TS Inter 2nd Year

Telangana TSBIE TS Inter 2nd Year Telugu Study Material 1st Poem శ్రీకృష్ణ రాయబారం Textbook Questions and Answers.

TS Inter 2nd Year Telugu Study Material 1st Poem శ్రీకృష్ణ రాయబారం

అభ్యాసం

I. వ్యాసరూప ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
శ్రీకృష్ణుని రాయబారాన్ని వివరించండి. (V.Imp)
జవాబు:
“ఓ జననాథ అని శ్రీకృష్ణుడు తన మాటలను ధృతరాష్ట్రుని ఎదుట మొదలు పెట్టాడు. సమాజ సౌఖ్యాన్ని దృష్టిలో పెట్టుకొని నిర్ణయం తీసుకోవాలని సూచించాడు. నీకు తెలియని విషయాలు ఏమున్నాయి ? ఐనప్పటికీ, భరతవంశం సంతోషించేటట్లు మీ ఇరు కుటుంబాల వారికి న్యాయమూ, పరమహితమూ చెప్పటం ఉచితమని నేనిక్కడికి వచ్చాను. మీ ఇద్దరు తనకు సమానమని తెలిపాడు. పాండవులు కౌరవులు పాలూ, నీరూ లాగ కలసి మెలసి జీవించటం మంచిదని వారు కలిసిమెలసి ఉండేటట్లు నడిపించవలసిన బాధ్యత ధృతరాష్ట్రునిదని తెలియపరిచాడు. పాండవులు వేరు, కౌరవులు వేరు అనే భేదభావన చూపకూడదన్నాడు.

భరతవంశం ధర్మం, న్యాయం, సత్యం, ఐకమత్యం, గౌరవం, కారుణ్యం మొదలైన సద్గుణాలు గలిగి కీర్తి పొందిందని తెలిపి దానిని కాపాడాలన్నాడు. కురు వంశములో పెద్దవాడివి కావున నీ కుటుంబంలోని వారి నడవడికల బాధ్యత నీదే అన్నాడు.

యుద్ధం వస్తే అక్కడున్న భీమార్జునులను యుద్ధరంగంలో మించేవారు ఇక్కడెందరున్నారు ? ఇక్కడున్న ద్రోణ, భీష్ముల పరాక్రమాన్ని ఎదుర్కొనగలవారు అక్కడ కూడా లేరు. ఇట్లా ఉభయ పక్షాలలోని వీరులు యుద్ధంలో చావటం కన్న నీ బలగాలన్నీ కలసి మెలసి వర్తించటం మంచిదని హితవు పలికాడు. రాజా ! నీవు కురుపాండవుల విషయంలో శ్రద్ధ వహించకుంటే ఈ ఉభయ వర్గాలకే కాదు, పుడమిలోని జనులందరికీ హాని చేసినట్లే అవుతుందని, ఆ కీడు నీకే కలుగుతుందని హెచ్చరించాడు.

రాజా ! కురు పాండవులలో ఎవరికి మరణం సంప్రాప్తించినా, బాధలు కలిగినా, నీకు దుఃఖం కలుగుతుంది. కౌరవ పాండవుల కోమలమైన శరీరాల నుండి మొనలుదేలిన బాణాలు ఆవలికి దూసుకొని వెళ్ళేటట్లు గ్రుచ్చుకోగా నేలమీద కూలటం చూచి సహించటం సరైనది కాదు కావున కురుపాండవులు సంగ్రామంలో నశించకుండా సంరక్షించుకోవాలని చెప్పాడు. పాండురాజు చనిపోయిన తరువాత వారిని చక్కగా పెంచిన నీవు ఇప్పుడు వారికి అన్యాయం చేయడం సరికాదన్నాడు. పాండవుల శక్తియుక్తులను గుర్తు చేస్తూ వారి ఔదార్యాన్ని వివరించాడు. ఉత్తమమైన ధర్మం, నిర్మలమైన సత్యం పాపం చేతను, అబద్ధం చేత లక్ష్యాన్ని చేరలేని స్థితిలో భగవంతుడు ధర్మమును ఉద్ధరించటానికి, సత్యానికి శుభం కలిగించటానికి ముందుకు వస్తాడని తెలిపాడు.

నీ పుత్రుడైన దుర్యోధనుడి అకృత్యాలకు పరోక్షంగా మద్దతు తెలిపినందుకు మీకందరికి తగిన శిక్ష పడుతుందన్నాడు. దుర్యోధనుని మనసులో ఉన్న పరమ దురాశను తొలగించి, పాండవులకు రావలసిన అర్థ రాజ్యాన్ని వారికి అప్పగించేలా చూడాలని చెప్పాడు. పాండవులను నీ చెంతకు పిలిపించుకోమన్నాడు.

పాండవులు ఎంతటి శాంత స్వభావులో అంతటి వీరాగ్రేసరులు. వారికి మీతో కలసి మెలసి ఉండటం ఇష్టం కాకపోతే ఈపాటికి యుద్ధానికి బయలుదేరి వచ్చేవారు. సంధి, సంగ్రామం ఈ రెండింటిలో మీకేది హితమని తోస్తుందో దానిని నిర్ణయించి వెల్లడించమని పలికాడు. ఈ విధంగా శ్రీకృష్ణుడు కౌరవ వంశ ప్రతిష్టను, దుర్యోధనాదుల దుష్టబుద్ధిని, పాండవుల పరాక్రమాన్ని, ఔదార్యాన్ని తెలిపి సంధి చేసుకోకుంటే వచ్చే అనర్థాలను తన రాయబారం ద్వారా వివరించాడు.

ప్రశ్న 2.
యుద్ధం వల్ల జరిగే నష్టాల్ని శ్రీకృష్ణుడు ఏ విధంగా వివరించాడు ?
జవాబు:
యుద్ధం జరిగితే అక్కడున్న భీమార్జునులను యుద్ధరంగంలో ఎదిరించేవారు ఇక్కడెందరున్నారు ? ఇక్కడున్న ద్రోణ, భీష్ముల పరాక్రమాన్ని ఎదుర్కొనగలవారు అక్కడ ఎందరున్నారు ? ఇట్లా ఉభయ పక్షాలలోని వీరులు యుద్ధంలో చావటం కన్న నీ బలగాలై కలసి మెలసి వర్తించటం మంచిది అని హితము పలికాడు. కురు పాండవులలో ఎవరికి మరణం సంప్రాప్తించినా, ఎవరికీ బాధలు కలిగినా ధృతరాష్ట్రునికే దుఃఖం కలుగుతుందని

తెలిపాడు. కౌరవులూ, పాండవులూ మంచి చదువరులు, పరాక్రమవంతులు, భుజదర్పం గలవారు గనుక ఎవ్వరూ వీరి నడ్డగించలేరు. ఇట్లాంటివారు తమలో తమకేర్పడిన యుద్ధంలో మరణించటానికి సిద్ధపడుతుండగా అడ్డుపడక చూస్తూ ఊరకుండటం నీ వంటి వారికి తగిన పని కాదు. ఎంతో కోమలమైన వారి శరీరాల నుండి మొనలుదేలిన బాణాలు దూసుకొని వెళ్ళేటట్లు గ్రుచ్చుకోగా నేలమీద కూలటం చూచి సహించటం సరైనది కాదు. రాజా ! నీ గొప్పతనమును రాజనీతినీ, శాంతిని సమస్త ప్రజలు మెచ్చుకొనేటట్లు కురుపాండవులు సంగ్రామంలో నశించకుండా సంరక్షించుకొనుము అని శ్రీకృష్ణుడు చెప్పడంలో భవిష్యత్ కాలంలో జరిగే అనర్థాలు స్ఫురిస్తాయి. యుద్ధమైతే అందరికీ మహాపద కలుగుతుంది. దాన్ని లెక్కలోనికి తీసుకోవాలన్నాడు.

కౌరవ, పాండవ యుద్ధంలో యాదవ కుటుంబ సభ్యులు కొందరైనాపోవటం శ్రీకృష్ణుడికేర్పడే ఆపద. కొడుకులందరూ మరణించి తర్పణాలు ఇవ్వటానికి కూడా ఎవ్వరూ మిగలని మహాపద ధృతరాష్ట్రుడిది. కౌరవులందరూ నశించటం వంశజుల కేర్పడే మహాపద. యుద్ధంలో సహాయపడే రాజులు కోల్పోతారు. దానివలన భూమి వీరులను కోల్పోతుంది. రక్తంతో తడుస్తుంది. జననాశం ఏర్పడుతుంది. వితంతువుల విషాదం పెల్లుబికుతుంది. ఇవన్నీ లోకానికేర్పడే ఆపదలు, వీటిని పరిగణించి తప్పక సంధి చేయుమని హితవు చెప్పి హెచ్చరించాడు శ్రీకృష్ణుడు.

II సంగ్రహరూప ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
సభలో శ్రీకృష్ణుడు ఎలా ఉన్నాడు ?
జవాబు:
ధృతరాష్ట్రుని సభలో శ్రీకృష్ణుని కంఠస్వరం మేఘ గర్జన లాగా గంభీరంగా, హృదయంగమంగా ఉంది. ఆయన దంతాల కాంతులు మెరుపులవలె ప్రకాశిస్తున్నాయి. వర్షాకాల ప్రకృతి రమణీయతతో శ్రీకృష్ణుణ్ణి తిక్కన పోల్చి ఉపమాలంకారంతో చెప్పాడు. గంభీరమైన సన్నివేశాన్ని గంభీరంగా తిక్కన చిత్రించాడు.

ప్రశ్న 2.
శ్రీకృష్ణుడు ఎందుకు వచ్చానన్నాడు ?
జవాబు:
ధృతరాష్ట్రుని సభలో ఉన్న వారందరూ శ్రద్ధగా వింటుండగా పాండవులు పంపిన సంధి సమాచారాన్ని ధృతరాష్ట్ర మహారాజుతో చెప్పాడు. “ఓ జననాథ ! నీకు తెలియని విషయాలు ఏమున్నాయి ? ఐనప్పటికీ, భరతవంశం సంతోషించేటట్లు నా ఇరు కుటుంబాల వారికి న్యాయమూ, పరమహితమూ చెప్పటం ఉచితమని నేనిక్కడికి వచ్చాను అని శ్రీకృష్ణుడు అన్నాడు. ఇందులో జననాథ అనడం ద్వారా కేవలం నీ కొడుకుల గురించి మాత్రమే కాకుండా సమస్త ప్రజల గురించి ఆలోచించాలి అనే విషయాన్ని గుర్తు చేశాడు.

నీకు తెలియని విషయాలు ఏమున్నాయి అనడం ద్వారా తన విషయాన్ని ప్రదర్శించాడు. ఇరు కుటుంబాల వారికి అనడం ద్వారా కౌరవ పాండవులు ఇరువురు తనకు కావలసిన వారే అని చెప్పాడు. న్యాయము, పరమ హితము చెప్పడానికి వచ్చాననడం లోకకళ్యాణాన్ని సూచిస్తుంది. కావున శ్రీకృష్ణుడు లోకకళ్యాణం కోసం యుద్ధాన్ని మాన్పించడానికి వచ్చానని చెప్పాడు.

ప్రశ్న 3.
భరతవంశం గొప్పతనం తెలుపండి.
జవాబు:
భరతవంశం ధర్మం, న్యాయం, సత్యం, ఐకమత్యం, గౌరవం, కారుణ్యం అనే ఆరు గుణాలకు ప్రసిద్ధి. ఆ భరత వంశంలో పుట్టిన వారందరూ పై సద్గుణాలు గలిగి కీర్తి పొందారు. అట్టి వంశంలో నీవూ, నీ ప్రియ సహోదరుడు పాండురాజూ సద్గుణాలయందు శ్రేష్టులు అనడంలో పాండురాజు ఔన్నత్యం తెలపడంతోపాటు ధృతరాష్ట్రుని ముందు కాళ్ళకి బంధం వేయడం కనిపిస్తుంది. నీ కుమారులు కూడా కీర్తి భారం వహించ జాలినవారు అవడం వల్ల యుద్ధం చేసి చెడ్డపేరు పొందకూడదు అనే సూచనా కనిపిస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
సారపు ధర్మం ఎలాంటిది ?
జవాబు:
ధర్మం ఎప్పుడూ సారవంతమైనది. శక్తివంతమైనదే, సత్యం ఎల్లప్పుడూ కల్మషం లేనిదే, నిర్మలమైనదే, స్వచ్ఛమైనదే. అవి రెండు స్వయం సమర్థములైనవే. అయితే వాటిని వ్యతిరేకించేవీ, కలతపెట్టేవీ, నశింపజేయ యత్నించేవి పాపం, అసత్యం. సత్యధర్మాలు ఫలవంతమయ్యే తరుణంలో పాపం, అబద్ధాలు అడ్డుపడి చెడగొట్టే యత్నాలు చేస్తాయి. కాని, అవి చెడిపోవు. ధర్మాన్ని రక్షించేవారు దానికొరకు తమ శక్తిని ధారపోయాలి. సత్యాన్ని రక్షించేవారు సత్యాచరణంలో త్రికరణశుద్ధిని ప్రదర్శించాలి.

అప్పుడు ధర్మసత్యాలు తమ సార నిర్మలత్వాలను రక్షించుకో గలుగుతాయి. దీనిని తెలిసిన విజ్ఞులు తమ బాధ్యతను తెలుసుకొని వాటిని రక్షించి తమను తాము రక్షించుకోవాలి. ఆ విషయంలో ఉపేక్ష చేస్తే వారి చరిత్రలకు ధర్మసత్య కవచాలు తొలగిపోయి బలహీనులై పాపాలకూ, అసత్యాలకూ బలి అయిపోతారు. దక్షులై కూడా తమ ధర్మాన్ని నిజాయితీతో నిర్వహించని వారికి చేటు రాకతప్పదని ఈ సందేశం.

III ఏకపద / వాక్య సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
కౌరవ సభకు రాయబారిగా ఎవరు వచ్చారు ?
జవాబు:
శ్రీకృష్ణుడు

ప్రశ్న 2.
కౌరవపాండవులు వేటిలాగా కలిసి ఉండాలని కృష్ణుడు చెప్పాడు ?
జవాబు:
పాలు నీళ్ళు లాగ

ప్రశ్న 3.
యుద్ధం సంభవిస్తే ఏం జరుగుతుంది ?
జవాబు:
యుద్ధం సంభవిస్తే చాలా త్వరగా కురువంశానికి, రాజులకు మహాపద కలుగుతుంది.

ప్రశ్న 4.
సంధికార్యం ఎవరి చేతిలో ఉంది ?
జవాబు:
ధృతరాష్ట్రుని

ప్రశ్న 5.
తిక్కన ఎవరి ఆస్థాన కవి ?
జవాబు:
తిక్కన నెల్లూరు మండలాన్ని పరిపాలించిన మనుమసిద్ధి యొక్క ఆస్థానకవి.

ప్రశ్న 6.
శాంతశూరులు ఎవరు ?
జవాబు:
పాండవులు

ప్రశ్న 7.
తిక్కన రచనలు తెలుపండి.
జవాబు:
తిక్కన, ఆంధ్ర మహాభారతంలో విరాటపర్వము నుండి స్వర్గారోహణ పర్వం వరకూ ఆంధ్రీకరించాడు. ఇదికాక

1. నిర్వచనోత్తర రామాయణం
2. కృష్ణశతకం
3. విజయసేనం
4. కవివాగ్బంధం-మొదలైన రచనలు చేశాడు.

ప్రశ్న 8.
తీక్కన సోమయాజ మహాభారతం ఎవరికి వినిపించాడు ? (V.Imp) (M.P.)
జవాబు:
హరి హర నాథునికి

IV సందర్భసహిత వ్యాఖ్యలు

1. సుచరితక్రమమిప్పుడు తప్పనేటికిన్ (V.Imp) (M.P.)

కవి పరిచయం : ఈ వాక్యం తిక్కన రాసిన మహాభారతం ఉద్యోగ పర్వం తృతీయాశ్వాసం నుండి తీసుకున్న శ్రీకృష్ణ రాయబారం అనే పాఠ్యాంశంలోనిది. తిక్కనకు ఉభయకవి మిత్రుడు అనే బిరుదు ఉంది. పదమూడవ శతాబ్దికి చెందిన నెల్లూరు పాలకుడు మనుమసిద్ధి ఆస్థానంలో ఉండేవాడు.

సందర్భం : శ్రీకృష్ణుడు ధృతరాష్ట్రునికి భరతవంశ ప్రాశస్త్యాన్ని వివరిస్తున్న సందర్భంలోనిది.

అర్థం : మంచి వంశ క్రమాన్ని ఇప్పుడు ఎందుకు తప్పుతారు ?

వివరణ : మహారాజా ! మీ భరతవంశం ధర్మం, న్యాయం, సత్యం, ఐకమత్యం, గౌరవం, కారుణ్యం మొదలైన సద్గుణాలు గలిగి కీర్తి పొందింది. అట్టి వంశంలో నీవూ, నీ ప్రియ సహోదరుడు పాండురాజూ, సద్గుణాలయందు శ్రేష్టులు, మరి నీ కుమారులూ కీర్తి భారం వహించ జాలినవారు. కళ్యాణ స్వభావులు. ఇంత మంచి నడవడిగల వంశ సంప్రదాయం ఇప్పుడు కూడా తప్పించడం ఎందుకు ? అని శ్రీకృష్ణుడు ధృతరాష్ట్రునితో అన్నాడు.

2. ప్రజల యెడ విరోధంబు వాటించుటెంతమేలు (V.Imp)

కవి పరిచయం : ఈ వాక్యం తిక్కన రాసిన మహాభారతం ఉద్యోగపర్వం తృతీయాశ్వాసం నుండి తీసుకున్న శ్రీకృష్ణ రాయబారం అనే పాఠ్యాంశంలోనిది. తిక్కనకు ఉభయకవి మిత్రుడు అనే బిరుదు ఉంది. పదమూడవ శతాబ్దికి చెందిన నెల్లూరు పాలకుడు మనుమసిద్ధి ఆస్థానంలో ఉండేవాడు.

సందర్భం : శ్రీకృష్ణుడు ధృతరాష్ట్రునికి యుద్ధం వల్ల కలిగే నష్టాన్ని వివరిస్తున్న సందర్భంలోనిది.

అర్థం : మీ పిల్లల పట్ల నిర్లక్ష్యం వహించడం సరైనదేనా ?

వివరణ : లోకంలోని రాజులందరూ నీ పాదపీఠాన్ని ప్రీతితో సేవిస్తుండగా సముద్రపు చెలియలికట్టచేత చుట్టబడిన పుడమినంతటిని నీవే ఏకచ్ఛత్రంగా పరిపాలించటం తగును, తల్లి తన బిడ్డలపట్ల శత్రుత్వం వహించటం ఎంత సమంజసమో నీవే ఆలోచించు అని శ్రీకృష్ణుడు ధృతరాష్ట్రునితో అన్నాడు.

3. దురితంబొనరించిట్ల తుదిఁ గీడు సుమీ (V.Imp)

కవి పరిచయం : ఈ వాక్యం తిక్కన రాసిన మహాభారతం ఉద్యోగ పర్వం తృతీయాశ్వాసం నుండి తీసుకున్న శ్రీకృష్ణ రాయబారం అనే పాఠ్యాంశంలోనిది. తిక్కనకు ఉభయకవి మిత్రుడు అనే బిరుదు ఉంది. పదమూడవ శతాబ్దికి చెందిన నెల్లూరు పాలకుడు మనుమసిద్ధి ఆస్థానంలో ఉండేవాడు.

సందర్భం : శ్రీకృష్ణుడు ధృతరాష్ట్రునికి తన బాధ్యతను గుర్తుచేస్తున్న సందర్భంలోనిది.

అర్థం : జనులందరికీ పాపం చేసినట్లే ఔతుంది. చివరకు మీకే కీడు కలుగుతుంది.

వివరణ : రాజా ! నీవు కురుపాండవుల విషయంలో శ్రద్ధ వహించకుంటే ఈ ఉభయ వర్గాలకే కాదు, పుడమిలోని జనులందరికీ పాపం చేసినట్లే ఔతుంది. చివరకు నీకే హాని కలుగుతుంది అని శ్రీకృష్ణుడు ధృతరాష్ట్రునితో అన్నాడు.

4. సత్యశుభదాయకమయ్యును దైవముండెడున్ (V.Imp)

కవి పరిచయం : ఈ వాక్యం తిక్కన రాసిన మహాభారతం ఉద్యోగ పర్వం తృతీయాశ్వాసం నుండి తీసుకున్న శ్రీకృష్ణ రాయబారం అనే పాఠ్యాంశంలోనిది. తిక్కనకు ఉభయకవి మిత్రుడు అనే బిరుదు ఉంది. పదమూడవ శతాబ్దికి చెందిన నెల్లూరు పాలకుడు మనుమసిద్ధి ఆస్థానంలో ఉండేవాడు.

సందర్భం : శ్రీకృష్ణుడు ధృతరాష్ట్రునికి సంధి చేసుకోకుంటే దైవం తన పని తాను చేస్తాడని హెచ్చరిస్తున్న సందర్భంలోనిది.

అర్థం : సత్యమునకు శుభం కలిగించటానికి భగవంతుడు ముందుకు వస్తాడు.

వివరణ : ఉత్తమమైన ధర్మం, నిర్మలమైన సత్యం పాపం చేతను, అబద్దం చేత దరి చేరలేక చెడటానికి సంసిద్ధంగా ఉన్న స్థితిలో వాటిని రక్షించే శక్తి ఉన్నా ఎవరు అడ్డుపడక అశ్రద్ధ వహిస్తారో అది వారలకే హానికరమవుతుంది. ఆ స్థితిలో భగవంతుడు ధర్మమును ఉద్ధరించటానికి, సత్యమునకు శుభం కలిగించటానికి ముందుకు వస్తాడు అని శ్రీకృష్ణుడు ధృతరాష్ట్రునితో అన్నాడు.

పద్యములు – ప్రతిపదార్థ – తాత్పర్యములు

1వ పద్యం :

కం॥ జలదస్వన గంభీరత
నెలుఁగొప్పఁగ దంత దీప్తు లెసగ ముకుందుం
డలరుచు సభ నఖిల జనం
బులు విన ధృతరాష్ట్ర భూవిభున కిట్లనియెన్

ప్రతిపదార్థం:

ముకుందుఁడు = శ్రీకృష్ణుడు
జలదస్వన గంభీరతన్ = మేఘ ధ్వని యొక్క గాంభీర్యంతో
ఎలుగు + ఒప్పన్ = తన కంఠ ధ్వని సొంపారగా
దంత దీప్తులు + ఎసగన్ = దంతాల యొక్క కాంతులు అతిశయించగా
సభన్ = సభలో
అలరుచున్ = ప్రకాశిస్తూ
అఖిలజనంబులు = ధృతరాష్ట్రుడి కొలువులో ఉన్న సమస్త ప్రజలు
వినన్ = వింటుండగా
ధృతరాష్ట్ర భూవిభునకు = ధృతరాష్ట్ర మహారాజుకు
ఇట్లు + అనియెన్ = ఈ విధంగా అన్నాడు.

తాత్పర్యం : శ్రీకృష్ణుడు మేఘధ్వనివలె గంభీరమైన తన కంఠధ్వనితో, దంత కాంతులు ప్రసరిస్తూ ఉండగా, సభలో వెలుగొందుతూ, సదస్యులందరూ చెవులు నిక్కరించుకొని ఆలకిస్తుండగా ధృతరాష్ట్ర మహారాజుతో ఇలా అన్నాడు.

విశేషం :

1. కృష్ణుని కంఠస్వర గాంభీర్యం, సభ్యులను పరవశింప చేస్తున్నదని, కవి తిక్కన ఇందులో సూచిస్తున్నాడు.
2. జలదస్వనానికి అనగా ఉరుముకు తోడుగా, దంతదీప్తులు మేఘము నుండి వచ్చే మెఱపులుగా భాసిస్తున్నాయని, కవి ఇక్కడ సూచించాడు.

2వ పద్యం :

కం॥ జననాథ ! నీ యెఱుంగని
పనులు గలవె ? యైనఁ దగవుఁ బరహితంబుం
దనవారికిఁ జెప్పగ తగు
నని వచ్చితి భారతాన్వయము ప్రియమొందన్

ప్రతిపదార్థం :

జననాథ = ఓ మహారాజా (ధృతరాష్ట్ర చక్రవర్తీ !)
నీ యెఱుంగని పనులు
(నీ + ఎఱుంగని, పనులు) = నీకు తెలియని పనులు
కలవె (కలవు + ఎ) = ఉన్నాయా ? (లేవని భావము)
ఐనన్ = అయినప్పటికీ
తన వారికిన్ = తన బంధువులకు
తగవున్ = న్యాయమునూ, ధర్మమునూ
పరమ హితంబున్ = ఉత్తమమయిన మంచి (మంచి మాట) నూ
చెప్పన (చెప్పన్ + అ) = చెప్పడమే
తగునని (తగును + అని) = ధర్మమని
భారతాన్వయము (భారత + అన్వయము) = భరత వంశము
ప్రియమొందన్
(ప్రియము + ఒందన్) = సంతోషపడేటట్లు
వచ్చితిన్ = (నేను) ఇక్కడికి వచ్చాను

తాత్పర్యం : ధృతరాష్ట్ర మహారాజా ! నీకు తెలియని విషయాలు ఏమున్నాయి ? అయినా, తన చుట్టాలకు న్యాయాన్నీ, ఉపయోగపడే మంచిమాటనూ చెప్పడమే ధర్మము అనే భావంతో, భారత వంశీయులు అందరూ, సంతోషపడతారని, నేను ఇక్కడికి వచ్చాను.

3వ పద్యం :

కం॥ క్షీరోదక గతిఁ బాండవ
కౌరవు లొడఁగూడి మనికి కార్యం ఐది నీ
వారసి నడపుము వా రన
నీ రనఁ గురుముఖ్య ! నీకు వేఱుంగలదే ?

ప్రతిపదార్థం :

కురుముఖ్య ! = కురువంశంలో ప్రధానమైనవాడా !
క్షీర + ఉదక గతిన్ = పాలూ, నీరు లాగ
పాండవ కౌరవులు = పాండవులు, కౌరవులు
ఒడన్ + కూడి = కలిసి మెలిసి
మనికి = జీవించటం
కార్య౦బు = చేయదగ్గ పని
అది = దానిని
నీవు = నీవు
ఆరసి = పరిశీలించి
నడపుము = సాగించుము
నీకున్ = నీకు
వారు + అనన్ = పాండవులనగా
వీరు + అనన్ = కౌరవులు అనగా
వేఱుం + కలదే = భేదమున్నదా? (లేదని అర్థం)

తాత్పర్యం : కురునాథా ! పాండవ కౌరవులు పాలూ నీరూ వలె కలసిమెలసి జీవించటం మంచిపని. వారు అట్లా ఒద్దికతో ఉండేటట్లు నీవు వారిని నడపించవలసి ఉంది. పాండవులు వేరు, కౌరవులు వేరు అనే భేదభావన నీకు లేదు కదా !

4వ పద్యం :

శా ||
ఈ వంశంబున కెల్ల నీవ కుదు; రిం దెవ్వారి చందంబు లె
ట్లై వర్తిల్లినఁ గీడు మేలుఁ దుది నీయం దొందెడు గాన స
ద్భావం బారసి లోనిపొత్తు వెలివృత్తంబున్ జనస్తుత్యముల్
గావింపం దగు నీక యెవ్విధమునం గౌరవ్యవంశాగ్రణీ!

ప్రతిపదార్థం :

కౌరవ్యవంశ + అగ్రణి = కురువంశంలో శ్రేష్టుడా!
ఈ వంశంబునకున్ + ఎల్లన్ = ఈ కురుకులాని కంతటికి
నీవు + అ (నీవ) = నీవే
కుదురు = ఆశ్రయం (మూలం)
ఇందున్ = ఈ కురువంశస్థులలో
ఎవ్వారి చందంబులు = ఎవ్వరి నడవడులు
ఎట్లు + ఐ వర్తిల్లినన్ = ఏ విధంగా ఉండునో వాటిననసరించి
కీడు = హాని
మేలూ = వృద్ధి
తుదిన్ = కడపటి
నీ అందున్ + ఒందెడున్ = నీకే చెందగలవు
కానన్ = కనుక
సద్భావంబు + అరిసి = మంచి తలంపునకు వచ్చి
లోనిపొత్తు = అంతరంగంలో ఒద్దిక
వెలి వృత్తంబున్ = బహిరంగ ప్రవర్తన
జనస్తుత్యముల్ = ప్రజలచేత మెచ్చదగినవిగా
కావింపన్ = చేయటానికి
నీకున్ + అ(నీక) = నీకే
ఏ విధమునన్ = ఏ విధంగానైనా
తగున్ = యోగ్య౦

తాత్పర్యం : ధృతరాష్ట్ర మహారాజా ! నీవు కురు వంశంలో ఆగ్రేసరుడివి. ఈ వంశానికంతటికీ నీవే ఆధారం. నీ కుటుంబంలో ఎవ్వరెవ్వరి నడవడికలు ఎట్లుగా ఉంటాయో, వాటిని బట్టి కలిగే మేలు కీడు నీకే చెందుతాయి. కాబట్టి నీవు ఇరుకుటుంబాల వారి శ్రేయస్సు నూహించి అంతరంగంలో స్నేహం, బహిరంగ ప్రవర్తన జనులు మెచ్చేటట్లుగా ఏవిధంగానైనా వారిని చక్కదిద్దవలసి ఉంటుంది.

5వ పద్యం :

చ|| వినుము ! సుయోధనాదులగు వీరు సధర్ములు గాక కార్యము
ల్గొనక మహార్థసిద్ధి యెడలుం దమ కిట్లన కన్వయంబు వ
ర్తనమిది గాదు నాక బెడిదంపుఁదనంబున బంధుకోటికి
న్మనసులు నొవ్వఁగా నవగుణంబులకుం బుయిలోడ రేమియున్

ప్రతిపదార్థం :

వినుము = (మహారాజా) నామాటలాలకించండి
సుయోధన + ఆదులు + అగువీరు = దుర్యోధనుడు మొదలైన నీ కుమారులు
సధర్ములు కాక = ధర్మము ననుసరించే వారు కాక
కార్యముల్ + కొనక = చేయదగిన మంచి పనులు చేయక
ఇట్లు = ఈ రీతిగ మెలగితే
తమకున్ = తమకు
మహా + అర్థసిద్ధి = గొప్ప ప్రయోజనాలు చేకూరుట
ఎడలున్ + అనక = తొలగిపోవునని తలంచక
అన్వయంబు వర్తనము = వంశపు నడవడి
ఇది కాదు = ఇటువంటిది కాదు
నాక = అనక
బెడిదంపు దనంబునన్ = దారుణ స్వభావంతో
బంధుకోటికిన్ = బంధువర్గానికి
మనసులు నొవ్వగాన్ = హృదయాలు వ్యధ చెందేటట్లు
అవగుణంబులకున్ = దుర్గుణాలకు
ఏమియున్ = ఇంచుకయు
బుయి లోడర = వెనుదీయరు

తాత్పర్యం: రాజా ! వినుము. దుర్యోధనాదులైన వీరు ధర్మపరులుగాక, సత్కార్యాలాచరించక ఇట్లా ఉంటే మహార్థసిద్ధికి దూరమవుతామని తలంచక, వంశ నడవడి ఇట్టిది కాదనక ఈ దారుణ బుద్ధితో బంధువుల మనస్సులు బాధ చెందేటట్లుగా దుష్టచేష్టలు చేయటానికి ఏమాత్రం వెనుదీయకున్నారు.

6వ పద్యం :

ఉ ||
కౌరవ పాండవుల్ తెఱఁగు గైకొని శాంతతఁ బొందియున్కి మే
లారయ నాకు నీకుఁ గులమంతకు నీ నృపకోటి కుర్వికిం
బోరితమైన నింతకును బుట్టు మహాపద గావునన్ ధరి
త్రీ రమణాగ్రగణ్య ! గణుతించి యవశ్యముఁ బొం దొనర్పవే !

ప్రతిపదార్థం :

ధరిత్రీ రమణ + అగ్రగణ్య = రాజులలో ఉత్తముడా !
కౌరవపాండవుల్ = కౌరవులూ, పాండవులూ
తెఱగు + కైకొని = సంధి నిర్ణయానికి వచ్చి
శాంతతన్ + పొంది = ప్రసన్నత్వం వహించి
ఉన్కి = ఉండటం
ఆరయున్ = పరికించగా
నాకున్ = నాకును
నీకున్ = నీకును
కులము అంతకున్ = కురువంశానికంతటికి
ఈ నృప కోటికిన్ = ఈ రాజ సమూహానికి
ఉర్వికిన్ = ఈ జగత్తునకూ
మేలు = శ్రేయం (మంచి)
పోరితము + ఐనన్ = యుద్ధం జరిగితే
ఇంతకును = ఈ సమస్తమునకునూ
మహా + ఆపద + పుట్టున్ = గొప్ప విపత్తు సంభవిస్తుంది
కావునన్ = కనుక
గణుతించి = నా మాటలు లెక్కించి
అవశ్యమున్ = తప్పక
పొందు + ఒనర్పవే = సంధి చేసుకోండి

తాత్పర్యం : కౌరవులు పాండవులు ఒక మంచి నిర్ణయానికి వచ్చి, శాంతం వహించి, జీవించటం మంచిది. ఇట్లు వారు ప్రసన్నచిత్తులై ఉండటం నాకూ, నీకూ, కురువంశానికి, ఈ రాజ సమూహానికీ, ఈ భూమండలానికి మంచిది. అట్లాకాక యుద్ధమే సంభవిస్తే మనందరికీ మహా విపత్తు కలుగుతుంది. కనుక రాజోత్తమా! నా మాటలపై విశ్వాసముంచి తప్పక సంధి చేసుకోండి.

7వ పద్యం :
ఉ || అందు వృకోదరార్జునుల నాహవ రంగమునందు మీఱువా
రెందఱో యెన్నుమా యిచట; నీ గురుభీష్ములఁ గ్రేణిసేయువా
రెందఱో; వారు వీరు నని నీల్గుటకంటె భవర్బలంబులై
యందఱుఁగూడు టొప్పదె జనాధిప ! శాంతి యొనర్పు మెమ్మెయిన్

ప్రతిపదార్థం :

అందున్ = అక్కడ ఉన్న
వృకోదర + అర్జునులన్ = భీమార్జునులను
ఆవహరంగమునందున్ = యుద్ధరంగంలో
మీఱువారు = మించగలవారు
ఎందఱో + ఎన్నుమా = ఇక్కడ ఎందరున్నారో నీవే లెక్కించు
ఇచటన్ = ఇక్కడ ఉన్న
ఈ గురు భీష్ములన్ = ఈ ద్రోణుడిని; భీష్ముడిని
క్రేణి + చేయువారు = పరిహరింపగలవారు
ఎందఱో ? = అక్కడెందరున్నారు ?
వారున్, వీరున్ = అక్కడివారూ, ఇక్కడివారూ
అనిన్ = యుద్ధంలో
ఈల్గుట కంటెన్ = చావటం కంటే
భవత్ + బలంబులు + ఐ = నీ బలగాలై
అందరున్ = వీరందరూ
కూడుట + ఒప్పదే = కలసిమెలసి ఉండటం తగదా ?
ఏ + మెయిన్ = ఏ విధంగానైనా
శాంతి + ఒనర్పుము = సంధి చేయుము

తాత్పర్యం : అక్కడున్న భీమార్జులను యుద్ధరంగంలో మించేవారు ఇక్కడెందరున్నారో చెప్పుము ? ఇక్కడున్న ద్రోణభీష్ముల పరాక్రమాన్ని లక్ష్యపెట్టక పరిహసించగలవారు అక్కడ కూడా లేరు. ఇట్లా ఉభయ పక్షాలలోని వీరులు యుద్ధంలో చావటం కన్న నీ బలగాలై కలసి మెలసి వర్తించటం మంచిది. ఏ విధంగానైనా వీరిని శాంతింప జేయుము.

8వ పద్యం :

తే ||
జగతిఁగల జనపతులు నీ చరణపీఠ
మర్థిఁ గొలువ సముద్ర వేలావృతోర్వి
యెల్ల నేలుట యొప్పదే ? తల్లి ప్రజల
యెడ విరోధంబు వాటించు టెంత మేలు ?

ప్రతిపదార్థం :

జగతిన్ + కల = లోకంలో ఉన్న
జనపతులు = రాజులు
నీ చరణ పీఠము = నీ పాదపీఠమును
అర్థిన్ = కోరికలు
కొలువన్ = సేవిస్తుండగా
సముద్ర వేలా + అవృత = సాగరం యొక్క చెలియలి కట్టచేత చుట్టబడిన
ఉర్వి + ఎల్లన్ = పుడమి నంతయు
ఏలుట = నీవు పాలించటం
ఒప్పదే ? = తగదా ?
తల్లి = జనని
ప్రజల + ఎడన్ = తన బిడ్డల విషయంలో
విరోధంబు పాటించుట = వైరం వహించటం
ఎంత మేలు = ఏపాటి మంచిది ?

తాత్పర్యం : లోకంలోని రాజులందరూ నీ పాదపీఠాన్ని ప్రీతితో సేవిస్తుండగా సముద్రపు చెలియలికట్టచేత చుట్టబడిన పుడమినంతటినీ నీవే ఏకచ్ఛత్రంగా పరిపాలించటం తగును. తల్లి తన బిడ్డలపట్ల శత్రుత్వం వహించటం ఎంత సమంజసమో నీవే ఆలోచించు.

9వ పద్యం :

క||
నరనాథ ! నీవుపేక్షా
పరుఁడ వయినఁ గౌరవులక పాండవులక కా
దరయఁగ భూ ప్రజకెల్లను
దురితం బొనరించి నట్ల తుదిఁ గీడు సుమీ !

ప్రతిపదార్థం:

నరనాథ ! = రాజా
నీవు + ఉపేక్షాపరుఁడవు + అయినన్ = ఈ విషయంలో అశ్రద్ధ వహిస్తే
కౌరవులకున్ + ఆ, పాండవులకున్ + ఆ కాదు = కురుపాండవులకే కాదు
అరయగన్ = ఆలోచిస్తే
భూప్రజకున్ + ఎల్లన్ = పుడమిలోని అందరికి
దురితంబు + ఒనరించిన + అట్లు + అ = పాపం చేసినట్లే ఔతుంది
తుదిన్ = చివరకు
కీడు + చుమీ ! = నీకే హాని సుమా !

తాత్పర్యం : రాజా ! నీవు కురుపాండవుల విషయంలో శ్రద్ధ వహించకుంటే ఈ ఉభయ వర్గాలకే కాదు, పుడమిలోని జనులందరికీ పాపం చేసినట్లే ఔతుంది. చివరకు నీకే హాని కలుగుతుంది.

10వ పద్యం :

క||
కౌరవ పాండవులం దె
వ్వారలకుం జావు నొవ్వు వచ్చిన మే లు
ర్వీరమణ ! చిత్తమున నె
ట్లారయునూ నీకు దుఃఖమగు నెట్లయినన్

ప్రతిపదార్థం :

ఉర్వీమణ = భూనాథా !
కౌరవ పాండవులందున్ = కౌరవులలో పాండవులలో
ఏ + వారలకున్ = ఎవరికైనా
చావు = మరణం
నొవ్వు = బాధ
వచ్చినన్ = కలిగినా
చిత్తమునన్ = మనస్సులో
ఎట్లు మేలు = ఏ విధంగా మేలవుతుందో
ఆరయుమా = పరిశీలించుము
ఎట్లు + అయినన్ = వారికి ఏలాగైనా
నీకున్ = నీకు
దుఃఖము + అగున్ = విషాదం కలుగుతుంది
చావు = మరణం

తాత్పర్యం : కురు పాండవులలో ఎవరికి మరణం సంప్రాప్తించినా, బాధలు కలిగినా నీకు ఎట్లా మేలవుతుందో మనస్సులో ఆలోచించుము. వారిలో ఎవరికి చావు లేదా బాధ వచ్చినా నీకు ఏవిధంగానైనా దుఃఖం కలుగుతుంది.

11వ పద్యం :

ఆ||
ఇట్లు గాక యుండ నీ రెండు దెఱఁగుల
వారి గాచికొనుము వసుమతీశ !
నీదు ప్రాభవంబు నీతియు శాంతియు
నఖిల జనులుఁ బొగడునట్లుఁగాగ

ప్రతిపదార్థం :

వసుమతీ + ఈశ = భూవల్లభా (ధృతరాష్ట్రా!)
నీదు ప్రాభవంబు = నీయొక్క గొప్పతనం
నీతియున్ = రాజనీతి
శాంతియున్ = కామక్రోధాది రాహిత్యము
అఖిల జనులు = సమస్త ప్రజలు
పొగడునట్లు కాగన్ = ప్రశంసించునట్టి తీరులో
ఇట్లు + కాక + ఉండన్ = ఇట్లా చావు నొవ్వుల పాలుగాకుండా
ఈ రెండు తెఱగులవారిన్ = ఈ ఉభయ పక్షాల వారిని
కాచి కొనుము = రక్షించుకొనుము

తాత్పర్యం : నీ గొప్పతనమును, రాజనీతిని, శాంతిని సమస్త ప్రజలు మెచ్చుకొనేటట్లు కురుపాండవులు సంగ్రామంలో నశించకుండా సంరక్షించుకొనుము.

12వ పద్యం :

తే||
పాండవులు తండ్రి సచ్చిన ప్రజలు వారి
నరసి ప్రోచితి శైశవ మాదిగాఁగ
నడుమ నిష్కారణము దిగవిడువఁ దగునె ?
పారమొందంగ రక్షింపు గారవమున

ప్రతిపదార్థం :

పాండవులు = ధర్మజాదులు
తండ్రి చచ్చిన ప్రజలు = తండ్రిలేని బిడ్డలు
వారిన్ = వారలను
శైశవము + ఆగాగన్ = చిన్నప్పటి నుంచి
అరసి ప్రోచితి(వి) = చక్కగ కాపాడావు
నడుమన్ = మధ్యలో
నిష్కారణము + అ = కారణం లేకుండా
దిగన్ + విడువన్ + తగునే = వదలి వేయవచ్చునా ?
పారము + ఒందగన్ = ఆవలిగట్టు చేరువరకూ (చివరి వరకు)
గారవమునన్ = ఆదరంతో రక్షింపు(ము), కాపాడుము

తాత్పర్యం : పాండవులు తండ్రిలేని పిల్లలు. వారిని పసితనం నుంచి చల్లగా కాపాడావు. ఇప్పుడు వారిని కారణం లేకుండా మధ్యలోనే విడిచిపెట్టటం న్యాయం కాదు. చివరివరకు నీవు ప్రేమతో వారిని కాపాడవలసి ఉంది.

13 వచనం :

పాండుకుమారులు నీకుం బరమభక్తిం బ్రణమిల్లి యందరు నొక్కమాటగా నీతోఁ జెప్పుమని నాకుం జెప్పిన విధంబు వినుము: తన పంపునం బండ్రెండు వత్సరంబులు వనంబున వసియించితిమి పదమూఁడగునేడు జనపదంబున నజ్ఞాతవాసంబునుం జలిపితిమి; మా తండ్రి సమయంబు పరిపాలించియే మర్ధరాజ్యం బెట్లునుం బడయుడు మని కృతనిశ్చయులమై పడితిమి ? తల్లియుఁ దండ్రియు నెల్ల చుట్టంబులు నేడుగడయునను మాకుఁ దాన: మావలన నేరమి గల్గినం గినిసి యిట్లుగా దట్లని చక్కం బెట్టునది. తనగల పది వేలేండ్లకుం దన్నకాని మఱియెఱుంగ మెట్టివారమైనను మమ్మును దుర్యోధనాదులనుం దలంపరు తనయందుఁ దెఱంగు గలిగిన నెవ్వరు గొఱగాకున్నను గులంబుపాడి సెడక చెల్లునని’ రని పలికి మఱియు నిట్లనియె.

ప్రతిపదార్థం :

పాండు కుమారులు = పాండవులు
నీకున్ = నీకు
పరమ భక్తిన్ = మిక్కిలి భక్తితో
ప్రణమిల్లి = నమస్కరించి
అందఱున్ = అందరూ కలిసి
ఒక్కమాటగా = ఏకవాక్యంగా
నీతోన్ = నీతో
చెప్పుము + అని = చెప్పండి అని
నాకున్ చెప్పిన విధంబు వినుము = నాకు చెప్పిన మాటలు
తన పంపునన్ = తన ఆజ్ఞచేత వినుము
పండ్రెండు వత్సరంబులూ = పన్నెండేళ్ళు
వనంబునన్ = అడవిలో
వసియించితిమి = నివసించాము
పదమూఁడగు + ఏడు = పదమూడవ సంవత్సరం
జనపదంబునన్ = జనులుండే స్థలంలో
అజ్ఞాతవాసంబునన్ + చలిపితిమి = ఇతరులు మమ్మెరుగకుంకుండునట్లుగా జీవించాము
మా తండ్రి సమయంబు పరిపాలించి = మా తండ్రి ఏర్పరచిన ఒడంబడికను నెరవేర్చి
ఏము = మేము
అర్థరాజ్యంబు = సగం రాజ్యాన్ని
ఎట్టును = ఏ విధంగానైనా
పడయుదుము = పొందగలం
అని, కృతనిశ్చయులము + ఐ = తీర్మానించు కొన్నవారమై
పడితిమి = కష్టాలు అనుభవించాం
తల్లియున్ తండ్రియున్ = తల్లిదండ్రులు
ఎల్లచుట్టంబులున్ = అందరు చుట్టాలు
ఏడుగడును = సర్వ విధాలు రక్షించేవాడు.
మాకున్ = మాకు (పాండవులకు)
తాన్ + అ = అతడే
మా వలనన్ = పాండవుల వల్ల
నేరమి + కల్గినన్ = దోషముంటే
కనిసి = కోపించి
ఇట్లు కాదు = ఇలాకాదు
అట్లు + అని = అలా అని
చక్కన్ + పెట్టునది = సరిదిద్దవలెను
తన కల పదివేల + ఏండ్లకున్ = తాను జీవించిన పదివేల సంవత్సరాలకైనా
తన్నున్ + ఆకాని = తననే తప్పు
మఱి + ఎఱుంగుము = ఇతరుల నాశ్రయించం
ఎట్టివారము = ఐనను
మేము = ఎటువంటి వాళ్ళమైనా
మమ్మును = మమ్మల్ని
దుర్యోధన + ఆదులను = దుర్యోధనుడు మొదలైన కౌరవులను
తలంపరు = లోకులు భావింపరు
తనయందున్ + తెఱంగు + కల్గినన్ = తనకు కార్యం సరిదిద్దవలెనన్న తలంపు ఉంటే
ఎవ్వరు కొఱ + కాకున్నను = ఎవరు పనికిమాలిన వారైనా
కులంబుపాడి = వంశధర్మం
చెడకు = చెడకుండా
చెల్లును = సాగును
అనిరి = (పాండవులు) అన్నారు
అని పలికి = అని చెప్పి
మణియున్ ఇట్లు + ఆనియున్ = మరల ఇలా (కృష్ణుడు) అన్నాడు.

తాత్పర్యం : ధృతరాష్ట్ర మహారాజా ! పాండునందనులు నీకు పరమభక్తితో నమస్కరించి ఒకే గొంతుతో చెప్పుమని నాతో చెప్పి పంపిన మాటలు చెపుతాను వినుము, “తండ్రీ ! నీ ఇష్టప్రకారం పన్నెండు సంవత్సరాలు అరణ్యాలలో నివసించాము. పదమూడవ సంవత్సరం విరటుడి పట్టణంలో అజ్ఞాతవాసం కావించాము. ఈ విధంగా ఒడంబడికను నెరవేర్చి మేము రాజ్యంలో సగపాలు పొందగలమని దృఢనిశ్చయంతో ఉన్నాము. మాకు తల్లి, తండ్రి, చుట్టములు వెయ్యేల సర్వవిధ రక్షకులు మీరే. మా వలన ఏమైనా అపరాధముంటే కోపించి ఇలా కాదు అలా నడుచుకోవాలని చెప్పి చక్కబెట్టండి. నీవు పదివేలేండ్లు జీవించినప్పటికిని నిన్ను తప్ప మరెవ్వరినీ ఎరుగము, ఎట్టివాళ్ళమైననూ, మమ్మూ, దుర్యోధనాదులనూ లోకులు అనుకోరు. నీకు సదభిప్రాయముంటే మాలో ఎవరు కొరగాకపోయినా వంశ ధర్మం చెడక నిలుస్తుంది అని నీతో చెప్పుకున్నారు ? అంటూ శ్రీకృష్ణుడు ఆయనతో ఇంకా ఇట్లా అన్నాడు.

14 వచనం :

అని యీ సభ్యులకుం జెప్పుమనిరి; నీవును సభాసదులైన రాజులు నేమనియెద రనుం; డేను ధర్మంబును
నీయుఁ జుట్టఱికంబును మున్నిడుకొని మనోవాక్పప్రకారంబు లేక రూపంబైన సత్యంబకాఁజెప్పితి, నిత్తెఱంగు
మీకు మేలు క్రోధమాన మత్సరంబులు విడిచి యిట్లు సేయుండు

ప్రతిపదార్థం :

అని = చెప్పి
ఈ సభ్యులకున్ = సభలోని పెద్దలకు
చెప్పుము + అనిరి = చెప్పవలసినదిగా పాండవులు నన్ను కోరారు
నీవును = నీవు
సభాసదులు+ఐనరాజులు = సభలో ఉన్న దొరలు
ఏమి + అనియెదరు + అనుండు = ఏమిచెపుతారో చెప్పండి
ఏను = నేను
ధర్మంబును = న్యాయమును
నీతియును = రాజనీతిని
చుట్టరికంబును = బాంధవ్యమును
మున్ను + ఇడుకొని = ముందుంచుకొని
మనఃవాక్ + ప్రకారంబులు = మనసు యొక్క వాక్కు యొక్క వైఖరులు
ఏకరూపంబున = ఒకే విధముగ ఉండునట్లు
సత్యంబకాన్ = సత్యమునే
చెప్పితిన్ = చెప్పాను
ఈ తెఱంగుల = ఈ పద్ధతి
మీకున్ = మీకు
మేలు = మంచిని కలిగిస్తుంది.
క్రోధమానమత్సరంబులు = కోపం, గర్వం, ద్వేషం
విడిచి = వదిలి
ఇట్లు + చేయుండు = నేను చెప్పిన రీతిని ఆచరించండి

తాత్పర్యం : పాండవులు సభలోని పెద్దలకు నన్ను చెప్పుమని కోరిన మాటలు చెప్పాను. మహారాజా ! నీవూ, సభలోని రాజులూ ఇందుకు బదులేమి చెపుతారో చెప్పండి. నేను నీతి, ధర్మాలనూ, బాంధవ్యాన్ని ముందుంచుకొని మనో వాక్కులు ఏకరూపంగా (త్రికణ శుద్ధిగా) ఉన్న సత్యమునే చెప్పాను. నేను చెప్పిన పద్ధతి మీకు మేలు గలిగిస్తుంది. కోపం, గర్వం, ద్వేషం వదలి నేను చెప్పినట్లు చేయండి.

15వ పద్యం :

కం ||
అని పలికి మహారాజా
వినుమని ధృతరాష్ట్రు తోడ వెండియుఁ దా ని
ట్లనిచెప్పె వాసుదేవుఁడు,
తనమది నఱలేక కార్యదశ దెలియంగన్

ప్రతిపదార్థం:

అని పలికి = అని చెప్పి
మహారాజా! = భూ వల్లభా (ధృతరాష్ట్రా)
వినుము + అని = వినుమని
ధృతరాష్ట్రతోడన్ = ధృతరాష్ట్రునితో
వెండియున్ = మరల
కార్యదశ తెలియంగన్ = కార్యపద్ధతి విశదమయ్యేటట్లు
వాసుదేవుఁడు = శ్రీకృష్ణుడు
తన మదిన్ = తన హృదయంలో
అఱ లేక = మర్మం లేకుండా
తాన్+ఇట్లు+అని చెప్పన్ = తాను ఈ విధంగా పలికాడు

తాత్పర్యం : ఇట్లా వచించి శ్రీకృష్ణుడు ధృతరాష్ట్రుడితో రాజా! నా మాటలు వినుమంటూ మనుసులో మర్మం ఉంచుకోక కార్యపద్ధతి తేటతెల్లమయ్యేటట్లు మళ్ళీ ఈ విధంగా పలికాడు.

16వ పద్యం :

ఆ ||
వారి తండ్రిపాలు వారికి నిచ్చి నీ
పాలు నీవుఁ బుత్ర పౌత్ర చేయము
ననుభవించి సఖులరై యుండుఁ డిది బంధు
మిత్ర సుజనకోటి మెచ్చు తెఱఁగు

ప్రతిపదార్థం :

వారి తండ్రిపాలు = పాండవుల తండ్రి భాగం
వారికిన్ + ఇచ్చి = పాండవులకు ఇచ్చి
నీ పాలు = నీ రాజ్య భాగం
నీవున్ = నీవూ
పుత్రపౌత్ర చయమున్ = నీ కొడుకుల, మనుమల సమూహం
అనుభవించిన = అనుభవించి
సుఖులురు+ఐ+ఉండుఁడు = హాయిగా జీవించండి
ఇది = ఇట్లా ఉండటం,
బంధుమిత్ర సుజనకోటి = చుట్టముల, స్నేహితుల, సత్పురుషుల యొక్క సముదాయం
మెచ్చుతెఱగు = కొనియాడు విధమై ఉన్నది

తాత్పర్యం : రాజా! పాండవుల తండ్రి భాగం పాండవుల కిచ్చి, నీ రాజ్యభాగం, నీ కుమారులు, నీ మనుమళ్ళూ హాయిగా అనుభవిస్తూ ఉంటే చుట్టాలూ, స్నేహితులూ, సత్పురుషులు అందరు మిమ్ములను కొనియాడుతారు.

17వ పద్యం :

కం||
ఎఱుఁగవె యజాతశత్రుని
నెఱియును ధర్మంబు సత్యనిష్ఠయు మిము నె
త్తెఱగున ననువర్తించెనొ
యెఱుఁగవె ? తగు చేవ గలుగు టెఱుఁగవె ? యధిపా !

ప్రతిపదార్థం :

అధిపా ! = రాజా!
అజాతశత్రుని = ధర్మరాజు యొక్క
నెఱియును = న్యాయమును
ధర్మంబున్ = ధర్మమును
సత్యనిష్ఠయు = సత్యమునందలి నమ్మకము
ఎఱగవె ? = తెలియదా ?
మిమున్ = మిమ్ము
ఏ + తెఱఁగునన్ = ఏ విధంగా
అనువర్తించెనొ = అనుసరించిమెలగెనో
ఎఱుగవె ? = తెలియదా ?
తగుచేవ = తగినశక్తి
కలుగుట = అతడు కల్గియుండటం
ఎఱుంగవె ? = తెలియదా ?

తాత్పర్యం : మహారాజా! ధర్మజుడి న్యాయమూ, ధర్మమూ, సత్యప్రవృత్తి నీకు తెలుసు. అతడు మిమ్మాశ్రయించుకొని ఎట్లా ఉన్నాడో నీకు తెలుసు. అతని సామర్థ్యం కూడా నీకు తెలుసు.

18వ పద్యం :
చ||
మద మడగించి భూపతిసమాజము నెల్లను నిన్నుఁ గొల్వఁజే
యుదునని పూని దిగ్విజయ మున్నతిఁజేసి మహావిభూతితో
మదిమదినుండ నీ సుతుఁడు మంత్రులు సౌబలు జూదమార్చి సం
పద కొని యంతఁ బోవక సభన్ ద్రుపదాత్మజ భంగపెట్టరే

ప్రతిపదార్థం :

మదము + అడఁగించి = గర్వాన్ని తొలగించి
భూపతి సమాజమున్ + ఎల్లన్ = రాజలోకమంతటినీ
నిన్నున్ = నిన్ను
కొల్వన్+చేయుదున్+అని = సేవించేటట్లు చేయుదునుగాక
అని పూని = పూనుకొని
దిగ్విజయము = విజయ యాత్రను
ఉన్నతిన్ చేసి = గొప్పగా కావించి
మహా విభూతితోన్ = గొప్ప ఐశ్వర్యంతో
మది మదిన్ + ఉండక = నెమ్మదిగా ఉండగా
నీ సుతుడు = నీ కుమారుడైన (దుర్యోధనుడు)
మంత్రులు = అతడికి ఆలోచన చెప్పే (కర్ణ దుశ్శాసనులు)
సౌబలున్ = సుబలును పుత్రుడు (శకుని)
జూదము + ఆర్చి = జూదము ఆడించి
సంపదన్ + కొని = సిరిని హరించి
అంతన్ + పోవక = అంతటితో విడువక
ద్రుపద + ఆత్మజన్ = ద్రౌపదిని
సభన్ = కొలువులో
భంగపెట్టరే = అవమానించిన వారు గదా !

తాత్పర్యం : రాజుల దర్పమడచి వారందరు నిన్ను కొలిచేటట్లు చేయడానికై ధర్మనందనుడు గొప్పగా దిగ్విజయం చేసి మిక్కుటమైన సిరిసంపదతలో తులతూగుతూ నిమ్మళంగా ఉన్నాడు. అప్పుడు నీ తనయుడూ, అతని మంత్రులూ చేరి శకునిచే జూదమాడించి ధర్మజుడి సంపదనెల్ల హరించారు. అంతటితో తృప్తిపడక నిండుసభలో ద్రౌపదిని పరాభవించారు.

19వ పద్యం :

ఉ ||
దానికి నీ వొడంబడితి; ధర్మజుఁ డంతయుఁ జూచి సత్యముం
బూని వృకోదరార్జునులు భుగ్నులుగాఁ బెదచేతఁ గన్ను నీ
రూనఁగ నొత్తుకొంచుఁ జని యుగ్ర వనంబున దుఃఖమగ్నుఁడై
దీనత నుండి పూన్కి దగఁ దీర్చియుఁ గూడి మనంగఁ గోరెడిన్

ప్రతిపదార్థం :

దానికిన్ = దుర్యోధనుడి దుష్టచేష్టకు
నీవు + ఒడంబడితి(వి) = నీవు సమ్మతించావు
ధర్మజుఁడు = ధర్మరాజు
అంతయున్ + చూచి = పరిస్థితి నాకళించుకొని
సత్యమున్ + పూని = సత్యం అవలంభించి
వృకోదర + అర్జునులు = భీమార్జునులు
భుగ్నులుగాన్ = క్రుంగినవారుకాగా
కన్ను = కళ్ళలో
నీరు + ఊనఁగన్ = కన్నీరు నిండగా
పెడచేతన్ = వెనక చెయ్యితో
ఒత్తుకొంచున్ = తుడుచుకొంటూ
చని = వెళ్ళి
ఉగ్ర వనంబునన్ = ఘోరారణ్యంలో
దుఃఖమగ్నుడు + ఐ = శోకమునందు మునిగినవాడై
దీనతన్ + ఉండి = దైన్యంతో పడియుండి
పూన్కిన్ = ప్రతిజ్ఞను
తగన్ + తీర్చియున్ = సక్రమంగా నిర్వహించికూడా
కూడి = మీతో కలసి మెలసి
మనంగన్
కోరె = జీవించాలని
కోరెడిన్ = కోరుకొంటున్నాడు.

తాత్పర్యం: దుర్యోధనుడి దుష్కృత్యాలకు నీవు సమ్మతించావు. ధర్మరాజు తనకేర్పడిన సంకటాన్ని గమనించి సత్యం తప్పక, తన ఆజ్ఞచేత భీమార్జునులు బలముడిగి క్రుంగిపోగా, కంటినుండి కారుతున్న కన్నీటిని ఎడమచేతితో తుడుచుకుంటూ ఘోరారణ్యాలకు వెళ్ళాడు. అక్కడ దుఃఖాలలో మునిగి దైన్యం అనుభవిస్తూ ప్రతిజ్ఞను సక్రమంగా నెరవేర్చికూడా నేడు మీతో ఒద్దికగా జీవించవలెనని కోరుకుంటున్నాడు.

20వ పద్యం :

కం||
తనుఁ దాన పోలుగా కే
మనవచ్చు ? నజాతశత్రు నతిశాంతతయున్
వినయుము సత్యము మున్నే
జనపతులకుఁ గలవు సెపుమ ? సౌజన్యనిధీ !

ప్రతిపదార్థం :
సౌజన్యనిధీ ‘ = మంచితనానికి స్థానమైనవాఁడా!
తనున్+తాను+అ+పోలున్+కాక = అతడికి అతడే సాటి అగును
ఏమి + అనన్ వచ్చున్ ? = అతడిని ఎంతని కొనియాడగలము ?

అజాతశత్రు = ధర్మజుడి యొక్క
అతి = ఎక్కువైనా
శాంతతయున్ = శాంతస్వభావమూ,
వినయమున్ = అణకువా
సత్యమున్ = సత్యమూ
మున్ను = పూర్వ౦
ఏ జనపతులకున్+కలవు = ఏ రాజులకున్నాయో
చెపుము + అ = చెప్పుము

తాత్పర్యం : ధర్మపుత్రుడికి సాటి ధర్మపుత్రుడే. అతడిని ఎంతని కొనయాడగలం ? ఆయన శాంతస్వభావం, అణకువ, సత్యనిష్ఠ ఇంతకు మునుపు ఏరాజులకున్నవో చెప్పు.

21వ పద్యం :

కం॥ ఏ నిం తాడితి నీ సం
తానం బిరుదెఱఁగునకు హితము గోరి భవ
త్సూనుని మతి యతిలోభము
మానిచి పాండవులఁ దెమ్ము మనుజాధీశా !

ప్రతిపదార్థం :

మనుజ + అది + ఈశ = నరనాథా !
నీ సంతానంబు = నీ బిడ్డలైన
ఇరు తెఱుగునకున్ = రెండు పక్షాల వారికి,
హితమున్ + కోరి = మేలు దలచి
ఏను = నేను
ఇంత + ఆడితిన్ = ఇన్ని మాటలు చెప్పాను
భవత్ + సూనుని = నీ కొడుకైన దుర్యోధనుడి యొక్క
మతి + అతి లోభమున్ = మనస్సునందలి మిక్కిలి దురాశను
మానిచి = తొలగించి,
పాండవులన్ + తెమ్ము = పాండవులను నీ దగ్గరకి రప్పించుకొనుము

తాత్పర్యం : మంచితనంగల ధృతరాష్ట్ర మహారాజా ! నీ బిడ్డలైన కురుపాండవుల మేలు గోరి నేనిన్ని మాటలు చెప్పవలసి వచ్చింది. నీ పుత్రుడైన దుర్యోధనుడి మనసులో ఉన్న పరమ దురాశను తొలగించి, పాండవులను నీ చెంతకు పిలిపించుకొనుము.

22వ పద్యం :

చం||
అనవుడు రోమహర్షణము లంగములం బొడమన్ సదస్యు లె
ల్లను బ్రియమంది నెమ్మనములం బురుషోత్తముఁ డింత యొప్పఁ బ
ల్కునె ? మఱుమాటలాడ నయకోవిదుఁ దెవ్వఁడు ? ధీరుఁడెవ్వఁ? డిం
దనువరి యెవ్వఁ డంచు నచలాకృతులై నెఱి నూరకుండఁగన్

ప్రతిపదార్థం :

అనవుడున్ = (శ్రీకృష్ణుడు) అట్లా పలుకగా;
అంగములన్ = శరీరములందు
రోమహర్షణములు = గగుర్పాటు
పొడమన్ = కలుగగా
సదస్యులు + ఎల్లను = కొలువులోని వారంతా
ప్రియము + అంది = హర్షించి,
నెమ్మనములన్ = తమ నిండుమనసులలో
పురుషోత్తముఁడు = శ్రీకృష్ణుడు
ఇంత + ఒప్పన్ + పల్కునే = ఇంత బాగా మాట్లాడుతాడా ? (ఎంత బాగా మాట్లాడాడు ? అని భావం)
మఱుమాటలు + ఆడన్ = ఆ మాటలకు బదులు పలకటానికి
ఇందున్ = ఈ సభలో
నయకోవిదుడు+ఎవ్వఁడు ? = నీతి శాస్త్ర నిపుణుడు ఎవడున్నాడు ?
ధీరుఁడు + ఎవ్వడు ? = ధైర్యశాలి ఎవడున్నాడు ?
అనువరి + ఎవ్వడు ? = ఉపాయలి ఎవడున్నాడు ?
అంచున్ = అని పలుకుతూ
ఆచల :- ఆకృతులు + ఐ = చలించని ఆకారాలు గలవారె
నెతిన్ = ఒప్పుగా
ఊరక + ఉండఁగన్ = మిన్నకుండగా

తాత్పర్యం : శ్రీకృష్ణుడి మాటలు వినగానే సభ్యులందరి శరీరాలు గగుర్పాటు వహించాయి. వారు మనస్సులలో ఎంతో సంతోషించి, నారాయణు డెంత ఒప్పిదంగా మాట్లాడాడు ! శౌరి మాటలకు ప్రతివచనాలు పల్కగల నీతి నిపుణుడు, ధీరుడు, ఉపాయశాలి ఈ కొలువులో ఎవరున్నారు అని కదలక మెదలక నోరు విప్పక అట్లాగే ఉండిపోయారు.

కంఠస్థం చేయవలసిన పద్యాలు, ప్రతిపదార్థ, తాత్పర్యములు

కవి పరిచయం : ఈ పద్యం తిక్కన రాసిన మహాభారతం, ఉద్యోగ పర్వం, తృతీయాశ్వాసం నుండి తీసుకున్న శ్రీకృష్ణ రాయబారం అనే పాఠ్యాంశం లోనిది. తిక్కనకు కవి బ్రహ్మ, ఉభయ కవి మిత్రుడు అనే బిరుదులున్నాయి. పదమూడవ శతాబ్దికి చెందిన నెల్లూరు పాలకుడు మనుమసిద్ధి ఆస్థానంలో ఉండేవాడు.

1వ పద్యం :
(ప్రతిపదార్థ తాత్పర్యాలు రాసే ముందు కవి పరిచయం రాయాలి.)

చ ||
భరతకులంబు ధర్మమును బాడియు సత్యముఁ బొత్తుఁ బెంపునుం
గరుణయుఁ గల్గి యుందు ననఁగా నుతిఁ గన్నది : యందు సద్గుణో
త్తరులరు నీవు నీ యనుఁగుఁ దమ్ముఁడు; నీ తనయుల్ యశోధురం
ధర శుభ శీలు; రీ సుచరిత క్రమ మిప్పుడుఁ దప్పనేటికిన్!

ప్రతిపదార్థం :

భరతకులంబు = భరతుడు జన్మించిన =
ధర్మమును = ధర్మమును
పాడియున్ = న్యాయమును
సత్యమున్ = సత్యమును
పొత్తున్ = ఐకమత్యమును
పెంపునున్ = గొప్పతనమును
కరుణయున్ = దయయును
కల్గి+ఉండున్+అనఁగాన్ = కల్గియుంటుందని
నుతిన్ + కన్నది = ప్రఖ్యాతి వహించినది
అందున్ = అట్టి వంశంలోని
నివున్ = నీవూ
నీ + అనుగుఁ దమ్ముడున్ = నీ ప్రియమైన తమ్ముడు (పాండురాజు)
సద్గుణ + ఉత్తరులు = మంచి గుణాలచేత శ్రేష్టులు
నీ తనయుల్ = నీ కొడుకులునూ, నీ తమ్ముడి కొడుకులున్నూ
యశోధురంధర శుభశీలురు = కీర్తి భారాన్ని వహిస్తున్న మంచి స్వభావం కలవారు
ఈ సుచరిత క్రమము = పరంపరగా వస్తున్న ఈ మంచి ప్రవర్తనా తీరును
ఇప్పుడున్ = ఇప్పుడు కూడా
తప్పన్ + ఏటికిన్ ? = తప్పడం ఎందుకు ?

తాత్పర్యం : మహారాజా ! మీ భరతవంశం ధర్మం, న్యాయం, సత్యం, ఐకమత్యం, గౌరవం, కారుణ్యం మొదలైన సద్గుణాలు గలిగి కీర్తి పొందింది. అట్టి వంశంలో నీవూ, నీ ప్రియ సహోదరుడు పాండురాజు, సద్గుణాలయందు శ్రేష్టులు, మరి నీ కుమారులు కీర్తి భారం వహించ జాలినవారు. కళ్యాణ స్వభావులు. ఇంత మంచి నడవడిగల వంశ సంప్రదాయం ఇప్పుడు కూడా తప్పడం ఎందుకు ?

2వ పద్యం :
ఉ ||
వీరును వారుఁ బండితులు, విక్రమవంతులు, బాహుగర్వదు
ర్వారులు; పూని రిత్త బవరంబున నాఱడిఁ జావఁబోవ నె
ట్లూరక యుండవచ్చుఁ ? గడు నొప్పెడు మేనులు వాఁడి కైదువుల్
గూరఁగ నాటినం బుడమిఁ గూలుట కక్కట ! యోర్వవచ్చునే ?

ప్రతిపదార్థం :

వీరును = ఈ కౌరవులు
వారున్ = ఆ పాండవులు
పండితులు = చదువు, సాములు నేర్చినవారు
విక్రమవంతులు = పరాక్రమం కలవారు
బాహు గర్వ దుర్వారులు = భుజబలంచేత అడ్డగించ రానివారు
పూని = ఉద్యమించి
రిత్త బవరంబునన్ = తమలో తమకు ఏర్పడిన వ్యర్థమైన కలహం వల్ల
ఆఱ డిన్ = యుద్ధంలో
కావడ్ + పోవన్ = మరణించటానికి సిద్ధపడగా
ఎట్లు + ఊరక + ఉండన్* + వచ్చున్ = నివారించక మౌనంగా ఎట్లుండదగును ?
వాడి కైదువుల్ = పదునైన ఆయుధాలు (బాణాలు)
కూరఁగన్ = దూసుకొని పోయేటట్లు
నాటినన్ = గ్రుచ్చుకొనగా
కడున్ = మిక్కిలి
ఒప్పెడు మేనులు = సుందర (సుకుమారమైన) శరీరాలు
పుడమిన్ + కూలుటకున్ = నేలపై కూలటం
అక్కట = అయ్యో
ఓర్వన్ వచ్చునే = సహింపశక్యము ?

తాత్పర్యం : కౌరవులూ పాండవులూ మంచి చదువరులు, పరాక్రమవంతులు, భుజదర్పం గలవారు గనుక ఎవ్వరూ వీరిని అడ్డగించలేరు. ఇట్లాంటివారు తమలో తమ కేర్పడిన కొరమాలిన యుద్ధంలో ఊరక మరణించటానికి సిద్ధపడుతుండగా అడ్డుపడక చూస్తూ ఊరకుండటం మంచిది కాదు. ఇంత కోమలమైన శరీరాలు వాడి బాణాలు ఆవలికి దూసుకొని వెళ్ళేటట్లు గ్రుచ్చుకోగా నేలమీద కూలటం చూచి సహించటం సరైనది కాదు.

3వ పద్యం:
ఉ||
‘సారపు ధర్మమున్ విమల సత్యముఁ బాపముచేత బొంకుచేఁ
బారముఁ బొందలేక చెడఁ బాఱినదైన యవస్థ దక్షు లె
వ్వారలుపేక్ష సేసి రది వారల చేటగుఁగాని ధర్మని
స్తారక మయ్యు సత్యశుభదాయక మయ్యును దైవ ముండెడున్’.

ప్రతిపదార్థం :

సారపు ధర్మమున్ = శ్రేష్టమైన ధర్మమును;
విమల సత్యమున్ = నిర్మలమైన సత్యమును,
పాపముచేతన్ = దురిత చేత
బొంకు చేన్ = అబద్ధం చేత
పారమున్+పొందన్+లేక = గట్టుకు చేరలేక
చెడన్ పారినది + ఐన + అవస్థన్ = చెడటానికి సిద్ధంగా ఉన్న దుర్దశలో
దక్షులు = చక్కదిద్దటానికి సమర్థులు
ఏ + వారు = ఎవరు
ఉపేక్ష + చేసిరి = అశ్రద్ధ వహిస్తారో
అది = అట్లా ఊరుకోవడం
వారల చేటు + అగున్ = వారికే హాని కలిగిస్తుంది
కాని = కానీ
ధర్మ నిస్తారికము + అయ్యున్ = ధర్మమును ధరించేదిగాను
సత్య శుభదాయకము + ఆయ్యును = సత్యానికి మేలు కల్గించేదిగా
దైవము ఉండెడున్ = దైవం ఆధారంగా ఉంటుంది

తాత్పర్యం : ఉత్తమమైన ధర్మం, నిర్మలమైన సత్యం పాపం చేతను, అబద్ధం చేత దరి (లక్ష్యాన్ని) చేరలేక చెడటానికి సంసిద్ధంగా ఉన్న స్థితిలో వాటిని రక్షించే శక్తి ఉన్నా ఎవరు అశ్రద్ధ వహిస్తారో అది వారలకే హానికరమవుతుంది. ఆ స్థితిలో భగవంతుడు ధర్మమును ఉద్ధరించటానికి, సత్యమునకు శుభం కలిగించటానికి ముందుకు వస్తాడు.

4వ పద్యం :

ఉ ||
వారలు శాంతశూరులు; భవచ్చరణంబులు గొల్వఁబూని యు
న్నారటుఁగాక మీ కది మనంబున కప్రియమేని నింతకుం
బోరికి వచ్చుచుండుదురు; భూవర ! రెండు దెఱంగులందు ని
కారయఁ బథ్యమేది యగు నవ్విధ మేర్పడ నిశ్చయింపుమా !

ప్రతిపదార్థం :

వారలు = కౌంతేయులు
శాంత శూరులు = శాంతస్వభావులు, పరాక్రమవంతులు
భవత్ + చరణంబులు = నీ పాదాలు
కొల్వన్ = సేవించటానికి
పూని + ఉన్నారు = సంసిద్ధంగా ఉన్నారు
అటున్ + కాక = అట్లాకాక
మీకున్ = మీకు
అది = పాండవుల పొత్తు
మనంబునకున్ = మీ మనస్సులకు
అప్రియము + ఏనిన్ = ఇష్టం కానిచో
ఇంతకున్ = ఈపాటికి
పోరికిన్ = యుద్ధానికి
వచ్చుచున్ + ఉండుదురు = వస్తూ ఉంటారు
భూవర = రాజా
రెండు తెలుగులందున్ = సంధి సంగ్రామాలలో
నీకున్ = నీకు
అరయన్ = ఆలోచించగా
ఏది పథ్యము + అగున్ = ఏది హితమౌతుందో
ఆ + విధము = ఆ తెఱగు
ఏర్పడన్ + నిశ్చయింపుమా ! = తేటపడేటట్లు తీర్మానించుము

తాత్పర్యం : మహారాజా ! పాండవులు ఎంతటి శాంత స్వభావులో అంతటి వీరాగ్రేసరులు. వారు నీ పాదసేవ చేయటానికి సంసిద్ధంగా ఉన్నారు. వారట్లా మీతో కలసి మెలసి వర్తించటం మీకు ఇష్టం కాకపోతే కదనం కావించటానికి బయలుదేరి వస్తారు. సంధి, సంగ్రామం ఈ రెండింటిలో మీ కేది హితమని తోస్తుందో దానిని నిర్ణయించి వెల్లడించండి.

శ్రీకృష్ణ రాయబారం Summary in Telugu

(ఆంధ్ర మహాభారతం: హశ్వాసము నుండి)

కవి పరిచయం

పాఠ్యాంశం పేరు : శ్రీకృష్ణ రాయబారం
కవి పేరు : తిక్కన సోమయాజి
గ్రంథం : మహాభారతం – ఉద్యోగపర్వం – తృతీయాశ్వాసంలోనిది
బిరుదులు : కవి బ్రహ్మ, ఉభయకవి మిత్రుడు
కాలం : 13వ శతాబ్ది (క్రీ.శ. 1205 నుండి 1288)
‘ఆస్థానం : నెల్లూరును పరిపాలించిన మనుమసిద్ధి ఆస్థానం.
ఇంటి పేరు : కొట్టరువు
రచనలు : వ్యాసభారతంలోని విరాటపర్వం నుండి స్వర్గారోహణ పర్వం వరకు – 15 పర్వాలు అనువదించాడు. నిర్వచనోత్తర రామాయణం, కృష్ణశతకం, విజయసేనం, కవివాగ్బంధం (కవిసార్వభౌమఛందం).
తిక్కన శైలి : తిక్కనది నాటకీయ శైలి, రాసాభ్యుచిత బంధం.
తిక్కనను ఆదరించిన రాజు : తిక్కన క్రీ.శ. 1205 నుండి 1288 వరకు నెల్లూరు మండలాన్ని పాలించిన, మనుమసిద్ధి యొక్క ఆస్థాన కవి.
మనుమసిద్ధికి తిరిగి
రాజ్యాన్ని ఇప్పించడం : తిక్కన తన జీవితకాలంలో దాయాదుల చేతిలో ఓటమిపాలైన మనుమసిద్ధికి అతని రాజ్యాన్ని తిరిగి ఇప్పించేందుకు, నాటి కాకతీయ ప్రభువైన గణపతిదేవుడి దగ్గరకు వెళ్ళి రాయబార కార్యాన్ని సఫలం చేశాడు.
హరిహరాద్వైత మతస్థాపన: సమాజం శాంతిగా ఉండేందుకు హరిహరాద్వైత సిద్ధాంతాన్ని పునఃప్రతిపాదించాడు. తమ సమకాలీన కవులందరిచేత సమున్నత గౌరవం పొందాడు. ఎందరో శిష్య ప్రశిష్యులను తన మార్గంలో నడిపించాడు.

తిక్కన గారి శిష్యుడు
కేతన చెప్పిన వివరాలు : కవిత్రయంలో ద్వితీయుడైనా కవితారచనలో అద్వితీయుడు తిక్కన సోమయాజి. తిక్కన శిష్యుడు కేతన దశకుమార చరిత్రలో తిక్కనను మయూర సన్నిభకవి, ఆర్యభోజ, భారవికల్పుడు, ఉభయ భాషాకర్త, త్రివిధకావ్య పారీణుడు అని పేర్కొన్నాడు.

పాఠ్యభాగ సందర్భం

పంచమ వేదంగా ప్రసిద్ధి పొందిన ఇతిహాసం మహాభారతం. శంతన మహారాజుకు. సత్యవతికి పుట్టిన సంతానం చనిపోయిన తరువాత వేదవ్యాసుని ద్వారా ధృతరాష్ట్ర, పాండురాజులు జన్మిస్తారు. పుట్టుకతో అంధుడైన ధృతరాష్ట్రునికి రాజయ్యే అవకాశం లేనందున పాండురాజుకు పట్టాభిషేకం చేస్తారు. పాండు రాజుమరణానంతరం ధృతరాష్ట్రున్ని తాత్కాలిక రాజునూ చేస్తారు. దుర్యోధనునికి రాజ్యంపై కోరిక పెరగడంతో వారిని చంపాలని ప్రయత్నిస్తాడు. దుర్యోధనుడు అసూయతో పాండవులను అనేకసార్లు కష్టనష్టాలకు గురిచేశాడు. లక్కయిల్లు దహనం, ద్రౌపదీ వస్త్రాపహరణం, మాయాజూదంతో పాండవులతో అరణ్యవాసం చేయించడం వంటి అనేక దుష్కృత్యాలకు దుర్యోధనుడు పాల్పడ్డాడు. అవన్నీ పూర్తయిన తరువాత తన అర్థరాజ్యం తనకిమ్మని రాయబారం పంపిస్తాడు. రాజు స్థానంలో ఉన్న ధృతరాష్ట్రుడు మౌనంగా కూర్చున్నాడు. సంజయుడు, ద్రుపద పురోహితుల రాయబారం ఇరుపక్షాల వద్ద జరిగినా ఫలితం లేకపోయింది. చివరకు శ్రీకృష్ణుడే రంగంలోకి దిగి ధృతరాష్ట్రునికి యుద్ధనష్టాలు, శాంతి గొప్పదనం, పాండవుల పరాక్రమం చెప్పేందుకు వెళ్ళిన సందర్భమే ‘శ్రీకృష్ణ రాయబారం’ అనే ప్రస్తుత మన పాఠ్యాంశం.

పాఠ్యభాగ సారాంశం

శ్రీకృష్ణుడు మేఘధ్వని వంటి గంభీరమైన తన కంఠధ్వనితో, దంతాల కాంతులు ప్రసరిస్తూ ఉండగా, ధృతరాష్ట్రుని సభలో ఉన్న వారందరూ శ్రద్ధగా వింటుండగా పాండవులు పంపిన సంధి సమాచారాన్ని ధృతరాష్ట్ర మహారాజుతో చెప్పాడు. “ఓ మహారాజా ! నీకు తెలియని విషయాలు ఏమున్నాయి ? అయినప్పటికీ, భరతవంశం సంతోషించేటట్లు నా ఇరు కుటుంబాల వారికి న్యాయమూ, పరమహితమూ చెప్పటం ఉచితమని నేనిక్కడికి వచ్చాను.

శ్రీకృష్ణుడు కురువంశ కీర్తిని గుర్తు చేయుట : కురునాథా ! పాండవ కౌరవులు పాలూ, నీరు లాగా కలిసిమెలిసి జీవించటం మంచిది. వారు కలిసిమెలిసి ఉండేటట్లు నడిపించవలసిన బాధ్యత తమరిది. పాండవులు వేరు, కౌరవులు వేరు అనే భేదభావన నీకు లేదు. మహారాజా ! మీ భరతవంశం ధర్మం, న్యాయం, సత్యం, ఐకమత్యం, గౌరవం, కారుణ్యం మొదలైన సద్గుణాలు గలిగి కీర్తి పొందింది. అట్టి వంశంలో నీవూ, నీ ప్రియ సహోదరుడు పాండురాజు సద్గుణాలతో గొప్ప పేరు పొందారు. నీ కుమారులు కూడా కీర్తి భారం వహింప జాలినవారు. కళ్యాణ స్వభావులు. ఇంత మంచి నడవడిగల వంశ సంప్రదాయం ఇపుడు తప్పడం ఎందుకు ?

యుద్ధం సంభవిస్తే జరిగే కీడుకు ధృతరాష్ట్రున్ని బాధ్యుణ్ణి చేయుట : ధృతరాష్ట్ర మహారాజా ! నీవు కురువంశంలో పెద్దవాడివి. ఈ వంశానికంతటికీ నీవే ఆధారం. నీ కుటుంబంలో ఎవ్వరెవ్వరి నడవడికలు, వాటిని బట్టి కలిగే మేలు, కీడు అంతా నీకే చెందుతాయి. కాబట్టి నీవు ఇరుకుటుంబాల వారి శ్రేయస్సును దృష్టిలో పెట్టుకొని జనులు మెచ్చేటట్లుగా వారిని చక్కదిద్దవలసిన బాధ్యత నీపై ఉంది. రాజా ! దుర్యోధనాదులైన వీరు ధర్మపరులుగాక, సత్కార్యాలు చేయక ఇట్లా ఉంటే మహార్థసిద్ధికి దూరమవుతామని తలచటం లేదు. మీ వంశ నడవడి ఇట్టిది కాదు అని తెలిసి కూడా దారుణ బుద్ధితో బంధువుల మనస్సులు బాధ చెందేటట్లుగా ప్రవర్తిస్తున్నారు. కౌరవులు, పాండవులు ఒక మంచి నిర్ణయానికి వచ్చి, శాంతం వహించి, జీవించటం మంచిది. ఇట్లు వారు ప్రసన్న చిత్తులై ఉండటం నాకూ, నీకూ, కురువంశానికి, ఈ రాజ సమూహానికి, ఈ భూమండలానికి అంతటికి మంచిది. అట్లాకాక యుద్ధమే సంభవిస్తే మనందరికీ మహావిపత్తు కలుగుతుంది. కనుక రాజోత్తమా ! నా మాటలపై విశ్వాసముంచి తప్పక సంధి చేసుకోండి.

ఇరువైపులా గల బలాలను వారిని కలిపి ఉంచే ప్రయత్నం చేయుట : అక్కడున్న భీమార్జునులను యుద్ధరంగంలో వివరించి నిలువరించగలవారు ఇక్కడెందరున్నారు ? ఇక్కడున్న ద్రోణ, భీష్ముల పరాక్రమాన్ని ఎదుర్కొనగలవారు అక్కడ ఎందరున్నారు ? ఇట్లా ఉభయ పక్షాలలోని వీరులు యుద్ధంలో చావటం కన్న నీ బలగాలై కలిసి మెలిసి జీవించటం మంచిది. మహారాజా! ఏ విధంగానైనా వీరిని శాంతింపజేయుము. లోకంలోని రాజులందరూ నీ పాదపీఠాన్ని ప్రీతితో సేవిస్తుండగా సముద్రముచే చుట్టబడిన పుడమినంతటినీ నీవే ఏకచ్ఛత్రంగా పరిపాలించటం మంచిది. తల్లి తన బిడ్డల పట్ల శత్రుత్వం వహించటం ఎంత సమంజసమో నీవే ఆలోచించు. నీవు కురుపాండవుల విషయంలో శ్రద్ధ వహించకుంటే ఈ ఉభయవర్గాలకే కాదు, పుడమిలోని జనులందరికీ పాపం చేసినట్లే అవుతుంది. చివరకు దానివల్ల నీకే హాని కలుగుతుంది.

రాజా ! కురు పాండవులలో ఎవరికి మరణం సంప్రాప్తించినా, బాధలు కలిగినా నీకు దుఃఖం కలుగుతుంది. కౌరవులూ, పాండవులూ మంచి చదువరులు, పరాక్రమవంతులు, భుజదర్పం గలవారు గనుక ఎవ్వరూ వీరి నడ్డగించలేరు. ఇట్లాంటివారు తమలో తమకేర్పడిన కొరమాలిన యుద్ధంలో మరణించటానికి సిద్ధపడుతుండగా అడ్డుపడక చూస్తూ ఊరకుండటం నీ వంటి వారికి తగిన పని కాదు. ఇంత కోమలమైన శరీరాల నుండి మొనలుదేలిన బాణాలు ఆవలికి దూసుకొని వెళ్ళేటట్లు గ్రుచ్చుకోగా నేలమీద కూలటం చూచి సహించటం సరైనది కాదు. రాజా ! నీ గొప్పతనమును, రాజనీతిని, శాంతిని సమస్త ప్రజలు మెచ్చుకొనేటట్లు కురుపాండవులు సంగ్రామంలో నశించకుండా సంరక్షించుకొనుము,

పాండవుల సందేశాన్ని అందించుట : ధృతరాష్ట్ర మహారాజా ! పాండవులు తండ్రిలేని పిల్లలు. వారిని పసితనం నుంచి చక్కగా కాపాడావు. ఇప్పుడు వారిని కారణం లేకుండా మధ్యలోనే విడిచిపెట్టడం న్యాయం కాదు. పాండునందనులు నీకు పరమభక్తితో నమస్కరించి ఒకే గొంతుకతో నీకు చెప్పమని నాతో చెప్పి పంపిన మాటలు చెపుతాను వినుము. “తండ్రీ ! నీ ఇష్టప్రకారం పన్నెండు సంవత్సరాలు అరణ్యాలలో నివసించాము. పదమూడవ సంవత్సరం విరాట మహారాజు దగ్గర అజ్ఞాతవాసం చేశాము. ఈ విధంగా ఒప్పందాన్ని నెరవేర్చాము. మేము రాజ్యంలో సగపాలు పొందగలమని దృఢనిశ్చయంతో ఉన్నాము. మాకు తల్లి, తండ్రి, చుట్టములు వెయ్యేల సర్వవిధ రక్షకులు మీరే. మావల్ల ఏమైనా అపరాధముంటే కోపించి చక్కబెట్టండి”.

యుద్ధాన్ని తప్పించకుంటే దైవం చూసుకుంటుందని హెచ్చరిక : ఉత్తమమైన ధర్మం, నిర్మలమైన సత్యం పాపం చేతను, అబద్ధం చేత లక్ష్యాన్ని చేరలేని స్థితిలో వాటిని రక్షించే శక్తి ఉన్నా, ఎవరు అడ్డుపడక అశ్రద్ధ వహిస్తారో అది వారలకే హానికరమవుతుంది. ఆ స్థితిలో భగవంతుడు ధర్మమును ఉద్ధరించటానికి, సత్యానికి శుభం కలిగించటానికి ముందుకు వస్తాడు.

పాండవులు సభలోని పెద్దలకు నన్ను చెప్పమని కోరినమాటలు చెప్పాను. మహారాజా ! నీవూ, సభలోని రాజులూ ఇందుకు బదులేమి చెపుతారో చెప్పండి. నేటి నీతి ధర్మాలనూ, బాంధవ్యాన్ని ముందుంచుకొని మనోవాక్కులు ఏకరూపంగా ఉన్న సత్యమునే చెప్పాను. నే చెప్పిన పద్ధతి మీకు మేలు గలిగిస్తుంది. కోపం, గర్వం, ద్వేషం వదలి నేను చెప్పినట్లు చేయండి.

పాండవుల ఔన్నత్యాన్ని వివరించుట : రాజా ! పాండవుల తండ్రి భాగం పాండవులకిచ్చి, నీ రాజ్యభాగం నీ కుమారులు, నీ మనుమళ్ళూ హాయిగా అనుభవిస్తూ ఉంటే చుట్టాలూ, స్నేహితులూ, సత్పురుషులు అందరు మిమ్ములను కొనియాడుతారు. మహారాజా ! ధర్మజుడి న్యాయమూ, ధర్మమూ, సత్యప్రవృత్తి నీకు తెలుసు. అయినప్పటికీ స్పష్టంగా చెపుతాను విను. అతడు ఇంద్రప్రస్థపురంలో ఉంటూ నీకు గౌరవ ఖ్యాతులు కలిగించడానికి రాజులను ఓడించి వారందరు నిన్ను కొలిచేటట్లు చేయటానికి గొప్పగా దిగ్విజయ యాత్ర చేశాడు. సిరిసంపదలతో తులతూగుతూ నిమ్మళంగా ఉన్నప్పుడు

నీ తనయుడూ, అతని మంత్రులూ చేరి శకునిచే జూదమాడించి ధర్మజుడి సంపదనెల్ల హరింపచేశాడు. అంతటితో తృప్తిపడక నిండుసభలో ద్రౌపదిని పరాభవించారు. దుర్యోధనుడి దుష్కృత్యాలకు నీవు సమ్మతించావు. ధర్మరాజు తనకేర్పడిన సంకటాన్ని గమనించి సత్యం తప్పక తన ఆజ్ఞచేత భీమార్జునులు బలముడిగి క్రుంగిపోగా కంటి నుండి కారుతున్న కన్నీటిని ఎడమచేతితో తుడుచుకొంటూ ఘోరారణ్యాలకు వెళ్ళాడు. అక్కడ దుఃఖాలలో మునిగి దైన్యం అనుభవిస్తూ ప్రతిజ్ఞను సక్రమంగా నెరవేర్చాడు. అయినా మీతో కలిసి జీవించవలెనని కోరుకుంటున్నాడు.

ధర్మరాజుకు సాటియైన వాడు ధర్మరాజే. ఆయన శాంతస్వభావం, అణకువ, సత్యనిష్ట ఇంతకుమునుపు ఏ రాజులలో కూడా కానరాదు. మంచితనం గల ధృతరాష్ట్ర మహారాజా ! నీ బిడ్డలైన కురుపాండవుల మేలు గోరి నేను ఇన్ని మాటలు చెప్పవలసి వచ్చింది, నీ పుత్రుడైన దుర్యోధనుడి మనసులో ఉన్న పరమదురాశను తొలగించి, పాండవులను నీ చెంతకు పిలిపించుకొనుము. మహారాజా ! పాండవులు ఎంతటి శాంత స్వభావులో అంతటి వీరాగ్రేసరులు. వారు నీ పాదసేవ చేయటానికి సంసిద్ధంగా ఉన్నారు. వారికి మీతో కలిసి మెలిసి ఉండటం ఇష్టంలేకపోతే ఈపాటికి యుద్ధానికి బయలుదేరి వచ్చేవారు. సంధి, సంగ్రామం ఈ రెండింటిలో మీకేది హితమని తోస్తుందో దానిని నిర్ణయించి చెప్పండి.

శ్రీకృష్ణుడి మాటలు వినగానే సభ్యులందరి శరీరాలు గగుర్పాటు వహించాయి. వారు మనస్సులలో ఎంతో సంతోషించి, నారాయణుడెంత చక్కగా మాట్లాడాడు ! శౌరి మాటలకు బదులు చెప్పగల నీతి నిపుణుడు, ధీరుడు, ఉపాయశాలి ఈ కొలువులో ఎవరున్నారు ? అని కదలక మెదలక నోరు విప్పక అట్లాగే ఉండిపోయారు.

Students must practice this TS Intermediate Maths 2A Solutions Chapter 2 De Moivre’s Theorem Ex 2(b) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 2 De Moivre’s Theorem Exercise 2(b)

I.
Question 1.
Find all the values of
i) (1 – i√3)^1/3
ii) (- i)^1/6
iii) (1 + i)^2/3
iv) (- 16)^1/4
v) (- 32)^1/5
Solution:
z = 2^1/3 \(\left(\frac{1}{2}-\frac{i \sqrt{3}}{2}\right)^{1 / 3}\)
= 2^1/3 \(\left[\cos \frac{\pi}{3}-i \sin \frac{\pi}{3}\right]^{1 / 3}\)
= 2^1/3 \(\left(\cos \frac{\pi}{9}-i \sin \frac{\pi}{9}\right)\)
General solution be = 2^1/3 cis (6k – 1) \(\frac{\pi}{9}\), k = 0, 1, 2, ……………

ii) (- i)^1/6

iii) z = (1 + i)^2/3

iv) z = (- 16)^1/4
= (2) [(- 1)]^1/4
= (2) [cos 2nπ + π) + i sin (2nπ + π)]^1/4
= 2 [cis (2n + 1)π]^1/4
= 2 [cis (2n + 1) \(\frac{\pi}{5}\)]

v) z = (- 32)^1/5
z = 2 (- 1)^1/5
= 2 [cos (2n + 1)π + i sin (2n + 1)π]^1/5
= 2 [cis (2n+ 1) \(\frac{\pi}{5}\)].

Question 2.
If ABC arc angles of a triangle such that x = cis A, y = cis B, z = cis C then find the value of xyz.
Solution:
A + B + C = π
Now xyz = e^iA . e^iB . e^iC
= e^{i(A + B + C)}
= e^i(π)
cos π + i sin π
xyz = – 1 + 0

Question 3.
i) If x = cis θ then find the value of (x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\))
ii) Find cube roots of 8.
Solution:
i) x⁶ = e^iθ
\(\frac{1}{x^6}\) = e^{– 6iθ}
x⁶ + \(\frac{1}{x^6}\) = e^iθ + e^{– 6θi}
= cos 6θ + i sin 6θ + cos 6θ – isin 6θ
= 2 cos 6θ.

ii) x = (8)^1/3
x³ – 8 = 0
(x – 2) (x² + 2x + 4)
x = 2, x = \(\frac{-2 \pm \sqrt{4-16}}{2}\)
x = \(\frac{-2 \pm 2 \sqrt{3} \mathbf{i}}{2}\)
x = – 1 ± √3i
Roots are 2, 2ω, 2ω².

Question 4.
If 1, ω, ω² are cube roots of unity, then prove that
i) \(\frac{1}{2+\omega}+\frac{1}{1+2 \omega}=\frac{1}{1+\omega}\)
ii) (2 – ω) (2 – ω²) (2 – ω¹⁰) (2 – ω¹¹) = 49
iii)(x + y + z) (x + yω + zω) (x + yω + zω) = x³ + y³ + z³ – 3xyz
Solution:
\(\frac{1}{2+\omega}+\frac{1}{1+2 \omega}=\frac{1}{1+\omega}\)

ii) (2 – ω) (2 – ω²) (2 – ω¹⁰) (2 – ω¹¹) = 49
L.H.S = (4 – 2(ω + ω²) + ω³) (4 – 2 (ω¹⁰ + ω¹¹) + ω²¹)
= (4 – 2 (- 1) + 1) (4 – 2 (ω + ω²) + (ω³)⁷)
= (7) (4 + 2 + 1) = 49.

iii) (x + y + z) (x + yω + zω) (x + yω + zω) = x³ + y³ + z³ – 3xyz
LH.S = (x + y + z) (x + yω + zω²) (x + yω² + zω)
= [x² + xyω + xzω + yx + y2ω + yzω2 + zx + zyω + z2ω] (x + yω + zω)
= [x + xy(1 + ω) + yz (ω + ω²) + zx (w² + 1) + z² (ω²) + y²ω] (x + yω² + zω)
= [x³ + x²y (1 + ω) + xyz(- 1) + zx²(1 + ω²) + z²xω² + xy²ω + yx²ω² + 2ω(- ω) – y²zω² – xyz + z²yω + y³ + x²zω – zxy – yz²ω – z²xω² + z³ + zy²ω²]
= x³ + y³ + z³ – 3xyz.

Question 5.
Prove that – ω and – ω² are roots of z² – z + 1 = 0 where ω and ω² are the complex cube roots of unity.
Solution:
z² – z + 1 = 0
z = \(\frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2}\)
z = \(\frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2}\)
z = \(\frac{-[-1 \mp \sqrt{3} i]}{2}\)
z = – ω, – ω²

Question 6.
If 1, ω, ω² are the cube roots of unity, then find the values of the following.:
i) (a + b)³ + (aω + bω²)³ + (aω² + bω)³
ii) (a + 2b)² + (aω² + 2bω)² + (aω + 2bω²)²
iii) (1 – ω + ω²)³
iv) (1 – ω) (1 – ω²) (1 – ω⁴) (1 – ω⁸)
v) \(\left(\frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2}\right)+\left(\frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2}\right)\)
vi) (1 + ω)³ + (1 + ω²)³
viij (1 – ω + ω²)⁵ + (1 + ω – ω²)⁵
Solution:
i)(a + b)³ + (aω + bω²)³ + (aω² + bω)³
= a³ + b³ + 3a²b + 3ab² + a³ω³ + b³ω⁶ + 3a²ω² . bω² + 3aω . b²ω⁴ + a³ω⁶ . b³ω³ + 3a²bω⁴ . ω + 3b²ω² . aω²
= a³ + b³ . 3a²b (1 + ω + ω) + a³ + b³ + 3b²a (ω² + ω + 1) + a³ . b³
= 3 (a³ + b³)

ii) (a + 2b)² + (aω² + 2bω)² + (aω + 2bω²)²
= a² + 4b² + a²ω⁴ + 4b²ω² + 4abω³ + a²ω² + 4b²ω⁴ + 4abω³
= a² (1 + ω + ω²) + 4b² (1 + ω² + ω) + 4ab (1 + ω + ω²)
= 12ab

iii) (1 – ω + ω²)³
Now, 1 + ω + ω² = 0
1 + ω² = – ω
= (- ω – ω)³
= (- 2)³ ω³
= – 8.

iv) (1 – ω) (1 – ω²) (1 – ω⁴) (1 – ω⁸)
= (1 – ω – ω² + ω³) (1 – ω) (1 – ω²)
= (1 – ω – ω² + ω³) (1 – ω – ω² + ω³)
= (1 + 1 + 1) (1 + 1 + 1)
=9

v) \(\left(\frac{a+b \omega+c \omega^2}{c+a \omega+b \omega^2}\right)+\left(\frac{a+b \omega+c \omega^2}{b+c \omega+a \omega^2}\right)\)
= \(\frac{\omega^2\left(a+b \omega+c \omega^2\right)}{\left(c \omega^2+a \omega^3+b \omega^4\right)}+\frac{\left(a \omega^2+b \omega^3+c \omega^4\right)}{\omega^2\left(b+c \omega+a \omega^2\right)}\)
= ω² + \(\frac{1}{\omega^2}\)
= ω² + \(\frac{\omega}{\omega^3}\)
= ω² + ω = – 1

vi) (1 + ω)³ + (1 + ω²)³
= (- ω²)³ + (- ω)³
= – 1 + (- 1) = – 2.

vii) (1 – ω + ω²)⁵ + (1 + ω – ω²)⁵
1 + ω² = – ω
= (- 2ω)⁵ + (- 2ω²)⁵
= (- 2)⁵ (ω² + ω)
= (- 2)⁵ (- 1) = 32.

II. Question 1.
Solve the following equations.
i) x⁴ – 1 = 0
ii) x⁵ + 1 = 0
iii) x⁹ – x⁵ + x⁴ – 1 = 0
iv) x⁴ + 1 = 0
Solution:
i) x⁴ – 1 = 0
(x² – 1) (x² + 1) = 0
(x – 1) (x + 1) (x – i) (x + i) = 0
x = 1, – 1, i, – i.

ii) x⁵ = – 1
x = (- 1)^1/5
x = [cos (2n + 1) π + i sin (2n + 1) π]^1/5 n = 0, 1, 2, 3, 4
= cos(2n + 1) \(\frac{\pi}{5}\) + i sin(2n + 1) \(\frac{\pi}{5}\)

iii) x⁹ – x⁵ + x⁴ – 1 = 0
x⁵ (x⁴ – 1) + (x⁴ – 1) = 0
(x⁴ – 1) (x⁵ + 1) = 0
(x – 1) (x + 1) (x – i) (x + 1) (x⁵ + 1) = 0
x = ± 1, ± i, cis (2n + 1) \(\frac{\pi}{5}\).

iv) x⁴ + 1 = 0
x = (- 1)^1/4
x = [cos (2n + 1)π + isin(2n + 1)π]^1/4
x = cos (2n + 1)\(\frac{\pi}{4}\) + i sin(2n + 1)\(\frac{\pi}{4}\)
n = 0, 1, 2, 3.

Question 2.
Find the common roots of x¹² – 1 = 0 and x⁴ + x² + 1 = 0.
Solution:
x¹² – 1 = 0
(x⁴)³ – 1 = o
(x⁴ – 1) [x⁸ – x⁴ + 1] = 0
(x – 1) (x + 1) (x – i) (x + i) (x⁸ + x⁴ + 1) = 0 (or)
x = (1)^1/12
x = [cos 2nπ + i sin2nπ]^1/12 n = 0, 1, 2, …………. 11 ……………(1)
x⁴ + x² + 1 = 0
(x² – 1) (x⁴ + x² + 1) = 0
x⁶ – 1 = 0
x = (1)^1/6
x = [cos 2nπ + i sin 2nπ]^1/6
= \(\cos \frac{2 n \pi}{6}+i \sin \frac{2 n \pi}{6}\), n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 …………..(2)
Common roots to (1) and (2)
cis \(\frac{\pi}{3}\), cis \(\frac{2 \pi}{3}\), cis \(\frac{4 \pi}{3}\), cis \(\frac{5 \pi}{3}\).

Question 3.
Find the number of 15th roots of unity, which are also 25th roots of unity.
Solution:

Question 4.
If the cube roots of unity are 1, ω, ω, then find the roots of the equation (x – 1)3 + 8 = 0.
Solution:
(x – 1)³ = – 8
(x – 1) = (- 8)^1/3
x – 1 = – 2
x – 1 = – 2ω
x – 1 = – 2ω²
∴ x = – 1
x = – 2ω + 1
x = – 2ω² + 1

Question 5.
Find the roduct of all values of (1 + i)\(\frac{4}{5}\).
Solution:

Question 6.
If z² + z + 1 = 0, where z is a complex number, prove that
\(\left(z+\frac{1}{z}\right)^2+\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)^2+\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)^2\) + \(\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^2+\left(z^5+\frac{1}{z^5}\right)^2+\left(z^6+\frac{1}{z^6}\right)^2\) = 12.
Solution:
z = ω satisfy
L.H.S = \(\left(z+\frac{1}{z}\right)^2+\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)^2+\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)^2\) + \(\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^2+\left(z^5+\frac{1}{z^5}\right)^2+\left(z^6+\frac{1}{z^6}\right)^2\)
= (- 1)² + (- 1)² + (2)² + (- 1)² + (- 1)² + (2)² = 12.

III.
Question 1.
1, α, α², α³, ……………. α^{n – 1} be the nth roots of unity then prove that 1^p + α^p + (α²)^p + (α³)^p + ………….. + (α^{n – 1})^p = {0 if p ≠ kn, n if p = kn. where p, k ∈ N.
Solution:
Now xⁿ – 1 = 0
x = (1)^1/n
x = [cos 2nπ + i sin 2nπ]^1/n
x = \(\cos \frac{2 m \pi}{n}+i \sin \frac{2 m \pi}{n}\)
α = \(\cos \frac{2 m \pi}{n}+i \sin \frac{2 m \pi}{n}\)
α^p = \(\cos \frac{2 m p \pi}{n}+i \sin \frac{2 m p \pi}{n}\)
Now p = kn
1 + 1 + 1 + …………. nterms = n
If p ≠ kn value then1^p + α^p + (α²)^p + (α³)^p + ………….. + (α^{n – 1})^p = 0.

Question 2.
Prove the sum of 99th powers of the roots of the equation x⁷ – 1 = 0 is zero and hence deduce the roots of x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³+ x² + x + 1 = 0.
Solution:
x⁷ – 1 = 0
x = (1)^1/7
x = (cos 2kπ + sin 2kπ)^1/7
k = 0, 1, 2, ………., 6
x₁ = 1, x₂ = \(e^{\frac{2 \pi}{7} i}\), x₂ = \(e^{\frac{4 \pi}{7} i}\), x₃ = \(e^{\frac{6 \pi}{7} i}\), ………….. x₆ = \(\frac{12 \pi}{7} \mathrm{i}\)
x₁⁹⁹ + x₂⁹⁹ + x₃⁹⁹ + …………..
1⁹⁹ + \(\mathrm{e}^{\frac{2 \pi}{7} \cdot 99 \mathrm{i}}+\mathrm{e}^{\frac{4 \pi}{7} \cdot 99 \mathrm{i}}+\ldots \ldots . \mathrm{e}^{\frac{12 \pi}{7} \cdot 99 \mathrm{i}}\) = 0
Roots of x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³+ x² + x + 1 = 0 be \(\cos \frac{2 k \pi}{7}+i \sin \frac{2 k \pi}{7}\); k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
∵ (x⁷) – 1 = (x – 1) (x⁶ + x⁵ + x⁴ + x³+ x² + x + 1) = 0
x = 1 is one root
⇒ cis \(\frac{2 k \pi}{7}\); k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Question 3.
If n is a positive integer, show that (P + iQ)^1/n + (P – iQ)^1/n = 2 (P² + Q²)^1/2n cos(\(\frac{1}{n}\) tan^-1 \(\frac{Q}{P}\))
Solution:
P = r cos θ
Q = r sin θ
(P + iQ)^1/n = [r cos θ + i sin θ]^1/n
= r^1/n \(\left[\cos \frac{\theta}{n}+i \sin \frac{\theta}{n}\right]\)
(P – iQ)^1/n = [r cos θ – i sin θ]^1/n
= r^1/n \(\left[\cos \frac{\theta}{n}-i \sin \frac{\theta}{n}\right]\)
(P + iQ)^1/n + (P – iQ)^1/n = r^1/n [2 cos \(\frac{\theta}{n}\)]
= 2r^1/n cos \(\frac{\theta}{n}\)
Now P² + Q² = r²
r = (P² + Q²)^1/2
tan θ = \(\frac{Q}{P}\); θ = tan^-1 \(\frac{Q}{P}\)
= 2 (P² + Q²)^1/2n cos(\(\frac{1}{n}\) tan^-1 \(\frac{Q}{P}\)).

Question 4.
Show that one value of \(\left[\frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}\right]^{\frac{8}{3}}\) is – 1.
Solution:
\(\left[\frac{1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right)+i \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right)}{1+\cos \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right)-i \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right)}\right]^{\frac{8}{3}}\)

= \(\left[\frac{2 \cos ^2 \frac{3 \pi}{16}+2 i \sin \frac{3 \pi}{16} \cos \frac{3 \pi}{16}}{2 \cos ^2 \frac{3 \pi}{16}-2 i \sin \frac{3 \pi}{16} \cos \frac{3 \pi}{16}}\right]^{\frac{8}{3}}\)

= \(\left[\frac{\cos \frac{3 \pi}{16}+i \sin \frac{3 \pi}{16}}{\cos \frac{3 \pi}{16}-i \sin \frac{3 \pi}{16}}\right]^{\frac{8}{3}}\)

= \(\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i} \pi}{2}}}{\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i} \pi}{2}}}\) = e^iπ = – 1.

Question 5.
Solve (x – 1)ⁿ = xⁿ, n is a positive integer.
Solution:

Students must practice this TS Intermediate Maths 2A Solutions Chapter 1 Complex Numbers Ex 1(c) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 2nd Year Maths 2A Solutions Chapter 1 Complex Numbers Exercise 1(c)

I.
Question 1.
Express the following complex numbers in modulus – amplitude form
i) 1 – i
ii) 1 + i√3
iii) – √3 + i
iv) – 1 – i√3
Solution:
i) (1 – i) = r cos θ + i r sin θ
r cos θ = 1, r sin θ = – 1
r² (cos² + sin²) = 2
r² = 2
r = ± √2
tan θ = – 1
θ = \(-\frac{\pi}{4}\)
√2 [cos (\(-\frac{\pi}{4}\) ) + i sin (\(-\frac{\pi}{4}\) )]

ii) 1 + i√3 = r cos θ + r i sin θ
r cos θ = 1 r sin θ = √3
r² (cos² θ + sin² θ) = 1 + 3
r² = 4
r = ± 2
tan θ = √3
θ = \(\frac{\pi}{3}\)
2 (cos \(\frac{\pi}{3}\) + i sin \(\frac{\pi}{3}\)).

iii) – √3 + i = r cos θ + r i sin θ
r cos θ = – √3
r sin θ = 1
r² (cos² θ + sin² θ) = 3 + 1
r = ± 2
tan θ = \(\frac{-1}{\sqrt{3}}\)
\(2\left(\cos \left(\frac{5 \pi}{6}\right)+i \sin \left(\frac{5 \pi}{6}\right)\right)\)
\(2\left(\cos \frac{5 \pi}{6}+i \sin \frac{5 \pi}{6}\right)\)

iv) – 1 – √3i = r cos θ + r i sin θ
r cos θ = – 1
r sin θ = – √3
r² (cos² θ + sin² θ) = 4
r = ± 2
tan θ = √3
θ = \(\frac{2 \pi}{3}\)
Hence 2 (cos \(\frac{2 \pi}{3}\) + i sin \(\frac{2 \pi}{3}\)).

Question 2.
Simplify – 2i (3 + i) (2 + 4i) (1 + i) and obtain the modulus of that complex number.
Solution:
z = – 2i (6 + 12i + 2i – 4) (1 + i)
= – 2i (2 + 14i) (1 + i)
= – 2i (2 + 2i + 14i – 14)
= – 2i (- 12 + 16i)
= 24i + 32 = 8 (4 + 3i)
| z |² = 64.25
| z | = 8 × 5 = 40.

Question 3.
i) If z ≠ 0 find Arg z + Arg \(\overline{\mathbf{Z}}\).
ii) If z₁ = – 1 and z₂ = – i then find Arg(z₁z₂)
iii) If z₁ = – 1 and z₂ = i then find Arg \(\left(\frac{z_1}{z_2}\right)\).
Solution:
i) z = x + iy;
\(\overline{\mathbf{Z}}\) = x – iy
Arg z = tan^-1 \(\frac{y}{x}\)
Arg \(\overline{\mathbf{Z}}\) = tan^-1 \(\frac{-y}{x}\)
Arg z + Arg \(\overline{\mathbf{Z}}\)
tan^-1 \(\frac{y}{x}\) – tan^-1 \(\frac{-y}{x}\)
0 when Arg z ≠ n
2n when Arg z = n

ii) z₁ = – 1 + 0i; z₂ = – i
Arg (z₁z₂) = Arg z₁ + Arg z₂
= tan^-1 \(\frac{0}{-1}\) + tan^-1 \(\frac{(-1)}{0}\)
= π – \(\frac{\pi}{2}\) = \(\frac{\pi}{2}\)

iii) z₁ = – 1; z₂ = i
Arg \(\left(\frac{z_1}{z_2}\right)\) = Arg z₁ + Arg z₂
tan^-1 \(\frac{0}{-1}\) – tan^-1 \(\frac{1}{0}\)
= π – \(\frac{\pi}{2}\) = \(\frac{\pi}{2}\).

Question 4.
i) (cos 2α + i sin 2α) (cos 2β + i sin 2β) = cos θ + i sin θ then find the value of θ.
ii) If √3 + i = r (cos θ + i sin θ) then find the value of θ in radian measure.
iu) If x + iy = cis α . cis β then find the value of x² + y².
iv) If \(\frac{z_2}{z_1}\); z₁ ≠ 0 is an imaginary number then find the value of \(\left|\frac{2 z_1+z_2}{2 z_1-z_2}\right|\).
v) If (√3 + i)¹⁰⁰ = 2⁹⁹ (a + ib) then show that a² + b² = 4.
Solution:
i) (cos 2α + i sin 2α) (cos 2β + i sin 2β) = cos θ + i sin θ
(cos 2α cos 2β – sin 2α sin 2β) + i(sin 2α cos 2β + sin 2β cos 2α) = cos θ + i sin θ
cos 2(α + β) + i sin 2(α + β) = cos θ + i sin θ
θ = 2 (α + β)

ii) √3 + i = r(cos θ + i sin θ)
r cos θ = √3
r sin θ = 1
r² (sin² θ + cos² θ) = 4
r = ± 2
tan θ = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
θ = \(\frac{\pi}{6}\)

iii) If x + iy = (cos α + i sin α) (cos β + i sin β)
(cos α cos β – sin α sin β) + i(cos α sin β . sinα cos β)
x + iy = cos(α + β) + i sin (α + β)
x = cos (α + β)
y = sin (α + β)
x² + y² = 1.

iv) \(\frac{z_2}{z_1}=k i\left|\frac{2+\frac{z_2}{z_1}}{2-\frac{z_2}{z_1}}\right|\)
\(\left|\frac{2+k i}{2-k i}\right|=\frac{\sqrt{4+k^2}}{\sqrt{4+k^2}}\) = 1

v) (√3 + i)¹⁰⁰ = 2⁹⁹ (a + ib)
|√3 + i|¹⁰⁰ = 2⁹⁹ |a + ib|
(√4)¹⁰⁰ = 2⁹⁹ \(\sqrt{a^2+b^2}\)
2¹⁰⁰ = 2⁹⁹ \(\sqrt{a^2+b^2}\)
4 = a²+ b²

Question 5.
i) If z = x + iy and |z| = 1, then find the locus of z.
ii) If Ihe amplitude of (z – 1) is \(\frac{\pi}{2}\) then find the locus of z.
iii) If the Arg \(\overline{\mathbf{z}}_1\) and Arg \(\overline{\mathbf{z}}_2\) are \(\frac{\pi}{5}\) and \(\frac{\pi}{3}\) respectively then find Arg z₁ + Arg z₂.
iv) If z = \(\frac{1+2 i}{1-(1-i)^2}\) then find Arg (z).
Solution:
i) z = x + iy
|z| = \(\sqrt{x^2+y^2}\)
1 = x² + y²
Locus is circle.

ii) z – 1 = (x – 1) + iy
\(\tan ^{-1} \frac{y}{x-1}=\frac{\pi}{2}\)
x – 1 = 0, y ≠ 0 also y > 0.

iii) Arg \(\overline{\mathrm{z}}_1\) = \(\frac{\pi}{5}\)
Arg z₂ = \(\frac{\pi}{3}\)
Arg \(\overline{\mathrm{z}}_1\) = – Arg z₁ = \(\frac{-\pi}{5}\)
Arg \(\overline{\mathrm{z}}_1\) + Arg z₂ = \(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{5}=\frac{2 \pi}{15}\).

iv) z = \(\frac{1+2 i}{1-(1-i)^2}\)
= \(\frac{1+2 i}{1-1+2 i-i^2}\)
= \(\frac{1+2 i}{2 i+1}\) = 1
Arg z = 0.

II.
Question 1.
Simplify the following complex nunibers and find their modulus.
i) \(\frac{(2+4 i)(-1+2 i)}{(-1-i)(3-i)}\)
ii) \(\frac{(1+i)^3}{(2+i)(1+2 i)}\)
Solution:
i) \(\frac{(2+4 i)(-1+2 i)}{(-1-i)(3-i)}\)

ii) z = \(\frac{(1+i)^3}{(2+i)(1+2 i)}\)

Question 2.
i) If(1 – i) (2 – i) (3 – i) …………. (1 – ni) = x – iy then prove that 2 . 5 . 10 ….. (1 + n²) = x² + y².
ii) If the real part of \(\frac{z+1}{z+i}\) is 1,then find the locus of z.
locus of z.
iii) If |z – 3 + i| = 4 determine the locus of z.
iv) If |z + ai| = |z – ai| then find the locus of z.
Solution:
i) (1 – i) (2 – i) (3 – i) ……….. (1 – ni) = x – iy
Taking modulus both sides
|(1 – i)| |(2 – i)| …………… |1 – ni| = |x – iy|
√2 . √5 ………….. \(\sqrt{1+n^2}=\sqrt{x^2+y^2}\)
2 . 5 . ………………… . (1 + n²) = x² + y²

ii) \(\frac{z+1}{z+i}\)

= k₁ + k₂i
Here k₁ = 1
x² + y² + x + y = x² + (y + 1)²
x² + y² + x + y – x² + y² + 2y + 1
x – y = 1

iii) |z – 3 + i| = 4
|(x – 3) + 1(y + 1)| = 4
(x – 3)² +(y + 1)² = 16
x² + y² – 6x + 2y + 10 = 16
x² + y² – 6x + 2y – 6 = 0

iv) If |z+ ai| = |z – ai|
|x + (y – a)i| = |x + (y – a)i|
x² + (y + a)² = x².(y – a)²
y = 0.

Question 3.
lf z = x + iy and if the point P in the Argand plane represents z, then describe geometrically the locus of P satisfyIng the equations
i) |2z – 3| = 7
ii) |z|² = 4 Re (z + 2)
iii) |z + i|² – |z – i|² = 2
iv) |z + 4i| + |z – 4| = 10
Solution:
i) |2z – 1| = 7
|2(x) – 3 + 2yi| = 7
\(\sqrt{(2 x-3)^2+4 y^2}\) = 7
4x² – 12x + 9 + 4y = 49
4x² + 4y² – 12x – 40 = 0
x² + y² – 3x – 10 = 0.
Centre (\(\frac{3}{2}\), 0) radius = \(\frac{7}{2}\).

ii) |z|² = 4 Re (z + 2)
x² + y² = 4 (x + 2)
x² + y² – 4x – 8 = 0
Circle centre (2, 0),
Radius = √12 = 2√3.

iii) |z + i|² – |z – i|² = 2
(x)² + (y + 1)² – x² – (y – 1)² = 2
4y = 2
2y = 1
⇒ 2y – 1 = 0.
Line parallel to x-axis.

iv) |z + 4i| + |z – 4i| = 10
|(x + (y + 4)i)| + |(x + (y – 4)i| = 10

\(\sqrt{x^2+(y+4)^2}+\sqrt{x^2+(y-4)^2}\) = 10
x² + (y + 4)² = (10 – \(\sqrt{x^2+(y-4)^2}\))²
x² + (y + 4)² = 1oo + x² + (y – 4)² – 20\(\sqrt{x^2+(y-4)^2}\)
Solving we get
25x² + 9y² = 225 is ellipse
centre (0,0),
eccentricity = e = \(\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\)
= \(\sqrt{\frac{25-9}{25}}\)
e = \(\frac{4}{5}\).

Question 4.
If z₁, z₂ are two non-zero complex numbers satisfying
i) |z₁ + z₂| = |z₁| + |z₂| then show that Arg z₁ – Arg z₂ = 0.
ii) If z = x + iy and the point P represents z in the Argand plane and \(\left|\frac{\mathbf{z}-\mathbf{a}}{\mathbf{z}+\mathbf{a}}\right|\) = 1. Re(a) ≠ 0 then find the locus of P.
Solution:
i) |z₁ + z₂| = |z₁| + |z₂|
Squaring both sides
|z₁ + z₂|² = (|z₁| + |z₂|)²
(z₁ + z₂) \(\left(\bar{z}_1+\bar{z}_2\right)\) = |z₁|² + |z₂|² + 2|z₁| |z₂|
z₁\(\bar{z}_1\) + z₂\(\bar{z}_2\) + z₁\(\bar{z}_2\) + z₂\(\bar{z}_1\) = |z₁| + |z₂| + 2|z₁| |z₂|
(x₁ + iy₁) (x₂ – iy₂) + (x₂ + iy₂) (x₁ – iy₁) = 2
2 (x₁x₂ + y₁y₂) + i (y₁x₂ – x₁y₂ + x₁y₂ – y₁x₂) = 2 \(\sqrt{\mathrm{x}_1^2+\mathrm{y}_1^2} \sqrt{\mathrm{x}_2^2+\mathrm{y}_2^2}\)
Squaring on both sides we get
(x₁x₂ + y₁y₂)² = (x₁² + y₁²) (x₂² + y₂²)
(x₁y₂ – y₁x₂)² = 0
\(\frac{\mathrm{y}_2}{\mathrm{x}_2}=\frac{\mathrm{y}_1}{\mathrm{x}_1}\)
∴ Arg z₁ – Arg z₂ = 0.

ii) |z – a| = |z + a|
Squaring on both sides (x – a)² + y² = (x + a)² + y²
4xa = 0
x = 0
Parallel to y – axis.

Students must practice these TS Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 8 Differential Equations to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 2nd Year Maths 2B Differential Equations Important Questions

Very Short Answer Type Questions

Question 1.
Find the order and degree of \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^{1 / 2}}{y^{1 / 2}\left(1+x^{1 / 2}\right)}\)
Solution:
Order is 1 and Degree is ‘1’
Since there is first order derivative with highest degree is ‘1’.

Question 2.
Find the degree and order of the differential equation \(\frac{d^2 y}{d x^2}=\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^{5 / 3}\)
Solution:
The equation can be written as \(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3=\left[1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^5\)
The order is 2 and degree is ‘3’

Question 3.
Find the order and degree of the equation
\(1+\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2=\left[2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^{3 / 2}\)
Solution:
The equation can be expressible as
\(\left[1+\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2\right]^2=\left[2+\left(\frac{d y}{d x}\right)^2\right]^3\)
Order is 2 and degree is 4.

Question 4.
Find the order and degree of \(\frac{d^2 y}{d x^2}+2 \frac{d y}{d x}+y=\log \left(\frac{d y}{d x}\right)\)
Solution:
Order is 2and degree is not defined since the equation cannot be expressed as a polynomial equation In the derivatives.

Question 5.
Find the order and degree of \(\left[\left(\frac{d y}{d x}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{1}{3}}\right]^{\frac{1}{4}}=0\)
Solution:

Question 6.
Find the order and degree of = \(\frac{d^2 y}{d x^2}=-p^2 y\)
Solution:
Equation is a polynomial equation in \(\frac{d^2 y}{d x^2}\)
So degree is ‘1′ and order is ‘2’.

Question 7.
Find the order and degree of \(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2-3\left(\frac{d y}{d x}\right)^2-e^x=4\)
\(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^2-3\left(\frac{d y}{d x}\right)^2-e^x=4\)
Solution:
The equation is a polynomial equation in and \(\frac{d y}{d x}\) \(\frac{\mathrm{d}^3 \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^3}\)
∴ Order is 3 and degree is 2.

Question 8.
Find the order and degree of \(x^{\frac{1}{2}}\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{\frac{1}{3}}+x \frac{d y}{d x}+y=0\)
Solution:

Question 9.
Find the order and degree of \(\left[\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3\right]^{\frac{6}{5}}=6 y\)
Solution:
The given equation can be written as
\(\frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^3=(6 y)^{5 / 6}\)
order is ‘2’ and degree is ‘1’.

Question 10.
Find the order of the differential equation corresponding to y = Ae^x + Be^3x + Ce^5x (A, B, C are parameters) is a solution.
Solution:
Since there are 3 constants in
y = Ae^x + Be^3x + Ce^5x we can have a differential equation of third order by eliminating A,B,C.
∴ Order of the differential equation is ‘3’.

Question 11.
Form the differential equation to y = cx – 2c² where c is a parameter.
Solution:
Given y = cx-2c² ………….. (1)
we have y₁=c ……………….. (2)
∴From(1)
y=xy₁ – 2y²₁ ………………….. (3)
∴ This is a differential equation corresponding to (1).

Question 12.
Form the differential equation corresponding to y = A cos 3x+ B sin 3x where A and B are parameters.
Solution:

Question 13.
Express the following differential equations in the form f(x) dx + g(y) dy = 0
(i) \( \frac{d y}{d x}=\frac{1+y^2}{1+x^2}\)
Solution:
\(\frac{d x}{1+x^2}-\frac{d y}{1+y^2}=0\)

(ii) \(y-x \frac{d y}{d x}=a\left(y^2+\frac{d y}{d x}\right)\)
Solution:

(iii) \(\frac{d y}{d x}=e^{x-y}+x^2 e^{-y}\)
Solution:

(iv) \(\frac{d y}{d x}+x^2=x^2 e^{3 y}\)
Solution:

Question 14.
Find the general solution of x + y \(\frac{dy}{dx}\) = 0.
Solution:
The given equation can be written as
x dx + y dy = 0
∴ ∫ xdx+∫ ydy = c
⇒ x² + y² = 2c

Question 15.
Find the general solution of \(\frac{d y}{d x}=e^{x+y}\)
Solution:
The given equation can be written as \(\frac{d y}{d x}=e^x \cdot e^y\)
writing in variable separable form e^x dx = e^-y dy = 0
∴ e^x + e^-y = c is the required solution.

Question 16.
Find the degree of the following homogeneous functions.

(i) f(x, y) = 4x²y + 2xy²
Solution:
Given f(x, y) = 4x²y+2xy²
we have f(kx, ky) = 4k²x²ky + 2kxk²y²
⇒ 4k³x²y + 2k³xy²
⇒ k³(4x²y + y²)
⇒ k³ f(x, y) ∀ k
and f(x, y), x³ Φ \(\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}\right)\) and hence f(x, y) is a homogeneous function of degree ‘3’.

(ii) g(x,y)=xy^1/2+yx^1/2
Solution:
Given g(x, y) =xy^1/2+ yx^1/2
g(kx, ky) = kx(ky)^1/2 + (ky)(kx)^1/2
⇒ k^3/2 (xyk^1/2 + yx^1/2)
⇒ k^3/2 g(x, y)
∴ g(x, y) is a homogeneous function of degree ‘3’.

(iii) \(h(x, y)=\frac{x^2+y^2}{x^3+y^3}\)
Solution:

∴ h(x, y) is a homogeneous function of degree – 1.

(iv) Show that f(xy) = I +e^x/y is a homogeneous function of x and y.
Solution:

(v) f(x,y) = x \(\sqrt{\mathbf{x}^2+y^2}-y^2\) is a homogeneous function of x and y.
Solution:

∴f(x, y) is a homogeneous function of degree ‘1’.

(vi) f(x,y) = x – y log y + y log x
Solution:
Givenf(x, y) =x-ylogy+ylogx
∴ f(kx, ky) – kx – ky log (ky) + ky log(kx)
= k[x-y log(ky) + ylog(kx)]
= k[x- y(logk+logy) +y(logk+logx)]
= k[x – y log y + y log x]
= k f(x, y)
∴ f(x, y) is a homogeneous function of degree ‘F.

Question 17.
Express (1+e^x/y) dx + e^x/y \(\left(1-\frac{x}{y}\right)\) dy = 0 in the form \(\frac{\mathbf{d x}}{\mathbf{d y}}=F\left(\frac{x}{y}\right)\)
Solution:

Question 18.
Express \(\left(x \sqrt{x^2+y^2}-y^2\right)\) dx+xy dx = 0 in the form \(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}=F\left(\frac{x}{y}\right)\)
Solution:

Question 19.
Express \(\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x+y e^{-\frac{2 x}{y}}}\) in the form \(\frac{d x}{d y}=F\left(\frac{x}{y}\right)\)
Solution:

Question 20.
Transform x logx \(\frac{d y}{d x}\) y into linear form.
Solution:
Dividing both sides by x log x we get

Question 21.
Transform \(\left(x+2 y^3\right) \frac{d y}{d x}=y\) into linear form
Solution:

Question 22.
Find I.F. of the following differential equations by converting them into linear form.

(i) cosx\(\frac{d y}{d x}\)+y sinx=tanx
Solution:

(ii) (2y -10y³) \(\frac{d y}{d x}\) + y = 0
Solution:

Short Answer Type Questions

Question 1.
Find the order of the differential equation corresponding to y = c( x- c)² where c is an arbitrary constant
Solution:
Given y = c(x – e)²; eliminate ‘c’ and form the differential equation.

Question 2.
Form the differential equation corresponding to the family of circles of radius ‘r’ given by (x-a)²+(y-b)²=r² where a and b are parameters.
Solution:

Question 3.
Form the differential equation corresponding to the family of circles passing through the origin and having centres on Y- axis.
Solution:
The equation of family of circles passing through the origin and having centres on Y-axis is
x²+y²-2fy=0 ……………….. (1)
Differentiating w.r.t x, we get

Question 4.
Solve \(y^2-x \frac{d y}{d x}=a\left(y+\frac{d y}{d x}\right)\)
Solution:

Question 5.
Solve \(\frac{d y}{d x}=\frac{y^2+2 y}{x-1}\)
Solution:
The equation can be written as

Question 6.
Solve \(\frac{d y}{d x}=\frac{x(2 \log x+1)}{\sin y+y \cos y}\)
Solution:

Question 7.
Find the equation of the curve whose slope at any point (x, y) is \(\frac{y}{x^2}\) and which satisfy the condition y = 1 when x =3.
Solution:
We have the slope at any point x, y) on the

Question 8.
Solve y (1+x)dx+x(1+y) dy = 0
Solution:
The given equation can be expressed as

logx+x+logy+y=c
x + y + log (xy) = c which is the required solution.

Question 9.
Solve \(\frac{d y}{d x}\) = sin(x + y) +cos(x + y)
Solution:

Question 10.
Solve that (x – y)²  \(\frac{d y}{d x}=a^2\)
Solution:

Question 11.
Solve \(\frac{d y}{d x}=\frac{x-2 y+1}{2 x-4 y}\)
Solution:

Question 12.
Solve \(\frac{d y}{d x}=\sqrt{y-x}\)
Solution:

Question 13.
Solve \(\frac{d y}{d x}\) +1 = e^x+y
Solution:

Question 14.
Solve \(\frac{d y}{d x}\) = (3x + y + 4)²
Solution:

Question 15.
Solve \(\frac{d y}{d x}\) – x tan(y-x)= 1
Solution:

Question 16.
Solve \(\frac{d y}{d x}=\frac{y^2-2 x y}{x^2-x y}\)
Solution:
The given equation ¡s a homogeneous equation of degree ‘2’.


which is athe general solution of the given equation.

Question 17.
Solve(x²+y²)dx=Zxydy
Solution:
The given equation can be written as

Question 18.
Solve xy²dy – (x³+y)dx=0
Solution:
The given equation can be written as \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^3+y^3}{x y^2}\) which is a homogeneous equation.

which is the general solution of the given equation.

Question 19.
Solve \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^2+y^2}{2 x^2}\)
Solution:
The given equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{x^2+y^2}{2 x^2}\) homogeneous equation.

which is the general solution of the given equation.

Question 20.
Give the solution of x sin² \(\left(\frac{y}{x}\right)\) dx = y dx – x dy which passes through the point \(\left(1, \frac{\pi}{4}\right)\)
Solution:

is the required particular solution of the given equation.

Question 21.
Solve(x³-3xy²)dx+(3x²y-y³)dy=0
Solution:
The given equation can be written as

Question 22.
Solve the equation \(\frac{d y}{d x}=\frac{3 x-y+7}{x-7 y-3}\)
Solution:
Here a=3, b =-1,c = 7
a’=1, b’=-7,c’ = -3
and b =- a’. Hence that solution can be obtained by grouping.
∴ From the given equation
3xdx – ydx+7dx = xdy-7ydy – 3dy
= (xdy+ydx) – 7ydy – 7dx – 3xdx – 3dy = 0
= ∫d(xy) -∫7ydy – 7∫dx – 3∫xdx – 3∫dy = 0
= xy – 7\(\frac{y^2}{2}\) – 7x -3 \(\frac{x^2}{2}\) -3y =c
⇒ 2xy – 7y²-14x-3x²– 6y=2c
⇒ 2xy – 7y² – 14x-3x² – 6y= c’ where C – 2c
Is the required solution.

Question 23.
Solve (1+x²) \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathbf{d x}}\) +2xy = 4x²
Solution:

Question 24.
Solve sin ² x \(\frac{d y}{d x}\) +y = cot x
Solution:

Question 25.
Find the solution of the equation x(x – 2) \(\frac{d y}{d x}\) (x – 1)y=x³(x-2) which sotisfies the condition that y=9 where x=3.
Solution:
The equation can be written as

Question 26.
Solve (1+y²)dx = (tan^-1 y-x)dy
Solution:
The given equation can be written as

Long Answer Type Questions

Question 1.
Solve \(\sqrt{1+x^2} \sqrt{1+y^2}\)dx + xy dy =0.
Solution:
The given equation can he written as


Is the solution of the given differential equation.

Question 2.
Solve x sec \(\left(\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{x}}\right)\) (y dx+xdy)=y cosec \(\left(\frac{\mathbf{y}}{\mathbf{x}}\right)\)
Solution:
The given equation can be written as




which is the general solution of the given equation.

Question 3.
Solve (2x+y+3)dx=(2y+x+1)dy
Solution:

Students must practice these TS Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 7 Definite Integrals to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 2nd Year Maths 2B Definite Integrals Important Questions

Very Short Answer Type Questions

Question 1.
Evaluate \(\int_1^2 x^5\) dx
Solution:
\(\int_1^2 x^5 d x=\left[\frac{x^6}{6}\right]_1^2=\frac{2^6}{6}-\frac{1}{6}=\frac{64}{6}-\frac{1}{6}=\frac{63}{6}=\frac{21}{2}\)

Question 2.
Evaluate \(\int_0^\pi \) sinx dx
Solution:

Question 3.
Evaluate \(\int_0^a \frac{d x}{x^2+a^2}\)
Solution:

Question 4.
Evaluate \(\int_1^4 x \sqrt{x^2-1}\) dx
Solution:
Let x² – 1 – t ⇒ 2x dx dt then
Upper limit when x = 4 is t = 15.
Lower Limit when x = 1 is t = 0.

Question 5.
Evaluate \(\int_0^2 \sqrt{4-x^2}\) dx
Solution:
Let x= 2 sin θ = dx – 2cosθ dθ then

Question 6.
Show that \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x d x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^n x dx\)
Solution:

Question 7.
Evaluate \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{\frac{5}{2}} x}{\sin ^{\frac{5}{2}} x+\cos ^{\frac{5}{2}} x}\) dx
Solution:

Question 8.
Evaluate \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \) x sin x dx
Solution:

Question 9.
Evaluate

Solution:

(iii) \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^6 x \cos ^4 x dx\)
Solution:

Question 10.
Find \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x \cos ^4 x d x\)
Solution:

Short Answer Type Questions

Question 1.
Find \(\int_0^2\left(x^2+1\right) dx\) as the limit of a sum
Solution:

Question 2.
Evaluate \(\int_0^2 e^x dx\) as the limit of a sum.
Solution:

Question 3.
Lets define f : [0,1]→ R by
f(x) = 1 if x is rational
= 0 if x is irrational
then show that f is nor R Integrable over [0, 1].
Solution:
Let P = (x₀, x₁,…., x_n] be a partition of [0, 1].
Since between any two real numbers there exists rational and irrational numbers and
let t_i, s_i ∈ [X_i -i x_j] be the rational and irrational numbers.

Question 4.
Evalute \(\int_0^{16} \frac{x^{\frac{1}{4}}}{1+x^{\frac{1}{2}}}\) dx
Solution:
Let x = t⁴ then dx – 4t³ dt
Upper limit when x = 16 is t = 2.
and Lower limit when x = 0 is t = 0.

Question 5.
Evaluate \(\int_{-\frac{\pi}{2}}^\pi \sin\) |x| dx
Solution:
We have sin |x| = sin(-x) if x < 0
= sinx if x ≥ 0

Question 6.
Evaluate by using the method of finding definite integral as the limit of a sum.
\(\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\left(\frac{n-1}{n+1}\right)\)
Solution:

Question 7.
Evaluate \(\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^k+4^k+6^k+\ldots+(2 n)^k}{n^{k+1}}\) using the method of finding definite integral as the limit of a sum.
Solution:

Question 8.
Evaluate \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \ldots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}\)
Solution:

Question 9.
Obtain Reduction formula for \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x d x\) and hence find

Solution:

Question 10.
Evaluate \(\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} dx\)
Solution:
Let x = a sinθ then dx = a cosθ dθ
Upper limit when x = a is θ = \(\frac{\pi}{2}\)
and Lower limit when x = 0 is θ = 0

Question 11.
Find \(\int_{-a}^a x^2\left(a^2-x^2\right)^{3 / 2} dx\)
Solution:
Since f(x) = x² (a² – x²)^3/2 is an even function and f(- x) = f(x) we have
\(\int_{-a}^a x^2\left(a^2-x^2\right)^{3 / 2} d x=2 \int_0^a x^2\left(a^2-x^2\right)^{3 / 2} d x\)
Let x = a sin θ then dx = a cos θ dθ
∴ Upper limit when x = a is θ = \(\frac{\pi}{2}\)
Lower limit when x = 0 is θ = 0

Question 12.
Find \(\int_0^1 x^{3 / 2} \sqrt{1-x} dx\)
Solution:
Let x = sin²θ then dx = 2 sinθ cosθ dθ
Upper limit when x = 1 is θ = \(\frac{\pi}{2}\)
Lower Limit when x = θ is θ = 0.

Question 13.
Find the area under the curve f(x) = sin x in (0, 2π).
Solution:
Consider the graph of the function f(x) = sinx in [0, 2π];
we have sin x ≥ 0 ∀ x ∈ [0,π] and sin x≤0∀x∈[π,2π].

Question 14.
Find the area under the curve f(x) = cos x in [0, 2π].
Solution:

Question 15.
Find the bounded by the y = x² parabola the X- axis and the lines x = – 1, x = 2.
Solution:

Question 16.
Find the area cut off between the line y = 0 and the parabola y = x²– 4x + 3.
Solution:
The point of intersection of y – 0 and y = x² – 4x + 3 is given by x² – 4x + 3 = 0
= (x – 3)(x-1) = 0 = x = 1 or 3
y=x²– 4x + 3 ⇒ y+1 =  x²– 4x + 4 (x-2)²
Hence the equation represents a parabola
with vertex (2, -1) lies in IV quadrant.

Question 17.
Find the area bounded by the curves y = sin x and y = cos x between any two consecutive points of intersection.
Solution:
The given curves y = sin x and y = cosx and
tan x = 1 ⇒ x = \(\frac{\pi}{4}\)
∴ x = \(\frac{\pi}{4}\) and x = \(\frac{5 \pi}{4}\) are the two consecutive points of intersection.
Taking f(x) = sin x and g(x) cos x over \(\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]\) we have
f(x)> g(x) ∀ x ∈\(\left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]\).
Hence the area bounded by y = sin x, y = cos x and the two points of intersection is

Question 18.
Find the area of one of the curvilinear rectangles bounded by y = sin x, y cos x and X-axis.
Solution:

Question 19.
Find the area of the right angled triangle with base b and altitude ‘h’ using the fundamental theorem of integral calculus.
Solution:

Question 20.
Find the area bounded between the curves y² – 1 = 2x and x = 0.
Solution:
The given curves are
y²-1-2x-2(x-0) ……………. (1)
= (y-0)² 2(x)+1=2 \(\left[\mathrm{x}+\frac{1}{2}\right]\)
(1) represents parabola with vertex \(\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\)
Solving (1) and x = 0 we get
y² -1 = 0 ⇒ y = ±1
∴ The points of intersection are (0, 1), (0, -1).
The parabola meets the X- axis and y = 1 and y = – 1 and the curve is symmetric with respect to X – axis

Question 21.
Find the area enclosed by the curves y = 3x and y = 6x-x².
Solution:
Given curves are y³x and y=6x – x²
Solving 6x – x² = 3x = 3x – x² = 0
= x(3- x)=0 =x=0 or x=3
Taking f(x) = 3x and g(x) = 6x – x²
then g(x) ≥ 1(x) in [0, 3] and area enclosed between the line y = 3x and the parabola y = 6x-x² is

Long Answer Type Questions

Question 1.
Show that \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x+\cos x}\) dx =\(\frac{\pi}{2 \sqrt{2}} \log (\sqrt{2}+1)\)
Solution:

Question 2.
Evaluate \(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\) dx
Solution:

Question 3.
Evaluate \(\int_{-a}^a\left(x^2+\sqrt{a^2-x^2}\right) dx\)
Solution:

Question 4.
Evaluate \(\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\sin x}\) dx
Solution:

Question 5.
Find \(\int_0^\pi \mathbf{x}\) sin⁷ x cos ⁶ x dx.
Solution:

Question 6.
Find the area enclosed between y=x²-5x and y=4-2x.
Solution:
The graphs of curves are shown below.

Question 7.
Find the area bounded between the curves y = x², y = \(\sqrt{\mathbf{x}} \)
Solution:

Question 8.
Find the area bounded between the curves y²=4ax, x²= 4by(a>0,b>0).
Solution:

Students must practice these TS Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 6 Integration to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 2nd Year Maths 2B Integration Important Questions

Question 1.
Find ∫2x⁷ dx on R.
Solution:

Question 2.
Evaluate ∫cot²xdx on l⊂R {nπ:n∈Z)
Solution:
∫cot²xdx =∫(cosec²x – 1)dx
= ∫ cosec² x – ∫dx = – dx = – cotx – x + c

Question 3.
Evaluate \(\int\left(\frac{x^6-1}{1+x^2}\right)\) dx for x ∈ R
Solution:

Question 4.
Find ∫(1 – x)(4 -3x) (3 + 2x) dx ; x ∈R.
Solution:
(1- x)(4 – 3x)(3+2x) = 6x³ – 5x² – 13x + 12
∴ ∫ (1 – x)(4 – 3x)(3+2x)dx
=∫(6x³– 5x²_13x+ 12)dx

Question 5.
Evaluate \(\int\left(x+\frac{1}{x}\right)^3 d x, x>0\)
Solution:

Question 6.
Find \(\int \sqrt{1+\sin 2 x}\) dx on R.
Solution:

Question 7.
Find \(\int \frac{6 x}{3 x^2-2}\) dx on any interval I ⊂ R \(\left\{-\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}\right\}\)
Solution:

Question 8.
\(\int \frac{\left(\sin ^{-1} x\right)^2}{\sqrt{1-x^2}}\) dx on R
Solution:

Question 9.
Evaluate \(\int \frac{1}{1+(2 x+1)^2}\) dx on R.
Solution:

Question 10.
Evaluate \(\int \frac{x^5}{1+x^{12}}\) dx on R
Solution:

Question 11.
∫ cos³ sinx dx on R.
Solution:

Question 12.
Find \(\int\left(1-\frac{1}{x^2}\right) e^{\left(x+\frac{1}{x}\right)}\) dx on I where I = (0,∞)
Solution:

Question 13.
Evaluate \(\int \frac{1}{\sqrt{\sin ^{-1} x} \sqrt{1-x^2}}\)
Solution:

Question 14.
Evaluate \(\int \frac{\sin ^4 x}{\cos ^6 x} d x \), x ∈ I ⊂ R – {(2n+1) \(\frac{\pi}{2}\) …………… n∈Z}
Solution:

Question 15.
Evaluate ∫ sin² x dx on R.
Solution:

Question 16.
Find \(\int \frac{x^2}{\sqrt{x+5}}\) on (-5, ∞)
Solution:

Question 17.
Find  \(\int \frac{x}{\sqrt{1-x}}\) dx, x∈1=(0,1)
Solution:
Let 1 – x = t² over (0, 1)
then – dx = 2t dt and x = 1 – t²

Question 18.
Evaluate \(\int \frac{d x}{(x+5) \sqrt{x+4}}\) on (-4,∞)
Solution:
Let x + 4 – t² then dx – 2t dt
defined over (- 4, ∞)

Question 19.
Evaluate \(\int \frac{d x}{\sqrt{4-9 x^2}} \text { on } I=\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)\)
Solution:

Question 20.
\(\int \frac{1}{a^2-x^2}\) dx for x E I = (- a, a).
Solution:

Question 21.
Evaluate \(\int \frac{1}{1+4 x^2}\) dx on R.
Solution:

Question 22.
Evaluate \(\int \sqrt{4 x^2+9}\) dx on R.
Solution:

Question 23.
Evaluate \(\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\) dx on (-2,2)
Solution:

Question 24.
Evaluate \(\int \sqrt{9 x^2-25} d x \text { on }\left(\frac{5}{3}, \infty\right)\)
Solution:

Question 25.
Evaluate \(\int \sqrt{16-25 x^2} d x \text { on }\left(-\frac{4}{5}, \frac{4}{5}\right)\)
Solution:

Question 26.
Find \(e^x \frac{(1+x)}{(2+x)^2}\) dx on l ⊂ R – {-2}
Solution:

Question 27.
Evaluate \(\int \frac{d x}{\sqrt{x^2+2 x+10}}\)
Solution:

Question 28.
Evaluate \(\int \frac{d x}{\sqrt{1+x-x^2}}\)
Solution:

Short Answer Type Questions

Question 1.
Evaluale \(\int\left(\frac{2 x^3-3 x+5}{2 x^2}\right)\) dx for x>0 and verify the result by differentiation.
Solution:

This is the given expression and the result is correct.

Question 2.
Evaluate \(\int \frac{1}{a \sin x+b \cos x}\) dx where a, b ∈ R and a² + b ² ≠ 0 on R
Solution:

Question 3.
Evaluate ∫ x sin^-1 x dx on (-1, 1).
Solution:
We use integration by parts by suitably
choosing y x and u = sin^-1 x so that

Question 4.
Evaluate ∫ x²cosx dx dx
solution:
Use integration by parts by choosing u x² and y = cos x, we get
∫ x² cos x dx dx = x² ∫cos x dx
\(-\int\left[\frac{d}{d x}\left(x^2\right) \int \cos x d x\right] dx\)
⇒ x² sin x – f 2x sin x dx
⇒ x² sinx-[2x(- cosx) – ∫2(- cosx)dx]
⇒ x² sinx+ 2xcosx – 2sinx+c
⇒ (x² -2) sinx + 2xcosx+ c
(again using integration by parts on ∫ 2x sin x dx)

Question 5.
Evaluate ∫ e^x sinx dx on R.
Solution:
Let I = ∫ e^x sinx dx. Then using integration by parts by taking u = e^x v = sin x we get

Question 6.
Find ∫ e^ax cos(bx +c) dx on R, where a,b,c are real numbers and b ≠ 0.
Solution:
Let I =∫ e^ax cos(bx +c) dx
using integration by parts by suitably choosing e^ax = u and cos (bx + c) = v, we get

Question 7.
Evaluate \(\int \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\) dx on (-1,1)
Solution:

Question 8.
Evaluate \(\int e^x\left(\frac{1-\sin x}{1-\cos x}\right)\) dx on I⊂R {2nπ : n ∈Z}.
Solution:

Question 9.
\(\int \frac{d x}{(x+5) \sqrt{x+4}}\)
Solution:

Question 10
Evaluate \(\int \frac{d x}{5+4 \cos x}\)
Solution:

Question 11.
\(\int \frac{d x}{3 \cos x+4 \sin x+6}\)
Solution:

Question 12.
Find \(\int \frac{d x}{d+e \tan x}\)
Solution:

Question 13.
Evaluate \(\int\left(\frac{\cos x+3 \sin x+7}{\cos x+\sin x+1}\right) d x\)
Solution:

Question 14.
Find \(\int \frac{x^3-2 x+3}{x^2+x-2}\) dx
Solution:
Integrand is a rational function in which the degree of the numerator Is greater than the denominator. Hence using synthetic division.

Question 15.
Find \(\int \frac{2 x^2-5 x+1}{x^2\left(x^2-1\right)}\) dx
Solution:

Question 16.
Find \(\int \frac{3 x-5}{x\left(x^2+2 x+4\right)}\) dx
Solution:

Long Answer Type Questions

Question 1.
Evaluate \(\int \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\) dx on l ⊂ R {-1,1}
Solution:

Question 2.
Find \(\int \frac{x^2 e^{m \sin ^{-1} x}}{\sqrt{1-x^2}}\) dx on (-1,1) where m is a real number.
Solution:

Question 3.
Evaluate \(\int \frac{x+1}{x^2+3 x+12}\) dx
Solution:

Question 4.
Evaluate \(\int(3 x-2) \sqrt{2 x^2-x+1}\) dx
Solution:

Question 5.
Evaluate \(\int \frac{2 x+5}{\sqrt{x^2-2 x+10}}\) dx
Solution:

Question 6.
Evaluate \(\int \frac{2 x+1}{x\left(x^2+4\right)^2}\) dx
Solution:

Question 7.
Find reduction formula for ∫ xⁿ e^ax dx, n being a positive integer and hence evaluate dx
Solution:

Question 8.
Obtain reduction formula for ∫ sinⁿ x dx for an integer n ≥ 2 and hence obtain ∫ sin⁴ xdx.
Solution:

Question 9.
Obtain reduction formula for ∫ sin^m x cosⁿ x dx for a positive integer m and integer n≥ 2.
Solution:

Question 10.
Obtain reduction formula for ∫ tanⁿ x dx for an integar n ≥ 2 and hence find ∫ tan⁶ x dx.
Solution:

Question 11.
Obtain reduction formula for ∫ secⁿ x dx for n ≥ 2 and hence evaluate ∫ sec⁵ xdx
Solution:

Students must practice these TS Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 5 Hyperbola to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 2nd Year Maths 2B Hyperbola Important Questions

Short Answer Type Questions

Question 1.
If e, e₁ are the eccentricities of a hyperbola and its conjugate hyperbola, prove that \(\frac{1}{e^2}+\frac{1}{e_1^2}=1\)
Solution:
Let e, e₁ be the eccentricities of hyperbola

Question 2.
Find the equations of the tangents to the hyperbola 3x² – 4y² = 12 which are (I) parallel and (H) perpendicular to the line y = x – 7.
Solution:
Equation of given hyperbola is \(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1\)
So that a² = 4, b² = 3 and equation to the given line y = x  – 7 and slope is ‘1’.

(i) Slope of the tangents which are parallel to the given line is ‘1’.
∴ Equation of tangents are
y = mx ± \(\sqrt{a^2 m^2-b^2}\)
⇒ y=x± \(\sqrt{4-3}\) and
⇒ y = x ± 1

(ii) Slope of the tangent which are perpendicular to the given line is – 1.
∴ Equations of tangents which are perpendicular to the given line are
y = (-1) x ± \(\sqrt{4(-1)^2-3}\)
x+y = ±1

Question 3.
A circle on the rectangular hyperbola xy = 1. In the points (Xr Yr)’ (r = 1, 2, 3, 4) Prove that x₁ x₂ x₃ x₄ = y₁ y₂ y₃ y₄ = 1.
Solution:
Let the circle be x² + y² = a².
Since \((\mathrm{t}, \frac{1}{t})\)(t ≠ 0) lies on xy= 1, the points of intersection of the circle and the hyperbola are given by
\(t^2+\frac{1}{t^2}=a^2\)

Long Answer Type Questions

Question 1.
Find the centre, eccentricity, foci, directrices and the length of latus rectum of the following hyperbolas.
4x² – 9y² – 8x -32 = 0
Solution:
Given equation is 4x² – 9y² –  8x – 32 = 0
⇒ 4x² – 8x -9y² = 32
⇒ 4(x -2x)-9y=32
⇒ 4(x²-2x+ 1) – 9y² = 32 + 4 = 36
⇒ 4 (x-1)2 – 9y² = 36
\(\frac{(x-1)^2}{9}-\frac{(y-0)^2}{4}=1\)
∴ Centre of the hyperbola = (1, 0)
The semi-transverse axis a = 3, and the semiconjugate axis b = 2.
∴ \(e=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{9+4}{9}}=\sqrt{\frac{13}{3}}\)
Coordinates of foci (h ± ae, k)

(ii) 4(y+3)² -9(x-2)²= 1
Solution:
The equation can be written as

Question 2.
(i) If t be line lx+ my+n= 0 is a tangent to the hyperbola \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) then show that
a²l² – b²m² = n²

(ii) If the lx + my = t is a normal to the hyperbola \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) then show that
\(\frac{a^2}{l^2}-\frac{b^2}{m^2}=\left(a^2+b^2\right)^2\)
Solution:
(i) Let the line lx + my + n = 0 ……………….. (1) is a tangent to the hyperbola S = \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) at P(θ).
Then the equation of tangent at P(θ) is
\(\frac{x}{a}\) secθ – \(\frac{x}{b}\) tanθ – 1 = θ ………….. (2)
Since (1) and (2) represent the same line,

Question 3.
Prove that the point of intersection of two per perpendicular tangents to the hyperbola \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) lies on the circle x +y =a – b.
Solution:
Let P (x₁, y₁) be a point of intersection of two perpendicular tangents to the hyperbola
The equation of any tangent to S = 0 is of the form
\(S \equiv \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1=0\)
The equation of any tangent to S = 0 is of the form

This is a quadratic equation ¡n ‘m’ which has two roots m₁, m₂ (say) which corresponds to slopes of tangents.

Question 4.
If your points be taken on a rectangular hyperbola such that the chords joining any two points is perpendicular to the chord Joining the other two, and if α , β , γ and δ be the inclinations to either asymptote of the straight lines joining these points to the centre, prove that tanα, tanβ, tanγ , tanδ = 1
Solution:
Let the equation of rectangular hyperbola be x² – y² = a². By rotating the X – axis and Y – axis about the orgin through an angle \(\frac{\pi}{4}\) in the clockwise direction the equation x² – y² = a² will be transformed to xy = C².

Since \(\overline{\mathrm{AB}}\) is perpendicular \(\overline{\mathrm{CD}}\) we have
\(\left(-\frac{1}{t_1 t_2}\right)\left(-\frac{1}{t_3 t_4}\right)=-1\)
⇒ t₁ t₁ t₁ t₁ = – 1 ………………. (1)
We have the coordinate axis as the a asymptotes of the curves.
If \(\overline{\mathrm{OA}}, \overline{\mathrm{OB}}, \overline{\mathrm{OC}}, \overline{\mathrm{OD}}\) make angles α, β, γ and δ with positive direction of X-axis then tanα, tanβ, tanγ, and tanδ are the slopes.

If \(\overline{\mathrm{OA}}, \overline{\mathrm{OB}}, \overline{\mathrm{OC}}, \overline{\mathrm{OD}}\) make angles α, β, γ and δ with the other asymptote the Y – axis then cot α, cot β, cot γ, cot δ are the respective slopes.
So that cot α cot β cot γ cot δ = tan α tan β tan γ tan δ = I

Students must practice these TS Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 4 Ellipse to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 2nd Year Maths 2B Ellipse Important Questions

Very Short Answer Type Questions

Question 1.
If the length of the latus rectum is equal to half of its minor axis of an ellipse in the standard form, then find the eccentricity of the ellipse.
Solution:
Let \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) + 1(a > b) be the ellipse in its standard form.
Given that the length of the latus rectum = \(\frac{1}{2}\) (minor axis)

Question 2.
The orbit of the Earth is an ellipse with eccentricity with the \(\frac{1}{60}\) Sun at one of its foci, the major axis being approximately 186 x 10⁶ miles in length. Find the shortest and longest distance of the Earth from the Sun.
Solution:
Let the earths orbit be an ellipse given by
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) + 1(a > b)
Since the major axis is 186 x 10⁶ miles
we have 2a = 186 x 10⁶ ⇒ a = 93 x 10⁶ miles
If e is the eccentricity of ellipse then e = \(\frac{1}{60}\)
The longest and shortest distances of the earth from the sun are respectively a + ae and a – ae.
Here the longest distance of earth from the sun = a +ae \(\left(1+\frac{1}{60}\right)\)
= 9445 x 10⁴ miles and shortest distance of earth from the sun = a – ae
= 93 x 10⁴  \(\left(1-\frac{1}{60}\right)\)
= 9145 x 10⁴  miles

Short Answer Type Questions

Question 1.
Find the eccentricity, coordinates of foci, length of latus rectum and equations of directrices of the following ellipse
9x² + 16y²– 36x + 32y – 92 = 0
Solution:
Given equation of ellipse is
9x² + 16y²– 36x + 32y – 92 = 0
which can be written as

(ii) 3x+ y² – 6x -2y -5 = 0
Solution:
Given equation can be written as
3x² – 6x + y² – 2y = 5
⇒ 3(x²– 2x) + (y²– 2y) = 5
⇒ 3(x² -2x + 1)+(y²-2y+1) = 5 + 4
⇒ 3(x – 1)² + (y – 1)² = 9
⇒ \(\frac{(x-1)^2}{3}+\frac{(y-1)^2}{9}=1\)
which is of the form
\(\frac{(\mathrm{x}-\mathrm{h})^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{(\mathrm{y}-\mathrm{k})^2}{\mathrm{~b}^2}=1\)
which a² = 3 and b² = 9 and a < b.
Also (h, k) = (1, 1); eccentrIcity

Question 2.
Find the equation of the ellipse referred to its major and minor axes as the coordinate axes X, Y – respectively with latus rectum of length 4 and distance between foci \(4 \sqrt{2}\).
Solution:
Let the equation of ellipse be

Question 3.
C is the centre, A A’ and B B’ are major and minor axis of ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\).If
PN is the ordinate of a point P on the ellipse then show that \(\frac{(\mathrm{PN})^2}{(\mathrm{AN})(\mathrm{AN})}+\frac{(\mathrm{BC})^2}{(\mathrm{CA})^2} \)
Solution:
Let P(θ) = (a cos θ, b sin θ) be any point on the ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

Question 4.
S and T are the foci of an ellipse and B is one end of the minor axis. If STB is an equilateral triangle, then find the
eccentricity of the ellipse.
Solution:
Let \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 :(a>b) be an ellipse whose foci are S and T. B is the end of minor axis such that STB is an equilateral triangle.
than SB = ST = SB. Also S = (ae, 0).
T = (- ae. 0) and B = (0, b).

Question 5.
Show that among the points on the ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\)=1,(a>b) ;(-a, 0) is the farthest point and (a, 0) is the nearest point form the focus (ae, 0).
Solution:
Let P(x, y) be any point on the ellipse so that < x < a and S = (ae, 0) is the focus. Since (x. y) is on the ellipse.

Maximum value of SP is a + ae when P(-a.0)
and Minimum value of SP is a – ae when P (a. 0).
The nearest point is (a, 0) and the farthest point is (-a, 0).

Question 6.
Find the equation of tangent and normal to the ellipse 9x² + 16y² = 144 at the end of latus rectum in the first quadrant.
Solution:
Given equation of ellipse is 9x² + 16y² = 144

Question 7.
If a tangent to the ellipse = \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,(a>b)\) meets its major axis and minor axis at M and N respectively then prove that \(\frac{a^2}{(\mathrm{CM})^2}+\frac{b^2}{(\mathrm{CN})^2}=1\) where C is the centre of the ellipse.
Solution:

Question 8.
Find the condition for the line,
(i) lx + my + n = 0 to be a tangent to the ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
(ii) lx + my + n = 0 to be a normal to the ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
Solution:
Let lx + my + n = 0 be a tangent at
P (θ) (a cos θ . b sin θ) on the ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)

(ii) Let lx + myn = 0 be a normal to the ………………  (2)
Ellipse at the point P (θ). Then equation of normal at ‘θ’ is

Question 9.
If PN is the ordinate of a point P on the ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) and the tangent at P
meets the x-axis at T then show that (CN) (CT) = a² where C is the centre of ellipse.
Solution:
Let P (θ) = P (a cos θ, b sin θ) be a point on the ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) .
Then the equation of the tangent at p (θ) is.

Question 10.
Show that the points of intersection of the perpendicular tangents to any ellipse lie on the circle.
Solution:
Let the equation of ellispe be \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) (a>b)
Any tangent to the above ellipse is of the form y = mx ± \(\pm \sqrt{a^2 m^2+b^2}\)
Let the perpendicular tangents intersect at

This being a quadratic is ‘rn has two roots m₁ and m₂ which corresponds to the slopes of tangents drawn from P to ellipse then

(∵ Product of slopes = – 1 for perpendicular tangents)
⇒ x₁²+y₁² = a² +b²
∴ Locus of (x₁, y₁) is x² + y² = a²+ b² which is a circle.

Long Answer Type Questions

Question 1.
If θ₁, θ₂ are the eccentric angles of the extremeties of a focal chord (other than the verticles) of the ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) (a> b) and e is its eccentricity. Then show that

Solution:

Let P(θ₁), Q(θ₂) be the two extremeties of a focal chord of the ellipse
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,(a>b)\)
∴ P = (acos θ₁, b sin θ₁),(θ₁ ≠ 0)
Q = (a cos θ₂, b sin θ₂), (θ₂ ≠ π)
and focus S = (ae, 0). Now PQ is a focal chord and hence P, S. Q are collinear.
∴ Slope of \(\overline{\mathrm{PS}}\) = slope of \(\overline{\mathrm{SQ}}\)
\(\frac{b \sin \theta_1}{a\left(\cos \theta_1-\mathrm{e}\right)}=\frac{\mathrm{b} \sin \theta_2}{\mathrm{a}\left(\cos \theta_2-\mathrm{e}\right)}\)

Question 2.
If the normal at one end of a latus rectum of the ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) passes through one end of the minor axis, then show that e⁴ + e² = 1 (e is the eccentricity of the ellipse)
Solution:
Let L be the one end of the latus rectum of \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\). Then the coordinates of
\(L=\left(a e, \frac{b^2}{a}\right)\)
∴Equation of normal at L is

Question 3.
If a circle is concentric with the ellipse, find the inclination of their common tangent to the major axis of the ellipse.
Solution:
Let the circle x² + y² = r² and the ellipse be \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) with a> b.
The major axis of ellipse is X – axis.
If r< b <a, then the circle lies completely in the ellipse making no common tangents.
If b < a < r (ellipse lies completely in circle) no common tangent is passive.

Case (i) : If b <r <a

Let one of the common tangent make angle θ with positive X- axis and suppose the equation of tangent to the circle be x Cos α + y sin α = r where a is the angle made by the radius of circle with positive X – axis.
∴ \(\theta=\frac{\pi}{2}+\alpha \text { (or) } \theta=\alpha-\frac{\pi}{2}\)
Since x cos α + y sina r touches the ellipse also, we have a² cos²a + b² sin² = r²

Case (ii): When r = a the circle touches the ellipse at the ends of major axis of the ellipse so that the common tangents are x = ± a and θ = \(\frac{\pi}{2}\)

Case (iii): When r = b, the circle touches the ellipse at the ends of minor axis of ellipse so that common tangents
y = ± b making θ = 0.

Students must practice these TS Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 3 Parabola to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 2nd Year Maths 2B Parabola Important Questions

Very Short Answer Type Questions

Question 1.
Find the coordinates of the vertex and focus and the equations of the directrix and axis of the following parabolas.
(i) y² = 16x
Comparing with y² = 4ax, we have 4a = 16
a = 4
Vertex = (0, 0)
Focus = (a, 0) = (4, 0)
Equation of clirectrix is x + a = 0 ⇒ x + 4 = 0
Equation of axis is y = 0.

(ii) x² =-4y
Comparing with x² = – 4ay, we have 4a = 4 ⇒ a = I
∴ Vertex = (0. 0)
Focus =(0,-a)=(0,-1)
Equation of directrix is y-a=0=y-1 =0
Equation of axis is x – 0.

(iii) 3x- 9x + 5y – 2 = 0
Given equation is 3x² – 9x – 5y +2
= 3(x² – 3x) =- \(5\left(\mathrm{y}-\frac{2}{5}\right)\)

(i) Vertex (h, k) \(\left(\frac{3}{2}, \frac{7}{4}\right)\)
(ii) Focus=(h,k,-a) = \(\left(\frac{3}{2}, \frac{7}{4}-\frac{5}{12}\right)=\left(\frac{3}{2}, \frac{4}{3}\right)\)
(iii) Equation of directrix is y – k = 0
⇒ 6y – 13= 0
(iv) Equation of axis x – h = 0
= x = \(\frac{3}{2}\) – 0 ⇒ 2x – 3 = 0

(iv) y² – x + 4y + 5 = 0
The given equation can be written as
y² + 4y – x – 5
9 + 4y + 4 – x – 1
(y+2)² – (x-1)
Comparing with (y – k)² – 4a (x – h)
we have h=1, k = -2, a= \(\frac{1}{4}\)
(i) Vertex = (h, k) – (1, -2)
(ii) Focus = (h+a,k) = \(\left(\frac{5}{4},-2\right)\)
(iii) Directrix is x – h + a = 0 ⇒ 4x – 3 = 0
(Iv) Equation of axis is y-k=0 ⇒ y+2 = 0

Question 2.
Find the equation of parabola whose vertex is (3-2) and focus is (3,1)
Solution:
The abscissae of vertex and focus is ‘3’.
Hence the axis of the parabola is x -3, a line parallel to y-axis, focus is above the vertex.
a = SA = \(\sqrt{(3-3)^2+(1+2)^2}=3\)
(∵ A=(3,-2) S= (3,3))
∴ Equation of the parabola
(x-h)² =4a (y-k)
(x-3)²– 12(y+2)
(∵ A = (h,k) =3,-2 and S (h, k-a)]

Question 3.
Find the coordinates of the points on the parabola y² = 2x whose focal distance is \(\frac{5}{2}\)
Solution:
Let P(x₁, y₁) be any point on the parabola
y² = 2x whose focal distance is \(\frac{5}{2}\) then
\(y_1^2=2 x_1\) and \( x_1+a=\frac{5}{2} \Rightarrow \frac{5}{2}-\frac{1}{2}\)
Where 4a=2 ⇒ a = \(\frac{1}{2}\)
∴ x₁= 2, and since y_1² = 2x₁ we have
y_1² = 4 = y₁ = ± 2
∴ The required points are (2, 2), (2, -2).

Short Answer Type Questions

Question 1.
Find the equation of the parabola passing through the points (- 1, 2), (1, – 1) and (2, 1) and having its axis parallel to the x-axis.
Solution:
Since the axis is parallel to x – axis the equation of the parabola is in the form of
x – ly²+my+n ……………. (1)
Given that the parabola passes through the points (-1, 2), (1, -1) and (2, 1) we have
– 1 = 14l+2m+n ……………………. (2)
1= l – m+n ……………….. (3)
2=l+m+n …………………….. (4)
From (2) and (3), -2 = 3l + 3m

∴  Equation of required parabola is
\(x=-\frac{7}{6} y^2+\frac{1}{2} y+\frac{8}{3}\)

Question 2.
A double ordinate of the curve y² = 4ax is of length 8a. Prove that the lines from the vertex to its ends are at right angles.
Solution:

Question 3.
Find the condition for the straight line lx + my + n=0 to be a tangent to the parabola y² = 4ax and find the coordinates
of the point of contact.
Solution:
Let the line ix + my + n = 0 …………….. (1) touches
y² = 4ax …………….. (2) at the point (x₁, y₁).
Then the equation of tangent at (x₁, y₁) to the parabola
y²=4ax is yy₁– 2ax – 2ax₁=0 …………. (2)
Since (1) and (2) represent the same line, coefficients are proportional.

Question 4.
Show that the straight line 7x+6y=13 is a tangent to the parabola y²– 7x – 8y + 14 = 0 and find the point of contact
Solution:
Given line is 7x + 6y – 13 = 0 ……………….. (1)
and parabola is y² – 7x – 8y+ 14 = 0 ………………..(2)
From (1),

Point of contact is (1, 1) and this point satisfies (1) and (2). Hence (1) is tangent to the parabola (2).

Question 5.
From an external point P, tangents are drawn to the parabola y² = 4ax and these tangents make angles θ₁, θ₂ with its axis such that tan θ₁+ tan θ₂ is a constant b. Then show that P lies on the line y = bx.
Solution:
Let P(x₁, y₁) be the external point.
Any tangent to the parabola is of the form
y=mx+ \(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{m}}\) =mx₁– my₁+a = 0
Let the roots of (1) be 4 m₁, m₂ ………………  (1)
Then m₁ + m₂ = \(\frac{y_1}{x_1}\) and m₁ + m₂ = \(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}_1}\)
The tangents make angles θ₁ and θ₂ with the axis such that m₁ = tan θ₁ and m₂= tan θ₂
Given tan θ₁ + tan θ₂ = b
⇒ m₁ + m₂ = b
\(\frac{\mathrm{y}_1}{\mathrm{x}_1}\) = b ⇒ y₁ = bx₁
∴ Locus of (x₁, y₂) is y = bx.

Question 6.
Show that the common tangents to the parabola y² = 4ax and x² = 4by is xa^1/3 + yb^1/3 + xa^2/3 yb^2/3
Solution:
The equations of the parabolas are
y² = 4ax ………………….. (1)
and x² = 4by ………………… (2)
Equation of any tangent to (1) is of the form
y=mx+\(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{m}}\) ………….. (3)
lf the line (3) is tangent to (2) also the point of intersection of (2) and (3) coincide.
From (3) and (2)
x² = 4b \(\left(\mathrm{mx}+\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{m}}\right)\)
⇒ mx² – 4bm²x – 4ab = 0
which should have equal roots.
∴ Therefore the discriminant is zero.

Long Answer Type Questions

Question 1.
Find the equation of a parabola in his standard form.
Solution:

Let S be the focus, l be the directrix as shown in the figure. Let Z be the projection of S on I and A be the mid point of \(\overline{\mathrm{SZ}}\). A lies on the parabola since SA = AZ. A is the vertex of the parabola. YY’ is parallel to the clirectrix ‘l’.
Let S=(a,0), (a>0) then Z =(-a, 0) and the equation of the directrix is x + a = 0.
Let P(x, y) be a point on the parabola and PM is the perpendicular distance from P to x + a = 0.
Then by definition \(\frac{\mathrm{SP}}{\mathrm{PM}}\) = e = 1
= SP² = PM²
= (x- a)² +(y-0)² = (x+a)²
= y² =(x+a)²-(x-a)² = 4ax
Conversely also if P(x, y) is a point such that y² = 4ax then SP = PM.
∴ P(x, y) lies on the locus. Equation of parabola in standard form is y² = 4ax.

Question 2.
(i) If the coordinates of the ends of a focal chord of the parabola y² = 4ax are (x₁, y₁) and (x₂, y₂) then prove that
x₁x₂ = a² and y₁y₂ = – 4a².
(ii) For a focal chord PQ of the parabola y² = 4ax if SP =l and SQ = l’ then prove that \(\frac{1}{l}+\frac{1}{l}=\frac{1}{a}\)
Solution:
(i) Let P(x₁, y₁) = (at₁², 2at₁)
and Q(x₂, y₂) = (at₂², 2at₂)
be two end points of a focal chord and S(a, 0) be the focus of the parabola y² = 4ax. PSQ is a focal chord P, S, Q are collinear.

(ii) Let P(at²₁, 2at₁) and Q (at²₂, 2at₂) be the extremities of a focal chord of parabola such that t₁,t₂ = – 1.

Question 3.
If Q is the foot of the perpendicular from a points P on the parabola y² = 8(x -3) to its directrix. S is the focus of parabola and if SPQ is an equilateral triangle then find the length of side of triangle.
Solution:
Given equation of parabola is
(y – 0)² = 8(x – 3)
which is of the form (y – k)² = 4a (x – h)
where 4a = 8 ⇒ a = 2
∴ Vertex = (h, k) = (3,0)
and focus = (h + a, k) = (3 +2, 0) =  (5, 0)

Since PQS is an equilateral triangle.
\(\angle \mathrm{SQP}=60^{\circ} \Rightarrow \angle \mathrm{SQZ}=30^{\circ}\)
Also in ΔSZQ , we have sin 30° = \(\frac{\mathrm{SZ}}{\mathrm{SQ}}\)

Hence length of each side of the triangle is 8

Question 4.
The cable of a uniformly loaded suspension bridge hangs In the form of a parabola. The roadway which is horizontal and 72mt. long is supported by vertical wires attached to the cable. The longest being 30 mts. and the shortest being 6 mts. Find the length of the supporting wire attached to the roadway 18 mts. from the middle.
Solution:

Let AOB be the cable [O is the lowest point and A, B are highest points). Let PRQ be the suspension bridge suspended with PR – RQ = 36 mts.
PA = QB = 30 mts (longest wire)
OR = 6 mts (shortest wire)
∴ PR = RQ = 36 mts. We take O as origin of coordinates at O, X-axis along the tangent \(\overline{\mathrm{RO}}\). So the equation of the cash is x² = 4ay for some a> 0.
∴ B(36,24) and B is a point on x²=4ay
We have (36)² = 4a(24)
⇒ 4a = \(\frac{36 \times 36}{24}\) = 54 mts
If RS = 18 mts and SC is the vertical through S meeting the cable at ‘C’ and the X- axis at D.
Then SC is the length of the required wire.
Let SC = l mts then DC = L – 6 mts.
∴ C = (18, 1 – 6) which lies on x² = 4ay
⇒ (18)² = 4a (l – 6)
⇒ (18)²= 54 (l -6)
⇒ l – 6 = \(\frac{18 \times 18}{54}\) = 6
⇒ l = 12.

Question 5.
Prove that the normal chord at the point other than origin whose ordinate is equal to Its abscissa subtends a right angle at the focus
Solution:
Let the equation of the parabola
y² = 4ax ……………. (1)
and P(at², 2at) be any point
Ordinate – abscissa
= 2at = at² = t=0 or t = 2
But t ≠ 0, Hence the point (4a, 4a) at which normal is
⇒  y + 2x = 2a(2) + a(2)³
⇒  y + 2x = 4a + 8a
⇒  y=12a -2x …………….. (2)
∴ From (1) we get
(12a – 2x)² – 4ax
⇒ 4x² – 48ax + 144a² = 4ax
⇒ 4x² – 52ax+ 144a²= 0
⇒ x² – 13ax + 36a² = 0
⇒ (x – 4a) (x – 9a) – 0
⇒ x = 4a, 9a
Correspondingly we get y = 12a – 8a = 4a and y = 12a – 18a= – 6a
Hence the other points of intersection of normal at P(4a, 4a) is Q(9a – 6a).
We have S = (a, 0)

Question 6.
Prove that the area of the triangle formed by the tangents at (x₁, y₁), (x₂, y₂) and (x₃,y₃) to the parabola y² = 4ax
\(\frac{1}{16 a}\left|\left(y_1-y_2\right)\left(y_2-y_3\right)\left(y_3-y_1\right)\right|\)  sq. unit
Solution:
Let A (x₁, y₁) = (at₂², 2at₁)
B (x₂, y₂) =  (at₂², 2at₂)
C (x₃, y₃) – (at₃², 2at₃) be the three points on the parabola y²=4ax.
The equations of tangents at A, B, C are

∴ Point of intersection of tangents at A and B is P(at₁t₂, a(t₁ + t₂)).
Similarly the points of intersection of tangents at B and C as well as A & C are

Question 7.
Prove that the two parabolas y² = 4ax and x² = 4by intersect other than the origin) at tan^-1
\(\left(\frac{3 a^{1 / 3} b^{1 / 3}}{2\left(a^{2 / 3}+b^{2 / 3}\right)}\right)\)
Solution:
Take a>0, b>0
and y²=4ax ………………….. (1)
and x² = 4by are ……………. (2)
the given parabolas.
Solving (1) and (2) we get the point of intersection other than the origin.

Question 8.
Prove that the orthocentre of the triangle formed by any three tangents to a parabola lies on the directrix of the parabola.
Solution:
Let y² = 4ax be the parabota and
A = (at₁², 2at₁), B = (at₂², 2at₂),
C = (at₃², 2at₃) be any three points on It.
If P, Q, R are the points of intersection of tangents at A and B, B and C, C and A then
P = [at₁t₂, a(t₁ + t₂)] Q = [at₂t₃, a(t₂ + t₃)] R = [at₁t₃, a(t₁ + t₃)]
Consider the ΔPQR then equation \(\overline{\mathrm{QR}}\) of (Tangent at C) is
x – yt₃ + at₃² = 0
∴ Altitude through P of Δ PQR is
t₃x + y = at₁t₂t₃ + a(t₁ + t₂) …………….. (1)
∴ Slope = \(\frac{1}{t_3}\) and equation is
y – a(t₁+ t₂) = – t₃ [x – at₁t₂]
y+xt₃ – at₁t₂t₃+a(t₁ +t₂)
Similarly the altitude through Q is
t₁x + y – at₁t₂t₃ + a(t₂+ t) …………… (2)
Solving (1) and (2)
x(t₃ – t₁) = a(t₁– t)
⇒ x = – a
Hence the orthocentre of ΔPQR with x coordinate as – ‘a’ lies on the directrix of the parabola.

Students must practice these TS Inter 2nd Year Maths 2B Important Questions Chapter 2 System of Circles to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 2nd Year Maths 2B System of Circles Important Questions

Very Short Answer Type Question

Question 1.
Find the angle between the circles x²+y²+4x-14y+28=0
x²+y²+4x – 5 = 0
Solution:
Comparing with general equation
x²+y²+2gx+2fy+c=0, we have
g=2, 1=-7, c=28, C₁=(-2,7)
g’=2, f’=0, c=-5, C₂=(-2,0)
Let θ be the angle between circles (1) and (2) then

Question 2.
If the angle between the circles x²+y²-12x- 6y+41=0 ………………..(1) x²+y²+kx+6y-59=0 …………… (2) is 45° find k.
Solution:


⇒ k² + 27². 18k²
⇒ 17k² = 27²
⇒ k²=16
k = ± 4

Short Answer Type Questions

Question 1.
find the equation of the circle passing through the points of the intersection of the circles
x²+y²– 8x-6y+21=0 …………… (1)
x²+y²– 2x-15=0 …………. (2) and (1, 2)
Solution:
The equation of circle passing through the point of intersection o! circles S = 0, S’ = 0 is S+ λS’+ 0 where λ is a parameter.
∴(x²+y²-8x-6y+21) +λ(x²+y²-2x-15)=0 ……………….. (1)
If this passes through (1, 2) then
(1+4-8-12+21)+λ(1+4-2-15)=0
= 6-12λ=0 ⇒ λ= \(\frac{1}{2}\)
Hence the equation of the required circle
is (x²+y²-8x-6y+ 21) + \(\frac{1}{2}\) (x²+y²-2x-15) = 0
= 3(x²+y²)-18x-12y+ 27 = 0

Question 2.
Find the equation and length of the common chord of the circles
S ≡ x² +y²+ 3x + 5y+ 4 = 0 ……………….. (1)
and S ≡ x² +y²+ 5x+ 3y + 4 = 0  …………………. (2)
Solution:
The common chord of two intersecting circles is the radical axis given by S – S’ = 0.
⇒  2x + 2y = 0
⇒ x-y=0 ……………… (3)
Centre of cricle (1) is \(\mathrm{C}_1=\left(-\frac{3}{2},-\frac{5}{2}\right)\) and

∴ AD = 2
∴ Length of the common chord AB = 2(AD) = 2(2) 4

Question 3.
Find the equation of the circle whose diameter is the common chord of the circles
S = x² +y²+2x+3y+ 1=0 …………………. (1)
and S’= x² +y²+4x+3y+2=0 …………………. (2)
Solution:
The common chord is the radical axis of (1) and (2) given by S – S’ = 0.
⇒ 2x-1 =0
⇒  2x+1=0 ………………. (3)
The equation of any circle passing through the point of intersection of (1) and (3) is
S + λL = 0.
(x² +y²+2x+3y+1)+λ(2x+1) = 0
x² +y²+2(λ+ 1)x+3y+(1 +λ) = 0 ……………….. (4)
Centre of this circle = [- (λ + 1), \(-\frac{3}{2}\)]
For the circle (4), 2x + 1 -0 is one chord. This will be the diameter of the circle (4).
If the centre of (4) lies on (3) then
– 2(λ + 1) + 1 = 0
⇒ λ=-\(-\frac{3}{2}\)
∴ The equation of circle whose diameter is the common chord of (1) and (2) is
x² +y² + 2x + 3y + 1) – (2x + 1) = 0
2(x² +y²)+2x+6y+1=0

Question 4.
Find the equation of a circle which cuts each of the following circles orthogonally
S’ = x²+y²+3x+2y+1=0 ……….. (1)
S”=x²+y²-x+6y+5=0 ………… (2)
S”’=x²+y+5x-6y+15=0 …………… (3)
Solution:
Radical axis of circles (1) and (2) is S’ -S”= 0.
⇒ 4x-4y-4=0
⇒ x-y-1=0   ………………… (4)
Radical axis of circles (2) and (3) is S’’ -S”’= 0.
⇒ -6x+ 14y-10 =0
⇒ 3x-7y+5= 0 ……………. (5)
Solving (4) and (5) we get

∴ Radical centre – (3, 2)
Also the length of the tangent from (3, 2) to
S’=\(\sqrt{9+4+9+4+1}=\sqrt{27}\)
Hence equation of circle which cuts orthogonally each of the given circles is obtained by taking radical centre as centre and length of the tangent as radius.
∴ Equation of the required circle is
(x-3)² +(y-2)²= 27
⇒ x²+y²-6x-4y-14=0.

Long Answer Type Questions

Question 1.
Find the equation of the circle which passes through (1, 1) and cuts orthogonally each of the circles
x²+y²-8x-2y+ 16=0 …………. (1)
and x²+y²-4x-4y-1=0 …………. (2)
Solution:
Let the equation of the required circle be
x²+y²+2gx+2fy+c = 0 ………….. (3)
1f this passes through (1, 1) then
1+1 + 2g. 2f + c = 0
⇒ 2g+2f+c- 2 ………….. (4)
If (3) is orthogonal to (1) then
2g(-4) + 2f(-1) = c + 16
=-8g-21=c+16 …………………. (5)
11(3) is orthogonal to (2) then
2g(-2) + 2f(-2) =c-1
= – 4g – 41=c – 1 ………….. (6)
From (5) and (6) we have
– 4g + 21=17
⇒ 4g+2f=-17 …………….. (7)
From (4) and (5) we have
– 6g=+ 14=g= – \(\frac{7}{3}\)
∴ From (7)

Question 2.
Find the equation of circle which is orthogonal to each of the following three circles x²+y²+ 2x + 17y+ 4=0
x²+y²+7x+6y+ 11=0 and x²+y²-x+22y+3=0
Solution:
Denote the given circles by
S=x²+y²+2x+ 17y+4 = 0 ……………….. (1)
S’=x²+y²+7x+6y+11 = 0 ……………… (2)
and S”=x²+y² x+22y+3 = 0 …………………. (3)
The radical axis of S = 0, S’ = 0 is s – S = 0.
⇒ – 5x+11y – 7=0
⇒ 5x – 11y-7=0 ……………….. (4)
The radical axis of S’ = 0. S” = 0 is S’ = S’’ = 0.
⇒ 8x-16y+8=0
⇒ x-2y+1=0 …………… (5)
Solving equations (4) and (5), we get the coordinates of radical centre.

⇒ x = 3, y = 2 ∴ C (3, 2) is the radical centre.
Length of the tangent from C(3, 2) to the circles = 0 is \(\sqrt{9+4+6+34+4}=\sqrt{57}\)
The equation of the circle which cuts or orthogonally each of the three circles if obtained by considering the equation of circle with radical centre (3,2) as centre and length of the tangent \(\sqrt{57}\) as the radius.
∴ Equation of the required circle is
(x-3)² + (y – 2)² = 57
= x² + y²-6x-4y-44 = 0

Question 3.
If the straight line represented by x cos α + y sin α = p intersects the code x² + y² = a² at the points A and B then show that the equation of circle with \(\overline{\mathbf{A B}}\) as diameter is (x²+y²-a²)-2p(x cosα+ysinα – p)=0.
Solution:
Given x cos α + y sin α p …….. (1) intersects the circle
x² + y² = a² ……….. (2) at points A and B.
So the equation of circle passing through the point of intersection of (1) and (2) is
x² + y² = a²+λ(xcos α + ysinα-p) = 0 …………. (3)
Where λ is a parameter.
∴ Centre of (3) is  \(\left(\frac{-\lambda \cos \alpha}{2}, \frac{-\lambda \sin \alpha}{2}\right)\)
If the circle given by (3) has \(\overline{\mathrm{AB}}\) as diameter then the centre of it must lie on (1). Then

Hence the equation of the required circle is (x² + y²– a²) – 2p(xcosα+ysinα – p)=0.

Question 4.
Show that the circles
S=x²+y²-2x-4y-20 =0 …………….. (1)
and S’=x²+y²+6x – 2y- 90=0 …………… (2)
touch each other Internally. Find their point of contact and the equation of common tangent
Solution:
Let C₁ C₂ be the centres of circles (1) and (2) and r₁ r₂ be the radii of circles (1) and (2).
Then C₁ = (1, 2) and r₁ = \(\sqrt{1+4+20}\) = 5

Since C₁ C₂ – |r₁ r₂|, the two circles touch
Internally. The point of contact P divides C₃ C₄ externally In the ratio of the radii of circles 5: 10 1: 2.

Since the two circles touch internally the common tangent at the point of contact is only the radical axis of
S = 0 and S’- 0 given by S – S’ – 0.
= – 8x – 6y + 70 = 0
= 4x + 3y – 35 = 0

Students must practice this TS Intermediate Maths 2B Solutions Chapter 7 Definite Integrals Ex 7(d) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 2nd Year Maths 2B Solutions Chapter 7 Definite Integrals Ex 7(d)

I. Find the area of the region enclosed by the given curves.

Question 1.
y = cos x, y = 1 – \(\frac{2 x}{\pi}\)
Solution:
Consider the graphs of the functions
f(x) = cos x and g(x) = 1 – \(\frac{2 x}{\pi}\)

The two curves intersect at (\(\frac{\pi}{2}\), 0) and (π, -1)

∴ The area enclosed between the curves y = cos x, y = 1 – \(\frac{2 \mathrm{x}}{\pi}\) is (2 – \(\frac{\pi}{2}\)).

Question 2.
y = cos x, y = sin 2x, x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\).
Solution:
Consider the graphs of the functions f(x) = cos x and g(x) = sin 2x.

Taking f(x) = cos x and g(x) = sin 2x in [0, \(\frac{\pi}{6}\)]
we have f(x) ≥ g(x) and also in \(\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]\) have g(x) ≥ f(x).
Hence area enclosed between f(x) = cos x and g(x) = sin 2x is

∴ Area enclosed between the curves y = cos x, y = sin 2x, x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\) is \(\frac{1}{2}\) sq.units.

Question 3.
y = x³ + 3, y = 0, x = – 1, x = 2. (Mar. ’12)
Solution:

Required area enclosed between y = x³ + 3, y = 0, x = – 1, x = 2 is

Question 4.
y = e^x, y = x, x = 0, x = 1.
Solution:

Question 5.
y = sin x, y = cos x, x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\).
Solution:

Taking f(x) = sin x and g(x) = cos x
We have sin x – cos x < 0 for x ∈ \(\left[0, \frac{\pi}{4}\right]\) and sin x – cos x > 0 for x ∈ \(\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right]\)
Area enclosed between y = sin x, y = cos x, x = 0, x = \(\frac{\pi}{2}\) is

Question 6.
x = 4 – y², x = 0.
Solution:
The curve x = 4 – y² cuts Y – axis at x = 0.
Hence 4 – y² = 0
⇒ y = ± 2
∴ Points of intersection are given by (0, 2) and (0, – 2).
∴ Area subtended by Y-axis, the curve x = 4 – y² is given by \(A=\int_{-2}^2 x d y=\int_{-2}^2\left(4-y^2\right) d y\)

Question 7.
Find the area enclosed with in the curve |x| + |y| = 1.
Solution:
The given equation of the curve is |x| + |y| = 1 which represents ± x ± y = 1 representing four different lines forming a square.
Consider the line x + y = 1
⇒ y = 1 – x
If the line touches the X-axis then y = 0 and one of the points of intersection with X-axis is (1, 0).
Since the curve is symmetric with respect to coordinate axes, area bounded by |x| + |y| = 1 is

II.

Question 1.
x = 2 – 5y – 3y², x = 0.
Solution:
Solving x = 2 – 5y – 3y² and x = 0
We get – 3y² – 5y + 2 = 0
⇒ 3y² + 5y – 2 = 0
⇒ 3y² + 6y – y – 2 = 0
⇒ 3y (y + 2) – 1 (y + 2) = 0
⇒ (y + 2)(3y – 1) = 0
⇒ y = -2 or y = \(\frac{1}{3}\)
Required area subtended by the curve x = 2 – 5y – 3y², Y-axis and y = \(\frac{1}{3}\) and y = – 2 is

Question 2.
x² = 4y, x = 2, y = 0.
Solution:

The given equation x² = 4y represents parabola which is symmetric with respect to Y-axis.
When x = 2 we have
4y = 4
⇒ y = 1
Hence P(2, 1) is the point of intersection.
∴ Area bounded by x² = 4y, and x = 0, x = 2 is
A = \(\int_0^2 y d x=\int_0^2 \frac{x^2}{4} d x\)
= \(\frac{1}{4}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{1}{4}\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{2}{3}\) sq. units.

Question 3.
y² = 3x, x = 3.
Solution:
y² = 3x is a parabola which is symmetrical to X-axis;
when x = 3 then y² = 9
⇒ y = ± 3
Hence (3, 3) and (3, – 3) are the points of intersection.

Question 4.
y = x², y = 2x
Solution:

Given y = x² and y = 2x
solving these we get x² – 2x = 0
⇒ x (x – 2) = 0
⇒ x = 0 or x = 2
∴ y = 0 or y = 4
Hence O(0, 0) and P(2, 4) are the points of intersection of (1) and (2).
∴ Required area bounded by y = x² and y = 2x is
= \(\int_0^2\left(2 x-x^2\right) d x=2\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2-\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2\)
= \(2\left[\frac{4}{2}\right]-\left[\frac{8}{3}\right]\)
= 4 – \(\frac{8}{3}\) = \(\frac{4}{3}\) sq. units.

Question 5.
y = sin 2x, y = √3 sin x, x = 0 and x = \(\frac{\pi}{6}\).
Solution:

Given curves are y = sin 2x …….(1)
and y = √3 sin x ……..(2)
When x = \(\frac{\pi}{6}\) then y = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
∴ \(\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) is a point of intersection (1) and (2).
∴ Area enclosed between the curves

Question 6.
y = x², y = x³.
Solution:
Given curves are y = x² and y = x³
By solving we get x² = x³
⇒ x² (x – 1) = 0
⇒ x = 0 or x = 1
∴ y = 0 or y = 1
Hence (0, 0) and (1, 1) are the points of intersection.
Also f(x) = x² and g(x) = x³ and f(x) > g(x) in [0, 1].
∴ Area bounded by the curves

Question 7.
y = 4x – x², y = 5 – 2x.
Solution:
The given equations of curves are denoted by
y = f(x) = 4x – x² ……(1)
y = g(x) = 5 – 2x ……..(2)
Solving (1) and (2)
4x – x² = 5 – 2x
⇒ x² – 2x – 4x + 5 = 0
⇒ x² – 6x + 5 = 0
⇒ (x – 5) (x – 1) = 0
⇒ x = 1 or 5
When x = 1, y = 3 and x = 5, y = -5
Hence P(1, 3) and Q(5, – 5) are the two points of intersection.
Now f(x) > g(x) in [1, 5].
∴ Area bounded between the curves is

Question 8.
Find the area in sq.units bounded by the X-axis, part of the curve y = 1 + \(\frac{8}{x^2}\) and the ordinates x = 2 and x = 4.
Solution:
In [2, 4] we have the equation of the curve given by y = 1 + \(\frac{8}{x^2}\)
∴ Area bounded by the curve y = 1 + \(\frac{8}{x^2}\)
X-axis and the ordinates x = 2 and x = 4 is

Question 9.
Find the area of the region bounded by the parabolas y2 = 4x and x2 = 4y.
Solution:
Given equations of curves are
y² = 4x ……..(1)
x² = 4y ……..(2)
Solving (1) and (2) the points of intersection can be obtained.
y² = 4x
⇒ y⁴ = 16x²
⇒ y⁴ = 64y
⇒ y = 4
∴ 4x = y²
⇒ 4x = 16
⇒ x = 4
Points of intersection are (0, 0) and (4, 4).

∴ Area bounded between the parabolas

Question 10.
Find the area bounded by the curve y = log x, the X-axis and the straight line x = e.
Solution:
Area bounded by the curve y = \(\log _e x\), X-axis
and the straight line x = e is \(\int_1^e \log _e x d x\)
= \([\mathrm{x} \log \mathrm{x}]_{\mathrm{1}}^{\mathrm{e}}-\int_1^{\mathrm{e}} \mathrm{dx}\) (∵ when x = e, y = loge e = 1)
= (e – 0) – (e – 1)
= 1 sq.units

III.

Question 1.
y = x² + 1, y = 2x – 2, x = -1, x = 2.
Solution:
Equations of given curves are
y = x² + 1 ……..(1)
y = 2x – 2 ………(2)

Take f(x) = x² + 1 and g(x) = 2x – 1
we find f(x) > g(x) ∀ x ∈ [- 1, 2]
Hence area bounded by y = x² + 1 and y = 2x – 2 is

Question 2.
y² = 4x, y² = 4(4 – x).
Solution:
Equations of the curves are
y² = 4x ………(1)
y² = 4(4 – x) ………(2)
From (1) and (2)
4x = 4(4 – x)
⇒ 8x = 16
⇒ x = 2
∴ y² = 8
⇒ y = ± 2√2
∴ The points of intersection are (2, 2√2), (2, – 2√2)

Question 3.
y = 2 – x², y = x².
Solution:
The given curves are
y = 2 – x² ………(1)
y = x² …….(2)

Solving (1) and (2) we get
2 – x² = x²
⇒ 2x² = 2
⇒ x² = 1
⇒ x = ± 1
∴ y = 1
Hence points of intersection of curves are (1, 1), (- 1, 1)
∴ Area bounded between the curves

Question 4.
Show that the area enclosed between the curves y² = 12 (x + 3) and y² = 20 (5 – x) is 64 \(\sqrt{\frac{5}{3}}\).
Solution:

Given curves are y² = 12 (x + 3) …….(1)
and y² = 20 (5 – x) ………(2)
Solving (1) and (2) we get
12 (x + 3) = 20 (5 – x)
⇒ 12x + 36 = 100 – 20x
⇒ 32x = 64
⇒ x = 2
∴ y² = 20(5 – 2) = 60
⇒ y = ± 2√15
∴ Points of intersection are B(2, 2√15) and B'(2, – 2√5).
The given equations represent these parabolas
(y – β)² = 4a(x – α) and
(y – β)² = – 4a(x – α)
∴ Vertex of (1) is A(- 3, 0) and vertex of (2) is A'(5, 0).
∴ The required area is symmetrical about X-axis.
∴ Area bounded by curves is ABA’B’

Question 5.
Find the area of the region {(x, y): x² – x – 1 ≤ y ≤ -1}.
Solution:
Consider y = x² – x – 1 ……(1)
and y = – 1 ……(2)

Which represents a parabola in the form (x – h)² = 4a(y – k) where vertex \(\left(\frac{1}{2}, \frac{-5}{4}\right)\) with 4a = 1.
Also x² – x – 1 = -1
⇒ x² – x = 0
⇒ x (x – 1) = 0
⇒ x = 0 or 1
∴ Area subtended by the region {(x, y) : x² – x – 1 ≤ y ≤ -1}

∴ Area of the region {(x, y); x² – x – 1 ≤ y ≤ – 1} is \(\frac{1}{6}\).

Question 6.
The circle x² + y² = 8 is divided into two parts by the parabola 2y = x². Find the area of both the points.
Solution:

Given curves are x² + y² = 8 ……(1)
and 2y = x² …….(2)
Solving (1) and (2)
x² + \(\frac{x^4}{4}\) = 8
⇒ x⁴ + 4x² – 32 = 0
⇒ x⁴ + 8x² – 4x² – 32 = 0
⇒ x² (x² + 8) – 4(x² + 8) = 0
⇒ (x² – 4) (x² + 8) = 0
⇒ x = ±2 (∵ x² + 8 = 0 is not admissible)
∴ y = 2
Hence the points of intersection of (1) and (2) are (2, 2) (- 2, 2).
Let the area bounded between (1) and (2) be sum of two areas A₁ and A₂ as shown in the figure. Then

Again
A₂ = π + \(\frac{2}{3}\) (Since the bounded position is symmetric)
∴ Area bounded by the curves = 2π + \(\frac{4}{3}\) sq.units
Area bounded by the circle = πr² = 8π when r = 2√2
∴ Area of the remaining portion = 8π – (2π + \(\frac{4}{3}\)) = 6π – \(\frac{4}{3}\) sq.units.

Question 7.
Show that the area of the region bounded by \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 (ellipse) is πab. Also deduce the area of the circle x² + y² = a². (June ’10)
Solution:

Given equation of ellipse is \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1
Since the ellipse is symmetric with respect to coordinate axes we have

∴ Area of the region bounded by \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 is πab sq.units
Substituting b = a in the above result we have the area of circle given by πa(a) = πa² sq.units

Question 8.
Find the area of the region enclosed by the curves y = sin πx, y = x² – x, x = 2.
Solution:
The graphs of the given equations y = sin πx and y = x² – x, x = 2 are shown below.

Question 9.
Let AOB be the positive quadrant of the ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) = 1 with OA = a, OB = b. Then show that the area bounded between the chord AB and the arc AB of the ellipse is \(\frac{(\pi-2) a b}{4}\).
Solution:

Question 10.
Prove that the curves y² = 4x and x² = 4y divide the area of square bounded by the lines x = 0, x = 4, y = 4 and y = 0 into three equal parts.
Solution:

The given curves are y² = 4x ……(1) and x² = 4y ………(2)
Solving y⁴ = 16x² = 64y
⇒ y(y³ – 64) = o
⇒ y = 0 or y = 4
When y = 4 we have 4x = 16 ⇒ x = 4
∴ Points of intersection of parabolas is P(4, 4).
∴ Area bounded by the parabolas

Area of the square formed = (OA)² = (4)² = 16
Since the area bounded by the parabolas x² = 4y and y² = 4x is \(\frac{1}{2}\) sq.units.
Which is one third of the area of square we conclude that the curves y² = 4x and x² = 4y divide the area of the square bounded by x = 0, x = 4, y = 0, y = 4 into three equal parts.