TS Inter 1st Year

Here students can locate TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 9 Money, Banking and Inflation to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 9 Money, Banking and Inflation

→ Liquidity: Liquidity is the ability of an asset to be çonverted into money (cash).

→ Currency: Currency is the form in which money is circulated in the economy. It includes coins and currency flotes.

→ Near money: Near money refers to those highly liquid assets which are not accepted as money but can be quickly converted into money e.g.: drafts, cheques, shares, treasury bills, bonds etc.

→ Legal tender: Money that must be accepted by everyone as per law towards payment for commodities and services and settlement of debt is called legal tender money.

→ Token money: Token money is the money or unit of currency whose face value is higher than its intrinsic value and which is not convertible into gold or silver on par with its face value.

→ Credit money: Credit money which is also called bank money is created by commercial banks from out of the primary deposits.

→ Store of value: By this function, money preserves the value of perishable commodities in the form of money il they are exchanged before they perish, It stores the value of durable commodities also.

→ Standard of deferred payments: This is an important function of money by which money facilitates payment in future for the present transaction. Further payments can be calculated in terms of money.

→ Current account: Current account is the kind of deposit accepted by commercial banks which allows any number of deposits and withdrawals and which facilitates the transfer of money through cheques by businessmen, industrialists and government offices. The current account does not earn any interest.

→ Cash credit: Cash credit is a type of loan given by a commercial bank that facilitates the withdrawal of loan amount in installments as and when necessary.

→ Overdraft: This is a facility extended to the current account holders in a commercial bank, by which the account holder can draw an amount above the available balance, subject to an upper limit.

→ Inflation: Persistent rise ¡n the general price level over a period is called inflation.

→ Demand-pull inflation: Inflation caused by excess aggregate demand over the aggre gate supply is called demand-pull inflation.

→ Cost-push inflation: The rise in the general price level caused by the increase in the production cost is called cost-push inflation.

→ Deficit Financing: It is a method of meeting government deficits through the creation of new money. The deficit is the gap caused by the excess of government expenditure over receipts.

→ Devaluation: A reduction ¡n the external value of the domestic currency while the internal value of the domestic currency remains constant.

TS Inter 1st Year Economics Notes Chapter 9 ద్రవ్యం, బాంకింగ్, ద్రవ్యోల్బణం

→ వినిమయ సాధనంగా అందరూ అంగీకరించేది విలువ, కొలమానంగా ఉపయోగించబడేది ద్రవ్యం అని క్రౌథర్ నిర్వచించాడు.

→ ఒక వస్తువును ఇచ్చి మరో వస్తువును వేరుగా తీసుకొనే పద్ధతిని వస్తు వినిమయ పద్ధతి లేదా వస్తు మార్పిడి పద్ధతి అంటారు.

→ ద్రవ్యం ముఖ్యంగా విలువల కొలమానం, వినిమయ మాంద్యం, విలువల నిధి, వాయిదాల చెల్లింపుల ప్రమాణం మొదలగు విధులను నిర్వహించును.

→ పూర్తి ప్రమాణాలు నాణేలు, తక్కువ ప్రమాణం నాణేలు, చిల్లర ద్రవ్యం, కాగితపు ద్రవ్యం, పరపతి ద్రవ్యం.

→ వాణిజ్య బ్యాంకులు నిర్వహించే కార్యకలాపాలు రెండు రకాలుగా విభజించవచ్చు.

1. ప్రాథమిక విధులు
2. అనుషంగిక విధులు.

→ దేశంలోని అత్యుత్తమ బ్యాంకింగ్ వ్యవస్థకు కేంద్ర బ్యాంకు శిఖరం. అది బ్యాంకింగ్ వ్యవస్థలో బ్యాంకుల ఆర్థిక కార్యకలాపాలను పర్యవేక్షిస్తుంది, నియంత్రిస్తుంది, క్రమబద్ధీకరిస్తుంది.

→ కేంద్ర బ్యాంకు విధులు-కరెన్సీ నోట్ల జారీ, ప్రభుత్వ బ్యాంకరు, బ్యాంకుల బ్యాంకరు, అంతిమ ఋణదాత మొ||నవి.

→ రిజర్వు బ్యాంక్ ఆఫ్ ఇండియాను 1935లో నెలకొల్పారు. 1949లో జాతీయం చేశారు. నోట్ల జారీ, ప్రభుత్వ బ్యాంకరు, బ్యాంకుల బ్యాంకర్, అంతిమ ఋణదాత, పరపతి నియంత్రణ మొ||నవి.

→ ద్రవ్యోల్బణం అనేక రకాలుగా ఉంటుంది. డిమాండ్ ప్రేరిత ద్రవ్యోల్బణం, వ్యయ ప్రేరిత ద్రవ్యోల్బణం మొ||నవి. ఇవే కాకుండా ద్రవ్యోల్బణ స్థాయినిబట్టి, తీవ్రతను బట్టి ఇందులో ఇతర రకాలు కూడా ఉన్నాయి.

→ ద్రవోల్బణ ప్రభావం ఉత్పత్తి మీద, పంపిణీ మీద స్థిర ఆదాయాల వర్గాల వారి మీద, శ్రామిక వర్గం మీద ఉంది.

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 7th Lesson కణాల వ్యవస్థలు, భ్రమణ గమనం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
వ్యవస్థకైనా దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి తప్పక ఉండవలసిన అవసరం ఉందా ? (మే 2014)
జవాబు:
ఒక వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద కొంత ద్రవ్యరాశి ఉండి తీరాలి అన్న నియమం లేదు) ఉదా : ఉంగరము లేదా గాజుల విషయంలో వాటి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ఏ విధమైన ద్రవ్యరాశి లేదు.

ప్రశ్న 2.
ఒక అమ్మాయి బరువులున్న ఒక సంచిని ఒక చేతిలో పట్టుకొని నిలుచున్నది. ఇంకొక అమ్మాయి అంతే బరువు ఉన్న రెండు సంచులను తన రెండు చేతులతో పట్టుకొని నిలుచున్నది. ఆ అమ్మాయిల ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాలలో మార్పులెలా ఉంటాయి ?
జవాబు:
a) అమ్మాయి బరువులు ఉన్న సంచిని ఒక చేతితో పట్టుకున్నపుడు ఆమె ద్రవ్యరాశి కేంద్రం బరువు ఉన్న చేతివైపు జరుగును.

b) అమ్మాయి రెండు చేతులతో సమానమైన బరువులు మోసినపుడు ఆమె ద్రవ్యరాశి కేంద్రస్థానము మారదు. అనగా బరువులు లేనపుడు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ఉన్న ప్రదేశంలోనే ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
రెండు ద్రుఢ వస్తువుల జడత్వ భ్రామకాలు, వాటి సౌష్టవాక్షాల పరంగా సమానం. ఆ రెండింటిలో దేని గతిజ శక్తి అధికంగా ఉంటుంది ?
జవాబు:
ఒక వస్తువు భ్రమణ గతిశక్తి KE_rot మరియు కోణీయ ద్రవ్యవేగం (L) ల మధ్య సంబంధం KE_rot = \(\frac{\mathrm{L}^2}{2 \mathrm{I}}\)
ఇచ్చిన ప్రశ్నలో జడత్వ భ్రామకములు సమానం కావున KE_rot ∝ L²
ఎక్కువ కోణీయ ద్రవ్యవేగము గల వస్తువు ఎక్కువ భ్రమణ గతిశక్తి కల్గి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 4.
సైకిల్ చక్రాలకు కమ్మీలు (spokes) ఎందుకు అమర్చుతారు ? (మే 2014)
జవాబు:
సైకిల్ చక్రాలకు కమ్మీలు (spokes) అమర్చడం వల్ల చక్రం బరువులో అధికభాగం భ్రమణాక్షం నుండి దూరంగా పంపిణీ చేయబడును. ఫలితంగా అంతే ద్రవ్యరాశి గల కమ్మీలు లేని చక్రం కన్నా కమ్మీలు గల చక్రం జడత్వ భ్రామకం చాలా ఎక్కువ. ఫలితంగా ఆ చక్రం ఎక్కువ జడత్వ భ్రామకం గల గతిపాలక చక్రం వలె పనిచేసి కుదుపులను తగ్గిస్తుంది. బాహ్య టార్క్న సున్న చేసినప్పటికి సమవేగంతో ఎక్కువ దూరం ప్రయాణిస్తుంది.

ప్రశ్న 5.
మడత బందుల (hinges) వద్ద బలాన్ని ప్రయోగించి ఒక తలుపును తెరవడం లేదా మూయడం సాధ్యంకాదు. ఎందువల్ల ?
జవాబు:
తలుపులు చలించే భ్రమణాక్షం మడత బందు గుండా పోతున్నది. కాబట్టి భ్రమణాక్షం నుండి బలానికి (\(\overline{\mathrm{F}}\)) గల
దూరము \(\overline{\mathrm{r}}\) = 0
తలుపులు తెరవడానికి అందించిన బలభ్రామకం
టార్క్, τ = \(\overline{\mathrm{r}}\) × \(\overline{\mathrm{F}}\) = |\(\overline{\mathrm{r}}\)| |\(\overline{\mathrm{F}}\)| sin θ = 0 ∵ sin 0 = 0
అందువల్ల \(\overline{\mathrm{r}}\) = 0 అయితే ఎంత ఎక్కువ బలం (F) వాడినప్పటికి టార్క్, τ = 0 కావడం వల్ల తలుపులు తెరవడం సాధ్యపడదు.

ప్రశ్న 6.
భుజం పొట్టిగా ఉన్న స్పానర్ (మరను తిప్పడానికి వాడే ఉపకరణం) కంటే భుజం పొడవుగా ఉన్న స్పానర్ను మనమెందుకు ఎక్కువగా ఎంచుకొంటాం ?
జవాబు:
టార్క్, τ = \(\overline{\mathrm{r}}\) × \(\overline{\mathrm{F}}\). స్పానర్ను వాడేటపుడు స్పానర్ పొడవు బలం నుండి ఆధారానికి గల దూరము \(\overline{\mathrm{r}}\) అవుతుంది. స్పానర్ పొడవు ఎక్కువ ఉంటే అదే బలము F కి టార్క్ ఎక్కువ. అందువలన అటువంటి స్పానర్లతో బోల్ట్ ను తేలికగా భ్రమణం చెందించవచ్చు.

ప్రశ్న 7.
టేబుల్ తలంపై ఒక గుడ్డును బొంగరంవలె తిప్పి అది ఉడికినదీ లేనిదీ ఎలా నిర్ధారించగలం ?
జవాబు:
గుడ్డును టేబుల్పై ఉంచి భ్రమణం చెందించితే అది ఉడికిన గుడ్డు అయితే మొత్తం ఘనపదార్థం వలె ఉంటుంది. కాబట్టి తేలికగా బల్లతోపాటు భ్రమణం చెందుతుంది.

ఉడకని గుడ్డు అయితే లోపల ద్రవాలు ఉంటాయి. దీనిని భ్రమణం చెందించేటప్పుడు ద్రవాలకు గల స్నిగ్ధతా బలాలవల్ల అవి భ్రమణవేగాన్ని అడ్డుకుంటాయి. అందువల్ల ఉడకని గుడ్డు భ్రమణ వేగం తక్కువ. ఈ విధంగా మనం గుడ్డు ఉడికిందీ, లేనిదీ తెలుసుకొనవచ్చు.
Note : ద్రవాలలో వివిధ పొరల మధ్య గల ఘర్షణబలమే స్నిగ్ధతా బలము.

ప్రశ్న 8.
ఒక హెలికాప్టర్కు ఎందుకు రెండు ప్రొపెల్లర్లు (propellers – ముందుకు నడిపే యంత్రం) తప్పక వుండి తీరాలి ?
జవాబు:
హెలికాప్టర్కు రెండు ప్రొపెల్లర్లు ఉండి తీరాలి. ఒకే ప్రొపెల్లర్ ఉంటే కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం ప్రకారము హెలికాప్టర్ వ్యతిరేక దిశలో ఆత్మభ్రమణం చెందుతుంది. స్థానాంతరణ గమనం సాధ్యపడదు. స్థానాంతరణ గమనం కోసం, హెలికాప్టర్ ఆత్మభ్రమణ నిరోధం కోసం హెలికాప్టర్లో రెండు ప్రొపెల్లర్లు వాడతారు.

ప్రశ్న 9.
భూగోళ ధ్రువాల వద్ద వున్న మంచు పూర్తిగా కరిగిపోతే ఒక రోజు కాలవ్యవధి ఏ విధంగా ప్రభావితమౌతుంది ?
జవాబు:
ధృవాల వద్ద ఉన్న మంచు పూర్తిగా కరిగిపోతే నీరు భూమధ్య రేఖ వద్దకు చేరుతుంది. అనగా భూమి భ్రమణాక్షం మీద ఉన్న మంచు, భ్రమణాక్షం నుండి ఎక్కువ దూరానికి జరగడం వల్ల భూమి జడత్వ భ్రామకం పెరిగి కోణీయ వేగం తగ్గును. కారణం I₁ω₁ + I₂ω₂ = 0 అన్న కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమము.

ఫలితంగా భూమి ఆత్మభ్రమణకాలం పెరుగుతుంది. అంటే ఒకరోజు కాలవ్యవధి పెరుగును.

ప్రశ్న 10.
కదిలే సైకిల్ను సులభంగా అటూ ఇటూ ఒరగకుండా నిలుపవచ్చు. ఎందుకు ?
జవాబు:
కదిలే సైకిల్ చక్రాలు భ్రమణ సమతాస్థితిలో ఉంటాయి. భ్రమణ సమతాస్థితి నియమాల నుండి భ్రమణాక్షానికి లంబంగా ఉండే టార్క్ అంశవల్ల వస్తువు భ్రమణాక్షపరంగా తిరుగుతుంది. బాహ్య టార్క్ లో భ్రమణాక్షానికి లంబంగా గల అంశ టార్క్ ప్రభావాన్ని శూన్యపరచే విధంగా ప్రతిబంధక బలాన్ని జడత్వ భ్రామకంలోని మార్పులు కలుగజేస్తాయి. ఫలితంగా గమనంలో ఉన్న సైకిల్ను సులభంగా పక్కకి ఒరగకుండా ఉంచవచ్చు.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఒక వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గరిమనాభుల మధ్య భేదాలను గుర్తించండి. (మార్చి 2014)
జవాబు:
ద్రవ్యరాశి కేంద్రము, మధ్య తేడాలు :
ద్రవ్యరాశి కేంద్రము

1. వస్తువులోని ద్రవ్యరాశి అంతా దానిలో గల ఒక బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమైనట్లు ప్రవర్తిస్తుంది. ఈ బిందువునే ద్రవ్యరాశి కేంద్రము అంటారు.
2. క్రమాకారం కలిగిన చిన్న వస్తువుల విషయంలో ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గరిమనాభులు ఏకీభవిస్తాయి.
3. ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా వస్తువులో గల కణముల ద్రవ్యరాశుల భ్రామకాల బీజీయ మొత్తం సున్నాకి సమానము.
4. వస్తువు సంక్లిష్టచలనంలో ఉన్నపుడు దాని స్థానాంతరణ గమనాన్ని వివరించడానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని ఉపయోగిస్తారు.

గరిమనాభి

1. వస్తువుపై పనిచేయు ‘మొత్తం గురుత్వాకర్షణ బలం దానిలో గల ఒక బిందువు వద్ద కేంద్రీకృతమైనట్లు ప్రవర్తిస్తుంది. ఈ బిందువును గరిమనాభి అంటారు.
2. వస్తు పరిమాణం చాలా పెద్దదిగా ఉండి, దానిలో ద్రవ్యరాశి పంపిణీ ఏకరీతిగా లేనపుడు, లేదా వస్తువు వ్యాప్తి చెందిన ప్రదేశంలో గురుత్వ త్వరణం స్థిరంగా లేనపుడు వాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గరిమనాభులు ఏకీభవించకపోవచ్చును.
3. గరిమనాభిపరంగా వస్తువులో గల కణముల భారముల భ్రామకాల బీజీయ మొత్తం సున్నాకి సమానము.
4. వస్తువుకు స్థిరత్వము కలిగించడానికి ఆధారమును కల్పించు ప్రక్రియలో గరిమనాభి అను భావనను వాడతారు.

ప్రశ్న 2.
బాహ్య బల ప్రభావానికి గురయిన ఒక కణవ్యవస్థ, ఆ బలం వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ప్రయోగించినట్లుగా గమనంలో ఉంటుందని చూపండి.
జవాబు:
ఏదైనా వ్యవస్థలో గల m₁, m₂, m₃, ……… m_n అను కణాలు \(\overline{\mathrm{v}}_1, \overline{\mathrm{v}}_2, \overline{\mathrm{v}}_3, \ldots . . \overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}\) అను వేగాలతో చలించుచున్నాయను కొనుము.
ద్రవ్యరాశి కేంద్రవేగము \(\overline{v}_{\mathrm{cm}}=\frac{1}{M}\left\{\mathrm{~m}_1 \overline{v}_1+\mathrm{m}_2 \overline{v}_2+\mathrm{m}_3 \overline{\mathrm{v}}_3+\ldots . \mathrm{m}_{\mathrm{n}} \overline{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}\right\}\)
ఇందులో m₁ + m₁ + m₃ + ……….. + m_n = M వస్తువు మొత్తం ద్రవ్యరాశి

వ్యవస్థపై పనిచేయు మొత్తం బలము F = F₁ + F₂ + F₃ + ……… + F_n = F_cm
∴ వ్యవస్థపై పనిచేయు మొత్తం బలం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద పనిచేసే బలంలా ప్రవర్తించడం వల్ల అనేక కణవ్యవస్థలపై బాహ్య బల ప్రయోగం వల్ల కలిగే గమనం ద్రవ్యరాశి కేంద్రంపై అదే బలం ప్రయోగిస్తే కలిగే గమనాన్ని పోలి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
భూమి-చంద్రుడు వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం పరంగా సూర్యుని చుట్టూ దాని భ్రమణాలను వివరించండి.
జవాబు:
భూమికి, చంద్రునికి మధ్య గల గురుత్వాకర్షణ బలాలు, భూమి మరియు చంద్రుని వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రంపై ప్రభావం చూపవు. ఎందుకనగా భూమి మరియు చంద్రుల మధ్య గల గురుత్వాకర్షణ బలాలు అంతర్గత బలాలు. ఇవి ద్రవ్యరాశి కేంద్రస్థానాన్ని మార్చజాలవు.

భూమి, చంద్రుల వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రంపై పనిచేసే బాహ్యబలము సూర్యునికి, భూమి చంద్రుల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాల మధ్య గల బలము. ఈ బలం వల్ల భూమి చంద్రుల వ్యవస్థ సూర్యుని చుట్టూ చలిస్తుంది. కావున సూర్యుని చుట్టూ భూమి-చంద్రుల వ్యవస్థ యొక్క గమనము చంద్రుడు భూమి చుట్టూ పరిభ్రమించటం వల్ల ప్రభావితం కాదు.

ప్రశ్న 4.
సదిశాలబ్ధాన్ని నిర్వచించండి. సదిశా లబ్ధ ధర్మాలను రెండు ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
సదిశల సదిశా లబ్ధము : రెండు సదిశలు \(\overline{\mathrm{a}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{b}}\) లను మరల సదిశ ఏర్పడేవిధంగా గుణించడాన్ని సదిశల సదిశాలబ్ధము అంటారు.
\(\overline{\mathrm{a}}\) × \(\overline{\mathrm{b}}\) = |\(\overline{\mathrm{a}}\)||\(\overline{\mathrm{b}}\)| sin θ. \(\overline{\mathrm{n}}\). ఇందులో \(\overline{\mathrm{n}}\) ఇచ్చిన సదిశల తలానికి లంబదిశలో గల ప్రమాణ సదిశ.

సదిశా లబ్ధ ధర్మాలు :
1) రెండు సదిశల సదిశా లబ్ధము స్థిత్యంతర న్యాయాన్ని పాటించదు. \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}} \neq \overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}}\) కాని \(\bar{a} \times \bar{b}=-(\bar{b} \times \bar{a})\) \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}\) = ab sin θ; \(\overline{b} \times \overline{a}\) = b a sin θ ఈ రెండూ పరిమాణంలో సమానమే కాని కుడిచేతి మర నిబంధన ననుసరించి a × \(a \times \overline{b}\) భ్రమణం \(\overline{\mathrm{a}}\) నుంచి \(\overline{\mathrm{b}}\) వైపు ఉంటుంది. \(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}}\) లో భ్రమణం \(\overline{\mathrm{b}}\) నుంచి \(\overline{\mathrm{a}}\) వైపు ఉంటుంది. అనగా పరిమాణం సమానమైనా \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}}\) ల దిశలు వ్యతిరేకము. అందువల్ల \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}=-(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}})\) అని రాస్తారు. కావున \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}} \neq \overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{a}}\)

2) సదిశా లబ్ధము సంకలనపరంగా విభాజక న్యాయాన్ని పాటిస్తుంది. అనగా \(\overline{\mathrm{a}} \times(\overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{c}})=\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}+\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{c}}\)

ప్రశ్న 5.
కోణీయ వేగానికి నిర్వచనం తెలపండి. v = r ω లు రాబట్టండి. (మే 2014)
జవాబు:
కోణీయ స్థానభ్రంశము (θ) : భ్రమణ గమనంలో ఉన్న వస్తువు వృత్త కేంద్రం వద్ద చేసిన కోణాన్ని కోణీయ స్థానభ్రంశము ‘θ’ అంటారు. ప్రమాణము రేడియన్.
కోణీయ వేగము (ω) : కోణీయ స్థానభ్రంశంలోని మార్పు రేటును కోణీయవేగం అంటారు.
కోణీయ వేగములు = \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) ప్రమాణము రేడియన్ / సెకను
ఏదైనా కణము ‘P’ వృత్తపరిధి వెంబడి V అను సమవడితో తిరుగుతున్నదను కొనుము. వృత్తవ్యాసార్ధం ‘r’ అనుకోనుము. మొదటగా P అను కణము ‘A’ అనే బిందువు వద్ద ఉన్నదనుకొనుము. B నుండి Cకు ప్రయాణించుటలో అది కేంద్రము వద్ద చేసిన కోణము ∆θ, మరియు పట్టిన కాలము ∆t అనుకొనుము.

నిర్వచనము ప్రకారం కోణీయవేగం ω = \({Lt}_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t}=\frac{d \theta}{d t}\)
కాని రేఖీయ వేగము V = \({Lt}_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{B C}{\Delta t}\) ఇందులో BC = r dθ
కోణము dθ చిన్నదైనపుడు చాపము BC ని సరళరేఖ BC గా భావిస్తారు.
∴ V = r . \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) ( కాని \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) = ω ) ⇒ V = rω

ప్రశ్న 6.
కోణీయ త్వరణాన్ని, టార్క్ను నిర్వచించండి. ఈ రెండు రాశుల మధ్య సంబంధాన్ని తెలిపే సమాసాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:
కోణీయ త్వరణము : కోణీయ వేగంలో మార్పు రేటును కోణీయ త్వరణం అంటారు.
కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}^2 \theta}{\mathrm{dt}^2}\) ప్రమాణము రేడియన్ / సె² .
బలభ్రామకము లేదా టార్క్ (τ): మూలబిందువు (O) పరంగా \(\overline{\mathrm{r}}\) స్థానసదిశను కలిగిన ఒక వస్తువు లేదా కణంపై బలము \(\overline{\mathrm{F}}\) ను ప్రయోగిస్తే, \(\overline{\mathrm{r}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{F}}\) ల వజ్రలబ్ధాన్ని టార్క్ నిర్వచించినారు.
టార్క్, τ = \(\overline{\mathrm{r}} \times \overline{\mathrm{F}}=|\overline{\mathrm{r}}||\overline{\mathrm{F}}| \sin \theta \overline{\mathrm{n}}\)
టార్క్ సదిశరాశి. దీని దిశ \(\overline{\mathrm{r}}\), \(\overline{\mathrm{F}}\)ల తలానికి లంబంగా ఉంటుంది.
టార్కు ప్రమాణము న్యూటన్ – మీటరు. D.F = ML²T^-2

కోణీయ త్వరణము a మరియు టార్క్ ల మధ్య సంబంధము : ఏదైనా వ్యవస్థపై కొంత టార్క్ ప్రయోగించడం వల్ల అది dθ అను కోణం స్థానభ్రంశం చెందితే జరిగిన పని dW = τdθ …………. (1)
సామర్థ్యము P = \(\frac{d W}{d t}=\tau \cdot \frac{d \theta}{d t}\) ………………. (2) కాని \(\frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}\) = ω
∴ P = τω ………….. 3
సామర్థ్యము P = వ్యవస్థ భ్రమణ గతిజ శక్తిలోని మార్పు రేటు అని కూడా చెప్పవచ్చు.
P = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\left(\frac{1}{2} \mathrm{I} \omega^2\right)=\frac{1}{2} \cdot 2 \mathrm{I} \omega \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{dt}}\) = Iωα ……………… 4
సమీకరణం 3, 4 ల నుండి τω = Iωα లేదా τ = Iα
టార్క్ τ, కోణీయ త్వరణాల మధ్య సంబంధము τ = Iα

ప్రశ్న 7.
ఒక స్థిర అక్షం పరంగా భ్రమణం చేస్తున్న కణం గమన సమీకరణాలను రాయండి.
జవాబు:
భ్రమణ గమనానికి గతిశాస్త్ర సమీకరణాలు
1) ω = ω₀ + αt
2) θ = ω₀t + \(\frac{1}{2}\) αt²
3) ω² – ω₀² = 2αθ
ఉత్పాదన : ఏదైనా వస్తువు స్థిర అక్షపరంగా కొంత కోణీయ త్వరణంతో చలిస్తున్నదనుకొనుము.
వస్తువు తొలికోణీయ వేగము = ω₀ ., తుది కోణీయ వేగము ω మరియు మార్పుకు పట్టిన కాలము t అనుకోండి.
1) ω = ω₀ + αt ఉత్పాదన
కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{\omega-\omega_0}{t}\) ⇒ ω – ω₀ = αt లేదా ω = ω₀ + αt ……………. (1)

2) θ = ω₀t + \(\frac{1}{2}\) = αt² ఉత్పాదన
వస్తువు మొత్తం స్థానభ్రంశము θ = సగటు కోణీయ వేగము × కాలము

3) ω² – ω₀² = 2αθ ఉత్పాదన
వస్తువు మొత్తం కోణీయ స్థానభ్రంశము θ = సగటు కోణీయ వేగము × కాలము
సగటు కోణీయ వేగము = \(\frac{\omega+\omega_0}{2}\)
కాలము t = \(\frac{\omega-\omega_0}{2}\)
∴ θ = \(\frac{\left(\omega+\omega_0\right)}{2} \frac{\left(\omega-\omega_0\right)}{\alpha}=\frac{\omega^2-\omega_0^2}{2 \alpha}\)
∴ ω² – ω₀² = 2αθ …………….. 3

ప్రశ్న 8.
సమతలంపై నిశ్చల స్థితి నుంచి స్లిప్ కాకుండా దొర్లుతూ ఉన్న ఒక వస్తువు తుది వేగం, మొత్తం శక్తికి సమాసాలను రాబట్టండి.
జవాబు:
దొర్లుడు గమనము : దొర్లుడు గమనము అనేది స్థానాంతరణ గమనము మరియు భ్రమణ గమనముల సంయోగము.
దొర్లుడు గమనం గతిజశక్తి (R.K.E) : దొర్లుడు గమనంలో ఉన్న వస్తువుకు స్థానాంతరణ గమనం వల్ల గతిజశక్తి (1/2mv²) మరియు భ్రమణ గమనం వల్ల గతిజశక్తి (\(\frac{1}{2}\)Iω²) ఉంటాయి.
∴ దొర్లుడు గమనంలో వస్తువు గతిజశక్తి_K.E_R = \(\frac{1}{2}\)mv² + \(\frac{1}{2}\)Iω²
∴ K.E_R = \(\frac{1}{2}\)mv² + \(\frac{1}{2}\) mk² \(\frac{v^2}{r^2}\) (∵ I = mk² మరియు v = rω)
∴ దొర్లే వస్తువు మొత్తం శక్తి E అనుకుంటే E = \(\frac{1}{2}\) mv² \(\left[1+\frac{\mathrm{k}^2}{\mathrm{r}^2}\right]\) …………….. (1)
లేదా v² = \(\frac{2 E}{m\left(1+\frac{k^2}{r^2}\right)}\)
వస్తువు వేగము V = \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{E}}{\mathrm{m}\left[1+\frac{\mathrm{k}^2}{\mathrm{r}^2}\right]}}\) …………. (2)

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
(a)సమాంతరాక్షాల సిద్ధాంతాన్ని తెలిపి నిరూపించండి.
(b) పలుచని వృత్తాకార బిళ్ళకు, దాని వ్యాసం పరంగా భ్రమణ వ్యాసార్ధం k. పటంలో చూపినట్లు బిళ్ళను వ్యాసం AB వెంబడి రెండు ముక్కలుగా కత్తిరించినప్పుడు, AB పరంగా ప్రతి ముక్క భ్రమణ వ్యాసార్ధం కనుక్కోండి.

జవాబు:
సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతము : ఏదైనా వస్తువులో ద్రవ్యరాశి కేంద్రంగుండా పోవు అక్షానికి సమాంతరంగాగల వేరొక అక్షం మీది జడత్వ భ్రామకం (I), ద్రవ్యరాశి కేంద్రంగుండా పోవు అక్షపరంగా గల జడత్వ భ్రామకము (I_G) మరియు వస్తువు ద్రవ్యరాశిని (M) అక్షముల మధ్యగల లంబదూరపు వర్గము (R²) చేత గుణించి కలుపగా వచ్చు మొత్తమునకు సమానము.
అనగా I = I_G + MR²
M ద్రవ్యరాశిగల ఒక సమతల పటలం యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రము ‘G’ అనుకొనుము. ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_G అనుకొనుము. ద్రవ్యరాశి కేంద్రంగుండా పోవు అక్షానికి సమాంతరంగా గల వేరొక సమాంతరాక్షము పటతలంలోని మరొక బిందువు ” గుండా పోతున్నది అనుకొనుము.

‘O’ గుండా పోవు కొత్త అక్షపరంగా జడత్వ భ్రామకము మరియు ‘O’, ‘G’ ల మధ్య దూరము OG = R అనుకొనుము.

ఇచ్చిన సమతలంలో ఏదైనా బిందువు ‘P’ ని తీసుకొనుము. OP మరియు GP లను కలుపుతూ సరళరేఖలు గీయుము. OG ని కలుపుతూ గీసిన రేఖను పొడిగించి P నుండి దానిపైకి లంబమును గీయుము. ఇది పటంలో చూపిన విధంగా ఉంటుంది.
ద్రవ్యరాశి కేంద్రము G పరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_G = ΣmOG² ……………. (1)
‘O’ బిందువుపరంగా వస్తువు జడత్వభ్రామకము I = ΣmOP² …………….. (2)
పటంలో OPD లంబకోణ త్రిభుజం నుండి OP² = OD² + PD²
కాని OD = OG + GD ……………. (3)
∴ I = ΣmOP² = Σm { (OG² + GD² + DP²} ……….. (4)
I = Σm {OG² + GD² + DP² + 2OG, GD} –
కాని లంబకోణ త్రిభుజము GPD నుండి GD² + DP² + GP²
∴ I = Σm {OG² + GP² + 2OG, GD}
∴ I = ΣmOG² + ΣmGP² + 2OG ΣmGD …………… (5)
కాని ΣmOG² = MR² (ఇందులో 2m = M వస్తువు మొత్తం ద్రవ్యరాశి, OG = R)
ΣmGP² = IG ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము
2OG ΣmGD = 0 (ఇది ద్రవ్యరాశి కేంద్రపరంగా వస్తువు ద్రవ్యరాశుల భ్రామకముల బీజీయ మొత్తానికి సమానము. దీని విలువ సున్నాకు సమానము.)
ఈ విలువలను పై సమీకరణంలో వ్రాయగా I = I_G + MR² అనగా సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతము నిరూపించబడినది.

b) M ద్రవ్యరాశి R వ్యాసార్ధము గల బిళ్ళ జడత్వ భ్రామకము I = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\)
భ్రమణ వ్యాసార్ధము k అనుకుంటే Mk² = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\) ⇒ k = R/2
బిళ్ళను రెండుముక్కలుగా విభజిస్తే దాని ద్రవ్యరాశి M₁ = \(\frac{\mathrm{M}}{2}\)
కొత్త జడత్వ భ్రామకము I’ = \(\frac{1}{4} \cdot \frac{\mathrm{M}}{2} \times \mathrm{R}^2=\frac{\mathrm{M}}{2} \mathrm{k}_1^2\)
∴ ప్రతిముక్క భ్రమణ వ్యాసార్ధము k₁ = \(\frac{\mathrm{R}}{2}\)

ప్రశ్న 2.
(a)లంబాక్షాల సిద్ధాంతాన్ని తెలిపి నిరూపించండి.
(b)ఒక సన్నని వృత్తాకార కంకణం, ఒక పలుచని చదునైన వృత్తాకార బిళ్ళలు సమాన ద్రవ్యరాశి, వాటి వాటి వ్యాసాల పరంగా సమాన జడత్వ భ్రామకాన్ని కలిగి ఉంటే వాటి వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి కనుక్కోండి.
జవాబు:
లంబాక్ష సిద్ధాంతము : సమతల పటలానికి లంబంగా గల ఏదో ఒక బిందువు గుండా పోవు అక్షపరంగా గల జడత్వ భ్రామకము ఆ సమతల పటలంలో ఇచ్చిన బిందువు గుండా పోవు పరస్పర లంబ అక్షాల పరంగాగల విడి విడి జడత్వ భ్రామకముల మొత్తమునకు సమానము.
అనగా I_z = I_x + I_y
ఒక సమతల పటలంలో గల ఏదైనా బిందువు ” గుండా పోవు ఒక లంబాక్షము ‘Z’ ను తీసుకొనుము. అదే సమతల పటలంలో ‘O’ బిందువు గుండా పోవు మరొక రెండు పరస్పర లంబాక్షములు (x, y) లను తీసుకొనుము. XOY తలంలో గల ఏదైనా బిందువు P ని తీసుకొనుము. ఇది x-అక్షం నుండి ‘y’ దూరంలోను, y-అక్షం నుండి ‘x’ దూరంలోను కలదనుకొనుము.

అప్పుడు X అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_x = Σ my².
y అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_y = Σmx²
z-అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_z = ΣmOP²
కాని పటంలోని OAP త్రిభుజం నుండి
OP² = OA² + AD² = x² + y²
∴ I_z = Σm (x² + y²) = Σmx² + Σmy²
కాని Σ my² = x అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_x
Σmx²
= y అక్షపరంగా వస్తువు జడత్వ భ్రామకము I_y
కావున I_z = I_x + I_y
అనగా x, y అక్షముల ఖండన బిందువు ‘0’ గుండా పోవు
అక్షపరంగా (z) గల జడత్వ భ్రామకము I_z = I_x + I_y అనగా లంబాక్ష సిద్ధాంతము నిరూపించబడినది.

b) వ్యాసము వెంబడి పలుచని రింగు జడత్వ భ్రామకము I₁ = m₁ R₁²
వ్యాసము వెంబడి వృత్తాకార బిళ్ళ జడత్వ భ్రామకము I₂ = \(\frac{\mathrm{m}_2 \mathrm{R}_2^2}{2}\)
రెంటికి జడత్వ భ్రామకాలు సమానము ⇒ I₁ = I₂
అనగా m₁ R₁² = m₂ \(\frac{\mathrm{R}_2^2}{2}\) కాని m₁ = m₂
∴ వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి R₁² = \(\frac{\mathrm{R}_2^2}{2}\) లేదా R₁ = \(\frac{R_2}{\sqrt{2}}\)
∴ R₁ : R₂ = \({\sqrt{2}}\) : 1

ప్రశ్న 3.
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమాన్ని తెలిపి నిరూపించండి. ఈ నియమాన్ని ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
కోణీయ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమం : ఏదైనా వ్యవస్థపై బాహ్య టార్క్ పని చేయనంతవరకు ఆ వ్యవస్థకు గల కోణీయ ద్రవ్య వేగము స్థిరము. అనగా I₁ω₁ = I₂ω₂ (τ = 0 అయినపుడు )

వివరణ : భ్రమణ గమనంలో ఉన్న వస్తువు జడత్వ భ్రామకాలు I₁, I₂ మరియు దాని తొలి, తుది కోణీయ ద్రవ్యవేగాలు ω₁ మరియు ω₂ అనుకొనుము. బాహ్య టార్క్ పనిచేయనపుడు
అనగా τ = \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{L}}}{\mathrm{dt}}\) = 0 లేదా \(\mathrm{d} \overline{\mathrm{L}}\) = 0 అనగా కోణీయ ద్రవ్య వేగంలోని మార్పు \(\mathrm{d} \overline{\mathrm{L}}_2-\mathrm{d} \overline{\mathrm{L}}_1\) = 0
లేదా I₂ω₂ – I₁ω₁ = 0 అనగా I₁ω₁ = I₂ω₂

కోణీయ ద్రవ్య వేగ నిత్యత్వ నియమానికి ఉదాహరణలు :
1) నిలువు అక్షం చుట్టూ స్వేచ్ఛగా గుండ్రని బల్ల భ్రమణం చేస్తున్నది. దీనిపై ఒక బాలుడు రెండు చేతులతో రెండు భారాలు పట్టుకొని కాళ్ళు, చేతులు చాపుకొని నిల్చున్నాడు. అపుడు అతని జడత్వ భ్రామకం I₁. అతడి కోణీయ వేగం ω₁. అతడు చేతులను ముడుచుకొంటే అతడి జడత్వ భ్రామకం I₂ తగ్గిపోతుంది. కావున బల్ల వ్యవస్థ కోణీయ వేగం ω₂ పెరుగుతుంది.
బల్ల జడత్వ భ్రామకం I అనుకుంటే, (I + I₁)ω₁ = (I + I₂)ω₂
∴ ω₂ = \(\frac{\left(\mathrm{I}+\mathrm{I}_1\right) \omega_1}{\left(\mathrm{I}+\mathrm{I}_2\right)}\) కాని – (I + I₂) < (I + I₁) కనుక ω₂ + ω₁.

2) సూర్యుని చుట్టూ పరిభ్రమించే గ్రహం కోణీయ త్వరణం స్థిరంగా ఉంటుంది.
గ్రహం P వద్ద ఉన్నపుడు వేగం = v₁ ; సూర్యుని నుండి దూరం = r₁ ∴ కోణీయ ద్రవ్యవేగం = m v₁ r₁
అదే విధంగా Q వద్ద కోణీయ ద్రవ్యవేగం = m v₂ r₂ కాని m v₁ r₁ = m v₂ r₂ కాని v = rω
∴ m r₁ ω₁ r₁ = m r₂ ω₂ r₂ ⇒ I₁ω₁ = I₂ω₂ (∵ mr² = I)

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
a . (b × c) పరిమాణం a, b, c సదిశలు భుజాలుగా గల సమానాంతర చతుర్భుజ ఘనం (parallelepiped) ఘనపరిమాణానికి సమానం అని చూపండి.
సాధన:
సమాంతర చతుర్భుజ ఘనమును ఏర్పరచిన సదిశలు \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{a}}\) ; \(\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{b}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{c}}\) అనుకోండి.

\(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}}=|\overline{\mathrm{b}}||\overline{\mathrm{c}}| \sin \theta \overline{\mathrm{n}}=\mathrm{ab}(\overline{\mathrm{n}})\) (∵ θ = 90°)
ఇందులో \(\overline{\mathrm{n}}\) ప్రమాణ సదిశ. ఇది \(\overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) ల తలానికి లంబంగా ఉంటుంది.
అనగా ఇది \(\overline{\mathrm{a}}\) కు సమాంతరంగా ఉంటుంది.
\(\overline{\mathrm{a}} \cdot(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}})=\overline{\mathrm{a}} \cdot(\mathrm{bc}) \overline{\mathrm{n}}=\overline{\mathrm{a}} \cdot \overline{\mathrm{n}}(\mathrm{bc})\) cos θ = abc
ఇది సమాంతర చతుర్భుజ ఘనము ఘనపరిమాణానికి సమానము.

ప్రశ్న 2.
3 kg ద్రవ్యరాశి, 40 cm వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక బోలు స్థూపం చుట్టూ దాదాపు ద్రవ్యరాశి లేని ఒక తాడు చుట్టారు. 30 N బలంతో తాడును లాగితే స్థూపం ఎంత కోణీయ త్వరణాన్ని పొందుతుంది ? తాడు రేఖీయ త్వరణం ఎంత అవుతుంది? తాడు స్థూపంపై జారదు అని భావించండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి M = 3 కి. గ్రా.
వ్యాసార్ధము R = 40 సెం.మీ. = 0.4 మీ.
బోలు స్థూపానికి అక్షం వెంబడి జడత్వ భ్రామకము
I = MR² = 3 (0.4)² = 0.48 kg . m²
బలము, F = 30 న్యూ; టార్క్, τ = F × R = 30 × 0.4 = 12 న్యూ
వస్తువులో త్వరణం ‘α’ అనుకుంటే α = \(\frac{\tau}{\mathrm{I}}=\frac{12}{0.48}\) = 25 రే/సె²
రేఖీయ త్వరణము a = r . α = 0.4 × 25 = 10 మీ/సె²

ప్రశ్న 3.
క్షితిజ తలంలో భ్రమణం చెందే తిరుగుడు బల్లపై దాని కేంద్రం నుండి 10 cm దూరంలో ఒక నాణాన్ని ఉంచారు. తిరుగుడు బల్ల, నాణాల మధ్య స్థితిక ఘర్షణ గుణకం 0.8 అయితే, నాణెం బల్లపై జారడం మొదలుపెట్టడానికి తిరుగుడు బల్ల భ్రమణ పౌనఃపున్యం ఎంత ఉండాలి ?
సాధన:
నాణెము ఉన్న దూరం r = 10 cm = 0.1 m. ; ఘర్షణ గుణకం μ = 0.8.
భ్రమణ పౌనఃపున్యము = 1 సెకనులో చేసిన భ్రమణాల సంఖ్య
నాణెము జారిపోకుండుటకు μmg = mrω² ⇒ ω = \(\sqrt{\frac{\mu \mathrm{g}}{\mathrm{r}}}\)
∴ ω = \(\sqrt{\frac{0.8 \times 9.8}{1}}=\sqrt{78.4}\) = 8.854 రే/సె.
సెకనుకు భ్రమణాల సంఖ్య = భ్రమణ పౌనఃపున్యం = \(\frac{\omega}{2 \pi}=\frac{8.854}{2 \pi}\) = 1.409 Rot/sec లేక 84.54 R.P.M.

ప్రశ్న 4.
ఒక మీటరు స్కేలుపై 1 cm, 2 cm, 3 cm, . 100 cm ల గుర్తుల వద్ద వరసగా 1g, 2g, 3g ….., 100g ద్రవ్యరాశు లు గల కణాలను ఉంచారు. మీటరు స్కేలు మధ్య లంబరేఖ పరంగా ఈ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఇచ్చిన ద్రవ్యరాశులు 1g, 2g, 3g….. 100 g స్కేలు మీద 1, 2, 3 …… 100 cm ల వద్ద ఉన్నవి.

iii) జడత్వ భ్రామకము = I = m₁r₁² +m₂r₂² + m₃r₃² + …+ m₁₀₀r₁₀₀²
∴ I = 1 × 1 × 1 + 2 × 2² + 3 × 3² + 100 × 100²
= 1 + 2³ + 3³ +……+ 100³ × 10^-7 Kg.m² ( ∵ 1 g = 10^-3 kg & 1 cm = 10^-2 m)
n సంఖ్యల ఘనముల మొత్తం S = \(\frac{n^2(n+1)^2}{4}\) ; ∴ I = \(\frac{100^2 \times(101)^2}{4}\) × 10^-7 = 2.550 Kg. m²
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం = I_G = I – MR²
= 2.550 × – 5.05 × 0.67 x 0.67 = 2.550 – 2.267 = 0.283 kg.m²

iv) లంబ సమద్విఖండన రేఖ 50 cm వద్ద ఉంటుంది.
x₁ = 50 cm నుండి x₂ = 67 cm కు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం మారినపుడు
∴ అక్షముల మధ్యదూరం R = 67 – 50 – 17cm = 0.17 m
జడత్వ భ్రామకం I = I_G + MR² = 0.283 + 5.05 × 0.17 × 0.17
= 0.283 + 0.146 = 0.429 kgm²
∴ లంబ సమద్విఖండన రేఖ వలన జడత్వ భ్రామకం = 0.429 kg – m²

ప్రశ్న 5.
10 cm భుజం కలిగిన ఒక సమబాహు త్రిభుజ శీర్షాల వద్ద ప్రతిది 100g ద్రవ్యరాశి ఉన్న మూడు కణాలను ఉంచారు. ఆ త్రిభుజ కేంద్రాభం ద్వారా పోతూ, త్రిభుజ తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా ఈ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక్కొక్క కణం ద్రవ్యరాశి = 100 gm;
సమబాహు త్రిభుజం, భుజం పొడవు = 10 cm.
కోణ సమద్విఖండన రేఖ ఎత్తు CD : \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)l
గురుత్వ కేంద్రం ఈ రేఖను 2 : 1 నిష్పత్తిలో ఖండిస్తుంది.

శీర్షము నుండి గురుత్వ కేంద్రం దూరం 2. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)l = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)l
వ్యవస్థ మొత్తం జడత్వ భ్రామకం I = m₁r₁² + m₂r₂² + m₃r₃²
∴ I = 0.1 × \(\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \times 0.1\right)^2\) + 0.1 × \(\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \times 0.1\right)^2\) + 0.1 × \(\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \times 0.1\right)^2\)
= 3 × \(\frac{3}{2}\) × 0.1³ = 1 × 10^-3 kg. m³ = 10^-3 kg. m³

ప్రశ్న 6.
10 cm భుజం ఉన్న చతురస్ర శీర్షాల వద్ద ప్రతిది 100 g ద్రవ్యరాశి ఉన్న నాలుగు కణాలను ఉంచారు. చతురస్రం మధ్య బిందువు ద్వారా పోతూ, దాని తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా వ్యవస్థ జడత్వ భామ్రకాన్ని కనుక్కోండి. వ్యవస్థ భ్రమణ వ్యాసార్ధాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ఒక్కొక్క కణము ద్రవ్యరాశి m = 100 g = 0.1 kg.
చతురస్రము పొడవు a = 10 cm = 0.1 m
చతురస్ర కేంద్రం నుండి, చతురస్ర మూలలకు దూరం = \(\frac{1}{2}\) కర్ణం = \(\frac{a}{\sqrt{2}}\)

a) ∴ మొత్తం జడత్వ భ్రామకం I = m₁r₁² + m₂r₂² + m₃r₃² + m₄r₄² = 4mr²
∴ I = 4 × 0.1 \(\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \times 0.1\right)^2\) = 4 × \(\frac{1}{2}\) × 0.13³ = 2 × 10^-3 Kg. m²

b) భ్రమణ వ్యాసార్ధము K = \(\sqrt{\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{m}}}=\sqrt{\frac{2 \times 10^{-3}}{4 \times 10^{-1}}}=\sqrt{2} \times \frac{10^{-1}}{\sqrt{2}} 10^{-1}\)
= 0.7071 × 0.12 m or 7.071 cm. = 0.07071 m.

ప్రశ్న 7.
1 kg ద్రవ్యరాశి, 20 cm వ్యాసార్ధం ఉన్న రెండు ఏకరీతి వృత్తాకార దిమ్మెలు ఒకదానికొకటి స్పృశించుకునేటట్లుగా స్పర్శారేఖ (tangent) స్పర్శా బిందువు ద్వారా పోయేటట్లు అమర్చారు. స్పర్శా బిందువు ద్వారా పోయే స్పర్శారేఖ పరంగా ఈ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి = M = 1 kg.; బిళ్ళ వ్యాసార్ధం = 20 cm = 0.2 m అవి పటములో చూపినట్లుగా స్పర్శలో నున్నవి.

తలానికి లంబంగా స్పర్శరేఖ పరంగా జడత్వ భ్రామకం = \(\frac{5}{4}\) MR²
మొత్తం వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకం I = \(\frac{5}{4}\) MR² + \(\frac{5}{4}\) MR² = \(\frac{5}{2}\) MR²
∴ I = \(\frac{5}{2}\) × 1 × 0.2 × 0.2 = 5 × 1 × 0.1 × 0.2 = 0.1 kgm²

ప్రశ్న 8.
24 వ్యాసం, m ద్రవ్యరాశి ఉన్న నాలుగు గోళాల కేంద్రాలను b భుజంగా ఉన్న ఒక చతురస్ర నాలుగు శీర్షాల వద్ద ఉంచారు. ఒక భుజం భ్రమణ అక్షంగా ఈ వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
గోళం వ్యాసం = 2a ⇒ వ్యాసార్ధం = a; చతురస్ర భుజం = b.
1, 2 గోళాలకు వ్యాసం పరంగా జడత్వ భ్రామకం \(\frac{2}{5}\) MR²
(M = m, R = aగా రాయగా)

∴ 1 మరియు 2 గోళాల జడత్వ భ్రామకం = I₁ + I₂
= \(\frac{2}{5}\) ma² + \(\frac{2}{5}\) ma² = \(\frac{4}{5}\) ma² …………… (1)
3,4 గోళాల జడత్వ భ్రామకం = \(\frac{2}{5}\) ma² + \(\frac{2}{5}\) ma² = \(\frac{4}{5}\) ma²
సమాంతర అక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం
∴ I₃ + I₄ = \(\frac{2}{5}\) ma² + mb² + \(\frac{2}{5}\) ma² + mb² = \(\frac{4}{5}\) ma² + 2 mb²
మొత్తం వ్యవస్థ జడత్వ భ్రామకం I = \(\frac{4}{5}\) ma² + \(\frac{4}{5}\) ma² + 2mb² ⇒ I = [\(\frac{8}{5}\) ma² + 2mb²]

ప్రశ్న 9.
ఒక యంత్రం భ్రమణ భాగానికి (rotor) 200 rad s^-1 ఏకరీతి కోణీయ వడిని సమకూర్చడానికి యంత్రం 180 Nm టార్క్ ను అందించవలసి ఉంది. యంత్రానికి అవసరమయ్యే సామర్థ్యం ఎంత ? (గమనిక : ఘర్షణ లేనప్పుడు సమకోణీయ వేగం కలిగి ఉండటమంటే టార్క్ శూన్యం అని అర్థం. వాస్తవానికి ప్రయోగించిన టార్క్ ఘర్షణ వల్ల కలిగే టార్క్న వ్యతిరేకిస్తుంది) యంత్రం 100% దక్షత కలిగి ఉన్నదని భావించండి.
సాధన:
కోణీయ వేగము, ω = 200 రేడియన్ / సె ;
ప్రయోగించిన టార్క్, τ = 180 నూ – మీ.
యంత్రం సామర్థ్యము, p = ? p = τω
∴ P = 180 × 200 = 36000 = 36 కి. వాట్

ప్రశ్న 10.
ఒక మీటర్ స్కేలును దాని కేంద్రం వద్ద కత్తిమొన ఉంచి తుల్య స్థితిలో నిలిపారు. ఒక్కొక్కటి 5g ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు నాణాలను ఒకదానిపై ఒకటి అమరేటట్లుగా స్కేలుపై 12.0 cm విభాగం వద్ద ఉంచారు. అప్పుడు కత్తిమొన 45.0 cm విభాగం వద్ద ఉన్నప్పుడు స్కేలు తుల్య స్థితికి వచ్చింది. మీటర్ స్కేలు ద్రవ్యరాశి ఎంత ?
సాధన:
స్కేలు బరువు M. ఇది C వద్ద కేంద్రీకరింపబడినది అనుకోండి.
C’ బిందుపరంగా సమతాస్థితి ఉంది, C’ దూరము = 45 సెం.మీ.
రెండు నాణెముల బరువు = 10 గ్రా.; వాటి స్థానము = 12 సెం.మీ. వద్ద
∴ సమతాస్థితి వద్ద 10g (45 – 12) = mg (50 – 45)
∴ 10g × 33 = mg. 5 ⇒ m = \(\frac{10 \times 330}{5}\) = 66 గ్రా.

ప్రశ్న 11.
వృత్తపరిధిపై ఏదో ఒక బిందువు ద్వారా పోతూ, తలానికి లంబంగా ఉన్న అక్షం పరంగా 60 rpm వడితో భ్రమణం చెందే ఒక వృత్తాకార దిమ్మె గతిజ శక్తిని కనుక్కోండి. దిమ్మె ద్రవ్యరాశి 5 kg, వ్యాసార్ధం 1 m.
సాధన:
వృత్తాకార బిళ్ళ ద్రవ్యరాశి M = 5 kg, వ్యాసార్ధం R = 1 m. ; కోణీయ వేగం ω = 60 RPM = \(\frac{60 \times 2 \pi}{60}\) = 2π రే/సె.
వృత్తాకార బిళ్ళ అంచులోని బిందువు ద్వారా పోతూ తలానికి లంబంగా నున్న అక్షంపరంగా జడత్వ భ్రామకం
I’ = I_G + MR² కాని I_G = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\) (పై వస్తువు విషయంలో)
∴ I’ = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\) + MR² = \(\frac{3}{2}\) MR²
భ్రమణ గతిశక్తి = \(\frac{1}{2}\) Iω² = \(\frac{1}{2}\) . \(\frac{3}{2}\) MR² × (2π)² = \(\frac{3}{4}\) × 5 × 1 × 1 × 2 × 3.142 × 2 × 3.142
∴ భ్రమణ గతిశక్తి = 15 × 3.142 × 3.142 = 148.1 J.

ప్రశ్న 12.
ఒక్కొక్కటిm ద్రవ్యరాశి గల రెండు కణాలు, వ్యతిరేక దిశలో, d దూరంలో ఉన్న సమాంతర రేఖలపై U వడితో గమనంలో ఉన్నాయి. ఏ బిందువు పరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కొలిచినా, ఈ ద్వికణ వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగ సదిశ సమానమని చూపండి.
సాధన:
కోణీయ ద్రవ్యవేగము L = mvr, ద్రవ్యరాశి = m, వడి = u
ఏదైనా అక్షము A పరంగా వస్తువుల దూరాలు L₁ మరియు L₂ అనుకోండి.
L = L₁ + L₂
మొత్తం కోణీయ ద్రవ్యవేగము L = muL₁ + muL₁ = mu (L₁ + L₁) = muL ………….. (1)

ఏదైనా కొత్తం అక్షం B పరంగా m, m, ద్రవ్యరాశుల దూరాలు
L’₁ మరియు L’₂ అనుకోండి.
అపుడు L = L’₁ + L’₂
కొత్త అక్షం B పరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగము L₁ = muL’₁ + muL’₂
L₁ = mu(L’₁ + L’₂) = muL → 1
1, 2 సమీకరణాల నుండి మొత్తం కోణీయ ద్రవ్యవేగము స్థిరమని తెలుస్తున్నది.

ప్రశ్న 13.
నిమిషానికి 300 భ్రమణాలు చేసే ఒక గతిపాలకచక్రం (flywheel) జడత్వ భ్రామకం 0.3 kgm². 20 సెకన్లలో దీన్ని నిశ్చల స్థితికి తీసుకురావడానికి అవసరమైన టార్క్ను కనుక్కోండి.
సాధన:
జడత్వ భ్రామకము I = 0.3 కి.గ్రా. మీ²
కాలము = 20 సె
ω₁ = 300 R.P.M. = \(\frac{300}{60}\) = 5 × 2π = 10π రేడియన్ / సె ;
ω₂ = 0 (ఆగిపోయింది కావున)
టార్క్, τ = Iα = I \(\left(\frac{\omega_2-\omega_1}{t}\right)\)
∴ τ = 0.33 \(\left(\frac{10 \pi-0}{20}\right)=\frac{3 \pi}{20}\) = 0.471 న్యూ.మీ.

ప్రశ్న 14.
ఒక గతిపాలకచక్రం (flywheel) పై 100 J పని జరిగినప్పుడు దాని కోణీయ వేగం 60 rpm నుంచి 180 rpm కి పెరిగింది. చక్రం జడత్వ భ్రామకాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
పని W = 100 J, ω₁ = 600 RPM = 1 R.P.S = 2π రేడియన్/సె
ω₂ = 180 R.P.M. = \(\frac{180}{60}\) R.P.S = 3 RPS = 3 × 2π = 6π రే/సె
కాని పని W = భ్రమణ గతిజశక్తిలోని భేదము = \(\frac{1}{2}\)I(ω₂² – ω₁²)
∴ 100 = \(\frac{1}{2}\) (36π² – 4π²) = \(\frac{1}{2}\) 32π² I
∴ జడత్వ భ్రామకము I = \(\frac{200}{32 \pi^2}\) = 0.6332 కి.గ్రా.మీ ² .

ముఖ్యమైన ఉదాహరణ లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
0.5 m భుజం ఉన్న ఒక సమబాహు త్రిభుజం శీర్షాల వద్ద ఉన్న మూడు కణాల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. కణాల ద్రవ్యరాశులు వరసగా 100 g, 150 g, 200 g.
సాధన:

పటంలో చూపినట్లు X-, y- అక్షాలను ఎంచుకొంటే సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరచే బిందువులు O, A, B ల నిరూపకాలు వరసగా (0, 0), (0.5, 0), (0.25, 0.25 \(\sqrt{3}\)). 100 g, 150g, 200g ద్రవ్యరాశులు వరసగా O, A, B ల వద్ద ఉన్నాయనుకొంటే,

ప్రశ్న 2.
L-ఆకారంలో ఉన్న పల్చని ఏకరీతి పలక (పటలం) ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని కనుక్కోండి. దాని కొలతలు పటంలో చూపడమైంది. పలక ద్రవ్యరాశి 3 kg.
సాధన:
పటంలో చూపినట్లు X, Y అక్షాలను తీసుకొంటే Lఆకారం ఉన్న పటలం శీర్షాలు 000, 0), A(2, 0), B(2, 1), D(1, 1), E(1, 2), F(0, 2) అవుతాయి. ఈ పటలాన్ని 1 m భుజం ఉన్న మూడు చతురస్రాలుగా భావించవచ్చు. ఈ చతురస్రాల ద్రవ్యరాశి కేంద్రాలు C, C2, C3 లు, సౌష్ఠవం వల్ల, ఆయా చతురస్రాల జ్యామితీయ కేంద్రాలవుతాయి. వాటి నిరూపకాలు వరసగా (1/2, 1/2), (3/2, 1/2), (1/2, 3/2) అని తెలుసుకోవచ్చు. చతురస్రాల ద్రవ్యరాశులు ఈ బిందువుల వద్ద కేంద్రీకృతమైనట్లుగా మనం భావించవచ్చు. ఈ మూడు ద్రవ్యరాశి బిందువుల ద్రవ్యరాశి కేంద్రమే, మొత్తంగా L ఆకారం ఉన్న పటలం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం (X, Y) అవుతుంది.

Y = \(\frac{[1(1 / 2)+1(1 / 2)+1(3 / 2)] \mathrm{kg} \mathrm{m}}{(1+1+1) \mathrm{kg}}=\frac{5}{6}\) m
∴ L-ఆకార పటలం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం OD రేఖపై ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
రెండు సదిశలు a = \((3 \hat{\mathrm{i}}-4 \hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}})\), b = \((-2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}})\) ల అదిశ, సదిశా లబ్ధాలను కనుక్కోండి. (3î – o
సాధన:
a · b = \((3 \hat{\mathrm{i}}-4 \hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}})\) . \((-2 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}})\)
= -6 – 4 – 15
= – 25
a × b = \(\left|\begin{array}{ccc}
\hat{\mathrm{i}} & \hat{\mathrm{j}} & \hat{\mathrm{k}} \\
3 & -4 & 5 \\
-2 & 1 & -3
\end{array}\right|=7 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}\)
b × a = – \(7 \hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}}\) అని గుర్తించండి.

ప్రశ్న 4.
ఒక మోటారు చక్రం కోణీయ వడిని 1200 rpm నుంచి 3120 rpm కు 16 సెకన్లలో పెంచారు. (i) కోణీయ త్వరణం స్థిరమని భావించి, కోణీయ త్వరణాన్ని లెక్కించండి. (ii) ఈ సమయంలో ఇంజను ఎన్ని భ్రమణాలు చేస్తుంది ?
సాధన:
(i) తొలి కోణీయ వడి, ω₀ = 1200 R.P.M. 1200 × \(\frac{2 \pi}{60}\) = 40π రే/సె
తుది కోణీయ వడి, ω = 3120 RPM = 3120 × \(\frac{2 \pi}{60}\) = 104π రే/సె
కాలము t = 16 సె. కోణీయ త్వరణము α = ?
ω = ω₀ + αt నుండి α = \(\frac{\omega-\omega_0}{t}=\frac{(104-40) \pi}{16}\) = 4π రే/సె²

(ii) ఆగిపోవుటకు ముందు కోణీయ స్థానభ్రంశము θ = భ్రమణములలో
1 భ్రమణము = 2π రేడియన్
θ = \(\frac{\omega^2-\omega_0^2}{2 \alpha}\) భ్రమణాలలో ‘θ’ ను చెపితే θ = \(\frac{\omega^2-\omega_0^2}{2 \alpha \times 2 \pi}\)
= \(\frac{(104 \pi)^2-(40 \pi)^2}{2 \times 4 \pi \times 2 \pi}=\frac{(104+4.0)(104-40) \pi^2}{16 \pi^2}\) [a² – b² = (a + b)(a – b) నుండి]
= \(\frac{144 \times 64}{16}\) = 576 భ్రమణాలు

ప్రశ్న 5.
బలం \(\mathrm{7 i}+3 \hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}\) వల్ల, మూలబిందువు పరంగా టార్క్ను కనుక్కోండి. బలం ప్రయోగించిన కణం స్థానసదిశ \(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\) (మార్చి 2014)
సాధన:
ఇక్కడ r = \(\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}\), F = \(\mathrm{7 i}+3 \hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}\)
టార్క్ τ = r × F కనుక్కోవడానికి నిర్ధారక నియమాన్ని ఉపయోగిస్తాం..
τ = \(\left|\begin{array}{ccc}
\hat{\mathrm{i}} & \hat{\mathrm{j}} & \hat{\mathrm{k}} \\
1 & -1 & 1 \\
7 & 3 & -5
\end{array}\right|=(5-3) \hat{\mathrm{i}}-(-5-7) \hat{\mathrm{j}}+3-(-7) \hat{\mathrm{k}}\)
లేదా τ = \(2 \hat{i}+12 \hat{j}+10 \hat{k}\)

ప్రశ్న 6.
M ద్రవ్యరాశి, l పొడవు ఉన్న కడ్డీకి లంబంగా, ఒక కొన ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకం ఎంత ?
సాధన:
M ద్రవ్యరాశి, l పొడవు ఉన్న కడ్డీకి I = Ml² / 12. సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం,
I’ = M\(\frac{l^2}{12}+\mathrm{M}\left(\frac{l}{2}\right)^2=\frac{\mathrm{M} l^2}{3}\)
2M ద్రవ్యరాశి, 2l పొడవు ఉన్న కడ్డీ మధ్య బిందువు నుంచి పోతూ, పొడవుకు లంబంగా ఉండే అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకంలో సగం I’ అవ్వడం వల్ల ఈ ఫలితాన్ని స్వతంత్రంగానే సరిచూడవచ్చు.
I’ = 2M. \(\frac{4 l^2}{12} \times \frac{1}{2}=\frac{\mathrm{M} l^3}{3}\)

అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఏకరీతి సాంద్రత ఉన్న (i) గోళం, (ii) స్తూపం, (iii) కంకణం, (iv) ఘనాల ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాన్ని గుర్తించండి. వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం తప్పక ఆ వస్తువులో ఉండి తీరాలా ?
సాధన:
(i) గోళానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, గోళ కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది.

(ii) స్థూపానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం దాని జ్యామితీయ కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది. (స్థూపం పొడవు, r వ్యాసార్ధము అయితే దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం స్థూల అక్షం మీద l/2 దూరంలో) ఉంటుంది.

(iii) కంకణం : కంకణానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, కంకణం కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది.

(iv) ఘనానికి ద్రవ్యరాశి కేంద్రం దాని జ్యామితీయ కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది.
ఘనము భుజము = a మరియు ఘనం ఒక మూలను మూలబిందువుగా తీసుకుంటే దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం నిర్దేశకాలు x, y; 2 దిశలలో a/2, 2/2, a/2.
వస్తువు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి ఉండవలసిన అవసరం లేదు. ఉదా : కంకణం కేంద్రం వద్ద ద్రవ్యరాశి లేదు. కాని కంకణం ద్రవ్యరాశి కేంద్రం, కంకణ కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
HCl అణువులో రెండు పరమాణువుల కేంద్రకాల మధ్య దూరం దాదాపు 1.27 Å (1Å = 10^-10 m). ఈ అణువు ద్రవ్యరాశి కేంద్ర స్థానాన్ని ఉజ్జాయింపుగా కనుక్కోండి. హైడ్రోజన్ పరమాణువుతో పోలిస్తే క్లోరిన్ పరమాణువు ద్రవ్యరాశి సుమారు 35.5 రెట్లు ఉంటుంది. పరమాణు ద్రవ్యరాశి అంతా కేంద్రకం వద్దనే కేంద్రీకృతమవుతుందని ఊహించండి.
సాధన:
హైడ్రోజన్ పరమాణు ద్రవ్యరాశి = m యూనిట్లు
క్లోరిన్ పరమాణు ద్రవ్యరాశి = 35.5 m యూనిట్లు
హైడ్రోజన్ పరమాణువులు నుండి x Å కు దూరము c.m అనుకొనుము.
∴ క్లోరిన్ పరమాణువు నుండి ద్రవ్యరాశి కేంద్రానికి దూరము – (1.27 – x)Å
ద్రవ్యరాశి కేంద్రాన్ని మూలబిందువు వద్ద తీసుకొంటే, m x + (1.27 – x) 35.5 m = 0
mx = – (1.27 – x) 35.5 m
c.m (ద్రవ్యరాశి కేంద్రం) (+) క్లోరిన్ పరమాణువు కుడివైపున ఉంటే, హైడ్రోజన్ పరమాణువు c. m కు ఎడమవైపున ఉంటుందని ఋణాత్మక గుర్తు సూచిస్తుంది.

కనుక ఋణాత్మక గుర్తును వదలివేస్తే,
x + 35.5 x = 1.27 × 35.5
i.e. 36.5 x = 45.085
= \(\frac{45.085}{36.5}\) = 1.235
x = 1.235 Å
∴ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం హైడ్రోజన్, క్లోరిన్ పరమాణువుల కేంద్రకాలను కలిపే రేఖపై హైడ్రోజన్ నుండి 1.235 Å దూరంలో ఉండును.

ప్రశ్న 3.
నున్నని క్షితిజ సమాంతర నేలపై V వడితో సమరీతి గమనం కలిగిన ఒక ట్రాలీ (trolley – చక్రాలున్న పొడవైన బండి) మీద ఒక చివర ఒక బాలుడు నిశ్చలంగా కూర్చుని ఉన్నాడు. బాలుడు లేచి ట్రాలీపై ఏ విధంగా పరిగెత్తినా ట్రాలీ – బాలుడు వ్యవస్థ ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వడి ఎంత ?
సాధన:
ట్రాలి, బాలుడి వ్యవస్థలో బాలుడు లేచి ఏ విధంగా పరిగెత్తినా ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వడి మారదు. ఎందుకనగా ఈ చర్యలో ఇమిడి ఉన్న బలాలు అంతర్గత బలాలు. అంతర్గత బలాలు ద్రవ్యరాశి కేంద్రం గమనాన్ని మార్చజాలవు.

ప్రశ్న 4.
సదిశలు a, b లు భుజాలుగా కలిగి ఉన్న త్రిభుజ వైశాల్యం axb పరిమాణంలో సగం ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:
\(\overline{\mathrm{a}}\) = OP మరియు \(\overline{\mathrm{b}}\) = OQ లను ఆసన్న భుజాలుగా తీసుకొని సమాంతర చతుర్భుజాన్ని (OPRQ) నిర్మించండి. ఈ సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యము A = \(|\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}|\) = ab sin θ = OP . ON

∆Oప్రశ్న నుండి sin θ = \(\frac{\mathrm{ప్రశ్న}}{\mathrm{OP}}\) ⇒ ప్రశ్న = \(\overline{\mathrm{b}}\) sin θ
కాని సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యము
A = 2 త్రిభుజము Oప్రశ్న వైశాల్యము
∴ \(\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}\) = ab sin θ = 2 త్రిభుజము OPQ వైశాల్యము
∴ ∆OPQ వైశాల్యము = \(\frac{\overline{\mathrm{a}} \times \overline{\mathrm{b}}}{2}\) అని నిరూపించబడినది.

ప్రశ్న 5.
a · (b × c) పరిమాణం a, b, c సదిశలు భుజాలుగా గల సమానాంతర చతుర్భుజ ఘనం (parallelepiped) ఘనపరిమాణానికి సమానం అని చూపండి.
సాధన:
సమాంతర చతుర్భుజ ఘనమును ఏర్పరచిన సదిశలు \(\overline{\mathrm{OA}}=\overline{\mathrm{a}}\) ; \(\overline{\mathrm{OB}}=\overline{\mathrm{b}}\) మరియు \(\overline{\mathrm{OC}}=\overline{\mathrm{c}}\) అనుకోండి.

\(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}}=|\overline{\mathrm{b}}||\overline{\mathrm{c}}| \sin \theta \overline{\mathrm{n}}=\mathrm{ab}(\overline{\mathrm{n}})\) (∵ θ = 90°)
ఇందులో \(\overline{\mathrm{n}}\) ప్రమాణ సదిశ. ఇది \(\overline{\mathrm{b}}, \overline{\mathrm{c}}\) ల తలానికి లంబంగా ఉంటుంది.
అనగా ఇది \(\overline{\mathrm{a}}\) కు సమాంతరంగా ఉంటుంది.
\(\overline{\mathrm{a}} \cdot(\overline{\mathrm{b}} \times \overline{\mathrm{c}})=\overline{\mathrm{a}} \cdot(\mathrm{bc}) \overline{\mathrm{n}}=\overline{\mathrm{a}} \cdot \overline{\mathrm{n}}(\mathrm{bc})\) cos θ = abc
ఇది సమాంతర చతుర్భుజ ఘనము ఘనపరిమాణానికి సమానము.

ప్రశ్న 6.
ఒక కణం కోణీయ ద్రవ్యవేగం 1. x, y, z అక్షాల వెంబడి అంశాలను కనుక్కోండి. కణం స్థానసదిశ అంశాలు x, y, z లు, రేఖీయ ద్రవ్యవేగం p అంశాలు p_x, p_y, p_z ఒకవేళ కణం కేవలం x-y తలంలోనే గమనంలో ఉంటే కోణీయ ద్రవ్యవేగం zఅంశాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుందని చూపండి.
సాధన:

ప్రశ్న 7.
ఒక్కొక్కటి m ద్రవ్యరాశి గల రెండు కణాలు, వ్యతిరేక దిశలో, d దూరంలో ఉన్న సమాంతర రేఖలపై v వడితో గమనంలో ఉన్నాయి. ఏ బిందువు పరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగాన్ని కొలిచినా, ఈ ద్వికణ వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగ సదిశ సమానమని చూపండి.
సాధన:
పటము నుండి X₁,Y₁, రేఖపై గల ఏదైనా బిందువు వద్ద కోణీయ ద్రవ్యవేగము \(\overrightarrow{\mathrm{L}}_{\mathrm{A}}=m \vec{v} \times 0+m \vec{v} \times d=m \vec{v} d\) ఇదే విధంగా X₂Y₂ రేఖపై గల B బిందువు వద్ద కోణీయ
ద్రవ్యవేగము \(\bar{L}_{\mathrm{B}}=m \overline{\mathrm{v}} \times \mathrm{d}+\mathrm{m} \overline{\mathrm{v}} \times 0=m \overline{v} d\)
AB రేఖపై గల ఏదైనా బిందువు C వద్ద AC = x అయితే BC = d – x

C బిందువు పరంగా రెండు కణముల వ్యవస్థ కోణీయ ద్రవ్యవేగము \(\overline{\mathrm{L}}_{\mathrm{c}}=m \overline{\mathrm{v}}(\mathrm{x})+\mathrm{m} \overline{\mathrm{v}}(\mathrm{d}-\mathrm{x})=\mathrm{m} \overline{\mathrm{v}} \mathrm{d}\)
అనగా \(\overline{\mathrm{L}}_{\mathrm{A}}=\overline{\mathrm{L}}_{\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{L}}_{\mathrm{C}}\) అని నిరూపించబడినవి.

ప్రశ్న 8.
ఒక అసమరీతి, W భారం ఉన్న కడ్డీని ఉపేక్షించదగ్గ ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు దారాలతో, పటంలో చూపినట్లు నిశ్చల స్థితిలో ఉండేటట్లు వేలాడదీశారు. క్షితిజ లంబరేఖతో దారాలు చేసే కోణాలు వరసగా 36.9°, 53.1°. కడ్డీ పొడవు 2m. కడ్డీ ఎడమ చివర నుంచి గరిమనాభి ఉండే దూరం d ని లెక్కించండి.

సాధన:
పటము నుండి θ₁ = 36.9° మరియు θ₂ = 53.1° .

కడ్డీ యొక్క ద్రవ్యరాశి కేంద్రము ‘C’ దూరము ఒక చివర నుండి ‘d’ అనుకోండి. అపుడు
T₁ cosθ₁ × d = T₂ cos θ₂ (2 – d) లేదా T₁ cos 36.9° × d = T₂ cos(53.1°)(2 – d)
∴ T₁ × 0.8366 d = T₂ × 0.6718(2 – d) ఇందులో
T₁ = 1.3523 T₂ ను వాడితే d = 0.745 మీ.

ప్రశ్న 9.
ఒక కారు 1800 kg బరువుంది. ముందు వెనకాల ఇరుసుల మధ్య దూరం 1.8 m. కారు గరిమనాభి, ముందు ఇరుసు వెనక 1.05 m దూరంలో ఉంది. సమతలంగా ఉన్న భూమి వల్ల ముందు వెనక గల చక్రాలొక్కొక్కటి పై ప్రయోగించే బలాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి m = 1800 కి.గ్రా ; అక్షముల మధ్యదూరము = 1.8 మీ.
వెనక అక్షం నుండి ద్రవ్యరాశి కేంద్రదూరము = 1.05 మీ.
సమాంతరంగా ఉన్న నేల ముందువైపు, వెనుకవైపు గల చక్రాలపై అభిలంబచర్యలు R₁ మరియు R₂ అనుకుంటే
R₁ + R₂ = mg = 1800 × 9.8 → (i).
భ్రమణ సమతాస్థితి కోసం R₁ × 1.05 = R₂ (1.8 – 1.05) = 0.75R₂

ప్రశ్న 10.
a) ఘనగోళానికి స్పర్శరేఖ పరంగా దాని జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి. గోళం వ్యాసంపరంగా జడత్వ భ్రామకం 2MR²/5 గా ఇచ్చారు. M గోళం ద్రవ్యరాశి, R దాని వ్యాసార్ధం.
b) M ద్రవ్యరాశి, R వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తాకార దిమ్మె జడత్వ భ్రామకం, వ్యాసం పరంగా MR²/4, దిమ్మె ఒక అంచు నుంచి పోతూ దిమ్మె తలానికి లంబంగా ఉండే అక్షం పరంగా జడత్వ భ్రామకాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
a) ఏదైనా అక్షంపరంగా గోళం M.O.I = \(\frac{2}{5}\) MR²
సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతం నుండి ఏదైనా స్పర్శరేఖ పరంగా M.O.I = \(\frac{2}{5}\) MR² + MR² = \(\frac{7}{5}\) MR²

b) వృత్తాకారపు బిళ్ళ వ్యాసము పరంగా M.O.I. = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\)
i) లంబాక్ష సిద్ధాంతం ప్రకారం తలానికి లంబంగా ఉండి బిళ్ళ కేంద్రం గుండా పోవు అక్షపరంగా
M.O.I = I_x + I₄ = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\) + \(\frac{\mathrm{MR}^2}{4}\) = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\)

ii) సమాంతరాక్ష సిద్ధాంతం నుండి అంచుకు లంబంగాగల ఏదైనా అక్షపరంగా
M.O.I = I_G + MR² = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}\) + MR² = 3/2 MR²

ప్రశ్న 11.
సమాన ద్రవ్యరాశి, సమాన వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక బోలు స్తూపం, ఒక ఘనగోళంపై సమాన పరిమాణం ఉన్న టార్క్లను ప్రయోగించారు. స్తూపం దాని సౌష్టవాక్షం పరంగా స్వేచ్ఛగా భ్రమణం చేయగలుగుతుంది. గోళం దాని కేంద్రం ద్వారా పోయే అక్షం పరంగా స్వేచ్ఛగా భ్రమణం చేయగలుగుతుంది. వీటిల్లో, ఇచ్చిన కాలవ్యవధిలో, ఏది అధిక కోణీయ వేగాన్ని పొందుతుంది ?
సాధన:
బోలు స్థూపము మరియు ఘనగోళముల ద్రవ్యరాశి M మరియు వ్యాసార్ధము R అనుకోండి.
అక్షపరంగా బోలు స్థూపానికి M.O.I = I₁ = MR², గోళానికి I₂ = \(\frac{2}{5}\) MR²
కావలసిన టార్క్ τ = I₁α₁ = I₂α₂
∴ \(\frac{\alpha_2}{\alpha_1}=\frac{\mathrm{I}_1}{\mathrm{I}_2}=\frac{\mathrm{MR}^2}{\frac{2}{5} \mathrm{MR}^2}=\frac{5}{2}\)
∴ α₂ > α₁
ω = ω₀ + αt సమీకరణం నుండి ఇచ్చిన ω₀ మరియు t లకు ω₂ విలువ ω₁ కన్న ఎక్కువ అనగా ఘనగోళం కోణీయ వేగం బోలు స్థూపం కోణీయ వేగం కన్న ఎక్కువ.

ప్రశ్న 12.
20 kg ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక ఘన స్తూపం దాని అక్షం పరంగా 100 rad s^-1 కోణీయ వడితో భ్రమణాలు చేస్తుంది. స్తూపం వ్యాసార్ధం 0.25 m. స్తూపం గతిజ శక్తి ఎంత ? స్తూపం అక్షంపరంగా కోణీయ ద్రవ్యవేగ పరిమాణం ఎంత?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి M = 20 కి.గ్రా.; R = 0.25 మీ.; ω = 100 Rad/s
ఘనస్థూపానికి M.O.I = \(\frac{\mathrm{MR}^2}{2}=\frac{20 \times 0.25 \times 0.25}{2}\) = 0.65 కి. గ్రా. -మీ²
భ్రమణ గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) Iω² = \(\frac{1}{2}\) × 0.625 × 100 × 100 = 3125 J.
కోణీయ ద్రవ్యవేగము L = Iω = 0.625 × 100 = 62.5 Js.

ప్రశ్న 13.
(a)ఒక తిరుగుడు బల్ల కేంద్రం వద్ద ఒక బాలుడు తన చేతులను బయటకు చాచి నిలబడి ఉన్నాడు. తిరుగుడు బల్ల 40 భ్రమణాలు / నిమిషం కోణీయ వడితో భ్రమణంచేసేట్లు దాన్ని తిప్పారు. ఇలా తిరుగుతున్న బల్ల మీద బాలుడు తన చేతులను అతని జడత్వ భ్రామకం తొలి విలువకు 2/5 వంతులయ్యేట్లు ముడిస్తే అతని కోణీయ వడి ఎంత ? తిరుగుడు బల్ల ఘర్షణ లేకుండా భ్రమణాలు చేస్తుందని భావించండి.
(b)బాలుని కొత్త భ్రమణ గతిజశక్తి తొలి గతిజశక్తి కంటె ఎక్కువ అని చూపండి. అతని భ్రమణ గతిజశక్తి పెరుగుదలకు కారణాన్ని వివరించండి.
సాధన:
a) దత్తాంశం నుండి తొలి కోణీయ వడి
ω₁ = 40R.P.M
తుది M.O.I. I₂ = \(\frac{2}{5}\) I₁, ω₂ = ?
ఈ ప్రక్రియలో బాహ్య టార్క్ τ = 0;
∴ L = స్థిరరాశి కావున I₁ω₁ = I₂ω₂
∴ తుది కోణీయ వడి ω₂ = \(\frac{l_1}{\mathrm{l}_2} \omega_1=\frac{5}{2} \times 40\) = 100 R.P.M

b) తొలి భ్రమణ గతిజశక్తి E₁ = \(\frac{1}{2}\) I₁ω₁² ; తుది R.K.E. (E₂) = \(\frac{1}{2}\) I₂ω₂²
∴ \(\frac{\mathrm{E}_2}{\mathrm{E}_1}=\frac{\frac{1}{2} \mathrm{I}_2 \omega_2^2}{\frac{1}{2} \mathrm{l}_1 \omega_1^2}=\left(\frac{\mathrm{I}_2}{\mathrm{I}_1}\right)\left(\frac{\omega_2}{\omega_1}\right)^2=\frac{2}{5} \times \frac{100}{40} \times \frac{100}{4}=\frac{5}{2}\)
∴ E₂ = 2.5 E₁

ప్రశ్న 14.
3 kg ద్రవ్యరాశి, 40 cm వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక బోలు స్తూపం చుట్టూ దాదాపు ద్రవ్యరాశి లేని ఒక తాడు చుట్టారు. 30 N బలంతో తాడును లాగితే స్తూపం ఎంత కోణీయ త్వరణాన్ని పొందుతుంది ? తాడు రేఖీయ త్వరణం ఎంత అవుతుంది? తాడు స్థూపంపై స్లిప్కాదు అని భావించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి M = 3కి.గ్రా.; R = 40 సెం.మీ. = 0.4 మీ.
అక్షపరంగా బోలు స్థూపము M.O.I = I = MR² = 3 × 0.4 × 0.4 = 0.48 kg m².
బలము F = 30 N ∴ టార్క్ τ = F × R = 30 × 0.4 = 12 N-m.
కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{\tau}{\mathrm{I}}\) (∵ τ = Iα)
∴ α = \(\frac{12}{0.48}\) = 25 Rad/s
రేఖీయ త్వరణము a = R α = 0.4 × 25 = 10 m/s²

ప్రశ్న 15.
ఒక యంత్రం భ్రమణ భాగానికి (rotor) 200 rad s^-1 ఏకరీతి కోణీయ వడిని సమకూర్చడానికి యంత్రం 180 Nm టార్క్న అందించవలసి ఉంది. యంత్రానికి అవసరమయ్యే సామర్థ్యం ఎంత ? (గమనిక : ఘర్షణ లేనప్పుడు సమకోణీయ వేగం కలిగి ఉండటమంటే టార్క్ శూన్యం అని అర్థం. వాస్తవానికి ప్రయోగించిన టార్క్ ఘర్షణ వల్ల కలిగే టార్క్్న వ్యతిరేకిస్తుంది.) యంత్రం 100% దక్షత కలిగి ఉన్నదని భావించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి (ω) = 200 Rad/s ; టార్క్ τ = 180 N – m
సామర్థ్యము P = τω = 180 × 200 = 36000 = 36 KW.

ప్రశ్న 16.
R వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక ఏకరీతి వృత్తాకార దిమ్మె నుంచి R/2 వ్యాసార్ధం గల వృత్తాకార ముక్కను వేరుచేసి రంధ్రాన్ని చేశారు. రంధ్రం కేంద్రం అసలు దిమ్మె కేంద్రం నుంచి R/2 దూరంలో ఉంది. ఫలితంగా ఏర్పడిన చదును వస్తువు గరిమనాభి స్థానాన్ని తెలపండి.
సాధన:
వృత్తాకార పలక ద్రవ్యరాశి కేంద్రం మూల బిందువు వద్ద కలదు.
చిన్న వృత్తాకార పలకను తొలగించకముందు, ద్రవ్యరాశి కేంద్రం = 0, 0
మొత్తం వృత్తాకార పలక ద్రవ్యరాశి = M = π (R)² = πR²ρ = M
ρ = ప్రమాణవైశాల్యానికి ద్రవ్యరాశి
చిన్న వృత్తాకార పలక వ్యాసార్ధం = \(\frac{\mathrm{R}}{2}\)
∴ ద్రవ్యరాశి M₂ = \(\frac{\pi \mathrm{R}^2}{4}\) ρ = \(\frac{\mathrm{M}}{4}\)

చిన్నపలక ద్రవ్యరాశి కేంద్రం దాని కేంద్రం వద్ద ఉండును. అనగా పెద్ద పలక కేంద్రం నుండి \(\frac{\mathrm{R}}{2}\) దూరంలో ఉండును.
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం నిరూపకం \(\frac{m_1 x_1+m_2 x_2}{m_1+m_2}\) = 0 (చిన్నపలక తొలగించకముందు)
చిన్నపలకను తొలగించిన తరువాత ద్రవ్యరాశి M₁ = M – \(\frac{\mathrm{M}}{4}\) = \(\frac{\mathrm{3}}{4}\) M
∴ \(\frac{3}{4}\) M . x₁ + \(\frac{\mathrm{M}}{4}\) . \(\frac{\mathrm{R}}{2}\) = 0 ⇒ \(\frac{-3}{4}\) Mx₁ = \(\frac{\mathrm{M}}{4}\) \(\frac{\mathrm{R}}{2}\)
∴ x₁ = – \(\frac{\mathrm{R}}{6}\)
ద్రవ్యరాశి కేంద్రం వ్యతిరేక దిశలో కదులును అని ఋణ గుర్తు వలన తెలియును.

ప్రశ్న 17.
ఒక మీటర్ స్కేలును దాని కేంద్రం వద్ద కత్తిమొన ఉంచి తుల్య స్థితిలో నిలిపారు. ఒక్కొక్కటి 58 ద్రవ్యరాశి ఉన్న రెండు నాణాలను ఒకదానిపై ఒకటి అమరేట్లుగా స్కేలుపై 12.0 cm విభాగం వద్ద ఉంచారు. అప్పుడు కత్తిమొన 45.0 cm విభాగం వద్ద ఉన్నప్పుడు స్కేలు తుల్య స్థితికి వచ్చింది. మీటర్ స్కేలు ద్రవ్యరాశి ఎంత ?
సాధన:
స్కేలు బరువు M. ఇది C వద్ద కేంద్రీకరింపబడినది అనుకోండి.
C’ బిందుపరంగా సమతాస్థితి ఉంది, C’ దూరము = 45 సెం.మీ.
రెండు నాణెముల బరువు = 10 గ్రా.; వాటి స్థానము = 12 సెం.మీ. వద్ద
∴ సమతాస్థితి వద్ద 10g (45 – 12) = mg (50 – 45)
∴ 10g × 33 = mg. 5 ⇒ m = \(\frac{10 \times 330}{5}\) = 66 గ్రా.

ప్రశ్న 18.
ఒక ఘనగోళం, వరస క్రమంలో, సమాన ఎత్తులున్న రెండు భిన్న వాలు కోణాలున్న వాలుతలాలపై కిందికి
(a) ప్రతి వాలుతలంపై దొర్లుతూ అడుగుభాగానికి చేరినప్పుడు గోళం సమాన వడి కలిగి ఉంటుందా ?
b) ఒక వాలు తలంపై దొర్లడానికి తీసుకొనే కాలం, రెండవ దానిపై తీసుకొన్న కాలం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందా ? c) అలా అయితే ఏ వాలుతలంపై ఎక్కువ సమయం తీసుకొంటుంది ? ఎందుకు ?
సాధన:
a) వాలుతలం అడుగుభాగంలో ఘనగోళం వేగం ‘v’ అనుకోండి. శక్తినిత్యత్వ నియమం నుండి
\(\frac{1}{2}\) mv² + \(\frac{1}{2}\) Iω² = mgh కాని ఘనగోళం MOI = I = \(\frac{2}{5}\) MR²
∴ \(\frac{1}{2}\) mv² + \(\frac{1}{2}\) \(\frac{2}{5}\) (mR)²ω² = mgh కాని v = rω
∴ \(\frac{1}{2}\) mv² + \(\frac{1}{5}\) mv² = mgh ⇒ v² = \(\frac{10}{7}\) gh ⇒ v = \(\sqrt{\frac{10}{7} \mathrm{gh}}\)
వాలుకోణం θ మారినప్పటికి తుదివేగం ” మారదు. అనగా గోళం వాలుతలం అడుగుభాగాన్ని తాకే వేగం వాలు కోణము ‘θ’ పై ఆధారపడదు.

b) కాని ప్రయాణించిన కాలము t ∝ \(\frac{1}{\sin \theta}\) అనగా వాలుకోణము ‘θ’ తగ్గితే కాలము t పెరుగును.

c) తక్కువ వాలుకోణము గల తలముపై గోళము ఎక్కువసేపు దొర్లుతుంది.

ప్రశ్న 19.
2 m వ్యాసార్ధం ఉన్న ఒక కంకణం 100 kg ల బరువు కలిగి ఉంది. అది ఒక క్షితిజ సమాంతర తలంపై, దాని ద్రవ్యరాశి కేంద్రం 20 cm/s వడితో గమనంలో ఉండేటట్లు దొర్లుతున్నది. దీన్ని నిశ్చలస్థితికి తేవడానికి ఎంతపని చేయవలసి ఉంటుంది ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి R = 2 మీ., M = 100 కి.గ్రా., v = 20 సెం.మీ/సె = 0.2 మీ/సె
కంకణం మొత్తం శక్తి E = \(\frac{1}{2}\) mV² + \(\frac{1}{2}\) Iω² = \(\frac{1}{2}\) mV² + \(\frac{1}{2}\) mR²ω²
= \(\frac{1}{2}\) mV² + \(\frac{1}{2}\) mR² \([\frac{\mathrm{V}^2}{\mathrm{R}^2}/latex] = [latex]\frac{1}{2}\) mV² + \(\frac{1}{2}\)mV² = mv² ( ∵ ω = \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{R}}\))
కంకణాన్ని ఆపడానికి చేసిన పని W = కంకణంలోని మొత్తం శక్తి
⇒ W = mV² = 100 × 0.2 x 0.2 = 4 J

ప్రశ్న 20.
ఆక్సిజన్ అణువు ద్రవ్యరాశి 5.30 × 10^-26 kg. ఈ అణువులోని పరమాణువులను కలిపే రేఖకు గల మధ్య లంబరేఖ పరంగా దాని జడత్వ భ్రామకం 1.94 × 10^-46 kg m². ఇటువంటి అణువులున్న ఒక వాయువులో అణువు సగటు వడి పరంగా 500 m/s, అణువు భ్రమణ గతిజశక్తి దాని స్థానాంతరణ గతిజ శక్తిలో 2/3 వంతులు ఉన్నది అనుకొంటే అణువు సగటు కోణీయ వేగం ఎంత ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి m = 5.30 × 10^-26 kg,
I = 1.94 × 10^-46 kg m²,
v = 500m/s
ఒక్కొక్క ఆక్సిజన్ పరమాణువు ద్రవ్యరాశి = \(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{2}}\)
వాటి మధ్యదూరము d = 2r. పటము నుండి ఆక్సిజన్ అణువుల

కాని భ్రమణ గతిజశక్తి = \(\frac{2}{3}\) స్థానాంతరణ గతిజశక్తి
∴ \(\frac{1}{2}\) Iω² = \(\frac{2}{3}\) × \(\frac{1}{2}\) mv² = \(\frac{1}{2}\) (mr²)ω² = \(\frac{1}{3}\) mv² ⇒ ω = \(\sqrt{\frac{2}{3}} \frac{\mathrm{v}}{\mathrm{r}}\)
∴ ω = \(\sqrt{\frac{2}{3}} \times \frac{500}{0.61 \times 10^{-10}}\) = 6.7 × 10¹² Rad/Sec.

ప్రశ్న 21.
ఒక ఘన స్తూపం 30° వాలు కోణం ఉన్న ఒక వాలు తలంపై కింది నుంచి పైకి దొర్లుతోంది. వాలుతలం కింది అంచువద్ద స్తూపం ద్రవ్యరాశి కేంద్ర వడి 5m/s.
(a)స్తూపం ఎంత దూరం వాలుతలం మీద పైకి దొర్లుతుంది ?
(b)మళ్ళీ అడుగుకు చేరడానికి ఎంత సమయం పడుతుంది ?
సాధన:
దత్తాంశం నుండి θ = 30°, v = 5 m/s
స్థూపము ‘h’ ఎత్తు వరకు వెళ్ళింది అని అనుకోండి.
శక్తి నిత్యత్వ నియమం నుండి \(\frac{1}{2}\) mV² + \(\frac{1}{2}\) Iω² = mgh

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 2 State and Sovereignty to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 2 State and Sovereignty

→ State is the most significant and powerful among all social institutions.

→ “Machiavelli” an Italian thinker, used the word state in his famous book “The Prince”.

→ The word state is used differently in day-to-day life. But it has a scientific meaning in political science.

→ State possesses four essential elements. They are :

1. Population
2. Territory
3. Government and
4. Sovereignty.

→ International recognition, permanence, general obedience and popular will are the other elements of the state.

→ The present-day modern states have their origin in the city-states of ancient Greece and Medieval Europe.

→ Athens, Corinth, Thabes, Sparta etc were some prominent city-states in the ancient period.

→ The ancient city-states became popular during the 5 and 4 centuries B.C.

→ Maclver described that blood relationship (kinship) created society and society in turn led to the state.

→ The theory of National self-determination led to the origin of the modern nation-state system.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 2 రాజ్యం, సార్వభౌమాధికారం

→ అన్ని సాంఘిక సంస్థల మధ్య రాజ్యం ఒక ప్రముఖ, శక్తివంతమైన సంస్థ.

→ “మాఖియవెల్లి” అను గొప్ప ఇటాలియన్ రాజనీతిజ్ఞుడు తన ప్రముఖ గ్రంథం ‘ది ప్రిన్స్’లో ‘రాజ్యము’ అనే పదాన్ని ఉపయోగించారు.

→ రాజ్యము అనే పదం నిత్యజీవితంలో వేరువేరుగా ఉపయోగిస్తున్నాము. కాని ‘రాజ్యము’నకు రాజనీతికి శాస్త్రంలో ఒక శాస్త్రీయ అర్థం కలదు.

→ రాజ్యానికి 4 ప్రధానాంగాలు కలవు. అవి : 1. ప్రజలు, 2. ప్రదేశం, 3. ప్రభుత్వం, 4. సార్వభౌమాధికారం.

→ రాజ్యానికి నాలుగు ఇతర లక్షణాలు కూడా ఉంటాయి. అవి :

1. అంతర్జాతీయ గుర్తింపు
2. శాశ్వతత్వం
3. సాధారణ విధేయత
4. ప్రజాభీష్టం.

→ రాజ్యము-సమాజము అనే పదాలు సమాన అర్థాలలో వాడినప్పటికి, అనేక అంశాల దృష్ట్యా ఇవి ఒకదానితో ఒకటి విభేదిస్తాయి.

→ లాస్కి మరియు కోల్ “ప్రభుత్వం” అనే పదాన్ని రాజ్యానికి పర్యాయపదంగా ఉపయోగించారు కాని ఈ రెండింటి మధ్య అనేక తారతమ్యాలు కలవు.

→ రాజ్యం, సంస్థలు రెండూ పూర్తి విరుద్ధాలు. ఆ రెండింటి లక్షణాలు, ఉద్దేశ్యాలు మరియు స్వభావాలలో అనేక భేదాలు కలవు. ఏమైనప్పటికి అన్ని సంస్థలలో రాజ్యం ఒకటి.

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1B Study Material Chapter 9 Differentiation Ex 9(c) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1B Differentiation 9(c)

I.
Question 1.
Find the derivatives of the following functions.
(i) sin^-1(3x – 4x³) (May 2011) (V.S.A.Q.)
Answer:
Let y = sin^-1(3x – 4x³)
Let x = sin θ then y = sin^-1(3 sin θ – 4 sin³θ)
= sin^-1 (sin 3θ) = 3θ = 3 sin^-1x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 3 \(\frac{d}{d x}\) (sin^-1x) = \(\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}\)

(ii) cos^-1 (4x³ – 3x) (March 2014) (V.S.A.Q.)
Answer:
Let y = cos^-1 (4x³ – 3x)
Suppose x = cos θ, then y
= cos^-1 (4 cos³ θ – 3 cos θ)
= cos^-1 (cos 3θ) = 3θ = 3 cos^-1x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 3 . \(\frac{d}{d x}\) (cos^-1x) = \(\frac{-3}{\sqrt{1-x^2}}\)

(iii) sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\) (S.A.Q.)
Answer:
Let y = sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\)
Suppose x = cos θ
then y = sin^-1\(\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^2 \theta}\right)\)
= sin^-1 (sin 2θ) = 2θ = 2 tan^-1x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 2 . \(\frac{d}{d x}\) (tan^-1x) = \(\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}\)

(iv) tan^-1 \(\left(\frac{\mathbf{a}-\mathbf{x}}{1+\mathbf{a x}}\right)\) (S.A.Q.)
Answer:

(v) tan^-1\(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\) (S.A.Q.)
Answer:

(vi) sin [cos (x²)] (S.A.Q.)
Answer:
Let y = sin [cos (x²)]
Let x² = u, cos u = v and y = sin v

(vii) sec^-1 \(\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)\) (0 < x < \(\frac{1}{\sqrt{2}}\))
Answer:

(viii) sin [tan^-1 (e^-x)] (V.S.A.Q.)
Answer:
Let y = sin [tan^-1 (e^-x)]
Let e^-x = u, tan^-1u = v and y = sin v

Question 2.
Differentiate f(x) with respect to g(x) for the following. (S.A.Q.)
(i) f(x) = e^x, g(x) = √x
Answer:
Let y = e^x and z = √x

(ii) f(x) = e^{sin x}, g(x) = sin x (S.A.Q.)
Answer:
Let y = e^{sin x} and z = sin x

(iii) f(x) = tan^-1\(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\), g(x) = sin^-1\(\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)\)
Answer:

Question 3.
If y = e^{a sin-1 x} then prove that (V.S.A.Q.)
\(\frac{d y}{d x}=\frac{a y}{\sqrt{1-x^2}}\)
Answer:
y = e^{a sin-1 x}

II.
Question 1.
Find the derivatives of the following functions. (S.A.Q.)
(i) tan^-1\(\left(\frac{3 a^2 x-x^3}{a\left(a^2-3 x^2\right)}\right)\)
Answer:

(ii) tan^-1 (sec x + tan x)
Answer:
Let y = tan^-1 (sec x + tan x)

(iii) tan^-1\(\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\)
Answer:

(iv) (log x)^{tan x}
Answer:
Let y = (log x)^{tan x}
Then log y = tan x lobg I(log x)
Differentiating both sides with respect to ‘x’,

(v) (x^x)²
Answer:
Let y = x^x2
∴ log y = x² log x

(vi) 20^{log (tan x)}
Answer:
Let y = 20^{log (tan x)}
Then log y = log(tan x) log 20
Differentiating with respect to ‘x’

(vii) x^x + e^ex
Answer:
Let u = x^x and v = e^ex

(viii) (x log x) log (log x)
Answer:
Let y = x . log x . log (log x)
Then
\(\frac{dy}{d x}\) = x.log x . \(\frac{d}{d x}\) [log (log x)] + log x . log(log x) \(\frac{d}{d x}\) (x) + x . log(log x). \(\frac{d}{d x}\) (log x)
= x log x . \(\frac{1}{x log x}\) + log x log(log x) . 1 + x . log(log x) \(\left(\frac{1}{x}\right)\)
= 1 + log x . log (log x) + log (log x)
= log_ee + log (log x) + log x . log (log x)
= log (e log x) + log x . log (log x)

(ix) e^-ax2 . sin (x log x)
Answer:
Let y = e^-ax2 . sin (x log x)
Then
\(\frac{d y}{d x}\) = e^-ax2 \(\frac{d}{d x}\) [sin(x log x)] + sin(x log x) \(\frac{d}{d x}\) [e^-ax2]
= e^-ax2 cos (x log x) [x \(\left(\frac{1}{x}\right)\) + log x] + sin (x log x) (e^-ax2) . (- 2ax)
= e^-ax2 [cos (x log x) (1 + log x) – sin (x log x) . 2ax]
= e^-ax2 [cos (x log x) (log xe) – 2ax sin (x log x)]

(x) sin^-1\(\left(\frac{2^{x+1}}{1+4^x}\right)\) (Put 2^x = tan θ)
Answer:

Question 2.
Find \(\frac{d y}{d x}\) for the following functions.
(i) x = 3 cos t – 2 cos³t
y = 3 sin t – 2 sin³t (E.Q.)
Answer:
\(\frac{d x}{d t}\) = – 3 sin t + 6 cos²t(sin t)
= 3 sin t(2 cos²t – 1) = 3 sin t cos 2t
\(\frac{d y}{d t}\) = 3 cos t – 6 sin²t cos t
= 3 cos t (1 – 2 sin²t) = 3 cos t . cos 2t

(ii) x = \(\frac{3 a t}{1+t^3}\), y = \(\frac{3 a t^2}{1+t^3}\) (E.Q.) [Board Model paper]
Answer:

(iii) x = a (cos t + t sin t),
y = a (sin t – t cos t). (S.A.Q.)
Answer:
\(\frac{d x}{d t}\) = a(- sin t + t cos t + sin t)
= at cos t
\(\frac{d y}{d t}\) = a [cos t – (- t sin t + cos t)] = at sin t

(iv) x = a\(\left[\frac{1-t^2}{1+t^2}\right]\), y = \(\frac{2 b t}{1+t^2}\) (S.A.Q.)
Answer:

Question 3.
DifferentIate f(x) with respect to g(x) for the following. (S.A.Q.)
(i) f(x) = log_a^x, g(x) = a^x
Answer:
Let y = log_a^x and z = a^x

(ii) f(x) = sec^-1\(\left(\frac{1}{2 x^2-1}\right)\), g(x) = \(\sqrt{1-x^2}\)
Answer:

(iii) f(x) = tan^-1\(\left(\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}\right)\), g(x) = tan^-1x [June 2009 IPE]
Answer:

Question 4.
Find the derivative of the function y defined implicitly, by each of the following equations. (S.A.Q.)
(i) x⁴ + y⁴ – a² xy = 0
Answer:
Differentiating with respect to ‘x

(ii) y = x^y (S.A.Q.) (March 2004)
Answer:
Given y = x^y
Then log y = y log x ………………. (1)
Differentiating w.r.t. to ‘x’ both sides

(iii) y^x = x^{sin y} (S.A.Q.)
Answer:
Taking logarithm on both sides
x log y = sin y . log x
Differentiating w.r.t to ‘x’

Question 5.
Establish the following.
(i) If \(\sqrt{1-x^2}\) + \(\sqrt{1-y^2}\) = a(x – y) then \(\frac{d y}{d x}=\frac{\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-x^2}}\) (E.Q.) (May 2014, March 2009)
Answer:
Take x = sin θ and y = sin Φ
∴ From the given condition

(ii) If y = x\(\sqrt{a^2+x^2}\) + a² log(x + \(\sqrt{a^2+x^2}\)) then \(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\) = 2\(\sqrt{a^2+x^2}\) (E.Q.)
Answer:

(iii) If x^{log y} = log x then \(\frac{d y}{d x}\) = \(\left[\frac{1-\log x \log y}{(\log x)^2}\right]\) (S.A.Q)
Answer:
Given x^{log y} = log x
Taking logarithm on both sides
log y . log x = log (log x)
Differentiating with respect to ‘x’

(iv) If y = tan^-1\(\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)\) + tan^-1\(\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right)\) – tan^-1\(\left(\frac{4 x-4 x^3}{1-6 x^2+x^4}\right)\) then \(\frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+x^2}\) (S.A.Q.)
Answer:
Let x = tan θ, then

= tan^-1(tan 2θ) + tan^-1 (tan 3θ) – tan^-1 (tan 4θ)
= 2θ + 3θ – 4θ = θ = tan^-1x
∴ \(\frac{d y}{d x}=\frac{1}{1+x^2}\)

(v) If x^y = y^x then \(\) (S.A.Q.)
Answer:
Given x^y = y^x
Then log x^y = log y^x
⇒ y log x = x log y
Differentiating both sides w.r.t to ‘x’

(vi) If x^{\(\frac{2}{3}\)} + y^{\(\frac{2}{3}\)} = a^{\(\frac{2}{3}\)} then \(\frac{d y}{d x}=-\sqrt[3]{\frac{y}{x}}\) (S.A.Q.)
Answer:
Given x^{\(\frac{2}{3}\)} + y^{\(\frac{2}{3}\)} = a^{\(\frac{2}{3}\)}
Then differentiating both sides w.r.t to ‘x’

Question 6.
Find \(\frac{d y}{d x}\) of each of the following functions. (S.A.Q.)

(i) y = \(\frac{(1-2 x)^{\frac{2}{3}}(1+3 x)^{\frac{-3}{4}}}{(1-6 x)^{\frac{5}{6}}(1+7 x)^{\frac{-6}{7}}}\)
Answer:

(ii) y = \(\frac{x^4 \sqrt[3]{x^2+4}}{\sqrt{4 x^2-7}}\)
Answer:

(iii) y = \(\frac{(a-x)^2(b-x)^3}{(c-2 x)^3}\)
Answer:
log y = log (a – x)² + log(b – x)³ – log (c – 2x)³
= 2 log (a – x) + 3 log (b – x) – 3 log (c – 2x)
Differentiating both sides w.r.t to ‘x’

(iv) y = \(\frac{x^3 \sqrt{2+3 x}}{(2+x)(1-x)}\)
Answer:
log y = log \(\left[\frac{x^3 \sqrt{2+3 x}}{(2+x)(1-x)}\right]\)
= log x³ + \(\frac{1}{2}\) log (2 + 3x) – log (2 + x) – log (1 – x)
= 3 log x + \(\frac{1}{2}\) log (2 + 3x) – log (2 + x) – log (1 – x)
Differentiating both sides w.r.t to ‘x’

(v) y = \(\sqrt{\frac{(x-3)\left(x^2+4\right)}{3 x^2+4 x+5}}\)
Answer:

III.
Question 1.
Find the derivatives of the following functions. (E.Q.) (March 2013)
(i) (sin x)^{log x} + x^{sin x}
Answer:
y = (sin x)^{log x} + x^{sin x}
Let y = u + v where u = (sin x)^{log x} ………….. (1)
and v = x^{sin x} ……………….. (2)
From (1) log u = log x log (sin x)
Differentiate w.r.to x both sides

(ii) x^xx
Answer:
Let y = x^xx
∴ log y = log x^(xx) = x^x log x
Differentiate both sides w.r.t. ‘x’.
\(\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}\) = x^x \(\left(\frac{1}{x}\right)\) + log x . x^x (1 + log x)
(∵ \(\frac{d y}{d x}\) (x^x) = x^x (1 + log x))
= x^{x – 1} + x^x . (1 + log x). log x
= x^{x – 1} [1 + x log x . log ex]
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = x^xx x^{x – 1} [1 + x log x log ex]
= x^{xx + x – 1} (1 + x log x log ex)

(iii) (sin x)^x = x^{sin x}
Answer:
Let y = u + v where u = (sin x)^x ………………… (1)
and v = x^{sin x} …………………… (2)

(iv) x^x + (cot x)^x
Answer:
Let y = x^x + (cot x)^x
and suppose y = u + v and
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d x}\) ………………… (1)
Where u = x^x …………………… (2)
and v = (cot x)^x …………………….. (3)
From (2)
u = x^x ⇒ \(\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}\) = x^x (1 + log x)
From (3) v = (cot x)^x
⇒ log v = x log (cot x)
Differentiating both sides w.r.t to ‘x’

Question 2.
Establish the following (E.Q.)
(i) If x^y + y^x = a^b then
\(\frac{\mathbf{d y}}{\mathbf{d x}}\) = – \(\left(\frac{y \cdot x^{y-1}+y^x \cdot \log y}{x^y \log x+x \cdot y^{x-1}}\right)\)
Answer:
Let u = x^y ………………… (1) and v = y^x …………………… (2)
then given u + v = a^b ……………………… (3)
From (1), log u = y log x

(ii) If f(x) = sin^-1\(\sqrt{\frac{x-\beta}{\alpha-\beta}}\) and g(x) = tan^-1\(\sqrt{\frac{\mathbf{x}-\beta}{\alpha-\mathbf{x}}}\) then f'(x) = g'(x) (β < x < α) (March 2006)
Answer:

(iii) If a > b > 0 and 0 < x < π;
f(x) = (a² – b²)^-1/2 . cos^-1\(\left(\frac{a \cos x+b}{a+b \cos x}\right)\) then f'(x) = (a + b cos x)^-1
Answer:

Question 3.
Differentiate (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9) by
(i) Using product rule
(ii) Obtaining a single polynomial and expanding the product
(iii) Logarithmic differentiation.
Do they all give the same answer? (EQ.)
Answer:
(i) Using product rule:
\(\frac{d}{d x}\) (uv) = u\(\frac{d v}{d x}\) + v\(\frac{d u}{d x}\)
\(\frac{d}{d x}\)[(x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
= (x² – 5x + 8) \(\frac{d}{d x}\) (x³ + 7x + 9) + (x³ + 7x + 9) \(\frac{d}{d x}\) (x² – 5x + 8)
= (x² – 5x + 8) (3x² + 7) + (x² + 7x + 9) (2x – 5)
= 3x⁴ – 15x³ + 24x² + 7x² – 35x + 56 + 2x⁴ + 14x² + 18x – 5x³ – 35x – 45
= 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52x + 11

(ii) Expanding the product:
y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
= x⁵ + 7x³ + 9x² – 5x⁴ – 35x² – 45x + 8x³ + 56x + 72
= x² – 5x⁴ + 15x³ – 26x² + 11x + 72
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52x + 11

(iii) By logarithmic differentiation:
y = (x² – 5x + 8) (x³ + 7x + 9)
log y = log (x² – 5x + 8) + log (x³ + 7x + 9)

= (2x – 5) (x³ + 7x + 9) + (3x² + 7) (x² – 5x + 8)
= 2x⁴ + 14x² + 18x – 5x³ – 35x – 45 + 3x⁴ – 15x³ + 24x² + 7x² – 35x + 56
= 5x⁴ – 20x³ + 45x² – 52x + 11
We observe that the same result is obtained by using the above three procedures.

Here students can locate TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 1 Meaning, Nature and Scope of Political Science to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 1 Meaning, Nature, and Scope of Political Science

→ Political Science is a premier Social Science.

→ It’s study is mainly concerned with the study of the state in its Relation with society Citizens, Associations, and the World at large.

→ Political Science had its origin in the Ancient Greek city-states.

→ The Greeks separated Political Science from philosophy and made it an Independent Social Science.

→ Aristotle, the famous Greek political thinker was hailed as the “Father of Political Science”.

→ Political Science is variedly referred to as “Political Theory”. “Political Thought”, “Political Philosophy” and the like.

→ Political Science is a science as well as an art.

→ Political Science in its scope includes the study of man in relation to society and state, the study of the state, the study of the government, the study of associations and institutions, the study of rights and responsibilities, national and international issues, power, public policy etc.

→ The study of Political Science helps-

1. Getting Information about the State
2. Knowledge of Government and Administration
3. Information about Democratic values
4. Makes Democracy successful
5. Awareness about Rights and Responsibilities
6. To know the Qualities of Good Citizenship
7. Knowledge about World Affairs
8. Knowledge about International Organisations
9. Developing Political awareness
10. Promotes National Integration.

→ Political Science became a prominent academic subject when the London School of Economics in 1895 at first Recognised it as an independent discipline for Teaching and Research.

TS Inter 1st Year Political Science Notes Chapter 1 రాజనీతి శాస్త్రం – అర్థం, స్వభావం, పరిధి

→ రాజనీతిశాస్త్రాన్ని, రాజ్యానికి సంబంధించిన శాస్త్రంగా పరిగణించవచ్చు.

→ రాజనీతిశాస్త్ర పితామహుడిగా ‘అరిస్టాటిల్’ ప్రసిద్ధి చెందాడు.

→ గార్నర్ మహాశయుని ప్రకారం “రాజనీతిశాస్త్రానికి ఆద్యంతాలు రెండూ రాజ్యమే”.

→ ప్రాచీన గ్రీకు నగర రాజ్యాలైన ఏథెన్స్, రోమ్, స్టార్టా, మెసిడోనియా మొదలగు వాటిలో నాగరికత విరాజిల్లినట్లుగా రాజనీతిజ్ఞులు భావించారు.

→ రాజకీయశాస్త్ర అధ్యయనం ప్రభుత్వ స్వరూపాల పరిజ్ఞానాన్ని పెంపొందిస్తుంది.

→ రాజనీతిశాస్త్రం వ్యక్తుల హక్కులను, బాధ్యతలను వాటి మధ్యగల సంబంధాలను వివరిస్తుంది.

→ ‘మానవుడు సంఘజీవి’ మరియు ‘రాజకీయ జీవి’ అని అరిస్టాటిల్ పేర్కొన్నాడు.

→ రాజనీతిశాస్త్ర అధ్యయనం రాజ్యం, ప్రభుత్వం, జాతి, జాతీయత, రాజ్యాంగం మొదలగు వాటికి సంబంధించిన ఖచ్చితమైన సమాచారాన్ని అందిస్తుంది.

→ స్వేచ్ఛ, సమానత్వం, సౌభ్రాతృత్వం, న్యాయం మొదలగు రాజకీయ ఆదర్శాలకు సంబంధించిన పరిజ్ఞానాన్ని రాజనీతి శాస్త్రం అధ్యయనం చేస్తుంది.

→ రాజనీతి శాస్త్ర అధ్యయనం అంతర్జాతీయవాద స్ఫూర్తిని పెంపొందిస్తుంది.

→ ప్రపంచ రాజ్యాలన్నింటిలోను రాజనీతిశాస్త్ర అధ్యయనానికి పత్యేక స్థానం ఉంది.

Students must practice these Maths 1B Important Questions TS Inter 1st Year Maths 1B Maxima and Minima Important Questions to help strengthen their preparations for exams.

TS Inter 1st Year Maths 1B Maxima and Minima Important Questions

Question 1.
Find two positive integers whose sum is 16 and the sum of whose square is minimum. [Mar. ’18 (AP); Mar. ’07; May ’03]
Solution:
Let x, y be the required positive integers.
Given that sum of two positive integers = 16
x + y = 16
y = 16 – x
Sum of the squares of the numbers = x² + y²
= x² + (16 – x)²
= x² + 256 + x² – 32x
= 2x² – 32x + 256
Let f(x) = 2x² – 32x + 256
Now, f(x) = 4x – 32
f”(x) = 4
for maxima or minima, f'(x) = 0
4x – 32 = 0
4x = 32
x = 8
x = 8 ⇒ f”(8) = 4 > 0
∴ f(x) has minima at x = 8
If x = 8, y = 16 – 8 = 8
∴ The required numbers are 8, 8.

Question 2.
From a rectangular sheet of dimensions 30 cm × 80 cm. Four equal squares of side x cm are removed at the corners and the sides are then turned up so as to form an open rectangular box. Find the value of x so that the volume of the box is the greatest. [Mar. ’16 (AP), ’14, ’09; Mar. ’18, May ’15 (TS)]
Solution:
Let l, b, h denote the length, breadth, and height of the box.
Since x cm are removed at the corners. Then
l = 80 – 2x; b = 30 – 2x; h = x

The volume of a box, V = lbh
= (80 – 2x) (30 – 2x) x
V = (80 – 2x) (30x – 2x²)
= 2400x – 160x² – 60x² + 4x³
= 4x³ – 220x² + 2400x
\(\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dx}}\) = 12x² – 440x + 2400
\(\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{V}}{\mathrm{dx}^2}\) = 24x – 440
V has maxima or minima, \(\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dx}}\) = 0
12x² – 440x + 2400 = 0
3x² – 110x + 600 = 0
3x² – 90x – 20 x + 600 = 0
3x(x – 30) – 20(x – 30) = 0
(x – 30)(3x – 20) = 0
x – 30 = 0 (or) 3x – 20 = 0
x = 30 (or) x = \(\frac{20}{3}\)
If x = \(\frac{20}{3}\), \(\left(\frac{\mathrm{d}^2 \mathrm{~V}}{\mathrm{dx^{2 }}}\right)_{\mathrm{x}=\frac{20}{3}}\)
= 24(\(\frac{20}{3}\)) – 440
= 160 – 440
= -280 < 0
∴ V has maxima at x = \(\frac{20}{3}\)
∴ x = \(\frac{20}{3}\) cm

Question 3.
A window is in the shape of a rectangle surmounted by a semicircle. If the perimeter of the window is 20 ft. Find the maximum area. [Mar. ’17, ’15 (TS); May ’12, ’09]
Solution:
Let r be the radius of the semi-circle
Let x be the one side of a rectangle.
Given that, the perimeter of the window = 20ft

x + πr + x + 2r = 20
2x = 20 – πr – 2r ……..(1)
Area of window = Area of rectangle + Area of semi-circle
A = x(2r) + \(\frac{\pi r^2}{2}\)
A = r(20 – πr – 2r) + \(\frac{\pi r^2}{2}\)

Question 4.
If the curved surface of the right circular cylinder inscribed in a sphere of radius ‘r’ is maximum. Show that the height of the cylinder is √2r. [May ’15 (AP), ’13, ’11, ’10, ’04; Mar. ’13, ’08, ’04]
Solution:
Given r be the radius of the sphere.
Let R, h be the base radius and height of the cylinder.

Question 5.
A wire of length l is cut into two parts which are bent respectively in the form of a square and a circle. What are the lengths of pieces of the wire respectively so that the sum of the areas is the least? [Mar. ’17 (AP), ’14; B.P.]
Solution:
Given that the total length of wire = l
Let x be the first part length and it is bent in the form of a square.
The remaining part l – x is made into a circle of radius ‘r’.
Let y be the side of the square.
The perimeter of a square = 4y

Question 6.
Find the absolute maximum value and absolute minimum value of the function f(x) = x + sin 2x on [0, π].
Solution:
Given f(x) = x + sin 2x
f'(x) = 1 + 2 cos 2x
and f”(x) = -4 sin 2x
For maximum or minimum we have

Question 7.
Find two positive integers x and y such that x + y = 60 and xy³ is maximum. [Mar. ’15 (AP); May ’14]
Solution:
Let x, y be the required positive integers
given that x + y = 60
y = 60 – x
given that xy³ is maximum
Let f(x) = x(60 – x)³
Now, f(x) = x . 3(60 – x)² (0 – 1) + (60 – x)³ . 1
= -3x(60 – x)² + (60 – x)³
= (60 – x)² (-3x + 60 – x)
= (60 – x)² (60 – 4x)
f”(x) = (60 – x)² (0 – 4) + (60 – 4x) . 2(60 – x) (0 – 1)
= -4(60 – x)² – 2(60 – 4x) (60 – x)
f(x) has maximum or minimum, f'(x) = 0
(60 – x)² (60 – 4x) = 0
(60 – x)² = 0 (or) 60 – 4x = 0
60 – x = 0 (or) 60 = 4x
x = 60 (or) x = 15
∴ x = 60, 15
If x = 60,
f”(60) = -4(60 – 60) – 2(60 – 4 . 60) (60 – 60)
= 0 – 0
= 0
f(x) has neither maximum nor minimum.
If x= 15,
f”(15) = -4(60 – 15)² – 2(60 – 4 . 15) (60 – 15)
= -4(45)² – 0
= -4(45)² < 0
∴ f(x) has maximum at x = 15
If x = 15, y = 60 – 15 = 45
∴ The required positive integers are 15, 45.

Some More Maths 1B Maxima and Minima Important Questions

Question 8.
Find the maximum area of the rectangle that can be formed with a fixed perimeter of 20. [Mar. ’19 (TS)]
Solution:
Let x and y denote the length and breadth of a rectangle respectively.
Given that the perimeter of the rectangle = 20
2(x + y) = 20
x + y = 10
y = 10 – x
The area of a rectangle, A = xy
A = x(10 – x) = 10x – x²

Question 9.
Prove that the radius of the right circular cylinder of the greatest curved surface area which can be inscribed in a given cone is half of that of the cone.
Solution:
Let ‘O’ be the centre of the circular base of the cone & height be ‘h’.
Let ‘r’ be the radius of the circular base of the cone. Then AO = h, OC = r.
Let a cylinder with radius x(OS) be inscribed in the given cone.
let its height be u, i.e., PR = OD = QS = u.



Hence the radius of the cylinder of the greatest curved surface which can be inscribed in a given cone is \(\frac{r}{2}\).

Question 10.
The profit function P(x) of a company selling x items per day is given by P(x) = (150 – x)x – 1000. Find the no.of items that the company should manufacture to get maximum profit. Also, find the maximum profit.
Solution:
Given P(x) = (150 – x)x – 1000
P(x) = 150x – x² – 1000
Now, P'(x) = 150 – 2x
For maximum or minimum, P'(x) = 0
150 – 2x = 0
2x = 150
x = 75
P”(x) = 0 – 2 . 1 = -2
If x = 75
P”(75) = -2 < 0
∴ P(x) has maximum at x = 75.
Maximum value P(75) = (150 – 75)75 – 1000 = 4625
∴ The required no.of items = 75
∴ Maximum profit = 4625.

Question 11.
Find the maxima or minima of f(x) = x³ – 6x² + 9x + 15, ∀ x ∈ R.
Solution:
Given, f(x) = x³ – 6x² + 9x + 15
Now, f'(x) = 3x² – 12x + 9
For, maxima or minima, f'(x) = 0
3x² – 12x + 9 = 0
3x² – 3x – 9x + 9 = 0
3x(x – 1) – 9(x – 1) = 0
(x – 1)(3x – 9) = 0
x – 1 = 0 or 3x – 9 = 0
x = 1 (or) x = 3
∴ x = 1, 3
f”(x) = 6x – 12
If x = 1, f”(1) = 6(1) – 12
= 6 – 12
= -6 < 0
f(x) has maxima at x = 1
maxima value = f(1) = (1)³ – 6(1)² + 9(1) + 15
= 1 – 6 + 9 + 15
= 19
If x = 3, f”(3) = 6 . 3 – 12
= 18 – 12
= 6 > 0
f(x) has minima at x = 3
minima value = f(3)
= (3)³ – 6(3)² + 9(3) + 15
= 27 – 54 + 27 + 15
= 15

Question 12.
Find the maxima or minima of f(x) = \(\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\), ∀ x ∈ (0, ∞)
Solution:

Question 13.
Define the strictly increasing function and strictly decreasing function on an interval. [May ’14]
Solution:
Let f: A → R be a function. Then
(i) f is said to be strictly increasing on A if
x₁, x₂ ∈ A,
x₁ < x₂
⇒ f(x₁) < f(x₂)
(ii) f is said to be strictly decreasing on A if
x₁, x₂ ∈ A,
x₁ > x₂
⇒ f(x₁) > f(x₂)

Question 14.
Verify Rolle’s theorem for the function f(x) = log(x² + 2) – log 3 on [-1, 1]. [Mar. ’15 (AP)]
Solution:
f(x) = log(x² + 2) – log 3 is continuous on [-1, 1] and derivable on (-1, 1).
Now f'(x) = \(\frac{2 \mathrm{x}}{\mathrm{x}^2+2}\) ∀ x ∈ (-1, 1)
Further f(-1) = 0, f(l) = 0
f(-1) = f(1)
By Rolle’s theorem ∃ c ∈ (-1, 1) ∃ f'(c) = 0
\(\frac{2 c}{x^2+2}\) = 0
2c = 0
c = 0 ∈ (-1, 1)
∴ Rolle’s theorem is verified.

Question 15.
Determine the intervals in which f(x) = \(\frac{2}{x-1}\) + 18x ∀ x ∈ R / {0} is strictly increasing and decreasing. [Mar. ’15 (TS)]
Solution:

Question 16.
Find the absolute extremum of f(x) = x² defined on [-2, 2]. [Mar. ’19 (AP)]
Solution:
f(x) = x²
f'(x) = 2x, f”(x) = 2 > 0
f'(x) = 0 ⇒ x = 0
∴ f(x) has minimum value at x = 0
Minimum value = f(0) = 0
f(2) = 4 and f(-2) = 4
Absolute maximum = max{f(-2), f(2), f(0)}
= max {4, 4, 0}
= 4
Absolute minimum = min{f(-2), f(2), f(0)}
= min {4, 4, 0}
= 0

Question 17.
Find the points of local extrema and local extrema for the function f(x) = cos 4x defined on (0, \(\frac{\pi}{2}\)).
Solution:
f(x) = cos 4x
f'(x) = -4 sin 4x
f”(x) = -16 cos 4x
f'(x) = 0
-4 sin 4x = 0
4x = π
x = \(\frac{\pi}{4}\)
f”(\(\frac{\pi}{4}\)) = -16 cos π = 16 > 0
f(x) has minimum value at x = \(\frac{\pi}{4}\)
Minimum value = f(\(\frac{\pi}{4}\)) = cos π = -1

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 3 Matrices Ex 3(i) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Matrices Solutions Exercise 3(i)

Question 1.
2x + 3y – z = 0,
x – y – 2z = 0,
3x + y + 3z = 0
Answer:
The coefficient matrix obtained from the given equations is

Since the determinant of the coefficient matrix ≠ 0 the system has a trivial solution, x = y = z = 0 and ρ(A) = 3.

Question 2.
3x + y – 2z = 0,
x + y + z = 0,
x – 2y + z = 0
Answer:
The coefficient matrix obtained from the given equations is

ρ(A) = 3; and the system has a trivial solution x = y = z = 0

Question 3.
x + y – 2z = 0,
2x + y – 3z = 0,
5x + 4y – 9z = 0
Answer:
The coefficient matrix is
A = \(\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right]\)
and \(\left|\begin{array}{lll}
1 & 1 & -2 \\
2 & 1 & -3 \\
5 & 4 & -9
\end{array}\right|\)
= 1(-9 + 12) – 1(-18 + 15) – 2
= 3 + 3 – 6 = 0
If \(\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right]\) is any submatrix of order 2 x 2 and
\(\left|\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
2 & 1
\end{array}\right|\) = 1 – 2 = -1 ≠ 0, ρ(A) < 3. Hence the system has a nontrival solution.

∴ System of equations is equivalent to
x + y – 2z = 0 and y – z = 0
Let z = k then y = k and x = k
∴ x = y = z = k for a real number k.

Question 4.
x + y – z= 0
x – 2y + z = 0
3x + 6y – 5z = 0
Answer:
Coefficient matrix
A = \(\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1 \\
1 & -2 & 1 \\
3 & 6 & -5
\end{array}\right]\)
|A| = 1(10 – 6) – 1(-5 – 3) – 1(6 + 6)
= 4 + 8 – 12 = 0

∴ If \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -2
\end{array}\right]\) is a submatrix of order 2 and
\(\left|\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & -2
\end{array}\right|\) = -3 ≠ 0, ρ(A) = 2. System has a non-trivial solution ρ(A) < 3.
A = \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -1 \\
1 & -2 & 1 \\
3 & 6 & -5
\end{array}\right]\)
Use R₂ – R₁ and R₃ – 3R₁
A – \(\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -1 \\
0 & -3 & 2 \\
0 & 3 & -2
\end{array}\right]\)
System of equations is equivalent to x + y – z = 0
3y – 2z = 0
Let z = k, then 3y = 2k
⇒ y = \(\frac{2 \mathrm{k}}{3}\)
x = -y + z = –\(\frac{2 \mathrm{k}}{3}\) + k = \(\frac{k}{3}\)
x = \(\frac{k}{3}\), y = \(\frac{2 \mathrm{k}}{3}\), z = k
for any real number of k.

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1B Study Material Chapter 8 Limits and Continuity Ex 8(b) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1B Limits and Continuity 8(b)

Find the right and left hand limits of the functions in 1, 2, 3 of I and 1, 2 of II at the point ‘a’ mentioned against them. Hence, check whether the functions have limits at those a’s.

I.
Question 1.

Answer:

Question 2.

Answer:

Question 3.

Answer:

II.
Question 1.

Answer:

Question 2.

Answer:

Question 3.
Show that \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{|x-2|}{x-2}\) = – 1 (V.S.A.Q.)
Answer:
We have x → 2^– means x < 2
When x < 2, |x – 2| = – (x – 2)

Question 4.
Show that \(\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{2|x|}{x}+x+1\right)\) = 3 (V.S.A.Q.)
Answer:
As x → 0⁺ means x > 0 and |x| = x if x > 0

Question 5.
Compute \(\lim _{x \rightarrow 2^{+}}\) and \(\lim _{x \rightarrow 2^{-}}\) ([x] + x) (S.A.Q.)
Answer:

Question 6.
Show that \(\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\) x³ cos \(\left(\frac{3}{x}\right)\) = 0 (V.S.A.Q.)
Answer:

III.
Question 1.
Find \(\lim _{x \rightarrow 0}\) f(x) where (V.S.A.Q.)

Answer:

Question 2

Answer:

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1B Study Material Chapter 8 Limits and Continuity Ex 8(a) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1B Limits and Continuity 8(a)

I. Compute the following limits. (V.S.A.Q.)

Question 1.
\(\lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{x^2-a^2}{x-a}\right)\) (V.S.A.Q.)
Answer:

Question 2.
\(\lim _{x \rightarrow 1}\) (x² + 2x + 3) (V.S.A.Q.)
Answer:
\(\lim _{x \rightarrow 1}\) (x² + 2x + 3) = 1² + 2(1) + 3 = 6

Question 3.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2-3 x+2}\right)\) (V.S.A.Q.)
Answer:

Question 4.
\(\lim _{x \rightarrow 3}\left(\frac{1}{x+1}\right)\) (V.S.A.Q.)
Answer:

Question 5.
\(\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{2 x+1}{3 x^2-4 x+5}\right)\) (V.S.A.Q.)
Answer:

Question 6.
\(\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x^2+2}{x^2-2}\right)\) (V.S.A.Q.)
Answer:

Question 7.
\(\lim _{x \rightarrow 2}\left(\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x}\right)\) (V.S.A.Q.)
Answer:

Question 8.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{x-1}{x^2+4}\right)\) (V.S.A.Q.)
Answer:

Question 9.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) x^3/2 (x > 0) (V.S.A.Q.)
Answer:
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) x^3/2 = 0^3/2 = 0

Question 10.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) (√x + x^5/2), (x > 0) (V.S.A.Q.)
Answer:
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) (√x + x^5/2) = √0 + 0^5/2 = 0 + 0 = 0

Question 11.
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) x² cos \(\left(\frac{2}{x}\right)\) (V.S.A.Q.)
Answer:
\(\lim _{x \rightarrow 0}\) x² \(\lim _{x \rightarrow 0}\) cos \(\left(\frac{2}{x}\right)\) = 0 . (l) = 0 where |l| ≤ 1.

Question 12.
\(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^2-9}{x^3-6 x^2+9 x+1}\) (V.S.A.Q.)
Answer:

Question 13.
\(\lim _{x \rightarrow 1}\left[\frac{x-1}{x^2-x}-\frac{1}{x^3-3 x^2+2 x}\right]\) (V.S.A.Q.)
Answer:
Note: The problem shall be designed as

Question 14.
\(\lim _{x \rightarrow 3}\left(\frac{x^4-81}{2 x^2-5 x-3}\right)\) (V.S.A.Q.)
Answer:

Question 15.
\(\lim _{x \rightarrow 3}\left(\frac{x^2-8 x+15}{x^2-9}\right)\) (V.S.A.Q.)
Answer:

Question 16.
If f(x) = – \(\sqrt{25-x^2}\) then find
\(\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\right)\)
Answer:

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 6th Lesson ఉష్ణగతిక శాస్త్రం Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Chemistry Study Material 6th Lesson ఉష్ణగతిక శాస్త్రం

అత్యంత లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఉష్ణగతిక శాస్త్రం అనే పదం ఏమి తెలియజేస్తుంది ?
జవాబు:
రసాయన, భౌతిక రసాయన, జీవరసాయన ప్రక్రియలలో ‘ఉష్ణానికీ, ఇతర రూపాలలోని ‘శక్తుల’కూ మధ్య ఉండే పరిమాణాత్మక సంబంధాలను గురించి రసాయనశాస్త్రంలో ఉండే ఈ విభాగాన్ని ఉష్ణగతికశాస్త్రము అంటారు.
ముఖ్యముగా ఉష్ణగతికశాస్త్రం అంటే “ఉష్ణం ప్రవహించడం”.

ప్రశ్న 2.
ఉష్ణగతికశాస్త్రం నియమాలకు, సమతాస్థితికి మధ్య సంబంధమేమిటి ?
జవాబు:
ఒక వ్యవస్థ సమతాస్థితిలో ఉన్నప్పుడు లేదా ఒక సమతాస్థితి నుంచి వేరొక సమతాస్థితికి మారుతున్నపుడు మాత్రమే ఉష్ణగతిక శాస్త్ర నియమాలు అనువర్తిస్తాయి.
గతిక సమతాస్థితి వద్ద గిబ్స్ శక్తి అత్యల్పంగా ఉంటుంది. గిబ్స్ శక్తి మార్పు Δ_r.\(\mathrm{G}^{\ominus}\)కు, సమతాస్థితి స్థిరాంకం ‘K’ కు ఉన్న సంబంధము
O = Δ_r.\(\mathrm{G}^{\ominus}\) + 7T ln K
లేదా Δ_r.\(\mathrm{G}^{\ominus}\) = – RT ln K
లేదా Δ_r.\(\mathrm{G}^{\ominus}\) = -2.303 RT log K.

ప్రశ్న 3.
వ్యవస్థను నిర్వచించండి. ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
ఉష్ణగతికశాస్త్ర అధ్యయనానికి ఎంచుకున్న విశ్వంలోని లఘుభాగాన్ని వ్యవస్థ అంటారు.
ఉదా : బీకరులో తీసుకొన్న నీరు, ఒక సిలిండర్లో ఉన్న వాయువు.

ప్రశ్న 4.
స్థిరోష్ణక గోడ ఉంది 4U = w Vact వ్యవస్థపరంగా ఉష్ణం, పని అంటే ఏమి అర్థమయింది ?
జవాబు:
వ్యవస్థ నుంచి పరిసరాలకు లేదా పరిసరాల నుంచి వ్యవస్థకు ఎలాంటి ఉష్ణశక్తి వినిమయమూ జరగని ప్రక్రియను స్థిరోష్ణక ప్రక్రియ అంటారు. ఈ ప్రక్రియలో పని జరిగినపుడు వ్యవస్థ యొక్క అంతరికశక్తి పెరుగుతుంది.
w_ad = U₂ – U₁ = ΔU
వ్యవస్థపై పని జరిగినపుడు, w_ad = ధనాత్మకం
వ్యవస్థ పనిచేసినపుడు, w_ad = ఋణాత్మకం.

ప్రశ్న 5.
వ్యవస్థ మీద పని ఏమీ జరగలేదు. వ్యవస్థ ‘q’ పరిమాణంలో ఉష్ణం కోల్పోయింది. ఈ వ్యవస్థ ఎలాంటి గోడను కలిగి ఉంది ?
జవాబు:
వ్యవస్థ ఉష్ణ వాహక గోడను కలిగి ఉంది. ఉష్ణవాహక గోడల ద్వారా ఉష్ణం బదిలీ అయితే, ΔU = q = T_B – T_A.
ఇచ్చట T_A, T_B లు ఉష్ణోగ్రతలు, q = బదిలీ అయిన ఉష్ణరాశి, ΔU = ఆంతరిక శక్తిలో మార్పు.

ప్రశ్న 6.
వ్యవస్థకు ‘q’ పరిమాణంలో ఉష్ణం అందించబడింది, వ్యవస్థ పనిచేసింది. ఈ వ్యవస్థ ఏ రకంపై ఎలాంటిదై ఉంటుంది ?
జవాబు:
‘W’ పరిమాణంలో వ్యవస్థ ద్వారా పని జరిగి, ‘q’ పరిమాణంలో ఉష్ణశక్తి వ్యవస్థకు ఇవ్వబడినపుడు, ΔU = q – W. ఇది సంవృత వ్యవస్థ. అంటే వ్యవస్థ నుండి పరిసరాలకు, లేదా పరిసరాల నుండి వ్యవస్థకు శక్తి మార్పిడి జరుగుతుంది. కాని ద్రవ్యమార్పు జరగదు.

ప్రశ్న 7.
ఒక ఆదర్శ వాయువు స్వేచ్ఛా వ్యాకోచంలో ఉత్ర్కమణీయ, అనుత్రమణీయ ప్రక్రియల్లో వాయువు చేసే పని ఏమిటి ?
జవాబు:
స్వేచ్ఛావ్యాకోచంలో (P_{బాహ్య} = 0) కాబట్టి పని ఏమీ జరగదు. ఈ వ్యాకోచం ఉత్రమణీయం కావచ్చు. లేదా అనుత్రమణీయం కావచ్చు.

ప్రశ్న 8.
సమీకరణం ΔU = q – p_exΔV నుంచి ఘనపరిమాణం స్థిరంగా ఉన్నప్పుడు ΔU విలువ ఎంత ?
జవాబు:
ΔU = q-p_ex × ΔV సమీకరణంలో, ప్రక్రియను స్థిరఘనపరిమాణములో జరిపించినపుడు (ΔV = 0) అప్పుడు
ΔU = q అవుతుంది. అంటే అంతరిక శక్తిలో మార్పు = అందించబడిన ఉష్ణం.

ప్రశ్న 9.
సమోష్ణ స్వేచ్ఛా వ్యాకోచం ప్రక్రియలో ఒక ఆదర్శ వాయువు q, ΔU విలువలు ఎంత ?
జవాబు:
q, ΔU ల మధ్య సంబంధం ఈ క్రింది విధంగా ఉంటుంది. ΔU = q + w, సమోష్ణ స్వేచ్ఛా వ్యాకోచ ప్రక్రియలో w = 0, q = 0, ∴ ΔU = 0. కాబట్టి సమోష్ణ స్వేచ్ఛా వ్యాకోచ ప్రక్రియలో q, ΔU ల విలువలు శూన్యం (0) గా ఉంటాయి.

ప్రశ్న 10.
సమోష్ణ అనుత్రమణీయ ప్రక్రియ మార్పులో ఆదర్శవాయువుకు ‘q’ విలువ ఎంత ?
జవాబు:
ΔU = q + W సమీకరణాన్ని, సమోష్టక అనుత్రమణీయ మార్పులకు అన్వయిస్తే, అప్పుడు
q = – w = p_{బాహ్య} × (V_తుది – V_తొలి)

ప్రశ్న 11.
ఆదర్శ వాయువు సమోష్ణ ఉత్రమణీయ మార్పులో ‘q’ విలువ ఎంత ?
జవాబు:
ఆదర్శ వాయువు సమోష్ణ ఉత్ర్కమణీయ మార్పులకు ‘q’ విలువ

ప్రశ్న 12.
ఆదర్శ వాయువు స్థిరోష్ణక మార్పులో ΔU, w_(adiabatic) ల సంబంధమేమిటి ?
జవాబు:
ΔU, W ల సంబంధం క్రింది విధంగా ఉంటుంది.
ΔU = q + w
ఆదర్శ వాయువు స్థిరోష్ణక మార్పుకు q = 0
అపుడు ΔU = w_{“స్థిరోష్ణక}

ప్రశ్న 13.
ఉష్ణగతికశాస్త్రం మొదటి నియమం ఇవ్వండి.
జవాబు:
“శక్తిని సృష్టింపలేము, నశింపచెయ్యలేము. ఒక రూపములోని శక్తిని వేరొక రూపంలోకి మార్చగలము.” (లేదా) “మొదటి రకం సతతచలన యంత్రనిర్మాణము అసాధ్యం”. (లేదా)
“చక్రీయ ప్రక్రియలో వ్యవస్థ శక్తి మార్పు శూన్యం”.

ప్రశ్న 14.
వ్యవస్థ చేసిన పనికి, వ్యవస్థపై జరిగిన పనికి సంప్రదాయ గుర్తులు ఏమిటి ?
జవాబు:
ఒక వ్యవస్థ ద్వారా జరిగిన పనిని – pΔV తో సూచిస్తారు. అంటే వ్యవస్థ పనిచేస్తే దానిని ఋణ గుర్తుతో సూచిస్తారు. ఒక వ్యవస్థపై పని జరగడానికి + pΔV తో సూచిస్తారు. అంటే వ్యవస్థపై జరిగిన పనిని ధన గుర్తుతో సూచిస్తారు.

ప్రశ్న 15.
ఘనపరిమాణం (V), పీడనం (P), ఉష్ణోగ్రత (T) లు స్థితిప్రమేయాలు. ఇలా చెప్పడం సరైందా ?
జవాబు:
ఒక వ్యవస్థను ప్రభావితం చేసే అంశాలయిన పీడనం, ఘనపరిమాణం, ఉష్ణోగ్రత మొదలైన వాటి మీద ఆధారపడే ఉష్ణగతిక ప్రమేయాలను స్థితి ప్రమేయాలు అంటారు. ఇవి చర్యామార్గంపై ఆధారపడవు. కేవలం స్థితిపై ఆధారపడతాయి. కాబట్టి V, P, T లు స్థితి ప్రమేయాలే.

ప్రశ్న 16.
ఉష్ణం పరిసరాల నుంచి వ్యవస్థకు, వ్యవస్థ నుంచి పరిసరాలకు మారినపుడు దాని సంప్రదాయక గుర్తులు ఏమిటి ?
జవాబు:
పరిసరాల నుంచి వ్యవస్థకు, వ్యవస్థ నుంచి పరిసరాలకు ఉష్ణరాశి మార్పును ΔH తో సూచిస్తారు. ఒక చర్యలో వ్యవస్థ పరిసరాల నుంచి ఉష్ణం గ్రహిస్తే ΔH విలువ ధన గుర్తుతో సూచిస్తారు. అదే వ్యవస్థ పరిసరాలకు ఉష్ణం విడుదల చేస్తే ΔH విలువ ఋణ గుర్తుతో సూచిస్తారు.

ప్రశ్న 17.
పరిసరాల నుంచి వ్యవస్థ ఎలాంటి ఉష్ణం గ్రహించలేదు. అయితే వ్యవస్థ మీద పని జరిగింది. వ్యవస్థకు ఎలాంటి సరిహద్దు గోడ ఉంది ?
జవాబు:
వ్యవస్థపై పని జరుగుతుంది. కాని వ్యవస్థ ఉష్ణశక్తిని గ్రహించదు. ఈ వ్యవస్థ గోడను స్థిరోష్ణక గోడ అంటారు.
ΔU = w_{స్థిరోష్ణక}

ప్రశ్న 18.
వ్యవస్థ మీద పని ఏమీ జరగలేదు. అయితే ‘q’ ఉష్ణం వ్యవస్థ నుంచి పరిసరాలకు మారింది. వ్యవస్థకు ఎలాంటి సరిహద్దు గోడ ఉంది ?
జవాబు:
వ్యవస్థ మీద పని జరగదు కానీ ‘q’ పరిమాణంలో వ్యవస్థ ఉష్ణశక్తిని పరిసరాలకు కోల్పోతే దానిని ఉష్ణవాహక గోడలు
అంటారు.
అప్పుడు ΔU = -q.

ప్రశ్న 19.
వ్యవస్థ పనిచేసింది, వ్యవస్థకు ‘q’ ఉష్ణం కూడా ఇవ్వబడింది. ఇది ఎలాంటి వ్యవస్థ ?
జవాబు:
‘w’ పరిమాణంలో వ్యవస్థ ద్వారా పని జరిగి ‘q’ పరిమాణంలో ఉష్ణశక్తి వ్యవస్థకు ఇవ్వబడినపుడు, ΔU = q – w. ఇది సంవృత వ్యవస్థ.

ప్రశ్న 20.
q = w = – P_ext (υ_f – υ_i). ఇది అనుత్ప్ర్కమణీయ …… మార్పు.
జవాబు:
q = w = -P_{బాహ్య} (v_తుది – v_తొలి) అనేది అనుత్రమణీయ సమోష్ణక మార్పు.

ప్రశ్న 21.
q = – w = nRT ln (v_f/v_i). సమోష్ఠీయ …….. మార్పు.
జవాబు:
q = – w= nRT ln (v_తుది /v_తొలి) సమోష్ఠీయ ఉత్రమణీయ మార్పు.

ప్రశ్న 22.
1H కి ఉష్ణమోచక, ఉష్ణగ్రాహక చర్యల్లో సాంప్రదాయిక గుర్తులు ఏమిటి ?
జవాబు:
ఉష్ణమోచక చర్యలకు, AH విలువ ఋణాత్మకం.
ఉష్ణగ్రాహక చర్యలకు, AH విలువ ధనాత్మకం.

ప్రశ్న 23.
విస్తార (extensive), గహన (intensive) ధర్మాలంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
పదార్థపు పరిమాణంపై ఆధారపడియుండే ధర్మాలను విస్తార ధర్మాలు అంటారు.
ఉదా : ద్రవ్యరాశి, ఘనపరిమాణము, అంతరికశక్తి, ఎంథాల్పీ మొదలగునవి. పదార్థం పరిమాణంతో సంబంధం లేని ధర్మాలను గహన ధర్మాలు అంటారు.
ఉదా : ఉష్ణోగ్రత, సాంద్రత, పీడనం మొదలగునవి.

ప్రశ్న 24.
సమీకరణం q = c · m · ΔT లో ΔT ఉష్ణోగ్రత మార్పు ‘m’ పదార్థం ద్రవ్యరాశి ‘q’ కావలసిన ఉష్ణం. అయితే ‘c’ ఏమిటి ?
జవాబు:
‘c’ ని ఉష్ణధారణ అంటారు.
“ఒక గ్రామ్ పదార్థం యొక్క ఉష్ణోగ్రతను 1°C పెంచుటకు అవసరమైన ఉష్ణాన్ని ఉష్ణధారణ అంటారు.
c = \(\frac{\mathrm{q}}{\Delta \mathrm{T}}\)

ప్రశ్న 25.
ΔU, ΔH ల సంబంధం తెలిపే సమీకరణం వ్రాయండి.
జవాబు:
ΔU, ΔH ల మధ్య సంబంధం సూచించే సమీకరణం
ΔH = ΔU + ΔnRT
ΔH = ఎంథాల్పీలోని మార్పు
ΔU = అంతరికశక్తులలో మార్పు
Δn = n_p – n_R
[n_p = క్రియాజన్యాల మొత్తం మోల్ల సంఖ్య
n_R = క్రియాజనకాల మొత్తం మోల్ల సంఖ్య].
R = సార్వత్రిక వాయు స్థిరాంకం
T = పరమ ఉష్ణోగ్రత.

ప్రశ్న 26.
C_p, C_υ ల మధ్య సంబంధం ఏమిటి ?
జవాబు:
ఒక ఆదర్శ వాయువుకు స్థిర ఘనపరిమాణం దగ్గర ఉష్ణధారణను C_Vగాను, స్థిర పీడనం దగ్గర ఉష్ణధారణను C_p గాను సూచిస్తే అప్పుడు వాటి మధ్య సంబంధం
C_P – C_V = R
R = వాయు స్థిరాంకం.

ప్రశ్న 27.
బాంబ్ కెలోరిమీటర్ ఆక్సిజన్ సమక్షంలో 298k, 1 atm పీడనంలో 1 gm గ్రాఫైట్ ఇచ్చిన సమీకరణం ప్రకారం దహనం చెందింది.
C_(graphite) + O₂(వా) → CO₂(వా)
చర్య జరగడం వల్ల ఉష్ణోగ్రత 298K నుండి 299K కు పెరిగింది. బాంబ్ కెలోరిమీటర్ ఉష్ణధారణ 20.7 kJK^-1, పై చర్యకు 298K, 1 atm పీడనం వద్ద ఎంథాల్పీ మార్పు ఎంత ?
జవాబు:
దత్తాంశం : C_p = 20.7 kJ
ΔT = 299 – 298 = 1k
సమీకరణం : ΔH = C_p × ΔT
ΔH = 20.7 × 1 = 20.7 kJ

ప్రశ్న 28.
పై చర్యకు అంతరిక శక్తి మార్పు ΔU ఎంత ?
జవాబు:
ΔU = ΔH – RΔT
= 20.7 – 8.314 × 10^-3 (ΔT = 1)
= 20.7 – 0.08314
= 20.617 kJ.

ప్రశ్న 29.
CH₄ (వా) + 2O₂(వా) → CO₂(వా) + 2H₂O(ద్ర) చర్యకు క్రియాజనకాలు, క్రియాజన్యాల మోలార్ ఎంథాల్పీల ఆధారంగా చర్యోష్టం Δ_rH ఎంత ?
జవాబు:

H_m = ఆయా పదార్ధాల మోలార్ ఎంథాల్పీల సంకేతం

ప్రశ్న 30.
కేవలం ఎంథాల్పీ తగ్గుదల మాత్రమే చర్య అయత్నీకృతానికి కారణం కాదు. ఎందువల్ల ?
జవాబు:
ఎంథాల్పీ తగ్గుదల (ΔH = ఋణాత్మకం) అయత్నీకృత ప్రక్రియకు కారణం కావచ్చు. కాని అన్ని సందర్భాలలో ఇది నిజం కాదు. ఎందులకనగా

1. ΔH = ధనాత్మకంగా గల కొన్ని చర్యలు [\(\frac{1}{2}\)N₂ (వా) + O₂ (వా) → NO₂ (వా), ΔH° = + 33.2 కి.జౌ. మోల్] అయత్నీ కృత చర్యలు
2. ΔH = 0 అయినప్పటికి కొన్ని చర్యలు కూడా అయత్నీకృతంగా ఉన్నాయి.
3. అయత్నీకృత చర్య ΔG అనే మరో అంశం మీద కూడా ఆధారపడి ఉంటుంది.

ప్రశ్న 31.
కేవలం ఎంట్రోపీ పెరుగుదల చర్య అయత్నీకృతానికి కారణం కాదు. ఎందువల్ల ?
జవాబు:
ఎంట్రోపీలో పెరుగుదల చర్య అయత్నీకృతం అవడానికి కారణం అనేది సరియైనది కాదు. ఎందుకంటే ఎంట్రోపీలో తగ్గుదల (ΔG = -ve) వల్ల కూడా చర్య అయత్నీకృతం అవుతుంది.

ప్రశ్న 32.
గిబ్స్ శక్తి మార్పు ΔG కు, సమతాస్థితి స్థిరాంకం ‘K’ కు మధ్య సంబంధం తెలపండి.
జవాబు:
గిబ్స్ సమీకరణము
Δ_r\(G^{\ominus}\) = -RT lnK
Δ_r\(G^{\ominus}\) = -2.303 RT log K.

ప్రశ్న 33.
Δ\(H^{\ominus}\), Δ\(S^{\ominus}\) లు తెలిస్తే Δ\(G^{\ominus}\) గణించవచ్చు. ఇది నిజమా ? కాదా ? ఎందువల్ల ?
జవాబు:
గిబ్స్ హెల్మ్హోల్ట్ సమీకరణము ప్రకారం
Δ\(G^{\ominus}\) = Δ\(H^{\ominus}\) – TΔ\(S^{\ominus}\)
ప్రమాణ ఉష్ణోగ్రత 298 k వద్ద ప్రమాణవిలువలు Δ\(H^{\ominus}\), Δ\(S^{\ominus}\) మరియు Δ\(G^{\ominus}\) గణించవచ్చు.
Δ\(H^{\ominus}\) మరియు Δ\(S^{\ominus}\) కనుగొనుట సాధ్యమైతే Δ\(G^{\ominus}\) ను కూడా పై సమీకరణం ద్వారా లెక్కించవచ్చు. కాబట్టి ఇవ్వబడిన ప్రతిపాదన నిజమే.

ప్రశ్న 34.
సమతాస్థితి స్థిరాంకం ‘K’ ని ప్రయోగశాలలో ఇచ్చిన ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఖచ్చితంగా కొలిస్తే Δ\(G^{\ominus}\) ని వేరే ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్దనన్నా కొలవవచ్చా ? ఎట్లా ?
జవాబు:
సమతాస్థితి స్థిరాంకం (K) మరియు Δ\(G^{\ominus}\) లు ఒకదానితో ఒకటి క్రింది విధంగా సంబంధితమై ఉంటాయి.
Δ\(G^{\ominus}\) = -2.303 RT log K.
ఇచ్చిన ఉష్ణోగ్రత వద్ద Kను నిర్ణయిస్తే, ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్దనైనా పై సమీకరణం ఉపయోగించి Δ\(G^{\ominus}\) ను నిర్ణయించవచ్చును.

ప్రశ్న 35.
NO(వా) ఉష్ణగతిక స్థిరత్వాన్ని క్రింది చర్యల ఆధారంగా వివరించండి.
\(\frac{1}{2}\)N₂(వా) + \(\frac{1}{2}\)O₂(వా) → NO(వా), Δ_r\(H^{\ominus}\) = 90 kJ/mol^-1
NO(వా) + \(\frac{1}{2}\)O₂(వా) → NO₂(వా), Δ_r\(H^{\ominus}\) = -74kJ/mol^-1
జవాబు:
ఉష్ణమోచక పదార్థాలు స్థిరంగా వుంటాయి. అలాగే ఉష్ణగ్రాహ పదార్థాలు అస్థిరంగా వుంటాయి.
NO అనేది ఉష్ణగ్రాహ పదార్థం కాబట్టి అస్థిరంగా వుంటుంది.
NO₂ అనేది ఉష్ణమోచక పదార్థం కాబట్టి స్థిరంగా వుంటుంది.

ప్రశ్న 36.
1.00 మోల్ H₂O(ద్ర) ప్రమాణ పరిస్థితుల్లో ఏర్పడితే పరిసరాల ఎంట్రోపి మార్పు ఎంత ?
Δ_f\(H^{\ominus}\) H₂O(l)] = -286 kJ/mol^-1
జవాబు:
పరిసరాల ఎంట్రోపీ మార్పు

పరిసరాల ఎంథాల్పీ ఎంత పెరుగుతుందో వ్యవస్థ ఎంథాల్పీ అంతే తగ్గుతుంది.
= \(\frac{-286}{298}\) = \(\frac{286 \times 10^3}{298}\) -J/k = 1.0476 కి.జౌ. మోల్^-1

ప్రశ్న 37.
ఒక చర్యకు సమతాస్థితి స్థిరాంకం విలువ 10. Δ\(G^{\ominus}\) విలువ ఎంత ?
R = 8.314 JK^-1mol^-1, T = 300 K.
జవాబు:
Δ\(G^{\ominus}\) = -2.303 RT log K
= -2.303 × 8.314 × 300 log 10
= – 2.303 × 8.314 × 300 × 1 = -5.744 Jk^-1

ప్రశ్న 38.
ఉష్ణగతికశాస్త్రం మూడో నియమం ఏమిటి ?
జవాబు:
“పరిపూర్ణ శుద్ధ స్ఫటిక పదార్థాల ఎంట్రోపి విలువ పరమశూన్య ఉష్ణోగ్రత (0 K లేదా 273°C) సమీపించేకొద్దీ శూన్య విలువకు సమీపిస్తుంది”.

లఘు సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 39.
వివృత (open), సంవృత (closed), వివిక్త (isolated) వ్యవస్థలంటే ఏమిటి ? ఒక్కొక్కదానికి ఒక ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:

1. వివృత (లేదా) తెరచిన వ్యవస్థ : పరిసరాల నుంచి వ్యవస్థకు లేదా వ్యవస్థ నుంచి పరిసరాలకు శక్తి, ద్రవ్యం రెండూ మార్పిడి జరిగితే అటువంటి దానిని వివృత వ్యవస్థ అంటారు.
   ఉదా : తెరచి ఉంచిన బీకరులో తీసుకున్న ద్రవం
2. సంవృత (లేదా) మూసిన వ్యవస్థ : వ్యవస్థ నుంచి పరిసరాలకు (లేదా) పరిసరాల నుంచి వ్యవస్థకు శక్తి మార్పిడి మాత్రమే జరిగితే అటువంటి వ్యవస్థను సంవృత వ్యవస్థ అంటారు.
   ఉదా : మూసి ఉంచిన వాహక పాత్ర (రాగి లేదా స్టీలు పాత్ర)లో తీసుకున్న ద్రవం
3. వివిక్త (లేదా) బంధిత వ్యవస్థ : వ్యవస్థకు, పరిసరాలకు మధ్య శక్తి గానీ, ద్రవ్యం గానీ ఏదీ కూడా వినిమయం చెందని వ్యవస్థను వివిక్త వ్యవస్థ అంటారు.
   ఉదా : థర్మాస్ ఫ్లాస్క్

ప్రశ్న 40.
స్థితిప్రమేయాలు (state functions), స్థితి చరాంశాలు (state variables) వీటిని నిర్వచించండి. ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
స్థితి ప్రమేయాలు : ఏ ధర్మాలు వ్యవస్థ యొక్క తొలి మరియు తుది స్థితులపై ఆధారపడి ఆ చర్య నడిచే మార్గముపై ఆధారపడవో వాటిని స్థితి ప్రమేయాలు అంటారు.
ఉదా : శక్తి, ఎంథాల్పీ, గిబ్స్ శక్తి
స్థితి చరాంశాలు : వ్యవస్థ గురించిన పూర్తి వివరణ ఇచ్చుటకు ఉపయోగపడే చరరాశులైన P, V, T లను స్థితి చరాంశాలు అంటారు.

ప్రశ్న 41.
“అంతరిక శక్తి ఒక స్థితి ప్రమేయం” వివరించండి.
జవాబు:
ఒక రసాయన వ్యవస్థలో మార్పు జరిగినప్పుడు ఎంత శక్తి విడుదలవుతుంది లేదా గ్రహించబడుతుందీ తెలుసుకోవడానికి
ఆ వ్యవస్థ మొత్తం శక్తిని తెలిపే పరిమాణాన్ని అంతరిక శక్తి అంటారు. దీనిని ‘U’ తో సూచిస్తారు.

ఈ క్రింది మార్పులు జరిగినపుడు వ్యవస్థ అంతరిక శక్తి ‘U’ లో మార్పు వస్తుంది.

1. వ్యవస్థ పని చేసినప్పుడు లేదా వ్యవస్థపై పని జరిగినప్పుడు
2. ఉష్ణశక్తి వ్యవస్థ నుంచి బయటకు లేదా బయట నుండి వ్యవస్థకు ప్రవహించినప్పుడు
3. ద్రవ్యం వ్యవస్థ నుండి బయటకు లేదా బయట నుండి వ్యవస్థకు చేరేటప్పుడు
4. అంతరిక శక్తి ‘U’ లో మార్పు వ్యవస్థ అనుసరించిన మార్గం మీద ఆధారపడదు. ఇది స్థితి ప్రమేయం. తొలి మరియు తుది స్థితులపై ఆధారపడి ఉంటుంది. కాబట్టి అంతరిక శక్తి స్థితి ప్రమేయం.

ప్రశ్న 42.
“పని స్థితి ప్రమేయం కాదు” వివరించండి.
జవాబు:
ఒక వ్యవస్థ ఒక స్థితి నుండి వేరొక స్థితికి మారినపుడు పని జరుగుతుంది. వ్యవస్థలో జరిగే ఈ స్థితి మార్పు వివిధ మార్గాలలో జరుగవచ్చు. కాబట్టి పని పరిమాణం వివిధ రకాలుగా ఉంటుంది. అన్ని మార్గాలలో జరిగే పని ఒకే విధంగా ఉండదు. అంటే జరిగే పని పరిమాణం వ్యవస్థ అనుసరించే మార్గం మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇది స్థితి ప్రమేయం కాదు. మార్గ ప్రమేయం.

ప్రశ్న 43.
ఉష్ణం అంటే ఏమిటో వివరించండి.
జవాబు:
భిన్న ఉష్ణోగ్రతల వద్ద ఉండే రెండు వస్తువుల మధ్య పరివర్తనం చెందే శక్తిని ఉష్ణం అంటారు.
ఉష్ణం అనేది శక్తి ఒక రూపం. ఇది మార్గ ప్రమేయం. స్థితి ప్రమేయం కాదు. దీనిని కెలోరి లేదా జౌళ్ళలో కొలుస్తారు. 1 కెలోరి = 4.18 జౌల్స్. దీనిని ‘q’ తో సూచిస్తారు. వ్యవస్థ నుండి పరిసరాలకు ఉష్ణం వినిమయం అయితే అపుడు ‘q’ విలువ ఋణాత్మకం. పరిసరాల నుండి వ్యవస్థ ఉష్ణం గ్రహించినపుడు ‘q’ విలువ ధన్మాతకం.

ప్రశ్న 44.
సమోష్ణక ఉత్రమణీయ చర్యకు ‘W_rev‘ ను ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
-ఉత్రమణీయ పరిస్థితులలో పనిని P_(వా) ను ఉపయోగించి క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు.

dp, dV విలువలు చాలా తక్కువ. అందువల్ల dp xdV ఇంకా తక్కువ కాబట్టి ఉపేక్షణీయం అవుతుంది.

ప్రశ్న 45.
10 atm పీడనం వద్ద 2L ఆదర్శ వాయువు సమోష్ణక విధానంలో 20L కు శూన్యంలోకి వ్యాకోచం చెందుతుంది. ఈ వ్యాకోచంలో ఎంత ఉష్ణం గ్రహించబడుతుంది ? ఎంత పని జరుగుతుంది ?
జవాబు:
వాయువు శూన్యంలోకి స్వేచ్ఛగా వ్యాకోచించింది. అప్పుడు పీడనం (P) = 0
V_తుది = 20L, V_తొలి = 2L
q = – w = p(V_తుది – V_తొలి)
= 0 (20 – 2) = 0
అంటే పని ఏమీ జరగదు. అదేవిధంగా ఉష్ణం ఏమీ గ్రహించబడదు.

ప్రశ్న 46.
పై సమస్యలోని ఆదర్శ వాయువులు 1 atm స్థిరపీడనానికి వ్యతిరేకంగా వ్యాకోచిస్తే ‘q’ విలువ ఎంత ?
జవాబు:
q = – w = P_{బాహ్య}(V₂ – V₁)
= 1 (20 – 2)
= 18 L. atm.

ప్రశ్న 47.
పై 45వ ప్రశ్నలోని ఆదర్శ వాయువు 10L ఘనపరిమాణానికి ఉత్రమణీయంగా వ్యాకోచం చెందితే ‘q’ విలువ ఎంత ?
జవాబు:
ఆదర్శ వాయువుకి PV = nRT
P = 10 atm.
V = 2L
10 × 2 = nRT
nRT = 20 L. atm
q = -w= 2.303 nRT log \(\frac{V_2}{V_1}\)
= 2.303 × 20 log \(\frac{20}{2}\)
= 46.06 L. atm

ప్రశ్న 48.
స్థితి ప్రమేయం ‘H’ ను వివరించండి. ΔU, ΔH ల మధ్య సంబంధం ఏమిటి ?
జవాబు:

1. స్థిరపీడనం, ఉష్ణోగ్రతల వద్ద ఒక వ్యవస్థ పరిసరాలతో వినిమయం చేసుకొన్న ఉష్ణరాశి పరిమాణాన్ని ఎంథాల్పీ (H) అంటారు.
2. ఒక ప్రక్రియను స్థిరపీడనం దగ్గర జరిపిస్తే, వ్యవస్థ ఘనపరిమాణం మారుతుంది. జరిగిన పని పీడనం – ఘ.ప పని అయితే w ను pΔV తో సూచిస్తారు.
3. మొదటి నియమము ప్రకారము
   ΔU = q_p – pΔV = q_p – p(V₂ – V₁)
   U₂ – U₁ = q_p – p (V₂ – V₁)
   ‘q_p‘ స్థిరపీడనం దగ్గర గ్రహించిన ఉష్ణరాశి (U + pV) ను ఎంథాల్పీ అంటారు.
   H = U + pV
   q_p = (U₂ + pV₂) – (U₁ + pV₁)
4. గ్రీకు పదం ఎంథాల్పీన్ అంటే వేడిచేయటం (లేదా) అంతర్గత ఉష్ణం.
   q_p = H₂ – H₁ = ΔH గా వ్రాయవచ్చు.
5. స్థిరపీడనం, స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద కలిగే శక్తి మార్పును ఎంథాల్పీ మార్పు (ΔH) అంటారు.
6. ఎంథాల్పీ మాత్రం U, P, V ల మీద ఆధారపడి ఉంటుంది. ఇవన్నీ స్థితి ప్రమేయాలు. కాబట్టి ‘ΔH’ కూడా స్థితి ప్రమేయమే.
   q_p కూడా ప్రక్రియ మార్గంపై ఆధారపడదు.
   q_p స్థితి ప్రమేయం.
   స్థిరపీడనం వద్ద పరిమితమైన మార్పులకు
   ΔH = ΔU + ΔpV, ‘p’ స్థిరం కాబట్టి
   ΔH = ΔU + pΔV

ప్రశ్న 49.
ΔH = ΔU + Δn (వా) RT ను ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
ఒక చర్యలో వాయు క్రియాజనకాలు మాత్రమే పాల్గొంటే, క్రియాజనక వాయువుల మొత్తం ఘనపరిమాణం V_A అనుకొనుము. చర్య జరిగిన తరువాత వచ్చిన వాయు క్రియాజన్యాలు మొత్తం ఘనపరిమాణం V_B అనుకొనుము.
n_A = వాయు క్రియాజనకాల మొత్తం మోల్లు
n_B = క్రియాజన్యాల మోత్ల సంఖ్య
అపుడు pV_A = n_ART, pV_B = n_BRT అగును.
pV_B – pV_A = n_BRT – n_ART = (n_B – n_A) RT
(లేదా) p(V_B – V_A) = (n_B – n_A) RT
(లేదా) pΔV = Δn/_gRT
Δn = n_B – n_A
pΔV విలువను ΔH = ΔV + pΔV సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపిస్తే
ΔH = ΔU + ΔnRT అవుతుంది.

ప్రశ్న 50.
1 మోల్ నీటిని 1 bar పీడనం, 100°C వద్ద ఆదర్శ వాయువులా ప్రవర్తించే నీటిబాష్పం ఏర్పరిస్తే ఆ చర్యలో మోలార్ బాష్పీకరణ ఎంథాల్పీ 41 kJ/mol^-1 క్రింది వాటికి అంతరికశక్తి మార్పును లెక్కకట్టండి.
a) 1 mole నీరు 1 bar, 100°C వద్ద బాష్పీకరణం చెందినప్పుడు
b) 1 mole నీరు ద్రవస్థితి నుంచి మంచుగా మారినప్పుడు
జవాబు:
a)

b)

ఈ మార్పులో ఘనపరిమాణం మార్పు అతిస్వల్పం, పరిగణించదగింది కాదు. కాబట్టి
pΔV = Δn, RT ≈ 0 కాబట్టి
ΔH ≈ ΔU కాబట్టి ΔU = 41.00 kJ/mole

ప్రశ్న 51.
గహన, విస్తార ధర్మాలు వివరించండి.
జవాబు:
పదార్థ పరిమాణంపై ఆధారపడని ధర్మాలను గహన ధర్మాలు అంటారు.
ఉదా : పీడనం, సాంద్రత, బాష్పీభవన, ద్రవీభవన స్థానాలు, బాష్పపీడనం. పదార్థ పరిమాణంపై ఆధారపడు ధర్మాలను విస్తార ధర్మాలు అంటారు.
ఉదా : ఎంట్రోపి, ద్రవ్యరాశి, ఘనపరిమాణం, అంతరశక్తి, ఎంథాల్పీ, గిబ్స్ స్వేచ్ఛాశక్తి.

ప్రశ్న 52.
ఉష్ణధారణ అంటే ఏమిటి ? C_p – C_v = Rను ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
ఒక పదార్థపు ఉష్ణోగ్రతను 1°C పెంచుటకు కావల్సిన ఉష్ణరాశిని ఉష్ణధారణ సామర్థ్యము అంటారు. దీనిని గణితం ప్రకారం క్రింది విధంగా సూచిస్తారు.
C = \(\frac{\mathrm{q}}{\mathrm{dT}}\)
C_p – C_v = R ఉత్పాదన :
ఆదర్శ వాయువుకు, H = E + pV
ఉష్ణోగ్రతాపరంగా అవకలనం చేస్తే

ప్రశ్న 53.
ΔU ను ప్రయోగపూర్వకంగా కెలోరిమెట్రిక్ విధానంలో ఏ విధంగా నిర్ణయిస్తారు ?
జవాబు:
అంతరికశక్తి మార్పు ΔU కొలిచే సాధనం : రసాయన చర్యల్లో స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద గ్రహించబడిన ఉష్ణాన్ని బాంబ్ కెలోరిమీటర్లో కొలుస్తారు. బాంబ్ కెలోరిమీటర్ ఒక దృఢమైన గోడలు గల ఉక్కుపాత్ర. ఇది ఒక జల పతాకంలో ముంచబడి వుంటుంది. ఈ మొత్తం పాత్రల అమరికనే కెలోరిమీటర్ అంటారు. తేలికగా దహనం చెందే పదార్థాన్ని ఉక్కు బాంబులో వుంచి ఆక్సిజన్ను కలిపి దహనం చేస్తారు.

చర్య ఉష్ణమోచకమై ఉష్ణం వెలువడుతుంది. ఇది కెలోరిమీటర్ ఉష్ణోగ్రతను పెంచుతుంది. బాంబ్ కెలోరిమీటర్ ఉష్ణబంధకం చేయబడి వుంటుంది. అందువల్ల కెలోరిమీటర్ నుంచి పరిసరాలకు ఉష్ణ వినిమయం జరగదు. బాంబ్ కెలోరిమీటర్ చర్య జరిగేటపుడు పూర్తిగా మూసివుంచబడి వుంటుంది. కాబట్టి దాని ఘనపరిమాణంలో మార్పు ఉండదు. అంటే చర్యలో శక్తి మార్పులు స్థిర ఘనపరిమాణంలో జరిగిన వాటిగా అనుకొని కొలతలు చేయాలి. స్థిర ఘనపరిమాణం అంటే ΔU = 0,

W = p ΔU = 0, అంటే చర్యలో పని ఏమీ జరగదు. చర్యలో వాయు పదార్థాలున్నప్పటికీ ఘనపరిమాణంలో మార్పురాదు. చర్య వల్ల కెలోరిమీటర్ పెరిగిన ఉష్ణోగ్రతను ఉపయోగించి కెలోరిమీటర్ ద్రవ్యరాశి, దాని ఉష్ణధారణ విలువల ద్వారా వెలువడిన ఉష్ణాన్ని (q₁) క్రింది సమీకరణం ఉపయోగించి గణించవచ్చు.
విశిష్టోష్టణం × ద్రవ్యరాశి = ఉష్ణధారణ
q = C × m × ΔT = C × ΔT ఇచ్చట c × m = C

ప్రశ్న 54.
ΔH ను ప్రయోగపూర్వకంగా కెలోరిమెట్రిక్ విధానంలో ఏ విధంగా నిర్ణయిస్తారు ?
జవాబు:
స్థిరపీడనం వద్ద ఉష్ణశక్తి ΔH ని కొలవడం : మూత లేకుండా తెరచి వున్న కెలోరిమీటర్ సాధారణంగా వాతావరణ పీడనం దగ్గర వుంటుంది. వాతావరణ పీడనం స్థిరంగా వుంటుంది కాబట్టి కెలోరిమీటర్లో చర్య వల్ల వచ్చిన ఉష్ణ మార్పు స్థిరపీడనం వద్ద కొలిచిందిగా భావించవచ్చు. దీనిని రాస్తే ΔH కు సమానమవుతుంది. ΔH = q_p. కాబట్టి స్థిరపీడనం వద్ద కొలిచిన ఉష్ణమార్పు చర్యోష్ణం (అది వెలువడిన ఉష్ణం కావచ్చు లేదా గ్రహించబడిన ఉష్ణం కావచ్చు.) లేదా చర్యా ఎంథాల్పి Δ_rH అవుతుంది.

ఉష్ణమోచక చర్యలో ఉష్ణం వెలువడుతుంది. అంటే వ్యవస్థ నుంచి పరిసరాలకు ఉష్ణం ఇవ్వబడుతుంది. అందువల్ల q_p రుణాత్మకమవుతుంది. Δ_rH కూడా రుణాత్మకం. అదేవిధంగా ఉష్ణగ్రాహక చర్యలో వ్యవస్థ లేదా చర్య ఉష్ణం గ్రహిస్తుంది. అంటే పరిసరాల నుంచి చర్యకు ఉష్ణం ఇవ్వబడుతుంది. దీనికి q_p ధనాత్మకం Δ_rH కూడా ధనాత్మకమే.

ప్రశ్న 55.
చర్యా ఎంథాల్పీ అంటే ఏమిటి ? ప్రమాణ చర్యా ఎంథాల్పీని వివరించండి.
జవాబు:
చర్యా ఎంథాల్పీ-చర్యా ఎంథాల్పీ మార్పు Δ_rH : ఒక రసాయన చర్యలో క్రియాజనకాలు క్రియాజన్యాలుగా మారతాయి.
క్రియాజనకాలు → క్రియాజన్యాలు
స్థాయికియోమెట్రిక్ సమీకరణం ప్రకారం క్రియాజనకాల మోల్లు చర్యలో పాల్గొన్నప్పుడు జరిగే ఎంథాల్పీ మార్పునే చర్యా ఎంథాల్పీ అంటారు. ఒక చర్య ఎంథాల్పీ మార్పును Δ_rH సంకేతంతో చూపిస్తారు.
ప్రమాణ చర్యా ఎంథాల్పీలు : చర్యలో పాల్గొన్న అన్ని పదార్థాలు ప్రమాణ స్థితుల్లో వుంటే అప్పుడు ఆ చర్యా ఎంథాల్పీని ప్రమాణ చర్యా ఎంథాల్పీ అంటాం. ప్రమాణ చర్యా ఎంథాల్పీని Δ\(\mathrm{H}^{\ominus}\) గా అంటే ΔH సంకేతానికి తలమీద కుడిపైన గుర్తు రాస్తారు. 1 బార్ పీడనాన్ని ప్రమాణ పీడనంగాను, 298K ఉష్ణోగ్రతను ప్రమాణ ఉష్ణోగ్రతగాను తీసుకుంటారు.

ప్రశ్న 56.
“సంఘటనోష్ణం”ను నిర్వచించండి. ఒక ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
సంఘటనోష్ణం : స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద ప్రమాణస్థితిలో ఒక మోల్ సమ్మేళనం దాని అనుఘటక మూలకాల నుంచి (ప్రమాణ స్థితిలో) ఏర్పడినపుడు వెలువడే లేదా ఉద్గారించబడే ఉష్ణరాశిని సంశ్లేషణ ఉష్ణం అంటారు.
అనుఘటకాల నుంచి ఉష్ణం ఉద్గారం అయ్యే చర్యలో ఏర్పడే సమ్మేళనాలను ఉష్ణమోచక సమ్మేళనాలంటారు. అనుఘటకాల నుంచి సమ్మేళనం ఉష్ణగ్రాహక చర్య ద్వారా ఏర్పడినపుడు ఉష్ణగ్రాహక సమ్మేళనాలు అంటారు. అనుఘటక పదార్థాలు కూడా ప్రమాణస్థితిలో ఉంటే దానిని ప్రమాణ సంశ్లేషనోష్ణం అంటారు.
ఉదా :

ప్రశ్న 57.
ప్రావస్థ మార్పు ఎంథాల్పీని నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
ఒక ప్రావస్థ ఇంకొక ప్రావస్థకు మారినప్పుడు శక్తిని వ్యవస్థ గ్రహించడమో లేదా శక్తి పరిసరాలకు విడుదల కావడమో జరుగుతుంది. ఉదాహరణకు మంచును కరిగించి నీరుగా మార్చాలంటే ఉష్ణాన్ని మంచుకు ఇవ్వాలి. ఇది 273K వద్ద స్థిర పీడనం వద్ద జరుగుతుంది.
H₂O(S) → H₂O(l) : ∆_fus\(\mathrm{H}^{\ominus}\) = 6.00 kJ mol^-1
ఇక్కడ ∆_{ద్రవీభవన} \(\mathrm{H}^{\ominus}\) ప్రమాణస్థితుల్లో ద్రవీభవన ఎంథాల్పీ. అదే 273K, 1 అట్మాస్ఫియర్ పీడనంలో నీరు ఘనీభవించి మంచుగా మారే ఉత్రమణీయ ప్రక్రియలో అదే ప్రమాణంలో ఉష్ణం పరిసరాలకు విడుదల అవుతుంది.

ప్రశ్న 58.
ద్రవీభవన ఎంథాల్పీ (మోలార్ ద్రవీభవన ఎంథాల్పీ)ని నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
ఒక మోల్ ఘనపదార్థాన్ని ప్రమాణ పరిస్థితుల్లో ద్రవీకరించినప్పుడు చెందే ఎంథాల్పీ మార్పును ప్రమాణ ద్రవీభవన మోలార్ ఎంథాల్పీ అంటారు. దీనిని ∆_fus Hగా రాస్తారు.
H₂(ఘ) → H₂O_(వా) ; ∆_fus H° = 6.0 kJ

ప్రశ్న 59.
బాష్పీభవన ఎంథాల్పీ (మోలార్ బాష్పీభవన ఎంథాల్పీ)ని నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
ప్రమాణ స్థితిలో ఉన్న ఒక మోల్ ఘనపదార్థాన్ని ద్రవీభవనం చేయడానికి అవసరమయ్యే ఎంథాల్పీ మార్పును మోలార్ ద్రవీభవన ఎంథాల్పీ అంటారు.
ఉదా : H₂O(ద్ర) → H₂O(వా); ∆_vap \(\boldsymbol{H}^{\ominus}\) = + 40.79 కి.జౌ. మోల్^-1.

ప్రశ్న 60.
ప్రమాణ ఉత్పతన ఎంథాల్పీని నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
ప్రమాణ పీడనం మరియు స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఒక మోల్ ఘనపదార్థం ఉత్పతనం చెందినపుడు కలిగే ఎంథాల్పీ మార్పును ప్రమాణ ఉత్పతన ఎంథాల్పీ అంటారు.
ఉదా : CO_{2 (ఘ)} → CO_{2(బాష్పం)}, ∆H° = + 25.2 కి.జౌ. మోల్^-1

ప్రశ్న 61.
ప్రమాణ సంఘటనోష్ణం (సంశ్లేషణోష్ఠం) (∆_r\(\boldsymbol{H}^{\ominus}\)) ను నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
ఒక మోల్ సంయోగపదార్థం దాని అత్యంత స్థిరమైన స్థితిలో, సంఘటిత మూలకాల నుంచి ఏర్పడినప్పుడు వచ్చే ప్రమాణ ఎంథాల్పీ మార్పునే ఆ సంయోగ పదార్థపు ప్రమాణ మోలార్ సంఘటన ఎంథాల్పీ లేదా ప్రమాణ మోలార్

సంఘటనోష్ణం అంటారు. దీనికి సంకేతం ∆_f\(\boldsymbol{H}^{\ominus}\). అత్యంత స్థిరమైన సంఘటిత స్థితినే నిర్దేశ లేదా ప్రమాణ స్థితి అంటారు. ఒక మూలకం నిర్దేశ లేదా ప్రమాణ స్థితి అంటే ఆ మూలకపు అత్యంత స్థిరమైన 25°C వద్ద 1 బార్ పీడనం వద్ద వున్న సంఘటిత స్థితి. ప్రమాణస్థితిలో హైడ్రోజన్, ఆక్సిజన్, కార్బన్లు, వరుసగా H₂(g) O₂ (g) C(graphite) గా వుంటాయి.
C(graphite) + O₂(g) → CO₂(g); ∆H = -393.5 kJ

ప్రశ్న 62.
హెస్ స్థిరోష్ణ నియమాన్ని నిర్వచించి వివరించండి. (March 2013)
జవాబు:
ఒక రసాయన చర్య ఒక దశలో జరిగినా లేక అనేక దశల్లో జరిగినా ఆ చర్యలో జరిగే మొత్తం ఎంథాల్పీ మార్పు సమానంగా ఉంటుంది.
A అనే పదార్థం రెండు విభిన్న మార్గాల ద్వారా చర్య జరిపి D అనే పదార్థాన్ని ఇచ్చినదని అనుకోండి.
ఏకదశ : A → D; ∆H = Q
అనేక దశలు :
A → B; ∆H₁ = q₁
B → C; ∆H₂ = q₂
C → D; ∆H₃ = q₃
∆H₁ + ∆H₂ + ∆H₃ = q₁ + q₂ + q₃
హెస్ నియమం ప్రకారం Q = q₁ + q₂ + q₃

ఉదా : CO₂ (వా) ను C (గ్రా), O₂ (వా) నుండి రెండు విధాలుగా పొందవచ్చు.
అనేకదశలలో మొత్తం ఎంథాల్పీ మార్పు = – 392.52 కి.జౌ
ఏకదశలో మరియు అనేక దశలలో ఎంథాల్పీ మార్పు సమానంగా ఉంది కాబట్టి ఈ ఉదాహరణ హెస్ నియమానికి అనుగుణంగా ఉన్నది.

ప్రశ్న 63.
దహనచర్య ఎంథాల్పీ (∆<sub.c\(H^{\ominus}\)) ను నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
ఒక మోల్ పదార్థం ప్రమాణస్థితుల్లో అధిక ఆక్సిజన్ సమక్షంలో దహనం చెంది పూర్తిగా ఆక్సీకరణం చెందినప్పుడు వచ్చిన క్రియాజన్యాలు కూడా ప్రమాణస్థితుల్లో వున్నప్పుడు ఆ దహన చర్యలో వెలువడిన ఉష్ణాన్ని ఆ చర్య యొక్క ప్రమాణ దహనచర్య ఎంథాల్పీ అంటారు.
ఉదా : C₄H₁₀ (వా) + \(\frac{13}{2}\)O₂ (వా) → 4CO₂ (వా) + 5H₂O (ద్ర); ∆_c\(H^{\ominus}\) = -2658.0 kJ mol^-1

ప్రశ్న 64.
∆_a\(H^{\ominus}\) , పరమాణీకరణ ఎంథాల్పీని నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
నిర్వచనం : అణువుల్లోని ఒక మోల్ బంధాలను పూర్తిగా విడగొట్టి తటస్థ పరమాణువులను ఏర్పరచేటప్పుడు కలిగే ఎంథాల్పీ మార్పును పరమాణీకరణ ఎంథాల్పీ అంటారు.
ఉదా : H -H బంధాల విచ్ఛిత్తి వల్ల హైడ్రోజన్ పరమాణువులు ఏర్పడుతున్నాయి. ఈ చర్యలో వచ్చే ఎంథాల్పీ మార్పును పరమాణీకరణ ఎంథాల్పీ, ∆_a\(H^{\ominus}\) అంటారు.
H_2(వా) → 2H_(వా) ; ∆_a\(H^{\ominus}\) = 435.0 kJ mol^-1.

ప్రశ్న 65.
బంధ ఎంథాల్పీ (∆_bond\(H^{\ominus}\)) నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
నిర్వచనం : వాయుస్థితిలో వున్న ఒక సమయోజనీయ పదార్థంలోని ఒక మోల్ సమయోజనీయ బంధాలను విచ్ఛిత్తిచేసి వాయుస్థితిలో వున్న క్రియాజన్యాలను ఇచ్చినప్పుడు జరిగిన ఎంథాల్పీ మార్పును బంధ నియోజన ఎంథాల్పీ అంటారు.
ఉదా : H₂(g) → 2H (g); ∆_H-H\(H^{\ominus}\) = 435.0 kJ mol^-1
ఈ చర్యలో జరిగిన ఎంథాల్పీ మార్పు H – H బంధపు బంధ వియోజన ఎంథాల్పీ.

ప్రశ్న 66.
CH₄ లోని C-H బంధ ఎంథాల్పీని వివరించండి.
జవాబు:
మీథేన్, (CH₄) లో నాలుగు C – H బంధాలున్నాయి. ఇవన్నీ బంధ ధైర్ఘ్యం, బంధశక్తులకు సంబంధించి సమాన విలువలు కలిగి ఉంటాయి. అయితే బంధాల్ని ఒక్కొక్కటిగా విచ్ఛిత్తి చేస్తుంటే బంధశక్తి విలువలు మారతాయి.
CH₄ (వా) → C (వా) + 4H; ∆a\(H^{\ominus}\) = 1665 kJ. mol^-1
CH₄ (వా) → CH₃ (వా) + H; ∆_bond\(H^{\ominus}\) = 427 kJ mol^-1.
CH₃ (వా) → CH₂ (వా) + H; ∆_bond\(H^{\ominus}\) = +439 kJ mol^-1.
CH₂ (వా) → CH (వా) + H; ∆_bond\(H^{\ominus}\) = +452 kJ mol^-1.
CH (వా) → C (వా) + H; ∆_bond\(H^{\ominus}\) = +347 kJ mol^-1.
కాబట్టి;
CH₄ (వా) → C (వా) + 4H (వా) ; ∆_a\(H^{\ominus}\) = 1665 kJ mol^-1.
ఇలాంటి పరిస్థితుల్లో సగటు బంధశక్తి తీసుకోవాలి.
ఉదా : CH₄, ∆_C-H\(H^{\ominus}\) కు సగటు బంధశక్తి
∆_C-H\(H^{\ominus}\) = 1/4(∆_a\(H^{\ominus}\) = 1/4(1665 kJ mol^-1) = 416 kJ mol^-1

ప్రశ్న 67.
ద్రావణోష్ణం (∆_sol\(H^{\ominus}\)), విలీన ప్రక్రియ ఉష్ణం (∆_sol\(H^{\ominus}\)) లను నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
1. మోల్ ద్రావితాన్ని అధిక ద్రావణిలో సంపూర్ణంగా కరిగించినప్పుడు విడుదలైన లేదా గ్రహించబడ్డ ఉష్ణరాశి ప్రమాణమును ద్రావణోష్ణం అంటారు.
ఉదా : MgSO₄ + నీరు → MgSO₄ జ|| ద్రా.
స్థిర ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద 1 మోల్ ద్రావితం కరిగి వున్న ద్రావణానికి అధిక ద్రావణి కలిపి విలీనం చేసినపుడు జరిగే ఎంథాల్పీ మార్పును విలీనోష్ణం అంటారు.
ద్రావణి పరిమాణం మీద ఆధారపడి ద్రావణ ప్రక్రియలో ఎంథాల్పీ మార్పు ఉంటుంది. ఇంకా, ఇంకా ఎక్కువ ద్రావణి కలిపిన కొద్ది ఎంథాల్పీలో మార్పు ఏమీ ఉండదు.
ఉదా : HCl(వా) ను విలీన ప్రక్రియ చేసినపుడు ఎంథాల్పీ మార్పు
ΔH_(40H2O) – ΔH_(25H2O) = ΔH_{‘విలీనం}
Δ_{విలీనం} = [-72.79 -(-72.03)] kJ/mol = -0.76 kJ/mol.

ప్రశ్న 68.
అయొనైజేషన్ ఎంథాల్పీ, ఎలక్ట్రాన్ స్వీకరణ ఎంథాల్పీలను నిర్వచించండి.
జవాబు:
అయొనైజేషన్ ఎంథాల్పీ వాయుస్థితిలో ఉన్న ఒంటరి తటస్థ పరమాణువు బాహ్యకర్పరం నుండి ఒక ఎలక్ట్రాన్ను తొలగించి అయాన్ మార్చే సందర్భంలో కలిగే ఎంథాల్పీ మార్పును అయొనైజేషన్ ఎంథాల్పీ అంటారు.
ఉదా : Na (వా) → Na⁺ (వా) + ఎలక్ట్రాన్ ∆₁\(H^{\ominus}\) = 496 కి.జౌ/మోల్
ఎలక్ట్రాన్ స్వీకరణ ఎంథాల్పీ : వాయుస్థితిలో ఉన్న ఒంటరి తటస్థ పరమాణువు అదనంగా ఒక ఎలక్ట్రాన్ను కలిగినపుడు కలిగే ఎంథాల్పీ మార్పును ఎలక్ట్రాన్ స్వీకరణ ఎంథాల్పీ (లేక) ఎలక్ట్రాన్ ఎఫినిటి అంటారు.
ఉదా : Cl(వా) + ఎలక్ట్రాన్ → Cl^– (వా)
∆_(eg)\(H^{\ominus}\) = – 348.6 కి.జౌ/మోల్

ప్రశ్న 69.
ఒక ప్రక్రియ అయత్నీకృతాన్ని వివరించండి.
జవాబు:
బాహ్యకారక ప్రమేయం లేకుండా చర్య స్వచ్ఛందంగా జరిగే ప్రక్రియను అయిత్నీకృతం అంటారు. ఇది అద్విగత చర్య. అన్ని సహజ ప్రక్రియలు అయత్నీకృత చర్యలే. ఎంథాల్పీలో తగ్గుదల అయత్నీకృత చర్యలకు ఒక అంశం. కాని ఇది అన్ని సందర్భాలలో నిజం కాదు. అయత్నీకృత చర్యలలో ఎంట్రోపీ పెరుగుతుంది. అయత్నీకృత చర్యలకు క్రింది మూడు నిశ్చిత పరిస్థితులు కావాలి.

1. ΔH° = – (ఎంథాల్పీ మార్పు ఋణాత్మకం)
2. ΔS° = + (ఎంట్రోపీలో మార్పు ధన్మాతకం)
3. ΔG° = – (స్వేచ్ఛాశక్తిలో మార్పు ఋణాత్మకం).

అయత్నీకృత చర్యల యొక్క నిబంధనను వివరించడానికి గిబ్స్ ఒక ఉష్ణగతిక ప్రమేయాన్ని ప్రవేశపెట్టాడు. దీనిని గిబ్స్ శక్తి అంటారు. గిబ్స్ సమీకరణం ప్రకారం, ΔG = ΔH – TΔS
అయత్నీకృత చర్యలు-నిబంధనలు :
చర్యల స్వచ్ఛందత లేదా అయత్నీకృతంపై ఉష్ణోగ్రత ప్రభావం

ప్రశ్న 70.
ఒక అయత్నీకృత ప్రక్రియకు కారణం ఎంథాల్పీ తగ్గుదల మాత్రమే కారణమా ? వివరించండి.
జవాబు:
ఎంథాల్పీలో తగ్గుదల, ∆H = -Ve, అనేది అయత్నీకృత చర్యలకు తోడ్పడే ఒక అంశమే గాని అన్ని సందర్భాలలో అది నిజం కాదు. ఎందుకంటే ఎంథాల్పీలో పెరుగుదల, ∆H =
Ve, ఉన్న కొన్ని చర్యలు అయత్నీకృతాలుగా ఉంటాయి.

ఉదా : \(\frac{1}{2}\) N₂ (వా) + O₂ (వా) → NO₂ (వా) ∆<sub.rH° = + 33.2 కి.జౌ.
గిబ్స్ ప్రకారం, అయత్నీకృత చర్యలకు ∆G విలువ ఋణాత్మకంగా ఉండాలి. కాబట్టి అయతికృత చర్యలకు ఎంథాల్పీ తగ్గుదల మాత్రమే కారణం కాదు.

ప్రశ్న 71.
ఎంట్రోపీ అంటే ఏమిటి ? ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
ఎంటోపి : ఒక వ్యవస్థలోని అణువుల క్రమరాహిత్యాన్ని తెలియచేసే దానిని ఎంట్రోపి అంటారు. వ్యవస్థలోని అణువుల క్రమరాహిత్యం పెరిగే కొలది ఎంట్రోపి పెరుగుతుంది. ఇది స్థితి ప్రమేయం ఒక వివిక్త వ్యవస్థలో జరిగే అయత్నీకృత ప్రక్రియకు ఎంట్రోపి మార్పు (∆S) ధనాత్మకంగా వుంటుంది.

ప్రశ్న 72.
ఎంట్రోపీ పెరుగుదలే అయత్నీకృత ప్రక్రియకు కారణం. వివరించండి.
జవాబు:
అయత్నీకృత చర్యకు ఎంట్రోపీలో పెరుగుదల అనేది ఒక అంశం మాత్రమే. అన్ని సందర్భాలలో కాదు. ఎంట్రోపీలో తగ్గుదల (∆S = – ve) ఉన్నపుడు తిరోగామి చర్య అయత్నీకృతంగా ఉంటుంది. ఎంట్రోపీలో మార్పు సున్న (∆S = 0) అయితే ఆ వ్యవస్థ సమతాస్థితిలో ఉంటుంది. ∆H = – ve, ∆S = + ve, ∆G = -ve అయితే అన్ని ఉష్ణోగ్రతల వద్ద చర్య అయత్నీకృతంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 73.
∆U, ∆S ఉత్రమణీయ, అనుత్రమణీయ ప్రక్రియలను వివరించగలుగుతాయా ? వివరించండి.
జవాబు:
∆U అనేది అంతరికశక్తిలో మార్పు. ∆S అనేది ఎంటోపిలో మార్పు.
ఉష్ణమోచక చర్యలలో పురోగామి ప్రక్రియలో ∆U లో తగ్గుదల ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో ∆U అనే చర్య అయత్నీకృతకు అనుకూలం. ద్విగత చర్యలలో ∆U లో తగ్గుదల ఉండే దిశ చర్యకు అనుకూలంగా ఉంటుంది.
∆S విషయంలో ∆S = + ve అయితే చర్య అయత్నీకృతం.
∆S = -ve అయితే తిరోగామి చర్య అయత్నీకృతం, ∆S = 0 అయితే చర్య సమతాస్థితిలో ఉంటుంది.
∆U లేదా ∆H = -ve, ∆S = + ve, ∆G = -ve అయితే అన్ని ఉష్ణోగ్రతల వద్ద చర్య అయత్నీకృతం.

ప్రశ్న 74.
4Fe (ఘ) + 3O₂ (వా) → 2Fe₂O₃ (ఘ) అనే ఐరన్ ఆక్సీకరణ చర్యకు 298K వద్ద ఎంట్రోపీ మార్పు -549.45 JK^-1 mol^-1, దీనికి రుణాత్మక ఎంట్రోపీ ఉన్నా చర్య అయత్నీకృతంగా జరుగుతుంది. ఎందువల్ల ?
జవాబు:
∆G = ∆H – T∆S
= 1648 × 10³ J mol^-1 – 298 (-549.45) = 1648 × 10³ + 163 × 10³ = -1485 × 10³
∆G ఋణాత్మకం. అందువల్ల ఎంట్రోపీ మార్పు ఋణాత్మకంగా ఉన్నప్పటికీ చర్య అయత్నీకృతంగా జరుగుతుంది.

ప్రశ్న 75.
కింది వాటిల్లో ఏ ఫార్ములాలు సరైనవి ?
a) G = H – TS
b) ∆G_{వ్యవస్థ} = ∆H_{వ్యవస్థ} – T∆S_{వ్యవస్థ}
c)

d)

e)
T∆S_{మొత్తం} = T∆S_{వ్యవస్థ} – ∆H_{వ్యవస్థ}
జవాబు:

ప్రశ్న 76.
ఆక్సిజన్ను ఓజోన్గా మార్చడానికి ∆_r\(\boldsymbol{G}^{\ominus}\) ను 298K వద్ద గణించండి. చర్య Kp విలువ 2.43 × 10^-29.
జవాబు:
∆_r\(\boldsymbol{G}^{\ominus}\) = -2.303 RT log K_p
K_p = 2.43 × 10^-29
∆_r\(\boldsymbol{G}^{\ominus}\) = -2.303 × 8.314 × 298 (log 2.43 × 10^-24)
∆_r\(\boldsymbol{G}^{\ominus}\) = 163 kJ

ప్రశ్న 77.
ఉష్ణగతికశాస్త్రం రెండో నియమాన్ని నిర్వచించి వివరించండి.
జవాబు:
క్లాసియస్ నిర్వచనం : విశ్వం యొక్క ఎంట్రోపీ గరిష్ఠంగా మారే దిశలో చర్చిస్తుంది.
లేదా
ఉష్ణశక్తి స్వచ్ఛందంగా చల్లని వస్తువు నుంచి వేడిగా గల వస్తువుకు ప్రసరించదు.
లేదా
పనిని పూర్తిగా ఉష్ణరాశిగా మార్చవచ్చు కానీ ఉష్ణరాశిని 100% పనిగా మార్చడం అసాధ్యం.
లేదా
అన్ని స్వచ్ఛంద చర్యల్లో ఎంట్రోపీ మార్పు ధనాత్మకం లేదా రెండోరకం సతతచలన యంత్ర నిర్మాణం అసాధ్యం.

ప్రశ్న 78.
ఉష్ణగతికశాస్త్రం మూడో నియమాన్ని నిర్వచించండి. దీనిని గురించి మీకు ఏమి తెలిసింది ?
జవాబు:
మూడవ నియమం:
పరిపూర్ణ శుద్ధ స్ఫటిక పదార్థాల ఎంట్రోపి విలువ పరమశూన్య ఉష్ణోగ్రత వద్ద శూన్యవిలువను కలిగి ఉంటుంది.
S_T = \(\int_0^T \frac{C_p}{T} \cdot d T\) – సమీకరణం ఉపయోగించి, ఇవ్వబడిన ఉష్ణోగ్రత వద్ద C_p విలువ తెలిస్తే ఎంట్రోపి (S) విలువను లెక్కగట్టవచ్చు.

ప్రాముఖ్యత :

1. ఈ నియమం సాయంతో చర్యల్లో ఎంట్రోపీ మార్పును నిర్ణయించవచ్చు.
2. ఈ నియమం ప్రకారం ఏ స్వచ్ఛంద చర్యల్లో అయినా మొత్తం మీద ఎంట్రోపీ మార్పు ధనాత్మకంగా ఉండును.
3. ఈ నియమం ఎంట్రోపి అవధిని గురించి తెలుపుతుంది.

ప్రశ్న 79.
ఎంట్రోపీ భావనను వివరించండి.
జవాబు:
ఎర్రటోపి : ఒక వ్యవస్థలోని అణువుల క్రమరాహిత్యాన్ని తెలియచేసే దానిని ఎంట్రోపి అంటారు. వ్యవస్థలోని అణువుల క్రమరాహిత్యం పెరిగే కొలది ఎంట్రోపి పెరుగుతుంది. ఇది స్థితి ప్రమేయం ఒక వివిక్త వ్యవస్థలో జరిగే అయత్నీకృత ప్రక్రియకు ఎంట్రోపి మార్పు (ΔS) ధనాత్మకంగా వుంటుంది.

ప్రశ్న 80.
గిబ్స్ శక్తిపరంగా ప్రక్రియ అయత్నీకృత మార్పును వివరించండి.
జవాబు:
గిబ్స్ శక్తి : ఇది ఉష్ణగతిక ప్రమేయం. దీనిలో ఎంథాల్పీ, ఎంట్రోపీ ప్రమేయాలు ఇమిడి వుంటాయి. ఒక చర్య స్వచ్ఛంద
చర్య ఔనో, కాదో తెలుసుకొనుటకు ఇది తగినంత, అవసర సమాచారాన్ని ఇస్తుంది. ఇది స్థితి ప్రమేయం.
గిబ్స్ సమీకరణం ప్రకారం
ΔG = ΔH – TΔS
ఇచ్చట ΔG = గిబ్స్ శక్తిలో మార్పు
ΔH = ఎంథాల్పీ మార్పు
TΔS = ఉష్ణోగ్రతతో ఎంట్రోపీ మార్పు.
ΔG, ఋణాత్మకమయిన స్వచ్ఛంధ చర్య. (ΔG < 0) GΔ, ధనాత్మకమైన అస్వచ్ఛంద చర్య. (ΔG > 0)
ΔG = 0, చర్య సమతాస్థితిలో ఉంటుంది.
ΔG = + ve, ΔS = + ve అయితే – ప్రక్రియ అయత్నీకృతం (TΔS > ΔH గా ఉండాలి.)
ΔG = – ve, ΔS = + ve, ΔH = – ve అయితే చర్య అన్ని ఉష్ణోగ్రతల వద్ద అయత్నీకృతం.

ప్రశ్న 81.
గిబ్స్ శక్తి మార్పు విలువ, గుర్తుల ఆధారంగా ఒక రసాయనిక చర్య అయత్నీకృత మార్పును, దాని నుంచి లభించే ఉపయోగకరమైన పనిని తెలుసుకోవచ్చు. దీన్ని వివరించండి.
జవాబు:
ఒక స్వచ్ఛంద చర్యకు “ΔG” గిబ్స్ శక్తి మార్పు విలువ ఋణాత్మకంగా ఉండవలెను. భిన్న చర్యల ΔH, ΔS మరియు ΔG విలువలు క్రింది విధంగా ఉండును.

గిబ్స్ శక్తిలో మార్పుకు, సమతాస్థితి స్థిరాంకం ‘K’ కు గల సంబంధాన్ని క్రింది సమీకరణం సూచిస్తుంది.
Δ_r\(\mathrm{G}^{\ominus}\) = Δ_r\(\mathrm{H}^{\ominus}\) – TΔ_r\(\mathrm{S}^{\ominus}\) = -RTlnK.
ఉష్ణగ్రాహక చర్యలకు Δ_rH విలువ అధికంగా ఉండాలి మరియు ధనాత్మకంగా ఉండాలి (K < 1)
ఉష్ణమోచక చర్యలకు Δ_r° విలువ అధికంగా ఉండాలి మరియు ఋణాత్మకంగా ఉండాలి. (K > 1)

ప్రశ్న 82.
ఒక ప్రక్రియలో 701 J ల ఉష్ణం వ్యవస్థ గ్రహించగా వ్యవస్థ 394J పనిని చేసింది. వ్యవస్థ అంతరిక శక్తి మార్పు ఎంత ?
జవాబు:
dq = dU – dW
701 = dU – (- 394 J)
dU = 701 – 394 = 307 J
వ్యవస్థ అంతరిక శక్తి మార్పు = 307 J

ప్రశ్న 83.
సయనమైడ్ NH₂CN, డైఆక్సిజన్ల మధ్య బాంబ్ కెలోరిమీటర్ 298K వద్ద చర్య జరిగితే ΔU = – 742.7 kJ mol^-1. ఇదే ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఎంథాల్పీ మార్పు ఎంత ?
NH₂CN (వా) + \(\frac{3}{2}\) O₂(వా) → N₂(వా) + CO₂(వా) + H₂O(ద్ర)
జవాబు:
NH₂CN (వా) + \(\frac{3}{2}\) O₂(వా) → N₂(వా) + CO₂(వా) + H₂O(ద్ర)
మొత్తం వాయుస్థితిలో ఉన్న క్రియాజనకాల మోత్ల సంఖ్య = 1 + 1.5 = 2.5
మొత్తం వాయుస్థితిలో ఉన్న క్రియాజన్యాల మోల్ల సంఖ్య = 1 + 1 + 0 = 2
Δn = 2 – 2.5 = – 0.5
ΔΗ = ΔU + ΔnRT
= – 742.7 + (0.5 × 8.314 × 10^-3 × 298)
= -743.9 kJ

ప్రశ్న 84.
60g అల్యూమినియం ఉష్ణోగ్రతను 35°C నుంచి 55°C కు మార్చడానికి ఎన్ని KJ ఉష్ణం కావాలి ? అల్యూమినియం మోలార్ ఉష్ణధారణ = 24 J mol^-1K^-1.
జవాబు:
q = msdT
q = విడుదలయిన ఉష్ణం
m = అల్యూమినియం యొక్క ద్రవ్యరాశి
s = అల్యూమినియం మోలార్ ఉష్ణధారణ
dT = ఉష్ణోగ్రతలో వ్యత్యాసం
q = \(\frac{60}{27}\) × 24 × 20 = 1.067 కి.జౌ

ప్రశ్న 85.
1.0 mol నీటిని 10°C నుంచి మంచుగా – 10°C కు మార్చడానికి ఎంత ఎంథాల్పీ మార్పు తేవాలి ?
Δ_fus = 6.03 kJ mol^-1 at 0°C 38.
C_p[H₂O(ద్ర)] = 75.3J mol^-1K^-1
C_p[H₂O(ఘ)] = 36.8 J mol^-1K^-1
జవాబు:

1st step ఉష్ణం విడుదలయినది ΔH = nC_pdT = – 75.3 × 10 = – 753 J
2nd step ఉష్ణం విడుదలయినది ΔH = -6.0312 J
3rd step ఉష్ణం విడుదలయినది ΔH = nC_pdT = + 36.8 × 10 = + 368 J
∴ ΔH = -6.03 + (−0.753) + (+ 0.368) = – 6.415 kJ

ప్రశ్న 86.
C(ఘ) ను CO₂గా మార్చడానికి దహనక్రియ ఎంథాల్పీ – 393.5 kJ mol^-1. కార్బన్, డై ఆక్సిజన్ వాయువు నుంచి 35.2 g CO₂ ఏర్పడినప్పుడు విడుదలయ్యే ఉష్ణశక్తి ఎంత ?
జవాబు:
C (వా) + O₂ (వా) → CO₂ (వా), ΔH = -393.5 కి.జౌ
1 మోల్ CO₂ (44 గ్రా) CO₂ ఏర్పడేటపుడు విడుదలయ్యే ఉష్ణం = – 393.5 కి.జౌ
35.2 గ్రా. CO₂ ఏర్పడేటపుడు విడుదలయ్యే ఉష్ణం =\(\frac{35.2}{44}\) × -393.5 = -314.8 జౌ.

ప్రశ్న 87.
CO(వా), CO₂(వా), N₂O(వా), N₂O₄(వా)ల సంఘటన ఎంథాల్పీలు వరుసగా 9.7 kJ mol^-1. కింది చర్య Δ_rH విలువ కనుక్కోండి.
N₂O₄ (వా) + 3CO(వా) → N₂O(వా) + 3CO₂(వా)
జవాబు:

ప్రశ్న 88.
N₂(వా) + 3H₂(వా) → 2NH₃(వా) ; Δ_r\(\mathrm{H}^{\ominus}\) = – 92.4 kJ mol, అయితే అమ్మోనియా ప్రమాణ సంఘటన ఎంథాల్పీ ఎంత ?
జవాబు:
ఉష్ణం యొక్క చర్య Δ_r \(\mathrm{H}^{\ominus}\) is – 92.4 kJ mol^-1
పైన పేర్కొన్న సమీకరణం 2 మోల్స్ యొక్క అమ్మోనియా ఏర్పడటానికి అవసరమయిన ఉష్ణశక్తి.
ఒక్క మోల్ అమ్మోనియా ప్రమాణ సంఘటన ఎంథాల్పీ
NH₃ = \(\frac{-92.4}{2}\) = – 46.2 kJ
∴ అమ్మోనియా ప్రమాణ సంఘటన ఎంథాల్పీ = – 46.2 kJ

ప్రశ్న 89.
CH₃OH (ద్ర) ప్రమాణ సంఘటన ఎంథాల్పీని కింది చర్యల ద్వారా గణించండి.
CH₃OH (ద్ర) + \(\frac{3}{2}\)O₂(వా) → 2H₂O(ద్ర); Δ_r\(\boldsymbol{H}^{\ominus}\) = -726 kJ mol^-1
C(గ్రాఫైట్) + O₂(వా) → CO₂(వా) ; Δ_c\(\boldsymbol{H}^{\ominus}\) = -393 kJ mol^-1
H₂(వా) + \(\frac{1}{2}\)O₂(వా) → H₂O(ద్ర); Δ_f\(\boldsymbol{H}^{\ominus}\) = -286 kJ mol^-1
జవాబు:
ఇచ్చిన దత్తాంశం నుండి

1. CH₃OH (ద్ర) + \(\frac{3}{2}\)O₂(వా) → CO₂(వా) + 2H₂O(ద్ర); Δ_r\(\mathrm{H}^{\ominus}\) = -726 kJ mol^-1
2. C (graphite) + O₂(వా) → CO₂(వా); Δ_c\(\mathrm{H}^{\ominus}\) = – 393 kJ mol^-1
3. H₂(వా) + \(\frac{1}{2}\)O₂(వా) → H₂O(ద్ర); Δ_f\(\mathrm{H}^{\ominus}\) = – 286 kJ mol^-1

1ని ఉత్రమణీయం చేస్తే,

ప్రశ్న 90.
CCl₄(వా) → C(వా) + 4 Cl(వా) చర్యకు ఎంథాల్పీ మార్పు గణించండి.
CCl₄ లోని C – C బంధానికి బంధ ఎంథాల్పీ ఎంత ?
Δ_vap\(H^{\ominus}\)(CCl₄) = 30.5 kJ mol^-1.
Δ_r\(H^{\ominus}\) (CCl₄) = − 135.5 kJ mol^-1.
Δ_a\(H^{\ominus}\)(C) = 715.0 kJ mol^-1, ఇక్కడ Δ_a\(H^{\ominus}\) అనేది పరమాణీకరణ ఎంథాల్పీ,
Δ_a\(H^{\ominus}\)(Cl₂) = 242 kJ mol^-1
జవాబు:
C(s) + 2Cl₂(వా) → CCl₄(ద్ర)
Δ_rH° = [ΔH ఉత్పన్నాలు] – [ΔH క్రియాజనకాలు]
= 715 + 484 + 135.5 – 30.5
= 1334.5 – 30.5 = 1304 కి.జౌ.
∴ C – Cl బంధ ఎంథాల్పీ = \(\frac{1304}{4}\) = 326 కి.జౌ.

ప్రశ్న 91.
ఒక వివిక్త వ్యవస్థ ΔU = 0 అయితే ΔS ఏమవుతుంది ?
జవాబు:
ఇవ్వబడిన వివిక్త వ్యవస్థకు ΔU = 0
ΔH = ΔU + ΔnRT
∴ ΔH = ΔnRT
ΔS = \(\frac{\Delta \mathrm{H}}{\mathrm{T}}\) = \(\frac{\Delta \mathrm{nRT}}{\mathrm{T}}\)
∴ ΔS > 0 (లేక) ΔS = + ve

ప్రశ్న 92.
298 K వద్ద 2A + B → C చర్యకు ΔH = 400 kJ mol^-1‍ ΔS = 0.2 kJ K^-1 mol^-1 ఉష్ణోగ్రతా విస్తృతిలో ΔH, ΔS లు స్థిరంగా ఉంటాయనుకొంటే ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్ద చర్య అయత్నీకృతం అవుతుంది ?
జవాబు:
సమతాస్థితి వద్ద ΔG = 0
T_equi = \(\frac{\Delta \mathrm{H}}{\Delta \mathrm{S}}\) = \(\frac{400}{0.2}\) = 2000 K
2000 °K వద్ద ప్రక్రియ అయత్నీకృతం అవుతుంది.

ప్రశ్న 93.
2Cl(వా) → Cl₂(వా) చర్యకు ΔH, ΔS ల గుర్తులు ఇవ్వండి.
జవాబు:
బంధం ఏర్పడినప్పుడు శక్తి విడుదలవుతుంది.
∴ ΔH = – ve
ఈ ప్రక్రియలో 2 క్లోరిన్ ఆటమ్స్ కలిసి ఒక Cl₂ అణువుగా ఏర్పడతాయి. ఇది ఉష్ణమోచక చర్య ఎంట్రోపీ తగ్గుతుంది.
∴ ΔS = – ve

ప్రశ్న 94.
2A (వా) + B(వా) → 2D(వా) చర్యకు 4\(U^{\ominus}\) = -10.5 kJ, Δ\(S^{\ominus}\) = – 44.1 JK^-1 చర్యకు 25°C వద్ద Δ\(\boldsymbol{G}^{\ominus}\) విలువ ఎంత ? చర్య అయత్నీకృతమా, కాదా ?
జవాబు:
ΔH = ΔU + Δn_gRT
ΔH = -10.5 + (-1) × 8.314 × 10^-3 × 298
= -12.97 kJ
ΔG = ΔH – TΔS
= -12.97 – 298 (-44.1 × 10^-3) = 0.164 kJ
ΔG = ధనాత్మకం (ΔG > 0 ). కావున చర్య అయత్నీకృతం కాదు.

ప్రశ్న 95.
ఒక చర్యకు 300K సమతాస్థితి స్థిరాంకం 10. దీనికి Δ\(\boldsymbol{G}^{\ominus}\) విలువ ఎంత ? R = 8.314 JK^-1mol^-1.
జవాబు:
Δ\(\boldsymbol{G}^{\ominus}\) = -2.303 RT log K_p
= -2.303 × 8.314 × 300 × 1 = – 5.744 kJ/mol

ప్రశ్న 96.
ఉష్ణగతికశాస్త్రం ప్రథమ నియమం నిర్వచించండి. దాని గణితరూప సమీకరణం రాయండి.
జవాబు:
ఉష్ణగతికశాస్త్ర ప్రథమ నియమం : “శక్తిని సృష్టింపలేము నశింపచెయ్యలేము. ఒక రూపములోని శక్తిని వేరొక రూపంలోకి మార్చగలము”.
లేదా
“మొదటిరకం సతతచలన యంత్ర నిర్మాణం అసాధ్యం”
లేదా
“చక్రీయ ప్రక్రియలో వ్యవస్థ శక్తి మార్పు శూన్యం”
ఒక వ్యవస్థ తొలి అంతరశక్తి E_A అని వ్యవస్థ గ్రహించిన ఉష్ణరాశి Q అని, వ్యవస్థ చేసిన పని “w”, అని దాని తుది అంతరికశక్తి E_B అని అంతరిక శక్తిలోని మార్పు ΔE అని అనుకుంటే
ΔE = E_B – E_A = Q – w
⇒ Q = ΔE + w
దీనినే ఉష్ణగతిక శాస్త్ర ప్రథమ నియమపు గణితాత్మక రూపం అంటారు.

ప్రశ్న 97.
ఉష్ణగతికశాస్త్రం రెండో నియమానికి ఏవైనా రెండు వేరువేరు నిర్వచనాలు ఇవ్వండి.
జవాబు:
క్లాసియస్ నిర్వచనం : విశ్వం యొక్క ఎంట్రోపీ గరిష్ఠంగా మారేదిశలో చలిస్తుంది.
లేదా
ఉష్ణశక్తి స్వచ్ఛందంగా చల్లని వస్తువు నుంచి వేడిగా గల వస్తువుకు ప్రసరించదు.
లేదా
పనిని పూర్తిగా ఉష్ణరాశిగా మార్చవచ్చు కానీ ఉష్ణరాశిని 100% పనిగా మార్పులు అసాధ్యం.
లేదా
అన్ని స్వచ్ఛంద చర్యలో ఫలిత ఎంట్రోపీ మార్పు ధనాత్మకం లేదా రెండోరకం సతతచలన యంత్ర నిర్మాణం అసాధ్యం.

ప్రశ్న 98.
గిబ్స్ శక్తిని వివరించండి.
జవాబు:
గిబ్స్ శక్తి : ఇది ఉష్ణగతిక ప్రమేయం. వీనిలో ఎంథాల్పీ ఎంట్రోపీ ప్రమేయాలు ఇమిడి వుంటాయి. ఒక చర్య స్వచ్ఛంద చర్య ఔనో, కాదో తెలుసుకొనుటకు ఇది తగినంత, అవసర సమాచారాన్ని ఇస్తుంది. ఇది స్థితి ప్రమేయం.

ప్రశ్న 99.
చర్య అయత్నీకృతాన్ని గిబ్స్ శక్తితో వివరించండి.
జవాబు:
ఒక స్వచ్ఛంద చర్యకు “ΔG” గిబ్స్ శక్తి మార్పు విలువ ఋణాత్మకంగా ఉండవలెను. భిన్న చర్యల ΔH, ΔS మరియు ΔG విలువలు క్రింది విధంగా ఉండును.

గిబ్స్ శక్తి మార్పు. (ΔG) కు, ఎంథాల్పీ మార్పు (ΔH) కు గల సంబంధం ఈ క్రింది విధంగా రాస్తారు.
ΔG = ΔH – TΔS
ΔG = + ve అయితే (ΔG > 0) ఆ చర్య అయత్నీకృత చర్య
AG = – ve అయితే (ΔG – 0) ఆ చర్య అనయత్నీకృత చర్య
ΔG = 0 అయితే ఆ చర్య సమతాస్థితిలో ఉంటుంది.
ΔG = + ve, ΔS = + ve అయితే – ప్రక్రియ అయత్నీకృతం (TΔS > ΔH గా ఉండాలి.)
ΔG = – ve, ΔS = + ve, ΔH = – ve అయితే ఆ చర్య అన్ని ఉష్ణోగ్రతల వద్ద అయత్నీకృతం.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 100.
హెస్ స్థిర ఉష్ణ సంకలనం నియమం నిర్వచించి వివరించండి. ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
జవాబు:
ఒక రసాయన చర్య ఒక దశలో జరిగినా లేక అనేక దశల్లో జరిగినా ఆ చర్యలో జరిగే మొత్తం ఎంథాల్పీ మార్పు సమానంగా ఉంటుంది.
A అనే పదార్థం రెండు విభిన్న మార్గాల ద్వారా చర్య జరిపి అనే పదార్థాన్ని ఇచ్చినదని అనుకోండి.
ఏకదశ : A→ D; ΔH = Q
అనేక దశలు :
A → B; ΔH₁ = q₁
B → C; ΔH₂ = q₂
C → D; ΔH₃ = q₃
ΔH₁ + ΔH₂ + ΔH₃ = q₁ + q₂ + q₃
హెన్ నియమం ప్రకారం Q = q₁ + q₂ + q₃
ఏకదశ : C_{(గ్రాఫైట్)} + O₂ (g) → CO₂ (వా), Δ_r\(\mathrm{H}^{\ominus}\) = -393.5 kJ
అనేక దశలు : C_{(గ్రాఫైట్, S)} + \(\frac{1}{2}\)O₂ (g) → CO(వా), Δ_r\(\mathrm{H}^{\ominus}\) = -110.5 kJ
CO(వా) + \(\frac{1}{2}\) O₂ (వా) → CO₂ (వా), Δ_r\(\mathrm{H}^{\ominus}\) = -282.02 kJ
ఉదా : CO₂ (వా) ను C (గ్రా), O₂ (వా) నుండి రెండు విధాలుగా పొందవచ్చు.
అనేకదశలలో మొత్తం ఎంథాల్పీ మార్పు = – 392.52 కి.జౌ
ఏకదశలో మరియు అనేక దశలలో ఎంథాల్పీ మార్పు సమానంగా ఉంది కాబట్టి ఈ ఉదాహరణ హెస్ నియమానికి అనుగుణంగా ఉన్నది.

ఉపయోగాలు :

1. ప్రయోగం ద్వారా నిర్ణయించడానికి వీలుకాని సమ్మేళనాల సంఘటనోష్టాలను ఈ నియమం ద్వారా పరోక్షంగా లెక్కించవచ్చు.
2. నెమ్మదిగా జరిగే చర్యల చర్యోష్ణాన్ని నిర్ణయించవచ్చు.
3. అయానిక పదార్థాల స్ఫటిక జాలకశక్తిని నిర్ణయించవచ్చు.
4. కొన్ని మూలకాల ఎలక్ట్రాన్ ఎఫినిటి విలువలను పరోక్ష పద్ధతిలో కనుగొనవచ్చు.

ప్రశ్న 101.
ప్రయోగపూర్వకంగా ఒక ప్రక్రియలో అంతరిక శక్తి మార్పు కొలిచే విధానం వివరించండి.
జవాబు:
అంతరిక శక్తి : స్థిర ఉష్ణోగ్రత పీడనాల వద్ద ఒక పదార్థంలో నిల్వ ఉంచబడిన మొత్తం శక్తిని అంతరిక శక్తి అంటారు. ఇది స్థితి ప్రమేయం-మరియు విస్తార ధర్మం.
అంతరిక శక్తిలో మార్పు (ΔU) = U_p – U_R
U = క్రియాజన్యాల అంతరికశక్తి; Up – క్రియాజనకాల అంతరికశక్తి.
ΔU = Q – w;
Q = ఉష్ణం;
W = పని

అంతరికశక్తి మార్పు ΔU కొలిచే సాధనం : రసాయన చర్యల్లో స్థిర ఘనపరిమాణం వద్ద గ్రహించబడిన ఉష్ణాన్ని బాంబ్ కెలోరిమీటర్లో కొలుస్తారు. బాంబ్ కెలోరిమీటర్ ఒక దృఢమైన గోడలు గల ఉక్కుపాత్ర. ఇది ఒక జల పతాకంలో ముంచబడి వుంటుంది. ఈ మొత్తం పాత్రల అమరికనే కెలోరిమీటర్ అంటారు. తేలికగా దహనం చెందే
పదార్థాన్ని ఉక్కు బాంబులో వుంచి ఆక్సిజన్ను కలిపి దహనం చేస్తారు. చర్య ఉష్ణమోచకమై ఉష్ణం వెలువడుతుంది. ఇది కెలోరిమీటర్ ఉష్ణోగ్రతను పెంచుతుంది. బాంబ్ కెల్ రెమీటర్ ఉష్ణబంధకం చేయబడి వుంటుంది. అందువల్ల కెలోరిమీటర్ నుంచి పరిసరాలకు ఉష్ణ వినిమయం జరగదు.

బాంబ్ కెలోరిమీటర్ చర్య జరిగేటపుడు పూర్తిగా మూసివుంచబడి వుంటుంది. కాబట్టి దాని ఘనపరిమాణంలో మార్పు ఉండదు. అంటే చర్యలో శక్తి మార్పులు స్థిర ఘనపరిమాణంలో జరిగిన వాటిగా అనుకొని కొలతలు చేయాలి. స్థిర ఘనపరిమాణం అంటే ΔU = 0, w = p ΔU = 0, అంటే చర్యలో పని ఏమీ జరగదు. చర్యలో వాయు పదార్థాలున్నప్పటికీ ఘనపరిమాణంలో మార్పురాదు. చర్య వల్ల కెలోరిమీటర్ పెరిగిన ఉష్ణోగ్రతను ఉపయోగించి కెలోరిమీటర్ ద్రవ్యరాశి, దాని ఉష్ణధారణ విలువల ద్వారా వెలువడిన ఉష్ణాన్ని (q₁) క్రింది సమీకరణం ఉపయోగించి గణించవచ్చు.
విశిష్టోష్టణం × ద్రవ్యరాశి = ఉష్ణధారణ
q = C × m × ΔT = C × ΔT ఇచ్చట c × m = C

ప్రశ్న 102.
ప్రయోగ పూర్వకంగా ఒక ప్రక్రియలో ఎంథాల్పీ మార్పు కొలిచే విధానం వివరించండి.
జవాబు:
ఎంథాల్పీ (H) స్థిర పీడనం మరియు ఉష్ణోగ్రత వద్ద వ్యవస్థకు, పరిసరాలకు మధ్య మార్పిడి జరిగే ఉష్ణపరిమాణాన్ని ఎంథాల్పీ (H) అంటారు.
ఎంథాల్పీ మార్పు (ΔH) = ΔU + PΔU (లేక) ΔH + ΔnRT
ΔU = అంతరికశక్తి మార్పు,
P = పీడనం,
ΔV = ఘనపరిమాణంలో మార్పు.
ఎంథాల్పీ స్థితి ప్రమేయం మరియు విస్తార ధర్మం.

ఎంథాల్పీ మార్పు (ΔH) = H_{క్రియాజన్యాలు} – H_{క్రియాజనకాలు}
స్థిరపీడనం వద్ద ఉష్ణశక్తి ΔH ని కొలవడం : మూత లేకుండా తెరచి వున్న కెలోరిమీటర్ సాధారణంగా వాతావరణ పీడనం దగ్గర వుంటుంది. వాతావరణ పీడనం స్థిరంగా వుంటుంది కాబట్టి కెలోరిమీటర్లో చర్య వల్ల వచ్చిన ఉష్ణ మార్పు స్థిరపీడనం వద్ద కొలిచిందిగా భావించవచ్చు. దీనిని రాస్తే ΔH కు సమానమవుతుంది. ΔH = q_p. కాబట్టి స్థిరపీడనం వద్ద కొలిచిన ఉష్ణమార్పు చర్యోష్ణం (అది వెలువడిన ఉష్ణం కావచ్చు లేదా గ్రహించబడిన ఉష్ణం కావచ్చు. లేదా చర్యా ఎంథాల్పి Δ_rH అవుతుంది.

ఉష్ణమోచక చర్యలో ఉష్ణం వెలువడుతుంది. అంటే వ్యవస్థ నుంచి పరిసరాలకు ఉష్ణం ఇవ్వబడుతుంది. అందువల్ల q_p రుణాత్మకమవుతుంది. Δ_rH కూడా రుణాత్మకం. అదేవిధంగా ఉష్ణగ్రాహక చర్యలో వ్యవస్థ లేదా చర్య ఉష్ణం గ్రహిస్తుంది. అంటే పరిసరాల నుంచి చర్యకు ఉష్ణం ఇవ్వబడుతుంది. దీనికి q_p ధనాత్మకం Δ_rH కూడా ధనాత్మకమే.

ప్రశ్న 103.
ఒక చర్య అయత్నీకృతమా కాదా అన్నది ఎంథాల్పీ, ఎంట్రోపీ, గిబ్స్ శక్తులు ఉపయోగించి వివరించండి.
జవాబు:
అయత్నీకృత చర్య : బాహ్యకారకం ప్రమేయం లేకుండా స్వచ్ఛందంగా జరిగే చర్యను అయత్నీకృత చర్య అంటారు. అయత్నీకృత చర్యలు అన్నీ ఉష్ణగతిక శాస్త్రం ప్రకారం, “అద్విగత చర్యలే”.

1. ప్రకృతిలో జరిగే చర్యలు అన్నీ అయత్నీకృత చర్యలే
2. అన్ని అయత్నీకృత చర్యలలో ఎంట్రోపీలో పెరుగుదల ఉంటుంది.
3. అయత్నీకృత చర్యలలో, ఎంథాల్పీ మార్పు (ΔS) = + ve
4. అయత్నీకృత చర్యలలో, ఎంథాల్పీ మార్పు (ΔH) = – ve
5. అయత్నీకృత చర్యల యొక్క నిబంధనను వివరించడానికి “గిబ్స్” ఒక ఉష్ణగతిక ప్రమేయాన్ని ప్రవేశపెట్టాడు. దానినే గిబ్స్ శక్తి అంటారు. ఈ గిబ్స్ శక్తికి, ఎంథాల్పీకి, ఎంట్రోపికి సంబంధం క్రింది విధంగా ఉంటుంది.

G = H – TS. దీనినే గిబ్స్ సమీకరణం అంటారు. అన్ని అయత్నీకృత చర్యలను
ΔG = – ve స్థిర ఉష్ణోగ్రత, మరియు పీడనం వద్ద జరిగే మార్పును గిబ్స్ సమీకరణాన్ని క్రింది విధంగా రాస్తారు.
ΔG = ΔH – TΔS
ΔS = + ve అయితే ప్రక్రియ అయత్నీకృతం
ΔS = – ve అయితే తిరోగామి చర్య అయత్నీకృతం
ΔS = 0, అయితే ప్రక్రియ సమతాస్థితితో ఉంటుంది.

అయత్నీకృత చర్యలు – నిబంధనలు :

చర్యల స్వచ్ఛందత లేదా అయత్నీకృతంపై ఉష్ణోగ్రత ప్రభావం

Students must practice these TS Inter 1st Year Maths 1B Study Material Chapter 9 Differentiation Ex 9(b) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1B Differentiation 9(b)

I.
Question 1.
Find the derivatives of the following functions. (V.S.A.Q.)
(i) cotⁿx
Answer:
Let y = cotⁿx
Then \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = – n cot^{n – 1}x (cosec²x)
= – n cot^n-1 x (cosec²x)
(∵ \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (cot x) = – cosec² x)

(ii) cosec⁴x
Answer:
Let y = cosec⁴x
Then \(\frac{d y}{d x}\) = 4 cosec³x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\) (cosec x)
= 4 cosec³x (- cosec x cot x)
= – 4 cosec⁴x cot x

(iii) tan (e^x)
Answer:
Let y = tan (e^x)
Then \(\frac{d y}{d x}\) = sec² (e^x) \(\frac{d}{d x}\) (e^x)
= e^x.sec²(e^x)

(iv) \(\frac{1-\cos 2 x}{1+\cos 2 x}\)
Answer:
Let y = \(\frac{1-\cos 2 x}{1+\cos 2 x}=\frac{2 \sin ^2 x}{2 \cos ^2 x}\) = tan² x
∴ \(\frac{d y}{d x}\) = 2 tan x \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (tan x)
= 2 tan x sec²x

(v) sin^mx cosⁿx
Answer:
Let y = sin^mx cosⁿx
Then \(\frac{d y}{d x}\) = sin^mx \(\frac{d}{d x}\) (cosⁿx) + cosⁿ\(\frac{d y}{d x}\)(sin^mx)
= sin^mx n cos^{n – 1}x (- sin x) + cosⁿx (m sin^{m – 1}x) cos x
= m cos^{n + 1}x sin^{m – 1}x – n sin^{m + 1}x cos^{n – 1}x

(vi) sin mx . cos nx
Answer:
Let y = sin mx cos nx
Then \(\frac{d y}{d x}\) = sin mx . \(\frac{d}{d x}\) (cos nx) + cos nx \(\frac{d}{d x}\) (sin mx)
= sin mx (- n sin nx) + cos nx (m cos mx)
= – n sin mx sin nx + m cos nx cos mx

(vii) x . tan^-1 x
Answer:
Let y = x . tan^-1x

(viii) sin^-1 (cos x)
Answer:
Let y = sin^-1 (cos x)

(ix) log (tan 5x)
Answer:
Let y = log (tan 5x)

(x) sinh^-1 \(\left(\frac{3 x}{4}\right)\)
Answer:

(xi) tan^-1 (log x)
Answer:
Let y = tan^-1 (log x)

(xii) log\(\left(\frac{x^2+x+2}{x^2-x+2}\right)\) (May 2006)
Answer:

(xiii) log [sin^-1 (e^x)]
Answer:
Let y = log [sin^-1 (e^x)]

(xiv) (sin x)² (sin^-1x)²
Answer:
Let y = (sin x)² (sin^-1x)²

(xv) \(\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\)
Answer:

(xvi) \(\frac{x\left(1+x^2\right)}{\sqrt{1-x^2}}\)
Answer:

(xvii) e^sin-1x
Answer:
Let y = e^sin-1x

(xviii) cos (log x + e^x
Answer:
Let y = cos (log x + e^x
\(\frac{d y}{d x}\) = – sin(log x + e^x) \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (log x + e^x)
= – sin (log x + e^x) (\(\frac{1}{x}\) + e^x)

(xix) \(\frac{\sin (x+a)}{\cos x}\)
Answer:

(xx) cot^-1 (cosec 3x)
Answer:
Let y = cot^-1 (cosec 3x)

Question 2.
Find the derivatives of the following functions. (V.S.A.Q.)
(i) x = sin h²y
Answer:

(ii) x = tanh²y
Answer:

(iii) x = e^{sinh y}
Answer:
\(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}\) = e^{sin hy} \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dy}}\) (sin hy)
= e^sinhy cos hy = x cos hy

(iv) x tan (e^-y)
Answer:
\(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dy}}\) = sec²(e^-y) \(\frac{d}{d y}\) (e^-y)
= – sec²(e^-y) (e^-y)
= – e^-y (1 + tan² (e^-y)) = – e^-y(1 + x²)

(v) x = log (1 + sin²y)
Answer:

(vi) x = log(1 + √y)
Answer:
1 + √y = e^x
√y = e^x – 1
y = (e^x – 1)²
∴ \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\) = 2(e^x – 1) . \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\) (e^x
= 2(e^x – 1) e^x
= 2√y (√y + 1) = 2(y + √y)

II. Find the derivatives of the following functions. (V.S.A.Q.)

(i) cos [log (cot x)]
Answer:
y = cos [log (cot x)]
Let cot x = u, log u = v, so that y = cos v

(ii) sin h^-1
Answer:

(iii) log [cot (1 – x²)]
Answer:
y = log [cot (1 – x²)]
Let 1 – x² = u, cot u = v, and y = log v

(iv) sin [cos (x²)]
Answer:
y = sin [cos (x²)]
Let x² = u, v = cos u and y = sin v
\(\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d v} \cdot \frac{d v}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}\)
= cos v(- sin u) (2x)
= – 2x cos (cos u) sin u
= – 2x cos [(cos (x²)] sin (x²)

(v) sin [tan^-1 (e^x)]
Answer:
y = sin [tan^-1 (e^x)]
Let e^x = u, tan^-1u = v and y = sin v

(vi) \(\frac{\sin (a x+b)}{\cos (c x+d)}\)
Answer:

(vii) tan^-1 (tanh \(\frac{x}{2}\))
Answer:

(viii) sin x (tan^-1x)
Answer:
Let y = sin x (tan^-1x)²

III. Find the derivatives of the following functions.

Question 1.
sin^-1\(\left(\frac{b+a \sin x}{a+b \sin x}\right)\) (a > o, b > 0) (E.Q.)
Answer:

Question 2.
cos^-1\(\left(\frac{b+a \cos x}{a+b \cos x}\right)\) (a > 0, b > 0) (E.Q.)
Answer:

Question 3.
tan^-1 \(\left(\frac{\cos x}{1+\cos x}\right)\)
Answer: