Srinivas

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 4th Lesson సమతలంలో చలనం to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 4th Lesson సమతలంలో చలనం

→ సదిశ : దిశ, పరిమాణము ఉన్న భౌతిక రాశులను సదిశలు అంటారు.
ఉదా : స్థానభ్రంశము, వేగము, బలము వంటివి.
సదిశలు త్రిభుజ నియమము లేదా సమాంతర చతుర్భుజ సంకలన న్యాయాన్ని పాటించాలి.

→ అదిశ : కేవలం పరిమాణము మాత్రమే ఉండి దిశ లేని రాశులను అదిశలు అంటారు. ఉదా : ద్రవ్యరాశి, వడి, దూరము వంటివి.

→ సదిశల సమానత్వము : రెండు సదిశలు A̅, B̅ లు దిశలోను, పరిమాణంలోను సమానంగా ఉంటే వాటిని సమాన సదిశలు అంటారు.

→ వాస్తవ సంఖ్యలతో సదిశాగుణకారాలు : సదిశలను ఒక ధన సంఖ్య λ చేత గుణించగా లేదా భాగించగా వచ్చే ఫలితం మరల సదిశ అవుతుంది. దాని దిశ మారదు కాని పరిమాణం మారుతుంది.
ఉదా : λ > 0 అయినప్పుడు |λA̅| = λ|A̅|
అనగా A̅ పరిమాణం λ రెట్లు పెద్దది. ఇదే విధంగా
\(\left|\frac{\vec{A}}{\lambda}\right|=\frac{1}{\lambda}|\bar{A}|\) అనగా A̅ పరిమాణం λ రెట్లు చిన్నది.

→ సదిశా సంకలనము : ఒకే తలంలో ఉన్న రెండు సదిశలు A̅, B̅ లను ఒకదాని తల మరొక దాని తోకతో ఏకీభవించే విధంగా జరిపితే అవి ఒక సరళరేఖ వెంబడి లేదా ఒక తలంలో ఉంటాయి.
a) ఒకే సరళరేఖ వెంబడి ఒకే దిశలో ఉంటే ఫలిత సదిశ
R̅ = A̅ + B̅

b) ఒకే సరళరేఖ వెంబడి వ్యతిరేక దిశలో ఉంటే ఫలిత సదిశ

c) ఒకే తలంలో A, B లు ఉంటే త్రిభుజ నియమం లేదా సమాంతర చతుర్భుజ నియమం ద్వారా సంకలనం,
వ్యవకలనం చేయవచ్చు.

→ త్రిభుజ నియమము : రెండు సదిశలను దిశలోను, పరిమాణంలోను ఒక త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాలుగా క్రమపద్ధతిలో సూచిస్తే ఆ త్రిభుజాన్ని పూర్తి చేయడానికి అవసరమైన మూడవ భుజాన్ని వ్యతిరేకదిశలో తీసుకుంటే అది ఫలిత సదిశను దిశలోను, పరిమాణంలోను సూచిస్తుంది.

→ సదిశా సంకలన నియమాలు :
1) సదిశా సంకలనము స్థిత్యంతర న్యాయాన్ని పాటిస్తుంది. అనగా A̅ + B̅ = B̅ + A̅
2) సదిశా సంకలనము సహచర న్యాయాన్ని పాటిస్తుంది.
అనగా (A̅ + B̅) + C̅ = A̅ + (B̅ + C̅)

→ ప్రమాణ సదిశ : ఏదైనా సదిశ పరిమాణము ఏకాంకమైతే (1 యూనిట్) దానిని ఏకాంక సదిశ అంటారు.
ప్రమాణ సదిశకు \(\frac{\overline{\mathrm{A}}}{|\overrightarrow{\mathrm{A}}|}\) = 1
Note : ఒక సమతలంలోని X, Y అక్షాల వెంబడి ప్రమాణ దిశలను i̅ మరియు j̅ లతోను, అంతరాళంలోని x, y, z అక్షాల దిశలలోని ప్రమాణ సదిశలను i̅, j̅ మరియు k̅ లతోను సూచిస్తారు.

→ శూన్య సదిశ : పరిమాణము శూన్యమై కేవలం దిశ మాత్రమే కలిగిన రాశిని శూన్య సదిశ అంటారు. దీనిని గె అని సూచిస్తారు.

ఉదా : A̅ – Ā = 0̅ అనగా |0̅| = 0, ఏదైనా సదిశను సున్నతో గుణిస్తే అది శూన్య సదిశ అవుతుంది. Ā × 0 = 0̅

→ స్థాన సదిశ : ఒక సమతలంలోని ఏదైనా సదిశను A̅ = A_xi̅ + A_yj̅ అని, అంతరాళంలో ఏదైనా సదిశను Ā = A_xī + A_yī + A_zk అని సూచిస్తారు. వీటిని స్థాన సదిశలు అంటారు.

→ సమదిశల విభేదనము (Resolution of Vectors) : ప్రతి సదిశను రెండు సదిశలుగా విభేదనం (Resolve) చేయవచ్చు. ఈ మూడు సదిశలు ఒకే సమతలంలో ఉంటాయి. ఈ విభజన ప్రాథమిక త్రికోణమితి నియమాల ఆధారంగా జరుగుతుంది.

ఉదా : A̅ అను సదిశ X-అక్షంతో ‘θ’ అను కోణం చేస్తుంది.
\(\overline{\mathrm{OB}}\) = A_x = A̅ cos θ;
\(\overline{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{B} A}\) = BA = A̅_y = A̅ sin θ

Note : A_x, A_y లను ఇస్తే ఫలిత సదిశ
A̅ = \(\sqrt{A_x^2+A_y^2}\) ఫలిత సదిశ X-అక్షంతో
చేసే కోణము tan θ = \(\frac{A_y}{A_x}\) లేదా θ = tan^-1\(\left[\frac{A_y}{A_x}\right]\)

→ సమాంతర చతుర్భుజ నియమము : ఒక బిందువు వద్ద ఏకకాలంలో పనిచేసే రెండు సదిశలను దిశలోను, పరిమాణంలోను ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క రెండు ఆసన్న భుజాలుగా చూపి ఆ సమాంతర చతుర్భుజాన్ని పూర్తిచేస్తే ఇచ్చిన సదిశల ఖండన బిందువు గుండా పోవు కర్ణము ఫలిత సదిశను దిశలోను,. పరిమాణంలోను సూచిస్తుంది.
ద్విమితీయ చలనము లేదా సమతలంలో చలనము :

→ ద్విమితీయ చలనంలో వస్తువుకు ఏక కాలంలో X-అక్షం వెంబడి మరియు Y-అక్షం వెంబడి చలనం ఉంటుంది. ఏదైనా క్షణంలో వస్తువు యొక్క మొత్తం చలనం X, Y-అక్షములు వెంబడి గల చలన సదిశల మొత్తంగా భావిస్తారు. ఉదా : వస్తువు మొత్తం స్థానభ్రంశము S̅ = S̅_x + S̅_y లేదా r̅ = xi̅ + yj̅

→ వస్తువు గమన పథంపై ఏ బిందువు వద్ద అయినా దాని వేగం అక్కడ గీసిన స్పర్శరేఖ (Tangent) వెంబడి ఉంటుంది.

→ ఏకమితీయ చలనంలో వస్తువు వేగం, త్వరణం ఎల్లపుడూ ఒకే సరళరేఖ వెంబడి సమాంతరంగా కాని లేక వ్యతిరేకంగా కాని ఉంటాయి. కాని ద్విమితీయ చలనంలో వేగము, త్వరణముల మధ్యకోణము 0° నుండి 180° మధ్య ఎంత అయినా ఉండవచ్చు.

→ ద్విమితీయ చలనాన్ని, ఏకకాలంలో రెండు లంబదిశలలో స్థిర వేగము లేదా స్థిర త్వరణము గల రెండు ఏకమితీయ, ఏకకాల చలనాలుగా భావించవచ్చు.

→ ప్రక్షేపకము : ఏదైనా వస్తువును గాలిలోనికి కొంత కోణంతో విసరితే (θ ≠ 90°) దానిని ప్రక్షేపకము అంటారు. ప్రక్షేపకము గమన పథము పరావలయము.
Note : ప్రక్షేపకం గమన పథము y = ax – bx² అనే రెండవ ఘాత రూపంలో ఉంటుంది. ఇటువంటి సమీకరణ గమన పథము పరావలయము.

→ గరిష్టోన్నతి : ప్రక్షేపకం గమన పథం మొత్తంలో క్షితిజ లంబదిశ (y-దిశ) లో గల అత్యధిక స్థానభ్రంశాన్ని గరిపోన్నతి (h_max) అంటారు.
ప్రక్షేపకం గరిష్ఠ ఎత్తు చేరడానికి పట్టే కాలము T = \(\frac{V_0 \sin \theta}{g}\)
గరిష్టాన్నతి h_max = \(\frac{V_0^2 \sin ^2 \theta}{2 g}\)

→ పలాయన కాలము లేదా ప్రక్షేపకం గాలిలో ఉన్న కాలము : వస్తువును గాలిలోనికి విసరిన క్షణం నుండి మరల అది నేలను తాకు వరకు పట్టిన కాలాన్ని పలాయన కాలము లేదా గాలిలో ఉన్న కాలము అంటారు.
పలాయన కాలము T = 2 × గరిష్టోన్నతి కాలము = \(\frac{2 V_0 \sin \theta}{\mathrm{g}}\)

→ క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి (Range) : వస్తువును గాలిలోనికి ప్రక్షిప్తం చేసిన బిందువు (x + y = 0) నుండి మరల అది క్షితిజ సమాంతర తలాన్ని (y = 0) తాకిన బిందువుకి మధ్యగల దూరాన్ని క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి అంటారు.
వ్యాప్తి R = \(\frac{2 V_0^2 \sin 2 \theta}{g}\)

→ ఏకరీతి వృత్తాకార చలనము : ఏదైనా వస్తువు స్థిరవడితో వృత్తాకార మార్గం వెంబడి చలిస్తుంటే దానిని ఏకరీతి వృత్తాకార చలనం అంటారు. ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో వస్తువు వేగం, దిశ నిరంతరం మారుతుంటుంది. కాబట్టి ఆ వస్తువుపై త్వరణం నిరంతరం పని చేస్తుంది.

→ వృత్తాకారచలనంలో వస్తువు వేగము V ఎల్లపుడు వ్యాసార్ధము r కి లంబంగా ఉంటుంది.

→ వృత్తాకారచలనంలో వస్తువుపై V²/R పరిమాణం గల త్వరణం నిరంతరం వృత్త కేంద్రంవైపు పనిచేస్తుంది. దీనిని అభిలంబ త్వరణము అంటారు.
అభిలంబ త్వరణము a_⊥ = V²/R లేదా a_⊥ = ω²R

→ వస్తువు వృత్తాకార మార్గంలో తిరగడానికి ఒక బలం నిరంతరం వృత్త కేంద్రంవైపు పనిచేయాలి. దీనిని అభికేంద్రం బలం అంటారు. అభికేంద్ర బలం = mV²/R

→ భ్రమణ ఆవర్తన కాలము (T) = స్థిరవడితో వృత్త పరిధిపై ఒకసారి పూర్తి భ్రమణం చేయడానికి పట్టిన కాలాన్ని భ్రమణ ఆవర్తన కాలము ‘T’ అంటారు.
Note : పౌనఃపున్యము

కోణీయ వేగము ω = 2πυ, రేఖీయ వేగము V = 2πυR.

→ ఒకే దిశలో ఉన్న P, Q అను సమాంతర సదిశల ఫలిత సదిశ R = P + Q

→ వ్యతిరేక దిశలో ఉన్న P, Q అను సమాంతర సదిశల ఫలిత సదిశ R = P – Q
Ā అను ఒక సదిశను అంశ సదిశలుగా విభజిస్తే A̅_y = Ā cos θ
A̅_y = A̅ sin θ. ఇందులో ‘θ’ X-అక్షంతో A̅ చేయు కోణము.

→ సమాంతర చతుర్భుజ నియమం నుండి P, Q అను అనుషక్త సదిశల ఫలిత సదిశ R̅ = \(\sqrt{\overline{\mathrm{P}}^2+\overline{\mathrm{Q}}^2+2 \overline{\mathrm{P}} \overline{\mathrm{Q}} \cos \theta}\)
ఫలిత సదిశ (R̅)X-అక్షంతో చేయు కోణము a = tan^-1\(\left[\frac{\overline{\mathrm{Q}} \sin \theta}{\overline{\mathrm{P}}+\overline{\mathrm{Q}} \cos \theta}\right]\)
P̅, Q̅ సదిశల బేధము = R_diff = \(\sqrt{\overline{\mathrm{P}}+\overline{\mathrm{Q}}-2 \overline{\mathrm{P}} \overline{\mathrm{Q}} \cos \theta}\)

→ a̅, b̅ అను రెండు సదిశలను ఒక త్రిభుజం యొక్క రెండు ఆసన్న భుజాలుగా క్రమపద్ధతిలో
చూపితే ఫలిత సదిశ c̅ = a̅ + b̅

→ రెండు వస్తువులు (A, B) ఒకే దిశలో V_A, V_B వేగాలతో చలిస్తే వాటి సాపేక్ష వేగము V_R = V_A – V_B

→ రెండు వస్తువులు (A. B) వ్యతిరేక దిశలలో V_A, V_B వేగాలతో చలిస్తే సాపేక్ష వేగము = V_R = V_A + V_B

→ నదిని అతి తక్కువ దూరంలో దాటడం : నదిని అతి తక్కువ దూరంలో దాటాలంటే ప్రవాహవేగానికి ఎదురుదిశలో
పడవ నడపవలసిన కోణము θ = sin^-1\(\left[\frac{v_{\mathrm{WE}}}{\mathrm{v}_{\mathrm{BW}}}\right]\)
V_WA : నేల దృష్ట్యా నీటి వేగము ; V_BE : నేల దృష్ట్యా బోటు వేగము

→ నేల దృష్ట్యా బోటు వేగము V_BE = \(\sqrt{\mathrm{V}_{\mathrm{BW}}^2-\mathrm{V}_{\mathrm{WE}}^2}\)
V_BE = నదిలోని నీటితో పోల్చితే బోటు వేగము

→ నదిని దాటడానికి పట్టిన కాలము t

→ నదిని అతి తక్కువ కాలంలో దాటడం :
నదిని దాటడానికి పట్టిన కాలము

V_BE = ప్రవాహంతో పోలిస్తే బోటు వేగము

→ బోటు ఫలిత వేగము V_R = \(\sqrt{\mathrm{v}_{\mathrm{BW}}^2-\mathrm{v}_{\mathrm{WE}}^2}\)

→ ప్రవాహదిశతో బోటు చేయు కోణము θ = tan^-1\(\left[\frac{V_{\mathrm{WE}}}{\mathrm{V}_{\mathrm{BE}}}\right]\)

→ ప్రక్షేపకాలలో
ఒక వస్తువును క్షితిజ సమాంతర దిశతో ‘θ’ కోణం చేస్తూ ప్రక్షేపించబడిన, ప్రక్షేపకం యొక్క వేగం క్షితిజ సమాంతర అంశం u_x = u cos θ. u_x విలువ, చలనం అంతటా స్థిరంగా ఉండిపోతుంది.

→ వేగం యొక్క లంబ అంశము u_y = u sin θ. ఈ అంశము కాలముతో పాటు మారుతుంది.

→ ప్రయాణకాలం T = \(\frac{2 \mathrm{u} \sin \theta}{\mathrm{g}}\), గరిష్ఠ ఎత్తు H_max = \(\frac{\mathrm{u}^2 \sin ^2 \theta}{2 \mathrm{~g}}\), క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి R = \(\frac{\mathrm{u}^2 \sin 2 \theta}{\mathrm{g}}\)

→ t సెకనుల తరువాత, ప్రక్షేపక వేగం v = \(\sqrt{v_x^2+v_y^2}\); v_x = u_x = u cos θ మరియు v_x = u sin θ – gt

→ వేగ సదిశ ‘v’ క్షితిజ సమాంతరంతో చేయు కోణం α = tan^-1\(\left[\frac{v_y}{v_x}\right]\) v_y = u sin θ – gt మరియు v_x = u cos θ.

→ ప్రక్షిప్త కోణాలు θ మరియు (90- θ) లకు క్షితిజ సమాంతర వ్యాప్తి సమానము. θ = 45° అయిన వ్యాప్తి గరిష్ఠము.
R_max = \(\frac{u^2}{\mathrm{~g}}\) మరియు h_max = \(\frac{\mathrm{u}^2}{4 \mathrm{~g}}\)

→ R_max మరియు h_max ల మధ్య సంబంధము R_max = 4 h_max

→ పూరక కోణాల ఎత్తులు h₁ మరియు h₂ అయిన h₁ + h₂ = \(\frac{u^2}{4 \mathrm{~g}}\); R = 4\(\sqrt{\mathrm{h}_1 \mathrm{~h}_2}\); R_max = 2(h₁ + h₁)

→ క్షితిజ సమాంతర ప్రక్షేపకం యొక్క అవరోహణ కాలం t = \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{~h}}{\mathrm{~g}}}\)

→ క్షితిజ సమాంతర ప్రక్షేపకం యొక్క వ్యాప్తి R = u × t = u\(\sqrt{\frac{2 \mathrm{~h}}{\mathrm{~g}}}\).

→ కాలం ‘t’ సెకనుల తరువాత ప్రక్షేపకం వేగము v = \(\sqrt{v_x^2+v_y^2}\)
ఇందులో v_x = u_x : v_x = gt
v = \(\sqrt{\mathrm{u}^2+\mathrm{g}^2 \mathrm{t}^2}\)

→ వేగ సదిశ ‘v’, x-అక్షముతో చేయు కోణం α = tan^-1\(\left[\frac{v_y}{v_x}\right]\) కాని v_x = u, v_y = gt
∴ α = tan^-1\(\left[\frac{\mathrm{gt}}{\mathrm{u}}\right]\)

Students must practice these TS Intermediate Maths 1A Solutions Chapter 2 Mathematical Induction Ex 2(a) to find a better approach to solving the problems.

TS Inter 1st Year Maths 1A Mathematical Induction Solutions Exercise 2(a)

Using Mathematical Induction prove each of the following statement for all n ∈ N.

Question 1.
1² + 2² + 3² + …………. + n² = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
Answer:
Let S(n) be the given statement
1² + 2² + 3² + …………. + n² = \(\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)
Since 1² = \(\frac{1(1+1)(2+1)}{6}\)
⇒ 1 = 1; the statement is true for n = 1
Suppose the statement is true for n = k then
(1² + 2² + 3² + ………….. + k²) + \(\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}\)
We have to prove that the statement is true for n = k + 1 also then
(1² + 2² + 3² + …………… + k²) + (k + 1)²

∴ The statement is true for n = k + 1 also.
∴ By the principle of Finite Mathematical Induction S(n) is true for all n ∈ N.
i.e., 1² + 2² + 3² + ……….. + n² = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)(2 \mathrm{n}+1)}{6}\), ∀ n ∈ N

Question 2.
2.3 + 3.4 + 4.5 + ………………. upto n terms = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\) (March 13, May 06)
Answer:
Let S(n) be the statement.
The n^th term of 2.3 + 3.4 + 4.5 + …………… is (n + 1) (n + 2)
∴ 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + …………….. + (n + 1) (n + 2)
= \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\)
Now S(1) = 2 . 3 = \(\frac{1\left(1^2+6+11\right)}{3}\) = 6
∴ The statement is true for n = 1.
Suppose that the statement is true for n = k, then 2.3 + 3.4 + 4.5 + …………….. + (k + 1) (k + 2)
= \(\frac{k\left(k^2+6 k+11\right)}{3}\)
Adding (k + 1) th term of L.H.S both sides
S(k + 1) = 2.3 + 3.4 + 4.5 + ……………. + k (k + 1) (k + 2) + (k + 2) (k + 3)

∴ S(k + 1) = \(\frac{1}{3}\) (k + 1) [k² + 2k + 1 + 6 (k + 1) + 11]
= \(\frac{1}{3}\) (k + 1) [(k + 1)² + 6(k + 1) + 11]
∴ The statement is true for n = k + 1
So by the principle of Finite Mathematical Induction S(n) is true ∀ n ∈ N
∴ 2 . 3 + 3 . 4 + 4 . 5 + ……………. + (n + 1) (n + 2) = \(\frac{n\left(n^2+6 n+11\right)}{3}\)

Question 3.
\(\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}\) + ……………. + \(\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}\) = \(\frac{n}{2 n+1}\) (May 2014)
Answer:
Let S_n be the statement
\(\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}\) + ……………. + \(\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}\)
Then S(1) = \(\frac{1}{1 \cdot 3}=\frac{1}{2(1)+1}=\frac{1}{3}\)
∴ S(1) is true.
Suppose the statement is true for n = k, then
S(K) = \(\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\ldots .+\frac{1}{(2 k-1)(2 k+1)}\) = \(\frac{\mathbf{k}}{2 \mathbf{k}+1}\)
We have to show that the statement is true for n = k + 1 also,

The statement S(n) is true for n = k + 1
∴ By the principle of Mathematical Induction S(n) is true for all n ∈ N.
∴ \(\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}\) + ……………. + \(\frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}\) = \(\frac{n}{2 n+1}\)

Question 4.
4³ + 8³ + 12³ + ………… + upto n terms = 16n² (n + 1)²
Answer:
4, 8, 12, are in A.P. and nth term of A.P. is = a + (n – 1) d
= 4 + (n – 1) 4 = 4n
Let S(n) be the statement
4³ + 8³ + 12³ + ……………… + (4n)³ = 16n² (n + 1)²
Let n = 1, then
S(1) = 4³ = 16 (1 + 1)² = 64
∴ The statement is true for n = 1 also.
Suppose the statement is true for n = k then
4³ + 8³ + 12³+ ……………… + (4k)³ = 16k² (k + 1)²
We have to prove that the result is true for n = k + 1 also. Adding (k + 1) th term
= [4 (k + 1)]³ = [4k + 4]³ both sides
4³ + 8³ + 12³ + ……………….. + (4k)³ + (4k + 4)³
= 16k³ (k + 1)² + [4 (k + 1)]³
= 16 (k + 1)2 [k² + 4k + 4]
= 16 (k + 1)² (k + 2)²
= 16 (k + 1)² [(k + 1) + 1]²
Hence the result is true for n = k + 1.
∴ By the principle of Mathematical Induction S(n) is true ∀ n ∈ N.
∴ 4³ + 8³ + 12³ + ……………….. + (4n)³ = 16n² (n + 1)²

Question 5.
a + (a + d) + (a + 2d) + ……………… upto n terms = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
Answer:
Let S(n) be the statement
a + (a + d) + (a + 2d) + + [a + (n – 1) d] = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n – 1) d]
Now S(1) is a = \(\frac{1}{2}\) [2a + 0 (d)] = a
∴ S(1) is true.
Assume that the statement is true for n = k
∴ S(k) = a + (a + d) + (a + 2d) + ……………….. + [a + (k – 1) d]
= \(\frac{k}{2}\) [2a + (k – 1) d]
We have to prove that the statement is true for n = k + 1 also.
Adding a + kd both sides
a + (a + d) + ……………. + [a + (k – 1) d] + [a + kd]

∴ The statement is true for n = k + 1 also
∴ By the principle of Mathematical Induction.
S(n) is true for all n ∈ N
∴ a + (a + d) + (a + 2d) + + [a + (n – 1) d] = \(\frac{n}{2}\) [2a + (n -1) d]

Question 6.
a + ar + ar² + ………………… + n terms = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1 (March 2011)
Answer:
Let S(n) be the statement
a + ar + ar² + ………….. + ar^{n – 1} = \(\frac{\left(\mathrm{r}^{\mathrm{n}}-1\right)}{\mathrm{r}-1}\), r ≠ 1
Then S(1) = a = \(\frac{a\left(r^1-1\right)}{r-1}\) = a
∴ The result is true for n = 1
Suppose the statement is true for n = k then
a + ar + ar² + …………… + ar = \(\frac{a\left(r^k-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1
We have to prove that the result is true for n = k + 1 also.
Adding ar^k both sides
(a + ar + ar² + ………….. + ar^{k – 1} + ar^k)

∴ The statement is true for n = k + 1 also
∴ By the principle of Mathematical Induction p(n) is true for all n ∈ N
a + ar + ar² + ………………… + n terms = \(\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}\), r ≠ 1

Question 7.
2 + 7 + 12 + ………. + (5n – 3) = \(\frac{n(5 n-1)}{2}\)
Answer:
Let S(n) be the statement
2 + 7 + 12 + ………. + (5n – 3) = \(\frac{n(5 n-1)}{2}\) = \(\frac{1(5-1)}{2}\) = 2,
Since S(1) = 2,
S(1) is true.
Suppose the statement is true for n k then
(2 + 7 + 12 + ………….. + (5k – 3) = \(\frac{k(5 k-1)}{2}\)
We have to show that S(n) is true for n = k + 1 also.
Adding (k + 1)th term 5 (k + 1) – 3 = 5k + 2 both sides
[2 + 7 + 12 + ……. + 5k – 3)] + (5k + 2)

∴ S(n) is true for n = k + 1 also
∴ By the principal of Mathematical Induction
S(n) is true ∀ n ∈ N
∴ 2 + 7 + 12 + …………… + (5n – 3) = \(\frac{n(5 n-1)}{2}\).

Question 8.
\(\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots \ldots \ldots\left(1+\frac{2 n+1}{n^2}\right)\) = (n + 1)² (March 2015-A.P)
Answer:
Let S_n be the statement

∴ S(n) is true for n = 1
Suppose S_n is true for n = k then
\(\left(1+\frac{3}{1}\right)\left(1+\frac{5}{4}\right)\left(1+\frac{7}{9}\right) \ldots \ldots\left(1+\frac{2 \mathrm{k}+1}{\mathrm{k}^2}\right)\)
= (k + 1)² ………………. (1)
We have to prove that the statement is true for n = k + 1 also
(k + 1) th term is

= k² + 4k + 4
= (k + 2)²
∴ S(n) is true for n = k + 1 also
∴ By the principal of Mathematical Induction S(n) is true for ∀ n ∈ N

Question 9.
(2n + 1) < (n + 3)²
Answer:
Let S(n) be the statement
When n = 1, then 9 < 16
∴ S(n) is true for n = 1
Suppose S(n) is true for n = k
then(2k + 7) < (k + 3)² …………….. (1)
We have to prove that the result is true for n = k + 1
i.e., 2(k + 1) + 7 < (k + 4)²
∴ 2 (k + 1) + 7 = 2k + 2 + 7 = (2k + 7) + 2 < (k + 3)² + 2 (From (1))
= k² + 6k + 9 + 2
= k² + 6k + 11 < (k² + 6k + 11) + (2k + 5)
= k² + 8k + 16
= (k + 4)²
∴ S(n) is true for n = k + 1 also
By principle of Mathematical Induction
S(n) is true ∀ n ∈ N

Question 10.
1² + 2² + ……………. + n² > \(\frac{n^3}{3}\)
Answer:
Let S(n) be the statement
When n = 1, then 1 > \(\frac{1}{3}\)
∴ S(n) is true for n = 1
Assume S(n) to be true for n = k then
1² + 2² + ……………. + k² > \(\frac{k^3}{3}\)
We have to prove that the result is true for n = k + 1 also.

∴ S(n) is true for n = k + 1 also
∴ By principle of Mathematical Induction.
S(n) is true ∀ n ∈ N

Question 11.
4ⁿ – 3n – 1 is divisible by 9
Answer:
Let S(n) be the statement,
4ⁿ – 3n – 1 is divisible by 9
For n = 1, 4 – 3 – 1 = 0 is divisible by 9
∴ Statement S(n) is true for n = 1.
Suppose the statement S(n) is true for n = k
Then 4^k – 3k – 1 is divisible by 9.
∴ 4^k – 3k – 1 = 9t for t ∈ N ……………. (1)
We have to show that statement is true for n = k + 1 also.
From (1), 4^k = 9t + 3k + 1
∴ 4^{k + 1} – 3 (k + 1) – 1 = 4 . 4^k – 3 (k + 1) – 1
= 4 (9t + 3k + 1) – 3k – 3 – 1
= 4 (9t) + 9k
= 9 (4t + k) divisible by 9
(∵ 4t + k is an integer)
Hence, S(n) is true for n = k + 1 also.
∴ 4^{k + 1} – 3 (k + 1) – 1 is divisible by 9
∴ The statement is true for n = k + 1
∴ By the principle of Mathematical Induction.
S(n) is true for all n e K
∴ 4n – 3n – 1 is divisible by 9

Question 12.
3.5^{2n + 1} + 2^{3n + 1} is divisible by 17 (May 2012, 2008)
Answer:
Let S_n be the statement
3.5^{2n + 1} + 2^{3n + 1} is divisible by 17
S(1) is 3 . 5^{2(1) + 1} + 2^{3 (1) + 1}
= 3 . 5³ + 2⁴ = 3 (125) + 16
= 375 + 16 = 391 is divisible by 17
Hence, S(n) is true for n = 1.
Suppose that the statement is true for n = k, then
3.5^{2k + 1} + 2^{3k + 1} is divisible by 17 and
3.52^{k + 1} + 2^{3k + 1} = 17t for t ∈ N
then we have to show that the result is true for n = k + 1 also
Consider 3.5^{2(k + 1)} + 1 + 2^{3(k + 1)} + 1
= 3.5^{2k + 1} . 5² + 2^{3(k + 1)} . 2
= (17t – 2^{3k + 1}) 5² + 2^{3k + 3} . 2
= 17t (25) – 2^3k (50) + 2^3k (16)
= 17 t (25) + 2^3k (16 – 50)
= 17 t (25) – 34 2^3k
= 17 [25t – 2^{3k + 1}
25t – 2^{3k + 1} is an integer.
∴ 3.5^{2(k + 1) + 1} + 2^{3 (k + 1) + 1} is divisible by 17.
∴ The statement S(n) is true for n = k + 1 also.
∴ By the principle of Mathematical induction S(n) is true for ∀n ∈ N
∴ 3.5^{2n + 1} + 2^{3n + 1} is divisible by 17

Question 13.
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ……………. upto n terms = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\). (March 2015-T.S) (Mar. 08)
Answer:
The n^th term of the given series is n (n + 1) (n + 2) and let S_n be the statement.
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ……………. + n (n + 1) (n + 2)
= \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\)
For n = 1
S(1) = 1.2.3 = 6
= \(\frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4}\)
= \(\frac{2(3)(4)}{4}\) = 6
∴ S(n) is true for n = 1
Let S(n) is true for n = k then
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ……………. + k (k + 1) (k + 2)
= \(\frac{\mathrm{k}(\mathrm{k}+1)(\mathrm{k}+2)(\mathrm{k}+3)}{4}\) …………….. (1)
We have to prove that the result is true for n = k + 1 also.
Adding (k + 1) th term, (k + 1) (k + 2) (k + 3) both sides we get
1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ……………. + k(k + 1)(k + 2) + (k + 1) (k + 2) (k + 3)

∴ S(n) is true for n = k + 1 also.
Hence by the principle of Mathematical Induction.
S(n) is true for ∀n ∈ N
∴ 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ……………. + n (n + 1) (n + 2) = \(\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\)

Question 14.
\(\frac{1^3}{1}+\frac{1^3+2^3}{1+3}+\frac{1^3+2^3+3^3}{1+3+5}\) + ……………… upto n terms = \(\frac{n}{24}\) (2n² + 9n + 13). (Mar. 14, 04, 05)
Answer:
The n^th term of the given series is

Question 15.
1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ……………. upto n terms = \(\frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}\). (March 2012)
Answer:
Let S(n) be the statement and
nth term of series is 1² + 2² + 3² + ……………… + n²
∴ S(n) = 1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ……… + (1² + 2² + 3² + ………………. + n²)

∴ S(n) is true for n = 1.
Suppose S(n) is true for n = k then
1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ……… + (1² + 2² + 3² + ………………. + k²) = \(\frac{k(k+1)^2(k+2)}{12}\)
Now we have to prove that S(k + 1) is true.
So 1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + ……… + (1² + 2² + 3² + ………………. + k²) + (1² + 2² + 3² + ……………. + k² + (k + 1)²

∴ The statement S(n) hold for n = k + 1 also
∴ By the principle of Mathematical Induction S(n)is true ∀n ∈ N.
∴ 1² + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + (1² + 2² + 3² + …………… + n²) = \(\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)^2(\mathrm{n}+2)}{12}\)

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 2nd Lesson ప్రమాణాలు, కొలత Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 2nd Lesson ప్రమాణాలు, కొలత

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
యథార్థత, ఖచ్చితత్వాల మధ్య తేడాను రాయండి.
జవాబు:
యథార్థత (Accuracy) : మనం కొలిచిన విలువ మనం కొలవవలసిన భౌతికరాశి నిజమైన విలువకు ఎంత దగ్గరగా ఉన్నదో తెలియజేయు కొలమానాన్ని యథార్థత అంటారు.

ఖచ్చితత్వము (Precision) : ఖచ్చితత్వము అనేది మనం ఒక పరికరంతో ఎంత కనిష్ఠ అవధి వరకు ఇచ్చిన భౌతికరాశిని కొలవగలమో తెలియజేస్తుంది.
మనం కొలవగలిగిన కనిష్ఠ అవధి ఎంత తక్కువ ఐతే ఆ పరికరం ఖచ్చితత్వం అంత ఎక్కువ.

ప్రశ్న 2.
కొలతలో వచ్చే వివిధ రకాల దోషాలు ఏవి ?
జవాబు:
భౌతిక రాశుల కొలతలలో సంభవించగల దోషాలు రెండు రకాలు.

1. క్రమదోషాలు,
2. యాదృచ్ఛిక దోషాలు.

క్రమదోషాలను మరల 1) స్థిర దోషాలు, 2) వ్యక్తిగత దోషాలు, 3) పరిసర సంబంధిత దోషాలు, 4) ప్రయోగ విధాన కౌశలం లేక ప్రయోగ పద్ధతిలోని అసమగ్రత వలన కలుగు దోషాలుగా విభజించినారు.

ప్రశ్న 3.
క్రమదోషాలను ఏ విధంగా కనిష్ఠం చేయవచ్చు లేదా తొలగించవచ్చు ? (మార్చి 2014)
జవాబు:
1) ప్రయోగ టెక్నిక్లలను మెరుగుపరచుకొని, 2) శ్రేష్ఠమైన పరికరాలను వాడి, 3) అనేక రీడింగులను తీసుకొని కొలతలో సంభవించగల క్రమదోషాలను అంచనా వేసి తగిన సవరణ చేయడం వల్ల క్రమదోషాలను తగ్గించవచ్చు.

ప్రశ్న 4.
కొలత ఫలితాన్ని అందులో ఉండే దోషాన్ని సూచిస్తూ ఏ విధంగా నివేదిస్తారో ఉదాహరణలతో వివరించండి.
జవాబు:
కొలతల ఫలితాలను నివేదించే పద్ధతి : సాధారణ మీటరు స్కేలుతో 1 మి.మీ. వరకు కొలత ఖచ్చితంగా కొలవగలము. ఇటువంటి స్కేలుతో ఒక కడ్డీ పొడవు 62.5 సెం.మీ. అని కొలిచామనుకోండి. ఈ కొలతను 62.5 ± 0.1 అని చూపాలి. అంటే మన కొలత 0.1 సెం.మీ. లేదా 1 మి.మీ. వరకు ఖచ్చితమైనది అని తెలుపుతుంది.

ఇదే విధంగా లఘులోలకం ప్రయోగంలో డోలనావర్తన కాలము 2 సెకనులుగా కొలిస్తే దానిని 2.0 ± 0.1 గా చూపితే ఇందులో 0.1 మనం వాడిన ఆపు గడియారం కనీసపు కొలతను సూచిస్తూ మన ప్రయోగ విలువ మొదటి దశాంశము వరకు నమ్మదగినది అని తెలుపుతుంది.

ప్రశ్న 5.
సార్థక సంఖ్యలంటే ఏవి ? ఒక కొలత ఫలితాన్ని నివేదించేటప్పుడు అవి ఏమి సూచిస్తాయి ?
జవాబు:
ప్రయోగంలో నమోదు చేసిన కొలతల ఫలితం ఒక సంఖ్య. ఈ సంఖ్యలో మనం ప్రయోగం ద్వారా పొందిన నమ్మదగిన అంకెలతో పాటు అనిశ్చితత్వాన్ని తెలియజేసే మరొక సంఖ్యను కూడా కలిపి సార్థక సంఖ్యలు అంటారు.

ప్రయోగ ఫలితంలో సార్థక సంఖ్యల కన్నా ఎక్కువ అంకెల వల్ల ప్రయోజనం లేకపోగా అవి ఖచ్చితత్వానికి సంబంధించి తప్పుడు అభిప్రాయం కలుగచేస్తాయి.

ప్రశ్న 6.
ప్రాథమిక ప్రమాణాలు, ఉత్పన్న ప్రమాణాల మధ్య తేడాలు రాయండి. (మే 2014)
జవాబు:
ప్రాథమిక లేక మూల రాశులను కొలిచే ప్రమాణాలు ప్రాథమిక ప్రమాణాలు.
ఉదా : పొడవు – మీటరు, ద్రవ్యరాశి → కి.గ్రా.
ఉత్పన్న రాశులను కొలిచే ప్రమాణాలను ఉత్పన్న ప్రమాణాలు అంటారు. ఉత్పన్న ప్రమాణాలు ప్రాథమిక ప్రమాణాల కలయిక వల్ల ఏర్పడతాయి. ఉదా : వేగము మీటరు / సెకను

ప్రశ్న 7.
ఒకే భౌతికరాశికి వేరువేరు ప్రమాణాలు ఎందుకు ఉంటాయి ?
జవాబు:
భౌతిక రాశుల పరిమాణము అత్యల్ప విలువల నుండి అత్యధిక విలువల వరకు విస్తృత పరిధిలో మారే అవకాశం ఉండటం వల్ల ఒక రాశిని ఖచ్చితంగా కొలవడానికి వేరు వేరు ప్రమాణాలు అవసరమవుతాయి.

ఉదా : పరమాణువుల మధ్య దూరాన్ని కొలవడానికి ఆంగ్జామ్ యూనిట్ను వాడతారు. 1 Å = 10^-8 m. సుదూర నక్షత్రాల మధ్య దూరాలను కొలవడానికి కాంతి సంవత్సరాన్ని ప్రమాణంగా వాడతారు.

ప్రశ్న 8.
మితీయ విశ్లేషణ అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
భౌతిక రాశుల మధ్య ప్రవర్తన వివరించడానికి (1) ఒకే మితులు కలిగిన భౌతిక రాశులను కలపడం లేదా వ్యవకలనం చేయడం జరుగుతుంది. (2) భౌతిక రాశుల మధ్య నిర్దిష్ట సంబంధాలు రాబట్టడానికి, ఆ సమీకరణాల యథార్థత పరిశీలించడానికి మితుల ఆధారంగా ఉపయోగించే పద్ధతులను మితి విశ్లేషణ అంటారు.

ప్రశ్న 9.
కేంద్రకం వ్యాసార్ధంతో పోలిస్తే పరమాణు వ్యాసార్ధం పరిమాణ క్రమాలలో ఎంత ఎక్కువగా ఉంటుంది ?
జవాబు:
పరమాణు పరిమాణము 10^-10 m స్థాయిలో ఉంటుంది.
కేంద్రక పరిమాణము 10^-14 m స్థాయిలో ఉంటుంది.
కావున పరమాణు పరిమాణము, కేంద్రక పరిమాణ క్రమాల విలువ 10^-10 ÷ 10^-14 = 10⁴.
అనగా పరమాణు పరిమాణం, కేంద్రక పరిమాణము కన్నా సుమారు 10⁴ రెట్లు ఎక్కువ.

ప్రశ్న 10.
ఏకీకృత పరమాణు ద్రవ్యరాశి ప్రమాణాన్ని కి.గ్రా.లో వ్యక్తం చేయండి.
జవాబు:
ఏకీకృత పరమాణు ప్రమాణము (1 a.m.u.) కర్బన ఐసోటోపు ఐన \({ }_6^{12} \mathrm{C}\) పరమాణు ద్రవ్యరాశిలో \(\frac{1}{12}\)వ సమానము.
1 a.m.u. = \(\frac{1}{12}\) \({ }_6^{12} \mathrm{C}\) = 1.66 × 10^-27 కి.గ్రా.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఒక పరికరం వెర్నియర్ స్కేలు 50 విభాగాలు కలిగి ఉంది. ఇవి ప్రధాన స్కేలుపై ఉండే 49 విభాగాలతో ఏకీభవిస్తాయి. ప్రధాన స్కేలులోని ప్రతి విభాగం విలువ 0.5 mm. అయితే ఈ పరికరంతో కొలిచే దూరంలో కనిష్ఠ యథార్థతారాహిత్యం ఎంత ఉంటుంది ?
జవాబు:
వెర్నియర్ కాలిపర్స్ కొలవగల కనీస కొలత L.C. = \(\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{N}}\)
ప్రధాన స్కేలు విభాగాల మధ్య దూరము S = 0.5 మి.మీ.
వెర్నియర్ స్కేలు విభాగాల సంఖ్య N = 50
∴ వెర్నియర్ కాలిపర్స్ కనీస కొలత L.C. = \(\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{N}}=\frac{0.5}{50}=\frac{0.1}{10}=\frac{1}{100}\) మి.మీ.

ప్రశ్న 2.
ప్రమాణాల ఒక వ్యవస్థలో బలానికి ప్రమాణం 100 N, పొడవుకు ప్రమాణం 10m, కాలానికి ప్రమాణం 100s. ఈ వ్యవస్థలో ద్రవ్యరాశికి ఉండే ప్రమాణం ఏది ?
జవాబు:
బలము (F) కు మితి ఫార్ములా F = MLT^-2 → 1
బల ప్రమాణము F = 100 N, పొడవు L = 10 మీ., కాలము T = 100 సె.
1వ సమీకరణము నుండి M = \(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{LT}^{-2}}\)
ద్రవ్యరాశి ప్రమాణము = \(=\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{LT}^{-2}}\) = 10⁵ కి. గ్రా.

ప్రశ్న 3.
భూమి నుంచి ఒక గెలాక్సీ దూరం 10²⁵ m ల క్రమంలో ఉంది. గెలాక్సీ నుంచి కాంతి మనల్ని చేరేందుకు పట్టే కాలం పరిమాణక్రమాన్ని గణించండి.
జవాబు:
గెలాక్సీ దూరము d = 10²⁵ మీ., కాంతివేగము C = 3 × 10⁸ మీ/సె
కాంతి ప్రయాణించిన కాలము t = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{c}}=\frac{10^{25}}{3 \times 10^8}=\frac{1}{3}\) × 10¹⁷ = 0.333 × 10¹⁷ సెకనులు
కాలం క్రమం నిర్ణయించడంలో ’10’ యొక్క ఘాతం విలువ మాత్రమే లెక్కలోనికి తీసుకుంటారు.
∴ కాలం పరిమాణక్రమం = 10¹⁷.

ప్రశ్న 4.
భూమి-చంద్రుల మధ్య దూరం భూవ్యాసార్ధానికి సుమారు 60 రెట్లు. చంద్రుడి నుంచి చూస్తే భూమి వ్యాసం సుమారుగా ఎంత ఉంటుంది ?
జవాబు:
భూమి, చంద్రుల మధ్య దూరము D = 60 × భూమి వ్యాసార్ధము = 60r
భూమి వ్యాసము D = 2r

చంద్రుని నుంచి చూసినపుడు పారలాక్టిక్ కోణము θ =
∴ చంద్రుని పరిమాణము = \(\frac{2 \mathrm{r}}{60 \mathrm{r}}=\frac{1}{30}\) రేడియన్ లేదా θ \(\frac{57^{\circ} 30^{\prime}}{30}\) ≃ 2°

ప్రశ్న 5.
లోలకం 20 డోలనాలకు పట్టే కాలానికి వచ్చిన మూడు కొలతలు వరుసగా t₁ = 39.6s, t₂ = 39.9s, t₃ = 39.5s. కొలతల్లోని ఖచ్చితత్వం ఎంత ? కొలతల్లోని యథార్థత ఎంత ?
జవాబు:
ఖచ్చితత్వము పరికరం కనీస కొలతపై ఆధారపడుతుంది. ఈ సందర్భంలో ఖచ్చితత్వము ± 0.1 సెకను. ఎందుకనగా కొలతలలోని చివరి అంకెలో మాత్రమే అనిశ్చితత్వం ఉంటుంది.
కొలతలలోని యథార్థత :
కొలతల సగటు విలువ = \(\frac{39.6+39.9+39.5}{3}=\frac{119}{3}\) = 39.67
ప్రతి కొలతలో దోషము ∆a₁ = 39.67 – 39.6 = 0.07
∆a₂ = 39.9 – 39.67 = 0.23
∆a₃ = 39.67 – 39.5= 0.17
∆а_సగటు = \(\frac{0.07+0.23+0.17}{3}\) = 0.156
∆а_సగటు ను సార్థక సంఖ్యల వరకు సవరించగా = 0.156 ను 0.2 గా సవరించినాము.
±0.2 కొలతలోని యథార్థత.
పరిశీలనల యథార్థత 39.67 ± 0.2, దీనిని సార్థక సంఖ్యలకు సవరించగా 39.7 ± 0.2 సెకనులు.

ప్రశ్న 6.
1 కెలోరి = 4.2J, 1J = 1 kg m²s². ద్రవ్యరాశికి ప్రమాణం α kg గా, పొడవుకు ప్రమాణం βm గా, కాలం ప్రమాణం γs గా ఉండే ఒక ప్రమాణ వ్యవస్థను వాడినపుడు, కొత్త వ్యవస్థలో కెలోరికి ఉండే పరిమాణం 4.2 α^-1 β² γ² అని చూపండి.
జవాబు:
1 కెలోరి = 4.2 J
= 4.2 kg m² / s² → (1); ద్రవ్యరాశి నూతన ప్రమాణం= α kg
∴ 1 kg = \(\frac{1}{\alpha}\) కొత్త ప్రమాణాలు = α^-1 కొత్త ప్రమాణము
ఇదే విధంగా మీటరు కొత్త ప్రమాణము 1 m = β^-1; కాలము కొత్త ప్రమాణము 1s = γ^-1
ఈ విలువలు సమీకరణం (1) లో రాయగా
1 కెలోరి = 4.2 (α^-1) (β^-1)² (γ^-1)^-2
శక్తి నూతన ప్రమాణము = 4.2 α^-1β^-2γ²

ప్రశ్న 7.
శూన్యంలో కాంతి వడి 1 ms^-2 అయ్యేవిధంగా పొడవుకు ఒక కొత్త ప్రమాణాన్ని ఎంచుకొన్నారు. సూర్యుడి నుంచి కాంతి భూమిని చేరేందుకు పట్టే కాలం 8 నిమిషాల 20 సెకన్లయితే కొత్త ప్రమాణాల్లో సూర్యుడు – భూమి మధ్య దూరం ఎంత ?
జవాబు:
శూన్యంలో కాంతి వడికి కొత్త ప్రమాణము C = 1 N.U./Sec.
కాంతి భూమిని చేరడానికి పట్టిన కాలము t = 8 ని. 20 సె.
= (8 × 60) + 20 = 500 సె
సూర్యుని నుంచి భూమి దూరము X = C × t
= 1 N.U. × 500 = 500 కొత్త ప్రమాణాలు

ప్రశ్న 8.
100 ఆవర్ధనం ఉండే సూక్ష్మదర్శినిని ఉపయోగించి ఒక విద్యార్థి మానవుడి వెంట్రుక మందాన్ని కొలుస్తున్నాడు. 20 పరిశీలనల వల్ల వెంట్రుకల సగటు మందాన్ని (సూక్ష్మదర్శినిలో చూసినదాని దృష్ట్యా) 3.5 mm గా కనుక్కొన్నాడు. అంచనాకు వచ్చే మందం ఎంత ?
జవాబు:

ప్రశ్న 9.
కొలవగలిగే నాలుగు రాశులు a, b, c, d లతో X అనే భౌతిక రాశి కింది విధంగా సంబంధాన్ని కలిగి ఉంది. X = a²b³ c^5/2 d^-2. a, b, c, d లను కొలవడంలో దోష శాతాలు వరుసగా 1%, 2%, 3%, 4% అయితే X లో దోషశాతం ఎంత ?
జవాబు:
దత్తాంశము X = a²b³ c^5/2 d^-2
\(\frac{\Delta \mathrm{a}}{\mathrm{a}}\) × 100 = 1%, \(\frac{\Delta \mathrm{b}}{\mathrm{b}}\) × 100 = 2%; \(\frac{\Delta \mathrm{c}}{\mathrm{c}}\) × 100 = 3%, \(\frac{\Delta \mathrm{d}}{\mathrm{d}}\) × 100 = 4%
\(\frac{\Delta \mathrm{X}}{\mathrm{X}}=\pm\left[2\left(\frac{\Delta \mathrm{a}}{\mathrm{a}}\right)+3\left(\frac{\Delta \mathrm{b}}{\mathrm{b}}\right)+\frac{5}{2}\left(\frac{\Delta \mathrm{c}}{\mathrm{c}}\right)+2\left(\frac{\Delta \mathrm{d}}{\mathrm{d}}\right)\right]\)
= ±[2(1%) + 3(2%) + \(\frac{5}{2}\) (3%) + 2(4%)] = ± 23.5%
‘X’ లో దోషశాతము = ± 23.5%

ప్రశ్న 10.
ఒక వస్తువు వేగం v = At² + Bt + C అని ఇవ్వడమైంది. v, t లను SI ప్రమాణాల్లో వ్యక్తం చేస్తే A, B, C లకు ప్రమాణాలు రాయండి.
జవాబు:
మితుల సజాతీయతను అనుసరించి At², Bt మరియు C ల మితి ఫార్ములాల వేగము ‘v’ మితి ఫార్ములాకు సమానము.
∴ V = వేగము = LT^-1
∴ LT^-1 = A [T²], ∴ A = \(\frac{\mathrm{LT}^{-1}}{\mathrm{~T}^2}\) = LT³. కావున A ప్రమాణము మీ/సె³
LT^-1 = BT ⇒ B = LT^-2 కావున B ప్రమాణము మీ/సె²
LT^-1 = C కావున C ప్రమాణము మీ/సె.

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
P = E l² m^-5 G^-2 అనే సమాసంలో E, l, m, G లు వరుసగా శక్తి, కోణీయ ద్రవ్యవేగం, ద్రవ్యరాశి, గురుత్వ స్థిరాంకాలను సూచిస్తే P ఒక మితిరహిత రాశి అని చూపండి.
సాధన:
దత్తాంశము, P = El²m^-5G^-2
= [M L²T^-2][M L²T^-1]² [M]^-5 [M^-1L³T^-2]^-2
= M^1+2-5+2 L^2+4-6 T^-2-2+4 = [M⁰ L⁰ T⁰]
P = [M⁰ L⁰ T⁰] అనగా P మితులు లేని రాశి.

ప్రశ్న 2.
కాంతివేగం C, ప్లాంక్ స్థిరాంకం h, విశ్వగురుత్వ స్థిరాంకం G లను ప్రాథమిక రాశులుగా తీసుకొంటే, ఈ రాశుల మితుల్లో ద్రవ్యరాశి, పొడవు, కాలాలను రాయండి.
సాధన:
దత్తాంశము నుండి c = [LT^-1]; h = [ML²T^-1]; G = [M^-1L³T^-2]
m = c^xh^yG^z → (1)
⇒ [M¹L⁰T⁰] = (LT^-1)^x (M L²T^-1)^y (M^-1L³T^-2)^z
⇒ [M¹L⁰T⁰] = M^y-zL^x+2y+2z T^-x-y-2z
సదిశల సజాతీయతా నియమం నుండి
y – z = 1 → (2)
x + 2y + 3z = 0 → (3)
-x – y – 2z = 0 → (4)
సమీకరణములు (2), (3), (4) లను కలుపగా
2y = 1 ⇒ y = \(\frac{1}{2}\)
సమీ. (2) నుండి z = y – 1 = \(\frac{1}{2}\) – 1 = \(\frac{-1}{2}\)
సమీ. (4) నుండి x = -y – 2z = \(\frac{-1}{2}\) + 1 = \(\frac{1}{2}\)
x, y మరియు Z విలువలు సమీ. (1) లో రాయగా
m = c^{\(\frac{1}{2}\)} h^{\(\frac{1}{2}\)} G^{\(\frac{-1}{2}\)} ;
⇒ m = \(\sqrt{\frac{\mathrm{ch}}{\mathrm{G}}}\)
m ను కనుక్కునే విధంగా సమీకరణాలు సాధిస్తే
L = \(\sqrt{\frac{\mathrm{hG}}{\mathrm{c}^3}}\) మరియు T = \(\sqrt{\frac{\mathrm{hG}}{\mathrm{c}^5}}\) అను సమీకరణాలు వస్తాయి.

ప్రశ్న 3.
M ద్రవ్యరాశి, R వ్యాసార్ధం కలిగి ఉండే గ్రహం చుట్టూ వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తాకార కక్ష్యలో ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం పరిభ్రమిస్తుంది. మితీయ విశ్లేషణ ఆధారంగా ఉపగ్రహ కక్ష్యావర్తన కాలం
T = \(\frac{k}{R} \sqrt{\frac{\mathrm{r}^3}{\mathrm{g}}}\) అని చూపండి. ఇక్కడ k మితిరహిత స్థిరాంకం, g గురుత్వ త్వరణం.
సాధన:
దత్తాంశం నుండి
T2 ∝ r³ or T ∝ r^3/2 మరియు కాలము T గురుత్వ త్వరణము ‘g’, కక్ష్యా వ్యాసార్ధము R లపై ఆధారపడును.
T ∝ r^3/2 g^a R^b ఇందులో a, bల మితులు g మరియు R ల మితులకు సమానము అనుకోండి.
(లేదా) T = k r^3/2 g^a R^b → (1)
ఇందులో k మితులు లేని స్థిరాంకము.
(1) వ సమీకరణం నుండి
[M⁰L⁰T¹] = L^3/2(LT^-2)^a (L)^b = M⁰L^{a+b+\(\frac{3}{2}\)} T^-2a
మితుల సజాతీయతా నియమం నుండి
a + b + \(\frac{3}{2}\) = 0 → (2),
-2a = 1 ⇒ a = \(\frac{-1}{2}\)
1వ సమీకరణం నుండి \(\frac{-1}{2}\) + b + \(\frac{3}{2}\) = 0 ⇒ b = -1
‘a’ మరియు ‘b’ విలువలు సమీ. (1) లో రాయగా
T = k r^3/2 g^-1/2 R^-1
∴ ఉపగ్రహం కక్ష్యావర్తనకాలము T = \(\frac{k}{R} \sqrt{\frac{r^3}{g}}\)

ప్రశ్న 4.
క్రింది సంఖ్యల్లో సార్థక సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయో తెలపండి.
a) 6729
b) 0.024
c) 0.08240
d) 6.032
e) 4.57 × 10⁸
సాధన:
a) 6729 ఇందులో అన్ని సంఖ్యలు సార్థక సంఖ్యలే. కావున సార్థక సంఖ్యలు ^{నాలుగు}.
b) 0.024 ఇందులో దశాంశ స్థానానికి మొదటి సున్న కాని అంకెకు మధ్య గల సున్నలు సార్థక సంఖ్యలు కావు.
∴ సార్థక సంఖ్యలు ^{రెండు}.
c) 0.08240 ఇందులో సార్థక సంఖ్యల సంఖ్య ^{నాలుగు}. (చివరల గల సున్న సార్థక సంఖ్య కావున)
d) 6.032 రెండు సున్న కాని అంకెల మధ్య గల సున్న సార్థక సంఖ్య కావున సార్థక సంఖ్యలు ^{నాలుగు}.
e) 4.57 × 10⁸ ఫలితాన్ని 10 ఘాత రూపంలో రాసేటపుడు ఫలితాన్ని కనీస సార్థక సంఖ్యల వరకే తెలపాలి. కావున సార్థక సంఖ్యలు ^మూడు.

ప్రశ్న 5.
రెండు కర్రల పొడవులు వరుసగా 12.132 సెం.మీ., 12.4 సెం.మీ. ఈ కర్రలను ఒకదాని చివర మరొకదాని చివరకు తాకునట్లు అమర్చితే మొత్తం పొడవు ఎంత ? రెండింటిని ఒకదాని పక్క మరొకటి అమర్చితే పొడవుల్లో వ్యత్యాసం ఎంత?
సాధన:
పొడవు l₁ = 12.132 సెం.మీ., l₂ = 12.4 సెం.మీ. ఈ రెంటిలో దశాంశము తరువాత కనీస సార్థక సంఖ్య ^ఒకటి.

a) రెండు కర్రలను పక్కపక్కన పెడితే మొత్తం పొడవు 1 = l₁ + l₂
∴ l₁ + l₂ = 12.132 + 12.4 = 24.532 సెం.మీ.
సంకలనములో ఫలితాన్ని దశాంశ స్థానము పిమ్మట కనీస సార్థక సంఖ్యలకు సవరించాలి. కావున 24.532 ను సవరించగా 24.5 సెం.మీ.

b) కర్రల పొడవులో భేడము l = l₁ – l₂ ⇒ l = 12.4 – 12.132 = 0.268 సెం.మీ.
వ్యవకలనములో తుది జవాబును కనీస సార్థక సంఖ్యలకు సవరించగా 0.268 ని దశాంశ స్థానము పిమ్మట ఒక సార్థక సంఖ్యకు సవరించగా l₁ – l₂ = 0.3 సెం.మీ. అవుతుంది.

ప్రశ్న 6.
సమ ఘనం భుజం పొడవు 7.203 మీ. (i) ఘనం ఉపరితల వైశాల్యం, (ii) ఘనం ఘనపరిమాణాలను తగిన సార్థక సంఖ్యలకు లెక్కించండి.
సాధన:
ఘనము యొక్క ఒక భుజము a = 7.203 మీ. ఇందులో సార్థక సంఖ్యలు నాలుగు.

1. ఘనము ఉపరితల వైశాల్యము = 6a² = 6 × 7.203 × 7.203 = 311.299
   దీనిని నాలుగు సార్థక సంఖ్యలకు సవరించగా 311.3 m²
2. ఘన పరిమాణము V = a³ = (7.203)³ = 373.714
   దీనిని నాలుగు సార్థక సంఖ్యలకు సవరించగా V = 373.7 m³.

ప్రశ్న 7.
ఒక వస్తువు ద్రవ్యరాశి 2.42 g, ఘనపరిమాణం 4.7 cm³. వాటిలోని దోషాలు వరుసగా 0.01 g, 0.1 cm³ అయితే వస్తువు సాంద్రతలో గరిష్ట దోషాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
ద్రవ్యరాశి m = 2.42 g;
ఘనపరిమాణము, V = 4.7 cm³,
దోషము, ∆m = 0.01 g.
దోషము, ∆V = 0.1 cc.
ద్రవ్యరాశి m లో దోషశాతము = \(\frac{\Delta \mathrm{m}}{\mathrm{m}}\) × 100 = \(\frac{0.01}{2.42}\) × 100 = \(\frac{1}{2.42}\)
ఘ.ప.లో దోషశాతము = \(\frac{0.1}{4.7}\) × 100 = \(\frac{10}{4.7}\) ;
సాంద్రత =
సాంద్రతలో గరిష్ఠ దోషశాతము = m లో దోషశాతము + V లో దోషశాతము
∴ సాంద్రతలో గరిష్ఠ దోషశాతము = \(\frac{1}{2.42}\) + \(\frac{10}{4.7}\) = 0.413 + 2.127 = 2.54 %

ప్రశ్న 8.
గోళం వ్యాసార్ధం కొలవడంలో దోషం 1% అయితే గోళం ఘనపరిమాణం కొలవడంలో దోషం ఎంత ?
సాధన:
వ్యాసార్ధంలో దోషశాతము 1% = \(\frac{\Delta \mathrm{r}}{\mathrm{r}}\) × 100
గోళము ఘ.ప. V ∝ r³ ⇒ ∆V = 3r²∆r ⇒ \(\frac{\Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}}=\frac{3 \mathrm{r}^2 \Delta \mathrm{r}}{\mathrm{r}^3}\)
ఘనపరిమాణంలో దోషశాతము \(\frac{\Delta \mathrm{V}}{\mathrm{V}}=3\left(\frac{\Delta \mathrm{r}}{\mathrm{r}}\times 100\right)\) = 3 × 1 = 3%

ప్రశ్న 9.
ద్రవ్యరాశి, వడిలో దోష శాతాలు వరుసగా 2%, 3% అయితే గతిజ శక్తిలో గరిష్ఠ దోష శాతం ఎంత ?
సాధన:
ద్రవ్యరాశిలో దోషశాతము = \(\frac{\Delta \mathrm{m}}{\mathrm{m}}\) × 100 = 2% ; వడిలో దోషశాతము = \(\frac{\Delta \mathrm{v}}{\mathrm{v}}\) × 100 = 3%
కాని గతిశక్తి K.E = \(\frac{1}{2}\) mv²
గతిశక్తిలో దోషశాతము = 1 ( ద్రవ్యరాశిలో దోషశాతము ) + 2 ( వడిలో దోషశాతము )
∴ గతిశక్తిలో దోషశాతము = 1(\(\frac{\Delta \mathrm{m}}{\mathrm{m}}\) × 100) + 2(\(\frac{\Delta \mathrm{v}}{\mathrm{v}}\) × 100) = 1 × 2 + 2 × 3 = 8%

ప్రశ్న 10.
ప్రామాణిక ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద ఒక మోల్ ఆదర్శవాయువు 22.4L (మోలార్ ఘనపరిమాణం) ఘనపరిమాణం ఆక్రమిస్తుంది. హైడ్రోజన్ అణు పరిమాణం సుమారుగా 1 Å, అయితే హైడ్రోజన్ మోలార్ ఘనపరిమాణానికి, పరమాణు ఘనపరిమాణానికి మధ్య నిష్పత్తి ఎంత ?
సాధన:
హైడ్రోజన్ పరమాణు పరిమాణము ≃ 1 Å = 10^-10 మీ = 10^-8 సెం.మీ.
V₁ = పరమాణు ఘనపరిమాణము = అణువుల సంఖ్య × పరమాణు ఘ.ప.
ఒక మోల్ వాయువులో అణువుల సంఖ్య = అవగాడ్రో సంఖ్య, n = 6.022 × 10²³
V₁ = \(\frac{4}{3}\)πr³ × n = \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) × [10^-8]³ × 6.022 × 10²³ = 25.23 × 10^-1 (లేదా) 2.523 సెం.మీ ³
V₂ = ఒక మోల్ వాయువు ఘ.ప. = 22.4 లీ = 2.24 × 10⁴ సెం.మీ³
∵ 1 లీ = 1000 సెం.మీ³
∴ వాయు మోలార్ ఘ.ప.కు, అణువుల ఘ.ప.కు గల నిష్పత్తి = V₂ : V₁
= 2.24 × 10⁴ : 2.523 = 10⁴.

ముఖ్యమైన అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఖాళీలను పూరించండి.
a) 1 cm భుజం పొడవు ఉండే సమఘనం ఘనపరిమాణం …………………. m³
b) 2.0cm : వ్యాసార్ధం, 10.0 cm ఎత్తు ఉండే ఘన స్థూపం ఉపరితల వైశాల్యం …………… (mm)²
c) 18 km h^-1వడితో చలిస్తున్న వాహనం 1 s లో ప్రయాణించే దూరం …………. m
d) సీసం సాపేక్ష సాంద్రత 11.3 అయితే దాని సాంద్రత …………. g cm^-3 లేదా ………… kg m^-3.
సాధన:
a) భుజము పొడవు L = 1 సెం.మీ. = 10^-2 సెం.మీ.
ఘనము ఘనపరిమాణము = L³ = (10^-2 మీ)³ = 10^-6 మీ³

b) ఇందులో, r = 2.0 సెం.మీ. = 20 మి.మీ., h = 10.0 సెం.మీ. = 100 మి.మీ.
స్థూపము ఉపరితల వైశాల్యము = (2πr) h = 2 × \(\frac{22}{7}\) × 20 × 100 మి.మీ.² = 1.26 × 10⁴ మి.మీ.²

c) వడి v = 18 km h^-1 = = 5 మీ/సె ^-1
∴ 1 సెకనులో ప్రయాణించిన దూరము = 5 మీ.

d) సాపేక్ష సాంద్రత = 11.3
∴ సాంద్రత = 11.3 g/cc = \(\frac{11.3 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}}{\left(10^{-2} \mathrm{~m}\right)^3}\) = 11.2 × 10³ kgm^-3

ప్రశ్న 2.
ప్రమాణాలను తగురీతిలో పరివర్తన చేయడం ద్వారా ఖాళీలను పూరించండి.
a) 1 kg m² s^-2 = ………… g cm² s^-2
b) 1 m = ………… ly (కాంతి సంవత్సరాలు)
c) 3.0 m s^-2 = ………… km h^-2
d) G = 6.67 × 10^-11 N m² (kg)^-2 = ……….. (cm)³ s^-2 g^-1.
సాధన:
a) 1 kg m² s^-2 = 1 × 10³ g (10² cm) ² s^-2 = 10⁷ g cm² s^-2

b) ఒక కాంతి సంవత్సరము = 9.46 × 10¹⁵ m
∴ 1m = \(\frac{1}{9.46 \times 10^{15}}\) కాంతి సంవత్సరం
= 1.053 × 10^-16 కాంతి సంవత్సరము

c) 3ms^-2 = 3 × 10^-3km(\(\frac{1}{60 \times 60}\)h)^-2 = = 3 × 10^-3 × 3600 × 3600 km h^-2 = 3.888 × 10⁴ km h^-2

d) G = 6.67 × 10^-11 Nm² kg^-2= 6.67 × 10^-11 (kg ms^-2)m² kg^-2
= 6.67 × 10^-11m³s^-2kg^-1
= 6.67 × 10^-11(100 cm)³ s^-2 (1000g)^-1
= 6.67 × 10^-8cm^-2s^-2g^-1

ప్రశ్న 3.
క్రింది ప్రవచనాన్ని స్పష్టంగా వివరించండి :
“పోలికకు అవసరమయ్యే ప్రామాణికాన్ని నిర్దేశించకుండా మితీయరాశిని పెద్దది లేదా చిన్నది అని పిలవడం అర్థరహితం.” దీన్ని దృష్టిలో ఉంచుకొని కింది ప్రవచనాలను అవసరమైన చోట సరిచేసి తిరిగి రాయండి.
a) పరమాణువులు అతిచిన్న వస్తువులు.
b) జెట్ విమానం ఎక్కువ వడితో చలిస్తుంది.
c) బృహస్పతి ద్రవ్యరాశి చాలా ఎక్కువ.
d) ఈ గదిలోని గాలి అధిక సంఖ్యలో అణువులను కలిగి ఉంది.
e) ఎలక్ట్రాన్ కంటే ప్రోటాన్ ద్రవ్యరాశి చాలా ఎక్కువ.
f) కాంతి వేగం కంటే ధ్వని వేగం చాలా తక్కువ.
సాధన:
ప్రవచనము సరియైనది. ఎందుకనగా పోలికకు అవసరమైన ప్రమాణం లేకుండా ఒక భౌతిక రాశి పరిమాణం పెద్దది లేదా చిన్నది అని నిర్ణయించలేము.
a) సూది మొనతో పోలిస్తే పరమాణువులు అతిచిన్న వస్తువులు అన్న ప్రవచనము సరియైనది.
b) రైలుకన్న జెట్ విమానం ఎక్కువ వడితో చలిస్తుంది అన్న ప్రవచనము సరియైనది.
c) భూమి కన్నా బృహస్పతి ద్రవ్యరాశి ఎక్కువ అన్న ప్రవచనము సరియైనది.
d) ఒక మోల్ వాయువులో గల అణువు కన్నా గదిలో గల వాయు అణువుల సంఖ్య ఎక్కువ అన్న ప్రవచనము సరియైనది.
e) ఇచ్చిన ప్రవచనము సరియైనది.
f) ఇచ్చిన ప్రవచనము సరియైనది.

ప్రశ్న 4.
పొడవును కొలవడానికి కింది వాటిలో ఏది చాలా ఖచ్చితమైన పరికరం ?
a) కదిలే స్కేలుపై 20 వెర్నియర్ విభాగాలు 19 ప్రధాన స్కేలు విభాగాలకు సమానంగా ఉండే కాలిపర్స్.
b) 1 mm పిచ్, 100 తలస్కేలు విభాగాలు ఉండే స్క్రూగేజి.
c) కాంతి తరంగదైర్ఘ్య విలువకు తక్కువ/సమానం వరకు పొడవును కొలిచే దృక్ సాధనం.
సాధన:
అతి తక్కువ కనీస కొలత గల పరికరం ఖచ్చితమైనది.
a) వెర్నియర్ కాలిపర్స్ సున్నితత్వము = 1 MSD – 1 VSD
కనీసపు కొలత = 1 MSD – \(\frac{19}{20}\) = \(\frac{1}{20}\) = 0.05 mm
(గమనిక : 1 MSD = 1 m.m అని భావించడమైనది.)

∴ కనీసపు కొలత = 0.01 మి.మీ.

c) కాంతి తరంగదైర్ఘ్యము 10^-5 cmలలో ఉంటుంది.
దీనిని కొలవడానికి కనీసం 10^-5 cm కనీస కొలత గల పరికరం కావాలి.
పైన చెప్పిన పరికరాలలో కాంతి తరంగ దైర్ఘ్యం కొలవ గల పరికరం అన్నిటికన్నా సున్నితమైనది.

ప్రశ్న 5.
క్రింది వాటికి సమాధానం వ్రాయండి.
a) నీకు ఒక దారం, మీటరు స్కేలును ఇస్తే దారం వ్యాసాన్ని ఏ విధంగా అంచనా వేస్తావు ?
b) ఒక స్క్రూగేజి పిచ్ 1.0 mm వృత్తాకార స్కేలుపై విభాగాలు 200. వృత్తాకార స్కేలుపై విభాగాల సంఖ్యను అనియతంగా పెంచడం ద్వారా స్క్రూగేజి యథార్థతను పెంచడం సాధ్యమని నీవు అనుకొంటున్నావా ?
c) వెర్నియర్ కాలిపర్స్ సహాయంతో పలుచని ఇత్తడి కడ్డీ సగటు వ్యాసాన్ని నిర్ణయించవలసి ఉంది. 5 కొలతల సమితి కంటే 100 కొలతల సమితితో వచ్చే అంచనా విలువ ఎక్కువ నమ్మదగినదని మనమెందుకు ఆశిస్తాం ?
సాధన:
a) దారము వ్యాసము చాలా తక్కువ కావున మామూలు స్కేలుతో కొలవలేము. ఇచ్చిన దారాన్ని స్కేలుపై ఒకదాని పక్కన ఒకటి ఆనుకొని ఉండే విధంగా ‘n’ చుట్లు చుట్టి ఆ చుట్ట పొడవు ‘l’ కొలవండి.
దారము వ్యాసము d = \(\frac{1}{n}\) అవుతుంది.
b) స్క్రూగేజి కనీసపు కొలత L.C. =
తలస్కేలు విభాగాలు పెంచితే కనీసపు కొలత తగ్గి సున్నితత్వం పెరుగుతుంది. కాని తలపరిమాణం దృష్ట్యా దానిపై ఒక పరిమితికి మించి విభాగాల సంఖ్య పెంచితే రీడింగులు ఖచ్చితంగా కొలవడం సాధ్యపడదు.

c) పరిశీలనల సంఖ్య పెంచితే కొలతలలో దోషానికి సంభావ్యత తక్కువ. ఫలితంగా 100 రీడింగుల (సగటు) అంకమధ్యమపు విలువ, 5 రీడింగుల అంకమధ్యమపు విలువ కన్నా ఖచ్చితమైనది. అందువలన రీడింగుల సంఖ్య పెరిగినకొలది సగటు విలువ ఎక్కువగా విశ్వసింపదగినదిగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 6.
35 mm స్లైడుపై ఒక ఇంటి ఛాయాచిత్రం వైశాల్యం 1.75 cm². ఆ స్లైడును తెరపై ప్రాజెక్ట్ చేసినపుడు ఇంటి వైశాల్యం 1.55 m² గా ఉంది. ప్రొజెక్టర్-తెర అమరిక రేఖీయ ఆవర్ధనం ఎంత ?
సాధన:
ప్రతిబింబ వైశాల్యము = 1.55 మీ² = 1.55 × 10⁴ సెం.మీ.²
ఛాయా చిత్ర వైశాల్యము = 1.75 సెం.మీ²

ప్రశ్న 7.
క్రింద ఇచ్చిన వాటిలో సార్థక సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయి ?
a) 0.007 m²
b) 2.64 × 10²⁴ kg
c) 0.2370 g cm^-3‍
d) 6.320 J
e) 6.032 Nm^-2
f) 0.0006032 m²
సాధన:
a) 0.007 m² లో సార్థక సంఖ్య ఒకటి.
b) 2.64 × 10²⁴ kg లో సార్థక సంఖ్యలు మూడు.
c) 0.2370 g cm^-3 లో సార్థక సంఖ్యలు నాలుగు.
d) 6.320 J లో సార్థక సంఖ్యలు నాలుగు.
e) 6.032 Nm² లో సార్థక సంఖ్యలు నాలుగు.
f) 0.0006032 m³ లో సార్థక సంఖ్యలు నాలుగు.

ప్రశ్న 8.
దీర్ఘచతురస్రాకార లోహ పలక పొడవు, వెడల్పు, మందాలు వరుసగా 4.234 m, 1.005 m, 2.01 cm లు సరైన సార్థక సంఖ్యల వరకు ఆ పలక వైశాల్యం, ఘనపరిమాణాలను రాయండి.
సాధన:
పొడవు, 1 = 4.234 m
వెడల్పు, b = 1.005 m
మందము, t = 2.01 cm = 2.01 × 10^-2 m
పలక వైశాల్యము = 2 (l × b + b × t + t × l) = 2(4.234 × 1.005 + 1.005 × 0.0201 + 0.0201 × 4.234)
= 2(4.3604739) = 8.7209478 m²
పై కొలతలలో కనీస సార్థక సంఖ్యలు మూడు కావున తుది జవాబులో మూడు సార్థక సంఖ్యలు మాత్రమే ఉండాలి.
వైశాల్యము = 8.72 m².
ఘనపరిమాణము = l × b × t
V = 4.234 × 1.005 × 0.0201 = 0.0855289 = 0.0855 m³ (మూడు సార్థక సంఖ్యలకు సవరించగా)

ప్రశ్న 9.
ఒక పెట్టెను కిరాణా షాపుదారు వాడే త్రాసుతో తూస్తే వచ్చిన ద్రవ్యరాశి 2.300 kg. ఇప్పుడు ఈ పెట్టెకు 20.15g, 20.17g ద్రవ్యరాశులు గల రెండు బంగారు ముక్కలను కలిపారు. (a) పెట్టె మొత్తం ద్రవ్యరాశి, (b) ముక్కల ద్రవ్యరాశుల్లో వ్యత్యాసాన్ని సరైన సార్థక సంఖ్యల వరకు రాయండి.
సాధన:
పెట్టె ద్రవ్యరాశి_m = 2.3 kg
1వ బంగారు ముక్క ద్రవ్యరాశి m₁ = 20.15 g = 0.02015 kg
2వ బంగారు మొత్తం ద్రవ్యరాశి m₂ = 20.17 g = 0.02017 kg
a) మొత్తం ద్రవ్యరాశి = m + m₁ + m₂ = 2.3 + 0.02015 + 0.02017 = 2.34032 kg.
మొత్తం ద్రవ్యరాశి = 2.3 kg

b) ముక్కల ద్రవ్యరాశులలో భేదము = m₂ – m₁ = 20.17 – 20.15 = 0.02 g.

ప్రశ్న 10.
P అనే భౌతికరాశి a, b, c, d అనే నాలుగు పరిశీలించగలిగే రాశులతో కింది విధమైన సంబంధాన్ని కలిగి ఉంది:
P = a₃b₂/(\(\sqrt{c}\)d)
a, b, c, d ల కొలతల్లోని దోషశాతాలు వరుసగా 1%, 3%, 4%, 2% అయితే P లోని దోషశాతం ఎంత ? పై సంబంధం ఉపయోగించి లెక్కించిన P విలువ 3.763 అయితే, ఫలితాన్ని నీవు ఏ విలువ వరకు సవరిస్తావు ?
సాధన:

(ఇందులో సార్థక సంఖ్యలు రెండు) తుది జవాబు 3.763 ను రెండు సార్థక సంఖ్యలకు సర్దగా 3.8 అవుతుంది.

ప్రశ్న 11.
ముద్రణా దోషాలు అనేకంగా ఉండే పుస్తకంలో ఒక నిర్దిష్ట ఆవర్తన చలనం చేస్తున్న కణం స్థానభ్రంశానికి నాలుగు భిన్న ఫార్ములాలు ఉన్నాయి. అవి :
a) y = a sin 2 πt/T
b) y = a sin vt
c) y = (a/T) sin t/a
d) y = (a\(\sqrt{2}\)) (sin 2πt / T + cos 2πt / T)
(a = కణం పొందే గరిష్ఠ స్థానభ్రంశం, v = కణం వడి, T = ఆవర్తన కాలం) మితుల దృష్ట్యా తప్పు అయిన ఫార్ములాలను కొట్టి వేయండి.
సాధన:
త్రికోణమితి ప్రమేయాలలో ఆర్గుమెంట్ (ωt) పదం కోణాన్ని సూచిస్తుంది. ఇది మితి లేని రాశి.
(i) \(\frac{2 \pi \mathrm{t}}{\mathrm{T}}=\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{T}}\) = 1= M⁰L⁰T⁰) ……………. మితి రహితము
(ii) vt= = (LT^-1)(T) = L=[M⁰ L¹ T⁰) ………….. ఈ సమీకరణ మితి రహితము కాదు
(iii) \(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{L}}\) = [L^-1T^-1] ……………….. ఈ సమీకరణ మితి రహితము కాదు
(iv) \(\frac{2 \pi \mathrm{t}}{\mathrm{T}}=\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{T}}\) = 1 = [M⁰ L⁰ T⁰] ……………. మితి రహితము
∴ కావున ఇచ్చిన ఫార్ములాలలో (ii), (iii) సరియైనవి కావు.

ముఖ్యమైన ఉదాహరణ లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
కోణాలు a) 1° (డిగ్రీ) b) 1′ (చాపం యొక్క నిమిషం లేదా ఆర్కిమిన్), c) 1″ (చాపం యొక్క సెకను, లేదా ఆర్క్ సెకను) రేడియన్లలో లెక్కించండి. 360 ° = 2π rad, 1° = 60′, 1′ = 60″ లను ఉపయోగించండి.
సాధన:
a) 360° = 2. rad నుంచి
1° = (π/180) rad = 1.745 × 10^-2 rad
b) 1° = 60′ = 1,745 × 10^-2 rad
1′ = 2.908 × 10 rad; 2.91 × 10^-4 rad
c) 1′ = 60″ = 2.908 × 10^-4 rad
1″ = 4.847 × 10^-6 rad; 4.85 × 10^-6 rad

ప్రశ్న 2.
భూమి వ్యాసంపై ఉండే రెండు వ్యతిరేక బిందువులు A, B ల నుంచి, చంద్రుడిని పరిశీలించారు. చంద్రుడి వద్ద రెండు పరిశీలనా దిశలు ఏర్పరిచే కోణం θ విలువ 1° 54′. భూమి వ్యాసం సుమారుగా 1.276 × 10⁷ m అయితే, భూమి నుంచి చంద్రుని దూరాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
దత్తాంశం నుంచి
θ = 1°54′ = 114′ = (114 × 60)” × (4.85 × 10^-6) rad
1″ = 4.85 × 10^-6 rad కాబట్టి,
θ = 3.32 × 10^-2 rad,
అంతేగాక, b = AB = 1.276 × 10⁷m
కాబట్టి, D = \(\frac{b}{\theta}\) సమీకరణం నుంచి భూమి-చంద్రుల మధ్య దూరం
= \(\frac{1.276 \times 10^7}{3.32 \times 10^{-2}}\) = 3.84 × 10⁸ m.

ప్రశ్న 3.
సూర్యుడి కోణీయ వ్యాసం 1920″ అని కొలిచారు. భూమి నుంచి సూర్యుడి దూరం D విలువ 1.496 × 10¹¹ m. అయితే సూర్యుడి వ్యాసం ఎంత ?
సాధన:
సూర్యుడి కోణీయ వ్యాసం, α = 1920″ = 1920 × 4.85 × 10^-6 rad = 9.31 × 10^-3 rad
సూర్యుడి వ్యాసం,
d = αaD
= (9.31 × 10^-3) × (1.496 × 10¹¹) m
= 1.39 x 10⁹m.

ప్రశ్న 4.
థర్మామీటరుతో రెండు వస్తువుల ఉష్ణోగ్రతలను t₁ = 20 °C ± 0.5 °C, t₂ = 50 °C ± 0.5 °C గా కొలిచారు. వాటి ఉష్ణోగ్రతా భేదాన్ని, దానిలోని దోషాన్ని లెక్కించండి.
సాధన:
t’ = t₂ – t₁ = (50 °C ± 0.5 °C) – (20 °C ± 0.5 °C) t’ = 30 °C ± 1 °C

ప్రశ్న 5.
నిరోధం R = V/I, ఇందులో V = (100 ± 5)V, I = (10 ± 0.2)A. అయితే R లోని దోష శాతాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
V లోని దోష శాతం 5, అలాగే I లో దోష శాతం 2. కాబట్టి R లో మొత్తం దోషం 5 + 2 = 7%.

ప్రశ్న 6.
లఘులోలకం డోలనావర్తన కాలం T = 2π \(\sqrt{L / g}\).1 mm తెలిసిన యథార్థతతో కొలచిన L విలువ 20.0 cm. 100 డోలనాలకు పట్టిన కాలాన్ని 18 పృథక్కరణం ఉన్న చేతి గడియారంతో 90s అని కనుక్కొన్నారు. అయితే g విలువను నిర్ణయించడంలో యథార్థత ఎంత ?
సాధన:
g = 4π²L/T²
ఇక్కడ T = \(\frac{t}{n}\), ΔΤ = \(\frac{\Delta t}{n}\) కాబట్టి \(\frac{\Delta \mathrm{T}}{\mathrm{T}}=\frac{\Delta \mathrm{t}}{\mathrm{t}}\). ఈ L, t రెండింటిలోని దోషాలు కనీసపు కొలత దోషాలు. కాబట్టి
(Δg/g) = (ΔL/L) + 2(ΔT/T)
= \(\frac{0.1}{20.0}+2\left(\frac{1}{90}\right)\) = 0.027
అందువల్ల g లోని దోషశాతం
100 (Δg/g) = 100(ΔL/L) + 2 × 100 (ΔT/T)
= 3%.

ప్రశ్న 7.
ఒక ఘనం యొక్క ఒక్కొక్క భుజం పొడవును 7.203 mగా కొలిచారు. దాని మొత్తం ఉపరితల వైశాల్యం, ఘనపరిమాణాల విలువలను తగిన సార్థక సంఖ్యల వరకు, కనుక్కోండి.
సాధన:
కొలచిన పొడవులో నాలుగు సార్థక సంఖ్యలు ఉండటం వల్ల మనం లెక్కించే వైశాల్యం, ఘనపరిమాణాలను కూడా నాలుగు సార్థక సంఖ్యల వరకే సవరించవలసి ఉంటుంది.
ఘనం ఉపరితల వైశాల్యం = 6(7.203)²m²
= 311.299254 m²
= 311.3 m²
ఘనం ఘనపరిమాణం = (7.203)³ m³
= 373.714754 m³
= 373.7 m³

ప్రశ్న 8.
5.74 g పదార్థం 1.2 cm³ ఘనపరిమాణం ఆక్రమిస్తుంది. సార్థక సంఖ్యలను దృష్టిలో ఉంచుకొని దాని సాంద్రత విలువను వ్యక్తపరచండి.
సాధన:
కొలచిన ద్రవ్యరాశిలో మూడు సార్థక సంఖ్యలు ఉంటే కొలచిన ఘనపరిమాణంలో రెండే సార్ధక సంఖ్యలు ఉన్నాయి కాబట్టి, సాంద్రత విలువను 2 సార్థక సంఖ్యల వరకు మాత్రమే వ్యక్తపరచాలి.
సాంద్రత = \(\frac{5.74}{1.2}\) g cm^-3
= 4.8 g cm^-3.

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 1st Lesson భౌతిక ప్రపంచం to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 1st Lesson భౌతిక ప్రపంచం

→ భౌతిక శాస్త్రము : భౌతికశాస్త్రం ప్రకృతి, ప్రకృతి సహజమైన దృగ్విషయాల అధ్యయనం. పరిశీలన ద్వారా మరియు ప్రయోగాలు చేసి చూడటం వల్ల శాస్త్రజ్ఞులు ప్రకృతిని నియంత్రిస్తూ పరిక్రియ జరిపే నిబంధనలను ఆవిష్కరించే ప్రయత్నం చేస్తారు.

→ ప్రకృతిలోని ప్రాథమిక బలాలు : భౌతికశాస్త్రంలో

• గురుత్వాకర్షణ బలం
• విద్యుదయస్కాంతబలం
• ప్రబల కేంద్రకబలం
• దుర్బల కేంద్రక బలాలను ప్రాథమిక బలాలుగా భావిస్తున్నారు.

1) గురుత్వాకర్షణ బలం : రెండు వస్తువుల ద్రవ్యరాశుల ఆధారంగా వాటి మధ్య గల ఆకర్షణ బలమే గురుత్వాకర్షణ బలం. ఇవి చాలా బలహీనమైన బలాలు. వీటి ప్రభావం చాలా ఎక్కువ దూరం వరకు విస్తరిస్తుంది. గ్రహాలు, నక్షత్రాల వంటి చాలా ఎక్కువ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువుల విషయంలో ఈ బలాల పరిమాణం లెక్కించదగినంత పెద్దది. గ్రహాల గమనం, నక్షత్రాలు ఏర్పడటం, గెలాక్సీలు ఏర్పడటం వంటి దృగ్విషయాలలో ఈ బలాల ప్రాధాన్యం ఎక్కువ.

2) విద్యుదయస్కాంత బలం : ఆవేశిత కణాలు లేదా వస్తువుల మధ్య పనిచేసే బలం విద్యుదయస్కాంత బలం. ఇవి సజాతి ఆవేశాల మధ్య వికర్షణ బలంగాను, విజాతి ఆవేశాల మధ్య ఆకర్షణ బలంగాను ఉంటాయి. ఇవి చాలా బలమైన బలాలు. వీటి పరిధి ఎక్కువ. ఇవి గురుత్వాకర్షణ బలాల కన్న సుమారు 10³⁶ రెట్లు పెద్దవి.

3) ప్రబల కేంద్రక బలాలు : ఇవి కేంద్రకంలోని కేంద్రక కణాలైన ప్రోటాన్లు, న్యూట్రాన్లను పట్టి బంధించే బలీయమైన బలాలు. ఇవి ప్రకృతిలోని ప్రాథమిక బలాలన్నింటిలో కన్న బలమైనవి. ప్రబలమైన కేంద్రక బలాలు విద్యుదయస్కాంత బలాల కన్న దాదాపు 100 రెట్లు బలమైనవి. ఇవి కేంద్రక కణాలు ఆవేశంపై ఆధారపడవు. ఇవి స్వల్ప వ్యాప్తి గల బలాలు. వీటి పరిధి సుమారు 10^-15 మీటర్లు. కేంద్రక స్థిరత్వానికి ఇవి పూర్తి బాధ్యత వహిస్తాయి.

4) దుర్బల కేంద్రక బలాలు : కేంద్రకంలో సంభవించే కొన్ని β – క్షయం వంటి కొన్ని నిర్దిష్ట కేంద్రక చర్యలలో ఈ దుర్బల కేంద్రక బలాలు ప్రత్యక్షమవుతాయి. ఇవి ప్రబల కేంద్రక బలాలు, విద్యుదయస్కాంత బలాల కన్న బలహీనమైనవి. వీటి వ్యాప్తి చాలా తక్కువ. ఈ దుర్బల కేంద్రకబలం వ్యాప్తి 10^-16 మీ.ల క్రమంలో ఉండే అత్యంత స్వల్పమైనది.

→ నిత్యత్వరాశులు : భౌతిక శాస్త్రంలో విభిన్న బలాలను నియంత్రించే భౌతిక దృగ్విషయాలు లేదా కొన్ని ప్రత్యేక భౌతిక రాశులు ఏదైనా ప్రక్రియలో మార్పు లేకుండా స్థిరంగా ఉంటాయి. ఇటువంటి వాటిని నిత్యత్వ రాశులు లేదా నిత్యత్వ నియమాలు అంటారు.
ఉదా : స్వేచ్ఛగా కిందికి పడే వస్తువులో స్థితిశక్తి, గతిశక్తుల విలువలు కాలంతోపాటు మారుతున్నప్పటికి ఆ రెండు శక్తుల మొత్తం స్థిరంగా ఉంటుంది. అనగా ఈ సందర్భంలో శక్తినిత్యత్వం చెందినది అంటారు.

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 2nd Lesson ప్రమాణాలు, కొలత to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 2nd Lesson ప్రమాణాలు, కొలత

→ ప్రాథమిక రాశి : ఇతర భౌతిక రాశులపై ఆధారపడక స్వేచ్ఛగా మనగలిగిన భౌతిక రాశులను ప్రాథమిక రాశులు అంటారు.
ఉదా : ద్రవ్యరాశి, పొడవు, కాలము వంటివి.

→ ఉత్పన్న రాశి : ప్రాథమిక రాశుల కలయిక వలన ఏర్పడిన భౌతిక రాశులను ఉత్పన్న రాశులు అంటారు. ఉదా : వేగము, బలము వంటివి.

→ ప్రమాణము : ఏదైనా భౌతికరాశిని కొలవడంలో అంతర్జాతీయంగా ఆమోదం పొందిన నిర్దేశిత ప్రమాణ విలువతో పోల్చడం జరుగుతుంది. దీనినే ప్రమాణము అంటారు.

→ ప్రాథమిక లేదా మూల ప్రమాణము : ప్రాథమిక భౌతిక రాశులను కొలవడానికి వాడే ప్రమాణాన్ని మూల ప్రమాణము అంటారు.
ఉదా : పొడవు → మీటరు, ద్రవ్యరాశి → కిలోగ్రాము, కాలము → సెకను వంటివి.

→ ఉత్పన్న ప్రమాణము : ఉత్పన్న రాశులను కొలవడానికి వాడే ప్రమాణాలను ఉత్పన్న ప్రమాణాలు అంటారు.
ఉదా : వైశాల్యము →చదరపు మీటరు, వేగము → మీటరు / సెకను వంటివి.

→ అంతర్జాతీయ ప్రమాణాలు (S.I. ప్రమాణము) – ప్రాథమిక రాశులు : అంతర్జాతీయ పధ్ధతి (S.I. పద్ధతి) లో ఏడు ప్రాథమిక రాశులు, రెండు సంపూరక రాశులు ఉన్నాయి. వీటిని కొలవడానికి ఏడు మూల ప్రమాణాలు, రెండు సంపూరక ప్రమాణాలు ఉన్నాయి.

→ అధిక దూరాలను కొలవడం : అధిక దూరాలను కొలవడానికి దృష్టి విక్షేప పద్ధతి వాడతారు. ఈ పద్ధతిలో సుదూరంగా ఉన్న వస్తువును రెండు వేరు వేరు స్థానాల నుండి పరిశీలిస్తారు. ఆ స్థానముల మధ్య దూరము ‘b’, ఆ స్థానముల నుండి వస్తువును చూసిన కోణము ‘θ’ ల ఆధారంగా వస్తువు దూరాన్ని లెక్కిస్తారు. ఇందులో ‘θ’ ని పారలాక్టిక్ కోణము అంటారు.
వస్తువు దూరము D = \(\frac{b}{\theta}\)

→ అత్యల్ప దూరాలను కొలవడం : అత్యల్ప దూరాలను కొలవడానికి దృశా సూక్ష్మదర్శిని వాడతారు. ఇది కొలవ గల కనీస దూరము దృశ్యకాంతి తరంగదైర్ఘ్యం మీద ఆధారపడుతుంది. ఇది సుమారు 7000 Å నుండి 4000 Å ల మధ్య ఉంటుంది.
ఇంకా తక్కువ దూరాలను కొలవడానికి ఎలక్ట్రాన్ సూక్ష్మదర్శిని వాడతారు. ఇది కొలవగల కనీస దూరం ఎలక్ట్రాన్ తరంగదైర్ఘ్యంపై ఆధారపడుతుంది. ఈ పరికరం కొలవగల కనీస దూరం సుమారు 1Å.

→ ఓలిక్ ఆమ్ల అణుపరిమాణం అంచనా వేసే పద్ధతి : సుమారు 1 cm³ ఓలిక్ ఆమ్లాన్ని 20 cm³ ఆల్కహాల్లో కరిగించి దాని నుండి మరల 1 cm³ ద్రావణాన్ని తీసుకొని దీనిని మరల 20 cm³ ఆల్కహాల్లో కరిగిస్తారు. ఇపుడు ఈ ద్రావణంలో ఓలిక్ ఆమ్ల గాఢత \(\frac{1}{20 \times 20}\)/cm³.

ఒక నీటి తొట్టెలో కొంచెం లైకోపోడియం పొడి చల్లి దానిపై కొద్ది చుక్కలు (n) ఓలిక్ ఆమ్ల ద్రావణాన్ని వేస్తారు. ఇది దాదాపు అణుమందం గల పొరగా విస్తరిస్తుంది. ఈ పొర వ్యాసార్ధాన్ని, దాని నుండి పొర వైశాల్యాన్ని (A) లెక్కగడతారు. n చుక్కల ద్రావణం ఘనపరిమాణం లెక్కగడతారు.
ఓలిక్ ఆమ్లం పొర ఘనపరిమాణము = nv\(\frac{1}{20 \times 20}\)

ఓలిక్ ఆమ్లం పొర అణుమందం కలిగి ఉన్నదని భావిస్తే ఈ విలువ ఓలిక్ ఆమ్లం అణువ్యాసానికి సమానము.

→ ఏకీకృత పరమాణు ద్రవ్యరాశి (united atomic mass unit) :
కార్బన్ ఐసోటోపు ఐన C-12 కర్బన పరమాణు ద్రవ్యరాశిలో \(\frac{1}{12}\) ప్రమాణంగా తీసుకున్నారు. దీని విలువ 1.66 × 10^-27 కి.గ్రా.
1 a.m.u. = \(\frac{1}{12}\)¹²₆C = 1.66 × 10^-27 కి.గ్రా.

→ పరమాణు గడియారాలు : కాలాన్ని ప్రామాణికంగా కొలవడానికి ఆధునిక పద్ధతిలో సీజియం గడియారాన్ని వాడుతున్నారు. దీనినే పరమాణు గడియారం అంటారు. దీనిలో సీజియం 133 ఐసోటోపు వాడతారు.

→ యథార్థత (Accuracy) : మనం కొలిచిన విలువ, మనం కొలవవలసిన భౌతికరాశి నిజమైన విలువకు ఎంత దగ్గరగా ఉన్నదో తెలియజేయు కొలమానాన్ని యథార్థత అంటారు.

→ ఖచ్చితత్వము (Precision) : ఖచ్చితత్వము అనేది మనం ఒక పరికరంతో ఎంత కనిష్ఠ అవధి వరకు ఇచ్చిన భౌతికరాశిని కొలవగలమో తెలియజేస్తుంది.
మనం కొలవగలిగిన కనిష్ఠ అవధి ఎంత తక్కువ ఐతే ఆ పరికరం ఖచ్చితత్వం అంత ఎక్కువ.
ఉదా :

• స్క్రూగేజి కనీసపు కొలత 0.01 మి.మీ.;
• వెర్నియర్ కాలిపర్స్ కనీసపు కొలత 0.1 మి.మీ.

ఈ రెండు పరికరాలలో స్క్రూగేజి సున్నితమైనది. కొన్ని సందర్భాలలో కొలతకు తక్కువ యథార్థత ఉన్నప్పటికి మెరుగైన ఖచ్చితత్వం ఉండవచ్చు.

→ దోషం : ఏదైనా భౌతికరాశి యొక్క కొలతలో గల అనిశ్చితత్వాన్ని దోషం అంటారు.

→ క్రమ దోషాలు (Systematic errors) : ఎల్లపుడూ ఒకే దిశలో వచ్చే దోషాలు క్రమ దోషాలు. ఇవి ఉంటే ఎల్లపుడూ ధనాత్మకంగాను లేదా ఎల్లపుడూ ఋణాత్మకంగాను ఉంటాయి.
ఉదా :

• స్క్రూగేజి యొక్క శూన్యాంశదోషము;
• తప్పుగా క్రమాంకనం చేసిన థర్మామీటరు వంటివి. తగిన సవరణలు చేయడం ద్వారా క్రమదోషాలను నివారించవచ్చు.

→ పరికరం వల్ల దోషాలు : అసమగ్ర రూపకల్పన లేదా పరికరాన్ని అసమగ్రంగా క్రమాంకనం చేయడం వల్ల పరికరంలో ఉండే శూన్యాంశ దోషము వంటివి.

→ వ్యక్తిగత దోషాలు : ఇది వ్యక్తి అనుసరించే విధానం, పరికరాలను సక్రమంగా అమర్చకపోవడం వంటి వాటిపై ఆధారపడుతుంది.
ఉదా : దృష్టి విక్షేప దోషం వంటివి.

→ యాదృచ్ఛిక దోషాలు : ఇవి క్రమరహితంగా ఏర్పడతాయి. వీటి సంజ్ఞ, పరిమాణములు కూడా యాదృచ్ఛికమైనవి. ఇవి ప్రయోగం జరుగుతున్నపుడు ఊహించని మార్పుల వలన కలుగుతాయి.
ఉదా : ఓల్టేజిలోని హెచ్చుతగ్గులు, వాతావరణంలోని మార్పులవంటివి.

→ కనీస కొలత దోషం : ఇది పరికరం కొలవగలిగే అత్యల్ప కొలతపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ఒక పరికరంతో కొలిచిన విలువలు ఆ పరికరం కనీస కొలత వరకే ఖచ్చితంగా ఉంటాయి.

→ అంకమధ్యమము : అన్ని విలువల అంకగణిత సగటును ఖచ్చితమైన విలువగా తీసుకుంటాము. దీనిని అంకమధ్యమము అంటారు.

→ పరమదోషం : మనం కొలచిన నిజమైన విలువకు, వ్యక్తిగత కొలత యొక్క విలువకు గల తేడాను కొలతలోని పరమదోషం అంటారు.
పరమదోషం |Δa| = |a_mean – a_i| = |నిజమైన విలువ – కొలిచిన విలువ|

→ మధ్యమ పరమదోషం : పరమదోషాలు అన్నింటి యొక్క అంకమధ్యమాన్ని మధ్యమ పరమదోషం అంటారు.
Δа_సగట = \(\frac{\left|\Delta \mathrm{a}_1\right|+\left|\Delta \mathrm{a}_2\right|+\left|\Delta \mathrm{a}_3\right|+\ldots .\left|\Delta \mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right|}{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{n}} \sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} \Delta \mathrm{a}_{\mathrm{i}}\)

→ సాపేక్ష దోషం : మధ్యమ పరమదోషానికి మరియు మధ్యమ విలువకు గల నిష్పత్తిని సాపేక్షదోషం అంటారు.

→ దోషశాతం : సాపేక్షదోషాన్ని 100చే గుణించి శాతం రూపంలో ప్రకటిస్తే దానినే దోషశాతం అంటారు.

→ సంకలనం లేదా వ్యవకలనంలో దోషాల విభజన :
x = a + b గా తీసుకుంటే ‘a’ లో దోషం ‘Δa’ మరియు ‘b’ లో దోషం ‘Δb’ అయితే
సంకలనంలో దోషము Δx = Δa + Δb అనగా ‘a’ మరియు ‘b’ ల పరమదోషాల మొత్తం.

→ గుణకారం మరియు భాగహారములతో దోషాల వ్యాపనము :
x = ab లేదా x = లుగా తీసుకుంటే ‘a’ లో సాపేక్షదోషం \(\frac{\Delta a}{a}\) మరియు ‘b’ లో సాపేక్షదోషం \(\frac{\Delta b}{b}\) ‘b’ అయితే గుణకారం మరియు భాగహారంలో సాపేక్షదోషాన్ని \(\frac{\Delta \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=\frac{\Delta \mathrm{a}}{\mathrm{a}}+\frac{\Delta \mathrm{b}}{\mathrm{b}}\) గా రాయవచ్చు. అనగా ‘a’ మరియు ‘b’ ల యొక్క సాపేక్ష దోషాల మొత్తం.

→ ఘాతాంక ప్రమేయాలతో కూడిన గుణకారాలు మరియు భాగహారాలలో దోషాల వ్యాపనము :
x = \(\frac{a^{p^p} b^q}{c^r}\) అయిన x = a^p b^q c^-r
x లోని గరిష్ఠ సాపేక్ష దోషం \(\frac{\Delta \mathrm{x}}{\mathrm{x}}=\mathrm{p}\left(\frac{\Delta \mathrm{a}}{\mathrm{a}}\right)+\mathrm{q}\left(\frac{\Delta \mathrm{b}}{\mathrm{b}}\right)+\mathrm{r}\left(\frac{\Delta \mathrm{c}}{\mathrm{c}}\right)\)

→ సార్థక సంఖ్యలు : ఏదైనా కొలతలో వాస్తవంగా కొలచిన విలువలో గల అంకెలతో పాటు ఒక అదనపు అంకెను కలిపి సార్థక సంఖ్యలు అంటారు.
ఈ అదనపు అంకె కొలతలోని అనిశ్చితత్వాన్ని తెలియజేస్తుంది.

→ సార్థక సంఖ్యలను నిర్ణయించే నియమాలు : ఏదైనా కొలతను శాస్త్రీయంగా వ్యక్తీకరించినపుడు సార్థక సంఖ్యలను నిర్ణయించడంలో ఈ క్రింది నియమాలు పాటిస్తారు.

• శూన్యేతర అంకెలన్నీ సార్థక సంఖ్యలే.
• శూన్యేతర అంకెల మధ్య దశాంశ బిందువు ఎక్కడ ఉన్నా అవి అన్నీ సార్థక సంఖ్యలే.
• ఒకటికన్న తక్కువ ఐన సంఖ్యలలో దశాంశ బిందువు కుడి వైపున గల మొదటి సున్న కాని అంకెకు, దశాంశ బిందువుకు మధ్య గల అంకెలు సార్థక సంఖ్యలు కావు.
  దశాంశ బిందువు లేని సంఖ్యలో చివరి శూన్యేతర అంకె తరువాత గల సున్నాలు సార్థక సంఖ్యలు కావు. దశాంశ బిందువు కలిగి ఉన్న సంఖ్యలలో చివరగల సున్నాలు సార్థక సంఖ్యలు.

→ సార్థక సంఖ్యలతో జరిపే అంకగణిత పరిక్రియలో పాటించే నియమాలు :

• గుణకారం లేదా భాగహారాలలో పాల్గొనే సంఖ్యలలో గల కనిష్ఠ సార్థక సంఖ్యల వరకు తుది ఫలితం సవరించాలి.
• కూడిక లేక తీసివేతలలో కనిష్ట దశాంశ స్థానాలలో ఉండే వాస్తవ సంఖ్యల వరకు చివరి ఫలితాన్ని సవరించాలి.

→ అనిశ్చిత అంకెలను సవరించడం : సార్థక సంఖ్యలలో చివరి సార్థక సంఖ్య తరువాత గల అంకెలను చివరి సార్థక సంఖ్య వరకు సర్దుబాటు చేయడంలో ఈ క్రింది నియమాలు పాటిస్తారు.

• సర్దుబాటు చేయవలసిన అంకె 5 కన్న చిన్నదైతే దానిని వదలివేస్తారు.
• సర్దుబాటు చేయవలసిన అంకె 5 కన్న పెద్దదైతే చివరి సార్థక సంఖ్య విలువ ఒకటి పెంచుతారు.
• సర్దుబాటు చేయవలసిన అంకె 5 ఐతే
  (ఎ) చివరి సార్థక సంఖ్య సరిసంఖ్య అయితే 5ను లెక్కలోకి తీసుకోకుండా వదలివేస్తారు.
  (బి) చివరి సార్థక సంఖ్య బేసిసంఖ్య అయితే దాని విలువ ఒకటి పెంచి సరిసంఖ్యగా చేస్తారు.

→ మితి : ఒక ఉత్పన్న భౌతికరాశిని సూచించడానికి ప్రాథమిక రాశులను ఏ ఘాతము వరకు పెంచుతారో ఆ ఘాతాన్ని మితి అంటారు.
ఉదా : వేగము LT^-1 లో పొడవు మితి ‘1’. కాలము మితి ‘-1’.

→ మితి ఫార్ములా : ఏదైనా ఉత్పన్నరాశిలో గల ప్రాథమిక రాశులను వాటి ఘాతములతో సహా తెలియజేయు భౌతిక శాస్త్ర సమీకరణమును మితిఫార్ములా అంటారు.
ఉదా :

• త్వరణము – LT^-2
• బలము MLT^-2

→ మితి విశ్లేషణ ఉపయోగాలు :

• ఇచ్చిన సమీకరణాల సుసంగతిని సరిచూడటం. దీని కొరకు మితుల సజాతీయత అన్న సూత్రం వాడతారు.
• వేరు వేరు భౌతికరాశుల మధ్య సంబంధాలు రాబట్టుట.

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 3rd Lesson సరళరేఖాత్మక గమనం to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 3rd Lesson సరళరేఖాత్మక గమనం

→ గమనము : పరిసరాలతో పోల్చినపుడు కాలానుగుణంగా వస్తువు స్థానంలో కలిగే మార్పును గమనము

→ శుద్ధగతి శాస్త్రము : గమనానికి కారణాలు ప్రస్తావించకుండా గమనాన్ని వర్ణించే పద్ధతులను వివరించే శాస్త్రము.

→ సరళరేఖాత్మక గమనము : వస్తువు యొక్క గమనము ఒక సరళరేఖకు మాత్రమే పరిమితమైతే ఆ గమనాన్ని సరళరేఖాత్మక గమనము అంటారు.

→ స్థానభ్రంశము (S) : వస్తువు స్థానంలో మార్పును స్థానభ్రంశము అంటారు. ఇది సదిశరాశి. అనగా దిశ, పరిమాణములను కలిగి ఉంటుంది.

→ పథం పొడవు (Path Length) : వస్తువు ప్రయాణమార్గం మొత్తం పొడవును పథం పొడవు అంటారు. గమనిక : వస్తువు స్థానభ్రంశపు పరిమాణం, దాని పథం పొడవు సమానం కావచ్చు, కాకపోవచ్చు. ఒక గమన మార్గానికి స్థానభ్రంశం సున్న అయినప్పటికి పథం పొడవు సున్న కాదు.

→ స్థానభ్రంశకాల వక్రాలు : వస్తువు స్థానభ్రంశము ‘S’ ను Y – అక్షం మీద, కాలము (t) ని X – అక్షం మీద తీసుకొని గీసిన రేఖాపటాన్ని స్థానభ్రంశకాల వక్రము అంటారు.
(a) నిశ్చల స్థితిలో ఉన్న వస్తువు స్థానభ్రంశకాల వక్రం X – అక్షానికి సమాంతరంగా గల సరళరేఖ.
(b) సమవేగంతో చలించే వస్తువుకు స్థానభ్రంశకాలవక్రము X- అక్షంతో కొంత కోణం చేయు సరళరేఖ. ఈ సరళరేఖ వాలు \(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) వస్తువు సమవేగాన్ని ఇస్తుంది.
(c) సమత్వరణంతో చలించే వస్తువు స్థానభ్రంశకాల వక్రము ఒక వక్రరేఖ. దీని వాలు పైకి పోయిన కొద్ది పెరుగుతుంది. ఈ వక్రం యొక్క వాలు \(\left(\frac{d y}{d x}\right)\) ఆ క్షణం వద్ద వస్తువుకు గల వేగాన్ని తెలుపుతుంది.

→ సగటు వేగము : వస్తువు యొక్క మొత్తం స్థానభ్రంశము మరియు ప్రయాణించిన మొత్తం కాలముల నిష్పత్తిని సగటు వేగము అంటారు. ప్రమాణము మీ/సెకను. ఇది సదిశరాశి.
సగటు వేగము V̅ = \(\frac{X_2-X_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta X}{\Delta t}\)

→ సగటు వడి : నియమితకాలంలో వస్తువు ప్రయాణించిన పథం పొడవు మరియు కాలముల నిష్పత్తిని సగటు వడి అంటారు. ఇది అదిశరాశి. ప్రమాణము మీ/సె.

గమనిక : వడికి దిశ లేకపోవడం. వల్ల ఇది ఎల్లపుడూ ధనాత్మకము. కాని వేగం దిశను బట్టి ధనాత్మకము లేదా ఋణాత్మకంగా ఉండవచ్చు.

→ తత్కాల వేగము : కాలవ్యవధి Δt అత్యల్పమైనప్పుడు కాలవ్యవధి మరియు వస్తువు స్థానభ్రంశాల నిష్పత్తిని తత్కాల వేగము లేదా తాక్షణిక వేగము అంటారు.
తాక్షణిక వేగము \(\overline{\mathrm{V}}={Lt}_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathrm{X}}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{\mathrm{dX}}{\mathrm{dt}}\)
గమనిక : తత్కాల వేగము సగటు వేగానికి సమానం కావచ్చు లేదా కాకపోవచ్చు.

→ వేగ కాల వక్రాలు (V-t గ్రాఫ్) : వేగము Vని Y- అక్షం మీద, కాలము t ని X- అక్షం మీద తీసుకొని గీచిన రేఖా పటాన్ని వేగ కాల వక్రము అంటారు. వేగ కాల వక్రాలలో
(a) సమవేగంతో చలించే వస్తువు వేగ కాల వక్రం X- అక్షానికి సమాంతరంగా గల సరళరేఖ.
(b) నిశ్చలస్థితి నుండి బయలుదేరి సమత్వరణంతో చలించే వస్తువు వేగ – కాల వక్రం మూల బిందువు గుండా పోవు సరళరేఖ.
(c) తొలి వేగం ‘V₀‘ తో బయలుదేరి సమత్వరణంతో చలించు వస్తువు వేగకాలవక్రం కొంత Y అంతరఖండం కలిగి X- అక్షంతో కొంత కోణం చేయు సరళరేఖ. దీని Y అంతర ఖండం తొలి వేగం ‘V₀‘ ను ఇస్తుంది.
(d) వేగ కాల వక్రం వాలు వస్తువు సమత్వరణం ‘a’ ను ఇస్తుంది.
(e) వేగ కాల వక్రం కింద గల వైశాల్యం వస్తువు మొత్తం స్థానభ్రంశం ‘s’ ను తెలియజేస్తుంది.
(f) వేగ కాల వక్రాల నుండి గతి శాస్త్ర సమీకరణములు V = V₀ + at, X = V₀t + \(\frac{1}{2}\) at², V² – V₀² = 2ax లను ఉత్పాదించవచ్చు.

→ త్వరణము (a) : నిర్దిష్ట కాలవ్యవధిలో వేగంలోని మార్పును త్వరణం అంటారు. ఇది సదిశ. ప్రమాణము మీ/సె²
త్వరణము a̅ = \(\frac{V_2-V_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta V}{\Delta t}\) లేదా a̅ = \(\frac{V-V_0}{t-t_0}\)

→ తత్కాల త్వరణము (a) : కాలవ్యవధి Δt అత్యల్పమైనప్పుడు వస్తువు వేగంలో మార్పుకు, కాలమునకు గల నిష్పత్తిని తత్కాల లేదా తాక్షణిక త్వరణం అంటారు.
తాక్షణిక త్వరణము a̅ = \({Lt}_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathrm{V}}{\Delta \mathrm{t}}=\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}\)
గమనిక : త్వరణము సదిశరాశి కావడం వల్ల ఇది ధనాత్మకము లేదా ఋణాత్మకంగా ఉండవచ్చు. వస్తువుకు ఋణత్వరణము (-a) ఉంటే దాని వేగము క్రమంగా తగ్గుతుంది.

→ స్వేచ్ఛాపతనము : వస్తువును కొంత ఎత్తు నుండి జారవిడిస్తే అది స్వేచ్ఛాపతనంలో ఉంది అంటారు. ఇటువంటి వస్తువుకు a = g మరియు తొలివేగం V₀ = 0, స్థానభ్రంశము = Y.

→ స్వేచ్ఛాపతనంలోని వస్తువు సమీకరణాలు : (ఊర్ధ్వ దిశను ధనాత్మకంగా భావిస్తే)

• V = 0 – gt = -9,8t m/s
• Y = 0 – \(\frac{1}{2}\)gt² = -4.9121
• V² = 0 – 2gy = -19.6y m/s

గమనిక : వేగకాలవక్రాలతో వస్తువు వాస్తవ చలనాన్ని విశదీకరించడానికి వీలుగా ఊర్ధ్వ దిశలో త్వరణాన్ని ధనాత్మకంగా తీసుకుంటారు.

→ గెలీలియో బేసిసంఖ్యల నియమము: స్వేచ్ఛాపతనంలో ఉన్న వస్తువు వరుస సెకనులలో ప్రయాణించిన స్థానభ్రంశాల నిష్పత్తి 1:3:5:7 ……. గా గల బేసి సంఖ్యల గుణిజంగా ఉంటుంది.

→ వాహనాలను నిలిపే దూరము : వేగంగా చలించే వాహనానికి బ్రేకులు వేయడం వల్ల అది ఆగిపోయే దూరము వస్తువు తొలివేగము (V₀) మరియు బ్రేకుల ఋణత్వరణ సామర్థ్యం మీద ఆధారపడుతుంది.
ఆగిపోవు దూరము X = \(\frac{V_0^2}{2 a}\)

→ ప్రతిస్పందన కాలము : మనం ఏదైనా ఒక సంఘటనను చూచినపుడు పరిస్థితి అర్థం చేసుకొని ప్రతిచర్య ప్రారంభించడానికి పట్టే కాలము ప్రతిస్పందన కాలము.
ఉదా : చలిస్తున్న వాహనానికి ఒక బాలుడు అకస్మాత్తుగా అడ్డం వస్తే దానిని గ్రహించి వాహనానికి బ్రేకులు వేయడానికి తీసుకున్న సమయము.

→ సాపేక్ష వేగము : A, B అను రెండు వస్తువులు చలనంలో ఉంటే ఒక వస్తువు A దృష్ట్యా B చలనము లేదా B దృష్ట్యా వస్తువు A చలనాన్ని వివరించడాన్ని సాపేక్ష చలనం అంటారు.
ఉదా : A, B వస్తువుల వేగాలు V_A, V_B అయితే B దృష్ట్యా A యొక్క వేగము V_AB = V_A – V_B (A, B లు ఒకే దిశలో చలిస్తుంటే)
A దృష్ట్యా B వేగము V_BA = V_B – V_A (A, B లు ఒకే దిశలో చలిస్తుంటే)
ఈ సందర్భంలో V_AB = -V_BA
A, B లు వ్యతిరేక దిశలలో చలిస్తుంటే V_BA – V_AB = V_A + V_B.

→ ఏకరీతి లేదా సమవేగములో ప్రయాణిస్తున్న వస్తువుకు s = vt.

→ స్థానభ్రంశము మరియు కాలంల రేఖాపటపు వాలు వేగాన్నిస్తుంది.

→ వేగము కాల వక్రము యొక్క వాలు త్వరణాన్ని సూచిస్తుంది.

→ వేగము – కాల వక్రము క్రింది వైశాల్యము, మొత్తం స్థానభ్రంశమునకు సమానము.

→ సమవేగముతో ప్రయాణిస్తున్న వస్తువు యొక్క v-t వక్రము, x – అక్షమునకు సమాంతరముగా ఉంటుంది.

→ సమ త్వరణంతో ప్రయాణిస్తున్న వస్తువు యొక్క v – t వక్రము X – అక్షంతో సమచాలు గల సరళరేఖను సూచిస్తుంది.

→ చలన సమీకరణాలు

• v = u + at
• s = ut + \(\frac{1}{2}\)gt²
• v² – u² = 2as

→ nవ సెకనులో వస్తువు ప్రయాణించిన దూరము S_n = u + a (n – \(\frac{1}{2}\)) లేదా u + \(\frac{a(2 n-1)}{2}\)

→ స్వేచ్ఛగా క్రిందికి పడుతున్న వస్తువు చలన సమీకరణాలు

• v = gt
• \(\frac{1}{2}\)gt²
• v² – u² = -2gh

→ నేల నుంచి నిట్టనిలువుగా పైకి ప్రక్షేపించిన వస్తువు చలన సమీకరణాలు

• v = u – gt
• h = ut – \(\frac{1}{2}\)gt²
• v² – u² = -2gh
• ఆరోహణ కాలము t_a = \(\frac{u}{g}\) అవరోహణ కాలము t_d = \(\frac{u}{g}\)
• మొత్తం ప్రయాణ కాలము T = t_a + t_d = 2t = \(\frac{2u}{g}\)

→ ఎత్తున్న శిఖరం నుండి నిలువుగా ‘u’ వేగంతో ప్రక్షేపించిన శిఖరం ఎత్తు h = – ut+ \(\frac{1}{2}\)gt² అను సమీకరణం నుండి వాడండి.
ఇందులో, t = మొత్తం ప్రయాణ కాలం.

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 8th Lesson డోలనాలు to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 8th Lesson డోలనాలు

→ ఆవర్తన చలనము : నిర్ణీత కాలవ్యవధులలో పునరావృతమయ్యే చలనాలను ఆవర్తన చలనాలు అంటారు.

→ ఆవర్తన చలనాన్ని ప్రత్యేకంగా డోలన చలనాన్ని వివరించేందుకు కాలం, పౌనఃపున్యము, స్థానభ్రంశము, కంపన పరిమితి, దశ లేక ప్రావస్థ వంటి ప్రాథమిక భావనలు అవసరము.

→ సరళహరాత్మక చలనం : డోలన చలనం యొక్క సరళమైన రూపాన్ని సరళ హరాత్మక చలనం అంటారు. ఈ చలనం కాల ప్రమేయము (f(t)) తో ఆవర్తనంగా ఉంటుంది.

→ సరళ హరాత్మక చలనాన్ని f(t) = A cos ωt లేదా A sin ωt వంటి అతిసరళమైన సమీకరణంతో సూచిస్తారు. నోట్:

• వస్తువు పౌనఃపున్యము (v) తక్కువగా ఉంటే వాటిని డోలన చలనము అని, పౌనఃపున్యము ఎక్కువగా ఉంటే దానిని కంపన చలనమని అంటారు.
• ప్రతి డోలన చలనం ఆవర్తన చలనమే కాని, ప్రతి ఆవర్తన చలనము డోలన చలనం కావలసిన అవసరం లేదు.

→ ఆవర్తన కాలము (T) : ఆవర్తన చలనంలో ఏ స్వల్ప కాలవ్యవధి తరువాత చలనం పునరావృతమవుతుందో కాలాన్ని ఇచ్చిన ఆవర్తన చలనము యొక్క ఆవర్తన కాలము అంటారు.
ఆవర్తన కాలము T = \(\frac{2 \pi}{\omega}\), ω = కోణీయ వేగము

→ పౌనఃపున్యము (v) : ఏకాంక కాలంలో జరిగే ఆవర్తనాలు లేదా చలనంలోని పునరావృతాలను ఆవర్తన చలనం పౌనఃపున్యము (v) అంటారు.
పౌనఃపున్యము (v) ఆవర్తన కాలము (T) విలోమానికి సమానము.

ప్రమాణము : డోలనము/సెకను లేదా హెర్జ్ (Hz)

→ స్థానభ్రంశము : ఆవర్తన చలనంలో కాలంతో పాటు మార్పును కలిగిన ఏదైనా భౌతిక ధర్మంలో వచ్చే మార్పును స్థానభ్రంశం సూచిస్తుంది.
ఉదా :

• సరళ హరాత్మక చలనంలో రేఖీయ గమనంలో ఉన్న ఒక బంతి ఆరంభ బిందువు నుంచి దాని దూరాన్ని కాలప్రమేయంగా తీసుకుంటే, వస్తువు స్థానం బట్టి మూలబిందువు ఎంపికను బట్టి స్థానభ్రంశ పరిమాణం ఉంటుంది.
• ఏకాంతర విద్యుత్ ప్రవాహ వలయంలో కెపాసిటర్ పలకల మధ్య కాలంతో పాటు మారే వోల్టేజిని కూడా స్థానభ్రంశ చలరాశిగా భావించవచ్చు.

→ ఫోరియర్ సిద్ధాంతము : ఏ ఆవర్తన ప్రమేయాన్ని అయినా వివిధ డోలనా వర్తన కాలాలు (T), వాటికి అనుగుణమైన గుణకాలు కలిగి ఉండే sine మరియు cosine ల ప్రమేయాల అధ్యారోపణంగా రాయవచ్చు. ఉదా :

• Y = sin ωt + cos ωt
• Y = sin ωt + cos 2 ωt + sin 4 ωt
• Y = e^-ωt
• Y = log (ωf) వంటి ప్రమేయాలు ఆవర్తన చలనాన్ని సూచించటానికి వాడవచ్చు.

→ సరళ హరాత్మక చలన సమీకరణ వివరణ : కాలంతో పాటు స్థానభ్రంశం జ్యా వక్రీయ ప్రమేయం (sinusodial)గా ఉన్న ఆవర్తన చలనాన్ని సరళ హరాత్మక చలనంగా తీసుకుంటారు. ఇటువంటి చలనంలో కణ స్థానభ్రంశం ‘X’ కాలంతో పాటు (t) మారే విధానాన్ని x(t) = A cos (ωt + Φ) తో సూచిస్తారు. ఇందులో A కణం పొందే గరిష్ఠ స్థానభ్రంశ పరిమాణము. దీనిని కంపన పరిమితి అంటారు. sine, cosine ప్రమేయాలకు దీని విలువ – 1 నుండి 1 వరకు మారును. ut ని ఆర్గ్యుమెంట్ అంటారు. ఇది కాలంతో పాటు మారే స్థానభ్రంశ పరిమాణాన్ని సూచిస్తుంది. ఈ ప్రమేయం ఆవర్తన కాలము T = అవుతుంది.

→ ప్రావస్థ లేక దశ (Φ) : ఆవర్తన చలన ప్రారంభంలో t = 0 వద్ద ωt + Φ = 0 అవుతుంది. t = 0 వద్ద గల స్థానభ్రంశాన్ని ప్రావస్థ లేదా దశ ” అంటారు.

→ కోణీయ వేగము లేదా కోణీయ పౌనఃపున్యము (ω) : ఆవర్తన చలనాన్ని కోసైన్ (cosine) లేదా సైన్ (sine)ల ఆవర్తన ప్రమేయంగా చూపితే, ఆవర్తన కాలం ‘T’ లో ఆర్గ్యుమెంట్ (కణ కోణీయ స్థానభ్రంశం)లో మార్పు 2π అయితే దాని స్థానభ్రంశం పునరావృతమవుతుంది. అనగా కోణీయ వేగము ω = \(\frac{2 \pi}{T}\). దీనినే వస్తువు కోణీయ పౌనఃపున్యము అని కూడా అంటారు.

→ నివేశ వృత్తము : ఒక వృత్త వ్యాసంపై ఏకరీతి వృత్తాకార చలనం యొక్క విక్షేపం (projection) సరళ హరాత్మక చలనము వృత్త వ్యాసంపై ఏకరీతి చలనం చేసే కణాన్ని (p) నిర్దేశకం అని, ఈ కణం ఏ వృత్తంపై తిరుగుతుందో దానిని నివేశ వృత్తము అని అంటారు.

→ సరళ హరాత్మక చలనంలో ఉన్న వస్తువు వేగము : ఏకరీతి వృత్తాకార చలనంలో కణం గరిష్ఠ వడి అనేది కోణీయ వేగం మరియు వృత్త వ్యాసార్థాల లబ్ధానికి సమానము. V = ωA. S.H.M లో గల వస్తు సమీకరణం x(t) = = A cos (ωt + d) అయితే కణం వడి υ = \(\frac{d}{d x}\)[x(t)] = \(\frac{d}{d x}\) [A cos (ωt + d)] = – A ω sin (ωt + d) = ω\(\sqrt{A^2-x^2}\) – గుర్తు U దిశ ధన X – అక్షానికి వ్యతిరేకము. గరిష్ఠ వడి X = 0 వద్ద ఉంటుంది .υ = ωA అనగా S.H.M లో స్థానభ్రంశం x = 0 అయితే కణం వడి గరిష్ఠము.

→ త్వరణము : S.H.M లో గల వస్తువు తాక్షణిక త్వరణము a(t) = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\)
a(t) = \(\frac{d}{d t}\)[- Aω sin (ωt + Φ)] = -Aω² cos (ωt + Φ) = -ω². x(t)
గరిష్ఠ త్వరణము a = -ω²A ఇది X = A బిందువు వద్ద ఉంటుంది. అనగా స్థానభ్రంశము గరిష్ఠమైతే S.H.M లో వస్తువు త్వరణము గరిష్ఠము ఈ త్వరణము ఎల్లప్పుడూ మాధ్యమిక బిందువు వైపు ఉంటుంది.

→ సరళ హరాత్మక చలనం చేసే వస్తువు పై బలము : m ద్రవ్యరాశి గల S.H.M ఉన్న వస్తువు పై బలం కూడా కాలం ప్రమేయంగా మారుతుంది. F(t) = ma = – mω²x(t) లేదా F(t) = – K x(1) ఇందులో K = -mω² S.H.M లో గల వస్తువుపై పనిచేసే బలం ఎల్లప్పుడూ ఆ చలనంలో గల మాధ్యమిక బిందువు వైపు ఉంటుంది.

→ S.H.M లో గల వస్తువు శక్తి : సరళ హరాత్మక చలనం చేసే కణం యొక్క స్థితిజశక్తి, గతిజశక్తి విలువలు సున్న నుండి గరిష్ఠ విలువ మధ్య మారుతుంటాయి.
కణం గతిజశక్తి K.E = \(\frac{1}{2}\)mω² = \(\frac{1}{2}\)mω²A² sin² (ωt + Φ) = = K. A² sin² (ωt + Φ) లేదా KE = \(\frac{1}{2}\) mω² (A² – x²) = \(\frac{1}{2}\) K (A² – x²)
x = స్థానభ్రంశము; A – కంపన పరిమితి
S.H.M లో కణం స్థితి శక్తి : S.HM లో కణం స్థితిశక్తి U = \(\frac{1}{2}\) mω² A² cos (ωt + Φ)
U = P.E = \(\frac{1}{2}\)mω² A² cos² (ωt + Φ) = \(\frac{1}{2}\)KAx²
S.H.M లో గల వస్తువు లేదా కణం మొత్తం శక్తి E = \(\frac{1}{2}\)m² A² = \(\frac{1}{2}\)K A²

→ స్ప్రింగ్లలో డోలనాలు : స్ప్రింగ్లలో స్ప్రింగ్ పొడవుతో పోలిస్తే స్థానభ్రంశం తక్కువగా ఉన్నపుడు మాత్రమే హుక్ నియమం వర్తిస్తుంది.
స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము

గుర్తు పునఃస్థాపక బలాలు వ్యతిరేక దిశలో పనిచేస్తాయి అని చెపుతుంది.
గట్టి స్ప్రింగ్లకు K విలువ ఎక్కువ, మెత్తటి స్ప్రింగ్లకు K విలువ తక్కువ.
స్ప్రింగ్లలో కోణీయ వేగం లేదా కోణీయ పౌనఃపున్యము ω = \(\sqrt{\frac{\mathrm{K}}{\mathrm{m}}}\)
స్ప్రింగ్ అవర్తన డోలనాకాలము T = \(\frac{2 \pi}{\omega}\) = 2π\(\sqrt{\frac{m}{K}}\)

→ లఘు లోలకము : సాగదీయడానికి వీలులేని, ద్రవ్యరాశి లేనటువంటి ఓ పొడవు గల దారానికి ఒక చిన్న లోహపు గుండును తగిలించి దృఢమైన ఆధారానికి కడితే దానిని లఘు లోలకము అంటారు.

→ కంపన పరిమితి తక్కువగా గల లఘు లోలకం చేసే డోలనాలు సరళ హరాత్మక చలనాలు.

→ లోలకం పొడవు వెంబడి నికర వ్యాసార్ధియ బలం mg cos θ. ఇది దారంతో తన్యత T ని తుల్యం చేస్తుంది.

→ లోలకం డోలనాలు చేయడానికి కావలసిన టార్క్ T ను స్పర్శియ బలం ng sin θ ఇస్తుంది.

→ లోలకం డోలనాలకు కావలసిన టార్క్ τ = – L mg sin θ

→ లోలకం కోణీయ త్వరణము α = \(\frac{-\mathrm{mgL}}{\mathrm{I}}\)θ

→ లోలకం జడత్వ భ్రామకం I = mL²
లోలకం ఆవర్తన కాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{1}{\mathrm{mgL}}}\) = 2π\(\sqrt{\frac{L}{g}}\)

→ సెకండ్ల లోలకం : డోలనావర్తన కాలం రెండు సెకనులు గల లోలకాన్ని సెకండ్ల లోలకం అంటారు.
సెకన్ల లోలకం ఆవర్తన కాలము T = 2 సెకనులు.

→ అవరుద్ధ దోలనాలు : అవరుద్ధ డోలనాలలో వ్యవస్థ శక్తి అవిచ్ఛిన్నంగా వ్యర్థమవుతుంది. అవరోధం అల్పంగా ఉండే సందర్భంలో డోలనాలు దాదాపు ఆవర్తన చలనాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

గమనిక :
అవరోధబలం పరిమాణం యానకం స్వభావంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. అవరోధబలం పెరిగితే కంపించే వ్యవస్థ తొందరగా శక్తిని కోల్పోయి వ్యవస్థ కంపనాలు లేదా డోలనాలు తొందరగా ఆగిపోతాయి.
అవరోధబలానికి గురైన వస్తువు ఆవృత చలనాన్ని m\(\frac{d^2 x}{d t^2}\) + b\(\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}}\) + Kx = 0 అన్న సమీకరణంతో సూచిస్తారు.
ఇటువంటి వ్యవస్థ కోణీయత = \(\sqrt{\frac{K}{m}-\frac{b^2}{4 m^2}}\)
ఇందులో K = స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము, b = అవరోధ స్థిరాంకము

→ స్వేచ్ఛా కంపనాలు లేదా స్వేచ్ఛా డోలనాలు : వస్తువును మాధ్యమిక స్థానం నుంచి స్థానభ్రంశం చెందించి వదలివేస్తే ఆ వస్తువు చేసే కంపనాలను స్వేచ్ఛా కంపనాలు అంటారు.

→ బలాత్కృత లేదా చోదిత డోలనాలు : ఏదైనా వ్యవస్థ తన సహజ పౌనఃపున్యం వద్ద కాక బాహ్య కారకం పౌనఃపున్యంతో చలిస్తే అటువంటి డోలనాలను బలాత్కృత డోలనాలు అంటారు. బలాత్కృత డోలనాలన్నీ అవరుద్ధ డోలనాలే.

→ అనునాదము : ఏదైనా వస్తువుపై చోదకబలం పౌనఃపున్యము వస్తువు సహజ పౌనఃపున్యానికి సమానమైనపుడు డోలకం కంపన పరిమితిలో పెరుగుదల కలిగించే దృగ్విషయాన్ని అనునాదము అంటారు.
గమనిక : వస్తువు సహజ పౌనఃపున్యం చోదకబలం పౌనఃపున్యానికి చాలా దగ్గరగా ఉంటే కూడా అనునాదం సంభవించవచ్చు. ఈ కారణం వల్ల భూకంపం వచ్చినపుడు భూప్రకంపనల పౌనఃపున్యానికి సమీప సహజ పౌనఃపున్యం గల భవనాలు తొందరగా నేల కూలతాయి.

→ సరళహరాత్మక చలనములో ఉన్న వస్తువు స్థానభ్రంశ సమీకరణములు
Y = A sin (ωt ± Φ) లేదా Y = A cos (ωt ± Φ)

→ స.హ.చ. లో ఉన్న వస్తువు వేగము : V = \(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\)(A cos ωt)
∴ V = -Aω sin ωt
లేదా V = \(\sqrt{A^2-Y^2}\); గరిష్ఠవేగము V_{గరిష్ఠ} = Aω

→ స.హ.చ. లో ఉన్న వస్తువు త్వరణము :
a = -ω² A sin ωt లేదా a = -ω²Y (ఇక్కడడ Y = A sin ωt)
(– ఋణగుర్తు త్వరణము మరియు స్థానభ్రంశములు వ్యతిరేకదిశలలో ఉండుటను సూచించును.) గరిష్ఠ త్వరణము a_max = ω²A.

→ స.హ.చ.లో ఉన్న వస్తువు కోణీయ వేగము ‘ω’ : స.హ.చ.లో త్వరణము ∝ స్థానభ్రంశము a ∝ – Y లేదా a = -ω²y ( ఋణగుర్తు a మరియు y లు వ్యతిరేకదిశలలో ఉండుటను సూచించును.)

ఇందులో ω స.హ.చ.లో ఉన్న వస్తువు కోణీయ వేగము.

→ స.హ.చ.లో ఉన్న వస్తువు ఆవర్తన కాలము: ఒక పూర్తి కంపనమునకు పట్టుకాలమును దాని ఆవర్తనకాలము

పౌనఃపున్యము υ = \(\frac{1}{T}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{a}{Y}}\) లేదా υ = \(\frac{\omega}{2 \pi}\) లేదా ω = 2πυ

→ స్ప్రింగ్లు :
1) స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము

2) వస్తువు త్వరణము a = \(\frac{K}{m}\). Y (m స్ప్రింగ్ కు వ్రేలాడదీసిన దిమ్మ ద్రవ్యరాశి)
3) దిమ్మ యొక్క కోణీయ వేగము ω = \(\sqrt{\frac{K}{m}}\) [∵ a = -ω²Y కాని స్ప్రింగ్లో a = \(\frac{K}{m}\). Y ∴ ω = \(\sqrt{\frac{K}{m}}\)
4) ఆవర్తన కాలము T = \(\frac{2 n}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{K}}\)
5) T₁ = \(2 \pi \frac{\sqrt{\left(m+\frac{m_1}{3}\right)}}{K}\) (నిజస్ప్రింగ్లందు)
6) కంపన పౌనఃపున్యము n = \(\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{K}{m}}\), నిజ స్ప్రింగ్లందు n = \(\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{K}{\left(m+\frac{m_1}{3}\right)}}\)
7) ఏ స్థానము వద్దనైనా స్థితిశక్తి P.E. = \(\frac{1}{2}\)Kx² ణి మరియు గతిశక్తి K.E. = \(\frac{1}{2}\)K(A² – x²)
8) మొత్తము శక్తి T.E. = స్థితిశక్తి + గతిశక్తి = \(\frac{1}{2}\)KA²
9) k స్థిరాంకము గల స్ప్రింగ్ను ‘n’ సమానభాగములుగా కత్తిరించిన ఒక్కొక్క భాగము స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము k¹ = nk n = భాగముల సంఖ్య మరియు k = మొదటి స్ప్రింగ్ స్థిరాంకము

→ స.హ.చ.లో ఉన్న వస్తువు యొక్క శక్తి :

• ఏ బిందువు వద్దనైనా స్థితిశక్తి P.E. = \(\frac{1}{2}\)mω²x²; PE_max = \(\frac{1}{2}\)mω²A²
• ఏ బిందువు వద్దనైనా K.E. = \(\frac{1}{2}\)mω²(A² – x²); గరిష్ట గతిశక్తి = \(\frac{1}{2}\)mω²A² (x = ‘0’ వద్ద)
• పౌనఃపున్యము ‘U’ లో సమీకరణాలు వ్రాసినపుడు
  స్థితిశక్తి P.E. = 2mπ²v²x² గతిశక్తి K.E. = 2mπ²v² (A² – x²)
  మొత్తము శక్తి T. E. = P.E. + K.E. = 2mπ²v²A²

→ లఘు లోలకము:

• లఘులోలకములో భారము యొక్క అంశము mg sin θ. ఇది డోలనాలు చేయుటకు కావలసిన బలమును సమకూర్చును. F = mg.sin θ. లోలకం పై టార్క్ τ = L. mg sin θ,
• డోలనావర్తన కాలము T = 2π\(\sqrt{\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{mgL}}}\) = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g}}\) లేదా g = 4π²\(\frac{l}{\mathrm{~T}^2}\)
• లోలకము M.O.I = I = mL² ; కోణీయ త్వరణము α = –\(\frac{\mathrm{mgL}}{\mathrm{I}}\).θ
• లిఫ్ట్ ‘a’ త్వరణముతో పైకి వెళుతున్న దానిలోని లోలకము ఆవర్తనకాలము తగ్గును T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g+a}}\)
• లఘులోలకమును ‘a’ త్వరణముతో క్రిందికి వెళ్ళుతున్న లిఫ్ట్ లో ఉంచిన దాని ఆవర్తనకాలము పెరుగును
  T = 2π\(\sqrt{\frac{l}{g-a}}\)
• సెకనుల లోలకము డోలనావర్తన కాలము T = 2 సె.; పొడవు = 100 సెం.మీ. = 1మీ. (సుమారుగా)

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Hindi Study Material उपवाचक 6th Lesson सफलता की कुंजी : टीम वर्क Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Hindi उपवाचक 6th Lesson सफलता की कुंजी : टीम वर्क

अभ्यास

अ. निम्न लिखित प्रश्नों के उत्तर तीन चार वाक्यों में दीजिए ।

प्रश्न 1.
ए. पी. जे. अब्दुल कलाम का संक्षिप्त परिचय लिखिए ।
उत्तर:
ए.पी.जे अब्दुल कलाम को भारत के ग्यारहवें राष्ट्रपति के तौर पर अधिक जाना जाता है, जो साल 2002 से लेकर साल 2007 तक भारत के राष्ट्रपति के पद पर रहे। इस से पहले कलाम विज्ञान क्षेत्र में सक्रिय थे । कलाम ने तमिलनाडु के रामेश्वरम में जन्म लिया और वही पर उनका पालन पोषण भी हुआ ।

शिक्षा के लिहाज से उन्होंने अन्तरिक्ष विज्ञान और भौतिक विज्ञान की पढ़ाई की । अपने करियर के अगले करीब चालीस सालों तक, वह भारतीय रक्षा अनुसन्धान और विकास संगठन यानि संक्षेप में कहें तो डी.आर.डी.ओ. और भारतीय अन्तरिक्ष अनुसन्धान संगठन यानि इसरो में वैज्ञानिक और इंजिनियर के पद पर रहे । इन्हें लोगों के दिल में बहुत सम्मान प्राप्त है ।

प्रश्न 2.
“सफलता अकेले आगे बढने में नहीं है, बल्कि दूसरों को भी साथ लेकर बढने में है ।” इस कथन का समर्थन करते हुए अपने विचार लिखिए ?
उत्तर:
किसी भी संस्था के परिणामों को बेहतर बनाने केलिए टीम वर्क की अहमियत को समझना बेहद जरुरी है। संकटपूर्ण स्थितियों में टीम भावना से किया काम सफलता को सुनिश्चित करता है । यह वह स्थिति होती है, जिसमें सभी की जीत होती है । पारस्परिक मधुर संबंध टीम की सफलता केलिए जरुरी होते है । सदस्यों के बीच भरोसा मजबूत होना चाहिए। टीम वर्क से कोई भी काम कम वक्त में पूरा हो जाता है ।

जब कई लोग किसी एक समस्या का समाधान ढूंढने का कोशिश करते है तो बेहतर विचार सामने आते हैं। टीम वर्क में गलती की संभावनाएं कम होती हैं, क्यों कि एक व्यक्ति का काम दूसरे से जुड़ा होता है, इसलिए प्रत्येक स्तर पर काम की जांच होती रहती है। अच्छा टीम वर्क किसी संगठन को कम समय में बेहतर नतीचे तक पहुंचाता है । सफलता एक व्यक्ति का न होकर समस्त व्यक्तियों के होते तो उसका मजा ही और है । हम उस आनंद बातों में नहीं बता सकते ।

सफलता की कुंजी : टीम वर्क Summary in Hindi

लेखक परिचय

‘भारतरत्न’ अबुल पकीर जैनुलाबदीन अब्दुल कलाम का जन्म सन् 1931 में धनुषकोडी, रामेश्वरम, तमिलनाडु राज्य में एक मध्यम वर्गीय मुस्लिम परिवार में हुआ था । कलाम सात भाई – बहनों में से एक थे । उनके पिता का नाम जैनुलाबश्रान और माता का नाम आशियाम्मा था । कलाम ने तिरुचीरापल्ली के सेंट जोसेफ कॉलेज से अपनी बारहवी की परीक्षा उत्तीर्ण की। तत्पश्चात वें एयरोनॉटीकल इंजीनियरिंग की पढ़ाई के लिए मद्रास इंस्टिटयूट ऑफ टेक्नोलॉजी आ गए ।

कलाम ने सन् 1958 में रक्षा अनुसंधान और विकास संगठन (डीआरडीओ) के साथ अपनी नौकरी शुरु की। तत्पश्चात वें भारतीय अंतरिक्ष अनुसंधान संगठन (इसरो) में स्थानांतरित हो गए। वहां उन्होंने एसएलवी – 3 ( उपग्रह प्रक्षेपण वाहन – 3) की मदद से रोहिणी – 1 उपग्रह को निम्न- पृथ्वी कक्षा में स्थापित किया । उनके नेतृत्व में कम दूरी और मध्यम दूरी की बैलेस्टिक मिसाइल पृथ्वी और अग्नि भारत के मिसाइल शस्त्रागार में शामिल हुई। सन् 1998 में कलाम ने भारत के पोखरण परमाणु परीक्षण में एक निर्णायक, संगठनात्मक, तकनीकी और राजनीतिक भूमिका निभाई ।

स्वयं एक गरीब परीवार से आये थे इसलिए सुनहरे भविष्य निर्माण मे शिक्षा की शक्ति के योगदान को अच्छी तरह से जानते थे। कलाम को बच्चों से विशेष लगाव था ।

कलाम को वैसे तो अनगिनत पुरस्कार व सम्मान मिले, किंतु भारतरत्न का सम्मान उनके लिए विशेष था । उन्हें जब कभी समय मिलता लेखन कार्य में जुट जाते । ‘इग्नाइटेड माइंड्स’, ‘इंडिया माय ड्रीम’ उनकी चिंतनपरक रपनाएँ थी, वहीं दूसरी ओर ‘विंग्स ऑफ फायर’ और ‘साइंटिस्ट टू प्रेसिडेंट’ उनकी आत्मकथात्मक पुस्तकें हैं । इन पुस्तकों को पढने के पश्चात पता चलता है कि हौंसला हो तो कुछ भी असंभव नहीं है । इसका उदाहरण स्वयं अब्दुल कलाम हैं जो समाचार पत्र बेचने से लेकर राष्ट्रपति पद तक पहुँचे । महान व्यक्तित्व के धनी कलाम जी का 27 जुलाई 2015 को शिलांग में निधन हो गया ।

प्रस्तुत अंश ए. पी. जी. अब्दुल कलाम की आत्मकथा ‘विंग्स’ ऑफ फायर से लिया गया हैं । इसका हिंदी अनुवाद श्री अरुण तिवारी ने ‘अग्नि की उड़ान’ शीर्षक से किया है। इसमें कलाम जी सामूहिक कार्य के महत्व का विश्लेषण करते हैं ।

‘भारतरत्न’ अबुल पकीर जैनुलाबदीन अब्दुल कलाम का जन्म सन् 1931 में तलिलनाडु में एक मध्यम वर्गीय मुस्लिम परिवार में हुआ था । आप महान वैज्ञानिक थे । सन् 1998 में कलाम ने भारत के पोखरण परमाणु परीक्षण में निर्णायक, संगठनात्मक, तकनीकी और राजनीतिक भूमिका निभाई ।

सारांश

भारत में आज भी ज्यादातर लागों के लिए टेक्नोलॉजी शब्द का अर्थ धुआँ उगलते स्टील कारखानों या झनझनाती मशीनोंवाले कारखाने से हैं । टेक्नोलॉजी शब्द की जो सही – सही अवधारणा है। वह उससे बिलकुल अलग है। टेक्नालॉजी में तकनोकियाँ शामिल होती हैं – ठीक वैसे ही जैसे मशीने, जिन्हें इस्तेमाल करना जरुरी हो भी सकता है और नहीं भी । तकनी हमें यह कभी नहीं भूलवा चाहिए कि टेक्नोलॉजी खुद ही अपनी पोषक होती है। दरअसल टेक्नोलॉजी विकास के तीन चरण मुख्य होते हैं। जो आपस में एक दुसरे से जुड़े हैं। पहला चरण सृजन का होता है। जिसमें उपयुक्त विचार था। फिर यह अपने व्यावहारिक प्रयोग से वास्तविक में इसका अंत हो जाता है। यह प्रक्रिया तब पूरी हो जाती है जब यह टेक्नोलॉजी नए – नए सृजनात्मक विचारों को पैदा करती है ।

टेक्नोलॉजी विज्ञान से भिन्न एक सामुहिक गतिविधि है । यह किसी एक व्यक्ति की बुध्दि या समझ पर आधारित नहीं होती बल्कि कई व्यक्तियों की आपसी बोध्दिक प्रतिभा पर आधारित होती है । एकीकृत गाइडेड मिसाइल विकास कार्यक्रम (आई.जी. एम. डी. पी) Integrated Guided Missile Development Programme की सबसे बड़ी सफलता का तथ्य यह नहीं है कि देश ने रिकॉर्ड समय के भीतर पांच मिसाइल प्रणालियाँ विकसित कर लेने की क्षमता हासिल कर ली, बल्कि तथ्य यह है कि इसके माध्यम से वैज्ञानिकों एवं इंजीनियरों की कुछ सर्वश्रेष्ठ टीमें तैयार हो गई । अगर कोई मुझसे भारतीय रॉकेट विज्ञान में मेरी व्यक्तिगत उपलब्दि के बारे में पूछता है तो मैं बताऊँगा कि मैं ने नौजवानों की टीमों के लिए एक ऐसा माहोल तैयार किया जिसमें वे अपने दिल और आत्मा का संघर्ष अपने मिशन में लगा सकें ।

अपने निर्माण के दौर में टीमें बच्चों की तरह ही होती हैं । वे एकदम उत्तेजनशील, ओजस्विता, उत्साह एवा उत्सुक्ता से भरपूर और अपने को विशिष्ट दिखाने की इच्छा लिये होती हैं। अपनी टीमों को हमेशा ऐसा माहौल देना सुनिश्चित किया जिसमें वे कुछ नया कर सकें और जोखिम उठा सकें ।

एस.एल.वी – 3 परियोजना और बाद में एकीकृत गाइडेड मिसाइल विकास कार्यक्रम (आइ.जी.एम.डी.पी.) Integrated Guided Missile Development Programme (I.G.M.D.P) के दौरा न हमने पहले परियोजना टीमें बनानी शुरु कीं तो इन टीमों में काम कर रहे लोगों ने अपने पंक्ति में पाया । चूँकि इन टीमों में एक तरह से मनोवैज्ञानिक निवेश किया गया था, इसलिए वे बहुत ही सुस्पष्ट और अति संवेदनशील बन गई । सामूहिक यश लेने के लिए ने एक – दूसरे से व्यक्तिगत रुप. से विषमानुपात में काम करने की उम्मीद करते ।

जब आप एक परियोजना टीम के रूप में काम करते हैं तो आपको सफलता की कसौटी के लिए मिली जुली दृष्टि विकसित करनी होगी। हर टीम के काम में हमेशा बहुविधि और विरोधाव्यासी उम्मीदें बनी रहती हैं। अच्छी परियोजना टीमें उस मूल तत्व और उन मुख्य लोगों को फौरन पहचात लेने में समर्थ होती हैं, जिनसे सफलता की कसौटी तय कर ली जानी चाहिए। टीम के नेता की भूमिका का एक निर्णायक पक्ष ऐसे मुख्य लोगों से उनकी जरुरतों के बारे में बातचीत कर लेने तथा उनको प्रभावित करने का होता है और टीम नेता को यह भी सुनिश्चित करना होता है कि जैसे जैसे परिस्थियाँ विकसित हों या बदलें, तत्व पर नज़र जमी रहे, मुख्य लोगों और अन्य लोगों के बीच संवाद नियमित रुप से जारी रहे ।

टीम ने स्वयं ही आंतरिक सफलता की कसौटी विकसित की थी स्वयं ही अपने स्पष्ट मानदंड उम्मीदें और लक्ष्य निर्धारित किए थे ।

किस भी टीम में सफलता की कसौटी तक पहुँचने की प्रक्रिया बहुत ही जटिल एवं कौशलयुक्त होती है, क्यों कि एक ही छत के नीचे काफी कुछ घटित होता है ।

दुसरे स्तर पर परियोजना नेता को टीमों एवं कार्य केंद्रों के बीच संबंध को बढ़ावा देने तथा विकसित करने का काम करना चाहिए । दोनों ही पक्षों को अपनी आपसी समझ के बारे में बहुत ही स्पष्ट होना चाहिए और दोनों को ही परियोजना में बराबर का पूर्णरूप से साझेदार होना चाहिए ।

अब्राहम मैसलो पहले व्यक्ति थे, जिन्होंने स्व कार्यान्वयत के नए मनोविज्ञान को अवधारणा के स्तर पर बहस के लिए प्रस्तुत किया । युरोप में रुडोल्फ स्टेनर और रेग रेवांस ने इस अवधारणा को व्यक्तिगत शिक्ष की प्रणाली तभा संगठनात्मक नवीनीकरण के रूप में विकसित किया ।

डाँ. होमी जहाँगीर भाभा और प्रा. विक्रम साराभाई ने परमाणु उर्जा पर आधारित उच्च टेक्नोलॉजी एवं अंतरिक्ष कार्यक्रमों की शुरुआत की और साथ ही संपूर्णता व प्रवाह के प्राकृतिक नियमों पर स्पष्ट जोर दिया । डॉ. वर्गीज कुरियन ने सहकारिता आंदोलन को सशक्त बनाकर डेयरी उद्योग में एक नई क्रांति ला दी। प्रो. सतीश धवन ने अंतरिक्ष शोध में मिरान प्रबंधन की अवधारणाओं को विकसित किया ।

तकनीकी प्रबंधन वृक्ष तभी फैलता है जब सफल रुप में जरुरतों, नवीनीकरण, अंतर्निर्भरता और प्राकृतिक प्रवाह का स्व कार्यान्वयन होता है । विकास के प्रतिरुप ही विकास की प्रक्रिया के लक्षण होते हैं । जिनका मतलब यह होता है कि चीजें धीमे परिवर्तन और अचानक रुपांतरण के मिले-जुले रूप में चलती हैं।

हर रुपांतरण या तो एक नई छलंग को जन्म देता है जिससे सोच, ज्ञान अभवा क्षमता के एक और विकसित पटल का प्रादुर्भाव होता है या फिर पुराने किसी पटल पर जा गिरता है । अच्छा प्रबंध ऊपर उठाने तभा पीछे गिराने की प्रक्रिया को इस प्रकार अनवरत जारी रखता है कि ऊपर उठने की आवृत्ति और उसका तान्विक आकार पीछे गिरने की अपरिहार्यता को सदा न सिर्फ संभाले रहे बल्कि निरस्त भी करता चले ।

विशेषताएँ :

1. आधुनिक भारत के उन विज्ञान प्रतिष्ठानों की सफलताओं एवं असफलताओं के बारे में बताया है, जो तकनीकी मोरचे पर अपने को स्थापित करने केलिए संघर्ष कर रहे हैं ।
2. जितना भी परियोजनाएँ भारत के वैज्ञानिक और इंजनीयर्स ने किया उन सब की सफलता का मंत्र एक ही है – टीमवर्क.
3. टीम वर्क सफल होने केलिए बहुत जरुरी है । आज हम चाहे परिवार में देखे, किसी संस्था में (Organisation) देखें या समाज में देखे कही न कही हम एक टीम के रूप में काम कर रहे है । लेकिन सबकी सफलता एक अच्छी और सफल टीम पर निर्भर करती है ।
4. टीम वर्क काम करनेवाले लोग जबरदस्त लक्ष्य प्राप्त कर सकते है ।

सफलता की कुंजी : टीम वर्क Summary in Telugu

సారాంశము

ప్రస్తుత అంశం ‘सफलता की कुंजी : टीम वर्क’ అబ్దుల్ కలాం యొక్క ఆత్మకథ ‘వింగ్స్ ఆఫ్’ ఫయర్’ నుండి తీసుకోబడినది. దీనిని అరుణ తివారి గారు హిందీలో ‘అగ్నికీ ఉడాన్’ అను పేరుతో అనువదించారు. ఇందులో కలాంగారు సామూహిక కార్యం యొక్క గొప్పతనాన్ని గూర్చి వివరించారు.

ఏ వ్యక్తి అయిన ఏ రంగంలోనైనా సామూహికంగా కలిసి ఉంటే ఎంత కష్టతరమైన పనిని అయిన తేలికగా చేయవచ్చు అని వివరించారు. అబ్దుల్ కలాం గారు మనకు కొన్ని విషయాలను తెలియచేశారు. భారతదేశంలో ఇప్పటికి చాలా మందికి టెక్నాలజీ అనే శబ్దం యొక్క అర్థం తెలియదు.

వారు టెక్నాలజీ అంటే ఫ్యాక్టరీల నుండి వచ్చే పొగ లేక పెద్ద పెద్ద శబ్దాలు వచ్చే మెషీనులు, కర్మాగారాలు అని అంటారు. టెక్నాలజీ శబ్దం అర్థం ఎన్నో రకాలైన టెక్నిక్స్ కూడుకుని ఉండటం. అనగా రసాయన పదార్థాల వాడకం, రోగులకు చికిత్స చేయడం, చరిత్ర చదవడం, యుద్ధ సమయంలో ఎలా ఉండటం, ఎలా పోరాడటం, ఎలా తప్పించుకోవడం వంటి చాలా విషయాలు ఉంటాయి.

టెక్నాలజీకి తనకంటూ ప్రత్యేకమైన వస్త్రధారణ ఉండదు. టెక్నాలజీకి ముఖ్యంగా కొన్ని అభివృద్ధి పద్ధతులు ఉన్నాయి. ముఖ్యంగా 3 పద్ధతులు కలవు. అవి ఒక దానితో ఒకటి ముడిపడి ఉంటాయి. మొదటిది Creation క్రియేషన్ క్రియేటివిటీ అనేది ఒక వ్యక్తితో కాక ఒక సామూహిక కార్యంవలె పనిచేస్తే ఆ క్రియేషన్ చాలా అద్భుతంగా బయటకు వస్తుంది.

ప్రజల ఆదరణ కూడా పొందుతుంది. ఒక వ్యక్తి అభివృద్ధి వెనుక ఏ రంగంలోనైన అనేక సమూహాల పని దాగి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు I.G.M.D.P. మిసైల్ గూర్చి తెలుసుకుందాం. ఈ కార్యక్రమం అభివృద్ధి వెనుక ఎంతో మంది శాస్త్రవేత్తలు మరియు ఇంజనీర్లు ఉన్నారు. వారందరి సహాయ సహకారాలతోనే ఈ మిసైల్ వృద్ధి చెందింది.

ఎవరైన భారతీయ రాకెట్ విజ్ఞానం గురించి నన్ను ప్రశ్నిస్తే ఒకే సమాధానం చెబుతాను. నాకు తోడుగా, నా వెంట ఎంతో మంది నవయువకులు ఉన్నారు. వారి సంఘీభావం, సమిష్టి కృషి వలన నేను గొప్పవాడిని కాగలిగాను. నాతో పనిచేసే నవయువకులను టీమ్స్ గా చేసి వారి మనసుకు నచ్చిన విధంగా వారి అభిప్రాయాలను తెలియచేయమని కోరతాను. వారు సంతోషంతో వారిలోని తెలివితేటలను, ఉత్సాహాన్ని, ఉత్తేజాన్ని పూర్తిగా పనిపై నిమగ్నం చేసి గొప్ప విషయాలు సృష్టిస్తారు. ఏ టీక్కైన ఎటువంటి వాతావరణం కల్పించాలంటే వారు ఏ కొత్త విషయాన్నైనా భయపడకుండా చెప్పగలగాలి.

S.L.V – 3 ప్రాజెక్టు మరియు తరువాత I.G.M.D.P ప్రాజెక్టులలో మా అభివృద్ధి, సఫలతకు కారణం టీమ్ వర్క్ ప్రతి ప్రాజెక్టులో ప్రతి శాస్త్రవేత్త తన అభిప్రాయాలు టీమ్ లోని ప్రతి ఒక్కరితో చర్చించేవారు. అందరి ఆమోదం తరువాత కార్యాచరణ చేసేవారు. ప్రతి టీమ్కి ఒక నాయకుడు ఉండేవారు తన టీమ్ పనిచేసే వ్యక్తుల అభిప్రాయాలు తప్పనిసరిగా తెలుసుకునేవారు. మీరు కూడా ఏ పని చేసిన కొన్ని టీమ్స్ కొందరిని విభజించి పనిచేసి చూడండి. ఆ టీమ్స్్క నాయకుడిని ఇచ్చి వారి ద్వారా పనిచేయిస్తే ఏ పని అయినా త్వరగా అయిపోతుంది. ప్రతి టీమ్ వారికి కొన్ని ఆశయాలు, లక్ష్యాలు, అభిప్రాయాలు ఉంటాయి.

టీమ్ సఫలత రావడం లేదు అంటే ఆ టీమ్ లీడరు వ్యక్తులను పరిశీ లించాలి. కొన్ని ప్రక్రియలలో కొందరు కష్టపడతారు. వ్యక్తులకు వ్యక్తులకు మధ్య సంఘీభావం కల్పించాలి. అబ్రహామ్ మైసలో, యూరప్ రూడోల్ఫ్ సంఘటనాత్మక గూర్చి గొప్పగా తెలియచేశారు. నీ విజయానికి అడ్డుకునేది నీలోని ప్రతికూడా ఆలోచనలే.

క్రింద పడ్డామని ప్రయత్నం ఆపితే చేసే పనిలో ఎన్నటికి విజయం సాధించలేం, నైపుణ్యం ఒక నిరంతర సాధనా ఫలితం అది ఆకస్మాత్తుగా వచ్చేది కాదు. నైపుణ్యం కలిగిన వ్యక్తులు సమూహంగా ఏర్పడి చేసే పని ఒక అద్భుత కార్యంగా చరిత్రలో నిలిచిపోతుంది.

“నీ ధ్యేయంలో నువ్వు నెగ్గాలంటే నీకు ఏకాగ్ర చిత్తంతో కూడిన అంకిత భావం కావాలి”.

Here students can locate TS Inter 1st Year Physics Notes 5th Lesson గమన నియమాలు to prepare for their exam.

TS Inter 1st Year Physics Notes 5th Lesson గమన నియమాలు

→ బలము : ఒక వస్తువును గమనంలోకి తేవాలన్నా లేదా గమనంలో గల వస్తువును విరామ స్థితికి తేవాలన్నా బలం అనేది అవసరం.
కావున ఒక వస్తువు యొక్క స్థితిని మార్చునది లేక మార్చుటకు ప్రయత్నించే భౌతికరాశిని బలంగా నిర్వచించారు. ఇది సదిశరాశి.

→ న్యూటన్ నియమాలు :
న్యూటన్ మొదటి నియమం : బాహ్యబలం పనిచేయనంతవరకు నిశ్చలస్థితిలో ఉన్న వస్తువు నిశ్చలస్థితిలోను, జ గమనంలో ఉన్న వస్తువు సమవేగంతో ఋజుమార్గంలోను చలిస్తుంది.

→ మొదటి నియమం యొక్క ప్రాముఖ్యత : ఇది జడత్వము మరియు బలాలను నిర్వచిస్తుంది.

→ న్యూటన్ రెండవ నియమము : వస్తువు ద్రవ్యవేగంలోని మార్పురేటు వస్తువుపై ప్రయోగించిన బాహ్యబలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉండి, బాహ్యబలం పనిచేసే దిశలోనే పనిచేస్తుంది.
అనగా \(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{P}}}{\mathrm{dt}}\) ∝ F లేదా F = k\(\frac{\mathrm{d} \overline{\mathrm{P}}}{\mathrm{dt}}\) లేదా F = k.ma లేదా F = ma (∵ k = 1)

→ ప్రాముఖ్యత : న్యూటన్ రెండవ నియమం ద్రవ్యవేగాన్ని నిర్వచిస్తుంది మరియు బలానికి ఒక సమీకరణమును ఉత్పాదిస్తుంది.
న్యూటన్ మూడవ నియమము : ప్రతి చర్యకూ ఎల్లపుడూ దానికి సమానము, వ్యతిరేకము అయిన ప్రతిచర్య
ఉంటుంది.
చర్య = – ప్రతిచర్య. న్యూటన్ మూడవ నియమం నుండి బలం ఎల్లపుడూ జతలు, జతలుగా పనిచేయును అని తెలుస్తుంది.

→ జడత్వం : జడత్వం అంటే మార్పుకు నిరోధం. వస్తువు తనంతట తానుగా తన స్థితిని మార్చుకోజాలని వస్తు ధర్మాన్ని జడత్వం అంటారు. వస్తువు జడత్వాన్ని ద్రవ్యరాశి ‘m’ తో కొలుస్తారు.

→ ద్రవ్యవేగము (P̅): ఒక వస్తువు ద్రవ్యరాశి m మరియు వేగము ల ల లబ్దాన్ని ద్రవ్యవేగము అంటారు. ఇది రాశి.
ద్రవ్యవేగము P̅ = mu, ప్రమాణము కి.గ్రా. -మీటరు/సెకను.

→ ద్రవ్యవేగము కొన్ని పరిశీలనలు :
1) సమాన పరిమాణంగల బలాన్ని వేరు వేరు ద్రవ్యరాశులు గల వస్తువులపై ప్రయోగిస్తే ఎక్కువ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు తక్కువ వేగాన్ని, తక్కువ ద్రవ్యరాశి గల వస్తువు ఎక్కువ వేగాన్ని పొందుతాయి. కాని ఆ రెండింటికి ద్రవ్యవేగంలో మార్పు సమానము. ఎందుకనగా ద్రవ్యవేగంలో మార్పు బాహ్యబలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది (న్యూటన్ రెండవ నియమము).

2) వేగంగా చలించే క్రికెట్ బంతిని తక్షణం ఆపడంకన్నా చేతులను బంతి దిశలో వెనుకకు లాగడం వల్ల తక్కువ బలం వాడి క్యాచ్ పట్టుకోవచ్చు.
తక్షణం బంతిని ఆపితే కాల అవధి Δt తక్కువ.
F = \(\frac{\mathrm{mv}-\mathrm{mu}}{\Delta \mathrm{t}}\) ఎక్కువ
చేతులు వెనుకకు కొంతదూరం జరపడంవల్ల కాలవ్యవధి Δt పెరుగును.
∴ ఆపడానికి కావలసిన బలం F = \(\frac{\mathrm{mv}-\mathrm{mu}}{\Delta \mathrm{t}}\) తక్కువ.
పై రెండు సందర్భాలలోను mυ – mu సమానము కాని Δt మారింది..

→ న్యూటన్ రెండవ నియమం ప్రకారము అంతర్గత బలాలు వ్యవస్థ ద్రవ్యవేగాన్ని మార్చలేవు.
ఉదా : తుపాకినుండి బులెట్లు పేల్చితే బులెట్ ఎక్కువ వేగంతో ముందుకు వెళుతుంది. తుపాకి తక్కువ వేగంతో వెనక్కి వెళుతుంది. కాని ఈ రెంటికి ద్రవ్యవేగము సమానవ

→ ప్రచోదనము : ఒక వస్తువుపై అత్యధిక బలం అతిస్వల్పకాలం పాటు పనిచేస్తే బలము మరియు కాలముల లబ్ధాన్ని ప్రచోదనము అంటారు. ఇది ద్రవ్యవేగంలో మార్పుకు సమానము.
ప్రచోదనము = బలం × కాలవ్యవధి ద్రవ్యవేగంలో మార్పు
ప్రచోదనం సదిశరాశి. ప్రమాణము న్యూటన్ – సెకను.

→ న్యూటన్ మూడవ నియమం ప్రకారము బలాలు ఎప్పుడూ జంటగానే ఏర్పడతాయి. చర్య ప్రతిచర్య.

→ సాధారణంగా చర్య, ప్రతిచర్యలు వేరు వేరు వ్యవస్థలపై పనిచేయడం వల్ల చలనం సాధ్యపడుతుంది.

→ చర్య, ప్రతిచర్య ఒకే వస్తువు లేదా వ్యవస్థపై పనిచేసే సందర్భాలలో ఆ వస్తువు సమతాస్థితిలో ఉంటుంది.

→ ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమము: అన్యోన్య చర్య జరిపే కణాలు ఉన్న విముక్త వ్యవస్థ మొత్తం ద్రవ్యవేగము నిత్యత్వంగా (స్థిరంగా) ఉంటుంది.
ద్రవ్యవేగ నిత్యత్వ నియమము స్థితిస్థాపక, అస్థితి స్థాపక అభిఘాతాలకు వర్తిస్తుంది.

→ స్పర్శబలాలు : ఒక వస్తువు మరొక వస్తువుతో స్పర్శలో ఉంటే (అనగా తాకుతూ ఉంటే) వాటి మధ్య ఏర్పడే బలాలను స్పర్శబలాలు అంటారు. ఇవి న్యూటన్ మూడవ నియమాన్ని సంతృప్తిపరిచే విధంగా ఉంటాయి.

• స్పర్శ తలాలకు లంబంగా ఉండే స్పర్శాబలాలను అభిలంబ చర్య (Normal reaction) అంటారు.
• స్పర్శ తలాలకు సమాంతరంగా ఉండే స్పర్శాబలాలను ఘర్షణ (Friction) అంటారు.
• స్పర్శబలాలు ఘన పదార్థముల మధ్య మరియు ప్రవాహి (Fluid) లో మునిగి ఉన్న వస్తువుల మధ్య కూడా ఏర్పడతాయి.

→ ఘర్షణ : స్పర్శలో ఉన్న రెండు తలాల మధ్య సాపేక్ష గమనాన్ని వ్యతిరేకించే బలాన్ని ఘర్షణ లేదా ఘర్షణ బలం అంటారు. ఇది స్పర్శ తలాలకు సమాంతరంగా పనిచేస్తుంది.

→ స్థితిక ఘర్షణ : విరామ స్థితిలో గల, వస్తువుల మధ్య ఘర్షణను స్థితిక ఘర్షణ అంటారు. ఇది వస్తువుల మధ్య జరగబోయే చలనాన్ని వ్యతిరేకిస్తుంది.
వస్తువుపై అనువర్తిత బలం ప్రయోగించినపుడు మాత్రమే స్థితిక ఘర్షణ బలం పనిచేయడం ప్రారంభిస్తుంది. ఈ బలాలు అనువర్తిత బలంతో పాటు ఒక సీమాంత విలువ వరకు పెరుగుతాయి. గరిష్ఠ స్థితిక ఘర్షణ (f_s)_max విలువ అభిలంబ ప్రతిచర్య (N) కు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
(f_s)_max = μ_kN

→ గతిక ఘర్షణ : గమనంలోకి వచ్చిన తరువాత స్పర్శ తలాల మధ్య సాపేక్ష చలనాన్ని నిరోధించే బలాన్ని గతిక ఘర్షణ బలం అంటారు.
f_k = μ_kN
గతిక ఘర్షణ గుణకం μ_k విలువ స్టైతిక ఘర్షణ గుణకం μ_s, కన్నా తక్కువ.

→ దొర్లుడు ఘర్షణ : వస్తువుల మధ్య దొర్లుడు చలనం ఉన్నపుడు దొర్లుడు చలనాన్ని వ్యతిరేకిస్తూ స్పర్శ తలాలకు సమాంతరంగా పనిచేసే బలాన్ని దొర్లుడు ఘర్షణ అంటారు.
వస్తువు దొర్లుతున్నపుడు స్పర్శ తలాలు స్వల్పంగా విరూపణం చెందుతాయి. ఫలితంగా వస్తువులు పరిమిత తలంలోనే స్పర్శలో ఉంటాయి. దొర్లుడు ఘర్షణ బలం వస్తువుల మధ్య గల స్పర్శతలం వైశాల్యం మీద ఆధారపడుతుంది.

→ బాల్ బేరింగులు : యంత్రాలలో కదిలే భాగాల మధ్య బాల్ బేరింగులు అమర్చడం వలన స్పర్శలోని తలాల మధ్య దొర్లుడు ఘర్షణ ఏర్పడుతుంది. దొర్లుడు ఘర్షణ గుణకం తక్కువ కావున వస్తువుల మధ్య ఘర్షణ తగ్గుతుంది.

→ క్షితిజ సమాంతర రోడ్డుపై కారు గమనం : క్షితిజ సమాంతరంగా ఉన్న రోడ్డుపై వృత్తాకార మార్గంలో చలించే వస్తువు (కారు) పై మూడు బలాలు పనిచేస్తాయి.

• కారు భారము (mg)
• అభిలంబ ప్రతిచర్య (N)
• ఘర్షణ బలం (f)

ఈ రకమైన చలనంలో కారు టైర్లకు, రోడ్డుకు మధ్య గల ఘర్షణబలం అభికేంద్రబలాన్ని సమకూరుస్తుంది.
ఇటువంటి మార్గంలో కారు సురక్షితంగా ప్రయాణించాలి. అంటే \(\frac{\mathrm{mv}^2}{\mathrm{R}}\) = μmg కావాలి.
లేదా కారు సురక్షిత వేగము V = \(\sqrt{\mu g R}\)

→ గట్టు కట్టిన రోడ్డు మీద కారు గమనం : వంపు మార్గాలలో ప్రమాదాలు నివారించడానికి రహదారిని క్షితిజ సమాంతర దిశకు కొంత కోణంలో రహదారి వెలుపలి అంచు కొంచెం ఎత్తులో ఉండేటట్లు కొంత కోణం 6తో నిర్మిస్తారు. దీనిని రహదారిని గట్టు కట్టడం అంటారు.
రహదారిని గట్టు కట్టడం వల్ల సురక్షిత వేగం పెరుగుతుంది. వంపు మార్గంలో ఈ గట్టు కట్టిన రహదారి సురక్షిత వేగము V₀ = \(\sqrt{g R \tan \theta}\). ఈ వేగంతో రహదారిపై వాహనాలు ప్రయాణిస్తే టైర్లలో అరుగుదల తక్కువ. వంపుమార్గంలో కావలసిన అభికేంద్రబలాన్ని టైర్లు, రోడ్డుకు మధ్య గల ఘర్షణ బలం వల్ల కాక గురుత్వ ఆకర్షణ వల్ల కలుగుతుంది.

→ ద్రవ్యవేగం P̅ = ద్రవ్యరాశి x వేగము, P̅ = mv
ప్రమాణము : kg m/sec. మితి ఫార్ములా : MLT^-1

→ న్యూటన్ రెండవ నియమం ప్రకారము F ∝ \(\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{P}}}{\mathrm{dt}}=\mathrm{m} \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\mathrm{v}}}{\mathrm{dt}}\) లేదా F = ma = m\(\frac{(v-u)}{t}\)
ప్రమాణము : కి.గ్రా. మీ/సె² న్యూటన్, మితి ఫార్ములా = MLT^-2

→ తీగ లేదా దారము గుండా కలుగజేయు బలమును తన్యత అంటారు T = F.

→ వస్తువును స్వేచ్ఛగా వ్రేలాడదీసిన T – mg = 0
∴ తన్యత T = mg.

→ తీగ ద్వారా వ్రేలాడదీయబడిన వస్తువును త్వరణం చెందించితే, T = mg + ma_లేదా T = m(g + a) ‘+’ ⇒ ఊర్ధ్వ దిశ, ‘-‘ ⇒ అధోఃదిశ; ‘a’ ఫలిత త్వరణము.

→ ఒక వస్తువు క్షితిజ సమాంతర తలం మీద రెండవ వస్తువు క్షితిజ లంబంగా వేలాడుతుంటే

• త్వరణము a = \(\frac{m_1 g}{m_1+m_2}\)
• తీగయందు తన్యత T = \(\frac{2 m_1 m_2 g}{m_1+m_2}\)

→ రెండు వస్తువులు M₁ మరియు M₂ లు స్పర్శించబడితే

• F బలము ప్రయోగించుట వలన వ్యవస్థ త్వరణము a = \(\frac{F}{M_1+M_2}\)
• రెండు వస్తువుల మధ్య స్పర్శాబలము f = \(\frac{\mathrm{M}_2 \mathrm{~F}}{\mathrm{M}_1+\mathrm{M}_2}\) (F పై M₁ వలన)

→ m ద్రవ్యరాశి గల వస్తువును లిప్ట్ యందు ‘a’ త్వరణముతో తీసికొనిపోయిన

• ఊర్ధ్వ దిశలో గమనములో ఉన్నపుడు దృశ్యభారము W₁ = m(g + a) లేదా W₁ = W (1 + \(\frac{a}{g}\))
• అధోః దిశలో ‘a’ త్వరణముతో గమనములో ఉన్నప్పుడు W₁ = m(g – a) లేదా W₁ = W(1 – \(\frac{a}{g}\))
  గమనిక : దృశ్య భారమును నేల కలుగజేసిన ప్రతిచర్య బలము (N) అని కూడా అంటారు.

→ ప్రచోదనము (J) = బలము X కాలము = ద్రవ్యవేగంలోని మార్పు. J = m\(\frac{(v-u)}{t}\) × t = mv – mu

→ ద్రవ్యవేగ రేఖీయ నిత్యత్వ నియమము ప్రకారము
m₁u₁ + m₂u₂ = m₁v₁ + m₂v₂, i.e., అభిఘాతము యందు ద్రవ్యవేగ మొత్తము స్థిరము.

→ ఘర్షణ బలం F ∝ లంబ ప్రతిచర్య N i.e., F ∝ N

→ ఘర్షణ గుణకం

ఎ) క్షితిజ సమాంతర తలం మీద లంబ చర్య N = mg = వస్తువు భారం
బి) వాలు తలం మీద లంబ ప్రతిచర్య N = mg cos θ
ఇక్కడ θ = వాలు తలం కోణం

→ ప్రశాంతత కోణము యొక్క టాంజెంట్ ప్రమేయము (tan θ), ఘర్షణ గుణకమునకు సమానము ∴ μ_s = tan θ.

→ నున్నని క్షితిజ సమాంతర తలంపై త్వరణం a = \(\frac{F}{m}\)

→ గరుకు క్షితిజ సమాంతర తలంపై త్వరణం a = \(\frac{F}{m}\) – μ_kg
(μ_k = గతిక ఘర్షణ గుణకం, F = ప్రయోగించి బలం)
గమనిక :
\(\frac{F}{m}\) < μ_kg అయినచో వస్తువు కదలదు.

1) నున్నని వాలుతలం వెంబడి క్రిందకు జరిగే చలనం విషయంలో :
ఎ) త్వరణం a = g sin θ.
బి) వాలుతలం క్రిందకు చేరు సమయానికి పొందు వేగం v = \(\sqrt{2 g l \sin \theta}=\sqrt{2 g h}\)

2) వాలుతలం వెంబడి పైకి చలించునపుడు :
ఎ) త్వరణం a = -g sin θ.
బి) u తొలివేగం అయితే వాలుతలం పైకి చేరటానికి పట్టేకాలం t = \(\frac{u}{g \sin \theta}\)
(కాని పైకి చేరటానికి కావలసిన కనీస తొలివేగం u = \(\sqrt{2 g l \sin \theta}\).

→ లాన్ లర్ చలనము :
1) m ద్రవ్యరాశి గల లాన్లర్ను F బలముతో లాగునపుడు
ఎ) క్షితిజ సమాంతర అంశ బలము F_x = F cos θ.
బి) లంబ ప్రతిచర్య N = mg – F sin θ.

2) F బలంతో తోసినప్పుడు
సి) క్షితిజ సమాంతర అంశ బలము F_x = F cos θ
డి) లంబ ప్రతిచర్య N = mg + F sin θ.

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 7th Lesson Trial Balance Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Accountancy Study Material 7th Lesson Trial Balance

Essay Questions:

Question 1.
What is hail Balance ? How it is prepared?
Answer:
Trial balance is a statement prepared by putting all debits on one side and all credits on the other side to check the arithmetical accuracy of the ledger balances. Trial balance is a connecting link between the ledger accounts and final accounts.

The following points are to be kept in mind while preparing the trial balance.

1. As the trial balance is prepared on a particular date, the particular date should be shown on the head of the trial balance.
2. Draw the proforma of trial balance with title.
3. Trial balance is a statement, hence we need not use the words ‘to’ or ‘by’. It contains SL. No., name of the account, ledger folio, debit and credit balance.
4. All asset account, expenses, losses, purchase and sales returns account shows the debit balance. All liabilities, incomes and gains, reserves, provisions sales and purchase returns accounts shows credit balance. The debit balances are to be written in debit column, credit balances are to be written in credit column of the trial balance.
5. The total of the both the columns should be equal to prove arithmetical accuracy.

Question 2.
Explain the merits and demerits of Trial Balance.
Answer:
Merits of Trial Balance:

1. It helps in finding out the arithmetical accuracy of the accounts in the ledger.
2. Trading, profit and loss account and balance sheet are prepared on the basis of trial balance.
3. It will help in detecting the errors and their rectification.
4. Trial balance enables us to know balances of all accounts in one place.

Demerits of Trial Balance :

1. Trial Balance tallies eventhough errors are existing in the books of accounts.
2. It is only possible to prepare trial balance of an organisation, if the double entry system of book-keeping is followed which is costly and time consuming.
3. Even if some transactions are omitted, the trial balance agrees.
4. If trial balance is not prepared in a systematic method and the final accounts prepared on the basis of such trial balance, it do not show the actual financial position of the concern.

Short Answer Questions:

Question 1.
Define Trial Balance’.
Answer:

1. J. R. Batliboi defines trial balance as “A trial balance is statement prepared with the debit and credit balances of ledger accounts to test the arithmetical accuracy of the books”.
2. According to Spicer and Peglar “A trial balance is a list of all the balances standing on the ledger accounts and cash book of the concern at any given date”.

Question 2.
Give the format of the Trial Balance.
Answer:
Format of the trial balance

Question 3.
What are the objectives of the Trial Balance ?
Answer:

1. To check the arithmetical accuracy of various ledger accounts.
2. To help in preparation of final accounts.
3. To act as important tool for auditing work.
4. To generate match between ledger balances and final accounts.
5. To identify errors and mistakes crept in preparation of a accounts.

Question 4.
What are the methods of preparation of Trial Balance ?
Answer:
Trial Balance can be prepared in two methods. They are

• Total Balance Method
• Net Balance method.

1. Total Balance Method :
Debit as well as credit sides of all accounts will be summed up and with the totals the trial balance will be prepared. Hence this method is called Gross trial balance method.This method is now out of use.

2. Net Balance Method :
This method is most commonly used trial balance. The net balance of the accounts were ascertained on a particular date and arranged in the proforma of trial balance. If these totals of debit and credits agree, we can say the trial balance has the arithmetical accuracy.

Question 5.
Write the features of Trial Balance.
Answer:

1. Trial Balance is a statement or list of balances of ledger accounts not an account.
2. It is working paper.
3. It is always prepared based on double entry principles of accounts.
4. It is prepared periodically usually at the end of each month or at the end of accounting year.
5. It is prepared before the preparation of find accounts, it is basis for final accounts preparation.
6. It test the arithmetical accuracy of ledger accounts.

Very Short Answer Questions:

Question 1.
Suspense Account.
Answer:

1. When Trial Balance does not agree, to avoid delay in the preparation of final accounts, that difference in the trial balance may be temporarily posted to a special account known as “Suspense account”.
2. The suspense account is an imaginary account opened temporarily for the purpose of tallying trial balance.

Question 2.
Total Balances method.
Answer:

1. Under this method instead of taking balance in each ledger account, total of debit side and total of credit side of each individual account is taken in to account. Hence trial balance here is prepared before ascertaining the balance.
2. This method is also called ‘Gross Trial Balance Method’ but it is outdated and not in use now.

Question 3.
Net Balances method.
Answer:

1. Under this method, balance in each ledger account is taken in to trial balance. All the ledger accounts showing debit balances are put on the debit side of the trial balance and the accounts showing credit balances are put on the credit side.
2. After this, the debit and credit columns of the trial balance are totaled and if the totals are equal, it is said that the trial balance has tallied or agreed.

Question 4.
Horizontal form of Trial Balance.
Answer:

1. The Trial Balance is not an account it is a statement and it may be prepared either in vertical form or in Horizontal form.
2. The term Horizontal means parallel to the ground or flat and level with ground or something is arranged side ways.
3. Horizontal form of Trial Balance is a format that present ledger balances of Assets, Expenses, Losses, Drawings, Debtors etc are on left side and Liabilities, Incomes, Gains, Capital, Reserves, Provisions etc are on right side.

Question 5.
Arithmetical accuracy means.
Answer:

1. Arithmetical accuracy means recording with out any mistakes or errors.
2. The Trial Balance is prepared to check Arithmetical accuracy of ledger accounts, whether all debits and credits are properly recorded or correctly balanced.
3. If the totals of Debit and Credit Balances are equal, it is assumed that the accounting books are arithmetically correct and free from clearical mistakes or errors.

Problems:

Question 1.
From the following balances taken from the books of Sanjeeva Reddy as on 31st December 2016, prepare a trial balance in proper form.

Solution:
Trial Balance of Sanjeev Reddy as on 31-12-2016

Question 2.
Prepare a trial balance from the following balances of Veena as on 31st March 2018:

Solution:

Note :
To tally the trial balance, the difference in debit & credit sides total is transfered to “Suspense” account.

Question 3.
The following trial balance has been prepared by an inexperienced accountant. Re¬draft it in a correct form:

Solution:

Corrected trial balance

Question 4.
The following are the balances extracted from the books of Manohar, prepare a trial balance as on 31-03-2018.

Solution:

Question 5.
From the following balances, prepare trial balance of J.P.Reddy as at 31-12-2016.

Solution:
Trial Balance in the books of Manohar as on 31-12-2016

Question 6.
The following are the balances extracted from the books of Pullanna on 31-12-2017. Prepare the trial balance.

Solution:
Trial Balance of Pullanna as on 31-12-2017

Question 7.
The following are the balances extracted from the books of Vishnu Charan as on 31st December 2018. Prepare trial balance.

Solution:
Trial Balance of Vishnu Charan as on 31-12-2018

Question 8.
Prepare the Trial Balance of Renish as on 31.12.2013.

Solution:
Trial Balance of Renish as on 31-12-2016

Question 9.
From the following balances prepare Trial Balance of Manasa as on 31.12.2013.

Solution:
Trial Balance of Manasa as on 31-12-2013

Question 10.
From the following balances prepare Trial Balance of Ramu as on 31.12.2013.

Solution:
Trial Balance of Manasa as on 31-12-2013

Question 11.
Prepare Trial Balance of Pradeep Kumar from the following balances as on 31.03.2017.

Solution:
Trial Balance of Pradeep Kumar as on 31-12-2017

Question 12.
Prepare Trial Balance of Suchitra as on 31.12.2015 from the following balances.

Solution:
Trial Balance of Suchitra as on 31-12-2015

Question 13.
Prepare Trial Balance of Radha from the following balances:

Solution:
Trial Balance of Radha

Question 14.
Prepare Trial Balance of N.N.Rao from the following balances:

Solution:
Trial Balance of N.N.Rao

Question 15.
Prepare Trial Balance of Sheshadri from the following balances as on 31-12-2016.

Solution:
Trial Balance of Sheshadri as on 31-12-2016

Question 16.
Prepare Trial Balance of Bhagya Laxmi :

Solution:
Trial Balance of Bhagya Laxmi

Question 17.
Prepare Trial Balance of Kasturi from the following balances as on 31-03-2018 :

Solution:
Trial Balance of Kasturi as on 31-03-2018

Question 18.
Prepare Trial Balance of Sudha from the following particulars:

Solution:
Trial Balance of Sudha

Note :
In Text book, purchases is given two times, so we take 2nd purchases as Machinery ₹ 20,000.

Question 19.
Prepare Trial Balance of Anji Reddy from the following balances.

Solution:
Trial Balance of Anji Reddy

Question 20.
Prepare Trial Balance of Dr. Chilumula Srinivas from the following balances as on 31-12-2018.

Solution:
Trial Balance of Dr.Chilumula Srinivas as on 31-12-2018

Textual Questions:

Question 1.
Prepare a trial balance from the following balances of Mr. Vinod Kumar as on 31st December 2018.

Solution:
Trial Balance of Mr. Vinod iumar as on 31st December, 2018

Question 2.
From the following list of balances extracted from the books of Smt. Shobha Rani, prepare a trial balance as on 31st December, 2017.

Solution:
Trial Balance of Mr. Vinod Kumar As on 31st December, 2018

Question 3.
The following trial balance has been prepared by an inexperienced accountant. Redraft it in a correct form:

Solution:
Corrected Trial Balance

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 1st Lesson భౌతిక ప్రపంచం Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 1st Lesson భౌతిక ప్రపంచం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
భౌతికశాస్త్రం అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
భౌతికశాస్త్రం ప్రకృతి సహజమైన దృగ్విషయాలను అధ్యయనం చేస్తూ, పరిశీలనలు మరియు ప్రయోగాల ద్వారా ప్రకృతిని నియంత్రించే నియమాలను తెలియచేసే శాస్త్రము.

ప్రశ్న 2.
సి.వి. రామన్ ఆవిష్కరణ ఏమిటి ? (మార్చి 2014, మే 2014)
జవాబు:
భౌతిక శాస్త్రానికి (సి.వి. రామన్ అందించిన ఆవిష్కరణ రామన్ ప్రభావము.) ఇది “యానకంలోని అణువులు కంపన శక్తి స్థాయిలలోకి ఉద్రిక్తం చెందినపుడు జరిగే కాంతి పరిక్షేపణం” గురించి వివరిస్తుంది.

ప్రశ్న 3.
ప్రకృతిలో ప్రాథమిక బలాలు ఏవి ?
జవాబు:
ప్రకృతిలో ప్రాథమిక బలాలు :

1. గురుత్వాకర్షణ బలం,
2. విద్యుదయస్కాంత బలాలు,
3. ప్రబల కేంద్రక బలాలు,
4. దుర్బల కేంద్రక బలాలు.

ప్రశ్న 4.
క్రింది వాటిలో దేనికి సౌష్ఠవం ఉంది ?

1. గురుత్వ త్వరణము,
2. గురుత్వాకర్షణ నియమము

జవాబు:

1. గురుత్వ త్వరణం ప్రదేశాన్ని బట్టి మారుతుంది. అందువల్ల ఇది సౌష్ఠవమైనది కాదు.
2. గురుత్వాకర్షణ నియమము సౌష్ఠవమైనది. ఎందుకంటే ఇది ఏ భౌతికరాశి వలన ప్రభావం చెందదు.

ప్రశ్న 5.
భౌతిక శాస్త్రానికి ఎస్. చంద్రశేఖర్ చేసిన అంశదానం ఏమిటి ?
జవాబు:
భౌతిక శాస్త్రానికి చంద్రశేఖర్ చేసిన అంశదానము నక్షత్రాల నిర్మాణము, పరిణామక్రమాల వివరణ మరియు చంద్రశేఖర్ పరిమితి.

చంద్రశేఖర్ పరిమితి, నక్షత్రాల నిర్మాణం మరియు పరిణామంను ఆధ్యానం చేసారు.