TS Inter 1st Year Physics Study Material Chapter 9 గురుత్వాకర్షణ

Telangana TSBIE TS Inter 1st Year Physics Study Material 9th Lesson గురుత్వాకర్షణ Textbook Questions and Answers.

TS Inter 1st Year Physics Study Material 9th Lesson గురుత్వాకర్షణ

అతిస్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు (2 మార్కులు)

ప్రశ్న 1.
విశ్వ గురుత్వ స్థిరాంకం (G) ప్రమాణాలను, మితులను తెలపండి.
జవాబు:
విశ్వ గురుత్వ స్థిరాంకము G కి ప్రమాణాలు న్యూటన్ – మీటరు²/కి.గ్రా.², మితిఫార్ములా M^-1L³T^-2.

ప్రశ్న 2.
న్యూటన్ గురుత్వాకర్షణ నియమాన్ని సదిశా రూపంలో వ్యక్తీకరించండి.
జవాబు:
న్యూటన్ విశ్వగురుత్వాకర్షణ బలము సదిశా సమీకరణము \(\overline{\mathrm{F}}=\frac{\mathrm{Gm}_1 \mathrm{~m}_2 \overline{\mathrm{r}}}{\overline{\mathrm{r}}^3}\)

ప్రశ్న 3.
చంద్రునిపై భూమి గురుత్వాకర్షణ బలం F అయితే, భూమిపై చంద్రుని గురుత్వాకర్షణ బలం ఎంత ? ఈ బలాలు చర్య – ప్రతిచర్య జంటను ఏర్పరుస్తాయా ?
జవాబు:
భూమి, చంద్రుడు మరియు చంద్రుడు, భూమిల మధ్య గురుత్వాకర్షణ బలాలు సమానము. కావున F_EM = -F_ME రెండు వస్తువుల మధ్య గురుత్వాకర్షణ బలాలను చర్య – ప్రతిచర్య బలాలుగా తీసుకొనవచ్చును.

ప్రశ్న 4.
భూమి ద్రవ్యరాశిని స్థిరంగా ఉంచుతూనే, భూమి వ్యాసార్ధం 2% తగ్గిస్తే, దాని ఉపరితలం వద్ద గురుత్వ త్వరణం విలువ (g) లో వచ్చే మార్పు ఎంత ఉంటుంది ?
జవాబు:
గురుత్వ త్వరణము g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\)
ద్రవ్యరాశిని స్థిరంగా ఉంచి వ్యాసార్ధమును 2% తగ్గిస్తే \(\frac{\Delta \mathrm{R}}{\mathrm{R}}\) × 100 = -2
దోష విభాజన నియమము ప్రకారము \(\frac{\Delta \mathrm{g}}{\mathrm{g}}\) × 100 = -2 \(\frac{\Delta \mathrm{R}}{\mathrm{R}}\) × 100
‘g’ లో మార్పు శాతము = – 2 × 2 = – 4% అనగా R తగ్గితే ‘g’ పెరుగును.

ప్రశ్న 5.
మనం ఒక గ్రహం నుంచి మరొక గ్రహానికి మారుతూ ఉంటే వస్తువు a) ద్రవ్యరాశి b) భారం ఎలా మారుతుంటాయి ?
జవాబు:
ఒక “గ్రహము నుండి వేరొక గ్రహమునకు పోయినపుడు ద్రవ్యరాశి మారదు. వస్తువు ద్రవ్యరాశి స్థిరము.
ఒక గ్రహము నుండి వేరొక గ్రహానికి పోవుకొలది కొంత దూరము వరకు భారము క్రమముగా తగ్గును.
శూన్యంలో g = 0 వద్ద భారము సున్న.
మరలా వేరొక గ్రహమును సమీపించు కొలది భారము క్రమముగా పెరుగును.

ప్రశ్న 6.
ఒక లఘులోలకం పొడవును స్థిరంగా ఉంచినప్పుడు, అన్ని గ్రహాల మీద దాని డోలనావర్తన కాలం సమానంగా ఉంటుందా ? కారణంతో సహా మీ సమాధానాన్ని సమర్థించండి.
జవాబు:
లోలకము పొడవును స్థిరంగా ఉంచిన డోలనావర్తనకాలము ఒక గ్రహము నుండి వేరొక గ్రహానికి మారును. లోలకము డోలనావర్తన కాలము T = 2π \(\sqrt{\frac{l}{\mathrm{~g}}}\) ‘T’ ఆ గ్రహము ‘g’ పై ఆధారపడి ఉండును. గురుత్వ త్వరణము g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\) ఒక గ్రహము నుండి వేరొక గ్రహానికి మారును.
కావున లోలకము పొడవు స్థిరంగా ఉన్నప్పటికి ఆవర్తన కాలము గ్రహాన్ని బట్టి మారును.

ప్రశ్న 7.
భూఉపరితలం నుంచి d లోతులో ఉన్న బిందువు వద్ద గురుత్వ త్వరణానికి సమీకరణాన్ని తెలపండి. భూకేంద్రం వద్ద g విలువ ఎంత ?
జవాబు:
భూమి ఉపరితలము నుండి ‘d’ లోతు వద్ద గురుత్వ త్వరణము g_d = g(1 – \(\frac{D}{R}\))
భూమి కేంద్రము వద్ద గురుత్వ త్వరణము విలువ సున్నా.

ప్రశ్న 8.
g విలువను భూమధ్య రేఖ వద్ద కనిష్ఠంగా, ధ్రువాల వద్ద గరిష్ఠంగా ఉండే విధంగా చేసే అంశాలేమిటో తెలపండి.
జవాబు:
గురుత్వత్వరణము భూమధ్యరేఖ వద్ద కనిష్ఠము కారణము,

1. భూమి భూమధ్యరేఖా వ్యాసార్ధము గరిష్ఠము g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\). ‘R’ గరిష్ఠము కావున ‘g’ కనిష్ఠము.
2. భూమధ్యరేఖ వద్ద అపకేంద్రబలము గరిష్ఠము. ఇది గురుత్వాకర్షణ బలమును వ్యతిరేకించును. భూమధ్యరేఖ వద్ద అపకేంద్ర బలము గరిష్ఠము. g విలువ కనిష్ఠము.

భూమి ధ్రువాల పరంగా వ్యాసార్ధము కనిష్ఠము. g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\), కావున g విలువ ధ్రువాల వద్ద గరిష్ఠము. ధ్రువాల వద్ద భ్రమణపరంగా అపకేంద్రబలము సున్నా. కావున g విలువ ధ్రువాల వద్ద గరిష్ఠము.

ప్రశ్న 9.
“హైడ్రోజన్ సూర్యుని చుట్టూ పుష్కలంగా ఉంది. కాని భూమి చుట్టూ అంత పుష్కలంగా లేదు.” వివరించండి.
జవాబు:
హైడ్రోజన్ అణువుల పలాయన వేగంతో పోలిస్తే సూర్యుని పై పలాయన వేగం చాలా ఎక్కువ. సుమారు 620 కి.మీ/సె. అందువలన హైడ్రోజన్ అణువులు అత్యధిక ఆకర్షణ బలానికి లోనయి, సూర్యుని చుట్టూ ఉండిపోతాయి.
భూమి మీద g విలువ సూర్యునితో పోలిస్తే తక్కువ. ఆకర్షణ బలం తక్కువ. అందువలన హైడ్రోజన్, సూర్యుని చుట్టూ బంధింపబడినట్లు భూమిపై బంధింపబడదు. అందువలన సూర్యుని చుట్టూ హైడ్రోజన్ సమృద్ధిగా ఉంటుంది.

ప్రశ్న 10.
ఒక భూస్థావర ఉపగ్రహం పరిభ్రమణావర్తన కాలం ఎంత ? అది పశ్చిమం నుంచి తూర్పుకి లేదా తూర్పు నుంచి పశ్చిమానికి తిరుగుతుందా ?
జవాబు:
భూస్థావర ఉపగ్రహము ఆవర్తన కాలము 24 గంటలు.
భూస్థావర ఉపగ్రహము భూమి చుట్టూ పడమర నుండి తూర్పు వైపుకు భూమధ్యరేఖా తలములో తిరుగుచుండును.

ప్రశ్న 11.
ధ్రువీయ ఉపగ్రహాలు అంటే ఏమిటి ?
జవాబు:
ఇవి అల్ప ఉన్నతాంశ ఉపగ్రహాలు. ఈ ధ్రువీయ ఉపగ్రహాల పరిభ్రమణావర్తనకాలం 100 నిమిషాలు. అందువల్ల ఇవి రోజులో అనేక సార్లు భూమి చుట్టూ పరిభ్రమిస్తూ కొద్దిపాటి ప్రాంతాన్ని ఎక్కువ పృధక్కరణ (Resolution) తో ఫోటోలు తీస్తాయి. ఈ ఉపగ్రహాలు భూమి ధృవాల చుట్టూ ఉత్తర, దక్షిణ దిశలలో పరిభ్రమిస్తాయి.

స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
కెప్లర్ గ్రహ గమన నియమాలను పేర్కొనండి.
జవాబు:
కెప్లర్ గ్రహగమన నియమాలు :

1. కక్ష్యల నియమము : గ్రహాలన్నీ సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘ వృత్తాకార కక్ష్యలలో తిరుగుతుంటాయి. ఆ దీర్ఘ వృత్తం ఒకానొక నాభి వద్ద సూర్యుడు ఉంటాడు.
2. వైశాల్యాల నియమము : సూర్యుని నుంచి ఏదైనా గ్రహాన్ని కలిపే సరళరేఖ సమానకాలవ్యవధులలో సమాన వైశాల్యం ఉన్న క్షేత్రాలను చిమ్ముతుంది. అనగా గ్రహాలు సూర్యునికి దగ్గరగా ఉన్నప్పటికంటే దూరంగా ఉన్నపుడు తక్కువ వేగంతో చలిస్తాయి.
3. ఆవర్తన కాలాల నియమము : ఒక గ్రహం పరిభ్రమణ ఆవర్తన కాలవర్గం (T²), ఆ గ్రహ దీర్ఘ వృత్తాకారకక్ష్య అర్ధగురు అక్షం పొడవు ఘనాని (R³)కి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
   T² ∝ R³ లేదా \(\frac{\mathrm{T}^2}{\mathrm{R}^3}\) = స్థిరరాశి

ప్రశ్న 2.
ఒక గ్రహం ఉపరితలంపై గురుత్వ త్వరణం విలువ (g), విశ్వ గురుత్వ స్థిరాంకం (G) ల మధ్య సంబంధాన్ని రాబట్టండి.
జవాబు:
గురుత్వ త్వరణము ‘g’ మరియు విశ్వ గురుత్వ స్థిరాంకము ‘G’ ల మధ్య సంబంధము : ప్రతి వస్తువును భూమి కొంత బలంతో తన కేంద్రంవైపు ఆకర్షిస్తుంది. భూమి వస్తువులపై చూపే ఈ ఆకర్షణ బలాన్నే వస్తువు భారము అంటారు. వస్తువు భారము W = mg ……………… (1)
న్యూటన్ గురుత్వాకర్షణ నియమం ప్రకారము ప్రతి రెండు వస్తువుల మధ్య పనిచేయు ఆకర్షణ బలం F = \(\frac{\mathrm{G} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{M}}{\mathrm{R}^2}\) సమానము. ఇందులో R భూమి వ్యాసార్ధము, M భూమి ద్రవ్యరాశి.
∴ వస్తువుల మధ్య ఆకర్షణ బలం F = \(\frac{\mathrm{GmM}}{\mathrm{R}^2}\) …………….. (2)
1, 2 సమీకరణాలు ఒకే భౌతికరాశి అయిన వస్తువుల మధ్య ఆకర్షణ బలాన్ని కొలుస్తున్నాయి. కాబట్టి ఆ రెండు సమీకరణాలు సమానమే.
∴ mg = \(\frac{\mathrm{GmM}}{\mathrm{R}^2}\) లేదా g =\(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\)
కావున ‘g’ మరియు ‘G’ ల మధ్య సంబంధము g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\)

ప్రశ్న 3.
సమాన విలువలు కలిగిన ఎత్తు (h), లోతు (d) లకు గురుత్వ త్వరణం విలువ ఏ విధంగా మారుతుంది ?
జవాబు:
భూమి నుండి ‘h’ ఎత్తుకు పోతే అక్కడ గురుత్వ త్వరణము ‘g’ విలువ తగ్గుతుంది. గురుత్వ త్వరణము g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\) కాని R2 . ‘h’ ఎత్తుకు వెళ్ళినపుడు భూమి కేంద్రం నుండి ఎత్తు R + h అవుతుంది. కాని భూమి ద్రవ్యరాశి M విలువలో మార్పులేదు.

కావున భూమి నుండి పైకి పోయినకొలది గురుత్వ త్వరణము ‘g’ విలువ తగ్గును.

గురుత్వ త్వరణం’g’ పై భూమి ఉపరితలం నుండి లోతు ప్రభావం : భూమి నుండి లోతుకు పోయిన కొలది గురుత్వ త్వరణం ‘g’ విలువ తగ్గుతుంది.

భూమి లోపల ‘d’ అను లోతుకు వెళ్ళినామనుకొనుము. అక్కడ ఉన్న వస్తువుపై భూమి కేంద్రం నుండి ఆ బిందువు వరకుగల భూమి ద్రవ్యరాశి మాత్రమే ఆకర్షణ చూపుతుంది. అనగా భూమి ఫలిత వ్యాసార్ధము (R- d) గా తీసుకోవాలి.
‘d’ లోతు, గురుత్వ త్వరణము g_d = \(\frac{4}{3}\) πρG (R – d) (∵ d = \(\frac{4}{3}\) πρGR కావున)
లేదా g_d = \(\frac{4}{3}\) πρGR (1 – \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}\)) లేదా g_d = g (1 – \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}\)) కావున భూమి నుండి లోతుకు పోతే ‘g’ విలువ తగ్గును.
ఎత్తు h = లోతు g అయిన సందర్భంలో g_h < g_d అవుతుంది.

ప్రశ్న 4.
కక్ష్యా వేగం అంటే ఏమిటి ? దానికి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి. (మార్చి 2014, మే 2014)
జవాబు:
కక్ష్యా వేగము (V₀) : కక్ష్యలో పరిభ్రమించు వస్తువు లేదా ఉపగ్రహానికి గల వేగాన్ని కక్ష్యా వేగము Vo అంటారు. కక్ష్యా వేగానికి సమీకరణం : ‘m’ ద్రవ్యరాశి గల ఒక ఉపగ్రహం భూమి నుండి ‘h’ ఎత్తులో గల ఒక వృత్తాకార కక్ష్యలో పరిభ్రమిస్తుంది అని అనుకోండి.
కక్ష్యా వ్యాసార్ధము = R + h (ఇందులో R = భూమి వ్యాసార్ధము)
వస్తువులు కక్ష్యలో పరిభ్రమించాలంటే వాటిపై పనిచేయు అపకేంద్ర, అభికేంద్ర బలాలు సమానం కావాలి.
వస్తువుపై అపకేంద్రబలం = \(\frac{\mathrm{mV}^2}{\mathrm{r}}=\frac{\mathrm{mV}_0^2}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}\) …………….. (1)
(ఇందులో V = V₀ వస్తువు కక్ష్యావేగము; R + h = కక్ష్యా వ్యాసార్ధము.)
భూమికి ఉపగ్రహానికి మధ్యగల గురుత్వాకర్షణబలం, అభికేంద్ర బలానికి సమానము.
∴ ఉపగ్రహంపై అభికేంద్రబలం = \(\frac{\text { GMm }}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})^2}\) …………… (2)

కక్ష్యలో పరిభ్రమించటంలో గల నియమం ప్రకారము
\(\frac{\mathrm{mV}_0^2}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}=\frac{\mathrm{GMm}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})^2}\)
∴ V₀² = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}\) లేదా V₀ = \(\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}}\)
Rతో పోల్చితే భూమి నుండి ఎత్తు ‘h’ చాలా చిన్నదైనపుడు కక్ష్యా వేగము V₀ = \(\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}}}=\sqrt{\mathrm{gR}}\)
దీనిని భూమి సమీప కక్ష్యా వేగము అంటారు. సమీప కక్ష్యా వేగము V₀ = 7.92 కి.మీ./సెకను.

ప్రశ్న 5.
పలాయన వడి అంటే ఏమిటి ? దానికి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
పలాయన వేగము (V_e) : ఏదైనా వస్తువును గురుత్వాకర్షణ పరిధి దాటి అనంత దూరం పంపడానికి ఆ వస్తువుకు భూమి లేక ఇచ్చిన గ్రహంపై ఉండవలసిన కనీస తొలివేగాన్ని పలాయన వేగంగా నిర్వచించినారు.
పలాయన వేగము V_e = \(\sqrt{2 \mathrm{gR}}=\sqrt{2 \frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}}}\)
పలాయన వేగానికి సమీకరణమును ఉత్పాదించుట : ‘m’ ద్రవ్యరాశి గల ఒక వస్తువును భూమి కేంద్రం నుండి గురుత్వాకర్షణ బలాలను ఎదురించుతూ భూమి ఉపరితలం వద్దకు తెచ్చినామనుకొనుము.
వస్తువుకు భూమికి మధ్య గురుత్వాకర్షణ బలం F = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}^2}\) …………… (1)
వస్తువును భూమి కేంద్రం నుండి ఉపరితలానికి తెచ్చుటలో జరిపిన పని W = F. R …………… (2)
ఈ పని భూమి ఉపరితలం వద్ద గల వస్తువులో స్థితిశక్తి రూపంలో నిలవ ఉంటుంది.
∴ వస్తువుకు ఉపరితలం వద్ద గల స్థితి శక్తి P.E. = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}}\) …………… (3)
భూమి గురుత్వాకర్షణ పరిధి దాటి వస్తువును బయటకు పంపవలెనంటే దానికి ఉండవలసిన కనీస గతిశక్తి భూమి ఉపరితలం వద్ద గల స్థితిశక్తికి సమానం కావలెను.
∴ \(\frac{1}{2}\) mV_e² = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}}\) లేదా V_e² = \(\frac{\mathrm{2GM}}{\mathrm{R}}\)
∴ పలాయన వేగము V_e = \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{GM}}{\mathrm{R}}}=\sqrt{2 \mathrm{gR}}\) (∵ g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\))
భూమిపై పలాయన వేగం V_e = 11.2 కి.మీ/సె.
పలాయన వేగము (V_e) మరియు కక్ష్యా వేగము V₀ ల మధ్య సంబంధము V_e = \(\sqrt{2}\)V₀

ప్రశ్న 6.
భూస్థావర ఉపగ్రహం అంటే ఏమిటి ? వాటి ఉపయోగాలను తెలపండి.
జవాబు:
భూస్థావర ఉపగ్రహం : కృత్రిమ ఉపగ్రహం పరిభ్రమణ ఆవర్తన కాలం భూమి పరిభ్రమణ ఆవర్తన కాలానికి సమానంగా ఉండి అది భూమధ్యరేఖపై భూమి ఆత్మ భ్రమణ దిశలో చలిస్తుంటే, ఆ ఉపగ్రహం భూమి దృష్ట్యా స్థిరంగా ఉంటుంది. ఇటువంటి ఉపగ్రహాలను భూస్థావర ఉపగ్రహాలు అంటారు.
భూస్థావర కక్ష్య భూమి నుండి 35,800 కి.మీ. ఎత్తులో ఉంది.
ఉపయోగాలు :

1. వాతావరణంలోని పై పొరలను అధ్యయనం చేయుటకు,
2. వాతావరణంలో సంభవించే మార్పులను ముందుగా తెలుసుకోవడానికి,
3. భూమిలోపల ఉన్న ఖనిజ సంపద గురించి తెలుసుకోవడానికి,
4. టెలివిజన్, టెలిఫోన్, రేడియో ప్రసారాలకు, అంతరిక్ష వస్తువులపై పరిశోధనలు చేయడానికి,
5. భూమి ఆకారము, పరిమాణములను తెలుసుకొనుటకు,
6. భూమి మీద మనము చేరలేని ప్రాంతాల గురించి తెలుసుకోవడానికి ఈ ఉపగ్రహాలు ఉపయోగపడతాయి.

ప్రశ్న 7.
సరాసరి సముద్ర మట్టం నుంచి రెండు ప్రదేశాలు ఒకే ఎత్తులో ఉన్నాయనుకొందాం. ఒకటి పర్వతం మీద ఉంది. మరొకటి గాలిలో ఉంది. ఎక్కడ g ఎక్కువగా ఉంటుంది ? మీ సమాధానానికి కారణం తెలపండి.
జవాబు:
భూమి ఉపరితలంపైన, లోపల గురుత్వ త్వరణము :
1. భూమి ఉపరితలంపై ‘h’ ఎత్తు ఉన్న బిందు ద్రవ్యరాశి m పై బలము F_h = \(\frac{\mathrm{GM}_e \mathrm{~m}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})^2}\) R భూమి వ్యాసార్ధము
g_h = \(\frac{\mathrm{F}_{\mathrm{h}}}{\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{Gm}_{\mathrm{e}}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})^2}\) = g(1 + h/R)^-2 = g( 1 – \(\frac{2 \mathrm{~h}}{\mathrm{R}}\))

2. భూమి నుండి ‘d’ లోతులో గల బిందువు వద్ద గురుత్వాకరణ బలం (R – d) మందంగల కర్పరం వల్ల పనిచేసిన బలానికి సమానము. ఇచ్చిన బిందువుపైనగల ‘d’ మందపు కర్పరం వల్ల ఆకర్షణ బలం సున్న.
∴ F_d = \(\frac{\mathrm{GM}_e \mathrm{~m}}{(\mathrm{R}-\mathrm{d})^2}\) ; g_d = \(\frac{F_d}{m}=\frac{G_e}{(R-d)^2}\) = g(1 – d/R)
గమనిక : భూమి నుండి పైకి వెళ్ళినా లేక భూమిలోపలికి వెళ్ళినా గురుత్వ త్వరణం ‘g’ తగ్గును. ‘g’ లో తగ్గుదల లోతుకు వెళ్ళిన దాని కన్న భూమిపైకి వెళితే (‘g’ విలువ) ఎక్కువగా తగ్గుతుంది.

ప్రశ్న 8.
ఒక వస్తువు భారం భూమధ్య రేఖ వద్ద కంటే ధ్రువాల వద్ద ఎక్కువగా ఉంటుంది. ఒకే బరువుకు ఈ రెండు ప్రదేశాల్లో ఎక్కడ ఎక్కువ చక్కెర (sugar) వస్తుంది ? మీ సమాధానానికి కారణం తెలపండి.
జవాబు:
పంచదారను తూచటానికి సాధారణ త్రాసును ఉపయోగిస్తే ధ్రువాల వద్ద తూచినా, భూమధ్య రేఖ వద్ద తూచినా ఒకే పరిమాణంగల పంచదార వస్తుంది. దీనిని కారణం సాధారణ త్రాసులో వస్తువును తూయడానికి రెండు పళ్ళెముల మీద గురుత్వ ఆకర్షణ బలాన్ని సమానం చేయడం.

స్ప్రింగ్ త్రాసును ఉపయోగించి పంచదారను తూస్తే ధ్రువాలవద్ద పంచదార పరిమాణం తక్కువగాను, భూమధ్య రేఖవద్ద పంచదార పరిమాణం ఎక్కువగాను ఉంటుంది. కారణం స్ప్రింగ్ త్రాసు వస్తువు భారము W నిర్ణయిస్తుంది. పంచదార భారం W స్థిరంగా ఉన్నా ధ్రువాల వద్ద ‘g’ విలువ ఎక్కువ కావడం వల్ల తక్కువ ద్రవ్యరాశి ‘m’ గల పంచదార తూయబడుతుంది. భూమధ్య రేఖ వద్ద ‘g’ విలువ తక్కువ కావున అదే భారానికి పంచదార ద్రవ్యరాశి ‘m’ ఎక్కువ.

ప్రశ్న 9.
భూమి చుట్టూ తిరుగుతున్న ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం చీల (nut) వదులై దాని నుంచి వేరయిపోతే అది భూమి వైపు కిందకు పడుతుందా ? లేదా భూమి చుట్టూ తిరుగుతుందా ? మీ సమాధానానికి కారణం తెలపండి.
జవాబు:
కక్ష్యలో తిరుగు ఉపగ్రహం నుండి ఒక చీల (nut) వదులై దాని నుండి విడిపోతే అది ఉపగ్రహము వెంబడి అంతే వేగంతో అదే కక్ష్యలో చలిస్తుంది. కాని భూమి మీదపడదు. ఎందుకనగా ఉపగ్రహం నుండి వేరైన మేకు ఉపగ్రహం నుండి వేరైన సందర్భంలో ఉపగ్రహానికి గల వేగం ఉంటుంది. కక్ష్యలో తిరిగే వస్తువులపై గురుత్వాకర్షణ బలం (అభిలంబ బలము) మరియు అపకేంద్ర బలాలు సమానం కావడంవల్ల అది భార రహిత స్థితిలో ఉంటుంది. ఈ స్థితిలో దానిపై గల ఫలిత బలం సున్న కాబట్టి వస్తువు అదే వేగంతో అదే కక్ష్యలో పరిభ్రమిస్తుంది.

ప్రశ్న 10.
ఒక వస్తువును 11.2 km s వేగంతో లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేగంతో ప్రక్షిప్తం చేసినప్పుడు అది తిరిగి . భూమికి చేరుకోలేదు. కారణాలతో వివరించండి.
జవాబు:
భూమిపై పలాయన వేగము 11.2 కి.మీ/సె. ఏదైనా వస్తువుకు 11.2 కి.మీ./సె. లేదా అంతకన్నా ఎక్కువ వేగం ఉంటే దాని గతిజశక్తి భూమిపై గల వస్తువుల గురుత్వ పొటెన్షియల్ శక్తి కన్నా ఎక్కువ. కావున అటువంటి వస్తువుల గమనాన్ని భూమి నిరోధించలేదు. అనగా 11.2 కి.మీ/సె. లేదా అంతకన్న ఎక్కువ వేగం గల వస్తువులు భూమి గురుత్వాకర్షణ క్షేత్రాన్ని ఛేదించుకొని అనంత దూరం వెళ్తాయి.

దీర్ఘ సమాధాన ప్రశ్నలు

ప్రశ్న 1.
గురుత్వ స్థితిజ శక్తిని నిర్వచించండి. m₁, m₂, ద్రవ్యరాశులు ఉన్న రెండు కణాలకు సంబంధించిన గురుత్వ స్థితిజ శక్తికి సమీకరణాన్ని ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
గురుత్వ స్థితిజ శక్తి : గురుత్వాకర్షణ బలం వల్ల ఒక వస్తువులో ఉత్పన్నమయ్యే శక్తిని గురుత్వ స్థితిజ శక్తి అంటారు. గురుత్వ స్థితిజ
శక్తి G.P.E = – GMm \(\left(\frac{1}{r_2^2}-\frac{1}{r_1^2}\right)\) ఇందులో r₁ మరియు r₂ లు
భూమి కేంద్రం నుండి వస్తువు దూరాలు.

m₁, m₂ ద్రవ్యరాశులుగల రెండు వస్తువులు పటంలో చూపిన విధంగా O, P బిందువుల వద్ద ఉన్నాయనుకోండి. వాటి మధ్య దూరము ‘X’ అనుకోండి.
గురుత్వాకర్షణ నియమం ప్రకారం వాటి మధ్య గల బలం F = \(\frac{\mathrm{Gm}_1 \mathrm{~m}_2}{\mathrm{x}^2}\) కి సమానము వస్తువు m₂ ను A నుండి B వైపుకు స్వల్పదూరం ‘dx’ జరపడానికి చేయవలసిన పని dW = F. dx వస్తువును A నుండి B కి జరపటంలో జరిగిన
మొత్తం పని W అనుకుంటే W =\(\int \mathrm{dW}=\int \frac{G m_1 \mathrm{~m}_2}{\mathrm{x}^2}\) dx. దీని అవధులు r, ∝. స్థితిశక్తి నిర్వచనం ప్రకారం అనంత దూరం ∝ నుండి ఒక వస్తువును ఇచ్చిన బిందువు (మూలబిందువు ‘O’ నుండి దూరం ‘r’) వరకు జరపడంలో చేసిన పని కావున
∴ W = \(\int_{\infty}^r \frac{G m_1 m_2}{x^2} d x=G m_1 m_2 \int_{\infty}^r x^{-2} d x=-G m_1 m_2\left[\frac{1}{\dot{x}}\right]_{\infty}^r=-\frac{G m_1 m_2}{r}\)
– గుర్తు ఆకర్షణ బలానికి వ్యతిరేకంగా పని జరగడాన్ని తెలుపుతుంది. వస్తువును జరపడంలో చేసిన పని ఆ వస్తువులో స్థితిశక్తి రూపంలో (U) నిలువ ఉంటుంది. కావున m, m, ద్రవ్యరాశుల మధ్య దూరం ‘r’ (మూలబిందువు నుండి)గా భావిస్తే వాటి మధ్య గల గురుత్వ స్థితిజశక్తి U = – \(\frac{\mathrm{Gm}_1 \mathrm{~m}_2}{\mathrm{r}}\) కి సమానము.

ప్రశ్న 2.
గురుత్వ త్వరణం a) భూమి ఉపరితలంపైన, b) భూమి ఉపరితలం లోపల ఎలా మారుతుందో తెలిపే సమీకరణాలను ఉత్పాదించండి.
జవాబు:
ఒక గ్రహం ఉపరితలం నుండి ‘h’ ఎత్తులో గురుత్వ త్వరణానికి సమీకరణం ఉత్పాదన : ఏదైనా గ్రహంపై గురుత్వ త్వరణము g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\). ఒక గ్రహానికి సంబంధించినంత వరకు ‘g’ విలువ స్థిరంగా ఉండాలి. కాని భూమిపై గురుత్వ త్వరణము ప్రదేశాన్ని బట్టి మారుతున్నది. దీనికి కారణం భూమి నుండి ఎత్తు, భూమి నుండి లోతు వంటి అంశాలు. ఉన్నతాంశము (ఎత్తు) వలన ‘g’ లో మార్పు : భూమి నుండి ‘h’ ఎత్తుకు పోతే అక్కడ గురుత్వ త్వరణము ‘g’ విలువ తగ్గుతుంది. గురుత్వ త్వరణము g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}\) కాని ‘h’ ఎత్తుకు వెళ్ళినపుడు భూమి కేంద్రం నుండి ఎత్తు R + h అవుతుంది.
కాని భూమి ద్రవ్యరాశి M విలువలో మార్పులేదు.

d లోతులో గురుత్వ త్వరణానికి సమీకరణం ఉత్పాదన :
గురుత్వ త్వరణం ‘g’ పై భూమి ఉపరితలం నుండి d లోతు ప్రభావం : భూమి నుండి లోతుకు పోయిన కొలది గురుత్వ త్వరణం ‘g’ విలువ తగ్గుతుంది.

భూమి లోపల ‘d’ అను లోతుకు వెళ్ళినామనుకొనుము. అక్కడ ఉన్న వస్తువుపై భూమి కేంద్రం నుండి ఆ బిందువు వరకుగల భూమి ద్రవ్యరాశి మాత్రమే ఆకర్షణ చూపుతుంది. అనగా భూమి ఫలిత వ్యాసార్ధము (R- d) గా తీసుకోవాలి.
`d’ లోతు వద్ద గురుత్వ త్వరణము g_d = \(\frac{4}{3}\) πρG (R – d) (∵ g = \(\frac{4}{3}\) πρGR) కావున
లేదా g_d = \(\frac{4}{3}\) πρGR (1 – \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}\)) లేదా g_d = g(1 – \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}\))
కావున భూమి నుండి లోతుకు పోతే g విలువ తగ్గును.

ప్రశ్న 3.
న్యూటన్ విశ్వ గురుత్వాకర్షణ నియమాన్ని పేర్కొనండి. కావెండిష్ పద్ధతి ద్వారా విశ్వగురుత్వ స్థిరాంకం (G) విలువను ఎలా కనుక్కొంటారో వివరించండి.
జవాబు:
న్యూటన్ విశ్వ గురుత్వాకర్షణ నియమము : ఈ విశ్వంలో ప్రతి వస్తువు మరొక ఇతర వస్తువును ఆకర్షిస్తుంది. ఈ ఆకర్షణ బలం ఆ వస్తువుల ద్రవ్యరాశుల లబ్ధానికి అనులోమాను పాతంలో ఉంటుంది. వాటి మధ్య దూరం వర్గానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది.
F ∝ m₁m₂ మరియు F ∝ \(\frac{1}{\mathrm{~d}^2}\) లేదా లేదా F ∝ \(\frac{m_1 m_2}{d^2}\) లేదా F = \(\frac{G m_1 m_2}{d^2}\). ఇందులో G విశ్వ గురుత్వ స్థిరాంకము. గురుత్వాకర్షణ బలం ఎప్పుడూ ఒక ఆకర్షణ బలం. ఇది వస్తువులను కలిపే సరళ రేఖ వెంబడి ఉంటుంది.

గురుత్వ స్థిరాంకం కనుగొనడానికి కేవెండిష్ ప్రయోగము : కేవెండిష్ ప్రయోగంలో ఒక పొడవాటి కడ్డీ (AB) చివరల రెండు చిన్న సీసం గోళాలను (m) అమర్చినాడు. దీనిని అతి సన్నని తీగ సహాయంతో ఆధారం నుంచి వ్రేలాడదీసినాడు. రెండు పెద్ద సీసం గోళాలను (M) చిన్నగోళం m వద్దకు తెచ్చినపుడు ఆ రెండు చిన్న ద్రవ్యరాశుల మీద సమానమైన గురుత్వాకర్షణ బలం పనిచేయడం వల్ల ఫలితబలం సున్న. చిన్న గోళానికి, పెద్ద గోళానికి మధ్య గురుత్వాకర్షణ బలం F = \(\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{d}^2}\)
కడ్డీ రెండు చివరల సమానము, వ్యతిరేకమైన బలాలు పనిచేయడం వల్ల కడ్డీ AB పై కొంత టార్క్ ప్రయోగించబడింది. ఫలితంగా అది ఆధారం వెంబడి భ్రమణం చెందుతుంది. కడ్డీ పక్కకు జరిగిన పురికోణం ‘θ’ (Angle of twist) అనుకుంటే తీగలోని పునఃస్థాపక టార్క్ (τ) పురి కోణానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. τ ∝ θ.
కడ్డీపై టార్క్ τ = బలము × కడ్డీ పొడవు (L)
∴ τ = \(\frac{\mathrm{G} \mathrm{Mm}}{\mathrm{d}^2}\) .L ………….. (1) (గురుత్వ బలయుగ్మము)
కడ్డీపై పునస్థాపక బలయుగ్మము = τθ …………….. (2)
∴ τθ = \(\frac{\mathrm{G} \mathrm{Mm}}{\mathrm{d}^2}\) L లేదా G = \(\frac{\tau \theta \cdot \mathrm{d}^2}{\mathrm{MmL}}\)
MmL
ఈ ప్రయోగంలో θ విలువను కొలవడం వల్ల G విలువను లెక్కగట్టవచ్చును.
G ప్రామాణిక విలువ = 6.67 × 10^-11 N – m² / kg²

లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
ఒక్కొక్కటి 1 kg ద్రవ్యరాశులు ఉన్న రెండు గోళాకార బంతుల్ని 1 cm దూరంలో ఉంచారు. వాటి మధ్య ఉండే గురుత్వాకర్షణ బలాన్ని కనుక్కోండి.
జవాబు:
ఒక్కొక్క బంతి ద్రవ్యరాశి m = 1 kg
బంతుల మధ్యదూరము r = 1 cm = 10^-2 m
గురుత్వాకర్షణ బలము F = \(\frac{\mathrm{Gmm}}{\mathrm{r}^2}=\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 1 \times 1}{\left(10^{-2}\right)^2}\)
= 6.67 × 10^-11 × 10⁴ = 6.67 × 10^-7 N

ప్రశ్న 2.
ఒక బంతి ద్రవ్యరాశి వేరొక బంతి ద్రవ్యరాశికి 4 రెట్లు ఉంది. ఈ బంతులను 10 cm దూరంలో ఉంచినప్పుడు వాటి మధ్య గురుత్వాకర్షణ బలం 6.67 × 10^-7 N అయితే ఆ బంతుల ద్రవ్యరాశులను కనుక్కోండి.
జవాబు:
మొదటి బంతి ద్రవ్యరాశి m; రెండవ బంతి ద్రవ్యరాశి = 4m.
బంతుల మధ్య దూరము r = 10 cm = 0.1 m
గురుత్వాకర్షణ బలము F = 6.67 × 10^-7 N.
బంతి ద్రవ్యరాశి m = ?
గురుత్వాకర్షణ బలము F = \(\frac{\mathrm{G} \cdot \mathrm{m} \cdot 4 \mathrm{~m}}{\mathrm{r}^2}\) ⇒ 6.67 × 10^-7 = \(\frac{6.67 \times 10^{-11} 4 \mathrm{~m}^2}{0.1 \times 0.1}\) ⇒ 10^-7 = 10^-9 . 4m²
∴ m² = \(\frac{10^{-7}}{4 \times 10^{-9}}=\frac{100}{4}\) = 25 ⇒ m = 5
∴ బంతుల ద్రవ్యరాశులు : 5 kg, 20 kg.

ప్రశ్న 3.
1 m భుజం పొడవు కలిగిన ఒక సమబాహు త్రిభుజం మూడు శీర్షాల వద్ద 1kg, 2kg, 3kg ల ద్రవ్యరాశులు కలిగిన గోళాకార బంతులను ఉంచారు. 1kg ద్రవ్యరాశిపై 2kg, 3kgల ద్రవ్యరాశులు ప్రయోగించే గురుత్వాకర్షణ బలాన్ని గణించండి.
జవాబు:
సమబాహు త్రిభుజము భుజము a = 1m.
మూడు శీర్షాల వద్ద ద్రవ్యరాశులు = 1 kg, 2 kg, 3 kg.
1 kg, 2 kg ల మధ్య బలము F₁ = G. \(\frac{2 \times 1}{1^2}\) = 2 G
1 kg, 3 kg ల మధ్య బలము F₂ = G. \(\frac{3 \times 1}{1^2}\) = 3 G

F₁, F₂ లు ఒకదానికొకటి 60° కోణముతో పనిచేయును.
∴ ఫలితబలము F_R = \(\sqrt{F_1^2+F_2^2+2 F_1 F_2 \cos \theta}=\sqrt{4 G^2+9 G^2+2 \times 2 \times 3 G^2 \times \frac{1}{2}}\)
= G\(\sqrt{4+9+6}\) = \(\sqrt{19}\) G

ప్రశ్న 4.
భూఉపరితలం నుంచి ఒక నిర్ణీత ఎత్తులో గురుత్వ త్వరణం భూఉపరితలంపై ఉన్న విలువలో 4% ఉంది. అయితే ఆ ఎత్తు ఎంత ?
జవాబు:
h ఎత్తులో గురుత్వత్వరణము g_h = g విలువలో 4 శాతము.
∴ g_h = \(\frac{4 \mathrm{~g}}{100}\) కాని g_h = \(\frac{g \cdot R^2}{\left(1+\frac{h}{R}\right)^2}\) ఇందులో భూమి వ్యాసార్ధము R = 6400 K.M. = 6.4 × 10⁶ m.
\(\frac{4}{100} g=\frac{g}{(1+h / R)^2} \Rightarrow\left(1+\frac{h}{R}\right)^2=\frac{100}{4}\) (రెండు వైపుల వర్గమూలము చేయగా)
1 + \(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{R}}\) = \(\frac{10}{2}\) = 5 ⇒ 1 + \(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{R}}\) = 5 ⇒ \(\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{R}}\) = 5 – 1 = 4
∴ h = 4R = 6400 × 4 = 25.600 k.m.

ప్రశ్న 5.
ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం 1000 km ఎత్తులో భూమి చుట్టూ తిరుగుతున్నది. దాని కక్ష్యా వడి ఎంత ?
జవాబు:
భూమి వ్యాసార్ధము R = 6,400 km = 6.4 × 10⁶ m.
ఉపగ్రహము ఎత్తు h = 1000 km; G = 6.67 × 10¹¹ N – m² / kg²
భూమి ద్రవ్యరాశి M = 6 × 10²⁴
కక్ష్యా వేగము V_o = \(\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}}\)
∴ V_o= \(\sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{6400+1000}}=\sqrt{\frac{6.67 \times 6 \times 10^{13}}{7.4 \times 10^6}}=\sqrt{\frac{40.02 \times 10^7}{7.4}}\) = 7354 m = 7.354 km.

ప్రశ్న 6.
భూ వ్యాసార్ధానికి సమానమైన ఎత్తులో ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం భూమి చుట్టూ తిరుగుతున్నది. దాని
i) కక్ష్యావడి,
ii) పరిభ్రమణావర్తన కాలాలను కనుక్కోండి.
జవాబు:
భూమి వ్యాసార్ధము R = 6400k.m. ; భూమి నుండి ఎత్తు h = R.
భూమి ద్రవ్యరాశి M = 6 × 10²⁴ ; G = 6.67 × 10^-11 N – m²/kg²
i) కక్ష్యావేగము V_o = \(\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}}=\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{2 \mathrm{R}}}\)
∴ V_o = \(\sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{2 \times 6.4 \times 10^6}}=\sqrt{\frac{40.02 \times 10^{13}}{12.8 \times 10^6}}=\sqrt{\frac{40.02 \times 10^7}{12.8}}\)
= 5592 m/s = 5.592 కి. మీ. / సె.

ii) ఆవర్తన కాలము T = \(\frac{2 \pi(2 R)}{V}=\frac{2 \times 3.142 \times 6.4 \times 10^6 \times 2}{5592}\)
= 14, 380 sec. = 3.994h = 4 గంటలు.

ప్రశ్న 7.
రెండు వస్తువుల మధ్య ఉన్న దూరాన్ని 4m పెంచితే, వాటి మధ్య ఉన్న గురుత్వాకర్షణ బలం 36% తగ్గింది. వాటి మధ్య ఉన్న తొలి దూరం ఎంత ?
జవాబు:
వస్తువుల మధ్య బలము F; వస్తువుల మధ్య దూరము = r.
రెండవ సందర్భమునకు r₁ = (r + 4); కాని కొత్త బలము Fకన్నా 36% తక్కువ.
⇒ F₁ = F (1 – \(\frac{36}{100}\)) = \(\frac{64}{100}\) F
∴ \(\frac{\text { G.m.m. }}{(r+4)^2}=\frac{64}{100} \frac{\text { G.m.m }}{r^2}\)
⇒ 100 r² = 64 (r + 4)² రెండువైపుల వర్గమూలము చేయగా
⇒ 10 r = 8 (r + 4) ⇒ 10 r = 8r + 32
∴ (10 – 8) r = 2r = 32 లేదా ∴ r = 16 m.

ప్రశ్న 8.
a భుజం ఉన్న ఒక చతురస్రం ప్రతి శీర్షం వద్ద సర్వసమానమైన ద్రవ్యరాశులు m లను ఉంచారు. ఒక ద్రవ్యరాశిపై మిగతా మూడు ద్రవ్యరాశులు ప్రయోగించే గురుత్వబలాన్ని గణించండి.
జవాబు:
అన్ని ద్రవ్యరాశులు సమానము అని ఇవ్వబడినవి.
∴ m₁ = m₂ = m₃ = m₄
m₁, m₄ ద్రవ్యరాశుల మధ్య బలము F₁ = \(\frac{\mathrm{G} \cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{a}^2}\) …… (1)
m₄, m₃ ద్రవ్యరాశుల మధ్య బలము F₂ = \(\frac{\mathrm{G} \cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{a}^2}\) ……….. (2)

F₁ మరియు F₂ లు పరస్పరము లంబాలు మరియు పరిమాణములో సమానము.
సమాంతర చతుర్భుజ బల నియమము నుండి
∴ F_R = \(\sqrt{2 \mathrm{~F}}=\sqrt{2} \cdot \frac{\mathrm{Gm}^2}{\mathrm{a}^2}\) ………… (3)
(సమాంతర చతుర్భుజ బల నియమము నుండి)
m₄, m₂ ల మధ్య బలము F₃ = \(\frac{\mathrm{Gm}^2}{(\sqrt{2} a)^2}=\frac{\mathrm{Gm}^2}{2 a^2}\) (F₃ అనుకొనుము) …………. (4)
F_R మరియు F₃ లు పరస్పరము సమాంతరము కావున వాటి ఫలిత బలము వాటి మొత్తానికి సమానము.
m₄ వద్ద అన్ని ద్రవ్యరాశుల వలన మొత్తము బలము = \(\sqrt{2} \frac{G m^2}{a^2}+\frac{G m^2}{2 a^2}=\frac{G m^2}{a^2}\left(\sqrt{2}+\frac{1}{2}\right)\)

ప్రశ్న 9.
1kg, 4kg ద్రవ్యరాశులు ఉన్న రెండు గోళాకార బంతుల మధ్య దూరం 12cm. 1kg ద్రవ్యరాశి నుంచి ఎంత దూరంలో ఉన్న బిందువు వద్ద ఏ ద్రవ్యరాశి మీదనైనా పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ బలం శూన్యం అవుతుంది ?
జవాబు:
ద్రవ్యరాశి m₁ = 1 kg ; ద్రవ్యరాశి m₂ = 4 kg
మధ్యదూరము d = 12 cm
మూడవ వస్తువు ద్రవ్యరాశి m₃ = ?
m₃ ద్రవ్యరాశిపై ఏ బలమూ పనిచేయకుండుటకు

m₁, m₃ ల మధ్య బలము = m₂, m₃ ల మధ్య బలము.
∴ \(\frac{\mathrm{G}_1 \times \mathrm{m}_3}{\mathrm{x}^2}=\frac{\mathrm{G} \times 4 \mathrm{~m}_3}{(\mathrm{~d}-\mathrm{x})^2}\) ⇒ (d – x)² = 4x². రెండు వైపుల వర్గమూలము తీసుకొనగా
d – x = 2x + d = 3x లేదా x = \(\frac{12}{3}\) = 4 cm
∴ 1 kg ద్రవ్యరాశి నుండి దూరము = 4 cm

ప్రశ్న 10.
ఒక్కొక్కటి ద్రవ్యరాశి m, వ్యాసార్ధం R ఉన్నట్టి మూడు ఏకరీతి గోళాలను, అందులో ప్రతి ఒకటి మిగతా రెండింటిని తాకే విధంగా అమర్చారు. వాటిలో ఏ ఒక్క గోళం పైనైనా మిగతా రెండు గోళాల వల్ల కలిగే గురుత్వాకర్షణ బల పరిమాణాన్ని లెక్కించండి.
జవాబు:
ద్రవ్యరాశి m, వ్యాసార్ధము R లు అన్ని గోళాలకు సమానము.
1, 3 గోళాల మధ్య బలము F₁ = \(\frac{\mathrm{G} \cdot \mathrm{m}^2}{(2 \mathrm{R})^2}\)
1, 2 గోళాల మధ్య బలము F₂ = \(\frac{\mathrm{G} \cdot \mathrm{m}^2}{(2 \mathrm{R})^2}\)

F₁, F₂ లు ఒకదానికొకటి 60° కోణముతో పనిచేయును. సమాంతర చతుర్భుజ బలనియమము ప్రకారము ఫలిత బలము
F = \(\sqrt{F_1^2+F_2^2+2 F_1 F_2 \cos \theta}=\sqrt{F^2+F^2+2 F^2 \frac{1}{2}}=\sqrt{3} F\)
∴ మొదటి గోళముపై మిగిలిన రెండు గోళాల వలన బలము = \(\frac{\sqrt{3} \cdot \mathrm{Gm}^2}{4 \mathrm{R}^2}\)

ప్రశ్న 11.
రెండు కృత్రిమ ఉపగ్రహాలు వేరువేరు ఎత్తులలో భూమి చుట్టూ పరిభ్రమిస్తున్నాయి. వాటి కక్ష్యా వడుల నిష్పత్తి 2: 1. అందులో ఒకటి 100 km ఎత్తులో ఉంటే, మరొకటి ఎంత ఎత్తులో ఉంటుంది ?
జవాబు:
భూమి ద్రవ్యరాశి m = 6 × 10²⁰ kg ; G = 6.67 × 10^-11 N-m² / kg²
కక్ష్యావేగముల నిష్పత్తి V₀₁ : V₀₂ = 2 : 1;
ఒక ఉపగ్రహం ఎత్తు h = 100 k.m
V_o = \(\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}}\)
∴ \(\sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}_1}}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}_2}}\)
ఇరువైపులా వర్గము చేయగా \(\frac{\mathrm{Gm}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}_1}=\frac{1}{4} \frac{\mathrm{Gm}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}_2}\) ⇒ 4 (R + h₂) = R + h₁
4R + 4h₂ = R + h₁ = 3R + 4h₂, h₂ = 100 km ప్రతిక్షేపించగా
∴ h₁ = 3 × 6400 + 400 = 19600 km.

ప్రశ్న 12.
గురుత్వ త్వరణం విలువ 8 ms^-2 ఉన్నటువంటి ఒక ఎత్తు వద్ద ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం 8 m s^-1 వడితో వృత్తాకార కక్ష్యలో తిరుగుతున్నది. భూఉపరితలం నుంచి ఉపగ్రహం ఎంత ఎత్తులో ఉన్నట్లు ? (గ్రహం వ్యాసార్ధం = 6000 km)
జవాబు:
ఉపగ్రహము కక్ష్యావేగము V_o = 8 km/s. = 8 × 10³ m/s.
ఆ కక్ష్యలో గురుత్వత్వరణము g = 8 m/s²
కక్ష్యా వేగము V = \(\sqrt{\mathrm{gR}}\) ఇందులో R = కక్ష్యా వ్యాసార్ధము, g = ఆ కక్ష్యలో గురుత్వ త్వరణము
∴ R = V²/g = \(\frac{8 \times 8 \times 10^6}{8}\) = 8 × 10⁶m = 8000 km.
ఉపగ్రహము ఎత్తు = 8000 – భూమి వ్యాసార్ధము;
భూమి వ్యాసార్ధము = 6000km.
భూ ఉపరితలము నుండి ఉపగ్రహము ఎత్తు = 8000 – 6000 = 2000 km.

ప్రశ్న 13.
(a) భూఉపరితలం నుంచి ఒక వస్తువు పలాయన వడిని కనుక్కోండి. (b) ఒక వేళ భూమి కర్రతో గనుక తయారై ఉంటే, దాని ద్రవ్యరాశి భూమి ప్రస్తుత ద్రవ్యరాశిలో 10% ఉండేది. భూమి కర్రతో తయారై ఉండి ఉంటే, పలాయన వడి ఎంత ?
జవాబు:భ
భూమి వ్యాసార్ధం, R = 6400 km = 6.4 × 10⁶.m
భూమి ద్రవ్యరాశి, M = 6 × 10²⁴ kg ; g = 9.8 ms^-2
a) పలాయన వడి, V_e = \(\sqrt{2 g R}\)
∴ V_e = \(\sqrt{2 \times 9.8 \times 6.4 \times 10^6}\) = 11.2 km/s

b) భూమి కర్రతో తయారై ఉండి ఉంటే, M₁ = ద్రవ్యరాశిలో 10% = 6 × 10²³
పలాయన వడి, V_e = \(\sqrt{\frac{2 \mathrm{Gm}}{\mathrm{R}}}=\sqrt{\frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{23}}{6.4 \times 10^6}}=\sqrt{\frac{2 \times 40.02 \times 10^{12}}{6.4 \times 10^6}}\)
∴ V_e = \(\sqrt{12.51 \times 10^{16}}\)= 3.537 km/s.

ముఖ్యమైన ఉదాహరణ లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
భుజం పొడవు గా ఉన్న ఒక చతురస్రం యొక్క ప్రతీ శీర్షం వద్ద ఒక్కో కణాన్ని ఉంచితే, ఆ నాలుగు కణాల వ్యవస్థ మొత్తం స్థితిజశక్తిని కనుక్కోండి. ఆ చతురస్ర కేంద్రం వద్ద పొటెన్షియల్ను కూడా గణించండి.
సాధన:
భుజం పొడవు l ఉన్నటువంటి ఒక చతురస్రం ప్రతీ శీర్షం వద్ద m ద్రవ్యరాశి ఉన్న ఒక్కో కణాన్ని ఉంచామనుకోండి. పటంని పరిశీలిస్తే, l దూరంలో నాలుగు ద్రవ్యరాశుల జతలు, \(\sqrt{2}\) l దూరంలో కర్ణాల పరంగా రెండు ద్రవ్యరాశుల జతలూ మనకు కనిపిస్తాయి. కాబట్టి,

ప్రశ్న 2.
కుజ గ్రహానికి ఫోబోస్ (phobos), డెల్మోస్ (delmos) అనే రెండు ఉపగ్రహాలు ఉన్నాయి. (i) ఫోబోస్ కక్ష్యావర్తన కాలం 7 గం. 39 నిమిషాలు. దాని కక్ష్యా వ్యాసార్ధం 9.4 × 10³ km. కుజుని ద్రవ్యరాశిని కనుక్కోండి. (ii) భూమి, కుజుడూ సూర్యుని చుట్టూ వృత్తాకార కక్ష్యల్లో, కుజుని కక్ష్యా వ్యాసార్ధం భూకక్ష్యా వ్యాసార్ధానికి 1.52 రెట్లు ఉండే విధంగా తిరుగుతున్నాయనుకొందాం. అప్పుడు ఒక కుజ సంవత్సరంలో ఎన్ని రోజులుంటాయి ?
సాధన:
i) సమీకరణం T² = k (R_E + h)³ (k = 4π² / GM_E) లో భూమి ద్రవ్యరాశికి బదులుగా కుజుని ద్రవ్యరాశి M_m ను ప్రతిక్షేపిస్తే,
T² = \(\frac{4 \pi^2}{\mathrm{GM}_{\mathrm{m}}}\) R³ ; M_m = \(\frac{4 \pi^2}{G} \frac{P^3}{T^2}\)
M_m = \(\frac{4 \times(3.14)^2 \times(9.4)^3 \times 10^{18}}{6.67 \times 10^{-11} \times(459 \times 60)^2}=\frac{4 \times(3.14)^2 \times(9.4)^3 \times 10^{18}}{6.67 \times(459 \times 60)^2 \times 10^{-5}}\)
∴ కుజుని ద్రవ్యరాశి = 6.48 × 10²³ kg

ii) కెప్లర్ మూడవ నియమం ప్రకారం,
\(\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{M}}^2}{\mathrm{~T}_{\mathrm{E}}^2}=\frac{\mathrm{R}_{\mathrm{MS}}^3}{\mathrm{R}_{\mathrm{ES}}^3}\)
ఇక్కడ RMS కుజునికి, సూర్యునికి మధ్య దూరం, R_ES భూమికి, సూర్యునికి మధ్య దూరం.
∴ TM = (1.52)^3/2 × 365 = 684 రోజులు.

ప్రశ్న 3.
భూమిని తూచడం (Weighing the Earth) : కింది సమాచారాన్ని మీకిచ్చారు :
g = 9.81 ms^-2, R_E = 6.37 × 10⁶ m, చంద్రునికి ఉన్న దూరం R = 3.84 × 10⁸ m, చంద్రుని పరిభ్రమణావర్తన కాలం 27.3 రోజులు. భూమి ద్రవ్యరాశి M_E ని రెండు విభిన్న పద్ధతుల్లో రాబట్టండి.
సాధన:
పద్ధతి -1 : దత్తాంశం నుండి g = 9.81 మీ/సె ; R_E = 6.37 × 10⁶ మీ ; M_E = భూమి ద్రవ్యరాశి
M_E = \(\frac{\mathrm{gR}_{\mathrm{E}}^2}{\mathrm{G}}=\frac{9.81 \times\left(6.37 \times 10^6\right)^2}{6.67 \times 10^{-11}}\) = 5.97 × 10²⁴ kg.
పద్ధతి – 2 : చంద్రుడు భూమికి ఉపగ్రహం. కెప్లర్ మూడవ నియమం ఉత్పాదన నుంచి
(సమీకరణం T² = k (R_E + h)³ (k = 4π²/GM_E) ప్రకారం)
T² = \(\frac{4 \pi^2 R^3}{\mathrm{GM}_{\mathrm{E}}}\) ⇒ M_E = \(\frac{4 \pi^2 R^3}{\mathrm{GT}^2}\)
= \(\frac{4 \times 3.14 \times 3.14 \times(3.84)^3 \times 10^{24}}{6.67 \times 10^{-11} \times(27.3 \times 24 \times 60 \times 60)^2}\) = 6.02 × 10²⁴ kg
రెండు పద్ధతుల ద్వారా దాదాపు ఒకే ఫలితం వచ్చింది. ఆయా పద్ధతుల ద్వారా వచ్చిన విలువల్లో తేడా 1% కంటే తక్కువగానే ఉంది.

ముఖ్యమైన అదనపు లెక్కలు

ప్రశ్న 1.
కింది వాటికి సమాధానాలు రాయండి :
a) ఒక విద్యుదావేశాన్ని ఒక బోలు వాహకంలోపల ఉంచడం ద్వారా దానిపై విద్యుత్ బలం పనిచేయకుండా రక్షణ కల్పించవచ్చు. ఒక వస్తువును ఒక బోలు గోళం లోపల ఉంచడం ద్వారా లేదా మరే ఇతర పద్ధతిలోనైనా దానికి దగ్గరలో ఉన్న ద్రవ్యం యొక్క గురుత్వాకర్షణ బలం నుంచి రక్షించవచ్చా ?
b) భూమి చుట్టూ తిరుగుతున్న ఒక చిన్న వ్యోమ నౌకలోని వ్యోమగామి గురుత్వాకర్షణ బలం ఉనికిని గుర్తించలేదు. భూమి చుట్టూ తిరుగుతున్న వ్యోమనౌక చాలా పెద్దదిగా ఉంటే, గురుత్వాకర్షణ బలం ఉనికిని గుర్తించగలనని అతడు ఆశించవచ్చా ?
c) సూర్యుని మూలంగా భూమిపై కలిగే గురుత్వ త్వరణం, చంద్రుని మూలంగా భూమిపై కలిగే గురుత్వ త్వరణాలను పోల్చినప్పుడు చంద్రుని ఆకర్షణకంటే సూర్యుని ఆకర్షణ ఎక్కువగా ఉంటుందని స్పష్టమవుతుంది. (తరువాతి అభ్యాసాలలో లభ్యమయ్యే సమాచారాన్ని వినియోగించుకొని మీరీ విషయాన్ని స్వయంగా సరిచూసుకోవచ్చు). అయితే, చంద్రుని ఆకర్షణ వల్ల సముద్రపు అల ఎగిసిపడే ప్రభావం కంటే తక్కువ. ఎందుకు ?
జవాబు:
a) గురుత్వాకర్షణ బలాల నుండి ఒక వస్తువును రక్షించడం సాధ్యంకాదు ఎందుకంటే వస్తువుల మధ్యగల గురుత్వాకర్షణ బలాలు యానకం స్వభావంపై ఆధారపడవు. ఇవి ద్రవ్యరాశిగల అన్ని వస్తువుల మధ్య పనిచేస్తాయి.
విద్యుదావేశ బలాలు వాటి మధ్యగల యానకం పెర్మిటివిటి మరియు పదార్థ స్వభావం మీద ఆధారపడటం వల్ల విద్యుత్ బలం నుండి రక్షణ కల్పించవచ్చు.

b) అవును. .అంతరిక్ష నౌక పరిమాణం చాలా పెద్దదయితే కక్ష్యలో తిరుగుతున్న అంతరిక్ష నౌకలోని వ్యోమగామి గురుత్వ త్వరణంలో మార్పు గుర్తించగలడు.

c) అలలపై బలం ప్రభావం, దూరము యొక్క ఘనానికి (cube) విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది. కాని గురుత్వాకర్షణ బలం దూరం యొక్క వర్గానికి విలోమానుపాతంలో ఉంటుంది. చంద్రునికన్నా సూర్యుని దూరం చాలా ఎక్కువ కావటం వల్ల సూర్యుని గురుత్వాకర్షణ ప్రభావం అలలపై చాలా తక్కువ. చంద్రుని ఆకర్షణ తక్కువ అయినప్పటికీ భూమి, చంద్రుల మధ్య దూరం చిన్నది కావడం వల్ల అలలపై చంద్రుని ప్రభావం ఎక్కువ.

ప్రశ్న 2.
సరియైన ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఎంచుకోండి :
a) ఉన్నతాంశం పెరుగుతున్నకొద్దీ గురుత్వ త్వరణం పెరుగుతుంది / తగ్గుతుంది.
b) లోతు పెరుగుతున్న కొద్దీ గురుత్వ త్వరణం పెరుగుతుంది / తగ్గుతుంది (భూమిని ఏకరీతి సాంద్రత కలిగిన గోళంగా పరిగణించండి).
c) భూమి ద్రవ్యరాశి / వస్తువు ద్రవ్యరాశిపై గురుత్వ త్వరణం ఆధారపడి ఉండదు.
d) భూకేంద్రం నుంచి r₁, r₂ దూరాలలో ఉన్న రెండు బిందువుల మధ్య స్థితిజ శక్తి భేదానికి సూత్రం -G Mm(1/r₂ – 1/r₁) అనేది సూత్రం mg(r₂ – r₁) కంటే ఎక్కువ / తక్కువ.
జవాబు:
a) తగ్గుతుంది
b) తగ్గుతుంది
c) వస్తువు ద్రవ్యరాశి
d) ఎక్కువ

ప్రశ్న 3.
సూర్యుని చుట్టూ భూమి కంటే రెండు రెట్లు ఎక్కువ వడితో తిరిగే ఒక గ్రహం ఉందనుకొందాం. భూమితో పోల్చినప్పుడు దాని కక్ష్యా పరిమాణం (orbital size) ఎంత ఉంటుంది ?
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి T_e = = 1 సం||;
T_p = \(\frac{T_e}{2}=\frac{1}{2}\) సం|| r_e = 1 A.U.; r_p = ?
కెప్లర్ సిద్ధాంతం నుండి
r_p = r_e \(\left(\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{p}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{e}}}\right)^{2 / 3}=1\left(\frac{\frac{1}{2}}{1}\right)^{2 / 3}\) = 0.63 A.U.

ప్రశ్న 4.
బృహస్పతి గ్రహానికి ఉన్న ఒకానొక ఉపగ్రహం ఇయో (I₀) కక్ష్యావర్తన కాలం 1.769 రోజులు, కక్ష్యావ్యాసార్ధం 4.22 × 10⁸m అయితే బృహస్పతి ద్రవ్యరాశి, సూర్యుని ద్రవ్యరాశిలో దాదాపు వెయ్యవ వంతు ఉంటుందని చూపండి.
జవాబు:
జూపిటర్ ఉపగ్రహం ఆవర్తన కాలము T₁ = 1.769 రోజులు = 1.769 × 24 × 60 × 60 s
ఉపగ్రహం కక్ష్యా వ్యాసార్ధము r = 4.22 × 10⁸ m

ప్రశ్న 5.
ఒక్కొక్కటి సౌర ద్రవ్యరాశికి సమానమైన ద్రవ్యరాశి ఉన్న 2.5 × 10¹¹ నక్షత్రాలు మన నక్షత్ర మండలం (galaxy) లో ఉన్నాయని ఊహిద్దాం. నక్షత్ర మండల కేంద్రం నుంచి 50,000 కాంతి సంవత్సరాల దూరంలో ఉన్న ఒక నక్షత్రం ఒక పూర్తి పరిభ్రమణానికి ఎంతకాలం తీసుకొంటుంది ? మన నక్షత్ర మండలమైన పాలపుంత వ్యాసం 10⁵ ly (ly = light year = కాంతి సంవత్సరం)గా తీసుకోండి.
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి r = 50,000 కాంతి సంవత్సరాలు = 50,000 × 9.46 × 10¹⁵ m = 4.73 × 10²⁰ m
M = 2.5 × 10¹¹ సౌరద్రవ్యరాశి = 2.5 × 10¹¹ × (2 × 10³⁰) kg = 5.0 × 10⁴¹ kg
కాని M = \(\frac{4 \pi^2 r^3}{\mathrm{GT}^2}\) లేదా T = \(\left(\frac{4 \pi^2 r^3}{\mathrm{GM}}\right)^{1 / 2}=\left[\frac{4 \times(22 / 7)^2 \times\left(4.73 \times 10^{20}\right)^3}{\left(6.67 \times 10^{-11}\right) \times\left(5.0 \times 10^{41}\right)}\right]^{1 / 2}\)
= 1.12 × 10¹⁶ s

ప్రశ్న 6.
సరియైన ప్రత్యామ్నాయాన్ని ఎంచుకోండి :
a) స్థితిజ శక్తి శూన్య విలువను అనంత దూరం వద్ద తీసుకొంటే, పరిభ్రమిస్తున్న ఉపగ్రహం మొత్తం శక్తి దాని గతిజశక్తి / స్థితిజ శక్తికి ఋణాత్మకం.
b) పరిభ్రమిస్తున్న ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహాన్ని భూమ్యాకర్షణ ప్రభావానికి ఆవల వరకు సంధించడానికి అవసరమయ్యే శక్తి కృత్రిమ ఉపగ్రహం ఉన్న ఎత్తులోనే నిశ్చలంగా ఉన్న ఒక ప్రక్షేపకాన్ని భూమ్యాకర్షణ ప్రభావాన్నుంచి ప్రక్షిప్తం చెయ్యడానికి అవసరమయ్యే శక్తి కంటే ఎక్కువ / తక్కువ.
జవాబు:
a) గతిజశక్తి
b) తక్కువ

ప్రశ్న 7.
భూమి నుంచి ఒక వస్తువు పలాయన వడి ఈ అంశాలపై ఆధారపడుతుందా ? a) వస్తువు ద్రవ్యరాశి, b) వస్తువు ప్రక్షిప్తం చేసిన స్థానం, c) ప్రక్షిప్తం చేసిన దిశ, d) వస్తువును ప్రక్షేపించిన స్థానం ఎత్తు.
జవాబు:
పలాయన వడి ద్రవ్యరాశిపై ఆధారపడదు.
పలాయన వడి ప్రక్షేపస్థానం వద్దగల గురుత్వ పొటెన్షియల్ పై ఆధారపడును. ఇది భూమి కేంద్రం నుండి దూరము, (ఎత్తు) ఇచ్చిన బిందు స్థానము మరియు ప్రక్షేప దిశలపై ఆధారపడును.

ప్రశ్న 8.
ఒక తోక చుక్క సూర్యుని చుట్టూ ఒక అత్యధిక అర్థగురు అక్షంగల దీర్ఘవృత్తాకార కక్ష్యలో తిరుగుతున్నది. ఈ తోకచుక్క కక్ష్య యావత్తు ఈ రాశులు స్థిరంగా ఉంటాయా ? a) రేఖీయ వడి, b) కోణీయ వడి, c) కోణీయ ద్రవ్యవేగం, d) గతిజ శక్తి, e) స్థితిజ శక్తి, f) మొత్తం యాంత్రిక శక్తి. తోకచుక్క సూర్యునికి దగ్గరగా వచ్చినప్పుడు అది ఏమైనా ద్రవ్యరాశిని కోల్పోతే ఆ ద్రవ్యరాశిని ఉపేక్షించండి.
జవాబు:
సూర్యుని చుట్టూ దీర్ఘ వృత్తాకార కక్ష్యలో పరిభ్రమిస్తున్న తోకచుక్కకు కోణీయ ద్రవ్యవేగము మరియు మొత్తం శక్తులు మాత్రమే స్థిరము. మిగిలిన రాశులు స్థానం బట్టి మారుతాయి.

ప్రశ్న 9.
ఈ లక్షణాలలో ఏది రోదసిలోని వ్యోమగామికి హాని కలిగించవచ్చు ? a) కాళ్ళ వాపు, b) ముఖం వాపు, c) తల నొప్పి, d) దిగ్విన్యాస (orientational problem) సమస్య.
జవాబు:
వ్యోమగామి భార రహిత స్థితిలో ఉంటాడు. కావున గురుత్వ త్వరణ ప్రభావం అతని మీద ఉండదు.
a) కాళ్ళు బరువు మోయవలసిన అవసరం లేనందున కాళ్ళనొప్పులు రావు:

b) ముఖానికి రక్త ప్రసరణ ఎక్కువగా జరగడం వల్ల ముఖం వాపు వస్తుంది. (ముఖభాగాలు ఉబ్బడం అధిక పీడనంతో రక్త ప్రసరణం వల్ల)

c) అధికమైన మానసిక ఒత్తిడివల్ల తలనొప్పి వస్తుంది. ఇది భూమి మీద ఉన్నా రావచ్చు, అంతరిక్షంలోను రావచ్చు.

d) అంతరాళానికి కూడా దిగ్విన్యాసం ఉంటుంది. కాబట్టి దిగ్విన్యాస సమస్యలు కలుగుతాయి.

ప్రశ్న 10.
ఈ దిగువ ఉన్న రెండు అభ్యాసాల్లో ఇచ్చిన వాటి నుంచి సరియైన సమాధానాన్ని ఎంచుకోండి.

ఏకరీతి ద్రవ్యరాశి సాంద్రత (mass density) కలిగిన ఒక అర్ధగోళాకార కర్పరం కేంద్రం దగ్గర ఉండే గురుత్వాకర్షణ తీవ్రత దిశ పటంలో బాణం గుర్తు సూచించిన విధంగా ఉంది. (i) a, (ii) b, (iii) c, (iv) 0.
జవాబు:
ఏకరీతి సాంద్రతగల అర్ధగోళాకార కర్పరం మీద అన్ని బిందువుల వద్ద గురుత్వాకర్షణ బలం ఒకే విధంగా ఉంటుంది. కావున గురుత్వాకర్షణ తీవ్రత \(\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dt}}\) = 0 కావున గోళం లోపలగల అన్ని బిందువుల వద్ద గురుత్వాకర్షణ తీవ్రత సున్నా.

గోళం ఒక అర్ధభాగాన్ని తొలగిస్తే అంటే ఇచ్చిన అర్ధగోళంలో కేంద్రము Q లేదా ఇతర బిందువు P వద్ద గురుత్వాకర్షణ అధోదిశలో ఉండటం వల్ల గురుత్వాకర్షణ తీవ్రత కూడా అధోదిశలోనే (C) ఉంటుంది. కావున ఇచ్చిన వాటిలో (iii) ‘c’ సరియైన సమాధానము.

ప్రశ్న 11.
పై సమస్యలో ఒకానొక యాదృచ్ఛిక బిందువు P వద్ద ఉండే గురుత్వాకర్షణ తీవ్రత దిశను బాణం గుర్తుతో సూచించడమైంది. (i) d, (ii) e, (iii) f, (iv) g.
జవాబు:
పైన ఇచ్చిన వివరణ 10వ లెక్కలో ఇచ్చిన వివరణ ప్రకారం P వద్ద గురుత్వాకర్షణ తీవ్రత అధోదిశలో ఉంటుంది. కావున ఇచ్చిన వాటిలో ii) ‘e’ సరియైన సమాధానము.

ప్రశ్న 12.
భూమి నుంచి సూర్యుని వైపు దూసుకెళ్లే విధంగా ఒక రాకెట్ను పేల్చారు. భూ కేంద్రం నుంచి ఎంత ఎత్తులో రాకెట్పై పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ బలం శూన్యమవుతుంది ? సూర్యుని ద్రవ్యరాశి = 2 × 10³⁰ kg, భూమి ద్రవ్యరాశి = 6 × 10²⁴ kg. మిగతా ఉపగ్రహాల ప్రభావాన్ని ఉపేక్షించండి. (కక్ష్యా వ్యాసార్ధం = 1.5 × 10¹¹ m).
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి M_s = 2 × 10³⁰ kg; M_e = 6 × 10²⁴ kg ; r =
= 1.5 × 10¹¹ m.
రాకెట్ మీద సూర్యుడు, భూమి వల్ల గురుత్వాకర్షణ బలం సమానంగా గల బిందువు భూమి నుండి ‘x’ దూరంలో ఉందనుకోండి. సూర్యుని నుండి దూరము (r – x) అవుతుంది.

ప్రశ్న 13.
సూర్యుని ఎలా తూచుతారు ? అంటే దాని ద్రవ్యరాశిని అంచనావేయండి. సూర్యుని చుట్టూ భూమి సరాసరి కక్ష్యా వ్యాసార్ధం 1.5 × 10⁸ km.
జవాబు:
సూర్యుని ద్రవ్యరాశి లెక్కించడానికి మనకు భూమి పరిభ్రమణ కాలం T సూర్యుని నుండి గల సగటు కక్ష్యా వ్యాసార్ధము R మరియు భూమి ద్రవ్యరాశి M_e కావలెను.
సూర్యుని వల్ల భూమిపై గురుత్వాకర్షణ F = \(\frac{\mathrm{GM}_{\mathrm{s}} \cdot \mathrm{M}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{r}^2}\)
భూమి సూర్యునిచుట్టూ () అను స్థిరవడితో చలిస్తుంటే భూమిపై అభికేంద్ర బలం F’ = M_erω² = M_er\(\frac{4 \pi^2}{\mathrm{~T}^2}\)
అభికేంద్రబలం భూమి, సూర్యుల మధ్య గురుత్వాకర్షణ వల్ల కలుగుతుంది.
\(\frac{\mathrm{GM}_{\mathrm{s}} \mathrm{M}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{r}^2}=\mathrm{M}_{\mathrm{e}} \mathrm{r} \frac{4 \pi^2}{\mathrm{~T}^2}\) లేక M_s = \(\frac{4 \pi^2 r^3}{\mathrm{GT}^2}\)
r, T మరియు M విలువలు తెలిస్తే సూర్యుని ద్రవ్యరాశి లెక్కగట్టవచ్చు.
దత్తాంశం నుండి r = 1.5 × 10⁸ km = 1.5 × 10¹¹ m;
T = 365 days = 365 × 24 × 60 ×60 s
M_s = \(\frac{4 \times(22 / 7)^2 \times\left(1.5 \times 10^{11}\right)^3}{\left(6.67 \times 10^{-11}\right) \times(365 \times 24 \times 60 \times 60)^2}\) ≈ 2 × 10³⁰kg

ప్రశ్న 14.
శని సంవత్సరం భూసంవత్సరానికి 29.5 రెట్లు ఉంటుంది. సూర్యుని నుంచి భూమి 1.50 × 10⁸ km దూరంలో ఉన్నట్లయితే సూర్యుని నుంచి శనిగ్రహం దూరం ఎంత ?
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి T_s = 29.5 T_e; R_e = 1.5 × 10⁸ km; R_s = ?
\(\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{s}}^2}{\mathrm{R}_{\mathrm{s}}^3}=\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{e}}^2}{\mathrm{R}_{\mathrm{e}}^3}\) అను సమీకరణం నుండి
లేక R_s = R_e \(\left(\frac{\mathrm{T}_{\mathrm{s}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{e}}}\right)^{2 / 3}\) = 1.5 × 10⁸ \(\left(\frac{29.5 \mathrm{~T}_{\mathrm{e}}}{\mathrm{T}_{\mathrm{e}}}\right)^{2 / 3}\) = 1.43 × 10⁹ km.

ప్రశ్న 15.
భూఉపరితలంపై ఒక వస్తువు 63 N బరువు ఉంటుంది. భూవ్యాసార్ధానికి సగం ఎత్తులో భూమి పరంగా ఆ వస్తువుపై పనిచేసే గురుత్వాకర్షణ బలం ఎంత ?
జవాబు:
వస్తువు భారము = mg = 63 N
‘h’ ఎత్తు వద్ద గురుత్వ త్వరణము, g’ = \(\frac{g R^2}{(R+h)^2}=\frac{g R^2}{(R+R / 2)^2}=\frac{4}{9} g^2\)
h ఎత్తు వద్ద వస్తువుపై గురుత్వాకర్షణ బలం F = mg’ = m × \(\frac{4}{9}\) g = \(\frac{4}{9}\) mg = \(\frac{4}{9}\) × 63 = 28 N

ప్రశ్న 16.
భూమిని ఒక ఏకరీతి ద్రవ్యరాశి సాంద్రత గల గోళంగా పరిగణిస్తే, భూఉపరితలంపై 250 N భారం కలిగిన వస్తువు భూకేంద్రంవైపు పోతున్నప్పుడు కేంద్రానికి సగం దూరంలో ఎంత భారం కలిగి ఉంటుంది ?
జవాబు:
d లోతు వద్ద వస్తువు భారము = mg’ = m × g(1 – \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{R}}\)) = 250\(\left(1-\frac{\frac{\mathrm{R}}{2}}{\mathrm{R}}\right)\) = 125 N

ప్రశ్న 17.
భూఉపరితలం నుంచి ఒక రాకెట్ను 5 km s^-1 వడితో నిట్టనిలువుగా పేల్చారు. భూమికి తిరిగి వచ్చేలోగా అది భూమి నుంచి ఎంత దూరం పోతుంది ? భూమి ద్రవ్యరాశి = 6.0 × 10²⁴ kg;భూమి సగటు వ్యాసార్ధం 6.4 × 10⁶ m; G = 6.67 × 10^-11 Nm²kg^-2
జవాబు:
రాకెట్ను భూమి మీద వేగంతో పైకి పంపినామనుకొనుము అది చేరగల గరిష్ఠ ఎత్తు h అనుకొనుము.
భూమిపై మొత్తం శక్తి = K.E. + P.E = \(\frac{1}{2}\) mv² + \(\left(\frac{-\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}}\right)\)
గరిష్ఠ ఎత్తు వద్ద v = 0, K.E = 0 మరియు P.E = – \(\frac{\mathrm{GMm}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}\)
మొత్తం శక్తి = K.E + P.E = 0 + \(\left(\frac{-\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}\right)=-\frac{\mathrm{GMm}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}\)
శక్తి నిత్యత్వ నియమం నుండి

ప్రశ్న 18.
భూఉపరితలంపై ఒక ప్రక్షేపకం పలాయనవడి 11.2 km s^-1 దీనికి మూడు రెట్లు వేగంతో ఒక వస్తువును ప్రక్షిప్తం చేశారు. భూమి నుంచి సుదూరంలో (అంటే అనంత దూరంలో) వస్తువు వడి ఎంత ? సూర్యుడు, ఇతర గ్రహాల ఉనికిని విస్మరించండి.
జవాబు:
దత్తాంశం నుండి v_e = 11.2 kms^-1; ప్రక్షేప వేగము V = 3v_e గురుత్వాకర్షణ పరిధి దాటిన తరువాత వస్తువు ద్రవ్యరాశి m₀, దాని వేగము V₀ అనుకొనుము.
\(\frac{1}{2}\) mv₀² = \(\frac{1}{2}\) mv² – \(\frac{1}{2}\)mv_e² (శక్తి నిత్యత్వ నియమం నుండి)
లేదా v₀ = \(\sqrt{v^2-v_{\mathrm{e}}^2}=\sqrt{\left(3 \mathrm{v}_{\mathrm{e}}\right)^2-\mathrm{v}_{\mathrm{e}}^2}=\sqrt{8} \mathrm{v}_{\mathrm{e}}=\sqrt{8} \times 11.2\) = 31.68 kms^-1 ·

ప్రశ్న 19.
భూ ఉపరితలం నుంచి 400km ఎత్తున ఒక కృత్రిమ ఉపగ్రహం పరిభ్రమిస్తుంది. భూమి గురుత్వాకర్షణ ప్రభావం నుంచి కృత్రిమ ఉపగ్రహాన్ని తప్పించడానికి ఎంత శక్తిని వెచ్చించాలి ? కృత్రిమ ఉపగ్రహం ద్రవ్యరాశి = 200kg; భూమి ద్రవ్యరాశి = 6.0 × 10²⁴ kg; భూ వ్యాసార్ధం = 6.4× 10⁶ m; G = 6.67 × 10^-11Nm² kg^-2.
జవాబు:
h ఎత్తులోగల ఉపగ్రహం మొత్తం శక్తి
= \(-\frac{\mathrm{GMm}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}+\frac{1}{2} \mathrm{mv} v^2=-\frac{\mathrm{GMm}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}+\frac{1}{2} \mathrm{~m} \frac{\mathrm{GM}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}=\frac{-\mathrm{GMm}}{2(\mathrm{R}+\mathrm{h})}\)
ఉపగ్రహాన్ని గురుత్వాకర్షణ క్షేత్రం నుండి దాటించడానికి రాకెట్ ఖర్చుపెట్టిన శక్తి = – కక్ష్యలో గల ఉపగ్రహం మొత్తం శక్తి
= \(\frac{\mathrm{GMm}}{2(\mathrm{R}+\mathrm{h})}=\frac{\left(6.67 \times 10^{-11}\right) \times\left(6 \times 10^{24}\right) \times 200}{2\left(6.4 \times 10^6+4 \times 10^5\right)}\) = 5.9 × 10⁹ J

ప్రశ్న 20.
ఒక్కొక్కటి సూర్యుని ద్రవ్యరాశి (= 2 × 10³⁰ kg) కి సమానమైన ద్రవ్యరాశి కలిగిన రెండు నక్షత్రాలు ముఖాముఖీ అభిఘాతం చెందే విధంగా పరస్పరం సమీపిస్తున్నాయి. వాటి మధ్య దూరం 10⁹ km గా ఉన్నప్పుడు వాటి వడులు విస్మరింపదగినవిగా ఉన్నాయి. అవి ఏ వడితో అభిఘాతం చెందుతాయి ? ప్రతి నక్షత్రం వ్యాసార్ధం 10⁴ km. పరస్పరం అభిఘాతం చెందేంత వరకు అవి విరూపణ చెందకుండా ఉంటాయని అనుకొందాం. (తెలిసిన G విలువ ఉపయోగించండి).
జవాబు:
నక్షత్రం ద్రవ్యరాశి M = 2 × 10³⁰ kg
నక్షత్రముల మధ్య తొలి దూరం r = 10⁹ km = 10¹² m
వ్యవస్థ తొలి స్థితి శక్తి = – \(\frac{\mathrm{GMM}}{\mathrm{R}}\)
నక్షత్రాల మొత్తం గతిజశక్తి = \(\frac{1}{2}\) Mv² + \(\frac{1}{2}\)mv² = Mv²
అభిఘాతం ముందు నక్షత్రాల వేగం ‘v’ మరియు వాటి మధ్య దూరము r = 2R.
రెండు నక్షత్రాల మొత్తం స్థితిశక్తి = – \(\frac{\mathrm{GMM}}{2 \mathrm{R}}\)
K.E. లో పెరుగుదల P.E. లో తరుగుదల వల్ల సాధ్యము

ప్రశ్న 21.
ఒక క్షితిజ సమాంతర బల్లపై ఒక్కొక్కటి 100 kg ద్రవ్యరాశి, 0.10 m వ్యాసార్ధం ఉన్న రెండు బరువైన గోళాలు 1.0 m దూరంలో ఉన్నాయి. ఆ గోళ కేంద్రాలను కలిపే రేఖ మధ్య బిందువు వద్ద గురుత్వాకర్షణ బలం, పొటెన్షియల్ ఎంత ఉంటాయి ? ఆ బిందువు వద్ద ఉంచిన వస్తువు సమతాస్థితిలో ఉంటుందా ? ఒకవేళ ఉంటే, ఆ వస్తువు స్థిర సమతాస్థితిలో ఉంటుందా ? అస్థిర సమతాస్థితిలో ఉంటుందా ?
జవాబు:
గోళములను కలుపు రేఖ మధ్య బిందువు వద్ద గురుత్వ క్షేత్రము = \(\frac{\mathrm{GM}}{(\mathrm{r} / 2)^2}(-\hat{\mathrm{r}})+\frac{\mathrm{GM}}{(\mathrm{r} / 2)} \hat{\mathrm{r}}\) = 0
గోళాలను కలుపు రేఖ మధ్య బిందువు వద్ద గురుత్వ పొటెన్షియల్
V = \(-\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{r} / 2}+\left(\frac{-\mathrm{GM}}{\mathrm{r} / 2}\right)=\frac{-4 \mathrm{GM}}{\mathrm{r}}=\frac{-4 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 100}{1.0}\) = -2.7 × 10^-8 J/kg
మధ్య బిందువు వద్ద ఫలిత బలము సున్నా కావున వస్తువు సమతా స్థితిలో ఉంది. దాని స్థానాన్ని కొంచెం పక్కకు జరిపితే ఒక గోళం వల్ల ఆకర్షణ పెరిగి అది సమతా స్థితి కోల్పోతుంది. కావున ఆ వస్తువు అస్థిర నిశ్చల స్థితిలో ఉండును.

ప్రశ్న 22.
మీరు నేర్చుకున్నట్లుగా, ఒక భూస్థావర ఉపగ్రహం భూమి ఉపరితలం నుంచి 36,000 km ఎత్తులో ఉన్న కక్ష్యలో భూమి చుట్టూ పరిభ్రమిస్తుంది. ఉపగ్రహం ఉన్న ప్రదేశంలో భూమి గురుత్వం మూలంగా కలిగే పొటెన్షియల్ ఎంత ? (అనంత దూరం వద్ద పొటెన్షియల్ సున్నాగా తీసుకోండి) భూమి ద్రవ్యరాశి = 6.0 × 10²⁴ kg, భూ వ్యాసార్ధం = 6400 km.
జవాబు:
భూమి నుండి h ఎత్తులో గురుత్వ పొటెన్షియల్
V = – \(\frac{\mathrm{GM}}{(\mathrm{R}+\mathrm{h})}=\frac{-6.67 \times 10^{-11} \times\left(6 \times 10^{24}\right)}{\left(6.4 \times 10^6+36 \times 10^6\right)}\) = -9.4 × 10⁶ J/kg

ప్రశ్న 23.
సూర్యుని ద్రవ్యరాశికి 2.5 రెట్లు ద్రవ్యరాశిని కలిగి, 12 km పరిమాణానికి కుంచించుకుపోయిన ఒక నక్షత్రం సెకనుకు 1.2 పరిభ్రమణాల వడితో తిరుగుతుంది. (ఈ రకమైన నక్షత్రాలను ‘న్యూట్రాన్ నక్షత్రాలు’ అంటారు. Pulsars అని పిలవబడే కొన్ని ఖగోళ వస్తువులు ఈ కోవకు చెందినవే). ఆ నక్షత్ర మధ్యరేఖ (equator) పై ఉంచిన వస్తువు గురుత్వాకర్షణ వల్ల దానికే అతుక్కొనిపోతుందా ? (సూర్యుని ద్రవ్యరాశి = 2 × 10³⁰ kg)
జవాబు:
వస్తువు నక్షత్రానికి అతుక్కొని ఉండాలంటే నక్షత్రంపై గురుత్వ త్వరణము వస్తువు భ్రమణం వల్ల కలిగిన అపకేంద్ర త్వరణము (rω²) కన్న ఎక్కువ ఉండాలి.
గురుత్వ త్వరణము g = \(\frac{\mathrm{GM}}{\mathrm{R}^2}=\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.5 \times 2 \times 10^{30}}{(12000)^2}\) = 2.3 × 10¹² ms^-2
అభిలంబ త్వరణము = rω² = r (2πv)² = 12000 (2π × 1.5)² = 1.1 × 10⁶ ms^-2
g > rω² కావడం వల్ల వస్తువు నక్షత్రం ఉపరితలంపై అతుక్కొని ఉంటుంది.