TS Inter 1st Year

Students must practice these TS Intermediate Maths 1B Solutions Chapter 6 Direction Cosines and Direction Ratios Ex 6(b) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1B Direction Cosines and Direction Ratios 6(b)

Question 1.
Find the direction ratios of the line joining the points (3, 4, 0) and (4, 4, 4). (V.S.A.Q.)
Answer:
Let A = (3, 4, 0) and B = (4, 4, 4) be the given points.
Then d.r.’s of AB = ( 4 – 3, 4 – 4, 4 – 0) = (1, 0, 4)

Question 2.
The direction ratios of a line are (-6, 2, 3). Find its direction cosines. (V.S.A.Q.)
Answer:
d.r’s of the line are -6, 2, 3.
∴ \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) = \(\sqrt{36+4+9}\) = √49 = 7
d.c.’s of the line are \(\frac{-6}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}\).

Question 3.
Find the cosine of the angle between the lines whose direction cosines are
\(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\) and \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)\).
Answer:
cos θ = l₁ l₂ + m₁ m₂ + n₁n₂

Question 4.
Find the angle between the lines whose d.r.’s are (1, 1, 2), (√3 , – √3, 0). (V.S.A.Q.)
Answer:
We have

Question 5.
Show that the lines with direction cosines \(\left(\frac{12}{13}, \frac{-3}{13}, \frac{-4}{13}\right)\) and \(\left(\frac{4}{13}, \frac{12}{13}, \frac{3}{13}\right)\) are Perpendicular to each other. (V.S.A.Q.)
Answer:
We have the condition for two lines with d.c.’s (l₁, m₁, n₁) and (l₂, m₂, n₂) to be perpendicular is l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0
∴ l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂

∴ The given lines are perpendicular.

Question 6.
O is the origin, P(2, 3, 4) and Q (1, k, 1) are points such that OP ⊥ OQ . Find k.
Answer:
d.r.’s of OP = 2, 3, 4
d.r.’s of OQ = 1, k, 1
OP and OQ are perpendicular.
⇒ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0
⇒ 2 + 3k + 4 = 0 ⇒ 3k + 6 = 0 ⇒ k = – 2

II.
Question 1.
If the direction ratios of a line are (3, 4, 0) find its direction cosines and also the angles made with the coordinate axes. (S.A.Q.)
Answer:
d.c.’s of the line are (3, 4, 0).
\(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) = \(\sqrt{9+16}\) = 5
∴ d.c.’s of the line are
If α, β, γ are angles made by the line with the
coordinate axes then cos α = \(\frac{3}{5}\), cos β = \(\frac{4}{5}\), cos γ = 0
∴ α = cos^-1 (3/5), β = cos^-1 (4/5), γ = \(\frac{\pi}{2}\)
∴ Angles made with coordinate axes are
cos^-1 (3/5), cos^-1 (4/5) and \(\frac{\pi}{2}\).

Question 2.
Show that the line through the points (1, -1, 2), (3, 4, -2) is perpendicular to the line through the points (0, 3, 2) and (3, 5, 6). (S.A.Q.)
Answer:
Let A = (1, -1, 2), B = (3, 4, -2), C = (0, 3, 2) and D = (3, 5, 6) be the given points.
d.r.’s of AB = (3 – 1, 4 + 1, -2 – 2) = (2, 5,4)
d.r.’s of CD = (3 – 0, 5 – 3, 6 – 2) = (3, 2, 4)
∴ a₁ a₂ + b₁ b₂ + c₁ c₂ = 2(3) + 5(2) + (-4) (4) = 0
∴ AB and CD are perpendicular.

Question 3.
Find the angle between DC and AB where A = (3, 4, 5), B = (4, 6, 3), C = (-1, 2, 4) and D = (1, 0, 5). (S.A.Q.)
Answer:
d.r.’s of AB are (4 – 3, 6 – 4, 3 – 5) = (1, 2, -2)
d.r.’s of CD are (1 + 1, 0 – 2, 5 – 4) = (2, -2, 1)

Question 4.
Find the direction cosines of a line which is perpendicular to the lines, whose direction ratios are (1, -1, 2) and (2, 1, -1). (S.A.Q.)
Answer:
Let the d.c.’s of the required line be a, b, c. This is perpendicular to the line whose d.r.’s are (1,-1, 2) and (2, 1, -1).
Then a – b + 2c = 0
and 2a + b – c = 0

Question 5.
Show that the points (2, 3, -4), (1, -2 ,3) and (3, 8, -11) are collinear. (S.A.Q.)
Answer:
Let A = (2, 3, -4), B = (1, -2, 3) and C = (3, 8, -11) be the three given points.

∵ AB + AC = 5√3 + 5√3 = 10√3 = BC
We have A, B, C are collinear.

Question 6.
Show that the points (4, 7, 8), (2, 3, 4), (-1, -2, 1), (1, 2, 5) are the vertices of a parallelogram. (S.A.Q.)
Answer:
Let A = (4, 7, 8), B = (2, 3, 4), C = (-1, -2, 1) and D = (1, 2, 5) be the four given points.

d.r.’s of \(\overline{\mathrm{AB}}\) = (2 – 4, 3 – 7, 4 – 8)
= (-2, -4, -4) ………………. (1)
d.r.’s of \(\overline{\mathrm{DC}}\) = (- 1 – 1, – 2 – 2, 1 – 5)
= (-2, -4, -4) ………………… (2)
d.r.’s of \(\overline{\mathrm{AB}}\) = DR’s of \(\overline{\mathrm{DC}}\) we have \(\overline{\mathrm{AB}}\) is parallel to \(\overline{\mathrm{DC}}\).
d.r.’s of \(\overline{\mathrm{AD}}\) = (1 – 4, 2 – 7, 5 – 8)
= (-3, -5, -3) ……………………. (3)
d.r.’s of \(\overline{\mathrm{BC}}\) = (-1 – 2, -2 – 3, 1 – 4)
= (-3, -5, -3) …………………….. (4)
∵ d.r.’s of \(\overline{\mathrm{AD}}\) = d.r.’s of \(\overline{\mathrm{BC}}\), we have \(\overline{\mathrm{AD}}\) is parallel to \(\overline{\mathrm{BC}}\).
From (1) and (3),
(-2) (-3) + (-4) (-5) + (-4) (-3) ≠ 0
From (2) and (4),
(-2) (-3) + (-4) (-5) + (-4) (-3) ≠ 0
We have \(\overline{\mathrm{AD}}\) is not perpendicular to \(\overline{\mathrm{AB}}\) and \(\overline{\mathrm{DC}}\) is not perpendicular to \(\overline{\mathrm{BC}}\).
Also d.r.’s of \(\overline{\mathrm{AC}}\) = (-1 – 4, -2 -7, 1 – 8)
= (-5, -9, -7) ………………….. (5)
d.r.’s of B\(\overline{\mathrm{BD}}\) = (1 – 2, 2 – 3, 5 – 4)
= (-1, -1, 1) ………………….. (6)
From (5) and (6)
(- 5) (- 1) + (- 9) (- 1) + (1) (-7) ≠ 0
Hence diagonals \(\overline{\mathrm{AC}}\) and \(\overline{\mathrm{BD}}\) are not perpendicular. Hence ABCD is a parallelogram.

III.
Question 1.
Show that the lines whose direction cosines are given by l + m + n = 0, 2mn + 3nl – 5lm= 0 are perpendicular to each other.(E.Q.) (March ’12)
Answer:
Given l + m + n = 0 ………………… (1)
and 2mn + 3nl – 5lm = 0 …………………….. (2)
From (1), l = – (m + n)
∴ From (2), 2mn – 3n(m + n) + 5m(m + n) = 0
⇒ 2mn – 3mn – 3n² + 5m² + 5mn = 0
⇒ 5m² + 4mn – 3n² = 0
⇒ 5\(\left(\frac{m}{n}\right)^2\) + 4\(\left(\frac{m}{n}\right)\) – 3 = 0
This is a quadratic equation in \(\left(\frac{m}{n}\right)\) and let \(\frac{m_1}{n_1}\) and \(\frac{m_2}{n_2}\) be the roots of the quadratic equation.
Then product of roots \(\frac{m_1}{n_1} \cdot \frac{m_2}{n_2}=\frac{-3}{5}\)
⇒ \(\frac{m_1 m_2}{3}=\frac{n_1 n_2}{-5}\) = k (suppose) …………… (3)
From (1), m = – (l + n)
– 2n (l + n) + 3nl + 5l (l + n) = 0
⇒ 5l² + 6nl – 2n² = 0

∴ l₁l₂ = 2k, m₁m₂ = 3k, n₁n₂ = – 5k
∴ l₁l₂ + m₁m₂ + n₁n₂ = 0
∴ The two lines are perpendicular.

Question 2.
Find the angle between the lines whose direction cosines satisfy the equations l + m + n = 0, l² + m² – n² = 0. (E.Q.) (May 2014, ‘11,2007, Mar. ’13, ’07, June 2004)
Answer:
Given equations are
l + m + n = 0 ………………….. (1) and
l² + m² – n² = 0 …………………… (2)
From (1), l = – (m + n)
From (2), [-(m + n)]² + m² – n² = 0
⇒ m² + n² + 2mn + m² – n² = 0
⇒ 2m² + 2mn = 0
⇒ 2m (m + n) = 0
⇒ m = 0 or m = -n

Case (i): If m = 0 then
l(0) + m (1) + n(0) = 0
and l + m + n = 0 ……………… (1)
Solving

∴ d.c.’s of one pair of lines
(l₁, m₁, n₁) = \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{0}{\sqrt{2}}, \frac{-1}{\sqrt{2}}\right)\)

Case (ii): If m + n = 0 then
l(0) + m(1) + n(1) = 0
and l + m + n = 0
Solving

Question 3.
If a ray makes angles α, β, γ and δ with the four diagonals of a cube find a cube find cos² α + cos² β + cos² γ + cos² δ (E.Q.) (March 2005, May 2005)
Answer:

Let the side of the cube be of length ‘a’. Let one of the vertices of the cube through the origin ‘O’ and axes be along the three edges \(\overline{\mathrm{OA}}\), \(\overline{\mathrm{OB}}\) and \(\overline{\mathrm{OC}}\). The diagonals of the cube are OP, CD, AE and BF d.r.’s of the diagonals are (a, a, a), (a, a, -a), (-a, a, a) and (a, -a, a) respectively.
Let the d.c.’s of the given ray be l, m, n. If this make angles α, β, γ and δ with the four diagonals of the cube then

Question 4.
If (l₁, two intersecting lines. Show that the d.c’s of two lines bisecting the angles between them are proportioned to l₁ ± l₂, m₁ ± m₂, n₁ ± n₂ (E.Q.)
Answer:
Let OA, OB be the given lines and A, B be the points at which distances from 0.
⇒ Coordinates of A = (l₁, m₁, n₁) and B = (l₂, m₂, n₂)
Mid point of AB, is:
P = \(\left(\frac{l_1+l_2}{2}, \frac{m_1+m_2}{2}, \frac{n_1+n_2}{2}\right)\)
∴ OP is the bisector of ∠AOB ⇒ d.r,’s of OP are l₁ + l₂, m₁ + m₂, n₁ + n₂
Now coordinates of B = (-l₂, -m₂, -n₂) and mid point of AB’ is
Q = \(\left(\frac{l_1-l_2}{2}, \frac{m_1-m_2}{2}, \frac{n_1-n_2}{2}\right)\)
∴ OQ is a bisector of ∠AOB ⇒ d.r.’s of OQ are l₁ – l₂, m₁ – m₂, n₁ – n₂

Question 5.
A (-1, 2, -3), B (5, 0, -6), C (0, 4, -1) are three points. Show that the direction cosines of the bisector of ∠BAC are proportional to (25, 8, 5) and (-11, 20, 23). (E.Q.)
Answer:
Given A (-1, 2, -3), B (5, 0, -6) and C (0,4, -1) are three points.
d.r.’s of AB are = (5 + 1, 0 – 2, – 6 + 3) = (6, – 2, – 3)

Hence d.r.’s of other bisector are (-11, 20, 23) Hence direction cosines of the bisectors of ∠BAC are proportional to (25, 8, 5) and (-11, 20, 23).

Question 6.
If (6, 10, 10), (1, 0, -5), (6, – 10, 0) are vertices of a triangle. Find the direction ratios of its sides. Determine whether it is fight angled or isoceles. (S.A.)
Answer:
Let A (6,10,10), B (1, 0, -5) and C (6, -10, 0) are the vertices of ∆ABC
d.r.’s of AB = (-5, -10, -15) ⇒ (1,2, 3)
d.r.’s of BC = (5, -10, -5) ⇒ (1, -2, 1)
d.r.’s of AC = (0, 20, 10) ⇒ (0, 2, 1)

∴ The given triangle is a right angled triangle.

Question 7.
The vertices of a triangle are A (1, 4, 2), B (-2, 1, 2), C (2, 3, -4). Find ∠A, ∠B, ∠C. (S.A.Q.)
Answer:
Given A (1, 4, 2), B (-2, 1, 2) and C (2, 3, -4) are the vertices of ABC.
d.r.’s of AB are = 3, 3, 0 i.e., 1, 1, 0
d.r.’s of BC are = -4, -2, 6 i.e., 2, 1,- 3
d.r.’s of AC are – 1, 1, 6

Question 8.
Find the angle between the lines whose direction cosines are given by the equation 3l + m + 5n = 0 and 6mn – 2nl + 5lm = 0 (E.Q.) ( May’06, ’12))
Answer:
Given 3l + m + 5n = 0 ……………………. (1)
and 6mn – 2nl + 5lm = 0 ……………………. (2)
From (1), m = – (3l + 5n)
From (2)
– 6n (31 + 5n) – 2n/ – 5/ (31 + 5n) = 0
⇒ – 18nl – 30n² – 2nl – 15l² – 25ln = 0
⇒ – 15l² – 45ln – 30n² = 0
⇒ l² + 3ln + 2n² = 0
⇒ (l + 2n) (l + n) = 0
⇒ l + 2n = 0 or l + n = 0
⇒ l = – n or l = – 2n
If l = -n then m = 3n – 5n = – 2n
⇒ l : m : n = -n : -2n : n
= 1 : 2 : – 1
If l = -2n then m = 6n – 5n = n
⇒ l : m : n = -2n : n : n = 2 : -1 : -1
Hence d.r.’s of two lines are (1, 2, -1) and (2, -1,-1).
If θ is the angle between the two lines then

Question 9.
If a variable line in two adjacent positions has direction cosines (l, m, n) and (l + δl, m + δm, n + δn), show that the small angle δθ between two positions is given by (δθ)² = (δl)² + (δm)² + (δn)². (E.Q.)
Answer:
Given direction cosines of a variable line in two adjacent positions are (l, m, n) and (l + δl, m + δm, n + δn)
We have l² + m² + n² = 1 …………………… (1)
and (l + δl)² + (m + δm)² + (n + δn)² = 1 ………………… (2)
From (2) – (1) we have
(l + δl)² + (m + δm)² +(n + δn)² – l² – m² – n² = 0
⇒ 2 (l. δl + m . δm + n . δn) = – [(δl)² + (δm)² +(δn)²]
⇒ (δl)² + (δm)² + (δn)² = – 2 (lδl + mδm + nδn) …………………… (3)
Now angle between two adjacent sides
cos δθ = l (l + δl) + m (m + δm) + n (n + δn)
= (l² + m² + n²) + l.δl + m.δm + n.δn
= 1 + l.δl + m.δm + n.δn
= 1 – \(\frac{1}{2}\) [(δl)² + (δm)² +(δn)²]
∴ (δl)² + (δm)² + (δn)² = (1 – cos δθ)
Since δθ is very small, sin\(\left(\frac{\delta \theta}{2}\right)\) = \(\frac{\delta \theta}{2}\)
∴ (δl)² + (δm)² + (δn)² = 4\(\frac{(\delta \theta)^2}{4}\) = (δθ)²
[∵ 1 – cosθ = 2 sin²\(\frac{\theta}{2}\)]
∴ (δθ)² = (δl)² + (δm)² + (δn)²

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 2 Mathematical Induction Ex 2(a) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Mathematical Induction Solutions Exercise 2(a)

Using Mathematical Induction prove each of the following statement for all n ∈ N.

Question 1.
1² + 2² + 3² + …………. + n² = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
Answer:
Let S(n) be the given statement
1² + 2² + 3² + …………. + n² = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
Since 1² = \(\frac{1(1+1)(2+1)}{6}\)
⇒ 1 = 1; the statement is true for n = 1
Suppose the statement is true for n = k then
(1² + 2² + 3² + ………….. + k²) + \(\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}\)
We have to prove that the statement is true for n = k + 1 also then
(1² + 2² + 3² + …………… + k²) + (k + 1)²

∴ The statement is true for n = k + 1 also.
∴ By the principle of Finite Mathematical Induction S(n) is true for all n ∈ N.
i.e., 1² + 2² + 3² + ……….. + n² = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)(2 \mathrm{n}+1)}{6}\), ∀ n ∈ N

Question 2.
2.3 + 3.4 + 4.5 + ………………. upto n terms = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\) (March 13, May 06)
Answer:
Let S(n) be the statement.
The n^th term of 2.3 + 3.4 + 4.5 + …………… is (n + 1) (n + 2)
∴ 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + …………….. + (n + 1) (n + 2)
= \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\)
Now S(1) = 2 . 3 = \(\frac{1\left(1^2+6+11\right)}{3}\) = 6
∴ The statement is true for n = 1.
Suppose that the statement is true for n = k, then 2.3 + 3.4 + 4.5 + …………….. + (k + 1) (k + 2)
= \(\frac{k\left(k^2+6 k+11\right)}{3}\)
Adding (k + 1) th term of L.H.S both sides
S(k + 1) = 2.3 + 3.4 + 4.5 + ……………. + k (k + 1) (k + 2) + (k + 2) (k + 3)

∴ S(k + 1) = \(\frac{1}{3}\) (k + 1) [k² + 2k + 1 + 6 (k + 1) + 11]
= \(\frac{1}{3}\) (k + 1) [(k + 1)² + 6(k + 1) + 11]
∴ The statement is true for n = k + 1
So by the principle of Finite Mathematical Induction S(n) is true ∀ n ∈ N
∴ 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + ……………. + (n + 1) (n + 2) = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\)

Question 3.
\(\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}\) + ……………. + \(\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}\) = \(\frac{n}{2 n+1}\) (May 2014)
Answer:
Let S_n be the statement
\(\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}\) + ……………. + \(\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}\)
Then S(1) = \(\frac{1}{1 \cdot 3}=\frac{1}{2(1)+1}=\frac{1}{3}\)
∴ S(1) is true.
Suppose the statement is true for n = k, then
S(K) = \(\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\ldots .+\frac{1}{(2 k-1)(2 k+1)}\) = \(\frac{\mathbf{k}}{2 \mathbf{k}+1}\)
We have to show that the statement is true for n = k + 1 also,

The statement S(n) is true for n = k + 1
∴ By the principle of Mathematical Induction S(n) is true for all n ∈ N.
∴ \(\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}\) + ……………. + \(\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}\) = \(\frac{n}{2 n+1}\)

Question 4.
4³ + 8³ + 12³ + ………… + upto n terms = 16n² (n + 1)²
Answer:
4, 8, 12, are in A.P. and nth term of A.P. is = a + (n – 1) d
= 4 + (n – 1) 4 = 4n
Let S(n) be the statement
4³ + 8³ + 12³ + ……………… + (4n)³ = 16n² (n + 1)²
Let n = 1, then
S(1) = 4³ = 16 (1 + 1)² = 64
∴ The statement is true for n = 1 also.
Suppose the statement is true for n = k then
4³ + 8³ + 12³+ ……………… + (4k)³ = 16k² (k + 1)²
We have to prove that the result is true for n = k + 1 also. Adding (k + 1) th term
= [4 (k + 1)]³ = [4k + 4]³ both sides
4³ + 8³ + 12³ + ……………….. + (4k)³ + (4k + 4)³
= 16k³ (k + 1)² + [4 (k + 1)]³
= 16 (k + 1)2 [k² + 4k + 4]
= 16 (k + 1)² (k + 2)²
= 16 (k + 1)² [(k + 1) + 1]²
Hence the result is true for n = k + 1.
∴ By the principle of Mathematical Induction S(n) is true ∀ n ∈ N.
∴ 4³ + 8³ + 12³ + ……………….. + (4n)³ = 16n² (n + 1)²

Question 5.
a + (a + d) + (a + 2d) + ……………… upto n terms = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
Answer:
Let S(n) be the statement
a + (a + d) + (a + 2d) + + [a + (n – 1) d] = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
Now S(1) is a = \(\frac{1}{2}\) [2a + 0 (d)] = a
∴ S(1) is true.
Assume that the statement is true for n = k
∴ S(k) = a + (a + d) + (a + 2d) + ……………….. + [a + (k – 1) d]
= \(\frac{k}{2}\) [2a + (k – 1) d]
We have to prove that the statement is true for n = k + 1 also.
Adding a + kd both sides
a + (a + d) + ……………. + [a + (k – 1) d] + [a + kd]

∴ The statement is true for n = k + 1 also
∴ By the principle of Mathematical Induction.
S(n) is true for all n ∈ N
∴ a + (a + d) + (a + 2d) + + [a + (n – 1) d] = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n -1) d]

Question 6.
a + ar + ar² + ………………… + n terms = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1 (March 2011)
Answer:
Let S(n) be the statement
a + ar + ar² + ………….. + ar^{n – 1} = \(\frac{\left(\mathrm{r}^{\mathrm{n}}-1\right)}{\mathrm{r}-1}\), r ≠ 1
Then S(1) = a = \(\frac{a\left(r^1-1\right)}{r-1}\) = a
∴ The result is true for n = 1
Suppose the statement is true for n = k then
a + ar + ar² + …………… + ar = \(\frac{a\left(r^k-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1
We have to prove that the result is true for n = k + 1 also.
Adding ar^k both sides
(a + ar + ar² + ………….. + ar^{k – 1} + ar^k)

∴ The statement is true for n = k + 1 also
∴ By the principle of Mathematical Induction p(n) is true for all n ∈ N
a + ar + ar² + ………………… + n terms = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1

Question 7.
2 + 7 + 12 + ………. + (5n – 3) = \(\frac{n(5 n-1)}{2}\)
Answer:
Let S(n) be the statement
2 + 7 + 12 + ………. + (5n – 3) = \(\frac{n(5 n-1)}{2}\) = \(\frac{1(5-1)}{2}\) = 2,
Since S(1) = 2,
S(1) is true.
Suppose the statement is true for n k then
(2 + 7 + 12 + ………….. + (5k – 3) = \(\frac{k(5 k-1)}{2}\)
We have to show that S(n) is true for n = k + 1 also.
Adding (k + 1)th term 5 (k + 1) – 3 = 5k + 2 both sides
[2 + 7 + 12 + ……. + 5k – 3)] + (5k + 2)

∴ S(n) is true for n = k + 1 also
∴ By the principal of Mathematical Induction
S(n) is true ∀ n ∈ N
∴ 2 + 7 + 12 + …………… + (5n – 3) = \(\frac{n(5 n-1)}{2}\).

Question 8.
\(\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots \ldots \ldots\left(1+\frac{2 n+1}{n^2}\right)\) = (n + 1)² (March 2015-A.P)
Answer:
Let S_n be the statement

∴ S(n) is true for n = 1
Suppose S_n is true for n = k then
\(\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots \ldots\left(1+\frac{2 \mathrm{k}+1}{\mathrm{k}^2}\right)\)
= (k + 1)² ………………. (1)
We have to prove that the statement is true for n = k + 1 also
(k + 1) th term is

= k² + 4k + 4
= (k + 2)²
∴ S(n) is true for n = k + 1 also
∴ By the principal of Mathematical Induction S(n) is true for ∀ n ∈ N

Question 9.
(2n + 1) < (n + 3)²
Answer:
Let S(n) be the statement
When n = 1, then 9 < 16
∴ S(n) is true for n = 1
Suppose S(n) is true for n = k
then(2k + 7) < (k + 3)² …………….. (1)
We have to prove that the result is true for n = k + 1
i.e., 2(k + 1) + 7 < (k + 4)²
∴ 2 (k + 1) + 7 = 2k + 2 + 7 = (2k + 7) + 2 < (k + 3)² + 2 (From (1))
= k² + 6k + 9 + 2
= k² + 6k + 11 < (k² + 6k + 11) + (2k + 5)
= k² + 8k + 16
= (k + 4)²
∴ S(n) is true for n = k + 1 also
By principle of Mathematical Induction
S(n) is true ∀ n ∈ N

Question 10.
1² + 2² + ……………. + n² > \(\frac{n^3}{3}\)
Answer:
Let S(n) be the statement
When n = 1, then 1 > \(\frac{1}{3}\)
∴ S(n) is true for n = 1
Assume S(n) to be true for n = k then
1² + 2² + ……………. + k² > \(\frac{k^3}{3}\)
We have to prove that the result is true for n = k + 1 also.

∴ S(n) is true for n = k + 1 also
∴ By principle of Mathematical Induction.
S(n) is true ∀ n ∈ N

Question 11.
4ⁿ – 3n – 1 is divisible by 9
Answer:
Let S(n) be the statement,
4ⁿ – 3n – 1 is divisible by 9
For n = 1, 4 – 3 – 1 = 0 is divisible by 9
∴ Statement S(n) is true for n = 1.
Suppose the statement S(n) is true for n = k
Then 4^k – 3k – 1 is divisible by 9.
∴ 4^k – 3k – 1 = 9t for t ∈ N ……………. (1)
We have to show that statement is true for n = k + 1 also.
From (1), 4^k = 9t + 3k + 1
∴ 4^{k + 1} – 3 (k + 1) – 1 = 4 . 4^k – 3 (k + 1) – 1
= 4 (9t + 3k + 1) – 3k – 3 – 1
= 4 (9t) + 9k
= 9 (4t + k) divisible by 9
(∵ 4t + k is an integer)
Hence, S(n) is true for n = k + 1 also.
∴ 4^{k + 1} – 3 (k + 1) – 1 is divisible by 9
∴ The statement is true for n = k + 1
∴ By the principle of Mathematical Induction.
S(n) is true for all n e K
∴ 4n – 3n – 1 is divisible by 9

Question 12.
3.5^{2n + 1} + 2^{3n + 1} is divisible by 17 (May 2012, 2008)
Answer:
Let S_n be the statement
3.5^{2n + 1} + 2^{3n + 1} is divisible by 17
S(1) is 3 . 5^{2(1) + 1} + 2^{3 (1) + 1}
= 3 . 5³ + 2⁴ = 3 (125) + 16
= 375 + 16 = 391 is divisible by 17
Hence, S(n) is true for n = 1.
Suppose that the statement is true for n = k, then
3.5^{2k + 1} + 2^{3k + 1} is divisible by 17 and
3.52^{k + 1} + 2^{3k + 1} = 17t for t ∈ N
then we have to show that the result is true for n = k + 1 also
Consider 3.5^{2(k + 1)} + 1 + 2^{3(k + 1)} + 1
= 3.5^{2k + 1} . 5² + 2^{3(k + 1)} . 2
= (17t – 2^{3k + 1}) 5² + 2^{3k + 3} . 2
= 17t (25) – 2^3k (50) + 2^3k (16)
= 17 t (25) + 2^3k (16 – 50)
= 17 t (25) – 34 2^3k
= 17 [25t – 2^{3k + 1}
25t – 2^{3k + 1} is an integer.
∴ 3.5^{2(k + 1) + 1} + 2^{3 (k + 1) + 1} is divisible by 17.
∴ The statement S(n) is true for n = k + 1 also.
∴ By the principle of Mathematical induction S(n) is true for ∀n ∈ N
∴ 3.5^{2n + 1} + 2^{3n + 1} is divisible by 17

Question 13.
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ……………. upto n terms = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\). (March 2015-T.S) (Mar. 08)
Answer:
The n^th term of the given series is n (n + 1) (n + 2) and let S_n be the statement.
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ……………. + n (n + 1) (n + 2)
= \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\)
For n = 1
S(1) = 1.2.3 = 6
= \(\frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4}\)
= \(\frac{2(3)(4)}{4}\) = 6
∴ S(n) is true for n = 1
Let S(n) is true for n = k then
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ……………. + k (k + 1) (k + 2)
= \(\frac{\mathrm{k}(\mathrm{k}+1)(\mathrm{k}+2)(\mathrm{k}+3)}{4}\) …………….. (1)
We have to prove that the result is true for n = k + 1 also.
Adding (k + 1) th term, (k + 1) (k + 2) (k + 3) both sides we get
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ……………. + k(k + 1)(k + 2) + (k + 1) (k + 2) (k + 3)

∴ S(n) is true for n = k + 1 also.
Hence by the principle of Mathematical Induction.
S(n) is true for ∀n ∈ N
∴ 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ……………. + n (n + 1) (n + 2) = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\)

Question 14.
\(\frac{1^3}{1}+\frac{1^3+2^3}{1+3}+\frac{1^3+2^3+3^3}{1+3+5}\) + ……………… upto n terms = \(\frac{n}{24}\) (2n² + 9n + 13). (Mar. 14, 04, 05)
Answer:
The n^th term of the given series is

Question 15.
1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ……………. upto n terms = \(\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\). (March 2012)
Answer:
Let S(n) be the statement and
nth term of series is 1² + 2² + 3² + ……………… + n²
∴ S(n) = 1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ……… + (1² + 2² + 3² + ………………. + n²)

∴ S(n) is true for n = 1.
Suppose S(n) is true for n = k then
1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ……… + (1² + 2² + 3² + ………………. + k²) = \(\frac{k(k+1)^2(k+2)}{12}\)
Now we have to prove that S(k + 1) is true.
So 1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ……… + (1² + 2² + 3² + ………………. + k²) + (1² + 2² + 3² + ……………. + k² + (k + 1)²

∴ The statement S(n) hold for n = k + 1 also
∴ By the principle of Mathematical Induction S(n)is true ∀n ∈ N.
∴ 1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + (1² + 2² + 3² + …………… + n²) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)^2(\mathrm{n}+2)}{12}\)

Students must practice these TS Intermediate Maths 1B Solutions Chapter 6 Direction Cosines and Direction Ratios Ex 6(a) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1B Direction Cosines and Direction Ratios 6(a)

I.
Question 1.
A line makes angles 90°, 60° and 30° with positive directions of X, Y, Z axes respectively. Find the direction cosines. (V.S.A.Q.)
Answer:
If l, m, n are the d.c.’s of the line
l = cos l = cos 90° = 0, m = cos β = cos 60° = \(\frac{1}{2}\)
n = cos γ = cos 30° = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
d.c.’s of the line are \(\left(0, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

Question 2.
If a line makes angles α, β, γ with the positive directions of X, Y, Z axes, what is the value of sin²α + sin²β + sin²γ ? (V.S.A.Q.)
Answer:
sin²α + sin²β + sin²γ
= 1 – cos²α + 1 – cos²β + 1 – cos²γ
= 3 – l² – m² – n²
= 3 – (l² + m² + n²) = 3 – 1 = 2
(cos α = l, cos β = m, cos γ = n are d.c.’s of a line)

Question 3.
If P (√3 , 1, 2√3) is a point in space, find the direction cosines of OP (V.S.A.Q.)
Answer:
Direction ratios of
\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) = (√3 – 0, 1 – 0, 2√3 – 0) = (√3, 1, 2√3)
∴ a2+ b2 + c2 = 3 + 1+ 12 = 16
⇒ \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) = 4
∴ Direction cosines of \(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\)

Question 4.
Find the direction cosines of the line joining the points (-4, 1, 7) and (2, -3, 2). (V.S.A.Q.)
Answer:
Let A = (-4, 1, 7) and B = (2, -3, 2)
d.r.’s of AB = (2 + 4, -3 -1, 2 – 7) = (6, -4, -5)

II.
Question 1.
Find the direction cosines of the sides of the triangle whose vertices are (3, 5, -4), (-1, 1, 2) and (-5, -5, -2). (S.A.Q.)
Answer:
Let A (3, 5, -4), B (-1, 1, 2) and C (-5, -5, -2) be the vertices of ∆ABC.
d.r.’s of AB = (-1 – 3, 1 – 5, 2 + 4) = (-4, -4, 6)

Question 2.
Show that the lines \(\overleftrightarrow{\mathrm{PQ}}\) and \(\overleftrightarrow{\mathrm{RS}}\) are parallel where P, Q, R, S erne the points (2, 3, 4), (4, 7, 8), (-1, -2, 1) and (1, 2, 5) respectively. (V.S.A.Q.)
Answer:
P (2, 3, 4), Q ( 4, 7, 8), R (-1, -2, 1) and S (1, 2, 5) are the given points.
d.r.’s of \(\overleftrightarrow{\mathrm{PQ}}\) = (4 — 2,7 — 3, 8 – 4) = (2, 4, 4)
d.r.’s of \(\overleftrightarrow{\mathrm{RS}}\) = (1 + 1 , 2 + 2, 5 – 1) = (2, 4, 4)
d.r.’s of \(\overleftrightarrow{\mathrm{PQ}}\) and \(\overleftrightarrow{\mathrm{RS}}\) are proportional. Hence \(\overleftrightarrow{\mathrm{PQ}}\) and \(\overleftrightarrow{\mathrm{RS}}\) are parallel.

III.
Question 1.
Find the direction cosines of two lines which are connected by the relations l – 5m + 3n = 0 and 7l² + 5m² – 3n² = 0 (E.Q.) (June 2009)
Answer:
The given relations are
l – 5m + 3n = 0 …………………….. (1)
7l² + 5m² – 3n² = 0 ………………….. (2)
From (1), l = 5m – 3n ………………….. (3)
∴ From (2),
7(5m – 3n)² + 5m² – 3n² = 0
⇒ 7(25m² – 30mn + 9n²) + 5m² – 3n² = 0
⇒ 175m² + 63n² – 210mn + 5m² – 3n² = 0
⇒ 180m² – 210mn + 60n² = 0
⇒ 6m² – 7mn + 2n² = 0
⇒ (3m – 2n) (2m – n) = 0
⇒ 3m = 2n ⇒ m = \(\frac{2 n}{3}\) (or) 2m = n ⇒ m = \(\frac{n}{2}\)

Case (i):

Case (ii):

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 2nd Lesson ప్రమాణాలు, కొలత Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 2nd Lesson ప్రమాణాలు, కొలత

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
యథార్థత, ఖచ్చితత్వాల మధ్య తేడాను రాయండి.
జవాబు:
యథార్థత (Accuracy) : మనం కొలిచిన విలువ మనం కొలవవలసిన భౌతికరాశి నిజమైన విలువకు ఎంత దగ్గరగా ఉన్నదో తెలియజేయు కొలమానాన్ని యథార్థత అంటారు.

ఖచ్చితత్వము (Precision) : ఖచ్చితత్వము అనేది మనం ఒక పరికరంతో ఎంత కనిష్ఠ అవధి వరకు ఇచ్చిన భౌతికరాశిని కొలవగలమో తెలియజేస్తుంది.
మనం కొలవగలిగిన కనిష్ఠ అవధి ఎంత తక్కువ ఐతే ఆ పరికరం ఖచ్చితత్వం అంత ఎక్కువ.

ప్రశ్న 2.
కొలతలో వచ్చే వివిధ రకాల దోషాలు ఏవి ?
జవాబు:
భౌతిక రాశుల కొలతలలో సంభవించగల దోషాలు రెండు రకాలు.

1. క్రమదోషాలు,
2. యాదృచ్ఛిక దోషాలు.

క్రమదోషాలను మరల 1) స్థిర దోషాలు, 2) వ్యక్తిగత దోషాలు, 3) పరిసర సంబంధిత దోషాలు, 4) ప్రయోగ విధాన కౌశలం లేక ప్రయోగ పద్ధతిలోని అసమగ్రత వలన కలుగు దోషాలుగా విభజించినారు.

ప్రశ్న 3.
క్రమదోషాలను ఏ విధంగా కనిష్ఠం చేయవచ్చు లేదా తొలగించవచ్చు ? (మార్చి 2014)
జవాబు:
1) ప్రయోగ టెక్నిక్లలను మెరుగుపరచుకొని, 2) శ్రేష్ఠమైన పరికరాలను వాడి, 3) అనేక రీడింగులను తీసుకొని కొలతలో సంభవించగల క్రమదోషాలను అంచనా వేసి తగిన సవరణ చేయడం వల్ల క్రమదోషాలను తగ్గించవచ్చు.

ప్రశ్న 4.
కొలత ఫలితాన్ని అందులో ఉండే దోషాన్ని సూచిస్తూ ఏ విధంగా నివేదిస్తారో ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
కొలతల ఫలితాలను నివేదించే పద్ధతి : సాధారణ మీటరు స్కేలుతో 1 మి.మీ. వరకు కొలత ఖచ్చితంగా కొలవగలము. ఇటువంటి స్కేలుతో ఒక కడ్డీ పొడవు 62.5 సెం.మీ. అని కొలిచామనుకోండి. ఈ కొలతను 62.5 ± 0.1 అని చూపాలి. అంటే మన కొలత 0.1 సెం.మీ. లేదా 1 మి.మీ. వరకు ఖచ్చితమైనది అని తెలుపుతుంది.

ఇదే విధంగా లఘులోలకం ప్రయోగంలో డోలనావర్తన కాలము 2 సెకనులుగా కొలిస్తే దానిని 2.0 ± 0.1 గా చూపితే ఇందులో 0.1 మనం వాడిన ఆపు గడియారం కనీసపు కొలతను సూచిస్తూ మన ప్రయోగ విలువ మొదటి దశాంశము వరకు నమ్మదగినది అని తెలుపుతుంది.

ప్రశ్న 5.
సార్థక సంఖ్యలంటే ఏవి ? ఒక కొలత ఫలితాన్ని నివేదించేటప్పుడు అవి ఏమి సూచిస్తాయి ?
జవాబు:
ప్రయోగంలో నమోదు చేసిన కొలతల ఫలితం ఒక సంఖ్య. ఈ సంఖ్యలో మనం ప్రయోగం ద్వారా పొందిన నమ్మదగిన అంకెలతో పాటు అనిశ్చితత్వాన్ని తెలియజేసే మరొక సంఖ్యను కూడా కలిపి సార్థక సంఖ్యలు అంటారు.

ప్రయోగ ఫలితంలో సార్థక సంఖ్యల కన్నా ఎక్కువ అంకెల వల్ల ప్రయోజనం లేకపోగా అవి ఖచ్చితత్వానికి సంబంధించి తప్పుడు అభిప్రాయం కలుగచేస్తాయి.

ప్రశ్న 6.
ప్రాథమిక ప్రమాణాలు, ఉత్పన్న ప్రమాణాల మధ్య తేడాలు రాయండి. (మే 2014)
జవాబు:
ప్రాథమిక లేక మూల రాశులను కొలిచే ప్రమాణాలు ప్రాథమిక ప్రమాణాలు.
ఉదా : పొడవు – మీటరు, ద్రవ్యరాశి → కి.గ్రా.
ఉత్పన్న రాశులను కొలిచే ప్రమాణాలను ఉత్పన్న ప్రమాణాలు అంటారు. ఉత్పన్న ప్రమాణాలు ప్రాథమిక ప్రమాణాల కలయిక వల్ల ఏర్పడతాయి. ఉదా : వేగము మీటరు / సెకను

ప్రశ్న 7.
ఒకే భౌతికరాశికి వేరువేరు ప్రమాణాలు ఎందుకు ఉంటాయి ?
జవాబు:
భౌతిక రాశుల పరిమాణము అత్యల్ప విలువల నుండి అత్యధిక విలువల వరకు విస్తృత పరిధిలో మారే అవకాశం ఉండటం వల్ల ఒక రాశిని ఖచ్చితంగా కొలవడానికి వేరు వేరు ప్రమాణాలు అవసరమవుతాయి.

ఉదా : పరమాణువుల మధ్య దూరాన్ని కొలవడానికి ఆంగ్జామ్ యూనిట్ను వాడతారు. 1 Å = 10^-8 m. సుదూర నక్షత్రాల మధ్య దూరాలను కొలవడానికి కాంతి సంవత్సరాన్ని ప్రమాణంగా వాడతారు.

ప్రశ్న 8.
మితీయ విశ్లేషణ అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
భౌతిక రాశుల మధ్య ప్రవర్తన వివరించడానికి (1) ఒకే మితులు కలిగిన భౌతిక రాశులను కలపడం లేదా వ్యవకలనం చేయడం జరుగుతుంది. (2) భౌతిక రాశుల మధ్య నిర్దిష్ట సంబంధాలు రాబట్టడానికి, ఆ సమీకరణాల యథార్థత పరిశీలించడానికి మితుల ఆధారంగా ఉపయోగించే పద్ధతులను మితి విశ్లేషణ అంటారు.

ప్రశ్న 9.
కేంద్రకం వ్యాసార్ధంతో పోలిస్తే పరమాణు వ్యాసార్ధం పరిమాణ క్రమాలలో ఎంత ఎక్కువగా ఉంటుంది ?
జవాబు:
పరమాణు పరిమాణము 10^-10 m స్థాయిలో ఉంటుంది.
కేంద్రక పరిమాణము 10^-14 m స్థాయిలో ఉంటుంది.
కావున పరమాణు పరిమాణము, కేంద్రక పరిమాణ క్రమాల విలువ 10^-10 ÷ 10^-14 = 10⁴.
అనగా పరమాణు పరిమాణం, కేంద్రక పరిమాణము కన్నా సుమారు 10⁴ రెట్లు ఎక్కువ.

ప్రశ్న 10.
ఏకీకృత పరమాణు ద్రవ్యరాశి ప్రమాణాన్ని కి.గ్రా.లో వ్యక్తం చేయండి.
జవాబు:
ఏకీకృత పరమాణు ప్రమాణము (1 a.m.u.) కర్బన ఐసోటోపు ఐన \({ }_6^{12} \mathrm{C}\) పరమాణు ద్రవ్యరాశిలో \(\frac{1}{12}\)వ సమానము.
1 a.m.u. = \(\frac{1}{12}\) \({ }_6^{12} \mathrm{C}\) = 1.66 × 10^-27 కి.గ్రా.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఒక పరికరం వెర్నియర్ స్కేలు 50 విభాగాలు కలిగి ఉంది. ఇవి ప్రధాన స్కేలుపై ఉండే 49 విభాగాలతో ఏకీభవిస్తాయి. ప్రధాన స్కేలులోని ప్రతి విభాగం విలువ 0.5 mm. అయితే ఈ పరికరంతో కొలిచే దూరంలో కనిష్ఠ యథార్థతారాహిత్యం ఎంత ఉంటుంది ?
జవాబు:
వెర్నియర్ కాలిపర్స్ కొలవగల కనీస కొలత L.C. = \(\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{N}}\)
ప్రధాన స్కేలు విభాగాల మధ్య దూరము S = 0.5 మి.మీ.
వెర్నియర్ స్కేలు విభాగాల సంఖ్య N = 50
∴ వెర్నియర్ కాలిపర్స్ కనీస కొలత L.C. = \(\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{N}}=\frac{0.5}{50}=\frac{0.1}{10}=\frac{1}{100}\) మి.మీ.

ప్రశ్న 2.
ప్రమాణాల ఒక వ్యవస్థలో బలానికి ప్రమాణం 100 N, పొడవుకు ప్రమాణం 10m, కాలానికి ప్రమాణం 100s. ఈ వ్యవస్థలో ద్రవ్యరాశికి ఉండే ప్రమాణం ఏది ?
జవాబు:
బలము (F) కు మితి ఫార్ములా F = MLT^-2 → 1
బల ప్రమాణము F = 100 N, పొడవు L = 10 మీ., కాలము T = 100 సె.
1వ సమీకరణము నుండి M = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{LT}^{-2}}\)
ద్రవ్యరాశి ప్రమాణము = \(=\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{LT}^{-2}}\) = 10⁵ కి. గ్రా.

ప్రశ్న 3.
భూమి నుంచి ఒక గెలాక్సీ దూరం 10²⁵ m ల క్రమంలో ఉంది. గెలాక్సీ నుంచి కాంతి మనల్ని చేరేందుకు పట్టే కాలం పరిమాణక్రమాన్ని గణించండి.
జవాబు:
గెలాక్సీ దూరము d = 10²⁵ మీ., కాంతివేగము C = 3 × 10⁸ మీ/సె
కాంతి ప్రయాణించిన కాలము t = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{10^{25}}{3 \times 10^8}=\frac{1}{3}\) × 10¹⁷ = 0.333 × 10¹⁷ సెకనులు
కాలం క్రమం నిర్ణయించడంలో ’10’ యొక్క ఘాతం విలువ మాత్రమే లెక్కలోనికి తీసుకుంటారు.
∴ కాలం పరిమాణక్రమం = 10¹⁷.

ప్రశ్న 4.
భూమి-చంద్రుల మధ్య దూరం భూవ్యాసార్ధానికి సుమారు 60 రెట్లు. చంద్రుడి నుంచి చూస్తే భూమి వ్యాసం సుమారుగా ఎంత ఉంటుంది ?
జవాబు:
భూమి, చంద్రుల మధ్య దూరము D = 60 × భూమి వ్యాసార్ధము = 60r
భూమి వ్యాసము D = 2r

చంద్రుని నుంచి చూసినపుడు పారలాక్టిక్ కోణము θ =
∴ చంద్రుని పరిమాణము = \(\frac{2 \mathrm{r}}{60 \mathrm{r}}=\frac{1}{30}\) రేడియన్ లేదా θ \(\frac{57^{\circ} 30^{\prime}}{30}\) ≃ 2°

ప్రశ్న 5.
లోలకం 20 డోలనాలకు పట్టే కాలానికి వచ్చిన మూడు కొలతలు వరుసగా t₁ = 39.6s, t₂ = 39.9s, t₃ = 39.5s. కొలతల్లోని ఖచ్చితత్వం ఎంత ? కొలతల్లోని యథార్థత ఎంత ?
జవాబు:
ఖచ్చితత్వము పరికరం కనీస కొలతపై ఆధారపడుతుంది. ఈ సందర్భంలో ఖచ్చితత్వము ± 0.1 సెకను. ఎందుకనగా కొలతలలోని చివరి అంకెలో మాత్రమే అనిశ్చితత్వం ఉంటుంది.
కొలతలలోని యథార్థత :
కొలతల సగటు విలువ = \(\frac{39.6+39.9+39.5}{3}=\frac{119}{3}\) = 39.67
ప్రతి కొలతలో దోషము ∆a₁ = 39.67 – 39.6 = 0.07
∆a₂ = 39.9 – 39.67 = 0.23
∆a₃ = 39.67 – 39.5= 0.17
∆а_సగటు = \(\frac{0.07+0.23+0.17}{3}\) = 0.156
∆а_సగటు ను సార్థక సంఖ్యల వరకు సవరించగా = 0.156 ను 0.2 గా సవరించినాము.
±0.2 కొలతలోని యథార్థత.
పరిశీలనల యథార్థత 39.67 ± 0.2, దీనిని సార్థక సంఖ్యలకు సవరించగా 39.7 ± 0.2 సెకనులు.

ప్రశ్న 6.
1 కెలోరి = 4.2J, 1J = 1 kg m²s². ద్రవ్యరాశికి ప్రమాణం α kg గా, పొడవుకు ప్రమాణం βm గా, కాలం ప్రమాణం γs గా ఉండే ఒక ప్రమాణ వ్యవస్థను వాడినపుడు, కొత్త వ్యవస్థలో కెలోరికి ఉండే పరిమాణం 4.2 α^-1 β² γ² అని చూపండి.
జవాబు:
1 కెలోరి = 4.2 J
= 4.2 kg m² / s² → (1); ద్రవ్యరాశి నూతన ప్రమాణం= α kg
∴ 1 kg = \(\frac{1}{\alpha}\) కొత్త ప్రమాణాలు = α^-1 కొత్త ప్రమాణము
ఇదే విధంగా మీటరు కొత్త ప్రమాణము 1 m = β^-1; కాలము కొత్త ప్రమాణము 1s = γ^-1
ఈ విలువలు సమీకరణం (1) లో రాయగా
1 కెలోరి = 4.2 (α^-1) (β^-1)² (γ^-1)^-2
శక్తి నూతన ప్రమాణము = 4.2 α^-1β^-2γ²

ప్రశ్న 7.
శూన్యంలో కాంతి వడి 1 ms^-2 అయ్యేవిధంగా పొడవుకు ఒక కొత్త ప్రమాణాన్ని ఎంచుకొన్నారు. సూర్యుడి నుంచి కాంతి భూమిని చేరేందుకు పట్టే కాలం 8 నిమిషాల 20 సెకన్లయితే కొత్త ప్రమాణాల్లో సూర్యుడు – భూమి మధ్య దూరం ఎంత ?
జవాబు:
శూన్యంలో కాంతి వడికి కొత్త ప్రమాణము C = 1 N.U./Sec.
కాంతి భూమిని చేరడానికి పట్టిన కాలము t = 8 ని. 20 సె.
= (8 × 60) + 20 = 500 సె
సూర్యుని నుంచి భూమి దూరము X = C × t
= 1 N.U. × 500 = 500 కొత్త ప్రమాణాలు

ప్రశ్న 8.
100 ఆవర్ధనం ఉండే సూక్ష్మదర్శినిని ఉపయోగించి ఒక విద్యార్థి మానవుడి వెంట్రుక మందాన్ని కొలుస్తున్నాడు. 20 పరిశీలనల వల్ల వెంట్రుకల సగటు మందాన్ని (సూక్ష్మదర్శినిలో చూసినదాని దృష్ట్యా) 3.5 mm గా కనుక్కొన్నాడు. అంచనాకు వచ్చే మందం ఎంత ?
జవాబు:

ప్రశ్న 9.
కొలవగలిగే నాలుగు రాశులు a, b, c, d లతో X అనే భౌతిక రాశి కింది విధంగా సంబంధాన్ని కలిగి ఉంది. X = a²b³ c^5/2 d^-2. a, b, c, d లను కొలవడంలో దోష శాతాలు వరుసగా 1%, 2%, 3%, 4% అయితే X లో దోషశాతం ఎంత ?
జవాబు:
దత్తాంశము X = a²b³ c^5/2 d^-2
\(\frac{\Delta \mathrm{a}}{\mathrm{a}}\) × 100 = 1%, \(\frac{\Delta \mathrm{b}}{\mathrm{b}}\) × 100 = 2%; \(\frac{\Delta \mathrm{c}}{\mathrm{c}}\) × 100 = 3%, \(\frac{\Delta \mathrm{d}}{\mathrm{d}}\) × 100 = 4%
\(\frac{\Delta \mathrm{X}}{\mathrm{X}}=\pm\left[2\left(\frac{\Delta \mathrm{a}}{\mathrm{a}}\right)+3\left(\frac{\Delta \mathrm{b}}{\mathrm{b}}\right)+\frac{5}{2}\left(\frac{\Delta \mathrm{c}}{\mathrm{c}}\right)+2\left(\frac{\Delta \mathrm{d}}{\mathrm{d}}\right)\right]\)
= ±[2(1%) + 3(2%) + \(\frac{5}{2}\) (3%) + 2(4%)] = ± 23.5%
‘X’ లో దోషశాతము = ± 23.5%

ప్రశ్న 10.
ఒక వస్తువు వేగం v = At² + Bt + C అని ఇవ్వడమైంది. v, t లను SI ప్రమాణాల్లో వ్యక్తం చేస్తే A, B, C లకు ప్రమాణాలు రాయండి.
జవాబు:
మితుల సజాతీయతను అనుసరించి At², Bt మరియు C ల మితి ఫార్ములాల వేగము ‘v’ మితి ఫార్ములాకు సమానము.
∴ V = వేగము = LT^-1
∴ LT^-1 = A [T²], ∴ A = \(\frac{\mathrm{LT}^{-1}}{\mathrm{~T}^2}\) = LT³. కావున A ప్రమాణము మీ/సె³
LT^-1 = BT ⇒ B = LT^-2 కావున B ప్రమాణము మీ/సె²
LT^-1 = C కావున C ప్రమాణము మీ/సె.

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
P = E l² m^-5 G^-2 అనే సమాసంలో E, l, m, G లు వరుసగా శక్తి, కోణీయ ద్రవ్యవేగం, ద్రవ్యరాశి, గురుత్వ స్థిరాంకాలను సూచిస్తే P ఒక మితిరహిత రాశి అని చూపండి.
సాధన:
దత్తాంశము, P = El²m^-5G^-2
= [M L²T^-2][M L²T^-1]² [M]^-5 [M^-1L³T^-2]^-2
= M^1+2-5+2 L^2+4-6 T^-2-2+4 = [M⁰ L⁰ T⁰]
P = [M⁰ L⁰ T⁰] అనగా P మితులు లేని రాశి.

ప్రశ్న 2.
కాంతివేగం C, ప్లాంక్ స్థిరాంకం h, విశ్వగురుత్వ స్థిరాంకం G లను ప్రాథమిక రాశులుగా తీసుకొంటే, ఈ రాశుల మితుల్లో ద్రవ్యరాశి, పొడవు, కాలాలను రాయండి.
సాధన:
దత్తాంశము నుండి c = [LT^-1]; h = [ML²T^-1]; G = [M^-1L³T^-2]
m = c^xh^yG^z → (1)
⇒ [M¹L⁰T⁰] = (LT^-1)^x (M L²T^-1)^y (M^-1L³T^-2)^z
⇒ [M¹L⁰T⁰] = M^y-zL^x+2y+2z T^-x-y-2z
సదిశల సజాతీయతా నియమం నుండి
y – z = 1 → (2)
x + 2y + 3z = 0 → (3)
-x – y – 2z = 0 → (4)
సమీకరణములు (2), (3), (4) లను కలుపగా
2y = 1 ⇒ y = \(\frac{1}{2}\)
సమీ. (2) నుండి z = y – 1 = \(\frac{1}{2}\) – 1 = \(\frac{-1}{2}\)
సమీ. (4) నుండి x = -y – 2z = \(\frac{-1}{2}\) + 1 = \(\frac{1}{2}\)
x, y మరియు Z విలువలు సమీ. (1) లో రాయగా
m = c^{\(\frac{1}{2}\)} h^{\(\frac{1}{2}\)} G^{\(\frac{-1}{2}\)} ;
⇒ m = \(\sqrt{\frac{\mathrm{ch}}{\mathrm{G}}}\)
m ను కనుక్కునే విధంగా సమీకరణాలు సాధిస్తే
L = \(\sqrt{\frac{\mathrm{hG}}{\mathrm{c}^3}}\) మరియు T = \(\sqrt{\frac{\mathrm{hG}}{\mathrm{c}^5}}\) అను సమీకరణాలు వస్తాయి.

ప్రశ్న 3.
M ద్రవ్యరాశి, R వ్యాసార్ధం కలిగి ఉండే గ్రహం చుట్టూ వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తాకార కక్ష్యలో ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం పరిభ్రమిస్తుంది. మితీయ విశ్లేషణ ఆధారంగా ఉపగ్రహ కక్ష్యావర్తన కాలం
T = \(\frac{k}{R} \sqrt{\frac{\mathrm{r}^3}{\mathrm{g}}}\) అని చూపండి. ఇక్కడ k మితిరహిత స్థిరాంకం, g గురుత్వ త్వరణం.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి
T2 ∝ r³ or T ∝ r^3/2 మరియు కాలము T గురుత్వ త్వరణము ‘g’, కక్ష్యా వ్యాసార్ధము R లపై ఆధారపడును.
T ∝ r^3/2 g^a R^b ఇందులో a, bల మితులు g మరియు R ల మితులకు సమానము అనుకోండి.
(లేదా) T = k r^3/2 g^a R^b → (1)
ఇందులో k మితులు లేని స్థిరాంకము.
(1) వ సమీకరణం నుండి
[M⁰L⁰T¹] = L^3/2(LT^-2)^a (L)^b = M⁰L^{a+b+\(\frac{3}{2}\)} T^-2a
మితుల సజాతీయతా నియమం నుండి
a + b + \(\frac{3}{2}\) = 0 → (2),
-2a = 1 ⇒ a = \(\frac{-1}{2}\)
1వ సమీకరణం నుండి \(\frac{-1}{2}\) + b + \(\frac{3}{2}\) = 0 ⇒ b = -1
‘a’ మరియు ‘b’ విలువలు సమీ. (1) లో రాయగా
T = k r^3/2 g^-1/2 R^-1
∴ ఉపగ్రహం కక్ష్యావర్తనకాలము T = \(\frac{k}{R} \sqrt{\frac{r^3}{g}}\)

ప్రశ్న 4.
క్రింది సంఖ్యల్లో సార్థక సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయో తెలపండి.
a) 6729
b) 0.024
c) 0.08240
d) 6.032
e) 4.57 × 10⁸
సాధన:
a) 6729 ఇందులో అన్ని సంఖ్యలు సార్థక సంఖ్యలే. కావున సార్థక సంఖ్యలు ^{నాలుగు}.
b) 0.024 ఇందులో దశాంశ స్థానానికి మొదటి సున్న కాని అంకెకు మధ్య గల సున్నలు సార్థక సంఖ్యలు కావు.
∴ సార్థక సంఖ్యలు ^{రెండు}.
c) 0.08240 ఇందులో సార్థక సంఖ్యల సంఖ్య ^{నాలుగు}. (చివరల గల సున్న సార్థక సంఖ్య కావున)
d) 6.032 రెండు సున్న కాని అంకెల మధ్య గల సున్న సార్థక సంఖ్య కావున సార్థక సంఖ్యలు ^{నాలుగు}.
e) 4.57 × 10⁸ ఫలితాన్ని 10 ఘాత రూపంలో రాసేటపుడు ఫలితాన్ని కనీస సార్థక సంఖ్యల వరకే తెలపాలి. కావున సార్థక సంఖ్యలు ^మూడు.

ప్రశ్న 5.
రెండు కర్రల పొడవులు వరుసగా 12.132 సెం.మీ., 12.4 సెం.మీ. ఈ కర్రలను ఒకదాని చివర మరొకదాని చివరకు తాకునట్లు అమర్చితే మొత్తం పొడవు ఎంత ? రెండింటిని ఒకదాని పక్క మరొకటి అమర్చితే పొడవుల్లో వ్యత్యాసం ఎంత?
సాధన:
పొడవు l₁ = 12.132 సెం.మీ., l₂ = 12.4 సెం.మీ. ఈ రెంటిలో దశాంశము తరువాత కనీస సార్థక సంఖ్య ^ఒకటి.

a) రెండు కర్రలను పక్కపక్కన పెడితే మొత్తం పొడవు 1 = l₁ + l₂
∴ l₁ + l₂ = 12.132 + 12.4 = 24.532 సెం.మీ.
సంకలనములో ఫలితాన్ని దశాంశ స్థానము పిమ్మట కనీస సార్థక సంఖ్యలకు సవరించాలి. కావున 24.532 ను సవరించగా 24.5 సెం.మీ.

b) కర్రల పొడవులో భేడము l = l₁ – l₂ ⇒ l = 12.4 – 12.132 = 0.268 సెం.మీ.
వ్యవకలనములో తుది జవాబును కనీస సార్థక సంఖ్యలకు సవరించగా 0.268 ని దశాంశ స్థానము పిమ్మట ఒక సార్థక సంఖ్యకు సవరించగా l₁ – l₂ = 0.3 సెం.మీ. అవుతుంది.

ప్రశ్న 6.
సమ ఘనం భుజం పొడవు 7.203 మీ. (i) ఘనం ఉపరితల వైశాల్యం, (ii) ఘనం ఘనపరిమాణాలను తగిన సార్థక సంఖ్యలకు లెక్కించండి.
సాధన:
ఘనము యొక్క ఒక భుజము a = 7.203 మీ. ఇందులో సార్థక సంఖ్యలు నాలుగు.

1. ఘనము ఉపరితల వైశాల్యము = 6a² = 6 × 7.203 × 7.203 = 311.299
   దీనిని నాలుగు సార్థక సంఖ్యలకు సవరించగా 311.3 m²
2. ఘన పరిమాణము V = a³ = (7.203)³ = 373.714
   దీనిని నాలుగు సార్థక సంఖ్యలకు సవరించగా V = 373.7 m³.

ప్రశ్న 7.
ఒక వస్తువు ద్రవ్యరాశి 2.42 g, ఘనపరిమాణం 4.7 cm³. వాటిలోని దోషాలు వరుసగా 0.01 g, 0.1 cm³ అయితే వస్తువు సాంద్రతలో గరిష్ట దోషాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 2.42 g;
ఘనపరిమాణము, V = 4.7 cm³,
దోషము, ∆m = 0.01 g.
దోషము, ∆V = 0.1 cc.
ద్రవ్యరాశి m లో దోషశాతము = \(\frac{\Delta \mathrm{m}}{\mathrm{m}}\) × 100 = \(\frac{0.01}{2.42}\) × 100 = \(\frac{1}{2.42}\)
ఘ.ప.లో దోషశాతము = \(\frac{0.1}{4.7}\) × 100 = \(\frac{10}{4.7}\) ;
సాంద్రత =
సాంద్రతలో గరిష్ఠ దోషశాతము = m లో దోషశాతము + V లో దోషశాతము
∴ సాంద్రతలో గరిష్ఠ దోషశాతము = \(\frac{1}{2.42}\) + \(\frac{10}{4.7}\) = 0.413 + 2.127 = 2.54 %

ప్రశ్న 8.
గోళం వ్యాసార్ధం కొలవడంలో దోషం 1% అయితే గోళం ఘనపరిమాణం కొలవడంలో దోషం ఎంత ?
సాధన:
వ్యాసార్ధంలో దోషశాతము 1% = \(\frac{\Delta \mathrm{r}}{\mathrm{r}}\) × 100
గోళము ఘ.ప. V ∝ r³ ⇒ ∆V = 3r²∆r ⇒ \(\frac{\Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}}=\frac{3 \mathrm{r}^2 \Delta \mathrm{r}}{\mathrm{r}^3}\)
ఘనపరిమాణంలో దోషశాతము \(\frac{\Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}}=3\left(\frac{\Delta \mathrm{r}}{\mathrm{r}}\times 100\right)\) = 3 × 1 = 3%

ప్రశ్న 9.
ద్రవ్యరాశి, వడిలో దోష శాతాలు వరుసగా 2%, 3% అయితే గతిజ శక్తిలో గరిష్ఠ దోష శాతం ఎంత ?
సాధన:
ద్రవ్యరాశిలో దోషశాతము = \(\frac{\Delta \mathrm{m}}{\mathrm{m}}\) × 100 = 2% ; వడిలో దోషశాతము = \(\frac{\Delta \mathrm{v}}{\mathrm{v}}\) × 100 = 3%
కాని గతిశక్తి K.E = \(\frac{1}{2}\) mv²
గతిశక్తిలో దోషశాతము = 1 ( ద్రవ్యరాశిలో దోషశాతము ) + 2 ( వడిలో దోషశాతము )
∴ గతిశక్తిలో దోషశాతము = 1(\(\frac{\Delta \mathrm{m}}{\mathrm{m}}\) × 100) + 2(\(\frac{\Delta \mathrm{v}}{\mathrm{v}}\) × 100) = 1 × 2 + 2 × 3 = 8%

ప్రశ్న 10.
ప్రామాణిక ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద ఒక మోల్ ఆదర్శవాయువు 22.4L (మోలార్ ఘనపరిమాణం) ఘనపరిమాణం ఆక్రమిస్తుంది. హైడ్రోజన్ అణు పరిమాణం సుమారుగా 1 Å, అయితే హైడ్రోజన్ మోలార్ ఘనపరిమాణానికి, పరమాణు ఘనపరిమాణానికి మధ్య నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన:
హైడ్రోజన్ పరమాణు పరిమాణము ≃ 1 Å = 10^-10 మీ = 10^-8 సెం.మీ.
V₁ = పరమాణు ఘనపరిమాణము = అణువుల సంఖ్య × పరమాణు ఘ.ప.
ఒక మోల్ వాయువులో అణువుల సంఖ్య = అవగాడ్రో సంఖ్య, n = 6.022 × 10²³
V₁ = \(\frac{4}{3}\)πr³ × n = \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × [10^-8]³ × 6.022 × 10²³ = 25.23 × 10^-1 (లేదా) 2.523 సెం.మీ ³
V₂ = ఒక మోల్ వాయువు ఘ.ప. = 22.4 లీ = 2.24 × 10⁴ సెం.మీ³
∵ 1 లీ = 1000 సెం.మీ³
∴ వాయు మోలార్ ఘ.ప.కు, అణువుల ఘ.ప.కు గల నిష్పత్తి = V₂ : V₁
= 2.24 × 10⁴ : 2.523 = 10⁴.

ముఖ్యమైన అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఖాళీలను పూరించండి.
a) 1 cm భుజం పొడవు ఉండే సమఘనం ఘనపరిమాణం …………………. m³
b) 2.0cm : వ్యాసార్ధం, 10.0 cm ఎత్తు ఉండే ఘన స్థూపం ఉపరితల వైశాల్యం …………… (mm)²
c) 18 km h^-1వడితో చలిస్తున్న వాహనం 1 s లో ప్రయాణించే దూరం …………. m
d) సీసం సాపేక్ష సాంద్రత 11.3 అయితే దాని సాంద్రత …………. g cm^-3 లేదా ………… kg m^-3.
సాధన:
a) భుజము పొడవు L = 1 సెం.మీ. = 10^-2 సెం.మీ.
ఘనము ఘనపరిమాణము = L³ = (10^-2 మీ)³ = 10^-6 మీ³

b) ఇందులో, r = 2.0 సెం.మీ. = 20 మి.మీ., h = 10.0 సెం.మీ. = 100 మి.మీ.
స్థూపము ఉపరితల వైశాల్యము = (2πr) h = 2 × \(\frac{22}{7}\) × 20 × 100 మి.మీ.² = 1.26 × 10⁴ మి.మీ.²

c) వడి v = 18 km h^-1 = = 5 మీ/సె ^-1
∴ 1 సెకనులో ప్రయాణించిన దూరము = 5 మీ.

d) సాపేక్ష సాంద్రత = 11.3
∴ సాంద్రత = 11.3 g/cc = \(\frac{11.3 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}}{\left(10^{-2} \mathrm{~m}\right)^3}\) = 11.2 × 10³ kgm^-3

ప్రశ్న 2.
ప్రమాణాలను తగురీతిలో పరివర్తన చేయడం ద్వారా ఖాళీలను పూరించండి.
a) 1 kg m² s^-2 = ………… g cm² s^-2
b) 1 m = ………… ly (కాంతి సంవత్సరాలు)
c) 3.0 m s^-2 = ………… km h^-2
d) G = 6.67 × 10^-11 N m² (kg)^-2 = ……….. (cm)³ s^-2 g^-1.
సాధన:
a) 1 kg m² s^-2 = 1 × 10³ g (10² cm) ² s^-2 = 10⁷ g cm² s^-2

b) ఒక కాంతి సంవత్సరము = 9.46 × 10¹⁵ m
∴ 1m = \(\frac{1}{9.46 \times 10^{15}}\) కాంతి సంవత్సరం
= 1.053 × 10^-16 కాంతి సంవత్సరము

c) 3ms^-2 = 3 × 10^-3km(\(\frac{1}{60 \times 60}\)h)^-2 = = 3 × 10^-3 × 3600 × 3600 km h^-2 = 3.888 × 10⁴ km h^-2

d) G = 6.67 × 10^-11 Nm² kg^-2= 6.67 × 10^-11 (kg ms^-2)m² kg^-2
= 6.67 × 10^-11m³s^-2kg^-1
= 6.67 × 10^-11(100 cm)³ s^-2 (1000g)^-1
= 6.67 × 10^-8cm^-2s^-2g^-1

ప్రశ్న 3.
క్రింది ప్రవచనాన్ని స్పష్టంగా వివరించండి :
“పోలికకు అవసరమయ్యే ప్రామాణికాన్ని నిర్దేశించకుండా మితీయరాశిని పెద్దది లేదా చిన్నది అని పిలవడం అర్థరహితం.” దీన్ని దృష్టిలో ఉంచుకొని కింది ప్రవచనాలను అవసరమైన చోట సరిచేసి తిరిగి రాయండి.
a) పరమాణువులు అతిచిన్న వస్తువులు.
b) జెట్ విమానం ఎక్కువ వడితో చలిస్తుంది.
c) బృహస్పతి ద్రవ్యరాశి చాలా ఎక్కువ.
d) ఈ గదిలోని గాలి అధిక సంఖ్యలో అణువులను కలిగి ఉంది.
e) ఎలక్ట్రాన్ కంటే ప్రోటాన్ ద్రవ్యరాశి చాలా ఎక్కువ.
f) కాంతి వేగం కంటే ధ్వని వేగం చాలా తక్కువ.
సాధన:
ప్రవచనము సరియైనది. ఎందుకనగా పోలికకు అవసరమైన ప్రమాణం లేకుండా ఒక భౌతిక రాశి పరిమాణం పెద్దది లేదా చిన్నది అని నిర్ణయించలేము.
a) సూది మొనతో పోలిస్తే పరమాణువులు అతిచిన్న వస్తువులు అన్న ప్రవచనము సరియైనది.
b) రైలుకన్న జెట్ విమానం ఎక్కువ వడితో చలిస్తుంది అన్న ప్రవచనము సరియైనది.
c) భూమి కన్నా బృహస్పతి ద్రవ్యరాశి ఎక్కువ అన్న ప్రవచనము సరియైనది.
d) ఒక మోల్ వాయువులో గల అణువు కన్నా గదిలో గల వాయు అణువుల సంఖ్య ఎక్కువ అన్న ప్రవచనము సరియైనది.
e) ఇచ్చిన ప్రవచనము సరియైనది.
f) ఇచ్చిన ప్రవచనము సరియైనది.

ప్రశ్న 4.
పొడవును కొలవడానికి కింది వాటిలో ఏది చాలా ఖచ్చితమైన పరికరం ?
a) కదిలే స్కేలుపై 20 వెర్నియర్ విభాగాలు 19 ప్రధాన స్కేలు విభాగాలకు సమానంగా ఉండే కాలిపర్స్.
b) 1 mm పిచ్, 100 తలస్కేలు విభాగాలు ఉండే స్క్రూగేజి.
c) కాంతి తరంగదైర్ఘ్య విలువకు తక్కువ/సమానం వరకు పొడవును కొలిచే దృక్ సాధనం.
సాధన:
అతి తక్కువ కనీస కొలత గల పరికరం ఖచ్చితమైనది.
a) వెర్నియర్ కాలిపర్స్ సున్నితత్వము = 1 MSD – 1 VSD
కనీసపు కొలత = 1 MSD – \(\frac{19}{20}\) = \(\frac{1}{20}\) = 0.05 mm
(గమనిక : 1 MSD = 1 m.m అని భావించడమైనది.)

∴ కనీసపు కొలత = 0.01 మి.మీ.

c) కాంతి తరంగదైర్ఘ్యము 10^-5 cmలలో ఉంటుంది.
దీనిని కొలవడానికి కనీసం 10^-5 cm కనీస కొలత గల పరికరం కావాలి.
పైన చెప్పిన పరికరాలలో కాంతి తరంగ దైర్ఘ్యం కొలవ గల పరికరం అన్నిటికన్నా సున్నితమైనది.

ప్రశ్న 5.
క్రింది వాటికి సమాధానం వ్రాయండి.
a) నీకు ఒక దారం, మీటరు స్కేలును ఇస్తే దారం వ్యాసాన్ని ఏ విధంగా అంచనా వేస్తావు ?
b) ఒక స్క్రూగేజి పిచ్ 1.0 mm వృత్తాకార స్కేలుపై విభాగాలు 200. వృత్తాకార స్కేలుపై విభాగాల సంఖ్యను అనియతంగా పెంచడం ద్వారా స్క్రూగేజి యథార్థతను పెంచడం సాధ్యమని నీవు అనుకొంటున్నావా ?
c) వెర్నియర్ కాలిపర్స్ సహాయంతో పలుచని ఇత్తడి కడ్డీ సగటు వ్యాసాన్ని నిర్ణయించవలసి ఉంది. 5 కొలతల సమితి కంటే 100 కొలతల సమితితో వచ్చే అంచనా విలువ ఎక్కువ నమ్మదగినదని మనమెందుకు ఆశిస్తాం ?
సాధన:
a) దారము వ్యాసము చాలా తక్కువ కావున మామూలు స్కేలుతో కొలవలేము. ఇచ్చిన దారాన్ని స్కేలుపై ఒకదాని పక్కన ఒకటి ఆనుకొని ఉండే విధంగా ‘n’ చుట్లు చుట్టి ఆ చుట్ట పొడవు ‘l’ కొలవండి.
దారము వ్యాసము d = \(\frac{1}{n}\) అవుతుంది.
b) స్క్రూగేజి కనీసపు కొలత L.C. =
తలస్కేలు విభాగాలు పెంచితే కనీసపు కొలత తగ్గి సున్నితత్వం పెరుగుతుంది. కాని తలపరిమాణం దృష్ట్యా దానిపై ఒక పరిమితికి మించి విభాగాల సంఖ్య పెంచితే రీడింగులు ఖచ్చితంగా కొలవడం సాధ్యపడదు.

c) పరిశీలనల సంఖ్య పెంచితే కొలతలలో దోషానికి సంభావ్యత తక్కువ. ఫలితంగా 100 రీడింగుల (సగటు) అంకమధ్యమపు విలువ, 5 రీడింగుల అంకమధ్యమపు విలువ కన్నా ఖచ్చితమైనది. అందువలన రీడింగుల సంఖ్య పెరిగినకొలది సగటు విలువ ఎక్కువగా విశ్వసింపదగినదిగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 6.
35 mm స్లైడుపై ఒక ఇంటి ఛాయాచిత్రం వైశాల్యం 1.75 cm². ఆ స్లైడును తెరపై ప్రాజెక్ట్ చేసినపుడు ఇంటి వైశాల్యం 1.55 m² గా ఉంది. ప్రొజెక్టర్-తెర అమరిక రేఖీయ ఆవర్ధనం ఎంత ?
సాధన:
ప్రతిబింబ వైశాల్యము = 1.55 మీ² = 1.55 × 10⁴ సెం.మీ.²
ఛాయా చిత్ర వైశాల్యము = 1.75 సెం.మీ²

ప్రశ్న 7.
క్రింద ఇచ్చిన వాటిలో సార్థక సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయి ?
a) 0.007 m²
b) 2.64 × 10²⁴ kg
c) 0.2370 g cm^-3‍
d) 6.320 J
e) 6.032 Nm^-2
f) 0.0006032 m²
సాధన:
a) 0.007 m² లో సార్థక సంఖ్య ఒకటి.
b) 2.64 × 10²⁴ kg లో సార్థక సంఖ్యలు మూడు.
c) 0.2370 g cm^-3 లో సార్థక సంఖ్యలు నాలుగు.
d) 6.320 J లో సార్థక సంఖ్యలు నాలుగు.
e) 6.032 Nm² లో సార్థక సంఖ్యలు నాలుగు.
f) 0.0006032 m³ లో సార్థక సంఖ్యలు నాలుగు.

ప్రశ్న 8.
దీర్ఘచతురస్రాకార లోహ పలక పొడవు, వెడల్పు, మందాలు వరుసగా 4.234 m, 1.005 m, 2.01 cm లు సరైన సార్థక సంఖ్యల వరకు ఆ పలక వైశాల్యం, ఘనపరిమాణాలను రాయండి.
సాధన:
పొడవు, 1 = 4.234 m
వెడల్పు, b = 1.005 m
మందము, t = 2.01 cm = 2.01 × 10^-2 m
పలక వైశాల్యము = 2 (l × b + b × t + t × l) = 2(4.234 × 1.005 + 1.005 × 0.0201 + 0.0201 × 4.234)
= 2(4.3604739) = 8.7209478 m²
పై కొలతలలో కనీస సార్థక సంఖ్యలు మూడు కావున తుది జవాబులో మూడు సార్థక సంఖ్యలు మాత్రమే ఉండాలి.
వైశాల్యము = 8.72 m².
ఘనపరిమాణము = l × b × t
V = 4.234 × 1.005 × 0.0201 = 0.0855289 = 0.0855 m³ (మూడు సార్థక సంఖ్యలకు సవరించగా)

ప్రశ్న 9.
ఒక పెట్టెను కిరాణా షాపుదారు వాడే త్రాసుతో తూస్తే వచ్చిన ద్రవ్యరాశి 2.300 kg. ఇప్పుడు ఈ పెట్టెకు 20.15g, 20.17g ద్రవ్యరాశులు గల రెండు బంగారు ముక్కలను కలిపారు. (a) పెట్టె మొత్తం ద్రవ్యరాశి, (b) ముక్కల ద్రవ్యరాశుల్లో వ్యత్యాసాన్ని సరైన సార్థక సంఖ్యల వరకు రాయండి.
సాధన:
పెట్టె ద్రవ్యరాశి_m = 2.3 kg
1వ బంగారు ముక్క ద్రవ్యరాశి m₁ = 20.15 g = 0.02015 kg
2వ బంగారు మొత్తం ద్రవ్యరాశి m₂ = 20.17 g = 0.02017 kg
a) మొత్తం ద్రవ్యరాశి = m + m₁ + m₂ = 2.3 + 0.02015 + 0.02017 = 2.34032 kg.
మొత్తం ద్రవ్యరాశి = 2.3 kg

b) ముక్కల ద్రవ్యరాశులలో భేదము = m₂ – m₁ = 20.17 – 20.15 = 0.02 g.

ప్రశ్న 10.
P అనే భౌతికరాశి a, b, c, d అనే నాలుగు పరిశీలించగలిగే రాశులతో కింది విధమైన సంబంధాన్ని కలిగి ఉంది:
P = a₃b₂/(\(\sqrt{c}\)d)
a, b, c, d ల కొలతల్లోని దోషశాతాలు వరుసగా 1%, 3%, 4%, 2% అయితే P లోని దోషశాతం ఎంత ? పై సంబంధం ఉపయోగించి లెక్కించిన P విలువ 3.763 అయితే, ఫలితాన్ని నీవు ఏ విలువ వరకు సవరిస్తావు ?
సాధన:

(ఇందులో సార్థక సంఖ్యలు రెండు) తుది జవాబు 3.763 ను రెండు సార్థక సంఖ్యలకు సర్దగా 3.8 అవుతుంది.

ప్రశ్న 11.
ముద్రణా దోషాలు అనేకంగా ఉండే పుస్తకంలో ఒక నిర్దిష్ట ఆవర్తన చలనం చేస్తున్న కణం స్థానభ్రంశానికి నాలుగు భిన్న ఫార్ములాలు ఉన్నాయి. అవి :
a) y = a sin 2 πt/T
b) y = a sin vt
c) y = (a/T) sin t/a
d) y = (a\(\sqrt{2}\)) (sin 2πt / T + cos 2πt / T)
(a = కణం పొందే గరిష్ఠ స్థానభ్రంశం, v = కణం వడి, T = ఆవర్తన కాలం) మితుల దృష్ట్యా తప్పు అయిన ఫార్ములాలను కొట్టి వేయండి.
సాధన:
త్రికోణమితి ప్రమేయాలలో ఆర్గుమెంట్ (ωt) పదం కోణాన్ని సూచిస్తుంది. ఇది మితి లేని రాశి.
(i) \(\frac{2 \pi \mathrm{t}}{\mathrm{T}}=\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{T}}\) = 1= M⁰L⁰T⁰) ……………. మితి రహితము
(ii) vt= = (LT^-1)(T) = L=[M⁰ L¹ T⁰) ………….. ఈ సమీకరణ మితి రహితము కాదు
(iii) \(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{L}}\) = [L^-1T^-1] ……………….. ఈ సమీకరణ మితి రహితము కాదు
(iv) \(\frac{2 \pi \mathrm{t}}{\mathrm{T}}=\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{T}}\) = 1 = [M⁰ L⁰ T⁰] ……………. మితి రహితము
∴ కావున ఇచ్చిన ఫార్ములాలలో (ii), (iii) సరియైనవి కావు.

ముఖ్యమైన ఉదాహరణ లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
కోణాలు a) 1° (డిగ్రీ) b) 1′ (చాపం యొక్క నిమిషం లేదా ఆర్కిమిన్), c) 1″ (చాపం యొక్క సెకను, లేదా ఆర్క్ సెకను) రేడియన్లలో లెక్కించండి. 360 ° = 2π rad, 1° = 60′, 1′ = 60″ లను ఉపయోగించండి.
సాధన:
a) 360° = 2. rad నుంచి
1° = (π/180) rad = 1.745 × 10^-2 rad
b) 1° = 60′ = 1,745 × 10^-2 rad
1′ = 2.908 × 10 rad; 2.91 × 10^-4 rad
c) 1′ = 60″ = 2.908 × 10^-4 rad
1″ = 4.847 × 10^-6 rad; 4.85 × 10^-6 rad

ప్రశ్న 2.
భూమి వ్యాసంపై ఉండే రెండు వ్యతిరేక బిందువులు A, B ల నుంచి, చంద్రుడిని పరిశీలించారు. చంద్రుడి వద్ద రెండు పరిశీలనా దిశలు ఏర్పరిచే కోణం θ విలువ 1° 54′. భూమి వ్యాసం సుమారుగా 1.276 × 10⁷ m అయితే, భూమి నుంచి చంద్రుని దూరాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుంచి
θ = 1°54′ = 114′ = (114 × 60)” × (4.85 × 10^-6) rad
1″ = 4.85 × 10^-6 rad కాబట్టి,
θ = 3.32 × 10^-2 rad,
అంతేగాక, b = AB = 1.276 × 10⁷m
కాబట్టి, D = \(\frac{b}{\theta}\) సమీకరణం నుంచి భూమి-చంద్రుల మధ్య దూరం
= \(\frac{1.276 \times 10^7}{3.32 \times 10^{-2}}\) = 3.84 × 10⁸ m.

ప్రశ్న 3.
సూర్యుడి కోణీయ వ్యాసం 1920″ అని కొలిచారు. భూమి నుంచి సూర్యుడి దూరం D విలువ 1.496 × 10¹¹ m. అయితే సూర్యుడి వ్యాసం ఎంత ?
సాధన:
సూర్యుడి కోణీయ వ్యాసం, α = 1920″ = 1920 × 4.85 × 10^-6 rad = 9.31 × 10^-3 rad
సూర్యుడి వ్యాసం,
d = αaD
= (9.31 × 10^-3) × (1.496 × 10¹¹) m
= 1.39 x 10⁹m.

ప్రశ్న 4.
థర్మామీటరుతో రెండు వస్తువుల ఉష్ణోగ్రతలను t₁ = 20 °C ± 0.5 °C, t₂ = 50 °C ± 0.5 °C గా కొలిచారు. వాటి ఉష్ణోగ్రతా భేదాన్ని, దానిలోని దోషాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
t’ = t₂ – t₁ = (50 °C ± 0.5 °C) – (20 °C ± 0.5 °C) t’ = 30 °C ± 1 °C

ప్రశ్న 5.
నిరోధం R = V/I, ఇందులో V = (100 ± 5)V, I = (10 ± 0.2)A. అయితే R లోని దోష శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
V లోని దోష శాతం 5, అలాగే I లో దోష శాతం 2. కాబట్టి R లో మొత్తం దోషం 5 + 2 = 7%.

ప్రశ్న 6.
లఘులోలకం డోలనావర్తన కాలం T = 2π \(\sqrt{L / g}\).1 mm తెలిసిన యథార్థతతో కొలచిన L విలువ 20.0 cm. 100 డోలనాలకు పట్టిన కాలాన్ని 18 పృథక్కరణం ఉన్న చేతి గడియారంతో 90s అని కనుక్కొన్నారు. అయితే g విలువను నిర్ణయించడంలో యథార్థత ఎంత ?
సాధన:
g = 4π²L/T²
ఇక్కడ T = \(\frac{t}{n}\), ΔΤ = \(\frac{\Delta t}{n}\) కాబట్టి \(\frac{\Delta \mathrm{T}}{\mathrm{T}}=\frac{\Delta \mathrm{t}}{\mathrm{t}}\). ఈ L, t రెండింటిలోని దోషాలు కనీసపు కొలత దోషాలు. కాబట్టి
(Δg/g) = (ΔL/L) + 2(ΔT/T)
= \(\frac{0.1}{20.0}+2\left(\frac{1}{90}\right)\) = 0.027
అందువల్ల g లోని దోషశాతం
100 (Δg/g) = 100(ΔL/L) + 2 × 100 (ΔT/T)
= 3%.

ప్రశ్న 7.
ఒక ఘనం యొక్క ఒక్కొక్క భుజం పొడవును 7.203 mగా కొలిచారు. దాని మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం, ఘనపరిమాణాల విలువలను తగిన సార్థక సంఖ్యల వరకు, కనుక్కోండి.
సాధన:
కొలచిన పొడవులో నాలుగు సార్థక సంఖ్యలు ఉండటం వల్ల మనం లెక్కించే వైశాల్యం, ఘనపరిమాణాలను కూడా నాలుగు సార్థక సంఖ్యల వరకే సవరించవలసి ఉంటుంది.
ఘనం ఉపరితల వైశాల్యం = 6(7.203)²m²
= 311.299254 m²
= 311.3 m²
ఘనం ఘనపరిమాణం = (7.203)³ m³
= 373.714754 m³
= 373.7 m³

ప్రశ్న 8.
5.74 g పదార్థం 1.2 cm³ ఘనపరిమాణం ఆక్రమిస్తుంది. సార్థక సంఖ్యలను దృష్టిలో ఉంచుకొని దాని సాంద్రత విలువను వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
కొలచిన ద్రవ్యరాశిలో మూడు సార్థక సంఖ్యలు ఉంటే కొలచిన ఘనపరిమాణంలో రెండే సార్ధక సంఖ్యలు ఉన్నాయి కాబట్టి, సాంద్రత విలువను 2 సార్థక సంఖ్యల వరకు మాత్రమే వ్యక్తపరచాలి.
సాంద్రత = \(\frac{5.74}{1.2}\) g cm^-3
= 4.8 g cm^-3.

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 1st Lesson భౌతిక ప్రపంచం to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 1st Lesson భౌతిక ప్రపంచం

→ భౌతిక శాస్త్రము : భౌతికశాస్త్రం ప్రకృతి, ప్రకృతి సహజమైన దృగ్విషయాల అధ్యయనం. పరిశీలన ద్వారా మరియు ప్రయోగాలు చేసి చూడటం వల్ల శాస్త్రజ్ఞులు ప్రకృతిని నియంత్రిస్తూ పరిక్రియ జరిపే నిబంధనలను ఆవిష్కరించే ప్రయత్నం చేస్తారు.

→ ప్రకృతిలోని ప్రాథమిక బలాలు : భౌతికశాస్త్రంలో

• గురుత్వాకర్షణ బలం
• విద్యుదయస్కాంతబలం
• ప్రబల కేంద్రకబలం
• దుర్బల కేంద్రక బలాలను ప్రాథమిక బలాలుగా భావిస్తున్నారు.

1) గురుత్వాకర్షణ బలం : రెండు వస్తువుల ద్రవ్యరాశుల ఆధారంగా వాటి మధ్య గల ఆకర్షణ బలమే గురుత్వాకర్షణ బలం. ఇవి చాలా బలహీనమైన బలాలు. వీటి ప్రభావం చాలా ఎక్కువ దూరం వరకు విస్తరిస్తుంది. గ్రహాలు, నక్షత్రాల వంటి చాలా ఎక్కువ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువుల విషయంలో ఈ బలాల పరిమాణం లెక్కించదగినంత పెద్దది. గ్రహాల గమనం, నక్షత్రాలు ఏర్పడటం, గెలాక్సీలు ఏర్పడటం వంటి దృగ్విషయాలలో ఈ బలాల ప్రాధాన్యం ఎక్కువ.

2) విద్యుదయస్కాంత బలం : ఆవేశిత కణాలు లేదా వస్తువుల మధ్య పనిచేసే బలం విద్యుదయస్కాంత బలం. ఇవి సజాతి ఆవేశాల మధ్య వికర్షణ బలంగాను, విజాతి ఆవేశాల మధ్య ఆకర్షణ బలంగాను ఉంటాయి. ఇవి చాలా బలమైన బలాలు. వీటి పరిధి ఎక్కువ. ఇవి గురుత్వాకర్షణ బలాల కన్న సుమారు 10³⁶ రెట్లు పెద్దవి.

3) ప్రబల కేంద్రక బలాలు : ఇవి కేంద్రకంలోని కేంద్రక కణాలైన ప్రోటాన్లు, న్యూట్రాన్లను పట్టి బంధించే బలీయమైన బలాలు. ఇవి ప్రకృతిలోని ప్రాథమిక బలాలన్నింటిలో కన్న బలమైనవి. ప్రబలమైన కేంద్రక బలాలు విద్యుదయస్కాంత బలాల కన్న దాదాపు 100 రెట్లు బలమైనవి. ఇవి కేంద్రక కణాలు ఆవేశంపై ఆధారపడవు. ఇవి స్వల్ప వ్యాప్తి గల బలాలు. వీటి పరిధి సుమారు 10^-15 మీటర్లు. కేంద్రక స్థిరత్వానికి ఇవి పూర్తి బాధ్యత వహిస్తాయి.

4) దుర్బల కేంద్రక బలాలు : కేంద్రకంలో సంభవించే కొన్ని β – క్షయం వంటి కొన్ని నిర్దిష్ట కేంద్రక చర్యలలో ఈ దుర్బల కేంద్రక బలాలు ప్రత్యక్షమవుతాయి. ఇవి ప్రబల కేంద్రక బలాలు, విద్యుదయస్కాంత బలాల కన్న బలహీనమైనవి. వీటి వ్యాప్తి చాలా తక్కువ. ఈ దుర్బల కేంద్రకబలం వ్యాప్తి 10^-16 మీ.ల క్రమంలో ఉండే అత్యంత స్వల్పమైనది.

→ నిత్యత్వరాశులు : భౌతిక శాస్త్రంలో విభిన్న బలాలను నియంత్రించే భౌతిక దృగ్విషయాలు లేదా కొన్ని ప్రత్యేక భౌతిక రాశులు ఏదైనా ప్రక్రియలో మార్పు లేకుండా స్థిరంగా ఉంటాయి. ఇటువంటి వాటిని నిత్యత్వ రాశులు లేదా నిత్యత్వ నియమాలు అంటారు.
ఉదా : స్వేచ్ఛగా కిందికి పడే వస్తువులో స్థితిశక్తి, గతిశక్తుల విలువలు కాలంతోపాటు మారుతున్నప్పటికి ఆ రెండు శక్తుల మొత్తం స్థిరంగా ఉంటుంది. అనగా ఈ సందర్భంలో శక్తినిత్యత్వం చెందినది అంటారు.

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 2nd Lesson ప్రమాణాలు, కొలత to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 2nd Lesson ప్రమాణాలు, కొలత

→ ప్రాథమిక రాశి : ఇతర భౌతిక రాశులపై ఆధారపడక స్వేచ్ఛగా మనగలిగిన భౌతిక రాశులను ప్రాథమిక రాశులు అంటారు.
ఉదా : ద్రవ్యరాశి, పొడవు, కాలము వంటివి.

→ ఉత్పన్న రాశి : ప్రాథమిక రాశుల కలయిక వలన ఏర్పడిన భౌతిక రాశులను ఉత్పన్న రాశులు అంటారు. ఉదా : వేగము, బలము వంటివి.

→ ప్రమాణము : ఏదైనా భౌతికరాశిని కొలవడంలో అంతర్జాతీయంగా ఆమోదం పొందిన నిర్దేశిత ప్రమాణ విలువతో పోల్చడం జరుగుతుంది. దీనినే ప్రమాణము అంటారు.

→ ప్రాథమిక లేదా మూల ప్రమాణము : ప్రాథమిక భౌతిక రాశులను కొలవడానికి వాడే ప్రమాణాన్ని మూల ప్రమాణము అంటారు.
ఉదా : పొడవు → మీటరు, ద్రవ్యరాశి → కిలోగ్రాము, కాలము → సెకను వంటివి.

→ ఉత్పన్న ప్రమాణము : ఉత్పన్న రాశులను కొలవడానికి వాడే ప్రమాణాలను ఉత్పన్న ప్రమాణాలు అంటారు.
ఉదా : వైశాల్యము →చదరపు మీటరు, వేగము → మీటరు / సెకను వంటివి.

→ అంతర్జాతీయ ప్రమాణాలు (S.I. ప్రమాణము) – ప్రాథమిక రాశులు : అంతర్జాతీయ పధ్ధతి (S.I. పద్ధతి) లో ఏడు ప్రాథమిక రాశులు, రెండు సంపూరక రాశులు ఉన్నాయి. వీటిని కొలవడానికి ఏడు మూల ప్రమాణాలు, రెండు సంపూరక ప్రమాణాలు ఉన్నాయి.

→ అధిక దూరాలను కొలవడం : అధిక దూరాలను కొలవడానికి దృష్టి విక్షేప పద్ధతి వాడతారు. ఈ పద్ధతిలో సుదూరంగా ఉన్న వస్తువును రెండు వేరు వేరు స్థానాల నుండి పరిశీలిస్తారు. ఆ స్థానముల మధ్య దూరము ‘b’, ఆ స్థానముల నుండి వస్తువును చూసిన కోణము ‘θ’ ల ఆధారంగా వస్తువు దూరాన్ని లెక్కిస్తారు. ఇందులో ‘θ’ ని పారలాక్టిక్ కోణము అంటారు.
వస్తువు దూరము D = \(\frac{b}{\theta}\)

→ అత్యల్ప దూరాలను కొలవడం : అత్యల్ప దూరాలను కొలవడానికి దృశా సూక్ష్మదర్శిని వాడతారు. ఇది కొలవ గల కనీస దూరము దృశ్యకాంతి తరంగదైర్ఘ్యం మీద ఆధారపడుతుంది. ఇది సుమారు 7000 Å నుండి 4000 Å ల మధ్య ఉంటుంది.
ఇంకా తక్కువ దూరాలను కొలవడానికి ఎలక్ట్రాన్ సూక్ష్మదర్శిని వాడతారు. ఇది కొలవగల కనీస దూరం ఎలక్ట్రాన్ తరంగదైర్ఘ్యంపై ఆధారపడుతుంది. ఈ పరికరం కొలవగల కనీస దూరం సుమారు 1Å.

→ ఓలిక్ ఆమ్ల అణుపరిమాణం అంచనా వేసే పద్ధతి : సుమారు 1 cm³ ఓలిక్ ఆమ్లాన్ని 20 cm³ ఆల్కహాల్లో కరిగించి దాని నుండి మరల 1 cm³ ద్రావణాన్ని తీసుకొని దీనిని మరల 20 cm³ ఆల్కహాల్లో కరిగిస్తారు. ఇపుడు ఈ ద్రావణంలో ఓలిక్ ఆమ్ల గాఢత \(\frac{1}{20 \times 20}\)/cm³.

ఒక నీటి తొట్టెలో కొంచెం లైకోపోడియం పొడి చల్లి దానిపై కొద్ది చుక్కలు (n) ఓలిక్ ఆమ్ల ద్రావణాన్ని వేస్తారు. ఇది దాదాపు అణుమందం గల పొరగా విస్తరిస్తుంది. ఈ పొర వ్యాసార్ధాన్ని, దాని నుండి పొర వైశాల్యాన్ని (A) లెక్కగడతారు. n చుక్కల ద్రావణం ఘనపరిమాణం లెక్కగడతారు.
ఓలిక్ ఆమ్లం పొర ఘనపరిమాణము = nv\(\frac{1}{20 \times 20}\)

ఓలిక్ ఆమ్లం పొర అణుమందం కలిగి ఉన్నదని భావిస్తే ఈ విలువ ఓలిక్ ఆమ్లం అణువ్యాసానికి సమానము.

→ ఏకీకృత పరమాణు ద్రవ్యరాశి (united atomic mass unit) :
కార్బన్ ఐసోటోపు ఐన C-12 కర్బన పరమాణు ద్రవ్యరాశిలో \(\frac{1}{12}\) ప్రమాణంగా తీసుకున్నారు. దీని విలువ 1.66 × 10^-27 కి.గ్రా.
1 a.m.u. = \(\frac{1}{12}\)¹²₆C = 1.66 × 10^-27 కి.గ్రా.

→ పరమాణు గడియారాలు : కాలాన్ని ప్రామాణికంగా కొలవడానికి ఆధునిక పద్ధతిలో సీజియం గడియారాన్ని వాడుతున్నారు. దీనినే పరమాణు గడియారం అంటారు. దీనిలో సీజియం 133 ఐసోటోపు వాడతారు.

→ యథార్థత (Accuracy) : మనం కొలిచిన విలువ, మనం కొలవవలసిన భౌతికరాశి నిజమైన విలువకు ఎంత దగ్గరగా ఉన్నదో తెలియజేయు కొలమానాన్ని యథార్థత అంటారు.

→ ఖచ్చితత్వము (Precision) : ఖచ్చితత్వము అనేది మనం ఒక పరికరంతో ఎంత కనిష్ఠ అవధి వరకు ఇచ్చిన భౌతికరాశిని కొలవగలమో తెలియజేస్తుంది.
మనం కొలవగలిగిన కనిష్ఠ అవధి ఎంత తక్కువ ఐతే ఆ పరికరం ఖచ్చితత్వం అంత ఎక్కువ.
ఉదా :

• స్క్రూగేజి కనీసపు కొలత 0.01 మి.మీ.;
• వెర్నియర్ కాలిపర్స్ కనీసపు కొలత 0.1 మి.మీ.

ఈ రెండు పరికరాలలో స్క్రూగేజి సున్నితమైనది. కొన్ని సందర్భాలలో కొలతకు తక్కువ యథార్థత ఉన్నప్పటికి మెరుగైన ఖచ్చితత్వం ఉండవచ్చు.

→ దోషం : ఏదైనా భౌతికరాశి యొక్క కొలతలో గల అనిశ్చితత్వాన్ని దోషం అంటారు.

→ క్రమ దోషాలు (Systematic errors) : ఎల్లపుడూ ఒకే దిశలో వచ్చే దోషాలు క్రమ దోషాలు. ఇవి ఉంటే ఎల్లపుడూ ధనాత్మకంగాను లేదా ఎల్లపుడూ ఋణాత్మకంగాను ఉంటాయి.
ఉదా :

• స్క్రూగేజి యొక్క శూన్యాంశదోషము;
• తప్పుగా క్రమాంకనం చేసిన థర్మామీటరు వంటివి. తగిన సవరణలు చేయడం ద్వారా క్రమదోషాలను నివారించవచ్చు.

→ పరికరం వల్ల దోషాలు : అసమగ్ర రూపకల్పన లేదా పరికరాన్ని అసమగ్రంగా క్రమాంకనం చేయడం వల్ల పరికరంలో ఉండే శూన్యాంశ దోషము వంటివి.

→ వ్యక్తిగత దోషాలు : ఇది వ్యక్తి అనుసరించే విధానం, పరికరాలను సక్రమంగా అమర్చకపోవడం వంటి వాటిపై ఆధారపడుతుంది.
ఉదా : దృష్టి విక్షేప దోషం వంటివి.

→ యాదృచ్ఛిక దోషాలు : ఇవి క్రమరహితంగా ఏర్పడతాయి. వీటి సంజ్ఞ, పరిమాణములు కూడా యాదృచ్ఛికమైనవి. ఇవి ప్రయోగం జరుగుతున్నపుడు ఊహించని మార్పుల వలన కలుగుతాయి.
ఉదా : ఓల్టేజిలోని హెచ్చుతగ్గులు, వాతావరణంలోని మార్పులవంటివి.

→ కనీస కొలత దోషం : ఇది పరికరం కొలవగలిగే అత్యల్ప కొలతపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఒక పరికరంతో కొలిచిన విలువలు ఆ పరికరం కనీస కొలత వరకే ఖచ్చితంగా ఉంటాయి.

→ అంకమధ్యమము : అన్ని విలువల అంకగణిత సగటును ఖచ్చితమైన విలువగా తీసుకుంటాము. దీనిని అంకమధ్యమము అంటారు.

→ పరమదోషం : మనం కొలచిన నిజమైన విలువకు, వ్యక్తిగత కొలత యొక్క విలువకు గల తేడాను కొలతలోని పరమదోషం అంటారు.
పరమదోషం |Δa| = |a_mean – a_i| = |నిజమైన విలువ – కొలిచిన విలువ|

→ మధ్యమ పరమదోషం : పరమదోషాలు అన్నింటి యొక్క అంకమధ్యమాన్ని మధ్యమ పరమదోషం అంటారు.
Δа_సగట = \(\frac{\left|\Delta \mathrm{a}_1\right|+\left|\Delta \mathrm{a}_2\right|+\left|\Delta \mathrm{a}_3\right|+\ldots .\left|\Delta \mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right|}{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{n}} \sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \Delta \mathrm{a}_{\mathrm{i}}\)

→ సాపేక్ష దోషం : మధ్యమ పరమదోషానికి మరియు మధ్యమ విలువకు గల నిష్పత్తిని సాపేక్షదోషం అంటారు.

→ దోషశాతం : సాపేక్షదోషాన్ని 100చే గుణించి శాతం రూపంలో ప్రకటిస్తే దానినే దోషశాతం అంటారు.

→ సంకలనం లేదా వ్యవకలనంలో దోషాల విభజన :
x = a + b గా తీసుకుంటే ‘a’ లో దోషం ‘Δa’ మరియు ‘b’ లో దోషం ‘Δb’ అయితే
సంకలనంలో దోషము Δx = Δa + Δb అనగా ‘a’ మరియు ‘b’ ల పరమదోషాల మొత్తం.

→ గుణకారం మరియు భాగహారములతో దోషాల వ్యాపనము :
x = ab లేదా x = లుగా తీసుకుంటే ‘a’ లో సాపేక్షదోషం \(\frac{\Delta a}{a}\) మరియు ‘b’ లో సాపేక్షదోషం \(\frac{\Delta b}{b}\) ‘b’ అయితే గుణకారం మరియు భాగహారంలో సాపేక్షదోషాన్ని \(\frac{\Delta \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=\frac{\Delta \mathrm{a}}{\mathrm{a}}+\frac{\Delta \mathrm{b}}{\mathrm{b}}\) గా రాయవచ్చు. అనగా ‘a’ మరియు ‘b’ ల యొక్క సాపేక్ష దోషాల మొత్తం.

→ ఘాతాంక ప్రమేయాలతో కూడిన గుణకారాలు మరియు భాగహారాలలో దోషాల వ్యాపనము :
x = \(\frac{a^{p^p} b^q}{c^r}\) అయిన x = a^p b^q c^-r
x లోని గరిష్ఠ సాపేక్ష దోషం \(\frac{\Delta \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=\mathrm{p}\left(\frac{\Delta \mathrm{a}}{\mathrm{a}}\right)+\mathrm{q}\left(\frac{\Delta \mathrm{b}}{\mathrm{b}}\right)+\mathrm{r}\left(\frac{\Delta \mathrm{c}}{\mathrm{c}}\right)\)

→ సార్థక సంఖ్యలు : ఏదైనా కొలతలో వాస్తవంగా కొలచిన విలువలో గల అంకెలతో పాటు ఒక అదనపు అంకెను కలిపి సార్థక సంఖ్యలు అంటారు.
ఈ అదనపు అంకె కొలతలోని అనిశ్చితత్వాన్ని తెలియజేస్తుంది.

→ సార్థక సంఖ్యలను నిర్ణయించే నియమాలు : ఏదైనా కొలతను శాస్త్రీయంగా వ్యక్తీకరించినపుడు సార్థక సంఖ్యలను నిర్ణయించడంలో ఈ క్రింది నియమాలు పాటిస్తారు.

• శూన్యేతర అంకెలన్నీ సార్థక సంఖ్యలే.
• శూన్యేతర అంకెల మధ్య దశాంశ బిందువు ఎక్కడ ఉన్నా అవి అన్నీ సార్థక సంఖ్యలే.
• ఒకటికన్న తక్కువ ఐన సంఖ్యలలో దశాంశ బిందువు కుడి వైపున గల మొదటి సున్న కాని అంకెకు, దశాంశ బిందువుకు మధ్య గల అంకెలు సార్థక సంఖ్యలు కావు.
  దశాంశ బిందువు లేని సంఖ్యలో చివరి శూన్యేతర అంకె తరువాత గల సున్నాలు సార్థక సంఖ్యలు కావు. దశాంశ బిందువు కలిగి ఉన్న సంఖ్యలలో చివరగల సున్నాలు సార్థక సంఖ్యలు.

→ సార్థక సంఖ్యలతో జరిపే అంకగణిత పరిక్రియలో పాటించే నియమాలు :

• గుణకారం లేదా భాగహారాలలో పాల్గొనే సంఖ్యలలో గల కనిష్ఠ సార్థక సంఖ్యల వరకు తుది ఫలితం సవరించాలి.
• కూడిక లేక తీసివేతలలో కనిష్ట దశాంశ స్థానాలలో ఉండే వాస్తవ సంఖ్యల వరకు చివరి ఫలితాన్ని సవరించాలి.

→ అనిశ్చిత అంకెలను సవరించడం : సార్థక సంఖ్యలలో చివరి సార్థక సంఖ్య తరువాత గల అంకెలను చివరి సార్థక సంఖ్య వరకు సర్దుబాటు చేయడంలో ఈ క్రింది నియమాలు పాటిస్తారు.

• సర్దుబాటు చేయవలసిన అంకె 5 కన్న చిన్నదైతే దానిని వదలివేస్తారు.
• సర్దుబాటు చేయవలసిన అంకె 5 కన్న పెద్దదైతే చివరి సార్థక సంఖ్య విలువ ఒకటి పెంచుతారు.
• సర్దుబాటు చేయవలసిన అంకె 5 ఐతే
  (ఎ) చివరి సార్థక సంఖ్య సరిసంఖ్య అయితే 5ను లెక్కలోకి తీసుకోకుండా వదలివేస్తారు.
  (బి) చివరి సార్థక సంఖ్య బేసిసంఖ్య అయితే దాని విలువ ఒకటి పెంచి సరిసంఖ్యగా చేస్తారు.

→ మితి : ఒక ఉత్పన్న భౌతికరాశిని సూచించడానికి ప్రాథమిక రాశులను ఏ ఘాతము వరకు పెంచుతారో ఆ ఘాతాన్ని మితి అంటారు.
ఉదా : వేగము LT^-1 లో పొడవు మితి ‘1’. కాలము మితి ‘-1’.

→ మితి ఫార్ములా : ఏదైనా ఉత్పన్నరాశిలో గల ప్రాథమిక రాశులను వాటి ఘాతములతో సహా తెలియజేయు భౌతిక శాస్త్ర సమీకరణమును మితిఫార్ములా అంటారు.
ఉదా :

• త్వరణము – LT^-2
• బలము MLT^-2

→ మితి విశ్లేషణ ఉపయోగాలు :

• ఇచ్చిన సమీకరణాల సుసంగతిని సరిచూడటం. దీని కొరకు మితుల సజాతీయత అన్న సూత్రం వాడతారు.
• వేరు వేరు భౌతికరాశుల మధ్య సంబంధాలు రాబట్టుట.

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 3rd Lesson సరళరేఖాత్మక గమనం to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 3rd Lesson సరళరేఖాత్మక గమనం

→ గమనము : పరిసరాలతో పోల్చినపుడు కాలానుగుణంగా వస్తువు స్థానంలో కలిగే మార్పును గమనము

→ శుద్ధగతి శాస్త్రము : గమనానికి కారణాలు ప్రస్తావించకుండా గమనాన్ని వర్ణించే పద్ధతులను వివరించే శాస్త్రము.

→ సరళరేఖాత్మక గమనము : వస్తువు యొక్క గమనము ఒక సరళరేఖకు మాత్రమే పరిమితమైతే ఆ గమనాన్ని సరళరేఖాత్మక గమనము అంటారు.

→ స్థానభ్రంశము (S) : వస్తువు స్థానంలో మార్పును స్థానభ్రంశము అంటారు. ఇది సదిశరాశి. అనగా దిశ, పరిమాణములను కలిగి ఉంటుంది.

→ పథం పొడవు (Path Length) : వస్తువు ప్రయాణమార్గం మొత్తం పొడవును పథం పొడవు అంటారు. గమనిక : వస్తువు స్థానభ్రంశపు పరిమాణం, దాని పథం పొడవు సమానం కావచ్చు, కాకపోవచ్చు. ఒక గమన మార్గానికి స్థానభ్రంశం సున్న అయినప్పటికి పథం పొడవు సున్న కాదు.

→ స్థానభ్రంశకాల వక్రాలు : వస్తువు స్థానభ్రంశము ‘S’ ను Y – అక్షం మీద, కాలము (t) ని X – అక్షం మీద తీసుకొని గీసిన రేఖాపటాన్ని స్థానభ్రంశకాల వక్రము అంటారు.
(a) నిశ్చల స్థితిలో ఉన్న వస్తువు స్థానభ్రంశకాల వక్రం X – అక్షానికి సమాంతరంగా గల సరళరేఖ.
(b) సమవేగంతో చలించే వస్తువుకు స్థానభ్రంశకాలవక్రము X- అక్షంతో కొంత కోణం చేయు సరళరేఖ. ఈ సరళరేఖ వాలు \(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) వస్తువు సమవేగాన్ని ఇస్తుంది.
(c) సమత్వరణంతో చలించే వస్తువు స్థానభ్రంశకాల వక్రము ఒక వక్రరేఖ. దీని వాలు పైకి పోయిన కొద్ది పెరుగుతుంది. ఈ వక్రం యొక్క వాలు \(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) ఆ క్షణం వద్ద వస్తువుకు గల వేగాన్ని తెలుపుతుంది.

→ సగటు వేగము : వస్తువు యొక్క మొత్తం స్థానభ్రంశము మరియు ప్రయాణించిన మొత్తం కాలముల నిష్పత్తిని సగటు వేగము అంటారు. ప్రమాణము మీ/సెకను. ఇది సదిశరాశి.
సగటు వేగము V̅ = \(\frac{X_2-X_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta X}{\Delta t}\)

→ సగటు వడి : నియమితకాలంలో వస్తువు ప్రయాణించిన పథం పొడవు మరియు కాలముల నిష్పత్తిని సగటు వడి అంటారు. ఇది అదిశరాశి. ప్రమాణము మీ/సె.

గమనిక : వడికి దిశ లేకపోవడం. వల్ల ఇది ఎల్లపుడూ ధనాత్మకము. కాని వేగం దిశను బట్టి ధనాత్మకము లేదా ఋణాత్మకంగా ఉండవచ్చు.

→ తత్కాల వేగము : కాలవ్యవధి Δt అత్యల్పమైనప్పుడు కాలవ్యవధి మరియు వస్తువు స్థానభ్రంశాల నిష్పత్తిని తత్కాల వేగము లేదా తాక్షణిక వేగము అంటారు.
తాక్షణిక వేగము \(\overline{\mathrm{V}}={Lt}_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathrm{X}}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{\mathrm{dX}}{\mathrm{dt}}\)
గమనిక : తత్కాల వేగము సగటు వేగానికి సమానం కావచ్చు లేదా కాకపోవచ్చు.

→ వేగ కాల వక్రాలు (V-t గ్రాఫ్) : వేగము Vని Y- అక్షం మీద, కాలము t ని X- అక్షం మీద తీసుకొని గీచిన రేఖా పటాన్ని వేగ కాల వక్రము అంటారు. వేగ కాల వక్రాలలో
(a) సమవేగంతో చలించే వస్తువు వేగ కాల వక్రం X- అక్షానికి సమాంతరంగా గల సరళరేఖ.
(b) నిశ్చలస్థితి నుండి బయలుదేరి సమత్వరణంతో చలించే వస్తువు వేగ – కాల వక్రం మూల బిందువు గుండా పోవు సరళరేఖ.
(c) తొలి వేగం ‘V₀‘ తో బయలుదేరి సమత్వరణంతో చలించు వస్తువు వేగకాలవక్రం కొంత Y అంతరఖండం కలిగి X- అక్షంతో కొంత కోణం చేయు సరళరేఖ. దీని Y అంతర ఖండం తొలి వేగం ‘V₀‘ ను ఇస్తుంది.
(d) వేగ కాల వక్రం వాలు వస్తువు సమత్వరణం ‘a’ ను ఇస్తుంది.
(e) వేగ కాల వక్రం కింద గల వైశాల్యం వస్తువు మొత్తం స్థానభ్రంశం ‘s’ ను తెలియజేస్తుంది.
(f) వేగ కాల వక్రాల నుండి గతి శాస్త్ర సమీకరణములు V = V₀ + at, X = V₀t + \(\frac{1}{2}\) at², V² – V₀² = 2ax లను ఉత్పాదించవచ్చు.

→ త్వరణము (a) : నిర్దిష్ట కాలవ్యవధిలో వేగంలోని మార్పును త్వరణం అంటారు. ఇది సదిశ. ప్రమాణము మీ/సె²
త్వరణము a̅ = \(\frac{V_2-V_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta V}{\Delta t}\) లేదా a̅ = \(\frac{V-V_0}{t-t_0}\)

→ తత్కాల త్వరణము (a) : కాలవ్యవధి Δt అత్యల్పమైనప్పుడు వస్తువు వేగంలో మార్పుకు, కాలమునకు గల నిష్పత్తిని తత్కాల లేదా తాక్షణిక త్వరణం అంటారు.
తాక్షణిక త్వరణము a̅ = \({Lt}_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathrm{V}}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}\)
గమనిక : త్వరణము సదిశరాశి కావడం వల్ల ఇది ధనాత్మకము లేదా ఋణాత్మకంగా ఉండవచ్చు. వస్తువుకు ఋణత్వరణము (-a) ఉంటే దాని వేగము క్రమంగా తగ్గుతుంది.

→ స్వేచ్ఛాపతనము : వస్తువును కొంత ఎత్తు నుండి జారవిడిస్తే అది స్వేచ్ఛాపతనంలో ఉంది అంటారు. ఇటువంటి వస్తువుకు a = g మరియు తొలివేగం V₀ = 0, స్థానభ్రంశము = Y.

→ స్వేచ్ఛాపతనంలోని వస్తువు సమీకరణాలు : (ఊర్ధ్వ దిశను ధనాత్మకంగా భావిస్తే)

• V = 0 – gt = -9,8t m/s
• Y = 0 – \(\frac{1}{2}\)gt² = -4.9121
• V² = 0 – 2gy = -19.6y m/s

గమనిక : వేగకాలవక్రాలతో వస్తువు వాస్తవ చలనాన్ని విశదీకరించడానికి వీలుగా ఊర్ధ్వ దిశలో త్వరణాన్ని ధనాత్మకంగా తీసుకుంటారు.

→ గెలీలియో బేసిసంఖ్యల నియమము: స్వేచ్ఛాపతనంలో ఉన్న వస్తువు వరుస సెకనులలో ప్రయాణించిన స్థానభ్రంశాల నిష్పత్తి 1:3:5:7 ……. గా గల బేసి సంఖ్యల గుణిజంగా ఉంటుంది.

→ వాహనాలను నిలిపే దూరము : వేగంగా చలించే వాహనానికి బ్రేకులు వేయడం వల్ల అది ఆగిపోయే దూరము వస్తువు తొలివేగము (V₀) మరియు బ్రేకుల ఋణత్వరణ సామర్థ్యం మీద ఆధారపడుతుంది.
ఆగిపోవు దూరము X = \(\frac{V_0^2}{2 a}\)

→ ప్రతిస్పందన కాలము : మనం ఏదైనా ఒక సంఘటనను చూచినపుడు పరిస్థితి అర్థం చేసుకొని ప్రతిచర్య ప్రారంభించడానికి పట్టే కాలము ప్రతిస్పందన కాలము.
ఉదా : చలిస్తున్న వాహనానికి ఒక బాలుడు అకస్మాత్తుగా అడ్డం వస్తే దానిని గ్రహించి వాహనానికి బ్రేకులు వేయడానికి తీసుకున్న సమయము.

→ సాపేక్ష వేగము : A, B అను రెండు వస్తువులు చలనంలో ఉంటే ఒక వస్తువు A దృష్ట్యా B చలనము లేదా B దృష్ట్యా వస్తువు A చలనాన్ని వివరించడాన్ని సాపేక్ష చలనం అంటారు.
ఉదా : A, B వస్తువుల వేగాలు V_A, V_B అయితే B దృష్ట్యా A యొక్క వేగము V_AB = V_A – V_B (A, B లు ఒకే దిశలో చలిస్తుంటే)
A దృష్ట్యా B వేగము V_BA = V_B – V_A (A, B లు ఒకే దిశలో చలిస్తుంటే)
ఈ సందర్భంలో V_AB = -V_BA
A, B లు వ్యతిరేక దిశలలో చలిస్తుంటే V_BA – V_AB = V_A + V_B.

→ ఏకరీతి లేదా సమవేగములో ప్రయాణిస్తున్న వస్తువుకు s = vt.

→ స్థానభ్రంశము మరియు కాలంల రేఖాపటపు వాలు వేగాన్నిస్తుంది.

→ వేగము కాల వక్రము యొక్క వాలు త్వరణాన్ని సూచిస్తుంది.

→ వేగము – కాల వక్రము క్రింది వైశాల్యము, మొత్తం స్థానభ్రంశమునకు సమానము.

→ సమవేగముతో ప్రయాణిస్తున్న వస్తువు యొక్క v-t వక్రము, x – అక్షమునకు సమాంతరముగా ఉంటుంది.

→ సమ త్వరణంతో ప్రయాణిస్తున్న వస్తువు యొక్క v – t వక్రము X – అక్షంతో సమచాలు గల సరళరేఖను సూచిస్తుంది.

→ చలన సమీకరణాలు

• v = u + at
• s = ut + \(\frac{1}{2}\)gt²
• v² – u² = 2as

→ nవ సెకనులో వస్తువు ప్రయాణించిన దూరము S_n = u + a (n – \(\frac{1}{2}\)) లేదా u + \(\frac{a(2 n-1)}{2}\)

→ స్వేచ్ఛగా క్రిందికి పడుతున్న వస్తువు చలన సమీకరణాలు

• v = gt
• \(\frac{1}{2}\)gt²
• v² – u² = -2gh

→ నేల నుంచి నిట్టనిలువుగా పైకి ప్రక్షేపించిన వస్తువు చలన సమీకరణాలు

• v = u – gt
• h = ut – \(\frac{1}{2}\)gt²
• v² – u² = -2gh
• ఆరోహణ కాలము t_a = \(\frac{u}{g}\) అవరోహణ కాలము t_d = \(\frac{u}{g}\)
• మొత్తం ప్రయాణ కాలము T = t_a + t_d = 2t = \(\frac{2u}{g}\)

→ ఎత్తున్న శిఖరం నుండి నిలువుగా ‘u’ వేగంతో ప్రక్షేపించిన శిఖరం ఎత్తు h = – ut+ \(\frac{1}{2}\)gt² అను సమీకరణం నుండి వాడండి.
ఇందులో, t = మొత్తం ప్రయాణ కాలం.

Students must practice these TS Intermediate Maths 1B Solutions Chapter 4 Pair of Straight Lines Ex 4(b) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1B Pair of Straight Lines Solutions Exercise 4(b)

I.
Question 1.
Find the angle between the lines represented by 2x²
2x² + xy – 6y² + 7y – 2 = 0. (V.S.A.Q.)
Answer:
Comparing with the general equation
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 …………………….. (1)
We have a = 2, h = \(\frac{1}{2}\), b = – 6, g = 0, f = \(\frac{7}{2}\), c = – 2.
Also if θ is the angle between pair of lines (1)

Question 2.
Prove that the equation 2x² + 3xy – 2y² + 3x + y + 1 = 0 represents a pair of perpendicular lines. (V.S.A.Q.)
Answer:
We have coefficient of x² = 2 ⇒ a = 2
and coefficient of y² = – 2 ⇒ b = – 2
Since a + b = 0; the lines are perpendicular.

II.
Question 1.
Prove that the equation 3x² + 7xy + 2y² + 5x + 5y + 2 = 0 represents a pair of straight lines and find the coordinates of the point of intersection. (S.A.Q.)
Answer:
Comparing the given equation
3x² + 7xy + 2y² + 5x + 5y + 2 = 0 with the general equation ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0, we get a = 3, h = \(\frac{7}{2}\), b = 2, g = \(\frac{5}{2}\), f = \(\frac{5}{2}\) and c = 2.
∆ = abc + 2fgh – af² – bg² – ch²

∴ The given equation represents a pair of lines and point of intersection is

Question 2.
Find the value of k, if the equation 2x² + kxy – 6y² + 3x + y + 1 = 0 represents a pair of straight lines. Find the point of intersection of the lines and the angle between the straight lines for this value of k. (E.Q.)
Answer:
Comparing
2x² + kxy – 6y² + 3x + y + 1 = 0 with the general equation, we get
a = 2, h = \(\frac{\mathrm{k}}{2}\), b = -6, g = \(\frac{3}{2}\), f = \(\frac{1}{2}\), c = 1
The given equation represents a pair of straight lines if abc + 2fgh – af² – bg² – ch² = 0 (necessary condition)
⇒ – 12 + 2\(\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{k}{2}\right)\) – 2\(\left(\frac{1}{4}\right)\) + 6\(\left(\frac{9}{4}\right)-\frac{k^2}{4}\) = 0
⇒ – 48 + 3k – 2 + 54 – k² = 0
⇒ – k² + 3k + 4 = 0 ⇒ k² – 3k – 4 = 0
⇒ (k – 4) (k + 1) = 0 ⇒ k = 4 or – 1

Case (i):

Case (ii):
When k = 4, then h = 2

Question 3.
Show that the equation x² – y² – x + 3y – 2 = 0 represents a pair of perpendicular lines and find their equations. (S.A.Q.)
Answer:
First we show that the given equation x² – y² – x + 3y – 2 = 0 represents a pair of lines comparing with the general equation
we get a = 1, b = -1, g = \(\frac{-1}{2}\), f = \(\frac{3}{2}\), h = 0, c = -2
∴ abc + 2fgh – af² – bg² – ch²

Hence the given equation represents a pair of lines. Coefficient of x² + coefficient of y² = 1 – 1 = 0
∴ The given equation represents a pair of perpendicular lines.
Let x² – y² – x + 3y – 2
= (x + y + c₁) (x – y + c₂)
Equating coefficients of x and y both sides
we get c₁ + c₂ = – 1 and – c₁ + c₂ = 3
Solving 2c₂ = 2 ⇒ c₂ = 1
and c₁ + c₂ = -1 ⇒ c₁ = -2
∴ Equations of lines are x + y – 2 = 0 and x – y + 1 = 0.

Question 4.
Show that the lines x² + 2xy – 35y² – 4x + 44y – 12 = 0 and 5x + 2y – 8 = 0 are concurrent. (S.A.Q.)
Answer:
Given x² + 2xy – 35y² – 4x + 44y – 12 = 0 and comparing this with general equation we get a = 1, h = 1, b = – 35, g = -2, f = 22, c = – 12
Point of intersection

∴ The point of intersection lies on the line 5x + 2y – 8 = 0.
Hence the given lines are concurrent.

Question 5.
Find the distance between the following pairs of parallel straight lines. (V.S.A.Q.)
(i) 9x² – 6xy + y² + 18x – 6y + 8 = 0
(ii) x²+ 2√3 xy + 3y² – 3x – 3√3 y – 4 = 0
Answer:
(i) The formula for distance between parallel lines = \(\sqrt{\frac{g^2-a c}{a(a+b)}}\)

(ii) Distance between given parallel lines

Question 6.
Show that the two pairs of lines 3x² + 8xy – 3y² = 0 and 3x² + 8xy – 3y² + 2x – 4v – 1 = 0 form a square. (S.A.Q.)
Answer:

Given equations of lines represented by OA and OB is 3x² + 8xy – 3y² = 0
⇒ (x + 3y) (3x – y) = 0
⇒ x + 3y = 0, 3x – y = 0
∴ Equation of OA is 3x – y = 0 ………………… (1)
Equation of OB is x + 3y = 0 ……………… (2)
The combined equation of CA and CB is
3x² + 8xy – 3y² + 2x – 4y – 1 = 0 …………….. (3)
Let 3x² + 8xy – 3y² + 2x – 4y – 1
= (3x – y + c₁) (x + 3y + c₂)
Equating the coefficients of x and y on both sides,
and c₁ + 3C₂ = 2
3c₁ – c₂ = – 4
Solving

⇒ c₁ = – 1, c₂ = 1
Equation of BC is 3x – y – 1 = 0 ……………………. (4)
Equation of AC is x + 3y + 1 = 0 …………………… (5)
Equations OA and BC differ by a constant.
⇒ OA is parallel to BC.
Equations OB and CA differ by a constant
⇒ OB is parallel to AC.
Also from equation (3), OACB is a rectangle and a + b = 3 – 3 = 0
OA = Length of the perpendicular from O to
AC = \(\frac{|0+0+1|}{\sqrt{1+9}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)
OB = Length of the perpendicular from O to
BC = \(\frac{|0+0-1|}{\sqrt{9+1}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\)
∴ OA = OB and OACB is a rectangle
⇒ OACB is a square.

III.
Question 1.
Find the product of the length of the perpendiculars drawn from (2, 1) upon the lines (E.Q.)
12x² + 25xy + 12y² + 10x + 11y + 2 = 0
Answer:
Given equation
12x² + 25xy + 12y² + 10x + 11y + 2 = 0
represents the combined equation of AB & AC.
12x² + 25xy + 12y²
= 12x² + 16xy + 9xy + 12y²
= 4x (3x + 4y) + 3y (3x + 4y)
= (3x + 4y) (4x + 3y)
Let 12x² + 25xy + 12y² + 10x + 11y + 2 = (3x + 4y + c₁) (4x + 3y’ + C₂)
Equating the coefficients of x and y
4c₁ + 3C₂ = 10 ………………. (1)
and 3c₁ + 4c₂ = 11 ………………. (2)
Solving (1) and (2)

⇒ c₁ = 1, c₂ = 2
∴ Equation of AB is 3x + 4y + 1 = 0
and equation of AC is 4x + 3y + 2 = 0
PL = Length of the perpendicular from
P(2, 1) on AB = \(\left|\frac{6+4+1}{\sqrt{9+16}}\right|=\frac{11}{5}\)
PM = Length of the perpendicular from
P(2, 1) on AC = \(\left|\frac{8+3+2}{\sqrt{16+9}}\right|=\frac{13}{5}\)
∴ Product of lengths of perpendiculars
= PL × PM = \(\frac{11}{5} \times \frac{13}{5}=\frac{143}{25}\)

Question 2.
Show that the straight lines y² – 4y + 3 = 0 and x² + 4xy + 4y² + 5x + 10y + 4 = 0 form a parallelogram and find the lengths of its sides. (E.Q.)
Answer:

The equation of first pair of lines is y² – 4y + 3 = 0
⇒ (y – 1) (y – 3) = 0 ⇒ y = 1 ………………….. (1)
and y = 3 ………………….. (2)
∴ AB, CD are parallel.
The equation of second pair of lines is
x² + 4xy + 4y² + 5x + 10y + 4 = 0
⇒ (x + 2y)² + 5 (x + 2y) + 4 = 0
⇒ (x + 2y)² + 4 (x + 2y) + (x + 2y) + 4 = 0
⇒ (x + 2y) [x + 2y + 4] + 1 [(x + 2y) + 4] = 0
⇒ (x + 2y + 1) (x + 2y + 4) = 0
⇒ x + 2y + 1 = 0, x + 2y + 4 = 0
Equation of AD is x + 2y + 1 = 0 ……………………. (3)
Equation of BC is x + 2y + 4 = 0 ……………………. (4)
∴ AD and BC are parallel.
Solving (1) and (3), x + 2 + 1 = 0
⇒ x = – 3
∴ Co-ordinates of A = (-3, 1)
Solving (2) and (3), x + 6 + 1 = 0 ⇒ x = -7
and coordinates of D = (-7, 3)
Solving (2) and (4) x + 6 + 4 = 0 ⇒ x = -10
∴ Coordinates of C = (-10, 3)
Solving (1) and (4), we get x + 2 + 4 = 0
⇒ x = -6
∴ Coordinates of B = (- 6, 1)
Hence A = (-3, 1), B = (-6, 1), C = (-10, 3), D = (-7, 3)

∴ AC ≠ BD
Hence a parallelogram is formed with the
lines y² – 4y + 3 = 0 and x² + 4xy + 4y² + 5x + 10y + 4 = 0.

Question 3.
Show that the product of the perpendicular distances from the origin to the pair of straight lines represented by ax² + 2hxy +
by² + 2gx + 2fy + c = 0 is \(\frac{|c|}{\sqrt{(a-b)^2+4 h^2}}\) (E.Q.)
Answer:
Let ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 represent the lines
l₁x + m₁y + n₁ = 0 ……………. (1)
and l₂x + m₂y + n₂ = 0 ……………. (2)
∴ ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c
= (l₁x + m₁y + n₁) (l₂x + m₂y + n₂)
∴ l₁l₂ = a, m₁m₂ = b, l₁m₂ + l₂m₁ = 2h,
l₁n₂ +l₂n₁ = 2g, m₁n₂ + m₂n₁ = 2f, n₁n₂ = c
∴ Perpendicular distance from origin to (1) is
= \(\frac{\left|\mathrm{n}_1\right|}{\sqrt{l_1^2+\mathrm{m}_1^2}}\)
Perpendicular distance from origin to (2) is
= \(\frac{\mathrm{n}_2}{\sqrt{l_2^2+\mathrm{m}_2^2}}\)
Product of perpendiculars

Question 4.
If the equation ax² + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0 represent a pair of intersecting lines, then show that the square of the distance of their point of intersection from the origin is \(\). Also show that the square of this distance is \(\frac{f^2+g^2}{h^2+b^2}\) if the given lines are perpendicular. (E.Q.)
Answer:
Let the equation
ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 represent the lines
l₁x + m₁y + n₁ = 0 ………………. (1)
and l₂x + m₂y + n₂ = 0 ……………….. (2)
∴ (l₁x + m₁y + n₁) (l₂x + m₂y + n₂)
= ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c
Comparing coefficients
l₁l₂ = a, m₁ m₂ = b, n₁n₂ = c
l₁m₂ + l₂m₁ = 2h, l₁n₂ + l₂n₁ = 2g and
m₁n₂ + m₂n₁ = 2f
From (1) and (2) on solving

Here students can locate TS Inter 1st Year Accountancy Notes Chapter 6 Bank Reconciliation Statement to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Accountancy Notes Chapter 6 Bank Reconciliation Statement

→ Bank Reconciliation Statement is a statement prepared to reconcile the difference between the balance as per the bank column of the cash book and pass book on any given date.

→ There are certain reasons for the difference in the pass book balance and the cash book balance.

→ Favourable balance means debit balance as per cash book and credit balance as per credit balance.

→ Unfavourable balance/overdraft balance means credit balance as per cash book and debit balance as per pass book.

TS Inter 1st Year Accountancy Notes Chapter 6 బ్యాంక్ నిల్వల సమన్వయ పట్టిక

→ నిర్ణీత తేదీన నగదు చిట్టి బ్యాంకు వరసల నిల్వ, పాస్బుక్ నిల్వలకు గల తేడాలను సమన్వయపరుస్తూ తయారుచేసే పట్టికను బ్యాంకు నిల్వల సమన్వయ పట్టిక అంటారు.

→ నగదు చిట్టాలోని నిల్వకు, పాస్బుక్లో లోని నిల్వకు గల తేడా చూపడానికి కొన్ని కారణాలున్నవి.

→ నగదు పుస్తకము డెబిట్ నిల్వను, పాస్బుక్ క్రెడిట్ నిల్వను చూపితే దానిని అనుకూల నిల్వ అంటారు.

→ నగదు పుస్తకము క్రెడిట్ నిల్వను, పాస్బుక్ డెబిట్ నిల్వను చూపితే దానిని ప్రతికూల నిల్వ అంటారు.

Here students can locate TS Inter 1st Year Accountancy Notes Chapter 5 Cash Book to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Accountancy Notes Chapter 5 Cash Book

→ Cash book is a very important subsidiary book. The object of the cash book is to keep a daily record of transactions relating to cash receipts and cash payments. Cash book acts as both journal and a ledger.

→ There are different kinds of cash books :

1. Simple cash book.
2. Two-column cash book with cash and discount columns.
3. Two-column cash books with Bank and discount columns.
4. Three-column cash book.
5. Petty cash book.

→ The entry which appears on both sides of the three-column cash book is known as a contra entry. It is required for transactions relating to cash or cheques deposited into the bank and cash withdrawn for office use.

→ All small payments are recorded in a separate cash book known as the Analytical Petty cash book.

TS Inter 1st Year Accountancy Notes Chapter 5 నగదు పుస్తకము

→ నగదు పుస్తకము చాలా ముఖ్యమైన సహాయక చిట్టా. రోజువారీ నగదు వసూళ్ళు చెల్లింపు వ్యవహారములు నమోదు చేయడమే నగదు పుస్తకము ముఖ్య ఉద్దేశ్యము.

→ నగదు పుస్తకములో దిగువ రకాలు ఉన్నవి;

1. సాధారణ నగదు చిట్టా,
2. నగదు, డిస్కౌంటు వరుసలు గల నగదు చిట్టి,
3. బాంకు, డిస్కౌంటు వరుసలు గల నగదు చిట్టా,
4. మూడు వరుసలు గల నగదు చిట్టా,
5. చిల్లర నగదు చిట్టా.

→ ఒక చిట్టాపద్దును మూడు వరుసలు గల నగదు చిట్టాలో రెండు వైపులా నమోదు చేస్తే దానిని ఎదురు వద్దు అంటారు. ఎదురు పద్దును దిగువ సందర్భాలలో రాయాలి.

• నగదు లేదా చెక్కులను బాంకులో జమ చేసినపుడు,
• ఆఫీసు అవసరాలకై బాంకు నుంచి నగదు తీసినపుడు.

→ వివిధ రకాల చిల్లర ఖర్చులను నమోదు చేయడానికి తయారుచేసే ప్రత్యేక నగదు పుస్తకాన్ని చిల్లర నగదు చిట్టా అంటారు.

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 5th Lesson గమన నియమాలు to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 5th Lesson గమన నియమాలు

→ బలము : ఒక వస్తువును గమనంలోకి తేవాలన్నా లేదా గమనంలో గల వస్తువును విరామ స్థితికి తేవాలన్నా బలం అనేది అవసరం.
కావున ఒక వస్తువు యొక్క స్థితిని మార్చునది లేక మార్చుటకు ప్రయత్నించే భౌతికరాశిని బలంగా నిర్వచించారు. ఇది సదిశరాశి.

→ న్యూటన్ నియమాలు :
న్యూటన్ మొదటి నియమం : బాహ్యబలం పనిచేయనంతవరకు నిశ్చలస్థితిలో ఉన్న వస్తువు నిశ్చలస్థితిలోను, జ గమనంలో ఉన్న వస్తువు సమవేగంతో ఋజుమార్గంలోను చలిస్తుంది.

→ మొదటి నియమం యొక్క ప్రాముఖ్యత : ఇది జడత్వము మరియు బలాలను నిర్వచిస్తుంది.

→ న్యూటన్ రెండవ నియమము : వస్తువు ద్రవ్యవేగంలోని మార్పురేటు వస్తువుపై ప్రయోగించిన బాహ్యబలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండి, బాహ్యబలం పనిచేసే దిశలోనే పనిచేస్తుంది.
అనగా \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{P}}}{\mathrm{dt}}\) ∝ F లేదా F = k\(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{P}}}{\mathrm{dt}}\) లేదా F = k.ma లేదా F = ma (∵ k = 1)

→ ప్రాముఖ్యత : న్యూటన్ రెండవ నియమం ద్రవ్యవేగాన్ని నిర్వచిస్తుంది మరియు బలానికి ఒక సమీకరణమును ఉత్పాదిస్తుంది.
న్యూటన్ మూడవ నియమము : ప్రతి చర్యకూ ఎల్లపుడూ దానికి సమానము, వ్యతిరేకము అయిన ప్రతిచర్య
ఉంటుంది.
చర్య = – ప్రతిచర్య. న్యూటన్ మూడవ నియమం నుండి బలం ఎల్లపుడూ జతలు, జతలుగా పనిచేయును అని తెలుస్తుంది.

→ జడత్వం : జడత్వం అంటే మార్పుకు నిరోధం. వస్తువు తనంతట తానుగా తన స్థితిని మార్చుకోజాలని వస్తు ధర్మాన్ని జడత్వం అంటారు. వస్తువు జడత్వాన్ని ద్రవ్యరాశి ‘m’ తో కొలుస్తారు.

→ ద్రవ్యవేగము (P̅): ఒక వస్తువు ద్రవ్యరాశి m మరియు వేగము ల ల లబ్దాన్ని ద్రవ్యవేగము అంటారు. ఇది రాశి.
ద్రవ్యవేగము P̅ = mu, ప్రమాణము కి.గ్రా. -మీటరు/సెకను.

→ ద్రవ్యవేగము కొన్ని పరిశీలనలు :
1) సమాన పరిమాణంగల బలాన్ని వేరు వేరు ద్రవ్యరాశులు గల వస్తువులపై ప్రయోగిస్తే ఎక్కువ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు తక్కువ వేగాన్ని, తక్కువ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు ఎక్కువ వేగాన్ని పొందుతాయి. కాని ఆ రెండింటికి ద్రవ్యవేగంలో మార్పు సమానము. ఎందుకనగా ద్రవ్యవేగంలో మార్పు బాహ్యబలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది (న్యూటన్ రెండవ నియమము).

2) వేగంగా చలించే క్రికెట్ బంతిని తక్షణం ఆపడంకన్నా చేతులను బంతి దిశలో వెనుకకు లాగడం వల్ల తక్కువ బలం వాడి క్యాచ్ పట్టుకోవచ్చు.
తక్షణం బంతిని ఆపితే కాల అవధి Δt తక్కువ.
F = \(\frac{\mathrm{mv}-\mathrm{mu}}{\Delta \mathrm{t}}\) ఎక్కువ
చేతులు వెనుకకు కొంతదూరం జరపడంవల్ల కాలవ్యవధి Δt పెరుగును.
∴ ఆపడానికి కావలసిన బలం F = \(\frac{\mathrm{mv}-\mathrm{mu}}{\Delta \mathrm{t}}\) తక్కువ.
పై రెండు సందర్భాలలోను mυ – mu సమానము కాని Δt మారింది..

→ న్యూటన్ రెండవ నియమం ప్రకారము అంతర్గత బలాలు వ్యవస్థ ద్రవ్యవేగాన్ని మార్చలేవు.
ఉదా : తుపాకినుండి బులెట్లు పేల్చితే బులెట్ ఎక్కువ వేగంతో ముందుకు వెళుతుంది. తుపాకి తక్కువ వేగంతో వెనక్కి వెళుతుంది. కాని ఈ రెంటికి ద్రవ్యవేగము సమానవ

→ ప్రచోదనము : ఒక వస్తువుపై అత్యధిక బలం అతిస్వల్పకాలం పాటు పనిచేస్తే బలము మరియు కాలముల లబ్ధాన్ని ప్రచోదనము అంటారు. ఇది ద్రవ్యవేగంలో మార్పుకు సమానము.
ప్రచోదనము = బలం × కాలవ్యవధి ద్రవ్యవేగంలో మార్పు
ప్రచోదనం సదిశరాశి. ప్రమాణము న్యూటన్ – సెకను.

→ న్యూటన్ మూడవ నియమం ప్రకారము బలాలు ఎప్పుడూ జంటగానే ఏర్పడతాయి. చర్య ప్రతిచర్య.

→ సాధారణంగా చర్య, ప్రతిచర్యలు వేరు వేరు వ్యవస్థలపై పనిచేయడం వల్ల చలనం సాధ్యపడుతుంది.

→ చర్య, ప్రతిచర్య ఒకే వస్తువు లేదా వ్యవస్థపై పనిచేసే సందర్భాలలో ఆ వస్తువు సమతాస్థితిలో ఉంటుంది.

→ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమము: అన్యోన్య చర్య జరిపే కణాలు ఉన్న విముక్త వ్యవస్థ మొత్తం ద్రవ్యవేగము నిత్యత్వంగా (స్థిరంగా) ఉంటుంది.
ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమము స్థితిస్థాపక, అస్థితి స్థాపక అభిఘాతాలకు వర్తిస్తుంది.

→ స్పర్శబలాలు : ఒక వస్తువు మరొక వస్తువుతో స్పర్శలో ఉంటే (అనగా తాకుతూ ఉంటే) వాటి మధ్య ఏర్పడే బలాలను స్పర్శబలాలు అంటారు. ఇవి న్యూటన్ మూడవ నియమాన్ని సంతృప్తిపరిచే విధంగా ఉంటాయి.

• స్పర్శ తలాలకు లంబంగా ఉండే స్పర్శాబలాలను అభిలంబ చర్య (Normal reaction) అంటారు.
• స్పర్శ తలాలకు సమాంతరంగా ఉండే స్పర్శాబలాలను ఘర్షణ (Friction) అంటారు.
• స్పర్శబలాలు ఘన పదార్థముల మధ్య మరియు ప్రవాహి (Fluid) లో మునిగి ఉన్న వస్తువుల మధ్య కూడా ఏర్పడతాయి.

→ ఘర్షణ : స్పర్శలో ఉన్న రెండు తలాల మధ్య సాపేక్ష గమనాన్ని వ్యతిరేకించే బలాన్ని ఘర్షణ లేదా ఘర్షణ బలం అంటారు. ఇది స్పర్శ తలాలకు సమాంతరంగా పనిచేస్తుంది.

→ స్థితిక ఘర్షణ : విరామ స్థితిలో గల, వస్తువుల మధ్య ఘర్షణను స్థితిక ఘర్షణ అంటారు. ఇది వస్తువుల మధ్య జరగబోయే చలనాన్ని వ్యతిరేకిస్తుంది.
వస్తువుపై అనువర్తిత బలం ప్రయోగించినపుడు మాత్రమే స్థితిక ఘర్షణ బలం పనిచేయడం ప్రారంభిస్తుంది. ఈ బలాలు అనువర్తిత బలంతో పాటు ఒక సీమాంత విలువ వరకు పెరుగుతాయి. గరిష్ఠ స్థితిక ఘర్షణ (f_s)_max విలువ అభిలంబ ప్రతిచర్య (N) కు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
(f_s)_max = μ_kN

→ గతిక ఘర్షణ : గమనంలోకి వచ్చిన తరువాత స్పర్శ తలాల మధ్య సాపేక్ష చలనాన్ని నిరోధించే బలాన్ని గతిక ఘర్షణ బలం అంటారు.
f_k = μ_kN
గతిక ఘర్షణ గుణకం μ_k విలువ స్టైతిక ఘర్షణ గుణకం μ_s, కన్నా తక్కువ.

→ దొర్లుడు ఘర్షణ : వస్తువుల మధ్య దొర్లుడు చలనం ఉన్నపుడు దొర్లుడు చలనాన్ని వ్యతిరేకిస్తూ స్పర్శ తలాలకు సమాంతరంగా పనిచేసే బలాన్ని దొర్లుడు ఘర్షణ అంటారు.
వస్తువు దొర్లుతున్నపుడు స్పర్శ తలాలు స్వల్పంగా విరూపణం చెందుతాయి. ఫలితంగా వస్తువులు పరిమిత తలంలోనే స్పర్శలో ఉంటాయి. దొర్లుడు ఘర్షణ బలం వస్తువుల మధ్య గల స్పర్శతలం వైశాల్యం మీద ఆధారపడుతుంది.

→ బాల్ బేరింగులు : యంత్రాలలో కదిలే భాగాల మధ్య బాల్ బేరింగులు అమర్చడం వలన స్పర్శలోని తలాల మధ్య దొర్లుడు ఘర్షణ ఏర్పడుతుంది. దొర్లుడు ఘర్షణ గుణకం తక్కువ కావున వస్తువుల మధ్య ఘర్షణ తగ్గుతుంది.

→ క్షితిజ సమాంతర రోడ్డుపై కారు గమనం : క్షితిజ సమాంతరంగా ఉన్న రోడ్డుపై వృత్తాకార మార్గంలో చలించే వస్తువు (కారు) పై మూడు బలాలు పనిచేస్తాయి.

• కారు భారము (mg)
• అభిలంబ ప్రతిచర్య (N)
• ఘర్షణ బలం (f)

ఈ రకమైన చలనంలో కారు టైర్లకు, రోడ్డుకు మధ్య గల ఘర్షణబలం అభికేంద్రబలాన్ని సమకూరుస్తుంది.
ఇటువంటి మార్గంలో కారు సురక్షితంగా ప్రయాణించాలి. అంటే \(\frac{\mathrm{mv}^2}{\mathrm{R}}\) = μmg కావాలి.
లేదా కారు సురక్షిత వేగము V = \(\sqrt{\mu g R}\)

→ గట్టు కట్టిన రోడ్డు మీద కారు గమనం : వంపు మార్గాలలో ప్రమాదాలు నివారించడానికి రహదారిని క్షితిజ సమాంతర దిశకు కొంత కోణంలో రహదారి వెలుపలి అంచు కొంచెం ఎత్తులో ఉండేటట్లు కొంత కోణం 6తో నిర్మిస్తారు. దీనిని రహదారిని గట్టు కట్టడం అంటారు.
రహదారిని గట్టు కట్టడం వల్ల సురక్షిత వేగం పెరుగుతుంది. వంపు మార్గంలో ఈ గట్టు కట్టిన రహదారి సురక్షిత వేగము V₀ = \(\sqrt{g R \tan \theta}\). ఈ వేగంతో రహదారిపై వాహనాలు ప్రయాణిస్తే టైర్లలో అరుగుదల తక్కువ. వంపుమార్గంలో కావలసిన అభికేంద్రబలాన్ని టైర్లు, రోడ్డుకు మధ్య గల ఘర్షణ బలం వల్ల కాక గురుత్వ ఆకర్షణ వల్ల కలుగుతుంది.

→ ద్రవ్యవేగం P̅ = ద్రవ్యరాశి x వేగము, P̅ = mv
ప్రమాణము : kg m/sec. మితి ఫార్ములా : MLT^-1

→ న్యూటన్ రెండవ నియమం ప్రకారము F ∝ \(\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{P}}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{m} \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{v}}}{\mathrm{dt}}\) లేదా F = ma = m\(\frac{(v-u)}{t}\)
ప్రమాణము : కి.గ్రా. మీ/సె² న్యూటన్, మితి ఫార్ములా = MLT^-2

→ తీగ లేదా దారము గుండా కలుగజేయు బలమును తన్యత అంటారు T = F.

→ వస్తువును స్వేచ్ఛగా వ్రేలాడదీసిన T – mg = 0
∴ తన్యత T = mg.

→ తీగ ద్వారా వ్రేలాడదీయబడిన వస్తువును త్వరణం చెందించితే, T = mg + ma_లేదా T = m(g + a) ‘+’ ⇒ ఊర్ధ్వ దిశ, ‘-‘ ⇒ అధోఃదిశ; ‘a’ ఫలిత త్వరణము.

→ ఒక వస్తువు క్షితిజ సమాంతర తలం మీద రెండవ వస్తువు క్షితిజ లంబంగా వేలాడుతుంటే

• త్వరణము a = \(\frac{m_1 g}{m_1+m_2}\)
• తీగయందు తన్యత T = \(\frac{2 m_1 m_2 g}{m_1+m_2}\)

→ రెండు వస్తువులు M₁ మరియు M₂ లు స్పర్శించబడితే

• F బలము ప్రయోగించుట వలన వ్యవస్థ త్వరణము a = \(\frac{F}{M_1+M_2}\)
• రెండు వస్తువుల మధ్య స్పర్శాబలము f = \(\frac{\mathrm{M}_2 \mathrm{~F}}{\mathrm{M}_1+\mathrm{M}_2}\) (F పై M₁ వలన)

→ m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువును లిప్ట్ యందు ‘a’ త్వరణముతో తీసికొనిపోయిన

• ఊర్ధ్వ దిశలో గమనములో ఉన్నపుడు దృశ్యభారము W₁ = m(g + a) లేదా W₁ = W (1 + \(\frac{a}{g}\))
• అధోః దిశలో ‘a’ త్వరణముతో గమనములో ఉన్నప్పుడు W₁ = m(g – a) లేదా W₁ = W(1 – \(\frac{a}{g}\))
  గమనిక : దృశ్య భారమును నేల కలుగజేసిన ప్రతిచర్య బలము (N) అని కూడా అంటారు.

→ ప్రచోదనము (J) = బలము X కాలము = ద్రవ్యవేగంలోని మార్పు. J = m\(\frac{(v-u)}{t}\) × t = mv – mu

→ ద్రవ్యవేగ రేఖీయ నిత్యత్వ నియమము ప్రకారము
m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂, i.e., అభిఘాతము యందు ద్రవ్యవేగ మొత్తము స్థిరము.

→ ఘర్షణ బలం F ∝ లంబ ప్రతిచర్య N i.e., F ∝ N

→ ఘర్షణ గుణకం

ఎ) క్షితిజ సమాంతర తలం మీద లంబ చర్య N = mg = వస్తువు భారం
బి) వాలు తలం మీద లంబ ప్రతిచర్య N = mg cos θ
ఇక్కడ θ = వాలు తలం కోణం

→ ప్రశాంతత కోణము యొక్క టాంజెంట్ ప్రమేయము (tan θ), ఘర్షణ గుణకమునకు సమానము ∴ μ_s = tan θ.

→ నున్నని క్షితిజ సమాంతర తలంపై త్వరణం a = \(\frac{F}{m}\)

→ గరుకు క్షితిజ సమాంతర తలంపై త్వరణం a = \(\frac{F}{m}\) – μ_kg
(μ_k = గతిక ఘర్షణ గుణకం, F = ప్రయోగించి బలం)
గమనిక :
\(\frac{F}{m}\) < μ_kg అయినచో వస్తువు కదలదు.

1) నున్నని వాలుతలం వెంబడి క్రిందకు జరిగే చలనం విషయంలో :
ఎ) త్వరణం a = g sin θ.
బి) వాలుతలం క్రిందకు చేరు సమయానికి పొందు వేగం v = \(\sqrt{2 g l \sin \theta}=\sqrt{2 g h}\)

2) వాలుతలం వెంబడి పైకి చలించునపుడు :
ఎ) త్వరణం a = -g sin θ.
బి) u తొలివేగం అయితే వాలుతలం పైకి చేరటానికి పట్టేకాలం t = \(\frac{u}{g \sin \theta}\)
(కాని పైకి చేరటానికి కావలసిన కనీస తొలివేగం u = \(\sqrt{2 g l \sin \theta}\).

→ లాన్ లర్ చలనము :
1) m ద్రవ్యరాశి గల లాన్లర్ను F బలముతో లాగునపుడు
ఎ) క్షితిజ సమాంతర అంశ బలము F_x = F cos θ.
బి) లంబ ప్రతిచర్య N = mg – F sin θ.

2) F బలంతో తోసినప్పుడు
సి) క్షితిజ సమాంతర అంశ బలము F_x = F cos θ
డి) లంబ ప్రతిచర్య N = mg + F sin θ.