TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 14 అణుచలన సిద్ధాంతం

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 14th Lesson అణుచలన సిద్ధాంతం Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 14th Lesson అణుచలన సిద్ధాంతం

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
స్వేచ్ఛా పథమధ్యమాన్ని నిర్వచించండి.
జవాబు:
స్వేచ్ఛా పథమధ్యమము : ఒక వాయు అణువు లేక పరమాణువు అభిఘాతం చెందకుండా ప్రయాణించే సగటు దూరాన్ని స్వేచ్ఛా పథమథ్యమం అంటారు.
(లేక)
ఒక వాయు అణువు రెండు వరుస అభిఘాతాల మధ్య ప్రయాణించే దూరాన్ని స్వేచ్ఛా పథమధ్యమం అంటారు.

ప్రశ్న 2.
అణుచలన సిద్ధాంతం అవొగాడ్రో పరికల్పనను ఏ విధంగా సమర్థిస్తుంది ? వివిధ వాయువులకు ఉండే అవొగాడ్రో సంఖ్య ఒకటే అయి ఉంటుందని చూపండి.
జవాబు:
అవొగాడ్రో నియమము లేక అవొగాడ్రో పరికల్పన :
“సమాన ఉష్ణోగ్రత, పీడనాల వద్ద సమాన ఘనపరిమాణం ఉన్న అన్ని వాయువులలో అణువుల సంఖ్య సమానం”. వాయు సమీకరణం ప్రకారం PV = KT
ఇందులో వాయు అణువుల సంఖ్య N ను లెక్కలోనికి తీసుకుంటే స్థిరాంకము K = NK_B అని రాయగా
\(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{NT}}\) = K_B లేదా \(\frac{\mathrm{P}_1 \mathrm{~V}_1}{\mathrm{~N}_1 \mathrm{~T}_1}=\frac{\mathrm{P}_2 \mathrm{~V}_2}{\mathrm{~N}_2 \mathrm{~T}_2}\)
= K_B
K_B బోల్ట్స్మన్ స్థిరాంకము అన్ని వాయువులకు సమానము. కావున P, V, T లు సమానంగా ఉంటే అవాయువులలో గల అణువుల సంఖ్య N కూడా సమానంగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 3.
నిజ వాయువు ఆదర్శ వాయువు లాగా ఎప్పుడు ప్రవర్తిస్తుంది ?
జవాబు:
ఆదర్శ వాయువు అనేది ఒక వాయువుకు సరళ, సైద్ధాంతిక నమూనా. ఏ నిజ వాయువైనా యధార్థంగా ఆదర్శ వాయువు కాదు. అల్ప పీడనాలు, అధిక ఉష్ణోగ్రతల వద్ద కొన్ని నిజ వాయువులు (H₂, O₂, N₂, He వంటివి) ఆదర్శ వాయువులుగా ప్రవర్తిస్తాయి. వాయువులోని అణువుల మధ్య అన్యోన్య చర్యలు లేనప్పుడు వాయువు ఆదర్శ వాయువు వలె ప్రవర్తిస్తుంది.

ప్రశ్న 4.
బాయిల్, ఛార్లెస్ నియమాలను పేర్కొనండి.
జవాబు:
బాయిల్ నియమం : ఉష్ణోగ్రత స్థిరంగా ఉన్నప్పుడు, ఇచ్చిన ద్రవ్యరాశి కలిగిన వాయు పీడనం (P), దాని ఘనపరిమాణానికి (V) విలోమానుపాతంలో మారుతూ ఉంటుంది.
∴ V ∝ \(\frac{1}{\mathrm{P}}\) లేక PV = స్థిరాంకం = K.
ఛార్లెస్ నియమం : స్థిర పీడనం వద్ద వాయువు ఘనపరిమాణము (V), దాని పరమ ఉష్ణోగ్రతకు (T) అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
∴ V ∝ T లేక = \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{T}}\) = K (స్థిరాంకము)

ప్రశ్న 5.
డాల్టన్ పాక్షిక పీడనాల నియమాన్ని తెలపండి.
జవాబు:
డాల్టన్ పాక్షిక పీడనాల నియమము : స్థిర ఉష్ణోగ్రత వద్ద, వాయువుల మిశ్రమం మొత్తం పీడనం ఆ మిశ్రమంలోని వివిధ వాయువులు కలుగజేసే పాక్షిక పీడనాల మొత్తానికి సమానము.
మొత్తం పీడనం, P = P₂ + P₂ + P₃
ఇక్కడ P₁, P₂, P₃……………………..మిశ్రమంలోని వివిధ వాయువులు కలుగచేసే పాక్షిక పీడనాలు.

ప్రశ్న 6.
పాత్రలోని ఆదర్శ వాయువు పీడనం పాత్ర ఆకారంపై ఆధారపడదు – వివరించండి.
జవాబు:
నిర్వచనం ప్రకారముగా, వాయు పీడనము ఆ వాయు అణువులు పాత్ర గోడలపై జరిపే వరుస అభిఘాతాల ఫలితము అని తెలియుచున్నది. ఇటువంటి ప్రతి అభిఘాతములో కొంత ద్రవ్యవేగము అణువుల నుండి పాత్ర ‘గోడలకు అందుతుంది. ఈ మార్పు పాత్ర యొక్క ఆకారంపై ఆధారపడదు ఎందుకనగా తుది ఫలితంలో పాత్ర వైశాల్యం A, అభిఘాతం సమయం ∆t లు ఉండవు. కావున, పాత్రలోని ఆదర్శ వాయువు పీడనం పాత్ర ఆకారంపై ఆధారపడదు.

ప్రశ్న 7.
వాయువులోని అణువుల స్వతంత్ర పరిమితులనే భావనను వివరించండి.
జవాబు:
అంతరాళంలో స్వేచ్ఛగా చలిస్తున్న అణువు యొక్క స్థానాన్ని నిర్దేశించడానికి కావలసిన నిరూపకాల సంఖ్యను స్వతంత్ర పరిమితులు అని చెప్పవచ్చును.

ప్రశ్న 8.
వాయు అణువు గతిజశక్తికీ, వాయు పీడనానికి మధ్య సంబంధాన్ని తెలిపే సమాసం ఏమిటి ?
జవాబు:
ఆదర్శ వాయువు యొక్క పీడనము ఆ వాయు అణువుల యొక్క సగటు గతిజశక్తికి \(\frac{2}{3}\) వ వంతు ఉంటుంది.
P = \(\frac{2}{3}\) E

ప్రశ్న 9.
వాయువు పరమ ఉష్ణోగ్రతను 3 రెట్లు పెంచితే, ఆ వాయు అణువు rms వేగంలో పెరుగుదల ఎంత ఉంటుంది ?
జవాబు:
వాయువు పరమ ఉష్ణోగ్రత మరియు వాయు అణువు rms వేగముల మధ్య సంబంధం
C ∝ \(\sqrt{\mathrm{T}}\).
కావున, పరమ ఉష్ణోగ్రతను 3 రెట్లు పెంచితే rms వేగం \(\sqrt{3}\) C అవుతుంది.
∴ rms వేగం పెరుగుదల = \(\sqrt{3}\) C – C = 0.732C = 73.2%

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
ఉష్ణోగ్రతకు గతిక అర్థ వివరణను వివరించండి.
జవాబు:
వాయు అణుచలన సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఒక మోల్ వాయువు కలిగించే పీడనం P కి సమీకరణము
P = \(\frac{1}{3}\) ρC²
⇒ P = \(\frac{1}{3}\) \(\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}\) C² (∵ సాంద్రత, ρ = \(\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}\))
⇒ PV = \(\frac{1}{3}\) MC²
⇒ \(\frac{1}{3}\) MC² = RT ………………… (1)
(∵ PV = RT (1 మోల్ వాయువునకు))
⇒ C² = \(\frac{3 \mathrm{RT}}{\mathrm{M}}\) లేక C² ∝ T
⇒ C ∝ \(\sqrt{\mathrm{T}}\) లేక \(\sqrt{\mathrm{T}}\) ∝ C …………………. (2)
కావున, ఒక ఆదర్శ వాయువు యొక్క పరమ ఉష్ణోగ్రత వర్గమూలం దాని అణువుల యొక్క rms వేగానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
మరియు సమీకరణం (1) నుండి
\(\frac{1}{3} \frac{\mathrm{M}}{\mathrm{N}_{\mathrm{A}}}\)C² = \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{N}_{\mathrm{A}}}\) T = K_BT (లేక) = \(\frac{1}{2}\) mc² = \(\frac{3}{2}\) k_BT
⇒ \(\frac{1}{2}\) mc² ∝ T (∵ \(\frac{3}{2}\) k_B ఒక స్థిరాంకం)
కాని \(\frac{1}{2}\) mc² అనునది వాయువులోని అణువుల సగటు స్థానాంతరణ గతిజశక్తి.
కాబట్టి, వాయు అణువుల సగటు స్థానాంతరణ గతిజశక్తి ఆ వాయువు యొక్క పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 2.
ఏకపరమాణుక, ద్విపరమాణుక, బహు పరమాణుక వాయువుల విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యాన్ని శక్తి సమవిభాజన నియమం ఆధారంగా ఏ విధంగా వివరించవచ్చు ?
జవాబు:
శక్తి సమవిభజన నియమం ప్రకారం ఒక్కొక్క స్వేచ్ఛా కంపన స్థితికి గల వక్తి = \(\frac{1}{2}\)K_BT
ఏకపరమాణుక వాయువులకు మూడు స్వతంత్ర పరిమితులు ఉంటాయి. ఒక మోల్ వాయువుకు శక్తి
U = \(\frac{3}{2}\) K_BT × N_A = \(\frac{3}{2}\) RT
∴ స్థిర ఘనపరిమాణ విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యము \(\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{dT}}\) = \(\frac{3}{2}\) R
స్థిర పీడన విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యము C_p = C_v + R = (\(\frac{3}{2}\) + 1) = \(\frac{5}{2}\) R
ద్విపరమాణుక వాయువుకు మూడు స్థానాంతరణ, 2 భ్రమణ స్వతంత్ర పరిమితులు కలవు. మొత్తం స్వతంత్ర పరిమితుల సంఖ్య 5.
∴ ఒక మోల్ వాయువుకు శక్తి U = 5 × \(\frac{1}{2}\) k_B× N_A = \(\frac{5}{2}\) RT
స్థిర ఘనపరిమాణ విశిష్టోష్టము C_v = \(\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{dT}}\) = \(\frac{5}{2}\) R
స్థిర పీడన విశిష్టోష్ణ సామర్థ్యము C_p = C_v + R = (\(\frac{5}{2}\) + 1) R = \(\frac{7}{2}\) R
బహుపరమాణుక వాయువులకు మూడు స్థానాంతరణ, మూడు భ్రమణ మరియు కనీసం ఒక కంపన స్వతంత్ర రీతులు ఉంటాయి.
∴ 1 మోల్ వాయువు శక్తి U = (\(\frac{3}{2}\) k_BT + \(\frac{3}{2}\) k_BT + \(\frac{3}{2}\) k_BT) N_A
∴ U = (3 + f) K_BTN_A = (3 + f) R
∴ C_v = \(\frac{\mathrm{dU}}{\mathrm{dT}}\) = (3 + f) R; C_p = C_v + R = (4 + f) R

ప్రశ్న 3.
అణుచలన సిద్ధాంతం ఆధారంగా పరమ శూన్య ఉష్ణోగ్రత భావనను వివరించండి.
జవాబు:
వాయు అణుచలన సిద్ధాంతం ప్రకారంగా, ఒక మోల్ ఆదర్శ వాయువు కలుగజేసే పీడనము,
P = \(\frac{1}{3}\) ρC² ⇒ P = \(\frac{1}{3}\) \(\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}\) C²
⇒ P = \(\frac{1}{3}\) MC²
⇒ \(\frac{1}{3}\) MC² = RT …………… (1) (∵ PV = RT)
పరమ శూన్య ఉష్ణోగ్రత :
ఉష్ణోగ్రత, T = 0 అయిన సమీకరణం (1) నుండి, C = 0 కాబట్టి, పరమశూన్య ఉష్ణోగ్రత అనగా వాయు అణువుల యొక్క rms వేగము శూన్యముగా మారు ఉష్ణోగ్రత. అనగా, పరమ శూన్య ఉష్ణోగ్రత వద్ద వాయు అణువులలో ఎటువంటి కదలికా లేక నిశ్చల స్థితిలో ఉండును.

ఈ నిర్వచనము కేవలము ఆదర్శ వాయువులకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది. కానీ, వాడుకలో ఉన్న నిజ వాయువులు ఆదర్శ వాయువులుగా అతి తక్కువ ఉష్ణోగ్రతల వద్ద వ్యవహరించవు.

ప్రశ్న 4.
ఆదర్శ వాయువులోని అణువు సగటు గతిజశక్తి, వాయువు పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుందని రుజువు చేయండి.
జవాబు:
వాయు అణుచలన సిద్ధాంతం ప్రకారంగా, ఒక మోల్ ఆదర్శ వాయువు కలుగజేసే పీడనము,
P = \(\frac{1}{3}\) ρC² ఇచ్చట ρ = వాయుసాంద్రత
∴ P = \(\frac{1}{3}\) \(\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{V}}\) C²
⇒ PV = \(\frac{1}{3}\) MC²
కాని PV = RT (ఆదర్శ వాయు సమీకరణము నుండి)
∴ \(\frac{1}{3}\) MC² = RT
⇒ \(\frac{1}{3} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{N}_{\mathrm{A}}}\) C² = \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{N}_{\mathrm{A}}}\) T = k_BT (∵ K_B = \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{N}_{\mathrm{A}}}\))
⇒ \(\frac{1}{2}\) mc² = \(\frac{3}{2}\) k_BT (లేదా)
⇒ \(\frac{1}{2}\) mc² ∝ T
\(\frac{1}{2}\) mc² అనగా వాయువులోని అణువు సగటు గతిజశక్తి.
కాబట్టి, ఆదర్శ వాయువులోని అణువు సగటు గతిజశక్తి, వాయువు పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.

ప్రశ్న 5.
V₁, V₂ ఘనపరిమాణాలు కలిగిన రెండు ఉష్ణ బంధక పాత్రలు 1, 2 లను ఒక వాల్వుతో కలిపి వాటిలో ఉష్ణోగ్రతలు (T₁, T₂) పీడనాలు (P₁, P₂) వరుసగా ఉండేటట్లుగా గాలిని నింపారు. ఈ రెండు పాత్రలను కలిపే ఆ వాల్వ్ ను ఇప్పుడు తెరిస్తే, సమతాస్థితి వద్ద ఆ పాత్రల్లో ఉష్ణోగ్రత ఎంత ఉంటుంది ?
జవాబు:
ఆదర్శ వాయు సమీకరణము నుండి
\(\frac{\mathrm{P}_1 \mathrm{~V}_1}{\mathrm{~T}_1}\) = μ₁ R; మరియు \(\frac{\mathrm{P}_2 \mathrm{~V}_2}{\mathrm{~T}_2}\) = μ₂R
వాయు పాత్రలు ఉష్ణబంధక పాత్రలు గనుక, ఎటువంటి బాహ్యపని జరుగదు, కనుక మొత్తం శక్తి స్థిరముగా ఉండును.
కాబట్టి, \(\frac{3}{2}\) (P₁V₁ + P₂V₂) = \(\frac{3}{2}\) P(V₁ +V₂)
∴ మిశ్రమ పీడనము P = \(\frac{P_1 V_1+P_2 V_2}{V_1+V_2}\) …………… (2)
రెండు వాయువుల మిశ్రమంలో,
(μ₁ + μ₂) RT = P(V₁ + V₂)
ఇందులో T = మిశ్రమ ఉష్ణోగ్రత
సమీకరణాలు (1), (2) లను పై సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించగా,

ఇదే సమతాస్థితి వద్ద ఆ పాత్రల్లో ఉన్న గాలి యొక్క ఉష్ణోగ్రత.

ప్రశ్న 6.
ఒకే ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న ఆక్సిజన్, హైడ్రోజన్ అణువుల rms వడుల నిష్పత్తి ఎంత ? (మే 2014)
జవాబు:
T ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న ఆక్సిజన్ వాయువులోని అణువుల rms వడి,
C_{ఆక్సి} = \(\sqrt{\frac{3 \mathrm{RT}}{\mathrm{M}_0}}\) = \(\sqrt{\frac{3 \mathrm{RT}}{32}}\)
అదే ఉష్ణోగ్రత (T) వద్ద ఉన్న హైడ్రోజన్ వాయు అణువుల rms వడి,
C_హై = \(\sqrt{\frac{3 \mathrm{RT}}{\mathrm{M}_{\mathrm{H}}}}=\sqrt{\frac{3 \mathrm{RT}}{1}}=\sqrt{3 \mathrm{RT}}\)
ఆక్సిజన్, హైడ్రోజన్ అణువుల rms వడుల నిష్పత్తి

∴ C_{ఆక్సి} : C_హై = 1 : 5.656

ప్రశ్న 7.
ఒక వాయువులోని నాలుగు అణువులు 1, 2, 3, 4km/s ల వడులు కలిగి ఉన్నాయి. ఆ వాయు అణువు rms వడిని కనుక్కోండి.
జవాబు:
ఇక్కడ, C₁ = 1 km/s; C₂ = 2 km/s; C₃ = 3 km/s; C₄ = 4km/s
వాయు అణువుల rms వడి,
C_rms = \(\sqrt{\frac{\mathrm{c}_1^2+\mathrm{C}_2^2+\mathrm{C}_3^2+\mathrm{C}_4^2}{4}}\) = \(\sqrt{\frac{1^2+2^2+3^2+4^2}{4}}\)
= \(\sqrt{\frac{1+4+9+16}{4}}\) = \(\sqrt{7.5}\)
∴ C_rms = 2.75 km/s

ప్రశ్న 8.
ఒక వాయువుకు f స్వతంత్ర పరిమితులు ఉంటే, C_p, C_v ల నిష్పత్తిని కనుక్కోండి.
జవాబు:
ఒక బహుపరమాణుక వాయువుకు ‘f’ స్వతంత్ర పరిమితులు ఉన్నాయి అని అనుకొనుము.
కాబట్టి, ఒక గ్రాము మోల్ వాయువు యొక్క అంతర్గత శక్తి,

ప్రశ్న 9.
127°C వద్ద ఉన్న 1 గ్రాము హీలియం (అణుభారం 4) కు అణు గతిజశక్తిని లెక్కించండి. R = 8.31 J mol^-1 K^-1.
జవాబు:
n = హీలియం వాయువులోని మోలుల సంఖ్య = \(\frac{1 \mathrm{gm}}{4 \mathrm{gm} \mathrm{mol}^{-1}}\) = 0.25 మోల్
R = 8.314 J mol^-1 K^-1,
T = 127°C = 127 + 273 = 400K
∴ అణు గతిజశక్తి = \(\frac{3}{2}\) nRT = \(\frac{3}{2}\) × 0.25 mol × 8.314 J mol^-1 K^-1 × 400K = 1247.1 J

ప్రశ్న 10.
ఒక వాయువుకు పీడనం 2% పెరిగితే, దాని ఘనపరిమాణంలో తగ్గుదల శాతం ఎంత వుంటుంది ? వాయువు బాయిల్ నియమం పాటిస్తుందని ఊహించండి.
జవాబు:
ఒక వాయువు యొక్క తొలిపీడనం ‘P’ మరియు ఘనపరిమాణం ‘V’ అని అనుకొనుము.
ఆ వాయు పీడనం 2% పెరిగితే, కొత్త పీడనం,
P’ = P + \(\frac{2}{100}\) P
⇒ P¹ = \(\frac{102}{100}\) P
బాయిల్ నియమం ప్రకారం, PV = స్థిరాంకం ⇒ PV = P¹V¹
⇒ PV = \(\frac{102}{100}\) P × V¹
⇒ V¹ = \(\frac{100}{102}\) V
వాయు ఘనపరిమాణంలో తగ్గుదల శాతం = \(\frac{\mathrm{V}-\mathrm{V}^{\prime}}{\mathrm{V}}\) × 100 = \(\frac{\left(\mathrm{V}-\frac{100}{102} \mathrm{~V}\right)}{\mathrm{V}}\) × 100 = \(\frac{2}{102}\) × 100 = 1.96%
కావున వాయుపీడనం 2% పెరిగితే వాయు ఘనపరిమాణం 1.96% తగ్గుతుంది.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
అణుచలన సిద్ధాంతం నుంచి ఒక పాత్రలోని ఆదర్శ వాయువు పీడనానికి సమాసం రాబట్టి, తద్వారా ఉష్ణోగ్రతకు గతిక అర్ధ వివరణను ఇవ్వండి.
జవాబు:
భుజము పొడవు ‘ ఉన్న ఒక ఘనాన్ని తీసుకోండి. దాని భుజముల వెంబడి నిరూపకాక్షాలు x, y మరియు Z అనుకోండి. ఈ దిశలలో వాయు అణువు వేగ అంశాలు v_x, v_y మరియు v_z అనుకోండి. y – z తలానికి లంబంగా X – అక్షం వెంబడి చలించే అణువు వేగము v_x. ఇది y – z తలంతో స్థితిస్థాపక అభిఘాతం జరపడం వల్ల వచ్చిన దిశలో వెనుకకు మరలుతుంది కావున వేగాలు v_y, v_z లు ప్రభావితం కావు.

x – దిశలో వాయు అణువు ద్రవ్యవేగంలో మార్పు తుది ద్రవ్య వేగము (-mv_x) – తొలి ద్రవ్య వేగము (mv_x) = -mv_x – (mv_x) = -2mv_x …………… (1)

పాత్ర గోడ వైశాల్యము A అనుకుంటే ∆t కాలంలో పాత్ర గోడ నుండి v_x ∆t దూరంలో గల అణువులు మాత్రమే గోడను ఢీకొంటాయి. కావున Av_x. ∆t ఘనపరిమాణంలో ఏకాంక ఘనపరిమాణానికి గల అణువుల సంఖ్య ‘n’ అనుకుంటే వీటిలో సగం పాత్రవైపు మిగిలినవి పాత్ర గోడ నుండి దూరంగా చలిస్తాయి. కావున ∆t కాలంలో గోడకు బదిలీ ఐన ద్రవ్యవేగము

Q = 2mv_x × గోడను తాకిన అణువుల సంఖ్య
∴ Q = 2mv_x (\(\frac{1}{2}\)n . Av_x∆t)
పాత్ర గోడ y, z తలంపై పీడనము

పాస్కల్ నియమం ప్రకారం పాత్ర అంతటా ఒకే పీడనం ఉంటుంది. కాబట్టి x, y, z దిశలో ఏ దిశ వెంబడి అయినా పీడనం విలువ ఒక్కటే.

పై సమీకరణలో పాత్ర ఆకారానికి సంబంధించిన పదం లేకపోవడం వల్ల ఈ సమీకరణ ఎటువంటి ఆకారం గల పాత్రకైనా వర్తిస్తుంది.

ఉష్ణోగ్రతకు గతిక వివరణ :
వాయు సమీకరణం నుండి PV = \(\frac{1}{3} \mathrm{nvm} \overline{v^2}\) = \(\frac{2}{3} \mathrm{~N}\left(\frac{1}{2} \mathrm{~m} \overline{\mathrm{v}^2}\right)\)
ఇందులో N = nv మరియు \(\frac{1}{2} m \overline{v^2}\) = గతిజశక్తి
ఆదర్శ వాయువు అంతర్గత శక్తి శుద్ధంగా గతిజశక్తి కావున E = N.\(\frac{1}{2}\)mv²
∴ PV = \(\frac{3}{2}\) E = \(\frac{3}{2}\) K_BNT పై సమీకరణాల నుండి
\(\frac{E}{N}=\frac{1}{2} m \overline{v^2}\) ; మరియు \(\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{N}}=\frac{3}{2}\)K_BT ⇒ \(\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{N}}\) ∝ T
అనగా ఒక అణువు సగటు గతిజశక్తి దాని పరమ ఉష్ణోగ్రతకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. ఇది వాయువు పీడనం, పాత్ర ఘనపరిమాణం మీద ఆధారపడని ఉష్ణ గతిక చలరాశి.

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
STP వద్ద ఆక్సిజన్ వాయువు ఆక్రమించే ఘనపరిమాణంలో, ఆక్సిజన్ అణు ఘనపరిమాణ భాగాన్ని అంచనావేయండి. ఆక్సిజన్ అణువు వ్యాసాన్ని 3 Å గా తీసుకోండి.
సాధన:
ఇచ్చట అణువు వ్యాసము, d = 3 ,
అణువు వ్యాసార్ధము, r = \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{2}}\) = \(\frac{3}{2}\) Å = \(\frac{3}{2}\) × 10^-8 cm.
అణు ఘనపరిమాణము, V = \(\frac{4}{3}\) πr³ . N,
ఇచ్చట N అనునది అవొగాడ్రో సంఖ్య
= \(\frac{4}{3}\) × \(\frac{22}{7}\) (1.5 × 10)³ × (6.023 × 10²³) = 8.52 cc.
STP వద్ద 1 మోల్ వాయువు ఆక్రమించు నిజ ఘనపరిమాణము, V’ = 22400 cc
∴ \(\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{V}^{\prime}}\) = \(\frac{8.52}{22400}\) = 3.8 × 10^-4 ≈ 4 × 10^-4

ప్రశ్న 2.
ప్రామాణిక ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద (STP : 1 వాతావరణ పీడనం, 0°C) ఏదైనా ఒక మోల్ (ఆదర్శ) వాయువు ఆక్రమించే ఘనపరిమాణాన్ని మోలార్ ఘనపరిమాణం అంటారు. ఇది 22.4 లీటర్లు అని చూపండి.
సాధన:
1 మోల్ ఆదర్శ వాయువుకు, PV = RT ∴ V = \(\frac{\mathrm{RT}}{\mathrm{P}}\)
R = 8.31 J mole^-1 K^-1, T = 273 K, మరియు P = 1 వాతావరణ పీడనం = 1.013 × 10⁵ Nm^-2 విలువలను పై సమీకరణములో ప్రయోగించగా,
V = \(\frac{8.31 \times 273}{1.013 \times 10^5}\) = 0.0224 m³ = 0.0224 × 10⁶ cc = 22400 cc = 22.4 లీటర్లు.

ప్రశ్న 3.
రెండు వేరు వేరు ఉష్ణోగ్రతల వద్ద 1.00 × 10^-3 kg ఆక్సిజన్ వాయువుకు PV/Tకి P కీ మధ్య గ్రాఫ్ వక్రాన్ని పటం సూచిస్తుంది.
a) చుక్కల గీత వక్రం ఏ ప్రాధాన్యతను సూచిస్తుంది ?
b) వీటిలో ఏది నిజం : T₁ >T₂ (లేదా) T₁ < T₂?
c) Y-అక్షంపై వక్రాలు కలిసిన చోట PV/T విలువ ఎంత ?
d) 1.00 × 10^-3 kg హైడ్రోజనక్కు ఇటువంటి వక్రాలే వస్తే, Y-అక్షంపై వక్రాలు కలిసిన చోట PV/T కి ఇదే విలువ వస్తుందా ? ఒకవేళ రాకుంటే, ఎంత ద్రవ్యరాశి ఉన్న హైడ్రోజన్, అదే PV/T విలువను ఇస్తుంది. (గ్రాఫ్లో అల్పపీడనం, అధిక ఉష్ణోగ్రత ఉన్న ప్రాంతానికి) ? (H₂ అణు ద్రవ్యరాశి = 2.02 u, O₂ అణు ద్రవ్యరాశి = 32.0 u, R = 8.31 Jmol^-1 K^-1.)

సాధన:
a) చుక్కల గీత \(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{T}}\) (= μR) అనునది స్థిరరాశి అని సూచిస్తుంది. ఇది పీడనంపై ఆధారపడదు. చుక్కల గీత వక్రం ఆదర్శ వాయు ప్రవర్తనను సూచిస్తుంది.

b) T₁ ఉష్ణోగ్రతా వక్రం, T₂ ఉష్ణోగ్రతా వక్రం కన్నా చుక్కల గీతకు సమీపంలో ఉంది. ఉష్ణోగ్రతను పెంచినపుడు నిజవాయువు ప్రవర్తన ఆదర్శ వాయు ప్రవర్తనకు దగ్గరగా ఉంటుంది. అందువల్ల T₁ > T₂.

c) Y-అక్షంపై వక్రాలు కలిసిన చోట \(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{T}}\) విలువ μ R కు సమానం.
∴ \(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{T}}\) = μR = \(\left(\frac{1}{32}\right)\) × 8.31 JK^-1 = 0.26 JK^-1

d) Y-అక్షంపై వక్రాలు కలిసిన చోట \(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{T}}\) కి ఇదే విలువ రాదు. Y-అక్షంపై వక్రాలు కలిసిన చోట ఇదే విలువ రాదు. ఎందువలన అనగా ఆక్సిజన్ అణు ద్రవ్యరాశి, హైడ్రోజన్ అణు ద్రవ్యరాశికి మధ్య తేడా ఉంటుంది. \(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{T}}\) విలువ పైన ఉదహరించినట్లుగా రావలెనంటే, కావలసిన హైడ్రోజన్ ద్రవ్యరాశి
\(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{T}}\) = μR = \(\frac{\mathrm{m}}{2.02}\) × 8.31 = 0.26
m = \(\frac{2.02 \times 0.26}{8.31}\) gram = 6.32 ×10^-2 gram.

ప్రశ్న 4.
30 లీటర్ల ఘనపరిమాణం ఉన్న ఆక్సిజన్ సిలిండర్ తొలి గేజ్ పీడనం 15 atm, ఉష్ణోగ్రత 27°C. ఆ సిలిండర్ నుంచి కొంత ఆక్సిజన్ వాయువును తొలగించిన తరువాత గేజ్ పీడనం 11atm కు, ఉష్ణోగ్రత 17°Cకు పడిపోయాయి. అయితే, సిలిండరు నుంచి తొలగించిన ఆక్సిజన్ వాయువు ద్రవ్యరాశిని అంచనా కట్టండి.
(R = 8.31 J mole^-1 K^-1, O₂ అణు ద్రవ్యరాశి = 32 u).
సాధన:
ప్రారంభమున ఆక్సిజన్ సిలిండరు నందు, V₁ = 30 litres = 30 × 10^-3m³
P₁ = 15 atm. = 15 × 1.01 × 10° Pa; T₁ = 27 + 273 = 300 K.
సిలిండర్ n₁ మోల్ల ఆక్సిజన్ కల్గియున్న P₁V₁ = n₁ RT₁
(లేదా) n₁ = \(\frac{\left(15 \times 1.01 \times 10^5\right) \times\left(30 \times 10^{-3}\right)}{8.3 \times 300}\) = 18.253
ఆక్సిజన్ అణువు భారం M = 32 g
సిలిండర్లో ఆక్సిజన్ అణువు తొలి ద్రవ్యరాశి = m₁ = n₁ M = 18.253 × 32 = 584.1 g.
చివరగా ఆక్సిజన్ సిలిండర్ నందు n₂ మోల్ల ఆక్సిజన్ మిగిలినది.
ఇచ్చట V₂ = 30 × 10^-3m³; P₂ = 11 × 1.01 × 10⁵ Pa; T₂ = 17 + 273 = 290 K
ఇపుడు n₂ = \(\frac{\mathrm{P}_2 \mathrm{~V}_2}{\mathrm{RT}_2}=\frac{\left(11 \times 1.01 \times 10^5\right) \times\left(30 \times 10^{-3}\right)}{8.3 \times 290}\) = 13.847
∴ సిలిండర్లో ఆక్సిజన్ వాయువు తుది ద్రవ్యరాశి, m₂ = 13.847 × 32 = 453.1 g
∴ సిలిండర్ నుంచి తొలగించిన ఆక్సిజన్ వాయువు ద్రవ్యరాశి = m₁ – m₂ = 584.1 – 453.1 = 131.0 g

ప్రశ్న 5.
40 m లోతు, 12°C ఉష్ణోగ్రత ఉన్న సరస్సు అడుగు నుంచి 1.0 cm³ ఘనపరిమాణం ఉన్న గాలి బుడగ పైకి లేస్తుంది. ఉష్ణోగ్రత 35°C ఉన్న సరస్సు ఉపరితలాన్ని చేరుకోగానే అది ఎంత ఘనపరిమాణానికి పెరుగుతుంది ?
సాధన:
V₁ = 1.0 cm³ = 1.0 × 10^-6 m³; T₁ = 12°C = 12 + 273 = 285 K;
P₁ = 1 atm. + h₁ ρg = 1.01 × 10⁵ + 40 × 10³ × 9.8 = 493000 Pa.
గాలి బుడగ సరస్సు ఉపరితలాన్ని చేరినపుడు
V₂ = ? ; T₂ = 35°C = 35 + 273 = 308 K; P₂ = 1 atm. = 1.01 × 10⁵ Pa
ఇప్పుడు \(\frac{\mathrm{P}_1 \mathrm{~V}_1}{\mathrm{~T}_1}=\frac{\mathrm{P}_2 \mathrm{~V}_2}{\mathrm{~T}_2}\) or V₂ = \(\frac{\mathrm{P}_1 \mathrm{~V}_1 \mathrm{~T}_2}{\mathrm{~T}_1 \mathrm{P}_2}\)
∴ V₂ = \(\frac{(493000) \times\left(1.0 \times 10^{-6}\right) \times 308}{285 \times 1.01 \times 10^5}\) = 5.275 × 10^-6 m³

ప్రశ్న 6.
27°C ఉష్ణోగ్రత 1 atm పీడనం వద్ద 25.0 m³ ఘనపరిమాణం ఉన్న గదిలోని మొత్తం గాలి (ఆక్సిజన్, నైట్రోజన్, నీటి ఆవిరి, ఇతర అంతర్భాగాలను కలుపుకొని) అణువుల సంఖ్యను అంచనా కట్టండి.
సాధన:ద
త్తాంశము ప్రకారము V = 25.0m³; T = 27 + 273 = 300 K; k = 1.38 × 10^-23 JK^-1;
ఇప్పుడు, PV = nRT = n(Nk)T = (nN) kT = N’ kT
nN = N’ = గదిలోని మొత్తం గాలిలో గల అణువుల సంఖ్య.
∴ N’ = \(\frac{\mathrm{PV}}{\mathrm{kT}}=\frac{\left(1.01 \times 10^5\right) \times 25}{\left(1.38 \times 10^{-23}\right) \times 300}\) = 6.10 × 10²⁶

ప్రశ్న 7.
హీలియం పరమాణువు సగటు ఉష్ణశక్తిని,
(i) గది ఉష్ణోగ్రత (27°C),
(ii) సూర్యుని ఉపరితల ఉష్ణోగ్రత (6000 K),
(iii) 10 మిలియన్ కెల్విన్ ఉష్ణోగ్రత (ఒక నక్షత్రం యొక్క మాదిరి అంతర్భాగ ఉష్ణోగ్రత) ల వద్ద అంచనా కట్టండి.
సాధన:
i) దత్తాంశము ప్రకారము T = 27°C = 27 + 273 = 300 K
సగటు ఉష్ణశక్తి = \(\frac{3}{2}\) kT = \(\frac{3}{2}\) × 1.38 × 10^-23 × 300 = 6.2 × 10^-21 J.

ii) T = 6000 K, సగటు ఉష్ణశక్తి = \(\frac{3}{2}\) kT = \(\frac{3}{2}\) × 1.38 × 10^-23 × 6000 = 1.24 × 10^-19 J.

iii) T = 10 మిలియన్ కెల్విన్ K = 10⁷ K వద్ద
సగటు ఉష్ణశక్తి = \(\frac{3}{2}\) kT = \(\frac{3}{2}\) × 1.38 × 10^-23 × 10 7 = 2.1 × 10^-16 J.

ప్రశ్న 8.
సమాన ఘనపరిమాణాలు ఉన్న మూడు పాత్రలలోని వాయువులు ఒకే ఉష్ణోగ్రతా పీడనాల వద్ద ఉన్నాయి. మొదటి పాత్రలో నియాన్ (ఏకపరమాణుక), రెండో దానిలో క్లోరిన్ (ద్విపరమాణుక), మూడో దానిలో యురేనియం హెక్సాఫ్లోరైడ్ (బహుపరమాణుక) వాయువులు ఉన్నాయి. ఈ పాత్రలలో ఉన్న సంబంధిత వాయు అణువుల సంఖ్యలు సమానంగా ఉంటాయా ? ఈ అణువుల rms (వడి వర్గమధ్యమ వర్గమూల) వడి మూడు సందర్భాల్లో సమానంగా ఉంటుందా ? అలా ఉండకపోతే, ఏ సందర్భానికి V_rms అత్యధికమై ఉంటుంది ?
సాధన:
మూడు పాత్రలు (ఒకే ఉష్ణోగ్రత మరియు పీడనం వద్ద) సమాన ఘనపరిమాణాన్ని కలిగి ఉన్నాయి. అవొగాడ్రో నియమం ప్రకాకరము మూడు పాత్రలు సమాన సంఖ్యలో అణువులను కలిగి ఉంటాయి. ఇది అవొగాడ్రో సంఖ్యకు
సమానము.
అనగా N = 6.023 × 10²³.
నిర్ణీత ఉష్ణోగ్రత వద్ద V_rms = \(\sqrt{\frac{3 \mathrm{kT}}{\mathrm{m}}}\) i.e., V_rms ∝ \(\frac{1}{\sqrt{m}}\)
అణువుల rms వేగము మూడు సందర్భాలలో సమానము కాదు. నియాన్కు అతి తక్కువ ద్రవ్యరాశీ వుంటుంది. కావున rms వేగం చాలా ఎక్కువ.

ప్రశ్న 9.
ఏ ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఆర్గాన్ వాయువు సిలిండర్లోని ఒక పరమాణువు rms వడి -20°C వద్ద ఉన్న హీలియం పరమాణువు rms వడికి సమానంగా ఉంటుంది (Ar పరమాణు ద్రవ్యరాశి = 39.9 u, He పరమాణు ద్రవ్యరాశి = 4.0u).
సాధన:
TK మరియు T’ K ఉష్ణోగ్రతల వద్ద వరుసగా ఆర్గాన్ మరియు హీలియం వాయు పరమాణువులు. rms వేగము C మరియు C’ అని అనుకొనుము.
ఇచ్చట, M = 39.9 ; M’ = 4.0; T= ? T’ = -20 + 273 = 253K

ప్రశ్న 10.
ఒక సిలిండర్లో 2.0 atm పీడనం, 17°C ఉష్ణోగ్రత వద్ద ఉన్న నైట్రోజన్ వాయు అణువు స్వేచ్ఛా పథమధ్యమాన్ని, అభిఘాత పౌనఃపున్యాన్ని లెక్కించండి. నైట్రోజన్ అణువు వ్యాసార్ధాన్ని సుమారు 1.0Å గా తీసుకోండి. దాని అభిఘాత కాలాన్ని రెండు వరుస అభిఘాతాల మధ్య అణువు స్వేచ్ఛగా తిరగడానికి పట్టే కాలంతో పోల్చండి. N₂ అణువు ద్రవ్యరాశి = 28.0 u),
సాధన:
λ = ?, f = ? ; p = 2 atm = 2 × 1.013 × 10⁵ Nm^-2; T = 17°C = (17 + 273) K = 290 K
σ = 2 × 1 = 2 Å = 2 × 10^-10 m; k = 1.38 × 10^-23 J molecule^-1 K^-1‚ M = 28 × 10^-3 kg

అభిఘాత పౌనఃపున్యము = ఒక సెకనులో జరిగే అభిఘాతాల సంఖ్య = \(\frac{\mathrm{v}_{\mathrm{rms}}}{\lambda}=\frac{508.24}{1.11 \times 10^{-7}}\) = 4.58 × 10⁹.

ప్రశ్న 11.
ఒక మీటరు పొడవు కలిగి, ఇరుకైన బోలు రంధ్రం (bore) ఉన్న (ఒకవైపు మూసిన) గొట్టాన్ని క్షితిజ సమాంతరంగా ఉంచినప్పుడు, అందులో 76 cm పొడవైన పాదరస దారం (thread) ఉంటే, అది 15 cm (పొడవైన) ల గాలి స్తంభాన్ని పట్టుకోగలుగుతుంది. ఇప్పుడు గొట్టాన్ని, తెరిచిన కొన కిందివైపు ఉండేటట్లు నిలువుగా ఉంచితే ఏం జరుగుతుంది?
సాధన:
గాజు గొట్టమును క్షితిజ సమాంతరంగా వుంచిన, 76 cm పొడవుగా గల పాదరసం 15 cm పొడవు గల గాలిని బంధించును. తెరిచి ఉన్న వైపు 9 cm పొడవు గల గొట్టం మిగిలి ఉంటుంది.
గొట్టంలో గల గాలిపై వాతావరణ పీడనం వుండును.
గొట్టం అడ్డుకోత వైశాల్యంను 1sq.cm. అని అనుకొనుము.
∴ P₁ = 76 cm మరియు V₁ = 15 cm³.
అదే గొట్టమును నిట్టనిలువుగా వుంచిన, 15cm పొడవు గల గాలి అదనముగా 9 cm పెరుగును. మరియు పాదరసం, వాతావరణ పీడనమును సమము చేయుటకు h cm దూరం బయటకి ప్రవహించును. దీనిని పటం (b)లో చూపితిమి. అందువలన గాలి ఎత్తు మరియు పాదరసం ఎత్తు వరుసగా (24 + h) cm మరియు (76 – h) cm.
గాలి పీడనము = 76 – (76 – b) = h cm పాదరసం

∴ V₂ = (24 + b) cm³ మరియు P₂ = h cm
ఉష్ణోగ్రత స్థిరం అని ఊహించిన
P₁V₁ = P₂V₂
(లేదా) 76 × 15 = h × (24 + b)
(లేదా) h² + 24h – 1140 = 0
(లేదా) h = \(\frac{-24 \pm \sqrt{(24)^2+4 \times 1140}}{2}\)
= 23.8 cm (లేదా) 47.8 cm
h అనునది ఋణాత్మకము కాదు. కావున
(ఎందువలన అనగా ఎక్కువ పాదరసం గొట్టంలో ప్రవహించదు)
h = 23.8 cm అందువల్ల, గొట్టం నిట్టనిలువు స్థితిలో 23.8 cm పాదరసం బయటికి వచ్చును.

ప్రశ్న 12.
ఒక నిర్దిష్టమైన పరికరం నుంచి హైడ్రోజన్ సగటు విసరణ రేటు విలువ 28.7 cm³s^-1 గా ఉంది. అదే పరిస్థితులలో ఉన్న మరొక వాయువు సగటు విసరణ రేటు 7.2 cm³s^-1 గా కొలవడమైంది. ఆ వాయువు ఏదో గుర్తించండి. సూచన : గ్రాహమ్ విసరణ నియమాన్ని ఉపయోగించండి. R₁/R₂ = (M₂/ M₁)^1/2 ఇందులో R₁, R₂ లు వరుసగా 1, 2 వాయువుల విసరణ రేట్లు, M₁, M₂లు వాటి (అనురూప) అణు ద్రవ్యరాశులు. అణుచలన సిద్ధాంతం యొక్క సరళమైన పర్యవసానమే ఈ నియమం.]
సాధన:
గ్రాహమ్ విసరణ వాయు నియమము ప్రకారము \(\frac{r_1}{r_2}=\sqrt{\frac{M_2}{M_1}}\)
హైడ్రోజన్ వాయువు విసరణ రేటు r₁ = 28.7 cm³ s^-1
వేరొక వాయువు విసరణ రేటు r₂ = 7.2 cm³ s^-1
M₁ = హైడ్రోజన్ అణు ద్రవ్యరాశి = 2 u
M₂ = ?
∴ \(\frac{28.7}{7.2}=\sqrt{\frac{\mathrm{M}_2}{2}}\) (లేదా) M₂ = \(\left(\frac{28.7}{7.2}\right)^2\) × 2 = 31.78 ≈ 32.
ఇది ఆక్సిజన్ వాయువు యొక్క అణు ద్రవ్యరాశి.

ప్రశ్న 13.
సమతాస్థితిలో ఉన్న వాయువు, దాని ఘనపరిమాణమంతటా ఏకరీతి సాంద్రత, పీడనాలను కలిగి ఉంది. ఇది తప్పనిసరిగా బాహ్య ప్రభావాలు లేనపుడే యదార్థం. ఉదాహరణకు, గురుత్వ ప్రభావంలో ఉన్న ఒక వాయు స్తంభం ఏకరీతి సాంద్రత (పీడనం) కలిగి ఉండదు. ఎత్తుతో దాని సాంద్రత తగ్గుతుందని మీరు ఊహించవచ్చు. ఎత్తుపై వాయు సాంద్రత కచ్చితంగా ఎలా ఆధారపడుతుందో మనం చెప్పుకొనే వాతావరణాల నియమం ఇవ్వగలుగుతుంది.
అది,
n₂ = n₁ exp [-mg (h₂ – h₁) / k_B T]
దీనిలోని ng, n, లు ఎత్తులు h, h, వద్ద గల సంఖ్య సాంద్రతను వరుసగా సూచిస్తాయి. ద్రవ స్తంభంలోని వ్యాక్షేపం (suspension) యొక్క అపసారం (మద్ది) (sedimentation)కు ఉండే కింది సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించటానికి పై సంబంధాన్ని ఉపయోగించండి.
n₂ = n₁ exp (-mg N_A (ρ – ρ’) (h₂ – h₁)/(ρRT)
ఇందులో p ద్రవంలో వేలాడే కణం సాంద్రత, p’ అనేది ఆ కణం చుట్టూ ఉన్న యానకం సాంద్రత (NA అవొగాడ్రో సంఖ్య. R సార్వత్రిక వాయు స్థిరాంకం) (సూచన : వేలాడే కణం దృశ్య భారాన్ని కనుక్కోవడానికి ఆర్కిమెడిస్ సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి.)
సాధన:
వాతావరణాల నియమం ప్రకారము n₂ = n₁ exp.[-\(\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{k}_{\mathrm{B}} \mathrm{T}}\) (h₂ – h₁] ………….. (i)
ఇచ్చట n₁, n₂ లు వరుసగా h₁, h₂ ఎత్తుల వద్ద కణాల సంఖ్యా సాంద్రతలు.

ద్రవ స్తంభంలోని వ్యాక్షేపం యొక్క అపసారంను పరిగణించినపుడు mg స్థానంలోని వ్యాక్షేపం చెందిన కణాల దృశ్యాభారంను తీసుకొనవలెను.

వ్రేలాడే కణం ఘనపరిమాణము V అని దాని సాంద్రతను ρ అని మరియు కణం చుట్టూ ఉన్న యానకం సాంద్రతను ρ’ అని, వ్రేలాడే ఒక కణం ద్రవ్యరాశి m అని, కణం వలన స్థానభ్రంశం చెందిన ద్రవం ద్రవ్యరాశిని m’ అని అనుకొనుము.

ఆర్కిమెడీస్ సూత్రమును అనుసరించి వ్రేలాడే ఒక్క కణం దృశ్యాభారం = నిజభారం – స్థానభ్రంశం చెందిన ద్రవభారం.
= mg – m’ g
= mg – V ρ’g – mg – \(\left(\frac{m}{\rho}\right)\) ρ’g = mg\(\left(1-\frac{\rho^{\prime}}{\rho}\right)\)
బోల్ట్ స్థిరాంకము ప్రకారము k_B = \(\frac{\mathrm{R}}{\mathrm{N}_{\mathrm{A}}}\)
R = సార్వత్రిక వాయు స్థిరాంకము మరియు N_A = అవొగాడ్రో
mg స్థానంలో mg \(\left(1-\frac{\rho^{\prime}}{\rho}\right)\) ను మరియు k_B విలువను సమీకరణం (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
n₂ = n₁ exp. [\(\frac{\mathrm{mg} \mathrm{N}_{\mathrm{A}}}{\mathrm{RT}}\left(1-\frac{\rho^{\prime}}{\rho}\right)\) (h₂ – h₁)]
ఇదే మనకు అవసరమయిన సంబంధం.

ప్రశ్న 14.
కొన్ని ఘనపదార్థాలకు, ద్రవాలకు సాంద్రతలను కింద ఇచ్చాం. వాటి పరమాణువుల పరిమాణా (size) లకు ఉజ్జాయింపు అంచనాలను ఇవ్వండి.

(సూచన : ఘన (పదార్థం) రూప, ద్రవరూప ప్రావస్థలో అణువులు దగ్గర దగ్గరగా బంధితమై ఉంటాయని ఊహించుకొంటూ మీకు తెలిసిన అవొగాడ్రో సంఖ్య విలువను ఉపయోగించండి. అయితే, వివిధ పరమాణు పరిమాణాలకు, ఈ విధంగా మీరు పొందే వాస్తవిక విలువలను నిజంగానే వాటికుంటాయని మాత్రం భావించకండి. దగ్గర దగ్గరగా అణువులు బంధితమై ఉంటాయనే ఉజ్జాయింపుకుండే ముడితత్వ భావన (Crudeness of the tight packing approximation) వల్ల, ఈ ఫలితాలు కొన్ని Åల వ్యాప్తిలో పరమాణు పరిమాణాలు ఉంటాయని మాత్రమే సూచిస్తాయి).
సాధన:
పరమాణు వ్యాసార్ధం r అయిన, పరమాణు ఘనపరిమాణం = \(\frac{4}{3}\) πr³
ఒక మోల్ పదార్థంలో B అన్ని పరమాణువుల ఘనపరిమాణం = \(\frac{4}{3}\) πr³ × N = \(\frac{\mathrm{M}}{\rho}\)
∴ r = \(\left[\frac{3 M}{4 \pi \rho N}\right]^{1 / 3}\)
కార్బన్కు M = 12.01 × 10^-3 kg, ρ = 2.22 × 10³ kg m^-3
కావున r = \(\frac{3 \times 12.01 \times 10^{-3}}{4 \times \frac{22}{7} \times\left(2.22 \times 10^3\right) \times\left(6.023 \times 10^{23}\right)}\) = 1.29 × 10^-10 m = 1.29 Å
ఇదే విధంగా బంగారం, r = 1.59 Å
ద్రవ నైట్రోజన్క r = 1.77 Å
లిథియమ్కు r = 1.73 Å
మరియు ద్రవ ఫ్లోరిన్్కు r = 1.88 Å