ఇది సరళ హరాత్మక చలనము.

d) cos ωt + cos 3ωt + cos 5ωt లలో ప్రతి పదము ఆవర్తన చలనాన్ని కలిగి ఉంది. వీటి అన్నింటి ఫలితంగా వచ్చిన చలనం సరళ హరాత్మక చలనం కాదు.

e) e^-ω2t2 వంటి ఘాతాంక ప్రమేయాలు ఒకే దిశలో పెరుగుతాయి. వీటి ప్రవర్తన పునరావృతం కాదు. అందువల్ల ఇవి ఆవృత చలనాలు లేదా S.H.M లు కావు.

f) 1 + ωt + ω²t² వంటి సమీకరణాల పరిమాణాలు కాలంతో పాటు పునరావృతం కావు. అందువల్ల ఇవి ఆవృత చలనాలు లేదా S.H.M లు కావు.

ప్రశ్న 5.
10 cm ఎడంతో ఉండే రెండు బిందువులు A, B ల మధ్య ఒక కణం రేఖీయ సరళ హరాత్మక చలనం చేస్తుంది. A నుంచి B కి దిశను ధన దిశగా తీసుకొని, కింద ఇచ్చిన స్థానాల వద్ద కణం ఉన్నప్పుడు వేగం, త్వరణం, బలం
దిశలను తెలపండి.
a) A
b) B
c) A, B ల మధ్య బిందువు వద్ద A వైపు వెళ్ళేటప్పుడు,
d) B నుంచి 2 cm దూరంలో, A వైపు వెళ్ళేటప్పుడు,
e) A నుంచి 3 cm దూరంలో, B వైపు వెళ్ళేటప్పుడు,
f) B నుంచి 4 cm దూరంలో, A వైపు వెళ్ళేటప్పుడు.
జవాబు:
a) A బిందువు వద్ద స్థానభ్రంశం గరిష్ఠము. కావున వేగం V = 0 త్వరణము, బలము గరిష్ఠము. వీటి దిశ A నుండి B వైపు ఉంటుంది.

b) B బిందువు వద్ద స్థానభ్రంశం గరిష్ఠము కావున V త్వరణము, బలము గరిష్ఠము. వీటి దిశ B నుండి A వైపు ఉంటుంది.

c) మధ్యబిందువు ‘C’ వద్ద స్థానభ్రంశము సున్న వేగము గరిష్ఠము. ఇది x -ve దిశలో ఉంటుంది. త్వరణము, బలముల పరిమాణము సున్న.

d) B నుండి 2 cm దూరంలో A వైపు చలిస్తే ఇవి x -ve వైపు చలించే ప్రవృత్తి కలిగి ఉన్నాయి. కావున వేగము, త్వరణము, బలం అన్నీ ఋణాత్మకమే.

e) A నుండి 3 cm దూరంలో B వైపు చలిస్తుంటే కణం గమన దిశ x ‘+ve’ వైపు ఉంది. కావున వేగం, త్వరణము మరియు బలముల దిశ ధనాత్మకము.

f) B నుండి 4 cm దూరంలో A వైపు చలిస్తుంటే వేగం x -ve వైపు ఉంది కావున ఋణాత్మకము, త్వరణము మధ్య బిందువు వైపు ఉంది. కావున త్వరణము, బలము ధనాత్మకము.

ప్రశ్న 6.
కణం త్వరణం a, స్థానభ్రంశం x ల మధ్య సంబంధాన్ని తెలిపే కింది సమీకరణాల్లో ఏవి సరళ హరాత్మక చలనాన్ని కలిగి ఉన్నాయి ?
a) a = 0.7 x
b) a = – 200 x²
c) a = – 10x
d) a = 100 x³
జవాబు:
a) ఇది S.H.M కాదు
b) S.H.M కాదు
c) a = – 10x ఇది a = – ω²y రూపంలో ఉంది కావున సరళ హరాత్మక చలనం (S.H.M) ను సూచిస్తుంది.
d) ఇది S.H.M కాదు.
గమనిక : S.H.M లో గల వస్తువు త్వరణము a = – ω²y రూపంలో ఉండాలి. ω = స్థిరపదము (విలువ స్థిరము).

ప్రశ్న 7.
స్ప్రింగ్ త్రాసు స్కేలుపై 0 నుంచి 50 kg వరకు రీడింగ్లు కలవు. స్కేలు పొడవు 20 cm. ఈ త్రాసుకు వేలాడదీసిన వస్తువును లాగి వదిలితే అది 0.6s డోలనావర్తన కాలంతో డోలనాలు చేస్తుంది. అయితే వేలాడదీసిన వస్తువు భారం ఎంత ?
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి m₁ = 50 కి.గ్రా లకు సాగుదల y = 20 సెం.మీ. = 0.2 మీ; కాలము T = 0.6 సె
గరిష్ఠ బలం F = mg = 50 × 9.8 = 490 N
బలస్థిరాంకము K = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{y}}=\frac{490}{0.2}\) = 2450 న్యూ
ఆవర్తన కాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}}\) ⇒ m = \(\frac{\mathrm{KT}^2}{4 \pi^2}\)
m = \(\frac{2450 \times 0.6 \times 0.6}{4 \times(3.14)^2}\) = = 22.56 kg
వస్తువు భారము w = mg = 22.56 × 9.8 = 221.1 న్యూ

ప్రశ్న 8.
పటంలో చూపిన విధంగా 1200 Nm^-1 స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం గల స్ప్రింగ్ను క్షితిజ సమాంతరంగా ఉండే బల్లపై అమర్చారు. స్ప్రింగ్ స్వేచ్ఛా చివరకు 3 kg ద్రవ్యరాశిని తగిలించారు. ద్రవ్యరాశిని 2.0 cm దూరం పక్కకు లాగి వదిలారు. i) డోలనాల పౌనఃపున్యం, ii) ద్రవ్యరాశి గరిష్ఠ త్వరణం, iii) ద్రవ్యరాశి గరిష్ఠ వేగాలను కనుక్కోండి.
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి k = 1200 Nm^-1; m = 3.0 kg; a = 2 cm = 0.02 m

ప్రశ్న 9.
పై అభ్యాసంలో స్ప్రింగ్ సాగదీయనప్పుడు ద్రవ్యరాశి స్థానం x = 0 అని, ఎడమ నుంచి కుడికి ధనాత్మక x – అక్షం అని తీసుకోండి. t = 0 వద్ద స్టాప్ వాచ్ను మొదలు పెట్టినట్లైతే, డోలనాలు చేస్తున్న ద్రవ్యరాశి కింది స్థానాల వద్ద ఉన్నప్పుడు t ప్రమేయంగా x విలువను తెలపండి.
a) మాధ్యమిక స్థానం
b) గరిష్టంగా సాగిన స్థానం
c) గరిష్ఠంగా సంపీడనం (నొక్కిన) చెందిన స్థానం
పై సరళ హరాత్మక చలన ప్రమేయాలు పౌనఃపున్యం, కంపన పరిమితి, తొలి దశల్లో ఒకదానితో ఒకటి ఏవిధంగా విభేదిస్తాయో తెలపండి.
జవాబు:
కంపన పరిమితి A = 2 సెం.మీ; ω = \(\sqrt{\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}}}=\sqrt{\frac{1200}{3}}\) = 20 రే/సె
a) మాధ్యమిక స్థానం వద్ద x = A sin ωt నుండి x = 2 sin 2ω t

b) గరిష్ఠంగా సాగిన స్థానం వద్ద x = A అనగా Φ = \(\frac{\pi}{2}\) మూల సమీకరణం నుండి
x = A sin (ωt + Φ) నుండి x = 2 sin (20t + \(\frac{\pi}{2}\)) = 2 cos (20t)

c) గరిష్ఠ సంపీడన స్థానం వద్ద x = – A. కావున Φ = \(\frac{3\pi}{2}\) మూల సమీకరణం
x = A sin (ωt + Φ) నుండి x = – 2 sin (20t + \(\frac{3\pi}{2}\)) = -2 cos 20t.

ప్రశ్న 10.
పటం రెండు వృత్తాకార చలనాలను సూచిస్తుంది. వృత్త వ్యాసార్ధం, భ్రమణ కాలం, తొలిస్థానం, తిరిగే దిశ (సవ్య లేదా అపసవ్య) మొదలైన అంశాలు పటంలో చూపించడమైంది.

పై రెండు సందర్భాలలో భ్రమణం చెందే కణం P యొక్క వ్యాసార్ధ సదిశ x – అక్ష విక్షేపం యొక్క సహచలనాలను రాబట్టండి.
జవాబు:
పటము (a) నుండి T = 2సె; కంపన పరిమితి A = 3 సెం.మీ. ;
t = 0 వద్ద ‘OP’ x – అక్షంతో చేసిన కోణము \(\frac{\pi}{2}\) = 90° సవ్యదిశ
∴ S.H.M లో గల వస్తుసమీకరణం x = A cos \(\left(\frac{2 \pi \mathrm{t}}{\mathrm{T}}+\phi\right)\) = 3 cos \(\left(\frac{2 \pi \mathrm{t}}{2}+\frac{\pi}{2}\right)\) = 3 cos \(\left(\pi \mathrm{t}+\frac{\pi}{2}\right)\) సెం.మీ.

b) పటము (b) నుండి కాలము T = 4 సె ; కంపన పరిమితి A = 2 మీ.
t = 0 వద్ద x – అక్షంతో P చేయు కోణము Φ = π. (సవ్యదిశలో)
∴ S.H.M లో గల వస్తు సమీకరణం
x = A cos \(\left(\frac{2 \pi t}{T}+\phi\right)\) = 2 cos \(\left(\frac{2 \pi \mathrm{t}}{4}+\pi\right)\) = -2 cos \(\left(\frac{\pi}{2} t\right)\)

ప్రశ్న 11.
పటం (a)లో చూపించిన విధంగా బల స్థిరాంకం గల స్ప్రింగ్ ఒక చివరను దృఢంగా బిగించి, రెండో స్వేచ్ఛా చివరకు ద్రవ్యరాశి m ని బిగించారు. స్వేచ్ఛా చివర ప్రయోగించిన బలం Fవల్ల స్ప్రింగ్ కొంత సాగుతుంది. పటం (b)లో చూపించిన విధంగా అదే స్ప్రింగ్ రెండు స్వేచ్ఛా చివరలను m ద్రవ్యరాశి గల రెండు దిమ్మెలకు అనుసంధానం చేసి, రెండు చివరలా అంతే బలం F ప్రయోగించి స్ప్రింగ్ను సాగదీశారు.

(a) రెండు సందర్భాల్లో స్ప్రింగ్ పొందే గరిష్ఠ సాగుదల ఎంత ?
(b) పటం (a) లో ద్రవ్యరాశిని, పటం (b) లో రెండు ద్రవ్యరాశులను వదిలిపెడితే ప్రతి సందర్భంలో స్ప్రింగ్ చేసే డోలనావర్తన కాలం ఎంత ?
జవాబు:
రెండు సందర్భాలలోను స్ప్రింగ్లో గరిష్ఠ సాగుదల_x = F/k
పటం ‘a’ నుండి స్ప్రింగ్ను సాగదీసిన స్థానం వద్ద బరువును వదలివేస్తే పునఃస్థాపక బలం F = – kx లేదా F ∝ x
ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}}\) స్ప్రింగ్లలో
m = తగిలించిన ద్రవ్యరాశి ; k = స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము
పటము ‘b’ నుండి రెండు ద్రవ్యరాశులను శ్రేణి పద్ధతిలో కలిపితే స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము k అయినపుడు ఫలిత ద్రవ్యరాశి
μ = \(\frac{\mathrm{m} \times \mathrm{m}}{\mathrm{m}+\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{m}}{2}\)
ఆవర్తన కాలము T= 2π \(\sqrt{\frac{\mu}{k}}\) = 2π \(\sqrt{\frac{\mathrm{m}}{2 \mathrm{k}}}\)

ప్రశ్న 12.
ఒక వాహన ఇంజన్లోని సిలిండర్లో గల ముషలకం 1.0m (కంపన పరిమితికి రెట్టింపు) ఘాతం (stroke) ను ఇస్తుంది. ఒకవేళ ముషలకం 200 rad/min పౌనఃపున్యంతో సరళ హరాత్మక చలనం చేస్తున్నట్లైతే, దాని గరిష్ఠ వడి ఎంత ?
జవాబు:
కంపన పరిమితి A = \(\frac{1}{2}\) మీ.,
ω = 200 R.P.M
గరిష్ఠ వేగము V_max = A . ω = \(\frac{1}{2}\) × 200 = 100 మీ/నిమిషము

ప్రశ్న 13.
చంద్రుడిపై గురుత్వ త్వరణము విలువ 1.7 ms^-2. భూమిపై 3.58 డోలనావర్తన కాలం గల లఘులోలకాన్ని చంద్రుడిపైకి తీసుకొనిపోతే అక్కడ దాని డోలనావర్తన కాలం ఎంత ? (భూమిపై g విలువ 9.8 ms^-2)
జవాబు:
చంద్రునిపై గురుత్వ త్వరణము g_m = 1.7 మీ/సె^-2 ; భూమిపై g = 9.8 మీ/సె²
భూమిపై లోలకం ఆవర్తన కాలము T_e = 3.5 సె ;
చంద్రునిపై ఆవర్తన కాలం T_m = ?
T_e = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g_e}}\)
T_m = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g_m}}\)
∴ \(\frac{T_m}{T_e}=\sqrt{\frac{g_e}{g_m}\)
చంద్రునిపై ఆవర్తన కాలం T_m = T_e \(\sqrt{\frac{9.8}{1.7}}\) = 8.4 s

ప్రశ్న 14.
Mద్రవ్యరాశి గల గుండును కలిగి ఉన్న ! పొడవు గల లఘులోలకాన్ని కారులో వేలాడదీశారు. కారు R వ్యాసార్ధం గల వృత్తాకార మార్గంపై సమవడితో చలిస్తోంది. లోలకం వ్యాసార్ధ దిశలో సమతాస్థితి స్థానం పరంగా స్వల్ప డోలనాలను చేస్తే, దాని ఆవర్తన కాలం ఎంత ?
జవాబు:
అభిలంబ త్వరణము a_c = \(\frac{v^2}{\mathrm{R}}\) ఇది క్షితిజ సమాంతరంగా పనిచేస్తుంది.
గురుత్వ త్వరణము ‘g’ క్షితిజ లంబంగా పనిచేస్తుంది.
ఫలిత గురుత్వ త్వరణము g’ = \(\sqrt{g^2+a_c^2}=\sqrt{g^2+\frac{v^4}{R^2}}\)
ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g^{\prime}}}\) = 2π \(\sqrt{\frac{l}{g^2 \quad v^4 / R^2}}\)

ప్రశ్న 15.
10 kg ద్రవ్యరాశి గల వృత్తాకార లోహపలక కేంద్రం వద్ద తీగతో కట్టి పలకను వేలాడదీశారు. తీగను మెలి తిప్పి వదిలితే పలక చేసే విమోటన డోలనాల ఆవర్తన కాలం 1.58 పలక వ్యాసార్ధం 15 cm అయితే తీగ విమోటన స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం విలువను కనుక్కోండి. (విమోటన స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం aను J = – α θ తో నిర్వచిస్తారు. ఇక్కడ J పునఃస్థాపక టార్క్, θ పురి తిప్పిన కోణం).
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి m = 10 కి.గ్రా; R = 15 సెం.మీ. = 0.15 మీ; T = 1.5 సె
బిళ్ళ జడత్వ భ్రామకము I = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\) = \(\frac{1}{2}\) × 10 × (0.15)² = 0.1125 kg m²
ఆవర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{\mathrm{I}}{\alpha}}\)
లేదా α = \(\frac{4 \pi^2 \mathrm{I}}{\mathrm{T}^2}\) = 4 × (3.14)² × \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{0.1125}{(1.5)^2}\) = 1.97 Nm/Rad

ప్రశ్న 16.
5 cm కంపన పరిమితి, 0.2s డోలనావర్తన కాలంతో ఒక వస్తువు సహచ చేస్తుంది. వస్తువు స్థానభ్రంశాలు (a) 5 cm (b) 3 cm (c) 0 cm అయినప్పుడు దాని త్వరణం, వేగాలను కనుక్కోండి.
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి A = 5 సెం.మీ. = 0.05 మీ; T = 0.2 సె
కోణీయ వేగము ω = \(\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \times 3.14}{0.2}\) = 10π
a) స్థానభ్రంశము x = 5 cm ⇒ x = A వద్ద
త్వరణము A = – ω²A = 10π × 10π × \(\frac{5}{100}\) = 5π² = 49.3 మీ/సె²
వేగము V = 0 (x = A అయినపుడు)

b) స్థానభ్రంశము x = 3 సెం.మీ.= \(\frac{3}{100}\) మీ.
త్వరణము a = – ω²x = 10π × 10π × \(\frac{3}{100}\) = 29.58 మీ/సె²
వేగము V = ω \(\sqrt{\mathrm{A}^2-\mathrm{x}^2}=10 \pi \sqrt{\left(\frac{5}{100}\right)^2-\left(\frac{3}{100}\right)^2}=\frac{10 \pi}{100} \sqrt{25-9}\)
= \(\frac{\pi}{10} \cdot \sqrt{16}=\frac{4 \pi}{10}\) = 1.256 మీ/సె

c) స్థానభ్రంశము x = 0 వద్ద, త్వరణము a = ω²x = 0
వేగము V గరిష్ఠము
∴ V_max = Aω = \(\frac{5}{100}\) × 10π = \(\frac{\pi}{2}\) = 1.57 మీ/సె

ప్రశ్న 17.
క్షితిజ సమాంతరంగా ఉండే స్ప్రింగ్ స్వేచ్ఛా చివరన కట్టిన ద్రవ్యరాశి, తలంపై ఎలాంటి ఘర్షణ లేదా అవరోధం లేనప్పుడు » కోణీయ వేగంతో డోలనాలు చేస్తుంది. t = 0 కాలం వద్ద ద్రవ్యరాశిని x₀ దూరం లాగి కేంద్రం వైపు V₀ వేగంతో నెట్టినప్పుడు కలిగే ఫలిత డోలనాల కంపన పరిమితిని ω, x₀, V₀ పదాలలో కనుక్కోండి.
(సూచన : x = a cos (ωt + θ) సమీకరణంతో ప్రారంభించండి. తొలి వేగం రుణాత్మకం అని గమనించండి.)
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి కాలము t = 0 వద్ద x = x₀ మరియు \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) = -V₀
S.H.M సమీకరణం x = A cos (ωt + Φ) నుండి x₀ = A cos ωt …………….. (1)
కాని \(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) = V₀ = -ω A sin ωt
⇒ A sin ωt = \(\frac{V_0}{\omega}\) ………………. (2)
1, 2 సమీకరణాలను వర్గీకరించి కలుపగా
x₀² + \(\frac{\mathrm{V}_0^2}{\omega^2}\) = A² (sin²ωt + cos²ωt) లేదా A² = x₀² + \(\frac{\mathrm{V}_0^2}{\omega^2}\)
∴ కంపన పరిమితి A = \(\sqrt{\mathrm{x}_0^2+\frac{\mathrm{V}_0^2}{\omega^2}}\)

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 6 Rights and Duties to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 6 Rights and Duties

→ Rights are essential for the all-round development of the individual and the progress of society.

→ Every individual must recognize and respect the rights of l1 fellow individuals.

→ Rights are broadly classified into three categories namely Natural (ii) Moral and (iii) Legal.

→ Legal Rights are of three types, (i) Civil Rights (ii) Political Rights (iii) Economic Rights.

→ Civil life is possible through civil rights, whereas political life is possible through political rights and economic life is possible through economic rights.

→ Civil rights include the right to life, right to liberty, right to equality, right to property, right to family, right to religion, the right to contract, right to education, right form associations and unions, and right to constitutional remedies.

→ Political rights include the right to vote, the right to contest in elections, the right to hold public offices, the right to petition and the right to criticism.

→ Economic rights include the right to work, the right to adequate wages, the right to reasonable hours of work, the right to compensation and the right to self-government in industry.

→ Safeguards of rights include democratic rule, written and rigid constitution, constitutional incorporation, separation of powers, decentralization of powers, rule of law, independent and impartial judiciary, independent press, social and economic equalities, and eternal vigilance.

→ Human rights are the amenities required for the basic existence of human beings.

→ Magna Carta in England is the First step towards the realization of human rights.

→ Human rights are broadly classified into two categories (i) Civil and Political Rights (ii) Economic, Social and Cultural rights.

→ The Constitution of India incorporated many of the human rights, mentioned in the U.N. declaration of human Rights. Especially articles 19 to 28 of part – III on fundamental rights are in consonance with the human rights of individuals.

→ Responsibilities are the obligations of individuals towards others residing in society.

→ Responsibilities are moral, legal, positive, and negative.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 6 హక్కులు – విధులు

→ రాజనీతిశాస్త్ర అధ్యయనంలో హక్కుల భావనకు చాలా ప్రాముఖ్యత ఉంది.

→ వ్యక్తుల సంపూర్ణ వికాసానికి అత్యంత అవసరమైన నియమాలే హక్కులు.

→ ‘వ్యక్తులు ఆదర్శవంతమైన, బాధ్యతాయుతమైన పౌరులుగా తీర్చిదిద్దబడటానికి అవసరమైన పరిస్థితులను శ్రద్ధతో కల్పించేవే హక్కులు’ అని లాస్కీ మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ మానవులు జన్మతః అనుభవించే హక్కులే సహజ హక్కులు. “నైతిక హక్కులు” సమాజంలోని నైతిక సూత్రాల ప్రాతిపదికగా రూపొందింపబడినాయి.

→ రాజ్యం చేత గుర్తించబడి ప్రభుత్వం ద్వారా అమలయ్యే వాటిని ‘చట్టబద్ధమైన హక్కులు’ అంటారు.

→ నాగరిక సమాజానికి పౌరహక్కులు అత్యంత అవసరం.

→ రాజ్యానికి సంబంధించిన రాజకీయ వ్యవహారాలలో పాల్గొనేందుకు పౌరులకు అవకాశాలు కల్పించే హక్కులను ‘రాజకీయ హక్కులు’ అంటారు.

→ వ్యక్తులు ఆర్థిక వ్యవహారాలలో పాల్గొనేందుకు తోడ్పడే హక్కులను ‘ఆర్థిక హక్కులు’ అంటారు.

→ ‘పౌర హక్కులన్నింటిలో ప్రాణరక్షణ హక్కు అత్యంత ప్రధానమయినది అని టి.హెచ్. గ్రీన్ మహాశయుడు పేర్కొన్నాడు.

→ సమాజంలోని నివసించే వ్యక్తులు ఇతర వ్యక్తుల పట్ల నిర్వర్తించే అంశాలనే బాధ్యతలు అంటారు.

→ ప్రతి పౌరుడు తాను నివసించే రాజ్యం పట్ల, ప్రభుత్వం పట్ల, చట్టాల పట్ల సంపూర్ణ విశ్వాసాన్ని, విధేయతను కలిగి ఉండాలి.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(e) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Matrices Solutions Exercise 3(e)

I.
Question 1.
Find the adjoint and inverse of the following matrices. (March 2002)
i) \(\left[\begin{array}{rr}
2 & -3 \\
4 & 6
\end{array}\right]\)
Answer:
If A = \(\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right]\) then adj A = \(\left[\begin{array}{rr}
\mathrm{d} & -\mathrm{b} \\
-\mathrm{c} & \mathrm{a}
\end{array}\right]\)

ii) \(\left[\begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]\)
Answer:

iii) Find the adjoint and inverse of the matrix \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 0 \\
3 & 2 & 1
\end{array}\right]\).
Answer:
Find cofactors of elements in the matrix as

iv) \(\left|\begin{array}{lll}
2 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 1 \\
2 & 2 & 1
\end{array}\right|\)
Answer:

Question 2.
If A = \(\left[\begin{array}{cc}
\mathrm{a}+\mathrm{i b} & \mathrm{c}+\mathrm{i d} \\
-\mathrm{c}+\mathrm{i d} & \mathrm{a}-\mathrm{i b}
\end{array}\right]\), a² + b² + c² + d² = 1
Answer:
det A = (a + ib) (a – ib) – (c + id) (- c + id)
= (a² – i² b²) – (- c² + i²d²)
= a² + b² + c² + d² (∵ i² = -1)
= 1
Adj A = \(\left[\begin{array}{cc}
a-i b & -c-i d \\
c-i d & a+i b
\end{array}\right]\)
A^-1 = \(\frac{{Adj} A}{{det} A}=\left[\begin{array}{cc}
a-i b & -c-i d \\
c-i d & a+i b
\end{array}\right]\)

Question 3.
If A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 3 \\
0 & -1 & 4 \\
-2 & 2 & 1
\end{array}\right]\), then find (A’)^-1. (Board Model Paper)
Answer:

Question 4.
If A = \(\left[\begin{array}{rrr}
-1 & -2 & -2 \\
2 & 1 & -2 \\
2 & -2 & 1
\end{array}\right]\), then show that the adjoint of A = 3A, find A^-1
Answer:

Question 5.
If abc ≠ 0; find the inverse of \(\left[\begin{array}{lll}
\mathrm{a} & 0 & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{array}\right]\) (May 2006)
Answer:

II.
Question 1.
If A = \(\left[\begin{array}{lll}
\mathrm{b}+\mathrm{c} & \mathrm{c}-\mathrm{a} & \mathrm{b}-\mathrm{a} \\
\mathrm{c}-\mathrm{b} & \mathrm{c}+\mathrm{a} & \mathrm{a}-\mathrm{b} \\
\mathrm{b}-\mathrm{c} & \mathrm{a}-\mathrm{c} & \mathrm{a}+\mathrm{b}
\end{array}\right]\) and B = \(\frac{1}{2}\left[\begin{array}{lll}
\mathrm{b}+\mathrm{c} & \mathrm{c}-\mathrm{a} & \mathrm{b}-\mathrm{a} \\
\mathrm{c}-\mathrm{b} & \mathrm{c}+\mathrm{a} & \mathrm{a}-\mathrm{b} \\
\mathrm{b}-\mathrm{c} & \mathrm{a}-\mathrm{c} & \mathrm{a}+\mathrm{b}
\end{array}\right]\), then show that ABA^-1 is a diagonal matrix.
Answer:

Question 2.
If 3A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 2 \\
2 & 1 & -2 \\
-2 & 2 & -1
\end{array}\right]\), then show that A^-I = A’.
Answer:

∴ A.A’ = I and by definition A’ = A^-1
similarly A’.A = I

Question 3.
If A = \(\left[\begin{array}{rrr}
3 & -3 & 4 \\
2 & -3 & 4 \\
0 & -1 & 1
\end{array}\right]\), then show that A^-1 = A³
Answer:

So, the multiplicative inverse of A exists and it is A³.
∴ A^-1 = A³

Question 4.
If AB = I or BA = I, then prove that A is invertible and B = A^-1.
Answer:
Given AB = I
⇒ |AB| = |I|
⇒ |A| |B| = 1
⇒ |A| ≠ 0
∴ A is a non-singular matrix.
Also BA = I
⇒ |B| |A| = |I|
⇒ |A| |B| = 1
⇒ |A| *0
∴ A is a non-singular matrix.
⇒ A is invertible
⇒ A^-1 exists AB = I
⇒ A^-1 AB = A^-1I
⇒ (A^-1 A) B = A^-1I
⇒ IB = A^-1I
⇒ B = A^-1.

Here students can locate TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 10 Basic Statistics for Economics to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 10 Basic Statistics for Economics

→ Economics is that branch of social science that studies the economic behavior of human beings.

→ In Economics, measures are known as policies. So a number of analyses of economic problems would be possible without data.

→ Statistics means numerical facts systematically collected.

→ Statistics is used in finding the relationship between the cause and effect of an economic problem.

→ Collection of data is classified into two types.

1. Primary data
2. Secondary data

→ There are various kinds of diagrams in common use.

1. Geometric diagram
2. Frequency diagram
3. Line graphs diagram

→ ‘Bar’ diagram and ‘Pie’ diagram come in the category of geometric diagrams.

→ The Bar diagrams are of three types:

1. Simple bar diagram 2. Multiple bar diagram 3. Subdivided bar diagram.

→ Height and length rectangular bars for each class of data.

→ It is used for comparing two or more sets of data.

→ These diagrams are used to represent various parts of the total.

→ The circle is divided into as many parts as components by drawing straight lines from the centre.

→ The measures of central tendency is a way of summarizing the data in the form of typical values. There are three most commonly used averages:

1. Arithmetic Mean
2. Median
3. Mode

→ It is the quotient of the sum of all the items divided by the number of items.

→ Mean calculation: under ungrouped data

→ Mean calculating under grouped data:

Using the symbol S for summation we get

→ Shortcut or Step deviation method for a mean of grouped data:

→ Median is the middle element when the data set is arranged in order of magnitude.

→ Mode is the most frequently observed value in the data with the highest frequency is called the mode of data.

→ Relationship among Mean, Median, and Mode:
There exist an empirical relation among mean, median, and mode.
So, Mode = 3 Median – 2 Mean

TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 10 అర్థశాస్త్రంలో ప్రాథమిక గణాంక శాస్త్ర భావనలు

→ గణాంక శాస్త్రాన్ని ఆంగ్లంలో ‘స్టాటిస్టిక్స్’ అని పిలుస్తారు. దీనిని రెండు అర్థాలలో వాడుతారు. ఏకవచనంలో దీనిని ‘గణాంక శాస్త్రం’ అంటారు. బహువచనంలో “సాంఖ్యా దత్తాంశం” అంటారు.

→ గణాంకశాస్త్ర పరిధిలోకి ముఖ్యంగా వచ్చే అంశాలు దత్తాంశాన్ని సేకరించడం, సమర్పించడం, విశ్లేషణ చేయడం, విపులీకరించడం మొదలగునవి.

→ అర్థశాస్త్ర అధ్యయనంలో గణాంక శాస్త్ర పరిజ్ఞానం అవసరమని J.S. మిల్, జీవాన్స్, కీన్స్ లాంటి వారు పేర్కొన్నారు. అర్థశాస్త్ర విశ్లేషణ అంతా గణాంక దత్తాంశంపై పూర్తిగా ఆధారపడి ఉంటుంది. పేదరికం, నిరుద్యోగం, ధరలు మొదలగువాటి స్వరూప, స్వభావాలు తెలుసుకొనుటకు దీనిని ఉపయోగిస్తారు.

→ గణాంక ఫలితాలు తేలికగా అవగాహన చేసుకొనుటకు చిత్రపటాలు ఉపయోగపడతాయి. అవి. ముఖ్యంగా 5 రకాలు.

1. ఏకపరిమాణ చిత్రాలు
2. ద్విపరిమాణ చిత్రాలు
3. త్రిపరిమాణ చిత్రాలు
4. పిక్టోగ్రాములు
5. కార్టోగ్రాములు

→ i) సాధారణ బార్ చిత్రాన్ని ఒక చలనరాశిలో మార్పు చూపడానికి ఉపయోగిస్తారు.
ii) ఉప విభాజిత బార్పటం మొత్తం దత్తాంశంలోని భాగాలు బార్లో చూపించవచ్చు.
iii) బహుళ బారటం అంతర సంబంధమున్న దత్తాంశం ఒక పటంలో చూపడానికి ఉపయోగిస్తారు.
iv) దత్తాంశంలో మార్పులు సులభంగా గమనించడానికి శాతపు బార్ ఉపయోగిస్తారు.

→ శ్రేణులలో ఉన్న అంశాల మొత్తాన్ని అంశాల సంఖ్యతో భాగిస్తే ఉత్పన్నమయ్యే సంఖ్య అంకమధ్యమం.
A. వ్యక్తిగత శ్రేణుల మూడు పద్ధతులు:

B. విచ్చిన్న శ్రేణులు:

C. అవిచ్చిన్న శ్రేణులు:

→ విభాజనాన్ని ఏ విలువ రెండు సమభాగాలుగా విభజిస్తుందో దానిని “మధ్యగతం” అంటారు.

→ శ్రేణులలో ఉన్న అంశాలలో ఏ విలువ అతి తరచుగా వస్తుందో ఆ విలువను బాహుళకం అంటారు.
A. వ్యక్తిగత శ్రేణి: Z = ఎక్కువ పర్యాయాలు వచ్చేది.
B. విచ్ఛిన్న శ్రేణి : Z = ఎక్కువ పర్యాయాలు వచ్చేది.

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 6th Lesson పని, శక్తి, సామర్ధ్యం Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 6th Lesson పని, శక్తి, సామర్ధ్యం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
బలం వల్ల పని జరగని పరిస్థితులను తెలపండి.
జవాబు:
1) టగ్ ఆఫ్ వార్ పోటీలో ఇద్దరు వ్యక్తులు తాడు మీద సమాన బలం F ప్రయోగిస్తే తాడులోని తన్యత T = F కు సమానము. ఎందుకనగా ఒక వ్యక్తి ప్రయోగించిన బలాన్ని తాడుకు కట్టిన ఆధారంగా భావించాలి. ఆధారం లేని తాడులో మనం తన్యత కలిగించలేము. ఈ స్థితిలో స్థానభ్రంశము S = 0, కావున జరిగిన పని సున్న.

2) బలము F మరియు స్థానభ్రంశము \(\bar{S}\) లు పరస్పర లంబాలైతే ఆ బలం జరిపిన పని W = 0 ఎందుకనగా W = F. \(\bar{S}=|\bar{F}||\bar{S}|\) cos θ. ఇందులో cos 90° = 0.

ప్రశ్న 2.
పని, సామర్థ్యం, శక్తులను నిర్వచించండి. వాటి SI ప్రమాణాలు తెలియచేయండి.
జవాబు:
పని : ఏదైనా బలం వస్తువు మీద పనిచేసి బలప్రయోగ దిశలో దానిని స్థానభ్రంశం చెందించితే బలం పనిచేసింది అంటారు.
పని W = F.S. (F, S లు ఒకే దిశలో ఉంటే) ; లేదా పని W = FS cos θ
శక్తి : పని చేయుటకు కావలసిన దారుఢ్యము లేదా స్థోమతను శక్తి అంటారు. ప్రమాణము జౌల్.
సామర్థ్యము (P) : పని జరిగే రేటును సామర్థ్యము అంటారు.

ప్రశ్న 3.
గతిజ శక్తి, ద్రవ్యవేగాల మధ్య సంబంధాన్ని తెలియచేయండి.
జవాబు:
గతిజశక్తి, ద్రవ్యవేగాల మధ్య సంబంధము :
గతిజశక్తి KE = \(\frac{1}{2}\) mv² ,
ద్రవ్యవేగము P = mv
∴ KE = \(\frac{1}{2} m v^2=\frac{1}{2} \frac{m^2 v^2}{m}=\frac{p^2}{2 m}\)

ప్రశ్న 4.
కింది సందర్భాల్లో బలం చేసిన పని సంజ్ఞను తెలియచేయండి.
ఎ) బకెటు బిగించిన తాడు సహాయంతో బావిలో నుంచి బకెట్ను తీసే సందర్భంలో మనిషి చేసిన పని
బి) పై సందర్భంలో గురుత్వ బలం చేసిన పని
జవాబు:
ఎ) బావి నుండి నీటిని పైకి తోడడంలో మనిషి చేసిన పని ధనాత్మకము. ఎందుకనగా బలం, స్థానభ్రంశము ఒకే దిశలో ఉన్నాయి కావున.

బి) బకెట్ను పైకి లాగునపుడు గురుత్వాకర్షణ బలం చేసిన పని ఋణాత్మకము. ఎందుకనగా గురుత్వాకర్షణ బలం, స్థానభ్రంశం వ్యతిరేక దిశలో ఉన్నాయి కావున.

ప్రశ్న 5.
కింది సందర్భాల్లో ఒక బలం చేసిన పని సంజ్ఞను తెలియచేయండి.
ఎ) ఒక వస్తువు వాలు తలంపై కిందికి జారుతున్నప్పుడు ఘర్షణ చేసిన పని
బి) పై సందర్భంలో గురుత్వ బలం చేసిన పని
జవాబు:
ఎ) వస్తువు క్రిందికి జారునపుడు ఘర్షణ చేసిన పని ఋణాత్మకము. కారణము ఘర్షణ బలం ఎల్లప్పుడూ స్థానభ్రంశానికి వ్యతిరేకము.

బి) కంపిస్తున్న లోలకాన్ని విరామస్థితికి తేవడానికి గాలి నిరోధక బలం చేసిన పని ఋణాత్మకము. కారణం నిరోధక బలం స్థానభ్రంశానికి వ్యతిరేకము.

ప్రశ్న 6.
కింది సందర్భాల్లో ఒక బలం చేసిన పని సంజ్ఞను తెలియచేయండి.
ఎ) ఒక వస్తువు సమవేగంతో ఘర్షణ ఉన్న క్షితిజ సమాంతర తలంపై చలిస్తూ ఉంటే అనువర్తించిన బలం చేసిన పని
బి) కంపిస్తున్న లోలకాన్ని విరామస్థితిలోకి తేవడానికి గాలి నిరోధక బలం చేసే పని
జవాబు:
ఎ) ఘర్షణ బలాన్ని ఎదిరిస్తూ స్థిర వేగంతో వస్తువు చలించడానికి అనువర్తన బలం జరిపిన పని దిశ ధనాత్మకము.
కారణం : అనువర్తిత బలం, వస్తువు స్థానభ్రంశం ఒకే దిశలో ఉన్నాయి.

బి) కంపిస్తున్న లోలకాన్ని సమతాస్థితికి తేవడానికి గాలి నిరోధకబలం చేసిన పని ధనాత్మకము.
కారణం : లోలకంలో F ∝ -x. గాలి నిరోధక బలం బాహ్య బలానికి వ్యతిరేకము కావున గాలి నిరోధక బలం, లోలకం స్థానభ్రంశం ఒకే దిశలో ఉన్నాయి.

ప్రశ్న 7.
కింద ఇచ్చిన వివరణలు సరియైనవా ? కాదా ? మీ సమాధానాలకు కారణాలు ఇవ్వండి.
ఎ) ఏ అంతర్బలాలు, బాహ్య బలాలు పనిచేస్తున్నప్పటికి ఒక వ్యవస్థ మొత్తం శక్తి నిత్యత్వంగా ఉంటుంది.
బి) చంద్రుడు భూమి చుట్టూ ఒక భ్రమణం చేయడానికి భూమి గురుత్వ బలం చేసిన పని శూన్యం.
జవాబు:
ఎ) నిజమే, శక్తినిత్యత్వ నియమము బాహ్య బలాలు మరియు అంతర బలాలకు కూడా వర్తిస్తుంది.
బి) నిజమే, గురుత్వాకర్షణ బలాలు నిత్యత్వ బలాలు కావున ఒక సంవృత పథంలో జరిపిన పని సున్న.

ప్రశ్న 8.
కింది సందర్భాల్లో ఏ భౌతికరాశి స్థిరంగా ఉంటుంది ?
ఎ) స్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో
బి) అస్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో
జవాబు:
ఎ) స్థితిస్థాపక అభిఘాతాలలో వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం, ద్రవ్యవేగము, వ్యవస్థ మొత్తం శక్తి స్థిరము.
బి) అస్థితిస్థాపక అభిఘాతాలలో వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం ద్రవ్యవేగము స్థిరము.

ప్రశ్న 9.
‘h’ ఎత్తు నుంచి స్వేచ్ఛగా కిందకు పడిన ఒక వస్తువు చదునైన నేలను తాకిన తరువాత h/2 ఎత్తుకు పైకి లేస్తే ఆ వస్తువుకు, నేలకు మధ్య ప్రత్యావస్థాన గుణకం ఎంత ?
జవాబు:
వస్తువు h, ఎత్తు నుండి కిందపడి h, ఎత్తు పైకి లేస్తే ప్రత్యవస్థాన గుణకం
e = \(\sqrt{\frac{\mathrm{h}_2}{\mathrm{~h}_1}}\) కాని h₂ = \(\frac{\mathrm{h}_1}{2}\)
∴ e = \(\sqrt{\frac{1}{1 / 2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

ప్రశ్న 10.
స్వేచ్ఛగా కొంత ఎత్తు నుంచి భూమిపై పడ్డ వస్తువు అనేకసార్లు అదేచోట పడి లేచిన తరువాత అభిఘాతాలు ఆగిపోయే లోపు దాని మొత్తం స్థానభ్రంశం ఎంత ? వస్తువుకు, భూమికి మధ్య ప్రత్యావస్థాన గుణకం ‘e’ అనుకోండి.
జవాబు:
కొంత ఎత్తు (h) నుండి జారవిడిచిన వస్తువు అనేకసార్లు భూమితో అభిఘాతాలు జరిపి పైకి లేచి మరల, మరల క్రింద పడి ఆగిపోవు లోపల దాని మొత్తం స్థానభ్రంశం దాని తొలి ఎత్తు (h) కి సమానము.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
స్థితిజ శక్తి అంటే ఏమిటి ? గురుత్వ స్థితిజ శక్తికి సమాసాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:
స్థితిజశక్తి : ఏదైనా వస్తువుకు దాని స్థానం వలన కొంత శక్తి సంప్రాప్తిస్తే దానిని స్థితిశక్తి అంటారు.
ఉదా : కొంత ఎత్తులో గల వస్తువులు, చుట్టబడిన గడియారపు స్ప్రింగ్.

స్థితిశక్తికి సమీకరణం ఉత్పాదించుట : m ద్రవ్యరాశి గల ఒక వస్తువును గురుత్వాకర్షణ బలానికి వ్యతిరేకంగా h ఎత్తు పైకి జరిపినామనుకొనుము. వస్తువును పైకి జరుపుటలో చేసిన పని
W = F.S = maS.
కాని a = – g కావున W =-mgh (- గుర్తు వ్యతిరేక దిశ వల్ల) వస్తువును పైకి ఎత్తుటలో జరిపిన పని వస్తువులో స్థితిశక్తిగా నిలువ ఉంటుంది.

∴ వస్తువులో గల స్థితిశక్తి_P.E. = mgh.

ప్రశ్న 2.
ఒకే ద్రవ్యవేగం కలిగి ఉన్న ఒక లారీ, కార్లను విరామస్థితికి తీసుకొని రావడానికి ఒకే బ్రేక్ బలాన్ని ఉపయోగించారు. ఏ వాహనం తక్కువ కాలంలో విరామ స్థితికి వస్తుంది ? ఏ వాహనం తక్కువ దూరంలో ఆగుతుంది ?
జవాబు:
ద్రవ్యవేగము : P = mv. ఇది లారీ మరియు కారులకు సమానము.
గతిశక్తి K.E. మరియు ద్రవ్యవేగము P ల మధ్య సంబంధము : K.E. = \(\frac{\mathrm{P}^2}{2 \mathrm{~m}}\)
వస్తువును ఆపుటలో జరిపిన పని W = గతిజ శక్తులలోని భేదము
∴ F.S.= \(\frac{\mathrm{P}^2}{2 \mathrm{~m}}\) లేదా ఆగుటకు ముందు వస్తువు కదిలిన దూరము S = \(\frac{\mathrm{P}^2}{2 \mathrm{~m}}\)
ఈ సందర్భంలో \(\overline{\mathrm{P}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{F}}\) లు సమానము కావున ms స్థిరము అనగా తక్కువ బరువు గల వస్తువు ఎక్కువ దూరం వెళ్ళి ఆగుతుంది.
∴ లారీ తక్కువ దూరం ప్రయాణించి ఆగుతుంది. కారు ఎక్కువ దూరం ప్రయాణించి ఆగుతుంది.

ప్రశ్న 3.
నిత్యత్వ, అనిత్యత్వ బలాల మధ్య తేడాలను రాయండి. వాటికి ఒక్కొక్క ఉదాహరణ కూడా రాయండి.
జవాబు:
నిత్యత్వ బలాలు (Conservative forces) : ఏ సంవృతపథం వెంబడి ఐనా వస్తువు మీడ బలం చేసిన పని మొత్తం విలువ సున్న ఐతే అటువంటి బలాలను నిత్యత్వ బలాలు అంటారు.

ఉదా :

1. ఏదైనా వస్తువును నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరినపుడు అది తిరిగి విసిరిన బిందువును చేరేసరికి దాని గతిజశక్తిలో మార్పు సున్న. కావున పని-శక్తి సిద్ధాంతం ప్రకారము జరిగిన పని సున్న.
2. విద్యుత్ క్షేత్రంలో Q అను ఆవేశాన్ని ఒక సంవృత పథంలో జరిపితే దానిపై చేసిన మొత్తం పని సున్న.

అనిత్యత్వ బలాలు (Non-conservative forces) : ఏదైనా సంవృత పథం వెంబడి వస్తువు మీద బలం చేసిన మొత్తం పని విలువ సున్న కాకపోతే అటువంటి బలాలను అనిత్యత్వ బలాలు అంటారు. అనిత్యత్వ బలాల వల్ల వస్తువును సంవృత పథంలో జరిపినప్పటికి మొత్తం పని సున్న కాదు.

ఉదా : వస్తువుల చలనానికి వ్యతిరేకంగా ఘర్షణ బలాలు జరిపిన పని. అనిత్యత్వ బలం వల్ల వస్తువుపై జరిపిన పని వస్తువు ప్రయాణించిన మార్గంపై ఆధారపడుతుంది. వస్తువును ఏ దిశలో కదిల్చినప్పటికి ఘర్షణ బలం వల్ల కొంత పని వ్యర్థమవుతుంది. వస్తువును ఘర్షణ బలానికి వ్యతిరేకంగా సంవృతపథంలో జరిపినప్పటికి మొత్తం పని సున్న కాదు. కావున ఘర్షణ బలాలు అనిత్యత్వ బలాలు.

ప్రశ్న 4.
ఏకమితీయ స్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో అభిఘాతానికి ముందు రెండు వస్తువుల అభిగమన సాపేక్ష వేగం అభిఘాతం తరువాత వాటి నిగమన సాపేక్ష వేగానికి సమానం అని చూపండి.
జవాబు:
m₁, m₂ ద్రవ్యరాశులు గల రెండు వస్తువులు u₁, u₂. అను వేగాలతో ఒకే సరళరేఖ వెంబడి చలిస్తూ ముఖాముఖి స్థితిస్థాపక అభిఘాతం చెందినవనుకొనుము.
అభిఘాతం పిమ్మట వాటి వేగాలు v₁, v₂ అనుకొనుము.
స్థితిస్థాపక అభిఘాతాలు ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వనియమాన్ని, గతిజశక్తి నిత్యత్వనియమాన్ని పాటిస్తాయి.

ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వనియమం ప్రకారము
m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ లేదా m₁ (u₁ – v₁) = m₂ ( v₂ – u₂) …………… (1)
శక్తి నిత్యత్వనియమం ప్రకారము
\(\frac{1}{2}\)m₁u₁² + \(\frac{1}{2}\) m₂u₂² = \(\frac{1}{2}\)m₁v₁² + \(\frac{1}{2}\)m₂v₂² లేదా m₁ (u₁² – v₁²) = m₂ (v₂² – u₂²) …………. (2)
2వ సమీకరణాన్ని 1వ సమీకరణంచే భాగించగా
\(\frac{u_1^2-v_1^2}{u_1-v_1}=\frac{v_2^2-u_2^2}{v_2-u_2}\) లేదా \(\frac{\left(u_1-v_1\right)\left(u_1+v_1\right)}{\left(u_1-v_1\right)}=\frac{\left(v_2-u_2\right)\left(v_2+u_2\right)}{\left(v_2-u_2\right)}\)
u₁ + v₁ = v₂ + u₂ లేదా u₁ – u₂ = v₂ – v₁ …………….. (3)
అనగా అభిఘాతానికి ముందు వస్తువులు సమీపించు సాపేక్ష వేగము, అభిఘాతం పిమ్మట వస్తువులు విడిపోవు సాపేక్ష వేగమునకు సమానము అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 5.
రెండు సమాన ద్రవ్యరాశులు ఏటవాలు స్థితిస్థాపక అభిఘాతం చెందినప్పుడు అభిఘాతం తరువాత అవి ఒకదానికొకటి లంబంగా చలిస్తాయని చూపండి.
జవాబు:
రెండు సమాన ద్రవ్యరాశులు (m, m) కల వస్తువులు ఏటవాలు స్థితిస్థాపక అభిఘాతం చెందాయి అనుకోండి. మొదట వస్తువు ‘u’ అను తొలివేగంతో చలిస్తూ నిశ్చల స్థితిలో ఉన్న రెండవ వస్తువును ఢీకొన్నది అనుకోండి. అభిఘాతం పిమ్మట ఆ రెండు వస్తువులు X – అక్షంతో θ₁ మరియు θ₂ కోణాలతో చలిస్తే స్థితిస్థాపక అభిఘాతాలు ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వనియమాన్ని పాటిస్తాయి. కావున X – అక్షం వెంబడి

mu = mv₁ cos θ₁ + mv₂ cos θ₂ లేదా
u= v₁ cos θ₁ + v₂ cos θ₂ …………….. (1)
ఇదే విధంగా y-అక్షం వెంబడి
0 = v₁ sin θ₁ – v₂ sin θ₂ ………… (2) (ఎందుకనగా y దిశలో తొలివేగం సున్న)
సమీ. (1) మరియు (2) లను వర్గీకరించి కలుపగా
u² = v₁² + v₂² + 2v₁v₂ cos (θ₁ + θ₂) ……….. (3)
స్థితిస్థాపక అభిఘాతాలు శక్తి నిత్యత్వనియమాన్ని పాటిస్తాయి.
∴ \(\frac{1}{2}\)mu² = \(\frac{1}{2}\)mv₁² + \(\frac{1}{2}\)mv₂² లేదా . u² = v₁² + v₂² ……………… (4)
3, 4 సమీకరణాల నుండి 2 v₁, v₂ cos (θ₁ + θ₂) = 0
కాని v₁, v₂ లు సున్న కాదు కావున cos (θ₁ + θ₂) = 0
cos (θ₁ + θ₂) = 0 అనగా θ₁ + θ₂ = 90°
కావున సమాన ద్రవ్యరాశులు గల వస్తువులు కొంత కోణంతో అభిఘాతం చెందితే అభిఘాతం పిమ్మట అవి పరస్పర లంబ దిశలలో విడిపోతాయి.

ప్రశ్న 6.
కొంత ఎత్తు నుంచి స్వేచ్ఛగా కిందికి పడిన వస్తువు భూమితో ‘n’ అభిఘాతాలు చెందిన తరువాత అది పొందిన ఎత్తుకు సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
ఏదైనా బంతిని ‘h’ ఎత్తు నుండి భూమి మీదకు జారవిడిచినామనుకొనుము. భూమిని ఢీకొన్న తరువాత అది మరల ‘h₁‘ అన్న ఎత్తు పైకి లేచినది అనుకొనుము.
భూమిని తాకుటకు ముందు వేగము u₁ = \(\sqrt{2 \mathrm{gh}}\)
మొదటి అభిఘాతం తరువాత విడిపోవు వేగము v₁ = \(\sqrt{2 \mathrm{gh}_1}\)
అభిఘాతం ముందు, అభిఘాతం తరువాత భూమి వేగము సున్న.
కావున u₂ = 0 మరియు v₂ = 0

∴ h₁ = e²h
∴ మొదటిసారి అభిఘాతం వల్ల పైకి లేచిన ఎత్తు h₁ = e²h
2వ సారి అభిఘాతం వల్ల పైకి లేచిన ఎత్తు h₂ = e²h₁ = e²e²h = e⁴h
3వ సారి అభిఘాతం వల్ల పైకి లేచిన ఎత్తు h₃ = e²h₂ = e²e⁴h = e⁶h
∴ nవ సారి అభిఘాతం వల్ల పైకి లేచిన ఎత్తు h_n = e²ⁿh.

ప్రశ్న 7.
శక్తి నిత్యత్వ నియమాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
“ఏదైనా వ్యవస్థపై పనిచేసే బలాలు నిత్యత్వ బలాలు ఐతే వ్యవస్థకు గల మొత్తం శక్తి (స్థితిజ శక్తి + గతిజ శక్తి) స్థిరము. దీనిని సృష్టించడం కాని, నాశనం చేయడంగాని సాధ్యపడదు.”

వివరణ : ఒక వస్తువు నిత్యత్వ బలాల వల్ల ∆x అను స్వల్ప దూరం స్థానభ్రంశం పొందింది అనుకోండి. పని-శక్తి సిద్ధాంతం ప్రకారము KE లో మార్పు = జరిగిన పని
∴ ∆KE = F(x). ∆x ……………….. (1) కాని స్థితిజ శక్తిలో మార్పు
∆V = – F(x) . ∆x ………………… (2)
1, 2 సమీకరణాల నుండి ∆K – ∆V లేదా
∆K + ∆V = 0. అనగా మొత్తం శక్తిలో మార్పు సున్న.
కావున వ్యవస్థకు గల మొత్తం గతిజశక్తి KE మరియు స్థితిజశక్తి PE స్థిరము. కావున శక్తి నిత్యత్వ నియమము నిరూపించబడినది.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1
పని, గతిజశక్తి భావనలను అభివృద్ధి పరచి ఇది పని శక్తి సిద్ధాంతానికి దారితీస్తుందని చూపండి. (మార్చి 2014)
జవాబు:
స్థితిజశక్తి:
పని : ఏదైనా బలం వస్తువు మీద పనిచేసి బలప్రయోగ దిశలో దానిని స్థానభ్రంశం చెందించితే బలం పనిచేసింది అంటారు.
పని W = F.S. (F. S లు ఒకే దిశలో ఉంటే)
లేదా పని W = FS cos θ (‘θ’ బలము F మరియు స్థానభ్రంశము S ల మధ్యకోణము. సదిశలలో పనిని
W = \(\overline{\mathrm{F}} . \overline{\mathrm{S}}\) = FS cos θ గా చెపుతారు. పని అదిశరాశి ప్రమాణము కి.గ్రా.మీ²/సె² దీనిని జౌల్ (J) అంటారు.
గతిజశక్తి : వస్తువులు చలనంలో ఉండటం వల్ల వాటికి సంప్రాప్తించే శక్తిని గతిజశక్తి అంటారు. గతిజశక్తి KE = \(\frac{1}{2}\) mv²
ఉదా : గమనంలో ఉన్న అన్ని వస్తువులకు గతిజశక్తి ఉంటుంది.

ఎ) గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) mv² ఉత్పాదన :
m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు వేగంతో గమనంలో ఉందనుకుందాము. గమనానికి వ్యతిరేకంగా F బలం వస్తువుపై ప్రయోగించినపుడు ఆ వస్తువు S దూరం ప్రయాణం చేసి విరామస్థితికి వచ్చిందనుకుందాము.
తొలివేగము u = v, తుది వేగము V = 0, ప్రయాణించిన దూరము = S

v² – u² = 2aS అను సమీకరణం నుండి
∴ 0 – v² = 2as
∴ త్వరణము a = \(\frac{-v^2}{2 s}\)
∴ నిరోధక బలం F = ma = \(\frac{m v^2}{2 \mathrm{~s}}\)
∴ వస్తువును విరామస్థితికి తేవడానికి జరిగిన పని W = FS
∴ W = \(\frac{m v^2}{2 s} \times \mathrm{S}=\frac{1}{2} m v^2\)
వస్తువును ఆపడానికి చేసిన పని ఆ వస్తువులో గల గతిజశక్తికి సమానము.
∴ గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) mv²
పని-శక్తి సిద్ధాంతం: “ఒక నిత్యత్వ ఫలితబలం వస్తువుపై పనిచేయునపుడు ఆ వస్తువుపై జరిగిన పని దాని గతిజశక్తిలోని మార్పునకు సమానం.”

నిరూపణ : m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువుపై F బలం ప్రయోగించినపుడు దాని వేగం u నుంచి v కి మారిందనుకుందాము. వేగం U నుండి V కి మారునంతలో వస్తువు స్థానభ్రంశం S అనుకుందాము.
తొలివేగము = u, తుదివేగము = v, స్థానభ్రంశము = S కాని స్థానభ్రంశము = S = సగటు వేగం × కాలం
∴ S = \(\frac{(u+v)}{2}\)t, త్వరణం = \(\frac{v-u}{t}\) = a
వస్తువుపై బలం, F= = ma = m\(\left(\frac{v-u}{t}\right)\)
∴ వస్తువుపై జరిగిన పని W = FS
∴ W = m\(\frac{(v-u)}{t} \cdot \frac{(u+v)}{2} t=m \frac{\left(v^2-u^2\right)}{2}=\frac{1}{2} m v^2-\frac{1}{2} m u^2\) = KE₂ – KE₁
అంటే, వస్తువుపై జరిగిన పని వస్తువు గతిజశక్తిలోని మార్పుకి సమానం.

ప్రశ్న 2.
అభిఘాతాలు అంటే ఏమిటి ? వాటిలో సాధ్యమయ్యే రకాలను వివరించండి. ఏకమితీయ స్థితిస్థాపక అభిఘాతాల సిద్ధాంతాన్ని వివరించండి. (మే 2014)
జవాబు:
అభిఘాతాలు (Collisions) : గమనంలో ఉన్న వస్తువు మరొక వస్తువును ఢీకొన్నపుడు దాని శక్తిలో మార్పులు సంభవిస్తాయి. ఈ రకమైన భౌతిక ప్రక్రియను అభిఘాతాలు అంటారు. ఇవి రెండు రకాలు. 1) స్థితిస్థాపక అభిఘాతము 2) అస్థితిస్థాపక అభిఘాతము.

స్థితిస్థాపక అభిఘాతాలు : స్థితిస్థాపక అభిఘాతాలు 1) ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని 2) శక్తి నిత్యత్వ నియమాన్ని పాటిస్తాయి. ఇటువంటి అభిఘాతాలలో శక్తి నష్టము ఉండదు.

అస్థితిస్థాపక అభిఘాతాలు: ఈ రకమైన అభిఘాతాలు ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని మాత్రమే పాటిస్తాయి. ఈ విధమైన అభిఘాతాలలో శక్తి నష్టం ఉంటుంది.

స్థితిస్థాపక అభిఘాతానికి గురైన రెండు వస్తువుల తుది వేగాలకు సమీకరణాలు :
m₁, m₂ ద్రవ్యరాశులు గల రెండు వస్తువులు u₁, u₂ అను వేగాలతో ఒకే సరళరేఖ వెంబడి చలిస్తూ ముఖాముఖి స్థితిస్థాపక అభిఘాతం చెందినవనుకొనుము.
అభిఘాతం పిమ్మట వాటి వేగాలు v₁, v₂ అనుకొనుము.
స్థితిస్థాపక అభిఘాతాలు ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వనియమాన్ని, గతిజశక్తి నిత్యత్వనియమాన్ని పాటిస్తాయి.

ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వనియమం ప్రకారము
m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂ లేదా m₁ (u₁ – v₁) = m₂ (v₂ – u₂) ……………….. (1)
శక్తి నిత్యత్వనియమం ప్రకారము
\(\frac{1}{2}\)m₁u₁² + \(\frac{1}{2}\) m₂u₂² = \(\frac{1}{2}\)m₁v₁² + \(\frac{1}{2}\)m₂v₂² లేదా m₁ (u₁² – v₁²) = m₂ (v₂² – u₂²) …………. (2)
2వ సమీకరణాన్ని 1వ సమీకరణంచే భాగించగా
\(\frac{u_1^2-v_1^2}{u_1-v_1}=\frac{v_2^2-u_2^2}{v_2-u_2}\) లేదా \(\frac{\left(u_1-v_1\right)\left(u_1+v_1\right)}{\left(u_1-v_1\right)}=\frac{\left(v_2-u_2\right)\left(v_2+u_2\right)}{\left(v_2-u_2\right)}\)
u₁ + v₁ = v₂ + u₂ లేదా u₁ – u₂ = v₂ – v₁ …………….. (3)
అనగా అభిఘాతానికి ముందు వస్తువులు సమీపించు సాపేక్ష వేగము, అభిఘాతం పిమ్మట వస్తువులు విడిపోవు సాపేక్ష వేగమునకు సమానము. అనగా వాటి ప్రత్యవస్థాన గుణకము e = 1 కి సమానము.
v₁ విలువ కనుక్కోవడానికి v₂ = u₁ – u₂ + v₁ ను సమీకరణం (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂( u₁ – u₂ + v₁)
∴ m₁u₁ + m₂u₁ = m₁v₁ + m₂u₁ – m₂u₂ + m₂v₁
m₁u₁ + m₂u₂ – m₂u₁ + m₂u₂ = v₁ (m₁ + m₂ )
∴ u₁ ( m₁ – m₂) + 2 m₂u₂ = v₁ (m₁ + m₂ )
∴ మొదటి వస్తువు తుదివేగము v₁ = \(\frac{\mathrm{u}_1\left(\mathrm{~m}_1-\mathrm{m}_2\right)}{\mathrm{m}_1+\mathrm{m}_2}+\frac{2 \mathrm{~m}_2 \mathrm{u}_2}{\mathrm{~m}_1+\mathrm{m}_2}\) ……………… (4)
ఇదేవిధంగా v₂ కనుక్కోవడానికి v₁ = v₂ – u₁ + u₂ ను సమీకరణం (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
రెండవ వస్తువు తుదివేగము v₂ = \(\frac{\mathrm{u}_2\left(\mathrm{~m}_2-\mathrm{m}_1\right)}{\mathrm{m}_1+\mathrm{m}_2}+\frac{2 \mathrm{~m}_1 \mathrm{u}_1}{\mathrm{~m}_1+\mathrm{m}_2}\) …………….. (5)

ప్రశ్న 3.
శక్తినిత్యత్వ నియమాన్ని తెలిపి, స్వేచ్ఛగా కిందికి పడే వస్తువు విషయంలో దీనిని నిరూపించండి.
గమనిక : ఈ ప్రశ్న తెలుగుమీడియం టెక్స్ట్బుక్లో లేదు. కాని ఇంగ్లీషు మీడియంలో ఉంది. అందువలన ఈ ప్రశ్నను అదనంగా ఇవ్వడం జరిగింది. సౌలభ్యం కోసం పాత టెక్స్ట్బుక్ విధానంలో వివరించటం జరిగింది.
జవాబు:
శక్తినిత్యత్వ నియమము : శక్తిని సృష్టించడము కాని, నాశనం చేయడము కాని చేయలేము. కాని శక్తిని ఒక రూపం నుండి మరొక రూపానికి మార్చవచ్చును.

స్వేచ్ఛగా క్రిందికి పడుచున్న వస్తువు విషయంలో శక్తి నిత్యత్వ సూత్రం నిరూపించుట :
m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు h ఎత్తులో ఉన్న A బిందువు నుండి
స్వేచ్ఛగా జారవిడచినామనుకొనుము.
1) A బిందువు వద్ద అనగా వస్తువును జారవిడచిన క్షణంలో
A వద్ద భూమి నుండి ఎత్తు = h; ∴ స్థితిశక్తి = mgh
వేగము u = 0 గతిజశక్తి = 0 (u = 0 కనుక)
∴ A వద్ద మొత్తం శక్తి = స్థితిశక్తి + గతిజశక్తి
= mgh + 0 = mgh ……………….. (1)

2) B బిందువు వద్ద అనగా భూమి నుండి ‘x’ ఎత్తులో ఉన్నపుడు
B వద్ద, వేగం v₁ అనుకుందాము. A నుండి B కి క్రిందకి పడిన దూరం = x.
v² – u² = 2as కనుక v₁² – 0 = 2gx; . v₁² = 2gx
∴ B వద్ద గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) mv₁² = \(\frac{1}{2}\) m 2gx = mgx
B నేలనుండి (h – x) ఎత్తులో ఉంది. ∴ B వద్ద స్థితిశక్తి = mg(h-x)
∴ B వద్ద మొత్తం శక్తి = స్థితిశక్తి + గతిజశక్తి = mg (h – x) + mgx
= mgh ……………… (2)

3) C బిందువు వద్ద అనగా భూమిని తాకబోవు క్షణంలో C వద్ద, అది నేలను చేరింది కనుక h = 0
∴ స్థితిశక్తి = mg (h) = 0;
C వద్ద వేగం V అనుకుంటే, v² – u² = 2 as నుండి
v² – 0 = 2gh; ∴ v² = 2gh;
∴ గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) mv² = \(\frac{1}{2}\) m (2gh) = mgh
∴ C వద్ద మొత్తం శక్తి = స్థితిశక్తి + గతిజశక్తి = 0 + mgh = mgh ……………….. (3)
పై సమీకరణముల నుండి వస్తువు ఏ స్థానంలో ఉన్నా మొత్తం శక్తి స్థిరంగా ఉంటుంది. కాని తొలి స్థితిశక్తి అంతా నేలను చేరునపుడు గతిజశక్తిగా మారింది. మార్గమధ్యంలో వస్తువుకు కొంత స్థితిశక్తి, కొంత గతిశక్తి ఉంది కాని మొత్తం శక్తి స్థిరము. అనగా శక్తి నిత్యత్వనియమం నిరూపించబడినది.

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
10 గ్రా. ద్రవ్యరాశి కలిగిన పరీక్ష నాళికలో కొంత ఈథర్ ఉంది. ఈ పరీక్షనాళికను 1 గ్రా. ద్రవ్యరాశి కలిగిన కార్లో మూయడమైంది. పరీక్షనాళికను వేడిచేసినప్పుడు ఈథర్ వాయువు కలిగించే పీడనం వల్ల కార్క్ ఎగిరిపోతుంది. 5 సెం.మీ. పొడవు ఉన్న దృఢమైన భారరహిత కడ్డీ నుంచి ఈ పరీక్ష నాళికను క్షితిజ సమాంతరంగా వేలాడదీశారు. పరీక్షనాళిక ౧ బిందువు పరంగా నిలువు వృత్తంలో తిరగాలంటే ఎంత కనీస వేగంతో కార్క్ పరీక్షనాళిక నుంచి ఎగిరిపోవాలి ? (ఈథర్ ద్రవ్యరాశిని పరిగణనలోనికి తీసుకోవద్దు)
సాధన:
కడ్డీ పొడవు ! = 5 సెం.మీ. = \(\frac{5}{100}\) మీ.;
g = 10 మీ/సె²
పరీక్ష నాళిక నుండి కార్క్ బయటకు రాకూడదు అంటే అపకేంద్ర బలం పూర్తిగా అభికేంద్రబలం వల్ల రద్దు కావాలి. ఈ స్థితిలో నిమ్నతమ బిందువు వద్ద కనీస వేగము v = \(\sqrt{5 g l}\) . ఇది కార్క్ బయటకు రాకుండా ఉండగల గరిష్ఠ వేగము
∴ V = \(\sqrt{5 \times \frac{5}{100} \times 10}=\frac{5}{10} \sqrt{10} \mathrm{~m} / \mathrm{s}=0.5 \sqrt{10}\) మీ/సె.

ప్రశ్న 2.
ఒక మర తుపాకి నిమిషానికి 360 బుల్లెట్లు పేల్చగలదు. వెలువడే ప్రతి బుల్లెట్ వేగం 600 మీ/సె^-1. ప్రతి బుల్లెట్ ద్రవ్యరాశి 5 గ్రా. అయితే మరతుపాకి సామర్థ్యం ఎంత ? (మార్చి 2014)
సాధన:
బుల్లెట్ల సంఖ్య n = 360;
కాలము = t = 1 ని = 60 సె.
బుల్లెట్ వేగము v = 600 మీ/సె ;
బుల్లెట్ ద్రవ్యరాశి m = 5 గ్రా= 5 × 10^-3 కి.గ్రా.

ప్రశ్న 3.
8 మీ. లోతు ఉన్న బావి నుంచి గంటకు 3425 మీ” నీటిని పైకి తోడుతున్నప్పుడు అశ్వసామర్థ్యంలో 40% వృధా అయితే ఇంజను సామర్ధ్యాన్ని అశ్వసామర్థ్యాలలో రాబట్టండి.
సాధన:
తోడబడిన నీటి ఘనపరిమాణము v = 3425 మీ³
∴ పైకి తోడిన నీటి ద్రవ్యరాశి m = 3425 × 10³ కి.గ్రా.
(1m³ నీటి ద్రవ్యరాశి = 10³ కి.గ్రా.)
బావిలోతు d = 8 మీ.; కాలము t = 1 గం = 60 × 60 = 3600 సె.
వ్యర్థమైన సామర్థ్యము = 40%
∴ ఉపయోగపడిన సామర్థ్యము η = 60%
వాస్తవంగా జరిగిన పని W = mgh = 3425 × 10³ × 10 × 8 = 897000 జౌల్
యంత్రము మొత్తం సామర్థ్యము = \(\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{t}} \times \frac{100}{\eta}=\frac{897000 \times 100}{3600 \times 60}\)
= 124315 వాట్, కాని 1 అశ్వ సామర్థ్యము = 746 వాట్
∴ P = \(\frac{124315}{746}\) = 166.6 H.P

ప్రశ్న 4.
ఒక పంపు 25 మీ. లోతు ఉన్న బావి నుంచి నిమిషానికి 600 కి.గ్రా.ల నీటిని పైకి తోడి 50 మీ/సె^-1 వడితో బయటకు వదలాలి. దీనికి అవసరమయ్యే సామర్థ్యాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 600 కి.గ్రా.
కాలము t = 1ని = 60 సె.
లోతు d = 25 మీ.
నీటి వేగము v = 50 మీ/సె

నీటి గతిజశక్తి KE = \(\frac{1}{2}\) mv² = \(\frac{1}{2}\) 600 × 50 × 50 = 750000
స్థితిశక్తిలో మార్పు = నీటిని తోడడంలో జరిగినప పని = mgh
= 600 × 9.8 × 25 = 147000
మొత్తం పని W = 147000 + 75000 = 897000 జౌల్
యంత్రం సామర్థ్యము P = \(\frac{\mathrm{W}}{\mathrm{t}}=\frac{897000}{60}\) = 14950 = 14.95 కి.వా.

ప్రశ్న 5.
తొలుత నిశ్చల స్థితిలో ఉండి మూల బిందువు నుంచి బయలుదేరిన 5 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న దిమ్మెపై ధన X-అక్షఁ వెంట F = (20 + 5x) N అనే బలం పనిచేస్తుంది. దిమ్మె x = 0 నుంచి x = 4m కు స్థానభ్రంశం చెందినపుడు ఆ బలఁ చేసిన పనిని లెక్కించండి.
సాధన:
దిమ్మె ద్రవ్యరాశి m = 5 కి.గ్రా.;
దిమ్మెపై బలం F = (20 + 5x) న్యూ
వస్తువును ‘0’ నుండి ‘4’ మీటర్ల వరకు స్థానభ్రంశం చెందించడంలో జరిగిన పని
W = \(\int \mathrm{dW}=\int_{\mathrm{x}=0}^{\mathrm{x}=4} \mathrm{~F}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{dx}=\int_{\mathrm{x}=0}^4(20+5 \mathrm{x}) \mathrm{dx}=\left[20 \mathrm{x}+\frac{5 \mathrm{x}^2}{2}\right]_0^4=80+\frac{5 \times 4 \times 4}{2}\)
= 80 + 40 = 120 జౌల్

ప్రశ్న 6.
పటంలో చూపినట్లు 5 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న దిమ్మె ఘర్షణ లేని వాలుతలంపై నుంచి జారుతుంది. వాలు తలం అడుగు భాగాన 600 N/m బల స్థిరాంకం కలిగిన స్ప్రింగ్ను ఏర్పాటు చేశారు. దిమ్మె వేగం గరిష్ఠమయిన క్షణంలో స్ప్రింగ్లో కలిగే సంపీడనాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
దిమ్మె ద్రవ్యరాశి m = 5 కి.గ్రా. ;
బల స్థిరాంకము K = 600 న్యూ.
పటం నుండి sin θ = \(\frac{3}{5}\)
వాలుతలం వెంబడి బలం F = mg sinθ
∴ F = 5 × 10 × \(\frac{3}{5}\)
= 30 న్యూ
బల స్థిరాంకము K \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{K}}\)
x = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{K}}=\frac{30}{600}\) = 0.05 మీ. = 5 సెం.మీ.

ప్రశ్న 7.
X-అక్షం వెంట ఒక కణంపై F = –\(\frac{K}{x^2}\) (x ≠ 0) బలం పనిచేస్తుంది. కణం x = +a నుంచి x = + 2a కి స్థానభ్రంశం చెందినప్పుడు బలం చేసిన పనిని కనుక్కోండి. K ని ధన స్థిరాంకంగా తీసుకోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన కణంపై బలము F = \(\frac{K}{x^2}\)
వస్తువు స్థానభ్రంశము = + a నుండి + 2a వరకు

ప్రశ్న 8.
ఒక కణంపై పనిచేసే బలం F, కణ స్థానం x తో గ్రాఫ్లో చూపించిన విధంగా మారుతుంది. x = -4 నుంచి x = + 2 కి కణం స్థానభ్రంశం చెందినపుడు బలం చేసిన పనిని కనుక్కోండి.

సాధన:
ఇచ్చిన కణంపై పనిచేయు సగటు బలము F = \(\frac{-\mathrm{b}+2 \mathrm{~b}}{2}=\frac{\mathrm{b}}{2}\)
వస్తువు స్థానభ్రంశము = – a నుండి + 2a వరకు
జరిగిన పని W = \(\int\) F dx
= \(\int_{x=-a}^{x=2 a} \frac{b}{2} d x=\frac{b}{2}[x]_{-a}^{2 a}\)
∴ W = \(\frac{\mathrm{b}}{2}\)(2a – (-a) = \(\frac{\mathrm{b}}{2}\) (3a) = \(\frac{3}{2}\) ab

ప్రశ్న 9.
ఒక బంతిని 20 మీ. ఎత్తు నుంచి క్షితిజ సమాంతర నేల మీదకు 20 మీ/సె తొలి వేగంతో కిందికి విసిరారు. నేలను తాకిన తరువాత బంతి అంతే ఎత్తుకు పైకిలేచింది. ఈ అభిఘాతంలో బంతికి, నేలకు మధ్య ప్రత్యావస్థాన గుణకం కనుక్కోండి. (g = 10 మీ/సె²)
సాధన:
తొలి వేగము u₁ = 20 మీ/సె. ;
ఎత్తు h = 20 మీ. ;
g = 10 మీ/సె²
నేలను సమీపించు వేగము u² = u₁² + 2gh
= 202 + 2 × 20 × 10
= 400 + 400
∴ u = \(\sqrt{800}\) = 20\(\sqrt{2}\)
పైకి లేచిన ఎత్తు h = 20 మీ.
∴ నేలను విడిపోవు వేగము v = \(\sqrt{2 \mathrm{gh}}=\sqrt{2 \times 10 \times 20}=\sqrt{400}\) = 20 మీ/సె.
ప్రత్యవస్థాన గుణకము

ప్రశ్న 10.
స్వేచ్ఛగా 10 మీ. ఎత్తు నుంచి దృఢమైన క్షితిజ సమాంతర తలంపై పడిన బంతి అనేకసార్లు అదేచోట పడిలేచిన తరువాత నిశ్చల స్థితికి వచ్చేలోగా బంతి ప్రయాణించిన మొత్తం దూరం ఎంత ? బంతికి, తలానికి మధ్య ప్రత్యావస్థాన గుణకం \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) అనుకోండి.
సాధన:
బంతిని జారవిడచిన స్థానం ఎత్తు h = 20 మీ.
బంతి ప్రత్యవస్థాన గుణకము e = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
బంతి ఆగిపోవు లోపల దాని మొత్తం స్థానభ్రంశము d
d = h \(\left[\frac{\left(1+\mathrm{e}^2\right)}{\left(1-\mathrm{e}^2\right)}\right] \frac{\mathrm{h}\left(1+\frac{1}{2}\right)}{\left(1-\frac{1}{2}\right)}=10\left(\frac{1.5}{0.5}\right)\)
= 30 మీ.

ముఖ్యమైన ఉదాహరణ లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
F = \((3 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k})\) ప్రమాణాలు. స్థానభ్రంశం d = \((5 \hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k})\) ప్రమాణాలు అయితే వాటి మధ్య కోణాన్ని, d సదిశ దిశలో F విక్షేపాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
F.d = F_xd_x = F_yd_y + F_zd_z
= 3(5) + 4(4) + (-5) (3) = 16 ప్రమాణాలు
∴ F.d = F d cos.θ = 16 ప్రమాణాలు
ఇప్పుడు r.F = F² = F_x² + F_y² + F_z²
= 9 + 16 + 25 = 50 ప్రమాణాలు
d.d = d² = d_x² + d_y² + d_z²
= 25 + 16 + 9 = 50 ప్రమాణాలు
∴ cos θ = \(\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{50}}=\frac{16}{50}\) = 0.32,
∴ θ = cos^-1 0.32
d దిశలో F విక్షేపం = F cos θ
= 50 × \(\frac{16}{50}\) = 16 ప్రమాణాలు

ప్రశ్న 2.
వాన నీటి బిందువులు పడేటప్పుడు కిందకు పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ బలం, దీన్ని వ్యతిరేకించే నిరోధక బలాల ప్రభావం ఉంటుందని మనకు బాగా తెలుసు. నిరోధక బలం వాన నీటి బిందువు వేగానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. దీని గురించి నిర్ధారించవలసి ఉంది. 1.00 గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న నీటి బిందువు 1.00 కి.మీ. ఎత్తు నుంచి కిందకు పడుతుందనుకోండి. అది 50.0 మీ/సె^-1 వడితో నేలను తాకింది. దానిపై ఎ) గురుత్వాకర్షణ బలం వల్ల జరిగిన పని ఎంత ? బి) తెలియని నిరోధక బలం వల్ల జరిగిన పని ఎంత ?
సాధన:
ఎ) నీటి బిందువు గతిజశక్తిలో మార్పు
∆K = \(\frac{1}{2}\)mv² – 0
= \(\frac{1}{2}\) × 10^-3 × 50 × 50 = 1.25 జౌల్
ఇక్కడ నీటి బిందువు ప్రారంభంలో నిశ్చలస్థితిలో ఉందని ఊహించడమైంది.
g విలువ 10 మీ/సె² తో స్థిరంగా ఉంటుందని ఊహిస్తే, గురుత్వాకర్షణ బలం వల్ల జరిగిన పని
W_g = mgh
= 10^-3 × 10 × 10³ = 10.0 జౌల్

బి) పని-శక్తి సిద్ధాంతం నుంచి
∆K = W_g + W_r
ఇక్కడ W_r అనేది వాన నీటి బిందువుపై నిరోధక బలం వల్ల జరిగిన పని
W_r = ∆K – W_g = 1.25 – 10 = – 8.75 జౌల్
W_r విలువ రుణాత్మకం.

ప్రశ్న 3.
సైకిల్పై ప్రయాణిస్తున్న వ్యక్తి, బ్రేకు వేసినప్పుడు 10 మీ. దూరం జారుతూ ఆగాడు. ఈ ప్రక్రియలో రోడ్డు వల్ల సైకిల్ గమనానికి వ్యతిరేక దిశలో, సైకిల్పై పనిచేసే బలం 200 N.
ఎ) సైకిల్పై రోడ్డు ఎంత పనిచేస్తుంది ?
బి) రోడ్డుపై సైకిల్ ఎంత పని చేస్తుంది ?
సాధన:
రోడ్డు సైకిల్పై చేసిన పని అంటే రోడ్డు వల్ల కలిగే నిరోధక బలం (ఘర్షణ బలం) చేసిన పని అవుతుంది.
ఎ) నిరోధక బలం, స్థానభ్రంశాలు ఒకదానితో ఒకటి చేసే కోణం 180° (π రేడియన్లు) కాబట్టి రోడ్డు వల్ల జరిగిన పని,
W_r = Fd cos θ
200 × 10 × cоs л = -2000 J
ఈ రుణ పనివల్లనే పని-శక్తి సిద్ధాంతం ప్రకారం సైకిల్ ఆగుతుంది.

బి) న్యూటన్ మూడవ గమన నియమం ప్రకారం సైకిల్ వల్ల సమానం, వ్యతిరేక బలం రోడ్డుపై పనిచేస్తుంది. దీని పరిమాణం 200 N. కాని రోడ్డు ఎటువంటి స్థానభ్రంశం పొందలేదు కాబట్టి రోడ్డుపై సైకిల్ చేసే పని శూన్యం అవుతుంది.

ఉదాహరణ నుంచి తెలిసే అంశమేమంటే A పై B కలగచేసే బలానికి సమానం, వ్యతిరేక దిశలో B పై A కలగచేసే బలం ఉన్నప్పటికీ (న్యూటన్ మూడవ గమన నియమం) B వల్ల A పై జరిగిన పనికి, B పై A వల్ల జరిగే పని సమానం, వ్యతిరేక దిశలో ఉండనవసరం లేదు.

ప్రశ్న 4.
ప్రక్షేపణాల ప్రదర్శనలో ఒక పోలీసు అధికారి 50.0 గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న బుల్లెట్ను 200 మీ/సె^-1 వడితో 2.00 సెం.మీ. మందం ఉన్న ప్లైవుడ్లోకి పేల్చాడు. తొలి గతిజశక్తిలో కేవలం 10% తో మాత్రమే బుల్లెట్ బయటకు వెలువడింది. బయటకు వెలువడిన బుల్లెట్ వడి ఎంత ?
సాధన:
బుల్లెట్ తొలి గతిజశక్తి = mv²/2 = 1000 J. దాని తుది గతిజశక్తి 0.1 × 1000 = 100 J.
బయటకు వెలువడిన బుల్లెట్ వడి v_f అయితే,
\(\frac{1}{2}\) mv₁² = 100J
v_f = \(\sqrt{\frac{2 \times 100 \mathrm{~J}}{0.05 \mathrm{~kg}}}\) = 63.2 ms^-1
వడి దాదాపు 68% తగ్గింది (90% కాదు).

ప్రశ్న 5.
ద్రవ్యరాశి m = 1కి.గ్రా. ఉన్న దిమ్మె క్షితిజ సమాంతర తలంపై v_i = 2 ms^-1 వడితో కదులుతూ x = 0.10 m నుంచి x = 2.01 m వరకు విస్తరించి ఉన్న గరుకు ప్రదేశంలోకి ప్రవేశించింది. ఈ వ్యాప్తిలో చలనానికి వ్యతిరేకంగా పనిచేసే బలం F_r, x కు విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
F_r = \(\frac{-k}{x}\) 0.1 < x < 2.01 m వద్ద
= 0 x < 0.1m, x > 2.01 m వద్ద
ఇక్కడ k = 0.5 J గరుకు ప్రదేశాన్ని దాటిన తరువాత దిమ్మె తుది గతిజశక్తి, వడి v_f ఎంత ?.
సాధన:

ఇక్కడ ln, e ఆధారం కలిగిన సహజ సంవర్గమానం. అంతేకాని 10 ఆధారం కలిగిన సంవర్గమానం కాదు అని గుర్తించాలి. [ln X = log_e X = 2.303 log₁₀ X].

ప్రశ్న 6.
కారు ప్రమాదాలను పోలి ఉండే విధంగా కారు తయారీదార్లు వివిధ స్ప్రింగ్ స్థిరాంకాలు కలిగిన స్ప్రింగ్ తో గమనంలో ఉన్న కార్ల అభిఘాతాలను అధ్యయనం చేస్తారు. అలాంటి ఒక పోలికను పరిగణిద్దాం. 1000 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి కలిగిన కారు 18.0 km/h వడితో నున్నటి రోడ్డుపై చలిస్తూ 6.25 × 10³ Nm^-1 స్ప్రింగ్ స్థిరాంకం ఉన్న క్షితిజ సమాంతరంగా తగిలించిన స్ప్రింగ్ను ఢీకొంది. స్ప్రింగ్ చెందే గరిష్ఠ సంపీడనం ఎంత ?
సాధన:
స్ప్రింగ్ గరిష్ఠ సంపీడనం చెందినప్పుడు కారు గతిజశక్తి పూర్తిగా స్ప్రింగ్ స్థితిజ శక్తిగా మారుతుంది.
గమనంతో ఉన్న కారు గతిజ శక్తి
K = \(\frac{1}{2}\) mv² = \(\frac{1}{2}\) × 10³ × 5 × 5
K = 1.25 × 10^-4 J
ఇక్కడ 18 km h^-1ను 5 ms^-1 గా మార్చడమైంది. (36kmh^-1 = 10ms^-1 అని గుర్తుంచుకోవడం ఉపయోగకరం). యాంత్రిక శక్తి నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం స్ప్రింగ్ గరిష్ఠ సంపీడనం x_m వద్ద స్ప్రింగ్ స్థితిజ శక్తి V గమనంలో ఉన్న కారు గతిజశక్తి K కి సమానం.
V = \(\frac{1}{2}\) kx_m² = 1.25 × 10⁴ J
దీని నుంచి
x_m = 2.00 m వస్తుంది.
ఇక్కడ మనం స్ప్రింగ్ను ద్రవ్యరాశి లేనిదిగా, తలానికి ఉపేక్షించదగిన ఘర్షణ ఉందని పరిగణించడమైంది. ఇది ఒక ఆదర్శ పరిస్థితి అని గమనించవచ్చు.

ముఖ్యమైన అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
వస్తువుపై బలం చేసిన పని సంజ్ఞ గురించి అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యమైంది. కింది భౌతికరాశులు, ధనాత్మకమా? రుణాత్మకమా ? జాగ్రత్తగా తెలియచేయండి.
ఎ) బకెటు బిగించిన తాడు సహాయంతో బావి నుంచి బకెట్ను తీసే సందర్భంలో మనిషి చేసిన పని
బి) పై సందర్భానికి గురుత్వ బలం చేసిన పని
సి) ఒక వస్తువు వాలు తలంపై జారుతున్నప్పుడు ఘర్షణ బలం చేసిన పని
డి) ఘర్షణ ఉన్న (గరుకు) క్షితిజ సమాంతర తలంపై వస్తువు సమవేగంతో చలిస్తున్నప్పుడు అనువర్తించిన బలం చేసిన పని
ఇ) కంపిస్తున్న లోలకాన్ని విరామస్థితిలోకి తేవడానికి గాలి నిరోధక బలం చేసే పని
సాధన:ఎ
ఎ) బకెట్ను పైకి లాగడానికి దాని భారమునకు సమానమైన బలం ప్రయోగించాలి. ఈ సందర్భంలో బలం, స్థానభ్రంశము ఒకే దిశలో ఉండటం వలన పని ధనాత్మకము.

బి) బకెట్ పైకి పోతున్నపుడు గురుత్వ బలం చేసిన పని ఋణాత్మకము. కారణం స్థానభ్రంశము మరియు గురుత్వ బలాలు వ్యతిరేకదిశలలో ఉండటము.

సి) ఘర్షణ బలం వస్తువు కదిలే దిశకు వ్యతిరేకము కావున ఘర్షణ బలం చేసిన పని ఋణాత్మకము.

డి) వస్తువు సమవేగంతో గరుకు తలంపై బలం ప్రయోగిస్తే బలం మరియు స్థానభ్రంశం ఒకే దిశలో ఉంటాయి. కావున పని ధనాత్మకము.

ఇ) గాలి నిరోధక బలం గమన దిశకు వ్యతిరేకంగా ఉండటం వల్ల పని ఋణాత్మకము.
గమనిక : పని W = \(\overline{\mathrm{F}} \cdot \overline{\mathrm{S}}\) = F.S. cos θ ఇది అదిశరాశి. పని ఎల్లపుడూ ధనాత్మకమే. \(\overline{\mathrm{F}} \cdot \overline{\mathrm{S}}\) లు ఒకే దిశలో ఉంటే పనిని ధనాత్మకంగాను, \(\overline{\mathrm{F}} \cdot \overline{\mathrm{S}}\) లు వ్యతిరేక దిశలలో ఉంటే ఋణాత్మకంగాను భావిస్తారు. అంతేగాని పని ఋణాత్మకం కాదు.

ప్రశ్న 2.
గతిక ఘర్షణ గుణకం 0.1 కలిగిన బల్లపై నిశ్చల స్థితిలో ఉన్న 2కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువు 7 న్యూ క్షితిజ సమాంతర బలం వల్ల చలిస్తూ ఉంది. కింది రాశులను లెక్కించండి.
ఎ) 10 సె. కాలంలో అనువర్తిత బలం చేసిన పని
బి) 10 సె. కాలంలో ఘర్షణ బలం చేసిన పని
సి) 10 సె. కాలంలో నికర బలం చేసిన పని
డి) 10 సె. కాలంలో వస్తువు గతిజ శక్తిలోని మార్పు
మీ ఫలితాలను వివరించండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 2 కి.గ్రా. ; తొలి వేగము u = 0; బలము F = 7 న్యూ ; ఘర్షణ గుణకము μ = 0.1
ఎ) 10 సెకనులలో బలం చేసిన పని W = μF.S.
త్వరణము a₁ = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}=\frac{7}{2}\) = 3.5 మీ/సె²
ఘర్షణ బలం వలన వ్యతిరేక దిశలో త్వరణము

a₂ = \(\frac{\mu \mathrm{mg}}{\mathrm{m}}\) = 0.1 × 9.8 = 0.98 మీ/సె²
ఫలిత త్వరణము a = a₁ – a₂ = 3.5 – 0.98 = 2.52 మీ/సె²
వస్తువు కదిలిన దూరము s = ut + \(\frac{1}{2}\) at² = 0 + \(\frac{1}{2}\) × 2.52 × 10 × 10 = 126 మీ.
బలం జరిపిన పని W₁ = F.S. = 7 × 126 = 882 J

బి) ఘర్షణ బలం జరిపిన పని W₂ = F_s × S = -1.96 × 126 = -246.9 J

సి) ఫలితబలం చేసిన పని W₃ = (F – F_s) S = (7 – 1.96) 126 = 635 J

డి) v = u + at నుండి V = 0 + 2.52 × 10 = 25.2 మీ/సె.
∴ తుది గతిజశక్తి \(\frac{1}{2}\) mv² = \(\frac{1}{2}\) × 2 × (25.2)² = 635.J
తొలి గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) mu²
∴ గతిజశక్తిలో మార్పు = 635 – 0 = 635 J

ప్రశ్న 3.
పటంలో కొన్ని ఏకమితీయ స్థితిజ శక్తి ప్రమేయాలకు ఉదాహరణలు ఇవ్వడమైంది. కణం మొత్తం శక్తిని ద్వితీయ నిరూపక అక్షం (y – అక్షం) పై క్రాస్ సూచించడమైంది. ఇచ్చిన శక్తికి, కణాన్ని కనుక్కోలేని ప్రాంతం ఏదైనా ఉంటే ఆ ప్రాంతాన్ని ప్రతి సందర్భానికి వివరించండి. ప్రతి సందర్భంలో కణానికి ఉండవలసిన మొత్తం కనీస శక్తిని కూడా సూచించండి. ఈ స్థితిజ శక్తి ఆకారాలకు సంబంధించిన సరళమైన భౌతిక సందర్భాలను ఆలోచించండి.

సాధన:
మొత్తం శక్తి E = P.E. + K.E. లేదా K.E. = E-P.E. ఇందులో K.E. విలువ ఋణాత్మకం కాదు.

1. x > a ఐతే P.E. (V₀) > E అనగా K.E. ఋణాత్మకం కావలెను. ఇది సాధ్యం కాదు కాబట్టి వస్తువు x > a ప్రాంతంలో ఉండదు.
2. x < a మరియు x > b ప్రాంతంలో P.E. (V₀) > E.
   అనగా KE ఋణాత్మకము. ఇది సాధ్యం కాదు. కాబట్టి వస్తువు X < a మరియు x > b ప్రాంతంలో ఉండదు.
3. ఈ పటంలోని ఏ ప్రాంతంలోను మనం కణాన్ని కనుక్కోలేము. ఎందుకనగా దాని P.E. > E (మొత్తం శక్తి)
4. వస్తువుకు – b/2 < x < a/2 మరియు a/2 < x < b/2 ప్రాంతంలో వస్తువు P.E.7 మొత్తం శక్తి E కావున KE ఋణాత్మకంగా ఉండాలి. అనగా ఈ ప్రాంతంలో ఇచ్చిన కణం ఉండే అవకాశం లేదు.

ప్రశ్న 4.
రేఖీయ సరళహరాత్మక చలనం చేస్తున్న కణం స్థితిజ శక్తి ప్రమేయం V(x) = kx² / 2 గా ఇవ్వడమైంది. ఇక్కడ k డోలకం బల స్థిరాంకం. k = 0.5 N m^-1 విలువకు V(x), ౫ ల మధ్య గ్రాఫ్ పటంలో చూపించడమైంది. ఈ పొటెన్షియల్లో చలించే 1J మొత్తం శక్తి కలిగిన కణం x = ± 2m కే చేరినపుడు అది వెనుకకు మరలుతుందని చూపండి.

సాధన:
ఏదైనా క్షణంలో సరళ హరాత్మక చలనం చేస్తున్న కణం మొత్తం శక్తి = KE + PE = \(\frac{1}{2}\) mu² + \(\frac{1}{2}\) kx²
వస్తువు వేగము u = (0 వద్ద వెనుకకు మరలుతుంది. అనగా గరిష్ఠ స్థానభ్రంశ బిందువు వద్ద u = 0 ⇒ KE = 0
∴ మొత్తం శక్తి E = \(\frac{1}{2}\) kx² కాని E = 1, k = \(\frac{1}{2}\)
∴ 1 = \(\frac{1}{2}\) kx² కావున 1 = \(\frac{1}{2}\) × \(\frac{1}{2}\) x² లేదా x² = 4 ⇒ x = ± 2 మీ.

ప్రశ్న 5.
క్రింది వాటికి సమాధానాలివ్వండి:
ఎ) రాకెట్ గమనంలో ఉన్నపుడు దాని చుట్టూ ఉన్న కప్పు ఘర్షణ వల్ల కాలిపోతుంది. కాలిపోవడానికి అవసరమయ్యే ఉష్ణ శక్తి రాకెట్ నుంచి లభ్యమవుతుందా ? లేదా వాతావరణం నుంచి లభ్యమవుతుందా ?
బి) అధిక దీర్ఘాక్ష దీర్ఘ వృత్తాకార కక్ష్యల్లో తోకచుక్కలు సూర్యుని చుట్టూ తిరుగుతూ ఉంటాయి. సూర్యుని వల్ల తోకచుక్కపై పనిచేసే గురుత్వ బలం సాధారణంగా తోకచుక్క వేగానికి లంబంగా ఉండదు. కాని తోకచుక్క ప్రతి పూర్తి భ్రమణానికి గురుత్వ బలం చేసిన పని శూన్యమవుతుంది. ఎందుకు ?
సి) పలుచని వాతావరణంలో భూమి చుట్టూ తిరుగుతున్న కృత్రిమ ఉపగ్రహం వాతావరణ నిరోధం వల్ల క్రమంగా చాలా స్వల్ప మోతాదులో శక్తిని కోల్పోతుంది. అయితే అది భూమిని దగ్గరగా సమీపిస్తున్న కొద్దీ దాని వడి ఎందుకు క్రమంగా పెరుగుతుంది ?

డి) పటం (i) లో ఒక మనిషి 15 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశిని తన చేతులతో తీసుకొని వెళ్తూ 2 మీ. దూరం నడిచాడు. పటం (ii) లో అతను తన వెనుక ఉన్న తాడును లాగుతూ అంతే దూరాన్ని నడిచాడు. కప్పీ మీదగా వెళ్తున్న తాడుకు రెండవ చివర 15 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి వేలాడదీయడమైంది. ఏ సందర్భంలో జరిగిన పని ఎక్కువ ?
సాధన:
ఎ) రాకెట్ పై భాగం కాలడానికి అవసరమైన శక్తి రాకెట్ నుండి లభ్యమవుతుంది. వాతావరణం నుండి కాదు. రాకెట్ మొత్తం శక్తి E = P.E. + K.E. = mgh + \(\frac{1}{2}\) mv². రాకెట్ పైకి పోవు కొలది దాని ద్రవ్యరాశి తగ్గుతుంది. (ఇంధనం మండటంవల్ల) ఫలితంగా దాని శక్తి తగ్గుతుంది. ఈ తగ్గిన శక్తి రాకెట్ పైభాగం కాలిపోవడానికి ఉపయోగపడుతుంది.
బి) గురుత్వాకర్షణ బలాలు నిత్యత్వ బలాలు. కావున ఒక సంవృత వలయంలో జరిగిన పని సున్నకు సమానము అనగా తోకచుక్క ప్రతి పరిభ్రమణంలో జరిగిన పని = 0.

సి) ఉపగ్రహం భూమిని సమీపిస్తుంటే దాని ఎత్తు తగ్గుతుంది. కాబట్టి స్థితిశక్తి PE తగ్గును. మొత్తంశక్తి PE + KE స్థిరముగా ఉండడంవల్ల స్థితిశక్తి తగ్గితే ఉపగ్రహం వేగం పెరుగుతుంది. ఈ ప్రక్రియలో వాతావరణంలో రాపిడి వల్ల అతి స్వల్ప మొత్తంలో శక్తి నష్టం ఉంటుంది.

డి) (i) పటంలో మనిషి ప్రయోగించిన బలం మరియు వస్తువు స్థానభ్రంశం పరస్పరం లంబంగా ఉన్నాయి.
∴ θ = 90°
జరిగిన పని W = F s cos θ

(ii) ఈ పటంలో బలము, స్థానభ్రంశం ఒకే దిశలో ఉన్నాయి. ∴ θ = 0
జరిగిన పని W = F s cos θ = mg s cos θ
దత్తాంశం నుండి m = = 15 కి.గ్రా. ; స్థానభ్రంశం = 2మీ.
W = 15 × 9.8 × 2 = 294 జౌల్

ప్రశ్న 6.
సరైన ప్రత్యామ్నాయం కింద గీత గీయండి.
ఎ) వస్తువుపై నిత్యత్వ బలం చేసిన పని ధనాత్మకమయితే, వస్తువు స్థితిజ శక్తి పెరుగుతుంది/తగ్గుతుంది/మారకుండా ఉంటుంది.
బి) ఘర్షణకు వ్యతిరేకంగా వస్తువు పనిచేయడం వల్ల ఎప్పుడు గతిజ/స్థితిజ శక్తి నష్టం జరుగుతుంది.
సి) అనేక కణ వ్యవస్థ యొక్క మొత్తం ద్రవ్యవేగంలోని మార్పురేటు బాహ్యబలం / వ్యవస్థలోని అంతర బలాల మొత్తానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
డి) రెండు వస్తువుల మధ్య జరిగిన అస్థితి స్థాపక అభిఘాతంలో, అభిఘాతం తరువాత వ్యవస్థ మొత్తం గతిజశక్తి / మొత్తం రేఖీయ ద్రవ్యవేగం / మొత్తం శక్తి మారకుండా స్థిరంగా ఉంటుంది.
సాధన:
ఎ) నిత్యత్వ బలాలు పనిచేస్తే వస్తువు స్థితిజశక్తి తగ్గుతుంది. ఎందుకనగా స్థితిజశక్తి వస్తువులో దాచిపెట్టబడిన పని.

బి) ఘర్షణకు వ్యతిరేకంగా పని జరిగినపుడు వస్తువు గతిజశక్తి తగ్గుతుంది. కారణం ఘర్షణకు వ్యతిరేకంగా జరిపిన పని గతిజశక్తి నుండి సమకూరడమే.

సి) ద్రవ్యవేగంలోని మార్పు బాహ్యబలం నుండీ సమకూరుతుంది. కారణం అంతర్గత మార్చలేవు.

డి) అస్థితి స్థాపక అభిఘాతాలలో వ్యవస్థ ద్రవ్యవేగం స్థిరము. బలాలు వ్యవస్థ ద్రవ్య వేగాన్ని

ప్రశ్న 7.
క్రింద ఇచ్చిన ప్రతిపాదనలు సరి అయినవా ? కావా ? మీ సమాధానాలకు కారణాలు రాయండి.
ఎ) రెండు వస్తువుల మధ్య జరిగే స్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో ప్రతి వస్తువు యొక్క ద్రవ్యవేగం, శక్తి నిత్యత్వంగా ఉంటుంది.
బి) వస్తువుపై ఎటువంటి అంతర, బాహ్యబలాలు పనిచేసినప్పటికీ వ్యవస్థ మొత్తం శక్తి ఎప్పుడూ నిత్యత్వంగా ఉంటుంది.
సి) ఒక సంవృత ఉచ్చు వెంబడి చలనంలో ఉన్న వస్తువుపై ప్రకృతిలోని ప్రతి బలం చేసే పని శూన్యం.
డి) అస్ధితిస్థాపక అభిఘాతంలో వ్యవస్థ తొలి గతిజ శక్తి కంటె తుది గతిజ శక్తి ఎప్పుడూ తక్కువగా ఉంటుంది.
సాధన:
ఎ) ప్రతిపాదన సరియైనది కాదు. స్థితిస్థాపక అభిఘాతాలలో వ్యవస్థ మొత్తం శక్తి, ద్రవ్యవేగాలు స్థిరము. విడివిడిగా ప్రతి వస్తువుకు ఈ నియమం వర్తించదు.

బి) ప్రతిపాదన సరియైనది కాదు. బాహ్యబలం వల్ల వ్యవస్థ మొత్తం శక్తి మారవచ్చు.

సి) ప్రతిపాదన సరియైనది కాదు. నిత్యత్వ బలాలకు మాత్రమే సంవృత మార్గంలో జరిపిన మొత్తం పని సున్న. అనిత్యత్వ బలాలకు ఈ నియమం వర్తించదు.

డి) నిజమే. అస్థితిస్థాపక అభిఘాతాలలో కొంత శక్తి నష్టం జరుగుతుంది.

ప్రశ్న 8.
తగిన కారణాలతో జాగ్రత్తగా సమాధానమివ్వండి :
ఎ) రెండు బిలియర్డ్ బంతుల స్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో బంతుల మధ్య అభిఘాతం జరుగుతున్న స్వల్ప కాలంలో (ఒక దానితో ఒకటి స్పర్శించుకొన్నప్పుడు) మొత్తం గతిజ శక్తి నిత్యత్వంగా ఉంటుందా ?
బి) స్వల్ప కాలవ్యవధిలో రెండు బంతుల మద్య జరిగిన స్థితిస్థాపక అభిఘాతంలో రేఖీయ ద్రవ్యవేగం మొత్తం నిత్యత్వంగా ఉంటుందా ?
సి) అస్ధితిస్థాపక అభిఘాతానికి (ఎ), (బి) లకు సమాధానాలు ఏమిటి ?
డి) రెండు బిలియర్డ్ బంతుల స్థితిజ శక్తి, వాటి కేంద్రాల మధ్య దూరంపై మాత్రమే ఆధారపడితే ఆ అభిఘాతం స్థితిస్థాపకమా లేదా అస్థితిస్థాపకమా ? (సూచన : అభిఘాత సమయమప్పుడు ఉండే బలానికి సంబంధించిన స్థితిజ శక్తి గురించి మాట్లాడుతున్నాం కాని గురుత్వ స్థితిజ శక్తిని గురించి కాదు.)
సాధన:
ఎ) ప్రతిపాదన సరియైనది కాదు. అస్థితిస్థాపక అభిఘాతాలలో అభిఘాతానికి ముందు వ్యవస్థ KE అభిఘాతం తరువాత వ్యవస్థ KE కి సమానము. వాస్తవంగా జరిగేది ఏమిటంటే అభిఘాత సమయంలో గతిజశక్తి స్థితిజశక్తిగా మారుతుంది.

బి) నిజమే. స్థితిస్థాపక అభిఘాతాలలో వస్తువులు కలిసి ఉన్న స్వల్ప వ్యవధిలో వాటి మధ్య ద్రవ్యవేగ వినిమయం జరుగుతుంది.

సి) అస్థితిస్థాపక ఏక అభిఘాతాలలో గతిజశక్తి స్థిరంగా ఉండదు. కాని వ్యవస్థకు గల ద్రవ్యవేగము స్థిరము.

డి) ఈ అభిఘాతం స్థితిస్థాపక అభిఘాతం. ఎందుకనగా ఇందులో పాల్గొనిన బలాలు నిత్యత్వ బలాలు.

ప్రశ్న 9.
నిశ్చల స్థితి నుంచి బయలుదేరిన ఒక వస్తువు స్థిర త్వరణంతో ఏకమితీయ చలనం కలిగి ఉంది. t కాలంలో దానికి అందచేసిన సామర్థ్యం కింది వాటికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
(i) t^1/2
(ii) t
(iii) t^3/2
(iv) t²
సాధన:
v = u + at నుండి v = 0 + at = సామర్థ్యము P = F × v
∴ P = mav = m.a.a.t = ma²t
m, a లు స్థిరం కావున p ∝ t

ప్రశ్న 10.
స్థిర సామర్థ్యాన్ని అందించే జనకం ప్రభావం వల్ల ఒక వస్తువు ఏక దిశాత్మకంగా చలిస్తుంది. t కాలంలో కలిగిన స్థానభ్రంశం కింది వాటికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
(i) t^1/2
(ii) t
(iii) t^3/2
(iv) t²
సాధన:
సామర్థ్యము P = బలం × వేగము
∴ P = [MLT^-2][LT^-1] = [ML²T^-3]
వస్తువు స్థిర సామర్థ్యముతో కదులుతున్నపుడు m, p లు స్థిరము
కావున L²T^-3 స్థిరము లేదా \(\frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{~T}^3}\) = స్థిరరాశి
అనగా L² ∝ T³ లేదా L ∝ T^3/2

ప్రశ్న 11.
ఒక నిరూపక వ్యవస్థలో Z- అక్షం వెంట చలనానికి పరిమితం అయిన వస్తువుపై
\(\overrightarrow{\mathrm{F}}=-\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}\)N
అనే స్థిర బలం పనిచేస్తుంది. ఇక్కడ X-, Y-, Z- అక్షాల వెంట ప్రమాణ సదిశలు వరుసగా \(\hat{\mathrm{i}}, \hat{\mathrm{j}}, \hat{\mathrm{k}}\). Z- అక్షంపై 4 మీ. దూరం చలించడానికి ఈ బలం చేసిన పని ఎంత ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి \(\overrightarrow{\mathrm{F}}=-\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}\) న్యూ, \(\overrightarrow{\mathrm{s}}=4 \hat{\mathrm{k}}\) మీ.
జరిగిన పని _ W = \(\overrightarrow{\mathrm{F}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{S}}\)
= \((-\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}) \cdot(4 \hat{\mathrm{k}})=12 \hat{\mathrm{k}} \cdot \hat{\mathrm{k}}\) = 12J

ప్రశ్న 12.
విశ్వకిరణాల ప్రయోగంలో 10 keV, 100 keV శక్తి గల ఎలక్ట్రాన్, ప్రోటాన్లను కనుక్కొన్నారు. వీటిలో వేగవంతం అయినది ఏది ? ఎలక్ట్రాన్ లేదా ప్రోటాన్ ? వాటి వడుల నిష్పత్తిని రాబట్టండి. (ఎలక్ట్రాన్ ద్రవ్యరాశి = 9.11 × 10^-31 = కి.గ్రా., ప్రోటాన్ ద్రవ్యరాశి 1.67 × 10^-27 కి.గ్రా., 1 eV = 1.60 × 10^-19 J).
సాధన:
ఎలక్ట్రాన్ గతిజశక్తి KE₁ = 10 KeV = 10 × 1.6 × 10^-16 J
ఫోటాన్ గతిజశక్తి KE₂ = 100 KeV = 100 × 1.6 × 10^-16 J
ఎలక్ట్రాన్ ద్రవ్యరాశి m_e = 9.11 × 10^-31 ; ప్రోటాన్ ద్రవ్యరాశి m_p = 1.67 × 10^-27
\(\frac{1}{2}\) m_ev_e² : \(\frac{1}{2}\) m_pv_p² = 10 : 100 = 1 : 10 ⇒ \(\frac{v_{\mathrm{e}}}{\mathrm{v}_{\mathrm{p}}}=\sqrt{\frac{1}{10} \frac{\mathrm{m}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{m}_{\mathrm{e}}}}\)
∴ \(\frac{\mathrm{v}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{v}_{\mathrm{p}}}=\frac{1}{10} \sqrt{\frac{1.67 \times 10^{-27}}{10 \times 9.11 \times 10^{-31}}}=10^2 \sqrt{\frac{1.67}{91.1}}\) = 13.53

ప్రశ్న 13.
500 మీ. ఎత్తు నుంచి 2 మి.మీ. వ్యాసార్ధం ఉన్న వాన నీటి బిందువు నేలపై పడుతుంది. సగం ఎత్తువరకు తగ్గుతున్న త్వరణం (గాలి స్నిగ్ధతా నిరోధం వల్ల) కలిగి గరిష్ఠ (అంత్య) వడిని పొందుతుంది. ఆ తరువాత అది ఏకరీతి వడితో కిందికి చలిస్తుంది. వాన నీటి బిందువు ప్రయాణంలో, మొదటి, రెండవ సగంలో గురుత్వ బలం చేసిన పని ఎంత ? 10 మీ/సె^-1 వడితో నేలను చేరినట్లైతే దాని పూర్తి ప్రయాణంలో నిరోధక బలం చేసిన పని ఎంత ?
సాధన:
నీటి బిందువు వ్యాసార్ధము r = 2 మి.మీ. = 2 × 10^-3 మీ.
మొత్తం ప్రయాణించిన దూరము = 500 మీ.
సగం దూరము = 250 మీ.
నీటిసాంద్రత ρ = 10³ కి.గ్రా./మీ³ ; నీటి బిందువు ద్రవ్యరాశి = v × ρ
∴ m = v.ρ = \(\frac{4}{3}\) πr³ × ρ = \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) (2 × 10^-3)³ × 10³ = 3.35 × 10^-5 కి.గ్రా.
నిరోధక బలం పనిచేసినా చేయకపోయినా వస్తువు స్థితిశక్తిలో మార్పు
E₁ = mgh = 3.35 × 10^-5 × 10 × 500 = 0.164J
నేలను తాకినపుడు నీటి బిందువు వేగము v = 10 మీ/సె.
∴ గతిజశక్తి E₂ = \(\frac{1}{2}\)mv² = \(\frac{1}{2}\) × 3.35 × 10^-5 (10)² = 1.675 × 10^-3 J.
నిరోధక బలం జరిపిన పని W = మొత్తం శక్తి – గతిజశక్తి
= 0.164 – 1.675 × 10^-3 = 0.1623 J

ప్రశ్న 14.
పాత్రలో ఉన్న వాయువులోని అణువు, 200 మీ/సె^-1 వడితో, లంబంతో 30 కోణం చేస్తున్న దిశలో క్షితిజ సమాంతర (పాత్ర) గోడను ఢీకొని అంతే వడితో వెనుకకు మరలింది. ఈ అభిఘాతంలో ద్రవ్యవేగం నిత్యత్వంగా ఉంటుందా ? ఈ అభిఘాతం స్థితిస్థాపకమా లేదా అస్థితిస్థాపకమా ?
సాధన:
అభిఘాతాలలో ద్రవ్యవేగం స్థిరము; వాయు అణువు తొలి వేగము V₁ = 200 మీ/సె;
తొలి గతిజశక్తి పరిశీలిస్తే వాయు అణువుకు KE = \(\frac{1}{2}\) mv₁² = \(\frac{1}{2}\) m(200)² …………….. (1)

గోడకు K.E. = \(\frac{1}{2}\) mv₁² = 0 (కదలలేదు కావున)
అభిఘాతం పిమ్మట గోడ గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) m(0)² = 0
తుది వేగము V₂ = 200 మీ/సె.
∴ KE = \(\frac{1}{2}\) m(200)² …………….. (2)
సమీ. (1), (2) నుండి అభిఘాతం ముందు గతిజశక్తి = అభిఘాతం తరువాత గతిజశక్తి
అనగా ఈ అభిఘాతంలో శక్తి నిత్యత్వం జరిగింది.

ప్రశ్న 15.
భవనం నేల అంతస్తుపై ఉన్న పంప్ (మోటార్) 300 మీ³ ఘనపరిమాణం ఉన్న టాంకును 15 నిమిషాలలో నింపగలదు. పంప్ దక్షత 30% కలిగి ఉండి, టాంక్ నేలపై నుంచి 40 మీ. ఎత్తులో ఉంటే పంప్ ఎంత విద్యుత్ సామర్థ్యం వినియోగించుకొంటుంది ?
సాధన:
నీటి ఘనపరిమాణము V = 30 m³;
1 m³ నీటి ద్రవ్యరాశి = 1000 కి.గ్రా.
కాలము t = 15 ని. = 15 × 60 = 900 సె.; ఎత్తు h = 40 మీ
దక్షత η = 30%;
నీటి ద్రవ్యరాశి = 30 × 10³ కి.గ్రా.
వాస్తవంగా జరిగిన పని W = mgh = 30 × 10³ × 9.8 × 40
వాస్తవ సామర్థ్యము = \(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{t}}==\frac{30 \times 10^3 \times 9.8 \times 40}{900}\) = 13070 వాట్
యంత్రం మొత్తం సామర్థ్యము p_t = \(\frac{P \times 100}{\eta}=\frac{13070 \times 100}{30}\) = 43.567 కి.వాట్

ప్రశ్న 16.
ఘర్షణ లేని బల్లపై రెండు సర్వసమాన బాలే బేరింగ్లు ఒకదానితో ఒకటి స్పర్శించుకొంటూ నిశ్చలంగా ఉన్నాయి. అంతే ద్రవ్యరాశి ఉన్న వేరొక బాల్బేరింగు, V తొలి వడితో వీటిని సూటిగా ఢీకొంది. ఇది స్థితిస్థాపక అభిఘాతమయితే, అభిఘాతం తరువాత పక్క వాటిలో (పటంలో) ఏది సాధ్యమయ్యే ఫలితమవుతుంది ?

సాధన:
ప్రతి బంతి ద్రవ్యరాశి m అనుకోండి. మూడవ బంతి వేగము = v; ద్రవ్యరాశి = m
అభిఘాతం ముందు వ్యవస్థ మొత్తం K.E. = \(\frac{1}{2}\)mv² + 0
(మిగిలిన బంతులు నిశ్చలంగా ఉన్నవి కావున)
అభిఘాతం పిమ్మట 1వ సందర్భములో v₁ = v₂. (బొమ్మ నుండి)
∴ KE₁ = \(\frac{1}{2}\) (2m) \(\left(\frac{\mathrm{V}}{2}\right)^2\) = \(\frac{1}{4}\) mv²
2వ సందర్భంలో తుదివేగము = v, ద్రవ్యరాశి = m,
∴ KE₂ = \(\frac{1}{2}\) mv²
3వ సందర్భంలో ద్రవ్యరాశి = 3m, వేగము \(\frac{\mathrm{v}}{3}\)
KE₃ = \(\frac{1}{2}\) = (3m)(v/3)² = \(\frac{1}{6}\) mv²
పై సందర్భాలలో కేవలం 2వ సందర్భంలోనే గతిశక్తి నిత్యత్వం పాటించబడును.

ప్రశ్న 17.
క్షితిజ లంబానికి 30° కోణం చేస్తూ ఉన్న లోలక గోళం A ని వదిలితే అది బల్లపై నిశ్చలస్థితిలో ఉన్న అంతే ద్రవ్యరాశి కలిగిన B గోళాన్ని పటంలో చూపినట్లు ఢీకొంది. అభిఘాతం తరువాత A గోళం ఎంత ఎత్తుకు లేస్తుంది ? అభిఘాతం స్థితిస్థాపకం అని ఊహించి, గోళాల పరిమాణాలను ఉపేక్షించండి.

సాధన:
రెండు సమాన ద్రవ్యరాశులు గల వస్తువుల మధ్య అభిఘాతం జరిగితే అవి వాటి వేగాలను పరస్పరం మార్చుకుంటాయి.
B గోళం నిశ్చలంగా ఉంది కావున అబిఘాతం పిమ్మట A గోళం నిశ్చలస్థితికి వస్తుంది. పైకి లేవదు.

ప్రశ్న 18.
ఒక లోలక గోళాన్ని క్షితిజ సమాంతర స్థానం నుంచి విడిచిపెట్టారు. గాలి నిరోధం వల్ల తొలి శక్తిలో 5% దుర్వ్యయమయితే గోళం అత్యంత నిమ్నతమ బిందువును ఎంత వడితో చేరుతుంది ? లోలకం పొడవు 1.5 మీ.

సాధన:
ఎత్తు = h, శక్తి నష్టము = 5%, తుది పొడవు l = 1.5 మీ.
క్షితిజ సమాంతర బిందువు నుండి వదిలితే PEW లో మార్పు = mgl = mgh
B పొందిన గతిజశక్తి = mgh లో 95% = \(\frac{95}{100}\) mgh = \(\frac{1}{2}\) mv²
∴ v = \(\sqrt{\frac{95}{100} \times \mathrm{gh}}=\sqrt{\frac{19}{20} \times 9.8 \times 1.5}\)
= 5.28 మీ/సె.

ప్రశ్న 19.
25 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఇసుక సంచిని మోస్తున్న 300 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి కలిగిన ట్రాలీ ఘర్షణ లేని బాటలో 27 km/h ఏకరీతి వడితో చలిస్తూ ఉంది. కొంతసేపటి తరువాత సంచికి కలిగిన రంధ్రం ద్వారా 0.05కి.గ్రా./సె. రేటుతో ఇసుక ట్రాలీ తలంపై లీకు అవుతూ ఉంది. ఇసుక సంచి ఖాళీ అయిన తరువాత ట్రాలీ వడి ఎంత ?
సాధన:
ఏకరీతి వడితో చలిస్తున్నది. అనగా త్వరణము a = 0
∴ వ్యవస్థపై బాహ్య బలము F = ma = (0)
ట్రాలీ నుంచి కారుతున్న ఇసుక వ్యవస్థ అంతర్గత బలము కావున ఇది ట్రాలీ వడిని మార్చజాలదు.

ప్రశ్న 20.
0.5 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువు సరళరేఖా మార్గంలో v = ax^3/2 వేగంతో ప్రయాణిస్తుంది. ఇక్కడ a = 5m^-1/2 s^-1. అది x = 0 నుంచి x = 2 m కి స్థానభ్రంశం చెందినపుడు ఫలిత బలం చేసిన పని ఎంత ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి m = 0.5కి.గ్రా.;
వేగము V = ax^3/2,
a = 5 మీ/సె²;
తొలి వేగము అనగా x = 0 వద్ద, v₁ = 0
x = 2 వద్ద తుదివేగము v₁ = 5 × 2^3/2
జరిగిన పని W = \(\frac{1}{2}\) m (v₂² – v₁²) = \(\frac{1}{2}\) × 0.5 [(5 × 2^3/2)²]
∴ W = \(\frac{0.5 \times 5 \times 5 \times 2 \times 2 \times 2}{2}\) = 50 J

ప్రశ్న 21.
ఒక గాలిమర రెక్కలు A వైశాల్యం ఉన్న వృత్తాన్ని చిమ్ముతున్నాయి. (ఎ) ఈ వృత్తానికి లంబంగా v వేగంతో గాలి ప్రవహిస్తుంటే, దీని ద్వారా ! కాలంలో వెళ్ళే గాలి ద్రవ్యరాశి ఎంత ? (బి) గాలి గతిజశక్తి ఎంత ? (సి) గాలి మర, గాలి శక్తిలో 25% శక్తిని విద్యుత్ శక్తిగా మారుస్తుందని ఊహించండి. A = 30 m², u = 36 km/h, గాలి సాంద్రత 1.2kg m^-3, ఉత్పత్తి అయ్యే విద్యుత్ సామర్థ్యం ఎంత ?
సాధన:
a) ఒక సెకనులో వీచిన గాలి ఘ.ప. = A v
గాలి ద్రవ్యరాశి / సె. = A v ρ
(ρ = గాలి సాంద్రత)
t సెకనులలో వీచిన గాలి ద్రవ్యరాశి = Avρt

b) గాలి గతిజశక్తి K.E = \(\frac{1}{2}\) mv² = \(\frac{1}{2}\) Avρtv² = \(\frac{1}{2}\) Av³ρt

c) ఉత్పత్తి అయిన విద్యుచ్ఛక్తి = దక్షత × గాలి గతిజశక్తి
దక్షత η = 25%
∴ ఉత్పత్తి అయిన విద్యుచ్ఛక్తి = \(\left(\frac{25}{100}\right) \times \frac{1}{2}\) Av³ρt
విద్యుదుత్పాదక యంత్ర సామర్థ్యము

దత్తాంశం నుండి A = 30 మీ², v = 36 kmph = \(\frac{36 \times 5}{18}\) = 10 మీ/సె
గాలి సాంద్రత ρ = 1.2 కి.గ్రా/మీ³
∴ P = \(\frac{1}{8}\) × 30 × 10³ × 1.2 = 4500 వాట్ = 4.5 కి.వాట్

ప్రశ్న 22.
బరువు తగ్గాలనుకొనే వ్యక్తి (dieter) 10 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశిని ప్రతిసారి 0.5 మీ. ఎత్తుకు లేపుతూ వెయ్యిసార్లు పైకి ఎత్తాడు. అతడు ప్రతిసారి ద్రవ్యరాశిని కిందకు దించేటప్పుడు నష్టపోయిన స్థితిజ శక్తి దుర్వ్యయమవుతుందని ఊహించండి. ఎ) గురుత్వ బలానికి వ్యతిరేకంగా అతడు చేసిన పని ఎంత ? బి) ప్రతి కిలోగ్రాముకు 3.8 × 10⁷ జౌల్ శక్తిని కొవ్వు అందిస్తుంది. ఇది, 20% దక్షతతో యాంత్రిక శక్తిగా మారుతుంది. బరువు తగ్గాలనుకొనే వ్యక్తి ఎంత కొవ్వును ఉపయోగించినట్లు ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి m = 10 కి.గ్రా., h = 0.5 మీ., n = 1000; η = 20%
ఎ) గురుత్వ త్వరణానికి వ్యతిరేకంగా జరిగిన పని W = n (mgh)
W = 1000 (10 × 9.8 × 0.5) = 49000 J

బి) ఒక కిలో కొవ్వు అందించిన యాంత్రిక శక్తి = వాస్తవంగా కొవ్వు అందించిన శక్తి × దక్షత
దేహానికి 1 కిలో కొవ్వు ఇచ్చిన వాస్తవ శక్తి = 3.8 × 10⁷ × \(\frac{20}{100}\) = 0.76 × 10⁷ జౌల్/కి.గ్రా.
బరువు తగ్గాలనుకున్న వ్యక్తి వాడిన కొవ్వు = \(\frac{1}{0.76 \times 10^7}\) × 49000 = 6.45 × 10^-2 కి.గ్రా.

ప్రశ్న 23.
ఒక కుటుంబం 8 కి. వాట్ విద్యుత్ సామర్థ్యాన్ని ఉపయోగిస్తుంది. ఎ) సౌరశక్తి నేరుగా క్షితిజ సమాంతర తలంపై సగటున ప్రతి చదరపు మీటరుకు 200 వాట్ రేటున పతనమవుతుంది. ఈ శక్తిలో 20% విద్యుత్ శక్తిగా ఉపయోగపడితే, 8 కి.వాటిని సరఫరా చేయడానికి ఎంత పెద్ద వైశాల్యం ఉన్న తలం అవసరమవుతుంది ? (బి) దీన్ని ఒక మాదిరి ఇంటి పై కప్పు వైశాల్యంతో పోల్చండి.
సాధన:
ఉపరితల వైశాల్యము A అనుకుంటే దానిపై పతనం చెందిన సౌరశక్తి E = 200 A జౌల్ ; దక్షత = 20%
అవసరమైన విద్యుత్ శక్తి = 8 KW = 8000 W
ఒక సెకనుకు ఉత్పత్తి అయిన ఉపయోగపడిన విద్యుత్ శక్తి = 200A × η
= 200 A . \(\frac{20}{100}\) = 40 A

A = \(\frac{8000}{40}\) = 200 చ.మీ.
ఇది దాదాపు ఒక పెద్ద ఇంటి పై కప్పు వైశాల్యానికి సమానము.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(f) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Matrices Solutions Exercise 3(f)

I.
Find the rank of each of the following matrices.

Question 1.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right]\) and det A = 1
∴ ρ(A) = Rank of the matrix A = 1.

Question 2.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\) and det A = 1 ≠ 0.
∴ ρ(A) = 2

Question 3.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right]\) and det A = 0
∴ ρ(A) = 1

Question 4.
\(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right]\) and det A = -1 ≠ 0.

Question 5.
\(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & -4 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 0 & -4 \\
2 & -1 & 3
\end{array}\right]\)
The determinant of a submatrix of order 2 × 2 of A = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & -4 \\
2 & 3
\end{array}\right|\) = 3 + 8 = 11 ≠ 0
∴ ρ(A) = 2

Question 6.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 3 & 6 \\
2 & 4 & 3
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 3 & 6 \\
2 & 4 & 3
\end{array}\right]\)
The determinant of a submatrix order 2 × 2 of A is = \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 3 \\
2 & 4
\end{array}\right|\) = -2 ≠ 0

II.
Question 1.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\) and det A = 1(1 – 0) = 1 ≠ 0
∴ ρ(A) = 3

Question 2.
\(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -1 \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 4 & -1 \\
2 & 3 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right]\)
and det A = 1(6) – 4(4) – 1(2)
= 6 – 16 – 12 = -12 ≠ 0
∴ ρ(A) = 3

Question 3.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right]\) (March 2015 T.S)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 4 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right]\)
and det A = 1(6 – 4) – 2(4) + 3(2)
= 2 – 8 + 6 = 0
The determinant of submatrix of order 2 × 2 of A = \(\left|\begin{array}{ll}
2 & 3 \\
3 & 4
\end{array}\right|\) = 8 – 9 = – 1 ≠ 0
Hence ρ(A) = 2

Question 4.
\(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right]\) and
det A = 1(0) – 1(0) + 1(0) = 0
The determinant of submatrix of order 2 × 2 of A is \(\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right|\) = 0
Hence ρ(A) = 1

Question 5.
\(\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 2 & 0 & -1 \\
3 & 4 & 1 & 2 \\
-2 & 3 & 2 & 5
\end{array}\right]\)
Answer:
Consider 3 × 3 submatrix of above matrix
|A| = \(\left|\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 0 \\
3 & 4 & 1 \\
-2 & 3 & 2
\end{array}\right|\)
= 1(8 – 3) – 2(9 + 8)
= 5 – 34 = -29 ≠ 0
∴ ρ(A) = 3

Question 6.
\(\left[\begin{array}{rrrr}
0 & 1 & 1 & -2 \\
4 & 0 & 2 & 5 \\
2 & 1 & 3 & 1
\end{array}\right]\)
Answer:
Let A = \(\left[\begin{array}{rrrr}
0 & 1 & 1 & -2 \\
4 & 0 & 2 & 5 \\
2 & 1 & 3 & 1
\end{array}\right]\) and
Consider a submatrix B of order 3 × 3 of above matrix ‘A’.
Then |B| = \(\left|\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
4 & 0 & 2 \\
2 & 1 & 3
\end{array}\right|\)
= -1(12 – 4) + 1(4)
= -8 + 4 = -4
Hence ρ(A) = 3

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 5th Lesson గమన నియమాలు Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 5th Lesson గమన నియమాలు

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
జడత్వం అంటే ఏమిటి ? జడత్వ కొలతను ఏది ఇస్తుంది (మార్చి 2014)
జవాబు:
జడత్వం అంటే మార్పుకు నిరోధం. వస్తువు తనంతట తానుగా తన స్థితిని మార్చుకోజాలని వస్తు ధర్మాన్ని జడత్వం అంటారు. వస్తువు జడత్వాన్ని ద్రవ్యరాశి ‘m’ తో కొలుస్తారు.

ప్రశ్న 2.
న్యూటన్ మూడవ గమన నియమం ప్రకారం ప్రతి బలం సమానం, వ్యతిరేక బలాలతో కూడా ఉన్నప్పుడు గమనం అనేది ఏ విధంగా సాధ్యమవుతుంది?
జవాబు:
న్యూటన్ మూడవ నియమం ప్రకారము బలాలు ఎప్పుడూ జంటగానే ఏర్పడతాయి. చర్య = – ప్రతిచర్య.
సాధారణంగా చర్య, ప్రతిచర్యలు వేరు వేరు వ్యవస్థలపై పని చేయడం వల్ల చలనం సాధ్యపడుతుంది.

ప్రశ్న 3.
ఒక తుపాకి నుంచి బుల్లెట్ను పేల్చినప్పుడు, తుపాకినీ వెనుకకు నెట్టివేసినట్లు అనిపిస్తుంది. వివరించండి.
జవాబు:
తుపాకి పేల్చటం అంతర్గత చర్య. అంతర్గత బలాలు వస్తువు ద్రవ్యవేగాన్ని మార్చలేవు. కావున m₁u₁ + m₂u₂ = 0. (తుపాకి పేలకముందు అవి విరామస్థితిలో ఉన్నవి కావున)
∴ m₁u₁ = -m₂u₂ కావున తుపాకి గుండు ముందుకు, తుపాకి వెనుకకు పోవడం ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం జరుగుతుంది.

ప్రశ్న 4.
ఒకే గుళ్లను ఉపయోగించినా బరువుగా ఉన్న రైఫిల్ తేలిక రైఫిల్ కంటే తక్కువ వేగంతో వెనకకు వస్తుంది. ఎందువల్ల?
జవాబు:
తుపాకి వెనుకకు తన్నే వేగం v₁ = \(\frac{\mathrm{mv}}{\mathrm{M}}\) తుపాకి వేగము బులెట్ ద్రవ్యవేగానికి (mv), తుపాకి బరువుకు గల నిష్పత్తి. mv స్థిరంగా ఉన్నప్పటికి తుపాకి బరువు తగ్గితే దాని వెనుకకు తన్నే వేగం పెరుగుతుంది.

ప్రశ్న 5.
విరామస్థితిలో ఉన్న ఒక బాంబు రెండు ముక్కలుగా పేలితే దాని ముక్కలు వ్యతిరేకదిశలో చలిస్తాయి. వివరించండి.
జవాబు:
విరామ స్థితిలో ఉన్న బాంబుకు తొలి ద్రవ్యవేగం m₁v₁ + m₂v₂ = 0 బాంబు పేలిన తరువాత దాని ముక్కల ద్రవ్యవేగాల మొత్తం (ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారం ‘సున్న.)
∴ m₁u₁ + m₂u₂ = 0 లేదా m₁v₁ + m₂v₂ (- గుర్తు వ్యతిరేక దిశ) అనగా ఆ రెండు ముక్కలు వ్యతిరేక దిశలో చలిస్తాయి.

ప్రశ్న 6.
బలాన్ని నిర్వచించండి. ప్రకృతిలోని ప్రాథమిక బలాలను పేర్కొనండి.
జవాబు:
ఒక వస్తువు యొక్క స్థితిని మార్చునది లేక మార్చుటకు ప్రయత్నించే భౌతికరాశిని బలంగా నిర్వచించారు. ఇది సదిశరాశి.
ప్రకృతిలో ప్రాథమిక బలాలు : 1) గురుత్వాకర్షణ బలాలు, 2) విద్యుదయస్కాంత బలాలు, 3) ప్రబల కేంద్రక బలాలు, 4) దుర్బల కేంద్రక బలాలు.

ప్రశ్న 7.
ఘర్షణ గుణకం విలువ ఒకటి కంటె ఎక్కువగా ఉంటుందా ?
జవాబు:
అవును. సాధారణంగా ఘర్షణ గుణకం ఒకటి కంటే తక్కువగా ఉంటుంది. కాని కొన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలలో ‘i’ కంటె ఎక్కువగా ఉండవచ్చు.

ప్రశ్న 8.
గాలి నిండిన టైర్లు ఉన్న కారు కంటే గాలి లేని టైర్లు ఉన్న కారు తొందరగా ఆగుతుంది. ఎందుకు ?
జవాబు:
టైర్లలోని గాలి తక్కువగా ఉన్నపుడు అవి ఎక్కువ భాగము సమాంతరముగా మారి భూమిని తాకుతాయి. దానివలన ఘర్షణ బలం పెరుగుతుంది. దొర్లుడు ఘర్షణ బలం వస్తువుల మధ్య ఉన్న స్పర్శతలం వైశాల్యంపై ఆధారపడుతుంది. కాబట్టి కారు త్వరగా నిశ్చల స్థితికి వస్తుంది.

ప్రశ్న 9.
గుర్రం చలనంలో ఉన్నప్పటికంటే, అది బయలుదేరడం ప్రారంభించే సమయంలో ఎక్కువ బలాన్ని ఎందుకు ఉపయోగిస్తుంది ?
జవాబు:
వస్తువు చలనంలోనికి రావటానికి సీమాంత ఘర్షణ బలాన్ని అధిగమించాలి. (F_s = μ_smg). కాని ఒకసారి చలనములోనికి ఉండ వచ్చిన తరువాత గతిక ఘర్షణ బలం పనిచేస్తుంది. గతిక ఘర్షణ బలం సీమాంత ఘర్షణ బలం కంటే తక్కువ. కావున వలన చలనం ఆరంభంలో గుర్రం ఎక్కువ బలంతో బండిని లాగవలసి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 10.
వస్తువు భారాన్ని రెట్టింపు చేస్తే ఘర్షణ గుణకం ఏమవుతుంది ? (మే 2014)
జవాబు:
వస్తువు భారాన్ని రెట్టింపు చేసినప్పటికి ఘర్షణ గుణకం విలువ మారదు. ఎందుకనగా ఘర్షణ బలం లంబ ప్రతిచర్య కావున భారం రెండింతలైన, లంబ ప్రతిచర్య, ఘర్షణ బలం కూడా రెట్టింపు అవుతాయి. కాని ఘర్షణ గుణకం విలువ మారదు.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
0.1 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక రాయిని నిలువుగా పైకి విసిరారు. కింది సందర్భాలలో రాయిపై పనిచేసే నికర బలం పరిమాణం, దిశను తెలపండి. ఎ) నిలువుగా పైకి ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు, బి) క్రిందికి ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు, సి) గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద, (ఎక్కడైతే క్షణం పాటు రాయి విరామస్థితికి వస్తుందో)
జవాబు:
రాయి ద్రవ్యరాశి m = 0.1 kg.
ఎ) రాయి పైకి పోవునపుడు దానిపై పనిచేసే బలం గురుత్వాకర్షణ బలము.
∴ F = mg = 0.1 × 9.8 = 0.98 న్యూ.

బి) రాయి క్రిందికి పడునపుడు దానిపై పనిచేసే బలం F = గురుత్వాకర్షణ బలము
∴ F = mg = 0.1 ×: 9.8 = 0.98 .న్యూ.

సి) రాయి గరిష్టోన్నతి స్థానం వద్ద ఉన్నపుడు దాని వేగం సున్న కాని అధోదిశలో గురుత్వాకర్షణ బలం పనిచేస్తుంది.
∴ ఫలిత బలము = mg = 0.1 × 9.8 = 0.98 న్యూ.
గమనిక : రాయి యొక్క మొత్తం ప్రయాణమార్గంలో గురుత్వాకర్షణ బలం అధోదిశలోనే పనిచేస్తుంది.

ప్రశ్న 2.
ద్రవ్యవేగం, ప్రచోదనాలను నిర్వచించండి. రేఖీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని నిర్వచించి, వివరించండి. ఉదాహరణలు ఇవ్వండి.
జవాబు:
ద్రవ్యవేగం (\(\overline{\mathrm{p}}\)) : వస్తువు యొక్క ద్రవ్యరాశిని దాని వేగంతో గుణించగా వచ్చు లబ్ధాన్ని ద్రవ్యవేగంగా నిర్వచించినారు.
ద్రవ్యవేగం (\(\overline{\mathrm{p}}\)) = ద్రవ్యరాశి × వేగము ∴ \(\overline{\mathrm{p}}\) = mv. ఇది సదిశరాశి.
ప్రమాణము : కి.గ్రా. మీ/సె.; మితిఫార్ములా : MLT^-1
ప్రచోదనము (J): వస్తువుపై ఎక్కువ బలం స్వల్పకాలంపాటు పనిచేస్తే బలము మరియు కాలముల లబ్దాన్ని ప్రచోదనము అంటారు.
ప్రచోదనము (J) = F × t, ఇది సదిశరాశి. ప్రమాణము : న్యూటన్ – సెకను; మితిఫార్ములా : MLT^-1
ప్రచోదనము = ద్రవ్యవేగంలో మార్పు అని చూపుట :
నిర్వచనం ప్రకారము ప్రచోదనము (J) = బలము × కాలము = F × t
కాని బలము F = ma ఇందులో a = \(\left(\frac{\mathrm{v}-\mathrm{u}}{\mathrm{t}}\right)\)
ప్రచోదనము J = m\(\left(\frac{\mathrm{v}-\mathrm{u}}{\mathrm{t}}\right)\) × t = mv – mu. = ద్రవ్యవేగంలోని మార్పు.
అనగా ప్రచోదనము J = mv – mu ద్రవ్యవేగంలో మార్పు.

ప్రశ్న 3.
మోటారు సైకిళ్ళు, కార్లకు షాక్ అబ్సార్బర్లను ఎందుకు ఉపయోగిస్తారు ?
జవాబు:
వాహనాలు వేగంగా చలించేటపుడు రోడ్డుపై గల ఎగుడు దిగుడు గుంటలపై గుండా వెళ్ళినపుడు అవి ప్రచోదనానికి లోనవుతాయి.
ద్రవ్యవేగంలో మార్పు సమానమైనప్పటికి కాలవ్యవధి ఎక్కువ ఐతే ప్రచోదనం దుష్ప్రభావం చూపదు. ప్రచోదనము
J = F.dt = (mv – mu). బలము F = \(\frac{m v-m u}{\Delta t}\) ఇందులో ∆t చిన్నదైతే ద్రవ్యవేగంలో మార్పు సమానమైనప్పటికి బలము ఎక్కువ, కాలవ్యవధి ∆t పెద్దదైతే బలము F విలువ తక్కువ. కావున కాలవ్యవధి పెరిగితే ఒకే విధమైన ప్రచోదనానికి మనపై పనిచేసే బలం తక్కువ. ప్రచోదనంలో కాలవ్యవధిని పెంచడానికి వాహనాలకు షాక్ అబ్జార్బర్లు వాడతారు.

షాక్ అబ్జార్బర్లు ప్రచోదనం వల్ల వచ్చిన బలం ఉపయోగించుకొని వాటిలో గల స్ప్రింగ్లను సంపీడనం చెందిస్తాయి. ఈ స్ప్రింగ్లకు కాలస్థిరాంకము ఎక్కువగా ఉండేటట్లు చేయడం వల్ల స్ప్రింగ్ గ్రహించిన బలాన్ని నిదానంగా విడుదల చేస్తుంది. ఫలితంగా మనపై ప్రచోదన ప్రభావం తగ్గటం వల్ల ప్రయాణం సుఖవంతంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
సీమాంత ఘర్షణ, గతిక ఘర్షణ, దొర్లుడు ఘర్షణలను వివరించండి.
జవాబు:
స్థితిక ఘర్షణ : విరామ స్థితిలో గల వస్తువుల మధ్య ఘర్షణను స్థితిక ఘర్షణ లేదా సీమాంత ఘర్షణ అంటారు. ఇది వస్తువుల మధ్య జరగబోయే చలనాన్ని వ్యతిరేకిస్తుంది.

వస్తువుపై అనువర్తిత బలం ప్రయోగించినపుడు మాత్రమే స్థితిక ఘర్షణ బలం పనిచేయడం ప్రారంభిస్తుంది. ఈ బలాలు అనువర్తిత బలంతో పాటు ఒక సీమాంత విలువ వరకు పెరుగుతాయి. గరిష్ఠ స్థితిక ఘర్షణ (f_s) విలువ అభిలంబ ప్రతిచర్య (N) కు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
(f_s) _max = μ_kN

గతిక ఘర్షణ : గమనంలోకి వచ్చిన తరువాత స్పర్శ తలాల మధ్య సాపేక్ష చలనాన్ని నిరోధించే బలాన్ని గతిక ఘర్షణ
బలం అంటారు.
f_k = μ_kN
గతిక ఘర్షణ గుణకం μ_k విలువ స్థితిక ఘర్షణ గుణకం μ_s కన్నా తక్కువ.

దొర్లుడు ఘర్షణ : వస్తువుల మధ్య దొర్లుడు చలనం ఉన్నపుడు దొర్లుడు చలనాన్ని వ్యతిరేకిస్తూ స్పర్శ తలాలకు సమాంతరంగా పనిచేసే బలాన్ని దొర్లుడు ఘర్షణ అంటారు.
ఘర్షణ బలాలన్నింటిలో కన్న దొర్లుడు ఘర్షణ బలం విలువ అతి తక్కువ.

ప్రశ్న 5.
ఘర్షణ వల్ల కలిగే లాభాలు, నష్టాలను వివరించండి.
జవాబు:
లాభాలు :

1. ఘర్షణ బలాలు మన నిత్యజీవనంలో ముఖ్యమైన పాత్రను పోషిస్తాయి. నడిచేటప్పుడు భూమికి, చెప్పులకు మధ్య గల ఘర్షణ బలం జారిపడిపోకుండా ఆపుతుంది.
2. ఘర్షణ బలాలు యంత్రాలలో చలనాన్ని ఒక చక్రము నుండి రెండవ దానికి బెల్టుల ద్వారా అందించుటలో ఉపయోగపడతాయి.
3. బ్రేకులు వేసినపుడు వాహనాలు నిశ్చలస్థితికి రావటానికి ఘర్షణ బలాలు అవసరం.
4. ఘర్షణ బలాలు లేకున్నచో తాడుతో వస్తువులను బంధించలేము.
5. ఘర్షణ బలాలు కారణంగానే మేకులు, బోల్టులు చెక్కలను కలిపి ఉంచుతాయి.

నష్టాలు :

1. ఘర్షణ వలన చాలా శక్తి వృధా అవుతుంది.
2. యంత్ర భాగాలు త్వరగా అరిగిపోతాయి.
3. ఘర్షణ వలన ఉష్ణం జనించి, యంత్ర పదార్థాల బలం తగ్గిపోతుంది

ప్రశ్న 6.
ఘర్షణను తగ్గించే పద్ధతులను పేర్కొనండి. (మార్చి 2014, మే 2014)
జవాబు:
ఘర్షణను తగ్గించు పద్ధతులు:

1. నునుపు చేయుట :.ఘర్షణ ముఖ్యముగా తలములోని హెచ్చుతగ్గుల వలన వస్తుంది. కాబట్టి తలములను నునుపు చేయుట ద్వారా ఘర్షణ తగ్గించవచ్చు. కాని బాగా ఎక్కువగా నునుపు చేసినచో మరల ఘర్షణ పెరుగుతుంది.
2. స్నేహకాలు ఉపయోగించుట : గ్రీజు, నూనె మొదలగు పదార్థములను ఉపయోగించి యంత్ర భాగాల మధ్య ఘర్షణను తగ్గించవచ్చు.
3. బాల్ బేరింగులు ఉపయోగించుట : చిన్నవి, గుండ్రనైన ఇనుపగోళాలు ఉపయోగించి రెండు తలాల మధ్య గల జారుడు చలనాన్ని దొర్లుడు చలనంగా మార్చవచ్చు. ఇలా చేయుట వలన ఘర్షణ తగ్గుతుంది.
4. స్ట్రీమ్ లైనింగ్ : గాలిలో ప్రయాణించే విమానాలకు, గాలి వలన ఘర్షణ ఉంటుంది. అదే విధంగా నీటిలో ప్రయాణించే ఓడలకు, నీటికి మధ్య ఘర్షణ ఉంటుంది. ఈ రకమైన ఘర్షణను తగ్గించటాన్కి, విమానాలు, ఓడలు ఒక ప్రత్యేకమైన ఆకారంలో తయారుచేస్తారు. దీనిని స్ట్రీమ్ లైనింగ్ అంటారు.

ప్రశ్న 7.
దొర్లుడు ఘర్షణ నియమాలను తెలపండి.
జవాబు:
ఒక వస్తువు వేరొక తలంపై దొర్లుతున్నపుడు, వాటి మధ్య గల ఘర్షణను దొర్లుడు ఘర్షణ అంటారు.
దొర్లుడు ఘర్షణ గుణకం

దొర్లుడు ఘర్షణ సూత్రాలు :

1. దొర్లుడు ఘర్షణ విలువ స్పర్శలోనున్న తలాల వైశాల్యంపై ఆధారపడుతుంది.
2. దొర్లే వస్తువు, దొర్లుతున్న తలం ఆకారాన్ని మార్పు చేస్తుంది. అందువలన తలంలోని పదార్థం దొర్లుడును వ్యతిరేకిస్తుంది.
3. దొర్లుడు ఘర్షణ, దొర్లుతున్న వస్తువు వ్యాసార్ధముపై ఆధారపడుతుంది. వ్యాసార్ధము ఎక్కువైన దొర్లుడు ఘర్షణ తక్కువగా ఉంటుంది. f_r ∝ \(\frac{1}{r}\)
4. దొర్లుడు ఘర్షణ, లంబ ప్రతిచర్యకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది F_r ∝ R.

ప్రశ్న 8.
లాన్ రోలర్ను నెట్టడం కంటే లాగడం తేలిక. ఎందుకు ?
జవాబు:
గడ్డిని చదునుచేయు రోలరు లేదా రోడ్డు రోలరును F అనే బలం క్షితిజ సమాంతరంతో ‘θ’ కోణం చేస్తూ ముందుకు లాగుతున్నదనుకొనుము. ఈ బలమును రెండు లంబ అంశములుగా విడదీయవచ్చు.

1. క్షితిజ సమాంతర అంశ F cos θ – ఇది రోలరును లాగుటకు ఉపయోగపడుతుంది.
2. లంబ అంశ F sin θ – ఇది భారానికి వ్యతిరేకంగా పనిచేస్తూ, లంబ ప్రతిచర్యను తగ్గిస్తుంది.
   ∴ లంబ ప్రతిచర్య R = mg – F sin θ
   ఘర్షణ బలం f = μ . R
   = [μ (mg – F sin θ)] ………………. (1)
   

కాని రోలరును ‘F’ బలము క్షితిజంతో ‘θ’ కోణం చేస్తూ నెట్టుచున్నచో ఈ సందర్భంలో పటములో చూపినట్లు లంబ అంశము ‘F sin θ’ భారం వలెనే కిందకు పని చేయుచూ లంబ ప్రతిచర్య విలువను పెంచుతుంది. అనగా R = mg + F sin θ
కావున ఘర్షణ బలం f = μ (mg + F sin θ) ………………. (2)
(1) మరియు (2) ల నుండి నెట్టుటలో ఘర్షణ బలం ఎక్కువగా నున్నది కావున నెట్టుట, లాగుట కంటే కష్టము.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఎ) న్యూటన్ రెండవ గమన నియమాన్ని తెలపండి. దాని నుంచి గమన సమీకరణం F= ma ను రాబట్టండి. బి) ఒక వస్తువు వృత్త పథంలో ఎప్పుడూ సమవడితో చలిస్తూ ఉంటే దాని మీద బలం పనిచేస్తుందా ?
జవాబు:
న్యూటన్ రెండవ నియమము: వస్తువు ‘ద్రవ్యవేగంలోని మార్పురేటు వస్తువుపై ప్రయోగించిన బాహ్యబలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండి, బాహ్యబలం పనిచేసే దిశలోనే పనిచేస్తుంది.
అనగా \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{p}}}{\mathrm{d} \mathrm{t}}\) ∝ F లేదా F = k . \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{p}}}{\mathrm{d} \mathrm{t}}\) లేదా F = k.ma
ఇందులో k విలువ ఒకటి అగునట్లుగా బలప్రమాణాన్ని నిర్వచించినారు.
కావున F = \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{p}}}{\mathrm{d} \mathrm{t}}\) లేదా F = ma

F = ma సమీకరణ ఉత్పాదన :
న్యూటన్ రెండవ నియమం నుండి ఏదైనా వస్తువు యొక్క ద్రవ్యవేగంలోని మార్పురేటు బాహ్యబలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
అనగా \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{p}}}{\mathrm{d} \mathrm{t}}\) ∝ F లేదా F= k . \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{p}}}{\mathrm{d} \mathrm{t}}\) ఇందులో \(\overline{\mathrm{p}}\) = వస్తువు ద్రవ్యవేగము = mv.
∴ F = k . \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\mathrm{m} \overline{\mathrm{v}})\)
⇒ k.m. \(\frac{\mathrm{dv}} {\mathrm{dt}}\)
కాని \(\frac{\mathrm{dv}} {\mathrm{dt}}\) = వస్తువు వేగంలోని మార్పురేటు. దీనిని త్వరణము ‘a’ అంటారు.
∴ F = k . m. a ఇందులో k ఒక స్థిరాంకము.

ప్రమాణ బలము (Unit force) : ప్రమాణ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువులో ప్రమాణ త్వరణం కలిగించడానికి కావలసిన బలాన్ని ప్రమాణ బలంగా నిర్వచించినారు.
అనగా ద్రవ్యరాశి m = 1 యూనిట్, త్వరణము a = 1 యూనిట్ ఐతే బలము F = 1 యూనిట్ అవుతుంది.
∴ F = kma లో m = 1, a = 1, F = 1 అని వ్రాస్తే k = 1 అవుతుంది.
ప్రమాణబలం నిర్వచనం ప్రకారము F = kma = ma
∴ F = ma
ఒక వస్తువు వృత్త పథంలో ఎప్పుడూ సమవడితో చలిస్తుంటే దాని మీద బలం : m ద్రవ్యరాశి గల ఒక వస్తువు ‘r’ వ్యాసార్ధం గల వృత్తాకార మార్గంలో సమవడితో చలించుచున్నదనుకొనుము. ఏదైనా బిందువు వద్ద వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖ వస్తువుకు ఆ బిందువు వద్ద గల వేగాన్ని తెలుపుతుంది. వస్తువుకు గల వేగదిశ అనుక్షణం మారుతుండటం వల్ల వస్తువుకు త్వరణం ఉంటుంది. వృత్తకేంద్రం వైపు పనిచేసే ఈ త్వరణాన్ని అభిలంబత్వరణము అంటారు.

ప్రశ్న 2.
ఘర్షణ కోణం, విశ్రామ కోణాలను నిర్వచించండి. గరుకు వాలుతలం విషయంలో ఘర్షణ కోణం, విశ్రామ కోణానికి సమానమని చూపండి. గరుకు క్షితిజ సమాంతర తలంపై 4కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక చెక్క దిమ్మె విరామస్థితిలో కలదు. దిమ్మెపై 30 N క్షితిజ సమాంతర బలాన్ని ప్రయోగిస్తే అది కదలడానికి సిద్ధం అయ్యింది. g = 10 m/s² అయితే, దిమ్మెపై ఆ తలం ప్రయోగించే మొత్తం స్పర్శా బలాన్ని కనుక్కోండి.
జవాబు:
గరుకు వాలుతలంపై ‘m’ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువును ఉంచినారనుకొనుము. వాలుతలం క్షితిజ సమాంతరంతో చేసే కోణం ‘θ’ ను పెంచుతూ పోతే, ఒక ప్రత్యేక కోణం θ = α వద్ద దానిపై ఉంచిన వస్తువు త్వరణం లేకుండా తలం వెంబడి కిందకు జారటం మొదలవుతుంది. వాలుతలం చేసే ఈ కోణంను ప్రశాంతత కోణం అంటారు. ఈ విధంగా జారుతున్నపుడు వస్తువు త్వరణం ‘సున్న’ ఉంటుంది.

వస్తువు భారం ‘mg’ నిలువుగా కిందకు పని చేస్తుంది. దీనిని రెండు లంబ అంశాలుగా విడదీయవచ్చు.

1) ‘mg sin θ’ వాలుతలం వెంబడి కిందకు పనిచేస్తూ వస్తువు కిందకు జరుగునట్లు చేస్తుంది. కాని దీని విలువ, ఘర్షణ బలం f_k కు సమానంగా ఉంటుంది.
∴ f_k = mg sin θ

2) రెండవ అంశ ‘mg cos θ’ తలానికి లంబంగా పనిచేస్తుంది. దీనికి సమానంగా వ్యతిరేక దిశలో లంబ ప్రతిచర్య పనిచేస్తుంది.
∴ R = mg sin θ
∴ గతిక ఘర్షణ గుణకం μ_k = \(\frac{\mathrm{f}_{\mathrm{k}}}{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{mg} \sin \theta}{\mathrm{mg} \cos \theta}\) = tan θ
కాని ఇందులో θ = α
∴ μ_k = tan α
కావున ప్రశాంతత కోణం టాంజెంట్ విలువ ఘర్షణ గుణకంనకు సమానం.
లెక్క ; క్షితిజ సమాంతర తలంపై విరామ స్థితిలో ఉన్న వస్తువుపై పనిచేయు బలాలు

1. అభిలంబ చర్య (N)
2. వస్తువు భారము (mg)
3. క్షితిజ సమాంతర దిశలో బాహ్యబలము (30N)
4. స్థితిక ఘర్షణ బలము f_s

సమతా స్థితిలో అభిలంబ బలమును వస్తువు భారం తుల్యం చేస్తుంది.
బాహ్యబలము f విలువ స్థితిక ఘర్షణ బలానికి సమానమైతే అది సమతాస్థితిలో ఉంటుంది.
కావున క్షితిజ సమాంతర దిశలో స్పర్శబలము = ఘర్షణ బలం = 30 న్యూ.

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఒక కణం రేఖీయ ద్రవ్యవేగం, కాలం (t) ప్రమేయంగా p = a + bt గా ఇచ్చారు. a, b లు ధనాత్మక స్థిరాంకాలు అయితే, కణంపై పనిచేసే బలం ఏమిటి ?
సాధన:
వస్తువు ద్రవ్యవేగము \(\overline{\mathrm{p}}\) = a + bt
వస్తువుపై బలము \(\overline{\mathrm{F}}=\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{p}}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\) (a + bt)
∴ F = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\) (a) + \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\) (bt) = 0 + b
∴ వస్తువుపై బలము = b

ప్రశ్న 2.
10 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువు వేగంలో 2 m/s మార్పు కలిగించడానికి 5N బలాన్ని ఎంత కాలం ప్రయోగించాలి ?
సాధన:
బలము F = 5 న్యూ;
వేగంలో మార్పు = v – u = 2 మీ/సె.
ద్రవ్యరాశి m = 10 kg
బలము F = ma, కాలము t = ?
బలము F = m \(\frac{(v-u)}{t}\)
⇒ t = \(\frac{\mathrm{m}(\mathrm{v}-\mathrm{u})}{\mathrm{F}}=\frac{10 \times 2}{5}\) = 4 సె.

ప్రశ్న 3.
m ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక బంతిని భూమిపై నుంచి నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరితే అది క్షణకాలంపాటు విరామస్థితికి వచ్చేలోపు ‘h’ ఎత్తుకు చేరుకొంది. గురుత్వ త్వరణం ‘g’ అనుకోండి. బంతి తన ప్రయాణ కాలంలో గురుత్వాకర్షణ బలం వల్ల పొందే ప్రచోదనం ఎంత ? (గాలి నిరోధాన్ని విస్మరించండి)
సాధన:
ప్రచోదనము J = బలము × కాలము = F × t; వస్తువుపై బలము = భారము = mg
పైకి విసిరిన వస్తువు గాలిలో ఉన్న కాలము t = \(\frac{2 \mathrm{u}}{\mathrm{g}}\). ఇందులో u = \(\sqrt{2 \mathrm{gh}}\)
∴ J = mg × \(\frac{2 \mathrm{u}}{\mathrm{g}}\) = mg × \(\frac{2 \times \sqrt{2 \mathrm{gh}}}{\mathrm{g}}\) = \(\sqrt{8 \mathrm{~m}^2 \mathrm{gh}}\)

ప్రశ్న 4.
ఒక స్థిర బలాన్ని 3.0 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువుపై 25 s కాలంపాటు ప్రయోగిస్తే, ఆ వస్తువు వేగం 2.0 m s^-1 నుంచి 3.5 m s^-1 కు మారింది. వస్తువు వేగ దిశలో మాత్రం ఎలాంటి మార్పు లేదు. బలం పరిమాణాన్ని, బలఁ ప్రయోగించిన దిశను కనుక్కోండి.
సాధన:
వస్తువు ద్రవ్యరాశి m = 3 kg; తొలి వేగము t = 2.0 మీ/సె.;
కాలము t = 25 సె. ;
తుదివేగము v = 3.5 మీ/సె.
బలము F = ma = \(\frac{\mathrm{m}(\mathrm{v}-\mathrm{u})}{\mathrm{t}}=\frac{3(3.5-2)}{25}\) = 0.18 న్యూ.

ప్రశ్న 5.
ఒక లిఫ్ట్ గురుత్వ త్వరణంలో 1/3వ వంతు ఏకరీతి త్వరణంతో పైకి చలిస్తున్నప్పుడు లిఫ్ట్ లో ఉన్న వ్యక్తి దృశ్య భారం. W. అదే లిఫ్ట్ గురుత్వ త్వరణంలో 1/2వ వంతు ఏకరీతి త్వరణంతో కిందికి చలిస్తున్నప్పుడు అతడి దృశ్యభారం ఎంత?
సాధన:
మనిషి దృశ్యభారము = W, త్వరణము = a = \(\frac{\mathrm{g}}{3}\)
వైకి పోవునపుడు లిఫ్ట్లో దృశ్యభారము W = m (g + a) = m(g + \(\frac{\mathrm{g}}{3}\)) = \(\frac{4}{3}\) mg = \(\frac{4}{3}\) N [∵ N = mg]
లేదా అభిలంబ చర్య N = \(\frac{3}{4}\) W
లిఫ్ట్ కిందికి దిగునపుడు త్వరణము a = g/2
కిందికి దిగునపుడు దృశ్యభారము W₁ = m (g – a) = m (g – g/2) = m \(\frac{\mathrm{g}}{2}\)
∴ కిందికి దిగునపుడు దృశ్యభారము = W₁ = \(\frac{\mathrm{mg}}{2}=\frac{3}{4} \frac{1}{2} \mathrm{~W}=\frac{3 \mathrm{~W}}{8}\)

ప్రశ్న 6.
ఒక తెరచిన ట్రక్కు వెనుక వైపు 200 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక పెద్ద పెట్టె విరామస్థితిలో కలదు. ట్రక్కు 1.5 m/s² త్వరణంతో ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు ట్రక్కులోని పెట్టె జారిపోకుండా ఉండటానికి ట్రక్కు తలానికి, పెట్టెకు మధ్య ఉండవలసిన కనిష్ఠ స్థితిక ఘర్షణ గుణకం ఎంత ?
సాధన:
పెట్టె బరువు m = 200 kg;
ట్రక్కు త్వరణము a = 1.5 మీ/సె²
పెట్టెలో కలిగిన త్వరణము స్థితిక ఘర్షణ వలన కావున ma = f_s ≤ μ_sN = μ_smg (పెట్టె విరామంలో ఉంది కావున)
⇒ a ≤ μ_sg లేదా μ_s = \(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{g}}=\frac{1.5}{9.8}\) = 0.153

ప్రశ్న 7.
భూమికి 40 m ఎత్తున తొలుత విరామస్థితిలో ఉన్న ఒక బాంబు అకస్మాత్తుగా పేలి, సర్వసమానం అయిన రెండు ముక్కలుగా పేలింది. వాటిలో ఒకటి 10m/s తొలి వేగంతో నిట్టనిలువుగా కిందికి చలిస్తున్నది. బాంబు పేలిన 2 సెకన్ల తరువాత ఆ రెండు ముక్కల మధ్య దూరం ఎంత? (గురుత్వ త్వరణం 10m/s²).
సాధన:
బాంబు రెండు సర్వసమానమైన ముక్కలుగా విభజింపబడటం వల్ల రెండు ముక్కలకు వేగం సమానము. మొదటి ముక్క అధో దిశలో చలిస్తే రెండవది అదే సరళరేఖ వెంబడి ఊర్ధ్వ దిశలో చలిస్తుంది.
కాలము t = 2 సె.
గురుత్వ త్వరణము g = 10 మీ/సె²
1) క్రిందకు చలించిన ముక్క స్థానభ్రంశము s = ut + \(\frac{1}{2}\) gt²
తొలి వేగము u = 20 మీ/సె
∴ s₁ = 10 × 2 + \(\frac{1}{2}\) × 10 × 2 × 2 = 40 మీ.

2) ఊర్ధ్వ దిశలో చలించిన ముక్క స్థానభ్రంశము s₂ = ut – \(\frac{1}{2}\) gt² ; తొలివేగం u = 10 మీ/సె
∴ s₂ = 10 × 2 – \(\frac{1}{2}\) × 10 × 2 × 2 = 0
ఆ రెండు ముక్కల మధ్య దూరము d – s₁ – s₂ = 40 – 0 = 40 మీ.

ప్రశ్న 8.
స్థిరంగా బిగించిన ఒక నునుపైన కప్పీ మీదుగా తేలికైన దారాన్ని అమర్చి, దారానికి ఒక వైపు 4 kg ద్రవ్యరాశి, మరొక వైపు 3 kg ద్రవ్యరాశిని వేలాడదీశారు. ఈ 3 kg ద్రవ్యరాశికి మరొక తేలిక దారంతో అదనంగా మరో 3 kg ద్రవ్యరాశి వేలాడదీశారు. విరామస్థితి నుంచి ఆ వ్యవస్థను లాగి వదిలితే, ఆ వ్యవస్థ ఉమ్మడి త్వరణం ఎంత ? (g = 10 m/s²)

సాధన:
ఒక వైపు మొత్తం ద్రవ్యరాశి m₁ = 3 + 3 = 6 kg
రెండవవైపు ద్రవ్యరాశి m₂ = 4 kg; g = 10 మీ/సె²
ఆ వ్యవస్థ త్వరణము a = \(\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right) g=\left(\frac{6-4}{6+4}\right)\) × 10 = 2 మీ/సె²

ప్రశ్న 9.
క్షితిజ సమాంతర తలంతో 30° కోణం చేస్తున్న ఒక వాలుతలంపై 2 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న దిమ్మె జారుతుంది. దిమ్మెకు, వాలు తలానికి మధ్య ఘర్షణ గుణకం \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

ఎ) దిమ్మె ఎలాంటి త్వరణం లేకుండా కిందికి కదలాలంటే, దిమ్మెపై ఎంత బలాన్ని ప్రయోగించాలి ?
బి) దిమ్మె ఎలాంటి త్వరణం లేకుండా పైకి కదలాలంటే, దిమ్మెపై ఎంత బలాన్ని ప్రయోగించాలి ?
జవాబు:
దిమ్మె ద్రవ్యరాశి m = 2 కి.గ్రా.; వాలు కోణము θ = 30°
వాలు తలము, దిమ్మెల మధ్య ఘర్షణ గుణకము u = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
1) వాలుతలంపై త్వరణం లేకుండా దిమ్మె క్రిందికి దిగటానికి కావలసిన బలం
F = mg (sin θ – μ_k cos θ) = 2 × 9.8 (sin 30° – \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) × cos 30°)
= 2 × 9.8 \(\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) = 4.9 న్యూ

2) దిమ్మను వాలుతలంపైకి త్వరణం లేకుండా లాగడానికి కావలసిన బలం
F = mg (sin θ + μ_k cos θ)
F = 2 × 9.8 (sin 30° + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) cos 30°)
= 2 × 9.8 \(\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) = 24.5 న్యూ

ప్రశ్న 10.
y = x²/20 అదే సమీకరణం సూచించే పరావలయ ఆకారంలో ఉన్న ఒక నునుపు తలంపై పటంలో చూపినట్లు ఒక దిమ్మెను ఉంచారు. μ_s = 0.5 అయితే, ఆ దిమ్మె జారిపోకుండా ఉండాలంటే, భూమి నుంచి ఎంత ఎత్తులో ఆ దిమ్మెను నునుపు తలంపై అమర్చాలి ? (tan θ = μ_k = \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\))

సాధన:
దత్తాంశం నుండి y = \(\frac{x^2}{20}\) ;
∴ వాలు \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left(\frac{\mathrm{x}^2}{20}\right)=\frac{2 \mathrm{x}}{10}\)
tan θ = వాలు \([latex]\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\)=\frac{x}{10}[/latex] కాని \([latex]\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\)[/latex] = tan θ = μ_s = 0.5 దత్తాంశం నుండి
∴ x = 10 tan θ = 10 μ = 10 × 0.5 = 5
వస్తువు జారకుండా వీలైనంత గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద ఉంచాలంటే
x = 5 అయినపుడు y లెక్కగట్టాలి.
∴ y = \(\frac{x^2}{20}=\frac{5 \times 5}{20}=\frac{25}{20}\) = 1.25 మీ.

ప్రశ్న 11.
ఒక క్షితిజ సమాంతర టేబుల్పై 2 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక లోహపు దిమ్మెను ఘర్షణలేని కప్పి మీదుగా అమర్చిన దారం సహాయంతో 0.45 kg మరొక ద్రవ్యరాశికి కలిపారు. 0.45 kg ల ద్రవ్యరాశి కిందపడటం వల్ల లోహపు దిమ్మెపై క్షితిజ సమాంతర బలం పనిచేస్తుంది. టేబుల్, దిమ్మెకు మధ్య గతిక ఘర్షణ గుణకం 0.2 అయితే,
ఎ) తొలి త్వరణం, బి) దారంలో తన్యత, సి) దిమ్మె కదిలిన 2 సెకన్ల తరువాత దారం తెగిపోతే, దారం తెగిన తరువాత దిమ్మె కదిలే దూరం కనుక్కోండి.

సాధన:
మొదటి దిమ్మె ద్రవ్యరాశి m₁ = 0.45 కి.గ్రా.;
రెండవ దిమ్మె ద్రవ్యరాశి m₂ = 2 కి.గ్రా.
బల్ల, దిమ్మెల మధ్య ఘర్షణ గుణకము μ = 0.2

ఎ) తొలి త్వరణము a = \(\left(\frac{m_1-\mu m_2}{m_1+m_2}\right) g\) (చలనానికి ముందు μ_s లెక్కలోకి తీసుకోవాలి.)
∴ a = \(\left(\frac{0.45-2 \times 0.2}{0.45+2}\right) \times 9.8=\frac{0.05 \times 9.8}{2.45}\) = a = 0.2 మీ/సె²

బి) దారంలో తన్యత = T; పటం నుండి T – f = m = a
బలము f = μ_smg = 0.2 × 2 × 9.8 = 3.92 న్యూ
∴ T – 3.92 = 2 × 0.2 (లేదా) T = 0.4 + 3.92 = 4.32 న్యూ

సి) కదిలిన తరువాత దారం తెగటానికి పట్టిన కాలము t = 2 సె.
తొలివేగం u = 0 ; త్వరణము a = 0.2 మీ/సె²
తుదివేగము v = u + at = 0 + 0.2 × 2 = 0.4 మీ/సె.
దిమ్మె ప్రయాణించిన దూరము s = \(\frac{\mathrm{v}^2-\mathrm{u}^2}{2 \mu \mathrm{g}}=\frac{0.4 \times 0.4-0}{2 \times 0.2 \times 9.8}\)
∴ s = \(\frac{0.16}{0.4 \times 9.8}\) = 0.0408 మీ. లేదా 4.1 సెం.మీ.

ప్రశ్న 12.
ఒక నునుపైన క్షితిజ సమాంతర తలం మీద 10 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న A అనే దిమ్మెను ఉంచారు. 5 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న B అనే మరొక దిమ్మెను పటంలో చూపినట్లు A దిమ్మెపై ఉంచారు. రెండు దిమ్మెల మధ్య ఘర్షణ గుణకం 0.4. కింది దిమ్మెపై 30 N క్షితిజ సమాంతర బలం ప్రయోగించారు. రెండు దిమ్మెల మధ్య ఉన్న ఘర్షణ బలం కనుక్కోండి. (g = 10 m/s² గా తీసుకోండి)

సాధన:
దిమ్మె A ద్రవ్యరాశి m_A = 10 కి.గ్రా.
దిమ్మె B ద్రవ్యరాశి m_B = 5 కి.గ్రా.; g = 10 మీ/సె²
బలము F = 30 న్యూ; ఘర్షణ గుణకము μ = 0.4
AB ల మధ్య ఘర్షణ బలము f = μmg = 0.4 × 5 × 10 = 20 న్యూ
దిమ్మె B పై ఫలిత బలము = F – f = 30 – 20 = 10 న్యూ.

ముఖ్యమైన అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
క్రింది వాటిపై పనిచేసే నికర బలం పరిమాణం, దిశను తెలపండి.
ఎ) స్థిర వడితో కిందికి పడుతున్న ఒక వర్షపు బిందువు
బి) నీటిలో తేలియాడుతున్న 10 గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న కార్క్
సి) ఆకాశంలో నైపుణ్యంతో విరామస్థితిలో ఉంచిన గాలిపటం
డి) ఒక గరుకు రోడ్డుపై 30 km/h వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న కారు
ఇ) అన్ని ద్రవ్యాత్మక వస్తువులకు చాలా దూరంగా, విద్యుత్ అయస్కాంత క్షేత్రాల ప్రభావానికి లోనుకాకుండా అంతరాళంలో అత్యధిక వేగంతో చలిస్తున్న ఎలక్ట్రాన్
సాధన:
ఎ) స్థిర వడితో పడునపుడు a = 0 కావున బలం F = ma = 0.
బి) కార్కు నీటిపై తేలుతున్నది అనగా అది సమతా స్థితిలో ఉంది. సమతా స్థితిలో ఫలిత బలం F = 0.
సి) ఆకాశంలో స్థిరంగా ఉన్న గాలిపటం మీద ఫలిత బలం F= 0.
డి) స్థిర వడితో ప్రయాణిస్తున్న కారుకు త్వరణం a = 0 కావున బలం F = 0.
ఇ) అన్ని బలాలకు దూరంగా అనగా దానిపై బాహ్యబల ప్రభావం లేదు కావున F = 0.

ప్రశ్న 2.
0.05కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక గులకరాయిని నిట్టనిలువుగా పైకి విసిరారు. ఆ గులకరాయిపై పనిచేసే నికర బలం పరమాణాన్ని, దిశను కింది సందర్భాలలో తెలియచేయండి.
ఎ) నిలువుగా పైకి ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు
బి) కిందికి ప్రయాణిస్తున్నప్పుడు
సి) గరిష్ఠ ఎత్తువద్ద క్షణకాలంపాటు విరామస్థితిలో ఉన్నప్పుడు. ఒకవేళ గులకరాయిని క్షితిజ సమాంతర దిశతో 45° కోణంలో విసిరితే, మీ సమాధానాలు మారతాయా ? (గాలి నిరోధాన్ని విస్మరించండి)
సాధన:
రాయి ఎ) నిలువుగా పైకి వెళుతున్నపుడు బి) క్రిందికి ప్రయాణిస్తున్నపుడు సి) గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద విరామంలో ఉన్నపుడు. ఈ అన్ని సందర్భాలలోను దాని త్వరణం a = g అధోదిశలో ఉంటుంది.
కావున దానిపై బలం F = mg = 0.05 × 10 = 0.5 న్యూ.
రాయిని గాలిలోనికి 45° కోణంతో విసిరినప్పటికి ఈ మూడు స్థానాలలో దానిపై పనిచేసే బలం పరిమాణం మారదు. ఎందుకనగా భారం (mg) ఎల్లపుడు అధో దిశలోనే ఉంది. కావున.

ప్రశ్న 3.
0.1కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక రాయిపై పనిచేసే నికర బలం పరిమాణం, దిశను కింది సందర్భాలలో తెలపండి.
ఎ) విరామస్థితిలో ఉన్న రైలు కిటికీ నుంచి బయటికి విసిరిన వెంటనే
బి) 36 km/h స్థిర వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న రైలు కిటికీ నుంచి బయటికి విసిరిన వెంటనే
సి) 1 ms^-2 త్వరణంతో ప్రయాణిస్తున్న రైలు కిటికీ నుంచి బయటికి విసిరిన వెంటనే
డి) 1 ms^-2 త్వరణంతో ప్రయాణిస్తున్న రైలు అడుగు తలంపై ఉన్నప్పుడు. రైలుతో సాపేక్షంగా రాయి విరామస్థితిలో ఉంది.
పై అన్ని సందర్భాలలో గాలి నిరోధాన్ని విస్మరించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి m = 0.1 కి.గ్రా.; g = 10 మీ/సె²
ఎ) కిటికీలోనుంచి వదలిన వెంటనే F = mg = 0.1 × 10 = 1 న్యూ.

బి) రైలు స్థిరవేగం 36 k.mpH తో చలిస్తుంటే దాని త్వరణము a = 0 కావున కిటికీ నుంచి రాయిని జారవిడిస్తే
F = mg = 0.1 × 10 = 1 న్యూ.

సి) రైలు 1 మీ/సె2 త్వరణంతో చలిస్తున్నా కిటికీ నుంచి జారవిడిస్తే దానిపై రైలు త్వరణం ప్రభావం ఉండదు.
∴ రాయిపై బలము F = mg = 0.1 × 10 = 1 న్యూ.

డి) రైలు అడుగుభాగంలో రాయి ఆనుకొని ఉంటే దానిపై బలము
F = ma ‘a’ రైలు త్వరణము = 1 మీ/సె²
∴ బలము F = 0.1 × 1 = 0.1 న్యూ.

ప్రశ్న 4.
నునుపైన క్షితిజ సమాంతర బల్ల మీద l పొడవున్న దారం ఒక చివర m ద్రవ్యరాశి ఉన్న కణాన్ని, మరొక చివర చిన్న మేకుకు కలిపారు. కణం v వడితో వృత్తాకార మార్గంలో చలిస్తే, ఆ కణంపై పనిచేసే నికర బలం (వృత్తకేంద్రంవైపు పని చేసే బలం)
(i) T,
(ii) T – \(\frac{m v^2}{l}\)
(iii) T + \(\frac{m v^2}{l}\)
(iv) 0
T దారంలోని తన్యత. సరైన సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.
సాధన:
వస్తువు వృత్తాకార మార్గంలో చలించడానికి కావలసిన బలం దారంలోని తన్యత T వలన లభిస్తుంది. కావున (i) సరియైనది.

ప్రశ్న 5.
20 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి కలిగి, 15 మీ/సె^-1 తొలి వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న వస్తువుపై 50 N స్థిర అపత్వరణ బలాన్ని ప్రయోగిస్తే, ఎంత కాలం తర్వాత అది ఆగిపోతుంది ?
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 20 కి.గ్రా.
తొలివేగము u = 15 మీ/సె²
తుది వేగము υ = 0
బలము F = -50 న్యూ.
త్వరణము a = \(\frac{F}{m}=-\frac{50}{20}\) = -2.5 మీ/సె²
v = u + at నుండి 0 = 15 + (-2.5) t
కాలము t = \(\frac{15}{2.5}\) = 6 సె.

ప్రశ్న 6.
ఒక స్థిర బలాన్ని 3.0 కి. గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువుపై 25 సెకన్లపాటు ప్రయోగిస్తే, ఆ వస్తువు వేగం 2.0 మీ/సె నుంచి 3.5 మీ/సె^-1 మారింది. వస్తువు వేగదిశలో మాత్రం ఎలాంటి మార్పులేదు. బలం పరిమాణాన్ని, బలం ప్రయోగించిన దిశను కనుక్కోండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 300 కి.గ్రా.;
తొలివేగము u = 2 మీ. సె.
తుది వేగము υ = 3.5 మీ/సె.
కాలము t = 25 సె.; F = ?
బలము F = ma = \(\frac{\mathrm{m}(\mathrm{v}-\mathrm{u})}{\mathrm{t}}=\frac{3(3.5-2)}{25}=\frac{3 \times 1.5}{25}\)
F = \(\frac{4.5}{25}\) = 0.18 న్యూ.

ప్రశ్న 7.
ఒకదానికి ఒకటి లంబంగా ఉన్న 8N, 6N పరిమాణం గల రెండు బలాలను 5 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువుపై ప్రయోగించారు. వస్తువు త్వరణం పరిమాణాన్ని, దిశను తెలపండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి = m
F₁ = \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) = 8 న్యూ.
F₂ = \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\) = 6 న్యూ.
OA, OB లు లంబాలు కావున ఫలిత బలం F_R = \(\sqrt{\mathrm{F}_1^2+\mathrm{F}_2^2}=\sqrt{64+36}\)
∴ F = \(\sqrt{100}\) = 10 న్యూ.

ప్రశ్న 8.
ఒక ఆటో డ్రైవర్ రోడ్డు మధ్యలో ఉన్న బాలుని చూసి, ఆ బాలుణ్ణి కాపాడటానికి 36 km/h వేగంతో పోతున్న తన ఆటోకు బ్రేకులు వేస్తే 4.0 s కాలంలో ఆగింది. ఆటోపై ప్రయోగించిన సరాసరి నిరోధ బలం ఎంత ? ఆటో ద్రవ్యరాశి 400 కి.గ్రా. డ్రైవర్ ద్రవ్యరాశి 65 కి.గ్రా.
సాధన:
తొలివేగము u = 36 kmph = 36 × \(\frac{5}{18}\) = 10 మీ/సె.
తుదివేగము V = 0; కాలము t = 4 సె.
ఆటో ద్రవ్యరాశి m₁ = 400 కి.గ్రా., డ్రైవర్ ద్రవ్యరాశి m₂ = 65 కి.గ్రా.
మొత్తం ద్రవ్యరాశి m = m₁ + m₂ = 400 + 65 = 465 కి.గ్రా.
నిరోధక బలం F = ma = \(\frac{\mathrm{m}(\mathrm{v}-\mathrm{u})}{\mathrm{t}}=\frac{465(0-10)}{4}\) = – 1162.5 న్యూ.

ప్రశ్న 9.
20,000 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక రాకెట్ను ఊర్ధ్వ దిశలో పేల్చితే అది 5.0 మీ/సె² తొలి త్వరణంతో ఆకాశంలోకి వెళ్ళిపోయింది. పేల్చినప్పుడు ప్రయోగించిన తొలి అభిబలం కనుక్కోండి.
సాధన:
రాకెట్ ద్రవ్యరాశి m = 20,000 కి.గ్రా.
తొలి త్వరణము a = 5 మీ/సె² ఊర్ధ్వ దిశలో
నికర త్వరణం = g + a = 9.8 + 5 = 14.8
ఆరంభ బలం F = ma = 20,000 × 14.8 = 2.96 × 10⁵ న్యూ.

ప్రశ్న 10.
ప్రారంభంలో 10 మీ/సె^-1 స్థిరవేగంతో ఉత్తరం దిశలో ప్రయాణిస్తున్న 0.40 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న వస్తువుపై 8.0 న్యూ స్థిరబలాన్ని దక్షిణం దిశలో 30 సెకన్లపాటు ప్రయోగించారు. బలం ప్రయోగించిన క్షణ కాలం వద్ద t = 0 అని, ఆ క్షణకాలం వద్ద వస్తువు స్థానం .x = 0 అని అనుకోండి. t = – 5s, 25s, 100s ల వద్ద వస్తువు స్థానాన్ని
ఊహించండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 0.4 కి.గ్రా.;
తొలివేగము u = 10 మీ/సె. ఉత్తర దిశలో
బలము F = -8 న్యూ (- గుర్తు వ్యతిరేక దిశ)
త్వరణము a = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{m}}=\frac{-8.0}{0.4}\) = -20 మీ/సె² (0 ≤ t ≤ 30 సె. అయినపుడు)
1) కాలము t = -5 సె. అయినపుడు స్థానభ్రంశము s = ?
ఆరంభంలో స్థిరవేగము అనగా t = 0 వద్ద t = -5 కావున (t = -5 నుండి t = 0 వరకు) వేగము స్థిరము.
∴ s = ut = 5 × (-10) = -50 మీ.

2) కాలము t = 25 సె. వద్ద స్థానభ్రంశము s = ut + \(\frac{1}{2}\) at² నుండి
s = 10 × 25 + \(\frac{1}{2}\) (-20) × 25² = 250 – \(\frac{20}{2}\) × 25 × 25
= -6000 మీ.

3) t = 100 సె. అయినపుడు బలము 30 సెకనులు పనిచేసింది.
కావున 30 సె. తరువాత వస్తువుకు స్థిరవేగం ఉంటుంది.
∴ S = s₁ + s₂ ఇందులో s₁ కు ut₁ + \(\frac{1}{2}\) at₁² మరియు
s₂ = vt₂ వాడాడు.
ఇందులో t₂ = 30 సె., t₂ = 70 సె., v = u + at నుండి
v = 10 + (-20) × 30 = 10 – 600 = – 590 మీ/సె
S₁ = ut₁ + \(\frac{1}{2}\) at₁² నుండి S₁ = 10 × 30 + \(\frac{1}{2}\) (-20) × 30 × 30
S₁ = 300 – \(\frac{1}{2}\) × 20 × 30 × 30 = 300 – 9000 = -8700 మీ.
S₂ = vt₂ = -590 × 70 = -41300 మీ.
మొత్తం స్థానభ్రంశము = S = s₁ + s₂ = -8700 – 41300 = -50000 మీ. = 50 కి.మీ.

ప్రశ్న 11.
ఒక ట్రక్ విరామస్థితితో నుంచి బయలుదేరి 2.0 మీ/సె² ఏకరీతి త్వరణంతో ప్రయాణిస్తుంది. t = 10 సె. తరువాత ట్రక్ పై కప్పుపై నిల్చొని ఉన్న వ్యక్తి ఒక రాయిని జారవిడిచాడు. (ట్రక్ పైకప్పు భూమి నుంచి 6 మీ.ల ఎత్తులో కలదు). 11 సె. వద్ద ఆ రాయి ఎ) వేగం, బి) త్వరణం కనుక్కోండి. (గాలి నిరోధాన్ని విస్మరించండి.)
సాధన:
తొలివేగము u = 0, త్వరణము a = 2 మీ/సె²,
కాలము t = 10 సె.
రాయి వేగము (జారవిడచిన క్షణంలో) v = u + at
v = 0 + 2 × 10 = 20 మీ/సె.
రాయి క్షితిజ సమాంతర వేగము v_x = v = 20 మీ/సె ……………… (1)

క్షితిజ లంబ దిశలో u_y = 0, a = g = 10 మీ/సె²
t = 11 సెకనులు అనగా y దిశలో ప్రయాణించిన కాలము t₂ = 11 – 10 = 1 సె.
0°.v_y = gt = 10 × 1 = 10 మీ/సె ……………. (2)
11వ సెకనులో వేగము v = \(\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{20^2+10^2}=\sqrt{500}\) = 22.4 మీ/సె².

బి) రాయిని జారవిడచిన తరువాత దానిమీద త్వరణము గురుత్వ త్వరణము g = 10 మీ/సె²

ప్రశ్న 12.
0.1కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక గోళాన్ని 2 మీ. పొడవు ఉన్న దారంతో ఒక గదిలోని లోకప్పుకు వేలాడదీశారు. గోళం డోలనాలు చేయడం ప్రారంభిస్తే, మాధ్యమిక స్థానం వద్ద గోళం వడి 1 ms^-1. ఒకవేళ దారాన్ని తెంపితే గోళం ప్రయాణించే పథం కింది సందర్భాలలో ఎలా ఉంటుంది ? ఎ) ఏదైనా ఒక గరిష్ఠ స్థానం వద్ద, బి) మాథ్యమిక స్ధానం వద్ద.
సాధన:
ఎ) గరిష్ఠ స్థానం వద్ద గోళం వేగము v = 0. ఇక్కడ దారాన్ని తెంపితే అది గురుత్వాకర్షణ బలం వల్ల నిట్టనిలువుగా కిందికి పడుతుంది.
బి) మాధ్యమిక స్థానం వద్ద వేగము v = 1 మీ/సె. ఇక్కడ దారాన్ని తెంపితే లోలకం మాధ్యమిక స్థానం వద్ద గీసిన స్పర్శ రేఖ వెంబడి వేగం ఉంటుంది. గోళం క్షితిజ సమాంతర ప్రక్షేపకం వలె పరావలయ పదాన్ని కలిగి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 13.
ఒక వ్యక్తి ద్రవ్యరాశి 70 కి.గ్రా. ఇతడు లిఫ్ట్లో అమర్చిన బరువులు తూచే యంత్రంపై నిల్చొని ఉన్నాడు. ఆ లిఫ్ట్
ఎ) 10 ms^-1 ఏకరీతి వేగంతో పైకి,
బి) 5 ms^-2 ఏకరీతి త్వరణంతో కిందికి,
సి) 5 ms^-2 ఏకరీతి త్వరణంతో పైకి చలిస్తుంది. ప్రతీ సందర్భంలో యంత్రం చూపే రీడింగ్ ఎంత ?
డి) ఒకవేళ లిఫ్ట్ను నడిపే యంత్రం పనిచేయక, భూమ్యాకర్షణ బలం వల్ల స్వేచ్ఛగా కిందికి పడిపోయినట్లయితే యంత్రం చూపే రీడింగ్ ఎంత ?
సాధన:
వ్యక్తి ద్రవ్యరాశి m = 70 కి.గ్రా., గురుత్వ త్వరణము g = 10 మీ/సె²
ఎ) 10 m/s ఏకరీతి వేగంతో చలిస్తుంటే త్వరణము a = 1
∴ దృశ్యభారము వాస్తవ భారము W = mg కి సమానము.
∴ W = mg = 70 × 10 = 700 న్యూ.

b) 5 మీ/సె² ఏకరీతి త్వరణంతో కిందికి దిగితే
దృశ్యభారము W₁ = m(g – a) = 70(10 – 5) = 350 న్యూ.

c) 5 మీ/సె² ఏకరీతి త్వరణంతో పైకి వెళుతుంటే
దృశ్యభారము . W₁ = m (g + a) = 70 (10 + 5) = 1050 న్యూ.

d) లిఫ్ట్ స్వేచ్ఛగా కిందికి పడిపోతే a = g కావున
దృశ్యభారము W = m (g – a) = m(g – g) = 0

ప్రశ్న 14.
4కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక కణం స్థానం – కాలం వక్రం పటంలో చూపడమైంది.
ఎ) t < 0, t > 4s, 0 < t < 4s కాలాల వద్ద కణంపై పనిచేసే బలం ఎంత ?
బి) t = 0, t = 4 s ల వద్ద ప్రచోదనం ఎంత ? (ఏకమితీయ గమనం మాత్రమే తీసుకోండి)
సాధన:
ఎ)

1. ఇచ్చిన రేఖాపటం నుండి t < 0 వద్ద స్థానభ్రంశము A = 0 నిశ్చలంగా ఉంది కావున బలం F = 0.
   
2. t > 4 సె అయినపుడు వస్తువు స్థానభ్రంశ – వక్రరేఖ x సమాంతరము. ఇది నిశ్చలస్థితిని చూపిస్తుంది కావున a = 0 మరియు బలము F= 0.
3. 0 < t < 4 సెకనుల వద్ద వస్తువు స్థానభ్రంశ-కాల వక్రము OB సరళరేఖ దీని వాలు వస్తువు సమవేగాన్ని ఇస్తుంది.
   ∴ a = 0 కావున బలము F = ma = 0

బి)

1. t < 0 తొలి వేగము u = 0 కావున ప్రచోదనము = 0
   
2. t > 4 సె. వద్ద వస్తువు వేగము సున్న. ప్రచోదనము J = 0
3. 0 < t < 4 సెకనుల వద్ద వస్తువుకు సమవేగము ఉంది.
   తొలి వేగము u = 0 ;
   తుదివేగము v = \(\frac{3}{4}\) మీ/సె. (గ్రాఫ్ నుండి)
   ద్రవ్యరాశి m = 4కి.గ్రా.
   ∴ ప్రచోదనము J = mv – mu = 4(\(\frac{3}{4}\) – 0) = 4 కి.గ్రా. – మీ/సె.

ప్రశ్న 15.
నునుపైన క్షితిజ సమాంతర తలంపై 10 కి.గ్రా., 20 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశులు ఉన్న A, B అనే రెండు వస్తువులను వరుసగా అమర్చి రెండింటిని తేలికైన దారంతో కలిపారు. F= 600 N క్షితిజ సమాంతర బలాన్ని దారం వెంబడి i) A, ii) B ల మీద ప్రయోగించారు. ప్రతీ సందర్భంలో దారంలో తన్యత ఎంత ?
సాధన:
బలము F = 600 న్యూ. A ద్రవ్యరాశి m₁ = 10కి.గ్రా., B ద్రవ్యరాశి m₂ = 20 కి.గ్రా.

1. బలం Aమీద ప్రయోగిస్తే తన్యత T = m₂a = 20 × 20 = 400 న్యూ
2. బలం B మీద ప్రయోగిస్తే తన్యత T = m₁a = 10 × 20 = 200 న్యూ.

ప్రశ్న 16.
8 కి.గ్రా., 12 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశులను ఘర్షణ లేని కప్పి మీదుగా అమర్చిన తేలికైన, సాగని దారం సహాయంతో కలిపారు. ఆ వస్తువులను వదిలినప్పుడు ఆ వస్తువుల త్వరణాలను, దారంలోని తన్యతను కనుక్కోండి.
సాధన:

ప్రశ్న 17.
ప్రయోగశాల నిర్దేశ చట్రంలో ఒక కేంద్రకం విరామస్థితిలో కలదు. ఒకవేళ ఆ కేంద్రకం రెండు చిన్న కేంద్రకాలుగా విఘటనం చెందితే, ఆ రెండు కేంద్రకాలు వ్యతిరేక దిశలలో ప్రయాణిస్తాయని చూపండి.
సాధన:
కేంద్రకం విభజించబడటం వల్ల వచ్చిన ముక్కల ద్రవ్యరాశులు m₁, m₂ మరియు వేగాలు v₁, v₂ అనుకోండి. పేలకముందు వ్యవస్థ మొత్తం ద్రవ్యవేగము ‘0’ ఎందుకనగా కేంద్రకం విరామంలో ఉంది కావున.
∴ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం నుండి m₁v₁ + m₂v₂ = 0
లేదా m₁v₁ = – m₂v₂ – గుర్తు వ్యతిరేక దిశను తెలియజేస్తుంది. కావున కేంద్రక విచ్ఛిత్తి తరువాత
ఆ ముక్కలు వ్యతిరేక దిశలలో చలిస్తాయి.

ప్రశ్న 18.
0.05కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు బిలియర్డ్స్ బంతులు 6 ms^-1 వేగంతో వ్యతిరేక దిశలలో ప్రయాణిస్తూ అభిఘాతం చెంది, ఆ తరువాత అంతే వేగంతో వెనుకకు తిరిగి వచ్చాయి. ప్రతి బంతికి, రెండవ బంతి వల్ల అందే ప్రచోదనం కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక్కొక్క బంతి ద్రవ్యరాశి m = 0.05కి.గ్రా.
వేగము v₁ = 6 మీ/సె; వేగము v₂ = -6 మీ/సె. (వ్యతిరేక దిశ)
అభిఘాతం పిమ్మట వ్యతిరేక దిశలో వెనుదిరిగితే అభిఘాతం వల్ల ఒక్కొక్కదాని ద్రవ్యవేగంలో మార్పు J = m(v – u)
= 0.05 (-6 – 6) = -0.05 × 12 = -0.6కి.గ్రా. -మీ/సె.

ప్రశ్న 19.
100 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న తుపాకీని పేల్చినప్పుడు 0.020కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న బుల్లెట్ బయటికి వెలువడింది. తుపాకీ గొట్టం నుంచి బుల్లెట్ 80 ms^-1 వడితో వెలువడితే, ఆ తుపాకి ప్రత్యావర్తన వడి ఎంత ?
సాధన:
బుల్లెట్ ద్రవ్యరాశి m = 0.02 కి.గ్రా.
వేగము v_B = 80 మీ/సె.
తుపాకి బరువు m = 100 కి.గ్రా.
తుపాకి వెనుకకు మరలు వేగము v_G = ?
పేలకముందు వ్యవస్థ మొత్తం ద్రవ్యవేగము = 0
ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం నుండి mv_B + Mv_G = 0
∴ v_G = –\(\frac{\mathrm{m} \cdot \mathrm{v}_{\mathrm{B}}}{\mathrm{M}}=\frac{0.02 \times 80}{100}\) = 0.016 మీ/సె.

ప్రశ్న 20.
ఒక బ్యాట్స్మన్ 54 km/h తొలి వేగంతో ప్రయాణిస్తున్న బంతిని 45 కోణంతో తొలి వడిలో మార్పు లేకుండా అనువర్తనం చెందించాడు. బంతికి అందిన ప్రచోదనం ఎంత ? (బంతి ద్రవ్యరాశి 0.15 కి.గ్రా.)
సాధన:
బంతి ద్రవ్యరాశి m = 0.15కి.గ్రా.
వేగము = 54 km/h = 54 × \(\frac{5}{18}\) = 15 మీ/సె.

అభిఘాతం పిమ్మట బంతి దిశలో మార్పు θ = 45°
బంతి వేగాన్ని x, y దిశలలో విభజించగా
u_x = u. cos θ, v_x = -u.cos θ
y దిశలో u_y = u sin θ, v_y = v sin θ
y దిశలో అంశలు పరస్పరం రద్దు చేసుకుంటాయి.
∴ ఫలితము = 0
∴ బంతిపై ప్రచోదనం = mv – mu
m(-u_x cos θ – u_x cos θ) = 0.15 (-2u_x cos θ) = 0.15 (-2 × 15 cos 22.5°)
బంతి ప్రచోదనము J = 0.15 × 30 × 0.9239 = 4.16కి.గ్రా.మీ/సె.

ప్రశ్న 21.
0.25 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న రాయిని దారం ఒక చివర కట్టి, 1.5 మీ.ల వ్యాసార్ధం ఉన్న క్షితిజ సమాంతర వృత్తాకార పథంలో 40 rev./min వడితో తిప్పారు. దారంలో ఏర్పడే తన్యత ఎంత ? దారం భరించగల గరిష్ఠ తన్యత 200 N అయితే, రాయిని ఎంత గరిష్ఠ వడితో తిప్పగలం ?
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 0.25 కి.గ్రా.,
భ్రమణాల సంఖ్య n = 40 r.p.m.
వ్యాసార్ధము r = 1.5 మీ.
కోణీయ వేగము ω = \(\frac{40 \times 2 \pi}{60}=\frac{4}{3} \pi\) రే/సె
గరిష్ఠ తన్యత T = 200 న్యూ
దారంలో తన్యత T = m ω²r = 0.25 × \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{4}{3}\)π² × 1.5 = 6.6 న్యూ
బి) గరిష్ఠ తన్యత T = 200 న్యూ = \(\frac{m v_{\max }^2}{r}\)
∴ v_max² = \(\frac{200 \times 1.5}{0.25}\) = 1200
⇒ v = \(\sqrt{1200}\) = 34.6 మీ/సె.

ప్రశ్న 22.
ఒకవేళ, పై లెక్కలో రాయి వేగాన్ని గరిష్ఠ వేగాన్ని అధిగమించేటట్లు పెంచితే, హఠాత్తుగా దారం తెగుతుంది. దారం తెగిన తరువాత, కింది వాటిలో ఏది రాయి ప్రయాణించే పథాన్ని తెలియచేస్తుంది ?
ఎ) రాయి వ్యాసార్ధం వెంబడి వెలుపలికి ప్రయాణిస్తుంది.
బి) దారం తెగిన క్షణంలో, స్పర్శారేఖ దిశలో రాయి ఎగిరిపోతుంది.
సి) స్పర్శా రేఖకు కొంత కోణంలో ఎగిరిపోతుంది. ఆ కోణం పరిమాణం రాయి వడిపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
సాధన:
పై లెక్కలో (21లో) రాయి వేగము గరిష్ఠ వేగాన్ని మించితే తీగ తెగిపోతుంది. తీగ తెగిన క్షణంలో ద్రవ్యరాశి ఆ బిందువు వద్ద గీసిన స్పర్శరేఖ వెంబడి ఎగిరిపోతుంది.
కావున ‘బి’ సరయిన జవాబు.

ప్రశ్న 23.
ఎందుకో వివరించండి.
ఎ) శూన్యాంతరాళంలో గుర్రం బండిని లాగలేదు, పరిగెత్తలేదు.
బి) వేగంగా ప్రయాణిస్తున్న బస్సును హఠాత్తుగా ఆపితే, బస్సులో కూర్చున్న ప్రయాణీకులు, వాళ్ళు కూర్చున్న స్థలం నుంచి ముందుకు తూలుతారు.
సి) లాన్ రోలర్ను నెట్టడం కంటె లాగడం తేలిక.
డి) క్రికెటర్ బంతిని క్యాచ్ పట్టుకొనేటప్పుడు తన చేతులను వెనుకకు లాగుతాడు.
సాధన:
ఎ) శూన్యంలో గుర్రంబండి ప్రతిచర్య జరిపే అవకాశం లేదు. అందువల్ల చర్య కూడా సాధ్యపడదు. అందువల్ల గుర్రం బండిని లాగలేదు.

బి) వేగంగా వెళుతున్న బస్సును హఠాత్తుగా ఆపితే ప్రయాణీకులు ముందుకు పడటానికి కారణం నిశ్చలస్థితిలోని జడత్వము.

సి) లాన్ రోలర్ను నెట్టినపుడు ప్రయోగించిన బలం (F) లోని ఒక అంశ F sin θ రోలర్ను భూమివైపుకి బలంగా నెట్టుతుంది. కాని అదే బలం F తో లాగితే బల అంశ F sin 9θ రోలర్ను గురుత్వాకర్షణకు వ్యతిరేక దిశలో పైకి లాగుతుంది. అందువల్ల లాన్ రోలర్ను నెట్టడం కన్నా తోయడం తేలిక.

డి) బంతిని క్యాచ్ పట్టుకునేందుకు చేతిని వెనుకకు లాగడం వల్ల బంతి ఆగిపోవడానికి పట్టిన కాలం పెరుగుతుంది. ఫలితంగా చేయి మీద ప్రచోదన ప్రభావం తగ్గును.

ప్రశ్న 24.
0.04 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక వస్తువు స్థానం-కాలం వక్రం పటంలో ఇవ్వడమైంది. ఈ గమనానికి తగిన భౌతిక సందర్భాన్ని సూచించండి. వస్తువు పొందిన రెండు వరుస ప్రచోదనాల మధ్య కాలం ఎంత ? ప్రతీ ప్రచోదనం పరిమాణం ఎంత ?

సాధన:
వస్తువు ద్రవ్యరాశి m = 0.04 కి.గ్రా.
పటం నుండి వస్తువు 2 సెకన్లలో ‘0’ నుండి 2 సెం.మీ. వరకు స్థానభ్రంశం పొందింది.
∴ వస్తువు వేగము = వాలు \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{2}{2}\)
= 1 సెం.మీ./సె. = 10^-2 మీ/సె.
మరల తరువాత రెండు సెకన్లలో 2 నుంచి ‘0’ కి స్థానభ్రంశం పొందింది. ఈ దిశలో వేగము v = -1 సెం.మీ/సె.
వస్తువు రెండు సెకనులకొకసారి వేగ దిశ మార్చుకోవడానికి దానిపై కొంత ప్రచోదనబలం పనిచేయాలి.
ప్రచోదనం J = m(v – u) = 0.04 (-1-1) × 10^-2 = -0.08 × 10^-2
= 8 × 10^-4 కి.గ్రా. మీ/సె.

ప్రశ్న 25.
పటంలో చూపినట్లు 1 ms^-2 త్వరణంతో తిరుగుతున్న క్షితిజ సమాంతర కన్వేయర్ బెల్ట్ప ఒక వ్యక్తి. బెల్ట్కు సాపేక్షంగా విరామస్థితిలో నిల్చొని ఉన్నాడు. ఆ వ్యక్తిపై నికర బలం ఎంత ? వ్యక్తి బూట్లకు, బెల్ట్కు మధ్య నైతిక ఘర్షణ గుణకం 0.2 అయితే, బెల్ట్ త్వరణం ఏ విలువ వరకు బెల్ట్కు సాపేక్షంగా ఆ వ్యక్తి అదే విధంగా విరామస్థితిలో కొనసాగుతాడు ?
(వ్యక్తి ద్రవ్యరాశి = 65కి.గ్రా.)

సాధన:
ఎ) బెల్టు త్వరణము a = 1 మీ/సె²
కన్వేయర్ బెల్ట్ పరంగా మనిషి స్థిరంగా ఉండటం వల్ల అతని త్వరణము a = 1 మీ/సె.
మనిషి ద్రవ్యరాశి m = 65 కి.గ్రా.; నికరబలం F = ma = 65 × 1 = 65 న్యూ.

బి) సీమాంత ఘర్షణ బలం μmg ఇందులో μ – 0.2
∴ F = 0.2 mg
మనిషి కదలకుండా ఉండటానికి గరిష్ఠ త్వరణము a’ = \(\frac{\mu \mathrm{mg}}{\mathrm{m}}\)
a’ = μg = 0.2 × 9.8 = 1.96 మీ/సె²

ప్రశ్న 26.
దారం ఒక చివర కట్టిన m ద్రవ్యరాశి ఉన్న రాయి R వ్యాసార్ధం ఉన్న నిలువు వృత్త పథంలో పరిభ్రమిస్తుంది. ఆ వృత్త నిమ్నతమ, ఊర్ధ్వతమ బిందువుల వద్ద నిట్టనిలువుగా కిందికి పనిచేసే నికర బలాలు (సరియైన సమాధానం ఎన్నుకోండి)

T₁, v₁ లు నిమ్నతమ బిందువు వద్ద తన్యత, వడిని సూచిస్తాయి. T₂, v₂ లు ఊర్ధ్వతమ బిందువు వద్ద తన్యత, వడిని సూచిస్తాయి.
సాధన:
నిమ్నతమ బిందువు (L) వద్ద ఫలిత బలము F_L = (mg – T₁),
గరిషోన్నతి బిందువు (H) వద్ద ఫలిత తన్యత F_H = mg + T₂
కావున (a) సరియైన ఎంపిక.

ప్రశ్న 27.
100 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక హెలికాప్టర్ 15 ms^-2 నిలువు త్వరణంతో పైకిలేస్తుంది. హెలికాప్టర్ నడిపే వ్యక్తి, అందులోని ప్రయాణీకుల భారం 300 కి.గ్రా. కింది వివిధ సందర్భాలలో పనిచేసే బలం పరిమాణాన్ని, దిశను తెలియచేయండి.
ఎ) హెలికాప్టర్ నడిపే వ్యక్తి, ప్రయాణీకుల వల్ల హెలికాప్టర్ అడుగు తలంపై పనిచేసే బలం
బి) హెలికాప్టర్ రోటర్ దాని పరిసరాలలోని గాలిపై జరిపే చర్య
సి) పరిసరాలలో ఉన్న గాలి, హెలికాప్టర్పై ప్రయోగించే బలం.
సాధన:
హెలికాప్టర్ ద్రవ్యరాశి m = 1000 కి.గ్రా.
ప్రయాణీకులు + సిబ్బంది బరువు m₂ = 300 కి.గ్రా.
∴ మొత్తం బరువు M = 1000 + 300 = 1300 కి.గ్రా.
ఊర్ధ్వదిశలో త్వరణము a = 15 మీ/సె², g = 10 మీ/సె²

ఎ) హెలికాప్టర్ నేలపై సిబ్బంది వల్ల బలము F = m (g + a)
F = 300 (10 + 15) = 300 × 25 = 7500 న్యూ.

బి) రోటరు బ్లేడ్ల వల్ల పరిసరాలపై ప్రతిచర్య అధో దిశలో ఉంటుంది. (హెలికాప్టర్ పైకి వెళ్ళింది కనుక) పైకి లేవడానికి హెలికాప్టర్ రోటర్ ల వల్ల మొత్తం బలం
F = (m₁ + m₂) (g + a)
F= 1300 (10 + 15) = 32500 న్యూ.

సి) పరిసరాల గాలివల్ల హెలికాప్టర్పై ప్రతిచర్య = హెలికాప్టర్
ఇంజన్ పరిసరాలపై ప్రయోగించిన బలము = 32500 న్యూ.
(చర్య = – ప్రతిచర్య కావున)

ప్రశ్న 28.
10^-2m² మధ్యచ్ఛేద వైశాల్యం ఉన్న ఒక పైపు ద్వారా నీటి ప్రవాహం 15 ms^-1 వేగంతో క్షితిజ సమాంతరంగా ప్రయాణిస్తూ బయటకు చిమ్మి, దగ్గరగా ఉన్న నిలువు గోడను తాకింది. గోడపై పతనం అయిన నీరు వెనుకకు తిరిగి రాదని భావిస్తే నీటి వల్ల గోడపై కలిగే బలం ఎంత ?
సాధన:
నీటివేగము u = 15 మీ/సె. ;
సెకనులో బయటకు వచ్చిన గొట్టం అడ్డుకోత a₁ = 10^-2 మీ²
నీటి పరిమాణము = a₁ × v₁ = 10^-2 × 15 మీ³/సె
నీటి వేగము v₁ = 15 మీ/సె.
నీటి సాంద్రత d = 1000 కి.గ్రా./మీ³
1 సెకన్లో గోడను తాకిన నీటి ద్రవ్యరాశి a₁ v₁ d
= 10_-2 × 15 × 1000 = 150 కి.గ్రా.
నీరు వెనుకకు మరల లేదని భావిస్తే నీటి వల్ల గోడపై బలము F = \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{p}}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{mu}}{\mathrm{t}}=\frac{150 \times 15}{1}\) = 2250 న్యూ.

ప్రశ్న 29.
రూపాయి నాణేలను పదింటిని ఒకదానిమీద ఒకటిగా ఒక బల్లపై ఉంచారు. ప్రతి నాణెం ద్రవ్యరాశి m. కింది ప్రతి సందర్భంలో ‘బల పరిమాణం, దిశను తెలపండి.
ఎ) క్రింది నుంచి 7వ నాణెం మీద, పైనున్న నాణేల వల్ల బల పరిమాణం, దిశ
బి) 8వ నాణెం వల్ల 7వ నాణెం మీద పనిచేసే బలపరిమాణం, దిశ
సి) 6వ నాణెం వల్ల 7వ నాణెం మీద ప్రతిచర్య పరిమాణం, దిశ
సాధన:
ఎ) 7వ నాణెంపై బలము = దానిపై గల 3 నాణెముల భారము
∴ F = 3 mg న్యూ

బి) 8వ నాణెంపై ప్రతిచర్య 8వ నాణెం 7వ నాణెంపై ప్రయోగించిన బలానికి సమానము.
∴ F = 3 mg
వివరణ : 8వ నాణెం భారము mg, దానిపై గల 9, 10 నాణెంల భారము 2 mg. మొత్తం 3 mg. ఈ మొత్తం భారాన్ని 8వ నాణెం 7వ నాణెంపై ప్రయోగిస్తుంది.

ప్రశ్న 30.
ఒక విమానం 720 km/h వడితో క్షితిజ సమాంతర వలయం ఆకారంలో ప్రయాణించింది. విమానం రెక్కల గట్టు కోణం 15°. ఆ వలయం వ్యాసార్ధం ఎంత ?
సాధన:
రెక్కల గట్టు కోణము θ = 15°;
వేగము v = 720 kmph = 720 × \(\frac{5}{18}\) = 200మీ/సె
g = 9.8 మీ/సె²
గట్టు కట్టినపుడు tan θ = \(\frac{\mathrm{v}^2}{\mathrm{rg}}\)
∴ వంపు వ్యాసార్ధము r = \(\frac{\mathrm{v}^2}{\mathrm{~g} \tan \theta}=\frac{200 \times 200}{9.8 \times \tan 15^{\circ}}\)
= 15232 మీ. లేదా 15.232 కి.మీ.

ప్రశ్న 31.
ఒక రైలు 54 km/h వడితో 30 మీ. వ్యాసార్ధం ఉన్న గట్టుకట్టని వృత్తాకార రైలు మార్గం గుండా ప్రయాణిస్తుంది. రైలు ద్రవ్యరాశి 10⁶ కి.గ్రా. ఇంజన్, బోగీలు ఈ రెండింటిలో ఏది రైలుకు కావలసిన అభికేంద్ర బలాన్ని సమకూరుస్తుంది. పట్టాలు అరిగిపోకుండా ఉండాలంటే, ఎంత కోణంలో గట్టు కట్టాలి ?
సాధన:
వ్యాసార్ధము r = 30 మీ.
వడి = v = 54 kmph = 54 × \(\frac{5}{18}\) = 15 మీ/సె.
రైలు ద్రవ్యరాశి m = 10⁶ కి.గ్రా.
రైలుకు కావలసిన అభికేంద్ర బలాన్ని ఎత్తుగా నిర్మించిన వెలుపలి పట్టా అందజేస్తుంది. గట్టు కట్టకపోతే ఈ పట్టాకు అరుగుదల ఎక్కువ.
ఏటవాలు గట్టుకోణము tan θ = \(\frac{\mathrm{v}^2}{\mathrm{rg}}=\frac{15 \times 15}{30 \times 9.8}\) = 0.76
∴ tan θ = 0.76 ⇒ θ = tan^-1 0.76 = 37.4°

ప్రశ్న 32.
సర్కస్ గ్లోబులో మోటారు సైకిల్ను నిలువు వృత్తంలలో వివిధ రకాల భంగిమలలో అబ్బురపరిచే విన్యాసాలను అతి సులువుగా ప్రదర్శించడం మనం చూస్తూనే ఉంటాం. (ఆ గ్లోబు గోళాకారంగా ఉండి, బయట నుంచి మనం చూడటానికి వీలుగా రంధ్రాలు కలిగి ఉంటుంది) గ్లోబులో మోటారు సైకిల్పై నిలువు వృత్తంలో పరిభ్రమించే ప్రదర్శకునికి కింది నుంచి ఎలాంటి ఆధారం లేకున్నా ఊర్ధ్వతమ బిందువు వద్ద ఉన్నప్పుడు పడిపోకుండా ఉండటానికి కారణమేమిటో వివరించండి. నిలువు వృత్తంలో ఊర్ధ్వతమ స్థానం వద్ద మోటారు సైకిల్పై గమనం పూర్తిచేయడానికి, నిమ్నతమ బిందువు వద్ద ఉండవలసిన కనిష్ఠ వేగం ఎంత ? గ్లోబు వ్యాసార్ధం 25 మీ.
సాధన:
ఊర్ధ్వతమ బిందువు వద్ద R + mg = \(\frac{\mathrm{mv}^2}{\mathrm{r}}\) ఇందులో R. మోటారిస్ట్ అభిలంబచర్య
R = 0 అయితే అతని వేగము అతి తక్కువ
∴ mg = \(\frac{\mathrm{mv}^2}{\mathrm{r}}\) లేదా బావిలో అతని కనిష్ఠ వేగము v = \(\sqrt{\mathrm{gr}}\)
∴ v = \(\sqrt{10 \times 25}=\sqrt{250}\) = 15.8 మీ/సె.

ప్రశ్న 33.
3 మీ. వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక బోలు స్థూపాకార డ్రమ్ దాని నిలువు అక్షంపరంగా, 200 rev/min వడితో పరిభ్రమిస్తుంది. 70 కి.గ్రా. ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక వ్యక్తి డ్రమ్ లోపలి గోడలకు తాకుతూ నిల్చొని ఉన్నాడు. వ్యక్తి బట్టలకు, డ్రమ్ గోడకు మధ్య ఘర్షణ గుణకం 0.గత్. అడుగు తలాన్ని హఠాత్తుగా తొలగించినప్పుడు, ఆ వ్యక్తి లోపలి గోడలకు అదే విధంగా తాకుతూ పడిపోకుండా ఉండాలంటే స్థూపాకార డ్రమ్కు ఉండాల్సిన కనిష్ఠ భ్రమణ వడి
ఎంత?
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 70 కి.గ్రా.
వ్యాసార్ధము r = 3 మీ.
n = 200 r.p.m. = \(\frac{200}{60}\) × r.p.s.; ఘర్షణ గుణకము μ = 0.15; మనిషి పడిపోకుండా ఉండటానికి డ్రమ్కు ఉండవలసిన కనీస భ్రమణ వడి w = ?
ఈ సందర్భంలో మనిషి భారము mg = μ.mrw² కావలెను
w² = \(\frac{\mathrm{mg}}{\mu \mathrm{mr}} \Rightarrow \mathrm{w}=\sqrt{\frac{\mathrm{g}}{\mu \mathrm{r}}}=\sqrt{\frac{10}{0.15 \times 3}}\) = 4.7 రేడియన్/సె.

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 9th Lesson Final Accounts of Sole Trading Concerns

Essay Questions:

Question 1.
Define final accounts and explain various stages in their preparation.
Answer:
Final Accounts :

1. To know the business results and financial position at the end of the period, the business prepares various statement which are called as “Final Accounts”.
2. These final accounts of a sole trader are prepared based on the nature of the business establishments.
3. If the business organization is trading concern it has to prepare Trading Account, profit & loss account and Balance sheet, if the concern is manufacturing entities they prepare manufacturing account, trading account, profit and loss account and Balance sheet.

Various stages in Financial Accounts :
1. Trading account:

• Preparation of Trading Account is the first stage in final accounts. It is prepared to find the “Gross Profit” or “Gross Loss”, which is transferred to profit and loss account.
• Trading account is a “nominal account” in nature. All the trading expenses should be debited and trading incomes should be credited to this trading account.

2. Profit & Loss account:

• The second stage of the preparation of final account is the preparation of profit & loss account. Profit & loss account is prepared to find out the Net Profit or Net Loss of the business. This is a nominal account.
• The balance of profit and loss account is transfered to capital account in Balance sheet.

3. Balance Sheet:
Balance sheet is the statement prepared to find out financial position i.e., assets and liabilities of a concern on a given date. In preparing Balance Sheet, liabilities and capital are shown on the left hand side and the assets are shown on the right hand side.

Question 2.
Describe various types of expenses and incomes with suitable examples.
Answer:
In the preparation of final accounts, clear distinction is made between capital and revenue items. The allocation of expenditure and incomes between capital and revenue plays a vital role in the preparation of correct and true financial statements of the business concerns.
Business expenditure of a concern can be broadly classified into :

1. Capital expenditure,
2. Revenue expenditure,
3. Deferred revenue expenditure.

1. Capital Expenditure :
Capital expenditure is the expenditure which is normally incurred for acquiring fixed assets which increases the earning capacity of the business. Benefits of capital expenditure extends over number of years. Examples of capital expenditure are purchase of fixed assets like plant, building, installation of machinery and their improvement. These are shown as assets in Balance Sheet.

2. Revenue Expenditure :
Revenue expenditure is the expenditure which is incurred in normal course of the business activities. The benefit of revenue expenditure is limited to only one accounting year. Examples of revenue expenditure are payment of salaries, rent, carriage, advertisement etc. These are debited to profit and loss account.

3. Deferred Revenue Expenditure :
Any amount of revenue expenditure spent in huge sums and its benefits spread over more than one year is called deferred revenue expen-diture. It includes the expenses like preliminary expenses, discount on issue of shares and debentures, heavy amount spent of advertisement, shifting of business premises etc.

Incomes are divided into capital receipts and revenue receipts :
1. Capital Receipts / Capital Income :
Amount received as investment by the owners, raised by way of loans and sale proceeds of fixed assets is called capital receipts (or) capital income. Ex. Capital, sale of machinery. All the capital receipts are recorded as liability in the Balance Sheet.

2. Revenue Receipts / Revenue Income :
Amount received in the normal course of business is called revenue receipts and includes sale of goods, interest, discount, commission etc. These incomes are credited to profit and loss a/c.

3. Deferred Income :
This consists of income which spreads over several years is called deferred income. Ex. Rent or interest received for more than one year.

Question 3.
Write the differences between trading account and profit & loss account.
Solution:

Question 4.
Present the main features, advantages and limitations of final accounts.
Answer:
Features :

1. Final accounts consider monetary transactions only.
2. Final accounts considers only those transactions which are of historical nature, i.e., the transactions which are already taken place.
3. Preparation of final accounts is a legal requirement.
4. Final accounts are used by internal and external users for their decision making.

Advantages :

1. Business profit or loss can be known to the trader through the trading account and profit and loss account (Income statements).
2. Financial position can be revealed by the preparation of Balance Sheet.
3. Final accounts are important source of finance information and this help the trader or management to plan the financial activities of the business concern for any period or time.
4. Financial statement help the trader to take business decisions by comparing current year results with the results of the previous year statements.
5. As the profit & loss account discloses either profit or loss, based on which a trader prepares himself to pay the taxes correctly.
6. Tax authorities also needs financial statements to determine the account of tax exactly.
7. As financial statements reveals the solvency position of the organization, the banks and other lending organizations may con v r for extending the loan facility.

Limitations :

1. Do not reflect the current prices as they are based on the historical costs. *
2. Do not consider qualitative data, such as, qualLy, efficiency of workforce, employee and employer relationship, motivation level of employees, value of human resources etc.
3. Do not reveal the accurate picture of the business, as certain values of assets and some expenses and income items are based on the judgement of the management, who may have prejudice.

Short Answer Questions:

Question 1.
Give the objectives of final accounts.
Answer:
The main objectives of preparation of final accounts are :

1. To ascertain the profit or loss of the business for a particular period. (By preparing Trading and Profit & Loss Account.)
2. To find out the financial position of the business concern on a specified date or period. (By preparing the Balance Sheet).

Question 2.
Write the features of Trading Account.
Answer:
Features :

1. It is the first stage of final accounts.
2. Trading account is a Nominal account.
3. It helps to find the Gross Profit or Gross Loss.
4. It records only the net sales and direct cost of goods sold.
5. The balance of trading account is transferred to profit and loss account.

Question 3.
Explain the meaning and main characteristics of profit & loss account
Answer:
After preparing the trading account, profit and loss account is prepared to find out the net profit or net loss of the business. This is also a nominal account. So, all the expenses and losses should be debited and all the incomes and gains to be credited to profit and loss account.

The balance of profit and loss account is either net profit or net loss and the same is added or deducted from the capital account in the balance sheet.

Characteristics of Profit and Loss Account :

1. Profit & Loss account is a Nominal account.
2. It is prepared at end of the financial year.
3. It records all current year indirect expenses and incomes.
4. It reveals net profit or net loss.
5. Net profit ratio can be calculated.
6. Current year administration expenses and other expenses can be compared with the previous years expenses.
7. It facilitates for the preparation of Balance Sheet.

Question 4.
Briefly explain various types of assets.
Answer:
Assets :
Property of any description belonging to a person or business organization can be named as an asset. Assets are the ‘ownings’ of a business and they may be classified as follows :

1. Fixed Assets :
The assets permanent in nature and not intended for the re-sale, but are used to carry the business continuously are called fixed assets. They earn profit or gain to the business.
Ex : Land and buildings, machinery, furniture etc. These assets are recorded in the balance sheet after deducting depreciation if any.

Fixed Assets can be further classified as :
a) Tangible Assets – which can be seen and touched, e.g., Furniture, Machinery etc.
b) Intangible assets – which can neither be seen nor touched, e.g., Patents, Goodwill etc.

2. Current Assets :
These assets are held for resale or can be converted into cash on a later date. These are also known as floating or circulating assets. Cash, Stock, Debtors, Bank balance etc., are the examples of these assets.

Question 5.
Define Manufacturing Account and give it contents.
Answer:
Manufacturing Account:
A trader or a business concern who undertakes the job of manufacturing or production of goods will prepare this account.

As trading account it is also a nominal account. Hence, all the expenses incurred on goods and factory will be considered and rec orded at debit side of it and in progress and sale of scrap etc., are recorded at creuit side and the difference debit and credit will be termed as ‘Cost of Production’, wnieh will be transferred to the debit side of the trading account.

This accovnt may be prepared either on horizontal form or on vertical form.

Horizontal form Proforma:

Vertical form Proforma:

Manufacturing Account of XYZ Co., for the year ending XX, XX, XXX

Very Short Answer Questions:

Question 1.
Define deferred expenditure.
Answer:
The Deferred Expenditure consists of revenue and capital items. Benefits from these expenses are spread over several years. In other words, the expenses which are incurred in one accounting year but benefits of the same accrue in the future years are called as Deferred Expenses.
Ex : amount of expenditure on advertisement in the initial years, expenditure incurred on research and development, innovation etc.

Question 2.
Define current assets & current liabilities.
Answer:
a. Current Assets:
Current assets are those assets which are for resale or can be converted into in short period, usually within one year. These are also known as floating or circulating assets.
Ex.: Cash in hand, Cash at bank, Sundry debtors, Stock-in-trade etc.

b. Current Liabilities :
These liabilities are payable by the business organisation within one accounting period. These are short term liabilities as they are repayable in not more than 12 months from the date of acquiring them.
Ex.: Bills payable, Sundry creditors, Bank overdraft etc.

Question 3.
Give examples of intangible assets.
Answer:
Intangible assets are those which cannot be seen and touched.
Ex.: Patents, Goodwill etc.

Question 4.
Write accounting equation.
Answer:

1. The relationship of assets with liabilities and owners equity in the equation form is known as “Accounting Equation”.
2. Accounting Equation: Assets = Liabilities + Capital
3. The complete picture of the balance sheet in manner of accounting equation.

Question 5.
Write a short note on Opening Stock & Closing stock.
Answer:
a) Opening Stock :
The opening stock is the first item to be shown on the debit side of trading account. The closing stock of the preceeding year is the opening stock of the current year.

b) Closing Stock :
It is the unsold stock left with the organization on the last day of the accounting year. The closing stock of the current year becomes the opening stock of the next year.

If the closing stock is given in the adjustments, record it in the trading account on credit side and also in Balance Sheet on assets side.

Additional Questions:

Question 1.
Capital expenditure.
Answer:

1. Capital expenditure is the expenditure which is normally incurred for acquiring fixed assets or assets which increase the earning capacity of the business. Benefits of capital expenditure are extended over a number of years.
2. Ex. : Purchase of fixed assets like machinery, building, furniture etc.

Question 2.
Revenue expenditure
Answer:

1. Revenue expenditure is the expenditure incurred in the normal course of the business activities. The benefit of revenue expenditure is restricted to only one accounting year.
2. Ex: Office expenses such as rent, salaries, selling expenses like carriage outwards, advertisement expenses.

Question 3.
Capital income.
Answer:

1. Any amount received as investment by the owners, raised by way of loans and income received on sale of fixed assets is called capital income.
2. Ex.: Capital, sale of machinery.

Problems:

Question 1.
Prepare Trading Account of Srikanth Traders for the year ended 31.12.2015.

Solution:

Question 2.
Prepare Trading Account from the following particulars for the year ended 31.03.2017 :

Solution:

Question 3.
Prepare Trading Account:

Solution:

Question 4.
Prepare Trading Account of Hyderabad Traders as on 31,12.2017 :

Solution:

Note :
Manufacturing expenses given twice so, 2nd one is not taken into problem.

Question 5.
From the following particulars, prepare Profit & Loss a/c as on 31.03.2019 :

Solution:

Note :
Stationary is given twice so we take 1st one and ignore 2nd one.

Question 6.
Prepare Profit & Loss a/c from the following particulars :

Solution:

Question 7.
From the following particulars, prepare Trading and Profit & Loss a/c as on 31.12.2018.

Solution:

Question 8.
Prepare Trading a/c & Profit & Loss a/c of Suresh Traders for the year ending 31.12.2017.

Solution:

Question 9.
From the following Trial Balance, prepare Trading a/c, and Profit & Loss a/c of Ms. Veena Reddy for the year ended 31.12.2018.

Solution:

Question 10.
Prepare Trading Account and Profit & Loss a/c (amounts in rupees).

Solution:

Question 11.
Prepare Balance Sheet from the following details of Yadagiri as on 31.12.2016.

Solution:
Balance Sheet of Yadagiri as on 31.12.16

Question 12.
Prepare Balance Sheet of Karnakar Reddy Traders from the following as on 31.12.2017.

Solution:
Balance Sheet of Karnakar Reddy as on 31.12.2017

Question 13.
Prepare Balance Sheet of Madhavi Traders for the year ended on 31.12.2016.

Solution:
Balance Sheet of Madhavi Traders as on 31.12.16

Question 14.
From the following Trial Balance, prepare Trading, P & L Account and Balance Sheet.

Solution:

Balance Sheet

Question 15.
From the following trial balances prepare final accounts for the year ending 31.03.2015.

Solution:

Balance Sheet

Textual Questions:

Question 1.
From the following information, prepare Trading Account of Shylaja Traders for the year ending 31.12.2018:

Solution:

Question 2.
From the following information, prepare Trading Account of Swamy as on 31.12.2018 :

Solution:

Question 3.
Prepare Trading Account of Ayyappa Traders for the year ending 31.12.2018.

Solution:

Question 4.
From the following particulars, prepare Profit & Loss a/c of Sathwlka for the year ending 31.12.2018 :

Solution:

Question 5.
Prepare Profit & Loss a/c of Naveen Kumar Traders as on 31.03.2018.

Solution:

Question 6.
From the following balances, prepare Profit & Loss a/C of Harini for the year ended 31.12.2018.

Solution:

Question 7.
Prepare leading Account and Profit & Loss a/c from the following particulars.

Solution:

Question 8.
Prepare Balance Sheet of Srinivas from the following particulars as on 31.12.2017 :

Solution:
Balance Sheet of Srinivas as on 31.12.2018